BLÁZSOVICS JÓZSEF
Panem-Akkord
Blázsovics J ózsef
ENNYIT KELL(ENE) TUDNOD MATEMATIKÁBÓL
Blázsovies József
ENNYIT KELL(ENE) TUDNOD
MATEMATIKÁBÓL
AKKORD • PANEM
Lektorálta: Sárvári Csaba, Bán Miklós Szerkesztette: Bán Miklós A borítót tervezte: Vaisz György Műszaki szerkesztő: Érdi Júlia Az ábrákat rajzolta: Simon Jánosné
© Blázsovics József, 1992 Harmadik kiadás: Budapest, 1995
Ez a könyv az Akkord Kiadó Kft. és a Panem Kft. közös kiadásában készült
A kiadásért felel a Panem Kft. ügyvezetője Budapest, 1995
Postacím: Panem Kft. 1385 Budapest Pf. 809.
ISBN 963 545 015 X Szedte: írnok Kft.
TARTALOM
ELŐSZŐ ............................................................................................
9
I. FEJEZET. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI 1.1. Halmazok megadása, szemléltetése, számossága 1.2. Műveletek halmazokkal ............................................................
11 14
II. FEJEZET. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI ILI. ítéletkalkulus, kvantorok ......................................................... 11.2. Logikai műveletek 11.3. Következtetések
17 18 21
III. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK III. 1. A racionális számok halmaza ................................................ 111.2. A valós számok halm aza 111.3. A komplex számok halmaza ..................................................
23 30 32
IV. FEJEZET. SZÁMELMÉLETI ALAPFOGALMAK IV. 1. Osztók, oszthatóság ................................................................ IV.2. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös
40 42
V. FEJEZET. ALGEBRA V .l. Algebrai alapfogalmak ............................................................ V.2. A hatványozás és fordított műveletei (gyökvonás, logarit mus) ............................................................................................
45 47
6
TARTALOM
V.3. Egyenletek, egyenlőtlenségek .................................................. 53 V.4. Elsőfokú (lineáris) egjrismeretlenes egyenletek és egyenlőt lenségek ....................................................................................... 57 V.5. Elsőfokú két ismeretlenes (diofantoszi) egyenletek és egyen letrendszerek .............................................................................. 60 V .6. Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek .............................. 65 VI. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK V I.l. A számtani, a mértani és a harmonikus közép fogalma; a rájuk vonatkozó egyenlőtlenségek .............................................. 77 VI.2. Számsorozatok ............................................................................ 78 VI.3. A számsorozatok tulajdonságai ............................................ ... 85 VI.4. Számsorok ................................................................................... 90 VII. FEJEZET. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK V n .l. VII.2. VII.3. VII.4. VII.5. VII.6. VII.7.
Relációk, leképezések............ ............................................... 94 Egyváltozós valós függvények.............................................. 98 Műveletek függvényekkel ............................... .................... 110 Függvénytulajdonságok....... ................................................ 112 Függvények folytonossága és határértéke ........................... 120 Elemi függvények.............. .................. ................................ 129 Nem elemi függvények.............. ........................................... 147
VIII. FEJEZET. VEKTORALGEBRA V n i.l. VIII.2. Vin.3. VTQ.4.
Vektoralgebrai alapfogalmak.............................................. Vektorok összeadása (kivonása), számmal való szorzása . A vektor koordinátái ........................................................... Vektorok szorzása ................ ...............................................
151 153 156 162
IX. FEJEZET. TRIGONOMETRIA IX. 1. A szögfüggvények értelmezése ............................................... 169 IX.2. Trigonometrikus összefüggések ..............................................176 IX. 3. Általános háromszögekre vonatkozó tételek ....................... 178
TARTALOM
7
X. FEJEZET. ELEMI GEOMETRIA Alapismeretek ................................................................................... ..182 X .l. Térelemek ....................................................................................182 X.2. A szög és m érése....................................................................... 186 X.3. Nevezetes ponthalmazok ...........................................................193 Geometriai transzformációk............................................................ 194 X.4. Egybevágósági transzformációk.............................................. 196 X.5. Hasonlósági transzformációk .................................................. 205 X .6. Egyéb transzformációk ............................................................ 212 Síkidomok ................................ ......................................................... 216 X.7. A háromszögek ......................................................................... 216 X .8. A négyszögek ................ ........................................................... 227 X.9. A sokszögek .............................................................................. 235 X.IO. A k ö r .........................................................................................239 X .ll. A síkidomok kerülete és területe...........................................250 T estek ................................................................................................. 255 X .12. Poliéderek ................................................................................ 255 X.13. Görbelapú testek ................................................................... 262 X.14. A g ö m b ..................................................................................... 268 X.15. A testek felszíne és térfogata................................................ 271 XI. FEJEZET. KOORDINÁTAGEOMETRIA A sík koordinátageometriája............................................................ 278 XI. 1. A pont koordinátageometriája.............................................. 278 XI.2. Az egyenes koordinátageometriája ....................................... 283 XI.3. A kúpszeletek koordinátageometriája .................................. 295 Koordinátageometria a té r b e n ......................................................... 311 XI.4. A pont koordinátageometriája.............................................. 311 XI.5. Az egyenes koordinátageometriája ....................................... 316 XI.6. A sík koordinátageometriája..................................................318 XI.7. Forgásfelületek egyenlete ...................................................... 322
8
TARTALOM
XII. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS XII. 1. A differenciálhányados értelmezése, a derivált ..................326 XII.2. Deriválási szabályok .............................................................. 335 XII.3. Differenciálható függvények vizsgálata .............................. 338 XIII. FEJEZET .INTEGRÁLSZÁMÍTÁS XIII. 1. XIII.2. XIII.3. XIII.4.
A határozott integrál .......................................................... 343 A határozatlan integrál ....................................................... 352 A határozott integrál alkalmazásai ................................... 362 Közelítő (numerikus) integrálási eljárások ....................... 372
XIV. FEJEZET. A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI X IV .l. M átrixok ................................................................................375 XIV.2. Determinánsok ..................................................................... 383 XV. FEJEZET. KOMBINATORIKA XV. 1. Permutációk .......................................................................... 387 X V .2. Variációk..................................................................................389 XV.3. K om binációk.......................................................................... 391 XVI. FEJEZET. BEVEZETÉS A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSBA XVI. 1. Eseményalgebra ................................................................... 393 XVI.2. A valószínűség fogalma, kiszámítása ................................ 396 XVI.3. A valószínűségi változó és jellemzői .................................. 402 TÁRGYMUTATÓ ............................................................................ 406
ELŐSZŐ
Ebben a könyvben a középiskolában oktatott teljes matematikai ismeretanyag tömör összefoglalását kívántuk közreadni. A törzsanyag néven ismert anyagrészeket ezért olyan további témákkal bővítettük, amelyeket részben a speciális osztályokban tanítanak, részben pedig elősegítik a középiskolából a felsőfokú oktatási intézményekbe jelent kezők felkészülését. Ez a zsebkönyv segítséget kíván nyújtani mind a nappali, mind az esti, illetve levelezős középiskolai tanulóknak az aktuális órai anyag megtanulásához, a korábban tanult ismeretek felfrissítéséhez, valamint az érettségi és felvételi vizsgára való felké szüléshez, de az első éves főiskolai és egyetemi hallgatók is hasznosan forgathatják. A könyv megírásában nem kifejezetten didaktikai szempontok vezettek, hanem a feldolgozott anyagrészek diszciplináris egységét kívántuk bemutatni. így egy fejezetben találhatók meg például a geometriai transzformációk, jóllehet ezeket a középiskola különböző évfolyamain tárgyalják. A kötet zsebkönyv jellege megkövetelte, hogy a legtöbb esetben csak a fogalmak definiálására, valamint az ezeket összekapcsoló tételek kimondására szorítkozzunk. A tételek közül csak a legnevezetesebbek bizonyításáét közöljük. Ennek ellenére számos helyen igyekeztünk példával elősegíteni a fogalmak megértését és a tételek alkalmazását. A definíciókat [^ , a tételeket [^ , a példákat [p]és a bizonyításokat jellel láttuk el. A definíciók és tételek szövegét függőleges vonal kíséri, és a jelentősebb képleteket bekereteztük. A kötetben szereplő fogalmak és tételek gyors visszakeresését betűrendes tárgymutató segíti. A szerző
I. A HALMAZELMELET ALAPJAI
1.1. HALMAZOK MEGADASA, SZEMLELTETESE, SZÁMOSSÁGA A halmazt alapfogalomnak tekintjük, melyet más fogalmakkal nem definiálunk. Amikor a halmazokról van szó, bizonyos meghatározott, valóságos vagy gondolatban kialakított dolgok összességére gondoljunk. A halmazhoz való tartozás szintén alapfogalom: A halmazhoz tartozó dolgok a halmaz elemei. A halmazokat a latin ábécé nagybetűivel, az elemeit pedig kisbe tűivel jelöljük. Ha a eleme yl-nak, akkor ezt így írjuk: a G ellenkező esetben a^A. Egy halmazt adottnak tekintünk, ha minden szóba kerülő dologról egyértelműen eldönthető, hogy eleme-e a halmaznak vagy sem. Azt a halmazt, amelyen vizsgálatainkat végezzük, alaphalmaznak nevezzük; jelölése I. A halmazt megadhatjuk: — Az elemeinek felsorolásával. Ekkor a halmaz elemeit kapcsos zárójelbe tesszük és az egyes elemeket vesszővel vagy pontosvesszővel választjuk el egymástól, pl.: {1 ;2 ;3 }. — A halmaz elemeire jellemző tulajdonság megadásával, pl. A := {A; € N I A; < 10}, ahol N jelöli a természetes számok halmazát. Az A halmaz elemei a tíznél kisebb természetes számok. A halmazokat Venn-diagrammal szemléltetjük (VENN angol matematikus, 18341923). A Venn-diagram is alapfogalom: az alaphalmazt zárt síkbeli
12
L A HALMAZELMÉLET ALAPJAI
tartománnyal ábrázoljuk, s a halmaz elemeit e tartomány belsejében helyezzzük el ( 1.1. ábra). Két halmaz ekvivalens, ha elemeik megegyeznek, jelölése A ^ B. Az A = {1; 1; 2} és a ^ = {1; 2} ekvivalens halmazok: Ar^ B.
Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs, üres halmaznak nevezzük; jelölése 0 vagy { }. A kialakult szokásnak megfelelően a számhalmazokra a következő jelöléseket alkalmazzuk: N, Z , Q, E. A Z"^, ill. a Z “ a pozitív, ill. a negatív egész számok halmazát jelöli. Hasonló értelemben használjuk a Q “^, Q ~ ; W~ jelöléseket is a racionális, ill. a valós számokra. N a természetes számok halmazát jelöli. [ d1 a halmaz véges, ha véges sok eleme van. Véges halmaz számos sága egyenlő az elemeinek számával. Az A halmaz számosságát [^[-val jelöljük. A természetes számok N halmazának számosságát megszámlálhatóan végtelennek nevezzük. Az A halmazt megszámlálható halmaznak mondjuk, ha számossága véges vagy megszámlálhatóan végtelen. m
A valós számok halmaza nem megszámlálható.
L A HALMAZELMÉLET ALAPJAI
13
Az ]R halmaz számosságát kontinuum számosságnak nevezzük. Az A halmaz számossága megszámlálhatóan végtelen, ill. konti nuum, ha az A halmaz elemei és az N, ill. az M halmaz elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés (leképezés) létesíthető. Bizonyítható, hogy az egész számok Z halmaza és a racionális számok Q halmaza megszámlálhatóan végtelen számosságú, azaz |Ni = |Z| = |Q|. Az A halmaz a B halmaz részhalmaza, ha az A minden eleme a B halmaznak is eleme; jelölése A C B. Az A halmaz a B halmaz valódi részhalmaza, ha A részhalmaza ^-nek és jB-nek van olyan eleme, amely nem eleme ^-nak; jelölése AcB. A a) b) c)
részhalmazképzés A C A — reflexív, ha A C jB és ha jB C t4, akkor A — B — antiszimmetrikus, ha ^ C ^ és ha jB C C , akkor A ^ C — tranzitív tulajdonságú (A, B és C tetszőleges halmazok). Az A halmaz összes részhalmazainak halmazát az A halmaz hatványhalmazának nevezzük és P(A)-val jelöljük.
0
A : = { 1 ; 2 } ,
P (A )
=
{ { } , { ! } ,
{2 }, {1; 2 } } .
m
Ha az A véges halmaz elemeinek száma n (G N), akkor ^-nak 2^ számú különböző részhalmaza van, azaz |F(A)| = 2Í^I.
Nincs olyan halmaz, amelynek minden halmaz az eleme.
14
I. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI
1.2. MŰVELETEK HALMAZOKKAL [d1 A z a és B halmaz uniója (egyesítése) pontosan azon elemek halmaza, amelyek hozzátartoznak A-hoz vagy jB-hez ( 1.2. ábra); jelölése AU B, azaz
A u B = { x \X e A vagy x e B }.
Hasonlóan értelmezhető kettőnél több halmaz uniója is: n
U ^ i = ^ l U ^ 2 U ...U^n. i=l Az unió (egyesítés) halmazművelet tulajdonságai: Auib = A] Au A = A — idempotens; AuB = BuA — kommutatív'^ {Au B )U C = A u {B U C ) — asszociatív. m
Ha A és B véges halmaz, akkor \AöB\<\A\ + \B\. Két halmaz metszete (közös része) azokból és csakis azokból az elemekből álló halmaz, melyek mindkét halmaznak elemei (1.3. ábra); jelölése A O B , azaz A d B = { x \X e A és X e B } .
L A HALMAZELMÉLET ALAPJAI
15
Hasonlóan értelmezzük kettőnél több halmaz metszetét is: n
f]A i = A inA 2n...nA n. i=l Az A és B diszjunkt (idegen) halmazok, ha A Pl
== 0.
A metszet halmazművelet tulajdonságai (tetszőleges A, B és C halmazokra): Ani^ = ilí; — idempotens'^ AdA= A An B = B n A — kommutatív; (A n B ) n C = A f] {B n C) — asszociatív. Az unió és a metszet műveletek egymásra nézve disztributívak: {A u B )n C = {A nC )u{B nC ), (A n B )u C = {A uC )n{B uC ). □
Ha A és B véges halmazok, akkor \AöB\ = \A\ + \B\-\ADB\.
Az A és B halmazok különbségén azt a halmazt értjük, amely Anak azon elemeiből áll, amelyek nem tartoznak B-hez (1.4. ábra); jelölése A \ B vagy A —B^ azaz
I. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI
16
0
Ha az I alaphalmazra A aJdíor diZ I \ A különbséghalmazt A-nak /-re vonatkozó komplementer (kiegészítő) halmazának nevezzük (1.5 ábra); jelölése A j, azaz A j = { x \X e L d e X ^ A } .
Érvényesek a következő egyenlőségek: l l = I. I j = ^.
Á j=_A, A u A j = I, A n A j = Ü,
A \ B = AnBj, ill. a de Morgan-azonosságok: r
II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI
ll.l. ITELETKALKULUS, KVANTOROK Az ítélet egy eldönthetően igaz vagy hamis állítás. A matematikai logikában az ítéletek nyelvi jelentésétől eltekintünk, kizárólag az állítás igaz vagy hamis volta érdekes számunkra, amit az ítélet logikai értékének mondunk; jelölésére az i (igaz) és sl h (hamis) betűt használjuk. Az ítéletelet (a tartalmuktól, jelentésüktől eltekintve) a latin ábécé nagybetűivel jelöljük, és logikai változóknak nevezzük. Beszélünk egyszerű (elemi) ítéletről, amely egyetlen állítást tartal maz és összetett ítéletről, amely egyszerű ítéletekből épül fel. A matematikai logika az ítéletek és a köztük levő kapcsolatok leírására különböző szintű formalizált nyelveket használ. Ezek közül kettőt említünk meg: az ítéletkalkulust, a nulladrendű logika nyelvét, és az elsőrendű logika (predikátumkalkulus) nyelvét. Az ítéletkalkulus az ítéletekkel végzett műveletekkel, az ítéletek szintjén végzett következtetésekkel foglalkozik. Az elsőrendű logika tartalmazza az ítéletkalkulust, de ennél mélyebb összefügések meg fogalmazására is alkalmas. Ezen a nyelven tudjuk a matematikai állításokat és következtetéseket formalizálni. A nulladrendű logika (az ítéletkalkulus) nyelvén nagyon sok mate matikai állítást nem tudunk megfogalmazni. 0
1. Minden páros szám osztható kettővel; 2. Van olyan négyszög, amelynek szemközti szögeinek összege 180°; 3. Minden prímszámnál van nagyobb prímszám.
18
II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI
A matematikai állítások logikai szerkezetének leírásához gyakran szükséges az elsőrendű logika két fontos szimbóluma, a két kvantorjel: a „minden . . . ” jelölése: V {univerzális [általános] kvantorjel); a „van olyan . . . ” jelölése: 3 {egzisztenciális [létezési] kvantorjel). A kvantor szó arra utal, hogy a jelek az utánuk álló kifejezések mennyiségére vonatkoznak.
El
Legyen az alaphalmaz a természetes számok N halmciza. „Minden természe tes szátmnál van nagyobb természetes szám.” írjuk fel ezt az áUitást kvantorok segítségével és határozzuk meg a kapott kifejezés logikai értékét! \/x3y{ x < y ) , aholx,yG N — igaz (olv.: minden x-hez létezik olyan y, hogy x
11.2. LOGIKAI MŰVELETEK A logikai művelet az ítéletekkel végrehajtott művelet, amelynek eredménye logikai érték. A művelet eredménye kizárólag az ítéletek logikai értékétől és az összekapcsolás módjától függ. D
Az A és B ítéletből alkotott A vagy B (jele: AW B ) ítéletet diszjimkciónak nevezzük; logikai értéke csak akkor hamis, ha A is, B is hamis, a többi esetben igaz. A diszjunkció művelettáblázata: A i i h h
B i h i h
AVB i i i h
Hasonlóan értelmezhető több logikai változó diszjunkciója is. A „vagy” kötőszót többféle értelemben használjuk a köznapi nyelv ben. A matematikában és a logikában is nem kizáró jelleggel, hanem űn. megengedő értelemben.
II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI
19
Az A és B ítéletből alkotott A és B (jele: A a B) ítéletet konjunkciónak nevezzük, amelynek logikai értéke igaz, ha A is, B is igaz, egyébként hamis. A konjunkció értéktáblázata: A i i h h
B i h i h
AAB i h h h
Hasonlóan értelmezhető több logikai változó konjunkciója is. A diszjunkció és a konjunkció legfontosabb tulajdonságai:
A\J i —%^ A \ l h = A, AVA = A AVB = BVA { A y B ) V C = A w { B wC ) A v { B a C) = { A w B) A {A WC)
— — — —
idempotens, kommutatív, asszociatív, disztrihutív;
A a í = A, A A h — h, AaA= A a a b = b aa (Aa B ) a C =
— idempotens, — kommutatív, — asszociatív, A a { B a C) — disztrihutív. A A { B v C ) = { A A B ) y ( A a C) A felsorolt azonosságokban észrevehetjük a dualitás elvét: m
Ha a logikai azonosságban minden A műveleti jel helyett a V jelet írjuk és viszont, továbbá az i igazságértékeket /i-ra, a h igazságértékeket i-ie változtatjuk, akkor ismét azonosságot kapunk.
[£] Az A ítélet tagadását az A negációjának {negáltjának) nevezzük (jele: -»A); ez akkor igaz, amikor A hamis, és akkor hamis, ha A igaz. A negáció egyváltozós művelet. Értéktáblázata: A i \h
-A h i
20
II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI
A negáció értelmezése után újabb azonosságokat írhatunk fel: = A, A V ->A = i; A A -»t4 = h; A V { B A ^B) = A, A a { B W -n5) - A; ~^{A V jB) = -lA A -»jB,
~'{A A B ) = -rA V ~^B.
Mindegyik logikai azonosság közvetlenül igazolható úgy, hogy a definiáló értéktáblázatokat elkészítjük, és belátjuk, hogy az egyenlő ségjel jobb és bal oldalán álló kifejezések értékei sorról sorra mege gyeznek. A 2. azonosság az ún. harmadik kizárásának elvét fejezi ki: bármely ítélet vagy igaz, vagy nem igaz, harmadik eset nincs. A 3. azonosság az ún. ellentmondásmentesség logikai elvét for malizálja. Ugyanazon körülmények között nem lehet egy ítélet és a tagadása is igaz. A két utolsó azonosságot itt is de Morgan-azonosságoknak nevez zük. Az A és B ítéletekből alkotott ha ^4, akkor B (jele: A ^ B, A -^ B ) ítéletet implikációnak nevezzük. Az implikáció logikai értéke csak akkor hamis, ha A igaz és B hamis, más esetben igaz. Értéktáblázata: A i i h h
B i h i h
A ^ B i h i i
Az implikáció az előző műveletek segítségével már kifejezhető: A ^ B = —íA W B = ~^{A A -ijB). 0
Az A és B ítéletekből alkotott A akkor és csak akkor ha B (jele: A ^ B, A ^ B ) ítéletet ekvivalenciának nevezzük. Az ekvivalencia logikai értéke igaz, ha A és 5 egyenlő logikai értékű.
II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI
21
és hamis, ha ^ és B különböző logikai értékű. Az ekvivalencia értéktáblázata: A i i
B i
h h
i
h h
h
i
h
A ^B i
[ d1 Logikai függvénynek nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartományát állítások alkotják, képhalmaza pedig az {igaz; hamis} kételemű halmaz. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásakor logikai függvényekkel dolgozunk.
11.3. KOVETKEZTETESEK Az A ítéletet az , ^ 2, . . . , ítéletek logikai következményének nevezzük, ha valahányszor t4 i,^ 2, . . . ítéletek mindegyike igaz, A is igaz. Az A i , A 2 ,...^Aji a premisszák (a feltételek)^ A pedig a konklúzió ( következmény). A következtetést kétféleképpen jelölhetjük: ^ 1, ^ 2, .. . iU. A legfontosabb következtetési szabályok: A, A=> B \= B — leválasztási szabály (a B ítélet következménye az A, valamint diZ A B ítéleteknek); A=> B^ ~^B 1= ->A — indirekt bizonyítás] A B \= ~^B ^ ->A — kontrapozíció]
22
II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI
— hipotetikus szillogizmus. A következtetési szabályok helyességének vizsgálata visszavezet hető arra a kérdésre, hogy egy formula azonosan igaz-e vagy nem. H ] Az A i , A 2 , . . . , A n \=A
következtetési szabály akkor és csak akkor helyes, ha az
a = (Ai At42 A ... AAn) => A logikai formula azonosan igaz {tautológia)^ vagyis ha az A\^A2 T..^An^A logikai változók bármely értéke esetén a-ra mindig igaz logikai érték adódik.
III. SZAMHALMAZOK
III. 1. A RACIONÁLIS SZÁMOK HALMAZA A racionális számok halmazának tárgyalását két legfontosabb rész halmazával, a természetes számok és az egész számok halmazának ismertetésével kezdjük. A természetes számokon a számlálás eredményeként kapott N = { 0, 1, 2, . . . } végtelen számhalmazt értjük. A természetes számokat és a számlálást is — a tapasztalat alapján — alapfogalomnak tekinthetjük. A legkisebb természetes szám a 0, legnagyobb nem létezik. A természetes számok halmaza megszámlálható és rendezett hal maz. A természetes számok írására ma már szerte a világon az arab számokat használják: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. A számokat helyiér tékes rendszerben ü*juk fel, leggyakrabban a tízes számrendszerben. Beszélünk a számjegyek alaki, helyi és valódi értékéről. 0
Tekintsük a tízes számrendszerben adott 5374-et; ekkor Helyi értéke
ez szá ti egyes res zas zes 5
3
7
4 4
Alaki értéke
7 3 5
Valódi értéke
4-1=
4
7 •10 =
70
3•100 = 300 5 •1000 =5000
24
III. SZÁMHALMAZOK
Tehát 5374 = 5 •1000 + 3 •100 + 7 •10 + 4 •1 = =3 5 •10^ + 3 •10^ + 7 •10 + 4 •10°.
A tízes (decimális) számrenszerben az alap 10 és tíz számjegyet használunk egy szám felírására. m
Tetszőleges A > Q egész szám felírható A ^ O n 10" + ffln-1 alakban, ahol
+ ... + ai 10 + aolO°
G N,
0 < tti < 9
(i G N) és ttn ^ 0
Ebben a felírásban az határozva.
{ n e N).
számjegyek egyértelműen vannak meg
A kettes (bináris) számrendszerben az alap 2, és két számjegy van: 0 és 1. ^ 1P I 1101 a 1 •2^ +
10
•2^ + 0 •2^ + 1 •2° = 13 számnak felel meg.
Hasonló a többi számrendszer alapelve is. Egy tízes számrendszerben felírt számot úgy számítunk (konvertá lunk) át egy másik számrenszerbe, hogy az adott számot elosztjuk az új számrendszer alapszámával, majd a kapott hányados egész részét újból elosztjuk az alapszámmal, s így tovább, míg végül 0 hányados nem adódik. Az egyes osztásoknál nyert maradékok lesznek — jobbról balra haladva — a számjegyek az új számrendszerben. A 0-nál nagyobb a természetes szám negatívjának (ellentettjének) nevezzük és (—a)-val jelöljük azt a számot, amelyre a-h (—a) = (—a)-h a = 0 teljesül. A negatív számok halmazát Z “ -szal jelöljük.
III. SZAMHALMAZOK
25
A 0-nál nagyobb természetes számokat pozitív egészeknek nevez zük és Z+-szal jelöljük. A természetes számok és a negatív egész számok halmazának egyesítése az egész számok halmaza; jelölése Z. Az egész számok Z halmaza rendezett halmaz a „ < ” relációra nézve, azaz teljesülnek a következő tulajdonságok a) V a G Z-re a ^ a — irreflexív; b) ha. a,b,c g Z A a < b Ab < a < c — tranzitív] c) ha a, 6 € Z és a 7^ 6, akkor a
b relációk közül pontosan az egyik teljesül (bármely két valós szám mindig összehasonlít ható) — trichotom. Az egész számok halmaza megszámlálhatóan végtelen számosságú. Az egész számok halmazában az a+ X= 6 egyenlet mindig egyértelmííen megoldható; az összeadás inverz mííveletét kivonásnak nevezzük: X = 6 -h (—a) — b —a. Az egész számok halmazában az (1)
ax = b
{a,h,xeZ)
egyenlet nem mindig oldható meg, vagyis az egész számok halmazában a szorzás fordított (inverz) művelete, az osztás nem mindig végezhető el. Az ( 1) egyenlet megoldása olyan, — val jelölt szám, amelyet a-val a megszorozva h-t kapunk. Az ( 1) egyenlet megoldásaként kapott x = — a
(a ^ 0,
a^b^lj)
alakú számokat racionális számoknak {törtszámoknak, röviden törtek nek) nevezzük.
26
m . SZÁMHALMAZOK
Azt a törtszámot, amelyiiek a számlálója kisebb a nevezőjénél, valódi törtnek nevezzük. (Ha a számláló egyenlő a nevezővel, a tört értéke 1.) Ha a tört nevezője nagyobb a számlálójánál, áltörtnek mondjnk. Az áltört felírható egy egész szám és egy valódi törtszám segítsé7 3 gével is; ez az áltört vegyes szám alakja; pL: 1- . 4 4 A racionális számok halmazát Q-val jelöljük. Az egész számok is racionális számok, hiszen valamennyi felír ható (de nem egyértelműen) két egész szám hányadosaként; pl.: 1
2
■■■■
Az ^ és ^ ugyanazt a racionális számot jelenti, ha ab^ = a'b. b u Minden racionális szám felírható olyan — racionális számként, b amelyben a és b relatív prímek (legnagyobb közös osztójuk 1). Ezt úgy érhetjük el, hogy a tört számlálóját és a nevezőjét is elosztjuk a közös osztójukkal, amíg az lehetséges. Ezt nevezzük tört egyszerűsí tésének. Megfordítva, a tört értéke nem változik, ha a számlálóját és a nevezőjét is ugyanazzal a 0-tól különböző számmal megszorozzuk (bővítés). Az -
racionális szám átalakítható egész számmá vagy tizedesa törtté, ha a tört számlálóját elosztjuk a nevezőjével. Legyen - tovább 0
már nem egyszerűsíthető tört. a) Ha 6-nek csak a 2 vagy az 5 prímosztói, akkor - felírható véges b tizedestörtként. b) Ha a b prímosztói közül a 2 vagy az 5 előfordul, de ezen kívül más prímosztói is vannak, akkor — felírható vegyes szakaszos végtelen 0
tizedestört alakban. c) Ha a b prímosztói között sem a 2, sem az 5 nem szerepel, akkor Cb — tiszta szakaszos végtelen tizedestört alakban írható fel. b
m . SZÁMHALMAZOK
27
EE] - = 1,333... = 1,3; 3 I = 0,4285742857... = 0,42857.
Az a), b) és c) állítások megfordítása is igaz: m
Minden véges vagy végtelen (tiszta vagy vegyes) szakaszos tize destört felírható két egész szám hányadosaként.
[T| Egy szám akkor és csak akkor racionális, ha vagy egész szám, vagy tizedestört alakja véges vagy szakaszos végtelen.
El
A racionális számok halmaza megszámláható számosságú, vagyis kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés (leképezés) létesíthető az N és a Q halmaz elemei között. A racionális számok Q halmaza a „ < ” relációra rendezett halmaz.
MŰVELETEK A RACIONÁLIS SZÁMOK HALMAZÁBAN Egyenlő nevezőjű törteket úgy adunk össze (vonunk ki), hogy a számlálóikat összeadjuk (kivonjuk), nevezőiket pedig változatlanul leírjuk. Ha a nevezők különbözőek, akkor először megkeressük a nevezők legkisebb közös többszörösét (ez lesz a közös nevező), majd az egyes törteket úgy bővítjük, hogy a közös nevező a nevezők legkisebb közös többszöröse 4egyen.
lEl 2
_ 4^
3 ^ 12 “
A
2 _ 1 _ 3^ _ ^ 5
3 “
- H.
12 “ 12’ 15
_ J_
15 “ 15’
28
III. SZÁMHALMAZOK
Az összeadás megfordítása (a kivonás) nem vezet ki a Q halmazból, vagyis az a + X = 6 egyenlet mindig megoldható a Q halmazon. Törtet úgy szorzunk egész számmal (ill. egész számot törttel), hogy a tört számlálóját megszorozzuk az egész számmal, s a tört nevezőjét változatlanul hagyjuk.
3
5
5
Törtekkel úgy szorzunk, hogy a számlálók szorzatát osztjuk a nevezők szorzatával. 0
3
5
15
2
4 ' 7 "" 28 ’ 4 ^_4 5
4
4
32
3 ' 5 ' 7 ~ 105 ’ 3_4-3_12
~ 5 1 ~ 5 1 ~ Y '
Törtszámot úgy osztunk egész számmal, hogy vagy a számlálót osztjuk az egész számmal (ha az osztás maradék nélkül elvégezhető), 6 2 és ekkor a nevezőt változatlanul hagyjuk, pl.: - : 3 — - , vagy a nevezőt megszorozzuk az egész számmal, és ekkor a számlálót írjuk le változatlanul; pL: - •5 = — . I 3o Törttel úgy osztunk törtet (egész szám.ot), hogy az osztandó törtet (egész számot) megszorozzuk az osztó (tört) reciprokával. 3 4 3 5 ' 7 “ 5
7_21 4 “ 2Ö’
4- ^ - 4 ' ^ _ 2 8 '7~ ' 3 ~ Y ‘
Vegyes számmal való művelet végzésekor azt javasoljuk, hogy elő ször alakítsuk át a vegyes számot áltörtté, majd ezután a tanultak szerint végezzük el a kijelölt műveletet. A racionális számok halmazában érvényesek az összeadásra és szorzásra a következő tulajdonságok: a-{-h — h-\-a^ ab = ha — kommutativitás; (a + &) + c = a + (& + c), (ab)c — a{bc) — asszociativitás;
III. SZÁMHALMAZOK
{a + h)c = ac + bc^ a{b -hc) = ab-\-ac
29
— disztributivitás;
továbbá az összeadás, ill. a szorzás művelete megfordítható (invertál ható), azaz Va, 6 € Q-ra az a -h x = b,
ax = b
(a^O)
egyenletek egyértelműen megoldhatók a racionális számok halmazá ban. Az utóbbi tulajdonság másképpen azt jelenti, hogy létezik olyan racionális szám, hogy Va G Q-ra a
+
0
=
0
+
a = = a ,
a
l
=
l -
a
=
a ;
és van olyan (—a)-val, ill. (a“ ^)-gyel jelölt racionális szám, hogy a + (-a ) = (-a ) + a = 0 a -a ^ = a
^ a= l
A racionális számok halmazát a felsorolt tulajdonságok fennállása miatt racionális számtestnek nevezzük. A racionális számok fontos tulajdonságát mondja ki a következő tétel. Tetszőleges két, különböző racionális szám között mindig végte len sok racionális szám van. Ez a tulajdonság azt fejezi ki, hogy a racionális számok halmaza önmagában sűrű. A racionális számokat számegyenesen ábrázolhatjuk (3.1. ábra). Minden racionális számnak megfelel egy pont, de így végtelen sok ponthoz nem tartozik racionális szám, annak ellenére, hogy a racionális számok nagyon sűrűn helyezkednek el. ----------------1---------- 1---------- 1---------- 1---------- h -1
-
1/2
0
1/2
1
3.1. ábra.
Az eddig megismert N, Z , Q halmazok között az
NcZcQ kapcsolat áll fenn.
30
in. SZÁMHALMAZOK
ltl.2. A VALÓS SZAMOK HALMAZA A végtelen, nem szakaszos tizedestörteket irracionális számoknak nevezzük. Az irracionális számok tehát nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Az irracionális számok halmazát Q*-gal jelöljük. A racionális számok Q és az irracionális számok Q* halmaza diszjunkt: Q fi Q* = 0. m
Az irracionális számok halmaza végtelen és nem megszámlálható (kontinuum) számosságú.
A Q* irracionális számok halmaza sűrű (bármely két irracionális szám között végtelen sok irracionális szám található). Belátható, hogy bármely két különböző racicmális szám között van irracionális, ill. bármely két különböző irracionális szám között van racionális szám. Az irracionális számokat tetszőleges pontossággal racionális szá mokkal közelíthetjük, pl.: ^/2 » 1,4142; 7T« 3,1415. Értelmezhető az irracionáhs számok egy mással és a racionális számokkal való összeadása és a szorzása úgy, hogy a racionális számokra vonatkozó összes műveleti tulajdonság érvényben maradjon. [U
A racionális és irracionális számok halmazának egyesítését valós számoknak nevezzük; jelölése M (reális = valós), azaz
Az N, Z, Q, Q*, R halmazok kapcsolatát szemlélteti a 3.2. ábra.
Hl
A valós számok halmaza nem megszámlálható (kontinuum) szá mosságú.
A valós számokat számegyenesen ábrázolhatjuk.
ni. SZÁMHALMAZOK
0
31
A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés (leképzés) létesíthető.
A valós számok halmazábaa az összeadás és a szorzás mindig elvégezhető, e műveletek megfordíthatók (invertálhatók), s e műve letek ugyanolyan tulajdonságúak, mint amilyeneket megismertünk a racionális számok körében. így — a racionális számokhoz hasonlóan — a v a ló s s z á m o k h a lm a za i s t e s t e t alkot (valós számtest). Az a valós (vagy komplex) számot algebrai számnak nevezzük, ha van olyan n-edfokú (n G N"^) racionális együtthatójú algebrai egyenlet, amelynek a gyöke (pl. \/3 az —3 = 0 egyenlet egyik gyöke). Ha nincs ilyen egyenlet, akkor a tr a n s z c e n d e n s s z á m (pl. ' a 7t). A valós számok speciális részhalmazai az zök).
i n t e r v a llu m o k
(számkö
Legyen a < 6 két valós szám; ekkor az R i = {x € M !a < X < 6} = ( a ;b ) = ] a ; b [ — nyílt ^ KI a < X < 6} = [a; 6] — zárt ^ 1® ^ < ft} = [ö; ^) = [ö; — balról zárt, jobbról nyílt M4 = {x € RI a < X < 5} = (a; 6] =]a; b] — balról nyílt, jobbról zárt ponthalmazokat a é s b végpontú intervallumoknak nevezzük. Pozitív a szám és a nulla abszolM értéke (jele: |a|) maga a szám; negatív szám abszolút értéke az a szám ellentettje:
32
III. SZÁMHALMAZOK
|a| = { t -a ,
ha a > 0, ha a < 0.
Bármely a számra Iái > 0.
0 |3|=3;
-5| = - ( - 5 ) = 5.
Minden pozitív A valós szám felírható A = a •10*^
(1 < a < 10,
fc € Z )
alakban, amit a szám normálalakjának nevezzünk. Elsősorban igen nagy és igen kicsi számok írására célszerű hasz nálni.
0 4756000 = 4,746 - 10®; 0,000017 = 1 ,7
10“ ^.
III.3. A KOMPLEX SZAMOK HALMAZA A valós számok halmaza nem elég bő már az egész együtthatós egyenletek megoldásához sem, mivel például az 1 = 0 egyenlet nek nincs megoldása a valós számok körében. Többek között ezért merült fel a számfogalom bővítésének az igénye, s így jutunk el az komplex számok fogalmához. [d ] a z = x + yi
ra. SZÁMHALMAZOK
33
alakú számokat, ahol x és y tetszőleges valós szám, az i szimbó lum pedig olyan számot jelöl, amelynek a négyzete —1, komplex {összetett) számoknak nevezzük. A komplex számok halmazát C-vel jelöljük. A z = x -{-y i ^ komplex szám algebrai (vagy kanonikus) alakja. Elnevezések: i: képzetes (imaginárius) egység, yi: képzetes tag, X valós tag. Azokat a komplex számokat, amelyeknek a valós része nulla, képzetes (imaginárius) számoknak nevezzük. Látható, ha 2/ = 0, akkor z = x azaz EcC. A z = x -^ y i alakú komplex számokkal formálisan úgy számolha tunk, mint a valós kéttagú kifejezésekkel, csak i^ helyett (—l)-et kell írni.
Két — zi = x i + yii és Z2 = X 2 -{- 2/2^ — komplex szám akkor és csak akkor egyenlő egymással, ha x± = X2 és yi =y 2^
34
III. SZÁMHALMAZOK
A z = x-\-yi komplex számot egyértelműen meghatározza az x valós és az y képzetes része. Ezért az {x; y) rendezett valós számpárok halmaza, azaz az M x M és a komplex számok C halmaza között kölcsönösen egyértelmű leképezés létesíthető. Az R x M képe a sík, ill. a síkbeli koordináta-rendszerben felvett helyvektorok halmaza. Ez alapján azt a síkot, amelyen a komplex számokat ábrázol juk, komplex számsíknak vagy Gauss-féle számsíknak nevezzük. A z = x -{-y i komplex számot a (x; y) koordinátájú helyvektorral szem léltetjük (3.3. ábra).
MŰVELETEK ALGEBRAI ALAKBAN ADOTT KOMPLEX SZÁMOKKAL
[d ] a z\ —x \ + y\i
és
Z2 = 2:2 + V2Í
komplex számok összege a Z l + Z 2 = ( X l + X 2 ) + (í^l + y 2 )i .
szorzata pedig a Z1Z2 = {xiX2 - y im ) +
+ ^2yi)i
komplex szám. K z = x -{-y i komplex szám abszolút értéke: \z\ = y/x^+y^. Ha z = x-\-yi, akkor a. z = x —yi számot a 2; konjugáltjának nevez zük. Fennáll, hogy ^ = 2; és \z\ = \ J z ’ ~z.
m . SZÁMHALMAZOK
35
A komplex szám és konjugáltjának összege és szorzata is valós: z + z — {x + yi) + { x - y i ) = 2x, z - z = {x + y i){x - yi) = x^ - { y i f - ...
mivel
= —1.
Báirmely két, z\ és 23 (^ O + Oi) komplex szám hányadosát értel mezhetjük: zi
XI + yi i
XI + yii
X2 - V2Í
Z2
X2 +V2Í
X2 + V2Í
X2 - J/2Í
^ { x i + y i i ) { x 2 + y2Í ) ^
^ X\X2 + Viy2 + (yi3^2 - Xiy2)i i 2 + j,2 X i X 2 + 2/12/2 ^ y\X2 - a;ií/2..
a:
\p\
1. (3 + 4í) + ( 5 - í ) = 8 + 3i. 2. (3 + 4iX5 - i) = 15 + 20Í - 3í - 4 p = 19 + I7i, mivel = —1. ^
4 -1 7 i_ 4 -1 7 i 5 -4 Í “
5 + 4i _ (4 -1 7 i) (5 + 4i)
5 - 4 Í * 5 + 4Í “
~ 41
25 + 16
41 *■
4. Oldjuk meg a + 5= 0 egyenletet a komplex számok halmazán!
2^1,2 =
- 2 ± a/ 4 - 2 0
- 2 ± V '= l 6
2
2
-2 ± 4 V = T
---------- -------= - l + 2i.
III. SZÁMHALMAZOK
36
MŰVELETEK TRIGONOMETRIKUS ALAKBAN ADOTT KOMPLEX SZÁMOKKAL A = X + 2/i ^ 0 H- Oz komplex számnak megfelelő vektor hossza legyen r, azaz r = \/x^ -h a vektor irányszöge pedig legyen (p; r és (p a. z komplex számot egyértelműen meghatározzák. Fordítva, egy komplex szám az r-et egyértelműen, de a ip-t csak 27T egész számú többszöröseitől eltekintve határozza meg. A ip irányszöget a komplex szám argumentumának nevezzük. A 2; = 0 + Oz komplex számnak nincs argumentuma. A z = x-\-yi komplex számnak megfelelő helyvektor koordinátái (3.4. ábra): X = rcosif, y = rsin(p, tehát z = x-\-yi = r cos
+ (r sin (p)i,
illetve
amit a 2; komplex szám trigonometrikus alakjának nevezünk.
III. SZÁMHALMAZOK
37
Az r értékét az
Összefüggésből számíthatjuk ki, míg a (p argumentumot a V X
egyenletből a,z x és y előjelének figyelembevételével. Ha X = 0, akkor a 2; képzetes szám argumentuma
7T
^ vagy
( p = — ,SLzy képzetes rész előjelétől függően. 2á A 0 számnak nincs trigonometrikus alakja, mert argumentuma nem meghatározott. Két trigonometrikus alakban adott komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha egyenlő az abszolút értékük és az argumentumuk különbsége 27T egész számú többszöröse. Minthogy a komplex szám trigonometrikus alakja kéttényezős szorzat, a trigonometrikus alak nem alkalmas összeadás és kivonás elvégzésére, viszont annál inkább javasoljuk a komplex számok szor zatának, hányadosának, hatványainak és gyökeinek a kiszámítására. Legyen zx =ri {cos( pi -|-isin(pi) ^2 = f'2 (cos íp2 -{-i sin (p2 ) {zi és Z2 egyike sem a 0 + Oz szám). Ekkor a két komplex szám szorzata: Z\Z2 = riT2 [cos((^i -h ip2) H- isin(v?i + (^2)] • A két komplex szám hányadosa:
A komplex szám hatványozását a Moivre-képlet segítségével vég ezhetjük el:
ni. SZÁMHALMAZOK
38
Bármely, 0-tól különböző komplex számnak n darab különböző n-edik gyöke van. A trigonometrikus alakban adott = r (cos
sin ip)
komplex szám összes n-edik gyöke az cos
(p + 27rfc
n
4-zsin
V? + 27rfc\
n
)
ahol n G N“*" {k = 0, 1, 2, ... ,n — 1) alakban felírható komplex szám.
0
3y/3 3 ^ 1. Számítsuk ki a 21^2 szorzatot, ha z\ — ----------- 1— í, 22 = 1 + v3í.
n = (2il = A (^1 a második negyedbe esik, mivel a z\ valós részének az előjele negatív, a képzetes részé pedig pozitív, ezért
57T
-3 V ^
\/3
' 3 ’
<^i = y .
1-2 = \Z2\= 2, az első negyedbe esik, így
tg¥>2 = V3,
=
ó
A szorzat tehát:
Z\Z2 =3 - 2 = 6 ^cos ^
O'K
T t\
.
.
/57T
7 t\
( H- ísin
= —3V 3 + 3i.
in. SZÁMHALMAZOK
39
2. Számítsuk ki a z =
l + i
komplex szám negyedik hatványát! r =
V2;
tg(f =
l, 4
z =
(c o s
is in
^
) ,
= y/^ ^cos4^ +ísin4^^ = = 4(cos7t -fxsinTr) = —4. 3. Adjuk meg a z = ^ —27 komplex szám összes gyökét! írjuk fel (—27)-et trigonometrikus alakban: —27 =
Ezért
7T+ 2'irk
^ (c
» ---------------------13 / t t
=
2 7 ( c o s 7t - f
^
3
27Tk\
í
s in T r ).
. . 'ir+ 2Trk\
1 s m ----------------- I =
^
3 .
J
f7T ^ 2 ir k \
ahol fc = 0,1,2. Az egyes értékek rendre a következők, felhasználva, hogy — = 60°, — = 120°: 3
k =
lü o =
0 :
3 (co s 6 0
+ ís in 6 0
) =
3
3 3 a/ 3 - H-------— i ;
k = l : co s (6 0 ° +
wi = 3 k =
2:
W2 = 3
3
2~
3y/3,
2
1 2 0 °) +
is in (6 0 ° +
1 2 0 °)
= -3 ;
IV. SZAMELMELETI ALAPFOGALMAK
IV.l. OSZTOK, OSZTHATOSAG Ebben a fejezetben csak pozitív egész számokra fogalmazzuk meg a definíciókat és az állításokat, de ezek természetesen érvényesek a negatív egész számok körében is. [U
Az a pozitív egész szám osztható a b pozitív egész számmal, ha létezik olyan q pozitív egész szám, hogy a = bq. Jelölése: b\a (olv.: b osztója a-nak). Ilyenkor az a számot a b többszörösének is mondjuk.
m
Minden pozitív egész számnak véges sok osztója van.
Tetszőleges a pozitív egész számnak osztója az 1 és maga az a szám. Ezek a szám nem valódi osztói. Az oszthatóság legfontosabb tulajdonságai: a\a (a ^ 0) — reflexív; (a\b Ab\a) ^ a = b — antiszimmetrikus; {a\b Ab\c) a\c — tranzitív. pn
Ha a\b és a| c, akkor a 16 + c; a\b — c; a\bc; a Ikb^ ahol k e Z; a \kb + lc {k,l e Z ) .
IV. SZÁMELMÉLETI ALAPFOGALMAK
41
Gyakran (pl. törtek egyszerűsítésekor) hasznos, ha egy számnak meg tudjuk adni legalább néhány osztóját. Ebben segítenek az oszt hatósági szabályok: 2-vel oszthatók a páros számok. 3-mal osztható a szám, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal (pl.: 318124, mert 8 + 1 + 2 + 4 = 15 és 3|15). 4-gyel azon számok oszthatók, amelyeknek a két utolsó számje gyéből alkotott szám osztható 4-gyel (pl.: 316 osztható 4-gyel, mert 16 osztható 4-gyel). 5-tel a 0-ra vagy 5-re végződő számok oszthatók (pl.: 5 11655). 6-tal mindazon páros számok oszthatók, amelyek 3-mal oszthatók (pl.: 6 15622, mert 2 15622 és 3 15622). A 7-tel való oszthatóság szabálya kissé nehézkes, itt az osztható ság kérdését az osztás tényleges elvégzésével javasoljuk eldönteni. 8-cal azok a számok oszthatók, amelyeknek az utolsó három jegyéből álló szám osztható 8-cal (pl.: 8 12864, mert 8 1864). 9-cel osztható egy szám, ha a számjegyeinek összege osztható 9-cel (pl.: 9 11719, mert 9 11 + 7 + 1 + 9 = 18). 11-gyel mindazok a számok oszthatók, amelyekre a páros helyen álló számjegyek összegéből kivonva a páratlan helyen álló szám jegyek összegét, a különbség osztható 11-gyel (pl.: 1119152, mivel l l|( 9 + 5 ) - ( l + 2 ) - l l ) . Mindegyik oszthatósági tétel megfordítható. Azokat a pozitív egész számokat, amelyek csak 1-gyel és önma gukkal oszthatók, prímszámoknak (törzsszámoknak) nevezzük. Az 1 nem prímszám. A 2 az egyetlen páros prímszám. m
A prímszámok halmaza megszámlálhatóan végtelen. Ha az 1-nél nagyobb pozitív számnak van valódi osztója (azaz 1-en és önmagán kívül más számmal is osztható), akkor összetett számnak nevezzük.
42
IV. SZÁMELMÉLETI ALAPFOGALMAK
m
{Számelmélet alaptétele:) Minden összetett szám (a tényezők sorrendjétől eltekintve) egyértelműen felbontható véges sok prímszám szorzatára.
0
Bontsuk fel a 660 számot prímtényezőire! A természetes számok prímtényezős felbontásának egyik egyszerű módját
660 330 165 33 11 1
13
2 2 5 3 11
így 660 = 22-3-5-11.
Egy adott a természetes számnak csak olyan pozitív p szám lehet osztója, amelyre p^ < a,
azaz p < y/a.
E szerint egy szám osztóit elég a szám négyzetgyökéig megvizs gálni. Ebből az is következik, hogy ha egy a számnak nincs ^^-nál kisebb prímosztója, akkor az prímszám.
IV.2. LEGNAGYOBB KÖZÖS OSZTÓ, LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS Az a és a. b pozitív egész számok közös osztóinak nevezzük azokat a pozitív egész számokat, amelyek a-nak és 6-nek is osztói. Hasonlóan értelmezzük kettőnél több pozitív egész szám közös osztóit. Ha két pozitív egész számnak csak 1 a közös osztója, akkor ezeket relatív prímszámnak mondjuk.
IV. SZÁMELMÉLETI ALAPFOGALMAK
43
[£] Két (vagy több) pozitív egész szám közös osztói közül azt, ame lyik az összes közös osztóknak többszöröse, a számok legnagyobb közös osztójának nevezzük. Az a és 6 legnagyobb közös osztóját (röviden l.n.k.o.) (a ;6)-vel jelöljük. A l.n.k.o. mindig létezik, és egyértelűen meghatározott. Határozzuk meg 120 és 1410 legnagyobb közös osztóját! Először bontsuk fel mindkét számot prímtényezők szorzatára! 120 60 30 15 3 1
1410 705 141 47 1
2 5 3 47
Tehát 3- 5; 1410 = 2 •3 •5 •47. A két szám l^nagyobb közös osztóját megkapjuk, ha a két felbontásban elő forduló közös prímtényezőket összeszorozzuk az előforduló legkisebb kitevőjű hatványon: (120; 1410) = 2 •3 •5 = 30.
[U Az a és b pozitív egész számok közös többszörösének nevezzük azokat a pozitív egész számokat, amelyeknek a is és 6 is osztója. 0
Két (vagy több) pozitív egész szám közös pozitív többszörösei közül azt, amelyik a számok minden többszörösének osztója, a számok legkisebb közös többszörösének nevezzük.
Az a és 6 legkisebb közös többszörösét (röviden l.k.t.) [a;6]-vel jelöljük. A l.k.t. mindig létezik, és egyértelűen meghatározott.
44
IV. SZÁMELMÉLETI ALAPFOGALMAK
|P| Határozzuk meg 120 és 1410 legkisebb közös többszörösét! Az előzőek szerint 120 = 2® •3 •5; 1410 = 2 •3 •5 •47. A két szám legkisebb közös többszörösét megkapjuk, ha a két felbontásban szereplő valamennyi prímszámot összeszorozzuk, a közöseket a legnagyobb kitevőjű hatványon. [120; 1410] = 2^ •3 •5 •47 = 5640.
Páronként relatív prímszámok legkisebb közös többszöröse a számok szorzata.
V. ALGEBRA
V .l. ALGEBRAI ALAPFOGALMAK [d1 Algebrai mennyiségnek nevezzük a számokat és a számokat jelentő betűket (változókat). Ha algebrai mennyiségekkel véges számú algebrai műveletet (a négy alapművelet és a gyökvonás) végzünk, algebrai kifejezést kapunk. Együtthatónak nevezzük az algebrai kifejezésben a változók szám szorzóit, amely tulajdonképpen az összeadás (kivonás) rövidebb írá sát jelöli, pL: 3x^-\-2ax kifejezésben az együtthatója 3, s így 3x^ = x^ -\-x^ Az algebrai kifejezés egytagú; ha benne az összeadás és a kivonás nem fordul elő, pl.: hx^^y. Algebrai egész kifejezésről beszélünk, ha benne csak a szorzás (így a pozitív egész kitevőjű hatványozás) és legfeljebb a számmal való osztás (véges számú) művelete szerepel. egytagú, de nem algebrai egész kifejezés, míg a
3a^6 egytagú,
algebrai egész kifejezések.
Két egytagú kifejezést egyneműnek mondunk, ha bennük ugyan azok a változók fordulnak elő és a megegyező változók kitevői is egyenlőek. Egyébként az egytagúak különneműek. Tekintsük a következő egytagú kifejezéseket! Egyneműek: 5a^6, 3a^6, a^6, —a?b. Különneműek: 5a^6, 5a6^, ab, 5a^x.
46
V. ALGEBRA
Az egytagú kifejezés fokszáma a benne szereplő változók kitevőinek összege. Többtagú algebrai kifejezést kapunk az egytagúak összeadásával, ill. kivonásával. Az egy- vagy többváltozós többtagú algebrai egész kifejezéseket polinomnak nevezzük. A polinom fokszáma a benne előforduló legmagasabb fokú tag fokszáma, pl.: a Sx^y^ —2xy^ + 3 polinom fokszáma 7. A számokat 0-adfokú polinomoknak tekinthetjük. A 0 számhoz nem rendelünk fokszámot. A polinomokat fokszám — általában vala mely változó fogyó hatványai — szerint szoktuk leírni (rendezni). A továbbiakban egyváltozós polinomokra szűkítjük a vizsgálatunk körét. Az egyváltozós n-edfokú polinom általános jelölése: a^x'^ + a n -ix ‘^~^ + ... + a ix + ao, ahol / 0 {an G M), x (g M) a változó és n 6 N“*". A polinom helyettesítési értékét megkapjuk, ha a kifejezésben szereplő változó helyére beírjuk az adott számot és elvégezzük a kije lölt műveleteket. A változók összes lehetséges értékeit, amelyekre az adott kifejezés értelmezve van, a kifejezés értelmezési tartományának nevezzük. Azokat a számokat, amelyekre a helyettesítési érték nulla, a polinom zérushelyeinek {gyökeinek) mondjuk. Két polinom hányadosát algebrai törtnek nevezzük, ha a tört nevezője legalább elsőfokú polinom. Az algebrai törtek értelmezési tartományához a nevezőben levő polinom zérushelyei nem tartoznak hozzá. Képezhetjük két vagy több algebrai tört összegét, különbségét, szorzatát, hányadosát ugyanúgy, mint a racionális számok esetében. Ha az együtthatók racionális számok, akkor racionális kifejezésről beszélünk. A polinom helyett racionális egész kifejezést is szoktunk mondani.
V. ALGEBRA
47
Egy algebrai kifejezés átalakítása során azonos értékű átalakítást végeztünk (az adott kifejezéssel azonosan egyenlő kifejezést kaptunk) egy halmaz felett, ha a kifejezésben szereplő változók minden — a szóban forgó halmazbeli — értékére mind az eredeti, mind az átalakított kifejezésben ugyanaz a helyettesítési érték adódik. Az algebrai törtkifejezéseket ugyanazzal a számmal vagy kifeje zéssel egyszerűsíthetjük, bővíthetjük, de mindig ügyeljünk arra, hogy azonos átalakítást végezzünk.
A = ——
(a,6GR,
6^0)
és a B = 3aH
(a, 6 GR)
kifejezések nem azonosan egyenlők, hiszen a B kifejezésben 6 = 0 is lehetsé ges. Viszont a 6 ^ 0 megszorítással az egyszerűsítés már azonos átalakítás.
V.2. A HATVÁNYOZÁS ÉS FORDÍTOTT MŰVELETEI (GYÖKVONÁS, LOGARITMUS) Legyen n G a G K; azt az n-tényezős szorzatot, amelynek minden tényezője a (egyenlő), hatványnak nevezzük. Jelölése
azaz: n-szer
Azt a műveletet, amellyel az aP' = a a - a rozzuk, hatványozásnak nevezzük. Az a^ = b
szorzatot meghatá
egyenlőségben a a hatványalap, n a hatványkitevő, b a hatvány értéke (röv. hatvány).
48
V. ALGEBRA
Legyen p^q £ nosságai:
és
G M. Ekkor a hatványozás műveleti azo
aPa^ = aP+9; aP
í flP-9,
a?
U,
ha p > g, ha p = g;
aPbP = (ab)P; ía \ v 6? = ü • { a P f = aP«.
&7^0;
NEVEZETES AZONOSSÁGOK (SZORZATOK), BINOMIÁLIS TÉTEL (a + h)^ =
+ 2ab +
{a —h)^ — c?' — 2ab -f
(a + h f
+
+ 3ab^ +
(a —b)^ = a^ —Sa^b + Sab^ —b^
—b^ = {a —b){a + b) - b ^ = ( a - b ) { a ^ -\-ab-\-b^) a ^ - b ^ = ( a - 6)(a ^ -i + a^~H + + ... + a&^-2 + 6^ - i ) , 71GN+
V. ALGEBRA
a^ + b^ = {a + b ){a ^ -a b + b^) — b^ — {a + b){a^ —a^b + a?b^ —ab^ + b^) a2” +l + 62"+1 = (a + Ö)(a2n _ a2n-l^+ + a
m
b ^ - . . . - a b 2 n -l , .2n
2n-2.2
{Binomiális tétel:) Bármely n {n £ N"^) számra
a + í r = ( ; ) « " - v +
ahol
(olv.: n alatt a k) szám a binomiális együttható, amelynek értéke: /n \ _ n! _ 1 •2 •3 •... •(n - fc)(n - fc + 1) •... •n _ \ k ) ~ k\{ n- k) \ ~ (l-2-3-...-fc)l-2-...-(n-fc) n{n — 1) . . . [n — (fc — 1)] l-2-...fc
‘
hatványfogalom kiterjesztése tetszőleges egész számra:
0
49
V. ALGEBRA
50
A GYÖKVONÁS A nemnegatív b valós szám y/b-vel jelölt négyzetgyökén értjük azt az a > 0 számot, amelynek négyzete 6, azaz Vb = a
(a,6>0).
a^ = b
A négyzetgyök definíciójában fontos kikötés, hogy a gyökjel alatt álló szám és a négyzetgyök értéke is csak nemnegatív szám lehet. A négyzetgyökvonás a hatványozás egyik fordított (inverz) mű velete, amelynek során meghatározzuk azt az alapot, amelyet adott kitevőre emelve az adott hatványt kapjuk. A definícióból következik, hogy V o 2 = |a|,
aGM.
