APLIKASIPERLUASAN MINTERM (SUKUMINIMUM) DANMAKSTERM (SUKUMAKSIMUM) ALJABARBOOLEAN
TUJUAN I.
Dengan deskripsi kata dari cara yang dikehendaki suatu jaringan logika, tulislah olitput jaringan sebagai fungsi dari variabel input. Tentukan fungsi ini sebagai kalimat aljabar atau dengan melalui tabel "kebenaran" bila sesuai.
2.
Dengan tabel "kebenaran", tulislah fungsi (atau komplemennya) perluasan minterm Gumlah hasil standar) dan perluasan maksterm (hasil penjumlahan standar). Dapat menggunakan notasi huruf maupun desimal.
3.
Dengan kalimat aljabar untuk suatu fungsi, perluaslah secara aljabar untuk mendapatkan bentuk minterm dan maksterm.
4.
Dengan salah satu dari berikut ini : perluasan minterm untuk P, perluasan minterm untuk F', perluasan maksterm untuk P, perluasan maksterm untuk p', carilah tiga bentuk yang lain.
-5. Tulislah bentuk umum dari perluasan minterm dan maksterm dari fungsi variabel n.
6.
Jelaskan mengapa beberapa fungsi berisi term "don't care".
PETUNJUKBELAJAR Dalam unit sebelumnya, kita menempatkan sebuah "." dalam simbol gerbang AND, "+" di dalam simbol gerbang-OR, dan "EB"di dalam EKSKLUSIF-OR. Karena sekarang anda telah mengenal hubungan antara bentuk simbol gerbang dan fungsi logika yang digunakan, untuk selanjutnya kita akan menghilangkan EB,+, dan EBserta menggunakan simbol gerbang standar untuk AND, OR, dan EKSKLUSIVE-OR dalam buku ini.
120
I.
Pelajarilah Bagian 5.1, Konversi Kalimat Bahasa Indonesia ke Persamaan Boolean (a) Gunakan tanda kurung besar untuk rnenentukan frasa pada niasing-rnasing kalirnat berikut ini : (I)
Tip ini pasti berhenti jika tornbol "stop" ditekan, jika ada yang rusak, atau jika tanda selesai rnuncul.
(2) Dia sarapan pagi dengan telur jika selain hari Minggu dan dia rnenyirnpantelur di alrnari es. (3) Penjurnlahan harns dilakukan jika perintah penjurnlahan diberikan dan tandanya sarna, atau jika perintah pengurangan diberikan dan tandanya tidak sarna. (b) Tulislah kalirnat Boolean yang rnewakili rnasing-rnasing kalirnat pada (a). Tentukan sebuah variabel untuk rnasing-rnasing frasa, dan gunakan variabel yang dikornplernentasikan untuk rnewakili sebuah frasa yang berisi "tidak". (Jawaban
anda harns dalarn bentuk F
= S'E,
F
= AB
+ SB', dan F
=A
+ B + C, tidak diperlukan dalarn urutan tersebut.) (c) Jika X rnewakili frdSa"N lebih besar daripada 3", bagairnana anda mewakili frasa "N lebih kecil dari atau sarna dengan 3" ?
(d) Kerj~kan Soal 5.1 dan 5.5. 2.
Pelajarilah Bagian 5.2, Disain Jaringan Kombinasionaldengan menggunakan Tabel "Benar-Salah". Sebelumnya, anda telah rnernpelajari bagairnana anda rnelangkah dari kalirnat aljabar untuk sebuah fungsi ke tabel "kebenaran"; dalarn bagian ini anda akan rnernpelajari bagairnana rnelangkah dari tabel "kebenaran" ke kalirnat aljabar. (a) Tulislah term hasil I jika a
= 0, b = 0, dan c = I.
(b) Tulislahtermjurnlah° jika a = 0, b
= 0, dan c = I.
(c) Buktikan bahwa jawaban anda pada (a) dan (b) adalah kornplernen.
121
(d) Tulislahhasilterm I jika a= 1, b = 0, c = 0, dan d= I. (e) Tulislah jumlah term 0 jika a
= 0, b = 0, c = I, dan d=1
(t) Untuk tabel "kebenaran" yang ada, tulislah F sebagai jumlah dari empat Hasilterm yang berkorespondensi dengan empat bilangan 1 pada F. a
bel
o 0 o 0 010 o 1 1 0 1 0 110 1 1
F 0 1 1 0 1 I
1 1 0 1 1 0 0 0
(g) Untuk tabel "kebenaran" yang ada, tulislah F sebagai hasil dari empat jumlah term yang berkorespondensidengan empat bilangan 0 pada F. (h) Buktikan bahwa jawaban anda pada (t) dan (g) mengurangi menjadi F b'c' + a'c.
3.
=
Pelajarilah Bagian 5.3, Perluasan Minterm dan Maksterm. (a) Tentukan term berikut ini : minterm ( untuk variabel n ) maksterm (untuk variabel n)
(u) Pelajarilah Tabel 5-2 dan telitilah hubungan antara nilai A, B, C dan minterm dan maksterm yang berkorespondensi.
122
---
Jika A = 0, maka apakah A atau A' mun.cul dalam minterm? Dalam maksterm ? Jika A = I, maka apakah A atau A' muncul dalam minterm ? Dalam maksterm ? Apa hubungan antara minterm mj dan maksterm Mj yang berkorespondensi ?
(c) Untuk tabel yang diberikan pada Pertanyaan Petunjuk Belajar 2(t), tulislah perluasan minterm untuk F dalam notasi m dan dalam notasi desimal. Untuk tabel yang sarna, tulislah perluasan maksterm untuk F dalam notasi M dan dalam notasi desimal. Periksalah jawaban anda dengan mengkonversikan jawaban anda ke 2(t) ke notasi m dan jawaban anda ke 2(g) ke notasi M.
(d) Dengan kalimatjumlah hasil, bagaimana anda memperluasnyake jumlah hasil standar (perluasan minterm) ? (e) Dengan hasil penjumlahan, bagaimana anda memperluasnya ke hasil penjumlahan standar (perluasan maksterm ) ? (t)
Dalam Persamaan (5-11), teorema apa yang digunakan untuk memfaktorkan f agar mendapatkan perluasan maksterm ?
(g) Mengapa kalimat berikut ini bukan merupakan perluasan maksterm ? (A, B, C, D)
= (A + B'+
C + D)(A' + B + C')(A' + B + C + D')
(h) Asumsikan bahwa ada tiga variabel (A, B, C), tentukan masing-masing berikut ini sebagai perluasan minterm, perluasan maksterm, atau bukan keduanya : (I) AB + B'C' (2) (A'+ B + C')(A + B'+ C) (3) A + B + C
123
(4) (a' + B)(B' + C)(A' + C) (5) A'BC'+
AB'C + ABC
(6) AB'C'
Perhatikan bahwa dimungkinkan bagi suatu perluasan minterm atau maksterm mempunyai satu term saja. 4.
(a) Dengan minterm dalam term variabelnya, prosedur untuk konversi ke notasi desimal adalah : (I) Gantilah masing-masingvariabel komplementasi dengan dan gantilah masing-masingvariabelyang tidak dikomplementasikan dengan (2) Konversikan hasil bilangan biner ke desimal. (b) Konversikan minterm AB'C'DE
ke notasi desimal.
(c) Dengan mD sebagai minterm variabel A, B, C, D, dan E maka tulislah minterm dalam bentuk variabel-variabel ini.
(d) Dengan makseterm dalam bentuk variabel-variabelnya, maka prosedur untuk konversi ke notasi desimal adalah : (I). Gantilah
masing-masing variabel komplementasi dengan dan gantilah masing-masing variabel yang tidak dikomplementasikan dengan
(2) Kelompokkan 0 dan 1 untuk membentuk bilangan biner dan konversikan ke desimal. (e) Konversikan maksterm A' + B + C + D' + E' ke notasi desimal. (f)
Dengan MI3 sebagai maksterm variabel A, B, C, D, dan E tulislah maksterm dalam bentuk variabel - variabel ini.
