EIőszó :m, Geoinformatikai Főiskolai Kar, geometriai rtaLmazza.A tárgyalt témákat az e|ső évfolyam kétóra gyakorlat) dolgozzuk fel,igy közvetlenül terjedelmi korlátok miatt mellőnrünk ke|I az an megszokott ,,mindentbizonfltani,, elvet, ezétt szemléletre támaszkodva ,,belátni'' egyes l elősegíteni, hogy ezálta| a műszaki életben :gítstik. ezért- az egyetemi tankönyvekkel ellentétben: a közölt feladatok megoldásánál térünk el. Itt l elvégezlrie.A feladatok beiktatására azértvolt rztkség, hogy a |eve|ező hallgatóknak némi alkalmazásj lehetőségetmutassunk be, másrésztaz dm{|61elmélltésétsegítsük. A tananyag minden részében az elmélet és gyakorlat szoros egységéretörekedtünk. iE|sősorban az a célunk, hogy az anyag elsajátításával a hallgató megfelelő jiírtasságra (alrílékonyságra)tegyen szert a|.thoz,hogy felismerje a gyakorlati feladatok geometriai tarta|mát, najd sikeresentudja azokat megoldani. Ez alkalommal is szeretnékköszönetet mondani mindazoknak, a\
Baboss Csaba
I{YUGAT-MAGYARORSZÁGI
E GYETEM GE oINFoRMATIKAI
iJ l-\av,-.kc./r Mé,,^.,náuro 29 [re./lc, 3g ko*ft ,uVn re,^/s. a,c:!
FóIsKoLAI
KAR
{
.{;r vn,
ud- #
f t r,-fr;."?fr,.ú ?772Q7.'
4ur 1...
'U
,'
'r?'t
(>4-*-
e47zó/g,.
lsaba
. "u,,"""Í#Í'il1?"yomás ) 8 4,[7s.Á4p2 a/1,tr C,(i,, , ú, n c^.4"et-','..v;,,. d16t^,9{* ..,^.e/},1'/e pn- t*(. ,fQ/Te,,,ő*e4 d;-(,u ö tu/.4,n)an
',! f r"rL,. ,2 k-de'.;
tr(
,b/ W,ő.'@p2 /Q,
q o( '#
/"'r;i'rjr
{,"ri,(rrk)o ej c,1.a..c+t*b y,<*.y',^.o,Cin "y.e._eg e, € - c:,,'-Y), s-,.,!1'.,,i! e6te.."'€ }
a rrflu',
i I
I
/t5/ Q,Lí,r7,r
.L/,--{te ( L e, /( {.&.,ir<
íuV.é
"'r.21> s f
?r
/, -
zr .
.2004 Székesfehérvár
Kü|ön|eges mátrixok: bbl-(vagy zérus)mátrixnak nevezzika mátrixot, ha minden eieme nulla. Sormátrixnak csak egy sora' oszlopmátrixnak csak egy oszlopa van. Négyzetesmátrixról akkor beszélünk,ha sor- ésoszlopainak száma egyenlő. Nég.vzetes(vaey kvadratikus) mátrixok A mátrix rendje az a szám, amely megmutatja,hogy anégyzetesmátrixnak hány sora (ill. ) van. Csak a négyzetesmátrixnak van rendje. Egy négyzetesmátrix főát|őján egy olyan szakaszt érhink,amely az e|ső sor első e|emétaz sor utolsó elemévelköti össze. A mellékát|őaz első sor utolsó elemétaz utolsó sor első köti össze. Á nég!.zetes mátrix lehet: l.$alqrnetnlflE,
ha elemei a főátlőra ttikrözve
(a,t,: a a) Tehát a szimmetrikus mátrix mindig egyenlő a transzponá|tjáva|. megegyeznek
A:A*.
2. Diagonál, ha elemei - a főát|őban lévők kivételével - mind nullák. A f(iátlóban is lehet
zérus,de nem mind. Minden diagonál mátrix egyben szimmetrikus mátrix is.
3.Egqega'laI az olyan diagonál máfrx, amelynek afőát|őjában csak l-es szám lehet, a i elern zérus.Pl. egy másodrendű egységmáftix:
E:l
[r o'l I
L0 1l
ili[inden egységmátrixegyben szimmetrikus mátrix is. +üárqmszÖ,gmatrla,ha a főátlő fölött minden elem nulla (alsó háromszögmátrix), vagy a alatt minden elem zérus(felső háromszögmátrix). Níegiegyzés: A m^átrixokkalbővebben (műveletek mátrixokkal . . . . . .stb.) a matematika tantángykeretében
6. Ha egy determinánsban bármely két soT megfelelő elemeit felcseréljük, akkor a *j'etermináns értékeaz eredetinekellentettjelesz. 1.Ha egy determinánsbármely sorának mínden e1emétk-szorosára változtatjuk, akkor a ,jeterminánsértékeis k-szorosára váLtozlk ík e R). 8.Ha kétegyenlő rendű determinánsnakaz i-edik sor kivételévelminden azonos helyen á1ló eleme megegyezik,akkor e kétdeterminánsösszege egyenlő azza| a determinánssal,amelyiknek i-edik sorában lévő elemeítaz előbbi kétdeterminánsmegfelelő elemeinek összegekéntkapjuk, minden további eleme pedig azonos a kétdeterminánsközös elemeivel. Számítássalellenőrizzük az előbbi tulajdonság érvényességét a következő determinánsokesetén:
ha valamely sorának minden eleméhezhozzáadjuk egy 9.Nem váltözik a determinánsértéke. másik sor megfelelő elemeinek k-szorosát (ke R). Ezt a tulajdonságot a gyakorlatban minden olyan esetben fel fogjuk használni, amikor hárornnál magasabbrendű mátrix determinánsátakarjuk meghatározni. Adj ungált aldeterminánsfo galma: A determinánsminden e|eméheztartoz1kegy adjungáút(hozzárendelt) aldetermináns, amit az eredetideterminánsbólúgynyertink,hogy elhagyjukazt a sort ésoszlopot, amelyikben az elem r.an.Az a* elemheztartozőaldeterminánsjelölése: IA,t |. Az adjungált aldetermináns előjelét megkapjuk, ha (-l)-et annyiadik hatványra emeljtik, amennf a sor- ésoszlopindexekösszege (i+k). Kife-jtésitétel: Egy determináns értékétűgy is megkaphatjuk' ha a k-adik sorának minden elemét megszorozzuk a hozzá tartoző adjungált aldeterminánssal, majd vesszük ezeÍ szotzatok összegét.(Ekor azt mondjuk, hogy a determinánsta k-adik sora szerint fejtettük ki). Ha az n-edrendű |A|determinánsta k-adik sora szerint fejtjük ki, akkor:
lAl:a olA , o rl*ourlA o,l+"""""""'*a ^lA ^?far l
lr 1
Ha az n-edrendű A determinánstaz s-edik oszlopa szerint fejtjük ki, akkor:
& n,sl:f , , , 1 , 1 , 1 l A l :a,,l A ,,l * u r ,l A r .l + " " " " " " " " *lA, t:1
Mivel a Samrs-szabály csak harmadrendű determináns értékénekmeghatározásétra alkalmas, ezért magasabb rendű determinánsok értékétcsak úgy tudjuk kiszámítani, hogy a kifejtési tétel
Determináns okkal kap csolatos mátrix tulaj dons ágok: 1. Bármely háromszögmátrix determinánsának értékeegyenlő a főátlőban lévő elemek , uoruatáva7. 2' Bármely diagonál mátrix determinánsának értékeegyenlő a főátlőban lévő elemek . yorzatával. 3. Bármely egységmátrixdeterminánsának az értékel. 4. Szinguláris mátrixnak nevezünk egy kvadratikus mátrixot akkor, ha determinánsazérus. 5' A mátrix rangia: Az nxk típusú(ahol n>k) mátrix sorainak száma (n-k)-val több, mint oszlopainak száma. ' Ha bármel]l (n-k) db sor elhag.vásával nyert k-adrendű négyzetes mátrixok között van nem szinguláris. akkor a mátrix k-ad rangú.Ha az említettnégyzetesmátrixok mindegyike szinguláris, skkor ezekből újabb sor. és oszlop elhagyásával nyerhető (k-l)-ed rendű mátrixokat kell . nnegvizsgálni.Ha ezekközött van nem sánguláris, akkor az eredetimátrix (k-1)-edrangú(ésígy tovább). Ha k>n, akkor a k-n oszlop elhagyásával nyert n-ed rendű négyzetesmátrixokat kell nregvizsgálni. Minden mátrixnak van rangia. de rendje csak a négJrzetesmátrixnak van.
I
lo t - t x *t Os o -! t 2
,l
(1. ábra) ha5.ektorokat(az a, b, c komponenseket,ahol egyik sem nL]lvektor) úgyadunk
össze, hogy
of:$ukTu| párhuzamosá" úgytoljuk el,.ho!y az e1toltvektor ff-I"TTnenseket egybeessen ia az előbbi vektor végpontjávat.AiosszJg,,ektor (v. eredő) kezdőpontja
az első komponens kezdőpontjával, végpontjapedig uio,,o. az utolsónakhozzáadott véeoon!ával f,Ielyvektorok összead ásakor az első komponens kivételével a többi vektort szabadvektornak tn!.ük. Ezért he|yvektor összege mindig helyvektor. l-ektorok összeadására érvénves a kommutativitás: a+b:b+a ésaz asszociativitás: a+(b+c):(a+b)+c törvénye.
I.ábra
2.ábra
l 1.Vektorokkivonása (2.ábra) Szabadvektorok kivonásakor előbb a vektorokat űgy toljuk el önmagukkal párhuzamosan,hogy vektor kezdőpontj a a b vektor végpontjávii ; ybe vektor értendő, amely az e\őbb leírt ktilönbsés tolássalnyerhető. l2.Vektor ésvalós szám szorzata: Egy a vektomak egy k valós számmal (skalárral) való szorzatán egy olyan velctort értünk, amelyneka nag}zsága:|k|| aI állása: azonos az avektor állásával iránva: ha k>0 akkor azonos az a veldor itányával, ha k<0 akkor ellentétesaz a vektor irányával. Következmény: való uorzataként.Tehát kétvektor (a ésb) párhuzamo''.ágáouk,'ükséges éselégséges feltétele, hogy legyenolyan k valós szám,hogy a=kb 13. Ellentett veictor:Egy vektor ellentettvektorán a (-l)-szerese értendő.Ha egy vektor kezdőes végpontjátfelcseréljük,ellentett vektorát kapjuk. 11
t-l
ftcAxcBl :^86 +o +49: J245
]ül
háromszös terri1ete t.e. T=0.5 ^]245
Három vektor Vegyes szorzata A címbenszereplő vegyes jelző arra utal, hogy a vektorok szorzásakor a skaláris ésvektoriális egyszelTe szerepelnek. A következőkét eset lehetséges:
1. (a.b)xc érteimetlen,mível a zfuője| értékeegy szárr' ésezt nem lehet vektoriálisan egy szorozti (ui. Ehhez kétvektor kell). 2. (axb).c csakis így éttelmezhetó,mert a ,,zárője|eredménye''egy vektor és ezt lehet árisan szorozni a c vektorral. Ennek eredményeegy szám|esz! Mit mutat meg eZ a szám? A skaláris szorzat definíciója alap1ánkapjuk: (axb).elaxbllclcos/ A 10/bábraa|ap1án: |axb|:T és cos/:m/|c| ebből m:|c|cos/ a vegyes szoÍzat: (axb)'c:+Tm:
-|V
Tehát a vegyes szorzat eredményekéntnyert szám a három vektor által kifeszített ''előjeles'' térfogatával egyenlő. Az előjel akkor pozttív, ha a három vektor zert alkot (ekkor a Q hegyesszög) és akkor negatív, ha a három vektor balrendszert (ekkor a Q tompaszog).
I)/b ábra
I9
Kétvektor vektoriá|isszorzata Két
(nem null-) vektor vektoriális szorzatán -jelolve: axb- egy olyan vektort érhink. megegyezik a kétvektor által kifeszítettparalelogamma területénekmértékszámával a és b vekÍorokra.(ezértaz.á|ta|ukkifeszítettsíkrais)
(Ez azt jeleni, hogy az (axb) szorzatre|
pozitiv forgás viszi a b vektorba.) Az előbbi definícióból kitűnik, hogy a vektoriális szorzat csak három dimenzióban (térben) ezértezenvektorok három-három koordinátáikkal adottak. A vektoriális szorzat tulaj donságai: axb* bxa
de axb:-(bxa)
ún.alternáló tulajdonság.Ez a definíció 3.
következik. asszociatív: (axb)x6*ax(bxc). Ez a definíciő 2. pont1.ábólkövetkezik, ugyanis az baloldalán egy c vektorra.merőleges vektor á71,a jobboldalan pedig egy a merőleges vektor van, ezek egyenl{ségepedig á|ta|ábannem teljesülhet. : k(axb):1nx!:nxl6fo : (mivel a sorrend lényegesezértkétdisztributív törvény is van) 2x(b*c):axb+axc (b+c;xa:6xa+cxa
vektoriális szorzatkéntnullvektort? (Mikor |esz a vektorok által kifeszített mma területe nulla?) Ha vagy az egyik, Yagy a másik vektor nullvektor, vagy a két párhuzamos egymással. vektoriális szoTzatfelhaszná|ásaa háromszög területénékmeghatározására: qy hiíromszög egy csúcsából kiinduló kétoldalvektora a és b ,akkor:
|axb| megegyezlk (a definíció l. ponda értelmében)a két vektor áital kifeszített területével,a háromszög területepedig ennek éppena fele.
I7
\'\ \N
:Egy tetaédernégy csúcsa: A(1;0;-1) B(3;2;-2) CQ;1;0) ?b?
D(-2;3;2).Mel&ora a
csúcsból indulóélvektorai: frQ;z;_t) , Á?1111;, aB1-s;r;:;
V:3
21
térfogate{vsée.
Kllcsönösen
egyértelműe.eyleképezéskéthalmaz elemei között akkor. ha az eg]/ikha]Ínaz
Ez itÍ'
ielenti, hogy bármely térbeli ponthoz egy (és csakis egy) számhármas tartozik, és , bárhogyan is adunk meg egy számhármast, ahhoz a térbenmindig egy (éscsakis je|ző itt arra utal, hogy az első koordináta az abszcissza (x), 1nnt tartozik. Végül a rendezet1t koordináta az ordináta (y) ésa harmadik koordináta az app|ikáta(z). kánv meeadása
72.é.t:rra Á következőkben an. vtzsgá|juk meg, hogy a koordináta-rendszer segítségével hogyan lehet t számokkal megadni. Irányt a legkönnyebben egy vektorral adhatunk meg' Ebben az közömbös a velctor kezdőpontjának helye és a vektor nagysága. Tehát bármely irány űen meghatőto zhatő egy egységnyi helyvekÍorral. 2- Ferdeszö gű (klinogonáiis) koordináta-rendszerek Ea a koordinátatengelyek - illetve az i,j,kbázisvektorok - nem merőlegesek egymásra, akkor íí koordínáta.rendszerről beszélünk. A ferdeszögű koordináta-rendszerben viszont a kétféleképpendefiniálhatjuk: d Kontravariáns koordjnáták esetén,ha egy P* pont koordinátái (x*;y*), akkor a P* pontba r*(x*,y*) hel1vektor r*:x*i+y*j módon állítható elő. (térbenpedig: r*:x*i*y*j*z*k), a z* a Px pontnak, ésezértaz r* he|yvektomak az app|ikátá1a. b Kovariáns koordináták esetén,ha egy P* pont koordinátái (x*;y*), akkor ezeket a a P* pontba mutató r*(x*;y*) helyvektornak a megfelelő tengelyekre eső vettil etekéntnyeg.tik.
23
bi Térbelipolárkoordináta-rendszer A térbeli polárkoordináta-rendszert meghaténozzaegy (vízszintes helyzetűnek képzelt) egy aÍramerőleges alapirány, és egy alapirányra illeszkedő kezdőfélsík,amely szintén óleges az alapsílaa.Az alapsík ésalapiréinymetszéspontjaaz O origő.
_o€
_gO"*cf s ge
', TrriJ ig)
15.ábra
25
4. Hen gerkoordináta-rendszerek
D6 irp tz)
P'1r,g)
16. ábra A hengerkoordináta-rendszertmeghatározza e1y alapsíkban felvett síkbeli polárkoordinátaés az o kezdőpontban arra merőleges számegyenes (z tengely).Egy P pont ítái tehőú, annak alapsíkon lévő P' merőleges vettiletéhez tartoző (r,l) i ésa z:PP'iriínltott távolság. A térbelipont helye a hengerkoordinátríksegítségével egyértelműenmeghatározhatő, de egy a második koordináta többfélekeppen adható meg, tehát ez a hozzárendelés sem egyértelmű. 5- A koordináta-rendszerekről általéLban A koordináta fogalma a gyakorlati életbensokkal szélesebbköní, mint azt az eddigiek során Ha adva van valami|yen alakzatokból á71őha|maz.akkor koordinátáknak nevezzük (illetve számcsoportokat), amelyek eeyértelműenmeghatározzák azt. hogy .(A kölcsönösen egyértelműség -mint látfuk - nem követelmény). Aá az előírást. amely me8rrnondja.hogy mel)rik alakzathoz milven koordináták tartoznak.
27
uJ uJ
4.feladat:Toljuk el az orjgő középpontú,d sugarúkört - amelynek egyenletex, +y,:d2 - az uv) vektorral. Adjuk lrregaz eltolt görbe egyenletét!
2
iQ'g',9'Ll1{tu1u1
18 ábra Bár a feladat szövege nem említ új koordináta-rendszert,ennek ellenére- a jobb megértés - cé|szerubevezetni egy újkoordinátarendszert. Ezt arégiből úgynyerjük, hogy a körrel a koordináta-rendszertis eltoljuk az adott ro(u;v)vektorral. .V új(vesszős)koordinátarendszerben a kör origó középpontumarad,ezértegyenlete: (x') 2+1Y';2 :4 z .V eltolás miatt: x':x-u és y':y-v , majd ezeket az e|őbbi egyenletbeírva kapjuk az e|to|t egyenletét: (*-,t)'+(Y-v)2:612 A koordináta-rendszerelforgatasa az origó körül P pont koordinátái az eredeti koordináta-rendszerben:
(x;y)' az úi koordináta-rendszetben: ( x' ; y' ) . k el a koordináta-rendszert a szöggel. Határozzuk meg az új koordinátákat a régi ésaz elforgatásszöge segítségével!
t \
29
t; 5s{adat: Adott
egyenes. Forgassuk el a koord'ínáta-rend.szert 33Oo-osszögge1,
aZ y:9x
Írjukfe1az adott egyenes egyenletétaz újkoordináta-rendszerben.
g,
it
9
{
i
I
I ,J
i ,)"
20. ábra
xt
v'
x t; VJ
,|
1 2
2 1 2
A forgatómátrixból:
.)
L
ésy értékeitaz eredeti egyenletbeírva nyeg.ük: .lil.l;1 t _ x,+ v, y,_ vt ( t,
t *,+ u,.,
2 2' 3 2 2- ' y': JJ x' utána végeredmény: a műveletekelvégzése ésrendezés ny középiskolai ismereteink alap1ánis ellenőrizhető, hiszen az úi rendszetben AZ tg60": J3 . irányszöge 60"-os \esz, ezértmeredeksége:
31
A koordináta.rendszerelmoz satása A legáltalanosabb elmozdulás is előállíthatő egy eitolás és egy forgatás egymás utáni val. Yizsgáljuk meg, hogy egy tetszőleges P(x;y) pont koordinátái az új koordinátahogyan állapíthatók meg, ha eú' az új koordináta-rendszert az eredetiből egy r. való eltolással,majd azuj origő körüli of-os elforgatássalnyerhető. Irgyenek azro(x";y") vektorral való eltolás után nyert újkoordináta-rendszertengelyeix* és }.fuÉrtaz eltolás utáni új koordináták: Xx:x-xo y*:y.yo. Ha ezt az elto|ásutáni (csillagga| koordináta.rendszertazuj origó körül oP.kal elforgatjuk ésaz elforgatás
/-{r \. í ,
,)é,(?)
1 lr t l
22. ábra nyert legújabbkoordináta-rendszertengelyeit x'- ésy'-vel jelöljük, akkor a forgatómátrix:
X
x*:x-xo cos d
y*:y-yo
-srna
cosa
srn a
Az előbbi forgató-máfixból (már a forgatásnál ismertetett módon) meghaiánozhatjukakár a iabb, vagy az eredeti koordinátákat (lásd a következő feladatokat). T-feladat:Adott az (x.4)'* (y-o)2:4 kör. Toijuk el a koordináta-rendszertk(4;6) vektorral, ln uűj origó könil forgassuk el tetszőleges a szöggei. Adjuk meg a kör egyenletétaz uj x-4
y-6
xt
cos a
sln a
v'
-srna
cos a
forgatómátrix
x-4:x'cosa-y'sina x:x'coso-y'sinorF4 y-6:x'sinefy'cosd 5x'sincu-ry'coscv-t-6
aa
4c
V, ANALITI KUS G EOM ETRIA anaIitikusvagy koordínáta-geometriaalapgondolataDescartes (Dékárt' I596-1'65i0)francia ikustól ered, bár e módszerek első nyomai az i.e. 200. könil tevékenykedő iosznái is fe1lelhetőek.Az eltelt, mintegy300 év alatt - migaz alapgondolattól eljutunk a ben vett ana]itikus geometriáig - sokat ke]]ett a matematikusoknakmunká]kodniuktevékenykedősvájci matematikusnevét,aki az ki ketl emelnünk Eule1 Szentpétervárott megjelent '']ntroductio,'című művébenmár szinte a mai fogalomrendszerthaszná|ja. analitikus geometria az vn. Descartes-fóle derékszögű koordináta-rendszersegítségévei t teremt a matematika két k]asszikus ága, a geometría és az algebra között. ével lehetővé válik, hogy a geometriából ismert szerkesztésifeladatokat számítással meg' így a szerkesztéspontatlansága a számítás (egy.e növekvő) pontosságával
A pont ana|itikusgeometriája Adott szakasz felosztása adott arányban k meg annak a Po(x";yo;z")pontnak a koordinátáit, amelyik az A(x,;y ,;z,) pontok által meghaLározottszakasztadott (k:n) arányban osztja,azaz 7;y ,;z 2)
Ifrn=rn A(xr
('b rr.^"
t1.t z r )
P?.xo',vo ; zo) B(v.rrlrizl g
A B :b-A
a=ár't
Á bP=a+ AID o =a+ k+n
o.sfrk - a) AP- : --(b -o) :;:-(b K+n s r + sn k u= 1 (ka+na+kb-ka)= --1- (na+kb) k+n
35
'Í1 1 1 =' (a*b*c+d) {d+3[.Á(a+b+c)]] - V ál l í t á ssz erint : ,_d+ 3s o 4 3+ 1+ 3
tfivel a kapott eredmény a tetraédercsúcsaiba mutató a, b' c, d helyvektorokra nézve ezértbármelyik súlyvonainakis íquk fel a negyedelő pontját, mindig ugyanezLaz enytkapnánk . Ezze7 állításunkatigazoltuk. Áz előbbi vektoregyenlet alapján a tetraéderS súlypontjánakkoordinátái:
x o : I ( * , * * r+x . * x o ) y ": L( y r+y,*yr *y o)
*:i(r r *r r +zr - r zo)
-?-tt
Az egyenes analitikus geometriája ,Áz egyenesnekvégtelensok pontja van, ezértezek konkrétmegadásáranincs lehetőség,de találhatunk olyan rendelkezünk olyan algebrai eszközökkel, amelyek segítségével amely az egyenesenlévő tetszőleges(un. futó-) pont (i11.térbenegyenletrendszert), koordinátái és az egyenest egyértelműenmeghatározó adatok között -képlet formájábannal oontiainak x.v koordinátái kielésít a kétismeretlenes koordinátái viszont nem, a vonal egyenleténeknevezzük. : Az előbbi mondatban szereplő vonal szó (mint később látni fogjuk) nem ül jelerrt egyenest,mivel a megfoga|mazástgaz más vonalak (kör, ellipszis,.....stb)
rs.
foga|mazva: Ha egy pont rajta van eg)i vonalon.
akkor koordinátálit a vonal
ha viszont nincs raita a vonalon akkor helvettesítveesvenlosé ítésutan nem kapunk egyenlőséget. Ebből az következi|9 hogy két vonal közös imk (metszéspontjainak)koordinátáit úgy n}zerjük. hoey a két vonal eeyenletéből ál1ó
Különböző
módon adott eqyenesek egyenletei
djesség kedvéért (és az ismétlés szándékával) előbb _ a következő
három pontban -
a középiskolában megismert képleteket
adott''m'' meredeksésűe
m=ga
5mx+b ( a az egyenesnekaz x tenge|ypozitív felévelbezárt un. irányszöge) átmenő.adott v(',;', v
2
x-v
y-y t'
a-
3t
2
) irányvektoru egyeneseeyenlete: 1o-y
yo 1'
Líegjegyzés: Mivel egy egyenes v irányvektoraés n normálvektoramerőlegesegymásra, czértegyiket a másikból 90o-oselforgatássalnyerhetjük. : 5-{z egvenes normálegy A normálegyenlet olyan normálvektoros egyenlet, ahol a normálvektor egységvektor'Mivel lÉrmg|yvektor osztva saját hosszával egységvektorteredményez,ezéttha
;B)
akkor
lnl:
^lA'
+B'
ezért
az egyenestartópon{a Po(xo;yo),normálvektoraaz előbbi no egységvektor,akkor az un. normálegyenlete: ABA^ B
^l A '+B'
^! A '+B''
^ lA' + B '
^ lA' + B ' '
Bizonltsuk be, hogy a normálegyenletjobb oldalán álló konstans kifejezésaz egyenesnekaz Útolmért''előjeles''távoisága (d). 24a ábra szerint ez a',d,, távolsás nem más. mint az ro helwektomak a normálvektor lévő merőleges vetülete. Ennek hossza (a vektorok skaláris szorzatánál tanultak 6:lro.nol a kétvektor koordinátáinak segítségévelltatÍrozzukmeg, z előbbi ska|árszorzatértékét a normálegyenlet jobboldalán á11ókifejezéstnyerjük. Ennek értékeakkor pozttiv,ha a az egyenesfelémutat, ellenkező esetbennegatívlesz.
Az előbbi áhra alapján: A c o sa = .A'2+B2
A2 +B2
Helyettesítstikaz előbbi összefi.iggéseketa normálegyenletbe,így nyerjük az Ín. Hesse-féle egyenletet:
5ingzo
costri-vo s
24/b ábra .A normálegyenletnéibizonftottakbó] következ1k, hogy a Hesse-féle egyenletjobb oldalán bnstans értékeis az egyenesorigótól mért''előjeles'' távolságát adja.
39
7. Az e{venes eg.venletének tengelymetszetesalalda:
24lc áhta JelöIjiik az oigőta nem illeszkedő, általános helyzetű egyenesnek a koordináta terrgel alkotott metszeteinek az o kezdőponttól mért trívolságát előjelet is figyelerrrbe véve ''a''-val ''b''-vel. Az előbbi ábra alapjránmegállapíthasuh hogy megfelelő szögeik egyerrlőségemiatt
ATP háromszög hasonlóaz AoB háromszöghöz, ezért y a -x -= ba
Y =1,- ! ba
Megtregyzés:Az egyenlet speciális helpetű egyerresekeseténnem hasznalbató! 8. Adott P"(xo:vo)Ponton áfuenő. adott ''m'' meredelrségűe{Yenese{yenlete:
n"..t
25.ábra m= tga = l-l: x- x-
A tört elüívolításaután: y-f
= m ( x-xo )
40
Metrikusfeladatok A távolsági ésszö gfeladatokat metnkus fel adatoknak nevezzuk. 1. Két pont távolsága: Meghatarozzak a kétpont vektorát,majd kiszámítjukennek a hosszát. J
2 . Pont ésegvenestávolsága:
Határozntkmeg a P*(x*;y*) pontnakaz e: Ax*B5Axo+Byo:C
egyenestő]való távolságát (d) !
t. í -a
P"(,n;a*) X ,/
'll '
li |ö.
45 lo
+\
( h ,7
tr"(ro; !") 2,7.ébra
A 27.ábraalapján megállapíthatjuk,hogy a ''d'' távolság a p.p-* vektornaka normálvekt
egyenesénlévő merőleges vehilete. 6: l1o.(r*-ro)l Ezért tes A kapott egyenletlényegében mát a keresetttávolság képlete.Használhatőságátnehézkessé az, hogy ismernünk kell az egyenesnek egy tetszőleges P" pontját, továbbá meg kell adnunk normálvektor irányába mutató egységvektort.A következő átaiakítások után ezeloe nem le sziikség.
Az egyenesnormálegyenleténél láttuk, hogy
,"(-L;
-L)
^ lA t + B' ^ lA ' + B' Mivel r*-ro[(x*-x.);(y*-y")], ezérta skaláris szoÍzat:
42
\}\\'-.'
