Analytische Studie van Buffergroottes in Productielijnen met Kitting

UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 2009 – 2010

Analytische Studie van Buffergroottes in Productielijnen met Kitting

Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur

Valerie Sweldens onder leiding van Prof. Dr. ir. H. Bruneel Prof. Dr. ing. D. Fiems Dr. ir. S. De Vuyst

UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 2009 – 2010

Analytische Studie van Buffergroottes in Productielijnen met Kitting

Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur

Valerie Sweldens onder leiding van Prof. Dr. ir. H. Bruneel Prof. Dr. ing. D. Fiems Dr. ir. S. De Vuyst

PERMISSION Ondergetekende verklaart dat de inhoud van deze masterproef mag geraadpleegd en/of gereproduceerd worden, mits bronvermelding.

Valerie Sweldens

Woord Vooraf Bij deze leest u de eerste woorden van de masterproef die ik schreef als eindwerk in de vijfjarige opleiding tot Handelsingenieur. Toen ik begon aan deze opleiding leek het een eeuwigheid te duren vooraleer ik mijn diploma zou halen. Nu het bijna zover is, kijk ik terug naar mijn eerst dag aan de universiteit alsof het gisteren was. Ik wil dan ook enkele mensen bedanken die mijn studies mogelijk gemaakt hebben, alsook het schrijven van deze masterproef. Eerst en vooral mijn ouders en mijn broertje voor hun onvoorwaardelijke liefde en steun die van mij de persoon maken die ik vandaag ben. Ik bedank in het bijzonder mijn moeder voor alles wat ze gedaan en gelaten heeft voor mij. Dan wil ik graag mijn vrienden bedanken voor de leuke tijden die we samen doorgebracht hebben. We hebben samen hard gewerkt en konden altijd op mekaar steunen. Jullie zijn de ideale groepsleden én vrienden. Bedankt! Voor het verwezenlijken van deze masterproef wil ik graag Stijn De Vuyst bedanken. Hij stond open voor mijn ideeën en suggesties, ik mocht hem altijd lastig vallen met vragen, … . Ondanks het vele werk dat hij zelf had, heb ik altijd beroep kunnen doen op hem, waarvoor dank. Verder wil ik graag mijn promotor en co-promotor Prof. Dr. ir. H. Bruneel en Prof. Dr. ing. D. Fiems bedanken voor het mogelijk maken van deze masterproef. Tot slot bedank ik graag mijn broer Thomas en goede vriendin Lien Denoo voor hun hulp bij de laatste loodjes van deze masterproef, de opmaak.

ii

Inhoudsopgave Inleiding ........................................................................................................................................................... 1 Hoofdstuk 1: Kitting..................................................................................................................................... 4 1 Literatuur .................................................................................................................................................................4 2 Wachtlijntheorie ...................................................................................................................................................6 3 Kitting ........................................................................................................................................................................7 3.1 Aankomstproces onderdelen .................................................................................................................8 3.2 Gelimiteerde buffers ............................................................................................................................... 10 3.3 Kitting wiskundig voorgesteld............................................................................................................ 11 3.4 Oplossingsmethode................................................................................................................................. 12 Hoofdstuk 2: Analyse van Productielijnen met Kitting.................................................................16 1 Prestatiematen.................................................................................................................................................... 16 1.1 Gemiddelde bufferbezetting ................................................................................................................ 17 1.2 De kans dat een buffer leeg/vol is .................................................................................................... 18 1.3 Throughput................................................................................................................................................. 19 1.4 Verlies ........................................................................................................................................................... 19 2 Optimaliseren van de prestatiematen....................................................................................................... 20 2.1 Gemiddelde bufferbezetting ................................................................................................................ 21 2.1.1 Systeembelasting......................................................................................................................... 23 2.1.2 Optimalisatie................................................................................................................................. 24 2.2 Kans dat buffer vol is .............................................................................................................................. 24 2.2.1 Systeembelasting......................................................................................................................... 26 2.2.2 Optimalisatie................................................................................................................................. 27

iii

2.2.3 Het effect van ongelijke buffergroottes.............................................................................. 27 2.3 Kans dat buffer leeg is ............................................................................................................................ 28 2.3.1 Systeembelasting......................................................................................................................... 29 2.3.2 Optimalisatie................................................................................................................................. 30 2.3.3 Het effect van ongelijke buffergroottes.............................................................................. 31 2.4 Throughput................................................................................................................................................. 32 2.4.1 Systeembelasting......................................................................................................................... 33 2.4.2 Optimalisatie................................................................................................................................. 34 2.4.3 Het effect van ongelijke buffergroottes.............................................................................. 34 2.5 Verlies ........................................................................................................................................................... 36 2.5.1 Systeembelasting........................................................................................................................ 38 2.5.2 Optimalisatie................................................................................................................................. 38 3 Het effect van ongelijke gemiddelde aankomstsnelheden................................................................ 39 4 Ongelijke buffergroottes gecombineerd met ongelijke gemiddelde aankomstsnelheden .. 43 5 Optimalisatie van het kitting systeem ....................................................................................................... 45 Hoofdstuk 3: Uitbreidingen op het basis kitting proces ...............................................................47 1 Kitting proces met tweeledige server........................................................................................................ 47 1.1 Throughput................................................................................................................................................. 49 1.2 Kans dat buffer vol/leeg is.................................................................................................................... 51 1.3 Het effect van ongelijke buffergroottes........................................................................................... 52 2 Kitting proces met drempels......................................................................................................................... 53 2.1 Basismodel kitting versus kitting met drempels ........................................................................ 54 2.2 Optimaliseren kitting systeem met drempels .............................................................................. 57 2.2.1 Gemiddelde bufferbezetting................................................................................................... 57

iv

2.2.2 Kans op een lege buffer............................................................................................................. 60 2.2.3 Throughput.................................................................................................................................... 63 Hoofdstuk 4: Numeriek Voorbeeld.......................................................................................................66 1 Opstellen van de winstfunctie....................................................................................................................... 66 1.1 Opbrengsten............................................................................................................................................... 66 1.2 Kosten ........................................................................................................................................................... 67 1.3 Winstfunctie ............................................................................................................................................... 68 2 De invloed van verschillende parameters ............................................................................................... 69 2.1 Basisscenario ............................................................................................................................................. 69 2.1.1 Systeembelasting......................................................................................................................... 71 2.2 Stilleggen kitting....................................................................................................................................... 73 2.2.1 Systeembelasting......................................................................................................................... 74 2.3 Variabele voorraadkosten .................................................................................................................... 75 2.3.1 Systeembelasting......................................................................................................................... 77 2.4 Stilleggen aanvoer onderdelen........................................................................................................... 79 2.4.1 Systeembelasting......................................................................................................................... 80 3 Maximale winst................................................................................................................................................... 81 Besluit .............................................................................................................................................................84 Bibliografie....................................................................................................................................................88

v

Lijst van Grafieken 1. E[Q] voor verschillende scenario’s.............................................................................................................. 21 2. E[Q] in functie van C met =µ=1 .................................................................................................................. 22 3. E[Q] bij verschillende systeembelasting................................................................................................... 23 4. P[vol] voor verschillende scenario’s........................................................................................................... 24 5. P[vol] bij verschillende systeembelasting................................................................................................ 26 6. P[vol] bij ongelijke buffergroottes bij =µ=1 ......................................................................................... 27 7. P[leeg] voor verschillende scenario’s......................................................................................................... 28 8. P[leeg] bij verschillende systeembelasting.............................................................................................. 29 9. P[leeg1] bij ongelijke buffergroottes.......................................................................................................... 31 10. P[leeg2] bij ongelijke buffergroottes.......................................................................................................... 31 11. TP voor verschillende scenario’s ................................................................................................................. 32 12. TP bij verschillende systeembelasting....................................................................................................... 33 13. TP bij verschillende buffergroottes met =µ=1 ..................................................................................... 35 14. TP met grenzen.................................................................................................................................................... 36 15. Verlies voor verschillende scenario’s......................................................................................................... 37 16. Verlies bij verschillende systeembelasting.............................................................................................. 38 17. TP bij ongelijke aankomstsnelheden.......................................................................................................... 39 18. P[vol1] en P[vol2] bij ongelijke aankomstsnelheden .......................................................................... 40 19. P[leeg1] en P[leeg2] bij verschillende aankomstsnelheden............................................................. 42 20. TP in functie van q met =µ=1 ...................................................................................................................... 49 21. TP in functie van q bij verschillende systeembelasting ...................................................................... 50 22. P[vol] en [leeg] in functie van q met =µ=1............................................................................................. 51 23. TP bij verschillende buffergroottes met q=0,5 en =µ=1 .................................................................. 52 24. TP van basis vs. drempels ............................................................................................................................... 54 25. E[Q] van basis vs. drempels............................................................................................................................ 55 26. TP in functie van T voor verschillende scenario’s................................................................................. 56 27. E[Q] voor verschillende scenario’s.............................................................................................................. 57 28. E[Q] in functie van C .......................................................................................................................................... 58 29. E[Q] bij verschillende buffergroottes......................................................................................................... 59 30. P[leeg] voor verschillende scenario’s......................................................................................................... 60 31. P[leeg] in functie van C..................................................................................................................................... 61 32. P[leeg] bij verschillende buffergroottes.................................................................................................... 62 33. TP voor verschillende scenario’s ................................................................................................................. 63

vi

34. TP in functie van C.............................................................................................................................................. 64 35. TP bij verschillende buffergroottes............................................................................................................. 65 36. Winst basisscenario........................................................................................................................................... 69 37. Winst bij verschillende systeembelasting................................................................................................ 71 38. Kosten bij verschillende systeembelasting.............................................................................................. 72 39. Opbrengsten bij verschillende systeembelasting.................................................................................. 72 40. Winst als stilleggen kitting duurder is ....................................................................................................... 73 41. Winst bij verschillende systeembelasting................................................................................................ 74 42. Winst als variabele voorraadkosten duurder zijn ................................................................................ 75 43. Winst bij verschillende systeembelasting................................................................................................ 77 44. Kosten bij verschillende systeembelasting.............................................................................................. 78 45. Opbrengsten bij verschillende systeembelasting.................................................................................. 78 46. Winst als stilleggen aanvoer onderdelen duurder is ........................................................................... 79 47. Winst bij verschillende systeembelasting................................................................................................ 80 48. Winst in functie van de buffergrootte ........................................................................................................ 81 49. Winst in functie van de gemiddelde aankomstsnelheid..................................................................... 82 50. Winst in functie van de gemiddelde verwerkingssnelheid ............................................................... 83

INLEIDING In een productieomgeving wordt frequent gebruik gemaakt van productielijnen die verschillende onderdelen maken om daarna geassembleerd te worden tot een bepaalde component of het eindproduct. Het verzamelen van de nodige onderdelen voor assemblage is wat men noemt kitting. Meer algemeen beoogt kitting het vormen van een kit bestaande uit een welbepaalde hoeveelheid diverse onderdelen. De relevantie van kitting in het dagdagelijkse leven kan worden geïllustreerd aan de hand van enkele voorbeelden. Steeds meer bedrijven kiezen ervoor om een gedeelte van hun operaties uit te besteden aan bedrijven die deze operatie beter kunnen uitvoeren dan zij zelf. Beter betekent vaak goedkoper. Vooral bedrijven die een fysiek product produceren, besteden de productie van onderdelen steeds vaker uit. Grote bedrijven kunnen ervoor kiezen om een productiefaciliteit op te richten in het buitenland vanwege de goedkope loonkost, belastingvoordelen of tal van andere overwegingen. Kleinere bedrijven daarentegen kunnen gedwongen worden om de productie gedeeltelijk uit te besteden aan gespecialiseerde bedrijven omdat zij niet voldoende schaalvoordelen halen om het zelf te produceren. Ondanks de stijgende trend van uitbesteden, gebeurt de assemblage van de onderdelen wel nog vaak in eigen land. Denk maar aan de autoindustrie. Om een auto te produceren, moeten de juiste onderdelen verzameld worden om te assembleren tot een auto. Men doet dus aan kitting. Een andere sector dan de productiesector waar kitting een hoge relevantie heeft, is de logistieke sector. Een van de voornaamste taken van logistieke centra is het verdelen van grote binnenkomende volumes over kleinere uitgaande volumes. Zij moeten ‘onderdelen’ verzamelen om een ‘kit’ te vormen die dan wordt getransporteerd naar zijn bestemming. Bijvoorbeeld in een logistiek centrum van een grootwarenhuisketen komen vrachtwagens toe geladen met een specifiek product. Die producten worden dan verdeeld over de vrachtwagens die naar specifieke winkels zullen rijden zodat ze de juiste mengeling van producten bevatten die de winkels nodig hebben.

INLEIDING

2

Voor welke situatie dan ook, is het belangrijk dat de doorstroom van goederen zo efficiënt en effectief mogelijk verloopt. De bedrijven die een gedeelte van hun productie uitbesteden moeten er bijvoorbeeld voor zorgen dat ze te allen tijde beschikken over onderdelen om te assembleren of hun hele productie komt stil te liggen. Het niet beschikbaar zijn van onderdelen kan verscheidene oorzaken hebben gaande van een productiefout waardoor de levering onderdelen vertraging oploopt, of een schip onderdelen dat door een staking enkele dagen later vertrekt, tot een brand in de productiehal waardoor voor zeer lange tijd geen onderdelen kunnen geleverd worden door die productiehal. Het stilvallen van de aanvoer van grondstoffen of onderdelen heeft zware gevolgen voor vele sectoren. Het risico is nog veel groter voor bedrijven die gebruik maken van kitting omdat zij alle onderdelen gelijktijdig nodig hebben om een kit te maken. Als de toevoer van een onderdeel stilvalt, kan er niet geassembleerd worden zelfs als alle andere onderdelen wel beschikbaar zijn. Bovendien zou het kunnen dat de productie van de andere onderdelen ook moeten worden stopgezet. Dit risico kan men bufferen met bijvoorbeeld een extra grote voorraad van dat onderdeel, zodat het bedrijf een korte periode zonder toevoer kan doorstaan zonder problemen. Het modeleren van de doorstroom van goederen kan gebruikt worden om de mogelijke gevolgen van zulke problemen na te gaan alsook om maatregelen om het risico te verminderen te evalueren. In de realiteit is de toevoer van goederen een stochastisch proces waardoor het oplossen van een model een complexe en tijdrovende taak is. Daarom zullen we in deze masterproef het kitting proces modeleren door gebruik te maken van wachtlijnen. Dit resulteert in snelle benaderingen van de te onderzoeken factoren.

In deze masterproef starten we met de verdere situering van kitting in productielijnen door een kort literatuuroverzicht te geven. Om het effect van de buffergroottes na te gaan, is het nodig dat we het kitting systeem wiskundig voorstellen. Hiertoe gebruiken we termen en technieken uit de wachtlijnen theorie. Met de nodige vakkennis kunnen we dan starten met het wiskundig modeleren van het kitting proces. Om het eerste hoofdstuk te besluiten, bekijken we de gebruikte oplossingsmethode. In het tweede hoofdstuk maken we gebruik van de resultaten in hoofdstuk 1 om een antwoord te vinden op de onderzoeksvraag van deze masterproef; wat is het effect van buffergroottes in productielijnen met kitting? Om het effect te kwantificeren, definiëren we enkele prestatiematen en gaan we na hoe we die moeten berekenen. Door de verschillende parameters van het kitting systeem te laten variëren, analyseren we het effect van elke parameter op de prestatie van het kitting systeem.

INLEIDING

3

In een derde hoofdstuk bekijken we twee uitbreidingen op het basis kitting proces uit hoofdstuk 2. Eerst bekijken we het kitting systeem met twee seriële servers. Dit betekent dat de kit nu twee fases moet doorlopen om een geassembleerde kit te bekomen. Daarna bekijken we het kitting systeem met drempels. In deze uitbreiding werken we niet met een aanvoer van onderdelen volgens een bepaald aankomstproces maar bestellen we een bepaalde hoeveelheid onderdelen wanneer de voorraadpositie daalt onder een gekozen drempelwaarde. In het laatste hoofdstuk bekijken we een numeriek voorbeeld om de resultaten uit hoofdstuk 2 te toetsen. We gaan voor de verschillende prestatiematen na welke opbrengsten, kosten en risico’s ze met zich meebrengen. Op die manier kunnen we een winstfunctie opstellen die ons zal helpen bij de keuze van de verschillende parameterwaarden. Door het gewicht van bepaalde kosten of opbrengsten te verhogen, kunnen we het effect van elke prestatiemaat nagaan op de totale winst van het systeem. We besluiten deze masterproef met de belangrijkste resultaten uit de verschillende hoofdstukken.

HOOFDSTUK 1 KITTING Zoals gezegd in de inleiding wordt in een productieomgeving frequent gebruik gemaakt van productielijnen die verschillende onderdelen maken om daarna geassembleerd te worden tot een bepaalde component of het eindproduct. Het verzamelen van de nodige onderdelen voor assemblage is wat men noemt kitting. Meer algemeen beoogt kitting het vormen van een kit bestaande uit een welbepaalde hoeveelheid van onderdelen. We starten met een kort overzicht uit de literatuur om een beter beeld te krijgen van de mate waarin kitting reeds bestudeerd werd in het verleden. Daar het doel van deze masterproef is om een systeem met kitting wiskundig te bekijken, hebben we ervoor gekozen dit gedeelte beperkt te houden.

1 LITERATUUR Wanneer we zoeken op het woord ‘kitting’ zien we dat er relatief weinig onderzoek gedaan is naar deze manier van werken, wat verrassend is gezien de zeer relevante toepassingen besproken in de inleiding. Na wat zoeken vinden we echter literatuur die handelt over kitting maar waar die term nergens vermeld is. In 1988 spraken W. J. Hopp en J. T. Simon over “assembly-like queues”. Zij trachten grenzen en heuristieken te vinden voor systemen met kitting en verwijzen in hun studie naar andere literatuur over “assembly-like queues” (Hopp & Simon, 1988). In een productieomgeving is kitting een alternatieve manier van werken dan het traditionele lijn-voorraad-systeem (Bozer & McGinnis, 1992). In dit laatste systeem gebeurd de assemblage stap voor stap. Alle productieposten staan op een lange lijn en voegen elk een onderdeel toe. Er

1. KITTING

5

worden containers onderdelen geplaatst langs de productielijnen op elke plaats dat de onderdelen gebruikt worden. Bij kitting daarentegen worden er eerst kits gevormd met alle onderdelen nodig om een bepaalde component of eindproduct te maken. De kits met onderdelen worden aangebracht bij het begin van de assemblage. Er is dus 1 machine of arbeider die de gehele assemblage voor zijn rekening neemt. Bozer en McGinnis analyseerden door middel van bedrijfsbezoeken de voor- en nadelen van kitting versus line-stocking. Ze zagen dat bij kitting minder containers onderdelen in beweging zijn op een dag, dat de benodigde plaats in de productiehal voor die containers aanzienlijk minder is, dat de WIP niveaus lager zijn, dat de zichtbaarheid en controle over de voorraden en componenten groter zijn, … . De nadelen van kitting handelen over hoe, waar en wanneer de kits gemaakt worden. Ze stellen zich de vraag of het maken van die kits wel waarde toevoegt, of ze niet nog extra plaats nodig hebben om de kits tijdelijk te stockeren, wat er gebeurt wanneer een onderdeel stuk blijkt te zijn, … . H. Brynzér and M.I. Johansson bespraken in hun paper de afwegingen die men moet maken bij een kitting systeem en de mogelijke voordelen. Zo halen ze enkele factoren aan die men moet in acht nemen bij het ontwerpen van een systeem met kitting; “batching policy”, “picking policy”, “storage policy”, de geografische locatie van het kitting proces, de layout van de productiehal, … . Deze hebben dus duidelijk betrekking op de mogelijke nadelen of bedenkingen die Bozer en McGinnis maakten. Brynzér en Johansson analyseerden verschillende cases en kwamen tot de conclusie dat er zeer veel verschillende systemen geïmplementeerd waren met kitting en dat er dus een gebrek is aan algemeen advies daaromtrent. Verder stelden ze vast dat er grote verschillen waren tussen de tijd dat het bedrijf dacht dat het kitting proces duurde en de tijd die ze waarnamen op de werkvloer (Brynzér & Johansson, 1995). Beide conclusies impliceren dat er totnogtoe onvoldoende onderzoek gedaan is naar systemen met kitting. De laatste jaren begint het belang van kitting, en meer bepaald het modeleren van kitting, door te dringen. Zo stellen Ramakrishnan en Krishnamurthy dat kitting in vele productiebedrijven gebruikt wordt en dat men in het verleden getracht heeft het tempo van het systeem op te drijven. Er was echter weinig aandacht voor de risico’s die kitting met zich meebrengt. Voor een kit gevormd kan worden moeten alle nodige onderdelen ter beschikking zijn. Door het stochastische aankomstproces is dit echter niet steeds gegarandeerd. Zulke stock-outs leiden tot kostelijke onderbrekingen en vertragingen van de productie (Ramakrishnan & Krishnamurthy, 2007). In hun onderzoek gaan Ramakrishnan en Krishnamurthy op zoek naar analytische benaderingen voor systemen met kitting. Zij meten de prestatie van het systeem op basis van throughput, gemiddelde grootte van de wachtlijn en vertragingen. Het is in deze lijn dat deze masterproef zal verlopen, al gaan we niet op zoek naar heuristische benaderingen en grenzen.

1. KITTING

6

We formuleren onze eigen prestatiematen en trachten deze zo accuraat mogelijk te berekenen, gebruik makende van de wachtlijn theorie.

