A hangszerek fizikája

˝ B UDAPESTI M USZAKI ÉS G AZDASÁGTUDOMÁNYI E GYETEM V ILLAMOSMÉRNÖKI ÉS I NFORMATIKAI KAR H ÁLÓZATI R ENDSZEREK ÉS S ZOLGÁLTATÁSOK TANSZÉK

A hangszerek fizikája jegyzet

Fiala Péter

Utoljára módosítva : 2015. március 27.

Tartalomjegyzék 1. Egyszer˝ u rezg˝ o rendszerek 1.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. A tömeg-rugó rendszer mozgásegyenlete . . . . . . . . . . . . 1.3. Sajátrezgések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. A tömeg-rugó rendszer energiája . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Dekád, oktáv, cent és decibel . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Csillapított sajátrezgések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. A csillapított rendszer mozgásegyenlete és megoldása . 1.4.2. Csillapított rendszer energiája . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Gerjesztett rezgések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

1 1 1 1 2 3 4 4 6 6

2. Húrok rezgései 2.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Az ideális húr mozgásegyenlete . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Rezgésterjedés a végtelen ideális húrban . . . . . . . . . 2.3.1. Haladó hullámok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Rezgés visszaver˝ odése megfogott húrvégz˝ odésr˝ ol 2.3.3. Rezgés visszaver˝ odése szabad húrvégz˝ odésr˝ ol . . 2.3.4. A félvégtelen húr bemen˝ o impedanciája . . . . . 2.4. A véges ideális húr rezgései . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. A véges hosszú húr sajátrezgései . . . . . . . . . 2.4.2. A módusok energiája . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Pengetett húrok rezgései . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Ütéssel gerjesztett húrok rezgései . . . . . . . . . 2.4.5. Kalapács–húr kölcsönhatásmodellek . . . . . . . 2.4.6. A zongorahúr gerjesztésének modellezése . . . . 2.5. Csillapított rezgések húrokban . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. A csillapítás forrásai . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. A csillapított húr mozgásegyenlete . . . . . . . . 2.5.3. Véges hosszú csillapított húr szabadrezgései . . . 2.5.4. Pengetett csillapított húr . . . . . . . . . . . . . . 2.5.5. Ütéssel gerjesztett csillapított húr rezgései . . . . 2.6. Nemideális húrlezárások . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Lezárás koncentrált rugóval . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Lezárás koncentrált tömeggel . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9 9 10 10 11 11 12 13 13 16 16 20 22 24 25 25 25 26 27 28 30 30 31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Hangsorok és hangolás 33 3.1. A diatonikus hangsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.1. A diatonikus hangsor püthagoraszi hangolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ii

TARTALOMJEGYZÉK

iii

3.1.2. A diatonikus skála tiszta hangolása . . . . . . 3.2. Tizenkétfokú hangsorok . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. A tizenkétfokú skála püthagoraszi hangolása . 3.2.2. A tizenkétfokú skála tiszta hangolása . . . . . 3.3. A hangsorok kiegyenlítése . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. A negyedkommás középhangú temperálás . . 3.3.2. Jóltemperált skálák . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Az egyenletesen temperált hangsor . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

34 36 36 36 37 37 38 39

4. Rudak rezgései 4.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Rudak longitudinális rezgései . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. A mozgásegyenlet levezetése . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. A longitudinális mozgásegyenlet megoldása . . . . . . 4.3. Rúd hajlító rezgése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. A mozgásegyenlet levezetése . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Néhány tipikus keresztmetszet másodrend˝ u nyomatéka 4.3.3. A rúd hajlító szabadrezgései – diszperzió . . . . . . . . 4.3.4. Véges hosszú rúd hajlító módusai . . . . . . . . . . . . 4.3.5. Bütykös harangjáték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Rudak hangolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. A perturbációmódszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Alkalmazás téglalap keresztmetszet˝ u rúdra . . . . . . 4.4.3. Marimbarúd hangolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Merev húrok inharmonicitása . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Bevonatolt húrok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2. A Railsback-görbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 41 41 43 44 44 46 47 47 51 52 53 53 55 55 57 58

5. Membránok rezgései 5.1. Az ideális membrán egyenlete . . . . . . . . 5.2. A membránegyenlet megoldása . . . . . . . 5.2.1. A téglalap alakú membrán módusai . 5.2.2. Kör alakú membránok módusai . . . 5.2.3. Megütött membránok szabadrezgései 5.3. Harmonikus membránok – a timpani . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

61 61 62 62 63 65 66

6. Lemezek rezgései 6.1. Homogén sík lemez rezgései . . . . . 6.1.1. Lemezek diszperz viselkedése 6.1.2. Ortotróp falemezek . . . . . . 6.2. Merev membránok . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

69 69 69 70 70

7. Kísérleti móduselemzés 7.1. Az impulzusválasz mérése . . . . . . . . . 7.1.1. H1- és H2-becsl˝ ok . . . . . . . . . 7.1.2. Az impulzusválasz mérése . . . . . 7.2. Móduselemzés . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. A komplex pólusok meghatározása 7.2.2. A módusalakok meghatározása . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

71 71 71 72 73 73 74

. . . .

