1.Euklidovský prostor 1.1) Základními geomterickými útvary jsou bod přímka a rovina. Základním geometrickým vztahem je vztah incidence, který se většinou opisuje spojeními „bod leží na přímce“, „přímka prochází bodem“, „bod leží v rovině“, „přímka leží v rovině“.Základní pojmy: bod, přímka rovina Základní vztahy: bod leží na přímce bod inciduje s přímkou přímka prochází bodem přímka inciduje s bodem bod leží v rovině bod inciduje s rovinou rovina prochází bodem rovina inciduje s bodem přímka leží v rovině přímka inciduje s rovinou (rovina prochází přímkou) rovina inciduje s přímkou Axiomy: Jsou to tvrzení o těchto pojmech a vztazích, která jsou přijata bez důkazů. Například: Axiomy incidence I 1. Dvěma různými body prochází jediná přímka. I 2. Na každé přímce leží alespoň dva body. [2;3] y = 4x − 5 I 3. Existují alespoň tři body, které neleží na jedné přímce. 3 = 4⋅2 −5 pravda 1.2)
1.3)
1.4) Projektivní geometrie představuje takovou geometrii, která zkoumá vlastnosti, které se nemění u projektivních transformací (kolineací). Model pro tuto geometrii je obvykle projektivní rovina anebo projektivní prostor. V této geometrii jsou definovány body a přímky, nikoli však úhly a vzdálenosti.
+Homogenní souřadnice umožňují reprezentovat veškeré grafické operace jako násobení matic. Rotaci a Scaling ve 2D lze reprezentovat jako násobení P maticí 2x2, Translaci však nikoli, proto se zavádí třetí, homogenní, souřadnice. v homogenních souřadnicích má souřadnice [x,y,ω] právě tehdy, když platí:
Souřadice ω se nazývá váha bodu. ω se často volí rovna 1. Při zvoleném ω jsou tedy homogenní souřadnice -‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐ 2. Zobrazení a promítání 2.1) Předpis f, který každému prvku nějaké množiny M přiřazuje nejvýše jeden prvek množiny N, nazveme zobrazením z množiny M do množiny N. Píšeme f: M-‐>N Definice zobrazení: Zobrazení je předpis, jak přiřazovat prvkům nějaké množiny jednoznačně prvky obecně jiné množiny. Příklad M= {a,b,c,d}, N={1,2,3,4} Zobrazení M-‐>N: a-‐>1, b-‐>2, c-‐>1, d-‐>3
+ Kolineární zobrazení je zobrazení, při kterém se zobrazí bod na bod a úsečka na úsečku a ne na oblouk nebo jinou křivku. Patří sem: posunutí, středová souměrnost, otáčení. Matematicky můžeme zapsat: x’1=a11x1+a12x2+v1 x’2=a21x1+a22x2+v2
+ Dělící poměr: Dělící poměr zde rozumíme číslo, které jednoznačně udává polohu bodu na přímce vzhledem ke dvěma pevně daným bodům této přímky:
+ Papova věta: Jestliže jsou A’,B’,C’,D’ rovnoběžné nebo středové průmětny čtyř navzájem různých bodů A,B,C,D přímky p na přímku p`~=p, potom (A’,B’,C’,D’)=(A,B,C,D) 2.2) Vlastnosti středové kolineace: a) Nezachováá velikost úseček a velikost úhlů. b) Nezcachovává rovnoběžnost c) Zachovává dělící dvojpoměru čtyř bodů A,B,C,D na přímce (tj. abs[(AC/BC):(AD/BD)=(A’C’/B’C’):(A’D’)/(B’D’)]) 2.3)Středová kolineace v rovině: vlastní střed,
splývající, vlastní osa kolineace
+ Středová klinelace mezi dvěma body: je zobrazena mezi body a přímkami těchto rovin s následujícími vlastnostmi: 1.Bodům A,B,C…roviy p jsou přiřazeny body A’,B’,C’,….roviny p’tak, žepřímky AA’,BB’,CC’….procházejí jedním bodem S, tzv.středem kolineace 2.Přímkám a,b,c,…roviny p jsou řiřazeny přímky a’,b’,c’,…roviny p’tak, že odpovídající si přímky a,a’,…se protínají na jediné přímce o, tzv. Ose kolineace. Osa kolineace o je průsečnice rovin p,p’. Body ležící na ose o jsou přiřazeny samy sobě, jsou tzv. Samodružné body, Budeme je označovat římskými číslicemi. 3. Incidence se zachovává, tj.leží-‐li bod A na přímce a, pak bod A’leží na přímce a’.