A kr.;elölt műveletek eivégzéseésrendezésután kap.1uk:
Ax*+By*- C Az +Bz
AhoI az x*;y* az egyenesrenem illeszkedő P* pont koordinátái, az A;B a normálvektor koordinátái, a C pedig az egyenes normáivektoros egyenleténekjobboldalán Iévő konstans gtéke. A kapott képletse-eítségéveI az is eldönthető, hogy kétpont' az egyenesáltal kettéosztott félsíkokközül ugyanalTaa féisíkra, vagy lailönböző félsíkrailleszkedik. Két pont a}.*'orvan az ,,egyenesazonos oldalán,,(azonos félsíkon)'ha a pontok egyenestől raló távolságának meghatározása során az előbbi képlet abszolútértékén belüli kifejezés értéke azonos előjeiű szám. El1enkező elojel eseténpedig a két pont az egyenes kijlönböző oldalán helyezkedikei. a P* pont koordinátáinak fuggvényeként A képletelőnye abban van, hogy a d távolság értékét d=N(P*) módon is szokás ie]ölni. AZ N bef[i a n.--e4.ük.Ezt a fuggvényt röviden: normáJegyen]etreutal, ugyanis a képletjobboldalán á'I]ókifejezéstúgy is nyerhetnénk,hogy az eg,venesnormálegyen]eténeknu]lára reduká]t a1akjába,-az x,y futókoordináták helyébe-beírjuk az adottP* pont koordinátáit. j. Két eg-venes távolsága. Két dimenzióban csak kétpárhuzamos egyenesnekvan távoisága. Ez a fe|'adatvisszavezethető pont éS egyenes távolságára' ha előbb az egytk egyenesnek megadjuk az egyik pontját. }Íegoldható a feladat Írgy is, hogy -normálegyenleteikből- meghatároznlk mindkertőnek az ongótól való előjeles távolságát,majd vesszük ezen távolságok .küIönbségét. 4.Kéteeyeneshai]ásszöee Két eevenes hajlásszögén a metszéspontbankeletkezett kisebbik szöget értjük.Tehát két egyenes hajlásszöge maxtmum 90" iehet' A hajlásszög merőleges száru szögpáqa a az a|ábbiakszerint normálvektoraik álta| bezárt szögnek, ezértazt ska]áris szouataik segítségéveI nveriük:
n 'n Ico sa " r= ln, lln ,
ésebből ,,f, egyenesnormálvektorátjelöli. M,,e,, egyenes,n pedig az , / Mivel vektorok skalárjs szorzata negatív is lehet -és ekkor ü tompaszög lenne- ezértkel] a abszolútértékbetenni (éstermészetesena visszakereséskora 90" fölötti skaláris szorzaÍ.értékét megoldásoktólel tekintünk).
t-
+3
' ' 'l i ,
1,
A szögfeIező egyenesekegyenlete n .\-/ \-',,
NZ
r-\ \
?(y. Ll I \ "
o.-
r\ 1-
/
tÁl
"YafD t
t '//
29.éhra A szögfelező egyenes minden pontja a két egyenestől egyenlő távolságra van. Mivel a "-r.olságotúgy nyerjük, hogy a normálegyenlet nullára redukált alakjába behelyettesítjtika P pontokkoordinátáit,ezérta szogfe|ezőkminden P pontjáraéscsak ezekre igaz,hogy \a (P)|:lN6 (P)| amiből a következő kétegyenletnyerhető: No @):N6 (P) vagy No (P): -Na (P) ésezekből
N o G ) -N 6 ( P) :0
vagy
Na(P )+NaG):0
Tehát a két szöefelező eg]/enletétaz adott egyenesek normálegyenleteinek összege ill. hlönbsége adja. Az előbbi eljárásból sajnos az nem tűnik ki, hogy mikor melyik szögfelezőt kapjuk meg. Ezt a legegyszeníbbenaz ábra alapján dönthetjük el. Megjegyzés:A két szogfeLezőmindig merőleges egymásra. 2.feladat:Adjukmega
3x-4y:I0
és 5x+L2y:I3 egyenesekszögfelező egyeneseít.
és a " * 9 , = , A k é te gyen esn orm ále gyenlete: 1*_!,: z 5' 13 13' 5 -{z előbbi kétnormálegyenletmegfelelő oldalainak összege ill. különbsége lesz akét szögfelező: és I4x-II2f65 64x+8:_195 vizsgáljuk meg, hogy melyik a hegyesszög szögfelezője és K*zítsünk ábrát és az ábra aIap1án melyik a tompaszögé. é'/^
A kör .{ kör egyenletével,a kör és egyenes kapcsolatával már középiskoláb an megismerkedtünk, itt csak a kör érintőiévelfoslalkozunk. Határozzuk meg az origó középpontú r sugaru kör adott E(x.;y.) pontjára illeszkedő énekegyenletét(3O.ábra). Mivel az é.rintő merőleges azBpontbahűzott sugárra' ezértaz E pont helyvektora az egyenes lvektora, tartópon{a lehet az E pont. Az érintőegyenlete: xox*yop(x")t
45
+(y') t
../
\.izsgáljuk meg, hogy milyen egyenlethezjutunk abban az esetben,ha külső Po(x";yo)pont &aordinátáithelyettesítjílkaze1őbbnyert érintőkegyenietébe.Pontosabbanfogalmama: ffila: P"(x.:yo) pont a körön kívül van. akkor minek az egyenleteaz alábbi eeyenlet? íl'|
xox*yo5
1z
\Íivel az egyenletlineáris (x ésy első hatványon szerepel),ezértbiztos, hogy egyenesnekaz cri-enlete' de ez az egyenes érintő azértsem lehet, mert krilső pontból két.érint ő huzhatő ez pedíg "q;rl-egy egyenlet. ]eeyenaPopontbóLhűzhatő e, ése,éintőkérintésipontjaE,(*,;yl)ill.E,(x,;Y,)
Wn=ka pontok a körön
vannak, ezért az éintők egyenlete: tr' xrx*Y,5rz
x rz 2'. rx-lY ,Y: .\ Po(xo;y") pont mindkét érintőnek pontja, ezért koordinátái e
mindkét egyenletet kielégítik,
,fr141
x,xo+y,,Yo: Íz rz * ,* o * y , Y" : .v utóbbi két egyenletet viszont az említe|t(x)-gal jelölt egyenletből is megkaphatjuk, mÉgpedig úgy,hogy az (x;y) ''futókoordináták''helyébeaz E ésE, Pontok kooordinátáit írjuk. , Tciút az E . ésE ^ pontok rajta vannak a (x)-galjelölt egyenletáltal meghatározottegyenesen' a kérdéses eqyenlet az E, E,
@n
szelő egyenlete.
Természetesen általános helyzehíkör eseténis, hasonló gondolatmeneteredményeképpen aá pont érintő koordinátáinak az egyenletébe való egy külső beheiyettesítése. ezen hogy furnánk, I huzhatő érintők érintési nletétad'ia. E-zr az eredményt felhasználva' egy adott kiilső pontból, huzhatő érintők eteitaz alábbiak szerint nveriük: l
A lailső pont koordjnátájt az érintő egyenletébe írva megkapjuk az érintési pontokon
átmenő szelő egyenletét. :- Meghatározzuk a szelő ésa kör metszéspontjait:az E :
Felí{uk az E' ésE, ,
és E , érintésipontokat. , pontokrailleszkedő érintőkegyenleteit. érintési
\íegjegyzés:Az érintésipontokon átmenő szelő egyenleténekmegállapításakor nem ltuk fel a kör geometriaitulajdonságait,(hanemcsak a görbe egyenletét), igy ez az eljárás ii1'en kúpszelet (ellipszis, parabola, hiperbola) esetén alkalmazható. Tehát bármely elethez külső pontból érintőket az előbbj három pontban leírtak szerint kapunk (ezért a
biek során megísmertkúpszeletekkelkapcsolatbanezzel atémávalmár nem foglalkozrrrrk). -:.!i!gd4!:Adjuk meg a P(7;1) pontbőI,az X2+y2:25 körhöz húzhatóénntők egyenleteit! !g'-tsünk ábrát!) Az frntési pontokon átmenő szelő egyenlete: 7x+y:25 ' Errnek a szelőnek az adott körrel pontok): E, (3;4) és E, (4;-3), majd ezek ismeretébena keresett í aetszéspontjai(az érintési 4x-3Y:25
e:ix+4v:25e: ,+/ A-
Az ellipszis Az ellipszis a sík azon pontjainak mértanihelye. amelyeknek két adott ponttól. (az F
és F, , fókuszpontoktól) mérttávolsáeösszeeük egy adott állandó értékésez az állandó értéknaeyobb. mint a fókuszpontok távolsága. I
P(xru) g
x
\
x
-a
Az előre adotttávolságok összege: PF, lPF
(a nagytengel5 a legnagyobb átnétő hossza). ":2a A fókuszpontok távols ágát főhxztavoisagnat nevezzik.Errnek hossza: 2c A legkisebb ánnérőtkistengelyneknevezzik. Errnek hossza: 2b. A féltengelyekésa félfókusaávolság közötti összefiiggés(a3L.ábra alapján): 4z -[z !g2 Az origó középpontúellipszis egyenleténeklevezetése: A definíció miatt:
PF, *PF, : 2a
P F : 2 a -P F + tz A P ,,futó'' pontnak hatátozzuk meg a fókuszoktól való távolságát. A kapott értékeketbeírva kapjuk:
JG;4;V =2a-JGq +y'z
/o,
c 2+2 c x +x '+y '=4 a z-+o^l1r - r f *y' + cz -2 cx+ p' + y2
4aJG-i
+y' =4a2-4cx
l4
a'c' -2azcx+a2x' +a'y' = ao -2azcx+c2xz x'(a' - c') + ,'y'
= a'1a' - c'1
b'xz+ o'y'=a ' b'
49
de, (a2 - c') = b' t a'b'
-\
Ha ellipszisre nem illeszkedő. küiső pont koordinátáit helyettesítjtikbe az előbbi érintők eg]renletébe.akkor (amint azt a kör esetébenmár igazoltuk) a lnilső pontból húzható két érintő pontjain átmenő szelő egyenletétkapjuk. érintési 5.feladat:Adjuk meg a P(5;3) külső pontbőI a 9xz +25yz: 225 el1ipszishezhűzhatő érintők egyenleteit. Ha az E(x.;y") pont rajta yan az adottellipszisen,akkor az érintőegyeniete: 9ao7*25Y"Y:225. az x",yo helyett akkor az éintésipontokon pont koordinátáit helyettesítj;Jk Ha a külső P 45x+75Y:225. átmenő szelő egyenletétkapjuk: Ennek a szelőnek az ellipszissel alkotottmetszéspontjai:E(0;3) és E (5;0). es e: e : x:5. v:3 Ezért az érintők: 2-
1-
A h iper bola A hiperbola a Sík azon pontjainak mértani helye. amelyeknek két adott ponttól ( az F
P qia)
{
to) lTrlcio)
EFc id 2a /L t\
\
33.ábra Az adottá1landó:IPFI-PF,| : 2a, a valós tengelyhossza A fókuszok távolsága: 2c.
51
llllrillliillr
és F,
abszolút értékeadott állandó értékés ez az á71andő
fókuszpontoktól) mért távolsáekülönbségek kisebb. mint a két fókuszpont távolsága.
I
,
A hiperbola aszimptotái Vizsgáljuk meg, hogy a hiperbola középpontján áthaladő, Y : il.X egyenletű egyeneseknek helyzetük. A 34.ábra alapján milyen lehet a hiperbolához valő kölcsönös (ahol m € R) megállapítha1juk,hogy az egyenesek egy része két pontban metszi a görbét, mások viszont elkerülik azt. A metszéspontok koordinátáit (ha vannak) a vonalak egyenletéből áLl|ő egyenletrendszermegoldásaadja. x' y' - 1 Y: m ' x a'
b2
-l
Behelyettesités,négyzefreemelésésa2b2-tel v a|ő szorzás után kapjuk: b'x' -a ' m ' x' = a ' b' x'(b' -o ' -' ) = a ' b'
Két metszéspontotakkor kapunk, ha a gyökjel alatti kifejezés pozitiv. Mivel a szám|á|ő mindig poziav ezétt anevezőnek pozitívnak kell lenni. Ennek feltétele:
34.ábta $z>42 n1z
azaz
ab' ^, a'
53
ésebből:
bb -< m < aa
-\
A parabola A parabolaa sík azon pontjainakmértanihelye. amelyek egy röezített ponttól (fókusz) egyenlő távolsáqravannak. ésegJzrá nem illeszkedő eqyenestőlLvezéreeyenes) Már középiskolából ismert a lailönböző helyzetű parabolák egyenlete. Emlékeztetőül ezek a következők voltak: Ha a parabolacsúcsaaz oigőban van és I. azy tengely pozitiv irányába nyitott, akkor az egyenlete.. * r : 2 py, 2. az y tengely negatívirányába nyitott' akkor az egyenlete: xr: -2py, y2 : 2 px, 3. azx tengely pozitív irányába nyitott, akkor az egyen|ete: 4. azx tengelynegatívitányába nyitott,.akkorazegyenlete: Y': -2Px, jelöli. vezéregyenes ahol a ''p'' u fokuszpont és.a távo|ságát Ha a parabola csúcsa nem az origóban van, hanem egy K(u;v) pontban, akkor az eltolásos transzformáció ismert képleteit haszrrálva,azelőbbi képletekbeazxhe|yébe(x-u), azyhe|yébe (y-v) kerül. A parabola érintője egyenletű parabola E(x.;y.) pontjára illeszkedő érintőjének egyenletét. A görbe egyenleténekexplicit alakja: , = 7 *, ennek d.eriváltja: y,:ilp. Az éirntő '2p Határozzuk meg az
xz:2py
meredekségeaz F' pontban: m:xolp. AZ E pontot tartópontnak véve a parabola érintőjének egyenleteaz E (x";yo)pontban: ti 1 x-x. ) y -yo= Ip p PY-PYo:xox-(*')t Mivel az E pont rajta van a parabolán (xo), :2pyo ezt az előbbi egyenletbeírva,kapjuk: py-py":x"x-2pyo xox = py+ py'
Ha aparabola egyenlete:t':2px, akkor az E(x";y") pontbeli érintője:
.{ többi, különböző helyzetu parabola érintőinek felsoro1ása helyett szeretnénk egy olyan törvényszerűségrefelhívni a figyelmet, amely bármely kupszelet eseténalka|mazhatő.E szerint a hipszelet eg]zenletébőlaz érintő eevenlete a következő átalakítássalnyerhető: A görbe egyenletébenlévő négyzetestagokat önmagukkal való szorzatkéntírjuk Ie, majd az egrtk változő helyébeaz érintésj pont megfelelő koordinátáját írjuk. x2:xx érintőnéiebből Pl. xox lesz, (y-v)':(y-vXy-v) (y.-v)(y-v) 1esz. érintőnélebbőI:
55
bola
szaKasn v
xo : v o
szimmetriatengelybő].mint amekkoraaz E pontnaka csúcsérintőtől mérttávolsága (a 35.ábra alapján:oM:ER) Az Eopontbeli érintő: xxo1y*py. ebből 5i*"lp;*- yo ezért g14:py"\:Eh 2. A parabolatetszőlegesE pontjáhoztartozó érintőjefele akkora szakasztvág le a csúcsérintőből. mint amekkora azEopontnaka szimmetriatengelytőlvalótávolsága (a35,ábra alapján: *x:i1l2)x. ) Legyen az éintőnek a csúcsérintővel való metszéspontja: T(x*;O).Mivel ezrajtayan az érintőn ezértkoordinátái kielégítikaz érintő egyenletét,ezért xxx":O*pyo de az E rajta van görbén,ezérty"=(7l2p)(x")z ezt a előbbi egyenietbe íwa xxxo:(1/2)(x")z ésezt xo-lal osrtva: **:(Il2)xo 3. A parabolabármely E"pontjához tartozőérintőjére, a csúcsérintőjével való T metszéspontjában emelt (b) merőleges átmegya parabolaF fokuszpontján. Az énntőegyenletének normálvektorosalakja: xox-py:pyo tehát normálvekÍora:(xo;-p) ||bll A egyenesnormálvekÍora(mivelmerőleges az éintőre):(p;xo),tartópontjaT(x"l2;O) Á llb'l egyenesegyenlete: px+x"5p(x.l2). Mivel ezt az egyenletetkielégítiazF(O;pl2) fokuszpontkoordinátái, mert 0+x"(p/2):p(x"l2) ezétta ''b'' egyenesátmegy az F ponton. A 3. Tulajdonságból következik, hogy a parabolaF fokuszpon merőlegesektalppontjainakmértanihel]rea csúcsérintő egyenese. 4. A parabolaF fókuszpontjánakbármely érintőrevaló F'tükörképe illeszkedik a parabola vezéreqvenesére. Mivel a T pont fe|ezi az FF, szakaszt, ezértkoordinátái a végpontok koordinátáinak számtani közepe. Ennek alap1ánhatározzllk meg az F' pont koordinátáit. Az eredmény:X':xo ésy,:-ftl/2) ésezze| állításunkatigazoltuk, mert a vezéregyenesegyenlete:y:-(p/2). 5. A parabola F fókuszpontjába helyezett fényfonás fénysugaraia paraboláról visszaverődve a szimmetriateneellyel párhuzamosan haladnak tovább (reflektorok) . Vagy megfordítva:A parabola szimmetriatengelyévelpárhuzamos sugarak a paraboláról visszaverődveazF ponton haladnakát (parabolaantennaelve). Ennek megértéséhez tudnunkkell azt, hogy egy fénysugfu egy görbe felületről úgyverődik vissza, mint ha a beesésipontban huzható érintőrőlverődne vissza. Azt kell igazolnunk (a35.ábra alapján),hogyaz (e) érintő szögfe\ezője azFEo,Eb' egyenesek szögének. Az előbb igazoltuk, hogy az (e) érintő fe|ező melegese az FF, szakasznak, ezért ' bármely érintőeseténaz FEF' háromszög egyenlőszárú,amelynek az (e) érintőmagasságvonala, márpedig a magasságvonal felezi a szárak álta|bezárt szoget.
57
Ha C:0 ak]
0, ezért azadott egyenlet -haegyőlta|án|étezjkagrafikonjaellipszisnek az egyenlete. Mivel C*0, ezért az ellipszis tengelyei nem párhuzamosak a koordinráta-rendszertengelyeivel. Jelöljük a.va| azt a szöget, amellyel a koordináta-rendszert elforgatva az űj terrgelyek (x',y') párhuzamosak leszrek az ellipszis terrgelyeivel. Előbb határozzukmeg ezt a szöget. A f,orgatómátrix: x v xt cos c[ srn c[ x:x'cos cr-ytsino c[ cos c[ 1-1rqog o-v'sincr v' -sln A kapott összefiiggéseket az adott egyenletbeírva kapjuk: (x'coscr-y'sino)z*(x'sincr*y'coso)2*(x'coscr-y'sing)(x'sincr*y'cosg):3 A kijelölt műveletek elvégzése, rendezéséskiemelésutiína görbe egyenleteaz újrendszerben: .(1+sinocoscr)+(y|) .(1-sinocoscr)+ z 2 (x') x'y'(cos2 ü-sin 2 c[):3 (*). de C':O:cosz cr-sinz cr' mert olyan szöggel forgatunk, amely utőn az újrendszerben a görbe tengelyei párhuzamosak lesmek a koordináta-rendszertengelyeivel. Ebből: cos 2ct:0 2cr:90"*k180o cr:45o*k90o Mivel k bármilyen egész szám lehet, ezérta kapott eredményvégtelen sok megoldást jelent a szögre nénte. Ami az ellipszis elhelyezkedését illeti csak 4 kiilönböző megoldás van: q. :225" és o :315o ü ':45o, ct. =135o, t',
1)
A (x).gal jelölt egyenletből cr:45o eseténhatározzukmeg az újegyenlet együtthatóit: .L':l+(1/2):3/2 B':I-(7/2):I/2 Q':D'-F':Q F':-3. Az ellipszis egyenlete az újkoordinátarendszerben:
*!o)' -3=o 1@)' 2' 2"
13
(*')' _, - (y')' Tehát az adott egyerrJethezegy olyan ellipszis tarton'k, amelyiknek középpon! a az origőban van, szimmetria tenge|yeit az eredeti koordináta-rendszer tengelyeinek 45o-os elforgatásával nyerjiik, kisterrgelye az x, tengelynek szakaszaéshossza 2.fi egysé.gryr,nagytengelye pedig az y'tengel1mekszakasza éshossza 2,$ egységny.
.^,o(ABC\ x *,1g, ^17-
"[ A,* É * e,,[ } u z *Ax
Ax+By+Cz
t
+Byo +Cz o A 2 +B2 +C'
A normálegyenlet jobboldalán á11ókonstans kifejezés abszolút értékea síknak az oigőtől va|ő távolsága.Ugyanis a 36/b ábránlőthatő,hogy az S sík origótól való ''d'' távolsága megegyez1kaz ro vektomak az n normálvektor egyenesénlévő merőlegesveti.iietével . Ez pedig oo.fo. teneelymetszetesalakja 3.A sík eqyenletének Adjuk meg annak a síknak az egyenletétamely az X tenge|yt az A(a;0;0) az y tengelyt a B(0;b;0) ésa z tengell a C(0;0;c) pontokbanmetszi, (ahol az a,b,c értékeielőjellel értendőkés egylk sem lehet nulla). Mivel az említettpontok nem lehetnek egy eqyenesen' ezért mindig megJlatároznakegy síkot.Ennek a síknak egy normálveId'orátaz Á(a;b;g)
és ]öe,;o;c)
vel.torok veltoriális szorzataként állíthatiuk elő.
tehát n(bc;ac;ab).Legyen a sík tartópontjaaz A(a;0;0) Tehát az .LBC sík egyenlete:
bcx*acy*abz:abc
labc
Lényeges:Csak általános helvzetű sík eseténhaszná|hatőt. Megjegyzések Az előbbi eljárás természetesenbármely három pont álta1 meghatátozott sík eseténalkalmazható. A két dimenzióban vizsgált egyenesek egyenletei és a tér sík.lainakegyenletei között tapasztalbató formai hasonlóság magyatázata'az, hogy a térbena síkok bizonyos vonatkozásban hasonló szerepettöltenek be, mint kétdimenzióban aZ egyenesek.Pl. a teretegy sík két''féltérre'' míg a síkotaz egyeneskét''félsíkra'' vágja......stb. 4 Speciálíshelyzetű síkok: a/ Koordináta-tengellyelpárhuzamossíkok: Ha egy sík párhuzamos valameiyik tengellyel, akkor egyben merőleges a másik két tengely alkotta koordináta-síkra, ezértnormálvektora benne van ebben a koordináta-síkban(ezétte$.Ik koordinátája zérus).
6I
\
+Á-
Ax x +By * +Czx -(Axo + Byo + Czo)
íT'+B'+c
A P. pont rajÍ'avan az S síkon, ezértkoordinátái kielégítik az egyen7etéttehát a zárője|ben lévő kifejezésértéke D. Ezt a7kalmazvaa pont éssíktávolságképlete: +/l -
Ax*+By*+Cz*-D
^lA'+E+C
Kettős előjelre azértvanszükség,mert mint tudjuk a skaláris szorzatelőjele negatívis lehet és ekkor a bal oldalt negatívelőjellel véve,a d eredményevégülis pozitív lesz. A kettős előjel elhagybatő,ha a képletjobb oldalán ál1ó kifejezéstabszolútértékbe tesszük. A képletjobb oldalán á1ló kifejezéselőjele akkor poziÍlv,ha a normálvektor a sík felé mutat (ellenkező esetbennegatív).Ezt felhasználva könnyen el tudjuk dönteni, hogy kétpont a síknak azonos oldalán van-e (a ''d'' egyenlő előjelű), vagy nem (ha ''d'' különböző előjelű). Az előbbi távolság-képleta távolságot a P* pont koordinátáinak fiiggvényeként határozza meg. Ezt a fiiggvényt röviden d:N(P*) módon is jelölhetjük, ahol az N betű a normálegyenletreutal, mivel a képletjobb oldalán á1ló kifejezéstúgyis nyerhetnénk, hogy a sík normálegyenleténeknullára redukált a|a|<1ába (az x,y'z futókoordináták helyébe)a Px pont koordinátáit helyettesítii.ik. Szöefelező síkok eeyenletei Két metsző síkeseténmindig van kétolyan sík,amelyek felezik a kétsík á|ta|bezártszöget, ill. ezen szög mellékszogét. A szögfelező síkok egyenletéheza szögfe|ező egyenesekegyenleténélleírt módon juthatunk. Végeredmény:Két metsző sík szögfelező síkjainak egi/enleteihezúgy jutunk. hogy-a két sík normálegyenletének vesszük az össze gét.ill. lflilönbséqét.
A tér egyeneseinekegyenletrendszerei Az egyenletek levezetéséheza térben is az egyenest egyértelműen meghatározó adatokat használhatjuk fel. A térbenegy pontból egy adott vektorra végtelensok merőleges egyenest állíthatunk(a kitérőlehetőségekmiatt), ezérta térbeliegyenestegy pontja ésegy normálvektora nem határozza meg egyértelműen'A térbeli egyenest a következő két módon szoktuk egyértelműen megadni:
63
2.Kétadottponton átrrenő eeyenesegyenletlendszere: Ha az egyenestaz A és'B pontjaiva|határozzuk meg, akkor előbb megadjuk u' ai
vektort,
majd ezt (,,ugy valamely számszorosát) kányvektornak véve, -az egytk pontot tartópontként nyerjük a kétpontjáva| adott egyenes felhaszrrálva- az e|őbb nyert egyenletrendszersegítségével egyenletrendszerét. 9'feladat: Adjuk meg az A(-2;4;1), 8(6;0;3) pontokon átnenő egyenesegyenletrendszerét: +
. Az ls (s;_q;q1.Ennek negyedétirányvektomak v á|asztva: v (27 7;I).
Az egyenes egyenletrendszete,ha tartóponhakaz A pontot válaszfuk: x+ 2 _ l_ 4 _ z_ l -1 2 Természetesen tartópontnak a B pontot is válasáhat|uk volna. Biír formailag ez más egyenletet adna, de ennek ellenére lgyaÍLaz a térbeli egyenes tartonta a látszatta ktilönböző egyenletrendszerhez. 3.Speciális helyzetűeeyenesekeeyenletendszere: párhuzamos egyenes a/.Koordinátasíkkal e{venletrendszere. Adjuk meg a P"(x";y";z") ponton átmenő, az [x,y] koordinátasílJ
lra,á
x-xo ab
ésa paraméteresegyenlefuendszet3. egyenletéből(c:0 míatt:) z=z"
_y-y"
P.\x"iy"iz.)
-_ a
egyenes Koordinátasíkra b/ merőleges egyenletrendszere. Adjuk meg a Po(xo ,Yo)zo) pontrailleszkedő,az [x,y] koordinátasíkra merőleges (ezérta z tengellyel piírhuzamos) egyenes egyenletrendszerét:Az ilyen egyenes irányvektora a z tengelynek szakasza, ezért első két koordinátája nulla, így itt csak a paraméteres egyenletrendszerhaszrrálható.
a
38/c étbta
65
Metszésife|adatok 1. Két egyenesmetszéspontja:( meghatarozásárőI- ha létezik - az e|őbb szóitunk). 2. Két sík metszésvonala:A metszésvonalolyan pontok mértanihelye, amelyek mind a két síkon rajta vannak, tehát pont;.aikkoordinátái mind a két sík egyenletétki kell hogy elégítsék. Ezért a két metsző sík egyenletéből il|ő egyenletrendszer mar a metszésvonal egyenletrendszerénektekinthető (bármilyen számolási feladatnál ezek felhaszrrálhatóak).Ebből a kétegyenletből a korábban megismert ala|al(az irrányvel.r:tor éstartópont koordinátáit felhasználó) egyerrletrendszerta következőképpen nyerhetiink: A két sík egyenletéből előbb kiej1jtik az egylk, majd egy másik ismeretlent. Az ezek utránkapott két egyenletet megoldjukagyanana az ismeretlenre,majd az igy kapott értékeketegyenlővétesszük. Ennek a|ka|mazásáralássunk egy ko-nkrétfeladatot: lO.feladat:Határozzakmegaz A,. x-y+)7=3, és B: 2x-|3y-z:6 síkokmetszésvonalánakegy irányvektorát ésegy tartópontját! A metszésvonalegy egyenletrendszere: x-yt 2 z: 3 l( 3 ) 2xt3y- z:6 l(2) 3x-3y+6r 9 x -y+2r3 2x*3y- z:6 +4x+6y-2rL2 5x*52:I5 5x+5515 x*2:3 x+55 x=-z*3 x:_y+5 A metszésvonalegyenletrendszere: a:-ytJ:-7*J x-0 _ y-5 _ z-3 -1 1 -1 Tehát a metszésvonal egy irarryvektora:v(l;-1;-1) éstartópontja: P.(0;5;3) A metszésvonalnakegy kányvektora másképpenis meghatározhatő, mivel a metszésvonalnak merőlegesnek kell lerrnie (mert mindkétsíkbanbenne van) mind a kétsík normálvektotára, ezért a normálvektorok vektoriális szorzataegy iranyvelr:tortad: A síkoknormálvektora: n Il Ezek vektoriálisszorzata: ,(2;3;I). ^(I;-I;2)'
AzLtt kapott vektor az előbbi irarryvektornak(-5)-szöröse, tehát irányvektornak választható. 3.Síkésegyenesmetszésponüa(döféspon!.a). A metszésponta sík ésegyenes egyetlen közös pontja, ezéi a metszéspontkoordinátáinak ki kell elégítenieúgy az egyenes egyenletre,lrdszetét, mint a sík egyenletét.Ezért számítással a döféspont koordinátait úKv hatiírozzuk meg. ho{v a sík eg..renletéhezaz eeyenes
67
ahol k bármilyen valós szám lehet, v
"
aZ egyenesírányvetrctora, I o a síknormálvektora.
