Analýza stavebních konstrukcí

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Analýza stavebních konstrukcí Příklady Petr Konvalinka

prof. Ing. Petr Konvalinka, CSc. a kolektiv 2009

prof. Ing. Petr Konvalinka, CSc. Ing. Dagmar Jandeková, Ph.D. Ing. Radoslav Sovják, Ph.D. Ing. Jindřich Fornůsek Ing. Karel Mach, Ph.D. Ing. Petr Máca Ing. Michal Hlobil

Datum poslední revize: 23.10.2014

Obsah Předmluva ............................................................................................................................ 5 1

Příčinkové čáry ............................................................................................................ 6 1.1

Příčinkové čáry na staticky určitých konstrukcích ................................................ 7

1.1.1

Příčinkové čáry na prostém nosníku .............................................................. 7

1.1.2

Winklerovo kritérium..................................................................................... 8

1.2

Řešené příklady ................................................................................................... 10

1.2.1 1.3

2

Příčinkové čáry na spojitém nosníku ........................................................... 10

Příčinkové čáry na staticky neurčitých konstrukcích .......................................... 13

1.3.1

Určení pořadnic příčínkové čáry .................................................................. 13

1.3.2

Příklady příčinkových čar na spojitém nosníku ........................................... 13

Princip virtuálních prací ............................................................................................. 15 2.1

Shrnutí problematiky ........................................................................................... 15

2.2

Řešené příklady ................................................................................................... 17

2.2.1

Vzorový příklad, silové zatížení .................................................................. 17

2.2.2

Vzájemné pootočení desek na Gerberově nosníku, silové zatížení ............. 19

2.2.3

Šikmý prut, silové zatížení a pokles podpory .............................................. 20

2.2.4

Poddajnost kyvného prutu, silové zatížení a rovnoměrná změna teploty .... 22

2.2.5

Pootočení průřezu, zatížení nerovnoměrnou změnou teploty ...................... 25

2.2.6 Příhradová konstrukce, kombinace silového zatížení, změny teploty a poklesu podpory ......................................................................................................... 26 2.2.7

Redukční věta............................................................................................... 29

Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda ...................................................... 30 2.1

3

Úvod .................................................................................................................... 30

2.1.1

Rozbor konstrukce ....................................................................................... 30

2.1.2

Vzorový příklad ........................................................................................... 31

2.1.3

Vliv poddajnosti kyvného prutu................................................................... 37

2.1.4

Kombinace silového zatížení a změny teploty............................................. 40

2.1.5

Kombinace silového zatížení a poklesu podpory......................................... 45

2.1.6

Příhradová konstrukce ................................................................................. 49

Plošné konstrukce ...................................................................................................... 52 3.1

Desky – metoda sítí ............................................................................................. 52

3.1.1

Základní pojmy a vztahy.............................................................................. 52

3.1.2 3.2

Řešené příklady ................................................................................................... 56

3.2.1

Příklad 1 ....................................................................................................... 56

3.2.2

Příklad 2 ....................................................................................................... 60

3.2.3

Příklad 3 ....................................................................................................... 63

3.2.4

Příklad 4 ....................................................................................................... 64

3.3

Stěny – metoda sítí .............................................................................................. 65

3.3.1

Základní pojmy a vztahy.............................................................................. 65

3.3.2

Metoda sítí ................................................................................................... 66

3.4

4

Metoda sítí ................................................................................................... 53

Řešené příklady ................................................................................................... 68

3.4.1

Příklad 1 ....................................................................................................... 68

3.4.2

Příklad 2 ....................................................................................................... 72

3.4.3

Příklad 3 ....................................................................................................... 76

3.4.4

Příklad 4 ....................................................................................................... 77

Kroucení tenkostěnných otevřených průřezů............................................................. 78 4.1

Průřezové charakteristiky .................................................................................... 78

4.2

Příklad výpočtu výsečových charakteristik ......................................................... 79

4.3

Napjatost průřezu ................................................................................................ 82

4.3.1

Normálové napětí ......................................................................................... 82

4.3.2

Smyková napětí ............................................................................................ 82

4.4

Příklad: stanovení průběhu napětí ....................................................................... 83

4.4.1

Příklad: Normálové napětí ........................................................................... 88

4.4.2

Příklad: Smykové napětí .............................................................................. 90

5

Předmluva

Předmluva Příkladové skriptum Analýza stavebních konstrukcí je určeno jako pomůcka studentům ke stejnojmennému předmětu ANKC, který je vyučován ve 3. ročníku bakalářského studia na oborech K a C. Spolu s přednáškami a cvičením tvoří komplexní podklad pro přípravu k testům během semestru a ke zkoušce. Příkladové skriptum pokrývá všechny hlavní kapitoly vyučované v předmětu ANKC – příčinkové čary na staticky určitých i neurčitých nosnících, řešení desek a stěn metodou sítí a kroucení tenkostěnných otevřených průřezů. Dále jsou součástí skript i příklady na silovou metodu. Skriptum je připraveno pro oboustranný tisk a svázání. Tomu jsou také přizpůsobeny okraje na lichých a sudých stránkách.

Příčinkové čáry

6

1 Příčinkové čáry Dosud jsme předpokládali, že na konstrukci působí stálé zatížení – poloha a velikost zatížení byla konstantní. U inženýrských konstrukcí (mosty, jeřábové dráhy atd.) hraje významnou roli pohyblivé zatížení (pohyblivá soustava sil), které je zpravidla svislé. Mění se pouze poloha soustavy (velikost a vzájemná vzdálenost sil jsou neměnné – stálé veličiny). V každém průřezu tedy vzniká nekonečné množství hodnot M, V, N (pro každý z nekonečného množství zatěžovacích stavů jedna hodnota M, V, N). Příčinkové čáry jsou tedy grafickým znázorněním funkční závislosti polohy zatížení na velikosti příslušné statické veličiny. Určují se: a) z definice – postupujeme tak, že pro každou polohu jednotkové zatěžovací síly vypočteme příslušnou statickou veličinu z podmínek rovnováhy konstrukce, b) kinematicky – do místa, ve kterém určujeme příčinkovou čáru statické veličiny vložíme vazbu umožnující příslušný deformační impuls. Deformace konstrukce určuje tvar příčinkové čáry. Vkládané nebo uvolňované vazby vazby jsou: 

vložený klub – příčinková čára M,



vložené posuvné vetknutí – příčinková čára V,



uvolnění vazby v místě a směru dané zjišťované reakce – příčinková čára R.

Obr. 1.1: Vložené a uvolňované vazby Definice příčinkové čáry: Příčinková čára statické veličiny (M, V, N, R, …) je čára, jejíž pořadnice η udávají velikost statické veličiny ve vyšetřovaném průřezu při pohybu osamělé síly F = 1 [-] po nosníku.

Analýza stavebních konstrukcí – příklady

7

1.1 Příčinkové čáry na staticky určitých konstrukcích Příčinková čára na staticky určitých konstrukcích je vždy lineární. Ve vnějších podporách původního nosníku má příčinková čára nulové pořadnice, ve vnitřních kloubech má zlomy.

1.1.1 Příčinkové čáry na prostém nosníku

Obr. 1.2: Příčinková čára reakce R

Obr. 1.3: Příčinková čára posouvající síly V


8

Obr. 1.4: Příčinková čára ohybového momentu M

1.1.2 Winklerovo kritérium Winklerovo kritérium je kritérium pro výpočet maximálního momentu v daném průřezu x od dané soustavy sil. Otázka tedy zní: Za jaké polohy soustavy sil vzniká v daném průřezu maximální moment (max M)? Do průřezu x umístíme břemeno Fr (Fr je jedno břemeno ze zadané soustavy sil, avšak my nevíme které), které určíme podle Winklerova kriteria (platí za předpokladu, že celá soustava sil působí nad polygonem a-b-c) Winklerovo kriterium: Břemeno Fr v nejúčinnější poloze mění znamení nerovnosti! 𝐹1 … . 𝐹𝑖 > <𝑅

𝑥 𝑙

(1.1)

Pomocí Winklerova kritéria určete polohu soustavy sil na nosníku, která vyvodí extrémní účinek momentu v průřezu x. Max M v bodě x vyčíslete.

Obr. 1.5: Prostý nosník s převislým koncem


9

Obr. 1.6: Příčinková čára momentu v bodě x Jako první stanovíme velikost výslednice sil pohyblivého zatížení. 𝑅 = ∑ 𝐹𝑖 = 40 + 20 + 20 = 80𝑘𝑁

(1.2)

Za druhé spočítáme pravou stranu Winklerova kritéria; 𝑥 3 (1.3) = 80 ∙ = 48𝑘𝑁 𝑙 5 "x" je vzdálenost vlevo od myšleného řezu na nosníku, pokud soustava sil najíždí na nosník zprava. 𝑥 𝐹1 … . 𝐹𝑖 > <𝑅 𝑙 (1.4) 40 < 48 𝑅∙

40 + 20 > 48 Druhá síla F2 nám změnila znaménko nerovnosti a právě protu tuto sílu umístíme do průřezu "x".

Obr. 1.7: Vyčíslení maximálního momentu 𝑚𝑎𝑥𝑀 = 𝐹1 ∙ 0,4 + 𝐹2 ∙ 1,2 + 𝐹3 ∙ 0,6 = 40 ∙ 0,4 + 20 ∙ 1,2 + 20 ∙ 0,6 𝑚𝑎𝑥𝑀 =52 kNm

(1.5)


10

1.2 Řešené příklady 1.2.1 Příčinkové čáry na spojitém nosníku Velikost výsledného maximálního momentu v průřezu x spočítáme dle vykreslené příčínkové čáry. Příčinková čára na spojitém nosníku se dá řešit dvěma způsoby: a) z definice příčinkové čáry: 

rozkreslíme nosník na části nesoucí a nesené,



vyřešíme příčinkovou čáru na tom nosníku, kde je zadán průřez,



příčinková čára pokračuje na všech nosnících vyšší úrovně (nesených).

Ve vnějších podporách původního nosníku má příčinková čára nulové pořadnice, ve vnitřních kloubech má zlomy. Je vždy lineární (platí pro staticky určité konstrukce). b) kinematicky 

uvolníme nebo do konstrukce vložíme vazbu, která odpovídá uvažované statické veličině,



zavedeme příslušnou jednotkovou deformaci,



tvar deformace konstrukce odpovídá hledané příčinkové čáře (předpokládáme lineární průběh deformací),



určíme jednu pořadnici příčinkové čáry, ostatní dopočítáme z podobnosti trojúhelníků.


11

Příklad 1: Vypočtěte a do obrázku zakreslete příčinkové čáry spojitého nosníku. Rozměry jsou udávány v [m], zatížení v [kN]. Vyčíslete Qpx2 pro zadané stálé zatížení a dále určete max Mx1 pro pohyblivou soustavu sil.

Obr. 1.8: Příčinkové čáry na staticky určitém nosníku Vyčíslení posouvající síly Qx2 zprava: Qx2 = −0,75 ⋅ 10 − 6 ⋅ 0,5 ⋅ 4 ⋅ 0,25 = −7,5 − 3 = −10,5 kN Vyčíslení maximálního momentu max Mx1: max Mx1 = 5 ⋅ 1,25 + 10 ⋅ 1,5 + 10 ⋅ 0,5 + 5 ⋅ 0,25 = 27,5 kNm


12 Příklad 2:

Vypočtěte a do obrázku zakreslete příčinkové čáry spojitého nosníku. Rozměry jsou udávány v [m], zatížení v [kN]. Vyčíslete Mg pro zadané stálé zatížení a dále určete max Mx2 pro pohyblivou soustavu sil.

Obr. 1.9: Příčínkové čáry na staticky určitém nosníku Vyčíslení momentu Mg: Mg = −15 ⋅ 3 − 0,5 ⋅ 1 ⋅ 1,5 ⋅ 10 + 0,5 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 10 + 0,5 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 10 = 7,5 kNm Vyčíslení momentu max Mx2: Mx2 = 4 ⋅ 0,27 + 8 ⋅ 0,42 = 4,44 kNm


13

1.3 Příčinkové čáry na staticky neurčitých konstrukcích 1) Tvar určíme kinematicky: 

uvolníme nebo přidáme vazbu,



vyřešíme příčinkovou čáru jako tvar deformace nosníku od jednotkového deformačního impulsu.

Ve vnějších podporách má příčinková čára nulové pořadnice, ve vnitřních kloubech má zlomy. Je nelineární na staticky neurčitých částech konstrukce, na staticky určitých částech pak lineární. 2) Pořadnice určíme SM nebo ZDM.

1.3.1 Určení pořadnic příčínkové čáry Stanovíme body, ve kterých budeme zjišťovat hodnoty pořadnic příčinkové čáry o všech. Do těchto bodů umístíme postupně zatěžovací sílu o jednotkové velikosti a každý případ řešíme jako samostatný zatěžovací stav. K řešení použijeme metody pro řešení staticky neurčitých konstrukcí – ZDM, SM. Vypočtené pořadnice pak vynášíme do místa působiště příslušné zatěžovací síly

1.3.2 Příklady příčinkových čar na spojitém nosníku


14

Obr. 1.10: Průběh příčinkových čar na spojitém nosníku Chceme–li zjistit pořadnice příčinkové čáry na staticky neurčité konstrukci, musíme na konstrukci vyvodit takový zatěžovací stav, který odpovídá dané pořadnici. V našem příkladu chceme vyčíslit pořadnice všech příčinkových čar v průřezu 1. Vložíme tedy do průřezu 1 sílu o velikosti F=1kN. Daný zatěžovací stav spočítáme (ZDM, SM) a dané pořadnice příčinkových čar doplníme.

Obr. 1.11: Průběh vnitřních sil na spojitém nosníku


15

2 Princip virtuálních prací 2.1 Shrnutí problematiky Virtuální znamená myšlený, fiktivní, virtuální posun je tedy myšlený, fiktivní posun, který nemusí vůbec nastat, a který neporušuje vazby soustavy. Virtuální síla je myšlená, fiktivní síla, která neporušuje rovnováhu soustavy. Princip virtuálních prací lze použít buď jako princip virtuálních posunutí (PVP), kdy na soustavě působí skutečné síly a posunutí jsou virtuální, nebo jako princip virtuálních sil (PVS), kdy posuny jsou skutečné a síly virtuální. Pokud máme řešit přetvoření konstrukcí principem virtuálních prací, musíme použít variantu PVs. Při výpočtu přetvoření principem virtuálních prací vycházíme z podmínky, že součet virtuálních prací sil vnějších a vnitřních je roven nule 𝐿𝑒𝑥𝑡 + 𝐿𝑖𝑛𝑡 = 0.

(2.1)

Virtuální práce vnějších sil Lext je dána vztahem 𝐿𝑒𝑥𝑡 = ∑ 𝐹̅𝑖 𝜕𝑖 + ∑ 𝑅̅𝑖 𝑟𝑗 , 𝑖

(2.2)

𝑖

kde 𝐹̅𝑖 jsou vnější virtuální síly, 𝑅̅𝑗 reakce od virtuálních sil, 𝜕𝑖 posuny ve směru virtuálních sil 𝐹̅𝑖 , 𝑟𝑗 vnesené (zadané) posuny podpor ve směru reakcí 𝑅̅𝑗 . Pro výpočet virtuální práce vnitřních sil 𝐿𝑖𝑛𝑡 použijeme vztah ̅ 𝑑𝜓 + ∫ 𝑉̅ 𝑑𝑤 + ∫ 𝑁 ̅ 𝑑𝑢], 𝐿𝑖𝑛𝑡 = − [∫ 𝑀

(2.3)

̅ , 𝑉̅ a 𝑁 ̅ jsou vnitřní síly od virtuálních sil 𝐹̅𝑖 . Výrazy 𝑑𝜓, 𝑑𝑤 a 𝑑𝑢 vyjadřují kde 𝑀 přetvoření diferenciálního elementu prutu: 𝑑𝜓 =

𝑀 △𝑡 𝑑𝑥 + 𝛼 𝑑𝑥 𝐸𝐼 ℎ

𝑑𝑤 = 𝛽 𝑑𝑢 =

𝑉 𝑑𝑥 𝐺𝐴

𝑁 𝑑𝑥 + 𝛼𝑡𝑠 𝑑𝑥 . 𝐸𝐴

(2.4) (2.5) (2.6)

𝑀, 𝑁, 𝑉 jsou vnitřní síly od reálného zatížení konstrukce, 𝐸 je Youngův modul pružnosti, 𝐺 modul pružnosti ve smyku, 𝐴 průřezová plocha, 𝐼 moment setrvačnosti průřezu, 𝛼 součinitel teplotní délkové roztažnosti, △t je rozdíl přírůstků teplot při spodních a horních

Princip virtuálních prací

16

vláknech průřezu, 𝑡𝑠 změna teploty na střednici průřezu a 𝛽 součinitel vyjadřující vliv tvaru průřezu na deformaci elementu. ̅ 𝑖 hodnotou 1 ̅ Dosazením výrazů (2.2) až (2.6) do rovnice (2.1) a nahrazením ∑𝑖 𝐹 dostaneme po malé úpravě výraz pro výpočet přetvoření

1̅ ⋅ 𝜕𝑖 = ∫

̅ ̅ 𝑀𝑀 𝑉𝑉̅ 𝑁𝑁 △𝑡 ̅𝛼 𝑑𝑥 + 𝛽 ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑀 𝑑𝑥 𝐸𝐼 𝐺𝐴 𝐸𝐴 ℎ (2.7)

̅ 𝛼𝑡𝑠 𝑑𝑥 − ∑ 𝑅̅𝑗 𝑟𝑗 . + ∫𝑁 𝑗

Vliv posouvajících a normálových sil od reálného stavu většinou zanedbáváme. Výjimku tvoří části konstrukcí, které jsou v reálném stavu namáhané pouze normálovou silou jako jedinou z vnitřních sil. Patří k nim všechny vzpěry a táhla, které nemají příčné silové zatížení. Zvláštní skupinu tvoří příhradové konstrukce. Pro výpočet jejich přetvoření přejde vzorec (2.7) na tvar 1̅ ⋅ 𝜕𝑖 = ∑ 𝑝𝑟𝑢𝑡𝑦

̅ 𝑁𝑁 ̅ 𝛼𝑡𝑠 𝑙 − ∑ 𝑅̅𝑗 𝑟𝑗 . 𝑙+ ∑ 𝑁 𝐸𝐴 𝑝𝑟𝑢𝑡𝑦

𝑗

(2.8)

Na závěr je ještě třeba se zmínit o výpočtu přetvoření staticky neurčitých konstrukcí. Uplatníme-li redukční větu, řešíme virtuální stav na libovolné (staticky přípustné) staticky určité základní soustavě. Vzorce a princip výpočtu se nemění.


