BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR
ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN SZERZŐ:
DR. ZOBORY ISTVÁN Apáczai Csere János díjas egyetemi tanár SZERKESZTŐ:
DR. SZABÓ ANDRÁS RAJZOLÓ:
KISS CSABA A MINTAFELADATOKAT KIDOLGOZTA:
CSÁSZÁR LÁSZLÓ LEKTORÁLTA:
DR. KULCSÁR BÉLA 2012.
A II. Nemzeti Fejlesztési Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program TÁMOP-4.1.2/A/2-10/1-2010-0018 azonosító számú programja keretében készült jegyzet.
A projekt címe: „Egységesített Jármű- és mobilgépek képzés- és tananyagfejlesztés”
A megvalósítás érdekében létrehozott konzorcium résztvevő: a Kecskeméti Főiskola a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem az AIPA Alföldi Iparfejlesztési Nonprofit Közhasznú Kft.
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék ..............................................................................................................0 Előszó ................................................................................................................................1 0 Bevezetés .................................................................................................2 1 Fizikai mennyiségek megadása, mértékrendszerek.............................4 1.1 járműgéptanban használt fizikai mennyiségek .........................................4 1.2 A fizikai mennyiség dimenziója, mértékegysége és mérőszáma...............7 1.3 Prefixumok .............................................................................................12 1.4 Mértékrendszerek ...................................................................................13 2 Méréstechnikai alapok .........................................................................14 2.1 Bevezető megjegyzések ...........................................................................14 2.2 A mérőrendszer felépítése ......................................................................15 2.3 A mérési hibák két fő csoportja ..............................................................17 2.3.1 A rendszeres hibák .................................................................................17 2.3.2 A véletlen hibák .....................................................................................18 2.4 A mérési adatok csoportosítása – hisztogramok ....................................24 2.4.1 A gyakorisághisztogram.........................................................................24 2.4.2 A relatív gyakoriság hisztogram.............................................................25 2.4.3 A relatív gyakoriság sűrűséghisztogram.................................................26 2.4.4 A valószínűségi sűrűségfüggvény bevezetése ........................................26 2.5 A véletlen hibával terhelt mérési eredmények gyakorlati kezelése.........29 2.6 Abszolút és relatív hiba ..........................................................................29 2.7 A közvetett mérés, a hibaterjedés jellemzése ..........................................30 2.7.1 Egyváltozós függvénykapcsolat esete ....................................................30 2.7.2 Többváltozós függvénykapcsolat esete ..................................................33 2.8 A jelleggörbe kimérése ...........................................................................36 3 Járművek mechanikai folyamatai.......................................................39 3.1 Az anyagi pont mozgásjellemzői.............................................................39 3.1.1 A helyvektor mint az idő függvénye ......................................................40 3.1.2 Az elmozdulásvektor, mint kétváltozós függvény..................................41 3.1.3 A sebességvektor, mint az idő függvénye ..............................................41 3.1.4 A gyorsulásvektor mint az idő függvénye..............................................43 3.2 Speciális síkbeli mozgások .....................................................................46 3.2.1 A körmozgás ..........................................................................................46 3.2.2 A szögsebesség, mint az idő függvénye .................................................46 3.2.3 A szöggyorsulás, mint az idő függvénye................................................47 3.2.4 Az egyenletes körmozgás .......................................................................48 3.2.5 A határozatlan integrálról .......................................................................49 3.2.6 Állandó gyorsulású haladó mozgás ........................................................50 3.2.7 Állandó szöggyorsulású forgómozgás....................................................55 3.3 Járművek mozgásciklusa – menetábra ...................................................56 3.4 Egyszerű hajtásrendszerek .....................................................................58 3.4.1 A fogaskerékhajtás .................................................................................59
3.4.2 3.4.3 3.5 3.6 3.7 3.8 3.8.1 3.8.2 3.8.3 3.8.4 4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6 4.3 4.3.1 4.3.2 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5 5.5 5.6 6 6.1 6.2 6.3 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6
A szíjhajtás.............................................................................................64 A dörzskerekes hajtás.............................................................................67 Járművek működési ciklusának erőhatásviszonyai ................................67 Járművek ideális működési ciklusának energetikai viszonyai ................69 Gépek energiahasznosítása változó veszteségek esetén .........................71 Gépek periodikus mozgásai....................................................................76 Harmonikus lengőmozgás ......................................................................77 A kulisszás hajtómű ...............................................................................83 A forgattyús hajtómű .............................................................................87 A gépek forgásának egyenlőtlensége – lendítőkerék .............................89 Járművek áramlástani folyamatai ......................................................94 A nyugvó folyadék egyensúlya................................................................94 A folyadék nyomása...............................................................................94 Nyugvó folyadék energiatartalma és munkaképességei.........................98 Nyugvó folyadék és szilárd test egyensúlya, hajók úszása és stabilitása..............................................................................................100 Folyadékáramlások ..............................................................................102 Alapfogalmak.......................................................................................102 Áramvonal, áramcső kontinuitás..........................................................105 Az ideális folyadékra vonatkozó Bernoulli egyenlet............................106 Folyadékszállítás dugattyús szivattyúval .............................................110 Valóságos folyadékok veszteséges áramlása .......................................114 A veszteséges Bernoulli egyenlet, csővezetéki áramlások...................115 Az impulzus tétel és alkalmazásai ........................................................118 Impulzustétel áramcsőre.......................................................................118 Az impulzus tétel alkalmazásai, egyszerű turbinák..............................121 Járművek hőtani folyamatai .............................................................124 Az ideális gáz állapotegyenlete ............................................................124 Hőmennyiség, fajlagos hőkapacitás .....................................................125 A hőtan első főtétele .............................................................................128 Elemi állapotváltozások .......................................................................131 Az izochor állapotváltozás ...................................................................132 Az izobár állapotváltozás .....................................................................133 Az izotermikus állapotváltozás ............................................................134 Az adiabatikus állapotváltozás .............................................................134 A politropikus állapotváltozás..............................................................135 Hőerőgép létrehozhatósága .................................................................136 Motorikus körfolyamatok .....................................................................137 Gépek együttműködése és irányítása................................................142 A gépek jelleggörbéinek alaptípusai ....................................................142 Gépek együttműködése, munkapont, stabilitás.....................................145 Vezérlés és szabályozás........................................................................147 Mintafeladatok ...................................................................................150 1. Gyakorló feladat: mérési eredmények feldolgozása.........................150 2. Gyakorló feladat: regressziós görbe illesztése mérési adatokra......153 3. Gyakorló feladat: csavarvonal menti mozgás vizsgálata .................158 4. Gyakorló feladat: hajtásrendszer vizsgálata....................................162 5. Gyakorló feladat: lendítőkerék méretezése ......................................170 6. Gyakorló feladat: több merev testből álló rendszer vizsgálata ........175
7.7
7. Gyakorló feladat: tartály oldalfalán elhelyezett tisztítónyílás fedelének vizsgálata..............................................................................................180 7.8 8. Gyakorló feladat: Síklapátozású vízikerék vizsgálata ......................184 7.9 9. Gyakorló feladat: Dízelmotorban lezajló termodinamikai folyamatok vizsgálata..............................................................................................197 Ábrajegyzék .................................................................................................................206 Táblázatjegyzék ...........................................................................................................210 Irodalomjegyzék ..........................................................................................................210
Előszó Az „Általános járműgéptan” c. tárgy heti két órás előadással és heti egy órás laborfoglalkozással szerepel a BME Közlekedésmérnöki Karán a közlekedésmérnöki BSc szak és a járműmérnöki BSc szak tantervében. A tantárgy bevezető ismereteket ad a további mérnöki tanulmányokhoz. Célja a középiskolában tanult fizikai és matematikai ismeretekre alapozva megismertetni a hallgatóságot a közlekedést megvalósító járművek egyszerű műszaki folyamataival, bevezetést adni a méréstechnika elemeibe, fejleszteni a járművek működésével kapcsolatos elemi fizikai folyamatok felismerését, és számítási feladatok megoldásával való gyakorlat kezelését. Gyakorlati célja még a tárgynak az eltérő középiskolai fizikai ismeretek egyetemi szintű homogenizálása és a matematikai tárgyalásmód – bár visszafogott – továbbfejlesztése. A jelen jegyzet azon előadásaim anyagát tartalmazza, amelyeket a BME Közlekedésmérnöki Karán az elsőéves hallgatóknak tartottam a 2006/2007 tanév őszi félévtől kezdődően. Budapest, 2010. szeptember 17. a szerző
1
0
Bevezetés
A járművek az összes gépek G sokaságának egy J részsokaságát képezik. Minden jármű gép, de nem minden gép jármű. A viszonyokat az 1. ábra síkbeli ponthalmazok J ⊂ G relációjával szemlélteti. A gép fogalmának megadása a következőképp történhet: „ A gép tervezett fizikai folyamatoknak ad keretet valamilyen közvetlen vagy közvetett emberi szükséglet kielégítésére”. Ilyen értelemben kell az előzőek szerint a gépnek bizonyuló járművek kérdéskörét is megközelíteni. Azon emberi szükséglet, amelyet a járművek kielégítenek a közlekedési szükséglet. Idézzük fel ezért, hogy mi is a közlekedés? A közlekedéstudomány meghatározása szerint a közlekedés „személyek és dolgok rendszeres ismétlődő helyváltoztatása”. Egyrészről fizikai szempontból tehát itt bizonyos tömegek nem egybeeső pontok közötti térbeli áthelyezéséről van szó. Másrészről a meghatározásban lényeges dolog a rendszeres ismétlődő jelleg szerepeltetése, ugyanis az egyedi mozgásfolyamat – legyen az járművel történő akár személy vagy árú áthelyezés – a gyakorító jelleg hiánya miatt nem minősül közlekedésnek! A fentiekből következően azt mondjuk, hogy a közlekedés tömegjelenség.
G
a gépek sokasága
J a járművek sokasága 1. ábra Gépek és járművek Ilyen meggondolások után visszatérve a közlekedés fizikai jelentéséhez világosan kirajzolódik, hogy tömegek rendszeres mozgással megvalósuló térbeli áthelyezése egy adott közlekedési pályán tömegáram értékkel jel& és mértékegysége [m& ] = kg/s vagy a nagyságlemezhető, melynek jele m rendeket célszerű mérőszám elérése érdekében figyelembe véve t/h lehet. A jármű mint gép jellemzője, hogy minden esetben rendelkezik egy, az utasokat vagy dolgokat befogadó szerkezeti egységgel, nevezzük ezt képletesen „tartálynak”, és ennek a tartálynak a közel vízszintes helyzetét, és a közlekedési pálya menti vezérelt mozgását további, a „tartály” körül el2
helyezett alkalmas gépi egységek biztosítják: a hordmű, a hajtómű és a fékmű. A fentiek alapján közelebbről behatárolható az „Általános járműgéptan” c. tárgy célja: a járművek üzeme során megvalósuló egyszerű fizikai folyamatok megismerését célul kitűző ismeretanyag elsajátíttatása. Mint az a fentiekből következik, feltételezve a hallgatóság járműtechnikai érdeklődését a tárgy alapvetően épít a középiskolából megszerzett fizikai és matematikai ismeretekre. Az „Általános járműgéptan” c. tárgy a következő fejezetekből épül fel: 1. Fizikai mennyiségek megadása, mértékrendszerek 2. Méréstechnikai alapok 3. Járművek mechanikai folyamatai 4. Járművek áramlástani folyamatai 5. Járművek hőtani folyamatai 6. Gépek együttműködése és irányítása
3
1
Fizikai mennyiségek megadása, mértékrendszerek
1.1 járműgéptanban használt fizikai mennyiségek Valamely fizikai mennyiség tulajdonságot vagy állapotot határoz meg. A tulajdonságot meghatározó mennyiségek legtöbbje anyagjellemző (pl. hőtágulási együttható, viszkozitás, stb.). Az állapotot meghatározó menynyiségek (az állapotjellemzők) kétfélék lehetnek: • extenzív jellemzők: kiterjedéssel kapcsolatosak, valamely térrész diszjunkt felbontásán additivitás érvényesül. Pl.: energia, tömeg, stb. Az extenzív mennyiségekre megmaradási törvények érvényesülnek (pl. energia-megmaradás, tömegmegmaradás, stb.). Az additivitási tulajdonság szemléltetésére a 2. ábra egy téglalap alakú tartomány egy V térfogatot jellemez. A V térfogatú tartományt elemidegen (diszjunkt) részekre bontjuk, de úgy, hogy a Vi résztérfogatok egyesítése kiadja a teljes V térfogatot. Adva tehát a V1 ,V2 ,...,Vn térfogat sorozat, amelyre
Vi I V j = ∅, ha i ≠ j n
és
UV i =1
i
= V teljesül. Legyen a V térfogatba foglalt össz-tömeg m(V),
az egyes Vi résztérfogatokba foglalt tömeg pedig mi(Vi), i=1,2,…,n, n
akkor az additivitás azt jelenti, hogy m(V) =
∑ m (V ) teljesül, azaz a i =1
i
i
teljes térfogatba foglalt tömeg a résztérfogatokba foglalt tömege öszszege. A V térfogatba foglalt m össz-tömeg helyett a V térfogatba fogn
lalt E össz-energiára hasonlóképpen az m(E) =
∑ m (E ) i =1
i
i
összefüg-
gést kapjuk.
V1
V3
V2
V4
V5 V6
...
…
…
2. ábra A vizsgált térrész felbontása 4
Vn
V
• intenzív jellemzők: hatás erősségére jellemzők, a kiterjedéstől független mennyiségek. (Pl.: hőmérséklet, nyomás, tömegsűrűség, stb.) Valamely adott V térrészben (térfogatban) jelen lévő extenzív és intenzív jellemzők között sajátos viszony áll fenn, amelyet a következő tétel fogalmaz meg. Tétel: A jelenlévő extenzív mennyiség áramlásának szükséges feltétele a vele kapcsolatban álló valamely intenzív mennyiség térbeli inhomogenitása. A tétel tehát azt állítja, hogy ha valamely térrészben áramlik egy extenzív jellemző, akkor a vele kapcsolatban lévő valamely intenzív jellemző eloszlása nem lehet egyenletes (azaz homogén) a vizsgált térrészben. A tétel érvényesülésére két egyszerű, szemléletes példát mutatunk be. Az első példa – amely egy hidrosztatikai rendszerre vonatkozik – azt szemlélteti, amikor az intenzív jellemző adott térbeli inhomogenitása nem biztosít egyben elégséges feltételt is a vele kapcsolatban lévő extenzív jellemző áramlásához.
p
p0
ρgz p0
ρ 3. ábra Inhomogén intenzív jellemző I. A 3. ábrán felrajzolt nyitott tartályban a folyadék nyugalomban van. A folyadék V térfogatú térrészt tölt ki. A hidrosztatikus nyomás – mint intenzív jellemző – eloszlása inhomogén a V térrészben, hiszen a folyadékfelszín alatti mélységgel lineárisan növekszik. Folyadékáramlás – tömegáram – mégsem alakul ki, mert a tartályban lévő folyadékrészek egyensúlyának feltételei az inhomogén nyomásviszonyok ellenére biztosítottak Tehát a vizsgált példában az intenzív jellemző inhomogenitása nem vezetett a extenzív jellemző áramlásához!
5
T3
T2
T1
4. ábra Inhomogén intenzív jellemző II. A második példa – amely egy termikus rendszerre vonatkozik – azt mutatja be, hogy egyes esetekben a térrészben jelenlévő intenzív jellemző inhomogenitása esetén beáll a vele kapcsolatban álló extenzív jellemző áramlása, tehát esetenként az intenzív jellemző inhomogenitása elégséges feltételt ad a vele kapcsolatban lévő extenzív jellemző áramlásához. A 4. ábrán felrajzoltunk egy téglalap alakú szilárd testet, melynek kezdeti hőmérséklet eloszlását a környezeti hőmérséklet értékével azonos homogén (a térrészben egyenletes) eloszlásúnak tekinthetjük. Egy meghatározott időpontban kezdjük el hegesztőpisztoly lángjával melegíteni a test jobb alsó sarkát. A lánggal bevitt hőenergia a testben vezetéssel terjed tova, és eközben megvalósul a test felmelegedési folyamata (belső energia növekedés), mely folyamat előbb időfüggő, majd állandósult hőmérséklet eloszláshoz vezet a test belsejében. Az állandósult – de nem egyenletes (nem homogén) – hőmérséklet eloszlás akkor áll be a test belsejében, amikor a test felszínén a konvekcióval ugyanannyi hő áramlik ki a környező légtérbe, mint amennyit a láng bevezet a testbe. A példában az áramlásba jövő extenzív jellemző a hőenergia, amely az inhomogén hőmérsékletmező mint intenzív jellemző eloszlás hatására jön áramlásba. Hőmérsékletkülönbség ugyanis vezetésképes szilárd testben szükségszerűen hőenergia áramlást okoz, amely a hőmérséklet kiegyenlítődés irányába indul meg, mindig a melegebb helytől a hidegebb hely felé. A 4. ábrán feltüntettük az állandósult hőáramlás esetén jelentkező állandó hőmérsékletű (izoterm) vonalakat, és ezekre merőlegesen feltüntettük az adott helyen érvényesülő hőáram vektorokat is. Összefoglalva: a most vizsgált termikus rendszerben az intenzív jellemző (a hőmérséklet eloszlás) inhomogenitása maga után vonta a vele kapcsolatban álló extenzív jellemző (a hőenergia) áramlását. Most tehát az intenzív jellemző inhomogenitása nem csupán szükségesnek, de egyidejűleg elégségesnek is bizonyult a vele kapcsolatban lévő extenzív jellemző áramlásához. 6
1.2 A fizikai mennyiség dimenziója, mértékegysége és mérőszáma A fizikai mennyiségek jellemzésének egyik fontos módját adja a mennyiségek dimenziójának értelmezése. Definíció: Valamely fizikai mennyiség dimenzióján annak mérőszámtól és mértékegységtől független tartalmát – a minőségének azonosítását – megadó információt értjük. A dimenzió mennyiségileg határozatlan. Az x-szel jelölt fizikai mennyiség dimenziójának jele: Dim(x). A fizikai mennyiségek közül ésszerűen kiválasztott alapmennyiségekre származtatott mennyiségek rendszere építhető. Az alapmennyiségekhez alapdimenziókat, a származtatott mennyiségekhez pedig az alapdimenziók függvényeként kiadódó származtatott dimenziókat lehet rendelni. Tekintsük a következő tárgyalásunk szempontjából alapvető három hagyományos alapmennyiséget, a távolságot, a tömeget és az időt. A jelöléseket a következők szerint vesszük fel: 1. távolság, jele: s , dimenziója: Dim(s) = L, 2. tömeg,
jele: m , dimenziója: Dim(m) = M,
3. idő,
jele: t , dimenziója: Dim(t) = T.
Tekintsünk ezek után példákat az alapmennyiségekből képzett származtatott mennyiségek és azok származtatott dimenzióinak képzésére. Előre bocsátjuk, hogy ha egy fizikai mennyiség betűjele elé a ∆ jelet írjuk, az azt jelenti, hogy a szóban forgó mennyiség kis növekményét tekintjük. Pl. ∆s egy kis távolságnövekményt, ∆t pedig egy kis időnövekményt jelent.
∆s , dimenziója: ∆t Dim(∆s ) L Dim(v) = = = L T -1 , Dim(∆t ) T
1. sebesség, értelmezése: v =
∆v , dimenziója: ∆t Dim(∆v) L T -1 Dim(a) = = = L T -2 , Dim(∆t ) T
2. gyorsulás, értelmezése: a =
7
3. erő, értelmezése: F = m a, dimenziója: Dim(F) = Dim(m) Dim(a) = M L T -2
4. nyomás, értelmezése: p =
∆F , dimenziója: ∆A
Dim(∆F ) M L T -2 Dim(p) = = = M L-1 T -2 . 2 Dim(∆A) L
Rögzítsük azt az eredményt, hogy a vizsgált példák esetében a származtatott dimenziók mindenkor az alapdimenziók hatványszorzataként voltak felírhatók. Általános esetben is ugyanez a helyzet, valamely x fizikai mennyiség dimenziója mindig felírható az alapdimenziók hatványszorzataként a következő alakban: Dim(x) = L i M j T k , ahol i, j, k kitevők egész számok. A tárgyalásunknak ezen a pontján fontos hangsúlyozni, hogy valamely fizikai mennyiség dimenziója nem egyenlő a tekintett mennyiség mértékegységével. Az x fizikai mennyiség dimenziója ugyanis a megadott definíció szerint mennyiségileg határozatlan minőség azonosító szimbólum (amelyre szimbolikus algebrai műveletek vannak értelmezve). Az x fizikai mennyiség mértékegysége ezzel szemben a tekintett fizikai mennyiség megállapodásszerűen egységnyinek tekintett részét határozza meg. Az x mértékegységébe foglalt mennyiséget [x] jelöli. Ezzel a mértékegység fogalommal lehetővé válik a fizikai mennyiségek numerikus értékekkel történő jellemzése. Egy x mennyiség numerikus jellemzése úgy történik, hogy megadjuk azt az {x} valós számértéket – az x mennyiség mérőszámát –, amellyel meg kell szorozni a mértékegységbe foglalt mennyiséget, hogy a tekintett x-ben jelen lévő mennyiséget kapjuk. Képletben: x = {x} [x] = mérőszám × mértékegység . A mérőszámnak tehát csak a tekintett adott mértékegység megválasztásra nézve van értelme. Természetszerűen adott fizikai mennyiség esetén a mértékegység elvileg sokféleképp megválasztható. Legyen adva pl. [x]1 és [x]2 az x mennyiség két különbözőnek választott mértékegysége. Ezek fi8
gyelembe vételével az x mennyiség a következő alakban írható fel: x = {x}1 [x]1 = {x}2 [x]2 . A most felírt összefüggés adja meg az alapját a x fizikai vizsgált mennyiség különböző mértékegységekhez tartozó mérőszámai átszámításának. Amennyiben a két különböző mértékegységbe foglalt mennyiség arányát ismerjük, és adott az [x]1 -hez tartozó {x}1 mérőszám is ismert, akkor az [x]2 -höz tartozó keresett {x}2 mérőszámot a nyilvánvaló {x}2 = {x}1 [ x]1 = {x}1 k [ x ]2 kifejezés szolgáltatja. A bevezetett k szorzó neve: átszámítási szorzó, és a két különböző mértékegységbe foglalt mennyiség arányszámaként van értelmezve. Az elmondottakat egy, az erő mérőszámának meghatározásával kapcsolatos példával szemléltetjük. A régebben általánosan használt „műszaki mértékrendszerben” az erő mértékegység az 1 kp erő volt. Az 1 kp erőegység meghatározását az adta, hogy ekkora erő egy 1 kg tömegű testet 9.80665 m/s2 gyorsulással mozgat. Az erő mértékegysége a jelenleg szabványos mértékrendszerben az 1 N. Az 1 N erőegység meghatározását – mint ismeretes – az adja, hogy az 1 N nagyságú erő 1 kg tömegű testet 1 m/s2 gyorsulással mozgat. Ha tehát [F]1= kp és [F]2 = N , akkor feltehető a kérdés, hogy 10 kp erő hány N? Az eddigi jelöléseink szerint tehát ismert az erő kp-ban mért mérőszáma: {F}1 = 10 és keresett az {F}2 számértéke. Tekintetbe véve, hogy most a korábban bevezetett átszámítási szorzó értékére a k = [F]1/[F]2 = 9,80665/1 = 9,80665 szám adódik, a keresett {F}2 számérték felírható: {F}2 = {F}1 k = 10 . 9,80665 = 98,0665 . Tehát 10 kp az 98, 0665 N. A mértékegység és a mérőszám kérdéskörét még egy analógia bemutatásával szemléltetjük. Ismeretes, hogy a fizikában vektormennyiségeket és skalármennyiségeket különböztetünk meg. A vektormennyiségek megadásához nagyságuk, irányuk és értelmük megadása szükséges. A skalár mennyiségeket mérőszámuk (skálán leolvasható előjeles nagyságuk) egyértelműen jellemzi. A szokásos 3-dimenziós geometriai tér vektorait irányított egyenesdarabokként foghatjuk fel. Ebben az esetben a vektor 9
nagysága az irányított egyenesdarab (nem negatív) hossza, abszolút értéke jellemzi. A vektor iránya azon tartóegyenessel van megadva, amelyre az irányított egyenesdarab illeszkedik. A vektor értelme azzal van megadva, hogy az irányított egyenesdarab nyílhegye az irány-egyenesen merre mutat. Attól függően, hogy a hosszegységet miképp választjuk meg, beszélhetünk különböző egységvektorokról. A legegyszerűbb esetet tekintve vizsgáljuk az 5. ábra szerinti vízszintes egyenesre illeszkedő x vektort. Az ábrán feltüntettünk két különbözőnek választott ugyancsak vízszintes egységvektort, az e1 és e2 vektorokat. A bevezetett két egységvektor változat mindegyike vektorjelleg hordozó, és ezekre támaszkodva alkalmas előjeles x1 és x2 skalár szorzószámok segítségével kétfélképp is előállítható a tekintett x vektor: x = x1 e1, x = x2 e2 . x
0
x
e1 e2
x = x1 ⋅ e1 x = x2 ⋅ e 2
5. ábra Vektormennyiség Mivel azonban a két előállítás ugyanazon vektort adja, a két kifejezés jobb oldalai egymás között is egyenlők kell, hogy legyenek, azaz x1 e1 = x2 e2 . A kapott egyenlőség alkalmas arra, hogy ismerve az egységvektorok hosszainak arányát az előjeles skalár szorzószámok (az adott egységvektorra vonatkozó koordináták) összefüggését is megadhassuk. Ha pl. x1-et ismerjük, akkor x2 kifejezhető a következő alakban: x2 = x1
e1 = x1 k . e2
A kapott kifejezés tökéletes analógiát mutat a fizikai mennyiségek különböző mértékegységhez tartozó mérőszámai összefüggésének levezetésekor kapott képlettel. A szereplő k = e1 / e2 hányados itt is átszámítási szorzóként értelmezhető. Ezek szerint az egységvektorok, mint vektorjelleg hordozó objektumok analógiában állnak a mértékegységekkel, amely utóbbiak szintén a vizsgált fizikai mennyiség jellegét hordozzák. A vektorok különböző egységvektorokra vonatkozó skalárkoordinátái pedig tö10
kéletes analógiában vannak a vizsgált fizikai mennyiség különböző mértékegység választáshoz tartozó mérőszámaival. Az eddigiekben a mértékegység és a mérőszám összefüggését általános vonatkozások előtérbe helyezésével tárgyaltuk, és megismertük a fizikai mennyiség különböző mértékegység választások esetén adódó mérőszámai közötti átszámítás képletét. A következőkben a mértékegységek kérdéskörét abban az összefüggésben vizsgáljuk, hogy a már tárgyalt alapmennyiségekhez alapmértékegységeket rendelve, a származtatott mennyiségek mértékegységeit visszavezetjük az alapmértékegységektől függő kifejezésekre. Nézzük tehát rendre a már korábban is tekintett alapmennyiségeket és adjuk meg a hozzájuk tartozó alapmértékegységeket: 1. távolság, jele: s , [s] = m, 2. tömeg,
jele: m , [m] = kg,
3. idő,
jele: t , [t] = s.
A példánkban korábban is vizsgált származtatott mennyiségek mértékegységei mármost a következők lesznek:
1. sebesség, v =
[∆s ] m ∆s , [v] = = = m s -1 , [∆t ] s ∆t
2. gyorsulás, a =
[∆v] m /s m ∆v , [a] = = = 2 = m s -2 , [∆t ] s s ∆t
3. erő, F = m a, [F] = kg m/s2 = kg m s -2 = N,
∆F [∆F ] kg m s -2 4. nyomás, p = , [p] = = = kg m-1 s -2 = Pa. 2 ∆A [∆A] m A bemutatott származtatási példák meggyőzően mutatják, hogy a származtatott mennyiségek dimenzióinál tárgyaltakhoz hasonlóan a származtatott mennyiségek mértékegységei is kifejezhetők az alapmértékegységek hatványszorzataiként. Figyeljünk fel arra, hogy a hatványszorzatos kifejezéseket az erő és a nyomás esetében egyszerűbb, egy betűs jelöléssel ellátva bevezettük a jól ismert N mértékegységet, amelybe foglalt erő az 1 kg tömeget 1 m/s2 gyorsulással mozgatja, és a Pa mértékegységet, amelybe foglalt nyomást az 1 m2-re ható 1N nyomóerő okozza. 11
1.3 Prefixumok A fizikai mennyiségekkel való gyakorlati munka esetében célszerű olyan mértékegységeket választani, amelyek egyrészről jól meghatározott és szabványos kapcsolatban vannak a választott kiindulási mértékegységekkel vagy egyenesen az alapmértékegységekkel, és biztosítják annak lehetőségét, hogy alkalmazásuk mellett szemlélettel átfogható (nem csillagászati nagyságú, vagy elképzelhetetlenül kicsi) nagyságú mérőszámok lépjenek be. A fenti követelményt teljesíti a mértékegységhez kapcsolt prefixumokkal képzett mértékegység-választék bevezetése a mértékegységeket növelő és csökkentő új mértékegységek alkalmazásával. Az új mértékegységeket a mértékegységbe foglalt mennyiségnek tíz bizonyos hatványai szerinti szorzóval változtatott értékei eredményezik. A prefixumok szabványos betűjelölését mindig – mint azt neve is mutatja – a mértékegység elé írjuk. Egyes prefixumok a mértékegységbe foglalt mennyiséget növelik. Ezek a következők: Exa 1018 jele: E 15 jele: P Peta 10 12 Tera 10 jele: T 9 jele: G Giga 10 6 jele: M Mega 10 3 kilo 10 jele: k ---------------------------------jele: h hekto 102 1 deka 10 jele: da A prefixumok másik csoportjának elemei a mértékegységbe foglalt menynyiséget csökkentik. Ezek a következők: atto 10-18 jele: a -15 jele: f femto 10 -12 piko 10 jele: p -9 nano 10 jele: n -6 jele: µ mikro 10 -3 jele: m milli 10 ---------------------------------jele: c centi 10-2 -1 deci 10 jele: d A prefixumok mindkét megadott táblázatában szaggatott vonal választja el a tíz harmadik illetve mínusz harmadik hatványával változó prefixu12
mokat, a tíz- és százszoros illetve egy tized- és egy századszoros mértékegység értékeket indikáló prefixumoktól. Az utóbbi prefixumok csak a szokásos összetételekben alkalmazhatók, (pl. cm, hl, dg, stb.). A daN mértékegység alkalmazását a Magyar Mérésügyi Törvény egyenesen megtiltja. A tíz harmadik illetve mínusz harmadik hatványával változó prefixumok viszont korlátozás nélkül használhatók. Felhívjuk azonban a figyelmet a prefixumok alkalmazásával kapcsolatban egy fontos korlátozásra: kettős prefixum nem használható!
1.4 Mértékrendszerek A fizikai mennyiségek átfogó kezelését mértékrendszer alkalmazása keretében lehet megvalósítani. Előző tárgyalásunkban bemutattuk, hogy az alapmennyiségekből hogyan lehet származtatott mennyiségeket képezni. Az alapmennyiségekhez tartozó alapmértékegységek megválasztása után a származtatott mennyiségek mértékegységeinek – a származtatott mértékegységeknek – az alapmértékegységre történő visszavezetését is megmutattuk. A jelzett származtatási eljárással a mértékegységeknek az öszszes szóba jöhető fizikai mennyiségre kiterjedő összefüggő rendszerét kapjuk, amelyet mértékrendszernek nevezünk. A fizika és a műszaki tudomány fejlődése során több mértékrendszer is kidolgozásra és alkalmazásra került. A különböző metrikus alapú mértékrendszereken kívül az angolszász mértékrendszer elterjedtsége volt jelentős a XX.-században. Nem célja a jelen tárgynak a különböző mértékrendszerek ismertetése. A következőkben a koherens (összehangolt) mértékrendszer definícióját adjuk meg annak fontossága miatt.
Definíció: Egy mértékrendszert akkor nevezünk koherensnek, ha a származtatott mennyiségek mértékegységei előállíthatók az alapmértékegységek konstans együtthatók nélküli hatványszorzataiként. A Magyarországon törvénnyel bevezetett SI (System International) mértékrendszer koherens. Alapmennyiségei és alapmértékegységei:
• • • •
hosszúság szög tömeg idő
m rad kg s
13
Néhány fontos származtatott mennyiség:
• • • • • • • • •
2
sebesség szögsebesség gyorsulás szöggyorsulás erő nyomaték nyomás munka teljesítmény
m/s rad/s m/s2 rad/s2 N Nm Pa =N/m2 J=N m W=J/s
→ → → → → → → → →
m s-1 rad s-1 m s-2 rad s-2 kg m s-2 kg m2 s-2 kg m-1 s-2 kg m2 s-2 kg m2 s-3
Méréstechnikai alapok
2.1 Bevezető megjegyzések A mérnöki munkának igen fontos része a mérésekkel történő információszerzés a műszaki objektumok – esetünkben a járművek – sajátosságainak széles spektrumáról. A mérések célját tekintve két lényegi osztály különíthető el: 1. Adatgyűjtés; 2. Ellenőrzés. Az adatgyűjtés a műszaki objektum működését meghatározó adatok méréses felvételét jelenti, mintegy ténymegállapító numerikus adatsokaság generálását valósítja meg. Az ellenőrzés funkciója a tudatosan létrehozott, tervezett műszaki objektumok és az azokban végbemenő tervezett folyamatok megvalósítása (gyártás, kivitelezés) közben és a megvalósult üzem során ténylegesen kialakult jellemzőinek felvételével, a tervezett értékekkel való megegyezés mértékét hivatott értékelni. A méréssel vizsgált műszaki fizikai jelenségek köre két lényegi osztályba sorolható: 1. Determinisztikus jelenségek; 2. Sztochasztikus jelenségek
Determinisztikus jelenségek esetén a tekintetbe vett körülmények a jelenség kimenetelét elvileg egyértelműen meghatározzák. Sztochasztikus jelenségek esetében a tekintetbe vett körülmények rendszere nem határozza meg egyértelműen a jelenség kimenetelét, több különböző valószínűség14
gel bekövetkező kimenetel lehetséges. A sztochasztikus jelenség kimenetele véletlen esemény, melynek elemzéséhez valószínűségszámítási fogalmak és statisztikai eljárások szükségesek. Tárgyalásunk során ki fog derülni, hogy a determinisztikus jelenségek méréses vizsgálatában a mindenkor felmerülő véletlen hibák miatt végül is a sztochasztikus jelenség kategóriájára találunk. Végül is érvényesül a mérnököt tudatos óvatosságra intő sajátos elv: „minden csupán valószínű, semmi sem teljesen bizonyos”.
2.2 A mérőrendszer felépítése A mérési tevékenység megvalósításához célszerűen összeállított mérőrendszer szükséges. A vizsgálandó fizikai mennyiséget a mérőrendszer bemenetére kapcsolva a kimeneten megjelenik a mérési eredmény. A mérőrendszer legfontosabb része a mérőátalakító, amely a bevezetett fizikai mennyiség hatására kiadja a mérési jelet. Bár sok esetben az átalakítás egyszerű geometriai vagy mechanikai transzformációt jelent, mégis a kimenő mérési jel legtöbbször villamos mennyiség (feszültség, áramerősség, stb.) formájában jelenik meg. Maga az átalakítás tehát legtöbbször azt jelenti, hogy a bemenetre kapcsolt, nem szükségképp villamos menynyiséget a bemeneti jellemzővel lehetőleg arányosan változó villamos jellé alakítsuk.
vizsgált mennyiség → mérőátalakító
→ mérési eredmény
↑ környezeti zavarás
"zaj" 6. ábra Mérőrendszer vázlata A 6. ábrán vázolt módon a mérőátalakító tehát az a mérőrendszer elem, amely a mérendő mennyiséggel közvetlenül kapcsolatba kerül, és amelynek bemenő jele (gerjesztése) a mérendő mennyiség, kimenő jele a mérési eredmény pedig a mérendő mennyiséggel ismert – kívánatos módon lineáris – függvénykapcsolatban álló (leggyakrabban villamos) mennyiség. Ha a mérőrendszer ideálisan pontos jelátalakítást végezne és a mérési eredmény információtorzulás nélkül kerülne leolvasásra, még akkor is számolni kell a mérési funkció megvalósulása közben a mérőrendszert érő külső zavaróhatásokkal (szaknyelven: „zajjal” ), és ezért a mérési eredmény még akkor is bizonyos hibával terhelt lesz, még a fentebb említett két ideális feltétel fennállása esetén is. 15
A gyakorlati mérőrendszerek azonban nem ideálisan pontosak, és a mérési eredmények leolvasása során is keletkeznek bizonyos hibák. Így mérési a hibák három fő forrását az alábbiak adják:
• a mérőrendszer tökéletlensége, • leolvasási pontatlanság, • környezeti zavarás. A mérőrendszer tökéletlenségével kapcsolatosan utalunk arra, hogy számos műszer esetében számítani kell a csapágyak vagy más vezetőelemek súrlódás okozta határozatlan beállására, az egyes szerkezeti elemek mérettűréseivel behatárolt geometriai hibákra, a beépített villamos alrendszerek nemlinearitásaival, stb.
7. ábra Leolvasási hiba A leolvasási pontatlanság szemléletes magyarázatát adja a 7. ábrán vázolt elrendezés, aholis a függőlegesen mozgó mutató helyzetének a mellette lehelyezkedő skála jelzővonalaitól való távolságot kellene leolvasni. Ha a leolvasó személy nem merőlegesen, hanem ezen merőlegestől β szöggel eltérő ferde irányból néz a skálára, akkor a helyes értéktől δ távolsággal eltérő skálapontot azonosítana. Ha a mutatónak a sálától vett vízszintes távolsága h, és leolvasó szem skálától vett ugyancsak vízszintes távolsága H, továbbá a leolvasó szem a merőleges rátekintés helyétől függőlegesen Y távolságban végzi a leolvasást, akkor a δ leolvasási hiba és az Y elhelyezkedési hiba között egyszerű függvénykapcsolat adódik a tg β = Y/(Hh) = δ /h összefüggés alapján:
δ =
h Y . H −h
Mivel a leolvasó személy helyzetét megadó Y távolság a szándékolt merőleges rátekintéshez tartozó Y = 0 érték körül leolvasásról leolvasásra véletlenszerűen oszlik el, ezért a származtatott δ hiba is véletlen hiba lesz. 16
A környezeti zavarás vonatkozásában a mérőrendszer mechanikai és villamos elemeinek működésviszonyait befolyásolja a mindig változó környezeti hőmérséklet és páratartalom, valamint a műszereket alátámasztó rendszer pillanatnyi rezgésállapota. A mondott változások nagyrészt véletlenszerű zavaróhatásként azonosíthatók, és hozzájárulnak a mérési eredményt terhelő bizonytalan nagyságú véletlen hibákhoz.
2.3 A mérési hibák két fő csoportja A fentiekben áttekintettük a mérési hibák létrejöttének három fő forrását. Most más szempontból vizsgálva a kérdést, mérési hibákat a rendszeres (szisztematikus) hibák és a véletlen hibák osztályának megkülönböztetésével két lényegi osztályba soroljuk. 2.3.1 A rendszeres hibák A rendszeres hibák a mérőrendszer tökéletlenségével kapcsolatosak és a mérés megismétlésekor a mérési eredményt szisztematikusan, minden esetben ugyanúgy torzítják. A rendszeres hibát elvileg korrigálni lehet kalibrálási diagram alkalmazásával, amely diagram úgy készül, hogy ugyanazon mennyiséget egy szisztematikus hibával terhelt mérőrendszerrel és egy nagyon pontos (igen kis szisztematikus hibájú) mérőrendszerrel egyidejűleg mérjük és a két mérőrendszer által mutatott kimenő értékeket egy diagram két tengelyére feltéve kalibrálási görbét határozunk meg. A 8. ábrán felrajzolt diagram koordináta rendszerének vízszintes tengelyére kalibrálandó (gyengébb minőségű, nagy szisztematikus hibájú) műszer által kiadott x1 mérési eredményt tesszük fel. A koordinátarendszer függőleges tengelyére pedig a pontosabb, kalibráló műszerrel nyert x2 mérési eredményt tesszük fel. Elegendően sok különböző bemenő érték mellet mérve, a két összetartozó koordinátaérték felrajzolt pontsorozata alapján megrajzolható a g kalibrálási görbe, amelyik lényegét tekintve a két műszer szolgáltatta mérési eredmények összefüggését megragadó az x2 = g(x1) függvénykapcsolat megjelenítője. A diagram konstrukciója alapján nyilvánvaló, hogy abban az esetben, amikor a két műszer azonos kialakítású – pl. mind a kettő igen pontos – akkor a kiadódó x2 = g(x1) függvény képe a 45°–os egyenes lesz. A ténylegesen vizsgált műszerek esetében adódó kalibrálási görbék is a 45°–os egyenes környezetében szigorúan monoton növekedést és folytonos lefutást mutatnak, ami biztosítja a gyakorlati kalibrálási függvény inverzének létezését. Mármost a pontatlan műszer skálázását a kalibráló műszeren mért y2i skálaponti értékeinek a kalibrálási függvény g-1 inverz függvényének alkalmazásával y1i = g-1(y2i) alakban tudjuk meghatározni, ahol tehát y2i befutja pontos ka17
libráló műszer skálaosztásait. x2 pontos kalibráló műszerrel mért eredmény
x2=g(x1) hitelesítő vagy kalibráló görbe
45°
a skála már a pontos értékeket mutatja
x1 gyengébb, kalibrálandó műszerrel mért
8. ábra Kalibrálási görbe A vázolt eljárás lényege abban foglalható össze, hogy a pontos műszer sajátosságait mintegy „átvetíthetjük” a gyengébb műszerre, és így mindig meg lehet mondani, hogy a tökéletlen műszerrel (a szisztematikus hibával dolgozó műszerrel) mért érték nagyon jó közelítéssel milyen tényleges értéknek felel meg. 2.3.2 A véletlen hibák A véletlen hibák oka a bizonytalansággal jelentkező környezeti zavarásban és leolvasási pontatlanságban van. A véletlen hibák jelenléte az egyedi mérési eredmények megbízhatatlanságát okozza. A véletlen hibák mindenkori jelenléte miatt érvényes a mérnökök között közismert mondás: „egy mérés nem mérés !”. A véletlen hiba nem küszöbölhető ki, azonban azonos körülmények között megismételt mérések eredményének kiértékelésével a véletlen hibát statisztikailag jellemezni lehet. Tekintettel arra, hogy a méréssel kapcsolatos rendszeres (szisztematikus) hibákról feltételezhetjük, hogy azokat a kalibrálással elhanyagolhatóan kicsire csökkentettük, a további tárgyalásunkban csak a véletlen hibákkal terhelt mérési eredmények jellemzésére, azaz a véletlen hibák kezelésére szorítkozunk. A matematikai jellemezhetőség érdekében a véletlen hibával terelt bizonytalan alakulást mutató mérési eredményt valószínűségi változónak 18
tekintjük. Az alábbiakban megadjuk a valószínűségi változó definícióját.
Definició: az olyan x-eket, amelyek nagyságát előre megadni nem lehet, de amelyek megadott [a,b] intervallumba esésük valószínűségét függetlenül megismételt kimenetelek szolgáltatta adatsorozat alapján statisztikailag becsülni lehet, valószínűségi változóknak nevezzük. A megismételt mérések szolgáltatta adatsorozatban lévő információ ad alapot a véletlen hibák alakulásával kapcsolatos bizonytalanság elhárítására. pontos érték
xp 0
x1
xn
9. ábra Szóródó mérési eredmények Legyen az azonos körülmények között egymástól függetlenül n-szer megismételt mérés véletlen hibával terhelt eredmény sorozata az x1, x2,…, xn számsorozat. Azt mondjuk, hogy ez az adatsorozat az x mérési eredmény valószínűségi változóra vonatkozó n-elemű realizációs sorozat. A kiadódó realizációs sorozat véletlen hibával terhelt elemei a vizsgált fizikai mennyiség ismeretlen és általunk meghatározni kívánt xP pontos értéke körül jobbra és balra körülbelül egyenlő arányban fognak szóródni. A 9. ábrán a felvett félegyenesre kis függőleges vonalakkal bejelöltük a szóban forgó szóródó mérési eredmények értékeit. Rátekintve az ábrán látható függőleges vonalakra, érzékelhető a vonalak sűrűsödési helyénél az x valószínűségi változó ingadozási középpontja, amelyhez tartozó véletlentől már nem függő konstans értéket az x valószínűségi változó várható értékének nevezzük és M(x)-szel jelöljük. Ezen megállapítás után a méréssel vizsgált mennyiség ismeretlen xP pontos értékét megalapozottan azonosíthatjuk az x mérési eredmény valószínűségi változó M(x) várható értékével, azaz érvényesnek vehetjük az
xP = M(x) egyenlőséget. A további vizsgálatok egzakt keretekben történő folyatatása most már azt a kérdést veti fel, hogy miképpen lehet az x1, x2,…, xn realizációs sorozatból (az x valószínűségi változóra vett n-elemű mintából) matematikailag megalapozott becslést adni az M(x) várható értékre nézve, és ezzel együtt az M(x)-szel egyenlő, számunkra lényeges és meghatározni kívánt xP pontos értékre. 19
Jelen tárgyalásunkban nem bocsátkozunk a matematikai statisztikai becslések elméleti taglalásába, azonban megadjuk az M(x) várható érték közelítő meghatározására a mért n-elemű x1, x2,…, xn realizáció sorozat elemeinek számtani középértékével definiált becslést:
1 n x1 + x2 + ... + xn M(x) ≈ x n = = ∑ xi . n n i =1 Az így bevezetett x n maga is egy valószínűségi változó realizációs értékeként tekintendő, hiszen a véletlen ingadozásnak alávetett realizációs értékek függvényeként (számtani átlagaként) van értelmezve. Ennek fényében rögzítsük azt a tényt, hogy egy adott n-elemű minta esetén kiszámolt ( x n )1 számtani középértékkel egy másik - ugyancsak x-re nézve az előző méréssorozattól függetlenül vett – ugyancsak n-elemű realizációs sorozatból számolt újabb ( x n )2 számtani közép érték általában nem lesz egyenlő! Így tehát a különböző n-elemű mintasorozatokból számított számtani átlagok is véletlen ingadozást mutatnak. A szokásos méréstechnikai esetekben ezen utóbbi ingadozás középpontja az eredeti x mérési eredmény M(x) várható értékkel azonosnak adódik. Azonban mint később látni fogjuk a mondott számtani átlagok M(x) körüli szóródása a jóval kisebb mint az x-re vett eredeti mintasorozat elemek ugyancsak M(x) körüli szóródása. Az x n ≈ M(x) közelítés a mérések n számának növelésekor egyre javul, mivel érvényesül a nagy számok gyenge törvénye, miszerint annak valószínűsége, hogy a minta számtani átlaga a várható értéktől abszolút értékben tetszőlegesen kicsi ε-nál nagyobb mértékben tér el n → ∞ esetén zérushoz tart. A mérési eredményeknek a várható érték körüli elhelyezkedésének jellemzésére – a szóródás jellemzésére – elvileg öt különböző mennyiség jöhet szóba.
1. A terjedelem (rendzs) Az n számú x1, x2,…, xn mérési eredmény az x valószínűségi változó n elemű realizációs sorozata. Kiválasztva a mérési sorozat legkisebb és legnagyobb elemét értelmezhetjük a minta terjedelmét az
r = max{xi }− min{xi } számértékkel. 20
2. Az átlagtól vett előjeles eltérések számtani közepe Mivel a mintaelemek átlagtól vett eltérései előjeles mennyiségek, könynyen kimutatható hogy ez a dn –nel jelölt középérték mindig zérust ad, és ezért ez nem alkalmas a szóródás jellemzésére. A számtani közép definíciója szerint ugyanis:
dn =
1 n 1 n 1 ( x − x ) = xi − n x n = x n − x n = 0 . n ∑ ∑ i n i =1 n i =1 n
3. Átlagos abszolút eltérés A mintaelemek átlagtól vett eltéréseinek előjeles voltából fakadó fenti nehézséget azáltal lehet pl. kiküszöbölni, hogy az eltérések abszolút értékét vesszük. Az így adódó mindig δn nemnegatív szóródási jellemző alakja :
1 n δ n = ∑ xi − x n ≥ 0 . n i =1 4. Az átlagos négyzetes eltérés – a tapasztalati szórás A mintaelemek átlagtól vett eltéréseinek előjeles értékeiből négyzetre emeléssel is kaphatunk nemnegatív értékeket. A négyzetre emelést megvalósító függvény folytonos differenciálhatósága miatt több szempontból előnyösebb tulajdonságokat biztosít, ezért a következő módon járhatunk el. Először képezzük a mintaelemek átlagtól vett eltérései négyzeteinek számtani átlagát. Ez a mennyiség az n számú mérési eredmény tapasztalati (idegen szóval empirikus) szórásnégyzete, amely szintén mindig nemnegatív: 1 n σ n2 = ∑ (xi − x n )2 ≥ 0 . n i =1
A most meghatározott empirikus szórásnégyzetből négyzetgyököt vonva kapjuk az n számú mérési eredmény tapasztalati szórását, amelyet méltán nevezhetünk a mérési eredmények számtani átlagtól vett átlagos négyzetes eltérésének:
σn =
2
1 n (xi − x n )2 . ∑ n i =1
Természetszerű, hogy a szereplő négyzetgyök pozitív értékét kell tekintenünk. 21
Tárgyalásunk ezen pontján kell rámutatni arra nyilvánvaló összefüggésre, hogy maga az x valószínűségi változóként tekintett mérési eredményt és ennek az M(x) várható értékét elvileg is vizsgálhatjuk, és képezhetjük az x-M(x) kifejezést. Ebben a különbségben az x egy valószínűségi változó, míg M(x) ennek konstans (véletlentől már nem függő, „kiközepelt”) várható értéke, azonban az x-M(x) különbség nyilvánvalóan örökli első tagjának, az x-nek a véletlentől való függését, és ezért maga is valószínűségi változóként azonosítható. Az így kapott x-M(x) valószínűségi változót négyzetre emelve a kiadódó mennyiség egy újabb, most már nemnegatív valószínűségi változót ad. Ezen utóbbi nemnegatív valószínűségi változó várható értéke definálja az eredeti x valószínűségi változó mindig nemnegatív elméleti szórásnégyzetét (varianciáját) a következő kifejezés szerint: def
D ( x) = M[ x − M( x)]2 ≥ 0 . 2
Figyelembe véve az elméleti szórásnégyzet jelentését, azonnal adódik, hogy ez az x valószínűségi változó saját várható értékétől vett eltérése négyzetének várható értéke, és így jelentésében közel áll a σ n2 tapasztalati szórásnégyzethez, és az utóbbinak mintegy az elméleti értékét definiálja. Gyakorlatban tehát azt várnánk, hogy az n-elemű mintából számított σ n2 tapasztalati szórásnégyzet közel lesz az elméleti szórásnégyzethez. Mivel a tapasztalati szórásnégyzet a véletlen mintaelemektől függ, így maga is valószínűségi változó, felmerül az a kérdés, hogy a kiadódó σ n2 valószínűségi változó ingadozási középpontja, azaz a várható értéke megegyezik-e a D 2 ( x) elméleti szórásnégyzettel? A válasz sajnos nemleges, azaz mint az itt nem tárgyalt módon kimutatható, az:
M(σ n2 ) ≠ D 2 ( x) összefüggés érvényes. Ezt a matematikai statisztikában úgy fogalmazzuk, hogy σ n2 nem torzítatlan becslése a D 2 ( x) elméleti szórásnégyzetnek, és ez a torzítottság főként kis n megfigyelési számnál, kevés mérési eredmény esetén lényeges. Ezen torzítás azonban könnyen kiküszöbölhető a következőkben bevezetésre kerülő korrekcióval.