. . . .

iv 8. A hangtér 8.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. A hangtér alapegyenletei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1. Egydimenziós leírás . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2. Háromdimenziós leírás . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. A hullámegyenlet egyszer˝ u megoldásai . . . . . . . . . . . . 8.3.1. Síkhullámok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2. Megoldás gömbi kooridnáta-rendszerben . . . . . . . 8.3.3. A lélegz˝ o gömb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.4. Monopólus, forráser˝ osség . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.5. Dipólus, dipol nyomaték . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Összetett sugárzók hangtere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Véges vonalforrás tere . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2. Hangsugárzás végtelen féltérbe – A Rayleigh-integrál 8.4.3. Hengeres dugattyú tere . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4. Hangsugárzás rezg˝ o lemezr˝ ol . . . . . . . . . . . . . 8.4.5. Véges méret˝ u lemezr˝ ol lesugárzott hangnyomás . . . 8.4.6. Tetsz˝ oleges alakú sugárzó hangtere . . . . . . . . . .

TARTALOMJEGYZÉK

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

75 75 75 75 76 77 77 78 78 79 79 80 80 81 82 84 84 85

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Hangterjedés zárt hangszertestekben 9.1. Egyenes hengeres csövek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1. Hullámterjedés végtelen, merev falú cs˝ oben – haladó és evaneszcens hullámok 9.1.2. Véges hosszú, merev falú hengeres csövek módusai . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3. Véges hosszú hengeres cs˝ o bemen˝ o impedanciája . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.4. Oldalfuratok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Kürtök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1. A Webster-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2. A kürtfüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3. Salmon-kürtök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4. Salmon-kürtök módusai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.5. Kompozit kürtök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.6. Kürtök finomhangolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.7. Kürtök hatásfoka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Fúvós gerjesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. Nádgerjesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

89 . 89 . 90 . 91 . 93 . 95 . 97 . 97 . 98 . 98 . 99 . 101 . 103 . 103 . 104 . 104

1. fejezet

Egyszer˝ u rezg˝ o rendszerek 1.1. Bevezetés

ahol u ¨ az elmozdulás id˝ o szerinti második deriváltját jelöli. Jelen esetben a tömegre ható er˝ ok ered˝ oje két tagból állítható össze. Az egyik a küls˝ o f er˝ o ,a Ez a fejezet a legegyszer˝ ubb mechanikai rezg˝ o másik pedig a megnyújtott rugó által kifejtett −ku rendszer, a tömeg-rugó rendszer segítségével vezeo: ti be azokat a rezgéstani alapfolgamakat, melyek er˝ f (t) − ku(t) = m¨ u(t). (1.2) ismerete a továbbiakban, a hangszerelemek rezgéseinek tárgyalásához szükséges. Megismerkedünk Ez a csillapítatlan tömeg-rugó rendszer mozgása rendszer mozgásegyenletének felírási módjával, egyenlete. bevezetjük a saját-, szabad és gerjesztett rezgések A rezg˝ o rendszerek mozgásegyenlete rendszerint fogalmát. Az egyszer˝ u rendszer rezgéseinek vizsgá- differenciálegyenlet. Jelen esetben másodrend˝ u, lilata során vezetjük be továbbá a zenei rezgésjelek neáris differenciálegyenlettel van dolgunk. A májellemzésére használt mérnöki mértékegységeket. sodrend˝ u azt jelenti, hogy az u(t) megoldásfüggvénynek legfeljebb második deriváltja szerepel az egyenletben. A linearitás arra utal, hogy a jobb ol1.2. A tömeg-rugó rendszer moz- dal az u(t) megoldásfüggvénynek és deriváltjainak lineáris függvénye.

gásegyenlete

1.3. Sajátrezgések

Tekintsük az 1.1. ábrán látható egyszer˝ u mechanikai rendszert, ami egy koncentrált tömegb˝ ol és egy ideális, merev falhoz kötött rugóból áll. A tömeg egyirányú (az ábrán vízszintes) mozgásra képes, elmozdulását u jelöli. A tömegre ható, szintén vízszintes irányú er˝ ot f -fel jelöljük.

A rendszer sajátrezgései olyan rezgésalakok, melyek gerjesztés jelenléte nélkül is fennmaradhatnak a rendszerben. A sajátrezgések vizsgálata rezg˝ o rendszerek esetében azért fontos, mert ha egy rendszert gerjesztünk, majd magára hagyjuk, a vák m lasz mindig a sajátrezgések szuperpozíciójaként írható fel. Ez a jelenség hangszerek esetében kiemelt fontosságú, ugyanis a hangszeres játék sok esetben leírható úgy, hogy a hangszert gerjesztjük, majd f u magára hagyjuk – gondoljunk például egy megpengetett gitárhúrra vagy egy megütött dobmembrán1.1. ábra. Tömeg-rugó rendszer ra. A tömeg-rugó rendszer sajátrezgéseinek vizsgáNewton II. törvénye szerint a tömegre ható er˝ ok latához tekintsük tehát a homogén mozgásegyenered˝ oje és a tömeg gyorsulása közti kapcsolat letet, amelyben az f gerjeszt˝ o er˝ o zérus : X F = ma = m¨ u, (1.1) 0 = ku(t) + m¨ u(t). (1.3) 1

˝ RENDSZEREK ˝ REZGO 1. FEJEZET. EGYSZERU

2 átrendezve

2

u ¨(t) = −

k u(t) = −ω02 u(t), m

u0 = 1, v0 = 0

1.5

(1.4)

u0 = 0, v0 = 2π

1

ahol bevezettük az

u0 = 1, v0 = 2π

ω0 =

k/m,

(1.5)

s−1 dimenziójú mennyiséget. Elemi differenciálszámítási ismeretek birtokában látható, hogy az (1.4) differenciálegyenlet megoldásai a sin ω0 t és cos ω0 t függvények, vagyis

0 −0.5 −1 −1.5 −2 0

u(t) = A cos ω0 t + B sin ω0 t = U cos(ω0 t + ϕ),

u(t) [m]