2.3)+Afinita mezi dvěma rovinami: nevlastní střed,
různoběžné (vlastní osa kolineace)
+Osová afinita v rovině: nevlastní střed,
splývající, vlastní osa kolineace.
∞ ∞ 2.4) Zobrazení prostoru do roviny = zobrazení projektivní roviny E 2 do projektivná roviny E 2 Střed promítání – vlastní x nevlastní Směr promítání při nevlastním středu – kolmý x kosý
+Středové promítání: Je dána rovina π a bod S nenáleží π. Zobrazení, které libovolném bodu A ~=S přiřadí průsečík A’přímky AS s rovinou π, se nazývá promítání bodu S do roviny π. Vlastnosti: Průmětem bodu je bod Průmětem přímky je přímka nebo bod Průmětem roviny je celá průmětna nebo přímka
Zachovává se incidence (náležení) Obecně se nezachová rovnoběžnost, střed úsečky, délka úsečky, velikost úhlu, a tedy ani kolmost +Rovnoběžné promítání: +Střed promítání v nekonečnu +Princip kótovaného promítání, Mohgeovy projekce, axonometrie a kosoúhlého promítání +Směr paprsku je kolmý nebo kosý k promítací rovině
Rovnoběžné promítání – vlastnosti: +Rovnoběžnými paprsky zobrazíme body prostoru do roviny +Průmětem bodu je bod, průmětem přímky je přímka nebo bod +Průmětem rovnoběžek, které nejsou promítací, jsou rovnoběžky +Nezachovává obecně délky úseček Příklady promítání: +Kótované promítání – kolmé promítání na jednu průmětnu +MP-‐ kolmé promítání na dvě průmětny k sobě kolmé +Axonometrie – Kolmé promítání na jednu průmětnu a tři pomocné průmětny +Kosoúhlé promítání – kosé promítání je jednu průmět + Pohlekova věta: Každé tři úsečky v rovině, které mají společný jeden krajní bod, a která neleží v jedné přímce, jsou rovnoběžným průmětem tří vzájemně kolmých a stejně dlouhých úseček, které mají společný jeden krajní bod. -‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐ 3.Křivky 3.1) TOPOLOGICKÁ DIMENZE Jedná se o nejznámější druh dimenze. Bod má topologickou dimenzi 0, přímka 1, rovina 2 atd. To že má přímka nebo křivka dimenzi 1 ale neznamená, že je zobrazována v jednorozměrném prostoru. Dimenze přímky nám říká, že polohu bodu na přímce přesně určuje jeden reálný parametr. Topologická dimenze určuje minimální počet parametrů potřebných k přesnému určení polohy v daném prostoru. Říkáme, že dva prostory mají stejnou topo-‐ logickou dimenzi, existuje-‐li mezi nimi vzájemně jednoznačné zobrazení. Pojem křivky je poměrně složitý. Přesná definice se zavádí v diferenciální geometrii a potřebovali bychom k ní řadu matematických pojmů, které v současné době nemáme k dispozici. Pro naše účely bude dostačující, budeme-‐li křivku chápat intuitivně jako dráhu pohybujícího se bodu. Dalšími důležitými pojmy jsou pojmy tečna a sečna křivky a dále její asymptota. Tečnou křivky v daném boděrozumíme přímku, která prochází tímto bodem a jejíž směrový vektor je dán derivacemi definičních funkcí v tomto bodě. Sečnou křivky rozumíme přímku, která prochází alespoň jedním jejím bodem a není její tečnou. Asymptotou křivky rozumíme tečnu v jejím nevlastním bodě. 3.2) -‐ Křivka je dráha (trajekotorie) pohybujícího se bodu. Klasifikace křivek: 1. a) rovinná křivka –všechny její body leží v jedné rovině (např. elipsa) b) prostorová křivka – její body neleží v jedné rovině (např. šroubovice) 2. a) analitická křivka – jsou známy funkce reálného parametru vyjádřující souřadnice bodů, které na dané křivce leží. b) grafická křivka – nelze ji analyicky popsat
3.3) +Tečnou křivky v daném boděrozumíme přímku, která prochází tímto bodem a jejíž směrový vektor je dán derivacemi definičních funkcí v tomto bodě. +Sečnou křivky rozumíme přímku, která prochází alespoň jedním jejím bodem a není její tečnou. +Tečna má s křivkou společné dva nekonečně blízké body T=B. Vlastní tečna v nevlastním bodě křivky se nazývá asymptota (8.2).
