Axiális ventilátor tervezése

1

Axiális ventilátor tervezése

Az ábrán látható ventilátor járókerék-lapátjai az 1 belépő és a 2 kilépő él között helyezkednek el. A járókerék szögsebessége , a járókerék-agy sugara ra, a lapátok csúcsának sugara (megközelítőleg azonos a ház belső sugarával) rk. Feltételezzük, hogy a járókeréken Q térfogatáram halad át. A rendelkezésre álló keresztmetszet, A = (rk2 – ra2), az átlagos axiális sebességkomponens a kontinuitásból cx = Q/A. Feltételezzük azt is, hogy a sebesség sugár irányú komponense cr = 0. A ventilátor feladata, hogy a Q térfogatáram mellett pö össznyomás növekedést hozzon létre. A járókerék hidraulikai hatásfoka h az r sugár mentén állandó átlagos érték. A pö,id = pö/h ideális össznyomás növekedés az Euler-féle turbinaegyenlet (impulzusnyomatéki tétel) értelmében a folyadék perdület növekedése révén jön létre, mialatt a folyadék a járókeréken átáramlik.

pö ,id  uc 2u  c1u   ucu  uc 2u , itt  a folyadék sűrűsége, u = r a járókerék kerületi sebessége, cu a folyadéksebesség kerületi irányú komponense. Feltételeztük, hogy a járókerékbe a folyadék perdület mentesen lép be, azaz c1u = 0. A pö össznyomás növekedés egyrészt kiszámítható, mint pö = h pö,id = h  u c2u , (energiaegyenlet) másrészt definíció szerint, mint pö = p2 +  c22 /2–( p1 +  c12 /2). A kétféle felírás egyenlősége miatt és felhasználva, hogy Pythagoras tétele szerint a kilépő sebesség négyzete c22= c2u2 + c2x2, adódik, hogy c 22u  c 22x c2  p1   1 . 2 2 Deriváljuk ezt az egyenletet a sugár szerint és vegyük figyelembe, hogy a nyomás és az abszolút sebesség belépéskor, az 1 jelű keresztmetszetben nem függ a sugártól. Ekkor azt kapjuk, hogy

 h uc 2u   h rc 2u  p 2  

h 

 2 d rc 2u   dp2  c 2u dc 2u   d  c 2x dr dr dr dr  2

  . 

2

Figyelembe véve, hogy cr = 0 és az áramkép forgásszimmetrikus - azaz a kerületi irányú deriváltak zérus értékűek - az r-irányú Euler mozgásegyenletből az adódik, hogy c 22u dp 2 .  dr r

Ezt beírva a jobb oldal első tagja helyére, majd a sűrűséggel egyszerűsítve kapjuk, hogy

h 

2  2 d rc 2u   c 2u  c 2u dc 2u  d  c 2x dr r dr dr  2

  . 

(1)

Az (1) egyenlet bal oldalán a perdület sugár menti deriváltja áll, célunk, hogy a többi kerületi sebesség komponenst tartalmazó tagot is úgy alakítsuk át, hogy az rc2u perdület szerepeljen bennük. Ezért az (1) egyenlet jobb oldalán a következő átalakítást tesszük: 2 2 2 2 c2u dc2u d  c2 x  c2u  dc2u  d  c2 x  rc2u d d  c2 x  rc2u   dr  2  .  c2u    2 c  r  r dr dr  2  r  2u dr  dr  2  r dr      

Így végül az (1) egyenlet rendezés után az alábbi alakú:

rc2u  d  d  c 22x  h    rc2u   dr  2 r 2  dr 

 .  

(2)

A (2) egyenlet egy közönséges differenciálegyenlet, ami összekapcsolja az rc2u perdület sugár menti megváltozását az axiális sebesség sugár menti eloszlásával. Tegyük fel, hogy a perdület a sugár mentén hatvány függvény szerint változik, azaz rc2u  k r n .

Ezt a (2) egyenletbe beírva, a differenciálást elvégezve kapjuk, hogy

   kr knr n2

h

n 1

2 d  c2 x   . dr  2   

Integráljuk ezt az egyenletet a sugár mentén az ra agysugártól egy tetszőleges r sugárig és tegyük fel, hogy n  1:





 hk r n  ran  k 2





c 2  c 22xa n r 2n  2  ra2n 2  2 x . 2n  1 2

Amennyiben n = 1 , akkor az integrálandó egyenlet az alábbi:

(3a)

3

k2 d  c 22x  kh   r dr  2

  . 

