BAB 2 AKSIOMATIKA Giovanni Girolamo Saccheri (5 September 1667-25 Oktober 1733)berkebangsaan itali, pendeta kristen dan ahli Matematika. Saccheri masuk Kristen sejak tahun 1685 dan menjadi pendeta 1694. Dia mengajar filsafat di Turin dari tahun 1694- tahun 1697, dan filsafat ilmu tentang ketuhanan, ilmu matematika di Pavia dari tahun 1697 sampai dia meninggal.
Dia telah mengemukakan The Matematicion Tommaso Ceva dan menerbitkan beberapa hasil kerjanya termasuk Quaesito Geomatrica (1693), logica demontrativa (1697), dan neo-statica (1708). Tidak jelas teori yang dikemukakan. Saccheri mempunyai dampak dalam penerjemahan kerjanya atau dalam membangun kebebasan idenya. “The Hipotasis Of The Acute Angle Is Absolute False” adalah buku pertamanya, sekarang dia menghasilkan teori hiperbolik geometri, buku pertamanya merupakan garis yang langsung kontradiksi dengan postulat euclide yang kedua. Saccheri membuang koreksinya setiap saat sekarang ini prinsipnya merupakan masukan dalam eliptik geometri.saccheri merupakan orang yang berpengaruh dalam matematika. Dia banyak menemukan teori-teori yang sangat bermanfaat dalam memecahkan masalah metematika, salah satunya ditemukannya teori segi empat yang masih digunakan sampai sekarang. Obyek Matematika 38 /Aksiomatika
Menurut Soedjadi (2000), objek dasar matematika yang menjadi bahan kajian dasar adalah (1) fakta, (2) konsep, (3) relasi-operasi dan (4) prinsip. Fakta adalah suatu konvensi yang merupakan suatu cara khas untuk menyajikan ide-ide matematika dalam bentuk kata atau simbol. Dengan demikian fakta dalam matematika adalah segala sesuatu yang telah disepakati, dia dapat berupa simbol atau lambang dan dapat pula berupa kata-kata. Bila ada seseorang yang mengucapkan kata “tiga”, maka yang akan terbayang di benak kita adalah simbol “3”. Sebaliknya bila kita melihat simbol “3”, maka padanan yang kita buat adalah kata “tiga”. Kata “tiga” dan simbol “3” merupakan fakta dalam matematika. Contoh fakta yang lain adalah “”, kita sepakat menggunakan notasi “” untuk menyatakan suatu penjumlahan. Konsep adalah ide abstrak tentang klasifikasi objek atau kejadian. Seseorang yang memahami suatu konsep akan dapat menyatakan apakah sesuatu termasuk dalam konsep yang dipahaminya atau tidak. Dengan memahami suatu konsep, seseorang juga akan dapat memberikan contoh dan bukan contoh dari konsep yang dimaksud. Jadi, konsep dalam matematika merupakan suatu ide abstrak yang digunakan untuk melakukan klasifikasi atau penggolongan atau pengelompokan terhadap objek. Dengan adanya suatu konsep, dapat diterangkan apakah sesuatu termasuk atau merupakan contoh atau bukan contoh dari ide tersebut. Pada umumnya konsep dalam matematika disusun dari konsep-konsep terdahulu atau fakta. Contoh konsep : segiempat, bilangan, fungsi, vektor, kubus.
