BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF

BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF

Pada bagian ini akan diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan definisi sebagai landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi digraph, digraph dwiwarna, terhubung kuat, primitifitas, eksponen dan eksponen titik digraph dwiwarna yang dirujuk dari Brualdi dan Ryser (1991).

2.1 Definisi

Pada sub-bab ini akan diberikan beberapa definisi tentang digraph dan digraph dwiwarna serta notasi-notasi yang akan dipergunakan dalam pembahasan selanjutnya.

2.1.1 Digraph

Secara sederhana graph adalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang dihubungkan oleh garis. Jika segmen garis tersebut diberi arah maka hal yang demikian disebut dengan digraph. Formalnya, digraph adalah objek yang terdiri dari dua himpunan yaitu : 1. Himpunan berhingga tak kosong V = {v0 , v1, ..., vm} yang elemen-elemen dari himpunan V disebut verteks atau titik dari digraph D. 2. Himpunan E yakni himpunan bagian dari pasangan berurut V XV dengan semua titik tidak harus berbeda dan elemen-elemenya disebut arc dari digraph D. Jika diberikan α = (u, v) adalah suatu arc di D, maka titik u disebut sebagai titik awal dan titik v sebagai titik akhir. Suatu arc (u, v) dapat juga digambarkan 6

Universitas Sumatera Utara

7 sebagai u→v yang menghubungkan titik u dan v.

Contoh 2.1.1 Himpunan titik V = {v1, v2, v3 , v4} bersamaan dengan himpunan arc E = {v1 →v4 , v4 →v4 , v4→v1 , v4→v3, v3 →v2 , v2→v1, v1→v1} adalah suatu digraph dengan 4 titik dan 7 arc, dinotasikan dengan D(4, 7). Representasi grafis digraph tersebut diperlihatkan seperti pada Gambar 2.1 berikut ini.

Gambar 2.1 Digraph dengan 4 titik dan 7 arc Andaikan D adalah sebuah digraph. Misalkan u dan v adalah titik di D. Suatu walk dengan panjang l dari u ke v adalah suatu barisan arc dalam bentuk u = v0 → v1 → · · · → vl−1 → vl = v Dengan l > 0, v0 = u dan vl = v. Walk tersebut adalah tertutup jika u = v dan walk disebut terbuka jika u 6= v. Cycle adalah suatu path tertutup uv dan loop adalah sebuah cycle yang panjangnya satu. Dengan menggunakan digraph pada contoh 2.1.1 akan dijelaskan beberapa definisi diatas. a. Barisan arc v1 →v4 →v1→v4→v3→v2→v1 adalah sebuah walk tetapi bukan path karena ada perulangan titik v1. b. Barisan arc v1→v4→v3→v2 adalah sebuah path terbuka. c. Barisan arc v1 →v4→v3→v2→v1 adalah sebuah path tertutup dan disebut juga dengan cycle. d. Dan v1→v1 dan v4 →v4 adalah loop.


8 2.1.2 Digraph Dwiwarna

Andaikan D adalah sebuah digraph atas n titik v1, v2, ..., vn. Digraph dwiwarna adalah sebuah digraph D yang setiap arcnya diwarnai dengan warna merah atau warna biru r

dan dinotasikan dengan D(2) . Sebuah arc merah (u, v) dinotasikan dengan u → v dan b

sebuah arc biru (u, v) dinotasikan dengan u → v.

Contoh 2.1.2 Himpunan titik V = {v1 , v2, v3, v4, v5} bersama dengan himpunan arc merah R = {(v3, v4) , (v4, v5) , (v5, v3), (v3, v3)} dan himpunan arc biru B = {(v5, v1), (v1, v2), (v2 , v3)} adalah sebuah digraph dwiwarna D(2) dengan 5 titik, 4 arc merah dan 3 arc biru. Secara grafis, digraph dwiwarna D(2) dapat direpresentasikan dengan cara berikut a. Setiap titik digambarkan dengan lingkaran kecil hitam. b. Setiap arc merah (a, b) digambarkan dengan garis berarah tidak putus-putus dari titik a ke titik b. c. Setiap arc biru (c, d) digambarkan dengan garis berarah putus-putus dari titik c ke titik d. Dengan demikian contoh 2.1.2 dapat diperlihatkan pada gambar berikut.