3.Merőlegessíkok Ha két sík merőleges egymásra, akkor normálvektoraik is merőlegesek, ezértskaláris szorzatuk nul1a: n" ' nr = o ahol n
o
azegytk, n,
amásiksíknormálvektora.
Térelemekhajlásszöge 1. Két eeyeneshajlásszöee A térbenkét metsző éskét kitérő egyenesnek értelmezzik a hajlásszÓgét,amely nem lehet 90"nál nagyobb. Mivel az egyenes irányvektora páthlzamos az egyenessel, ezértaz irán1ruektorok hajlásszögéből meg trrdjukhatátozni az egyenesekhajlásszögét.A vektorok hajlásszögét (mint látfuk) skaláris szorzatuk felhasználásával határoztuk meg :
lr" . r,I co sa=j v" l. lv1 l A számláLőban lévő skaláris szorzatot azértkell- abszolút értékbetenni, mert így érheq.ükel, hogy az egyenesekhajlásszöge ne lehessentompaszög. 2. Egyenes éssík hajlásszöge
t\
Í\cr 1 l...
L!-l.
39.ábra Egyenes éssík hajlásszögén az e1yenesneka síkon lévő merőleges vetületévelbezártszögét értjük.A 39.ábrán ezt a szöget ct-valjelöltük. Ez a szög pótszöge az egyenesirányvektora ésa sík normálvektora által bezőrt rp szögnek. Ez meghatározhatő a vektorok skalárszorzatábo| az alábbiak szerint: lv"'ns I sina =
lu "l' ln r I
I l.feladat: r,-S
J,
v-)
w........................._=-
62
Határozzuk meg a hajlásszögét az S: + 3 egyen).etrendszerrel adott egyenesnek! ' a
J
69
x-2y-|2z:6
síknak
és az
\
Pont éseevenestávolsága (40. ábta). Két dimenzióban a távolságra korábban egy képletet vezethink le' ezért itt ezzel nem foglalkozunk. Három dimenzióban a távolság meghatározásárakétmód is kínálkozik: 1. A 4O.ábránláthatőderékszögűháromszögnek a PoA átfogőját,mint kétpont távolságátmeg tudjuk hatfuozni (mert az A pont adott a P" tartópontot pedig az egyenes egyenletrendszeréből meg tudjuk adni). A vektornak az egyenes
PoT távolságot a PoA v
irányvektorán lévő
merőleges vetületekéntnyerjük: PoT: ffi.v. (ahol a Yo vektor a v vektor iányába mutató egységvektor. A ''d'' befogó éÍtékét a másik kétoldal ismeretében Pitagorász tétele segítségével kiszámíthatjuk. 40.ábta 2. Az adott A pontra illesztünk egy olyan síkot, amely merőleges az adott ''e' egyenesre (normálvektota az egyenes irányvekÍora!), majd meghatározzuk ennek a síknak az egyenessel való T metszéspontját.Ezze| a feladatot két pont távolságára vezetttik vissza. Két eqyenes távolsága A távolság akkor lesz nullától különböző,ha
a két egyenes párhuzamos' vagy kitérő.
1. Két párhuzamosegyenestávolsáea: Az egyik egyenesenfelveszünk egy tetszőlegespontot' majd meghatározzuk ennek a másikÍól való távolságát (ezze| a feladattal az előbb foglalkoztunk). 2.Két kitérő eg]renestávolsáea: A távolság egy olyan szakasz, amely mercílegesmind a két egyenesreésvégpontjaiegy-egy egyenesreilleszkednek.
47.ábra 71
Két kitérőegyenes normá|transzverzá|isa Két kitérő eg.venes(e és fl normáltranszverzálisa eqy olyan (t) eg.Yenes.amelyik mind a két egyenestmerőlegesenmetszi.
S: [e,f*J 42.áhra A normáltranszverzá|is egyenletrendszerénekmeghaÉrozása (a 42.ábra alapján) a következő lépésekszerint történhet: 1. Megadjuk annakaz f+ egyenesnekaz egyen|eEendszerét, amely átmegy az,,e,,egyenes tetszőlegesRBon{án éspiírhuzamosaz ''f' egyenessel. 2 . Meghatározzllkaz e ésÍx metsző egyenesekközös S síkjanak az egyen|etét. J-. amely átmegy az,,f' egyenes Megadjuk arrnakaz,,m,, egyenesnekaz egyed.ehendszerét, tetszőlegesP pontján ésmerőleges az S síkra. Á + . Meghatarozzukaz ''m'' egyenesnek az S síkkal való M metszéspontját. 5. Megadjuk annak az P egyenesnek az egyenletrendszerét,amely átmegy az M ponton és párhuzamosaz''f' egyenessel. 6. Meghataroznlk az P ésaz ''e'' egyenes E metszéspontját(Iétezik,mert mind a két egyenes benne Yan az S síkban, ezért|gtérőknem leheürek). 7. Megadjuk a keresett ''t'' normáltransnerzáIis egyenletrendszerét.Tartópon!.a az E pont, irányvektorapedig az,,m,, egyenesirányvektoralehet,mert t||m. ,,f, egyenes F metszéspon1ját(létezik, 8. Meghatríroz.zuka ''t'' normáltansnerzális és ^,. mert a ''t'' egyenesbenne van az [if"] síkban). Megtregyzés:A 7. Lépésbenmar megadtuk a keresett normáltranszverzá|ist, mégissziikség lehet az F pontra, mert a kitérő egyenesek azon ponq.ai,amelyek legközelebb vannak egymáshoz azE
t5
Az utóbbi harom egyenletből ál1ó egyenletrendszermegoldása: z:-2 x=4 51 ésf" egyenesekmetszésponda: az,,e,, Tehát ésezek kielégítika 4.egyen|etet. E(;1y2) |'t|t normáltranszverzáLis egyenletrendszerénekmegadása: Mive1 m l| t ezért 7, A tartópontnak pedig az előbb nyert irányvektoraik megegyezhetnek Ytam(67273), E@ ;1; -2)p ontot v áIaszfta a normáltransn erzá|is egyenl ete: x-4
t:
6 -2
_ y-I
-3
(felesleges4. egyenlet) x-4:-3yt3 x-4:-22-4 4x*4:z-5 f: 3x+3: -y Az utóbbi három egyenletből á1ló egyenletrendszermegoldása: z:I r=-2 y:3 ezérta ''t'' és''f' egyenesekmetszésponq.a: ésezek kielégítika 4' egyen|etet, F ( -2 ; 3 ; L ) 8. Az F pont meghatározása:
t:
határozzlk meg a két legközelebbi -E(;I;-z) Végül (ellenőrzésképpen)
távolságát:
és F(-2;3;1)- pont
Ef(_o;z;r) d:| Eí 1:^!36a4a9 :7
koordinátaegység
ésez mege gyezlk az e|őbbi feladat végeredményével.
75 t
II I
..-
/
\
Az ellipszoid felületénekegyenlete sugaru gömböt
Adjunk meg ely o.rjgő középpontu, b koordináta-rendszerben.Ennek egyenlete:
el
t, I
t/
-- -;---,\': lo/ lr'
I
9"',0
i
',
---o---l-:
az x*, Y*, Z* tengelyek alkotta
,'
-.. b
a=!i*
1l
()t
,'
44.ábta
(x*)' + ( y* ) ' + ( z* '): b' Ebből a gömbből ellipszoidot úgy nyerhettink, hogy két tengely (x* ész*) iányába zsugorítást (v. nyujtást) hajtunk végre. Az x* tengely irányába hajtsunk végre egy a/b (a
b,) ^ = b-
)
tz tl u
,, y, , , í
-+-+-=l
o'
b'
c'
Ha az ellipszoid középpon!.a a K(u;v;w), al&or a felület egyenJete: (* _,), o,
(y -v)2 , (z _w)z ='í =, --;-b,
77'
.-r
GEOMETRIA
VI, PROJEKTIV
A projektívgeometria tárgya, projektívtulajdonságok a centrális projekció szerkesztési Ha egy fényképet,(,,agy a vele geometriailag egyenértékű, (ill. elve szerint készült perspektívképet)megvtzsgálunk, megállapíthatjuk,hogy a fényképezés vetítés)a távolságokat és szögeket (az ábrázolt targynak a centrumtól való relatív he|yzetétő| ftiggően) torzítja.Ennek ellenéremégis fel tudjuk ismerni a fényképenlévő (ábrázo|t) tátgy geómetriai struktúráját.Ez azértvan így,mert a fényképenLévőtátgynak több olyan geometriai tutaidonsagavan, amelyek a képenis felismerhetőek,tehát a vetítésselszemben változatlanok (invariánsak). v seometria a veti
ben változatlan tulaidonságokat
törvényeit kutatja. Tehát ebben a fejezetben magával a vetítésselfoglalkozunk, törvényeivel ismerkedünk meg. Ha kat A vetítésrenemvá|tozó (inl fel: a 44. ábrátmegvizsgáljuk, a következő projektív tulajdonságokatismerhetjük 1. Pont vetülete (képe,megfelelője)pont. 2. Egyenes vetiilete ő|talában egyenes. 3. Ha egy pont illeszkedik egy egyenesre'akkor a pont képeis illeszkedik az egyenesképére, tehát az illeszkedésprd (Megjegyezzik, hogy a felsoroltakon kívül más, közvetlenül fel nem ismerhető projektív tulajdonságis van, de ezze\csak a későbbiekfolyamán ismerkedtinkmeg.)
Vetttés
a slkban
a térben
44.ábta
79
Ez utóbbi (3.) he|yzet úgyá11elő, ha egy [t] síksor elemeit egy S sík&alelmetsszük. Ahol a t tengely metszi az S síkot ott lesz a sugársor P tartópon{a, a sugársor elemeit pedig az S síkmetszi ki a síksorsíkjaiból, elemeiből (58. ábra (II.) Eey elsőfokú alapalakzat egy vele azonos típusúelsőfokú alapalakzattal ak&or van perspelr:tívhelyzetben. ha a megfelelő elemek illeszkednek eg]l - a perspektivitást közvetítő alapalakzat ueyanazon elemére. Itt is három eset lehetséges: helyzete 1' Két pontsorperspelctív
Jelölve: (e,)n (e,)
48.ábra Két pontsor akkor van perspektívhelyzetben. ha a megfelelő pontok egy sugáÍsorugyanazon egyeneséreilleszkednek (48. ábra). Tehát két pontsor perspektivitását egy sugársor ''közvetíti''. Ez a sugiírsorktilön-kiilön mindkét pontsonal perspektívhelyzetben van. Ilyen esetben az egyk pontsor a másik vettileténektekinthető (légi fénykepezés!) Vegytik észre,hogy a tartóegyenesek-közo.s-poÍt{ia(metszéspon{a)önmaeának felel mee (frxpont). A tartóegyenesekideális pont1.ainakvégesbenlévő (Q,,R,) képeit (megfelelőit) ellenpontoknak nevezztik.
83
Mivel ez az előbbr a'l esetnekis speciális esete' ez&ttermészetesenaz előbbi megállapításokitt is érvényesehde ezekentu1mégfennáll' hogy a meefelelő szakaszo 2. Két sugársorperspektívhelyzete Jelölve: |4 |n lr' I
51.ábra ueyanazon pontjára illeszkednek (51. ábra).Tehát két sugársor perspektivitását egy pontsor közvetíti. Ez a pontsor külön-kt'ilön mind a kétsugársorralperspelctívhelyzetben van. Vegyiik észre,hogya tartópontok közös egyeneseönmagának felel meg. Egyenlően perspektív sugársorok: esetéteqyenlően perspektívhelyzetrrek nevezzük Ebben az esetben a sugársorok perspektivitását közvetitő pontsor a tartósíkvégtelentávoli egyeneselesz. Egy sílrnak egy végtelentávoli (ideális) egyenest tulajdonítu'nk.A sík minden egyenesének ideális pontja rajta van (illeszkedik) a sík ideáiis egyenesére. Az egyenlően perspekÍív sugársorok megfelelő egyenesei á|ta| bezárt megfelelő szögek egyenlőek (mert egyállásúak).
helyzete 3. Két síksorperspekÍív
JelöIve: ['']^ k']
eeyeneséreiileszkednek. Tehát két síksor perspektivitasát egy sugársor közvetíti, amely mind a két síksorral ktilon-ktilon perspektív helyzetben van. Perspektív síksorok tartóegyenesei csakis metszőek lehetnek ése metszőegyenesek közös síkja, amely mind a két síksornakközös eleme, önmagának felel meg.
Az o sztőiszony tulajdonságai: aJ Az osztóviszony értékefliggetlen az egyenes iránytásátő (mert ha egy tort szám|álója és nevezője egyszelTevált előjelet, a tört értéke nem változik). b/ Az osáóviszony értékeegy dimenzió nélktili valós szám (mert brírmilyen mértékegységet haszrrálunk,a tört ezzel egyszenísíthető). cl Az osztőviszony párhuzamos vetítésreváitozatlan. d/ Az osztóviszony aránytanó geomehiai transzformációk eseténvá|tozat|an. Következmények: Azokban az őbrázo|ási eljárásokban (pl. a mérőszámos ábrrízolás), amelyek párhuzamos vetítéstalka|maznak, egy szakasztfe|ező (harmadoló stb.) pondának képe a szakasz kepétfelen (harmadoljastb.). Ha az 52.ábra pontsorát párhuzamos vetítésselegy másik egyenesre vetítenénk,akkor a pontok vettileténekosztóüszorrnyal definiált koordinátai az A és B pontok vettiletérenézve ugyanazok lerrnének. l.feladat: Adott egy (e) pontsoronaz A,B alappontpár.Szerkesztésselhatátozzuk meg azon C,D,E,-.....H osztópontokat, amelye|
(ABC):|/2 (ABD):s (ABE):-0,2:-I/5 (ABF;:-9,6 (ABG):-2 (ABII):-slg.
53.ábra A szerkesáés helyességea párhlvamos szelők tételea|ap1ánbelátható.
87
'l
A kettősviszony 1. Pontsorkettősviszonya Egy pontsor brírmely négy pontjáúloz tartozik egy kettősviszony, ami két osáóüszony hánvadosa a következők szerint:
(ABCD\ _ UBC) _ AC . AD (AtsD) CB DB
C?n
B
?6
54.ábra Ha egy tetszőleges pontsoron hiírompontot rögzítiink - az 54.ábtán az A,B,C pontokat - akkor a pontsor minden további (negyedik) pon{ához más-más kettősviszony tartozik (ezek közül néhanyatkiszámoltunk) ; ésmegfordítva:ha e három fix ponthoz megadunk egy valós számot (mint kettősviszonyt) akftor e|theza számhoz a pontsoron egy - éscsakis egy - (negyedik) pont tartoák. Tehát a kettősviszony segítségévela pontsor pon{ai és a valós számok ha|maza között egy kölcsönösen egyértelmu hozzárendelést létesítettiink.Ezen számokat tekinthetjük az egyes pontok koordinátáinak. A következőkben ismertetett Pappos tételemiatt ezeket a koordinőtákat proj ektívkoordinátáknak nevezhe{ük. A kettősviszony tulajdonsáeai Ha az alábbi pontok egy egyenesenvarurak (egy pontsor pontjai), akkor: al
(ABCQ)=-(ABC)
b/ Ha valamely kettősviszonyban egy összetartoző pár két elemétfelcseréljtik,akkor ez utóbbi kettősüszony az előbbinek reciproka. (osszetartoző elempárok a négyelem közül az első kettő ill. az utolsó kettő) (BACO;:t71*tO' Következmény: Ha a bal- ésjobboldali összetartozó parok elemeit egyszeÍTecseréljük fel, akkor (az eredeti reciprokiínakreciprokát azaz) a kettősüszony értékenem változik: (BADC):(ABCD) c/ Ha valamely kettősviszonyban felcseréljük akétközepső (vagy a kétszéiső)elemet, akkor ennek ésaz eredetikettősüszonynak az összege 1 lesz.
89
Z.Igazoljuk, hogy ha
(er)n(er)
(ABpp) =(A,B,C,D,)
akkor
p
57/b ábta Tudjuk, hogy kétpontsor perspektivitását egy olyan |P|sugársor közvetíti amelyik mind a két pontsonal kiilön.ktilön perspektív.Ezért,az e|őbbi bizonltást felhasználva kapjuk: (",)n I Pl+ (ArBrCrDr)= (abcd) (AtBpp)=
)
(A5BrcrDr)
(",)n|P|+ (Á,B,C,D,) = (abcd) Következménvek: a kettősviszony értékét nem változtatja meg, tehát al Akozéppontos vetítés(fényképezés) invariáns. vetítéssel szemben a kettősvi szonv cerrtrális bl A kettősviszony párhuzamos vetítésre is invariáns, mert a kettősviszony két osáóviszony hányadosa' az osáóviszony pedig (c/ tulajdonság) párhuzamos vetítésre váitozat|an. Az előbbi két megállapításunk alapján nyilvánvaló, hogy vetítésreváltozafl an. ezé'rtproi ektív tulai dons á g. 3. Igazoljuk,hogy ha
l4 In lpr I
akftor
a kettősviszonv bármilyen
= (a,brcrdr) (arbrcrdr)
Tudju( hogy két sugársor perspektivitását egy olyan (e) pontsor közvetíti amelyik mind a két sugársorral kiilön-ktilön perspektív. Ezét írható, ho gy: l4 l n(e) + (a'b'c'd') = (ABCD" (arbrcrdr)= (arbrcrdr) lPrl n(e) = (arb,crd) = (ABCD)
93
\
5. Igazoljuk,hogy ha
^z
IPI^[t],
al&or
(abcd):(ABCD)
58. ábra alapján, annakjelöléseit használva belátható, hogy
IP In IP^l= (abcd)= (a^b^c^d ^) 6s
a megfelelő szögek egyenlőségemiatt.
= (ABCD) (a^b-c^d^)
Az előbbi kétegyenlőségalapján már nybánvaló, hogy (abcd):(ABCD)
6. Igazotjuk,hogy ha
[t,J 4*[t, J,
akkor
(ArBlClDr) : (ArBrCrDr)
Tudjuk, hogy két síksor perspelrÍivitésáiegy olyan |P| sugársor közvetíti amelyik ktilön.ktilön mind a kétsíksorralperspektív,tehát
[ t, ] ^ I P l
ezé rt
(ArBrCrDr)=(abcd)
[ t, ] ^ | P l
ezé rt
(AzB2C2D11=@bcd) (ArBrCrDr) : (ArBrCrDr)
}ésezekből:
Ezze| Papposz tételétmaradéktalanuk bebizonfltottrrk. Mivel az elsőfokri alapa|akzatok metszésevagy vetítéseperspektívhelyzetet eredményez,ezértPapposz tételéta következőképpen is megfogalmazhatjuk:
95
v
Negyed i k m egfele|ő pontpár meg h atá rozása projektív pontsoro kná | A következő szerkesztésekbena megfelelő elempárokat mindig azonos betüvel, de más index hasnÁ|atával jelöljük. Projektiv pontsorolcrál 3.3 megfelelő pontpár ismerete eseténa negyedik megfelelő pontpár (a kettősviszonyok egyenlőségemiatt) egyértelmtienmeghatározhatő. Erre a következőkben négy ktil önb öző me go1dást i smertetiink. 1. Perspektívhelyzetbehozássai 3. feladat:Adott kétprojektívpontsor 3-3 megfelelő elemével.Perspektívhelyzetbehozással negyedik megfelelő pontpárt! szerkesszünk X',X,
59.ábra A szerkesztéslépései: aJ Az (e, ) pontsort (egybevágósági transzformációt alkalmazva) ugy mozgaluk el (e*) pontsorba,hogy B*=B, teljestiljön. Mivel az (e*) és(e' ) pontsorok közös pontja önmagának felel meg ezértez a kétpontsor perspektívhelyzetli. |esz az (e*), (e,) b/ Az d*,Az ésCx, C, megfelelő pontok egyeneseinekmetszéspontjában p ontsorok perspektivi tásátko zv entő sugársor P tartópontja. c/ Felvesszük tetszőlegesen az X ^ pontot' majd a P tartópontból vetítve nyerjük annak Xx perspeklív képét.
97
távoli pontot az (e) pontsona vetíwe kap.1uka Q pontot, c/ A P' tartópontból a Q,- végte1en majd eú.P, -ből az (e ,)-re vetítvenyeq.tika Q, ellenpontot. l'artőpontből az R,.o véBte1entávoli pontot az (e) pontsorra vetítve nyerjük az R , pontot, majd eú.Pl.ből az (e vetítvekap;uk az R, ellenpontot. ,)-re d/ A P
e/ A megoldás helyességénekigazoIása: Mivel @) n(e ) +(er) = (e,)x(er) Ez a szerkesztésa projeldivitás 3. definícióján alapszik, mivel sikerült az adottkétpontsor közzé úgybeiktatni egy (e) pontsort, hogy az külön-ktilön mindkétpontsorral perspekÍívlegyen. 3. Perspektívfőtengellyel 5. feladat: Adott két projektív pontsor 3-3 megfelelő elemével. Perspektív főtengellyel szerkesszükmeg a tartóegyenesekközös pontjánakmegfelelőit (61.ábra).
A közös pont természetesena tartőegyenesek metszéspontja.Perspektív helyzetben ez az egybeeső két pont önmaganak feleltek meg (frxpont, ld. a 48. ábrát), de projektív vonatkozás eseténezmir á|talélbannem teIiesül.Ezértkell ktiiönböző betiikkeliolölni! 99
\
Hasonlóan projektívpontsorok 1\z otYan PontsoloKat. ahol a meeIelelO szakaszok aránya egyenlő. hasonlóan projektiv pontsoroknak nevezztik. A 49' ábrákon bemutatott hasonlóan perspektív helyzetek megbontása
utiínnyerhettinkhasonlóan projektív pontsorokat. Létyeges, hogy itt is végtelentávoli pontnak a megfelelője is végtelentávoli pont (ezértnem 3-3, hanem csak2-2 megfelelő elemparvehető fel tetszőlegesen. 7. fe|adat: Adott két hasonlóan projekÍív pontsor 2-2 megfelelő pontjával. SzerkesszÍink (X,;X" ) megfelelő ponprírt. A perspektívfőtengelyt a|kalmaző szerkesztésta 63. őbrénláthat3.uk.
63.ábra E gyenlő en pro.iektívpontsorok Az olyan pontsorokat. ahol a megfelelő szakaszok eeyenlőek. ee]/enlően projektív pontsoroknak nevezztik. Az 50. ábrákon |áthatő, egyenlően perspekÍív helyzettí pontsorok perspektív helyzetének megbontása utáni geometriai transzformációt egyen]ően projektiv vonatkozásnak nevezzük.
101
__--____\.-
2. Perspektívcentrummal 9. feladat: Adott két projektív sugársor 3-3 megfelelő elemével, perspektív centrummal szerkesszünk negyedik megfelelő egyenespárt!
65.ábta A megoldáslépései: a/ Felvesszük az (e, ) és(e, ) Pontsorok tartóegyeneseitúgy,hogy illeszkedjenekegy megfelelő egyenespár (itt a c-vel jelzett) metszéspontjÍra, ezze| biaosítotttrk az (e ,) és (e, ) pontsorok perspektivitását. bl Meghatátozzuk annak a |Pl sugársonrak a tartópontját amely az előbbi pontsorok perspektivitiísátközvetíti. A P tartópontot pgspektív centumnak nevezzük. c/ Felvessztik tetszőlegesen az X I e1yenest,ebből előbb x, majd * *, egyenest nyerji.ik az ábran látható módon.
103
c/MegbatÁtozzak-
közös egyenesnekaz mo képét, ami egyben m2 mert |P"|^|P, I ^, ' d/ Meghatfuozzvk az n közos egyenesnek az n" képét,ami ggy6.' n mert , lP"ln |P, l l' e/A szerkesúés azértjó,mert lP,l^ |P.| |P, | ésezért |P, lxlP, I ^ 4. PapírszalagoseljaÍással 1l.feladat: Adott két projelrtív sugársor 3-3 megfelelő egyenesével.Szerkessztink negye,dik megfelelő egyenespártp apttsza|agoseljárással (67. ábra).
$'
67.ábra A megoldás lépései: al Az x, egyenestetszőleges felvétele b/ A P sugársorraúgy illeszriink egy papiszalagot,hogy annak élemind a négyelemet messe. l A metszéspontokatapapírsza|agélénazonos betűkkel jelöljük c/ A jelölt papírsza|agotúgyigyeksztink riíhelyezrria lP' I sugársorra, hogy azA,B,C pontok az u ,,b ,,c 2 egyenesekreilleszkedjenek. d/ Ha az e|őbb leírt illesztés kielégítő pontossággal sikerült, al
10s
Az egyenlően projektív sugársorok megadásanak egy pra}Íikus (szögmásolást mellőző) felvételétlátha!.uk a 68.ábrán.Az egyenlő görög befiíkkel jelzett szögek azért egyenl'őek,mert a körben egyenlő íve|útezegyenlő kertileti (ill. érintőszárukenileti) szögek tartoznak.
Pontsor és sugársor projektívvonatkozása Ha egy pontsor és sugársor között akarunk projektív vonatkozást létesíteni,akkor ebben az esetbenis 3-3 elem jelölhető ki tetszőlegesen.Mínden további megfelelő elempár felvételénél biztosítani kell a megfelelő eiemnégyesek kettősviszonyának egyerrlőségétszámítással,vagy (69.ábra). szerkesztéssel I2.feladat:Adott egy (e) pontsor és egy |P| sugársor 3-3 megfelelő eleméve|.Határozzurlk meg úgy egy tetszőieges negyedik megfelelő elempárt, hogy a közrtik lévő transzformáció projeltív legyen.
A szerkesztésmenete: a/ A lP| sugársort egy egybevágósági transzformációval leképezzúk a lP*| sugársorba. A megfelelő szögek egyenlőségét két látókör felvételévelbiaosíluk. (Azt is mondhatjulqhogy a |P| sugársort ű'gymozgatfuk el, hogy az (e) pontsorral perspektívhe|yzet(ilegyen.)
107
11
I i'
F
t i I
i
t
t I
szerkesztésneknevezzük') (A követke zőkbenismertetett 'i:í::*íJ:1Í""J,"-|:i" a/ Egy tetszőlegeskör tetszőleges P,:P, po,,tÉtkö.,tik ö"'* ) és (e, ) pontsorok ^4e, pontjaival. Így kétközös tartóponton lévő projektív sugársort kapunk. b/ Jelötjük az e|őbbi két sugársor egyeneseinek a körrel való metszéspontjaitaz egyenes jelölésérehaszná7tazonosbettível,azonos szám-indexszelésnullkörrel. o| c/ Vegyük fel a körön a |P, és IP, "| sugársoroktartópontjátígy, hogy egybeessenekegy megfelelő, de ellenkező indexű pontpárral (itt ezen az ábrán az A-val je|zett pontokat v áLasúottuk).Ez en sugársorok egyeneseit az ábrán Láthatő mó don nyerj ük.
',
t, rt
Ü A |Pl.| és|P, o|sugársorokperspektívek,mert a közös egyenesükképeönmaga. Hatátozzuk meg e kétsugársor perspektivitását közvetítő (e) pontsort, amit Steiner-féletengelynek nevezünk. e/ Vegytik észre,hogy a Steiner-féietengely bármely pontjához a körön kétpont tartozik (pl. a B-lnez u B, o ésB "), de ahol az (e) pontsor metszi a kört off.az előbbi ponthármas egybeesik (pl. ' ha ezeket a P':P2 pontból az adottpontsorokravetítjük'a fixpontokat L:L,.:L,o).Ezért, kapjuk. mert , f/ A szerkes ztés he lyes
(",) ^ 1 r ' lx
|P " , I ^ |P , " |xI P ,I n( " , )
(ahol az 7 jellel a 68. ábrán bemutatottegyenlően projektivitastjelöltiik ) az előbbi tanszformációk mindegylke kettősviszonytartó. Diszkusszió: Mivel az (e) pontsornak a Steiner-félekörrel való kölcsönös helyzete háromféle |ehet, ezért a közös tartón lévő projektív pontsorok projektiütásáná| a következő három eset lehetséges: 1. Elliptikusnak nevezzik a projekÍivitíst akkor, ha az (e) pontsornak nincs kozös pontja a Steiner-félekörrel, azaz nincs fixpont. 2. Parabolikusnak nevezzik a proj ektivitást akkor, ha az (e) pontsor érinti a kört, tehát eey fixpont van. 3. Hiperbolikusnak nevezzik a projektivitást akkor, ha az (e) Steiner-féletengely metszi a kört, ezértkét.Exppnt!-v!n. Megsegyzés:Kettőnél több fixpont a Steiner-féleszerkesztéslogrkája aIap1ánlehetetlen(mert egy egyenesnek egy körrel nem lehet három közös pontja), de ugyanerre a következtetésrejutunk a projektivitás definíciója a|ap1ánis, ugyanis ha három megfelelő pontpár esne egybe, akkor a megfe]elő eiemnégyesekegyenlő kettősviszonya miatt a negyedik......stb. megfelelő pontpárok is egybeesnének,azaz minden pont egybeesne a képével(fixpont lenne), de e}J
109
Az aIaptendszerekleképezéseiis ktilönfélék lehetrek. Mi a továbbiakban csak két síkrendszer perspeirÍívhelyzetévelill. projektív vonatkoz ásáva|foglalkozunk'
Perspektívsíkrendszerek Perspektívhelyzetríkétktilönböző síkrendszerakkor. ha a megfelelő elemeket eey o pontból való vetítésselnverjiik. Tehát két sil
7|.őbta A7l.áb#ulakétsftrendszer S, é' S, tartósíldaitélbenlátszólrcrakrajzoltulq ezértakétsft ''t'' metszésvonalátegy pontban láüuk. Ezt a metszésvonalata perspektiviLás terrgelyénekyaz o pontot pedig a perspekLivitáscerrtrumiárrak nevezztik. A7l.ábta alapján vegyük ésne,hogy ebben a perspektív(vetített)helyzetben: a/ A meefelelő pontokat összekötő mennek át.
eeyenesek egy ponton. a persLekÍivitás o centrumán
b/ A megfelelő egyenesek metszésponüainakmértani hel]/e eey e{venes. a perspektivitás teneelye (Desarguestételeniatt az a]-bő| következik). Az előbbi kéttulajdonság csak a perspekÍívhelyzetre jellemző, a következő (1.-4.)tulajdonságok viszont -bár a vetítéskövetkezménye, mégis- a perspektív helyzet megbonüása utiín is ervenyesek maradnak: I.Ez a leképezéskölcsönosen eeyértelműmódon felelteti meg egymásnak a két síkrerrdszer térelemeit. 2.Ha egy pont illeszkedik egy egyenesre, akkor a pont kepe is illeszkedni fog az egyenes kepáe, tehát a lekepezésílleszkedéstartó'
111
Síkrendszerekperspektivitásának kü|ön|eges esetei A sílrrendszerektartősíkjainak és a perspektivitást kÖzvetítő pontrendszer tartópon!'rának kölcsönös helyzetétől, térbeli elhelyezkedésétől fiiggően a perspektivitásnak a következő speciális eseteitktilönböztedtik meg: A. Affin perspeltív síkrendszerek (Térbeliaxiális afEnitas) Az affrn perspektivitás az á|talános perspek|iütásnak azon speciális esete, amikor a perspektiütás o cerrtrrma egy'k tartósíkra sem illeszkedő véetelentávoli pont (a tartósíkok metszőek maradnak). Tehát ekkor a megfelelő elempárokat párhuzamos vetítésselnye{tik (72.ábra).