(g) Periksalah jawaban anda pada (b), (c), (e), dan (f) dengan menggunakan relasi . M.= m.'. I I
(h) Dengan f(a,b,c,d,e) = OM (0, '10, 28), meriyatakanf dalam bentuk a,b,c,d, dan e. (Jawaban anda harus berisi lima variabel komplementasi saja). 124
5.
Pelajarilah bagian 5.4, Perluasan Minterm dan Maksterm Umum. Yakinlah bahwa anda memahami notasi di sini dan dapat mengikuti aljabar dengan semua persamaannya. jika anda mempunyai kesulitan dengan bagian ini, mintalah bantuan sebelum anda menempuh tes persiapan. (a) Berapa banyak perbedaan fungsi dari empat variabel tersebut dimungkinkan ? (b) Jelaskan mengapa ada fungsi 2_ n dari variabel n.
(c) Tulislah fungsi Tabel 5-1 dalam bentuk Persamaan (5-13) dan tunjukkan bahwa persamaan tersebut berkurang menjadi Persamaan (5-3). (d) Untuk Persamaan (5-19), tulislah hasil akhir secara lengkap untuk kasus n = 2.
(e) Pelajarilah Tabel 5-4 dan 5-5 dengan hati-hati dan yakinlah bahwa anda memahami mengapa masing-masing isian tabel itu valid. Gunakan tabel "kebenaran" untuk f dan f' (Tabel 5-1) untuk memeriksa isian dalam Tabel 5-5. Jika anda memahami hubungan antara Tabel 5-4 dan tabel "kebenaran" untuk F'dan F', anda akan dapat melakukan konversi tanpa menghafalkan tabel.
(f)
Dengan f
=L
m(O,I,3,4,7)
Perluasah maksterm untuk f adalah Perluasan minterm untuk f' adalah Perluasan maksterm untuk f' adalah
(g)
6.
Kerjakan Soal 5.16 dan 5.17.
Pelajarilah Bagian 5.5, Fungsi yang ditentukan secara tidak Lengkap.
(a) Nyatakan dua alasan mengapa beberapa fungsi mempunyai term "don't care"
125
(b) Dengan tabel berikut ini, tulislah perluasan mintenn untuk Z dalam bentuk desimal. A B
C
Z
0 0 I I 0 0 I I
0 1 0 I 0 1 0 1
1 X 0 X X 1 0 0
0 0 0 0 I 1 1 I
(c) Tulislah perluasan makstennnya dalam bentuk desimal. (d) Kerjakan Soal 5.21 dan 5.23 (a). 7.
Pelajarilah Bagian 5.6, Contoh-contoh Susunan Tabel benar-Salah. Dengan mencari tabel "kebenaran dari pemyataan soal tersebut mungkin merupakan bagian yang paling sulit dari proses mendisain jaringan switching. Yakinlah bahwa anda memahami bagaimana melakukan hal ini.
8.
Kerjakan Soal 5.7 sampai 5.10 dan 5.15.
9.
Bacalah soal berikut ini dan kemudian kerjakan Soal 5.19 atau 5.20 sebagai berikut : Ketika melihat suatu kalimat untuk menentukan bilangan gerbang yang diperlukan, ingat bahwa bilangan gerbang yang dipe~lukan biasanya tidak sama dengan bilangan operasi AND dan OR yang muncul dalam kalimat tersebut. Misalnya, AB + CD + EF(G + H) terdiri daTiempat operasi AND dan tiga operasi OR, namun hanya diperlukan tiga gerbang AND dan dua gerbang OR :
126
G H
10. Laboratorium Latihan. (Hams diselesaikan sebelum anda menempuh uji persiapan. Tujuan dari lab. latman ini adalah untuk melengkapi anda dengan laboratorium dan beberapa peralatan lab. yang tersedia yang akan anda gunakan lebih lanjut dalam soal disain lab. yang mmit. (a) Dapatkan unit studi "Informasi Laboratorium" dan ikuti perintah dalam Bag~an I dari"petunjuk OOlajaryang dise$kan dalam unit yang terkait. (b) Buatlah jaringan yang anda disain dalam Soa15.19 atau 5.20 dalam lab. Ujilah jaringan tersebut untuk kesemua 16 kombinasi nilai untuk variaOOI input. Masukkan hasil uji lab anda dalam taOOI"keOOnaran".
II. Bacalah kembali tujuan unit ini. Yakinlah bahwa anda memahami perbedaan dalam prosedur untuk mengkonversikan maksterm dan minterm dari desimal ke notasi aljabar. Ketika anda telah puas dan'merasa dapat-memenuhi tujuan tersebut, tempuhlah uji kesiapan. Ketika anda sampai ke tes kesiapan, salinlah copy solusi anda ke Soal 5.19 atau 5.20 dan hasil uji lab.
127
APLIKASI PERLUASAN MINTERM DANMAKSTERM AWABARBOOLEAN Dalam unit ini anda akan mempelajari bagaimana mendisainjaringan switching kombinasional yang dimulai dengan sebuah deskripsi kata dari cara jaringan yang diinginkan. Langkah pertama biasanya menerjemahkan deskripsi kata ke dalam tabel "kebenaran" atau ke dalam kalimat aljabar. Dengan tabel "kebenaran" untuk fungsi Boolean, dua bentuk fungsi aljabar standar dapat diderivasikan jumlah hasil standar (perluasan minterm) dan hasil penjumlahan standar (perluasan maksterm). Penyederhanaan bentuk standar ini secara langsung membawa pada perwujudan jaringan dengan menggunakan gerbang AND dan OR.
5.1 KONVERSI KALiMAT BAHASA INDONESIA KEDALAMPERSAMAAN BOOLEAN Soal-soal disain logika seringkali dinyatakan dalam bentuk satu atau lebih kalimat bahasa Indonesia. Langkah pertama dalam mendisain jaringan logika adalah menerjemahkan kalimat-kalimat ini ke dalam persamaan Boolean. Untuk melakukan hal ini, kita harus memecah masing-masing kalimat ini menjadi frasafrasa dan menggabungkan variabel Boolean dengan masing-masing frasa. Jika sebuah frasa mempunyai nilai "benar" atau "salah", maka kita dapat mewakili frasa tersebut dengan variabel Boolean. Frasa seperti "dia pergi ke toko" atau "hari ini hari Senin" bisa benar atau salah, namun perintah seperti "pergi ke toko" tidak mempunyai nilai kebenaran. Jika sebuah kalimat mempunyai beberapa frasa, kita akan menandai masing-masing frasa ini dengan tanda kurung. Kalimat berikut ini mempunyaitiga frasa : Marymelihat TVjika hariini hariSeninmalamdandiatelahmenyelesaikan pekerjaannya.
"Jika" dan "dan" tidak termasuk ke dalam frasa; mereka menunjukkan hubungan di antara frasa. Kita akan menentukan variabel dua-nilai untuk menunjukkan kebenaran atau kesalahan masing-masing frasa. F = I jika "Mary melihat TV" adalah benar; jika tidak, F = O. A = I jika "hari ini hari senin' malam" benar; jika tidak, A = O. B = I jika "dia telah menyelesaikan pekerjaannya" benar, jika tidak B = O. 128
Karena F "benar" jika A dan b "benar", m~a kita dapat kalimat tersebut dengan
Tiga langkah utama dalam mendisain jaringan switching kombinasional dengan output tunggal adalah : I.
Carilah fungsi switching dengan menentukanjalan jaringan yang dikehendaki.
2.
Carilah kalimat aljabar yang disederhanakan untuk fungsi tersebut.
3.
Nyatakan fungsi yang disederhanakan dengan menggunakan elemen logika yang dapat digunakan.
