ABOUT OPEN-SOURCE SOLVERS BASED ON FEM

ˇ ESˇICˇI´CH NA BA ´ ZI MKP O OPEN-SOURCE R ´ CLAV, (CZ) SEBERA, VA

Abstrakt. V pra´ci se autor snazˇ´ı prˇiblı´zˇit cˇtyrˇi open-source programy na ba´zi metody konecˇny´ch prvku˚ (MKP), ktere´ lze vyuzˇ´ıt k numericky´m analy´za´m, a to jak v edukacˇnı´, tak i veˇdecke´ pra´ci. V pra´ci je poda´n i pomeˇrneˇ detailnı´ popis teˇchto aplikacı´ vcˇetneˇ uka´zek pracı´ (vy´sledku˚) v nich provedeny´ch. Na vsˇe je nahlı´zˇeno spı´sˇe z pohledu beˇzˇne´ho uzˇivatele, „konzumenta“, MKP na´stroju˚. Da´le v pra´ci najdeme take´ hruby´ prˇehled cca 70-ti open-source MKP na´stroju˚ vcˇetneˇ jejich za´kladnı´ch charakteristik, a za´kladnı´ internetove´ zdroje, ktere´ se open-source softwarem pro numericke´ analy´zy zaby´vajı´. Klı´cˇova´ slova. Open Source, Numericka´ analy´za, Metoda konecˇny´ch prvku˚

ABOUT OPEN-SOURCE SOLVERS BASED ON FEM Abstract. Author of the paper tries to zoom in the four chosen open-source solvers based on finite element method, which could be used for numerical analyses in both education or scientific work. Detailed description of work and some results from focused solvers are also given. The author’s approach is to give a look from the common user, “consumer”, of FEM tools, so only general pieces of information are mentioned. The list containing about 70 particular software tools and main internet pages dealing with open-source numerical analysis software can also be found in the paper. Key words and phrases. Open Source, Numerical analysis, Finite element method Mathematics Subject Classification. Primary 97U70; Secondary 74S05, 97U50.

´ vod 1 U Prˇi navrhova´nı´ vy´robku˚, na ktere´ jsou vedle esteticky´ch pozˇadavku˚ kladeny take´ pozˇadavky na jeho funkci a spolehlivost (bezpecˇnost), se v soucˇasne´ dobeˇ uplatnˇujı´ nejru˚zneˇjsˇ´ı optimalizacˇnı´ principy vycha´zejı´cı´ z mnoha matematicky´ch (numericky´ch) metod. Jako jeden

124

Sekcia: Otvorený softvér vo vede a vzdelávaní

z neju´cˇinneˇjsˇ´ıch na´stroju˚ se v tomto ukazuje metoda konecˇny´ch prvku˚ (MKP) a to ve smyslu pocˇ´ıtacˇem podporovane´ho konstruova´nı´ a vy´pocˇta´rˇstvı´ (souhrnneˇ CAE). Touto metodou je prˇi dnesˇnı´ch hardwarovy´ch kapacita´ch mozˇno vyrˇesˇit jake´koliv u´lohy te´meˇrˇ libovolne´ geometrie a rozsahu z mnoha inzˇeny´rsky´ch disciplı´n, tedy i z oboru drˇevarˇske´ho inzˇeny´rstvı´. Uva´zˇ´ıme-li druhy licencı´ a mozˇnosti porˇ´ızenı´ vy´pocˇetnı´ho softwaru (VS) na ba´zi MKP, je mozˇno tento software zhruba rozdeˇlit do dvou kategoriı´ na proprieta´rnı´ a Open Source. Proprieta´rnı´ (≈ komercˇnı´) software je obvykle vytva´rˇen odborny´mi kolektivy (placeny´mi profesiona´ly) a zarucˇuje tak velmi vysokou prˇesnost vy´sledku˚, ktera´ by´va´ oveˇrˇena nejru˚zneˇjsˇ´ımi testy, prˇ´ıp. udeˇlenı´m certifika´tu˚, ktere´ za vy´sledky rucˇ´ı. Tyto vy´pocˇetnı´ syste´my jsou obvykle velice rozsa´hle´ (azˇ tisı´ce cˇloveˇkoroku˚) a veˇtsˇinou umozˇnˇujı´ prova´deˇt komplexnı´ analy´zy. To znamena´, zˇe obsahujı´ na´stroje pro vsˇechny fa´ze numericke´ analy´zy (preprocessing, generova´nı´ konecˇneˇ-prvkove´ sı´teˇ, rˇesˇicˇe, postprocessing a verifikace). Konstrukce tohoto software je vytva´rˇena tak, aby byla pro za´kaznı´ka optima´lnı´ (prˇehledna´, intuitivnı´ – „user friendly“). Te´meˇrˇ vzˇdy obsahuje graficke´ rozhranı´ (GUI) a cˇasto i CAD modela´rˇe. Navı´c majı´ tyto produkty ze strany vy´robce velice sˇirokou a kvalitnı´ podporu v poradenstvı´, sˇkolenı´ aj. Tyto programy podporujı´ export a import veˇtsˇiny nejpouzˇ´ıvaneˇjsˇ´ıch souborovy´ch forma´tu˚ a jsou proto velice dobrˇe zacˇlenitelne´ do „vy´roby“ uzˇ´ıvajı´cı´ urcˇity´ CAD syste´m. Takovy´to software se tedy pouzˇ´ıva´ tam, kde je trˇeba prova´deˇt velice du˚kladne´ analy´zy proble´mu s pozˇadavky na vysokou prˇesnost vy´sledku˚, parametrizaci u´lohy, kvalitnı´ zobrazenı´ vy´sledku˚ a jejich verifikaci. Za´kaznı´ky cˇasto by´vajı´ nejveˇtsˇ´ı spolecˇnosti automobilove´ho, letecke´ho, vojenske´ho nebo stavebnı´ho pru˚myslu. Tento druh software je take´ cˇasto pouzˇ´ıva´n vzdeˇla´vacı´mi institucemi (strˇedo-, ale zejme´na vysokosˇkolsky´mi), pro ktere´ je nabı´zen pod specia´lnı´mi licencemi s nizˇsˇ´ı cenou („academic licence“). Proprieta´rnı´ produkty, zejme´na syste´my multifyzika´lnı´, jsou vsˇak obecneˇ drazˇsˇ´ı a proto nejsou pro mnohe´ mensˇ´ı subjekty vu˚bec dostupne´. Kompromisem je nabı´dka na urcˇitou vy´pocˇetnı´ oblast specializovany´ch distribucı´, naprˇ. pro u´lohy mechaniky. Mezi nejzna´meˇjsˇ´ı komercˇnı´ vy´pocˇetnı´ syste´my na ba´zi MKP patrˇ´ı ABAQUS, ALGOR, ANSYS, NASTRAN a dalsˇ´ı. Druhou skupinou je tzv. free software6 a Open Source. Tento software je veˇtsˇinou distribuova´n pod nejru˚zneˇjsˇ´ımi licencemi jako je GNU GPL, LGPL, Open Source a pod., ktere´ umozˇnˇujı´ snadne´ a veˇtsˇinou bezplatne´ porˇ´ızenı´ a pouzˇ´ıva´nı´ (vcˇetneˇ jeho modifikace). Oproti komercˇnı´m syste´mu˚m, je tento software veˇtsˇinou7 vytva´rˇen mensˇ´ımi pracovnı´mi skupinami cˇi jednotlivci z vy´zkumne´ho nebo akademicke´ho prostrˇedı´. Azˇ na vy´jimky je jejich u´cˇel spı´sˇe veˇdecko-vy´zkumny´, prˇ´ıpadneˇ edukacˇnı´. Oproti proprieta´rnı´m produktu˚m, open-source rˇesˇicˇe ne vzˇdy obsahujı´ celou sadu na´stroju˚ k provedenı´ kompletnı´ analy´zy v jednom programu. Je tedy cˇasto nutne´ je teˇmito aplikacemi prˇi analy´ze doplnˇovat (naprˇ. pre/post-processory a genera´tory konecˇneˇ prvkove´ sı´teˇ). Z pohledu uzˇivatelske´ho komfortu mu˚zˇeme o tomto softwaru rˇ´ıci, zˇe je veˇtsˇinou me´neˇ „user friendly“. Mnohdy mu chybı´ i interaktivnı´ mozˇnost pra´ce prˇes graficke´ rozhranı´ (GUI). 6 7