+Kružnici, která prochází daným bodem regulární kuželosečky a má s touto křivkou styk nejméně druhého řádu, budeme nazývat oskulační kružnice (někdy také kružnice křivosti). Poloměr oskulační kružnice se nazývá poloměr křivosti. Střed oskulační kružnice, tzv. střed křivosti, leží na normále kuželosečky v daném bodě.
3.4) NURBS je matematický model běžně používaný v počítačové grafice pro generování a reprezentování křivek a ploch, které nabízejí velkou flexibilitu a přesnost při manipulaci jak s analytickými tak s volnými tvary. Zvýšení stupně křivky: Křivka NURBS určitého stupně může být vždy vyjádřena jinou křivkou NURBS vyššího stupně. Toto je často používáno při kombinování oddělených NURBS křivek, např. při tvorbě NURBS povrchu interpolací mezi sadou NURBS křivek nebo při sjednocování sousedních křivek. Při tomto procesu by měly být křivky různých stupňů sjednoceny na stejný stupeň, obvykle na nejvyšší stupeň jedné ze sady křivek. -‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐ 5. Kinematika geometrie v rovině 5.1 – Kinematická geometrie v rovině se zabývá pohybem rovinných geometrických útvarů (bodů, přímek, rovinných křivek atd.), které při pohybu nemění svůj tvar a vzájemnou polohu. Takovou množinu všech geometrických útvarů v rovině, která je jako celek podrobena pohybu, nazveme neproměnná rovinná soustava
A
Každý bod soustavy opisuje při pohybu křivku nazývanou trajektorie bodu. Trajektroie bodu A se značí T V každém okamžiku pohybu procházejí normály k trajektoriím pevným bodem (může být nevlastní). Tento pevný bod se nazývá okamžitý střed otáčení. Polodie: Pevnou polodii p tvoří všechny okamžité středy otáčení neproměnné rovinné soustavy π. Hybnou polodii h tvoří všechny body neproměnné rovinné soustavy π, které se při jejím pohybu stanou okamžitým středem otáčení Vratný pohyb je ten, který vznikne z daného pohybu zám_nou polodií. 5.2 – Ojniční pohyb: je zadán tzv. Kloubovým čtyřúhelníkem. Kloubový čtyřúhelník ABCD má body A,B pevné, body C, D opisují kruhové trajektorie se středy v bodech B, A. Strana AB se nazývá rám, strana CD ojnice, strany AD, BC jsou pak buď kliky nebo vahadla.
Wattův přímovod je mechanismus sloužící např. k příčnému vedení zadní tuhé nápravy, ale má samozřejmě i jiná využití. Jeho konstrukce sice pochází z doby parních strojů, uplatnění však nachází i v dnešní době. Účel celého mechanismu je umožnit rovné přímé vedení s možností přenosu bočních sil. Tečna křivky je určena bodem dotyku X a tečným vektorem o souřadnicích (dx/dt, dy/dt). Normála křivky je kolmice k tečně v bodě X. 5.3-‐
-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐ 6. Mongeovo promítání 6.1 -‐ Je to nejjednodušší a v konstruktivní geometrii také nejčastěji používané zobrazení. Promítání vzniká abstrakcí procesu vidění. Dále se budeme věnovat základům Mongeova promítání. Mongeovo promítání je pravoúhlé promítání na dvě navzájem kolmé průmětny – půdorysnu a nárysnu. Je to vzájemně jednoznačné zobrazení bodů trojrozměrného prostoru na uspořádané dvojice bodů roviny (tzv. sdružené průměty bodu). Ve většině CAD systémů (i v systému DESIGN CAD) máme k dispozici ještě třetí (pomocnou) průmětnu – bokorysnu. 6.2 – Polohové úlohy: týkají se vzájemné polohy dvou bodů, přímek a rovin: 1) Daným bodem vést k dané přímce rovnoběžnou přímku. 2) Daným bodem vést k dané rovině rovnoběžnou rovinu. 3) Sestrojit průsečnici daných dvou rovin 4) Sestrojit průsečík dané přímky s danou rovinou