5. A korrigált tapasztalati szórás Először a korrigált tapasztalati szórásnégyzet értelmezését adjuk meg, amely nagyon hasonlít a tapasztalati szórás képletéhez, azonban most a
22
nevezőben n helyett n-1 szerepel: 2
s∗n =
1 n (xi − x n )2 ≥ 0 . ∑ n − 1 i =1
Mint könnyen látható, az új korrigált tapasztalati szórásnégyzet a fentiekben definiált tapasztalati szórásnégyzettel az alábbi képlet szerint függ össze: 2 n s∗n = σ n2 . n −1 A képletre tekintve látható, hogy a tapasztalati szórásnégyzet – különösen kis n mintaszám esetén – alábecsüli a szórásnégyzet értékét, ami a tapasztalati szórásnégyzet megbízhatóságát nyilvánvalóan csökkenti. A most bevezetett korrigált tapasztalati (empirikus) szórásnégyzet már torzítatlan becslése az elméleti szórásnégyzetnek, és érvényes a 2
M( s ∗ n ) = D 2 ( x) összefüggés. Ez azt jelenti, hogy az n-elemű mintákból számított korrigált tapasztalati szórás értékek ingadozási középpontja – várható értéke – 2
megegyezik az elméleti szórásnégyzettel, tehát s ∗ n kiszámításával valóban torzítatlan becslést kapunk D 2 ( x) -re. A fent írtak alapján szabályként rögzítjük, hogy a mérnöki gyakorlatban, ha n ≤ 30, akkor mindig a korrigált empirikus szórásnégyzetet, illetve a belőle gyökvonással adódó korrigált empirikus szórást használjuk, melynek képletét az alábbiakban adjuk meg: n
sn∗ =
2
∑ (x − x ) i =1
i
n −1
n
2
.
A szóródási viszonyok tárgyalásának befejezéseképp még egy fontos öszszefüggést mutatunk meg. Mivel alapjában véve a méréssel vizsgált ismeretlen xp pontos értéket a véletlen hibával terhelt mérési eredmény M(x) várható értékével azonosítottuk, továbbá az M(x) becslésére bevezettük a mérési adatsorozatból számítható x n számtani középértékkel definiált torzítatlan becslést, vizsgálható az a kérdés is, hogy az x n számértéknek 23
mekkora a D( x n ) szórása. Bizonyítás nélkül közöljük az erre vonatkozó nevezetes eredményt: D( x) D( x n ) = . n A gyakorlati számításokhoz a középérték szórását az n-elemű mintából számított korrigált empirikus szórással helyettesítjük, azaz a
sn∗ D( x n ) ≈ n képletet alkalmazhatjuk.
2.4 A mérési adatok csoportosítása – hisztogramok 2.4.1
A gyakorisághisztogram
Tekintsük ismét az n-elemű x1, x2,…, xn mérési adatsorozatot, és vigyük fel a számértékeket a 10. ábra szerinti vízszintes valós félegyenesre. Készítsünk még egymásba nem nyúló (diszjunkt) ∆x1, ∆x2,…, ∆xm balról zárt és jobbról nyitott intervallumokból felépített m-elemű felosztást az ábra félegyenesén oly módon, hogy az intervallumok érintsék egymást, és öszszességük fedje le az összes mérési adatot. fj
m
∑f j =1
j
=n
n 2 1
0
x ∆x1, ∆x2, . . . , ∆xj, . . ., ∆xm
10. ábra A mérési tartomány felosztása és a gyakoriság hisztogram A vázolt helyzetben minden egyes ∆xi intervallumra nézve megállapítható a benne tartalmazott mintaelemek fi száma, azaz a mintaelemeknek az intervallumba esésnek gyakorisága. Táblázatosan: intervallum
∆x1
∆x2
...
∆xm
gyakoriság
f1
f2
...
fm
1. Táblázat Gyakoriság értékek az egyes intervallumokban
24
A 10. ábrán az egyes osztásintervallumok felett függő változóként felraktuk az ott érvényes gyakoriság értékeket. A jelzett eljárás a gyakoriságok eloszlását bemutató nemnegatív egészértékű lépcsős függvényhez (oszlopdiagramhoz) vezetett, melynek neve: gyakoriság hisztogram. A gyakoriságok kiértékelésekor alkalmazott eljárás nyilvánvaló következménye, m
∑f
hogy érvényes a
i =1
i
= n összefüggés, hiszen a gyakoriságok összegé-
nek ki kell adnia az összes mérési adat számát. 2.4.2
A relatív gyakoriság hisztogram
A gyakoriság hisztogramhoz a fentiekben kiértékelt gyakoriságokat az n mintaszámmal normálva jutunk a relatív gyakoriságok eloszlásához. A táblázat most a következőképp egészíthető ki:
∆x1
intervallum relatív gyakoriság
r1 =
∆x2
f1 n
r2 =
f2 n
∆xm
... ...
rm =
fm n
2. Táblázat Relativ gyakoriság értékek az egyes intervallumokban A
relatív gyakoriságok értelmezéséből adódik, hogy egyrészt 0 ≤ ri ≤ 1 minden i=1,2,…,m -re teljesül, másrészt pedig érvényes, hogy m
m
∑r = ∑ i =1
i
i =1
fi 1 m 1 = ∑ fi = n = 1 , n n i =1 n
rj 1
fj
rj =
;
n
m
j=1,2,…,m m
fj
∑r = ∑ n j =1
j
j =1
=
1 m 1 f j = n =1 ∑ n j =' n
0
x ∆x1, ∆x2, . . . , ∆xj, . . ., ∆xm
11. ábra Relatív gyakoriság hisztogram 25
azaz a relatív gyakoriságok összege egyet ad. A 11. ábrán felrajzoltuk a relatív gyakoriságok lépcsős függvényét a relatív gyakoriság hisztogramot. 2.4.3
A relatív gyakoriság sűrűséghisztogram
További fontos jellemző diagram származtatható a relatív gyakoriság hisztogramból, ha a tekintett intervallum-felosztáshoz tartozó relatív gyakoriságokat leosztjuk az intervallumok hosszával. A táblázat most így alakul:.
∆x1
intervallum relatív gyakoriság sűrűség
f s1 =
∆x2
f1 n ∆x1
fs2 =
∆xm
...
f2 n ∆x2
fsm =
...
fm n ∆xm
3. Táblázat Relatív gyakoriság sűrűség értékek A relatív gyakoriság sűrűségek értelmezéséből adódik, hogy 0 ≤ f s i minden i=1,2,…,m -re teljesül, továbbá érvényes, hogy m
∑ i =1
m
fi 1 m 1 f s i ∆xi = ∑ ∆xi = ∑ f i = n = 1 , n i =1 n i =1 n∆xi
ami igazolja, hogy a 12. ábrán felrajzolt relatív gyakoriság sűrűség hisztogram esetén a lépcsős függvény alatti terület egységnyi. sj
sj =
rj ∆x j
;
j=1,2,…,m TERj=sj·∆xj=rj m
m
∑ TER = ∑ r j =1
j
0
j =1
j
=1
x ∆x1, ∆x2, . . . , ∆xj, . . ., ∆xm
12. ábra Relatív gyakoriság sűrűség hisztogram 2.4.4
A valószínűségi sűrűségfüggvény bevezetése
A relatív gyakoriság sűrűség hisztogramból kiindulva származtathatjuk a mérési eredményt reprezentáló folytonos eloszlású valószínűségi változó 26
valószínűségi sűrűségfüggvényét. A származtatás határátmenettel történik, éspedig két mozzanat figyelembevételével. A határátmenet úgy történik, hogy egyrészt a hisztogramok készítésénél használt intervallum-felosztás elemeinek hosszát minden határon túl csökkentjük – azaz minden i-re ∆xi → 0 – és ezzel egyidejűleg a felosztás-intervallumok számát is úgy növeljük, hogy a végpontok érintkezése és a mérési adatrendszer teljes lefedése mindig teljesüljön (eközben m → ∞ is teljesül). Másrészt eközben a mérési adatok számát is minden határon túl növeljük, azaz n → ∞ is teljesül. A jelzett összetett határátmenet három mozzanatát és a határátmenet eredményeként kiadódó f(x) határfüggvényt – a valószínűségi sűrűségfüggvényt a 13. ábrán mutatjuk be. Fontos hangsúlyozni, hogy a határátmenet eredményeként kiadódó valószínűségi sűrűségfüggvény a következő három tulajdonsággal rendelkezik: fsj n1
n2=2⋅n1
fsj
∆x (j2) =
0
x
∆x (j1)
fsj
0
∆x (j3) =
x
∆x (j2 )
f
n3=4⋅n1
1 (1) ∆x j 2
b
TER = ∫ f ( x)dx = 1
1 (1) ∆x j 4
a
TER 0
∆x (j3)
x
a
b
x
13. ábra Valószínűségi sűrűségfüggvény 1. nemnegatív, azaz f ( x) ≥ 0, minden x − re ,
2. annak valószínűsége, hogy x az [a,b] intervallumba esik: b
P(a ≤ x ≤ b)= TER = ∫ f ( x)dx , b a
a
27
3. A sűrűségfüggvény alatti teljes terület egységnyi: TER = ∫ f ( x)dx = 1 . R
A mérnöki gyakorlatban a mérési hibák eloszlása az esetek túlnyomó többségében a Gauss-féle normális eloszlást követi. Másképp fogalmazva: a mérési eredményt reprezentáló x valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a Gauss-féle haranggörbe szerint változik. A Gauss-féle haranggörbének két konstans paramétere van és ezek egyben az x valószínűségi változó várható értékével és szórásával egyenlők. A két paraméter: m = M(x) és σ = D(x). A sűrűségfüggvényt a következő képlet szolgáltatja: − 1 f ( x) = e σ 2π
( x−m)2 2σ 2
A Gauss-eloszlású valószínűségi változóval kapcsolatban két, a műszaki méréstechnikában jellegzetes intervallumba esés valószínűségét adjuk meg: 1. A mérési eredménynek a várható érték körüli I1 = [m-2σ, m+2σ] intervallumba esési valószínűsége: P(I1) = P(m-2σ ≤ x ≤ m+2σ) ≈ 0,95,
2. A mérési eredménynek a várható érték körüli I2 = [m-3σ, m+3σ] intervallumba esési valószínűsége: P(I2) = P(m-3σ ≤ x ≤ m+3σ) ≈ 0,998 .
A mérési feladattal kapcsolatosan tehát a következő gyakorlatias kijelentések tehetők: a keresett xp = M(x) pontos érték körüli 2σ félhosszúságú I1 intervallumba az összes mérései eredmény kb. 95%-a fog beleesni, míg az xp = M(x) pontos érték körüli 3σ félhosszúságú I3 intervallumba a mérési eredmények. 99,8%-a , azaz gyakorlatilag az összes bele fog esni. További fontos kijelentés tehető mármost az n-elemű méréssorozat esetén kiértékelt x n számtani középre, mint az ismeretlen xp = M(x) pontos érték becslését adó számított mennyiségre. Mint azt már említettük a x n szórását általánosan a D(x)/ n képlet szolgáltatja, most a Gauss-eloszlásnál alkalmazott jelöléssel a mérési eredmények x n átlagának szórását a σ / n képlettel kapjuk. Ennek figyelembevételével az x n mérési eredmény kö28
zépértéknek az m várható érték – vagy ami ugyanaz: a keresett xp pontos érték – körüli J1=[m-2(σ / n ), m+2(σ / n )] intervallumba esésének valószínűsége: P(J1 ) = P(m-2(σ / n ) ≤ x n ≤ m+2(σ / n )) ≈ 0,95, és a J2 = [m-3(σ / n ), m+3(σ / n )] intervallumba esésének valószínűsége: P(J2) = P(m-3(σ / n ) ≤ x n ≤ m+3(σ / n )) ≈ 0,998.
2.5 A véletlen hibával terhelt mérési eredmények gyakorlati kezelése A fentiekben bemutatott összefüggéseket mármost a konkrét mérési eredmény kiértékelés során a következő lépések szerint alkalmazzuk: 0. Általános megjegyzés: törekedni kell a mérések n számának lehetőség szerinti növelésére, minimum 6…10 független mérés végzésére, 1. Az n-számú független mérés végrehajtásával az x1, x2,…, xn adatsorozat meghatározása, n
2. Kiszámítjuk x n =
n
2 1 xi és sn∗ = ∑ n i =1
∑ (x − x ) i =1
i
n −1
n
2
értékét,
3. Meghatározzuk az m ≈ x n és σ ≈ sn∗ közelítések elfogadásával a P=0,95 vagy a P = 0.998 valószínűséghez tartozó mérési eredmény lefedő közelítő intervallumot: I1 ≈ [ x n -2 sn∗ , x n +2 sn∗ ], vagy I2 ≈ [ x n -3 sn∗ ,
x n +3 sn∗ ]. 4. Meghatározzuk az m ≈ x n és σ ≈ sn∗ közelítések elfogadásával a P=0,95 vagy a P = 0.998 valószínűséghez tartozóan a mérési eredmények x n átlagára támaszkodó J1 =[ x n -2( sn∗ / n ), x n +2( sn∗ / n )], vagy J2 ≈ [ x n 3( s n∗ / n ), x n +3( sn∗ / n )] közelítő megbízhatósági intervallumokat.
2.6 Abszolút és relatív hiba A további tárgyalásunkban az x mérési eredmény abszolút hibáját – amely egyébként mindig előjeles mennyiség – az alábbi definícióval értelmezzük: 29
def
H x = x − xp . A gyakorlati munkában sokszor a H x = ∆x rövidebb jelölés is szokásos. Mindenesetre rögzítjük, hogy az abszolút hiba akkor pozitív, ha a hibával terhelt mért érték nagyobb, mint a pontos érték. Az x mérési eredmény relatív hibáját az abszolút hibának a pontos érték egységére történő vonatkoztatásával definiáljuk: def
hx =
x − xp xp
=
x −1 . xp
A gyakorlati munkában sokszor a hx = ∆x / x p rövidebb jelölés is szokásos. Itt is emeljük ki, hogy a relatív hiba is előjeles mennyiség. A fent megadott definíciók feltételezik, hogy a pontos érték ismert, azonban mint az a korábbi tárgyalásunkból ismeretes, a pontos érték nem ismert, azt a mérési eredményekből becsülnünk kell, legtöbbször a mérési 1 n adatok x n = ∑ xi számtani középértékével. Az elmondottakból követn i =1 kezik, hogy a gyakorlati alkalmazásokban mind az abszolút hibát mind a relatív hibát az egyes xi mérési eredmények vonatkozásában csak közelítőleg tudjuk számítani, éspedig az xp ≈ x n közelítés alkalmazásával. Ezért az abszolút hiba helyett látszólagos (virtuális) abszolút hibáról és relatív hiba helyett látszólagos (virtuális) relatív hibáról beszélünk a következő kifejezésekkel összhangban: def
def
H l x i = xi − x n , és hl x i =
xi − x n xi = −1 . xn xn
Az így számított látszólagos abszolút és relatív hiba nyilvánvalóan valószínűségi változóként azonosítható.
2.7 A közvetett mérés, a hibaterjedés jellemzése 2.7.1 Egyváltozós függvénykapcsolat esete A mérnöki gyakorlatban nagyon sokszor adódik olyan mérési feladat, hogy a vizsgálandó y mennyiség közvetlen mérése igen körülményes, vagy egyáltalán nem lehetséges, mérhető azonban egy másik x mennyi30
ség, amely a vizsgálandó mennyiséggel ismert y = f(x) függvénykapcsolatban van. Ez a helyzet fogalmazza meg a közvetett mérés szükségességének esetét. Mivel az említett helyzetben az yp = f(xp) összefüggés fennáll, és az x mennyiség kis mérési hibával mérhető, a vizsgálatokat nagyban egyszerűsíti az f(x) függvény xp helyi linearizálása. f, e
e y=f(x) α
tg α = lim
f (x p + ∆x ) − f (x p )
∆x e( x ) = f (x p ) + tg α ⋅ ( x − x p ) ∆x →0
f(xp+∆x)
f(xp) ∆x 0
xp xp+∆x
x
14. ábra Egyváltozós függvény linearizálása A 14. ábrán felrajzoltuk a vizsgált helyzetnek megfelelő f(x) függvényt. Az xp abszcisszájú pontnál az f(x) függvény görbéjéhez húzott e(x ) érintő egyenest is ábrázoltuk. Mivel az xp abszcisszájú pontnál az érintő egyenes tg α iránytangense az f(x) függvény differenciálhányadosának az xp hedf ( x) lyen felvett értékével azonos, felírható az xp abszcisszájú pontdx x = x p ban az érintő egyenes egyenlete: e( x) = f ( x p ) + tgα ( x − x p ) = f ( x p ) +
df ( x) dx
(x − x p ) . x= x p
Mivel a mérés ∆x = x - xp abszolút hibája kicsi, az xp pont kis környezetében az f(x) függvényt jó közelítéssel helyettesíteni lehet az e(x) érintő egyenes egyenletével, azaz elfogadható az f(x) ≈ e(x) közelítés. Ezt az eljárást nevezik linearizálásnak. A származtatott y mennyiséget ennek alapján a lineáris e(x) függvénnyel kapjuk a mérhető és hibával terhelten mért x értékből: df ( x) y ≈ e( x ) = f ( x p ) + (x − xp ) . dx x = x p
31
Vegyük figyelembe, hogy most yp = f(xp), és jelöljük az y mennyiség abszolút hibáját ∆y -nal, ahol ∆y = y - yp, akkor az x abszolút hibáját hasonlóan a ∆x = x - xp jelöléssel felírva a linearizálás alapján a következő öszszefüggés írható fel: df ( x) df ( x) ∆y = y - yp = y - f(xp) = ( x - xp) = ∆x . dx x = x p dx x = x p
Röviden:
∆y =
df ( x) ∆x, dx x = x p
azaz linearizált összefüggés esetén az abszolút hiba terjedésében az eredeti f(x) függvény xp-helyi deriváltja arányossági tényezőként kulcsszerepet játszik. Az y mennyiség relatív hibáját a fentiekre támaszkodva egyszerűen vissza lehet vezetni az x abszolút hibája ismeretére a következő összefüggés szerint: ∆y 1 1 df ( x) 1 df ( x) hy = ≈ ∆y = ∆x = ∆x yp yp y p dx x = x p f ( x p ) dx x = x p A származtatott mennyiség relatív hibájának meghatározására nézve három speciális, de gyakran előforduló esetre nézve adunk meg összefüggést: 1. y = állandó függvény esetén
hy = 0,
2. y = c x függvény esetén
hy = hcx = hx ,
3. y = x n hatvány függvény esetén hy = hx n = n hx. A megadott összefüggések bizonyítását az olvasóra bízzuk, és a megadott összefüggések alkalmazására két konkrét példát mutatunk be. 1. Adott egy tengely. A tengely d átmérőjét hd relatív hibával terhelve mérjük. A keresett mennyiség a tengely A keresztmetszeti felületének közvetett mérésekor elkövetett hA relatív hiba. d 2π , itt a konstansMivel a keresett A keresztmetszeti felület A = 4 szoros és a hatványfüggvény szerinti (2. és 3. eset szerinti) relatív hibaterjedési törvényszerűség érvényesül. Ezek szerint hA = hd 2 = 2hd . 32
2. Egy víztartályból kilépő folyadéksugár sebességét kívánjuk méréses úton vizsgálni. Az áramlás veszteségmentesnek tekinthető. A kifolyási sebesség a kifolyócső és a szabad tartálybeli vízfelszín L magasságkülönbségétől valamint a g nehézségi gyorsulástól függ, a v = 2 gL képlet szerint. Itt is a hatványfüggvényre és a konstans-szorosra vonatkozó (2. és 3. eset szerinti) relatív hibaterjedési törvény érvényesül, ezért: hv = h L = (1 / 2)hL 2.7.2 Többváltozós függvénykapcsolat esete Sok járműtechnikában fellépő fizikai problémánál előtérbe lép az a helyzet, hogy valamely z mennyiségre vagyunk kíváncsiak, de az közvetlenül nem mérhető, azonban létezik egy z = f(x, y) kétváltozós függvény, amelynek x és y független változója azonban már mérhető. Itt is felmerül a korábban már vizsgált kérdés, nevezetesen ha az x és y értékét hibával terhelten mérjük, mit lehet mondani a jelzett hibáknak a z mennyiség hibájába történő átszármazásáról. Tekintettel arra, hogy az x és y mérésekor elkövetett hibáról feltehetjük, hogy azok kicsik, itt is alkalmazható a linearizálás technikája. Most a kétváltozós f(x,y) függvény esetén a két független változó pontos értékét jelölje xp és yp. A függő változó zp pontos értékét xp és yp f függvénybe való behelyettesítésével adódik: zp = f(xp, yp). A linearizálás most azt jelenti, hogy a kétváltozós f(x,y) függvény jellegfelületének az xp, yp koordinátájú pontjánál érvényes érintősíkját tekintjük. Az érintősík egyenlete az f(x,y) függvény x-szerinti és y-szerinti parciális deriváltjainak az xp, yp koordinátájú pontban felvett értékei segítségével felírható a következő alakban: s(x,y) = f(xp, yp) +
∂f ( x, y ) .(x − xp) + ∂f ( x, y ) .(y − yp). ∂x x = x p , y = y p ∂y x = x p , y = y p
Ezek után a ∆z = z – zp = f(x,y) - f(xp, yp) abszolút hiba az f(x,y) ≈ s(x,y) közelítő egyenlőség alapján s(x,y) - f(xp, yp) alakban származtatható, és ezért s(x,y) fenti kifejezését figyelembe véve adódik a ∆z abszolút hiba számítások végzésére alkalmas közelítő kifejezése:
∆z ≈
∂f ( x, y ) .(x − xp) + ∂f ( x, y ) .(y − yp) . ∂x x = x p , y = y p ∂y x = x p , y = y p
33
A nyert képlet konkrét alkalmazását a teljesítménynek a nyomaték és a szögsebesség mérésre való visszavezetése példáján mutatjuk be. Tehát a példabeli esetben P = f(M,ω) = M ω. Meghatározzuk a parciális deriváltak számértékét az Mp és ωp helyen:
∂f ( M , ω ) ∂f ( M , ω ) = ωp , = Mp . ω ∂M ∂ M = M p ,ω =ω p M = M p ,ω =ω p Ezek alapján a keresett abszolút hiba:
∆P ≈ ωp (M - Mp) + Mp(ω -ωp) = ωp ∆M + Mp ∆ω. Áttérünk a relatív hiba tárgyalására. Először az általános összefüggést tekintjük, természetesen a közelítő linearizálást a továbbiakban is elfogadva. A fentiekben levezetett abszolút hibát a zp = f(xp, yp) pontos érték egységére vonatkoztatva a következő számításokra alkalmas képlet adódik:
∆z ∂f ( x, y ) 1 ≈ [ ∂x x = x z p f (x , y p ) p
.(x−xp) + ∂f ( x, y ) .(y−yp)] . ∂y x = x p , y = y p p , y= y p
Alkalmazzuk a kapott képletet a z = f(x,y) = x y szorzatfüggvény esetére. Ebben az esetben az zp = f(xp, yp) = xp yp összefüggés érvényes. A szereplő parciális deriváltak értékei:
∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) = yp , = xp . ∂x x = x p , y = y p ∂y x = x p , y = y p Ezen értékek alkalmazása mellett, és a szokásos ∆x=(x−xp) és ∆y = (y−yp) jelölésekkel: ∆x ∆y ∆z 1 . ≈ [ y p .∆x + x p . ∆y] = + zp xp yp xp yp A nyert eredmény így olvasható ki: „szorzat relatív hibája egyenlő a tényezők relatív hibáinak összegével”. Alkalmazzuk a kapott képletet a z = f(x,y) = x/y hányados-függvény esetére. Ebben az esetben az zp = f(xp, yp) = xp / yp összefüggés érvényes. A szereplő parciális deriváltak értékei:
∂f ( x, y ) 1 ∂f ( x, y ) −1 = , = 2 xp . ∂x x = x p , y = y p y p ∂y x = x p , y = y p y p 34
Ezen értékek alkalmazása mellett, és a szokásos ∆x = (x−xp) és ∆y = (y−yp) jelölésekkel: x ∆x ∆y ∆z 1 1 . [ ≈ ∆x − p2 . ∆y] = − . z p xp yp yp xp yp yp
A nyert eredmény így olvasható ki: „hányados relatív hibája egyenlő a számláló relatív hibája mínusz a nevező relatív hibája”. Ha hx jelöli az x ∆x mennyiség relatív hibáját, akkor ezen jelölés szellemiségében az xp utóbbi két szabály a következőképp is írható:
hxy = hx + h y
és
hx/y = hx − h y .
Végül egy példa keretében mutatjuk meg, hogy a relatív hibával kapcsolatos eddigi szabályok milyen egyszerűen alkalmazhatók egy általánosabb kétváltozós probléma megoldására. Tegyük fel, hogy egy jármű konstans a gyorsulással zéró sebességről indulva t ideig mozog miközben egy kijelölt, a kísérlet során befutását tekintve megfigyelhető de ismeretlen s hosszúságú utat fut be. A gyorsulást ha , az időt pedig ht relatív hibával mérjük, keressük a befutott út relatív hs hibáját. Ismeretes, hogy a zérus sebességről induló állandó a gyorsulással mozgó a pont által t idő alatt befutott út az s = t 2 képlettel meghatározott. Mivel 2 1 1 a képlet s = at 2 alakban is felírható, látható, hogy itt a konstans 2 2 2 szorzóval szorzott at mennyiség relatív hibáját kell számítani. Mivel valamely mennyiség konstans-szorosának relatív hibája megegyezik magának a szorzandó mennyiségnek a relatív hibájával, ezért írható, hogy: hs = hat 2 . Az at 2 kifejezés az a és a t2 szorzata, így ezen szorzat relatív hibája a tényezők relatív hibáinak összege: hat 2 = ha + ht 2 . Marad hátra még a t2 hatványkifejezés relatív hibájának felírása, azonban erre a tárgyalásunkban bemutatott módon érvényes, hogy h 2 = 2ht . Mindent egybevett
ve ezért a befutott út relatív hibája tehát a következő képlettel számítható: hs = ha + 2ht .
35
Foglalkozzunk végül a befutott út ismeretlen sp hossza közelítő értékének meghatározásával. Mérjük n-szer függetlenül megismételve a kísérletet az a gyorsulást és a t időt, a kapott a1,a2,…,an és t1,t2,…,tn adatok alapján kiszámítjuk az ap és tp pontos értékek becsléseit a mérési eredmények számtani átlagaként, azaz meghatározzuk az ap ≈ a n és tp ≈ t n számtani közepeket, majd ezekkel megadjuk a befutott út pontos értékének becslését:
sp =
ap 2
t 2p ≈
an 2 tn . 2
Az egyes ai, ti mérési adatpárokból kiszámítható és a pontos sp úthossz körül szóródó si = (1/2) aiti2 úthossz becslések relatív hibáit a hsi = hai + 2hti , i=1,2,…,n értékek szolgáltatják. 2.8 A jelleggörbe kimérése
Valamely elvi ok alapján létezőnek felismert y = f(x) függvénykapcsolat konkrét lefutásáról méréssel tájékozódhatunk. Kérdés lehet egyrészt a függvénykapcsolat struktúrája, másrészt az adott struktúrán belül a tényleges változási viszonyokat meghatározó konstansok értéke, az un. paraméterrendszer. A jelen tárgyalásunkban csak az ismert struktúrájú függvénykapcsolat paraméterei méréssel történő meghatározásának kérdésével foglalkozunk. Ilyen feladat lehet pl. egy acélból készült hengeres csavarrúgó s merevségének méréssel történő meghatározása, mely esetben tudjuk, hogy a rugó y besüllyedése és az alkalmazott F nyomóerő között a homogén lineáris F = s y kapcsolat áll fenn a Hooke törvény értelmében. A mérnöki gyakorlatban a vizsgálandó ismert struktúrájú függvénykapcsolat sokszor eltér az egyszerű lineáristól. A 15. ábrán felrajzoltunk egy ilyen nemlineáris struktúrájú függvénykapcsolatra vonatkozó mérési eredményeket ábrázoló diagramot. Mint az látható, az x1,x2,…,xi,…,xn abszcisszákhoz felraktuk ordinátaként a méréssel meghatározott y1,y2,…, yi,…,yn értékeket. A kiadódó „mérési pontfelhőbe” kell a lehető legkedvezőbben elhelyezni az egyébként ismert struktúrájú f(x) függvényt. Értelmezzük most az x1,x2,…,xi,…,xn abszcisszáknál a mért y1,y2,…, yi,…,yn ordináták és az f(x) függvény f(x1),f(x2), …,f(xi),…,f(xn) helyettesítési értékeinek eltérésével meghatározott előjeles eltérés sorozatot:
δ 1 = y1 − f ( x1 ), δ 2 = y 2 − f ( x2 ),..., δ i = yi − f ( xi ),..., δ n = y n − f ( xn ) . 36
y f(x) yi
y1
yn
xn xi x x 15. ábra Mérési eredmények és a közelítő görbe
Az f(x) függvény konstans paramétereit úgy kell felvenni, hogy a függvény grafikonja a lehető legjobban illeszkedjen a véletlen mérési hibával terhelt pontfelhőbe. Az a kérdés, hogy mit jelent a lehető legjobb illeszkedés, többféleképp megválaszolható. A jelen tárgyalásunkban a legjobb illeszkedés kritériumaként a δi eltérések négyzetre emelésével kapott nemnegatív tagok összegének minimumát biztosító görbe-elhelyezési paramétereket keressük. Ez a kritérium a Gauss-féle „legkisebb négyzetek elve”. Képletben megfogalmazva a következő un. célfüggvényt tűzzük ki: n
n
i =1
i =1
∑ δ i2 = ∑[ yi − f ( xi )]2 = min! Az elmondottak alkalmazását az f(x) = mx + b struktúrájú lineáris függvény példáján mutatjuk be részletesebben. Az így felvett függvénynek két konstans paramétere m és b jelenti az optimalizálás szabad paramétereit. ˆ Másképp fogalmazva a feladat abban áll, hogy meg kell keresni azon m és bˆ értékeket, amelyek mellett az ordináta eltérések négyzeteinek összege a lehető legkisebb lesz. A jelzett feladatot tehát a következő részletesebb felírással jeleníthetjük meg: n
∑δ i =1
2 i
n
= ∑ [ yi − (mxi + b)]2 = Φ (m, b) = min! . i =1
A képletsor a bevezetett Φ (m, b) kétváltozós függvény minimumhelyének keresését jelöli ki, keresendő tehát azon mˆ és bˆ érték, amelyek mellett a Φ (mˆ , bˆ) függvényérték a lehető legkisebb! Ismeretes, hogy valamely kétváltozós függvény lokális szélső érékének helyén a két független változó szerinti parciális derivált zérus értéket vesz fel. Tekintsük tehát a 37
Φ (m, b) függvény m és b szerinti parciális deriváltjainak kifejezését, és tegyük őket egyenlővé zérussal. Így két független egyenlet adódik az ismeretlen mˆ és bˆ értékek meghatározására.
1.
n ∂ ∂ n ∂Φ ( m , b ) 2 [ yi − ( mx + b )] = ∑ [ y i − ( mx + b )] 2 = = ∑ ∂m i =1 ∂m i =1 ∂m n
= ∑ 2[ y i − ( mx + b )] (- xi ) = 0 , i =1
2.
n ∂Φ (m, b) ∂ n ∂ 2 = ∑ [ yi − (mx + b)] = ∑ [ yi − (mx + b)]2 = ∂b ∂b i =1 i =1 ∂b n
= ∑ 2[ yi − (mx + b)] ( - 1) = 0 . i =1
A fenti két egyenletet rendezve a következő lineáris inhomogén egyenletrendszert kapjuk: n
n
n
i =1
i =1
i =1
(∑ xi2 )m + (∑ xi )b = (∑ xi yi ), n
(∑ xi )m + i =1
n
nb
= ( ∑ yi ) . i =1
A szereplő szummák értéke a mérési adatsorozatok ismeretében kiszámíthatók, és a lineáris egyenletrendszerből kiszámítható a keresett mˆ és bˆ érték. Szigorúan véve csak azt mutattuk ki, hogy a kapott mˆ és bˆ értékek mellett a Φ (m, b) függvénynek szélső értéke lehet, azonban itt nem részletezett további meggondolások alapján állítani lehet, hogy az mˆ és bˆ értékeknél van is szélső értéke Φ (m, b) -nek éspedig Φ (mˆ , bˆ) =min! Az elmondottak szerint tehát a legkisebb négyzetek elve alapján az
f ( x) = mˆ x + bˆ egyenes illeszkedik legjobban a mérési koordináta-párokkal megadott pontfelhőbe. A jelzett helyzetet a 16. ábra szemlélteti.
38
f(x) = mˆ x + bˆ
f
δ
2 1
y1 x1
δ n2
δ 22 yn y2
x2
. . . . . . . .
xn
x
16. ábra Pontfelhőre illeszkedő egyenes
3
Járművek mechanikai folyamatai
A mechanikai tudományának felosztását a 17. ábrán vázoltuk fel. Jelen előadásban előbb a mozgástan (kinematika) összefüggéseit, majd az erőtanon (a dinamikán) belül a mozgások és az erők kapcsolatát tárgyaló kinetika témaköre lép előtérbe. MECHANIKA MOZGÁSTAN (kinematika)
ERŐTAN (dinamika) STATIKA (erők egyensúlyi feltételei)
KINETIKA (erők és mozgások összefüggése)
17. ábra A mechanika felosztása A mechanikában a dinamikai folyamatokat állandóan energiaáramlási folyamatok kísérik, ezért természetszerű, hogy az energetikai viszonyok jellemzése is fontos helyet kap tárgyalásunkban. Az anyag néhány járműmérnöki szempontból fontos alapszerkezet mechanikai viszonyainak bemutatásán keresztül igyekszik a lehetséges alkalmazásokra is rávilágítani. 3.1 Az anyagi pont mozgásjellemzői
Az anyagi pont fogalma absztrakció eredménye: kiterjedés nélküli, de tömeggel bírónak tekintett pontról van szó. Az így meghatározott anyagi pont térbeli helyzetét a térbeli derékszögű koordinátarendszerben értelmezett helyvektorral adjuk meg. 39
3.1.1 A helyvektor mint az idő függvénye Legyen a vizsgálat kezdő időpontja t0. Valamely tekintett t időpontra legyen érvényes, hogy t0 ≤ t ≤ t0 + T. Ekkor a mozgó anyagi pont t időpontbeli helyzetét az alkalmasan felvett koordinátarendszer origójából felrakott r(t) helyvektor nyílhegy oldali végpontja adja meg. A bevezetett helyvektor x, y és z koordinátatengely irányú összetevő vektorkomponenseit jelölje rendre rx(t), ry(t) és rz(t). Nyilvánvalóan fennáll a helyvektor vektorösszegként való következő előállítása:
r (t ) = rx (t ) + ry (t ) + rx (t ) . Ha az alkalmazott derékszögű koordinátarendszer tengelyein felvesszük még az origó támadáspontú, tengelyirányú i, j és k egységvektorokat, amelyek a megadott sorrendben jobbsodrású ortonormált bázist alkotnak, akkor az r(t) helyvektor egyes vektorösszetevőit felírhatjuk
rx (t ) = x(t )i, ry (t ) = y (t ) j, rz (t ) = z (t )k alakban. Ezek tekintetbevételével most már előáll az r(t) helyvektor előállítása az i, j és k bázison a báziselemek lineáris kombinációjaként a következő alakban: r (t ) = x(t )i + y (t ) j + x(t )k . A viszonyokat a 18. ábra szemlélteti. z
a mozgó pont helyzete g: mozgáspálya a t időpontban r(t0+T) r(t0)
rz(t)
k
j
r(t)
y
ry(t)
i
rx(t) x
18. ábra A helyvektor 40
3.1.2 Az elmozdulásvektor, mint kétváltozós függvény Tekintsük most a tömegpont elmozdulását a vizsgálat t kezdő időpont és a t +∆t befejező időpont közötti ∆t > 0 időtartam alatt! Ezt az elmozdulást a 19. ábra mutatja. z
∆r (t , ∆t ) t t0
r (t )
r (t0 )
t0+T
t+∆t
r(t0 +T)
r (t + ∆t )
y
0
x
19. ábra Az elmozdulásvektor Az ábra szerint a helyvektor függvény növekményét a t kezdő időpont és az elmozdulás ∆t időtartama függvényében megadott kétváltozós kifejezés azonosítja: def
∆ r (t , ∆ t ) = r (t + ∆ t ) − r (t ) . 3.1.3 A sebességvektor, mint az idő függvénye Első lépésben a t időpontbeli sebességvektor v ∗ (t , ∆t ) közelítő értékét értelmezzük a t időpontban induló és ∆t időtartamú elmozdulás segítségével a ∆r (t , ∆t ) r (t + ∆t ) − r (t ) = v ∗ (t , ∆t ) = ∆t ∆t különbségi hányados alakjában. A t időpontbeli pontos sebességet a ∆t időtartam minden határon túli csökkentésével, vagy ami ugyanaz, ∆t → 0 határátmenettel kapjuk. Amennyiben a jelzett határérték létezik és véges, a t időpontbeli sebesség az r(t) helyvektor idő szerinti első deriváltvektora lesz:
∆r (t , ∆t ) r (t + ∆t ) − r (t ) dr (t ) = lim = . ∆t →0 ∆t →0 ∆t ∆t dt
v (t ) = lim
41
A kapott sebességvektor a pályagörbét meghatározó r(t) vektorfüggvény által előírt térgörbe t időparaméterű pontjához tartozó pályaérintő egyenesre, mint tartó-egyenesre illeszkedik. A 20. ábrán felrajzoltuk a t időparaméterű ponthoz rendelt v(t) sebességvektort és ábrázoltuk az origóba tolt változatát is, mivel ennek a vektorösszetevői adódnak ki vx(t), vy(t) és vz(t) értékekként a differenciálás tényleges elvégzése után. Valóban, ha az def
∆ r (t , ∆ t ) = r (t + ∆ t ) − r (t ) elmozdulást az r(t) –nek az i, j, k egységvektorok bázisán írjuk fel, adódik a
r(t + ∆t ) − r(t ) = ∆t →0 ∆t x(t + ∆t ) − x(t ) y(t + ∆t ) − y (t ) z (t + ∆t ) − z (t ) = lim i + lim j + lim k= ∆t →0 ∆t →0 ∆t →0 ∆t ∆t ∆t dx(t ) dy(t ) dz(t ) = i+ j+ k = v x (t )i + v y (t ) j + v z (t )k = v x (t ) + v y (t ) + v z (t ) dt dt dt v(t ) = lim
összefüggés sor. Ez az összefüggés sor rávilágít a sebességvektor koordinátairányú összetevő vx(t), vy(t) és vz(t) vektorai, valamint azok előjeles v x (t ) , v y (t ) és v z (t ) skalárnagyságai közötti összefüggésre, amelyeket külön kiemelve is megadunk:
dx(t ) dy (t ) dz (t ) i = v x (t )i = v x (t ), j = v y (t ) j = v y (t) , k = v z (t )k = v z (t) . dt dt dt ep
z v(t)
P
y
r(t)
vy(t)
vz(t)
v(t) az origóba tolva
0 vx(t)
x
20. ábra A sebességvektor 42
3.1.4 A gyorsulásvektor mint az idő függvénye A gyorsulás fogalma a sebesség megváltozásának jellemzését adja. A t kezdő időpont és a t időpont utáni t+∆t időpont közötti ∆t időtartam alatt a sebességvektor megváltozását a kétváltozós def
∆ v (t , ∆ t ) = v (t + ∆ t ) − r (t ) .
kifejezéssel adjuk meg, amelynek szerkezete lényegileg megegyező a korábban konstruált elmozdulásvektor szerkezetével. A t időpontbeli gyorsulásvektor a ∗ (t , ∆t ) közelítő értékét mármost az
a ∗ (t , ∆t ) =
∆v(t , ∆t ) v(t + ∆t ) − v(t ) = ∆t ∆t
vektor-értékű különbségi hányados alakjában kapjuk. A t időpontbeli pontos gorsulásvektort a ∆t időtartam minden határon túli csökkentésével, vagy ami ugyanaz, ∆t → 0 határátmenettel kapjuk. Amennyiben a jelzett határérték létezik és véges, a t időpontbeli gyorsulásvektor a v(t) sebességvektor idő szerinti első deriváltvektora lesz:
∆v(t , ∆t ) v(t + ∆t ) − v(t ) dv(t ) = lim = . ∆t → 0 ∆t → 0 dt ∆t ∆t
a(t ) = lim
A gyorsulásvektor koordinátarendszerben való előállításhoz a sebességvektor előállításakor tárgyalt gondolatmenetet követő összefüggés-sor érvényesül: v(t + ∆t ) − v(t ) = ∆t →0 ∆t v y (t + ∆t ) − v y (t ) v (t + ∆t ) − vx (t ) v (t + ∆t ) − vz (t ) = lim x i + lim j + lim z k= ∆t →0 ∆t →0 ∆t →0 ∆t ∆t ∆t dv (t ) dvy (t ) dvz (t ) = x i+ j+ k = a x (t)i + a y (t)j + a z (t)k = a x (t) + a y (t) + a z (t) . dt dt dt
a(t ) = lim
Ez az összefüggés sor rávilágít a gyorsulásvektor koordinátairányú összetevő ax(t), ay(t) és az(t) vektorai, valamint azok előjeles ax(t), az(t) és az(t) skalárnagyságai közötti összefüggésre, amelyeket külön kiemelve is megadunk: dvy (t ) dvx (t ) dvz (t ) i = ax (t )i = a x (t ), j = a y (t ) j = a y (t ) , k = az (t )k = a z (t ) . dt dt dt
43
A kinematikai jellemzők általános szintű tárgyalását egy példa megoldásával zárjuk. A vizsgált mozgás a 21. ábra szerinti függőleges tengelyű csavarvonal mentén végbemenő, állandó abszolút értékű sebességvektorral megvalósuló mozgás lesz.
z
g: csavarvonal y
rz
ry rx
t t=0
x
21. ábra Csavarvonal-mozgás A mozgást az {x,y} síkban értelmezhető vetületi egyenletes körmozgás és egy a z tengely mentén felfelé állandó sebességgel végbemenő mozgás szuperpozíciójaként írjuk fel. A mozgó pontot a t =0 időpontban az x(0)= r >0 értékű és az y(0)=z(0)=0 koordinátákkal bíró pontban találjuk (kezdeti helyzet). A csavarvonal mozgáspályához tartozó koordináta függvények a következők lesznek: x(t ) = r cos ωt , y (t ) = r sin ωt , z (t ) = vt . A mozgó pont r(t) helyvektorának felírása ezek után könnyen adódik: r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k = (r cos ωt )i + (r sin ωt ) j + (vt )k . A fent bevezetett csavarvonal mentén felfelé mozgó pont sebességvektorát t szerinti deriválással kapjuk:
44
d d [ x(t )i + y (t ) j + z (t )k ] = [(r cos ωt )i + (r sin ωt ) j + (vt )k ] = dt dt = (− rω sin ωt )i + (rω cos ωt ) j + (v)k . v (t ) =
A gyorsulásvektort újabb t –szerinti deriválás szolgáltatja: d d [v x (t )i + v y (t ) j + v z (t )k ] = [(−rω sin ωt )i + (rω cosωt ) j + (v)k ] = dt dt = (−rω 2 cosωt )i + (−rω 2 sin ωt ) j = −rω 2 [(cosωt )i + (sin ωt ) j ].
a(t ) =
A gyorsulásvektorra vonatkozó fenti eredmény mutatja, hogy annak függőleges komponense zérus, tehát a gyorsulásvektor most megegyezik a vízszintes síkban r sugáron végbemenő, ω szögsebességű egyenletes körmozgás komponens centripetális gyorsulásával. Az anyagi pont mozgásjellemzőinek származtatását szemléletesen lehet bemutatnia a 22. ábra szerinti blokk-diagramon, a bal oldali bemeneti mennyiség a mozgó pont r(t) helyvektorát megadó vektorértékű időfüggvény. r(t)
v(t)= d dt
d r(t) dt
d dt
a(t)=
d v(t) dt
22. ábra Az anyagi pont mozgásjellemzőinek származtatása Az első blokk operátora a d/dt differenciáloperátor hatva a bemeneti függvényére a blokk kimenetén kiadja a mozgó pont v(t) sebességvektorának időfüggvényét. A második blokk bemenetként fogadja a sebességvektor v(t) időfüggvényét és a d/dt differenciáloperátor hatására a kimeneten kiadja a mozgó pont a(t) gyorsulásvektorának időfüggvényét. A gyorsulásfüggvényt az r(t) helyvektor függvényből közvetlenül is származtathatjuk, éspedig az idő szerinti második differenciálhányadosaként: d d d d2 d 2r (t ) . a(t ) = v (t ) = [ r (t )] = 2 r (t ) = dt dt dt dt dt 2 Amennyiben a származtatás irányát meg kívánjuk fordítani, akkor a gyorsulás függvényből a sebességet, majd a sebességből a helyvektor alakulását idő szerinti integrálással kaphatjuk meg. 45
3.2 Speciális síkbeli mozgások
3.2.1 A körmozgás A járművekkel kapcsolatos géptani problémák sok esetben körmozgással kapcsolatos kérdések vizsgálatára vezetnek. A kérdéskör vizsgálatához tekintsük a 23. ábrán vázolt helyzetet, amikor az anyagi pont a t = 0 időpontban az r sugarú körpályának a vízszintes tengellyel való metszéspontjában volt, majd onnan tovamozdulva a kerület mentén a t > 0 időpillanatban a ϕ(t) szöggel azonosított kerületi pontban van. t+∆t
∆ϕ
t
ϕ(t)
t=0
23. ábra Körmozgás Tekintsük a tömegpont elmozdulását a vizsgálat t kezdő időpont és a t+∆t befejező időpont közötti ∆t > 0 időtartam alatt! Ekkor a kerületi pont szöghelyzetét leíró ϕ(t) szöghelyzet jellemző függvény ∆ϕ növekményét a vizsgálat kezdetét kijelölő t időpont és az elmozdulás ∆t időtartama függvényében megadott kétváltozós kifejezés azonosítja: def
∆ ϕ (t , ∆ t ) = ϕ (t + ∆ t ) − ϕ (t ) .
3.2.2 A szögsebesség, mint az idő függvénye Első lépésben a t időpontbeli szögsebesség ω ∗ (t , ∆t ) közelítő értékét értelmezzük a t időpontban induló és ∆t időtartamú ∆ϕ (t , ∆t ) szögelfordulás növekmény segítségével az
ω ∗ (t , ∆t ) =
∆ϕ (t , ∆t ) ϕ (t + ∆t ) − ϕ (t ) = ∆t ∆t
skaláris értékként adódó különbségi hányados alakjában. A t időpontbeli 46
pontos szögsebességet a ∆t időtartam minden határon túli csökkentésével, vagy ami ugyanaz, ∆t → 0 határátmenettel kapjuk. Amennyiben a jelzett határérték létezik és véges, a körmozgás t időpontbeli szögsebessége a ϕ(t) szöghelyzet-azonosító függvény idő szerinti első deriváltja lesz:
∆ϕ (t , ∆t ) ϕ (t + ∆t ) − ϕ (t ) dϕ (t ) = lim = . ∆t → 0 ∆t → 0 dt ∆t ∆t
ω (t ) = lim ω ∗ (t , ∆t ) = lim ∆t → 0
3.2.3 A szöggyorsulás, mint az idő függvénye A szöggyorsulás értelmezéséhez első lépésben a t időpontbeli szöggyorsulás ε ∗ (t , ∆t ) közelítő értékét értelmezzük a t időpontban induló és ∆t időtartamú ∆ε (t , ∆t ) = ω (t + ∆t ) − ω (t ) szögsebesség növekmény segítségével az ∆ϕ (t , ∆t ) ϕ (t + ∆t ) − ϕ (t ) ε ∗ (t , ∆t ) = = ∆t ∆t skaláris értékként adódó különbségi hányados alakjában. A t időpontbeli pontos szöggyorsulást a ∆t időtartam minden határon túli csökkentésével, vagy ami ugyanaz, ∆t → 0 határátmenettel kapjuk. Amennyiben a jelzett határérték létezik és véges, a körmozgás t időpontbeli szöggyorsulása az ω(t) szögsebesség függvény idő szerinti első deriváltja lesz:
∆ω (t , ∆t ) ω (t + ∆t ) − ω (t ) dω (t ) = lim = . ∆t → 0 ∆t → 0 dt ∆t ∆t
ε (t ) = lim ε ∗ (t , ∆t ) = lim ∆t → 0
Nyilvánvaló, hogy a szöggyorsulást a ϕ(t) szögelfordulás függvényből közvetlenül is származtathatjuk, éspedig annak az idő szerinti második differenciálhányadosaként:
ε (t ) =
d d d d2 d 2ϕ (t ) . ω (t ) = [ ϕ (t )] = 2 ϕ (t ) = dt dt dt dt dt 2
Megjegyezzük még, hogy ha a szöggyorsulás értéke pozitív, az pillanatnyi szögsebesség növekedést, míg ha a szöggyorsulás értéke negatív az pillanatnyi szögsebesség csökkenést azonosít. A forgó mozgás jellemzőinek összefüggését a következő képletsor szemlélteti: d dt
d dt
ϕ (t) → ω(t ) → ε (t ) . 47
Amennyiben a származtatás irányát meg kívánjuk fordítani, akkor a szöggyorsulás függvényből a szögsebességet, majd a szögsebességből a szögelfordulás jellemző függvény alakulását idő szerinti integrálással kaphatjuk meg. Tekintsük még a most bevezetett jellemzők mértékegységeit! A ϕ szög mértékegysége a radián, azaz [ϕ] = rad (360° = 2π rad), az ω szögsebesség mértékegysége már származtatott mértékegység: [ω] =
[∆ϕ ] rad = . [∆t ] s
Hasonlóképpen, a szöggyorsulás mértékegysége is származtatott mértékegység: [∆ω ] rad / s rad = = 2 . [ε] = [∆t ] s s 3.2.4 Az egyenletes körmozgás Ha a mozgó pont ω szögsebessége állandó (konstans), egyenletes körmozgásról beszélünk. Tekintettel arra, hogy a konstans függvény idő szerinti deriváltja az azonosan nulla függvény, adódik, hogy az egyenletes körmozgás esetén a szöggyorsulás azonosan zérus. Az egyenletes körmozgást végző pontnak azonban mégis van gyorsulása, ugyanis a kerületi sebesség vektorának iránya folyamatosan változik a körmozgás során, ezért a gyorsulásvektor nem lesz zérus. Valóban, ha felírjuk az {x,y} síkbeli r sugarú körpályán ω szögsebességgel mozgó pont
r (t ) = x(t )i + y (t ) j = (r cos ωt )i + (r sin ωt ) j helyvektorát, akkor a gyorsulásvektort az idő szerinti második deriváltként származtatva: d2 d2 [ ( ) ( ) ] [(r cos ωt )i + (r sin ωt ) j ] = i + j = xt yt dt 2 dt 2 = -ω 2 [(r cos ωt )i + (r sin ωt ) j ] = -ω 2r (t ) .
a(t ) =
Az eredményül kapott gyorsulásvektorról jól látható, hogy minden t időpontban a mozgó pont helyvektorával (mely mindig centrifugálisan, azaz a középpontból a mozgó ponthoz mutató értelmű) ellentett értelmű vektor lesz a mínusz előjel miatt. Ezért az egyenletes körmozgás gyorsulásvektorát méltán nevezzük centripetális (a mozgó pontból a forgási középpont
48
felé mutató értelmű) gyorsulásnak. Az egyenletes körmozgás esetén természetesen minden pillanatban a körpálya érintőjének irányába eső gyorsulás összetevő zérusvektor. Ez utóbbi állításunk könnyen belátható, hiszen a v t kerületi sebesség vektorának abszolút értékét mindig felírhatjuk a szögsebesség és az r körpályasugár szorzataként v t = rω alakban. Mivel pedig egyenletes körmozgás esetén a dω/dt szöggyorsulás azonosan zérus, ezért formálisan is kiadódik, hogy a kerületi gyorsulás nagysága is azonosan zérus, ugyanis: dω d d v t = rω = r =r0=0 . dt dt dt Most vizsgáljuk meg azt a kérdést, hogy ha ismert az egyenletes körmozgás állandó ω szögsebessége, akkor milyen lesz a pont ϕ(t) szöghelyzet azonosító függvényének az alakulása az idő függvényében. Mivel a szögsebesség a szöghelyzet jellemző függvény idő szerinti deriváltja, és most az egyenletes körmozgás szögsebessége állandó, csak olyan függvény lehet a szöghelyzet jellemző függvény, amelynek a deriváltja miden időpontban azonos konstans. Ilyen függvény azonban végtelen sok különböző változatban létezhet. Valóban, tetszőleges c valós szám esetén a ϕ(t,c) = ω t + c függvény megfelel, hiszen ezt t szerint deriválva bármilyen c valós konstans esetén visszakapjuk a kívánt konstans ω értéket:
d d dt dc ϕ (t , c) = (ω t + c) = ω + = ω 1 + 0 = ω . dt dt dt dt A kapott eredményünk helyesen tükrözi azt a tényt, hogy egyenletes körmozgás esetén a pont által befutott körívhez tartozó középponti szög az idő függvényében lineárisan növekszik. 3.2.5 A határozatlan integrálról A ϕ(t,c) függvény keresésével kapcsolatos, előzőekben tárgyalt azon egyszerű feladat, amelyet „ellenőrző deriválással” oldottunk meg, a határozatlan integrál kiszámításának feladatát vetíti előre. Általánosabb megfogalmazásban tekintve a kérdést: adott f(x) függvényhez kereshető egy olyan F(x) függvény, amelyet ha x-szerint deriválunk, megkapjuk a kiindulási adott f(x) függvényt, azaz amelyre:
d F ( x) = f ( x). dx 49
Tekintettel arra, hogy a konstans függvény deriváltja az azonosan zérus függvény, az F(x) függvény nincs egyértelműen meghatározva, mivel ha F(x) -hez tetszőleges c konstans értéket hozzáadunk, arra is érvényes lesz a d [ F ( x) + c] = f ( x) dx összefüggés. Tehát az adott f(x) kiindulási függvényhez egy végtelen sok elemű {F ( x) + c} c∈R függvényrendszer rendelhető hozzá, melynek bármely elemét deriválva a kiindulási f(x) függvényt kapjuk. Az ilyen tulajdonságú {F(x) +c}c∈R függvényrendszert az f(x) függvény határozatlan integráljának nevezzük. A határozatlan integrál jelölése:
∫ f ( x)dx = {F ( x) + c}
c∈R
.