Gambar 2.2 : Digraph dwiwarna 5 titik dan 7 arc Sebuah (g, h)-walk di digraph dwiwarna D(2) adalah walk yang terdiri dari garc merah dan h-arc biru. Andaikan w adalah sebuah walk. Banyaknya arc merah dan arc biru yang termuat di walk w dinotasikan dengan r(w) dan b(w) berturut-turut


9 

dengan panjang walk w adalah l(w) = r(w) + b(w). Vektor 

r(w) b(w)

komposisi dari walk w.



 disebut sebagai

Sebuah path adalah sebuah walk dengan semua titik-titiknya  berbeda.  Cycle  1 0 adalah path tertutup dan loop adalah cycle dengan komposisi   atau  . 0 1 Berdasarakan definisi tersebut, dari Gambar 2.2 diperoleh   2 b b r r a. v1 → v2 → v3 → v3 → v4 adalah sebuah walk dengan komposisi  . 2 

b b r r b. v1 → v2 → v3 → v4 → v5 adalah sebuah path terbuka dengan komposisi 



r r r c. v5 → v3 → v4 → v5 adalah sebuah cycle dengan komposisi 



r d. v3 → v3 adalah sebuah loop dengan komposisi 

2.2 Matriks Adjacency

1 0



3 0



2 2



.

.

.

Sebuah digraph D atau digraph dwiwarna D(2) atas n titik dapat dinyatakan dalam (0, 1)-matriks, yaitu sebuah matriks dengan entri 0 atau 1. Matriks yang demikian dikenal dengan sebutan matriks adjacency.

2.2.1 Matriks Adjacency Digraph

Untuk digraph D atas n titik, matriks adjacency dari D adalah A(D) = [aij ] dengan ketentuan berikut aij =

(

1, jika terdapat arc dari vi ke vj di D 0, jika sebaliknya


10

Sebagai contoh perhatikan digraph D pada Gambar 2.3 berikut

Gambar 2.3 : Digraph dengan 4 titik dan 7 arc matriks adjacency dari digraph pada Gambar  1 1  0 0  A(D) =  1 0 

2.3 adalah sebagai berikut  0 0  1 0   1 1 

1 0 0 0

2.2.2 Matriks Adjacency Digraph Dwiwarna

Pada digraph dwiwarna D(2) , matriks adjacency dari D(2) terbagi atas dua buah matriks adjacency yakni, matriks adjacency untuk arc merah, R = [rij ] dan matriks adjacency untuk arc biru, B = [bij ] yang masing-masing orde n dengan ketentuan berikut

rij =

(

bij =

(

1, jika terdapat arc merah dari vi ke vj di D(2) 0, jika sebaliknya

dan 1, jika terdapat arc biru dari vi ke vj di D(2) 0, jika sebaliknya

Dengan demikian, matriks adjacency dari Gambar 2.2 pada contoh 2.1.2 adalah sebagai berikut


11 a. Arc merah dari D(2) pada contoh 2.1.2 adalah {v3 → v3, v3 → v4, v4 → v5, v5 → v3}. Sehingga matriks adjacency arc  0  0   R= 0  0  0

merah R = [rij ] dari D(2) tersebut adalah  0 0 0 0  0 0 0 0   0 1 1 0   0 0 0 1  0 1 0 0

b. Arc biru dari D(2) pada contoh 2.1.2 adalah {v5 → v1 , v1 → v2 , v2 → v3 }. Sehingga matriks adjacency arc biru B = [bij ] dari digraph dwiwarna D(2) tersebut adalah 

0 1 0 0 0

 0   B= 0  0  1



 0 1 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0  0 0 0 0

2.3 Primitifitas Dari Digraph Dwiwarna Terhubung Kuat

Pada bagian ini akan dibahas tentang digraph dan digraph dwiwarna terhubung kuat serta primitifitasnya.

2.3.1 Digraph Primitif

Sebuah digraph D disebut terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik u dan v terdapat walk dari titik u ke v dan walk dari titik v ke u, sebaliknya digraph D disebut tidak terhubung kuat jika terdapat sembarang satu titik atau lebih sehingga tidak terdapat walk dari u ke v. Berikut ini diberikan contoh digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.


12 Contoh 2.3.1 Representasi dari dua buah digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.

Gambar 2.4 : Digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat Gambar 2.4 menunjukan bahwa (a) adalah terhubung kuat karena terdapat walk dari satu titik ke titik lainya, sedangkan (b) tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v1 ke v2 .

Misalkan himpunan C = {γ1 , γ2 , ..., γt} adalah himpunan semua cycle-cycle yang terdapat pada digrap D dengan panjang dari cycle-cycle tersebut dinotasikan dengan l(γi ), i = 1, 2, ..., t. Digraph terhubung kuat D disebut primitif jika gcd(l(γi )) = 1, sebaliknya digraph D disebut tidak primitif jika gcd(l(γi )) 6= 1 (Brualdi dan Ryser, 1991). Berikut ini diberikan representasi grafis digraph yang terhubung kuat dan primitif.

Contoh 2.3.2 Representasi dari digraph terhubung kuat atas 5 titik dan 6 arc.