Untuk soal yang sederhana, dimungkinkan untuk melangkah secara langsung dari deskripsi kata dengan cara jaringan yang diinginkan ke kalimat aljabar untuk fungsi output. Dalam kasus lain, lebih baik pertama kali menentukan fungsi dengan melalui tabel "kebenaran" dan kemudian menderivasikan kalimat aljabar dari tabel "kebenaran" tersebut. Contoh berikut ini menggambarkan bagaimana melangkah dari kata pemyataan permasalahan secara langsung ke kalimat aljabar yang mewakili cara jaringan yang dikehendaki. Sebuah sirkuit alarm hams didisain dengan operasi sebagai berikut : Alarm akan berbunyijika tombol alarm itu dinyalakandan pintu tidak tertutup, atau setelah pukul 6 sore dan jendela tidak tertutup. Langkah pertama dalam menulis kalimat aljabar yang berkorespondensi dengan kalimat di atas hams menggabungkan variabel Boolean dengan masingmasing frasa dalam kalimat tersebut. Variabel ini akan mempunyai nilai I jika frasa itu benar dan nilai 0 jika salah. Kita menggunakan ketentuan variabel sebagai berikut : Alarm akan berbunyi
jika
Z pintu tidak tertutup B'
dan
tombol alarm itu dinyalakan A
atau
setelah pukul 6 sore
dan
-
C
129
pint~ tidak tertutup.
D'
Penentuan ini menyiratkan bahwa jika Z = 1, alarm itu akan berbunyi. Jika tombol alarm tersebut dinyalakan, A = I, dan jika setelah pukul 6. sore, C = I. Jika kita menggunakan variabel B untuk mewakili frasa "pintu tertutup", maka kemudian B' mewakili "pintu tidak tertutup". Jadi B = I jika pintu tertutup, dan B' = I (B = 0) jika pintu tidak tertutup. Demikian pula D = I jika pintu tertutup dan D' = I jika pintu tidak tertutup. Dengan menggunakan penentuan variabel semacam ini, kalimat di atas dapat diterjemahkau ke dalam persamaan Boolean sebagai berikut : Z
= AB'
+ CD'
Persamaan ini berkorespondensi dengan jaringan berikut ini :
8
z
o
Dalam jaringan di atas; A merupakan tanda di mana A = I ketika alarmnya dihidupkan, C adala,htanda waktu yang bemilai 1 setelah pukul 6 sore, B adalah tanda dari tombol di pintu di mana ia bemilai I ketika pintu tertutup, dan demikian pula D adalah I ketika jendela tertutup. Output Z dihubungkan ke alarm sehingga alarm tersebut akan berbunyi bila Z = I.
130
5.2 D/SA/NJAR/NGANKOMB/NAS/ONAL DENGANMENGGUNAKAN TABEL"KEBENARAN" Contoh berikut ini menggambarkan disain jaringan dengan menggunakan tabel "kebenaran" (Tabel 5-1). Jaringan switching mempunyai tiga input dan satu output seperti terlihat. Input A, B, dan C mewakili bit pertama, kedua, dan ketiga secara berurutan, dari bilangan biner N. Ouput dari jaringan ini haruf ti
= 1 jika
N () 0112 dan ti
= 0 jika
N < 0112. Tabel "kebenaran" untuk ti adalah
sebagai berikut : Tabe15-1 ABC B C AG
f
I
000 001 010 010 011 100 101 1 1 0 I 1 1
f
0 0 0 I I I 1 I I
I
I
f' 1 I I 0 0 0 0 0 0
Selanjutnya kita akan menderivasikan kalimat aljabar untuk f dari tabel "kebenaran" dengan menggunakan kombinasi nilai A, B, dan C di mana f = 1. Term A'BC adalah I jika A = 0, B = I, dan C = I. Demikian pula term AB'C' adalah 1 hanya untuk kombinasi 100, AB'C adalah 1 hanya untuk 101, ABC' adalah 1 hanya untuk 110, dan ABC adalah I hanya untuk Ill. Peng-OR-an term-term ini bersama-sama menghasilkan : f
= A'BC
+ AB'C'
= AB'C
+ ABC' + ABC
(5-1)
Kalimat di atas sejajarjika A, B, C dibawa pada salah satu dari lima kombinasi nilai 0 II, }00, 10I, 110, atau 11I. Jika kombinasi nilai lain terjadi, ti adalah 0 karena semua kelima term adalah O. 131
Persamaan (5-1) dapat disederhanakan dengan mengkombinasikan term dan kemudian menghapus A' : f
= A'BC
pertama
+ AB' + AB = A'BC + A = A + BC
kali
(5-2)
Persamaan (5-2) secara langsung membawa pada jaringan berikut ini: 8 C
f
Selain menulis f dalam bentuk 1 dari fungsi tersebut, kita dapat juga menulis f dalam bentuk fungsi O.Fungsi yang ditentukan oleh Tabel 5-1 adalah 0 u!1tuk tiga kombinasi nilai input. Telitilah bahwa term A + B + C adalah 0 hanya jika A
= B = C =O. Demikian
pula A + B + C' adalah 0 hanya untuk kombinasi input
001, dan A + B'+ C adalah 0 hanya untuk kombinasi 010. Peng-AND-an termterm ini secara bersama-sama menghasilkan
= (A
+ B + C)(A + B + C')(A + B' + C)
(5-3)
Kalimat di atas sarna dengan 0 jika A, B, dan C dibawa pada setiap kombinasi nilai 000, 001, 010. Untuk setiap kombinasi nilai lainnya, f adalah I karena kesemua tiga term adalah I. Karena persamaan (5-3) mewakili fungsi yang sarna dengan Persamaan (5-1) maka keduanya mengurangi menjadi kalimat yang sam~. Mengkombinasikan term dan dengan menggunakan hukum distributif kedua, Persamaan (5-3) menyederhanakan menjadi :
= (A
+ B)(A + B' + C)
=A
+ B(B' + C)
=A
+ BC
(5-4)
yang sarna dengan Persamaan (5-2). Cara lain tmtuk menderivasikan Persamaan (5-3) terlebih dahulu menulis f' adalah I untuk kombinasi input ABC = 000,001, dan 010, sehingga : f'
=
A'B'C'
+ A'B'C + A'BC'
Dengan membawa komplemen f' memberikan Persamaan (5-3).
132
5.3 PERLUASAN MINTERMDANMAKSTERM Masing-masing term dalam Persamaan (5-1) dianggap sebagai sebuah minterm. Secara .umum sebuah minterm dari variabel n adalah hasil dari literal n di mana masing-masing variabel muncul tepat satu kali baik dalam bentuk benar atau komplemen, namun tidak dalam bentuk kedua-duanya. (Sebuah literal adalah sebuah variabel atau komplemennya.) Tabel 5-2 mendaftar semua minterm dari tiga variabel A, B, dan C. Masing-masing minterm mempunyai nilai I tepat untuk satu kombinasi nilai dari variabel A, B, dan C. Jadi jika A = B = C = 0, A'B'C' = I;jika A = B = 0 dan C = I, A'B'C = I, dan seterusnya. Mintermseringkaliditulisdalambentukdisingkat- A'B'C' ditandai mO,A'B'C ditandai mI, dan seterusnya. Secara umum, minterm yang berkorespondensi dengan baris i dalam tabel "kebenaran" ditandai mi ( i biasanya ditulis daIam bilangan desimal). Tabe/5-2 Row No. 0 I 2 3 4 5 6 7
Minterms .
ABC 000 001 010 o I I 100 101 I I 0 I I I
!
A'B'C' A'B'C A'J!C' A'B'c NB'C'
= = = = =
mo mt m2 m] m
A'B'C = ms A'BC' = m6
A'B'C =
Maxterms A+B+C =Mo A + B + C' = M1 A+B+C =M2 A + B + C' = M] A' + B + C = M4 A' + B + C' = Ms A' + B + C = M6 A' + B + C' = M7
Ketika sebuah fungsi ii ditulis sebagai jumlah minterm seperti dalam Persamaan (5-1), fungsi ini dianggap sebagai perluasan minterm atau jumlah hasil standar. Nama lain yang digunakan dalam literatur untuk jumlah hasil standar adalah jumlah hasil kanonikal dan bentuk normal disjungtif. Demikian pula, sebuah hasil jumlah standar bisa disebut hasil jumlah kanonikal atau bentuk normal konjungtif.. 133
Jika f = 1 untuk baris i dari tabel "kebenaran", maka mi harus tampil dalam perluasan minterm karena mi 1 hanya untuk kombinasi nilai variabel yang berkorespondensi dengan baris i pada tabel. Karena minterm yang ada pada ti itu unik. Persamaan (5-1) dapat ditulis kembali dalam bentuk notasi m sebagai berikut: .