A megadott {F(x) +c}c∈R függvényrendszer elemeit a f(x) -hez rendelt „primitív függvényeknek” nevezzük. A fentiekben elmondottakat alapján így fogalmazhatjuk meg a határozatlan integrálást: „az f(x) függvényt integrálni annyit tesz, mint keresni egy olyan F(x) függvényt, amelyet ha deriválunk, deriváltként a kiindulási f(x) függvényt kapjuk”. 3.2.6 Állandó gyorsulású haladó mozgás Fontos speciális mozgásfajtát jelent azon mozgás, amelynek gyorsulásvektora az időtől nem függ, azaz állandó érték. Legyen a mozgás állandó gyorsulásvektora a és írjuk ezt fel a gyorsulásvektor tartóegyenesére illeszkedő e egységvektor segítségével a = a e , éspedig a előjeles gyorsulásnagyság feltüntetése mellett. Attól függően, hogy az a előjeles nagyság milyen értéket vesz fel, három esetet kell megkülönböztetni: a.) a = 0, ekkor az a gyorsulásvektor is zérus, és ezért a v sebességvektor csak konstans lehet. Ebben az esetben a vizsgált pont egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, b.) a > 0, ekkor a vizsgált pont sebessége növekszik, a < 0, ekkor a vizsgált pont sebessége csökken.
50
a a >0
t 24. ábra Állandó gyorsulású mozgás
A fenti esetek közül tekintsük a b.) alattit. Adott tehát a 24. ábra szerint a dv gyorsulás előírt a = > 0 értéke, keressük a sebesség v = v(t) előjeles dt nagyságának időbeli alakulását. A feladat másképp megfogalmazva egy olyan v(t) függvény keresését jelenti, amelynek deriváltja egy pozitív konstans. Az integrál feladatot egyelőre kísérletező feltevéssel (Ansatz) oldjuk meg. Tekintsük hipotetikus megoldásnak a v(t) = a t + c lineáris függvényt a megadott a > 0 gyorsulásnagyság és tetszőleges c valós konstans szerepeltetésével. Az „ellenőrző deriválás” elvégzése most is kimutatja, hogy a lineáris sebességfüggvényre vonatkozó hipotézisünk helyes, ugyanis bármilyen c valós konstans esetén deriválással visszakapjuk a kívánt konstans a értéket: dt dc d d = a1 + 0 = a . v(t ) = (a t + c) = a + dt dt dt dt Így valóban az {a t + c} c∈R egyparaméteres függvénysereg minden eleme megfelel a kívánalmaknak, ami más szavakkal azt jelenti hogy a megoldásként megfelelő v(t) függvénysereg éppen a konstans a > 0 függvény t szerinti határozatlan integráljával egyenlő: v(t ) = ∫ a dt = a t + c, ahol c tetszőleges additív valós konstans. Ez a példa mutatja, hogy a deriváltakból való „visszaszámítást” a határozatlan integrálás elvégzésével végezhetjük. A probléma megoldása szempontjából ezzel kétségtelenül előre léptünk, de mivel végtelen sok „visszaszámított” függvényhez jutottunk, a „bőség zavara” áll fenn. A konkrét mozgásviszonyok leírására ezen végtelen elemű függvényseregből pontosan egy elem kiválasztása úgy lehetséges, ha a feladat sajátosságai alapján a 25. ábrán vázolt módon előírjuk, hogy valamely t0 időpontra az ott felvett sebesség v0 értéke milyen legyen. 51
v v(t)=v0+a·(t-t0)
c-paraméteres függvénysereg
v0 t0
t
25. ábra A sebesség megadása egy adott időpontban Helyettesítsük be a kapott primitív függvénybe a megadott t0 időpontot és az ott előírt v0 sebesség értékét, ekkor a v(t0) = v0 = a t0 + c egyenlőségből a c konstans konkrét értéket nyer: c = a t0 – v0. Az előírt értékekkel kifejezett konstanst beírva a sebesség kifejezésébe már egyetlen függvény adódik megoldásként:
v(t ) = at + (at 0 − v0 ) , amiből rendezéssel az ismert alakú
v(t ) = v0 + a (t − t 0 ) képletet kapjuk, amely azt posztulálja, hogy a t időpontbeli v(t) sebesség a t0 -ban érvényes v0 sebesség és a t – t0 időköz alatt végbemenő gyorsuló mozgás a (t − t0 ) sebességnövekményének összegeként adódik. Az állandó gyorsulású mozgás vizsgálatában logikusan merül fel az a további kérdés, hogy ha már a v(t) sebességfüggvényt az előírt t0 és v0 un. kezdeti érékek beszerkesztésével egyértelművé lehetett tenni, akkor hogyan lehet mármost a vizsgált pont által befutott úthosszat is megkapni, és esetleg valamely további „konstanskiszűrő” érték előírásával egyértelműen meghatározni. A feladat megoldását a formális integrálás helyett most is úgy oldjuk meg, hogy egy hipotetikus kísérletező feltevéssel felvett x(t) függvényről kimutatjuk, hogy deriváltja éppen a fenti v(t ) = v0 + a (t − t 0 ) függvény. A kísérletező feltevés (Ansatz) azon az alapon jelölhető ki, hogy figyelembe vesszük a hatványfüggvények deriválási szabályát, miszerint a deriválás a hatványfüggvény fokszámát eggyel csökkenti. Mivel a sebességfüggvényünk konstans és t-ben lineáris tagokból áll, ezért e kísérletező 52
feltevésbeli függvényt lineáris és másodfokú tagokból megfelelő konstansok szerepeltetésével célszerű felépíteni. A fenti előzetes meggondolások alapján – figyelembe véve, hogy deriválás után a v(t ) = v0 + a (t − t 0 ) függvényt kell kapnunk – a következő x(t) függvényt vesszük fel:
1 x(t ) = v0t + a(t − t0 ) 2 + c, c ∈ R tetszőleges . 2 Tekintsük most az így felvett függvény t-szerinti deriváltját: 1 d d d d 1 d [ x(t )] = [v0t + a (t − t0 ) 2 + c] = [v0t ] + [ a (t − t0 ) 2 ] + [c] = 2 dt dt dt dt 2 dt 1 dt 1 d v0 + a [(t − t0 ) 2 ] + 0 = v01 + a 2(t − t0 )1 + 0 = v0 + a (t − t 0 ) . 2 dt 2 dt Mint látható, a helyes meggondolásokkal felvett kísérletező feltevésünk szerinti függvényünk t szerinti deriváltja visszaadta a kívánt sebességfüggvényt. Rögzítsük azonban, hogy most is egy végtelen elemű függvénysereg szerepelt a kísérletező feltevésünkben, hiszen c tetszőleges valós szám volt. Mégis kiadódott, hogy bármely c érték esetén érvényes a deriválás után kapott helyes eredmény. A megoldás egyértelművé tételét a már korábban is követett eljárással érhetjük el, nevezetesen előírjuk a 26. ábrán szemléltetett módon, hogy a t0 időpontban az x(t) függvény vegye fel az x0 értéket. Érvényesítsük tehát behelyettesítéssel a jelzett előírást, ekkor: 1 x(t0 ) = x0 = v0t0 + a (t0 − t0 ) 2 + c = v0t0 + c , 2 ahonnan c értékét ki lehet fejezni: c = x0 − v0t0 , ezt az értéket behelyettesítve a kísérletező feltevésünk képletébe, előbb adódik a 1 x(t ) = v0t + a(t − t0 ) 2 + x0 − v0t0 2
kifejezés, és ebből kis rendezéssel kapjuk az egyértelmű megoldást:
1 x(t ) = x0 + v0 (t − t0 ) + a(t − t0 ) 2 . 2 53
másodfokú parabola sereg
x
x0 t
t0
26. ábra Az befutott távolság kezdeti értéke.
a
v
x
a>0
d dt
v=at
d dt x=
∫
∫
t
t
a 2 t 2
t 27. ábra Állandó gyorsulású mozgás foronómiai görbéi Tehát a a t időpontig befutott x(t) távolság a t0 -ban érvényes x0 kezdeti helyzet és a t – t0 időköz alatt v0 állandó kezdeti sebesség esetén adódó v0 (t − t0 ) útnövekmény, továbbá a t – t0 időköz alatt az állandó a gyorsu1 lás jelenlétében befutott a (t − t0 ) 2 útnövekmény összegeként adódik. 2 54
A pont mozgásviszonyainak az idő függvényében való alakulását nagyon szemléletesen jelenítik meg a foronómiai görbék, amelyeket úgy kapunk, hogy közös időléptékű három diagramot rajzolunk egymás alá, legfelül a gyorsulás, alatta a sebesség, legalul a befutott út időfüggvényét. Az adott időpillanatban – „időkeresztmetszetben” – megvalósuló kinematikai jellemzőkről igen jó áttekintést nyerünk. A 27. ábrán egy, a t0 = 0 időpontban v0 = 0 kezdősebességről az x0 = 0 kezdeti helyzetből induló jármű konstans pozitív gyorsulás melletti foronómiai görbéit szemléltetjük. 3.2.7 Állandó szöggyorsulású forgómozgás Fontos speciális mozgásfajtát jelent a járműgéptanban a konstans szöggyorsulású forgómozgás. Jelölje ε a vizsgálandó forgómozgás állandó szöggyorsulását. A fentiekben tárgyalt állandó gyorsulású haladó mozgás esetén alkalmazott azon gondolatmenet, amely a konstans a gyorsulásból integrálással és alkalmas kezdeti értékek beiktatásával vezette le az egyértelmű mozgásjellemző függvényeket most is értelemszerűen alkalmazható a konstans ε szöggyorsulásból kiindulva. Most a t0 időponthoz az ω0 szögsebesség értéket és a ϕ0 szög értéket írjuk elő. A mozgásjellemzők ekkor a következőképp alakulnak: 1. ε = állandó, 2. ω (t ) = ω0 + ε (t − t0 ) ,
1 3. ϕ (t ) = ϕ 0 + ω0 (t − t 0 ) + ε (t − t 0 ) 2 . 2 Példaként vizsgáljuk a t0 = 0 időpontban ω0 > 0 szögsebesség értékről ε < 0 állandó szöglassulással fékezett kerék esetét. Kérdés lehet, hogy mekkora össz szögelfordulást tesz meg a kerék a fékezés megkezdésétől a megállásig. A feladat megoldásához először meg kell határozni a forgás megszűnésének időpontját az ω (t ) = ω0 + ε (t − t0 ) = 0 egyenlet t-re történő megoldásával. Mivel a kiindulási adatok szerint t0 = 0 volt, ezért elegendő az ω0 + ε t = 0 egyenletet megoldani. Tekintetbe véve, hogy ε < 0, a megoldás: t =
ω0 . Ha fékezés megkezdésének időpontjában a ϕ0 szög értéket ε
zérusnak írjuk elő, fékezés kezdetétől a megállásig megtett szögelfordulás kifejezhető: ω 1 ω 1 1 1 1 1 ω02 ϕ = ω0 0 + ε ( 0 ) 2 = ω02 [ + signε ] = ω02 = . ε 2 ε ε 2 ε 2 ε 2ε A fenti levezetésben figyelembe vettük, hogy a lassulás miatt signε = -1. 55
3.3 Járművek mozgásciklusa – menetábra A járművek rendeltetésszerű üzemében kialakuló ideális mozgásciklust a t = 0 időpontban zérus kezdeti sebességről induló, t1 időpontig ag > 0 állandó gyorsulással a vmax = a t1 sebességig gyorsuló, majd onnan a t2 > t1 időpontig állandó vmax sebességgel haladó, végül a t2 időponttól af < 0 állandó lassulással a t3 időpontban bekövetkező megállásig csökkenő sebességű mozgásciklus adja.
Az így jellemzett ideális mozgásciklusnak a [0, t3] intervallum felett érvényes a(t) gyorsulásfüggvényét, v(t) sebességfüggvényét és x(t) befutott út függvényét esetszétválasztásos definícióval az alábbiakban adjuk meg:
⎧a g > 0 ha 0 ≤ t ≤ t1 ⎪ a (t ) = ⎨0 ha t1 < t ≤ t 2 ⎪a < 0 ha t < t ≤ t 2 3 ⎩ f ⎧a g t ha 0 ≤ t ≤ t1 ⎪ v(t ) = ⎨vmax = a g t1 ha t1 < t ≤ t 2 ⎪a t + a (t − t ) ha t < t ≤ t f 2 2 3 ⎩ g1 ⎧ ag 2 ⎪2 t ⎪a ⎪ x(t ) = ⎨ g t12 + a g t1 (t − t1 ) ⎪2 ⎪ a g t 2 + a t (t − t ) + a f (t − t ) 2 g 1 1 2 ⎪⎩ 2 1 2
ha 0 ≤ t ≤ t1 ha t1 < t ≤ t 2 ha t 2 < t ≤ t3
A fenti függvénydefinícióknak megfelelő foronómiai görbéket a 28. ábrán adjuk meg. A konstans gyorsulás mellett befutott út időfüggvényét másodfokú paraboladarab ábrázolja. Itt csak emlékeztetünk a másodfokú parabola sajátos tulajdonságára, miszerint egy origócsúcspontú másodfokú parabola bármely x0 abszcisszájához tartozóan készített e érintő egyenese felezi az érintési ponthoz tartozó abszcisszát.
56
a
ag>0 a=0 t1
t
t3
t2 af<0
v
v=ag·t
vmax=ag·t1
t1
v=ag·t1+af··(t-t2)
t2
t3
t
s ag 2 ⋅ t1 + ag ⋅ t1 ⋅ (t − t1 ) 2
ag 2 a 2 ⋅ t1 + ag ⋅ t1 ⋅ (t2 − t1 ) + f ⋅ (t − t2 ) 2 2
ag 2 ⋅t 2
t1
t2
t
t3
28. ábra Az ideális mozgásciklus foronómiai görbéi. A jelzett tulajdonságot a 29. ábra vázlata szemlélteti. Az ideális működési ciklus befutott út diagramjának helyes megrajzolását segíti annak a tények a szem előtt tartása, hogy mind a t1 mind pedig a t2 abszcisszájú pontban a középső konstans sebességhez tartozó lineáris út függvény vonala érintőlegesen csatlakozik a diagram kezdeti és befejező szakaszánnál lévő parabola darabokhoz.
p
e x0/2
x0
29. ábra Parabola és az érintője 57
3.4 Egyszerű hajtásrendszerek
A járművek nagy részénél a hajtó teljesítmény aktivizálásának helye bizonyos távolságban van jármű hajtott egységeitől. Pl. a dízelmotor a hajótest közepénél található, és a hajtó teljesítményt el kell juttatni („át kell vinni”) a hajó hátsó részénél elhelyezkedő hajócsavarokhoz. Az mondjuk, hogy a hajtó erőgép és a hajtó energia felhasználási helye közé hajtásrendszert kell elhelyezni. A hajtásrendszer szükségessége a gépegységek elhelyezkedésével kapcsolatos kérdésen túl azzal is kapcsolatos, hogy a hajtó erőgép a teljesítményt nem pont olyan fordulatszám mellett szolgáltatja, mint amire a felhasználás helyén szükség van. Ezért a hajtásrendszernek az adott teljesítmény minél kisebb veszteség melletti átvitelén túl sokszor a szögsebességet, és ezzel együtt a hajtó nyomatékot is lényegesen módosítani kell. A teljesítményt, mint energiaáramot ismertnek tételezzük fel, itt csupán a fogalom pontosítását adjuk meg. Tekintsünk egy ∆t kicsi pozitív időnövekményt és tegyük fel hogy a [t, t+∆t] időintervallumban ∆W(t,∆t) nagyságú energia került betáplálásra egy hajtott gépegységbe. A gépegység által a t időpontban felvett teljesítmény (ami tulaj∆W (t , ∆t ) diffedonképpen energiaáram) közelítő értékét a P ∗ (t , ∆t ) ≈ ∆t renciahányadossal kapjuk, és a pontos értéket ∆t→0 határátmenet után az energiabevezetés W(t) időfüggvényének az idő szerinti első differenciálhányadosával értelmezzük:
∆W (t , ∆t ) dW (t ) = . ∆t → 0 ∆t dt
P (t ) = lim
Mivel az M(t) hajtó nyomaték egy elemi dφ(t) szögelfordulás során végzett munkája a gépbe történő differenciálisan kicsi dW(t) energiabevezetést jelent, irható, hogy dW ( t ) = M ( t ) d ϕ ( t ) , és így a teljesítménybevitel képlete a
dϕ (t ) ∆W (t , ∆t ) dW (t ) M (t )dϕ (t ) = = = M (t ) = M (t )ω (t ) ∆t → 0 dt dt ∆t dt
P (t ) = lim
eredményre vezet. A nyert képlet visszaadja a jól ismert tényt, miszerint egy adott időpillanatban a teljesítmény az adott időpillanatban érvényes nyomaték és szögsebesség szorzata. Amennyiben a fordított kérdés merül fel, azaz hogy ismert P(t) teljesítmény-alakulási időfüggvény esetén meg kell határozni a t1 és t2 időpontok között a rendszerbe bevezetett energia ∆W értékét, akkor a vizsgálatot a 58
t2
∆W = W (t 2 ) − W (t1 ) = ∫ P(τ )dτ t1
integrálkifejezés meghatározásával lehet elvégezni. Speciálisan, ha a P teljesítmény a [t1, t2] intervallumban konstans értékű, akkor a jelzett integrál az ismert egyszerű ∆W = P (t 2 − t1 ) szorzatkifejezést szolgáltatja. Vizsgálatainkban az energia mértékegysége: [W] = J (dzsúl), a teljesítményé pedig [P] = W (Watt). Következő tárgyalásunkban a forgás-, nyomaték- és teljesítmény-átvitelre alkalmas megoldások közül fogaskerékhajtást, a szíjhajtást és a dörzshajtást tárgyaljuk. 3.4.1 A fogaskerékhajtás A 30. ábrán vázolt fogaskerekek a fogak kapcsolódása miatti kényszer következtében közös kerületi sebességgel forognak. A fogak profilját körevolvens görbeként alakítják ki, mert a körevolvensek a kerekek tengelytávolságának állandó értéke mellett le tudnak egymáson gördülni. Az ábrán jól látható a két kerék egymást érintő osztóköre. A két keréken kialakított fogak kapcsolódásba lépése, a két osztókör érintési pontján átmenő kapcsolási vonal mentén megy végbe.
M1
r1 P1 = M1 ω1
ω1
P2 = M2 ω2
ω2 M2
r2
30. ábra Fogaskerék kapcsolat 59
A két kerék helyes kialakításának egyik kritériuma azt fogalmazza meg, hogy a kapcsolási vonalnak a két osztókör érintési pontjára nézve centrálisan szimmetrikusnak kell lennie. A helyes kapcsolódás másik feltétele a fogazat t-vel jelölt osztásával kapcsolatos. Az osztás az osztókörön mért azon ívhosszúság, amely áthidal egy fogat és a mellette lévő fogárkot. A viszonyokat a 31. ábra mutatja. ívhossz az osztókörön
t fog osztókör
fogárok
31. ábra Fogosztás Ha kerék osztókörének sugara r és fogszáma z , akkor az osztókör kerületét elosztva a fogszámmal kapjuk az osztás t értékét: t=
2 rπ . z
Az osztásra, mint jellemzőre támaszkodva értelmezzük a fogaskerék további fontos jellemzőjét a modulust, röviden a: modult. Az osztás képletéből kifejezve az osztókör átmérőjét, a
t d = 2r = z ( ) = z m, szavakban : " átmérő = fogszám ⋅ modul"
π
képlet adódik, ahol tehát az m = t/π szorzótényező adja fogaskerék modulját. A definiáló összefüggés alapján látható, hogy a modul a d = 2r osztókörátmérő és a z fogszám viszonyszáma. A fogaskerékpár helyes kapcsolódásának a másik alapfeltétele a két kerék moduljának azonossága. A hajtásrendszerek esetében az energiaáramlás irányát tekintve mindig megállapítható a rendszer bemenő oldala és kimenő oldala. A tárgyalásunkban a bemenő oldali jellemzők mindig 1-es indexet kapnak míg a kimenőoldali jellemzőket a 2-es index fogja azonosítani. A fogaskerékpár esetében tehát a behajtó tengely jellemzői kapják az 1-es indexet, a kihajtó tengely jellemzőit pedig a 2-es index azonosítja. 60
A fogaskerékpár átviteli tulajdonságait a következő három alapjellemzővel adjuk meg:
kimenő szögsebesség ω 2 = bemenő szögsebesség ω1
1. (szögsebesség) módosítás: i =
2. nyomatékmódosítás:
k=
M kimenő nyomaték = 2 bemenő nyomaték M 1
3. hatásfok:
η=
P kimenő teljesítmény = 2 bemenő teljesítmény P1
A most bevezetett három átviteli jellemző közül csak kettő független, mivel érvényes az P Mω η = 2 = 2 2 =ki P1 M 1ω1 összefüggés. Így tehát
η = f (k , i ) = k i, k = g (η , i ) =
η i
és i = h(η , k ) =
η k
.
r1 d1=2·r1
ω1
v = r1 ω1 = = r2 ω2 r2 d2=2·r2
ω2
32. ábra Kerületi sebesség a fogaskerék kapcsolatban 61
A fenti három átviteli jellemző közül az i módosítás kiszámítható a kerekek geometriai jellemzői alapján is. A 32. ábrán vázoltuk a két kerék sugara mentén kialakuló kerületi sebességek sugár függvényében lineáris eloszlását, és látható a fogkapcsolat által létrehozott kinematikai kényszer miatt a két kerék osztóköri kerületi sebességének megegyezése. Ezt a kerületi sebesség azonosságot formálisan a v = r1ω1 = r2ω2 összefüggés rögzíti. Az i módosítás eredeti értelmezését a kerületi sebesség megegyezés és a modul jelentésének figyelembevételével ki lehet egészíteni: v ω r 2r d zm z r i= 2 = 2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 . ω1 v r2 2r2 d 2 z 2 m z 2 r1 Hangsúlyozni kell, hogy a most bevezetett geometriai jellemzők segítségével értelmezett módosítás számlálójába kerül a bemenő oldali kerék geometriai jellemzője és nevezőjébe a kimenő oldali kerék jellemzője. Így a geometriai jellemzőkkel értelmezett módosításnál az eredeti értelmezés szerinti indexsorrend megfordul! A fogaskerékhajtás sokszor több fogaskerékből épül fel. Ez akkor szükséges, ha egy fogaskerékpárral a szükséges módosítás nem valósítható meg, vagy ha a kimenő oldali tengely elhelyezésével kapcsolatban sajátos geometriai elrendezést kell megvalósítani. Ez utóbbi esetre ad példát a 33. ábrán felrajzolt fogaskerékhajtás elrendezés, ahol is a be- és kihajtó tengelyek egy közös tartóegyenesre illeszkednek, és a be és kihajtó tengely forgásirány is megegyező.
ω1 M1 P1
ω2 M2 P2
i1 i2 ωx Mx Px
33. ábra Fogaskerék hajtás felépítése több fogaskerékből 62
Az ábrán alkalmazott jelölésekkel a hajtásrendszer eredő módosítását az alapdefiníció alkalmazásával és a közvetítőtengely ωx szögsebességével történő bővítés után kapjuk:
i=
ω2 ω2 ω x = =i i . ω1 ω x ω1 1 2
Az eredő módosítás tehát a fokozati részmódosítások szorzataként adódik. Hasonlóképpen adódik az eredő nyomatékmódosítás és az erdő hatásfok is:
k=
M2 M2 Mx P P P = = k1 k 2 , η = 2 = 2 x = η1 η 2 . M1 M x M1 P1 Px P1
Az is adódik, hogy az eredő átviteli jellemzők között is fennáll az η = k i összefüggés, és itt is csak két jellemző független, a harmadik már a két másikkal mindig meghatározott. Ha egy bonyolultabb hajtásrendszer több mint két fogaskerékpárból épül fel, vagy a kerekek közös síkban forogva láncszerűen kapcsolódnak, akkor is hasonló szerkezetű összefüggések érvényesek az eredő árviteli jellemzőkre. A 34. ábrán több fogaskerékpár alkotta hajtásrendszert vázoltunk.
34. ábra Több fogaskerékpár alkotta hajtásrendszer Az eredő átviteli jellemzőket tetszőleges (véges) n fogaskerékpár esetére az alábbiakban adjuk meg: n
n
n
j =1
j =1
j =1
i = i1 i2 ...in = ∏ i j , k = k1 k 2 ...k n = ∏ k j , η = η1 η2 ...ηn = ∏η j .
63
A közös forgási síkban láncszerűen kapcsolódó fogaskerekekkel kialakított hajtásrendszert a 35. ábrán vázoltunk fel. ωδ
ω1 r1
ωα
z1 v1α
vαβ
ωβ
vγδ ωγ zγ
zα zβ
r2
zδ
vβγ
vδ2
ω2
z2
v1α = vαβ = vβγ = vγδ = vδ2
35. ábra Láncszerűen kapcsolódó síkbeli fogaskerék rendszer Az ilyen rendszer módosítása csak a láncban első helyen és az utolsó helyen szereplő fogaskerék fogszámáról függ. Ezt a tényt annak alapján lehet belátni, hogy az összes kapcsolódó kerék kerületi sebessége azonos kell, hogy legyen, hiszen a fogkapcsolatok ezt a kényszert tartják fenn. Mármost ha az első kerék sugara r1 és szögsebessége ω1 az utolsó kerék sugara pedig r2 és szögsebessége ω2, akkor a lánc minden fogkapcsolatán közös v kerületi sebesség figyelembevételével: v ω r z r i= 2 = 2 = 1 = 1 . ω1 v r2 z2 r1 n
Az η = η1 η2 ...ηn = ∏η j képlet rendszer hatásfokára viszont érvényben j =1
marad. Az eredő nyomatékmódosítást most a k = η / i formula alapján lehet számítani. 3.4.2 A szíjhajtás A forgás, nyomaték és teljesítmény-átvitel klasszikus eszköze a lapos szíjas szíjhajtás. Ezen hajtásrendszernél a behajtó tengelyre és a kihajtó tengelyre egy-egy dobot ékelnek, mely dobok külső felületének meridiánmetszete nem a forgástengellyel párhuzamos egyenes, hanem enyhén görbült, a hordó alakjára emlékeztet. A két dobot végtelenített lapos haj64
tószíjjal kötjük össze. A 36. ábrán vázolt rendszerben a bal oldali kisebb r1 sugarú dob a hajtó dob, a jobb oldali nagyobb r2 sugarú pedig a hajtott dob.
F
ω1 n1 P1 r1 M1
F
v2
Ff F0
v1
ω 2 n2
Ff F0
r2 P2
M2
36. ábra Lapos szíjas szíjhajtás Az ilyen elrendezésnél a kimenő tengelyen megjelenő ω2 szögsebesség kisebb lesz, mint a bemenő tengely ω1 szögsebessége. Tekintettel azonban a hajtószíj rugalmas voltára, nem lehet állítani, hogy a két dob kerületi sebessége megegyezik, ezért további meggondolásokra van szükség a hajtás i módosításának felírásához. Valóban, a behajtó oldal rajzunkon felvett forgási iránya esetén a hajtó szíj felső ágában üzem közben mindig nagyobb húzóerő ébred, mint az alsó ágban, ezért azután a szíj elemeinek az alsó ágból a felső ágba való átkerülése során beálló szíjerő-növekedés – ha kis mértékben is, de – a szíj megnyúlását okozza, ezért a két dob kerületi sebességei eltérőek lesznek, azaz v1 ≠ v2. A kerületi sebességek eltérését figyelembe véve értelmezzük a látszólagos „csúszás”, a látszólagos „szlip” fogalmát:
s=
v1 − v2 v = 1− 2 . v1 v1
A látszólagos jelző arra utal, hogy itt alapvetően nem a dobfelület és a szíj között fellépő felületi csúszásról van szó, hanem a szíj rugalmas alakváltozásából adódik a szlip értékét kialakító kerületi sebesség eltérés. Normális üzemmódban a lapos szíjhajtás szlipje kicsi érték, 0.02…0.03 nagyságrendű. A szíjhajtás módosításjellemzői mármost rendre a következőképp alakulnak:
65
1. A módosítás az ismert definíció szerint a szlip jelentésének figyelembevételével: v2 ω v r r r i = 2 = 2 = 2 1 = 1 (1 − s ) . ω1 v1 r2 v1 r2 r1 2. A nyomatékmódosítás levezetéséhez a 37. ábrán kiemeltük a rendszerből a behajtó oldali dobot és feltüntettük a hajtószíj két ágát.
F Ff
r1
F0
M1
37. ábra A behajtó oldali dob 3. A felső szíj ágban – az un. „feszes” ágban – fellépő húzóerőt jelölje F, míg az alsó ágban – az un. „laza” ágban – fellépő erőt jelölje F0. A hajtás állandósult állapotában a két dob esetében a rájuk ható külső nyomaték (a behajtó ill. a terhelő nyomaték) és a szíjágakon átvitt erők nyomatéka egyensúlyban van. Ennek megfelelően érvényes, hogy: M 1 = ( F − F0 )r1
, M 2 = ( F − F0 )r2 .
A nyomatékmódosítás ezért: k=
M 2 ( F − F0 )r2 r2 . = = M 1 ( F − F0 )r1 r1
Adódott, hogy a nyomatékmódosítást a szíjhajtás esetében a dobok sugárviszonya egyértelműen meghatározza. 4. A hatásfokot legegyszerűbben a most is érvényes η = k i összefüggés alapján kaphatjuk meg:
η=ki=
66
r2 r1 (1 − s ) = (1 − s ) . r1 r2
3.4.3 A dörzskerekes hajtás A fogaskerékhajtásnál a kerekek fogazatának kapcsolódása alakzárási kényszert jelentett, ezért két kerék kerületi sebessége megegyező volt. A dörzskerekes hajtásnál más a helyzet: az egymáshoz szorított görgők súrlódási kölcsönhatásában kialakuló kerületi erő biztosítja a két kapcsolódó kerék makroszkópikus csúszás nélküli együttforgását. A dörzskerekek működési elve úgy is felfogható, hogy a kerekek érdes gördülőfelületein a mikro-egyenetlenségek egymásba kapcsolódó „csenevész fogazatként” alakítják ki a súrlódásos kölcsönhatást. Ha Fn jelöli a mindkét kerék középpontjára illeszkedő hatásvonalú, az érintkezési felületre merőleges összeszorító erőt, akkor a kapcsolatra jellemző súrlódási határerőt – a kapcsolaton átvihető kerületi erőt maximumát kijelölő erőt – a nyugvósúrlódási tényező µ0 értéke esetén az Fs = µ0 Fn képlet adja, és értelemszerűen a felületen makroszkópikus csúszás nélkül átvihető F kerületi erő abszolút értékét az ⏐F⏐≤ µ0 Fn összefüggés korlátozza. 3.5 Járművek működési ciklusának erőhatásviszonyai
Az előzőekben tárgyaltuk az ideális működési ciklus gyorsulásviszonyait. A 38. ábrán ismét felvázoltuk a gyorsulás időfüggvényét. Newton 2. axiómája szerint az eredő erő megegyezik a tömeg és a gyorsulás szorzatával:
n
∑ F = m a . Ezen összefüggés már mutatja, hogy az ideális működéi =1
i
si ciklus során a járműre ható eredő erő időbeli változását leíró függvény arányos lesz a jármű gyorsulásfüggvényével, ahol az arányossági tényező a jármű gyorsítás szempontjából mérvadó tömege. a
ag > 0 a≡0
t2
t3 t
t1 af < 0
38. ábra A gyorsulás-idő függvény. A 39. ábra a menetciklus megvalósításához szükséges eredő erő lefutását mutatja.
67
ΣFi
Fgy > 0
F≡0 t1
t2 Ff < 0
t3 t
39. ábra Az eredő erő a menetciklus során. Az ideális mozgásciklus megvalósításához szükséges eredő erő több komponensből tehető össze. 1. A járműre mindig működik a mozgását akadályozni igyekvő Fe < 0 alapellenállás erő. Jelen tárgyalásunk egyszerűsítése érdekében az alapellenálláserőt állandó értékkel vesszük figyelembe. Fontos azonban hangsúlyozni, hogy sok gépnél (pl. járműveknél) a sebesség jelentősen befolyásolja az ellenálláserő alakulását. 2. A járművet hajtó erőgép (pl. motor) által kifejtett Fm gépezeti vonóerő az ideális működési ciklus három fázisa során eltérő konstans értékeket vesz fel. A 0 ≤ t ≤ t1 időintervallumban a szükséges Fm gépezeti vonóerő az Fe alapellenálláserő leküzdéséhez és a konstans gyorsulás biztosításához szükséges Fg= mag gyorsítóerő összetevőkből adódik. Állandó ag > 0 gyorsulás esetén az említett két erő összege konstans nagyságú pozitív érték kell, hogy legyen: Fm = |Fe| + Fg > 0. A ciklus t1 < t ≤ t2 időintervallumában a szükséges hajtóerő csak az ellenálláserő leküzdésére fordítódik: Fm = |Fe| > 0. A ciklus harmadik t2 < t ≤ t3 intervallumában az erőgép felől gépezeti vonóerő bevezetése nem szükséges: Fm = 0. 3. A jármű ideális működésciklusa során csak a t2 < t ≤ t3 időintervallumban kell a fékberendezéssel erőt kifejteni. Az ekkor működő Ff erő negatív, mert a mozgást gátolni igyekszik. A 0 ≤ t ≤ t2 időintervallumban a fék nincs működésben, ekkor Ff = 0. A t2 < t ≤ t3 időintervallumban a jármű mozgását az e < 0 alapellenálláserő és az Ff < 0 fékezőerő negatív előjelűre adódó összege határozza meg kialakítva az af < 0 konstans lassulást. A 40. ábrán az Fe < 0 alapellenálláserő, a 41. ábrán az Fm ≥ 0 gépezeti vonóerő, a 42. ábrán pedig az Ff < 0 fékezőerő időbeli lefutását vázoltuk fel. 68
Fe
t2
t1
t3 t
40. ábra Az alapellenálláserő időbeli változása a mozgásciklus során. Fm
t2
t1
t3 t
41. ábra A gépezeti vonóerő időbeli változása a mozgásciklus során. Ff t2
t3
t1
t
42. ábra A fékezőerő időbeli változása a mozgásciklus során. 3.6 Járművek ideális működési ciklusának energetikai viszonyai
Az ideális működési ciklus teljesítményviszonyainak jellemzésére a P = F v képlet alapján számítható a járműre ható előjeles eredő erő P előjeles teljesítménye. A 43. ábra ezen eredő teljesítmény időbeli változását mutatja. Figyelemre méltó, hogy a gyorsítási szakaszon a járműbe bevitt eredő teljesítmény függvény alatti pozitív terület, ellentetten egyenlő nagyságú a fékezési fázisban a fékezőerő és az alapellenálláserő összege által elvont eredő teljesítmény függvényvonala és a vízszintes tengely közé zárt negatív területtel. P t2
+ t1
t3 −
t
43. ábra Az eredő erő teljesítménye
69
Mivel az ideális működési ciklusban működő erőfüggvények feltételezésünk szerint szakaszonként konstans-értékűek, és a sebességfüggvény pedig szakaszonként lineáris, nyilvánvaló, hogy a szóban forgó teljesítmény időfüggvények is szakaszonként lineárisak lesznek. A 44. ábrán felrajzoltuk a szóban forgó teljesítmény időfüggvényeket. Az ábra i.) részén az alapellenállás által felemésztett Pe ≤ 0 teljesítmény alakulását, a ii.) részén a gépezet által bevezetett Pm ≥ 0 teljesítmény lefutását, a iii.) részen a fékezőerő által elvont Pf ≤ 0 teljesítmény időbeli változását rajzoltuk fel. Az ábra iv.) részén a teljesítmény ábrák összesítve láthatók. i.) Pe
menetellenállás teljesítmény t1
t3
t2
t ii.) Pm
motor teljesítmény
t1
iii.)
t2
Pf
t3
t
fékteljesítmény t2
t3
t1
t
iv.)
ΣP
összegző ábra +
t1
t2
t3 t
−
44. ábra Az egyes teljesítmény összetevők az idő függvényében. 70
A P = P(t) eredő teljesítmény függvény integrálásával kiadódik a járműben tárolt mozgási (kinetikus) energia alakulásának időfüggvénye. Mivel az erdő teljesítmény felfutása időben lineáris, a mozgási energia felfutása origócsúcspontú másodfokú parabolával jelentkezik. A sebességciklus t1től kezdődő középső, állandó sebességű szakaszán a mozgási energia is állandó. A t2-től kezdődő fékezési szakaszban a lassulást kiváltó eredő teljesítmény lineáris változása miatt a mozgási energia ismét másodfokú parabola mentén éri el a zérus értéket a jármű megállásának t3 időpontjában, mely parabola csúcspontja most a t3 pontra illeszkedik. A 45. ábrán felrajzoltuk a mozgási energia alakulásának most taglalt szerkezetű időfüggvényét. Wkin max Wkin
t2 t1 45. ábra A mozgási energia változása.
t3
t
3.7 Gépek energiahasznosítása változó veszteségek esetén
A gép bemenő P1 teljesítménye (a bemenő energiaáram) fedezi a P2 hasznos kimenő teljesítményt (energiaáramot) és a gép Pv veszteségteljesítményét. Az energiaáram megmaradásának elve alapján érvényes a P1 = P2 + Pv teljesítmény-mérleg. A viszonyokat a 46. ábra blokkdiagramja szemlélteti. Általános esetben a Pv veszteség-teljesítmény a P2 hasznos kimenő teljesítmény függvénye, azaz Pv = f(P2) = Pv0 + Pvv(P2). A képletben Pv0 az állandó veszteség, a Pvv(P2) pedig a változó veszteség. P1
P2
GÉP Pv
46. ábra A teljesítmény-mérleg. 71
A gépek fontos alapjellemzője a P2n névleges teljesítmény. Ez a P2n azon legnagyobb kimenő (hasznos) teljesítmény, amelyet a gép időbeli korlátozás nélkül, tartósan kifejteni képes. A 47. ábrán felrajzoltunk egy növekvő veszteségteljesítmény függvényt és a gép hatásfok függvényének egy darabját. Pv(P2) ηmax Pv η(P2) B A
αA
PvA
PvB
P2A
P2B
P2
47. ábra Veszteség teljesítmény. Az ábrán a veszteségfüggvény görbéjén felvett A ponthoz az origóból P egyenest húztunk. Ezen egyenes tgαA = vA iránytangense fizikai tartalP2 A mat hordoz: megadja az A pontban az egységnyi hasznos teljesítmény kifejtésére eső veszteségteljesítményt. Természetszerű, hogy ezen jelentés alapján a veszteségfüggvény azon pontjai lehetnek relatíve kedvezőbb hatásfokot eredményező pontok, ahol ez a tgα iránytangens kicsi, sőt, a lehető legkisebb. Ezen gondolatmenet alapján a veszteségfüggvényhez az origóból húzott alsó érintőhöz tartozó B pont lesz a legkedvezőbb. Valóban, ebben a pontban lesz a hatásfok a lehető legnagyobb. A hatásfok kifejezését felírva: P2 . η= P2 + Pv
Ha P2 ≠ 0, akkor a képlet az η=
1 P 1+ v P2
Pv hányados éppen a veszteségP2 függvény görbéjének a P2 abszcisszájú pontjához az origóból húzott sugár P iránytangensét adja. Közvetlen szemléletből adódik, hogy a v hányados P2 alakba írható. A nevezőben szereplő
72
a lehető legkisebb értékét éppen a veszteséggörbét alulról érintő egyenes B érintési pontjában vesz fel, tehát a hatásfok ott lesz maximális, és értéke:
η max =
1 . Pv B 1+ P2 B
A fentiekből adódok, hogy a veszteségfüggvény alakja jelentősen befolyásolja a hatásfok viszonyok alakulását. A következőkben különböző esetekre vizsgáljuk a hatásfok viszonyokat a változó veszteség P2 függvényében való változásának jellegzetes eseteire. 1. A változó veszteség azonosan zérus. Ekkor a gép hatásfoka a P2 hasznos teljesítmény szigorúan monoton növekvő függvénye, a gép az ηmax legjobb hatásfokát a P2n névleges teljesítmény kifejtése mellett éri el. A viszonyokat a 48. ábra szemlélteti. A kialakuló η = η(P2) hatásfok függvénnyel kapcsolatban két összefüggés emelendő ki:
η max =
Pv
1 P 1 + v0 P2 n
A αA
,
B
lim η ( P2 ) = 1 .
P2 →∞
Pv = Pv0
αB
η 1
P2
η(P2) P2A
ηmax
P2B
P2n
P2
48. ábra A hatásfok zérus változó veszteség esetén. 2. A változó veszteség a P2 hasznos teljesítmény lineáris függvénye: Pv = Pv0 + cP2. Ekkor a gép hatásfoka ismét szigorúan monoton növekvő függvénye a P2 hasznos teljesítmény-leadásnak, a gép az ηmax legjobb hatásfokát a névleges teljesítmény kifejtése mellett éri el, de a csúcsha-
73
tásfok értéke kisebb, mint a váltózó veszteség nélküli esetben. Az itt vizsgált lineáris változó veszteségteljesítmény alakulás a mechanikai elven működő gépeknél jellegzetes. A viszonyokat a 49. ábra szemlélteti. A kialakuló η = η(P2) hatásfok függvénnyel kapcsolatban két öszszefüggés emelendő ki:
η max =
Pv
1 P + cP2 n 1 + v0 P2 n A
lim η ( P2 ) =
,
P2 → ∞
1 <1 . 1+ c
B Pv = Pv0 + cP2
1 1+ c
η
P2
1
ηmax P2A
P2B
P2n P2
49. ábra A hatásfok lineárisan változó veszteség esetén. 3. A változó veszteség a kimenő teljesítmény másodfokú függvénye. Ekkor a gép hatásfokának A P2 hasznos teljesítmény egy adott P2* értékénél lokális maximuma van, a gép ebben az üzemállapotban dolgozik a legjobb hatásfokkal. Ennél a P2* értéknél kisebb vagy nagyobb kimenő teljesítménynél a hatásfok csökken. Az itt vizsgált másodfokú változó veszteségteljesítmény alakulás a villamos gépeknél jellegzetes. A maximális hatásfok helyére és nagyságára nézve számszerű eredmények nyerése érdekében a veszteségteljesítményt leíró Pv(P2) = Pv 0 + c∗ P22 másodfokú parabola és az origóból Pa = λ P2 indított egyenes B pontbeli érintési feltételének vizsgálata szükséges. Tekintettel arra, hogy az érintő határhelyzetű szelő, elsőnek megoldjuk a másodfokú veszteségparabola és az origón átmenő egyenes metszéspontjai meghatározására alkalmas másodfokú egyenletet. Ez után érvényesítjük azt a feltételt, hogy az érintés fennállása miatt csak egy metszéspont lehet, tehát másodfokú egyenlet λ-tól függő diszkriminánsa zérus kell, hogy legyen. Innen az érintő egyenes λ meredeksége számítható, és kiadódik 74
az érintési abszcissza is, ami egyben a legkedvezőbb (optimális) terhelést, a P2* kimenő teljesítmény értékét is megadja. A parabola és az egyenes metszési problémája a két alakzat egyenletének egyenlővé tétele alapján: Pv 0 + c∗ P22 = λP2 , majd rendezve a következő másodfokú algebrai egyenlet adódik:
c∗ P22 − λP2 + Pv 0 = 0 . Mivel érintéskor egy (kétszeres) valós gyök van, ezért az egyenlet diszkriminánsa zérus: D = λ2 − 4 Pv 0c∗ = 0 . Ebből a λ együtthatót kifejezve: λ = 2 Pv 0c∗ . A λ ismeretében a hatásfok maximumhelyét adó P2* kimenő teljesítmény: P2∗ =
Pv0 . c∗
A legkedvezőbb P2* kimenő teljesítmény ismeretében a maximális hatásfok képlete azonnal adódik:
η max =
1 1 . = ∗ ∗2 ∗ Pv 0 + c P2 1 + 2 P c v0 1+ ∗ P2
A viszonyokat az 50. ábra szemlélteti.
Pv = Pv 0 + c ∗ P22 c ∗ P2∗2
Pv
Pv0
η
P2 1
ηmax
η(P2)
P2∗
P2n P2
50. ábra A hatásfok másodfokú parabola szerint változó veszteség esetén. 75
4. A változó veszteség a kimenő teljesítmény harmadfokú függvénye. Ebben az esetben a gép hatásfokának a hasznos teljesítmény egy adott ér∧
tékénél, a P2 helyen lokális maximuma van, a gép a legjobb hatásfok∧
kal a P2 teljesítmény kifejtésekor dolgozik, ennél kisebb vagy nagyobb terheléseknél a hatásfok csökken. Ez az eset a hidraulikus gépeknél jel∧
legzetes. A hatásfok P2 maximumhelyének meghatározását a hatásfok függvény első differenciálhányadosának eltűnési helye adja. A hatásfok függvény deriválását az alábbiakban jelöljük ki: d dP2
1 = 0. Pv 0 + cˆP23 1+ P2
A feladat megoldását az olvasóra bízzuk. Valamely gép terhelési viszonyait legegyszerűbb formában az x = P2/P2n hányadossal értelmezett un. terhelési tényező jellemzi. A normális üzemet megfogalmazó 0 ≤ P2 ≤ P2n esetben 0 ≤ x ≤ 1. Túlterheléskor, ha P2 > P2n , akkor x > 1. Az e pontban tárgyaltak szerint ha létezik, P2* vagy ∧
P2 optimális kimenő-teljesítmény a gépet ezen teljesítmény környezetében célszerű üzemeltetni. 3.8 Gépek periodikus mozgásai
Tárgyalásunk kezdetén rögzítsük a periodikus folyamat fogalmát. Valamely y(t) függvénnyel leírt folyamat periodikus, ha megadható olyan T periódusjellemző szám, hogy az y(t) értelmezési tartományába eső bármely t és a hozzá kapcsolt t + T érték mellett fennáll az y(t + T) = y(t) egyenlőség. Az időben végbemenő periodikus mozgásra ezt úgy fogalmazhatjuk, hogy található egy T periódusidő, amellyel tetszőleges, a mozgáslefutás értelmezési időintervallumába eső t és t + T időpontban a mozgás tetszőleges kinematikai jellemzőjének értéke megegyezik. A gépek és járművek működésekor igen sok esetben lép fel periodikus mozgás. A periodikus mozgások egy része lengésképes rendszerek esetén jelentkezik, másik részük a rendszerre kényszerített állandó ω szögsebességű forgómozgással kapcsolatos. A következőkben először a harmonikus lengőmozgást, majd a haladó és forgómozgás egymásba történő átalakítá76
sára alkalmas kulisszás és forgattyús hajtóművek mozgásfolyamatait, végül pedig a periodikus mozgás egyenlőtlenségének lendítőkerék alkalmazásával történő csökkentési módját tárgyaljuk. 3.8.1 Harmonikus lengőmozgás Mechanikai lengőrendszert úgy alakíthatunk ki, hogy egy tömeget alkalmas húzó-nyomó rugóval egy helyt álló ponthoz kapcsolunk. Ha a tömeget kimozdítjuk az eredeti nyugalmi helyzetéből, akkor a kimozdítás során a rugó ellenében munkát kell végeznünk, és ez a munka a rugóban, mint deformációs munka tárolódik mindaddig, amíg kezünkkel a tömeg mozgását meggátolva a rúgóerőt ellensúlyozzuk. Ha most elengedjük a tömeget, akkor a rugó visszatérítő ereje következtében a tömeg mozgásba kezd, és sebességének növekedésével kinetikus energiára tesz szert. A magára hagyott lengőrendszerben tehát energiaátalakulási folyamat indult el. A mozgás kezdetén csak a rúgóban volt felhalmozva deformációs munka, a megindult mozgás során ennek egy rész kinetikus energiává alakult. A megindult mozgásfolyamatnak azonban lesz egy pillanata, amikor a mozgó tömeg abba a helyzetbe kerül, ahol a kézzel történt kitérítés előtt nyugalomban volt. Mivel ebben a helyzetben nem volt rugódeformáció, ebben a helyzetben nincs deformációs munka a rugóban, hanem a kezdeti össz-energia most a középhelyzeten véges sebességgel átlendülő tömeg kinetikus energiájaként azonosítható. A középhelyzeten átlendült tömeg sebessége csökkenni kezd, mert a rugó most ismét deformálódik. Elérkezik egy pillanat, amikor a tömeg sebessége zérusra csökken (ez a mozgás irányváltásának pillanat). Ekkor a rendszer összenergiája ismét deformációs munka formájában a rugóban található. A tömegben tárolt kinetikus energia ebben az időpillanatban zérus. Az így elért helyzetből a mozgás indításakor kialakult folyamat ismétlődik meg a ellenkező mozgásértelem mellett. A zéró sebességről visszafelé induló tömeg kinetikus energiája növekszik, és a rugó megfeszítettségének csökkenése miatt a rugóban tárolódó deformációs munka a kialakult kinetikus energia nagyságával csökken, hiszen az energiamegmaradás elve érvényesül. A mozgás-indítás után T idő elteltével a vázolt folyamat arra vezet, hogy a tömeg ismét eléri a mozgás indulásakor felvett pillanatnyi helyzetét. A jelzett fizikai folyamatok – ha egyéb energiaelvezetés vagy energia hozzávezetés nem befolyásolja rendszert – egybevágó formában ismétlődnek T idővel jellemzett periódussal, és egy hosszabb, több periódust átfogó mozgásfolyamat alakul ki. Érzékelhető tehát, hogy a kialakult lengőmozgással párhuzamosan folyamatos energiaáramlás és energiaforma átalakulás megy végbe. A lengőrendszer tehát két energiatárolót tar77
talmaz, a tömeget, mint kinetikusenergia-tárólót és a rugót, mint deformációsenergia-tárolót. Jelen vizsgálatainkban csak lineáris karakterisztikájú rugókkal bíró lengő rendszerrel foglalkozunk. Az 51. ábrán felrajzoltuk ugyanazt a hengeres csavarrúgót deformálatlan és az F nyomóerővel deformált állapotban, feltüntettük továbbá a deformáció és a rugóerő kapcsolatát magadó F = F(y) lineáris rugódiagramot is.
