4
BAB II DASAR TEORI
2.1
Pengertian Pompa Hidram Pompa Hidram adalah pompa yang bekerja secara otomatis tanpa
menggunakan energi listrik yaitu dengan memanfaatkan energi dari aliran air untuk mengangkat air dari sumber ke tempat penampungan air (Tessema, 2000). Energi aliran air yang dimaksud adalah energi potensial dari ketinggian tertentu yang dikonversikan menjadi energi kinetik yang berupa kecepatan air kemudian dikuatkan dengan terjadinya efek palu air atau water hammer. Keuntungan pompa hidram adalah tidak memerlukan aliran listrik, bahan bakar, serta motor penggerak untuk pengoperasiannya. Di samping itu perawatannya tidak memerlukan keterampilan khusus dan mudah dalam pembuatannya. 2.2
Komponen Utama Pompa Hidram
Gambar 2.1 Komponen utama pompa hydram (sumber: Tessema 2000, hal 3)
5
Komponen utama pompa hidram adalah sebagai berikut: 1. Badan Pompa (hydram body) 2. Katup Limbah (impuls valve) 3. Katup Udara (snifter valve) 4. Katup Tekan (delivery valve) 5. Tabung Udara (air chamber) 6. Pentil Udara (relief valve) 2.3
Siklus Pompa Hidram Siklus pompa hidram
dibagi menjadi 4 tahap utama, antara lain sebagai
berikut: 1.
Tahap I: acceleration Air masuk dari pipa A sehingga membanjiri rumah pompa. Pada saat itu
katup limbah dalam keadaan terbuka dan katup tekan tertutup. Air yang memenuhi badan pompa pada kecepatan tertentu akan mampu mendorong katup limbah ke atas sehingga menutup secara tiba-tiba dengan kecepatan yang sangat cepat. 2.
Tahap II: compression Tetutupnya katup limbah mengakibatkan tekanan air dalam badan pompa
akan meningkat sehingga menyebabkan katup tekan terbuka dan air akan mengalir masuk ke ruang tabung udara. 3.
Tahap III: delivery Karena air pada badan pompa mengalir ke tabung udara mengakibatkan
tekanan pada badan pompa menjadi rendah sehingga katup tekan tertutup. Tertutupnya katup tekan mengakibatkan air pada tabung udara mengalir melalui pipa B. 4.
Tahap IV: recoil Turunnya tekanan di badan pompa mengakibatkan katup limbah terbuka.
Selanjutnya terjadi proses pengulangan kembali di mana air masuk melalui pipa
6
A sehingga memenuhi badan pompa, yang selanjutnya pada kecepatan tertentu air akan mampu mendorong katup limbah sehingga menutup secara tiba-tiba dengan sangat cepat. Begitulah seterusnya siklus yang terjadi pada pompa hidram sehingga dapat mengalirkan air secara kontinyu ke reservoar. 2.4
Jenis-Jenis Aliran Aliran fluida dapat diklasifikasikan menjadi: 1. Aliran steady dan unsteady 2. Aliran seragam (uniform) dan tak seragam (non-uniform) 3. Aliran satu, dua, dan tiga dimensi 4. Aliran laminer dan turbulen 5. Aliran compressible dan incompressible
2.4.1 Aliran Steady dan Unsteady Aliran steady merupakan kondisi dimana komponen aliran seperti kecepatan, tekanan, kerapatan mass, dll tidak berubah terhadap waktu. Contohnya adalah aliran air pada pipa dengan aliran konstan. Aliran unsteadymerupakan kondisi dimana komponen aliran berubah terhadap waktu. Contohnya adalah aliran pada pipa yang katupnya dibuka secara bertahap. 2.4.2 Aliran Seragam (Uniform) dan Tak Seragam (Non-uniform) Aliran seragam (uniform) merupakan aliran dimana kecepatan pada waktu tertentu tidak berubah terhadap waktu. Contohnya adalah aliran fluida pada pipa yang diemeternya konstan. Aliran tak seragam (non-uniform) merupakan aliran dimana kecepatan pada waktu tertentu berubah terhadap waktu. Contohnya adalah aliran di sungai pada kondisi ada pengaruh pembendungan/ terjunan. 2.4.3 Aliran Laminer dan Turbulen Suatu aliran dikatakan laminer jika berbagai partikel fluida mengalir bergerak berlapis-lapis seperti bentuk lembaran-lembaran tipis, dimana antara lapisan-lapisan partikel fluida ini salingmenggelincir satu sama lian, maka aliran seperti
7
ini dikatakan aliran laminar. Pada aliran laminar partikel fluida bergerak sepanjang alirannya berupa garislurus yang sejajar dalam lapisan-lapisan fluida, sebab itu garisgaris laluannya tidak akan bersilangan satu dengan lainnya dan ini terjadi pada kecepatan alir yang rendah.
Gambar 2.2 Aliran laminer (sumber: R.K. Rajput 2002, hal 159)
Suatu aliran massa fluida dikatakan turbulen bila partikel fluida bergerak tak beraturan ke segala arah.
Gambar 2.3 Aliran turbulen (sumber: R.K. Rajput 2002, hal 159)
Reynolds
Number
biasanya
digunakan
untuk
mempermudah
dalam
membedakan jenis aliran pada klasifikasi ini. Reynolds Number dapat dirumuskan sebagai berikut:
Di mana:
=
∙ ∙
................................................................................................(2.1)
Re= Bilangan Reynold ρ = density udara (kg/m³) v = kecepatan udara (m/det) μ = viskositas dinamik (kg/m.s)
8
2.4.4 Aliran Compressible dan Incompressible Aliran Compressible merupakan aliran yang kerapatan massanya (densitas) berubah ubah . Secara matematika dapat dituilis
.
≠
Aliran Incompressible merupakan aliran yang kerapatan massanya (densitas) konstan. Secara matematis dapat ditulis 2.5
=
.