72.áhta Az ábra alapjan vegytik ésae,hogy az afEn perspektívhelyzetben: a/.A meefelelő pontokat összekötő egyenesekpárhuzamosak. bl a meefelelő egyene tengelyéneknevezünk (Desarguestételemiati az al-bő| következik).
, amit az affrnitás
Ebben a perspektiütásban végtelentávoli elemeknek végtelentiívoli elemek felelnek meg. Az előbbi a/ és b/ pontokban felsorolt tulajdonságok csak a perspektív helyzetre jellemzőelc' de a perspektív helyzet megbontása után már nem teljesüihetnek. Azok a tulajdonságok, amelyek vetítésután is fennállnak részben megegyeznek a perspektív síkrendszereknélfelsoroltakJ
113
A gyakorlatban hasonlóan perspektívhelyzet á11elő pl. a filmvetítésalka]mával, vagy amikor egy filmről ferryképetnagyítunk.
C. Egyen]ően perspektívsilgendszerek @ltol;ás,vagy transziáció)
fuo-?t-t
74.ábta Az egyenIően perspektív helpet az á|ta|ános perspektivitás azon speciális esete, amikor a tartósíkok piírhuzamosak és a perspektivitiás o centruma a véeltelenben van. Ez a (eképezés egyenertékííegy olyan v vektorral való eltolással amely egyállasú a végtelen üívoli o.cerrtrrrrrrot megadó egyerressel.F.za transzformáció a tartóelemek elhelyezkedésétilletően a legspeciálisabb, ezértbármelyik korábbi kiilönleges eseténekis tekinthető. Ebből következik, hogy ez a|ekepezés rerrdelkezik az eddigmegernlített( 1.-8.) tulajdonságokkal,továbbá: 9. távolsáqtaÍtó. Megjegyzés: Matematikailag kÖnnyen igazolható, ha egy transzformáció távolságtartő, alr*or mrírteljesülnek az |.-8. pontokbanfelsorolttulajdonságok.
115
Két síkrendszer leképezéseakkor kollineáció. ha véees sok perspekÍiütás szozata (egymásutár5a). En' a definíciót síkrendszerek ko]linear vonatkozásának igazolősára akkor hasznáIhatjuk fel előnyösen, ha ismerjük a síkrendszerek keletkezésénekkönilményeit (azaz, vagy annaktöbbszöri alkalmazásávalkeletkeztek-eegymásból, vagy sem). hogy vetítéssel Síkrendszerekkoliineár vonatkozásánakspeciális esetei kollineár leképezés a definícióban említett négy Ha a két sílaendszer közötti alaptulajdonságon tul újabbakkalis rendelkezik, akkor a kollineáció speciális esetérőlvan szó. Három ilyen speciális esetetismerünk: i. Affin (kollineár) síkrendszerek A kollineár síkrendszerek azol speciáiis esete' amikor a négy alaptulajdonságon tul a leképezés: 5. piírhuzamosságtartóés 6. osáóviszonytartó (a megfelelő egyenesekmerrtén) Végtelen távoli térelemekhezebben a transzformációban végtelentávoli térelemektartozrrak. Az affin síkrendszerek származtathatóak úgy is, mint a 72.ábrán bemutatott affin perspekÍív helyzet megbontásautáni geometriai vonatkozás. A gyakorlatban ilyen leképezésvan a vízszintes síkkal szöget bezárő síkterepsíkrendszereés arrrraktérképe(mint síkrendszer)között. II. Hasonlóan kollineár síi
7. szöetartó és 8. aránytatő (bármelymegfelelő szakasna)
Ez a franszformáció származtathatóúgy is, mint a 73.ábrénbemutatott,hasonlóan perspektív helyzet megbontása utáni geometriai lekepezés. (A közepiskolában ezt a tanszformációt általános hasonlóságnak neveztÍik.) Gyakorlati példaként; két azonos terepről, tlzonos eljárással készült, de ki.ilönböző méretarányútérképsíkrendszerétemlíthetnénkmeg. III. E eyenlően kollineár síkrendszerek Ez a legspeciálisabb transzformáció. A korábban feisorolt kollinerár vonatkozások bármelyikének ktilönleges esete. Ezért ene a |eképezésreis jellemző a korábban említett 8 tulajdonság ésezeken tul még: 9. távolsástafió.
Lr7
L
Sp eciális kollineációk meghatár ozása A. Affin kollineár síkrendszerekmeeadása Két síkrendszer affin kollinerár vonatkozását 3-3 általarros heiyzetű (háromszöget alkotó) megfel e1ő pontpár egyértelműen me ghatározza. B. Hasonlóan kollineiír sftrendszerek rneeadása Két síkrendszerhasonlóan kollineár fuanszformáciőját két-kéttetszőleges mérehí,megfelelő hasonló háromszöe egyértelműen meghatátozza. C. Egyenlően kollineár síkrendszerekmegadása Két síkrerrdszer egyenlően kollineár lekepezésétkét-két tetszőleges méretű, megfelelő egybevágó hríromszög egyértelműen megfratározza. ..'.:HogY az e|őbbiek szerint megadott kollineár síkrendszerekben hogyan kell új megfelelő elempárt szerkeszteni' eITea következő feladatokban látunk példát: 15. feladat: Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer (S és S") négy-négymegfelelő pontjával. Szerkesszünk tetszőleges ötödik megfelelő (X,x.) pontpárt (75.ábta).
r
75.ábra A megoldás lépései: al Az S síkrendszerbenhjelöljtik sugársorok egyeneseit.
tetszőlegesen a X pontot, majd felvesszük az |A| és |B|
u9
I
A megoldás lépései: al Legyen M az AC és BY egyenesek metszéspontja.Először emrek Mo megfelelőjét szerkesztjiik meg. Az Mo pont rajta van az A"C" egyenesen' mert az affin transzÍormáciő ''illeszkedéstartó''. b/ Mvel az aÍftntranszformáció ''osztóviszonytartó'': (A"CoM";=(ACIt,|:41y1146 (az 53.őbránlátható módon) az Mo pont megszerkeszthető
ebből
c/ AzY" rajtalesz a BoMo egyenesen. d/ (B.M.Y.):(BMY):BY/!1N/Í
ésebből Yo már megszerkeszthető.
18..feladat: Adott két kollinear sflrrendszer (S és S") 4-4 megfelelő pontjával. Szerkessziik meg az ellentengelyeket. (77.ábra, ld. a következő oldalon!) A tartósíkok véqtelen távoli egyeneseinek a másik síkon lévő képeit ellentengelyeknek nevezaJk. A szerkesztés egyszerűbb kivitelezése erdekébencélszerű az egyk sílgendszel (itt az S) illesztőpontjait úgy felverrni,hogy paralelogrammát alkossanak. Á szerkesztéselőtt mégmeg kell jegyezrrünk, hogy a projektív geometriában egy síknak csak egy végtelen távoli egyenest tulajdonítunkéserre illeszkedrrek a sík összes egyenesénekvégtelenüívoli pontjai. Legyerr az S sft végtelentávoli egyenese q* ill. az So síkéro . A szerkesáés lepései: al ?g,|AB| és|CD] parhuzamos egyenesek közös Q* végtelentavoli pon!árrak a kepét(Q) az lA.B"| és |C"D"l megfelelő egyenesek metszéspontjában nyerjtilq mert a.kollineáció ''illeszkedéstartó''' bl Az |AD| és |BC| parhuz.lmos eg-yenesekközös Q*- végtelen távoli pontjránaka kepét (Q"*) az |A"D"| és|B"C"| megfelelő egyenesekmetszéspontjábankapjuk. A Q" ésQ"* pontokat összekötő egyenes lesz a qo ellenteirgely' c/ Vegyük fe|azSo sík Po pontját úgy,hogy az AoBoPoDo négyszög paralelogramma legyerr, majd szerkesszük meg ennek az S síkrendszerbeli P kepét. A szerkesáést a 75.ábran látható módon kell elvégen,i (a szerkesáés vonalainak megrajzolásától -az áiteHnthetőségkedvéértitt eltekintentink). d/ Megszerkesztjük az ,,Í,,ellentangelyt, mint az ro végtelentávoli egyenes kepét(az al és b/ pontokban leírt módon).
12L
.-
\
19. feladat: Bizonftsuk be' hogy ha két kollineár síkrendszerközos egyenesénekmínden pontja önmagának felel meg (fixpont)' akkor a kétsíkrendszerperspektívhelyzehí!
18.ábra a következő: A bizonlt ás a 7 8.ábraj elöléseit felhasznéúva a/ Vegytik fel az S sík a,b'c ésSo sík ao,bo,coegyeneseitúgy,hogy a megfelelő egyeneseka két sík közös egyenesében(metszésvonalában)messékegymást. Eú. azértkell így tenni.ink,mert a felad'atkimondja, hogy a közös egyenes minden pontja fixpont. De a koilineár transzformáció A.,B9,C") metszéspon!aimegfelelők. illeszkedéstartő,ezértaz említettegyenesek(A,B,C í11.
123
I
VII. SZFERIKUS
GEOMETRIA
A szférikus geometria eredete az őkori görög természettudósok(Hipparhosz, Ptolemaiosz) munkásságáig nyulik vissza. A középkorban élt arab matematikusok is jelentős eredményeket értekel. A ma használatosterminológia (szakrnainyelvezet) ésjelölésrendszer,illetve néhány fontosabb eredményfelfedezésea XVII. ésXVIII. századbanélt (Leonhará.Euler, Carl Friedrich Gauss,. . .) matematikusok nevé|tezf,íződik. Földünk megközelítőleg gömb alakú, ezért a szaktantárgyak: felsőgeodézia, vetlilettan, de legfőbbkeppen a geodézíaüámaszkodik szférikus geometriai ismeretekre. A gömb felületénmár az eddig használatoseuk]ideszigeometriatörvényei. nem .illetve másképpen-érvényesek A szférikus eeometria a eomb felületénelhelyezkedő alakzatok vizseálatával foglalkozik. Tehát a szférikus geometriában a gömb felületén maradunk. Bármilyen vizsgá|ődást' számítást ezen a felületen maradva kell elvésezni.
A szférikusgeometria a|apfoga|mai Főkör (legnagyobbgömbi kör) Az o középpontu. R suearu eömb felületéből a gömb középpontjára illeszkedő sík eg]/f(ikört metsz ki. Errnek sugara (R) azonos a gömb sug'arával,kozepponla pedig (o) egybeesik a gömb közeppondával. A térbelipolárkoordináta-rendszet a|ka|mazásánál megismert hosszúsáqi körök (meridirínok) a Földtink főkörei, de a szélességikörök közül egyedül csak az Egyenlítő köre főkör. Azt a szerepet, amelyet a síkgeometriábanaz eqyenes tölt be, a szférikus geometriában (tehát a sík hel}zetta gömb felületén)a főkör veszi át.
,,,T,L;, \
79/a átbta
125
\
Gömbkétszögek
q) 90"
< 90.
\- ---f '----;
82.ábra A eömbkétszöeet eey ellenpontpáITa illeszkedő két fél-főkörív határolja. Tehát a gömbkétszögnek van; - kétcsúcsa,s ezek átellenespontok (A, A*), - kétegyenlő szöge, amelyek 180..ná1nem lehetneknagyobbak(a), - kétegyenlő oldala, amelyek fél-főkörív hosszúságúak. Az utóbbiak miatt az R sugarúgömb bármely gömbkétszögének egyenlő a kenilete: 2R ur. A eömbkétszög teillete (felszíne) Az 82.ábra alap1ánkönnyen beláthatjuk, hogy a gömbkétszög területe egyenesen arányos a szögével (mert 2-szet,3-szor,...akkora szög eseténa területis 2-szeresére,3-szorosára'...nő). Tehát a gömbkétszög területe (T) ű'gy aránylik a teljes gömb fe|snnéhez (4R,lt), mint a gömbkétszög a szöge a teljes szöstoz:
129
A mellékgömbháromszö gek j ellemzői : -
Két közös csúcsúkvan, a harmadik csúcspárellenpontpárt alkot. Egy oldaiuk közös (tehát egyenlő), a másik két oidal lgyaÍLazon főköríven van és félfőköríwé egészítikki egymást. Egy-egy szögiik egyenlő (ameIyek az őte|Ienescsúcsoknál varrnaD, a mási két szögtik (amelyek a közös csúcsbanvarrrrak)180"-ra egészítikki egymást.
2. Csúcsgömbháromszöeek Pl. a 83. ábra úcsoedi ABC gömbháromszögénekcsúcsgömbháromszögei: AB*C*, A*BC* és A*B*C. vÍrn. a masl
A csúcsgömbháromszögek j ellemzői : -
Egy-egy egyenlő oldaluk van (amelyek az őtelLenescsúcsokatkötik össze), a másik két-két oláaluk ugyanazonfőköríven varrnakésfél-főköríwé egészítikki egymast. Egy-egy szögtik egyenlő (a közös csúcsnál 1évő), Két-két szögük páronként 180"-ra egészítikki egymást.
3. Szimmetrikus (átellenes)gömbháromszögek Ha csúcsai átellenes pontpárt alkotnak. Az ilyen gömbharomszögek oldalai, szögei a ezérr területtik is egyenlő, de a csúcsaikkörüIjárási iránya ellenkező. 4. Egybevágó gömbháromszöeek Két gömbháromszög alrJ
Az
131
A zatőjelben lévő kifejezés ertéke éppen azt mutat1ameg, hogy a gömbharomszög belső szögeinek összege merrnyivel több, mint az eukiideszi geometriában. Ennek értékét szférikus exceSszusnak(gömbi tullepésnek)nevezdlk ése-naljelöljtik. Ezt a jelö|ést alkalmazva az előbbi területképlet íry írhatő:
radiánban adjuk meg, akkor Ha a gömbháromszög szögeit (ezérta sdérilnrs excesszus értékét) gömbháromszög területe: a
2. fe|adat:Egy 10m sugarúgömb felszínénlévő gömbháromszög területe 50zrm 2 . Két szöge: e63", F87". MekJ
,
+y"-1g0.) 5On=I.Y (150" ' 1800 Tl20
osszefüggések a gömbháromszögek
kü|önböző
adatai között
(A g
(a definíció miatt) (a definíció miatt)
Mivel a gömbháromszög területe csak pozitív lehet, ezérta szférikus excesszusis pozitív; ol+ff+{-180">0 d+cif_>180. l de oKl80o.
B
A fenti harom egyenlőtlenségmegfelelő oldalainak összegét vévekapjuk:
e+t+^f<540o Az előbbi kéteredménytösszevetve kapjuk, hogy: 1800
133
--
Az előbbi összefliggés 0<360-(a+b+c)alakúrarendezhető.Jelöljük d-vel az egyenlőtlenség jobboldalán á1lő pozittv kiilönbséget.EZt a d:360-(a+b+c) értéket szférikusdefektusnak (gömbi hiánynak) nevezzuk, ugyanis ez megmutat1.a, hogy mennyi hirínyzik althoz, hogy a három oldalt jellemző szögek összege teljesszöget adjon. 7' Bármely két szög összege ugyanolyan relációban van a 180"-ka1.mint a velük szemben lévő oldalak középponti szögeinek összege. Képletesen: akkor Ha ú+B":180o. ao{bo:180o és.viszont.
lr
I
\
I
t*
t\J
ll
a
,
,
I
\
87.ábra A 87.ábra A*BC gömbhríromszögérealka|mazzukaz 5. tulajdonságot: a>180-b:b* Ha akkor oP180-6 a+b>180 azaz esetén É0>180 Ha azaz Végül,ha azaz
a:180-b a+!:139
akkor esetén
a < 180 -b a+b<180
akJcor esetén
A gömbháromszögek adatai között fennálló, előbb felsorolt hét összefiiggés ismertetésére azértvan szükség,mert ha a gyakorlaton bármilyen feladatot oldrrnk is meg, a kapott eredményt mindig vessük össze az itt felsoroltakkal. Ha eey feladat megoldása bármelyiknek is ellentmond (a héttulajdonság közül), azt feltétlenülzárjuk ki a meeoldások halmazából.
135
cl. Szöeel
Azelőbbi tételekbenszereplő szögeket természetesenradiánokban is mérhetjtik.
4. feladat: Ew 9 m sugarúgömb feliiletén egy gömbhrítomszög oldalaihoz tartoző közepponti szögek; ao=150o,b":60" és co=120o.MekJ
9, +278,9"(álgyök)
meg az aszöget: A p szög ismeretébenszinusztéte|(e|hatfuozank
sin150 ésebből sina" sin81,1" "sin60
u.:I45.22o
a. 134,,78"(álgyök) 2-
EzutÁn a harmadik szöget szinten szinusáétellel határozzuk meg: sinT" _ sin120" sin 81,1" sin 60" Végtil a terület:
ebbőI
,,:98.9"
+8l,t+98,9 - I80) r =ffi O+5,22
ésebből a végeredmérry:
737
y, +8l.,1"ő|gyök),
és B(X, ;T, ) földrajzi helyek távolságőhoz tartoző kozéppontiszög: éve|az Éa-e gomuháromszög adatait.Itt az É pont do.Határozzuk meg a koordináták segítség az észalapólust jelöli. Az adatokataz 88. ábra tarta|mazza. Legyen az A(X';T,)
H
Í{uk fel az ÉAB gömbháromszög ''d'' oldalaravonatkozó koszinusztételét: cos do:cos(g0.-T,)cos(90"-@,)+sin(90'-T,)sin(90'-T, )cos(X, -X, ) Mivel a középiskolai tanulmányainkból tudjuk, hogy bármely , szög szögÍiiggvénye egyenlő; pótszö génekpótfirggvényével cos d" - sin p, sincp,+ cos(h cosgz cosQ" - \) Konkrét feladat eseténa kétföldraj zihe|y koordinátáit beírjuk az e\őbbi kepletbe' majd abból megltatározzakaz A,B felületi pontokhoz tartoző középponti szöget (d.-ot). Ennek ismeretébena ''d'' távol ságot kétféleképpeni s meghatározhatjuk: al A,,d" távolság egy olyan körcikk íve,amelynek sugara: R:6366 Km' középponti szöge a ''do''.E,zérta távolság: .
2 Rr , ^= 6 3 6 6 r d", -L-rÍi 180" 360"
ú =-u-
bl Mástészttudjuk, hogy a távolság egy olyan főkör tésze,amelynek teljes hossza (d.) a keresetttávolság (d) arányos 40000 km. A középponti szog ismeretében következtetésselmeghatároáató : d"
40000 360" .
4 0 0 0 0 do 1 0 0 0 do , 9" 360"
d -_=_lcm
Megjegyzés:A kétfélemódon számolt eredményközött azért némi eltéréslesz, mert az R értéke is ésa főkör kertilete is kerekítettérték. Speciális esetek: 1' Ha mind a kétpont azonos hosszúságikörön van (X,:\, ), akkor a d" meghatározásához nem kell hasznáini a koszínusztételt,mert ez a szög a második koordinátákból közvetleniil ol. 6o:ll meshatározhatő: ro-T, d":90$, pólus E(0"; 90.) akkor 2. Ha a kétpont egyike az észa|o 3. Ha mind a két pont azonos szélességikörön van (l,:l,), koszinusáételből tudjuk meghatározrri. Yigyázat, do * |X, -X' l !
139
csak a akkor a d" értékét
FELIIASZNÁI,I ÉsalÁxr-orT
sZAIilRoDALoM
Coxeter,H.S. M. :
A geometriákalap1ai Műszaki Könyvkiadó, Bp. 1973.
Coxeter,H.S. M. - Greitzer S. L. :
Az ujra felfedezett geometria Gondolat Könyvkiadő, Bp. 1977.
Hajós György:
; Bevezetésa geometriába Tankönyvkiadó, Bp. 1966.
Kárteszi Ferenc:
A geometriatatútáskorszenísítés éről Tankönyvkiadő, Bp. L912.
Kárteszi Ferenc:
Bevezetésa végesgeometriiíkba Akadémiakiadó, Bp. L972.
Kárteszi Ferenc:
Lineáris transzformációk Tankönyvkiadő, Bp. I974.
Kerékjártó Béla:
A geometria alapjairól A MTA Kiadása, Szeged, 1937. Projektiv Geometria, 1882.
Klug Lipót: Lánczos Kornél:
A geometiai térfogalomfejlődése Gondolat Könyvkíadó, Bp. I97 6.
Patterson,E.M. :
TopoIógia Tankönyvkiadő,
Bp. I974.
Pelle Béla:
Geometria Tankönyvkiadő,
Bp. I974.
Reiman István:
A geometia éshatárterületei Gondolat Könyvkiadó, 1986.
Ribnyikov,K. A. :
A matematika története Tankönyvkiadó, Bp. 1968.
Sain Márton:
Nincs királyi út Gondolat Könyvkiadó, Bp. 1986.
Szász Gábor:
Projektív geometria Tankönyvkiadő, Bp. 1977.
Szőkefaivi Nagy G.yula:
A geometiai szerkesztésekelmélete AkadémiaKiadó, Bp. 1968.
r4t
távolsága.. Térelemek ..................70 Kétkitérőegyenesnormáltranszveruá|isa .......;.......... .....73 Feitiletekegyenletei. .................. ....................76 A gömbfelületegyenlete............ .....''...,......'.76 egyenlete................ Az ellipbzoidfelületének .................77 VI. PROJEKTTV GEOMETRI.A .....79 A projekÍívgeometriatátg1a,projektívtulajdonságok.............. .......79 .illapalakzatok............. .................80 perspektívhelyzete Elsőfokri alapalakzatok .....;................................82 Desarguestéte1e......... '.................86 Az osztőiszony ........86 A kettősviszony........'. .................89 Papposztéte1e......... .....................92 (iele:n )............. A projelr:biütís ...................96 projekÍív pontprír meghatározása pontsoroknál...................................97 Negyedik megfelelő Projelrtívsugársorok ..................lü2 vonatkozása................ Pontsor'éssugársorprojelrÍív ....l07 ...lOt Közös tartóelemeniévő elsőfokúprojektívalapaIakzatok........... ..............1l0 Masodfokúa|apala|
143
I. MATRIXOK A mátrix fogalrna: Ha számokat (vagy bettíket) n sorban és k oszlopban (tég|alap alakban)_n,keN_ rendezett formában írunk le, mátrixot nyerünk. A leírt számok a mátrix e1emei.Tehát a mátrix n x k elemből álló rendezett számhalmaz. A rendezett sző iÍr aújelenti, hog-vnem eiéga mátrix elemeinek a megadása,ugyanolvan lényegesaz elem helyénekismerete. E{v mátrix akkor adott.ha ismerJ.ükaz elemeit ésazok helyét.
i
A mátrix jelölése: A mátrixot nyomtatásbanvastagon szedettnagybetüvel, írásbankétszera|áhuzottnagybettível jelöljük. Az elemekjelölésére azonos kisbettíthasználunk, s mellette índexbefeltüntetjük annak sorát ésoszlopát. A: l
ll
(j (ő /1( 'ta Jl/
lz 3 s 7 41 I
Ll 8 0 6 e )
d rt:5
d zs=9
A mátrix típusa: Ha egy mátrixnakn sora ésk oszlopavan) akkorn x k típusú. Az előbbi A mátrix 2x5 típusú. Azonos típusúkétmátrix akkor. ha mindkettőnek n sora és k oszlopa van (n,k e N) . Egyenlő kétmátrix akkor. ha az azonos hel}renlévő valamenn.'rieleme megeq.vezik. Természetesenaz egyenlő mátrixok egyben tzonos típusúakis. Transzponált mátrix: Egy mátrix transzponáI!.átúevnyerjük. hogy elemein sor-oszlop cseréthajtunk végre.Az íw nyert (transzponált)mátrixot csillaggal ellátott azonos beníveljelöljtik. P|. az előbbi A mátrix transzponáltja:
2I 38 A*: 50 76 49 Az nx k típusú mátrix transzponáltjak x n típusúlesz. Elemeikre a,, :a* * teljesül (ahol s :I , 2,. .' , n é si: I ,2,.....'k ).B árm el y m átri x transzp onáltj anak tan szponá|tja egy en|ő az eredetivel. Jelölve:
l ! . D E T E RM lN Á N so K Minden négvzetesmátrixhoz hozzárendelhettink egy számot. amit a mátrix determinánsának neveztink. En' a számot a mátrix elemei hatá'rozzákmeg (determinálják) a későbbieksorán leírt módon. A determinánstkétvonal közé irt nagybertíveljelöljük. Á másodrendű determinánsértékének meghatiírozása: A főátló menténlévő eiemek szorzatáből kivoniuk a mellékátló menténlévő elemek szorzatát.
lAl
tl nl
" l= a d-bc
dl
A harmadrendűdeterminánsértékének meghatározása(Sarrus-szabá1y) E]őször a harmadrendűdeterminánshoz|tozzáí4ukaz e|ső, majd a második oszlopát. Vesszük afőát|ő ésaz ezze| párhuzamos két átló menténlévő elemek szorzatának összegét, majd ebből kivonjuk a mellékátlő ésaz ezze| pérhuzamoskétátló menténlévő elemek szorzatánakösszegét. rei +bfg + cdh - ceg - afh - bdi lt {j
,(8 .l I .1i t
Megsegyzés:Az előbb leírt - Samrs-szabályként elnevezett - módszer, csak a harmadrendű determináns értékénekmeg}tatározására alkalmas. Negyed- vagy ar.ná| magasabbrendű determinánsok értékéneka meghatározása előtt ismerkedjtink meg a determinánsok tulajdonságaivaI,mert ezek felhasnÁJrásáva|számítjukki a determinánsok értékét, másrésztezt a munkánkat a tulajdonságok alkalmazásáva| nagymértékben leegyszenísíthetjük Á determinánsok tulaj donságai: l.Bármely kvadratikus mátrix éstranszponál!ának determinánsa egyenlő, azaz
IAFIA*I
Az előbbiekből következik, hogy minden (a továbbiakban) sorokra kímondott á||itás oszlopokra is igaz. 2'Nuila a determinánsértéke. ha valamelv soránakminden eleme zérus. 3.Nulla a determináns értéke,ha bármely két soriínakazonos helyen álló elemei rendre megegyeznek. 4.Nulla a determinánsértéke, ha valamely sora egy másik sor megfelelő elemeinekk-szorosa Ge R). S.Nulla a determinans értékeakJ
14. Vektorok felbontásaadottirányúösszetevőloe: Ha i' j és a egy sík három vektora, továbbá i és j nem párhuzamosak egymással, akkor mindig találhatók,egy éscsakis egyféleképpen olyart.n,k vaiós számok, amelyekre: a:nl-tK J
:-í I
3. ábra
I
{1 1í 4t Jn
15. Vektorokkoordinátái: (A4. ábta a vektora) Ha a 3. ábra i és j vektorai egymásra merőleges egységvektorok, akkor felvétellikkel egy Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszeÍt adtunk meg. Ekkor az (n,k) számpárt az a vektor koordinátáinak nevezzük Az első koordinátát h) abszcisszának. a másodikat &) ordinátának nevezzik. Egy helyvektor koordinátái azonosak a véqponüának koordinátáival.
C p c , : c ^\
Á ( o,,;Q .)
