A
Korespondenèní semináø, KAM MFF UK, Malostranské námìstí 25, 118 00 Praha 1
A
Seriál { Pravdìpodobnost a matemati ká statistika 1 Teorie pravdìpodobnosti je nesmírnì krásnou vìdou. Zatím o vìt¹ina odvìtví matematiky se vìnuje pojmùm a velièinám, je¾ jsou þpøesnìÿ dány, umo¾òuje teorie pravdìpodobnosti hovoøit i o nejistotì a neurèitosti. A proto¾e v reálném svìtì je ví e vì í nejistý h ne¾li jistý h, má ¹iroké uplatnìní v praxi. Seriál bude mít tøi èásti. V první èásti zavedeme základní pojmy a probereme to, o nìkteøí z vás je¹tì nestihli probrat ve ¹kole. Ve druhé si udìláme výlet do svìta náhodný h velièin a podmínìný h nezávislostí. Tøetí èást se bude vìnovat praxi matemati ké statistiky: normálnímu rozdìlení, zákonu velký h èísel a entrální limitní vìtì. An¾to jsou znalosti støedo¹kolský h studentù v této oblasti znaènì rozdílné, pøedem se omlouvám jak tìm, kteøí se pøi ètení prvního dílu seriálu budou nudit, tak tìm, kteøí se v nìm z ela ztratí. Pokud nebudete rozumìt nìjaké de ni i èi vìtì, podívejte se na osvìtlují í pøíklad za ní. Pokud vám s házejí støedo¹kolské znalosti z kombinatoriky a pojmy jako permuta e, kombina e èi varia e vám ni neøíkají, doporuèuji si je doplnit. A» u¾ z nìjaké lep¹í støedo¹kolské uèebni e nebo z internetu. Mù¾ete zkusit kupøíkladu http://www. ze h-ware.net/mathes/zobu eb.aspx?zob=kombinatorika
nebo struèný, ale v¹ezahrnují í textík http://mks.mff. uni. z/knihovna/kombinatorika.pdf.
Klasi ká pravdìpodobnost { verze pro mateøské ¹koly
Mìjme mno¾inu v¹e h mo¾ný h výsledkù nìjakého náhodného pokusu. Tuto mno¾inu budeme nazývat mno¾ina elementární h jevù a znaèit . O její h podmno¾iná h A budeme hovoøit jako o jeve h, o její h prv í h ! 2 jako o elementární h jeve h. Pøíklad. Uva¾ujme výsledek hodu ¹estistìnnou kostkou1 . Potom mno¾ina elementární h jevù jest
= f1; 2; 3; 4; 5; 6g: Jevem je kupøíkladu to, ¾e padne sudé èíslo, A = f2; 4; 6g. Elementární jevy jsou f1g, f2g, f3g, f4g, f5g, f6g. Pomìrnì jednodu hý pøípad nastává tehdy, je-li zaruèeno, ¾e je koneèná a ¾e v¹e hny elementární jevy jsou þstejnì pravdìpodobnéÿ. Potom pravdìpodobností jevu A rozumíme èíslo
j P(A) = jjA
j ; kde jX j znaèí poèet prvkù mno¾iny X . Jev A nazveme jistý, pokud P(A) = 1, a nemo¾ný, pakli¾e P(A) = 0. Jevem doplòkovým k jevu A míníme jev A = n A, zjevnì P(A ) = 1 P(A). 1 Pokud nebude øeèeno jinak, v¹e hny dal¹í v textu zmínìné kostky jsou ¹estistìnné.
i
A
Korespondenèní semináø, KAM MFF UK, Malostranské námìstí 25, 118 00 Praha 1
A
Pøíklad. Tedy v minulém pøíkladu pravdìpodobnost jevu A, ¾e padne sudé èíslo, je rovna
j 3 P(A) = jjA
j = 6 = 0;5: Pøíklad. Na pouti se objevil stánek, kde si náv¹tìvní i mohli vsadit na hod tøemi kostkami2 .
