T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
T¨ ort´enelmi m´erf¨ oldk¨ ovek. 1 1550-1050 k. A legkor´ abbi ´allamalakulat a Hoang ho (V¨ or¨ os foly´ o) v¨ olgy´eben, a San-Jin ´allam. Els˝ o ´ır´asos eml´ekek, bronzkori kult´ ura.
´ ´ ja. Az Okori K´ına Algebra
2
L´etrej¨ onnek a nagy vall´asfiloz´ ofiai iskol´ak: taoizmus (VI. sz. Lao-ce), konfucianizmus (Konfuciusz, vagy Kung-ce megh. 479).
3
220-209 k. Csing Si Huang-ti legy˝ ozi ´es egyes´ıti a harcol´ o ” kir´alys´agokat”, cs´asz´ark´ent megalap´ıtja a K´ınai Birodalmat, Csin dinasztia, 221-206. Kr.e. 206-i.sz. 8. Az els˝ o, a korai Han-dinasztia.
Klukovits Lajos TTIK Bolyai Int´ ezet
4
1
2013. febru´ar 20.
2 3 4
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
1 / 51
Az els˝ o ismert matematikai m˝ u.
Folytat´ odik a b¨ urokratikus ´allamrend ki´ep´ıt´ese, szervezett hivatalnokk´epz´es, terjedni kezd a konfucianizmus, k´es˝ obb ´allamvall´ass´a v´alik, els˝ o kapcsolat az indiai ´es a perzsa kult´ ur´aval, a Nagy Fal” ´ep´ıt´ese a birodalom hat´ar´an. ”
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
2 / 51
Az els˝ o ismert matematikai m˝ u.
A Kilenc K¨onyv”. ” Az egyes k¨ onyvek t´emak¨ ore: I. Ter¨ uletsz´am´ıt´as, sz´amol´as t¨ ortekkel.
˝ ve ´szete Kilenc Ko ¨ nyvben Az Aritmetika Mu 1
2
El˝osz¨or az Kr.e. 179-k¨or¨ ul (korai Han dinasztia) ´all´ıtott´ak ¨ ossze az I. ´evezred k´ınai matematik´aja ¨ osszefoglal´asak´ent. A legr´egebbi f¨onnmaradt p´eld´any (egy szerkesztett v´altozat) szerz˝ oje a III. sz´azad h´ıres geom´etere Liu Huj. 1
2
A matematikai ismeretek enciklop´edi´aja az ´allamszervezet hivatalnokainak szolg´alat´aban. A c´elszem´elyek: f¨ oldm´er˝ok ´es ´ep´ıt´eszek, p´enz¨ ugyi hivatalnokok ´es keresked˝ ok, gazd´alkod´ ok ´es k´ezm˝ uvesek.
II. A k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o szemes term´enyek k¨ olcs¨ onviszonya (pl. tiszt´ıtatlan k¨ oles, durv´an f¨ oldolgozott k¨ oles, tiszt´ıtott k¨ oles, ..., fejedelemnek val´ o k¨ oles). Line´aris hat´arozatlan egyenletek, egyenletrendszerek. III. Ar´anyos oszt´asok (pl. 3 szarvas h´ us´anak f¨ oloszt´asa 5 k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o rang´ u hivatalnok k¨ oz¨ ott 5 : 4 : 3 : 2 : 1 ar´anyban.) IV. Sao kang. Geometriai probl´em´ak (pl, t´eglalap egy oldal´anak meghat´aroz´asa a ter¨ uletb˝ ol ´es a m´asik oldalb´ ol, k¨ or-, ill. g¨ omb ´atm´er˝ oj´enek meghat´aroz´asa a ter¨ uletb˝ ol ill. t´erfogatb´ ol). V. A munk´ak ´ert´ekel´ese: k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o falak, csatorn´ak, g´atak stb. (bonyolult alakzatok is) ´ep´ıt´es´ehez sz¨ uks´eges munk´asok sz´am´anak meghat´aroz´asa.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
3 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
4 / 51
Az els˝ o ismert matematikai m˝ u.
Aritmetika.
A Kilenc K¨onyv”. ”
A k´ınai sz´am´ır´as. Tizes alap´ u ´es bizonyos helyi´ert´ek-szer˝ u jegyeket hordoz. A sz´amjegyeket p´alcik´akb´ ol (sz´amol´ op´alc´ak) rakt´ak f¨ ugg˝ olegesen vonalazott t´abl´ara. F¨ ontr˝ ol lefel´e ´ırtak. A sz´amjegyek.