2 WACHTLIJNTHEORIE Voor we een kitting systeem bekijken, hebben we eerst enkele basisbegrippen nodig uit de wachtlijn theorie. Dat brengt ons al meteen bij het eerste begrip: wachtlijn. Ieder van ons staat regelmatig in een wachtlijn. Tijdens het aanschuiven aan de kassa, terwijl je wacht aan de checkin balie op de luchthaven, … . Een wachtlijn vormt zich dus waar personen, producten of andere entiteiten wachten op een soort van dienstverlening. We leggen alle componenten van een wachtlijn uit aan de hand van een voorbeeld: de tandarts. De patiënten van de tandarts noemt men in wachtlijntermen ‘klanten’. De ‘klanten’ komen aan in het wachtlijnsysteem volgens een bepaald ‘aankomstproces’. Dit geeft weer met welke gemiddelde snelheid de klanten aankomen, alsook met welk patroon ze dat doen. Het patroon bepaalt hoe de aankomsttijdstippen verspreid liggen op de tijdsas. Dit betekent dus dat er bijvoorbeeld gemiddeld elke 20 minuten een nieuwe patiënt binnenkomt. Uit het patroon kunnen we bijvoorbeeld zien dat in de voor- en namiddag de patiënten meer gespreid zijn, terwijl na 16u de patiënten kort op elkaar volgen. De ‘klanten’ komen terecht in de wachtlijn of buffer waar ze wachten tot ze bediend worden. Bij de tandarts is die wachtlijn de wachtkamer, voorzien van een aantal stoelen en de gekende weekbladen. De bediening gebeurt door de tandarts en die noemt men de ‘server’. De ‘server’ bedient zijn ‘klanten’ aan een bepaalde gemiddelde snelheid en volgens een bepaald patroon. Dit patroon bepaalt in welke volgorde de ‘klanten’ bediend worden. De tandarts heeft bijvoorbeeld gemiddeld 15 minuten nodig per patiënt. Als het vrije consultatie is, roept de tandarts de patiënt binnen die er het eerst was. De dagen dat hij op afspraak werkt echter, kijkt de hij in zijn agenda wie de volgende is, ongeacht hoe lang die ‘klant’ al zit te wachten. De bediende ‘klanten’ verlaten het wachtlijnsysteem. De ‘klanten’ die toekomen terwijl de ‘server’ bezig is met de bediening van een andere ‘klant’, moeten wachten tot de ‘server’ weer beschikbaar is. Indien de wachtlijn vol zit, kunnen er geen nieuwe klanten bij en zijn ze ‘verloren’ voor het systeem. Het zou kunnen dat de 5 stoelen in de wachtkamer volzet zijn, en dat een ‘klant’ die toekomt besluit om niet te wachten en zonder bediening de praktijk verlaat. De ‘capaciteit’ van de wachtlijn is hier 5. De ‘toestandsruimte’ is de

1. KITTING

7

verzameling van mogelijke waarden die het systeem kan aannemen. In dit voorbeeld bestaat de toestandsruimte uit een deelverzameling van de natuurlijke getallen {0,1,2,3,4,5}. Hetzelfde verhaal kan verteld worden met een onderdeel dat wacht tot de machine beschikbaar is om verdere productiestappen op het onderdeel toe te passen. Het verhaal van het onderdeel en de machine gebruiken we om kitting verder uit te leggen in het volgende deel.

3 KITTING Zoals eerder gezegd, is kitting het verzamelen van een welbepaalde hoeveelheid onderdelen voor assemblage. Dit betekent dat, in tegenstelling tot de voorgaande voorstelling van een wachtlijnsysteem, we nu te maken hebben met meerdere wachtlijnen. Bij kitting is er namelijk een wachtlijn voor elk onderdeel dat nodig is om de kit te vormen. Het kitting proces kan op verschillende manieren worden voorgesteld. In deze masterproef zal ik werken met de voorstelling in de onderstaande figuur. Dit is de meest eenvoudige vorm van een kitting proces waarbij er slechts twee onderdelen zijn. Dit

proces

geeft

weer

dat

een

product

geassembleerd wordt uit twee verschillende onderdelen. De onderdelen worden toegeleverd uit andere deelprocessen in het bedrijf aan een gemiddelde snelheid 1 en 2 respectievelijk voor onderdeel 1 en 2. Deze belanden dan in hun eigen wachtlijn die zich vlak voor de assemblage FIGUUR 1: HET PRINCIPE VAN KITTING

bevindt. De wachtlijn voor elk onderdeel is gelimiteerd tot respectievelijk C1 en C2. Het

assemblageproces neemt een bepaalde tijd in beslag die processpecifiek is. Belangrijk is dus de gemiddelde snelheid waarmee het product de assemblage verlaat, namelijk ߤ. We merken hier op dat het belangrijk is dat er steeds een onderdeel aanwezig is in elke buffer, opdat het kitting proces zou kunnen assembleren. Zoals gezegd is het voor een kitting systeem belangrijk dat de doorstroom zo effectief en efficiënt mogelijk verloopt. Door het wiskundig modeleren van het systeem, zijn we in staat de parameters zo te kiezen dat het proces geoptimaliseerd wordt. Om kitting wiskundig te benaderen, is het noodzakelijk de parameters van het wachtlijnsysteem te kennen. Ten eerste moeten we weten met welk aankomstproces de onderdelen worden aangebracht en wat dus de gemiddelde aankomstsnelheid is. Verder moet de capaciteit van de buffer voor elk onderdeel

1. KITTING

8

gekend zijn. Tot slot moeten we weten wat de gemiddelde snelheid is waarmee het product het wachtlijnsysteem verlaat. Deze 5 parameters vormen dus de basis van de wiskundige analyse.

3.1 AANKOMSTPROCES ONDERDELEN In de realiteit zou het kunnen dat het aankomstproces van de onderdelen zeer verschillend is per onderdeel en moeilijk te modeleren. Om deze oefening niet onnodig moeilijk te maken, wordt er in de literatuur vaak gekozen voor een Markovketen als aankomstproces. In deze masterproef zal ik werken met de Poissonverdeling, wat ook een Markovketen is. Dit betekent dus dat we het aankomstproces van elk afzonderlijk onderdeel kunnen voorstellen als een Poissonverdeling met zijn eigen parameter die gelijk of verschillend kan zijn. Deze veronderstelling is bovendien niet zo ver gezocht als we ervan uitgaan dat de onderdelen worden aangeleverd uit andere deelprocessen van het bedrijf. De reden waarom men in de literatuur vaak kiest voor een Markovketen is om zijn specifieke eigenschappen. In de Markovketen beweegt de toevalsveranderlijke zich tussen een aantal toestanden. Wat deze keten zo bijzonder maakt is de karakteristiek dat “de toekomst gegeven het heden niet afhangt van het verleden”. De toekomstige waarden van de toevalsveranderlijke hangen dus enkel af van de huidige toestand, en niet van de waarden in het verleden. Nog anders gezegd betekent dit dat de toekomstige waarden niet afhangen van de weg die gevolgd werd om tot de huidige toestand te komen. Deze eigenschap maakt een Markovketen “geheugenloos” (Bruneel). Een Poissonproces betekent dat de tijd tussen de aankomsten exponentieel verdeeld is met een parameter . Een Poissonproces heeft enkele merkwaardige eigenschappen die de reden van gebruik zullen ondersteunen. Een Poissonproces is ook een Markovketen maar dan met slechts 1 toestand. Dit betekent dat ook het poisson proces “geheugenloos” is. In het specifieke geval van het Poissonproces betekent dit dat de waarschijnlijkheid om een aankomst te hebben tijdens het tijdsinterval (t,t+dt) altijd gelijk is aan  dt en de waarschijnlijkheid om er geen te hebben altijd gelijk is aan 1–  dt. Anders gezegd betekent dit dat de kans dat een onderdeel aankomt, zal plaatsvinden op een tijdstip dat onafhankelijk is van het tijdstip van de voorgaande aankomst, of de ligging van het tijdstip t op de tijdsas. Kortom, de aankomsten gebeuren onafhankelijk van elkaar. Een andere eigenschap is de “superpositie”. Dit betekent dat de som van n onafhankelijke Poisson processen met parameter i opnieuw een poisson proces is met parameter ∑ i (Bruneel). Een zeer belangrijke deelklasse van Markovketens zijn de zogenaamde “Birth-Death-processen”, BD-processen. Deze processen hebben als toestandsruimte de verzameling van de natuurlijk

1. KITTING

9

getallen of een deelverzameling daarvan, en zijn gekenmerkt door het feit dat een toevalsveranderlijke vanuit een toestand enkel naar naburige toestanden kan verplaatsen. Een overgang van k naar k+1 noemt men een geboorte (“birth”), terwijl een overgang van k naar k k-1 wordt gedefinieerd als een overlijden (“death”). Wanneer de toevalsveranderlijke t oevalsveranderlijke de waarde k heeft aangenomen, dan vinden de overgangen plaats met respectievelijke intensiteiten λk, de geboorte-intensiteit, en μk, sterfte-intensiteit. sterfte intensiteit. De kans op precies 1 geboorte of sterfte in het tijdsinterval tussen t en t + dt is i gelijk aan respectievelijk λkdt en μkdt, terwijl de kans op meer dan 1 geboorte en/of sterfte in datzelfde tijdsinterval verwaarloosbaar klein is (Bruneel). Een BD-proces proces wordt grafisch voorgesteld door het volgende toestandsdiagram. toestandsdi agram.

FIGUUR 2: TOESTANDSDIAGRAM BIRTH IRTH-DEATH PROCES

De bewegingsvergelijkingen leggen relaties tussen de verschillende geboorte geboorte- en sterfteintensiteiten, en beschrijven de toestand van het systeem. Stel dat de waarschijnlijkheid dat het proces zich in een toestand k bevindt op tijdstip t gegeven wordt door Pk (t) = P[X(t) = k], k≥0. k De bewegingsvergelijkingen bekomt men dan door uit te drukken dat de toename per tijdseenheid van de totale probabiliteit binnen een willekeurig gesloten gebied in het diagram gelijk moet zijn aan het netto waarschijnlijkheidsdebiet doorheen dit oppervlak, van buiten naar binnen toe. Beschouw bijvoorbeeld een gesloten oppervlak dat toestand 1 omvat, toepassing van deze regel geeft dan an voor deze toestand:

Met de geschikte beginvoorwaarde { Pk(0) , k ≥ 0} kan men het stelsel bewegingsvergelijkingen te samen met de normeringsvoorwaarde dan oplossen, en vindt men de verdelingen {Pk(t),k {Pk(t),k≥0} voor alle t ≥ 0. Dit kan echter zeer gecompliceerd zijn, tenzij in enkele speciale gevallen, zoals een poisson proces.

1. KITTING

10

In veel gevallen is men echter in plaats van het volledig gedrag meer geïnteresseerd in het regimegedrag en in de limietgrootheden:

en de voorwaarden waaronder deze een geldige gel dige distributie vormen. Opdat er een limietdistributie zou bestaan, moet het bestudeerde systeem “stabiel” zijn. Wanneer =k en µ=µk voor alle k, dan betekent dat de geboorte-intensiteit geboorte intensiteit kleiner moet zijn dan de sterfte sterfteintensiteit. In de andere gevallen geldt dit niet aangezien er dan geen sprake is van “de” geboorte- of sterfte-intensiteit. intensiteit. Voor de meeste praktische belangrijke BD-processen BD processen wordt dit regimebedrag bepaald door de evenwichtsvergelijkingen.. Dit zijn de vergelijkingen die men bekomt door in de bewegingsvergelijkingen Pk(t) te vervangen door pk en dPk(t)/dt door 0, samen met de normeringvoorwaarde:

Deze normeringvoorwaarde zegt dat aangezien het systeem zich in minstens 1 en hoogstens 1 toestand kan bevinden, de kansen dat het systeem zich in 1 van de toestanden bevindt moeten sommeren

tot

1.

Het

oplossen

van

de

evenwichtsvergelijkingen

samen

met

de

normeringvoorwaarde resulteert dus in het vinden van de evenwichtswaarschijnlijkheden P k. Deze geven weer wat de kans is dat het systeem zich, in i n regime, in toestand k bevindt.

3.2 GELIMITEERDE BUFFERS De buffers worden gelimiteerd gekozen omdat een systeem met aankomstprocessen die onafhankelijke Markovketens zijn onstabiel zijn wanneer de buffers niet gelimiteerd zijn (Harrison, 1973, pp. 354-367) 367).. Deze limitering zou niet nodig zijn met controle mechanismes zoals de aankomstsnelheden afhankelijk maken van het aantal elementen in de buffer (Ramachandran & Delen, 2003). 2003). Wij maken het echter niet onnodig moeilijk en kiezen dus voor gelimiteerde buffers.

1. KITTING

11

3.3 KITTING WISKUNDIG VOORGESTELD In dit deel wordt het kitting proces wiskundig bekeken. We starten met het definiëren van de toestandsruimte en stellen ons dus de vraag: “welke waarde kan het systeem aannemen?”. Wat het kitting proces speciaal maakt, is het feit dat de toestandsruimte hier geen deelverzameling is van de natuurlijke getallen. De reden is dat er niet 1 maar meerdere wachtlijnen zijn, 1 voor elk onderdeel. Hoewel de toestandsruimte voor elk onderdeel apart bestaat uit natuurlijke getallen, wordt die van het systeem weergegeven door een koppel van natuurlijke getallen: het aantal onderdelen in de wachtlijn op een bepaald tijdstip wordt weergegeven door respectievelijk Q1 en Q2, wat we noteren als (Q1,Q2). Bij de opstart van

de

productie

zijn

de

wachtlijnen leeg en bevinden we

FIGUUR 3:TOESTANDSDIAGRAM KITTING

ons dus in het punt (0,0). Onderdeel 1 komt toe in het systeem met een gemiddelde snelheid 1 en zo belanden we in het punt (1,0). Het is ook mogelijk dat onderdeel 2 eerder toekomt dan onderdeel 1. Dan belanden we in het punt (0,1). Als in beide wachtlijnen een onderdeel zit, kan er geassembleerd worden. De voorraadpositie zal dan verminderen van (1,1) naar (0,0) met een gemiddelde snelheid µ. Samengevat zien we dat de voorraadpositie Q1 zal toenemen met een gemiddelde snelheid 1 en dit wordt weergegeven door de verticale pijlen in de matrix. De horizontale pijlen geven weer dat de voorraadpositie Q2 toeneemt met een gemiddelde snelheid 2. Tot slot zijn er de diagonale pijlen die aanduiden dat bij assemblage de voorraadpositie van Q1 en Q2 daalt met een gemiddelde snelheid µ. De grootte van de matrix wordt bepaald door de grootte van C 1 en C2. De matrix vertoont gelijkenissen met de Birth-Death-processen besproken in het voorgaande deel. Het kitting proces is echter geen zuiver BD-proces omdat er ook transities mogelijk zijn naar niet naburige toestanden. Bijvoorbeeld bij het vormen van een kit gaat het systeem van toestand (1,1) naar (0,0). Hoewel het mogelijk is dit te interpreteren als een naburige toestand,

1. KITTING

12

kan men er niet geraken door de bewerking +1 of -1. De reden hiervoor is dat de toestandsruimte niet bestaat uit natuurlijke getallen maar uit een koppel (Q1,Q2) van natuurlijke getallen. Toch zal deze masterproef het kitting proces benaderen als een veralgemeend BD-proces. Naast het toestandsdiagram weergegeven door de matrix, wordt er ook gebruik gemaakt van de evenwichtsvergelijkingen om de limietwaarden in regime te vinden.

3.4 OPLOSSINGSMETHODE Veronderstel een kitting proces waarbij de buffer voor het eerste onderdeel 2 plaatsen telt, en de buffer voor het tweede onderdeel 3 plaatsen. Het aantal onderdelen in een buffer kan variëren van 0 tot de capaciteit, 2 en 3 respectievelijk voor onderdeel 1 en 2. Dit betekent dat de toestandsruimte van de buffer van het eerste onderdeel 3 mogelijke waarden kent (0,1,2). De buffer voor het tweede onderdeel heeft een toestandsruimte met 4 mogelijke waarden (0,1,2,3). Dit leidt tot een toestandsruimte voor de koppels (Q1,Q2) van 12 mogelijke waarden, gaande van (0,0) tot (2,3). Dit zeer kleine kitting proces resulteert reeds in 12 bewegingsvergelijkingen. Het is duidelijk dat een meer realistisch proces meteen noodzaakt tot het oplossen van zeer grote, complexe stelsels van bewegingsvergelijkingen. Bijvoorbeeld 3 onderdelen met een elk een buffer van 20 onderdelen resulteert in 9261 vergelijkingen. Als men bedenkt uit hoeveel onderdelen een auto bestaat, zien we dat deze oplossingsmethode veel te omslachtig is. Als we het toestandsdiagram van het kitting proces bekijken, merken we echter op dat elke toestand slechts relaties heeft met een beperkt aantal andere toestanden. Er zijn heel wat toestanden waartussen geen directe relatie bestaat. Door hiervan gebruik te maken in het wiskundig modeleren, kan men het aantal vergelijkingen aanzienlijk reduceren en wordt het vinden van de evenwichtswaarschijnlijkheden Pk eenvoudiger. We hebben voor deze masterproef gebruik gemaakt van Matlab om het kitting proces wiskundig te modeleren. Dit programma is ontwikkeld om te rekenen met matrices. Door gebruik te maken van “sparse matrices” modeleren we enkel de toestanden waartussen een relatie is en veronderstellen we de rest gelijk aan 0. Bij een BD-proces is het de bedoeling om te vinden met welke intensiteit de ene toestand overgaat in de andere. Als we dit toepassen op het kitting proces, betekent dit dat we de onderstaande matrix willen invullen.

1. KITTING

13

De invulling van deze matrix zal bestaan uit een combinatie van 1, 2 en µ, afhankelijk van de relatie tussen 2 toestanden. Bij toestanden waartussen geen relatie is, is de overgangsintensiteit gelijk aan 0. Zoals gezegd is het modeleren aan de hand van de bewegingsvergelijkingen omslachtig en complex. Om die reden gebruiken we in Matlab een alternatieve oplossingsmethode om bovenstaande matrix te bekomen. Wat het kitting proces zo anders maakt dan een gewoon wachtlijnsysteem is het feit dat de toestandsruimte bestaan uit koppels van natuurlijke getallen. De matrix voorstelling van het aankomstproces voor onderdeel 1 ziet er uit als volgt wanneer we veronderstellen dat C 1=2 en C2=3.

De kolomen van links naar rechts geven de huidige toestand van buffer 1, de huidige toestand van buffer 2, de toekomstige toestand van buffer 1, de toekomstige toestand van buffer 2 en de gemiddelde aankomstsnelheid. De eerste en tweede kolom vormen dus een koppel (Q1,Q2), alsook de derde en vierde kolom. Dit kunnen we nu makkelijk modeleren in Matlab door gebruik te maken van het Kronecker product.

1. KITTING

14

Het Kronecker product wordt weergegeven door het symbool matrixen van willekeurige grootte. A

en is toepasbaar tussen

B wordt dan weergegeven door:

Gebruik makende van het kronecker product vinden we een uitdrukking voor elke kolom in de voorgaande matrix. Nemen we bijvoorbeeld de tweede kolom dan ziet het er als volgt uit.

Dit kunnen we nu in matlab programmeren. Hiervoor merken we op dat de eerste matrix bestaat uit C1 eentjes en dat de tweede matrix de getallen 0 tot C2 weergeeft. In Matlab wordt dit: kron(ones(C1,1),(0:C2)’) We passen hetzelfde principe toe om tot de 5 kolommen te komen. We doen daarna hetzelfde voor het aankomstproces van onderdeel 2 en voor het vertrekproces van het product (“sterfte”). Vervolgens plaatsen we de 3 matrices onder mekaar; die het aankomstproces van onderdeel 1 weergeeft, die het aankomstproces van onderdeel 2 weergeeft en die het vertrekproces van de kits weergeeft. Om de evenwichtswaarschijnlijkheden te vinden moeten we nu van het koppel en dus van 2 dimensies overgaan naar 1 dimensie. Hiervoor zoeken we een formule die aan het koppel (0,0) de waarde 1 toekent en zo incrementeel oploopt tot bijvoorbeeld (2,3) die het getal 12 krijgt. De formule die we daarvoor vonden is de volgende: i * (C2 + 1) + j + 1

waarbij i en j de getallen van het koppel (i,j) voorstellen.

1. KITTING

15

De laatste stap om tot de ingevulde matrix A te komen heeft alles te maken met de specifieke oplossingsmethode die we kozen voor deze masterproef. Hiervoor verwijzen we dan ook naar de literatuur (Tijms, 2003) aangezien dat het doel van de masterproef overstijgt. Het resultaat van deze berekeningen is de ingevulde matrix A. Tot slot berekenen we nu de evenwichtswaarschijnlijkheden in regime πk. Dit doen we door het volgende stelsel op te lossen; πk * A = 0 ∑ πk = 1 De oplossing van dit stelsel geeft de rijmatrix πk die weergeeft wat de kans is dat het systeem zich in toestand k bevind, in regime, waarbij k de mogelijke koppels van de toestandsruimte voorstelt gaande van (0,0) tot (C1,C2).

Hoofdstuk 2 Analyse van Productielijnen met Kitting

1 Prestatiematen Het doel van een kitting proces is om zo effectief en efficiënt mogelijk te werken. Om de prestatie van een systeem met kitting te evalueren, bekijken we het in economische termen van kosten en opbrengsten. Een kitting systeem levert opbrengsten door de onderdelen te assembleren tot een product. Hoe meer producten tijdens een bepaald tijdsinterval geassembleerd worden, hoe hoger de opbrengsten die het systeem genereert. De kosten bestaan uit verschillende componenten waaronder de operationele kost t.t.z. de kost om de assemblage machine te laten draaien en/of de kost van de arbeider die assembleert. De andere kosten zijn opportuniteitskosten. Als de buffer van een van de onderdelen leeg is, kunnen we niet assembleren en verliezen we de mogelijkheid om opbrengsten te generen gedurende de tijd dat de buffer leeg is. Als daarentegen de buffer van een onderdeel vol zit, moet de machine die dat

2. ANALYSE VAN PRODUCTIELIJNEN MET KITTING

17

onderdeel aanlevert worden stil gelegd. Ook dit vormt een opportuniteitskost. Tot slot is er het verlies dat een echte kost kan zijn doordat het weergeeft hoeveel onderdelen verloren gaan omdat de buffers vol zitten of een opportuniteitskost doordat het weergeeft hoeveel onderdelen we potentieel hadden kunnen verwerken. Hieruit kunnen we de prestatiematen afleiden die ik zal onderzoeken; de gemiddelde bufferbezetting, de kans dat een buffer leeg/vol is, de throughput en het verlies.

