´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Aristarchovo mˇeˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇeˇren´ı Zemˇe Jindˇrich Beˇcv´aˇr Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Tˇreboˇ n, 28. kvˇetna 2013
[email protected] www.karlin.mff.cuni.cz/∼becvar www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Osnova
´ 1 Uvod 2 Aristarchos 3 Eratosthen´ es 4 Literatura
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
´ Uvod P´ythagor´as ze Samu (asi 570–500) Zemˇe m´a tvar koule, rotuje, je stˇredem vesm´ıru (kosmu). Vesm´ır je nehybn´a dut´a koule, kterou ohraniˇcuje sf´era st´alic.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
´ Uvod P´ythagor´as ze Samu (asi 570–500) Zemˇe m´a tvar koule, rotuje, je stˇredem vesm´ıru (kosmu). Vesm´ır je nehybn´a dut´a koule, kterou ohraniˇcuje sf´era st´alic. P´ythagorejci, Filol´aos (5. stolet´ı pˇr. Kr.) Ve stˇredu kosmu je centr´aln´ı oheˇ n, kolem nˇeho je 10 sf´er s nebesk´ymi tˇelesy. Idea dokonalosti. Vztah matematiky, kosmologie a hudby – harmonie kosmu, hudba sf´er. Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Plat´ on (427–347) Dokonalost kulovit´eho tvaru, dokonalost rovnomˇern´eho kruhov´eho pohybu. Pozorovan´e nepravidelnosti jsou jen zd´anliv´e, skuteˇcn´e pohyby jsou pravideln´e.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Plat´ on (427–347) Dokonalost kulovit´eho tvaru, dokonalost rovnomˇern´eho kruhov´eho pohybu. Pozorovan´e nepravidelnosti jsou jen zd´anliv´e, skuteˇcn´e pohyby jsou pravideln´e. Eudoxos z Knidu (408–355) Geocentrick´y n´azor, syst´em homocentrick´ych sf´er. Celkem 27 sf´er (st´alice – 1, Slunce – 3, Mˇes´ıc – 3, pˇet planet – 5 × 4). Modelov´an´ı zd´anliv´ych pohyb˚ u planet skl´ad´an´ım rovnomˇern´ych kruhov´ych pohyb˚ u. Model? Skuteˇcnost? Matematick´e zpracov´an´ı? Pˇredpovˇedi?
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Aristotel´es ze Stageiry (384–322) Stˇred Zemˇe, stˇred vesm´ıru a stˇred t´ıˇze jsou ve stejn´em bodˇe. Pˇrirozen´ym stavem je klid. Pohyb vyvol´av´a s´ıla. ˇ ri ˇzivly (zemˇe, voda, vzduch, oheˇ Ctyˇ n). Pˇrirozen´a m´ısta, pˇrirozen´e pohyby. ´ Eter. Dva svˇety oddˇelen´e sf´erou Mˇes´ıce. Celkem 59 sf´er.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Aristotel´es ze Stageiry (384–322) Stˇred Zemˇe, stˇred vesm´ıru a stˇred t´ıˇze jsou ve stejn´em bodˇe. Pˇrirozen´ym stavem je klid. Pohyb vyvol´av´a s´ıla. ˇ ri ˇzivly (zemˇe, voda, vzduch, oheˇ Ctyˇ n). Pˇrirozen´a m´ısta, pˇrirozen´e pohyby. ´ Eter. Dva svˇety oddˇelen´e sf´erou Mˇes´ıce. Celkem 59 sf´er. Nedostatky Eudoxovy a Aristotelovy teorie Nevysvˇetluje zmˇeny jasnosti planet. Nevysvˇetluje zmˇeny velikosti Slunce a Mˇes´ıce na obloze.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
H´erakleid´es z Pontu (asi 390–310) Zemˇe rotuje, Merkur a Venuˇse ob´ıhaj´ı kolem Slunce, Slunce ob´ıh´a kolem Zemˇe. Teorie epicykl˚ u. (?)
