Část IV. Analýza časových řad. Ing. Michal Dorda, Ph.D

Část IV. – Analýza časových řad

Ing. Michal Dorda, Ph.D.

1

Analýza časových řad • Časovou řadou rozumíme posloupnost věcně a prostorově srovnatelných pozorování (dat), která jsou jednoznačně uspořádána z hlediska času ve směru minulost – přítomnost. • Časovou řadou v oblasti dopravy může být např. počet dopravních nehod v jednotlivých letech, počet registrovaných vozidel v jednotlivých letech apod. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

2

Analýza časových řad


3



4

Analýza časových řad • Časové řady lze členit podle různých kritérií: 1. 2. 3. 4.

Podle rozhodného časového hlediska. Podle periodicity, s jakou jsou údaje sledovány. Podle druhu sledovaných ukazatelů. Podle způsobu vyjádření údajů.


5

Analýza časových řad 1) Podle rozhodného časového hlediska rozlišujeme: – Časové řady intervalové (resp. časové řady intervalových ukazatelů). – Časové řady okamžikové (resp. časové řady okamžikových ukazatelů).


6

Analýza časových řad • Intervalovou časovou řadou rozumíme řadu takového ukazatele, jehož velikost závisí na délce intervalu, za který je sledován. – Pro ukazatele tohoto typu má smysl tvořit součty, ukázkou intervalové časové řady může být řada zobrazující vývoj počtu dopravních nehod v jednotlivých letech.


7

Analýza časových řad – Sledované údaje se mají vztahovat ke stejně dlouhým časovým intervalům, provádíme tzv. očištění časových řad od vlivů kalendářních variací (sledované údaje přepočítáváme na jednotkový časový interval)


8

Analýza časových řad • Údaje očištěné na kalendářní dny získáme podle vztahu: kt , (o ) yt = yt ⋅ kt

kde: yt je hodnota očišťovaného ukazatele, kt je počet kalendářních dní v daném období, kt je průměrný počet kalendářních dní v daném období. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

9

Analýza časových řad n

kt = =

∑k t =1

n

t

=

366 = 30,5 12

Měsíc Počet dní měsíce k t Počet nehod y t Očištěný počet nehod y t (0) Leden 31 18 939 18 634 Únor 29 16 137 16 972 Březen 31 17 849 17 561 Duben 30 15 724 15 986 Květen 31 17 694 17 409 Červen 30 17 914 18 213 Červenec 31 16 699 16 430 Srpen 31 17 386 17 106 Září 30 16 829 17 109 Říjen 31 19 105 18 797 Listopad 30 18 644 18 955 Prosinec 31 18 596 18 296

např. y1(0) = y1 ⋅

kt 30,5 = 18939⋅ =& 18634 k1 31


10

Analýza časových řad • Údaje očištěné na pracovní dny získáme podle vztahu: pt , (o ) yt = yt ⋅ pt

kde: yt je hodnota očišťovaného ukazatele, pt je počet pracovních dní v daném období, pt je průměrný počet pracovních dní v daném období. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

11

Analýza časových řad • Okamžikové časové řady jsou tvořeny z údajů, které se vztahují k určitému okamžiku. – Příkladem může být počet evidovaných vozidel v ČR k 31. 12. každého roku. – U těchto řad nemá smysl stanovovat součty. – Řady tohoto typu se shrnují pomocí chronologického průměru.


12

Analýza časových řad • V případě, že je délka mezi jednotlivými časovými okamžiky stejná, počítáme prostý chronologický průměr: y1 + y2 y2 + y3 y + yn y1 y + + ... + n −1 + y2 + ... + yn −1 + n 2 2 2 2 , y= = 2 n −1 n −1 kde: y1 , y2 ,..., yn−1 , yn jsou jednotlivé hodnoty

okamžikového ukazatele.


13

Analýza časových řad • V případě, že délka mezi jednotlivými časovými okamžiky není konstantní, počítáme vážený chronologický průměr: y1 + y2 y 2 + y3 yn −1 + yn ⋅ d1 + ⋅ d 2 + ... + ⋅ d n −1 2 2 2 y= , d1 + d 2 + ... + d n −1

kde:

jsou jednotlivé hodnoty okamžikového ukazatele, d1 , d 2 ,..., d n −1 jsou délky jednotlivých časových intervalů. y1 , y2 ,..., yn −1 , yn


14

Analýza časových řad Datum Počet zaměstnanců y t Délka časové mezery d t 1.1.2009 152 31 1.2.2009 164 28 1.3.2009 158 31 1.4.2009 174 30 1.5.2009 176 31 1.6.2009 171 152 + 164 164 + 158 158 + 174 174 + 176 176 + 171 ⋅ 31 + ⋅ 28 + ⋅ 31 + ⋅ 30 + ⋅ 31 2 2 2 2 2 y= =& 167 31 + 28 + 31 + 30 + 31


15

Analýza časových řad 2) Podle periodicity, s jakou jsou údaje sledovány, rozlišujeme: – Krátkodobé časové řady (periodicita je kratší než 1 rok) – zpravidla 1 měsíc. – Roční (dlouhodobé) časové řady (periodicita je roční nebo ještě delší).


16

Analýza časových řad 3) Podle druhu sledovaných ukazatelů rozlišujeme: – Časovou řadu absolutních hodnot (zpravidla časová řada očištěná od kalendářních variací). – Časovou řadu odvozených charakteristik – vznikají na základě absolutních údajů, např. časové řady součtové (např. časová řada klouzavých ročních úhrnů)


17

Analýza časových řad • Klouzavým ročním úhrnem rozumíme hodnotu intervalového ukazatele za celé roční období, které končí sledovaným měsícem.


18

Analýza časových řad Měsíc Leden Únor Březen Duben Květen Červen Červenec Srpen Září Říjen Listopad Prosinec ∑

Počet nehod 2005 2006 16 961

17 219

16 375

16 789

15 527

17 748

14 168

15 598

16 827

17 031

16 707

17 996

15 937

11 746

17 065

13 595

16 536

13 854

16 721

15 841

17 693

15 632

18 745

14 916

Rozdíl roku 2006 - 2005 258 414 2 221 1 430 204 1 289 -4 191 -3 470 -2 682 -880 -2 061 -3 829

Klouzavé roční úhrny 199 262 + 258 = 199 520 199 520 + 414 = 199 934 199 934 + 2 221 = 202 155 202 155 + 1 430 = 203 585 203 585 + 204 = 203 789 203 789 + 1 289 = 205 078 205 078 - 4 191 = 200 887 200 887 - 3 470 = 197 417 197 417 - 2 682 = 194 735 194 735 - 880 = 193 855 193 855 - 2 061 = 191 794 191 794 - 3 829 = 187 965

199 262 187 965 Ing. Michal Dorda, Ph.D.

19

Analýza časových řad 4) Podle způsobu vyjádření údajů rozlišujeme časové řady: – Naturálních ukazatelů (hodnoty příslušného ukazatele jsou vyjádřeny naturálním kritériem). – Peněžních ukazatelů (hodnoty ukazatele jsou vyjádřeny v peněžní formě).


20

Analýza časových řad • Mezi základní charakteristiky časových řad zařazujeme: 1. Diference jednotlivých řádů (zejména 1. a 2. řádu). 2. Tempa růstu (řetězové indexy). 3. Průměrné tempo růstu. 4. Průměry hodnot časové řady.