Viskositas Viskositas fluida merupakan ukuran ketahanan sebuah fluida terhadap
deformasi atau perubahan bentuk. Viskositas dipengaruhi oleh temperatur, tekanan, kohesi dan laju perpindahan momentum molekularnya. Viskositas zat cair cenderung menurun dengan seiring bertambahnya kenaikan temperatur hal ini disebabkan gayagaya kohesi pada zat cair bila dipanaskan akan mengalami penurunan dengan semakin bertambahnya temperatur pada zat cair yang menyebabkan berturunya viskositas dari zat cair tersebut. 2.6
Rapat jenis (density ) Density atau rapat jenis (ρ) suatu zat adalah ukuran untuk konsentrasi zat
tersebut dan dinyatakan dalam massa persatuan volume, sifat ini ditentukan dengan cara menghitung ratio massa zat yang terkandung dalam suatu bagian tertentu terhadap volume bagian tersebut. nilai density dapat dipengaruhi oleh temperatur semakin tinggi temperatur maka kerapatan suatu fluida semakin berkurang karena disebabkan gaya kohesi dari molekul– molekul fluida semakin berkurang. 2.7
Koefisien Drag Dalam dinamika fluida, koefisien drag (biasanya dinotasikan sebagai: cd, cx
atau cw) adalah besaran berdimensi yang digunakan untuk mengukur hambatan atau perlawanan dari suatu objek di lingkungan fluida, seperti udara atau air. Hal ini digunakan dalam persamaan drag, di mana koefisien drag yang lebih rendah menunjukkan objek akan memiliki lebih sedikit hambatan aerodinamis atau hidrodinamik. Koefisien hambatan selalu dikaitkan dengan luas permukaan tertentu. Nilai koefisien drag bisa dilihat pada gambar 2.4
9
Gambar 2.4 Nilai koefisien drag berdasarkan bentuk
Koefisien hambatan cd, didefinisikan sebagai: .......................................................................................(2.2) Dimana : Fd = Gaya drag, yang menurut definisi komponen gaya dalam arah kecepatan aliran (N)
2.8
ρ
= Densitas massa fluida (kg/m³)
v
= Kecepatan objek relatif terhadap cairan (m/s)
A
= Luas daerah (m²)
Persamaan-persamaan Dasar
2.8.1 Persamaan Kontinyuitas Persamaan kontinyuitas dihasilkan dari prinsip kekekalan massa. Untuk aliran steady melalui pipa persamaan kontinyuitas dapat dilihat dari persamaan sebagai berikut:
10
∙
∙
=
∙
.........................................................................(2.3)
∙
Persamaan dapat ditulis dalam bentuk debit menjadi: ∙
=
∙
=
∙
=
......................................................................................(2.4)
Dan untuk aliran incompressible: ...............................................................................(2.5)
∙
Dimana: Q = debit air (
⁄ )
A = luas penampang (
)
v = kecepatan aliran air ( ⁄ ) 2.8.2 Persamaan Bernoulli Persamaan Bernoulli dapat dinyatakan sebagai berikut:
+
∙ +
.........................................................................(2.6)
=
Dalam praktek, sebagian energi biasanya berubah ke dalam energi panas, baik karena gesekan maupun pembentukan ulakan dalam aliran terbuka. Energi dari fluida yang hilang dinyatakan dalam
dan persamaan Bernoulli dapat dinyatakan sebagai
berikut:
Dimana:
+
∙
+
∙
=
+
∙
p = tekanan statis ( ⁄
+
∙
+∑
)
v = kecepatan aliran air ( ⁄ ) Z = ketinggian ( )
.....................................................(2.7)
11
2.8.3 Persamaan Momentum Kuantitas gerak atau momentum diukur dari perkalian massa benda dengan kecepatannya. =
∙ ..................................................................................................(2.8)
Dimana: M = momentum ( m = massa (
)
⁄ )
v = kecepatan ( ⁄ ) 2.8.4 Palu Air (Water Hammer) Palu Air (Water Hammer) adalah terjadinya kenaikan tekanan karena penghentian air secara tiba-tiba. Palu air terjadi dalam keadaan conduit-tertutup yang dialiri penuh bila terdapat perlambatan atau percepatan aliran, seperti perubahan yang terjadi dengan dibukanya sebuah katup pada jalur pipa. Besarnya tekanan yang terjadi karena adanya palu air adalah: =
Maka:
=
∙ ∙
.............................................................................................(2.9)
.....................................................................................................(2.10)
Dimana: = tekanan palu air ( ⁄
)
= kecepatan air menutup katup limbah ( ⁄ )
E = modulus elastisitas air ( ⁄ ρ = massa jenis air (
⁄
)
)
c = kecepatan suara dalam pipa ( ⁄ )
12
2.9
Fluent Fluent adalah perangkat lunak dalam komputer yang digunakan untuk
mensimulasikan aliran fluida dan perpindahan panas. Aliran dan perpindahan panas dari berbagai fluida dapat disimulasikan pada bentuk/geometri yang rumit. Dengan menggunakan program fluent, dapat diketahui parameter-parameter aliran dan perpindahan panas yang diinginkan. Distribusi tekanan, kecepatan aliran, laju aliran massa, distribusi temperatur, dan pola aliran fluida yang terjadi dapat diketahui pada tiap titik yang terdapat dalam sistem yang dianalisa. Dalam satu paket perangkat lunak, selain perangkat lunak fluent, terdapat beberapa produk yang dapat digunakan untuk membantu pemodelan dan simulasi, yaitu: a.
prePDF, merupakan preprocessor untuk memodelkan pembakaran nonpremixed pada Fluent.
b.
Gambit,
merupakan
preprocessor
untuk
memodelkan
geometri
dan
pembentukan mesh. c.
Tgrid, merupakan preprocessor tambahan yang dapat membuat mesh volume dari mesh lapisan batas yang sudah ada.
d.
Filter untuk mengimpor mesh permukaan dan volume dari program CAD/CAE seperti ANSYS, CGNS, I-DEAS, NASTRAN, PATRAN, dll. Struktur komponen perangkat lunak Fluent dapat dilihat pada Gambar 2.5.
Gambar 2.5 Struktur komponen Fluent
13
2.9.1 Kemampuan Fluent Fluent dalam penggunaannya memiliki kemampuan pemodelan sebagai berikut: a.
Aliran 2D, 2D axisymmetric, 2D axisymmetric dengan swirl, dan 3D. Aliran tunak (steady) ataupun transien.
b.
Aliran fluida kompresibel dan inkompresibel untuk semua daerah kecepatan
c.
(subsonik, supersonik, dan hipersonik). Aliran invsikos, laminar, dan turbulen.
d.
Perpindahan panas, meliputi konveksi paksa, konveksi bebas, campuran, konjugasi (padatan/fluida), dan radiasi.
e.
Idealnya, Fluent sangat sesuai untuk mensimulasikan aliran dan perpindahan panas kompresibel maupun inkompresibel pada geometri yang rumit.