F
F=sy s = tgα α
F
y
F=0 51. ábra Lineáris karakterisztikájú rugó és rugódigramja. Az y deformáció függvényében homogén lineáris változású F rugóerő az F = s y függvénykapcsolattal adható meg, ahol a szereplő s együttható a rugó „merevsége”, mely merevség mértékegysége nyilvánvalóan: [s] = N/m. Az s merevség mellett c = 1/s reciprokát is használhatjuk a rugó jellemzésre. Ez a reciprokként értelmezett mennyiség az un. „rugóállandó”, melynek mértékegysége: [c]= m/N. A rugó merevsége tehát „egységnyi rugódeformációt okozó erő nagyságával” van definiálva, míg a rugóállandó mint „egységnyi erő által okozott rugódeformáció nagyságával” van meghatározva. A lengőrendszer mozgásviszonyainak tanulmányozásához tekintsük az 52. ábrát! A felső ábrarész a lengő rendszer nyugalmi állapotát jeleníti meg, az alsó ábrarész pedig a tömegközéppontot jobbra y-nal kitérített állapotban a lengés megindulását megelőző helyzetben ábrázolja. Az egyensúlyi helyzetéből jobbra az y elmozdulás-vektorral jellemzett helyzetben lévő tömegre F = − s y vízszintes irányú, balra mutató értelmű visszatérítő erővektor működik. Mivel más erőhatás a tömegre nem hat, ez a „kitérésfüggő” F erő egyben a tömegre ható vízszintes eredő erő is. Newton II. axiómája szerint az eredő erő egyenlő a tömeg és a gyorsulás szorzatával. 78
s m F y
52. ábra Lengőrendszer. Érvényesítsük ezt a törvényt a lengő rendszerünk tömegére. A tömeg gyorsulása az időfüggő y(t) kitérés-vektor időszerinti második deriváltja. Ezzel és a rugalmas visszatérítő erőre kapott előbbi F = − s y összefüggés szerint az F = m a összefüggés a következő vektoros függvényegyenlet alakot nyeri: ..
..
F(t ) = m y (t ), F(t) = -sy (t ) ⇒ m y (t ) = − sy (t ) .
Valamely függvényegyenlet ismeretlene egy függvény az értelmezési tartománya feletti teljes menetében. A lengési kitérésre felírt függvényegyenlet megoldása egy olyan y(t) vektorértékű időfüggvény megtalálását jelenti, amelyet második deriváltjával együtt visszahelyettesítve a függvényegyenletbe, azt mindet t-re azonosan kielégíti. A nyert vektoros függvényegyenletet az egyszerűbb kezelés érdekében skalár függvényegyenletté alakítjuk. Tekintsük ehhez a jobbra mutató pozitívnak tekintett e egységvektort, ezzel a kitérés és a gyorsulás vektorértékű időfüggvények így írhatók fel: ..
..
y (t ) = y (t )e , y (t ) = y (t )e , ..
Ahol y (t ) és y (t ) már skalárértékű időfüggvények. A mozgást jellemző vektoros függvényegyenlet a bevezetett kifejezésekkel rendezés után az ..
..
..
m y (t ) + sy (t ) = m y (t )e + sy (t )e = [m y (t )e + sy (t )]e = 0e
alakot nyeri. Figyelembe véve az egyenlőség-sor jobb oldali két utolsó kifejezésével kapcsolatosan azt a tényt, hogy azonos e egységvektorral kifejezett két mennyiség minden t időpontra fennálló egyenlősége (azonos egyenlősége) maga után vonja az együtthatóként szereplő skalár szorzók 79
minden t-re való egyenlőségét a már skaláris y(t)ismeretlen függvényre vonatkozó .. m y (t ) + sy (t ) = 0 , ∀t függvény-egyenletet kapjuk. A kívánt y(t) megoldásfüggvényt kísérletező feltevés alkalmazásával, és a megoldás kritérium teljesülésének ellenőrzésével határozzuk meg. A kísérletező feltevést a kialakuló lengési folyamat periodikusságára vonatkozó fizikai ismeretünk alapján célszerű szinuszos függvény alakjában keresni. Ennek megfelelően tekintsük hipotetikus megoldásnak az y (t ) = A sin(αt + ε ) skalár függvényt, ahol A, α és ε három egyelőre ismeretlen konstans paraméter. A kísérletező feltevés helyességének ellenőrzése céljából kétszer deriváljuk a megválasztott hipotetikus megoldásfüggvényt: .
..
y (t ) = Aα cos(α t + ε ) , y (t ) = − Aα 2 sin(α t + ε ) .
A hipotetikus megoldásfüggvényt és második deriváltját most visszahelyettesítjük a függvényegyenletbe, és megvizsgáljuk, hogy az ismeretlen paraméter-hármas valamilyen értéke mellett teljesíthető-e a megkívánt azonosan nulla tulajdonság. A behelyettesítés után az
m[− Aα 2 sin(αt + ε )] + s[ A sin(αt + ε )] = 0 , ∀t egyenlőség azonosan, minden t-re való fennállását kellene érvényesíteni. Mivel a tényleges időfüggést adó sin függvény mindkét tagban azonos argumentummal szerepel, a feladat sikeres megoldása nem látszik lehetetlennek. Az együtthatókat kell tehát összehasonlítani, és megfelelő kritériumot előírni a bevezetett A, α és ε paraméterekre. Valóban, ha érvényesítjük az
mAα 2 = sA követelményt, akkor a visszahelyettesítéssel nyert egyenlőség azonossággá válik. Az A konstanssal egyszerűsíteni lehet és kritériumot kapunk arra vonatkozóan, hogy a lengő rendszerünk fontos paraméterei az s merevség és az m tömeg ismeretében milyen körfrekvenciájú szinusz függvények 80
lehetnek a függvényegyenlet hipotetikus megoldásában. Kifejezve α értékét, a nevezetes
α=
s m
képletet kapjuk a sajátlengés körfrekvenciájára, másképp: sajátkörfrekrad venciájára. A sajátkörfrekvencia mértékegysége: [α] = . A lengés sas játfrekvenciáját a T periódusidő reciproka értelmezi: f = 1/T, mértékegysége: [f] = 1/s = Hz. A lengés sajátkörfrekvenciája és sajátfrekvenciája szorosan összefügg: α =2π f . Az eddigi lépéseink tehát megoldásra, sőt végtelen sok megoldásra (megoldásfüggvény seregre) vezettek, melyek az α sajátkörfrekvencia ismeretében a következő képlettettel vannak meghatározva: y (t ) = A sin(
s t + ε ) , A és ε tetszőleges lehet . m
Egy konkrét mozgás meghatározásához – a jelzett kétparaméteres függvényseregből való kiválasztásához – tehát további feltételek hozzávételével konkretizálni kell a vizsgált mozgás esetén érvényes A és ε értékét. A feltételeket az által adjuk meg, hogy előírjuk egy rögzített t0 kezdeti időpontra az akkor fennálló helyzet y (t0 ) = y0 és sebesség .
y (t0 ) = v0 értékét. A jelzett feltételek előírását a „kezdeti értékek” megadásának nevezzük. Valóban, ha érvényesítjük a két kezdeti értékekre vonatkozó előírást, akkor egy két egyenletből álló egyenletrendszert kapunk a keresett A és ε érték meghatározására az alábbiak szerint:
y (t0 ) = A sin( .
y (t0 ) = A
s t0 + ε ) = y0 ⇒ F1 ( A,ε ) = y0 , m
s s cos( t + ε ) = v0 ⇒ F2 ( A, ε ) = v0 . m m
Rátekintve az egyenletrendszerre, azonnal látható, hogy a megoldásként adódó A és ε érték az előírt y0 és v0 értékeken kívül függ a rendszert meghatározó s merevség és m tömeg értékétől is. 81
Az elmondottak alkalmazását egy példán keresztül mutatjuk be. Legyen az előírt kezdeti időpont t0 = 0, a kezdeti helyzet legyen egy y0 > 0 pozitív érték, a kezdeti sebesség pedig legyen zérus: v0 = 0. A tömeget tehát kimozdítjuk az y0 > 0 helyzetbe, és ott egyensúlyban tartjuk (v0 = 0) az indítás t0 = 0 időpontjáig. Érvényesítsük az A és ε értékekre fent konstruált egyenletrendszert a most előírt kezdeti feltételek tekintetbe vételével! Ekkor behelyettesítés után az alábbi egyenletrendszer adódik:
A sin(
A
s 0 + ε ) = y0 > 0 , m
s s cos( 0 +ε) = 0 . m m
A zérus értékű részeket elhagyva az alábbi egyenletrendszerre jutunk:
A sin(ε ) = y0 > 0 , A
s cos(ε ) = 0 . m
A szereplő egyenletek közül először a második egyenletet szemügyre véve, megállapítható, hogy végtelen sok ε érték megfelelhet megoldásként, a legkisebb pozitív megoldást a ε = π/2 érték adja, a többi ettől ± k π -vel különbözik, ahol k egész szám. Elegendő mármost az ε = π/2 érték továbbvitele az első egyenletbe, ahonnan meghatározhatjuk a mozgás A konstansát. Mivel sin(π/2) = 1, kapjuk, hogy az előírt kezdeti feltételek esetén A = y0. A végigvitt gondolatmenet alapján kapott konstansok figyelembe vételével az előírt kezdeti feltételeket kielégítő mozgás kitérésfüggvénye a következő lesz: y (t ) = y0 sin(
s s π t + ) = y0 cos( t ) , ∀t ≥ 0 . m 2 m .
..
A megoldásként kapott mozgás y (t ) sebességfüggvényét és y (t ) gyorsulásfüggvényét is meghatározzuk a megfelelő deriválások végrehajtásával:
82
.
y (t ) =
d s s s [ y0 cos( t )] = - y0 sin( t ) , ∀t ≥ 0 , dt m m m
d2 s s s s y (t ) = 2 [ y0 cos( t )] = - y0 cos( t ) , ∀t ≥ 0 . dt m m m m
..
Az 53. ábrán felrajzoltuk a tekintett kezdeti értékekkel meghatározott T periódusidejű harmonikus lengőmozgás foronómiai görbéit. y y0
T=
s y(t) = y0 cos( t) , m
2π s m
T
y&
y& (t ) = - y 0
t s s sin( t) m m
T t
&y&
&y&(t ) = - y0
s s s cos( t) m m m
T t
53. ábra A harmonikus lengőmozgás foronómiai göbéi. 3.8.2 A kulisszás hajtómű Mér említést tettünk azokról a mozgásátalakítókról, amelyek az egyenletes körmozgást egyenes menti periodikus ide-oda (alternáló) mozgássá alakítják. Ezek jellegzetes reprezentánsa az 54. ábrán felrajzolt kulisszás hajtómű. A kulisszás hajtómű részeit rövid magyarázattal azonosítjuk: • egyenesbe vezető támaszok (1) • egyenesbe vezetett rúdfelek (az egyenesbe vezető támaszokon elcsúszhatnak) (2) 83
• kulissza (az egyenesbe vezetett rúdfelekhez kötve) (3) • kulisszakő (a kulissza vezetékben függőlegesen elcsúszhat) (4) • forgattyú csap (a kulisszakő furatába illeszkedve elfordulhat) (5) • forgattyú kar (6) • forgattyús tengely (fix állványon csapágyazva) (7)
ϕ v 6
5 4 3 2 1
vx
ϕ x
0
ω r
x
1 7
54. ábra A kulisszás hajtómű. A kulisszás hajtómű kinematikai törvényszerűségeinek vizsgálatához azt a koordináta rendszert választjuk, amelynek vízszintes tengelyére illeszkedik a forgattyús tengely középpontja, függőleges tengelye pedig a forgattyúkör bal oldali érintő egyenese. A viszonyokat az 55. ábra szemlélteti. v=rω
y
vk=v sinϕ
ω
ϕ
r
2r
x
55. ábra A kulisszás hajtómű mozgásviszonyai. Legyen a forgattyúkör sugara r. Jelölje a forgattyús tengely szögsebességét ω. Ha a t = 0 időpillanatban a forgattyúkar vízszintesen balra mutat, a t > 0 időpontban a vízszintestől az óramutató járásával azonos értelemben mért szögelfordulása ϕ = ω t. Jelölje a forgattyúcsap kerületi 84
sebességét v. Ekkor a kulissza elvezetési irányú mozgásjellemzői, az x elmozdulás, a vk sebesség és az ak gyorsulás könnyen felírható. Egyszerű geometriai meggondolás adja az x elmozdulás, mint a t idő függvénye: x(t) = r[1 - cos ϕ(t)] = r(1 - cos ω t) . A kulissza sebessége az x(t) elmozdulás ismeretében idő szerinti differenciálással adódik: vk(t) =
d d [ x(t )] = [ r (1 - cosωt )] = rω sin ω t . dt dt
A kulissza gyorsulása t szerinti ismételt differenciálással: ak (t) =
d d [vk (t )] = (rω sin ω t ) = rω 2 cosω t . dt dt
Mindhárom fent meghatározott mozgásjellemző függvényhez T = 2 π / ω periódusidő tartozik. Nem szorul különösebb bizonyításra, hogy a kuliszsza mozgására kapott kitérés-, sebesség- és gyorsulásjellemzők időfüggése az ω sajátkörfrekvenciájú harmonikus lengőmozgás törvényszerűségét követi. Ennek a kulisszás mechanizmusnak tehát fennáll az a tulajdonsága, hogy az egyenletes körmozgást végző forgattyú középpont kerületi sebességét „levetíti” a kulissza harmonikus lengőmozgáshoz tartozó sebességébe. Ezért helyes az a megállapítás, hogy a harmonikus lengőmozgás felfogható „az egyenletes körmozgás vetületeként”. Sok gyakorlati kérdés megválaszolásához szükséges a kulissza sebességés gyorsulás lefutásának a kulissza x kitérése (a lökete) függvényében történő megadása. Tekintsük e célból a vk kulisszasebesség és az x kulisszakitérés kifejezéseit a ϕ forgattyúszög függvényében, és fejezzük ki belőlük sinϕ és cosϕ értékét, majd emeljük ezeket négyzetre:
vk vk2 2 vk = rω sin ϕ ⇒ sin ϕ = ⇒ sin ϕ = , rω (rω ) 2 (x − r)2 r−x 2 . x = r (1 − cos ϕ ) ⇒ cosϕ = ⇒ cos ϕ = r r2
A két négyzetes szögfüggvény összege ismert trigonometrikus azonosság szerint: sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 , 85
Behelyettesítve a kinematikai jellemzők megfelelő kifejezéseit adódik a vk és az x között fennálló
(x − r) vk2 F (v k , x ) = + =1 (rω ) 2 r2 2
implicit összefüggés, amely egy ellipszis egyenlete. Az ellipszis középpontja az (r,0) pontban van, tehát az x tengelyen éppen a forgattyús tengely középpontjával fedésben. A vk kulisszasebességet az x kitérés függvényében az 56. ábra mutatja. Ha ω = 1, akkor az ellipszis körré válik. Ha ω > 1, akkor az ellipszis függőlegesen megnyúlt, ha ω < 1, akkor pedig a körhöz képest lapított alakot vesz fel. vk
r
2r
x
ω<1 ω=1 ω>1
56. ábra A kulissza sebessége a kitérés függvényében. A kulissza ak gyorsulásának az x kitérés függvényében való változását az idő függvényében megadott alakból kiindulva a cosϕ kitérésfüggésének figyelembe vételével kapjuk. Tekintsük tehát az ak(t) korábban felírt kifejezését: ak (t) = rω 2 cos ϕ . Mivel cos ϕ = (r-x)/r , ezért a keresett x-függő kulisszagyorsulás a következő alakban írható fel: r-x ak (x) = rω 2 . r Mint az leolvasható a kapott képletből, a kulissza gyorsulása a löket men86
tén lineáris, x = 0 -nál éppen rω 2 , míg x = 2r -nél értéke – rω 2 . A gyorsulás zéróátmenete éppen az x = r helyen van. A kulissza gyorsulás x függvényében való alakulását az 57. ábrán mutatjuk be. ak rω2 r
2r x -rω2
57. ábra A kulissza gyorsulása a kitérés függvényében. 3.8.3 A forgattyús hajtómű Az egyenletes körmozgás és az egyenes menti alternáló mozgás kölcsönös átalakítására alkalmas a forgattyús hajtómű. Például dugattyús belsőégésű motoroknál a dugattyú ide-oda váltakozó mozgását alakítjuk át forgattyús hajtóművel a motor főtengelyének forgó mozgásává. A fordított irányú mozgás átalakításra a dugattyús légsűrítő (kompresszor) példája említhető, amikor is a kompresszor forgattyús tengelyének forgómozgását alakítjuk át a kompresszor dugattyújának ide-oda váltakozó mozgásává. A forgattyús hajtómű mechanizmusát az 58. ábrán mutatjuk be. A szerkezeti részeket rövid magyarázattal azonosítjuk: • forgattyús tengely (1)
• hajtórúd (4)
• forgattyú kar (2)
• keresztfej (dugattyú) (5)
• forgattyú csap (3)
• egyenesbevezető (henger) (6) 3
2
4
x(ϕ)
ω ϕ
5
l r x=0, ha ϕ=0
6
1
58. ábra A forgattyús hajtómű. 87
Legyen a forgattyúkör sugara r, a hajtórúd hossza pedig l. Értelmezzük az λ = r/l hányadost. Ha l → ∞ , akkor λ → 0, és így a hajtórúd egyenesbe vezetett végpontjának mozgása egyre közeledik a kulisszás hajtómű kulisszájának mozgásához. A véges l hajtórúdhossz deformálja a kulisszás hajtóműnél jelentkező kinematikai jellemzők alakulását. Az 59. ábra szerint az egyenesbe vezetett hajtórúdvég sebesség maximuma az x elmozdulás függvényében a kuliszszás hajtóműnél érvényes x = r helyről az r+ε helyre tolódik előre (ε >0), és a maximális sebesség nagysága: vmax ≈ rω(1 + λ2/2), azaz a maximális sebesség megnövekszik a kulisszás hajtóműnél érvényes rω értékhez képest. v vmax 0
r
ε
2r x
59. ábra A sebesség változása forgattyús hajtómű esetén. Ezzel egyidejűleg az egyenesbe vezetett hajtórúdvég gyorsulás függvényének zérushelye is a 60. ábrán vázolt módon az r + ε pontba tolódik előre, a forgattyú oldali maximuma rω2(1-λ), keresztfej oldali szélső értéke −rω2(1+λ). A mozgás periódusideje azonban T = 2 π / ω marad. a
0
rω2(1-λ) 2r x
r r+ε −rω2(1+λ)
60. ábra A gyorsulás változása forgattyús hajtómű esetén. 88
3.8.4 A gépek forgásának egyenlőtlensége – lendítőkerék Belsőégésű motorok nyomatékszolgáltatása a hengerben uralkodó gáznyomástól és a hajtó mechanizmus gyorsulási viszonyaitól függően periodikus ingadozást mutat. Kétütemű motornál minden második ütemben történik hasznos nyomaték-bevezetés, négyütemű motornál pedig minden negyedik ütemben. A motor szögsebessége még állandó nyomatékterhelés mellett is periodikusan ingadozó lesz. A 61.ábrán felrajzoltuk egy többhengeres motor forgattyús tengelyére működő eredő hajtónyomaték Φ szöggel periodikus Mh(ϕ) lefutását a forgattyús tengelyének ϕ szögelfordulása függvényében. Feltüntettük továbbá a ϕ szögelfordulástól független konstans terhelőnyomatékot megjelenítő vízszintes vonalat is. Mh(ϕ)
W+
Mt
Mt Mh(ϕ)
Φ
Φ
Φ
ϕ ϕ0 ϕ0 + Φ 61. ábra A nyomaték periodikus változása. A 62. ábrán vázolt, a ϕ szögelfordulás függvényében periodikus szögsebességű forgó mozgás jellemzése az egy perióduson belül előforduló ωmax legnagyobb és ωmin legkisebb szögsebesség alapján az
ωk =
ω max + ω min 2
képlettel definiált közepes szögsebességgel történik. A forgómozgás egy perióduson belüli egyenlőtlenségét pedig a
δ=
ω max − ω min ωk
egyenlőtlenségi fok jellemzi. 89
A periodikus hajtónyomaték betáplálást jellemző Mh(ϕ) függvény akkor van megfelelő összhangban a konstans Mt terhelőnyomatékkal, ha az Mh(ϕ) függvénynek a Φ periódusra vett integrálátlaga megegyezik a Mt terhelőnyomaték értékkel, azaz érvényes az 1 Φ
ϕ 0+ Φ
∫ϕ M
h
(ϕ )dϕ = M t
0
összefüggés. Ekkor az egy periódus alatt bevitt hajtóenergia éppen megegyezik a terhelés által egy periódus alatt felhasznált energia abszolút értékével, így a kvázi-stacionárius üzem fenntartásának feltétele teljesítve van.
ω ωmax ωmin
ωk
ϕ 62. ábra A szögsebesség periodikus változása. A 61. ábrán sraffozással jelöltük azt a W+ munkaterületet, amely a hajtó és terhelő nyomatéki függvény különbségével meghatározott, a forgó rendszer gyorsítására fordítódó nyomaték munkájának grafikus megjelenítése. Valóban, a szögelfordulás függvényében felrakott Mh(ϕ) hajtónyomatéki függvény alatti terület – amelyet matematikailag határozott integrálással kapunk – fizikailag a nyomaték által a rendszerbe vezetett munkát adja meg. Hasonlóképp, a konstans Mt terhelő nyomaték által a rendszerből kivezetett munka is egy munkaterülettel jelentkezik, azonban mivel Mt konstans, itt egy téglalapterület adódik. Azon [ϕ1,ϕ2] szögelfordulás intervallum felett, ahol az Mh(ϕ) hajtónyomatéki függvény magasabban halad, mint az állandó Mt terhelő nyomaték, az Mh(ϕ) által bevezetett munka nagyobb mint az Mt terhelő nyomaték által elvont munka, és az így jelentkezett W+ munkatöbblet a rendszer kinetikus energiájának növekedésében jelenik meg. A W+ munkatöbblet hagyományos neve: „munka90
túlmány”. Ezt a tényt fogalmazza meg a munkatétel, amely kimondja, hogy „a forgó rendszerre ható eredő nyomaték egy adott szögintervallumban végzett munkája egyenlő a munkavégzés végén és a munkavégzés elején a forgó rendszerben jelen lévő kinetikus energia különbségével”. Mivel a 63. ábra szerint a ϕ1 szöghelyzetben a forgó rendszer szögsebessége ωmin, és a ϕ2 szöghelyzetben a forgó rendszer szögsebessége ωmax , a munkatétel a következő alakot nyeri: ϕ2
1 1 2 2 . W = ∫ [ M h (ϕ ) − M t ]dϕ = Θωmax − Θωmin 2 2 ϕ1 +
W+
Mh
ω ωmax
ωk
ωmin
ϕ1
ϕ2
ϕ
63. ábra A nyomaték és a szögsebesség változása. A munkatételben szereplő Θ mennyiség a forgó rendszer össz-tehetetlenségi nyomatéka. A munkatétel jobb oldalán álló kifejezést nevezetes szorzat formára hozva a következő összefüggés sor adódik: W+ =
1 1 1 2 2 2 2 Θωmax − Θωmin = Θ(ωmax − ωmin )= 2 2 2 1 = Θ(ωmax − ωmin )(ωmax + ωmin ). 2
Szorozzuk meg a jobboldali kifejezést formális bővítésként az egységnyi értékű ( ωk / ωk ) törttel, ekkor a következő alakot kapjuk: W+ = Θ
(ωmax − ωmin ) (ωmax + ωmin ) ωk . ωk 2 91
A kapott kifejezés első törtje a korábban bevezetett δ egyenlőtlenségi fokot jelenti, a második törtben pedig az ωk közepes szögsebesség definíciója ismerhető fel. Ezekkel a képletünk a következő tömör alakot ölti: W+ = Θδωk2 . A most kapott formulánk megadja a lehetőséget arra, hogy méretezzük az adott δ egyenlőtlenségi fok-korlát betartását lehetővé tevő lendítőkeret. Ha ugyanis a δ egyenlőtlenségi fok és az ωk közepes szögsebesség értéke rögzített, akkor W+ ismeretében kiszámítható a megadott kinematikai feltételek teljesítéséhez szükséges azon
Θ=
W+
δωk2
össz-tehetetlenségi nyomaték érték, amelynek a rendszerben jelen kell lennie. Amennyiben a lendítőkerék nélküli forgó rendszerben a szerkezeti adottságokból adódóan jelen lévő tehetetlenségi nyomaték értéke Θg, akkor két gyakorlati eset lehetséges: 1.) Ha Θg ≥ Θ, akkor a megadott δ és ωk feltételek biztosításához nincsen szükség lendítőkerékre, 2.) Ha Θg < Θ, akkor a megadott δ és ωk feltételek biztosításához Θl = Θ − Θg tehetetlenségi nyomatékú lendítőkerékre van szükség. A lendítőkerék kialakításánál azon alapelv érvényesítendő, hogy a tömeg zömét a fogástengelytől a lehetőleg távolra helyezzük. Ezt azzal magyarázhatjuk, hogy a forgástengelytől távolabbi tömegelemek hatékonyabban vesznek részt a test össz-tehetetlenségi nyomaték értékének kialakításában, ugyanis hozzájárulásuk az össz-tehetetlenségi nyomaték értékéhez a forgástengelytől vett távolságuk négyzetével arányos. A motor forgattyús tengelyének végére csavarkötéssel felerősíthető lendítőkereket a 64. ábrán vázoltunk fel. A tehetetlenségi nyomaték fogalmát és [Θ] = kg m2 mértékegységét a hallgatóság megismerte a középiskolai fizika tanulmányozása során.
92
64. ábra Lendítőkerék. A fogalom felfrissítése érdekében a 65. ábrán az r sugarú körpályán mozgó m tömegpont esetére és a különböző ri sugarú körpályákon egymással kényszerkapcsolatban közös forgástengely körül forgó mi tömegpontok rendszerére adjuk meg a tehetetlenségi nyomaték számítására alkalmas formulákat. m
m1
m2
r1
r2
r rn mn
mi
n
Θ = mr2
ri
Θ = ∑ mi ri 2 i =1
65. ábra Tömegpontok tehetetlenségi nyomatéka. Végül a 66. ábrán a műszaki munkában alapvetően fontos R külső sugarú, m tömegű „telihenger” alakú testnek a henger tengelyére mint forgástengelyre vett tehetetlenségi nyomatékát adjuk meg.
m R
Θ1
Θ2
Θ3
telihenger Θ = Θ1 – Θ2 − Θ3 Θ = 0,5 mR2 66. ábra Lendítőkerék tehetetlenségi nyomatékának számítása.
93
A 66. ábra szerinti lendítőkerék tehetetlenségi nyomatékát ki lehet számítani a teli-hengerre vonatkozó képlet többszöri alkalmazásával, oly módon, hogy előbb a befoglaló telihenger Θ1 tehetetlenségi nyomatékát számítjuk ki, majd ebből kivonjuk az üreges részek kialakítása céljából eltávolítandó ugyancsak telihenger alakú részek Θ2 és Θ3 tehetetlenségi nyomatékát.
4
Járművek áramlástani folyamatai
Az áramlástani vizsgálatok első részében a folyékony közeg tulajdonságait egyszerűsítve, az „ideális folyadék” tulajdonságok érvényességének feltételezésével élünk. Az ideális folyadékot az alábbi négy tulajdonság jellemzi: 1. homogén kontinuum, 2. benne súrlódás nem lép fel, 3. csak nyomófeszültséget képes átvinni, 4. kohéziós hatás nem lép fel. A későbbi tárgyalásunkban pontosítani fogjuk az ideális folyadék feltételezésével nyert eredményeket, és figyelembe vesszük az áramlásai veszteségeket is. 4.1 A nyugvó folyadék egyensúlya
4.1.1 A folyadék nyomása A folyadéktér valamely adott P pontjának környezetként felveszünk egy kicsi ∆A területű négyzet alakú síkdarabot, úgy, hogy a P pont a felület középpontjában helyezkedjen el. A viszonyokat a 67. ábra mutatja. A felvett működő nyomóerő legyen ∆F nagyságú. A P pontban értelmezett ∆F ( P , ∆A ) hányados értelmezi. nyomás közelítő értékét a p ∗ ( P , ∆A ) = ∆A ∆ F ⊥ ∆A ∆F P
∆A
67. ábra A nyomóerő a P pontban. 94
A P pontbeli nyomás pontos meghatározása határátmenettel adódik:
∆F ( P, ∆A) dF = . ∆A→ 0 ∆A dA P
p( P) = lim
Mint az a definiáló összefüggésből leolvasható a nyomás felületegységre ható fajlagos erő. A nyomás nem függ a definiálásához használt felületelem térbeli állásától. A nyomás mértékegysége: [p] =
N = Pa. m2
Sok gyakorlati problémánál a nyomásviszonyok olyanok, hogy a nehézségi erőtér jelenléte miatti nyomásváltozások elhanyagolhatók. Ebben az esetben Pascal tétele szerint a folyadék által kitöltött teljes folyadéktér minden pontjában a folyadéknyomás megegyezik. A Pascal tétel gyakorlati bizonyítását adja a Heron-labdával végzett kísérlet. Egy gömb alakú edényre a 68. ábra szerint hengeres kivezető csövet forrasztunk, a hengeres csőbe jól záró, de nem szoruló dugattyút helyezünk, mely dugattyúhoz elegendően hosszú, a gömbbel ellentétes irányban kivezetett dugattyúrúd kapcsolódik, hogy a dugattyú a csőben tengely-irányban így mozgatható legyen. A gömb alakú edényre a meridiángörbéi mentén egyenletes osztásban igen kis átmérőjű lyukakat készítünk. Mármost a gömb alakú edényt vízzel megtöltve és a dugattyút a gömb felé mozgatva folyadéknyomás keletkezik és a folyadék a gömbön készített kis lyukakon keresztül radiálisan kilövell, megfigyelhetően a tér minden irányában gyakorlatilag azonos hosszú folyadéksugár távozik. A kialakuló kép meggyőzheti a szemlélőt, hogy a gömb alakú edényben a kifolyónyílásoknál azok eltérő iránya ellenére a nyomáseloszlás egyenletes.
68. ábra Heron-labda. 95
4.1.2 A súlyos folyadék egyensúlya – a hidrosztatika alaptétele
A tartályban nyugvó folyadék esetén a nyomás változása a mélység függvényében kimutathatóan lineáris. Ha p a nyomás és z a mélységi koordináta, akkor válasszunk egy kisméretű, függőleges tengelyű hengeres folyadékrészt, melynek súlyát ∆G jelöli. A kis henger z mélységben lévő felső lapjára a p1 folyadéknyomásból lefelé ∆F1 erő működik. A henger z + ∆z mélységben lévő alsó lapjára pedig az ott uralkodó p2 folyadéknyomásból felfelé ∆F2 erő működik. A 69. ábrán jelzett három erő egyensúlyban van, ezért érvényes, hogy
∆F1 + ∆G − ∆F2 = 0.
0
p0 z p∆F1 1
∆z p2
ρ
p0
p α
∆A
∆G ∆A
p( z )
∆F2 z 69. ábra A hidrosztatikai nyomás. Figyelembe véve a henger alap és fedőlap ∆A felületét, és hogy a nyomásból származó erőt a nyomás és a felület szorzata adja, továbbá, hogy a súlyerőt pedig a térfogat és a sűrűség szorzataként kapott tömegnek a g nehézségi gyorsulással vett szorzatként számíthatjuk, a következő egyenlet adódik: p(z)∆A + ∆A∆zρg − p(z + ∆z)∆A = 0. A ∆A –val elosztva mindkét oldalt, majd kifejezve a nyomás növekményt a bal oldalon, előbb a p(z + ∆z) − p(z) = ρg∆z , majd mindkét oldalt ∆z-vel elosztva és ∆z→ 0 határátmenet után a dp ( z ) = ρg dz 96
függvényegyenletet kapjuk az ismeretlen p(z) nyomásfüggvény meghatározására. A kapott egyenlet mindkét oldalát z-szerint integrálva, és figyelembe véve, hogy a határozatlan integrálásnál egy tetszőleges valós konstans belép, kapjuk a p(z) = ρgz + c c paraméteres függvénysereget. A kapott végtelen sok függvényből a peremfeltétel figyelembevételével tudjuk kiválasztania a számunkra érdekes egyetlen nyomásfüggvényt. A peremfeltétel most azt rögzíti, hogy a nyomásnak a z = 0 mélységben, azaz a folyadéktükörnél meg kell egyeznie a p0 környezeti nyomással. Behelyettesítve a peremfeltételeket a p(z) függvénybe, a c meghatározására alkalmas p(0) = p0 = ρ g 0 + c = c egyenlőségsor adódik, ahonnan: c = p0. Így a folyadéktérbeli nyomásnak a mélység függvényében való változását a p(z) = p0 + ρ g z kifejezés – a hidrosztatika alaptörvényeként ismert – képlet adja meg. A következő alkalmazási példa a 70. ábra szerinti hidrosztatikus emelő működését mutatja be. A működés elve Pascal tételében rejlik, miszerint összefüggő súlytalan folyadéktérben a nyomás mindenütt ugyanakkora. Így ha az összefüggő folyadéktér nyomása két különböző méretű dugatytyúra hat, akkor a nyomással kapcsolatos két felületi erő (a két dugattyúerő) is eltérő lesz. Legyen F1 az A1 felületű kisebb átmérőjű dugattyún kifejtett erő, ekkor a nagyobbik, A2 felületű dugattyún fellépő erő: F2= F1A2/A1, mert a p nyomás Pascal törvénye szerint a teljes folyadéktérben azonos, és ezért akár p = F1/A1, akár p = F2/A2 alakban felírható. Adódik az emelő k = F2/F1 > 1 erőmódosítása. F1 F2 p A...1 ...
...
p ...
...
... ...
...
...
...
...
...
... ... ... ...
A
...2 ... ... ...
70. ábra Hidrosztatikus emelő. 97
4.1.2 Nyugvó folyadék energiatartalma és munkaképességei A 71. ábra szerinti A keresztmetszeti felületű hengeres tartályban nyugvó ρ sűrűségű folyadék esetén a folyadéktükör alatti a z mélységben felvett ∆h vastagságú réteg tömege ∆m = ρ A ∆h. A vizsgált folyadékréteg súlya ∆G = g ∆m, ahol g a nehézségi gyorsulás. A vizsgált ∆G súlyú folyadékréteg valamely alapszinttől számított h magasság esetén ∆W = ∆m g h helyzeti energiatöbblettel bír a h = 0 szinten elhelyezkedő azonos ∆m tömegű folyadékrészhez viszonyítva. Az említett ∆W helyzeti energia értéket a vizsgált folyadékréteg ∆G súlyával elosztva megkapjuk a vizsgált folyadékrétegben elhelyezkedő egységnyi súlyú folyadék w = ∆W/∆G = h fajlagos helyzeti energiáját. A mértékegységeket tekintve: [w] = [h] = [∆W]/[∆G]= Nm/N = m. A súlyegységre eső helyzeti energia tehát magasság mértékegységű, ez indokolja az „energiamagasság” megnevezés használatát.
ρ ...
H
...
...
...
∆h
... ... ...
... ... ...
... ...
z
... ... ... ...
...
∆G
...
... ...
... ...
h
... ... ...
...
71. ábra A nyugvó folyadék helyzeti energiája és energiamagassága. A z mélységben elhelyezkedő folyadékrésznek azonban további munkaképesség összetevője is van. A 72. ábra szerint a z mélységben uralkodó p - p0 túlnyomás a tartály falára merőleges f keresztmetszeti felületű vízszintes kivezető csőbe helyezett f felületű dugattyú súrlódásmentes ∆x elmozdulása esetén a folyadék ∆L = (p − p0) f ∆x = ρ g z f ∆x nagyságú munkát végez (munka = erő · elmozdulás). Ha ezt a munkát a kicsi ∆V = f ∆x térfogatban lévő folyadékrész ∆G súlyával elosztjuk, akkor az l = ∆L/∆G = ρg z f ∆x/ρg f ∆x = z = (p − p0)/ρg nyomásból származó fajlagos munkaképességet kapjuk. Az egységnyi folyadéksúlyra vonatozó z = (p - p0)/ρg munkaképesség mértékegysége a z mértékegységével egyezik meg, így szintén magasság mértékegységű, ezért méltán nevezik „nyomásmagasságnak”.
98
∆x
ρ... ...
f
...
...
...
z
...
∆F
...
∆G
...
...
... ... ...
...
...
...
...
...
...
...
... ... ...
... ...
... ...
... ... ... ...
72. ábra A nyomásból származó munkavégző. Tekintetbe véve, hogy a folyadéktükör alapszinttől számított H magasság esetén a H = h + z összeg tetszőleges folyadékszint kiválasztása esetén mindig teljesül, adódik a H = w + l egyenlőség is, ha a magasság értékek helyett beírjuk a levezetéseink eredményeként meghatározott, és velük megegyező mérőszámú egységnyi folyadéksúlyra vonatkozó fajlagos munkaképességeket. Ebből kiolvasható a következő tétel: A tartályban nyugvó folyadék esetén a tartály aljától számított tetszőleges 0 ≤ h ≤ H magasságban elhelyezkedő egységnyi súlyú folyadékrész munkaképessége a h megválasztásától függetlenül ugyanakkora, és a tekintett h geometriai magasság, valamint a z = (p - p0)/ρg nyomásmagasság öszszegével, azaz levezetésünk szerint a folyadéktükör H magasságával egyenlő (73. ábra).
h
ρ ...
H
...
...
...
...
∆h
... ... ...
... ... ...
...
z
... ... ... ...
...
...
∆G
h
z
...
... ...
0
...
h
... ...
z
...
...
0
w H
73. ábra A folyadék össz munkavégző képessége. 99
4.1.3 Nyugvó folyadék és szilárd test egyensúlya, hajók úszása és stabilitása A 74. ábra szerint elképzelhetjük, hogy a nyugvó folyadéktérben elhatárolunk egy zárt felülettel körülhatárolt (az ábrán vonalkázott) folyadéktérfogatot. Tekintettel arra, hogy a nyugvó folyadéktér egyensúlyban van, ezért az elhatárolt térfogatban elhelyezkedő folyadék G súlyát a zárt felület pontjaiban fennálló helyi folyadéknyomásból származó, a felületre merőleges felületi erőrendszer F eredője éppen kiegyensúlyozza, azaz G és F vektoriális összege zérusvektor.
p0
.. .. ..
.. ..
.. ..
..
..
G
.. ..
ρ .. .. ..
.. .. .. ..
.. .. ..
.. ..
F..
..
..
..
.. .. .. ..
.. ..
74. ábra Nyugvó folyadék és szilárd test egyensúlya. Amennyiben az elhatárolt térfogatból a folyadékot eltávolítanánk, és valamely, a folyadék sűrűségétől eltérő más sűrűségű szilárd anyaggal töltenénk ki, akkor a G erő megváltozna. Ha a behelyezett szilárd anyag sűrűsége nagyobb lenne, mint a folyadék sűrűsége, akkor mivel a felületen működő nyomásból származó F erő nem változna, a nagyobb G miatt egy lefelé mutató értelmű eredő erő keletkezne és a behelyezett test lefelé mozogna, és elsüllyedne. Ha azonban a behelyezett szilárd anyag sűrűsége kisebb lenne, mint a folyadék sűrűsége, akkor mivel az F erő ekkor sem változna, a kisebb G miatt egy felfelé mutató értelmű eredő erő keletkezne és a behelyezett test felfelé mozogna, és a felszínre emelkedve végül is részleges bemerülés melletti egyensúlyi állapot, úszás következne be. A folyadéktér felszínére emelkedett hasábszerű szilárd test úszását jellemző egyensúlyi helyzetet a 75. ábra mutatja.
100
ρs ... ...
...
... ...
b
G A
a ... ... ...
p0 ...
...
... ...
ρf
...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
F
75. ábra A szilárd test részleges bemerülése – úszása. Az úszás ténye miatt a szilárd test ρs sűrűsége most szükségképp kisebb, mint a folyadék ρf sűrűsége. Legyen az ábrán vázolt hasáb rajz síkjára merőleges síkokban fekvő alsó és felső felülete A, ekkor a folyadékba merült alsó felületre felfelé ható F1 felhajtóerő b bemerülési mélység esetén F1 = ˙(p0 +ρ g b) A. A folyadék felszínen és annak közel környezetében érvényes p0 nyomás figyelembe vételével a hasáb felső vízszintes felületre a nyomásból származóan ható erő nagysága F2 = p0A. A tekintett hasábra a vízszintes felületeire működő nyomásból adódó eredő felületi erő: F = F1 – F2 = (p0 +ρf g b)A - p0A =ρ g b A. Vegyük most figyelembe, hogy az úszó hasáb lefelé irányuló súlyereje G = ρs g a A alakban adódik. Mármost a felfelé ható F és a lefelé ható G erő eredője egyensúly esetén zérust kell, hogy adjon. Az így felírható F − G = ρf g b A – ρs g a A = 0 egyenlet alapján már a keresett b bemerülési mélység meghatározható: b=a
ρs . ρf
A kapott képletből is látható, hogy a részleges bemerülés melletti egyensúly – az úszás – megvalósulásának feltétele az, hogy teljesüljön a ρs/ρf < 1 reláció, vagy ami ugyanaz, álljon fenn a ρs < ρf reláció. A folyadékban részleges bemerülés mellett úszó test egyensúlyának stabilitása a test tömegközéppontjának és a metacentrumának relatív helyzetétől függ. A test M metacentrumát a 76. ábra szerint az F felhajtóerő hatásvonalának és az egyensúlyából ∆ϕ szöggel a hossztengely körül kibillentett úszó test S tömegközéppontján átmenő (az egyensúlyi helyzetben eredetileg függőleges) szimmetriasíkjának metszéspontja definiálja. Ha a metacentrum a test tömegközéppontja felett van, akkor az úszó test egyensúlyi helyzete 101
stabilis, míg ha alatta van, az egyensúlyi helyzet labilis. A 76. ábrán vázolt esetben M magasabban van, mint S ezért tehát az eredeti egyensúlyi helyzet stabilis, mivel a ∆ϕ szöggel kibillentett állapotban az F felhajtó erő hatásvonalának az S tömegközépponttól mért vízszintes távolságaként adódó k karral számítható k F nyomaték az egyensúlyi állapotot visszaállítani igyekszik. Hasonló gondolatmenettel belátható, hogy ha a test S tömegközéppontja magasabban van, mint az M metacentrum, akkor az egyensúlyi helyzet labilis, mert a ∆ϕ szöggel történő kibillentés után a kialakuló k F nyomaték a ∆ϕ szöget tovább kívánja növelni, és bekövetkezik az oldalra borulás.
.. ..
..
..
f ∆ϕ s G M S d
.. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
..
.. .. k F ..
.. .. ..
.. ..
.. .. .. ..
76. ábra Az úszás stabilitása. 4.2 Folyadékáramlások
4.2.1 Alapfogalmak A folyadékáramlások vizsgálatában három alapmennyiség játszik fontos szerepet. A vizsgálat időszakában a folyadéktér pontjaiban a nyomás, a sebesség és gyorsulás alakulásának ismeretére törekszünk. A nyomásviszonyokat a hely és az idő függvényében változó p(r,t) nyomásmező jellemzi. A sebességi viszonyokat szintén a hely és az idő függvényében változó v(r,t) sebességi mező ismerete alapján lehet vizsgálni. A gyorsulási viszonyok vizsgálatához pedig az ugyancsak kétváltozós a(r,t) gyorsulásmező megadása szükséges. Amikor az áramlási viszonyokat vizsgáljuk, nem bocsátkozunk az egyes folyadékelemek mozgástörténetének feltárásába és elemzésébe, hanem arra koncentráljuk figyelmünket, hogy az áramlási tér adott r helyvektorú pontjában a t időpillanatban milyen az éppen ott tartózkodó folyadékelemre ható nyomás, milyen az áramlás során éppen ott áthaladó folyadékelem sebesség- és gyorsulás vektora. Az ilyen szemlélettel történő tárgyalást Euler-féle tárgyalásmódnak nevezzük, megkülönböztetést téve az egyes folyadékelemek egyedi történetét vizsgáló Lagrange-féle tárgyalásmódtól. Összefoglalva az elmondottakat 102
a folyadékáramlás viszonyainak tanulmányozásakor a következő három helytől és időtől függő függvénnyel kapcsolatosan kell vizsgálódnunk: 1. A nyomást jellemző p = p (r,t) skalármező, 2. a sebességet jellemző v = v(r,t) vektormező, és a 3. a gyorsulást jellemző a = a(r,t) vektormező. A szereplő függvényekben az r helyvektor befutja a vizsgált áramlási teret, míg a t idő a vizsgálat [t0, t0+T] időintervallumát. A három jellemző mező közül a gyorsulásmező igényel bővebb magyarázatot. Az áramlási tér valamely adott pontjában jelenlévő folyadékelem gyorsulása általános esetben ugyanis két vektorkomponens összegeként adódik. Az egyik komponens, az al(r,t) lokális gyorsulás vektor a rögzített r helyen a sebességvektor időbeli változását méri, ennek megfelelően a rögzített r helyen érvényes v(r,t) sebességmező idő szerinti parciális deriváltját kell meghatározni. A definiáló képlet ezek szerint: def
a l (r, t ) =
∂v (r, t ) . ∂t
A másik gyorsuláskomponens az ak(r,t) konvektív gyorsulás vektor pedig azzal kapcsolatos, hogy az adott pontba érkező folyadékelemnek a ∆t idővel előbbi r − ∆r helyzetében más, ∆v -vel eltérő sebessége volt, mint az adott, vizsgált r helyvektorú pontban fennálló v sebesség. A konvektív gyorsulás általános megadása tenzormennyiségekre vonatkozó ismereteket kíván. Mivel ezen matematikai objektumok tárgyalása csak a felsőbb évfolyamon kerül sorra, ezért a jelen tárgyalásunkban a konvektív gyorsulás kérdését csak az előírt görbe menti folyadékáramlás v = v(s,t) két skalár változós függvényként jellemzett sebességi mező egyszerű esetére vizsgáljuk. Az előírt pályagörbén a vizsgált helyet most a kezdőponttól a vizsgált pontig terjedő s pályaívhossz azonosítja. Ha ∆s jelöli az adott ponthoz érkező folyadékelem ∆t idő alatt befutott kicsi pálya-ívelemét, akkor az s helyen és a t időpontban a konvektív gyorsulás közelítő értékét az ak ≈ (∆v/∆s)(∆s/∆t) szorzat értelmezi, és ebből ∆t → 0 határátmenettel a pontos konvektív gyorsulást az
def ∆v ∆s ∂v( s, t ) ds ∂v( s, t ) = = v ( s, t ) a k ( s, t ) = lim ∆t →0 ∆s ∆t ∂s dt ∂s határérték adja. A kifejezésben szereplő első tényező a sebességvektor ív103
hossz szerinti parciális deriváltja, míg a második tényező az s helyen a t időpontban fennálló sebesség előjeles nagysága. A 77. ábrán egy áramlási tér egy darabját vázoltuk fel, ahol az áramlás sebességét a csőszerű térrész középvonalának s ívhosszával adtuk meg. Az áramlási tér alakja olyan, hogy valamely összenyomhatatlan folyadék állandósult, folytonos áramlása esetén a jelzett középvonal menti sebesség nem lesz állandó, mivel a nagyobb keresztmetszetű részen időegység alatt ugyannyi folyadéktömegnek kell áthaladnia, mint a szűkebb részen. Ebből a meggondolásból adódóan a nagyobb keresztmetszetnél a sebesség kisebb abszolút értékű kell, hogy legyen, mint a kisebb keresztmetszetben. s3 s1
0
v1
v3 v2
s2
77. ábra A sebesség változása az ívkoordináta mentén. Ha a vizsgált áramlási tér pontjaiban az al(r,t) lokális gyorsulás mindenütt zérus, akkor az áramlást időállónak, idegen szóval stacionáriusnak nevezzük. Ellenkező esetben az áramlás instacionárius. Fontos megjegyezni, hogy időálló áramlásban a konvektív gyorsulás akár az áramlási tér minden pontjában is zérustól különböző lehet. A 78. ábrán felrajzolt változó keresztmetszetű áramlási térben stacionárius áramlás megy végbe. A kiválasztott 1, 2 és 3 jelű pontokban érvényesülő sebességek eltérő előjeles nagyságai azonban időfüggetlen konstans értékek. v1 v1=állandó1
v2
v2=állandó2
v3
v3=állandó3
t t
1
t
t
t
2
t 3
78. ábra A sebesség változása stacionárius áramlás mellett. 104
4.2.2 Áramvonal, áramcső kontinuitás Az áramlási tér minden pontjában képzeljük el felrakva az ott uralkodó áramlási sebesség vektorát. Ekkor a 79. ábra szerint az áramlási térben haladó azon görbe vonalakat, amelyek minden pontjában az ott uralkodó sebesség vektorának tartóegyenese az adott pontban érinti a görbét, áramvonalaknak nevezzük.
v3
v1
v4
v2
79. ábra Áramvonal. Vegyünk fel a 80. ábra szerint az áramlási térben egy zárt g görbét. Az így felvett zárt görbe minden pontján futtassunk keresztül áramvonalat. Eljárásunk egy csőszerű felülethez vezet, amely az áramlási térben áramcsövet jelöl ki. Az elmondottak szerint az áramcső palástja áramvonalakból épül fel. Tekintettel arra, hogy az áramvonalak érintői mindenkor sebességirányúak, és így az áramvonalak alkotta paláston elhelyezkedő folyadékelemek a palástra merőleges sebesség összetevővel nem rendelkezhetnek, ezért folyadék az áramcső paláston nem léphet át. Ebből az következik, hogy az áramcsőbe folyadék csak a palástot metsző felület (speciálisan sík) zárt metszésgörbéje által meghatározott "keresztmetszeti" felületen át léphet be- vagy ki.