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
H´erakleid´es z Pontu (asi 390–310) Zemˇe rotuje, Merkur a Venuˇse ob´ıhaj´ı kolem Slunce, Slunce ob´ıh´a kolem Zemˇe. Teorie epicykl˚ u. (?) Eukleid´es (kolem roku 300 pˇr. Kr.) Z´aklady (Stoicheia, Elementa). Exaktn´ı budov´an´ı matematick´e teorie (definice, postul´aty, axiomy, vˇety a d˚ ukazy – v´yznam pˇredpoklad˚ u), metodick´y z´aklad dal zejm´ena Aristotel´es.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
H´erakleid´es z Pontu (asi 390–310) Zemˇe rotuje, Merkur a Venuˇse ob´ıhaj´ı kolem Slunce, Slunce ob´ıh´a kolem Zemˇe. Teorie epicykl˚ u. (?) Eukleid´es (kolem roku 300 pˇr. Kr.) Z´aklady (Stoicheia, Elementa). Exaktn´ı budov´an´ı matematick´e teorie (definice, postul´aty, axiomy, vˇety a d˚ ukazy – v´yznam pˇredpoklad˚ u), metodick´y z´aklad dal zejm´ena Aristotel´es. Eukleid´es podstatnˇe ovlivnil sv´e n´asledovn´ıky: Aristarcha, Eratosthena, Archim´eda. Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Aristarchos Aristarchos ze Samu (asi 320–230) Astronom, matematik, filozof, vyn´alezce pˇr´ıstroj˚ u (skaf´e ). Pod v´yrazn´ym vlivem Eukleida. Aristarchova kosmologie (snad inspirov´ana H´erakleidem): – heliocentrick´y syst´em, – hvˇezdy a Slunce jsou nehybn´e, Zemˇe rotuje a jej´ı sf´era rotuje kolem Slunce. Obvinˇen z bezboˇznosti (... ruˇs´ı klid Zemˇe ).
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Aristarchos Aristarchos ze Samu (asi 320–230) Astronom, matematik, filozof, vyn´alezce pˇr´ıstroj˚ u (skaf´e ). Pod v´yrazn´ym vlivem Eukleida. Aristarchova kosmologie (snad inspirov´ana H´erakleidem): – heliocentrick´y syst´em, – hvˇezdy a Slunce jsou nehybn´e, Zemˇe rotuje a jej´ı sf´era rotuje kolem Slunce. Obvinˇen z bezboˇznosti (... ruˇs´ı klid Zemˇe ). Svˇedectv´ı o Aristarchovˇe heliocentrismu je v Archim´edovˇe spise Psammites (Poˇcet p´ıskov´y ), mal´e zm´ınky nach´az´ıme pozdˇeji tak´e u Plutarcha a Pappa. Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Archim´ed´es p´ıˇse (Poˇcet p´ıskov´y): Aristarchos Samsk´y vˇsak vydal knihy jak´esi s n´azvem hypothesy, v nichˇz vych´az´ı z jeho pˇredpoklad˚ u, ˇze vesm´ır jest mnohokr´at vˇetˇs´ı, neˇz jak v´yˇse bylo ˇreˇceno. Pˇredpokl´ad´a totiˇz, ˇze st´alice a slunce z˚ ust´avaj´ı nehybn´e, zemˇe pak ob´ıh´a po obvodˇe kruhu kolem slunce, jeˇz stoj´ı uprostˇred dr´ahy, ˇze d´ale koule st´alic rozloˇzen´a kolem t´ehoˇz stˇredu jako slunce jest takov´e velikosti, ˇze kruh, v nˇemˇz, jak pˇredpokl´ad´a, zemˇe ob´ıh´a, jest ku vzd´alenosti st´alic v tomt´eˇz pomˇeru, v jak´em jest stˇred koule k povrchu. Totoˇt, jak patrno, jest nemoˇzno. Neboˇt, jeˇzto stˇred koule nem´a ˇz´adn´e velikosti, jest se domn´ıvati o nˇem, ˇze nen´ı v ˇz´adn´em pomˇeru k povrchu koule. Archim´ed´es se d´ale snaˇz´ı vysvˇetlit tuto Aristarchovu myˇslenku. Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Jest vˇsak pˇrijmout, ˇze Aristarchos myslil takto: jakmile pˇredpokl´ad´ame, ˇze zemˇe jest jakoby stˇredem vesm´ıru, tu v tom pomˇeru, v jak´em jest zemˇe k tomu, co naz´yv´ame vesm´ırem, jest koule, v n´ıˇz jest kruh, v nˇemˇz, jak pˇredpokl´ad´a, zemˇe ob´ıh´a, ke kouli st´alic. Neboˇt d˚ ukazy f´enom´en˚ u pˇrizp˚ usobuje k tomuto pˇredpokladu, a obzvl´aˇstˇe zd´a se, ˇze velikost koule, v n´ıˇz d´av´a zemi se pohybovati, pokl´ad´a za stejnou s t´ım, co naz´yv´ame vesm´ırem.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Jest vˇsak pˇrijmout, ˇze Aristarchos myslil takto: jakmile pˇredpokl´ad´ame, ˇze zemˇe jest jakoby stˇredem vesm´ıru, tu v tom pomˇeru, v jak´em jest zemˇe k tomu, co naz´yv´ame vesm´ırem, jest koule, v n´ıˇz jest kruh, v nˇemˇz, jak pˇredpokl´ad´a, zemˇe ob´ıh´a, ke kouli st´alic. Neboˇt d˚ ukazy f´enom´en˚ u pˇrizp˚ usobuje k tomuto pˇredpokladu, a obzvl´aˇstˇe zd´a se, ˇze velikost koule, v n´ıˇz d´av´a zemi se pohybovati, pokl´ad´a za stejnou s t´ım, co naz´yv´ame vesm´ırem. Ot´azky: Z˚ ustaly Aristarchovy n´azory jen ve formˇe tez´ı? Existoval nˇejak´y matematick´y model, podle nˇehoˇz bylo moˇzno dˇelat pˇredpovˇedi?
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Aristarchovo mˇeˇren´ı vesm´ıru Dochovan´y spis: Peri megeth´ on kai apost´emat´on h´eli´ u kai sel´en´es (O velikosti a vzd´alenosti Slunce a Mˇes´ıce). Souˇc´ast´ı tzv. Mal´e skladby, mnohokr´at pˇrepisovan´e (d´ıla nˇekolika astronom˚ u). – 1572 latinsky (F. Commandino), – 1688 a 1699 ˇrecky (J. Wallis), – 1854 nˇemecky.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Aristarchovo mˇeˇren´ı vesm´ıru Dochovan´y spis: Peri megeth´ on kai apost´emat´on h´eli´ u kai sel´en´es (O velikosti a vzd´alenosti Slunce a Mˇes´ıce). Souˇc´ast´ı tzv. Mal´e skladby, mnohokr´at pˇrepisovan´e (d´ıla nˇekolika astronom˚ u). – 1572 latinsky (F. Commandino), – 1688 a 1699 ˇrecky (J. Wallis), – 1854 nˇemecky. Geometrick´y pokus urˇcen´ı pomˇer˚ u velikost´ı a vzd´alenost´ı Zemˇe, Slunce a Mˇes´ıce.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Aristarchovo mˇeˇren´ı vesm´ıru Dochovan´y spis: Peri megeth´ on kai apost´emat´on h´eli´ u kai sel´en´es (O velikosti a vzd´alenosti Slunce a Mˇes´ıce). Souˇc´ast´ı tzv. Mal´e skladby, mnohokr´at pˇrepisovan´e (d´ıla nˇekolika astronom˚ u). – 1572 latinsky (F. Commandino), – 1688 a 1699 ˇrecky (J. Wallis), – 1854 nˇemecky. Geometrick´y pokus urˇcen´ı pomˇer˚ u velikost´ı a vzd´alenost´ı Zemˇe, Slunce a Mˇes´ıce. Pod velk´ym vlivem Eukleida 6 pˇredpoklad˚ u (hypotheseis), 18 vˇet. Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Pˇredpoklady 1. Mˇes´ıc z´ısk´av´a sv´e svˇetlo od Slunce. 2. Zemˇe je v pomˇeru bodu a stˇredu ke sf´eˇre, na kter´e se pohybuje Mˇes´ıc. 3. Kdyˇz se Mˇes´ıc jev´ı rozp˚ ulen´y, pak velk´y kruh dˇel´ıc´ı temnou a svˇetlou ˇc´ast Mˇes´ıce je ve smˇeru naˇseho pohledu. 4. Kdyˇz se Mˇes´ıc jev´ı rozp˚ ulen´y, jeho vzd´alenost od Slunce je rovna kvadrantu zmenˇsen´emu o jednu tˇricetinu. ˇıˇrka st´ınu Zemˇe je rovna ˇs´ıˇrce dvou Mˇes´ıc˚ 5. S´ u. 6. Mˇes´ıc zauj´ım´a patn´actou ˇc´ast jednoho znamen´ı zodiaku. (Spr´avnˇe m´a b´yt ˇsedes´atou ˇc´ast !!!)
