ACTA CAROLUS ROBERTUS

ACTA CAROLUS ROBERTUS Károly Róbert Főiskola tudományos közleményei Alapítva: 2011

3 (1)

ACTA CAROLUS ROBERTUS 3 (1) – Matematika szekció KOMPLETTEN POZITÍV LEKÉPEZÉSEK ÉS R. V. KADISON EGY SEJTÉSE KOVÁCS ISTVÁN BÉLA Összefoglalás Múlt évben az operátor tér és a kompletten korlátos leképezés fogalmát jártuk körül, azaz azt vizsgáltuk, hogyan adható meg alkalmas norma sorozat egy lineáris tér vektoraiból alkotott négyzetes mátrixokon. Ez évben egy C*-algebra elemeiből alkotott mátrixok kvantálásával foglalkozunk. Ha A egy C*-algebra és M n (A) az olyan n x n-es mátrixok tere, amelyek elemei A-ból valók, akkor M n (A) is természetes módon C*algebra, pozitív elemekkel. Definiáljuk C*-algebrák kompletten pozitív leképezéseit és bemutatunk néhány példát. Megvizsgáljuk a pozitivitás, kompletten pozitív tulajdonság, valamint a komplett korlátosság viszonyát, majd bemutatunk néhány a kompletten pozitív leképezésekre vonatkozó tételt. Végül néhány, az operátor tér struktúrából származó többlet információt kihasználó tétel segítségével két ekvivalens megfogalmazását ismertetjük Kadison egyik, a C*-algebrák algebra homomorfizmusaira vonatkozó sejtésének. Kulcsszavak: C*-algebra, kompletten pozitív operátor, deriváció Completely positive maps and a conjecture of Kadison’s Abstract Last year we have introduced operator spaces and completely bounded maps, that is we investigated how can a sequence of norms be defined on matrices constructed from the vectors of a linear space. This year we quantize matrices with entries from a C*algebra. If A is a C*-algebra then M n (A) is again a C*-algebra in a natural way, with positive elements. We define the completely positive maps of C*-algebras and list some examples. We inspect the relationship between complete positivity and complete boundedness and quote further theorems on completelypositive maps. Finally, with the help of some theorems using the extra information encoded in the operator space structure we show two equivalent forms of Kadison’s conjecture on bounded algebra homomorphisms of C*-algebras. Key words: C*-algebra, completely positive operator, derivation Bevezetés Múlt évben bevezettük az operátor tér fogalmát

é a 11 a 12 êa a 22 A = ê 21 ê . . ê A Î M n (X) , ëa n 1 a n 2 X Banach tér;

... a 1n ù ... a 2 n úú ... . ú ú ... a nn û

25

Kompletten pozitív leképezések és R. V. Kadison egy sejtése Adjuk meg norma sorozatot M n (X ) -en, n = 2, 3, …., hogy teljesítse

éA 0 ù T ÅS = ê ú max { A , B } ë 0 Bû és a ×T × b £ a × T × b

axiómákat, ahol

A Î M n (X) , B Î M m (X) és

a Î M m,n (C ) b Î M n,m (C )

(A, ... )

n , . Ekkor absztrakt operátor tér. Legyen H Hilbert tér, B(H) korlátos operátorok tere,

M k (B( H )) = B H k természetesen normált. (B(H), ... n ) konkrét operátor tér. (X, ... n ) (Y, ... n ) F X ®Y

( )

Leképezések: operátor.

absztrakt operátor terek.

,

é x11 ê . ê F n : êë x n1

F n : M n (X ) ..... x1n ù . úú ..... x nn úû ®

lineáris

:

® M n (Y )

é F( x 11 ) ..... F( x 1n ) ù ê . . úú ê êëF( x n1 ) ..... F( x nn )úû

F az operátor normákra nézve kompletten korlátos, cb, ha sup F n < ¥ . Ilyenkor F cb sup F n ... n = valódi normát a F cb normájának nevezzük. (CB(X,Y), ) ... n ... F

Banach tér, ha Y teljes. (CB(X,Y), komplett izometria, ha

) általában nem zárt (B(X,Y),

)-ban.

F n izometrikus minden indexre.

Pozitív elemek C*-algebrában. A egy C*-algebra, ha Banach algebra, azaz (A

...

) teljes

ab £ a × b

algebra és teljesül miden A-beli a, b elempárra. Involutórikus, azaz adott * : A → A konjugált lineáris leképezés, hogy (ab)* = b*a* és a** = a , továbbá

a *a = a

2

.

a* = a

Megjegyzés: Ilyenkor algebrákkal foglalkozunk.

teljesül. A következőkben csak egység elemes C*-

a Î A pozitív, a ³ 0 , ha a = a * és s(a ) Ì R + . Ekvivalensen: a ³ 0 pontosan akkor, ha a = bb* valamely b Î A -ra.