Stánkaøi zaplatili 10 Kè a pokud hodili v souètu alespoò 17 byla jim vypla ena stokoruna. Jinak vklad propadal. Jaká je ¹an e hráèe na výhru? Uva¾ujme jako náhodný pokus hod tøemi kostkami a zajímejme se, zda je jeji h souèet alespoò 17. Mno¾inu elementární h jevù tvoøí 6 6 6 = 216 troji mo¾ný h hodù. Z ni h ètyøi, konkrétnì (6; 6; 6); (5; 6; 6); (6; 5; 6); (6; 6; 5), mají souèet alespoò 17. Tudí¾ 4 =: 0;019: P(souèet je alespoò 17) = 216 Jako nepøíli¹ tì¾ké vièení se mù¾ete pokusit pøijít na to, jaká byla þprùmìrnáÿ výhra hráèe, a kolik tedy prùmìrnì na ka¾dé sáz e vydìlával stánkaø. Pøíklad. Mìjme 6 párù (tzn. 12 kusù) støeví ù. Náhodnì z ni h vyberme 5 støeví ù. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e mezi nimi bude alespoò jeden pár? Mno¾inou elementární h jevù jsou v¹e hny (neuspoøádané) pìti e vybrané z mno¾iny v¹e h bot fa1; a2; b1; b2; 1; 2; d1; d2; e1; e2; f 1; f 2g, kde stejné písmeno znaèí pøíslu¹nost k tému¾ páru. Takový hto pìti je 125 = 792. Nás zajímá pravdìpodobnost jevu A, ¾e ve výbìru bude alespoò jeden pár. Tu je ale znaènì nesnadné spoèítat. Co je v¹ak mnohem snaz¹í, je spoèítat pravdìpodobnost doplòkového jevu A , ¾e tam ¾ádný pár nebude, P(A ) =
25 65
192 : 12 = 792 = 0;24; 5
nebo» vybraný h pìt støeví ù musí patøit do pìti rùzný h párù (a pìt párù z ¹esti lze vybrat 65 zpùsoby) a u ka¾dého páru máme na výbìr ze dvou støeví ù. Odtud u¾ snadno dopoèteme pravdìpodobnost samotného jevu 600 =: 0;76: P(A) = 1 P (A ) = 792
Cvièení. "Kdy¾ se náhodnì vyberou dvì mé dìti, je stejná pravdìpodobnost, ¾e mají stejné
pohlaví, jako pravdìpodobnost, ¾e mají rùzné pohlaví," pravil sultán. þJaká je pravdìpodobnost, ¾e to budou dvì dívky?ÿ otázal se kalif. þStejná jako ¾e náhodnì vybrané dítì bude hlape ,ÿ odvìtil sultán. Pokud jste dobøe po hopili, o to je pravdìpodobnost, a umíte øe¹it kvadrati ké rovni e, nemìlo by pro vás být tì¾ké urèit, kolik má sultán dìtí. Podmínìní náhodným jevem, nezávislost jevù
2 Pøíhoda není tak úplnì imaginární. Podobný stánek jsem skuteènì vidìl na Mohelni kém dostavníku.
ii
A
Korespondenèní semináø, KAM MFF UK, Malostranské námìstí 25, 118 00 Praha 1
A
Ne h» máme dva jevy A a B, P(B) > 0. Podmínìnou pravdìpodobnost jevu A za podmínky, ¾e nastal jev B, de nujeme jako A \ B) : P(AjB) = P(P( B) Dva jevy A a B nazveme nezávislé, jestli¾e P(A \ B) = P(A) P(B): Pokud tyto jevy nejsou nemo¾né, snadno z nezávislosti odvodíme A \ B) = P (A); P(AjB) = P(P( B) A \ B) P(BjA) = P(P( = P (B): A) Vidíme tedy, ¾e u nezávislý h jevù to, ¾e nastal jev A, neovlivní pravdìpodobnost, ¾e nastane jev B, a naopak. Pøíklad. Uva¾ujme hod kostkou: Ne h» A je jev, ¾e padne sudé èíslo. Ne h» B je jev, ¾e padne jednièka nebo dvojka. Potom si snadno mù¾ete ovìøit, ¾e jevy A a B jsou nezávislé. Rozklad mno¾iny elementární h jevù
Jevy B1 , B2 , : : : , Bm nazveme rozkladem mno¾iny elementární h jevù, jestli¾e prùnik libovolný h dvou z ni h je prázdná mno¾ina a sjedno ení v¹e h je . Jinak øeèeno, ka¾dý elementární jev ! 2 nále¾í do právì jednoho z tì hto jevù. Pøíklad. U hodu kostkou mù¾eme uva¾ovat rozklad na jevy, ¾e padne sudé/li hé èíslo. Nebo rozklad na jevy B1 = f1g, B2 = f3; 4; 6g, B3 = f2; 5g. Vìta.