Az egyes k¨onyvek t´emak¨ore: VI. Ar´anyos eloszt´as, benne v´eges sorok ¨ osszegz´ese.
egy, sz´az, . . . , 102k ,
VII. T¨obblet ´es hi´any.
kett˝ o, k´etsz´az, . . . , 2 · 102k ,
VIII. Fang-cseng, line´aris egyenletrendszerekre vezet˝ o probl´em´ak.
h´arom, . . . , 3 · 102k ,
IX. Kou-kuba, der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨ ogekkel kapcsolatos feladatok.
n´egy, . . . , 4 · 102k , ot, . . . , 5 · 102k , ¨ hat, . . . , 6 · 102k , h´et, . . . , 7 · 102k , nyolc, . . . , 8 · 102k , kilenc, . . . , 9 · 102k ,
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
5 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika.
2013. febru´ ar 20.
6 / 51
Aritmetika.
A k´ınai sz´am´ır´as.
A k´ınai sz´am´ır´as.
A sz´amjegyek.
A sz´amjegyek. ´ aban: Az egyesek ´allnak, a tizesek fekszenek, a sz´azasok ´allnak ´es az Altal´ ” ezresek ism´et fekszenek...”
t´ız, ezer, . . . , 102k+1 , h´ usz, k´etezer, . . . , 2 · 102k+1 , harminc, . . . , 3 · 102k+1 , negyven, . . . , 4 · 102k+1 , ¨otven, . . . , 5 · 102k+1 , hatvan, . . . , 6 · 102k+1 , hetven, . . . , 7 · 102k+1 , nyolcvan, . . . , 8 · 102k+1 , kilencven, . . . , 9 · 102k+1 ,
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
K´ına
Egy p´elda. A jelsorozat a 6728 sz´amot reprezent´alja.
2013. febru´ ar 20.
7 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
8 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
II. K¨onyv: hat´arozatlan egyenletrendszerek.
II. K¨onyv: hat´arozatlan egyenletrendszerek.
38. Probl´ ema. 576 p´enzt fizett¨ unk 78 bambuszr´ ud´ert. Mennyit vett¨ unk a nagy- ´es a kis r´ udb´ol, ´es mennyit fizett¨ unk az egyes r´ udfajt´ak´ert?
A II/38. megold´asa (folytat´as). 1
y = 78 − x-et helyettes´ıtve a m´asodik egyenletbe (p − q)x + 78q = 576.
Az eredm´eny. 48 nagy rudat ´es 30 kis rudat vett¨ unk, az ´arak 8 ´es 7 p´enz voltak.
2
Mindig f¨ olt´etelezt´ek, hogy p, q eg´eszek, tov´abb´a p − q = 1 minden hasonl´ o feladatban. ´Igy a megoldand´ o egyenlet:
A megold´as. Mai szimbolik´aval, de k¨ovetve az eredeti sz¨ oveges megold´ast.
x + 78q = 576 3
Megoldand´o az x + y = 78
Vil´agos, hogy x < 78, ´ıgy egyetlen (pozit´ıv eg´esz) megold´as ad´ odik: q ´eppen az 576 : 78 oszt´as h´anyadosa ´es x a marad´ek: 576 = 78 · 7 + 30, azaz
px + qy = 576
q=7 x = 30
egyenletrendszer, ahol x, y a rudak sz´ama, p, q, p > q az ´arak. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
9 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
10 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
II. K¨onyv: hat´arozatlan egyenletrendszerek.
VII. K¨onyv: A t¨obblet ´es hi´any” m´odszere. ” VII/1. Probl´ ema. Emberek egy csoportja k¨ oz¨ osen akar megv´as´arolni egy t´argyat. Ha mindegyik¨ uk 8 p´enzt fizet, akkor 3 p´enz a t¨ obblet”, m´ıg ha 7 p´enzt ” fizetnek, akkor akkor 4 p´enz a hi´any”. H´any ember akar v´as´arolni, ´es ” mennyi a t´argy ´ara?
´ aban a 3. vagy a 4. probl´ema ut´an adt´ak csak meg a megold´asi Altal´ elj´ar´ast. El˝otte csak az eredm´enyt k¨ oz¨ olt´ek.
A megold´as. 7 ember v´as´arol ´es 53 p´enz a t´argy ´ara. A sz´amol´as. Az emberek sz´ama: (3 + 4) : (8 − 7) = 7 Az ´ar az els˝ o szab´aly szerint: (8 · 4 + 7 · 3) : (8 − 7) = 53 Az ´ar a m´asodik szerint: 7 · 8 − 11 = 7 · 7 + 4 = 53.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
11 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
12 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
VII. K¨onyv: A t¨obblet ´es hi´any” m´odszere. ”
VII. K¨onyv: A t¨obblet ´es hi´any” m´odszere. ”
VII/2. Probl´ ema.