0.5

p

0.5

1 t [s]

1.5

2

(1.6)

1.2. ábra. Tömeg-rugó rendszer elmozdulása ahol A és B, illetve U és ϕ tetsz˝ oleges konstansok. különböz˝ o kezdeti feltételek esetén Az U konstans a rezgés amplitúdóját adja meg, ϕ pedig a rezgés kezd˝ ofázisát. Az (1.5)-ben bevezeo szerinti deriváltja a t = tett ω0 mennyiség a rezgés körfrekvenciája, aminek Az elmozdulásfüggvény id˝ opontban megegyezik a kezdeti sebességgel : mértékegysége rad/s. A rezgés körfrekvenciájából = 0 id˝ a frekvenciát az ω0 v0 = u(0) ˙ = −Aω0 sin(ω0 · 0) + Bω0 cos(ω0 · 0) (1.7) f0 = 2π = Bω0 , (1.10) összefüggéssel származtatjuk, az f0 frekvencia mértékegysége Hz. Az f0 frekvencia reciproka a ahonnan az elmozdulásfüggvény harmonkus rezgés T periódusideje, melynek mérv0 tékegysége s : u(t) = u0 cos(ω0 t) + sin(ω0 t). (1.11) ω0 1 2π T = = . (1.8) A kapott elmozdulásfüggvényt különböz˝ o u0 kezf0 ω0 deti kitérés és v0 kezdeti sebességértékekre Mivel az (1.6) megoldás sajátrezgés, az ω0 az 1.2. ábra mutatja ω0 = 2π rad/s esetre. körfrekvenicát sajátfrekvenciának hívjuk1 . Fontos, hogy a sajátfrekvencia és a sajátrezgés a rendszer tulajdonsága, kizárólag a rendszer anyagjellemz˝ o1.3.1. A tömeg-rugó rendszer energiája it˝ ol és geometriai tulajdonságaitól függ, a gerjesztést˝ ol független. A rugó megfeszítéséhez munkabefektetés szükséges, ami a megfeszített rugóból visszanyerhet˝ o, 1.1. példa Harmonikus rezgés adott kezdeti el- vagyis a rugó energiát tárol. Az u kitérésre feszímozdulással és sebességgel tett rugóban tárolt potenciális energia kifejezhet˝ o Adjuk meg az u0 kezdeti elmozduláshoz és v0 ku2 kezd˝ osebességhez tartozó harmonikus szabadrezEp = (1.12) gés elmozdulásának id˝ ofüggését. 2 Az elmozdulásfüggvény t = 0 id˝ opontban meg- alakban. Hasonló módon a v sebességgel mozgó töegyezik a kezdeti u0 elmozdulással : meg kinetikus energiája u0 = u(0) = A cos(ω0 ·0)+B sin(ω0 ·0) = A. (1.9) 1 általában

nem jelöljük külön az ω0 saját-körfrekvencia és f0 sajátfrekvencia közti különbséget, mindkét fogalomra a sajátfrekvencia kifejezést használjuk.

Ek =

mv 2 2

(1.13)

alakban írható fel. Az energia mértékegysége J.

1.3. SAJÁTREZGÉSEK

3

u(t) = U cos(ω0 t + ϕ),

(1.14)

v(t) = −ω0 U sin(ω0 t + ϕ).

(1.15)

u0 u(t) [m]

Vizsgáljuk meg az U amplitúdóval rezg˝ o, és ϕ kezd˝ ofázissal indított tömeg-rugó rendszer energiáját. A kitérés és a sebesség id˝ ofüggése

0 −u0 0

u(t) v(t) T/4

T/2 t [s]

A potenciális energia kifejezése :

(1.16)

a kinetikus energia kifejezése pedig 1 1 mv 2 (t) = mω02 U 2 sin2 (ω0 t + ϕ) 2 2 1 2 1 − cos(2(ω0 t + ϕ)) , (1.17) = kU 2 2

Ek =

ahol kihasználtuk az mω02 = k összefüggést. Az eredmények szerint mind a potenciális, mind a kinetikus energia az 41 kU 2 érték körül harmonikusan ingadozik, az ω0 körfrekvencia kétszeresével. A két energiatag összege minden id˝ opillanatban 1 (1.18) Et = Ep + Ek = kU 2 , 2 vagyis a potenciális és kinetikus energiatagok folyamatosan, veszteségek nélkül alakulnak át egymásba, ahogy azt az 1.3. ábra is mutatja.

1.3.2. Dekád, oktáv, cent és decibel A harmonikus rezgés f0 frekvenciáját Hz-ben mérjük, ami a rezgés periódusidejének reciproka. Az emberi fül a különböz˝ o frekvenciájú rezgésekhez különböz˝ o hangmagasság-érzetet társít. A hallható frekvenciatartomány Hz-ben mérve három nagyságrendet ölel át, hozzávet˝ olegesen 20 Hz és 20 kHz közé esik. ˝t ér˝ Az emberi fül az o o rezgés (hang) frekvenciáját logaritmikusan érzékeli. Ez azt jelenti, hogy a 100 Hz-es és a 200 Hz-es rezgés közti hangmagasság-különbséget hozzávet˝ olegesen ugyanakkorának érezzük, mint az 1000 Hz-es és a 2000 Hz-es rezgések közötti hangmagasságeltérést. Kézenfekv˝ o tehát, ha két frekvencia közti hangmagasság-különbség jellemzésére olyan mértékegységet használunk, amely azt mutatja meg,

T

Ep

E

Ep =

E(t) [J]