1.1 Gemiddelde bufferbezetting Veronderstel een wachtlijnsysteem dat een klassiek BD-proces is, dus met 1 wachtlijn. Door gebruik te maken van de besproken oplossingsmethode vindt men de evenwichtswaarschijnlijkheden Pk in regime. P=[P0 P1 … Pn] In dat geval kan de gemiddelde bufferbezetting worden weergegeven als volgt. E[Q]=0P0+1P1+…+nPn In het kitting proces dat wij bespreken zijn er 2 wachtlijnen. Ook hiervan hebben we de evenwichtswaarschijnlijkheden gevonden, weergegeven door πk. We trachten nu de Pk van elke wachtlijn afzonderlijk te vinden. We zoeken dus de kans dat buffer 1 zich in toestand {0,1,2,..,C 1} bevindt, ongeacht de toestand van buffer 2. De Pk van elke wachtlijn afzonderlijk kan makkelijk gevonden worden door het sommeren van de juiste πk. Bijvoorbeeld: P0= π00 + π01 + π02 + …+ π0C2 Nu we de Pk van elke wachtlijn kennen, berekenen we de gemiddelde bufferbezetting zoals uitgelegd hierboven. Als prestatiemaat op zich, uitgedrukt in kosten of opbrengsten, kunnen we de gemiddelde bufferbezetting zien als de WIP (work in progress) en is dus een kost voor de onderneming. Daarnaast, zullen we uit de waarden van deze bezetting belangrijke conclusies kunnen afleiden voor de andere prestatiematen. Dit wordt duidelijk wanneer we het kitting proces strakd analyseren.


18

1.2 De kans dat een buffer leeg/vol is In het vorig stuk berekenden we Pk van elke wachtlijn. Het is evident dat de kans dat een buffer leeg/vol is wordt weergegeven door respectievelijk P0 en PC, waarbij C de capaciteit van de buffer is. Deze prestatiematen zijn zeer belangrijk voor de vlotte doorstroom in het volledige productieproces. Als 1 van de buffers leeg is, kunnen er geen kits gevormd worden. De assemblage machine ligt dus stil en genereert geen opbrengsten. Dit kunnen we voorkomen door bijvoorbeeld de aanvoer van dat onderdeel op te voeren. We merken op dat een kitting proces veel gevoeliger is aan een lege buffer dan een traditioneel lijn-voorraad-systeem. Daar liggen de nodige onderdelen bij de bijhorende productiepost langs de lijn. Voor elke productiepost bevindt zich voldoende voorraad van het onderdeel, na elke post vinden we een voorraad van het onderdeel na de bewerking van die post. Deze laatste voorraad vormt dus de beginvoorraad van de volgende post. Omdat er zoveel voorraden verspreid liggen tussen de werkposten, kan het hele systeem gerust een tijdje doorwerken wanneer de buffer van 1 onderdeel leeg zou zijn. Immers, de posten ervoor en erachter hebben hun eigen voorraden waarmee ze tijdelijk verder kunnen. Dit heeft dan ook tot gevolg dat er veel WIP verspreid ligt in de productiehal, wat zeer kostelijk is voor een productiebedrijf. Bij een kitting systeem is er 1 assemblagepost die alle nodige onderdelen verzamelt en assembleert. De onderdelen worden rechtstreeks aangevoerd door de machines die ze produceren, met een gelimiteerde buffer voor elk onderdeel. Wanneer nu 1 onderdeel een lege buffer heeft, valt het gehele proces stil. De kosten van WIP zijn laag, maar de doorstroom van onderdelen wordt des te belangrijker. Zoals gezegd zijn de buffers voor elk onderdeel gelimiteerd, wat betekent dat er ook een kans is dat de buffer vol komt te zitten. Als 1 van de buffers vol is, dan zijn er 2 mogelijk scenario’s. Ofwel blijft de machine produceren en gaan de onderdelen die niet in de buffer kunnen “verloren” en dan spreken we van “verlies”. Ofwel moet de machine die dat onderdeel aanvoert stil gelegd worden. Het stilleggen en opstarten van een machine is vaak erg duur en men streeft dan ook naar een continue stroom. Een volle buffer kan vermeden worden door de aanvoersnelheid te verminderen. We zien onmiddellijk dat het verminderen van het ene risico, het andere risico verhoogt. Het doel is dus een goede balans te vinden die beide kansen afweegt. Hiervoor zullen de eigenlijke kosten van lege en volle buffers moeten worden afgewogen.


19

1.3 Throughput De throughput is het gemiddeld aantal kits dat per tijdseenheid wordt gemaakt. Een verandering in throughput heeft een directe impact op de opbrengsten die het systeem genereert. De throughput kan worden berekend door de kans dat de server zich in een toestand bevindt van waaruit het kan bedienen te delen door de verwachtingswaarde van de assemblage tijd (1/µ). Om deze eerste term te vinden maken we de volgende redenering. De server is ofwel bezig met het vormen van een kit ofwel wacht het op onderdelen om een kit te vormen. Aangezien de server enkel deze toestanden kan aannemen, is de som van beide kansen gelijk aan 1 t.t.z. de kans dat de server bezig is en de kans dat de server aan het wachten is. Deze laatste kans kennen we aangezien die overeen komt met de kans dat 1 van de buffers leeg is. Hiervoor sommeren we de kans dat elke buffer afzonderlijk leeg is (P0) en corrigeren voor de dubbeltelling door de kans dat beide buffers leeg zijn in vermindering te brengen. P[server=wachten] = P[Q1=0] + P[Q2=0] - P[Q1=0 & Q2=0] Nu we de kans kennen dat de server aan het wachten is, kunnen we makkelijk de kans vinden dat de server bezig is of m.a.w. de kans dat de server zich in een toestand bevindt van waaruit het kan bedienen. P[server=bezig] = 1 - P[server=wachten] De throughput kan nu berekend worden als volgt:

TP =

୔[ୱୣ୰୴ୣ୰ୀୠୣ୸୧୥] ଵ/ஜ

TP = µ * P[server=bezig]

1.4 Verlies Het verlies van een buffer is het gemiddeld aantal onderdelen dat verloren gaat per tijdseenheid. Omdat we werken met een Poisson aankomstproces geldt de PASTA eigenschap. PASTA staat voor “Poisson Arrival See Time Averages” en komt erop neer dat de eigenschappen van het systeem statistisch identiek zijn of we nu kijken vlak voor een aankomst of op een totaal willekeurig tijdstip. Dit betekent dat het verlies rechtstreeks gerelateerd is aan de kans dat de buffer vol zit. Meer bepaald vinden we het verlies door de kans op een volle buffer te vermenigvuldigen met de gemiddelde aankomstsnelheid : verlies = P[vol] × .


20

Ook vinden we een relatie tussen het verlies en de throughput. Immers, wanneer =1=2 dan geldt: TP + verlies = . We weten bovendien ook dat de throughput begrensd is: TP < min(µ,1,2). Rekening houdend met al deze eigenschappen, kunnen we nagaan hoe we TP kunnen maximaliseren en het verlies minimaliseren. We kunnen nu dit verlies op 2 manieren interpreteren. Als de aanvoer van een onderdeel niet stil gelegd wordt, al dan niet door vrije keuze, wanneer de buffer van dat onderdeel vol zit, dan worden er onderdelen aangevoerd waarvoor geen plaats is in de buffer. Deze onderdelen gaan verloren. Dit is bijvoorbeeld het geval bij bederfbare producten. Echter, wanneer de aanvoer wel wordt stil gelegd, dan geeft het verlies weer hoeveel onderdelen we hadden kunnen verwerken indien de buffer nooit vol had gezeten. Dit vormt een opportuniteitskost. Hoe we er ook naar kijken, verlies is dus steeds een kost die in rekening moet gebracht worden.

2 Optimaliseren van de prestatiematen We trachten nu na te gaan welke combinatie parameters de beste resultaten geeft voor de besproken prestatiematen. Hiervoor manipuleren we de 5 parameters van het kitting proces C 1, C2, 1, 2 en µ. De eerste 2 parameters geven de buffercapaciteit weer van de wachtlijn voor respectievelijk onderdeel 1 en onderdeel 2. De volgende 2 parameters geven de gemiddelde snelheden weer waarmee de onderdelen zich aanbieden. Deze zijn verbonden aan het aankomstproces, wat in deze masterproef een Poissonproces is. De laatste parameter tot slot is de gemiddelde snelheid waarmee de kits de server verlaten. Deze is gerelateerd aan de gemiddelde assemblagetijd: E[S] = 1/µ. Bij het kiezen van de optimale parametercombinatie voor het kitting systeem, moeten we de afweging maken tussen opbrengsten, kosten en risico’s. We zeggen “kiezen” in de veronderstelling dat men kan instellen hoe groot de buffers zijn, hoe snel de onderdelen moeten aankomen en hoe snel de machine moet werken. Dit zal in vele gevallen in de realiteit weinig waarschijnlijk zijn of in veel beperktere mate. Toch is deze veronderstelling nodig om algemene trends te ontdekken. Aangezien we op zoek zijn naar trends, is het voldoende om elke variabele te laten wijzigen tussen 1 en 5. We bekijken het effect op de prestatie van het kitting systeem ten gevolge wijzigingen in de verschillende parameters. We representeren een kitting systeem als volgt: C1C212µ. Bijvoorbeeld: 43445.


21

De mate waarin de prestatiematen veranderen bij wijzigingen in een parameter is sterk afhankelijk van de waarden van de andere parameters. We bekijken eerst de prestatiematen afzonderlijk en hoe we die kunnen optimaliseren. Hoewel alle prestatiematen samenhangen, is het toch nuttig ze afzonderlijk te bespreken om stap voor stap de redenering op te bouwen. Bovendien, kunnen we zo straks makkelijker begrijpen wat er gebeurt met de winst ten gevolge wijzigingen in de verschillende parameters. Tot slot van dit hoofdstuk, bekijken we hoe we het kitting proces kunnen optimaliseren met alle prestatiematen in acht genomen.

2.1 Gemiddelde bufferbezetting De eerste prestatiemaat die we bekijken is de gemiddelde bufferbezetting. Zoals later zal blijken, hangen vele andere prestatiematen samen met deze. Een goed inzicht hier zal later dus van pas komen. We kiezen 4 combinaties van parameterwaarden waarbij we trachten een zo breed mogelijk gamma aan combinaties te dekken. We combineren hoge en lage buffers met snelle en trage gemiddelde aankomstsnelheden en dit in functie van de gemiddelde verwerkingssnelheid. Aangezien we zowel de buffercapaciteiten als de gemiddelde aankomstsnelheid gelijk kiezen voor beide onderdelen, is de gemiddelde bufferbezetting dezelfde voor beide onderdelen. E[Q]

5 4,5 4 3,5 3

1111m

2,5

1155m

2

5511m

1,5

5555m

1 0,5 m

0 1

2

3

4

5

GRAFIEK 1: E[Q] VOOR VERSCHILLENDE SCENARIO’S

Veralgemeend kunnen we stellen dat de gemiddelde bufferbezetting groter wordt wanneer de buffercapaciteit of de gemiddelde aankomstsnelheid stijgen maar kleiner wordt met toenemende gemiddelde verwerkingssnelheid. Rekening houdend met deze veralgemening is


22

het dan ook logisch dat scenario 1 (1111µ) de kleinste en scenario 4 (5555µ) de grootste gemiddelde bufferbezetting hebben. Vergelijken we scenario 1 en 2 dan zien we dat de gemiddelde bufferbezetting hoger ligt wanneer de gemiddelde aankomstsnelheid groter is. Dit is intuïtief makkelijk te begrijpen aangezien de onderdelen gemiddelde sneller toekomen bij ongewijzigde buffercapaciteit en verwerkingssnelheid in scenario 2. Dit kunnen we ook waarnemen wanneer we scenario 3 en 4 naast mekaar leggen. Hier zien we bovendien dat het concave verloop verandert in een licht convexe curve. Dit heeft tot gevolg dat in scenario 3 de gemiddelde bufferbezetting proportioneel gezien steeds minder sterk daalt, terwijl dit in scenario 4 meer dan proportioneel is met toenemende µ. In het vervolg van dit hoofdstuk zullen we nagaan wat het effect hiervan is op de andere prestatiematen. De buffercapaciteit groter maken resulteert in een hogere gemiddelde bufferbezetting. Dit vinden we door het vergelijken van scenario 1 en 3 alsook 2 en 4. We zien dus dat de gemiddelde bufferbezetting toeneemt hoewel zowel de gemiddelde aankomstsnelheid als de gemiddelde verwerkingssnelheid dezelfde blijven. De reden hiervoor ligt in het stochastische karakter van het aankomstproces. Stochastisch betekent dat de onderdelen niet aankomen op welbepaalde tijdstippen, bijvoorbeeld elke 3 seconden. Echter, in een stochastisch proces spreekt met over de kans dat een onderdeel toekomt binnen een bepaald tijdsinterval. Wanneer we de eigenlijke tijdstippen waarop de onderdelen aankomen zouden uitzetten op een grafiek, dan zouden we zien dat de aankomsten mekaar soms snel opvolgen, dan weer een periode met weinig aankomsten, … . Het gevolg hiervan is dat er zich rond de gemiddelde bufferbezetting pieken en dalen voordoen. Hoe groter de buffer, hoe groter de kans dat de buffer deze pieken kan opvangen. Deze bevinding kunnen we bevestigen in onderstaande grafiek. De curve geeft de gemiddelde bufferbezetting voor beide buffers wanneer we de buffergrootte opdrijven van 1 tot 5, met 1=2=µ=1. E[Q] 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 1

2

3

4

GRAFIEK 2: E[Q] IN FUNCTIE VAN C MET =µ=1

5

C


23

We merken op dat de gemiddelde bufferbezetting toeneemt wanneer de buffercapaciteit groter wordt, en dit met een lineair verband. Dit betekent dat de procentuele bezettingsgraad van de buffers steeds dezelfde is. Echter, in absolute termen zijn er steeds meer onderdelen ter beschikking van het systeem.

2.1.1 Systeembelasting In de grafiek met de 4 scenario’s kozen we =1 en =5 bij variërende waarden voor µ. Wat nu eigenlijk belangrijk is voor het kitting systeem zijn niet de absolute waarden voor deze twee parameters maar wel de verhouding ervan. Wanneer =µ spreken we van gelijkbelasting. Er komen gemiddelde evenveel onderdelen binnen dan er kits buiten gaan. Is <µ dan hebben we te maken met onderbelasting aangezien de server gemiddeld gezien onderbelast, onderbenut is. Als >µ wordt de server tot zijn uiterste gedreven aangezien er nu overbelasting is. In de volgende grafieken vergelijken we gelijkbelasting(1=2=1; µ=1) met een onderbelasting van 50% (1=2=0,5; µ=1) en met een overbelasting van 200% (1=2=2; µ=1). De buffergrootte van beide buffers kiezen we gelijk en laten we variëren van 1 tot 5.

E[Q] 4,5 4 3,5

50%

3 2,5 2

=0.5 µ=1

100% =1

µ=1

200% =2

µ=1

1,5 1 0,5 C

0 1

2

3

4

5

GRAFIEK 3: E[Q] BIJ VERSCHILLENDE SYSTEEMBELASTING

Zoals verwacht zien we dat de gemiddelde bufferbezetting hoger is bij overbelasting dan bij onderbelasting. Immers, hoe meer onderdelen gemiddeld toekomen met een zelfde gemiddelde bedieningssnelheid, hoe meer onderdelen gemiddeld in de buffers zullen zitten. Dit zal zijn impact hebben op de andere prestatiematen; throughput, verlies, kans op een volle buffer en kans op een lege buffer.


24

2.1.2 Optimalisatie De prestatiemaat ‘gemiddelde bufferbezetting’ optimaliseren heeft eigenlijk geen betekenis aangezien het niet goed of slecht is dat deze waarde hoog of laag is. In het begin van dit hoofdstuk hebben we de gemiddelde bufferbezetting echter gekoppeld aan de WIP. Dit zou betekenen dat een lage bufferbezetting gunstig is. Echter, we zouden ook de procentuele benutting van de buffer kunnen maximaliseren. We zeggen dat de gemiddelde bufferbezetting optimaliseren niet veel betekenis heeft omdat die gerelateerd is aan prestatiematen die we veel meer uitgesproken kunnen optimaliseren, en dat trachten we dan ook te doen in het vervolg van dit hoofdstuk.

2.2 Kans dat buffer vol is In dit deel trachten we de prestatiemaat met betrekking tot de kans op een volle buffer te optimaliseren. Voor deze prestatiemaat betekent dit een zo laag mogelijk kans bekomen door de juiste keuze parameterwaarden. De kans op een volle buffer is gelijk voor beide onderdelen aangezien we de buffercapaciteiten en gemiddelde aankomstsnelheden gelijk kiezen. P[vol] 1 0,9 0,8 0,7 0,6

1111m

0,5

1155m

0,4

5511m

0,3

5555m

0,2 0,1 m

0 1

2

3

4

5

GRAFIEK 4: P[VOL] VOOR VERSCHILLENDE SCENARIO’S

Zoals gezegd belemmert een volle buffer de vlotte doorstroom doorheen de productie aangezien de aanvoer van onderdelen moet worden stil gelegd indien de buffer van dat onderdeel vol zit. We nemen dit risico dus in beschouwing omdat het een invloed heeft op het gehele systeem, hoewel het voor het kitting proces op zich niet uitmaakt of die buffer vaak vol zit of niet. Immers, zolang er een onderdeel in de buffer zit, kan het kitting proces blijven werken. We zien uit


25

bovenstaande grafiek dat de kans op een volle buffer daalt als µ stijgt. Het is ook onmiddellijk duidelijk dat scenario 3 de beste resultaten geeft m.a.w. in dat scenario zijn de opportuniteitskosten het laagst. Scenario 2 daarentegen kent zeer hoge opportuniteitskosten aangezien de laagste kans 60% bedraagt, wat nog steeds zeer hoog is. Merk op dat de kans op een volle buffer bij µ=1 in scenario 1 gelijk is aan 60% Dit is niet toevallig gelijk aan de kans op een volle buffer bij µ=5 in scenario 2. Immers, die twee punten geven allebei gelijkbelasting weer bij C=1. Gaan we vanaf dat punt naar rechts op de curve van scenario 1 dan gaan we naar onderbelasting, gaan we naar links op de curve van scenario 2 dan gaan we naar overbelasting. Hetzelfde geldt voor scenario 3 en 4 maar dan bij C=5. Vergelijken we scenario 1 en 2 dan zien we dat het opvoeren van de gemiddelde snelheid waarmee de componenten aangeleverd worden, resulteert in een hogere kans op een volle buffer. Dit is logisch aangezien er op eenzelfde tijdspanne gemiddeld meer onderdelen toekomen terwijl er gemiddeld evenveel producten het kitting proces verlaten. De kans op een volle buffer daalt iets sneller in scenario 2 wanneer µ toeneemt, in vergelijking met scenario 1. De reden hiervoor ligt in het feit dat niet de absolute waarden van  en µ belangrijk zijn, dan wel de verhouding ervan. In scenario 1 vertrekken we met gelijke  en µ om daarna te gaan naar een toestand van onderbelasting m.a.w. er komen gemiddeld minder onderdelen toe dan er gemiddeld vertrekken. In scenario 2 daarentegen vertrekken we van overbelasting met =5 en µ=1 en gaan we naar evenredige belasting met =5=µ. De kans op een volle buffer daalt dus sneller van overbelasting naar evenredige belasting dan van evenredige belasting naar onderbelasting bij toenemende µ. Als we scenario 1 en 3 samen leggen, merken we op dat de kans op een volle buffer aanzienlijk daalt. Waarom de kans op een volle buffer daalt wanneer de buffergrootte toeneemt, wordt hieronder uitgelegd in 2.2.1. Systeembelasting. Hoewel scenario 4 uiteraard niet de mathematische optelsom is van scenario 2 en 3, zijn de effecten van beide scenario’s wel cumulatief. Zoals daarnet beschreven, betekent het opdrijven van de gemiddelde aankomstsnelheid een toename in de kans op een volle buffer terwijl het groter maken van de buffercapaciteit een tegengesteld effect heeft. Wanneer we in scenario 4 dus beide combineren, zien we dat de kans op een volle buffer aanvankelijk stijgt tengevolge de toename in gemiddelde aankomstsnelheid. De stijging is minder groot dan wanneer we enkel de gemiddelde aanvoersnelheid opdrijven (scenario2) omdat de grotere buffers tegengewicht bieden. Naarmate µ groter wordt, neemt het gunstige effect van de grotere buffers de overhand van het negatieve effect van snellere aankomst.