17

2.2 Řešené příklady 2.2.1 Vzorový příklad, silové zatížení PVP určete pootočení průřezu (a). Při výpočtu uvažujte pouze vliv ohybových momentů. 𝐸𝐼0 = 4000 𝑘𝑁𝑚2 Řešte:

a) přímou integrací, b) pomocí tabulky pro slučování ploch, c) Vereščaginovým pravidlem.

Obr. 2.1: Schéma konstrukce a zatížení, průběh M od reálného stavu Analytické vyjádření ohybových momentů od zadaného zatížení: 〈𝑎; 𝑐〉 𝑀(𝑥) = 4,2𝑥 〈𝑐; 𝑏〉 (𝑥 − 2)2 = −𝑥 2 + 4,2𝑥 + 4 2 Virtuální = jednotkový stav: do místa a směru hledaného přetvoření umístíme virtuální jednotkové zatížení. Pro výpočet pootočení je to jednotkový moment. 𝑀(𝑥) = 4,2𝑥 − 4(𝑥 − 2) − 2

̅ od virtuálního stavu Obr. 2.2: Virtuální stav, průběh 𝑀


18

Analytické vyjádření ohybových momentů od jednotkového (virtuálního) stavu: 〈𝑎; 𝑐〉 ̅(𝑥) = 1 − 0,2𝑥 𝑀 〈𝑐; 𝑏〉 ̅(𝑥) = 1 − 0,2𝑥 𝑀 a)

Řešení přímou integrací

1̅ ∙ 𝜑𝑎 = ∫

̅ 𝑀𝑀 𝑑𝑥 𝐸𝐼 5

2

1 1 𝜑𝑎 = ∫ 4,2𝑥 ∙ (1 − 0,2𝑥)𝑑𝑥 + ∫(−𝑥 2 + 4,2𝑥 + 4) ∙ (1 − 0,2𝑥)𝑑𝑥 𝐸𝐼0 2𝐸𝐼0 0

𝜑𝑎 =

2

6,16 6,39 9,355 + = 𝐸𝐼0 2𝐸𝐼0 𝐸𝐼0

Po dosazení 𝐸𝐼0 = 4000 𝑘𝑁𝑚2 vyjde pootočení 𝜑𝑎 : 𝜑𝑎 = 2,339 ∙ 10−3 𝑟𝑎𝑑 = 0,134°

b) Řešení integrace pomocí tabulky pro slučování ploch Momentovou plochu vykreslenou pro reálný stav na intervalu 〈𝑐; 𝑏〉 v tabulce přímo nenajdeme. Je třeba ji vhodně rozdělit.

Obr. 2.3: Rozdělení momentové plochy V tabulce budeme tedy vyhledávat slučování následujících ploch: 1̅ ∙ 𝜑𝑎 = ∫

̅ 𝑀𝑀 𝐸𝐼

2

1

𝑑𝑥 = 𝐸𝐼 { 0

8,4 2 1

0,6

3

1

} + 2𝐸𝐼 { 0

8,4 0,6

3

3

1

} + 2𝐸𝐼 { 0

2,25

0,6

3

𝜑𝑎 =

1 1 1 1 1 ∙ ∙ 8,4(1 + 2 ∙ 0,6) ∙ 2 + [ ∙ 8,4 ∙ 0,6 ∙ 3 + ∙ 2,25 ∙ 0,6 ∙ 3] 𝐸𝐼0 6 𝐸𝐼0 3 3

𝜑𝑎 =

9,355 = 2,339 ∙ 10−3 𝑟𝑎𝑑 = 0,134° 𝐸𝐼0

}

Analýza stavebních konstrukcí – příklady c)

19

Integrace pomocí Vereščaginova pravidla

Ponecháme rozdělení momentové plochy od reálného stavu na intervalu 〈𝑐; 𝑏〉 jako při slučování pomocí tabulky. Navíc rozdělíme momentovou plochu od virtuálního stavu na 2

0,6 intervalu 〈𝑎; 𝑐〉 na obdélník 2 a trojúhelník 0,4 . 2 ̅ 𝑀𝑀 1 1 1 1 1̅ ∙ 𝜑𝑎 = ∫ 𝑑𝑥 = [ ∙ 2 ∙ 8,4 ∙ 0,6 + ∙ 2 ∙ 8,4 ∙ ∙ 0,4] + 𝐸𝐼 𝐸𝐼0 2 2 3

+

1 1 2 2 1 9,355 [ ∙ 3 ∙ 8,4 ∙ ∙ 0,6 + ∙ 3 ∙ 2,25 ∙ ∙ 0,6] = 2𝐸𝐼0 2 3 3 2 𝐸𝐼0

𝜑𝑎 = 2,339 ∙ 10−3 𝑟𝑎𝑑 = 0,134° Pootočení průřezu nad podporou (a) je 2,339 ∙ 10−3 𝑟𝑎𝑑, to je 0,134°. Pootočení vyšlo kladné, je tedy shodně se zavedenou „1̅“.

2.2.2 Vzájemné pootočení desek na Gerberově nosníku, silové zatížení PVP určete vzájemné pootočení desek v kloubu (k2). Při výpočtu uvažujte pouze vliv ohybových momentů. 𝐸𝐼 = 5000 𝑘𝑁𝑚2

̅ Obr. 2.4: Schéma konstrukce s reálným zatížením, jednotkový stav a průběhy 𝑀 a 𝑀


20 1

1

1

𝐸𝐼∆𝜑𝑘2 = 6 (−0,25)(10 − 2 ∙ 16) ∙ 2 + 3 (−16)(−0,25) ∙ 1 + 12 (−24)(1 + 3 ∙ 2) ∙ 4 = -0,25 -16

-16 10

-0,25

2

1

-24 1

4

1

4

2

= 1,833̅ + 1,333̅ − 56 = −52,833̅ ∆𝜑𝑘2 = −

52,833̅ = −0,01056̅ 𝑟𝑎𝑑 =̇− 0,61°. 5000

Vzájemné pootočení desek v kloubu (k2) je -0,61o, to je proti smyslu zavedených jednotkových momentů.

2.2.3 Šikmý prut, silové zatížení a pokles podpory PVP určete svislé posunutí průřezu (c) wc. Nosník je zatížen spojitým rovnoměrným zatížením a poklesem podpory (b) o 0,05 m. 𝐸𝐼 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. = 2,8 ∙ 104 𝑘𝑁𝑚2 Vypočtěte:

𝑓

a) svislé posunutí 𝑤𝑐 průřezu (c) od silového zatížení (uvažujte pouze vliv ohybových momentů), b) svislé posunutí 𝑤𝑐𝑟 průřezu (c) od poklesu podpory (b), c) výsledné svislé posunutí 𝑤𝑐 průřezu (c) od obou vlivů.

Obr. 2.5: Schéma konstrukce s reálným zatížením a průběh 𝑀


21

̅ Obr. 2.6: Jednotkový stav a průběh 𝑀 wcf od silového zatížení

a)

̅ 𝑀𝑀 𝑑𝑠 𝐸𝐼

𝑓 1̅ ∙ 𝑤𝑐 = ∫ 1

𝑓

𝐸𝐼 ∙ 𝑤𝑐 = 3 6,858 ∙

12 7

1

∙ 5 + 3 6,858 ∙

1

∙ 4+ 34∙

12 7

∙4

4 12 7

6,858

4 3

3

6,858

𝑓

7

5

5

𝑤𝑐 =

12

3 12 7

12 7

44,413 = 1,586 ∙ 10−3 𝑚 2,8 ∙ 104

b) wcr od poklesu podpory (b) 1̅ ∙ 𝑤𝑐𝑟 = −

∑

𝑅̅ ∙ 𝑟

𝑝𝑜𝑑𝑝𝑜𝑟𝑦

3 𝑓 𝑤𝑐 = −𝑅̅𝑏 ∙ 𝑤𝑏 = − (− ) ∙ 0,05 = 21,429 ∙ 10−3 𝑚 7 c)

Výsledný svislý posun wc od obou vlivů 𝑓

𝑤𝑐 = 𝑤𝑐 + 𝑤𝑐𝑟 = 1,586 ∙ 10−3 + 21,429 ∙ 10−3 𝑤𝑐 = 23,015 ∙ 10−3 𝑚 =̇ 2,3 𝑐𝑚 Výsledné svislé posunutí je 2,3 cm a je směrem dolů (ve smyslu zavedené „1̅“). ̅ na šikmém prutu Poznámka: V případě přímého řešení integrálu je možné vyjádřit 𝑀 a 𝑀 v závislosti na vodorovné proměnné 𝑥 (viz. Obr. 2.7). Integrovat je však nutné podle proměnné 𝑠 ve směru střednice prutu.


22

Obr. 2.7: Zavedení proměnných na prutech Vztah mezi 𝑑𝑠 a 𝑑𝑥: 𝑑𝑥

ds

𝑑𝑠 = cos 𝛼

 dx

3

cos 𝛼 = 5 (z rozměrů konstrukce) < 𝑎; 𝑐 >

< 𝑏; 𝑐 >

𝑀(𝑥) = 2,286 ∙ 𝑥

𝑀(𝑥̅ ) = 5,714 𝑥̅ − 𝑥̅ 2

4 ̅(𝑥) = 𝑥 𝑀 7

3 ̅(𝑥̅ ) = 𝑥̅ 𝑀 7

3 4 4 3 2,286 ∙ 𝑥 ∙ ∙ 𝑥 (5,714 𝑥̅ − 𝑥̅ 2 ) ∙ 7 𝑥̅ ̅ 𝑀𝑀 𝑑𝑥 𝑓 7 1̅ ∙ 𝑤𝑐 = ∫ 𝑑𝑠 = ∫ +∫ 𝑑𝑥̅ 𝐸𝐼 𝐸𝐼 cos 𝛼 𝐸𝐼 0

0

3

𝑓 𝑤𝑐

1 0,4354𝑥 3 1 = [ ] + [0,8163 𝑥̅ 3 − 0,1071𝑥̅ 4 ]40 𝐸𝐼 cos 𝛼 0 𝐸𝐼

𝑓

𝑤𝑐 = 1,586 ∙ 10−3 𝑚

2.2.4 Poddajnost kyvného prutu, silové zatížení a rovnoměrná změna teploty Betonový nosník s převislým koncem je podepřen pevným kloubem a ocelovým kyvným prutem. PVP vypočtěte svislý posun volného konce nosníku 𝑤𝑐 . 𝑓

a) svislý posun 𝑤𝑐 od silového zatížení (při výpočtu uvažujte vliv ohybových momentů a vliv poddajnosti kyvného prutu),

Určete:

b) svislý posun 𝑤𝑐𝑡 od rovnoměrného ochlazení kyvného prutu, c) celkový svislý posun 𝑤𝑐 od obou vlivů. 𝐸𝑏 = 2,1 ∙ 104 𝑀𝑃𝑎

beton: y

0,4

𝐸𝑜 = 2,1 ∙ 104 𝑀𝑃𝑎

ocel:

𝛼 = 12 ∙ 10−6 ℃−1

y 0,12

z 0,2

[m]

z 0,1

[m]


23

Obr. 2.8: Schéma konstrukce s reálným zatížením a reakcemi beton:

1 0,2 ∙ 0,43 = 12 = 1,066̅ ∙ 10−3 𝑚4 𝐼𝑦,𝑏 =

𝐸𝑏 𝐼𝑦,𝑏 = 22400 𝑘𝑁𝑚2

ocel:

𝜋 (0,122 − 0,12 ) = 4 = 345,575 ∙ 10−5 𝑚2 𝐴𝑜 =

𝐸𝑜 𝐴𝑜 ≐ 725708 𝑘𝑁

Obr. 2.9: Průběhy 𝑀 a 𝑁 od reálného zatížení


24

̅ Obr. 2.10: Jednotkový (virtuální) stav a průběhy ̅̅̅ 𝑀 a𝑁 𝑓

d) 𝑤𝑐 od silového zatížení ̅ 𝑁𝑁

Vliv poddajnosti kyvného prutu započítáme pomocí členu ∫ 𝐸𝐴 𝑑𝑥. 𝑓 1̅ ∙ 𝑤𝑐 = ∫

̅ ̅ 𝑀𝑀 𝑁𝑁 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 𝐸𝐼 𝐸𝐴 3 -8

𝑓 𝑤𝑐

3

-2

4,5

3

-2 3

-8

2o

-2 2

1 1 1 1 2 [ (−8)(−2) ∙ 3 + 4,5 ∙ (−2) ∙ 3 + (−8)(−2) ∙ 2] + = 𝐸𝑏 𝐼𝑦,𝑏 3 3 4 −

50 3

−

2

5 3

2

1 50 5 (− ) (− ) ∙ 2 𝐸𝑜 𝐴𝑜 3 3 15 55,555̅ 𝑓 𝑤𝑐 = + = 7,462 ∙ 10−4 𝑚 22400 725708 +

e)

𝑤𝑐𝑡 od rovnoměrného ochlazení kyvného prutu

̅ 𝛼𝑡𝑠 𝑑𝑥 = 𝛼𝑡𝑠 ∫ 𝑁 ̅ 𝑑𝑥 = 12 ∙ 10−6 (−10) ∙ (− 5) ∙ 2 = +4 ∙ 10−4 𝑚 1̅ ∙ 𝑤𝑐𝑡 = ∫ 𝑁 3 ̅ včetně znaménka (na plocha 𝑁 intervalu, který je ochlazený)

f)

Výsledný posun 𝑤𝑐 od obou vlivů 𝑓

𝑤𝑐 = 𝑤𝑐 + 𝑤𝑐𝑡 = 7,462 ∙ 10−4 + 4 ∙ 10−4 = 11,462 ∙ 10−4 𝑚 (=̇ 1 𝑚𝑚) Průřez (c) se posune směrem dolů (ve smyslu zavedené „1̅“) o 11,462 ∙ 10−4 𝑚.


25

2.2.5 Pootočení průřezu, zatížení nerovnoměrnou změnou teploty PVP určete pootočení průřezu (a) nad levou podporou od nerovnoměrné změny teploty. 𝛼 = 12 ∙ 10−6 ℃−1 𝑡ℎ = −12 ℃

schéma průřezu: h =0,4 m

𝑡𝑠 = 4 ℃ 𝑡𝑑 = 20 ℃

𝑡𝑠 - změna teploty na střednici 𝑡𝑑 - změna teploty při dolních vláknech 𝑡ℎ - změna teploty při horních vláknech

∆𝑡 = 𝑡𝑑 − 𝑡ℎ = 20 − (−12) = 32 ℃ 𝑡𝑠 =

𝑡𝑑 +𝑡ℎ 2

=

20−12 2

=4℃

Obr. 2.11: Schéma konstrukce a zatížení ̅𝛼 1̅ ∙ 𝜑𝑎 = ∫ 𝑀

∆𝑡 ̅ 𝛼𝑡𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑁 ℎ

̅ a𝑁 ̅ Obr. 2.12: Jednotkový stav a průběhy 𝑀


26 1̅ ∙ 𝜑𝑎 = 𝛼

∆𝑡 ̅ 𝑑𝑥 + 𝛼𝑡𝑠 ∫ 𝑁 ̅ 𝑑𝑥 ∫𝑀 ℎ ̅ plocha 𝑀 včetně znaménka

𝜑𝑎 = 12 ∙ 10−6 ∙

̅ plocha 𝑁 včetně znaménka

32 1 1 1 [1 ∙ 4 + ∙ 1 ∙ 5] + 12 ∙ 10−6 ∙ 4 [ ∙ 4 − ∙ 2] 0,4 2 5 5

𝜑𝑎 = 6,259 ∙ 10−3 𝑟𝑎𝑑 =̇ 0,36° Průřez (a) se pootočí o 0,36° po směru hodinových ručiček (shodně se zavedeným jednotkovým momentem).

2.2.6 Příhradová konstrukce, kombinace silového zatížení, změny teploty a poklesu podpory Příhradová konstrukce je zatížena silou 𝐹 = 20 𝑘𝑁, rovnoměrným ohřátím prutů 2 a 6 a poklesem podpory (a). Určete:

𝑓

a) vodorovné posunutí styčníku (c) 𝑢𝑐 od zatížení břemenem, b) vodorovné posunutí styčníku (c) 𝑢𝑐𝑡 od rovnoměrné změny teploty, c) vodorovné posunutí styčníku (c) 𝑢𝑐𝑟 od poklesu podpory, d) výsledné vodorovné posunutí 𝑢𝑐 od kombinace všech tří vlivů.