26

ACTA CAROLUS ROBERTUS 3 (1) – Matematika szekció

p : A ® B(H)

Reprezentációk és p(a

*

*-izomorfizmus,

ha

algebra

izomorfizmus

*

) = p(a ) .

* p rendezés tartó: ha a = bb*, akkor p(a ) = p(b) × p(b ) ³ 0 .

Tétel Minden C*-algebra reprezentálható B(H)-ban. A pozitív elemek újabb jellemzése: h Î H -ra.

a ³ 0 pontosan akkor, ha ah , h ³ 0 minden

a Î A , akkor a = b + ic , ahol b és c önadjungáltak. Továbbá a = b - b + i(c - c - ) , azaz bármely elem felírató 4 pozitív elem

Dekompoíció: Ha +

-

+

kombinációjakét. C*-algebrák mint operátor terek. Legyen A egy C*-algebra, p : A ® B(H) *izomorfizmus

p n : M n (A ) ® M n (B(H)) = B(H n ) is *-izomorfimus, tehát M n (A ) -n definiálható norma, mellyel M n (A ) C*-algebra. ekkor

Tétel: (B. Aupetit) Egység elemes C*-algebra normája egyértelmű (

e =1

).

M n (A ) pontosan egy normával C*-algebra, (A, ... n ) konkrét operátor tér. Kompletten pozitív leképezések Legyenek A és B C*-algebrák, F : A ® B lineáris operátor. Jelentse

([ ] ) [

]

F n : M n (A )

F a = F(a ij ) ij ® M n (B) azt a leképezést, amelyet n ij ij definiál. F pozitív, ha A pozitív elemeit B pozitív elemeire képezi. F kompletten pozitív, ha F n ³ 0 miden n-re. Például egy Lemma:

p : A ® B *-homomorfizmus kompletten pozitív.

M n (A ) pozitív elemei felírhatók legfeljebb n darab

é a 1* a 1 ê * êa 2 a 1 ê . ê * êëa n a 1 = A*A ³ 0

a 1* a 2 * 2

a a2 . * n

a a2

... a 1* a n ù ú ... a *2 a n ú ... . ú ú ... a *n a n úû =

é a 1* ê * êa 2 ê. ê * êëa n

0 ... 0ù ú 0 ... 0ú × . ... . ú ú 0 ... 0úû

éa 1 ê0 ê ê. ê ë0

a2 0 . 0

... a n ù ... 0 úú ... . ú ú ... 0 û

27

Kompletten pozitív leképezések és R. V. Kadison egy sejtése

alakú mátrix összegeként. Most már

([

F n a *i × a j

] ) = [F(a ij

i

]

) * × F(a j ) ij ³ 0 .

A komplett korlátosság és komplett pozitivitás viszonya Tétel: (Russo – Dye) A , B egység elemes C*-algebrák, F : A ® B pozitív leképezés. Ekkor:

F = F(e)

.

ée ù ê e ú ê ú ê ... ú ê ú eû , és ( ) Mivel M n A egység eleme ë

æ ée ùö çê ú÷ çê e ú÷ Fn ç ê ... ú ÷ çê ú ÷÷ ç e ûø èë F

ezért

cb

= F

Példák 3. Schur szorzat Legyen

[

=

=

F ( e)

=

F

[ ]

a * b = a ij × b ij ij Î M n

,

[ ]

b = b ij ij Î M n

.

Schur

szorzatuk

.

S b = a *b S : Rögzített a Î M n indukálja a M n ® M n leképezést a által. Tétel:

a Î M n következő tulajdonságai ekvivalensek: a) a pozitív M n -ben

Sa : M n ® M n pozitív operátor S : M n ® M n kompletten pozitív c) a

b)

4.

28

,

.

a = a ij ij Î M n

]

ù éF ( e ) ú ê F ( e) ú ê ú ê ... ú ê F ( e) û ë

Tétel: Legyen A C*-algebra és

f Î A * . Ha f pozitív akkor kompletten pozitív.

ACTA CAROLUS ROBERTUS 3 (1) – Matematika szekció

5.

Tétel: Ha V operátor tér, és

F

cb

F : V ® C(X) korlátos operátor, akkor

= F

. Ha V C*-algebra és F pozitív, akkor F kompletten pozitív.

6.

Tétel: (Stinespring) Ha B C*-algebra és F : C(X) → B pozitív, akkor F kompletten pozitív.

7.

