ALGORITMA DEKOMPOSISI DIGRAF BERBOBOT PADA ANALISIS SIKLUS HIDUP CARETTA CARETTA (PENYU LAUT LOGGERHEAD) MUCHAMMAD FACHRI

ALGORITMA DEKOMPOSISI DIGRAF BERBOBOT PADA ANALISIS SIKLUS HIDUP CARETTA CARETTA (PENYU LAUT LOGGERHEAD)

MUCHAMMAD FACHRI

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

ABSTRAK MUCHAMMAD FACHRI. Algoritma Dekomposisi Digraf Berbobot pada Analisis Siklus Hidup Caretta caretta (Penyu Laut Loggerhead). Dibimbing oleh SISWANDI dan NUR ALIATININGTYAS.

Siklus hidup dari suatu makhluk hidup dapat dibentuk kedalam matriks Letkovitch, dengan entri matriks tersebut terdiri atas peluang bertahan hidup, peluang tumbuh ke tahap selanjutnya dan tingkat kelahiran. Matriks tersebut kemudian dianalisis dengan dua analisis, yaitu analisis sensitivitas dan analisis elastisitas. Analisis sensitivitas menunjukkan perubahan kecil pada tingkat kelahiran dan peluang bertahan hidup akan mempengaruhi tingkat pertumbuhan populasi ketika unsur-unsur lain dalam matriks Lefkovitch tetap konstan. Analisis ini mengubah matriks Lefkovitch menjadi matriks sensitivitas. Analisis elastisitas digunakan untuk memperkirakan seberapa besar akibat dari perubahan yang proposional dalam pertumbuhan populasi. Analisis ini mengubah matriks sensitivitas menjadi matriks elastisitas. Selanjutnya matriks elastisitas ini dapat digambarkan dengan sebuah graf berarah (digraf) dan berbobot, dengan node (verteks) menyatakan tahap kehidupan dan edge (sisi) yang berbobot menyatakan kontribusi yang diberikan dari tahap yang satu, ke tahap berikutnya. Kemudian digraf tersebut dianalisis dengan pendekatan teori graf algoritmik, yaitu dengan cara mendekomposisi digraf berbobot. Cara tersebut dilakukan dengan menentukan sebuah cycle yang kemudian menghilangkan sisi dengan bobot terkecil pada cycle tersebut. Algoritma ini menjamin cycle yang dihasilkan, tidak memuat arah bertentangan ketika diterapkan pada analisis siklus hidup. Kata kunci: digraf berbobot, siklus hidup, matriks Lefkovitch, analisis sensitivitas dan elastisitas, algoritma dekomposisi.

ABSTRACT

MUCHAMMAD FACHRI. Decomposition Algorithm of Weighted Digraphs on Life Cycle Analysis of Caretta caretta (Loggerhead Sea Turtle). Supervised by SISWANDI and NUR ALIATININGTYAS.

Life cycle of an organism can be formed into Letkovitch matrix, with its entries consist of probability of survival, probability of growth to the next stage and fecundity. The matrix can be analyzed based on its sensitivity and elasticity. Sensitivity analysis shows little changes in fecundity, moreover survival probability will affect the growth rate, given that other elements in the Lefkovitch matrix remain constant. In this analysis, Lefkovitch matrix is considered as the sensitivity matrix. On the other hand, elasticity analysis can be used to estimate the result of a proportional change in population growth. This analysis changes sensitivity matrix to elasticity matrix. Furthermore, this elasticity matrix can be described by a weighted directed graph (digraph), which consists nodes (vertexs) as the stages of life and the weighted edges (sides) as the contribution of one life stage to another. The digraph can be analyzed using algorithmic graph theory approach by decomposing weighted digraphs. It is done by determining a cycle, and then removing the side with the smallest weight in the cycle. The algorithm ensures that the resulting cycle does not lead to contradictions when applied to the analysis of the life cycle. Keywords: weighted digraph, life cycle, Lefkovitch matrix, sensitivity and elasticity analysis, decomposition algorithm.

ALGORITMA DEKOMPOSISI DIGRAF BERBOBOT PADA ANALISIS SIKLUS HIDUP CARETTA CARETTA (PENYU LAUT LOGGERHEAD)

MUCHAMMAD FACHRI

Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

Judul Nama NRP

: Algoritma Dekomposisi Digraf Berbobot pada Analisis Siklus Hidup Caretta caretta (Penyu Laut Loggerhead) : Muchammad Fachri : G54053657

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Drs. Siswandi, M.Si. NIP. 19640629 199103 1 001

Dra. Nur Aliatiningtyas, MS. NIP. 19610104 198803 2 002

Mengetahui, Plh. Ketua Departemen Matematika

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. NIP. 19620305 198703 1 001

Tanggal Lulus :

KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1.

2.

3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12. 13. 14.

Sang pencipta langit dan bumi beserta seluruh isinya, Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya; Nabi Muhammad SAW semoga shalawat serta salam selalu tercurah kehadapannya, kepada keluarganya, sahabatnya dan para pengikutnya. Keluargaku tercinta: Ayahanda H. Suaidi, Ibunda Hj. Atikah, Kak Adi Fuad Zein, Teh Hermiati, Kak Badrul Huda, Teh Marfuah, Kak Awaluddin, dan M. Syauqi yang tiada henti memberikan doa, motivasi dan kasih sayang. Kepada para sepupu, atas doa, bantuan dan semangatnya. Drs. Siswandi, M.Si. sebagai dosen pembimbing I, terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, bimbingan dan bantuan selama penulisan karya ilmiah ini. Dra. Nur Aliatiningtyas, MS. sebagai dosen pembimbing II, terimakasih atas semua ilmu, saran dan motivasinya. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. sebagai dosen penguji, terima kasih atas doa, semua ilmu dan sarannya. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan. Staf Departemen Matematika: Bu Susi, Pak Yono, Pak Acep, Mas Deni, Mas Heri, Bu Ade, Pak Bono, terima kasih atas bantuannya selama ini. Teman-teman di Departemen Matematika khususnya Ryan Wahyu, Robiatul, Rafidha, Jantri, Arief, Ilyas, Putranto, Desi, Lilis, Aqil, Aswin, Ima, Imam dan yang tidak dapat saya sebutkan satu per satu, terima kasih atas doa, motivasi dan bantuannya selama ini. Semua teman di Matematika 40 dan 41 yang selalu menjadi contoh yang baik. Semua teman di Matematika 42, kalian semua adalah kenangan terindah di IPB. Semua teman di Matematika 43 dan 44, terima kasih atas semangat dan doanya. Pengurus GUMATIKA 2006-2007 dan 2008-2009, terima kasih atas kerja samanya. Pak Lesmana, Bu Ida Lesmana, Faris, Farah, Bu Yani, Ajeng, Dinda terima kasih atas motivasi dan bantuan dalam menyelesaikan penulisan karya ilmiah ini. Karyawan Klinik Pendidikan Mipa (KPM): Pak Ridwan, Bu Desi, Bu Desku, Bu Rathri, Bu Lina, Pak Dadan, Pak Afif, Pak Arief, Pak Habib,Teh Wenny, Teh Icha, Teh Iis, Teh Emma, Teh Mira, Teh Izzah, dan juga seluruh Guru di KPM terima kasih atas kerja sama, doa, motivasi dan dukungannya selama pengerjaan karya ilmiah ini.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Agustus 2012

Muchammad Fachri

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Depok pada tanggal 13 September 1987 sebagai anak kelima dari enam bersaudara, anak dari pasangan H. Suadi dan Hj. Atikah. Tahun 1999 penulis lulus dari SD Negeri Mekarjaya 13 Depok. Kemudian pendidikan penulis dilanjutkan ke jenjang Sekolah Menengah Pertama di SMP Negeri 4 Depok dan lulus pada tahun 2002. Tahun 2005 penulis lulus dari SMAN 3 Depok, dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB) dengan Mayor Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) dan minor Kewirausahaan Agribisnis. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi asisten dosen pada mata kuliah Pengantar Metode Komputasi pada tahun 2007. Selain itu, penulis juga mengikuti berbagai macam kegiatan mahasiswa yang diselenggarakan di kampus. Pada tahun pertama, penulis mengikuti Lembaga Dakwah Kampus (LDK) Al Huriyyah sebagai anggota dari divisi media dan KSR IPB. Pada saat di Departemen Matematika, penulis mengikuti lembaga keprofesian Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika), dan pernah menjadi wakil ketua Gumatika periode 2007-2008 dan ketua Gumatika Periode 2008-2009. Penulis juga salah satu pendiri dari himpunan mahasiswa IPB alumni SMAN 3 Depok (Kobalt) dan menjabat ketua pada periode 2007-2009. Penulis aktif juga di beberapa kepanitiaan selama di IPB. Antara lain pada tahun pertama pernah mengikuti kepanitiaan Donor darah KSR, Ramadhan Fair Alhuriyyah. Penulis juga menjadi pnitia Masa Perkenalan Kampus Mahasiswa Baru (MPKMB) sebagai ketua divisi kesehatan. Selama di Gumatika, penulis aktif di berbagai kegiatan, diantaranya Pesta Sains, Matematika Ria, Try Out SMNPTN, Try Out PM dan Kalkulus, dan lain sebagainya. Penulis bekerja sebagai guru les di Lembaga Bimbingan Belajar Klinik Pendidikan Mipa (KPM) mulai bulan Oktober 2008 sampai dengan sekarang, dan membina tim Indonesia serta turut mendampingi siswa untuk olimpiade matematika SD dan SMP di Filipina (2009), Korea Selatan (2010), Singapura (2010, 2011), Hongkong (2011), Nepal (2011).

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR GAMBAR ..................................................................................................................... viii DAFTAR TABEL ............................................................................................................................ ix DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................................................... ix I PENDAHULUAN ........................................................................................................................ 1 1.1 Latar Belakang ........................................................................................................................ 1 1.2 Tujuan ..................................................................................................................................... 1 II LANDASAN TEORI .................................................................................................................... 1 2.1 Definisi Dasar Graf ................................................................................................................ 1 2.2 Matriks dan Nilai Eigen ......................................................................................................... 5 III PEMBAHASAN .......................................................................................................................... 5 3.1 Algoritma untuk Dekomposisi Digraf Berbobot .................................................................... 6 3.2 Definisi Kondisi Flow Conservation .................................................................................... 6 3.3 Contoh Ilustrasi dari Algoritma Dekomposisi Digraf Berbobot ............................................ 7 3.4 Matriks Lesllie dan Matriks Lefkovitch ................................................................................ 10 3.5 Matriks Sensitivitas dan Matriks Elastisitas ....................................................................... 11 3.6 Analisis Loop ...................................................................................................................... 14 3.7 Algoritma Dekomposisi Digraf Berbobot Pada Siklus Kehidupan Caretta caretta (Penyu Laut Loggerhead) ................................................................................................................ 14 3.7.1 Populasi Penyu Laut Loggerhead ............................................................................. 15 3.7.2 Matriks Sensitivitas dan Matriks Elastisitas pada Siklus Hidup Penyu Laut Loggerhead ............................................................................................................... 18 3.7.2.1 Mencari nilai eigen kanan ............................................................................ 18 3.7.2.2 Mencari nilai eigen kiri ................................................................................ 20 3.7.3 Dekomposisi Digraf pada Siklus Hidup Penyu Laut Loggerhead ........................... 23 IV KESIIMPULAN DAN SARAN ................................................................................................ 27 4.1 Kesimpulan ........................................................................................................................ 27 4.2 Saran .................................................................................................................................. 27 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................................... 27 LAMPIRAN .................................................................................................................................... 28

DAFTAR GAMBAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Graf G ............................................................................................................................... Graf Trivial ....................................................................................................................... Graf Taktrivial .................................................................................................................. Garf G1 ............................................................................................................................. Null graph G ..................................................................................................................... Graf H ............................................................................................................................... Garf G2 ............................................................................................................................. Loop L ............................................................................................................................... Union 2 graf K∪ L ........................................................................................................... Digraf D1 .......................................................................................................................... Graf Berbobot G ............................................................................................................... Graf (a) terhubung dan (b) tak terhubung ........................................................................ Tree T ............................................................................................................................... Tree pada digraf T1 ........................................................................................................... T1 Subtree dari graf T1 ...................................................................................................... Dekomposisi graf G3 ....................................................................................................... Digraf P ........................................................................................................................... Subgraf P1 dari digraf P ................................................................................................... Subgraf P2 dari digraf P ................................................................................................... Subgraf P3 dari digraf P ................................................................................................... Subgraf P4 dari digraf P ................................................................................................... Subgraf F .......................................................................................................................... Subgraf F1 dari digraf F ................................................................................................... Subgraf F2 dari digraf F ................................................................................................... Subgraf F5 dari digraf F ................................................................................................... Caretta caretta atau Penyu Tempayan (Penyu Laut Loggerhead) ................................... Digraf D ............................................................................................................................ 𝐶𝑦𝑐𝑙𝑒 𝐿1 ............................................................................................................................ Subgraf D1 dari digraf D ................................................................................................... 𝐶𝑦𝑐𝑙𝑒 𝐿2 ............................................................................................................................ Subgraf D2 dari digraf D .................................................................................................. 𝐶𝑦𝑐𝑙𝑒 𝐿3 ............................................................................................................................ Subgraf D3 dari digraf D .................................................................................................. Loop L4, Loop L5, Loop L6, dan Loop L7 ........................................................................... Subgraf D7 (null graph) dari digraf D ..............................................................................

1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 7 7 7 8 8 9 9 9 9 15 24 24 24 24 25 25 25 25 26

DAFTAR TABEL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Data populasi ayam selama 17 bulan .............................................................................. Nilai eigen kanan populasi ayam .................................................................................... Tabel populasi ayam dengan matriks proyeksi populasi yang telah di transpose ........... Nilai eigen kiri populasi ayam ........................................................................................ Data tingkat kelahiran, peluang hidup dan pertumbuhan dari Penyu laut loggerhead ... Tabel Lefkovitch ............................................................................................................. Data populasi selama periode t = 30 tahun ..................................................................... Data nilai eigen kanan populasi Penyu laut Loggerhead ................................................ Data nilai eigen kanan Penyu laut Loggerhead ketika tahap yang dilalui telah stabil .... Data populasi Penyu laut Loggerhead hasil tranpose matriks A ..................................... Data nilai eigen kiri Penyu laut Loggerhead .................................................................. Nilai reproduktif Penyu laut Loggerhead (nilai eigen kiri) ............................................ Nilai reproduktif Penyu laut Loggerhead (nilai eigen kiri) setelah dibagi dengan v1 ...... Cycle pada Penyu laut Loggerhead ................................................................................

12 13 13 13 15 16 17 19 20 20 21 22 22 26

DAFTAR LAMPIRAN 1 2 3

Pembuktian Teorema 1 ..................................................................................................... Pembuktian Teorema 2 ..................................................................................................... Matriks dekomposisi siklus hidup Penyu laut Loggerhead ..............................................