S
g 80. ábra Áramcső. Tekintsünk most egy olyan vékony áramcsövet, amelynek a keresztmetszetei mentén a 81. ábra szerint a sebesség eloszlás már egyenletesnek tekinthető. Jelölje a vékony áramcső valamely keresztmetszetének felületét A, akkor az A keresztmetszet minden pontjában közel egyenletes eloszlású v sebesség figyelembevételével összenyomhatatlan közeg esetében bármely keresztmetszetben érvényes az A v = állandó összefüggés. Ez a folyadékáramlás folytonossági (kontinuitási) tételének legegyszerűbb alakja. 105
Mivel az A v szorzat az A keresztmetszeten időegység alatt átáramló folyadéktérfogatot adja meg, ez értelmezi a Q& = A v térfogatáramot. Ha Q& & tömegáramot értékét megszorozzuk a közeg ρ sűrűségével, akkor az m kapjuk. Könnyen adódik, hogy a mértékegységeket tekintve [ Q& ] = m3/s, & ] = kg/s. Összenyomható közeg vékony áramcső menti stacionárius ill. [ m & = ρ A v = állandó alakban érvényes. áramlására a kontinuitási tétel az m
v2
∆ A2 ρ2
v1
∆ A1 ρ1 81. ábra A folytonosság tétele. 4.2.3 Az ideális folyadékra vonatkozó Bernoulli egyenlet A 82. ábrán vázolt vékony áramcsőben kialakuló stacionárius áramlás jellemzéséhez tekintsük az áramcső két, nem egybeeső keresztmetszetét. A vizsgált áramcső belépő keresztmetszetét az 1, a kilépő keresztmetszetét pedig a 2 index azonosítja. Az 1 jelű pontban az áramlási sebesség v1 nagyságú, a nyomás p1 nagyságú, míg a pont valamely referenciasíktól számított magassága h1. A 2 jelű pontot hasonlóképpen a v2, p2 és h2 érték-hármas jellemzi. Az áramló folyadék fajlagos össz-munkaképességét leggyakrabban a folyadéksúlyegységére eső mozgási energia (kinetikus energia) értékéből, a súlyegységére eső helyzeti energia értékéből és a folyadék súlyegységre vonatkoztatott nyomásból származó (külső), munkaképességéből számított összeggel jellemezzük.
A2 ρ A1 ρ v1
p2 p1
h2 h1
82. ábra Bernoulli egyenlet. 106
v2
A most bevezetett, a folyadék súlyegységére fajlagos munkaképességek magasság mértékegységet kapnak, mivel W munka és FG súlyerő esetén a W/FG hányados mértékegysége: [W/FG] = Nm/N = m. A elmondottak alapján mindig szem előtt kell tartani a bevezetett "magasság" megnevezések energetikai tartalmát. Hangsúlyozni kell, hogy míg a fajlagos kinetikus energia és a fajlagos helyzeti energia a tekintett súlyegységbe zárt anyagmennyiséghez kötött érték, addig a nyomásból származó fajlagos munkaképesség nem a tekintett súlyegységbe zárt anyagmennyiséghez kötött érték, hanem kívülről, a vizsgált, egységnyi súlyú anyagmennyiségre kívülről, a környezetében uralkodó folyadéknyomásból eredő átvitt munkaképesség. Ezek után megadjuk a bevezetett fajlagos munkaképességek rövid megnevezéseit:
• fajlagos mozgási energia:
v2/2g → sebességmagasság,
• nyomásból származó fajlagos munkaképesség:
p/ρg → nyomásmagasság,
• fajlagos helyzeti energia:
h → geometriai magasság.
A fentiekben elmondottak alapján a veszteségmentes, stacionárius áramlásra vonatkozó Bernoulli egyenletet, mint az össz-munkaképesség áramcső menti megmaradási tételét fogalmazhatjuk meg. Ha a szóbanforgó össz-munkaképesség e = v2/2g + p/ρg + h, akkor alkalmazva az összmunkaképesség megmaradására vonatkozó elvet az 1 és 2 jelű keresztmetszetekre, akkor előbb az e1 = e2 egyenlőséget, majd kifejtett alakban a v12/2g + p1/ρg + h1 = e1 = e2 = v22/2g + p2/ρg + h2 . egyenlőségsort írhatjuk fel, ami a stacionárius áramlásra vonatkozó Bernoulli-egyenlet alapformája. A felírt összefüggésben a vékony áramcsődarab végkeresztmetszetein érvényes 6 fizikai jellemző közötti implicit függvénykapcsolat került megfogalmazásra a következő elvi felírás szerint: F(v1,p1,h1,v2,p2,h2) = 0. A Bernoulli egyenlet konkrét alkalmazásai során azonban a szereplő 6 változó közül végül is csak egy változó maradhat ismeretlen, a többi ötöt vagy az előfeltételek (pl. geometriai magassági viszonyok), vagy a kontinuitási tétel (a térfogatáram állandósága) vagy mérések szolgáltatta adatok (pl. mért nyomások) alapján ismernünk kell. 107
Pl. 1.) A Bernoulli-egyenlet alkalmazása a Venturi-cső esetére A géptani vizsgálatokban sok esetben szükség van valamely csővezetékben kialakuló térfogatáram méréses meghatározása. Ezt a méréses vizsgálatot teszi lehetővé a Venturi-cső. A 83. ábra szerint a vízszintesen vezetett állandó keresztmetszetű csővezetékbe egy szorosan egymáshoz kapcsolódóan kialakított kúposan szűkülő majd bővülő csőrészt építünk be (konfúzor és diffúzor).
A a v 1 1 2 v2 p2 p ρ 1
∆h
ρm
83. ábra Venturi-cső. A csővezeték még eredeti alakú keresztmetszeténél és a kúpos szűkítő (konfúzor) legszűkebb, torkolati keresztmetszeténél a vizsgált csőrész tengelyére merőleges irányban nyomáskivezető csővégződést készítünk. Így lehetővé válik a konfúzorba történő belépés előtt és a konfúzor torkolatánál fennálló nyomás kivezetése és a fennálló nyomáskülönbség méréses meghatározása. A nyomáskülönbség mérése az ábra szerinti U-csöves manométerrel történik. A vázolt elhelyezkedésű Venturi cső esetén ismerve a konfúzor előtti A keresztmetszeti felületet és konfúzor torkolat a keresztmetszeti felületét, a v2 torkolati sebesség kifejezhető a kivezetett p1 és p2 nyomás ∆p = (p1−p2) különbségének ismeretében: v2 = 2( p1-p2 )/( ρ (1 − (a / A) 2 )) . A v2 sebesség ismeretében az időegység alatt átáramló térfogat (a térfogatáram) a Q& = a v2 összefüggés alapján számítható. A képlet alkalmazásához szükséges ∆p = (p1−p2) nyomáskülönbség az U−csöves manométer ∆h szinteltérése és a mérőfolyadék (pl. higany) ρm sűrűsége ismeretében (p1−p2) = ρm g∆h alakban számítható. 108
Pl. 2.) Kiömlés tartályból Sok mérnöki feladatok megoldása során szükséges valamely nagyméretű tartály kifolyónyílásán jelentkező térfogatáram ismerete. Amennyiben igen nagyméretű tartályt (elvileg végtelen nagy térfogatú tartály) vizsgálunk, akkor a tartálybeli folyadéktükör szintjének süllyedése a kifolyás első rövid időszakában elhanyagolható. Feltételezve a jelzett időszakban a kifolyás stacionaritását, Bernoulli egyenlet írható fel a tartálybeli folyadéktükör 1 jelű és a kifolyónyílás 2 jelű keresztmetszete között (84. ábra). A tartály nagy mérete miatt elfogadható, hogy v1≈ 0. Így a kiömlési sebesség: v2 = 2( p1 − p2 ) / ρ + 2 g (h2 − h1 ) . A fenti képlet alapján két speciális kérdésre könnyen kaphatunk választ. Az első kérdés: mi a helyzet, ha a tartály nyitott, azaz p1 = p0 is teljesül? A választ a Torricelli–féle kifolyási törvény adja: v2 =
2 g (h2 − h1 ) .
. . . . .. . . . . . . . .. . . 1 . p1 . . . . . . . . .
ρ
h1
p2 = p0 v2 2 A2 h2
84. ábra Kifolyás tartályból. A második kérdés: mi a helyzet, ha a tartály légnemű közeggel van töltve, melynek súlya elhanyagolható. Ekkor a h1 – h2 helyzetienergia változás zérusnak vehető és kapjuk a gázkiáramlásra érvényes Bunsen–féle kifolyási törvényt: v2 = 2( p1 − p 2 ) / ρ . 109
4.2.4 Folyadékszállítás dugattyús szivattyúval Számos mérnöki rendszerben szükséges folyadéktömegek áthelyezése. Az áthelyezendő folyadéktömeget szivattyú alkalmazásával hozhatjuk mozgásba és juttathatjuk el a kívánt helyen lévő tartályba. Ezen tantárgyban a térfogatkiszorítás elvén működő dugattyús szivattyú működését a 85. ábra alapján vizsgáljuk. A működés alapelve az, hogy külső energiaforrás felhasználásával a szivattyú periodikusan változtatott térfogatú térrészével kapcsoljuk össze az elszállítandó folyadékteret. A változó térfogatot a henger fala és változó helyzetű dugattyú felülete határolja. A munkatér növekedésekor a hengerben nyomáscsökkenés (depresszió) következik be és a külső folyadéktérből térfogatáram indul meg a munkatér felé. A henger ezen szívási ütem alatti feltöltődése után a dugattyú ellenkező irányú mozgásba kezd és így a munkatér térfogata csökkenni kezd.
H
p0
ω
s
hny ny
A
sz
r
hsz
ρ
85. ábra Dugattyús szivattyú. A csökkenő térfogat miatt kialakuló túlnyomás következtében folyadékáramlás indul meg a munkatérből kifelé. A távozó folyadéktérfogatot azután alkalmas csővezetékkel a kívánt helyen lévő tartályba vezetjük. A térfogatáram időbeli lefolyását a dugattyú mozgása határozza meg. A folyamatos működéshez a dugattyú periodikus ide-oda mozgatását a 85. ábra szerinti kulisszás hajtómű biztosítja. A nyomó- és a szívócsőben kialakuló térfogatáramlás időbeli lefutása instacionárius lesz, mivel a sebességi viszonyok a kulisszás hajtómű szinuszos sebesség-törvényét követik. Ha a dugattyúfelület A és a kulisszasebesség vx(t), akkor a pillanatnyi folyadékszállítás a nyomócsőben a
Q& (t ) = A v x (t ) képlettel írható fel. A 88. ábrán felrajzoltuk a nyomócsőben és a szívócsőben megvalósuló térfogatáramok időbeli alakulását. Látszik, hogy a 110
gép lévén egyszeres működésű, a nyomócsőben csak minden második félperiódus alatt van zérustól különbözö térfogatáram, azaz csak minden második löket „hasznos”. A szívócsőben kialakuló térfogatáram éppen egy félperiódussal van eltolódva a nyomócsőbeli térfogatáramtól. Itt is érvényes, hogy csak minden második löket „hasznos”. A diagramban vízszintes szaggatott vonallal tüntettük fel a nyomócsőben és a szívócsőben azonos nagyságú közepes térfogatáram szintjét. A közepes térfogatáram értéke azonban könnyen felírható képletben is a kulisszás hajtómű tengelyének n másodpercenkénti fordulatszáma, az A dugattyúfelület, az s dugattyúlöket tekintetbe vételével: Q& = A s n.
. Q
. Qsz
. Qny
_. Q 0
π/ω 2π/ω
t
4π/ω
86. ábra Egyszeres működésű dugattyús szivattyú térfogatszállítása. Ha a szivattyúval az alsó tartály folyadékszintje fellett H magasságban lévő folyadékszinttel bíró nyílt tartályba kell a folyadékot feljuttatni, azaz a szállítómagasság H, akkor a folydékszállításhoz szükséges közepes hajtóteljesítmény P = ρ g H Q& η alakban adódik, ahol η a szivattyú eredő hatásfoka. Fontos megjegyezni, hogy a szivattyú Hsz szívómagassága behatárolt érték, hiszen a szívócsőben nem csökkenhet a nyomás az aktuális üzemi hőmérsékleten érvényes telített gőznyomás pt értéke alá, mert ellenkező esetben a folyadékoszlop elszakad. Ezért érvényesnek kell lennie a H sz <
pt ρg
relációnak. Tekintettel a folyadékszállítás instacionárius voltára, az űrképződés elkerüésére adott fenti feltételen túlmenően még tovább kell korlátozni a szivattyú megengedett szívómagasságát, ennek a kérdésnek a részleteibe azonban most nem bocsátkozunk. 111
A dugattyús szivattyú folyadékszállítása növelhető, és egyenletesebbé tehető kettős működésű kialakítással. Ennél a géptípusnál a 87. ábra szerint a dugattyú mindkét oldalán munkateret biztosítunk. A vázolt hengerkialakítás, szelepelrendezés és csővezeték-kapcsolat esetén a gép a kulisszamozgás minden félperiódusában hasznos folyadékszállítás történik mind a szívó-, mind pedig a nyomócsőben, azaz minden löketbefutás „hasznos”. A kettős működésű dugattyús szivattyú nyomócsövében megvalósuló folyadékszállítás időfüggvényét és a közepes folyadékszállítást megjelenítő konstans vonalat a 88. ábrán rajzoltuk fel. Ekkor a közepes folyadékszállítás: Q& = 2 A s n.
ny s
sz 87. ábra Kettős működésű dugattyús szivattyú.
. Qny _. Qny 0
π/ω 2π/ω
t
4π/ω
88. ábra A folyadékszállítás kettős működésű dugattyús szivattyúval. A dugattyús szivattyú nyomócsövében igen nagy a folyadékszállítás ingadozása. A folyadékszállítás egyenletességét jelentősen növelni lehet légüst (légrugós energiatároló) alkalmazásával. A 89. ábrán egy egyszeres működésű szivattyú nyomóvezetékébe épített légüstöt mutat.
112
. . . . . . . . . . . . .
p
. qny
... ... ... ... ... ... ... ... ...
∆V ∆q
p
köz
. q
... ... ... ...
∆p . qsz
_. ∆q . qny q 0 π/ω 2π/ω
... ...
. qsz
t
t
89. ábra Légüst alkalmazása. A légüst működése azon alapul, hogy abban az időintervallumban, amikor a szivattyú pillanatnyi folyadékszállítása nagyobb a közepes folyadékszállításnál, a dugattyú által a nyomócsőbe továbbított folyadék egy része a légüstbe hatol az ott uralkodó levegőnyomás engedte mértékig (légrugó). Amikor azután a pillanatnyi folyadékszállítás lecsökken a közepes folyadékszállítás alá, akkor a légüstben jelen lévő folyadékot a légüstbe történt előző betöltési folyamat során megnövekedett levegőnyomás részben kitolja a légüst térfogatból, és ezzel a nyomócsőben kialakuló folyadékszállítás hiányt mintegy utánpótolva azt egyenletesebbé teszi. Jelölje ∆q a légüstben kialakuló legnagyobb levegőtérfogat-változás mértékét, a légüstbeli levegőnyomás változás legnagyobb értékét pedig ∆p. Feltételezve, hogy a légüstben a levegő állapotváltozása izotermikus (állandó hőmérsékleten végbemenő), a térfogatváltozási- és a nyomásváltozási folyamatok egyenlőtlenségi fokainak δV =
∆V ∆p ∆q = ≅ =δp Vköz Vköz pköz
közelítő egyenlősége adódik. Ebből az előírt δp nyomásegyenlőtlenség eléréséhez szükséges minimális légüstbeli levegőtérfogatot a következő képlet adja: ∆q . Vköz =
δp
113
4.2.5 Valóságos folyadékok veszteséges áramlása A gépekben végbemenő áramlások közege valóságos folyadék. További vizsgálataink során figyelembe kell venni a folyadéksúrlódás okozta energiaveszteséget is. Hasonlóképp, a csővezetékekben alkalmazott különféle elzáró szerkezetek és idomdarabok is áramlási energiaveszteséget okoznak, ezek hatását is tekintetbe kell venni. Viszkózus folyadék egyenes tengelyű, állandó keresztmetszetű vízszintes csőben végbemenő stacionárius áramlása során megvalósuló folyadéksúrlódással kapcsolatos energia-disszipációs hatás a csővezeték két végpontja közötti nyomásesés tényében nyilvánul meg. Az a helyzet ugyanis, hogy a csőkeresztmetszet állandósága miatt a folytonosság tétele szerint a sebesség nem változhat a csővezeték mentén, ezért a sebességmagasságoknak is meg kell egyezniük a cső két végpontjában. A kinetikus energia rovására tehát nem jelentkezik veszteség. Hasonlóképp, mivel a cső vízszintes, a két cső végen a geometriai magasságok megegyezőek, ezért a helyzeti energia rovására sem jelentkezhet veszteség. Marad egyedüli harmadik lehetőségként a nyomásból származó munkaképesség rovására kialakuló veszteség. A 90. ábrán felrajzoltuk a szóban forgó r0 belső sugarú csőben egy l hosszúságú vízszintes tengelyű hengeres folyadékelemre annak stacionárius tovaáramlása során fellépő fajlagos felületi erőket. Ezek a henger két kör alakú fedlapján működő nyomások és a henger palástján működő, csőtengely irányú és egyenletes eloszlású, a hengerbe zárt folyadék mozgását gátolni igyekvő viszkózus csúsztatófeszültségek.
r0
η ρ p1
l
τ
_ v
v
p2
90. ábra Súrlódásos folyadék áramlása csővezetékben. Bizonyítható, hogy a vizsgált l hosszúságú, r0 sugarú körkeresztmetszetű egyenes cső esetén, ha abban η dinamikai viszkozitású folyadék ál_ landósult v keresztmetszetmenti átlagsebességgel áramlik, az áramlás fenntartásához szükséges nyomáskülönbség: p1 − p2 = 8 η l v / r02. 114
A korábban tárgyalt ideális folyadékra vonatkozó Bernoulli egyenlet veszteségi taggal való kiegészítéséhez célszerű a veszteségmagasság fogalmát. A definíció azon alapszik, hogy a veszteség miatt fellépő p1 − p2 csőtengely menti nyomásesést a ρg konstanssal normálva magasság mértékegységben adódó fajlagos – a folyadék súlyegységére számított – munkaképesség csökkenést, veszteségjellemzőt kapunk. Az így értelmezett veszteségmagasság képlete: h' = (p1 -p2) /ρg, mértékegysége [h'] = m. 4.2.6 A veszteséges Bernoulli egyenlet, csővezetéki áramlások A veszteséges áramlások esetén a folyadéktér valamely áramvonala mentén a folyadék össz-munkaképessége nem maradhat állandó, hanem a disszipáció miatt az áramlás irányában csökkennie kell. Az ideális áramlásra vonatkozóan az előzőekben bevezetett munkaképességi mérlegegyenletet egy munkaképesség-veszteségi tag bevezetésével módosítani kell: e1 = e2 + e', ahol e' a folyadék munkaképesség veszteségét magadó tag. A folyadék súlyegységre vetített munkaképességeivel magasság mértékegységben megfogalmazott alak a következőképp alakul: v12/2g + p1/ρg + h1 = e1 = e2 + e' = v22/2g + p2/ρg + h2 + h'. A h' veszteségmagasságot célszerű kifejezni valamelyik sebességmagasság segítségével h' = λ (l/d)(v2/2g) alakban, ahol λ a csősúrlódási tényező, l a vizsgált egyenes csőszakasz hossza, d pedig a cső belső átmérője. A λ csősúrlódási tényező függ az áramlás réteges (lamináris 91. ábra) vagy gomolygó (turbulens 92. ábra) voltától. Az áramlás ezen két strukturális változatát a Reynolds féle szám kiszámításával tudjuk azonosítani.
_ v
v
91. ábra A lamináris áramlás sebességprofilja. 115
_ v
v
92. ábra A turbulens áramlás sebességprofilja. A Reynolds számot csőáramlás esetén a Re =
vd
⎛η ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ρ⎠
összefüggés értelmezi, ahol v a d belső átmérőjű csőben végbemenő áramlás keresztmetszetmenti átlag-sebessége. Ha Re < 2320, akkor az áramlást laminárisnak nevezzük, és a csősúrlódási tényezőt a λ = 64/Re képlettel számíthatjuk. Ha Re ≥ 2320, akkor az áramlást gomolygónak, keveredőnek vagy turbulensnek nevezzük. A Re < 105 tartományban a Blasius-formula használható, mely szerint λ ≈ 0,316/(Re)1/4. A turbulens áramlásban különböző felületi érdességű csövek esetén érvényesülő csősúrlódási tényezőről az r0/k paraméter paraméterrel jellemzett görbesereg tájékoztat. Itt r0 a cső névleges belső sugara, k pedig a legnagyobb felületi érdesség terjedelem félértéke. Minél simább a cső belső felülete, annál nagyobb az r0/k paraméter értéke. λ
log Lépték
λ=
64 Re
r0/k turbulens
15
0,05 130 lamináris
0,0015
500 2320
2·105
Re log lépték
93. ábra A csősúrlódási tényező a Reynolds szám függvényében. 116
A csővezetékben lévő idomdarabok és elzáró szerkezetek okozta áramlási veszteségeket a h' = ζ v2/2g veszteségmagassági tag formában jellemezzük, ahol a ζ veszteségtényezőt a csőidom geometriájának ill. a zárás mértékének függvényében táblázatból lehet kiolvasni. A 94. ábrán egyszerű blokkvázlattal érzékeltetjük a veszteséges Bernoulli egyenlet által megfogalmazott munkaképesség mérleget, miszerint az 1-jelű keresztmetszetben az egységnyi súlyú folyadék rész össz-munkaképessége fedezi a 2-jelű keresztmetszetben az oda érkezett egységnyi súlyú folyadékban meglévő össz-munkaképességet és az 1 → 2 áramlás során keletkező munkaképesség veszteséget.
e2
e1
e' 94. ábra Munkaképesség mérleg veszteséges áramlás esetén. A súlyegységre vonatkoztatott munkaképességekkel megfogalmazott veszteséges Bernoulli-egyenlet alap alakja mármost a következő: v12 p1 v22 p + + h1 = + 2 + h2 + h′ . 2 g ρg 2 g ρg A veszteséges áramlások kezelését a nagyméretű tartályból csővezetéken át történő, veszteséges kiáramlás példája szemlélteti. A 95. ábra szerinti nagyméretű tartály esetén ismét élni lehet a v1≈ 0 közelítéssel. Ismert p0 és p1 nyomás, valamint adott l1, l2 és l3 csőhossza, továbbá ismert ζk csőkönyök ellenállási tényező mellett a feladat megoldható.
. .. . ... ... .. ..p1.. ....... . . .. 1 ρ h1
p2 = p 0
ζk λ,d l1
l3 l2
2 A2
v2
ζ k h2
95. ábra Veszteséges kiáramlás tartályból. 117
Elsőnek meghatározzuk a veszteségmagasság kifejezését, figyelembe véve, hogy mind a három csőszakasznak azonos d átmérője van, és ezért a bennük kialakuló sebesség végig v2 lesz: h′ = λ
l1 + l2 + l3 v22 v22 , + 2ζ k d 2g 2g
Majd ezzel a veszteséges Bernoulli egyenlet a következő alakot nyeri: p v22 v12 p1 + + h1 = + 0 + h2 + h′ 2 g ρg 2 g ρg Elvégezve a szükséges behelyettesítést és a rendezést, a v2 kiömlési sebesség képlete előáll:
v2 =
2( p1 − p0 ) / ρ + 2 g (h2 − h1 ) . 1 + λ (l1 + l2 + l3 ) / d + 2ζ k
A kifolyónyíláson távozó térfogatáramot a Q& = A2 v2 képlet m3/s −ban a tömegáramot pedig az m& = ρ A2 v2 képlet kg/s -ban szolgáltatja. 4.3 Az impulzus tétel és alkalmazásai
4.3.1 Impulzustétel áramcsőre Valamely m tömegű és v sebességvektorú anyagi pont impulzusvektora I = m v alakban meghatározott. Iránya a sebességvektor tartóegyenesére illeszkedik, és értelme megegyezik a sebességvektor értelmével. Az m tömeg, mint skalár együttható szerepel. Tekintsük most az áramlási térben elhatárolt áramcsőrészbe zárt folyadék tömeg impulzusát a t időpontban. Ez a kiterjedt tömeg anyagi pontok végtelen összességeként fogható fel, és ha a benne szereplő mi tömegű és vi (t) sebességű anyagi pont impulzusa Ii(t) = mi vi(t), akkor az egész kiterjedt folyadéktömegre a szereplő pontok impulzusvektorait vektoriálisan összegezni kell, és a t időpontbeli össz-impulzus I(t) = Σ mi vi(t) alakban adható meg. A 96. ábrán a vizsgált áramcsőben tekintetbe vett folyadéktömeg a folytonos vonallal megrajzolt A(t) zárt felület által határolt térrészt foglalja el.
118
∆ m A2
v2
I0 ∆m
Α(t+∆t)
ρ
A1 v1
A( t ) 96. ábra Folyadéktömeg impulzusa.
Egy kicsi pozitív ∆t > 0 időnövekmény figyelembe vételével tekinthetjük a t időpontban az A(t) felülettel határolt folyadékelemek új helyzetét, a vizsgálatunk tárgyát képező folyadéktömeg a ∆t idő alatt ugyanis tovamozdul az áramcsőben és a t + ∆t időpontban a szaggatott vonallal rajzolt A(t + ∆t) zárt felülettel határolt térrészt tölti ki. Mivel a tömeg tovamozdult az áramcső mentén, az ellenőrzött tömegpontok most a t + ∆t időpontbeli végállapotban az áramcső más sebességű pontjaiban vannak, mint a vizsgálat kezdeti t időpontjában voltak. Ebből következik, hogy az ellenőrzött folyadéktömeg t + ∆t időpontbeli végállapotban fennálló I(t + ∆t) össz-impulzusa különbözni fog a kezdeti t időponban fennálló I(t) össz-impulzustól. A ∆t idő alatt tehát az impulzusvektorban változás történt. Figyelembe véve, hogy a tömegre ható eredő erőt az impulzusvektor idő szerinti deriváltja definiálja, tekintsük a t időponttól és a ∆t időtartamtól függő ∆I (t , ∆t ) = I (t + ∆t ) − I (t ) impulzusváltozást, és készítsük el ennek a ∆t időtartam egységére vonatkoztató különbségi hányadost: ∆I (t , ∆t ) I (t + ∆t ) − I (t ) = . ∆t ∆t Ezen különbségi hányados ∆t → 0 melletti határértékét képezve kapjuk a t időpontban az A(t) felületben jelenlévő „ellenőrzött” folyadéktömegre ható eredő erőt :
∆I (t , ∆t ) I (t + ∆t ) − I (t ) = lim . ∆t → 0 ∆t → 0 ∆t ∆t
F(t ) = lim
119
Stacionárius áramlás esetén a fenti határértéket könnyen meg tudjuk határozni. Legyen az áramlás stacionárius, és összhangban a 96. ábrával az áramcső belépő keresztmetszeti sebessége legyen v1, kilépő keresztmetszeti sebes& . Ekkor ∆t idő sége pedig legyen v2 , a stacionárius tömegáram legyen m alatt a vizsgált áramcsőben lévő tömegpontok tovamozdulnak az áramcső mentén. Jelölje I0 az eredeti helyzetben lévő áramcső határoló felülete (A(t)) és a ∆t idő után a tovamozdult helyzetben lévő áramcső határoló felülete (A(t+∆t)) által körülzárt térfogatok közös részében lévő folyadék össz-impulzusát (96. ábra vonalkázott rész). A ∆t idő alatti impulzus változás:
∆I = I0 + ∆m v2 - (I0 + ∆m v1) = ∆m (v2 - v1). Itt ∆m a ∆t idő alatt tovamozdult folyadéktömeg azon részét jelöli, amely a kilépő keresztmetszeten átlépve elhagyta az eredeti A(t) ellenőrző felülettel körülhatárolt térrészt. Behelyettesítve a nyert összefüggést a folyadéktömegre ható eredő F (t ) erőre korábban általánosan megfogalmazott kifejezésbe, kapjuk a keresett erő explicit kifejezését:
I + ∆mv 2 − I 0 − ∆mv1 I (t + ∆t ) − I (t ) ∆I (t , ∆t ) = lim = lim 0 , ∆t → 0 ∆t → 0 ∆t → 0 ∆t ∆t ∆t
F(t ) = lim
Elvégezve a lehetséges egyszerűsítéseket és képezve a határértéket
∆m ( v 2 − v1 ). ∆t → 0 ∆t
F (t ) = lim
Figyelembe véve még, hogy a stacionárius áramcső két vizsgált kereszt∆m metszetében a v1 és v2 sebesség állandó, és hogy a lim határérték ∆t → 0 ∆t éppen a stacionárius tömegáram értékét adja, kiadódik, hogy a t időpontban az eredeti kezdeti helyzetben lévő áramcsődarabba zárt folyadéktömegre ható eredő erő az
& (v2 - v1) F(t) = m képlettel van meghatározva. 120
4.3.2 Az impulzus tétel alkalmazásai, egyszerű turbinák Az impulzustétel alkalmazás lehetőséget ad az egyszerű turbinák nyomaték, teljesítmény és hatásfok viszonyainak meghatározására. A 97. ábrán a folyadék hozzávezetést biztosító un. sugárcső kifolyónyílásán kilépő szabadsugár radiális síklapátozású egyszerű akciós turbinát hajt.
ω
p0 A
ρ
r
v1
v2
F *= -F u
1
2 97. ábra Lapátos kerék.
A vizsgált szabadsugár egy áramcső darabját elhatároló ellenőrző felület az 1 jelű ponttól a 2 jelű pontig tart. Tekintettel arra, hogy a lapátos kerékben véges számú lapát helyezkedik el, a kialakuló áramlás a lapátok periodikus bemerülése és kilépése miatt szaggatott jelleget ölt, a vizsgált áramcsőbeli áramlás instacionárius. Azonban, mivel a kerék egyenletes szögsebességű üzemével foglalkozunk, kijelenthető, hogy az áramcsőbeli sebességkép időbeli középértéke állandónak vehető – és az áramlás így un. „kvázi-stacionárius” (mintegy stacionárius) tulajdonságú. A stacionárius áramcsőre ható eredő erőre levezett impulzustétel kvázi stacionárius áramlás esetén is érvényes, azonban ekkor csupán az eredő erő időbeli középértéke adódik eredményként. A fentek előrebocsátása után meghatározzuk a lapátos kerék által leadott hajtónyomaték és hajtóteljesítmény időbeli középértékének nagyságát. Tekintsük ehhez először az ellenőrzött folyadéktömegre a lapátozás és a folyadéksugár kölcsönhatása következtében ható erő középértékben vett alakulását az impulzustétel szerint. Mivel a vizsgált ellenőrző felület a 2jelű keresztmetszetén a folyadék közepes kilépési sebessége mindig a kerék u kerületi sebességével egyezik meg, ezért az impulzustétel szerint az ellenőrzött folyadéktömegre ható közepes eredő erő 121
F = m& (u − v1 ) alakban adódik. Mármost a lapátos kerékre ezzel az erővel ellentetten a folyadékból kiinduló F∗ = −F erő működik és fejti ki az M = F∗r = − m& (u − v1 )r hajtó nyomatékot. Figyelembe véve a lapátos kerék közepes sugaránál a kerületi sebesség és a kerék szögsebessége közötti u = rω kapcsolatot, felírható a lapátos kerékre ható hajtó nyomaték a szögsebesség függvényében: M = F ∗ r = −m& (rω − v1 )r = m& v1r − m& r 2ω . Ezzel meg van határozva a vizsgált egyszerű turbina M(ω) nyomatéki jelleggörbéje. Mint az leolvasható a kapott képletről, a hajtó nyomaték a kerék forgási szögsebesség függvényében lineárisan csökken és a hajtó nyomaték eltűnik, ha ω eléri a v1/r értéket, vagy ami ugyanaz, ha a kerék közepes sugarának u kerületi sebessége eléri a sugárcsőből érkező folyadék 1-jelű pontbeli v1 sebességét. A kereket hajtó P2 teljesítményt az M(ω) nyomatéki függvény ω szögsebességgel való beszorzása adja:
P2 = Mω = m& v1rω − m& r 2ω 2 A képletről leolvashatjuk, hogy a turbina teljesítménye parabolikusan változik a kerék szögsebessége függvényében. A turbinateljesítmény maximum helyét a P2(ω) függvény ω szerinti deriváltjának zérussal történő egyenlővé tétele után kapjuk:
d d d P2 (ω ) = ( Mω ) = (m& v1rω − m& r 2ω 2 ) = m& v1r − m& r 2 2ω = 0 , dω dω dω egyszerűsítés után: v1 − r 2ω = v1 − 2rω = 0, majd megoldva az egyenletet adódik a legnagyobb hajtó teljesítményhez tartozó szögsebesség:
ωm =
v1 . 2r
m& v12 . Maga a maximális leadott teljesítmény: P2max= 4 Szemléletesebb jelentést adhatunk a legnagyobb teljesítmény leadást biz122
tosító üzemállapotnak, ha r-rel átszorozva azt az um = r ωm lapátkerék kerületi sebességet írjuk fel, amely mellett a leadott teljesítmény a legnagyobb. A képlet ily módon az
um =
v1 2
alakot ölti, amely tehát azt mondja, hogy a legnagyobb turbinateljesítmény akkor vehető le a lapátos kerék tengelyéről, ha a kerék közepes sugáron érvényes kerületi sebessége éppen a fele a sugárcsőből kilépő folyadéksugár sebességének. M
P2
m& v1r
η
P2(ω)
P2max=
m& v12 4
ηmax= 1/2 η(ω)
v1 r
ω
v1 2r
v1 r
ω
98. ábra A lapátos kerék nyomatéka és teljesítménye. A vizsgált egyszerű turbina hatásfokfüggvénye is a kimenő teljesítményhez hasonló parabolikus változású, és csúcsértéke ηmax = 0,5. Ez abból látható be, hogy a sugárcsőből kilépő szabadsugár időegységenként P1 = & v12 kinetikus energiát hoz be a rendszerbe. A turbina legnagyobb 0,5 m
m& v12 hasznos teljesítménye pedig a P2max= érték. Innen a maximális tur4 v bina hatásfok ω m = 1 szögsebességnél: 2r
η=
P2 max P1
m& v12 1 = 4 2 = = 0,5 . m& v1 2 2
123
5
Járművek hőtani folyamatai
5.1 Az ideális gáz állapotegyenlete
A járművekben alkalmazott hőerőgépekben végbemenő energiaátalakulási folyamatok fizikai hátterét első megközelítésben ideális gáz munkaközeg feltételezésével elemezzük. Az ideális gázt az a tulajdonság definiálja, hogy az maradéktalanul követi a ideális gáz p V = m Rs T állapotegyenletét, mely állapotegyenletet a fizika tudománya a valóságos gázok viselkedésének megfigyelése alapján, lényegkiemelő absztrakcióval alakította ki. Az ideális gáz-állapotegyenletben p a gáz nyomását, V a térfogatát, m a tömegét, T az abszolút hőmérsékletét, Rs pedig a gáz specifikus gázállandóját jelöli. A p, V és T mennyiségeket a hőtanban az ideális gáz termikus állapotjellemzőinek nevezzük. Az ideális gáz állapotegyenletében szereplő termikus állapotjelzők és paraméterek mértékegységei rendre: [p] = Pa, [V] = m3, [T] = K; [m] = kg és [Rs] = Nm/(kgK) = J/(kgK). Az ideális gáz-állapotegyenletre tekintve azonnal adódik, hogy a három termikus állapotjellemző között fennáll egy F(p,V,T) = 0 implicit függvénykapcsolat, azaz csak kettőt lehet szabadon megválasztani közülük, a harmadik már szükségszerűen adódik a megválasztott kettőből. Így a következő három kétváltozós függvénykapcsolat adódik: p = f (V , T ) = mRs
T V
, V = g (T , p ) = mRs
pV T . , T = h ( p ,V ) = p mRs
Leggyakrabban a p = f (V , T ) függvénykapcsolatot használjuk, éspedig oly módon, hogy a T hőmérséklet állandó értéke mellett nézzük a p nyomásnak a V térfogat függvényében való változását. Állandó T0 mellett a p = f (V , T ) függvény konkrét felírásakor a p értékét megadó tört számlálójába a konstans k = mRsT0 érék kerül, a nevezőben pedig a V térfogat szerepel. Így a „p-V” diagram mezőben ábrázolható az állandó T0 hőmérséklet esetén érvényes p =
k kapcsolatot megjelenítő függvénygörbe, V
amely nyilvánvalóan egy hiperbola lesz (lásd 99. ábra).
124
p
A bejelölt ponthoz rendelt összetartozó állapotjellemzők:
p0, V0, T0 p0
T0 = áll. V0
V
99. ábra A „p-V” diagram állandó T0 mellett. A fentekben ismertetett összefüggések alapján nyilvánvaló, hogy ha megadunk a „p-V” pozitív síknegyedben egy pontot a p0 nyomás és V0 térfogat-koordinátákkal, akkor egyértelműen számítható az ezen ponthoz tartozó hőmérséklet T0 értéke. Mivel az állandó hőmérsékletű pontok hiperbolán helyezkednek el, ezért jogos az az elképzelés, hogy a diagram pozitív síknegyedét egymást nem metsző, és az állandó hőmérséklet értékkel paraméterezett hiperbola-sereggel befedettnek tekintjük. Ha egy ábrában ezeket a hiperbolákat bizonyos hőmérsékletlépcsőzéshez tartozó konstans hőmérsékletekhez tartozóan meg is rajzoljuk, akkor a gáz állapotváltozási kérdések tanulmányozásához célszerű hiperbola hálózású munkalap nyerhető. 5.2 Hőmennyiség, fajlagos hőkapacitás
Valamely tömegben a hőenergia jelenlétének ténye a tömeg hőmérsékleti állapotának méréses vizsgálatával válik érzékelhetővé. A testben tárolt hőenergiát a test belső energiájaként azonosíthatjuk. Azonos nagyságú tömeg esetén valamely megelőző állapothoz képesti magasabb hőmérsékleti érték tapasztalása a tömegben tárolt nagyobb mennyiségű hőenergia jelenlétét implikálja. A hőmérsékletemelkedés a testben tárolt hőenergia megnövekedését indikálja. Hasonlóképpen, ha a vizsgált tömeg hőmérséklete egy megelőző állapothoz képest csökken, akkor energiatartalmának csökkenése valósult meg. Vizsgáljunk most két szilárd testet, egyiknek a tömege legyen m1 a másiké pedig m2. Az m1 tömegű test hőmérséklete legyen minden pontjában T1, az m2 tömegű testé pedig ugyancsak minden pontjában legyen T2. Tegyük fel, hogy a hőmérsékletek viszonyára a T1 > T2 rendezés érvényes. Hozzuk érintkezésbe a két különböző hőmérsékletű tömeget. Egy idő 125
múlva azt tapasztaljuk, hogy hőmérsékletkiegyenlítődés történt. A nagyobb hőmérsékletű testből hőenergia áramlott át az alacsonyabb hőmérsékletű testbe, és kialakult az m1 + m2 össz-tömeg közös T hőmérséklete. A jelenség mennyiségi leírásához jelölje a magasabb hőmérsékletű m1 tömeg által leadott hőenergiát ∆Q1 és jelölje a hidegebb test által felvett hőenergiát ∆Q2. Az energiamegmaradási tétel lapján írhatjuk, hogy a pozitívnak tekintett hőenergia változásokra érvényes a ∆Q1 = ∆Q2 egyenlőség. Tekintetbe véve a végállapotként előálló közös T hőmérsékletet, és a kezdetben melegebb tömegből távozó ∆Q1 hőenergiának a ∆T1 = (T1 – T ) hőmérséklet változással és az m1 tömeggel való arányosságát, a
∆Q1 = c1m1 (T1 – T) = c1m1∆T1 képletet kapjuk, ahol a c1 arányossági tényező az m1 tömeg anyagi tulajdonságként érvényesülő hőtároló képességét tükröző állandó. Hasonlóképp, figyelembe véve a kezdetben hidegebb tömeg által felvett ∆Q2 hőenergiának a ∆T2 = (T – T2) pozitív hőmérséklet változással és az m2 tömeggel való arányosságát, a
∆Q2 = c2m2 (T – T2) = c2m2∆T2 képlet adódik, ahol a c2 arányossági tényező most az m2 tömeg hőtároló képességét tükröző, az anyagra jellemző állandó. A két tömegre bevezetett, a hőtároló képességre jellemző c anyagi állandó neve fajlagos hőkapacitás, átlagos értékének képletszerű származtatása a véges ∆Q energianövekményre és ∆T hőmérsékletnövekményre támaszkodva a c=
1 ∆Q m ∆T
képlettel történhet. Szavakban: valamely anyag átlagos fajlagos hőkapacitása az egységnyi tömeg egységnyi hőmérséklet változtatásához szükséges hőenergia értékével van meghatározva. A fajlagos hőkapacitás fogalmának pontos értelmezéséhez azonban még figyelembe kell venni, hogy ez az anyagi tulajdonság a T hőmérséklettől függő értéknek bizonyul, ezért a vizsgált anyag T hőmérsékleti állapothoz tartozó c(T) fajlagos hőkapacitását ∆T→ 0 határátmenettel, differenciálhányadosként kapjuk: 1 ∆Q(T , ∆T ) 1 dQ(T ) c(T) = lim = . ∆T → 0 m m dT ∆T 126
A fenti definíciós összefüggések alapján a fajlagos hőkapacitás mértékegysége megadható. Amennyiben a hőenergiát [∆Q] = J (dzsúl) mértékegységgel mérjük: [∆Q] = J . [c] = [m][∆T ] kgK Vegyük végül tekintetbe a már megállapított hőenergia kiegyenlítődés ∆Q1 = ∆Q2 egyenletét, amelyre támaszkodva meg lehet határozni a kiegyenlítődés végállapotában kialakuló közös T hőmérsékletet is:
∆Q1 = ∆Q2 ⇒ c1m1(T1 – T) = c2m2(T – T2) , ahonnan a közös T hőmérsékletre a
T=
c1m1T1 + c2 m2T2 c1m1 + c2 m2
kifejezést, azaz a tömegek eredetileg eltérő hőmérsékleteinek a tömegekre jellemző cimi abszolút hőkapacitásokkal súlyozott számtani átlagát kaptuk. A szilárd testek hőmérséklet-kiegyenlítődésével kapcsolatos fenti gondolatmenet a gázok esetére csak lényeges kiegészítéssel vihető át. Az ugyanis a helyzet, hogy a gázok belső energia változását ugyan a szilárd testekhez hasonlóan a konstans térfogat jelenlétében végbemenő folyamatként értelmezzük, ezért az eddig végigvitt, a fajlagos hőkapacitással kapcsolatos gondolatmenet a gázokra csak az állandó térfogaton megvalósult hőbevitel vagy hőelvezetés esetére érvényes. Azonban a gázok esetén a hőbevitel vagy hőelvezetés nem csupán állandó térfogaton, hanem végtelen sokféleképpen, változó térfogat és változó nyomás mellett is megvalósulhat egy adott hőmérsékleti állapot kis környezetében, és ezen nem konstans tétfogaton megvalósuló hőcsere esetében a gázba bevitt vagy elvezetett hő már nem lesz egyenlő a belső energia megváltozásával, hanem az − mint nemsokára látni fogjuk − a térfogatváltozási munkával is kapcsolatba lép. A gázok esetén elvileg lehetséges végtelen sokféle fajlagos hőkapacitás közül az állandó térfogat esetére meghatározott, és most v indexet nyerő cv fajlagos hőkapacitáson kívül csupán az állandó nyomáson meghatározott, és p indexet nyerő cp állandó nyomáson értelmezett fajlagos hőkapacitás játszik döntő szerepet a következő vizsgálatainkban. Képletszerűen felírva tehát a cv és cp fajlagos hőkapacitások, mint a gáz lényeges 127
anyagjellemzői a következő differenciális alakban származtathatók: cv =
1 dQ és m dT V = áll .
cp =
1 dQ m dT
. p = áll .
A most értelmezett két jellemző fajlagos hőkapacitás a hőtani vizsgálatokban további két fontos paraméterrel is kapcsolatban van. Egyrészt érvényes az Rs = cp - cv összefüggés, vagyis az ideális gáz Rs specifikus gázállandója éppen az állandó nyomáson és az állandó térfogaton értelmezett fajlagos hőkapacitás különbsége. Másrészt fontos jelentésű menynyiség, a később bevezetésre kerülő κ (kappa) adiabatikus kitevő a két jellemző fajlagos hőkapacitás hányadosaként κ = cp/cv alakban van értelmezve. 5.3 A hőtan első főtétele A hőerőgépek munkafolyamata a munkaközeg – most ideális gáz – nyomásának, térfogatának és hőmérsékletének jellegzetes alakulásával megvalósuló állapotváltozási szakaszokból épülnek fel. Az állapotváltozásokat energetikai folyamatok kísérik. Nevezetesen: egyrészről az állapotváltozás során a környezettel hőcsere (hőfelvétel vagy hőleadás) valósulhat meg, a hőcsere következtében a gáz tömegéhez kötött belső energiaszintje változhat. Továbbá tekintettel a nyomás (=fajlagos erő) és a térfogatváltozás (elmozdulással járó) jelenlétére mechanikai energia kerülhet bevezetésre vagy elvonásra.
Az energetikai viszonyok tárgyalásához alapvető fontosságú a termodinamika első főtétele, amely differenciális formában bármely állapotváltozásra érvényes: dQ = dU + dW, ahol dQ a differenciálisan kicsi állapotváltozási folyamatelem során a gázzal közölt vagy tőle elvont hőenergia, dU a folyamatelem során a gáz belső energiájának megváltozása, dW pedig a folyamatelem során bekövetkezett térfogatváltozás miatti elemi mechanikai munka növekmény, amelyet méltán nevezünk „térfogatváltozási munkának”. A dQ hőenergia növekmény pozitív, ha az a tekintett folyamatelem megvalósulása során a gázba bevezetésre kerül, és negatív, ha elvonásra kerül. A dU belső energia növekmény pozitív, ha egy korábbi belsőenergia szinthez képest a folyamatelem megvalósulása során a belső energia megnövekszik, és dU negatív, ha a jelzett értelemben a belső energia szint csökken. 128
p p1
1 p( V) ∆V
p2 pi
W1,2 ∆s
V1 :. :.
2
F:.
V2
V
.. ..
100. ábra A térfogatváltozási munka. A térfogatváltozási munka magyarázatához tekintsük a 100. ábrát. A „pV” diagramban az 1 állapotból nyomáscsökkenés és térfogat növekedés mellett a munkaközeg (ideális gáz) a 2 állapotba érkezik. A folyamat egy munkahengerben játszódik le, melynek jobb oldali végét egy elmozdulni tudó súrlódásmentes dugattyú zárja le. Mozduljon most el a pi nyomás hatására az A felületű dugattyú jobbra kicsi ∆s úton. Ezen kis elmozdulás során a dugattyúra jobbra mutató F = pi A erő hat, amelynek a ∆s úton végzett ∆W munkája, figyelembe véve, hogy A∆s =∆V , a következőképp írható fel:
∆W = F ∆s = pi A∆s = pi ∆V. Ennek alapján a folyamatelemre a térfogatváltozási munka dW = p dV differenciális növekményét kapjuk. A kapott térfogatváltozási munkanövekmény pozitív, ha azt a gáz végzi, azaz a folyamatelem megvalósulása során a gázból energiakivezetés történik, megfordítva, a térfogatváltozási munkanövekmény negatív, ha a folyamatelem megvalósulása során a gázba kívülről kezdeményezett munkavégzés mellett energia bevezetés történik. Vizsgáljuk most a nyomáscsökkenés (expanzió) mellett végbemenő teljes 1 → 2 állapotváltozás alatt a hengerben lévő gáz által végzett teljes térfogatváltozási munkát! 129
Az 1 → 2 folyamatot kis ∆Wi munkavégzések sorozatának tekintve előbb a W1,2 ≈
∑ ∆W = ∑ p ∆V i
i
i
i
közelítő összeget, majd a felosztás finomságát minden határon túl növelve és folytonos összegzésre (=határozott integrálásra) térve a V2
W1,2 = ∫ p (V )dV V1
képletet nyerjük. Ez a térfogatváltozási munka pozitív. A hengertérbe zárt gáz csökkenő nyomás mellett a dugattyút elmozdítva végezte. Ezzel a gázból külső felhasználásra hasznosítható energiakivezetés történt. Vizsgáljuk most a termodinamika első főtételében szereplő differenciális dU belső energia változás felírását a termikus állapotjellemzők segítségével. Az állandó térfogaton definiált cv fajlagos hőkapacitással kapcsolatosan mondottak figyelembevételével a hőmérsékletfüggő U(T) = cv m T belső energia függvény differenciáljaként adódik, hogy: dU = cv m dT. Ennek alapján az első főtétel mérlegegyenletében szereplő jobb oldali összeg már a termikus állapotjellemzők szerepeltetésével jelenik meg: dQ = dU + dW ⇒ dQ = cv m dT + p dV . A kapott formula alapján elmondható, hogy a gázzal közölt elemi dQ hőmennyiség két dologra fordítódik: egyrészt a közeg belső energiáját növeli, mely belső energiaváltozás hőmérsékletváltozással jár, másrészt pedig a megvalósult térfogatváltozással kapcsolatosan a nyomás általi mechanikai munkavégzésre fordítódik. Ez az összefüggés már mutatja, hogy a hőenergiából mechanikai munka nyerhető. Ez a munkanyereség akkor nevezhető maximálisnak, ha az állapotváltozás során a gáz hőmérséklete állandó marad, és ezért a belső energia nem változik. Ez utóbbi esetben a bevitt hőenergia teljes egészében a térfogatváltozási munkát fedezi, és kivezethető a rendszerből. Az első főtételből következő összefüggéseket a különböző elemi állapotváltozás típusokra vonatkozó vizsgálatainkban hasznosítani fogjuk. 130
5.4 Elemi állapotváltozások
Az alábbiakban felsoroljuk azokat az elemi állapotváltozásokat, amelyek alapján az ideális motorikus körfolyamatokat már tanulmányozni lehet. Az egyes állapotváltozás típusokhoz megadjuk a termikus állapotjellemzőkre vonatkozóan fennálló összefüggéseket is. A termodinamika első főtételével kapcsolatos energetikai jellemzők alakulására nézve most csupán az adiabatikus folyamatot jellemző dQ ≡ 0 azonosságot emeljük ki, ami azt mondja, hogy a gáz adiabatikus állapotváltozása során a környezettel nem valósul meg hőcsere. Mármost a jelzett elemi állapotváltozások a következők:
• izochor, állandó térfogaton végbemenő állapotváltozás, azaz V = állandó, • izobár, állandó nyomáson végbemenő állapotváltozás, azaz p = állandó, • izotermikus, állandó hőmérsékleten végbemenő állapotváltozás, azaz T = állandó, amiből a gáz állapotegyenlet alapján azonnal adódik a p = p1V1/V összefüggés is. • adiabatikus, a környezettől elszigetelve, hőcserementesen megvalósuló állapotváltozás, azaz dQ ≡ 0, a nyomás és a térfogat összefüggése ekkor p = p1V1κ/Vκ. A szereplő adiabatikus hatványkitevőt a κ = cp/cv hányados értelmezi, értéke kétatomos gázra κ ≈ 1,4. • politropikus állapotváltozás, p = p1V1n/Vn, ahol n adott kitevő. Könnyű belátni, hogy a politropikus állapotváltozás az n kitevő alkalmas megválasztásával magába foglalja az előbbi négy állapotváltozást is. A gáz állapotváltozását valamely véges V1 < V2 térfogathatárok között ismert p = p(V) „nyomás-térfogat” függvénykapcsolat esetén vizsgálva a 100. ábrával kapcsolatban tárgyalt módon kapjuk meg a térfogatváltozási munkát. Az ott értelmezett határozott integrál a „p-V” diagramban a nyomásfüggvény görbéje és a V tengely közötti W1,2 munkaterületet határozza meg. 131
A következő tárgyalásunk előkészítéseképp megjegyezzük, hogy a V = állandó esetben (izochor folyamat) az 1 és 2 jelű állapotok közötti nyomásváltozás mindig meghatározott hőmérsékletváltozással jár együtt, és ekkor a közölt vagy elvont hőmennyiséget a Q1,2= cvm(T2 - T1) képlet szolgáltatja. Ha pedig p = állandó (izochor folyamat), akkor a hőmennyiség számításakor a cp fajlagos hőkapacitás lép be a hőmérsékletváltozás és a tömeg mellé: Q1,2 = cpm(T2 - T1), a belső energia változásának számításakor azonban az izobár esetben is az U1,2 = cvm(T2 - T1) kifejezés érvényes. 5.4.1 Az izochor állapotváltozás Az állandó térfogaton végbemenő ( V = áll. ) állapotváltozásról van szó (101. ábra). Az ideális gázok állapotegyenletéből most p1 p2 p mRs = = = = áll. T1 T2 T V Az állandó térfogat miatt nyilvánvaló, hogy W1, 2 = 0 . A termodinamika első főtételnek megfelelően pedig a gázba bevitt Q1, 2 hőenergia megegyezik a gáz belső energiájának ∆U megváltozásával, azaz
Q1, 2 = ∆U = cv m(T2 − T1 ) .
p p2 p1 0
T1
T2 2
Q 1,2 1
V1=V2 101. ábra Izochor állapotváltozás.