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Hlavn´ı v´ysledky • Slunce je od Zemˇe asi 19× d´ale neˇz Mˇes´ıc. • Pr˚ umˇer Slunce je asi 19× vˇetˇs´ı neˇz pr˚ umˇer Mˇes´ıce. • Pr˚ umˇer Slunce je asi 6, 75× vˇetˇs´ı neˇz pr˚ umˇer Zemˇe a pr˚ umˇer Mˇes´ıce asi 0,36 pr˚ umˇeru Zemˇe. • Vzd´alenost Zemˇe od Slunce je asi 720× vˇetˇs´ı neˇz pr˚ umˇer Zemˇe. • Polomˇer sf´ery hvˇezd je asi 1 036 800× vˇetˇs´ı neˇz pr˚ umˇer Zemˇe.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Aristarchova metoda zjiˇstˇen´ı pomˇer˚ u vzd´alenost´ı Slunce od Zemˇe a Mˇes´ıce od Zemˇe Zaloˇzena na zmˇeˇren´ı velikosti u ´hlu, kter´y sv´ıraj´ı spojnice Zemˇe-Mˇes´ıc a Zemˇe-Slunce v okamˇziku, kdy je Sluncem osvˇetlena pˇresnˇe polovina mˇes´ıˇcn´ıho kotouˇce.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Probl´emy metody • Pˇresn´e urˇcen´ı okamˇziku prvn´ı (posledn´ı) ˇctvrti. • Pˇresn´e zmˇeˇren´ı u ´hlu (objekty nejsou bodov´e). • Mal´a nepˇresnost v urˇcen´ı u ´hlu vede k obrovsk´e chybˇe ve v´ysledku.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Probl´emy metody • Pˇresn´e urˇcen´ı okamˇziku prvn´ı (posledn´ı) ˇctvrti. • Pˇresn´e zmˇeˇren´ı u ´hlu (objekty nejsou bodov´e). • Mal´a nepˇresnost v urˇcen´ı u ´hlu vede k obrovsk´e chybˇe ve v´ysledku. – Aristarchos uv´ad´ı velikost uvaˇzovan´eho u ´hlu: 87◦ . – Spr´avn´a hodnota je vˇsak 89◦ 51′ . Tato nepˇresnost vede k velk´e chybˇe ve v´ysledku . 1 cos 87◦ = , 19
. 1 cos 89◦ = , 58
. 1 cos 89◦ 50′ = . 343
Pˇresn´e zmˇeˇren´ı u ´hlu je tˇeˇzk´e. Ve skuteˇcnosti je Slunce od Zemˇe asi 390× d´ale neˇz Mˇes´ıc. Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Archistarchovo urˇcen´ı pomˇeru velikost´ı Slunce a Mˇes´ıce Vzhledem k tomu, ˇze jsou kotouˇcky Slunce a Mˇes´ıce na obloze zhruba stejnˇe velik´e, jsou jejich skuteˇcn´e pr˚ umˇery ve stejn´em pomˇeru jako jejich vzd´alenosti od Zemˇe, tj. 19 : 1. Tento fakt vypl´yv´a z podobnosti.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Aristarchova metoda zjiˇstˇen´ı pomˇer˚ u velikost´ı Zemˇe, Slunce a Mˇes´ıce Zaloˇzena na pozorov´an´ı zatmˇen´ı Mˇes´ıce. Pr˚ umˇer zemsk´eho st´ınu ve vzd´alenosti Mˇes´ıce je podle Aristarcha 2× vˇetˇs´ı neˇz je pr˚ umˇer Mˇes´ıce. Mˇes´ıc totiˇz vstupuje do zemsk´eho st´ınu stejnou dobu jako je ve st´ınu a jako ze st´ınu vystupuje. Ve skuteˇcnosti je pr˚ umˇer st´ınu Zemˇe ve vzd´alenosti Mˇes´ıce asi 2, 6× vˇetˇs´ı neˇz pr˚ umˇer Mˇes´ıce. Z podobnosti troj´ uheln´ık˚ u a z pˇredchoz´ıch v´ysledk˚ u vypl´yv´a, ˇze polomˇer Slunce je asi 6, 75× vˇetˇs´ı neˇz polomˇer Zemˇe a polomˇer Mˇes´ıce je asi 0,36 polomˇeru Zemˇe. Vypl´yv´a to z n´asleduj´ıc´ı u ´vahy. Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Z podobnosti troj´ uheln´ık˚ u (rZ − 2 rM ) : 1 = (rS − rZ ) : 19 = (19 rM − rZ ) : 19. Odtud rM = 0, 36 rZ , Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
rS = 6, 75 rZ .