Pojem „Free“ je zde ve smyslu cˇeske´ho prˇekladu „svobodny´“, nikoliv „zadarmo“. Vy´jimku tvorˇ´ı velke´ mezina´rodnı´ projekty jako naprˇ. Code Asteir, Salome aj.

Václav Sebera: O open-source řešičích na bázi MKP

125

Je tedy mozˇno rˇ´ıci, zˇe proces numericke´ analy´zy je v teˇchto syste´mech mnohem me´neˇ „zautomatizova´n“ a je tak, z pohledu zada´va´nı´ vstupnı´ch dat, pro uzˇivatele obtı´zˇneˇjsˇ´ı. Mimo jine´ to znamena´, zˇe prˇesnost analy´zy je v teˇchto syste´mech za´visla´, a to ve vysˇsˇ´ı mı´rˇe nezˇ u komercˇnı´ch produktu˚, na zkusˇenostech a schopnostech uzˇivatele. Navı´c nenı´ tento software doprova´zen tak dobrou technickou podporou (prˇ´ıpadneˇ rozsahem manua´lu˚) jako komercˇnı´ produkty, a tak se v prˇ´ıpadeˇ proble´mu, at’ uzˇ se samotnou pracı´ v SW nebo samotne´ho algoritmu, hu˚rˇe hledajı´ rˇesˇenı´ a odpoveˇdi. Velka´ vy´hoda tohoto softwaru vsˇak je, zˇe ma´ otevrˇeny´ zdrojovy´ ko´d. To uzˇivateli umozˇnˇuje nahle´dnout to zdrojove´ho ko´du a upravit si software svy´m potrˇeba´m a proble´mu˚m. V oblasti drˇevarˇske´ho inzˇeny´rstvı´ naprˇ. doprogramova´nı´ mozˇnosti definova´nı´ anizotropie materia´lu. Nemalou vy´hodou je i jeho bezplatne´ a snadne´ porˇ´ızenı´, naprˇ. stazˇenı´m z internetu, a snı´zˇenı´ proble´mu˚ s licencˇnı´mi podmı´nkami. Pro uzˇivatele/za´kaznı´ka pak vysta´va´ ota´zka jaky´ druh software pro svou konkre´tnı´ analy´zu zvolit nebo ktery´ si pro svou cˇinnost porˇ´ıdit. Zda proprieta´rnı´ nebo OSS/FS software. Intuitivneˇ bude hledat distributory proprieta´rnı´ho software, poneˇvadzˇ ten ma´ oproti OSS/FS software u´cˇinnou reklamu, masivnı´ podporu a hlavneˇ mnozˇstvı´ pozitivnı´ch referencı´. Navı´c filosofie a aplikace OSS/FS software nenı´ v poveˇdomı´ lidı´ jesˇteˇ tak „zakorˇeneˇna“. S OSS/FS software se vsˇak pravdeˇpodobneˇ setka´, bude-li chtı´t usˇetrˇit nebo nebude-li potrˇebovat tak komplexnı´ na´stroj a vystacˇ´ı si s jednodusˇsˇ´ımi aplikacemi (edukacˇnı´, prˇ´ıp. vy´zkumne´). Druha´ podstatna´ ota´zka vy´beˇru softwaru, zvla´sˇteˇ vy´pocˇetnı´ho, je prˇesnost8 vy´sledku˚. U proprieta´rnı´ho software je pomeˇrneˇ dobrˇe zna´ma a mnohdy garantova´na (naprˇ. ISO standardy). U OSS/FS software je prˇesnost vy´sledku˚ da´na prˇedevsˇ´ım schopnostı´ uzˇivatele. Zde tedy platı´ jesˇteˇ vysˇsˇ´ı potrˇeba experimentu nebo srovna´nı´ s analyticky´m vy´pocˇtem, pokud je to mozˇne´.