Gambar 2.5 : Digraph terhubung kuat dan primitif Universitas Sumatera Utara

13 Digraph D pada Gambar 2.5 adalah terhubung kuat yang terdiri dari dua cycle, yaitu cycle γ1 = v1 → v2 → v3 → v5 → v4 → v1 dengan l(γ1) = 5 dan cycle γ2 = v4 → v3 → v5 → v4 dengan panjang l(γ2) = 3. Sehingga gcd(l(γ1 ), l(γ2)) = gcd(5, 3) = 1. Karena gcd(l(γ1), l(γ2 )) = 1, oleh definisi dapat disimpulkan bahwa digraph D adalah primitif.

2.3.2

Digraph Dwiwarna Primitif

Sebuah digraph dwiwarna D(2) adalah terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat walk dari titik u ke titik v dan walk dari titik v ke titik u tanpa memperhatikan warna setiap arc yang dilalui. Perhatikan contoh digraph dwiwarna D(2) terhubung kuat dan digraph dwiwarna D(2) tidak terhubung kuat berikut

Contoh 2.3.3 Representasi dari digraph dwiwarna terhubung kuat

Gambar 2.6 : Digraph dwiwarna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat Gambar 2.6 memperlihatkan bahwa (a) adalah digraph dwiwarna D(2) terhubung kuat karena terdapat walk dari satu titik ke titik yang lain dan (b) adalah digraph dwiwarna D(2) yang tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v1 ke v2 . Sebuah digraph dwiwarna terhubung kuat D(2) disebut primitif jika terdapat bilangan tak negatif g dan h sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat (g, h)-walk dari u ke v. Andaikan C = {γ1 , γ2, ..., γt} adalah himpunan semua cycle-cycle yang terdapat di D(2) dan didefinisikan M sebagai matriks cycle dari D(2) Universitas Sumatera Utara

14 orde 2 × t dengan setiap kolom ke-i dari M merupakan komposisi dari cycle-cycle γi , i = 1, 2, ..., t seperti berikut M=

"

r(γ1 ) r(γ2 ) · · · r(γt ) b(γ1 )

b(γ2 )

···

b(γt )

#

.

Sebuah digraph dwiwarna D(2) adalah primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 × 2 dari M adalah ±1 (Fonarsini dan Valcher, 1997).

Lemma 2.3.1 Andaikan D(2) adalah digraph dwiwarna terhubung kuat dengan paling sedikit satu arc setiap warna. Misalkan M adalah matriks cycle dari D(2) . Digraph D(2) adalah primitif jika dan hanya jika content dari matriks M adalah 1.

Contoh 2.3.4 Representasi digraph dwiwarna terhubung kuat dan primitif

Gambar 2.7 : Digraph dwiwarna primitif. Digraph dwiwarna D(2) pada Gambar 2.7 adalah terhubung   kuat yang terdiri 4 b r r r r r dari cycle v1 → v5 → v4 → v3 → v2 → v1 dengan komposisi  dan loop v1 → v1 1     1 1 4  dengan dengan komposisi  , maka matriks cycle dari D(2) adalah M =  0 0 1 det (M) = 1. Oleh karena det (M) = 1, maka digraph dwiwarna terhubung kuat D(2) adalah primitif.

2.4 Matriks Tak Negatif dan Eksponen Digraph Dwiwarna

Berikut ini akan dibahas pengertian matriks tak negatif dan hubungannya dengan Universitas Sumatera Utara

15 Digraph dwiwarna D(2) .

2.4.1 Matriks Tak Negatif

Matriks tak negatif A merupakan sebuah matriks yang setiap entri-entri aij dari A adalah bilangan bulat tak negatif, sebaliknya jika setiap entri-entri aij dari matriks A adalah bilangan bulat positif maka matriks tersebut disebut matriks positif. Perhatikan dua buah  5 0   N = 3 1  0 2

matriks berikut ini    1 11 2 1       , matriks tak negatif; P =   7 3 1 8 , matriks positif.    1 4 1 0

2.4.2 Eksponen Digraph

Eksponen dari sebuah digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang k dan dinotasikan dengan exp(D).

Proposisi 2.4.1 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri akij dari Ak menyatakan banyak walk dari vi ke vj yang panjangnya k di digraph D. Bukti. Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap entri (i, j) dari A menyatakan arc dari titik vi ke vj di digraph D. Ini mengakibatkan jika k = 1, maka setiap entri a1ij dari A1 menyatakan walk dari titik vi ke vj dengan panjang 1. (k)

Andaikan setiap entri aij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1. Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa (k+1)

aij

adalah banyaknya walk dari vi ke vj dengan panjang k + 1 di D dengan k ≥ 1.