Aksiomatika /
39
Relasi merupakan suatu aturan untuk mengawankan anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan lain, yang dapat sama dengan himpuan semula. Operasi adalah aturan untuk mendapatkan elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui. Elemen yang diketahui disebut elemen yang dioperasikan. Jika suatu operasi memerlukan 2 buah elemen untuk pemberlakuannya, operasi tersebut dinamakan operasi biner. Suatu operasi yang hanya memerlukan satu elemen untuk memberlakukannya disebut operasi uner, missal . Untuk mengoperasikannya hanya memerlukan sebuah bilangan, misal 9 = 3. Dalam hal ini bilangan yang dioperasikan adalah 9 dan hasil operasinya adalah 3. Prinsip adalah objek matematika yang paling kompleks. Kekompleksan tersebut dikarenakan adanya sekelompok konsep yang dikombinasikan dengan suatu relasi. Jadi prinsip merupakan hubungan antara 2 atau lebih objek matematika. Contoh : jumlah dua bilangan gasal adalah bilangan genap Meskipun di atas telah dikatakan bahwa matematika disusun berdasarkan pola berpikir deduktif, tetapi matematika terbentuk atau berkembang dari pola piker induktif atau deduktif. Artinya, sifat-sifat dalam matematika ada yang diketemukan berdasar olah pikir manusia. Apakah perkembangan itu berguna atau tidak dalam kehidupan sehari-hari, hal tersebut bukanlah hal yang merisaukan para matematisi. Karena itulah matematika sering mendapat julukan sebagai suatu ilmu yang kering, sukar dipelajari, dan tidak berguna dalam kehidupan sehari-hari. 40 /Aksiomatika
A. Pola Pikir Induktif Dan Deduktif Geometri berasal dari kata Latin “Geometria”, Geo yang berarti tanah dan metria berarti pengukuran. Menurut sejarahnya, geometri tumbuh pada zaman jauh sebelum Masehi karena keperluan pengukuran tanah setiap kali sesudah sungai Nil di Mesir banjir. Sebagai cabang Matematika, geometri mempelajari titik, garis, bidang dan benda-benda ruang serta sifat-sifatnya, ukuran-ukurannya dan hubungannya satu sama lain. Jadi geometri dapat dipandang sebagai suatu studi tentang ruang fisik. Kita telah mempelajari garis, segitiga, segiempat, balok, bola, kerucut dan sebagainya. Bangun-bangun atau benda-benda perlu didefinisikan dan untuk mendefinisikan sesuatu diperlukan pengertianpengertian sebelumnya. Jadi tidak mungkin semuanya didefinisikan. Untuk menghindari lingkaran dari definisi perlu ada pengertian-pengertian pangkal atau unsur-unsur yang tidak didefinisikan. Contoh dari lingkaran definisi misalnya : 1. Titik adalah perpotongan dua garis Garis adalah penghubung dua titik 2. Sudut siku-siku adalah sudut yang tidak lancip Sudut lancip adalah sudut yang tidak siku-siku Hal semacam ini tidak benar Suatu definisi harus dapat dinyatakan dalam bentuk kalimat yang memuat “bila dan hanya bila” atau “reversible” (dapat dibalik). Misalnya : Suatu segitiga samasisi adalah suatu segitiga yang ketiga sisinya sama. Ini harus berarti :
Aksiomatika /
41
Jika suatu segitiga samasisi maka ketiga sisinya sama. Jika suatu segitiga sisinya sama maka segitiga itu samasisi. Sehingga dapat dikatakan : Suatu segitiga disebut samasisi bila dan hanya bila ketiga sisinya sama. Mengingat perlu adanya unsur-unsur yang tidak didefinisikan, maka tentu juga tidak semua relasi dapat didefinisikan. Jadi harus pula ada relasi yang tidak didefinisikan. Unsur-unsur dan relasi-relasi yang tidak didefinisikan ini disebut pengertian pangkal atau “primitive concept”. Dalam kehidupan ini, kita selalu menghadapi permasalahan yang perlu diselesaikan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut kita perlu berpikir kritis. Dalam berpikir kritis itu, kita bisa menggunakan pola pikir induktif atau deduktif. Berikut ini akan dibahas pola piker deduktif dan induktif tersebut. Seseorang menggunakan penalaran induktif jika orang tersebut berpikir dari hal-hal yang bersifat khusus ke hal-hal yang bersifat umum. Seseorang mengadakan pola pikir deduktif jika orang tersebut berpikir dari hal-hal yang bersifat umum ke hal-hal yang bersifat khusus. Pada pola pikir deduktif, harus diperhatikan bahwa kebenaran suatu pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran pernyataanpernyataan lain. Secara umum dapatlah dikatakan bahwa pola pikir induktif berperan penting dalam bidang nonmatematika, namun berperan kecil dalam matematika. Pola pikir deduktif berperan kecil dalam bidang non42 /Aksiomatika