A négyzetgyökvonás műveleti azonosságai: y ja b — yjay/b^
[a
yfá
b ~ Vb^ (v ^ * ' = v ^ ,
a , f e € R ‘* ' U { 0 } ; a € R + U { 0 } , beR-^; o€
R + u {0}, JbeZ.
A nevező gyöktelenüése négyzetgyökös kifejezés esetén: Ha a nevező a) egytagú kifejezés, akkor bővítjük a törtet a nevezőben levő gyökös kifejezéssel.
m 2VE
1
VE
VE
2VE
ve
10’
b) kéttagú kifejezés, £ikkor a törtet úgy bővítjük, hogy tudjuk alkalmazni az —6^ = (a 4- b){a — b) azonosságot.
V. ALGEBRA
51
\E \ 1
1
2>/5 + 3a/3
2 v ^ + 3 y /3
2VE + 3V 3
2 ^ /5 -3 v ^ “ 2^/5-3^/3 ■2^/5 + 3^/3“ ^2^/5)^-(3^/3)^
~
A négyzetgyök fogalmának általánosításaként kapjuk az n-edik gyök fogalmát. Legyen az n 1-nél nagyobb egész szám, az a pedig nemnegatív valós szám. Azt a nemnegatív valós számot, amelynek az n-edik hatványa a-val egyenlő, az a szám n-edik gyökének nevezzük. Jelölése: ^ (olv.: n-edik gyök a). Az n neve: gyökkitevő. Előfordul, hogy az ^ jelet negatív alap esetén is alkalmazzuk, hiszen ha n > 1 páratlan egész szám és a > 0, akkor
Az n-edik gyökvonás az a művelet, amellyel az adott hatványhoz és hat ványkitevőhöz keressük a hatványalapot. A gyökkitevő — ha sonlóan a hat ványkitevőhöz — nemcsak racionális, hanem irracionális szám is lehet. Egyedül a 0 gyökkitevő nem megengedett. [d1 Egy pozitív a szám — -edik hatványa az a szám m-edik hatvá nyából vont n-edik gyök a>0,
m€Z,
n€N+.
Ezek után az
hatványt tetszőleges racionáJis kitevőre definiáló egyenlőségnek te kintjük. Negatív számok törtkitevőjű hatványait nem értelmezzük, mert az ellentmondáshoz vezethetne.
52
V. ALGEBRA
A LOGARITMUS FOGALMA. MŰVELETI AZONOSSÁGAI Legyen a,6 G a ^ 1. A b szám a alapú logaritmusának ne vezzük azt a kitevőt — amit log^ 6-vel jelölünk — , amelyre a-t emelve 6-t kapunk, azaz
A logaritmus a hatványozás fordított (inverz) művelete. Azt a mű veletet, amellyel adott hatványalaphoz és hatványértékhez keressük a kitevőt, logaritmuskeresésnek (kitevőkeresésnek) mondjuk. Az log^6 jelölésben az a-t alapnak, a 6-t pedig numerusznak is nevezzük. A logaritmus definíciójából következik, hogy log^ 1 = 0,
mert a® = 1,
log^0 = 1 ,
mert
= a
(a G
a^l).
Számolás során a logaritmus alapjának leggyakrabban a 10-et szoktuk választani. Ekkor logi^b helyett a lg 6 szimbólumot használjuk. A felsőbb matematikában többnyire az ún. természetes logaritmussal számolnak; ennek alapszáma az e, irracionális szám, közelítő értéke e 2,718281. Az e (természetes) alapú logaritmus jelölése: Inx (a „logaritmus naturalis” latin elnevezés alapján). A Igx egész részét (példánkban az 1-et) karakterisztikának^ tört részét (0,3010-et) pedig mantisszának nevezzük. A logaritmustáblá zatok csak a mantisszát tartalmazzák. A karakterisztikát nekünk kell meghatározni a számok normál alakjának segítségével. Az ^3= a 10^
{l
egyenlőségből (felhasználva a logaritmus azonosságait): lgyi + lg(a - 10*^) = lga + lglO*^ = lga + A;lglO = lga + fc.
V. ALGEBRA
53
Áttérés b alapú logaritmusról a alapú logaritmusra: a,6,x > 0 ^ogaX
Legyen a^p^q £ ságai:
log^a
a / 1, b ^ l .
és a ^ l . Ekkor a logaritmus műveleti azonos
loga b{pq) = log„ p + log„ q; logo^=logaP-logag; logaP“ = alogaP,
aeE.
Az első azonosság többtényezős szorzatra is alkalmazható: a szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusainak összegével.
V.3. EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Az egyenletet a matematikai szakirodalomban többféle módon is definiáljáLk. Ezek közül a két leggyakoribb a következő: |di| Ha adott számhalmazon értelmezett két kifejezést az egyenlőségjellel kapcsolunk össze, akkor egyenletet kapunk. |d2| Az egyenlet olyan logikai függvény {nyitott mondat)^ amelyben két kifejezés egyenlőségét állítjuk: értelmezési tartománya egy előre adott halmaz (az egyenlet alaphalmaza), értékkészlete pedig az {igaz; hamis} logikai értékek halmaza. Az egyenletben szereplő változók (ismeretlenek) azon értékeit, amelyekre az egyenlőség, ill. az állítás igaz, az egyenlet megoldásainak {gyökeinek)^ a megoldások összességét pedig az egyenlet megoldáshal mazának {igazsághalmazának) nevezzük.
54
V. ALGEBRA
A megoldás létezése, ill. a megoldások száma attól is függ, hogy milyen számok között keressük a megoldásokat. Az egyenleteknél az N, Z , Q, M halmazokat alaphalmaznak tekintjük. Az egyen let megadásakor meg kell adni azt a halmazt, amelynek elemei megoldáskent számításba jöhetnek. Ez valamely alaphalmaz vagy annak részhalmaza. Ezt a halmazt nevezzük az egyenlet kiindulási halmazának. Ha ezt nem adjuk meg, akkor az egyenlet gyökeit a valós számok azon legbővebb részhalmazán keressük, ahol az egyenlet értelmezve van. Az egyenlet értelmezési tartománya az alaphalmaz azon részhalmaza, ahol az egyenlőség mindkét oldalán álló kifejezés értelmezhető. fp] Azt az egyenletet, amelynek megoldáshalmaza nem üres és meg egyezik az értelmezési tartományával, azonosságnak nevezzük. Az ismeretlenek száma szerint beszélünk egy-, két-, három-, . . . , n-ismeretlenes egyenletről. Algebrai az egyenlet^ ha az egyenlet mindkét oldala algebrai ki fejezés (1.: e fejezet 1. pontját), egyébként transzcendens egyenletről beszélünk. Ha az ismeretlen(ek) a gyökjel alatt is fellép(nek), akkor irracio nálisnak mondjuk az egyenletet Az egyismeretlenes algebrai egyenleteket megkülönböztethetjük fokszám szerint is; az egyenletben szereplő ismeretlen legmagasabb kitev^e alapján beszélünk elsőfokú-, másodfokú-, harmadfokú-, . . . , n-edfokú egyismeretlenes egyenletről. |Pl| Ha adott számhalmazon értelmezett két kifejezést a < (< ) vagy > (> ) jelek valamelyikével kapcsolunk össze, akkor egyenlőtlen séget kapunk. |P2l Az egyenlőtlenség olyan logikai függvény (nyitott mondat), amelyben két kifejezés egyenlőtlenségét állítjuk egy adott halmaz felett (az egyenlőtlenség alaphalmazán), értékkészlete pedig az {igaz; hamis} logikai értékek halmaza.
V. ALGEBRA
55
EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA Az egyenlet megoldásakor (rendezésekor) az egyenlet mindkét olda lán azonos átalakításokat hajtunk végre abból a célból, hogy egysze rűbb egyenletet kapjunk, vagyis az ún. mérlegelvet alkalmazzuk. Ha a „mérleg egyensúlyban” van, és mindkét „serpenyőben” ugyanazt a változtatást végezzük, az egyensúly továbbra is megmarad. Az egyenlet rendezése során törekedjünk az ekvivalens (azonos ér tékű) átalakításokra, mert csak így juthatunk az eredetivel ekvivalens egyenlethez. Két egyenletet (a gyökök halmazára vonatkozóan) egyenérté kűnek (ekvivalensnek) nevezünk az adott alaphalmaz felett, ha a megoldáshalmazuk (igazsághalmazuk) azonos, vagyis az első egyenlet minden gyöke a második egyenletnek is gyöke és a második egyenlet minden gyöke az elsőnek is gyöke. A matematikai logika nyelvén ez két állítás ekvivalenciáját jelenti: Az (1) a = b és (2) c = d egyenletek ekvivalensek adott kiindulási halmazon, ha a = b esetén c = d és ha c = d esetén a = 6, azaz (a = 6)<=>(c = d). Amennyiben az egyenlet megoldása során végig ekvivalens áta lakításokat végeztünk a kiindulási halmazon, a kapott gyököket az esetleges számítási hiba miatt kell csak ellenőrizni. A (2) egyenlet az (1) egyenlet következménye, ha az (1) egyenlet minden gyöke a (2) egyenletnek is gyöke. Tehát a (2) egyenletnek lehet olyan megoldása, ami az (1) egyenletnek nem megoldása (hamis gyök). Az, hogy (2) egyenlet következménye (l)-nek, implikációnak felel meg, s így jelöljük: (a = 6) => {c = d).
56
V. ALGEBRA
Ekkor ellenőrzéssel szűrhetjük ki a hamis gyököket. Mindig az eredeti egyenletbe helyettesítsük vissza a kapott megoldá sokat! Ne végezzünk olyan átalakítást, amely gyökvesztéssel jár (pl. is meretlent tartalmazó kifejezéssel való osztás gyökvesztéssel járhat)! Tekintsük erre a következő példát. m
Oldjuk meg az egész számok halmazán az
X H---------= 4x + • X —4
X —4
egyenletet! Mindkét oldalból vonjunk k i ---------et! X —4 = Ax. Mindkét oldalt osszuk el x-szel! x = 4. A kapott gyök, az x = 4 azonban hamis gyök. Az egyenlet vaJódi megoldását, az X = 0 értéket elvesztettük az x-szel való osztás után. Célszerűbb lett volna az x^ = 4x egyenletet 0-ra redukálni, majd az x^ —4x = 0 egyenlet bal oldalát szorzattá aiakitani: x(x —4) = 0, s ebből már nem csak a hamis x = 4, de a valódi X = 0 gyököt is megkapjuk.
A legfontosabb ekvivalens átalakítások: a) Az egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatjuk (kivonhatjuk) ugyanazt a valós számot, ill. az egyenlet kiindulási halmazán definiált kifejezést. b) Az egyenlet mindkét oldalát megszorozhatjuk (eloszthatjuk) bármely, 0-tól különböző valós számmal, ill. olyan kifejezéssel, amely nek értelmezési tartománya azonos az egyenlet kiindulási alaphal mazával, s e halmazon nem vesz fel nulla értéket. (Ha a kifejezés helyettesítési értéke zérus is lehet, akkor szorzás, ill. osztás után kapott egyenlet nem ekvivalens az eredetivel. A kifejezéssel való osztás helyett a nullára redukálást, majd a kiemeléssel való szorzattá alakítáíst javasoljuk.)
V. ALGEBRA
57
c) Bármely kifejezés helyére tehetünk olyan kifejezést, amely (leg alább) az alaphalmazon vele azonosan egyenlő. Az egyenlőtlenség algebrai megoldása során is a mérlegelvet al kalmazzuk: az egyenlőtlenség mindkét oldalán azonos átalakításokat hajtunk végre. Itt is beszélünk — az egyenletekhez hasonlóan — ek vivalens átalakításokról, ekvivalens egyenlőtlenségekről. Az egyenlőt lenségek megoldása során különösen ügyeljünk arra, hogy az eredetivel ekvivalens (egyenértékű) egyenlőtlenséget kapjunkj hiszen az általában végtelen sok megoldást visszahelyettesítéssel nem tudjuk ellenőrizni. Az egyenlőtlenség átalakításakor nem szabad megfeledkezni arról, hogy a) az egyenlőtlenség iránya megfordul — de az eredetivel azonos értékű lesz az egyenlőtlenség ha az egyenlőtlenséget negatív számmal szorozzuk (osztjuk) (2 < 3 —2 > —3); h) ha az egyenlőtlenség két oldala azonos előjelű, és mindkét oldal reciprokát vesszük, akkor az egyenlőtlenség iránya megfordul, s megoldáshalmaza az eredetinek a részhalmaza (szűkebb halmaza), hiszen a nevező zérushelye(i) nem eleme(i) a kapott egyenlőtlenség megoldáshalmazának ( 2 < 3 < ^ - > - ) . Z
ó
c) ha az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív az egyenlőtlenség kiindulási halmazán, akkor vehetjük mindkét oldal pozitív egész kitevőjű hatványát, gyökét, az egyenlőtlenség iránya nem fordul meg { 2 < 3 ^ 2 ^ < 3^ => y /2 < V3).
V.4. ELSŐFOKÚ (LINEÁRIS) EGYISMERETLENES EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet általános alakja ax-^b = 0, ahol a ^ 0, a, 6, a; € M és a: jelöli az ismeretlent.
58
V. ALGEBRA
Az ax + 6 = 0 egyenlet mindkét oldalából vonjunk ki 6-t, majd a-vai való osztás után kapjuk, hogy b x = — . a Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlőtlenség általános alakja a, 6,xGM).
ax-^b>0, (A > jel helyett állhat > , < , < jel is.) Megoldása а) ha a > 0, akkor b б) ha a < 0, akkor X <
b —
a
.
Az abszolút értékeket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek meg oldását az abszolút érték értelmezésével kezdjük. Kifejezés abszolút értékét az a szám abszolút értékéhez hasonlóan definiáljuk:
(öl ha ax -f 6 > 0 ha ax -h 6 < 0. m
{Háromszög-egyenlőtlenség:) Tetszőleges a, b mennyiségekre |a + 6|<|a| + |61.
lE
Oldjuk meg a valós számok halmazán az \4x — 1| = 1 — X egyenletet!
V. ALGEBRA a) Ha 4a; — 1 > 0, azaz x >
4
59
akkor \4x — 1| = 4x — 1, így a
4x — 1 = 1 — X egyenletet kell megoldanunk az A =
G R |a; > j
- halmazon. Rendezve az
egyenletet, kapjuk, hogy 5a; = 2, x=
2
5 2 8 1 5 2 Mivel 9 = — > - = — , ezért - £ A, és végig ekvivalens átalakítást végez5 20 4 20 5 tünk, így
2
X
— — megoldása az eredeti egyenletnek. 5 ^
b) Ha 4a; — 1 < 0, azaz a; < —, de (mivel az egyenlet kiindulási halmaza 4 R"*") X > 0 lehet, vagyis ha 0 < x < —, akkor |4x — 1| = —(4x — 1) = —4x + 1. Most a —4x + 1 = 1 — X egyenletet kell megoldanunk a B = <|x G R j O < x <
halmazon. Rendezés után x = 0 adódik, de az nem
eleme a B halmaznak, így nem megoldása a kiinduló egyenletünknek sem.
Előfordul, hogy az ismeretlen az egyenlet (egyenlőtlenség) nevező jében szerepel. Ilyenkor szokták törtes egyenletekről, egyenlőtlenségek ről beszélni. Ezek értelmezési tartományába a nevező zérushelyei nem tartoznak bele, ezért célszerű először a nevező zérushelyeinek megha tározása. A kapott értékeket zárjuk ki az egyenlet (egyenlőtlenség) alaphalmazából. Törtes egyenlőtlenség megoldása során nem javasoljuk a nevezővel való végigszorzást a nevező előjelének vizsgálata nélkül. Célszerűbb az egyenlőtlenséget nullára redukálni, majd a tört előjelét vizsgálni.
60
V. ALGEBRA
V.5. ELSŐFOKÚ KÉTISMERETLENES (DIOFANTOSZI) EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK Ha az egyenletekben szereplő ismeretlenek száma több, mint az egyenletek száma, akkor az ilyen egyenleteket határozatlan egyenle teknek nevezzük. A határozatlan egyenleteknek legtöbbször csak az egész (vagy még inkább, a pozitív egész) megoldásait keressük. Ha a határozatlan (1)
ax-\-by = c
alakú egyenlet a, 6, c együtthatói egész számok (vagy egész számo kat jelölő paraméterek), a és b közül legalább az egyik nem nulla és x^y e Z , akkor az egyenletet kétismeretlenes, lineáris diojantoszi (diofantikus) egyenletnek nevezzük. DIOPHANTOSZ görög matematikus, Kr. u. a X. században élt (pontosan nem tudjuk mikor), s faként egész együtthatós határozatlan egyenletek egész megoldásaival foglalkozott. Az ( 1) egyenlet megoldásai mindazon rendezett egész számpárok, amelyeket a változók helyére írva igaz állításokat kapunk. m
Az (1) alatti diofantoszi egyenlet akkor és csak akkor oldható meg, ha az ismeretlenek együtthatójának legnagyobb közös osz tója a konstansnak is osztója, azaz (a, b) |c.
A tétel többismeretlenes lineáris diofantoszi egyenletekre is érvé nyes. Q
Adjuk meg a természetes számok halmazán a 2x + 3í/ = 17 egyenletet kielégítő számpárokat! A tétel alapján az egyenlet megoldható, mivel 2 és 3 relatív prímek, így a legnagyobb közös osztójuk (az 1) osztója a 17-nek. Bemutatjuk az egyenlet leggyakoribb megoldási módját is.
V. ALGEBRA
61
Célszerű az egyenletből azt az ismeretlent kifejezni, amelyiknek az együtt hatója a legkisebb abszolút értékű:
Az
17-3y
16+l-4y + y
(16 - 4y) + (1 + 3/)
,
+ ^
2
2
2
°
2
X
pozitív egész értéket vesz fel, ha
■
törtkifejezés egész, és 8 — 2y-\-
^ > 0. kifejezés (szigorúan) monoton fogyó, így az x = 8—
Pozitív y-okra a 8 —
2y H---- is szigorúan csökkenő.
1 -|- 2/ A
Az ------- akkor lesz egész, h a l + y páros szám. így a lehetséges esetek: l + y = 2, l-\-y = 4, 1 + 2 / = 6,
y = l, 3/ = 3, í/ = 5,
x = 7 x= 4 x= l
y > 7-re x értéke már negatív lenne, hiszen 8 — 2y + csökkenő. Az adott egyenlet megoldása az
kifejezés szigorúan
{(1 ;5 ), (4;3), (7;1)} számpárok halmaza.
ELSŐFOKÚ (LINEÁRIS) EGYENLETRENDSZEREK
Ha két vagy több egyenlet közös megoldásait keressük, akkor egyenletrendszerről beszélünk. írásban az egyenletrendszert alkotó egyenleteket egymás alá írjuk (és esetleg a } jellel kapcsoljuk össze). Az egyenletrendszer értelmezési tartománya az egyes egyenletek értelmezési tartományának a közös része. Megoldása rendezett szám párok, számhármasok,. . . , szám n-esek halmaza (az egyenletrendszer ben előforduló ismeretlenek számától függően).
62
V. ALGEBRA
Algebrainak nevezzük az egyenletrendszert, ha valamennyi egyen lete algebrai. Az algebrai egyenletrendszer fokszáma a legmagasabb fokú egyenletének a fokszáma. Az elsőfokú (lineáris) kétismereÜenes egyenletrendszer általános alakja a ix + biy = Cl 1 ^2^ + ^22/ = C2 J ahol az a i, a2, fel, ^i, C2 adott valós számok (vagy valós szá mokat jelölő paraméterek) az együtthatók, x, y az ismeretlenek. Az egyenletrendszer megoldása valamely alaphalmazon a mindkét egyen letet kielégítő ( x ‘ y) rendezett számpárok halmaza. A kétismeretlenes egyenletrendszernek pontosan egy számpár a gyöke, ha a két egyenlet független egymástól; nincs megoldása, ha a két egyenlet ellentmondó; s végtelen sok megoldása van, ha az egyik egyenlet a másiknak több szöröse (feltételezve, hogy az egyenletrendszer alaphalmaza M x M). A lineáris kétismeretlenes egyenletrendszer megoldási módszerei Grafikus módszer Kétismeretlenes egyenletrendszereket grafikusan úgy oldhatunk meg, hogy az egyenleteknek megfelelő egyeneseket ugyanabban a koordináta-rendszerben ábrázoljuk. A megoldás (ha van) a két egye nes közös pontjának koordinátái (5.1. ábra). Az egyenlő együtthatók módszere A módszer lényege, hogy alkalmasan választott (0-tól különböző) számmal megszorozva az egyenleteket, elérhetjük, hogy mindkét egyenletben az előre kiválasztott ismeretlen együtthatói egymás ellentettjei legyenek. Ezután a két egyenletet összeadjuk, és az így kapott egyismeretlenes egyenletet a tanult módon megoldjuk. A megoldást az egyik egyenletbe visszahelyettesítve (vagy megismételve az egyenlő együtthatók módszerét), a másik változó értékét számítjuk ki. Végül ellenőrizzük a kapott megoldást! Az egyenlő együtthatók módszere a következő tételen alapszik:
V. ALGEBRA
m
63
Ha az egyenletrendszer egyenleteit összeadjuk (kivonjuk), akkor az így kapott egyenlet megoldáshalmaza tartalmazza az egyen letrendszer megoldáshahnazát.
Tehát összeadás során nem vesztünk gyököt, de hamis gyök kelet kezhet, melyet ellenőrzés után kiszűrhetünk.
El
Oldjuk meg az
R x R halmazon a 2x —3y = 6 'i 3x + 5 y = - 2 j
egyenletrendszert az egyenlő együtthatók módszerével! Az első egyenletet szorozzuk meg 5-tel, a másodikat 3-mal, majd adjuk össze a két egyenlet megfelelő oldalait!
10x-15y = 25 9x + 15y :" e } = 19, Az
X
s ebből a; = 1.
= 1-et az első egyenletbe írjuk vissza:
2 - l - 3 y = 5,
y = -l.
64
V. ALGEBRA
Az egyenletrendszer megoldása ziz (1; —1) rendezett száLmpár, s ez valóban kielégíti az egyenletrendszert.
Behelyettesítő módszer Fejezzük ki valamelyik egyenletből az egyik ismeretlent! A kapott kifejezést a másik egyenletbe helyettesítsük vissza (a kifejezett változó helyére)! így egyismeretlenes egyenlethez jutunk. Ezt megoldva, majd a megoldást visszahelyettesítve a kifejezésbe, megkapjuk a másik változó értékét is. Oldjuk meg a Q
X
Q halmazon a 2x + by = l, I 3x-7y-l,5j
egyenletrendszert a behelyettesítő módszerrel! Az első egyenletből x = —
^.
Az x-re kapott kifejezést x helyére a második egyenletbe helyettesítve: 1-52/ 3— —^ - 7 y = l,5.
A
Ez könnyen megoldható már: 3(1 - 5y) - 14y = 3, 3 - 1 5 y - 1 4 y = 3, -19t/ = 0, y = 0. Az y = 0-t írjuk vissza az a; = A kapott gyökpár: ^ i ; oj^, s mivel
egyenletbe: a; = i . ^í
eleme a Q X Q alaphalmaznak, és
végig ekvivalens átalakítást végeztünk, így ez az egyenletrendszer megoldása.
Összehasonlító módszer E módszernél ugyanazt az ismeretlent mind a két egyenletből kifejezzük, s a kapott kifejezéseket egyenlővé tesszük. Az utóbbi egyenlet már csak egy ismeretlent tartalmaz. Ezt megoldjuk, és a nyert értéket a már kifejezett egyenletek bármelyikébe helyettesítve, kiszámítjuk a másik ismeretlen értékét.
V. ALGEBRA
65
V.6. MÁSODFOKÚ EGYENLETEK. EGYENLŐTLENSÉGEK MÁSODFOKÚ EGYISMERETLENES EGYENLET Az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakja: (1)
ax^ +
+ c = 0,
ahol a, 6, c, X G M, de a ^ 0. Az a, 6, c értékeket az egyenlet együttha tóinak nevezzük, x a meghatározandó ismeretlen. Ha 6 = 0, akkor az (1) egyenlet hiányos,
alakú, amelynek megoldása
c c Az egyenletnek csa k ---- > 0 , azaz - < 0 esetén van valós gyöke. a a Ha c == 0 (a ^ 0), akkor az ( 1) egyenletből ax^ -\-bx = 0 adódik (most a konstans tag hiányzik). A bal oldalból x-et kiemelve: x{ax -\-b) = 0. Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha legalább az egyik tényezője nulla, így a megoldás most: x i= 0 b X2 = ---- . a
66
V. ALGEBRA
Az ax^ 4-
+ c= 0
egyenletet teljes négyzetté alakítással oldhatjuk meg. Alakítsuk az a ^ 0-val elosztott egyenlet bal oldalát teljes négy zetté: a
a
62
( - ^ ) -
Aa?
c + a c
4a^
a áac
(
Mivel az egyenl&ég bal oldala bármely a ( ^ 0 ), b, c értékek esetén nemnegatív, az egyenlőség csak olyan a, b, c értékekre lehet igaz, cunelyekre: b^ - 4ac > 0. Vonjunk mindkét oldalból négyzetgyököt (ne felejtsük el, hogy 1^1, 2 G R ): b
b^ - 4ac 4a^
b
s/b"^ —4ac 2|a|
•
Látható, hogy csak két különböző gyök van. A két gyököt az
X\,2 =
—6 ± Vb"^ —4ac ” 2^
megoldóképletben foglaljuk össze.
=
V. ALGEBRA
0
67
Az ax^ -\-bx-\-c = 0 egyenletből felírt —Aac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának hívjuk, és £>-vei jelöljük.
(A diszkrimináns latin szó, jelentése: meghatározó, döntő tényező.) Ha Z> > 0, akkor az általános másodfokú egyenletnek két különböző valós gyöke van. Ha D = 0, akkor két egyenlő, kétszeres valós gyöke van. (Ekkor az egyenlet bal oldala teljes négyzet.) Ha Z) < 0, akkor az általános másodfokú egyenletnek nincs valós gyöke. Pn Ha az ax^ -\-bx-\- c = {) egyenletben Z) > 0 és x i, X2 jelöli az egyenlet valós gyökeit, akkor XI ^ X 2 ^ ---- , a c XiX2 = a Ezeket a gyökök és együtthatók közötti összefüggésnek nevezik (Viete-formulák). pn
Ha az ax^ + ba; + c = 0
(a / 0)
egyenletben D > 0, akkor az egyenlet a{x - x\){x - X2 ) = 0 alakba írható, ahol x\^ X2 jelöli az egyenlet valós gyökeit. Ez a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja.
68
V. ALGEBRA
MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ MAGASABB FOKÚ EGYENLETEK A másodfokúra visszavezethető algebrai egyenletek közül leggyak rabban az + bx^ + c = 0
(a ^ 0)
alakú fordul elő. Ebből = t helyettesítés után t-re másodfokú egyenletet kapimk. Csak a í > 0 értékből származhat megoldás. A kapott t értéket a.z x^ = t egyenlőségbe visszaírva, \x\ = y/i^ x = ±y/i adódik. Tehát, ha egy másodfokúra redukálható negyedfokú egyenlet nek gyöke az x i valós szám, akkor gyöke a —x i is. Ennek az egyenletnek négy valós gyöke van, ha, D = két valós gyöke van, ha. D =
—4ac > 0; —Aac = 0;
s nincs valós gyöke, ha. D = b^ —Aac < 0. Általánosan, az ax^^ -h bx^ -hc = 0
( a ^ O , nG
x G M),
iU. ax^^^^ -h bx^^^ -h cx^ = 0
(a ^ 0, n. A: G N“*", a; G M)
egyenletek is visszavezethetők 1a másodfokú egyenletek megoldására. Az első az x^ = t helyettesítéssel, második pedig az x^ tényező kiemelésével és az x'^ = t helyettesítéssel. Az
ax^ -h hx^ +
-\-a = 0
(a ^ 0)
szimmetrikus egyenletek is másodfokúra redukálhatók, jól választott helyettesítéssel. Ezt egy példán mutatjuk be. 0
Oldjuk meg a valós számok halmazán a 2x* + egyenletet!
- 16x^ + 3a; + 2 = 0
V. ALGEBRA
69
Osszuk végig az egyenletet a szimmetriapontban levő ismeretlennel (az
x2-tel): 2x2 + 3x - 16 + 3 Í + 2^7 = 0 X
(ic = 0 nem lehet megoldás), 2x^ + 2 - i + 3x + 3 - - 16 = 0, X^^
X
Legyen x — = t ; mindkét oldalt négyzetre emelve kapjuk, hogy X
a;^+2+-^=í^,
azaz
x2 + 4 = í 2 _ 2. Ezzel a helyettesítéssel a 2(t^ - 2) + 3t - 16 = 0 egyenlet í-ben másodfokú. A í-re a következő értékek adódnak: íi = - , Í2 = —4. Ha a t értékét megkapjuk, akkor ezt visszahelyettesítve az a; + - = í egyenX
letbe, két másodfokú egyenletet keU megoldanunk.
5
.
1 5
^
ti = - eseten x + - = 2.
X
2
1
x i = 2, X2 = - , 2
Í2 = —4 esetén a; + ^ = - 4 , 0:3,4 = —2 ± v^. X
Ellenőrizzük a megoldásokat!
MÁSODFOKÚ EGYENLŐTLENSÉGEK Egyismeretlenes másodfokú egyenlőtlenség az a x ^ -{-b x 0
0
( a ^O ,
ahol a > jel helyett természetesen állhat > , < , < jel is.
70
V. ALGEBRA
A másodfokú egyenlőtlenséget legcélszerűbb grafikusan megoldani. Ez a módszer igen szemléletes, s a legtöbb esetben egyszerűbb, mint az algebrai megoldás. A megoldás menete: 1. először megoldjuk az egyenlőtlenséghez tartozó ax^ -i-bx-\-c = 0 egyenletet; 2. a gyökök ismeretében vázlatosan ábrázoljuk a.z y = ax^ + bx + c {x e ÍR) függvényt; 3. a grafikonról leolvassuk az egyenlőtlenség megoldását. Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor a > 0!
Ekkor az X ax^ -\-hx-\-c (x G M) függvény grafikonja a D érté kétől függően alakul (5.2. ábra). Az ax^ -\ -bx-\ -oO egyenlőtlenség megoldása a következő; а) ha a > 0 és D > 0, akkor x < x \ vagy x > X2 , ahol x i, X2 jelöli az ax^ -\-bx-\-c = 0 egyenlet gyökeit, és x\ < X 2 \ б) ha a > 0 és D = 0, akkor a gyök kivételével bármely valós szám;
V. ALGEBRA
71
c) ha a > 0 és Z) < 0, akkor az ax^ -{-bx-\ -c> 0 egyenlőtlenség bár mely valós x-re igaz. Hasonlóan járunk el, ha a < 0. Az ax^ + + c> 0 másodfokú egyenlőtlenség egyik algebrai megoldásmódja a következő: 1. megkeressük az ax^ + + c > 0 egyenlőtlenséghez tartozó ax^ -\-hx c — 0 egyenlet megoldásait; 2. szorzattá alakítjuk az ax^ + + c kifejezést (a gyöktényezős alak felhasználásával); 3. vizsgáljuk a szorzat tényezőinek előjelét. Egy kéttényezős szorzat akkor és csak akkor pozitív, ha tényezmnek előjele megegyezik. Ha a másodfokú egyenletnek nincsenek valós gyökei (Z) < 0), akkor az ax^ -{-bx + c kifejezés minden valós x-re pozitív, ha a > 0 (a függvény képe álló helyzetű parabola, amelynek minden pontja az x tengely felett van), és minden valós x-re negatív, ha a < 0 (a függvény grafikonja az y tengely negatív irányába nyíló parabola, amely teljes egészében az x tengely alatt helyezkedik el) (5.3. ábra).
0
1. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! - \ - 8 x - 33 > 0 Először megkeressük az + 8ic — 33 > 0 egyenlőtlenséghez tartozó f { x ) = = + 8a; — 33 (x £ R) függvény zérushelyeit, azaz megoldjuk az + Sx— —33 = 0 egyenletet. - 8 ± V64+132/^^ ^
\o;2 ==-11
Vázlatosan ábrázoljuk az y = x ‘^ + Sx — 33 {x E R) másodfokú függvényt! A függvény képe áUó helyzetű parabola, mivel a > 0 (5.4. ábra). Az egyenlőtlenség megoldása leolvasható az ábráról: a; < —11 vagy x > 3. 2. Oldjuk meg az x {x + 1) ^>0 x -3 egyenlőtlenséget 1 A tört értéke akkor és csak cikkor nagyobb nullánáJ, ha a számláJója és
72
V. ALGEBRA
a nevezője azonos előjelű. A nevezővel nem tanácsos meggondolás nélkül végigszorozni, hiszen az negatív értékeket is felvehet, ekkor viszont az egyenlőtlenségjel megfordul! Vizsgáljuk meg a lehetséges eseteket! a) Ha x {x + 1 ) > 0 és X — 3 > 0 is teljesül,
V. ALGEBRA
73
akkor a megoldás az (x < —1
vagy
X > 0)
és
x>3
halmazok közös része. Tehát az egyenlőtlenség megoldása; a; > 3. 6) Ha x {x + 1 ) < 0 és x — 3 < 0 is teljesül, aJckor a megoldás a —1 < X < 0
és
X
<3.
A halmazok közös része lesz: —1 < x < 0. Összefoglalva: —1 < X < 0 vagy X > 3 az egyenlőtlenség megoldása. Az egyenlőtlenség megoldása azonnal megadható az 5.5. ábra alapján (a számlálót és a nevezőt is ugyanabban a koordináta-rendszerben ábrázoljuk).
74
V. ALGEBRA
MÁSOD- ÉS MAGASABB FOKÚ EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLŐTLENSÉG-RENDSZEREK A másod- és magasabb fokú egyenletrendszerekhez, egyenlőtlen ség-rendszerekhez nem tudunk ajánlani olyan általános megoldási módszert, amely minden esetben alkalmazható lenne. A következőkben példán keresztül bemutatunk néhány ötletet, módszert. IP I Oldjuk meg az Mx R halmazon az
xy egyenletrendszert! Első megoldás: Próbálkozzunk a lineáris egyenletrendszereknél megismert behelyettesítő megoldással! A második egyenletből célszerű valamelyik isme retlent kifejezni:
2 X
ezt helyettesítsük be az első egyenletbe: ,2
(!)=' így x-ie nézve másodfokúra redukálható negyedfokú egyenletet kaptunk. Ennek megoldása:
9
4
5 x 2 + 4 = 0, amiből x^ = t ( > 0 ) bevezetésével: - 5í + 4 = 0 5 ± y/2b - 16 t l . 2 = ---------5---------, azaz ti
4y Í2 — 1-
így x ‘^ = 4 ,
\x\ = 2,
x = ±2,
y = ± h
x ‘^ = l ,
\x\ = l ,
x =
y = ±2.
ill. ± l ,
V. ALGEBRA
75
Mivel a második egyenletben xy = 2 > 0, ezért az egyenletrendszert a követ kező szálmpárok elégítik ki: (2:1),
( - 2 ; - l ) ,
(1;2),
( - l ; - 2 ) .
Második megoldás: Emeljük négyzetre a második egyenletet:
x^y^=4 Alkalmazzuk a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közti összefüggést. Tudjuk, hogy az ax^ + + c= 0 egyenletben (ha a ^ 0 é s D = 6^— 4ac > 0): b
Xi+X2 = ---X1X2 =
c a
Ez alapjáln az
x V = 4j egyenletrendszer tekinthető egy másodfokú egyenlet két gyöke összegének, ill. szorzatának, amiből---- és — értéke leolvasható: a a
-^=5. a
- =4. a Az a értékét vehetjük 1-nek, ekkor b = —5
és
c = 4.
Tehát a -
5t + 4 = 0
másodfokú egyenlet gyökei x “^, ill. y"^. Látható, hogy t-re éppen az előző másodfokú egyenlet adódott: íi = 4, Í2 = 1Tehát az eredeti egyenletrendszer megoldása: x^ = 4,
|x| = 2,
x = ±2;
\y\= 1,
3/ = ±1
V. ALGEBRA
76 vagy
= 1,
lx| = 1, M=2,
2/^=4,
x = ± l; y = ±2.
Az icy = 2 > 0 feltétel miatt az egyenletrendszer megoldáshalmaza:
(2; 1),
■ ( - 2 ; - l ) , (1;2), ( - l ; - 2 ) ] Harmadik megoldás: Az egyenletrendszer bal oldalán álló ill. icy kifejezések eszünkbe juttathatják egy kéttagú kifejezés négyzetét. Szorozzuk meg a második egyenletet 2-vel:
x^+y^ = 6 ' 2xy = 4. Ha ennek a két egyenletnek az összegét és a különbségét vesszük, akkor két olyan egyenlethez jutunk, amelyeket azok és csak azok az (x ]y ) rendezett számpárok elégítenek ki, amelyek az eredeti egyenletrendszert kielégítik:
= + 2xy + 2,2 2/^ = - 2xy +
9 1
/ =lj
amit egyszerűbb alakban is felírhatunk: (x + y f =
- yf
Az abszolút érték értelmezése után négy elsőfokú kétismeretlenes egyenlet rendszerhez jutunk: x+y=3 x -y =
^
l- J
x -h y = 3 x -y = -l;
x + y = -3^
x -h y = - 3 I
x -y =
x -y = - l j
l;
J
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK V l.l. A SZAMTANI, A MÉRTANI ES A HARMONIKUS KÖZÉP FOGALMA; A RÁJUK VONATKOZÓ EGYENLŐTLENSÉGEK [d1 Az ai, ű2 € M számok számtani (aritmetikai) közepe: A= Az ai, ü2 nemnegatív számok mértani(^eomeí?^a2) közepe: G = yja\a2A nullától különböző ai, a2 számok harmonikus közepe:
E közepeket több számra is érteboiezhetjük: Az ai, tt2, . . . , ttn (n G N~^) G M számok számtani közepe: A=
n
Az tti, tt2, . . . , ön nemnegatív számok mértani közepe:
78
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK
A nullától különböző ai, a2, . . . , an számok harmonikus közepe:
n
Öl “h Ö2 n
és az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha a \ = a 2 = — •••— ^nSzámos szélsőérték-feladatban és függvényvizsgálat során a két pozitív szám (ai és a2) mértani és számtani közepe közti egyenlőtlen séget alkalmazzuk: Obi
+ Ö 2
és az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a két szám egyenlő.
VI.2. SZÁMSOROZATOK |d1 a végtelen valós számsorozat (röviden számsorozat, sorozat) olyan függvény, amelynek az értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, az értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Ha az értelmezési tartományt leszűkítjük a pozitív egész számok valamely véges részhalmazára, akkor véges szám sorozatról beszélünk. A függvény helyettesítési értékeit a számsorozat elemeinek nevez zük. A számsorozatot többféleképpen jelölhetjük:
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK
79
— / : N+ -> E, n /( n ) = Oni — {a n }n = v W } ( r i G N + ) , ill. ( o n ) ( n G N + ) vagy röviden {ttn}, ül. K ) ; —
a i,a2,...,an ,...
ahol jelöli a számsorozat n-edik (általános) elemét, n (G N +) pedig az elem indexét (sorszámát). A számsorozatot megadhatjuk — a számsorozat általános elemével: n^-^a(7^), pl. an = n -,n e N + : ?i + 1 — rekurzív módon: megadjuk a számsorozat első néhány elemét, az általános elemet pedig a megelőző elem(ek) függvényeként definiáljuk; pl. a\ = 1, a2 = 1, an = dn-2 + ö n - l , ha n > 2; — utasítással; pl. tekintsük a prímszámok növekvő sorozatát (e sorozat általános eleme képlettel nem adható meg). A derékszögű koordináta-rendszerben a számsorozatnak mint függ vénynek a grafikonja nem folytonos vonal, hanem diszkrét pontokból áll (6.1. ábra). A számsorozatot a számegyenesen (6.2. ábra) is ábrázolhatjuk.
H----1— I----1---- 1— Q| Q2 Q3 Cl^ CI5 6 .1 . á b r a
1/4 1/3
V2
6.2 . ábra
80
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK
NEVEZETES SOROZATOK Számtani sorozat 0
Azt a számot, amelyben (a másodiktól kezdve) bármelyik elem ből kivonva a megelőzőt, a különbség állandó, számtani (vagy aritmetikai) sorozatnak nevezzük.
Ezt az állandó különbséget d-vel jelöljük, és a sorozat különbségé nek (differenciájának) mondjuk: an —a n -i = d ,
n>2.
Ebből kapjuk a számtani sorozat rekurzív képzési szabályát: an = a n -i-h d
(n€N+,
n > 2 ).
A számtani sorozatot az első eleme (ai) és a differenciája (d) egyér telműen meghatározza. Pn A számtani sorozat bármely eleme — az elsőt kivéve — számtani közepe a tőle azonos távolságra levő két elemnek: a ^ ^ a n -i + ün+l ^ ^ ^ ^n-k + an+k
m (1)
S
(fc,„eN +,n>2,fc
A számtani sorozat n-edik eleme: an = ai + {n — l)d
{n
e
A számtani sorozat első n elemének összege:
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK
(2 )
Sn = ^ l ± ^ n
81
(n G N + )
vagy — felhasználva az ( 1) összefüggést — ^
(3)
Sn
I^1
2ai + { n - l ) d
=
—
—
\
------- -
.
(n e N +)
n
A számtani sorozat első n elemének összege, az
Sn=ai+a2-\-as + ... + an kifejezhető a sorozat első elemével és a differenciájával: Sn = dl + (ai + á) + (tti + 2d) + ••- + ai + {n — l)d Ugyanez az összeg kifejezhető az n-edik elem és a differencia segítségével is (most az összeg tagjait On, Ow-l, an-2? - - - ,ai sorrendben írjuk le): Sn — 0>n "1“ {o>n
+ (fln
2<Í) + . . . +
ttn — { ti — l)d
Ha az Sn két utóbbi alakját összeadjuk, a <í-t tartalmazó tagok összege 0 lesz, vagyis 2 5 '„ =
amiből
Sn =
n (a i +
a „ ),
n(ai+On)
Mértani sorozat Azt a számsorozatot, amelyben (a másodiktői kezdve) bármelyik elemet elosztva a megelőzővel, a hányados állandó, mértani (vagy geometriai) sorozatnak nevezzük. Ezt az állandó hányadost g-val jelöljük (quotiens=hányados). — =q ön-1
(nen+,
n>2,
qeR,
q ^O) .
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK
82
A definícióból következik, hogy a mértani sorozat elemei között 0 nem lehet, és a hányados sem lehet nulla. A mértani sorozat rekurzív képzési szabálya: an = a n -iq
(nGN+,
n>2,
qeR,
q¥^0).
A mértani sorozatot az ai és ^ adatpár egyértelműen meghatározza. pr| A pozitív számokból álló mértani sorozat bármely eleme — az elsőt kivéve — mértani közepe a tőle azonos távolságra levő két elemnek, azaz dn = V ^n-ian+1
{n ^
On = v '“ n-Jk«n+fc
n>2) G N +, n > 2, fc < n).
[T| A mértani sorozat n-edik eleme: O n = a iq,n—l
(1)
m
(n G N + ).
A mértani sorozat első n elemének összege:
(2 )
A mértani sorozat első n elemének összege, az (3)
= ttl H- tt2 +
+ - ••+ ttn
kifejezhető a sorozat első .elemével és a háinyadosával:
Sn = a i a i q + aiq^ + ... + aiq^~^. Szorozzuk meg a most kapott egyenlőség mindkét oldalát q{^ 0)-val: (4)
qSn = o , i q a i q ^
aiq^ ^ + aq^.
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK
83
A (4) és a (3) egyenlet különbségét véve:
qSn —S n = 0,\q^ —tti, azaz S „ ( g - I )
=
a i ( < , " - 1 ) ,
amiből, ha g ^ 1
ai(í"-l) ;--- -
„
q -1
Ha g = 1, akkor
5n = ai + tti + - - - + ai = nai.
Harmonikus sorozat 0
Az l i l
i
számsorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. Az elnevezés arra utal, hogy a sorozat bármely eleme — a máso diktól kezdve — a vele szomszédos két elem harmonikus közepe. Fihonacci-sorozat [d1 A z
«1 — 1; Ö2 = 1; «n = « n - l + «n-2
(n G N +, n > 2)
rekurzív módon definiált sorozatot Fibonacci-sorozatiiak nevezzük. A Fibonacci-sorozat (FIBONACCI olasz tudós, 11707-1240) n-edik eleme: an =
1
n
^
n: n
v/5
A Fibonacci-sorozat első n elemének az összege: 5 „ = o„+ 2 - 1
(neN+).
84
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK
KAMATOSKAMAT-SZÁMÍTÁS m
Ha valamely íq érték meghatározott időszak alatt (általában évenként) p G százalékkal növekszik, akkor a megnövekedett érték n G időegység (n év) múlva:
Ha az érték ugyanilyen módon csökken:
lE
Valaki vásárolt egy gépkocsit 180 000 Ft-ért. Mennyit ér a gépkocsi 6 év múlva, ha értéke minden évben az előző érték 10 %-val csökken? Mivel értékcsökkenésről van szó:
te = 180000
95659,3.
Százasokra kerekítve 95 600 Ft.
m
Ha minden év elején valamely A q összeget helyezünk el a bankban p %-os kamatláb mellett, akkor az n-edik év végén a megnöveke dett összeg: An = A o{l+p/lO O y
0
,( i + p / i o o r - i p/lOO
Valaki minden év elején 2000 Ft-ot tesz a bankba évi 5 %-os kamatos kamatra. Akkor tíz év múlva
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK
85
A io = 2000(1 + 5/100)^°^^'*'^'^^°'^^------- i = 40976 5/100 Ft-ot vehet fel.
m
A kamattal terhelt kölcsön törlesztéséhez szükséges évi részlet — annuitás — kiszámítása: ha év elején A q összegű hitelt vettünk fel a banktól p %-os kamatra, amelyet n év alatt kell visszafizetnünk (egyenlő részletekben), akkor az évi részlet: e = A o ( l + p / 100) "( 1+p/ l OO) ” - ! ’
a havi részlet: h = e/l2.
IP I
100 000 Ft-ot vettünk kölcsön 30 %-os kamatos kamatra, melyet 15 év alatt kell egyenlő részletekben visszafizetnünk. Ekkor az évi részlet: e = 100000(1 + 30/100)^®-------- 30/100 ------^ 30598, (1 + 30 / 10 0 ) 1 ® - ! s a havi részlet (kerekítve) 2550 Ft.
VI.34. A SZÁMSOROZATOK TULAJDONSÁGAI MONOTON SOROZATOK Az {an) sorozat monoton növekvő, ha bármely n G N“*"-ra ön < Cbn+l'-, monoton csökkenő, ha an > ön+lHa ün < ttn + l5 akkor az (on) számsorozat szigorúan növekvő^ ha pedig an > (Jin+li akkor szigorúan csökkenő.
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK
Lehet, hogy a számsorozat sem nem monoton növekvő, sem nem monoton csökkenő (pl.
^
^^
ilyen sorozatot
oszcilláló sorozatnak nevezzük. A számsorozatok monotonitásának megállapítását leggyakrabban az a^+i — különbség, ill. az an-{-i/€in hányados segítségével végez hetjük el. Ha minden n G N“*"-ra: > 0, «n + l -
< 0,
akkor az monoton akkor az monoton
(an) sorozat növekvő, (on) sorozat csökkenő;
továbbá, az ü n > 0 esetben (a sorozat minden eleme pozitív), ha > 1,
akkor az {an) sorozat monoton növekvő,
< 1,
akkor az (on) sorozat monoton csökkenő.
{
KORLÁTOS SOROZATOK Az (ün) számsorozat alulról korlátos, ha létezik olyan k valós szám, hogy k < a n minden n G N+-ra; felülről korlátos, ha létezik olyan K valós szám, hogy ün < K , minden n G N"^-ra. A sorozat korlátos, ha alulról is, felülről is korlátos. Lehet egy számsorozat sem alulról, sem felülről nem korlátos (pl. a^ = ( - 2) ^ n G N + ) . Ha egy számsorozatnak egy szám alsó (ill. felső) korlátja, akkor a szánmái kisebb (ill. nagyobb) minden szám alsó (ill. felső) korlátja a sorozatnak.
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK
87
[d1 Az alsó korlátok közül a legnagyobbat alsó határnak, a felső korlátok közül a legkisebbet felső határnak nevezzük (a sorozat alsó, ill. felső határa nem feltétlenül eleme a sorozatnak). Ha egy számsorozat monoton növekvő, akkor alulról korlátos, egyik alsó korlátja (határa) a sorozat első eleme, ai; ha egy sorozat monoton csökkenő, akkor felülről korlátos, egyik felső korlátja (határa) ai, m
Korlátos sorozatnak (számhalmaznak) van alsó és felső határa.
0 1. Az ttn = 2*^ (n 6 N“*“) sorozat alulról korlátos, egyik aJsó korlátja (egjrúttal alsó határa) k = a i= 2 ^ mivel a sorozat szigorúan növekvő. 2. Az ttn = (n G sorozat felülről korlátos, egyik felső korlátja (egyúttal felső határa) K = ai = —1, mivel a sorozat szigorúan monoton csökkenő. 3. Az ttn = — (ri G N+) sorozat korlátos, mivel alulról is, felülről is korlátos. Egyik n alsó korlátja (egyúttal alsó határa is) k = 0, ugyanis — > 0, bármely n G N“*"-re. n A sorozat szigorúéul monoton csökkenő, ezért egyik felső korlátja (egyben a felső határa) K = a\ = 1.
KONVERGENS SOROZATOK
fő n Az ---5^71') ••• számsorozat határértéke az A valós szám, ha bármely pozitív €-hoz található a sorozatnak olyan {k G N“*") eleme, amelytől kezdve a sorozat minden eleme az {A — e) intervallimiba esik. A D l definícióval ekvivalens a D2 és a D3 definíció is. ÍD2l Az
88
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK
számsorozat határértéke az A szám, ha A bármely környezetébe — a sorozat véges sok elemének kivételével — a sorozat minden eleme beletartozik. [P3l Az ÖI5^2?•••5 ••• számsorozat határértéke az A valós szám, ha bármely £ > 0 számhoz megadható olyan N (e-tól függő) küszöbszám, hogy minden n > N (s)-ra A -s < a n < A -h s , azaz az \an - A \ < e
egyenlőtlenség teljesül. Ekkor azt mondjnk, hogy az (an) sorozat konvergens (összetartó). Ha egy sorozatnak nincs határértéke, akkor divergensnek (széttar tónak) nevezzük. Azt, hogy az (a^) sorozat határértéke az A szám, kétféle módon jelölhetjük: Hm ün = A, n— ^00 iU. a n -^ A . Könnyen bizonyítható, hogy a számtani sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha elemeinek d különbsége zérus; a mértani sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha a g hányadosára teljesül a - K q < l egyenlőtlenség. Konvergens számsorozatokra vonatkozó legfontosabb tételek |T1|Konvergens számsorozatnak csak egyetlen határértéke van. |T2| [A konvergencia szükséges feltétele:) Ha egy számsorozat konver gens, akkor korlátos is.
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK
89
Fordítva nem igaz az állítás: ha a sorozat korlátos, akkor ebből nem feltétlenül következik, hogy konvergens (pl. az ün = (—1)’^ {n G sorozat korlátos, de nem konvergens). Ha viszont egy sorozat nem korlátos, akkor biztos, hogy nem konvergens. |t3| ( a konvergencia elegendő feltétele:) Ha a számsorozat monoton (növekvő vagy csökkenő) és korlátos, akkor konvergens. Fordítva ez az állítás sem igaz: ha egy sorozat konvergens, ak kor ebből nem mindig következik, hogy monoton és korlátos (pl. 1
dn = { —- )
(^ G N"*“) konvergens, tart a miUához, de nem monoton,
csak korlátos). {A rendőrelv:) Ha az (ün) és a (cn) sorozat határértéke megegye zik, vagyis ün-^ A, C n A és teljesül a n < b n < C n { n e N+), akkor bn A. (Az elnevezés abból a hasonlatból ered, hogy ha két „rendőr” közre fog egy „letartóztatottat” és elindulnak vele, akkor a „letartóztatott” szükségképpen „oda tart” , ahova a rendőrök.) [tb] (Műveletek konvergens sorozatokkal:) Ha az (a^) és (bn) (n G N"^) sorozatok konvergensek és határértékük A, ill. B , akkor a ( c a n ) (c e M), (ön ± b n ) , { a n • b n ) , és ha jB / 0, akkor az ( d n / b n ) sorozat is konvergens, és
Néhány nevezetes sorozat határértékét foglaltuk össze a következő táblázatban.
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK
90
Sorozat
Határérték
(n e N+)
(n
a„ = c
c-^c
1 a„ = n
Í-.0 n
O n=q^
q ^ -^ 0
-K q < l
an=q^
q ^ -^ 1
q=l
an=q^
q^ -^ o o
q>l
Korlátos,
q = -l
an = q ^
Feltétel
c»)
ceR
nem konvergens an=q^
Nem korlátos,
q < -l
nem konvergens O n= ^
(e = 2,7182...)
VI.4. SZÁMSOROK VÉGTELEN VALÓS SZÁMSOR FOGALMA. ÖSSZEGE 0
Az végtelen valós számsorozat elemeiből képzett
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK
( 1)
91
ai + 02 + 03 + ... a „ + ... — ^ 2 n=l
végtelen sok tagú összeget végtelen valós számsornak (röviden számsornak, sornak) nevezzük. Az a i , a 2, a3, ... , 071, .. . számok a sor tagjai; a sor általános tagja. A számsorban az összeadás a hagyományos értelemben nem végez hető el (végtelen sok számot kellene összeadnunk, így sohasem vé geznénk a számítással), és nem is biztos, hogy egyértelmű eredményt kapnánk. m
Tekintsük a következő S sort:
5 = l - l + l - l + l-r+ ... Csoportosítsuk a sor tagjait kétféleképpen: 5 =1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ...; ekkor 5 = 1; 5 =(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + .. .; ekkor 5 = 0.
Az (1) sorból képzett Si = ai, ^2 = 0,1 + a 2, Ss = a i ü 2 a s , Sn = Öl + tt2 + ^3 “í" •••“I"
iP' ^ N"^),
sorozat az (1) sor részletösszegeinek a sorozata. Ha a végtelen sor részletösszegeinek (Sn) (^ ^ sorozata konvergens és határértéke 5, akkor a sort is konvergensnek nevezzük, s a sor összegén az S határértéket értjük. Ha a részletösszegek Sn sorozata divergens, akkor a sort divergensnek nevezzük, s azt mondjuk, hogy a sor összege nem létezik.
92
m
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK
( Végtelen sor konvergenciájának szükséges feltétele:) Ha egy vég telen sor konvergens, akkor általános tagja, an tart a 0-hoz.
Az általános tag 0-hoz tartása csak szükséges, de nem elegendő feltétele a konvergenciának. Ez azt jelenti, hogy ha egy sor általános tagja nem tart nullához, akkor a sor biztosan nem konvergens, de ha az általános tag 0-hoz tart, ettől még nem biztos, hogy konvergens. Ezen tétel alapján megállapíthatjuk, hogy pl. az 1-1
+ 1 - 1 + 1 - 1 + ...
sor nem konvergens.
NÉHÁNY NEVEZETES SOR Mértani sor Legyenek a mértani sorozat elemei a,og,og^,...ag"“ \ . . .
(a, q € R , a ^O , q ^ O , t ig N+) .
A mértani sorozat elemeiből képzett oo a + aq + aq^ + . . . + aq^~^ + ■••= X ] n=l
végtelen számsort mértani sornak nevezzük.
[3
Az a,aq,aq^ ,...aq‘^ ~^,...
(a, g s M , 0 7 ^0, qj^O, neN"*")
mértani sor akkor és csak akkor konvergens, ha - ! < ( ? < 1; ekkor S =
^ 1 -q
VI. SZÁMSOROZATOK, SZÁMSOROK
93
A mértani sor segítségével a végtelen szakaszos tizedes törteket felírhatjuk - törtalakban. Q 3 3 3 3 0,3 = 0,3333... = ----- 1--------- 1----------- 1------------- h . .. = 10
3
1
3
10 j
100
1
“ 10
10
3
1000
10000
1 0 1
“ 10 ' 9 ~ 3
10
Harmonikus sor A harmonikus sorozat elemeiből képzett .
1 1 1 1 + —+ —+ — H------ / 2 3 n
^ 1 — ^ n n=l
végtelen számsort harmonikus sornak nevezzük.
S
A harmonikus sor divergens, összege nem létezik (báx általános tagja, ün = — tart a nuUához). n
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
V ll.l. RELÁCIÓK, LEKÉPEZÉSEK A kételemű halmazt párnak nevezzük. Ha az elemek sorrendje számít, akkor rendezett párról beszélünk. Az a és b elemekből álló rendezett pár jelölésére az (a; 6) szimbólumot használjuk, ahol a a rendezett pár első, b a második eleme. Az (a; b) rendezett pár akkor és csak akkor egyenlő a (c; d) rendezett párral, ha. a = c és b = d. Legyen A és B két (nem üres) halmaz. Az A és B halmazok Descartes-szorzatán az összes olyan (a; 6) rendezett párok hal mazát értjük, amelyre a G A, b £ B. Az A és B halmazok Descartes-szorzatát (DESCARTES, francia matematikus, filozófus, 1596-1650) A x B (olv.: a kereszt 6)-vei jelöl jük. A -t a szorzat első, B -t a második tényezőjének mondjuk. Képezzük az A = {1 ,2 } és a B = {a ,b ,c } halmazokból
A Y. B halmazt (Descartes-szorzatot)! A X B = { ( l ; a) , (1;6), (l;c), (2;<x), (2;6), (2;c)]-.
A Descartes-szorzat nem kommutatív: A x B ^ B x A. A Descartes-szorzatban szereplő halmazok lehetnek azonosak is, az A x A - t A^ (olv.: „A négyzet” )-tel jelöljük. Az (a; 6) rendezett számpárokat (a, 6 G K) a sík pontjaival szemléltethetjük: a derékszögű
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
95
(Descaxtes-féle) koordináta-rendszerben az egyes pontok koordinátái a rendezett számpárok. így pl. Z x Z = képe a sík olyan pontjainak összessége, amelynek koordinátái egész számok, ezeket rácspontoknak nevezzük. A valós számokból képzett összes rendezett számpárok MX M= halmazának képe a sík. Az A, B halmazok A x B Descartes-szorzatának bármely p ^ 0 részhalmazát az A és halmaz elemei közötti bináris (kéttényezős) relációnak nevezzük. Akkor és csak akkor van az a {a G A) elem p szerint relációbcin a.b {G B ) elenmiel, ha (a; 6) G p {C A X B ). Ezt így jelöljük: apb, nn
Legyen A = {1,2, 3} és B = {1 ,4}. Adjuk meg azt a p relációt, amelyre apb ^ p = { ( l ; l ) , ( l ; 4 ) ,
< b ( a £ A,
B)\ Ekkor
(2;4)]..