16 Perhatikan setiap walk dari titik vi ke vj di D dengan panjang k+1 yang terdiri dari walk vi ke vl dengan panjang k untuk l = 1, 2, ..., n, dan dilanjutkan dengan arc (k)

dari titik vi ke vj , sehingga ail aij menyatakan walk dengan panjang k + 1 dari titik vi ke vj di D untuk k = 1, 2, ..., n. Jika tidak terdapat walk yang panjangnya k dari titik (k)

(k)

vi ke vj di D, maka ail = 0 sehingga ail aij = 0. Hal ini berakibat tidak terdapat walk yang panjangnya k + 1 dari titik vi ke vj melalui titik vl di D sehingga diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1 dari titik vi ke vj di D adalah (k) ai1 a1j

+

(k) ai2 a2j

+ ... +

(k) ain anj

=

n X

akil alj

i=1

karena Ak+1 = Ak A maka (k) aij

=

n X

akil alj

i=1

(k+1)

Sehingga aij

adalah benar menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke titik vj

yang panjangnya k + 1 di D. Berikut ini diberikan contoh dari sebuah digraph yang akan dicari eksponennya dengan menggunakan proposisi 2.4.1.

Contoh 2.4.1 Representasi digraph dengan 3 titik dan 6 arc.

Gambar 2.8 : Digraph dengan 3 titik dan 6 arc. Matriks adjacency dari digraph pada Gambar  1 1  A= 0 1 1 0

2.8 adalah sebagai berikut  0  1  1 Universitas Sumatera Utara

17 Berdasarkan proposisi 2.4.1, banyaknya walk dari titik vi ke titik vj dengan panjang k dinyatakan oleh entri akij dari matriks Ak yang semuanya positif. Eksponen dari digraph D adalah bilangan positif terkecil k yang mengakibatkan matriks Ak positif. Perhatikan matriks berikut. 

1 1 0



   a. Untuk k = 1; diperoleh A1 =  0 1 1 1 0 1 Bukan eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1, karena tidak terdapat walk

dengan panjang 1 dari titik 1 ke titik 3, titik 2 ke titik 1 dan titik 3 ke titik 2.   1 2 1    b. Untuk k = 2; diperoleh A2 =  1 1 2   2 1 1 Karena terdapat walk dengan panjang 2 dari tiap pasang titik yang ada di D, maka eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1 adalah exp(D) = 2.

2.4.3 Eksponen Digraph Dwiwarna

Pada digraph dwiwarna D(2) , eksponen dari D(2) didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil g + h dari semua bilangan bulat tak negatif g dan h yang ada sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat sebuah (g, h)-walk dari u ke v yang terdiri dari g-arc merah dan h-arc biru. Eksponen dari digraph dwiwarna D(2) dinotasikan oleh exp(D(2) ).

Andaikan A dan B adalah matiks tak negatif orde m. Untuk bilangan tak negatif g dan h, didefinisikan (g, h)-Hurwitz product, (A, B)(g,h) dari A dan B adalah jumlah keseluruhan matriks dari hasil perkalian A sebanyak g kali dan B sebanyak h kali. Sebagai contoh, (A, B)(1,0) = A, (A, B)(0,1) = B, (A, B)(1,1) = AB +BA dan (A, B)(2,2) = A2B 2 + ABAB + AB 2A + BABA + B 2A2.

Lemma 2.4.1 Jika (R,B) adalah matriks adjacency dari digraph dwiwarna D(2) ,


18 maka entri (i, j) dari (R, B)(g,h) adalah jumlah (g, h)-walk dari titik u ke v di D(2) .

Bukti. Lemma 2.4.1 akan dibuktikan dengan induksi pada (g + h) dan (g + h + 1), jika g = 0 maka h = 1 atau jika g = 1 maka h =  0. Jika g = 0 maka entri (i,j) 0 dari (R, B)(0,1) = B adalah walk dengan komposisi   di D(2) . Dengan cara yang 1 (1,0) sama, jika h = 0 maka (R, B) = R adalah walk dengan entri (i, j) menyatakan  walk dengan komposisi 

1 0

 di D(2) .

0

0

Anggap lemma 2.4.1 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif g dan h 0

0

dengan g + h ≤ g + h, akan diperlihatkan untuk g + h + 1 juga benar dengan catatan sebagai berikut (R, B)(g+1,h) = R(R, B)(g,h) + B(R, B)(g+1,h−1) dengan induksi matematika entri (i, j) pada R(R, B)(g,h) adalah walk dari vi ke vj yang dimulai dengan arc merah diikuti oleh sebuah (g, h)-walk dan entri (i, j) pada B(R, B)(g+1,h−1) adalah jumlah walk dari vi ke vj yang dimulai dengan sebuah arc biru dan diikuti oleh sebuah (g + 1, h − 1)-walk sedemikian sehingga entri (i, j) dari (R, B)(g+1,h) adalah jumlah (g + 1, h)-walk dari i ke j. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 2.4.2 Reprensentasi D(2) dengan 3 titik, 3 arc merah dan 1 arc biru