21

Analýza časových řad Mějme hodnoty sledovaného ukazatele yt pro t = 1,2,..., n . 1) Diferenci 1. řádu stanovíme dle vztahu: D1t = yt − yt −1 pro t = 2,..., n . Diferenci 2. řádu určíme podle vztahu: D 2t = D1t − D1t −1 pro t = 3,..., n .


22

Analýza časových řad 2) Tempa růstu určíme dle vztahu: yt kt = pro t = 2,..., n . yt −1

Pokud potřebujeme tempo růstu vyjádřit v procentech, potom:  yt  k = 100 ⋅  − 1 = 100 ⋅ (kt − 1) pro t = 2,..., n [%] .  yt −1  % t


23

Analýza časových řad 3) Průměrné tempo růstu se stanoví jako geometrický průměr jednotlivých temp růstu: 1 k = (k 2 ⋅ k3 ⋅ ... ⋅ k n )n −1 . Průměrné tempo růstu vyjádřené v % získáme podle vztahu: k % = 100 ⋅ (k − 1) [%]


24

Analýza časových řad 4) V případě intervalové řady očištěné od vlivu kalendářních variací stanovíme průměr všech hodnot ukazatele jako aritmetický průměr: n

y=

∑y t =1

n

t

.

V případě okamžikové řady použijeme vztahy pro výpočet chronologického průměru (viz dříve). Ing. Michal Dorda, Ph.D.

25

Analýza časových řad Měsíc

t

Leden Únor Březen Duben Květen Červen Červenec Srpen Září Říjen Listopad Prosinec ∑

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

78

Počet nehod D1 t 2006 17 219 16 789 -430 17 748 959 15 598 -2 150 17 031 1 433 17 996 965 11 746 -6 250 13 595 1 849 13 854 259 15 841 1 987 15 632 -209 14 916 -716 187 965

D2 t 1 389 -3 109 3 583 -468 -7 215 8 099 -1 590 1 728 -2 196 -507

k t [-] k t % [%]

např.

0,9750 1,0571 0,8789 1,0919 1,0567 0,6527 1,1574 1,0191 1,1434 0,9868 0,9542

D12 = y2 − y1 =

-2,50 5,71 -12,11 9,19 5,67 -34,73 15,74 1,91 14,34 -1,32 -4,58


= 16789 − 17219 = = −430 D 23 = D13 − D12 = = 959 − 959 = = 1389

26

Analýza časových řad např. y2 16789 k2 = = =& 0,98 y1 17219

 y2   16789  k = 100 ⋅  − 1 = 100 ⋅  − 1 =& −2,50%  17219   y1  % 2

k = (k 2 ⋅ k3 ⋅ ... ⋅ k12 )

1 12 −1

= (0,9750 ⋅1,0571⋅ ... ⋅ 0,9542 )

1 12 −1

=& 0,9870

k % = 100 ⋅ (0,9870 − 1) =& −1,30% Ing. Michal Dorda, Ph.D.

27

Analýza časových řad • Za základní princip modelu časové řady se používá jednorozměrný model: yt = f (t , ε t ) , kde yt je hodnota ukazatele v čase t, kde t = 1,2,..., n a εt je hodnota náhodné složky v čase t.


28

Analýza časových řad • K tomuto modelu lze přistupovat více způsoby, zpravidla se užívá klasický (formální) model, který dekomponuje časovou řadu na složku: – Trendovou (Tt). – Sezónní (St). – Cyklickou (Ct). – Náhodnou (εt).


29

Analýza časových řad • Vlastní rozklad časové řady v aditivním tvaru potom vypadá: yt = Tt + St + Ct + ε t = Yt + ε t , kde Yt se nazývá teoretická (deterministická) složka. • Trendem rozumíme hlavní tendenci dlouhodobého vývoje sledovaného ukazatele v čase – rostoucí trend, klesající trend, řada bez trendu. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

30

Analýza časových řad • Sezónní složka je pravidelně se opakující odchylka od trendové složky vyskytující se u časových řad s periodicitou menší než 1 rok. • Cyklickou složkou rozumíme kolísání okolo trendu v důsledku dlouhodobého cyklického vývoje s délkou vlny delší než 1 rok.


31

Analýza časových řad • Náhodná složka je složka, kterou nelze popsat žádnou funkcí času, jejím zdrojem jsou drobné a nepopsatelné příčiny. • Nyní nás bude zajímat popis trendové složky pomocí trendových funkcí.


32

Analýza časových řad • Nejčastěji se využívají tyto trendové funkce: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Lineární trend. Parabolický trend. Exponenciální trend. Modifikovaný (posunutý) exponenciální trend. Logistický trend. Gompertzova křivka.


33

Analýza časových řad 1) Lineární trend • Mějme hodnoty sledovaného ukazatele yt pro t = 1,2,..., n . • Skutečný průběh Yt = β 0 + β1 ⋅ t neznáme, provádíme pouze odhad tohoto trendu ve tvaru: ) yt = b0 + b1 ⋅ t . Ing. Michal Dorda, Ph.D.

34

Analýza časových řad • Pro odhad parametrů lze použít metodu nejmenších čtverců, tedy: n ) 2 n ϕ = ∑ ( yt − yt ) = ∑ ( yt − b0 − b1 ⋅ t )2 → min. t =1

t =1

• Položíme-li parciální derivací rovny nule a upravíme, dostaneme: n

n

t =1

t =1

1) ∑ yt − nb0 − b1 ∑ t = 0, n

n

n

t =1

t =1

t =1

2) ∑ t ⋅ yt − b0 ∑ t − b1 ∑ t 2 = 0. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

35

Analýza časových řad • Z první rovnice vyjádříme: n

b0 =

∑y t =1

n

n

t

− b1 ⋅

∑t t =1

n

= yt − b1 ⋅ t .

• Dosazením do druhé rovnice a algebraickými úpravami dostaneme: n

b1 =

∑t ⋅ y t =1

n

t

− yt ∑ t t =1

n

n

t =1

t =1

2 t ∑ − t ∑t

.


36

Analýza časových řad • Jelikož platí: n

yt =

∑y t =1

n

t

n

a ∑t = n ⋅t , t =1

můžeme psát: n

b1 =

∑t ⋅ y t =1

n

t

− yt ∑ t t =1

n

n

t =1

t =1

2 t ∑ − t ∑t

n

=

∑t ⋅ y t =1

n

t

− t ∑ yt t =1

n

2 2 t − n ⋅ t ∑

.

t =1


37

Analýza časových řad • Uvedené vztahy pro výpočet odhadů parametrů modelu lze zjednodušit následující úpravou. • Počátek časové proměnné, tedy t = 1 umisťujeme tam, kde máme z chronologického hlediska první pozorování. • Zaveďme si proměnnou t’ tak, aby platilo:

∑ t′ = 0. t′


38

Analýza časových řad • Pro sudý počet pozorování např. leden

únor

březen

duben

květen červen

t

1

2

3

4

5

6

t’

-3

-2

-1

1

2

3

• Pro lichý počet pozorování např. leden

únor

březen

duben

květen

t

1

2

3

4

5

t’

-2

-1

0

1

2


39

Analýza časových řad • Jelikož platí: k ′ ( ) t ∑ = 0 pro k = 1,3,5,... a t = 0 , t′

dostaneme zjednodušené vztahy pro odhad parametrů modelu ve tvaru: b0 = yt ′

a

b1

∑ t′ ⋅ y = ∑ (t ′) t′

t′

2

.

t′


40

Analýza časových řad • Př.: Byly sledovány počty prodaných automobilů v jednom roce. Stanovte rovnici lineárního trendu pro tuto časovou řadu. Dále proveďte předpověď počtu prodaných automobilů pro další dva nadcházející měsíce.