Látható, hogy p c A x B .
[d1
a p C A x B reláció értelmezési tartományának (jele: Dp) ne vezzük az A halmaz azon a elemeinek halmazát, amelyekhez tcdálható olyan b (€ B) elem, amelyre apb. Ezen reláció értékkész letén (jele: Rp) azon b {g B ) elemek halmazát értjük, amelyekhez létezik olyan a (g elem, hogy apb (7.1. ábra)
96
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
A /9 reláció homogén, ha a Descartes-szorzatban szereplő ténye zők azonosak, egyébként inhomogén. A /9 reláció inverze az a p~^ (vagy ^ sa l jelölt) reláció, amelyre p-^ C B x A és
bp~^a<^apb.
A reláxíió definíciója kettőnél több halmazra is általánosítható, ha a Descartes-szorzatot több, mint két halmazra értelmezzük. Legyen p a.z A halmazon értelmezett homogén bináris reláció, azaz p C Á x A. Ekkor a p reláció reflexív: ha Va G A esetén apa; szimmetrikus: ha V (a, &G A) esetén {apb ^ bpa); antiszimmetrikus: ha V (a, &G A) esetén {apb A bpa a = b); aszimmetrikus: ha V (a, &G esetén {apb, bpa közül az egyik biztosan nem igaz); tranzitív: ha V (a, b^cE A) esetén {apb A bpc apc). A reflexív, szimmetrikus és tranzitív relációt ekvivalenciareláci
ónak nevezzük. Milyen tulajdonságú a valós számok hcdmazán értelmezett reláció? VaGR= >a —a — reflexív; V (a, 6 G K) (a = 6 6 = a) — szimmetrikus; V (a, 6, c G K) {a = b Ab = c = ^ a = c) — tranzitív. Tehát az „ = ” reláció a valós számok halmazán ekvivalenciareláció.
A reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív relációt parciális (rész ben) rendezési (röviden rendezési) relációnak nevezzük. Legyen A é s B két (nem üres) halmaz és p G A x B. Ha a p reláció olyan, hogy minden a {^ A) reláx^ióban van (egy vagy több) b {G B ) elemmel, akkor a p relációt leképezésnek nevezzük.
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
97
A p reláció az A halmazt vagy a B halmazba, vagy B halmazra képezi le. A p a.z A halmazt a B halmazba képezi le, ha van olyan b (G 5 ) elem, amelyhez nem található olyan a {a £ A) elem, hogy apb^ egyébként a. p slz A halmazt a B halmazra képezi le. fp] A p C A x B leképezést injekt ívnek nevezzük, ha az A halmaz elemeit egyértelműen képezi le a. B halmazba (7.2. ábra). B
[D] A p C A x B leképezés szűrjektív, ha V (6 G jB)-hez létezik olyan a (G t4), amelyre aph (7.3. ábra). Ekkor p az ^ -t a B halmazra képezi le.
[d1 a p C A x B leképezés bijektív, ha szűrjektív és injektív IS (7.4. ábra). Ezt szokás kölcsönösen egyértelmű leképezésnek ne vezni. Vagyis a. p C A X B bijektív leképezés az A halmazt a B halmazra kölcsönösen egyértelmű módon képezi le.
98
m
v n . EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
Ha két halmaz között létezik bijektív leképezés, akkor a két halmazt ekvivalensnek mondjuk.
VII.2. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK A leképezés során nem követeljük meg, hogy bármely a { e A) elem nek csak egyetlen képe legyen. E szigorítással jutunk el a függvény fogalmához.
EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK 1di| Legyen A és B két (nem üres) halmaz. A p C A x B leképezést egyváltozós f&ggvénynek nevezzük, ha V (a G A) elemhez egyetlen olyan b { e B) elem létezik, amelyre apb. Az A halmazt a függvény értelmezési tartományának (ezt a továb biakban D-vel jelöljük), a B -t a függvény képhalmazának nevezzük. Azon b { e B ) elemek halmazát, amelyekhez létezik olyan a { e A) elem, amelyre ap6, a függvény értékkészletének nevezzük, és R-rel jelöljük. A függvények esetében a p leképezést az / betűvel szoktuk jelölni, és apb helyett az afb^ (a ;6) e / , ill. f{a ) jelöléseket használjuk. A ^ (talpas nyíl) jelenti a D és R halmaz elemei közti megfeleltetést; / ( a ) jelöli az értelmezési tartomány a eleméhez rendelt értéket. Az A és B halm^^k közötti leképezést egyszerű nyíllal (—>) jelöljük: A -^ B.
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
99
A függvény fogalmát a leképezés, a lek^ezést a reláció, a relációt a Descartes-szorzat (rendezett párok halmaza) segítségével definiáltuk. Ezek viszonyát szemlélteti a következő Venn-diagram (7.5. ábra).
A függvényt mint egyértelmű leképezést definiálhatjuk, vagyis az f C A x B reláció függvény, ha — y a e A 3 b e B , hogy (a ,6) e f ; — {a;b) e f A {a,c) e f ^ b = Cj ahol a e b , c e B.
|P2| Egyváltozós fuggyén3mek nevezzük az olyan rendezett pároknak a nem üres halmazát, amelyeknek az első eleme mind különböző. A függvény — mivel leképezés — lehet injektív, szürjektív és bijektív is. Tekintsük a valós számokból álló X és Y (nem üres) halmazokat. Ha az X halmaz minden x eleméhez adott / utasítás (megfelelte tés, hozzárendelés) az Y halmaz egyetlen y elemét rendeli, akkor ezt az utasítást az X , Y halmazokkal együtt egyváltozós valós (valós-valós) faggvénynek nevezzük. Az egy\"áltozós valós függvény a valós számok valamely nem üres részhalmazát egyértelműen képezi le a valós számok részhalmazába(ra). Mivel a középiskolai matematikában csak egyváltozós valós függvé nyek fordulnak elő, ezért ezeket a továbbiakban röviden függvények nek mondjuk.
100
VIL EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
Az f függvény értelmezési tartománya ( Df ) az X halmaz (azon £ X valós számok halmaza, amelyekhez az adott / utasítás szerint egyetlen y g Y valós számot rendelünk). Az f függvény értékkészlete (Ry) azon y E Y számok halmaza, amelyekhez létezik az X értelmezési tartománynak legalább egy olyan eleme, amelyre x\-^y — f { x) . Az f függvény képhalmaza az Y halmaz. Tehát R f C Y . A függvény akkor adott, ha ismert az értelmezési tartománya (D^-), a képhalmaza ( y ) és a hozzárendelési utasítása ( / ) . X
0
Az / : A —>B,
xi-^ f { x )
és a g : C-^D,
xí - ^g{ x)
függvény akkor és csak akkor egyenlő, ha A = C, B — mint Va G 74-ra / ( a ) — g{a).
vala
Legyen az / függvény értelmezési tartománya Df és A c D f (A 7^ 0), képhalmaza Y. Ekkor a g: A^Y,
x ^ g{x)
függvény az /-nek az A-ra. vonatkozó leszűkítése; ezt /|^-val jelöljük: g = / l ^.
0
A (1)
g : R+ U {0 } -► K+ U {0},
függvény az (2)
/ : M ^ M+ U {0},
függvény leszűkítése az
a;
U {0 } halmzizra (7.6. ábra).
Azt is mondhatjuk, hogy a példában adott (2) függvény az ( 1) függvénynek az R halmazra vonatkozó kiterjesztése.
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
101
Sok esetben a függvény értelmezési tartományát nem tüntetik fel. Ilyenkor a valós számok azon legbővebb részhalmazát tekintsük aimak, amelyre az utasítással adott kifejezés értelmezve van (célszerű a függvényvizsgálatot ezzel kezdeni). Gyakran a függvény képhalmazát adjuk meg az értékkészlete helyett. A képhalmazt az értelmezési tartomány és a hozzárendelési utasítás megadásával már meg tudjuk határozni, ezért néha a képhalmaz felírását is mellőzzük. Az / függvény Df értelmezési tartományának xq eleméhez rendelt R j-beli elemet az / függvény xq helyen vett helyettesítési értékének nevezzük, és /(x o )-la l (vagy yo~^sl) jelöljük. A függvény értelmezési tartományának (x) elemeit független vál tozónak (vagy argumentumnak), értékkészletének (y) elemeit (a;-től) függő változónak nevezzük. Az / függvény zérushelyének nevezzük az értelmezési tartomá nyának azon X elemét, ahol a függvényérték nulla, azaz, ahol f { x ) = 0. E pontban metszi vagy érinti a függvény grafikonja az x tengelyt.
102
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
Az egyváltozós valós függvény jelölése megegyezik az általános függvény jelölésével. Megadjuk a függvény nevét ( / ) , értelmezési tartományát (Dy), értékkészletét ( R / ), és a hozzárendelési szabályát:
X 1-^ /(x ), vagy xt-^f(x),
y = f{x),
V
x
e
D
/ ,
V x€D /,
f{x )e R f, y e R f .
A „minden” V kvantorjelet a továbbiakban nem írjuk ki; Vx G Dy helyett az a; G Dy jelölést használjuk egyazon értelemben. Sokszor y G f { x ) függvényről beszélnek. Ez nem pontos, hiszen / ( x ) az / függvény x helyen vett helyettesítési értékét (függvényérté két) jelöli.
FÜGGVÉNYEK ÁBRÁZOLÁSA Az egyváltozós valós függvényeket leggyakrabban a síkbeli Descartes-féle koordináta-rendszerben ábrázoljuk. Descartes jellemezte elő ször a sík pontjait rendezett valós számpárokkal: bevezette a pont koordinátáinak fogalmát és ezzel lefektette az analitikus geometria alapjait. A Descartes-féle koordináta-rendszer két, egymásra merőleges számegyenes, amelyeknek a nulla pontjuk közös. A tengelyek pozitív irányait nyíllal látjuk el, és i31. y betűvel jelöljük. A sík bármely P pontjához így kölcsönösen egyértelmíí módon hozzárendelhetünk egy rendezett valós {x; y) számpárt, amit a pont koordinátáinak nevezünk, és P{ x; y)-nal jelölünk. Az x koordinátát {és az x tengelyt) abszcisszának (abszcissza tengelynek), az y koordinátát (s így az y tengelyt is) ordinátának (ordinátatengelynek) nevezzük. Az ábrázolandó függvényt alkotó {x ’, y) rendezett párok mindegyi kéhez rendeljük hozzá a P{ x ; y ) koordinátájú pontot. Az így kapott ponthalmazt a függvény grafikonjának tekintjük.
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
103
Ha egy / függvényt koordináta-rendszerben ábráizolunk, akkor e ponthabnaz minden P( x] y ) elemére (de a sík pontjai közül csak ezekre) fennáll az y = f{x) Összefüggés. Ezt az egyenletet nevezzük a grafikon egyenletének. 0
A z/:R \ {3}^ ü , XIX 3 függvény grafikonja a 7.7. ábráin látható; a grafikon egyenlete y = x, x ^ 3 .
Az egyváltozós valós függvényeket polárkoordináta-rendszerben is szokták ábrázolni. A síkbeli polárkoordináta-rendszer alapelemei: a sík egy rögzített O pontja (a koordináta-rendszer p ó lu s a )és egy, az e pontból kiinduló a vektor, amit a polárkoordináta-rendszer polártengelyének — röviden tengelyének — nevezünk. A sík tetszőleges (de a pólustól különböző) P pontjának helyét meghatározhatjuk a z r = \OP\ pólustávolság (rá diuszvektor, vezérsugár) és az irányított (p = (a^ O P ) irányszög segít ségével (7.8. ábra). Általában a pozitív irányszöget (az óramutató járásával ellentétes forgásirányt) használjuk, a periódustól eltekintve; ekkor 0 < (^ < 27T. Azt, hogy a P pont pólustávolsága r, irányszöge (p, a következő képpen jelöljük: P(r*; (f).
104
VIL EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
7.8. ábra
Az (r; (p) rendezett számpárt a P pont polárkoordinátáinak nevez zük. A polárkoordináta-rendszerben a pólus távolsága zérus, irányszöge határozatlan. A sík bármely egyéb P pontja és az (r;(^),
0<(^<27t
polárkoordináták között kölcsönösen egyértelmű leképezés valósítható meg. Ha egy síkgörbe egyenletét polárkoordináta-rendszerben akarjuk megadni, akkor általában a (p-t tekintjük független.változónak, ret pedig függő változónak, azaz a görbe egyenletét (ha lehetséges) r = g[(p) alakban írjuk fel.
f ű g g v é n y m e g a d 'á s i m ó d o k
A függvényeket többféleképpen adhatjuk meg. 1) Képlettel (kifejezéssel): ez a függvény megadásának legfontosabb módja, amit analitikus megadásnak is szoktunk mondani. Ilyenkor megadjuk a függvény független változójának (x) egy kifejezését (és természetesen az értelmezési tartományát és az értékkészletét is). Az adott X ( G D j) értéket a kifejezésbe helyettesítve és elvégezve a műveleteket, megkapjuk a (y) függő változónak megfelelő értéket. A képlet lehet explicit vagy implicit alakú. Explicit megadási mód például: y = — 1, a; G M, ?/ G M. Implicit megadási mód például: = [—2; 2], / : x^ -{-y^ = 4.
VIL EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
105
Az explicit függvény általános alakja: y = f { x ) , az implicit függ vény általános alakja: f { x] y) = 0. Mindkét esetben y az x pontban vett helyettesítési értéket jelenti. 2) Utasítással'. 0
Legyen D / = M, R / = {0; 1}, és _ r 1, \ 0,
ha X racionális, ha X irracionális.
Ez a Dirichlet-féle függvény. Ez a függvény nem ábrázolható, nincs grafikonja.
3) Táblázattal: leírjuk az értelmezési tartomány szóban forgó ele meit és alája a nekik megfefelő függvényértékeket.
0 X
1 2 0 -1 3 5 1 -1
-2 -3
4) Grafikonnal: ekkor a függvény képét ismerjük. Némely esetben a függvénykapcsolat nem is adható meg másképpen (pl. mérőkészü lékhez kapcsolt regisztrálóra vitt jelek rögzítése esetén). Nem minden síkbeli görbe vehető a függvény grafikus megadásának, csak azokat tekintjük valamely függvény grafikonjainak, amelyek a két változó között egyértelmű leképezést valósítanak meg. Grafikonnal adott függvényt láthatunk a 7.9. ábrán, amely 1 nap hőmérséklet-változását szemlélteti.
106
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
5) Paraméteresen: paraméteres megadás esetén mindkét változót egy harmadik — paraméternek vagy segédváltozónak nevezett — változó függvényeként adjuk meg. X = ^{t) '1 y egyenletrendszert az / függvény paraméteres alakjának nevezzük. Ebben (p{t) és 'ip^t) a t paraméter egyváltozós függvényei. FÜGGVÉNYTRANSZFOMÁCIÓK Eltolás 1) A függvény y = f { x ) egyenletű grafikonjából 8iZ y — f { x ) + c egyenletű grafikont az y tengely mentén, c egységgel való eltolással
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
107
2) Az ^ = f { x ) egyenletű grafikonból az y = f { x + b) grafikonja származtatható az x tengely mentén b egységgel való eltolással, mégpedig pozitív irányba kell eltolni, ha b negatív, és negatív irányba, ha b pozitív (7.11. ábra). y y=(x^bf (b>0)
\ \
/ /
b
1 ^ 1
\ \
y=x* /
yLJ I I 1 b
*
7.11 . ábra
Nyújtás (zsugorítás) 1) A z y = f { x ) egyenletű grafikonból a.zy = a f { x ) {a > 0) grafikon ját az y tengely irányában a-szoros nyújtással (a > 1), ill. zsugorítással (0 < a < 1) állíthatjuk elő (7.12. ábra).
108
Vn. EGWÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
2) Az y — f { ax ) {a G M+) egyenletű grafikon a.z y = f { x ) grafikon nak az X tengely menti 1/a-szoros nyújtásával (0 < a < 1), ill. a > 1 esetén, zsugorítással származtatható (7.13. ábra). Tükrözés Az y = —f ( x ) grafikon diZ y = f { x ) egyenletű grafikonnak az x tengelyre vonatkozó tükörképe (7.14. ábra).
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
109
Előfordulhat, hogy az adott függvényt több transzformáció egjnmás utáni alkalmazásával tudjuk ábrázolni. \B
Ábrázoljuk az y = + 8a; — 7 (a; G M) egyenletű parabolát! A parabola egyenletét y = a(x — u )^ + v alzűíúra kell hozni, abból leolvasha tók az egyes transzformációk. y = -2 {x '^ -4 x )-7 , l= -2
(^-2)2-4
-7,
j/ = - 2 ( x - 2 ) 2 + 8 - 7 , y = - 2 { x - 2 f + 1. A transzformációs lépések: y = x^=^y = ( x - 2 ) ^ = ^ y = 2 ( x - 2)^ y = - 2 { x - 2 f = > y = - 2 { x - 2)^ + 1. A függvény grafikonja a 7.15. ábrán látható.
110
vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
VII.3. MŰVELETEK FÜGGVÉNYEKKEL [£] Ha c G M és / valós-valós függvény, akkor a c/ : Dj
M,
X
cf{x)
függ\"ényt az / függvény c-szeresének (c számszorosának) mondjuky és c/-fel jelöljük. H ] Legyen f és g két olyan valós függvény, amelyekre D D Az f és g függvények összegének az
^ 0.
szorzatának pedig az JgiDfCiDg^R,
x ^ f { x) g { x)
függv^ényt nevezzük. Több függvény összegét és szorzatát is hasonlóképpen értelmezzük. [d1 A z f és g függvény hányadosának az í:((D ;n D ,)\ /l)^ R , függvényt nevezzük, ahol az A halmaz jelöli a nevező, a g{x) függvény zérushelyeinek a halmazát. [£] Az f o g~vel jelölt összetett függvényen értjük azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya a g értelmezési tartományának az a része, ahol a g olyan értékeket vesz fel, melyeken / értelmezve van, és a hozzárendelési utasítása a következő: x f^g helyen az összetett függvény értéke az / függvénynek a. g{x) helyen felvett értéke (7.16. ábra). Itt a ^ a helső, f a külső függvény. 0
Ha az / kölcsönösen egyértelmű (bijektív) leképezés, akkor / inverz függvényének (jele: / “ ^, / * vagy / ) nevezzük azt a
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
111
7.16. ábra
függvényt, amelynek,értelmezési tartománya az / függvény K f értékkészlete, az értékkészlete az / függvény Dy értelmezési tar tománya, és a hozzárendelési törvénye a következő: f { x ) G Kf-hez az az X értékét rendeli (7.17. ábra), vagyis f~^ : R f f ( x ) i-> x.
Látható, hogy /-l(/(x ))= x . (Érvényes az f ( ^ f ~ ^ { x ) ) = x egyenlőség is, vagyis f~^ inverze az eredeti / . ) Amennyiben az / függvény által létesített leképezés nem köl csönösen egyértelmű, de az értelmezési tartományának van olyan
112
VIL EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
részhalmaza, ahol e feltétel teljesül, akkor az / függvény ilyen rész halmazon értelmezett leszűkítésének — a definíció alapján — létezik inverze. Ebben az esetben az inverz függvény értékkészlete az / függvény értelmezési tartományának ezen leszűkített részhalmaza. Az inverz függvény grafikonja megegyezik az eredeti függvény képének az y = x tengelyre vonatkozó tükörképével (feltételezve, hogy az X és y tengelyen az egységek egyenlőek), mert a definíció szerint úgy juthatunk az inverz görbéjének egyenletéhez, hogy a változókat „felcseréljük” .
VII.4. FUGGVENYTULAJDONSAGOK [ d1 Egy / függvényt, amelynek értelmezési tartománya szimmetrikus az origóra, páros függvénynek nevezzük, ha x
G D j esetén / ( x ) = / ( —x),
és páratlan függvénynek, ha x
G D j esetén / ( —x) = —/ ( x ) .
A definícióból következik, hogy páros függvény grafikonja az y ten gelyre (T.18. ábra), a páratlané az origóra szimmetrikus (7.19. ábra). Ha az / függvény páros vagy páratlan, akkor elég az / függvénynek egy leszűkítését, pl. az értelmezési tartomány nemnegatív elemeihez tartozót diszkutálni, hiszen a negatív elemekre ebből már következik a függvény menete. A legtöbb függvény sem nem páros, sem nem páratlan. Két páros vagy két páratlan függvény szorzata és hányadosa páros, viszont páros és páratlan függvény szorzata is, hányadosa is páratlan. Az / pG
ínem konstans) függvény periodikus, ha létezik olyan szám, hogy Vx € D j esetén x - h G D j, és f { x + p ) = f{x).
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
113
Ha van az / függvénynek legkisebb ilyen p száma, akkor ezt a p-t a függvény periódusának nevezzük, és azt mondjuk, hogy a függvény e szám szerint periodikus.
114
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
Az / ; E —i- {c},
X H-í-c
konstansfiiggvény esetében bármely p > 0 számra x + p € D y, és f { x + p) = f { x ) ^ c , de legkisebb p szám nem létezik, így e függvény nem periodikus. Periodikus függvény (27T szerint) pl. az x^-^sinx függvény. A periodikus függvényeket elegendő egy perióduson belül vizsgálni, hiszen az itt megállapított tulajdonságok a függvény periódusa szerint ismétlődnek. Az / függvényt felülről korlátosnak, alulról korlátosnak, ill. korlátosnak mondjuk, ha az értékkészlete felülről korlátos, alulról korlátos, ill. korlátos számhalmaz. Felülről korlátos függvény pl. az ( 1)
/ : R ^ E “ ^ U { 0},
függvény, mivel bármely x € M-re: — Alulról korlátos függvény pl. az (2)
< 0.
x^2^,
mivel bármely x € M esetén: 0 < 2^. Korlátos függvény pl. az (3)
1;1],
xy-^cosxj
mivel minden x G M-re —1 < cos a; < 1. A legkisebb felső korlátot a függvényértékek felső határának {szuprémumánakj jele: s u p / (x )) , a legnagyobb alsó korlátot a függvényér tékek alsó határának [infimumának, jele: inf/(or)) nevezzük. Az (1) függvény felső határa: sup f { x ) = 0. A (2) függvény alsó határa szintén nulla, azaz i n f / ( x ) = 0.
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
115
Bebizonyítható, hogy felülről korlátos függvénynek van felső ha tára, alulról korlátos függvénynek alsó határa, korlátos függvénynek van alsó és felső határa. Az / függvényt (tágabb értelemben) monoton növekedőnek, ill. monoton csökkenőnek nevezzük az értelmezési tartomány valamely H részhalmazán, ha a i í halmaz bármely két olyan pontjára, amelyekre XI < X 2 => f { x i ) < f { x 2 ), m. Xi<X2=^ f { x i ) > f { x 2 ) . Szigorúan növekedő, ill. csökkenő az / függvény, ha x i , x 2 G H-ra. X i < X 2 ^
f{X i) < f{X 2),
Ul. XI < X 2 = > f { x i ) > f{X2). Az ilyen függvényeket közös néven monoton függvényeknek nevezzük. Az / függvény monotonitását nemcsak intervallumon, hanem egy adott pontban is értelmezhetjük. Legyen e tetszőlegesen adott pozitív szám. Egy a valós szám e
sugarú környezetének nevezzük az ] a- e ; a - \- e [ nyitott intervallumot. Az / függvényt az xq (GDy) pontban monoton növekedőnek mondjuk (vagy az xq helyen monoton növekedve halad át), ha van az xq helynek olyan e sugarú környezete, amelyben f { x ) értelmezve van, és f { x ) < f { xo) ,
ha x o ~ e < x < x o
'Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
116
es f{x)
> /(xo),
ha x o < x
<XQ
+ e.
Ahhoz, hogy az / függvény az xq i>ontban monoton növekedő legyen, nem szükséges monoton növekedőnek lennie az ]xo —e; xq] vagy az [xo; xq + e[ intervallumban (7.20. ábra).
A fogalom csupán azt jelenti, hogy az xq hely előtti függvényér tékek nem nagyobbak az x q helyen felvett függvényértéknél és az xq hely utálni függvényértékek nem kisebbek az /(a;o)-nál. Hasonló az Xq pontbeli csökkenés értelmezése is, csak a fenti definícióban a relációjeleket fel kell cserélnünk. Az / függvénynek az xq
D /) helyen vett abszolút (vagy totális)
TnayÍTTiiiTna (mmimunia) van, ha Vx G Dj- esetén f { x ) < / (xq), iU. Vx e B f
esetén / ( x ) >
/ ( x q ),
Az /(x o ) értéket a függvény maximumának (minimumának) nevezzük.
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
117
A függvényértékek maximumát, ill. minimumát közös néven a függvény szélsőértékeinek mondjuk. Ennek megfelelően, a maximumés a minimumhelyeket együtt szélsőértékhelyeknek nevezzük. A / függvénynek az xq ( ^ D / ) pontban helyi (vagy lokális) szigorú maximuma (minimuma) van, ha létezik xo-nak olyan e sugarú környezete, hogy az ebbe eső \/ x £ Df pontokra f { x ) < f { xo) , m. f i x ) > f ( xo) . Tágabb értelemben beszélünk a függvény szélsőértékéről, ha a függvény nemcsak egy pontban veszi fel szélsőértékét. A 7.21. ábrán látható függvénynek s lz x = a helyen lokális ma ximuma, 3.Z x = b helyen lokális minimuma, és az x = c pontban pedig abszolút maximuma van.
[d1 Az / függvény az [a, 6] C Dintervallmnon (alulról nézve) konvex {domború, 7.22. ábra), ha minden a < x \ < X 2 < b esetén / ( X l )
(1)
/
+
/ ( X 2 )
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
118
s (alulról nézve) konkáv {homorú, 7.23. ábra), ha (2)
Szigorú értelemben konvex (konkáv), ha (1) és (2)-ben az egyenlő ség nem megengedett.
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
119
A fenti definíció szemléletes jelentése a következő: egy görbe kon vex (konkáv), ha bármely ívének minden pontja az ív végpontjait összekötő húr alatt (felett) vagy magán a húron van. A görbültséget az érintő segítségével is értelmezhetjük. [d1 Legyen / egyváltozós függvény. Ha az y = f ( x ) egyenletű gör bének az xq abszcisszájú pontjában van érintője, és a görbe az xq valamely környezetében az érintő felett (alatt) halad, akkor azt mondjuk, högy az / függvény xq helyen konvex (konkáv) (7.24. ábra).
Az / függvénynek x q (G Dy) pontban inflexiós pontja van, ha x q ban a függvény görbültsége (konvexből konkávba vagy fordítva) változik. Az / függvény XQ-beli inflexiós pontját úgy szoktuk szemléltetni, hogy a függvény [ x q ; / { x q ) ) pontjában meghúzzuk a görbe érintőjét, s az két különböző görbültségu részre vágja szét a függvény grafikonját (7.25. ábra). Ezt az érintőt inflexiós érintőnek nevezzük.
120
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
VII.5. FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE
FOLYTONOSSÁG A függvény folytonossága szemléletesen azt jelenti, hogy függvény grafikonját meg tudjuk úgy rajzolni, hogy a „ceruzát nem kell fel emelni” , azaz a vonalat folytonosan húzzuk. A folytonosság pontos értelmezését többféleképpen is meg lehet adni. Egymástól függetlenül definiálta a folytonosságot CAUCHY (1789-1857) francia és HEINE (1821-1881) német matematikus.
IdTI {Heinei) Az / függvény folytonos az xq (^ D /) pontbanj ha az xq környezetében értelmezve van, és minden olyan { x n} {xn ^ Dy)
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
121
változósorozatra, amely tart aro-hoz, a függvényértékek { f { x n ) } sorozata tart /(xo)-lioz, azaz bármely {X n }-^ X o
(XneBf)
esetén
|P2| (Cauchy:) Az / függvény folytonos az xq (gD^-) pontban, ha bármely e (> 0) számhoz megadható olyan ö (a;o-tól és az e-tól függő) pozitív szám, hogy ha
akkor f { x o ) - e < f ( x ) < f { x o ) + e, vagyis
|/(x) - f(xo)\ < e.
Ezt a definíciót szemlélteti a 7.26. ábra.
Bizonyítható, hogy a Heine-féle és a Cauchy-féle definíciók ekviva lensek.
122
v n . EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
Azt, hogy az / függvény az xq pontban folytonos, szoktuk még így is jelölni:
lim /(i) = /(xo). Az / függvény XQ-beli folytonossága az xq helyen és az XQ-hoz ^özel eső” X pontokhoz tartozó függvényértékekről ad információt. Az / függvény az x q p o n tb a n folytonos, ha itt értelmezve van, lé tezik a határértéke, a Hm f { x ) = A , és a.z a^o-beli függvényérték X—^XQ megegyezik a függvény x q helyen vett határértékével, vagyis lim f { x ) = f ( xo) .
x—*^ xq
Ha az / függvény az értelmezési tartományának valamely x q pontjában nem folytonos, akkor azt mondjuk, hogy ott szakadása van. |D1| {Heine:) Az / függvényt az xq (g D f) pontban balról folytonos nak nevezzük, ha / az xq bal oldali környezetében értelmezett, és bármely { X n }
X n < Xq)
X O
esetén {f{Xn)}-^f{xo)|D2| (Cauchy:) Az / függvényt az x q (g D f) pontban balról folytonos nak nevezzük, ha bármely £ (> 0) számhoz létezik olyan (xQ-tól és £-tól függő) pozitív 6 szám, hogy h a x < x q és XQ — X < 6
akkor \ fix )-f(x o )\ < e .
A féloldali folytonosságra adott definíciók is ekvivalensek. Hason lóan adható meg a jobb oldali fol3rtonosság értelmezése is.
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
123
A függvény pontbeli folytonosságát intervallumokra is kiterjeszt hetjük. föTl Az / függvény folytonos az ]a; 6[C Df nyüt intervallumon^ ha az intervallum minden pontjában folytonos. ÍD2| Az / függvény folytonos az [a;b] C D f zárt intervallumon^ ha az intervallum minden belső pontjában folytonos, az a pontban jobbról és a &pontban balról folytonos. Egy függvényt folytonosnak mondunk, ha az értelmezési tartomá nyának minden pontjában folytonos. m
Ha az / és ^ függvények az xq G Dy flD^ pontban folytonosak, akkor az f + g,
f g és ^
(hsig{xo)^0)
függvények is folytonosak az xq pontban. Ha c tetszőleges valós szám, akkor a c f is folytonos az a:o pontban (hiszen nyilván az X c függvény folytonos). A fentiekből következik, hogy minden polinomfüggvény és racio nális törtfüggvény folytonos.
HATÁRÉRTÉK Gyakran előfordul, hogy a vizsgált / függvény valamely xq pontban nincs értelmezve, de szeretnénk az xq ponthoz közel eső függvényér tékekről információt szerezni. A függvény határértékére^ — folytonos sághoz hasonlóan — két definíciót adunk. föTl (Heine:) Legyen az / függvény az xo pont valamely környezeté ben — az xo pontban nem feltétlenül — értelmezett. Ekkor az / függvénynek az xq helyen határértéke az A szám, ha minden Xo-hoz konvergáló {x ^ } (xn G Xn ^ x q ) változósorozat esetén
124
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
a megfefelő { f { x n ) } függvényértékek sorozata tart A-hoz^ azaz bármely {Xn}- ^XQ { X n e D f , Xn^Xo ) , esetén {f{Xn)}^A. Jelölése: lim f ( x ) = A x-^xo (olv.: „limesz f { x ) egyenlő A-val, ha x tart xo-hoz” ). (Mivel {Xfi} egy tetszőleges XQ-hoz konvergáló számsorozat, ezért a határérték jelölésében Xn helyett x szerepel.) |D2| (Cauchy:) Legyen az / függvény az xq pont valamely környeze tében értelmezve, kivéve esetleg az xq pontot. Az / függvénynek az xo-beli határértéke az A szám, ha bármely £ (> 0) számhoz létezik olyan pozitív 6 szám (függvénye az e-nak és az XQ-nak), hogy ha \ x - x o \ < 6 ( x ^ xq), akkor \f{x)-A\<s. Bizonyítható, hogy a Heine-féle és a Cauchy-féle határérték-definí ciók ekvivalensek. Azzal, hogy az { x n } sorozat elemei között x q nem szerepelhet, azt biztosítjuk, hogy a függvény xq pontbeli határértékében a függvény nek olyan tulajdonsága fejeződik ki, amely független attól, hogy a függvény XQ-ban értelmezett-e vagy sem, és ha értelmezett, akkor mi a felvett értéke. A határértéket az xq környezetében felvett függvényértékek hatá rozzák meg. Ahol az f függvény folytonos, ott van véges határértéke, és ez éppen megegyezik a helyettesítési értékével Az állítás nem megfordítható. Ha ugyanis /-nek létezik határértéke az xo-ban, ebből nem következik, hogy a függvény folytonos, hisz itt esetleg nincs is értelmezve; de ha értelmezve van is, a határérték és a ' helyettesítési érték nem feltétlenül egyezik meg.
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
125
A 7.27. ábrán látható függvénynek xq helyen van függvényértéke, de nincs határértéke; a 7.28. ábrán rajzolt függvénynek az xq helyen van függvényértéke (/(x q )), van határértéke (A), de a kettő nem egyezik meg.
Ha az / függvény az xq helyen nem folytonos, de az xq pontban — kiterjesztéssel — folytonossá tehető (ekkor megszüntethető a sza kadása), akkor ez azt jelenti, hogy az xq helyen létezik határértéke (7.29. ábra), azaz, ha a ha X ^ xo ha. x = xq
VIL EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
126
függvény XQ-ban folytonos, akkor az / függvénynek az xq helyen létezik véges határértéke. Ennek pontos megfogalmazását a következő definícióban adjuk meg. m
Az / függvénynek véges határértéke van az xq helyen, ha értel mezve van az xq valamely környezetében, kivéve esetleg az xq helyet; az / függvény a \ {x q } halmazra való h leszűkítésének a. D f U { x o } halmazra történő g kiterjesztése az Xq helyen már folytonos, és ekkor az / függvény xq helyen vett határértéke éppen g{xo).
[díI {Heine:) Legyen az / függvény az xq pont valamely bal oldali környezetében értelmezve, kivéve esetleg az xq pontot. Ekkor az / függvénynek az xq helyen bal oldali határértéke az A szám, ha bármely { a ;„ }
xo
(x „ € D /,
X n < a;o)
esetén {/(x „ )}-A
|D2| (Cauchy:) Legyen az / függvény az x q pont valamely bal oldali környezetében értelmezve, kivéve esetleg az xq pontot. Az / függvénynek az xo-beli bal oldali határértéke az A szám, ha
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
127
bármely e (> 0)-hoz megadható olyan pozitív 6 {6 az e és 8l xq függvénye), hogy hsL x < xq és xq
—x < 6,
akkor |/(x) - ^ 1 < e. Hasonlóan értelmezzük a jobb oldali határértéket is. A féloldali határérték jelölése: lim
f { x ) —A
(bal oldali),
lim
f{x) = A
(jobboldali).
X — ►xo —0
X —► xo+O
A függvény határértékének értelmezése visszavezethető a sorozat határértékére. Ebből következik, hogy a függvény határértékével kap csolatban érvényesek a következő állítások. [T| Ha az / függvényre teljesül, hogy / ( x ) > 0 és hm f { x ) létezik, x —*xo
akkor hm > 0. X — ►xo
m
Ha az f és g olyan függvény, amelyekre lim f ( x ) = A
és
X — ►xo
lim f ( x ) = B, X — ►xo
akkor c / , / +
fg^ — ( g ^ O ) függvényeknek is létezik határér9 tékük az xq pontban és lim c f ( x ) = cA
x -*xo
(ceW);
[ f { x) ± g { x ) ] = A ± B ; lim f { x ) g { x ) = A B : X-^XQ Um ® = ^ g{x) B
x -* x o
(B^O).
128
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
|D1| {Heine'?) Legyen az / olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya felülről nem korlátos. Az / függvénynek a (-hoo)-ben a határértéke A, ha bármely (xn ^ Dy)
oo
{xn}
esetén {f{X n )}^ A .
|D2| (Cauchy:) Legyen az / függvény D f értelmezési tartománya fe lülről nem korlátos. Az / függvénynek a (+oo)-ben a határértéke az A szám, ha bármely e (g M"^)-hoz megadható olyan K (e-tól függő) szám, hogy ha x>K
(xeDf),
akkor fix)-A
< £.
A két definíció ekvivalens. A végtelenben vett határérték jelölése: lim f { x ) = A.
x-^oo
A ( —oo)-ben hasonlóan értelmezzük a függvény határértékét. m
Ha f és g két olyan függvény, amelyekre lim f ( x ) = A és
x-^oo
lim g(x) = B, X —> 0 0
akkor cf (c g R ),
f + g, f g,
^
y
Í9 ^ 0 )
függvényeknek is létezik határértékük a (+oo)-ben és
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK lim c f(x ) — cA
129
(c G R );
3/—^2/00 lim [fix ) ± gr(a;)] = A ± B ; ■*
X—^Xqo
lim f(x )g {x ) = ÁB-,
X—*Xoo
Um 4 4 = 4 B
x-*xoo g{x)
( ^ ^ 0).
A függvény határértéke a (4-oo)-ben lehet -hoo (vagy —oo), ha bármely { x n } oo {xn ^ D /) esetén { f { x n ) } oo (vagy —oo). 0
Tekintsük az Xi~* x^ {x £R) függvényt. Ha {xn} —»■oo, akkor {x^} — oo.
A függvénynek az (±oo)-ben nem mindig létezik határértéke. 0
Az X
sin a; {x 6 R) függvénynek a (H-oo)-ben nincs hatáurértéke, mert ha {xn} =
H-2n7rj>, akkor { x n } o o , ha n —>oo
és {sin i„} = jsin
+ 2íMr) } = { 1 }
1;
ha {xn} = { 2n7r}, akkor is {xn} —►oo, ha n —►oo, viszont {sinxn} = |sin(2n7r)| = {0} —►0.
VII.6. ELEMI FÜGGVÉNYEK Az egyváltozós valós elemi függvények a konstans függvények, hatványfüggvények, trigonometrikus függvények, exponenciális függvények, logaritmus függvények vagy ezek leszűkítésével, valamint a felsorolt függvényekből véges számú összeadással (kivonással), szorzással, osztással, összetettfuggvény- és inverzfuggvényképzéssel előállítható függvények.
130
\d \
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
Algebrai függvény: ha a függvénykapcsolatot kifejező formula konstansokból és x x {x f ) függvényből véges számú össze adás (kivonás), szorzás, osztás, egész kitevőjű hatványozás vagy gyökvonás útján jön létre.
A nem algebrai függvényeket transzcendens függvényeknek nevez zük. Az algebrai függvény racionális, ha képletében gyökvonás nem fordul elő, egyébként irracionális. Ha a racionális függvény képzésében legfeljebb a szánmial való osz tás szerepel (vagyis a nevezőben nem lép fel változó), akkor racionális egész függvénynek — vagy polinomfüggvénynek — nevezzük; ha a nevezőben van változó, akkor racionális törtfüggvényről beszélünk.
HATVÁNYFÜGGVÉNYEK [d1 A z
/: X
OnX^ -h a n - i x ^ ~ ^ + . - - + aiXQ -h ao
( O n / 0) függvénjrt, ahol az együtthatók adott valós számok, X változó, egyváltozós (valós együtthatós) n-edfokú racionális egész f&ggvénynek {polinomfüggvénynek) nevezzük. Ennek speciális eseteit vizsgáljuk részletesebben.
fp] Az / : M —>c,
X
c,
(c € M)
függvényt konstans f&ggvénjmek (nulladfokú polinomfüggvénynek) nevezzük (7.30. ábra)
föl Az / ; R —» R,
x i - K i x + b,
(0,6 6 M, o / 0)
V n. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
131
alakú függvény elsőfokú f&ggvény. (A konstans és az elsőfokú föggvényt közös néven lineáris függvénynek nevezzük). A lineáris függvény grafikonja egyenes (7.31. ábra). Az egyenes meredeksége: a = tg a; az y tengellyel való metszéspontjának koordi nátái: (0;b).
Ha 6 = 0, akkor / egyenes arányosság; garfikonja az origón átmenő, a meredekségű egyenes.
v n . EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
132
Az / : M
R, X
aa; + & (a ^ 0) elsőfokú függvény zérushelye: b x = — . a
ax-^ b = 0, Ha 6 = 0, akkor / páratlan függvény:
f { - x ) = a{-x) = - a x = - f { x )
(Vx G D^).
Ha 6 ^ 0 , akkor az elsőfokú függvény sem nem páros, sem nem páratlan. Ha a > 0, akkor az egész értelmezési tartományán szigorúan növe kedő, a < 0 esetén pedig szigorúan csökkenő. Az elsőfokú függvény az értelmezési tartományának minden pont jában folytonos, tehát folytonos függvény, értékkészlete a valós szá mok halmaza. Mivel a függvény szigorúan monoton és folytonos, ezért minden valós számot egyszer és csak egyszer vesz fel, így sem alulról, sem felülről nem korlátos. Az / függvény kölcsönösen egyértelmű (bijektív) leképezés, létezik inverze. Inverz függvénye:
a
a
[d1 Másodfokú racionális egész függvénynek (vagy másodfokú polinomf&ggvénynek) az / :M
M,
x ^ ax^ -{-bx-hc (a ,6,c G M, a ^ 0)
függvényt nevezzük. Grafikonja olyan parabola, amelynek tengelye párhuzamos az y tengellyel (7.32. ábra). A másodfokú függvény ábrázolásához az y = ax^ -\-bx + c egyen letet célszerű y = a{x —u)^ + v alakra hozni. Ebből leolvashatók a parabola C csúcspontjának koordinátái: {u'^v).
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
133
Ha a > 0, akkor a parabola az y tengely pozitív, míg a < 0 esetben az y tengely negatív irányába nyíló. Zérushelyei az ax^ + 6a; 4- c = 0 egyenletből ^1,2 =
4ac
A zérushelyek száma 2, 1, 0, attól függően, hogy az egyenlet diszkri minánsa, a —4ac szám pozitív, nulla, ill. negatív. Ha 6 = 0, akkor / páros (az a előjelétől függetlenül): f { - x ) = a(~x)^ + c = ax^ -f c = f { x )
(Vx G D /).
Ha 6 ^ 0 , akkor / sem nem páros, sem nem páratlan. Ha a > 0, akkor szigorúan csökkenő 8lz x < u intervallumban, az x > u részen szigorúan növekedő. Ha a < 0, akkor a függvény monotonitása az előzőnek éppen fordí tottja. Ha a > 0, akkor /-n ek az x = u pontban abszolút minimuma van; e minimum értéke j/min = Ha a < 0, akkor az x = u helyen abszolút maximuma van; e maxi mum értéke l/max = V.
134
v n . EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
Értékkészlete az y = a{x —u)^ + v egyenletből állapítható meg: ha a > 0, akkor Ry = { f ( x ) G M| / ( x ) > v } — tehát alulró ha a < 0, akkor Ry = { f { x ) G M |f { x ) < v } — fe Az / függvény nem kölcsönösen egyértelmű leképezés, így az egész értelmezési tartományán nem invertálható. A függvény folytonos. Ha a > 0, akkor f konvex, ha a < 0, akkor konkáv. Az X 1-^ ax^ + + c (a; G M) függvény grafikonja az f { x ) = {x G M) grafikonjából származtatható, elemi függvénytranszformációk segítségével. [d1 a racionális törtf&ggvények két polinomfüggvény hányadosaként állnak elő (ha a nevező legalább elsőfokú függvény). Általános alakjuk: f:{{R \ A ))-.m ,
x^R {x),
ahol ^ OnX” +
+ ... + aiX + ÜQ ^
bmX” ^ + b m - l X ^ - ^ + . . . + h x + bo __ Pn{x)
Q m {xY n, m G N, m > 1, ^ 0, és A jelöli a Qm{ x) zérushelyeinek halmazát. Néhány racionális törtfüggvénnyel részletesebben is foglalkozunk. [d 1 A z
/:(E \ {0 })^ E ,
x^^
( c
€
R
\
{ 0
»
függvényt a fordított arányosság függvényének nevezzük. A függvény grafikonja olyan hiperbola (7.33. ábra), amelynek az aszimptotái a koordinátatengelyek. Zérushelye nincs; páratlan függvény: f(-x ) = - ^ = - ^ = -f{x ) X
X
(V x g D /).
VIL EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
135
Ha c > 0, akkor az egész értelmezési tartományán szigorúan fogyó; ha c < 0, akkor szigorúan növekvő, így szélsőértéke nincs. Íd | A z
ax-{-b cx + d (a, 6, c, d állandó tetszőleges valós számok, de c ^ 0; a és 6 egy szerre nem nulla) függvényt lineáris törtf&ggvénjmek nevezzük. A lineáris törtfüggvény grafikonja hiperbola, amely — függvénytranszformáció segítségével — származtatható az
X
grafikonjából. Ábrázoljuk az
/ : ( r \ {-3 })^ R , fuggvénjrt!
^ +^
függvény
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
136
Az / függvényt alakítsuk át: 2x + 5
=
(2x + 6 ) - l
=
„
-1
-------
A szükséges transzformáíciós lépések tehát a következők:
1) a;
i;
2) X
------- (eltolás az x tengely mentén, negatív irányba 3 egységgel); X+ 3
3) X
---------- (tükrözés az x tengelyre); X + 3
X
4)
X I— ----------h 2 (eltolás az y tengely pozitív irányába 2 egységgel). X + 3 Az / függvény grafikonja a 7.34. ábrán látható.
[ d1 A z
/ : (E + U {0 })
E + U {0 },
xy-^y/x
függvényt négyzetgyökfuggvénynek nevezzük. A négyzetgyökfüggvény az / : (E + U {0 })
M+ U {0 },
xy-^x^
függvény inverze, így grafikonja félparabola (7.35. ábra).
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
137
Zérushelye y/x = 0,
X = 0,
és
sem nem páros, sem nem páratlan függvény. Az egész értelmezési tartományán szigorúan növekvő, konkáv, az a; = 0 helyen abszolút minimuma van; minimuma is 0. A függvény folytonos, határértéke a végtelenben végtelen: lim \/x — oo.
x —^oo
Értékkészlete a nemnegatív számok halmaza (s miVel a függvény folytonos és szigorúan növekvő az egész értelmezési tartományán, minden nemnegatív értéket pontosan egyszer vesz fel). A függvény csak alulról korlátos. Az / függvény kölcsönösen egyértelmű leképezés (bijektív), így létezik inverze; inverz függvénye: / - I : (M+ U {0 }) ^ (K + U { 0 } ) , 0
Az / : K ^ R,
a;
^
függvényt köbgyökf&ggvénynek nevezzük.
x^x^.
138
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
A köbgyökfíiggvény ábrázolását az inverz függvénye ( / ^ xi-^ x^ ) segítségével végezhetjük el (7.36. ábra).
M,
A köbgyökfíiggvény zérushelye: ^
= 0,
X = 0.
Páratlan fíiggvény: /(-x )= ^ ^ = - ^
= -/(x )
(V ie D /),
az egész értelmezési tartományán szigorúan monoton növekvő és folytonos. Szélsőértéke nincs, határértéke a (±oo)-ben (± oo): lim x -* o o
^
— “ CX).
x -^ — oo
Értékkészlete az R halms^ (s mivel foljrtonos és végig szigorúan növekvő, minden valós számot pontosan egyszer vesz fel). így sem ahijrpl, sem felülről nem korlátos.
VIL EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
139
Az / függvény kölcsönösen egyértelmű (bijektív) leképezés, tehát invert álható, inverze az Ha X < 0 ^ akkor konvex, ha x > 0, akkor konkáv. Inflexiós pontja van 3.Z x = 0 helyen, az y tengely a függvénygörbe ún. inflexiós érintője.
TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK
Az / : R —» [—1; 1],
xi-^sina;
függvényt szinuszf&ggvénynek nevezzük. Az X
sin X függvény grafikonja a 7.37. ábrán látható.
A szinuszfüggvény zérushelyei: sinx = 0,
x =
kn
(keli).
Páratlan függvény: / ( - x ) = s in (-x ) = —sinx = —/ ( x ) A függvény periodikus, periódusa 27T, azaz sin (x -f 27t) = sinX (VxGDy^).
(Vx G Dy).
VIL EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
140
Monotonitása tt szerint változik: 7T TT ha —~ + 2fc7T < a; < “ + 2k7r (A: G Z ), akkor szigorúan növekvő, A 2i ha ^ + 2A;7r < a; <
+ 2A;7T, akkor szigorúan csökkenő. Az x = ^ 2i -\-2k'K {k G Z ) helyeken (tágabb értelemben) abszolút minimuma van, TT a minimum értéke —1; az x = ~ + 2k'K helyeken (tágabb értelemben) A abszolút maximuma van, maximuma 1. A szinuszfüggvény folytonos.
Értékkészlete a [—1; 1] zárt intervallum (és folytonossága miatt az ebbe eső minden értéket fel is vesz). Alulról is, felülről is korlátos. Az / függvény nem kölcsönösen egyértelmű leképezés, így az egész értelmezési tartományán nem invertálható. Ha 2Ar7T< X < 7T+ 2A;7r (A: G Z ), akkor konkáv, ha 'K-\-2k7c< < X < 27T + 2Ar7T, akkor konvex. Az x = fcTr (A; G Z ) helyeken inflexiós pontja van. lo\ Az /:
x i-^ cosx
függvényt koszmuszf&ggvénynek nevezzük. A koszinuszfüggvény grafikonját a 7.38. ábrán rajzoltuk meg.
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
141
A koszinuszfüggvényt előállíthatjuk az xv-^ sin a: függvény lineáris transzformációjával, mivel cos a: = sin
^
(tehát a sin a;
grafikonját az x tengely negatív irányába kell eltolni ^ egységgel). J!á A koszinuszfüggvény zérushelyei: cosa; = 0,
x = --\-k'K 2i
(fc G Z ).
Páros függvény: f { - x ) — cos{—x) = cosx = f { x )
(Vx E Bf ) .
A függvény periodikus, periódusa 27T, azaz Vx G M-re cos(x + 27t) = = cosx. Monotonitása tt szerint változik: ha 2k'K < a; < 7T+ 2k'K akkor szigorúan csökkenő; ha TT+ 2k7T < x < 27T-\- 2k'ir^ akkor szigorúan növekvő. Az x = 2k7T {k G Z ) helyeken (tágabb értelemben) abszolút maxi muma van, maximuma 1; az x = 7r-\-2k7r helyeken (tágabb értelem ben) abszolút minimuma van, minimuma —1. A koszinuszfüggvény folytonos. Értékkészlete a [—1; 1] zárt intervallum (s mivel a függvény folyto nos, minden [—1; 1] intervallumba eső értéket fel is vesz). Az / függvény nem kölcsönösen egyértelmű leképezés, így az egész értelmezési tartományán nem invertálható. Ha —^ -h 2k7T < X < ^ -h 2k7T {k G Z ) , akkor konvex, ha ^ + 3 -i-2k7r < x < — + 2kir, akkor konkáv, az x = — + fcTr (fc G Z ) helyeken Z 2i inflexiós pontja van. Az / : ^E\
4- fcTT, fc G
E,
X
tgx
függvényt tangensfuggvénynek nevezzük. A tangensfüggvény grafikonját a 7.39. ábra szemlélteti.
142
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
A tangensfüggvény zérushelyei: sin X t g x = -------= 0, cosx
sinx = 0,
x = k7r(k£Z).
Páratlan függvény:
cos(—a:)
cosx (V x €D ^ ).
A függvény periodikus, periódusa tt, vagyis bármely a: G Dj-re tg(x4-7r) = tgx. Az X 1-^ tgx függvény a —— + kir < x < — + kn { k e T t ) intervalZ Zt lumként szigorúan monoton növekvő. TT Szélsőértéke nincs, a függvény folytonos (a --\-k'K helyeken nincs szakadása, ezek nem elemei az értelmezési tartományának). Sem alulról, sem felülről nem korlátos.
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
143
Az / függvény — minthogy periodikus — nem kölcsönösen egyér telmű leképezés, így az egész értelmezési tartományán nem invertálható. Ha —— -{-k'K < x < k'K^ akkor konkáv, ha A:7t < x < — + kir, akkor konvex. Inflexiós pontja van az x = A:7T pontokban. E pontokban az y = x-\-kTT (k e Z ) egyenletű egyenesek az inflexiós érintm. 0
Az / :
( M \ { f c 7 T ,
f c G
Z
} ) —
xi-^ctgx
függvényt kotangensf&ggvénynek nevezzük (7.40. ábra).
7.40. ábra,
A kotangensfüggvény zérushelyei: cos X ^ c t g a := - :---- = 0, sma;
cosa: = 0,
^ , a := — + A:7r 2 (jfc€Z ).
144
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
A függvény páratlan: c o s (-x ) cosx f { - x ) = - r -7---- r = ---- :---- = - ctga; = - f { x ) sin{—x) —s mx
periodikus, periódusa tt, vagyis ctg(x 4- tt) = ctgx, x G Dy. A kotangensfüggvény szigorúan csökkenő a. kir < x < 2k7r {k G Z ) intervallumokban, így szélsőértéke nincs. A függvény folytonos (a kir, A; € Z helyek nem elemei az értelmezési tartományának, így itt nincs szakadása). Értékkészlete az M halmsiz; sem alulról, sem felülről nem korlátos. Az / függvény nem kölcsönösen egyértelmű leképezés, minthogy periodikus. Egy perióduson belül viszont már kölcsönösen egyértelmű. Ra. kn <
X
+ kir {k e Z ), akkor konvex,
ha — + A:7T < a ; < 7r + kn, akkor konkáv. Inflexiós pontja van az z TT TT x = — \-k7T pontokban. E helyeken az y = —x + — + fc (fc G Z ) egyen-
z
letű egyenesek az inflexiós érintői.
z
EXPONENCIÁLIS ÉS LOGARITMUSFÜGGVÉNYEK
|d1 A z
/:E -> E + ,
(aeR+, a^l)
függvénjrt a alapú exponenciális fí^grénynek nevezzük. A függvény képét a 7.41. ábrán rajzoltuk meg. A függvény grafikonja az y tengelyt az 1 pontban metszi minden pozitív a szám esetén, hiszen a® = 1 (a ^ 0). A függvény másik jellegzetes pontjának koordinátái: (l;a ).
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
145
Vegyük észre, hogy az a alapú exponenciális függvény görbéje és az 1
- alapú exponenciális függvény görbéje szimmetrikus az y tengelyre a vonatkoztatva: /(
A függvény legfontosabb tulajdonságai: Zérushelye nincs; sem nem páros, sem nem páratlan. Ha a > 1, akkor szigorúan növekvő, ha 0 < a < 1, akkor szigorúan csökkenő az M halmazon. Az a értékétől függetlenül végig konvex, folytonos függvény; szél sőértéke nincs. Határértéke a végtelenben: lim
— oo, =
lim
= 0,
x —*oo x —^oo
üm lim
= 0, = oo,
ha a > 1; ha 0 < a < 1.
X —> — OO
Értékkészlete az halmaz, (s mivel a függvény folytonos és szi gorúan monoton, minden pozitív szám pontosan egyszer eleme az értékkészletének). Alulról korlátos, alsó határa a 0.
v n . EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
146
Az / függvény kölcsönösen egyértelmű leképezés bijektív), így létezik inverze: r -1 . 0
R,
xi-^log^x
(a G M"*",
1).
Az / : M“*"
M,
a:
log^x
(a €
függvényt a alapú logaritmusfűggvénynek nevezzük. A logaritmusfüggvény az exponenciális függvény inverze, így grafi konját megkapjuk, az x függvény grafikonját a.zy = x egyenesre tükrözzük (7.42. ábra).
A logaritmusfüggvény grafikonja az x tengelyt az 1 pontban metszi. A függvény másik jellegzetes pontjának koordinátái: (a; 1). Az y = log^x görbe és az — alapú logaritmusfüggvény görbéje egymás tükörképei az x tengelyre nézve. A logaritmusfüggvény leg fontosabb tulajdonságai: Zérushelye: log^x = 0, a^ = x, x = l.
Vn. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
147
A függvény sem nem páros, sem nem páratlan. Ha a > 1, akkor szigorúan növekvő, ha 0 < a < 1, akkor szigorúan csökkenő az egész értelmezési tartományán. Folytonos függvény: ha a > 1, akkor konkáv, ha 0 < a < 1, akkor konvex; szélsőértéke nincs. Határértéke: lim log^ x = oo,
lim log^ x = —oo,
X—►oo
ha a > 1; lim log^ X = —oo,
x -* o o
lim log„ x = oo,
x-^O+O
ha 0 < a < 1. Értékkészlete az M halmaz (és a függvény folytonossága és szigorú monotonitása miatt minden valós számot egyszer és csak egyszer vesz fel). Nem korlátos függvény. Az x^-^log^x leképezés kölcsönösen egyértelmű (bijektív). így a függvénynek létezik inverze:
VII.7. NEM ELEMI FÜGGVÉNYEK Nagyon sok nem elemi függvény is létezik; ezek közül néhányat most bemutatunk.
[5] Az / : R ^ E + U {0 },
X
|x|
függvényt abszolútérték-fUggYénjmek nevezzük. Az abszolút érték definíciója alapján az I , '
r
X,
h arc> 0 hax<0
a függvény grafikonja könnyen megrajzolható (7.43. ábra).
148
VIL EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
[ d1 ElőjelfÜggvénjmek az 1, / : E - ^ { - l ; 0;l} ,
x h ^ |
o’
ha X > 0, ha a; = 0, ha X < 0
függvényt nevezzük. Jelölése: sgnx. A függvény grafikonját a 7.44. ábrán szemléltetjük.
7 .4 4 . á b r a
VII. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
149
Az X G M szám egészrészének nevezzük a nála nem nagyobb egész számok közül a legnagyobbat.
0
Az X szám egészrészét [x] jelöli. [P]
[6] = 6; [2,3] = 2; [75,8] = 75; [-1,4] = - 2 ; [-10] = -1 0 .
Egészrészpiggvén3mek az /:I
N
függvényt nevezzük. Az egészrészfüggvény garfikonja ún. lépcsős függvény, egységnyi hosszúságú, balról zárt, jobbról nyílt szakaszokból áll (7.45. ábra).
y=Ixl
-2
7.45. ábra
A függvénynek végtelen sok zénishelye van, ezek halmaza a [0;1[ intervallum. Az x [ x ] sem nem páros, sem nem páratlan, monoton növekvő függvény.
[d1
A z X eM. szám törtrészének nevezzük jelöli az X szám egészrészét.
az
x — [x] számot, ahol [x]
VIL EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK
150
[d1 A z
xy-^ x — \x\
/:
függvényt törtrészf^gvénynek nevezzük. A törtrészfüggvény grafikonja (7.46. ábra) \/2 hosszúságú, az x tengely pozitív felével 45°-os szöget bezáró, egymással párhuzamos, balról zárt, jobbról nyílt szakaszokból áll.
y=x-lx)
/
A
-2
-1
'
/
/
/
7.46. ábra
Minden a; G Z pont zérushelye a függvénjmek, amely sem nem páros, sem nem páratlan, de periodikus, és periódusa 1.