-L
,r qi
4. ábta A koordináta-tengeiyekirányába mutató i és j egységvelctorokat bázisvektorokrrakis nevezzük. Egy tetszőleges vektor koordinátáit ugy nye5.ük,hogy a végpontjánakkoordinátáiból "f kivonjuk a kezdőpontmegfelelőkoordinátáit
Eö
(c, -b, )c,-b ,)
Egy szabadvektorkoordinátái megegyeznek a vele egyenlő helyvektor koordinátáival. Ha a: a,:c,-b, a,:c,-b, és , akkor nö
T2
III.VEKTOROK (
A fejezet elején felsoroljuk azokat a középískolai tanulmányaink során megismert fogalrnakat,amelyek ismeretenélkülözhetetlen a főisko1ai anyagrészekmegértéséhez. i.A vektor fogalma. jelölése: A vektor iránltott szakasz. Í'ásban a|áhilzot,tkisbetűvel, nyomtatásbanvastagon szedettkisbetűvel jeiöljiik. Ha a vei
,4 1 a
(nagyságán,hosszán) akezdő ésvégpontjakozéeső szakasz hosszát 2.Vektor abszolútértékén értjük Ha a(a,;a,), akkor lal: 4. ábrát).
tn2
,*2
(ahol a, és a2 az a velr':.orkét koordinátájátjelöli,
vektoresetén: Térbe]i ha b( b,;b,;á,), akkor |b|:
it (j
It 4J Jo
ld. a
b; +b;
3.Vektor áilásán (helyzetén),a vektort tafta|mazőegyenest(ésaz ezzel párhlzamos egyeneseket) értjük.Tehát az azonos állású vektorok vagy egy egyenesnek,YZW párhuzamos egyeneseknek a szakaszai. 4.A vektor iránya (értelme,előjeIe) a vektor kezdőpontjábőL a végpontjábamutat. Az azonos ál1ásúvektorok lehetrrekmegegyező, vaEY ellentétesirrányúak. 5.SzabadvekÍorról akkor beszélünk, ha nem lényeges az, hogy hol van a kezdőpontja. Két szabadvektort akkor tekinttink egyenlőnek. ha állása. naeysága és iránya azonos, de kezdőpontj aik ktilönböző ek. 6.Kötötfvelctorról akkor beszélünt ha lényegesaz, hogy hol van a kezdőpontja. Két kötötfvektort csak akkor tekinthetÍinkegyenlőnek, ha kezdő- ésvégpondukazonos. 7.Helyvektomak nevezzik a koordináta-rendszerben ábrázo|t olyan kötöt|vektort, amelynek rögzített kezdőpontja az of.gő. A hel-.rvektorkoordinátái azonosak a végpontkoordinátáiva1. 8.Nu]lvektornak nevezzik azt a vekdort, amelynek a nagysága zérus.A nullvektor irányát tetszőlegesnekvehetjük. egységnyi' 9.Egységvektornaknevezzikazt a velctort,amelyneka hossza (abszolútértéke)
10
röbbszöri alkalmazásával rendre eggyel alacsonyabbrendű determinánsokatnyerünk, míg végül már ki tudjuk számítani. harmad- ('ag}'mrísod-)rendű determinánsokatkapunk, amelyek értékét Feladatok ugy, hogy a l.feladat: Hatarozzllk meg a következő negyedrendű |A| determináns értékét harmadik sorára akalmazzuk a kifejtési tételt. Azért céLszerua harmadik sor szerint kifejteni, mert itt található a lestöbb nulla. 201 4
1
l A, =
-1
Z -2
'03 0 )-2r 2
= - 3( -2- 6 - 4 -12)- 1(8-I+ 4 + 4) = 5 7
1t {j
It ;ir
Jo
Az I. és3. aldeterminánsértékét nem határoztukmeg, hiszen ezeketO-val szorozva úgy is nullát kapnánk. A 2. és 4. a]determinánsokértékét Sarrus-szabállya|(az 1'' és 2. oszlopok hozzáítása néllnil)határoztuk meg. Az előbbi számításokból láthatjuk, hogy miért előnyös az, ha a kifejtett sorban minél több a nulla elem.A determinánsok9. tulajdonságátalkalmazvaelérhet.iük aá. hogy valamely sor (vaqy oszlop) elemei eg]r kivétellel nullák leg]ienek. Ea a műveletet a szakmai zsargon ''kinul1ázásnak''nevezi. Z.fe|adat:Állapítsuk meg az előbbi determináns értékét úgy is, hogy előbb a 3. sorát kinul|ázzuk, majd ugyanezen sor szerint kifejtjÍik (itt már a nulla elemhez tartoző adjungált aldeterminánsokatle sem íI]uk).
l-rr -? l . (e- 66)=57 =(- 1()1)( r) I 3 ul= r-tl A második determinánstaz eredetiből úgynye4.ük'hogy a 2. oszlophozhozzáadnlk a 4. oszlop (-3)-szorosát. Ezután a l
Kétvektor skaláris szorzata
-'t
Í
I
,7.
a
ábra
Két velctor skaláris szorzata eey olvan szám (tehát nem vektor!). amelyet a következőképpen defrniálunk:
lt
(r It
ahol 1a kétvektor á|ta|bezártszög (és 0< 1 < 180). A skaláris szorzatműveletijele a kétvektorj eleközé írtpont, amely itt nem hagyható el! Ha az a vektornaka b vektor egyenesén lévő merőlegesvetületéta , -valj elöljük, akkor cos 1 e ' a ' ' = a " : la lco s7 la l Ha ezt a definició képletébe helyettesífül a következőket kapjuk:
/1 (
Jo
a,:a'b/lbl
a.b: a " ' lbl
Az utóbbi egyenlőségjobboldalán lévő b/|b| kifejezés értékeegy velctor' hiszen egy velctort osztunk egy pozitív számmal, s mivel ez a szám a vektor hossza, ezérta kapott vektor a b vektor irányábamutató egységvektor. Ennek jele: bo. Ezze| azuj je|öIéssela vettilet:
Tehát egy vektor merőlegesvetületénekhosszát ee]/másik vektor egvenesénúgyn.ve{iük.hogy a vetített vektort skalárisan meeszorozzuk a vetületet felfoeó vekÍor irányába mutató eqységvelctorral. Ezt az összefuggést az analitikus geometriában a későbbiek során többször fel fogjuk hasznátni. A y nagyságátől fiiggően aza, vetúletrea következőket kaphatjuk: a,> O,ha y hegyesszög, a,:0,1ta y
derékszögés
a,< O,ha y
tompaszög. Ekkor a vetület a -b velÍoronlesz'
14
5. ábra Egy helyvektor irányszögén az abszcissza tengely pozitív felévelbezárt. az óramutató járásával iriínvbanmértszöset érttink. ar:lalcosa e egységvektorkoordinétái: e(cos qsina),
a2:lalsmd mert |e|1.
17.Műveletek koordinátáikkal adottvektorokkal: Ha a(a ;a ) és b(b ;b, ), akkor ' ' ' +b,);(a,+b, )] (a+b)[(a, (a-b)[(a,-b,);(a,-b, )] k.a(k-a,;k a z) 'eháta megfelelő koordinátákkal ugyanazt amuveletetvégezzük, mint a vektorokkal. I8. A 90"-kal elforeatotthelyvekor koordinátái:
ábra Forgassunk el egy adott a(a,;a, ) vektort 90"-kal, majd hatrírozzukmegaz elforgatottvektor Pozitív iranyú elforgatás esetén:a*(-a,;a,). nátáit az a ve|rtorkoordinátái segítségével. ív irányúelforgatáseseténa**(a zi-a) !t egyenlő nagyságúhelyvelctor akkor merőleges egymásra, ha egyik koordinátáiból a másik ordinátáit úgy nyeq.ük, hogy az előbbi koordinátáit felcseréljtikésaz egylk koordináta előjelét ellenkezői éreváltoztatiuk.
13
A skaláris szorzat tu|ajdonságai ez pedig azétt te|jesül, mert a l. a.b:b.a (kommutatív),mert |a||b|cos5|b||a|cos(-7), cos,1=cos(-1)]. párosfuggvény|azaz 2. a.(b.c)+ (a.b).c (nem asszociatív).Errnek igazo|ásáravezessük be a következő jelöléseket: b.c=n és a.b:k (ahol n és k valós számokat jelöl). Ezekkel a jelölésekke| a 2. ggésígy írható: natkc, ami már nyilvánvaló, hiszen egyenlőségcsak akkor állhatna ha az a ésc vektor párhuzamosvolna. 3. k(a.b):(ka).b:a.ftb), azaz asszociatívkétvektorra ésegy skalárra, mert klallblcosl=lkal lblcoslt í
Yy,'í,, Y\"
,)
,/
8. ábra [Ia k>0, és y hegyesszög, akkor y'.:7 és k|a|:|ka|, ezértaz előbbi egyenlőségferuráll (és idkét oldalpozitív). Ha k<0 és y hegyesszög' akkor 1t:180.-7 tompaszög ésezértmindkétoldal negatívlesz.(Ha mpaszög, akkor az előjelek mind a kétesetbenmegfordulnak). 4. @+c).a:b.a*c.a (disztributív). igazo|ásátahasználjuk fel a definíció után ta|álhatő a.b:au |b| összefiiggést.
felhasználvaa 4. tulajdonságra kapjuk: (b+c) lal:b lal+c,lal " " @+c),:bu+c,
pedig a 9.őbraalapján nyilvánvaló.
15
/lal
I
-tI
( bt9l_v-----+ 9.ábra
íl
(j
IE /1\
Jo
5. Mikor leheta skaiáris szorzateredménye nulla? Nlivel (a.b:|a||b|cos7) szorzat értékecsak akkor lehet nulla, ha va|amelyiktényezőjenu|la, ezért3 esetlehetséges: la|:O tehát az a vektornullvelctor,vagy lbl:O a b vektor nullvektor,vagy cos.50 azaz .p90'+k180o, (ahol k e Z). Tehát két(nemnull-) vektor merőlegességének szükségesés.elégséges feltétele.hogy skaláris szorzatuknulla legyen. 6. A skaláris szorzatmeghatározásaa veldorok koordinátái segítségével: Legyen a(a,;a,;a,) és b(b,;b,;b.) (kétdimenzióeseténaharmadikkoordinátanulla) a-b:(a,i*a,j*a, k)'(b1i+b,j+b, k): :&,bri'i*arb,j.i+ arb,k.i*a , b , i. j * a r b, j j + a r br k. j + a , br i. kt a r b, j . k+ a , b, k. k mivel
valamint
i.i=lillilcos0o: I .1.1:l
hasonlóan
j.j:l, és k.k:1
ij:lilljlcosg0o:l-1.0:0
hasonkóan
i.k:0 és j.k:O,
Az utóbbi összefi.iggéseketfigyelembe vévea skalárszotzat.. ,b rld rb , *a, b.
1.feladat:Hatátozzuk mlg az a(2;I72) és b(3;-2;6) vektorok hajlásszögét! a.b:6-2-I2:-g 1u1:J4-+14 :3 161:J9a4a36:7 A kapott értékeket a skaláris szorzat definíciója képletébehelyettesítvekapjuk: -8:3.7cos7 ésebből cosy-8l21 1fI12,4"r k3 6 0 "
1 r : 2 4 7 , 6 + k3 6 0 "
L6
\L
7.Velctoriálisszorzatmeghatározásaa kétvektor koordinátáiból: Legyen a (a ,; a ,; a ,) és b(b ; b, , b , ) ' Előbb vizsgáljuk meg, hogy a térbeli háromdimenáós Descartes-féie derékszögű koordináta-rendszer bazisvekÍorainakpáronkéntivektoriális szorzata hogvan alakul: j"i:-k ixi:0 kxi: j j*j:o ixj:k kxj:-i j"k:i ir.k:-j kxlsO
IDla ábra axb:(ari*a, j*a, k)"(b ri+b2j+brk):a,b, (ixi)+a,b, (iti)+arb,(kxi)+ *a r b z (ixj)+a,b, (i xj)+a,b, (kxj)+a,b. (ixk)+a,b, (i tk)+a.b, (kxk) :d
it t I
'(4
, r i: zb,(-k)+ a r b, j + a , br kr a r b, ( -i) + a , b,( -j ) + a b : i(a, b. -4 , -a r b r ) : t b z) -j ( u,b, -a , b, ) + k( a b,
. lu, arl . lu, u'l*x.lu' =''lo, "'l u,l-J lu,b,l lb, brl
$ '43 I
'Jn g'l
i'l
Megegyzés: Itt a determinánst csupán formai okokból (a könnyebb memorizálhatóság miatt) használtuk, hiszen a determináns értékeegy szám, itt viszont egy vektort kapunk! 2.fe|adat:Határozzukmeg az A(2;I;3) 8(172;1) C(0;2-1) háromszög területét! Előbb adjuk meg a hiíromszög egylk (C) csúcsából induló két oldal-vektorát, majd határozzuk meg ezen vektorok vektoriális szorzatát' Mivel az így nyert vektor hossza (abszolútértéke)a kifeszítettparalelogrammaterülete, ezértennek fele a háromszög területe.
CA(2;-I;| CB(1,;-a;2) :14i
CAx CB
18
-0 j -7 k
A vegyes szorzat tulaj donságai; 1. (axb).c:(bxc).a:(cxa).b Tehát mindegy, hogy hová
tesszük
a
szorzásjeleket'
különböző
a
végeredmén
- ha a vektorhármasazonos sodrású- egyenlő. (Ezértvan olyan egyetemitankön1v, amely is jeizi a különböző szorzásmódokat,hanemcsak egyszeníenfelsoroljaa három vektort)' Az előbbi tulajdonsághelyességea 10lb ábra a|ap1ánkönnyen belátható, mivel csupán a van sző, hogy a paralelepipedon melyik lapját tekintjük alaplapnak, a tétfogat(vegyes szorzat ettőlnem változhat. 2. A vegyes szorzat felhasználható tetraéder(négylap:háromszög alapú gúla) térfogatána kjszámítására is. Ha a paralelepipedont az a7aplapátlója mentén'az oldalélelr&elpárhuza síkkal elmetsszük, akkor kétegyenlő térfogatú, háromszög alapúhasábot nyerünk. Ezek térfo fele-fele lesz a paralelepipedontérfogatának(a vegyes szorzatnak).Havesszük anrraka gúlának térfogatát,amelyiknek alapja .Vonos az előbbi háromszög alapú hasábéval,magassága pedi azonos a paralelepipedon magasságával, akkor
a gúla térfogata a háromszög
v:?
tétfogatának az egyharmada (mert a gűLatérfogatának
alapú hasá
). Mivel az egészfelén
a harmada az egész hatoda, a tetraéder térfogata: r, l(axb)'cl v:I
{1
1t .aL -lJ
)n
6
jelre azértvan Ahoi az a b c a tetraéderegy csúcsából induló három élvektora(az abszolut érték sziikség, mert a skaláris szorzat negatív eredménytis adhat) 3'A veqyes szorzatmeghatározásaa vektorok koordinátáisegítségével: Legyen a(a,;a,;a,)
b(b , ;b, ]b. )
c(c ;c ;c , ) ' '
adott vektor.
három
A vektoriális szorzatnál láttuk:
w^ a.r la. a"l la. ' l-i. l ' ' l+ k. l ' axb= i. l '
lb, b,l " lb, b,l
lb,
aho| az előbbi determinánsok az (axb) vektor koordinátái. Ha ezeket rendre megszotozzllk a c vektor megfelelő koordinátáival, kapjuk az előbbi ve}Íornak a c vekÍorral való skaláris szotzatát (azaz a vegyes szorzatot):
la " a - l la . a " l = 4 - 1 , ' , ' l- cr . l, ' , ' l* . , (ax b)'c Dsl Dsl lD,
lD,
20
\-\s.\
arl
.-l
Dzl
IV'Ko o R Dl NÁTA-RE NDs zE REK
?
,-1
,a
A középiskolában megismertük a síkbeli (kétdimenziós) Descartes-féle derékszögű koordínáta-rendszert, amelyet két egymásra merőleges számegyenes határoz meg. A két számegyenesközös pontja a számegyeneseknulla pontja, amit origónak nevezünk. Ezeket a számegyeneseket x ill. y (abszcissza' iil. ordináta) tengelyekneknevezzúk.Ez a koordinátarendszer -bár a leggyakrabban használatos, de-nem egyedülálló. A következőkben megismerkediink néhány,számunkra eddig ismeretlen koordináta-rendszerrel: 1. Térbeli(háromdimenziós)Descartes-féle derékszögűkoordináta-rendszer Három, páronként egymásra merőleges számegyenes alkotja, amelyek egymást a nulla pontban(origó) metszik.A tengelyek(ésegybena koordináták)nevei: x vagy abszcisszatengely, y vagy ordináta tengely, zvagy applikátatengely.
it
(l
It 4J
A lengelyek egvség-(bázis) vektorai: i. j. k. A koordináta-rendszersegítségével bármely térbeliponthoz, kölcsönösen egyértelműmódon egy rendezettszámhármast rendeltink. Ezt a számhármasta pont koordinátáinak nevezzük.
la
.l
1 1 . ábr a
22
i-\-
x*: r*.i Y*: r*.j z*--r*.k
x P(y ** ,;9.)
13 'ábra Megjegyzés: A derékszögű koordináta-rend.szeresetén a koordináták előbbi mepfiatározásaazonos eredménytad. A ferdeszögű koordináta-rendszereknekis létezikkét-ésháromdimenziós válto zatllk. 3 . Polárkoordináta-rendszerek
t,i /
(4
(t 4t Jo
Az olyan problémák vizsgátatához, ame|yekbenegy rogzitett pontból kiinduló lcilö irányok fordulnak elő, vagy olyan mozgásokat vizsgálunk, amelyeknek van egy fix pontjuk forgómozgás) célszenía polárkoordinátríkhaszná|ati. a/ Síkbeli polárkoordináta-rendszer
k e zdőpo nt / a lappo n t/
kez dő1r ány / a1ap1r ány/
14. ábra Egy tetszőlegesP pont első koordinátája az oP:r távolság, második koordinátája pedígaz forgásszoe, amelyikkel a kezdőiranyt kell elforgatni, hogy az oP egyenesselfed'ésbekerüljöI Q Ha egy pontnak.előre megadjuk a polárkoordinátáit, akkor a koordináta-rendszer sí.tg.ában helye egyértelműen kijelölhető, viszoniegy tetszőlegesenfelvett P ponthoz a második koordiná végtelensokféleképpen megadható.Pl. a P(8;30.) ésR(8;30.+Ú60ó) pontok egybeesnek(neZ
24
r- \,*
Egy tetszőlegesP ponthoz a koordinátákataz alábbiak szerint rendeljük:(id. 15.ábra) 1.koordináta az oP__r távolság, I
1
I,
't
2.koordináta az a )" forgásszög, amellyel a kezdőfélsíkot kell elforgatni az alapirány köni hogy a P pontra illeszkedő félsíkotkapjuk. Ez a szog akkor pozitív,ha az alapirárrnyalszem nézve akezdő félsíkelmozdulása az őramutatő iárásával ellentétes. 3 .Koordináta az a s szög, amelyet az oP szakasz az alapsíWal bezár. F,z a szög akkor pozitív, ha a P pont az alapsíkáltal kettéosztottfélterekközül az alapirány feléeső féltérben helyezkedik el.
A térbeli pontok és a valós számokból alkotható számhármasok között előbb ismertetett leképezéscsak egyértelmű(tehát nem kölcsönösen egyértelmű),mert egy koordinátáival adott pontot egyértelműentudunk ábtázo|ni, de egy tetszőlegesen felvett térbelipont második és harmadik koordinátája végtelensokféleképpen adható meg. Földraj zi helyme gha tár ozás;
I
{1
A térbelipolárkoordináta-rendszeregyik speciális esete (és egyben rgen fontos gyakorlati alkalmazása) a föIdtajzi helymeghatározás.Ebben az esetben
It
alapsíknakaz Eeyenlítő síkját.
tlJ
alapirán]maka Föld forgástengelyénekészakipólusba mutató irányát.
le
kezdőfélsíknakaz aneliai Greenwich (Grinics) - ma már London tésze- csillagvizsgálón áthaladó félsíkotválasztiuk. Mivel a Föld felületén maradunk (az r értékeállandó), helymeghatározásnálcsak kétszög szerepel:
elhagyható, ezért a földrajzi
Az 1. szöget földrajzi hosszúságnaknevezzúk.Ennek előjele Londontól Keletre pozitiv, Nyugatra pedig negatív. A 2. szoget földrajzi szélességneknevezzik. Ennek előjele az észal
26
A koordináta.rendszerektranszformációi
-.(
I
Koordínáta-rendszer transzformáciőjának nevezzúk ail. az eljárást, amelynek során koordináta-rendszertvesztink fel, majd kiszámítjuk az ercdetj (vesszőtlen) koordinátákből az (vesszős) rendszerbeli koordináták értékét. Csak azokal az esetekkel foglalkozunk, amikor tengelyekhosszegységeiegyenlők. Bárhogyan is vesszük fel az új koordináta-rendszertengelyeit, azok az eredeti tengelyekbő két alaptranszformáció egymás után való alkalmazásáva| mindig megkaphatók. Ezek alaptranszformációka következők: párhuzamoseltolás éspont könili elforgatás.
A koordínáta-rendszer eltolása Egy P pontnak a koordinátái az eredeti koordináta-rendszerben (x;y;z), az új koordináta. rendszerben (x,;y);z,). Az t| koordináta-rendszert a régtből az ro(xo;y";z") vektorral való
eltolással nyerhető. A P pont helyvektora az r vel
ir {j
? < x ;s)
Prvru;z)
(r'y9')
(r r y9':1;
,lt 4J Jo
17 ábra r=ro*r' ebből: r,:r-Ío ezétta koordinátákra:
az 3.feladat:Adott az (x-6)'+(y-4)2:4 egyenletűkör. Toljuk e1 a koordináta-rend'szert r"(3;2) vektorral.Mi lesz a kör egyen|eteaz úikoordináta-rendszerben? x':x-3 és y,:y-2 ezekből *:3+X' y:Z*y, Ezen értékeket az eredeti egyenletbeírva nyerjük: (3+x'-6)2+(2+y,-4)2:4ésebből a végeredmény: (x'-3),+(y,-2),_1
28
\\*-
L
Mivel az íj koordinátákat az r vektomak az uj tengelyeken lévő merőleges vehiletekén nyeqük (ésez megegyez1kaz űj bázisvektorok egyenesénlévő merőleges vetÍilettel)'ezértaz u. koordinátákat az r vektornak a megfelelő újbázisvektorokkal való skaláris szorzatakéntnyerjük. Tehát: x'=r.i' és y':r.j' de r=xi+yj majdhelyettesítésután: *':(xi+yj).i':xi.i'*yj .i' t': 1xi+Yj)'i':xi'i'+Yi'i'
ezérta skaláris szorzatukaz ábrárőlleolvasható hajiásszögük Mivel az i,i, jj, egységvektorok, koszinusza, ezeketaz előbbi egyenletekbeirva kapjuk x' : xco sa + yco s( 9 0 _ a ) y':x cos(90*a)*y cosa a
I
Az ismert: cos(90-a):sina és cos(90+a):cos90cosa -sin9Osina:-sina trigonometrikuq ö ssz efi.iggéseket felhas ználv a, az újko ordi nátákr a kapjuk : x,:x cos q *y sina y,:_x sinA +y cOSd lt
lj
,(t ,43
Konnyebben megjegyezhetők ezek a transzformációs formulák, ha táblázatbafoglaljuk őket az a!átbbiakszerint: x v xt cos a sina J
-s1na
cosa
!n
A táb|ázatban szereplő másodrendű négyzetes mátrixot forgatómátrixnak nevezzik. Segítségévelkönnyen meghatározhatjuk nemcsak az új (vesszős) rendszer koordinátáit (úgy hogy az eredeti koordinátákat rendre megszoÍozzuk a keresett új koordináta sorában található mátrix elemekkel és ezeket a szotzatokat összeadjuk), hanem az eredeti (vesszőtlen) koordinátákat is úgy,ltogy az újkoordinátákat rendre megszorozzuk a kerEsetteredetikoordináta oszlopában lévő mátrix elemekkel ésa kapott szorzatokatösszeadjuk. az eredeti koordinátákat az alábbiak szerint nyerjük: Tehát a forgatómátrix segítségével x:x'cos a -y' sina 5 x' sina + y' co sa
30
6.feladat:Forgassuk el 300o-kalaz e: rJlx egyenletét!
:'
egyenest,majd adjuk meg az elforgatott
,
:a .QJ,
bo.
,.11 , .'.
i
,t:
X
I
, i: i t, t
'l
\/'
itt I ',{i 4J ,JA
27. ábra
Az egyenes egyenletébőlmegállapíthatjuk,hogy az adott egyenesorigón átmenő és 60" irányszögű. A 4.feladat megoldása során említett okok miatt az egyenesselegyütt forgassuk 300"-kal a koordináta-rendszertis. Az elforgatott egyenes az új koordináta- rendszerben he|yzetíi,ezértegyen7eteazonos alakú:(y':Jíx') A forgatómátrix x
x 1 2
y'
J1 2
v
t; VJ
Ebből az újkoordináták:
-2
1 2
Az újkoordinátákata ''vesszős''egyenietbeírvakapjuk:
1
J1 J-3 r.r ----x*:y: V3 ('2 x-iY) 2 2' 2 Jix+y:JI1x-Jír) 4f0
azaz )-A
A kapott eredmény a 2I' ábta a|ap1ánnyilvánvaló' hiszen az e|forgatottegyenes (a 60o-os irányszög miatt) azxtengellyel kell, hogy egybeessen'
32
A kapott x,y értékeítaz ercd'eti egyenletbe írva nyeq.ük: (x'cosa-y'sina) 2 +(x'sinefy'cosa) 2 :{. A négyzetteemeiések e|végzése,kiemelések, majd az ismert trigonometrikus akalmazása után a kör egyen7ete az új koordináta-rend'szerben:
l
összefiiggés
(x')2+1y12:4.
lI
A kapott eredményazért nem fi)gg az elforgatás szógétől, mert a kör tetszőleges szögre ú forgás-szimmetrikusidom (ez azt jelenti,hogy tetszőle-gesszoggel elforgatva onmagábu ''*"i át'').
Megjegyzés: Azt a koordináta-rend.szert, amelyben az a7akzat egyenlete a ' legegyszerűbb, kanonikrrs helyzetíi koordináta-rendsiemek, az alakzat iiyen legegysz egyenletét pedig kanonikus eqvenletnek nevezztlk' A kanonikus egyenletben nem szerepelnek alakzat elhelyezkedésére utaló paraméterek, csak az alakzat atakjit meghatározó paramétere. tarta|mazbatja. Pl. a kör kanonikus egyenlete:
x' + y' = ' lt {;
l0 Á(.
Jo
8.feladat:Toljuk el az y:_x+2 egyenlettíegyenestaz r'(2;I) velctorral, majd az uJ on könil forgassuk el 90o-os szöggel-. Adjuk meg a kétszeres transzformáció utáni egyenletét!(készítsunk ábrát!) Az egyenessel együtt mozgassuk el a koordináta-tendszert is a feladatban szereplő adat Mivel az elmozgatott egyenes helyzete az új koordináta-rendszerben azonos, ezért egyenl y,:-x,+2. A forgatómátrix: A forgatómátnx x'
v'
x-2 0 't
-t
v-1 I
0
Az újkoordinátákata ''vesszős''egyenletbeírvakapjuk: x':y-1 -7+):-y+I+2 vt:-x*2 V:x+1
34
Ha a P" pont felezőpont (ezértk:n:l :I), vagy az egyik harmadolópont (k:n:l:2), akkor e1őbbiképIetekbőla középiskolábói ismertformulákatnyer;ük. A háromszög súlypontja S(x a B(x ^ ; y ; z. ) C ( x ; y^ ; z^ )hár o m szögsú I ypo nt jlegyen Az A (x .; y ; z ),'3..3'3, .1..1.1,?..2.) a súivoontkoordinátái: vo= X l+X ) + X 3
3 AlevezeÍést - mive] az elvlleg azonos a középiskolábanmegismertkétdimenziósmegoldáss a hallgatókrabízzuk.
A tetraéder súIypontja D{x,r;At,;Zr)
'lt
li $ ,45
t -',
C Qri ls, zs)
-
'!1
I
% r t , r g. i zr ) 23/b ábra Ha a tetlaéderegy-egy csúcsátösszekötjük a szemkoztiháromszög súiypontjával,a tetraéd súlyvonalait kapjuk i esvmást. A súlv A tetraéder tban. a sú]voontban (úgy,hogy az oidaltól egy egységre,a vele szemben lévő csúcstól nqgyede]ia sú]}.Vonalakat ugyaniJyenegységrevan). Legyen S,, a D csúccsaiszemben iévő ABC háromszög súlypontja.Akkor a háronrsz súlypontjáróltanu]takalapjánaz ebbemutató heiyvektor: . , = á ( a + b+ c)
36
3.Kétadottponton átmenő egyenesegyenlete: Előbb meghatározzuk az egyenes egy iranyvektorát, amely a két adott pont hel1rve kÍilönbsége, majd az egyk pontot tartóponürak véve -az előbbi egyenletet megadjuk az ewenes egyenletét. 4. Adott nLA:B) normálvelctorú. adott Po(xo:yo)ponton átmenő egyenesegyenlete:
,r,(Ú
24/a á.trra Legyen P(x;y) az egyenestetszőleges (un. futó-) ponqja,az ebbemutató helyvektor r, a pontba mutató helyvektor pedig r" ezért P]i = . - ro Koordinátríkkal: P " P (x-xo; y-y')
,(< . úl-?0 I
Mivel az n nonnálvektor merőleges az egyenesre(ígyu
ffi
vekÍorra),ezértskaláris
szorzatuknulla. A skaláris szotzatotkoordinátrákkalmeghatározva kapjuk: A(x.x")+B(y-y"):0 Axo+B
38
\s*'-*
ésebből
.l
vll tl
I OI
.í|
rrl
'rl xi
\.I {i
I
26.ábra A közepiskolából ismert egyenleteketa26.ábráról olvashadukle Milyen távol van az oigőtő.l' az alábbi egyenes? 4 ! = 1 x* )
(Készítstinkábtéi|.)
eltávolításaésrendezésután nyerjiik aZ egyenes egyenleténeknormálvektoros ala$át: 4x-3Y: -I5 leolvashatóaka normálvektorkoordinátái: n(4;-3), uek ismeretébenmeglatározzuk a normálvektor hosszát: |n|:5. elosztva a normálvektoros egyenletetaz egyenesnormálegyenletétkapjuk:
l r_1v=_3 5
5'
a következőket állapíthatjukmeg: l.az egyenes az origótól 3 koordináta.egységrevan' 2 a normálvektor nem az egyenes felémutat.