2 Cı´le pra´ce Cı´lem tohoto prˇ´ıspeˇvku je informovat o mozˇnostech, ktere´ nabı´zejı´ neˇktere´ open-source rˇesˇicˇe na ba´zi MKP, prˇ´ıpadneˇ informovat o jejich vyuzˇitı´ (nejen) v oboru drˇevarˇske´ inzˇeny´rstvı´. Uka´zat prostrˇedı´ neˇkolika rˇesˇicˇu˚, informovat o jejich mozˇnostech a omezenı´ch a take´ interpretovat neˇktere´ vy´sledky jednoduchy´ch numericky´ch analy´z, ktere´ v nich byly provedeny – nama´ha´nı´ konzolove´ho nosnı´ku a tesarˇske´ho spoje pla´tova´nı´, viz Obr. 1. Dalsˇ´ım cı´lem bylo vytvorˇenı´ urcˇite´ho prˇehledu open-source konecˇneˇ-prvkovy´ch rˇesˇicˇu˚. Tabelove´ srovna´nı´, at’ uzˇ s analyticky´m rˇesˇenı´m nebo rˇesˇenı´m v proprieta´rnı´m VS ANSYS, je zde z u´sporny´ch du˚vodu˚ za´meˇrneˇ vypusˇteˇno, pro vı´ce informacı´ viz [8]. 8 Prˇesnost vy ´sledku˚ je vzˇdy podmı´neˇna na´klady, cˇasovou na´rocˇnostı´ vy´pocˇtu˚, dostupnou vy´pocˇetnı´ kapacitou a minima´lnı´ pozˇadovanou prˇesnostı´.

126

Sekcia: Otvorený softvér vo vede a vzdelávaní

Obr. 1: Sche´ma u´loh

3

ANSYS

Autor: ANSYS, Inc. Homepage: http://www.ansys.com/ ANSYS patrˇ´ı do kategorie proprieta´rnı´ho software a spolu s neˇkolika dalsˇ´ımi patrˇ´ı mezi nejuniversa´lneˇjsˇ´ı a nejvyspeˇlejsˇ´ı konecˇneˇ-prvkove´ vy´pocˇetnı´ syste´my vu˚bec, avsˇak take´ nejdrazˇsˇ´ı – akademicke´ licence stojı´ desı´tky tisı´c azˇ neˇkolik milionu˚ Kcˇ (ceny komercˇnı´ch licencı´ nejsou verˇejne´) a to v za´vislosti na druhu licence – typu fyzika´lnı´ho pole, trˇ´ıdy licence, pocˇtu procesoru˚, prˇ´ıp. jader procesoru˚ a jiny´ch parametru˚. Umozˇnˇuje rˇesˇit te´meˇrˇ „libovolne´“ typy u´loh (je multifyzika´lnı´) z ru˚znorody´ch lidsky´ch (inzˇeny´rsky´ch) cˇinnostı´. K tomu nabı´zı´ velke´ mnozˇstvı´ typu˚ elementu˚ (prˇes 150) vcˇetneˇ pokrocˇily´ch metod meshova´nı´, velice dobre´ podmı´nky pro vytvorˇenı´ geometrie modelu – GUI nativnı´ho prosrˇedı´ a CAD modela´rˇ v prostrˇedı´ Workbench. Da´le nabı´zı´ mozˇnost importu z mnoha CAD forma´tu˚ (IGES, Catia, PRO/e, UG, SAT, Para aj.), obrovske´ skriptovacı´ mozˇnosti jazyka APDL (ANSYS parametric design language), sadu rˇesˇicˇu˚ (Sparse, PCG, Frontal, Iterative), propracovany´ syste´m postprocessingu (animace, path-plot, grafy aj.) a verifikace vy´sledku˚ (error estimation aj.) [1]. Vy´pocˇetnı´ syste´m ANSYS byl vybra´n jako referencˇnı´ k porovna´nı´ s vybrany´mi opensource KP syste´my a to jak v podobeˇ tabelove´, tak v graficke´ – tedy ukazuje, jak co by meˇlo v dane´m OS rˇesˇicˇi vypadat. ANSYS rucˇ´ı za vy´sledky certifikacı´ jakosti ISO 9001 (s podmı´nkou spra´vny´ch vstupu˚). Navı´c umozˇnˇuje definova´nı´ anizo/ortotropnı´ch materia´lovy´ch vlastnostı´, ktere´ drˇevo vykazuje a se ktery´mi bylo v neˇktery´ch analy´za´ch uvazˇova´no. Prˇ´ıklad za´pisu vstupnı´ho souboru analy´zy a uka´zka postprocessorovy´ch mozˇnostı´ ansysu v prˇ´ıpadeˇ prvnı´ho prˇ´ıkladu jsou uvedeny na Obr. 2. V prˇ´ıpadeˇ druhe´ u´lohy jsou zde pro na´stin uvedena graficka´ vyobrazenı´ von Misesova krite´ria a posuvu X pro trˇi ru˚zneˇ huste´ KP sı´teˇ (a, b, c), viz Obr. 3 a Obr. 4. Vy´sˇe uvedene´ graficke´ vy´stupy mu˚zˇeme z hlediska srovna´va´nı´ graficke´ interpretace

Václav Sebera: O open-source řešičích na bázi MKP

127

Obr. 2: ANSYS – uka´zka vstupnı´ho souboru analy´zy a zobrazenı´ kriteria von Misese

Obr. 3: ANSYS – von Misesovo krite´rium pro jednotlive´ varianty KP sı´teˇ

Obr. 4: ANSYS – posuv X pro jednotlive´ varianty KP sı´teˇ vy´sledku˚ s open-source rˇesˇicˇi povazˇovat za referencˇnı´.

4 CalculiX Autorˇi: Guido Dhondt, Klaus Wittig, Jeff Baylor Homepage: http://www.dhondt.de/ CalculiX je multifyzika´nı´ open-source rˇesˇicˇ, ktery´ obsahuje na´stroje pro provedenı´ cele´ analy´zy, tj. pre-/postprocessor – CGX a processor – CCX. Ovla´da´nı´ obou modulu˚ je vy´hradneˇ prˇes prˇ´ıkazovou rˇa´dku, v ktere´ se da´ psa´t pouze, kdyzˇ je aktivnı´ hlavnı´ nabı´dkove´ okno,