matematika, namun berperan besar dalam matematika. Dalam pola pikir deduktif, kebenaran setiap pernyataan harus didasarkan pernyataan sebelumnya. Matematika disusun berdasarkan pola berpikir deduktif, tetapi matematika terbentuk atau berkembang dari pola pikir induktif atau deduktif. Artinya, sifat-sifat dalam matematika ada yang diketemukan berdasarkan kenyataan di lapangan, ada pula yang diketemukan berdasar pola pikir manusia. Untuk memahami bahwa kajian matematika itu adalah abstrak dapat diingat pelajaran yang pernah dikaji selama ini. Misalnya, "bilangan" adalah abstrak, sedang yang kita tulis adalah lambangnya atau simbolnya. Lambang-Iambang itulah yang termasuk dalam "fakta". Sedangkan bilangannya sendiri adalah suatu konsep abstrak, “Garis lurus" misalnya, adalah abstrak. Sebenamya tidak pernah dijumpai garis lurus seperti yang dibicarakan dalam matematika. Yang digambar dengan penggaris, misalnya, adalah gambaran garis lurus. Demikian juga bangun-bangun geometri. (Karena abstrak itulah maka diperlukan peragaan-peragaan untuk mempermudah mempelajarinya). Berbagai macam bilangan, istilah serta pengertiannya merupakan kesepakatan-kesepakatan yang penting dalam matematika. Lambang bilangan yang dipakai sekarang ini, misalnya, adalah juga suatu kesepakatan. Setelah kesepakatan-kesepakatan semacam itu maka dalam pembahasan-pembahasan selanjutnya secara konsisten digunakan. Sebagaimana beberapa ilmu yang lain maka sifat-sifat atau prinsip-prinsip dalam matematika dibentuk atau ditemukan melalui pola pikir deduktif Aksiomatika /
43
ataupun induktif. Dengan kata lajn sifat-sifat atau prinsip-prinsip dalam matematika ada yang ditemukan melalui pengalaman lapangan, ada pula yang tanpa pengalaman lapangan ataupun malah secara intuitif. Berikut ini akan disajikan garis besar “Struktur Deduktif Aksiomatik matematika (tidak tunggal): AKSIOMA (Pernyataan Pangkal)
KONSEP PRIMITIF (Pengertian Pangkal/ Undefined Term)
TEOREMA 1
TEOREMA 2
KONSEP 1 (Definisi 1)
TEOREMA 3
KONSEP 2 (Definisi 2)
DST
DST
B. Pengertian Pangkal Dan Pernyataan Pangkal Dalam suatu struktur matematika disepakati terdapat “pernyataan pangkal" atau biasa disebut ”aksioma" dan “pengertian atau unsur pangkal" atau sering disebut “unsur primitif atau undefined term". Aksioma diperlukan dalam suatu struktur matematika agar dapat dihindarkan “berputar-putar dalam pembuktian" atau “circulus in probando". Sedangkan unsur primitif dalam suatu struktur matematika perlu untuk menghindarkan “berputar-putar dalam pendefinisian" atau “circulus in definiendo". Hal 44 /Aksiomatika
tersebut sekaligus menunjukkan bahwa kebenaran suatu pernyataan dalam matematika sangat tergantung pada kebenaran pernyataan-pernyataan dan unsurunsur terdahulu yang telah diterima sebagai benar/disepakati. Ini jelas menunjukkan bahwa dalam matematika dianut kebenaran koherensi atau kebenaran konsistensi. Contoh yang mudah diingat dan dipahami dapat diambil dari Geometri Euclides, misalnya: (1) titik, garis dan bidang dipandang sebagai unsur primitif; (2) melalui dua buah titik ada tepat sebuah garis lurus yang dapat dibuat, sebagai salah satu aksioma. Dari unsur-unsur primitif dan aksioma tertentu dapat diturunkan suatu pernyataan lain yang sering disebut sebagai “teorema”. Demikian juga dapat dibuat definisi tentang suatu konsep lain. C. Membedakan Beberapa Aksioma Untuk suatu struktur matematika biasanya didahului dengan beberapa unsur primitif dan beberapa pernyataan atau aksioma. Beberapa aksioma tersebut sering juga disebut sistem aksioma. Agar suatu kumpulan aksioma dapat merupakan sebuah sistem, diperlukan syarat-syarat yang penting. Syaratsyarat itu adalah: (1) Konsisten (taat asas) (2) Independen (bebas) (3) Komplit atau lengkap (4) Ekonomis
Aksiomatika /
45
Dari ketiga syarat tersebut yang utama adalah nomor (1), (2) dan (3), sebab nomor (4) seringkali dapat juga dipandang sebagai akibat syarat nomor (2). Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat "konsisten" bila pernyataan-pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak kontradiktif. Nonkontradiktif itu bukan hanya dalam makna pernyataannya saja, tetapi juga dalam hal istilah serta simbol yang digunakan. Contoh 2.1 Perhatikan contoh berikut ini. Aksioma 1: 2 * 6 = 4 Aksioma 2: 4 * 1 = 1 Aksioma 3: Jumlah dua hal yang sama akan menghasilkan sesuatu yang sama Aksioma 4: (2 * 6) * (4 * 1) = 5 Keempat aksioma tersebut tidak konsisten, sebab berdasarkan aksioma 1, 2, dan 3 didapat: (2 * 6) * (4 * 1) = 4 * 1 = 1 yang bertentangan dengan aksioma 4. Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat “independen” bila masing-masing pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak saling bergantung, artinya pemyataan atau aksioma yang satu harus tidak diturunkan atau diperoleh dari aksioma-aksioma yang lain. Contoh 2.2 Aksioma 1: Jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap. Aksioma 2: Jumlah dua bilangan gasal adalah bilangan genap. Aksioma 3: 1 + 7 = 8 46 /Aksiomatika