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Hodnocen´ı Aristarch˚ uv spr´avn´y postup je velmi negativnˇe ovlivnˇen pˇredchoz´ımi znaˇcnˇe nepˇresn´ymi v´ysledky. Ve skuteˇcnosti je pr˚ umˇer Slunce asi 109× vˇetˇs´ı neˇz pr˚ umˇer Zemˇe. ⋆
⋆
⋆
Nyn´ı je tˇreba d´at do souvislosti velikosti Zemˇe, Slunce a Mˇes´ıce a jejich vzd´alenosti.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Pomˇer velikosti pr˚ umˇeru Zemˇe a vzd´alenosti Zemˇe od Slunce Vypoˇcteme ze 6. pˇredpokladu. Zde je v textu chyba: m´ısto patn´act´a ˇc´ast m´a b´yt ˇsedes´at´a ˇc´ast jednoho znamen´ı zodiaku, jak uv´ad´ı jiˇz Archim´ed´es (chyba patrnˇe vznikla pozdˇejˇs´ım pˇrepisem). Po opravˇe t´eto chyby vych´az´ı, ˇze vzd´alenost Zemˇe od Slunce je asi 720× vˇetˇs´ı neˇz pr˚ umˇer Zemˇe a vzd´alenost Mˇes´ıce od Zemˇe je asi 38× vˇetˇs´ı neˇz pr˚ umˇer Zemˇe. V´ypoˇcet: po obvodu nejvˇetˇs´ıho kruhu vesm´ıru lze rozm´ıstit 720 Slunc´ı, obvod je tedy roven 6, 75 · 720 pr˚ umˇer˚ u Zemˇe a polomˇer tohoto kruhu je tedy asi 720 pr˚ umˇer˚ u Zemˇe. ZS = (6, 75 · 2rZ · 720) : 2π = 720 · 2rZ ZM = (720 · 2rZ ) : 19 = 38 · 2rZ Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Velikost sf´ery hvˇezd Vypoˇctena z Aristarchova pˇredpokladu (viz Archim´ed´es): Pomˇer pr˚ umˇeru Zemˇe k pr˚ umˇeru vesm´ıru je roven pomˇeru pr˚ umˇeru vesm´ıru k pr˚ umˇeru sf´ery st´alic.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Velikost sf´ery hvˇezd Vypoˇctena z Aristarchova pˇredpokladu (viz Archim´ed´es): Pomˇer pr˚ umˇeru Zemˇe k pr˚ umˇeru vesm´ıru je roven pomˇeru pr˚ umˇeru vesm´ıru k pr˚ umˇeru sf´ery st´alic. V symbolech rZ : ZS = ZS : SH Odtud SH =
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
ZS × ZS = 720 · 2 · 720 · 2rZ = 1 036 800 · 2rZ rZ
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Srovn´an´ı rozmˇer˚ u vesm´ıru podle Aristarcha s dneˇsn´ımi hodnotami:
pr˚ umˇer Zemˇe pr˚ umˇer Slunce pr˚ umˇer Mˇes´ıce Slunce – Zemˇe Zemˇe – Mˇes´ıc Slunce – hvˇezdy
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Aristarchos (podle Archim´eda)
Skuteˇcnost
1 6, 75 0, 36 720 38 1 036 800
1 109 0, 27 11 726 30, 2 3 · 109
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Eratosthen´ es
Aristarchos
Literatura