Průřezová plocha prutů 𝐴 = 3,6 ∙ 10−4 𝑚2,Youngův modul pružnosti 𝐸 = 2,1 ∙ 108 𝑘𝑃𝑎, 𝛼 = 12 ∙ 10−6 𝐾 −1.

Obr. 2.13: Schéma příhradové konstrukce a zatížení


27

Výsledné vodorovné posunutí 𝑢𝑐 od kombinace všech tří vlivů vypočteme jako součet přetvoření od jednotlivých vlivů: 𝑓

𝑢𝑐 = 𝑢𝑐 + 𝑢𝑐𝑡 + 𝑢𝑐𝑟 𝑓

𝑢𝑐 = ∑ 𝑝𝑟𝑢𝑡𝑦

̅ 𝑁∙𝑁 ∙𝑙 𝐸𝐴

̅ ∙ 𝛼 ∙ 𝑡𝑠 ∙ 𝑙 𝑢𝑐𝑡 = ∑ 𝑁 𝑝𝑟𝑢𝑡𝑦

𝑢𝑐𝑟

= − ∑𝑝𝑜𝑑𝑝𝑜𝑟𝑦 𝑅̅ ∙ 𝑟,

kde 𝑅̅ je reakce od jednotkového stavu, ve směru zadaného poklesu 𝑟. a)

Normálové síly 𝑁 v jednotlivých prutech je možné vyřešit například zjednodušenou metodou styčných bodů. Vypočtené hodnoty jsou na obrázku 2.14.

Obr. 2.14: Normálové síly N od reálného zatížení ̅ jsou zobrazeny na Obr. 2.15. Vyřešíme i reakci 𝐴̅𝑧 , Jednotkový stav a normálové síly 𝑁 kterou budeme potřebovat při řešení 𝑢𝑐𝑟 . Reakci 𝐴̅𝑧 zavedeme shodně s orientací poklesu podpory.


28

̅ od virtuálního zatížení a reakce 𝐴̅𝑧 Obr. 2.15: Normálové síly 𝑁 𝑓

𝑢𝑐 = ∑ 𝑝𝑟𝑢𝑡𝑦

=

̅ 𝑁∙𝑁 ∙𝑙 = 𝐸𝐴

1 ∙ [33,33̅ ∙ 1,66̅ ∙ 2,5 + (−53,33̅) ∙ (−1,33̅) ∙ 2] 2,1 ∙ 108 ∙ 3,6 ∙ 10−4

𝑓

𝑢𝑐 = 3,718 ∙ 10−3 𝑚 b) Vodorovné posunutí 𝑢𝑐𝑡 vypočteme ze vzorce: ̅ ∙ 𝛼 ∙ 𝑡𝑠 ∙ 𝑙 . 𝑢𝑐𝑡 = ∑ 𝑁 𝑝𝑟𝑢𝑡𝑦

̅ jsou patrné z Obr. 2.15. Osové síly 𝑁 𝑢𝑐𝑡 = −1,33̅ ∙ 12 ∙ 10−6 ∙ 30 ∙ 2 = −0,96 ∙ 10−3 𝑚

c)

Vodorovné posunutí 𝑢𝑐𝑟 od poklesu podpory (a) vypočteme podle: 𝑢𝑐𝑟 = −𝐴̅𝑧 ∙ 𝑤𝑎 Reakce 𝐴̅𝑧 je znázorněna na Obr. 2.15. 𝑢𝑐𝑟 = −1,33̅ ∙ 0,015 = −20 ∙ 10−3 𝑚

d) Výsledné posunutí 𝑢𝑐 : 𝑓

𝑢𝑐 = 𝑢𝑐 + 𝑢𝑐𝑡 + 𝑢𝑐𝑟 = (3,718 − 0,96 − 20) ∙ 10−3 𝑢𝑐 = −17,242 ∙ 10−3 𝑚 =̇ − 1,7 𝑐𝑚 Průřez (c) se posune o 1,7 𝑐𝑚 proti smyslu zavedené „ 1̅ “.


29

2.2.7 Redukční věta Pomocí redukční věty určete průhyb uprostřed oboustranně vetknutého nosníku. Při výpočtu uvažujte pouze vliv ohybových momentů. 𝐸𝐼 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 1̅ ∙ 𝑤(𝑐) = ∫

̅ 𝑀𝑀 𝑑𝑥 𝐸𝐼

Průběh momentů 𝑀 najdeme např. v tabulce momentů v dokonalém vetknutí pro deformační metodu. ̅ vyřešíme na libovolné, staticky přípustné základní soustavě Jednotkový stav a průběh 𝑀 (ZS).

̅ Obr. 2.16: Schéma nosníku s reálným zatížením, průběh 𝑀, jednotkový stav a průběh 𝑀 −

1 1̅ ∙ 𝑤𝑐 = 𝐸𝐼 [2 {

𝑙/2

𝑓𝑙2 12

𝑓𝑙2 24 𝑙/2 𝑙/4

=

} + 2{

1 𝑙 2 𝑓∙( ) 8 2 𝑙/2

}] = 𝑙/4

2 1 𝑙 𝑓𝑙 2 𝑓𝑙 2 𝑙 1 𝑙 1 𝑙 2 𝑙 [ ∙ (− +2∙ )∙ + ∙ ∙ 𝑓∙( ) ∙ ] 𝐸𝐼 6 4 12 24 2 3 4 8 2 2

𝑤𝑐 =

𝑓𝑙 4 384 ∙ 𝐸𝐼

Průhyb uprostřed oboustranně vetknutého nosníku o délce 𝑙, zatíženém po celé délce 𝑓𝑙4

spojitým rovnoměrným zatížením 𝑓 , je 𝑤𝑐 = 384∙𝐸𝐼. Tuto hodnotu lze nalézt v literatuře jako vzorec.

Řešení staticky neurčitých konstrukcí silová metoda

30

Řešení staticky neurčitých konstrukcí - silová metoda 2.1 Úvod Silová metoda je jednou z metod řešení staticky neurčitých konstrukcí. U těchto konstrukcí je počet reakcí (vnějších a vnitřních) vyšší než počet podmínek rovnováhy pro jejich výpočet. Počet chybějících rovnic udává stupeň statické neurčitosti konstrukce. Princip výpočtu: 1. Určíme stupeň statické neurčitosti konstrukce s. 2. Ze staticky neurčité konstrukce vytvoříme konstrukci staticky určitou = základní soustavu (ZS); počet odebraných vazeb se rovná stupni statické neurčitosti (vazby smíme odebírat, nikde nesmíme přidávat, ZS musí být staticky i přetvárně určitá a nesmí být výjimkovým případem podepření). 3. Odebrané vazby nahradíme staticky neurčitými veličinami Xi. 4. Pokud mají být reakce a vnitřní síly na ZS stejné jako na původní konstrukci, musí být stejné i přetvoření obou konstrukcí; sestavujeme tedy přetvárné = deformační podmínky, z nichž vypočteme neznámé silové veličiny Xi.

2.1.1

Rozbor konstrukce

Určete stupeň statické neurčitosti konstrukce, zvolte základní soustavu, vyznačte na ní působící zatížení a staticky neurčité veličiny Xi a sestavte v symbolickém tvaru přetvárné podmínky pro jejich výpočet.

Obr. 3.1: Schéma konstrukce se zatížením


31

Nejprve určíme stupeň statické neurčitosti konstrukce s: 1 vnitřní 1 kyvný prut kloub

𝑠 = 2 ∙ 3 − (2 ∙ 3 + 2 + 1) = −3. 2 desky 2 vetknutí o 3 stupních volnosti

Pokud budeme kyvný prut považovat za další desku, změní se výpočet s, ale výsledek zůstane stejný: 3 vnitřní klouby

𝑠 = 3 ∙ 3 − (2 ∙ 3 + 3 ∙ 2) = −3. 3 desky 2 vetknutí o 3 stupních volnosti

Obvykle existuje více možností, jak vytvořit základní soustavu. V našem případě by mohla vypadat třeba takto

Obr. 3.2: Základní soustava. Pro výpočet staticky neurčitých veličin X1, X2 a X3 budeme psát celkem tři přetvárné podmínky: 𝛿1 = 0

(1)

𝛿2 = 0

(2)

𝛿3 = 0

(3)

kde 𝛿1 je relativní vodorovné posunutí průřezů ve smyslu veličiny X1 v místě přerušení táhla, 𝛿2 relativní svislé posunutí v místě a směru X2 a 𝛿3 relativní vodorovné posunutí v místě a směru veličiny X3.

2.1.2

Vzorový příklad

Silovou metodou vyřešte průběhy vnitřních sil na konstrukci. Při výpočtu koeficientů 𝛿𝑖𝑘 a 𝛿𝑖0 uvažujte pouze vliv ohybových momentů. 𝐸𝐼 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.


32

Obr. 3.3: Schéma konstrukce se zatížením Stupeň statické neurčitosti konstrukce: 1 vnitřní kloub

𝑠 = 2 ∙ 3 − (2 ∙ 3 + 2) = −2 2 vetknutí 2 desky o 3 stupních volnosti

Konstrukce je 2x staticky neurčitá, ZS vytvoříme např. odstraněním vnitřního kloubu. Odebereme tak právě 2 vnitřní vazby.

Obr. 3.4: Základní soustava 𝛿1 je relativní vodorovné posunutí desek I a II v průřezu (c), 𝛿2 je relativní svislé posunutí desek I a II, rovněž v průřezu (c). Desky jsou v původní konstrukci spojeny vnitřním kloubem, k žádnému relativnímu posunutí v průřezu (c) tedy dojít nemůže. Přetvárné podmínky proto zapíšeme ve tvaru: 𝛿1 = 0

(1)

𝛿2 = 0

(2).

[i]


33

Přetvoření 𝛿1 a 𝛿2 získáme superpozicí přetvoření od 𝑋̅1 = 1 , 𝑋̅2 = 1 a od zadaného zatížení: 𝛿1 :

𝛿11 ∙ 𝑋1 + 𝛿12 ∙ 𝑋2 + 𝛿10 = 0

(1)

𝛿2 :

𝛿21 ∙ 𝑋1 + 𝛿22 ∙ 𝑋2 + 𝛿20 = 0

(2).

[ii]

Dílčí přetvoření 𝛿11 , 𝛿12 = 𝛿21 , 𝛿22 , 𝛿10 a 𝛿20 jsou naznačena na následujících obrázcích. Základní soustavu budeme postupně zatěžovat veličinami 𝑋1 , 𝑋2 a zadaným zatížením a vypočteme potřebná přetvoření. Hodnotu veličin 𝑋1 a 𝑋2 neznáme. Nahradíme je proto 𝑋̅1 = 1 a 𝑋̅2 = 1 . Výsledná přetvoření od veličin 𝑋1 a 𝑋2 budou podle principu proporcionality 𝑋1 krát větší, respektive 𝑋2 krát větší než přetvoření od „1“ (viz. [ii]).

Obr. 3.5: Průběhy M1 od 𝑋̅1 = 1 a M2 od 𝑋̅2 = 1 𝛿11 – relativní vodorovné posunutí v místě a směru veličiny 𝑋1 od 𝑋̅1 = 1 na ZS, 𝛿12 – relativní vodorovné posunutí v místě a směru veličiny 𝑋1 od 𝑋̅2 = 1 na ZS, 𝛿21 – relativní svislé posunutí v místě a směru veličiny 𝑋2 od 𝑋̅1 = 1 na ZS, 𝛿22 – relativní svislé posunutí v místě a směru veličiny 𝑋2 od 𝑋̅2 = 1 na ZS.

Obr. 3.6: Průběh M0 od zadaného zatížení 𝛿10 – relativní vodorovné posunutí v místě a směru veličiny 𝑋1 od zadaného zatížení na ZS, 𝛿20 – relativní svislé posunutí v místě a směru veličiny 𝑋2 od zadaného zatížení na ZS.


34

Tato přetvoření vypočteme pomocí principu virtuálních prací podle vzorce (2.7). Při zanedbání vlivu ohybových momentů dostaneme pro jejich výpočet po mírné úpravě výrazy: 𝜕𝑖𝑘 = ∫

𝑀𝑖 𝑀𝑘 𝑑𝑥 𝐸𝐼

(3.1)

𝜕𝑖0 = ∫

𝑀𝑖 𝑀0 𝑑𝑥 𝐸𝐼

(3.2)

Tuhost 𝐸𝐼 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. na celé konstrukci. Můžeme ji proto vytknout před integrály a počítat 𝐸𝐼-násobky přetvoření. Pro výpočet integrálů použijeme tabulku na slučování ploch. 1

̅̅̅̅ [𝑚3 ] 𝐸𝐼𝛿11 = ∫ 𝑀1 𝑀1 𝑑𝑥 = 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 + (−2) ∙ (−2) ∙ 3 = 14, 66 2

2 2 -2

2

-2 3

3

1

𝐸𝐼𝛿12 = ∫ 𝑀1 𝑀2 𝑑𝑥 = 2 ∙ (−2) ∙ (−3) ∙ 3 = 9 [𝑚3 ] -2

-3 3

3

𝐸𝐼𝛿21 = ∫ 𝑀2 𝑀1 𝑑𝑥 = 𝐸𝐼𝛿12 1 1 ̅̅ [𝑚3 ] 𝐸𝐼𝛿22 = ∫ 𝑀2 𝑀2 𝑑𝑥 = 3 ∙ (−3) ∙ (−3) ∙ 3 + 3 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 30, ̅̅ 33 4 -3 3

4 4

-3

4

3

𝐸𝐼𝛿10 = ∫ 𝑀1 𝑀0 𝑑𝑥 = (−2) ∙ 8 ∙ 3 = −48 [𝑚3 ] -2

8 3

3

1

1

𝐸𝐼𝛿20 = ∫ 𝑀2 𝑀0 𝑑𝑥 = 2 ∙ (−3) ∙ 8 ∙ 3 + 4 ∙ 4 ∙ (−64) ∙ 4 = −292 [𝑚3 ]. 4 -3

8 3

-64

4

3

4

Dosadíme vypočtené hodnoty do přetvárných podmínek a po vykrácení 𝐸𝐼 dostaneme: ̅̅ ∙ 𝑋1 + 9 ∙ 𝑋2 − 48 = 0 14, ̅̅ 66

(1)

̅̅̅ ∙ 𝑋2 − 292 = 0 9 ∙ 𝑋1 + 30, ̅33

(2)

𝑋1 = −3,221 𝑘𝑁 𝑋2 = 10,582 𝑘𝑁 Z podmínek rovnováhy na konstrukci lze dopočítat všechny reakce a následně vykreslit průběhy vnitřních sil.


Obr. 3.7: Zatížení a reakce [kN, kNm]

Obr. 3.8: Výsledné ohybové momenty M [kNm]

Obr. 3.9: Výsledné posouvající síly V [kN]

Obr. 3.10: Výsledné normálové síly N [kN]

35


36

Na závěr je třeba provést kontrolu správnosti výsledků. Nejprve zkontrolujeme rovnováhu ve styčnících.

Obr. 3.11: Vnitřní síly ve styčnících [𝑘𝑁], [𝑘𝑁𝑚]



0,779 − 4 + 3,221 = 0





−3,221 + 3,221 = 0





10,582 + 0 − 10,582 = 0





10,582 − 10,582 = 0





−14,442 + 8 + 6,442 = 0



Kontrola správnosti výpočtu redukční větou: Principem virtuálních prací budeme kontrolovat přetvoření, jehož hodnotu předem známe (je nulová). Jednotkový stav vyřešíme na libovolné ZS. Je vhodné zvolit ZS jinou než tu, která byla použita ve výpočtu. Vyvarujeme se tak opakování stejných chyb.

̅ Obr. 3.12: Jednotkový stav na základní soustavě a průběh 𝑀 Chceme ověřit, zda vodorovné posunutí v podpoře (b), tj. v místě uvolněné vazby, je nulové (𝑢𝑏 = 0?). Pokud máme správně vyřešené vnitřní síly, musí být přetvoření na základní soustavě stejné jako na soustavě původní. Podpora (b) je na původní konstrukci vetknutím, k vodorovnému posunutí zde tedy nemůže dojít. Při výpočtu dosaď 𝐸𝐼 = 12000 𝑘𝑁𝑚2. ̅ 𝑀𝑀 1 1 1 1̅ ∙ 𝑢𝑏 = ∫ 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 𝐸𝐼 [2 (−17,304 + 14,442) ∙ 2 ∙ 3 + 3 (−6,442)(−2) ∙ 2] -17,304 3

-2

-6,442

2 14,442

2

2


37

−8,586 + 8,589 =̇ 0 [𝑚] 12000 Vodorovné posunutí 𝑢𝑏 =̇ 0, výpočet silovou metodou je správně. 𝑢𝑏 =

2.1.3

Vliv poddajnosti kyvného prutu

Silovou metodou vyřešte průběhy vnitřních sil. Uvažujte vliv poddajnosti kyvného prutu. Na zbylé části konstrukce uvažujte při výpočtu koeficientů 𝛿𝑖𝑘 a 𝛿𝑖0 pouze vliv ohybových momentů. 𝐸 = 2,1 ∙ 105 𝑀𝑃𝑎.