128

Sekcia: Otvorený softvér vo vede a vzdelávaní

viz Obr. 5. Calculix umozˇnˇuje rˇesˇit u´lohy z teˇchto oblastı´: • staticke´ u´lohy – linea´rnı´ i nelinea´rnı´ (materia´love´ a geometricke´), • dynamika – linea´rnı´ staticka´ a transientnı´ (moda´lnı´), nelinea´rnı´ (implicitnı´ a explicitnı´), • tepelne´ u´lohy – staticke´ i transientnı´, • sdruzˇene´ u´lohy – termomechanika, aerodynamika, • Laplace a Helmholtz – akustika, elektrostatika, difu˚ze, tok podzemnı´ vody aj. Neˇktere´ operace pre- i postprocessingu je vsˇak mozˇno prove´st i prˇes GUI, ktere´ vyuzˇ´ıva´ OpenGL API a je plneˇ 3D. Jde naprˇ´ıklad o pra´ci s geometriı´ a zobrazovanı´ graficky´ch vy´sledku˚ (ota´cˇenı´ modelu, animace, oznacˇova´nı´ entit apod.). CalculiX te´zˇ podporuje mozˇnost zpracovat forma´ty neˇktery´ch proprieta´rnı´ch vy´pocˇetnı´ch syste´mu˚ (ABAQUS, NASTRAN, ANSYS, DUNS-CFD, ISAAC-CFD a OpenFOAM) a to ve fa´zi pre- i postprocessingu. Pro analy´zu ve 2/3D je v CalculiXu k dispozici 24 ru˚zny´ch typu˚ elementu˚. Od elementu˚ pro rovinnou napjatost, deformaci, prˇes skorˇepinove´ typy, gap a fluidnı´ el. azˇ po Bricky s 20-ti uzly se standardnı´ nebo redukovanou integracı´. Zvla´sˇtnostı´ je zde trˇ´ıuzlovy´ element pro u´lohy z oboru CFD, ktery´ pracuje zejme´na v 1D a jen omezeneˇ v 2/3D prostoru [5]. Jako jeden z ma´la OS rˇesˇicˇu˚ podporuje CalculiX orto/anizotropnı´ materia´love´ modely, cˇ´ımzˇ je idea´lnı´ pra´veˇ pro obor drˇevarˇske´ inzˇeny´rstvı´. Definova´nı´ orto/anizotropie se prova´dı´ zada´nı´m Youngovy´ch modulu˚ pruzˇnosti a podle´ha´ nomenklaturˇe tenzoru tuhosti. Jako jisty´ nedostatek se jevı´ absence kriteriı´ porusˇenı´ materia´lu˚, ktera´ jsou pro orto/anizotropnı´ materia´ly nejvhodneˇjsˇ´ı, tj. Hillovo a Hoffmanovo k. a krite´rium Tsai-Wu [3]. CalculiX je distribuova´n pod licencı´ GNU GPL [4]. Pro rˇesˇenı´ prvnı´ u´lohy (pru˚hyb konzoly) byl vybra´n 3D element typu BRICK (SOLID) s oznacˇenı´m C3D20. Tento element byl pouzˇit pro oba materia´love´ modely. Model byl vysı´t’ova´n do 10 elementu˚ shodne´ de´lky o 128 uzlech (element C3D20 je 20-ti uzlovy´). KP sı´t’modelu je zobrazena na Obr. 5. Von Misesovo kriterium pro oba materia´love´ modely vcˇetneˇ skriptu u´lohy je uvedeno na Obr. 6. Z vy´sˇe uvedeny´ch obra´zku˚ je zrˇejme´, zˇe CalculiX nebyl schopen pro ortotropnı´ mat. model von Misesovo krite´rium „u´speˇsˇneˇ“ zobrazit, v prˇ´ıpadeˇ izotropnı´ho modelu se vy´sledky shodujı´ s ANSYSem. Da´le je zrˇejma´ i jednoduchost (vyspeˇlost) samotne´ho skriptovacı´ho jazyka – umozˇnˇuje naprˇ. parametrizaci u´lohy. Je to proto, zˇe skriptovacı´ jazyk CalculiXu je postaven na jazyku proprieta´rnı´ho VS ABAQUS. V prˇ´ıpadeˇ druhe´ u´lohy zde pouze uva´dı´m neˇktere´ graficke´ vy´sledky – kriterium von Misese pro izotropnı´ mat. model (koresponduje s ANSYSem). Pro rˇesˇenı´ te´to u´lohy byl vybra´n izoparametricky´ element CPS8R.

Václav Sebera: O open-source řešičích na bázi MKP

129

Obr. 5: CalculiX – screenshot z pracovnı´ho prostrˇedı´

Obr. 6: CalculiX – skript u´lohy, von Misesovo kriterium (a – izotropnı´, b – ortotropnı´

Obr. 7: CalculiX – von Misesovo krite´rium, izotropnı´ mat. Model

5 Z88 Autor: Prof. Dr. Ing. Frank Rieg Homepage: http://www.z88.org/ Z88 je pomeˇrneˇ nena´rocˇny´ open-source KP software zameˇrˇeny´ na struktura´lnı´ staticke´

130

Sekcia: Otvorený softvér vo vede a vzdelávaní

analy´zy. Je distribuova´n pod GNU GPL licencı´. Od verze 12.0 je podporova´n 64 bitovy´mi platformami pod Windows i UNIXem. Z88 verze 12.0 obsahuje 20 typu˚ elementu˚ a podporuje pra´ci se superelementy. Z88 je urcˇen vy´hradneˇ pro struktura´lnı´ analy´zy. Z88 je, podobneˇ jako prˇedchozı´ rˇesˇicˇe, zalozˇen na modulove´ konstrukci – rˇadeˇ mensˇ´ıch podprogramu˚. Tyto moduly v pru˚beˇhu analy´zy spolupracujı´, prˇ´ıp. na sebe navazujı´. Jsou to • • • • • • • • • • •

prˇ´ımy´ Choleske´ho rˇesˇicˇ Z88F, iteracˇnı´ rˇesˇicˇe Z88I1 a Z88I2, procesor napeˇtı´ Z88D, procesor uzlovy´ch sil Z88E, genera´tor KP sı´teˇ Z88N, modul k zobrazova´nı´ vy´sledku˚ Z88P, CAD konvertor Z88X, COSMOS konvertor Z88G, Cuthill-McKee program Z88H, „filechecker“ Z88V, OpenGL modul k zobrazova´nı´ vy´sledku˚ Z88O.