Ne h»
B1 , B2 , : : : , Bm
je rozklad mno¾iny elementární h jevù a ¾ádný z tì hto jevù není
nemo¾ný. Potom pro libovolný jev
A platí
P(A) = Dùkaz.
m X i=1
P(Bi ) P(AjBi ):
Dùkaz je snadný: m X i=1
P(Bi ) P(AjBi ) =
m X i=1
P(A \ Bi ) = P(A):
Pøíklad. K lékaøi hodí nemo ní i zdraví pa ienti. Ví se, ¾e 60% z pa ientù, kteøí pøijdou do ordina e, je nemo ný h. Pan doktor není tvor neomylný, a tak se u 20% pa ientù (a» u¾ zdravý h èi nemo ný h) splete. Kolik pro ent pa ientù oznaèí pan doktor jako nemo né? Tupì aplikujme pøed hozí vìtu s rozkladem pa ient je/není nemo ný: P(pa ient oznaèen za nemo ného) = P(pa ient oznaèen za nemo néhojpa ient je nemo ný) P(pa ient je nemo ný)+
iii
A
Korespondenèní semináø, KAM MFF UK, Malostranské námìstí 25, 118 00 Praha 1
A
P(pa ient oznaèen za nemo néhojpa ient je zdravý) P(pa ient je zdravý) = = 0;8 0;6 + 0;2 0;4 = 0;56 Pov¹imnìme si, ¾e nás v tomto pøípadì vùbe nemuselo zajímat, jak vypadá mno¾ina . Následují í vìta, je¾ nese jméno po tihodném ot i Bayesovi, slou¾í k tomu, aby hom mohli þprohoditÿ jevy v podmiòování:
Vìta (Bayesova).
Ne h»
B1 , B2 , : : : , Bm
je rozklad mno¾iny elementární h jevù a ¾ádný
z tì hto jevù není nemo¾ný. Potom pro libovolný jev
A, P(A) > 0 platí
AjBk ) P(Bk jA) = PmP (BP(k )B P( ) P(AjB ) ; i=1
Dùkaz.
i
k = 1; : : : ; m:
i
Dùkaz je opìt velmi snadný: k ) P(AjBk ) : P(Bk jA) = P(AP(\AB) k ) = PmP(BP( B ) P(AjB ) i=1
i
i
Pøíklad. Pøed hozí vìta je znaènì oblíbená v lékaøské diagnosti e. Uva¾ujme testování, zda
pa ient má AIDS. Máme k dispozi i v elku spolehlivý test, který dá v 95 pro ente h pøípadù správnou odpovìï a v 5 pro ente h mylnou. Víme, ¾e ve sledované popula i má AIDS 0;5% lidí. Test dopadl pozitivnì3 . Jaká je pravdìpodobnost, ¾e pa ient nemo skuteènì má? Oznaème N jev, ¾e pa ient je nemo ný, a Z , ¾e je zdravý. Oznaème jev, ¾e test dopadl pozitivnì, a tupì dosaïme do pøed hozí vìty: 0;005 0;95 jN ) =: 0;087: = P(N j) = P(N ) P(P(jNN) ) +P(P( Z ) P(jZ ) 0;005 0;95 + 0;995 0;05 Odpovìï tedy zní: veli e nízká, ani ne desetina. Ponìkud pøekvapivý výsledek u tak spolehlivého testu, nezdá se vám? Zkuste pøijít na to, proè tomu tak je. Cvièení. Na pro vièení doporuèuji následují í pøíklad: Amerièan, Rus a Èe h se hádají, kdo vydr¾í déle pod vodou. Amerièan tvrdí, ¾e dvì minuty (pravdìpodobnost pøe¾ití 0;8). Rus tvrdí, ¾e pìt minut (pravdìpodobnost pøe¾ití 0;5). Èe h tvrdí, ¾e deset minut (pravdìpodobnost pøe¾ití 0;1). V¹i hni se potopili a jeden z ni h to nepøe¾il. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e to byl Èe h? Námìt k zamy¹lení
Jaká je hlavní nevýhoda námi de nované pravdìpodobnosti? Tu¹íte správnì { v tom, ¾e v¹e hny elementární jevy nemusí být nutnì stejnì pravdìpodobné. Pøedstavte si tøeba þfale¹nou kostkuÿ, na které padá ¹estka o nì o èastìji ne¾ jednièka. Pokud se tedy h eme bavit i o þfale¹ný h kostká hÿ, musíme opustit mateøskou ¹kolku. Ale o tom zase a¾ pøí¹tì : : : 3 To znamená, ¾e svìdèí pro to, ¾e pa ient nemo má.