41


t'

y t'

t '∙yt' (t ')2

Leden

-6

529

-3174 36

b0

919,42

Únor

-5

621

-3105 25

b1

70,36

Březen -4

689

-2756 16

Duben

-3

692

-2076

9

Květen -2

785

-1570

4

820 898 950 1050 1158 1320 1521 11033

-820 898 1900 3150 4632 6600 9126 12805

1 1 4 9 16 25 36 182

Červen Červenec Srpen Září Říjen Listopad Prosinec ∑

-1 1 2 3 4 5 6 0

y)t ′ = 919,42 + 70,36t ′


42

Analýza časových řad Počet prodaných automobilů 1600 1400

y = 70,357x + 919,42

1200 1000 800 600 400 200 0 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0


1

2

3

4

5

6 43

Analýza časových řad • Předpověď pro první následující měsíc získáme dosazením t ′ = 7 : y)t ′ = 919,42 + 70,36 ⋅ 7 = 1411 automobilů

• Předpověď pro druhý následující měsíc získáme dosazením t ′ = 8 : y)t ′ = 919,42 + 70,36 ⋅ 8 = 1482 automobilů


44

Analýza časových řad • Př.: Na základě předchozích sčítání intenzit je známa hodnota RPDI pro předcházející období. Odhadněte rovnici lineárního trendu pro RPDI a extrapolací odhadněte předpokládanou hodnotu RPDI v příštím období.


45

Analýza časových řad Rok

t

yt

1980

1

11523

1985

2

12201

1990

3

12948

1995

4

13578

2000

5

14987

2005 2010

6 7

16012 17065

b0 = yt − b1 ⋅ t n

b1 =

∑t ⋅ y

R2 =

t =1

n

t

− yt ⋅ ∑ t t =1

n

n

t =1 n

t =1

2 t ∑ −t ⋅∑t

.

2 ˆ ( ) y − y ∑ t t t =1 n

2 ( ) y − y ∑ t t t =1


46

Analýza časových řad 2

2

2

Rok

t

yt

t ∙y t

1980

1

11523

11523

1 11228 7932471,07 6359763,45

1985

2

12201

24402

4 12167 3525542,70 3399809,16

1990

3

12948

38844

9 13106 881385,67

1995

4

13578

54312 16 14045

2000

5

14987

74935 25 14984 881385,67

2005 2010 ∑ Průměr

6 7 28 4

16012 17065

96072 36 15923 3525542,70 3869651,02 119455 49 16861 7932471,07 9121262,88 419543 140 24678798,89 25059170,86

t

ŷt

(ŷt -yp )

(y t -y p )

0,00

1203095,59 217955,59 887633,16

14044,86

b0

10289,57

b1

938,82

R Vývoj RPDI

2

0,98

yˆ t = 10289,57 + 938,82 ⋅ t

18000 17000 16000 RPDI

15000

y = 938,82x + 10290 R² = 0,9848

14000 13000 12000 11000 10000 1

2

3

4

5

6

7

t


47

Analýza časových řad • Předpověď pro první následující období (rok 2015) získáme dosazením t=8 do rovnice trendu: yˆ 8 = 10289,57 + 938,82 ⋅ 8 =& 17800 vozidel ⋅ den -1 .


48

Analýza časových řad 2) Parabolický trend • Pro odhad průběhu trendu lze psát: ) yt = b0 + b1 ⋅ t + b2 ⋅ t 2 ,

resp. po provedení transformace časové proměnné: 2 y)t ′ = b0 + b1 ⋅ t ′ + b2 ⋅ (t ′) .


49

Analýza časových řad • Aplikací metody nejmenších čtverců dostaneme: 2 2 2 ) ϕ = ∑ ( yt ′ − yt ′ ) = ∑ [yt ′ − b0 − b1 ⋅ t ′ − b2 ⋅ (t ′) ] → min . t′ t′ • Položíme-li parciální derivací rovny nule a upravíme, dostaneme: 2 ′ ′ ( ) y nb b t b t − − − ∑ t′ 0 1 ∑ 2 ∑ = 0, t′

t′

t′

∑ t ′ ⋅ yt′ − b0 ∑ t ′ − b1 ∑ (t ′) − b2 ∑ (t ′) = 0, 2

t′

t′

t′

3

t′

2 2 3 4 ′ ′ ′ ′ ( ) ( ) ( ) ( ) t ⋅ y − b t − b t − b t = 0. ∑ t′ 0∑ 1∑ 2∑ t′

t′

t′


t′

50

Analýza časových řad • Úpravami získáme: 4 2 2 ′ ′ ′ ( ) ( ) ( ) y ⋅ t − t ⋅ y ⋅ t ∑ t′ ∑ ∑ ∑ t′ b0 =

b1

t′

t′

t′

t′

 4 2 n∑ (t ′) − ∑ (t ′)  t′  t′ 

∑ t′ ⋅ y = ∑ (t ′) t′

,

2

t′

,

2

t′

n∑ (t ′) ⋅ yt ′ − ∑ yt ′ ⋅ ∑ (t ′) 2

b2 =

2

t′

t′

t′

 2 n∑ (t ′) − ∑ (t ′)  t′  t′ 

2

.

4


51

Analýza časových řad • Př.: Byly sledovány počty prodaných automobilů v jednom roce. Stanovte rovnici parabolického trendu pro tuto časovou řadu.


52

Analýza časových řad t '∙y t' (t ')2 (t ') 4 (t ')2∙y t'

b0

828,97

625 15525

b1

14,92

Březen -4 689 -2756 16

256 11024

b2

-5,69

Duben

Měsíc

t ' y t'

Leden

-6 529 -3174 36 1296 19044

Únor

-5 621 -3105 25 -3 692 -2076

9

81

6228

Květen -2 785 -1570

4

16

3140

1 1 4 9 16 25 36 182

1 1 16 81 256 625 1296 4550

820 898 3284 7164 12128 19050 26676 124981


-1 1 2 3 4 5 6 0

820 898 821 796 758 762 741 8912

-820 898 1642 2388 3032 3810 4446 2715

2 y)t ′ = 828,97 + 14,92t ′ − 5,69(t ′)


53

Analýza časových řad Počet prodaných automobilů 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

y = -5,6906x2 + 14,918x + 828,97

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0


1

2

3

4

5

6 54

Analýza časových řad • Pro posouzení kvality modelu se opět používá index determinace, který je definován stejně jako u lineárního trendu.


55

Analýza časových řad 3) Exponenciální trend • Pro odhad průběhu trendu lze psát: ) yt = b0 ⋅ b1t pro b1 > 0. • Tento model není lineární v parametrech, nelze přímo použít metodu nejmenších čtverců.


56

Analýza časových řad • Odhad parametrů modelu lze získat: a) Metodou linearizující transformace a aplikací metody nejmenších čtverců. b) Metodou linearizující transformace a aplikací vážené metody nejmenších čtverců.

• K odhadu parametrů lze použít i jiných metod než metoda nejmenších čtverců – Metoda vybraných bodů. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

57

Analýza časových řad a) Nejdříve provedeme linearizující transformaci (budeme pracovat s transformovanou proměnnou t’):

(

)

log y)t ′ = log b0 ⋅ b1t ′ , log y)t ′ = log b0 + t ′ ⋅ log b1.