28 29 32

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Semua organisme mengalami beberapa tahap kehidupan. Mulai dari dilahirkannya ke dunia, tumbuh menjadi individu kecil, kemudian individu dewasa, dan melahirkan generasi beikutnya, sampai dititik akhir yang disebut kematian. Setelah kematian, kehidupan dilanjutkan oleh keturunannya dengan tahap proses yang sama. Peristiwa organisme hidup di planet ini dalam sebuah ekosistem yang berusaha untuk menyeimbangkan hidup dan mati disebut siklus hidup. Teori graf merupakan cabang ilmu matematika yang membahas mengenai permasalahan penyusunan objek-objek dan hubungan antara objek-objek tersebut. Salah satu aplikasi dari teori graf ini adalah tentang siklus hidup dari suatu organisme. Sebagai contoh permasalahannya adalah siklus hidup Caretta caretta (Penyu laut Loggerhead), hewan sejenis penyu besar yang menurut International Union for Concervation of Nature (IUCN), sebuah organisasi internasional untuk konservasi sumber daya alam, keberadaanya hampir punah (Marine Turtle Specialist Group, 1996). Siklus kehidupan tersebut dapat digambarkan dengan graf dan dianalisis dengan menggunakan pendekatan teori graf algoritmik. Suatu model demografik terdiri dari tahap-tahap dan transisi-transisi antar tahap-

tahap tersebut yang mendeskripsikan tentang masa depan suatu individu yang disebut dengan pertumbuhan, kemampuan bertahan hidup, dan proses reproduksi pada rentang waktu berturut-turut (Wardle, 1998). Karena siklus kehidupan tersebut selalu melibatkan tahapan-tahapan yang demikian (kelahiran, kematian, dan transisi-transisi antar setiap tahap), maka diperlukan suatu metode untuk membandingkan kontribusi-kontribusi relatif dari bentuk-bentuk sejarah kehidupan yang berbeda ke laju pertumbuhan populasi sehingga menghasilkan seperangkat loop yang disebut dengan analisis loop (van Groenendael et al , 1994) Namun ada kesulitan dalam mewujudkan dekomposisi yang cocok untuk riwayat hidup yang kompleks dengan menggunakan metode spanning tree. Salah satu masalah adalah terjadinya siklus kehidupan yang berisi arah berlawanan yang menentang penafsiran biologis. 1.2 Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah menggunakan metode pendekatan algoritma graf dekomposisi digraf berbobot untuk analisis siklus hidup serta menggunakan analisis sensitivitas dan analisis elastisitas untuk pada studi kasus tentang Loggerhead sea turtle (Penyu laut Loggerhead).

II LANDASAN TEORI 2.1 Definisi Dasar Graf Definisi 1 (Graf) Suatu graf G adalah pasangan terurut (𝑉, 𝐸) dengan V adalah himpunan berhingga dan takkosong dari elemen graf yang disebut simpul atau verteks (node) dan E adalah himpunan pasangan takterurut (mungkin saja himpunan kosong) dari verteks-verteks berbeda di V. Misalkan G graf maka {𝑢, 𝑣} ∈ 𝐸 (dengan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉) disebut sisi (edge). Sisi {𝑢, 𝑣} dapat dituliskan {𝑣, 𝑢} dan boleh disingkat dengan uv atau vu. (Chartrand & Oellermann 1993)

Ilustrasi graf diperlihatkan dalam Gambar 1. z v

G:

y

x

w

Gambar 1 Graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸). Pada Gambar 1 diperlihatkan graf dengan 𝑉 = {𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧} dan 𝐸 = {{𝑣, 𝑤}, {𝑤, 𝑥}, {𝑥, 𝑦}, {𝑥, 𝑧}}.

2

Definisi 2 (Graf Trivial dan Taktrivial) Graf yang hanya memiliki sebuah verteks disebut graf trivial sedangkan yang lainnya adalah graf taktrivial. (Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi graf trivial diperlihatkan dalam gambar 2 dan ilustrasi graf taktrivial diperlihatkan dalam Gambar 3.

Definisi 3 (Adjacentdan Incident) Misalkan diberikan graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸). Jika𝑒 = {𝑢, 𝑣} ∈ 𝐸(𝐺) dengan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 maka u dan v dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan u dan v. (Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi incident dan adjacent diperlihatkan dalam Gambar 4.

e1 e2

e3 x Gambar 4 Graf G1

x

w Gambar 5 Null graphG

G:

Pada Gambar 6, graf H adalah subgraf dari graf G pada Gambar 1. v

Gambar 3 Graf taktrivial.

u

v

Definisi 5 (Subgraf) Graf H adalah suatu subgraf dari graf G jika𝑉(𝐻) ⊆ 𝑉(𝐺) dan 𝐸(𝐻) ⊆ 𝐸(𝐺). (Chartrand & Oellermann 1993)

Gambar 2 Graf trivial.

G1 :

u

v

e4

w

Pada Gambar 4, diperlihatkan graf dengan u dan v adjacent, v dan w adjacent, w dan x adjacent, u dan w adjacent 𝑒1 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡 dengan 𝑢 𝑑𝑎𝑛 𝑣, 𝑒2 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡 dengan 𝑢 𝑑𝑎𝑛 𝑤, 𝑒3 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡 dengan 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑤, 𝑒4 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡 dengan 𝑣 𝑑𝑎𝑛 𝑤

Definisi 4 ( Null Graph ) Suatu grafG tanpa sisi disebut null graph. (Chartrand & Oellermann 1993)

Ilustrasi null graph diperlihatkan dalam Gambar 5.

H:

y

x

w

Gambar 6 Graf 𝐻. Definisi 6 (Order dan Size) Banyaknya verteks dari suatu graf G disebut order dari G, dan banyaknya sisi dari G disebut size dari G. Jadi order dari G adalah |𝑉(𝐺)| dan size dari G adalah|𝐸(𝐺)|. Suatu graf dengan order p dan size q dituliskan sebagai graf (𝑝, 𝑞). (Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi Order dan Size diperlihatkan dalam Gambar 4. u

G2 :

e1 e2

e3

x

e5

v

e4

w

Gambar 7 Graf G2 = (𝑝, 𝑞) dengan order 4 dan size 5. Definisi 7 (Derajat suatu Verteks) Derajat (degree) dari verteks v, dinyatakan dengan deg(𝑣), adalah banyaknya sisi yang incident dengan v. Untuk suatu verteksv di G didefinisikan neighborhood 𝑁(𝑣) atau 𝑁𝐺 (𝑣) yaitu himpunan verteks yang adjacent dengan v, yaitu : 𝑁(𝑣) = {𝑢 ∈ 𝑉(𝐺)|𝑣 𝑢 ∈ 𝐸(𝐺)}

3

Jadi deg (𝑣) = |𝑁(𝑣)| yaitu banyaknya verteks yang adjacent dengan v. Verteks yang berderajat 0 dinamakan verteks yang terisolasi, dan verteks berderajat 1 disebut verteks ujung (end vertex). (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, verteks v memiliki derajat satu sedangkan verteks x memiliki derajat tiga. Definisi 8 (Walk) Walk W pada suatu graf G adalah barisan berhingga verteks yang dimulai dari suatu verteks dan berakhir pada suatu verteks juga, sehingga setiap sisi di dalam barisan harus incident dengan verteks sebelum dan sesudahnya. Dapat diilustrasikan dengan W = vi e j vi +1e j +1....ek vm atau W = vi − vi+1 − .... − vm (Chartrand & Zhang 2009) Ilustrasi walk pada suatu graf bisa dilihat pada Gambar 7. 𝑊 = 𝑢𝑒1 𝑣𝑒4 𝑤 adalah walk.

Definisi 9 (Path) Path adalah walk dengan setiap verteks yang berbeda. (Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi path bisa dilihat pada Gambar 7. 𝑃 = 𝑢𝑒1 𝑣𝑒4 𝑤𝑒5 𝑥 adalah path.

Definisi 10(Path Tertutup) Path tertutup adalah sebuah path yang dimulai dan berakhir pada verteks yang sama tanpa melintasi sisi lebih dari sekali. (Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi path bisa dilihat pada Gambar 7. 𝑃 = 𝑢𝑒1 𝑣𝑒4 𝑤𝑒5 𝑥𝑒3 𝑢 adalah path tertutup.

Definisi 11 (Cycle) Cycle adalah walk 𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 dengan semua verteksnya 𝑛 ≥ 3, 𝑣0 = 𝑣𝑛 , dan berbeda, selain 𝑣0 dan 𝑣𝑛 . (Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi cycle bisa dilihat pada Gambar 7. 𝐶 = 𝑢 − 𝑣 − 𝑤 − 𝑢 adalah cycle.

Definisi 12 (Loop) Sisi yang menghubungkan suatu simpul dengan simpul itu sendiri disebut loop. (Chartrand & Oellermann 1993)

Ilustrasi loop pada suatu graf dapat dilihat pada Gambar 8 di bawah ini. 𝐿 = {𝑢 ⇌ 𝑢}

L:

v

u

Gambar 8 Loop L Definisi 13 (Union dari 2 Graf) Misalkan𝐺1 dan 𝐺2 adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka union dari 𝐺1 dan 𝐺2 dituliskan 𝐺1 ∪ 𝐺2, adalah graf yang memiliki 𝑉(𝐺1 ∪ 𝐺2 ) = 𝑉(𝐺1 ) ∪ 𝑉(𝐺2 ) dan 𝐸(𝐺1 ∪ 𝐺2 ) = 𝐸(𝐺1 ) ∪ 𝐸(𝐺2 ). (Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi Union dari 2 graf, 𝐾 ∪ 𝐿, dapat dilihat pada Gambar 5 berikut. u

u

K∪L:

K:

L:

`

v

v

w

w

Gambar 9 Union 2 graf 𝐾 ∪ 𝐿

Definisi 14 (Digraf) Graf berarah (digraf) 𝐷 adalah pasangan terurut (𝑉, 𝐴) dengan 𝑉 himpunan takkosong yang hingga, dan 𝐴 himpunan pasangan terurut yang menghubungkan elemen-elemen di 𝑉. Elemen-elemen dari 𝐴 disebut sisi berarah (arc). Sisi berarah (𝑢, 𝑣) dinyatakan dengan garis berarah dari 𝑢 ke 𝑣. (Chartrand & Zhang 2009) Ilustrasi digraf diperlihatkan dalam Gambar 10. u D1 : e2

e1 v

e3

w

e4

x Gambar 10 DigrafD1.

e5

Definisi 15 (Graf/digraf berbobot) Suatu graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) atau digraf 𝐷 = (𝑉, 𝐴) dikatakan berbobot jika terdapat sebuah fungsi 𝑤: 𝐸 → 𝑅 atau 𝑙: 𝐴 → 𝑅 (dengan 𝑅 adalah himpunan bilangan real) yang memberikan sebuah bilangan real pada setiap sisi di 𝐸 atau sisi berarah di 𝐴, disebut bobot. Setiap bobot 𝑤(𝑢𝑣) dengan 𝑢𝑣 ∈ E atau 𝑢𝑣 ∈ 𝐴 dinotasikan dengan 𝑤𝑢𝑣 . (Foulds 1992)

4

Ilustrasi Graf berbobot bisa dilihat pada Gambar 11. 𝑤𝑠𝑡 = 12, 𝑤𝑡𝑢 = 6, 𝑤𝑢𝑣 = 11, 𝑤𝑣𝑠 = 3, 𝑤𝑠𝑢 = 9. s

12

t

G:

9

3

v

11

6

u

Gambar 11 Graf berbobot G Definisi 16 (Adjacent ke dan Adjacent dari) Jika (𝑢, 𝑣) adalah sebuah sisi berarah dalam graf D, maka u adjacent ke v, dan v adjacent dari u. (Chartrand & Oellermann 1993)

Definisi 21 (Cycle berarah) Pada graf berarah, cycle adalah path berarah yang tertutup dan takkosong. (Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi cycle berarah bisa dilihat pada Gambar 10. 𝑃 = 𝑣𝑒1 𝑢𝑒2 𝑤𝑒3 𝑣 adalah cycle berarah. Definisi 22 (Graf Terhubung dan tak terhubung) Misalkan u dan v adalah verteks dalam graf G. Verteks u terhubung ke v jika G mengandung sebuah path u-v. Graf G disebut graf terhubung jika u terhubung ke v untuk setiap pasangan u, v dari verteks-verteks di G. (Chartrand & Oellermann 1993)

Definisi 17 (Incident ke dan Incident dari) Jika (𝑢, 𝑣) adalah sebuah sisi berarah dalam graf D, maka sisi berarah (𝑢, 𝑣) incident dari v, dan incident ke v. (Chartrand & Oellermann 1993) Definisi 18 (Derajat-masuk, derajat-keluar, dan derajat verteks dalam digraf) Derajat-masuk dari verteks v dalam digraf D adalah banyaknya verteks yang adjacent ke v. Derajat-keluar dari verteksv dalam digraf D adalah banyaknya verteks yang adjacent dari v. (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 10 derajat masuk dari verteks u adalah 1 dan derajat keluar dari verteks u adalah 1. Definisi 19 (Walk berarah) Walk berarah pada suatu digraf D adalah walk yang sesuai dengan arah sisinya atau tidak berlawanan arah. (Vasudev 2006) Ilustrasi walk berarah pada suatu digraf bisa dilihat pada Gambar 10. 𝑊 = 𝑣𝑒1 𝑢𝑒2 𝑤 adalah walk berarah. Definisi 20 (Path berarah) Path berarah pada suatu digraf adalah walk berarah dengan semua verteks dalam barisannya tidak berulang. (Vasudev 2006) Ilustrasi path bisa dilihat pada Gambar 10. 𝑃 = 𝑣𝑒1 𝑢𝑒2 𝑤𝑒4 𝑥 adalah path berarah.

(b)

(a)

Gambar 12 Graf (a) terhubung dan (b) tak terhubung. Definisi 23 (Tree) Tree adalah suatu graf terhubung yang tidak mempunyai cycle. (Foulds 1992) Ilustrasi tree dapat dilihat pada Gambar 13. r

T:

u

v

t

s

x

w

y

z

Gambar 13 TreeT. Definisi 24 (Tree pada digraf) Suatu digraf terhubung yang tidak memiliki cycle disebut tree pada digraf. (Chartrand & Zhang 2009) Ilustrasi tree untuk digraf dapat dilihat pada Gambar 14.

5

r

T1 :

u

t

x

w

z y s Gambar 14 Tree pada digrafT1. v

Definisi 25 (Subtree) Subtree adalah bagian dari tree yang jika dipisahkan dari tree tersebut, masih tetap tree. (Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi subtree dapat dilihat pada Gambar 15. r T1 :

Definisi 28 (Graf Sisa) Graf sisa adalah subgraf yang dihasilkan dari algoritma dekomposisi dan tidak memuat cycle. (Sun & Wang 2007) Definisi 29 (Dekomposisi Graf) Graph K dan L merupakan dekomposisi suatu graf G, bila K∪L= G dan K∩L=∅ (Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi Graf dapat dilihat pada gambar 16 u

v

K: u

v

G3 : u

w w

x

u

L: w

t x

v

w

Gambar 16 Dekomposisi graf G3 menjadi subgraf K dan subgraf L

s

Gambar 15 T1 Subtree dari graf T1. Definisi 26 (Spanning Subgraf) Sebuah subgraf H dari graf G adalah sebuah spanning subgraf dari G jika 𝑉(𝐻) = 𝑉(𝐺). (Chartrand & Oellermann 1993) Graf pada Gambar 12 (b) merupakan spanning subgraf dari graf pada Gambar 12 (a). Definisi 27 (Spanning Tree) Sebuah tree yang merupakan sebuah spanning subgraf dari graf terhubung G adalah sebuah spanning tree. (Chartrand & Zhang 2009)

2.2 Matriks dan Nilai Eigen Definisi 30 (Matriks) Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang atau bujur sangkar.. (Leon 1998) Matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 menyatakan banyaknya m baris dan n kolom. Definisi 31 (Nilai dan Vektor Eigen) Misalkan M suatu matriks berukuran n x n. Vektor taknol x ∈ Rn disebut vector eigen dari M jika memenuhi M x = 𝜆 x untuk suatu 𝜆∈R. Dalam hal ini, 𝜆 disebut nilai eigen atau nilai karakteristik yang bersesuaian dengan x. (Horn & Johnson 1985)

III PEMBAHASAN Di dalama karya ilmiah ini akan dibahas tentang bagaimana mendapatkan digraf berbobot yang dapat dipresentasikan kedalam sebuah matriks yang sesuai untuk siklus

populasi makhluk hidup. Selanjutnya akan dibahas algoritma dekomposisi digraf berbobot beserta contoh ilustrasinya, analisis loop, analisis sensitivitas dan analisis

6

elastisitas serta aplikasi algoritma tersebut pada siklus kehidupan Penyu laut Loggerhead. Digraf G pada sebuah siklus dapat dibentuk atau dipresentasikan menjadi sebuah matriks seperti berikut

v1

(w ) G ij

n× n

v1  w11 v2  w21 =     vn  wn1

v2

 vn

w12 w22 

 w1n   w2 n  (1)      wnn 

wn 2

dimana wij adalah bobot sisi berarah dari verteks vj ke verteks vi.