Tétel: (Choi) Ha B C*-algebra, F : M n → B lineáris leképezés, továbbá

E ij

mátrixegységek M n -ben, akkor a következő tulajdonságok ekvivalensek: a) F kompletten pozitív b) F n pozitív c) 8.

([ ] ) = [F(E )] pozitív M (B) -ben.

F n E ij

ij

ij

ij

n

Egy pozitív leképezés, ami nem kompletten pozitív. A transzponálás,

t : B(l 2 ) ® B(l 2 ) pozitív, de mivel nem kompletten korlátos, így nem lehet kompletten pozitív sem.

éa bù éa c ù t:ê ®ê ú ú ëc d û ëb d û pozitív leképezés, hiszen ha Konkrétan: t : M 2 ® M 2 , H H H t t AAH ³ 0 M 2 -ben, akkor t (AA ) = (A ) A = A × A ³ 0 . Azonban t

( )

nem 2-pozitív:

éE A = ê 11 ëE 21

é é1 E12 ù ê êë0 =ê E 22 úû ê é0 ê ê1 ëë

éE t 2 (A) = ê 11 ëE12

0ù 0úû 0ù 0úû

é é1 E 21 ù ê êë0 =ê E 22 úû ê é0 ê ê0 ëë

é0 ê0 ë é0 ê0 ë 0ù 0úû 1ù 0úû

1ù ù ú 0úû ú 0ù ú 1úû úû é0 ê1 ë é0 ê0 ë

mátrixra

0ù ù ú 0úû ú 0ù ú 1úû úû

, és

29

Kompletten pozitív leképezések és R. V. Kadison egy sejtése

é0ù ê- 1ú [0,-1,1,0]× t 2 (A) × ê ú = -2 < 0 ê1ú ê ú ë0û .

Arveson kiterjesztési tétele Definíció: (E. Effros) A C*-algebra. önadjungált altere A-nak.

S Ì A operátor rendszer, ha e Î S és S

Arveson kiterjesztési tétele : Legyen A C*-algebra, S pedig operátor rendszer A-ban. Legyen továbbá F : S ® B(H) egy kompletten pozitív operátor. Ekkor F -nek létezik kompletten pozitív kiterjesztése A-ra. Következmény: (Arveson) Legyen A C*-algebra,

e Î M lineáris altere A-nak. Legyen F cb £ 1

) amely megőrzi az továbbá F : M ® B(H) komplett kontrakció (azaz egység elemet. Ekkor F -nek létezik kompletten pozitív kiterjesztése A-ra.

Y : M + M * ® B(H) , Y(a + b * ) = F(a ) + F(b) * a F jól definiált * egyértelmű kiterjesztése M + M -ra. * Tehát e Î M + M operátor rendszer, amelyre F -nek a lemma szerint van kompletten Lemma:

pozitív kiterjesztése. Egy alkalmazás, McAsey – Muhly tétele : Legyen A a felső háromszög mátrixok algebrája M n -ben,

E ij

pedig a mátrixegységek. Bármely algebra homomorfizmus

p : A ® B(H) amely teljesíti a p(E ij ) £ 1 feltételeket kompletten kontraktív.

F(E ij ) = p(E ij )

F(E ij ) = p(E ji ) Legyen ugyanis , ha i £ j , és , ha j £ i . p(E ii ) ortogonális A bizonyítás azt mutatja meg, hogy F kompletten pozitív. F m = F m (I m×n ) = I Hm = 1

projekciók, összegük I.) Ekkor

30

*

.

ACTA CAROLUS ROBERTUS 3 (1) – Matematika szekció Wittstock Tételei Lemma: Legyenek A és B C*-algebrák, jelölje e mindkettő egység elemét! Legyen továbbá V operátor tér A-ban (altér) és j : V ® B lineáris leképezés. Definiáljuk

S Ì M 2 (A) operátor rendszert ì éle a ù ü : S=í ê a, b Î V ý ú þ által. î ë b meû l, m Î C és Tekintsük F : S ® M 2 (B)

j(a )ù éle a ù é le ê b meú ® êj(b) * me ú û ë û leképezést. F: ë j Ha komplett kontrakció, akkor F kompletten pozitív. Wittstock kiterjesztési tétele: Legyen V az A C*-algebra altere és legyen

j : V ® B(H) kompletten korlátos. Ekkor létezik j -nek olyan olyan F : A ® B(H) kiterjesztése, hogy j cb = F cb . Lemma: A C*-algebra, j : A ® B(H) kompletten korlátos. Ekkor léteznek

j 2 : A ® B(H)

j1

cb

= j2

cb

kompletten

= j cb

korlátos

, és

leképezések

úgy,

j1 és hogy

( )

F : M 2 (A) ® B H 2 é j1 (a ) j(b) ù éa bù êc d ú ® êj(c * ) * j (d)ú ë û 2 ë û kompletten pozitív.