Geometrii modelu je mozˇne´ vytvorˇit v CAD modela´rˇi, ktery´ je schopen ulozˇit geometrii jako forma´t *.dxf (jako nejspolehliveˇjsˇ´ı se ukazuje verze R12), naprˇ. v programu Blender nebo QCAD. V programu COSMOS (potom konvertovat pomocı´ modulu Z88G) nebo napsat skriptem v jake´mkoli textove´m editoru (ASCII). Spolu s geometriı´ je v CADu mozˇne´ definovat i vsˇechny ostatnı´ vstupnı´ data analy´zy (okolnı´ podmı´nky, materia´love´ vlastnosti apod.). Z88 umozˇnˇuje u´lohu ve 2D i 3D. Prˇi tvorbeˇ geometrie je velice du˚lezˇite´ se sezna´mit s typem elementu, zvla´sˇteˇ s jeho geometricky´m znacˇenı´m a sourˇadne´m syste´mu. Prˇi tvorbeˇ geometrie v CADovske´m rozhranı´ je navı´c nutno dodrzˇet tyto pozˇadavky: • jednotlive´ entity musı´ na´lezˇet vrstva´m s pevneˇ dany´mi jme´ny, • k vytvorˇenı´ bezchybne´ topologie je nutne´, aby tvorba KP sı´teˇ (funkce line) dodrzˇovala porˇadı´ urcˇene´ typem elementu, resp. jeho sourˇadnou soustavou. Z88 nepodporuje jake´koliv ukla´da´nı´ vy´sledku˚ analy´zy. Vzˇdy pracuje se soubory s pevneˇ dany´mi jme´ny a ty v prˇ´ıpadeˇ nove´ analy´zy prˇepisuje. Je nutne´ tedy prˇed kazˇdou novou analy´zou vstupnı´ i vy´stupnı´ soubory za´lohovat. Syntaxe za´pisu vstupnı´ch dat je velice jednoducha´ a srozumitelna´, viz Obr. 8. Ve vstupnı´ch datech nenı´ nutno definovat vysˇsˇ´ı entity nezˇ jsou uzly elementu˚, resp. superelementu˚. Znamena´ to, zˇe stacˇ´ı zna´t pouze sourˇadnice keypointu˚ (uzlu˚). Entity vysˇsˇ´ıho rˇa´du (dimenzi u´lohy) zajisˇt’uje zvoleny´ typ elementu. Za´pis materia´lovy´ch vlastnostı´ je umı´steˇn na poslednı´m rˇa´dku prvnı´ho vstupnı´ho souboru Z88i1.txt, viz Obr. 8. V prˇ´ıpadeˇ pouzˇitı´ vı´ce materia´lu˚ je pak kazˇdy´ na jednom rˇa´dku.

Václav Sebera: O open-source řešičích na bázi MKP

131

Obr. 8: Z88 – screenshot z pracovnı´ho prostrˇedı´ Za´pis samotny´ je velice jednoduchy´ a umozˇnˇuje tak rychly´ prˇehled o pouzˇity´ch materia´lech. Materia´l se definuje pro kazˇdy´ jednotlivy´ element (nejcˇasteˇji intervalem). Z88 podporuje jen materia´ly izotropnı´. GUI za´kladnı´ho modulu Z88 commander, genera´toru KP sı´teˇ Z88N, uka´zky skriptu a na´sledny´ postprocessing v modulech Z88P a Z88O jsou uvedeny na Obr. 8. Srovna´me-li vsˇak mozˇnosti skriptovacı´ho jazyka Z88 se syste´mem ANSYS, je zrˇejme´, zˇe Z88 nabı´zı´ jen velice omezenou sadu mozˇnostı´. Nenı´ zde mozˇne´ u´lohu parametrizovat ani nijak algoritmizovat. To plyne i z posla´nı´ programu Z88 – efektivnı´, jednoduchy´ a nena´rocˇny´ moduloveˇ zameˇrˇeny´ KP vy´pocˇetnı´ syste´m pro struktura´lnı´ u´lohy. Graficka´ interpretace vy´sledku˚ druhe´ u´lohy (prˇi pouzˇitı´ elementu PLANE7) je uvedena na Obr. 9. I zde panuje shoda s vy´sledky z ANSYSu (zejme´na obra´zek c a pomineme-li jistou „skokovitost“ kontur danou zrˇejmeˇ sˇpatny´m prˇepocˇtem integra´lnı´ch hodnot).

Obr. 9: Z88 – posuv ve smeˇru osy X pro jednotlive´ varianty KP sı´teˇ Programovy´ balı´k Z88 se jevı´ jako velice vhodny´ pro edukacˇnı´ u´cˇely. Zejme´na proto, zˇe je to velice jednoduchy´ a srozumitelny´ KP vy´pocˇetnı´ syste´m – tedy vhodny´ pro zacˇa´tecˇnı´ky s MKP. Uzˇivateli umozˇnˇuje nahle´dnout blı´zˇe k tvorbeˇ konecˇneˇ prvkove´ sı´teˇ, ktera´

132

Sekcia: Otvorený softvér vo vede a vzdelávaní

je naprˇ. v ANSYSu vytva´rˇena „te´meˇrˇ“ automaticky. V oboru drˇevarˇske´ inzˇeny´rstvı´ je Z88 dı´ky pomeˇrneˇ sˇiroke´ sˇka´le elementu˚ dobrˇe uplatnitelny´. Sve´ mı´sto by mohl najı´t prˇi vy´uce MKP nebo prˇi rˇesˇenı´ nejru˚zneˇjsˇ´ıch struktura´lnı´ch analy´z. Konkre´tneˇ v u´loha´ch dimenzova´nı´ drˇeveˇny´ch staveb a konstrukcı´, posouzenı´ napeˇtı´ v ru˚zny´ch strojnı´ch soucˇa´stech. Z88 nepodporuje orto/anizotropii a nenı´ tedy vhodny´ pro analy´zy vyzˇadujı´cı´ prˇesny´ popis drˇeva. Z88 take´ neumozˇnˇuje rˇesˇenı´ u´loh promeˇnny´ch v cˇase – transientnı´ analy´zy.