VII/3. Probl´ ema.
Emberek egy csoportja k¨oz¨osen akar megv´as´arolni egy ty´ ukot. Ha mindegyik¨ uk 9 p´enzt fizet, akkor 11 p´enz a t¨ obblet”, m´ıg ha 6 p´enzt ” fizetnek, akkor akkor 16 p´enz a hi´any”. H´any ember akar v´as´arolni, ´es ” mennyi a ty´ uk ´ara?
Emberek egy csoportja k¨ oz¨ osen akar megv´as´arolni egy Chin-k¨ ovet”. Ha ” mindegyik¨ uk 12 p´enzt fizet, akkor 4 p´enz a t¨ obblet”, m´ıg ha 13 p´enzt ” fizetnek, akkor akkor 3 p´enz a hi´any”. H´any ember akar v´as´arolni, ´es ” mennyi a k˝ o ´ara?
A megold´as. 9 ember v´as´arol ´es 70 p´enz a ty´ uk ´ara.
A megold´as. 42 ember v´as´arol ´es 17 p´enz a Chin-k˝ o” ´ara. ”
A sz´amol´as. Az emberek sz´ama: (11 + 16) : (9 − 6) = 9
A sz´amol´as.
Az ´ar az els˝o szab´aly szerint: (9 · 16 + 6 · 11) : (9 − 6) = 70
Az ´ar az els˝ o szab´aly szerint:
Az ´ar a m´asodik szerint: 9 · 9 − 11 = 9 · 6 + 16 = 70
Az ´ar a m´asodik szerint: 42 ·
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
1 2 1 2
Az emberek sz´ama: (4 + 3) :
K´ına
2013. febru´ ar 20.
13 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
1 2
−
1 3
·3+
= 42 1 3 ·4 :
− 4 = 41 ·
1 3
1 2
−
1 3
= 17
+ 3 = 17.
K´ına
2013. febru´ ar 20.
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
VII. K¨onyv: A t¨obblet ´es hi´any” m´odszere. ”
VII. K¨onyv: A t¨obblet ´es hi´any” m´odszere. ”
VII/4. Probl´ ema.
A megold´as elve: az els˝ o szab´aly. A t¨ obblet ´es a hi´any egy¨ utt adj´ak a megv´as´arolt dolgot.
Emberek k¨oz¨osen v´as´aroltak egy marh´at. Ha minden csal´ad annyi p´enzt adott, amennyi 190 p´enzb˝ol 7 csal´adra jutott, akkor a hi´any 330 p´enz. Ha minden csal´ad mindegyike annyit adott, amennyi 9 csal´adra 270 p´enzb˝ ol jutott, akkor 30 p´enz a t¨obblet. Mennyi a marha ´ara, ´es h´any csal´ad v´as´arolt?
Az ´ar az els˝o szab´aly szerint: 190 270 270 7 · 30 + 9 · 330 : 9 −
270 9 190 7
−
190 7
= 126.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
190 7
Szorozd keresztbe az ¨ osszegeket. Add ¨ ossze, megkapod az osztand´ ot.
Fektesd le a beadott ¨ osszegeket, ´es vond ki a nagyobb´ ol a kisebbet, ez a k¨ ul¨ onbs´eg.
= 3750.
Az ´ar a m´asodik szerint: 126 · 30 − 30 = 126 ·
Fektesd le [a sz´amol´ ot´abl´ara] a beadott ¨ osszegeket, tedd al´ajuk a t¨ obbletet ´es a hi´anyt.
Add ¨ ossze a t¨ obbletet ´es a hi´anyt, ez lesz az oszt´ o. Ha t¨ orteket kapt´al hozz k¨ oz¨ os nevez˝ ore.
A sz´amol´as. A csal´adok sz´ama: (330 + 30) :
14 / 51
Ezzel [a k¨ ul¨ onbs´eggel] osszad el az oszt´ ot ´es az osztand´ ot.
+ 330 = 3750.
2013. febru´ ar 20.
Megkapod az ´arat ´es az emberek sz´am´at. 15 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
16 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
VII. K¨onyv: A t¨obblet ´es hi´any” m´odszere. ”
VII. K¨onyv: A t¨obblet ´es hi´any” m´odszere. ”
A megold´as elve: a m´asodik szab´aly. Add ¨ossze a t¨obbletet ´es a hi´anyt, ez az osztand´ o.