VIII. VEKTORALGEBRA
V lll.l. VEKTORALGEBRAI ALAPFOGALMAK A vektor szemléletes definíciója a következő: Az irányított szakaszt vektornak nevezzük. Irányított szakaszról beszélünk, ha egy szakasz végpontjainak a sorrendjét is megadjuk, azaz megmondjuk, hogy melyik a szakasz kezdőpontja és melyik a végpontja. Az A kezdőpontú és B végpontú vektort az A B szimbólummal jelöljük. Szokás a vektor jelölésére nyomtatásban vastagon szedett, kézírásban aláhúzott latin kisbetűket is használni. Rajzban a vektort nyíllal ábrázoljuk, és a nyíl hegyét az irányított szakasz végpontjához rajzoljuk (8.1. ábra). Az ábrából is látható, hogy minden vektor meghatározza a tér egy eltolását.
B
8.1. ábra.
[ö] A V vektor abszolút értékén a v vektor hosszát értjük, és |v|-vel jelöljük.
152
VIIL VEKTORALGEBRA
Azt a vektort, amelynek az abszolút értéke nulla (kezdő- és vég pontja azonos), nullvektoniak (zérusvektomak) nevezzük; jele: 0. Megállapodás szerint a zénisvektor iránya tetszőleges.
[d1 Azt a vektort, amelynek hossza egységnyi, egységvektornak ne vezzük. Az egységvektorok jelölése általában: i, j, k. Két egyenest egyező állásúnak mondunk, ha párhuzamosak vagy azonosak. A vektorra jellemző az állása. [d1 a vektor állásán a vektort tartalmazó egyenes állását értjük. Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a vektort a hossza, állása és iránya egyértelműen jellemzi. Két, A B és C D vektor akkor és csak akkor egyenlő, ha a hosszuk, állásuk és irányuk megegyezik, vagyis ha van olyan eltolás, amely az A pontot a C pontba, a B pontot pedig a D pontba viszi át. A két vektor kollineáris, ill. komplanáris, ha párhuzamos eltolással egy egyenesbe, ill. egy síkba vihetők át. Ha egy sík rögzített pontjából felmérjük a sík minden vektorát (helyvektorok), akkor a vektorok és a sík pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesíthetünk. A továbbiakban a síkra mint ponthalmazra és a síkbeli vektorok halmazára egyaránt az M? jelölést használjuk. A térbeli vektorokkal kapcsolatban hasonló értelemben használjuk az jelölést.
Vm. VEKTORALGEBRA
153
VIII.2. VEKTOROK ÖSSZEADÁSA (KIVONÁSA). SZÁMMAL VALÓ SZORZÁSA A vektorok összeadásakor (kivonásakor) mindig feltételezzük, hogy a műveletben szereplő vektorok mindegyike vagy síkvektor, vagy térvektor. {Paralelogramma-módszer:) Legyen a és b két, nem egy egye nesbe eső vektor. Mindkét vektort toljuk el egy közös A kez dőpontba, s az a és b vektorok végpontjain át húzzmik b-vel, ill. a-val párhuzamos egyenest. Ekkor paralelogrammát kapunk (a>||b), amelynek a közös A kezdőpontból induló A C átlóvektora a két vektor összege (8.2. ábra).
8.2. ábra
(Poligonszabály:) Legyen adott az a és a b vektor. Toljuk el a b vektort úgy, hogy a b kezdőpontja az a végpontjába kerüljön. Az a és b vektorok összegén azt az (a + b)-vel jelölt vektort értjük, amely az a vektor kezdőpontjából a b vektor végpontjába mutat (8.3. ábra). A 8.3. ábráról leolvasható,hogy |a-fb| < |a| -h |b|. Az összeadást kettőnél több vektorra is értelmezhetjük és elvégez hetjük a poligonszabály szerint: az első vektor végpontjából felmérjük
154
Vni. VEKTORALGEBRA
8.3. ábra
a második vektort, ennek végpontjából a harmadikat, s így tovább. A vektorok összegét az első vektor kezdőpontjából az utolsó vektor végpontjába mutató vektor adja (8.4. ábra).
Az összeadandó vektorokat összetevőknek^ az összegvektort eredő nek is szokás nevezni. A vektorok összeadására az alábbi tulajdonságok érvényesek:
a-| -b= b + a (a 4- b) + c = a + (b + c) a -h 0 = a.
— kommutatív, — asszociatív,
[£] Az a vektor ellentettjének nevezzük, és (-a )-v a l jelöljük azt a vektort, ameljro
a + (-a ) = 0.
VIII. VEKTORALGEBRA
155
Az a vektor ellentettje az a vektorral azonos abszolút értékű és állású, de ellentétes irányú vektor. Az elmondottak alapján megállapíthatjuk, hogy a vektorok össze adásának a valós számok összeadására emlékeztető tulajdonságai vannak.
[2] Az a, b vektorok (a —b)-vel jelölt különbségén azt a vektort értjük, amelyet a b vektorhoz hozzáadva, összegként az a vektort kapjuk. A különbségvektort a definíció alapján könnyen megszerkeszthet jük. A közös kezdőpontba eltolt a és b vektorok különbsége az az a —b vektor , amely a b vektor végpontjából az a vektor végpontjába mutat (8.5. ábra).
8.5. ábra.
A vektorok kivonása nem kommutatív művelet. [£] Az a vektor A -szorosán, ahol A tetszőleges valós szám, azt a vektort értjük, amelynek — abszolút értéke |A||a|; — állása megegyezik az a állásával; — iránya pedig azonos az a irányával, ha A > 0 ellentétes az a irányával, ha A < 0 és tetszőleges, ha A = 0. A vektor szorzása valós számmal szemléletesen a vektor nyújtását
(ha |Aj > 1) vagy a vektor zsugorítását (ha 0 < 1A| < 1) jelenti, amit negatív A esetén még egy — a vektor kezdőpontjára vonatkozó — tükrözés is követ. A (—l)a vektor az a vektor ellentett vektora.
156
VIIL VEKTORALGEBRA
Ha az a ^ 0 vektort megszorozzuk az abszolút értékének reciprokával, akkor az a vektor irányába mutató egységvektort kapjuk, amit ao-val jelölünk: a
Ebből következik, hogy minden a vektor előállítható az abszolút értékének és egységvektorának szorzataként: a = |a| -ao. A vektornak skalárral való szorzására érvényesek a következő mű veleti azonosságok: Aa = aA; A(^a) = (A/í)a; (A + /i)a = Aa + /xa;
A(a + b) = Aa + Ab, ahol A, fi tetszőleges valós számok, a, b tetszőleges vektorok. m
Az a vektor akkor és csak akkor párhuzamos a b vektorral, ha létezik olyan A valós szám, hogy a = Ab (kivéve az a ^ 0, b = 0 esetet). Ha b ^ 0, akkor csak egyetlen ilyen A valós szám van.
VIII.3. A VEKTOR KOORDINÁTÁI m
Ha adottak a síkban az a, b nem párhuzamos vektorok, akkor a sík minden v vektora egyértelműen felbontható az adott vekto rokkal párhuzamos összetevőkre.
[£] A sík bármely két, nem párhuzamos vektorát a síkbeli vektorok egy bázisának nevezzük.
VIIL VEKTORALGEBRA
157
[d1 a v = aa + /?b vektor előállításában szereplő (a;/?) rendezett valós számpárt, amely egyértelműen meghatározza a v vektort az a,b bázisban, a v vektor a,b bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük, és így jelöljük: v = aa + /3b = (a;/3).
0
A rendezett valós számpárokat síkbeli (kétdimenziós) vektorok nak nevezzük.
A síkban nyilvánvalóan végtelen sok bázist vehetünk fel. A síkbeli vektorok esetén a következő speciális bázist használjuk: egy pontból kinduló, egymásra merőleges, egységnyi hosszúságú vektorokat, me lyeket i-ral és j-ral jelölünk. E vektorokat az x ,y síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben úgy helyezzük el, hogy az i vektor az x tengely 1, a j vektor pedig az y tengely 1 pontjába mutasson (8.6. ábra).
Tehát |i| = |j| = 1, és j az i-nak (+90°)-os elforgatottja. A sík bármely v vektora egyértelműen előállítható az adott bázis vektorok lineáris kombinációjaként: v = viiH-í;2j =
158
vra . VEKTORALGEBRA
vagyis a (vi;v2) rendezett valós számpár csak egyféleképpen választ ható meg. A vi a V vektor első, V2 pedig a második koordinátája. Az egységvektorok koordinátái: i = l i + Oj = ( l ;0), m
j = 0i + l j = (0;l) .
K ét vektor akkor és csakis akkor egyenlő^ ha megfelelő koordiná táik egyenlők.
Az origóból a sík tetszőleges P pontjába mutató vektor koordinátái éppen a P koordinátáival azonosak. A rendezett valós számpárok halmaza (M x M), a sík pontjainak halmaza, és az origóból kiinduló síkbeli vektorok halmaza között páronként kölcsönösen egyértelmű leképezés valósítható meg. Hasonló gondolatmenettel látható be, hogy ha az a, b, c térbeli vektorok nincsenek egy síkban, akkor a tér minden v vektora egyér telműen felbontható az a, b, c vektorokkal párhuzamos összetevőkre, vagjős a V=
aa -h /?b -h 7 C =
(o;;
7)
előállítás mindig létezik és az (a ;/?;7 ) rendezett valós számháLrmas egyértelműen meghatározza a v vektort. [d1 a rendezett valós számhármasokat térbeli {háromdimenziós) vektoroknak nevezzük. A tér egy pontjából kiinduló három, nem egysíkú (nem komplanáris) vektorát, a térbeli vektorok egy bázisának nevezzük. A szá mításaink egyszerűsítése érdekében általában térben is speciális bá zist választunk: három, egy pontból kiinduló, páronként egymásra merőleges egységvektort, melyek jobbsodrású rendszert alkotnak. Az egységvektorokat i—, j —, k—val jelöljük. A jobbsodrású rendszer szemléletesen a következőt jelenti: ha az i a jobb kezünk hüvelykujjával, a j pedig a rá merőlegesen állított mutatóujjával egyirányú, akkor a jobb középsőujjunk határozza meg
V m . VEKTORALGEBRA
159
a k irányát. A térbeli derékszögű koordináta-rendszerbe helyezve az i, j, k egységvektorokat (8.7. ábra), a tér bármely v vektora V = v i i - f - 172Í + vsk = ( v i ;V2 ;vs)
alakban egyértelműen előállítható. A felbontásban szereplő Vi, ^2? ^3 számokat a v koordinátáinak és egyúttal a P pont koordinátáinak is nevezzük.
Belátható, hogy a rendezett valós számhármasok halmaza (M X R X M = M^), a tér pontjainak halmsiza, és az origó kezdőpontú háromdimenziós vektorok halmaza között páronként kölcsösen egyér telmű leképezés valósítható meg, így mindhárom halmaz jelölésére az szimbólumot használjuk. Térbeh vektorokkal is végezhetünk műveleteket. A térbeli vektorokkal felírt műveletek teljes egészében érvényesek a síkvektorokra is, csupán a harmadik koordináta — mivel zérus — nem szerepel.
VIII. VEKTORALGEBRA
160
Tekintsük a tér két vektorát: SL= aii + a2Í-\-ask
és
b = 6ii + &2Í +
Ekkor
a-t- b —(ai + 6i)i + (ö 2 + ^ )j + (03 + a - b = (ai - &i)i + (tt2 - 62)j + (as - 6a)k, Aa = (Aai)i+ (Aa2)j -h (Aa3)k (A G M).
[51 Bármely kijelölt fix 0 pontból — így a koordináta-rendszerben az origóból — a sík (a tér) pontjaiba mutató vektorokat az 0 pontból induló helyvektoroknak nevezzük.
0
Azolat a vektorokat, amelyeket a síkban (térben) önmagukkal párhuzamosan eltolhatók, szabad vektoroknak nevezzük.
Bármely szabad vektorhoz egy és csak egy vele azonos helyvektor tartozik (8.8. ábra). Adott szabad vektor előállítható két heljrvektor különbségeként. Legyen a P 1 P2 szabad vektor Pi kezdőpontjának koordinátái ( x i ; y i ; z i ) , P 2 végpontjáé pedig (^2; 2/2;>2^2), a nekik megfelelő heljrvrektorok (8.8. ábra):
ri = x i i + y ii + zik ,
T2 = X21 + i/2j + Z2K
Így
P1P2 = T 2 - t i = {x2 - x i ; y 2 - y i ; z 2 - zi). A V = v ii-h v 2i + vsk vektor abszolút értéke: |v| =
VIII. VEKTORALGEBRA
161
Az a = aii + aaj + aak vektor irányába mutató ao egységvektor: «l
ao =
. . =1 +
0,2
g+
+ ®2 + + - ™
s _ k .
y/aí + 0’2 + 4 Ha a, yS, 7 jelöli az a(ai; 02; 03) vektornak az a;, y, 2: tengely pozitív irányával bezárt szögét (8.9. ábra), akkor ai
cosa =
V^“ l + « 2 + “ Í »2
cos/? = \ /4 +
4 + 4
cos 7 = V^«1 + « 2 + ®3
162
VIII. VEKTORALGEBRA
és cos^ a + cos^ (3 + cos^ 7 = 1 . . 03, így az a(ai; 02; 03) vektor ao = -r-yi + -r^j + egységvektora: |a{ |a| |a| ao = cos ai -h cos
+ cos 7k.
Az ao egységvektor koordinátáit az a vektor iránykoszinuszainak szokás nevezni. Az elnevezés indoklását a 8.9. ábrán szemléltetjük.
VIII.4. VEKTOROK SZORZASA KÉT VEKTOR SKALÁRIS SZORZATA Két vektor hajlásszögén azt a 0° < 7 < 180° szöget értjük, ame lyet a két vektor félegyenese bezár. Legyen a és b két, azonos dimenziójú vektor, és 7 az általuk bezárt szög. Ekkor az |a||b|cos7 számot az a és b vektorok skaláris szorzatának nevezzük és ab-vei jelöljük:
Vni. VEKTORALGEBRA
163
ab = |a||b|cos 7 .
Ha két vektor között van nuUvektor is, akkor a hajlásszög tetsző leges, de a nuUvektor abszolút értéke miatt a skaláris szorzat értéke 0. így a skaláris szorzat mindig egyértelműen meghatározott. A „skaláris” jelző arra utal, hogy a két vektorral végzett művelet eredménye skaláris mennyiség. A skaláris szorzat legfontosabb tulajdonságai: ab = ba
— kommutatív,
a(b + c) = ab H- ac
— disztributív,
(Aa)b - A(ab) = a(Ab), és a művelet általában nem asszociatív: (ab)c ^ a(bc). Mivel a skaláris szorzat kommutatív és disztributív, ezért például kéttagú vektorösszeget (különbséget) a szokásos módon emelhetünk négyzetre: (a ± b)^ = a^ ± 2ab + b^.
m
Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor nulla, ha a két vektor egymásra merőleges.
Koordinátáival adott két vektor skaláris szorzatát a következő tétel segítségével határozhatjuk meg: m
Ha a = öli 4- a2j + aak és b = &ii 4- &2j + ^3^, akkor
164 0
VIII. VEKTORALGEBRA Számítsuk ki az a(2; 1; 0) és a b (l; —1; 2) vektorok skaláris szorzatát! ab = 2 - 1 + 1 • ( - ! ) + 0 - 2 = 1.
Két vektor hajlásszögét a skaláris szorzat definiciójábdi kiindulva a következőképpen tudjuk kiszámítani: Az ab = |a||b{ cos 7 egyenlőségből cos 7 =
ab |a|H’
azaz — koordinátákkal
____ + ^2^2 + asbs_________ ^ (af + al + a|)(62 +b^ + bj)
0
Számítsuk ki az a (l;2 ;2 ) és a b (—1; 1; 0) vektorok által bezárt 7 szöget! a b = l - ( - l ) + 2- ( l ) + 2 - 0 = l, |a| = v'i2 + 22 + 22 = v ^ = 3,
IN = \ / ( - l ) V l 2+02 = -y2, C O S7 :
ab
_
1
|a||b| ~ 3 - > / 2
= 0,2357
és ebből 7 = 76,37°.
KÉT VEKTOR VEKTORIÁLIS SZORZATA [ d ] A z a, b € vektorok (a x b)-vel jelölt vektoriális szorzatának nevezzük azt a vektort, amelynek
165
VIII. VEKTORALGEBRA
— hossza: |a x b| = |a||b|sin7 , ahol 7 jelöh az a és b vektorok hajlásszögét, — állása merőleges az a és b vektorokra, és — az iránya olyan, hogy az a, b és az a x b vektorok (ebben a sorrendben) jobbrendszert alkotnak (8.10. ábra).
8.10. ábra
Az |a X b| geo m etria i je le n té s e : az |a x b| = |a||b|sin7 számérték megadja az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területét (8.11. ábra): --------------------------------------------- ^ 7
m=lblsinr
/
/
a 8. 11 . ábra T =
|alm, de m = |b|sin7, így
T =
|a||b|sin7.
A vektoriális szorzat legfontosabb tulajdonságai:
Általában
axb^bxa
nem kommutatív,
viszont
a b = - (b a); A(a b) = (Aa) x b = a x (Ab); X
X
X
VIII. VEKTORALGEBRA
166
ax(b + c ) = a x b + axc
disztributív.
(b + c ) x a = b x a = c x a m
Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor zérusvektor, ha a vektorok párhuzamosak egymással.
A koordinátáival adott a(ai; 02; 03) és b (6i; 62Í^3) vektor vektoriális szorzata i j k a X b — ^1 (^2 (^3 bi 62 bs a-2 í>2
03 -J h \
ai h
as ai + k bi 63
ö2 62
= (ffl2^3 “ Ö3&2)i — (ffllí>3 ~ ® 3Í> l)j+
+ (aií)2 - Ö 2^i)k0
Határozzuk meg eiz a
X
b vektort, ha
a = 2 i - 3 k = (2;0; - 3 ) és b = i + j + k = (1; 1; 1).
0 1
a X
b=
i 2 1
j 0 1
-3 1
- j
2 1
-3 1
k -3 1 2 1
0 1
= [ 0 1 - ( - 3 ) ■l ] i - [2 -1 - ( - 3 ) ■l]j+ + (2 ■1 - 0 •l)k = 3i - 5j + 2k.
0
Az a, b, c G jelöljük az
vektorok vegyes szorzatának nevezzük és abc-vei
abc = (a szorzatot.
X
b)c
167
V m . VEKTORALGEBRA
A vegyes szorzat eredménye skalár, értéke: ( a X b ) c = |a X b | | c |
ahol 7 jelöli az
a
x
b
és a
c
cos7 ,
vektorok hajlásszögét (8.12. ábra).
8.12. ábra
Az a b c vegyes szorzat az a , b és c vektorok által kifeszített ferde hasáb (paralelepipedon) előjeles térfogatát adja. A 8.13. ábra alapján V — T m — |a X h\m=
|a
x
b ||c |c o s 7 .
Ha a , b és c jobbrendszert alkot, akkor balrendszert alkot, akkor a b c < 0. m
abc
> 0, ha
a,
b
és
c
Három vektor vegyes szorzata akkor és csak akkor zénis, ha a három vektor egysíkú.
168
VIII. VEKTORALGEBRA
Pn A vegyes szorzat értéke nem változik meg, ha benne a skaláris és a vektoriális szorzat előjelét felcseréljük, vagyis a b c = (a X b )c = a (b x c).
Koordinátáival adott három vektor vegyes szorzata:
abc =
ahol a megfelelő sorokban az
ai
«2
h
f>2
«3 h 5
Cl
C2
C3
a, b
és
c
vektorok koordinátai állnak.
IX. TRIGONOMETRIA
A szögfüggvényeket először csak hegyesszögekre, majd forgásszö gekre is értelmezzük.
IX.l. A SZÖGFÜGGVÉNYEK ÉRTELMEZÉSE Hasonló derékszögű háromszögeket kapunk, ha a derékszögű há romszög egyik szögét rögzítjük. Ezekben a megfelelő oldalak aránya áillandó (9.1. ábra). Ezeket az arányokat — amelyek csak a rögzített szögtől függnek — szögfüggvényeknek nevezzük.
[ö] Legyen a a derékszögű háromszög egyik hegyesszöge (9.2. ábra). Ekkor az a szög szögf&ggvényei:
170
IX. TRIGONOMETRIA
sm a =
az a szöggel szemközti befogó átfogó az a szög melletti befogó b átfogó c az a szöggel szemközti befogó
a c
az a szög melletti befogó az a szög melletti befogó
b b
az a szöggel szemközti befogó
a
a
Pótszögek szögfügg vényei 7T
Legyen (3 — — —a (9.2. ábra); ekkor f'K _ b sin I - a ) = cos a; K2 c cos 1 tg| ctg|
a = sin a; c _ b = ctga; -a ) a a = tg a . -a ) ~b
-a )
Szavakban: minden hegyesszög szinusza megegyezik a pótszögének a koszinuszával, és bármely hegyesszög tangense egyenlő a pótszögé nek a kotangensével. A szögfüggvények általánosításához először definiáljuk az a vektor irányszögét.
IX. TRIGONOMETRIA
0
171
Az a vektor irányszögének azt az a + A:360° (ahol 0° < a < 360°, A: G Z ) szöget nevezzük, amelyet az a vektor a síkbeli derékszögű koordináta-rendszer x tengelyének pozitív felével zár be.
Pozitív forgásirány (az óramutató járásával ellenkező irány) esetén pozitív az irányszög, negatív forgásirány esetén negatív (9.3. ábra). Ha külön nem hangsúlyozzuk, akkor mindig pozitív irányszögről beszélünk.
9.3. ábra
Most már megadhatjuk a szögfüggvények általános értelmezését; Az a szög szinuszának nevezzük az a irányszögű e egységvektor máisodik koordinátáját, az a szög koszinusza pedig az a irány szögű e egységvektor első koordinátája, azaz, ha e = e ii-{-e 2Í (9.4. ábra), akkor ei = cos a;
A definícióból világosan látható, hogy egy szög szinusza és koszi nusza a [—1; 1] intervallumba esik, és ezen belül minden értéket fel is vesz. Az a szög tangensének nevezzük az a szög szinuszának és koszinuszának a hányadosát, ha cos a ^ 0.
IX. TRIGONOMETRIA
172
7T
A definícióból következik, hogy az a = — + fcTT (fc G Z ) szögnek 2á nincs tangense. tg a =
Sin a
cos a ’
Ha az e egységvektor a irányszöge a — -h kn (fc G Z ) szögtől különböző, akkor az e egységvektor egyenese az egységsugarú körhöz az (1;0) pontban húzott érintőegyenest olyan P pontban metszi, amelynek második koordinátája tg a (9.5. ábra).
173
IX. TRIGONOMETRIA
Az a szög kotangense az a szög koszinuszának és szinuszának a hányadosa, ha sin a ^ 0. A definícióból következik, hogy kir {k e Z ) szögnek nem értelmezett a kotangense. ctg a =
cos a -----, sm a
sin a ^ O , (a/fcTT, k^' L) .
Ha az e egységvektor a irányszöge a. kw {k E Z ) szögtől különböző, akkor az e egységvektor egyenese az egységsugarú körhöz a (0; 1 ) pontban húzott érintőegyenest olyan P pontban metszi, amelynek első koordinátája ctg a (9.6. ábra).
Észrevehető, hogy: ha sin a ^ 0, cos a ^ 0, ctg a =
tg a
7T
a^k—
(keli).
Ha 0 ° < a < 9 0 ° , akkor sin a, cos a, tg a, ctg a közelítő értékét függvénytáblázatból kikereshetjük. A többi szög szögfüggvényei (elő jeltől eltekintve) visszavezethetők ezekre, így tetszőleges szög bármely szöfüggvényének értékei ezzel a táblázattal meghatározhatók.
174
IX. TRIGONOMETRIA
Negatív szögek szögfüggvényei (9.7. ábra) sin(—a) = —sin a. cos(—a) = cos a. tg (-a ) = -t g a . c t g ( - a ) =: —ctg a. Bármely a szöghöz tartozik az egységvektornak 0° és 360° közötti irányszöge is. Ezért, ha a > 360° vagy a < —360°, akkor a sin a és a cos a kiszámításakor a ill.
sin(a + A: •360°) = sin a, cos(a + k •360°) = cos a
(keZ)
összefüggést alkalmazzuk. A tg a és a ctg a esetén pedig tg(a + fc-180°) = t g a , ctg(a + k ■180°) = ctg a
{k G Z ).
IX. TRIGONOMETRIA
175
Nevezetes szögek szögfüggvényei (9,8. ábra)
30°
45°
sin
1 2
V2 2
2
cos
v/3 2
V2 2
tg ctg
3 v/3
60° 90° 180° 270° 360° 1
0
-1
0
1 2
0
-1
0
1
1
V3
-
0
-
0
1
v/3 3
0
-
0
-
-9 0 ° -1 8 0 ° -2 7 0 ° (= 270°) (= 180°) (= 9 0 °) sin
-1
0
1
cos
0
-1
0
tg ctg
-
0
-
0
-
0
IX. TRIGONOMETRIA
176
IX.2. TRIGONOMETRIKUS ÖSSZEFÜGGÉSEK A leggyakrabban előforduló egyszerű összefüggések: sin^ a + cos^ a = 1
bármely a szögre.
sin a ^ 0, cos o; ^ 0, vagjds 7T
tg a
cos
= sin a
bármely a esetén.
Pn A következő összefüggéseket addíciós (összegzési) tételeknek is szokás nevezni: sin(a ± /?) = sin a cos /3 ± cos a sin /?, cos(a dl
= cos a cos /3 =p sin a sin /3,
bármely a, /3 szögre. tg(a ± /3) =
^+ z
z
tg g ditg^ l= F tg a tg /3 ’
z c t g /3 c t g Q T l c t g /3 ± c t g a
k,£,n£Z.
IX. TRIGONOMETRIA
177
Kétszeres szög szögfüggvényei Az a (3 szögfüggvényeiből a = /3 helyettesítéssel a + a = 2a, azaz egy szög kétszeresének szögfüggvényeihez jutunk: sin 2a — 2 sin a cos a o o cos 2a = cos a —sin a
tg2a =
2 tg g 1 - tg2 a ’
ctg 2a =
,
7T
f cTT
,
7r
a ^ - + — , a ^ - + fc7T.
ctg a — 1 2 ctg a
Félszögek szögfüggvényei • 2 -“ = 1 —cosa sm 2
COS
9 o; *^“ 2 .
2
1 —cosa 1 + cos a ’
9a 1 + cos a ctg - = ----------- , 2 1 —cos a
1 + cosa 2
a
^
(2fc+
1)7T,
{k — 1 ) 7 T , k
IX. TRIGONOMETRIA
178
Szorzattá alakítás x-\-y
x -y
sin X + sm 2/ == 2 sm —- — cos —- — .
. x -y x-\-y sin X —smy = 2 sin — - — cos — - — . Zi Á
X -\-y X —y cos X + cos ^ = 2 cos —- — cos —- — ,
z
z
„ . x+ y . x -y cos X —cos y — —2sm —- — sin —- — . iu Zi
IX.3. ÁLTALÁNOS HÁROMSZÖGEKRE VONATKOZÓ TÉTELEK m
{Szinusztétel:) Bármely háromszögben két oldal aránya megegye zik a velük szemközti szögek szinuszainak arányával.
IB\
Legyen a háromszög két tetszőleges oldala a, 6, a velük szemben fekvő szögek a és (3. Bebizonyíthatjuk, hogy
b
sm/5
Az összefüggés bizonyítását a hegyesszögű és a tompciszögű háromszögre egyszerre adjuk meg a 9.9., ill. a 9.10. ábra jelöléseit felhasználva. A 9.9. ábra alapján
rric = asin/3, rric = bsina.
IX. TRIGONOMETRIA
179
A bal oldalak egyenlősége miatt asin/9 = 6sino;,
a
sin a
b
sin/3
Ha a
tompaszög (9.10. ábra), akkor sin(180° — /3) = sin/3 miatt ebben az a sina sina esetben is igziz, hogy — = --------------------= -------- . ^ sin(180°-/3) sin/5 Mivel a és b két, tetszőleges oldal volt, a tételt bebizonyítottuk.
m
{Koszinusztétel:) Bármely háromszögben bármely oldal négyze tét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetösszegéből kivonjuk a két oldal és az ezek által közbezárt szög koszinusza kétszeresének szorzatát. A 9.11. ábra jelölése alapján pl.: = a^
— 2abcos 7 .
180
\b \
IX. TRIGONOMETRIA
koszinusztételt a hegyesszögű és a tompciszögű háromszögre egyszerre bi zonyítjuk. A 9.11. ábra jelölései alapjáin a kapott derékszögű háromszögekre írjuk fel a Pitagorasz-tételt: a
( a - x ) ^ -^ m l
A második egyenlőséget kivonva az elsőből: (a — x)^ — x^ =
— 6^,
— 2ax + x^ —x^ =
— 6^,
^2 _|_ ^2 _
Mivel cos7 =
2ax
= c^.
így IC= 60057; ezt behelyettesítve megkapjuk az igazolandó 0 állítást. Ha a háromszög tompciszögű (9.12. ábra), akkor 7 helyett 180° —7 áll. Mivel cos(180° — 7) — —COS7, ezért X = 6cos(180° —7) = —6 COS 7, vagyis a tétel az + 6^ + 2060057 = ^ kot ölti. A c oldal kitüntetett szerepét bármely másik két oldal átveheti.
IX, TRIGONOMETRIA
181
A fenti bizonyításnál rövidebb bizonyítást is adhatunk, ha felhasz náljuk két vektor skaláris szorzatát és annak tulajdonságait. Vezessük be a következő jelöléseket (9.11. ábra): ^
= a;
C A = h;
A B = c-,
A C B < = 'r.
E jelölésekkel c = a —b. E vektoregyenletet négyzetre emelve: ( 1)
- 2ab.
Mivel = cc = |c|^ = c^,
a^ = aa = |a|^ = a^, b 2 = b b = | b p = 62, ab=|a||b| COS7 = a&cos7 , így (l)-b ől — a^
— 2abcosj.
X. ELEMI GEOMETRIA ALAPISMERETEK X .l. TÉRELEMEK TÉRELEMEK TÁVOLSÁGA A pontot, az egyenest és a síkot térelemeknek nevezzük. Ezeket nem definiáljuk, alapelemeknek (alapfogalmaknak) tekintjük. A pon tok jelölésére általában a latin ábécé nagybetűit, az egyenesekére a kisbetűit használjuk, a síkokat görög kisbetűkkel jelöljük. Az egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont mindkét félegyenes kezdőpontja. Az egyenest bármely két különböző — ^ és B — pontja két félegyenesre és egy szakaszra (jele: A B ) bontja fel. A két pont a szakasz két végpontja. Egy adott síkban fekvő e egyenes a síkot két félsíkra vágja. Az e egyenes a félsíkok határegyenese, mindkét félsíkhoz hozzátartozik. A sík feldarabolásakor síkidomok keletkeznek. Adott a sík a teret két féltérre osztja. Az a sík a félterek határsíkja, amely mindkét féltérhez hozzátartozik. A geometriai alakzatot konvexnek nevezünk, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát is tartalmazza. Ha két térelem közül az egyik tartalmazza a másikat, akkor azt mondjuk, hogy a két térelem illeszkedik egymáshoz. Két pontra egy és csak egy egyenes illeszkedik. Három, nem egy egyenesre illeszkedő pontra egy és csak egy sík illeszthető. K ét térelem távolsága 0, ha illeszkedők vagy metszők.
X. ELEMI GEOMETRIA
183
K ét pont távolsága az azokat összekötő szakasz hossza. Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre bocsátott merő leges szakasz hossza. Pont és sík távolsága a pontból a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza. K ét párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes tetszőleges pontjából a másik egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza. Két kitérő egyenest összekötő, s mindkettőre merőleges szakasz (normáltranzverzális szakasz) hosszát a kitérő egyenesek távolságá nak nevezzük. Megmutatható, hogy két kitérő egyenesnek egyet len normáltranzverzális szakasza van (és a normáltranzverzális sza kasz a legrövidebb a két kitérő egyenest összekötő szakaszok között) (10.1. ábra).
184
X. ELEMI GEOMETRIA
TÉRELEMEK HAJLÁSSZÖGE [d] a tér két egyenesének luglásszögén a tér tetszőleges pontjára illeszkedő, a két egyenessel párhuzamos egyenesek szögét értjük. Két illeszkedő vagy párhuzamos egyenes hajlásszöge 0. Egy e egyenes és egy S sík hajlásszögén, ha az e egyenes nem merőleges az S síkra, az e egyenesnek és az S síkon levő e' merőleges vetülete által bezárt szöget értjük ( 10.2. ábra). Ha az e egyenes merőleges az S síkra, akkor az e egyenes és az 5 sík hajlásszöge 90°. Egy egyenes és a rá illeszkedő vagy vele párhuzamos sík haj lásszöge 0
10.2. ábra
0
Két metsző sík hajlásszöge egyenlő a metszésvonaluk egy pont jában az egyik, ill. másik síkban a metszésvonalra állított merő legesek által bezárt szöggel (10.3. ábra). Két illeszkedő vagy párhuzamos sík hajlásszöge 0.
m
(Síkra merőleges egyenes tétele:) Ha az e egyenes az ol síkkal közös pontján átmenő és a síkban fekvő két — a és b —
X. ELEMI GEOMETRIA
185
egyenesre merőleges, akkor a sík minden, a döfésponton áthaladó egyenesére merőleges, tehát merőleges az a síkra is. m
{Három egymásra merőleges egyenes tétele:) Ha valamely a egye nes (hegyesszögben) metszi az a síkot, és merőleges a síkra illeszkedő h egyenesre, akkor az a egyenes a-beli a' merőleges vetülete is merőleges a b-re (10.4. ábra).
Igaz a tételnek a következő megfordítása is:
186
m
X. ELEMI GEOMETRIA
Ha valamely a egyenes (hegyesszögben) metszi az a síkot, és a síkban levő merőleges vetülete merőleges a sík egy b egyenesére, akkor az a egyenes is merőleges a b-ie.
X.2. A SZÖG És MÉRÉSE
A SZÖG FOGALMA ÉS FAJTÁI
Két, közös kezdőpontú félegyenes a síkot két szögtartományra bontja. Ezek közül a konvex szögtartományt szoktuk szögnek nevezni. Ha külön nem hangsúlyozzuk, akkor a két félegyenes által megha tározott két szög kisebbikére gondolunk (10.5. ábra). A félegyenesek a szög szárai, közös kezdőpontjuk a szög csúcsa.
10.5. ábra
A szögeket görög kisbetűkkel jelöljük. A szög jele még: < . Az O csúcspontú szög jelölésére nagyon gyakran az A O B < (vagy B O A < ) jelölést használjuk, ahol az A az egyik, s l B r másik szárra illeszkedő pont (10.5. ábra). A szögeket nagyságuk szerint szokás osztályozni: Nullszög: a szög két szára azonos, és a szögtartomány a két egybeeső félegyenes (10.6. ábra).
X. ELEMI GEOMETRIA
187
Teljesszög: a szög két szára azonos, és a szögtartomány a teljes sík (10.7. ábra). Egyenesszög: a szög szárai egyetlen egyenest alkotnak (10.8. ábra). Derékszög: az egyenesszög fele (jel.: Di) (10.9. ábra). A derékszög szárai merőlegesek egymásra. A merőlegesség jele: ± . Hegyesszög: a derékszögnél kisebb, de a nullszögnél nagyobb szög ( 10.10. ábra). Tompaszög: a derékszögnél nagyobb, de az egyenesszögnél kisebb szög (10.11. ábra). Az egyenesszög, derékszög^ hegyesszög és tompaszög közös néven konvex (domború) szög. Az egyenesszögnél nagyobb szöget konkáv (homorú) szögnek ne vezzük (10.12. ábra).
nuUszög
10.6. ábra
teljesszög
10.7. ábra
egyenesszög
10.8. ábra
188
X. ELEMI GEOMETRIA
derékszög
10.9. ábra
hegyesszög
10.10. ábra
tompa szög
10.11. ábra
konkáv szög
10.12. ábra
SZÖGEK MÉRÉSE Minden szöghöz hozzárendelhető egy olyan nemnegatív valós szám, amelyet a szög mértékszámának nevezünk. Erre a számra teljesül, togy — egybevágó szögek mértékszáma egyenlő;
X. ELEMI GEOMETRIA
189
— bármely szöget a csúcsból kiinduló félegyenes két olyan szögre bont, amelyek mértékszámának összege az eredeti szög mérték számával egyenlő. A szögek mértékegysége az egyenesszög 180-ad része, amelyet foknak nevezünk, jele: A fok hatvanad része 1 perc (') és ennek hatvanad része az 1 másodperc (^^). így az egyenesszög 180°, a teljesszög 360°, a derékszög 90°. A nemzetközi mértékegységrendszerben (Sí) a szög alapegysége a radián.
[51 1 radián mértékű a kör sugarával egyenlő hosszúságú körívhez tartozó középponti síkszög (jele: rád) (10.13. ábra).
A definícióból következik, hogy az egyenesszög ívmértéke nyi sugarú körben) éppen Trrad, azaz 180° = Trrad. Innen
A szögeknek radiánban való mérését wmértéknek nevezzük. Az ívmérték puszta szám (nincs dimenziója), ezért számadata után a mértékegység, a rád jelét általában elhagyjuk. A gyakorlati életben a szögek mérésére egyaránt használjuk a fokmértéket és az ívmértéket. Ha a sík egy félegyenese a kezdőpontja körül forog és egy kezdő helyzetből kiindulva valamely véghelyzetbe jut, akkor forgásszöget ír le. A forgásszög pozitív (negatív) a sík adott oldaláról nézve, ha a fél-
190________ _______________ X. ELEMI GEOMETRIA__________________________
egyenes forgási iránya az óramutató forgásával ellentétes (megegyező) (10.14. ábra). Ez azt jelenti, hogy meghatározzuk a szögtartomány szárainak sorrendjét. Ilyenkor irányított szögről beszélünk, s a szög kezdő szárát nyugvó szárnak, a síkot súroló szárat pedig forgó (mozgó) szárnak nevezzük.
Az irányított szög ábrázolásakor a szárak közé nyíllal irányított ívet rajzolunk, amely a forgó szár mozgását mutatja (10.14. ábra). NEVEZETES SZŐGPÁROK Két szöget pótszögeknek nevezünk, ha összegük 90° (10.15. ábra), s kiegészítő szögeknek, ha összegük 180° (10.16. ábra). Mellékszögeknek mondunk két szöget, ha kiegészítő szögek és egyik száruk közös (10.17. ábra).
10.15. ábra
X. ELEMI GEOMETRIA
191
oC+/3=180®
10.16. ábra
^180®10.17. ábra
10.18. ábra
Csúcsszögeken olyan konvex szögpárt értünk^ amelyeknek szárai páronként egy-egy egyenest alkotnak (10.18. ábra). A csúcsszögek egyenlőek, mert ugyanannak a szögnek mellékszögei. Két metsző egyenes a síkot négy szögtartományra vágja szét. Ezek páronként egymás mellékszögei, ill. csúcsszögei. A kétféle szög közül a kisebbiket a két egyenes hajlásszögének nevezzük. Egyállású szögek azok a konvex szögpárok, amelyeknek szárai pá ronként egyező irányúak és párhuzamosak (10.19. ábra). Az egyállású szögek egyenlőek.
egyállású szögek 10.19. ábra
X. ELEMI GEOMETRIA
192
valtoszögek 10.20. ábra
Váltószögek azok a szögpárok, amelyeknek száxai páronként ellenté tes irányúak és párhuzamosak ( 10.20. ábra). A váltószögek egyenlőek. Merőleges szárú szögeknek nevezünk két szöget, ha száraik páron ként merőlegesek. A merőleges szárú szögek egyenlőek, ha mind két szög hegyesszög ( 10.21. ábra), vagy mindkét szög tompaszög ( 10.22. ábra); kiegészítő szögek, ha az egyik hegyesszög, a másik pedig tompaszög (10.23. ábra).
10.22. ábra.
10.23. ábra
_________________________ X. ELEMI GEOMETRIA______________________ ^
X.3. NEVEZETES PONTHALMAZOK Valamely tulajdonsággal jellemzett pontok halmazát gyakran mér tani helynek is nevezik. Az azonos tulajdonságú pontok halmgizából álló alakzat minden pontja rendelkezik a megadott tulajdonsággal, más pont viszont nem. Egy adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkban egy kör (körvonal), a térben egy gömbfelület. Két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkban a két pontot összekötő szakasz felező merőleges egyenese, térben a két pont által meghatározott szakasz felező merőleges síkja. A sík azon pontjainak halmaza, amelyek két adott ponttól mért távolságának aránya 1-től különböző, adott pozitív szám, egy kör. Ezt a kört Apolloniosz-féle körnek nevezzük. Az Apolloniosz-féle kör középpontja a két pont egyenesén van, sugara pedig az arány ismeretében kiszámítható. Három, nem egy egyenesbe eső pont mindig pontosan egy kört határoz meg. E három ponttól egyenlő távolságra levő pontok hal maza a síkban egy pont, a két-két pontot összekötő szakasz felező merőlegesének a metszéspontja (a kör középpontja); a térben egy egyenes, a két-két pontot összekötő szakasz felező merőleges síkjának a metszésvonala. Két metsző egyenestől egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkban a két egyenes szögfelező egyenesei; a térben a két egyenes szögfelező síkjai. m
Két egyenes szögfelező egyenesei, ill. szögfelező síkjai merőlegesek egymásra.
Két párhuzamos egyenestől egyenlő távolságra levő pontok hal maza a síkban az egyenesek középpárhuzamos egyenese; a térben a két egyenes középpárhuzamos síkja. Két kitérő egyenestől egyenlő távolságra levő pontok halmaza az egyenesekkel párhuzamos, a normáltranzverzális szakasz felezőpont jára illeszkedő sík.
194
X. ELEMI GEOMETRIA
Két egymást metsző síktól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkok lapszögének felező síkjai. E két szögfelező sík merőleges egymásra. Két párhuzamos síktól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkok középpárhuzamos síkja. Nevezetes síkbeli ponthalmaz még a parabola, az ellipszis és a hiperbola, amelyeknek a definícióját a XI. fejezetben adjuk meg. A sík azon pontjainak halmaza, amelyekből egy szakasz adott 0° és 180° közötti szögben látszik, a szakasz végpontjain átmenő, a sza kaszra szimmetrikus két körív, a végpontoktól eltekintve (10.24. ábra); ezt nevezzük látókörnek.
10.24. ábra
GEOMETRIAI TRANSZFORMACIOK A GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓKRÓL ÁLTALÁBAN Azokat a függvényeket, amelyeknek értelmezési tartománya is, értékkészlete is ponthalmaz, geometriai transzformációknak ne vezzük.
X. ELEMI GEOMETRIA
195
Az értelmezési tartomány elemei a tárgypontok, a tárgypontokhoz rendelt értékek a képpontok. (ÁltaláBan a tárgypontokat a latin ábécé nagybetűivel, a képpontokat vesszőkkel ellátott nagybetűkkel jelöljük.) Az / geometriai transzformáció kölcsönösen egyértelmű leképe zés, ha különböző tárgypontokhoz különböző képpontokat rendel. Az / geometriai transzformáció fixpontjának (fixegyenesének, fixsíkjának) nevezzük az olyan pontot (egyenest, síkot), amely önmagának a képe. [U
Legyen az / transzformáció kölcsönösen egyértelmű leképezés. Ha a képpontok mindegyikéhez a megfelelő eredeti tárgypontot rendeljük hozzá, akkor ezt az / inverz transzformációjának ne vezzük, és / “ ^-gyel jelöljük. Az f és g transzformációk egymás utáni alkalmazását az / és ^ leképezések szorzatának nevezzük. Jelölése: f o g .
Az f o g művelet jelentése: először a g leképezést kell végrehajtani, majd erre kell alkalmazni az / transzformációt. Az olyan transzformációt, amely minden pontot helyben (fixen) hagy, identikus leképezésnek {helyben hagyás) nevezzük. Nyilván az / o / “ ^, ill. az zést adják:.
o / leképezések az identikus leképe
Az olyan transzformációt, amelynél minden pont képpontjának képe az eredeti pont, szimmetrikusnak (tükrözésnek) nevezzük. A geometriai transzformációkat aszerint szoktuk csoportosítani, hogy a leképezendő ponthalmaz tulajdonságaiból mit hagynak válto zatlanul. Azt mondjuk, hogy a transzformáció megtart egy tulajdon ságot, ha az ilyen tulajdonságú alakzatokhoz ugyanilyen tulajdonságú alakzatot rendel. Ebben az értelemben beszélhetünk pl. távolságtartó, távolságarányt megtartó transzformációkról.
196
X. ELEMI GEOMETRIA
A geometriai transzformációk során egyéb tulajdonságok is meg maradhatnak. így pl. az egyenestartó és illeszkedéstartó kölcsönösen egyértelmű leképezést a projektív geometria, a folytonosságtartó köl csönösen egyértelmű transzformációt a topológia vizsgálja.
X.4. EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Az / transzformációt egybevágósági (távolságtartó) traiiszformá> ciónak nevezzük, ha bármely A és B tárgypontokhoz olyan A' és B' képpontokat rendel, hogy A B = A 'B '.
Minden egybevágósági transzformáció szakasztartó, távolságtartó, egyenestartó, szögtartó, párhuzamosságtartó. Az egybevágósági transzformáció definícójából következik, hogy egybevágósági transzformációk egymás utáni alkalmazása (szorzata) is egybevágósági transzformáció. m
Minden egybevágósági transzformáció kölcsönösen egyértelmű leképezés.
pr] Minden egybevágósági transzformáció szögtartó, azaz ha a szög képe a ', akkor a = a'.
[d1 Két (síkbeli vagy térbeli) alakzatot egybevágónak nevezünk, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amellyel kölcsönösen egymásba v i h e t i át. Az egybevágóság jele: = . Egybevágósági transzformációk a párhuzamos eltolás, a tükrözések és a forgatások.
X. ELEMI GEOMETRIA
197
PÁRHUZAMOS ELTOLÁS Legyen adott a síkban (térben) egy A B vektor. Tetszőleges P ponthoz rendeljük hozzá azt a P ' pontot, amelyre PP^ = A B (10.25. ábra). Egy vektor által megadott geometriai transzformációt eltolásnak ne vezzük.
10.25. ábra
Az eltolást tehát az eltolás iránya, állása és távolsága egyértelműen meghatározza. Az el nem mozgatást is az eltolások közé soroljuk; ennek távolsága 0, iránya pedig tetsz^eges. Az eltolás a sík (a tér) önmagára való kölcsönösen egyértelmű leképezése ha A B = 0 . Az eltolás nem szimmetrikus transzformáció. A eltolásnak nincs fixpontja (ha A B ^ 0 ) . Az eltolás irányával párhu zamos egyenesnek (térben síknak is) a képe önmaga. Ezek az eltolás fixegyenesei, ill. fixsíkjai, de nem pontonként fixek. Bármely alakzat és eltolt képe egybevágó és azonos körüljárású. Az eltolás helyettesíthető az eltolás A B irányára merőleges két {ti és t 2 ) párhuzamos egyenesre vonatkozó egymás utáni tengelyes tükrözéssel. Az egyenespár távolsága az eltoláis hosszának a fele (10.26. ábra).
TENGELYES TÜKRÖZÉS Legyen adott egy t egyenes, amit tükörtengelynek vagy szimmet riatengelynek nevezünk, amelynek pontjai fixpontok. Minden máis P
198
X. ELEMI GEOMETRIA
pont P' képét úgy szerkesztjük meg, hogy P -ből a szimmetriaten gelyre merőleges egyenest bocsátunk, ennek talppontját T-vel jelölve P^T = P T és a T pont a P és P ' pontokat elválasztja (10.27. ábra). Az így értelmezett geometriai transzformációt tengelyes tükrözésnek nevezzük. Ez a hozzárendelés érvényes mind a síkbeli, mind a térbeli tengelyes tükrözésre. A tükrözéssel egymáshoz rendelt P és P ' ponto kat egymás tükörképeinek vagy szimmetriapontoknak nevezzük, azaz a transzformáció szimmetrikus.
10.26. ábra t
10.27. ábra,
A tengelyes szinmietriát a tükörtengely vagy egy pont és annak képe egyértelműen meghatározza. A tengelyes tükrözés a sík (a tér) önmagára való kölcsönösen egyértelmű leképezése. A tükrözés t tengelyének minden pontja a transzformáció fixpontja, de több fixpontja nincs. A tengely és a tengelyre merőleges egyenesek a transzformáció fixegyenesei. A tengely pontonként fix, a többi fixegyenesnek azonban
X. ELEMI GEOMETRIA
199
csak egy-egy fixpontja van. A szimmetriatengelyt tartalmazó síkok, s a tengelyre merőleges síkok önmaguk képei, ezek a transzformáció fixsíkjai (de nem pontonként fixek). Ha valamely a egyenes párhuzamos a t tengellyel, akkor a képe, a' is párhuzamos t-vel; s ha az a egyenes metszi a t tengelyt, akkor az a' is illeszkedik erre a metszéspontra. A tengelyes tükrözés a képpontokhoz az eredeti tárgypontokat rendeli, azaz a transzformáció szimmetrikus. A síkbeli tengelyes szinunetria az alakzatok irányítását (körüljárá sát) megváltoztatja. A síkbeli tengelyes tükrözés más síkmozgással nem helyettesíthető. Két párhuzamos tengelyre való tükrözés egymásutánja egy, a tengelyek távolságának kétszeresével való eltoláissal helyettesíthető. Két, egymást a szögben metsző tengelyre vonatkozó tükrözés egy másutánja egy 2a szögű elforgatással helyettesíthető- (10.28. ábra).
A térbeh tengelyes szinunetria a térnek a szimmetriatengely körüli 180°-os elforgatásával azonos. Egy alakzatot tengelyesen szimmetrikusnak mondunk, ha létezik olyan tengelyes tükrözés, amelyik önmagába viszi át. Ennek a transzformációnak a szimmetriatengelyét az alakzat szimmetriatengelyének nevezzük. Tengelyesen szinunetrikus alakzatok pl. a szabályos háromszög, a négyzet, a kör, a körhenger, a gömb.
200
X. ELEMI GEOMETRIA
SÍKRA VONATKOZÓ TÜKRÖZÉS Rögzítsük a térben az a tükörsíkot (szimmetriasíkot), amelynek pontjai fixpontok. A tér bármely más P pontjához rendeljük hozzá azt a P' pontot, amely a P -ből az a síkra merőlegesen húzott egyenesen úgy helyezkedik el, hogy ha a merőleges talppontja T, akkor P 'T = P T és a T pont a P és P '-t elválasztja (10.29. ábra).
Ezt a geometriai transzformációt síkra vonatkozó tükrözésnek ne vezzük. A síkra vonatkozó tükrözés a térnek önmagára való kölcsönösen egyértelmű leképezése. A tükörsík minden pontja fixpont, több fixpont nincs. Az a szimmetriasík minden egyenesének, és az a-ra merőleges egye neseknek a képei önmaguk, több fixegyenes nincs. A szimmetriasíkban fekvő egyenesek pontonként fixek. Az a sík pontonként fix, az a-ra merőleges síkok is mind fixsíkok (de nem pontonként), több fixsík azonban nincs. Egy alakzat és síkra tükrözött képe egybevágó, de ellentétes körüljárású. A síkra való tükrözés nem helyettesíthető más transzformációval. A síkra való tükrözés a képpontokhoz az eredeti pontokat rendeli, azaz a transzformáció szimmetrikus.
_________________________ X . ELEMI GEOMETRIA______________________ ^
Az olyan térbeli alakzatot, melyet valamely síkra vonatkozó tükrözés önmagába visz át, síkszimmetrikiisiiak nevezzük. Ekkor a szimmetriasíkot az alakzat szimmetriasíkjának hívjuk. Síkszimmetrikus alakzatok pl. a téglatest, a körhenger, a gömb stb.
PONTRA VONATKOZÓ TÜKRÖZÉS (KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS) Jelöljünk ki egy O pontot, amely fixpont. Minden más P ponthoz rendeljük hozzá a P ' pontot úgy, hogy a P P ' szakasznak az O pont felezőpontja legyen (10.30. ábra). Ez a hozzárendelés érvényes mind a síkbeli, mind a térbeli középpontos tükrözésre.
10.3U. ábra
A P és P ' pontok egymás tükörképei (azaz a transzformáció szimmetrikus); az O pont, a középpont {szimmetriapont, centrum). Az O pontra vonatkozó tükrözést centrális (középpontos) szimmetriának is mondjuk. A transzformációnak egyetlen fixpontja a középpont. A közép pontra illeszkedő minden egyenes, ill. sík fixegyenes, ill. fixsík, bár pontonként egyik sem fix. A transzformációnak más fixegyenese, fixsíkja nincs. A középpontos szinmietriát a középpont vagy egy pont és a képe egyértelműen meghatározza. Valamennyi olyan egyenes, sík, amely nem illeszkedik a közép pontra, párhuzamos a képével. Ekkor a képegyenes, ill. képsík ugyan olyan távolságra van a tükrözés középpontjától, mint a tárgyegyenes, ill. tárgysík. Bármely alakzat és középpontos képe egybevágó. Síkbeli centrális szimmetria esetén a tárgyalakzat esetén a tárgyalakzat és a képalakzat körüljárása megegyező.
202
X. ELEMI GEOMETRIA
A síkbeli pontra vonatkozó tükrözés azonos az O pont körüli 180°-os elforgatással, vagy a tükrözés centrumában metsző és egy másra merőleges két egyenesre vonatkozó egymás utáni tükrözéssel (a sorrend tetszőleges). Egy alakzat középpontosan szimmetrikus, ha létezik olyan pontra vonatkozó tükrözés, amely önmagába viszi át. Ennek a tükrö zésnek a középpontját az alakzat szimmetria-középpontjának, röviden középpontjának nevezzük. Középpontosan szimmetrikus alakzat pl. a négyzet, a paralelog ramma, a kör, a kocka, a gömb.
PONT KÖRÜLI ELFORGATÁS (A SÍKBAN) Jelöljünk ki az adott síkban egy rögzített O pontot (az elfor gatás középpontját), és adjunk meg egy a irányított szöget. A sík tetszőleges, az O-tól különböző P pontjának képe legyen az a P ' pont, amelyre O P = O P' és POP^
10.31. ábra
Ha 0° < a < 360°, akkor a transzformáció kölcsönösen egyértelmű leképezés. Ekkor az elforgatásnak egyetlen fixpontja van: ez az elfor gatás középpontja. (Ha a = 0° vagy a — 360°, akkor az elforgatásnál a sík minden pontja fix, a sík minden egyenese fixegyenes.) Ha a = 180°, akkor az elforgatás azonos az O pontra vonatkozó középpontos tükrözéssel.
X. ELEMI GEOMETRIA
203
A pont körüli eKorgatás az elforgatás centruma körül rajzolt kört önmagára képezi le. Az elforgatás centruma körül rajzolt kör a leképezés fix alakzata. Az elforgatást egyértelműen meghatározza pl. az elforgatás kö zéppontjának, valamely P tárgypont és P ' képpontjának (ill. az elforgatás szögének), továbbá az elforgatás irányának a megadása. A transzformáció nem szinmietrikus. Bármely alakzat és pont körüli elforgatott képe egybevágó és azonos körüljárású. Adott O pont körüli irányított szögű elforgatás helyettesíthető két, az O ponton átmenő egyenesre vonatkozó egymás utáni tükrözéssel. A tükrözések sorrendje általában nem cserélhető fel. H ] A síkbeli alakzatot forgásszimmetrikusnak nevezzük, ha van olyan pont körüli, 0° < a < 360° szögű elforgatás (a síkban), amely önmagába viszi át. Forgásszimmetrikus alakzat a síkban pl. a szabályos ötszög.
TENGELY KÖRÜLI ELFORGATÁS Legyen adott egy t egyenes (tengely), amelynek pontjai fixpontok és egy a irányított szög. A tér tetszőleges, a t-re nem illeszkedő P pont képe legyen az a P ' pont, amely a P ponton át a tengelyre merőlegesen fektetett a síkban úgy helyezkedik el, hogy T P = T P ' és P T P '< = a (az adott irányítás szerint), ahol T jelöli a tengely és a a sík metszéspontját (10.32. ábra). Az elforgatás során csak a tengely pontjai maradnak változatlanul (ha a 7^0°). A tengely körüli elforgatásnak nincs fixegyenese, ha a ^ 0°, a ^ 1 80°, a / 360°. A tengelyre merőleges síkok a transzformáció fixsíkjai, de a pontok nem maradnak helyben. Ha a = 1 8 0 °, akkor a t tengely körüli elforgatás a t tengelyre vonatkozó tükrözésnek felel meg.
204
X. ELEMI GEOMETRIA
A tárgyalakzat és a képalakzat körüljárása megegyezik. A transzformáció nem szimmetrikus.
0
Egy alakzat forgászimmetrikus, ha létezik olyan 0° < a < 360° szögű elforgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át.
A forgásszimmetria teljes, ha az alakzat helyzetét senmiilyen for gástengely (forgáscentrum) körüli elforgatás nem változtatja meg. Az ilyen alakzatokat a síkban körszimmetrikasnak, a térben hen gerszimmetrikusnak mondjuk. A hengerszimmetrikus testeket szokás forgástesteknek nevezni.
A HÁROMSZÖGEK (SOKSZÖGEK) EGYBEVÁGÓSÁGA Két sokszög egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformá ció, amellyel fedésbe hozhatók. Mivel minden sokszög háromszögekre bontható, elég a háromszögek egybevágóságáuaak alapeseteit megvizs gálni.
X. ELEMI GEOMETRIA
B
205
Két háromszög egybevágó, ha 1) oldalaik páronként egyenlőek; 2) két-két oldal s az általuk közbezárt szög páronként egyenlő; 3) két oldal és a hosszabbikkal szemben fekvő szög páronként egyenlő; 4) egy oldal s a rajta nyugvó két szög páronként egyenlő. A fenti egybevágósági tételek mindegyike megfordítva is igaz, így például az első: Ha két háromszög egybevágó, akkor oldalai páronként egyenlőek.
X.5. HASONLOSAGI TRANSZFORMACIOK Az / geometriai transzformációt hasonlósági {távolságarányt megtartó) transzformációnak nevezzük, ha bármely két A, B tárgyponthoz olyan A ' és J5' képpontot rendel, amelyre
A hasonlósági transzformációt röviden hasonlóságnak nevezzük. A A > 0 szám a hasonlóság aránya. Ha A = 1, akkor a hasonlóság egybevágóság. A A > 1 esetén nagyításról, a 0 < A < 1 esetén pedig kicsinyítésről beszélünk. A hasonlóság értelmezéséből következik, hogy minden hasonlóság nak van inverz transzformációja, s ez is hasonlóság, amelynek aránya 1
Á‘ Ha egymást követően két Ai, A2 arányú hasonlóságot hajtunk végre, akkor olyan hasonlósághoz jutunk, amelynek aránya A1A2. Minden hasonlósági transzformáció szakasztartó, félegyenestartó, egyenestartó, párhuzamosságtartó, szögtartó.