3.1 Algoritma untuk Dekomposisi Digraf Berbobot Untuk memperoleh dekomposisi digraf berbobot, maka dilakukan algoritma berikut : 1. Diketahui sebuah digraf terhubung G dan 𝐸(𝐺) berbobot dan berarah. 2. Tentukan semua cycle yang mungkin, kemudian cari cycle tanpa arah berlawanan dengan catatan cycle dicari melalui suatu titik tertentu yang merupakan titik awal dan akhir. Proses ini dapat dijabarkan sebagai berikut: a. Tentukan suatu verteks sebagai verteks awal sekaligus verteks akhir, misalkan 𝑣1 dengan syarat setidaknya ada satu sisi dari 𝑣1 dan setidaknya ada satu sisi menuju 𝑣1 . b. Cari melalui sisa verteks 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 Pilih 𝑖1 sebagai verteks yang akan dilalui dengan syarat ada sisi dari verteks awal ke verteks 𝑖1 (𝑣1 → 𝑣𝑖1 , 𝑤𝑖1,1 > 0). c. Jika𝑤1,𝑖1 > 0 dan terdapat sisi dari verteks 𝑣𝑖1 ke 𝑣1 , maka suatu cycle telah ditemukan yaitu 𝑣1 → 𝑣𝑖1 → 𝑣1 . Selanjutnya, Cari melalui sisa verteks 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 kecuali 𝑣𝑖1 . Pilih 𝑖2 sebagai verteks yang akan dilalui selanjutnya dengan syarat ada sisi dari verteks 𝑣𝑖1 ke verteks 𝑣𝑖2 lebih besar dari 0 (𝑤𝑖2,𝑖1 > 0). d. Jika tidak terdapat sisi dari 𝑣𝑖1 ke setiap 𝑣𝑗 (𝑤𝑗,𝑖1 = 0), kembali ke langkah b untuk memilih 𝑖1 yang lain dari 𝑣1 sehingga ada sisi dari 𝑣1 ke 𝑣𝑖1

tersebut (𝑤𝑖1 ,1 > 0) dan lanjutkan langkah-langkah berikutnya. e. Jika terdapat sisi berarah dari verteks 𝑣𝑖2 ke 𝑣1 , maka suatu cycle ditemukanya itu 𝑣1 → 𝑣𝑖1 → 𝑣𝑖2 → 𝑣1 . Ulangi langkah c untuk menentukan verteks lain yang mungkin bisa dikunjungi (masih dengan verteks awal dan verteks akhir yang sama yaitu 𝑣1 ), {𝑣2 , … , 𝑣𝑛 } \ {𝑣𝑖1 , 𝑣𝑖2 }. Pilih verteks 𝑖3 sedemikian hingga ada sisi dari 𝑣𝑖2 ke 𝑣𝑖3 , (𝑤𝑖3 ,𝑖2 > 0). f. Jika tidak terdapat sisi dari 𝑣𝑖2 ke setiap 𝑣𝑗 maka kembali ke langkah c untuk menentukan 𝑖2 lain dari 𝑣𝑖1 sedemikian hingga ada sisi dari 𝑣𝑖1 ke 𝑣𝑖2 (𝑤𝑖2 ,𝑖1 > 0) lalu lanjutkan langkahlangkah berikutnya. g. Jika cycle tidak dapat dilengkapi untuk setiap j sedemikian hingga 𝑤𝑗,1 > 0 maka tidak ada lagi cycle yang berawal dan berakhir di verteks 𝑣1 . 3. Jika suatu cycle 𝐿1 diperoleh maka setiap sisi pada cycle tersebut akan diberi bobot yang sama yang merupakan bobot terkecil diantara bobot semua sisi berarah pada 𝐿1 . 4. G telah terdekomposisi menjadi 𝐺 = 𝐺1 ∪ 𝐿1 , dan banyaknya sisi di 𝐸(𝐺1 ) lebih kecil daripada banyaknya sisi di 𝐸(𝐺). Bobot pada digraf berhubungan dengan elemen-elemen pada matriks sehingga jika digraf terdekomposisi maka representasi pada matriksnya adalah:

w ) (= (w )

G1 ij n× n

G ij n× n

+ ( wijL1 )

n× n

dimana wijG , wijG dan wijL adalah berturutturutsisi yang incident dari vj ke vi di 𝐺, 𝐺1 dan 𝐿1 . 5. Ulangi langkah 1 sampai dengan 4 pada 𝐺1 dan dapatkan sebuah cycle baru yang sederhana 𝐿2 di 𝐺1 . 6. Pada akhir dari proses ini 1

1

 r  G = Gr    Li   i =1  Dimana 𝐿𝑖 adalah cycle tanpa arah berlawanan, 𝐺𝑟 merupakan subdigraf G yang diperoleh tanpa cycle.

3.2 Definisi Kondisi Flow Conservation Algoritma untuk dekomposisi digraf berbobot menghasilkan dua akibat yang

7

berkaitan dengan konsep kekekalan aliran yang dideskripsikan pada definisi berikut. Definisi Suatu digraf berbobot memenuhi kondisi flow conservation jika ∀i , n

n

∑ w =∑ w

ij =j 1 =j 1

Dapat dilihat pada matriks P kondisi flow conservation terpenuhi �∑𝑛𝑗=1 𝑤𝑖,𝑗 = ∑𝑛𝑗=1 𝑤𝑗,𝑖 ). Dari matriks tersebut dapat dibuat digraf representasinya seperti dalam gambar berikut

ji

10

dengan n adalah banyaknya sisi di G.

11

4

n

∑w j =1

ij

menyatakan jumlah bobot yang masuk

14

v1

∑w j =1

ji

Teorema 1 Jika G memenuhi kondisi flow conservation, maka graf sisa Gr adalah null graph. ( Sun & Wang 2007 ) Bukti : ( Lampiran 1 ) Teorema 2 Jika G memenuhi kondisi flow conservation, untuk digraf sisa ( Gr ) , semua

Kemudian digraf tersebut dapat didekomposisi dengan menggunakan algoritma digraf berbobot. Langkah-langkah untuk mendekomposisi matriks tersebut adalah : 1. Mulai dengan 𝑣1 ditemukan suatu cycle𝐿1 = {𝑣1 → 𝑣2 → 𝑣1 }. 2. Pilih bobot terkecil dari semua sisi di 𝐿1 , 𝑃 = 4. yaitu 𝑤12 3. Hapus sisi pada cycle L1 yang memiliki bobot terkecil. Sedangkan bobot sisi yang lain dikurangkan dengan bobot sisi terkecil 𝑃 𝑃 = 14 menjadi 𝑤21 = 10 tersebut, 𝑤21 Sehingga didapat subgaf P1 ditampilkan pada Gambar 18 berikut ini.

nilai eigen dari matriks ( wijG ) n×n adalah nol. ( Sun & Wang 2007 ) Bukti : ( Lampiran 2 )

10

r

11

10

v1

3.3 Contoh Ilustrasi dari Algoritma Dekomposisi Digraf Berbobot. Dalam sub bab ini, akan diberikan contoh langkah-langkah dekomposisi digraf berbobot yang memenuhi kondisi flow conservation pada sebuah matriks dari siklus kehidupan. Matriks ini merupakan matriks elastisitas (akan dijelaskan pada sub bab 3.4) yang memiliki tiga verteks, yaitu v1 , v2 , dan v3 . Perhatikan matriks P dibawah ini, Dari v1 v2 v3 jumlah baris

jumlah kolom

3

adalah jumlah bobot

yang keluar dari verteksvi. Kondisi flow conservation menyatakan kesamaan jumlah bobotpada sisi yang masuk dan bobot pada sisi yang keluar pada setiap verteks.

Ke

v3

Gambar 17 Digraf P

n

ke vertek vi dan

21

v2

v1  0 4 10  v2 14 0 11 v3  0 21 3  ↓ ↓ ↓ 14 25 24

→ → →

14 25 24

v3

21

v2

3

Gambar 18 Subgraf P1 dari digraf P 4. Dari subgraf 𝑃1 terdapat cycle 𝐿2 = {𝑣1 → 𝑣2 → 𝑣3 → 𝑣1 }. 𝑃 5. Pilih bobot sisi terkecil yaitu 𝑤131 = 10 di 𝐿2 sebagai bobot untuk semua sisi dalam cycle. 6. Hapus sisipada cycle 𝐿2 yang memiliki bobot terkecil. Sedangkan bobot sisi yang lain dikurangkan dengan bobot sisi terkecil 𝑃 tersebut, 𝑤131 = 10. Sehingga didapat subgaf P2 yang ditampilkan pada Gambar 19 berikut. 11

v1

v2

11

v3

3

Gambar 19 Subgraf 𝑃2 dari digraf P

7. Dari subgraf 𝑃2 terdapat cycle 𝐿3 = {𝑣2 → 𝑣3 → 𝑣2 }.

8

8. Pilih bobot sisi terkecil di 𝐿3 yaitu 𝐹 𝑤232 = 11 sebagai bobot untuk semua sisidalam cycle. 𝑃 𝑃 9. Karena bobot sisi 𝑤232 = 𝑤322 = 11, maka sisi yang berada pada cycle tersebut dihapuskan sehingga didapat subgraf 𝑃3 yang ditampilkan pada Gambar 20 berikut. v2

v1

v3

3

Gambar 20 Subgraf 𝑃3 dari digraf P

10. Hapus loop 𝐿4 dari v3, sehingga didapat subgraf 𝑃4 yang ditampilkan pada Gambar 21 berikut. v2

v1

v3

Subgraf 𝑃4 dari digraf P

Gambar 21

11. Subgraf P4 tidak berisi cycle dan loop sehingga proses berhenti. Jadi digraf 𝑃 dapat didekomposisi menjadi empat cycle dan sebuah graf sisanya, P4 dan dapat ditulis sebagai berikut. 4

𝑃 = 𝑃4 � �� 𝐿𝑖 � ; 𝐿𝑖 = 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒 ke − 𝑖 𝑖=1

𝑃 = 𝑃4 ∪ {𝑣1 → 𝑣2 → 𝑣1 } ∪ {𝑣1 → 𝑣2 → 𝑣3 → 𝑣1 } ∪ {𝑣2 → 𝑣3 → 𝑣2 } ∪ {𝑣3 ⇌ 𝑣3 }

Matriks 𝑃 adalah matriks representasi dari algoritma dekomposisi digraf 𝑃 dapat ditulis sebagai berikut. Untuk mendekomposisi 𝐿1 dari 𝑃 0 4 10 𝑃 = �14 0 11� 0 21 3 0 4 0 0 0 10 = �4 0 0� + �10 0 11� 0 0 0 0 21 3 = 𝐿1 + 𝑃

Untuk mendekomposisi 𝐶2 dari 𝑃1 0 4 10 0 4 0 𝑃 = �14 0 11� = �4 0 0� 0 21 3 0 0 0 0 0 10 0 0 0 + �10 0 0 � + �0 0 11� 0 10 0 0 11 3 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝑃2 Untuk mendekomposisi 𝐶3 dari 𝑃2

0 4 10 0 𝑃 = �14 0 11� = �4 0 0 21 3 0 0 10 0 + �10 0 0 � + �0 0 0 10 0 0 0 0 + �0 0 0� 0 0 3 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + 𝑃3

4 0 0 0� 0 0 0 0 0 11� 11 0

Untuk mendekomposisi 𝐿4 + dari 𝑃3 0 4 10 0 4 0 𝑃 = �14 0 11� = �4 0 0� 0 21 3 0 0 0 0 0 10 0 0 0 + �10 0 0 � + �0 0 11� 0 10 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 + �0 0 0� + �0 0 0� 0 0 3 0 0 0 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + 𝐿4 + 𝑃4

Dari hasil matriks dekomposisi di atas diperoleh persamaan karakteristik dari matriks 𝑃4 adalah sebagai berikut. det(𝜆𝐼 − 𝑃4 ) = 0 |𝜆𝐼 − 𝑃4 | = 0 1 0 0 0 0 0 �𝜆 �0 1 0� − �0 0 0�� = 0 0 0 1 0 0 0 𝜆 0 0 ��0 𝜆 0�� = 𝜆3 = 0 0 0 𝜆

Dalam Teorema 2, tidak berlaku inversnya (jika tidak memenuhi kondisi flow conservation, maka nilai eigen dari matriks sisa Gr , adalah bukan nol). Algoritmanya masih berlaku untuk kondisi yang tidak flow conservation dan menghasilkan nilai eigen nol. Untuk kondisi tidak memenuhi flow conservation, diberikan contoh berikut : Perhatikan matriks F di bawah ini, Dari v1 v2 v3 jumlah baris Ke

jumlah kolom

v1 13 v2  26 v3  0 ↓

12 15 18 0  15 2  ↓ ↓

→ → →

40 44 17

39 45 17

Dari matriksdapat dilihat jumlah element pada baris pertama tidak sama dengan kolom pertama, berarti tidak memenuhi flow conservation. Matriks tersebut dapat dibuat digraf sebagai berikut

9

Hilangkan L1, L2 dan L3 , sehingga yang tersisa adalah graf F5 seperti yang ditunjukkan pada gambar dibawah ini

15 12 26

1

15

v3

v2

v1

2

13 18

Gambar 22 Graf F Langkah-langkah untuk matriks tersebut adalah :

1

v3 v2 Gambar 25 Subgraf F5 dari digraf F v1

mendekomposisi

1.

Kita mulai mencari sebuah cycle dengan dimulai dari vertek v1 , lalu temukan cycle di F yang mengandung vertek v1 . Kita mendapatka L1 = { v1 → v2 → v1 }. 2. Ambil bobot yang paling kecil di L1 yaitu G w12 = 12 , dan kurangkan bobot yang lain G G yaitu w21 = 14. = 26 dengan 12 menjadi w21 Kemudian hilangkan cycle L1 dari graf F. Sisa grafnya menjadi subgraf F1 seperti pada gambar dibawah ini 15

6. F5 tidak mengandung cycle. Jadi graf aslinya terurai menjadi lima cycle dengan sisa graf F5. 5

𝐹 = 𝐹5 � �� 𝐿𝑖 � ; 𝐿𝑖 = 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒 ke − 𝑖 𝑖=1

7. Langkah-langkah dekomposisi dapat ditulis menjadi sebuah dekomposisi dari matrikas yang sesuai, seperti yang ditunjukkan pada langkah-langkah berikut - Untuk menghilangkan L1 dari F, 13 12 15 F =  26 18 0   0 15 2 

 0 12 0  13 0 15 = 12 0 0  + 14 18 0  v3 v1 v2  0 0 0   0 15 2  2 13 = L1 + F1 18 Gambar 23 Subgraf F1 dari digraf F - Untuk menghilangkan L2 dari F1, 13 12 15 3. Mulai dari vertek v1 , lalu temukan cycle F =  26 18 0  lain di subgraf F1 yang mengandung  0 15 2  vertek v1 . Kita mendapatkan L2 =  0 12 0   0 0 14  13 0 1  { v1 → v2 → v3 → v1 }. =12 0 0  + 14 0 0  +  0 18 0  4. Ambil bobot yang paling kecil di L2 yaitu G  0 0 0   0 14 0   0 1 2  w21 = 14, dan kurangkan bobot yang lain G G yaitu w32 15, = L1 + L2 + F2 dan w31 15 dengan 14 = = G G Untuk dekomposisi lengkapnya adalah menjadi = w32 1,= dan w31 1 Kemudian sebagai berikut hilangkan cycle L2 dari subgraf F1. Sisa 13 12 15 grafnya menjadi subgraf F2 seperti pada gambar dibawah ini F =  26 18 0  1  0 15 2  14

15

1

1

1

1

1

1

v1

v2

v3

13

2

18

Gambar 24 Subgraf F2 dari digraf F 5. Sisa subgraf F2 mengandung tiga loop sendiri atau satu cycle, yaitu L1 = v1 → v1 , L2 = v2 → v2 dan L3 = v3 → v3 .