=
(5-5) Selanjutnya persamaan tersebut dapat dipersingkat dengan menulisnya dalam bentuk berikut : (A,
B, C)
= I. m(2,3,4,5,6,7)
(5-5a)
Masing-masing jumlah term (atau faktor) dalam Persamaan (5-3) dirujuk sebagai maksterm. Secara umum, suatu maksterm dari variabel n adalah jumlah n literal di mana masing-masing variabel muncul tepat satu kali dalam bentuk benar atau komplemen, namun tidak dalam bentuk keduanya. Tabe15-2 mendaftar semua maksterm dari tiga variabel A,B, C. Masing-masing maksterm mempunyai ~ilai 0 untuk tepat satu kombinasi nilai untuk A, B, dan C. Jadi jika A = B = C = 0, A + B + C = 0; jika A = B = 0 dan C = I, A + B + C'= 0; dan seterusnya. Maksterm seringkali ditulis dalam bentuk singkat dengan menggunakan notasi M. Maksterm yang berkorespondensi dengan baris i pada tabel kebenaran didisain Mi. Perhatikan bahwa masing-masing maksterm adalah komplemen dari minterm yang berkorespondensi; yaitu Mi = mi'. Ketika sebuah fungsi f ditulis sebagai hasil maksterm seperti dalam Persamaan (5-3), ia ditunjuk sebagai perluasan maksterm atau hasiljumlah standar. Jika f
=0 untuk
baris i pada tabel kebenaran, maka Mi harus ada dalam perluasan
maksterm karena Mi = 0 hanya untuk kombinasi nilai variabel yang berkorespondensi dengan baris i pada tabel. Perhatikan bahwa maksterm dikalikan bersama sehingga jika salah satunya adalah 0, f akan menjadi O.Karena maksterm berkorespondensi satu-satu dengan 0 pada f dalam tabel kebenaran, perluasan maksterm untuk fungsi f menjadi unik. Persamaan (5-3) dapat ditulis kembali dalam notasi M sebagai berikut : (5-6) Selanjutnya persamaan ini dap'at disingkat dengan menuliskan sebagai berikut :
134
(A, B, C)
=II
M(0,1,2)
(5-6a)
di mana II berarti has'il. Karena jika f :t 1, f = 0, ia menandakan bahwa jika mi tidak ada dalam perluasan minterm f, maka Mi ada dalam perluasan maksterm. Jadi, dengan perluasan minterm dari variabel n fungsi f dalam notasi desimal, perluasan maksterm diperoleh dengan menulis integer desimal tersebut (0 :5:i :5:2n-l) bukan dalam daftar minterm. Dengan menggunakan metode ini, Persamaan (5-6a) dapat diperoleh secara langsung dari Persamaan (5-5a). Dengan perluasan minterm atau maksterm untuk ii, perluasan minterm atau maksterm untuk komplemen f mudah diperoleh. Karena f' adalah 1 ketika f 0, maka perluasan minterm untuk f' berisi minterm yang tidak ada dalam f. Jadi, dari Persamaan (5-5), f'
= mo + m1 + ~ = II m(0,1,2)
(5-7)
Demikian pula, perluasan maksterm untuk f' berisi maksterm-maksterm yang tidak ada dalam f Dari persamaan (5-6),
(5-8) Karena komplemen suatu minterm berkor~spondensi dengan maksterm, Persamaan (5-8) dapat diperoleh dengan mengkomplementasikan Persamaan (5-5) :
Demikian pula, Persamaan (5-7) dapat diperoleh dengan mengkomplementasikan Persamaan (5-6) :
Kalimat switching pada umumnya dapat dikonversikanke perluasan minterm dan maksterm dengan menggunakan tabel "kebenaran" atau secara aljabar. Jika tabel "kebenaran" disusun dengan mengevaluasi kalimat tersebut untuk semua kombinasi nilai variabel yang berbeda, perluasan minterm dan maksterm dapat 135
diperoleh dari tabel "kebenaran" dengan metode yang barn saja didiskusikan. Cara lain untuk memperoleh perluasan minterm adalah terlebih dahulu menulis kalimat sebagai jumlah hasil dan kemudian memperkenalkan variabel yang hilang pada masing-masing term dengan mengaplikasikan teorema X + X' = 1. CONTOH : Carilah perluasan minterm dari f(a, b, e, d) f
= a'(b'+
d) + aed~.
= a'b'+
a'd + aed'
= a'b'(e
+ e')(d + d') + a'd(b + b')(e + e') + aed'(b + b')
= a'b'e'd'
+ a'b'e'd
+ a'b'ed'
+ a'b'ed + a'b'e'd
+ a'b'ed
+ a'be'd + a' bed + abed' + ab'ed'
(5-9)
Term-term yang sam atelah dibuang, karena X + X = X. Kalimat tersebut di atas kemudian dapat dikonversikan ke notasi desimal : f
= a'b'e'd' 0000
f
+ a'b'e'd + a'b'ed' + a'b'ed + a'be'd+a'bed 000
I 0010
0011
+ abed' + ab'ed'
0 10 1 0 III
= 2. m( 0,1,2,3,5,7,10,14)
1110
10 10
(5-10)
Perluasan maksterm untuk ii kemudian dapat diperoleh dengan menulis integer desimaI (berkisar antara 0 sampai 15) yang tidak berkorespondensi dengan minterm dari f :
f
= n M (4,6,8,9,11,12,13,15)
Cara lain untuk meneari f perluasan maksterm adalah memfaktorkan funtuk mendapatkan hasil penjumlahan, memasukkan variabel yang hilang pada masingmasing jumlah term dengan menggunakan XX'
= 0, dan kemudian
kembali untuk memperoleh maksterm. Untuk eontoh di atas,
136
memfaktorkan
f = (a'+ ed')(a + b'+ d) = (a'+ e)(a'+d)(a + b'+ d) = (a'+ bb'+ e + dd')(a'+ bb'+ ee'+ d')(a + b'+ ee' + d) = (a'+ bb'+ e + d)(a' + bb' + e + d')(a'+ bb'+ e + d') (a'+bb'+ e'+ d')(a + b'+ ee'+ d) =
(a'+ b + e + d)(a'+ b'+ e + d)/a'+
1000
1100
})
.
f':
1001
~)(a'+ b'+ e +d') 1101
(a'+ b + e'+ d')(a'+ b'+e'+ d')(a + b'+ e + d)(a + b'+ e'+ d)
1011 =
nM
0100
1111
0110 (5-11)
(4,6,8,9, II, 12, 13, 15)
Perhatikan bahwa ketika menerjemahkanmakstermke notasidesimal, variaOOI yang diutamakan lebih dahulu diletakkan dengan bilangan I dan variabel yang tidak diutamakan dengan bilangan O. Karena term dalam perluasan minterm suatu fugnsi F berkorespondensi satu-satu dengan baris pada taOOI"kebenaran" di mana F = I, perluasan minterm dari F ini menjadi unik. Jadi, kita dapat membuktikan bahwa suatu persamaan itu valid dengan mencari perluasan minterm pada setiap sisi dan menunjukkan bahwa perluasan ini sarna. CONTOH : Tunjukkan bahwa a'c + b'c'+ ab
= a'b'+
be + ac'.
Kita akan mencari perluasan minterm pada masing-masing sisi dengan mensuplai variabel yang hilang. Untuk sisi kiri, a'c(b + b') + b'c'(a + a) + ab(c + c') = a'be + a'b'c + ab'c'+ a'b'c'+ abe + abe' = m3 + m1 + m4 + mO + m7 + m6
137
-
-
-------
Untuk sisi kanan, a'b'(c + c') + bc(a + a') + ac'(b + b')
= a'b'c
+ a'b'c'+ abc + a'bc + abc'+ ab'c'
=.rnl + rno + rn7 + rn3 + rn6 + rn4 Karena kedua perluasan ritinterm adalah sarna, rnaka persarnaan tersebut valid.