Ennek az egyenletnek az integrálja pedig 2 2  r  c 2 x  c 2 xa   . k h   r  r a   k ln  2  ra  2

(3b)

Sugár mentén állandó perdület esetén (n=0) azt kapjuk, hogy az egyenlet bal oldala zérus, így az axiális sebességkomponens a sugár mentén szintén állandó – és a kontinuitás miatt értéke azonos a gyűrűkersztmetszetben mért átlagsebességgel. A (3a), illetve a (3b) egyenlet még két ismeretlen paramétert tartalmaz, egyik a k konstans, másik a c2xa axiális sebességkomponens az agynál. Szükség van tehát két további algebrai egyenletre ahhoz, hogy az axiális sebességkomponenst meg tudjuk határozni. Az egyik feltétel a szállított térfogatáramból adódik. A (3) egyenletek megfelelő alakját c2x-re rendezve és a gyűrűkeresztmetszetben integrálva a teljes szállított térfogatáramot kapjuk. Az integrálás zárt alakban nem végezhető el, numerikusan kell integrálni. rk

Q   c 2 x r 2rdr .

(4)

ra

A másik feltétel abból adódik, hogy a járókerék által létesített össznyomás növekedés a járókerék teljesítményéből számítható ki, mint a hasznos teljesítmény és a fenti képlettel felírt, de adatként természetesen ismert térfogatáram hányadosa: rk

p ö ,id



1    rc 2 u  r   Q ra 

 c

2x

2 rdr  

.

(5)

kr n Az integrálban az első szögletes zárójeles kifejezés az r sugáron elhelyezkedő lapátmetszet által létesített össznyomás növekedés, a második zárójelben álló érték az r sugarú elemi körgyűrű térfogatárama, azaz az integrandus az r sugárhoz tartozó elemi teljesítmény. A (3a) vagy (3b), (4) és (5) egyenletet az előírt Q térfogatáram és pö,id ideális össznyomás növekedés, továbbá a felvett n kitevő esetén iterációval megoldva megkapjuk a c2x(r) és a c2u(r) sebességeloszlást a járókerék után. Ezzel ismerjük a járókerékre érkező és az onnan távozó folyadék abszolút sebességének sugár menti eloszlását. Kivonva ebből az u = r kerületi sebességet, a relatív sebesség is számítható a járókerék előtt, illetve a járókerék után. A járókerék lapátok tetszőleges r sugarú hengermetszeteiben a lapátok aerodinamikai profiljait úgy kell beállítani, hogy azok illeszkedjenek a relatív sebesség térhez. A sebességi háromszögek alakja a lapát r sugarú metszetében az alábbi ábrán látható:

4

A w1 és w2 relatív sebességvektor vektori eredője a w megfúvási sebesség. Az aerodinamikai lapátprofilt úgy kell elhelyezni, hogy a profil vázvonalának húrja párhuzamos legyen a megfúvási sebességgel. A w megfúvási sebesség és az u kerületi sebesség hegyes szöget zár be, ezt jelöljük  = h-val, hiszen ugyanez a vázvonal húrjának szöge is. Az ívelt vázvonal belépéskor w1, kilépéskor w2 irányú, ezek a vektorok 1, illetve 2 szöget zárnak be az u kerületi sebességgel. Az ábrából látszik, hogy:

 u  cx

 1  ar ctg 

  

 u  cu  c2 x

 2  ar ctg 

  . 

Bár valójában belépéskor a sebesség axiális komponense a sugár mentén állandó, ezt az értéket a fenti képletben cx jelöli, kilépéskor a c2x a sugár függvénye, célszerű lehet ezek átlagértékét tekinteni a lapátmetszet jellemző axiális sebességkomponensének, ami tehát szintén függ a sugártól és amit felülvonással jelölünk: c x r  

c x  c2 x r  . 2

 sin  1 A lapátprofil optimális cf felhajtóerő tényezőjét a c f ,opt  2  sin  2 adja.

  

2 ,75

empirikus képlet

Vezessük be az l cf /t erőtényezőt, itt l jelöli a lapátprofil húrjának hosszát és t az r-sugarú hengermetszetben a lapátprofilok osztását, t=2r/z, ahol z a lapátok száma. Az erőtényezőt az impulzus-nyomatéki tételből származtatjuk. Az r-sugáron elhelyezkedő dr magasságú és l hosszúságú, azaz ldr felületű z darab lapátprofilra ható áramlási eredetű erő forgástengelyre vett nyomatéka megváltoztatja a folyadék impulzusnyomatékát. Az elemi teljesítményből kiszámítható ez a nyomaték, a térfogatáramot az átlagos axiális sebességből számítjuk: dM  dP /   pö ,id dQ /   ucu c x 2rdr  /  .