1 2 1 ku (t) = kU 2 cos2 (ω0 t + ϕ) 2 2 1 2 1 + cos(2(ω0 t + ϕ)) = kU , 2 2

3T/4

Ek E/2 0 0

Et

T/4

T/2 t [s]

3T/4

T

1.3. ábra. Csillapítatlan tömeg-rugó rendszer elmozdulása, sebessége és energiaviszonyai hogy a két frekvencia Hz-ben kifejezett értéke között hány nagyságrend eltérés van. Egy tízes nagyságrend-eltérést egy dekádnak nevezünk, vagyis a 300 Hz egy dekáddal nagyobb a 30 Hz-nél. Egy dekád hangmagasság-eltérés igen nagy különbség, a teljes hallható tartomány mindössze három dekádot ölel át, ezért ezt az egységet a hang- és rezgéstanban ritkán használjuk. Az oktáv a kettes számrendszerbeli nagyságrendet jelöli, vagyis kétszeres frekvenciaszorzóhoz tartozik2 . Az f1 és f2 frekvenciák közti hangmagasság-különbség kifejezése oktávban a log2

f2 f1

(1.19)

képlettel adható meg. Az oktáv még mindig nagyon nagy egység ahhoz, hogy az éppen megkülönböztethet˝ o hangmagasságú hangok közti különbséget oktávokban fejezzük ki. A zenei hangmagasság mérésére ezért a centet használjuk, ami az oktáv ezerkétszázad része3 . Az f1 és f2 frekvenciák közti hangmagasság-eltérés centben kifejezve eszerint 1200 log2

f2 f1

(1.20)

2 Az oktáv szó a nyolcas számból ered, mivel a hétfokú zenei

skála nyolcadik hangja egy oktáv távolságra van az alaphangtól. A témát b˝ ovebben a ??. fejezetben tárgyaljuk. 3 Az ezerkétszázas osztó a tizenkétfokú zenei skálából származik


4

r

1.2. példa Oktáv Hány oktávot fog át a hallható frekvenciatartomány ? A hallható frekvenciatartomány fels˝ o és alsó határa közti eltérés log2

20 000 = 9,96 oktáv 20

(1.21)

1.3. példa Cent Mekkora annak a rezgésnek a frekvenciája, amely 10 centtel magasabb az 1000 Hz-nél ? A keresett f frekvenciára felírhatjuk, hogy 1200 log2

f = 10 1000 Hz

(1.22)

vagyis f = 1000 Hz · 210/1200 = 1005,8 Hz

(1.23)

k

m

f

u

1.4. ábra. Csillapított tömeg-rugó rendszer is az energiák arányát használó definícióból induljunk ki. Mivel az energia az elmozdulás négyzetével arányos, ezért 10 lg

E2 U2 U2 = 10 lg 22 = 20 lg . E1 U1 U1

(1.26)

Láthatjuk, hogy a rezgésamplitúdók közti eltérés decibelben való kifejezéséhez az amplitúdók hányadosának logaritmusát nem tízzel, hanem hússzal kell szoroznunk. Hasonló a helyzet a sebességgel és gyorsulással, melyekre szintén igaz, hogy az energia a négyzetükkel arányos. 1.4. példa Decibel Hányszoros amplitúdóaránynak felel meg a 0 dB, 3 dB, 10 dB, 20 dB eltérés ? A 0 dB eltérés azt jelenti, hogy

Míg a rezgés frekvenciája a magasságérzethez társítható, a rezgés amplitúdója a rezgés er˝ oségét jellemzi. A rezgések er˝ osségét – mind a fülünkkel, U2 mind tapintás útján – szintén hozzávet˝ olegesen lo20 lg =0 (1.27) U1 garitmikusan érzékeljük, ezért két amplitúdó vagy energia érték közti eltérést is gyakran olyan logavagyis ritmikus egységben mérünk, amely a két érték közU2 = 100/20 = 1 (1.28) ti nagyságrendek számát adja meg. A bel mértékU1 egységet energiaszintek viszonyítására vezették be. √ Egy bel különbség egy tízes nagyságrend eltérésnek Hasonló számítással a 3 dB eltérés 2-szeres, a felel meg, vagyis az E1 és E2 energiaszintek belben 6 dB kétszeres, a 10 dB hozzávet˝ olegesen háromkifejezett eltérése szoros, a 20 dB pedig tízszeres aránynak felel meg. lg

E2 E1

(1.24)

A bel egység a dekádhoz hasonlóan túl nagynak bizonyult, ezért a mérnöki alkalmazásokban a decibelt (dB) használjuk, ami a bel tizedrésze. Az E1 és E2 energiaszintek dB-ben kifejezett eltérése eszerint E2 10 lg (1.25) E1 A bel és decibel egységeket nemcsak energiaszintek, hanem kitérés amplitúdók összevetésére is alkalmazhatjuk, de figyelnünk kell arra, hogy ekkor

1.4. Csillapított sajátrezgések 1.4.1. A csillapított rendszer mozgásegyenlete és megoldása Egészítsük ki rendszerünket az 1.4. ábrán látható módon egy mechanikai csillapító elemmel, ami a rezgés közben fellép˝ o veszteségeket modellezi. A jelen példában alkalmazott csillapító elem viszkózus csillapító, ami a v sebességgel arányos f = rv