Označme A = log b0 , B = log b1 , potom můžeme psát: log y)t ′ = A + t ′ ⋅ B. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

58

Analýza časových řad • Nyní lze aplikovat metodu nejmenších čtverců v logaritmickém tvaru, tedy: ϕ = ∑ (log yt ′ − log y)t ′ )2 = ∑ (log yt ′ − A − B ⋅ t ′)2 → min . t′

t′

• Známým postupem dostaneme:

∑ log yt′ − n log b0 − log b1 ⋅ ∑ t ′ = 0 ⇒ log b0 = t′

t′

∑ log y t′

n

∑ t ′ ⋅ log yt′ − log b0 ⋅ ∑ t ′ − log b1 ⋅ ∑ (t ′) = 0 ⇒ log b1 2

t′

t′

t′

t′

,

∑ t ′ ⋅ log y = ∑ (t ′) t′

2

t′


59

t′

.

Analýza časových řad • Jelikož jsme použili metodu nejmenších čtverců v logaritmické formě, je nutno přistoupit ke stanovení indexu determinace rovněž v logaritmické formě:

∑ (log yˆ n

R2 =

t =1 n

∑ (log y t =1

t

t

− log yt

)

− log yt

)

2

.

2


60

Analýza časových řad b) Odhad parametrů touto metodou nemá příliš dobré statistické vlastnosti, vhodnější je použít váženou metodu nejmenších čtverců: ϕ = ∑ wt ′ ⋅ (log yt ′ − log y)t ′ )2 = ∑ wt ′ ⋅ (log yt ′ − A − B ⋅ t ′)2 → min , t′

t′

kde wt ′ = yt2′ .


61

Analýza časových řad • Známým postupem dostaneme: 2 2 2 ′ y ⋅ log y − log b ⋅ y − log b ⋅ t ⋅ y ∑ t′ t′ t ′ = 0, 0 ∑ t′ 1 ∑ t′

t′

t′

2 2 2 ′ ′ ′ ( ) y ⋅ t ⋅ log y − log b ⋅ t ⋅ y − log b ⋅ t ⋅ y ∑ t′ t′ 0 ∑ t′ 1 ∑ t ′ = 0. 2

t′

t′


t′

62

Analýza časových řad • Řešením bychom získali vztahy pro odhad parametrů ve tvaru: 2 2 2 2 2 ′ ′ ′ ( ) y ⋅ log y ⋅ t ⋅ y − t ⋅ y ⋅ t ⋅ y ∑ t′ ∑ t′ ∑ t′ ⋅ log yt′ t′ ∑ t′ log b0 =

t′

t′

t′

,

2

 2 ∑t′ y ⋅ ∑t′ (t ′) ⋅ y −  ∑t′ t ′ ⋅ yt′  2 2 2 2 ′ ′ y ⋅ t ⋅ y ⋅ log y − y ⋅ log y ⋅ t ⋅ y ∑ t′ ∑ t′ ∑ t′ t′ t′ ∑ t′ 2

2 t′

log b1 =

t′

t′

t′

2 t′

t′

 2 ∑t′ y ⋅ ∑t′ (t ′) ⋅ y −  ∑t′ t ′ ⋅ yt′  2 t′

2

t′

2

.

2 t′


63

Analýza časových řad • Př.: Byly sledovány počty prodaných automobilů v jednom roce. Stanovte rovnici exponenciálního trendu metodou nejmenších čtverců a váženou metodou nejmenších čtverců pro tuto časovou řadu a dosažený výsledky porovnejte.


64

Analýza časových řad t '∙logy t' (t ') 2 (y t' - ŷ t' )2

Měsíc

t'

y t'

logy t'

Leden

-6

52

1.72

-10.30

36

17290.54

Únor

-5 258

2.41

-12.06

25

84.28

Březen -4 529

2.72

-10.89

16

19590.38

Duben

-3 985

2.99

-8.98

9

175173.17

Květen -2 1524

3.18

-6.37

4

3.33 3.42 3.51 3.65 3.79 3.99 4.18 38.91

-3.33 3.42 7.01 10.96 15.17 19.96 25.09 29.70

1 1 4 9 16 25 36 182


-1 1 2 3 4 5 6 0

2152 2654 3215 4502 6215 9821 15214 47121

logb 0

3,24

logb 1

0,16

b0

1748,73

488863.18

b1

1,46

904422.84 11603.65 242628.46 803718.29 2708077.41 2639502.72 2107511.80 8513042.34

lnb 1

0,38


log a x = y ⇒ ⇒ x = ay

65


t ' (t ')2

y t'

(y t' )

2

logy t'

t '∙(y t' )

2

Leden

-6 36

52

2704

1.72

-16224

Únor

-5 25

258

66564

2.41

Březen -4 16

529

279841

Duben

2

t '∙(y t' ) ∙logy t'

2

(y t' ) ∙logy t'

(y t' - ŷ t' )

97344

-27840.44

4640.07

32153.93

-332820

1664100

-802635.27

160527.05

4708.77

2.72

-1119364

4477456

-3048538.23

762134.56

4597.79

(t ') ∙(y t' )

2

2

2

-3

9

985

970225

2.99

-2910675

8732025

-8712920.00

2904306.67

111414.83

Květen -2

4

1524

2322576

3.18

-4645152

9290304

-14785448.99

7392724.49

365395.78

1 1 4 9 16 25 36 182

2152 2654 3215 4502 6215 9821 15214 47121

4631104 7043716 10336225 20268004 38626225 96452041 231465796 412465021

3.33 3.42 3.51 3.65 3.79 3.99 4.18 38.91

-4631104 7043716 20672450 60804012 154504900 482260205 1388794776 2100424720

4631104 7043716 41344900 182412036 618019600 2411301025 8332768656 11621782266

-15434739.15 24116985.68 72502023.39 222141711.30 586105242.91 1925257831.60 5808277802.43 8595589475.23

15434739.15 24116985.68 36251011.70 74047237.10 146526310.73 385051566.32 968046300.41 1660698483.93

728673.34 4266.06 193830.52 434656.05 1150923.38 220428.55 467394.42 3718443.43


-1 1 2 3 4 5 6 0


logb 0

3,26

logb 1

0,15

b0

1833,33

b1

1,41

lnb 1

0,35

66

Analýza časových řad • Metodou nejmenších čtverců jsme získali: 2 ) ϕ = ∑ ( yt ′ − yt ′ ) =& 8513042,34 . t′

• Váženou metodou nejmenších čtverců jsme získali: ϕ = ∑ ( yt ′ − y)t ′ )2 =& 3718443,43. t′

• Vidíme, že reziduální součet čtverců je v druhém případě podstatně nižší, proto bychom za odhad parametrů zvolili tyto výsledky. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

67

Analýza časových řad Počet prodaných automobilů 20000 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0

y = 1748,7e 0,3757x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0


1

2

3

4

5

6 68

Analýza časových řad 4) Modifikovaný exponenciální trend • Pro odhad průběhu trendu lze psát: ) yt = k + b0 ⋅ b1t pro b1 > 0 . • Odhad parametrů je již složitější, protože trendovou funkci nemůžeme linearizovat pro použití metody nejmenších čtverců.


69

Analýza časových řad yt

yt

k > 0, b0 < 0

k > 0, b0 < 0

0 < b1 < 1

b1 > 1 t

yt

t yt

k > 0, b0 > 0 0 < b1 < 1

k > 0, b0 > 0 b1 > 1

t Ing. Michal Dorda, Ph.D.

t 70

Analýza časových řad • Metody, které se používají pro odhad parametrů modifikované exponenciální trendové funkce, jsou: a) Metoda částečných součtů. b) Metoda dílčích průměrů. c) Metoda vybraných bodů.


