BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL AMALGAMASI DUA BUAH GRAF TERHUBUNG

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL AMALGAMASI DUA BUAH GRAF TERHUBUNG CHROMATIC NUMBER OF AMALGAMATION OF TWO CONNECTED GRAPHS Ridwan Ardiyansah (1209 100 057) Pembimbing: Dr. Darmaji, S.Si, MT. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

2013

Daftar Pustaka

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Abstrak Sebuah graf G(V, E) dikatakan sebagai graf dengan n-coloring jika G dapat diwarnai dengan n warna dan tidak terdapat simpul-simpul saling bertetangga yang memiliki warna sama. Lebih lanjut, bila n menunjukkan jumlah minimum warna yang digunakan sehingga G tetap dapat diwarnai dan tidak terdapat simpul bertetangga dengan warna yang sama, maka n diakatakan sebagai bilangan kromatik dari G yang dinotasikan dengan χ(G). Dalam tugas Akhir ini dilakukan analisis bilangan kromatik dari graf hasil amalgamasi dua buah graf terhubung. Operan yang digunakan dalam operasi amalgamasi ini berupa graf lengkap Km k dengan W l . dengan graf siklus Cn dan dua buah graf kincir Wm n Kata Kunci: amalgamasi, bilangan kromatik, graf kincir, graf lengkap, graf siklus, operasi graf.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Latar Belakang Masalah

Pada tahun 2009, Alauddin melakukan penelitian mengenai bilangan kromatik dari graf prisma.

Daftar Pustaka

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup


Pada tahun 2009, Alauddin melakukan penelitian mengenai bilangan kromatik dari graf prisma. Pada tahun 2010, Gross, dkk melakukan penelitian mengenai distribusi genus dari graf hasil amalgamasi.

Daftar Pustaka

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka


Pada tahun 2009, Alauddin melakukan penelitian mengenai bilangan kromatik dari graf prisma. Pada tahun 2010, Gross, dkk melakukan penelitian mengenai distribusi genus dari graf hasil amalgamasi. Penelitian untuk mendapatkan bilangan kromatik dari graf hasil amalgamasi belum ditemukan.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka


Pada tahun 2009, Alauddin melakukan penelitian mengenai bilangan kromatik dari graf prisma. Pada tahun 2010, Gross, dkk melakukan penelitian mengenai distribusi genus dari graf hasil amalgamasi. Penelitian untuk mendapatkan bilangan kromatik dari graf hasil amalgamasi belum ditemukan. Analisis bilangan kromatik dari graf hasil amalgamasi dua buah graf terhubung.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Rumusan Masalah

bagaimana menentukan bilangan kromatik dari graf hasil amalgamasi Km ∗2 Cn .

Daftar Pustaka

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Rumusan Masalah

bagaimana menentukan bilangan kromatik dari graf hasil amalgamasi Km ∗2 Cn . bagaimana menentukan bilangan kromatik dari graf hasil k ∗ Wl. amalgamasi Wm 2 n

Daftar Pustaka

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Batasan Masalah

Untuk graf pertama adalah graf hasil amalgamasi antara graf lengkap Km dan siklus Cn .

Daftar Pustaka

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Batasan Masalah

Untuk graf pertama adalah graf hasil amalgamasi antara graf lengkap Km dan siklus Cn . Untuk graf kedua adalah graf hasil amalgamasi antara dua buah k dan W l . graf kincir Wm n

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Batasan Masalah

Untuk graf pertama adalah graf hasil amalgamasi antara graf lengkap Km dan siklus Cn . Untuk graf kedua adalah graf hasil amalgamasi antara dua buah k dan W l . graf kincir Wm n Simpul-simpul yang menjadi operan adalah dua simpul yang saling bertetangga.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Tujuan

Mendapatkan bilangan kromatik graf hasil amalgamasi Km ∗2 Cn .