41
egyenleteikkeladottak,akkor ha;1ásszögrika28.ábraalapján: Ha azegyenesekíránytényezős
\oi +
n.Ü
\' ." ./t t .),,'
28.ábra a,:S+a,
-d.
+ Q: a t
szög összegével. n]erta háromszög külső szöge egyenlő a nem mellettefekvő kétbeiső EbbőI, mivei egyenlő szögeknek egyenlők a tangenseik: t gcÍ |_ t ga " ,'bY ,h _ 7+tga,tga,
heiyettesítjük: Ha az irárryszögektangenseita megfeieiőmeredekséggel
ne lehessen tomPasz. Az abszolút értékreitt is azért van szükségünk, hogy a hajlásszög azaz Meg1egyzés:A képletakkor nem használható,ha a nevező nulla, I +m,'ffi"
=O-
m"-
-
anri éppen (kozépiskolai isnrereteink aIapján tudjuk!) etrtaífe]téteie. koordináta-geom
+4
1 ml
a két egyenes merőlegességének
I("0;y1
30.ábra Az egyenletjobboldal án |évőkifejezésertéker z mert az E(x" f,)pm va & ezért e Eü koordinátái kielégítika kör egyenleté\azaz: (x.)'+(f) 2_ Í2. Fzt n,dtri q'acoe helyettesítvekapjuk az érintő eqyenletét:
Ha a kör középpontja a K(u;v) pont, akkor az eltoliísos transzformíciii i.snr€lt kí'|Gtit basználva az E(xo;y") kerületi pontra illeszkedő érintőegyenlete:
(x"-u)(x-ulh$f -v)(y-v| r z A kör adott P"(xo:y") külső pontra illes*edő ffi
t(z li9t)
3l/aőbrz; 46
erstnH
4.feladat:Határozzuk meg egy kör pontjainaktávolságát egy érintőjétől! találkozhatunk. E Ezzel a feladattal a mérnöki gyakorlatban körívek pontjainak kitűzésénél gyakorlati akkor a koordináti geometriai megoldani, egy feladatot analitikus módon akarunk rendszerfelvételetetszőleses.
a
lko;r)
31lb ábra lá ' lr
J:
Ezért an. minden esetben úgy célszení felvenni, hogy az eredményta lehető legkeveseb! számolássalnyeq.ük.Ennéla feladatrá|ezt a következő felvételbiztosída: 1. Az érintőaz x tengely legyen 2. Az érintésipont az origó legyen (ezérta középpont az y tengelyre fog esni) Azilyen kör egyenlete: xz+(y-r)2:12. Az egyenletexplicit alakja:
Az
oP
negyed körív esetén:
l=r - "Jr '- r '
r,
,
Y=r* ! r - -x-
ami egyben a tetszőleges P pontoknak az
érintőtőlvaló távolságátje|enti(a koordináta-rendszerelőnyös felvételének köszönhetően). Mivel a P,,P2,P3,.............P-kitűzendőpontokatazO éintésipontból kiindulva egyenlő (h
távolságra vesszük fel a körön, igy az egyenlő húrokhoz egyenlő (a) középponti szögelt tartoznak.Ezen szög fiiggvényekénta P pontok minkétkoordinátáj át|
Y,: t -r cosa
x ) : rs in2a
Y ,= -t cos2a
x:rstnlcY
Y,:a-rcosld
1
Természetesen,ha negyed körívnél nagyobbat kell kitűzrri, az y értékekr-nél nagyobbak lesznek,mert a cosinus értéke ebbena szögtartománybannegatív. Ha az u értékét csökkentjülg növekedni fog a kitrizendő pontok száia és egyben az elvégzendőfeladatpontossága. 48
Ha az ellipszis középpontja nem az oigő, hanem a K(u;v) pont éstengeiyei párhuzamosak maradnak a koordináta-tengeiyekkel, akkor a oárhuzamos eitolás transzformáciőia uÍán az ellipszis egyeniete: (x-u)2
(y -r)=
a-
b-
-+:! =1
Az ellipszis érintője
,,m,, A differenciálhányadosgeometriai tulajdonságából tudjuk, hogy f '(xo):m, ahol az értékeaz y:f(x) egyenlettel adott görbének az E(x.;y") pontjában huzható érintőjéneka meredeksége.Ezért deriváljuk az ongő középpontúellipszis' előbb levezetett(implicit alakú) kapjuk: egyenletét, ' ) - Ly' ) , , L& -
Ebből kifejezve a derivált fuggvényt:
a'
)- ---!-
tt'=
ll
b" ^ b.^x y,= ' a'y
pont (x";y.) koordinátáit,hogy Végül a kapott derivált fuggvénybehelyettesítsükbe az éirntési megkapjukaz érintő (''e'') meredekségét: b2x o m^=' a'yo
Az előbb meghatározottmeredekségetésaz E(x.;yo) érintésipontot (tartó pontként)felhasmálva nye{tik az érintőegyenletét:
b-x' ^ y_ yo=_:__I_(x_xo) a- y" memorizálhatő alakúra:
Az előbb nyert érintő egyenletét hozzukkönnyebben a'yoy -a'(y")' xox
=-b2xox+b2(x)2
I a'b'
(*")' , (y")'
y"y
or-Ur=rt-bt Mivel az E(x";y") pont rajta van a görbén (ezért koordinátái kielégítik a görbe egyenletét) és emiatt az előbbi egyenlet jobboldalán álló kifejezés értéke1-gyel egyenlő. Ezt behelyettesíwe az énntő egyenlete:
Ha az ellipszis középpontja a K(u;v) pont, akkor a (párhuzamoseltolás miatt) az E(xo;y.) pontjábanhuzhatő érintőjénekaz egyen|ete:
(v"-r)(v-r) U
50
-l
van: Az egyrk A hiperbola is tengelyesen szimmetrikus alakzat. Két szimmetria tengelye nem metszi valós tengely.gy",'",., ez metszi a görbét.A másik. (amely eztmerő|egesenfelezi) hiperbolát, ennek képzetes-vaev melléldengelya neve. gz _4z t|z i11.félfókusztavolságokközötti összefuggésa 33.ábraa|apjétn A fé1tengelyek
IPFyPF 2l:2a
A definíció alapján: A távolságokat kifej ezve:
J( " * r) '+y'- Ji"- c) '+ y
a jobboldali-ágát, -2a esetén Ez már tulajdonképpena hiperbola egyenlete, -|2a eseténa görbe és a könnyebb baloldali ág egyenletét nyerjük. A felhasználhatóságot megkönnltendő memorizálhatóság kedvéérthozzuk egyszeníbbalakra.
JG.,f ;7 - +l'*JG-'f *Y'
tO'
xz + 2cx+ c' + !' = 4az+ +r-r!1r: * y' + f' -zcx + cz + y2 "f
- c)' +y' = 4a' - 4cx + aa^,!@
a'x' -2a2cx + a'c' + o'Y' = a4 -2azcx + c2xz *? (o' - c') + a'y' = a'1a' - c') de (az -cz)=-bz
: ( - a ' b' )
-bzx2 +a'y'=-a'b'
Ha a hiperbola középpontja a K(u;v) pont, akkor a görbe egyenlete: (* -u) ' _ ( y -: ) ' -, b2
a'
A hiperbola érintője az ellipszisnél A hiperbola érintőjénekegyenletétugyanolyan módon nyerjük, mint azt l áthathrk.Ezért ennek levezetéséta hall gatókra bizztlk. pontjára illeszkedő Az ongó középpontú,ill. a K(u;v) középpontu hiperbolák E(x";y") érintőik egyenletei: (x" -u)(x-u) a'
52
Níncsmetszéspont, ha a gyökjel alattikifejezésnegatív.Ez csak akkor teljesüihet,ha b2
azaz
h-
m 2>- "
es eoDol:
u^2
hh
m> " vagy aa
m<_ "
Nincs értelmea megoldáskéntnyert irracionális kifejezésnekakkor, ha a nevező nulla: b2 b + $2. -42 yylz ---2=vagy =! mm = --
-
n-
a
a
A 34.ábrőn láthatjuk, hogy az ilyen meredekségűegyenesek mintegy szétválasztjákaz origón átrnenő egyenesek azon két csoportját, amelyek metszik itl. elkenilik a görbét. Ezeket az egyeneseket a hip erbola aszimptotáinak nevezzik. Az origó középpontúhiperbola aszimptotáinak egyenletei tehát:
Az aszimptotákátlóik annak az un. érintőtéglalapnak'amelynek oldalai 2aill.2b. Ennek felvétele a görbe megrajzolásanáligen jó szolgálatottesz. Derékszögűnek nevezzilk a hiperbolát akkor' ha aszimptotái merőlegesek egymásra (ekkor a:b). Végü1a K(u ;v) köz éppontu hip erbola aszimptotáinakegyenletei: , b, y -v = : --1 x-u) u
6.feladat:Adjukmeg a 9x2 -I6y2:744 egyenlehíhiperbola P(;3) külső pontra illeszkedő érintőit! (Készítsünkábrát!) Ha az E(x.;y.) pont rajta van a hiperbolán akkor az éirntőegyenlete: 9xox-16yo5 |44. Ha a P pont koordinátáit helyettesítjik az (xo'yo) helyébe akkor az érintésipontokon átmenő szelő egyenletétkapjuk: 36x-48y:144 egyszerűsítve: 3x-4y:72 ebből: 3x:4y+72 ezt a hiperbola egyenletébe írvakapjuk: ( a Y+ 0 ) z -1 6 Y2 : 1 4 4 z +96r*144-7 I 6y 6y z :l 44 /r6 y2 +6y-y2=0 ebből és x:4 pont' Tehát E(a;O) az érintési 50 ezértazéintő egyenlete: x:4 A kapott eredménnyelkapcsolatosankét gondunk is van: Az egyik geometriai. Hogyan lehetséges az,hogy külső pontból egy görbéhezcsak egy érintőhűzhatő? A másik algebraí(ami persze az előbbi következménye!),hogy miért van csak egy gyöke az előbbi másodfokú egyenletnek? Ráadásul itt nem azértvan egy megoldás, mert a disz]
54
lévő elsőfokútagokatkétfelénekösszegekéntállíluk eiő, majd érintő A görbe egyenletében íivk. eseténaz egylk ''féltag'' váItozőjahelyébeaz éintésjpont megfelelő koordiÍLáLtáját érintőnélebből: px*pxo lesz. Pl. 2px1x+px (1ásd a következő Természetesen az előbb leírtak konkrét felaaatok esetébenis alkalmazhatóak feladatot). (kör, ellipszis, Igen lényeges! Az előbbi megá||apitátsainkcsak és klzárőIag kúpszeletek parabola,hiperbola)eseténérvényesek. érintőit! 7.fd,adat:Adjuk megaz 5xz -6x+11parabola P(I;2) 1cülsőpontra illeszkedő Ha az E(x.;y") érintésipont, akkor az ét'rntőegyenlete: (1I2)Y+(I Iz)Yo:"o*-'*-3x"*11 pontokon átmenőszelő egyenlete: (Il2)y+I:x-3x-3+11,ebből5-4x+I4 Az érintési á11ó pontokata parabolából az előbbi szelő metszi ki. A görbe ésa szelő egyenleteiből Az érintési E (- 1;18) és megoldása:E ,(3;2) egyenletrendszer , (ll2)y+I:3x-3x-9+11 f, Ebből a kétérintő: e. : e )'.
(ll2)Y+):-x-3x+3t11
v:-8x+10
A parabola érintőjéneknéhánytulajdonsága A következőkben azt fogjuk megvizsgálni,ho érintője, szimmetriatengelye,fókuszpontja, vezé milyen geometriai kapcsolat van. Mivel ezek elhelyezkedésétől,ezérte|egendővizsgá|atainkat
t- zpv
o-k,'
Iixjol-
g--
+(x;g') (vczáre.ggenes\
' X X o : p( y* g" )
's:fx_s? 35.ábra
56
KúpszeIetek A sikmefszel : kör
36/a é.*:lra Ha egy egyenes körkrÍpot egy síkkal elmetszünk, akkor a k<jvetkezőmetszeteketkaphaduk: Ha az M metsző síkilleszkedik a kúpC csúcsáraa metszetlehet: 1. Egv pont, a kúp csúcsa,ha az M metszősíknaka forgástengellyelbezárt a hajlásszöge nagyobb, mint a kup P félnllásszöge. 2. Egy egyenes,ha o: p ilyenkor azM ''metszősík''valójában érintősík. 3. Két eeyenes.ha cr < p Ezeket a metszeteketelfajult hipszeleteknek nevezziJk. Ha az M metszősík nem illeszkedik a (kettős)kop C csúcsáraakkor a metszet lehet: 1. Ellipszis. ha cr > p , ct:90o eseténkör. 2. Parabola.ha ü: p 3. Hiperbola. ha cr < B Az előbbi megá|7apitások igazolásától eltekinttink. Ismertetésükreazért volt szükség, hogy megértsük,hogy a kört, ellipszist, parabolát éshiperbolát miért nevezzikkúpszeletnek. Az egyes kupszeletek tárgyalásánál láttuk, hogy e görbék egyenlete minden esetben egyenletvolt' Ennek a megállapításnaka megfordításaáltalábannem másodfolú kétismeretlenes igaz, azaz nem minden másodfokú kétismeretlenesegyeniet kúpszeletnekaz egyenlete. P|. az rzlyz: -4s egyeniet semmiféle alakzatnak nem lehet egyenlete, mert nem létezik két olyan szárn amelyek négyzeténekösszege negatív lerure. Ha viszont eey másodfokú kétismeretlenes egyenletnekvan valós eyökpárja. akkor aZ egy (valódi vagy elfajult) ldpszeletnek az egyen]ete. általános, másodfokú, Ax z +By' +Cxy*Dx+Ey+F=0 Konkrétabbanfogalmazva: az kétismeretlenesegyenlet grafikonja (ha egyáItalánmegfelel neki valamilyen vonal) akkor lesz: Ellipszis. ha Parabola,ha Hiperbola. ha
AB - (C/2)z >6 AB - (C/2)? :0 AR - (C/2)2 <0
A:B
58
és C:0 eseténkör.
A sík egyen|etei 1.AdottPo (xo;yo;zo) pontonátmenő.adott n(A:B:C) normálvektorusíkegyenlete: Egy térbelipontból egy vektorramerőlegesencsak egy sík állíthatő,ezérta síkotegy ponla és egy normálvektora egyértelműen meghatározza. (A normálvektort itt irányvektorral nem helyettesíthetj ük, miért?)
_
tT
36.r. ábra a Mivel a normálvektormerőlegesaz S síkraezértannakminden egyenesére,tehát Po P = r - ro vektorra is. Mint tudjuk, merőleges vektorok skaláris szorzatanulla. Ezért: n'(r-r):0 Az előbbi egyenletet a sík normálvektoros vektoregyenleténeknevezzúk,mert ezt csak és kizárólagosan- a sík pontjaiba mutató helyvektorok elégítikki. A sílrranem illeszkedő pontok eseténviszont, (mivel ekkor már az említett vektorok nem merőlegesek egymásra) ez az osszefliggés nem teljesülhet. Ha az előbbi vektoregyenletről át akarunk témi ska]áregyenletre,akkor a skalárszorzatot koordinátákkalkell meghatározni.Mivel: (r-ro)[x-xo;y-yo;z-zo) ezértaskalárszorzat: A(x -x")+B(y -y C (z-zo):0 ")+ *BytCz:Axo+Byo 2. A síknormálegyenlete: A sík normálegyenlete olyan normálvektoros egyenlet, ahol a normálvektor egységvelÍor. Mivel bármely vektor oszva a saját hosszával egységvektortad, ezértha n(A;B;C) akkor tebátaz no egységvektor koordínéiái: |n|:^[4 a p 11
60
\-
ú
pontla ijleszkedő n(A;B;O) P o (xo iY Adjuk meg "izo) (ez a z tengellyel párhuzamos sík): Ax+Bv:Ax"+Bya
nonnálvektoru sft egyenletét
b/ Koordináta-tengelyremerőleges síkok: Ha egy sík merőleges valamelyik tengelyre, akkor egyben párhuzamos a miásik két tengely által alkotott síkkal, ezért a sík normálvelctora az emlitett tengelynek szakasza (ezért két koordinátájanulla lesz)' A Adjuk meg a Po(xo,Yo,zo) pontra iileszkedő, n(A;0;0) normálvektorusík egyenletét! normálvelctor most az x tenge|ynek szakasza, ezérta sík az x teneelyre merőleges. 1||.az |y,zf koordináta-síkkalpárhuzamos.Egyenlete: Ax:Axo azaz X:XO
Pont éssík távolsága Határozzlk meg a P*(x*;y*;z*) pontnak és az {1+By+Cz:Axo*BYo*{zo:D adott S síknak atávolsását
egyenlettel
t'(**)v.,' I
a\
9Y
, \x'
\./
37 'ábra A keresett''d'. távolságot a PF-
=r*-ro vektornak, az n(A;B;C) normálvektoregyenesén
nyerjük. Ezért lévő merőleges veti'Íleteként + 7 = ( r * -r o ) ' no jelöl. Ha a skaláris ahol az novektor az S sík n normálvektora irányába mutató egységve}Íort hatátozztlk meg, kapjuk: szorzatotkoordináták segítségével C (z*-zo) J-d=_Líx*-xo)+_____4-íy*-yo)+ +C' J A'+ Bz + Cz ^ lA ' + B' + c' ^ lA ' + Bz
62
1.Adott P.c(r.:y;:zo)ponton átmenő. adott v(a:b;c) irán.rrvektorúeg}zenese-qyenletrendszere:
.DoÍyoi%;zd
lr x;gizt
38/a ábra Jelöljük aZ egyenestetszőlegesun. ''futópondát'' P(x;y;z)-vel, az ebbe mutató helyvelctort r-rel, a P o pontbamutató helyvektortpedig r o -lal. Akkor a 38la ábraa|apján: P " P = r-ro € S mlv el P"P l| ''
ezér t P " P = t . v, és ebből:
r.ro=.Y
a za z
r=r o+t'v ahol a t (paraméter) tetszőlegesvalós szám,nagysága a P pont pillanatnyi helyzetétőlfu,gg.Az előbbi egyenletetaz egyenes paraméteres vektoregyenleténekneveznjk.Ha a ''t'' paramétera mínusz végtelentől a plusz végtelenig minden valós számot felvesz, akkor az r helyvelctor végpontjamintegy ''leíg.a''az egyenest. Ha az előbbi paraméteresvektoregyenleteta koordináták segítségével írjuk fel, az egyenesparaméteresegyenletrendszeréhez jutunk: X=Xo +t'a
5yo+t.b Fzo+t'c Ha a fenti egyenletrendszerben szereplő a,b,c számok egyike sem nulla, akkor t-re megoldva az egy enleteket, kapj uk: x-xo -
_J -L
x-xo a
=-
y-vo
z -z o
b
Megjegyzés: Ha az egyenes speciális helyzetu (az irányvekÍor a,b,c koordinátái közül valamelyik koordináta nul1a), akkor az előbbi képlet nem használhatő. Ebben az esetben az egyenesparaméteresegyenletrendszerét használjuk.
64
.-,
Ebb ő l az iLy en hely zetú e gYenes egyeni etrendsz er e : x:xo
Tehát az egyenes pontjainak futókoordinátáira az a jel7emző, hogy az e]ső két koordináta megegyezika tartópontmegfelelő koordinátájával.
Két térbeliegyeneskölcsönös helyzetenégyfélelehet: egybeeső, párhuzamos'metsző (ezek a speciális helyzetek)éskitérő (ez az áitalános ielyzet a térben). Ha a-dottaz,,e,,és,,f, egyenesek egyenietrendszere, akkor a kölcsönös helyzetükei az alábbjakszerint állapítjukmeg: Előbb az egyenletrendszereikből''leolvassuk'' irányvektoraik és tartópontjaik koord inátáit. 1.Ha v":k.',, akkor a kétegyeneslehet: a'l eevbeeső,ha az egyik egyenestartópontja rajtavana másik egyenesen(koordinátái kielégítika másik egyenesegyenletrenaszerét). b/ párhuzamos, ha az egyik egyenestartópontjanincs rajta a másik 2. Ha nincs olyan ''k'' valós szám amelyre v
":k.v ,
Ezt egy enletr endszereik ismeretéb ff;"]il3],*ff;
egyenesen.
teljesülneakkor a kétegyenes
dönthetjük el :
"ff Kiválasáunk a két egyenes egyenletrendszerébő| 2-i egyentetet. Ebből a 4 egyenletből egyet félreteszünk.A megm aradt"á egyenletből á11óháromismeretlenes egyenletrendszertmegoldjuk. a/ metsző a két egyenesakkor, ha a kapott három gyök kielégíti a felretett negyedik egyenletet.A kapotthárom gyök a metsiéspont három koordinátája|esz, b/ kitérő a kétegyenes akkor, ha a kapott 3 gyök nem elégíti ki a félretett4. egyenletet.
66
\*_
(bármely kettőt), majd az íg]z nyert k a
smereile
Ha nincs megoldás akkor aZ egyenes párhuzamos a síkkal. Ha végtelensok megoldásvan' akkor az egyenes bennevan a síkban. 4. Három síkmetszéspontja (közös pontja). Három -egymástpáronkéntmetsző- síknakmindig van egy közös ponduk, amit a három sík metszéspontjánaknevezünk. Mivel ez a pont mind a három sí]aa i]leszkedik, így koord.inátái mind a három sík egyenletétkieiégítiu'riert a metszéspontkoordin átáit megkapjuk'ha a három sík egyenletébőlá1ló háromismeretlenesegyenletrenaszert megoldjuk.
Párhuzamos tére|emek 1.Párhuzamos egyenesek Ha két egyenes párhuzamos, akkor irányvektor aik egyát|ásúak,ezért egymás skalárszorosai:
v :k.v tf 'J
aholk bármilyen valós szám lehet. a
v
-
ef
és v .
a két egyenes irányvektora.
2. is sík Ha egy egyenes párhuzamo. .gy .ikt al, aWor az egyenes irányvelctoramerőleges a sík normálvektorára, ezértskalári s szorzafuk nulla : v. n e .t
-0
3.Párhuzamossíkok Ha két sík párhuzamos egymással' akkor normálvektoraik egyállásúak, ezért egymás skalárszorosai: n :k.n aholk bármilyen valós szám lehet, ,
AB
n
az egyk,
Do
a másik sík normálvektora.
Merő|eges tére|emek 1. Merőleges egyenesek Ha két egyenes merőleges egymásra, akkor irányvektoraik is merőlegesek, ezért skaláris szotzatuknulla: v ".v ,:O ahol , az egyik , a másik egyenes irányvekt.or a. Ha két térbeli egyenes merőleges , " egytnásra,akkor nem biztos hogy metszik is egymást (általábankitérőek!) t Ha egy egyenes merőleges .ílou' akkor az egyenes irányvektora és a sík normáivektora "gy egyállásúvektorok' ezértegymás skalárszorosai: v :K.n rC
68
A síknormálvektora:n(I;-2;2), aZ egyenesirányvektora: v(6;2;3), skaláris szorzatuk.. n.v:6.4- 6:-4, a kétvelctorhossza: l nl: { a 4 - 3 : 3 , I " F J : O
+4+9:7.
A keresettszög:
.4 slna -- a)'/ cr:10,98o
3. Kétsíkhajlásszöqe Két sík hajlásszöge sem lehet 9O"-nál nagyobb. A hajlásszög nagyságát normálvektoraik skaiári s szorzatábő7 határ ozhatjuk me g az a|ábbiak szerint :
cosa = l'^'" I lr nlln,I
Tére|emektávo|sága Az előzőekben már foglalkoztunk két pont távolságával, amit a két pont által meghatátozott velctor abszolút értékérevezettünk vissza. Pont és sík távolságára pedig egy képletet vezetttink le, amit más térelemek távolságának meghatározásátais felhasználhatunk az alábbiakszerint:
Egyenes éssík távolsáea.
Csak akkor |étezik,ha az egyenes párhuzamos a síkkal. Ha erről meggyőződttink, megadjuk az egyenesnekegy tetszőleges pontját (a tartópont is Iehet)' majd meghatátozzuk ennek a síktól való távolságát (az előbb említettképlettel). Kétsíktávolsáea. Csak párhuzamos síkok eseténlesz nullától különböző. A távolságmeghatározisátakét mód is kínálkozík: 1. Az egyik síkonfelveszünk egy tetszőlegespontot (kétkoord.inátáttetszőlegesen megadunk, a harmadikat a sík egyenletéből számolássa| határozzuk meg), majd ennek a pontrrak meghatározzuk a másik síktól való távolságát. 2. A két sík normálegyenletéből''1eo1vassuk'' az origótói mért''előjeles'' távolsázukat. majd vesszük ezen távolságok ktilönbségét.
70
A távoiságot a legegyszerűbbenugy batározhatjukmeg, ha felveszi'inkaZ,,f, egyenesenegy tetszőlegesP pontot, az ,,e,,egyenesenpedig egy R pontot,(ezekaz un. tartópontokis lehetnek) majd meghatátozzvk aZ 1g>*vektornak a merőleges vefuletétegy olyan vektoron, amely mind a két egyenesremerőleges. Ilyen vektort a két egyenes irányvektorainak vektoriális szorzataként elő tudunkállítani.A távolságot (a 4l.ábrajelöléseit felhasználva)az alábbiak szerint nyerjük: 6: pp 'Y7o Y1 =YexYí
ahol
és
vro: 'L
vt
lv, I 12.feladat:Határozzuk meg a következő kétkitérőegyenestávolságát: y + 2 z-r 4 x-2 z-5 D--= '
f:x+l=- Z '3
=-
232
A megoldássorán a 4I. ábra jelöléseithasználjuk. Jelöljük az,,e,,egyenestartópontjátR-rel,az,,f,egyenesétP-vel. Akkor R(272;!
ebből F(-E'z'g) '
tehát ésebből
v
"
(2;3;2) és
v 10;3;4).
v 1( 18; -6; -9) lv 7l: J324'136ag1:2r u," 1 1 8 . -6 . -gt I
\......._ .-.-
2 1 ' 2 r' 2 r
/
-5 4
-1 2 -g1 d =-Rp.v,= i*i*;=_-___ Tehát a kétkitérőegyenestávolsága d:7 koordinátaegység
72
147
_7 -
ésP(-1;0;5)
és F pontok. Ezek távo1sága egyben a kitérő egyenesek távo1ságabár, (mint azt az e1őbbi feladatbanláttirk) a távolság meghatátozásáhoznincs szükséga normá7transzverzálisra. 13.feladat: Adjuk meg normáltr anszv eruáll'sát!
aZ előbbi
02.)
feladatban szereplő két kitérő egyenes
1A
Jt
leolvashatő adatoka 42.ábta jelöléseithaszná|va.. Az egyenesekegyenletrendszereibői meg fognak P(-1;o;5) v u(2;3;2) v 7 \fi;D. A megoldássorszámozottlépései I:Q727! egyezni az előbbiekbenismertetettlépésekkel. megadása. Mive1 Í*l|f ezért tránysrektoraik 1. Az F egyenes egyenletrendszerének az Íx egyenlete: pedig Tehát tartópontja R. megegyezhetnek, -. , . -, 4
'f*:'-'==-+
megadása.A síknormálvektoramerőleges lesz az,,e,,ésfx (ésezért 2. Az S sík egyenletének módon ál|íthatőelő. Ezt a az f) egyenesekre,így az n, normálvektor n ,:, ",, .í Vektoriá1is szorzatotmár az előbbi feladatbanelvégeztük.Az eredménytonnan áwéve v 1(18;-6;-9).Vegyik a síknormálvektoránakaz előbbi vektor harmadát: n . (6;-2;-3). Az R pontot tartópontnakválasztva az S sík egyenlete: S: 6x-2Y-32:12+4+I2:28. megadása:Mivel az,,m,, egyenesmerőlegesaz S 3, Az,,m,, egyenesegyenletrendszerének ,,m,, egyenes irányvektorának választhatjuk az S sík normálvektorát, síIsa, ezért az tartópontjapedig a P pont lesz. Tehát aZ,,m,,egyenesegyenletrendszere: r c+ l y z-5
-'';=i--
S: 6x.2y-3z:28 e: 3y:22-10 x*1 : -3y megoldása: x:5 r-2 z:2. Azaz Az e1őbbiegyenletrendszer
meghatározása: 4. Az M metszéspont
M(5;2;2)
Mivel f ||f ezértirányvektoraik 5. Az f" egyenesegyenletrendszerénekmeghatározása: megegyezhetnek,tartópontpedig az M pont Lesz.Az fl egyenesegyenletrendszere: +o. Y+ 2 = z-2 )í -) - == 4
6. Az E pont meghatározása:
f:
3x-6:2y+4 (felesleges4. egyenlet) *-2:7*4 -r**15:y+2 4x-20:z-2
.7Á ta
FelÜ|etekegyenIetei Fe}i.iletekegyenleténolyan összefiiggést ér|iink,ame1ya felületet egyértelmiíenmeghatároző adatok ésa felületen mozgó P(x;y;z), un. Futópont X, Y,Z koordinátáira áll fenn, a felületre nem i]ieszkedő pontok eseténviszont ez 'az összeftiggés(egyenlet)nem teljesriihet. A gömbfelület egyenlete A gömbfelület a tét azon pontjainak mértanihelye, amelyek egy adott ponttól (középponttól) adottr (sugár) távolságra vannak. Az oríqó kozéppontúeömb egyenlete:
A z o P(x;y;z ) loP l: x' + y' + zz = r z
hv;u;z\
.-!,!'-./
Ha a gömb közeppont1aa K(u;v;w) pont, akkor egyenletétaz előbbiből az eltolás transzform áciőj át alkalman a nyerj ük: x-u)' +(y-v)'*(z-w)' : v'
43.áhra
A eömb érintősíkjánákegyenlete: Adjuk meg a gömb E(x o ;y ;z. ) feliileti pontjára illeszkedő érintősít{anakegyerrletét.Mivel az " érintősík merőleges az érintésipontban huzhatő sugárra, ezffi az érintősft normálvektora: o: oÉ (xo;yo ,z"). kE
pontottartópontnakvéveaz érintősíkegyenlete: x o x * y o ylz o z :(x o )' +(y" )' +(, o )'
Mivel az E pont rajta van a gömb felületén, ezértkoordinátái kielégítik a gömb egyenletét, íwaaz érintősftegyenlete: majd eú'azelőbbiegyenletbe azaz (xo)'*(yo')+(z")':'', ox*yoy*7o7:12
76
,r
I
I
ahol az a, b, c az el7ipszoid x, y, z tenge|yekiranyába mértfélátmérőitjelöli (1d.a 44. ábrát).