71

Analýza časových řad a) Metoda částečných součtů je založena na vytvoření tří na sebe navazujících a současně disjunktních součtů S1, S2 a S3 o délce m, přičemž platí, že n=3m, kde n je počet pozorování. Platí tedy: S1 =

n−2m

∑ y ,S

t t = n − 3 m +1

2

=

n−m

∑ y ,S

t t = n − 2 m +1

3

=

n

∑y .

t = n − m +1


t

72

Analýza časových řad • Není-li počet pozorování dělitelný 3, potom se vynechává potřebný počet pozorování na začátku časové řady – pro potřeby odhadu parametrů vynecháme prvních n-3m pozorování, zbývajícím pozorováním potom přiřadíme pořadí 1 až 3m. • Nyní dosadíme do částečných součtů předpisy pro odhad modifikované exponenciální trendové funkce. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

73

Analýza časových řad S1 = S2 = S3 =

n−2 m

∑ yt =

∑ (k + b ⋅ b ) = m ⋅ k + b ⋅ ∑ b

∗

∑ (k + b ⋅ b ) = m ⋅ k + b ⋅ ∑ b

∗

n−2m

t = n −3 m +1

t = n −3 m +1

n−m

n−m

∑ yt =

t = n − 2 m +1 n

∑ yt =

t = n − m +1

0

t 1

n−2 m

0

t 1 t = n −3 m +1 n−m

t 1

0

t = n − 2 m +1

0

t 1 t = n − 2 m +1

∑ (k + b ⋅ b ) = m ⋅ k + b ⋅ ∑ b n

t = n − m +1

n

0

t 1

0

, ,

∗

t 1 t = n − m +1

.

* Je třeba si uvědomit, že tyto výrazy reprezentují součet m členů geometrické posloupnosti. Pro tento součet obecně platí: qm −1 S m = a1 ⋅ . q −1 Ing. Michal Dorda, Ph.D.

74

Analýza časových řad • Využijeme-li znalostí o součtu prvních m členů geometrické posloupnosti, dostaneme: m m b − 1 b −1 S1 = m ⋅ k + b0 ⋅ b1n −3m +1 ⋅ 1 = m ⋅ k + b0 ⋅ b1 ⋅ 1 , b1 − 1 b1 − 1 m m b − 1 b n − 2 m +1 m +1 1 1 −1 S 2 = m ⋅ k + b0 ⋅ b1 ⋅ = m ⋅ k + b0 ⋅ b1 ⋅ , b1 − 1 b1 − 1 m m 1 b − b n − m +1 2 m +1 1 1 −1 S3 = m ⋅ k + b0 ⋅ b1 ⋅ . = m ⋅ k + b0 ⋅ b1 ⋅ b1 − 1 b1 − 1


75

Analýza časových řad • Máme soustavu 3 rovnic o 3 neznámých, kterými jsou odhady parametrů modifikovaného exponenciálního trendu. • Vynásobme první rovnici (-1) a přičtěme ji k druhé rovnici. Po menších úpravách dostaneme:m m b1 − 1 m +1 b1 − 1 S 2 − S1 = b0 ⋅ ⋅ b1 − b1 = b0 ⋅ ⋅ b1 ⋅ b1m − 1 = b1 − 1 b1 − 1

(

( b =b ⋅

(

)

)

2

−1 ⋅ b1 . b1 − 1 m 1

0

)


76

Analýza časových řad • Z tohoto výrazu již můžeme vyjádřit: b0 =

b1 − 1

(

)

b1 ⋅ b − 1 m 1

2

⋅ (S 2 − S1 ).

• Nyní vynásobme druhou rovnici (-1) a přičtěme ji ke třetí rovnici. Po menších úpravách dostaneme:

b1m − 1 2 m +1 m +1 b1m − 1 m +1 m S3 − S 2 = b0 ⋅ ⋅ b1 − b1 = b0 ⋅ ⋅ b1 ⋅ b1 − 1 = b1 − 1 b1 − 1

(

= b0 ⋅

(b

(

)

)

2

−1 ⋅ b1m +1 . b1 − 1 m 1

)


77

Analýza časových řad • Dosadíme-li do získaného výrazu vztah pro výpočet parametru b0, dostaneme: S3 − S 2 =

b1 − 1

(

)

b1 ⋅ b − 1 m 1

2

( b − 1) ⋅ (S − S ) ⋅ b −1 m 1

2

1

2

⋅ b1m +1 .

1

• Po úpravách můžeme vyjádřit b1 ve tvaru 1 m

 (S 3 − S 2 )  b1 =   .  (S 2 − S1 ) 


78

Analýza časových řad • Poslední parametr k můžeme potom vyjádřit např. z první rovnice. Dostaneme: b1m − 1 S1 − b0 ⋅ b1 ⋅ b1 − 1 k= . m


79

Analýza časových řad • Př.: Je zadána časová řada čítající 9 pozorování. Metodou částečných součtů proveďte odhad parametrů posunutého exponenciálního trendu. t y t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ing. Michal Dorda, Ph.D.

3 10 15 21 35 42 58 81 110 80

Analýza časových řad • Odvodili jsme si, že odhady parametrů získáme podle vztahů: b1 − 1 b0 = ⋅ (S 2 − S1 ), 2 m

(

)

b1 ⋅ b1 − 1

1 m

 (S 3 − S 2 )  b1 =   ,  (S 2 − S1 ) 

b1m − 1 S1 − b0 ⋅ b1 ⋅ b1 − 1 ak= . m Ing. Michal Dorda, Ph.D.

81

Analýza časových řad • Dosazením do těchto vztahů dostaneme následující výsledky. m S1

3 28

S2

98

S3

249

b0

11,82

b1 k

1,29 -10,83

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9

yt 3 10 15 21 35 42 58 81 110

ŷt 4,44 8,90 14,66 22,11 31,73 44,16 60,22 80,98 107,80

ˆyt = −10,83 + 11,82 ⋅1,29t Ing. Michal Dorda, Ph.D.

82

Analýza časových řad Pozorování

Trend

4

6

120 100

yt

80 60 40 20 0 0

2

8

10

t


83

Analýza časových řad b) Metoda dílčích průměrů je modifikací metody předchozí. Tato metoda zavádí dolní dílčí součet Sd, horní dílčí součet Sh a prostřední součet Sp. Pro první dva součty platí: 1 5 S d = ⋅ ∑ yt , 5 t =1 1 n S h = ⋅ ∑ yt . 5 t =n−4 Ing. Michal Dorda, Ph.D.

84

Analýza časových řad • Máme-li lichý počet pozorování n, potom pro prostřední součet platí: ( n +1) + 2

1 2 S p = ⋅ ∑ yt , 5 t = (n +1) − 2 2

je-li n sudé, potom platí: n +3 2

1 S p = ⋅ ∑ yt . 6 t = n −2 2


85

Analýza časových řad • Parametr trendu b1 potom stanovíme dle vztahu:  Sh − S p b1 =  S −S d  p

   

2 ( n −5 )

• Známe-li parametr trendu b1, potom lze trendovou funkci považovat za lineární v parametrech a můžeme použít metodu nejmenších čtverců. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

86

Analýza časových řad • Můžeme tedy psát: ϕ = ∑ ( yt − k − b0 ⋅ b n

)

t 2 1

t =1

→ min .

• Známým postupem dostaneme: n

n

t =1

t =1

t y − n ⋅ k − b ⋅ b ∑ t 0 ∑ 1 = 0, n

∑ y ⋅b t =1

t

t 1

n

n

( )

− k ⋅ ∑ b − b0 ⋅ ∑ b t =1

t 1

t =1

t 2 1

= 0.