 0 12 0   0 0 14  13 =12 0 0  + 14 0 0  +  0  0 0 0   0 14 0   0 0 0 0  0 0 0  0 0 + 0 18 0  + 0 0 0  + 0 0 0 0 0  0 0 2  0 1 F=

0 0 0 0  0 0  1 0  0 

{v1 → v2 → v1}  {v1 → v2 → v3 → v1}  {loop sendiri}  F5

10

 F0 P  0 0  0    0

Dari hasil matriks dekomposisi di atas diperoleh persamaan karakteristik dari matriks F5 adalah sebagai berikut, det ( λ I − F5 ) = 0

λ I − F5 = 0 1

0

0

0

0

1

 0

0

1 

0

1

0 

λ 0 1 0  − 0 0 0  = 0 λ 0   0

−1  λ= 3 λ 0= 0  −1 λ  0

3.4 Matriks Lesllie danMatriksLefkovitch Setiap entri pada matriks transisi berkaitan dengan matriks Leslie yang biasanya menggunakan parameter usia untuk mengklasifikasikan individu serta berdasarkan kelamin untuk model demografiknya sedangkan matriks elastisitas biasanya dinyatakan dalam persentasi. Pada analisis siklus kehidupan, matriks elastisitas dapat dimisalkan sebagai suatu jumlah konservatif yang alurnya melewati digraf siklus kehidupan (bobot pada setiap sisi-nya). Matriks Leslie adalah matriks persegi dengan jumlah yang sama pada baris dan kolom. Pada sel ke-(i,j) dalam matriks menunjukkan berapa banyak individu akan berada dalam kelas umur i pada tahap waktu berikutnya untuk setiap individu dalam tahap j. Pada setiap tahap waktu, vektor populasi dikalikan dengan Matriks Leslie untuk menghasilkan vektor populasi untuk tahap waktu berikutnya. Matriks Leslie digunakan dalam ekologi untuk model perubahan suatu populasi dari organisme selama periode waktu tertentu. Dalam model Leslie, populasi dibagi menjadi kelompok berdasarkan kelas umur. Sebuah model yang sama yang menggantikan kelas umur dengan tahap kehidupan disebut matriks Lefkovitch, dimana individu dapat berada di kelas tahap yang sama atau beralih ke yang berikutnya (Lefkovitch, 1965). Pada setiap tahap waktu populasi diwakili oleh vektor dengan elemen untuk setiap kelas umur di mana setiap elemen menunjukkan jumlah individu saat ini di kelas itu.

F1 0 P1 0  0

F2 0 0 P2

F3 0 0 0

.... .... .... ....

   0 0 Px −1 Matriks Leslie

Fx  0  0  0   0 

( 2)

dengan Fx adalah tingkat kelahiran berdasarkan usia pada tahap x, dan Px adalah peluang bertahan hidup berdasarkan usia pada tahap x.  P0 F1 F2 F3 .... Fx  G P 0 0 .... 0   0 1   0 G1 P2 0 .... 0  ( 3)    0 0 G2 P3 .... 0           0 0 0 0 Gx−1 Px  Matriks Lefkovitch dengan Fx adalah tingkat kelahiran berdasarkan usia pada tahap x, Px adalah peluang bertahan hidup dan tersisa berdasarkan usia pada tahap x dan Gx adalah peluang bertahan hidup dan tumbuh berdasarkan usia pada tahap berikutnya. Pada model matriks yang didasarkan pada tahap yang dilaluinya (stage based matrix model), ukuran suatu populasi dihitung dari waktu t ke waktu t + 1 dengan mengalikan suatu matriks A (matriks proyeksi atau matriks Lefkovitch) dengan suatu vektor N (banyaknya populasi) dengan persamaan N (t + 1) = A × N (t )

( 4)

 N1 ( t + 1)    N 2 ( t + 1)   N = ( t + 1)  =    N  n ( t + 1)   a11 a12 a a  21 22     an1 an 2 n

 a1n   N1 ( t )     a2 n   N 2 ( t )  = A × N (t )         ann   N n ( t ) 

( 5)

= banyaknya tahap dalam siklus kehidupan Ni(t) = banyaknya individu-individu dari populasi pada tahap i dalam waktu t. N(t) = banyaknya populasi pada waktu ke t

11

aij

= peluang individu untuk bertahan hidup atau tumbuh dari tahap i ke tahap jdari data populasi mahluk hidup.

Nilai λt pada matriks proyeksi populasi merupakan laju pertumbuhan dalam populasi, yaitu nilai yang diperoleh setelah tahapantahapan yang dilalui mencapai kestabilan dimana nilai λt tetap dari satu waktu ke waktu berikutnya setelah sebelumnya dilakukan proses menghitung λt secara berulang-ulang. n

λt =

∑N

i , j =1 n

ij

(t + 1)

∑ Nij (t )

(6)

0 0 4.6 61.8  45 540   0 0.6 0.7 0 0 0  18   40    0 0.05 0.66  38  0 0  × 56  =       0 0.02 0.68 0  10   8   0  0 0 0 0.02 0.8   8   7 

Setelah perhitungan dilakukan, akan dihasilkan jumlah penduduk pada tahun t + 1. Untuk populasi ini, tingkat pertumbuhan populasi atau λt adalah n

λt =

i , j =1

∑N

ij (t + 1) 540 + 40 + 38 + 8 + 7 633 = = 45 + 18 + 56 + 4 + 1 124 N t ( ) ∑ ij

i , j =1 n

i , j =1

= 5.31

dengan

λt

= tingkat pertumbuhan pada waktu t banyaknya populasi pada tahap j

N ij (t ) =

ke tahap i pada waktut Tingkat pertumbuhan populasi ini memiliki tiga arti, yaitu - jika λt < 1, maka pertumbuhan individu pada populasi tersebut menurun, - jika λt = 1, maka pertumbuhan individu pada populasi tersebut stabil atau konstan, - jika λt > 1, maka pertumbuhan individu pada populasi tersebut menaik. Sebagai contoh, asumsikan bahwa suatu populasi ayam yang terdiri dari 45 telur, 18 itik muda, 56 itik besar, 10 ayam pra dewasa, dan 8 ayam dewasa. Vektor awal ditulis sebagai  45 18    56    10   8 

Diasumsikan juga matriks untuk populasi tersebut adalah 0 0 4.6 61.8 0 0.6 0.7 0 0 0    0 0.05 0.66 0 0    0 0 0.02 0.68 0    0 0 0 0.02 0.8 

Banyaknya telur, itik muda, itik besar, ayam pra dewasa, dan ayam dewasa pada tahun t +1 dihitung sebagai berikut

3.5 Matriks Sensitivitas Elastisitas.

dan

Matriks

Elemen-elemen matriks aij terdiri atas parameter-parameter siklus hidup seperti tingkat kelangsungan hidup, tingkat pertumbuhan, dan tingkat kelahiran dari individu-individu pada sebuah tahap. Dampak perubahan dari elemen-elemen parameter dari siklus hidup akan berpengaruh terhadap tingkat pertumbuhan λ. Untuk mengetahui seberapa jauh perubahan-perubahan itu berpengaruh dapat dianalisis dengan analisis sensitivitas yang menggunakan matriks sensitivitas (matriks S = ( sij ) n× n ) sij =

vi u j v, u

(7)

dimana, sij = nilai sensitivitas dari tahap i ke tahap j u = right eigen value atau nilai eigen kanan (nilai dimana tahap yang dilalui telah stabil) v = left eigen value atau nilai eigen kiri (nilai reproduktif) vi = elemen ke i dari nilai reproduktif uj = elemen ke j dari vektor dimana tahap yang dilalui stabil v, u = inner produk v dan u Analisis sensitivitas menunjukkan betapa perubahan kecil dalam masing-masing Fx dan Px akan mempengaruhi λt ketika unsur-unsur lain dalam matriks Lefkovitch tetap konstan. Analisis ini penting dari beberapa perspektif. Dari perspektif konservasi dan manajemen, analisis sensitivitas dapat membantu mengidentifikasi

12

sejarah hidup yang akan paling memberikan kontribusi pertumbuhan penduduk untuk suatu spesies. Dari perspektif evolusi, analisis tersebut dapat membantu mengidentifikasi hal-hal dalam sejarah hidup yang paling memberikan kontribusi untuk organisme yang baru. Selain itu digunakan juga analisis yang lain, yaitu analisis elastisitas yang menggunakan matriks elastisitas (matriks E = (eij ) n× n ) eij =

sij aij

λt

(8)

dimana, sij = nilai sensitivitas dari tahap i ke tahap j eij = nilai elastisitas dari tahap i ke tahap j aij = peluang individu untuk bertahan hidup atau tumbuh dari tahap i ke tahap jdari data populasi mahluk hidup pada matriks model populasi (matriks Lefkovitch) λt = tingkat pertumbuhan pada keadaan stabil Analisis elastisitas digunakan untuk memperkirakan seberapa besar akibat dari perubahan yang proposional dalam pertumbuhan populasi. Maksudnya adalah misalkan peluang bertahan hidup telur adalah

0,047 dan tingkat kelahiran individu dewasa adalah 0,583. Ini berarti bahwa 1% kenaikan peluang bertahan hidup telur akan menyebabkan kenaikan 0,047% pada tingkat pertumbuhan (λt), ketika 1% kenaikan tingkat kelahiran individu dewasa akan menyebabkan kenaikan 0,583% pada tingkat pertumbuhan (λt). Untuk menghitung nilai dari matriks sensitivitas, diperoleh dari data suatu populasi yang telah diamati selama beberapa waktu. Untuk lebih jelasnya akan diberikan contoh dibawah ini. Misalkan sebuah populasi ayam yang terdiri dari 45 telur, 18 itik muda, 56 itik besar, 10 ayam pra dewasa, dan 8 ayam dewasa diteliti selama 17 tahun. Matriks proyeksi populasi yang diberikan adalah

0 0 4.6 61.8 0 0.6 0.7 0 0 0   A =  0 0.05 0.66 0 0    0 0.02 0.68 0  0  0 0 0 0.02 0.8  Dengan munggunakan persamaan (5) dan persamaan (2) didapat tabel 1 berikut

Tabel 1 Data populasi ayam selama 17 bulan Waktu Telur Itik muda Itik besar Ayam pra Ayam Dewasa total (t -bulan) (i=1) (i=2) (i=3) dewasa (i=4) (i=5) 45 18 56 10 8 137 1 540 40 38 8 7 632 2 444 352 27 6 5 835 3 364 513 35 5 4 922 4 298 578 49 4 4 932 5 245 583 61 4 3 896 6 203 555 70 4 2 834 7 171 511 74 4 2 761 8 145 460 74 4 2 685 9 126 409 72 4 1 613 10 110 362 68 4 1 546 11 98 320 63 4 1 486 12 87 282 58 4 1 433 13 79 250 52 4 1 386 14 71 222 47 4 1 345 15 64 198 42 3 1 309 16 58 177 38 3 1 277 17 Dengan i adalah tahap-tahap pada siklus kehidupan (telur, itik muda, itik dewasa, ayam

𝛌t

4,62 1,32 1,10 1,01 0,96 0,93 0,91 0,90 0,89 0,89 0,89 0,89 0,89 0,89 0,90 0,90 -

pra dewasa, dan ayam dewasa), dan t adalah waktu.

13

Untuk mendapatkan nilai ui , populasi pada tahap pada waktu ke-t akhir (t = 17) dibagi dengan total populasi pada waktu ke-t akhir (t = 17). Maka untuk i = 1, 2, 3, 4, 5 diperoleh : Tabel 2 Nilai eigen kanan populasi ayam 0,216303 u1 0,638468 u2 0,131173 u3 0,011771 u4 0,002284 u5 Keterangan : untuk mencari nilai eigen kanan bisa dilihat di sub bab 3.7.2.1.

Untuk mendapatkan nilai dari v, terlebih dahulu mentranspose matriks proyeksi populasi (dari A menjadi AT )

0 0   0 0.6 0  0 0.7 0.05 0 0   AT =  0 0 0.66 0.02 0    0 0.68 0.02   4.6 0 61.8 0 0 0 0.8  yang kemudian dilakuakan operasi pada persamaan (5). Hasilnya seperti pada tabel 3 berikut

Tabel 3 Tabel populasi ayam dengan matriks proyeksi populasiyang telah di transpose Waktu telur Penyu Penyu besar Pra dewasa Dewasa total (t -bulan) (i=1) kecil (i=2) (i=3) (i=4) bertelur (i=5) 45 18 56 10 8 137 1 11 15 37 214 2787 3065 2 9 13 29 251 2897 3199 3 8 10 24 271 2889 3202 4 6 8 21 277 2780 3093 5 5 7 20 272 2605 2909 6 4 6 18 260 2396 2685 7 4 5 17 244 2174 2444 8 3 4 16 226 1956 2205 9 3 4 15 206 1750 1979 10 2 3 14 187 1562 1770 11 2 3 13 169 1394 1581 12 2 3 12 153 1244 1413 13 2 3 11 137 1112 1264 14 2 2 10 124 995 1133 15 1 2 9 111 893 1017 16 1 2 8 100 802 914 17 Untuk mendapatkan nilai vi , populasi pada tahap pada waktu ke-t akhir (t = 17) dibagi dengan total populasi pada waktu ke-t akhir (t = 17) yang kemudian masing-masing dibagi dengan v1. Maka untuk i = 1, 2, 3, 4, 5 diperoleh : Tabel 4 Nilai eigen kiri populasi ayam v1 v2 v3 v4 v5 1,00

1,50

6,11

74,24

598,71

Keterangan : untuk mencari nilai eigen kiri bisa dilihat di sub bab 3.7.2.2. Dari tabel 1 dan tabel 3 diketahui bahwa tingkat pertumbuhan populasi (λ) adalah 0,90. Dan dari hasil ui pada tabel 2 dan vi pada tabel 4, maka kita dapat memperoleh matriks

𝛌t

22,37 1,04 1,00 0,97 0,94 0,92 0,91 0,90 0,90 0,89 0,89 0,89 0,89 0,90 0,90 0,90 -

sensitivitas dengan menggunakan persamaan (7) , yaitu S=       

0,05126 0,15131 0,03108 0,00279 0,00054  0,07713 0,22768 0,04677 0,20710 0,00081  0,31300 0,92390 0,18981 0,01703 0,00330   3,80577 11,2336 2,30794 0,20710 0,04019  30,6914 90,5926 18,6122 1,67020 0,32413 

Setelah itu, dapat juga diperoleh matriks elastisitas dengan menggunakan persamaan (8), yaitu

14

E=

Jumlah Baris

0 0 0, 013 0, 035  → 0, 048  0 0, 048 0.167 0 0 0  → 0, 215   0 0.048 0,131 0 0  → 0,179   0 0, 048 0,148 0  → 0,196  0  0 0 0 0, 035 0, 727  → 0, 307 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0, 048

0, 215

0,179

0,196

0, 307

Jumlah Kolom

Analisis sensitivitas dapat membantu mengidentifikasi tahap sejarah hidup yang akan memberikan kontribusi lebih pada pertumbuhan populasi pada suatu spesies. Selain itu, dapat membantu mengidentifikasi kelengkapan sejarah hidup yang berkontribusi lebih untuk suatu organisme. Sensitivitas proporsional disebut sebagai nilai elastisitas. Analisis elastisitas mengestimasi pengaruh dari suatu perubahan proporsional pada laju vital pertumbuhan populasi. Sebagai tambahan, elastisitas diamati pada setiap tahap memenuhi: n

n

= e ∑e ∑

ij =j 1 =j 1

ji

= ∀i 1,..., n

(9)

sehingga, pada matriks elastisitas berlaku flow conservation yaitu kesamaan antara jumlah bobot pada kolom dan jumlah bobot pada baris setiap vertex (Sun dan Wang, 2007). Pada contoh matriks elastisitas di atas, di dapat bahwa jumlah elemen-elemen pada baris pertama (0,048) sama dengan jumlah elemen-elemen pada kolom pertama (0,048). Begitu juga dengan baris kedua dan kolom kedua, baris ketiga dan kolom ketiga dan seterusnya. Sehingga persamaan (9) berlaku untuk contoh di atas.