Suatu Sistem aksioma tersebut tidak “independen”, sebab aksioma 3 dapat diturunkan dari aksioma 2. Suatu sistem aksioma dikatakan "lengkap" bila setiap pernyataan yang diturunkan dari sistem itu dapat dibuktikan kebenaran atau kesalahannya. (Tentu dalam lingkup logika dikotomis). Bila aksioma dalam suatu sistem aksiomatik tidak lengkap, maka tidak dapat diperoleh) teorema-teorema. Misal salah satu aksioma dalam geometri Euclides dihilangkan, maka tidak akan diperoleh teorema-teorema dalam sistem tersebut. Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat “ekonomis" bila simbol-simbol atau istilahistilah yang digunakan tidak berlebihan (tidak redundan). selain itu juga pemyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak ada yang memiliki makna sama. Contoh 2.3 Aksioma 1: 2 * 6 = 4 Aksioma 2: 4 * 1 = 1 Aksioma 3: Jumlah dua hal yang sama akan menghasilkan sesuatu yang sama. Aksioma 4: (2 * 6) * (4 * 1) = 1 Keempat aksioma tersebut bersifat redundan atau tidak ekonomis sebab (2 * 6) * (4 * 1) = 4 * 1 = 1 Diskusi Perlukah aksioma 4? Dalam setiap ilmu terdapat suatu cara klasifikasi, yang masing-masing cara klasifikasi itu tentu saja memiliki dasar tertentu. Klasifikasi yang diadakan tidak dimaksudkan untuk mempersulit mereka yang mempelajarinya ilmu malah sebaliknya akan dapat mempermudah mereka yang mempelajari Aksiomatika /
47
ilmu tersebut. Dalam matematika dikenal beberapa klasifikasi aksioma. Berikut ini diperkenalkan dua cara klasifikasi, yakni: a. Aksioma yang "self evident truth" dan yang "non-self evident truth" b. Aksioma "material", "formal” dan "diformalkan". Suatu aksioma dikatakan "self evident truth" bila dalam pernyataannya memang telah langsung tergambar kebenarannya. Ini tampak jelas pada aksioma dari Geometri Euclides, misalnya dalam planimetri: "Melalui dua buah titik berlainan hanya dapat dibuat tepat satu garis”. Suatu aksioma dikatakan "non-self evident truth" akan terlihat sebagaj pernyataan yang mengaitkan fakta dan konsep (dapat lebih dari satu) dengan menggunakan suatu relasi tertentu, sehingga lebih terlihat sebagai suatu kesepakatan saja. Ingat sistem aksioma Ruang Metrik, Grup, Topologi, Poset, dan masih banyak yang lain. Justru karena cara pengangkatan aksioma semacam itulah yang memberikan kemungkinan lebih besar atas perkembangan matematika. Suatu aksioma dikatakan aksima "material", bila unsur-unsur serta relasi yang terdapat dalam aksioma itu masih dikaitkan langsung dengan realitas atau dikaitkan dengan materi tertentu atau dianggap ada yang sudah diketahui. (Perhatikan aksioma Euclides; yang temyata juga diketahui bahwa tidak lengkap). Suatu aksioma dikatakan aksioma "formal" bila unsur-unsumya dikosongkan dari arti, namun masih dimungkinkan adanya unsur atau relasi yang dinyatakan dengan bahasa biasa antara lain terlihat 48 /Aksiomatika
dengan masih bermaknanya kata “atau", "dan" dan sebagainya dalam logika. Suatu aksioma dikatakan aksioma "diformalkan" bila semua unsur termasuk tanda logika dikosongkan dari makna, sedemikian hingga semua unsur diperlakukan sebagai simbol belaka. D. Konsep Bukan Pangkal Di bagian terdahulu telah dikemukakan adanya pengertian pangkal atau unsur primitif. Secara kurang tepat sering juga “konsep tak didefinisikan". Dalam suatu struktur tertentu banyak dijumpai konsepkonsep yang didefinisikan berdasarkan konsep-konsep terdahulu. Konsep-konsep semacam ini dalam tulisan ini disebut konsep bukan pangkal. Selain itu dalam tulisan ini pengertian konsep yang dipakai adalah “ide abstrak yang dapat digunakan untuk melakukan penggolongan atau klasifikasi". Suatu konsep dapat dibentuk melalui suatu abstraksi. Sebagai contoh sederhana dalam kehidupan sehari-hari kita dapat mengatakan bahwa sepeda, kereta api, mobil, becak adalah kendaraan. Tetapi rumah, pohon, batu bukan kendaraan. Ini berarti “kendaraan" adalah suatu konsep. Konsep kendaraan itu dapat saja dipandang sebagai suatu abstraksi dari beberapa kendaraan khusus tertentu. Di bagian terdahulu telah disebutkan selintas tentang pembentukan sutu konsep. Demikian juga pengertian konsep yang digunakan dalam tulisan ini. Dalam matematika dikenal banyak konsep. Misal : “segitiga", “segiempat" dan sebagainya, dikenal juga konsep “ruang metrik", “grup", dan masih banyak lagi.