(6)

A lapátprofilokra felhajtóerő és ellenálláserő hat, mindkettő a dinamikus nyomás és a lapátprofil felületének szorzatával arányos, azaz:

5

dF f  c f

 2

2 w ldr ;

dFe  c e

 2

2 w ldr

A két erőkomponens egymással  szöget zár be, melynek tangense nyilván ce és cf tényező hányadosa: tg = ce /cf, a siklószám reciproka. Az alábbi ábra szemlélteti a lapátprofilt a ráható erőkkel.

Az ábra alapján tehát dFu  sin    dF  sin    dF f

sin   cos   cos   sin  1  dF f , cos  cos 

behelyettesítve a felhajtó erőt és cos-val osztva írhatjuk, hogy: dFu  sin    cos   tg  c f

 2

2 w ldr  sin   w 1  ctg    tg  c f

 2

w ldr ,

itt a sebességek ábrájából sin    w  c x , amit az egyenletbe beírva és ctg helyett a tg függvényt használva, majd a kapott erőkomponenst az r sugárral és a z lapátszámmal szorozva az elemi nyomatékot kapjuk:

 tg  dM  z r c x  1  tg   

  c f w ldr . 2 

(7)

A nyomaték kétféle (6) és (7) képlet szerinti felírását egyenlővé téve és a t lapátosztás fenti definícióját is felhasználva, továbbá c x -gal, -val, r = u/-val és dr-rel egyszerűsítve:

 tg   1  tg   

 w 2r c f l  cu  cu t , 2 z 

6

ahonnan rendezés után végül az erőtényező 2c u l 1 . cf  tg  t w 1 tg  

(8)

Korábban láttuk, hogy a felhajtóerő tényező optimális értéke már számítható az empírikus képletből, így azzal osztva az l/t rács sűrűség kiszámítható, abból pedig az adott r sugáron a t lapátosztás ismeretében a lapátmetszet l hossza is kiadódik. Agyviszony megválasztása Állandó perdületre való méretezés esetén, illetve sugár mentén változó perdület esetén sugár mentén átlagolt értékekkel számolva érdekes energia minimumon alapuló agyviszony számítási eljárás adódik. Ennek előkészítésére vezessük be a szokásos nyomásszámot, mennyiségi számot.



Q 2

rk uk





2

2



cx rk  ra 



2

rk uk



cx 1   uk

2



 ö ,id 

,

pö ,id uc 2u 2uc 2u   . 2  2  2 u u u k 2 k

(9)

2 k

Itt  = ra/rk a keresett agyviszony. A sebességkomponensek tehát

cx 

uk 

u r , illetve c 2u  k k  ö ,id . 2 r 1 

(10)

2

Az az agyviszony optimális, amelyik mellett a kilépő levegő fajlagos (tömegárammal osztott) kinetikus energiája minimális. A kinetikus energia a teljes kilépő keresztmetszetben az elemi tömegárammal súlyozott energiaáram (c2/2) integráljaként számítható, azaz 

E kin

rk

r

k 2 rk c 2u  c x c    c x 2rdr   c x 2rdr [J/s], a tömegáram pedig m   c x 2rdr . 2 2 ra ra ra

2

2

Valójában nem a fajlagos távozó mozgási energia minimumát keressük, hanem a járókerék ideális statikus és össznyomás növelésének hányadosát maximáljuk. Dimenziótlan alakban felírva tehát legyen a kívánalom.

 st ,id   ö ,id  itt az emeletes törtet sebességkomponenseket is.

a

fenti

E kin m u k2

,

2 integrálokból számítjuk,

felhasználva

a

(10)

7

A (9) baloldali képletből   Q   u k r k2  . m

(11)

Hasonló módon a (9) jobb oldali képletből állítható elő az Ekin mozgási energia is. Mivel az átlagos axiális sebesség állandó, az kiemelhető az integrálból és kapjuk, hogy:   u   2  u k r k  ö ,id  2 1     k      r 2  rdr  c x 2   1  2  2     2  ra  ________ _____________ rk