Eratosthen´es Eratosthen´es z Kyr´eny (276–194) Matematik, astronom, geograf, kartograf, chronolog, gramatik, historik, etik, b´asn´ık, atd., vychovatel syna Ptolemaia III., spr´avce alexandrijsk´e knihovny. Zemˇrel pr´y v chudobˇe (dobrovolnˇe?, hlady?). Sebe naz´yval: Filologos – pˇr´ıtel slova, uˇcenec. Pˇrezd´ıvky: Pentathlos, Beta. Pod v´yrazn´ym vlivem Eukleida. Eratosthenovo mˇeˇren´ı Zemˇe (kolem roku 220 pˇr. Kr.) Svˇedectv´ı pod´avaj´ı: – Kleomed´es z Knidu (2. stol. pˇr. Kr.), – Martianus Capella (5. stol. po Kr.) a dalˇs´ı. Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Eratosthen´ es
Aristarchos
Literatura
Skaf´e
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Eratosthen´ es
Aristarchos
Literatura
ˇ ımsk´e skaf´e R´
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Eratosthen´ es
Aristarchos
Literatura
Pˇredpoklady 1. Syena (dneˇsn´ı Asu´an) leˇz´ı pˇresnˇe na jih od Alexandrie. 2. Jejich vzd´alenost je 5 000 stadi´ı. 3. Syena leˇz´ı na obratn´ıku Raka, neboˇt gn´ omon v poledne za letn´ıho slunovratu nevrh´a st´ın (Slunce sv´ıt´ı do studn´ı). 4. St´ın gnomonu v Alexandrii je ve stejn´em okamˇziku odch´ylen od svislice o jednu pades´atinu kruhu.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Eratosthen´ es
Aristarchos
Literatura
Situace
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Eratosthen´ es
Aristarchos
Literatura
Uˇzit´ı skaf´e
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Eratosthen´ es
Aristarchos
Literatura
Hlavn´ı v´ysledek Obvod Zemˇe je 250 000 stadi´ı – po pˇrepoˇctu zhruba 40 000 kilometr˚ u. (Obvod poledn´ıkov´e elipsy Zemˇe je asi 40 003 km.) Upraveno na 252 000 stadi´ı, aby jeden stupeˇ n mˇeˇril 700 stadi´ı (360 · 700 = 252 000). Metoda zcela spr´avn´a, menˇs´ı nepˇresnosti nemˇely podstatn´y vliv na v´ysledek.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Eratosthen´ es
Aristarchos
Literatura
Hlavn´ı v´ysledek Obvod Zemˇe je 250 000 stadi´ı – po pˇrepoˇctu zhruba 40 000 kilometr˚ u. (Obvod poledn´ıkov´e elipsy Zemˇe je asi 40 003 km.) Upraveno na 252 000 stadi´ı, aby jeden stupeˇ n mˇeˇril 700 stadi´ı (360 · 700 = 252 000). Metoda zcela spr´avn´a, menˇs´ı nepˇresnosti nemˇely podstatn´y vliv na v´ysledek. Z Eratosthenova mˇeˇren´ı vyplynula pˇredstava o absolutn´ıch velikostech a vzd´alenostech Slunce a Mˇes´ıce.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Eratosthen´ es
Aristarchos
Literatura
Nedostatky Eratosthenova postupu (z exaktn´ıho hlediska) – Zploˇstˇen´ı Zemˇe. – Syena a Alexandrie neleˇz´ı na jednom poledn´ıku. Syena je asi 3◦ v´ychodnˇeji. – Syena nen´ı na obratn´ıku (je asi p˚ ul stupnˇe severnˇeji). – Vzd´alenost nen´ı pˇresnˇe 5 000 stadi´ı. ´ – Uhel nen´ı pˇresnou pades´atinou kruhu (tj. 7◦ 12′ ), ale jen 7◦ 7′ . Chyby se vˇsak sp´ıˇse vyruˇsily, Eratosthen˚ uv v´ysledek je velmi dobr´y.