3.6 Analisis Loop Analisis loop adalah sebuah tipe dari analisis sensitivitas untuk model demografis (Wardle, 1998). Dalam analisis loop, bobot dari sisi yang berarah pada graf siklus hidup adalah nilai elastisitas. Untuk melakukan analisis loop, graf didekomposisikan kedalam sebuah himpunan loop. Elastisitas loop didefinisikan sebagai jumlah dari bobot pada sisi dalam loop. Karena matriks elastisitas memenuhi kondisi flow concervation, secara biologis, elastisitas loop dari suatu siklus hidup dapat diartikan

sebagai sensitivitas proporsional dari tingkat pertumbuhan populasi pada siklus hidup. Jumlah elastisitas untuk suatu transisi yang masuk ke suatu verteks sama dengan jumlah elastisitas suatu transisi yang meninggalkan suatu verteks. Kekekalan elastisitas pada suatu verteks ini berimplikasi bahwa elastisitas-elastisitas menggambarkan aliran dalam suatu jumlah yang tetap pada suatu digraf. Akan tetapi, pada kenyataannya individu-individu dalam suatu siklus kehidupan tidak kekal, beberapa dari individuindividu tersebut mungkin mati dan meninggalkan sistem tersebut. Maka dari itu, karena elastisitas-elastisitas menggambarkan kontribusi elemen-elemen matriks yang terpisah untuk menigkatkan laju pertumbuhan populasi, elastisitas-elastisitas tersebut harus melakukan hal yang demikian sehingga melalui efek-efek individu akhirnya melengkapi siklus kehidupan (Wardle, 1998). Untuk menentukan banyaknya loop, dapat dihitung dengan persamaan : L=b–n+c (10) dengan L = jumlah cycle b = jumlah sisi berarah dalam graf n = jumlah verteks dalam graf c = konstanta (suatu subset digraf terhubung yang memuat jumlah maksimal sisi berarah. Nilainya selalu 1, karena dalam suatu siklus kehidupan dapat dicapai minimal dalam i tahap dengan i > 0 (Chen, 1976)

3.7 Algoritma Dekomposisi Digraf Berbobot Pada Siklus Kehidupan Caretta caretta (Penyu laut Loggerhead) Dalam karya ilmiah ini akan dibahas aplikasi dari algoritma dekomposisi digraf berbobot dengan contoh kasus pada binatang Caretta caretta. Caretta carettanama latin dari Penyu Tempayan, atau Penyu laut Loggerhead, adalah penyu yang habitatnya tersebar hampir di seluruh dunia. Hewan ini adalah reptil laut, dari keluarga Cheloniidae. Ukuran rata-rata hewan ini sekitar 90 cm ketika sudah dewasa, meskipun terdapat spesies yang lebih besar hingga 270 cm telah ditemukan. Berat penyu dewasa ini sekitar 135 kilogram, dengan yang terbesar berbobot lebih dari 454 kilogram. Kulit berwarna dari kuning sampai coklat, dan

15

tempurungnya biasanya berwarna coklat kemerahan. Tidak ada perbedaan gender yang jelas sampai penyu menjadi seorang dewasa, perbedaan yang paling jelas adalah bahwa pria dewasa memiliki ekor tebal dan plastrons lebih pendek dari wanita.

2. 3. 4. 5. 6. 7.

Penyu kecil, ( 1 – 7 tahun ) Penyu besar, ( 8 – 15 tahun ) Penyu Pra dewasa, ( 16 – 21 tahun ) Induk pemula (muda), ( 22 tahun ) Induk tahun pertama, ( 23 tahun ) Induk dewasa. ( 24 – 54 tahun )

3.7.1 Populasi Penyu laut Loggerhead

Gambar 26 Caretta caretta atau Penyu Tempayan (Penyu laut Loggerhead) Penyu laut loggerhead dapat ditemukan di Atlantik, Pasifik, dan Hindia serta Laut Mediterania. Hewan ini menghabiskan sebagian besar hidupnya di habitat air laut dan muara, dengan betina yang sebentar datang ke darat untuk bertelur. Penyu ini memiliki tingkat reproduksi rendah. Betina bertelur rata-rata empat telur dan kemudian tidak memproduksi telur selama dua sampai tiga tahun. Penyu ini mencapai kematangan seksual dalam 17-33 tahun dan memiliki rentang umur 47-67 tahun. Ada enam tahap yang dilalui oleh tanaman ini, yaitu 1. Telur / tukik, ( < 1 tahun )

Siklus kehidupanpenyu laut loggerhead ini dapat direpresentasikan oleh digraf berbobot dengan verteks mewakili tahapan hidup dari siklus kehidupan dan sisi dari verteks j ke verteksi menunjukkan bahwa individu dari tahap j pada waktu t dapat memberikan kontribusi untuk individu dalam tahap j pada waktu t+1. Kontribusi tersebut dapat ditulis dalam matriks berordo n,�𝑤𝑖𝑗 �𝑛𝑥𝑛 , dimana n merupakan banyaknya tahapan hidup dalam siklus kehidupan. Dalam tulisan ini terdapat data-data yang diperoleh dari penelitian Jennifer A. Spangenberg dan John R. Jungck, dengan judul penelitiannya Lefkovitch Matrix Model for a Stage-Structured Population Loggerhead sea turtle, southeastern United States 4.0. (Spangenberg JA and Jungck JR, 2005) Data siklus hidup dari penyu laut loggerhead diperlihatkan pada tabel 5 berikut

Tabel 5 Data tingkat kelahiran, peluang hidup dan pertumbuhan dari penyu laut loggerhead Tahap Kehidupan

Periode

n

Fx

Px

Gx

1

Telur / Tukik

< 1 tahun

10

0

0

0,6747

2

Penyu Kecil

10

0

0,7370

0,0486

3

Penyu Besar

1 – 7 tahun 8 – 15 tahun

10

0

0,6610

0,0147

4

Penyu Pra Dewasa

16 – 21 tahun

10

0

0,6907

0,0518

Induk Pemula (muda)

22 tahun

10

4

0

0,8091

Induk Tahun Pertama

23 tahun

10

127

0

0,8091

24 – 54 tahun

10

80

0,8089

0

5 6 7

Induk Dewasa

Keterangan tabel 5 : n = Jumlah betina dalam populasi awal Tingkat kelahiran Fx = (Fecundity) berdasarkan usia pada tahap x. Nilai Fx hanya untuk indukan saja, karena hanya indukan yang dapat menghasilkan telur.

Px = (Probability) Peluang bertahan hidup dan tersisa berdasarkan usia pada tahap x. Nilai Px ini diambil dari 10.000 sampel penyu. Nilai Px pada tahap 1, 5 dan 6 sama dengan 0 karena periode waktu pada tahap tersebut hanya 1 tahun. Oleh karena itu nilai Px tidak ada (0).

16

Gx = (Growth) Peluang bertahan hidup dan tumbuh berdasarkan usia pada tahap berikutnya. Nilai Gx ini diambil dari 10.000 sampel penyu. Nilai Gx pada tahap 7 sama dengan 0 karena induk dewasa sudah tidak bisa tumbuh lagi. Pada tabel 5 digunakan beberapa asumsi agar variabel yang digunakan lebih sedikit dan untuk mempersempit perhitungan yang nanti akan dilakukan.Asumsi untuk tabel 5 diatas adalah :

1) Hanya berjenis kelamin betina pada populasi awal yang dihitung. 2) Perkiraan kesuburan dan kelangsungan hidup tidak berubah dari waktu ke waktu. 3) Kesuburan dan kelangsungan hidup hanya tergantung pada usia individu dalam suatu tahap. 4) Individu pindah ke kelas umur berikutnya dan mereproduksi bersamaan. Dari data tabel 5, dapat dibentuk tabel Lefkovitch yang menjelaskan hubungan antara tahap yang satu dengan tahap-tahap lainnya, seperti diperlihatkan pada tabel 6 berikut

Tabel 6 Tabel Lefkovitch. Tabel Lefkovitch adalah representasi dari Tabel 5. Dari Tahap (1) (2) (3) (4) (5) (6) 0 0 0 0 4 127 (1) 0,6747 0,7370 0 0 0 0 (2) 0 0,0486 0,6610 0 0 0 (3) Ke 0 0 0,0147 0,6907 0 0 (4) 0 0 0 0,0518 0 0 (5) 0 0 0 0 0,8091 0 (6) 0 0 0 0 0 0,8091 (7) Keterangan tabel 6: (1) Telur / tukik, (2) Penyu kecil, (3) Penyu besar, (4) Penyu pra dewasa, (5) Induk pemula (muda), (6) Induk tahun pertama, (7) Induk dewasa. Dari tabel 6, nilai-nilai pada masingmasing tahap dapat diartikan sebagai tingkat kelahiran, peluang hidup dan tersisa, sertapeluang hidup dan tumbuh. Perubahan bentuk dariData tingkat kelahiran, peluang hidup dan pertumbuhan dari penyu loggerhead pada tabel 5 ke Tabel Lefkovitch pada tabel 6 akan dijelaskan berikut ini. 1. Penempatan niali Fx pada tabel 6 adalah jika nilai Fx berada pada tahap x, maka ditempatkan dari kolom tahap x ke baris 1. Nilai Fx selalu berada pada baris 1 karena berkaitan dengan kelahiran atau permulaan tahap, yaitu bertelur, sehingga ditempatkan di baris 1. Contohnya pada tabel 5, jika nilai Fx ada di tahap 5, maka pada tabel Lefkovitch ditempatkan di kolom x dan baris 1 atau (x, 1) 2. Penempatan nilai Px pada tabel 6 adalah jika nilai Px berada pada tahap x, maka

(7) 80 0 0 0 0 0 0,8089

ditempakan dari kolom tahap x ke baris tahap x atau (x, x). Contohnya pada tabel 5, jika nilai Px = 0,7370 ada di tahap 2, maka pada tabel Lefkovitch ditempatkan di kolom 2 dan baris 2 atau (2,2). Lihat tabel 6. 3. Penempatan nilai Fx pada tabel 6 adalah jika nilai Fx berada pada tahap x, maka ditempatkan pada kolom x dan baris x+1 atau (x, x+1). Contohnya pada tabel 5, jika nilai Fx = 0,6747 ada di tahap 1, maka pada tabel Lefkovitch ditempatkan di kolom 1 dan baris 2 atau (1, 2). Lihat tabel 6. Sedangkan maksud dari nilai-nilai yang ada pada tabel 6, dijelaskan sebagai berikut. 1. Untuk tingkat kelahiran, dari tahap (5) ke tahap (1) bernilai 4 yang artinya tingkat kelahiran untuk menghasilkan telur/tukik dari induk pemula pada satu periode adalah 4. Dari tahap (6) ke tahap (1) bernilai 127 artinya tingkat kelahiran untuk menghasilkan telur/tukik dari induk migran tahun pertama adalah 127. Dari tahap (7) ke tahap (1) bernilai 80 artinya tingkat kelahiran untuk menghasilkan telur/tukik dari induk dewasa adalah 80. 2. Untuk peluang hidup, dari tahap (2) ke tahap (2) bernilai 0,737 artinya adalah peluang hidup dan tersisa pada saat penyu kecil bernilai 0,737. Dari tahap (3) ke

17

tahap (3) bernilai 0,661 artinya adalah peluang hidup dan tersisa pada saat penyu kecil bernilai 0,661. Dari tahap (4) ke tahap (4) bernilai 0,6907 artinya adalah peluang hidup dan tersisa pada saat penyu kecil bernilai 0,6907. Dari tahap (7) ke tahap (7) bernilai 0,8089 artinya adalah peluang hidup dan tersisa pada saat penyu kecil bernilai 0,8089. 3. Untuk peluang hidup dan tumbuh, dari tahap (1) ke tahap (2) bernilai 0,6747 artinya adalah peluang hidup dan tumbuh pada saat telur/tukik ke penyu kecil bernilai 0,6747. Dari tahap (2) ke tahap (3) bernilai 0,0486 artinya adalah peluang hidup dan tumbuh pada saat penyu kecil ke penyu dewasa bernilai bernilai 0,0486. Dari tahap (3) ke tahap (4) bernilai 0,0147 artinya adalah peluang hidup dan tumbuh .  0  0, 6747   0  A= 0  0   0  0 

pada saat penyu dewasa ke penyu pra dewasa bernilai 0,0147. Dari tahap (4) ke tahap (5) bernilai 0,0518 artinya adalah peluang hidup dan tumbuh pada saat penyu pra dewasa ke induk pemula bernilai 0,0518. Dari tahap (5) ke tahap (6) bernilai 0,8091 artinya adalah peluang hidup dan tumbuh pada saat induk pemula ke induk migran tahun pertama 0,8091. Dari tahap (6) ke tahap (7) bernilai 0,8091 artinya adalah peluang hidup dan tumbuh pada saat induk migran tahun pertama ke induk dewasa 0,8091. Misalkan A adalah matriks Lefkovitch, disebut juga matriks proyeksi populasi, pada persamaan (2) yang merupakan representasi dari tabel 6, maka matriksnya adalah

0 0, 7370 0, 0486

0 0 0, 6610

0 0 0

0 0 0 0

0, 0147 0 0 0

0, 6907 0, 0518 0 0

Kita misalkan populasi pada setiap tahap adalah 10 individu (tabel 5), dan diteliti dalam waktu t=30 tahun, sehingga didapat data

     0 0 0  0 0 0   0, 8091 0 0  0 0, 8091 0, 8089  4 0 0

127 0 0

80 0 0

populasi dan pertumbuhan populasi seperti pada tabel 7 berikut

Tabel 7 Data populasi selama periode t = 30 tahun Pertumbuhan Populasi

Populasi Waktu (tahun)

Telur / Tukik

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

10 2110 2324 1625 1336 1096 898 740 620 533 473 433 406 388 374 363 352

Penyu Penyu Penyu Induk Kecil Besar pradewasa Pemula 10 14 1434 2625 3031 3136 3050 2854 2602 2336 2082 1853 1658 1496 1364 1258 1172

10 7 5 73 176 264 327 364 379 377 363 341 316 289 264 241 220

10 7 5 4 4 5 7 10 12 14 15 16 16 16 15 14 13

10 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Induk Migrasi

Induk Dewasa

Total populasi

λt

10 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1

10 16 20 16 13 11 9 7 6 5 5 4 4 4 3 3 3

70 2163 3789 4344 4561 4512 4291 3975 3621 3267 2939 2648 2400 2193 2022 1880 1762

30,9008 1,7516 1,1465 1,0499 0,9892 0,9512 0,9263 0,9108 0,9023 0,8995 0,9012 0,9064 0,9137 0,9219 0,9300 0,9371 0,9427