Elemz´es mai jel¨ ol´esekkel 1. Egy
A beadott ¨osszegekn´el vond ki a nagyobb´ ol a kisebbet, a k¨ ul¨ onbs´eg az oszt´o.
a1 x − f1 = y
V´egezd el az oszt´ast.
a2 x + f2 = y
Megkapod az emberek sz´am´at. Ezzel szorozd meg az egyik kiadott ¨ osszeget, ´es vedd el a t¨ obbletet, vagy add hozz´a a hi´anyt.
a1 , a2 a beadott ¨ osszegek, f1 , f2 a t¨ obblet ´es a hi´any.
Megkapod a t´argy ´ar´at.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
alak´ u egyenletrendszert kell megoldani, ahol
K´ına
2013. febru´ ar 20.
17 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
VII. K¨onyv: A t¨obblet ´es hi´any” m´odszere. ”
Az els˝o szab´aly t´ablak´epe (mai jel¨ ol´esekkel).
Mit rejt e sz´amol´as? Az egyenletrendszer
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
18 / 51
2013. febru´ ar 20.
20 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
VII. K¨onyv: A t¨obblet ´es hi´any” m´odszere. ”
a1 f1 a1 f2 + a2 f1 f1 + f2 a1 − a2 (a1 f2 + a2 f1 ) : (a1 − a2 ) = y (f1 + f2 ) : (a1 − a2 ) = x
2013. febru´ ar 20.
a2 f2
(a1 > a2 ) (f1 a t¨ obblet) osztand´ o oszt´ o k¨ ul¨ onbs´eg a t´argy ´ara az emberek sz´ama
2013. febru´ ar 20.
a1 x − f1 = y a2 x + f2 = y Az els˝ ob˝ ol kivonva a m´asodikat a1 x − a2 x = f1 + f2 f1 + f2 x= a1 − a2
19 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
VII. K¨onyv: A t¨obblet ´es hi´any” m´odszere. ”
VII. K¨onyv: A t¨obblet ´es hi´any” m´odszere. ” Az els˝ o szab´aly m´ask´eppen. Kifejezve mindk´et egyenletb˝ ol x-et kapjuk, hogy
Mit rejt e sz´amol´as? Az egyenleteket f2 , ill. f1 -gyel szorozva majd ¨ osszeadva
y + f1 y − f2 = , a1 a2
(a1 f2 + a2 f1 )x = (f1 + f2 )y a1 f2 + a2 f1 f1 + f2 y= · f1 + f2 a1 − a2 a1 f2 + a2 f1 y= a1 − a2
amib˝ ol k¨ oz¨ os nevez˝ ore hoz´as ut´an a1 f2 + a2 f1 . a1 − a2
y=
Sajnos ez nem magyar´azza meg a korabeli elj´ar´as, t´ ulzottan mai” ” ´ervel´es. Az els˝ o a val´ osz´ın˝ ubb.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
21 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
22 / 51
2013. febru´ ar 20.
24 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
VII. K¨onyv: A t¨obblet ´es hi´any” m´odszere. ”
VII. K¨onyv: A t¨obblet ´es hi´any” m´odszere. ” A m´asodik szab´aly. Az
M´asodik szab´aly t´ablak´epe (mai jel¨ ol´esekkel). f1 + f2 a1 − a2 (f1 + f2 ) : (a1 − a2 ) = x x · a1 − f1 = y (= x · a2 + f2 )
a1 x − f1 = y
osztand´ o oszt´ o az emberek sz´ama a t´argy ´ara
a2 x + f2 = y egyenletrendszerb˝ ol a1 x − f1 = a2 x + f2 , amit rendezve x=
f1 + f2 . a1 − a2
y pedig valamelyik egyenletbe helyettes´ıt´essel ad´ odik.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
23 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
VII. K¨onyv: A t¨obblet ´es hi´any” m´odszere. ”
VII. K¨onyv: Mindkett˝o t¨obblet” ” A VII./5. Probl´ ema.
Mit kell tudni a szab´alyokhoz. Ismerni kellett Azt, amit ma m´erlegelvnek” nevez¨ unk, ” vagy amit ma egyenl˝o egy¨ utthat´ ok m´ odszer´enek” nevez¨ unk, azaz itt ” kivonjuk egym´asb´ol a k´et egyenletet.
Emberek k¨ oz¨ osen v´as´aroltak aranyat. Ha mindenki beadott 400 p´enzt, akkor a t¨ obblet 3400 p´enz, m´ıg ha mindenki 300 p´enzt adott be, akkor a t¨ obblet 100 p´enz. H´anyan v´as´aroltak, ´es mennyibe ker¨ ult az arany? A v´alasz 33 ember v´as´arolt, az arany ´ara 9800 p´enz.