Aksiomatika /
49
Jika disebut “segitiga", maka ide itu dapat digunakan untuk melakukan pengelompokan atau klasifikasi. sedemikian hingga suatu bangun datar dapat termasuk segitiga atau tidak. Demikian juga konsep-konsep yang lain. Bagaimanakah pembentukan suatu konsep itu? Pembentukan suatu konsep bisa melalui : (1) abstraksi, misalnya : pembentukan bilangan melalui dua kali abstraksi, (2) Idelisasi, misalnya : “kerataan" suatu bidang dan "kelurusan" suatu garis, (3) abstraksi dan idealisasi, misalnya : “kubus", “kerucut", dan (4) penambahan syarat pada konsep terdahulu, misalnya: “belahketupat" dari “jajargenjang" Definisi merupakan bagian penting dari geometri. Definisi suatu konsep menurut Soedjadi (2000) ialah “ungkapan yang dapat digunakan untuk membatasi suatu konsep”. Segiempat seperti jajargenjang, persegipanjang, persegi, belahketupat, layang-layang dan trapesium merupakan contoh konsep, sedangkan “ jajargenjang ialah segiempat yang mempunyai dua pasang sisi berhadapan sejajar” merupakan contoh definisi. Ungkapan pada definisi tersebut membatasi konsep. Soedjadi (2000) membedakan definisi menjadi 3 yaitu definisi analitik, definisi ginetik dan definisi dengan rumus. Pada geometri tidak di jumpai definisi dengan rumus. Dikatakan definisi analitik bila definisi tersebut menyebutkan genus proksimum (keluarga dekat) dan deferensia spesifika (pembeda khusus). Definisi jajargenjang di atas merupakan definisi analitik dengan genus proksimum “segiempat” dan deferensia spesifika “mempunyai dua sepasang sisi berhadapan sejajar”. Definisi genetik ialah definisi yang menunjukkan atau 50 /Aksiomatika
mengungkapkan cara terjadinya atau terbentuknya konsep yang didefinisikan. Contoh definisi genetik “layang-layang ialah bangun segiempat yang terjadi jika dua segitiga samakaki dengan alas kongruen diimpitkan alasnya”. Selanjutnya Soedjadi (2000) mengemukakan bahwa ada empat unsur definisi yaitu: latar belakang, genus, istilah yang didefinisikan, dan atribut. Contoh definisi jajargenjang di atas, latar belakangnya ialah segiempat, genus ialah segiempat, istilah yang didefinisikan ialah jajargenjang, dan atribut ialah sepasang sisi berhadapan sejajar. Definisi yang digunakan pada segiempat mempunyai dampak terhadap hubungan antarsegiempat. Jika trapesium didefinisikan sebagai “ segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar” atau “segiempat yang sepasang sisinya sejajar”, maka kedua definisi yang berbeda itu akan akan berdampak terhadap hubungan antarsegiempat. Jika definisi yang pertama digunakan maka himpunan jajargenjang dan himpunan trapesium saling asing, tetapi jika definisi yang kedua digunakan maka himpunan jajargenjang merupakan himpunan bagian dari himpunan trapesium. Jajargenjang dapat didefinisikan sebagai berikut: (1) jajargenjang ialah segiempat yang dua pasang sisi yang berhadapan sejajar; (2) jajargenjang ialah segiempat yang dua pasang sisi yang berhadapan sama panjang; dan (3) jajargenjang ialah segiempat yang sepasang sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang. Ketiga definisi jajargenjang di atas adalah sama, dan menurut Soedjadi (2000) ketiga definisi itu mempunyai ekstensi (jangkauan) yang sama, dan dua atau lebih definisi yang memiliki ekstensi sama disebut Aksiomatika /
