BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY 2014 – 2015. III. forduló MEGOLDÁSOK 1. Gondoltam egy négyjegyű számot. Az első két számjegy összege 3, az utolsó kettőé pedig 7, és a középső két számjegyből alkotott szám osztható 4-gyel. Melyik számra gondolhattam? Határozd meg az összes lehetőséget! MEGOLDÁS: Az első feladat másolási hiba miatt megegyezik az előző forduló utolsó feladatával. Aki beadta a forduló megoldását annak az 1. feladatát maximális pontszámmal számoljuk be. Legyen a négyjegyű szám: ABCD. Feltételek: A + B = 3; C + D = 7; BC osztható néggyel. Néggyel osztató számok végződése: 0, 2, 4, 6, 8. (A 8-as nem lehet a feladat feltételei miatt.) A C lehetséges értékei: 0; 2; 4; 6. Ha C = 0 B lehetséges értéke: 0; 2. (Több a feladat feltételei miatt nem lehet.)
A
B
C
D
3
0
0
7
1
2
0
7
Ha C = 2 B lehetséges értéke: 1. (Több a feladat feltételei miatt nem lehet.)
A
B
C
D
2
1
2
5
Ha C = 4 B lehetséges értéke: 0; 2. (Több a feladat feltételei miatt nem lehet.)
A
B
C
D
3
0
4
3
1
2
4
3
Ha C = 6 B lehetséges értéke: 1. (Több a feladat feltételei miatt nem lehet.)
A
B
C
D
2
1
6
1
A lehetséges megoldások: 1207; 1243; 2125; 2161; 3007; 3043.
BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY 2014 – 2015. III. forduló MEGOLDÁSOK 2. Egy téglalap rövidebb oldala 2, átlója 4 egység. Mekkora szöget zárnak be a téglalap átlói egymással és az oldalakkal? MEGOLDÁS: A téglalap átlói felezik egymást.
C
D
AO = DO = 2 egység. Az AOD háromszög egyenlő szárú háromszög (szabályos háromszög).
O
Az egyenlőszárú háromszög minden szöge egyforma. Háromszög belső szögeinek összege 180°. A háromszög minden szöge 60°.
B
A
Akkor az átlók által bezárt szög 60°. Az átlók és az oldalak által bezárt szög: a rövidebb oldallal bezárt szög: 60°. a hosszabb oldallal bezárt szög: 30°. (A DA oldal az AB oldallal 90°-os szöget zár be. 90° - 60° = 30 °.) A feladatra 8 pont kapható.
BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY 2014 – 2015. III. forduló MEGOLDÁSOK 3. A 2013 egy olyan természetes szám, amelyben az első és a harmadik számjegy összege megegyezik a második és a negyedik számjegy összegével. Hány ilyen évszám van a 3. évezredben? MEGOLDÁS: 2013 2 +1 = 0 + 3
3. számjegy
1. és 3. számjegy összege
1. számjegy
2. számjegy
3. számjegy
1. és 3. számjegy összege
4. számjegy
2. és 4. számjegy összege
2. és 4. számjegy összege
2. számjegy
1.
1.
2
0
0
2
2
2
34.
1.
2
0
6
8
8
8
2.
2.
2
0
0
2
2
2
35.
2.
2
8
6
8
0
8
3.
3.
2
1
0
2
1
2
36.
3.
2
1
6
8
7
8
4.
1.
2
3
1
3
0
3
37.
4.
2
7
6
8
1
8
5.
2.
2
0
1
3
3
3
38.
5.
2
2
6
8
6
8
6.
3.
2
1
1
3
2
3
39.
6.
2
6
6
8
2
8
7.
4.
2
2
1
3
1
3
40.
7.
2
3
6
8
5
8
8.
1.
2
0
2
4
4
4
41.
8.
2
5
6
8
3
8
9.
2.
2
4
2
4
0
4
42.
9.
2
4
6
8
4
8
10. 3.
2
1
2
4
3
4
43.
1.
2
0
7
9
9
9
11. 4.
2
3
2
4
1
4
44.
2.
2
9
7
9
0
9
12. 5.
2
2
2
4
2
4
45.
3.
2
1
7
9
8
9
13. 1.
2
0
3
5
5
5
46.
4.
2
8
7
9
1
9
14. 2.
2
5
3
5
0
5
47.
5.
2
2
7
9
7
9
15. 3.
2
1
3
5
4
5
48.
6.
2
7
7
9
2
9
16. 4.
2
4
3
5
1
5
49.
7.
2
3
7
9
6
9
17. 5.