Az ellipszoid érintősíkia Ha az E(x;.y";z") pont az ellipszoidnak egy felületi pontja, akkor a felületnek az E pontjára illeszkedő érintősíkjai : ori gó középpontu ellipszoid érintősíkj a: xox
y" y
zoz
a'
b2
c'
-+-_t-
A K(u;v;w) középpontúeliipszoid érintősíkja:
Meg|egyzések: 1- Az ellipszoid egyenletének]evezetésesorán alkalmazott adott irányú nyújtás (ill. zsugorítás)oiyan geometriaitranszformáció,amellyel a későbbiekben_ térbelimerőleges axiális affinitás _ mégfoglalkozunk. 2. Ha a kört bármely átmérőjekönil megforgatunk,gömbfelületet nyerünk. 3. Ha ellipszist forgatunk meg bármelyik tengelye körül, akkor un. forgiási ellipszoidot kapunk. Ez abban különbözik az általános ellipszoidtól, hogy három féltengelye (a, b, c) köZül kettő esvenlő.
78
F
-.
Projektív műveletek A térbenlévő térelemeket(pont, egyenes' sík) és azok képeittekintsük megfelelőknek. A megfelelő térelemeket tehát itt (44.ábra),vetítéssel nyeq.ük.Mivel a vetítés ''befejezőművelete''a ezért a vetítést metszés, ésa metszéstprojektívművelehek nevezzük. Yizsgá7atainkcsak olyan projektívműveletekreteq.ednekki, amelyekben a megfeleitetéskölcsönösen egyértelmíi,azaz egy -éscsakis egy- képe(megfeleiője)van ésviszont. bármely tére]emnek A projektív geometria kialakulása Egyes projektívjellegű tételekkel már az ókorban, a IV. században élt Papposz görög matematikusmunkái között is találkozhafunk.A XVII. századbanéltDesargues(1591-i667), az 1639-ben megjelent munkájában lefekÍetia projektív geometria alapjait. Munkásságát a szintén francia G. Monge (1746-L818) fejlesrtefte tovább, majd később tanítványaVictor Poncelet (1788-1867)nevéhezfi,lződik a geometriaezen új területénekfelépítése. A projekÍívgeometria jelentős további fejlődését mértékbenelősegítettéka későbbiek folyamarr J. Steiner, A. F. Moebius ésMario Pieri, akinek a nevéheza projektív geometria axiomatikus felépítése fríződik.. geometria Végül Arthur Cayley és Felix Klein munkásságánakköszönhető, hogy a projektív a geometriánbelul önálló tudományággáfejlődött. Magyarországon Klug Lipót és Kerékjártó Béia voltak a projektív geometria nagyhínÍ oktatói.
Alapalakzatok A középiskolában megismert térelemekenkívül a projektív geometriau.n. alapalakzatokkalis foglalkozik' Egy adott térelémrevégtelen sok más térelem illeszthető. En' a műveletet sorozásnak nevezzik. Az adott térelem a sorozó, a reá illesztett (végtelensok) térelemek a sorozott térelemek.Az ilyen módon, tehát sorozással n)rert.végtelensok elemből ál1ó alakzatot alapa|akzafrtaknevezzik. Mivel sorozó és sorozott bármelyik térelem |ehet, ezétt többféle alapa|akzat|étezik: Elsőfokú alapalakzatok
1. Pontsor
45 'ábra Az eeyenesre ilieszkedő pontok összességétpontsornak nevezzuk. Itt a sorozó elem az ,,e,, egyenes' a sorozottaka pontok. Az,,e, egyenesta-@ElaÍtqi-anaknevezÁik.
80
n
A tartóegyenesnek(teháta pontsomak)van egy (éscsakis egy) végtelentávoli ú.n.ídeálispontja. Ugyanazon ideális ponthoz (Q ) jutunk ei akármelyik irán.vbais ''megyünk végig''a pontsoron. Ha a pontsoron az egyik irányba ''indulunk e1'', akkor az ideáIjs ponton át a másik iránybói 'Jövünk vissza''' Az u.n. projektívegyenesttehátugy képzeljükel, mint egy végtelennagy sugarú kört. A 45.ábtántehátaz (e)pontsorjelölt pontjainakegy sorrendje:C' D, Q m , A, B. Az euklideszi geometriában az egyenest egy ponttal kétfélegyeneslebontothrk fel. A projektívgeometriábanegy egyenestcsak kétponttal lehet kétrészrebontani.A 45.ábra,,e,, az A ésC pontokkal a következő kétrészrebontottuk: tartóegyenesét - az egylk, amely tartalmazza a B pontot, és - a másik, amely nem tartalmazza a B pontot. Megegyezzük, hogy jegyzettinkbena pontsort mindig fé1kör alakú zfuőjelbe írott (e) betűvel jelöljük. Ha egy ábtán több pontsor Szerepel, akkor ezeket az e-betu mellé (indexbe) írt számokkal különböztedük meg egymástól. 2. Sugársor
46.ábra A síkbaneg]radottpontra iileszkedő egyenesekösszességétsugársomak nevezzük. Itt a sorozott elernekaZ egyenesek,a sorozó elemek pedig a sík ésannak a P pontja. Jegyzettinkbena sugársort mindig fiiggőleges zfuője\beírott|P|betűveljelöljük, ha egy ábrán több sugársortalálható, akkor ezeketa P-betrímellé(indexbe)írtszámokkal küiönböztetjük meg egymástól. azt is igyekszik szemléltetni,hogy a pontsoréssugársor A 46.ábraa sugársorbemutatásánt:.llelemeinek számossága megegyezik. Mínden ponthoz tartoz1k egy egyenes (sugár) és kölcsönösen egyértelmű. megfordíwa.Tehát ez az ábránláthatő ''megfele1tetés'' 3. Síksor A térbeneqy adott egvenesreilleszkedő síkok összességétsíksornaknevezzük. Itt a sorozott elemek a síkok, a sorozó e1em pedig az adott egyenes. Ezt az adott ,,t'' egyenest a síksor tartójának (tengelyének)nevezzik Jegyzetiinkben a síksort mindig szög1etes zérőjelbe írott [t] 81
^G-
betűvel jelöljtik. Ha egy feladatban több síksor szerepel' akkor ezeket a t-betúmellé (indexbe) írt számokkal különbözted ük meg egymástól. A 4].éhra a síksorbemutatásán tul azt is szemlélteti'hogy a síksor és pontsor elemeinek ''számossága''megegyezjk. Ezt a számosságot co1 szimbólummal jelöljtrk. Ezért a-pan!so{' alapaiakzahak. másképpenelsőfokú alapalakzatnak nevezzük. sugársort éssíksorteevmérettí
I I
3
c--i--
!
47.ábra
Elsőfokú alapa|akzatokperspektívhe|yzete kételsőfokúalapalakzatmeefelelő elemei A perspektivitáskölcsönösen egyértelműleképezés között.Bármely elsőfolcu a|apa|akzat(pontsor,sugársor, síksor)perspektívhelyzetrí1ehetegy (II.) azonos-,yagy egy (I.) másik típusúelsőfokúa|apalakzattal. 1. Eg.v elsőfokú alapalakzat egy másik típusúelsőfokú alapalakzattal akkor van perspektív helyzetben. ha a megfelelő elemek illeszkednek egEmásra.A megfelelő (egymáshoz rendelt) térelemeketaz ABC azonos betűivel jelöljük. Három ilyen esetetki'iIönböztettink meg: (6.ábra) helyzete. Jelölve: (.) n lpl - 1. PontsoréssugársorperspekÍív - 2. Pontsoréssíksorperspektívhelyzete'
Jelölve: (.) n h]
(7 .ábra)
. 3. Sugarsor éssíksorperspektívhelyzete.
Jelölve:
(58.ábra)
82
lfl
"
[.l
q
Pontsorok perspektivitásának speciális esetei: a/ Hasonlóan perspektívpontsorok.
49.ábták Vegyük észre,hogy mind a két ábrán véetelen távoli pontnak véetelen távoli pont a képe. másrészta megfelelő szakaszok arán}zaegyen]ő (párhuzamos szelők tétele!) b/ E gyenlően perspektívpontsorok.
50.ábrák
84
tF
Desargues téte|e Ha két háromszög olyan helyzehí.hogy a megfelelő csúcsokatösszekötő egyenesek eqy ponton mennek át. akkor a megfelelő oldalaik metszéspontjai vannak. egJ/eg.'/enesen A tétel megfordítható:Ha két háromszög olyan helyzetű. hogy a megfelelő egyenesek metszéspontjaiegv egyenesre esnek. akkor a megfelelő csúcsokatösszekötő eq]zenesekeg]z ponton mennek át. A tételt(ésmegfordítását)a perspektivitás segítségéve| tömörebben is megfogalmazhatjuk: Ha kétharomszög csúcsairanézveperspek|ív,akkor oldalairanézveis (ésmegfordíwa).
Az osztóViszony 1. Pontsorosztóviszonya Rögzítsük az (e) pontsor A,B pontjait, majd vegyt.ikfel a pontsor tetszőleges C pontját. E három pont által meghatározottirányított (előjeles) szakasz hosszának a következőkben meghatározott hányadosát a C osztópontnak az A. B alappontokra vonatkoztatott eeyszení- vagy osáóviszonyának nevezzük. Jelölve:
o ++
A BC ) : A C
5 il ;!rt -1 -+ -3 2,C
b
-1
q-
52.ábta
Megjegyezzük' hogy a szakirodalomban az osáóviszonynak az (ABc;:461g. meghatározásais használatos, ami az előbbitől csupán előjelben tér el. Jegyzettinkbencsak az előbbi definíciót használjuk Az 52.ábrán, egymástő],12 egységnyitávolságra rögzítetrtik az A, B alappontokat,majd kjszámítottlk az egyes (betűvel nem jelölt) osztóponto(
86
2. SugársorosztóviszonE A |P| sugársornaklögzítsük az,,a,, és ''b'' iránltott egyenesét,majd vegyük fel e sugársor tetszőleges ''c'' iránftott egyenesét.Haképezzük e három egyenes áItalbezértiránltott szög, a következőkben megjelölt szinuszának ahányadosát,akkor ezt ahányadost a ''c'' egyenesnekaz ''a'', ''b'' alapegyenesekre vonatkoztatottegyszení-vagy osáóviszonyánaknevezzik. Jelölve: sin(ac) (aD c)=.sin(cá) aho|az (ac)-velaz,,a,,és''c'' egyeneseká|ta|bezártiránltott szöget jetölttik. Ha a sugársor P tartópontja a végtelenben van, (ilyenkor az egyenesei parhuzamosak egymással), akkor az érte|metlenné váló jobboldali tort helyébe a megfelelő sugarak távolságát íriuk:
ahol Au"-vel jelölttik az,a, és'c'sugaraktávolságát.
3. Síksorosztóviszonya Ha egy [t] síksorhárom síkja:A,B,C akkor
(ABC) --
sin(AC)
sin(CB)
Ha ''t'' tartóegyenesa végtelenbenvan (azaz a síksorelemei piárhuzamosakegymással' akkor a hajlásszögek szinuszahelyett a megfelelő síkoktávolságátvesszük:
(ABC)=1"' Á""
88
I
I I
li
Tehát: (ACBD):1-(ABCD) Következmény: (DCBA):(ABCD) ugyanis:(DCBA):1-u-(ABCD)]:(ABCD) Ü Nem váItoz1ka kettősviszony értékeakkor, ha bármely két e1emetfelcserélveugyanakkor a másik kételemetis felcseréijük. P1.: (CDAB):(ABCD)
M m
e/ A kettősviszony centrális vetítés(fényképezés) eseténnem változik. (Papposz tételének perspektívpontsorokra való alkalmazása).Ebből az is következik, hogy ha az 54.ábrapontsorát lefényképeznénk,akkor a fényképen lévő pontok folötti számok (projektív koordináták) ugyanazoklennénekaz A,B,C, pontoknaka fényképimegfelelőikre nézve. fl A kettősviszony egy dimerrzió nélküli valós szám (ui. már az osztőviszony is azvo7t). Adott kettősviszon]zhoztartozó pont szerkesztése 2. feladat: Az (e) pontsoron vegyük fel az A'B,C ponthármast és szerkesztésselhatározzuk meg a pontsoronazt az X pontot,amelyre (ABCX):k, ahol a k egy adottvalós szám (55.ábra). A szerkesztés menete: 1. Az A ésB alappontokonát kétpárhuzamosegyenestveszünk fel. 2. A kettősviszonybanmásodik helyen jelölt alapponton át (itt B) húzottegyenesrea B pontból felméqük az egységet(végpontja E) és az adott ,,k'' kettősviszony értékét (végpontja K). Természetesen negatív,,k''eseténaz e||ettkezőoldalra! 3. AZEC egyenesaz A ponton át húzottegyenestegy olyan L pontban metszi, amelyet a K ponttal összekötve, az (e) pontsorta keresettX pontbanmetsző egyenestkapun!.
55.ábra
90
I I
sz
\
A szerkesztéshelyességénekigazolása: M|vel az A ésB alappontokon át kétpárhuzamos egyenestvet|tink fel, ezértszögeik egyenlősége miatt hasonlóak az alábbi háromszögek: ACLa
ezértmegfelelőoldalaik arártyaegyenlő:
=BCE ^,
AXL6
*BXK4
, ezértmegfelelő oldalaik arányaegyenlő:
osszuk el a fölső egyenletetaz a|attalévővel,kapjuk:
AL AC lC B AL AX
KB
k= A C , M C BB Tehát az 55.ábrán szerkesztettX ponthoz hrtoző kettősviszonv értékevalóban az adott k szám. 2. Sugársorkettősviszony4
56.ábra Egy sugrársorbármely négy egyeneséheztartozik egy kettősviszony, ami két osztóviszony hányadosaa következők szerint: (abcd) =
(abc) _ sin(ac) . sin(ad) .sin(dá) (abd) sin(có)
Ha a sugársor tartóponla a végtelenbenvan, akkor a szögek szinuszának hányadosa helyett a megfelelő egyenesektávolságának hányadosát vesszük (amint azt már az osztóvis zonynállátfuk). 3. Sí]rsor kettősviszonya említettekkel).
(a definíció értelemszeriíen megegyezik a sugársoroknál
91
Papposz téte|e Perspektív helyzetben lévő elsőfokú alapalakzatok megfelelő négy-néey elemének kettősviszonya eevenlő. Mivel az elsőfoku aIapa|akzatokperspektívhelyzetének6 esetétkt'ilönböaeftÍik meg, ezérta tételigazolását is eÍTea 6 esetre végezzik el. A bizonltások során eltekintÍinka tartóegyenesek (ill. szögek) irarrytásátől, mert már az osáóviszonynál megállapítottuk, hogy az osáóviszony értékefiiggetlen az em|itettiránfltasoktól. (e)n lPl, 1. Igazoljuk,hogy ha (ABCD):(abcd) akkor
I
57la ábra Jetöljük az,,e,,tartóegyenesneka P tartóponttólmérttávolságát 'm'-mel. Adjukmeg az ACP háromszög ésa CBP háromszög kétszeresterületétkétfeleképpen,majd ezeket egyenlővé téve kétegyenletetkapunk, végül ezen egyenletek azonos oldalainakhányadosát vévea (*)-gal je|zett egyenletetnyeq'iik. AC m:PA.PC.sin(ac) AC _ PA.sin(ac) (*) ) PB sin(cb\ CB CB'm:PC PB'sin(cb) Ezekutánképeznlk az ADP- ésDBP háromszögek kétszeresterületét,majd ezekbő| (az előbb leírtak szerint) kapjuk a (**)-gal je|zettegyenletet. AD'm:PA.PD.sin(ad) AD _ PA.sn(ad) (**) \ DB PB sit(db) DB.m=PD.PB.sin(db) Végül képezz,ika.(*)-galésa (**)-galjelzett egyenletekmegfelelő oldalainak hányadosát: sin( a c). sin( a d) 4,Q CB DB sin(cö,} sin(dá) Azaz
(ABCD):(abcd)
92
4. Igazoljuk,hogy ha (e)n [t], akkor
(ABCD):(ABCD)
(58.ábra)
li
58.ábra Az 58.ábra |P- | sugarsoránaksorozósíkja merőleges a [t] síksor 't' tengelyére,ezért e sugársor am,b7n,Q7n,d7n elemei is merőlegesek a 't' tengel,yre'de akkor az íita|ukbezárt szögek azonosaka megfelelő síkoká1talbezártszögekkel. AZ 58. ábra (m) pontsoraa |P|sugársor Az 58. ábra alapjan belátható, tartósíkjánakésa |P.Isugársor tartósíkjánaka metszésvona|a. hogy
de
(") a.(m) ( * ) +lP. l
ezért ezé rt
(ABCD ):(A D - ) c m d m) - B - C -*b (A C *D -B - ):(u ( ambmcmd.):(ABCD ),-
mert az ezekben a kettősüszonyokban szereplő megfelelő szögek azonosak. Az előbbi harom egyenlőségbőlnyilvánvaló, hogy
(ABCD):(ABCD) 94
A projektivitás(ie|e:x) Papposztéteiealap;ántudjuk, hogy ha bármely kételsőfokú alapalakzatperspektívhelyzetben van, akkor a tetszőlegesen kiválasztott négy-négymegfelelő eiemnégyesükkettősviszonya egyenlő. Ha az említettperspektív helyzetet valamilyen módon megbontjuk, (pl. az egyik a|akzatotelmozdítjuk úgy' hogy csak a tartóelem változtatja a helyét,de az elemnégyesek eg1,rnáshoz viszonftott helyzete változatlan marad, ezért a megfelelő elemnégyesek kettősviszonyanem változik), akkor a helyénmaradt éselmozdítottelsőfokú alapa7akzatközött egizolyan transzformáciő á11fenn,amelyre ''csak'' a megfelelő elemnégyesekkettősviszonyának egyenlősége teljesül.Ezt a geometriaitranszformációtprojektívtranszformáciőnaknevezz:Jk. Az elsőfokú alapa|akzatokprojektivitását többféleképpenis definiálhatjuk: 1. Ha két elsőfokú alapalakzat elemeit kölcsönösen eq/értelmű módon úev rendeljük eeymáshoz. hogy bármely négy elem kettősviszonya ee-.*ienlőa meefelelő négy elem kettősviszonyával. akkor ezt az eg]rmáshoz rendelést projektív vonatkozásnak (transzformációnak) nevezzük. 2. Két elsőfoku alapalakzat akkor pro.iektív' ha - egybevágósági transzformációval perspektív helyzetbe hozható. Ennek a definíciónak a gyakorlatban inkább a megfordítottját használjuk fel, miszerint: Ha két elsőfokú alapa|akzat projektív vonatko z ású akkor p ersp ektív helyz etbe ho zható . 3. Hatekintjükaz elsőfokúalapalakzatokF',F''. .........,F, ha7mazátés haezekre: F
^F
oF
^.....
.....^F
teliesül.akkor
F;
ahol i,lei, 2 , 3 . . , n. ( t , k, ne N ) ^ Fk Ez utóbbit így is megfogalmazhatjuk:A projektivitás perspektivitások egymásutánjaként (szorzataként)áll elő. Megjegyzések: 1. Az előbbi három definíció külön-külön önálló érvényű(tehát a projektivjtáshoznem a három pontban felsoroltak egytittes fennállását keli vizsgá|ni, hanem ktiiön-külön bármelyik már elegendő feltételea projektivitásnak). 2. Minden perspeirtivitás(Papposz tételemiatt) egyben projektivitás is. (Megfordítva nem igaz!) 3. A projektivitás (és ezért a perspektivitás is) nem feltétlen térelemtartó geometnai transzformáció. Pl. (e)-n[t] esetén ponthoz síkot rendelünk' vagy lPI^(") esetén egyenesnekpont a megfelelője (képe). A perspektívhelyzetre i11.projektívvonatkozásraigenjó gyakorlati példaa légifényképezés. Egy egyenesútszakaszés arrrraklégi fényképe az exponálás pillanatábanperspektívhelyzetben van. Ezért-Papposztételemiatt- a megfelelő elemnégyesekkettősviszonyaegyenlő. A repüiőgép továbbhaladása ezt a perspektív helyzetet megbontja, de a lefényképezett''pontnégyesek'' kettősviszonya nem fog megváltozni, ezértaz exponáiás pillanatában ferrnálló perspektivitás a géptovábbhaladásaután projelctívvonatkozássáalakul. 96
li
h.
dl Az X, Pont kijelölése az (e,) pontsoronfigyelembe vévea köZttik fennálló egybevágósági transzformáciőt(azaz,hogy X, C,:X*Cx). 2. PerspekÍív tengellyel. 4'feladat: Adott két projektív pontsor 3-3 megfelelő elemével. Perspelrtív tengellyel szerkesszük meg az ellenpontokat (atartőegyenesek végtelentávoli pont1.ainakfépeit)!
o,;
A szerkesáéslépései: a/ Valamelyik megfelelő ponpár (itt B1,B, ) közös egyeneséntetszőlegesenfelvesszük a P',P, sugársorok tartópontját. Felvesszük ezen sugársorok egyeneseit (összekötve ezeket az adott pontsorokmegfelelő pontjaival). b/ A lPli és |P,l su8ársorok perspektívek,mert a közös egyenesiik önmaguknak felel meg. Meghatározzuk az előbb említett sugársorok perspektivitását közvetítő (e) pontsort. Ezt perspektívtengelynek nevezzük
98
A szerkesztés lépései: a/ Kijelöljük a |P, | és|P, I sugársorok tartópontját így, hogy egybeessenekegy megfelelő, de ellenkező indexű pontpárral (itt a B-vel je|zettpontokatválasztottuk). b/ A P ill. P tartópontokat összekötv e az adottpontsorok megfelelő pontjaival nyeqrik a 12 |P' í és |P, I sugársorok egyeneseit. Ez a két sugársor perspektívlesz, mert a közös egyenesük képe önmaga. Meghatározzuk e két sugársor perspekhivitásátközventő (eo) pontsort amit perspektív főteneelynek nevezünk c/ AzM, Pontot a P' tartópontból az (e") pontsona vetítvekapjuk azMo pontot, ami egybeesik M, -vel,mert(eo) (" ). ^ " dl Az N, Pontot a P, -ből az (e") pontsorravetítveN"pontot kapjuk, ami egybeesikN' -gyel, m ert(eo) ^ (e,) e/ A szerkesztésazérthelyes, mert sikerült olyarr (e") pontsort találni, amelyre ( ", ) n( e. )^ (e,) ése -ért (",)x (",) 4. N egyedik megfelelő p ontprírme ghatározásaszámítással 6.feladat:Létesítstink projektívlekepezéstaz 54.ábra(e) pontsora ésa 62.ábra(e*) pontsora között. Számítássa|határozankmegazM* pont helyétu (e*)pontsoron!
62.ábra Az azonosbehível jelzett pontokat tekintsiik megfeleiőlorek. Mivel a projektívpontsoroknáIa megfelelő pontnégyesekkettősviszonya megegyezik: (AxB *C*M*):(AB CM):- 7,2 Az (e*) pontsoronvegyünk fei tetszőleges M* pontot. Jelöljtik ennek az A*-tő|való távolságát x-szel. Az x-re az e|őbbi (kettősüszonnyal kapcsolatos)egyenietből kapjuk: 9x 1a ésebből x:5.5 -L;Z -2 7-x Ez atán u (e*)pontsoron,az A+-től5,5 egységrebejelöljük a keresettM* pontot (ésegyben az előbb tetszőlegesenfelvett M*-ot áthuzással ''érvényte1enítjük''. Ha az x értékenegattv-ázám lenne akkor azM* pontot az A*-tő|balra kellene kiielölntink.
100
Projektívsugársorok (mert ha 4-4 Projeltív sugársorokeseténis 3-3 megfelelő eiemet vehetünk fel tetszőlegesen A negyedik elemet vennénk fel akkor ezek kettősviszonyának egyenlősége nem teljesülhet). megfelelő elempár megbatátozásáraitt is több mód kíirálkozik: helyzetbehozással 1. PerspekÍív helyzetbe 8. feladat: Adott két projektív sugársor 3-3. megfe1e1őelemével. Perspektív hozással szerkesszünk x ,x^ negyedikmegfelelő elempárt!
64'ábra A megoldáslépései: sugársorba, a/ A |P,I sugársortegy egybevágósági transzformáctővalígy,mozdítjukel a lP*l : u, teijesüljön ). Ezze! hogy az,,a,,'.va]jetzet1megfelelőegyeneseikegybeessenek('abiztosítjuk,hogy a |Px|sugársorperspektívhe|yzetú|esza lP, I sugársorral. két sugársor b/ Meghat ározzuk annak az (e) pontsornak a tartőegyenesét,amely az előbbi p erspektiütását közvetíti. képét. c/ Felvesszük tetszőlegesen aZ x " egyenest,majd meghatározzuk annak x* perspektív dJ Az x* ismeretében az a/-pontban említett transzformáció szögmáso1ással)nyerjük a hiényző x' egyenest.
r02
inverzével (egyszenÍ
,G-
úgy Ü A szerkesztéshelyességénekigazolása: A |P,| és |P,| sugársolok közé sikerült ezért a közbeiktatri a |P| sugársort, hog.y az külön-kiilön mindegykkel perspektív helyzetli, tétele projektivitás feltétele,-amegfelelő elemnégyesekkettősviszonyának egyenlősége(Papposz alapján) bi ztosítva van. 3. Perspektívfőcentrummal 10. feladat:Adott kétprojektívsugársor 3-3 megfelelő elemével.Szerkesszük egyenesekmegfelelőit perspektívfőcentrummal! (66. ábra)
meg a közös
?-""
A megoldáslépéser: ellenkező a/ Felvesszük az (e, ) és(e , ) Pontsorokatúgy,hogy egybeessenek,egy megfeleiő, de ill. e,:c,). Ez a két pontsor perspektiv |esz, mert a közös indexű egyenespárral(itt ",:", pontjuk önmagának felel meg. amit b/ Megbatár ozzuk az e|őbbi pontsorok perspektivitását közvetítő sugársor P" tartópon!át, perspekÍívfőc entrurrnak neveziink.
104
lp,I b), ^ lP,ln (p)
ezért (u,b,
x, ):(ABCX) ", ezért (u,b,c, x, ):(ABCX) (abcx) : ( a bcx) . '
Megjegyzés: A c/ lépés miatt szerkesztésnek'
I
I
I
t'
2
eZ a megoldás
2
2
tehát 2'
eukiideszi
érteIemben nem tekinthetö
5' Számítással A 67 'ábrán|áthatő X',X, megfelelő egyenespárszámítássalis meghatározhatőa következőképpen:Miután az X egyenestfelvettük a szögek leolvasása utánaz (a, b, c x, kettősviszony I , ) értékel<1számítható.Legyenezegy ''k''valós szám.Jelöljükakereseft x, egyenesnekaz a?velbezárt szögét u-va|,A projektivitásmiatt (u,b x' ):k. ,c, Ez az egyenlet(a-ra egyismeretlenestrigonometrikusegyenlet)megoldható,majd a ismeretében *, egyeneskijelölhető. ! E g-venlőenprojektívsueársorok Sugársorok perspektív helyzetének bemutatása után megemlítetttik,hogy ha a megfe1elő egyenesekpárhuzamosak,akkor a kérsugársoregyenlőenperspektív.Ekkor a megfelelő szögek egyállásúak,ezértegyenlőek.Ha a perspektívhelyzetetmegbontjuk,a megfelelő egyenesekmár nem lesznek párhuzamosak,de a meefelelő szögek továbbrais eeyen]őeklesznek. Ilyenkor a két sugársort eeyenlően projektívnek nevezzik.