26

2.2.1 Systeembelasting We herinneren ons uit de vorige prestatiemaat dat de gemiddelde bufferbezetting het hoogst is voor overbelasting en het kleinst voor onderbelasting. In onderstaande grafiek gaan we de verschillende niveaus van systeembelasting bekijken voor prestatiemaat omtrent de kans op een volle buffer. P[vol] 0,8 0,7 0,6 0,5

50%

0,4 0,3 0,2

=0.5 µ=1

100% =1

µ=1

200% =2

µ=1

0,1 0

C 1

2

3

4

5

GRAFIEK 5: P[VOL] BIJ VERSCHILLENDE SYSTEEMBELASTING

Ook hier geen verrassingen. De kans op een volle buffer is het hoogst wanneer er overbelasting is en het kleinst wanneer er sprake is van onderbelasting. We zien dat de kans op een volle buffer daalt met afnemende minderkosten. We zagen daarnet dat E[Q] toeneemt met de buffercapaciteit. We merkten op dat het aantal onderdelen ter beschikking van het systeem toenam maar dat de procentuele bezettingsgraad van de buffer ongeveer dezelfde bleef. Nu zien we dat de kans op een volle buffer afneemt bij groter wordende buffercapaciteit. Dit lijkt op het eerste zicht onlogisch aangezien we daarnet vertelden dat de buffers procentueel gezien ongeveer even vol zitten. We kunnen de dalende kans als volgt verklaren. Stel dat we zitten in een systeem met C=2 aan de ene kant en een systeem met C=5 aan de andere kant. Verder veronderstellen we dat de gemiddelde aankomstsnelheid voor beide systemen dezelfde is, alsook de gemiddelde verwerkingssnelheid. Wanneer we ons nu het tijdsverloop proberen voor te stellen, wordt het duidelijk dat het systeem met C=2 veel sneller en veel vaker vol zal zitten dan het systeem met C=5. Vandaar dat de kans op een volle buffer daalt bij toenemende buffergroottes.

2. ANALYSE VAN PRODUCTIELIJN RODUCTIELIJNEN MET KITTING

27

2.2.2 Optimalisatie Voor deze prestatiemaat is het meest optimale scenario dat met grote g rote buffers en een trage aanlevering van componenten, ongeacht de waarde van µ. Afhankelijk van hoe het kitting systeem er nu uit zien, zijn meer of minder kostelijke ingrepen nodig. Het verlagen van de aankomstsnelheid lijkt op het eerste zicht misschien misschie n een goedkope oplossing maar het niet optimaal benutten van het potentieel van een machine is steeds een verlies. Indien het kitting systeem in de huidige toestand een snelle aankomst kent en men deze om welke reden dan ook niet verlaagt, is het zeker verstandig standig om µ zo te kiezen dat er geen overbelasting. Dit systeem kan verder verbeteren door de buffercapaciteit groter te maken. Het verhogen van µ en C, en de bijhorende kosten, moet echter goed worden afgewogen met de opbrengsten of de vermindering in opportuniteitskosten.

2.2.3 Het effect van ongelijke buffergroottes

P[vol] 0,70 0,60 0,50 0,40 C2

0,30 1

0,20 0,10

3

0,00 5 5

4

3

2

1

C1

GRAFIEK 6: P[VOL] BIJ ONGELIJKE BUFFERGROOTTES BIJ =µ=1

In bovenstaande grafiek analyseren we het effect van verschillende combinaties buffergroottes op de kans dat een buffer vol zit. Bij gelijke buffergroottes van 1 vinden we de hoogste kans, namelijk 60%. Bij gelijke buffergroottes van 5 bedraagt deze kans 22% 2 2% en dit is meteen de laagste kans die we kunnen bekomen, gegeven dat 1 = 2 =µ = 1. Wanneer we de punten met gelijke buffergroottes zouden verbinden, zouden we zien dat we in het dal van het oppervlak zitten. De beste resultaten worden dus behaald door de combinaties met gelijke buffergroottes.


28

De rest van het oppervlak ligt symmetrisch rond dit dal. Immers, de kans op een volle buffer is dezelfde voor C1-C2 = 2-3 dan voor 3-2.

2.3 Kans dat buffer leeg is De kans op een lege buffer is zoals gezegd een zeer belangrijke prestatiemaat voor het kitting systeem aangezien dit proces moet worden stil gelegd indien een onderdeel niet meer voorradig is. P[leeg]

1 0,9 0,8 0,7 0,6

1111m

0,5

1155m

0,4

5511m

0,3

5555m

0,2 0,1 m

0 1

2

3

4

5

GRAFIEK 7: P[LEEG] VOOR VERSCHILLENDE SCENARIO’S

De algemene tendens die we op deze grafiek waarnemen is dat de kans op een lege buffer toeneemt naarmate µ groter wordt. Bovenstaande grafiek toont dat scenario 1 de slechtste resultaten geeft voor deze prestatiemaat, met kansen die variëren tussen 40% en 59%. Daarentegen, scenario 4 scoort het best met een maximale kans van 12%. Scenario 4 is bovendien het enige van de 4 scenario’s dat toenemende meerkosten vertoont. Dit betekent dat het risico en dus de opportuniteitskosten op een lege buffer proportioneel steeds groter wordt naarmate we µ verhogen. Bij de andere 3 scenario’s daarentegen vermindert de proportionele toename m.a.w. de kans op een lege buffer stijgt proportioneel meer indien we µ verhogen van 1 naar 2 dan dat we µ zouden verhogen van 4 naar 5. Dit is belangrijk wanneer we de kosten en opbrengsten vergelijken van een ingreep om deze opportuniteitskosten te verminderen. Aangezien scenario 1 het minst goed scoort, kunnen we de kans op een lege buffer verlagen door zowel het groter maken van de buffercapaciteit als het verhogen van de gemiddelde aankomstsnelheid. Op het eerste zicht is het intuïtief onlogisch dat het groter maken van de


29

buffers de kans op een lege buffer verkleint. De reden hiervoor ligt in het eerder besproken stochastische karakter van het aankomstproces. Doordat de buffers groter zijn, kunnen ze beter de pieken opvangen van de onderdelen die zich aanbieden. Dit betekent dat er, absoluut gezien, meer onderdelen in de buffer kunnen worden toegelaten, dat er dus minder onderdelen geweigerd worden en dus dat de kans op een lege buffer kleiner is. Dat het verhogen van  de kans op een lege buffer doet dalen is daarentegen intuïtief makkelijk te begrijpen. Indien de componenten sneller toekomen zonder de andere parameters van het kitting proces te veranderen, dan zitten de buffers voller en daalt de kans op een lege buffer. Over het algemeen is een snellere aanvoer gunstiger voor het verlagen van de opportuniteitskosten dan de grotere buffers. Dit zien we in de grafiek aangezien de curve van scenario 2 voor de meeste waarden van µ onder de curve van scenario 3 ligt. Het kan echter zijn dat scenario 3 en dus het groter maken van de buffers geïmplementeerd wordt omdat deze ingreep goedkoper zou kunnen zijn dan het opvoeren van de aankomstsnelheid. Na een kostenbaten analyse zou scenario 3 er dus beter kunnen uitkomen dan scenario 2. Het effect van beide maatregelen wordt echter gedempt wanneer µ groter wordt. Zoals gezegd zien we dit in de grafiek aan het convexe verloop van deze scenario’s. Het combineren van beide maatregelen resulteert in de meest optimale situatie, namelijk scenario 4.

2.3.1 Systeembelasting P[leeg] 0,6 0,5 0,4 50%

0,3 0,2

=0.5 µ=1

100% =1

µ=1

200% =2

µ=1

0,1 C

0 1

2

3

4

5

GRAFIEK 8: P[LEEG] BIJ VERSCHILLENDE SYSTEEMBELASTING

In bovenstaande grafiek vinden we de kans op een lege buffer voor scenario’s met verschillende belastingniveaus. Aangezien de hoogste kans op volle buffer voor het scenario met overbelasting


30

weggelegd is, is het logisch dat dit scenario nu de in laagste kans op een lege buffer resulteert. We zien dat de kans op een lege buffer daalt met toenemende buffergroottes. Dit is logisch aangezien er absoluut gezien meer onderdelen ter beschikking zijn van het systeem als C groter wordt en dus daalt de kans op een lege buffer.

2.3.2 Optimalisatie Om tot een optimale configuratie van het kitting systeem te komen voor deze prestatiemaat, zijn er 3 mogelijke acties die men afzonderlijk of gecombineerd kan toepassen: µ laten dalen,  doen toenemen en C vergroten. Indien we ervoor zouden opteren om de gemiddelde snelheid waarmee de producten de lijn verlaten te verlagen, betekent dit dat de assemblage machine onderbenut wordt. Dit vormt altijd een verlies voor de onderneming en zij zal terughoudend zijn deze weg te bevaren. Bovendien zien we in de grafiek dat om de kans op een lege buffer verminderen van 59% naar 40% (scenario 1) vereist dat µ daalt van 5 naar 1. Een gelijkaardig resultaat of zelfs een beter resultaat kan bekomen worden wanneer men, gegeven µ, de gemiddelde aankomstsnelheid van de componenten opvoert of de buffercapaciteit vergroot. Zo ligt de curve van scenario 2 steeds onder het beste resultaat van scenario 1 namelijk 40%. Indien uit de kosten-baten analyse blijkt dat men zowel de grotere buffers als de snellere aanvoer kunnen implementeren, komen we in scenario 4 terecht, dat het best scoort ongeacht de waarden voor µ. Tot slot merken we op dat bij een µ van 5 de kans op een lege buffer proportioneel veel sterker daalt van scenario 1 naar scenario 4 dan bij een lage µ. Indien µ gelijk is aan 1, brengt het implementeren van een tweede maatregel dus proportioneel minder verbetering dan bij een hoge µ.


31

2.3.3 Het effect van ongelijke buffergroottes P[leeg1]

P[leeg2] 0,6

0,6 0,5

1C111

0,5

0,4

2C111

0,4

3C111

0,3

4C111

0,2

0,3 0,2

5C111

0,1

C1=C2

0

C2 1

2

3

4

5

GRAFIEK 9: P[LEEG1] BIJ ONGELIJKE BUFFERGROOTTES

0,1 0 1

2

3

4

5

GRAFIEK 10: P[LEEG2] BIJ ONGELIJKE BUFFERGROOTTES

In bovenstaande grafieken vinden we de kans dat de buffer leeg is, links geeft de kans op een lege buffer voor onderdeel 1, rechts voor onderdeel 2. In elke curve is de buffercapaciteit voor buffer 1 vast en veranderen we de waarden voor buffer 2 van 1 tot 5. De curve C 1=C2 verbind de punten waarbij de buffercapaciteit van beide onderdelen gelijk zijn. Net zoals bij de vorige analyse concluderen we ook hier dat de combinaties met gelijke buffergroottes de beste resultaten geven. Immers, bij elke lage kans in de linker grafiek correspondeert en hoge kans in de rechter grafiek. De beste afweging bekomen we dus bij gelijke buffergroottes. Merk op dat de curve C1=C2 dezelfde is zowel links als rechts.

C2


32

2.4 Throughput De volgende prestatiemaat die we bespreken is de throughput. Zoals zal blijken in hoofdstuk 4, is de throughput de enige prestatiemaat die opbrengsten genereert. Alle andere prestatiematen brengen kosten, opportuniteitskosten en risico’s met zich mee. TP 4,5 4 3,5 3

1111m

2,5

1155m

2

5511m

1,5

5555m

1 0,5 m

0 1

2

3

4

5

GRAFIEK 11: TP VOOR VERSCHILLENDE SCENARIO’S

We zien dat in elk scenario de throughput stijgt met afnemende meeropbrengsten. Dit betekent dat de winst in throughput proportioneel kleiner wordt naarmate men de µ steeds meer verhoogt. We zien ook onmiddellijk dat scenario 1 de kleinste opbrengsten met zich mee brengt en scenario 4 de grootste. Dit is geen verassing aangezien we weten dat de throughput stijgt wanneer de gemiddelde aanvoersnelheid opgedreven wordt en de buffercapaciteit vergroot. De throughput is begrensd met de kleinste gemiddelde snelheid: TP < min(µ,1,2). Het opvoeren van µ verhoogt de throughput en dat zien we door de curven afzonderlijk te bekijken. Het opvoeren van  zal de throughput ook verhogen en dit zien we door het vergelijken van verschillende curven bij een bepaalde µ, bijvoorbeeld scenario 1 en 2. We merken dus op dat hoewel een stijging in  en µ de throughput verhoogt, deze nooit sterker zal stijgen dan de grens opgelegd door de kleinste gemiddelde snelheid µ, 1 of 2. Dit heeft gevolgen voor het verlies dat we later zullen bespreken. Wanneer we scenario 1 en 2 vergelijken alsook 3 en 4, zien we dat de procentuele throughput stijging aanzienlijk hoger wordt bij stijgende µ wanneer de gemiddelde aankomstsnelheid hoog ligt. Dit is intuïtief makkelijk te begrijpen. Immers, als de machine sneller zal werken en dus de gemiddelde snelheid waarmee de producten het systeem verlaten hoger ligt, zullen er meer


33

producten per tijdseenheid het systeem verlaten. Dit is begrensd aangezien de machine enkel kan werken als er onderdelen ter beschikking zijn. Als dus naast µ ook de aanvoer sneller wordt, kunnen we meer throughput realiseren dan wanneer de aanvoersnelheid niet mee verandert. Ook het groter maken van de buffercapaciteiten heeft tot gevolg dat de throughput stijgt. De reden hiervoor ligt in het stochastische karakter van het aankomstproces. Zoals gezegd in het deel over de gemiddelde bufferbezetting, is het gevolg hiervan dat er zich rond de gemiddelde bufferbezetting pieken en dalen voordoen. Hoe groter de buffer, hoe groter de kans dat de buffer deze pieken kan opvangen, hoe hoger de gemiddelde bufferbezetting, hoe groter de kans dat er steeds een onderdeel in de buffers zit, hoe groter de throughput. Het verhogen van C (scenario3) heeft aanvankelijk dezelfde impact als een stijging in  (scenario2). Dit is belangrijk aangezien het in praktijk vaak makkelijker en goedkoper is om de buffer met een factor 5 te vergroten, dan het is om de onderdelen 5 maal zo snel te laten toekomen. Naarmate µ toeneemt echter, verkleint het effect van de grotere buffer (scenario3) terwijl het effect van snellere aankomstsnelheid toeneemt (scenario2). Dit is zichtbaar op de grafiek aangezien de afstand tussen de curven van scenario’s 1 en 3 kleiner wordt terwijl die tussen scenario’s 1 en 2 groter wordt. De reden hiervoor is wederom het feit dat TP < min(1, 2, µ).

2.4.1 Systeembelasting TP

1,2 1 0,8 50%

0,6 0,4

=0.5 µ=1

100% =1

µ=1

200% =2

µ=1

0,2 0

C 1

2

3

4

5

GRAFIEK 12: TP BIJ VERSCHILLENDE SYSTEEMBELASTING

In bovenstaande grafiek zien we dat de throughput in overbelasting hoger is dan in onderbelasting. We zien dat de throughput bij 50% belasting begrensd is door 0,5 en bij 200%


34

belasting begrensd is door 1, aangezien TP < min(1, 2, µ). Merk op dat bij 100% belasting TP ook begrensd is door 1 maar ver van die grens blijft in vergelijking met het scenario met overbelasting. We zullen straks dus waarschijnlijk zien dat het verlies bij overbelasting kleiner is dan bij gelijkbelasting.

2.4.2 Optimalisatie Scenario 4 brengt duidelijk de hoogste throughput niveaus met zich mee en is dus optimaal. Dit betekent echter niet noodzakelijk dat men scenario 4 zal implementeren. Immers, een kostenbaten analyse zal uitmaken of het opvoeren van de gemiddelde snelheid waarmee de producten het systeem verlaten (µ) de moeite waard is op zich zelf maar ook in combinatie met het verhogen van de buffercapaciteit en/of het verhogen van de gemiddelde aankomstsnelheden. De baten bestaan uit het groter worden van de throughput. Elk product dat er per tijdseenheid meer van de band loopt resulteert rechtstreeks in meer opbrengsten. Het implementeren van snellere µ, snellere  en/of grotere C brengt 2 soorten kosten met zich mee, namelijk de implementatiekosten en de opportuniteitskosten of verlies. Het verlies is een belangrijke kostenfactor om in acht te nemen bij het kiezen van de parameters van het kitting systeem.

2.4.3 Het effect van ongelijke buffergroottes We zagen daarnet dat het groter maken van de buffercapaciteiten een positieve invloed heeft op de throughput. De reden daarvan schreven we toe aan het stochastische karakter van het aankomstproces. Merk bovendien op dat de throughput steeds begrensd blijft door het minimum van 1, 2 en µ.

2. ANALYSE VAN PRODUCTIELIJN RODUCTIELIJNEN MET KITTING

35

TP 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3

C2 5

0,2 0,1

3

0 1

2

3

4

1 5

C1

GRAFIEK 139 9: TP BIJ VERSCHILLENDE BUFFERGROOTTES MET =µ=1

In bovenstaande grafiek zien we het effect van verschillende buffercapaciteiten op de throughput. We variëren de buffers van 1 tot 5 en bekomen zo verschillende combinaties en de resulterende throughput, met de veronderstelling dat 1 = 2 =µ = 1. De kleinste en grootste throughput wordt behaald bij gelijke buffercapaciteiten van respectievelijk 1 en 5. We zien dat als we in gedachten de identieke buffercapaciteiten zouden verbinden, we de hoogste punten van het oppervlak verbinden. Links en rechts van deze maxima verloopt het oppervlak symmetrisch wat betekent dat de throughput hetzelfde is voor buffercapaciteiten 2-3 en 3-2. 2. Deze grafiek bevestigt de bevindingen dat het verhogen van de buffercapaciteiten een gunstig effect heeft op de throughput omwille van het stochastische aankomstproces.


36

2.5 Verlies We weten dat de throughput (TP) stijgt ten gevolge van wijzigingen in C1, C2, 1, 2 en µ. Dit hebben we hierboven besproken en zag eruit zoals de grafiek hieronder. We weten ook dat wanneer =1=2 het verlies gegeven wordt door -TP. Bovendien weten we dat TP < min(1, 2,µ). TP 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

1111m 1155m 5511m 5555m

1

2

3

4

5

m

Wanneer we nu op de grafiek de “grenzen” aanduiden, bekomen we volgende figuur.

GRAFIEK 14: TP MET GRENZEN

De grenzen van TP worden weergegeven door de curven =1, =5 en µ. Het verlies voor scenario 4 wordt aangegeven door de zwarte verticale lijnen want verlies =  - TP. Voor scenario’s 2 en 4 kijkt men naar =5 en voor scenario’s 1 en 3 naar =1 om het verlies te berekenen. Wanneer we nu de verliezen uitzetten voor elk scenario, bekomen we onderstaand figuur.


37

Verlies 4,50 4,00 3,50 3,00

1111m

2,50

1155m

2,00

5511m

1,50

5555m

1,00 0,50 m

0,00 1

2

3

4

5

GRAFIEK 15: VERLIES VOOR VERSCHILLENDE SCENARIO’S

We zien dat scenario 2 en 4, die daarstraks de hoogste throughput niveaus met zich meebrachten, ook de grootste absolute verliezen kennen. Als we scenario 4 eruit kiezen, zien we dat de waarden voor verlies variëren van 4,00 tot 1,11. Dit betekent dat van de 5 onderdelen die gemiddeld aankomen per tijdseenheid, er gemiddeld 1,11 tot 4 verloren gaan. Immers, voor µ=1 zien we dat er gemiddeld 5 onderdelen toekomen per tijdseenheid, en dat er gemiddeld 1 product het systeem verlaat. Dit veroorzaakt een grote opportuniteitskost aangezien er 5 onderdelen beschikbaar waren, waarvan we slechts 1 gebruikt hebben. Dit kunnen we enkel verbeteren doordat we de machine sneller laten werken en dus µ verhogen. De kleinste verliezen zijn voor scenario 3 omdat die curve dicht tegen zijn grens van =1 aanligt in de voorgaande grafiek. Merk bovendien op dat scenario 2 en 4 te maken hebben met overbelasting terwijl scenario 1 en 3 met onderbelasting. We zien ook dat wanneer we scenario 2 en 4 van links naar rechts bekijken, we gaan van overbelasting (>µ) naar gelijke belasting (=µ) en dat het verlies daalt. Bekijken we daarentegen scenario 1 en 3 van links naar rechts dan gaan we van gelijke belasting (=µ) naar onderbelasting (<µ) en het verlies daalt verder. We zouden dus kunnen besluiten dat hoe groter de belasting van een systeem, hoe groter de verliezen die dat systeem met zich meebrengt. Om dit te na te gaan, kiezen we een vergelijkbare basis µ=1 en variëren  om over- en onderbezetting te bekomen.


38

2.5.1 Systeembelasting Om het verlies te vinden voor de verschillende graden van systeembelasting, gebruiken we volgende formule: verlies = TP - . Voor onder-, gelijke en overbelasting is de waarde van  gelijk aan respectievelijk ½, 1 en 2. Verlies 1,6 1,4 1,2 1

50%

0,8 0,6

=0.5 µ=1

100% =1

µ=1

200% =2

µ=1

0,4 0,2 0

C 1

2

3

4

5

GRAFIEK 16: VERLIES BIJ VERSCHILLENDE SYSTEEMBELASTING

Bij de analyse van de throughput zagen we dat de gelijkbelasting verder van de grens lag dan de overbelasting. Echter, om het verlies te berekenen moeten we kijken naar de waarde van . Voor overbelasting is =2. Dit verklaart waarom het verlies bij overbelasting groter is dan bij gelijkbelasting, ondanks het feit dat overbelasting minder ver zijn de TP-grens ligt. Uit deze grafiek kunnen we concluderen dat het verlies groter wordt naarmate de belastingsgraad toeneemt.

2.5.2 Optimalisatie Het verlies hangt sterk samen met de andere prestatiematen. Immers, verlies =  - TP alsook verlies = *P[vol]. Om het verlies te minimaliseren moeten we dus TP zo groot mogelijk maken en de kans op een volle buffer zo klein mogelijk. We verwijzen voor de optimalisatie dan ook naar deze prestatiematen.