Obr. 3.13: Schéma konstrukce a zatížení 𝐸𝐼 = 10500 𝑘𝑁𝑚2 = 10,5 ∙ 103 𝑘𝑁𝑚2 𝐸𝐴 = 1050000 𝑘𝑁 = 10,5 ∙ 105 𝑘𝑁 Stupeň statické neurčitosti: 𝑆 = 1 ∙ 3 − (2 + 1 + 1) = −1 nebo 𝑆 = 2 ∙ 3 − (2 + 1 + 2 ∙ 2) = −1 Základní soustavu vytvoříme přerušením kyvného prutu.

Obr. 3.14: Základní soustava Nejprve vykreslíme na základní soustavě průběhy momentů od jednotkového stavu i od skutečného zatížení. Kromě toho je třeba určit hodnotu normálové síly v kyvném prutu.


38

Obr. 3.15: Průběhy 𝑀1 [𝑚] a 𝑁1 [−]

Obr. 3.16: Průběhy 𝑀0 [𝑘𝑁𝑚] a 𝑁0 [𝑘𝑁]

Přetvárná podmínka: 𝛿1 = 0 𝛿11 ∙ 𝑋1 + 𝛿10 = 0

Na kyvném prutu vzniká pouze normálová síla, ohybový moment i posouvající síla jsou nulové. Vliv poddajnosti kyvného prutu na výsledné vnitřní síly, tj. jeho zkrácení či 𝑁1 𝑁1 𝑁1 𝑁0 prodloužení, zahrneme do výpočtu prostřednictvím členů ∫ 𝐸𝐴 𝑑𝑥 a ∫ 𝐸𝐴 𝑑𝑥: 𝛿11 = ∫

𝑀1 𝑀1 𝑁1 𝑁1 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 𝐸𝐼 𝐸𝐴 𝑡áℎ𝑙𝑜

=

1

1

1

[ ∙ 22 ∙ 2 ∙ 2 + (−2)2 ∙ 3] + 1050000 ∙ 12 ∙ 3 = 10500 3

16⁄ +12 3 10500

3

+ 1050000 =

𝑚

= 1,6537 ∙ 10−3 [𝑘𝑁] 𝛿10 = ∫

∅

𝑀1 𝑀0 𝑁1 𝑁0 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 𝐸𝐼 𝐸𝐴 𝑡áℎ𝑙𝑜

=

̅̅̅ 1 1 373, ̅33 [ (−2)(−2 ∙ 40 − 20) ∙ 2 ∙ 2 + (−2)(−40) ∙ 3] = = 0,0355555̅ [𝑚] 10500 6 10500

1,6537 ∙ 10−3 ∙ 𝑋1 + 35,5555̅ ∙ 10−3 = 0 𝑋1 = −21,5 𝑘𝑁


39

Nyní můžeme dopočítat a vykreslit výsledné vnitřní síly.

Obr. 3.17: Výsledné vnitřní síly Kontrola správnosti výpočtu pomocí redukční věty: Zvolíme, pokud je to možné, jinou ZS než tu, kterou jsme použili pro řešení vnitřních sil.

Obr. 3.18: ZS s jednotkovým stavem, průběhy 𝑀 a 𝑁 Budeme kontrolovat, zda je vzájemné pootočení desek v průřezu (c) rovno nule (∆𝜑𝑐 = 0?). 1̅ ∙ ∆𝜑𝑐 = ∫

̅ ̅ 𝑀𝑀 𝑁𝑁 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥, 𝐸𝐼 𝐸𝐴 𝑡áℎ𝑙𝑜

kde 𝑀, 𝑁 jsou výsledné vnitřní síly, ̅, 𝑁 ̅ vnitřní síly od jednotkového stavu. 𝑀 1 1 1 1̅ ∙ ∆𝜑𝑐 = 10500 [6 ∙ 1 ∙ (2 ∙ 3 − 20) ∙ 2 + 6 (−1)(−2 ∙ 3 + 20) ∙ 2 + 3 ∙ 1 ∙ 3] + 2 -20 1 3

-3

3

20 -1 2

3

1 3


40

+

1

1

1050000

(−21,5) (− ) ∙ 3 = −1 ∙ 10−6 =̇ 0 2

-½

-21,5 3

3

∆𝜑𝑐 vyšlo rovné nule, výsledné vnitřní síly jsou tedy vypočteny správně.

2.1.4

Kombinace silového zatížení a změny teploty

Silovou metodou vyřešte průběhy vnitřních sil na rámu zatíženém kombinací silového 𝑓 zatížení a změny teploty. Při výpočtu koeficientu 𝛿𝑖𝑘 a 𝛿𝑖0 uvažujte pouze vliv ohybových momentů. 𝐸𝐼 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. = 5000 𝑘𝑁𝑚2 , 𝛼 = 12 ∙ 10−6 ℃−1 , výška obdélníkového průřezu ℎ = 0,2 𝑚.

Obr. 3.19: Schéma konstrukce se zatížením Stupeň statické neurčitosti: 𝑆 = 1 ∙ 3 − (3 + 2) = −2 Konstrukce je 2x staticky neurčitá. Rozdíly teplot při spodních a horních vláknech a ohřátí střednice na intervalech: 〈𝑎; 𝑐〉, 〈𝑐; 𝑑〉, 〈𝑑; 𝑒〉 ∆𝑡 = 𝑡𝑑 − 𝑡ℎ = 30 − 8 = 22 ℃ 𝑡𝑑 + 𝑡ℎ 30 + 8 = = 19 ℃ 2 2 〈𝑑; 𝑏〉 𝑡𝑠 =

∆𝑡 = 0 ℃ 𝑡𝑠 = 30 ℃


41

Obr. 3.20: Základní soustava Přetvárné podmínky: 𝛿1 = 0:

𝛿11 ∙ 𝑋1 + 𝛿12 ∙ 𝑋2 + 𝛿10 = 0

(1)

𝛿2 = 0:

𝛿21 ∙ 𝑋1 + 𝛿22 ∙ 𝑋2 + 𝛿20 = 0

(2).

𝑓

𝑡 𝛿10 = 𝛿10 + 𝛿10 𝑓

𝑡 𝛿20 = 𝛿20 + 𝛿20 , 𝑓

𝑓

𝑡 𝑡 kde 𝛿10 a 𝛿20 jsou přetvoření od zadaného silového zatížení, 𝛿10 a 𝛿20 přetvoření 𝑓

způsobená změnou teploty. K výpočtu přetvoření 𝜕𝑖0 použijeme vzorec (3.2), při výpočtu 𝑡 přetvoření 𝛿𝑖0 vyjdeme z výrazu (2.7) a dostaneme: △𝑡 𝑡 (3.3) 𝜕𝑖0 = ∫ 𝑀𝑖 𝛼 𝑑𝑥 + ∫ 𝑁𝑖 𝛼𝑡𝑠 𝑑𝑥 ℎ

Obr. 3.21: Momenty 𝑀1 , 𝑀2 a 𝑀0


42

Obr. 3.22: Normálové síly 𝑁1 a 𝑁2 (𝑁0 k výpočtu nepotřebujeme). Výpočet koeficientů 𝛿𝑖𝑘 , 𝛿𝑖0 : 𝑀1 𝑀1 1 1 5 1 𝑑𝑥 = [1 ∙ 1 ∙ 4 + ∙ 1 ∙ 1 ∙ 3] = = 10 ∙ 10−4 [ ] 𝐸𝐼 5000 3 5000 𝑘𝑁𝑚 𝑀1 𝑀2 1 1 1 12 1 𝛿12 = 𝛿21 = ∫ 𝑑𝑥 = [ ∙ 1 ∙ 4 ∙ 4 + ∙ 1 ∙ 4 ∙ 3] = = 24 ∙ 10−4 [ ] 𝐸𝐼 5000 2 3 5000 𝑘𝑁 𝑀2 𝑀2 1 1 1 𝑚 ̅̅̅̅ ∙ 10−4 [ ] 𝛿22 = ∫ 𝑑𝑥 = [ ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 + ∙ 4 ∙ 4 ∙ 3] = 74,666 𝐸𝐼 5000 3 3 𝑘𝑁 𝑀1 𝑀0 1 1 1 𝑓 𝛿10 = ∫ 𝑑𝑥 = [ ∙ 1 ∙ (−12) ∙ 2 + 1 ∙ (−12) ∙ 2 + ∙ 1 ∙ (−21) ∙ 3] = 𝐸𝐼 5000 2 3 = −114 ∙ 10−4 [𝑟𝑎𝑑] 𝛿11 = ∫

∆𝑡 ∆𝑡 𝑑𝑥 + ∫ 𝑁1 𝛼𝑡𝑠 𝑑𝑥 = 𝛼 ∙ ∫ 𝑀1 𝑑𝑥 + 𝛼𝑡𝑠 ∫ 𝑁1 𝑑𝑥 = ℎ ℎ 22 1 = 12 ∙ 10−6 ∙ ∙ 1 ∙ 4 + 12 ∙ 10−6 ∙ 19 ∙ ∙ 4 = 55,84 ∙ 10−4 [𝑟𝑎𝑑] 0,2 3 𝑡 𝛿10 = ∫ 𝑀1 𝛼

𝑓

𝑡 𝛿10 = 𝛿10 + 𝛿10 = −58,16 ∙ 10−4 [𝑟𝑎𝑑] 𝑓

𝛿20 = ∫

𝑀2 𝑀0 1 1 1 1 𝑑𝑥 = [ ∙ 2 ∙ (−12) ∙ 2 + (2 + 4) ∙ (−12) ∙ 2 + ∙ 4 ∙ (−21) ∙ 3] 𝐸𝐼 5000 3 2 3 −4 = −344 ∙ 10 [𝑚]

∆𝑡 ∆𝑡 𝑑𝑥 + ∫ 𝑁2 𝛼𝑡𝑠 𝑑𝑥 = 𝛼 ∙ ∫ 𝑀2 𝑑𝑥 + 𝛼𝑡𝑠 ∫ 𝑁2 𝑑𝑥 = ℎ ℎ 22 1 4 = 12 ∙ 10−6 ∙ ∙ ∙ 4 ∙ 4 + 12 ∙ 10−6 ∙ 19 ∙ ∙ 4 + 12 ∙ 10−6 ∙ 30 ∙ 1 ∙ 3 = 0,2 2 3 −4 [𝑚] = 128,56 ∙ 10 𝑡 𝛿20 = ∫ 𝑀2 𝛼

𝑓

𝑡 𝛿20 = 𝛿20 + 𝛿20 = −215,44 ∙ 10−4 [𝑚]

Analýza stavebních konstrukcí – příklady Dosazení do přetvárných podmínek: (rovnice jsou vynásobeny 1 ∙ 10−4 ) 10 ∙ 𝑋1 + 24 ∙ 𝑋2 = 58,16 24 ∙ 𝑋1 + 74,666̅ ∙ 𝑋2 = 215,44

(1) (2).

𝑋1 = −4,852 𝑘𝑁𝑚 𝑋2 = 4,445 𝑘𝑁 Výsledné reakce a vnitřní síly:

Obr. 3.23: Silové zatížení konstrukce a výsledné reakce v [𝑘𝑁], [𝑘𝑁𝑚]

Obr. 3.24: Výsledné vnitřní síly

43


44

Nyní zkontrolujeme rovnováhu vnitřních sil ve styčníku (d).

Obr. 3.25: Vnitřní síly ve styčníku (d) [𝑘𝑁], [𝑘𝑁𝑚]



4,445 − 4,445 = 0





2,691 − 2,691 = 0



9 − 8,073 − 0,927 = 0





Kontrola správnosti výpočtu pomocí redukční věty:

̅ a𝑁 ̅ Obr. 3.26: ZS s jednotkovým stavem, průběhy 𝑀 1̅ ∙ 𝑤𝑏 = ∫

̅ 𝑀𝑀 ∆𝑡 ̅ 𝛼 𝑑𝑥 + ∫ 𝑁 ̅𝛼𝑡𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑀 𝐸𝐼 ℎ

1 1 1 1 [ (−4,852 − 7,962) ∙ 3 ∙ 2 + (−7,962 + 0,927) ∙ 3 ∙ 2 + (−8,073) ∙ 3 ∙ 3] + 5000 2 2 3 22 +12 ∙ 10−6 ∙ ∙ 3 ∙ 4 + 12 ∙ 10−6 ∙ 19 ∙ 1 ∙ 4 0,2 𝑤𝑏 =

𝑤𝑏 = −0,016753 + 0,016752 𝑤𝑏 =̇ 0 [𝑚] Svislé posunutí v podpoře (b) 𝑤𝑏 je rovné nule, výpočet je tedy správně.


45

Kombinace silového zatížení a poklesu podpory

2.1.5

Silovou metodou vyřešte průběhy vnitřních sil na konstrukci. Při výpočtu koeficientů 𝛿𝑖𝑘 𝑓 a 𝛿𝑖0 uvažujte pouze vliv ohybových momentů. 𝐸𝐼 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. = 10 000 𝑘𝑁𝑚2 .

Obr. 3.27: Schéma konstrukce se zatížením Stupeň statické neurčitosti: 𝑆 = 2 ∙ 3 − (2 ∙ 1 + 2 + 3) = −1 Konstrukce je 1x staticky neurčitá. Při zatížení konstrukce přemístěním podpor může volba základní soustavy ovlivnit tvar přetvárných podmínek. Ukážeme si proto dvě různá řešení. a) ZS vytvoříme odstraněním podpory (a)

Obr. 3.28: Základní soustava V místě a směru odstraněné vazby nebylo předepsané posunutí. Přetvárnou podmínku zapíšeme tedy ve tvaru: 𝛿1 = 0: kde

𝛿11 ∙ 𝑋1 + 𝛿10 = 0, 𝑓

𝑟 𝛿10 = 𝛿10 + 𝛿10 .


46 𝑓

𝑟 Koeficient 𝛿10 vypočteme podle rovnice (3.2). Při výpočtu 𝛿10 vyjdeme z rovnice (2.7) a dostaneme výraz 𝑟 𝛿𝑖0 = − ∑ 𝑅̅𝑗 𝑟𝑗. 𝑗

V našem případě pak vychází 𝑟 𝛿10 = −𝐵1 ∙ 𝑤𝑏 − 𝐶𝑥,1 ∙ 𝑢𝑐 ,

kde 𝐵1 a 𝐶𝑥,1 jsou reakce od 𝑋1 = 1̅ , jak je patrné z obrázku (3.29).

Obr. 3.29: Průběhy 𝑀1 a 𝑀0 Reakce B1 a Cx,1 je třeba zavést shodně se zadanými posuny podpor. Výpočet koeficientů 𝛿11 , 𝛿10 : 𝑀1 𝑀1 1 1 1 𝑚 𝑑𝑥 = [ 32 ∙ 3 + 32 ∙ 4] = 0,0021 [ ] 𝐸𝐼 10000 3 3 𝑘𝑁 𝑀1 𝑀0 1 1 1 1 1 𝑓 𝛿10 = ∫ 𝑑𝑥 = [ 3 ∙ 40 ∙ 3 + 3 ∙ 40 ∙ 4 + 3 ∙ ( 2 ∙ 42 ) ∙ 4] = 𝐸𝐼 10000 2 3 3 8 = 0,0356 [𝑚] 𝛿11 = ∫

𝑟 𝛿10 = −𝐵1 ∙ 𝑤𝑏 − 𝐶𝑥,1 ∙ 𝑢𝑐 = −0,75 ∙ 0,024 − 0 ∙ 0,018 = −0,018 [𝑚] 𝑓 𝑟 𝛿10 = 𝛿10 + 𝛿10 = 0,0176 [𝑚].

Dosazení do přetvárné podmínky: 𝛿1 = 0:

0,0021 ∙ 𝑋1 + 0,0176 = 0 𝑋1 = −8,381 𝑘𝑁

(3.4)

Analýza stavebních konstrukcí – příklady Výsledné reakce a průběhy vnitřních sil:

Obr. 3.30: Reakce a zatížení

Obr. 3.31: Výsledné vnitřní síly

Kontrola rovnováhy ve styčníku (d):

Obr. 3.32: Vnitřní síly ve styčníku (d) v [𝑘𝑁], [𝑘𝑁𝑚]

47


48

12 − 12 = 0



8,667 − 8,381 − 0,286 = 0



14,857 − 14,857 = 0



  

b) ZS vytvoříme odstraněním podpory (b)

Obr. 3.33: Základní soustava V místě a směru odstraněné vazby byl předepsán posun 𝑤𝑏 = 0,024 𝑚 . Přetvárnou podmínku píšeme tedy ve tvaru: 𝛿1 = 0,024: kde

𝛿11 ∙ 𝑋1 + 𝛿10 = 0,024, 𝑓

𝑟 𝛿10 = 𝛿10 + 𝛿10 𝑓

𝛿10 = ∫

𝑀1 𝑀0 𝐸𝐼

𝑑𝑠

𝑟 𝛿10 = −𝐶𝑥,1 ∙ 𝑢𝑐

(obr. 3.34).