Gambar 2.9 : Digraph dwiwarna dengan 3 titik dan 4 arc


19 Matriks adjacency merah dan biru  1 0  R= 1 0 0 1

dari Gambar 2.9 adalah    0 0 0 1    0 0 0 0 dan B =    0 0 0 0

Berdasarkan Lemma 2.4.1, banyaknya walk dari titik i ke titik j dengan panjang g + h adalah entri (i, j) dari (R, B)(g,h) yang semuanya bernilai positif, dan (g + h) terkecil dari yang demikian adalah eksponen dari matriks (R, B)(g+h) . Perhatikan matriks (R, B)(g,h) berikut a. Untuk g + h = 1, maka 

1 0 0



   1. (R, B)(1,0) = R =  1 0 0 0 1 0   0 0 1    2. (R, B)(0,1) = B =  0 0 0   0 0 0

b. Untuk g + h = 2, maka



1 0 0



1 0 0

 1. (R, B)(2,0) = R2 =  1 1  0  2. (R, B)(0,2) = B 2 =  0 0



 0 0  0 0  0 0  0 0  0 0   0 1 1    3. (R, B)(1,1) = RB + BR =  0 0 1 0 0 0

c. Untuk g + h = 3, maka



   1. (R, B)(3,0) = R3 =  1 0 0   1 0 0 Universitas Sumatera Utara

20 

0 0 0



   2. (R, B)(0,3) = B 3 =  0 0 0   0 0 0



0 0 0



0 0 0



   3. (R, B)(1,2) = RB 2 + B(R, B)(1,1) =  0 0 0   0 0 0   1 1 1    4. (R, B)(2,1) = R(R, B)(1,1) + BR2 =  0 1 1 0 0 1

d. Untuk g + h = 4, maka



1 0 0

 1. (R, B)(4,0) = R4 =  1 1  0  2. (R, B)(0,4) = B 4 =  0 0



 0 0  0 0  0 0  0 0  0 0



   3. (R, B)(1,3) = RB 3 + B(R, B)(1,2) =  0 0 0   0 0 0   0 0 1    4. (R, B)(2,2) = R(R, B)(1,2) + B(R, B)(2,1) =  0 0 0 0 0 0   2 1 1    5. (R, B)(3,1) = R(R, B)(2,1) + BR3 =  1 1 1 0 1 1

d. Untuk g + h = 5, maka



1 0 0



   1. (R, B)(5,0) = R5 =  1 0 0   1 0 0


21 

3 1 1



   2. (R, B)(4,1) = R(R, B)(3,1) + BR4 =  2 1 1   1 1 1 Karena terdapat walk dengan panjang 5 dari tiap pasang titik pada digraph dwiwarna D(2) , maka eksponen dari dwiwarna D(2) pada Gambar 2.9 adalah  digraph  4 exp(D2 ) = 5, dengan komposisi   yang terdiri 4 arc merah dan 1 arc biru. 1 2.5 Eksponen Titik Digraph dan Digraph Dwiwarna

Pada sub-bab ini akan dibahas tentang definisi eksponen titik digraph D dan eksponen titik digraph dwiwarna D(2) serta contoh bagaimana menentukan eksponen titik dari digraph D dan digraph dwiwarna D(2) .

2.5.1 Eksponen Titik Digraph

Misalkan D adalah sebuah digraph primitif atas n titik v1, v2 , ..., vn. Untuk suatu vi di D, i = 1, 2, ..., n, eksponen titik vi yang dinotasikan dengan expD (vi ) adalah bilangan bulat positif terkecil t sehingga terdapat walk dengan panjang t dari vi kesetiap titik di D, dan himpunan eksponen expD (X) adalah bilangan bulat positif terkecil p sehingga untuk setiap titik vj di D terdapat sebuah walk dari paling sedikit satu titik di X ke vj dengan panjang p.

Andaikan D adalah digraph primitif orde n. Jika titik-titik di D adalah (v1, v2, ..., vn) sedemikian hingga expD (v1 ) ≤ expD (v2 ) ≤ · · · ≤ expD (vn ) maka expD (vk ) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D, dinotasikan expD (vk ) (Brualdi dan Liu, 1990).