39

3 Het effect van ongelijke gemiddelde aankomstsnelheden In de voorgaande analyses gingen we er steeds van uit dat =1=2. Ongelijke aankomstsnelheden zijn immers minder interessant om te onderzoeken aangezien zij nooit optimaal zijn. Dit kunnen we nagaan aan de hand van volgende grafieken. TP 4,5 4 3,5 3 1111m

2,5

1155m 5555m

2

1151m

1,5

5551m

1 0,5 0

m 1

2

3

4

5

GRAFIEK 17: TP BIJ ONGELIJKE AANKOMSTSNELHEDEN

We onderzoeken nu wat er gebeurt met de throughput wanneer de gemiddelde aankomstsnelheid van het ene onderdeel veel groter is dan die van het andere onderdeel. Hierbij maken we een onderscheid tussen scenario a met kleiner buffercapaciteit en scenario b met hoge buffercapaciteit voor beide buffers. Op de grafiek vinden we scenario’s 1, 2 en 4 van de voorgaande analyses, alsook scenario’s a en b. Door scenario’s 2 en a, alsook 4 en b te vergelijken, kunnen we het effect bestuderen van de ongelijke gemiddelde aanvoersnelheid van de componenten. We zien meteen dat de throughput over het algemeen aanzienlijk lager is wanneer de ene component veel sneller toekomt dan de andere component. Als we scenario 1 en 2 vergelijken, zien we dat de throughput toeneemt met een factor 1,92 en 3,4 bij respectievelijk µ=1 en µ=5. Indien we de gemiddelde aanvoersnelheid van slechts 1 onderdeel kunnen verhogen, neemt de throughput slechts toe met factoren 1,22 en 1,37. Dit vinden we door het naast mekaar leggen


40

van scenario 1 en a. Indien deze compositie het huidige systeem weergeeft, is het zeker de moeite waard te onderzoeken wat de kosten zouden zijn van het opvoeren van de aankomstsnelheid van de andere component aangezien dit de throughput aanzienlijk kan verhogen. Zelfs indien het systeem in scenario 1 zit, is het nuttig de kosten-baten analyse uit te voeren van het verhogen van de gemiddelde aankomstsnelheid van een onderdeel vermits een throughput verhoging van 22% tot 37% in de praktijk reeds erg winstgevend kan zijn. In het geval dat de buffercapaciteit groot is, zijn de voorgaande bevindingen nog versterkt. De throughput vermeerdering van scenario 1 naar 4 gebeurt met factoren 2,5 en 6,6 bij respectievelijk lage en hoge waarden voor µ. Indien er een groot verschil is in aankomstsnelheid tussen de componenten echter, dalen deze factoren naar 2,1 en 1,7! Het verschil tussen scenario’s 1 en b verkleint hier zelfs omdat de throughput van scenario b naar boven begrensd is met een waarde 1 terwijl de throughput in scenario 1 nog lichtjes blijft stijgen. Dit betekent dus dat de kleinste gemiddelde aankomstsnelheid 1 is, alsook de gemiddelde snelheid waarmee de producten het systeem verlaten. Hieruit besluiten we dat de server steeds beschikbaar is wanneer er een component toekomt in de tweede buffer. De kitting machine wordt dus onderbenut aangezien het vermoedelijk vaak moet wachten tot alle componenten beschikbaar zijn. Dit betekent waarschijnlijk ook dat de kans op een volle buffer daalt en de kans op een lege buffer stijgt voor het onderdeel met de laagste gemiddelde aankomstsnelheid. Dit gaan we na in volgende grafieken.

P[vol1] 1

P[vol2] 1

0,8

1111m

0,8

0,6

1155m

0,6

5555m

0,4

1151m

0,2

5551m

0

m 1

2

3

4

5

0,4 0,2 m

0 1

2

GRAFIEK 18: P[VOL1] EN P[VOL2] BIJ ONGELIJKE AANKOMSTSNELHEDEN

3

4

5


41

We onderzoeken nu wat het effect is op de prestatiemaat ‘kans dat een buffer vol zit’ indien de aankomstsnelheid van het ene onderdeel veel groter is dan het andere onderdeel. Het snelle onderdeel is onderdeel 1 en de linkse grafiek geeft dan ook de kans dat buffer 1 vol zit. Analoog geeft de rechtse grafiek de kans op een volle buffer weer van het trage onderdeel 2. We vergelijken deze kansen met de eerder besproken scenario’s 1, 2 en 4 waarbij we de gemiddelde aankomstsnelheid van beide componenten even sterk opdreven. In de vorige analyse stelden we vast dat het versnellen van de gemiddelde aankomstsnelheid tot gevolg heeft dat de kans op een volle buffer toeneemt. Nu zien we dat die kans zelfs nog groter is indien we slechts 1 onderdeel sneller laten toekomen. In de linkse grafiek zien we dat wanneer een onderdeel sneller toekomt dan het andere, de kans dat die buffer vol zit zeer hoog is en blijft. In scenario 2 variëren de kansen tussen 85% en 60% terwijl diezelfde kansen in scenario a variëren tussen 90% en 84%. De buffer van de snelle component zit zo goed als altijd vol. Dit heeft nefaste gevolgen voor de doorstroom van het gehele productieproces aangezien de aanvoer van die component vaak stil zal liggen. De machine die onderdeel 1 aanlevert kan immers enkel een onderdeel produceren wanneer er een plaats is in de buffer van dat onderdeel. Voor vele machines is het instellen en opstarten van een machine zeer kostelijk in vergelijking met een machine die constant kan produceren. Om de prestatiemaat van de snelle component te verbeteren, brengt het opvoeren van de buffercapaciteit weinig verbetering aangezien de kansen hier variëren tussen 83% en 80%. Bovendien zien we in de curve van scenario b dat die 80% de ondergrens vormt dus het verder opvoeren van µ zal deze prestatiemaat niet verbeteren. We merken op dat we die 80% ook vinden als 1-2/1. Verder merken we op dat de waarden van 80% gehaald wordt omdat de kans op een volle buffer van onderdeel 2 nagenoeg gelijk is aan nul. Er blijven 3 opties over om de kans op een volle buffer te verminderen. De eerste optie bestaat eruit de gemiddelde aankomstsnelheid van beide componenten laag te zetten. Hierdoor komen we terecht in de curve van scenario 1 en deze biedt aanzienlijke verbetering, ongeacht de waarde van µ. Een tweede optie houdt in dat men de gemiddelde aankomstsnelheid van beide componenten hoog zetten. Zo belanden we in scenario 2 en we zien dat dit scenario vooral gunstig is bij hoge µ. In de laatste optie kiezen we de aanvoersnelheid van beide onderdelen hoog, alsook de buffercapaciteit. Ook dit scenario is het meest gunstig bij hoge µ. Welk van deze scenario’s men zal implementeren hangt uiteraard af van een kosten-baten analyse. Immers, het verlagen van de aankomstsnelheid zal waarschijnlijk goedkoper zijn dan


42

het opvoeren van de snelheid en resulteert bovendien in lagere kansen maar de invloed op de throughput kan het voordeel van het ene scenario omwerpen in een voordeel voor het andere scenario. Bovendien is het onderbenutten van het potentieel van een machine steeds een verlies. Bekijken we de rechtse grafiek dan vinden we de kans op een volle buffer van de trage component. Hier zien we dat de kansen van scenario’s a en b lager liggen dan alle andere scenario’s. Hoewel dit op het eerste zicht een positieve vaststelling lijkt, moeten we dit nuanceren. Als we de curve van scenario b bestuderen zien we dat de kans op een volle buffer snel 0% wordt. We stellen ons hierbij de vraag of de buffer dan niet té leeg is. M.a.w. we moeten nagaan of de kans op een lege buffer niet te hoog is. Dit zullen we nagaan in de analyse van de prestatiemaat ‘kans op een lege buffer’. Afgezien daarvan zelfs, is het belangrijk beide grafieken samen te bekijken. Het is immers niet OF maar EN. Het veranderen van de parameters om de ene prestatiemaat te verbeteren heeft rechtstreeks gevolgen op een andere prestatiemaat. We besluiten dus ook voor deze prestatiemaat

dat

er

betere

resultaten

bekomen

worden

bij

gelijke

gemiddelde

aankomstsnelheden.

P[leeg1] 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

1111m 1155m 5555m 1151m 5551m m 1

2

3

4

5

P[leeg2] 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

m 1

2

3

4

5

GRAFIEK 19: P[LEEG1] EN P[LEEG2] BIJ VERSCHILLENDE AANKOMSTSNELHEDEN

Tot slot onderzoeken we de invloed op de kans dat een buffer leeg is indien een onderdeel een snellere gemiddelde aanleveringsnelheid heeft dan de andere componenten. De linkse grafiek geeft de resultaten voor de component met de snelle aanlevering, de rechtse die met de trage aanlevering. Vertrekkende van scenario 1 concludeerden we daarstraks dat we deze prestatiemaat konden verbeteren voor het opvoeren van de gemiddelde aankomstsnelheid van de componenten (scenario2). Wanneer we scenario a bekijken, stellen we vast dat het verhogen van de snelheid


43

van slechts 1 component een gunstige impact heeft op het snelle onderdeel maar een slechte impact op het trage onderdeel. Het is intuïtief duidelijk dat een snel onderdeel een lagere kans heeft op een lege buffer dan een traag onderdeel, aangezien er een snellere aanlevering is bij eenzelfde server snelheid. Wanneer we ook nog eens de buffercapaciteit vergroten, zien we dat de kans op een lege buffer voor het snelle onderdeel nagenoeg steeds 0% bedraagt. Dit vormt dus nog een verbetering bovenop het reeds goede scenario 4. Voor het trage onderdeel zien we dat ook daar het vergroten van de buffercapaciteit een gunstig effect heeft aangezien de curve van scenario b lager ligt dan die van scenario a. Bij µ gelijk aan 1 is dit zelfs competitief met de andere scenario’s maar wanneer µ groter wordt, behoort ook scenario b tot de slechtste scenario’s. Scenario 4 blijft dus het te verkiezen scenario voor de trage component. Als we enkele cijfers naast mekaar leggen, kunnen we stellen dat de meest optimale parameterwaarden voor beide onderdelen deze van scenario 4 zijn. Scenario b Onderdeel 1 Onderdeel 2

Min 0% 17%

Scenario 4 Max 0% 80%

Min 0% 0%

Max 12% 12%

Na een analyse van deze prestatiematen kunnen we dus besluiten dat ongelijke gemiddelde aankomstsnelheden nooit optimaal zijn.

4 Ongelijke

buffergroottes

gecombineerd

met

ongelijke gemiddelde aankomstsnelheden In het voorgaande hebben we besloten dat ongelijke buffergroottes niet optimaal zijn wanneer de gemiddelde aankomstsnelheid van beide onderdelen dezelfde is. We besloten ook dat ongelijke gemiddelde aankomstsnelheden nooit optimaal zijn wanneer de buffergroottes dezelfde zijn voor beide onderdelen. In dit deel trachten we na te gaan of ongelijke buffergroottes wel optimaal zijn wanneer de gemiddelde aankomstsnelheden ongelijk zijn. We krijgen het duidelijkste beeld wanneer we enkele waarden van prestatiematen weergeven in tabelvorm.


44

TP

P[leeg1]

P[leeg2]

P[vol1]

P[vol2]

11.11.5

0.59

0.59

0.59

0.41

0.41

11.15.5

0.81

0.81

0.16

0.19

0.84

15.15.5

0.83

0.83

0.00

0.17

0.83

51.15.5

1.00

0.72

0.20

0.00

0.80

We vertrekken van een systeem met gelijke buffergroottes en gemiddelde aankomstsnelheden. We zien dat het verhogen van 2 een positieve invloed heeft op de throughput. Deze verbetering is lichtjes groter wanneer het snelle onderdeel een grotere buffer krijgt en wordt veel sterker wanneer het trage onderdeel een grotere buffer krijgt. Dit is logisch aangezien in dat geval de kleine gemiddelde aankomstsnelheid wordt gecompenseerd door een grotere buffer. Kijken we naar de kans op een lege en volle buffer, dan zien we dat die waarde groot worden voor het ene onderdeel en klein voor het andere onderdeel. Voor de kans op een volle buffer zou dit zelfs gunstig kunnen zijn wanneer het stilleggen van het ene onderdeel veel duurder is dan voor het andere onderdeel. Maar aangezien er niet gekit kan worden van zodra 1 onderdeel niet beschikbaar is, zijn de ongelijke aankomstsnelheden nooit een verbetering voor de prestatiemaat omtrent de kans op een lege buffer. Immers, als de kans op een lege buffer van 1 onderdeel toeneemt, neemt de kans voor heel het systeem toe dat het niet zal kunnen kitten, hoe laag die kans ook is voor het andere onderdeel. We besluiten hieruit dat, afhankelijk van welke winstcomponent het zwaarst doorweegt, het scenario met ongelijke gemiddelde aankomstsnelheden beter zou kunnen zijn dan dat met gelijke gemiddelde aankomstsnelheden (11.11.1) wanneer de buffergroottes het tegengestelde patroon vertonen dan de snelheden (51.15.1). De tussenliggende scenario’s uit de tabel scoren sowieso slechter dan deze 2 scenario’s en zijn dus nooit optimaal.

TP

P[leeg1]

P[leeg2]

P[vol1]

P[vol2]

11.11.5

0.59

0.59

0.59

0.41

0.41

15.11.5

0.78

0.78

0.13

0.22

0.22

15.15.5

0.83

0.83

0.00

0.17

0.83

15.51.5

1.00

0.20

0.72

0.80

0.00


45

In bovenstaande tabel onderzoeken we wat er gebeurt indien we uitgaan van ongelijke buffergroottes. Hieruit kunnen we natuurlijk dezelfde conclusies trekken dan daarnet. Het laatste scenario zou mogelijks beter kunnen zijn dan het eerste scenario indien de winstcomponenten de juiste verhoudingen hebben. Een stijging van 0.59 naar 1.00 in throughput zou immers meer waardevol kunnen zijn dan het grotere risico op een lege buffer van 0.59 naar 0.72.

5 Optimalisatie van het kitting systeem Totnogtoe hebben we de individuele prestatiematen bestudeerd door het effect van verschillende combinaties parameterwaarden te bekijken. Bij het beschrijven van de optimalisatie van de prestatiematen hebben we de ene keer een lage µ aangeraden en de andere keer een hoge µ. Dit maakt meteen duidelijk dat DE optimale parameterwaarden niet bestaan. Om een kitting systeem te optimaliseren moeten we dus afwegingen maken tussen de voor- en nadelen van de verschillende prestatiematen. Om een beter beeld te bekomen over de afwegingen die gemaakt moeten worden, gaan we na of er een positieve of negatieve relatie is tussen de parameters en de prestatiematen. We nemen alle besproken prestatiematen op in onderstaande tabel maar houden in het achterhoofd dat de gemiddelde bufferbezetting en het verlies gerelateerd zijn aan sommige andere prestatiematen. Bovendien maken we volgende assumpties omtrent de betekenis van het + teken: wanneer de parameterwaarde groter wordt, ceteris paribus, dan; wordt E[Q] groter, hoewel de grootte op zich geen voor- of nadeel is, P[vol] daalt, P[leeg] daalt , TP stijgt en Verlies daalt aangezien we in die situaties kunnen spreken van een voordeel.

E[Q]

P[vol]

P[leeg]

TP

Verlies

C

+

+

+

+

+



+

-

+

+

-

µ

-

+

-

+

+

De mate waarin een toename van de parameterwaarde een verbetering met zich meebrengt is sterk afhankelijk van de waarde van de andere parameters. Bovendien brengt het verhogen of


46

verlagen van parameterwaarden niet alleen opbrengsten met zich mee maar ook kosten. De kosten om de parameter groter of kleiner te maken, maar ook eventuele opportuniteitskosten doordat andere prestatiematen nadelig beïnvloed worden. Om te beslissen welke parameter combinatie de beste is, moeten we ook rekening houden met de huidige configuratie van het systeem. Omdat er zoveel factoren zijn die we in acht moeten nemen, hebben we ervoor gekozen om in hoofdstuk 4 een winstfunctie op te stellen. Op die manier ontwikkelen we een hulpmiddel om te helpen bij de beslissing van de parameterwaarden.

Hoofdstuk 3 Uitbreidingen op het Basis Kitting Proces

1 Kitting proces met tweeledige server In het vorige hoofdstuk bespraken we de prestatiematen van het meest eenvoudige kitting proces met 2 onderdelen en 1 server. Om die analyse uit te breiden, zijn er tal van mogelijke configuraties om te onderzoeken. Het zou kunnen dat het product bestaat uit meer dan 2 onderdelen of dat het product bestaat uit de combinatie van meerdere onderdelen A en een verschillend aantal onderdelen B. Het kan ook zijn dat de onderdelen een beperkte houdbaarheid hebben of dat 1 van de machines zeer duur is om stil te leggen. Wij hebben ervoor gekozen om na te gaan wat het effect is van 2 seriële servers in plaats van 1 server.

3. UITBREIDINGEN OP HET BASIS KITTING PROCES

48

Met seriële servers bedoelen we dat de kit achtereenvolgens eerst door de eerste server moet worden bediend en daarna door de tweede server. De bediening is dus tweeledig en dient in die bepaalde volgorde te gebeuren. Verder veronderstellen we dat de onderdelen de buffers pas verlaten nadat het product gevormd is, dus na de tweede server. We kunnen ons dit voorstellen door de servers te zien als 2 fases van 1 machine. De machine staat ingesteld in fase 1 en voert het eerste deel van de bewerking uit. Daarna schakelt de machine over naar fase 2 en voert het laatste deel van de bewerking uit. Daarna verlaat de kit het systeem. De machine schakelt terug naar fase 1 en er komt een plaatsje vrij in elke buffer. Het doel van de volgende analyse is nagaan wat de impact is op de prestatiematen van het feit dat het assembleren van de onderdelen nu in 2 fases gebeurt. In het basismodel is de assemblagetijd S exponentieel verdeeld met parameter µ. E[S] = 1/µ In het model dat we nu bestuderen, hebben we te maken met een tweeledige bediening en dus S = S1 + S2. Waarbij S1 en S2 onafhankelijk zijn en exponentieel verdeeld met respectievelijke parameters µ1 en µ2. Als we dus willen vergelijken met het basismodel, dan is de totale gemiddelde assemblagetijd; 1/µ1 + 1/µ2 = E[S1] + E[S2] = E[S] = 1/µ Door nu de analyses te maken in functie van de relatieve lengte van de eerste fase tegenover de totale gemiddelde assemblagetijd, kunnen we de resultaten van beide analyses vergelijken. We voeren daarom een parameter q in (0<=q<=1) en kiezen dan µ1 en µ2 zo dat 1/µ1 = q/µ en 1/µ2 = (1-q)/µ. Op deze manier zal de assemblage van een kit gemiddeld voor een fractie q doorgaan in de eerste fase en voor een fractie 1-q in de tweede fase. In de onderstaande analyse laten we q variëren tussen 0,1 en 0,9 met stappen van 0,1. We vermijden 0 en 1 omdat dit zou betekenen dat alles gebeurt in server 1 of server 2 en dat er dus slechts 1 server is. Dit onderzochten we reeds in het vorige hoofdstuk en we gebruiken de resultaten die we daar vonden als vergelijkingsbasis. Verder kiezen we =1=2 aangezien in het vorige hoofdstuk concludeerden dat ongelijke gemiddelde aankomstsnelheden nooit optimaal zijn. Zij verminderen de potentiële throughput stijging aanzienlijk en leiden tot een buffer die steeds vol zit en een andere die steeds leeg is. We kiezen µ=1 alsook =1 omdat de throughput toch begrensd is door het minimum van µ en . Door ze gelijk te kiezen, kunnen we het effect van de seriële buffers nagaan


49

zonder rekening te moeten houden met deze grenzen. Tot slot bekijken we ook scenario’s met onderbezetting van 50% (=0,5; µ=1) en overbezetting van 200% (=2, µ=1).

1.1 Throughput TP 0,9

0,8 11q 22q

0,7

33q 44q 0,6

55q 11 22

0,5

33 44 0,4

55

q

0,3 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

GRAFIEK 20: TP IN FUNCTIE VAN Q MET =µ=1

In bovenstaande grafiek zien we het effect op de throughput van het feit dat de server in 2 fases werkt. De eerste vijf curven zijn hier de illustratie van, de laatste vijf geven het throughput niveau weer indien er slechts 1 server zou zijn. Deze resultaten vonden we in de voorgaande analyses alsook door q in te stellen op 0 of 1. Voor een buffercapaciteit van 1 zien we dat de throughput exact dezelfde is als voordien. Voor buffers groter dan 1 zien we dat de throughput betere resultaten geeft voor alle mogelijk q. We merken ook op dat zich een optimum voordoet bij q=0,5 en dat de curve symmetrisch ligt rond dat punt. De mogelijke verbetering in throughput van 1 server naar 2 servers stijgt samen met de buffercapaciteiten. De reden hiervoor ligt in het stochastische aankomstproces waarvan de pieken beter opgevangen kunnen worden bij grotere buffers, zoals eerder uitgelegd.