Obr. 3.34: Průběhy 𝑀1 a 𝑀0


49

Výpočet koeficientů 𝛿11 , 𝛿10 : 𝑀1 𝑀1 1 1 1 𝑚 𝑑𝑥 = [ 42 ∙ 3 + 42 ∙ 4] = 0,00373̅ [ ] 𝐸𝐼 10000 3 3 𝑘𝑁 𝑀1 𝑀0 1 1 1 =∫ 𝑑𝑥 = [ (40 − 2 ∙ 16) ∙ 4 ∙ 3 + 4 ∙ (−16) ∙ 4] = −0,0048 [𝑚] 𝐸𝐼 10000 6 4

𝛿11 = ∫ 𝑓

𝛿10

𝑟 𝛿10 = −𝐶𝑥,1 ∙ 𝑢𝑐 = −0 ∙ 0,018 = 0 [𝑚] 𝑓

𝑟 𝛿10 = 𝛿10 + 𝛿10 = −0,0048[𝑚]

Dosazení do přetvárné podmínky: 𝛿1 = 0,024:

0,00373̅ ∙ 𝑋1 − 0,0048 = 0,024 𝑋1 = 7,714 𝑘𝑁

Veličina 𝑋1 odpovídá svislé reakci v podpoře (b), vyšel nám tedy stejný výsledek jako v řešení a). Stejně vyjdou i vnitřní síly.

2.1.6

Příhradová konstrukce

Silovou metodou vyřešte normálové síly na příhradové konstrukci zatížené kombinací silového zatížení a rovnoměrného ohřátí. Všechny pruty mají stejnou průřezovou plochu 𝐴 = 3 ∙ 10−4 𝑚2, Youngův modul pružnosti je 𝐸 = 2,1 ∙ 108 𝑘𝑃𝑎.

Obr. 3.35: Schéma konstrukce se zatížením Pozn.: Pruty (3) a (4) se volně kříží a nevytvářejí další styčník.

Stupeň statické neurčitosti: 𝑆 = 4 ∙ 2 − (2 + 1 + 6) = −1 Konstrukce je 1x staticky neurčitá, přičemž se jedná o vnitřní statickou neurčitost. Základní soustavu vytvoříme přerušením prutu (4).


50

Obr. 3.36: Základní soustava

Přetvárná podmínka: 𝛿1 = 0:

𝛿11 ∙ 𝑋1 + 𝛿10 = 0. 𝑓

𝑡 Při uvážení výrazu (2.8) dostáváme pro výpočet koeficientů 𝛿11 , 𝛿10 a 𝛿10 vztahy:

𝛿11 = ∑𝑝𝑟𝑢𝑡𝑦

𝑁1 𝑁1 𝐸𝐴

∙𝑙

𝑓

𝑡 𝛿10 = 𝛿10 + 𝛿10 𝑓

𝛿10 = ∑𝑝𝑟𝑢𝑡𝑦

𝑁1 𝑁0 𝐸𝐴

∙𝑙

𝑡 𝛿10 = ∑𝑝𝑟𝑢𝑡𝑦 𝑁1 ∙ 𝛼 ∙ 𝑡𝑠 ∙ 𝑙 .

Nejprve vyřešíme normálové síly v jednotlivých prutech od 𝑋̅1 = 1 a od daného zatížení konstrukce.

Obr. 3.37: Hodnoty normálových sil 𝑁1 a 𝑁0


51

Pro větší přehlednost uspořádáme výpočet do tabulky: Tab. 3.1: Výpočet normálových sil na příhradové konstrukci silovou metodou. 𝑁1 ∙ 𝑁0 ∙ 𝑙

Výsledné vnitřní síly

prut

𝑙 [𝑚]

𝑁1 [−]

𝑁0 [𝑘𝑁]

𝑁1 ∙ 𝑁1 ∙ 𝑙[𝑚]

1

3

-0,6

0

1,08

0

−0,864 ∙ 10−3

-4,14

2

4

-0,8

0

2,56

0

0

-5,52

3

5

1

10

5

50

0

16,9

4

5

1

0

5

0

0

6,9

5

4

-0,8

-8

2,56

25,6

−1,536 ∙ 10−3

-13,52

6

3

-0,6

-6

1,08

10,8

−0,864 ∙ 10−3

-10,14

𝐸𝐴 ∙ 𝛿11 =

𝐸𝐴 ∙ 𝛿10 =

𝑡 𝛿10 =

17,28

86,4

−3,264 ∙ 10−3

∑

[𝑘𝑁𝑚]

𝑓

𝑁1 ∙ 𝛼 ∙ 𝑡𝑠 ∙ 𝑙[𝑚]

𝑁 = 𝑁1 ∙ 𝑋1 + 𝑁0 [𝑘𝑁]

Dosazení do přetvárné podmínky: 𝛿1 = 0:

17,28 86,4 ∙ 𝑋1 + − 3,264 ∙ 10−3 = 0 8 −4 2,1 ∙ 10 ∙ 3 ∙ 10 2,1 ∙ 108 ∙ 3 ∙ 10−4 0,274 ∙ 𝑋1 − 1,893 = 0 𝑋1 =̇ 6,9 𝑘𝑁

Výsledné normálové síly určíme superpozicí: 𝑁 = 𝑁1 ∙ 𝑋1 + 𝑁0 . Jejich hodnoty jsou v tab. 3.1 a v Obr. 3.38.

Obr. 3.38: Výsledné normálové síly

Plošné konstrukce

52

3 Plošné konstrukce 3.1 Desky – metoda sítí 3.1.1

Základní pojmy a vztahy

Desky jsou rovinné konstrukce zatížené kolmo na svoji střednicovou plochu. Poměr tloušťky h ku délce l (resp. šířce) by se měl pohybovat v rozmezí: 1 ℎ 1 ≤ ≤ 100 𝑙 10

(5.1)

Při tomto rozmezí lze desku považovat za tenkou a je možné jí řešit pomocí tzv. Kirchhoffovy teorie (tzn. zanedbání vlivu posouvajících sil). Primární neznámou je v teorii desek průhyb w(x,y), který získáme řešením deskové rovnice: ΔΔ𝑤(𝑥, 𝑦) =

𝑝 , 𝐷

(5.2)

kde: 𝜕2

𝜕2



je Laplaceův operátor Δ = 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦 2

w(x,y)

je funkce průhybu [m]

p

je intenzita zatížení [N/m2]

D

je desková tuhost [Nm], která se určí pomocí rovnice: 𝐷=

𝐸ℎ3 , 12(1 − 𝜈 2 )

kde: E

je modul pružnosti [Pa]



je Poissonovo číslo [-]

h

je tloušťka desky [m]

Obr. 4.1: Zavedení souřadného systému

(5.3)


3.1.2

53

Metoda sítí

Principem metody sítí je diskrétní rozdělení konstrukce na uzly a převod diferenciální rovnice (4.2) s neznámou w(x,y) na systém lineárních algebraických rovnic pouze pro uzlové hodnoty tzv. redukovaného průhybu: 𝑊𝑖,𝑗 =

𝐷 𝑤 , 𝑎2 𝑖,𝑗

(5.4)

kde Wi,j

je redukovaný průhyb [N]

D

je desková tuhost (4.3) [Nm]

a

je diferenční krok [m]

wi,j

je skutečný průhyb [m].

Diferenční náhrada za rovnici (4.2) má tvar lineární rovnice (obr. 4.2): 20𝑊𝑖,𝑗 − 8(𝑊𝑖,𝑗−1 + 𝑊𝑖+1,𝑗 +𝑊𝑖,𝑗+1 + 𝑊𝑖−1,𝑗 ) + 2(𝑊𝑖+1,𝑗−1 + 𝑊𝑖+1,𝑗+1 + 𝑊𝑖−1,𝑗+1 + 𝑊𝑖−1,𝑗−1 ) + 𝑊𝑖,𝑗−2 + 𝑊𝑖+2,𝑗 + 𝑊𝑖,𝑗+2 + 𝑊𝑖−2,𝑗 = 𝑃𝑖,𝑗 ,

(5.5)

kde Wi,j

je hodnota redukovaného průhybu v jednotlivých uzlech sítě [N]

Pi,j

je hodnota uzlového zatížení [N]: 𝑃𝑖,𝑗 = 𝑝𝑖,𝑗 𝑎2 + 𝐹𝑖,𝑗 ,

kde pi,j

je hodnota plošného zatížení na konstrukci [N/m2]

a

je diferenční krok [m]

Fi,j

je osamělé břemeno v uzlovém bodě [N].

(5.6)

Plošné konstrukce

54

Obr. 4.2: Schéma zavedení diferenčních náhrad Pro výpočet je nutné rovnici (4.5) doplnit o okrajové podmínky. Tyto podmínky závisí na způsobu podepření desky. Pro běžné výpočty postačí uvést tři základní – vetknutí, kloubové podepření a volný okraj (obr. 4.3)

Obr. 4.3: Schéma zavedení okrajových podmínek Pro redukované průhyby ve vetknutí platí tyto okrajové podmínky: 𝑊𝐴 = 0,

𝑊𝑎 = 𝑊1

(5.7)

𝑊𝑎 = −𝑊1

(5.8)

pro kloubové podepření platí: 𝑊𝐴 = 0,


55

a pro volný okraj platí: 𝑚𝑥 = 0 ⟹ 𝑊𝐵 − 2𝑊2 + 𝑊5 + 𝜈(𝑊1 − 2𝑊2 + 𝑊3 ) = 0

(5.9)

̅̅̅𝑥 = 0 ⟹ 𝑊𝐷 − 2𝑊𝐵 + 2𝑊5 − 𝑊7 + (2 − 𝜈)(𝑊𝐴 − 2𝑊𝐵 + 𝑞 𝑊𝐶 − 𝑊4 + 2𝑊5 − 𝑊6 ) = 0

(5.10)

Měrné momenty [Nm/m] na desce se pak vypočítají podle rovnic: 𝑚𝑥,𝑖𝑗 = −[𝑊𝑖+1,𝑗 − 2𝑊𝑖,𝑗 + 𝑊𝑖−1,𝑗 + 𝜈(𝑊𝑖,𝑗+1 − 2𝑊𝑖,𝑗 + 𝑊𝑖,𝑗−1 )]

(5.11)

𝑚𝑦,𝑖𝑗 = −[𝑊𝑖,𝑗+1 − 2𝑊𝑖,𝑗 + 𝑊𝑖,𝑗−1 + 𝜈(𝑊𝑖+1,𝑗 − 2𝑊𝑖,𝑗 + 𝑊𝑖−1,𝑗 )]

(5.12)

𝑚𝑥𝑦,𝑖𝑗 = −

1−𝜈 [−𝑊𝑖+1,𝑗−1 + 𝑊𝑖+1,𝑗+1 − 𝑊𝑖−1,𝑗+1 4 + 𝑊𝑖−1,𝑗−1 ]

(5.13)

Plošné konstrukce

56

3.2 Řešené příklady 3.2.1

Příklad 1

Metodou sítí vyřešte průběh funkce průhybů a všech měrných momentů na zadané betonové stropní desce (obr. 4.4). Deska je zatížena rovnoměrným zatížením p = 5 kN/m2 a dále pak silami F = 10 kN v bodech 4, 5 a 6. Tloušťka desky h = 0,12 m, modul pružnosti E = 30 GPa a Poissonův součinitel  = 0,2.

Obr. 4.4: Příklad 1 - zadání

Řešení: Nejprve je třeba si desku vhodně rozdělit a zvážit, zda je možné pro výpočet využít symetrie. V tomto příkladě desku rozdělíme dle (obr. 4.5). Z podepření desky a rozmístění osamělých břemen vyplývá, že deska je symetrická jak podle osy x (úsečka 46), tak podle osy y (úsečka 2-8). Pro kompletní výpočet bude tedy zapotřebí vyřešit pouze 4 neznámé redukované průhyby v libovolném kvadrantu desky místo všech devíti. V tomto příkladě byly vybrány redukované průhyby W1, W2, W4, W5 (obr 4.5).


57

Obr. 4.5: Schéma rozložení redukovaných průhybů a symetrie Dle okrajových podmínek jsou všechny redukované průhyby W A, WB, WC a WD v místě uložení rovny nule (jedná se o vetknutí a kloubové uložení): 𝑊𝐴 = 𝑊𝐵 = 𝑊𝐶 = 𝑊𝐷 = 0 Redukované průhyby mimo desku v místě kloubového uložení Wb a Wa jsou rovny záporným hodnotám W1 a W2: 𝑊𝑎 = −𝑊2 ; 𝑊𝑏 = −𝑊1 V místě vetknutí jsou redukované průhyby vně desky Wc a Wd rovny hodnotám W1 a W4: 𝑊𝑐 = 𝑊1 ; 𝑊𝑑 = 𝑊4 Nyní pro čtyři neznámé W1, W2, W4 a W5 sestavíme soustavu čtyř lineárních rovnic (diferenčních náhrad) – pro každou neznámou jednu rovnici (4.5): 20𝑊1 − 8(0 + 𝑊2 +𝑊4 + 0) + 2(0 + 𝑊5 + 0 + 0) − 𝑊1 + 𝑊1 + 𝑊1 + 𝑊1 = 𝑃1 20𝑊2 − 8(0 + 𝑊1 +𝑊5 + 𝑊1 ) + 2(0 + 𝑊4 + 𝑊4 + 0) − 𝑊2 + 0 + 𝑊2 + 0 = 𝑃2 20𝑊4 − 8(𝑊1 + 𝑊5 +𝑊1 + 0) + 2(𝑊2 + 𝑊2 + 0 + 0) + 0 + 𝑊4 + 0 + 𝑊4 = 𝑃4 20𝑊5 − 8(𝑊2 + 𝑊4 +𝑊2 + 𝑊4 ) + 2(𝑊1 + 𝑊1 + 𝑊1 + 𝑊1 ) + 0 + 0 + 0 + 0 = 𝑃5 Dále je třeba zjistit hodnoty uzlových břemen P v jednotlivých uzlech dle rovnice (4.6) 𝑃1 = 𝑝𝑎2 + 𝐹1 = 5 ∙ 12 + 0 = 5 𝑘𝑁 𝑃2 = 𝑝𝑎2 + 𝐹2 = 5 ∙ 12 + 0 = 5 𝑘𝑁 𝑃4 = 𝑝𝑎2 + 𝐹4 = 5 ∙ 12 + 10 = 15 𝑘𝑁 𝑃5 = 𝑝𝑎2 + 𝐹5 = 5 ∙ 12 + 10 = 15 𝑘𝑁

Plošné konstrukce

58

V tuto chvíli je již možné vypočítat jednotlivé redukované průhyby W1, W2, W4 a W5. Soustava rovnic má tvar: 22𝑊1 − 8𝑊2 − 8𝑊4 + 2𝑊5 = 𝑃1 −16𝑊1 + 20𝑊2 + 4𝑊4 − 8𝑊5 = 𝑃2 −16𝑊1 + 4𝑊2 + 22𝑊4 − 8𝑊5 = 𝑃4 8𝑊1 − 16𝑊2 − 16𝑊4 + 20𝑊5 = 𝑃5 tedy: 22 −16 [ −16 8

−8 −8 20 4 4 22 −16 −16

𝑊1 𝑃1 2 𝑃 −8 𝑊2 ] ( ) = ( 2) 𝑊 𝑃4 −8 4 𝑃5 20 𝑊5

Ze soustavy rovnic vypočteme hodnoty W1, W2, W4 a W5 (možností je mnoho, např. Gaussova eliminace, inzerze matice 4x4 a následné přenásobení pravé strany atd.). 𝑊1 = 2,60; 𝑊2 = 3,98; 𝑊4 = 4,09 𝑊5 = 6,17 Skutečné průhyby lze vypočítat pomocí vzorce (4.4), k tomu je třeba znát deskovou tuhost ze vzorce (4.3) 𝐷=

𝐸ℎ3 30 ⋅ 106 ⋅ 0,123 = = 4500,00 𝑘𝑁𝑚 12(1 − 𝜈 2 ) 12(1 − 0,22 )

Skutečné průhyby pak jsou: 𝑤1 =

𝑊1 𝑎2 2,91 ⋅ 12 = = 5,78 ⋅ 10−4 𝑚 𝐷 4500,0

𝑤2 =

𝑊2 𝑎2 4,37 ⋅ 12 = = 8,85 ⋅ 10−4 𝑚 𝐷 4500,0

𝑤4 =

𝑊4 𝑎2 4,71 ⋅ 12 = = 9,10 ⋅ 10−4 𝑚 𝐷 4500,0

𝑤5 =

𝑊5 𝑎2 6,85 ⋅ 12 = = 13,71 ⋅ 10−4 𝑚 𝐷 4500,0

Nyní už zbývá dopočítat pouze měrné momenty (4.11), (4.12), (4.13), pro jejichž výpočet již jsou všechny hodnoty známé. Nesmíme zapomenout, že měrné momenty se mohou vyskytovat v místě uložení desky. Měrné momenty mx a my budou zpravidla nabývat nenulových hodnot ve vetknutí (mxy bude 0) a moment mxy bude zpravidla nabývat nenulových hodnot v kloubovém uložení (mx a my budou 0). 𝑚𝑥,𝐷 = −[4,09 − 2 ⋅ 0 + 4,09 + 0,2(0 − 2 ⋅ 0 + 0)] = −8,19 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑚𝑥,4 = −[0 − 2 ⋅ 4,09 + 6,17 + 0,2(2,60 − 2 ⋅ 4,09 + 2,60)] = 2,62 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑚𝑥,5 = −[4,09 − 2 ⋅ 6,17 + 4,09 + 0,2(3,98 − 2 ⋅ 6,17 + 3,98)] = 5,03 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑚𝑦,𝐷 = −[0 − 2 ⋅ 0 + 0 + 0,2(4,09 − 2 ⋅ 0 + 4,09)] = −1,64 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑚𝑦,4 = −[2,60 − 2 ⋅ 4,09 + 2,60 + 0,2(0 − 2 ⋅ 4,09 + 6,17)] = 3,39 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑚𝑦,5 = −[3,98 − 2 ⋅ 6,17 + 3,98 + 0,2(4,09 − 2 ⋅ 6,17 + 4,09)] = 5,21 𝑘𝑁𝑚/𝑚


59

1 − 0,2 [−(−3,98) + 3,98 − 0 + 0] = −1,59 𝑘𝑁𝑚/𝑚 4 1 − 0,2 [−0 + 6,17 − 0 + 0] = −1,23 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑚𝑥𝑦,1 = − 4 1 − 0,2 [−3,98 + 3,98 − 0 + 0] = 0 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑚𝑥𝑦,4 = − 4 Ostatní měrné momenty je možné snadno dopočítat obdobným způsobem čímž lze také ověřit předchozí tvrzení o měrných momentech v místě uložení. Vykreslené a dopočtené měrné momenty a skutečné průhyby jsou uvedeny na (obr. 4.6). 𝑚𝑥𝑦,𝐵 = −

Obr. 4.6: Měrné momenty mx, my, mxy a skutečný průhyb w(x,y)

Plošné konstrukce

60

3.2.2

Příklad 2

Metodou sítí vyřešte průběh funkce průhybů a všech měrných momentů na zadané betonové stropní desce s jedním volným okrajem (obr. 4.7). Deska je zatížena rovnoměrným zatížením p = 6 kN/m2. Tloušťka desky h = 0,1 m, modul pružnosti E = 25 GPa a Poissonův součinitel  = 0,25. Diferenční krok a = 1,0 m.