5.4 PERLUASAN MAKSTERM DANMINTERMSECARAUMUM Tabe15-3 rnenampilkantabel kebenaran untuk fungsi urnurndari tiga variabel. Masing-rnasing aj adalah konstan dengan nilai 0 atau 1. Untuk rnenentukan secara lengkap suatu fungsi, kita hams rnenentukan nilai untuk sernua ai. Karena rnasing- rnasing ai dapat ditentukan dengan dua cara, rnaka ada 28 untuk rnengisi kolorn F pada tabel kebenaran; oleh karena itu, ada 256 fungsi yang berbeda dari tiga variabel (hal ini rneliputi kasus penurunan, F identik sarna dengan 0 dan F identik sarna dengan 1). Untuk fungsi n variabel ada 20 baris dalarn tabel "kebenaran", dan karena nilai F bisa 0 atau 1 untuk rnasing-rnasing baris, rnaka ada 220 fungsi yang rnernungkinkan dari variabel n.
Tabel 5..3 Tabel "kebenaran" secara urnurn untuk Tiga Variabel ABC o
0 0
o 0 I 0 1 0 0 I I 1 o 0 1 o 1 1 1 0 1 1 1
138
I
F C10
at
a4 as a6
u
u._uu
_u...
Dari Tabel 5-3 di atas, kita dapat menulis perluasan minterm untuk fungsi umum tiga variabel sebagai berikut : 7
F
= 3omo + aim)
+
~~ + ...+ ~~ = iI, =0 a.m. I I
(5-12)
Perhatikan bahwa jika ~ = I, minterm mi ada dalam perluasan; jika ai = 0, minterm yang berkorespondensi tidak ada. Perluasan maksterm untuk fungsi tiga variabel secara umum adalah : 7
F
= (ao
+ Mo)(a)
+ M)(~
+ M2)...(~+~)
Perhatikan bahwa J.ika a.I = I, a.I + M.I namun demikian M.I ada J.ika a.I = o.
=iI]O (ai + Mi)
(5-13)
= I, dan M. keluar dari perluasan; I
Dari persamaan (5-13), perluasan minterm dari F' adalah
,
7
= [i=O n (a.I + M.)]I =Li=OI a.'M.'I =Li=OI a.'m.I
F'
7
7
(5-14)
Perhatikan bahwa semua minterm yang tidak ada dalam F ada dalam F'. Dari Persamaan (5-12), perluasan maksterm dari F' adalah 7 F'=
7
7
[ La. + m. ]' = n (a.' + m.') = n (a.'M.) i=O
I
i=O
I
I
I
i=O
I
(5-15)
I
Perhatikan bahwa semua minterm yang tidak ada dalam F ada dalarn F'. Dengan menggeneralisir Persamaan (5-12), (5-13), (5-14), dan (5-15) ke variabel n, kita dapatkan : 2"-1
F =
2"-1
L a.m. =i n (a. + M.) i =0 =0 I
I
I
(5-16)
I
139
-
2"_1
F
2"_1
=L a.'rn. =II (a.'+ i = 0 Iii =0 1
(5-17)
M.) 1
Dengan dua minterm variabel n yang berbeda, i dan mj, paling tidak ada satu variabel muncul dikomplementasikan dalam salah satu minterm dan tidak dikomplementasikan dalam minterm yang lain. Oleh karena itu jika i '*j, mjmj = 0. Misalnya, untuk n = 3, rn.m. = (A'B'C) (A'BC) = 0. 1 J Dengan demikian perluasan minterm untuk dua fungsi,
fl
0'
=I: a.rn. f2 = 1: b.rn. ;=011
(5-18)
i=OJJ
hasilnya adalah : 2"_1
L ;=0
~J
= iL=0 i=o
a.b.rn. (karena rn.m. 1 1
1
I
J
ajbjmjmj
= ° jika tidak,i = j)
(5-19)
Perhatikan bahwa semua term hasil silang (i '*j) keluar sehingga f (f 2 hanya berisi minterm yang ada pada f 1 dan f 2' Misalnya, jika fl
=L m(O, 2, 3, 5, 9,
11)
fl2
dan
f2
= L m(O, 3, 9,
II, 13, 14).
=L m(O, 3, 9,11)
Tabel 5-4 meringkas prosedur untuk konversi antara perluasan minterm dan, maksterm dari F dan F', dengan mengasumsikan bahwa semua perluasan ditulis kembali sebagai daftar bilangan desimal. Ketika menggunakan tabel ini, ingatlah bahwa tabel "kebenaran" untuk fungsi variabel n mempunyai 2" baris sehingga bilangan minterm (atau maksterm) berkisar antara ° sampai 2"-1. Tabel 5-5 menggambarkan aplikasi dari Tabel 5-4 ke tiga fungsi variabel yang diberikan dalam Tabel 5-1. 140
Tabel 5-4 Konversi Bentuk BENTUK YANG DIINGINKAN
Perluasan Maksterm F
Perluasan Minterrn F
Nos. maksterm Daftar rninterrn adalah nos. yang yang tidak ada bukan pada daftar dalarn F. mintermuntuk F.
Minterrn Expansion of F Maxterrn Expansion
of F
Perluasan Minterrn F'
Nos. rninterrn adalah yang I Nos. nos. minterm
sarna
dengan
nos. rnaksterrn F.
makstermuntukF.
bukanpadadaftar
Perluasan. Maksterm F' Nos. Maksterrn sarna dengan rninterrn nos. F. Daftar rnaksterm yang tidak ada
dalarn F.
I
Tabel5-5 Aplikasi dari Tabel 5-4 DESIRED FORM Maxterm Expansion of f
Miniterm Expansion of f
:E f= 0:: L 11I(3.4. 5. 6. o u.. Z UJ f= > G n M(O. 1,2)
nM(O.
1.2)
Miniterm Expansion of l'
Lm(O.
Maxterm Expansion of l'
1.2)
7)
n M(3. 4. 5. 6. 7) i I
L L 11I(3. 4. 5. 6, 7)
I
11I(0. 1,2)
In
M(3.