1.4. CSILLAPÍTOTT SAJÁTREZGÉSEK

5

ˆ tetsz˝ ahol Aˆ és B oleges komplex számok, illetve bevezettük a 1 (1.38) τ= ω0 ξ id˝ oállandót. Az id˝ oállandó a csillapítás lehetséges f (t) − ku(t) − ru(t) ˙ = m¨ u(t). (1.29) leírója. Azt mutatja meg, hogy a csillapított rezgés o alatt csökken a kezdeti érték A sajátrezgések meghatározásához ismét a ho- burkolója mennyi id˝ 1/e-szeresére. mogén egyenletet kell vizsgálnunk : A valós kitérés lehetséges ekvivalens felírási 0 = ku(t) + ru(t) ˙ + m¨ u(t). (1.30) módjai

er˝ ohatásnak felel meg. Itt r a viszkózus csillapítás, aminek mértékegysége Ns/m. A csillapítóval kiegészített rendszer mozgásegyenlete az alábbi alakra b˝ ovül :

A megoldáshoz alkalmazzuk a komplex leírási módot, vagyis keressük a választ u(t) = Re {ˆ u(t)} alakban, ahol az u ˆ(t) komplex elmozdulás

u(t) = e−t/τ (A cos ω0∗ t + B sin ω0∗ t)

ˆ eγt u ˆ(t) = U

A csillapítatlan esethez képest lényeges eltérések a következ˝ ok :

(1.31)

alakú. A választott γ paraméter itt tetsz˝ oleges komplex szám lehet. Felhasználva, hogy az id˝ o szerinti deriválás γ-val való szorzássá alakul, a mozgásegyenletet a következ˝ o formában írhatjuk fel : ˆ, 0 = k + γr + γ 2 m U (1.32) vagy másik szokásos alakban (a tömeggel végigosztva) r k 2 ˆ, +γ +γ U 0= m m ˆ, = ω02 + γ2ξω0 + γ 2 U (1.33) ahol bevezettük a ξ=

r 2mω0

(1.34)

= U e−t/τ cos(ω0∗ t + ϕ)

(1.39)

– A csillapított rendszer kitérésfüggvénye egy − −1/τ kezdeti meredekség˝ u, exponenciálisan csökken˝ o burkolóval súlyozott rezg˝ o mozgás. p k/m – A csillapított rendszer az ω0 = sajátfrekvencia p helyett az annál kisebb ω0∗ = ω0 1 − ξ 2 csillapított sajátkörfrekvenciával oszcillál. 1.5. példa Csillapított szabadrezgés adott kezdeti feltételekkel Keressük az u0 kezdeti elmozdulással és v0 kezdeti sebességgel gerjesztett csillapított rendszer szabadválaszát. A kezdeti elmozdulás alapján

u0 = u(0) dimenziótlan csillapítási tényez˝ ot. Az (1.33) = e−0/τ (A cos(ω0∗ · 0) + B sin(ω0∗ · 0)) = A. egyenlet teljesül, ha a zárójeles tag zérus. A γ terje(1.40) dési együtthatóban másodfokú egyenletet megoldva : A kezdeti sebesség alapján p −2ξω0 ± 4ξ 2 ω02 − 4ω02 v0 = u(0) ˙ γ1,2 = 2 p −e−0/τ (A cos(ω0∗ · 0) + B sin(ω0∗ · 0)) + = = −ξω0 ± jω0 1 − ξ 2 = −ξω0 ± jω0∗ , (1.35) τ ahol + e−0/τ ω0∗ (−A sin(ω0∗ · 0) + B cos(ω0∗ · 0)) p ∗ 2 ω0 = ω0 1 − ξ (1.36) A = − + ω0∗ B. (1.41) a csillapított rendszer sajátfrekvenciája. A szabadτ rezgés általános alakja eszerint A megoldás szerint A = u0 és B = ω1∗ (v0 + u0 /τ ), 0 ∗ ∗ ˆ −ξω0 t+jω0 t + Be ˆ −ξω0 t−jω0 t u ˆ(t) = Ae vagyis ˆ jω0∗ t + Be ˆ −jω0∗ t , v0 + u0 /τ = e−ξω0 t Ae −t/τ ∗ ∗ u(t) = e u cos(ω t) + sin(ω t) . 0 0 0 ω0∗ −t/τ jω0∗ t −jω0∗ t ˆ ˆ =e Ae + Be , (1.37) (1.42)


6

1.5. Gerjesztett rezgések

2 ξ = 1/100 ξ = 1/10 ξ=1

1.5 1

Mindeddig sajátrezgésekkel, vagyis a gerjesztés nélküli rendszer rezgéseivel foglalkoztunk. Tekintsük a továbbiakban azt az esetet, amikor a rendszer gerjesztése nem zérus, hanem egy F amplitúdójú és ω körfrekvenciájú harmonikus er˝ o: o n f (t) = F cos(ωt + ϕ) = Re F ej(ωt+ϕ) o n (1.45) = Re Fˆ ejωt .

u(t) [m]

0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 0

0.5

1

1.5 t [s]

2

2.5

3

1.5. ábra. Csillapított tömeg-rugó rendszer szabadrezgése adott kezdeti elmozdulás és sebesség, valamint különböz˝ o csillapítási tényez˝ ok esetén

Mivel rendszerünk lineáris, az ω frekvenciájú harmonikus gerjesztésre adott válasz szintén ω frekvenciájú harmonikus kitérés lesz. Az (1.29) egyenlet komplex írásmódját alkalmazva 2 ˆ jωt ˆ jωt ˆ ejωt + r dU e + m d U e Fˆ ejωt = k U dt dt2

(1.46)