22 Contoh 2.5.1 Berikut ini akan dicari eksponen titik dari tiap masing-masing titik di digraph D pada Gambar 2.9 dengan asumsi bahwa digraph tersebut tidak diwarnai dengan merah   dan biru. Matriks adjacency dari digraph yang demikian adalah 1 0 1    A= 1 0 0 0 1 0

Berdasarkan Proposisi 2.4.1, eksponen titik dari D diperoleh dengan melihat

entri aij dari Ak , dengan entri pada baris ke-i harus bernilai positif. Perhatikan matriks Ak berikut 

1 1 1



  . Karena semua entri pada baris pertama dari a. Untuk k = 2, A2 =  1 0 1   1 0 0 2 matriks A sudah bernilai positif, maka expD (v1) = 2.   2 1 1   . Karena semua entri pada baris kedua dari b. Untuk k = 3, A3 =  1 1 1   1 0 1 3 matriks A sudah bernilai positif, maka expD (v2) = 3.   3 1 2    c. Untuk k = 4, A4 =   2 1 1 . Karena semua entri pada baris ketiga dari 1 1 1 matriks A4 sudah bernilai positif, maka expD (v3) = 4. Dengan demikian eksponen titik digraph pada Gambar 2.9 tanpa diwarnai dengan warna merah dan biru sudah ditemukan yaitu, expD (v1) = 2, expD (v2) = 3, dan expD (v3 ) = 4.

2.5.2 Eksponen Titik Digraph Dwiwarna

Misalkan D(2) adalah digraph dwiwarna primitif dan V (D(2) ) adalah himpunan semua titik yang ada di D(2) dengan V (D(2) ) = {v1, v2, ..., vn}. Untuk suatu vi ∈ V (D(2) ) dan X ⊆ V (D(2) ), eksponen titik vi yang dinotasikan oleh expD(2) (vi ), adalah bilangan bulat positif terkecil p1 + p2 sedemikian hingga terdapat sebuah (p1 , p2 )-walk dari vi ke Universitas Sumatera Utara

23 setiap titik di D(2) , dan himpunan eksponen expD(2) (X) adalah bilangan bulat positif terkecil m1 + m2 sehingga untuk setiap titik vj di D(2) terdapat sebuah (m1, m2)-walk dari paling sedikit satu titik di X ke vj . Andaikan D(2) adalah digraph dwiwarna primitif orde n. Jika titik-titik di D(2) adalah (v1 , v2, ..., vn) sedemikian hingga expD(2) (v1) ≤ expD(2) (v2) ≤ · · · ≤ expD(2) (vk ) maka expD(2) (vk ) adalah tipe pertama generalisasi eksponen titik ke-k dari digraph dwiwarna D(2) (Gao dan Shao, 2009).

Untuk mencari eksponen titik digraph dwiwarna primitif D(2) , akan dilakukan dengan operasi (g, h)-matriks Hurwitz Product R dan B yang dapat didefinisikan secara rekurensif. Untuk bilangan bulat tak negatif terkecil g dan h, jika k adalah adalah titik di D(2) , maka semua entri pada baris ke-k dari matriks tersebut bernilai positif.

Contoh 2.5.2 Berikut ini akan dicari eksponen titik dari masing-masing titik di digraph dwiwarna D(2) pada Gambar 2.9, yaitu dengan melihat entri (i, j) dari (R, B)(g,h) dimana semua entri pada baris ke-i harus bernilai positif. Menggunakan Contoh 2.4.2 telah diperoleh matriks-matriks (R, B)(g,h) , perhatikan bahwa 

1 1 1



  . a. Untuk g + h = 3 pada (R, B)(2,1) = R(R, B)(1,1) + BR2 =  0 1 1   0 0 1 Karena semua entri pada baris pertama dari matriks (R, B)(2,1) sudah bernilai   positif, maka expD(2) (v1 ) = 3 dengan komposisi  merah dan 1-arc biru.

2 1

 yang terdiri dari 2-arc 

2 1 1



  . b. Untuk g + g = 4 pada (R, B)(3,1) = R(R, B)(2,1) + BR3 =  1 1 1   0 1 1 Karena semua entri pada baris kedua dari matriks (R, B)(3,1) sudah bernilai Universitas Sumatera Utara

24 

positif, maka expD(2) (v2 ) = 4 dengan komposisi 

3 1

merah dan 1-arc biru.



 yang terdiri dari 3-arc 

3 1 1



  . c. Untuk g + h = 5 dari (R, B)(4,1) = R(R, B)(3,1) + BR4 =  2 1 1   1 1 1 (4,1) Karena semua entri pada baris ketiga dari matriks sudah bernilai  (R,  B) positif, maka expD(2) (v3 ) = 5 dengan komposisi  merah dan 1-arc biru.

4 1

 yang terdiri dari 4-arc

Dengan demikian sudah ditemukan eksponen titik dari digraph dwiwarna D(2) yaitu, expD(2) (v1) = 3, expD(2) (v2) = 4, dan expD(2) (v3 ) = 5.

2.6 Sistem Persamaan Diophantine

Persamaan diophantine adalah suatu persamaan dalam bentuk a 1 x1 + a 2 x2 + · · · + a n xn = b

(1)

dengan solusi dari persamaan tersebut adalah bilangan bulat untuk semua bilangan bulat a1, a2 ,..., an , b. Andaikan bahwa n ≥ 1 dan koefisien-koefisien a1 , a2 ,..., an tak semuanya nol.