4. 5. 6. 7)
I
141
-
-
-
---
5.5 FUNGSIYANGTlDAKDITENTUKAN DENGANLENGKAP Sistim digital yang besar biasanya dibagi menjadi beberapa bus jaringan. Perhatikan contoh berikut ini di mana output dari jaringan N I' membawa input jaringan N2,
A
w
x
8
y z
C
F
Marilah kita mengasumsikan bahwa output N I tidak menurunkan semua kombinasi nilai yang memungkinkan untuk A, B, dan C. Secara khusus, kita akan mengasumsikan bahwa tidak ada kombinasi nilai untuk w, x, y, dan z yang menyebabkan A, B, dan C mengasumsikan nilai 001 atau 110. Oleh karenanya, ketika kita mendisain N2 tidak perlu menentukan nilai F untuk ABC = 001 atau 110, karena kombinasi nilai ini tidak pemah terjadi sebagai input pada N2. Misalnya, F mungkin ditentukan dengan Tabel 5-6. Tabel 5-6 A B
C
F
0 0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
1 X 0 1 0 0 X 1
0 0 1 1 0 0 1 1
X pada tabel tersebut menunjukkan bahwa kita tidak memperdulikan apakah nilai 0 atau 1 ditempatkan pada F untuk kombinasi ABC = 001 atau 110. Dalam contoh ini, kita tidak mempedulikan bahwa berapa nilai F karena kombinasi 142
input ini tidak pernah terjadi sarna sekali. Fungsi F kemudian adalah tidak ditentukan dengan lengkap. Minterm A 'B'C dan ABC' ditunjuk sebagai term "tidak dipedulikan", karena kita tidak mempedulikan apakah mereka ada dalam fungsi tersebut atau tidak. Ketika kita merealisasikan fungsi imi, kita hams menentukan nilai untuk' "yang tidak dipedulikan." Dikehendaki untuk memilih nilai yang akan membantu menyederhanakan fungsi tersebut. Jika kita menempatkan nilai 0 pada kedua X, maka: F= A'B'C'+ A'BC + ABC = A'B'C' + BC Jika kita menempatkan I pada X pertama dan 0 pada X kedua, maka : F
= A'B'C'
+ A'B'C + A'BC + ABC
= A'B'
+ BC
Jika kita menempatkan I pada kedua X, maka : F
= A'B'C'
+ A'B'C + A'BC+
ABC' + ABC
= A'B'
+ BC + AB
Pilihan nilai yang kedua membawa pada solusi yang paling sederhana. Kita telah melihat satu cara di mana fungsi yang tidak ditentuka!1 secara lengkap dapat muncul, dan ada beberapa jalan lain. Dalam contoh di atas, term yang tidak dipedulikan ada karena kombinasi jaringan input tertentu tidak ada. Pada kasus lain, semua kombinasi input mungkin terjadi, namun jaringan output digunakan dengan cara sedemikian sehingga kita tidak mempedulikan apakah 0 atau 1 untuk kombinasi input tertentu. Ketika menuliskan perluasan minterm untuk fungsi yang tidak ditentukan dengan lengkap, kita akan menggunakan "rn" untuk menandai minterm yang diperlukan dan "d" untuk menandai minterm yang tidak dipedulikan. Dengan menggunakan notasi ini, perluasan minterm untuk Tabel 5-6 adalah : F
=L rn( 0, 3, 7) + L d(l,6)
Untuk masing-masing minterm yang tidak dipedulikari ada maksterm yang tidak dipedulikan juga yang berkorespondensi. Misalnya, jika F = X (tidak dipedulikan) untuk kombinasi input 001, m1 adalah minterm "tidak dipedulikan" dan M) adalam maksterm yang tidak dipedulikan. Kita akan menggunakan "D" 143
-
-
untuk mewakili maksterm yang tidak dipedulikan dan menulis perluasan maksterm dari fungsi dalam Tabel 5-6 sebagai berikut :
F
·
=II M( 2, 4, 5) II 0
(1, 6)
yang menyiratkan bahwa mak~term M2, M4, dan Ms ada dalam F dan maksterm yang tidak dipedulikan M) dan M6 adalah maksterm pilihan.
5.6 CONTOHSUSUNANTABEL"KEBENARAN" CONTOH 1
Kita akan mendisain sebuah biner sederhana yang menambahkan bilangan dua biner I-bit, a dan b, untuk memberikan jumlah 2-bit. Nilai numerik untuk input dan output penambah adalah sebagai berikut : a
b
lumlah
0 0 1 1
0 1 0 1
00 01 01 10
(0 + 0 = 0) (0 + 1 = 1) (1+0=1) (1 + 1 = 2)
Kita akan menampilkan input ke penambah dengan variabellogika A dan B, mewakili jumlah 2-bit dengan variabel logika X dan Y, dan menyusun tabel "kebenaran" :
144
A
B
X
Y
0 0 1 1
0 1 0 1
0 0 0 1
0 1 1 0
--~
~~--
--- -- -
~
Karena nilai numerik dari 0 diwakili dengan logika 0 dan nilai numerik 1 dengan logika 1, 0 dan 1 dalam tabel "keOOnaran"OOnar-OOnar sarna dengan dalam tabel sebelumnya. Dari taOOl"keOOnaran",
x = AB danY = A'B + AB' = A e
B
CONTOH 2 Sebuahpenambahharnsdidisaindi mana ia menambahduabilanganbiner 2-bit untuk memberikanjumlah biner 3-bit. Carilah taOOl"kebenaran"untuk jaringan tersebut.Jaringanini mempunyaiempat input dan tiga output seperti OOrikut:
I B N{A N2
E:
{g
fN]
TABEL KEBENARAN Nl
-
N2
A B
C
D
0 0 0 0 0 0 0 0 1 I I I 1 I 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 I 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 I 1 I 1 0 0 0 0 1 1 1 1
-
N3 .
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1
0 0 1 1 0 I I 0 I 1 0 0 1 0 0 1
X Y Z 0 I 0 1 I 0 I 0 0 1 0 1 1 0 1 0 145
Input A dan B diambil bersama mewakili bilangan biner N). Input C dan D diambil bersama mewakili bilanganbiner N2. Output X, Y, dan Z diambil bersama mewakili bilangan biner N3, di mana N3 N) + N2 (+ tentu saja mewakili penambahan biasa di sini).
=
Dalam contoh ini kita telah menggunakanA, B, C, dan D untuk menampilkan kedua nilai numerik dan nilai logika, namun hal ini tidak akan menyebabkan kebingungan karena nilai numerik dan logika sarna. Dalam membuat tabel di atas, variabel diperlakukan seperti bilangan biner yang mempunyai nilai numerik. Sekarang kita berharap untuk menderivasikan fungsi switching untuk variabel output. Dalam melakukannya, kita akan memperlakukan A, B, C, D, X, Y, dan Z sebagai variabel switching yang mempunyai nilai non-numerik 0 dan 1. (Ingat bahwa dalam kasus ini 0 dan 1 dapat mewakili voltase tinggi dan rendah, katup terbuka dan tertutup, dan seterusnya.) Dari penelitian dari tabel, fungsi output adalah X(A, B,C, D) = L m(7, 10, 11, 13, 14, 15)
"
Y(A, B, C, D) = L m(2, 3, 5, 6, 8, 9, 12, 15) Z(A, B, C, D) = L m(1, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 14) CONTOH 3 Disainlah suatu detektor kesalahan untuk digit desimal - kode - biner 6-31-1. Output (F) harns 1jika empat output (A, B, C, D) mewakili kombinasi kode yang tidak lengkap. Kombinasi kode 6-3-1-1 yang valid ditulis dalam Tabel 1-1. Jika ada kombinasi lain muncul maka kombinasi ini bukan digit desimal kode biner 6-31-1 yang valid dan output jaringan tersebut harns F
= 1 untuk
menunjukkan
bahwa terjadi kesalahan. Kombinasi ini akan memunculkan kombinasi sebagai berikut :
146
ABC 0 0 I I 0 0 t 1 0 0 I
D
F
0 t 0 I 0 I 0 1 0 I 0
0 0 I 0 0 0 I 0 0 0
o o o o o o o o 1 1 1
0 0 0 0 I I I 1 0 0 0
1 1 1 1 1
0 I t 1 0 0 1 0 t 1 t 0 1 1 1
I I
I
1 0 0 1 1 1
Fungsi output yang berkorespo,ndensiadalah : F
=L,m(2, 6,
10, 13, 14, 15)
= A' B' CD'+ A'BCD'+ AB'CD'+ ABCD' + ABC'D + ABCD I i I I I I
= A'CD'+
ACD'+ ABD
= CD'+
ABD
realisasi jaringan d~ngan menggunakan gerbang AND dan OR adalah :
C D'-L-../ A 8 D
-
rU-1
147
_. ___ _u___
__
CONTOH 4
Empat input pada suatu jaringan ( A, B, C, D) mewakili digit desimal kode biner 8-4-2-1. Disainlah jaringan sehingga output (Z)-nya adalah 1 jika bilangan desirTialdiwakili dengan input yang tepat dapat dibagi dengan 3. Asumsikan bahwa hanya BCD yang valid tang muncul sebagai input. Digit 0, 3, 6, dan 9 tepat dapat dibagi dengan 3, sehingga Z = 1 untuk kombinasi input ABCD = 0000, 0011, 01to, dan 1001. Kombinasi input tOtO, to 11, 1100, 110 1, 1110, dan 1111 tidak mewakili digit BCD valid dan tidak akan pernah terjadi, sehingga Z tidak mempedulikan kombinasi ini. Ini akan memunculkan tabel kebenaran sebagai berikut :
AB C D
Z
o 0 o 0 o 0 o 0 o 1 o 1 o 1 o 1 10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 X X X X X X
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Fungsi output korespondennya adalah : Z
=L m(O, 3, 6, 9) + L d(10,
11, 12, 13, 14, 15)
Untuk menemukan jaringan yang paling sederhana yang akan merealisasikan Z, kita hams memilih beberapa term yang tidak dipedulikan (X) menjadi 0 dan beberapa di antaranya menjadi 1. Cara yang paling mudah untuk melakukan hal ini adalah menggunakan peta Karnaugh seperti digambarkan dalam Unit 6. 148
SOAL- SOAL 5.1
Tampilkanlah masing-masing kalimat berikut ini dellgan persamaan Boolean : (a) Pengatur suhu ruangan hams dinyalakanjika suhu lebih besar daripada 75°F, antara pukul 8 pagi dan 5 sore, dan selain hari libur. (b) Hasil A dan B adalah negatif jika A adalah negatif dan B positif atau A adaIahpositif dan B adaIahnegatif.(Gunakandua variabelindependen saja). (c) motor penggerak tip hams dijalankan jika (I)
Tip tersebut dipasang dengan tepat,
(2) tanda akhir tip tidak muncul, dan (3) penggeraktip merupakanmodel manualdan tombol pemulai secara manual telah ditekan, atau merupakan model otomatis dan tanda "tape-on" dari komputer telah muncul. (d) Sound-sistem akan melengking jika mikroponnya dinyalakan dan mikroponterlaludekat denganpembicaraatau pengontrolvolumedisetel terlalu tinggi.