51
definisi yang ekuivalen. Estensi menurut Poespoprojo (1999, h.91) ialah keseluruhan hal-hal yang atasnya suatu ide dapat diterapkan, atau lingkungan (suatu konsep) yang dapat ditunjuk dengan konsep tersebut. Atribut yang digunakan definisi (1) memiliki dua pasang sisi yang sejajar, atribut yang digunakan definisi (2) memiliki dua pasang sisi yang sama panjang, dan atribut yang digunakan definisi (3) memiliki sepasang sisi yang sejajar dan sama panjang, menurut Soedjadi (2000) definisi itu mempunyai intensi (makna kata) yang berbeda. Pengertian jajargenjang yang dikonstruk siswa dikatakan akurat jika ekuivalen dengan definisi jajargenjang di atas. Persegipanjang dapat didefinisikan sebagai berikut:: (1) persegipanjang ialah segiempat yang dua pasang sisi yang berhadapan sejajar dan satu sudut siku-siku; (2) persegipanjang ialah segiempat yang dua pasang sisi yang berhadapan sama panjang dan satu sudutnya siku-siku; dan (3) persegipanjang ialah segiempat yang sepasang sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang serta satu sudut siku-siku. Dengan demikian ketiga definisi di atas adalah definisi yang mempunyai ektensi sama tetapi dengan intensi yang berbeda. Belahketupat, persegi, layang-layang dan trapesium yang digunakan dalam penelitian ini didefinisikan sebagai berikut. Belahketupat ialah segiempat yang keempat sisi sama panjang. Persegi adalah segiempat yang keempat sisi sama panjang dan satu sudut siku-siku. Layang-layang ialah segiempat yang dua pasang sisi berdekatan sama panjang dan sisi tersebut tidak tumpang tindih. Trapesium ialah: (1) segiempat yang sepasang sisi berhadapan sejajar; atau 52 /Aksiomatika
(2) segiempat yang tepat sepasang sisi berhadapan sejajar. Jika definisi analitis yang digunakan, maka persegipanjang ialah jajargenjang yang satu sudutnya siku-siku; belahketupat ialah jajargenjang yang keempat sisi sama atau layang-layang yang keempat sisi sama; dan persegi ialah persegipanjang yang keempat sisi sama atau persegi ialah belahketupat yang satu sudutnya siku-siku. Jika definisi trapesium digunakan definisi (1) yaitu segiempat yang sepasang sisi berhadapan sejajar, maka jajargenjang ialah trapesium yang mempunyai dua pasang sisi sejajar. Berdasar peta konsep di atas, trapesium didefinisikan dengan menggunakan genus proksimum ”segiempat” dengan menambah syarat ”mempunyai sepasang sisi yang sejajar”. Dengan demikian trapesium ialah segiempat yang mempunyai sepasang sisi sejajar. Dengan cara sama, jajargenjang ialah trapesium yang mempunyai dua pasang sisi sejajar dan persegipanjang ialah jajargenjang yang satu sudutnya siku-siku. Demikian juga untuk layang-layang, belahketupat dan persegi. Diberikan segiempat ABCD, AB s1 , BC s 2 , CD s3 , dan AD s 4 dengan gradien berturut-turut
m s1 , m s 2 , m s 3 , m s 4 . Jika P pusat lingkaran dalam
segiempat ABCD, maka dPs1 menyatakan jarak pusat P ke sisi s1 . Peta konsep berdasarkan intensi definisi dikemukakan Soedjadi (2005) disajikan Gambar 2.7.