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Tujuan

Mendapatkan bilangan kromatik graf hasil amalgamasi Km ∗2 Cn . k ∗ Wl. Mendapatkan bilangan kromatik graf hasil amalgamasi Wm 2 n

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Manfaat

Sebagai bahan referensi pada penelitian selanjutnya di bidang teori graf,khususnya yang terkait dengan permasalahan pewarnaan graf.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Manfaat

Sebagai bahan referensi pada penelitian selanjutnya di bidang teori graf,khususnya yang terkait dengan permasalahan pewarnaan graf. Sebagai tambahan ilmu dan referensi dari pembahasan permasalahan pewarnaan graf dan operasi dalam graf.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pengertian Graf

Definisi Sebuah graf G adalah himpunan berhingga tak kosong dari objek yang disebut simpul, bersama himpunan (yang mungkin kosong) pasangan tak terurut dari simpul yang berbeda pada G yang disebut sebagai sisi.Himpunan simpul dari G dinotasikan dengan V (G), sedangkan himpunan sisi dinotasikan dengan E(G).

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pengertian Graf

Definisi Banyaknya sisi yang melekat pada simpul disebut derajat simpul. Derajat dari simpul v ∈ V (G) dinotasikan deg(v). Definisi Derajat simpul tertinggi dalam graf G dinotasikan ∆(G).

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pengertian Graf

Definisi Jika terdapat dua buah graf G dan H, maka graf H dikatakan subgraf dari graf G, bila himpunan simpul dan sisi pada graf H merupakan himpunan bagian dari G. Hubungan antara graf G dan H ini dinotasikan dengan H ⊆ G.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pengertian Graf

Definisi Jika S merupakan himpunan bagian dari V (G), maka S disebut sebagai independent-set, bila tidak ada pasangan simpul di S yang merupakan simpul-simpul yang saling bertetangga. Lebih lanjut, jumlah simpul terbanyak pada independent-set disebut sebagai independence number dan dinotasikan α(G).

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Beberapa Jenis Graf

Graf Lengkap Definisi Sebuah graf K dikatakan lengkap jika setiap simpul dalam K terhubung dengan setiap simpul selainnya dalam K.

Daftar Pustaka

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Beberapa Jenis Graf

Graf Siklus Definisi Graf siklus merupakan graf teratur yang masing-masing simpulnya berderajat 2.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Beberapa Jenis Graf

Graf Kincir Definisi k adalah graf yang diperoleh dengan mengambil Graf kincir Wm sebuah simpul pusat yang dihubungkan dengan setiap simpul pada k buah graf lengkap Km .

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Amalgamasi Graf

Definisi Amalgamasi simpul dari pasangan simpul graf (G, u) bersama (H, v) adalah graf yang diperoleh dengan menggabungkan simpul u dan v menjadi satu simpul

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pewarnaan Simpul

Definisi Pewarnaan simpul dari sebuah graf G adalah pemberian warna pada setiap simpul di G sedemikian hingga tidak terdapat dua simpul bertetangga yang memiliki warna yang sama. Definisi Jika n adalah jumlah warna yang digunakan untuk memberi warna pada simpul di graf G maka pewarnaan tersebut disebut dengan n-coloring dari G. Lebih lanjut, bila n merupakan jumlah minimum sehingga G memiliki n-coloring maka n disebut sebagai bilangan kromatik dari graf G dan dinotasikan χ(G).

Pendahuluan Pewarnaan Simpul

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pendahuluan Pewarnaan Simpul

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pewarnaan Simpul

Proposisi (2.1) Jika G adalah sebuah graf yang memiliki k simpul yang saling bertetangga maka χ(G) ≥ k. Proposisi (2.2) Jika G adalah sebarang graf dengan |V (G)| adalah order dari graf G dan α(G) adalah independence number, maka χ(G) ≥ d

|V (G)| e α(G)

Proposisi (2.3) Sebuah graf bipartite memiliki χ(G) = 2, kecuali jika G tidak memiliki sisi.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pewarnaan Simpul

Teorema (2.1) Jika H adalah subgraf dari graf G, maka berlaku χ(H) ≤ χ(G). Akibat (2.4) Sebuah graf siklus order genap memiliki χ(C2 n) = 2, dengan n anggota bilangan asli. Proposisi (2.5) Sebuah graf siklus order ganjil memiliki χ(C2 n + 1) = 3, dengan n anggota bilangan asli. Proposisi (2.6) Untuk sebuah graf lengkap berorder n, dengan n∈N, maka χ(Kn ) = n.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Pewarnaan Simpul

Algoritma Welch-Powell

1

Urutkan simpul v1 ,v2 ,. . .,vn pada graf G secara menurun berdasarkan derajat.

