een loh 1. kola 43. ro nku fyzik ln olympi dy. Kategorie A
Autoi loh: J.Blaek (1), V. V cha (2), P. ediv (3 5 6), M. Jareov (4 6), B. Vybiral (7) 1. a) Ozname Ft1 tec s lu mezi vlcem a naklonnou rovinou a Ft2 tec s lu mezi kvdrem a naklonnou rovinou. Pro soustavu v klidu je Ft1 = 0 (v opanm p pad by na vlec psobil nenulov moment s ly). Tec s la Ft2 je v rovnovze s pohybovmi slokami t hovch sil, take Ft2 = (m1 + m2 )g sin : Soustava se udr v klidu, pokud Ft2 fm2 g cos : V opanm p pad, tj. pro 1 f < 1+ m m2 tg = fmax bude po naklonn rovin sj dt. Pro dan hodnoty: fmax = 0 67 : 3 body b) Vyjdeme z pohybovch rovnic pro vlec a kvdr ve tvaru (m1 g sin ; F )r = (J + m1 r2 ) ar m2 g sin + F ; fm2 g cos = m2 a : 2 body
Jejich een m je 2 cos = g (m1 + m2 ) sin ; fm2 cos a = g (m1 + m2 ) sin ; fm J 3 m1 + m2 m1 + m2 + r2 2
f m1 + rJ2 cos ; rJ2 sin ; sin F = m2 g = m1 m2 g 3f3cos J m + 2m2 1 m1 + m2 + r2 (Pro F > 0 jsou ty namhny tahem, pro F < 0 jsou namhny tlakem.) Pro dan hodnoty: a = 2 15 m s;2 F = 2 0 N : 2 body c) Tec s la Ft1 mezi vlcem a naklonnou rovinou udluje vlci hlov zrychlen . Pokud se vlec pohybuje bez prokluzovn , plat Ft1 fm1 g cos : Ft1 r = J ar Po prav a dosazen dostaneme Ja = Jg (m1 + m2 ) sin ; fm2 cos ] fm g cos 1 r2 m1 r2 + m2 r2 + J J (m1 + m2 ) sin ; Jfm2 cos fm1 (m1 + m2 )r2 cos + Jfm1 cos J sin f = tg = tg3 = fmin : m1 r2 cos + J cos m1 r2 + 1 J Pro dan hodnoty: fmin = 0 155 : 3 body 1
2. a)
Vyjdeme ze schmatu na obr. R1. Obvodem prochz proud o efektivn hodnot I = U=Z kde Z je velikost celkov impedance r 1 2 : Z = Ri2 + !L ; !C Pi rezonanci plat XL1 = XC
Ri
Obr. R1 1 !L1 = !C
L
U
UL
C
I
L1 = 421f 2 C = 0 158 H :
1 bod
b) Pi rezonanci bude obvodem prochzet proud Irez = RUi a na c vce bude napt U = 8 0 V: ULrez = XL1 Irez = XC Irez = 2fR C i
c) Napt UL na c vce zvis na jej induknosti podle vztahu !LU UL = XL I = r : 1 2 Ri2 + !L ; !C Maximum tto funkce vyet me uit m diferenciln ho potu: 1 ! r L !L ; 2 !C 1 ;r Ri2 + !L ; !C 2 2 + !L ; 1 Ri !C dUL = !U = dL 1 2 Ri2 + !L ; !C = !U
Ri2 + !21C 2 ; CL
2 32 1 2 Ri + !L ; !C
:
Derivace je de!novna pro libovoln L a pro L = L2 mus bt nulov.
Ri2 + !21C 2 ; LC2 = 0
L2 = C Ri2 + 42 f12 C 2 = 0 168 H :
2
1 bod
Vyeten m znamnka derivace v okol L2 dokeme, e jde o maximum: ) Jmenovatel je vdy kladn Pro L < L2 je itatel kladn ) v L2 je maximum. Pro L > L2 je itatel zporn d)
2 body
; ;
ULmax = r
!L2 U
Ri2 +
1 2 !L2 ; !C
= 8 2 V:
e) Tabulka a graf z EXCELU:
f)
1 bod
3 body
r
U R02 + 42 f12 C 2 p U 0 ULrez = R02 + (!L1 )2 R0 + R = = 7 8 V: R0 + Ri i
3
2 body
3. a)
Zah vme-li vzduch ve vznej c m se balonu velmi pomalu, je aerostatick vztlakov s la v rovnovze s t hou balonu: mg + V %i g = V %g m = V (% ; %i) kde %, %i jsou hustoty vzduchu vn a uvnit balonu. Ze stavov rovnice odvod me
pV = m R pM V pM 1 1 %= m T M V = RT : Po dosazen m = R T ; Ti : U zem p = p0 , Ti = Ti0 T = 364 38 K =: 364 K : mRTTi0 = p0 V M (Ti0 ; T ) Ti0 = 1 ; pmRT 0V M ti0 =: 91 C. 3 body b) #een m rovnice dp Mg dp = ;%gdh = ; pMg RT dh ) p = ; RT dh dostaneme Zh Zp ; Mgh p = e; Mgh dp = ln p = ; Mg dh = ; Mgh RT p = p 0 e RT : p p0 RT RT p0 p0
0
3body
c) Ve vce h nad zem plat Mgh Mgh p0 V M (Ti ; T ) ; RT V p M 1 1 0 RT = m= R ; e e T Ti mRTTi RT ln p0 V M 1 ; T h = Mg kde T = 300 15 K Ti = (fti g + 273 15) K : mRT Ti Prbh zvislosti h na ti popisuje nsleduj c tabulka a graf: 4 body ti= C 91,23 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 h=m 0 915 1 811 2 584 3 260 3 859 4 3 94 4 875 5 312 5 709 6 074