Val´osz´ın˝ ubbnek t˝ unik az els˝ o f¨ olt´etelez´es, b´ar... A sz´amol´as. Az emberek sz´ama: (3400 − 100) : (400 − 300) = 33.
naivit´as f¨olt´etelezni egyr´eszt, hogy ez a mezopot´amiai matematika hat´asa (t´avols´ag!) m´asr´eszt a f¨ uggetlen f¨olfedez´es”-re sincs igaz´an p´elda, vagy tal´an ” olykor ...?
Az ´ar az els˝ o szab´aly szerint: (300 · 3400 − 400 · 100) : (400 − 300) = 9800. Az ´ar a m´asodik szab´aly szerint: 33 · 400 − 3400 = 9800 = 33 · 300 − 100.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
25 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
26 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
VII. K¨onyv: Mindkett˝o hi´any.” ”
VII. K¨onyv: Mindkett˝o t¨obblet, mindkett˝o hi´any.
A VII./6. Probl´ ema.
A k¨ oz¨ os szab´alyuk 1. Mindkett˝ o t¨ obblet vagy mindkett˝ o hi´any egy¨ utt adj´ak ki a megv´as´arolt dolgot.
Emberek k¨oz¨osen v´as´arolnak egy birk´at. Ha mindenki ¨ ot p´enzt adott, akkor 45 p´enz a hi´any, m´ıg ha mindenki 7 p´enzt adott, akkor a hi´any csak 3 p´enz. H´anyan v´as´aroltak ´es mennyi a birka ´ara? A v´alasz 21 ember v´as´arolt, a birka ´ara 150 p´enz.
Fektesd le a kiadott ¨ osszegeket, ezek al´a tedd a t¨ obbleteket vagy hi´anyokat. Szozozd ˝ oket keresztbe. A kisebbet vond ki a nagyobb´ ol. Ez a k¨ ul¨ onbs´eg lesz az osztand´ o. A kisebb t¨ obbletet vagy hi´anyt vond ki a nagyobbik t¨ obbletb˝ ol vagy hi´anyb´ ol, ez lesz az oszt´ o. ha t¨ orteket kapt´al, hozz k¨ oz¨ os nevez˝ ore.
A sz´amol´as. Az emberek sz´ama: (45 − 3) : (7 − 5) = 21.
A kiadott ¨ osszegek k¨ oz¨ ul a nagyobb´ ol vond ki a kisebbet. Ez egy k¨ ul¨ onbs´eg lesz.
Az ´ar az els˝o szab´aly szerint: (7 · 45 − 5 · 3) : (7 − 5) = 150. Az ´ar a m´asodik szab´aly szerint: 21 · 5 + 45 = 21 · 7 + 3 = 150.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
27 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
28 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
VII. K¨onyv: Mindkett˝o t¨obblet, mindkett˝o hi´any.
VII. K¨onyv: Mindkett˝o t¨obblet, mindkett˝o hi´any. A k¨ oz¨ os szab´alyuk 2. (folytat´as)
A k¨oz¨os szab´alyuk 1. (folytat´as) Ezzel oszd el az oszt´ot ´es az osztand´ ot. Az elosztott osztand´o az emberek sz´ama, az elosztott oszt´ o a dolog ´ara. A k¨oz¨os szab´alyuk 2. Fektesd le a kiadott ¨oszegeket, a kisebbet vond ki a nagyobb´ ol, ez a k¨ ul¨onbs´eg lesz az oszt´o. A nagyobb t¨obbletb˝ol vagy hi´anyb´ ol vond ki a kesebbet, ez a k¨ ul¨onbs´eg lesz az osztand´o. Oszd el az osztand´ot az oszt´ oval, ez lesz az emberek sz´ama.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
29 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Ezzel szorozd meg a az egyik kiadott ¨ osszeget ´es vond ki bel˝ ole a hozz´a tartoz´ o t¨ obbletet, vagy add hozz´a a hozz´a tartoz´ o hi´anyt. Ez a dolog ´ara. Elemz´es 1. (a t´ablak´ep mai jel¨ ol´esekkel). Ha x, y az emberek sz´ama, ill. a t´argy ´ara, a1 > a2 a beadott p´enzek, ´es f1 > f2 a hozz´ajuk tartoz´ o t¨ obbletek, ill. hi´anyok, akkora megoldand´ o egyenletrendszerek: a1 x − f1 = y
a 1 x + f1 = y
a2 x − f2 = y
a 2 x + f2 = y
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
VII. K¨onyv: Mindkett˝o t¨obblet, mindkett˝o hi´any.
VII. K¨onyv: Mindkett˝o t¨obblet, mindkett˝o hi´any.
Els˝o szab´aly.