2.9.2 Graphical User Interface (GUI) Komponen terpenting dari GUI adalah console (konsol) dan graphics display window (jendela tampilan grafis). Konsol merupakan jendela utama tempat mengendalikan dan menampilkan perintah ataupun proses selama menjalankan Fluent. Pada konsol terdapat menu-menu utama untuk memberikan perintah, mengatur parameter simulasi, dan melakukan proses-proses lain. Tampilan konsol dapat dilihat pada Gambar 2.6
Gambar 2.6 Tampilan konsol Fluent
14
Jendela tampilan grafis berfungsi untuk memperlihatkan hasil simulasi dalam bentuk grafis, misalnya: kontur kecepatan, kontur tekanan, dan lain-lain. Jendela ini diaktifkan melalui menu display pada konsol. 2.9.3 Prosedur Pemodelan dan Simulasi Agar dapat memodelkan dan mensimulasikan dengan menggunakan Fluent, model geometri harus terlebih dulu dibuat dan berbagai parameter simulasi harus terlebih dulu ditentukan. Untuk keperluan tersebut,digunakanlah Gambit. Gambit berfungsi untuk membuat model geometri, melakukan meshing pada model, dan mendefinisikan bidang operasi pada model. Berbagai parameter pada Fluent harus ditentukan sebelum dapat dilakukan iterasi. Parameter yang harus ditentukan antara lain: formulasi solver, kondisi batas, model turbulensi, sifat-sifat material, dan kondisi operasi. Secara garis besar, prosedur pemodelan dengan perangkat lunak Fluent. 2.9.4 Pemodelan Geometri Menggunakan Gambit Gambit merupakan singkatan dari Geometry And Mesh Building Intelligent Toolkit. Gambit berfungsi untuk membuat model geometri dan mendefinisikan daerah yang akan dilalui fluida serta melakukan proses meshing pada daerah tersebut. Setelah semuanya dilakukan, model tersebut siap untuk dianalisis menggunakan Fluent. Gambit menggunakan Graphical User Interface (GUI) untuk memudahkan pemakainya. Dengan GUI, perintah masukan dapat diberikan dengan hanya menggunakan mouse. Tampilan GUI pada Gambit terdiri dari beberapa komponen utama, antara lain: a.
Main menu bar, berfungsi untuk memilih menu-menu utama pada Gambit. Beberapa hal yang dapat dilakukan antara lain: membuka atau menyimpan file, mengimpor geometri dari program lain (ACIS, CATIA, CAD, dll), mengekspor file ke program lain, dan lain-lain.
b.
Graphics window, berfungsi untuk menampilkan geometri model yang sedang dibuat
15
c.
Transcript window, berfungsi untuk menampilkan semua perintah dan proses yang dilakukan selama menggunakan Gambit.
d.
Description window, berfungsi untuk memberikan informasi singkat mengenai fungsi semua tombol GUI dan tampilan pada layar.
e.
Global control, berfungsi untuk mengatur tampilan layar pada GUI. Tampilan GUI dapat dilihat pada Gambar 2.7
Gambar 2.7 GUI pada Gambit
Untuk membuat geomerti pada Gambit digunakan operation toolpad geometry pada GUI. Secara garis besar geometri pada Gambit dapat dibuat dengan dua cara, yaitu: 1.
Bottom- up Pembuatan geometri dengan cara ini dimulai dengan membuat geometri yang
paling dasar sampai dengan yang paling rumit. Proses diawali dari pembuatan sebuah titik. Gabungan dari beberapa titik kemudian menjadi garis. Beberapa garis kemudian digabungkan menjadi bidang. Terakhir, dibentuk sebuah volume sebagai kumpulan dari beberapa bidang.
16
2.
Top-down Pembuatan geometri dengan cara ini dimulai dengan langsung membuat
geometri volume. Volume dibuat dengan menggunakan perintah bentuk dasar, seperti: kubus, bola, silinder, dan geometri lainnya. Volume kemudian dimodifikasi dengan perintah-perintah yang ada. Setelah geometri selesai dibuat, perlu dilakukan proses meshing (membagi volume menjadi bagian-bagian kecil) agar dapat dianalisis pada program Fluent. Ukuran mesh yang terdapat pada suatu objek akan mempengaruhi ketelitian dan daya komputasi analisis Fluent. Semakin kecil/ mesh yang dibuat, maka hasil yang didapat akan semakin teliti, namun dibutuhkan daya komputasi yang makin besar. Konsep pembuatan mesh mirip dengan pembuatan geometri. Pembuatan mesh dapat dilakukan dengan cara bottom-up atau top-down. Metoda bottom-up dimulai dengan meshing garis, dilanjutkan dengan bidang, dan diakhiri dengan volume. Pada metode top-down, meshing langsung dilakukan pada volume. Ukuran mesh seragam di semua tempat pada metode top-down. Oleh karena itu, metode topdown sesuai untuk geometri yang cukup rumit. Pada penelitian ini dilakukan meshing dengan metoda top-down, sehingga pembahasan langsung kepada meshing volume. Mesh pada volume memiliki beberapa bentuk, antara lain: heksagonal, wedge, dan tetragonal/hybrid. Bentuk heksagonal lebih disukai karena mengurangi resiko kesalahan dan mengurangi jumlah elemen. Untuk dapat dilakukan meshing heksagonal, maka terkadang geometri yang rumit harus dipisah-pisah. Apabila geometri yang ada terlalu rumit, maka Gambit akan memilih bentuk tetragonal/hybrid secarra otomatis. Proses meshing dilakukan dengan menekan tombol perintah mesh volume yang ada pada operation toolpad. Pertama-tama volume yang diinginkan harus dipilih terlebih dahulu. Kemudian, bentuk yang diinginkan dapat dipilih pada tombol jenis elemen dan tipenya. Terakhir, harus ditentukan juga ukuran dari mesh yang diinginkan. Jendela perintah meshing terdapat pada toolpad operasi meshing yang terdapat di pojok kanan atas GUI.