iv
A
Korespondenèní semináø, KAM MFF UK, Malostranské námìstí 25, 118 00 Praha 1
A
Seriál { Pravdìpodobnost a matemati ká statistika 2 Motto: Bohu¾el va¹e planeta je jednou z tì h, které byly urèeny k demoli i. Tento pro es zapoène za ne elé dvì va¹e pozemské minuty. Nepodléhejte pani e! Dìkuji vám. (z poselství Vogona Jetze, Stopaøùv prùvod e po galaxii, Dougles Adams)
V druhé èást seriálu roz¹íøíme na¹e znalosti z èásti první. Místo náhodný h jevù budeme pra ovat s náhodnými velièinami a krom obyèejné nezávislosti se budeme zabývat i nezávislostí podmínìnou. Zkrátka a dobøe, v¹e hno bude mnohem zajímavìj¹í a dobrodru¾nìj¹í ne¾li minule. Podmínìná nezávislost
Minule jsme zavedli pojem þnezávislost jevùÿ. Roz¹íøíme jej nyní na podmínìnou nezávislost, tedy nezávislost dvou jevù za podmínky, ¾e nastal jev tøetí: De ni e. Jevy A a B nazveme nezávislé za podmínky, ¾e nastal jev C (P(C ) > 0), pakli¾e platí P(A \ BjC ) = P(AjC ) P(BjC ): Pøíklad. Ne h» A je jev, ¾e se v náhodnì vybraném okrese vyskytuje znaènì nadprùmìrné mno¾ství èápù, a B jev, ¾e se tu rodí znaènì nadprùmìrné mno¾ství dìtí, pøièem¾ význam spojení þznaènì nadprùmìrnéÿ pone hávám ètenáøovì fantazii. Tabulka pravdìpodobností A a B by mohla vypadat napøíklad takto4 : 13 7 P (A \ B ) = 64 P (A \ B ) = 64 13 P (A \ B ) = 31 P (A \ B ) = 64 64 Odtud snadno spoèítáme 647 = P(A \ B) 6= P(A) P(B) = 664;25 . Jevy A a B tedy nejsou nezávislé, ke v¹emu si mù¾ete spoèítat, ¾e pravdìpodobnost výskytu enormního mno¾ství novorozen ù je vy¹¹í, pokud nastal výskyt enormního mno¾ství èápù, ne¾ kdy¾ tomu tak nebylo. Teï se mo¾ná smìjete a myslíte si, ¾e takto by to ve skuteènosti být nemohlo. A to se mýlíte! Skuteènì existuje výzkum, který potvrzuje statisti ky významnou souvislost mezi poètem èápù a novorozen ù. Znamená to tedy, ¾e dìti nosí èáp? Nikoli, znamená to jen, ¾e pøíèinnou souvislost dvou jevù nelze zkoumat bez ohledu na jevy ostatní. Oznaème si ná¹ hypoteti ký vysvìtlují í jev tøeba C . Mù¾e odrá¾et vliv ¾ivotního prostøedí, zemìpisné ¹íøky, : : : Jeho pravdìpodobnost ne h» je P(C ) = 14 a pravdìpodobnosti A a B podmínìno C jsou 1 P (A \ B jC ) = 3 P (A \ B jC ) = 14 P (A \ B jC ) = 16 P (A \ B jC ) = 14 1 1 3 P (A \ B jC ) =169
P (A \ B jC ) = 4 P (A \ B jC ) = 4 P (A \ B jC ) = 16 16 Jako snadné vièení si mù¾ete ovìøit, ¾e A a B jsou podmínìnì nezávislé za podmínky C , a obì tabulky jsou navzájem konzistentní. A jako první statistikovo pøikázání si zapi¹te: þNebudu z popøení nezávislosti dvou jevù vyvozovat pøímou pøíèinnou souvislost mezi nimi!ÿ. Ké¾ by toto pøikázání tili v¹i hni praktiètí výzkumní i. 4 Pøipomeòme, ¾e A znaèí doplòkový jev k A, tedy n A.