;
4
4. a)
Z Obr. R2 odvod me: sin = hr = H = arcsin H : sin = arcsin H : =n
= arcsin Ze zkona lomu: sin sin
n n
1 bod
h
S
1 2
b) Z obr. R2: Z obr. R3:
' S
Obr. R2
Obr. R3
1 + 2( ; ) + 2(180 ; ) = 360 ' = 360 ; 3(180 ; 2 ) 2 + 2(180 ; ) + ' = 360
1 = 4 ; 2
' = 6 ; 180 2 = 180 + 2 ; 6 :
2 body
c) Po dosazen vztah z lohy a) do b) dostaneme 1 = 4 arcsin Hn ; 2 arcsin H 2 = 1800 + 2 arcsin H ; 6 arcsin Hn : Pro n = 1 330 dostvme grafy na obr. R4:
(1)
1 2 180
2
150 120 90
2min
60
1
30 0
Obr. R4
0,2
1max 0,4
0,6
0,8
1,0
H 2 body
5
d) Extrm funkce 1 (H ): d 1 = d (4 arcsin H ; 2 arcsin H ) = p 4 ;p 2 2 =0 dH dH n n2 ; H 2 1;H r
2 H = 4 ;3 n : Z grafu v loze c) je zejm, e se jedn o maximum. Extrm funkce 2 (H ):
(2)
d 2 = d (1800 + 2 arcsin H ; 6 arcsin H ) = p 2 ; p 6 =0 dH dH n 1 ; H2 n2 ; H 2 r
2 H = 9 ;8 n : Z grafu v loze c) je zejm, e se jedn o minimum. Hodnoty hl jsou uvedeny v sti e).
(3)
2 body
e) Je-li kapka vody osvtlen slunen svtlem rovnomrn, je rovnomrn rozloen hodnot zmrnho parametru vstupuj c ch paprsk. Soustedn rozptlenho svtla urit barvy bude proto nejvt v tom smru, ve kterm se duhov hel v zvislosti na H mn nejpomaleji, tedy ve smru urenm duhovm hlem 1max (primrn duha) a ve smru urenm duhovm hlem 2min (sekundrn duha). Pro erven svtlo je n = 1 330. Ze vztah (2) a (3) vypo tme:
H1 = 0 862 H2 = 0 951 a dosazen m hodnot H do vztah (1) dostaneme: 1 = 42 310 2 = 50 60 : Obdobnm postupem vypo tme pro !alov svtlo (nf = 1 343): H1f = 0 856 H2f = 0 948 1f = 40 390 2f = 53 290 : $hlov ka primrn duhy je % 1 = 1 520 a sekundrn duhy % 2 = 3 230 . Barvy v duze tvo barevn spektrum. Primrn duha - smrem zevnit !alov, modr, zelen, lut, oranov, erven& sekundrn duha - poad barev opan, tj. erven uvnit,..., !alov barva vn. 3 body
6
5. a)
Zvolme zi za sted koule, na kter le obvodov krunice vstupn ho oknka detektoru (Obr. R5).pTa na kouli omezuje vrchl k o polomru % ap plonm obsahu S = 2rv, kde r = d2 + %2 je polomr koule a v = r ; d = d2 + %2 ; d je vka vrchl ku. r Z
% v
d
Obr. R5 Celkov tok stic je tolikrt vt ne tok dopadaj c do detektoru, kolikrt je povrch cel koule S0 vt ne obsah vrchl ku. 3 body
Aktivita zie je
p
r2 = N1 p2 d2 + %2 = 688 Bq : A = N 1 SS0 = N 1 24rv
d2 + %2 ; d 4 body
b) Aktivitu zie meme vyjdit jako A = N , kde N je poet atom nuklidu a = ln 2=T je pemnov konstanta. Z toho 11 N = A = AT ln 2 = 8 8 10 : Celkov hmotnost stroncia je m = N Ar mu = 1 3 10;13 kg :
3 body
7
7. a)
b)
Magnetomotorick napt podle de!nice Um = H (2r0 ; 2) + Hv 2 podle zkona celk. proudu Um = zI : Jedn se o sriov magnetick obvod s konstantn m prezem S , u kterho magnetick indukn tok je konstantn . Proto magnetick indukce ve vzduchov mezee bude rovna magnetick indukci v eleze. = B S = Bv S B = Bv = B : Tedy 0 Hv = r 0 H = B , kde r je relativn permeabilita eleza p slun indukci B : r = 0BH piem intenzitu H pole v eleze ur me pro dan B z magnetizan kivky nebo z tabulek: Pro B = 0 750 T je H = 120 A m;1 . Pak r = 4 97 103 a pro magnetomotorick napt plat zI = H (2r0 ; 2) + Hv 2 2H (r0 + r) : Z toho ur me magnetizan proud I = 2H (rz0 + r) = 12 1 A : 5 bod
2H r0 + r 3 I1 = = 4 17 A : z
I0 = 2Hz r0 = 0 188 A :
c) Protoe ve vzduchov mezee se nezmn magnetick indukce B , plat 2 2 F = F1 = F0 = 2B 2S = B r2 = 141 N : 0 0
2 body
3 body
8