6

FElt

Autorˇi: Matthew Roberts, Jason Gobat Homepage: http://felt.sourceforge.net/ FElt, resp. WinFElt, je relativneˇ jednoduchy´ open-source KP software k rˇesˇenı´ pomeˇrneˇ sˇiroke´ nabı´dky typu˚ u´loh. Umozˇnˇuje rˇesˇit struktura´lnı´, tepelne´ u´lohy (staticke´ i transientnı´), moda´lnı´ a spektra´lnı´ u´lohy a nelinea´rnı´ staticke´ a dynamicke´ u´lohy. Je distribuova´n pod GNU GPL licencı´. Soucˇasna´ verze FElt 3.02, resp. Win FElt 1.1.3, nabı´zı´ 14 typu˚ elementu˚ pro u´lohy plneˇ ve 2D a omezeneˇ ve 3D. V analy´ze je mozˇno pouzˇ´ıt vı´ce typu˚ elementu˚. FElt je deˇlen, podobneˇ jako dalsˇ´ı OS rˇesˇicˇe, do neˇkolika za´kladnı´ch rozhranı´ (modulu˚). Jedna´ se o: • FElt – prˇ´ıkazova´ rˇa´dka pro zada´va´nı´ vstupnı´ch dat. • WinFElt – GUI pro Windows, textovy´ editor podobny´ WYSIWYG formeˇ, s urcˇity´mi postprocessorovy´mi mozˇnostmi. • Velvet – GUI modulu FElt pro GNU/Linux, umozˇnˇuje provedenı´ cele´ analy´zy bez potrˇeby znalosti syntaxe jazyka FEltu. • Patchwork – konvertor mezi jazykem FEltu a neˇkolika beˇzˇneˇ uzˇ´ıvany´mi graficky´mi forma´ty (*.dxf). • Corduroy – prˇ´ıkazova´ rˇa´dka pro tvorbu KP sı´teˇ. • Yardstick – prˇ´ıkazova´ rˇa´dka ke konverzi jednotek a meˇrˇenı´ velicˇin. • Burlap – prostrˇedı´ pro prˇida´va´nı´ novy´ch elementu˚, v jazyce podobny´ syste´mu˚m MATLAB a Octave. Geometrii modelu je mozˇne´ vytvorˇit v modulu Velvet, prˇ´ımo za´pisem v modulu FElt, resp. WinFElt, v jake´mkoli textove´m editoru (ASCII) nebo v CAD modela´rˇi, ktery´ umozˇnˇuje ulozˇenı´ do forma´tu *.dxf, naprˇ. Blender nebo QCAD. Prˇi za´pisu geometrie „prˇ´ımo“ je nutno se sezna´mit s typem a znacˇenı´m KP elementu. Modul WinFElt navı´c obsahuje mozˇnost kontroly samotne´ho za´pisu u´lohy, tzv. Parserem. Cela´ analy´za vyzˇaduje jen jeden soubor, v ktere´m se nacha´zejı´ vsˇechna potrˇebna´ vstupnı´ data (*.flt). FElt nabı´zı´ slusˇne´ a velice jednoduche´ postprocessorove´ mozˇnosti. Je mozˇne´ si zobrazit posuvy ve vsˇech smeˇrech a vsˇech 6 slozˇek napeˇtı´. Stejneˇ jako Z88, tak i FElt podporuje jen izotropnı´ materia´love´ modely.

Václav Sebera: O open-source řešičích na bázi MKP

133

Z Obr. 10 je zrˇejme´, zˇe syntaxe za´pisu vstupnı´ch dat je jednoducha´ a velice prˇehledna´. Jazyk umozˇnˇuje zada´va´nı´ jak diskre´tnı´ch, tak spojity´ch funkcı´ (goniometricke´ aj.). Je mozˇno rˇ´ıct, zˇe oproti Z88 jsou zde veˇtsˇ´ı mozˇnosti u´lohu konkretizovat. Je mozˇne´ vyuzˇ´ıt i za´kladnı´ matematicke´ operace. Na Obr. 10 je uvedena i graficka´ interpretace prvnı´ u´lohy v modulu Wireframe (v modre´m ra´mecˇku). Pro elementy typu BEAM FElt nenabı´zı´ mozˇnost barevneˇ-konturove´ho zobrazenı´ jednotlivy´ch velicˇin a ani zobrazenı´ rea´lne´ho pru˚rˇezu nosnı´ku, s ktery´m se v u´loze pocˇ´ıtalo.

Obr. 10: FElt – screenshot z pracovnı´ho prostrˇedı´ Jak vypada´ plne´ graficke´ zobrazenı´ vy´sledku˚ (na druhe´ u´loze) se mu˚zˇeme prˇesveˇdcˇit na Obr. 11. Pro tuto u´lohu byl pouzˇit 2D element QUAD Plane stress s kvadratickou ba´zovou funkcı´. Z Obr. 11 je patrne´, zˇe graficke´ vy´sledky naprosto souhlası´ s graficky´mi vy´sledky z ANSYSu. Pro svou relativnı´ jednoduchost by FElt mohl by´t uzˇitecˇny´ zejme´na ve vy´uce MKP nebo pro jednoduche´ struktura´lnı´ a tepelne´ analy´zy (staticke´ i transientnı´). V oboru drˇevarˇske´ho inzˇeny´rstvı´ je FElt mozˇne´ vyuzˇ´ıt v podobny´ch u´loha´ch jako Z88, tedy v u´loha´ch dimenzova´nı´ konstrukcı´ nebo posuzovanı´ stavu˚ napjatosti ru˚zny´ch soucˇa´stı´. Navı´c ale umozˇnˇuje rˇesˇit moda´lnı´, spektra´lnı´ a tepelne´ u´lohy. To jeho vyuzˇitelnost mı´rneˇ zvysˇuje. FElt vsˇak nedoka´zˇe definovat orto/anizotropii materia´lu a nenı´ proto vyuzˇitelny´ v analy´za´ch, v ktery´ch

134

Sekcia: Otvorený softvér vo vede a vzdelávaní

Obr. 11: FElt – posuv ve smeˇru osy X pro jednotlive´ varianty KP sı´teˇ je vyzˇadova´n prˇesneˇjsˇ´ı materia´lovy´ popis drˇeva.