106
G-
b/ A tetszőlegesenkijelö1t X pontot a P* ponttal összekötve nyerjük az X* egyenest' majd (a kapott ^/szőget átmásolva) annak x megfelelőjét.
Közös tartóe|emen lévő e|sőfokú projektíva|apa|akzatok Ha van két projektív pontsorun( majd az egyket ugy mozdítjuk el, hogy a tartóegyenese akkor két közös tartón lévő projektívpontsort egybeessena másik pontsor tartóegyenesével, kapunk. Ebben az esetben tehát a közös tartóegyenesbármely pontja eleme az egyk pontsomak is, de ugyanakkor eleme lesz a másik pontsornak is. Altalában ezek nem alkotnak megfeielő pontpiárt,ha igen, akkor ezeket a projektívtranszformáció fixpontjainak nevezzük. Fixpont tehát az a pont. amelvnekképeönmaga. A közös tartóegyenesen lévő projelrtívpontsorokat eeyenlő iránvban haladóknak nevezzúk akkor, ha egyik pontsor három pontjának sorrendje megegyezik a megfelelő, másik ponthármas sorrendjével,Ha az előbbi feltétel nem teljesül, a projektív pontsorokat ellenkező irányban haladóknak nevezzik. l3.feladat: Adott két közös tartóegyenesenlévő projektív pontsor 3-3 megfelelő elemével. Szerkesszükmeg a Íixpontokat! cD_o
r1-Jz
70.ábra
108
Közos tartón lévőprojektívsugársorok Ha kétprojektív sugársor tartósíkja éstartópontja egybeesik közös tartón iévő sugársorokról beszélünk' Ebben az esetben a közös tartóelemekre illeszkedő egyenes mind a két sugársornak eleme. Általábun ezek nem önmaguknak felelnek meg. Azokat az egyeneseket amelyek önmaguknak felelnek meg (azaz képeönmaga) fixelemeknek (kettős sugaraknak vagy invariáns egyeneseknek)nevezzrik. A 70.ábra a kettős sugarak szerkesáésétis tartalmazza. Természetesenebben az esetben a közös tartóegyenesűpontsorok felvételétőleltekinthettink.A fixsugarak számátől fiiggően itt is beszélhettink;elliptikus, p arabolikus éshiperbolikus proj ektivitásró l.
Másodfokúa|apa|akzatok Másodfokú alapa|akzatoknak a kétméretúalapa|akzatokat nevezzij.k. Ezek a következők lehefirek: a/ Pontmező: a síkbanlévő pontok összessége(sorozó a sík,sorozotta pont). bl Sugármező: a síkbanlévő egyenesekhalmaza (soroző a sík,sorozottaz egyenes). cl Sugárnyaláb: egy pontra illeszkedő térbeliegyenesek|ta|maza. dl Síknyaláb: egypontra illeszkedő síkokösszességea térben. A másodfoku a|apalakzatok elemeinek számossága azonos (ezt a számosságot jeloljtik). Ezért közöt|tik kölcsönösen egyértelműmegfeleltetés létesíthető. szimbólummal *z Ilyen lekepezéseka perspektiütás ésprojektivitás. A másodfoku a|apa|akzatok perspek|ivitásával ill. projektiütásával részletesebbennem foglalkozunk, mert a gyakorlat szempontjából nem cé|szeruelktilöníteni pl. a pontmezőt és a sugármezőt mivel ezek közös tartósík eseténcsak elméletileg vá]aszthatők szét ( ugyanis a pontrnező bármely kétpontja meghatározzaa sugármező egy egyenesét).
Harmadfokú(háromméretű) a|apa|akzatok 1. Ponttér:a térponsainak összessége. 2, Síktér: a térsíkjainakhalmaza Negyedfolcu(négymérehÍ) a|apa|akzatcsak egy van: a sugártér,atéregyeneseinekhalmaza.
Alaprendszerek A projektív geometria az eddig megismert térelemekerr, a|apalakzatokon tul ú.n alaprendszerekkel i s fogIalkozik . Ezek a következők 1ehetrek: 1. Síbendszer: egy síkban lévő pontok és egyenesek halmaza (gyakorlatiIag egy közös sorozósílrúpontmező éssugármező). 2' Pontendszer: egy ponta illeszkedő térbeliegyenesek éssíkok ha|maza(közös sorozópontu sugár- éssíknyaláb). 3. Térrendszer:atérösszes pontia egyeneseéssíkja. 110
3.A vetítéssel egymáshozrendeltpontsorok,ill. sugársorokmegfelelő elemnégyeseiheztartoző kettősviszonyok (Papposz tétele miatt) megegyeznek. Tömörebben (de kevésbépontosan!) fo galmazva: a |eképezéskettősviszonytartó. 4.A vetités során pontnak pont, egyenesnek egyenes |esz a képe. Tehát a leképezés térelemtartó' PerspekÍívsíkrendszerekeseténvégtelentávoli térelemeknekáltalában végesbenlévő térelemek a megfelelőik. A tartósíkok végtelen távoli egyenesének a másik síkban lévő képét ellentenrel]rneknevezzük. A7I.ábtfuől leolvashatóaz ellentengelyek(9, és11)kéttulajdonsága: aJ Az e|lentengelyekpárhuzamosaka tengellyel (ésegymással). bl Az egylk ellentengelyoiyan messzevan a tengelytől,mint a másik a centrumtól. Perspektívsíkrendszerekbemutatásfuajő gyakorlatípéldaa légi fén]iképezés, ahol az exponáiás pillanatában perspektív helyzetben van a síkterep és a negatív sílrrendszere.A perspektivitás centruma a fényképezőkamera objektív1.ének egyesítettfőponfa, a perspekrivitás tengelye pedig a terepsíkjánakésa film síkjánakképzeletbelimetszésvonala. A perspektívsíkrendszereknek eey eeészencspeciális esetea centrális kollineáció. Ebben az esetbena kétsí]
I12
r
ll
A különieges helyzetből következően az előbbi tulajdonságok 5. párhuzamosságtartó(mertvégtelentávoli pontnakcsak így felelhetmeg végtelentávoli pont) 6. osáóviszonÍartó (mert az osztóviszony párhuzamos vetítésre invariáns) az a Az afftn perspektívhelyzette egy jó gyakorlati péIdaa ferde síkterep térképezésének mozza:r:lata, amikor a tétképezés során ezt a fetde sík1erepetelőbb (gondolatban) a vizsztntes képsíkramerőlegesen levetítjük, majd azt méretarányszerint lekicsinltjük. AZ eiőbb emiített meg. merőlegesvetítés lényegébenegy végtelentávoli o pontból való vetítésnek.felel A térbeliaffin perspektivitásnak egy elfajult esete a síkbeli axiális affinitás. Ebben az esetben a két síkrendszersorozósíkjaegybeesik ésaz o pont ennek a közös síknak egy végtelentávoli pontja. Ez az axiális affinitás a 72'ábrán láthatő térbeli afÍin perspektív síkrendszerekbő] párhuzamos vetítésselnyerhető. Az axiá7is afÍinitást a 2. félévben,az ábrázolő geometriai tanulmányaink során fogjuk felhasználni. B. Hasonlóan perspekJívsíkrendszerek (Térbeliközéppontoshasonlóság,v. homotécia) A hasonlóan perspektivitás az általános perspektivitás azon speciális esete,amikor al4rtósikgk párhuzamosakésaz o centrum a végesbenvan. A párhtlzamostartósíkokmiatt a ''t'' tengely a síkokközös végtelentávoli egyeneselesz. Mivel a hasonióanperspelctívbe|yzetegybenaz afftn perspektívhe|yzetkülönleges eseténekis tekinthető,ezérta korábban felsorolt (1'-6.)tulajdonság eITe a transzformáciőta is jellemző. Ezeken tul, csak a hasonlóan perspelctívsíkrendszerekre érvényestulajdonságok: .7. Szögtartí mivel a megfelelő egyenesekitt párhuzamosak. 8. Aránvtartó, apárhuzamosszelők tételemiatt.Ezt az arányt anagt'tás (ill. kic sinl tés)arányának nevezzúk.
73.ábta
II4
P rojektívs íkrendszerek Két síkrendszerakkor projektívvonatkozású,ha megfelelő elemeitúgyrendeljük egymáshoz, hogy a megfeleitetés: 1. Kölcsönösen eqyértelmű, 2, illeszkedéstartóés 3' kettősviszonytartó legyen. Ez utóbbi pontosabbanmegfogalmazva azt jelenti, hogy a megfelelő elemnégyesekértelmezhető kettősviszonyai egyezzenek meg. (Mint tudjuk pl. négypontnak csak akkor értelmezttika kettősviszonyát,ha egy egyenesenvoltak, tehát egy sík négytetszőlegespontjának kettősüszonyáról beszélniértelmetlen.). Síkrendszerekprojektívvonatkozása kétfélelehet: a"/ Korrelatív vonatkozás. (,.ugy korreláció), ha ponthoz egyenest' egyeneshez pontot rendelünk az előbbi 1.-3. pontokban leírtak szerint. Ezzel a transzformációval a továbbiakban nem foglalkozunk. bl Kollineár vonatkozás, (,,ugy kollineáció), ha ponbrak pont. egyenesnek eg]/enes a meefelelője (képe).Mi a továbbiakban csakezzela leképezésselfoglalkozunk.
KoIIi neár síkrendszerek Két síkrendszer transzformáciőját akkor nevezzi1k kollineációnak, ha a megfelelő elempárokat úgyrendeljük egymáshoz, hogy a megfeleltetés 1. 2. 3. 4.
köicsönösenegyértelmű, illeszkedéstartó. kettősviszonvtartó(!) és térelemtartó.
Bár az előbbi deÍinícióa vetítésfogalmától teljesenfuggetlen,mégisa kollineár vonatkozás úgy is származtatható, mint a 77.ábrán |áthatő perspektív síkrendszerek vetített helyzetének megbontásautáni geometriaivonatkozás.Tehát minden perspektívhe].rrzetmegbontásakolIineár vonatkozást eredménJlez(természetesenide értendőkaz A.' B. és C. alcím a|att tfugyalt ktilönleges esetekis). Az előbbi áIlításmegfordítható:Ha két síkrendszerkoilineár vonatkozású.akkor perspelrÍív hel}zzetbehozható. Ezt a torvénytmajd a fotogrammetria gyakorlatain, aZ űn. képátaiakításnak nevezett műveletek során hasznosíq.uk.Kollineár vonatkozású síkrendszerekrejó gyakorlati példa: Egy síktereprői készüit iégrfényképsíkrendszereés a lefényképezetttetep síkrendszere közötti geometriai vonatkozás. Végül két síi
116
b/ Mivel pontrrak pont, eg.yenesnekegyenes' illeszkedő térelemnekilleszkedő térelemfelel meg a kollineációban, ezértaz |A| sugársornakaz |A"Isugársor,a |B|-naka |B.Ifelel meg. c/ A transzformáció''kettősüszonytartó''volta miatt: |A|projektív|A.| és|B|projektív|B.|. Ezen projektivitásokat felhaszrrá|va az x és y sugarak xo és yo megfelelőit, a projektív sugársorokná|leírtmódszerek bármellkével (itt a papírszalagoseljárással) meg!,atározhat7uk. d7 Mivel az X pont rajta van az x és y egyeneseken, ezért az Xopontnak az x" és yo egyenesekenkell lennie, mert a transzformáció'' illeszkedéstartó''. Gyakorlati alkalmazás: Ha a 75.ábra S síkrendszerétegy síkterepről készült légifénykép filmjének (vagy az atrőI készültnagltott képnek)síkrendszerévelazonosídulqakkor az S" sík a térképsíkrendszerévelazonosítható.Mindezekből pedig az következik, hogy ha az X pont a filmen szereplő, de a térkepennem |étezőobjektum képe,akftot azXo ennek a pontnak a térkepi megfelelője. 16. feladat: Adott kétkollineár síkrendszer 4-4 megfe|elő pontj.ával.Szerkesszünk megfelelő egyenespárt! Mivel az egyenestkétponda egyértelműenmeghatározza,ezérta szerkesztést(a 75.ábra a|ap1án) önállóan ekégezhetjük. Ha az egyik rendszerben felvett egyenes transzformáciőhoz szükséges két pont;.át,- két illesztőpontot összekötő - adott egyenessel való metszéspontjábanválasztjuk, akJ
s
76,ábra
120
Ez a transzformáció származtathatóúgy is, mint a 74.ábrán bemutatott,egyenlően perspektív helyzet megbontása utáni geometriai leképezés. (A középiskolában ebben az esetben egybevágóságrő| b eszéltunk) Gyakor1atipéldaként;két azonos terepről, azonos eljárással készült, egyenlő méretarányú térképsíkrendszereemlíthetőmeg. Végül megemlítjük,hogy a perspektívsíkrendszerekcím alatt felsorolt valamennyi specíális pespektivitás egyben az itt említett(azonos jelzőjíi) kollineár vonatkozás, de ez megfordítvamár nemrgaz. 14. feladat: Allapítsuk meg, hogy egy vízszintes síkkal szöget bezárő T sílcterep F filmfelvételéről készült N nagyított kép és ugyanazon terepről készült K térképsíkrendszere között milyen geometriaikapcsolatvan l N hasonlóan kollineár F kollineár T affin kollineár K Ha a geometriábantöbbszörös transzformációthajtunkvégre(mint itt az e\őbbimegoldásban), akkor az eredetj oD ésa végeredmény(K) közöfti transzformácjő az lesz, amely az alkalmazott transzformációk között a Iegáltalánosabb. T ehát a megoldás : N kollineár K A kollineár transzformáció (kollineáció) meghatár ozása A kollineáció alaptétele:Ha az S síkbanlévő A,B,C,D és az S* síkbanlévő A*,B*,C*,D* pontnégyesekáltalános helyzetűek (négyszögetalkotnak), akkor mindig van az S síknakaz S* síkra,egy éscsakis egy olyan kollineár leképezése, amelynélaz A,B,C,D pontoknak rendrQaz A*,B*,C*,D* pontokfelelnekmeg (ésviszont). Az alaptételbőlkövetkezik, hogy két síkrendszerkollineár leképezését négy-négyáltalános hel}zzettí.megfelelő ponE)ár ee]/értelműenmeghatározza. Ez azt je|enti, hogy síkrendszerek kollineár leképezésénél4-4 általános helryzetu, megfelelő pontnégyes vá|aszthatő ki tetszőlegesen. Minden további megfelelő pontpár felvételekor biaosítani kell a kollineár vonatkozás( négypontbandefiniált) feltételeit(tulajdonságait).Egy ilyen szerkesztést mutatbe a 75.ábra. Gyakorlatiasabban fogalmazva (és az előbbi feladatban megvizsgáltakat alkalmazva): Egy ismeretlenobjektumot,egyetlenlégifénykép a|apjána térképen csak akkor tudunk bejelölni, ha ezen pont környezetébenlévő négy (áItalánoshelyzeíí)pontnak megvan a térképimegfelelője. A kollinear vonatkozást meghatároző 4-4 megfelelő pontot a fotogrammetriában il1esztőpontoknaknevezzük. A gyakorlatbanaz előbb leírtakata következők szerint hasznosítjuk: Az előbbi feiadat alapján tudjuk, hogy ugyanazon síkterepről készült film éstérképsíkrendszere kollineár vonatkozásű.Ezért a kollineár vonatkozás definíciója alapján ez a két síkrendszer(az illesáőpontok segítségével) perspektívhelyzetbe hozhatő. Ezt a perspekÍívbelyzetet egy ún. léqifénykép átrajzoió készüléksegítségével másodpercek a1attbeállíthatjuk,majd ezek után a film síkrendszerének(számunkra érdekes) pontjait vetítéssel ''transzformáljuk'' a térkép síkrendszerére.A készülék hasznáIatának nagy előnye, hogy egyetlen perspekÍív helyzet beállításávalnem csupán egy pontnak szerkeszthetjtikmeg akepét (mint a 75'ábrán),hanem elvileg akárhány pontot feltérképezhehinkaz il|esztőpontok kömyezetében'
118
,--
b/ Mivel az e|őbbi ponthármasok alkotta háromszögek oldalaikra nézve perspektívek,ezért (Desargues tételénekmegfordíthatőságamiatt) csúcsailira néme is. Ebből következik, hogy az |AA"| |BB"| lCC.| egyeneseknekegy o pontonkellátrnenni. c/ Mivel Desargues tételeponthármasokraérvényes,ezértszerkesáentink kell egy tetszőleges PP" megfelelő ponpárt, majd be kell bizonltani, hogy ezek összekötő egyeneseis átrnegy az o ponton. Vegyik fel a P pontot tetszőlegesen,majd iIlesszük tá az s és k egyeneseket.Ezek megfelelői adjak a P" pontot dl Az ABP és AoBoPo haromszögekre alkalmazzak a megfordított Desargues tételt, azt kapjuk, hogy a PPo egyenesnekugyanott kell metszeni az A.lyo ésBBo egyenest' mint az eiőbb azaz az O pontban. Ezze! igazoltuk, hogy az S ésS" síkok pespektívek.Az o pont a perspeltivitás centrurna,a közös egyenes pedig a tengelye. Tehát a feladatban megfogalmazott feltétel a perspektivitás feltétele. sztikségeséselégséges
124
Mellékkör (gömbi kiskör) gömb felületébőlbármely -a középpontranem illeszkedő- sík metszi ki. Sugaramindig kisebb A a gömb sugaránál. Középpontját (K) a metsző síkból a sík azon normálisa (merőleges egyenese) metszi ki, amely illeszkedik a gömb középpontjára. A szélességikörök (az E gy enlitő kivételével)mellékkörök.
,79lb ábta . pontok (ellenpontok) Atellenes A gömbfelület azon P,P* pontpá{át nevezzuk átellenes pontolinalg amelyek a gömb o középponüára szimmetrikusak (79b ábta). Egy ellenpontpárra végtelensok főkör illeszthető, de a gömbfelület két tetszőleges A,B pontjiín át már csupán egy főkör halad át. Ezt a főkort az [oAB] sík metszi ki a gömb felületéből, ahol az o pont a gömb középponsa.
-T:'=.r- - -\ -I
:o
80/a ábra
t26
'"
\
Pólus Minderr főkörhöz (11l.az ezze|párhlszamos síkúmellékJ<örö1i*röz)kétpólust réndelünk.ezeket a eömb o közeppontiára illeszkedő. a főkör sftjáIa merőIeees eeyenes metsá ki a eömb felületéből. Egy ftíkör pólusai mindig átellenes pontok. Az Egyen|ítő pólusait északi ill. déli pólusnak neveznIk(ezek egyben a szélességikörök pólusai is). Görnbi (szférikus)távolsáe Az A.B feltileti pontok üívolsáeán. a kétpontra illeszkedő főkör kétpont közé eső rövidebbik ívétértjiik.Tehát bármely kétpont távolsága nem lehet nagyobb, mint a főkör kertileténeka fele. Ha akét pont átellenes pontpárt alkot, akkor a üávolságuk a főkör kertileténekfele (R t) és ezt barhol mérhe!.tik(mert átellenes pontokra végtelensok főkör illeszthető). Az A,B felületi pontok gömbi trívolsága(c), a gömb suganínak(R) ésaz A,B ivhez tartoző kozepponti szögnek (c") a fiiggvénye:
2Rtt ^,nt'co c=---'- co^ =R( )
3600
'180"',
c-R€
80/b ábra (Ezek a közepiskolából ismert, a körcikk ívétmeghatarozó kepleteh ahol a ? a közepponti szög radirínbanmért &ékétjelöli.) Mivel egy adott gömb felületerr a sugiír állandó, ezért a távolság jellernzésérea közepponti szöe egyedtil is alkalmas. (Eppen ezért iiyenkor nagyon lényeges,hogy a tavolság jelölésere hasanalt szám -vagy betií-mellé ít'uk oda a mértékegységet, fokban, radianbanvagy méterbenérrjiik !) mert nem mindegy, hogy a ''d'' éÍtékét
127
,t-
Szöemérésa gömb felületén
t\-j l'
81.ábra Egy P pontból kiinduló kétfőkörív - tehát nem a teljes ftíkör - álta|bezárt szög megegyezik a ftíkörívek közös pontjába htzott ''félérintők'' (e, és e,) á|tal bezfut szöggel. Ez a szóg akár tompaszög is lehet, d'e 180.-nál nem lehet naeyobb. Félérintőnitt az érintő P pont által értettiik. ketéosztottegylk (a görbe feléeső) félegyenesét
128
T
do
4R'zzT
360 "
4rzttd3 2Rz trao r=#=ffi=2R:d
ahol az a az ú szög rad'iánokbanmértértékétjelöli. 1.feladat:Mekkora sugarugömbön lesz a 27"-os gömbkétszög területe30tmz Az adottértékeket az előbbi területképletbehelyettesítvekapjuk:
?
3or = 2 R2 t r 2 7 "= R= r o m 190.
Á
Gömbháromszögek A gömbfelülebrek hrárom (fél-főkörívnél kisebb) gömbháromszö enek nevezztik. A gömbháromszögek lehetrek:
főköríve
által
határolt
részét
83.ábra 1. Mellékgömbháromszögek Ha két gömbháromszög eey gömbkétszöeeé eg]/esíthető. akkor egy'k a másiknak mellékgömbháromszöge. Pl. a 83. ábra ABC gömbharomszögének mellékgomb-haromszögei: ABC*, AB*C és A*BC.
130
A gömbháromszög terü|ete (felszíne) Bármely gömbharomszöget (egy-egy oldala mentén, bozzávéve a lehet gömbkétszö ggékiegésáteni: harornszögeket) háromféleképpen
mellékgömb-
I
r*
<\-/
84. ábra A 84. ábra ABC gömbháromszögére ez a következőhárom lehetőségetjelenti: al a BC oldal mentár az AA* gömbkétszöget, bl az AC oldal menterra BB* gömbkétszöget, c/ az AB oldal mentén a CC* gömbkétszöget kapjuk. Ha a CC* gömbkétszögben lévő ABC* mellékgömbharomszöget a vele egyenlő terülehí A*B*C átellenes gömbhráromszöggel helyettesí!ük, aklkor pontosan a felénk eső félgömb felületétfedttik le (errnekfelszíne: 2R,t).Mivel igy az ABC gömbhiíromszög területétkettővel többször vefftik számításba,ezértírhafiuk:
2T+2Rzn =
oo2* z,L 2R2tr ^^ 2Rzn +-=ly" a"^*----: !J" ^! 180' 1800', 180"
-_R2rao 180"
, R'of" Í, -R'rrT" ISO"Rzt 180" 180" 180'
7 = tLgo + Fo+7o- 180") 180"' 132
12
A szférikusgeometriábana gömbháromszögekre is érvényesekaz euklideszi geometriából ismertkovetkező tételek: 4, Bármely kétoldal összeee naeyobb. mint a harmadik oldal (vagy, ami ezzel egyenérté|<íi; bármely kétoldal lrilönbsége kisebb, mint a harmadik oidal). 5 . Naeyobb oldallal szemben nagyobb szög. kisebb oldallal szemben' kisebb szög, egyenlő oldallal szemben egyenlő szög van (ésmegfordítva).
6. 0o< ao+bo+c"<360o
r-x- C
86.ábra Ha a 86.ábra AxBxC gömbhríromszögénekoldalait, ahozzájuktartoző középponti szögekkel mérjük,akkor ezek mérőszámajraaz alábbiakatírhatjuk: ax:180-a b*:180-b A megfelelő oldalak összegéből: ax+b*:3UO-u-O de a 4. tulajdonságmiatt: ax+b*>c*, tehát a baloldalt kísebbértékkelhelyettesítvekapjuk; cx<36O-a-b az előbbi ábra alapjén; 6*:6 tehát c<360-a-b' azaz a+b+c<360 Mivel az oldalak tetszőlegesenkicsik is lehetnek; Qoa 4olsoaCo<360"
134
A gömbháromszögtan szinusz. és koszinusztéte|ei Ezek a tételeknem nagyon hasonlítanaka síkgeometriából ismert' azonos nevií tételekhez. Arrnyiban feltétlen,hogy az egyes tételekvgyanazon adatok közötti összefliggéseketrögzítik (P1. a szinusztéte|két oldal és a velük szemben lévő két szög). A különbség oka az, hogy itt az oldalakatis szögekkel mériük. a/ Színusaétel:
sin a"
sin a"
sin óo
sinB"
a szögeket nemcsakfokokban,hanemradiánokbanis mérhetjük. Természetesen 3.feladat:Egy 12 cm sugarúgömb felszínénlévő gömbháromszög területe 96t cmz , az egyik középponti szöge ao:60o-os,kétszöge eI20" és É:150.. Hány cm hosszúa olda\éútoztartoző ''c'' oldala? (Készítsünkábrát!) hatarozzukmeg a harmadik szőget.Ene azértvan Először a területképletsegítségével van a keresett ezze\ szemben ''c'' oldal. szükség,mert
) r = 3oo +r - 180) 96n=yy e1o ' 1 80
trc|' oldalhoz 1artoző A következő lepésbenszinusztétellelmeghatátozzuka keresett középponti szöget: sin co sin 30" és ésebből c o:30o * 150" (hamisgyök) I " "o sin 60" sin 120' A 150" azértnem megoldás,mert ellentmondaz 5. és7 . tulajdonságoknak. Végül a ''c'' olda|hoz lerrtozó középponti szög hosszát. 24, ,3O. és ebből , = 360"
ismeretébenmeghatározzuk a ''c'' oldal c:2lr cm
bl oldalakra vonatkozó koszinusáétel cos ao:cos bocos go+sin bosin cocosof Természetesen ugyanígy a ''b', és ''c'' oldala]rra is felírhatunk egy-egy koszinusztételt
136
Fö|d rajzi helyek távo|sága A térbeli polárkoordináta-rendszer ísmertetésénél már megemlítetttik, hogy egy földrajzi helynek -P (\T)- a polárkoor dinátái mit j elentenek: X:foldpjzlbq.sszúÉg; megmutatjaa Greenwich-en átrnenő hosszúságifél-főkörív ésa P földrajzi hely hosszúságifél-főkörívéneka hajlásszögét.Az első koordinátára:-180"<X<180"reláció kell, hogy teljesüljön. A szög előjele Greenwich-tőlKeletre pozitív. fftldrajzi
szélessée: megmutatjaaz oP szakasznak azBgyenlitő síkjával bezárt (90"- nál nem nagyobb) hajlásszógét.Eza szögEszak felépozitív. Itt az O pont a Föld geometriaiközéppontjátjelöli.
Eaucnlúo
88.ábra
138
-
Fe|ületeknevezetesvona|ai 1' ortodróma A Föld felületénkétföldrajzi pontot összekötő ol}zanfelületí qörbe. amel..neka leqrövidebb a kétpont köztí ívhossza.Ez minden esetbenegy főkörív. Ha a kétpont azonos szélességi körön van, akkor az ortodróma nem a közös szélességikörív, mert a szélességiköÍ álta|ábannem főkör, kivéveha a szélességl kör éppenazEgyenlítb. 2. Loxodróm: A Föld felületénkétföldrajzi pontot összekötő ol}zanfelületi qörbe. amel.-/minden hosszúsási körrel azonos szöget zár be. Ezt a szöget a légi (,ugy teng.eri)közlekedésben szokás útirányszögnek is nevezni. Ugyanis a hosszúságikörök irányát, (az Eszak.Dél irányt) az irányt(i jelzi. Ehhez képestke|7az útirányszöget beállítani,majd ezt az irányt tartani.Bár kétpont között az ortodróma menténközlekedve tennénkmeg a legrövidebb utat, mégis az eltévedés lehetősége miatt errőllemondunk. Azonos szélességi körön lévő kétpont loxodrőmája ennek a szélességi körnek a kisebbik íve. Ekkor az lltirányszög 90o-os. Ha a szélességikor az Egyenlítő akkor a loxodróma egyben ortodrómais Azonos hosszúságikörön lévőkétpont loxodrőmája,a közös hosszúságikör kétpont közé eső rövidebbik ive. Az útirányszög ebben az esetben 0". Ekkor a loxodróma egybeesik az ortodrómával. Az tl.n. Mercator-féletérképena hosszúságikörök párhuzamos egyenesek,ezért ezen térképena loxodróma akétpontot összekötő egyenes szakasz'
E
r
E (
E
K
I
TJ
I
3. Geodetikusvonal
IL
;
Eey tetszőlegesfelület (tehát itt már nem feltétlenülgömbfelületről van szó) kétpontjához tartozó geodetikusvonaIán egy olyan felüIeti qörbét érttink.amelYnek a kétpont közötti ívhossza a leqrövidebb. A geodetikus vonalat úgy is felfoghaq.uk' mint az ortodrőma álta|ánosításáttetszőieges felületre' vagy megfordítva;az ortodróma a Föld geodetikus vonala. Az egyeneskörhenger geodetikusvonala a csavarvonal. Ezt akkor körrrryí belátlri, ha a henger palás{át a síkbakiterít3.ük' ui. itt a geodetikrrsvonal megfelelője egy egyenesszakaszlesz. A felületek geod. vonalának megkeresése mindig egy szélsőérték feladat megoldásátjelenti, ami általábannem egyszenífeladat. Határozzukmeg milyen messze van Makó Jeruzsálemtől! A földrajzi helyek (nem egészenpontos)koordinátái M(2O,5";46,5") J(35";32). cos do:sin46,5.sin32icos46,5.cos3 2' aosl4,5 d: I 8 , 2 7 6 6 "
t=78276,6/9:2030.1Krn
I
I
TARTALO1VI
r42