v
A
Korespondenèní semináø, KAM MFF UK, Malostranské námìstí 25, 118 00 Praha 1
A
Klasi ká pravdìpodobnost { roz¹íøení na rùznì pravdìpodobné elementární jevy Mìjme opìt mno¾inu elementární h jevù = f!1 ; : : : ; !n g. Ka¾dému elementárnímu jevu !i
pøiøadíme pravdìpodobnost pi 2 h0; 1i, ¾e tento jev nastane, pøièem¾ souèet tì hto pravdìpodobností je nutnì jedna: n X pi = p1 + p2 + + pn = 1 : i=1
Potom pravdìpodobnost jevu A je rovna souètu v¹e h pravdìpodobností elementární h jevù nále¾í í h do A: X P(A) = pi : i: !i 2A
Pøíklad. Uva¾ujme fale¹nou kostku, na ní¾ padá ¹estka s pravdìpodobností 12 , zatím o ostatní èísla s pravdìpodobností 101 . Mno¾ina elementární h jevù = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Jev, ¾e padne sudé
èíslo, A = f2; 4; 6g:
1 + 1 + 1 = 0;7: P(A) = 10 10 2
Poznámka. Pov¹imnìte si toho, ¾e pokud jsou v¹e hny elementární jevy stejnì pravdìpodobné
p1 = p2 = = pn = j 1 j , dostáváme
teorii pravdìpodobnosti pro mateøskou ¹kolku. Dále si pov¹imnìte toho, ¾e jsme nijak nevyu¾ili faktu, ¾e je koneèná, a pokud tedy umíme pra ovat s nekoneènými souèty, mù¾eme (a také budeme) mít nekoneènou spoèetnou5 . Cvièení. Ovìøte, ¾e pøi takto modi kované de ni i pravdìpodobnosti jevu mají smysl v¹e hny de ni e z minula a platí v¹e hny vìty. Vý¹e uvedenou de ni i typi ky vyu¾ijeme, kdy¾ se sna¾íme popsat nìjakou náhodnou vì z praxe, je¾ je èíselné povahy { napøíklad poèet narozený h dìtí, poèet uzdravený h pa ientù, : : : Zde je pou¾ití stejnì pravdìpodobný h elementární h jevù pøinejmen¹ím krkolomné. Ne h» tedy je spoèetnou podmno¾inou reálný h èísel6 a P pravdìpodobnost na . Potom budeme mluvit o náhodné velièinì X s rozdìlením P a P(X = k) znaèí pravdìpodobnost elementárního jevu k, P(k); resp. P(X 2 A) znaèí pravdìpodobnost jevu A, P(A). Náhodné velièiny budeme obvykle znaèit velkými písmeny z kon e abe edy. Pøíklad. U hodu ¹estistìnnou kostkou mù¾eme oznaèit èíslo, je¾ padne, jako náhodnou velièinu X . Poté mù¾eme hovoøit o pravdìpodobnosti, ¾e X je tøi, P(X = 3) = 61 ; resp. ¾e X je sudé, P(X 2 f2; 4; 6g) = 12 . De ni e. Støední hodnotou náhodné velièiny X míníme X
x2
x P (X
= x)
a znaèíme E X . Jedná se tedy o vá¾ený prùmìr mo¾ný h hodnot X , kde váhy tvoøí pravdìpodobnosti tì hto hodnot. 5 Pokud této poznám e ani zbla nerozumíte, ponìvad¾ netu¹íte, o znamená slovíèko þspoèetnýÿ, tak si s ní nelamte hlavu. Znaènì volnì øeèeno, spoèetná je taková mno¾ina, která má þstejnì nebo ménìÿ prvkù ne¾li mno¾ina elý h èísel. 6 tj. napøíklad elá èísla, pøirozená èísla, koneènì mnoho èísel, : : :
vi
A
Korespondenèní semináø, KAM MFF UK, Malostranské námìstí 25, 118 00 Praha 1
A
V angliètinì se místo o støední hodnotì mluví o oèekávané hodnotì. A právì takový je její význam { znaèí, kolik asi tak mù¾eme oèekávat, ¾e bude prùmìr z mnoha realiza í X . Pøíklad. Ne h» X je náhodná velièina udávají í hod spravedlivou kostkou. Potom E X = 1 16 + 2 16 + 3 61 + 4 16 + 5 61 + 6 61 = 3;5: Ne h» Y je náhodná velièina udávají í hod fale¹nou kostkou z minulého pøíkladu. Potom 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + 6 1 = 4;5: E Y = 1 10 10 10 10 10 2 De ni e. Rozptylem náhodné velièiny X míníme
E X 2 (E X )2 = E(X E X )2 =
X
(x E X )2 P (X = x)