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Eratosthen´ es
Aristarchos
Literatura
Nejasnost v pouˇzit´ych m´ır´ach M´ıra stadion je vzd´alenost konc˚ u z´avodiˇstˇe. Jak´e stadion vˇsak bylo uvaˇzov´ano? olympijsk´e attick´e ˇrecko-ˇr´ımsk´e egyptsk´e
192, 27 177, 60 185, 00 157, 50
m m m m
obvod Zemˇe
48.452 44.752 46.620 39.690
km km km km
M´a tato u ´vaha v˚ ubec smysl? Vzd´alenost urˇcena odhadem!
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Eratosthen´ es
Aristarchos
Literatura
Jin´e odhady a jin´a mˇeˇren´ı velikosti Zemˇe Aristotel´es: obvod Zemˇe je 400 000 stadi´ı (De caelo) Hipparchos (asi 190–125), astronom a matematik ˇcinn´y na Rhodu a v Alexandrii uv´ad´ı delˇs´ı obvod. Poseid´ onios Rhodsk´y (135–50), stoick´y filozof – Podle kulminace hvˇezdy Canopus v Alexandrii a na Rhodu (1/48 kruhu) a podle odhadu d´elky ˇc´asti poledn´ıku. Informace se liˇs´ı: – Strab´ on (Geografika) uv´ad´ı 180 000 stadi´ı – Kleomed´es (De motu circulari corporum caelestium) uv´ad´ı 240 000 stadi´ı Ptolemaios (asi 100–170): uv´ad´ı 180 000 stadi´ı (jeden stupeˇ n je 500 stadi´ı) Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Literatura J. Pollard, H. Reid: Vzestup a p´ad Alexandrie. Nakladatelstv´ı DEUS, Praha 2008, 235 stran. Eukleides: Eukleidovy Z´aklady (Elementa). Pˇreloˇzil Frantiˇsek Serv´ıt. Jednota ˇcesk´ych mathematik˚ u, Praha, 1907, 315 stran. ˇ J. Beˇcv´aˇr, I. Stoll: Archimedes. Nejvˇetˇs´ı vˇedec starovˇeku, edice Velk´e postavy vˇedeck´eho nebe, sv. 11, Prometheus, Praha, 2005. Archimedes: Poˇcet p´ıskov´y, pˇreloˇzil M. Valouch, V´yroˇcn´ı zpr´ava gymn´azia v Litomyˇsli 1905/06, reprint: Matice technick´a, Praha, 1993. T. L. Heath: Aristarchus of Samos. The Ancient Copernicus, Oxford, 1913, reprint: Dover, New York, 1981. J. Hamel: Geschichte der Astronomie, Birkh¨auser Verlag, Basel, 1998; 2. vyd´an´ı: Kosmos, Stuttgart, 2002. Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
T. L. Heath: Greek Astronomy, Dent, London, 1932, reprint: Dover, New York, 1991. A. van Helden: Measuring the Universe: Cosmic Dimensions from Aristarchus to Halley, University of Chicago Press, Chicago, 1984. B. Goldstein: Eratosthenes on the Measurement of the Earth, Historia Mathematica 11(1984), 411–416. M. J. Crowe: Theories of the World from Antiquity to the Copernican Revolution, Dover, New York, 1990. T. L. Heath: A history of Greek Mathematics I, II. Clarendon Press, Oxford, 1921, reprint: Dover Publication, Inc., New York, 1981 L. N. H. Bunt, P. S. Jones, J. D. Bedient: The Historical Roots of Elementary Mathematics. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1976; Dover Publications, Inc., New York, 1988. Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
ˇ DEKUJI ZA POZORNOST!
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
ˇ DEKUJI ZA POZORNOST!
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
ˇ DEKUJI ZA POZORNOST!
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
ˇ DEKUJI ZA POZORNOST!
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
´ Uvod
Aristarchos
Eratosthen´ es
Literatura
ˇ DEKUJI ZA POZORNOST!
ˇ ´ DARY! A ZA KVETINOV E
Jindˇrich Beˇ cv´ aˇr
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta UK, Praha
Aristarchovo mˇ eˇren´ı vesm´ıru Eratosthenovo mˇ eˇren´ı Zemˇ e