7

Elmer

Autor: CSC – Scientific Computing Ltd., Finsko Homepage: http://www.csc.fi/elmer/ Elmer je open-source vy´pocˇetnı´ syste´m, ktery´ byl pu˚vodneˇ navrzˇen pro u´lohy CFD (dynamika tekutin). Dnes vsˇak umozˇnˇuje rˇesˇit u´lohy multifyziky. Zahrnuje modely dynamiky stlacˇitelny´ch i nestlacˇitelny´ch tekutin, mechaniky pevny´ch la´tek, prˇestupu tepla (konvekcı´, kondukcı´ i radiacı´), elektromagnetismu, proble´mu vibracı´ a jiny´ch. Je distribuova´n pod licencı´ GNU GPL. Podobneˇ jako prˇedchozı´ vy´pocˇetnı´ syste´my i Elmer je tvorˇen z modulu˚, jsou to: • ElmerFront – preprocesor s GUI. Umozˇnˇuje generova´nı´ KP sı´teˇ, zada´va´nı´ okrajovy´ch podmı´nek a zatı´zˇenı´. • ElmerSolver – rˇesˇicˇ. • ElmerPost – post-processor s GUI. • ElmerGrid – modul slouzˇ´ıcı´ k tvorbeˇ KP sı´teˇ (CLI). Elmer obsahuje 3 typy elementu˚, ktere´ nabı´zı´ pro vsˇechny typy u´loh. Je to element Line, Triangle pro nestrukturovanou a Quad pro strukturovanou sı´t’. Vsˇechny elementy nabı´zı´ mozˇnost linea´rnı´ nebo kvadraticke´ ba´zove´ funkce. Elmer da´le nabı´zı´ 5 algoritmu˚ pro generova´nı´ konecˇneˇ prvkove´ sı´teˇ. Do Elmeru je mozˇne´ importovat 2D geometrie z CADu (Elmer, Iges a Ideas forma´t) nebo uzˇ vysı´t’ovane´ 2/3D geometrie (ABAQUS, Fidap, Ideas a Elmer forma´t). Elmer umozˇnˇuje definova´nı´ anizo/ortotropnı´ charakteristiky materia´lu, a to v podobeˇ matice modulu˚ pruzˇnosti. Postprocessing je v syste´mu Elmer na vysoke´ u´rovni. Nabı´zı´ mozˇnosti zobrazenı´ izoliniı´, izoploch, vektorovy´ch polı´, animacı´, grafu˚ aj., viz screenshot na Obr. 12. Jedna´ se o velice du˚myslny´ vy´pocˇetnı´ na´stroj (z vybrany´ch se asi nejvı´c blı´zˇ´ı ANSYSu), ktery´ umozˇnˇuje prova´deˇt slozˇiteˇjsˇ´ı analy´zy, vcˇetneˇ urcˇite´ parametrizace a skriptova´nı´. Syn-

Václav Sebera: O open-source řešičích na bázi MKP

135

Obr. 12: Elmer – screenshot z pracovnı´ho prostrˇedı´ taxe nenı´ tak striktnı´ a nabı´zı´ vı´ce svobody/mozˇnostı´ za´pisu (naprˇ. vı´ce variant za´pisu te´hozˇ). Za zmı´nku stojı´ i velice dobrˇe zpracovana´ a obsa´hla´ dokumentace. Vyrˇesˇenı´ prvnı´ u´lohy (pru˚hyb nosnı´ku) nenı´ v Elmeru v dosavadnı´ verzi mozˇne´ a to z toho du˚vodu, zˇe Elmer (zatı´m) nepodporuje definova´nı´ zatı´zˇenı´ do jednoho bodu (keypointu, resp. uzlu KP sı´teˇ). Nejnizˇsˇ´ı entitou, na kterou je mozˇne´ okolnı´ podmı´nky aplikovat je linie (line). V prˇ´ıpadeˇ druhe´ u´lohy byl pouzˇit element QUAD s linea´rnı´ ba´zovou funkcı´, jeden z vy´sledku˚ postprocessingu je uveden na Obr. 13.

Obr. 13: Elmer – posuv X pro jednotlive´ varianty KP sı´teˇ Z obra´zku je zrˇejme´, zˇe rozlozˇenı´ kontur posuvu X je zcela ve shodeˇ s rˇesˇenı´m v ANSYSu. Pro u´lohy z oboru drˇevarˇske´ inzˇeny´rstvı´ se syste´m Elmer jevı´ jako velice vhodny´. A to zvla´sˇteˇ proto, zˇe pokry´va´ u´lohy multifyziky a umozˇnˇuje definovat anizotropnı´ materia´love´ vlastnosti. Konkre´tneˇ by bylo mozˇne´ jej vyuzˇ´ıt v tepelny´ch a CFD analy´za´ch

136

Sekcia: Otvorený softvér vo vede a vzdelávaní

– proble´my susˇenı´, parˇenı´ a lisova´nı´ drˇeva a materia´lu˚ na ba´zi drˇeva, da´le v dimenzova´nı´ konstrukcı´ ze drˇeva, strojnı´ch soucˇa´stı´ (vcˇetneˇ hydraulicky´ch a pneumaticky´ch mechanismu˚) nebo v analy´za´ch pohybu akusticke´ho a elektromagneticke´ho pole. Dalsˇ´ı devizou Elmeru je, zˇe umozˇnˇuje rˇesˇit slozˇiteˇjsˇ´ı analy´zy paralelnı´mi vy´pocˇty (parallel computing), ktere´ se v dnesˇnı´ dobeˇ sta´vajı´ u rozmeˇrny´ch u´loh klı´cˇove´. V drˇevarˇske´m oboru (a nejen tam) si mu˚zˇe Elmer najı´t sve´ mı´sto jak v oblasti veˇdecko-vy´zkumne´, tak edukacˇnı´.

8 Ostatnı´ open-source rˇesˇicˇe na ba´zi MKP V soucˇasne´ dobeˇ je na internetu k nalezenı´ mnoho desı´tek azˇ stovek jednotlivy´ch open-source softwaru na ba´zi MKP. Nejedna´ se pouze o samotne´ programy – rˇesˇicˇe, ale i o nejru˚zneˇjsˇ´ı knihovny, genera´tory KP sı´teˇ, postprocesory a jine´. Da´le jizˇ existuje pomeˇrneˇ dost databa´zı´ cˇi webovy´ch serveru˚, ktere´ se open-source softwarem z oblasti numericky´ch analy´z zaby´vajı´. Nı´zˇe uva´dı´m alesponˇ ty hlavnı´, ktere´ povazˇuji za velmi uzˇitecˇne´: • IFER – Internet Finite Element Resources http://homepage.usask.ca/~ijm451/finite/fe_resources/fe_resources.html • List of Free Numerical Analysis Software http://www.ann.jussieu.fr/free.htm • SAL – Numerical analysis http://www.sai.msu.su/sal/B/ • FEA portal http://www.dermotmonaghan.com • Robert Schneiders’s site http://www-users.informatik.rwth-aachen.de/~roberts/software.html • Vector-space.com http://www.vector-space.com/ • ODP – Open Directory Project http://www.dmoz.org/Science/Technology/Software_for_Engineering/ • Modelova´nı´ a simulace http://www.fit.vutbr.cz/~peringer/UNOFFICIAL/simulation/ • Numerical Computing Resources http://www.indiana.edu/~statmath/bysubject/numerics.html#diffeq • Meshing Software Survey http://www.andrew.cmu.edu/user/sowen/softsurv.html • GSCI – Software: Differential equations http://www.scicomp.uni-erlangen.de/archives/SW/diffequ.html#fem

Za´kladnı´ prˇehled open-source softwaru na ba´zi MKP uva´dı´ Tab. 1. V nı´ je uvedena strucˇna´ charakteristika jednotlivy´ch softwaru˚ (co obsahuje/nabı´zı´ apod.). Z Tab. 1 je tedy mozˇne´ si vhodny´ software vyfiltrovat podle svy´ch za´kladnı´ch pozˇadavku˚, naprˇ. na operacˇnı´ syste´m, prostor u´lohy nebo fyzika´lnı´ pole, ktere´ chci rˇesˇit apod.