17
2.9.5 Pendefinisian Tipe Batas (Boundary) dan Kontinum Untuk simulasi aliran 3D, semua bidang harus ditentukan tipe batasnya (boundary). Apabila tidak ditentukan, maka Fluent akan mendefinisikan bidang sebagai dinding secara otomatis. Jika diinginkan, setiap bidang yang penting dapat diberi nama. Setiap volume (kontinum) yang ada dalam model harus didefinisikan. Jenis kontinum yang terdapat pada Gambit adalah fluida dan padatan. Apabila tidak didefinisikan, secara otomatis Fluent akan mendefinisikan kontinum sebagai udara. Jendela perintah definisi tipe batas dan kontinum terdapat di sebelah toolpad operasi meshing. 2.10 Penggunaan Fluent untuk Simulasi Pada simulasi, pemilihan-pemilihan yang dilakukan dalam simulasi harus dipertimbangkan dengan lebih baik dan sangat diperlukan untuk mendapatkan hasil yang benar. Berikut ini adalah beberapa hal yang harus diperhatikan: 2.10.1 Pemilihan Solver Pada awal menjalankan Fluent, harus ditentukan solver yang akan digunakan. Terdapat beberapa pilihan, antara lain: 2 dimensi single precision atau double precision dan 3 dimensi single precision atau double precision. Double precision memiliki tingkat ketelitian diatas single precision, namun membutuhkan daya komputasi yang lebih besar. 2.10.2 Mengimpor Model dan Memeriksa Mesh Model yang telah dibuat di Gambit harus dibuka di Fluent untuk melakukan simulasi yang diinginkan. Proses membuka model dapat dilakukan dengan perintah File – Read – Case File yang dapat dibuka adalah file dengan ekstensi *.msh dan *.cas. File dengan ekstensi *.msh adalah file model yang telah di-mesh. File dengan ekstensi *.cas adalah file kasus berisi model dan berbagai parameter simulasi yang telah ditentukan sebelumnya.
18
Setelah berhasil membaca file model, mesh yang ada harus dicek terlebih dahulu. Proses pengecekan dilakukan dengan perintah Grid – Check Apabila tidak terdapat pesan error pada konsol Fluent atau nilai minimum volume adalah negatif, maka proses dapat dilanjutkan. Selain itu, perlu juga gemetri dikembalikan ke skala dasar pada saat pembuatan, yaitu dengan perintah Grid – Scale 2.10.3 Parameter Solver Pada menu solver (Define Models Solver) terdapat beberapa parameter yang harus ditentukan, yaitu formulasi solver, ruang model (space), waktu (time), formulasi kecepatan, pilihan gradien (gradient option), dan formulasi porous. perlu ditentukan untuk simulasi pembakaran gas 3D adalah formulasi solver. Gambar 2.8 memperlihatkan menu solver pada Fluent dan parameter- parameter yang digunakan pada model. Fluent menyediakan tiga formulasi solver, yaitu:
Segregated
Coupled implicit
Coupled eksplisit
Gambar 2.8 Pemilihan parameter pada menu solver
19
Formulasi solver segregated dan coupled mempunyai perbedaan pada cara penyelesaian persamaan kontinuitas, momentum, dan energi serta persamaan
species
transport
(jika
diperlukan).
Solver
segregated
menyelesaikan persamaan- persamaan yang terlibat secara bertahap (terpisah antara satu persamaan dengan persamaan yang lain), sementara solver coupled menyelesaikan semua persamaan secara bersamaan. Kedua formulasi solver menyelesaikan persamaan untuk besaran-besaran tambahan (misalnya radiasi, turbulensi) secara bertahap (sequential). Solver coupled implisit dan eksplisit mempunyai perbedaan pada cara melinearisasi
persamaan-
persamaan yang akan diselesaikan. Formulasi solver yang digunakan pada kasus ini adalah segregrated. Pada formulasi ini, persamaan-persamaan yang digunakan diselesaikan secara bertahap. Oleh karena persamaan-persamaan yang digunakan dalam model tidak linear, diperlukan beberapa kali iterasi untuk menyelesaikan setiap persamaan. Tiap iterasi terdiri dari beberapa langkah, seperti yang terlihat pada Gambar 2.9 dan uraian di bawah ini : 1. Sifat-sifat fluida diperbarui berdasarkan solusi pada saat itu. Apabila perhitungan baru saja dimulai, sifat-sifat fluida akan diambil berdasarkan solusi awal. 2. Persamaan momentum arah sumbu x, y, dan z diselesaikan secara bergantian dengan menggunakan nilai tekanan dan fluks massa pada saat itu untuk memperbarui m edan kecepatan 3. Kecepatan yang
diperoleh mungkin tidak
memenuhi persamaan
momentum lokal, sehingga diperlukan sebuah persamaan koreksi tekanan yang diturunkan dari persamaan kontinuitas dan persamaan momentum yang telah dilinearisasi. Persamaan koreksi tekanan kemudian diselesaikan untuk memperoleh faktor koreksi yang diperlukan sehingga nilai tekanan, medan kecepatan, dan fluks massa yang diperoleh memenuhi persamaan kontinuitas. 4. Kemudian persamaan untuk skalar seperti turbulensi, energi, species, dan radiasi diselesaikan menggunakan diperbaharui
nilai variabel lain yang telah
20
5. Langkah terakhir adalah pengecekan konvergensi untuk semua persamaan yang digunakan.
Gambar 2.9 Prosedur iterasi pada formulasi solver segregated
Pemilihan parameter yang lain adalah pemilihan waktu (time). Pemilihan waktu ini tergantung dari asumsi, apakah diasumsikan tunak (steady) atau berubah terhadap waktu/transien (unsteady). 2.10.4 Model Turbulensi Pada menu jenis turbulensi (Define Models Viscous), aliran turbulen dikenali dengan
adanya
medan
kecepatan
yang
berfluktuasi.
Fluktuasi
kecepatan
mengakibatkan perubahan berbagai besaran seperti: momentum, energi, konsentrasi partikel. Perubahan mengakibatkan berbagai besaran ikut berfluktuasi. Fluktuasi dapat terjadi pada skala kecil dan mempunyai frekuensi yang tinggi, sehingga terlalu rumit dan berat untuk dihitung secara langsung pada perhitungan teknik praktis meskipun telah menggunakan komputer yang canggih. Oleh karena itu persamaan yang berhubungan dapat dirata-ratakan (time-averaged, ensembleaveraged) atau dimanipulasi untuk menghilangkan fluktuasi skala kecil. Dengan demikian persamaan-persamaan yang berhubungan dapat lebih mudah untuk dipecahkan. Bagaimanapun juga, pada persamaan yang telah dimodifikasi terdapat
21
tambahan variabel yang tidak diketahui, dan dibutuhkan model turbulensi untuk menentukannya. Secara garis besar, model turbulen dapat didekati dengan menggunakan 2 pendekatan, yaitu : 1. Berdasarkan Reynolds Averaged-Navier Stokes (RANS) 2. Berdasarkan Large Eddy Simulation (LES) Kedua pendekatan sama-sama memerlukan model dengan besaran yang dirata- ratakan (time-average, ensemble-average). Pengelompokan model turbulensi dapat dilihat pada Gambar 2.10. Sampai saat ini, belum ada sebuah model turbulensi yang dapat digunakan untuk memecahkan semua kasus aliran turbulen dengan baik. Pemilihan model turbulensi tergantung dari beberapa pertimbangan, antara lain fisik aliran, tingkat akurasi yang diinginkan, sumber daya komputasi yang tersedia, waktu yang tersedia untuk simulasi. Model turbulensi Reynolds-Stress atau Large-Eddy Simulation tidak mungkin digunakan pada simulasi ini, karena memerlukan daya komputasi yang sangat besar, sedangkan sumber daya komputasi yang tersedia terbatas. Model turbulensi yang mungkin digunakan adalah Spalart-Allmaras,
− , atau
− .