A deriválást elvégezve, majd az ejωt taggal leosztA megoldást az 1.5. ábra szemlélteti u0 = 1 m és va : v0 = 1 m/s, ω0 = 2π rad/s, valamint különböz˝ o ˆ Fˆ = k + jωr − ω 2 m U csillapításértékek esetére. Figyelemre méltó a ξ = 1 ˆ, = m ω02 + 2jξωω0 − ω 2 U (1.47) kritikus csillapítás esete, mikor az ω0∗ csillapított sajátfrekvencia zérussá válik. A kritikus vagy azt meg- azaz haladó csillapításnál már nem beszélhetünk valódi 1/m ˆ = Fˆ (1.48) U rezgésr˝ ol, hiszen az elmozdulásfüggvény nem oszω02 + 2jξωω0 − ω 2 cillál, hanem exponenciálisan tart a nulla kitérésA gerjesztés és a válasz komplex amplitúdóinak hez. ˆ /Fˆ hányadosát a rendszer komplex átvitelének U nevezzük. Jelen esetben a rendszer átvitele

1.4.2. Csillapított rendszer energiája Vizsgáljuk meg a csillapító elemmel kiegészített rendszer energiáját. A teljes energia id˝ oegységre es˝ o változása mozgás közben dEt d(Ep + Ek ) = dt dt d 1 1 = ku(t)2 + mu˙ 2 (t) dt 2 2 (1.43)

(1.30) alapján ku + m¨ u = −ru, ˙ vagyis dEt = −ru˙ 2 (t) dt

(1.44)

Az energia csökkenési sebessége arányos tehát a tömeg sebességének négyzetével.

(1.49)

Az átvitel vizsgálatát frekvencia-tartományokra bontva érdemes végezni. Kisfrekvenciás esetben (ω ω0 ) a nevez˝ o ω-t tartalmazó tagjai kiesnek, és az átviteli függvény határértéke ˆ 1/m 1 U = 2 = , ˆ ω k F 0

= ku(t)u(t) ˙ + mu(t)¨ ˙ u(t) = u(t) ˙ (ku(t) + m¨ u(t))

ˆ 1/m U = 2 2 ˆ ω + 2jξωω 0−ω F 0

(1.50)

vagyis lényegében a Hooke-törvényt kaptuk vissza. A kisfrekvenciás tartományt merevségtartománynak is szokták hívni, hiszen a három fizikai paraméter közül rugó k merevsége határozza meg az elmozdulást. Nagyfrekvenciás esetben (ω ω0 ) a nevez˝ o ω 2 -es tagja dominál, vagyis ˆ U −1 = . ˆ mω 2 F

(1.51)

1.5. GERJESZTETT REZGÉSEK

7 nimuma, mint a négyzetének, ezért a

2

10

Q=∞ Q = 10 Q=5 Q = 1/2

1

u/(f/k) [−]

10

2 ∂ 2 ω + 2jξωω0 − ω 2 = ∂ω 0 ∂ ω02 − ω 2 )2 + 4ξ 2 ω02 ω 2 = ∂ω 4ω ω 2 − ω02 + 8ξ 2 ω0 ω = 0

(1.55)

egyenlet megoldását keressük. Az ω = 0 triviális megoldás mellett a valódi minimumot az p (1.56) ω = ω0 1 − 2ξ 2

0

10

−1

10

körfrekvenciánál kapjuk. Ebb˝ ol következik, hogy √ ξ = 1/ 2-nél nagyobb csillapítási tényez˝ o esetén az átvitelnek nincs kiemelése. Kis csillapítások esetén pedig az átvitel maximumát valamivel az ω0∗ 1.6. ábra. Csillapított tömeg-rugó rendszer csillapított sajátfrekvencia alatt találjuk. er˝ o-elmozdulás átviteli függvénye különböz˝ o Érdemes megemlíteni, hogy kis csillapítások esecsillapítások esetén tén a jósági tényez˝ ot mérés alapján az átvitel csúcsértéke körüli tartomány kiértékelésével számíthatEzt a tartományt tömegtartománynak nevezzük, juk ki. Ennek akkor van gyakorlati jelent˝ osége, hiszen a tömeg határozza meg az elmozdulás mér- amikor egy többszabadságfokú rendszert mérünk, tékét. A köztes tartományban tekintsük az ω ≈ ω0 és az átvitelnek több csúcsa is van, melyekre különesetet. Ekkor az átvitel kifejezése böz˝ o jósági tényez˝ ok jellemz˝ oek. A számítás menetét az 1.7. ábrán illusztráljuk. Az n-edik csúcshoz ˆ U 1/m 1 o megkapható a = (1.52) tartozó Qn jósági tényez˝ 2 = jω r . ˆ 2jξω 0 F 0 ωn Qn ≈ (1.57) Érthet˝ o módon a középs˝ o tartományt csillapítás∆ωn tartománynak nevezzük. Amennyiben a csillapítás zérus, az átvitel az ω0 sajátfrekvencián végtelen, képlettel, ahol a ∆ωn az n-edik csúcs „szélessége”, vagyis tiszta rezonanciával állunk szemben. A zé- vagyis a maximális átvitelhez képest −3 dB-es átvirustól különböz˝ o, kis csillapítás értékek esetében teli értékhez tartozó körfrekvenciák különbsége. Ez a közelít˝ o összefüggés az alábbi módon igaa rendszer átvitelében véges nagyságú kiemelést zolható. A −3 dB-es pontban az (1.49) nevez˝ ojének látunk. A kiemelés mértékének meghatározásához valós és képzetes részének abszolút értéke megérdemes bevezetnünk a rendszer Q jósági tényez˝ oegyezik. Így a nevez˝ o t kiértékelve az ω = ω 0 ± jét, ami rezonáns átvitel statikus átvitelhez képesti ± ∆ω/2 körfrekvenciákon a növekményét írja le. ∆ω ∆ω |U (ω0 )| k 1 2ξω ω + = ∆ω ω + (1.58a) 0 0 0 Q= = = (1.53) 2 4 |U (0)| rω0 2ξ ∆ω ∆ω 2ξω ω − = ∆ω ω − (1.58b) 0 0 0 A maximális átvitelhez tartozó frekvenciát meg2 4 ˆ határozhatjuk a U (ω)/Fˆ (ω) maximalizálásával. oségek adódnak. A két egyenletet összeadva A maximumot ott találjuk, ahol az (1.49) összefüg- egyenl˝ 0