Ha j komplett kontrakció, akkor

é IH éa bù êc d ú ® êj(c * ) * ë û ë

j(b)ù I H úû kompletten pozitív.

Következmény 1: A Stinespring reprezentációs tétel egy változata: Legyen A C*algebra, j : A ® B(H) kompletten korlátos. Ekkor létezik K Hilbert tér és egy

p : A ® B(K)

reprezentáció

(*-homomorfizmus),

továbbá

V1 , V2 : H ® K operátorok, melyekkel akkor

j cb = V 1 × V

2,

és

* j(a ) = V1 × p(a ) × V2 . Ha továbbá j cb = 1 ,

V1 , V2 választható izometriának.

31

Kompletten pozitív leképezések és R. V. Kadison egy sejtése

Következmény

2:

Wittstock

j : A ® B(H) kompletten

y

cb

£ j cb

felbontási

korlátos.

tétele:

Ekkor

Legyen

A

C*-algebra,

y : A ® B(H) ,

létezik

hogy

, továbbá y ± Re j és y ± Im j mind pozitív operátorok.

[

]

Ilyenkor 2j = (y + Re j) - (y - Re j) + i (y + Im j) - (y - Im j) előáll négy pozitív operátor lineáris kombinációjaként.

Sejtések ekvivalenciája Kadison egyik sejtése: Legyen A C*-algebra. Ha j : A ® B(H) egység elemes korlátos algebra homomorfizmus, akkor j hasonló egy *-homomorfizmushoz. Lemma: A operátor algebra, r : A ® B(H) egység elemes, kompletten korlátos algebra homomorfizmus. Ekkor létezik K Hilbert tér és

S : H ® K invertálható

operátor, valamint p : A ® B(K) kompletten kontraktív algebra homomorfizmus, hogy

p(..) = S × r(...) × S-1 Ilyenkor

r cb = min { R × R

-1

és

r cb = S × S-1

: p(..) = R × r(..) × R

-1

.

}

Haagerup tétele: Legyen A C*-algebra, r : A ® B(H) korlátos, egység elemes algebra homomorfizmus. Ekkor r hasonló egy *-homomorfizmushoz pontosan akkor, ha r kompletten korlátos. Tehát Kadison sejtése pontosan azon homomorfizmusai kompletten korlátosak.

C*-algebrákra

igaz,

amelyek

algebra

Derivációk: Legyen A C*-algebra. Egy d : A ® B(H) lineáris leképezés deriváció, ha

d(ab) = p(a ) × d(b) + d(a ) × p(b) valamely p : A ® B(H) *-homomorfizmussal. Ringrose (1972) tétele szerint a derivációk korlátosak. Rögzítsük x Î B(H) -t! Legyen d(a ) = p(a ) × x - x × p(a ) . Az így definiált deriváció. Az ilyen derivációkat belső derivációknak nevezzük Vannak-e nem belső derivációk?

ép(a ) d(a ) ù r(a ) = ê p(a )úû leképezést! ë 0 Tekintsük a r : A ® B(H Å H) ,

32

d

ACTA CAROLUS ROBERTUS 3 (1) – Matematika szekció Egyszerűen kiszámolható, hogy r algebra homomorfizmus pontosan akkor, ha deriváció. Lemma:

d

d belső deriváció pontosan akkor, ha r hasonló egy *-homomorfizmushoz.

Következmény, Christensen tétele: Ha d : A ® B(H) deriváció p : A ® B(H) egység elemes *-homomorfizmussal, akkor d belső deriváció pontosan akkor, ha r kompletten korlátos (pontosan akkor ha

d kompletten korlátos).

d deriváció, akkor r korlátos algebra homomorfizmus, tehát kompletten korlátos. Christensen tétele szerint ekkor d belső Ha A C*-algebrára igaz Kadison sejtése, és

deriváció.

Kirchberg tétele (1996): Ha A C*-algebra minden derivációja belső, akkor A korlátos homomorfizmusai hasonlók egy *-homomorfizmushoz (és így kompletten korlátosak). Tehát Kadison sejtése pontosan azokra a C*-algebrákra igaz, amelyek minden derivációja belső. Hivatkozott források: Vern P.(2002) : Completely Bounded Maps and Operator Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 78, Cambridge University Press, Cambridge Szerző: Kovács István Béla, PhD docens BGF-PSZK, Módszertani Tanszéki Osztály [email protected]

33