Aksiomatika /
53
PETA KONSEP SEGIEMPAT (berdasarkan itensi definisinya)
SEGIEMPAT sdt = 360o
TRAPESIUM ms1 = ms3 sdt = 360o
SEGI-4 TALIBUSUR A + C = 1800 sdt = 360o
JAJARGENJANG ms1=ms3, ms2=ms4 sdt=360o
SEGI-4 GRS.SING sdt = 360o; dPs1=dPs2 dPs2 =dPs3 , dPs3 = dP s4
PERSEGIPANJANG sdt = 360 o ms1 = ms3; ms2 = ms4; A = 90o
LAYANG-2 s1=s2, s3=s4 sdt = 360o
BELAHKETUPAT sdt = 360o; ms1 = ms3 ms2 = ms4; s1 = s2
PERSEGI sdt = 360o; ms1 = ms3 ms2 = ms4; A = 90o s1 = s2
Jika intensi definisi diubah, skema di atas akan berubah, sehingga jajargenjang, persegipanjang, belahketupat berada di bawah trapesium. Jadi peta konsep sangat dipengaruhi oleh bunyi definisi (semantik) yang digunakan atau hubungan yang diutamakan. Diagram di atas menunjukkan bahwa posisi segiempat talibusur dan trapesium ialah setingkat, karena keduanya didefinisikan dari segiempat dengan menambah satu syarat. Demikian juga dengan jajargenjang dan layang-layang juga setingkat, karena keduanya didefinisikan dari segiempat dengan menambah dua syarat. Segiempat garis singgung, persegipanjang dan belahketupat juga setingkat, karena ketiganya didefinisikan dari segiempat dengan menambah tiga syarat. Persegi 54 /Aksiomatika
berada ditingkat paling bawah karena persegi didefinisikan dari segiempat dengan menambah empat syarat. Diagram di atas menunjukkan bahwa makin ke bawah syarat yang diperlukan makin bertambah. Sebagai akibat dari pembuatan diagram yang memperhatikan posisi atau tingkat, akan berakibat jika segiempat talibusur ditambah satu syarat akan menjadi trapesium, ditambah tiga syarat menjadi persegipanjang, dan ditambah empat syarat menjadi persegi. Demikian juga jika trapesium ditambah satu syarat menjadi segiempat talibusur atau jajargenjang, ditambah tiga syarat menjadi segiempat garis singgung. E. Pernyataan Bukan Pangkal Di depan telah dikenalkan aksioma yang juga dapat disebut sebagai pernyataan pangkal. Pemyataan yang disepakati, dan oleh karena itu tidak memerlukan pembuktian. Sekarang akan dibicarakan pernyataan lain, yang dapat diturunkan dari aksioma ataupun teorema sebelumnya. Pada umumnya suatu teorema dapat dinyatakan sebagai suatu implikasi (Jika ........ maka ........). Di bagian terdahulu telah dikemukakan bahwa suatu teorema atau suatu sifat tertentu tidak selalu didapat dengan pemikiran deduktif, tetapi juga mungkin ditemukan melalui pengalaman lapangan ataupun data empirik. Namun demikian akhimya kebenarannya harus dapat dibuktikan dengan pola pikir deduktif dalam strukturnya. Jadi, suatu teorema atau suatu sifat tertentu dapat saja diperoleh melalui langkah-Iangkah induktif, baru kemudian dibuktikan kebenarannya dengan cara Aksiomatika /
55
deduktif. Sifat-sifat suatu barisan dapat saja "ditemukan" secara coba-coba, baru kemudian dapat dibuktikan kebenarannya dengan menggunakan induksi matematika. Demikian juga beberapa sifat atau teorema dalam teori jaringan atau graph Telah dikemukakan bahwa pada umumnya suatu teorema berupa suatu implikasi. Namun ada juga yang berupa biimplikasi. Berbeda dengan definisi, kalimatnya selalu harus diartikan sebagai suatu biimplikasi. Dalam pembicaraan teorema, termasuk di dalamnya “lemma” dan “corrolary”. Jika suatu teorema dipandang sebagai suatu implikasi “Jika …….maka…..” , dapatlah ditinjau unsur-unsurnya. Unsur-unsur suatu teorema adalah: 1) Latar belakang Latar belakang suatu teorema merupakan keterangan atau penjelasan yang memungkinkan teorema tersebut berlaku. 2) Hipotesis/anteseden Hipotesis biasanya terdapat di belakang kata “jika”. Hipotesis merupakan pemyataan yang menjadi landasan untuk dapat membuat simpulan yang berupa pemyataan lain. 3) Konklusilkonsekuen Konklusi biasanya terdapat di belakang kata "maka". Konklusi adalah pemyataan yang merupakan analisis atau hasil telaah dari hipotesis. Perhatikan teorema berikut “Sudut-sudut alas suatu segitiga samakaki sama besarnya”. Pemyataan tersebut dapat diubah menjadi: “Jika sebuah segitga samakaki maka sudut-sudut alasnya sama”. Dengan bentuk pernyataan “Jika……maka.….” ini lebih mudah menentukan unsur-unsur teorema tersebut, yaitu: 1) 56 /Aksiomatika