5.2
Tampilkanlah masing-masing kalimat berikut ini dengan persamaan Boolean : (a) Mesin penjawabhams menjawabtelponjika setelahpukul8 pagi sampai 5 sore atau hari libur atau telepon berbunyi tiga kali. (b) Dalam komputer dengan kekuatan baterai, penggerak drive disket hams menyala jika (I)
ada disket dalam drive tersebut,
(2)
pintu drive disket tertutup,
(3)
motor drive disket 2 tidak menyala,
(4)
tanda baterai habis tidak muncul, dan
(5)
komputer tersebut telah memulai operasi baca atau komputer memulai operasi tulis.
149
(c) Pemutus sirkuit akan bekerja jika (I)
pengering rambut dinyalakan dan volume stereo melebihi 5,
(2) "oven mikrowave" digunakan dan pemanggang dinyalakan (3) semua lampu di ruangan menyala, atau (4) ada konsleting.pada peralatan tersebut. 5.3
Masing-masing kalimat berikut ini mempunyaidua kemungkinan interpretasi tergantung pada apakah AND atau OR yang dilakukan terlebih dahulu. Tulislah persamaan untuk masing-masing interpretasi. (a) Bel akan berbunyi jika kuncinya berada pada kotak tombol dan pintu mobil terbuka atau sabuk pengaman tidak diikatkan. (b) Akan meningkat berat badan anda jika anda makan terlalu banyak atau anda tidak berolah raga dengan cukup dan tingkat metabolisme anda terlalu rendah. (c) Pengeras suara akan rusak jika volumenya disetel terlalu tinggi dan musik keras dimainkan atau stereonya terlalu kuat. (d) Jalananakan sangat licinjika musim saljuatau hujandan terdapatminyak di jalanan.
150
5.4
Sebuah brankas bank mempunyai tiga kunci yang masing-masing kunci tersebut berbeda satu sarna lain. Masing-masing kunci dimiliki oleh orang yang berbeda. Untuk membuka pintunya, paling tidak dua orang hams memasukkan anak kunci mereka ke kunci tertentu. Garis tanda A, B, dan C adalah 1jika ada anak kunci yang dimasukkan ke dalam kunci I, 2, atau 3, secara berurutan. Tulislah persamaan untuk variabel Z yang berupa I jika pintunya hams dibukao
5.5
Suatu tape pembaca kertas digunakan sebagai alat input ke sebuah komputer yang mempunyai lima baris lubang seperti terlihat pada gambar di bawah. Sebuah lubang yang dilubangi pada pita tersebut menunjukkan logika 1 dan tidak ada lubang menunjukkan logika O. Karena setiap pola lubang melewati fotosel, pola tersebut diterjemahkan ke dalam tanda logika pada garis °A, B, C, D, dan E. Semua pola lubang menunjukkan karakter yang
valid dengan dua kekecualian. Sebuah pola yang sarna sekali tidak berisi kemungkinan lubang tersebut tidak digunilkan karena tidak mungkin membedakan antara p'ola ini dengan jarak yang tidak berlubang di antara pola. Suatu pola yang tidak tepat lubangnya pada pita di"hapus" dengan melubangi semua kelima lubang pada posisi tersebut. qleh karenanya, karakter valid yang dilubangi pada pita paling tidak mempunyai satu lubang, namun tidak akan mempunyai kelima lubang. (a) Tulislah persarnaanUlJtukvariabelZ dibaca.
=I jika karakter yang valid sedang
(b) Tulislah persamaanuntuk variabel Y = 1jika pola lubang sedang dibaca mempunyai lubang hanya pada baris C dan E.
-
Photocells
. . . . . . . . . . . . . . . . .
-
5.6
Variables
. -A . -8 . . .
-c -0
-E
Sebuah komputer berhubungan ke printer yang mempunyai tujuh baris data yang mengontrol gerakan kertas dan kepala cetak dan menentukan karakter mana yang harns dicetak. Baris data diberi label A, B, C, D, E, F, dan G, dan masing-masing mewakili biner 0 atau 1. Ketika baris data diterjemahkan sebagai bilangan biner 7-bit dengan baris A sebagai bit yang paling esensial, maka garis data dapat mewakili bilangan 0 sarnpai 12710' Bilangan 1310 adalah perintah untuk mengembalikan kepala cetak ke awal baris, bilangan 1010berarti meneruskan kertas dengan satu baris, dan bilangan 3210sarnpai 12710mewakili karakter yang sedang dicetak. (a) Tulislah persamaan untuk variabel X :II jika baris data menunjukkan perintah untuk mengembalikan kepala cetak ke awal baris. (b) Tulislah persamaan untuk variabel Y
= 1 jika
ada perintah kertas
dilanjutkanpada barisdata. (c) Tulislah persamaan untuk variabel Z
= 1 jika baris data menunjukkan
karakter yang dapat dicetak. (Petunjuk : Pertimbangkan tampilan biner dari bilangan 0-31 dan 32-127 dan tulislah persamaan untuk Z dengan hanya dua term.)
151
5.7
Jaringan switching mempunyai tiga input dan dua output. Variabel output, a dan b, mewakili bit pertama dan kedua, secara berurutan, dari sebuah bilanganbiner,N. N sarnadenganbilanganinput,0. Misalnya,jika x = I, y 0, z = I, maka a = 0, b = I.
=
(a) Carilah perluasan miksterm untuk a dan untuk b. (b) .Carilah perluasan maksterm untuk a dan untuk b. Nyatakan masing-masingjawaban tersebut dalam notasi yang disingkat dan juga tulislah dalam bentuk x. y, dan z.
x--+
y--+
z --+
5.8
D
--+a
--+ b
Sebuah jaringan switching mempunyai empat input seperti terlihat di bawah ini. A dan B mewakili bit bilangan biner N I pertama dan kedua. C dan D mewakili bit bilangan biner Nz yang pertama dan kedua. Output jaringan tersebut adalah I hanya jika hasil N I X Nz kurang dari atau sarna dengan 2. (a) Carilah perluasan minterm untuk F. (b) Carilah perluasan maksterm untuk F. Nyatakan jawaban anda dengan bentuk notasi desimal dan bentuk aljabar.
N I{
N
J{
5.9
Dengan f(a, b, c)
A--+ B
[Y
C==:
D--+
F
= b + a'c.