2
2
3
5
3
5
50.
8.
2
6
7
9
3
9
18. 6.
2
3
3
5
2
5
51.
9.
2
4
7
9
5
9
19. 1.
2
0
4
6
6
6
52. 10.
2
5
7
9
4
9
20. 2.
2
6
4
6
0
6
53.
1.
2
1
8
10
9
10
21. 3.
2
1
4
6
5
6
54.
2.
2
9
8
10
1
10
22. 4.
2
5
4
6
1
6
55.
3.
2
2
8
10
8
10
23. 5.
2
2
4
6
4
6
56.
4.
2
8
8
10
2
10
24. 6.
2
4
4
6
2
6
57.
5.
2
3
8
10
7
10
25. 7.
2
3
4
6
3
6
58.
6.
2
7
8
10
3
10
4. számjegy
1. számjegy
A harmadik évezredben a feladat feltételeinek megfelelő évszámok első számjegye: 2.
BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY 2014 – 2015. III. forduló MEGOLDÁSOK 26. 1.
2
0
5
7
7
7
59.
7.
2
4
8
10
6
10
27. 2.
2
7
5
7
0
7
60.
8.
2
6
8
10
4
10
28. 3.
2
1
5
7
6
7
61.
9.
2
5
8
10
5
10
29. 4.
2
6
5
7
1
7
62.
1.
2
2
9
11
9
11
30. 5.
2
2
5
7
5
7
63.
2.
2
9
9
11
2
11
31. 6.
2
5
5
7
2
7
64.
3.
2
3
9
11
8
11
32. 7.
2
3
5
7
4
7
65.
4.
2
8
9
11
3
11
33. 8.
2
4
5
7
3
7
66.
5.
2
4
9
11
7
11
67.
6.
2
7
9
11
4
11
68.
7.
2
5
9
11
9
14
69.
8.
2
6
9
11
5
11
A 3. évezredben a feltételeknek 69 darab évszám felel meg.
A feladatra 10 pont kapható.
BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY 2014 – 2015. III. forduló MEGOLDÁSOK 4. A 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből hány olyan 6–tal osztható négyjegyű szám készíthető, amelynek a számjegyei különbözőek? MEGOLDÁS: Hattal azok a számok oszthatók, amelyek párosak és hárommal oszthatók. A keresett számok végződése: 2; 4; 6 lehet. Hárommal oszthatók azok a számok amelyekben a számjegyek összege osztható hárommal. Ha a végződés 2, a másik 3 számjegy: 3, 4, 6. A fenti négy számjegyből 6 darab feltételeknek megfelelő négyjegyű szám képezhető. Ha a végződés 4, a másik 3 számjegy: 2, 3, 6. A fenti négy számjegyből 6 darab feltételeknek megfelelő négyjegyű szám képezhető. Ha a végződés 4, a másik 3 számjegy: 3, 5, 6. A fenti négy számjegyből 6 darab feltételeknek megfelelő négyjegyű szám képezhető. Ha a végződés 6, a másik 3 számjegy: 2, 3, 4. A fenti négy számjegyből 6 darab feltételeknek megfelelő négyjegyű szám képezhető. Ha a végződés 6, a másik 3 számjegy: 3, 4, 5. A fenti négy számjegyből 6 darab feltételeknek megfelelő négyjegyű szám képezhető.
Összesen 30 darab ilyen négyjegyű szám található. A feladatra 10 pont kapható.
BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY 2014 – 2015. III. forduló MEGOLDÁSOK 5. Az ábrán látható alakzatot egyforma négyzetekből kaptuk úgy, hogy minden négyzet középpontja a szomszédjának a csúcsán van. a.) Egy négyzet kerületének hányszorosa az alakzat kerülete? b.) Egy négyzet területének hányszorosa az alakzat területe? c.) A rajzon hány darab négyzet látható? MEGOLDÁS: Négy olyan oldal van, amelynek hossza a kerület negyede. Tizenhat olyan oldal van, amelynek hossza a négyzet kerületének nyolcada.
1 k 4
1 k 8
1 1 4 k 16 k k 2k 3k 4 8
Az alakzat kerülete a kiindulási négyzet kerületének háromszorosa.
Az alakzat 3 darab egész négyzetből és 4 darab olyan négyzetből áll, amelynek területe az egész négyzet területének negyedrésze.
Az alakzat területe a kiindulási négyzet területének négyszerese.
5 darab nagy négyzet, valamint 10 darab kis négyzet látható.
Összesen 15 darab négyzet látható. A feladatra 12 pont kapható.