Teorema 2.6.1 Persamaan (1) adalah punya solusi bulat jika dan hanya jika gcd(a1 , a2, ..., an)|b.

Sistem persamaan diophantine adalah himpunan dari m persamaan diophantine dalam n variabel yang sama dengan m dan n adalah bilangan bulat positif seperti


25 berikut a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .

(2)

am1x1 + am2x2 + · · · + amn xn = bm Sistem persamaan diophantine pada persamaan (2) dapat juga diekspresikan sebagai sebuah persamaan matriks Ax = b, dimana 

a11

a12 · · · a1n

   a21 a22 · · · a2n A= .. ..  .. .. .  . . .  am1 am2 · · · amn



   ,   



   x=   

x1 x2 .. . xn



   ,   



   b=   

b1 b2 .. . bm



   .   

Perhatikan bahwa kolom-kolom dari matriks A adalah koefisien-koefisien dari variabel x1, x2, ..., xn pada persamaan (2). Sistem persamaan diophantine Ax = b adalah punya solusi bilangan bulat jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 × 2 dari A adalah ±1.

2.7 Formula Eksponen Titik Digraph Dwiwarna dengan Dua Cycle

Di bagian ini akan didiskusikan suatu cara untuk menentukan batas atas dan batas bawah eksponen titik digraph dwiwarna primitif. Suwilo (2011) menawarkan suatu teknik untuk menentukan batas atas dan batas bawah eksponen titik digraph dwiwarna primitif yang memuat dua cycle. Pertama sekali akan diberikan suatu teknik untuk menentukan batas bawah eksponen titik digraph dwiwarna primitif pada Lemma 2.6.1 berikut.

Lemma 2.7.1 Andaikan D(2)  adalah digraph dwiwarna primitif yang memuat dua r(γ1 ) b(γ2) . Misalkan vk adalah sembarang titik cycle dengan matrik cycle M =  b(γ1 ) r(γ2 ) Universitas Sumatera Utara

26 (2) dari sebuah dari titik vk ke setiap titik vj di D(2) dengan  D  danterdapat   (g,  h)-walk  g u u r(pk,j )   = M  , maka   ≥ M −1   untuk sembarang bilangan bulat h v v b(pk,j ) tak negatif u, v dan untuk suatu path p(k,j) dari vk ke vj .

Bukti. Untuk sembarang j = 1, 2, ..., n, misalkan pk,j adalah path dari titik vk ke titik vj . Karena D(2) memuat dua cycle maka setiap walknya dapat didekomposisi kedalam path dan cycle pada persamaan (3) berikut       g x r(pk,j )   = M 1 + b(pk,j ) x2 h

(3)

(2) dengan   x1 , x2 ≥ 0. Karena D primitif, maka M punya invers. Menggunakan g u   = M   dan persamaan (3) diperoleh persamaan berikut h v       u x1 r(pk,j ) +  M =M v x2 b(pk,j )       x1 u r(pk,j ) = M −  M x2 v b(pk,j )       x u r(pk,j )  1  =   − M −1  ≥0 x2 v b(pk,j )     u r(pk,j )  dan Lemma (2.7.1) terbukti. sehingga   ≥ M −1  v b(pk,j )

Berdasarkan informasi yang ada pada pembuktian Lemma (2.7.1), diperoleh teorema berikut ini.

Teorema 2.7.1 Andaikan D(2) adalah digraph dwiwarna primitif yang terdiri dari cycle γ1 dan γ2 . Misalkan vk adalah titik di D(2) . Untuk sembarang titik vi dan vj di D(2) , definisikan u 0 = b(γ  2 )r(pk,j ) − r(γ2 )b(pk,j ) dan v0 = r(γ1 )b(pk,j ) − b(γ1 )r(pk,j ).   g u0 , sehingga expD(2) (vk ) ≥ l(γ1 )u0 + l(γ2 )v0. Maka   ≥ M  v0 h Universitas Sumatera Utara

27



Bukti. Andaikan bahwa eksponen titik vk dicapai oleh (g, h)-walk dengan  

M

u v



 dan diperoleh persamaan berikut  

u v





 ≥ M −1 

r(pk,j ) b(pk,j )





=

b(γ2)r(pk,j ) − r(γ2 )b(pk,j ) r(γ1 )b(pk,j ) − b(γ1 )r(pk,j )

untuk sembarang path pk,j dari titik vk ke titik vj .