Obr. 4.7: Příklad 2 - zadání Řešení: Na tomto příkladu můžeme opět využít symetrie (obr. 4.8). Budeme tedy řešit úlohu pro neznámé WD, W1 a W3.

Obr. 4.8: Schéma redukovaných průhybů a symetrie


61

Z okrajových podmínek pro vetknutí a kloubové uložení je zřejmé, že: 𝑊𝐺 = 𝑊𝐻 = 𝑊𝐼 = 𝑊𝐽 = 0 Redukovaný průhyb mimo desku v místě kloubového uložení Wj je rovnen záporné hodnotě W3: 𝑊𝑗 = −𝑊3 V místě vetknutí jsou redukované průhyby vně desky Wg, Wh a Wi rovny hodnotám WD, W1 a W3: 𝑊𝑔 = 𝑊𝐷 ; 𝑊ℎ = 𝑊1 ; 𝑊𝑖 = 𝑊3 Na volném okraji pak platí podmínky (4.9) a (4.10): 𝑚𝑥𝐷 = 0 ⟹ 𝑊𝑑 − 2𝑊𝐷 + 𝑊1 + 𝜈(0 − 2𝑊𝐷 + 𝑊𝐷 ) = 0 𝑞𝑥𝐷 = 0 ⟹ ̅̅̅̅̅

𝑊𝑎 − 2𝑊𝑑 + 2𝑊1 − 𝑊3 + (2 − 𝜈)(𝑊𝑐 − 2𝑊𝑑 + 𝑊𝑑 − 0 + 2𝑊1 − 𝑊1 ) =0 𝑚𝑥𝐺 = 0 ⟹ 𝑊𝑐 − 2 ⋅ 0 + 0 + 𝜈(𝑊𝐷 − 2 ⋅ 0 + 𝑊𝐷 ) = 0

Z těchto okrajových podmínek pak vyplývá: 𝑊𝑐 = 2𝜈𝑊𝐷 = 0,5𝑊𝐷 𝑊𝑑 = (2 + 𝜈)𝑊𝐷 − 𝑊1 = 2,25𝑊𝐷 − 𝑊1 𝑊𝑎 = 4,5𝑊𝐷 − 2𝑊1 − 2𝑊1 + 𝑊3 − (2 − 𝜈)(0,5𝑊𝐷 + 2,25𝑊𝐷 − 𝑊1 − 𝑊1 − 0 − 4,5𝑊𝐷 + 2𝑊1 + 2𝑊1 ) = 4,5𝑊𝐷 − 4𝑊1 + 𝑊3 − (2 − 𝜈)(−1,75𝑊𝐷 + 2𝑊1 ) = 7,5625𝑊𝐷 − 7,5𝑊1 + 𝑊3 Nyní můžeme přistoupit k sestavení lineárních rovnic dle (4.5): 20𝑊1 − 8(𝑊𝐷 + 𝑊1 +𝑊3 + 0) + 2(𝑊𝐷 + 𝑊3 + 0 + 0) + 2,25𝑊𝐷 − 𝑊1 + 0 + 0 + 𝑊1 = 𝑃1 20𝑊3 − 8(𝑊1 + 𝑊3 + 0 + 0) + 2(𝑊1 + 0 + 0 + 0) + 𝑊𝐷 + 0 − 𝑊3 + 𝑊3 = 𝑃3 20𝑊3 − 8(2,25𝑊𝐷 − 𝑊1 + 𝑊𝐷 + 𝑊1 + 0) + 2(2,25𝑊𝐷 − 𝑊1 + 𝑊1 + 0 + 0,5𝑊𝐷 ) + 7,5625𝑊𝐷 − 7,5𝑊1 + 𝑊3 + 0 + 𝑊3 + 𝑊𝐷 = 𝑃𝐷 Uzlová břemena P v jednotlivých uzlech dle rovnice (4.6). Nesmíme zapomenout, že v uzlu D působí zatížení pouze na poloviční ploše. 𝑃1 = 𝑝𝑎2 = 6 ∙ 12 = 6 𝑘𝑁 𝑃2 = 𝑝𝑎2 = 6 ∙ 12 = 6 𝑘𝑁 𝑎2 12 = 6 ∙ ∙ 2 = 6 𝑘𝑁 (𝑢 𝑣𝑜𝑙𝑛éℎ𝑜 𝑘𝑜𝑛𝑐𝑒 𝑠𝑒 𝑠í𝑙𝑎 𝑛á𝑠𝑜𝑏í 2 ×) 2 2 Z čehož vyplyne soustava rovnic: 𝑃𝐷 = 𝑝

𝑃1 12 −6 −3,75 𝑊1 [ −6 12 1 ] ( 𝑊3 ) = ( 𝑃2 ) 𝑃𝐷 −7,5 2 8,0625 𝑊𝐷 Nyní již snadno dopočteme redukované průhyby W1, W3 a WD

Plošné konstrukce

62 𝑊1 = 1,55; 𝑊3 = 1,15; 𝑊𝐷 = 1,53; Desková tuhost (4.3):

𝐸ℎ3 25 ⋅ 106 ⋅ 0,13 𝐷= = = 2222,22 𝑘𝑁𝑚 12(1 − 𝜈 2 ) 12(1 − 0,252 ) Skutečné průhyby pak jsou (4.4): 𝑊1 𝑎2 1,55 ⋅ 12 𝑤1 = = = 6,99 ⋅ 10−4 𝑚 ; 𝑤3 = 5,17 ⋅ 10−4 𝑚 ; 𝑤𝐷 = 6,89 ⋅ 10−4 𝑚 𝐷 2222,22 Výpočet měrných momentu se provede naprosto totožně, jako tomu bylo v příkladu č. 1 (4.11), (4.12), (4.13). 𝑚𝑥𝐺 = −[1,53 − 2 ⋅ 0 + 1,53 + 0,2(0,77 − 2 ⋅ 0 + 0)] = −3,26 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑚𝑦𝐺 = −[0,77 − 2 ⋅ 0 + 0 + 0,2(1,53 − 2 ⋅ 0 + 1,53)] = −1,53 𝑘𝑁𝑚/𝑚 1 − 0,25 [−1,15 + (−1,15) − 0 + 0] = 0,43 𝑘𝑁𝑚/𝑚 4 Kompletní výsledky měrných momentů jsou vykresleny na následujícím obrázku (obr. 4.9). 𝑚𝑥𝑦,𝐽 = −

Obr. 4.9: Měrné momenty mx, my, mxy a skutečný průhyb w(x,y)


3.2.3

63

Příklad 3

Metodou sítí vyřešte průběh funkcí průhybu a všech měrných momentů na zadané betonové stropní desce s uložení viz (obr. 4.10). Deska je zatížena rovnoměrným zatížením p = 4 kN/m2 a osamělými břemeny F = 16 kN v bodech 1 až 4. Tloušťka desky h = 0,2 m, modul pružnosti E = 28 GPa a Poissonův součinitel  = 0,2. Diferenční krok a = 2,0 m.

Obr. 4.10: Příklad 3 - zadání Výsledky: Redukované průhyby 𝑊1 = 𝑊2 = 6,85; 𝑊3 = 𝑊4 = 6,09 Desková tuhost 𝐷 = 19444,44 𝑘𝑁𝑚 Skutečné průhyby 𝑤1 = 𝑤2 = 1,41 ⋅ 10−3 𝑚 ; 𝑤3 = 𝑤4 = 1,25 ⋅ 10−3 𝑚 Vybrané měrné momenty 𝑚𝑥1 = 8,38 𝑘𝑁𝑚/𝑚 ; 𝑚𝑥3 = 7,16 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑚𝑦1 = 8,99 𝑘𝑁𝑚/𝑚 ; 𝑚𝑦3 = 6,55 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑚𝑥𝑦1 = −1,22 𝑘𝑁𝑚/𝑚 ; 𝑚𝑥𝑦3 = 1,37 𝑘𝑁𝑚/𝑚

Plošné konstrukce

64

3.2.4

Příklad 4

Metodou sítí vyřešte průběh funkcí průhybu a všech měrných momentů na zadané betonové stropní desce s uložením viz (obr. 4.11). Deska je zatížena rovnoměrným zatížením p = 3 kN/m2 a silami F = 12 kN v bodech 2 a 3. Tloušťka desky h = 0,15 m, modul pružnosti E = 30 GPa a Poissonův součinitel  = 0,2. Diferenční krok a = 2,0 m.

Obr. 4.11: Příklad 4 - zadání Návod: Využijte diagonální symetrii a řešte soustavu rovnic pro 3 neznámé redukované průhyby. Výsledky: Redukované průhyby 𝑊1 = 3,23; 𝑊2 = 𝑊3 = 3,20; 𝑊4 = 2,58 Desková tuhost 𝐷 = 8789,06 𝑘𝑁𝑚 Skutečné průhyby 𝑤1 = 1,47 ⋅ 10−3 𝑚 ; 𝑤2 = 𝑤3 = 1,46 ⋅ 10−3 𝑚 ; 𝑤4 = 1,18 ⋅ 10−3 𝑚 Vybrané měrné momenty 𝑚𝑥,1 = 3,90 𝑘𝑁𝑚/𝑚 ; 𝑚𝑥,2 = 3,94 𝑘𝑁𝑚/𝑚 ; 𝑚𝑥,𝐶 = −6,41 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑚𝑦,1 = 3,90 𝑘𝑁𝑚⁄𝑚 ; 𝑚𝑦,2 = 4,46 𝑘𝑁𝑚⁄𝑚 ; 𝑚𝑦,3 = −1,28 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝑚𝑥𝑦,𝐸 = −2,58 𝑘𝑁𝑚⁄𝑚 ; 𝑚𝑥𝑦,𝐴 = −1,28 𝑘𝑁𝑚⁄𝑚 ; 𝑚𝑥𝑦,𝐵 = −1,29 𝑘𝑁𝑚/𝑚


65

3.3 Stěny – metoda sítí 3.3.1

Základní pojmy a vztahy

Za stěnu lze považovat rovinnou tenkostěnou konstrukci, která je zatížená ve střednicové rovině. Aby bylo možné konstrukci považovat za stěnu musí splňovat tyto rozměrové podmínky (obr. 4.12): 1 1 𝑏 ≥ ( 𝑎ž ) 𝑙 5 4 ℎ≤

1 min(𝑏, 𝑙) 10

(5.14) (5.15)

Obr. 4.12: Zavedení souřadného systému a označení Pouze v těchto případech lze považovat napjatost ve stěně za rovinou – pole napětí {} = {x, y, z, yz, zx, xy} bude obsahovat poze tyto nenulové složky napětí {} = {x, y, xy}. Složky napětí jsou v teorii desek vyjádřeny tzv. Airyho funkcí napětí F, pro kterou, ve speciálním případě zatížení stěny pouze na okrajích, platí: ΔΔ𝐹 = 0 , kde: 𝜕2

𝜕2



je Laplaceův operátor Δ = 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦 2

F

je Airyho funkce napětí [N]

(5.16)

Plošné konstrukce

66

3.3.2

Metoda sítí

Metoda sítí převádí diferenciální rovnici (4.16) na soustavu lineárnich algebraických rovnic s neznámou F (Airyho funkcí nikoliv síly!), tak, jako tomu bylo u výpočtu desek metodou sítí. Schéma rovnice je patrné z (obr. 4.13): 20𝐹𝑖,𝑗 − 8(𝐹𝑖,𝑗+1 + 𝐹𝑖+1,𝑗 + 𝐹𝑖,𝑗−1 + 𝐹𝑖−1,𝑗 ) + 2(𝐹𝑖+1,𝑗+1 + 𝐹𝑖+1,𝑗−1 + 𝐹𝑖−1,𝑗−1 + 𝐹𝑖−1,𝑗+1 ) + 𝐹𝑖,𝑗+2 + 𝐹𝑖+2,𝑗 + 𝐹𝑖,𝑗−2 + 𝐹𝑖−2,𝑗 = 0,

(5.17)

kde F je hodnota Airyho funkce [N] Je zcela zřejmé, že rovnice (4.17) má naprosto totožnou strukturu jako rovnice (4.5) v předchozí kapitole o deskách s jediným rozdílem, pravá strana se rovná nule.

Obr. 4.13: Schéma zavedení diferenčních náhrad Ještě před tím, než přistoupíme k výpočtu Airyho funkce je nutné převézt liniové zatížení stěny fi,j na plošné i,j a bodové zatížení Pi,j na liniové pi,j, což se provede dle následujicích rovnic: 𝜎𝑖,𝑗 =

𝑓𝑖,𝑗 𝑃𝑖,𝑗 , 𝑝𝑖,𝑗 = , ℎ ℎ

kde

i,j

je napětí na hraně stěny [N/m2]

fi,j

je původní liniové zatížení na hraně stěny [N/m]

pi,j

je liniové zatížení na hraně stěny [N/m]

Pi,j

je původní bodové zatížení na hraně stěny [N]

h

je tloušťka desky [m]

(5.18)


67

Pro výpočet Airyho funkce F je pořeba rovnici (4.17) doplnit o okrajové podmínky. Okrajové podmínky jsou definovány tzv L’Hermiteovou analogií, která spočívá ve vytvoření fiktivního rámu, který tvoří hranice (obrys) stěny, a který je možné přetnout v libovolném místě (je vhodné volit místo výhodné – symetrie apod.) (obr. 4.14). Pro L’Hermiteovu analogii platí tyto vztahy: 𝜕𝐹𝑖,𝑗 𝐹𝑖+1,𝑗 − 𝐹𝑖−1,𝑗 𝜕𝐹𝑖,𝑗 𝐹𝑖,𝑗+1 − 𝐹𝑖,𝑗−1 = = 𝑁𝑖,𝑗 ; = = 𝑁𝑖,𝑗 , 𝜕𝑥 2𝑎 𝜕𝑦 2𝑎

(5.19)

kde Fi,j


x, y

jsou směry vnější normály

Ni,j

je normálová síla na fiktivním rámu [N] Fi,j = 𝑀𝑖,𝑗 ,

(5.20)

kde Fi,j


Mi,j

je moment na fiktivním rámu [Nm]

Obr. 4.14: L’Hermiteova analogie Po dosazení do okrajových podmínek (4.19), (4.20) a vyřešení soustavy rovnic (4.17), se napětí na stěně spočítají dle následujících rovnic:

𝜏𝑥𝑦,𝑖𝑗 =

𝜎𝑥,𝑖𝑗 =

1 (𝐹 − 2𝐹𝑖,𝑗 + 𝐹𝑖,𝑗+1 ) 𝑎2 𝑖,𝑗−1

(5.21)

𝜎𝑦,𝑖𝑗 =

1 (𝐹 − 2𝐹𝑖,𝑗 + 𝐹𝑖+1,𝑗 ) 𝑎2 𝑖−1,𝑗

(5.22)

1 [−𝐹𝑖+1,𝑗+1 +𝐹𝑖+1,𝑗−1 − 𝐹𝑖−1,𝑗−1 + 𝐹𝑖−1,𝑗+1 ] 4𝑎2

(5.23)

Plošné konstrukce

68

3.4 Řešené příklady 3.4.1

Příklad 1

Metodou sítí vyřešte průběh funkcí napětí na zadané nosné stěně s uložením viz. (obr. 4.15). Stěna je zatížena rovnoměrným zatížením f1 = 1000 kN/m, f2 = 800 kN/m a silami P = 100 kN v bodech K a E. Tloušťka stěny h = 0,2 m a diferenční krok a = 1,0 m.