M´asodik szab´aly. a1
a2
beadott ¨ osszegek
f1
f2
t¨ obblet-t¨ obblet
a2 f1 − a1 f2 a1 − a2 (a1 f1 − a1 f2 ) : (a1 − a2 ) = y
oszand´ o oszt´ o
(f1 − f2 ) : (a1 − a2 ) = x
az emberek sz´ama
oszt´ o
f1 − x · a1 = y
az ´ar, mindkett˝ o t¨ obblet
k¨ ul¨ onbs´eg
x · a1 + f1 = y
az ´ar, mindkett˝ o hi´any
a t´argy ´ara
(f1 − f2 ) : (a1 − a2 ) = x
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
f1 − f2 a1 − a2
osztand´ o
f1 − f2
30 / 51
az emberek sz´ama
K´ına
2013. febru´ ar 20.
Az elj´ar´as igazolhat´ o, de nyitott hogyan j¨ ohettek r´a.
31 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
32 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
VIII. k¨onyv: Kett˝on´el t¨obb hat´arozatlanos egyenletrendszerek.
VIII. k¨onyv: Kett˝on´el t¨obb hat´arozatlanos egyenletrendszerek.
E k¨onyvben 3 - 5 hat´arozatlanos line´aris egyenletrendszerekre vezet˝ o probl´em´ak tal´alhat´ok.
A megold´as 1. A t¨ om¨ or v´alaszt a n´emileg r´eszletezett megold´as k¨ ovette, a megfelel˝ oen kirakott sz´amol´ ot´abla-k´epeket k¨ oz¨ olt´ek komment´ar n´elk¨ ul. Az elv meglep˝ o.
A VIII/1. Probl´ ema. 3 j´ o k´ev´eb˝ol, 2 k¨ozepes k´ev´eb˝ol ´es 1 rossz k´ev´eb˝ ol 39 tau gabon´at kapunk. 2 j´ o k´ev´eb˝ol, 3 k¨ozepes k´ev´eb˝ol ´es 1 rossz k´ev´eb˝ ol 34 tau gabon´at kapunk. 1 j´ o, 2 k¨ozepes ´es 3 rossz k´ev´eb˝ ol pedig 26 tau gabon´at. Mennyi gabon´at kapunk 1 - 1 j´o, k¨ozepes ´es rossz k´ev´eb˝ ol?
A t´abl´ak. 1 2 3 2 3 2 3 1 1 26 34 39
A v´alasz.
0 0 3 4 5 2 8 1 1 39 24 39
0 0 3 0 5 2 36 1 1 99 24 39
1 j´o k´eve 9 14 tau, 1 k¨ozepes k´eve 4 14 , 1 rossz k´eve 2 43 tau gabon´at ad. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
33 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
VIII. k¨onyv: Kett˝on´el t¨obb hat´arozatlanos egyenletrendszerek.
VIII. k¨onyv: Kett˝on´el t¨obb hat´arozatlanos egyenletrendszerek.
2013. febru´ ar 20.
34 / 51
A modern” megold´as 1. ” Ha x, y , z jel¨ oli a j´ o, a k¨ ozepes ´es a rossz k´ev´ek adta gabon´at, akkor az A megold´as 2.
3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34
99 3 =2 , 36 4 1 (24 · 36 − 99) : 5 : 36 = 4 , 4 1 (39 · 36 − 1 · 99 − 2 · 153) : 3 : 36 = 9 . 4
x + 2y + 3z = 26 egyenletrendszert kell megoldani. Ez megfelel az 1. T´ablak´epnek. 1. T´ablak´ep 1 2 3 2 3 2 3 1 1 26 34 39
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
35 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
36 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
A modern” megold´as 2. ”
A modern” megold´as 3. ”
2. t´ablak´ep.
A 3. T´ablak´ep. 0 0 3 4 5 2 8 1 1 39 24 39
0 0 3 0 5 2 36 1 1 99 24 39
Az egyenletrendszer.
Az egyenletrendszer. 3x + 2y + z = 39
3x + 2y + z = 39
5y + z = 24
5y + z = 24
4y + 8z = 39
36z = 99
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
37 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
K´ına
2013. febru´ ar 20.
38 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
A modern” megold´as 4. ”
A IX. k¨onyv. Z¨ om´eben der´eksz¨ og˝ u h´aromsz¨ ogekkel kapcsolatos sz´am´ıt´asokat tartalmaz.