X. ELEMI GEOMETRIA
206
0
Két (síkbeli vagy térbeli) alakzat hasonló, ha van olyan hason lósági transzformáció amely az egyiket a másikba viszi át. Az alakzatok hasonlóságának jele:
A hasonlósági transzformációk: a középpontos hasonlóság és a párhuzamos hasonlóság.
KÖZÉPPONTOS (CENTRÁLIS) HASONLÓSÁG
m
{Párhuzamos szelők tétele:) Ha a sík e és / egyenesét párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik egyenesen keletkező sza kaszok hosszúságának az aránya megegyezik a másik egyenesen keletkező megfelelő szakaszok hosszúságának az arányával.
A párhuzamos szelők tételében szereplő két egyenes párhuzamos is lehet, és a párhuzamos szelők elhelyezkedése is tetszőleges lehet (kivéve azt az esetet, amikor mindegyik szelő a szög csúcsán halad át). Alkalmazások szempontjából mégis a 10.33. ábrán látható eset a legfontosabb:
Ekkor
OA _ OAi A B ~ A [B l Érvényes az
X. ELEMI GEOMETRIA
OA OB
OAi OBi
207
AAi BBi
arány is. A tétel megfordítása általában nem igaz! A 10.34. ábrán látható egy ellenpélda.
10.34. ábra
Legyen A iB i = C^Di, A 2 B 2 = C 2 D 2 , így
A \B \
A2B2 C2D 2
= 1,
mégis a szögszárakat metsző egyenesek nem párhuzamosak! A tétel megfordítása a következő formában helyes: m
{A párhuzamos szelők tételének megfordítása:) Ha a sík két egyenese a síkban fekvő szög szárait úgy metszi, hogy a — csúcstól számított — lemetszett szakaszok hosszúságának aránya egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos (10.35. ábra). A 10.35. ábra jelöléseivel a tétel azt mondja, hogy ha
OAi O B\
akkor
OÁ 2 OB2
vagy
t4iA 2 ||B 1 B 2 .
OAi A\Bi
OA2 A2JB2’
208
X. ELEMI GEOMETRIA
Rögzítsünk egy O pontot, és adjunk meg egy pozitív A valós számot. Tetszőleges, az O ponttól különböző P pont képe legyen az O P félegyenes azon P ' pontja, amelyre O P ' = A •O P , ill. OP' -z= p = A (10.36. ábra). Az így definiált ponttranszformációt A arányú középpontos {centrális) hasonlóságnak nevezzük. A centrális hasonlóság definíciója érvényes mind a síkbeli, mind a térbeli alakzatokra.
0
f>
f>f
10.36. ábra
Az O pont a hasonlóság középpontja (centruma), képe önmaga fixpontnak vettük), A a hasonlóság aránya. Ha A > 1, akkor az O centrumból való kinagyításról (nyújtásról), ha A = 1, akkor identikus leképezésről (helyben hagyásról), ha 0 < A < 1, akkor O centrumú kicsinyítésről beszélünk. A középpontos hasonlóság a síknak (térnek) önmagára való meg fordítható, kölcsönösen egyértelmű leképezése: hiszen egy tetszőleges P ponthoz azt a P ' pontot rendeli, amely az O P félegyenesen van és távolsága O-tól A •O P. Ilyen P ' pont pedig egy van. Fordítva: az
X. ELEMI GEOMETMA
209
O P ' = A •O P egyenlőségből O P — ~ •O P ', tehát P'-nek az a P pont A
a képe az O P' félegyenesen, amelynek O-tól való távolsága —, s ilyen A P pont is csak egy van. A transzformáció végrehajtáisakor a sík (tér) minden pontja előáll mint valamilyen pont képe. A centrális hasonlóságot egyértelműen meghatározza pl. a centrum, egy (a centrumtól különböző) tetszőleges P pont és ennek P ' képe. Ez alapján a sík (tér) tetszőleges A pontjának az A' képét meg tudjuk szerkeszteni (10.37. ábra).
Ha A ^ 1, akkor a középpontos hasonlóságnak egyetlen fixpontja van, és ez a hasonlóság centruma. Ha A = 1, akkor minden pont fixpont. A hasonlóság középpontján áthaladó egyenesek (síkok) a transzformáció fixegyenesei, fixsíkjai. Más fixegyenes vagy fixsík nincs (ha A ^ 1). Ezek az alakzatok nem pontonként fixek, azonban a képeik is illeszkednek az eredeti egyenesre, síkra. A párhuzamos szelők tételére támaszkodva bizonyítható, hogy a középpontos hasonlóság bármely két A, B tárgyponthoz olyan két A ', B' képpontot rendel, hogy =
= á l l a n d ó ( /0).
Ez a hányados éppen a középpontos hasonlóság arányával, A-val egyenlő.
210
X. ELEMI GEOMETRIA
A centrális hasonlóság a hasonlóság középpontján át nem haladó egyenest (síkot) vele párhuzamos egyenesbe (síkba) visz át. A középpontos hasonlóság az alakzatok körüljárását nem változ tatja meg. A középpontos hasonlóság esetén a tárgyalakzatról és a képalak zatról azt szoktuk mondani, hogy méretarányos. A A arányú hasonlóság a távolságot, kerületet : területet, felszínt : térfogatot: :
A-, A^-, A^-szörösre
változtatja.
PÁRHUZAMOS HASONLÓSÁG
0
Két hasonló alakzat párhuzamosan hasonló {párhuzamos hely zetű, homotetikus), ha megfelelő szakaszaik állása párhuzamos.
Az olyan hasonlóságot, amely párhuzamos helyzetű alakzatokat rendel egymáshoz, párhuzamos hasonlóságnak (homotéciának) nevez zük. Ilyen például az identikus leképezés (helyben hagyás), az eltolás, a pontra vonatkozó tükrözés. Ilyen hasonlóságot eredményez egy A (> 0) arányú centrális hasonlóság és egy vele azonos középpontú centrális tükrözés összetétele (10.38. ábra) is. Ehhez a transzformációhoz közvetlenül is eljuthatunk, ha a cent rális hasonlóságban szereplő A hasonlósági arányt előjellel látjuk el; a tárgyalakzat bármely P ( ^ 0) pontjához rendeljük hozzá az O P egyenes azon P^ pontját, amelyre O P ' — |A|OP (A G M, A ^ 0), és a P ' pont az O P félegyenesen van, ha A > 0, az O P félegyenes meghosszabbításán (az O pont P -t és P '-t elválasztja), ha A < 0. Az így definiált párhuzamos hasonlóság esetén előjeles arányról beszélünk. Ez alapján, ha A == 1, akkor a transzformáció a helyben hagyás, ha A = —1, akkor pontra vonatkozó tükrözés, ha A > 0, akkor
X. ELEMI GEOMETRIA
211
középpontos hasonlóság; és ennek azonos középpontú centrális tükrö zése, ha A < 0.
HÁROMSZÖGEK (SOKSZÖGEK) HASONLÓSÁGA A sokszögek hasonlóságának definícója alapján — akárcsak az egybevágóság esetén — most is elég a háromszögek hasonlóságának alapeseteit vizsgálni. A háromszögek hasonlóságának alapesetei: m
Két háromszög hasonló, ha 1) a megfelelő oldalaik aránya egyenlő; 2) két-két oldaluk aránya s az ezek által közbezárt szögük egyenlő; 3) két-két oldaluk aránya, s e két-két oldal közül a nagyobbikkai szemközt levő szögük egyenlő; 4) két-két szögük páronként egyenlő.
Ezen esetek mindegyike szükséges és elégséges feltétele a két háromszög hasonlóságának.
X.6. EGYEB TRANSZFORMACIOK
212
X. ELEMI GEOMETRIA
MERŐLEGES (TENGELYES) AFFINITÁS (A SÍKBAN) Adjunk meg a síkban egy t egyenest és egy A ^ 0 valós számot. A sík tetszőleges, az egyenesre nem illeszkedő P pontjához rendeljük hozzá a P-ből az egyenesre bocsátott merőleges egyenesnek azt a P ' pontját, amelyre P 'T = X P T , ahol T jelöli a merőleges és a í egyenes metszéspontját, és a P, P ' pontok a t-vel határolt ugyanazon félsíkban vannak, ha A > 0; különböző félsíkban, ha A < 0 (10.39. ábra). A t egyenes pontjai legyenek fixpontok.
10.39. ábra
Az így definiált ponttranszformációt merőleges tengelyes affinitás nak, röviden merőleges affinitásnak nevezzük. A t egyenes az affinitás tengelye, A az affinitás előjeles aránya, A tengelyre merőleges irány az affinitás iránya. Beszélünk ferde affinitásról is, ha a tengelyt ferdén metsző irányt adunk meg. Ha A = 1, akkor az affinitás helyben hagyás, ha A = —1, akkor a t tengelyre vonatkozó tükrözést jelent. A merőleges affinitást a tengely és egy megfelelő pontpár {P és affin képe P ') egyértelműen meghatározza. Tetszőleges Q { ^ t ) pont képét ugyanis a következőképpen szerkesztjük meg: húzzuk meg a P Q egyenest. Ha P Q ||í, akkor P'Q ' is párhuzamos a í-vel, így rajta lesz ezen a P 'Q ' egyenesen (10.40. ábra).
213
X. ELEMI GEOMETRIA
e' p'
Q*
...
^
t
10.40. ábra
Ha pedig a P Q egyenes az R pontban metszi a t tengelyt (10.41. ábra), akkor ez a pont a P Q egyenes RP^ képegyenesének is pontja, vagyis a Q képe az R P ' egyenesen lesz (természetesen mindkét esetben fel kell használni, hogy az afl&nitás iránya merőleges a tengelyre). A merőleges affinitás a síknak önmagára való kölcsönösen egyér telmű, megfordítható leképezése. A t tengelyű, A arányú merőleges affinitás inverze ugyancsak t tengelyű, — arányú merőleges affinitás. A
A transzformáció fixpontjai a t tengely pontjai, egyéb fixpontok nincsenek, ha A ^ 1. Fixegyenesek (de nem pontonként fixek) a tengelyre merőleges egyenesek. A merőleges affinitás szakasztartó, félegyenestartó, egyenestartó, párhuzamosságtartó, illeszkedéstartó. A leképezés három pont osztó viszonyát változatlanul hagyja, így pl. egy szakasz felezőpontjának a képe a szakasz képének felezőpontja.
214
X. ELEMI GEOMETRIA
Merőleges affinitás a területet is az affinitás arányában változtatja: T ' = |A|-r. Ha a síkot az affinitás t tengelye körül cp szöggel elforgatjuk, majd e sík pontjait merőlegesen vetítjük az eredeti síkra, akkor ez az eredeti síkban t tengelyű, A = cos ip arányú merőleges affinitást jelent
A merőleges affinitás tengelyéül gyakran a koordinátarendszer x tengelyét választjuk. Ekkor a P{x; y) pont képe \y), azaz x' = x, y' = Xy. Ebből következik, hogy az f { x ; y) = 0 egyenletű alakzat affin képének az egyenlete / S
A A
= 0.
± 1) arányú merőleges affinitás során a kör képe ellipszis.
MERŐLEGES VETITES A transzformáció értelmezési tartománya legyen a tér, képhalmaza (egyben értékkészlete is) egy adott a sík. Tetszőleges, a síkra nem illeszkedő P ponthoz rendeljük hozzá a pontból a síkra bocsátott merőleges egyenes P' talppontját. A sík pontjai legyenek fixpontok.
X. ELEMI GEOMETRIA
215
Az így definiált ponttranszformációt merőleges vetítésnek^ a F P ' egyenest vetüőegyenesnek nevezzük. A merőleges vetítés nem kölcsönösen egyértelmű leképezés (10.43. ábra).
Szakasz vetülete a végpontok vetületét összekötő szakasz. Az A B szakasz merőleges vetítéskor megrövidül (ha nem párhuzamos az a síkkal), = ABcos'y^ ahol 7 jelöli az A B szakaszt tartalmazó egyenes és az a sík hajlásszögét. A merőleges vetítés általában nem szögtartó. Derékszög merőleges vetülete csak akkor derékszög, ha legalább az egyik szára párhuzamos az a síkkal és a másik szár nem merőleges a síkra.
SÍKBELI INVERZIÓ Legyen adott egy síkban az O középpontú, r sugarú kör. Az O középpontú, r sugarú körre vonatkozó inverzión azt a ponttranszfor mációt értjük, amely a sík minden egyes, O-tól különböző P pontjához olyan P ' pontot rendel, amely rajta van az O P félegyenesen, és amelyre
216
X. ELEMI GEOMETRIA
O P •O P ' =
(10.44. ábra).
A kört az inverzió alapkörének^ O-t az inverzió pólusának, r^-et az inverzió hatványának nevezzük, a P' pont a P pont inverzpontja. Az értelmezésből következik, hogy az inverziót az alapkör egyértel műen meghatározza.
s ík id o m o k
X-7. A HÁROMSZÖGEK A HÁROMSZÖGEK ÉS OSZTÁLYOZÁSUK A három, nem egy egyenesen fekvő pont, valamint az őket össze kötő szakaszok által határolt konvex síkidomot háromszögnek nevezzük. A pontok a háromszög csúcsai (10.45. ábra), általában A-, jB-, C-vel (a latin ábécé nagybetűivel), a csúcsokkal szemközti oldalakat rendre a-, 6-, c-vel (a latin ábécé kisbetűivel), s a megfelelő szögeket rendre a-, /?-, 7-val (a görög ábécé kisbetűivel) jelöljük. A „háromszög” -et nagyon gyakran a A szimbólummal helyet tesítjük. A háromszöget három, független adata meghatározza. A háromszögeket a szögei és oldalai alapján osztályozzuk.
X. ELEMI GEOMETRIA
217
10.45. ábra
Egy háromszög a legnagyobb szöge szerint — hegyesszögű, ha minden szöge hegyesszög; — derékszögű, ha egyik szöge derékszög. A derékszöget közrefogó oldalakat a derékszögű háromszög befogóinak, a harmadik — a derékszöggel szemben fekvő — oldalt átfogónak nevezzük; — tompaszögű, ha egyik szöge tompaszög. Az oldalak alapján egy háromszög — egyenlő' oldalú, ha mindhárom oldala egyenlő; — egyenlő' szárú, ha van két egyenlő oldala. Az egyenlő oldalú háromszög nyilván egyenlő szárú is. Az egyenlő szárú háromszög két egyenlő oldalát a háromszög szárainak, a harmadik oldalt alapnak, az alapon fekvő szögeket alapszögeknek, a szárak által bezárt szöget szárszögnek nevez zük; — általános háromszög, ha nem egyenlő szárú.
ÖSSZEFÜGGÉSEK A HÁROMSZÖG ADATAI KÖZÖTT
B
A háromszög belső szögeinek összege 180°.
m
A háromszög bármelyik külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
218
X. ELEMI GEOMETRIA
m
A háromszög három külső szögének összege a belső szögek össze gének kétszerese.
m
A háromszög két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. (Ezt nevezik háromszög-egyenlőtlenségnek.) Igaz a tétel alábbiak szerinti megfordítása is.
PH Három pozitív szám csak akkor lehet egy háromszög oldalainak mérőszáma, ha bármely két szám összege nagyobb a harmadik számnál. pn
A háromszög bármely két oldalának különbsége kisebb a harma dik oldalnál.
m
Ugyanabban a háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög, és fordítva: nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van.
A HÁROMSZÖG NEVEZETES VONALAI ÉS PONTJAI
A háromszög oldalának felező merőlegesét oldalfelező merőleges nek nevezzük. m
A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egy mást. Ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja. A háromszög köré írt kör tetszőleges pontjából az oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai egy egyenesen (az ún. Wallaceegyenesen vannak (10.46. ábra).
m
Az a, 6, c oldalú, T területű háromszög köré írt kör R sugara:
X. ELEMI GEOMETRIA
R=
219
abc 4T‘
[d1 a háromszög szögének felezőegyenesét (belső) szögfelezőnek, külső szögének felezőegyenesét külső szögfelezőnek nevezzük. m
A háromszög belső szögfelezői egymást egy pontban metszik. Ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja (10.47. ábra).
10.47. ábra
220
m
X. ELEMI GEOMETRIA
A háromszög bármely (külső vagy belső) szögfelezője a szemközti oldalt a közrefogó oldalak arányában metszi (10.48. ábra).
10.48. ábra
m
A T területű és a + b-\- c = 2s kerületű háromszögbe irt kör p sugara (10.49. ábra): T T-
X. ELEMI GEOMETRIA
221
A háromszög magasságvonalának nevezzük a csúcstól a szemben fekvő oldalegyenesekre bocsátott mer^eges szakaszt. |t1 a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. E pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük (10.50. ábra).
A magasságpont hegyesszögű háromszög esetében a háromszögön belül, derékszögű háromszögben a derékszög csúcsában, tompaszögű háromszög esetében a háromszögön kívül helyezkedik el. Pn
[Vetületi tétel:) A 10.51. ábra jelöléseivel: c = 6cosa + acos^.
[U
Azt a háromszöget, amelynek csúcsai egy háromszög magas ságpontját a csúcsokkal összekötő szakaszok felezési pontjai, középháromszögnek nevezzük (10.52. ábra).
[d1 a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük.
222
X. ELEMI GEOMETRIA
10.51. ábra
10.52. ábra
m
A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett háromszö goldallal, és fele olyan hosszú (10.53. ábra). A háromszög egy csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával össze kötő szakaszt a háromszög súlyvonalának nevezzük.
X. ELEMI GEOMETRIA
m
223
A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. E pont mindegyik súlyvonalat a csúcstól számítva 2 : 1 arányban osztja. A súlyvonalak közös metszéspontját a háromszög súlypontjának nevezzük (10.54. ábra).
A háromszög súlypontja mindig a háromszög belsejében van, és nemcsak geometriai, de fizikai értelemben is súlypont. m
A háromszög M magasságpontja, S súlypontja és körülírható körének O középpontja egy egyenesre illeszkedik, és OS : SM = = 1: 2. Ezt az egyenest Euler-egyenesnek nevezzük.
[TI A háromszög magasságának talppontjai, oldalfelező pontjai és középháromszögének csúcsai egy körön helyezkednek el (10.55. ábra). Ezt a kört Feuerhach-kömek vagy kilencpontos körnek nevezzük.
SPECIÁLIS HÁROMSZÖGEK Egyenlő szárú háromszög Egy háromszög egyenlő szárú, ha van két egyenlő oldala. Az egyenlő oldalakat száraknak, a harmadik oldalt alapnak nevez zük.
224
pn
X. ELEMI GEOMETRIA
Egy háromszög akkor és csak akkor egyenlő szárú, ha két szöge egyenlő.
A két egyenlő szög az alapon fekszik. Az egyenlő szárú háromszög tengely szimmetrikus j egyetlen szimmetriatengelye van, amelyik átha lad a háromszög csúcsán,- és merőlegesen felezi az alapot. Ezek alapján az egyenlő szárú háromszöget szimmetrikus három szögnek is nevezzük. m
Az egyenlő szárú háromszögben az alaphoz tartozó magasságvo nal és súlyvonal, az alap felező merőlegese és a szárszög felezője ' egybeesik. Érvényes a tétel alábbiak szerinti megfordítása is.
pn
Ha egy háromszögben valamelyik oldalhoz tartozó magasságvonal, súlyvonal, oldalfelező merőleges és az oldallal szemben fekvő szög szögfelezője közül kettő egybeesik, akkor a háromszög egyenlő szárú, és az illető oldal az egyenlő szárú háromszög alapja.
Egyenlő oldalú háromszög Egy háromszög szabályos {egyenlő oldalú)^ ha mindhárom oldala egyenlő.
X. ELEMI GEOMETRIA
m
225
A háromszög akkor és csak akkor egyenlő oldalú, ha mind a három szöge egyenlő.
Eszerint a szabályos háromszög mindhárom szöge 60°-os. Az egyenlő oldalú háromszög nyilván egyenlő szárú is (bármelyik két oldal nevezhető szárnak), tehát teljesülnek rá az egyenlő szárú háromszögről mondottak. Ezek alapján a szabályos háromszögnek három szimmetriatengelye van, ezek egyben a háromszög oldalfelező merőleges egyenesei, szögfelező egyenesei, magasságvonalainak, ill. súlyvonalainak egyenesei. Ebből következik, hogy a háromszög neve zetes pontjai, így a köré- és a beleírható kör középpontja, magasságpontja és súlypontja azonos. E pontot a háromszög középpontjának nevezzük, bár a háromszög erre a pontra nem szimmetrikus. Ha a szabályos háromszöget a középpontja körül 120°-kal elforgatjuk (tet szőleges irányítással), az önmagát fedi. Eszerint a szabályos háromszög forgásszimmetrikus. Összefüggések a derékszögű háromszögben Pn
{Magasságtétel:) A derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasság a befogók átfogóra eső merőleges vetületeinek mértani közepe (10.56. ábra):
10.56. ábra
226
X. ELEMI GEOMETRIA
pn
{Befogótétel:) A derékszögű háromszögben bármely befogó mér tani közép az átfogó és az illető befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete között (10.56. ábra).
IB\
abc a
A C M a és A B C A ^ ^ C E M A , mert egy szögük közös (az A, ill. B csúcsnál fekvő), és mindegyik háromszög derékszögű. így érvényesek a következő összefüggések. - = c a —= c
pn
b q —, a
ebből
b=y/^,
ebből
a = ^/cq.
{Pitagorasz-tétel:) Derékszögű háromszögben az átfogó négyzete egyenlő a két befogó négyzetének összegével. 10.56. ábra jelölései szerint:
Érvényes a tétel megfordítása is: m
Ha egy háromszögben két oldal négyzetösszege egyenlő a harma dik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. A két állítást egy tételben is megfogalmazhatjuk:
pn
Egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével.
1^1
A Pitagorasz-tétel bizonyítása: A befogótétel szerint
X. ELEMI GEOMETRIA
227
a2 = c q =
cp .
Ezeket összegezve: + 6^ = cg + cp = c(p H- g) = c^.
X.8. A NÉGYSZÖGEK fp |
A négy csúcspontú sokszöget n é g y s z ö g n e k nevezzük. Ha mind a négy csúcspont ugyanabban a síkban van, akkor síkbeli, egyéb ként térbeli négyszögről beszélünk.
A térbeli négyszögekre a torznégyszög elnevezést használjuk. Ha ezt külön nem hangsúlyozzuk, akkor négyszögön mindig síkbeli négyszö get értünk (a négyszög csúcsai egy síkra illeszkednek); mi csak ezekkel foglalkozunk. m
Minden konvex négyszög belső szögeinek összege 360°.
Az állítás abból adódik, hogy a négyszöget egy csúcsból két háromszögre tudjuk felbontani. PARALELOGRAMMÁK [d] Azt a négyszöget, amelynek két-két szemközti oldala párhuzamos, p a r a l e l o g r a m m á n a k nevezzük (10.57. ábra).
10.57. ábra
228
X. ELEMI GEOMETRIA
A paralelogramma legfontosabb tulajdonságait foglalja össze a következő tétel: m
Egy négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, ha 1) két-két szemben fekvő oldala párhuzamos; 2) két-két szemben fekvő oldala egyenlő; 3) két szemben fekvő oldala párhuzamos és egyenlő; 4) két-két szemben fekvő szöge egyenlő; 5) két átlója felezi egymást; 6) középpontosan szimmetrikus.
Azt a metszéspontot, ahol a paralelogramma átlói felezik egymást, a paralelogramma középpontjának nevezzük. E pontra szimmetrikus a paralelogramma, tehát a paralelogramma centrálisán (középpontosan) szimmetrikus síkidom. A paralelogrammát egy átlója két, egybevágó háromszögre bontja. A paralelogramma szomszédos szögei kiegészítő szögek. (10.57. ábra). [d1 a paralelogramma két szemközti oldalának felezéspontját össze kötő szakasz a p a r a l e l o g r a m m a k ö z é p v o n a la . A paralelogramma középvonala párhuzamos és egyenlő hosszú ságú a paralelogramma nem felezett oldalaival, és átmegy a paralelogramma középpontján (10.58. ábra).
10.58. ábra
X. ELEMI GEOMETRIA
229
Rombusz Ha a paralelogramma oldalai egyenlőek, akkor rombusznak ne vezzük (10.59. ábra).
10.59. ábra
Mivel a rombusz (speciális) paralelogramma, ezért az előbb felso rolt tulajdonságok mindegyike érvényes a rombuszra is. A rombusz azonban nemcsak középpontosan, hanem tengelyesen is szimmetrikus síkidom. m
Egy paralelogramma akkor és csak akkor rombusz, ha átlói egymásra merőlegesek.
Minthogy a paralelogramma átlói felezik egymást, igaz a következő tétel: PH Egy négyszög akkor és csak akkor rombusz, ha átlói egymást merőlegesen felezik. A tételből következik, hogy a rombusz mindkét átlójára szimmet rikus, ezek a rombusz szimmetriatengelyei; egyéb szimmetriatengelye nincs. A rombuszt az átlói négy egybevágó derékszögű háromszögre osztják; az átlók a rombusz szögeit felezik. Téglalap Ha a paralelogramma szögei egyenlők, akkor téglalapnak nevez zük (10.60. ábra). A definícióból látható, ha egy négyszögnek három szöge derék szög, akkor az téglalap, ill. ha egy paralelogrammának egyik szöge
X. ELEMI GEOMETRIA
230
derékszög, akkor az téglalap (ui. a paralelogramma szomszédos szögei kiegészítő szögek). A téglalap nemcsak középpontjára, hanem középvonalaira is szim metrikus, hiszen a középvonal a két oldalt merőlegesen felezi (10.60. ábra).
A téglalap átlói egyenlő hosszúak, felezik egymást (minthogy pa ralelogramma), de általában nem merőlegesek egymásra. m
Egy paralelogramma akkor és csak akkor téglalap, ha átlói egyenlő hosszúak.
Négyzet Ha a paralelogramma szögei és oldalai is egyenlők, akkor négy zetnek nevezzük (10.61. ábra).
A négyzet tehát rombusz is, téglalap is, ezért mind a rombusz, mind a téglalap tulajdonságai érvényesek a négyzetre. Ezek közül kiemeljük, hogy a négyzet nemcsak centrálszimmetrikus, hanem tengelyesen is az, méghozzá négy szimmetriatengelye van: a két átló és a két középvonal.
X. ELEMI GEOMETRIA
231
TRAPÉZEK Ha egy négyszögnek van két párhuzamos oldala, akkor trapéznak nevezzük (10.62. ábra).
10.62. ábra
A definícióból látható, hogy minden paralelogramma trapéz (de nem minden trapéz paralelogramma). A két párhuzamos oldal a trapéz alapja, a másik kettő a szárai. A trapéz párhuzamos egyeneseinek távolsága a trapéz magassága. Ha a trapéz egyik szára merőleges az alapokra, akkor derékszögű trapéznak mondjuk.
S
A trapéz bármely szárán nyugvó szögek összege 180° (kiegészítő szögek) (10.62. ábra). Ha a trapéz egyik alapján fekvő két szög megegyezik (ebben az esetben a másik két szög is egyenlő), akkor a trapézt szimmetri kus {egyenlő szárú) trapéznak nevezzük (10.63. ábra).
m
A szimmetrikus trapéz szárai és átlói egyenlők, továbbá a szim metriatengelye: — merőlegesen felezi a párhuzamos oldalakat; — áthalad az átlók metszéspontján; — áthalad a szárak metszéspontján (ha a szárak metszik egy mást) (10.63. ábra).
232
X. ELEMI GEOMETMA
Mivel a szimmetrikus trapéz köré kör írható, gyakran húrtrapéznak is nevezik.
pn
A trapéz szárainak felezőpontjait összekötő szakasz (a trapéz középvonala) párhuzamos a trapéz alapjaival, és egyenlő azok számtani közepével (10.64. ábra).
10.64. ábra,
IB\ Tükrözzük az A B C D trapézt (10.64. ábra) a B C szár felezőpontjára. Könnyen belátható, hogy a tükrözés után kapott AD^A^D négyszög paralelogramma, az E F szeikasz képe FE*, és a paralelogramma középvonala az EE^ szakcisz. így E E ' = E F + F E ' = 2 - E F § A D ' = A B + BD> = A B + D C ,
X. ELEMI GEOMETRIA
233
amiből k = EF =
AB + DC
tt + c
és
EF\\AB\\DC.
DELTOID
0
Ha egy négyszög két-két szomszédos oldala egyenlő, akkor delto idnak nevezzük (10.65. ábra).
A definícióból következik, hogy a rombusz és a négyzet speciális deltoid.
Megjegyezzük, hogy nem minden deltoid konvex ( 10.66. ábra). [TI A deltoid egyik átlója merőlegesen felezi a másik átlót (10.65. ábra), és felezi a végpontjaiban fekvő szögeket.
234
X. ELEMI GEOMETRIA
Tehát a deltoid tengelyesen szimmetrikus^ szimmetriatengelye az egyik átló; az ezen átlóval szemben fekvő szögek egyenlők. A konvex deltoid érintőnégyszög. HÚRNÉGYSZÖG Azokat a konvex négyszögeket (sokszögeket), amelyeknek min den csúcsa ugyanazon a körön van (tehát minden oldala a körnek húrja), húrnégyszögeknek (húrsokszögeknek) nevezzük (10.67. ábra).
10.67. ábra
m
Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha két szemközti szögének összege 180°.
ÉRINTŐNÉGYSZÖG [d1 Érintőnégyszögnek (érintősokszögnek) nevezzük azokat a négyszögeket (sokszögeket), amelyeknek minden oldala egy adott kört érint ( 10.68. ábra).
X. ELEMI GEOMETRIA
235
Az érintőnégyszög (érintősokszög) csak konvex lehet, mert a definí ció szerint megköveteljük, hogy az érintési pontok az érintőnégyszög (érintősokszög) oldalain és nem azok meghosszabbításain legyenek (10.68. ábra).
10.68. ábra
A definíció alapján azonnal belátható: m
Az érintőnégyszög szögfelezm egy pontban, az érintőnégyszögbe írható kör középpontjában metszik egymást.
m
Egy négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két két szemközti oldalának összege egyenlő.
X.9. A SOKSZÖGEK
A SOKSZÖGEKRŐL ÁLTALÁBAN
[d] Az A i, •••I pontokból alkotott A 1 A 2 , . . . , A n -iA n szakaszok összességét A i . . . A n töröttvonalnak vagy poligonnak nevezzük.
236
X. ELEMI GEOMETRIA
Az A i, ^ 2, . . . , An pontok a poligon csúcsai, a töröttvonalat alkotó szakaszok a poligon élei {oldalai). Ha az A\ csúcs nem azonos az An~ nel, akkor nyílt, ellenkező esetben zárt poligonról beszélünk. A poligon egyszerű, ha a nem szomszédos oldalaknak nincs közös pontjuk (nem metszi át önmagát). Az egyszerű, zárt, síkbeli töröttvonalat, amelynek három egymás utáni pontja nem illeszkedik egy egyenesre, sokszögvonalnak nevezzük. A sokszögvonal a síkot két részre osztja: a sokszögön belüli és kívüli részre. A sokszögvonal mindkét részhez hozzátartozik. A sokszögvonal által határolt belső síkrész a sokszögtartomány. [d1 a sokszögvonalat és a sokszögtartományt röviden sokszögnek nevezzük. A sokszög csúcsai, oldalai, szögei megegyező számúak. A sokszöget határoló töröttvonal a sokszögtartomány kerülete. A nem szomszédos csúcsokat összekötő szakaszokat a sokszög átlói nak nevezzük. A sokszög konvex, ha bármely két pontját összekötő szakaszát is tartalmazza. A konvex sokszög minden szöge konvex. A nem konvex sokszögre néha a konkáv jelzőt használjuk (konkáv sokszögnek van konkáv szöge). m
Az n (> 4) oldalú konvex sokszög átlóinak száma: n(n - 3)
(T| Az n > 4 oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege ( n - 2)180°.
X. ELEMI GEOMETRIA
237
0
A konvex sokszög szögeinek mellékszögeit a sokszög külső szögei nek nevezzük.
m
Minden konvex sokszög külső szögeinek összege 360°. SZABÁLYOS SOKSZÖGEK A konvex sokszöget szabályosnak nevezzük, ha minden oldala és szöge egyenlő.
Ennek alapján beszélünk szabályos háromszögről (egyenlő oldalú háromszög), szabályos négyszögről (a négyzet az egyetlen ilyen négy szög), szabályos ötszögről, . . . , szabályos n-szögről. m
Minden szabályos sokszög tengelyesen szimmetrikus alakzat. Minden oldalának felező merőlegesére és minden szögének a szögfelezőjére szimmetrikus (azaz n szimmetriatengelye van). Egyéb szimmetriatengelye nincs. Ezek a szimmetriatengelyek egy közös pontra illeszkednek.
A szimmetriatengelyek közös O pontját a szabályos sokszög közép pontjának nevezzük. Ha az O pontot összekötjük a szabályos sokszög 360° két, Ai, A i^i szomszédos csúcspontjával, akkor az A í O A í_^i < = ------ . m
Minden szabályos sokszög forgásszimmetrikus: az O pontja körül 360° --------kai elforgatva önmagába megy át. n
Az O középpont tehát egyenlő távolságra van mind a csúcsoktól, mind az oldalaktól. m
Páros oldalszámú szabályos sokszögek centrálszimmetrikusak a középpontjukra nézve. Minden szabályos sokszög egyszerre húrsokszög és érintősokszög; e két kör középpontja azonos a sokszög középpontjával.
238
X. ELEMI GEOMETRIA
A szabályos hatszög középponti szöge 60°-os (10.69. ábra), tehát az oldala éppen a hatszög köré írt kör sugara. Ha egy adott szakaszt úgy bontunk két részre, hogy a kapott szeletek kisebbike {p) úgy aránylik a nagyobbhoz {q), mint a nagyobb a teljes szakaszhoz, azaz p-.q = q-.{p + q), akkor aranymetszést végeztünk. Ezzel az arányossággal mind a képzőművészetben, mind a zenében gyakran találkozhatunk. m
A szabályos tízszög a oldala annak az aranymetszésnek a kisebbik szelete, amelynek a nagyobbik szelete a tízszög köré írható kör r sugara: a : r = r : {a-\-r).
E tétel alapján szerkeszthetjük meg az r sugarú körbe írt szabályos ötszöget is úgy, hogy a tízszög minden második csúcsát kötjük össze. m
Az n oldalú szabályos sokszög euklideszi módon (csak körző és vonalzó használatával) akkor és csak akkor szerkeszthető, ha n = 2^Pl ' 'Ps, ahol a pi számok alakú prímszámok (5, k, m nemnegatív egészek).
239
X. ELEMI GEOMETRIA
X.IO. A KÖR A KÖRRŐL ÁLTALÁBAN [d1 a kör {körvonal) a sík azon pontjainak halmaza (mértani helye), amelyek a sík egy adott pontjától adott (nullától különböző) távolságra vannak. Az adott pontot a kör középpontjának (cent rumának), az adott távolságot a kör sugarának (rádiuszának) nevezzük. Az értelmezés alapján a kör a középpontjával és a sugarával egyértelműen adott. A körrel kapcsolatos elnevezéseket találjuk a 10.70. ábrákon.
kerületi szög
10.70. ábra
240
0
X. ELEMI GEOMETRIA
A körön belül levő pontok halmazát (nyílt) körlemeznek nevez zük. (Gyakran a körlemez helyett is a kör szót használjuk.)
A kör a középpontjára és a középponton áthaladó minden egyenesre szimmetrikus. A középpontja körüli tetszőleges forgatás a kört önma gába viszi át, vagyis az alakzat körszimmetrikus. Körszimmetrikus alakzat a körgyűrű is.
KÖR ÉS EGYENES KÖLCSÖNÖS HELYZETE Egy e egyenesnek egy r sugarú körrel 0, 1 vagy 2 közös pontja lehet (10.71. ábra) attól függően, hogy a kör középpontjának a távolsága az egyenestől nagyobb, mint r, egyenlő r-rel, vagy kisebb, mint r.
0
Azt az egyenest, amelynek egy körrel csak egyetlen közös pontja van, a kör érintőjének, a pontot érintési pontnak nevezzük.
X. ELEMI GEOMETRIA
m
m
241
A kör bármely P pontjában a körhöz csak egyetlen érintő húz ható, és az érintő az érintési pontban merőleges a sugárra (10.72. ábra).
A körhöz külső pontból két érintő húzható. Az érintőszakaszok egyenlőek: E iP = E 2 P ; TE\ = T E 2 - A külső pontot és a kör középpontját összekötő egyenes az érintési pontokhoz tartozó húrt merőlegesen felezi (10.73. ábra).
242
X. ELEMI GEOMETRIA
Külső P pontból húzható érintőt a Thalész-tétel segítségével tud juk megszerkeszteni: rajzoljunk az O P mint átmérő fölé kört (Thalészkört), a két kör metszéspontja a két érintő E i, E 2 érintési pontja (10.73. ábra). A tengelyes szimmetriából következik, hogy m
1) A húrfelező merőleges átmegy a kör középpontján. 2) A kör középpontján és a húr felezési pontján átmenő egyenes merőleges a húrra. 3) A sík három, nem egy egyenesbe eső A, B, C pontján egy és csak egy kör megy át. Az A, B, C pontokon átmenő kör középpontja pl. az A B és B C szakaszok felező merőlegeseinek metszéspontja, hiszen A B és B C a keresett kör egy-egy húrjának tekinthető.
KÉT KÖR KÖLCSÖNÖS HELYZETE
[d] a két kör középpontját összekötő szakasz hosszát a két kör centrálisának nevezzük. Ha a két kör középpontja azonos, akkor a két kört koncentrikusnak mondjuk. Az r i, 7*2 sugarú ( t2 < ^1) és c centrálisú körök kölcsönös helyzete a következő lehet: 1) 0 2) 3) 4) 5)
7*1 + ^2
c = ri + T2 ri —T2 < c < ri + T2 c = 7*1 - T2 c < ri - T2 Azt az egyenest, amelynek két adott kör mindegyikével csak 6gy-6gy közös pontja van, a két kör közös érintcjének nevezzük.
X. ELEMI GEOMETRIA
243
Két, egymáson kívül elhelyezkedő körnek négy közös érintője van. Ha a közös érintőegyenes a két kört nem választja el, akkor külső érintőnek (10.74. ábra), ha viszont a közös érintő a köröket elválasztja, akkor belső érintőnek nevezzük (10.75. ábra).
Két kör közös külső érintőjének szerkesztése (10.76. ábra). Legyen r2 > r*i. 1. lépés: rajzoljunk O 2 középpontú, T2 —r\ sugarú kört, így kapjuk a k kört; 2. lépés: szerkesszünk érintőt a k körhöz az 0\ pontból; 3. lépés: a k körnél kapott érintési pontokat az C>2-vel összekötő fé legyenesek a ^2 körből kimetszik a A;i, A;2 körök közös külső érintőinek érintési pontjait. A szerkesztés menete alapján az O 1 TO 2 derékszögű háromszögből (10.76. ábra) a két kör közös e érintőszakaszának hossza kiszámítható (r2 > r i ) :
244
X. ELEMI GEOMETRIA
= \ J c ^ -{r 2 -r if. Két kör közös belső érintőjének szerkesztése a 10.77. ábrán látható.
Az ri, V2 sugarú és c centrálisú körök közös belső érintőjének hossza:
X. ELEMI GEOMETRIA
245
KÖZÉPPONTI ÉS KERÜLETI SZÖGEK Az olyan szöget, amelynek csúcsa a kör középpontjában van,
középponti szögnek nevezzük. A körnek azt az ívét, amely a szög belsejébe esik, a középponti szöghöz tartozó ívnek nevezzük és azt mondjuk, hogy a középponti szög ezen az íven nyugszik (10.78. ábra).
[ d1 Egy körben (vagy egyenlő sugarú körökben) 1) egyenlő ívekhez egyenlő húrok és egyenlő középponti szögek tartoznak; 2) egyenlő húrokhoz egyenlő középponti szögek és megfelelő egyenlő ívek tartoznak; 3) egyenlő középponti szögekhez egyenlő ívek és egyenlő húrok tartoznak. Egy körben az egyenlő húrok azonos távolságra vannak a közép ponttól, és fordítva. Az a húr hosszabb, amelyikhez tartozó középponti szög nagyobb, ill. amelyiknek a középponttól mért távolsága kisebb (10.79. ábra).. Azt a konvex a szöget, amelynek a csúcsa a kör kerületén van, szárai a kör húrjai, vagy egyik szára húr, a másik pedig érintő (érintöszárú) kerületi szögnek nevezzük (10.80., 10.81., 10.82., 10.83. ábrák).
246
pn
X. ELEMI GEOMETRIA
A kör bármely középponti szöge kétszerese az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szögnek.
X. ELEMI GEOMETRIA
247
Pn Egy körben az ugyanazon ívhez (ill. egyenlő ívekhez) tartozó kerületi szögek egyenlők. Az átmérő fölé rajzolt kerületi szögek derékszögek. Ha a P pont nem illeszkedik az A B szakaszra, akkor a konvex ^ P ^ < -e t az A B szakasz látószögének nevezzük. Ha egy konvex szög csúcsa a körön belül van, akkor a szög nagyobb az ugyanazon íven nyugvó kerületi szögnél, ha pedig a körön kívül van, akkor a szög kisebb a távolabbi ívhez tartozó kerületi szögnél (10.84. ábra):
248
X. ELEMI GEOMETRIA
a 2 < 0 í < a\.
Pn A sík azon pontjainak halmaza (mértani helye), amelyekből egy szakasz adott 0° és 180° közötti szögben látszik, a szakasz végpontjain átmenő, a szakaszra szimmetrikus két körív, a vég pontoktól eltekintve. pn
{Thalész tétele:) A sík azon pontjainak halmaza (mértani helye), amelyekből egy szakasz derékszögben látszik, a szakaszhoz mint átmérőhöz tartozó kör, a szakasz végpontjai nélkül,
m
Két pozitív a, b szám mértani közepe nem nagyobb, mint ugyan ezen számok számtani közepe. Vab <
a -\-b
(a,& eM + ).
Az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a = 6.
IB\
Felhcisználva a 10.85. ábra jelöléseit: m < r, \/a6 < Ha a = b, akkor m = r.
a-h 6
X. ELEMI GEOMETRIA
249
Pn A sík egy pontjából a körhöz húzott szelők megfelelő szeleteinek szorzata állandó. Külső pontból húzott érintő speciális szelőnek tekinthető. A szelők szeleteinek szorzatát pozitív előjellel látjuk el, ha a P pont külső pont, és negatívval, ha belső pont. Ezt az előjellel ellá tott szorzatot a P pont körre vonatkozó hatványának nevezzük. m
Az r sugarú kör középpontjából d távolságra levő P pont körre vonatkozó h hatványa:
m
A külső pontnak a körre vonatkozó h hatványa a pontból a körhöz húzható e érintőszakasz hosszának négyzetével egyenlő.
IB\
a 10.86. ábra jelölése szerint
viszont az előző tétel szerint h =
e^ = h.
így
250
X. ELEMI GEOMETRIA
X .ll. A SÍKIDOMOK KERÜLETE ÉS TERÜLETE A HOSSZÚSÁG ÉS EGYSÉGEI Minden szakaszhoz egy valós számot rendelhetünk hozzá, amelyet a szakasz hosszának nevezünk (jele: d), s amelynek a következő tulajdonságai vannak: 1) Ha van olyan mozgás, amely az A B szakaszt a C D szakaszba visz át, akkor dj^B =dcD''> 2)
= 0;
3) Egy A B szakasz bármely C belső pontjára dÍAC (két rész hosszának összege az eredeti szakasz hossza); 4) Egy önkényesen választott, de a továbbiakban rögzített OA szakaszra dQj^ = 1. Ezzel a hosszegységgel bármely X kezdőpontú félegyenesen pontosan egy olyan Y pont van, amelyre d xY adott, pozitív valós szám. Tehát, ha egy szakaszt hosszegységnek választunk, akkor a sza kaszokat nemnegatív valós számokkal egyértelműen mérhetjük. Két pont összekötő szakaszának hossza, más néven a két pont távolsága megmutatja, hogy a szakasz a hosszegységnek választott szakasznak hányszorosa. Ha a szakasz végpontjainak egjdkét kezdőpontnak, másikát vég pontnak nevezzük, irányított szakaszt kapunk. Ha A B irányított
X. ELEMI GEOMETRIA
251
szakasz, akkor A B = —B A . Irányított szakasznak előjeles hosszúságot tulajdonítunk: dj^B = ~dBAIrányított távolság esetén a távolságfüggvény 3. tulajdonsága a távolságok abszolút értékére igaz: \d-Ac\ + \dcB\ = Ha b V Gyakran használjuk még az oldal fogalmát is, amely egy szakaszt és annak hosszúságát is jelenti. Nemzetközileg elfogadott hosszúságegység (alapegység) a méter, jelölése m, amely közelítőleg a Föld egyenlítőjének 40 milliomod része. Hosszúság mértékegységű a kerület is, így a kerület mérőszáma után a hosszúságegységet is meg kell adni. A méterből származtatott decimális hosszegységek: a kilométer (km), deciméter (dm), centiméter (cm), milliméter (mm), mikrométer (/xm) és nanométer (nm). A hosszúságegységek közti átszámítás: 1 km = 1000 m 1m
10 dm = 100 cm = 1000 mm
1 mm = 1000 fim = 10^ nm .
A TERÜLET ÉS EGYSÉGEI A terület síkidomokhoz rendelt mérték, melynek a következő tulaj donságai vannak: 1) A terület nenmegatív valós szám. 2) Ha egy síkidomot két (közös belső pont nélküli) részre bontunk, akkor e részek területének összege az eredeti síkidom területével egyenlő. 3) Egybevágó síkidomok területe egyenlő. 4) Az egységnyi oldalú négyzet területe 1. A 2. és 3. tulajdonság természetesen területtel rendelkező síkido mokra vonatkozik. (Nem minden síkidomnak van területe; ennek vizs
252
X. ELEMI GEOMETRIA
gálata a mértékelmélet tárgykörébe tartozik.) Ha egy síkidomnak van területe, akkor csak egyetlen olyan számot rendelhetünk a síkidomhoz, amely az 1-4. tulajdonságokat kielégíti. m
Korlátos konvex síkidomnak van területe.
m
Hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának, azaz a megfelelő oldalak arányának négyzetével egyenlő. A következő tétel egy síkidom vetületének területéről szól:
m
Ha egy S síkidom területe t, és e síkkal egy másik 5 ' sík a (0° < a < 90°) szöget zár be, akkor az S síkidom S'-re eső merőleges vetületének a területe: t c o s a (10.87. ábra).
A terület mértékének ismeretéhez a hosszegység ismeretére van szükség. A terület dimenziója „hosszúság a négyzeten” . Az 1 méter oldalhosszúságú négyzet területét négyzetméternek nevezzük, jele: m^. A keresztmetszet, a felszín, a palást és a felület is terület dimenziójú mennyiség. A hosszegységhez hasonlóan, a terület mérőszáma mellett a terü letegységet is jelezzük.
X. ELEMI GEOMETRIA
253
A négyzetméter decimális többszörösei: négyzetkilométer (km^), négyzetdeciméter(dm^), négyzetcentiméter (cm^), négyzetmilliméter (mm^). A területegységek közötti összefüggés:
1w
= 10® m2
1 m^ = 100 dm^ 1 dm^ = 100 cm^ 1 cm^ = 100 mm^. Használatos még a hektár (jele: h) is: 1 ha = 10^ m^. A földterület egyéb mértékegységei: 1 D-öl = 3,596 m^; 1 magyar hold = 1200 D-öl = 4316 m^ = 0,43 ha; 1 katasztrális hold = 1600 D-öl = 5755 m^ = 0,58 ha. Az alábbi táblázatokban a leggyakrabban előforduló síkidomok kerületét {K ) és területét (T) foglaltuk össze. Síkidom Háromszög
Kerülete
Területe j , _ o^rria 2
X = a + 6+ c=2s
(10.49. ábra) K = 6(1 +
cos
7) +
c (l
H- cos 13)
r p _ ab sin j 2
^
a 2 s in /3 s iii7
2 sin a abc 4R T = ps T = y/s(s - a)(s - b)(s - c)
254
X. ELEMI GEOMETRIA
Területe
Síkidom
Kerülete
Paralelo gramma (10.57. ábra)
K = 2{a + b)
T = ania T = a6sin(a; 6)
Rombusz (10.59. ábra)
K = Aa
T = a? sin a.
Téglalap
K = 2(a + 6)
T = ab
(10.60. ábra)
j.
c^sinv?
2 Négyzet
K = Aa
T = a^
(10.161. ábra)
Trapéz
K = a + h + c-\-d
(10.62. ábra)
^
e/sin<^
2 Deltoid
K = 2{a + h)
(10.65. ábra)
^
sin a + 6^ sin j3 2
Húrnégyszög (10.67. ábra) Érintőnégyszög (10.68. ábra)
T = y / ( s - a){s - b){s - c)(s - d)
K = a + í>+ c + d K = 2s K = 2(a + c)
T = ps
- 2 ( 6 + d) K = 2s
2t t t
K ör (10.72. ábra)
K
Körcikk (10.70. ábra)
K = 2r + i
V
=
180°
T = r^7T
T= — 2 /
360°
2
255
X. ELEMI GEOMETRIA
Síkidom Körszelet
Kerülete
^
Területe
T = ^ (-^ « °-s in a °) 2 V180° /
K = h^i
(10.70. ábra)
T = — (ö —sin a) Á r ^ _ T Í - h { r - m) 2 Körgyűrű (10.70. ábra)
K = 2'k {R +
Körgyűrűcikk (10.70. ábra)
K = {R ^ r )a + 2 {R -r)
t)
T={R +
t)
{ R - t ) tz
TESTEK A tér feldarabolásakor geometriai testek keletkeznek. A testeket felületek határoljáLk. Mi elsősorban véges kiterjedésű testekkel foglalkozunk; ezeket zárt felületek határolják. A testek — durva — osztályozása azon alapul, hogy milyen felületek határolják: — ha csak síklapok, akkor szögletes testekr^ {poliéderekről)] — ha sík- és görbelapok vagy csak görbelapok, akkor görhefelületű testekről beszélünk.
X.12. POLIÉDEREK [£] Az olyan térrészt, amelyet véges sok sokszögtartomány határol, s amely teljes egyenest nem tartalmaz, p o l i é d e r n e k nevezzük. A határoló sokszögtartományok együttesen a poliéderfelületet al kotják (röviden ezt is poliédernek mondjuk).
256
X. ELEMI GEOMETRIA
Egy-egy szögtartomány a poliéder egy-egy lapja, a szögtartomány síkja a poliéder lapsíkja, a lapokat határoló szakaszok a poliéder élei, az élek végpontjai a poliéder csúcsai. A csúcsokat összekötő és az élektől különböző szakaszok a lapátlók, ha egyetlen lapsíkban vannak; s testátlók, ha egyetlen lapsíkhoz sem tartoznak. A poliéder két, közös csúcsú élének szögét a poliéder élszögének; két, közös lapjának szögét a poliéder lapszögének mondjuk. Pn
[Euler tétele:) A konvex poliéderben a csúcsok (c) és lapok {l) számának összege kettővel nagyobb az élek (e) számánál: c + í = e + 2.
0
Az olyan konvex poliédert, amelynek élei, élszögei és lapszögei egyenlők, szabályos testnek nevezzük.
A szabályos test lapjai tehát egybevágó szabályos sokszögek. Euler tétele alapján bizonyítható, hogy csak ötféle szabályos test létezik (10.88. ábra). Ezek nevét és adatait táblázatban foglaltuk össze. A táblázatban l a lapok, e az élek, c a csúcsok, n az egy lapon levő élek, m az egy csúcsba futó élek számát jelöli. Elnevezés Tetrsiéder Hexaéder (kocka) Oktaéder Dodekaéder Ikozaéder
n 3 4 3 5 3
m 3 3 4 3 5
c 4 8 6 20 12
e 6 12 12 30 30
/ 4 6 8 12 20
Az elnevezések görög eredetűek, s a lapszámra vonatkoznak. A tetraéder elnevezés pontatlan, nem szabályos testet jelent, hanem há romoldalú gúlát. A szabályos tetraéder olyan szabályos test, amelynek minden lapja szabályos háromszög.
X. ELEMI GEOMETRIA
257
10.88. ábra
[rí
Minden szabályos testbe és test köré gömb írható, s e két gömb középpontja (amit egyúttal a szabályos test középpontjának is nevezünk) azonos.
HASÁB Ha egy sokszögvonal (vezérvonal) minden pontján át párhuza mosokat húzunk egy olyan adott egyenessel, amely nem pár huzamos a sokszög síkjával, (végtelenbe nyúló) hasábfelület ke letkezik (10.89. ábra). Ha ezt a felületet két párhuzamos síkkal elmetsszük, akkor e két sík és a hasábfelület egy testet fog közre, amelyet hasábnak nevezünk.
X. ELEMI GEOMETRIA
258
10.89. ábra
A két párhuzamos metsző sokszög, amelyek egybevágóak, a hcLsáb a többi lap a hasáb o ld a lla p ja , ezek paralelogrammák. Az oldallapok összessége a p a l á s t alaplapjaij
A hasáb palástja síkba kiteríthető. Az alapon fekvő éleket a többit o ld a lé le k n e k mondjuk.
a la p é
lek n e k ,
A hasáb két alapjának távolsága a
h a sá b m a g a ss á g a .
A hasáb származtatásakor az adott egyenessel húzott párhuzamo saknak az oldallapra eső szakaszai a hasáb a lk o tó i (az oldalélek is alkotók). Ha az alkotók az alaplapokra merőlegesek, akkor egyébként ferxle h a sá b r ó l beszélünk.
e g y e n e s h a sá bró l,
Az egyenes hasáb oldallapjai téglalapok. Ha az egyenes hasáb alaplapja szabályos sokszög, akkor s z a b á ly o s nevezzük. A szabályos hasáb tengelyszimmetrikus, szim metriatengelye az alaplapok középpontjait köti össze. h a sá b n a k
Szabályos hasáb például a négyzet alapú egyenes hasáb { n é g y z e t e s 10.90. ábra). Ha a négyzetes hasáb magassága egyenlő az
o s z lo p ,
X. ELEMI GEOMETRIA
259
/f 7 h
7
10.91. ábra
alapélekkel, akkor kockának (10.91. ábra) mondjuk. A kocka lapjai négyzetek. A paralelogramma alapú hasábot paralelepipedonnak nevezzük (10.92. ábra). A paralelepipedon minden lapja paralelogramma. A paralelepipedon további fontos tulajdonsága, hogy centrálszinmietrikus, és testátlói a szinmietriacentrumban felezve metszik egymást. Ha az egyenes hasáb alaplapja téglalap, téglatestről beszélünk (10.93. ábra). A téglatest minden lapja téglalap. Ha a téglatest minden lapja négyzet, akkor az kocka.
10.92. ábra
260
X. ELEMI GEOMETRIA
10.93. ábra
GÚLA [d1 Ha egy, a sokszögvonal (vezérvonal) minden pontján át a sokszög síkján kívül fekvő P pontból félegyeneseket húzunk, gúlafelületet kapunk. Ha ezt a gúlafelületet egy, a P pontot nem tartalmazó
X. ELEMI GEOMETRIA
261
síkkal elmetsszük, akkor a sík, a gúlafelület és a csúcs által határolt térrészt (poliédert) gúlának nevezzük (10.94. ábra). A P pont a gúla csúcsa. A metszősíkban levő sokszöglap a gúla alaplapjaj a többi lap — háromszög — a gúla oldallapjai. Az alaplap élei az alapélek, az oldallap élei az oldalélek. Az oldallapok összessége a gúla palástja. A gúla palástja síkba kiteríthető. A gúla P csúcs pontján át húzott félegyeneseknek az oldallapokon fekvő szakaszát a gúla alkotóinak mondjuk (természetesen az oldalélek is alkotók). A csúcsnak az alaplap síkjától mért távolsága a gúla testmagassága. A gúla n oldalú, ha az alaplap n oldalú sokszög. A gúla szabályos, ha az alaplapja szabályos sokszög, és a gúla csúcsából az alaplapra bocsátott merőleges az alaplap középpontján halad át. Ez az egyenes a szabályos gúla tengelye, a szabályos gúla e tengelyre vonatkozólag forgásszimmetrikus. A szabályos gúla oldal lapjai egybevágó, egyenlő szárú háromszögek, e háromszögek közös magassága a gúla oldalmagassága. A négyoldalú szabályos gúlát négyzetes gúlának is nevezik.
CSONKAGÚLA Ha a gúlát az alaplapjával párhuzamos (és a csúcsát nem tar talmazó) síkkal elmetsszük, akkor a két sík közé eső gúlaxészt csonkagúlának nevezzük (10.95. ábra). A két párhuzamos lap a csonkagúla alaplapjai {alap- és fedőlap). Ezek hasonló sokszögek, az oldallapok pedig trapézek. Az alap- és a fedőlap távolsága a csonkagúla magassága. Ha a szabályos gúlát a tengelyére merőleges síkkal metsszük, akkor szabályos csonkagúlát (és egy szabályos gúlát) kapunk. A szabályos csonkagúla tengelye megegyezik az eredeti gúla tengelyével, s az alaplapok középpontjait köti össze. A csonkagúla oldallapjai egybevágó, egyenlő szárú trapézok.
262
X . ELEMI GEOMETRIA
X.13. GÖRBELAPÚ TESTEK HENGER Ha egy zárt síkidom határoló vonalának (vezérvonal) minden pontján át párhuzamost húzunk egy olyan adott egyenessel, amely a síkidom síkjával nem párhuzamos^ akkor (végtelenbe nyúló) hengerfelületet kapunk. Ha ezt a felületet két párhuzamos síkkal elmetsszük, akkor a két párhuzamos síkidom és a henger felület által határolt térrészt hengernek nevezzük (10.96. ábra). Az értelmezésből következik, hogy a hengerfelület (henger) a ha sábfelület (hasáb) általánosítása: ha az alkotó által körülfutott zárt síkidom sokszög, akkor hasábfelület keletkezik. A párhuzamos síkidomok a henger alapjai {alap- és fedőlap)^ ezek egybevágóak. A hengerfelületnek a hengert határoló része a henger
X. ELEMI GEOMETRIA
263
palástja. A hengerfelületet alkotó egyeneseknek a palásthoz tartozó szakaszai a henger alkotói. Az alap- és a fedőlap távolsága a henger magassága. Ha az alkotók az alaplapra merőlegesek, akkor egyenes, egyébként ferde hengerről beszélünk. Az egyenes henger palástja síkba kiterítve egy téglalap, meljmek magassága a henger magasságával, alapja pedig az alaplap kerületével egyezik meg. Ha a henger alap- és fedőlapja kör, akkor az ebből származtatott testet körhengernek, de többnyire csak hengernek mondjuk. A körök középpontjait összekötő szakasz a henger tengelye. Az egyenes körhenger tengelyére illeszkedő sík a hengerből tégla lapot, a tengelyére merőleges sík kört, a tengelyével nem párhuzamos és arra nem merőleges sík a hengerfelületből eUipszist metsz ki. Az egyenes körhenger a tengelyére vonatkozólag forgásszimmetri kus (tengelye körüli bármilyen szögű forgatás önmagába viszi át), ezért az egyenes körhengert forgáshengemek is mondjuk. Ha a for gáshenger tengelymetszete négyzet, akkor egyenlő oldalú hengernek nevezzük. Minden forgáshenger származtatható a téglalap forgatásá val.