18

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

340 328 314 300 284 269 254 239 225 212 199 188 177 166

1101 1041 989 941 895 852 809 768 728 688 650 614 579 546

202 187 174 163 154 145 137 130 123 117 111 105 99 94

12 12 11 10 9 9 8 8 7 7 6 6 6 5

Keterangan tabel 7 : Tabel 7 didapat dengan menjumlahkan hasil perkalian antara nilai pada elemen (i,j) pada matriks A (matriks proyeksi populasi) dengan populasi pada tahap I waktu t-1. Dengan(i,j) = tahap-tahap kehidupan (dalam hal ini terdapat 7 tahap) dan t = periode waktu (dalam hal ini t dari 1 sampai dengan 30 tahun). Contohnya, untuk mencari populasi pada tahap i=1 pada waktu t=1 adalah pertama kalikan populasi tahap i=1 pada waktu t=0, yaitu 10, dengan baris 1 kolom 1 (1,1) yaitu 0.Lalu populasi tahap i=2 pada waktu t=0, yaitu 10, dengan baris 1 kolom 2 (1,2) yaitu 0. Terus dilakukan sampai populasi tahap 7 pada waktu t=0, yaitu 10, dengan baris 1 kolom 7 (1,7) yaitu 80. Jadi, hasil perkaliannya adalah 10 x 0 = 0 10 x 0 = 0 10 x 0 = 0 10 x 0 = 0 10 x 4 = 40 10 x 127 = 1270 10 x 80 = 800 Hasil penjumlahannya adalah 0 + 0 + 0 + 0 + 40 + 1270 + 800 = 2110 Cara yang sama digunakan untuk tahap 2, yaitu dengan mengalikan pada baris ke 2. Hasil perkaliannya adalah 10 x 0,6747 = 6,747 10 x 0,7370 = 7,370 10 x 0 = 0 10 x 0 = 0 10 x 0 = 0 10 x 0 = 0 10 x 0 = 0 Hasil penjumlahannya adalah 6,747 + 7,370 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 14,17

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1661 1572 1492 1417 1346 1278 1212 1148 1086 1026 969 914 862 813

0,9466 0,9489 0,9499 0,9500 0,9493 0,9483 0,9472 0,9460 0,9450 0,9442 0,9435 0,9431 0,9428 -

Dibulatkan menjadi 14. Terus dilakukan hingga mendapatkan nilai seperti pada tabel 7. λt pada tabel 7 didapat dari persamaan (6), yang berarti tingkat pertumbuhan populasi pada tahap i pada waktu t ke tahap i pada waktu t+1. Pertumbuhan populasi ini kan menjadi sama untuk waktu t yang lama. Pada tabel dapt dilihat bahwa λt bernilai sama pada nilai 0,94 yang artinya banyaknya individu pada setiap tahap akan turun sebesar 6%, yaitu dari tahap x pada waktu t ke tahap x pada waktu t+1 Pertumbuhan populasi pada saat t=30 tidak ada karena data yang ditampilkan hanya sampai t=30, sedangkan data t+1=31, tidak ditampilkan, sehingga pertumbuhan populasinya tidak ada.

3.7.2 Matriks Sensitivitas dan Matriks Elastisitas pada Siklus Hidup Penyu Loggerhead Pada persamaan (7), untuk mencari nilai pada elemen-elemen matriks sensitivitas, diperlukan variabel u (Nilai eigen kanan) dan v (Nilai eigen kiri). Penjelasan untuk mencari nialai-nilai tersebut adalah sebagai berikut. 3.7.2.1 Mencari nilai eigen kanan Untuk mencari nilai u atau nilai eigen kanan, kita gunakan persamaan (5) dengan matriks proyeksi populasi (matriks A) untuk menentukan tahap pendistribusian, sehingga akan dihasilkan data seperti tabel 8 berikut

19

Tabel 8 Data nilai eigen kanan populasi Penyu laut Loggerhead. u1 = nilai eigen kanan pada tahap 1, u2 = nilai eigen kanan pada tahap 2, u3 = nilai eigen kanan pada tahap 3, u4 = nilai eigen kanan pada tahap 4, u5 = nilai eigen kanan pada tahap 5, u6= nilai eigen kanan pada tahap 6, dan u7 = nilai eigen kanan pada tahap 7. Nilai eigen kanan – Tahap Pendsitribusian waktu (t)

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0,142857 0,975472 0,613391 0,374192 0,292997 0,242943 0,209148 0,186030 0,171226 0,163260 0,161011 0,163364 0,169066 0,176758 0,185122 0,193057 0,199802 0,204970 0,208495 0,210531 0,211356 0,211288 0,210630 0,209644 0,208533 0,207447 0,206481 0,205691 0,205097 0,204692 0,204457

0,142857 0,006526 0,378487 0,604275 0,664633 0,695005 0,710832 0,717870 0,718697 0,715065 0,708349 0,699813 0,690661 0,681961 0,674528 0,668840 0,665028 0,662946 0,662275 0,662630 0,663635 0,664971 0,666394 0,667734 0,668887 0,669803 0,670470 0,670905 0,671139 0,671214 0,671174

0,142857 0,003281 0,001419 0,016862 0,038587 0,058437 0,076120 0,091609 0,104790 0,115476 0,123494 0,128776 0,131440 0,131829 0,130469 0,127979 0,124961 0,121910 0,119170 0,116933 0,115269 0,114157 0,113526 0,113278 0,113312 0,113532 0,113857 0,114221 0,114577 0,114892 0,115150

0,142857 0,003261 0,001313 0,000809 0,000769 0,001110 0,001709 0,002482 0,003361 0,004280 0,005174 0,005979 0,006645 0,007138 0,007450 0,007595 0,007606 0,007522 0,007382 0,007219 0,007059 0,006916 0,006799 0,006712 0,006652 0,006617 0,006603 0,006603 0,006613 0,006629 0,006648

0,142857 0,000239 0,000096 0,000059 0,000040 0,000040 0,000060 0,000096 0,000141 0,000193 0,000246 0,000297 0,000342 0,000377 0,000401 0,000415 0,000420 0,000418 0,000412 0,000403 0,000394 0,000385 0,000377 0,000371 0,000367 0,000364 0,000363 0,000362 0,000362 0,000363 0,000364

0,142857 0,003741 0,000111 0,000068 0,000046 0,000033 0,000034 0,000053 0,000085 0,000127 0,000174 0,000221 0,000265 0,000303 0,000331 0,000349 0,000358 0,000360 0,000357 0,000351 0,000343 0,000335 0,000328 0,000322 0,000317 0,000314 0,000312 0,000311 0,000311 0,000311 0,000312

0,142857 0,007480 0,005182 0,003734 0,002929 0,002433 0,002097 0,001861 0,001700 0,001600 0,001552 0,001549 0,001580 0,001634 0,001699 0,001766 0,001825 0,001874 0,001909 0,001932 0,001944 0,001948 0,001946 0,001939 0,001931 0,001923 0,001914 0,001907 0,001902 0,001898 0,001895

Untuk mendapatkan nilai ui, dicari dengan cara membagi populasi pada tahapi pada waktu t, dengan total populasi pada waktu t. Hal tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut

ui =

Populasi tahap i pada waktu t Total populasi pada waktu t

Contohnya pada tabel 8, nilai u1 waktu t=1 adalah 0,975472. Nilai tersebut didapat dari data tabel 7 dengan membagi populasi pada tahap i=1 pada waktu t=1 yaitu 2110, dengan total populasi pada waktu t=1 yaitu 2163. Nilai u2 waktu t=1 adalah 0,006526. Nilai tersebut didapat dengan membagi

populasi pada tahap i=2 pada waktu t=1 yaitu 14, dengan total populasi pada waktu t=1 yaitu 2163. Terus dilakukan sehingga menghasilkan nilai seperti terlihat pada tabel 8. Untuk mendapatkan nilai eigen kanan, populasi pada tahapi pada waktu t akhir (t=30) dibagi dengan total populasi pada waktu t akhir (t = 30) atau dapat dirumuskan sebagai berikut Nilai eigen kanan =

Populasi tahap i pada waktu t akhir Total populasi pada waktu t akhir

20

Maka nilai ui untuk i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7 diperoleh : Tabel 9 Data nilai eigen kanan Penyu laut Loggerhead ketika tahap yang dilalui telah stabil Distribusi Stabil Nilai eigen kanan Tahap Proporsi u1

Telur / Tukik

0,204457

u2

Penyukecil

0,671174

u3

Penyu besar

0,115150

u4

Penyu pra dewasa

0,006648

u5

Induk pemula

0,000364

u6

Induk tahun pertama

0,000312

u7

Induk dewasa

0,001895

Nilai eigen kanan berarti proporsi atau perbandingan untuk keseluruhan suatu populasi dalam hal ini pada penyu. Nilai u1 = 0,204457 pada tabel 9 berarti sebaran populasi penyu pada tahap pertama atau telur sebesar 0,204457 atau 20,4%. Pada penyu kecil sebesar 67,1% , penyu sebesar 11,5% , penyu pra dewasa sebesar 0,6% ,

induk pemula sebesar 0,03%, induk tahun pertama sebesar 0,03% , dan induk dewasa sebesar 0,01% 3.7.2.2 Mencari nilai eigen kiri Untuk mendapatkan nilai dari v atau nilai eigen kiri, terlebih dahulu mentranspose matriks proyeksi populasi (dari A menjadi AT)

0 0 0 0 0   0 0, 6747  0 0, 737 0, 0486 0 0 0 0    0 0 0, 661 0, 0147 0 0 0    T A = 0 0 0 0, 6907 0, 0518 0 0   4 0 0 0 0 0,8091 0    0 0 0 0 0 0,8091 127  80 0 0 0 0 0 0,8089   Kemudian dilakukan operasi perhitungan dengan menggunakan persamaan (5) seperti yang dilakukan untuk untuk mencari nilai

populasi pada tabel 7. Hasilnya seperti pada tabel 10 berikut

Tabel 10 Data populasi Penyu laut Loggerhead hasil tranpose matriks A. c1=populasi pada tahap 1, c2=populasi pada tahap 2, c3=populasi pada tahap 3, c4=populasi pada tahap 4, c5=populasi pada tahap 5, c6=populasi pada tahap 6, c7=populasi pada tahap 7. Pertumbuhan Populasi–matrix transpose Populasi Waktu (t) c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 Total pop λt 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 7 5 4 3 2 2 2 1 1

10 8 6 5 4 3 2 2 2 2

10 7 5 3 3 4 4 5 6 7

10 7 8 60 106 143 168 183 188 187

10 48 1061 1244 1342 1347 1290 1197 1089 978

10 1278 1511 1639 1648 1582 1470 1338 1203 1076

10 808 1193 1389 1454 1432 1354 1248 1131 1016

70 2163 3789 4344 4561 4512 4291 3975 3621 3267

30,9008 1,7516 1,1465 1,0499 0,9892 0,9512 0,9263 0,9108 0,9023 0,8995

21

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

7 7 7 7 7 7 6 6 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 3 2

180 169 158 145 134 123 113 104 97 90 85 80 75 71 67 64 60 57 54 51 48

Dari tabel 7 dan tabel 10, dapat dilihat bahwa pertumbuhan populasi (λt) dari populasi penyu adalah 0,94 (94%). Ini artinya pertumbuhan individu pada populasi penyu tersebut menurun sebesar 6 % per tahap waktu. Selanjutnya untuk mencari nilai v atau nilai eigen kiri, kita gunakan cara yang sama seperti mencari nilai eigen kanan, yaitu dengan cara membagi populasi pada tahap I

875 783 705 641 588 544 509 479 454 431 410 389 370 351 333 315 298 282 266 251 236

963 867 787 721 668 625 588 556 528 502 478 454 431 408 387 366 345 326 307 290 273

911 819 741 676 623 580 544 513 486 462 439 417 396 376 356 337 318 300 283 267 252

2939 2648 2400 2193 2022 1880 1762 1661 1572 1492 1417 1346 1278 1212 1148 1086 1026 969 914 862 813

0,9012 0,9064 0,9137 0,9219 0,9300 0,9371 0,9427 0,9466 0,9489 0,9499 0,9500 0,9493 0,9483 0,9472 0,9460 0,9450 0,9442 0,9435 0,9431 0,9428 -

pada waktu t, dengan total populasi pada waktu t. Hal tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut

vi =

Populasi tahap i pada waktu t Total populasi pada waktu t

Nilai dari nilai eigen kiri terlihat pada tabel 11 berikut

Tabel 11Data nilai eigen kiri Penyu laut Loggerhead Nilai eigen kiri – Nilai reproduktif Waktu (t)

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0,142857 0,003119 0,001399 0,000950 0,000700 0,000544 0,000444 0,000382 0,000350 0,000340 0,000348 0,000370 0,000401 0,000435 0,000468 0,000497

0,142857 0,003632 0,001615 0,001089 0,000798 0,000626 0,000525 0,000472 0,000454 0,000464 0,000495 0,000539 0,000589 0,000640 0,000685 0,000722

0,142857 0,003124 0,001208 0,000722 0,000649 0,000779 0,001030 0,001358 0,001729 0,002114 0,002487 0,002821 0,003094 0,003295 0,003419 0,003474

0,142857 0,003433 0,002011 0,013865 0,023244 0,031643 0,039230 0,046057 0,052055 0,057110 0,061100 0,063944 0,065637 0,066280 0,066067 0,065253

0,142857 0,022233 0,280058 0,286266 0,294343 0,298450 0,300551 0,301148 0,300695 0,299490 0,297790 0,295837 0,293865 0,292075 0,290610 0,289544

0,142857 0,590873 0,398724 0,377256 0,361434 0,350639 0,342590 0,336597 0,332262 0,329379 0,327799 0,327358 0,327841 0,328983 0,330499 0,332120

0,142857 0,373587 0,314985 0,319851 0,318833 0,317318 0,315629 0,313985 0,312455 0,311102 0,309981 0,309132 0,308573 0,308293 0,308251 0,308389

22

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0,000520 0,000535 0,000544 0,000548 0,000548 0,000545 0,000541 0,000536 0,000532 0,000527 0,000524 0,000521 0,000520 0,000519

0,000748 0,000764 0,000771 0,000772 0,000768 0,000761 0,000754 0,000746 0,000740 0,000734 0,000730 0,000727 0,000725 0,000724

0,003474 0,003436 0,003375 0,003306 0,003239 0,003179 0,003131 0,003095 0,003071 0,003057 0,003052 0,003052 0,003057 0,003064

0,064101 0,062842 0,061647 0,060624 0,059823 0,059252 0,058893 0,058710 0,058664 0,058714 0,058825 0,058965 0,059112 0,059250

0,288881 0,288571 0,288537 0,288693 0,288960 0,289273 0,289586 0,289868 0,290102 0,290280 0,290404 0,290479 0,290513 0,290517

0,333637 0,334912 0,335882 0,336543 0,336927 0,337087 0,337080 0,336964 0,336785 0,336582 0,336381 0,336202 0,336055 0,335943

0,308640 0,308940 0,309243 0,309514 0,309736 0,309902 0,310014 0,310079 0,310106 0,310105 0,310085 0,310054 0,310019 0,309984

0,000518

0,000724

0,003072

0,059368

0,290499

0,335867

0,309953

Untuk mendapatkan nilai vi, dicari dengan cara membagi populasi pada tahap i pada waktu t, dengan total populasi pada waktu t. Contohnya pada tabel 11, nilai v1 waktu t=1 adalah 0,003119. Nilai tersebut didapat dengan membagi populasi pada tahap i=1 pada waktu t=1 yaitu 7, dengan total populasi pada waktu t=1 yaitu 2163 sesuai pada tabel 10. nilai v1 waktu t=1 adalah 0,003119. Nilai tersebut didapat dengan membagi populasi pada tahap i=1 pada waktu t=1 yaitu 7, dengan total populasi pada waktu t=1 yaitu 2163 sesuai pada tabel 10. Terus dilakukan sehingga menghasilkan nilai seperti terlihat pada tabel 11. Untuk mendapatkan nilai eigen kiri, populasi pada tahap i pada waktu ke-t akhir (t = 30) dibagi dengan total populasi pada waktu ke-t akhir (t = 30) atau dapat dirumuskan sebagai berikut Nilai eigen kiri =