(a) Nyatakan f sebagai perluasan minterm (gunakan notasi m). (b) Nyatakan f sebagai perluasan maksterm (gunakan notasi M). (c) Nyatakan f' sebagai perluasan minterm (gunakan notasi m) (d) Nyatakan f' sebagai perluasan maksterm (gunakan notasi M). 152
5.10 Kerjakan Soal 5.9 dengan rnenggunakan f(a. b, e, d) = (b'+ d'+ a)(e'+ a')(b + d + a)(b + e + d'+a) 5.11 Kerjakan Soal 5.9 dengan rnenggunakan f(a, b, c) = a '(b + e') 5.12 Kerjakan Soal 5.9 dengan rnenggunakan
(a, b, e, d)
= ae + bd'+ a'e'd
5.13 Dengan F(A, B, C, D)
+ ab'ed + a'b'ed'.
= 2. m(O, 1,2,6,7,
13, 15).
(a) Carilah perluasan rninterm untuk F (bentuk desirnal dan aljabamya). (b) Carilah perluasan rnaksterm untuk F (bentuk desirnal dan aIjabamya). 5.14 Ulangilah Soal 5.13 untuk F'(A. B. C, D) = fm(l. 2. 5, 6, 10, 15). 5.15 Ernpat kursi diletakkan dalarn baris :
Masing-rnasing kursi dapat diisi ("I") atau kosong ("0"). Tulislah fungsi logika F(A, B,. C, D) sarna dengan I jika tidak ada kursi kosong yang berbatasan. Nyatakan F, (a)
sebagai perluasan rninterm Gurnlah hasil standar) dan
(b)
sebagai perluasan rnaksterm (hasil jurnlah standar).
5.16 Dengan FJ = IIM(O, 4, 5, 6) dan F2= 0(0, 3,4, 6, 7), carilah perluasan rnaksterrn untuk F,F2' Nyatakan aturan urnurn untuk rnencari perluasan rnaksterrn perluasan rnaksterrn FJ dan F2.
FJF2 dengan
Buktikan jawaban and a dengan rnenggunakan bentuk urnurn dari perluasan rnaksterrn.
153
--
-
5.17 (a) Berapa fungsi switching dari dua variabel ( x dan y) ? (b) Berikan masing-masingfungsi dalam tabel kebenaran dan dalam bentuk aljabar pengurangan. (Tennasuk kasus penurunan seperti F(x,y) = 0,
F(x, y)=x,F(x,t) = y', dst.) 5.18 Suatu jaringan switching kombinasional mempunyai empat input (A, B, C dan D) dan satu output Z. Outputnya 1 jika tiga atau lebih inputnya adalah 1. Disainlah jaringan tersebut dengan menggunakan dua gerbang AND dan tiga gerbang OR. Asumsikan bahwa masing-masing gerbang maksimum mempunyai tiga input sehingga perlu memfaktorkan secara parsial persamaan logika tersebut sebelum anda merealisasikannya. 5.19 Suatu jaringan switching kombinasional mempunyai empat input (A, B, C dan D) dan satu output Z. Outputnya 1 jika tiga atau lebih inputnya adalah 1. Disainlah jaringan tersebut dengan menggunakan dua gerbang AND dan satu gerbang OR. Asumsikan bahwa masing-masing gerbang maksimum mempunyai dua input sehingga perlu memfaktorkansecara parsial persamaan logika tersebut sebelum anda merealisasikannya.
5.20 Suatu jaringan switching kombinasional mempunyai empat input (A, B, C dan D) dan satu output Z. Outputnya 0 jika tiga atau lebih inputnya adalah 1. Disainlah jaringan tersebut dengan menggunakan empat gerbang AND dan tiga gerbang OR. Asumsikan bahwa masing-masing gerbang maksimum mempunyai dua input sehingga perlu memfaktorkansecara parsial persamaan logika tersebut sebelum anda merealisasikannya. 5.21 Suatu jaringan kombinasional dibagi menjadi dua sub jaringan, Nt dari N2 seperti terlihat di bawah ini. Jaringan N 1 mempunyai tabel kebenaran seperti
yang ada. Asumsikan bahwa kombinasi input ABC = 001 dan ABC = 101 tidak pemah ada. Ubahlah sebanyak mungkin nitai-nitai D, E, dan F menjadi term yang tidak dipedulikan tanpa mengubah output Z. (Jika E atau F keduanya dapat menjadi term "tidak dipedulikan", secara sembarang pilihlah E menjadi term "yang tidak dipedulikan".)
154
N2
A--t
-J
NI
z
j
E
B
F
C
A B
C
D
E
F
0 0 0 0 I I I I
0 I 0 I 0 I 0
0 I I 0 I I 0 I
0 I I 0 I I I 0
I 0 I 0 0 I 0 1
0 0 1 I 0 0 I 1.1
5.22 Kerjakan S,oat 5.21 dengan menggunakan jaringan dan taOOIkeOOnaran seperti di bawah, inL Asumsikan bahwa kombinasi input ABC = OJI dan ABC =.ItO tidak pemah ada.
N2
A--t
-
..
NI
--II
/
Z
8l C
155
-
--
---
A B
C I D
E
F
0 0 0 0 I I I I
0 I 0 I 0 I 0 1
I 0 0 0 0 0 0 1
I I 0 0 1 0 0 0
0 0 I 0 0 1 I I
0 0 I I 0 0 I 1
I
5.23 Kerjakan (a) dan (b) dengan tabel kebenaran di bawah ini : A B
C
F
G
0 0 0 0 I I 1 I
0 1
0 1 X 1
0 X 0 1
0 0 1 I 0 0 1 1
0 I 0 1
II !
0
1
X 1 0
0 1 X
(a)
Carilah kalimat yang paling sederhana untuk F, dan tentukan nilai-nilai untuk term "yang tidak dipedulikan" yang menjadikan kalikat ini.
(b)
Ulangilah (a) untuk G.
5.24 Dalam setiap kasus, tentukan jika X (a) X
=Y:
= C(A + 13)+AB,Y = ABC'+
AB'C + BC
(b) X = B'C'D~+ AB'C+ BCD + A'BC' Y
156
= A'C'D'+
AB'D'+ ACD + A'BD
(c)
X = A'C'+ B + AC Y = A 'C'+ A'B + AC + AB
(d)
X = BD(A'C + C')+ A'B'(C'+ Y = A'C'(B'+
D')+ A(BCD'+ B'C'D')
D) + D(BC'+ AB)+CD'(A'B'+
AB)+ AB'(CD+C'D')
5.25 Suatujaringan kombinasionalmempunyaiempat input (A, B, C, D) dan tiga output (X, Y, Z). XYZ mewakili bilangan biner yang nilainya sarna dengan bilangan 1 pada input. Misalnya jika ABCD = 1011, XYZ = 011 (a) Carilah perluasan minterm untuk X, Y, dan Z (b) Carilah perluasan maksterm untuk Y dan Z
5.26 Suatu jaringan kombinasional mempunyai empat input (A, B, C, D) dan empat output (W, X, Y. Z) WXYZ mewakili bilangan kode ekses-3 yang nlainya sarna dengan bilangan 1 pada input. Misalnya, ABCD = 1101, WXYZ = 0110. (a) Carilah perluasan minterm untuk X, Y, dan Z (b) Carilah perluasan maksterm.untuk Y dan Z.
5.27 Suatu jaringan kombinasional mempunyai empat input (A, B, C. D) yang mewakili digit desimal kode biner. Jaringan tersebut mempunyai dua kelompok dengan empat input -8, T, V, V, dan W,X, Y, Z. Masing-masing kelompokmewakilidigit BCD. Misalnya,jika ABCD = 0111, outputnya adalah 0011 0101. Asumsikan bahwa digit BCD yang tidak valid tidak muncul sebagai input. (a) Susunlah tabel kebenaran. (b) Tulislahkalimatminimumuntuk output dengan menelititabel keOOnaran. (Petunjuk: Cobalahuntuk memadukankolom-kolomdalam taOOIdengan kolom input.) 5.28 Kerjakan Soal 5.27 di mana outputnya mewakili bilangan desim~1 I lebih dari empat kali bilangan input. Misalnya, jika ABCD = 0011, outputnya adalah 0001 00 11. 157