A megold´as. Ezen utols´o egyenletrendszer m´ar k¨ onnyen megoldhat´ o:
Ezekben alapvet˝ o a Pithagotasz t´etel. 99 3 =2 36 4 1 (24 · 36 − 99) : 5 : 36 = 4 4 1 (39 · 36 − 1 · 99 − 2 · 153) : 3 : 36 = 9 . 4
A IX/11. Probl´ema. Van egy ajt´ o, amelynek magass´aga 6 chih-vel ´es 8 tsun-nal t¨ obb a sz´eless´eg´en´el. Az egyik sark´at´ ol az ´atellenes sarokig 1 chang a t´avols´ag. Mennyi az ajt´ o magass´aga ´es sz´eless´ege. Az eredm´eny. A sz´eless´eg: 2 chih, 8 tsun, a magass´ag: 9 chih ´es 6 tsun.
Mit rejt e sz´amol´as? B´armennyire is meglep˝o az nem m´as, mint az, amit ma Gauss-elimin´aci´o n´even ismer¨ unk ´es kiterjedten haszn´alunk.
A m´ert´ekegys´egek. 1 chang = 10 chih = 100 tsun.
Korabeli neve Feng csen. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
39 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
40 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
A IX. k¨onyv.
A IX. k¨onyv. Az eredm´eny. Az igen t¨ om¨ oren fogalmazott sz¨ oveges megold´asb´ ol az olvashat´ o ki, hogy az
A probl´ema mai jel¨ol´esekkel. Megoldand´o az
v u u1 x =t 2 v u u1 y =t 2
x − y = l = 6, 8 p 2 x + y 2 = d = 10 egyenletrendszer, ahol x, y , d rendre a magass´ag, a sz´eless´eg ´es az ´atl´ o.
d2 − 2
2 ! l l + 2 2
d2 − 2
2 ! l l − 2 2
formul´ak szerint sz´amoltak, ´es azt kapt´ak, hogy x = 9 chih ´es 6 tsun Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
41 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
y = 2 chih ´es 8 tsun.
K´ına
2013. febru´ ar 20.
42 / 51
2013. febru´ ar 20.
44 / 51
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
A IX. k¨onyv.
A IX. k¨onyv. Elemz´es 3. Az egyenlet egy lehets´eges (korabeli) megold´asa:
Elemz´es 1. K´ erd´ es, hogyan kapt´ak meg ezt a (korrekt) sz´amol´asi m´ odot. A k¨ onyv nem ad u ´tbaigaz´ıt´ast. T´ampontot adhat Jang Huj 1261-ben ´ırott, a Kilenc k¨onyv matematikai szab´alyainak r´eszletes magyar´azata ´es ” oszt´alyoz´asa” c. k´ezirata.
Kivonunk az egyenl˝ os´eg mindk´et oldal´ab´ ol 2 majd mindk´et oldalt felezve kapjuk, hogy l 2 1 y+ = 2 2
Elemz´es 2. Emelj¨ uk n´egyzetre a m´asodik egyenletet.
d2 − 2
2 !2 l . 2
Gy¨ ok¨ ot vonva mindk´e´at oldalb´ ol v u 2 ! u1 l l t 2 y= d −2 − , 2 2 2
Fejezz¨ uk ki x-et az els˝o egyenletb˝ ol ´es helyettes´ıts¨ uk a m´asodikba. Kapjuk a 2y 2 + 4
l 2 2 -et,
2 l l + 4 y = d2 2 2
m´asodfok´ u egyenletet.
v´eg¨ ul x = y + l.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
43 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
Probl´ em´ ak a ”Kilenc K¨ onyv”-b˝ ol.
A IX. k¨onyv.
A IX. k¨onyv.
Komment´ar. A megold´as tetszet˝os, elk´epzelhet˝ o, hogy ´ıgy kapt´ak a megold´ast, de figyelembe kell venni, hogy a komment´ar legal´abb ezer ´evvel k´es˝ obb sz¨ uletett, mint az eredeti k¨onyv. Ez´ert megfontoland´ o, hogy — hasonl´ oan az ´okori mezopot´amiaiakhoz — ˝ ok is ink´abb a Diophantosz ´altal osszeg-szorzat m´odszernek nevezettet k¨ ¨ ovett´ek-e.