Obr. 4.15: Příklad 1 - zadání

Řešení: V první fázi příkladu je potřeba přepočítat liniové, resp. bodové zatížení na plošné, resp. liniové (4.18). To se provede následovně: 𝑓1 1000 = = 5000 [𝑘𝑃𝑎] = 5,0 [𝑀𝑃𝑎] , ℎ 0,2 𝑓 800 𝜎𝑦,2 = 2 = = −4000 [𝑘𝑃𝑎] = 4,0 [𝑀𝑃𝑎] , ℎ 0,2 𝑃 100 𝑝𝑥 = = = 500 [𝑘𝑁/𝑚] = 0,5 [𝑘𝑁/𝑚] ℎ 0,2

𝜎𝑦,1 =

Na tomto příkladu je možné využít symetrie, budeme tedy řešit soustavu šesti rovnic o šesti neznámých na místo devíti (obr. 4.16). Nejprve je dle L’Hermiteovy analogie potřeba vytvořt fiktivní rámovou konstrukci a ve vhodném místě ji přetnout. K přetnutí je vhodné volit místo symetrie (obr 4.16). Na nově vzniklé rámové konstrukci se vypočítají ohybové momenty a normálové síly (už s novým přepočteným zatížením y,1, y,2 a px). Výpočet ohybových momentů a normálových sil zde nebude podrobně rozebírán.


69

Obr. 4.16: Schéma zavedení náhrad Airyho funkce a symetrie Výsledné hodnoty ohybových momentů M a normálových sil N jsou uvedeny na (obr. 4.17)

Obr. 4.17: Průběhy momentů a normálových sil na fiktivním rámu Ve chvíli, kdy už jsou známé průběhy ohybových momentů a normálových sil na fiktivním rámu je snadné doplnit okrajové podmínky na hraně stěny (4.20): 𝐹𝐵 = 1; 𝐹𝐶 = −1,5; 𝐹𝐷 = −8,5; 𝐹𝐸 = −8,0; 𝐹𝐹 = −8,0; 𝐹𝐺 = −2,0; 𝐹𝐻 = −0,0

Plošné konstrukce

70 Dále pak okrajové podmínky mimo stěnu (4.19):

𝐹𝑏 − 𝐹2 ⟹ 𝐹𝑏 = 𝐹2 − 1 2 𝐹𝑐 − 𝐹3 𝑁𝐶 = −0,5 = ⟹ 𝐹𝑐 = 𝐹3 − 1 2 𝐹𝑑 − 𝐹3 𝑁𝐷 = −10,0 = ⟹ 𝐹𝑑 = 𝐹3 − 20 2 𝐹𝑒 − 𝐹6 𝑁𝐸 = −10,0 = ⟹ 𝐹𝑒 = 𝐹6 − 20 2 𝐹𝑓 − 𝐹9 𝑁𝐹 = −10,0 = ⟹ 𝐹𝑓 = 𝐹9 − 20 2 𝐹𝑔 − 𝐹9 𝑁𝐺 = 0,0 = ⟹ 𝐹𝑔 = 𝐹9 2 𝐹ℎ − 𝐹8 𝑁𝐻 = 0,0 = ⟹ 𝐹ℎ = 𝐹8 2 Nyní můžeme přejít k sestavení rovnic (4.17) pro jednotlivé uzly F2, F3, F5, F6, F8, F9, čímž získáme soustavu rovnic o šesti neznámých: 𝑁𝐵 = −0,5 =

20𝐹2 − 8(1 + 𝐹3 +𝐹5 +𝐹3 ) + 2(−1,5 + 𝐹6 + 𝐹6 − 1,5) + 𝐹2 − 1 − 8,5 + 𝐹8 − 8,5 = 0 20𝐹3 − 8(−1,5 − 8,5+𝐹6 +𝐹2 ) + 2(−9 − 8 + 𝐹5 + 1) + 𝐹3 − 1 + 𝐹3 − 20 + 𝐹9 + 𝐹3 =0 20𝐹5 − 8(𝐹2 + 𝐹6 +𝐹8 +𝐹6 ) + 2(𝐹3 + 𝐹9 +𝐹9 +𝐹3 ) + 1 − 8 + 0 − 8 = 0 20𝐹6 − 8(𝐹3 −8 + 𝐹9 +𝐹5 ) + 2(−8,5 − 8 + 𝐹8 + 𝐹2 ) − 1,5 + 𝐹6 − 20 − 2 + 𝐹6 = 0 20𝐹8 − 8(𝐹5 + 𝐹9 + 0+𝐹9 ) + 2(𝐹6 − 2 − 2 + 𝐹6 ) + 𝐹2 − 8 + 𝐹8 − 8 = 0 20𝐹9 − 8(𝐹6 − 8 − 2+𝐹8 ) + 2(−8 − 8 + 0 + 𝐹5 ) + 𝐹3 + 𝐹9 − 20 + 𝐹9 + 𝐹9 = 0 tedy: 21 −16 −8 23 −8 4 2 −8 1 0 [0 1

𝐹2 −8 4 1 0 32 𝐹 2 −8 0 1 −27 3 𝐹5 20 −16 −8 4 15 = 𝐹 −8 22 2 −8 −7,5 6 −8 4 21 −16 𝐹8 24 ] ( ( 𝐹 ) 2 −8 −8 23 −28 ) 9

Po vyřešení této soustavy rovnic dostáváme: 𝐹2 = 1,24; 𝐹3 = −1,20; 𝐹5 = 1,23; 𝐹6 = −1,01; 𝐹8 = 0,69; 𝐹9 = −1,38 V tuto chvíli zbývá pouze dopočítat napětí x, y, xy v jednotlivých bodech dle rovnic (4.21), (4.22) a (4.23). Výpočet je uveden pouze ve vybraných bodech. Kompletní výsledky jsou vykresleny na (obr. 4.18). 1 𝜎𝑥,2 = 2 (1,23 − 2 ⋅ 1,24 + 1) = −0,24 𝑀𝑃𝑎 1 1 𝜎𝑥,5 = 2 (0,69 − 2 ⋅ 1,23 + 1,24) = −0,54 𝑀𝑃𝑎 1 1 𝜎𝑥,8 = 2 (0 − 2 ⋅ 0,69 + 1,23) = −0,15 𝑀𝑃𝑎 1

Analýza stavebních konstrukcí – příklady 1 (−1,20 − 2 ⋅ 1,24 − 1,20) = −4,88 𝑀𝑃𝑎 12 1 = 2 (−1,01 − 2 ⋅ 1,23 − 1,01) = −4,48 𝑀𝑃𝑎 1 1 = 2 (−1,38 − 2 ⋅ 0,69 − 1,38) = −4,15 𝑀𝑃𝑎 1

𝜎𝑦,2 = 𝜎𝑦,5 𝜎𝑦,8

1 [−(−1,5) − 1,01 − (−1,01) − 1,5] = 0,0 𝑀𝑃𝑎 4 ⋅ 12 1 [−(−1,2) − 1,38 − (−1,38) − 1,2] = 0,0 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑥𝑦,5 = − 4 ⋅ 12 1 [−(−1,01) − 2 − (−2) − 1,01] = 0,0 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑥𝑦,8 = − 4 ⋅ 12 𝜏𝑥𝑦,2 = −

Obr. 4.18: Výsledné napětí x, y, xy

71

Plošné konstrukce

72

3.4.2

Příklad 2

Metodou sítí řešte průběh funkcí napětí na zadané nosné stěně s uložením viz (obr. 4.19). Stěna je zatížena rovnoměrným zatížením f1 = 300 kN/m a trojúhelníkovým zatížením, kde maximální hodnota f2 = 600 kN/m. Tloušťka stěny h = 0,2 m a diferenční krok a = 1,0 m.

Obr. 4.19: Příklad 2 - zadání Řešení: V tomto příkladu opět využijeme symetrie stěny (obr. 4.20). Budeme tedy hledat řešení pro dvě neznámé Airyho funkce F1 a F3. Nejprve si ovšem opět převedeme liniové zatížení f1 a f2 na zatížení plošné resp. napětí y,1 a  x,2: 𝜎𝑦,1 = 𝜎𝑥,2 =

𝑓1 300 = = 1500 [𝑘𝑃𝑎] = 1,5 [𝑀𝑃𝑎] , ℎ 0,2

𝑓2 (𝑙 − 𝑦) 1 600(3 − 𝑦) 1 ∙ = ∙ = 1000(3 − 𝑦) [𝑘𝑃𝑎] = 1,0(3 − 𝑦) [𝑀𝑃𝑎] , 𝑙 ℎ 3 0,2 𝑦 ∈ {1,2,3}


73

Obr. 4.20: Schéma zavedení náhrad Airyho funkce a symerie

Nyní na fiktivním rámu (obr. 4.20) vypočteme průběh momentů a normálových sil od právě vypočteného plošného zatížení na hranu rámu y,1 a  x,2. Výsledky výpočtu jsou uvedeny na (obr. 4.21).

Obr. 4.21: Průběh ohybových momentů a normálových sil na fiktivním rámu Poté, co jsou známy průběhy M a N na fiktivním rámu, můžeme dosadit do okrajových podmínek Airyho funkce. Na hraně desky (4.20): 𝐹𝐴 = −7,5; 𝐹𝐵 = −4,667; 𝐹𝐶 = −1,333; 𝐹𝐷 = 0,0 Okrajové podmínky mimo stěnu (4.19): 𝐹𝑎 − 𝐹1 ⟹ 𝐹𝑎 = 𝐹1 − 9 2 𝐹𝑏 − 𝐹1 𝑁𝐵 = −2,25 = ⟹ 𝐹𝑏 = 𝐹1 − 4,5 2 𝑁𝐴 = −4,5 =

Plošné konstrukce

74

𝐹𝑐 − 𝐹3 ⟹ 𝐹𝑐 = 𝐹3 − 4,5 2 𝐹𝑑 − 𝐹3 𝑁𝐷 = 0,0 = ⟹ 𝐹𝑑 = 𝐹3 2 Okrajové podmínky známe a můžeme přistoupit k sestavení lineárních rovnic (4.17): 𝑁𝐶 = −2,25 =

20𝐹1 − 8(−7,5 + 𝐹2 +𝐹3 − 4,667) + 2(−7,5 + 𝐹3 − 1,333 − 9) + 𝐹1 − 9 − 4,667 + 0 + 𝐹1 − 4,5 = 0 20𝐹3 − 8(𝐹1 + 𝐹4 + 0 − 1,333) + 2(𝐹1 + 0 + 0 − 4,667) − 7,5 − 1,333 + 𝐹3 + 𝐹3 − 4,5 = 0 tedy 14 −6 𝐹1 −43,5 [ ]( ) = ( ) −6 14 𝐹3 12 Z čehož vypočítame, že 𝐹1 = −3,36; 𝐹3 = −0,58 Na konec ještě vypočteme hodnoty napětí x, y, xy dle (4.21), (4.22) a (4.23). Vybrány jsou opět pouze některé hodnoty napětí (kompletní výsledné hodnoty jsou uvedeny na (obr. 4.22)). 1 (−7,5 − 2 ⋅ (−3,36) − 0,58) = −1,36 𝑀𝑃𝑎 12 1 𝜎𝑥,3 = 2 (−3,36 − 2 ⋅ (−0,58) + 0) = −2,20 𝑀𝑃𝑎 1 1 𝜎𝑦,1 = 2 (−4,667 − 2 ⋅ (−3,36) − 3,36) = −1,31 𝑀𝑃𝑎 1 1 𝜎𝑦,3 = 2 (−1,333 − 2 ⋅ (−0,58) − 0,58) = −0,75 𝑀𝑃𝑎 1 𝜎𝑥,1 =

1 [−(−7,5) − 0,58 − (−1,333) − 9] = −0,19 𝑀𝑃𝑎 4 ⋅ 12 1 [−(−3,36) + 0 − 0 − 4,667] = −0,33 𝑀𝑃𝑎 =− 4 ⋅ 12

𝜏𝑥𝑦,1 = − 𝜏𝑥𝑦,3


Obr. 4.22: Výsledné napětí x, y, xy

75

Plošné konstrukce

76

3.4.3

Příklad 3

Metodou sítí řešte průběh funkcí napětí na zadané nosné stěně s uložením viz. (obr. 4.23). Stěna je zatížena rovnoměrným zatížením f1 = 150 kN/m a dvěma silami P = 300 kN. Tloušťka stěny h = 0,3 m a diferenční krok a = 2,0 m.

Obr. 4.23: Příklad 3 - zadání Výsledky: Airyho funkce: 𝐹1 = −3,5; 𝐹3 = −0,5 Napětí: 𝜎𝑥,1 = −0,625 𝑀𝑃𝑎 ; 𝜎𝑥,3 = −0,625 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑦,1 = −0,125 𝑀𝑃𝑎 ; 𝜎𝑦,3 = −0,125 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑥𝑦,1 = 0,031 𝑀𝑃𝑎 ; 𝜏𝑥𝑦,3 = −0,031 𝑀𝑃𝑎


3.4.4

77

Příklad 4

Metodou sítí řešte průběh funkcí napětí na zadané nosné stěně s uložením viz. (obr. 4.24). Stěna je zatížena rovnoměrným zatížením f1 = 600 kN/m a svislým rovnoměrným zatížením f2 = 300 kN/m. Tloušťka stěny h = 0,3 m a diferenční krok a = 1,0 m.

Obr. 4.24: Příklad 4 - zadání Výsledky: Airyho funkce: 𝐹1 = 2,05; 𝐹3 = 1,45 Napětí: 𝜎𝑥,1 = −0,65 𝑀𝑃𝑎 ; 𝜎𝑥,3 = −0,85 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑦,1 = −2,05 𝑀𝑃𝑎 ; 𝜎𝑦,3 = −1,45 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑥𝑦,1 = −0,14 𝑀𝑃𝑎 ; 𝜏𝑥𝑦,3 = −0,51 𝑀𝑃𝑎

Kroucení tenkostěnných otevřených průřezů

78

4 Kroucení tenkostěnných otevřených průřezů Prut je takový prvek, kde převládajícím rozměrem je délka. Z takového prutu my budeme zkoumat pouze jeden jediný průřez. Takový průřez můžeme přesně definovat podle daných kritérií na masivní a tenkostěnný. Pro tenkostěnné průřezy musí platit poměr stran :h:l (tloušťka stěny průřezu : výška nebo šířka průřezu – menší z obou rozměrů : délka prutu) ≥ 1 : 10 : 100. 

Masivní



Tenkostěnné o Uzavřené o Otevřené

Tenkostěnné průřezy se dále dělí na otevřené a uzavřené. Rozdíl mezi nimi je patrný jistě již z obrázku. V této kapitole se budeme zabývat pouze otevřenými tenkostěnnými průřezy. Otevřené tenkostěnné průřezy můžeme dělit ještě dále podle jejich tvaru a to na průřezy osově symetrické, středově symetrické nebo zcela obecné. Konečným výsledkem výpočtu je stanovení napjatosti na tenkostěnném průřezu, tj. určení jaké napětí působí v každém jeho bodě. Poté můžeme porovnat maximální napětí na daném průřezu s maximálním přípustným napětím pro daný materiál, z kterého je průřez vyroben. Tak zjistíme, zda prut resp. průřez dané zatížení přenese nebo ne. Algoritmus výpočtu se skládá z tří základních kroků: stanovení vnitřních sil

stanovení průřezových charakteristik

výpočet napětí

4.1 Průřezové charakteristiky Předtím než se dopracujeme k výpočtu napjatosti na tenkostěnném průřezu, musíme si definovat průřezové charakteristiky, které budou pro výpočet nutné. Základní průřezové charakteristiky jsou: 

Výsečová souřadnice

ω

[m2]



Statický výsečový moment

Sω

[m4]



Výsečový moment setrvačnosti

Iω

[m6]



Výsečové deviační momenty

Iωy ,Iωz

[m5]



Moment tuhosti ve volném kroucení

Ik

[m4]

Další termíny, resp. body, s kterými budeme pracovat jsou: 

Těžiště

T



Hlavní pól = Střed smyku

C



Hlavní počátek = Nulový bod

O



Pomocný pól

P


79

Tab. 3.2: Poloha hlavního pólu a hlavního počátku v závislosti na tvaru průřezu Poloha Obecný průřez Osově symetrický průřez Středově symetrický průřez

Hlavní pól C Pouze jeden pro celý průřez V obecném bodě (i mimo průřez) Na ose symetrie (i mimo průřez) Ve středu symetrie

Hlavní počátek O Více bodů na průřezu, i ∞ V obecném bodě průřezu Na ose symetrie průřezu V obecném bodě průřezu

4.2 Příklad výpočtu výsečových charakteristik Na daném tenkostěnném průřezu určete polohu hlavního pólu C, průběh hlavní výsečové souřadnice  a hlavní výsečový moment setrvačnosti I. Tenkostěnný průřez je patrný z následujícího obrázku. Jedná se o průřez otevřený a osově symetrický.

Obr. 5.1: Tenkostěnný otevřený osově symetrický průřez Poloha hlavního pólu C (středu smyku) je dána následujícím vztahem: 𝑐𝑦 =

𝐼𝜔 𝑝 𝑦 , 𝐼𝑦

𝑐𝑧 = −

𝐼𝜔 𝑝 𝑧 𝐼𝑧

(6.1)

Pomocné výsečové momenty setrvačnosti jsou dány jako: 𝐼𝜔𝑝 𝑦 = ∬ 𝜔 𝑝 ∙ 𝑧 𝑑𝐴,

𝐼𝜔𝑝 𝑧 = ∬ 𝜔 𝑝 ∙ 𝑦 𝑑𝐴 ,

(6.2)

𝐼𝑧 = ∬ 𝑦 2 𝑑𝐴

(6.3)

a momenty setrvačnosti jako: 𝐼𝑦 = ∬ 𝑧 2 𝑑𝐴,

Pomocný pól P si zvolíme na průsečíku osy symetrie s průřezem. V tom samém bodě se nachází i nulový bod O, ve kterém je výsečová souřadnice nulová.