50

Maar waarom stijgt de throughput wanneer de server in 2 fases werkt? De verklaring daarvoor vinden we in de variantie van de server. De variantie van de tijd nodig om te assembleren met 1 server wordt gegeven door 1/µ2. Diezelfde variantie voor het proces met 2 servers ziet er zo uit; Var[S] = Var[S1 + S2] = Var[S1] + Var[S2] =

Var[S] =

ଵ ஜమ

(‫ݍ‬ଶ + (1 − ‫)ݍ‬ଶ) ≤

ଵ ஜమ

ଵ

ஜమ భ

+

ଵ

ஜమ మ

=

௤మ మ

ஜ

+

(ଵି௤)మ ஜమ

Deze daling in variantie komt de throughput dus duidelijk ten goede. Dit is ook de reden dat we bij een buffercapaciteit van 1 identiek dezelfde resultaten vinden voor het basismodel en het systeem met de seriële server. Aangezien de onderdelen in de buffer blijven zitten tot ze gekit zijn en het systeem verlaten, is een buffer met 1 plaats eigenlijk geen wachtlijn. De onderdelen ‘wachten’ niet, ze worden gekit door de server. De variantie heeft dus geen effect wanneer de buffergrootte gelijk is aan 1. Het spreekt vanzelf dat ook het verlies gunstige resultaten bekomt aangezien het verlies =  - TP. Deze grafiek is dus het inverse van de grafiek hierboven. We bekijken nu wat het effect op de throughput is bij onder- en overbelasting. TP 1 0,9 0,8

50%

0,7 0,6

=0.5 µ=1

100% =1

µ=1

200% =2

µ=1

basis 50% basis 100%

0,5

basis 200% 0,4 0,3

q 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

GRAFIEK 21: TP IN FUNCTIE VAN Q BIJ VERSCHILLENDE SYSTEEMBELASTING


51

Deze grafiek geeft de throughput weer voor scenario’s met onder-, gelijke en overbelasting, voor het systeem met de tweeledige server en het systeem met 1 server. De buffercapaciteiten kozen we C1=C2=5. We zien dat de potentiële throughput stijging het grootst is voor het scenario met gelijke belasting. Voor overbelasting is er ook sprake van verhoogde throughput maar minder dan bij gelijke bezetting en voor onderbelasting is er praktisch geen verschil tussen het systeem met 1 en 2 servers. We zagen dus dat de verlaagde variantie is assemblagetijd een gunstig effect heeft op de throughput, en dan vooral bij gelijke belasting. We gaan nu na of de tweeledige server ook gunstige effecten heeft op de andere prestatiematen.

1.2 Kans dat buffer vol/leeg is P[leeg] 0,45

P[vol] 0,7 0,6

11q

0,4

22q

0,35

33q

0,5

44q

0,4

55q

0,3

0,2

22

0,15

33

0,1

44 55 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,25

11

0,2

0

0,3

q

0,1 0,05 0

q 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

GRAFIEK 22: P[VOL] EN P[LEEG] IN FUNCTIE VAN Q MET =µ=1

We zien dat de kans op een volle buffer kleiner is wanneer er 2 servers zijn vanaf buffers die groter zijn dan 1. Ook de kans op een lege buffer daalt. De tweeledige seriële buffer scoort dus beter op alle prestatiematen en is optimaal bij q=0,5.


52

1.3 Het effect van ongelijke buffergroottes We analyseerden steeds de situaties met gelijke buffergroottes aangezien we in het vorige hoofdstuk reeds concludeerden dat een combinaties met gelijke buffercapaciteiten de meest optimale resultaten geven. We kunnen dit nogmaals bevestigen door middel van vo volgende grafiek. Zij geeft de throughput niveaus voor verschillende combinaties van buffercapaciteiten, in de veronderstelling dat q=0,5. Zoals we hier zien, zijn ook bij de tweeledige server de combinaties met gelijke buffergroottes het meest optimaal.

TP 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

C2 5 3

1

2

3

4

1 5 C1

GRAFIEK 23:: TP BIJ VERSCHILLENDE VERSCHILLEN BUFFERGROOTTES MET Q=0.5 EN =µ=1 =µ=1


53

2 Kitting proces met drempels In dit deel bekijken we een andere uitbreiding op het meest eenvoudige kitting systeem uit hoofdstuk 2. Hier veronderstellen we dat elke buffer een bepaalde drempel heeft die kleiner is dan de buffercapaciteit. Stel dat we starten met volle buffers voor beide onderdelen. Het systeem produceert en er verdwijnen onderdelen uit de buffers. Wanneer het aantal onderdelen nu onder de drempel komt, dan zendt het systeem een order naar de machine die dat onderdeel aanlevert om een bepaalde hoeveelheid te produceren en door te sturen naar de buffer. We zien dus dat wanneer het aantal onderdelen onder de bijhorende drempel T valt, een bepaalde hoeveelheid B besteld wordt. Deze komt aan na een bepaalde tijd die exponentieel verdeeld is met gemiddelde 1/. De verwerking blijft hetzelfde met een parameter µ. Merk dus op dat de continue toevoer van onderdelen met parameter  hier vervangen wordt door een aankomst na bestelling. De buffers zijn nog steeds begrensd. Dit impliceert dat 0 ≤ Ti ≤ Ci en dat 1 ≤ Bi ≤ (Ci – Ti). Om het wiskundig eenvoudig te houden, maken we een assumptie wat betreft de bestelgrootte B. We veronderstellen dat deze grootte variabel is en afhankelijk van de huidige voorraadniveaus zodanig dat de bestelgrootte gelijk is aan de buffercapaciteit verminderd met de huidige voorraadpositie. Op die manier bestellen we dus steeds het aantal onderdelen dat nodig is om de buffer vol te krijgen. De gedefinieerde prestatiemaat over de kans op een volle buffer verliest hier dan ook gedeeltelijk zijn betekenis. Immers, de aanvoer van de onderdelen moet niet stilgelegd worden wanneer de buffer vol zit omdat we werken op basis van bestelling en geen continue toevoer onderdelen kennen. We bestellen het aantal onderdelen nodig om de buffer terug aan te vullen. Dit betekent ook dat de opportuniteitskost ‘verlies’ niet meer van toepassing is aangezien de bestelde hoeveelheid vermeerderd met de huidige voorraadpositie nooit de buffercapaciteit kan overschrijden. Merk op dat dit enkel van toepassing is onder de gemaakte assumptie. Een andere assumptie zou immers kunnen zijn dat de bestelgrootte groter is om te anticiperen om de tijd die nodig is om de bestelling te maken en te leveren. In dat geval zou het wel kunnen dat de buffer vol zit en er dus verlies is omdat de hele bestelling niet in de buffer past.


54

In de analyses uit hoofdstuk 2 lieten we de parameters variëren om het effect te zien om de prestatiematen. Bij dit nieuwe kitting systeem doen we dat ook. De parameters zijn nu C 1, C2, T1, T2, B1, B2, 1, 2 en µ. De prestatiematen die we zullen bespreken zijn gereduceerd tot de throughput, de kans op een lege buffer en de gemiddelde bufferbezetting, ten gevolge van de gemaakte assumptie betreffende Bi. Het basis kitting systeem besproken in hoofdstuk 2 en het kitting systeem met drempels zijn duidelijk twee alternatieve manieren om de productie te organiseren. Wiskundig gezien zijn beide systemen echter fundamenteel anders. Zo anders dat een vergelijking, wiskundig gezien, niet echt mogelijk is. We trachten de parameters zodanig te kiezen dat we de prestatiematen min of meer kunnen vergelijken en kijken wat het effect is van de drempels.

2.1 Basismodel Kitting versus Kitting met Drempels We starten met de analyse van de throughput en we trachten deze te vergelijken met de uitkomsten van hoofdstuk 2. We voeren daarbij de volgende notatie in: C 1C2.T1T2.12.µ. Onderstaande grafiek geeft de throughput voor een systeem met notatie: 55.TT.55.5. We laten de drempels variëren van 1 tot 4 en de bestelgrootte B is variabel zoals eerder uitgelegd. We vergelijken met het basis kitting proces uit hoofdstuk 2 met parameterwaarden 55555.

TP

5 4,5 4 3,5 3 2,5

drempels

2

basis

1,5 1 0,5 0

T 1

2

3

4

GRAFIEK 24: TP VAN BASIS VS DREMPELS


55

Uit bovenstaande grafiek leiden we af dat het invoeren van drempels een gunstige invloed heeft op de throughput en hoe hoger de drempel, hoe groter het effect. We vermoeden dat dit ten dele te maken heeft met de assumptie die we gemaakt hebben om steeds bij te vullen tot de buffercapaciteit. Op die manier is er waarschijnlijk minder kans op een lege buffer. Hoe kleiner die kans, hoe hoger de throughput niveaus. Het effect is het kleinst bij een T=1 omdat de bestelde hoeveelheid niet onmiddellijk toekomt maar pas na een bepaalde tijd weergegeven door de parameter . Bij een lage drempel is de kans dus groter dat de buffer leeg komt te staan doordat de onderdelen sneller uit de buffer verdwijnen dan dat de bestelling toekomt. Een grotere kans op lege buffers leidt tot lagere throughput niveaus. Om na te gaan of de oorzaak van de hogere throughput inderdaad te wijten is aan het feit dat de er meer onderdelen in de buffers zitten, bekijken we de gemiddelde bufferbezetting in het basis kitting proces en het kitting proces met drempels. E[Q]

4,5 4 3,5 3 2,5

drempels

2

basis

1,5 1 0,5 T

0 1

2

3

4

GRAFIEK 25: E[Q] VAN BASIS VS DREMPELS

Bovenstaande grafiek bevestigt dat de gemiddelde bufferbezetting hoger is in het systeem met drempels dan zonder drempels onder de gemaakte assumptie. Wanneer =5 en µ=5 kunnen we dus besluiten dat hoe hoger de drempel ligt, hoe hoger de gemiddelde bufferbezetting is aangezien dan steeds sneller de buffer aangevuld wordt met nieuwe bestellingen. Deze manier van werken zal bijzonder nuttig blijken wanneer de kost om het kitting proces stil te leggen zeer hoog is. De drempels worden echter een nadeel wanneer de voorraadkosten zeer hoog zijn. Meer over de verschillende soorten kosten vinden we terug in hoofdstuk 4 met het numerieke voorbeeld.


56

Aangezien er geen aankomstproces meer is maar enkel een gemiddelde leveringssnelheid, kunnen we ook niet meer spreken van verschillende graden van systeembelasting. Immers, wat is de gemiddelde aankomstsnelheid van het systeem? In hoofdstuk 2 zagen we dat =TP+verlies. Omdat er nu geen verlies meer is, is =TP. De throughput is geen parameter maar een prestatiemaat. Dit betekent dat in een kitting systeem met drempels, we geen controle meer hebben over de belastingsgraad van het systeem. Geen aankomstproces en dus geen , doet de vraag rijzen wat er gebeurt met TP < min(1,2,µ). Is de TP nu enkel begrensd door µ of speelt de gemiddelde leveringssnelheid ook een rol? Dit gaan we na aan de hand van volgende grafiek.

TP

3,5 3 2,5 2

55.TT.11.3

1,5

55.TT.33.3 55.TT.55.3

1 0,5 0

T 1

2

3

4

GRAFIEK 26: TP IN FUNCTIE VAN T VOOR VERSCHILLENDE SCENARIO’S

In bovenstaande grafiek trachten we na te gaan of TP begrensd is door µ,  of beiden. Wanneer we logisch nadenken, weten we dat TP altijd gelimiteerd zal zijn door µ. De kits kunnen het systeem maar zo snel verlaten als de machine kan werken. Bovenstaande grafiek bevestigt dit aangezien de throughput nergens hoger is dan 3. Vermits er geen kits gevormd kunnen worden wanneer een onderdeel niet beschikbaar is, is het ook logisch dat TP begrensd is door de gemiddelde aankomstsnelheid in het basismodel. We weten bovendien ook dat P[leeg] rechtstreeks gerelateerd is met  in dat systeem. In het kitting systeem met drempels vinden we geen rechtstreekse relatie tussen P[leeg] en , enkel een positieve correlatie. We concluderen daaruit dat TP niet begrensd is door . Ook dit wordt bevestigd door de grafiek. We zien dat het


57

scenario met =1 een throughput met zich meebrengt die groter is dan 1. We kunnen besluiten dat  wel degelijk een invloed heeft op TP, want TP stijgt wanneer  toeneemt. Maar  vormt geen bovengrens voor de TP, die dus enkel gelimiteerd blijkt door µ. We concluderen dat het basismodel en het model met drempels wiskundig verschillend zijn doordat er geen aankomstproces meer is maar enkel een aankomst na een bestelling. In het vervolg van dit hoofdstuk trachten we dan ook het kitting systeem met drempels te optimaliseren zonder expliciet rekening te houden met het basismodel.

2.2 Optimaliseren kitting systeem met drempels 2.2.1 Gemiddelde bufferbezetting Als eerste prestatiemaat bekijken we de gemiddelde bufferbezetting. We kiezen 4 scenario’s waarbij we trachten een zo breed mogelijk gamma combinaties te dekken. We bekijken welke parameterwaarden we moeten kiezen om het kitting proces met drempels te optimaliseren. We gebruiken daarbij de eerder ingevoerde notatie: C1C2.T1T2.12.µ .

E[Q] 10 9 8 7 6

99.11.11.m

5

99.11.55.m

4

99.88.11.m

3

99.88.55.m

2 1

m

0 1

2

3

4

5

GRAFIEK 27: E[Q] VOOR VERSCHILLENDE SCENARIO’S

In bovenstaande grafiek vinden we de gemiddelde bufferbezetting voor de verschillende scenario’s. Veralgemenend kunnen we stellen dat de gemiddelde bufferbezetting daalt naarmate


58

µ toeneemt en naarmate  of T dalen. We zien dat de scenario’s gekenmerkt door lage leveringsnelheden een sterkere daling in gemiddelde buffercapaciteit kennen naarmate µ groter wordt dan hun tegenhangers, de scenario’s met hoge leveringsnelheden. Dit zien we duidelijk in de grafiek doordat bijvoorbeeld scenario 3 sneller en sterker daalt dan scenario 4 bij toenemende µ. Wanneer we scenario 1 en 3 naast mekaar leggen, alsook 2 en 4, dan zien we dat hogere drempels een aanzienlijke verhoging in de gemiddelde bufferbezetting teweeg brengen. Zoals gezegd in hoofdstuk 2 is het optimaliseren van de gemiddelde bufferbezetting weinig zinvol omdat het op zich niet goed of slecht is als die waarde hoog of laag is. Echter, stel dat we die waarde zo hoog mogelijk willen, dan kunnen we besluiten dat het verhogen van de drempels tot een beter resultaat leidt dan het verhogen van de gemiddelde leveringsnelheid van de bestelling. Een combinatie van beide leidt natuurlijk tot het scenario met de hoogste gemiddelde bufferbezetting.

2.2.1.1 H ET EFFECT VAN DE BUFFERGROOTTE

In de voorgaande analyse waren de buffercapaciteiten hetzelfde voor elk scenario. We vragen ons nu af wat het effect is van die buffergroottes. Daartoe bekijken we eerst onderstaande figuur.

E[Q] 6 5 4 3

CC.11.11.1

2 1 0

C 2

3

4

5

6

7

8

9

GRAFIEK 28: E[Q] IN FUNCTIE VAN C


59

In bovenstaande grafiek laten we de buffercapaciteiten toenemen van 2 tot 9, met een vaste drempel,  en µ. De conclusie is zeer eenvoudig. De gemiddelde bufferbezetting stijgt quasi lineair met de buffercapaciteit. Wanneer we scenario 1 en 2 uit de voorgaande grafiek bestuderen, kunnen we ons afvragen of een buffercapaciteit van 9 niet te groot is. Men wou immers kunnen denken dat er capaciteit wordt vrij gehouden waarvan gemiddeld minstens 3 plaatsen niet gebruikt worden. We gaan na wat er zou gebeuren indien we de buffercapaciteit zouden terugbrengen tot bijvoorbeeld 6 voor scenario 1 en 2.

E[Q] 6 5 4 99.11.11.m 3

99.11.55.m 66.11.11.m

2

66.11.55.m

1 0

m 1

2

3

4

5

GRAFIEK 29: E[Q] BIJ VERSCHILLENDE BUFFERGROOTTES

De grafiek toont een verschuiving naar beneden toe van beide scenario’s. Aangezien we daarnet een quasi lineaire relatie vonden tussen E[Q] en C, is het logisch dat deze scenario’s nu evenredig met C naar beneden toe verschoven zijn. Het gevolg van het verlagen van de buffercapaciteit omdat er “teveel” capaciteit is, is dat de gemiddelde bufferbezetting zodanig gedaald is dat er nu nog steeds “teveel” capaciteit is. Dit was te verwachten aangezien de procentuele bezettingsgraad in grafiek 28 overal ongeveer dezelfde is. Er zitten dus absoluut gezien meer onderdelen in de buffer, maar de buffer zit altijd even vol. De schijnbare overcapaciteit kan dus enkel weg gewerkt worden door de drempels te verhogen. Hoewel het gunstig lijkt om de capaciteit van de buffer ten volle te benutten, zien we straks in hoofdstuk 4 dat een hoge gemiddelde bufferbezetting ook grote kosten met zich mee kan brengen. Kosten die het gunstige effect van een goede benutting van de capaciteit overschaduwen.


60

2.2.2 Kans op een lege buffer De kans op een volle buffer verliest zijn betekenis met de gemaakte assumptie dat de bestelde hoeveelheid gelijk is aan de buffercapaciteit verminderd met de huidige voorraadpositie. Hierdoor kan de buffer wel vol zitten maar zullen er nooit onderdelen toekomen die niet in de buffer kunnen omdat die vol zit, net omdat we werken met die variabele bestelgrootte. De kans op een lege buffer daarentegen is ook hier zeer belangrijk. Wanneer een onderdeel niet ter beschikking is, kan er niet gekit worden en ligt de machine stil. We gaan na welke kansen de verschillende scenario’s met zich meebrengen.

P[leeg]

0,3 0,25 0,2

99.11.11.m 99.11.55.m

0,15

99.88.11.m 0,1

99.88.55.m

0,05 0

m 1

2

3

4

5

GRAFIEK 30: P[LEEG] VOOR VERSCHILLENDE SCENARIO’S

We zien dat de scenario’s met de lage gemiddelde leveringsnelheid (1 en 3) het slechtst scoren op deze prestatiemaat. Het is misschien wat verrassend dat scenario 3 slechter scoort dan scenario 2. In scenario 3 liggen de drempels dan wel hoog maar de lage leveringsnelheid in combinatie met steeds snellere verwerking leidt dus tot buffers met een grotere kans om leeg te zijn dan in scenario 2 waar de lage drempels gecompenseerd worden door een hoge gemiddelde leveringsnelheid. Scenario 4 levert de beste resultaten op met kansen die nagenoeg 0 zijn, ongeacht de waarde van µ. Wat dus betekent dat de server steeds onderdelen heeft om mee te werken en dus praktisch nooit stil ligt. Dit zal dan ook resulteren in hoge throughput niveaus. Om deze prestatiemaat te optimaliseren streven we voornamelijk naar hoge gemiddelde leveringsnelheden. De scenario’s met lage gemiddelde toeleveringsnelheid zijn bovendien zeer


61

gevoelig aan een toenemende µ. Dus voor die scenario’s kan het optimaal zijn om de verwerkingssnelheid wat lager te zetten. Voor de andere scenario’s is het voordeel dat men haalt door µ te verlagen, met als doel een lagere kans op lege een buffer, waarschijnlijk veel kleiner dan het voordeel dat we kunnen halen uit de throughput door µ hoog te kiezen.

2.2.2.1 H ET EFFECT VAN DE BUFFERGROOTTE P[leeg] 0,25 0,2 0,15 CC.11.11.1

0,1 0,05 0

C 2

3

4

5

6

7

8

9

GRAFIEK 31: P[LEEG] IN FUNCTIE VAN C

Bovenstaande grafiek toont dat de kans op lege buffer daalt met afnemende minderkosten bij groter wordende buffercapaciteiten. De kans op een lege buffer daalt dus steeds minder en minder naarmate C groter wordt. Laten we kijken wat het effect is op bovenstaande scenario’s.


P[leeg]

62

0,35 0,3 0,25 99.11.11.m

0,2

99.11.55.m

0,15

66.11.11.m

0,1

66.11.55.m

0,05 0

m 1

2

3

4

5

GRAFIEK 32: P[LEEG] BIJ VERSCHILLENDE BUFFERGROOTTES

Aangezien de kans op een lege buffer stijgt wanneer de buffercapaciteit daalt, vinden we curven die hoger liggen. Bovendien kennen de curven een steiler verloop bij lagere buffergroottes. Om deze prestatiemaat te optimaliseren concludeerden we daarnet dat we moeten streven naar een snelle gemiddelde aanlevering. Ook hoge buffercapaciteiten dragen bij tot de optimalisatie van deze prestatiemaat. Echter, we merken op dat de verbetering die de grotere buffers met zich meebrengen veel kleiner is dan de verbetering dankzij snellere aanlevering. Deze opmerking geldt des te meer wanneer µ groot is aangezien we daar te maken met de hoogste opportuniteitskosten en het verschil tussen de verschillende scenario’s groter wordt.


63

2.2.3 Throughput Als laatste prestatiemaat bekijken we de throughput in verschillende scenario’s. We trachten die te optimaliseren door de juiste combinatie parameterwaarden te kiezen voor C i, Ti, i en µ. TP

6 5 4 99.11.11.m 3

99.11.55.m

2

99.88.11.m 99.88.55.m

1 0

m 1

2

3

4

5

GRAFIEK 33: TP VOOR VERSCHILLENDE SCENARIO’S

Bovenstaande grafiek toont aan dat de throughput stijgt wanneer de gemiddelde verwerkingssnelheid toeneemt, de gemiddelde leveringsnelheid stijgt en/of de drempels hoger liggen. Het is dan ook niet verwonderlijk dat scenario 1 de laagste en scenario 4 de hoogste throughput niveaus met zich meebrengen. Wanneer we scenario 4 meer in detail bekijken, zien we dat de throughput nagenoeg gelijk is aan de gemiddelde verwerkingssnelheid wat betekent dat er altijd voldoende onderdelen zijn om te produceren. Het kitting proces hoeft niet stil gelegd te worden omdat een onderdeel niet ter beschikking is. Dit stelden we ook vast bij de prestatiemaat omtrent de kans op een lege buffer. Vertrekkende van scenario 4 kunnen we nu onderzoeken wat het effect is van een lagere gemiddelde leveringsnelheid van de bestelling en van lagere drempels. Wanneer we nu scenario 4 en 3 vergelijken, zien we dat de gemiddelde leveringsnelheid een belangrijke invloed heeft op de throughput naarmate µ groter wordt. Bij µ=5 resulteert de snellere aanlevering immers in ±40% meer throughput ten opzichte van het scenario met de trage leveringsnelheid. Wanneer het systeem bovendien gekenmerkt is door lage drempels, dan heeft de leveringsnelheid een nog grotere impact. Vergelijken we scenario 1 en 2 dan bereiken we ±66% meer throughput door een snellere gemiddelde leveringsnelheid bij µ=5.