132
V
5.4.2 Az izobár állapotváltozás Az állandó nyomáson végbemenő ( p = áll. ) állapotváltozásról van szó (102. ábra). Az ideális gáz állapotegyenletéből:
V1 V2 V mRs = = = = áll. T1 T2 T p A belső energia megváltozását a cv fajlagos hőkapacitással kapjuk az adott hőmérséklethatárok figyelembe vételével: ∆U = cv m(T2 − T1 ) . A térfogatváltozási munka pedig a p1 = p2 = p állandó nyomást, és a pV = mRsT gázállapotegyenletet is figyelembe véve:
W1, 2 = p(V2 − V1 ) = mRs (T2 − T1 ) . Az első főtétel alapján a cp állandó nyomáson érvényes fajlagos hőkapacitással: Q1, 2 = ∆U + W1, 2 ⇒ c p m(T2 − T1 ) =
= cv m(T2 − T1 ) + Rs m(T2 − T1 ) = = (cv + Rs )m(T2 − T1 )
,
Amiből leolvasható a már megelőlegezett: c p = cv + Rs összefüggés.
p p1 = p2
Q 1,2 1
2
W1,2 0
V1 V2
T1
T2
V
102. ábra Izobár állapotváltozás.
133
5.4.3 Az izotermikus állapotváltozás Az állandó hőmérsékleten végbemenő ( T = áll. ) állapotváltozásról van szó (103. ábra), Az állapotegyenlet alapján: p1V1 = p2V2 = pV = mRsT = áll. , tehát a p(V) függvény hiperbola. Az állandó hőmérséklet miatt belső energia változás nincs: ∆U = cv m∆T = 0 . A termodinamika első főtétele szerint:
Q1, 2 = W1, 2 , azaz a közölt hőenergia teljes egészében térfogatváltozási munkává alakul. A térfogatváltozási munka meghatározása a folyamat elemi részekre osztásával végezhető el. Integrálás után a
W1, 2 = mRsT ln
V2 p = mRsT ln 1 p2 V1
eredmény adódik.
p T1 =T2 1
p1
Q 1,2 2
p2 W 1,2 0
V1
V2
V
103. ábra Izotermikus állapotváltozás. 5.4.4 Az adiabatikus állapotváltozás Ebben az esetben hőbevezetés és hőelvezetés nélkül (dQ ≡ 0) végbemenő állapotváltozásról van szó, a környezethez képest hőszigetelt rendszer állapotváltozását vizsgáljuk (104. ábra). A gáz állapotegyenlet és ∆Q ≡ 0
134
feltétel alapján: p1V1κ = p2V2κ = pV κ = áll. , ahol κ =
cp cv
az adiabatikus
kitevő (kétatomos gázokra κ ≈ 1,4). A Q1,2 = 0 miatt az első főtétel szerint a belső energia változás ellentetten egyenlő a térfogatváltozási munkával:
∆U = cv m(T2 − T1 ) = −W1, 2 = −
p p1 p2 0
T2
1 ( p V − p2V2 ) . κ −1 1 1
T1 1
W 1,2
2
V1
V2
V
104. ábra Adiabatikus állapotváltozás. 5.4.5 A politropikus állapotváltozás Ezen állapotváltozás csupán a pV n = áll. feltétel teljesülését köti ki, ahol n a politropikus kitevő. A politropikus folyamat során közölt vagy elvont hőenergiát a Q1, 2 = cn m(T2 − T1 ) képlettel adjuk meg, ahol cn = cv
n −κ n −1
a politropikus fajlagos hőkapacitás. A politropikus állapotváltozás az n kitevő alkalmas megválasztásával magába foglalja az előbbi négy állapotváltozást is. Ha n = 1, akkor az izotermikus állapotváltozás adódik. Ha n =κ, akkor az adiabatikus folyamatot kapjuk. Ha n → ∞, akkor az állapotváltozás tart az izochor állapotváltozáshoz. Ha n = 0, akkor pedig az izobár folyamat adódik. 135
5.5 Hőerőgép létrehozhatósága
Ha az ideális gáz a nyomás- és térfogatváltozási folyamatát úgy alakítjuk, hogy a folyamat valamely kezdőpontból indulva változó termikus állapotokon átfutva visszaér a kezdőpontba, és így a „p-V” síkon egy zárt hurokkal jelenik meg, akkor azt mondjuk, hogy a gáz állapotváltozások körfolyamatot teljesítettek. A 105. ábrán egy ilyen körfolyamatot ábrázoltunk. A körfolyamat térfogathatárai a V1 és V2 térfogat értékek.
p
Qbe 1
W
W 1,2 2
Qki 0 V1
W2,1 V2
V
105. ábra Körfolyamat. A jelzett irányítás szerint lefutó körfolyamatnál azonosítható a felső ág, amely az 1 → 2 állapotváltozást írja le, és az alsó ág, amely a 2 → 1 állapotváltozást jeleníti meg. A felső ágon Qbe nagyságú hőbevezetés valósult meg, ezért a termodinamika első főtétele szerint a Qbe = U2 − U1 + W1,2 energiamérleg írható fel, ahol W1,2 az 1 → 2 átmenet során végzett (pozitív) térfogatváltozási munkaterület. Mármost a visszafelé lezajló 2 → 1 állapotátmenet során a gázból Qki negatív értékű hőelvonás történt, és a W2,1 térfogatváltozási munka került bevezetésre, ahol W2,1 a 2 → 1 átmenet során jelentkező (pozitív) térfogatváltozási munkaterület. Ha most a teljes 1 → 1 körfolyamatot tekintjük, akkor mivel visszaérve a kiindulási állapotba a véghőmérséklet megegyezik a kezdőhőmérséklettel, ezért a gáz belső energiája a végállapotban megegyezik a kiindulási állapotban fennálló belső energiatartalommal.
136
A körfolyamat befutása során tehát az összes belsőenergia-változás tehát zérus. A teljes körfolyamat során érvényesült hőcsere a Qbe − ⎢Qki ⎢képlettel meghatározott. A körfolyamat során végzett össz-térfogatváltozási munkát pedig a W1,2− W2,1 különbség adja, melynek értéke pozitív. Figyelembe véve, hogy a körfolyamatban kialakult belsőenergia változások összege a ciklus záródásakor zérust ad, a termodinamika első főtétele értelmében a Qbe − ⎢Qki ⎢ = W1,2 − W2,1 összefüggést kapjuk. Vezessük be a térfogatváltozási munkaterületek különbségére a W = W1,2 − W2,1 jelölést, mely W nyilvánvalóan a körfolyamat görbéje által körülzárt hurok területe, és egyben az egy ciklusból nyerhető mechanikai munka nagyságát adja meg. Így megkapjuk a hőerőgép létrehozhatóságát posztuláló W = Qbe − ⎢Qki ⎢ egyenletet. A most kapott eredményt úgy összegezhetjük, hogy ha egy körfolyamat során Q1 hőmennyiséget vezetünk be a munkaközegbe és Q2 hőmennyiséget vonunk el, akkor a gép egy működési ciklusa alatt W = Q1 − |Q2| munkát nyerünk. A gép termikus hatásfokát ezek után a nyert hasznos munka és az ennek érdekében bevezetett hőenergia hányadosa adja: def
ηt =
Q W Q1 − Q2 = =1− 2 . Q1 Q1 Q1
5.6 Motorikus körfolyamatok A hőerőgép létrehozhatóságának tárgyalásakor láttuk, hogy a gázt egy zárt körfolyamaton kell végigvinni, és meg kell valósítani a Qbe = Q1 hőbevezetést és a Qki = Q2 hőelvezetést. A következőkben azokat, az egyszerű állapotváltozás szakaszokból felépülő ideális hőerőgép körfolyamatokat tárgyaljuk, amelyek a járművekben alkalmazott belsőégésű motorok és gázturbinák folyamat-elemzésének kiinduló pontjául szolgálnak. A jelen tárgyban alapvetően az egyes körfolyamatok termikus hatásfokának meghatározását tűzzük ki célul. A következő körfolyamatokat tesszük vizsgálat tárgyává:
137
1. Otto körfolyamat
Állapotváltozás szakaszai: adiabatikus kompresszió, izochor hőbevezetés, adiabatikus expanzió, izochor hőelvonás. 2. Diesel körfolyamat
Állapotváltozás szakaszai: adiabatikus kompresszió, hőbevezetés, adiabatikus expanzió, izochor hőelvonás.
izobár
3. Seiliger − Sabathier körfolyamat
Állapotváltozás szakaszai: adiabatikus kompresszió, izochor majd izobár hőbevezetés, adiabatikus expanzió, izochor hőelvonás. 4. Humphrey körfolyamat
Állapotváltozás szakaszai: adiabatikus kompresszió, izochor hőbevezetés, adiabatikus expanzió, izobár hőelvonás. 5. Joule körfolyamat
Állapotváltozás szakaszai: adiabatikus kompresszió, hőbevezetés, adiabatikus expanzió, izobár hőelvonás.
izobár
A 106. ábra az Otto körfolyamat és a Diesel körfolyamat diagramját mutatja. Az ábrákon jól azonosíthatók a hőenergia bevezetést és kivezetés megvalósító folyamatszakaszok. Az 1 és 3 jelű pontokon át szaggatott vonallal megrajzoltuk az izotermákat is. Látható, hogy az azonos ponton átmenő izoterma és adiabata közül mindig az adiabata rendelkezik meredekebb érintővel.
p
p
3
Q be 2
W 1
V2
3
W 4
0
2
Qbe
V1
4
Qki V 0 V2 V3
106. ábra Ottó és Diesel körfolyamatok. 138
1
V1
Qki V
A 107. ábrán a Seiliger-Sabathier, a Humphrey és a Joule körfolyamatok diagramjait mutatjuk be. A bemutatott körfolyamatok közül a SeiligerSabathier körfolyamat némiképp összetettebb szerkezetű a többinél, mivel a hőbevezetés két folyamatszakasz során, részben állandó térfogaton részben pedig állandó nyomáson megy végbe.
p Q'be
3
Q'' be
p
4
3
Qbe
2 2
W 5
Qki
1
0 V2 V3
2
1
V 0
V1 p
W 4
Q ki V
Qbe 3
W 4
1
0
Qki
V
107. ábra Seiliger-Sabathier, a Humphrey és a Joule körfolyamatok. A fentiekben beutatott motorikus körfolyamatok termikus hatásfokok alakulását az alábbiakban adjuk meg. 1. Otto körfolyamat
Az otto körfolyamatnál mind a hőbevezetés, mind a hőelvonás izochor állapotváltozás során valósul meg, és az adiabatikus szakaszokon sem hőközlés, sem hőelvonás nincs. Ezért Qbe = cvm(T3-T2) és |Qki| = cvm(T4-T1). A termikus hatásfok :
ηt = 1 −
Qki c m(T4 − T1 ) T −T = 1− v = 1− 4 1 . Qbe cv m(T3 − T2 ) T3 − T2 139
2. Diesel körfolyamat
Ennél a körfolyamatnál a hőbevezetés izobár állapotváltozás mellet, a hőelvonás pedig izochor állapotváltozás során valósul meg, és az adiabatikus szakaszokon sem hőközlés, sem hőelvonás nincs. Ezért: Qbe = cpm(T3−T2) és |Qki| = cvm(T4−T1). A termikus hatásfok:
η =1−
Qki c (T − T ) =1− v 4 1 . Qbe c p (T3 − T2 )
3. Seiliger – Sabathier körfolyamat
A Seiliger-Sabathier körfolyamatnál a hőbevezetés két részben megy végbe Egyrészt állandó izochor, majd az ahhoz csatlakozó izobár szakasz mentén, és az adiabatikus szakaszokon sem hőközlés, sem hőelvonás nincs. Ennek megfelelően a hőbevezetést
két tag összege adja: Qbe = Q'be + Q''be = cvm(T3 −T2) + cpm(T4 −T3). A hőelvonás most is izochor, tehát |Qki| = cvm(T4-T1). A termikus hatás-
fok kifejezése ebben az összetettebb esetben a következő lesz: ηt = 1 −
Qki cv (T5 − T1 ) . = 1− Qbe cv (T3 − T2 ) + c p (T4 − T3 )
4. Humphrey körfolyamat
A Humphrey gázturbina körfolyamat esetében a hőbevezetés izochor állapotváltozás mellett, a hőelvonás pedig izobár állapotváltozás mellett megy végbe. Az adiabatikus szakaszokon sem hőközlés, sem hőelvonás nincs. Ezért: Qbe = cvm(T3 −T2) és |Qki| = cpm(T4 −T1). A termikus hatásfok képlete a következőképp alakul:
ηt = 1 −
c (T − T ) Qki =1− p 4 1 . Qbe cv (T3 − T2 )
5. Joule körfolyamat
A Joule körfolyamatot állandó nyomású gázturbina körfolyamatnak is nevezik. Ennél a körfolyamatnál mind a hőbevezetés, mind a hőelvonás izobár állapotváltozás során valósul meg, és az adiabatikus szakaszokon sem hőközlés, sem hőelvonás nincs. Ezért Qbe = cpm(T3 − T2) és |Qki| = 140
cpm(T4 −T1). A termikus hatásfok az alábbi lesz: c (T − T ) Q T −T η t = 1 − ki = 1 − p 4 1 = 1 − 4 1 . Qbe c p (T3 − T2 ) T3 − T2 A vizsgált ideális motorikus körfolyamatok helyesen ragadják meg a valóságos körfolyamatok lényegét, azonban a valóságos nyomás–térfogat körfolyamatoknál az ideális körfolyamat diagramokban megjelenő töréspontok eltűnnek, a töréspontok helyén lekerekített átmenetek valósulnak meg. A valóságos folyamatok termikus hatásfoka alatta marad az ideális folyamatoknál számítható értékeknek. A belsőégésű motorok tényleges „nyomás–térfogat” körfolyamatáról a nyomás mérésével tudunk információt szerezni. A nyomásmérés eszköze a nyomás indikátor, amely kivezeti a motor munkatérbeli nyomását, és mérhetővé teszi azt a dugattyúhelyzet függvényében. A mérések eredménye alapján megrajzolható a motor indikátor diagramja. Az indikátordiagram alapján értelmezhető az indikált középnyomás, éspedig a következő gondolatmenet alapján. A 108. ábra szerint keressük azt az indikált középnyomásnak nevezett konstans pi nyomásszintet, amely a lökettérfogat mentén ugyanakkora W munkát végez, mint maga a körfolyamat. Képletben: pi = W/VL ahol VL = V1 – V2 a lökettérfogat.
p W pi
... ... ...... ...
W
0 V2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
V1 V
108. ábra Az indikált középnyomás. 141
6
Gépek együttműködése és irányítása
A gépek üzemi tulajdonságainak jellemzésére meg kell adni a fontos üzemi jellemzők közötti függvénykapcsolatokat. A függvénykapcsolat megfogalmazása alapesetben képlet formájában megadott utasítással történik, de nagyon sokszor adjuk meg a függvénykapcsolat diagram formájában, grafikusan. Ezen utóbbi esetben a gép jelleggörbéjének megadásáról beszélünk. Azt a kérdést, hogy két gép − pl. a motor és a meghajtandó jármű alkotta un. „gépcsoport” − milyen feltételek mellett tud problémamentesen együttműködni, a két gép jelleggörbéjének közös diagramban történő ábrázolásával, és a jelleggörbék metszéspontjával meghatározott „munkapontnak” több szempontú értékelésével lehet megválaszolni. A gépek működését sokszor eleve úgy tervezzük meg, hogy a jelleggörbéik alakulásába valamely, a működés fizikai feltételeit befolyásoló menynyiség megváltoztatásával be lehessen avatkozni, azaz a gép vezérelhető legyen. Ebben az utóbbi esetben a gépet nem egyetlen jelleggörbe, hanem a vezérlő paraméter értékeivel indexezett jelleggörbe sokaság jellemzi. Ha a vezérlő paraméter értékét valamely kívánt rendszerállapot fenntartása érdekében az aktuális rendszerállapot-jellemző folyamatos mérése, és a kívánt állapotjellemzővel való összehasonlítás alapján úgy változtatjuk, hogy a kívánt állapot és az aktuális állapot jellemzőjének eltérése egy korlát alatt maradjon, akkor a rendszer szabályozásáról beszélünk. 6.1 A gépek jelleggörbéinek alaptípusai
A gépek jelleggörbéjének alakulása igen sokféle lehet. Mégis a jelzett nagyszámú lehetőség közül érdemes kiemelni a gép által leadott vagy felvett nyomaték alakulásának és a gép fordulatszámának összefüggését megragadó jelleggörbéket. Ha a gép n fordulatszámát tekintjük független változónak, akkor az adott fordulatszámhoz tartozó M(n) nyomatéki érték ismeretében a gép adott fordulatszám mellett kialakuló dinamikai- és energetikai viszonyait jellemezni lehet. Ha ugyanis pl. egy erőgép (pl. motor) által kifejtett Me(n) nyomatékról van szó, és ismert az ugyanezen n fordulatszámnál a hajtott munkagép által igényelt Mm(n) terhelő nyomaték is, akkor a gép tengelyének ε szöggyorsulása Newton II. törvényének a forgómozgásra felírt [Me(n) − Mm(n)] = Θε 142
alakja alapján számítható. Másrészt a hajtó erőgép n fordulatszám és Me(n) nyomaték kifejtés mellett Pe(n) = c Me(n)⋅n teljesítményt (energiaáram leadást) valósít meg, ahol c a szögsebesség és a fordulatszám ω = c n lineáris kapcsolatát meghatározó együttható. Ennek a teljesítménynek a megjelenítése a fordulatszám-nyomaték diagramban a szorzat jelentésére gondolva az (n, Me) koordinátapárral kijelölt csúcspontra és az origóra valamint a koordinátatengelyekre illeszkedő téglalap területtel lehetséges, mert ez a terület arányos az adott jelleggörbe pontban érvényesülő energiaáram értékével, ugyanis TER = Me(n)⋅n = Pe(n)/c. A sok lehetséges nyomaték-fordulatszám jelleggörbe alak közül célszerű a következő három esethez tartozó ideális jelleggörbe alak megkülönböztetése: 1. nyomatéktartó, 2. fordulatszámtartó, 3. teljesítménytartó. A nyomatéktartó ideális jelleggörbe – nevével összhangban – valamely fordulatszám intervallum felett a fordulatszámtól független állandó (konstans) nyomatékleadást vagy nyomatékigényt határoz meg. A fordulatszámtartó ideális jelleggörbe bármely nyomaték érték megvalósulása esetén is megtartja az állandó fordulatszámot. A teljesítménytartó ideális jelleggörbe a fordulatszám függvényében hiperbolikus változást mutat az M = P/ω = P/(cn) összefüggés szerint, mivel ha P = P0 állandó, akkor M (n) P = P = 0
P0 állandó . = cn n
Ez azt jelenti, hogy az ideális teljesítménytartó jelleggörbe esetén bármely fordulatszámnál akkora a nyomaték, hogy a gép teljesítmény leadása vagy teljesítmény igénye elvileg a fordulatszám értékétől függetlenül állandó marad, azonban valamely tényleges gép teljesítménytartó tulajdonsága csak egy pozitív n0 fordulatszámkorlátnál nagyobb fordulatszámoknál állhat fenn. A fentiek szerinti ideális jelleggörbe alakok a valóságos gépek esetében csak közelítőleg, valamely véges üzemállapot tartományon adhatnak megfelelő közelítést, mégis a gép jellemzőiről alkotott kép kialakításához, ill. a tendenciák helyes értékeléséhez előnyösen használhatók fel. 143
A 109. ábrán az ideális nyomatéktartó jelleggörbét ábrázoltuk, és szaggatott vonallal berajzoltuk, hogy egy dugattyús gép – pl. egy dízelmotor – esetében a nyomatéktartó jelleg miképp érvényesül. A 110. ábrán az ideális fordulatszámtartó jelleggörbe esetét vázoltuk fel, és a diagramba szaggatott vonallal berajzoltuk egy valóságos esetben, pl. egy aszinkron villamos motor esetében a fordulattartó jelleg egy szakaszon történő érvényesülését. Az ideális teljesítménytartó gép hiperbolikus jelleggörbéjét a 111. ábra mutatja. A diagramba szaggatott vonallal berajzoltunk egy valóságos turbina jelleggörbét is, amely egy szakaszon közelítőleg teljesítménytartó sajátosságot mutat. M = áll. M dízelmotor
n 109. ábra Nyomatéktartó jelleggörbe.
M n = áll. aszinkron motor
n 110. ábra Fordulatszámtartó jelleggörbe.
M
P = áll.
turbina n0
n
111. ábra Teljesítménytartó jelleggörbe. 144
6.2 Gépek együttműködése, munkapont, stabilitás
Mondottuk fentebb, hogy egy gépcsoportban együttműködő két gép működési viszonyainak jellemzésére igen alkalmasak a jelleggörbék. A 112. ábrán közös diagramban rajzoltuk fel a hajtó erőgép Me(n) nyomatéki jelleggörbéjét a meghajtott munkagép Mm1(n) nyomatéki jelleggörbéjével. Ebben az esetben az Me(n) jelleggörbe az erőgép által különböző n fordulatszámokon leadható nyomatékot jeleníti meg, míg az Mm1(n) a munkagép n fordulatszámon megvalósuló üzeme esetén igényelt nyomatékot adja meg. Ha a két jelleggörbe metszi egymást, az azt jelenti, hogy a metszésponti n0 fordulatszámnál az erőgép által leadható nyomaték megegyezik a munkagép által igényelt nyomatékkal, azaz Me(n0) = Mm1(n0). Ebben az esetben az erőgép által szolgáltatott teljesítmény is megegyezik a munkagép által igényelt teljesítménnyel, azaz energetikai egyensúly áll fenn. Az ilyen esetben kialakult Q0 jelleggörbe metszéspontot munkapontnak nevezzük. A gépcsoportnak ebben az n0 fordulatszámú munkapontjában elvileg állandósult (stacionárius) üzem tartható fenn. A tekintett jelleggörbék Q0 metszéspontjának létezése csak szükséges feltétel az állandósult üzem gyakorlati feltételek közötti megvalósíthatóságának. Me Mm1 Mm2
Me
+ Q2
Mm2
Q1
+ +
−
Mm1 Q0 −
n2
n1 n0
n
112. ábra Erőgép és munkagép együttműködése. 145
Az állandósult üzem biztosításához még egy további feltétel, a munkapont stabilitása is szükséges. A stabilitás feltétele az ábrán megjelenő Q0 munkapontban teljesül, mert ha gondolatban a gépcsoport n fordulatszámát kitérítjük az n0 munkapontból, a jelleggörbék aktuális relatív helyzete most biztosítja azt, hogy a megzavart rendszerben a kialakuló nyomatékeltérések hatására az együttműködés vissza fog térni a n0 fordulatszámú munkapontba. Valóban, ha a megzavarás eredményeként n>n0 fordulatszám alakulna ki, akkor Mm1(n) > Me(n) nyomatékviszony adódna, ami a miatt az Me(n) − Mm1(n) különbség negatívra adódna, így a kialakuló szöggyorsulás is negatív lenne, ezért a gépcsoport „vissza lassulna” az eredeti n0 munkaponti fordulatszámra. Ha most megfordítva, a megzavarás eredményeként n
n2 fordulatszám alakulna ki, akkor Mm2(n) < Me(n) nyomatékviszony adódna, ami miatt az Me(n) − Mm1(n) különbség pozitívra adódna, így a kialakuló szöggyorsulás is pozitív lenne, ezért a gépcsoport nem tér vissza az n2 munkaponti fordulatszámhoz, hanem gyorsulni kezd, és irányt vesz az n1 munkaponti fordulatszám felé. Ha most n < n2 fordulatszám alakulna ki, akkor Mm2(n) > Me(n) nyomatékviszony adódna, ami a miatt az Me(n) − Mm1(n) különbség negatívra adódna, így a kialakuló szöggyorsulás is negatív lenne, ezért a gépcsoport nem tér vissza az n2 munkaponti fordulatszámhoz, hanem lassulni kezd, és a lassuló mozgást egészen a leállásig folytatja. Az elmondottak alapján az n2 munkapont a megzavarásokkal szemben nem stabil, azaz labilis munkapont. Természetszerű, hogy járműveinkben alkalmazott gépcsoportok munkapontjainak stabilitását a tervezés során körültekintően biztosítani kell. 146
6.3 Vezérlés és szabályozás
A gépek üzemébe szükség szerint be kell avatkozni a kívánt üzemállapotok beállítása céljából. Mondottuk fentebb, hogy már a gépek tervezése folyamán biztosítani kell a jelleggörbék szükség szerinti változtathatóságát valamely, a működés fizikai feltételeit befolyásoló paraméter megváltoztatásával. A gép üzeme során valamely paraméternek a jelleggörbék befolyásolására irányuló megváltoztatását a gép vezérlésének nevezzük. A vezérlési paraméter megváltoztatásával a gép eredeti jelleggörbéje megváltozik, és így a vezérlési paraméterrel meghatározott jelleggörbe sokaság adódik. Példaként tekintsünk egy dízelmotort, ahol az égéstérbe ciklusonként befecskendezett gázolaj mennyiségét változtatva a motor nyomatéki jelleggörbéi megváltoznak. Jelölje a gázolaj-befecskendezési jellemzőt az u paraméter. A 113. ábrán felrajzoltuk a szóban forgó motor Me(n,ui) nyomatéki jelleggörbéit négy különböző u1, u2,…,u4 vezérlési paraméter érték figyelembe vételével. Me
Me Mm
u1 2 u2 1
u3
Mm u4
n1
n2
n
113. ábra A dízelmotor nyomatéki jelleggörbéi. A dízelmotorok üzemében a jelleggöbe azonosítására bevezetett ui paraméternek az i-edik beállításhoz tartozóan egy ciklus során befecskendezett gázolajtömeg és az egy ciklus alatt maximálisan befecskendezhető gázolajtömeg hányadosaként értelmezett töltés értékét választhatjuk. Az ábrán feltüntetett Mm(n) függvény a dízelmotorral hajtott jármű menetellenállásának a motortengelyre átszámított nyomatéki megfelelője, azaz a 147
motort terhelő nyomaték. Ha motor az 1-jelű munkapontban üzemel, akkor az u3 vezérlési jellemző szerinti jelleggörbével az n1 motorfordulatszám fennállása mellett alakul ki a jármű haladó mozgásának v1 sebessége. Ha jármű vezetője el akarja érni a nagyobb v2 sebességet, akkor feltéve, hogy a sebességváltó azonos fokozatban maradt, a motor vezérlését az u2 értékre kell változtatnia, aminek hatására a motor nyomatéka megnövekszik és eléri a 2-jelű munkapontot, ahol az n2 motorfordulatszám fennállása mellett biztosítható a jármű haladó mozgásának v2 sebessége. Az elmondottakból kiolvasható, hogy a kiadott vezérlés-változtatás hatására a jármű mozgásállapotát kívánt irányban befolyásolni lehetett. Maga a vezérlés, mint irányítási akció az ismertetett nyílt hatáslánc menti hatásterjedéssel magyarázható, és a vezérlés végeredménye nem kerül önműködően ellenőrzésre, azaz nem csatolódik vissza a ténylegesen elért sebesség érték a vezérlés esetleges további korrigálása céljából. A vezérlésnél tehát nincs visszacsatolás. Amennyiben az irányított rendszer valamely állapotának a lehetőség szerinti pontos fenntartása a cél, akkor a rendszert szabályozni kell! A bevezetett vezérlő paraméter változtatása továbbra is feladat marad, hiszen a rendszer működését ezen vezérlőparaméter változással lehet befolyásolni. Szabályozásnál azonban a célállapot jellemzői folyamatosan mérésre kerülnek és a vezérlésváltoztatás mértéke az elért aktuális állapot és a kívánt célállapot eltérése függvényeként automatikusan kerül beállításra, éspedig oly módon, hogy az aktuális és a célállapot eltérése mindig csökkenjen. Az elmondottak alapján világos, hogy a szabályozás hatáslánca zárt kell, hogy legyen, és a kiadott vezérlési érték okozta állapotváltozási eredmény folyamatosan vissza kell hogy csatolódjon magára a további vezérlés kialakításra. A szabályozásnál tehát van visszacsatolás! A dízelmotoros jármű példáját tekintve ki lehet tűzni a konstans haladási sebességre pl. a v1 sebességre történő szabályozás feladatát. Ekkor azt mondjuk, hogy az előírt (vagy parancsolt) rendszerállapot a v1 = áll. sebességű haladás. A motor fordulatszáma a jármű sebességével meghatározott függvény szerint kényszerkapcsolatban van, és az előírt v1 sebességű haladás állapotában n1–gyel egyenlő. A szabályozási feladatot most úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a motor n1 fordulatszámát a lehető legpontosabban tartani kell, és ezért folyamatosan mérjük az aktuális n motorfordulatszámot, és kiértékeljük az előírt n1 fordulatszámtól vett ∆n = n n1 eltérést, és ha ez pozitív értéket ad, akkor a motor töltését csökkentjük, ha pedig negatív értéket ad akkor a motor töltését növeljük az u vezérlés 148
megfelelő, automatikus változtatásával. A vezérlés mindaddig változik, amíg az előírt n1 fordulatszámértéktől vett ∆n = n - n1 eltérés abszolút értékében valamely előírt ε pontossági korlátnál nagyobb eltérés van jelen. A 114. ábrán blokkvázlatokkal érzékeltetjük a vezérlés és a szabályozás hatásláncának jellegzetes eltérését, nevezetesen azt, hogy a vezérlés hatáslánca nyitott és nincs visszacsatolás, míg a szabályozás hatáslánca zárt és van visszacsatolás. Az alkalmazott jelölések megfelelnek a korábbi magyarázatban szereplő mennyiségeknek, csupán a x értékel kapcsolatban kell elmondani, hogy az a kívánt fordulatszám érték eléréséhez a befecskendező szivattyú állító karján a megfelelő elmozdulás értéket jelöli, amelyik majd kialakítja a megfelelő u töltés-vezérlést. A vezérlés nyílt hatáslánca n1
vezérlő egység
x
befecskendező szivattyú
u
motor munkafomunkafolyamat lyamat
Mm Me
A szabályozás zárt hatáslánca n1
szabályozó egység
x
befecskendező szivattyú
u
motor munkafolyamat
tehetetlen tehetelen tömegek
n
Mm Me
tehetetlen tömegek
n
114. ábra A vezérlés és a szabályozás blokkvázlata.
149
7
Mintafeladatok
7.1 1. Gyakorló feladat: mérési eredmények feldolgozása
Egy hengeres alkatrészeket gyártó szerszámgép beállításait méréssel kívánjuk ellenőrizni. Ehhez egy 10 darabból álló mintát veszünk a gép által készített alkatrészekből, melyek átmérőjét ezredmilliméteres pontossággal megmérjük. A 10 független mérés eredményét a táblázat tartalmazza.
i
1
2
3
4
5
di (mm)
99.983
99.951
99.962
99.968
99.970
i
6
7
8
9
10
di (mm)
99.957 99.976 99.984 99.965 4. Táblázat. Az átmérőmérés adatai
99.979
a.) Határozza meg a mért eredmények számtani átlagát és korrigált tapasztalati szórását! b.) Adja meg az első 5 mérésre vonatkozóan a relatív hiba számértékét! c.) Az átmérőmérés relatív hibáiból kiindulva határozza meg a keresztmetszetek relatív hibáit az első 5 mérésre vonatkozóan! d.) Feltételezzük, hogy a mérési eredmények Gauss-eloszlást követnek. Írja fel az alkatrészek átmérőinek jellemzésére alkalmas valószínűségi sűrűségfüggvényt! e.) A szerszámgép beállításai akkor megfelelőek, ha az általa készített alkatrészek legfeljebb 5%-a selejt. Az átmérőre vonatkozó előírás Ø100 h8 = Ø 100 −00.054 , vagyis a névlegesen 100 mm-es átmérővel rendelkező alkatrész megfelelő, ha átmérője 99.946 mm és 100.000 mm között van. A minta alapján megfelelőek a szerszámgép jelenlegi beállításai? f.) A gép által gyártott alkatrészeket két különböző sorozatban gyártott berendezésbe építik be. Ebből az egyik típusba csak az Ø100 g6 = Ø 100 −−00..012 027 tűrésmezőbe eső alkatrész a megfelelő, vagyis a kész darabok átmérőinek 99.973 mm és 99.988 mm között kell lenniük. A jelenlegi beállításokkal működő szerszámgép a minta alapján várhatóan mekkora részben készít ebbe, a szigorúbb tűrésmezőbe eső alkatrészekből?
150
Megoldás: a.) A mérések számtani átlaga (2.3.2. fejezet)
1 n 99.983 + 99.951 + K + 99.965 + 99.979 d n = ∑ di = = 99.9695 mm , n i =1 10 korrigált empirikus szórása pedig sd * = =
n 1 2 ⋅ ∑ (d i − d n ) = n − 1 i =1
(99.983 − 99.9695)2 + K + (99.979 − 99.9695)2 9
≈ 0.011 mm = 11 µm.
b.) Jelen esetben csak a látszólagos relatív hiba értéke adható meg, mivel a pontos érték nem ismert, csupán annak torzítatlan statisztikai becslése, a véges minta számtani átlaga áll rendelkezésünkre (2.6. fejezet). di − dn
99.983 − 99.9695 ≈ 0.000135 = 0.0135%. 99.9695 dn hd2 ≈ -0.000185, hd3 ≈ -0.000075, hd4 ≈ -0.000015, hd5 ≈ 0.000005. hdi =
, például hd 1 =
c.) A keresztmetszet nagysága az átmérő négyzetének konstansszorosa. A linearizált hibaterjedés alkalmazásával a hatványkifejezés relatív hibája megadható a hatványalap relatív hibája és a hatványkitevő szorzataként (2.7.1. fejezet). Esetünkben d i2π Ai = = k ⋅ d i2 → h Ai = 2 ⋅ hdi , például hA1 = 2·hd1 = 2·(0.000135) = 4 = 0.00027 = 0.027%. hA2 = -0.00037, hA3 = -0.00015, hA4 = -0.00003, hA5 = 0.00001. d.) A Gauss- vagy normális eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye f (x ) =
1
⋅e
−
( x − m )2 2σ 2
, ahol az eloszlás két paramétere az m várható
2π ⋅ σ érték és a σ szórás (2.4.4. fejezet). A rendelkezésünkre álló véges minta esetén ezek torzítatlan becsléseit, vagyis a számtani átlagot és a korrigált tapasztalati szórást használhatjuk. Így m ≈ d n és σ ≈ sd* helyettesítéssel a keresett sűrűségfüggvény
151
(x − d )
2
f (x ) =
1 2π ⋅ s d *
⋅e
−
n
2 ( sd * )2
≈ 36.04475 ⋅ e − 4081.63⋅( x −99.9695 ) lesz. 2
e.) A korábban tanultak szerint normális eloszlás esetén a várható érték körüli ±2 szórásnyi intervallumba esés valószínűsége 95.4%. Esetünkben tehát a minta szerint felvett sűrűségfüggvény értelmében a szerszámgép által készített alkatrészek 95.4%-ának átmérője
m − 2σ ≈ d n − 2 ⋅ sd * = 99.9695 − 2 ⋅ 0.0111 = 99.9474 mm és m + 2σ ≈ d n + 2 ⋅ sd * = 99.9695 + 2 ⋅ 0.0111 = 99.9916 mm között lesz. Mivel ez az intervallum keskenyebb, mint a h8 tűrésmező által kijelölt [99.946 mm, 100.000 mm] intervallum, ezért a gép jelenlegi beállításai megfelelőek. f.) A valószínűségi sűrűségfüggvény területarányos az intervallumba esés valószínűségével (2.4.4fejezet). Tehát annak a valószínűsége, hogy a ξ valószínűségi változó értéke az [a,b] zárt intervallumba esik, éppen egyenlő az f(x) sűrűségfüggvény görbéje alatti területtel az [a,b] b
intervallum felett. Matematikailag kifejezve: P{ξ ∈ [a, b]} = ∫ f ( x )dx . a
Feladatunk tehát a megadott intervallum felett az f(x) sűrűségfüggvény Riemann szerinti határozott integráljának kiszámítása. Mivel f(x) zárt alakban nem integrálható, vagyis nem határozható meg a primitív függvénye, ezért a keresett integrált csak numerikus közelítéssel adhatjuk meg. A keresett területet trapézzal közelítjük.
TER = P{d ∈ [a, b]}
115. ábra A gép által gyártott alkatrészek átmérőinek f(x) valószínűségi sűrűségfüggvénye 152
Ennek lényege, hogy az integrál numerikus közelítése könnyen meghatározható az intervallum határain felvett f(a) és f(b) függvényértékek, ill. az intervallum (b-a) szélessége segítségével. Ezt szemléltetik a 115. és 116. ábrák.
116. ábra. Az adott intervallumba esés valószínűségének becslése a sűrűségfüggvény alatti terület trapézzal történő közelítésével Esetünkben az alkatrészek d átmérőjének kell az a = 99.973 mm és a b = 99.988 mm határok közé esnie. Az f(x) sűrűségfüggvény görbéje alatti terület közelítően az ábrán vázolt trapéz területével egyenlő: b
P{d ∈ [a, b]} = ∫ f ( x )dx ≈ a
f (a ) + f (b ) ⋅ (b − a ) ≈ 2
34.287 + 8.916 ⋅ 0.015 = 0.3240 = 32.40%. 2 Az ábráról az is leolvasható, hogy az így kiszámított terület a ténylegesnél valamivel kisebbre adódik. ≈
Megjegyzés: A trapézzal való közelítés csak olyan esetben használható nagy biztonsággal, ha a függvény görbéje az adott szakaszon jó közelítéssel egyenes. Egyéb esetben az eredmény nagyon messze eshet a közelített terület valódi nagyságától.
7.2 2. Gyakorló feladat: regressziós görbe illesztése mérési adatokra Egy vasúti személykocsi alapellenállásának meghatározását méréssel kívánjuk elvégezni. A mérés során a kocsit sík, egyenes pályán, szélcsendes időben, adott értékekre beállított sebességgel vontattuk és mértük a vonó153
készüléken átadott erő nagyságát. A mérés vázlatát a 117. ábra mutatja. A méréssel meghatározott összetartozó sebesség- és vonóerő értékeket a táblázat tartalmazza.
117. ábra. Vasúti kocsi alapellenállásának mérése
vi (km/h) Fvi (kN)
20
40
60
80
0.81 1.06 1.38 1.87 5. Táblázat. Mért menetellenállás értékek
100 2.29
a.) Fizikai ismeretekre alapozva tudjuk, hogy a kocsi alapellenállása a haladási sebesség kvadratikus függvénye lesz. Írja fel a legkisebb négyzetek módszere értelmében a célfüggvényt az alapellenállás Fv0(v) = a·v2 + b alakú közelítő sebesség-függvénye esetére! Az összefüggésben [Fv0] = kN és [v] = km/h . b.) Vezesse le a közelítő függvény a és b együtthatójának meghatározására alkalmas összefüggéseket és határozza meg a két paraméter optimális értékét! c.) Mennyi a célfüggvény minimális értéke?
Megoldás: a.) Feladatunk egy kétparaméteres parabola illesztése a méréssel meghatározott ponthalmazba úgy, hogy a görbe „összességében” a legjobban közelítse azt (2.8. fejezet). Megjegyzés: FONTOS! A regressziós görbe illesztése nem interpoláció, azaz előfordulhat, hogy az eredményül kapott optimális görbe egyetlen mérési ponton sem megy keresztül. A görbe optimális volta most annyit jelent, hogy az előírt alakú görbe – az illesztési feltételeknek megfelelően – a lehető legközelebb halad minden mérési ponthoz. A legkisebb négyzetek módszere az ordinátairányú eltérések minimalizálását jelenti. Eszerint minden (xi, yi) mérési pont távolsága az illesztett f(x) regressziós görbétől y irányban mérendő, előjeles nagysága 154
pedig di = yi - f(xi). Tekintve, hogy a pozitív és negatív eltérések egyszerű összegzés esetén kiolthatnák egymást, a négyzeteiket vesszük figyelembe. Így az i-edik mérési ponthoz tartozó négyzet területe TERi = [yi - f(xi)]2. A cél ezen területek összegének minimalizálása, vagyis a legkisebb négyzetek elve szerinti célfüggvény n mérési pont esetében n
n
i =1
i =1
n
általánosan a Φ = ∑ TERi = ∑ d = ∑ [ yi − f (xi )] = min! alakba ír2 i
2
i =1
ható. A Φ célfüggvény változói az illesztendő f(x) görbe paraméterei lesznek. Az ismertetett eljárást a 118. ábra szemlélteti.
118. ábra. A legkisebb négyzetek módszere A feladatban a független változó a v sebesség, az illesztendő görbe pedig az alapellenállás Fv0(v) = a·v2 + b alakú sebesség-függvénye. A céln
[
(
függvény tehát most a Φ (a, b ) = ∑ Fvi − a ⋅ vi2 + b
)]
2
= min! alakot ölti.
i =1
b.) Általános esetben egy kétváltozós függvény globális minimumhelyének megkeresése igen összetett feladat. Az általunk vizsgált esetben azonban – tekintettel a feladat természetére és a felvett célfüggvény alakjára – a minimumhely azonosításához elégséges feltételt jelent a célfüggvény parciális deriváltjainak eltűnése. A Φ(a,b) célfüggvény parciális deriváltjait akkor kapjuk meg, ha a függvényt először az a független változója szerint differenciáljuk úgy, hogy közben a másik, b változót konstansnak tekintjük; illetve fordítva. Az így kapott a-tól és b-től függő két kifejezést zéróval egyenlővé téve egy két egyenletből álló algebrai egyenletrendszerre jutunk a két 155
ismeretlen paraméterre nézve. Ez az ún. Gauss-féle normálegyenletek rendszere. Ennek megoldása adja meg a paraméterek keresett optimális értékeit. n
[
(
A célfüggvény tehát a Φ(a, b ) = ∑ Fvi − a ⋅ vi2 + b
)] , melynek parciá2
i =1
lis deriváltjai rendre a következők:
[
]
[
]
n 2 2 ∂ ∂ n ∂ 2 Φ(a, b ) = Fvi − a ⋅ vi − b = ∑ Fvi − a ⋅ vi2 − b = ∑ ∂a ∂a i =1 i =1 ∂a n
[
]( )
n
[
]
= ∑ 2 ⋅ Fvi − a ⋅ v − b ⋅ −v = 2 ⋅ ∑ − Fvi ⋅v 2i + a ⋅ vi4 + b ⋅v 2i = 0 i =1
2 i
2 i
i =1
és
[
]
[
]
n 2 2 ∂ ∂ n ∂ 2 Φ (a, b ) = F − a ⋅ v − b = Fvi − a ⋅ vi2 − b = ∑ ∑ vi i ∂b ∂b i =1 i =1 ∂b n
[
]
n
[
]
= ∑ 2 ⋅ Fvi − a ⋅ v − b ⋅ (− 1) = 2 ⋅ ∑ − Fvi + a ⋅ vi2 + b = 0 i =1
2 i
i =1
Megjegyzés: A deriváláskor alkalmaztuk az összetett függvények differenciálására vonatkozó lánc-szabályt és kihasználtuk a differenciálás összegtartó tulajdonságát. A kapott egyenletrendszer megoldásával az optimális a és b paramétereket a mérési adatokra támaszkodva meghatározó összefüggésekre jutunk.
[
]
n ⎫ 2 ⋅ ∑ − Fvi ⋅v 2i + a ⋅ vi4 + b ⋅v 2i = 0⎪ ⎪ i =1 ⎬ n 2 ⎪ 2 ⋅ ∑ − Fvi + a ⋅ vi + b = 0 ⎪⎭ i =1 n n n ⎫ 2 4 − ∑ Fvi ⋅v i + a ⋅ ∑ vi + b ⋅ ∑ vi2 = 0⎪ ⎪ i =1 i =1 i =1 ⎬ (*) n n 2 ⎪ − ∑ Fvi + a ⋅ ∑ vi + b ⋅ n = 0 ⎪⎭ i =1 i =1
[
]
Az elvégzett műveleteket könnyebb áttekinteni, ha a (*) egyenletrendszerben szereplő konstansokat egyszerűbb jelölésekkel helyettesítjük. Legyen például: 156
n
∑v i =1
2 i
= k1 ,
n
∑v i =1
4 i
= k2 ,
n
∑F
vi
i =1
= k 3 , és
n
∑F i =1
vi
⋅v 2i = k 4 .
− k 4 + a ⋅ k 2 + b ⋅ k1 = 0 ⎫ ⎬ lesz. − k 3 + a ⋅ k1 + b ⋅ n = 0 ⎭
Ekkor a megoldandó egyenletrendszer a
Kifejezve a második egyenletből b-t: b =
k 3 − a ⋅ k1 n
k 3 ⋅ k1 − a ⋅ k12 ezt behelyettesítve az első egyenletbe: − k 4 + a ⋅ k 2 + =0 n ⎛ k12 ⎞ k 3 ⋅ k1 − k 4 + a ⋅ ⎜⎜ k 2 − ⎟⎟ + = 0 , melynek átrendezésével azaz n n ⎝ ⎠ k k1 ⋅ k 4 − 3 ⋅ k12 k 3 ⋅ k 2 − k1 ⋅ k 4 k3 n ⋅ k 4 − k 3 ⋅ k1 n b = − = és . a= n n ⋅ k 2 − k12 n ⋅ k 2 − k12 n ⋅ k 2 − k12 Az együtthatók számértékei a mérési adatok alapján a következők:
km 2 k1 = ∑ v = v + v + K + v = 20 + 40 + K + 100 = 22000 2 h i =1 5
2 i
2 1
2 2
2 5
2
2
2
km 4 k 2 = ∑ v = v + v + K + v = 20 + 40 + K + 100 = 156640000 4 h i =1 5
4 i
4 1
4 2
4 5
4
4
4
5
k3 = ∑ Fvi = Fv1 + Fv 2 + K + Fv 5 = 0.81 + 1.06 + K + 2.29 = 7.41 kN i =1
5
k 4 = ∑ Fvi ⋅ vi2 = Fv1 ⋅ v12 + K + Fv 5 ⋅ v52 = 0.81 ⋅ 20 2 + K + 2.29 ⋅ 100 2 = i =1
kN ⋅ km 2 . = 41856 h2 Ezekkel a paraméterek optimális értékei pedig az alábbiak lesznek: n ⋅ k 4 − k3 ⋅ k1 5 ⋅ 41856 − 7.41 ⋅ 22000 kN ⋅ h 2 a= = ≈ 0.0001546 n ⋅ k 2 − k12 5 ⋅ 156640000 − 22000 2 km 2 b=
k3 ⋅ k 2 − k1 ⋅ k 4 7.41 ⋅ 156640000 − 22000 ⋅ 41856 = ≈ 0.8017 kN. 5 ⋅ 156640000 − 22000 2 n ⋅ k 2 − k12
Tehát az alapellenállás legkisebb négyzetek módszere értelmében op157
timális paraméterekkel rendelkező közelítő függvénye az Fv0(v) = 0.0001546·v2 + 0.8017 (kN)
lesz, amelybe a v sebesség értékét km/h-ban kell behelyettesíteni. Ezt mutatja a 119. ábra.
119. ábra. A mérési adatokra illesztett regressziós parabola c.) A célfüggvény értéke a fent kapott optimális paraméter-értékek behelyettesítése esetén lesz minimális, hiszen a célfüggvény a regressziós görbe és a mérési pontok ordinátairányú eltéréseinek négyzetösszegét adja meg. n
[
(
)]
= min!
[
(
Φ (a, b ) = ∑ Fvi − a ⋅ vi2 + b
2
i =1
5
Φ (0.0001546,0.8017 ) = ∑ Fvi − 0.0001546 ⋅ vi2 + 0.8017 i =1
[ ( + [2.29 − (0.0001546 ⋅ 100
2
=
)] + K + + 0.8017 )] ≈ 0.013 kN .
= 0.81 − 0.0001546 ⋅ 20 2 + 0.8017 2
)]
2
2
2
7.3 3. Gyakorló feladat: csavarvonal menti mozgás vizsgálata Egy állandósult üzemállapotban működő hajócsavar egyik pontjának kinematikai viszonyait szeretnénk feltérképezni. A vizsgálat során alkalmazott koordináta-rendszer origója a t0 = 0 s időpillanatban a hajócsavar sík-
158
jában, a forgástengely középpontjában van a 120. ábra szerinti elrendezésben. A hajó (x irányú) haladási sebessége v = 50 km/h és állandónak vehető. A hajócsavar átmérője D = 8 m, állandó fordulatszáma pedig n = 120 1/min. Tekintsük az egyik csavarlapát kerületi pontját, melynek helyD zete a t0 időpillanatban az r0 = 0 ⋅ i + 0 ⋅ j + ⋅ k helyvektorral adható 2 meg.
z x
n y
120. ábra. A hajócsavar vizsgálatának koordináta-rendszere a.) Írja fel a vizsgált pont hely- és sebességvektorának időbeli változását leíró összefüggéseket és ezek alapján határozza meg a vizsgált pont hely- és sebességvektorát a t = 1.25 s időpillanatban! b.) Határozza meg a csavarlapát vizsgált pontja által a fenti idő alatt befutott út nagyságát!