80


Dalším krokem bude získání výsečové souřadnice ω. Výsečovou souřadnici budeme vynášet z pomocného pólu P. Poté se jedná o tzv. pomocnou výsečovou souřadnici ωp.

Obr. 5.2: Průběh pomocné výsečové souřadnice Výsečová souřadnice jakéhokoliv bodu na průřezu je rovna dvojnásobku plochy výseče, kterou opíše průvodič p mezi nulovým bodem 0 a hledaným bodem průřezu. Začátek průvodiče, čili bod kolem kterého se průvodič tzv. „točí“, je pomocný pól P. Výsečová souřadnice vynášená z pomocného pólu P je tzv. pomocná výsečová souřadnice p. Výsečová souřadnice vytvořená ve smyslu hodinových ručiček je záporná. Pro stanovení polohy hlavního pólu P potřebujeme ještě znát průběh z-ové souřadnice po průřezu. Z-ová souřadnice vystihuje vzdálenost každého bodu průřezu od osy y. Kladná hodnota z-ové souřadnice je v kladném směru z-ové osy.

Obr. 5.3: Průběh z-ové souřadnice Nyní, když známe průběhy všech veličin potřebných pro stanovení polohy hlavního pólu C, se můžeme pustit do vlastního výpočtu.


81

Jednotlivé integrály se dají řešit přímou integrací, Vereščaginovým pravidlem nebo pomocí tabulky pro slučování ploch. My si vybereme tabulku! Pomocný výsečový moment: 1 1 𝐼𝜔𝑝 𝑦 = ∬ 𝜔 𝑝 ∙ 𝑧 𝑑𝐴 = 0,1 ∙ { ∙ 6 ∙ 3 ∙ 2 + ((2 ∙ 1 + 2) ∙ 9 + (1 + 2 ∙ 2) ∙ 6) ∙ 1} ∙ 2 2 6 𝐼𝜔𝑝 𝑦 = 5,8 𝑚5 Moment setrvačnosti k ose y: 1 1 𝐼𝑦 = ∬ 𝑧 2 𝑑𝐴 = 0,1 ∙ {2 ∙ 2 ∙ 3 + ∙ 23 + ((2 ∙ 1 + 2) ∙ 1 + (1 + 2 ∙ 2) ∙ 2) ∙ 1} ∙ 2 3 6 𝐼𝑦 = 3,4 𝑚4 Poloha hlavního pólu: 𝑐𝑦 =

𝐼𝜔 𝑝 𝑦 5,8 = = 1,71 𝑚 𝐼𝑦 3,4

Nyní si vyneseme polohu hlavního pólu C a průběh hlavní výsečové souřadnice  Začátek průvodiče, čili bod, kolem kterého se průvodič tzv. „točí“, je nyní hlavní pól C! Hlavní pól C je rovněž nazýván středem smyku.

Obr. 5.4: Průběh hlavní výsečové souřadnice Pro hlavní výsečový moment setrvačnosti platí: 𝐼𝜔 = ∬ 𝜔2 𝑑𝐴

(6.4)

Neboť průběh hlavní výsečové souřadnice  známe, není žádný problém hlavní výsečový moment Iω dopočítat. Jednotlivé integrály budeme řešit opět tabulkou pro slučování ploch. 1

1

𝐼𝜔 = ∬ 𝜔2 𝑑𝐴 = 0,1 ∙ {3 ∙ 3,42 ∙ 3,42 ∙ 2 + 6 [(2 ∙ 3,42 + (−2,58)) ∙ 3,42 + 1

(3,42 + 2 ∙ (−2,58)) ∙ (−2,58)] ∙ 3 + 6 [(2 ∙ (−2,58) + (−7,29)) ∙ (−2,58) + (−2,58 + 2 ∙ (−7,29)) ∙ (−7,29)] ∙ 1} ∙ 2 𝐼𝜔 = 8,7 𝑚6


82

4.3 Napjatost průřezu Je-li znám průběh vnitřních sil a výsečové charakteristiky tenkostěnného otevřeného průřezu, tak nic nebrání tomu, abychom si spočítali průběh napětí. Napětí vznikající na tenkostěnném prutu jsou normálová a smyková.

4.3.1

Normálové napětí

Normálové napětí se skládá ze čtyř složek: 𝜎𝑥 =

𝑁 𝑀𝑦 𝑀𝑧 𝐵 + ∙𝑧− ∙ 𝑦 + ∙ 𝜔, 𝐴 𝐼𝑦 𝐼𝑧 𝐼𝜔

(6.5)

kde pro nás nejzajímavější je poslední člen, který obsahuje veličinu B – bimoment. Bimoment je zajímavý pouze u tenkostěnných průřezů. U masivních průřezů je vliv bimomentu zanedbatelný.

4.3.2

Smyková napětí

Celkové smykové napětí se skládá rovněž ze čtyř složek: 𝜏𝑥𝑠 = −

𝑉𝑧 ∙ 𝑆𝑦 𝑉𝑦 ∙ 𝑆𝑧 − + 2𝜏𝑥𝑠 ± 1𝜏𝑥𝑠 , 𝛿 ∙ 𝐼𝑦 𝛿 ∙ 𝐼𝑧

(6.6)

kde: 1

τxs

je smykové napětí od volného kroucení,

2

τxs

je smykové napětí od ohybového kroucení.

Volné kroucení vzniká, působí-li na koncích prutu pouze kroutící momenty. Ve zkoumaném průřezu spočteme moment od volného kroucení 1Mx a dopočítáme průběh smykový napětí od volného kroucení po průřezu podle: 1

𝜏𝑥𝑠 =

1

𝑀𝑥 ∙ 𝛿 𝐼𝑘

(6.7)

Působí-li na prut jiné zatížení než ohybové momenty na jeho koncích, vzniká kroucení ohybové. Z daného zatížení spočteme moment od ohybového kroucení 2Mx a dopočítáme průběh smykového napětí od ohybového kroucení podle: 2

2

𝜏𝑥𝑠 = −

𝑀𝑥 ∙ 𝑆𝜔 𝛿 ∙ 𝐼𝜔

(6.8)

Celkové napětí se poté dá vyjádřit jako součet všech čtyř složek: 𝜏𝑥𝑠 = −

2 1 𝑉𝑧 ∙ 𝑆𝑦 𝑉𝑦 ∙ 𝑆𝑧 𝑀𝑥 ∙ 𝑆𝜔 𝑀𝑥 ∙ 𝛿 − − ± 𝛿 ∙ 𝐼𝑦 𝛿 ∙ 𝐼𝑧 𝛿 ∙ 𝐼𝜔 𝐼𝑘

(6.9)

Napětí je u prvních třech výrazů, tj. u smykových napětí od posouvajících sil Vz , Vy a od momentu od ohybového kroucení kroucení 2Mx, po tloušťce stěny stejné. Pro sčítání


83

jednotlivých členů musíme znát směr tohoto napětí neboli tzv. smykový tok. Smyková napětí, kde směr smykového toku je stejný, sečteme. Smyková napětí s protichůdným smykovým tokem odečteme. U posledního výrazu smykového napětí od volného kroucení je smykové napětí po tloušťce stěny lineárně proměnné. Nejedná se tedy o smykový tok, ale o tzv. cirkulaci napětí. Maximální napětí obtéká po vnějších vláknech průřezu a zmenšuje se směrem ke střednici průřezu. Na střednici průřezu je napětí nulové. Záleží pochopitelně na tom, jaké je zatížení a jaké vnitřní síly v prutu působí. Působí-li v prutu např. pouze moment od volného kroucení, celý výraz se nám krásně zjednoduší na jeden jediný člen!

4.4 Příklad: stanovení průběhu napětí Určete průběhy napětí x, 2xs v tenkostěnném průřezu namáhaném vnitřními silami: bimomentem B = 0,1 kNm2 a momentem od ohybového kroucení 2Mx = 0,2 kNm.

Obr. 5.5: Tenkostěnný otevřený osově symetrický průřez Nejprve se zaměříme na průběh napětí vznikajících od bimomentu. To jsou napětí normálová, narozdíl od napětí smykových, která vznikají od kroutících momentů. Jelikož na prut nepůsobí žádná normálová síla ani žádné ohybové momenty, celkové normálové napětí, které vyvodí bimoment, je dáno vztahem: 𝜎𝑥 =

𝐵 ∙𝜔 𝐼𝜔

(6.10)

Z tohoto vztahu plyne, že pro průběh normálových napětí musíme stanovit průběh hlavní výsečové souřadnice  a hlavní výsečový moment setrvačnosti I. Postup pro stanovení těchto výsečových charakteristik je detailně rozepsán v předchozím příkladě. Omezíme se pouze na mezivýsledky. Pomocný pól P je vhodné zvolit na ose symetrie. Obecně si ho můžeme zvolit kdekoliv, ale pro nejjednodušší průběh pomocné výsečové souřadnice byl zvolen právě zde. Kdybychom si pomocný pól zvolili jinde, průběh pomocné výsečové souřadnice by byl


84

jiný. Konečné výsledky (I x však musí být stejné, ať si zvolíme pomocný pól kdekoliv. Nulový bod O je pevně dán z definice. Leží na průřezu a na ose symetrie. V našem případě tomu odpovídá jeden jediný bod. Pomocnou výsečovou souřadnici ωp tedy dostaneme tím, že konec průvodiče ukotvíme v nulovém bodě, začátek průvodiče umístíme do pomocného pólu P (v našem případě totožné body) a začátkem průvodiče začneme opisovat průřez. Z již zmíněné definice dvojnásobku plochy vykreslíme pomocnou výsečovou souřadnici.

Obr. 5.6: Z-ová souřadnice

Obr. 5.7: Pomocná výsečová souřadnice p 𝐼𝜔𝑝 𝑦 = ∬ 𝜔 𝑝 ∙ 𝑧 𝑑𝐴 1 = 0,005 ∙ 2 ∙ {0,003 ∙ 0,06 ∙ 0,5 ∙ (−0,05) − 0,002 ∙ 0,04 ∙ ∙ (−0,05)} 2 −8 5 = −2,5 ∙ 10 𝑚 1 𝐼𝑦 = ∬ 𝑧 2 𝑑𝐴 = 0,005 ∙ 2 ∙ {0,052 ∙ 0,1} + 0,006 ∙ 0,053 ∙ ∙ 2 = 3 ∙ 10−6 𝑚4 3


85

𝐼𝜔𝑝 𝑦 −2,5 ∙ 10−8 𝑐𝑦 = = = −0,008333 𝑚 𝐼𝑦 3 ∙ 10−6 Směr kladných os souřadnicového systému je určen pomocí pravidla pravé ruky. Palec pravé ruky míří vždy směrem na nás a určuje tak směr kladné osy x. Ukazováček míří doleva a ukazuje nám kladný směr (horizontální) osy y. Prostředníček mířící dolů naznačuje směr (vertikální) kladné osy z. Protože poloha hlavního pólu na ose y vyšla záporná, musíme ji tak vynést od pomocného pólu směrem doprava. Průběh hlavní výsečové souřadnice dostaneme tím, že konec průvodce umístíme do hlavního pólu C a začátek do nulového bodu. Poté již známým způsobem opíšeme začátkem průvodiče celý průřez a vykreslíme průběh hlavní výsečové souřadnice.

Obr. 5.8: Průběh hlavní výsečové souřadnice  𝐼𝜔 = ∬ 𝜔2 𝑑𝐴 = 2,125 ∙ 10−9 𝑚6 Z definice normálového napětí, které vyvodí bimoment, je vcelku zřejmé, že normálové napětí dostaneme tím, že všechny hodnoty hlavní výsečové souřadnice  přenásobíme hodnotou bimomentu B a podělíme hodnotou hlavního výsečového momentu setrvačnosti I 𝜎𝑥 =

𝐵 0,1 ∙𝜔 = ∙ 𝜔 = 47 058 823 ∙ 𝜔 𝐼𝜔 2,125 ∙ 10−9

Bimoment je zadán v jednotkách kNm2, hlavní výsečový moment setrvačnosti je v m6 a hlavní výsečová souřadnice je m2. Výsledný rozměr je přirozeně rozměr napětí, v našem případě to jsou kPa. 𝐵 𝜎𝑥 = ∙ 𝜔 𝐼𝜔

𝑘𝑁 ∙ 𝑚2 𝑘𝑁 2 [ ∙ 𝑚 = = 𝑘𝑃𝑎] 𝑚6 𝑚2

Dále by bylo v našem případě záhodno celé napětí přenásobit 10-3 a převést ho tak do MPa.


86

Obr. 5.9: Výsledné normálové napětí x od bimomentu V druhé půli příkladu budeme zkoumat účinek kroutícího momentu od ohybového kroucení 2Mx = 0,2 kNm. Jelikož na prut nepůsobí žádné posouvající síly ani žádný moment od volného kroucení, celková smyková napětí jsou dána vztahem, který obsahuje pouze jediný výraz: 𝜏𝑥𝑠 = 2𝜏𝑥𝑠 = −

2


(6.11)

Hodnotu kroutícího momentu 2Mx známe, stejně tak jako tloušťku stěny průřezu . Výsečový moment setrvačnosti I jsem si spočetli již při stanovení normálových napětí. Poslední neznámou je tedy S - statický výsečový moment. Statický výsečový moment je definován jako: 𝑆𝜔 = ∬ 𝜔 𝑑𝐴 = ∫ 𝜔 ∙ 𝛿 𝑑𝑠

(6.12)

Jedná se tedy o obsah plochy vymezený výsečovou souřadnicí přenásobený tloušťkou stěny. Pro výpočet statického výsečového momentu je zapotřebí zvolit si bod, ze kterého začneme integrovat. Nejjednodušší je zvolit si vždy krajní body průřezu, kde je výsečový statický moment roven nule a integrovat směrem dovnitř.

Obr. 5.10: Směr integrace


87

Musíme si zapamatovat jakým směrem jsme integrovali, neboť tento směr poté s kombinací znaménka finálního smykového napětí určuje výsledný směr smykového toku. 26 ∙ 10−4 ∙ 0,052 = 3,4 ∙ 10−7 𝑚4 2 −4 ∙ 10−4 ∙ 0,008 𝑆𝜔,2𝑙 = 0,005 ∙ + 3,4 ∙ 10−7 = 3,3 ∙ 10−7 𝑚4 2 (−24 − 4) ∙ 10−4 ∙ 0,04 𝑆𝜔,2𝑝 = 0,005 ∙ = −2,8 ∙ 10−7 𝑚4 2 −4 ∙ 10−4 ∙ 0,05 𝑆𝜔,3 = 0,5 ∙ 10−7 + 0,006 ∙ = −1 ∙ 10−8 𝑚4 2 𝑆𝜔,1 = 0,005 ∙

Obr. 5.11: Statický výsečový moment Nyní, když známe průběh statického výsečového momentu na průřezu stačí, abychom ho přenásobili kroutícím momentem 2Mx a podělili tloušťkou stěny  a výsečovým momentem setrvačnosti I. Pozor si musíme dávat na tloušťku stěny, která není na všech větvích průřezu stejná. 2 𝑀𝑥 ∙ 𝑆𝜔 0,2 ∙ 𝑆𝜔 𝑆𝜔 2 𝜏𝑥𝑠 = − =− = −94 117 647 −9 𝛿 ∙ 𝐼𝜔 𝛿 ∙ 2,125 ∙ 10 𝛿 Rozměrově se jedná přirozeně o napětí: 2

𝜏𝑥𝑠 = −

2


[

𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ∙ 𝑚4 𝑘𝑁 = 2 = 𝑘𝑃𝑎] 𝑚 ∙ 𝑚6 𝑚

Bylo by vhodné celý výraz přenásobit 10-3 a převést ho tak do MPa.


88

Obr. 5.12: Smykové napětí od ohybového kroucení Posledním krokem je vyznačení směru skutečného smykového toku. Tam kde je znaménko kladné, je finální hodnota smykového toku totožná se směrem integrace při stanovování statického výsečového momentu. Tam kde je znaménko záporné, je směr smykového toku opačný.

4.4.1

Příklad: Normálové napětí

Na tenkostěnném průřezu vypočtěte polohu hlavního pólu, vykreslete průběh hlavní výsečové souřadnice a průběh normálového napětí od namáhání bimomentem B = 4,2 MNm2. Tloušťky paprsků průřezu uvažujte dle zadání. Použijte doporučený souřadnicový systém

Obr. 5.13: Tenkostěnný průřez


Obr. 5.14: Průběh hlavní výsečové souřadnice

Obr. 5.15: Výsledná normálová napětí

89


90

4.4.2

Příklad: Smykové napětí

Na tenkostěnném průřezu vypočtěte polohu hlavního pólu, vykreslete průběh hlavní výsečové souřadnice a průběh smykového napětí od namáhání momentem od ohybového kroucení 2Mx = 3,7 MNm. Tloušťky paprsků průřezu uvažujte podle zadání. Použijte doporučený souřadnicový systém.

Obr. 5.16: Tenkostěnný průřez

Obr. 5.17: Průběh hlavní výdečové souřadnice


Obr. 5.18: Průběh statického výsečového momentu

Obr. 5.19: Průběh smykového napětí

91

Analýza stavebních konstrukcí

Recommend Documents