87

Analýza časových řad • Z první rovnice můžeme vyjádřit b0 ve tvaru: n

b0 =

∑y t =1

t

− n⋅k .

n

t b ∑1 t =1

• Dosadíme-li tento výraz do druhé rovnice, dostaneme po úpravách:

∑ y ⋅ b ⋅ ∑ b − ∑ y ⋅ ∑ (b ) n

k=

t =1

n

t

t 1

n

t 1

t =1

2

t =1

n

t

t =1

( )

n  n t  ∑ b1  − n ⋅ ∑ b1t t =1  t =1 

t 2 1

.

2


88

Analýza časových řad c) Metoda vybraných bodů je založena na výběru počátečního bodu t, který pro jednoduchost zpravidla volíme t=0. Další dva body volíme t+m a t+2m, kde opět platí, že: n m= . 3


89

Analýza časových řad • Parametry trendové funkce potom stanovíme dle vztahů: 1 m

 y t + 2 m − yt + m   , b1 =   yt + m + yt  yt + m − yt b0 = t + m , b1 − 1 k = yt − b0 ⋅ b1 .


90

Analýza časových řad 5) Logistický trend • Pro odhad průběhu trendu lze psát: ) yt =

k . −b1t 1 + b0 ⋅ e

• Tento funkční předpis je jeden z možných předpisů pro logistický trend. • Logistická křivka se někdy také nazývá S-křivka. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

91

Analýza časových řad yt

5. fáze 4. fáze

3. fáze

1. fáze

2. fáze t Ing. Michal Dorda, Ph.D.

92

Analýza časových řad • Průběh logistického trendu lze rozdělit do 5 fází: – 1. fáze: vznik nových výrobků a inovací, které se začínají pozvolna prosazovat (rozvoj je zpomalován existencí starých výrobků, které si zatím zachovávají svůj vliv). – 2. fáze: dochází k výraznému prosazení nových výrobků a inovací.


93

Analýza časových řad – 3. fáze: nové výrobky a inovace plně ovládly další vývoj, nicméně dochází k náznaku změny trendu – objevují se novější výrobky a další inovace (v této fázi se nachází inflexní bod). – 4. fáze: dochází k útlumu a postupnému nahrazování novějšími výrobky a inovacemi. – 5. fáze: dochází k úplnému útlumu a nahrazení novějšími výrobky a inovacemi.


94

Analýza časových řad • Odhad parametrů logistického trendu lze provést více způsoby a to: a) Metodou částečných součtů. b) Metodou vybraných bodů.


95

Analýza časových řad a) Při odhadu parametrů metodou částečných součtů zavedeme pro t=1,2,…,n substituci: 1 xˆt = . yˆ t

• Potom můžeme psát: xˆt =

1 1 b0 t = + ⋅ b1 , k k k 1 + b0 ⋅ b1t

což je zápis modifikované exponenciální trendové funkce. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

96

Analýza časových řad • Dále tedy postupujeme jako u odhadu parametrů pro modifikovaný exponenciální trend. • Zaveďme následující značení: 1 K= , k b B0 = 0 . k


97

Analýza časových řad • Pro funkci logistického trendu můžeme tedy psát: xˆt = K + B0 ⋅ b1t .

• Nyní vytvoříme 3 částečné součty, každý o délce m pozorování: n−2 m

n−m n 1 1 1 S1 = ∑ , S2 = ∑ , S3 = ∑ . t = n −3 m +1 yt t = n − 2 m +1 yt t = n − m +1 yt


98

Analýza časových řad • Známými vztahy spočítáme odhady koeficientů modelu: b1 − 1 B0 = ⋅ (S 2 − S1 ), 2 m

(

)

b1 ⋅ b1 − 1

1 m

 (S 3 − S 2 )  b1 =   ,  (S 2 − S1 ) 

b1m − 1 S1 − B0 ⋅ b1 ⋅ b1 − 1 aK= . m Ing. Michal Dorda, Ph.D.

99

Analýza časových řad • Odhady původních parametrů modelu potom získáme zpětnou transformací: 1 , K b0 = k ⋅ B0 . k=

• Tento postup lze použít pouze tehdy, pokud je mají rozdíly S2-S1 a S3-S2 stejná znaménka. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

100

Analýza časových řad • Př.: V tabulce je dána časová řada vývoje stupně automobilizace v ČR v letech 1990 – 2008. Nalezněte odhad logistické trendové funkce popisující tento vývoj a odhadněte stupeň automobilizace v roce 2015.


101

Rok 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Počet osobních vozidel na 1000 obyvatel 233 241 250 266 283 295 309 329 339 335 335 345 358 363 374 387 399 412 424 Ing. Michal Dorda, Ph.D.

102

Analýza časových řad • Jelikož nemáme počet pozorování dělitelný 3, musíme vynechat 1. pozorování, potom budeme tvořit částečné součty o délce m=6 pozorování, pro potřeby těchto výpočtů zavedeme potřebnou transformaci a přečíslujeme si časovou proměnnou t.


103

Analýza časových řad t 1 2

1/y t 0,00415 0,00400

3

0,00376

4 5 6

0,00353 0,00339 0,00324

7 8 9 10 11 12

0,00304 0,00295 0,00299 0,00299 0,00290 0,00279

13 14 15 16 17 18

0,00275 0,00267 0,00258 0,00251 0,00243 0,00236 Ing. Michal Dorda, Ph.D.

m S1

6 0,02207

S2

0,01765

S3

0,01530

104

Analýza časových řad • Odvozenými vztahy spočítáme odhady parametrů pro substituovaný trend: b1 − 1 B0 = ⋅ (S 2 − S1 ), 2 m B0

0,00224

b1 K

0,89996 0,00211

(

)

b1 ⋅ b1 − 1

1 m

 (S 3 − S 2 )  b1 =   ,  (S 2 − S1 ) 

b1m − 1 S1 − B0 ⋅ b1 ⋅ b1 − 1 aK= . m Ing. Michal Dorda, Ph.D.

105

Analýza časových řad • A nakonec zpětnou transformací získáme odhady parametrů logistického trendu: b0

1,06

b1 k

0,90 474,53

1 , K b0 = k ⋅ B0 . k=

• Dostáváme rovnici trendu ve tvaru: yˆ t =

474,53 . t 1 + 1,06 ⋅ 0,9 Ing. Michal Dorda, Ph.D.

106

Analýza časových řad Počet osobních vozidel na 1000 obyvatel

Pozorování

Trend

450 400 350 300 250 200 0

5

10

15

20

t


107

Analýza časových řad • Odhad stupně automobilizace pro rok 2015 dostaneme dosazením za t=26: 474,53 yˆ 26 = = 444 automobilů na 1000 obyvatel. 26 1 + 1,06 ⋅ 0,9


108

Analýza časových řad b) Při metodě vybraných bodů opět vybereme počáteční bod t, který pro jednoduchost volíme t=0. Další dva body volíme t+m a t+2m. • Dosazením do funkčního předpisu pro logistický trend dostaneme: k k k y0 = , ym = , y2 m = . m 2m 1 + b0 1 + b0 ⋅ b1 1 + b0 ⋅ b1


109

Analýza časových řad • Z prvního vztahu vyjádříme b0: k − y0 b0 = . y0

• Dosazením do druhého vztahu a následnými úpravami můžeme vyjádřit b1 ve tvaru: 1 m

 y0 ⋅ (k − ym )  b1 =   .  ym ⋅ (k − y0 ) 


110

Analýza časových řad • Dosadíme-li oba parametry do poslední rovnice, můžeme vyjádřit parametr k: 2 y0 ⋅ ym ⋅ y2 m − ym2 ⋅ ( y0 + y2 m ) . k= y0 ⋅ y2 m − ym2


111

Analýza časových řad • Odhad parametrů logistického trendu metodou vybraných bodů lze realizovat i dalším způsobem. Uvažujme opět body t, t+m a t+2m (pro jednoduchost opět zvolíme t=0).