x2
a znaèíme Var X . Rozptyl je mírou toho, jak se X dr¾í kolem své støední hodnoty, resp. jaká je v nìm ukryta neurèitost. Èím vìt¹í rozptyl, tím vìt¹í neurèitost. Jako snadné vièení mù¾ete ovìøit, ¾e Var X = 0 právì tehdy, kdy¾ X = EX s pravdìpodobností jedna, a ¾e rozptyl je v¾dy nezáporný. Poznámka. Pozorný ètenáø si zajisté pov¹iml, ¾e pøed hozí de ni e není z ela korektní, nebo» není z ela jasné, o vlastnì míníme výrazem E X 2 , resp. E(X E X )2 , nebo» umíme zatím spoèítat støední hodnotu náhodné velièiny X , ale nikoli funk e této velièiny f (X ). Pozornému ètenáøi je nutno z ela dát z ela za pravdu a pøiznat, ¾e autor zde zneu¾ívá toho, ¾e intuitivnì je jasné, o se tím þmyslíÿ. Po tivì by bylo potøeba dokázat, ¾e pokud X je náhodná velièina, potom X 0 = f (X ) je opìt náhodná velièina (na nìjakém jiné mno¾inì 0 a s jiným rozdìlením P0 ), a tudí¾ mù¾eme spoèítat její støední hodnotu E0 X 0 . Pro prakti ký výpoèet je mo¾no vyu¾ít toho, ¾e E f (X ) =
X
x2
f (x) P (X
= x);
Var f (X ) = E f (X )2 (E f (X ))2 =
X
x2
(f (x) E f (X ))2 P (X = x):
Dùkaz je pone hán pozornému ètenáøi. Pøíklad. Kdyby nás tedy zajímalo, jaká se støední hodnota tøetí mo niny èísla, je¾ nám padne na spravedlivé kost e (oznaème jej X ), zvìt¹eného o jednièku, dostali by hom E(X + 1)3 = 8 16 + 27 61 + 64 61 + 125 16 + 216 61 + 343 61 = 130;5: Pøíklad. Ne h» X je náhodná velièina udávají í hod spravedlivou kostkou, potom E X 2 = 12 61 + 22 16 + 32 61 + 42 16 + 52 16 + 62 61 =: 15;2; Var X = E X 2 (E X )2 =: 2;9: vii
A
Korespondenèní semináø, KAM MFF UK, Malostranské námìstí 25, 118 00 Praha 1
Vìta.
Pro náhodnou velièinu
X
a libovolné nenáhodné konstanty
A
a a b platí:
E(aX + b) = a(E X ) + b; Var(aX + b) = a2 Var X: Dùkaz.
E(aX + b) =
X
x2
Obdobnì
(ax + b) P(X = x) = b Var(aX + b) = = a2
X
x2
X
x2
X
x2
P(X = x) + a
X
x2
x P(X
= x) = b + a E X:
((ax + b) (a E X + b))2 P(X = x) =
((x E X )2 P(X = x) = a2 Var X:
Poznámka. Pozorného ètenáøe zajisté napadlo, ¾e si e umíme u¾ pra ovat s jednou náhodnou
velièinou, ale nikoli se dvìma. Nedoká¾eme tedy øí i, jaká je napøíklad pravdìpodobnost P(X = = y) nebo støední hodnota E XY . To je po hopitelnì hyba a nelze ji jednodu¹e napravit. Aby hom mohli mluvit o vzájemné interak i ví e náhodný h velièin X1 , X2 , : : : , Xk , musí být nade novány na té¾e mno¾inì elementární h jevù , tedy musíme pra ovat s jedinou náhodnou velièinou { uspoøádanou k-ti í (X1 ; X2 ; : : : ; Xk ) a to si ¾ádá opìt tro hu obe nìj¹í de ni i pravdìpodobnosti. Pro názornost tu provedu konstruk i pro pøípad dvou náhodný h velièin X a Y , pøièem¾ pro vìt¹í poèet se u¾ije obdobného triku. Mìjme dvì náhodné velièiny: X nabývají í hodnot z X a Y nabývají í hodnot z Y . Potom za mno¾inu elementární h jevù budeme brát mno¾inu uspoøádaný h dvoji f(x; y) : x 2
X ; y 2 Y g a pod P(X = x; Y = y) budeme rozumìt P(x; y), kde P je nìjaká pravdìpodobnost na . V tomto pøípadì P(X = x) znaèí
x; Y
P(X = x; Y = þ okoliÿ) = P(X = x; Y 2 Y ) =
X
y2 y
P(X = x; Y = y):
Pov¹imnìme si, ¾e pokud se budeme zabývat pouze X , Y èi libovolnou nenáhodnou funk í náhodnou velièinu podle døívìj¹í de ni e.
f (X; Y ), dostaneme
Vìta.
Ne h»
X
a
Y
jsou náhodné velièiny. Potom
E(X + Y ) = E X + E Y: Dùkaz.