Gambar 2.10 Pengelompokan model turbulensi Fluent
Model
− merupakan model semi empiris yang dikembangkan oleh Launder
& Spalding. Model
−
merupakan model turbulensi yang cukup lengkap dengan
dua persamaan yang memungkinkan kecepatan turbulen (turbulent velocity) dan skala panjang (length scales) ditentukan secara independen. Kestabilan, ekonomis
22
(dari sisi komputasi), dan akurasi yang memadai untuk berbagai jenis aliran turbulen membuat model kalor.
− sering digunakan pada simulasi aliran fluida dan perpindahan
2.10.5 Kondisi Material Kondisi material fluida yang akan dipakai dapat ditentukan dengan perintah: Define Materials. kondisi material sangat bergantung pada jenis fluida yang digunakan pada simulasi. 2.10.6 Kondisi Operasi Kondisi operasi ditentukan dengan Define Operating Conditions. Kondisi batas merupakan salah satu parameter yang harus didefinisikan oleh pengguna Fluent. Data yang harus dimasukkan pada kondisi operasi adalah tekanan udara sekitar dan percepatan gravitasi. 2.10.7 Kondisi Batas Kondisi batas merupakan data masukan yang sangat penting untuk simulasi aliran dengan Fluent. Kondisi batas yang digunakan harus merupakan parameter aliran yang dapat dipercaya nilainya. Secara garis besar pemodelan saluran terbuka terdiri dari beberapa kondisi batas, yaitu: a.
Velocity Inlet Lokasi kondisi batas ini berada pada sisi masuk daerah saluran. Nilai masukan
yang dibutuhkan adalah kecepatan aliran air, arah aliran, dan sifat turbulensi. Pada kondisi batas ini, kecepatan masuk aliran akan selalu tetap sepanjang iterasi. Velocity Inlet hanya dapat digunakan pada aliran inkompresibel. b.
Mass Flow Inlet Sama seperti Velocity Inlet, kondisi batas ini juga berada pada sisi masuk
saluran. Kondisi ini dapat digunakan untuk menggantikan fungsi velocity inlet pada fluida kompressibel. Laju aliran massa merupakan perkalian antara kecepatan, luas penampang, dan massa jenis fluida. Pada kondisi batas ini diperlukan nilai masukan berupa laju aliran massa fluida, tekanan statik, arah aliran, dan sifat turbulensi. Laju aliran massa akan selalu tetap sebesar nilai masukan sepanjang simulasi. Nilai
23
tekanan statik nantinya akan dikoreksi oleh Fluent sehingga dapat berbeda dari nilai awalnya. c.
Pressure Outlet Kondisi batas ini dipakai pada sisi keluar fluida. Kondisi batas ini dipilih
apabila nilai tekanan statik pada sisis keluaran diketahui atau minimal dapat diperkirakan mendekati nilai sebenarnya. Pada kondisi batas ini diperlukan nilai masukan berupa tekanan statik, arah aliran dan besaran turbulensi. Tekanan statik merupakan acuan pada bidang batas yang dipilih. Oleh karena itu, nilai tekanan statik akan selalu tetap selama iterasi. d.
Pressure Inlet Nilai tekanan total merupakan acuan pada kondisi batas ini. Tekanan total yang
dimaksud adalah penjumlahan tekanan statik dan tekanan dinamik (faktor kecepatan). Dengan menggunakan kondisi batas ini, tekanan total akan memiliki nilai yang tetap sepanjang simulasi transient. Namun demikian, bagian dari tekanan total (tekanan statik dan dinamik) dapat berubah sebagai fungsi yang berbanding terbalik antara satu dengan yang lainnya. e.
Outflow Kondisi batas ini digunakan apabila parameter aliran pada keluaran sama sekali
tidak diketahui. Kondisi batas ini hanya dapat digunakan untuk fluida inkompresibel dengan aliran berkembang penuh (fully developed). Kondisi batas ini tidak dapat digunakan bersamaan dengan pressure outlet atau pressure inlet. Kondisi batas ini hanya dapat digunakan untuk fluida inkompresibel. f.
Wall Seluruh dinding yang terdapat pada saluran (termasuk katup dan sudu)
didefinisikan sebagai dinding. Tidak ada nilai yang harus dimasukkan pada kondisi batas ini apabila dinding tidak bergerak terhadap waktu dan tidak melakukan perpindahan panas (adiabatik). Namun, apabila dinding bergerak terhadap waktu, maka perlu untuk memasukkan kecepatan putar, sumbu putaran, dan titik asal putaran. g.
Continuum Kontinum (volume yang dilewati aliran) harus didefinisikan. Jenis fluida dari
kontinum dipilih berdasarkan fluida yang mengalir.
24
2.10.8 Metode Spesifikasi Aliran Turbulen Metode spesifikasi aliran turbulen merupakan parameter yang perlu dimasukkan pada kondisi batas mass flow inlet, velocity inlet, pressure inlet, dan pressure outlet. Metode spesifikasi aliran turbulen yang biasa digunakan adalah Intensitas Turbulensi (Turbulent Intensity) dan Diameter Hidrolik (Hydraulic Diameter). 2.11 Hukum kekekalan aliran fluida dan kondisi batas Dalam bab ini kita mengembangkan dasar matematika untuk model tujuan umum komprehensif aliran fluida dan perpindahan panas dari prinsip-prinsip dasar kekekalan massa, momentum dan energi. Ini mengarah pada persamaan yang mengatur aliran fluida dan diskusi tentang kondisi tambahan yang diperlukan kondisi awal dan batas. Isu-isu utama yang dibahas dalam konteks ini adalah:
Penurunan sistem persamaan diferensial parsial yang mengatur arus di Cartesian (x, y, z) koordinat
Persamaan hokum termodinamika
Model Newtonian tegangan kental mengarah ke persamaan Navier-Stokes
Kesamaan antara persamaan diferensial parsial mengatur dan definisi persamaan transport
Bentuk terintegrasi dari persamaan transport selama suatu interval waktu yang terbatas dan volume kontrol terbatas
Klasifikasi perilaku fisik ke dalam tiga kategori: elips, parabola dan hiperbolik
Kondisi batas yang sesuai untuk setiap kategori
Klasifikasi aliran fluida
Kondisi tambahan untuk arus cairan kental
Masalah dengan kondisi spesifikasi batas di bilangan Reynolds yang tinggi dan jumlah tinggi mach mengalir
25
2.12 Peraturan Persamaan Aliran Fluida dan Perpindahan Panas Persamaan yang mengatur aliran fluida merupakan pernyataan matematis dari hukum kekekalan fisika.