264
X. ELEMI GEOMETRIA
KÚP fp] Ha egy zárt síkidom határoló vonalának (vezérvonal) minden pontján át a síkidom síkján kívül fekvő P pontból félegyeneseket húzunk, akkor egy (végtelenbe nyúló) kúpfelületet kapunk. Az adott síkidom és a kúpfelület által határolt térrészt kúpnak nevezzük (10.97. ábra).
10.97. ábra
Az értelmezésből kitűnik, hogy a gúlafelület (gúla) a kúpfelület (kúp) speciális esete, amikor is az adott síkidom sokszög. Ha a kúpfelületet meghatározó félegyenesek helyett egyeneseket szerepeltetünk, akkor kettős kúpfelület keletkezik. Ha a kúp származtatásában a kiinduló síkidom kör, akkor kör kúpról (körkúpfelületről) beszélünk, amit a továbbiakban legtöbbször röviden kúpnak mondunk. Az adott P pontot a kúp csúcsának, az adott kört (síkidomot) a kúp alaplapjának, a kúpfelületnek a kúpot határoló részét a kúp palástjának, a kúp csúcsát az alaplap határoló pontjaival összekötő szakaszokat a kúp alkotóinak nevezzük.
X. ELEMI GEOMETRIA
265
A kúp csúcspontjának az alapsíktól mért távolsága a kúp magassága. A kúp csúcsát az alapkör középpontjával összekötő szakaszt a kúp tengelyének nevezzük. Ha a körkúp tengelye merőleges az alaplapra, egyenes körkúpról beszélünk. Az egyenes körkúp forgásszimmetrikus, tengelye egyben a forgástengelye is. Ezért az egyenes körkúpot gyakran forgáskúpnak mondjuk. A forgáskúp alkotói egyenlő hosszúságúak. Minden forgáskúp származtatható derékszögű háromszög vagy egyenlő szárú háromszög forgatásával. A forgáiskúp tengelyére illeszkedő sík a kúpból egyenlő szárú há romszöget metsz ki (tengelymetszet); e háromszög 2a szárszögét a kúp nyílásszögének nevezzük (10.98. ábra).
Az egyenes körkúpnak a tengelyre merőleges síkmetszete kör. Ha egy sík nem merőleges a kúp tengelyére és nem illeszkedik az egyenes körkúp csúcsára, és minden alkotót metsz, akkor a kúpfelü letből ellipszist metsz ki. Ha egy sík nem illeszkedik az egyenes körkúp csúcsára, és egyetlen alkotóval párhuzamos, a többit pedig metszi, akkor a kúpfelületet parabolában metszi.
266________________________X. ELEMI GEOMETRIA__________________________
Ha a sík nem illeszkedik az egyenes körkúp csúcsára, és két alkotóval párhuzamos, a többi alkotóegyenest pedig metszi, akkor a sík a kettős kúpfelületet hiperbolában metszi. A kört, a parabolát, az ellipszist és a hiperbolát kúpszeleteknek nevezzük. A kúpszeleteket másodrendű görbéknek is mondjuk, azt a felületet pedig, amelyből minden sík (ha egynél több közös pontja van a felülettel) kúpszeletet metsz ki, másodrendű felületnek nevezzük. A forgáskúp palástja síkba kiterítve körcikk, melynek ívhossza az alapkör kerületével, a sugara pedig a kúp alkotójával egyenlő hosszúságú (10.99. ábra).
CSONKAKÚP
Ha a kúpot az alaplappal párhuzamos síkkal elmetsszük, akkor a két párhuzamos sík közötti kúprészt csonkakúpnak nevezzük ( 10.100. ábra). A csonkakúp megnevezést leginkább kör alapú csonkakúpra hasz náljuk.
X. ELEMI GEOMETRIA
267
A két párhuzamos síkidom (melyek hasonlóak egymáshoz) a cson kakúp alaplapjai (vagy alap- és fedőlapja). A csonkakúpot határoló kúpfelületdarab a csonkakúp palástja, az eredeti cdkotóknak az ala pokat összekötő szakaszai a csonkakúp alkotói. Az alap- és fedőlap távolsága a csonkakúp magassága. A párhuzamos síkkal lemetszett kúpot a csonkakúp kiegészítő kúpjának nevezzük. A forgáskúpból származtatott csonkakúpot egyenes csonkakúpnak mondjuk. Ekkor a kúp tengelye egyúttal a csonkakúp tengelye is, azaz az egyenes csonkakúp is forgásszimmetrikus test, a tengelye egyúttal a szim metriatengelye. Az egyenes csonkakúp tengelymetszete szinmietrikus trapéz (10.101. ábra). 2r
lO.lOL ábra
268
X. ELEMI GEOMETRIA
Az egyenes csonkakúp palástja síkba terítve olyan körgyűrűcikk, amelynek a két íve az alap-, ill. a fedőkör kerületével egyenlő hosszú ságú, szélessége pedig a csonkakúp alkotójával egyezik meg ( 10.102. ábra).
10.102. ábra
X.14. A GÖMB [H
A tér azon pontjainak halmazát, amelyek egy adott O ponttól adott r távolságra vannak, gömbfelületnek (röviden gömbnek) nevezzük. A gömbfelületen levő és azon belüli pontok összességét gömbtestnek (röviden szintén gömbnek) nevezzük (10.103. ábra).
X. ELEMI GEOMETRIA
269
Az adott O pont a gömb (felület) középpontja, az adott r távolság a sugara. Általában nem származik zavar abból, hogy a gömbfelületet és a gömbtestet is gömbnek mondjuk; adott esetben eldönthető, hogy melyikről van szó. A gömbfelület két pontját összekötő szakasz a gömb húrja. A kö zépponton áthaladó húrok a gömb átmérői. Az átmérő két végpontja a gömb átellenes pontjai. Egy húrra illeszkedő egyenes a gömb szelője. A gömb minden síkmetszete kör. A gömb középpontjára illeszkedő sík által kimetszett kör a gömb főköre. A gömb két (nem átellenes) pontja között a legrövidebb ív a két ponton átmenő főkör kisebbik íve. A gömböt a főkör segítségével is származtathatjuk: ha a főkört egyik átmérője körül megforgatjuk, gömböt kapunk. A gömbfelületet egy metsző sík két gömbsüvegre, a gömbtestet két gömbszeletre vágja szét. A gömbi kör a süveg alapköre, ill. a szelet alaplapja (10.104. ábra), a síkra merőleges gömbátmérőnek a süveghez (szelethez) tartozó része a süveg (szelet) magassága.
A gömbfelületből két párhuzamos metszősík gömbövet, a gömbtest ből pedig gömbréteget metsz ki. A gömbi körök a gömböv alapkörei, ill. a gömbréteg alaplapjai. A két sík távolsága a gömböv (gömbréteg) magassága (10.105. ábra).
270
X. ELEMI GEOMETRIA
Ha a gömbszelet (süveg) alapkörének minden pontját összekötjük a gömb középpontjával, akkor a gömböt két résztestre osztjuk. Ezek mindegyikét gömbcikknek nevezzük (10.106. ábra). Ha a gömböt két olyan félsíkkal metsszük el, amelyeknek közös határegyenese egy átmérőre illeszkedik, akkor a gömbfelületből ki metszett két részt gömhkétszögnek, a gömbtestből kimetszett részt pedig gömbgerezdnek mondjuk. (10.107. ábra).
X. ELEMI GEOMETRIA
271
A gömbnek többféle szimmetriája is van. A középpontjára nézve centrálszimmetrikusj sőt, é pontra vonatkozólag gömbszimmetrikus a (középpont körül végzett bármilyen forgatás önmagába viszi át). Bármely átmérőjére vonatkozólag forgásszimmetrikus. Minden, a kö zéppontot tartalmazó síkra vonatkozólag síkszimmetrikus. Ha egy egyenesnek és egy gömbnek csak egyetlen közös pontja van, akkor az egyenest a gömb érínt^ének nevezzük. A gömb érintője merőleges az érintési ponthoz tartozó sugárra. A gömbfelület egy adott pontjához tartozó érintők egy síkban, az érintősíkban vannak. m
Külső pontból a gömbhöz húzott érintőszakaszok egyenlők. Az érintési pontok egy síkban vannak, a gömbfelületen egy kört írnak le; az érintő félegyenesek egy forgáskúpfelületet határoznak meg (10.108. ábra).
X.15. A TESTEK FELSZÍNE ÉS TÉRFOGATA A FELSZÍN ÉS EGYSÉGEI A felszín egy egyszeresen összefüggő, konvex, korlátos, zárt mérhető felülethez rendelt szám. 0
A poliéder felszíne a lapjai területének összege.
272
X. ELEMI GEOMETRIA
A felszín dimenziója — miután a területtel definiáltuk — a területé hez hasonlóan kétdimenziós mérték: „hosszúság a négyzeten” ; tehát a felszínhez ismerni kell a hosszegységet. A felszín egységei megegyeznek a terület egységeivel. A felszín mérőszáma után a felszínegységet (területegységet) is meg kell adni.
A TÉRFOGAT ÉS EGYSÉGEI Mértani testnek nevezzük a tér tetszőleges ponthalmazát. A poli éderek is mértani testek, és bármely poliédernek van térfogata. [d1 Azokat a poliédereket, amelyek egy mértani testet tartalmaznak, kfilso poliédereknek, azokat pedig, amelyeket a test tartalmaz, belső poliédereknek nevezzük.
m
Ha egy mértam test belső poliéderei térfogatának felső határa egyenlő a külső poliéderek térfogatának alsó határával, akkor ezt a számot a test térfogatának nevezzük.
A térfogat mértéke a (mértani) testhez rendelt olyan szám, amelyre teljesülnek a következő tulajdonságok: 1) A térfogat nemnegatív szám. 2) Ha egy testet két részre bontunk, a részek térfogatának összege az eredeti test térfogatával egyenlő. 3) Egybevágó testek térfogata egyenlő. 4) Az egységnyi élű kocka térfogata 1. A 2. és 3. tulajdonság térfogattal rendelkező testekre vonatkozik. Éppen úgy vannak testek, amelyekhez nem lehet térfogatot rendelni, mint ahogyan nem lehet minden síkidomnak területet adni. Viszont, ha egy testnek van térfogata, akkor csak egyetlen olyan hozzárendelés létezik, amelyik a fenti 1-4. tulajdonságok mindegyikét kielégíti.
X. ELEMI GEOMETRIA
273
m
(Cavalieri-elv:) Ha két, azonos síkon álló testnek a sík által tartalmazott lapjainak és bármely, a síkkal párhuzamos sík ál tal kimetszett síkidomoknak van területük, és ezek egyenlők, továbbá, ha mindkét testhez található egy-egy olyan egyenes, amellyel párhuzamos egyeneseknek a testhez tartozó pontjai (ha ilyenek vannak) az adott síkon végződő szakaszt alkotnak, akkor a két testnek van térfogata, és a térfogatuk egyenlő (10.109. ábra).
m
A hasonló testek térfogatának aránya egyenlő a hasonlóság ará nyának (azaz a megfelelő oldalak arányának) a köbével.
A térfogat háromdimenziós mérték: „hosszúság a köbön” ; tehát a térfogathoz is ismerni kell a hosszegységet. A térfogat helyett szoktuk még a köbtartalom megnevezést is használni. Az 1 méter élhosszúságú kocka térfogata 1 köbméter (m^).
274
X. ELEMI GEOMETRIA
A térfogat mérőszáma után a térfogategységet is meg kell adni. A köbméter leggyakrabban használt decimális többszörösei: a köbdeciméter (dm^), a köbcentiméter (cm^), a köbmilliméter (nmi^). Összefüggés a négy térfogategység között:
Használatos térfogategység a liter (1), ill. ennek a többszörösei: 1 dm^ = 1 1= 10 d l = 100 c l = 1000 ml. A leggyakrabban előforduló testek felszínét és térfogatát tábláza tokban foglaltuk össze a következő oldalakon. A táblázatokban a következő átalános jelölést alkalmazzuk: T : a test alapjának területe, K : a test alaplapjának kerülete, P: a test palástjának területe, m: a test magassága, A: a test felszíne, V : a test térfogata, R: a test köré írt gömb sugara, r: a testbe írt gömb sugara. Az ezeken kívül szükséges adatokat a jelzett ábrán tüntetjük fel. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a megadott felszín- és térfogatkép letek után nem írjuk ki terület- és térfogat mértékegységet; ezeket azonban az adott számítások során nem mellőzhetjük! Test
Téglatest
Felszíne
Térfogata
A = 2 (ab + ac + 6c)
V = abc = Tm
A = Km
V = Tm
(10.93. ábra)
Egyenes hasáb
X. ELEMI GEOMETRIA
Test
Felszíne
Paralelepipedon
A = 2 a b ’ sm(a;6)+
(10.92. ábra)
275
Térfogata V = Tm
+ a c *sin(a; c)+
V = afec ■sin(a; 6) sin ^
+bc - sm(&; c) ^ Gúla
A= T+ P
(10.95. ábra)
Csonkagúla
v = j(r + V T i+ t^
(10.95. ábra)
Tetraéder
A = y/Z a ^ = ^ ^
(10.88. ábra)
A = 24 v^
le
t2
”
V -8 % r S
_ \/6 R R — ---- a r = — 4 3
Kocka
A
(10.88. ábra)
A
= 6a ^ = 8 R ^ = 24t^
Oktaéder
A
= 2y/3a^=4V 3R ^
(10.88. ábra)
A = 12y/ 3 r^
9
V
= 8r3
V
= 4>/3-r3
>/3 a H—— a r = 2 2
„
y/2
Vé
R = ---- a r = -----a 2 6
Dodekaéder (10.88. ábra)
„
i + VE
R = ---------- a 4 1 / 25+ llV ^
2V
10
+ 2y/Eya^ í4 = 20,646o2 A = 3 ^ 5 (b
V _ 1 5 + 7v/5^3 V
4 ,
= 7,663a3
276
X. ELEMI GEOMETRIA
Test
Felszíne
Ikozaéder
Térfogata
A = 5y/3a^
(10.88. ábra) „ V R=
10 + 2VE
»
\/42+18\/5 r = -------------------a 12 Egyenes körhenger
P = 2r7rm
V = r^'Km
A = 2nr(r + m) Egyenlő oldalú
A = 6r^7T
V = 2r37T
henger Egyenes körkúp
P = TTra = r'iry/
(10.98. ábra)
A = r7r(r + a) =
r^Trm
r^Tracosa
3
3
= r7T Egyenlő
A = 3r^7T
oldalú kúp Egyenes
P = Tr{R-\-r)a
csonkakúp
A — tt RT +
Y _
+ iír)m 3
(R + r)a
(10.101. ábra) Gömb
A ^ AR^tt
Gömbszelet
P == 2R'Km
(10.104. ábra)
A = 'K{2Rm H- r^) A = 7rm(4i? —m)
_
4^3,^ _ RA 3 3 7r(3r —m )m ?
V =
+ »^^)^
X. ELEMI GEOMETRIA
Test
277
Felszíne
Gömbréteg
P
=
2TrRm
(10.105. ábra)
A
=
Tr{2Rm + rj
Gömbcikk
A
=
7 r (2 m +
(10.106. ábra)
A = Trr 2m
Gömbgerezd
P = 2aR ^=
Térfogata
+
V =
—(3 t*2 6
V
=
-TcR^m 3
y
=
3 r 2 H“
)t)i
r|)
(palástja gömböv)
(10.107. ábra) (palástja (P) gömbkétszög, a gömbkétszög szöge a)
r)R m {2R —m)
360°
í -kR^
2
o -a r ^ =
3
a ° 47t --------------------- R^
360°
3
XI. KOORDINATAGEOMETRIA
A SÍK KOORDINÁTAGEOMETRIÁJA X i.l. A PONT KOORDINÁTAGEOMETRIÁJA KÉT PONT TÁVOLSÁGA Legyen az A B szakasz két végpontjának helyvektora a és b ( 11.1. ábra); az A-tól a B-he mutató vektor A B = b —a koordinátái A B {bi - ai;b2 - a2). A két pont távolsága
11.1. ábra
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
279
OSZTÓPONT KOORDINÁTÁI Az A B szakaszt AT
p
TB~ q arányban osztó T pont t helyvektora (11.2. ábra) t=
(1)
QA + ph P+ Q ’
ahol a és b jelöli az A, ill. B pont heljrvektorát.
Az osztópont koordinátái: íl = <2 =
q a i+ p b i p+ q
qa2+pf>2 p+ q
Az ( 1) összefüggésből p : q = l arány esetén kapjuk a szakasz F ( / i ; / 2) felezőpontjának f helyvektorát f =
a+ b
280
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
A szakasz felezőpontjának koordinátáit az f helyvektor adja koor dinátákkal kifejezve:
Legyen az A B szakasz A-hoz közelebb eső harmadolópontja H{hi; /i2) (11.3. ábra), helyvektora h; ekkor p : q = 1: 2, így (1) szerint 2a + b
Ebből az ^-hoz közelebb eső harmadolópont koordinátái:
A háromszög súlypontjának koordinátáit is mint osztópont koor dinátáit határozhatjuk meg. Tudjuk, hogy a súlyvonal a csúccsal
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
281
szemközti oldalt felezi, pl. a C csúcsból húzott súljrvonal az A B oldalt az F { f i ; f 2 ) pontban felezi (11.4. ábra), ezért fl =
Í2 =
2
’
Másrészt az S { s i ; s 2 ) súlypont a súlyvonalat (most az F C -t) 2 :1 arányban osztja (a csúcshoz közelebb esik a harmadrész): 2/ i + c i
2^
+
Cl
= ------- 3------- ’ amiből ai + 6i + Cl Sl =
és hasonlóan S2 =
0
Egy háromszög oldalainak felezőpontjai A i(—2; 1), JBi(4; —3), Ci{2;3). Szá mítsuk ki az oldalak hosszát és a súlypont koordinátáit!
282
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
A felezoi>ontok koordinátái alapján (11.5. ábra):
6i H- Cl 2
= 4,
2
tti + 61 2
= - 2,
= 2,
62 + C2 2
«2 + C2 2
Ű2 + ^
’
2
= 1, = -3 , = 3.
Az egyenletrendszer megoldásából: A ( 8 ;- l ) ,
B (-4 ;7 ),
<7(0;-5).
így az oldalak hossza: d A B
=
y J ( - 4 - 8 f + [ 7 - ( - l )
■= V ^ = 4>/Í3,
dAC = y l ( 0 - 8 f + [ - 5 - (-1 ) ] = y/8Ö= 4y/E, dBC = \ j 0 - ( - 4 ) ^ + ( - 5 - 7 ) ^ = >/Í6Ö = 4VlÖ. A háromszög súl3^ntjának koordinátái:
Xs = 2/« =
8-4+0
4
3 -1 + 7 - 5
3 1
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
283
Végül a háromszög területét adjuk meg csúcspontjainak koordiná táival. Az A{x\;y\)^ ^ (^ 2?2/2)? C'(^3;2/3) csúcspontokkal adott háromszög területe ( 11.6. ábra):
11.6. ábra
XI.2. AZ EGYENES KOORDINÁTAGEOMETRIÁJA AZ EGYENES EGYENLETEI \ö\ A geometriai alakzat vektoregyenletén olyan vektoregyenletet értünk, amelyet a geometriai alakzat minden pontjának helyvek tora kiélést, míg más pontok helyvektora nem. Az alakzat pontjai megadhatók a koordinátáikkal vagy a helyvek torokkal.
284
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
Az egyenes irányvektora az egyenessel párhuzamos, bármely — zérusvektortól különböző — v vektor. Legyen az e egyenes irányvektora v ^ 0, és az egyenes menjen át az adott Pq ponton, amelynek helyvektora ro, továbbá jelölje az egyenes bármely r helyvektorú pontját P (11.7. ábra). Ekkor r = ro + és mivel PqP ||v, ezért PqP = ív (í € K ), így
( 1)
r — ro + ív.
Ezt az összefüggést az egyenes paraméteres vektoregyenletének ne vezzük. A t paraméter bármely valós szám lehet, a P futópont elhelyezkedésétől függő értéket vesz fel. Az r helyvektor befutja az egyenes és csak az egyenes minden pontját.
Egy adott ponton átmenő, adott irányvektora egyenest paraméteres egyenletrendszerrel is megadhatunk:
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
285
Legyen Po(xo;yo), v(wi;w2); az (1) egyenlőségből: tvi
X — XQ+
(2)
y = yQ
t G M..
+ tv2,
Adott ponton átmenő, adott irányvektorú egyenes egyenletét a (2) egyenletrendszerből kaphatjuk meg:
VI
'-yo
t=
(V2^0).
V2
A bal oldalak egyenlőségéből következik a jobb oldalak egyenlősége: X-XQ VI
2/ - 2/0 V2
és rendezés után
2
(3)
V X -
V i y = V 2Xo -
Viyo-
Ha v i = 0, azaz az egyenes iránjrvektora párhuzamos az akkor az egyenes egyenlete = xq
{ ye \
y = yo
ix€]
x
y
tengellyel,
ha V2 = 0, akkor
Mi az egyenlete annak az egyenesnek, amely áthalad a Po(—2; 1) ponton és irányvektora v (—1; —5)? A V irányvektorú egyenes V 2 X -
v i y
=
V2XQ
-
v iy o
egyenlete aJapján: —5a; — {—y) = —5(—2) — (—1)1, tehát az egyenes egyenlete: -b x -^ y = ll.
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
286
[2]
Az egyenes normálvektora bármely olyan — zérusvektortól kü lönböző — n vektor, amely merőleges az egyenesre.
Legyen Poi^o'^Vo), az e egyenes adott pontja, normálvektora n { A ;B ) (11.8. ábra), az A x + B y = Axo + Byo
(4)
egyenletet adott ponton áthaladó, adott normálvektorú egyenes egyen letének nevezzük.
|P| írjuk fel a Po(5;2) ponton áthaladó, n(—1;4) normáUvektorú egyenes egyen letét! Az adott normáUvektorú egyenes A x + B y = A xq Hegyenlete alapján: -x-\ -A y = 3.
Ha az egyenes v(vi;t;2) irányvektora ismert, akkor ebből előál lítható az egyenes normálvektora: n(v2)”-vi) vagy n(—i;2 ;v i). For málisan tehát a két koordinátát felcseréljük, és az egyiket ellentétes előjellel vesszük.
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
287
így pl. az A = ^2, ^ = ""^1 helyettesítést (3)-ban elvégezve, kapjuk (4)-et. A (4) összefüggés közvetlenül is igazolható a két vektor skaláris szorzatának felhasználásával. Mivel PoP±n^ ezért e két vektor skaláris szorzata zérus: n ^
= 0,
azaz n(r - ro) = 0. Ez az alak az egyenes normálvektoros egyenlete (az xy síkban). Koordinátákkal kifejezve: A {x - xo) + B {y - yo) = 0, amiből rendezés után (4) adódik. Legyen az e egyenes és az x tengely pozitív félegyenese által bezárt — pozitív forgási irány szerinti — szög a (ezt nevezzük az egyenes iránysz^ének). Az irányszög tangensét (ha ez létezik, azaz a ^ 90°) az egyenes iránytangensének vagy meredekségének nevezzük; jelölése m (11.9. ábra). Ha Po{xo;yo) az egyenes ismert pontja, és meredeksége m, akkor az egyenes iránytényezős egyenlete:
(5)
y - y Q = m{x - xq).
Ha az irányszög f , akkor az egyenes egyenlete: x = xq, y e M . ( 11.10. ábra). Ha az m meredekségű egyenes átmegy a B{0;b) ponton, akkor az egyenlete ( 11.11. ábra): y = mx -h h.
288
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
Az egyenes iránytangensét az egyenes irányvektorának koordiná táival is kifejezhetjük ( 11.12. ábra). V2 m = tg a = — VI Ezt felhasználva és a V2X - Viy
=
V2XQ
-
ViVQ
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
289
egyenletből kiindulva, V2
V2
Vi
Vl
—x - y = —x o- y o , m x ~ y = mxQ - yo, y - y o = m {x-xo), kapjuk az (5) egyenletet. Ha az egyenes (egyik) irányszöge a, tehát v (cosa ;sin a ) az egyik iránjrvektora (|v| = 1), akkor az egyenes (2) paraméteres egyenletrend szere
290
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA X = XQ -^tcosa
y = 2/0 + ^sina alakban is írható. A P l ( x i ; y i ) és a P2{x2] 2/2) ponton áthaladó egyenes h*ánytangense (11.13. ábra) _ ^
2/2-2/1 X2 - X I
^^ ^ ^ ^2)-
Ezt az iránytényezős egyenletbe m helyére behelyettesítve, megkapjuk a két po nton áthaladó egyenes egyenletét: y2-yi f X y -y i = - — - { x - x i ) X2 — X i
Tegyük fel, hogy az e egyenes átmegy az A (a;0) és a B (0;ö) pontokon. Ekkor az £ + 1 = 1 a
0
{ajíO, M O )
XI. KOORDINATAGEOMETRIA
291
egyenletet az egyenes tengelymetszetes alakjának nevezzük. Az egyenes egyenletének általános alakja (A és B egyszerre nem 0).
Ax-\-By-\-C = 0
Minden egyenes egyenlete ilyen alakra hozható, és minden kétismeretlenes elsőfokú egyenlet egyenes egyenlete.
AZ EGYENESEKKEL KAPCSOLATOS EGYENLETEK Két egyenes párhuzamosságának, HL merőlegességének feltétele B
Két, e és f egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha irányvektoraik párhuzamosak, azaz Ve = Av^ (A G E, A ^ 0); vagy normálvektoraik párhuzamosak: Ue = Xnf (A G M, A / 0); vagy iránjrtangenseik egyenlőek: m e = m f (ha e és f metszi az y tengelyt).
S
Két, e és f egyenes akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha irányvektoraik (normálvektoraik) skaláris szorzata 0: VeV/ = 0,
nenf = 0;
vagy az e egyenes Ve irányvektora az / egyenes n j normálvektorának skalárszorosa (11.14. ábra): Ye = Xnf
(A g M );
vagy ha a két iránytangens szorzata ( —l)-gyel egyenlő, azaz nie = — — TJlf
(ha e és f metszi az y tengeljrt).
292
0
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
írjuk fel anneJc az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a Po(3;4) ponton és párhuzamos, ill. merőleges az y = 2x —3 egyenesre! Jelöljük az adott egyenest e-vel, az irányvektorát ve-vel, a keresett egyenest /-fel, az irányvektorát v/-fel! A feladat szerint e ||/ , így Ve = (1; 2) = v^. Az e egyenessel párhuzamos / egyenes egyenlete: 2x - y = 2. Ha a keresett / egyenes merőleges az adott e egyenesre, akkor Vg = n /. így az / egyenes egyenlete: x + 2y = l l .
Egyenesek hajlásszöge A megadott e és f egyenesek egyenletéből leolvashatjuk a két egyenes egy-egy Ve, irányvektorának koordinátáit. A két irány vektor hajlásszöge nyilván megegyezik a két egyenes hajlásszögével vagy annak kiegészítő szögével (11.15. ábra). A két irányvektor VeVy. = |Ve||vy|cOS¥> skaláris szorzatából tehát meghatározhatjuk a két egyenes hajlásszögét: VeV/ COS(p=-— r j ^ . Ve V /
XI. KOORDINATAGEOMETRIA
0
293
Határozzuk meg ; e: 3x + y = 2 és az f : x -^ 2 y = 3 egyenletű egyenesek által bezárt hegyesszög nagyságát! A 3x H- y = 2 egyenes Ve iráinjrvektora: Ve = (—1; 3); az x-{-2 y = 3 egyenes V / irányvektora: v / = (—2; 1). A két vektor skaláris szorzatából:
IVellv^l
^ ( _ i ) 2+ 32^ ( _ 2)2 + i 2 5
_
x/5Ö ~
5 \ /5 Ö
_
50
~
^
2 ’
amiből
Pont és egyenes távolsága Egy adott P\ pontnak egy adott e egyenestől való távolságát meghatározhatjuk, ha követjük a szerkesztési eljárást: 1) felírjuk az
294
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
adott P\ ponton átmenő, e-re merőleges g egyenes egyenletét; 2) meg határozzuk az e és ^ egyenesek M metszéspontjának koordinátáit; 3) kiszámítjuk a Fi és az M pont távolságát. A szerkesztési eljárások pontos követésével általában koordináta geometriai módszerekkel is megoldhatjuk a geometriai szerkesztési feladatokat. A pont és egyenes távolsága azonban közvetlenül is meghatároz ható. m
Az adott P i { x i ; y i ) pont és az A x -h B y -f C = 0 egyenletű egye nes d távolsága (ahol A, B az egyenes n normávektorának koordinátái): //
A x i + B yi + C
— Uf —
Szögfelezők egyenlete Két egyenes által bezárt szög szögfelezőinek egyenletét is közvet lenül fel tudjuk írni. A szögfelező(k) azoknak a P (x ; y) pontoknak a halmaza, amelyek az e és f egyenestől egyenlő távolságra vannak, gizaz amelyekre dpe = d p f .
Felhasználva a pont és egyenes távolságképletét: AeX -f*
"í" Cg
AjX -\- B j y - V C j
azaz a két egymásra merőleges szögfelező egyenlete:
XI. KOORDINATAGEOMETRIA
AeX H- BeV + Ce _
+ B jy + C f
A eX + BeV + Ce _
Ayj: + BfX) + C f
295
XI.3. A KÚPSZELETEK KOORDINÁTAGEOMETRIÁJA KÖR A kör egyenletei [d1 a kör azoknak a síkbeli P pontoknak a halmaza (mértani helye), amelyek egy adott ponttól, a kör C középpontjától egyenlő 0) távolságra vannak. Ez az állandó távolság a kör r sugara. A kört egyértelműen meghatározza a középpontja és a sugara. m
A C{u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete (11.16. ábra):
(1)
( x - u ) ^ + { y - v f = r^.
Ha a kör középpontja az origó, akkor egyenlete
Az (1) egyenletet természetesen azok és csak azok az (x; y) rende zett számpárok elégítik ki, amelyek a C{u]v) középpontú, r sugarú kör pontjainak koordinátái. Ha a kör egyenletében elvégezzük a négyzetre emeléseket és ren dezzük az egyenletet, akkor — megfelelő helyettesítésekkel — az
296
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
Ax^ + Ay^ -\-Bx-\-Cy-^D = 0
( 1)
(A^O)
másodfokú, két ismeret lenes, a;^-os tagot nem tartalmazó egyenlethez jutunk, amelyben a négyzetes tagok együtthatója egyenlő. Ez a kör általános egyenlete. Az ( 1) alakú egyenlet nem minden esetben állít elő kört, csak akkor, ha azonos átalakításokkal (teljes négyzetté való kiegészítéssel) {x Jr{y-v)^ alakra hozható, ahol 5 > 0. Ha ugyanis 5 = 0, akkor (1) a kör kö zéppontjának egyenlete, míg ha 5 < 0 (azaz < 0 lenne), akkor az egyenlet nem értelmezhető valós alakzat egyenleteként. Adjuk meg az
+y^ -Qx + Ay + \2 —^ egyenletű kör középpontjának koordinátáíit és sugarát! Hozzuk az adott egyenletet
( x - u f + { y - v f = r ‘^ alakúra!
(x - 3 ) 2 - 9 + (3/ + 2 ) ^ - 4 + 12 = 0,
( o ;- 3 ) V ( y + 2)2 = 1, amiből a C középpont koordinátái: u = 3, v = —2 és a kör r sugara: r = 1.
XI. KOORDINATAGEOMETRIA
297
A C{u;v) középpontú, r sugarú kör paraméteres egyenletrendszere: X = u-^rcost y = v -\-rshit,
0 < í < 27t.
A kör érintőinek egyenletei pn
Az origó középpontú = r^ kör P i { x i ; y i ) pontjában hú zott e érintőjének az egyenlete (11.17. ábra) xxi+yyi
Ha a kör középpontja nem az origóban van, hasonlóan látható be, hogy az (u]v) középpontú {x —u)^ {y — kör P\{x\\y\) pontjában húzott érintőjének egyenlete: {x - u )(x i - w) + (í/ - v){yi - Vi) = r^.
298
0
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA írjuk fel az + 2/^ = 25 egyenletű kör azon érintőinek egyenletét, amelyek átmennek a (7; 1) ponton! Az érintő egyenletét keressük y = mx + 6 alakban! Az adott pont koordinátái kielégítik az egyenletet: 7 = m -h 6,
ebből
6 = 7 — m,
tehát y = mx -\-7 —m. Ha az y = m x + 7 — m,
egyenletrendszerből kapott
x^-h m x + (7 — m)
= 25
másodfokú egyenlet diszkriminánsa nulla, akkor az egyenes érinti a kört. Ezen feltétel mellett kapjuk, hogy a 3x-i-4y = 25, 4 x - 3 y = 25 egyenletű egyenesek eleget tesznek a feladat feltételeinek.
PARABOLA
[Ö] A parabola a sík azon pontjainak halmaza (mértani helye), ame lyek egy adott ponttól (a fókuszponttól) és az adott pontra nem illeszkedő ún. vezéregyenestől (direktrixtől) egyenlő távolságra vannak. A vezéregyenes vagy direktrix (d) és a fókuszpont (F ) távolsága a parabolára jellemző érték; ezt a parabola paraméterének nevezzük, és p-vei jelöljük (11.18. ábra). A parabola fókuszából a vezéregyenesre bocsátott merőleges egye nest — amely a parabola szimmetriatengelye — a parabola tengelyé nek, a parabolának a tengelyre illeszkedő pontját a parabola csúcsának nevezzük.
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
299
Helyezzük el koordináta-rendszerben a felfelé nyitott parabolát úgy, hogy tengelye az y tengely legyen és csúcspontja az origó (11.18. ábra)! Ekkor a fókuszpont koordinátái F (O; § ) , a vezéregyenes egyenlete y = Tudjuk, hogy a parabola tetszőleges P{x; y) pontja egyenlő távolságra van a fókusztól és a vezéregyenestől: dpj' = dpF, tehát
(1)
y+
A p paraméterérték pozitív, és a parabola helyzetéből következik, hogy y > 0 . Emiatt az egyenlet bal oldala pozitív — a jobb oldala nyilván pozitív — , ezért az egyenlet két oldalát négyzetre emelve, az eredetivel ekvivalens egyenlethez jutunk. Az egyenletet négyzetre emelve és rendezve kapjuk a parabola tengelyponti (csúcsponti) egyen letét:
(2 )
-------
A (2) egyenletet azok és csak azok az {x',y) rendezett valós szám párok elégítik ki, amelyek az F (O; |) fókuszpontú, y = —^ (í> > 0) vezéregyenesű parabolán helyezkednek el.
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
300
Az y —
egyenletű parabola az /:
függvény grafikonja. A koordináta-rendszerben a különböző helyzetű parabolák egyenletei a következők: Fókuszpont: F (O; |) {p G M+); a parabola egyenlete (11.19. ábra):
2p
Fókuszpont: F ( 0 ; — ra): y=
vagy
= 2py.
( pG M'*'); a parabola egyenlete ( 11.20. áb-
Zp
vagy x^ = -2 p y .
Fókuszpont: F (líO ) {p € K'*'); a parabola egyenlete (11.21. á^taj: x = -^ y ^ 2p Fókuszpont; F ( ~ f ^ ra):
vagy y'^ = 2px. ® parabola egyerdete (11.22. áb-
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
301
11.20. ábra
2p
vagy y^ = -2 p x .
Ha a parabola tengelypontja (csúcspontja) C {u ;v) és tengelye párhuzamos az y tengellyel, akkor a parabola egyenlete (11.23. ábra): y -v = -{x -u f.
302
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
E bb^ rendezés — és megfelelő helyettesítés — után £iz
egyenletet kapjuk, amit a parabola általános egyenletének nevezünk. Ezt az „ismerősebb”
alakra is hozhatjuk.
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
303
Tehát az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabola a másodfokú függvény grafikus képének tekinthető. m
Minden / : M —» M,
ax^ +
4- c
(a ^ 0)
másodfokú függvény grafikonja az y tengellyel párhuzamos ten gelyű parabola. 0
Határozzuk meg az egyenletű parabola fókuszpontját és vezéregyenesét! Rendezzük az egyenletet y-TB.\
y = Íx^ + a; + 2. 4
Al2Űutsuk a jobb oldalt teljes négyzetté: y = \ { x ^ + i x ) + 2 = \ f(x + 2 ) 2 - 4 l + 2 = i(a: + 2)^ + 1. 4 4 L J 4 Az 1/ =
~
^ alakú parabola tengelypontjának koordinátái: (u; v) =
A parabola |>aramétere: ^
p = 2. Tehát a fókuszpont koordinátái:
( - 2;i). A vezéregyenesének egyenlete: y = 0. A parabola képe a 11.24. ábrán látható.
IdI Ha a parabola síkjában levő egyenes metszi a parabola tengelyét, és a parabolával csak egy közös pontja van, akkor azt a parabola érintGjének nevezzük. Bizonyítható, hogy minden pontban a parabolának egy és csakis egy érintője van. Az olyan egyenest, amelyik párhuzamos a parabola tengelyével — bár egyetlen közös pontja van a parabolával — nem tekintjük a parabola érintőjének. A parabola görbéje euklideszi módon nem szerkeszthető, de para bolapontokat szerkeszthetünk a következőképpen: A d vezéregyenes tetszőleges T pontjában áiUítsunk merőlegest a vezéregyenesre (11.25. ábra). Ennek a merőlegesnek a parabolához
304
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
tartozó P pontját az F T szakasz felezőmerőlegese metszi, hiszen ekkor P T = P F . Minden esetben egyetlen metszéspont van, mert F T nem párhuzamos a vezéregyenessel. így a parabola tetszőleges sok pontját megszerkeszthetjük.
ELLIPSZIS Az ellipszis azoknak a pontoknak a halmaza (mértani helye) a síkban, amelyeknek két adott ponttól, a két fókuszponttól (Fi-től és F2-től) mért távolságainak összege állandó, és ez az állandó nagyobb, mint a két fókuszpont távolsága (11.26. ábra):
XI. KOORDINATAGEOMETRIA
305
P F i + P F 2 = állandó. Az ellipszis szimmetrikus a fókuszokat összekötő szakasz egyene sére, valamint az F 1 F2 szakasz felezőmerőlegesére. Az ellipszis két szimmetriatengelyének O metszéspontját szimmetriacentrumnak, ill. az ellipszis középpontjának nevezzük. Az A B szakasz hossza az ellipszis nagytengyelye, jelölése 2a. A C D szakasz hossza az ellipszis kistengelye, jelölése 2h. Az F 1 F 2 távolságot 2c-vei jelöljük, így a fókuszpontok koordinátái: F i ( - c ; 0) és F2(c ;0). A P F i, P F 2 szakaszt az ellipszis P pontjához tartozó két vezérsugámak {rádiuszvektornak) nevezzük; általában ri-gyel és r2-vel szoktuk jelölni. Az ellipszis definíciójának értelmében AFi + AF 2 = állandó. és AFi + AF 2 éppen az ellipszis nagytengelyével egyenlő. Ebből következik, hogy bármely P ellipszispontra:
306
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
PF\ 4- P F 2 = 2a,
( 1)
2a > 2c,
a > c.
Az (1) összefüggést az ellipszis és az y tengely C metszépontjára alkalmazva: CF\-\r C F 2 = 2a, de C F i = CF 2 (az ellipszis szimmetrikus a kistengelyére is), így CF\ = C F 2 = a . Ez alapján a COF\ derékszögű háromszögből:
Az ellipszist egyértelműen meghatározza a két fókusza, F i (—c;0), F2(c ;0) és a nagytengelye 2a (a > c). A fókuszoknak az ellipszis középpontjától mért c távolságát lineáris excentricitásnak nevezzük. Helyezzük el az ellipszist a koordináta-rendszer origójában a 11.26. ábra szerint! Ekkor az ellipszis tetszőleges P pontjához tartozó r \, T2 vezérsugarakra: ri = P F i = y /(x + c)^ + í/2, r2 = P í b = \ /( ^ - c ) ^ + 2/2. m
Az ellipszis definíciójából következik, hogy £iz ellipszis pontjaira és csak ezekre (a 11.26. ábra jelöléseivel) r\-\-r2 = 2a, azaz c f -f és ebből
+ y j i x - c f' + 1/2 = 2a,
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
307
+ 62 - 1-
Ez az adott ellipszis egyenlete (a két egyenlet ugyanazt mondja). 2 2 Ha az ^ + p- = 1 egyenletű ellipszist az r(i6; v) vektorral eltoljuk, akkor egyenlete: = 1.
A kijelölt műveleteket elvégezve kapjuk az ellipszis általános egyen letét: A x 4- B y + C x + D y -\-E — 0^ Ez olyan másodfokú kétismeretlenes egyenlet, amelyben a másodfokú tagok (0-tól különböző) együtthatói egyenlő előjelűek és nincs benne xy-os tag. Ha A — B^ akkor kör egyenletéhez jutunk. írjiik fel 3LZ F i(—3;0), F2(3;0) fókuszpontú és a Pq (4: ^ ) ponton átmenő ellipszis egyenletét! A P q pontba húzott vezérsugarak összege a nagytengely: ^0^1 + ^0^2 = 2a.
Í g y 2 a = f + ^ = 10,a = 5. Mivel F 1F 2 Az
= 2c, c = 3.
a2 = &2+ c2 Összefüggésből lete:
= 25 — 9 = 16, tehát a keresett eUipszis egyen
25
16
308
Az ^
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
1 egyenletű ellipszis paraméteres egyenletrendszere: x = a cos t y = bsint
Euklideszi szerkesztéssel csak az ellipszis pontjai szerkeszthetők, maga a görbe nem. Az ellipszispontokat a következő módon szerkeszt hetjük meg: Legyenek adottak az ellipszis egymástól 2c távolságra levő fókuszai és a nagytengelyének 2a hossza (2a > 2c). Rajzoljunk az egyik fókusz körül ri == 2a —X (a; > 0) és a másik fókusz körül T2 = x sugárral kört (11.27. ábra). A két kör közös P pontja egyúttal az ellipszis pontja is, mivel PF\ + P F 2 = 2a —X X = 2a.
a-x
11.27. ábra
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
309
HIPERBOLA |d1 a hiperbola azoknak a pontoknak a halmaza (mértani helye) a síkban, amelyeknek két adott ponttól, a két fókuszponttól (i^i-től és F2"től) mért távolságkülönbségének abszolút értéke állandó, és ez az állandó kisebb a két fókuszpont távolságánál (11.28. ábra): \PFi - P F 2 \= állandó.
11.28. ábra
A hiperbolának két szimmetriatengelye van: az F iF 2-re illeszkedő egyenes és az F 1 F 2 szakasz felezőmerőlegese. Metszéspontjuk a hiper bola szimmetriapontja. Az A B szakaszt a hiperbola valós tengelyének nevezzük és 2a-val jelöljük. A fókuszok távolságát 2c-vel jelöljük; c a hiperbola lineáris excentricitása. A valós tengely A (vagy B ) pontjából c sugárral rajzolt kör által az F 1 F 2 felezőmerőlegeséből kimetszett C D szakaszt
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
310
a hiperbola kistengelyének (képzetes tengelyének) nevezzük, és 26-vel jelöljük. Az A O C derékszögű háromszögbal
A hiperbola definíciójának értelmezése alapján könnyen belátható, hogy bármely P hiperbolapontra: \ P F [-P E \ = 2 a , azaz
|ri - T2|=
2a,
és 2a < 2c, a < c.
m
Helyezzük a koordináta-rendszer x tengelyét az F 1 F 2 egyenesre, y tengelyét pedig az F\F2 szakasz felezőmer^egesére (11.28. ábra). Ekkor a hiperbola középponti egyenlete:
b2 Ha az ^ ^ = 1 egyenletű hiperbolát eltoljuk az ral, akkor az eltolt hiperbola egyenlete: {x - u y
{y - v) h
t {u; v)
vektor
= 1.
A kijelölt műveleteket elvégezve és rendezve, olyan Ax^ 4- By^ + C x + D y
E = 0
A ,B ^ O
alakú másodfokú kétismeretlenes egyenletet kapunk, amelyben a négyzetes tagok együtthatói különböző előjelű valós számok és az xy-os tag hiányzik. Ha ismerjük a hiperbola két fókuszának távolságát (2c), és a valós tengelyének hosszát (2a), (2a < 2c), akkor a hiperbola tetszőleges pontját meg tudjuk szerkeszteni.
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
311
Rajzoljunk az egyik fókuszpont körül r i= 2 a -\ -x (x > 0), a másik fókuszpont körül r 2 = x sugárral kört. A két kör közös P pontja (ha az létezik) a hiperbola pontja, hiszen P F 1 - P F 2 = \ 2 a ^ x - x \ = \2al
KOORDINATAGEOMETRIA A TERBEN XI.4. A PONT KOORDINÁTAGEOMETRIÁJA A pont Descartes-koordinátái a térben Vegyünk fel a térben három, egymásra páronként merőleges szám egyenest úgy, hogy a 0 pontjuk közös legyen és az egység a három számegyenesen egyenlő legyen (11.29. ábra). A kapott alakzatot térbeli koordináta-rendszernek, a három egyenest koordinátatengelyeknek, az ezeket páronként tartalmazó síkokat koordinátasíkoknak nevezzük.
312
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
A koordinátatengelyeket x-, y-, z-vel jelöljük. Általában jobbsod rású koordináta-rendszert használunk: a 2; tengely pozitív irányából nézve, az x tengelyt -l-90°-os elforgatással (azaz az óramutató járásá val ellentétesen) tudjuk átvinni az y tengelybe. A tér tetszőleges Pq pontjának koordinátái xq, yo^ zq, ha helyvektora O P = a;oi + yoj + ^ok = (a:o;yo; zo)A rendezett valós számhármasok halmaza, az M x M x M = ]R^, a térbeli pontok halmaza és az O P térbeli helyvektorok halmaza között páronként kölcsönösen egyértelmű leképezés valósítható meg, így mindhárom halmaz jelölésére az szimbólumot használjuk. K ét pont távolsága A tér két tetszőleges, A(ai\a 2 '^a^) és B(hi\h2 ]h^) pontjának távol sága: - a i)2 + (6 2 - ^ 2 ) " + ( 6 3 - a a ) " .
d-AB =
Osztópont koordinátái Az A B szakaszt
arányban osztó T pont t helyvektora (11.30. ábra): + pb
(1)
p^q
Az Á{ ai ; a 2 ;as) és B{bi;b 2 ;bs) pontok által meghatározott A B szakaszt
| arányban osztó T { t i ] t 2 ;ts) pont koordinátái:
XI. KOORDINATAGEOMETRIA
ti = Í2 ==
313
qai + p h
p+ q qa2 +pb2
P+ q qaz + p H h = p+ q Ha p . q = \, cikkor az ( 1) összefüggésből kapjuk az A B szakasz F { f i ; f 2 - f 3 ) felezőpontjának { helyvektorát: f= amelynek koordinátái
a+ b
314
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
Az ( 1) egyenletből a p : g 1 : 2 arány esetén kapjuk az A B szakasz A-hoz közelebb eső harmadolőpontjának H{hi] h2 ] hs) h helyvektorát (11.31. ábra): 2a + b
Ebből Az A-hoz közelebb eső harmadolópont koordinátái: hl =
2ai + 6i
3 ’ 2tt2 + &2 h2 = 3 ’ 2aa + 63 hz = 3 ■
Háromszög súlypontjának koordinátái Ha az A B C A csúcspontjainak helyvektora a, b, c, akkor az S súlypontjának s helyvektora (11.32. ábra) a -h b -h c
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
315
amiből
11 .32 . ábra
0
Számítsuk ki az >1(1; 1; 0), B (0 ;—1;2) és a C (l;2 ;l) háromszögben az AS szakasz hosszát, ahol S jelöli a háromszög súlypontját! Először számítsuk ki a háromszög S(si] S2', s^) súlypontjának koordinátáit:
si = 52 = 53 = tehát a súlypont 5
l).
1
+0+1 3
2 “ 3’
1 -1 + 2 _ 2 3
0
~ 3’
+2 +1 =
1,
316
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
így AS
XI.5. AZ EGYENES KOORDINÁTAGEOMETRIÁJA m
A Po ponton (melynek helyvektora tq) áthaladó v 0) irány vektorral párhuzamos egyenes (11.33. ábra) paraméteres vektore gyenlete:
( 1)
r = ro + ív
(íe M ).
11.33. ábra.
I^1 Mivel PqP = r — ro II V , ezért r — ro = ív (t E ®), amiből (1) adódik.
Az T { x \ y , z ) , egyenlet
To { xo \ y o ; z o ) , v { v i ; v 2 : v 3 )
jelölést használva, az (1)
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
317
x ^ x o -h ív i; 2/ = 2/0 + tV2', z = zq ^~ tvs
(2 )
alakban írható. Ez az egyenes paraméteres egyenletrendszere. Ha vi, V2 , vs egyike sem nulla, akkor a (2) egyenletrendszerből a t kiküszöbölhető, és felírhatjuk az adott Fo(^o; 2/05 ^o) ponton áthaladó, adott v (t;i;7;2; V3) irányvektorú egyenes egyenletrendszerét: X-XQ VI
y-VQ V2
z
- zq vz
Ha a V irányvektor valamelyik koordinátája 0, akkor az egyenes valamelyik koordinátasíkkal párhuzamos. Legyen pl. V3 = 0 (de v\ / 0, V2 / 0); ekkor a (2) egyenletrendszer harmadik egyenletében t nem szerepel, így az {xy síkkal párhuzamos) egyenes egyenletrendszere: x
- xq ^ y - V Q >1 VI
V2 Z = ZQ
)
Ha a V irányvektor két koordinátája zérus, akkor az egyenes vala melyik koordinátatengellyel párhuzamos. Például a v(t;i;0;0) irány vektorú egyenes az x tengellyel párhuzamos; egyenletrendszere:
{te.
Térbeli egyenes normálvektoráról nem beszélünk, mivel egy egye nesnek a térben végtelen sok különböző irányú normálvektora van. írjuk fel a Pq(2; —1; 1) ponton átmenő, az e : x — 1 = l - y = egyenlet rendszerű egyenessel párhuzamos / egyenes egyenletrendszerét! Mivel az adott e egyenes párhuzamos a keresett / egyenessel, ezért az e
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
318
egyenes irányvektora az / egyenes egjrik irányvektorának vehető. Ezt úgy tudjuk leolvasni, ha az e egyenes egyenletét
x-xo VI
y-yo V2
z —ZQ ■03
alakra hozzuk: x-1
2 (^ + 1)
1
x-1 1
3
'
z+5
y-1 -
-1
-
f
’
tehát
így a keresett / egyenes egyenletrendszere: x-2 =
2/ +
1 _
-1 “ x —2 = l —y =
z - 1
I
’
2z-2
XI.6. A SÍK KOORDINÁTAGEOMETRIÁJA m
A Po pontra (amelynek heljrvektora tq) illeszkedő n ( / 0) nor málvektorra merőleges S sík vektoregyenlete (11.35. ábra): n(r - ro) = 0.
Az adott ro(xo;^o;^o) pontra illeszkedő, adott n { A ; B ; C ) normálvektorú sík egyenlete az ( 1) vektoregyenletből:
(2) ahol X, y és z koordinátái.
A { x - xo) + B { y - yo) + C { z - 2q) = 0, a,
sík tetszőleges r ( x ; y ; z ) helyvektorú pontjának
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
IP I
319
írjuk fel az >1(1;2; 1), B {3 ;2 ;—2) és a C(2;3;2) pontra illeszkedő sík egyeneletét! Ha a sík egyeneletét keressük, akkor ismernünk kell a sík egy pontját és az egyik normálvektorát. Most adott a sík három pontja is, de nem adott a normálvektora. Ezt előállíthatjuk pl. az A É és az A Ő vektorok vektoriális szorzataként (11.35. ábra).
11.35. ábra
320
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA Legyen A B = O B — O Á = a = (2; 0; —3),
10 = 0 0 - ö l = h = a X
b=
1); ekkor i 2
j k 0 -3
= 3i - 5j + 2k.
1 1 1 így a keresett sík egyik normálvektora n(3; —5; 2), és egyenlete (például az A pontot vegyük illeszkedési pontnak):
Z{x - 1) - 5(2/ - 2) + 2(z - 1) = 0, azaz rendezés után - h y - { - 2z =
— 5.
A (2) egyenletben a kijelölt szorzásokat elvégezve és az A xq -\+J5^0 + C'zo = —D jelölést alkalmazva kapjuk a sík általános egyen letét: A x + B y + Cz-\- D
Pn Minden A x + B y -\-Cz D =^Q alakú egyenlet (ha A, B és C közül legalább az egyik zérustól különböző) sík egyenlete, és minden sík egyenlete ilyen alakban írható. Ha a sík a korrdinátatengelyeket az A (a;0 ;0), jB(0; ö;0), (7(0; 0 ; c) pontokban metszi, akkor az egyenlete: (a ,6, c ^ 0). Ha a sík ( 1) vektoregyenletében szereplő n normálvektor egység vektor, akkor koordinátái iránykoszinuszok. Jelölje továbbá d a síknak az origótól mért távolságát; ekkor a sík egyenlete X cos a-\-y cos /3
z cos j —d = 0,
ahol a, (3,^ jelöli a normálvektornak az x, y, z koordinátatengelyekkel bezárt szögét. Ez a sík Hesse-féle normálegyenlete.
XI. KOORDINATAGEOMETRIA
321
Pont és sík távolságát is meghatározhatjuk: A P i { x i ; y i ; zi) pont és az Ax -h By + Cz + D = 0 egyenletű sík d távolsága: d=
Axx + hy\ + Cz\ + D V A ‘^ + B^ + C^
Az Ax-\-By + C z + D =
~ V ^ T W + W
0
egyenletet a sík normálegyenletének nevezzük. A két sík metszésvonala mind a két síkban benne van, így mind a két sík normálvektorára merőleges. Ha az utóbbiakat ni-gyel és n2-vel jelöljük, akkor a metszésvonal egyik irányvektora ni x n2A metszésvonal egy pontjának koordinátáit megkapjuk, ha — az egyik koordinátát szabadon választva — a két sík egyenletéből álló egyenletrendszert megoldjuk. IPI
Határozzuk meg a következő két sík metszésvonalát: S i:
x - y + z - l = 0,
52 : 2x + y - z + 4: = 0. Legyen z — 0; akkor az X —
y= i
I
2a; + egyenletrendszer megoldása: a; = —1; y — —2. A metszésvonal egy pontja: P ( - l ;- 2 ;0 ) . A metszésvonal egyik v irányvektora:
1 J k 1 - 1 1 = Oi + 3j + 3k. 2
1
-1
A v(0; 3; 3) helyett számolhatunk a (0; 1; 1) vektorral is, hiszen az irányvektor hossza lényegtelen. A metszésvonal egyenletrendszere;
.= -i| y+2=z
J
322
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
XI.7. FORGÁSFELÜLETEK EGYENLETE Ha egy tengelyesen szimmetrikus síkgörbét a szimmetriatengely körül megforgatmik, forgásfelület keletkezik.
FORGÁSHENGER Helyezzük el a 2r alapú, m magasságú téglalapot a térbeli koordi náta-rendszerben úgy, hogy az egyik szimmetriatengelye a 2; tengely legyen (11.36. ábra). Ha a téglalapot a 2; tengely körül megforgatjuk, forgáshenger keletkezik. A kapott hengerpalást P{x; y; z) pontjaira és csak ezekre:
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
323
GÖMB Forgassuk meg az -\-y^ = r^ egyenletű kört az y tengely körül. A keletkezett gömbfelület minden P (x ; y; z) pontjára és csak ezekre 2_^2
FORGASPARABOLOID Forgassunk meg egy p paraméterű parabolát (a vezéregyenesével együtt) a szinmietriatengelye körül. A keletkezett felületet forgásparuboloidnak nevezzük. Helyezzük el a keletkezett felületet az x yz koordináta-rendszerben úgy, hogy a tengelypontja az origó, fókusza pedig az F (0; 0; f ) pont legyen (11.37. ábra). Az így kapott paraboloid P{x; y; z) pontjaira, és csak azokra
324
XI. KOORDINÁTAGEOMETRIA
x ‘^ + y‘^ ^ 2 p z, ahol p jelöli a megforgatott parabola paraméterét.
FORGASKUP 2
2
Forgassuk meg az ^
^ = 0 egyenletű metsző egyenespárt a z
tengely körül! Az y koordinátára alkalmazva a A = ^ arányú transzformációt, az í
+ ? : - í: = o
egyenletű kúpot kapjuk.
ELLIPSZOID Forgassuk meg az = 1 egyenletű ellipszist a nagytengelye (x tengely) körül. A keletkezett fe lületet ellipszoidnak nevezzük. Az xyz térbeli koordináta-rendszerben a 2; koordináta A = | arányú transzformációjával kapott ellipszoid egyenlete (a, c féltengelyek):
XI. KOORDINÁTAGEOMETRJA
325
FORGASHIPERBOLOID Forgáshiperboloid keletkezik, ha a hiperbolát valamelyik tengelye körül megforgatjuk. Ha a képzetes tengely körül forgatunk, akkor a forgáshiperboloid egyköpenyű (egypalástú), ha pedig a valós tengely körül, akkor kétköpenyűnek (kétpaláistúnak) mondjuk. Helyezzük el a hiperbolát az x z síkba, és a valós tengelye legyen az képzetes pedig a z tengely; egyenlete ekkor í - í = i . A 2; tengely körüli forgatással és az y koordináta A ^ arányú transzformációjával keletkezett egyköpenyű forgáshiperboloid egyenlete (a, h a valós, c a képzetes féltengely):
Tekintsük most az xy síkban a hiperbolát, melynek valós tengelye az x, képzetes tengelye pedig az y tengely. Ennek a hiperbolának az egyenlete
Az X tengely körüli frogatáissal és a ^ koordináta A = ^ arányú transzformációjával keletkezett kétköpenyű forgáshiperboloid egyenlete (c a valós, a és b a. képzetes féltengelyek):
a2
^2
^2
XII.
d if f e r e n c iá l s z á m ít á s
X ll.l. A DIFFERENCIALHANYADOS ÉRTELMEZÉSE. A DERIVÁLT A DIFFERENCIAHÁNYADOS [d1 Legyen az / (valós-valós) függvény az ]a; 6[ intervallumon értel mezve és X15X0 ^](í;b[ {x\ ^ rro). Az f{xi)-f{xo) Xi — Xq
számot az / függvény P o(^ o ;/(^ o )) és P i ( x i ; / ( x i ) ) pontjához tartozó differenciahányadosának {különbségi hányadosának) ne vezzük. A különbségi hányados megmutatja az / átlagos, relatív — az x-hez viszonyított — értékvaltozási sebességét az [xq-,x i ] intervallumon. A differenciahányados geometriai jelentése: az / függvény y = f { x ) egyenletű grafikonjának P o (^ o ;/(^ o )) és Pi {x i ; f { x i ) ) pontjain átha ladó szelő iránytangense (12.1. ábra). Legyen az / (valós-valós) függvény az ]a;b[ intervallumon ér telmezve, s legyen x ennek az intervallumnak olyan tetszőleges eleme, amelyre x ^ X q. Ekkor a
g:]a; &[\{xo}
M,
x>-^
X -X q
függvényt az / függvény xq ponthoz tartozó differenciahányados{különhségi h á n y a d o s -)B ig g v é n y é n e \ L nevezzük.
XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
327
A g differenciahányados-függvény x\ helyen vett helyettesítési értéke éppen az / függvény differenciahányadosa. Szokás még az x —xq = Ax, f { x ) — /(x q ) = Aj/ jelölést is alkal mazni. Ezzel a jelöléssel az / függvény differenciahányados-függvénye:
X-Xo
A x’
Ax
A DIFFERENCIÁLHÁNYADOS (DERIVÁLT)
[d1 A z
függvényt az x q €]a; b[ pontban differenciálhatónak nevezzük, ha a / függvény xq pontbeli differenciahányados-függvényének az xo helyen véges határértéke van. Ezt a határértéket (számot) a függvény xq pontbeli differenciálhái^radosáiiak ( d e r iv á ltjá n a k ) nevezzük.
328
XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
A függvény Xq pontbeli differenciálhányadosát az /'(x q ), ül. df szimbóliinimal jelöljük, azaz dx a;=a;o ^
/M -/(x .)
x -^ x o
x
, dx
— xq
X=XQ
A differenciálhányados jelölésére szokáis még a
x^xQ
x
Ax
— xq
dx
X=XQ
jelöléseket alkalmazni, és a fizikában gyakori az f{to) (idő szerinti derivált) jelölés. Ha xq környezetéből csak az XQ-nál kisebb (nagyobb) értékeket választjuk, akkor / bal oldali {jobb oldali) differenciálhányadosát kapjuk. Az / függvény xq pontbeli differenciálhatóságának eldöntéséhez az / függvény különbségihányados-függvényének a határértékét kell vizsgálni az xq helyen. Ez — a határérték Heine-féle definiciöja szerint — azt jelenti, hogy ha bármely Xji
Xq
{xn / ^o) esetén az
/ Í í ü ) — /(^ o ) Xn-xo
különbségihányados-sorozat konvergens, akkor / az xq helyen diffe renciálható. Egyes problémáknál, ahol sejtjük, hogy mi lesz az /'(x q ), a dif ferenciálhatóságot a határérték Cauchy-féle definíciója segítségével is megállapíthatjuk. Az ]a; 6[ nyílt intervallumon értelmezett / függvény az Xq G]a; b[ pontban differenciálható és XQ-beli differenciálhányadosa /'( x o ) , ha bármely e > 0 számhoz található olyan 6 > 0 szám, hogy |rr —rro|<í
{x ^ xq)
esetén
~— / i —9.1 —/^(xq) < £ . X -X q
XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
0
1. V i z s g á l j u k
329
m eg, h ogy az
/: R
R,
+x
fü g g v é n y m e ly p o n t o k b a n d iffe r e n c iá lh a tó !
Jelöljön XQ tetszőleges valós számot. Az / függvény differenciaháinyawiosfüggvénye: f ( x ) - f j x o ) _ x ‘^ + x - (xg +xq) _ x ‘^ X — XQ
X l
X — XQ
_ (x
xo)(a; +
-
+
xq
)
-h.(a: -
_ (x -
xp)
x o )(x H -a ;o +
IC — XQ
A
-
M in th o g y x ^ x q ,
/( a :o )
^
h e ly e n v e tt é rté k e :
xq
(x -
xq
X -+ X Q
X — XQ
){x +
xq +
1)
X — XQ
e z é r t a z ( x — x q ) t é n y e z ő v e l e g y s z e r ű s ít h e t ü n k : lim
(x +
XQ +
2 x 0 + 1-
1) =
T e h á t a k tilö n b s é g ih á n y a d o s -fiig g v é n y h a tá r é r té k e b á r m e ly lé t e z ik
és
1)
X — XQ
d e fin íc ió a la p já n a d iffe r e n c iá lh á n y a d o s
^ *0
_
X -X Q
X — XQ
e g y e n lő
2x0 +
1 -g y e l.
E bből
k ö v e tk e z ik ,
b á r m e ly x q p o n tb a n d iffe r e n c iá lh a tó , és f ' { x o ) =
hogy
2xq +
xq
az
G K
p o n tb a n
/
fü g g v é n y
1-
2 . I g a z o lju k , h o g y a z x h -^ | x | fü g g v é n y ( 1 2 .2 . á b r a ) a z
xq
=
0 p o n t b a n n e m d iffe r e n c iá lh a t ó !
V iz s g á lju k a k tilö n b s é g ih á n y a d o s -fü g g v é n y h a tá r é r té k é t a z x o = b a n a H e in e -d e fin ic ió a la p já n :
f{X r .)-f{x o )
_
| o :n | -0 _
Xn-Xo
Xn - 0
|Xn|
X„
Ha
Xn ^ 0
(Xn > 0),
akkor f j X n ) -
fjxo)
X n — XQ
^
jx^
^
^
Xn
^ 1
Xn
ha x „
— ►0
( a :„
<
0 ),
akkor
_ ÍIL _
f ( .x n )-f (.x o ) _
Xn ~ Xq
Xn
Xn
1
0 p on t
330
XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
Megállapíthatjuk, hogy a különbségihányados-fiiggvénynek a 0-beli balés jobb oldali határértéke nem egyezik meg, így az / függvény a 0 pontban nem differenciálható.
A differenciálhányados geometriai jelentése: a görbe pontbeli érintőjének iránytcuigense (ugyanis a szelő az x —» xq esetben érintőbe megy át). Ha az / függvény az xq GDj pontban differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy az i / = f { x ) egyenletű görbének a P qÍ^o'jfi^ o )) pontban ¥an érintcje. A P q pontra illeszkedő egyenesek közül azt nevezzük érintőnek, amelynek az iránytangense (m = tg a ) /^(xq) (12.3. ábra). Ezek alapján a görbe { x o ; f{ x o) ) pontjához húzható érintőjének egyenlete:
V - fi^o) = f{xo){3: - xo). A differenciálhányados fizikai jelentése a következő: Ha ismerjük egy mozgó test s = s{t) útfüggvényét, akkor az s{t) - s{tp) t-to
XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
331
különbségihányados-fíiggvény jelenti a test átlagsebességének a nagy ságát a [to;t] időintervallumban.
pedig a test pillanatnyi sebességének számértékét a íq pontban.
A DERIVÁLTFÜGGVÉNY Az / függvényt az ]a; 6[ nyílt intervalliimon differenciáUiató Aggvénynek nevezzük, ha / az ]a;b[ intervallimi minden pontjában differenciálható. Ha az / függvény az értelmezési tartományának minden pontjában differenciálható, akkor f-e t differenciálható (vagy derivál ható) függvénynek mondjuk. Egy függvény deriváltjának a meghatározását a függvény deriválá sának szoktuk mondani. Azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya azon x pon tok halmaza, amelyekben egy adott / függvény differenciál ható, és amelynek értéke egy ilyen x pontban / '( x ) , az / függ vény differenciálhányados-fbggvényének vagy deriváltfüggvényé nek nevezzük. Jelölése: / ' , ill.
dx
332
XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
Az / függvény f derivált függvényének értelmezési tartománya az / függvény értelmezési tartományának részhalmaza: D^-/ C D^-. Megjegyezzük még, hogy az eddigi ismereteinkhez képest egy új konstrukciójú függvény: / függvényhez rendeljük az /'- t . (A fordí tott függvényművelet is létezik, amikor /'-h o z rendeljük /-e t; ez az integrálás.) A differenciálhatóság és a folytonosság igen szoros kapcsolatban van egymással. m
Ha / differenciálható az xq helyen, akkor ott folytonos is.
Az előző példában láttuk, hogy az / : M —^ M; f { x ) = |x| függvény a 0 pontban nem differenciálható, bár ott folytonos. így megállapít hatjuk: ha az / függvény egy xq pontban folytonos, akkor ebből nem következik, hogy XQ-han differenciálható is. Viszont, ha / valamely xq pontban nem folytonos, akkor biztos, hogy ott nem differenciálható. A kapott eredményt a következőképpen fogalmazhatjuk meg tétel formájában: m
A folytonosság a differenciálhatóság szükséges, de nem elegendő feltétele. Vagy
S
A differenciálhatóság a folytonosság elegendő, de nem szükséges feltétele.
Ha az / függvénynek a deriváltja, az / ' differenciálható az xq pontban, akkor az f a;o-beli differenciálhányadosát az / függvény xq pontbeli második differenciálhányadosának nevezzük, és így jelöljük: fixo). Ezek alapján beszélünk az / függvény első, második, harmadik, . . . , n-edik deriváltjáról, amelyek jelölésére a következő szimbólumot használjuk:
f i x ) , f i x ) , f i x ) , /W ( x ) ,
XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
333
Használatosak még a Leibniz-féle df
(fi f
(fix
d^f
(T'f
dx ’ dx‘^ ’ dx^ ’ dx"^ ’ ‘ ’ dx'^ jelölések is.
ELEMI FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJAI A leggyakrabban előforduló elemi függvények deriváltjait táblázat ban foglaltuk össze.
/'
/' 0
ctg X
X
1 X
X
X
X
—sin X
lg X
lo g ^ X
— X
xlnlO
xlna
xt-^
X I—>tgx
xh^a^ hl a
Ezek közül néhány szabályt bebizonyítunk, m
Bármely x(eE)-re
{ x^y = nx^-^
(n €N +,
n >2).
334
XU. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
|i?| Rögzítsük a tetszőleges lo-t és legyen { i n } tetszőleges, az xq 7^ a:o)-hoz tauiiozó sorozat. Vegyük a megfelelő különbségi hányados sorozatát:
(1) -
/ ( X n ) - / ( X 0) Xn —XQ
Xn —Xo
Alk?j]m?i7:9:iik az a" - 6" = (o -
b)( o " - l
+
+ ... +
ab''~^ + 6""^)
nevezetes azonosságot. E szerint (1 ) így írható:
x" - x j _ (='” “ Xn —Xq —
+ -.. + 1? “ ^) Xn—XO +x^-'^xo + . . . + xox'^-^ + 10“ ^ =
Itt felhasználtuk, hogy x ^ x j ^ , ha Xn a;o, ami a hatványfüggvény foly tonosságából következik. Mivel a hatáLrérték xo megválasztásától függetlenül hXq~^, ezért bármely x G R-re: (x” )' = nx^~^.
S IB\
Bármely a;(G R)-re: {sinx)' = cosx. A tetszőlegesen rögzített xq pontra írjuk fel a különbségi hányadosok sorozatát: f( x n ) - f ( x o ) _ sinxn -sinxQ Xn — Xq
Xn — Xq
Hasznákljuk fel, hogy
- --------cos-------^ + ^. smit + smi; = o2 sm 2
2
így (1 ) átalakítható: X n — XQ
sm xn—smxo _ Xn — Xq
X n — XQ
2 sm ----------- cos-----------2 2 X n — Xq
. Xn —Xo
sm
2___ Xn-XQ ^
H-Xq 2
►1 - COSXQ
=
CO SXQ .
XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS U g y a n i s , h a i c „ —*
cos
^
xq
(a ;„ ^
x q ), azaz
xq
2
335 és — —
2
—
—> 0 , a k k o r
^ cosxo (a cos függvény mindenütt folytonos), és .
Xn-Xo ; ----sinx X - X n ------ (mivel lim ------------ = 1).
Xn
X —»^0
Xq
X
2 Minthogy xq tetszőleges valós számot jelölt, ezért minden x G R-re (sinx)' = cosx. A koszinuszfüggvény deriváltjáinak meghatározása a fentivel analóg módon történhet a ^ . u+ v u —v cos u — cos V = —2 sm --------cos-------összefüggés felhcisználásával.
XI 1.2. DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK Összeg, szorzat, hányados differenciálása m
Ha c € M, továbbá f és g egy adott, nyílt intervallumon ér telmezett diflPerenciálható függvény, akkor c, c /, f
g, fg^ — 9 függvények is diflFerenciálhatók ezen az intervallumon és c' = 0; (c /)' = c /'; ( / + 9 )' = f + 9 '^ { f9)' = f'9 + fg'-, /f\> “
f'9 - f s f . 9^ ’
9{x)^0.
Megjegyezzük, hogy kettőnél több tényezős szorzat deriválási sza bálya a kéttényezős szorzat deriválási szabályának értelem szerinti általánosítása. így pl. 3 tényezőre:
336
XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
i f g h y ^ f ' g h + f g ’ h + fgh'.
0
Határozzuk meg a következő függvények deriváltjait! 1.
f { x ) = x^ +
-1.
Tagonként elvégezve a deriválást; f { x ) = 3x^+4x.
2.
/:[0 ;o o [^ M ,
Mivel f ( x ) = x^ + x'- i + ható:
X
f { x ) = V ^ -\ --^ -\ -x .
alakban írható és az összeg tagonként derivál
/':]0 ;o o H R , / ' ( . ) = i . - i -
3.
/ : R —> R,
Mivel
+ 1=
- ^
+ 1.
/(x ) = (sinic + 5ic)(l —cosx).
(sin x + 5x)' = cos a; + 5, (1 —cosa;)' = 0 — (—sinic) = sinic,
tehát felhasználva a szorzat deriválási szabályát R ^ R,
= (cosx + 5)(1 — cosx) + (sinx -h 5a;)sinx.
4.
ÍX-R,
=
x^ + 1
A hányados deriválási szabálya alapján: (sin4a;)'(a;^ + 1) ~ sin4x{x^ + 1)'
(x2 + 1)2
’
azaz /'• R ^ R
f ' ( x ) = 4cos4a;(3:^ + 1) ~ 2isin 4i
(a;2 + 1)2
337
XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
Összetett függvény differenciálása Ha g differenciálható xo-ban és / differenciálható ^(xo)-ban, akkor a h = f o g összetett függvény is differenciálható az xq pontban és „= n 9 {xoW {xo).
Ha egy függvény többszörösen összetett, erre az összetett függvény deriválására vonatkozó szabály értelemszerűen alkalmazható. így pél dául: f { g { h { x ) ) y = f\g( h{ x)) )g\h{ x) )h\x) . Ezt a szabályt szokás láncszabálynak is nevezni. Határozzuk meg az a;
2( x ^ +3)® összetett függvény deriváltját!
f '{ x ) = 2 - 6 - { x ^
■2x = 24x{x‘^ + 3)^.
Inverz függvény differenciálása
S
/
A kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítő függvény / ^ inverze differenciálható az xq helyen, ha / differenciálható az f~^{xo) e D f pontban, és f { f ~ ^ { x o ) ) / 0; ekkor irH x)Y -= -0
lEl
f'if-H xo))
Határozzuk meg az / = a; ^ x függvény deriváltját! Az / függvény egyenlete: y = ^ x ; ennek inverze f~ ^ : x = y^. Deriválva az egyenletével megadott f~^ függvényt: {f~ ^ Y = — r- Ezzel a
338
XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS deriváltat y függvényeként megkaptuk. Ide y helyébe beírva a ^/x kifejezést, megoldottuk a feladatot:
32/2
3 (^ 2
3 ^ '
Implicit függvény differenciálása Implicit alakban adott függvény differenciálhányadosát megkapjuk, ha a függvényt megadó egyenlet mindkét oldalát differenciáljuk, ügyelve arra, hogy az f { x ; y ) összetett függvény. Határozzuk meg az
xf(x) - /^(x) - a = 0 implicit függvény x szerinti differenciálhányadosát a Pq(4; 3) pontban. Deriváljuk az adott egyenlet mindkét oldalát: ( l - f ( x ) + x f \ x ) - 2 f ( x ) f ' ( x ) = 0, ebből f'(x ) = /'( 4 ) =
fi^) 2nx)-x’ 3
3
2-3-4 ~ 2
XII.3. DIFFERENCIALHATO FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
s
Ha az függvény az xq helyen diflPerenciálható, és f { x o ) > (ill. f { x o ) < 0), akkor a függvény az xq helyen növekedve (ill. csökkenve) halad át,
/
0
pn
Ha az / függvény az xq helyen differenciálható és itt monoton növekvő (ill. csökkenő), akkor f { x o ) > 0 (ill. f { x Q ) < 0).
XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
m
339
Ha az / függvény differenciálható az xq helyen és az xq valamely környezetében, és a;o-ban lokális szélsőértéke van, akkor itt a derivált értéke szükségképpen zérus: f\ x o ) = 0.
Ez a tétel a differenciálható függvény szélsőérték létezésének szük séges, de nem elégséges feltétele. Vagyis - Ha f\ x o ) = 0, akkor az /-n ek XQ-ban lehet, de nem biztos, hogy van szélsőértéke. Például: f { x ) = x^, f { x ) = 3x^ = 0-ból x = 0, tehát a derivált 3.zxq = 0 helyen zérus, mégis ezen a helyen az f { x ) = x ^ {x £ M) függvénynek nincs szélsőértéke. - Ha f'{x()) ^ 0, (de f { x o ) létezik), akkor /-n ek XQ-ban nincs szélső értéke. m
Ha / differenciálható az xq helyen és az xq valamely környezeté ben, és f i x o ) = 0, továbbá az f függvény az xq helyen előjelet vált, akkor /-nek az xq helyen szigorú lokáhs szélsőértéke van, mégpedig maximuma, ha f { x ) > 0, ha X < xo és f { x ) < 0, ha x > xq; minimuma, ha / '( x ) < 0, ha X < xo és/^(x) > 0, h a x > X Q .
S
/
6[
Ha az függvény az ]a; intervallumon kétszer differenciálható, akkor annak, hogy az / függvény görbéje ezen az intervallumon konvex (ül. konkáv) legyen, szükséges és elegendő feltétele, hogy / " ( x ) > 0 (ill. f \ x ) < 0) teljesüljön tetszőleges x G]a;6[-re.
Azt, hogy egy adott függvény konvex-e vagy konkáv, leggyakrabban a második derivált előjelének meghatározásával döntjük el. pn
Ha az / az Xo hely valamely környezetében kétszer differenciál ható és f \ x o ) — 0, valamint az / " függvény az xq helyen előjelet vált, akkor /-n ek az xq helyen inflexiós pontja van.
340
XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
Megjegyezzük, hogy a fenti állítások a;o-ban dijfferenciálható függ vényekre vonatkoznak. így például az / : M M, x ^ \ x\ függvény az xq = 0 pontban — mint már láttuk — nem difiFerenciálható, mégis van szélsőértéke (abszolút minimuma), s az egész értelmezési tartományán konvex. A függvényvizsgálatra vonatkozó eddigi ismereteinket egy példá ban foglaljuk össze. Ábrázoljuk derékszögű koordináta-rendszerben teljes függvényvizsgálat utáin az /: E
R,
X
2a;2 - x ‘^
függvényt! Dolgozzunk a függvény x helyen vett f { x ) = 2x^ — x^ helyettesítési értékei vel! Zérushelyei:
2x^ - x ‘^=0, x ^ ( 2 - x ^ ) = 0 ,
= 0,
x\^2 = 0
(kétszeres zérushely;
a függvény grafikonja itt érinti az x tengelyt), 2—
= 0,
|a;| = V 2,
tehát
x^^/^ = áiy/2.
Paritása: f { —x) = 2 {—x )‘^ — (— = 2x‘^ — = f { x) , a függvény páros, grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. Határértéke: mivel a függvény mindenütt folytonos, így szakadási helye nincs. A határértéket tehát csak a végtelenben vizsgáljuk. hm (2x^ — x"^^ = lim x " ^ (
x -^ 0 0 V
/
x^oo
\x^
—
l) /
=
— 00.
Monotonitása, szélsőértéke: f { x ) = 4 x - 4x^ 4x —4:X^ = 0, A x{l — x ‘^) = 0, 4x = 0, xi = 0,
1
—a;^ = 0,
Az / ' előjelváltásedt a 12.4. ábra segítségével vizsgáljuk:
|íc|= 1,
X2,3 = ±l-
341
XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
X <
+ /
—l
x = —1
-K x < 0
x = 0
0<x< 1
x^\
X > \
0
-
0
+
0
-
max. /m a x
= 1
min. \
/m in
—0
max. /
/m a x
= 1
\
Konvexitása, inflexiós pontja: f " { x ) = 4 -1 2 x ^ , 4 -1 2 x ^ = 0, 4(1 - 3a:^) = 0, l - 3 a ;2 = 0 ,
=
/ö Vizsgáljuk meg az / " előjelváltásait az ic = ± ---- helyeken (12.5. ábra)! 3
XII. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
342
3
^ f "
f
X =
----------
3
-
0
konkáv
mf.pont fin í
=
§
y/S y/S ---- — < a; < ---3 3
X
=
------
3
+
0
-
konvex
inf.pont
konkáv
fin í
=
§
Mindezek alapján a függvény grafikonja (12.6. ábra):
Megállapíthatjuk, hogy az / függvény értékkészlete:
XIII.
in t e g r á l s z á m ít á s
X lll.l. A HATÁROZOTT INTEGRÁL A HATÁROZOTT INTEGRÁL FOGALMA Az [a;b] intervallum n {e részre való B felosztása olyan n + 1 elemű xq,xi^X 2 , ••>,Xn ponthalmaz, amelyre: a = xq < xi < X2 < ■■■< Xn = b (nem szükséges az intervallumot egyenlő részekre osztani). Az [xi_i;xi]
(i =
intervallumot az i-edik részintervallumnak nevezzük. A B felosztásra jellemző a felosztás finomsága (jele:|Bl), azaz a részintervallumok közül a leghosszabb részintervallum hossza: j^] = m a x {xi - X i - i )
{i = l , 2, . . . , n ) .
A B felosztás finomításán azt értjük, hogy az eredeti osztópontokhoz újabb osztópontot (vagy pontokat) hozzáveszünk. A B' felosztás akkor finomabb a B-né\, ha \B^\ < \B\ (13.1. ábra): Az [a;b] intervallum valamely ^ i , jB2, ... ... felosztásainak a sorozata minden határon túl finomodó (sűrűsödő), ha az egyes felosztások finomságaiból alkotott {|^n|} sorozat tcirt nuUálioz, midőn n -^ oo.
344
Xin. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
IBI a=Xo
X2
IB'I a=Xo
X,
X3=b
-I-
X2
X3
X4=b
13.1. ábra
Legyen / az [a;b] zárt intervallumon értelmezett korlátos (valós valós) függvény, és legyen B az intervallum egy tetszőleges felosztása: a = xq < x i < X2 < ... < Xn = b. Jelöljük az / függvény [xí _ i ; xí ] intervallumon felvett értékeinek az alsó határát m^-vel, a felső határát M^-vel (z = 1, 2, . .. ,n): rrii < f { x ) < Mi
{xi_i < x < x i ,
i = 1, 2, . . . , n).
Az rrii és M{ mindegyik intervallumon létezik, mert / az [a;b] intervallumon korlátos, így / az [a; 6] minden részintervallumán is korlátos, és korlátos számhalmaznak van alsó és felső határa. [ d1 A z
= m i { x i - xo) + m 2 ÍX2 - Xi) + ... + mn{Xn ~ Xn- l ) = n i= l
számot az / függvény [a; b] intervallum B felosztásához tartozó alsó összegének (Darboux-féle alsó összegének), míg az Sn = M i {x i -
Xo) +
M2{ x 2 -
Xi) +
... +
Mn(Xn ~ Xn-l)
n
i=i számot az adott felosztáshoz tartozó felső összegének (Darbouxféle felső összegének) nevezzük.
XIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
345
Ha az / az [a; &] intervallumon nemnegatív, akkor az Sn alsó összeg nek , ill. az 5'n felső összegnek geometriai jelentést is tulajdoníthatunk. Ekkor ugyanis az rrii{xi —Xi^i) és az M í { xí —Xi_i) szorzat egy-egy {xi —X i - i) szélességű, és ill. Mi magasságú téglalap területének a számértékével egyenlő. n
így az Sn —
~ ^i-\) összeg a.z x = a és a.z y = b egyeni= l letű egyenesek, az x tengely [a; 6] intervalluma és az f : [a; b] M, x f { x ) függvény görbéje által határolt síkidomba írt téglalapok területeinek összege (13.2. ábra). n
Az Sn —
M i{xi — Xi -i ) összeg pedig e síkidom köré írt téglalapok n=l
területeinek összege.
Legyen / az [a; b]-n értelmezett korlátos függvény. Ekkor az alsó és felső összegek értelmezése alapján megmutatható, hogy az [a^b] inter vallum tetszőleges, minden határon túl finomodó felosztássorozatához tartozó megfelelő alsó és felső összegek {s^ }, ill. {Sn} sorozataira igazak a következők: 1) ^ Sn (P' ^ N~^-re); 2) az {s n } sorozat monoton növekvő, az {Sn} monoton csökkenő; 3) az {sn}^ ill. az {Sn} sorozatok korlátosak.
346
x m . INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
INTEGRÁLHATÓSÁG Az [a;b] intervaUiunoii értelmezett és korlátos / függvényt az [a',b] intervallumoii Riemann szerint integrálhatónak (röviden: integrálhatónak) nevezzük, ha az [a; b] intervallum tetszőleges, minden határon túl finomodó { B n } felosztássorozatához tartozó megfelelő alsó és felső összegek {sn}, ül. { Sn} sorozatai közös határértékhez konvergálnak: lim Sfi = lim Sn = I. n-^oo n —>00 iBnHO |Bn|->0 (A jelöli a { B n } felosztássorozathoz tartozó finomságok sorozatát, tehát |^i| a. B\ felosztás finomságát, \B2 \sl B 2 felosz tás finomságát, s így tovább.) E közös I határértéket az / függvény [a;b] intervallumon vett Riemann-integráljának (vagy határozott integráljának) nevezzük, és így jelöljük: rb
=í
Ja
f
vagy
í
Ja
f{x)dx.
Az integrál J jelét LEIBNIZ vezette be; ez az elnyújtott S betilt (latin „summa” kezdőbetűből) mintázza. Az f { x ) d x jelölésben az a és 6 helyek az integrálás határai: a az alsó, b a felső. Az integrál jele után szereplő / függvényt integrálandó függvénynek vagy integrandusnak nevezzük, dx-hŐi x jelöli az integrálási változót. Nyomatékosan felhívjuk a figyelmet, hogy ha az / függvény az [a; b] intervalImnon integrálható, akkor a minden határon túl finomodó { B n } felosztássoro zatokhoz tartozó {sn } és {5 n } sorozatok közös határértéke nem függ a {-Bn} beosztássorozattól. Riemann tulajdonképpen nem az alsó és felső összegeken, hanem az ún. Riemzűin-féle összegeken keresztül jutott el a most bevezetett integrál fogalmához. Most ennek az értelmezését adjuk meg.
_________________________ XIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS______________________^
Az [a;h]-n értelmezett / függvénynek az [a;b] tetszőleges { Bn } felosztásához tartozó Riemann-féle integrálközelitő összegén ért jük a (Tn =
- X o ) + fi^2){X2 - Xl) + . . . + /( ^ „ ) ( x „ - X „ _ l ) =
i=l
Összeget, ahol leges pontja.
(z = 1, 2, . . . , n) az [xí - i ; xí ] intervallum tetsző
Minthogy a pontot az [xí - i ; xí ] (i = 1,2,... ,n) intervallumból tetszés szerint választhatjuk, ezért a Bn felosztáshoz végtelen sok Riemann-összeg tartozik, de nyilvánvaló, hogy bármely felosztás ese tén
Ha / az [a; &] intervallumon értelmezett és korlátos függvénynek az [a; b] intervallum bármely — minden határon túl finomodó — { B n } felosztássorozatához tartozó Riemann-féle integrálközelítő összegeinek an sorozata a közbülső ^ helyek bármely választása esetén konvergens, akkor / az [a; b] intervallumon Riemann sze rint integrálható:
t=l max Axi-^O
Megmutatható, hogy a határozott integrálra adott kétféle értelme zés egymással ekvivalens. Az / függvény határozott integráljának értelmezésekor feltételez tük, hogy / az [a; b]-n korlátos. A korlátosság csak szükséges, de nem elégséges feltétele az integrálhatóságnak, azaz a) Ha / [a;&j-n Riemann-integrálható, akkor ott szükségképpen korlátos is.
348
Xin. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
b) Ha / nem korlátos az [a;6]-n, akkor Riemann szerint nem is integrálható. c) Ha / az [a; b]-n korlátos, akkor még nem biztos, hogy egyúttal Riemann-integrálható is. I P I Erre a c) esetre példa a Dirichlet (e.: d\x\s\é)-függvény: r. Tij
Tij ’
í 1, \ 0,
^
ha x racionális, ha ICirracionális.
Ez a függvény egyetlen [a; 6] intervallumon sem integrálható. Vizsgáljuk például a [0; 2] intervallmnon; itt nyilvánvalóan korlátos. (A függvény gra fikonját nem tudjuk megrajzolni, hiszen a számegyenesen a racionális és irracionális pontokat nem tudjuk egymástól elkülöníteni.) Készítsük el a [0; 2] intervallum valamely felosztását:
0 = xo < xi < a;2 < ... < Xn = 2. írjuk fel e felosztáshoz tartozó alsó és felső összeget. Bizonyítás nélkül felhcisználjuk (de igazolható), hogy bármely intervallumban van reicionális és irracionális száun is, ezért rrii = 0, Mi = 1, minden szóba jövő i esetén. Tehát a felosztás száLmától (n-től) függetlenül is:
n Sn
=
^ r r i i { x i
- X i - i )
=
0 { x i
-
xq) +
0 ( a ;2 -
x i) +
. . . + 0 { x n
- X n - i )
=
0,
1=1 iU. n
Sn = '^ M i{x i - Xi^i) = l{xi -a;o) + l(a;2 - xi) + . . . + l{xn - x „ _ i ) = 1=1 =
X n — xq =
2 —
0=
2.
így lim Sn = 0 n—*oo lim Sn = 2, n—i-oo azaz lim Sn ^ lim 5n, ezért az / függvény a [0;2] intervallumban nem n—*oo n—*oo integrálható.
A határozott integrál segítségével értelmezhető a függvénygörbe alatti terület.
XIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
349
[d1 Ha az / függvény az [a; b] intervallumon integrálható, és f { x ) > 0 ( a < x < b ) , akkor az y = f [ x ) , az y = 0, az x = a és az x = b egyenletű ponthalmazok által határolt síkidom (görbevonalú tra péz) területének a mértékszámán az / függvénynek ezen az intervallumon vett határozott integrálját értjük:
Ha f { x ) <{) {a < x < b ) (a függvény grafikonja az x tengely alatt van), akkor az alsó és felső összegek sorozatának a határértéke negatív, így az integrál értéke is negatív. Ekkor a görbevonalú trapéz területét — geometriai értelemben — az \J^f\ szám adja meg. A határozott integrál tehát előjeles területet jelent. Ennek alapján például sinxdx = 0 (13.3. ábra).
Az így definiált terület megfelel a X. fejezetben megfogalmazott terület függvény tulajdonságainak. Pn Ha az / függvény korlátos és monoton az [a; &] < mon, akkor / az [a; b]-n integrálható is.
intervallu
Tehát korlátos függvények esetén a monotonitás elégséges (de nem szükséges) feltétele az integrálhatóságnak. Ha egy korlátos függvény nem monoton, attól még lehet integrálható.
Xm . INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
350
m
Ha az / függvény folytonos az [a;b] intervallumon, akkor az [a; h]-n integrálható is.
A folytonosság tehát elégséges (de nem szükséges) feltétele az integrálhatóságnak. Vagyis, ha valamely / függvény folytonos az [a;6]-n, akkor ott integrálható is; de ha nem folytonos az [a;fe]-n, akkor előfordulhat, hogy / integrálható az [a; 6]-n, és lehet olyan nem folytonos függvényt megadni, amely nem is integrálható az [a;6]-n. (A tételben a korlátosságot nem kell külön kikötnünk, hiszen a zárt intervallumon folytonos függvény korlátos is.)
S
Ha az [a;ö]-n értelmezett / korlátos függvénynek a szakadási helyei véges halmazt alkotnak, akkor az / az [a; b] intervallumon integrálható is.
MŰVELETEK INTEGRÁLHATÓ FÜGGVÉNYEKKEL Legyen: r /= o , Ja és ha
f létezik, akkor r f = - í ' f Jb Ja
m
(a
Ha c G M, továbbá az / és ^ függvények integrálhatóak az [a; b] intervallumon, akkor a c /, / + ^ függvény is integrálható az [a; b] intervallumon és
Xni. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
351
E tétel alapján, ha az / i , / 2,- - , / n függvények integrálhatóak n az [a;6]-n és c i , c 2, . - . , c n tetszőleges valós számok, akkor a függvény is integrálható, és /
(ci/lH-C2/ 2 H-... + C^/n) = Ci /
./a
m
Í1+C2 í
./a
/2 + - •- +
Ja
/
/n-
Ja
Ha az / függvény integrálható az [a; b] intervaUumon, akkor ezen intervallum bármely részintervallumán is integrálható.
FH Ha az / függvény integrálható az [a; b] intervallumon és a < c < 6, akkor
Ja
m
Ja
Jc
Ha az / függvény integrálható az [a; c] és a [c; 6] intervallumon, akkor integrálható az [a; 6] intervallumon is, és
Ja
Jc
Ja
NEVEZETES INTEGRÁL-EGYENLŐTLENSÉGEK m
Ha az / függvény az [a;b] intervallumon integrálható és / ( x ) > 0 tetszőleges x € [a; 6]-re, akkor
/:
m
/ > 0.
Ha az / függvény [a;ö]-n integrálható, akkor az |/| függvény is integrálható az [a; &]-n, és
352
XIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
pb
pb < / l/l\ f Ja Ja Pn Ha az / és ^ függvények integrálhatóak az [a; b] intervallumon és f { x ) < g{x) tetszőleges x G [a; 6]-re, akkor
í>
S
l>
Ha az / függvény integrálható az [a; b] intervallumon és e halma zon a függvényértékek alsó határa m, felső határa M , akkor m{b —a ) <
í
f < M { b —a).
Ja pn
[ Az integrálszámítás első középértéktétele:) Ha az / függvény folytonos az [a; 6] zárt intervallumon, akkor létezik legalább egy olyan ^ G [a;b], amelyre / f = {b-a)m ). Ja
XIII.2. A HATÁROZATLAN INTEGRÁL AZ INTEGRÁLFÜGGVÉNY [d1 Legyen / integrálható az [a; 6]-n. Mint láttuk, ekkor [a; 6] bármely részintervallumán is integrálható. Ezért értelmezhető az F: [a,
M,
x
/ f{t)dt Ja
XIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
353
függvény. Ezt az F függvényt az / függvény a-hoz tartozó integrál függvényének nevezzük. Adott / és rögzített a esetén az f integrál értéke a felső határ függvénye, s ha / foljrtonos és f { x ) > 0 minden x G [a; b] esetén, akkor az integrálfüggvényt szokás területfüggvénynek is nevezni (13.4. ábra).
Az F értelmezésekor az integrálási változót í-vel jelöltük, mivel a változó felső határ jelölésére használtuk az x-et. Ez megtehető, hiszen /a /’ határozott integrálja. pn
mindegyike az / függvény [a;6]-n vett
Ha az f az [a;b] intervallumon értelmezett folytonos függvény, akkor az F: [a; 6]
E,
xy-^
í
f { t ) dt
Ja integrálfüggvény az [a; b]-n diflFerenciálható, és F '(x ) = / ( x ) ,
x €[ a; b ] .
(Az F-nek a-ban jobb oldali, 6-ben bal oldali differenciálhánya dosa értendő.)
354
x m . INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
A PRIMITÍV FÜGGVÉNY Ha az / függvény valamely (véges vagy végtelen) intervallumon értelmezve van és létezik olyan $ függvény, mely ezen az inter vallumon difierenciálliató és ennek az intervallimmak minden x pontjában ^' {x) = f { x ) , akkor a ^ függvényt az / függvény primitív függvényének nevez zük. Ha az intervallum zárt, akkor a végpontokban ^ '(x)-en a megfelelő féloldali differenciálhányados értendő. Ha nem mondjuk, hogy melyik intervallumon beszélünk primitív függvényről, akkor bármely olyan intervaUumot tekinthetünk, ahol / értelmezve van, és ennek az intervaUumnak minden pontjában ^ '{x ) = fix:).
A primitív függvény értelmezése alapján mondhatjuk, hogy bár mely függvény deriváltjának egyik primitív függvénye önmaga, vagyis az / ' függvény ^ primitív függvénye / , mivel $ ' = / ' . A primitív függvény fogalmának felhasználásával az előbbi tétel így fogalmazható meg: m
Ha az / függvény az [a; b] zárt intervallumon folytonos, akkor az F:[a;b]^R,
f f Ja
integrálfüggvény az [a; b] intervallumon az / primitív függvénye. Az integrálfüggvény nem szükségképpen primitív függvény. \p}
Az / : R —> { —1 ,0 ,1 },
a;i->sgna; =
1, 0, —1,
ha a; > 0, ha X = 0, ha X < 0
előjelfüggvény (13.5. ábra) integrálható a [—1; 1] intervaUumon = 0^, tehát az F integrálfüggvénye létezik.
^J
sgnx =
Xm . INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
355
Viszont nem létezik olyan ^ primitív függvény, amely a [—1; 1] intervallum minden pontjában deriválható, és:
Ugyanis legyen X, 0, —X,
{
ha a; > 0, ha a; = 0, ha a: < 0.
Az így definiált ^ függvény éppen az abszolútérték-függvény (13.6. ábra), s arról tudjuk, hogy $'(0) nem létezik.
Xin. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
356
Pn Ha az / függvénynek valamely intervallumon létezik primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van ezen az intervallumon, s e primitív függvények csak konstansban külön böznek. Egy / függvény primitív függvényeinek görbéi egy görbesereget határoznak meg (13.7. ábra); ezek eltolással egymásba átvihetők: értelmezési tartományuk megegyezik, értékkészletük viszont $ értékkészletén kívül a C konstans értékétől is függ.
[El Az (xGR)
f{x)^2x
függvény primitív függvényeinek összesége ^(x)
= x2 + c
(CeR).
Az / függvény primitív függvényeinek halmazát az / függvény határozatlan integráljának nevezzük, és az jf , szimbólummal jelöljük.
j
f{x)dx
XIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
357
Értelmezés szerint tehát ‘ f = ^ + C.
/■
Az elnevezésben a „határozatlan” jelző arra utal, hogy a primi tív függvény nem egyértelműen meghatározott. Ezzel szemben az f Riemann-integrál egyértelműen meghatározott, ezért is szokás a Riemann-integrált határozott integrálnak mondani. Azt a függ vényműveletet, amelynek során adott / függvény $ primitív függvényét megkeressük, primitív függvény-keresésnek vagy határozatlan integrálásnak (röviden: integrálásnak) nevezzük. Tehát a határozatlan integrálás a deriválás fordított művelete. Az integrá lás a deiválásnál jóval nehezebb feladatot jelent, n m t nem adható meg olyan általános szabály, amelynek alkalmazásával minden elemi függvénynek meghatározható lenne a primitív függvénye. Sőt léteznek olyan elemi függvények is, amelyekről bebizonyítottájc, hogy nem létezik elemi primitív függvényük. Ezek közül néhányat mega4unk a függvény helyettesítési értékével: f { x ) = \/x^ 4- 1;
f(x) = x\/l -
f { x ) = Vsinx]
f { x ) = sinx^;
f { x ) = c o sx ^ ;
f(x) =
X
cosx X
f { x ) = e-^^-, /(a:) = j i ^ ;
X
/ ( x ) = e” ‘=*sa.. / ( x ) = ln sin x.
358
x m . INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
A NEWTON-LEIBNIZ-FORMULA m
Legyen az / függvény folytonos az [a; 6] intervallumon. Ha az / függvénynek létezik a ^ primitív függvénye az [a; 6]-n, akkor az / a-tól b-ig vett határozott integrálja egyenlő az / primitív függvé nyének a b helyen és az a helyen felvett értékének különbségével:
t
f{x)dx=
Ja
m
- ^ (« ) =
Ezt az összefüggést Newton-Leihniz-formulának nevezzük. 0
1 1. u g y a n is
dsr.= ff x^dx =
Jo (
1
~
^
~
^
n
ezért a z
3
3 ’
fü g g v é n y e g y ik p r im it ív fü g g v e -
n y e - .
2.
f
Jo
s in x iÍ 2 ; =
m in t h o g y ( — c o s x Y =
[— c o s x J J =
— COS7T — ( — c o s 0 ) =
l +
l =
2,
s i n x , e z é r t a s in x e g y p r im it ív fü g g v é n y e — c o s x .
A Newton-Leibniz-formula nemcsak folytonos / függvényekre áll fenn, hanem igaz minden olyan, Riemann-integrálható függvényre, amelynek van primitív függvénye. Nem alkalmazható viszont, ha a) az [a; b] intervallum nem véges; vagy b) az f nem korlátos az [a; fe]-n; vagy c) nem tudjuk meghatározni, vagy nem létezik az / primitív függvé nye az elemi függvények körében; vagy d) az integrandus empirikus függvény, értékei csak pontonként ismer tek (a függvény táblázatosán adott).
XIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
359
Az a) és b) esetben a probléma megoldása az improprius integrál alkalmazási körébe tartozik, míg a c) és d) pontokban numerikus integrálást alkalmazunk.
ALAPINTEGRÁLOK Minthogy a határozatlan integrálás a differenciálás fordított mű velete, ezért az egyszerűbb, ún. alapintegrálokat a megfelelő differen ciálási szabályok megfordításából kapjuk. Ezeket foglaltuk össze az alábbi táblázatban.
J cdx = cx + C,
c
Jf a^dx= ^
G M
Iíxdx ~ ^
Jx^d x=
—
Ina
/
1 n -h 1
h C7,
a^l
sm x d x = -c o s x -^ C
1 cosxdx = smx -^C J
J -d x = hi\x\-\-C
Jf
j e^dx = e^ + C
dx — - c t g x + C
sin'^x
m
Ha c G M, valamint az / és ^ függvénynek van primitív függvénye, akkor c / , f g függvénynek is van, és j c f = c
/ / + » = y ■ /+ /».
Xm . INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
360
INTEGRÁLÁSI ELJÁRÁSOK
I Ha n = —1, akkor fix)
/
fix )
dx = lnl/(a;)| + C .
A parciális integrálás módszere:
j
f i x ) g ( x ) dx = f { x ) g { x ) -
j
f { x) g' {x ) dx.
Integrálás helyettesítéssel:
j
f(x)dx=
j
f{g{ t) ) g\t) dt t=g{x)
0 1. [ d x = f [(cosx)] Ísinxdx = — / [(cosx)] ^ {—sinx)dx = J ^ co s x J J
XIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
361
Ugyanis, ha J (x) = c o sx (« = -§ ) > akkor /'( x ) = = —sinx, s így az integrandus •/ ' alakú.
I ctg x d x = I
2.
J sinx
J
dx = —]n .\ sin x\ C j
mivel (sinx)' = cosx, így az integrandus ^ alakú.
/
cosy/x , /“ ^ 1 , _ ---- -p=^dx = 2 I co sv x— — dx = sm^/x-\-C, y/x J 2y/x
mivel (sinv^ + C)' = co sv ^ (v ^^ = cos y/x X
4. Határozzuk meg az J x c o s x d x integrált! Legyen
/'( x ) = cosa;,
ekkor ekkor
g {x) = X,
/(a;) = sina; g \ x) = 1,
így a parciális integrálás módszere szerint
J xcosxd x = xs]n.x —J sm xdx = xsijíx —(—cosx) + C = x s in x + c o s x + C . 5. Határozzuk meg az f sin y/x dx integrált! Legyen y/x — t, ekkor x = t^, l = 2 t ^ , azaz dx — 2tdt; e helyettesítések elvégzése után y^(sin t)2t dt = 2 J t sin t dt adódik. Ezt parciálisán integráljuk: legyen f '{ t ) = sint, g(t) = t,
ekkor ekkor
f { t ) = —cost
g'{t) = 1,
íg y
2
J t s m t d t = 2(^—tc o s t — J —costdt^ = 2 { —tc o s t + sín t)-h C .
írjuk vissza t helyére a y/x kifejezést:
J sin >/x dx =
2{—y/x cos ^/x + sin y/x) + C.
362
Xni. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
XIII.3. A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALKALMAZÁSAI TERÜLETSZÁMÍTÁS Amint már megállapítottuk, f { x ) dx az y — f { x ) egyenletű görbének az [a;b] intervallumhoz tartozó íve által meghatározott görbe vonalú trapéz előjeles területét jelenti (pontosabban: a terület előjeles mérőszámát), mégpedig a) Ha f { x ) folytonos és nemnegatív az [a;6]-n (13.8. ábra), akkor
Ja
b) Ha f { x ) folytonos és negatív az [a;6]-n (13.9. ábra), akkor rb
Ebbal kiindulva, különféle síkidom területét tudjuk kiszámítani a határozott integrál segítségével. c) Ha az [a;b]-n folytonos / függvénynek az [a;b] intervallumban zénishelye(i) van(nak) (13.10. ábra), akkor az [a;b] intervallumot
13.9. ábra
bontsuk fel olyan részintervalliimokra, ahol az / függvény előjele már állandó. Ezután kiszámítjuk a részintervallumokon vett határozott integrálok abszolút értékét, majd ezeket összegezzük. A határozott integrál additív tulajdonságát kihasználva kapjuk a keresett területet.
d) Az [a; b]-n folytonos f és g függvénygörbék által meghatározott zárt síkidom területe (13.11. ábra), feltéve, hogy /( a ) = g{a),
Ja
Ja
f{b ) = g{b)
Ja
364
0
XHI. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
1. SzáLmítsiik ki az y=
— 7x + 12
egyenletű görbe alatti területet a [0; 4] intervallumban! Először keressük meg az — 7x + 12 = 0 egyenlet gyökeit: 7 ± x/49 - 48 xi^2 — ------------------- 5 tehát XI = 4 ,
X 2 = 3.
Az y = x^ — 7x 12 egyenletű parabola a [0; 3] intervallmnon pozitív, a [3; 4] intervallmnon negatív értéket vesz fel (13.12. ábra), így a keresett terület: /*4
/*3
’= /
7x + 12)(kc
7x + 12)(h-\-
Jo
3
3
- 7— + 12x
/2 7
2
x^ ---------- 7 — + 3 2
+
JO
63
^ \
=
1
82
41
6
3
/6 4
1
4
z=
12a; 3
112
^\
/2 7
területegység.
2. Számítsuk ki az
y = x‘^ + 2 x -4
laz
y = - - x ‘^ + .2 x + 2
egyenletű parabola által bezárt véges tartomáiny területét! Határozzuk meg a két zwiott görbe közös pontjait: x^ + 2 x - 4 = - - x ^ + 2x + 2,
63
^ \
Xm . INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
365
ebből rendezés után = 4,
azaz
xi^2 = ±2.
A két parabola P i(—2 ;—4) és a ^2(2;4) pontban metszi egymást (13.13. ábra): Toljuk el a vizsgált síkidomot az ordinátatengely mentén c egységgel úgy, hogy az teljes egészében az abszcisszatengely fölé kerüljön. Az eltolás után az eredetivel egybevágó síkidomot kaptunk. Ennek területe: T=
-{-2x-{-2 + (^ d x — J
+ 2x — 4 +
dx^
és az integrál additív tulajdonsága miatt
/*2 / I
/
+
2a: + 2 + c - a:^ - 2a: + 4 -
a:3 - + 6.
\ e j d l
= 16
=
területegység.
Vagyis azt kaptuk, hogy eltolásra végül nincs is szükség, mert |/ / —^| megadja a görbék által határolt síkidom területét.
366
XIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
FORGÁSTESTEK TÉRFOGATA A forgástestek térfogatának meghatározásakor a következő két alapelvből indulunk ki: 1) a testek térfogata additív, azaz az egész test térfogata egyenlő a részek térfogatának összegével; 2) az egyenes henger térfogata egyenlő a henger alapterületének és magasságának a szorzatával. Egy test [xi-i\xj\ intervallumhoz tartozó rétegének térfogata — ha az X tengelyre merőleges metszetének területe t{x):
V
—í
t{x) dx.
J x i-l
Legyen / az [a;b] intervallumon nenmegatív, folytonos függvény. Forgassuk meg az x tengely körül az / függvény y = f { x ) grafikonja, valamint az x = a és az x = h egyenletű egyenesek által határolt síkidomot (13.14. ábra).
X m . INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
367
A kapott forgástest x tengelyre merőleges minden metszete r = f { x ) sugarú, n f^ {x ) területű kör. m
Ha egy, az [a;b] intervallumon nemnegatív folytonos függvény / ( x ) görbéjét az x tengely körül megforgatjuk, a kapott forgástest térfogata:
V = TT
f
f^ (x )d x .
Ja
El
1. Forgassuk meg az x tengely körül az / : R — R,
X*-* ax
(a G
függvény grafikonja, az x tengely és az x = m (m 6 R"^) egyenletű egyenesek által határolt síkidomot (13.15. ábra). A keletkezett forgáskúp térfogata:
XIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
368
rb V = TT I
rm f^ {x )d x = TT I
{ax)^dx = 2
TTa
(am),2,tt •m
Tm
2. Forgcissuk meg az x tengely és az / : [ - r ; r ] — R,
x i - y/r"^ -
függvény grafikonja által meghatározott síkidomot (kört) az abszcisszaten gely körül (13.16. ábra).
XIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
369
Forgatás utáLn kapjuk az r sugarú gömböt, amelynek térfogata
V = TTJ f^ (x )d x = = 2tt r 2 ^ x -------
3
T TJ
dx
=
27TJ
r = 27T ( r®----- 1 - 0 A 3 / . 0
(r^ —
o =
dx 4
2 7 T --------- =
3
=
3
—'KT .
3
A FORGÁSTEST PALÁSTJÁNAK FELSZÍNE Fd] Az [a; 6] intervallum nemnegatív, folytonosan differenciálható / függvény grafikonjának az x tengely körüli megforgatásával kapott forgáistest paláistjának felszíne az
' = 2tt í f{x)^Jl + [f'{x)fdx Ja
képlettel számítható ki.
0
Forgassuk meg az x tengely körül az
y = -x ^ 3
0 < a; < 1
egyenletű görbe darabját, és számítsuk ki a keletkezett forgástest palástjának a felszínét!
/(x )= Í x 3 .
f\x) = x^
így a kérdezett palást:
P = 2ir r -x^y/\ + x * d x = — ( l + x*)'^ x^d x. 7o 3 3 7o ^
XIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
370
Az integrandus f ^ f ' alaikra hozható: legyen f ( x ) = 1 +
(n = - ) ; ekkor /'(x ) =
tehát
3 /2 -,
A SÍKLEMEZ SÚLYPONTJA Az [a; b] intervallumon folytonos / függvény y = f { x ) grafikonja, az x = a, az x = b {a < b ) és az y = 0 egyenesek által határolt homogén tömegeloszlású síklemez S{xs;Vs) súljrpontjának koor dinátái: fa ^ f(x )d x Vs =
*
0
j^ m d x ’
Határozzuk meg az r sugarú negyedkörlemez (13.17. ábra) súlypontjáuiak koordinátáit.
Xffl. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
371
Mivel a negyedkör szimmetrikus az y = x egyenletű egyenesre, ezért Xs = y s Most az ys meghatározása a célszerűbb. A negyedkör egyenletéből y^ = r ‘^ — így
A nevező éppen a negyedkör területe: Tehát
0 _
r^Ti
.
/ 2r^ 2r27rV 3
\
4r
A FORGÁSTEST SÚLYPONTJA Ha az [a; b] intervallumon folytonos / függvény y = f ( x ) egyen letű grafikonja, valamint a.z x = a, x = b {a < b), y = 0 egyenesek által közrefogott síkidomot az x tengely körül megforgatjuk, akkor a keletkezett homogén tömegeloszlású forgástest {xs^Vs^Zg) súlypontjának koordinátái: ín x f^ {x )d x J ^ P {x )d x ’
0
Forgassuk meg 3Z y — x^ egyenletű parabola —1 < a: < 0 intervallumba eső darabját az x tengely körül. Számítsuk ki a keletkezett forgáspctraboloid súlypontját! A forgásparaboloid súlypontjálnak Xg koordinátája:
Xs =
J^x^dx
d -i .5 0 -1
372
XIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Tehát a forgásparaboloid súlypontjának koordinátái: 5
(=
= 0.
Xill.4. KÖZELÍTŐ (NUMERIKUS) INTEGRÁLÁSI ELJÁRÁSOK A TRAPÉZFORMULA Az / függvény [a; 6] intervallumon vett / határozott integráljanak közelítő kiszámításához osszuk fel az [a; b] intervallumot n egyenlő részre! Ennek az ún. ekvidisztáns (egyenlő hosszúságú szakaszokra történő) felosztásnak minden egyes részintervalluma h=
b —a n
hosszúságú (13.18. ábra).
Az a = xo; x i= X Q -^ h ; X2 = x i-h h ;
Xn = b
osztópontokhoz tartozó függvényértékek legyenek rendre
XIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
2/0;
2/ 1 ;
2/2 ;
•••;
373
2/n-
A határozott integrál értékét mint görbe alatti előjeles területet tekintve, az f értékét a 13.18. ábrán látható trapézok területének összegével közelítjük: ^
2/0+2/1
. 2 / 1 + 2 / 2 L . 2 / 2 + 2/3 L .
. 2 / n - l + 2/n^
1 — — r— h-\------ — h-\--------:::— /i + ...H-------- ------- h = í/U
,
M2
i /l
,
* /l
,
í /2
,
i /2
,
í /3
,
,
^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2
—/ i ( -
2 /íi -l
2
, Vn\
^ 2 ^"
+ 2/1 + 2/2 + •••+ 2/h -l)*
Ennélfogva ^
í
/ ^
ö - a / 2/0 + 2/n , , , , . i- 2/1 + 2/2 + •••+ 2/n -l)?
amit trapézformulának nevezzünk. A trapézformulával számítsuk ki közelítőleg a következő táblázattal mega dott függvény grafikonja és az x tengely által közrefogott területet: X
fix)
0
2 4
6
8
10 12
2 6 7
7
3
4
5
A táblázatból látható, hogy a [0; 12] intervallumot 6 egyenlő részre osztottuk, 12
—
0
tehát h = — r— , így a kérdezett terület közelítő értéke:
6
T w2
r2 + 5
i ---- 1-6 + 7 + 7 + 3 + 4^ = 2- ^ = 61 területegység
374
XIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
A SIMPSON-FORMULA A trapézmódszer alkalmazásakor az y = f { x ) egyenletű görbét egyenes szakaszokkal (poligonnal) helyettesítjük, a Simpson-formulánál pedig három-három pontra illesztett parabolaívekkel közelítjük (13.19. ábra).
Osszuk fel az [a; b] intervallumot 2n egyenlő részre, s legyenek az \^ X2’, •••, X2n osztópontokhoz tartozó függvényértékek rendre yo, 2/1, 2/2, •••, 2/2n- Ekkor xq, x
b —a Ja
6n
{yo + V2n + 4yi + 2j/2 + % 3 +
Ezt a képletet nevezik Simpson-formulának. A Simpson-formula alkalmazásának a feltétele, hogy az [a, b] inter vallumot 2n egyenlő részre kell osztani, tehát az, hogy az osztópontok száma páratlan legyen. Általában a Simpson-formula a határozott integrálnak a trapézfor mulánál pontosabb becslését adja.
XIV. A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI
XIV.l. MÁTRIXOK A MÁTRIX FOGALMA [d1 Mátrixnak nevezzük tetszőleges n ■m számú aij — n; j = 1, 2, . . . , m) mennjdség alábbiak szerinti elrendezését, amelyet szögletes (esetleg kerek) zárójelbe teszünk: au «21
ai2 ^22
O'lm 0>2m
0>nm-
Ha egy mátrixnak n sora és m oszlopa van, n x m-es (olv.: n-szer m-es), vagy n x m típusú mátrixnak nevezzük és a következőképpen jelöljük: ^nxm — \^ij]
(i = 1, 2 , . . . , 715 J
2 , . . . , Ul).
A mátrixban levő Oij mennyiségek a mátrix elemei. Az üíj elem a mátrix i-edik sora és j-edik oszlopa metszéspontjában áll (az i-t sorindexnek, a j - t pedig oszlopindexnek nevezzük). A továbbiakban mi csak olyan mátrixokkal foglalkozunk, melynek elemei számok. [£] Két mátrix egyenlő, ha ugyanolyan típusúak és elemeik rendre azonosak.
XIV. A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI
376
SPECIÁLIS MÁTRIXOK Négyzetes (kvadratikus) a mátrix, ha sorainak és oszlopainak száma egyenlő {n = m). Az n x n-es négyzetes mátrixot n-edrendű mátrix nak is mondjuk. Az n-enrendű mátrixnak tehát rí^ eleme van. (az elsőrendű mátrix egyetlen elemből áll.) Ennek alapján a mátrixfogalom a számfogalom kiterjesztésének tekinthető. A négyzetes mátrix au (i = 1,2,... ,n) elemei a mátrix diagonális elemei, ezek állnak a mátrix főátlójában (balról jobbra és lefelé haladva); a másik átló a mellékátló. Diagonálmátrixról beszé lünk, ha a kvadratikus mátrixnak a főátlóján kívül valamennyi eleme zérus. A diagonálmátrix rövid jelölése: (ö li; 0 2 2 ; -
0
ann)
írjuk fel a diagonálmátrixot rövid jelöléssel!
1 0
0
0 - 2
0
0
3
0
= (1; -2; 3>,
Egységmátrix az a diagonálmátrix, amelynek főátlójában minden elem 1-gyel egyenlő. Az egységmátrixot E-vel jelöljük, és a mátrix rendjét indexként kiírjuk. Az n-edrendű egységmátrix: 1 0
0 1
0
0
Bevezetve a
Kronecker-féle szimbólumot'.
01 0
12 n = ( T ; T ; . . . ; 1 ).
XIV. A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI
377
Zérusmátrixnak nevezzük azt a mátrixot, amelynek minden eleme 0. Előfordul, hogy a mátrixnak csak egyetlen sora vagy oszlopa van, azaz 1 X n vagy m x 1 típusú. Az egyetlen sorból álló mátrixot sorvektornak, az egyetlen osz lopból álló mátrixot oszlopvektornak nevezzük. Ezt a jelölésben is megkülönböztetjük: a sorvektor jelölése: K. -
“ 2; •••; on] = ^ ix n ;
az oszlopvektor jelölése: ai = A mxl-
—
A mátrixok egyenlőségének definíciójából következik, hogy a* ^ a (még akkor sem teljesül az egyenlőség, ha elemeik száma megegyezik). Azokat az oszlop-, ill. sorvektorokat, amelyeknek egyik eleme 1, a többi zérus, egységvektomak nevezzük.