Václav Sebera: O open-source řešičích na bázi MKP

137

Tab. 1: Prˇehled vybrane´ho open-source softwaru na ba´zi MKP

9 Za´veˇr V prˇ´ıspeˇvku jsem se snazˇil pouka´zat na to, zˇe i open-source rˇesˇicˇe na ba´zi MKP je mozˇne´ ve svy´ch numericky´ch analy´za´ch plnohodnotneˇ vyuzˇ´ıt. V porovna´nı´ s proprieta´rnı´mi pro-

138

Sekcia: Otvorený softvér vo vede a vzdelávaní

dukty, jako naprˇ. ANSYS, nabı´zejı´ srovnatelnou prˇesnost vy´sledku˚ a jejich dostatecˇnou tabelovou i grafickou interpretaci. Je nutno zmı´nit, zˇe dosazˇene´ vy´sledky cˇi pozorova´nı´ jsou platne´ pouze na dany´ch u´loha´ch, prˇ´ıpadneˇ na jiny´ch u´loha´ch z mechaniky. Open-source rˇesˇicˇe tak mohou v mnohe´m, zejme´na v oblasti vy´uky MKP, proprieta´rnı´ produkty nahradit. Vy´hody jsou evidentnı´, naprˇ. v tom, zˇe si student tyto na´stroje mu˚zˇe snadno porˇ´ıdit stazˇenı´m z internetu a da´le zcela lega´lneˇ vyuzˇ´ıvat i doma. Nalezenı´m plnohodnotne´ho substituenta proprieta´rnı´ho softwaru (ANSYS) by take´ dosˇlo k vy´razne´mu snı´zˇenı´ porˇizovacı´ch na´kladu˚ na vy´pocˇetnı´/simulacˇnı´ software. Navı´c by zde v prˇ´ıpadeˇ licence open-source byla mozˇnost/vy´hoda si software prˇizpu˚sobit svy´m vlastnı´m pozˇadavku˚m cˇi specifika´m dane´ho oboru. Je ovsˇem nutno zmı´nit, zˇe ani jeden z posuzovane´ho open-source softwaru na ba´zi MKP nenı´ sto ANSYS plnohodnotneˇ nahradit. Je trˇeba si uveˇdomit, zˇe software jako je ANSYS, ABAQUS aj. majı´ za sebou pomeˇrneˇ dlouhou historii a obrovsky´ vy´voj. Takove´to produkty se dajı´ pocˇ´ıtat, co do objemu pra´ce, na tisı´ce azˇ desetitisı´ce cˇloveˇkoroku˚. To je zhruba na´skok, ktery´ by open-source MKP na´stroje musely dohnat, pokud take´ chteˇjı´ by´t v komercˇnı´ cˇi edukacˇnı´ sfe´rˇe plneˇ (nebo vı´ce) vyuzˇitelne´. S nadsa´zkou bychom mohli vyspeˇlost obou forem MKP softwaru prˇirovnat k dvojici: osobnı´ pocˇ´ıtacˇ (ANSYS) vs. kalkulacˇka (FS/OSS). Mnozˇstvı´ open-source rˇesˇicˇu˚ na ba´zi MKP je vsˇak tak obrovske´, zˇe si autor ponecha´va´ i mezı´rku nadeˇje, zˇe by to takto nemuselo u´plneˇ by´t. V pru˚zkumu/hleda´nı´ open-source rˇesˇicˇu˚ na ba´zi MKP, stejneˇ jako ve snaze o jejich implementaci do veˇdecko-technicky´ch vy´pocˇtu˚, je, dle autora, proto vhodne´ pokracˇovat.

Literatura [1] Ansys Inc. ANSYS theory reference. Manua´l vy´pocˇetnı´ho syste´mu ANSYS 9.0 [2] BERTHELOT, J. M.: Composite materials – Mechanical Behaviour and structural analysis. New York : Springer, 1999, 646 s. [3] CSC. Elmer fronts user guide. Scientific Computing Ltd., 2000, 128 s. [4] DHONDT, G.: CalculiX CrunchiX USERs MANUAL Version 1.6. Mathematics Department, Macquarie University, Sydney, 379 s. [5] GOBAT, I. J. – ATKINSON, C. D.: FElt: Users Guide and Reference Manual. Computer science technical report, University of California, 2005, 236 s. [6] PETRUSˇKA, J.: Pocˇ´ıtacˇove´ metody mechaniky II – Metoda konecˇny´ch prvku˚. VUT v Brneˇ, 2003, 88 s. [7] RIEG, F.: Z88 The compact finite element system. [online] University of Bayreuth, 2006, 196 s. Dostupne´ na internetu: http://www.z88.uni-bayreuth.de/download/ z88mane.pdf

Václav Sebera: O open-source řešičích na bázi MKP

139

[8] SEBERA, V.: Srovna´nı´ OpenSource rˇesˇicˇu˚ na ba´zi konecˇny´ch prvku˚ a jejich mozˇne´ vyuzˇitı´ v drˇevarˇske´m inzˇeny´rstvı´, Diplomova´ pra´ce na MZLU v Brneˇ. Brno 2007, 113 s. [9] WITTIG, K.: CalculiX USERs MANUAL – CalculiX GraphiX, Version 1.5, 166 s.

Kontaktnı´ adresa Va´clav Sebera (Ing.), ´ stav nauky o drˇeveˇ, Lesnicka´ a drˇevarˇska´ fakulta MZLU, U Zemeˇdeˇlska´ 1, 613 00, Brno, CZ [email protected], tel.: +420-5-4513 4519, fax: +420-5-4513 4549 http://wood.mendelu.cz