Massa suatu fluida adalah kekal
Laju perubahan momentum sama dengan jumlah gaya pada partikel fluida (hukum kedua newton)
Laju perubahan energi adalah sama dengan jumlah dari laju penambahan panas dan tingkat kerja yang dilakukan pada partikel fluida (hukum pertama termodinamika) Anggaplah suatu elemen kecil cairan dengan sisi
pada gambar di bawah:
,
seperti terlihat
,
Gambar 2.11 Elemen fluida untuk hukum konservasi (sumber: H K Versteeg & W Malalasekera 1995, hal 11)
Enam bagian diberi label N, S, E, W, T, B yang merupakan singkatan dari Utara, Selatan, Timur, Barat, Atas dan Bawah.Petunjuk positif sepanjang sumbu koordinat juga diberikan.Pusat elemen berada pada posisi (x, y, z).nilai sistematis perubahan massa, momentum dan energi dari elemen fluida karena aliran fluida melintasi batas-batas dan, karena aksi dari sumber di dalam elemen, mengarah ke persamaan aliran fluida. Semua sifat fluida adalah fungsi ruang dan waktu sehingga perlu ditulis ( , , , ),
( , , , ), ( , , , )
( , , , ) untuk
kepadatan,
tekanan,
temperatur dan vektor kecepatan masing-masing.Untuk menghindari notasi terlalu
26
rumit, ketergantungan pada ruang koordinat dan waktu tidak dinyatakan secara eksplisit.Misalnya, kepadatan di pusat (x, y, z) dari elemen cairan pada waktu t dilambangkan dengan x dan turunan dari x, tekanan p pada (x, y, z) dan waktu t dengan
.Praktek ini juga akan diikuti untuk semua sifat fluida lainnya. Unsur yang dipertimbangkan adalah begitu kecil bahwa sifat fluida pada
permukaan dapat dinyatakan cukup akurat dengan cara pertama dua hal ekspansi seri taylor. Misalnya, tekanan pada E dan permukaan W, yang keduanya berjarak 1/2 dari pusat elemen, dapat dinyatakan sebagai berikut: dan +
−
2.12.1 Konservasi Massa Dalam Tiga Dimensi Langkah pertama dalam derivasi dari persamaan konservasi massa adalah menuliskan keseimbangan massa untuk elemen fluida. Tingkat kenaikan
tingkat bersih
massa dalam
aliran massa
=
elemen fluida
menjadi elemen fluida
Tingkat kenaikan massa dalam elemen fluida. (
)=
........................................................................(2.11)
Selanjutnya diperhitungkan laju aliran massa di seluruh permukaan dari elemen yang diberikan oleh hasil dari kerapatan, daerah dan komponen kecepatan normal untuk permukan. Pada Gambar 2.12 dapat dilihat bahwa tingkat laju aliran massa ke dalam elemen yang melewati batas (boundary) dinyatakan dengan:
−
−
−
(
(
(
)
−
)
)
−
−
+
+
+
(
)
(
+
) (
)
+
...............................(2.12)
27
Aliran yang diarahkan ke elemen menghasilkan peningkatan massa dalam elemen dan diberi tanda positif dan aliran yang meninggalkan elemen diberi tanda negatif.
Gambar 2.12 Aliran massa masuk dan keluar pada elemen fluida (sumber: H K Versteeg & W Malalasekera 1995, hal 12)
Laju peningkatan massa di dalam elemen persamaan (2.11) kini disamakan dengan tingkat laju aliran massa ke dalam elemen di atas permukaan persamaan (2.12). Semua bagian neraca massa yang dihasilkan disusun di sisi kiri dari tanda sama dengan dan dibagi dengan elemen volume δxδyδz. Hasilnya: +
(
)
+
(
)
+
(
)
= 0 .................................................................(2.13)
Atau dalam notasi vector +
(
) = 0....................................................................................(2.14)
Persamaan (2.14) adalah unsteady, konservasi massa tiga-dimensi atau persamaan kontinyuitas dalam cairan kompresibel. Istilah pertama di sisi kiri adalah tingkat perubahan waktu massa jenis (massa per satuan volume). Istilah kedua menjelaskan aliran bersih massa dari elemen yang melintasi batas-batas (boundaries) disebut dengan konveksi.
28
Untuk fluida incompressible (cairan) massa jenis (density) ρ konstan dan persamaan (2.14) menjadi: = 0 .................................................................................................(2.15) Atau dalam notasi +
= 0 .....................................................................................(2.16)
+
2.12.2 Laju Perubahan yang Mengikuti Partikel Fuida dan Untuk Elemen Fluida Hukum kekekalan momentum dan energi membuat pernyataan tentang perubahan sifat partikel fluida. Setiap properti dari partikel seperti fungsi dari posisi partikel (x,y,z) dan waktu t. Nilai properti per satuan massa dapat dinotasikan dengan
ϕ. Total atau turunan substantif dari ϕ terhadap waktu partikel fluida, ditulis sebagai Dϕ /Dt, sehingga: =
+
+
+
Partikel fluida pada aliran, dx/dt = u, dy/dt = v dan dz/dt = w. Sehingga turunan substantive dari ϕ dinyatakan dengan: =
+
+
+
=
+ .
............................... (2.17)
Dϕ /Dt mendefinisikan laju perubahan properti ϕ per satuan massa. Seperti dalam kasus persamaan konservasi massa dikembangkan persamaan untuk tingkat
perubahan per satuan volume. Laju perubahan properti ϕ per satuan volume untuk sebuah partikel fluida merupakan hasil dari Dϕ /Dt dan massa jenis ρ, maka =
+ .
......................................................................(2.18)
Bentuk yang paling berguna dari hukum konservasi untuk perhitungan aliran fluida dengan perubahan dari properti aliran untuk elemen fluida yang stasioner dalam
29
ruang. Hubungan antara turunan substantif ϕ, yang mengikuti partikel fluida, dan laju perubahan ϕ untuk cairan sekarang dikembangkan.