Populasi tahap i pada waktu t akhir Total populasi pada waktu t akhir Maka nilai vi untuk i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7 diperoleh : Tabel 12

Nilai reproduktif Penyu laut Loggerhead (nilai eigen kiri) NilaiReproduktif

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

0,00051 0,00072 0,00307 0,05936 0,29049 0,33586 0,30995

Nilai eigen kiriberarti berapa besar kontribusi yang diberikan pada tahap x untuk menghasilkan keturunan sebagai keberlangsungan hidup populasi tersebut, dalam hal ini penyu. Nilai pada tabel 12, dapat kita standarkan dengan membagi nilai v1 sampai v7 dengan nilai dari v1, yaitu 0,000518, dan didapat hasilnya seperti pada tabel 13 berikut Tabel 13 Nilai reproduktif Penyu laut Loggerhead (nilai eigen kiri) setelah dibagi dengan v1. Nilai Reproduktif

v1

v2

v3

v4

1,00

1,40

5,93

114,6

v5

v6

v7

560,74 648,31 598,29

Nilai v7 = 598,29 pada tabel 13 berarti individu pada tahap induk dewasa lebih “berharga” atau bernilai 598,29 kali daripada individu pada tahap telur untuk menghasilakan keturunan dimasa yang akan datang. Hal ini karena induk dewasa berpeluang besar untuk menghasilkan keturunan. Setelah dihasilkan nilai u (nilai eigen kanan) dan nilai v (nilai eigen kiri), maka kita dapat menghitung nilai sensitivitasnya dengan menggunakan persamaan (7). Hasilnya adalah sebagai berikut

23

     S=     

0,04954

0,16263

0,02790

0, 00161

0,00008

0,00007

0,06922

0,22723

0,03898

0,18459

0, 00012

0, 04897

0, 00052

0, 00045

0,29377

0,96436

0,16545

0, 00955

5,67724 27,7798 32,1183 29,6402

18,6368 91,1936 105,435 97,3006

3,19743 15,6456 18,0890 16,6934

0,18459 0, 01011 0, 00866 0, 90326 0, 04949 0, 04235 1, 04432 0, 05722 0, 04897 0, 96375 0, 05280 0, 04519

Dari matriks sensitivitas ini, maka kita dapat menghitung nilai dari matriks elastisitas 0   0, 04946   0  E= 0  0  0   0 

0 0 0,17815 0 0, 04953 0,11634 0 0, 04947 0 0 0 0 0 0

0, 00046  0, 00064  0, 00272   0, 05262  0, 25748   0, 29769  0, 27473 

dengan menggunakan persamaan (8). Nilai matriks elastisitasnya adalah : 0 0 0 0,13563 0, 04952 0 0

Matriks elastisitas diatas dapat diartikan sebagai berikut. Pada peluang bertahan hidup penyu kecil yaitu 0,17815 dan tingkat kelahiran individu dewasa adalah 0,03907. Ini berarti bahwa 1% kenaikan peluang bertahan hidup penyu kecil akan menyebabkan kenaikan 0,178% pada tingkat pertumbuhan (λt), ketika 1% kenaikan tingkat kelahiran individu dewasa akan menyebabkan kenaikan 0,039% pada tingkat pertumbuhan (λt).

0, 00034 0 0 0 0 0,04917 0

0, 01020 0 0 0 0 0 0, 03854

0, 03907   0   0  0   0  0  0, 23641

3.7.3 Dekomposisi Digraf pada Siklus Hidup Penyu Laut Loggerhead Setelah didapat matriks elastisitasnya, maka langkah selanjutnya adalah mengubahnya ke dalam bentuk graf berbobot dan berarah. Sebelum diubah kedalam bentuk graf, terlebih dahulu nilai pada matriks elastisitas di kalikan dengan 100 dan dibulatkan untuk mempermudah perhitungan sehingga matriks elastisitasnya menjadi Jumlah Baris

0 0 0  0  4, 95 17,81 0 0   0 4, 95 11,63 0  E= 0 0 4, 95 13,56  0 0 0 4, 95  0 0 0  0  0 0 0 0  ↓ Jumlah Kolom

↓

4, 95 22, 76

↓

↓

0,03

1,02

0 0 0 0 4, 92 0

0 0 0 0 0 3,90

↓

↓

16, 58 18, 55 4, 95

Setelah itu, presentasi digraf yang sesuai untuk matriks diatas adalah

3,90  0  0   0  0   0  23,64  ↓

4, 92 27, 54

→ 4, 95 → 22, 76 → 16, 58 → 18, 55 → 4, 95 → 4, 92 → 27, 54 100,21

24

cycle L1 dari digraf D. Sisa grafnya menjadi subgraf D1 seperti pada gambar 29 dibawah ini

23,64

D=

v7 3,9

v1

v7

v6

1,02

4,95

17,81

23,64

3,9

3,9

0,03

v1

4,92

v5

v2 4,95

3,9

4,92

4,92

4,95 17,81

v3

4,95

11,63

v5

v2

v4

4,92

13,9

4,92 4,92

v3

Gambar 27 Digraf D

v4

11,63

Langkah-langkah untuk matriks tersebut adalah : 1.

Gambar 29 Subgraf D1 dari digraf D 3. Mulai dari vertek v1 , dicari cycle lain di subgraf D1 yang mengandung vertek v1 . Hasilnya diperoleh cycle L2 = { v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v6 → v1 }.

v1

v1

4,95

v5

v2

v5 4,92

Gambar 28 CycleL1

Setelah mendapatkan cycle L1, ambil bobot yang paling kecil di L1 yaitu w15D = 0, 03 , kurangkan bobot yang ada di cycleL1 yaitu w15D = 0, 03 ; w21D = 4,95 ; dengan = w32D 4,95 = ; w43D 4,95 = ; w54D 4,95 D D 0,03 menjadi w15 = 0 ; w21 = 4,92 ; D D w32D = 4,92 = ; w43 4,= 92 ; w54 4, 92 . D Karena bobot dari w15 = 0 , maka sisi tersebut dihapus. Kemudian hilangkan

4,92

v3

v4

cycle pada gambar 28, menyatakan kemampuan penyu melewati lima tahap dalam kehidupannya, yaitu dimulai dari telur, lalu penyu muda kecil, lalu ke penyu muda dewasa, penyu pra dewasa dan induk pemula hingga bertelur kembali.

4,92

v2

4,95 4,95

v6

1,02

4,92

0,03

4,95

13,9

mendekomposisi

Dimulai dengan mencari sebuah cycle yang mengandung verteks v1 dan berakhir di verteks v1 diperoleh L1 = { v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v1 }

v3

v6

1,02

4,92

v4

Gambar 30 CycleL2 Pada gambar cycle L2 seperti yang ditunjukkan gambar 30 menyatakan kemampuan penyu melewati enam tahap kehidupan, yaitu mulai dari telur, lalu penyu muda kecil, lalu menjadi penyu muda dewasa, penyu pra dewasa dan induk pemula, serta induk tahun pertama hingga bertelur kembali.

2.

4. Setelah mendapatkan cycle L2, ambil bobot yang paling kecil di L2 yaitu w16D = 1, 02 , kurangkan bobot yang ada 1

di cycleL2 yaitu w16D = 1, 02 ; w21D = 4,92 ; 1

1

; w43D1 4,92 ; w54D1 4,92 ; w65D1 4,92 = w32D1 4,92 = = =

dengan

menjadi w16D = 0 ;

1,02

1

; w 3,9 = ;w 3,9 = ;w 3,9 ; = w 3,9 = D1 21

D1 32

D1 43

D1 54

D1 = 0, w65D1 = 3,9 . Karena bobot dari w16

25

maka sisi tersebut dihapus. Kemudian hilangkan cycle L2 dari subgraf D1. Sisa grafnya menjadi subgraf D2 seperti pada gambar 31dibawah ini 23,64

G G cycle L3 yaitu 3,= 9 ; w32 3, 9 ; = w21 2

2

= w 3,= 9;w 3,= 9;w 3,= 9;w 3, 9 ; G2 43

G2 54

G2 65

G2 76

G2 =0 w17G2 = 3, 9 dengan 3,9 menjadi w21

= w32G2 0= ; w43G2 0= ; w54G2 0= ; w65G2 0= ; w76G2 0 ;

v7 3,9

G2 w21 = 3, 9 , kurangkan bobot yang ada di

G2 w17G2 = 0 . Karena bobot dari w21 =0;

= w32G2 0= ; w43G2 0= ; w54G2 0= ; w65G2 0= ; w76G2 0 ;

3,9

v1

w17G2 = 0 , maka sisi-sisi tersebut dihapus. dari Kemudian hilangkan cycle L3 subgraf D2. Sisa grafnya menjadi subgraf D3 seperti pada gambar 33 dibawah ini

v6

3,9

3,9

23,64 17,81

v5

v2 3,9

v7

3,9

v3

3,9

11,63

v1

v4

v6

13,9

Subgraf D2 dari digraf D

Gambar 31

17,81

5. Mulai dari vertek v1 , dicari cycle lain di subgraf D2 yang mengandung vertek v1 . = Hasilnya diperoleh L3 { v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v6 → v7 → v1 }.

v5

v2

v7 3,9

Gambar 33

3,9

v1 3,9

v2

3,9

11,63

13,9

Subgraf D3 dari digraf D

7. Sisa subgraf D3 mengandung tiga loop atau satu cycle, yaitu

3,9

dan L= v7 → v7 seperti gambar dibawah 7 ini

L4 = v2 → v2 , L5 = v3 → v3 , L6 = v4 → v4

17,81

3,9

v3

v4

v6

v5 3,9

v3

v2

23,64

v7

v4

Gambar 32 CycleL3 Pada gambar cycle L3 seperti yang ditunjukkan gambar 32 menyatakan kemampuan penyu melewati tujuh tahap kehidupan, yaitu mulai dari telur, lalu penyu muda kecil, berkembang menjadi penyu muda dewasa, kemudian penyu pra dewasa dan induk pemula, lalu induk tahun pertama, serta induk dewasa hingga bertelur kembali. Dalam cycle ini penyu tersebut telah melewati seluruh tahapan kehidupannya 6. Setelah mendapatkan cycle L3,ambil bobot yang paling kecil di L3 yaitu

Gambar 34

v3

v4

11,63

13,9

Loop L4, Loop L5, Loop L6, dan Loop L7

Pada gambar 34 terdapat empat loop, yaitu loop L4, L5, L6, dan L7. Masingmasing loop mempresentasikan hal yang berbeda-beda. L= v2 → v2 menyatakan 4 kemampuan bertahan pada tahap penyu muda kecil, L= v3 → v3 menyatakan 5 kemampuan bertahan pada tahap penyu muda besar, L= v4 → v4 menyatakan 6

26

graph sehingga proses berhenti. Jadi digraf D7 dapat didekomposisi menjadi tujuh cycle dan sebuah graf sisanya, D7 dapat ditulis sebagai berikut

kemampuan bertahan pada tahap penyu pra dewasa, dan L= v7 → v7 menyatakan 7 kemampuan bertahan pada tahap induk dewasa.

 7  D = D7    Li   i =1  D = D7 ∪ {v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v1}

8. Hilangkan L4, L5, L6, dan L7, sehingga yang tersisa adalah subgraf D7 atau null graph seperti yang ditunjukkan pada gambar 35 di bawah ini. v7

v1

∪ {v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v6 → v1} ∪ {v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v6 → v7 → v1} ∪ {v2 ↔ v2 } ∪ {v3 ↔ v3 } ∪ {v4 ↔ v4 } ∪ {v7 ↔ v7 }

Untuk matriks dekomposisi lengkapnya terdapat di lampiran 3.

v6

v2

Dari dekomposisi digraf diatas jumlah cycle yang didekomposisi berjumlah 7 (lihat tabel 13). Hal ini sesuai jika dimasukkan ke persamaan (10). Jumlah sisinya (b) ada 13, jumlah verteksnya (n) ada 7, dan nilai c = 1, maka nilai L=b–n+c = 13 – 7 + 1 = 7 Data lengkap cycle-nya dapat dilihat pada tabel 14.

v5

v3

v4

Gambar 35 Subgraf D7 (null graph) dari digraf D 9. Subgraf D7 tidak berisi cycle dan loop atau dengan kata lain membentuk null Tabel 14 Cycle pada Penyulaut Loggerhead

Sisi yang dihilangkan dari bobot minimum

Bobot minimum elastisitas karakteristik

Bobot cycle ( Sisi x bobot minimum )

(1,5)

0,03

5 x 0,03 = 0,15

L2 = {v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v6 → v1}

(1,6)

1,02

6 x 1,02 = 6,12

L3 = {v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v6 → v7 → v1}

(2,1)

3,90

7 x 3,90 = 27,3

(2,2)

17,81

1 x 17,81 = 17,81

(3,3)

11,63

1 x 11,63 = 11,63

(4,4)

13,56

1 x 13,56 = 13,56

(7,7)

23,64

1 x 23,64 = 23,64

Cycle

L1 = {v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v1}

= L4

L = 5 = L6 = L7

{v2 ↔ v2 } {v3 ↔ v3 } {v4 ↔ v4 } {v7 ↔ v7 } Total

100,21

Dari tabel ini juga dapat dilihat total nilai dari jumlah setiap cycle-nya sama dengan total nilai baris atau kolom pada matriks elastisitasnya.

det ( λ I − G7 ) = 0

Dari hasil matriks dekomposisi di atas diperoleh persamaan karakteristik dari sisa digraf Gr = G7 sebagai berikut 1 0  0  λ 0 0  0 0 

0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

λ I − G7 = 0 0 0 0   0 0  0   0 − 0 0 0   0 0 1   0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0  0  0 0 = 0  0 0 

27

λ 0  0  0 0  0 0 

0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0

λ

0

0 0

λ

0 0

0

λ

0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

λ

λ 0

0 0  0  7 0=  λ= 0  0  0 λ 

Semua nilai eigen (λ) dari matriks G7adalah nol.

IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan Siklus hidup dari hewan Caretta caretta (Penyu laut Loggerhead) dapat didekomposisi dengan menggunakan algoritma graf dekomposisi digraf berbobot. Algoritma ini dapat diaplikasikan dengan baik pada siklus kehidupan penyu ini karena algoritma ini menjamin bahwa cycle yang dihasilkan tidak terdapat arah bertentangan. Dari perhitungan tentang pertumbuhan populasi (λt) diketahui bahwa pertumbuhan populasi penyu adalah 0,94 (94%). Ini artinya pertumbuhan individu pada populasi

penyutersebut menurun sebesar 6 % per tahap waktu. Dengan melihat pertumbuhan yang kurang dari satu tersebut dapat di ketahui bahwa kelangsungan hidup individu penyu ini terancam untuk beberapa tahun kemudian. 4.2 Saran Dalam karya ilmiah ini dibahas model matriks populasi dengan siklus yang masih sederhana. Diharapkan selanjutnya dapat menggunakan formula untuk menentukan matriks populasi dengan siklus yang lebih kompleks.