Daftar Pustaka

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pewarnaan Simpul


1


2

Gunakan warna baru untuk mewarnai simpul pertama dalam barisan dan simpul yang tidak bertetangga dengan simpul tersebut.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pewarnaan Simpul


1


2


3

Hapus simpul yang telah diwarnai dari barisan dan urutkan kembali simpul-simpul pada graf G secara menurun berdasarkan derajat.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pewarnaan Simpul


1


2


3

Hapus simpul yang telah diwarnai dari barisan dan urutkan kembali simpul-simpul pada graf G secara menurun berdasarkan derajat.

4

Kembali ke langkah 2) hingga semua simpul telah diwarnai.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian Studi literatur

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian Studi literatur Observasi

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian Studi literatur Observasi Dugaan Awal

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian Studi literatur Observasi Dugaan Awal Konstruksi

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Metode Penelitian Studi literatur Observasi Dugaan Awal Konstruksi Penentuan Batas Bawah

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Metode Penelitian Studi literatur Observasi Dugaan Awal Konstruksi Penentuan Batas Bawah Evaluasi

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Metode Penelitian Studi literatur Observasi Dugaan Awal Konstruksi Penentuan Batas Bawah Evaluasi Penarikan kesimpulan

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf Terhubung

Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Km ∗2 Cn

χ(K3 ∗2 C3 ) = 3

χ(K3 ∗2 C4 ) = 3

χ(K3 ∗2 C5 ) = 3

χ(K3 ∗2 C6 ) = 3

χ(K4 ∗2 C3 ) = 4

χ(K4 ∗2 C4 ) = 4

χ(K4 ∗2 C5 ) = 4

χ(K4 ∗2 C6 ) = 4

χ(K5 ∗2 C3 ) = 5

χ(K5 ∗2 C4 ) = 5

χ(K5 ∗2 C5 ) = 5

χ(K5 ∗2 C6 ) = 5

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka


Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Km ∗2 Cn Teorema (4.1) Diberikan sebuah graf lengkap Km dan graf siklus Cn dengan m, n ≥ 3. Jika Km ∗2 Cn adalah graf hasil amalgamasi dua buah simpul terhubung dari Km dan Cn , maka bilangan kromatik dari Km ∗2 Cn adalah m.

Figure: Graf Km ∗2 Cn

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka


Bukti : Misalkan graf G adalah graf hasil amalgamasi dua simpul dari graf Km dan Cn , yaitu G = Km ∗2 Cn . Misalkan order dari graf lengkap |Km | = m dan graf siklus |Cn | = n. Untuk menentukan batas atas dilakukakan konstruksi. Akan tetapi, karena pada graf G terdapat subgraf yang isomorfis dengan graf siklus Cn , maka terdapat dua perlakuan untuk mewarnai graf Km ∗2 Cn . Perlakuan pertama adalah untuk |Cn | genap dan kedua adalah untuk |Cn | ganjil. Untuk perlakuan pertama yaitu untuk |Cn | genap dilakukan konstruksi sebagai berikut.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka


Figure: Pewarnaan graf Km ∗2 Cn dengan —Cn — genap

Adapun untuk langkah kedua yaitu untuk |Cn | ganjil dilakukan konstruksi sebagai berikut.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka


Walaupun pada konstruksi di atas terdapat dua perlakuan, akan tetapi sebagaimana yang telah ditunjukkan pada dua Gambar sebelum ini, bahwa pada graf Km ∗2 Cn terdapat subgraf yang isomorfis dengan graf lengkap Km , sehingga graf Km ∗2 Cn dapat diwarnai dengan n warna dan tidak terdapat dua simpul saling bertetangga yang memiliki warna sama. Dengan demikian diperoleh bahwa graf Km ∗2 Cn merupakan graf dengan m-coloring yang artinya χ(Km ∗2 Cn ) ≤ m atau dengan kata lain batas atas dari χ(Km ∗2 Cn ) adalah m. Selanjutnya, karena telah diketahui bahwa pada graf Km ∗2 Cn terdapat subgraf yang isomorfis dengan graf lengkap Km sehingga dengan memanfaatkan Teorema 2.1 diperoleh χ(Km ∗2 Cn ) ≥ χ(Km ). Sementara itu diperoleh dari Proposisi 2.6 bahwa χ(Km ) = m sehingga χ(Km ∗2 Cn ) ≥ m. Dengan kata lain batas bawah dari χ(Km ∗2 Cn ) adalah m. Karena batas atas dan batas bawah menunjukkan hasil yang sama maka χ(Km ∗2 Cn ) = m.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka


Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Wmk ∗2 Wnl

χ(W22 ∗2 W22 ) = 3

χ(W22 ∗2 W23 ) = 3

χ(W22 ∗2 W24 ) = 3

χ(W22 ∗2 W32 ) = 4

χ(W22 ∗2 W33 ) = 4

χ(W22 ∗2 W33 ) = 4

χ(W22 ∗2 W34 ) = 4

χ(W22 ∗2 W44 ) = 5

χ(W23 ∗2 W23 ) = 3

χ(W23 ∗2 W24 ) = 3

χ(W23 ∗2 W32 ) = 4

χ(W23 ∗2 W23 ) = 4

χ(W23 ∗2 W33 ) = 4

χ(W23 ∗2 W34 ) = 4

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka


Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Wmk ∗2 Wnl

χ(W23 ∗2 W42 ) = 5

χ(W23 ∗2 W43 ) = 5

χ(W23 ∗2 W44 ) = 5

χ(W32 ∗2 W24 ) = 4

χ(W32 ∗2 W32 ) = 4

χ(W32 ∗2 W33 ) = 4

χ(W32 ∗2 W34 ) = 4

χ(W32 ∗2 W42 ) = 5

χ(W32 ∗2 W43 ) = 5

χ(W32 ∗2 W44 ) = 5

χ(W33 ∗2 W33 ) = 4

χ(W33 ∗2 W34 ) = 4

χ(W33 ∗2 W44 ) = 5

χ(W44 ∗2 W44 ) = 5

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka


Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Wmk ∗2 Wnl Teorema (4.2) k dengan k ≥ 2 dan m ≥ 3. Jika Diberikan sebuah graf kincir Wm k ∗ W l adalah graf hasil amalgamasi dua buah simpul Wm 2 n k dan W l yang berbeda, maka terhubung dari graf kincir Wm n k ∗ W l adalah max{χ(W k ), χ(W l )}. bilangan kromatik dari Wm 2 n m n

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka


Kasus 1 : m > n k ∗ W l terdapat Bukti : dalam menentukan bilangan kromatik Wm 2 n 3 kasus yang berlaku.

Kasus 1 : m > n Misalkan m = n + k dengan k adalah bilangan bulat positif. Untuk menentukan batas atas dilakukakan konstruksi sebagai berikut,