latar belakangnya adalah segitiga, 2) hipotesisnya adalah segitiga samakaki , dan 3) konlusinya adalah sudut-sudut alasnya sama. Dari contoh di atas jelas bahwa hipotesis suatu teorema adalah bagian yang dianggap diketahui. sedangkan konklusi suatu teorema adalah bagian yang akan dibuktikan kebenarannya. LATIHAN 2 1. Berikan contoh lingkaran definisi yang tidak matematik 2. Berikan contoh lingkaran definisi yang matematik 3. Selidiki pernyataan mana yang dapat dinyatakan dengan “bila dan hanya bila” atau yang “reversible”. a. Suatu merpati adalah burung b. Suatu persegi adalah suatu segiempat c. Suatu jajargenjang adalah suatu segiempat yang 2 sisinya yang berhadapan sama dan sejajar. d. Amat itu anak yang berambut panjang. e. Suatu garis lurus terletak pada suatu bidang datar jika paling sedikit 2 titiknya terletak pada bidang itu. 4. Apakah yang dimaksud dengan suatu deduksi dalam geometri itu? 5. Harus mempunyai apa saja suatu sistem deduktif itu? 6. Diketahui : Geometri 4 titik Aksioma 1: Terdapat tepat 4 buah titik. dan tidak ada tiga di antaranya yang segaris. Aksioma 2: Melalui duah bua titik dapat dibuat tepat sebuah garis. a. Susunlah Teorema 1 yang menyatakan banyaknya garis lurus, dan buktikan.
Aksiomatika /
57
b. Jika kemudian disisipkan Definisi 1: Melalui tiga buah titik dapat dibuat sebuah segitiga, maka susunlah Teorema 2 yang menyatakan banyaknya segitiga. c. Jika kemudian disisipkan Definisi 2: Dua garis dikatakan sejajar jika tidak mempunyai titik serikat, maka susunlah Teorema 3 yang menyatakan banyaknya pasangan garis sejajar. d. Susunlah Teorema 4 yang menyatakan banyaknya diagonal. 7. Diketahui: geometri 5 titik. Diketahui aksioma-aksioma berikut. Aksioma 1 : Terdapat tepat 5 buah titik, dan tidak ada tiga di antaranya yang segaris. Aksioma 2 : Melalui duah bua titik dapat dibuat tepat sebuah garis. a. Susunlah Teorema 1 yang menyatakan banyaknya garis lurus, dan buktikan. b. Jika kemudian disisipkan Definisi 1: Melalui tiga buah titik dapat dibuat sebuah segitiga, maka susunlah Teorema 2 yang menyatakan banyaknya segitiga. c. Jika kemudian disisipkan Definisi 2: Dua garis dikatakan sejajar jika tidak mempunyai titik serikat, maka susunlah Teorema 3 yang menyatakan banyaknya pasangan garis sejajar. d. Susunlah Teorema 4 yang menyatakan banyaknya diagonal. 8. Diketahui : Geometri 8 titik Aksioma 1: Terdapat tepat 8 buah titik, dan tidak ada tiga di antaranya yang segaris. Aksioma 2: Melalui dua buah titik dapat dibuat tepat sebuah garis. 58 /Aksiomatika
b. Susunlah Teorema 1 yang menyatakan banyaknya garis lurus, dan buktikan. c. Jika kemudian disisipkan Teorema 1: Melalui tiga buah titik dapat dibuat sebuah segitiga, maka susunlah Teorema 2 yang menyatakan banyaknya segitiga. d. Jika kemudian disisipi Teorema 2: Dua garis dikatakan sejajar jika tidak mempunyai titik serikat, maka susunlah Teorema 3 yang menyatakan banyaknya pasangan garis sejajar. e. Susunlah Teorema 4 yang menyatakan banyaknya diagonal. 9. Diketahui : Geometri n titik Aksioma 1: Terdapat tepat n buah titik, dan tidak ada tiga diantaranya yang segaris. Aksioma 2: Melalui dua buah titik dapat dibuat tepat sebuah garis. a. Susunlah Teorema 1 yang menyatakan banyaknya garis lurus, dan buktikan. b. Jika kemudian disisipkan Definisi 1: Melalui tiga buah titik dapat dibuat sebuah segitiga, maka susunlah Teorema 2 yang menyatakan banyaknya segitiga. c. Jika kemudian disisipi Definisi 2: Dua garis dikatakan sejajar jika tidak mempunyai titik serikat, maka susunlah Teorema 3 yang menyatakan banyaknya pasangan garis sejajar. d. Susunlah Teorema 4 yang menyatakan banyaknya diagonal
Aksiomatika /
59