Po¾adované tvrzení dostaneme snadnou úpravou: E(X + Y ) = =
X
X
x2 X y2 Y
x P(X
X
x2 X ;y2 Y
(x + y) P(X = x; Y = y) =
= x; Y = y) +
X
X
y2 Y x2 X
viii
y P(X
= x; Y = y) =
A
Korespondenèní semináø, KAM MFF UK, Malostranské námìstí 25, 118 00 Praha 1
=
X
x2 X
x P(X
= x) +
X
y2 Y
y P(Y
A
= y) = E X + E Y:
De ni e. Øekneme, ¾e dvì náhodné velièiny X a Y jsou nezávislé, jestli¾e pro v¹e hna x, y platí
P(X = x; Y = y) = P(X = x) P(Y = y); neboli jevy fX = xg a fY = yg jsou nezávislé. Obdobnì, jestli¾e X1 , X2 , : : : , Xn jsou náhodné velièiny nabývají í hodnot z 1 , 2 , : : : ,
n , potom je nazveme navzájem nezávislé, jestli¾e pro libovolné x1 2 1 , x2 2 2 , : : : , xn 2 n platí P(X1 = x1 ; X2 = x2 ; : : : ; Xn = xn ) = P(X1 = x1 ) P(X2 = x2 ) : : : P(Xn = xn ): Pøíklad. Napøíklad pokud hodíme n kostkami, tak èísla, je¾ padnou na jednotlivý h kostká h, jsou navzájem nezávislé náhodné velièiny (a to i v pøípadì fale¹ný h kostek). Cvièení. Ovìøte, ¾e pokud máme n navzájem nezávislý h velièin, pak libovolný h k (k < n) z ni h vybraný h jsou opìt navzájem nezávislé náhodné velièiny. Vìta.
Ne h»
X
a
Y
jsou nezávislé náhodné velièiny, potom
i) E(XY ) = E X E Y ii) Var(X + Y ) = Var X + Var Y ,
.
Cvièení. Doka¾te tuto vìtu: pou¾ijte nezávislost a v druhé èásti de ni i rozptylu Var(X + Y ) = E(X + Y )2 (E(X + Y ))2 . Pokud vám to pøi¹lo mo jednodu hé, formulujte obdobné tvrzení pro ví e náhodný h velièin. Pøíklady nejbì¾nìj¹í h rozdìlení
Aby nebylo nutné poka¾dé znovu odvozovat vlastnosti tì h nejbì¾nìj¹í h náhodný h velièin, rozli¹ujeme nìkolik jeji h þtypùÿ. Alternativní rozdìlení De ni e. Øekneme, ¾e náhodná velièina X má alternativní rozdìlení s parametrem p, jestli¾e X nabývá pouze hodnot 0 a 1 a P(X = 1) = p. Znaèíme X Alt(p). Pro X = 1 budeme mluvit o þúspì huÿ, pro X = 0 o þneúspì huÿ. Pøíklad. Typi kým pøíkladem náhodné velièiny s alternativním rozdìlením je indikátor nìjakého jevu A, tj. náhodná velièina, je¾ se rovná jedna, pokud jev A nastal (napø. padla ¹estka, padlo sudé èíslo, : : : ), a nula, pokud jev A nenastal. Støední hodnotu X Alt(p) spoèteme snadno: E X = 1 p + 0 (1 p) = p; rozptyl takté¾: Var X = E X 2 (E X )2 = 12 p + 02 (1 p) p2 = p(1 p): Binomi ké rozdìlení ix
A
Korespondenèní semináø, KAM MFF UK, Malostranské námìstí 25, 118 00 Praha 1
A
De ni e. Souèet n navzájem nezávislý h náhodný h velièin s rozdìlením Alt(p) nazveme náhodnou velièinou X s binomi kým rozdìlením a znaèíme X Binom(n; p). Jinak øeèeno, X znaèí poèet úspì hù v n nezávislý h velièiná h s rozdìlením Alt(p). Pøíklad. Pokud hodíme n spravedlivými kostkami, potom poèet ¹estek, je¾ nám padne, má binomi ké rozdìlení, konkrétnì Binom(n; 16 ). Z de ni e je jasné, ¾e X Binom(n; p) nabývá hodnot 0,1, : : : , n. Pravdìpodobnost, ¾e nabude hodnoty k, tedy ¾e alternativní náhodné velièiny, jeji h¾ je souètem, obsahují právì k úspì hù, je rovna poètu mo¾ný h výbìrù k prvkù z n, t.j. nk , krát pravdìpodobnost ka¾dé z posloupností k úspì hù a (n k) neúspì hù, t.j. pk (1 p)(n k) . Dohromady tedy P(X = k) = nk pk (1 p)(n k) :
Støední hodnotu a rozptyl spoèítáme podle vìty pro souèet náhodný h velièin, u rozptylu naví vyu¾ijeme nezávislosti alternativnì rozdìlený h velièin Y1 , Y2 , : : : , Yn , jeji h¾ je X souètem, EX = E