Megoldások: a.) A vizsgált pont csavarvonal mentén fog egyenletesen mozogni. A helyvektor felírásához célszerű a mozgást két komponensére bontva elemezni, azaz az x irányú egyenes vonalú egyenletes mozgást és az yz síkkal párhuzamos, x tengely mentén mozgó síkban zajló egyenletes körmozgást kell jellemezni. A mindenkori helyvektor x koordinátáját tehát az rx (t ) = v x ⋅ t összefüggés adja meg, miközben az y és z koordináták értékeit a 121. ábra szerinti egyenletes körmozgást leíró összefüggésekből nyerhetjük. Ha az egyenletes körmozgás állandó szögsebessége ω, akkor a t0 = 0 s időpontban éppen a z tengelyen, az origótól R távolságra tartózkodó pont koordinátái rendre ry (t ) = R ⋅ sin (ω ⋅ t ) és rz (t ) = R ⋅ cos(ω ⋅ t ) lesznek, mivel a ϕ szögelfordulás a ϕ = ω ⋅ t összefüggéssel számítható. 159
ϕ
R
R·cos(φ)
R·sin(φ)
121. ábra. Az egyenletes körmozgás jellemzői Ha figyelembe vesszük még azt is, hogy a körpálya R sugara éppen a hajócsavar D átmérőjének a fele, továbbá az egyenletes körmozgás szögsebessége a fordulatszám 2π-szerese, vagyis ω = 2 ⋅ π ⋅ n , akkor az r helyvektor tetszőleges t időpontbeli értéke a következő lesz:
r (t ) = v x ⋅ t ⋅ i +
D D ⋅ sin (ω ⋅ t ) ⋅ j + ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⋅ k . 2 2
A vizsgált pont sebességvektorát definíció szerint a helyvektor idő szerinti első deriváltjaként kapjuk meg: d d ⎡ D D ⎤ r (t ) = ⎢v x ⋅ t ⋅ i + ⋅ sin (ω ⋅ t ) ⋅ j + ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⋅ k ⎥ = dt dt ⎣ 2 2 ⎦ D D = v x ⋅ i + ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⋅ j − ⋅ ω ⋅ sin (ω ⋅ t ) ⋅ k. 2 2 v(t ) =
A fenti összefüggésekbe helyettesítve az adott mennyiségeket a helyvektor és a sebességvektor koordinátáinak számértékeit is meghatározhatjuk. A hajócsavar szögsebessége
ω = 2 ⋅π ⋅ n = 2 ⋅π ⋅
120 rad , = 4 ⋅ π ≈ 12.566 60 s
a csavarlapát vizsgált pontjának helyzetét megadó vektor a t = 1.25 s időpontban:
160
r (t ) t =1.25 = v x ⋅ t ⋅ i +
=
D D ⋅ sin (ω ⋅ t ) ⋅ j + ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⋅ k = 2 2 t =1.25
50 ⋅ 1.25 ⋅ i + 4 ⋅ sin (5π ) ⋅ j + 4 ⋅ cos(5π ) ⋅ k ≈ 17.36 ⋅ i + 0 ⋅ j − 4 ⋅ k (m ), 3.6
sebességvektora pedig
v(t ) t =1.25 = vx ⋅ i + =
D D ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⋅ j − ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t ) ⋅ k = 2 2 t =1.25
50 ⎛ m⎞ ⋅ i + 16π ⋅ cos(5π ) ⋅ j − 16π ⋅ sin(5π ) ⋅ k ≈ 13.89 ⋅ i − 50.26 ⋅ j + 0 ⋅ k ⎜ ⎟. 3.6 ⎝s⎠ A kapott eredményeket a 122. ábra szemlélteti, melyen feltüntettük a vizsgált pont mozgásának pályáját, valamint a helyzet- és sebességjellemző vektorokat a t = 0 s és a t = 1.25 s időpillanatokra vonatkozóan.
v0
v(t)
r0
r(t)
122. ábra. Csavarvonal menti mozgás eredménye b.)A csavarlapát vizsgált kerületi pontja által befutott út nagysága a fent ábrázolt csavarvonal-darab hosszával egyenlő. Mivel az ívhossz-koordináta mentén egyenletes mozgásról van szó, a megtett út kiszámításának talán legegyszerűbb megoldása az, ha az időben állandó nagyságú sebességvektor abszolút értékét megszorozzuk a mozgás időtartamával. Ha tehát az előző pontban kapott v(t) sebességvektor hossza m v(t ) = v x2 + v y2 + v z2 ≈ 13.89 2 + 50.26 2 + 0 2 = 52.144 , akkor a s keresett út, vagyis a mozgáspálya ívhossza s(t ) = v(t ) ⋅ t ≈ 52.144 ⋅ 1.25 = 65.180 m . 161
7.4 4. Gyakorló feladat: hajtásrendszer vizsgálata
Egy villamosmotor szíj segítségével kétfokozatú fogaskerék-hajtóművet hajt. Az elrendezés vázlatát a 123. ábra mutatja.
123. ábra. A vizsgált hajtáslánc elrendezése A motor névleges fordulatszáma nm = 3600 1/min, üresjárási vesztesége Pv0 = 1.4 kW, teljes terheléskor a hálózatból P1100 = 39 kW villamos teljesítményt vesz fel, miközben félterhelés mellett P150 = 19.8 kW a teljesítmény-felvétele. A motor tengelyére ékelt szíjtárcsa átmérője dsz1 = 175 mm, a fogaskerékhajtómű behajtótengelyén elhelyezett tárcsa átmérője dsz2 = 350 mm, a szlip értéke s = 4 %. A szíjban legfeljebb F = 1500 N erő ébredhet. A fogaskerék-hajtómű két azonos fokozatot valósít meg. A kisfogaskerekek fogszáma zf1 = 25, gördülőköri átmérőjük df1 = 275 mm. Egy fogaskerék-kapcsolat hatásfoka η fok = 99 %. a.) Határozza meg a hajtó villamosmotor névleges terhelését és hatásfokát! Adja meg a motor optimális terhelésének és hatásfokának értékét! Írja fel és ábrázolja a motor hatásfokának alakulását a hasznos teljesítmény függvényében a megadott pontokban, illetve 0, 10, 20 és 30 kW terhelésnél! b.) Mekkora legnagyobb erővel szabad a szíjat előfeszíteni? c.) Határozza meg a fogaskerék-hajtómű nagyfogaskerekeinek gördülőköri átmérőjét és fogszámát, ha a rendszer kihajtótengelyének fordulatszáma névleges motorfordulatszám mellett nki = 570 1/min! Adja meg az erőátvitel eredő fordulatszám- és nyomatékmódosításának, illetve hatásfokának értékét!
162
Megoldás: a.) Villamosmotor esetében a változó veszteségteljesítmény a hasznos (leadott) teljesítmény másodfokú függvénye (3.7. fejezet), így az összveszteség a hasznos teljesítmény függvényében Pv (P2 ) = Pv 0 + c ⋅ P22 alakban írható fel. A feladat szerint ismert a motor által a hálózatból P felvett P1 teljesítmény a P2n teljes (névleges) és a 2 n félterhelés mel2 lett. Ha az előbbit kifejezzük a hasznos teljesítmény segítségével, akkor az alábbi egyenletrendszer adódik: P1100 = P2 n + Pv (P2 n ) = P2 n + Pv 0 + c ⋅ P22n ⎫ ⎪ P2 n P22n ⎬ . ⎛ P2 n ⎞ P2 n P150 = + Pv 0 + c ⋅ + Pv ⎜ ⎟= 2 4 ⎪⎭ ⎝ 2 ⎠ 2 A fenti algebrai egyenletrendszer két ismeretlene a P2n névleges hasznos teljesítmény és a változó veszteség kifejezésében szereplő c együttható. Ha kivonjuk a második egyenlet négyszeresét az első egyenletből, akkor a
P1100 − 4 ⋅ P150 = − P2 n − 3 ⋅ Pv 0 egyenletet kapjuk, melyet rendezve a névleges hasznos: P2 n = 4 ⋅ P150 − 3 ⋅ Pv 0 − P1100 = 4 ⋅ 19.8 − 3 ⋅ 1.4 − 39.0 = 36.0 kW lesz. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe a c konstans is meghatározható: P1100 = P2 n + Pv 0 + c ⋅ P22n , melyből c-t kifejezve c=
P1100 − Pv 0 − P2 n 39.0 − 1.4 − 36.0 −3 1 1 . 23457 10 . = ≈ ⋅ P22n 36.0 2 kW
A motor hatásfoka a névleges teljesítmény leadásakor:
ηn =
P2 n 36.0 = ≈ 0.92308 = 92.31 % . P1100 39.0
Az előzőek alapján a villamosmotor hatásfoka felírható a hasznos teljesítmény függvényeként is:
ηm =
P2 P2 = = f (P2 ) . P1 P2 + Pv 0 + c ⋅ P22
163
A motor optimális terhelése az a P2* hasznos teljesítmény lesz, mely mellet hatásfokának értéke maximális. A hatásfokfüggvény maximumának szükséges feltétele, hogy deriváltja zérus legyen: ⎤ P2 + Pv 0 + c ⋅ P22 − P2 − 2 ⋅ c ⋅ P22 d d ⎡ P2 η m (P2 ) = = ⎢ ⎥= 2 2 dP2 dP2 ⎣ P2 + Pv 0 + c ⋅ P22 ⎦ P2 + Pv 0 + c ⋅ P2
(
=
Pv 0 − c ⋅ P22
(P + P 2
v0
+ c ⋅ P22
)
2
)
= 0.
Megjegyzés: A deriváláskor alkalmaztuk a törtfüggvények differenciálására vonatkozó szabályt: ′ ⎛f⎞ f ′ ⋅ g − g′ ⋅ f ⎜⎜ ⎟⎟ = . g2 ⎝g⎠
A kapott tört csak akkor lehet egyenlő nullával, ha a számlálója zérus, vagyis Pv 0 − c ⋅ P2*2 = 0 , azaz Pv 0 = c ⋅ P2*2 . Fogadjuk most el további magyarázat nélkül, hogy esetünkben ezen feltétel teljesülése elégséges a hatásfok maximumhelyének azonosításához. Így az optimális terhelés értéke
Pv 0 = c ⋅ P2*2 ⇒ P2* =
Pv 0 1.4 ≈ = 33.675 kW . c 1.23457 ⋅ 10 −3
Megjegyzés: Az optimális terhelés értéke meghatározható „geometriai” úton is. A motor korábbiakban felírt hatásfokfüggvénye átalakítható a következőképpen:
ηm =
P2 P2 = = P1 P2 + Pv 0 + c ⋅ P22
1 1 = . 2 Pv (P2 ) Pv 0 + c ⋅ P2 1+ 1+ P2 P2
A hatásfok tehát a veszteség- és a hasznos teljesítmény arányától függ. Minél kisebb a Pv/P2 arány, a hatásfok annál nagyobb lesz. Ha most ábrázoljuk a gép veszteségteljesítményét a hasznos teljesítmény függvényében, akkor láthatjuk, hogy ez a hányados éppen egyenlő az origót a függvény görbéjének bármely pontjával összekötő egyenes α szögének tangensével. Így a hatásfok értéke akkor lesz maximális, ha tg α = min! Ez akkor áll fenn, ha az origóból húzott egyenes éppen érinti a veszteségfüggvény görbéjét. A viszonyokat a 124. ábra szemlélteti. 164
tan α =
Pv 0 + Pvv Pv = P2 P2
Pvv
α
P 2*
Pv0
124. ábra. Villamos gép optimális terhelésének meghatározása Vegyük még figyelembe, hogy a parabola bármely pontbeli érintője mindig felezi az érintési abszcisszát. Tehát kimondhatjuk, hogy az ábrán kék színnel rajzolt érintő a 0-tól P2*-ig Pv0 magasságban húzott vízszintes vonalat felezi. Az így létrejött két egyforma hosszúságú szakaszt jelöltük pirossal. Ekkor viszont annak a két derékszögű háromszögnek, melyeknek egy-egy befogója ez a két szakasz, továbbá ezen befogó melletti hegyesszögük az ábrán is megjelölt α, szükségképp egybevágónak kell lenniük. Így tehát azt olvashatjuk le az ábráról, hogy optimális terhelés esetén a villamos gép Pv0 állandó (üresjárási) és Pvv változó vesztesége azonos nagyságú lesz! Vagyis Pv 0 = c ⋅ P2*2 , ahogy azt az előző megoldás szerint is kaptuk. A motor maximális hatásfokát ezek után az alábbi összefüggés adja meg:
η max
33.67492 P2* = * ≈ = 0.92323 = 92.323 % . P2 + 2 ⋅ Pv 0 33.67492 + 2 ⋅ 1.4
A megadott további terhelések esetén is ugyanígy számítható a hatásfok értéke. Az eredményeket és a hatásfok változását a terhelés függvényében a 125. ábra mutatja. η0 = 0, mivel P2 = 0 W.
165
P2 x , például P2 x + Pv 0 + c ⋅ P22x 10 η10 = ≈ 0.86779 = 86.779 %, 10 + 1.4 + 1.23457 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 2 η 20 = 91.350 %, η 30 = 92.276 %.
ηx =
125. ábra. Villamos gép hatásfokának alakulása a terhelés függvényében b.) A szíjhajtással történő erőátszármaztatás lényege, hogy két tárcsa kerületére egy „végtelenített” szíjat feszítünk (3.4.2. fejezet). Ha az egyik tárcsára ekkor teljesítményt vezetünk be, akkor annak átadása a szíj és a tárcsák között fellépő tapadási/súrlódási erő segítségével a szíjon, mint „kötélen” keresztül valósul meg. Ezért szükséges a szíjhajtás előfeszítése. A tárcsák közötti két ágban a szíj tehát nem egyformán feszül meg. A viszonyokat a 126. ábra szemlélteti. M1, n1
Feszes ág
v2 dsz2
dsz1
v1 HAJTOTT tárcsa
Laza ág
HAJTÓ tárcsa
126. ábra. Szíjhajtás Figyelembe véve, hogy a szíj az erőátvitel során megnyúlik, a hajtó tárcsa v1 kerületi sebessége nem fog megegyezni a hajtott tárcsa v2 kerületi sebességével, hanem annál nagyobb lesz. Azaz v1 > v2 mindig
166
fennáll. A hajtó és a hajtott szíjtárcsa kerületi sebességének v1-v2 különbségét a hajtó szíjtárcsa kerületi sebességével normálva kapjuk a redef v − v2 v latív „csúszást” vagy más néven szlipet: s = 1 = 1− 2 . v1 v1 Ezek alapján a szlip definíciója segítségével a szíjhajtás – később szükséges – fordulatszám-módosítása már könnyen felírható (3.4.2. fejezet, 1. pont):
iszíj
2 ⋅ v2 d d ω v d = 2 = sz 2 = 2 ⋅ sz1 = (1 − s ) ⋅ sz1 . ω1 2 ⋅ v1 v1 d sz 2 d sz 2 d sz1
A nyomatékmódosítás meghatározásához képzeletben vágjuk el a hajtószíjat és rajzoljuk fel így az egyes tárcsákra ható erőket! Az eredményt a 127. ábra mutatja. M2
F
F
r2
r1
F0
F0
M1
127. ábra. A szíjhajtásban fellépő főbb erők és nyomatékok Jelenleg csak a szíjhajtás stacionárius (időben állandósult) üzemét vizsgáljuk, amikor is a szögsebességek állandóak, így Newton II. axiómája értelmében az egyes tárcsákra ható nyomatékok eredőinek zérusnak kell lenniük. Így a hajtó illetve a hajtott tárcsára: n
∑M i =1
i
= M 1 − F ⋅ r1 + F0 ⋅ r1 = 0 , azaz M 1 = (F − F0 ) ⋅
d sz1 . 2
Az előző pontban meghatároztuk a hajtó villamosmotor névleges teljesítményét, mely Pmn = 36 kW-ra adódott. Az adatok szerint a motor névleges fordulatszáma nmn = 3600 1/min, ezért a motor névleges nyomatéka, mely egyben a szíjhajtás hajtó tárcsáján átvitt nyomaték is:
167
Pmn = M mn ⋅ ωmn ⇒ M 1 =
Pmn
ωmn
=
Pmn 36000 ⋅ 60 = ≈ 95.493 Nm. 2 ⋅ π ⋅ nmn 2 ⋅ π ⋅ 3600
A szíj terhelésére nézve mértékadó a feszes ágban keletkező erő lesz. Ezért ha az Msz1 nyomatékot, valamint a szíjban keletkező erő maximális, F = 1500 N-os értékét behelyettesítjük a hajtótárcsa nyomatékára korábban kapott összefüggésbe, a szíjhajtás laza ágában ébredő F0 erőt is egyszerűen meghatározhatjuk:
M 1 = (F − F0 ) ⋅
2 ⋅ M sz1 d sz1 2 ⋅ 95.493 ⇒ F0 = F − ≈ 1500 − = 408.65 N. d sz1 2 0.175
Amikor az előfeszített szíjhajtásra rákapcsoljuk a hajtónyomatékot, akkor a feszes ágban az Fef előfeszítő erő F értékre megnövekszik, míg a laza ágban Fef előfeszítő erő ugyanilyen mértékben lecsökkenve lesz F0. Emiatt a szíjban ébredő előfeszítő erő legnagyobb megengedett értéke a fenti feltételek szerint a feszes és a laza ágban ébredő szíjerők számtani közepeként azonosítható:
Fef max =
F + F0 1500 + 408.65 ≈ = 954.33 N . 2 2
c.) A fogaskerék-hajtással történő erőátszármaztatás lényege, hogy a kerekek a fogkapcsolaton keresztül viszik át a teljesítményt, azaz a hajtott kerék mozgását a hajtó kerék fogával való közvetlen érintkezés idézi elő, vagyis egy geometriai kényszer (3.4.1. fejezet). Külső fogazású fogaskerekek kapcsolódását mutatja a 128. ábra. Ennek következménye, hogy a kapcsolódó fogaskerekek kerületi sebességeinek a d1, illetve d2 átmérőjű osztókörök (gördülőkörök) érintkezési pontjában azonosnak kell lenniük (lásd 32. ábra)!
128. ábra. Fogaskerék-kapcsolat A kerületi sebességek azonosságára alapozva könnyen levezethető a fogaskerék-kapcsolat fordulatszám-módosítása, ami a fogszámokkal kifejezve is megadható: 168
i fog
2⋅v d z d ω v d = 2 = f 2 = ⋅ f1 = f1 = f1 . ω1 2 ⋅ v v d ff 2 d f 2 z f 2 d f1
Mivel az eredő módosítás mindig a rész-módosítások szorzata, így a feladatban szereplő kétfokozatú fogaskerék-hajtómű ie fog eredő módosítását a teljes hajtáslánc ie eredő módosítása segítségével számíthatjuk ki, mely a kihajtás nki és a motor nmn fordulatszámának arányával meghatározott. Így a szíjhatás módosítására korábban felírt összefüggést figyelembe véve:
ie = iszíj ⋅ ie fog ⇒ ie fog =
ie iszíj
=
nki nmn
(1 − s ) ⋅ d sz1
=
570 3600
(1 − 0.04) ⋅ 175
≈
0.1583 = 0.3299. 0.48
350
d sz 2
Tekintve, hogy a fogaskerék-hajtómű két fokozatának módosítása jelen esetben azonos, a fokozati módosítás a következő lesz:
ie fog = i fok1 ⋅ i fok 2 = i 2fok ⇒ i fok = ie fog ≈ 0.3299 ≈ 0.5743 . Mivel ez egyben a kis- és a nagyfogaskerék fogszámának az aránya, ezért a nagyfogaskerék keresett fogszáma a következő lesz:
i fok =
zf1 zf2
⇒ zf2 =
zf1 i fok
≈
25 = 40.046 ≈ 40 . 0.5743
Megjegyzés: A fogszám értéke természetesen csak egész szám lehet, így ilyenkor az eredményt mindig a legközelebbi egész értékre kerekítjük annak tudomásul vételével, hogy ezáltal a tervezett módosítás értéke kis mértékben megváltozik. A nagyfogaskerekek gördülőkörének átmérője is a fokozati módosítás alapján számítható: d f1
d f1
275 = 478.81 mm ≈ 479 mm . df2 i fok 0.5743 A teljes erőátvitel ie eredő módosítását a fogaskerék-hajtómű fokozati módosításának meghatározásakor már kiszámítottuk. A fordulatszámmódosítással azonos módon az erőátvitel ke eredő nyomatékmódosítái fok =
⇒ df2 =
≈
169
sa is a rész-nyomatékmódosítások szorzataként áll elő. Figyelembe véve a szíjhajtásra a 3.4.2. fejezet, 2. pontban kapott összefüggést és a fogaskerék hajtásra is érvényes kfok=ηfok / ifok összefüggést: 2
2 ⎛ η fok ⎞ 350 0 . 99 ⎛ ⎞ ⎟ ≈ ⋅⎜ k e = k szíj ⋅ k e fog = k szíj ⋅ k ⋅⎜ ⎟ ≈ 5.943. ⎜i ⎟ 175 0 . 5743 ⎝ ⎠ ⎝ fok ⎠ Az erőátvitel ηe eredő hatásfoka az előzőekkel teljesen analóg módon adható meg: 2 fok
d = sz 2 d sz1
7.5 5. Gyakorló feladat: lendítőkerék méretezése Egy gépcsoport kihajtótengelyére rögzített lendítőkerék méretezését kívánjuk elvégezni. Adott a gépcsoportban ébredő hajtónyomaték fordulatonként periodikus változása a 129. ábrán látható. A gépcsoportban fellépő terhelő nyomaték a szögelfordulás függvényében nem változik.
129. ábra. A vizsgált gépcsoport nyomatéka A gépcsoport közepes fordulatszáma nk = 600 1/min, teljes saját tehetetlenségi nyomatéka Θg = 1.46 kgm2. Az egyenlőtlenségi fok megkívánt értéke δ = 1%. A tervezett lendítőkerék tömör acélkorong, melyet egy, a gépcsoport dg = 75 mm átmérőjű tengelyére szerelt, a lendkerékbe sülylyesztve elhelyezendő db = 200 mm külső átmérőjű és v = 25 mm vastagságú tárcsa segítségével rögzítünk. A lendítőkerék központi furatának átmérője d0 = 80 mm, a kereket a tárcsához 8 darab M10-es belső kulcsnyílású csavar rögzíti. A rögzítőtárcsa forgástengelyére vett tehetetlenségi nyomatékát a gépcsoport teljes Θg tehetetlenségi nyomatéka már tartalmazza. A csavarok, illetve furataik tehetetlenségi nyomatéka elhanyagolható. Az acél sűrűsége ρ = 7860 kg/m3. a.) Határozza meg az alkalmazandó lendítőkerék tehetetlenségi nyomatékának nagyságát! 170
b.) Mekkora legyen a lendítőkerék axiális (tengelyirányú) mérete, ha a rendelkezésre álló hely miatt átmérője legfeljebb dk = 350 mm lehet?
Megoldás: a.) A lendítőkerék funkcióját tekintve egy kinetikus energiatároló. Az a feladata, hogy a periodikusan változó nyomatékigényű vagy ugyanilyen módon nyomatékot szolgáltató gépek (pl. dugattyús gépek) futását egyenletesebbé tegye, azaz fordulatszámuk ingadozását csökkentse. Ezt oly módon valósítja meg, hogy az üzemi periódus azon szakaszában, amikor a maximális fordulatszám környezetében munkatöbblet jelentkezik, azt forgási energiaként tárolja, majd a minimális fordulatszám környezetében visszaadja (3.8.4. fejezet). Az ingadozó szögsebességű gépek üzemének egyik legfontosabb jellemzője az egyenlőtlenségi fok, amely a gép maximális és minimális szögsebességének különbsége a közepes szögsebességre normálva, vadef def ωmax − ωmin ω + ωmin gyis δ = . Az ωk = max összefüggés ugyanakkor a 2 ωk közepes szögsebességet definiálja. Amint az a 3.8.4. fejezetben megtanultuk, az előírt egyenlőtlenségi fok esetében szükséges tehetetlenségi nyomaték meghatározásához a munkatúlmány ismeretére is szükség van. Ennek kiszámítása a feladat szerint adott változó hajtónyomatéki függvény és az ennek közepes nyomatékával egyező, állandó terhelő nyomaték ismeretében lehetséges. A közepes nyomaték a nyomatéki függvény integrál-átlaga. Értéke esetünkben a 129. ábrán vázolt nyomatéki függvény alatti terület segítségével adható meg, vagyis két trapéz és két téglalap területét kell meghatároznunk, majd osztanunk a periódus 2π nagyságú hosszával. Az ábráról leolvasható, hogy a nyomaték maximális értéke 200 Nm, minimális értéke pedig 120 Nm. Ezek alapján a közepes nyomaték a következő lesz:
171
2π
1 Mk = ⋅ M (ϕ )dϕ = 2π ∫0 ⎡120 + 200 ⎛ 2π ⎞ 4π ⎞⎤ ⎛ 2π ⎞ ⎛ ⋅⎢ ⋅ ⎜1.6 + − 1⎟ + 120 ⋅ ⎜ 2π − 0.6 − ⎟ + 200 ⋅ ⎜ ⎟⎥ = 2 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ 480 ⎤ 320 400 1 ⎡ = ⋅ ⎢256 + + ⋅ π − 200 + 240 ⋅ π − 72 − ⋅π ⎥ = 3 3 3 2π ⎣ ⎦
=
1 2π
=
8 240 1 ⎛ ⎞ ⋅ ⎜ 240 ⋅ π + ⋅ π − 16 ⎟ = 160 − ≈ 157.4535 Nm. π 3 2π ⎝ ⎠
A munkatúlmány a közepes nyomatékot jelölő vízszintes egyenes és a nyomatéki függvény görbéje közötti terület nagyságával egyezik meg, mely esetünkben ismét egy trapéz területe lesz. A trapéz hosszabb alapjának meghatározása a 130. ábrán vázolt hasonló háromszögek felhasználásával a legegyszerűbb.
φx φy
1 2π 3
2π 3
130. ábra. A munkatúlmány meghatározása 4π Az ábra szerint a trapéz φa alapja a ϕ a = − ϕ x − ϕ y összefüggéssel 3 számítható, ahol a sárgával és pirossal jelölt háromszögek hasonlósá3ϕ y M k − 120 ϕ M − 150 és . Ebből ga miatt x = k = 1 200 − 150 2π 200 − 120
M k − 150 157.4535 − 150 ≈ = 0.1491 (rad ) és 50 50 M − 120 2π 157.4535 − 120 2π ϕy = k ⋅ ≈ ⋅ ≈ 0.9805 (rad ) . 80 3 80 3
ϕx =
Így a trapéz alapjának hossza
172
ϕa =
4π 4π − ϕx − ϕ y ≈ − 0.1491 − 0.9805 ≈ 3.0592 (rad ) , 3 3
mellyel a munkatúlmány keresett értéke
W+ =
ϕa +
2π 2π −1 −1 3.0592 + 3 3 ⋅ (200 − M k ) ≈ ⋅ (200 − 157.4535) ≈ 2 2 ≈ 88.3602 J.
Az előírt egyenlőtlenségi fokot a gépcsoportnak a lendítőkerékkel felszerelve kell teljesítenie, ezért a munkatúlmány korábban megismert kifejezésében a gép Θg saját tehetetlenségi nyomatéka mellett a lendítőkerék Θl tehetetlenségi nyomatékát is szerepeltetni kell, vagyis W + = (Θ g + Θl )⋅ δ ⋅ ωk2 . Figyelembe véve, hogy a közepes szögsebesség a közepes fordulatszám 2π-szereseként áll elő, a lendítőkerék által biztosítandó tehetetlenségi nyomaték az alábbiak szerint számítható:
W + = (Θ g + Θ l ) ⋅ δ ⋅ ω k2 ⇒ W+ W+ Θl = − Θg = − Θg ≈ δ ⋅ ωk2 δ ⋅ 4 ⋅ π 2 ⋅ nk2
88.3602
⎛ 600 ⎞ 0.01 ⋅ 4 ⋅ π 2 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 60 ⎠ ≈ 0.7782 kgm 2 .
2
− 1.46 ≈
b.) Az előző pontban meghatároztuk az alkalmazandó lendítőkerék tehetetlenségi nyomatékának nagyságát. Most az ennek megfelelő geometriai méreteket kell megadnunk. Ehhez elsőként el kell készítenünk a lendítőkerék rögzítésének módját bemutató összeállítási rajzot, legalább egy vázlat erejéig. A feladat szerint elkészítendő lendítőkerék kialakítását és méreteit a 131. ábra szemlélteti. A furatok és a rögzítőcsavarok elhanyagolásával a lendítőkerék tehetetlenségi nyomatéka a legkönnyebben úgy számítható, hogy a dk = 350 mm külső átmérőjű, b szélességű henger tehetetlenségi nyomatékából kivonjuk a db = 200 mm átmérőjű és v = 25 mm vastagságú tárcsa, valamint a d0 = 80 mm átmérőjű és b-v szélességű furat tehetetlenségi nyomatékát. Egy henger szimmetriatengelyére vett tehetetlenségi nyomatéka a henger tömegének fele szorozva sugarának négyzetével, vagyis 173
Θ henger =
1 ⋅m⋅r2 . 2
131. ábra. A lendítőkerék kialakítása és összeállítási rajza A szóban forgó hengerek tömege nem ismert, ugyanakkor a méreteik alapján a térfogatuk meghatározható és így a felépítő acél ρ sűrűségének ismeretében tömegük már számítható lesz. A korong, a tárcsa és a furat tehetetlenségi nyomatéka így a következő: 1 1 d k2 ⋅ π 1 2 Θ k = ⋅ mk ⋅ d k = ⋅ ⋅ b ⋅ ρ ⋅ d k2 = ⋅ d k4 ⋅ b ⋅ ρ ⋅ π , 8 8 4 32 1 1 d 2 ⋅π 1 Θt = ⋅ mt ⋅ d b2 = ⋅ b ⋅ v ⋅ ρ ⋅ d b2 = ⋅ d b4 ⋅ v ⋅ ρ ⋅ π ,. 8 8 4 32
174
1 1 d 02 ⋅ π 1 2 Θ f = ⋅ m f ⋅ d0 = ⋅ ⋅ (b − v ) ⋅ ρ ⋅ d 02 = ⋅ d 04 ⋅ (b − v ) ⋅ ρ ⋅ π . 8 8 4 32 Ezeket felhasználva a lendítőkerék tehetetlenségi nyomatéka már felírható, majd a kapott összefüggés a lendkerék b szélességére nézve megoldható. 1 4 1 ⋅ d k ⋅ b ⋅ ρ ⋅ π − ⋅ d b4 ⋅ v ⋅ ρ ⋅ π − 32 32 1 1 − ⋅ d 04 ⋅ (b − v ) ⋅ ρ ⋅ π = ⋅ π ⋅ ρ ⋅ d k4 ⋅ b − d b4 ⋅ v − d 04 ⋅ b + d 04 ⋅ v . 32 32
Θl = Θ k − Θt − Θ f =
[
]
Ebből a lendítőkerék keresett axiális mérete pedig az alábbi lesz: 1 Θl = ⋅ π ⋅ ρ ⋅ d k4 ⋅ b − d b4 ⋅ v − d 04 ⋅ b + d 04 ⋅ v ⇒ 32 32 ⋅ Θ l d b4 − d 04 32 ⋅ 0.7782 + 4 ⋅v ≈ + b= 4 4 4 dk − d0 π ⋅ ρ ⋅ d k − d0 π ⋅ 7860 ⋅ 0.354 − 0.084
[
( ) (
]
) )
( ( (0.2 − 0.08 ) ⋅ 0.025 ≈ 0.06993 m ≈ 70 mm. + (0.35 − 0.08 ) 4
4
)
4
4
7.6 6. Gyakorló feladat: több merev testből álló rendszer vizsgálata
A 132. ábrán vázolt lift rakományának és emelőkasának együttes tömege M = 800 kg. Az ellensúly tömege m = 650 kg. A D = 700 mm átmérőjű kötélcsiga tehetetlenségi nyomatéka Θ1 = 60 kgm2. A kötéldob és a hajtómotor forgórészének össz-tehetetlenségi nyomatéka Θ2 = 15 kgm2. A kötéldob átmérője d = 400 mm. A kas vezetéken csúszva mozog, a vezeték veszteségi tényezője λv = 0.1. A tengelyeknél fellépő csapsúrlódás elhanyagolható. A nehézségi gyorsulás értéke g = 9.81 m/s2. a.) Mekkora lesz a nyugalmi helyzetből felfelé induló rakott kas a gyorsulása, ha a hajtómotor Mh = 500 Nm állandó nyomatékot fejt ki? b.) Mekkora a motor által leadott Pm teljesítmény a megindulás utáni t1 = 4 s elteltével és mennyi lesz a t1 idő alatt a motor által a rendszerbe vezetett Wm munka?
Megoldás: a.) Több merev testből álló rendszerek vizsgálata során mindig ugyanazt a módszert kell követnünk a mozgásviszonyok felderítése érdekében. Az egyes testek közötti, első lépésben ismeretlen kapcsolati erőket megje-
175
löljük, majd a merev testekre egyenként, mind a haladó, mindpedig a forgó mozgásokra alkalmazzuk Newton II. axiómáját az ismert erőhatások figyelembe vételével. Emlékeztetőül Newton II. törvényének transzlatorikus (haladó) és rotatorikus (forgó) mozgásra vonatkozó skalár alakja: n
∑F i =1
i
= m ⋅ a és
m
∑M j =1
j
= Θ ⋅ε .
Mh
132. ábra. A vizsgált lift egyszerűsített vázlata Azaz egy merev testre ható erők eredőjének nagysága egyenlő a test tömegének és gyorsulásának szorzatával, illetve a merev testre ható, adott tengelyre vett nyomatékok eredője megegyezik a test adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékának és szöggyorsulásának szorzatával. Az így kapott dinamikai egyenletrendszert ezek után ki kell egészíteni a kinematikai viszonyokat leíró egyenletekkel, mint például kényszerek által előidézett azonos gyorsulások és sebességek figyelembe vételével, vagy a szöggyorsulás/szögsebesség és a kerületi gyorsulás/sebesség kapcsolatával. Ezt követően az így nyert egyenletrendszert meg kell oldani. A megoldás során a rendszer gyorsulásviszonyai mellett a rendszerben működő belső erők is minden esetben kiadódnak. A fizikai feladatok megoldásának első lépése a vizsgálat koordinátarendszerének rögzítése. Esetünkben ez annyit jelent, hogy először fel kell vennünk a rendszert alkotó merev testek haladó és/vagy forgó mozgásának irányát. Nem baj, ha e tekintetben bizonytalanok vagyunk, 176
mivel a helyesen elvégzett további számítások eredményeként kiadódó gyorsulásérték(ek) negatív előjele megmutatja, ha a felvettel ellentétes irányban valósul meg a mozgás. Jelen feladatban a 132. ábrán kékkel jelölt irányban, azaz „felfelé” vesszük fel az emelőkas gyorsulásának irányát. A newtoni axiómát a M tömegű kas és a m tömegű ellensúly haladó mozgására, illetve a Θ1 tehetetlenségi nyomatékú csiga és a Θ2 tehetetlenségi nyomatékú kötéldob + motor forgórész forgó mozgására kell felírnunk. A forgatónyomatékokat minden esetben a csigák középpontjára nézve határoztuk meg, azaz a kerületi erő és az adott csiga sugarának szorzataként írtuk fel. A rakott kas vezetéséből származó ellenálláserő az Fell = M ⋅ g ⋅ λv összefüggéssel számítható. A kötél nem nyúlik meg, így minden pontjának gyorsulása, tehát a kasé és az ellensúlyé, illetve a csigák kerületi gyorsulása is azonos lesz. A felvett kötélerőket a 133. ábrán vázoltuk.
133. ábra. A rendszerben működő belső erők és a felvett gyorsulások 177
Az ábra alapján a következő egyenletek írhatók fel: 1 : K1 − M ⋅ g ⋅ (1 + λv ) = M ⋅ a ⎫ ⎪ D ⎪ 2 : (K 2 − K1 ) ⋅ = Θ1 ⋅ ε 1 ⎪ 2 ⎬ 3 : m ⋅ g + K3 − K 2 = m ⋅ a ⎪ ⎪ d 4 : M h − K3 ⋅ = Θ2 ⋅ ε 2 ⎪ 2 ⎭
D ⎫ = a⎪ ⎪ 2 ⎬ d 6 : ε 2 ⋅ = a ⎪⎪ 2 ⎭
5 : ε1 ⋅ és
A fenti, hat egyenletből álló rendszerben hat darab ismeretlen szerepel:, az ε1 és ε2 szöggyorsulások, valamint az a gyorsulás. A kapott egyenletrendszer tehát egyértelműen megoldható. Helyettesítsük be például az 5. és 6. egyenletet a 2. és 4. egyenletbe, és 2. egyenletet szorozzuk meg 2/D értékkel, a 4. egyenletet pedig 2/d értékkel. A így kapott két új egyenlet:
2 : K 2 − K1 = Θ1 ⋅
4 a D2
és
4: Mh
2 4 − K3 = Θ2 ⋅ 2 a d d
Adjuk most össze az így előállt 1-4 egyenleteket. Mivel a K1, K2 és K3 belső erők mind pozitív, mind negatív előjellel szerepelnek, az összegzés során kiesnek, így: 2 4 ⋅ Θ1 4 ⋅ Θ 2 ⎤ ⎡ , + m ⋅ g + ⋅ M h − M ⋅ g ⋅ (1 + λv ) = a ⋅ ⎢ M + m + d D2 d 2 ⎥⎦ ⎣ amiből a keresett gyorsulás:
a=
2 2 ⋅ 500 − 800 ⋅ 9.81⋅ (1 + 0.1) ⋅ M h − M ⋅ g ⋅ (1 + λv ) 650 ⋅ 9.81 + d 0 . 4 ≈ = 4 ⋅ Θ1 4 ⋅ Θ2 4 ⋅ 60 4 ⋅15 + M +m+ 2 + 2 800 + 650 + D d 0.72 0.42 m ≈ 0.10528 2 . s
m⋅ g +
b.) A motor pillanatnyi teljesítménye a jól ismert P = M ⋅ ω összefüggéssel számítható, azaz a pillanatnyi nyomaték és szögsebesség szorzataként. A feladat szerint a motor állandó Mh nagyságú hajtónyomatékot fejt ki, így Newton II. törvénye szerint a rendszer gyorsulása is az előző pontban meghatározott állandó a érték lesz. Mivel a rendszer a t = 0 s időpillanatban v0 = 0 m/s kezdősebességgel indul, ezért t1 idő elteltével a pillanatnyi sebessége 178
v(t1 ) = v1 = a ⋅ t1 ≈ 0.10528 ⋅ 4 = 0.42112
m s
lesz. Tekintve, hogy ez a sebesség egyben a d átmérőjű kötéldob kerületi pontjainak sebessége is, a motor pillanatnyi teljesítménye ekkor 2 ⋅ v1 2 ⋅ 0.42112 P(t1 ) = Pm = M h ⋅ ω 21 = M h ⋅ ≈ 500 ⋅ = 1052.8 W = d 0.4 = 1.053 kW. A hajtómotor által a rendszerbe bevezetett munka meghatározása legegyszerűbben a motor teljesítményének alapján számítható. A korábbiak szerint a motor nyomatéka állandó, így a rendszer gyorsulása is az. A zéró kezdősebesség miatt tehát a pillanatnyi sebesség nagysága – és ezért a hajtómotor szögsebessége is – az idővel egyenesen arányosan növekszik. Mivel a motorteljesítmény még mindig a konstans nyomaték és a kötéldob szögsebességének szorzata, így a teljesítmény is az idővel egyenesen arányosan fog nőni. Tekintve, hogy t
W (t ) = ∫ P(τ )dτ , 0
azaz a motor által végzett munka az idő függvényében ábrázolt teljesítménygörbe alatti terület nagyságával egyenlő, a keresett munka számértéke egyszerűen számítható a fent meghatározott Pm teljesítmény és a t1 idő szorzatának feleként: t1 P 1052.8 Wm = ∫ P(τ )dτ = m ⋅ t1 ≈ ⋅ 4 = 2105.6 J. 2 2 0 Az elmondottakat a 134. ábra szemlélteti.
P(t1) = Pm t1
134. ábra. Munkaszámítás a teljesítmény függvény segítségével 179
tartály oldalfalán elhelyezett tisztítónyílás
7.7 7. Gyakorló feladat: fedelének vizsgálata
A 135. ábrán vázolt téglatest alakú tartály hosszúsága a = 5 m, szélessége b = 3 m és magassága c = 4 m. A tartályban H = 3 m magasságban víz áll. A tartály oldalán egy x = 2 m széles és y = 1.8 m magas nyílás található, melyet egy felül csuklókkal, alul csavarokkal rögzített fedél zár le. A nyílás felső éle a vízszint alatt z = 0.8 m mélységben van. A tartályt felül egy m = 38.4 t tömegű síklap zárja le. A légmentesen záró síklap függőleges irányban súrlódásmentesen mozoghat. A tartályban lévő víz sűrűsége ρ = 1000 kg/m3, a környezeti nyomás p0 = 100 kPa, a nehézségi gyorsulás értéke g = 9.81 m/s2. p0 m z
d
y
c H
ρ x b
a
135. ábra. A vizsgált víztartály vázlata a.) Mekkora a tartályba szorult levegőoszlop d magassága? b.) Mekkora a nyílást lezáró fedélre ható eredő erő? c.) Mekkora a rögzítőcsavarokat terhelő erő?
Megoldás: a.) A tartályba szorult levegőben létrejött túlnyomás „lebegteti” a síklapot, vagyis a síklap súlyából származó, a tartály keresztmetszetén fellépő nyomással a levegőnek kell egyensúlyt tartania. Ezért a levegőben fellépő túlnyomás értéke:
180
pt ⋅ A = G ⇒ pt =
G m ⋅ g 38400 ⋅ 9.81 ≈ 25113.6 Pa = 25.1136 kPa . = = A a ⋅b 5⋅3
A beszorult levegő abszolút nyomása tehát pl = p0 + pt ≈ 100 + 25.1136 = 125.1136 kPa . A tartályban lévő levegő a síklap ráhelyezésekor a lap súlyának hatására komprimálódik. Az egyensúly beállása után a beszorult levegő hőmérséklete megegyezik a környezet hőmérsékletével, miközben nyomása a fenti értékkel megnövekedett és térfogata lecsökkent. A levegő, mint ideális gáz, tehát izotermikus kompresszión esett át, amelyre a nyomás és a térfogat szorzatának állandósága érvényes (5.4.3. fejezet): p0 ⋅ V0 = pl ⋅ Vt . A beszorult levegő kezdeti V0, majd későbbi Vt térfogatának a tartály A = a ⋅ b keresztmetszete és a levegőoszlop kezdeti c-H magassága segítségével történő kifejezésével a levegőoszlop keresett d magassága meghatározható: p0 ⋅ a ⋅ b ⋅ (c − H ) = pl ⋅ a ⋅ b ⋅ d ⇒
d=
p0 ⋅ (c − H ) 100 ⋅ (4 − 3) ≈ = 0.7993 m. 125.1136 pl
b.) A nyílás fedelére ható eredő erő nagyságát a víz által a fedél felületére gyakorolt nyomás határozza meg. A síklap által a vízfelszínre gyakorolt nyomás a Pascal-elv szerint a vízben, mint ideális folyadékban, minden irányban és gyengítetlenül terjed. Emellett figyelembe veendő, hogy a hidrosztatika alaptétele szerint a ρ sűrűségű ideális folyadékban, g térerősségű gravitációs térben, a folyadékfelszíntől számított h mélységben az abszolút nyomás nagysága a (4.1.2. fejezet) p h = p0 + h ⋅ ρ ⋅ g összefüggéssel számítható, ha a felszínen p0 nyomás uralkodik. A hidrosztatika alaptétele szerint tehát a súlyos folyadékban a túlnyomás a mélységgel egyenesen arányosan nő. Így a nyílás z mélységben lévő felső élénél a túlnyomás értéke p z = pt + ρ ⋅ g ⋅ z ≈ 25113.6 + 1000 ⋅ 9.81 ⋅ 0.8 = 32961.6 Pa = = 32.9616 kPa lesz, amíg a z+y mélységben lévő alsó élénél 181
p z + y = pt + ρ ⋅ g ⋅ (z + y ) ≈ 25113.6 + 1000 ⋅ 9.81 ⋅ (0.8 + 1.8) = = 50619.6 Pa = 50.6196 kPa . Az abszolút nyomás értékét is meghatározhatjuk tetszőleges mélységben, ha az előzőekben számított túlnyomáshoz hozzáadjuk a környezeti nyomás értékét. Az abszolút nyomás alakulását szemlélteti a tartály oldalán lévő nyílás fedelére vonatkozóan a 136. ábra. pl + ρ ⋅ g ⋅ z
pl + ρ ⋅ g ⋅ (z + y )
z
z+y
136. ábra. A folyadék által a nyílás fedelére gyakorolt nyomás változása a folyadékfelszíntől számított mélység függvényében A fedélre tehát belülről a fentiek szerint változó nyomást fejti ki a tartályban lévő víz, ugyanakkor kívülről a teljes felületen állandónak vehető p0 környezeti nyomás érvényesül. Ezért a fedélre ható eredő nyomóerő nagysága a tartályban uralkodó túlnyomás közepes értékének és a nyomot felület, azaz a nyílás keresztmetszetének szorzataként állítható elő. Mivel a mélység függvényében a túlnyomás értéke lineárisan nő, ezért a fedélre vonatkozó közepes értéke a felső és az alsó élen fellépő túlnyomások számtani átlagával azonosítható. Így az eredő erő nagysága a következő lesz: F f = ptf ⋅ A f =
pz + pz+ y
32961.6 + 50619.6 ⋅ 2 ⋅ 1.8 = 2 2 = 150446.2 N ≈ 150.45 kN. ⋅x⋅ y ≈
c.) A fedelet alul rögzítő csavarokat terhelő erő meghatározása statikai egyensúlyi egyenletek megoldásával lehetséges. Mivel a fedél nyugalomban van, így Newton II. törvénye alapján a rá ható erők eredője, valamint bármely tengelyre vett nyomatékok eredője is zérus kell legyen. Ha csak a csavarokat terhelő erőre vagyunk kíváncsiak, elegendő 182
a fedél felső élének csuklós rögzítésére, mint forgáspontra vonatkozó nyomatéki egyenlet felírása:
∑M
Pi
= 0 , vagyis Fcs ⋅ y − F f ⋅ k = 0
(i )
Ennek megoldásához szükségünk lenne a fedélre ható nyomásból származó megoszló terhelést helyettesítő koncentrált erő támadáspontjának helyére, vagyis az előző pontban meghatározott Ff eredő erő vektorának k távolságára a P csuklóponttól. Mivel a feladat esetünkben ezt külön nem kéri, elkerülhetjük k kiszámítását, ha a nyomatéki egyenletben az eredő erő helyett annak helyettesítésére alkalmas két olyan koncentrált erőt veszünk figyelembe, melyek támadáspontját ismerjük. Ezt mutatja a 137. ábra. P z y
2 y 3
y 2
pz pz+y
Fpz Fpy Fcs z+y
137. ábra. A nyílás fedelét rögzítő csavarok terhelésének meghatározása Tehát tekinthetjük külön a nyílás felső élénél fellépő pz túlnyomásból a teljes Af felületre ható, az ábrán pirossal jelölt Fpz eredő erőt, továbbá a mélységgel arányosan növekvő ρ ⋅ g ⋅ h hidrosztatikai nyomáskomponensből származó, az ábrán kékkel jelölt Fpy eredő erőt. Mivel az Fpz erő a nyílás egész felületén állandó pz nyomásból származik, támadáspontja az ábrán pirossal rajzolt téglalap súlypontjának mélységében, y vagyis a nyílás magasságának felénél, azaz a P ponttól távolságra 2 lesz. Nagyságát ismét a konstans nyomás és a nyomott felület szorzataként kapjuk: F pz = p z ⋅ x ⋅ y . Ugyanakkor az Fpy erő a lineárisan növekvő hidrosztatikai nyomásból származik, így támadáspontja az ábrán kékkel rajzolt háromszög súlypontjának mélységében, azaz a nyílás 2 magasságának kétharmadánál, vagyis a P ponttól y távolságra lesz. 3 183
Értéke az F py =
(p
y+z
− pz )
⋅ x ⋅ y összefüggés alapján számítható. A 2 csavarok által kifejtett Fcs erő a P ponttól y távolságban lép fel. A 137. ábra szerint az óramutató járásával ellentétesen forgató nyomatékot tekintjük pozitívnak. Felírva tehát a három koncentrált erő nyomatékát P-re, a keresett Fcs erő meghatározható:
∑M
Pi
=0
azaz
Fcs ⋅ y − Fpz ⋅
(i )
y 2 − Fpy ⋅ ⋅ y = 0 2 3
2 y pz+ y − pz − ⋅x⋅ y⋅ ⋅ y = 0⇒ 2 2 3 pz+ y pz ⎞ ⎛ 50619.6 − 32961.6 32961.6 ⎞ + ⎟⎟ ⋅ x ⋅ y ≈ ⎜ + ⎟ ⋅ 2 ⋅ 1.8 = 3 2 ⎠ 3 2 ⎝ ⎠ Fcs ⋅ y − p z ⋅ x ⋅ y ⋅
⎛ Fcs = ⎜⎜ ⎝
= 80520.48 N ≈ 80.52 kN. 7.8 8. Gyakorló feladat: Síklapátozású vízikerék vizsgálata
Egy végtelen nagynak tekinthető tartályból víz távozik a 138. ábrán vázolt módon. A tartályban a víz H = 4 m magasságban áll, a tartályból kivezető cső átmérője D = 200 mm, a csősúrlódási tényező értéke λ = 0.06. Az első, függőleges csőszakasz hossza l1 = 2 m; a második, vízszintes szakasz l2 = 1.8 m hosszú. A két egyenes csövet egy csőkönyök köti össze, melynek veszteségtényezője ζcsk = 0.12. A vízszintes csőszakasz végére egy elzárószelepet követően egy d = 100 mm végátmérőjű konfúzor lett felszerelve. A szelep ellenállás-tényezője ζsz = 0.15, a konfúzor belépő keresztmetszetére számított veszteségtényezője pedig ζk1 = 0.1. A kiáramló vízsugár Dk = 3 m középátmérőjű, síklapátozású vízikereket hajt. A tartályban lévő víz sűrűsége ρ = 1000 kg/m3, a környezeti nyomás p0 = 100 kPa, a nehézségi gyorsulás értéke g = 9.81 m/s2. a.) Határozza meg a víz vki áramlási sebességét a konfúzorból való kilépésekor! b.) Mekkora és milyen irányú erő terheli a konfúzort rögzítő csavarokat? c.) Mekkora legyen a vízikerék n fordulatszáma, ha maximális hatásfokkal kívánjuk üzemeltetni a rendszert? Mekkora nyomaték és teljesítmény vehető le ez esetben a kerék tengelyéről?
184
n
p0 ρ
øD
k
H
ζsz
øD
l1
λ
ød ζk1
ζcsk
l2
138. ábra. A vízikerék hajtásának elrendezése
Megoldás: a.) A víz áramlási sebességének meghatározása a veszteséges áramlásokra alkalmazott Bernoulli-egyenlet segítségével lehetséges (4.2.6. fejezet). A munkatételből levezethető Bernoulli-egyenlet az energiamegmaradás törvényét fejezi ki összenyomhatatlan áramló közegekre vonatkozóan, így elsősorban folyadékáramlásokra alkalmazható. Ideális folyadék esetében a Bernoulli-egyenlet tartalma úgy fogalmazható meg, hogy az áramló közeg össz-munkaképessége az áramvonal (vagy áramcső) mentén állandó. Azaz egy áramvonal két tetszőleges pontja között felírható a teljes energiatartalom változatlansága: e1 = e2. Nyilvánvaló módon ez csak akkor állhat fenn, ha a vizsgált áramvonalszakaszon az áramló közeggel külső energiacsere nem valósul meg. A valóságos áramlásokat jobban modellező Bernoulli-egyenlet energiamérlege annyiban különbözik az előzőekben ismertetett e1 = e2 azonosságtól, hogy most a tekintett áramvonal-szakasz végpontjában az áramló közeg össz-munkaképessége kevesebb lesz a kezdőpontbeli értéknél az áramlási veszteségek jelenléte miatt. Így tehát a „valóságos” energiamérleg az e1 = e2 + e’ lesz, melyben e’ az 1-es pontból a 2-esbe áramlás során kialakult energiaveszteséget jelenti. Természetesen az energiaveszteséget is az egyenlet alkalmazott alakjának megfelelő dimenzióban kell kifejezni. Az elmondottakat a 139. ábra szemlélteti.