112

Analýza časových řad • Zaveďme pomocné veličiny: S1 = S2 =

1 yt + 2 m 1 yt + m

−

1 yt + m

1 + b0 ⋅ b1t + 2 m 1 + b0 ⋅ b1t + m , = − k k

1 1 + b0 ⋅ b1t + m 1 + b0 ⋅ b1t − = − , yt k k

yt + m 1 + b0 ⋅ b1t S3 = = . t +m yt 1 + b0 ⋅ b1


113

Analýza časových řad • Dosadíme-li za t=0, můžeme psát: m  ⋅ b b b0  1 + b0 ⋅ b12 m 1 + b0 ⋅ b1m m 0 1 − = b1 ⋅  −  , S1 = k k k  k 1 + b0 ⋅ b1m 1 + b0 b0 ⋅ b1m b0 S2 = − = − , k k k k 1 + b0 S3 = . m 1 + b0 ⋅ b1


114

Analýza časových řad • Dosadíme-li do 1. rovnice 2. rovnici, dostaneme: S1 = b1m ⋅ S 2 ,

z čehož už snadno vyjádříme: 1 m

 S1  b1 =   .  S2 


115

Analýza časových řad • Dosadíme-li b1 do 3. rovnice, můžeme psát: 1 + b0

1 + b0 S3 = = , m 1 S1   1 b + ⋅ m 0   S   1 S2 1 + b0 ⋅    S 2    

z čehož vyjádříme b0: S3 − 1 b0 = . S1 ⋅ S3 1− S2 Ing. Michal Dorda, Ph.D.

116

Analýza časových řad • Známe-li parametry b0 a b1, můžeme parametr k vyjádřit z funkčního předpisu logistické trendové funkce, kde dosadíme t=0: k y0 = ⇒ k = y0 ⋅ (1 + b0 ). 0 1 + b0 ⋅ b1


117



118

Analýza časových řad 6) Gompertzova křivka • Má podobný průběh jako logistická křivka, ale není symetrická. • Pro odhad průběhu trendu lze psát: ) b1t yt = k ⋅ b0 .


119

Analýza časových řad yt k

t Ing. Michal Dorda, Ph.D.

120

Analýza časových řad • Chceme-li provést odhad parametrů Gompertzovy funkce, zlogaritmováním převedeme funkční předpis do podoby: ln yˆ t = ln k ⋅ b , b1t 0

ln yˆ t = ln k + b1t ⋅ ln b0 .

• Touto úpravou jsme v podstatě získali funkci modifikovaného exponenciálního trendu.


121

Analýza časových řad • Zavedeme-li substituce K=lnk a B0=lnb0, můžeme parametry trendové funkce odhadnout stejnými metodami jako u modifikovaného exponenciálního trendu.


122

Analýza časových řad • Nyní se zaměřme na to, na základě jakých kritérií zvolit vhodný typ trendu. Vhodný typ trendu lze volit: 1. Na základě analýzy grafu studované časové řady (zda jde o rostoucí či klesající trend, zda přichází v úvahu inflexní bod, zda jde o funkci rostoucí do nekonečna nebo rostoucí k nějaké konečné limitě apod.)


123

Analýza časových řad 2) Dále lze vhodný typ trendové funkce vybrat na základě hodnoty reziduálního součtu čtverců, kdy z možných trendových funkcí vybereme tu s minimálním reziduálním součtem čtverců. Dalším kritériem může být index determinace známý z regresní analýzy, jako vhodný typ trendové funkce vybereme takový, u kterého je index determinace nejvyšší. Snahou je ale použít co nejjednodušší model trendové funkce.


124

Analýza časových řad 3) Rozhodujeme-li se mezi lineárním, parabolickým nebo exponenciálním trendem, lze použít analýzu diferencí časové řady. Diference příslušných řádů definujeme: D1t = yt − yt −1 pro t = 2,..., n, D 2t = D1t − D1t −1 pro t = 3,..., n, D3t = D 2t − D 2t −1 pro t = 4,..., n, atd.


125

Analýza časových řad – Pro lineární trend je typické, že diference prvního řádu jsou přibližně stejné a diference druhého řádu jsou přibližně nulové. t

yt = b0 + b1∙t

D1t

D2t

1

b0 + b1∙1

-

-

2

b0 + b1∙2

b1

-

3

b0 + b1∙3

b1

0

4

b0 + b1∙4

b1

0


126

Analýza časových řad – Pro parabolický trend je typické, že diference prvního řádu vykazují lineární trend, diference druhého řádu jsou přibližně stejné a diference třetího řádu přibližně nulové. t

yt = b0 + b1∙t + b2∙t2

D1t

D2t

D3t

1

b0 + b1∙1 + b2∙12

-

-

-

2

b0 + b1∙2 + b2∙22

b1 + b2∙3

-

-

3

b0 + b1∙3 + b2∙32

b1 + b2∙5

b2∙2

-

4

b0 + b1∙4 + b2∙42

b1 + b2∙7

b2∙2

0

5

b0 + b1∙5 + b2∙52

b1 + b2∙9

b2∙2

0


127

Analýza časových řad – Na exponenciální trend budeme usuzovat na základě relativních diferencí prvního řádu definovaných podílem: D1t pro t = 3,..., n D1t −1

a nebo na základě temp růstu definovaných: yt kt = pro t = 2,..., n . yt −1


128

Analýza časových řad – Budou-li tyto charakteristiky kolísat kolem konstanty, lze pro popis trendové složky časové řady použít exponenciální trend.


129

Analýza časových řad 4) Vhodný typ trendové funkce lze provést na základě analýzy růstových charakteristik. Předpokladem je očištění časové řady od náhodných výkyvů a výpočet průměrných růstových charakteristik. Očištění časové řady od nahodilého kolísání se nejčastěji provádí pomocí lineárních filtrů, nejčastěji pomocí klouzavých průměrů. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

130

Analýza časových řad • Výpočet klouzavých průměrů: – Zvolme liché m < n , kde n je počet pozorování. – Postupně spočítáme průměr pro prvních m pozorování – tedy pro y1 , y2 ,..., ym , pak pro dalších m pozorování – tedy pro y2 , y3 ,..., ym+1 atd. Obecně můžeme psát: yt =

yt − p + yt − p +1 + ... + yt + p m

,

m −1 pro t = p + 1, p + 2,..., n − p, kde m = 2 p + 1⇒ p = . 2 Ing. Michal Dorda, Ph.D.

131

Analýza časových řad • Hodnotu p volíme zpravidla 2, 3 nebo 4. • Zaveďme dále průměrnou růstovou charakteristiku počítanou klouzavým způsobem z m pozorování: − ∆t =

m −1 m −1 ⋅ y m −1 ⋅ y m −1 − ... − yt −1 + yt +1 + ... + t− t+ 2 2 2 2 m m −1 m +1 ⋅ ⋅ 3 2 2

pro t = p + 1, p + 2,..., n − p . Ing. Michal Dorda, Ph.D.