6.3 – Metrické úlohy: Zabývají se metrickými vztahy bodů, přímek a rovin, např. Vzdáleností dvou bodů, velikosti úhlů apod. 1) Daným bodem vést k dané rovině kolmou přímku. 2) Daným bodem vést k dané přímce kolmou rovinu. 3) Planimetrická úloha v promítací rovině – sklápění promítací roviny 4) Planimetrická úloha v promítací rovině – otáčení obecné roviny -‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐ 7. Pravoúhlá aonometrie 7.1 -‐ Pravoúhlá axonometrie je kolmé promítání na dvě průmětny, které jsou různoběžné a nejsou navzájem kolmé. Jednou z nich je axonometrická průmětna, druhou půdorysna. Zobrazovaný útvar je tak opět určen dvěma peůměty: axonometrickýnm průmětem a půdorysem. Kromě těchto dvou průměten se používají obvykle i dvě průmětny pomocné – nárysna a bokorysna. Půdorysna, nárysna a bokorysna jsou tři navzájem kolmé roviny. 7.2 -‐ základními polohovými úlohami jsou: 1. Daným bodem sestrojit rovnoběžku k dané přímce 2. Daným bodem sestrojit rovnoběžnou rovinu k dané rovině 3. Sestrojení průsečnice dvou rovin 4. Sestrojení průsečíku dané přímky s danou rovinou. 7.3 -‐ Základními metrickými úlohami jsou: 1. Daným bodem vést kolmici k dané rovině 2. Daným bodem vést rovinu kolmou k dané rovině 3. Určení („skutečné“) velikosti úsečky dané jejími průměty 4. Konstrukce průmětů planimetrického útvaru, který leží v dané rovině 7.4 – Zářezova metoda: Je to metoda která převádí obrazy Mongeova promítání do obrazu axonometrického. Tato metoda je vhodná při sestrojování průměten strojních součástek, jestliže známe jejich půdorys, nárys, případně bokorys. Je založena na principu otáčení pomocných průmětem do průmětny axonometrické. -‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐ 8. Elementární tělesa a plochy 8.1 -‐ Elementárními plochami nazýváme plochu jehlanovou, kuželovou, hranolovou, válcovou a kulovou. Z těchto ploch se odvozují elementární tělesa – jehlan, kužel, hranol, válec a koule – známá již ze základní školy. Všeobecně známé jsou i další pojmy – podstava, plášť, podstavná a pobočná hrana, površka, výška atd. Mezi elementární tělesa patří také pravidelné mnohostěny. Jsou to tělesa, kterým lze opsat kulovou plochu (tj. na této kulové ploše leží všechny vrcholy) a stěny tvoří pravidelné n-‐úhelníky. Rovina, která má s válcem resp kuželem společnou právě jednu površku se nazývá tečná rovina válce (kužele), rovina, která má s koulí právě jeden společný bod, se nazývá tečná rovina koule. -‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐ 9.Šroubovice 9.1 – Šroubovice je trajektorie (dráha) bodu při šroubovém pohybu. Šroubový pohyb je pohyb složený ze dvou rovnoběžných pohybů: 1. pohyb – otáčivý (rotační) kolem přímky o, tzv. Osy šroubového pohybu 2. pohyb – posuvný (translanční) ve směru osy o. Vzhledem k orientaci dělíme šroubové pohyby na: a) pravotočivé b) levotočivé Všechny body šroubovice mají stejnou vzdálenost od osy o. Šroubovice tedy leží na rotační válcové ploše s osou o, tzv. Nosné válcové ploše šroubovice. Výška závitu v je vzdálenost dvou sousedních bodů šroubovice na jedné tvořící přímce nosné válcové plochy. Řídicí kuželová plocha šroubovice je množina všech přímek, které procházejí libovolným vlastním bodem V rovnoběžně se všemi tečnami šroubovice. 9.2 – V pravoúhlém promítání je průmětem šroubovice: a) kružnice, jestliže je osa o šroubovice kolmá k průmětně, b) obecná sinusoida, jestliže je osa o šroubovice rovnoběžná s průmětnou c) křivka odpovídající v osové afinitě cykolidě, jestliže osa o šroubovice svírá s průmětnou ostrý úhel.