E kin



c



2 x

2 c 2u

Az integrálást elvégezve:

E kin   

uk 1 

u  3 k

3

1   2

2

3



 uk   2  1  r

2 k

2

  

2 rk

 ra

1     2

rdr   u  3 k

1 

2

uk 1 

r k2

2



 u k r k  ö ,id   2  2 ö ,id

4

   

2 rk

 ra

dr  r

(12)

1 ln    

A keresett statikus nyomásszám tehát 1 ln       2 .  st ,id   ö ,id   ö ,id 2 1  2  1  2  2         2

(13)

A statikus és össznyomásszám hányadosa tehát akkor maximális, ha a (13) képletet az össznyomásszámmal osztva és a  agyviszony szerint deriválva 0 –át kapunk. A műveleteket elvégezve és a kapott egyenletet rendezve:      ö ,id

 1 1  1      opt . 2 2   opt

2

   1 2 2  2   1   opt   1   opt  ln          opt 

   

(14)

8

Axiális ventilátor fő méreteinek meghatározása A tervezés lépései ezek után: adott a  statikus nyomásnövekedés,  térfogatáram igény,  gázsűrűség Ezek ismeretében megválasztjuk a járókerék Dk = 2rk átmérőjét, amennyiben a rendelkezésre álló hely adott és például a maximális zajszintre tett megkötésből kiszámítjuk a megengedhető maximális uk kerületi sebességet. A hangteljesítmény szint   uk  1   L P  A  10 lg  Q [m 3 /s   p ö [Pa]   1    B lg   a       Itt η a ventilátor hatásfoka, uk a járókerék kerületi sebessége, a a hangsebesség a gépet körülvevő levegőben. Utóterelő nélküli axiális ventilátorok esetén A = 96.6, B = 31.6. Dk és uk segítségével kiadódik a fordulatszám, azt aszinkron n fordulatszámra kerekítve korrigáljuk Dk -t vagy uk -t. Ezután kiszámítjuk  és st,id értékét. A (13) és a (14) képlet a hiányzó további két paraméterre, a  agyviszonyra és a ö,id össznyomásszámra két megkötést jelent. Iterációval e két paraméter értéke kiszámítható. Így az agysugarat is ismerjük: ra = rk , továbbá az össznyomás növekedés pö,id = ö,id uk2/2. Következő lépés a korábban leírt módon meghatározott 1 és 2 belépő és kilépő áramlási irány alapján a  = 1 - 2 elterelési szög, vagy a közepes áramlási irány  szögének meghatározása. Ez utóbbi a sebességi háromszögekből könnyen adódik, ugyanis tg   

cx u

cu



2

cx 2c x 2c x 2    u  u  cu u  u  cu cx c 1 1   x 2 tg  1 tg  2 tg  1 tg  2

A lapátrácsot áramlástanilag tehát a  1 belépő áramlási irány és   átlagos áramlási irány, vagy a  elterelési szög jellemzi A lapátrácsot geometriailag pedig a  t lapátosztás,  l lapátprofil hossz, illetve e kettő viszonya, az l/t rácssűrűség  h húrszög,  cf0 profil-íveltségi pataméter jellemzi. Célszerű egy egységes profiltípust kiválasztani, például a NACA 65 sorozatú profilt. A profil vázvonalának egyenlete a NACA 65 típusjelű sorozatra:

y l



c f 0  x  x   x   x   1   ln  1      ln     4   l   l   l   l 

9

Differenciálással belátható, hogy a maximális íveltség (ymax/l) helye x/l = 0,5, ezt behelyettesítve

y max l



c f 0  1  1  2  ln    0 , 05516  c f 0  5 ,5  c f 0 %   6  c f 0 %  , 4   2  2  

a jobb oldalon álló ≈ 6-os szorzótényezőre utal a típusjel jelzőszámának első jegye. A második számjegy, az 5, a profil maximális íveltségének helyét adja (1/10)-ekben, ami tehát x/l = 0,5 = 5·(1/10). A NACA 65 típusjelet két számjegycsoport követi. Az első szám adja meg a cf0 felhajtóerő tényező értékének 10-szeresét. Például az egyszámjegyű 9 számjegycsoport azt jelenti, hogy cf0 = 0,9, a kétszámjegyű 12 számjegycsoport pedig azt, hogy cf0 =1,2. A második számjegycsoport jelentése a vázvonalra merőlegesen felmért vastagságeloszlás maximális vastagságértéke a profil hosszának %-ában. A vastagságeloszlást leíró képlet:

yd 

d   a1 a d 

2 3 4 x x x x x   a1  a 2    a 3    a 4    l l l  l   l  

2

A maximális vastagságú pont abszcisszája x = 0,4 l, itt a profil vastagságeloszlásának ordinátája yd = d/2, tehát a teljes vastagság d. Példa: A NACA 65 9 10 jelű profil 0 állásszöghöz tartozó felhajtóerő tényezője cf0 = 0,9, maximális vastagsága a húrhossz 10 %-a, azaz dmax = l/10. Tudjuk továbbá azt is, hogy a vázvonal maximális íveltsége 5,516 cf0 = 5,516  0,9 = 5 % és ez éppen a húr felezőpontjában van. Jelöljük ezek után az l/t sűrűség-viszonyt az angol solidity szó kezdőbetűjének megfelelően -val, azaz  = l/t. Ezt ismerjük. Ismerjük továbbá a 1 megfúvási szöget, ezzel képezzük a B paramétert, B opt 

90    1,opt

(15)

33

Az elterelés optimális értéke az l profilhosszal és a w1 megfúvási sebességgel képzett Re-szám ( Re = l w1/levegő. ) figyelembe vételével  opt 

 2  1 ,opt  25000  1   Re 

(16)

1 ,5

A cf0 felhajtóerő tényező értéke rácsmérések tapasztalatai alapján a fenti adatokkal:

 opt cf0 







 4  B  6  B opt

  2 

2 2 4  B opt  B opt 3 opt

de mindenképpen cf0  2,4

(17)

10

Végül a húrszög tapasztalati optimális értéke:

 h   1 ,opt  0 ,34  3 ,8  0 ,57 





 c f 0 2  6 ,7   1 , 4 2 (18) A megtervezett lapátszelvényt áramlástanilag ellenőrizni kell. A veszteségek oka egyrészt a súrlódás. Ez arányos a lapátfelület nagyságával, azaz a lapáthosszal, másrészt arányos a lapát menti, határrétegen kívüli sebesség négyzetével. A tervezés ezen lépésében már ismerjük a lapáthosszat és az átlagos relatív sebességet. Nem ismerjük azonban a relatív sebesség profilkontúr menti eloszlását a lapát két – szívott és nyomott – oldalán. A sebességeloszlás közelítő alakja a relatív lapáthúr hossz, x/l függvényében az alábbi ábra grafikonján látható: 2

w wmax

wszívott w1

γ/2 w2 wnyomott x/l 0

1

w max w 2  , ezt hívják Lieblein-féle diffúziós tényezőnek. A w1 w1 lapát körüli cirkuláció a lapátprofil menti sebesség vonalintegrálja. A lassulás relatív mértéke D 

l

l

 w

0

0

0

   wds   wszívottds   wnyomottds 

l

szívott

 wnyomott ds  l .

Egyrészt Zsukovszkij felhajtóerőre vonatkozó tételéből, másrészt a felhajtóerő és a felhajtóerő tényező kapcsolatából F f  w   wl  c f

azaz

w  cf  . 2



2

w2 l ,

(19)

Mivel a szívott oldalon megegyezik az integrálási út iránya a sebességével, a nyomott oldalon viszont ellentétes azzal, így a cirkuláció a két oldali sebesség különbségének integrálja a lapát vázvonala mentén. A vázvonal és annak húrja közel van egymáshoz, így közelítőleg a fenti ábra grafikonjának területe a cirkuláció. Annak átlagértéke γ, a kétoldali átlagsebesség és a szívott oldali sebesség különbsége γ/2, közelítőleg ugyanennyi a wmax maximális sebesség és a w1 belépő sebesség különbsége: wmax = w1 + γ/2. Ezt és a (19) képletet a diffúziós tényező értékében figyelembe véve

11

D 1

 2w1



c f w w 2 w2 . 1  w1 4w1 w1

A korábban a (8) képlettel definiált erőtényezőből – a Δcu = Δwu egyenlőség felhasználásával és kis δ szög esetén – jó közelítéssel 2 t wu , c f w  l amivel végül t wu w 2 . (20) D 1  l 2w1 w1 Itt már minden ismert, tehát D értéke az axiális járókerék lapátjának minden profilszelvényre kiszámítható és ellenőrizhető, hogy teljesül-e a Lieblein kritérium: D ≤ 0,6.

(21)