Persamaan konservasi massa berisi massa per satuan volume (massa jenis ρ)
sebagai jumlah kekal. Jumlah laju perubahan densitas dan istilah konveksi dalam persamaan konservasi massa (2.13) untuk elemen fluida adalah: (
+
)
Generalisasi istilah-istilah ini untuk properti: (
)
) ........................................................................ (2.19)
(
+
Rumus (2.19) menyatakan laju perubahan ϕ per satuan volume ditambah aliran ϕ dari elemen fluida per satuan volume. Sekarang ditulis ulang untuk menggambarkan hubungannya dengan turunan substantif dari ϕ: (
Istilah
)
(
+
+
)=
(
+
∙
+
(
+
) sama dengan nol berdasarkan konservasi massa (2.14).
Dengan kata lain, hubungan (2.20) menyatakan tingkat kenaikan tingkat bersih aliran
....(2.20)
) =
elemen fluida +
keluar dari elemen fluida = tingkat kenaikan dari
untuk
partikel fluida Untuk membangun tiga komponen persamaan momentum dan persamaan energi masukan yang relevan untuk ϕ dan tingkat perubahan per satuan volume seperti didefinisikan di (2,18) dan (2.20) diberikan di bawah ini (
x-momentum
u
y-momentum
v
z-momentum
w
(
energy
E
(
(
) ) )
)
+
(
+
(
+
+
U)
(
U)
(
U)
U)
30
Baik bentuk konservatif (atau perbedaan) dan bentuk non-concervative dari laju perubahan dapat digunakan sebagai alternatif untuk mengekspresikan konservasi kuantitas fisik. Bentuk non-konservatif digunakan dalam derivasi dari momentum dan energi persamaan untuk aliran fluida di bagian 2.14 dan 2.15 untuk singkatnya notasi dan menekankan bahwa hukum konservasi secara fundamental dipahami sebagai pernyataan yang berlaku untuk partikel cairan. Pada persamaan akhir 2.18 akan kembali ke bentuk konservatif yang dalam hal ini digunakan dalam perhitungan volume CFD terbatas. 2.12.3 Persamaan Momentum Untuk Tiga Dimensi Hukum Kedua Newton menyatakan bahwa laju perubahan momentum dari partikel fluida sama dengan jumlah dari gaya-gaya pada partikel. jumlah dari
laju perubahan momentum dari
=
gaya-gaya pada partikel
partikel fluida
Laju peningkatan momentum x, y, z per satuan volume dari partikel cairan dinyatakan dengan:
.......................................................... (2.21) Gaya pada partikel fluida dapat dibedakan menjadi dua jenis:
Gaya pada permukaan(surface force) - gaya tekan - gaya viskus
Gaya body
- gaya gravitasi - gaya sentifugal - gaya Coriolis - gaya elektromanetik
Itu merupakan penerapan umum untuk menekankan kontribusi karena gaya permukaan sebagai hal yang terpisah dalam persamaan momentum dan termasuk efek dari kekuatan body sebagai sumber.
31
Tegangan elemen fluida didefinisikan dalam hal tekanan dan sembilan komponen tegangan viscous yang ditunjukkan
pada Gambar 2.13. Tekanan,
tegangan normal, dilambangkan dengan p. Tegangan viscous dilambangan dengan τ. diterapkan untuk menunjukkan arah tegangan viscous. i
Biasanya akhiran notasi dan j dalam
menunjukkan bahwa komponen tegangan bertindak dalam arah j
pada permukaan normal ke arah i.
Gambar 2.13 Komponen tegangan pada tiga permukaan dari elemen fluida (sumber: H K Versteeg & W Malalasekera 1995, hal 15)
Pertama, dipertimbangkan komponen x dari gaya akibat tekanan p dan komponen tegangan
,
,
, yang ditunjukkan pada gambar 2.14. Besarnya
kekuatan yang dihasilkan dari tegangan permukaan dalam hasil tegangan dan daerah. Gaya yang sejajar dengan arah sumbu koordinat mendapatkan tanda positif dan gaya yang berada di arah yang berlawanan tanda negatif. Gaya total dalam arah x adalah jumlah komponen gaya yang bekerja ke arah itu padaelemen fluida.
Gambar 2.14 Komponen tegangan pada arah x (sumber: H K Versteeg & W Malalasekera 1995, hal 15)
32
Pada sepasang permukaan (E, W) −
−
= −
−
+ −
+
+
+
.............................................. (2.22a)
+
Gaya total dalam arah x pada pasangan permukaan (N, S) −
−
+
+
=
....... (2.22b)
Akhirnya gaya total dalam arah x di permukaan T dan B menjadi −
−
+
+
=
........ (2.22c)
Total gaya per satuan volume pada fluida karena tekanan permukaan ini adalah sama dengan jumlah dari(2.22a), (2.22b) dan (2.22c) dibagi dengan volume : (
)
+
+
.............................................................................(2.23)
Tanpa mempertimbangkan permukaan tubuh secara lebih terperinci efeknya secara keseluruhan dapat dimasukkan dengan mendefinisikan sumber
momentum x
per satuan volume per satuan waktu. Bagian x pada pesamaan momentum ditemukan dengan menetapkan laju perubahan momentum x dari partikel cairan (2.21) sama dengan gaya total dalam arah x pada elemen karena tegangan permukaan (2.23) ditambah tingkat kenaikan dari momentum x ke sumber: =
(
)
+
+
+
..................................................... (2.24a)
Itu tidak terlalu sulit untuk memverifikasi bahwa bagian y dari persamaan momentum diberikan oleh: =
+
(
)
+
+
..................................................... (2.24b)
33
dan bagian z dari persamaan momentum: =
+
+
(
)
+
..................................................... (2.24c)
Tanda yang berhubungan dengan tekanan berlawanan dengan yang terkait dengan tegangan kental normal karena tanda konvensi yang biasa merubah tegangan tarik menjadi tegangan yang normal positif sehingga tekanan adalah dengan definisi tegangan normal tekan memiliki tanda minus. Pengaruh tegangan permukaan dicatats ecara eksplisit: istilah sumber
,
pada persamaan (2.23a-c) termasuk kontribusi karena gaya body saja.