132

Analýza časových řad • Pro m = 5 dostaneme: − 2 yt −2 − yt −1 + yt +1 + 2 yt + 2 ∆t = . 10

• Pro m = 7 dostaneme: − 3 yt −3 − 2 yt − 2 − yt −1 + yt +1 + 2 yt + 2 + 3 yt +3 ∆t = . 28

• Pro m = 9 dostaneme: − 4 yt − 4 − 3 yt −3 − 2 yt − 2 − yt −1 + yt +1 + 2 yt + 2 + 3 yt +3 + 4 yt + 4 ∆t = . 60 Ing. Michal Dorda, Ph.D.

133

Analýza časových řad • Vhodný typ trendu pak stanovíme na základě chování průměrných růstových a z nich odvozených charakteristik.


134

Analýza časových řad Charakter změny růstové charakteristiky

Vhodný typ trendové funkce

∆t

Přibližně stejná

Lineární trend

∆t

Lineárně roste

Parabolický trend

∆t yt

Přibližně stejná

Exponenciální trend

log ∆ t

Lineárně klesá

Modifikovaný exponenciální trend

Lineárně klesá

Gompertzova křivka

Lineárně klesá

Logistický trend

Růstová charakteristika

∆  log t   yt   ∆t  log 2   yt 


135

Analýza časových řad • Př.: V tabulce jsou uvedeny počty prodaných osobních automobilů značky X v tisících kusů za rok. Na základě rozboru růstových charakteristik vyberte vhodný typ trendové funkce.


136

Analýza časových řad Rok 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

yt 23 38 33 50 51 57 85 88 106 140 152 200 225

yt 39,0 45,8 55,2 66,2 77,4 95,2 114,2 137,2 164,6 -

Studovanou časovou řadu nejprve očistíme od nahodilého kolísání pomocí pětičlenných klouzavých průměrů:

5 −1 m = 2 p + 1= 5 ⇒ p = = 2. 2 Pro výpočet klouzavých průměrů platí: yt =

yt − p + yt − p +1 + ... + yt + p m


.

137

Analýza časových řad • Jednotlivé pětičlenné klouzavé průměry stanovíme: y1 + y2 + y3 + y4 + y5 23 + 38 + 33 + 50 + 51 = = 39 , 5 5 y2 + y3 + y4 + y5 + y6 38 + 33 + 50 + 51 + 57 = = 45,8 , y4 = 5 5 M y3 =

y9 + y10 + y11 + y12 + y13 106 + 140 + 152 + 200 + 225 y11 = = = 164,6 . 5 5


138

Analýza časových řad Prodaných automobilů v [tis. Kč]

250

200

150

100

50

0 1

3

5

7

9

11

13

Časová proměnná t


139

Analýza časových řad • Nyní provedeme výpočet průměrných růstových charakteristik počítaných z 5 pozorování dle vztahu: − 2 yt −2 − yt −1 + yt +1 + 2 yt + 2 ∆t = . 10


140

Analýza časových řad • Postupně dostaneme: − 2 y1 − y2 + y4 + 2 y5 (− 2 ) ⋅ 23 − 38 + 50 + 2 ⋅ 51 ∆ = = = 6,8 , 3

10 10 − 2 y2 − y3 + y5 + 2 y6 (− 2 ) ⋅ 38 − 33 + 51 + 2 ⋅ 57 ∆4 = = = 5,6 , 10 10 M ∆11 =

− 2 y9 − y10 + y12 + 2 y13 (− 2 ) ⋅106 − 140 + 200 + 2 ⋅ 225 = = 29,8 . 10 10


141

Analýza časových řad t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

yt 23 38 33 50 51 57 85 88 106 140 152 200 225

yt

∆t

39,0 45,8 55,2 66,2 77,4 95,2 114,2 137,2 164,6 -

6,8 5,6 11,1 11,0 14,1 18,7 18,6 27,0 29,8 -

35,0 30,0 25,0

∆t

20,0 15,0 10,0 5,0 0,0 1

3

5


7

9

11

13

142

Analýza časových řad • Z průběhu růstové charakteristiky vidíme, že její průběh zhruba lineárně roste, použití lineární trendové funkce se tedy nehodí, parabolická trendová funkce v úvahu přichází.


143


yt 23 38 33 50 51 57 85 88 106 140 152 200 225

yt

∆t

39,0 45,8 55,2 66,2 77,4 95,2 114,2 137,2 164,6 -

6,8 5,6 11,1 11,0 14,1 18,7 18,6 27,0 29,8 -

0,17436 0,12227 0,20109 0,16616 0,18217 0,19643 0,16287 0,19679 0,18104 -

∆t yt 0,22

0,20

0,18

0,16

∆t yt

0,14

0,12

0,10 1

3


5

7

9

11

13

144

Analýza časových řad • Z průběhu růstové charakteristiky vidíme, že její průběh zhruba kolísá kolem jedné hodnoty, použití exponenciálního trendu tedy přichází rovněž v úvahu.


145


yt 23 38 33 50 51 57 85 88 106 140 152 200 225

yt 39,0 45,8 55,2 66,2 77,4 95,2 114,2 137,2 164,6 -

∆ t log ∆ t 6,8 5,6 11,1 11,0 14,1 18,7 18,6 27,0 29,8 -

0,83251 0,74819 1,04532 1,04139 1,14922 1,27184 1,26951 1,43136 1,47422 -

1,60 1,50 1,40 1,30 1,20 1,10 1,00

log ∆ t

0,90 0,80 0,70 1

3


5

7

9

11

13

146

Analýza časových řad • Jelikož růstová charakteristika v tomto případě neklesá lineárně, nýbrž naopak roste, lze modifikovaný exponenciální trend vyloučit.


147


yt 23 38 33 50 51 57 85 88 106 140 152 200 225

yt

∆t

39,0 45,8 55,2 66,2 77,4 95,2 114,2 137,2 164,6 -

6,8 5,6 11,1 11,0 14,1 18,7 18,6 27,0 29,8 -

-0,75856 -0,91268 -0,69662 -0,77947 -0,73952 -0,70680 -0,78815 -0,70599 -0,74221 -

 ∆t log  yt 1

   3

5

7

9

11

13

-0,60 -0,65 -0,70 -0,75 -0,80 -0,85 -0,90

 ∆t log  yt

  

-0,95


148

Analýza časových řad • Jelikož růstová charakteristika v tomto případě lineárně neklesá, lze vyloučit použití Gompertzovy křivky.


149


yt 23 38 33 50 51 57 85 88 106 140 152 200 225

yt

∆t

39,0 45,8 55,2 66,2 77,4 95,2 114,2 137,2 164,6 -

6,8 5,6 11,1 11,0 14,1 18,7 18,6 27,0 29,8 -

-2,34962 -2,57354 -2,43856 -2,60032 -2,62826 -2,68543 -2,84582 -2,84334 -2,95864 -

 ∆t  log 2   yt  1

3

5

7

9

11

13

-2,30 -2,40 -2,50 -2,60 -2,70 -2,80

 ∆t  log 2   yt 

-2,90 -3,00


150

Analýza časových řad • Jelikož růstová charakteristika v tomto případě zhruba lineárně klesá, přichází rovněž v úvahu logistická trendová funkce. • Analýzou růstových charakteristik jsme jako možné trendové funkce vybrali parabolický, exponenciální a logistický trend.


151

Analýza časových řad • Vhodnou křivku bychom vybrali na základě toho, zda modelovaný jev může růst do nekonečna, zda existuje nějaká hranice nasycení apod. • Dále bychom jako další kritérium mohli vzít součet čtverců reziduí, který chceme minimalizovat.


152

Část IV. Analýza časových řad. Ing. Michal Dorda, Ph.D

Recommend Documents