185
e1 = e 2 + e'
e’ 139. ábra. Ideális és a veszteséges áramlás energiamérlege A Bernoulli-egyenlet tehát egy áramvonal-szakaszra vonatkozó ideális energiaegyenlet, melynek három alakját szoktuk a gyakorlatban alkalmazni. Stacionárius áramlás esetében ezek a következők: 1. A Bernoulli-egyenlet ún. „alap” alakja a tömegegységre vonatkozó J fajlagos munkaképességet adja meg. Mértékegysége . kg v12 p1 v22 p2 + + h1 ⋅ g = + + h2 ⋅ g + e′ , ahol 2 ρ 2 ρ v2 2 p
a tömegegységre vonatkoztatott kinetikus (mozgási) energia,
ρ
a tömegegységre vonatkoztatott nyomási munkaképesség,
h⋅g
a tömegegységre vonatkoztatott potenciális (helyzeti) energia és a tömegegységre vonatkoztatott energia-veszteség.
e’
2. A nyomásdimenziós alak a térfogategységre vonatkozó fajlagos J Nm N munkaképességet adja meg. Mértékegysége 3 = 3 = 2 = Pa . m m m v12 v2 ⋅ ρ + p1 + h1 ⋅ ρ ⋅ g = 2 ⋅ ρ + p2 + h2 ⋅ ρ ⋅ g + p' , ahol 2 2 v2 ⋅ρ 2 p 186
a térfogategységre vonatkoztatott kinetikus (mozgási) energia vagy dinamikus nyomás, a térfogategységre vonatkoztatott nyomási munkaképes-
h⋅ρ ⋅ g p’
ség vagy statikus nyomás, a térfogategységre vonatkoztatott potenciális (helyzeti) energia és a térfogategységre vonatkoztatott energia-veszteség, a nyomásveszteség.
3. A magasságdimenziós alak a súlyegységre vonatkozó fajlagos munJ Nm kaképességet adja meg. Mértékegysége = = m. N N v12 p1 v22 p + + h1 = + 2 + h2 + h' , ahol 2 g ρg 2 g ρg
v2 2g p ρg h h’
a súlyegységre vonatkoztatott kinetikus (mozgási) energia vagy sebességmagasság, a súlyegységre vonatkoztatott nyomási munkaképesség vagy nyomásmagasság, a súlyegységre vonatkoztatott potenciális (helyzeti) energia, vagyis a geometriai magasság és a súlyegységre vonatkoztatott energia-veszteség, vagyis a veszteség-magasság.
Az állandó keresztmetszetű, egyenes csőszakaszban fellépő, a viszkózus folyadék belső súrlódásából származó áramlási veszteséget a λ csősúrlódási tényező, a d csőátmérő és az l csőhossz ismeretében, v áramlási sebesség mellett a következők szerint számíthatjuk, tehát: l v2 a tömegegységre vonatkoztatott energiaveszteség, így e′ = λ ⋅ ⋅ d 2 a nyomásveszteség, és a veszteség-magasság: l v2 l v2 p′ = λ ⋅ ⋅ ⋅ ρ illetve h′ = λ ⋅ ⋅ d 2g d 2 Minden egyéb elem, idomdarab által okozott áramlási veszteséget az adott elemre vonatkozó, általában ζ-val jelölt veszteség- vagy ellenállás-tényezővel vesszük figyelembe. Ennek meghatározás sokszor kísérleti úton, méréssel lehetséges. A ζ veszteségtényező alkalmazása a fentiekkel teljesen analóg módon történik, vagyis a Bernoulli-egyenlet három alakjában az energiaveszteség kifejezése
187
v2 e′ = ζ ⋅ , 2
v2 v2 . p′ = ζ ⋅ ⋅ ρ és h′ = ζ ⋅ 2g 2
Megjegyzés: Az eddig tárgyalt esetekben az áramlási sebesség a figyelembe vett idomdarabokon állandó volt, így a veszteségek kifejezése viszonylag egyszerűen alakult. Vannak azonban olyan elemek, melyeken az áramlási keresztmetszet változása miatt az áramlási sebesség is változni fog. Ilyen például a konfúzor és a diffúzor. A folytonosság vagy kontinuitás tétele kimondja (4.2.2. fejezet), hogy összenyomhatatlan közeg áramlása esetén az áramlási sebesség és az áramlási keresztmetszet fordítva arányosak, azaz változó keresztmetszet esetén a sebesség is változik. Így a konfúzor folyamatosan szűkülő keresztmetszete és a diffúzor folyamatosan táguló keresztmetszete miatt az előbbin az áramlási sebesség növekedése, míg az utóbbin az áramlási sebesség csökkenése figyelhető meg. Így e két idomdarab esetében nincs egy konstans áramlási sebesség, mellyel a veszteség egyértelműen felírható lenne. Ezért a konfúzoron és a diffúzoron keletkező energiaveszteséget vagy a belépő, vagy a kilépő sebességgel szokás megadni. Mivel a két sebesség különböző, a hozzájuk tartozó ellenállás-tényezők is el fognak térni. Így konfúzor és diffúzor esetében mindig meg kell adni, hogy a veszteségtényező melyik keresztmetszetre vonatkozik! Az elmondottakat a 140. ábra mutatja. Konfúzor
v1
e′ = ζ 1 ⋅
Diffúzor
v2
v12 v2 =ζ2 ⋅ 2 2 2
v1
e′ = ζ 1 ⋅
v2
v12 v2 =ζ2 ⋅ 2 2 2
140. ábra. Konfúzor és diffúzor veszteségének meghatározása A feladat megoldásának első lépése tehát annak az áramvonalszakasznak a meghatározása, amelynek kezdő- és végpontja között a Bernoulli-egyenletet felírjuk. Ilyen típusú kifolyási feladatok esetében a tartályban lévő folyadék szabad felszíne és a kifolyási keresztmetszet között célszerű kijelölni a vizsgált áramvonalat, amint ez a 141. ábráról is leolvasható.
188
141. ábra. A vizsgált áramvonal felvétele A megoldáshoz a Bernoulli-egyenlet bármelyik alakja használható. Mi a továbbiakban a tömegegységre vonatkozó „alap” alakot fogjuk alkalmazni. Ennek veszteségeket is tartalmazó változatát felírva a kijelölt áramvonal 1-es kezdőpontja és 2-es végpontja között az alábbi formulát kapjuk: v12 p1 v22 p2 + + h1 ⋅ g = + + h2 ⋅ g + e′ . 2 ρ 2 ρ A fenti egyenlet egy F(v1, p1, h1, v2, p2, h2) = 0 alakba írható implicit függvénykapcsolat a hat változó, azaz a kezdő- és végpontbeli sebesség, statikus nyomás és nullszinttől mért magasság között. Ahhoz, hogy egyértelműen megoldható legyen, az ismeretlenek számát egyre kell redukálnunk. Ehhez tekintsük át az egyes változók jelentését és a feladat adatrendszerének figyelembe vételével csökkentsük az ismeretlenek számát! • A tartály végtelen nagynak tekinthető, így a tartálybeli vízszint csökkenése elhanyagolható, vagyis v1 ≈ 0 . • A tartály nyitott és a konfúzor végén a kiáramlás is a szabadba történik, így mindkét pontban a statikus nyomásnak meg kell egyeznie a környezeti nyomással. Tehát p1 = p 2 = p 0 , ezért a statikus nyomást tartalmazó tagot az egyenlet mindkét oldalából kivonva eliminálhatjuk. • Általánosan elmondható, hogy ha a vizsgált áramvonal kezdő- és végpontja nem egy vízszintes egyenesre illeszkedik, akkor a két pont közül az egyiket – leggyakrabban a végpontot – célszerű ma189
gassági nullszintnek választani. Ha az ábrák mérethálózata szerint a h2 = 0 választással élünk, akkor a kezdőpont magassága h1 = H ismert érték lesz. A fentiek figyelembe vételével az egyenlet a következőképp alakul: v22 H ⋅g = + e′ . 2 A megoldás következő lépése az áramlási veszteségek meghatározása. Esetünkben veszteség az l1 és l2 hosszúságú, egyaránt D átmérőjű egyenes csőszakaszokon, a ζcsk ellenállás-tényezőjű csőkönyökön, a ζsz veszteségtényezőjű szelepen és a ζk1 ellenállású konfúzoron keletkezik. A Bernoulli-egyenlet alkalmazott alakjának megfelelően a felsorolt elemeken keletkező energiaveszteségeket tömegegységre vonatkoztatva kell megadnunk. Az egyes elemek veszteségeit mindig azzal az áramlási sebességgel kell kifejezni, amellyel a közeg az adott elemen keresztülhaladt. Vegyük észre, hogy jelen feladatban ez nem a keresett vki kiáramlási sebesség lesz! A víz ugyanis a kiömlési sebességgel csak a konfúzor végén lévő d átmérőjű keresztmetszetben mozog! A folytonosság követelményét, azaz a tömegáram állandóságát szem előtt tartva kijelenthetjük, hogy bármely korábbi pontban az áramlás sebessége a vki sebességnél kisebb lesz, mivel az áramlási keresztmetszet nagyobb. A két tekintett egyenes csőszakasz, a csőkönyök és a szelep veszteségét tehát a D átmérőjű keresztmetszetbeli áramlási sebességgel kell megadni. Jelölje ezt a sebességet a továbbiakban vcs! Mivel esetünkben a konfúzor veszteségtényezője annak belépő, azaz D átmérőjű keresztmetszetére vonatkozóan van megadva, ezért a rajta keletkező veszteséget is a vcs sebességgel lehet megadni. A fentiek alapján tehát a veszteségeket az alábbiak szerint lehet felírni: vcs2 vcs2 vcs2 l1 vcs2 l2 vcs2 e′ = λ ⋅ ⋅ + ζ csk ⋅ +λ⋅ ⋅ + ζ sz ⋅ + ζ k1 ⋅ = 2 2 2 D 2 D 2 2 ⎛ l1 + l2 ⎞ vcs = ⎜λ ⋅ + ζ csk + ζ sz + ζ k1 ⎟ ⋅ . D ⎝ ⎠ 2 Ezzel a Bernoulli-egyenletben már csupán két ismeretlen maradt: a csőbeli áramlás vcs sebessége és a keresett vki = v2 kiáramlási sebesség. A két sebesség között ugyanakkor egyértelmű kapcsolatot teremt a korábbiakban már bemutatott kontinuitás törvénye: 190
2
D2 ⋅π d 2 ⋅π ⎛d⎞ vcs ⋅ AD = v ki ⋅ Ad ⇒ vcs ⋅ = v ki ⋅ ⇒ vcs = v ki ⋅ ⎜ ⎟ . 4 4 ⎝D⎠ Behelyettesítve a fent kapott eredményeket a Bernoulli-egyenletbe, a kiömlés vki sebessége már meghatározható. 2 vki2 ⎛ l1 + l2 ⎞ vcs + ⎜λ ⋅ + ζ csk + ζ sz + ζ k1 ⎟ ⋅ H ⋅g = 2 ⎝ D ⎠ 2 4
2 vki2 ⎛ l1 + l2 ⎞ vki ⎛ d ⎞ + ⎜λ ⋅ + ζ csk + ζ sz + ζ k1 ⎟ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ H ⋅g = 2 ⎝ D ⎠ 2 ⎝D⎠ 4 vki2 ⎡ ⎛ l1 + l2 ⎞ ⎛d⎞ ⎤ ⋅ ⎢1 + ⎜ λ ⋅ + ζ csk + ζ sz + ζ k1 ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ ⇒ H ⋅g = 2 ⎣⎢ ⎝ D ⎠ ⎝ D ⎠ ⎦⎥
vki =
=
2⋅ H ⋅ g ⎛ l +l ⎞ ⎛d⎞ 1 + ⎜ λ ⋅ 1 2 + ζ csk + ζ sz + ζ k1 ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ D ⎝ ⎠ ⎝D⎠
4
=
2 ⋅ 4 ⋅ 9.81 2 + 1.8 ⎞ ⎛ 100 ⎞ ⎛ + 0.12 + 0.15 + 0.1⎟ ⋅ ⎜ 1 + ⎜ 0.06 ⋅ ⎟ 0.2 ⎠ ⎝ 200 ⎠ ⎝
4
≈ 8.468
m . s
b.) A konfúzort az egyenes csőszakasz végére karimás kötéssel, csavarok segítségével erősítjük fel a 142. ábrán vázolt módon. A rögzítőcsavarok méretezéséhez elengedhetetlen az áramló folyadék által rájuk gyakorolt erőhatás ismerete. Ennek meghatározása az áramcsőre levezetett impulzustétel alkalmazásával lehetséges (4.3. fejezet) .
142. ábra. A csővégre szerelt konfúzor Az impulzustétel alkalmazása során elsőként mindig az ellenőrző felületet kell megválasztani, vagyis le kell határolni a vizsgálat alá vont folyadéktérfogatot. Legyen ez most az éppen a konfúzorban tartózkodó 191
folyadékot határoló csonkakúp alakú felület, melyet a 143. ábrán szemléltettünk. Ez megfelelő a konfúzorra ható erő meghatározásához, mivel a benne foglalt folyadékra ható felületi erők kúppaláston ébredő összetevője Newton III. törvénye értelmében éppen a konfúzorra ható erő ellentettje lesz. p0 e
p1, A1
p2, A2 v2
v1 1
2
143. ábra. A konfúzorra ható erő meghatározásához felvett ellenőrző felület A felvett ellenőrző felületbe zárt folyadékra felírható impulzustétel szerint a sebességvektor megváltozásának és a tömegáramnak a szorzata épp a közegre ható felületi és térfogati erők eredőjét adja:
m⋅ (v 2 − v1 ) = F f + F t . .
Tekintve, hogy a konfúzor tengelye vízszintes elrendezésű, a gravitációs tér okozta térfogati erő nincs hatással az ellenőrző felületbe zárt folyadéktömeg impulzusára. Így a továbbiakban csak a felületi erőket kell elemeznünk. Bontsuk fel az Ff felületi erőt a kúppaláston ébredő Fp és a fedlapokon ébredő Fl erők összegére! Ekkor a 143. ábrán felvett e egységvektor segítségével az Fl erő a következőképp fejezhető ki: F l = ( p1 ⋅ A1 − p2 ⋅ A2 ) ⋅ e . Ezzel az impulzustétel felírt alakja az m⋅ (v 2 − v1 ) = F p + F l = F p + ( p1 ⋅ A1 − p2 ⋅ A2 ) ⋅ e .
formát ölti. A korábbiak szerint a kúppaláston ébredő Fp erő a folyadék által a konfúzorra gyakorolt erőhatás ellentettje, így a konfúzorra az áramló közeg által kifejtett erő F p = − F p = − m⋅ (v 2 − v1 ) + ( p1 ⋅ A1 − p2 ⋅ A2 ) ⋅ e *
192
.
lesz. Nem szabad azonban elfelejtenünk, hogy a konfúzorra a benne áramló folyadékon kívül a külső környezet p0 légnyomása is erőt fejt ki. Ennek tengelyirányú komponense F p 0 = p0 ⋅ ( A2 − A1 ) ⋅ e , ezért a konfúzorra ható külső erők eredője az alábbi lesz: F k = F p + F p 0 = − m⋅ (v 2 − v1 ) + ( p1 ⋅ A1 − p2 ⋅ A2 ) ⋅ e + p0 ⋅ ( A2 − A1 ) ⋅ e .
*
Ezt a vektoregyenletet átírhatjuk skaláregyenletté az erők előjeles nagyságának és az e egységvektor irányának figyelembe vételével: Fk = − m⋅ (v2 − v1 ) + p1 ⋅ A1 − p2 ⋅ A2 + p0 ⋅ ( A2 − A1 ) . .
Ahogy azt már az előző pontban megállapítottuk, a kifolyási A2 keresztmetszetben a statikus nyomás megegyezik a külső légnyomással: p2 = p0. Ugyanakkor a fenti erő meghatározásához szükség van a konfúzor A1 belépő keresztmetszetében kialakult v1 ≡ vcs áramlási sebesség és p1 statikus nyomás ismeretére is. A vcs sebesség az előző pontban már felírt kontinuitási tétel alkalmazásával adható meg: 2
2
m ⎛d⎞ ⎛ 100 ⎞ vcs = vki ⋅ ⎜ ⎟ ≈ 8.468 ⋅ ⎜ ⎟ ≈ 2.117 . s ⎝D⎠ ⎝ 200 ⎠ A p1 nyomás a jelenlegi 1-es ponttól a 2-es pontig felírt Bernoulliegyenlet alapján számítható. A kijelölt áramvonal-szakaszt a 144. ábra mutatja.
144. ábra. A konfúzorra felírt Bernoulli-egyenlethez kijelölt áramvonal A tömegegységre vonatkozó alakban felírt Bernoulli-egyenlet a korábban használttal megegyező: v12 p1 v2 p + + h1 ⋅ g = 2 + 2 + h2 ⋅ g + e′ . 2 ρ 2 ρ
193
Mivel a felvett áramvonal-szakasz vízszintes helyzetű (h1 = h2), így a Bernoulli-egyenletből a helyzeti energiát tartalmazó tagok elhagyhatóak. Veszteségként most csak a konfúzoron keletkező energiaveszteséget kell figyelembe vennünk, mely ez esetben is a belépő sebességgel számítható. Ezért vcs2 p1 vki2 p0 vcs2 + = + + ζ k1 ⋅ , 2 2 2 ρ ρ
melyből a belépő keresztmetszeti statikus nyomás értéke: ⎡ vki2 vcs2 ⎤ p1 = ⎢ + (ζ k1 − 1) ⋅ ⎥ ⋅ ρ + p0 ≈ 2⎦ ⎣2 ⎡ 8.4682 2.117 2 ⎤ ≈⎢ + (0.1 − 1) ⋅ ⎥ ⋅ 1000 + 100000 ≈ 133.8392 kPa. 2 2 ⎣ ⎦ A tömegáram értéke egy adott keresztmetszetben fennálló áramlási sebesség, a keresztmetszet nagysága és az áramló közeg sűrűségének szorzataként számítható. d 2 ⋅π kg 0.12 ⋅ π . . m = ρ ⋅ Ad ⋅ vki = ρ ⋅ ⋅ vki ≈ 1000 ⋅ ⋅ 8.468 ≈ 66.51 s 4 4 Így a konfúzort rögzítő csavarokat terhelő erő nagysága már meghatározható:
Fk = − m⋅ (v2 − v1 ) + p1 ⋅ A1 − p2 ⋅ A2 + p0 ⋅ ( A2 − A1 ) .
Fk = − m⋅ (vki − vcs ) + p1 ⋅ A1 − p0 ⋅ A2 + p0 ⋅ A2 − p0 ⋅ A1 .
D2 ⋅π ≈ Fk = − m⋅ (vki − vcs ) + ( p1 − p0 ) ⋅ 4 .
0.2 2 ⋅ π ≈ −66.51 ⋅ (8.468 − 2.117 ) + (133839.2 − 100000) ⋅ ≈ 640.67 N. 4 c.) Az impulzustételt kell alkalmaznunk akkor is, ha egy síklap által merőlegesen eltérített szabadsugár által a síklapra gyakorolt erőt kívánjuk meghatározni. Ennek az erőnek az értéke v1 sebességű és m& tömegáramú szabadsugár és álló síklap esetén .
.
F * = − F = − m (0 − v1 ) = m⋅ v1 = ρ ⋅ A ⋅ v12 , ahol ρ az áramló közeg sűrűsége, A pedig az áramlási keresztmetszet. 194
Ha a síklap a szabadsugár irányával azonos irányban u = áll. sebességgel mozog, akkor az áramlás csak a síklaphoz kötött koordinátarendszerben maradhat stacionárius. A síklappal együtt mozgó koordináta-rendszerből végezve a vizsgálatot az előzővel analóg esetre jutunk, azonban ekkor a szabadsugár belépő sebessége v1 - u nagyságúra adódik, mivel az ellenőrző felület a síklappal együtt mozog. Az impulzustétel tehát az alábbi alakban írható fel:
F * = m⋅ (v1 − u ) = ρ ⋅ A ⋅ (v1 − u ) . .
2
A szabadsugár hajtóerejének egyik legegyszerűbb hasznosítási módja, hogy a síklapokat egy kerék kerületén sugárirányban helyezzük el, így a folyadéksugárból származó erőhatás kerületi erő formájában forgatónyomatékot szolgáltat. A feladatbeli elrendezést a 145. ábra mutatja. ω
øDk
e
v1
v2
145. ábra. A vízikereket hajtó szabadsugárra vonatkozó impulzustétel Ha a vízikerék állandó ω szögsebességgel forog, akkor a konfúzorból távozó szabadsugár sebességi tere kvázistacionárius lesz és a berajzolt álló ellenőrző felületre alkalmazható az impulzustétel megismert alakja. Az ellenőrző felületbe való belépés v1 sebessége megegyezik a sugárcsőből kilépő szabadsugár sebességével, az ellenőrző felületből való kilépés v2 sebessége azonban időben periodikus változást mutat, de középértéke a vízikerék u = R ⋅ ω kerületi sebességével azonosítható. Ezzel a folyadék által átadott kerületi erő időbeli középértékének előjeles nagyságát a következő egyenlet adja meg: d 2 ⋅π F = − F = m⋅ (v1 − u ) = ρ ⋅ Ad ⋅ vki ⋅ (vki − u ) = ρ ⋅ ⋅ vki ⋅ (vki − u ) . 4 *
.
195
A fenti erő által a vízikerék tengelyére kifejtett forgatónyomaték az erő nagyságának és a vízikerék közepes sugarának szorzataként áll elő:
M = F* ⋅
Dk D D = ρ ⋅ Ad ⋅ vki2 ⋅ k − ρ ⋅ Ad ⋅ vki ⋅ k ⋅ u . 2 2 2
A kapott összefüggés szerint tehát a forgatónyomaték értéke – nem tekintve a külső erő hatására a szabadsugár mozgásával ellentétes irányba forgó kerék esetét – álló (u = 0) kerék esetén a legnagyobb, majd lineárisan zéróra csökken a vízsugár vki kiömlési sebességének eléréséig. A vízikerék tengelyéről levehető teljesítmény u kerületi sebesség esetén
P = M ⋅ω = M ⋅
2u . = ρ ⋅ Ad ⋅ vki2 1 ⋅ u − ρ ⋅ Ad ⋅ vki ⋅ u 2 = m⋅ u ⋅ (vki − u ) Dk
lesz. Mivel a teljesítmény fenti függvénye egy negatív főegyütthatójú másodfokú parabola u = 0 és u = vki zérushelyekkel, ezért azonnal kiv mondhatjuk, a függvény maximumhelye u = ki kerületi sebességnél 2 lesz, vagyis a vizsgált síklapátozású vízikerék a legnagyobb teljesítményt akkor adja le, ha a középátmérőn vett kerületi sebessége éppen a kereket hajtó szabadsugár sebességének a fele. A hatásfok értéke ekkor éppen η = 0.5 (lásd 98. ábra). Ezek szerint a vízikerék fordulatszáma a maximális, η = 0.5 hatásfokú üzemben 2⋅u D vki ω 1 1 u 8.468 , = k = = ≈ ≈ 0.449 = 26.95 n= min 2π 2π Dk ⋅ π 2 ⋅ Dk ⋅ π 2 ⋅ 3 ⋅ π s a vízikerék tengelyéről levehető nyomaték értéke ekkor
M = ρ ⋅ Ad ⋅ vki ⋅
Dk v ⎞ . D ⎛ ⋅ (vki − u ) = m⋅ k ⋅ ⎜ vki − ki ⎟ = 2 2 ⎝ 2 ⎠
.
m⋅ Dk ⋅ vki 66.51 ⋅ 8.468 ⋅ 3 = ≈ ≈ 422 .39 Nm , 4 4 miközben a tengelyről levehető teljesítmény pedig
196
vki ⎛ vki ⎞ . vki2 8.468 2 P = m⋅ u ⋅ (vki − u ) = m⋅ ⋅ ⎜ vki − ⎟ = m⋅ ≈ 66 .51 ⋅ ≈ 2 ⎝ 2 ⎠ 4 4 ≈ 1192 .3 W = 1.1923 kW . .
.
Az M nyomaték és az η hatásfok u kerületi sebességtől való függését a 146. ábrán vázoltuk fel.
146. ábra. Síklapátozású vízikerék nyomaték- és hatásfokfüggvénye 7.9
9. Gyakorló feladat: Dízelmotorban lezajló termodinamikai folyamatok vizsgálata
A 147. ábrán látható négyütemű, 16 hengeres dízelmotorban lejátszódó munkafolyamatot Seiliger-Sabathier körfolyamattal közelítjük (5.6. fejezet, 107. ábra). A motorba ciklusonként beszívott munkaközeg mennyisége mc = 0.23 kg, a környezeti nyomás p1 = 96.5 kPa, a környezeti hőmérséklet T1 = 302 K. A kompresszióviszony értéke ε = V1/V2 = 22.1, az előzetes expanzióviszony pedig ϕ = V4/V3 = 1.2. A hengerben kialakuló maximális nyomás értéke p3 = 9.4 MPa. A gáz specifikus gázállandója Rs = 287 J/kgK, adiabatikus kitevője κ = 1.4. a.) Rajzolja fel a körfolyamatot p-V diagramban! b.) Határozza meg a termikus állapotjellemzők értékét a körfolyamat sarokpontjaiban! c.) Mekkora a körfolyamatba bevezetett Qfel és az abból elvezetett Qle hőmennyiség, illetve a körfolyamat által végzett W munka? d.) Határozza meg a körfolyamat ηt termikus hatásfokát és pi indikált középnyomását! 197
147. ábra. A modellezett dízelmotor
Megoldás: a.) A jelen tantárgy keretei között tárgyalt termodinamikai kérdéskörök vizsgálatához alapvetően az alábbiak ismerete szükséges (5. fejezet): i.) az ideális gázok állapotegyenlete (5.1. fejezet): p ⋅ V = m ⋅ Rs ⋅ T , FONTOS: Bár elfogadott a hőmérséklet Celsius-fokban történő megadása, a termodinamikai összefüggések kivétel nélkül az abszolút, azaz Kelvinben megadott hőmérsékletre vonatkoznak! Ezért a °C-ban adott értéket mindig át kell váltani K-re. A két hőmérsékleti skála osztása azonos és 0°C ≈ 273.15 K . ii.) a termodinamika I. főtétele (5.3. fejezet): dQ = dU + dW , A helyes megoldáshoz elengedhetetlen a fenti formulához tartozó előjelszabály konzekvens alkalmazása: a gáz által felvett hő pozitív, a leadott negatív; a gáz által végzett munka pozitív, a gázon végzett munka negatív ( dW = p ⋅ dV ); a belső energia változása a hőmérséklet növekedésekor pozitív, egyébként negatív def
( dU = cv ⋅ m ⋅ dT ). iii.) a fentiek alapján a 4 „elemi” állapotváltozás, így az izochor, az izobár, az izoterm és az adiabatikus állapotváltozás jellemzői (5.4. fejezet), iv.) a fajlagos hőkapacitás fogalma és alkalmazásai (5.2.fejezet): ∆Q = c ⋅ n ⋅ ∆T . A termodinamikai folyamatok egyik elterjedt szemléltetési módja a nyomás alakulásának felrajzolása a térfogat függvényében, vagyis a p198
V diagram. Ez kiváló lehetőséget biztosít a termikus állapotjellemzők kapcsolatának és a folyamatok által igényelt vagy szolgáltatott munkának a szemléltetésére. Ennek megoldása előtt érdemes megvizsgálni a motor hengerében végbemenő valóságos munkafolyamatot, melyet a 148. ábra (indikátor diagram) mutat be. p [bar] 80 Dízelmotor Égés 60
40
20
0
Kitolás
V Szívás
148. ábra. Dízelmotor indikátordiagramja A feladat megoldása során a dízelmotorban lezajló munkafolyamat közelítő modelljeként az ideális Seiliger-Sabathier körfolyamatot választjuk (5.6. fejezet, 107. ábra). A motor működését modellező ideális körfolyamat felépítésekor a következő közelítő egyszerűsítéseket alkalmazzuk: a hengerben lévő munkaközeg ideális gáz, a közeg mennyisége és összetétele a teljes munkaciklus alatt változatlan, az égésből felszabaduló hőmennyiséget külső hőközléssel helyettesítjük, a szívás és a kitolás folyamatát nem vesszük figyelembe, ezeket a hengerben lévő gáz lehűtése helyettesíti. Tekintve, hogy a munkaciklus időbeli lefutása igen gyors, a hengerben lévő munkaközeg és környezete közötti hőcsere elhanyagolható mértékűnek vehető. Így a kompressziót és az expanziót adiabatikus folyamattal modellezhetjük. A közelítő körfolyamatot a 149. ábrán ismételten felrajzoltuk. A körfolyamat környezeti nyomású és környezeti hőmérsékletű gázzal indul az 1-es pontban, amikor a dugattyú alsó holtponti helyzetében van, vagyis a hengerbeli térfogat a legnagyobb. Ezután fél főtengely-fordulatig tart a sűrítés, mely során a dugattyú felső holtponti helyzetbe kerül, a munkaközeg pedig adiabatikus kompresszióval a 2199
es állapotba jut. Ezt követően az égést a 3-as pontig tartó izochor hőközlés, majd a 4-es állapotba vezető izobár hőbevezetés modellezi. A gáz az égést követő terjeszkedése során végzi a hasznos munkát miközben a dugattyú egy újabb fél főtengely-fordulattal ismét alsó holtponti helyzetébe jut. A folyamatot az 5-ös állapotig tartó adiabatikus expanzió modellezi. A következő teljes főtengely-fordulat során végbemenő kipufogást és a friss munkaközeg beszívásának folyamatát izochor hőelvonás helyettesíti, mellyel visszajutunk a kiindulási állapotba. Qfel2 p3 = p4
3
4
Qfel1 p2
2
Q45 = 0 TER= W
p5 p1
Q12 = 0
5
Qle
1 V2 = V3
V4
V1 = V5
149. ábra. A Seiliger-Sabathier körfolyamat p-V diagramja b.) Feladatunk a p nyomás, a V térfogat és a T abszolút hőmérséklet meghatározása a körfolyamat öt sarokpontjában. A kiindulási pontban ismert a p1 nyomás és a T1 hőmérséklet, továbbá adott a munkaközeg mc tömege is. Ezek alapján az állapotegyenletből a dugattyú alsó holtponti helyzetében a hengerben lévő gáz V1 = V5 térfogata felírható:
p1 ⋅ V1 = mc ⋅ Rs ⋅ T1 ⇒ V1 =
mc ⋅ Rs ⋅ T1 0.23 ⋅ 287 ⋅ 302 = ≈ 0.20658 m 3 = 206.58 dm 3 . p1 96500
Ezzel az 1-es pont termikus állapotjellemzői ismertek. Mivel a kompresszió-viszony értéke is adott, a V2 = V3 kompressziótérfogat is könynyen meghatározható:
ε= 200
V1 V 0.20658 ⇒ V2 = 1 ≈ ≈ 0.00935 m 3 = 9.35 dm 3 . V2 ε 22.1
Az 1-esből a 2-es sarokpontba vezető állapotváltozás adiabatikus kompresszió. Erre a korábbiak szerint érvényes a p ⋅ V κ = áll. összefüggés. Így a 2-es állapotbeli p2 nyomás értéke az alábbi lesz: κ
⎛V ⎞ p ⋅ V κ = áll. ⇒ p1 ⋅ V1κ = p2 ⋅ V2κ ⇒ p2 = p1 ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎝ V2 ⎠ = p1 ⋅ ε κ = 96500 ⋅ 22.11.4 = 7356589 Pa ≈ 7.357 MPa. Az állapotegyenlet segítségével – a nyomás és a térfogat ismeretében – a gáz T2 hőmérséklete a kompresszió végén a következő lesz: p2 ⋅ V2 = mc ⋅ Rs ⋅ T2 ⇒ T2 =
p2 ⋅ V2 7356589 ⋅ 0.00935 ≈ 1041.75 K. = mc ⋅ Rs 0.23 ⋅ 287
Most már a 2-es állapot jellemzői is ismertek. A 2-esből a 3-as sarokpontba izochor hőbevezetéssel jutunk el. Mivel adott a p3 = p4 csúcsnyomás értéke, ezért az izochor folyamatra vonatkozó korábbi megállapításaink szerint a T3 hőmérséklet is számítható: p p 9400000 p p = áll. ⇒ 2 = 3 ⇒ T3 = T2 ⋅ 3 ≈ 1041.75 ⋅ ≈ 1331.11 K. p2 7356589 T T2 T3 Ezzel a 3-as pont termikus állapotjellemzői is meghatározottak. A 3-as pontból a 4-es állapotba izobár expanzió visz át. A V4 térfogat az előzetes expanzióviszony segítségével kifejezhető:
ϕ=
V4 ⇒ V4 = ϕ ⋅ V3 ≈ 1.2 ⋅ 0.00935 ≈ 0.01122 m 3 = 11.22 dm 3 . V3
A 4-es állapotbeli T4 hőmérséklet pedig az állapotegyenlet alapján adódik ki: p4 ⋅ V4 = mc ⋅ Rs ⋅ T4 ⇒ T4 =
p4 ⋅ V4 9400000 ⋅ 0.01122 ≈ ≈ 1597.34 K. mc ⋅ Rs 0.23 ⋅ 287
Mivel most már a 4-es állapot összes jellemzője is adott, következhet az utolsó, 5-ös pont állapotjelzőinek meghatározása. A 4-es pontból az 5-ös sarokpontba adiabatikus expanzióval jutunk el. Figyelembe véve, hogy V5 = V1, a p5 nyomás értéke az alábbiak szerint számítható:
201
κ
⎛V ⎞ p ⋅ V = áll. ⇒ p4 ⋅ V4 = p5 ⋅ V5 ⇒ p5 = p4 ⋅ ⎜⎜ 4 ⎟⎟ = ⎝ V5 ⎠ κ
κ
κ
1.4
⎛ 0.01122 ⎞ = 9400000 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 0.20658 ⎠
= 159159.4 Pa ≈ 159.16 kPa.
A T5 hőmérséklet pedig az állapotegyenlet újbóli alkalmazásával határozható meg:
p5 ⋅ V5 = mc ⋅ Rs ⋅ T5 ⇒ T5 =
p5 ⋅ V5 159159.4 ⋅ 0.20658 ≈ ≈ 498.10 K. 0.23 ⋅ 287 mc ⋅ Rs
A kapott eredményeket célszerű táblázatos formában összesíteni:
p (kPa) V (dm3) T (K)
1.
2.
3.
4.
5.
96.5 206.58 302.00
7356.6 9.35 1041.75
9400.0 9.35 1331.11
9400.0 11.22 1597.34
159.2 206.58 498.10
6. Táblázat. A vizsgált Seiliger-Sabathier körfolyamat sarokpontjainak termikus állapotjellemzői A 150. ábra a körfolyamat számszerű eredményei tükrében mutatja a folyamat p-V diagramját.
150. ábra. A vizsgált motor munkafolyamatát közelítő Seiliger-Sabathier körfolyamat p-V diagramja 202
c.) Az eddigiek alapján a körfolyamatba hőbevezetés a 2-3 izochor, illetve a 3-4 izobár szakaszokon történik. A két állapotváltozás során felvett hőmennyiség az izochor és izobár folyamatokra az I. főtétel alapján korábban elmondottak szerint határozható meg. Ehhez célszerű a munkaközeg állandó nyomáson és állandó térfogaton mért fajhőjének meghatározása a két fajhő, valamint a specifikus gázállandó és az adiabatikus kitevő közötti kapcsolatok felhasználásával (5.4.2. fejezet):
c p − cv = Rs ⎫ Rs κ ⋅ Rs ⎪ ∧ cp = , cp ⎬ ⇒ cv = κ κ − − 1 1 =κ ⎪ cv ⎭ R 287 J kJ cv = s = = 717.5 = 0.7175 , κ − 1 1.4 − 1 kg ⋅ K kg ⋅ K κ ⋅ Rs 1.4 ⋅ 287 J kJ cp = = = 1004.5 = 1.0045 . κ − 1 1.4 − 1 kg ⋅ K kg ⋅ K Ezek segítségével a felvett hőmennyiség már könnyen számítható. Az izochor hőbevezetés szakaszában Q fel1 = cv ⋅ mc ⋅ (T3 − T2 ). ≈ 0.7175 ⋅ 0.23 ⋅ (1331.11 − 1041.75) ≈ ≈ 47.75163 kJ, az izobár expanzió esetében pedig
Q fel 2 = c p ⋅ mc ⋅ (T4 − T3 ). ≈ 1.0045 ⋅ 0.23 ⋅ (1597.34 − 1331.11) ≈ ≈ 61.50845 kJ. A teljes felvett hőmennyiség ezek összege lesz: Q fel = Q fel1 + Q fel 2 ≈ 47.75163 + 61.50845 = 109.2601 kJ . A körfolyamatból elvezetett hőmennyiség az 5-1 izochor hűtés során távozik a rendszerből, így értéke a következő: Qle = cv ⋅ mc ⋅ (T1 − T5 ). ≈ 0.7175 ⋅ 0.23 ⋅ (302 − 498.1) ≈ −32.3569 kJ . A körfolyamat által végzett munka értéke a 149. ábrán is látható módon a folyamat p-V diagramban ábrázolt görbéje által határolt területtel egyenlő. Az izochor folyamat-szakaszokon nincs térfogatváltozás, ezért az össz-munka az 1-2 adiabatikus kompresszió, a 3-4 izobár expanzió és a 4-5 adiabatikus expanzió során történt munkavégzések előjelhelyes összege lesz. Eszerint az adiabatikus kompresszióra 203
W12 = ≈
1 ⋅ ( p2 ⋅ V2 − p1 ⋅ V1 ) ≈ 1−κ
1 ⋅ (7356.589 ⋅ 0.00935 − 96.500 ⋅ 0.20658) = −122.12284 kJ, 1 − 1.4
az izobár expanzióra W34 = p3 ⋅ (V4 − ⋅V3 ) ≈ 9400 ⋅ (0.01122 − 0.00935) = 17.578 kJ , az adiabatikus expanzióra pedig W45 = ≈
1 ⋅ ( p5 ⋅ V5 − p4 ⋅ V4 ) ≈ 1−κ
1 ⋅ (159.1594 ⋅ 0.20658 − 9400 ⋅ 0.01122 ) = 181.47213 kJ. 1 − 1.4
Így a körfolyamat által végzett munka értéke az alábbi lesz:
W = W12 + W34 + W45 ≈ −122.12284 + 17.578 + 181.47213 = 76.92728 kJ. A kerekítésekből származó eltéréstől eltekintve ugyanerre az eredményre jutunk, ha a körfolyamatból nyerhető munka és a be- illetve elvezetett hőmennyiségek között kapcsolatra az 5.5. fejezetben kapott összefüggést használjuk fel: W = Qbe − ⎢Qki ⎢= Qfel - ⎢Qle ⎢= 109.2601 – 32.3614 = 76.9032 kJ d.) Egy hőerőgép-körfolyamat termikus hatásfokán a körfolyamat által szolgáltatott munka és a körfolyamatba bevezetett hő hányadosát értjük(5.5. fejezet). Az adott körfolyamat termikus hatásfoka tehát
ηt =
W 76.92728 ≈ ≈ 0.704 = 70.4 % . Q fel 109.2601
Megjegyzés: Érdemes észrevenni, hogy a tekintett erősen idealizált hőerőgép-körfolyamat hatásfoka is milyen kicsire adódott. Emiatt mondhatjuk azt, hogy ha figyelembe vesszük még a valóságos motorban lezajló kémiai folyamatokat és a környezettel megvalósuló hőcserét, illetve az alkatrészek közötti súrlódást is, akkor egy dízelmotor hatásfoka 32-43 % lesz. Egy Otto-körfolyamat hatásfoka még ennél is kisebb, így a benzinmotor hatásfoka 24-35 % lehet. Egy hőerőgép-körfolyamat indikált középnyomása az a konstans nyomásérték, amelyen a körfolyamat térfogathatárai között végbemenő izobár folyamat éppen annyi munkát végezne, mint maga a körfolya204
mat (5.6. fejezet, 108. ábra). Ezt mutatja a 151. ábra is. TER1 = TER2 = W p(V) TER1 pind TER2 0
Vmin
Vmax V
151. ábra. Az indikált középnyomás meghatározása Az indikált középnyomás tehát a W = pind ⋅ (Vmax − Vmin ) ⇒ pind =
W Vmax − Vmin
összefüggéssel számítható. Értéke esetünkben a következő lesz: pind =
W 76.92728 ≈ ≈ 390.0384 kPa . V1 − V2 0.20658 − 0.00935
205
Ábrajegyzék 1. ábra Gépek és járművek......................................................................... 2 2. ábra A vizsgált térrész felbontása .......................................................... 4 3. ábra Inhomogén intenzív jellemző I....................................................... 5 4. ábra Inhomogén intenzív jellemző II. .................................................... 6 5. ábra Vektormennyiség ......................................................................... 10 6. ábra Mérőrendszer vázlata ................................................................... 15 7. ábra Leolvasási hiba............................................................................. 16 8. ábra Kalibrálási görbe .......................................................................... 18 9. ábra Szóródó mérési eredmények ........................................................ 19 10. ábra A mérési tartomány felosztása és a gyakoriság hisztogram....... 24 11. ábra Relatív gyakoriság hisztogram................................................... 25 12. ábra Relatív gyakoriság sűrűség hisztogram...................................... 26 13. ábra Valószínűségi sűrűségfüggvény................................................. 27 14. ábra Egyváltozós függvény linearizálása........................................... 31 15. ábra Mérési eredmények és a közelítő görbe ..................................... 37 16. ábra Pontfelhőre illeszkedő egyenes .................................................. 39 17. ábra A mechanika felosztása.............................................................. 39 18. ábra A helyvektor............................................................................... 40 19. ábra Az elmozdulásvektor.................................................................. 41 20. ábra A sebességvektor........................................................................ 42 21. ábra Csavarvonal-mozgás .................................................................. 44 22. ábra Az anyagi pont mozgásjellemzőinek származtatása .................. 45 23. ábra Körmozgás ................................................................................. 46 24. ábra Állandó gyorsulású mozgás ....................................................... 51 25. ábra A sebesség megadása egy adott időpontban .............................. 52 26. ábra Az befutott távolság kezdeti értéke. ........................................... 54 27. ábra Állandó gyorsulású mozgás foronómiai görbéi ......................... 54 28. ábra Az ideális mozgásciklus foronómiai görbéi............................... 57 29. ábra Parabola és az érintője................................................................ 57 30. ábra Fogaskerék kapcsolat ................................................................. 59 31. ábra Fogosztás.................................................................................... 60 32. ábra Kerületi sebesség a fogaskerék kapcsolatban ............................ 61 33. ábra Fogaskerék hajtás felépítése több fogaskerékből....................... 62 34. ábra Több fogaskerékpár alkotta hajtásrendszer................................ 63 35. ábra Láncszerűen kapcsolódó síkbeli fogaskerék rendszer................ 64 36. ábra Lapos szíjas szíjhajtás ................................................................ 65 37. ábra A behajtó oldali dob ................................................................... 66 38. ábra A gyorsulás-idő függvény. ......................................................... 67 39. ábra Az eredő erő a menetciklus során. ............................................. 68 206
40. ábra Az alapellenálláserő időbeli változása a mozgásciklus során.....69 41. ábra A gépezeti vonóerő időbeli változása a mozgásciklus során......69 42. ábra A fékezőerő időbeli változása a mozgásciklus során. ................69 43. ábra Az eredő erő teljesítménye .........................................................69 44. ábra Az egyes teljesítmény összetevők az idő függvényében. ...........70 45. ábra A mozgási energia változása. .....................................................71 46. ábra A teljesítmény-mérleg. ...............................................................71 47. ábra Veszteség teljesítmény................................................................72 48. ábra A hatásfok zérus változó veszteség esetén. ................................73 49. ábra A hatásfok lineárisan változó veszteség esetén. .........................74 50. ábra A hatásfok másodfokú parabola szerint változó veszteség esetén. .........................................................................................75 51. ábra Lineáris karakterisztikájú rugó és rugódigramja. .......................78 52. ábra Lengőrendszer.............................................................................79 53. ábra A harmonikus lengőmozgás foronómiai göbéi...........................83 54. ábra A kulisszás hajtómű....................................................................84 55. ábra A kulisszás hajtómű mozgásviszonyai. ......................................84 56. ábra A kulissza sebessége a kitérés függvényében.............................86 57. ábra A kulissza gyorsulása a kitérés függvényében. ..........................87 58. ábra A forgattyús hajtómű. .................................................................87 59. ábra A sebesség változása forgattyús hajtómű esetén. .......................88 60. ábra A gyorsulás változása forgattyús hajtómű esetén.......................88 61. ábra A nyomaték periodikus változása...............................................89 62. ábra A szögsebesség periodikus változása. ........................................90 63. ábra A nyomaték és a szögsebesség változása. ..................................91 64. ábra Lendítőkerék. ..............................................................................93 65. ábra Tömegpontok tehetetlenségi nyomatéka. ...................................93 66. ábra Lendítőkerék tehetetlenségi nyomatékának számítása. ..............93 67. ábra A nyomóerő a P pontban. ...........................................................94 68. ábra Heron-labda. ...............................................................................95 69. ábra A hidrosztatikai nyomás. ............................................................96 70. ábra Hidrosztatikus emelő. .................................................................97 71. ábra A nyugvó folyadék helyzeti energiája és energiamagassága......98 72. ábra A nyomásból származó munkavégző. ........................................99 73. ábra A folyadék össz munkavégző képessége....................................99 74. ábra Nyugvó folyadék és szilárd test egyensúlya.............................100 75. ábra A szilárd test részleges bemerülése – úszása...........................101 76. ábra Az úszás stabilitása. ..................................................................102 77. ábra A sebesség változása az ívkoordináta mentén. .........................104 78. ábra A sebesség változása stacionárius áramlás mellett...................104 79. ábra Áramvonal. ...............................................................................105 207
80. ábra Áramcső. .................................................................................. 105 81. ábra A folytonosság tétele................................................................ 106 82. ábra Bernoulli egyenlet. ................................................................... 106 83. ábra Venturi-cső............................................................................... 108 84. ábra Kifolyás tartályból.................................................................... 109 85. ábra Dugattyús szivattyú.................................................................. 110 86. ábra Egyszeres működésű dugattyús szivattyú térfogatszállítása. ... 111 87. ábra Kettős működésű dugattyús szivattyú...................................... 112 88. ábra A folyadékszállítás kettős működésű dugattyús szivattyúval. . 112 89. ábra Légüst alkalmazása. ................................................................. 113 90. ábra Súrlódásos folyadék áramlása csővezetékben.......................... 114 91. ábra A lamináris áramlás sebességprofilja....................................... 115 92. ábra A turbulens áramlás sebességprofilja....................................... 116 93. ábra A csősúrlódási tényező a Reynolds szám függvényében......... 116 94. ábra Munkaképesség mérleg veszteséges áramlás esetén................ 117 95. ábra Veszteséges kiáramlás tartályból. ............................................ 117 96. ábra Folyadéktömeg impulzusa. ...................................................... 119 97. ábra Lapátos kerék. .......................................................................... 121 98. ábra A lapátos kerék nyomatéka és teljesítménye. .......................... 123 99. ábra A „p-V” diagram állandó T0 mellett. ........................................ 125 100. ábra A térfogatváltozási munka. .................................................... 129 101. ábra Izochor állapotváltozás........................................................... 132 102. ábra Izobár állapotváltozás............................................................. 133 103. ábra Izotermikus állapotváltozás.................................................... 134 104. ábra Adiabatikus állapotváltozás. .................................................. 135 105. ábra Körfolyamat. .......................................................................... 136 106. ábra Ottó és Diesel körfolyamatok................................................. 138 107. ábra Seiliger-Sabathier, a Humphrey és a Joule körfolyamatok. .. 139 108. ábra Az indikált középnyomás....................................................... 141 109. ábra Nyomatéktartó jelleggörbe..................................................... 144 110. ábra Fordulatszámtartó jelleggörbe................................................ 144 111. ábra Teljesítménytartó jelleggörbe................................................. 144 112. ábra Erőgép és munkagép együttműködése. .................................. 145 113. ábra A dízelmotor nyomatéki jelleggörbéi..................................... 147 114. ábra A vezérlés és a szabályozás blokkvázlata. ............................. 149 115. ábra A gép által gyártott alkatrészek átmérőinek f(x) valószínűségi sűrűségfüggvénye ........................................... 152 116. ábra. Az adott intervallumba esés valószínűségének becslése a sűrűségfüggvény alatti terület trapézzal történő közelítésével .......................................................................... 153 117. ábra. Vasúti kocsi alapellenállásának mérése ................................ 154 208
118. ábra. A legkisebb négyzetek módszere...........................................155 119. ábra. A mérési adatokra illesztett regressziós parabola..................158 120. ábra. A hajócsavar vizsgálatának koordináta-rendszere.................159 121. ábra. Az egyenletes körmozgás jellemzői ......................................160 122. ábra. Csavarvonal menti mozgás eredménye .................................161 123. ábra. A vizsgált hajtáslánc elrendezése ..........................................162 124. ábra. Villamos gép optimális terhelésének meghatározása ............165 125. ábra. Villamos gép hatásfokának alakulása a terhelés függvényében .........................................................................166 126. ábra. Szíjhajtás................................................................................166 127. ábra. A szíjhajtásban fellépő főbb erők és nyomatékok .................167 128. ábra. Fogaskerék-kapcsolat ............................................................168 129. ábra. A vizsgált gépcsoport nyomatéka..........................................170 130. ábra. A munkatúlmány meghatározása...........................................172 131. ábra. A lendítőkerék kialakítása és összeállítási rajza....................174 132. ábra. A vizsgált lift egyszerűsített vázlata ......................................176 133. ábra. A rendszerben működő belső erők és a felvett gyorsulások..177 134. ábra. Munkaszámítás a teljesítmény függvény segítségével ..........179 135. ábra. A vizsgált víztartály vázlata ..................................................180 136. ábra. A folyadék által a nyílás fedelére gyakorolt nyomás változása a folyadékfelszíntől számított mélység függvényében.......................................................................182 137. ábra. A nyílás fedelét rögzítő csavarok terhelésének meghatározása .....................................................................183 138. ábra. A vízikerék hajtásának elrendezése .......................................185 139. ábra. Ideális és a veszteséges áramlás energiamérlege...................186 140. ábra. Konfúzor és diffúzor veszteségének meghatározása .............188 141. ábra. A vizsgált áramvonal felvétele ..............................................189 142. ábra. A csővégre szerelt konfúzor ..................................................191 143. ábra. A konfúzorra ható erő meghatározásához felvett ellenőrző felület......................................................................192 144. ábra. A konfúzorra felírt Bernoulli-egyenlethez kijelölt áramvonal...............................................................................193 145. ábra. A vízikereket hajtó szabadsugárra vonatkozó impulzustétel.195 146. ábra. Síklapátozású vízikerék nyomaték- és hatásfokfüggvénye ...197 147. ábra. A modellezett dízelmotor ......................................................198 148. ábra. Dízelmotor indikátordiagramja..............................................199 149. ábra. A Seiliger-Sabathier körfolyamat p-V diagramja ..................200 150. ábra. A vizsgált motor munkafolyamatát közelítő SeiligerSabathier körfolyamat p-V diagramja ....................................202 151. ábra. Az indikált középnyomás meghatározása..............................205 209
Táblázatjegyzék 1. Táblázat Gyakoriság értékek az egyes intervallumokban....................24 2. Táblázat Relativ gyakoriság értékek az egyes intervallumokban ........25 3. Táblázat Relatív gyakoriság sűrűség értékek.......................................26 4. Táblázat. Az átmérőmérés adatai .......................................................150 5. Táblázat. Mért menetellenállás értékek .............................................154 6. Táblázat. A vizsgált Seiliger-Sabathier körfolyamat sarokpontjainak termikus állapotjellemzői .........................202
Irodalomjegyzék 1. Pattantyús-Ábrahám Géza: A gépek üzemtana, Egyetemi tankönyv, Tankönyvkiadó, Budapest, 1973. 2. Horváth K.- Simonyi A.- Zobory I.: Mérnöki fizika, Egyetemi jegyzet, Műegyetemi Kiadó, 1997., J7-1004. 3. Szabó András: Mérnöki fizika feladatgyűjtemény, Egyetemi jegyzet, Műegyetemi kiadó, 2006., J-75006.
210