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka


Kasus 1 : m > n Berdasarkan konstruksi yang telah dilakukan, karena graf k ∗ W l dapat diwarnai dengan n + k + 1 atau m + 1 warna, Wm 2 n k ∗ W l merupakan graf dengan m + 1-coloring yang maka graf Wm 2 n k ∗ W l ) ≤ m + 1. Dengan demikian batas atas dari berarti χ(Wm 2 n k ∗ W l ) adalah m + 1. χ(Wm 2 n Selanjutnya, berdasarkan Gambar di atas diketahui bahwa pada k ∗ W l terdapat subgraf yang isomorfis dengan graf graf Wm 2 n lengkap Km+1 dan Kn+1 . Sehingga dengan menggunakan k ∗ W l ) ≥ χ(K Teorema 2.1 diperoleh χ(Wm 2 m+1 ) atau n k l χ(Wm ∗2 Wn ) ≥ χ(Kn+1 ). Sementara itu, dari Proposisi 2.6 diperoleh bahwa χ(Km+1 ) = m + 1 dan χ(Kn+1 ) = n + 1. Karena m > n maka χ(Km ∗2 Cn )χm + 1, ini artinya batas bawah dari k ∗ W l ) adalah m + 1. Karena batas atas dan batas bawah χ(Wm 2 n k ∗ W l ) = m + 1. menunjukkan hasil yang sama, maka χ(Wm 2 n Lebih lanjut, karena operasi amalgamasi bersifat komutatif,

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka


Kasus 2 : m = n

Kasus 3 : m = n Misalkan m = n. Untuk menentukan batas atas dilakukakan konstruksi sebagai berikut,

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka


Kasus 2 : m = n Berdasarkan konstruksi di atas, karena m = n maka diperoleh k ∗ W l adalah graf dengan n + 1-coloring, ini bahwa graf Wm 2 n k ∗ W l ) ≤ n + 1. Oleh karena itu batas atas dari berarti χ(Wm 2 n k ∗ W l ) adalah n + 1. χ(Wm 2 n Selanjutnya, berdasarkan Gambar di atas diketahui bahwa pada k ∗ W l terdapat subgraf yang isomorfis dengan graf graf Wm 2 n lengkap Km+1 dan Kn+1 . Sehingga dengan menggunakan k ∗ W l ) ≥ χ(K Teorema 2.1 didapat χ(Wm 2 m+1 ) atau n k l χ(Wm ∗2 Wn ) ≥ χ(Kn+1 ). Sementara itu, dari Proposisi 2.6 diperoleh bahwa χ(Km+1 ) = m + 1 dan χ(Kn+1 ) = n + 1. Karena m = n maka χ(Km ∗2 Cn ) ≥ n + 1. Dengan kata lain, batas bawah k ∗ W l ) adalah n + 1. Karena batas atas dan batas dari χ(Wm 2 n k ∗ W l ) = n + 1. bawah menunjukkan hasil yang sama maka χ(Wm 2 n

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Kesimpulan

1

2

Bilangan kromatik graf hasil amalgamasi Km ∗2 Cn adalah m, dengan m dan n merupakan anggota himpunan bilangan asli. k ∗ W l adalah Bilangan kromatik graf hasil amalgamasi Wm 2 n k l max{χ(Wm ), χ(Wn )}, dengan k, l, m, dan n merupakan anggota himpunan bilangan asli.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Daftar Pustaka

Alauddin. (2009). Bilangan Kromatik Pada Graf Prisma, Tesis, Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Gross, J.L, Imran, F.K, Mehvis, I.P (2010). ”Genus Distribution of Graph Amalgamations: Pasting at Root-Vertices”. Ars Combinatoria Vol. 94, hal 33-53. Chartrand, G dan L. Lesniak. (1996). Graphs and Digraphs, third edition. Chapman & Hall/CRC.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Bondy, J.A dan U.S.R Murty. (2008). Graph Theory. Springer. Gross, J. L dan Jay Yellen. (2006). Graph Theory and Its Applications, 2nd edition. Chapman & Hall/CRC. Vasudev, C. (2006). Graph Theory with Apllication. New Age International (P) Limited, Publisher.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

Wilson, R.J. (1998). Introduction to Graph Theory, fourth edition. Longman. Capobianco, M dan John, C.M. (1978). Examples and Counterexamples in Graph Theory.North-Holland. As’ad, N. (2008). ”Aplikasi Pewarnaan Graf pada Pemecahan Masalah Penyusunan Jadwal”. Makalah Striktur Diskrit, Vol.1, No.38.

Pendahuluan

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Pembahasan

Penutup

Daftar Pustaka

BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL AMALGAMASI DUA BUAH GRAF TERHUBUNG

Recommend Documents