64

Dit brengt ons tot het effect van de drempels. Dit vinden we door het vergelijken van scenario 4 en 2. We zien dat de throughput minder hoog is wanneer de drempels laag gekozen worden. Dit is intuïtief duidelijk aangezien we rekening moeten houden met de tijd nodig om de bestelling te produceren en te leveren. Wanneer de bestelling pas geplaatst wordt wanneer de buffer bijna leeg is, dan is de kans groter dat de buffer leeg komt te staan vooraleer de bestelling aankomt dan wanneer de drempel hoog zou liggen. Een hogere kans op een lege buffer betekent een lagere throughput. Wanneer de gemiddelde leveringsnelheid bovendien ook laag is, dan is de vermindering in throughput groter dan wanneer die snelheid hoog is. Dit vinden we door de vergelijking van scenario 3 en 1. Ook dit is makkelijk te begrijpen. Immers, hoe langer het duurt vooral de bestelling er is, en dus hoe kleiner de gemiddelde leveringsnelheid, hoe meer kans dat de buffer leeg komt te staan voor de bestelling er is. We kunnen besluiten dat een maximale throughput behaald wordt bij hoge drempels, snelle aanlevering en snelle verwerking. Afhankelijk van de huidige situatie waarin het systeem zich bevindt zijn hier meer of minder kostelijk ingrepen voor nodig en is de verbetering in throughput meer of minder aanzienlijk. Stel bijvoorbeeld dat we zitten in het punt C 1C2T1T212µ = 9911555. We kunnen de throughput nu enkel verhogen door de drempels hoger in te stellen. We zien echter in de grafiek dat de verbetering in throughput beperkt blijft tot 10%. Er moet worden nagegaan of die verbetering opweegt tegen de kosten die gepaard gaan met het verhogen van de drempels, zoals bijvoorbeeld hogere gemiddelde buffercapaciteiten. We zien ook dat wanneer µ=1, het weinig uitmaakt in welk scenario we zitten aangezien de throughput in elk scenario rond dezelfde waarden hangt. In dat geval zal de throughput vermeerdering waarschijnlijk niet opwegen tegen de kosten van de ingrepen om van scenario 1 naar 4 te gaan. 2.2.3.1 H ET EFFECT VAN DE BUFFERGROOTTE TP

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

CC.11.11.1

2

3

4

5

6

7

8

9

GRAFIEK 34: TP IN FUNCTIE VAN C

C


65

Bovenstaande grafiek toont dat de throughput toeneemt met de buffercapaciteit. De curve is convex wat betekent dat de TP stijgt met afnemende meeropbrengsten. Voor elke eenheid waarmee we de drempel verhogen, daalt de proportionele stijging in TP. We bekijken wat het effect hiervan is op de voorgaande scenario’s.

TP

5 4,5 4 3,5 3

99.11.11.m

2,5

99.11.55.m

2

66.11.11.m

1,5

66.11.55.m

1 0,5 0

m 1

2

3

4

5

GRAFIEK 35: TP BIJ VERSCHILLENDE BUFFERGROOTTES

De verlaagde buffercapaciteit heeft relatief weinig invloed op de throughput in vergelijking met de andere prestatiematen. Vooral bij µ=1 verandert er bijzonder weinig. Wanneer we de vorige grafiek nog eens bekijken, zien we dat de throughput stijging van 6 naar 9 slechts 5% bedraagt. Het is dan ook logisch dat de throughput hier weinig last lijkt te hebben van de verlaagde buffercapaciteiten. Aangezien µ verhogen een actie is die de throughput aanzienlijk kan verhogen, moeten we er rekening mee houden dat het effect van kleinere buffers groter wordt naarmate µ groter wordt.

Hoofdstuk 4 Numeriek voorbeeld

1 Opstellen van de winstfunctie In de voorgaande analyses spraken we steeds van kosten en baten bij de beslissing om acties uit te voeren of niet. In dit hoofdstuk zullen we trachten een winstfunctie op te stellen die toelaat de kosten en opbrengsten van bepaalde acties in rekening te nemen. We starten met te bepalen welke kosten en opbrengsten we nodig hebben, hoe deze in relatie staan met mekaar en wat de gepaste coëfficiënten zijn van elke parameter.

1.1 Opbrengsten De opbrengsten zijn het meest eenvoudig aangezien we enkel opbrengsten kunnen genereren door de throughput. De TP geeft weer hoeveel afgewerkte kits er per tijdseenheid het systeem verlaten. De kosten bestaan uit meerdere componenten zoals de voorraadkosten, de kosten van een lege en volle buffer en de kosten van verlies.

4. NUMERIEK VOORBEELD

67

1.2 Kosten De voorraadkosten bestaan uit twee delen; een vaste kost en een variabele kost. De vaste kost heeft betrekking op de buffercapaciteit C. Dit is de eenmalige kost die we doen om een buffer met C plaatsen te installeren. Dit gaat van de ruimte die het in beslag neemt, tot de rekken die we voorzien om de onderdelen te stockeren. Dit is een vaste kost omdat we eenmalig betalen voor die capaciteit. Wanneer het kitting proces loopt, zal de buffer vullen met onderdelen maar de capaciteit verandert niet. De variabele voorraadkost is gerelateerd aan de gemiddelde bufferbezetting. Het is de kost die een bedrijf draagt voor elke tijdseenheid dat het onderdeel in de buffer zit. Stel bijvoorbeeld dat we te maken hebben met onderdelen die een speciale behandeling nodig hebben, bijvoorbeeld staalrollen die een bepaalde temperatuur moeten hebben zodat ze niet uitharden, of etenswaren die gekoeld moeten worden opdat ze niet bederven. Elke tijdseenheid dat het onderdeel warm of koud moet zijn kost geld. Zelfs wanneer er geen speciale behandeling vereist is, kost een onderdeel geld in termen van ruimte voor elke tijdseenheid dat het in de buffer zit. Bijvoorbeeld een half afgewerkte auto die staat te wachten op verdere productie neemt een bepaalde plaats in beslag die niet voor iets anders kan gebruikt worden. Deze kosten zijn dus variabele kosten. Deze kosten kunnen hoog of laag zijn afhankelijk van de behandeling die het vereist, de plaats die het beslag neemt en mogelijke andere factoren. We kiezen om in de winstfunctie de vaste kosten niet op te nemen. Zo blijft alles uitgedrukt in kost of opbrengst per tijdseenheid. Bovendien zouden we kunnen veronderstellen dat die kost klein is in vergelijking met de kosten en opbrengsten op jaarbasis bijvoorbeeld. De kosten van een lege en volle buffer zijn uiteraard gerelateerd aan de kans dat de buffer leeg of vol is. We kunnen deze kost nu op twee manieren inbrengen. We nemen het voorbeeld van de lege buffer maar het is analoog voor de volle buffer. De eerste mogelijkheid is dat we een kost in rekening brengen elke keer dat de kitting machine stil gelegd moet worden omdat een van de buffers leeg is. Dit betekent dat de machine opnieuw opgestart moet worden, wat voor sommige machines zeer duur kan zijn, bijvoorbeeld als de machine een bepaalde snelheid moet opbouwen om op volle toeren te werken. Om de kost zo in rekening brengen moeten we afleiden uit de kans op een lege buffer hoe vaak de buffer effectief leeg is. Om dit te vinden zouden we moeten simuleren. We houden het eenvoudig en kiezen daarom voor de tweede methode. De tweede manier waarop we kost in rekening kunnen brengen is door te kijken naar de fractie van tijd dat de aanvoer stil ligt, wat wel gelijk is aan de kans op een lege buffer. Door dit te vermenigvuldigen met een gepaste kostencoëfficiënt kunnen we deze kost op een eenvoudige manier in rekening brengen. Analoog voor de kans dat een buffer vol is en de kosten die dat met zich meebrengt.


68

Tot slot is er het verlies. In hoofdstuk 2 bespraken we hoe het verlies moet worden geïnterpreteerd. Als de aanvoer van een onderdeel niet stil wordt gelegd wanneer de buffer van dat onderdeel vol zit, dan worden er onderdelen aangevoerd waarvoor geen plaats is in de buffer. Deze onderdelen gaan verloren. Wanneer echter de aanvoer wel wordt stil gelegd, dan geeft het verlies weer hoeveel onderdelen we hadden kunnen verwerken indien de buffer nooit vol had gezeten. In dat geval is het verlies een opportuniteitskost. Indien 1=2 dan is het verlies rechtstreeks gerelateerd aan het de kans dat de buffer vol zit: verlies =  P[vol].

1.3 Winstfunctie Nu we alle opbrengsten en kostfactoren kennen, kunnen we de winstfunctie opstellen. De vaste voorraadkost nemen we niet in aanmerking zoals gezegd. Het verlies nemen we niet rechtstreeks op in de winstfunctie omdat we reeds de fractie van de tijd dat de buffer vol zit verrekenen. Op deze manier vermijden we dubbeltelling.

Winst = Opbrengsten – Kosten Winst = a TP – b E[Q1] – c E[Q2] – d P[vol1] –e P[vol2] – f P[leeg1 of leeg2] a = opbrengst per afgewerkte kit: €/stuk b,c = kost per tijdseenheid dat een onderdeel in buffer 1/2 zit: €/t d,e = kost per tijdseenheid dat de aanvoer van onderdeel 1/2 stil ligt: €/t f = kost per tijdseenheid dat het kitting proces stil ligt: €/t


69

2 De invloed van de verschillende parameters 2.1 Basisscenario In het basisscenario kiezen we de volgende parameterwaarden: a=20, b=c=1, d=e=2 en f=5. winst € 80,00 € 70,00 € 60,00 € 50,00

1111m

€ 40,00

1155m

€ 30,00

5511m

€ 20,00

5555m

€ 10,00 €-

m 1

2

3

4

5

GRAFIEK 36: WINST BASISSCENARIO

Bovenstaande grafiek toont de winst voor de scenario’s die we in hoofdstuk 2 analyseerden. We zien dat deze grafiek zeer gelijkaardig is aan de grafiek die de throughput weergeeft. Dit is enigszins logisch aangezien coëfficiënt a een relatief grote waarde toegekend werd. We bekijken later wat er gebeurt wanneer de verschillende kosten zwaarder doorwegen. Veronderstel net als in hoofdstuk 2 dat de huidige situatie van het kitting proces wordt weergegeven door het punt 11111. We concludeerden toen dat er 3 mogelijke acties zijn om de TP te verhogen. Aangezien deze grafiek zeer gelijkaardig is aan die van de TP, gelden deze acties ook om de winst te verhogen. Deze maatregelen omvatten het verhogen van µ, het verhogen van  en/of het vergroten van C. We legden sterk de nadruk op het feit dat de kosten-baten analyse moest uitwijzen welke maatregelen winstgevend zouden zijn. Daartoe bekijken we onderstaande tabellen.

1111

5511

1155

5555

µ=1

€ 1,40

€ 9,15

€ 7,80

€ 7,29

µ=5

€ 4,88

€ 33,40

€ 10,56

€ 70,01


70

Bovenstaande tabel geeft het de winst per tijdseenheid van de verschillende scenario’s. Door de volgende assumpties en berekeningen, vinden we hoeveel de ingrepen maximaal mogen kosten opdat we break-even zouden zijn met de huidige situatie (11111). Als de ingreep minder kost, maken we extra winst. Stel dat de tijdseenheid van de winstfunctie uitgedrukt staat in minuten. Stel bovendien dat er 8u op dag gewerkt wordt, en dat 250 dagen per jaar. Vermenigvuldigen we bovenstaande getallen met 60min/u x 8u/dag x 250 dagen/jaar, dan bekomen we volgende cijfers.

1111

5511

1155

5555

µ=1

€ 168.000

€ 1.098.462

€ 935.974

€ 874.368

µ=5

€ 585.882

€ 4.008.000

€ 1.266.662

€ 8.401.406

Deze tabel geeft de winst per jaar, gegeven de assumpties hierboven uitgelegd. Vergelijken we nu deze winsten met de huidige situatie (11111) dan bekomen we hoeveel de ingrepen maximaal mogen kosten opdat we winst zouden maken bovenop de winst van het huidige systeem. 1111

5511

1155

5555

µ=1

€-

€ 930.462

€ 767.974

€ 706.368

µ=5

€ 417.882

€ 3.840.000

€ 1.098.662

€ 8.233.406

Dit betekent dat wanneer µ=1, de maatregel om de buffers met een factor 5 te vergroten (scenario 3) maximaal € 930.462 mag kosten. Dit is overigens de vaste voorraadkost die we daarstraks besproken hebben met betrekking tot de buffercapaciteit. Willen we bovendien de gemiddelde aankomst-snelheid verhogen met een factor 5, dan komen we in scenario 4 en die kosten mogen te samen het bedrag van €706.368 niet overschrijden. Merk op dat bij µ=1 er dus meer winst per tijdseenheid is wanneer de buffer groot zijn dan wanneer de buffer groot zijn én de aanvoer snel is. Willen we als laatste maatregel ook µ verhogen met een factor 5, dan mogen de 3 ingrepen samen niet meer kosten dan € 8.233.406 opdat de acties winstgevend zouden zijn. De totale winst is dan gelijk aan de winst die we vinden in de vorige tabel verminderd met de kost van de geïmplementeerde acties.


71

Bovenstaande getallen veronderstellen bovendien dat de acties afgeschreven worden over 1 jaar en dat de kost dus jaarlijks is. Kunnen we achter afschrijven over bijvoorbeeld 4 jaar, en dus slechts elke 4 jaar dat bedrag moeten ophoesten, dan vinden we volgende cijfers. 1111

5511

1155

5555

µ=1

€-

€ 3.721.846

€ 3.071.894

€ 2.825.472

µ=5

€ 1.671.529

€ 15.360.000

€ 4.394.647

€ 32.933.622

We zien dat wanneer we afschrijven over 4 jaar, de kost van de 3 ingrepen niet hoger mag zijn dan € 32.933.622. Dit is een zeer aanzienlijk bedrag en de acties zullen dus waarschijnlijk winstgevend zijn. Door te spelen met deze getallen vinden we op een snelle manier hoeveel de ingrepen maximaal mogen kosten. We kunnen de tijdseenheid veranderen van de winstfunctie, het aantal uur dat er gewerkt wordt per dag, het aantal werkdagen op een jaar en het aantal jaar waarover de acties worden afgeschreven. Dit kunnen we dus gebruiken voor alle kosten-baten analyses aangehaald in hoofdstuk 2.

2.1.1 Systeembelasting winst € 12 € 10 €8 50%

€6 €4 €2 €€ -2

C 1

2

3

4

5

€ -4

GRAFIEK 37: WINST BIJ VERSCHILLENDE SYSTEEMBELASTING

=0.5 µ=1

100% =1

µ=1

200% =2

µ=1


72

Bovenstaande grafiek geeft de winst voor scenario’s met onder, gelijke en overbelasting. Ook hier zien we gelijkenis met de throughput van diezelfde scenario’s in die zin dat de scenario’s met de hoogste TP nu ook de hoogste winst per tijdseenheid genereren. We zien echter dat de winst niet blijft stijgen bij grotere buffercapaciteiten maar dat de winst na een bepaald optimum begint te dalen. De verschillende scenario’s bereiken hun optimale winst bij verschillende buffergroottes. Voor overbelasting is dat bij C=3, bij onderbelasting bij C=4. Bij gelijkbelasting is de winst pas optimaal bij C=5 (we hebben C laten verder variëren tot 10 en wanneer C verder stijgt dan 5 daalt de winst per tijdseenheid). We trachten de reden voor deze optima te achterhalen door de kosten en opbrengsten apart te bekijken.

Opbrengst € 25

Kosten € 12 € 10

€ 20

€8

50%

€6

100%

€4

200%

€ 15 € 10 €5

€2

€-

€1

2

3

4

5

C

GRAFIEK 38: KOSTEN BIJ VERSCHILLENDE SYSTEEMBELASTING

1

2

3

4

GRAFIEK 39: OPBRENGSTEN BIJ VERSCHILLENDE SYSTEEMBELASTING

We zien dat de opbrengsten een redelijk gelijkaardig verloop kennen en dat de reden dat de winst maximaal is bij verschillende buffergroottes gezocht moet worden bij de kosten. Een verdere analyse van de kosten leert ons dat de reden dat de winst bij overbelasting reeds optimaal is bij C=3 ligt aan het feit dat in dat scenario de gemiddelde bufferbezetting veel sterker toeneemt dan in de andere scenario’s. Meer algemeen kunnen we dus stellen dat de winst een maximum bereikt omdat de opbrengsten stijgen met afnemende meeropbrengsten en de kosten stijgen met toenemende meerkosten. Aangezien de kans op een volle en lege buffer dalen bij toenemende buffercapaciteiten, ligt de oorzaak dus bij de toenemende gemiddelde bufferbezetting.

5 C


73

2.2 Stilleggen kitting We veronderstellen nu dat de kosten om het kitting proces stil te leggen veel groter zijn. We kiezen f=15, wat een drievoud is van het basis scenario. We vergelijken met de voorgaande winst per tijdseenheid, het basis scenario.

winst € 80,00 € 70,00 € 60,00 € 50,00

1111m

€ 40,00

1155m

€ 30,00

5511m

€ 20,00

5555m

€ 10,00 €€ -10,00

m 1

2

3

4

5

GRAFIEK 40: WINST ALS STILLEGGEN KITTING DUURDER IS

De grotere coëfficiëntwaarde voor f betekent dat de tijd dat er geen kits gevormd kunnen worden omdat 1 van de buffers leeg is, zwaar afgestrafd wordt. We bekijken de kans op een lege buffer van de verschillende scenario’s. Deze vonden we reeds in hoofdstuk 2.

P[leeg] 1 0,9 0,8 0,7 0,6

1111m

0,5 0,4 0,3

1155m 5511m 5555m

0,2 0,1 0

m 1

2

3

4

5


74

We zien dat scenario 4 de laagste kans heeft een lege buffer en scenario 1 de hoogste kans. Scenario 2 en 3 liggen er tussen in en liggen zo wat in de zelfde lijn. Bekijken we deze grafiek samen met de nieuwe winst per tijdseenheid, dan kunnen we volgende opmerkingen maken. We zien dat scenario 1 niet meer winstgevend is, ongeacht de waarde van µ. De reden hiervoor wordt meteen duidelijk in bovenstaande grafiek. Immers, scenario 1 kent de hoogste kansen op een lege buffer. Bovendien herinneren we ons uit hoofdstuk 2 dat dit scenario de kleinste throughput niveaus heeft. De kleine throughput is dus niet voldoende om de grotere kosten van een lege buffer te dragen. Scenario 2 en 3 hebben beide te maken met een initiële daling in de winst ten gevolge van de zwaarder doorwegende kost op een lege buffer. Verder dan µ=1 zien we dat de grafiek naar beneden gedraaid is. De reden is de toenemende kans op een lege buffer naarmate µ groter wordt. Hoewel beide stijgen met afnemende meeropbengsten/kosten, nemen de opbrengsten sneller af dan de kosten. De stijging in kosten blijft dus groter dan de stijging in throughput waardoor het netto effect een beweging naar beneden veroorzaakt. Aangezien de kans op een lege buffer zeer klein is voor scenario 4, heeft de zwaardere kost het minst impact op dit scenario. Bij de vergelijking van de nieuwe en de vorige winstfunctie zien we immers slechts een kleine daling in winst per tijdseenheid.

2.2.1 Systeembelasting Winst € 15

50%

€ 10 €5 C

€1

2

3

4

5

€ -5 € -10 € -15


=0.5 µ=1

100% =1

µ=1

200% =2

µ=1


75

De winst per tijdseenheid van onder, gelijke en overbelasting is gedaald tengevolge van de zwaardere kost voor lege buffers. Onderbelasting is zelfs niet meer winstgevend, ongeacht de buffercapaciteiten. De optimale buffergroottes verschuiven naar respectievelijk C=5, C=6 en C=4.

2.3 Variabele voorraadkosten In dit deel bekijken we wat er gebeurt wanneer de variabele voorraadkosten groter worden en kiezen b=c=5. Dit is mogelijk wanneer er een speciale handeling nodig is of wanneer het half afgewerkte product zeer kostbare ruimte in beslag neemt die dan voor niets anders gebruikt kan worden. winst € 60,00

1111m

€ 50,00

1155m

€ 40,00

5511m

€ 30,00

5555m

€ 20,00 € 10,00 €€ -10,00

m 1

2

3

4

5

€ -20,00 € -30,00 € -40,00

GRAFIEK 42: WINST ALS VARIABELE VOORRAADKOSTEN DUURDER ZIJN

We zien meteen een groot verschil met de 2 voorgaande sets van coëfficiënten. Daar bleef de volgorde van winstgevendheid dezelfde maar nu is die helemaal door mekaar geschud. Scenario 4 is niet meer het meest winstgevende scenario ongeacht de waarden van µ. Echter, pas wanneer µ>4 resulteert het scenario met grote buffercapaciteiten en snelle aanlevering tot het scenario met de hoogste winst per tijdseenheid. Scenario 1 is niet langer het minst winstgevende en die plaats is nu voor scenario 3. Bovendien is dit laatste scenario verlieslatend voor elke waarde van µ. We bekijken de gemiddelde bufferbezetting van de verschillende scenario’s om de oorzaak van deze veranderingen te achterhalen.