n X
Yi =
i=1 n X
Var X = Var
i=1
n X
E Yi = np;
i=1 n X
Yi =
i=1
Var Yi = np(1 p):
Pøíklad. Známý hráè Samuel Pepys kdysi pøi¹el za jistým Johnem Smithem s následují í úlohou:
Co si myslíte, ¾e je snaz¹í { hodit 6 kostkami alespoò jednu ¹estku, hodit 12 kostkami alespoò dvì ¹estky nebo hodit 18 kostkami alespoò tøi ¹estky? Ti, o mají dobrou intui i, by mìli øe¹ení této úlohy uhádnout i bez poèítání. Pro ty ostatní, oznaème poèet ¹estek pøi hodu 6, 12 a 18 kostkami po øadì X , Y a Z . Zøejmì X Binom(6; 16 ), Y Binom(12; 16 ), Z Binom(18; 16 ). Tudí¾ 6 1 0 5 6
: 0 6 6 = 0;67; 1 0 5 12 P(Y 2) = 1 P(Y = 0) P(Y = 1) = 1 12 0 6 6 P(Z 3) = 1 P(Z = 0) P(Z = 1) P(Z = 2) =: 0;60:
P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1
12 1 1 5 11
1
6
6
=: 0;62;
Geometri ké rozdìlení De ni e. Mìjme posloupnost nezávislý h náhodný h velièin s rozdìlením Alt(p): Y1 , Y2 , : : : Náhodnou velièinou s geometri kým rozdìlením s parametrem p rozumíme poèet neúspì hù v pøed hozí posloupnosti pøed prvním úspì hem. Znaèíme Geom(p). Pøíklad. Poèet hodù kostkou, ne¾li7 nám padne ¹estka, má rozdìlení Geom( 16 ). Pravdìpodobnost, ¾e X Geom(p) nabude hodnoty k, snadno spoèteme jako pravdìpodobnost, ¾e nastane k neúspì hù a po ni h jeden úspì h: P(X = k) = (1 p)k p: 7 Tzn. hod, ve kterém nám padne ¹estka, se u¾ nepoèítá.
x
A
Korespondenèní semináø, KAM MFF UK, Malostranské námìstí 25, 118 00 Praha 1
A
Vzore pro støední hodnotu a rozptyl zde uvedeme bez dùkazu: E X = 1 p; p
Var X = 1 p2 p : Pøíklad. V ka¾dé ¾výkaè e Pedro je ukrytý nìkterý z n obrázkù Harry Pottera. Pøedpokládejme, ¾e ka¾dý obrázek se ve ¾výkaèká h vyskytuje se stejnou pravdìpodobností. Jaká je støední hodnota poètu ¾výkaèek, které musíme zakoupit, aby hom získali v¹e hny Harryho obrázky? Oznaème X náhodnou velièinu udávají í poèet ¾výkaèek, je¾ musíme zakoupit. Oznaème Yi poèet ¾výkaèek, zakoupený h po dosa¾ení i obrázkù do doby, ne¾li8 získáme (i + 1) obrázkù. Zjevnì X = 1 + Y1 + 1 + Y2 + 1 + Y3 + 1 + : : : Yn 1 + 1 a velièiny Yi mají rozdìlení Geom( nn i ). Tudí¾
EX = n +
nX1 i=1
E Yi = n +
nX1
i
n X
= n: i=1 n i i=1 i
Tedy napøíklad pro n = 20 vyjde E X = 72.
Seriál { Pravdìpodobnost a matemati ká statistika 3 Motto: Po aplika i preparátu B se 33;3% kuøat uzdravilo, 33;3% kuøat uhynulo a o zbývají í h
33;3% kuøat nejsme s hopni poskytnout uspokojují í informa i. Dosud se nám nepodaøilo to tøetí kuøe hytit.
V závìreèné èásti seriálu opustíme ¹edou teorii a vrhneme se do mnohabarevné praxe. Pøedem varuji, ¾e se zde setkáte s vìt¹í mírou neurèitosti a men¹í mírou pre iznosti, ne¾ na jakou jste asi zvyklí a ne¾ jaká je po vás v korespondenèním semináøi vy¾adována. Tuto daò za dosa¾ení u¾iteèný h a zajímavý h výsledkù je nutné zaplatit, nebo» teorie, je¾ se za tìmito výsledky skrývá, zdaleka pøesahuje ráme støedo¹kolské matematiky. Poissonovo rozdìlení
K bì¾ným rozdìlením z minula si je¹tì pøidáme tzv. Poissonovo rozdìlení: De ni e. Øekneme, ¾e náhodná velièina X má Poissonovo rozdìlení s parametrem 0 < < 1 (znaèíme X P oiss()), pokud nabývá pouze nezáporný h elý h èísel a to s pravdìpodobností k
P(X = k) = k! e ; 8 Ten s i + 1. obrázkem se u¾ nepoèítá.
xi
k = 0; 1; : : : ;