0.5

1

1.5 ω/ω0 [−]

2

gés nevez˝ oje minimális. Vagyis a feladat a 2 ω + 2jξωω0 − ω02

2.5

4ξω02 = 2∆ωω0 , (1.54)

kifejezés minimumhelyének megkeresése. Kihasználva, hogy az abszolútértéknek ugyanott van a mi-

(1.59)

amib˝ ol következik, hogy ω0 1 = = Q. ∆ω 2ξ

(1.60)


8

a fenti példában ez pedig 3 dB/15 s = 0,2 dB/s. Az egytized amplitúdó 20 dB-es csökkenést jelent, amelyhez 20/0,2 = 100 s szükséges, ami n = = 100 s/2 s = 50 periódusnak felel meg. A következ˝ o lépésben határozzuk meg el˝ oször a rendszer τ id˝ oállandóját. Az (1.37) összefüggés szerint τ id˝ o alatt az amplitúdó 1/e részére, vagyis 20 log10 e ≈ 8,69 dB-lel csökken. Ebb˝ ol az id˝ oállandó τ = 8,69/0,2 ≈ 43,43 s-nak adódik. A jósági tényez˝ o (Q = 1/2ξ) meghatározásához a ξ csillapítási tényez˝ ot kell kiszámítanunk. Ehhez a

−25 3 dB

|U/F| [dB]

−30

3 dB

−35

−40

−45 15

∆ ω1

20

∆ ω2

25 ω [rad/s]

30

35

1.7. ábra. Jósági tényez˝ o (Q) meghatározása méréssel az (1.57) összefüggés alapján

1 és ξω0 p 2π ω0∗ = ∗ = ω0 1 − ξ 2 T0 τ=

összefüggéseket használjuk fel, ahol ω0 -t kifejezve az els˝ o egyenletb˝ ol és visszahelyettesítve a második egyenletbe a

Az 1.6. ábra a tömeg-rugó rendszer amplitúdóátvitelét mutatja különböz˝ o jósági tényez˝ ok eseté1 re. Zérus csillapításnál (Q = ∞) a sajátfrekvencián ξ=q 2 végtelen az átvitel, a kritikus csillapítás esetében ω0∗ τ 2 + 1 (ξ = 1, Q = 1/2) az átvitel értéke 1/2, ami a statikus átvitelhez képest 6 dB csillapításnak felel meg. összefüggés adódik, melynek jobb oldalán csak az el˝ obbiekben már meghatározott értékek szerepel1.6. példa Jósági tényez˝ o és kritikus csillapítás nek. Kiértékelve a formulát ξ = 7,33 · 10−3 adódik, Mekkora a kritikus csillapítással csillapított rend- melyb˝ ol a jósági tényez˝ o Q = 68,22. szer jósági tényez˝ oje ? Megjegyezzük, hogy mivel a csillapítás jóval a A kritikus csillapításp feltétele szerint a csillapított kritikus érték alatt van (ξ 1), a számítást egyszesajátfrekvencia ω0∗ = 1 − ξ 2 = 0, azaz 1 = ξ = r˝ usíthetjük, ha a τ ≈ 1/(ξω0∗ ) közelítést használjuk. = r/2mω0 , ahonnan a viszkózus csillapítás értéke Az így számolt és a fenti eredményb˝ ol adódó jósági r = 2mω0 . A viszkózus csillapítást visszahelyette- tényez˝ o mindössze a negyedik tizedesjegyben tér el sítve a jósági tényez˝ o Q = k/rω0 kifejezésébe egymástól. Q=

k 1 = 2 2mω0 2

(1.61)

ahol kihasználtuk az ω02 = k/m összefüggést. 1.7. példa Csillapítási tényez˝ o Egy mérésben egy csillapított tömeg-rugó rendszer teljes energiáját határoztuk meg. Azt tapasztaltuk, hogy a teljes energia 3 dB-lel csökken 15 sonként. A rezgés periódusidejét pedig T0∗ = 2 s-nak mértük. Hány periódus alatt csökken az amplitúdó az egytizedére ? Mekkora a rendszer jósági tényez˝ oje ? Vegyük észre, hogy az energia és az amplitúdó csökkenése dB/s-ban kifejezve azonos érték˝ u,

2. fejezet

Húrok rezgései x x + ∆x

2.1. Bevezetés S sin φ(x + ∆x)

Ez a fejezet a kordofon hangszerek rezonátorával, a húrral foglalkozik. A húr rezgéstani szempontból a legegyszer˝ ubb olyan rendszer, melyben hullámterjedés lép fel. A 2.2. fejezet az ideális húr mozgásegyenletének levezetését adja meg. A 2.3. fejezet a végtelen húrokban történ˝ o hullámterjedési jelenségeket írja le, a 2.4. fejezet pedig a véges hosszú, mindkét végén befogott húr rezgéseit tárgyalja. Ebben a fejezetben bevezetjük a módusok fogalmát, és megismerkedünk a modális szuperpozíció technikájával, ami a rezg˝ o rendszerek elemzésének rendkívül fontos és er˝ oteljes eszköze. A véges húrokat tárgyaló fejezeten belül vizsgáljuk részletesen a pengetett és kalapáccsal ütött húrok rezgéseit. A 2.5. fejezet a húrok csillapításáért felel˝ os jelenségekkel foglalkozik, végül a 2.6. fejezet a nemideális húrlezárások tulajdonságait ismerteti.