4. NUMERIEK VOORBEELD E[Q]

76

5 4,5 4 3,5 3

1111m

2,5

1155m

2

5511m

1,5

5555m

1 0,5 0

m 1

2

3

4

5

Bovenstaande grafiek geeft de gemiddelde bufferbezetting voor de verschillende scenario’s en verklaard meteen het winst per tijdseenheid met de nieuwe coëfficiënten. Scenario 4 kent zeer hoge gemiddelde bufferbezettingen wat gunstig bleek wanneer de kost van lege buffers zwaar was. Wanneer nu de variabele voorraadkost zwaar doorweegt zorgt de gemiddelde bufferbezetting ervoor dat scenario 4 veel minder winstgevend is dan bij de eerste set coëfficiënten. Scenario 4 gaat van het minst tot het meest winstgevend van µ=1 tot µ=5. Zoals we ons herinneren uit hoofdstuk 2 is de reden hiervoor dat de throughput van dit scenario het sterkst stijgt naarmate µ groter wordt in vergelijking met de andere scenario’s. Die sterke stijging in opbrengsten zorgt er dus voor dat scenario 4 uiteindelijk weer het meest winstgevend wordt. Tot slot vinden we in de gemiddelde bufferbezetting ook de reden dat scenario 1 en 3 gewisseld zijn in termen van winstgevendheid.


77

2.3.1 Systeembelasting winst €€ -5

C 1

2

3

4

5

€ -10

50%

€ -15 € -20

=0.5 µ=1

100% =1

µ=1

200% =2

µ=1

€ -25 € -30


Geen van bovenstaande scenario’s blijft winstgevend wanneer de variabele voorraadkost sterk stijgt. Een belangrijke reden daartoe is het feit dat TP < min(1,2,µ). De gemiddelde bufferbezetting stijgt echter met C. Aangezien C varieert van 1 tot 5 en =µ=1, voldoen de opbrengsten dus niet om de kosten te dekken. Het is wel interessant dat het scenario met de hoogste gemiddelde bufferbezetting (overbelasting) aanvankelijk toch het minst verlieslatend is en pas van C=4 het meeste verlies teweeg brengt. De reden daarvoor is dat de opbrengsten stijgen met afnemende meeropbrengsten maar dat de kosten stijgen met toenemende meerkosten, zie onderstaande grafieken. Het effect is dus dat hoe groter C wordt, hoe groter de kosten worden relatief ten op zichten van de opbrengsten. Het netto effect is dus een steeds steiler dalende winstenfunctie. Merk op dat de optimale winst nu voor alle scenario’s gevonden wordt bij C=1.


78

Kosten 50,00 45,00 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00

100% 200% 50%

C 1

2

3

4

5

GRAFIEK 44: KOSTEN BIJ VERSCHILLENDE SYSTEEMBELASTING

Opbrengst € 25,00 € 20,00 € 15,00 € 10,00 € 5,00 €-

C 1

2

3

4

5

GRAFIEK 45: OPBRENGSTEN BIJ VERSCHILLENDE SYSTEEMBELASTING


79

2.4 Stilleggen aanvoer onderdelen Als laatste set van coëfficiënten kijken we wat er gebeurt wanneer de kost geassocieerd met het stilleggen van de aanvoer van onderdelen, omwille van een volle buffer, sterk toeneemt. Hiervoor kiezen we d=e=8. We vergelijken met het basisscenario. winst € 80,00 € 70,00 € 60,00 € 50,00

1111m

€ 40,00

1155m

€ 30,00

5511m

€ 20,00

5555m

€ 10,00 €-

m 1

€ -10,00

2

3

4

5

GRAFIEK 46: WINST ALS STILLEGGEN AANVOER ONDERDELEN DUURDER IS

We zien dat de volgorde van winstgevendheid van de verschillende scenario’s gelijk blijft behalve voor µ=1. De oorzaken zoeken we bij de kans op een volle buffer. P[vol]

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

1111m 1155m 5511m 5555m m 1

2

3

4

5

Scenario’s 2 en 4 kennen zeer hoge kansen op een volle buffer bij µ=1. Aangezien bij µ=1 de throughput in dezelfde buurt ligt voor alle scenario’s, betekent dit dat bij µ=1 scenario 2 en 4 de


80

zwaarste kost dragen relatief gezien ten opzichten van de opbrengsten. Daarna stijgen de TP en dus de opbrengsten van die scenario’s sterk waardoor ze weer meer winstgevend worden dan scenario’s 1 en 3.

2.4.1 Systeembelasting Winst €6

50%

=0.5 µ=1

€4

100% =1

µ=1

€2

200% =2

µ=1

€€ -2

C 1

2

3

4

5

€ -4 € -6 € -8 € -10


Tot slot geven we de winst per tijdseenheid voor onder, gelijke en overbelasting. Dit is de eerste maal dat de optimale winst van overbelasting niet de hoogste is, maar voorbij gestoken wordt door het scenario met gelijkbelasting. Aangezien het scenario met overbelasting de grootste kansen kent op volle buffers, is dit niet verwonderlijk. Onderbelasting blijft het minst winstgevende, zoals bij alle andere sets van coëfficiënten ook het geval was.


81

3 Maximale winst We zagen bij de grafieken over onder, gelijke en overbelasting dat er zich steeds een maximale winst voordeed bij een bepaalde buffergrootte. Tot slot van dit hoofdstuk bekijken we de maximale winst met de vier verschillende sets van coëfficiënten in termen van C,  en µ. We stellen deze coëfficiëntensets voor met de volgende notatie: a.b.c.d.e.f . € 100 € 90 € 80 € 70 € 60

20.1.1.2.2.5

€ 50

20.1.1.2.2.15

€ 40

20.5.5.2.2.5

€ 30

20.1.1.8.8.5

€ 20 € 10 €€ -10

C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920

GRAFIEK 48: WINST IN FUNCTIE VAN DE BUFFERGROOTTE

De bovenstaande grafiek geeft de winst per tijdseenheid voor de vier verschillende sets coëfficiënten waarbij we C laten variëren en =µ=5. We zien dat voor coëfficiëntensets 1, 2 en 4 de winst redelijk gelijkaardig verloopt. De optimale winst wordt bereikt bij een buffercapaciteit van respectievelijk 15, 16, 9 en 11. We zien echter dat vanaf een buffergrootte van ongeveer 8, de winsttoename zeer gering wordt en dus waarschijnlijk niet zal opwegen tegen de kost om de buffer met nog een extra eenheid te vergroten. Enkel bij de derde set van coëfficiënten is de winst per tijdseenheid aanzienlijk minder dan de andere sets. De variabele voorraadkost blijkt dus de meest cruciale kostenfactor voor de winst per tijdseenheid.


82

€ 80 20.1.1.2.2.5

€ 60

20.1.1.2.2.15 20.5.5.2.2.5

€ 40

20.1.1.8.8.5

€ 20

€1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920

l

€ -20

€ -40

GRAFIEK 49: WINST IN FUNCTIE VAN DE GEMIDDELDE AANKOMSTSNELHEID

Bovenstaande grafiek geeft de winst per tijdseenheid in functie van =1=2 voor de verschillende sets van coëfficiënten. We kiezen C=5 en µ=5. De maximale winst vinden we bij een gemiddelde aankomstsnelheid van respectievelijk 10, 11, 4 en 11. Wederom zien we een redelijk gelijkaardig winstverloop voor coëfficiëntensets 1,2 en 4. Voor deze coëfficiëntensets zien we bovendien ook dat bij  van ongeveer 8 de winsttoename zeer gering wordt, net als in de vorige grafiek. De beste keuze van  zal in dat geval waarschijnlijk meer afhankelijk zijn van de machines. Bijvoorbeeld wanneer de machine die de onderdelen aanlevert dat doet aan een snelheid van bijvoorbeeld 7, dan is de kans groot dat het bedrijf dit zo zal laten in plaats van extra kosten te doen om de aanvoersnelheid op te voeren naar 10 of 11 om maximale winst te bekomen. Voor coëfficiëntenset 3 wordt het nu echter zeer belangrijk om de gemiddelde aankomstsnelheid goed te kiezen. Immers, het verlies in winst een beetje links of rechts van het optimum is reeds aanzienlijk.


83

€ 100 € 80

20.1.1.2.2.5

€ 60

20.1.1.2.2.15 20.5.5.2.2.5

€ 40

20.1.1.8.8.5

€ 20 €-

m

€ -20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920

€ -40 GRAFIEK 50: WINSTIN FUNCTIE VAN DE GEMIDDELDE VERWERKINGSSNELHEID

Om de maximale winst in functie van µ te vinden, moesten we µ laten toenemen tot zeer grote waarden. Voor de verschillende coëfficiënten sets en met C=5 en =5 zijn de optima respectievelijk bij µ gelijk aan 32, 11 en 37 voor coëfficiëntensets 1, 2 en 4. Voor coëfficiëntenset 3 was de maximale winst nog niet bereikt na µ=100. Zoals in de vorige grafieken is coëfficiëntenset 3 het afwijkende coëfficiëntenset, hoewel nu ook coëfficiëntenset 2 afwijkingen vertoont ten opzichten van coëfficiëntensets 1 en 4. Het optimum wordt in coëfficiëntenset 2 reeds veel vroeger bereikt dan de andere coëfficiëntensets en een goede keuze voor µ is dus belangrijk voor dit coëfficiëntenset. Voor de andere 3 coëfficiëntensets is de winst immers veel minder variabel vanaf een bepaalde µ, ongeveer 15.

Besluit Het doel van deze masterproef was om na te gaan wat het effect is van de buffergrootte in productielijnen met kitting. In het eerste hoofdstuk zijn we gestart met een kort literatuuroverzicht. We vonden een aantal studies die handelden over kitting op een puur wiskundige manier, en een aantal kwalitatieve studies over de voor- en nadelen van kitting in de praktijk. Deze laatste studies concludeerden dat kitting in de praktijk op vele verschillende manieren geïmplementeerd wordt en dat er dus een gebrek is aan eenduidige richtlijnen en advies. Verder stelden zij vast dat er een groot verschil is tussen de tijd dat kitting duurt in het hoofd van het bedrijf en in de praktijk. We concludeerden dat de kwantitatieve studies en de kwalitatieve studies mekaar nog niet ontmoet hebben. Er is immers nood aan kwantitatieve studies die vertaalt worden in praktische richtlijnen en advies, die getoetst kunnen worden door de kwalitatieve studies. In deze masterproef hebben we dan ook getracht de theorie steeds te linken aan de praktijk. Na het literatuuroverzicht volgde de wiskundige modellering van een productiesysteem met kitting. We startten met een analyse van de verschillende componenten van een kitting systeem. We bespraken het Poisson aankomstproces, de analogie van kitting met Birth-Death-processen, de gelimiteerde buffers, … . Het wiskundig voorstellen van een kitting systeem betekent dat we de overgangsmatrix invullen en oplossen om de evenwichtswaarschijnlijkheden te vinden. We zagen dat deze manier van werken leidt tot zeer grote en complexe stelsels. Met een alternatieve oplossingsmethode uit de literatuur slaagden we erin om op een makkelijke manier de evenwichtswaarschijnlijkheden te berekenen van het kitting systeem. Die hebben we immers nodig om de prestatiematen te berekenen uit hoofdstuk 2. In hoofdstuk 2 zijn we van start gegaan met de definities van enkele prestatiematen. We hebben beschreven wat de betekenis is van de verschillende prestatiematen en hoe we ze berekent hebben. Omdat het optimaliseren van een kitting systeem betekent dat we rekening moeten houden met alle prestatiematen, en omdat het verbeteren van de ene maat de andere kan

BESLUIT

85

verslechteren, hebben we eerst de prestatiematen afzonderlijk besproken. We zetten de belangrijkste conclusies voor elke prestatiemaat even op een rij. We zagen dat de gemiddelde bufferbezetting toenam wanneer de buffercapaciteit groter werd, en dit bij ongewijzigde gemiddelde aankomstsnelheden en verwerkingsnelheid. De reden hiervoor was het stochastische aankomstproces van de onderdelen. Doordat de tijd tussen opeenvolgende aankomsten niet altijd dezelfde is – dan zou het aankomstproces deterministisch zijn – doen zich pieken en dalen voor rond de gemiddelde bufferbezetting. Hoe groter de buffer, hoe meer kans dat de buffer deze pieken kan opvangen. Hierdoor stijgt dus de gemiddelde bufferbezetting. Er zijn meer onderdelen ter beschikking van het systeem, wat resulteert in een lagere kans op een lege buffer en dus een hogere throughput. Dit brengt ons tot de volgende belangrijke conclusie. De gemiddelde bufferbezetting is rechtstreeks gerelateerd aan andere prestatiematen. Daarom besloten we dat het optimaliseren van de gemiddelde bufferbezetting weinig betekenis had omdat het op zich niet goed of slecht is om een hoge of lage gemiddelde bufferbezetting te hebben. Het is echter des te belangrijker voor de andere prestatiematen dat die hoog of laag zijn. In deze masterproef hebben we dus de gemiddelde bufferbezetting gezien als middel om de andere prestatiematen te optimaliseren of als gevolg van de optimalisatie van de andere prestatiematen. De volgende prestatiemaat die we besproken hebben was de kans op een volle buffer. Om deze prestatiemaat te optimaliseren kiezen we de parameters zodanig dat deze kans geminimaliseerd wordt. Immers, een volle buffer vereist dat de aanvoer van het onderdeel wordt stil gelegd. Het stilleggen en opstarten van machines is vaak duur en dus trachten we dit zo klein mogelijk te houden. De optimale parameter combinatie voor deze prestatiemaat betreft hoge buffercapaciteiten (C), lage gemiddelde aankomstsnelheden () en hoge gemiddelde verwerkingssnelheid (µ). De reden hiervoor werd uitvoerig besproken in hoofdstuk 2. De kans op een lege buffer was de volgende prestatiemaat. Deze kans is zeer belangrijk voor een systeem met kitting. Immers, wanneer een onderdeel niet voorradig is kan er niet gekit worden, ook al zijn alle andere onderdelen wel beschikbaar. Als er niet gekit wordt, genereert het systeem ook geen opbrengsten. Het is dus cruciaal deze kans te minimaliseren. Hiervoor vonden we een parameter combinatie met hoge C, hoge  en lage µ optimaal. Vervolgens bespraken we de throughput en dus het aantal kits dat per tijdseenheid het systeem verlaat. Dit is de enige prestatiemaat die opbrengsten genereert voor het systeem. De andere prestatiematen brengen kosten en risico’s met zich mee. Om de throughput te maximaliseren vonden we een parametercombinatie met hoge C, hoge  en hoge µ optimaal. We zagen ook dat

BESLUIT

86

TP < min(1,2,µ), wat een zeer belangrijke restrictie bleek te zijn in het optimaliseren van deze prestatiemaat. De laatste prestatiemaat was het verlies. Het verlies hebben we gedefinieerd als het aantal onderdelen dat verloren gaat omdat de buffers vol zitten. We vonden dat het verlies =  - TP alsook verlies =  P[vol]. Om deze prestatiemaat te optimaliseren trachten we dus de throughput (TP) zo hoog mogelijk te krijgen, en de kans op een volle buffer (P[vol]) zo laag mogelijk. Na de bespreking van de individuele prestatiematen, onderzochten we nog enkele extra parametercombinaties. De conclusie die daaruit volgde was dat ongelijke buffergroottes met gelijke gemiddelde aankomstsnelheden nooit optimaal zijn. We zagen dat wanneer we C 1 lieten variëren van 1 tot 5, alsook C2, dat de optimale combinaties telkens die met gelijke buffergroottes waren. We concludeerden verder dat ongelijke gemiddelde aankomstsnelheden met gelijke buffergroottes ook nooit optimaal zijn. Dit resulteert in een buffer die steeds leeg is en een andere die steeds vol is. Bovendien weten we dat de throughput begrensd is door min(1,2,µ) en dus bleven de opbrengsten beperkt ondanks het feit dat de het ene onderdeel een veel snellere gemiddelde aankomst kende dan het andere onderdeel. Een combinatie van ongelijke buffergroottes en ongelijke gemiddelde aankomstsnelheden leverde een verrassend inzicht. We zagen dat dit optimaal zou kunnen zijn op voorwaarde dat de buffergroottes een tegengesteld patroon vertoonde dan de gemiddelde aankomstsnelheden. Het al dan niet optimaal zijn van deze configuratie zou afhankelijk zijn van het gewicht van de verschillende winst componenten. Nu we alle prestatiematen afzonderlijk besproken hebben, hebben we getracht om het kitting systeem te optimaliseren door een goede afweging te maken tussen de verschillende kosten, risico’s en opbrengsten die de prestatiematen met zich meebrengen. We besloten dat de keuze van de optimale parameterset afhankelijk is van wat dat betekent in economische termen voor het bedrijf. Stel dat we bijvoorbeeld de throughput willen verhogen door µ te versnellen. Dan moet het bedrijf zich afvragen of de opbrengsten van de extra throughput opwegen tegen de kosten om de snellere µ te implementeren, maar ook de extra kosten of risico’s doordat de hogere µ andere prestatiematen verslechtert. Daarom hebben we in hoofdstuk 4 een numeriek voorbeeld opgesteld dat aantoont hoe we die afweging best kunnen maken. In hoofdstuk 3 hebben we twee uitbreidingen op het kitting systeem uit hoofdstuk 2 bekeken. De eerste uitbreiding was het kitting proces met tweeledige server. Dit betekent dat de kit nu achtereenvolgens twee seriële servers moet doorlopen. We bespraken de prestatiematen uit hoofdstuk 2 en concludeerden dat de tweeledige server een verbetering met zich meebracht voor elke besproken prestatiemaat. De reden hiervoor vonden we in de variantie van de

BESLUIT

87

assemblagetijd die kleiner bleek te zijn voor de tweeledige server dan voor het basismodel uit hoofdstuk 2. De tweede uitbreiding was die van het kitting proces met drempels. Deze manier van werken houdt in dat er geen aanvoer van onderdelen is maar dat het systeem een bestelling plaatst wanneer de voorraadpositie van een onderdeel daalt onder een bepaalde drempelwaarde. Dit systeem is wiskundig zo verschillend van het basismodel uit hoofdstuk 2, dat een vergelijking eigenlijk niet mogelijk is. In hoofdstuk 3 hebben we het kitting systeem met drempels trachten te optimaliseren, onafhankelijk van het basismodel. We maakte de assumptie dat de bestelgrootte variabel is en zo gekozen wordt dat de buffer steeds tot zijn maximum gevuld wordt. Door deze assumptie verliezen de prestatiematen P[vol] en verlies hun betekenis. De buffer kan immers nooit té vol zitten zodat het leidt tot verlies of andere risico’s en kosten. De overblijvende te optimaliseren prestatiematen zijn de kans op een lege buffer en de throughput. Ook hier kan hoofdstuk 4 een uitweg bieden in de keuze van de parameterwaarden alsook de keuze van beste systeem om mee te werken – met of zonder drempels. Het laatste hoofdstuk in deze masterproef is hoofdstuk 4. Hierin hebben we getracht een winstfunctie op te stellen die kan helpen bij het kiezen van de optimale parameterwaarden. Dit is zonder twijfel het meest relevante hoofdstuk voor bedrijven. Uit de literatuur studies bleek immers dat er een gebrek is aan richtlijnen en advies omtrent de optimale configuratie van het kitting systeem. In hoofdstuk 4 laten we zien dat met een zeer eenvoudige winstfunctie, we reeds een indicatie kunnen bekomen over hoeveel de investering mag kosten bijvoorbeeld. Door de verschillende componenten van de winstfunctie een zwaarder gewicht te geven, konden we nagaan wat het effect was op de totale winst van elke afzonderlijke component.

Als er één ding is dat we onthouden is het dat een kitting systeem maar zo sterk is als zijn zwakste schakel. Het is bijvoorbeeld zinloos om  eindeloos te laten toenemen omdat we hogere TP willen als µ niet mee stijgt. Dus hoewel de initiële vraag van deze masterproef was wat het effect van de buffergrootte is, heb ik uiteindelijk elke parameter onderzocht. Een extra motivatie om alle parameters te onderzoeken was het feit dat ik een zo praktisch mogelijke masterproef wilde schrijven. Een masterproef die niet puur wetenschappelijk is maar ook nuttig voor de praktijk. Reden te meer omdat er een gebrek aan praktische richtlijnen blijkt te zijn. Ik hoop dat ik mijn steentje heb kunnen bijdragen hieraan door het schrijven van deze masterproef.

BIBLIOGRAFIE

88

Bibliografie Bozer, Y. A., & McGinnis, L. F. (1992). Kitting versus line stocking: a conceptual framework and a

descriptive model. USA: Elsevier Science Publishers. Bruneel, H. Wachtlijntheorie.

Brynzér, H., & Johansson, M. (1995). Design and performance of kitting and order picking

systems. Sweden: Elsevier Science Publishing. Harrison, J. (1973). Assembly-like queues.

Hopp, W. J., & Simon, J. T. (1988). Bounds and heuristics for assembly-like queues. USA: J.C.Baltzer A.G. Scientific Publishing Company.

Ramachandran, S., & Delen, D. (2003). Performance analysis of a kitting process in a stochastic

assembly system. USA: Elsevier Scientific Publishing.

Ramakrishnan, R., & Krishnamurthy, A. (2007). Analytical approximation for kitting systems

with multiple inputs. Singapore: World Scientific Publishing.

Tijms, H. (2003). A First Course in Stochastic Modeling. Wiley and Sons.

Analytische Studie van Buffergroottes in Productielijnen met Kitting

Recommend Documents