 

g h



=

(4)

Jika untuk sembarang titik vj , j = 1, 2, ..., n diperoleh nilai b(γ2 )r(pk,j ) − r(γ2 )b(pk,j ) ≥ 0, maka definisikan u0 = b(γ2 )r(pk,j ) − r(γ2 )b(pk,j ) ≥ 0

(5)

dan jika untuk sembarang titik vi , i = 1, 2, ..., n diperoleh nilai r(γ1 )b(pk,i )−b(γ1)r(pk,i ) ≥ 0, maka definisikan v0 = r(γ1 )b(pk,i ) − b(γ1 )r(pk,i ) ≥ 0

(6)

sehingga u ≥ u0 dan v ≥ v0. Oleh Lemma (2.6.1) diperoleh       g u u  =M ≥M 0  h v v0

(7)

sehingga expD(2) (vk ) = g + h ≥ (r(γ1 ) + b(γ1))u0 + (r(γ2 ) + b(γ2))v0 = l(γ1 )u0 + l(γ2)v0 .

Proposisi 2.7.1 berikut ini diberikan untuk menentukan batas atas eksponen titik digraph dwiwarna primitif dari sebuah titik yang ditentukan, sebut titik tersebut v. Definisikan d(vk , v) sebagai jarak dari titik vk ke titik v, yakni panjang walk terpendek dari vk ke v. Proposisi 2.7.1 Asumsikan D(2) adalah digraph dwiwarna primitif atas n titik. Misalkan v adalah sebuah titik di D(2) dengan expD(2) (v). Untuk sembarang titik vk , k = Universitas Sumatera Utara

28 1, 2, ..., n di D(2) , expD(2) (vk ) ≤ expD(2) (v) + d(vk , v).

Bukti. Untuk setiap k = 1, 2, ..., n misalkan pk,v adalah (r(pk,v ), b(pk,v ))-path dari vk ke titik v dengan panjang d(vk , v). Karena eksponen titik v adalah expD(2) (v), maka terdapat (g, h)-walk dengan panjang expD(2) (v) = g + h dari v ke setiap titik vj , j = 1, 2, ..., n. Ini menunjukan bahwa setiap titik vk di D(2) terdapat suatu (g + r(pk,v ), h + b(pk,v ))-walk dari titik vk ke setiap titik vj . Walk tersebut berawal dari vk menuju v melalui (r(pk,v ), b(pk,v ))-path dan kemudian menuju vj melalui suatu (g, h)-walk dari v ke vj . Oleh karena itu diperoleh expD(2) (vk ) ≤ expD(2) (v) + d(vk , v)

Proposisi 2.7.2 berikut diberikan untuk menentukan batas atas eksponen titik digraph dwiwarna primitif yang memuat dua cycle.

Proposisi 2.7.2 Andaikan D(2) adalah digraph dwiwarna yang terdiri atas cycle γ1 dan γ2 . Misalkan vk adalah titik di D(2) yang terdapat pada cycle γ1 dan cycle γ2 . Jika untuk setiap i = 1, 2, ..., n dan sembarang bilangan bulat positif g dan h, terdapat path pk,i dari vk ke vi sehingga sistem persamaan     r(pk,i ) g =  Mx +  b(pk,i ) h

(8)

punya solusi bilangan bulat tak negatif, maka expD(2) (vk ) ≤ g + h. Bukti. Misalkan bahwa solusi dari sistem persamaan (8) adalah x = (x1 , x2)T . Karena D(2) adalah primitif, maka matriks cycle M adalah invertible, sehingga x1 dan x2 tidak dapat nol kedua-duanya. Karena x1 , x2 6= 0 dan kedua cycle γ1 dan γ2 memuat titik vk , maka terdapat tiga kemungkinan berikut.

Jika x1 > 0 dan x2 > 0, maka walk dari titik vk ke titik vi akan bergerak sebanyak x1 kali mengelilingi cycle γ1 dan bergerak sebanyak x2 kali mengelilingi cycle γ2 dan kembali lagi ke titik vk , kemudian terus bergerak menuju titik vi di sepanjang path pk,i adalah sebuah (g, h)-walk dari vk ke vi. Jika x1 = 0 dan x2 > 0, maka Universitas Sumatera Utara

29 walk dari titik vk ke titik vi akan bergerak sebanyak x2 kali mengelilingi cycle γ2 dan kembali lagi ke titik vk , kemudian terus bergerak menuju titik vi di sepanjang path pk,i adalah sebuah (g, h)-walk dari vk ke vi . Jika x1 > 0 dan x2 = 0, maka walk dari titik vk ke titik vi akan bergerak sebanyak x1 kali mengelilingi cycle γ1 dan kembali lagi ke titik vk , kemudian terus bergerak menuju titik vi di sepanjang path pk,i adalah sebuah (g, h)-walk dari vk ke vi. Dengan demikian, untuk setiap titik vi , i = 1, 2, ..., n terdapat sebuah (g, h)-walk dari vk ke vi , sehingga expD(2) (vk ) ≤ g + h


BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF

Recommend Documents