dan
Misalnya gaya body akibat gravitasi akan dimodelkan oleh
=0,
=0 dan
=−
2.12.4 Persamaan Energi Dalam Tiga Dimensi Persamaan energi berasal dari Hukum Pertama Thermodinamika yang menyatakan bahwa laju perubahan energy dari partikel fluida sama dengan laju penambahan panas ke partikel fluida ditambah tingkat kerja yang dilakukan pada partikel. Tingkat kenaikan energi
Tingkat bersih panas =
dari partikel
ditambahkan ke partikel fluida
Tingkat bersih kerja +
yang dilakukan pada partikel fluida
fluida Seperti sebelumnya turunan persamaan untuk laju peningkatan energy dari partikel fluida per satuan volume dari: ..........................................................................................................(2.25) Kerja yang Dilakukan Oleh Gaya Permukaan Tingkat kerja yang dilakukan pada partikel fluida dalam elemen oleh gaya permukaan adalah sama dengan produk dari kekuatan dan komponen kecepatan dalam arah gaya. Misalnya kekuatan yang diberikan oleh (2.22a-c) semua tindakan dalam arah kerja x yang dilakukan oleh kekuatan-kekuatan ini diberikan oleh:
34
(
−
)1 2
−
+
+
+ − + −
(
−
−
(
)1 2
(
−
)1 2 1 2
)1 2
−
+
+
(
+
+
+
(
)1 2 1 2
)1 2
Tingkat bersih kerja yang dilakukan oleh gaya permukaan ini bertindak dalam arah x diberikan oleh: [ (
]
+
+
(
)
................................................. (2.26a)
Komponen tegangan permukaan dalam arah y dan z juga melakukan pekerjaan pada partikel fluida. Pengulangan dari proses di atas memberikan tingkat tambahan pekerjaan yang dilakukan pada partikel fluida karena kerja yang dilakukan oleh gaya permukaan ini:
(
)
(
+
+
+
................................................. (2.26b)
+
[ (
]
................................................ (2.26c)
Tingkat total kerja yang dilakukan per satuan volume pada partikel fluida oleh semua gaya permukaan diberikan oleh jumlah dari (2.25a-c) dibagi dengan volume
.
Istilah yang mengandung tekanan dapat dikumpulkan bersama-sama dan ditulis lebih kompak dalam bentuk vektor: −
(
)
(
−
)
−
(
)
(
=−
)
Ini menghasilkan tingkat total kerja yang dilakukan pada partikel fluida oleh tegangan permukaan: [−
(
+
)] + (
( )
)
+
+
(
)
+
+
+
+
(
)
+
...............................................................................................(2.27)
35
Fluks Energi Akibat Konduksi Panas Fluks panas vector q memiliki tiga komponen
,
dan
Gambar 2.15 Komponen dari vektor fluks panas (sumber: H K Versteeg & W Malalasekera 1995, hal 18)
Tingkat bersih transfer panas ke partikel fluida karena aliran panas dalam arah x diberikan oleh perbedaan antara tingkat masukan panas di permukaan W dan tingkat kehilangan panas di permukaan E: −
−
+
=−
.................... (2.28a)
Sama harga net transfer panas ke cairan karena panas yang mengalir dalam arah y dan z : dan −
−
......................................................... (2.28b-c)
Total laju panas yang ditambahkan ke partikel fluida per satuan volume karena aliran panas melintasi batas-batas adalah jumlah dari (2.28a-c) dibagi dengan volume
−
−
−
=−
......................................................................(2.29)
Hukum Fourier tentang konduksi panas berkaitan fluks panas ke gradien suhu setempat, sehingga =−
=−
=−
36
Hal ini dapat ditulis dalam bentuk vektor sebagai berikut .........................................................................................(2.30)
= −
Menggabungkan 2.29 dan 2.30 menghasilkan bentuk akhir dari laju penambahan panas ke partikel cairan karena panas konduksi melintasi batas-batas elemen −
=
) ...........................................................................(2.31)
(
Persamaan Energi Sejauh ini energi spesifik E pada fluida belum didefinisikan. Seringkali energi fluida didefinisikan sebagai jumlah energi internal (thermal) i, energi kinetik (
+
+
) dan energi potensial gravitasi. Definisi ini mengambil pandangan
bahwa elemen fluida menyimpan energi potensial gravitasi. Hal ini juga memungkinkan untuk menganggap gaya gravitasi sebagai gaya body yang tidak bekerja pada elemen fluida ketika bergerak melalui medan gravitasi. Konservasi energi dari partikel fluida dipastikan dengan menyamakan laju perubahan energi dari partikel fluida persamaan (2.25) dengan jumlah dari tingkat bersih kerja yang dilakukan pada partikel fluida persamaan (2.27) dan tingkat bersih penambahan panas ke fluida persamaan (2.31) dan tingkat kenaikan energi karena sumber. Persamaan Energi: =−
(
+
Dalam persamaan 2.32
)+ (
( )
)
+
= + (
+
+ +
(
+
+
( )
+
)
+
(
+
) +
+
....... (2.32)
)
Meskipun persamaan (2.32) adalah persamaan energi yang sangat memadai, itu adalah partikel umum untuk mengekstrak perubahan dari energi kinetik untuk mendapatkan persamaan untuk energi internal imaupun suhu T. bagian dari persamaan energi disebabkan energi kinetik dapat ditemukan dengan mengalikan xmomentum persamaan 2.24a oleh komponen kecepatan u, y-momentum persamaan 2.24b oleh v dan z-momentum persamaan 2.24c oleh w dan menambahkan hasil
37
bersama-sama.Hal ini dapat ditunjukkan bahwa ini menghasilkan persamaan berikut untuk konservasi energi kinetic =− .
+
+
(
) (
+
+
)
+
+
(
)
+
(
+ )
+
.(2.33)
+ .
Mengurangkan 2.33 dari 2.32 dan mendefinisikan istilah sumber baru sebagai =
menghasilkan persamaan energi internal:
− .
=−
+
+
(
+
+
)+
+
+
+
+
+
+
............................(2.34)
Dalam kasus khusus dari aliran kompresibel i = cT, di mana c adalah panas spesifik, dan div u = 0.ini memungkinkan untuk menyusun kembali persamaan 2.34 ke persamaan temperatur =
(
)+
+
+
+
+
+
+
+
+
........................................(2.35)
+
Untuk persamaan aliran kompresibel 2.32 sering kembali diatur untuk memberikan persamaan untuk entalpi. Entalpi spesifik h dan jumlah entalpi spesifikℎ fluida didefinisikan sebagai ℎ = + danℎ = ℎ + (
+
+
)
Menggabungkan dua definisi ini dengan satu untuk energi spesifik E didapatkan: ℎ = + + (
+
+ ..................................................(2.36)
)=
+
Pengganti persamaan (2.36) ke dalam persamaan (2.32) dan beberapa aransemen ulang menghasilkan persamaan entalpi (total): (
)
+
+
( ℎ
+
)=
(
+
(
)
+
)+
+
+
(
)
(
)
+
+
+
(
)
+
..................(2.37)