DAFTAR PUSTAKA Chartrand G and Oellermen OR. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New York: McGraw-Hill. Chartrand G and Zhang P. 2009. Chromatic Graph Theory. London: CRC Pr. Chen PP. 1976.The Entity-Relationship Model: Toward Unified View of Data. ACM Trans: hal. 9-36. Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York: Springer-Diestel. Horn RA and Johnson CR. 1985. Matrix Analysis. Cambridge: Cambridge University Press. Lefkovitch LP. 1965. The study of population growth in organisms grouped by stages. Biometrika 35: hal. 183–212. Leon SJ. 2001. Linear Algebra with Apllications, Fifth Edition. Alih Bahasa Drs. Alit Bondan, M. Kom. Jakarta: Erlangga. Spangenberg JA and Jungck JR. 2005. Lefkovitch Matrix Models for a Stage-

Structured Populations-Loggerhead sea turtle, southeastern United States 4.0 Beloit: BioQUEST Curriculum Consortium, Beloit College. Sun L and Wang M. 2007. An algorithm for a decomposititon of weighted digraphs: with applications to life cycle analysis in Ecology. Math Biology 54: hal. 199-226. van Groenendael J, de Kroon H, Kalisz S and Tuljapurkar S. 1994. Loop Analysis: Evaluating life history pathways in population projection matrices. Ecology 75: hal. 2410-2415. Vasudev C. 2006.Graph Theory Application. New Delhi: New International.

with Age

Wardle GM. 1998. A graph theory approach to demographic loop analysis. Ecology 79: hal. 2539–2549. Marine Turtle Specialist Group. 1996. Caretta caretta. In: IUCN 2012. IUCN Red List of Threatened Species. Version 2012.1. <www.iucnredlist.org>. [20 Juni 2012]

LAMPIRAN

28

LAMPIRAN Lampiran 1(Pembuktian Teorema 1) Teorema 1 Jika G memenuhi kondisi flow conservation, maka graf sisa Gr adalah null graph (𝐺𝑟 = ∅). Bukti:

Diketahui: 𝐺 memenuhi kondisi flow conservation

∑𝑛𝑗=1 𝑤𝑖𝑗 = ∑𝑛𝑗=1 𝑤𝑗𝑖

Akan dibuktikan: Graf sisa 𝐺𝑟 = ∅

Bukti: Ada dua kondisi yang perlu diperhatikan 1. Ada cycle sederhana L dari G dengan bobot sisi yang sama memenuhi kondisi flow conservation untuk setiap vi ∈ G . Asumsikan bahwa L memiliki path sebagai berikut vi → vi → ... → vi → vi , dimana im , m = 1, 2, 3,..., k berbeda, dan setiap sisi di L memiliki 1

k

2

1

bobot yang sama w. Misalkan wijL bobot dari sisi untuk digraf berbobot L. maka untuk sebarang verteks vi ∈ G .

  = w  ∑ ∑  

wiLm ,im −1= w= wiLm +1 ,im = L ij 0 wijL = j j

∑ wijL ,

jika vi= vim ∈L

j

jika vi ∉L

Dimana secara umum digunakan im −1 = ik jika im i1= , im +1 i1 jika im = ik dan wijL = 0 jika sisi = berarah yang berhubungan tidak berada di L. Jumlah keseluruhan meliputi semua v j ∈ G . Persamaan masih berlaku jika jumlah keseluruhan v j ∈ L . Dengan perkataan lain, kondisiflow conservation dipenuhi oleh L yang berkaitan ke G dan berkaitan juga ke L. 2. G \ L memenuhi kondisi flow conservation pada setiap verteks vi ∈ G . Misalkan wij bobot sisi untuk G, w 'ij bobot sisi untuk G \ L, wijL = w sebagai bobot sisi untuk L. Berdasarkan hal di atas, untuk sebarang verteks vi ∈ G ,

wij − w= ∑ w ji − w= ∑ wij' , ∑   j j ∑j wijL =  ∑j wij= − w ∑ w ji= − w ∑ wij'  j j  j Sebagai akibat dari kedua fakta di atas, Gr = G \ Gr

Misalkan wij



r i =1

jika vi = vim ∈L jika vi ∉L

L memenuhi kondisi flow conservation.

sebagai bobot sisi berarah untuk digraf sisa Gr . Berdasarkan definisi, Gr tidak

memiliki cycle, baik cycle dengan panjang satu atau disebut juga self loop dengan bentuk vi ↔ vi . Oleh karena itu,

wiiGr = 0 , untuk setiap i.

Gr juga tidak mengandung cycle dengan panjang dua

29

wijGr = 0 jika wijGr ≠ 0 . Misalkan wijGr ≡ 0 . Asumsikan setidaknya

vi → v j → vi yang berakibat

ada satu

wijGr > 0 terdapat di

Gr . Misalkan 𝐺

𝐺

𝐺

𝑤0 = 𝑤𝑟2𝑟,𝑟1 = min�𝑤𝑖𝑗𝑟 : 𝑤𝑖𝑗𝑟 > 0� 𝑖≠𝑗

merupakan bobot terkecil yang tak nol di Gr , dimana wo = wr , r berarti bahwa sisi dari verteks vr 1

2

1

ke verteks vr ≠ vr adalah bobot wo . Karena Gr memenuhi kondisi flow conservation pada 2

1

verteks vr

2

∑w

Gr j , r2

j

= ∑ wrG2 r, j ≥ wrG2 r,r1 =wo > 0 j

Pasti ada suatu verteks vr sedemikian hingga wrG3 r,r2 ≥ wo > 0} , dengan kata lain ada suatu verteks 3

G dengan bobot wr3 r,r2 dari verteks

ke verteks vr dan vr , vr , vr berbeda karena Gr tidak memuat

vr2

3

1

2

3

cycle yang lain lagi. Pada verteks vr , Gr memenuhi kondisi flow conservation, 3

∑ w= ∑ w Gr j , r3

j

Gr r3 , j

≥ wrG3 r, r2 ≥ wo > 0

j

Dan demikian seterusnya. Karena tidak ada cycle dengan panjang sebarang di Gr , langkahlangkah ini akan membentuk suatu path vr → vr → ... → vr yang berakhir pada suatu verteks vr . 1

2

m

m

Hal ini merupakan suatu kontradiksi. Oleh karena itu pasti ada wijG ≡ 0 . Akibatnya Gr tidak memiliki sisi sehingga digraf sisa Gr merupakan null graph. r

Lampiran 2(Pembuktian Teorema 2) Teorema 2 Jika G memenuhi kondisi flow conservation, untuk digraf sisa Gr , semua eigenvalue dari matriks berbobotnya ( wijG ) n×n adalah nol. r

( Sun & Wang 2007 ) Bukti : Misalkan suatu kasus nontrivial Gr bukan null graph. Suatu nilai eigen λ dari ( wijG ) n×n membuat fungsi karakteristik yang berhubungan menjadi nol, dengan kata lain, det {λ I n − ( wijG ) n×n } = 0 , dengan In adalah matriks identitas berorder n. Misalkan suatu ekspansi r

r

dari fungsi karakteristik

{

}

det λ I n − ( wijGr ) n×n = λ n + c1λ n−1 + c2λ n−2 + .... + cn dengan Gr Gr c1 = w11 + w22 + .... + wnG×r n

c2 = −  i1   j1

i sign  1 i2   j1 ∈Sn

∑

j2 

i2  Gr Gr w w j2  i1 , j1 i2 , j2

30

c3 = −  i1   j1

i sign  1 i3   j1 ∈Sn

∑

i2 j2

i2 j2

i3  Gr Gr Gr w w w j3  i1 , j1 i2 , j2 i3 , j3

j3 



cn = −

∑

 i i ... in  Gr Gr Gr sign  1 2  wi1 , j1 wi2 , j2 ...win , jn in   j1 j2 ... jn  ∈Sn

 i1 i2 ...   j1 j2 ... jn 

dimana Sn adalah grup simetris dari verteks n,dan kata sign berarti pada bagain tersebut menjadi positif atau negatif, elemen-elemennya adalah

 i1   j1

i2 j2

... ...

in   ∈ Sn jn 

adalah sebuah permutasi dari perpindahan susunan dari bilangan bulat {1 2 3 … n} dari {i1 i2 ... ik } ke { j1 j2 ... jk } . Notasi

 i1   j1

... ik   ∈ Sn , ... jk 

i2 j2

1< k < n

menunjukkan sebuah himpunan bagian permutasi dari k dari n integer {1 2 3 … n} dari {i1 i2 ... ik } ke { j1 j2 ... jk } , ketika n – k integer yang lain {1 2 3 … n}\ {i1 i2 ... ik } tidak berubah. Sebuah pertukaran dari dua integer

 ... i ... i ' ...     ... i ' ... i ...  dimisalkan sebagai satu langkah dalam Sn.

Pada

i sign  1  j1

 −1 ,      1 ,   

i2 ... in   bernilai : j2 ... jn 

jika angka dari pemindahan yang diperlukan untuk melengkapi permutasi tersebut adalah ganjil jika angka dari pemindahan yang diperlukan untuk melengkapi permutasi tersebut adalah genap

Karena tidak ada cycle di Gr , maka tidak ada cycle dengan panjang satu atau self loop vi ↔ vi . Oleh karena itu

wiiGr ≡ 0 ∀i =1,..., n yang berakibat

c1 = 0 Akibatnya, jika terdapat

i ∃im= jm ,1 ≤ m ≤ k dalam  1  j1 kemudian berhubungan dengan bagian

i2 ... in  , 1< k ≤ n j2 ... jn 

31

wiG1 jr1 wiG2 rj2 ....wiGn rjn = 0 untuk k=2, persamaan di atas berimplikasi bahwa istilah-istilah pada c1 harus memiliki bentuk

c2 = −  i1   i2

jika syarat

i i  sign  1 2  wiG1 ,ri2 wiG2 r,i1 i2   i2 i1  ∈Sn

∑ i1 

wiG1 ,ri2 wiG2 r,i1 berhubungan ke permutasi  i1   i2

i2   i1 

adalah kosong. Selanjutnya, tidak ada cycle dengan panjang dua vi → vi → vi di Gr , oleh karena itu 1

2

1

1,...., n wiG1 ,ri2 wiG2 r,i1 ≡ 0 ∀i1 , i2 = yang mengakibatkan

c2 = 0 Dan konsekuensinya, jika

 i ... im ... im ' ... ik  im jm ' ,= im ' jm , 1 ≤ m, m ' ≤ k dalam  1 ∃=  , 1< k ≤ n  j1 ... jm ... jm ' ... jk  Kemudian berhubungan dengan syarat Gr Gr Gr Gr Gr Gr Gr Gr w= w= 0 i1 , j1 ...wim , jm ...wim ' , jm ' ...wik , jk i1 , j1 ...wim , jm ...w jm ,im ...wik , jk

dengan argumen yang sama pada k-cycles memberikan

wiG1 ,rik wiGk r,ik −1 ...wiG2 r, j1 ≡ 0 untuk k = 3,4,…,n, yang berimplikasi

ck = 0, ∀k = 3, 4,..., n. Oleh karena itu fungsi karakteristik λ n + c1λ n −1 + c2 λ n − 2 + .... + cn = λ n = 0 Sehingga diperoleh 𝜆 = 0

⇒

λ= 0

32

Lampiran 3 (Matriks dekomposisi siklus hidup Penyu laut Loggerhead) Untuk dekomposisi L1 dari D 0 0 0 0,03 1,02 3,90   0  4,95 17,81 0 0 0 0 0    0 4,95 11,63 0 0 0 0    D= E=  0 0 4,95 13,56 0 0 0   0 0 0 4,95 0 0 0    0 0 0 4,92 0 0   0  0 0 0 0 0 3,90 23,64   0 0 0 0,03 0 0   0 0 0 0 0 1, 02 3,90   0 0,03   0 0 0 0 0 0   4,92 17,81 0 0 0 0 0    0 0,03 0 0 0 0 0  0 4,92 11,63 0 0 0 0      = 0 0 0,03 0 0 0 0 +  0 0 4,92 13,56 0 0 0   0 0 0 0,03 0 0 0  0 0 0 4,92 0 0 0      0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 4,92 0 0   0  0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 3,90 23,64   = L1 + D1

Untuk dekomposisi L2 dari D1 0 0 0 0 1, 02 3,90   0  4,92 17,81 0 0 0 0 0    0 4,92 11,63 0 0 0 0    D1 =  0 0 4,92 13,56 0 0 0   0 0 0 4,92 0 0 0    0 0 0 4,92 0 0   0  0 0 0 0 0 3,90 23,64   0 0 0 0 1, 02 0   0 0 0 0 0 0 3,90   0 1, 02   0 0 0 0 0 0  3,90 17,81 0 0 0 0 0    0 1, 02 0 0 0 0 0  0 3,90 11,63 0 0 0 0      = 0 0 1, 02 0 0 0 0 +  0 0 3,90 13,56 0 0 0   0 0 0 1, 02 0 0 0  0 0 0 3,90 0 0 0      0 0 0 1, 02 0 0  0 0 0 0 3,90 0 0   0  0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 3,90 23,64   = L2 + D2

33

Untuk dekomposisi L3 dari D2 0 0 0 0 0 3,90   0 3,90 17,81 0 0 0 0 0    0 3,90 11,63 0 0 0 0    D2 =  0 0 3,90 13,56 0 0 0   0 0 0 3,90 0 0 0    0 0 0 3,90 0 0   0  0 0 0 0 0 3,90 23,64   0 0 0 0 0 3,90  0 0 0 0 0 0 0   0 3,90  0 17,81  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      0 3,90 0 0 0 0 0  0 0 11,63 0 0 0 0      = 0 0 3,90 0 0 0 0  + 0 0 0 13,56 0 0 0   0 0 0 3,90 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0      0 0 0 3,90 0 0  0 0 0 0 0 0 0   0  0 0 0 0 0 3,90 0  0 0 0 0 0 0 23,64   = L3 + D3

Untuk dekomposisi L4, L5, L6, dan L7, dari D3 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 17,81 0 0 0 0 0  0 0 0    0 0 0 0 0 0 0  0 0 11,63    D3 = 0 0 0 0 0 0 0  + 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0    0   0 0 0 0 0 0  0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0  0 0 0 13,56 0 0  0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0   = L4 + L5 + L6 + L7 + D7

0  0 0  0 0 0   0 + 0 0 0   0 0 0  0

0 0  0  0 + 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0  0  0   0  + 0   0  23,64

34

Matriks dekomposisi lengkap dari siklus hidup penyu adalah 0 0 0 0,03 1,02 3,90   0  4,95 17,81 0 0 0 0 0    0 4,95 11,63 0 0 0 0    D= 0 0 4,95 13,56 0 0 0   0 0 0 4,95 0 0 0    0 0 0 4,92 0 0   0  0 0 0 0 0 3,90 23,64   0 0 0 0 0 0,03 0 0   0  0 0,03  1,02 0 0 0 0 0 0 0 0     0 0 0,03 0 0 0 0 0   0 1,02    = 0 0 0,03 0 0 0 0 +  0 0 1,02    0 0 0 0 0 0 0,03 0 0 0    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0       0 0 0 0 0 0 0 0 0  0  0 0 0 0 0 3,90  0 0 0  0 3,90   0 0 0 0 0 0  0 18,9 0   0 0 0 3,90 0 0 0 0 0  0    0 3,90 0 0 0 0  + 0 0 0  0  0   0 0 3,90 0 0 0 0 0 0    0 0 0 3,90 0 0  0 0 0  0  0  0 0 0 0 0 3,90 0 0 0    0 0  0  0 0  0 0 

0

0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0  0 0 11,63 0 0 0 0  0   0 0 0 0 0 0  + 0 0 0 0 0 0 0  0   0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0  0

0 0  0  0 0  0 0 

0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0  0 0 13,56 0 0 0  + 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0

0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0   0 0 0 0 0 0  + 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0   0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 23,64  0 0 0 = L1 + L2 + L3 + L4 + L5 + L6 + L7 + D7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 1,02 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0 + 1,02 0 0 0  0 1,02 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0 + 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 