0
A háromelemű egységvektorok (oszlopvektor-aJakban): '0 '
'1 ' e i
3=
0
;
62^
0
1 0
’ 0 ‘ ;
63 =
0 1
Szimmetrikus mátrixnak mondjuk a négyzetes mátrixot, ha elemei a főátlóra szimmetrikusak, azaz, ha aij = aj{. Vizsgáljuk meg a következő mátrixot: 2 3 0
3 0 1 4 4 5
A mátrix szimmetrikus, mert a főátlóra szimmetrikus elemei megegyeznek.
XIV. A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI
378
A kvadratikus mátrix antiszimmetrikus (vagy ferdén szimmetri kus), ha a főátlóra szimmetrikus elemek egymásnak ellentettjei, azaz Üij = —CLjiVizsgáljuk meg a következő mátrixot;
1 2 -2 -7
7
4 -1
1 5
A mátrix antiszimmetrikus, hiszen a főátlóra szimmetrikus elemei egymás ellentettjei.
Ha az Anxm mátrix sorait és oszlopait felcseréljük, az A mátrix transzponáltját kapjuk; ezt A'^'-vel jelöljük.
IP I
írjuk fel ajz A mátrix transzponáltját!
A =
0 -3 1 2
1 3
aT
=
0
1
-3 1
2 3
Ha az A kvadratikus mátrix szimmetrikus, akkor A = A^, ha antiszimmetrikus, akkor A = —A"*’.
MŰVELETEK MÁTRIXOKKAL Mátrixok összeadása^ kivonása [ d1 A z A „xm = [öij]
és
BTixm = [bij]
mátrixok összegén, ill. kfilönbségén azt a Cnxm = [cij] mátrixot értjük, amelynek minden elemére
XIV. A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI
379
A mátrixok összeadása kommutatív és asszociatív művelet, azaz bármely azonos típusú A, B és C mátrix esetén: A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C).
A sx 3 =
■1 0 -1
2 0 0
l' 1 1
és a
Bax3 =
1 1 1
1 2 0
l" 2 1
mátrixok összege: 2 3 1 2 0 0
A + B =:
2 3 2
Mátrix szorzása valós számmal
[d1 a a valós szám és az A mátrix szorzatán azt a AA-val jelölt mátrixot értjük, melyet úgy kapunk, hogy az A mátrix minden elemét A-val megszorozzuk. A mátrix szorzása egy szánmial kommutatív, asszociatív és a szor zás mind a számok, mind a mátrixok összeadására nézve disztributív, azaz tetszőleges, azonos típusú A és B mátrixokra: AA = AA, (A/xA) = A(/xA), (A + a^)A = A A - f M
és
A(A + B) = AA + AB,
ahol A, ^ G 72.. \p]
Legyen
Aaxs =
1
1
-1
2
2
0
-3
1 0
Szorozzuk meg az A mátrixot ( -2 ) - vei!
A = -2 .
380
XIV. A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI -2
—2A3x3 =
-2
2
-4 -4 6 - 2
0 0
Mátrix szorzása mátrixszal Az n x m típusú A és az m x k típusú B mátrixok szorzatán azt az AB-vei jelölt, n x k típusú mátrixot értjük, amelynek elemét úgy kapjuk meg, hogy az A mátrix (azaz a bal oldali tényező) z-edik sorának és a B mátrix (a jobb oldali tényező) j edik oszlopának megfelelő elemeit összeszorozzuk és a szorzatokat összeadjuk, azaz Cij = anbij + ai2 b2j + ... + dimhraj(Az AB mátrixszorzatnak tehát csak akkor van értelme, ha A oszlopainak száma megegyezik B sorainak számával.) m
Másképpen fogalmazva: a. Cij =
aipbpj elem az A mátrix i-edik p=l sorának és a B mátrix j-edik oszlopának a skaláris szorzata. Mátrixok szorzásának begyakorlására ajánlható az alábbi elrende zés (14.1. ábra), az ún. Falk-módszer. 0 B sx2 =
=
U 2 1 0 1 - 1 Í2 0 1
4 1 [)
-1 2 1
5 1 8
4 1 -1
= (AB)3x2.
A szorzatmátrix c n = 6 elemét a következőképpen számítottuk ki: c n = r l . 4 + 2 - l + 1 0 = 6. A szorzatmátrix kiszámításakor könnyű hibázni. A számítások ellen őrzését elvégezhetjük az ún. oszlopösszeg- vagy sorösszegpróhával. A sorösszegpróba esetén összeadjuk a B mátrix soraiban álló elemeket, és ezzel kiegészítjük a B mátrixot. Az így kapott oszloppal is elvégezzük a szorzást. Ez éppen az AB mátrix soraiban levő elemek összege (ha a számítás helyes).
Xrv. A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI
m.
1 1 1 1 1 ! 1 1 1
[B]
m
381
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 [AB]
[A]
14.1, ábra
0
Alkalmazzuk a számítás elvégzésére a sorösszeg-próbát! ‘4 1 0
-1 ' 2 1
3 3 1
‘6 1 8
4 ■ 1 -1
10.= 6 + 4 2 =1 + 1 7 = 8-1
A definicióból kiolvasható, hogy két mátrix akkor szorozható össze, ha a bal oldali tényezőnek ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora a jobb oldali tényezőnek. Ha ez az A-ra és B-re teljesül, akkor azt mondjuk, hogy A és B ebben a sorrendben konformáhilisak. Az Anxm és B^xfc mátrixok ebben a sorrendben konformábilisak, viszont, ha akkor a B, A sorrendben nem. Ebből következik, hogy a mátrixok szorzása nem kommutatív. Viszont a szorzás asszociatív és a szorzás az összeadásra nézve disztributív művelet, azaz AB / BA, (AB)C = A(BC),
382
XIV. A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI
(A + B)C = AC + BC, es
A (B + C) = AB + AC,
ahol A, B és C tetszőleges olyan mátrixok, amelyekkel a fenti műve letek elvégezhetők. A mátrixszorzás egyik érdekes tulajdonsága, hogy zénismátrixot kaphatunk akkor is, ha a tényezők egyike sem zérusmátrix. így a valós számok halmazán megismert állítás, hogy „szorzat akkor és csak akkor zérus, ha legalább egyik tényezője zérus” , a mátrixok körében nem érvényes. Végezzük el a kijelölt mátrixszorzást! 1 2 - 3 3 6 - 9 3 -9 6
-1] 3 - 2j
[0 0 0 0 0 0 [o 0 0
Bármely A kvadratikus mátrixra AE = EA - A, ahol E az A-nak megfelelő rendű egységmátrixot jelöli. Tekintsük az
a* = [ai; 02;
; On]
és a vektorokat (elemeik valós számok). Ekkor az [hl h
■ ar = [61; 62; •••; M
02 -On.
-bn.
í =l
XIV. A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI
383
szorzatot a két vektor skaláris szorzatának nevezzük. Ez a sík-, ill. térbeli vektorok skaláris szorzatának az általánosítása.
XIV.2. DETERMINÁNSOK A DETERMINÁNS FOGALMA A determináns fogalmát kizárólag a négyzetes (kvadratikus) mát rixhoz kapcsoljuk. Minden négyzetes mátrixhoz egyértelműen hozzá rendelhetünk egy olyan számot, amely csak a mátrix elemeitől függ. Az Anxn mátrix determinánsát a det(A) vagy az |A| szimbólummal jelöljük. fp] Egy Anxn mátrix determinánsán az
számot értjük, ahol ajj^. a determináns elemei, A:i,A;2, - • . az 1,2,. . . , n oszlopindexek egy sorrendje, I e sorrend inverzióinak száma, és az összegezést az 1, 2, .. . ,n elemek minden lehetséges sorrendjére kell elvégezni. A másodrendű determináns (D2) alakja: D2 =
a ii
ai2
«21
«22
melynek értéke a definíció szerint: D2 = a u •tt22 —012 *« 21? azaz a determináns főátlójában levő elemeinek szorzatából kivonjuk a mellékátlójában levő elemeinek e szorzatát. Az 7i(> 2)-edrendű determináns (Dn) általános alakja: an
an
•••
a in
021
0,22
•••
a2n
«n l
ffln2
—
®nn
Dn =
384
XIV. A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI
melynek értékét a definíció alapján elég nehézkes kiszámolni. Ezért bemutatjuk a determináns egy másik kiszámítási módját:
Dn = a iiA ll + 012A12 + ... + ölnAi^, ahol Ai^ jelöli az au (generáló) elemhez tartozó (n — l)-edrendű előjeles aldeterminánst. Ezt úgy kapjuk meg, hogy az eredeti deter minánsból elhagyjuk az első sort és az z-edik oszlopot, és a kapott, 1-gyel alacsonyabb rendű determinánst (—l)^'*"^-nel megszorozzuk. A determináns értékének ezt a kiszámítási módját a determináns első sora szerinti kifejtésnak mondjuk. A determináns kifejtésében szereplő ^ 11, ^ 12, ••■ “ l)-edrendű aldeterminánsokat megint 1-gyel alacsonyabb rendű determi nánsokkal fejezzük ki; ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg nem jutunk másodrendű determinánshoz, amelynek értékét már ki tudjuk számítani.
0
Számítsuk ki a 1
2
6
D3 = 1 1 1 2 - 1 3 harmadrendű determináins értékét! A determinánst első sora szerint kifejtve: 1 2 6 = 1- ^ D3 = 1 1 1 -1 2 - 1 3
1 ^ 1-9. 3| ^ 2
1 1 + 63 2
1 -1
= l [ l - 3 - l - ( - l ) ] - 2 ( l - 3 - l - 2 ) + 6 [ l ( - l ) - l - 2 ] = 4 - 2 - 1 8 = -16
A harmadrendű determináns kiszámítását a definíció szerint a kö vetkezőképpen végezhetjük el {Sarrus-szabály). A determináns mellé írjuk le az első és a második oszlopot: «11
^12 \
X
Ö21
«22
«31
«32
a i3 a ii a \2 > í^23 021 022 ■ \ Ö33 031 032
XIV. A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI
385
A főátló irányában (folytonos nyilak mentén) álló elemhármasok szorzatainak összegéből kivonva a mellékátló-irányú (szaggatott nyi lak) elemhármasok szorzatainak összegét, megkapjuk a determináns értékét. Számítsuk ki az előző példabeli determináns értékét a Sarrus-szabály segít ségével;
1 2 6 1 2 1 1 1 1 1 = 2 - 1 3 2 -1 = [l-l-3-{-2-l-2-|-61(-l)]- [6 -1 - 2 -}-1 •1 - ( - 1 ) -1- 2 •1 •3] = -hl - 17 = -1 6 .
A DETERMINÁNSOK NÉHÁNY TULAJDONSÁGA
m
A determinánst bármelyik sora vagy oszlopa szerint kifejtve, ugyanazt az értéket kapjuk.
A determinánsban (a mátrixtól eltérően) a sorok és az oszlopok egyenrangúak. Ennek alapján a determináns soraira megfogalmazott állítások az oszlopaira is érvényesek. Az üij generáló elemhez tartozó Aij aldetermináns előjele ( —1)*+-^nel egyenlő. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy az aldeterminánsok előjele sakktáblaszerűen helyezhető el:
XTV. A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI
386
0
Fejtsük ki a
12 03 = 1 0 3
1 2
4 -1
harmadrendű determináiiist a második oszlopa szériát! Ds = - 2
1 3
2 -1
+ 0
1 3
1 -1
-4
1 1
2 0
= - 2 ( - l - 6) - 4(0 - 2) = 22.
m
Ha a determináns egyik sora zérus, akkor a determináns értéke is zérus.
m
Két azonos sort tartalmazó determináns értéke zérus.
m
Ha egy determináns valamely sorát (e sorában levő minden elemét) megszorozzuk egy A számmal, akkor az így kapott de termináns értéke az eredetinek A-szorosa lesz.
m
A determináns értéke nem változik, ha valamely sorának minden eleméhez hozzáadjuk egy másik sora megfelelő elemeinek több szörösét. Számítsuk ki a 2 - 3 5 1 6
D3 = 4
2 1 4
harmadrendű determináins értékét! Adjuk a determináns harmadik sorához az első sor kétszeresét: 2 -3 5 5 0
Ds = 4
2 1 0
Ezt a determinánst a harmadik sora szerint célszerű kifejteni:
£>3=5
-3 5
2 = 5 ( -3 - 10) = -6 5 . 1
Pn Ha a determináns főátlója alatt (felett) csupa 0 áll, akkor a determináns értéke a főátlóban levő elemek szorzatával egyenlő.
X V .
K d W B « M A T O R IK A
X V .l. PERMUTÁCIÓK ISMÉTLÉS NÉLKÜLI PERMUTÁCIÓ Adott n (g N~*“) különböző elem egy sorrendjét az elemek egy ismétlés nélkfili permntációjának (röviden: permutációjának) ne vezzük. FFI Az A = {a; 6; c} halmaz elemeinek egy permutációja: hac.
Ha a sorrenden változtatmikj akkor ugyanezeknek az elemeknek egy másik permutációját kapjuk, így például: acb.
írjuk fel az {a; 6; c} halmaz elemeinek összes elrendezését (permutációját)! Ehhez induljunk ki az abc
alapsorrendbol és alkalmazzuk a lexikonok módszerét, az ún. lexikografikus elrendezést. Eszerint a lehetséges elrendezések: abc bca
acb cab
bac cba.
Az összes permutáció száma 6.
S
Az n (€
N"*")különböző elem összes permutációinak száma (jele:
P n ):
Pn = n!
,
388
XV. KOMBINATORIKA
ahol n\ (olv.: n faktoriális) jelöli a pozitív egész számok szorzatát 1-től n-ig, azaz n! 1 •2 •... - n. lU
0
A faktoriális definícióját kiterjesztve, célszerű a 0! = 1 értelmezés. Hány olyan hétjegyű telefonszám képezhető a 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9 számjegyekből, cimelyben az első jegy 1-es és minden számot csak egyszer használhatmik fel? Rögzítve az 1-es helyét, a maradék hat helyre 6 különböző számot helyezhe tünk el, ez Pe = 6! = 1 •2 •3 •4 •5 •6 = 720—féleképpen lehetséges.
ISMÉTLÉSES PERMUTÁCIÓ Ha adott n (g N"^) olyan elem, amelyek között fci; k2 \ kr (/ci + A:2 + ... + /cr < n) számú egyenlő fordul elő, és képezzük az adott n elem egy sorrendjét, akkor ismétléses permutációról beszélünk. □
Ha n (G elem között r (r < n)-féle különböző elem szere pel úgy, hogy az egymással megegyezők száma /c2, . .. , kr {ki + k2 + -h kr = n), akkor az ismétléses permutációk száma: p(ki;k2-,...;kr) ^
0
ni kihk2l-...-krl'
A bizonyítás szemléltetésére alkalmas a következő példa: van 3 piros, 5 kék és 2 sárga golyónk (az azonos színű golyók egymástól nem különböznek). Hány különböző módon tudjuk ezeket sorba rendezni? Ha n különböző elemünk lenne, akkor a permutációk száma n\ lenne, azaz most 10! = 3628800. A 3 piros golyó egymás közötti felcserélésével nem kapunk más ismétléses permutációt. 3 piros golyót egymás közt 3!-féleképpen permutálhatunk, az 5 kék golyót 5!-féleképpen, a 2 sárga golyót pedig 2!-féleképpen. Tehát az összes esetek száma:
p(3;5;2) _
10.
_
E példa gondolatmenetével általános esetre is belátható a tétel.
XV. KOMBINATORIKA
389
XV.2. VARIACIOK ISMÉTLÉS NÉLKÜLI VARIÁCIÓ Ha adott n(G N +) különböző elemek közül kiválasztunk k { < n ) elemet (mindegyik elem csak egyszer választható), és ezek per mutációját képezzük (tehát a sorrend lényeges), akkor n elem egy A:-adosztályú, ismétlés nélküli variációjáról (röviden: variációjá ról) beszélünk. Az n elem összes A;-adosztályú variációinak számát V^-val jelöljük, m
Adott n(G N +) elem A:-adosztályú variációinak száma:
{n-k)V
y k
_
ri\
(n-k)l összefüggés k = 0 esetre is kiterjeszthető, mivel a 0! értékét 1-nek definiáltuk. Ha n különböző elemből n elemet választanánk, és képeznénk ezek permutáu:ióját, akkor ezek száma n\ lenne. Azonban n elemből csak k helyre választmik elemet, így n ~ k hely „üresen” marad (15.1. ábra).
elemek
0
0 0
heiyek
□ □ □
... ... k
15.1. ábra
□
c: n -k
390
XV. KOMBINATORIKA Az n — k helyre a.z n — k különböző elemet (n — fc)!-féleképpen lehet sorba rakni. Ezzel osztani kell az összes elrendezések számát; így az összes lehetséges fc-adosztáljrú variáció száüua: n\ (n - k)\'
Hány olycin négyjegyű szám van, mely különböző számjegyekből áll? A 10 számjegy közül kell válcisztanunk négyet. Egy számban számít a számjegyek sorrendje (pl.: 2345^ 2354)y így az összes lehetséges esetek száma a 10 elem negyed osztályú varációinak száma:
ni,. A 0 azonban nem áUhat egy szám elején! Rögzítsük ezért a 0-t az első helyre; a maradék három helyre a többi 9 számjegyből választhatunk (a feladat szerint a számjegy jegyei különbözőék). 9 elem harmadosztályú varációincűc száma: Ezek a számok nyilván nem kerülhetnek szóba, így a feladat megoldása:
(ÍF?3)r - ( 5 ^ ' ^ - S
ISMÉTLÉSES VARVIÁCIŐ Ha adott n(G N“*") különböző elem közül kiválasztunk N“*") elemet úgy, hogy egy elemet többször is kiválaszthatunk, majd a kiválasztott elemeket permutáljuk (tehát az elemek sorrendje lényeges), akkor n elem egy k-adosztáljrú ismétléses varációját kapjuk. Az n elem összes A:-adosztályú ismétléses variációját V^^*^-vel jelöljük.
n{e
pr| Az N +) elem összes k{£ N“^)-adosztályú ismétléses variáci óinak száma:
XV. KOMBINATORIKA 0
391
Az ismétléses variációra klasszikus példa a totó. Csak egy oszlopot tekint sünk. A 13+1 (=14) helyre az 1, X, 2 jelek közül bármelyiket beírhatjuk. A kitöltés sorrendje nyilván számit. Tehát az egyoszlopos totószelvény kitöltési lehetőségeinek száma:
=
=.314=4782969.
XV.3. KOMBINÁCIÓK ISMÉTLÉS NÉLKÜLI KOMBINÁCIÓ Ha adott n(G különböző elemből kiválasztunk k {Q < k < n ) elemet úgy. hogy egy elem csak egyszer választható és az ele mek sorrendjére nem vagyunk tekintettel, akkor n elem egy k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációjáról (kombinációjáról) beszélünk. Az n elem összes A;-adosztályú kombinációinak a számát C^-val jelöljük. m
Adott n (e N“*“) különböző elem A:-adosztályú kombinációinak száma: ni
A szimbólum helyett többnyire az (^) jelölést (olv.: n alatt k) használjuk, amit binomiális együtthatónak nevezünk. Az n elem A:-adosztályú kombinációinak meghatározása során tu lajdonképpen másképpen fogalmazva: az n elemű halmaz k elemű részhalmazainak a számát keressük (részhalmazok kialakításakor az elemek sorrendje közömbös).
IP I
Magyarország legnépszerűbb szerencsejátéka a lottó. Számítsuk ki, hogy a biztos öt találathoz hány szelvényt kellene kitöltenünk! A lottójátékban 1-90-ig a természetes számok közül ötöt kell kiválasztanunk.
392
XV. KOMBINATORIKA Az öt szám kijelölésének a sorrendje tetszőleges. így 90 elem 5-ödosztályú (ismétlés nélküli) kombinációit kell képeznünk: ^5
*
/90\
90!
90 ■89 - 88 •87 •86
= ( 5 ) - SriSÍ - - T T i m r i - -
Ennyi szelvényt kellene kitöltenünk a biztos öt találathoz.
ISMETLESES KOMBiNACIO Ha adott n(G N~^) különböző elem közül A;(g N) elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is választható és az elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel, akkor n elem egy k-adosztályú ismétléses kombinációját kapjuk. Az n elem összes A:-adosztályú ismétléses kombinációinak számát k(i)
a. Cn
szimbólummal jelöljük.
m
Az n(G N +) elem k {e N)-adosztályú ismétléses kombinációinak száma:
0
Dobjunk fel 4 egyforma pénzérmét! Hány különböző dobási eredmény jöhet létre? Két eset lehetséges: fej vagy írás, így n = 2. Mivel 4 (megkülönböztethetet len) érménk van, k = 4. A dobási esetek száma:
= (4) =
XVI. BEVEZETES A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSBA
XVI.l. ESEMENYALGEBRA AZ ESEMÉNY FOGALMA A véletlen jelenségek tanulmányozása során kísérleteket végzünk. A „kísérlet” szót a valószínűségszámításban a szokásosnál szélesebb értelemben használjuk. Kísérleten nemcsak a véletlen jelenségek elő állítását, hanem a véletlen tömegjelenség megfigyelését is értjük. Valamely jelenségre vonatkozó kísérlet egy lehetséges kimenetelét elemi eseménynek nevezzük, melyeket E\^ £^2? ...-vei jelölünk. Pél dául kockadobásnál elemi esemény az, hogy 1-est dobtunk. Általában, egy konkrét véletlen jelenség elemi eseményeit úgy szoktuk megadni, hogy azok a lehető legegyszerűbbek legyenek. Mindig ki kell elégíte niük azonban a következő három feltételt: 1) A véletlen jelenség megfigyelése után bármelyik elemi eseményről egyértelműen eldönthető, hogy bekövetkezett-e, vagy sem. 2) Két elemi esemény egyszerre nem következhet be ugyanazon kísérlettel kapcsolatosan. 3) A vizsgált jelenséggel kapcsolatos kísérlet során valamelyik elemi esemény mindig bekövetkezik. Egy kísérlettel kapcsolatos elemi események halmazát eseménytér nek nevezzük, és J-vel jelöljük. Az eseménytér egy részhalmazát eseménynek nevezzük. Az esemé nyeket — esetleg indexszel ellátott — latin nagybetűkkel jelöljük. A már említett kockadobásnál az I eseménytér: / = { 1 ; 2; 3; 4; 5; 6}.
394
XVI. BEVEZETÉS A VALÓSZÍNUSÉGSZÁMÍTÁSBA
Egy A esemény legyen a páxos számok dobása; ekkor A = { 2 ; 4; 6} C / . Ha például 4-est dobtunk, akkor azt mondjuk, hogy az A esemény bekövetkezett. Egy A esemény többféleképpen is bekövetkezhet. A kockadobás során az / = { 1; 2; 3; 4; 5; 6} esemény mindig bekövetkezik, de az, hogy például 7-est dobunk, sohasem (szabályos dobókocka esetén). [d1 Biztos esemény az, amely egy kísérlet során feltétlenül megvaló sul; jele: I. Lehetetlen esemény, amely a kísérlet során sohasem következik be; jelölése: 0. Az A esemény maga után vonja a B eseményt, ha az A esemény teljesülése esetén B is bekövetkezik; jelölése:A C B {A halmaz részhalmaza ^-nek). Az A és B eseményt egyenlőnek nevezzük, ha bármelyikük bekövetkezése (vagy be nem következése) a másik esemény be következését (ill. be nem következését) is jelenti; jel: A = B.
MŰVELETEK ESEMÉNYEKKEL A halmazokhoz hasonlóan, az eseményekkel is végezhetünk mű veleteket. E műveletek tulajdonságaival, vizsgálataival foglalkozik az eseményalgebra. Ha a.z A és B valamely kísérletre vonatkozó két esemény, akkor — a.z A és B események A-\- B összege az az esemény, amely akkor következik be, ha a,z A és B események közül lagalább az egyik bekövetkezik; — a.z A és B események A B szorzata az az esemény, amely akkor következik be, ha ^ is és jB is bekövetkezik; — a.z A és B események A — B különbsége az az esemény, amely akkor következik be, ha az A esemény bekövetkezik, de a jB esemény nem.
XVI. BEVEZETÉS A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSBA
395
Jelentse a kockctdobással kapcsolatbein A a 2-nél nagyobb páratlan pont szám dobását, B pedig eizt, hogy 5-nél kisebb pontszámot dobmik; azaz A = {3; 5}, B = {1; 2; 3; 4}. Ekkor A + B = {1; 2; 3; 4; 5};
A B = {zy, A - B = {5}.
0
Ha a.z A és B események egyszerre sohasem következnek be, azaz A B = 9. akkor slz A és B eseményeket nevezzük.
e g y m á s t k iz á r ó
e se m é n y e k n e k
Az A e s e m é n y e lle n t é t e az az ^-sal jelölt esemény, amely akkor következik be^ ha az A esemény nem következik be. Az A és ^ eseményekre mindig igaz, hogy: A A = Hl A ^ A = I.
[d 1
A z ^ 1, v42,
An (n G N“*“) események összeségét t e lje s e s e nevezzük, ha az események páronként kizárják egymást, és ha egyikük biztosan bekövetkezik (összegük a biztos esemény); vagyis az An események teljes esemény rendszert alkotnak, ha m é n y re n d sze m e k
AiAj=
{ i ^ j , í = l,2,...,n;
és A\ + A 2
+ An = I.
Észrevehető, hogy az eseményalgebrában (mint a vele egyenértékű halmazalgebrában) az A^ B ^C eseményekre érvényesek az összeadásra
396
XVI. BEVEZETÉS A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSBA
és a szorzásra vonatkozó kommutatív, asszociatív és disztributív tulajdonságok: A + B = B + A{A + B ) + C ^ A + {B + Cy, A {B + C) = A B + AC; A B = BA{ A B ) C ^ A{ BC) ; A + B C = {A + B) { A + C).
XVi.2. A VALOSZINUSEG FOGALMA. KISZÁMÍTÁSA GYAKORISÁG. RELATÍV GYAKORISÁG. VALÓSZÍNŰSÉG Valamely véletlen tömegjelenség tanulmányozáísa során n számú kísérletet végzünk. Ha a szóban forgó kísérlettel kapcsolatos A ese mény fc^-szor következett be (0 < A; < n), akkor azt mondjuk, hogy kA az A esemény gyakorisága k^j relatív gyakorisága pedig — . n Ha sokszor elvégezzük a kísérletet (közel azonos feltételek mellett), akkor azt tapasztaljuk, hogy az A esemény relatív gyakorisága stabili tást mutat, vagyis egy meghatározott számérték körül ingadozik. Azt a számot, amely körül egy A esemény relatív gyakorisága ingadozik, az A esemény valószínűségének nevezzük, és P(A)-val jelöljük (a P betíí a latin probabilitas=valószínűség szó kezdőbetűje). A valószínűség fenti — tapasztalat alapján — megfogalmazott definícióját pontosítani kellett. Világossá vált, hogy egy esemény valószínűsége tőlünk függetlenül létező, objektív dolog, ahogy minden szakasznak van hosszúsága, minden testnek van tömege, ugyanúgy meghatározható egy esemény adott körülmények közötti bekövetke zésének a valószínűsége. A valószínűség egzakt matematikai fogalma a következő:
XVI. BEVEZETÉS A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSBA
397
[d1 a valószínűség egy — az összes lehetséges események halma zán értelmezett — valós értékű függvény, melyre teljesülnek a Kolmogorov-canómáh. I.
0 < P(A) < 1;
II. III. ha. A és B egymást kizáró események, azaz A B == 0, akkor P (A + 5 ) = P(A) + P (^ ).
Kolmogorov a III. axiómát általánosabban, az egymást páronként kizáró A i, A 2 , ... eseményekre fogalmazta meg, azaz, ha az A i, A 2 , . . . , An, ... { n e N+) eseményekre A iAj = 0 (i ^ j ) , akkor P ( ^ l + ^ 2 + ... + An + . . . ) - P ( ^ l ) + P ( ^ 2) + . . . + P ( A , ) + . .. , vagy rövidebben 00
p(E
00
^ " ) = E p (^-)-
n=l
n=l
A lehetetlen esemény valószínűsége 0. Fordítva azonban nem igaz: ha egy esemény valószínűsége 0, nem biztos, hogy az a lehetetlen esemény. A biztos esemény valószínűsége 1. Itt sem mondható el, hogy ha egy esemény valószínűsége 1, akkor az biztosan bekövetkezik.
S
Ha az A esemény maga után vonja a B eseményt, azaz A C B^ akkor P(^)
398
s
S
XVI. BEVEZETÉS A VALÓSZÍNÚ'SÉGSZÁMÍTÁSBA
N“*")
Ha az Ai , A 2 , . . . , An (n G események teljes eseményrend szert alkotnak, akkor a valószínűségük összege 1; vagyis ha A\ "h A 2 + ... + Afi = I és A iA j = 0 ( i / j , i = j = 1, 2, . . . ,n), akkor
Az A és B (egjonást nem feltétlenül kizáxó) események összegének valószínűsége P (^ + B ) = P (^ ) + P{ B) - P{ AB) .
E tétel alakja háxom eseményre: P{ A + B + C) = P (^ ) + P( B) + P ((7 )- V{ AB) - V{ AC) - P (B C ) + P{ ABC) . Az A és B események B — A különbségének valószínűsége: P{ B - A) = F{ B) - F { A B ) .
A KLASSZIKUS VALÓSZÍNŰSÉG Ha egy kísérlettel kapcsolatban az elemi események száma véges (n), és minden elemi esemény bekövetkezése egyenlően valószínű, akkor az A esemény valószínűségét úgy határozzuk meg, hogy az A eseményt alkotó elemi események (a kedvező esetek) számát (k) elosztjuk a kísérlettel kapcsolatos elemi események (az összes esetek) számával (n); kedvező esetek száma _ k p (^ ) =
összes esetek száma
n
XVI. BEVEZETÉS A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSBA
399
Ezt a módszert a valószínűség klasszikus vagy kombinatorikus kiszámítási módjának nevezzük. I PI
1. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy kockával legalább 5-öst dobunk. Ekkor az A esemény szempontjából a kedvező esetek száma 2 (ha 5-öst vagy 6-ost dobmik), az összes esetek száma pedig 6, így:
2. Számítsuk ki, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy nem nyerünk a lottón! Nem nyerünk a lottón (ezt az eseményt jelöljük A-val), ha 1 vagy 0 találatunk van; jelöljük ezen eseményeket Ai-gyel és Ao-lal. Mivel ezek egymást kizáró események, ezért a keresett valószínűség a III. cixióma alapján r { A ) = P(Ai + A o) = P { A i) + P(Ao). 1 találatunk van a lottón, ha a kihúzott 5 nyerőszámból 1-et találtunk el, ezek száma (^) = 5 és a 85 nem nyerőszámból 4-et ikszeltünk be, ezek száma (^^). Tehát a „kedvező” esetek száma ( j ) ( ^ ) - Az összes esetek száma így az 1 találat valószínűsége:
/85a V5 '
Hasonló okoskodással, a 0 találat valószínűsége: /5 x /8 5 \
0,746. A kérdezett valószínűség:
vagyis majdnem 98 % körül ingadozik a nyeretlen szelvények aránya (más képpen mondva: 2 % nyer a szelvények közül).
400
XVI. BEVEZETÉS A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSBA
MINTAVÉTELI FELADATOK Visszatevés nélküli mintavétel Legyen N darab termék között s darab selejt. Az N > s ter mékből egyszerre, véletlenszerűen kiválasztunk n darabot { n < N ) . Ezt nevezzük visszatevés nélküli mintavételnek. Keressük annak a valószínűségét, hogy az n elemű mintában k {< s) darab selejt van. Tegyük fel, hogy bármelyik termék kiválasztásának a valószínűsége egyenlő'. Az összes esetek száma ( ^) , mivel N számú termékből választunk n számút, és a kiválasztott mintaelemek egymás közti sorrendje nem számít. A kedvező eseteket azok az n elemű minták adják, amelyekben pontosan k db selejt van. Egy ilyen mintát úgy kaphatunk, hogy az s db selejtből véletlenszerűen éppen k darabot, az iV —s jó termékből pedig n — k darabot veszünk ki. Az s darabból k darabot
a, N — s darabból n — k darabot pedig /A T -A \n — kJ féleképpen választhatunk, hiszen a mintaelemek sorrendje tetszőleges, így a kedvező esetek száma: (N -s\ \n —kJ Tehát annak az A eseménynek a valószínűsége, hogy az n elemű mintában pontosan k darab selejt van (visszatevés nélkül): P(A) =
g )Q
o
Hasonló eredményre jutunk, ha az n elemű mintát nem egyszerre vizsgáljuk, hanem egymás után vesszük ki a mintaelemeket és egyiket
XVI. BEVEZETÉS A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSBA
401
sem tesszük vissza. Ekkor az ugyanazon elemeket tartalmazó mintát annyiszor kaphatjuk meg, ahányféle sorrendben az n elem kihúzható. Ez azt jelenti, hogy a kedvező és az összes esetek száma az előbbieké nek n!-szorosa. Visszatevéses mintavétel Legyen N darab termék között s darab selejt. Az N termékből n-szer egyet-egyet véletlenszerűen kiválasztunk, mégpedig úgy, hogy az egyes húzások után a kiválasztott termékről feljegyezzük, hogy jó vagy selejtes, ezután visszatesszük. Ezt nevezzük visszatevéses mintavételnek. Mi a valószínűsége, hogy az n elemű mintában éppen k {< s) darab selejt van? Tegyük fel, hogy minden húzáskor bármelyik termék kiválasztásá nak a valószínűsége ugyanakkora. A mintaelemek egymás közti sorrendje számít, és egy elemet többször is választhatunk, ezért az összes esetek száma: N'^. A kedvező eseteket azok a minták adják, amelyekben pontosan k darab selejt van. Az s selejtből k darabot 5^-féleképpen választhatunk, és bármely k számú selejt mellé az i\T —5 jó darabból n — k darabot {N — 5)’^~^-féleképpen. Tekintsük például a selejtes termékek egy A A B sorrendjét (k = 3), s ezt helyezzük el egy n = 7 elemű mintában. Ekkor az A
A
B
A
B
és például az A
két különböző, 7 elemű mintát szemléltet, ahol □ a jó termékek helyét jelöli. Tehát az A A B selejtes termékek sorrendjéhez annyi különböző 7 elemű niinta tartozik, ahányféleképpen 7 elemből 3-at ki tudunk választani (a sorrendre való tekintet nélkül); ezek száma (3). E gondolatmenet általánosításaként azt mondhatjuk, hogy az n helyből (]J)-féleképpen választhatunk ki k helyet (sorrendre való tekintet
402
XVI. BEVEZETÉS A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSBA
nélkül), ahova a k darab selejtes terméket — adott sorrendben — elhelyezhetjük. Ezért a kedvező esetek száma
így annak az A eseménynek a valószínűsége, hogy az n elemű mintá ban k darab selejtes van (visszatevéssel): —^
Nn
5
^=N selejtarány bevezetésével ok
XVI.3. A v a l ó s z ín ű s é g i v a l t o z o es JELLEMZŐI A VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ [ö] Ha egy kísérlettel kapcsolatos elemi események mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy-egy valós számot, akkor az elemi események I halmazán egy függvénji; értelmezünk. Ezt a függvényt valószínűségi változónak nevezzük. A valószínűségi változót általában görög kisbetűvel (pl. jelöljük.
rj)
XVI. BEVEZETÉS A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSBA
403
Diszkrét valószínűségi változóról beszélünk, ha az véges sok értéket vesz fel (vagy értékei sorozatba rendezhetők), és folytonos valószínű ségi változóról, ha értékei intervallumot (intervallumokat) alkotnak. Kockadobás esetén legyen a ^ valószíntfeégi változó értéke a dobott pontok száma. Ekkor a ^ lehetséges értékei: 1, 2, 3, 4, 5, 6. A ^ minden lehetséges értékét - valószínűséggel veszi fel; ezt így jelöljük: 6
P (í = fc) = J (fc=l,2,3,4,5,6) D (Olv.: annak a valószínűsége, hogy a ^ értéke éppen k — ahol lehet — i ) .
= 1,2,3,4,5,6
Legyenek a ^ diszkrét valószínűségi változó értékei: x i, X2,
Xn-
Az egyes értékek felvételének valószínűségei, azaz a m
= Xk ) = Pk
{k = l , 2 , . . . , n )
értékek adják a ^ valószínűségi változó eloszlását.
A DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ JELLEMZŐI A várható érték fp] Ha 4 egy diszkrét valószínűségi változó, amely az Xi, X2 , •••, Xn értékeket rendrepi,p2? Pn valószínűséggel veszi fel, akkor az
i= l
számot a ^ valószínűségi változó várható értékének nevezzük. (A várható érték jelölésében az M betű az angol mean=középérték szóból származik.)
404 0
XVI. BEVEZETÉS A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSBA Tekintsük ismét a kockadobást; ^ értéke legyen az éppen dobott pontszám, azaz ^ = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Tudjuk hogy ^ minden értéket — valószínűséggel 6 vesz fel, ezért a ^ várható értéke
M (0 = £ x i p i = l Í + 2 - Í + 3 - Í + 4 Í + 5 - Í + 6 - Í = 3 , 5 . A várható érték — a példánál maradva — nem azt mutatja, hogy ha a kockát sokszor feldobjuk, várhatóan 3,5-et dobunk (nyilván ez sohasem teljesül), hanem azt, hogy ha a játékkockát többször feldob juk és kiszámítjuk a kapott pontszámok számtani közepét, akkor ez a középérték 3,5 körül ingadozik. Ha nagyon sokszor elvégeznénk a kísérletet és minden esetben meghatároznánk a dobott pontszámok középértékét, akkor azt tapasztalnánk, hogy e középérték bizonyos stabilitást mutat. A szórás [dI Ha a PI5
diszkrét valószínűségi változó az x i, 0:2, •••5Pn valószínűséggel veszi fel, akkor a
^Xn értékeket
i=l számot, ahol M(
\
í= i
pozitív számot pedig a ^ szórásának nevezzük. (A D(^) jelölésben a D az angol deviation=eltérés angol szóból ered.) m
Ha a diszkrét valószínűségi változó az x i, X2, . . . . Xn értékeket rendre pi^ P2, Pn valószínűséggel veszi fel, akkor
405
XVI. BEVEZETÉS A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSBA
i=\ 0
A kockadobás esetén számítsuk ki a pontszám szórását (kétféleképpen)! A ^ lehetséges értékei: 1, 2, 3, 4, 5, 6, és minden értéket - valószínűséggel
6
vesz fel, azaz pi — — (i = 1,2,3,4,5,6), továbbá várható értéke 3,5. 6 a) A definíció szerint:
= (1 -
3,5)2 . 1
+ (2 -
3,5)2 .
D
1 +
(3 - 3.5)2 .
D
1 + 6
(4 - 3,5)2 .
1 6
+ (5 - 3,5)2 . i + (6 - 3,5)2 . 1 ^
6
6
= 2,92, amiből D (í) « 1,7088. b) A tétel alapján: D2(Í) = l2 . i + 22 ■i + 6 6 így D (í) fs 1,7088.
32
■i + 6
42
.i + 6
52
. i + 62 . i - 3 , 5 2 = 2,92, 6 6
TÁRGYMUTATÓ
abszcissza, 102 abszolútérték-függvény, 147 abszolút érték, komplex számé, 34 abszolút érték, valós számé, 31 abszolút érték, vektoré, 151 addíciós (összegzési) tételek, 176 affinitás, 212 alaphalmaz, 54 alapintegrálok, 359 aldetermináns, 384 algebrai egyenlet, 54 algebrai függvény, 130 algebrai kifejezés, 45 algebrai szám, 31 algebrai törtek, 46 alsó határ, 87 alsó korlát, 86 alsó összeg, 344 áltört, 26 antiszimmetrikus mátrix, 378 ApoUoniosz-féle kör, 193 azonos átalakítás, 47
azonosság, 54 bázis, 157 befogótétel, 226 behelyettesítő módszer, 64 belső pohéder, 272 bijektív leképezés, 97 bináris reláció, 95 binomiáhs együttható, 49 binomiális tétel, 49 biztos esemény, 394 Cavalieri-elv, 273 centrális hasonlóság, 208 centrális szimmetria, 201 csonkagúla, 261 csonkakúp, 266 csonkakúp palástja, 267 csúcsszögek, 191 deltoid, 233 de Morgan-azonosságok, 16 derékszögű trapéz, 231 deriválási szabályok, 335 derivált, 327
TÁRGYMUTATÓ
derivált függvény, 331 Descartes-féle koordinátarendszer, 102 Descartes-szorzat, 94 determináns, 383 determináns kifejtése, 384 determinánsok tulajdonságai, 385 diagonálmátrix, 376 differenciahányados, 326 differenciahányadosfüggvény, 326 differenciálhányados, 327 differenciálható függvények, 331 diofantoszi egyenlet, 60 direktrix, 298 Dirichlet-féle függvény, 105 diszjunkció, 18 diszjnnkt (idegen) halmazok, 15 diszkrét valószínűségi változó, 403 diszkrimináns, 67 divergens sorozat, 88 domború (konvex) szög, 187 dualitás elve, 19 egész számok, 25 egészrészfüggvény, 149 egyállású szögek, 191 egybevágósági transzformáció, 196 egyenes általános egyenlete, 291 egyenes egyenletei, 283 egyenes hasáb, 258 egyenes henger, 263
407
egyenes iránjrtényezős egyenlete, 287 egyenes koordinátageometriája, 283, 316 egyenes körkúp, 265 egyenes normálvektoros egyenlete, 286 egyenes paraméteres egyenletrendszere, 284, 317 egyenes paraméteres vektoregyenlete, 284, 316 egyenes tengelymetszetes alakja, 291 egyenesek párhuzamosságának, ill. merőlegességének feltétele, 291 egyenesszög, 187 egyenlet, 53 egyenlet következménye, 55 egyenlet megoldása, 53 egyenletrendszer, 61 egyenletrendszer, algebrai 62 egyenletrendszer, kétismeretlenes, 62 egyenletrendszerek, magasabb fokú, 74 egyenlő együtthatók módszere, 62 egyenlő oldalú háromszög, 224 egyenlő oldalú henger, 263 egyenlő szárú háromszög, 223 egyenlő szárú trapéz, 231 egyenlőtlenség, 54 egyenlőtlenségrendsze rek, magasabb fokú, 74
408
TÁRGYMUTATÓ
egyértelmű leképezés, 99 egyismeretlenes egyenlet, 57, 65 egyismeretlenes egyenlőtlenség, 58 egyköpenyű forgáshiperboloid, 325 egymást kizáró események, 395 egységmátrix, 376 egységvektor, 152, 156 egyszerű poligon, 236 egyszerűsítés, 26 egyváltozós valós függvény, 99 ekvivalencia, 20 ekvivalenciareláció, 96 ekvivalens átalakítások, 56 ekvivalens egyenletek, 55 ekvivalens halmazok, 12 elemi esemény, 393 elemi függvények, 129 elemi függvények deriváltjai, 333 elemi geometria, 182 ellipszis, 304 ellipszis általános egyenlete, 307 ellipszis egyenlete, 307 ellipszis paraméteres egyenletrendszere, 308 ellipszis pontjainak szerkesztése, 308 ellipszoid, 324 előjelfüggvény, 148 elsőfokú egyenlet, 57 elsőfokú egyenletrendszer, 61 elsőfokú függvény, 131 elsőrendű logika, 17 eltolás, 106, 197
érintő, 330 érintőnégyszög, 234 értékkészlet, 95 értelmezési tartomány, 95 esemény, 393 eseményalgebra, 393 eseményműveletek, 394 eseményt ér, 393 Euler-egyenes, 223 Euler-féle poliédertétel, 256 explicit függvény, 105 exponenciális függvény, 144 faktoriális, 388 Falk-módszer, 380 félegyenes, 182 felező merőleges, 193 felezőpont koordinátái, 280, 313 féloldali folytonosság, 122 féloldali határérték, 127 felosztás finomsága, 343 felső határ, 87 felső korlát, 86 felső összeg, 344 felszín, 271 felszínképletek, 274-277 félszögek szögfüggvényei, 177 ferde affinitás, 212 ferde hasáb, 258 Feuerbach-kör, 223 Fibonacci-sorozat, 83 fixegyenes, 195 fixpont, 195 fixsík, 195
TÁRGYMUTATÓ
fok, 189 folytonosság, 120 fordított arányosság, 134 forgásfelületek, 322 forgáshenger, 322 forgáshiperboloid, 325 forgáskúp, 324 forgásparaboloid, 323 forgásszimmetrikus alakzat, 203 forgásszög, 189 forgástest palástjának felszíne, 369 forgástest súlypontja, 371 forgástestek térfogata, 366 függvény, 98 függvény folytonossága, 120 függvény grafikonja, 102 függvény határértéke véges helyen, 123 függvény határértéke végtelenben, 128 függvény leszűkítése, 100 függvény megadása, 104 függvényműveletek, 110 függvénytranszformációk, 106 függvénytulajdonságok, 112 geometriai testek, 255 geometriai transzformációk, 194 gömb, 268 gömb egyenlete, 323 gömbgerezd, 270 gömbkétszög, 270 gömböv, 269 gömbréteg, 269
409
gömbsüveg, 269 gömbszelet, 269 görbeív alatti terület, 362 görbelapú testek, 262 gúla, 260 gyakoriság, 396 gyökök és együtthatók összefüggése, 67 gyökvonás, 50 hajlásszög, 184 halmaz, 11 halmazműveletek, 14 halmazok számossága, 12 harmadolópont koordinátái, 280, 314 harmadrendű determináns, 384 harmonikus közép, 77 harmonikus sor, 93 harmonikus sorozat, 83 három egymásra merőleges egyenes tétele, 185 háromszög, 216 háromszög köré írható kör, 218 háromszög középvonala, 221 háromszög magasságvonala, 221 háromszög oldalfelező merőlegese, 218 háromszög súlypontja, 223 háromszög súlypontjának koordinátái, 280, 314
410
TÁRGYMUTATÓ
háromszög súlyvonala, 222 háromszög területe, 253, 283 háromszögbe írható kör, 219 háromszög egyenlőtlenség, 58, 218 háromszögek egybevágósága, 204 háromszögek hasonlósága, 211 háromszögek osztályozása, 216 hasáb, 257 hasonló testek térfogatának aránya, 273 hasonlóság, 205 hasonlósági transzformációk, 205 határérték, 123 határérték, sorozaté, 88 határozatlan egyenletek, 60 határozatlan integrál, 356 határozatlan integrálás, 357 határozott integrál, 343 hatvány, 47 hatványfüggvények, 130 hatványhalmaz, 13 hatványozás, 47 hegyesszög, 187 heljrvektorok, 152 henger, 262 hiperbola, 309 hiperbola egyenlete, 310 hiperboloid, 325 homogén bináris reláció, 96 homotécia, 210
hosszúságegységek, 251 húrnégyszög, 234 húrtrapéz, 232 identikus leképezés, 195 imaginárius egység, 33 implicit függvény, 105 implicit függvény differenciálása, 338 implikáció, 20 indirekt bizonyítás, 21 inflexiós pont, 119 injektív leképezés, 97 integrál, 346 integrálás, 357 integrálás helyettesítéssel, 360 integrálási eljárások, 360 integrál-egyeidőtlenségek, 351 integrálfüggvény, 352 integrálhatóság, 346 integrálközelítő összeg, 347 integrábnűveletek, 350 integrálszámítás, 343 integrandus, 346 intervallum, 31 intervallum felosztása, 343 inverz függvény, 110 inverz függvény differenciálása, 337 inverz transzformáció, 195 inverzió, 215 irányított szakasz, 250 irányított szög, 190 iránytangens, 287 irányvektor, 284
TÁRGYMUTATÓ
irracionális egyenlet, 54 irracionális számok, 30 ismétlés nélküli kombináció, 391 ismétlés nélküli permutáció, 387 ismétlés nélküli variáció, 389 ítélet, 17 ítéletkalkulus, 17 ívmérték, 189 jobbsodrású rendszer, 158 kamatoskamat-számítás, 84 karakterisztika, 52 képhalmaz, 101 képzetes szám, 33 kerület, síkidomoké, 250 kerületi szög, 245 két egyenes hajlásszöge, 191, 292 két kör közös belső érintője, 243 két kör közös külső érintője, 243 két pont távolsága, 278, 312 két ponton áthaladó egyenes egyenlete, 290 két sík metszésvonala, 321 két térelem távolsága, 182 két ismeretlenes egyenletrendszer, 62 két köpenyű forgáshiperboloid, 325 kétszeres szög szögfüggvényei, 177 kiegészítő szögek, 190 kifejezés, 45 kilencpontos kör, 223 kizáró események, 395
411
klasszikus valószínűség, 398 kocka, 259 Kolmogorov-axiómák, 397 kombinációk, 391 komplementer halmaz, 16 komplex szám trigonometrikus alakja, 37 komplex számok, 32 komformábilis mátrixok, 381 konjunkció, 19 konkáv szög, 187 kontinuum, 13 konvergenciafeltételek, 88 konvergens sorozatok, 87 konvex alakzat, 182 konvex sokszög, 236 konvex (domború) szög, 187 konvexitás, 117 koordinál a-rendszer, Descartes-féle, 102 korlátos sorozatok, 86 koszinuszfüggvény, 140 koszinusztétel, 179 köbgyökfüggvény, 137 kölcsönösen egyértelmű leképezés, 97 kör, 239, 295 kör egyenlete, 295 kör érintőjének egyenlete, 297 kör paraméteres egyenletrendszere, 297 körhenger, 263 körkúp, 264 körlemez, 240 körök kölcsönös helyzete, 242
412
TÁRGYMUTATÓ
körre vonatkozó hatvány, 249 körszimmetrikus alakzat, 240 következtetési szabályok, 21 közelítő integrálás, 372 középháromszög, 221 középponti szög, 245 középpontos hasonlóság, 208 középpontos tükrözés, 201 középpontosan szimmetrikus alakzat, 202 közös osztó, 42 közös többszörös, 42 Kronecker-féle szimbólum, 376 kúp, 264 kúpszeletek, 266 kúpszeletek koordinátageometriája, 295 különbségi hányados, 326 külső poliéderek, 272 kvadratikus mátrix, 376 kvantor, 18 láncszabály, 337 látókör, 194 látószög, 247 legkisebb közös többszörös, 42 legnagyobb közös osztó, 42 lehetetlen esemény, 394 leképezés, 96 leképezések szorzata, 195 lépcsős függvény, 149 lexikografikus elrendezés, 387 lineáris egyenlet, 57 lineáris egyenletrendszer, 61 lineáris excentricitás, 306
lineáris függvény, 131 lineáris törtfüggvény, 135 logaritmus, 52 logaritmusfüggvény, 146 logikai függvény, 21 logikai műveletek, 18 logikai változók, 17 magasabb fokú egyenletrendszerek, 74 magcLSságtétel, 225 mantissza, 52 másodfokú egyenlet, 65 másodfokú egyeidőtlenség, 69 másodfokú függvény, 132 másodfokúra visszavezethető egyenletek, 68 másodrendű determináns, 383 másodrendű felületek, 266 másodrendű görbék, 266 matematikai logika, 17 mátrix, 375 mátrixok összeadása és kivonása, 378 mátrixok szorzása, 380 mátrix transzponáltja, 378 megszámlálhatóan végtelen, 13 megszüntethető szakadás, 125 mellékszögek, 190 meredekség, 287 mérlegelv, 55 merőleges affinitás, 212 merőleges szálrú szögek, 192 merőleges vetítés, 214 mértani hely, 193
TÁRGYMUTATÓ
mértani közép, 77 mértani sor, 92 mértani sorozat, 81 mértani test, 272 metszet, 15 mintavételi feladatok, 400 Moivre-képlet, 37 monoton függvények, 115 monoton sorozatok, 85 n-edik gyökvonás, 51 n-edrendű determináns, 383 n-edrendű mátrix, 376 negáció, 19 negatív forgásirány, 171 negatív számok, 24 negatív szögek szögfüggvényei, 174 négyszögek, 227 négyzet, 230 négyzetes gúla, 261 négyzetes (kvadratikus) mátrix, 376 négyzetes oszlop, 258 négyzetgyökfüggvény, 136 négyzetgyökvonás, 50 nem elemi függvények, 147 nevezetes ponthalmazok, 193 nevezetes szorzatok, 48 nevezetes szögek szögfüggvényei, 175 nevezetes vonalak a háromszögben, 218 nevező gyöktelenítése, 50 Newton-Leibniz-formula, 358
413
normálalak, 32 normáltranzverzális szakasz, 183 normálvektor, 286 nullszög, 186 nullvektor, 152 numerikus integrálás, 372 nyílt poligon, 236 nyitott mondat, 53 nyújtás, 107 ordináta, 102 oszlopösszegpróba, 380 oszlopvektor, 377 osztás, 25 oszthatóság, 41 oszthatósági szabályok, 41 osztópont koordinátái, 279, 312 összehasonlító módszer, 64 összetett függvény, 110 összetett függvény differenciálása, 337 összetett szám, 41 parabola, 298 parabola általános egyenlete, 302 parabola tengelyponti (csúcsponti) egyenlete, 299 parabolapontok szerkesztése, 303 paraboloid, 323 paralelepipedon, 259 paralelogramma, 227
414
TÁRGYMUTATÓ
páratlan függvény, 112 parciális integrálás, 360 parciális rendezés, 96 párhuzamos hasonlóság, 210 párhuzamos szelők tétele, 206 páros függvény, 112 periodikus függvény, 112 permutációk, 387 Pitagorasz-tétel, 226 polárkoordináta-rendszer, 103 poliéder, 255 poligon, 235 poligonszabály, 153 polinom, 46 polinomfüggvények, 130 pont és egyenes távolsága, 293 pont és sík távolsága, 321 pont koordinátageometriája, 278, 311 pont körüli elforgatás, 202 pontra vonatkozó tükrözés, 201 pótszögek, 190 pót szögek szögfüggvényei, 170 pozitív forgásirány, 171 primitív függvény, 354 prímszám, 41 racionális egész függvény, 130 racionális kifejezés, 46 racionális szám, 26 racionális számtest, 29 racionális törtfüggvény, 134 rácspont, 95 radián, 189 rádiuszvektor, 305
reláció, 95 relatív gyakoriság, 396 relatív prímszámok, 42 rendezés, 96 rendezett számpárok, 94 rendőrelv, 89 részbem-endezés, 96 részhalmaz, 13 Riemannféle integrálközelítő összeg, 347 Riemann-integrál, 346 rombusz, 229 Sarrus-szabály, 384 sík általános egyenlete, 320 sík Hesseféle normálegyenlete, 320 sík koordinátageometriája, 279 sík normálegyenlete, 321 sík vektoregyenlete, 318 síkbeli vektorok, 157 síkidom vetületének területe, 252 síkidomok, 216 síkidomok kerülete és területe, 253-255 síklemez súlypontja, 370 síkra mer^eges egyenes tétele, 184 síkra vonatkozó tükrözés, 200 síkszimmetrikus alakzatok, 201 Simpson-formula, 374 skaláris szorzat, 162 sokszögek, 235 sokszögtartomány, 236 sor, 90
TÁRGYMUTATÓ
sor részletösszege, 91 sorozat, 78 sorozat általános eleme, 79 sorozat határértéke, 87 sorozatok tulajdonságai, 85 sorösszegpróba, 380 sorvektor, 377 szabad vektor, 160 szabályos gúla, 261 szabályos háromszög, 224 szabályos sokszögek, 237 szabályos testek, 256 szakadáísi hely, 122 szakasz felezőpontjának koordinátái, 280 szakasz hossza, 250 számegyenes, 30 számelmélet alaptétele, 42 számhalmazok, 12 számosság, 12 számsorok, 90 számsorozatok, 78 számsorozatok monotonitása, 86 számtani közép, 77 számtani sorozat, 80 szelők szeleteinek szorzata, 249 szélsőérték, 117 szimmetrikus egyenlet, 68 szimmetrikus mátrix, 377 szimmetrikus transzfonnáció, 195 szimmetrikus trapéz, 231 szinuszfüggvény, 139 szinusztétel, 178
415
szórás, 404 szórásnégyzet, 404 szög, 186 szögek mérése, 188 szögfelező, 193 szögfelező egyenlete, 294 szögfüggvények a derékszögű háromszögben, 169 szögfüggvények értelmezése, 169 szögpárok, 190 szürjektív leképezés, 97 tangensfüggvény, 141 távolságok, 182 téglalap, 229 téglatest, 259 teljes eseményrendszer, 395 teljesszög, 187 tengelyes tükrözés, 197 tengelyesen szimmetrikus alakzatok, 199 térelemek, 182 térelemek hajlásszöge, 184 térelemek távolsága, 182 térfogat, 272 térfogategységek, 274 térfogatképletek, 274-277 természetes logaritmus, 52 természetes számok, 23 terület, 250 területegységek, 253 területfüggvény, 353 területképietek, 253-255 testek, 255
416
TÁRGYMUTATÓ
testek felszíne és térfogata, 274-277 tetraéder, 256 Thalész tétele, 248 tizedestört, 26 tízes számrendszer, 24 tompaszög, 187 torznégyszög, 227 törött vonal, 235 tört, 25 törtrészfüggvény, 150 törzsszám, 41 transzcendens egyenlet, 54 transzcendens függvények, 130 transzcendens szám, 31 trapéz, 231 trapéz középvonala, 232 trapézformula, 372 trigonometria, 169 trigonometrikus függvények, 139 trigonometrikus összefüggések, 176 tükrözés, 108, 198, 200, 201 üres halmaz, 12 valódi részhalmaz, 13 valódi tört, 26 valós függvény, 99 valós számok, 30 valószínűség, 396 valószínűségi változó, 402 váltószögek, 192 várható érték, 403
variációk, 389 véges halmaz, 12 végtelen valós számsor, 90 végtelenben vett határérték, 128 vegyes szám, 26 vegyes szorzat, 166 vektor, 151 vektor abszolút értéke, 151 vektor ellentettje, 154 vektor koordinátái, 158 vektor szorzása valós számmal, 155 vektoralgebra, 151 vektoriális szorzat, 164 vektorok hajlásszöge, 162 vektorok különbsége, 155 vektorok összege, 153 vektorok szorzása, 162 Venn-diagram, 11 vetületi tétel, 221 vezéregyenes, 298 vezérsugár, 305 Viete-formulák, 67 visszatevés nélküli mintavétel, 400 visszatevéses mintavétel, 401 Wallace-egyenes, 218 zárt poligon, 236 zérusmátrix, 376 zérusvektor, 152 zsugorítás, 107
Könyvünk segítséget kíván nyújtani mind a nap pali, mind az esti, illetve levelező tagozatos hall gatóknak az aktuális órai anyag megtanulásához, a korábban tanult ismeretek felfrissítéséhez, vala mint az érettségi és felvételi vizsgára való felké szüléshez, de az elsőéves fmskolai és egyetemi hall gatók is hasznosan forgathatják.
ISBN 963 545 015 X
Ára: 450,- Ft
9 111
5 "4 5 0 1 5 2