Elemz´es 5. z+
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
45 / 51
2
l 2 + z− = d2 2
egyenletet kapjuk, amit egyszer˝ u megoldani
Elemz´es 4. Ha ezt alkalmazzuk, akkor el˝obb egy u ´j hat´arozatlant kell bevezetni, x ´es y z sz´amtani k¨ozep´et. Ekkor l l x =z+ ´es y =z− . 2 2 Ezt az eredeti m´asodik egyenlet n´egyzet´ebe (az ajt´ o ´atl´ oj´ara f¨ ol´ırva a Pithagorasz t´etelt) helyettes´ıtve a
l 2
2z 2 + 2
2 l = d2 2 v u u1 z =t 2
d2 − 2
2 ! l , 2
ami ut´an x ´es y azonnal ad´ odik. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
N´ egyzetgy¨ okvon´ as.
K´ına
2013. febru´ ar 20.
46 / 51
N´ egyzetgy¨ okvon´ as.
A IX. k¨onyv.
A IX. k¨onyv.
N´egyzetgy¨okvon´as 1. Hasonl´oan a mezopot´amiaiakhoz, e k´erd´es itt is megker¨ ulhetetlen. A m´odszert sz¨ovegesen adt´ak meg elmagyar´azva, hogy hogyan kell a p´alcik´akat rakosgatni a sz´amol´ ot´abl´an.
N´egyzetgy¨ okvon´as 2. 1. l´ ep´ es. Meghat´arozzuk a gy¨ ok nagys´agrendj´et, ami 100, ´ıgy a k¨ ovetkez˝ o l´ep´es a gy¨ ok sz´azasainak” meghat´aroz´asa lesz. ” 2. l´ ep´ es. A sz´azasok meghat´aroz´as´ahoz legyen x = 100x1 ´es x1 = p + y , ahol 0 ≤ p < 10 eg´esz, 0 ≤ y < 1. A
Ez sz´amunkra igen nehezen k¨ ovethet˝ o, ez´ert — mint m´ar t¨ o√ bbsz¨ or is tett¨ uk — mai algebrai szimbolik´aval ´ırjuk le m´ odszer¨ uket a 55.225 kisz´am´ıt´as´an kereszt¨ ul.
egyenl˝ os´egb˝ ol ad´ odik, hogy p = 2, ´ıgy x1 = 2 + y .
Vil´agos, hogy e feladat ekvivalens az
Helyettes´ıts¨ uk ezt (1)-be:
10.000x12 = 55.225
2
(1)
10.000x12 = 10.000(2 + y )2
x = 55.225
= 40.000 + 40.000y + 10.000y 2 = 55.225,
egyenlet pozit´ıv gy¨ok´enek meghat´aroz´as´aval. amib˝ ol
40.000y + 10.000y 2 = 15.225. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
47 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
(2) 2013. febru´ ar 20.
48 / 51
N´ egyzetgy¨ okvon´ as.
N´ egyzetgy¨ okvon´ as.
A IX. k¨onyv.
A IX. k¨onyv.
N´egyzetgy¨okvon´as 3. 3. l´ ep´ es. A tizesek meghat´aroz´as´ahoz legyen 10y = y1 . Ezt (2)-be helyettes´ıtve
N´egyzetgy¨ okvon´as 4. Ezt (2’)-be helyettes´ıtve
4.000y1 + 100y12 = 15.225.
(2’)
15.225 = 100(3 + z)2 + 4.000(3 + z)
Az el˝oz˝o l´ep´eshez hasonl´oan legyen y1 = q + z, ahol 0 ≤ q < 10 eg´esz ´es 0 ≤ z < 1.
= 900 + 600z + 100z 2 + 12.000 + 4.000z = 100z 2 + 4.600z + 12.900
Mivel (2’)-b˝ol (4.000 + 100q)q ≤ 15.225, kapjuk: q = 3 (hiszen ez a legnagyobb eg´esz, amelyre az el˝ obbi egyenl˝otlens´eg teljes¨ ul), ´ıgy y1 = 3 + z.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
49 / 51
N´ egyzetgy¨ okvon´ as.
A IX. k¨onyv. N´egyzetgy¨okvon´as 5. Ezt rendezve 100z 2 + 4600z = 2325.
(3)
4. l´ ep´ es. Az egyesek meghat´aroz´as´ahoz legyen 10z = z1 = r . Ezt (3)-ba helyettes´ıtve z12 + 460z1 = 2.325, amib˝ol z1 = r = 5. (Ezt v´elhet˝ oen teljes n´egyzett´e kieg´esz´ıt´essel ´es gy¨okvon´assal kaphatt´ak.) V´ egeredm´ eny: √
55.225 = 100 · 2 + 10 · 3 + 5 = 235.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
51 / 51
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K´ına
2013. febru´ ar 20.
50 / 51