g(x)

φ(x) S

S φ(x + ∆x)

ρA∆x S sin φ(x)

2.1. ábra. A húr ∆x hosszúságú darabja

felé. A húrban fellép˝ o feszít˝ o er˝ ot jelölje S, ennek mértékegysége N. A feszít˝ o er˝ o mindig érint˝ oirányban hat. Rezgéskeltésben akkor van szerepe, mikor az érint˝ oirány a húr hossza mentén változik, vagyis a húr valamilyen gerjesztés hatására az egyenest˝ ol eltér˝ o alakot vesz fel. Tekintsük a kitérített húr x és x+∆x pozíciók között elhelyezked˝ o, ∆x hosszúságú darabját, ahogy a 2.1. ábra mutatja. A húrdarabra g(x) keresztirányú küls˝ o gerjeszt˝ o er˝ o hat. Az g(x) mennyi2.2. Az ideális húr mozgásegyen- ség hosszegységre es˝ o er˝ ot jelöl, mértékegysége lete N/m. A teljes húrdarabra es˝ o küls˝ o er˝ o ezek szerint g(x)∆x. A húrok nagyon jó közelítéssel egydimenziós rendA hosszirányú S feszít˝ o er˝ o x tengellyel bezárt szerek, vagyis keresztirányú kiterjedésük lényege- hajlásszöge az elem bal oldalán φ(x), jobb oldalon sen kisebb mind hosszirányú méretüknél, mind φ(x + ∆x). A húrra ható feszít˝ o er˝ ok keresztirányú a rajtuk megjelen˝ o rezgések hullámhosszánál. Az komponense a bal oldalon −S sin (φ(x)), a jobb olideális húrokra igaz továbbá, hogy saját merevsé- dalon pedig S sin (φ(x + ∆x)). A húrdarab hosszgük gyakorlatilag zérus, rezgésre csak küls˝ o hossz- egységre es˝ o tömege µ [kg/m]. Ezen mennyiségek irányú er˝ o jelenléte mellett, megfeszített állapot- ismeretében felírható a húrdarabra Newton másoban képesek. dik törvénye : A húrokban hosszanti irányú feszít˝ o er˝ o hat, ez a feszít˝ o er˝ o téríti vissza a megpendített, megütött g(x)∆x + S [sin φ(x + ∆x) − sin φ(x)] = µ∆xa(x), vagy vonással gerjesztett húrt a nyugalmi állapot (2.1) 9

10

2. FEJEZET. HÚROK REZGÉSEI

ahol a(x) a húrdarab keresztirányú gyorsulását jelöli. Kis szögelfordulások esetén sin φ ≈ φ, ami szerint (a ∆x hosszelemmel végigosztva) g(x) + S

φ(x + ∆x) − φ(x) = µa(x). ∆x

(2.2)

A ∆x → 0 határátmenetet elvégezve, a Newtontörvény alábbi differenciális alakjához jutunk : g(x) + S

dφ(x) = µa(x). dx

(2.3)

A húr φ(x) szögelfordulása kifejezhet˝ o a keresztirányú u(x) kitérésfüggvény segítségével. Kis szögek esetén

2.1. táblázat. Húrok és húrbevonó anyagok anyagjellemz˝ oi anyag s˝ ur˝ uség [kg/m3 ] nejlon 1 200 bél 1 300 selyem 1 300 alumínium 2 700 acél 7 700 réz 8 900 ezüst 11 000 arany 19 000 wolfram 19 000

húrokban terjed˝ o rezgések sebességét, illetve megdu(x) vizsgáljuk a hullámok visszaver˝ u(x + ∆x) − u(x) odésének (reflektá= . φ(x) ≈ tan φ(x) = lim ∆x→0 ∆x dx lódásának) alapvet˝ o tulajdonságait. (2.4) Behelyettesítve (2.4)-et a (2.3) Newton-törvénybe, valamint bevezetve a keresztirányú a gyorsulás he- 2.3.1. Haladó hullámok lyett az u kitérés id˝ o szerinti második deriváltját, A gerjesztés nélküli (g(x) = 0) húregyenlet alakja az alábbi húregyenletet kapjuk : g(x, t) + Su00 (x, t) = µ¨ u(x, t).

Su00 (x, t) = µ¨ u(x, t).

(2.5)

A (2.5) egyenlet egy parciális differenciálegyenlet, mely az u(x, t) elmozdulásfüggvény mind x, mind t szerinti parciális deriváltjait tartalmazza. A differenciálegyenlet mind az id˝ o, mind a térkoordinátát tekintve másodrend˝ u, vagyis legfeljebb második deriváltakat tartalmaz. Ez azt jelenti, hogy egyértelm˝ u megoldásához két id˝ obeli és két térbeli feltételre van szükségünk. Az id˝ obeli feltételeket általában kezdeti feltételek formájában adjuk meg, vagyis definiáljuk a megoldás t = 0 id˝ opontbeli u(x,0) = u0 (x) kezdeti elmozdulását és u(x,0) ˙ = v0 (x) kezdeti sebességét. A térbeli feltételeket rendszerint peremfeltételek formájában realizáljuk, vagyis definiáljuk a véges hosszú húr két végpontjában az elmozdulásfüggvény u(0, t) és u(L, t) értékeit.

2.3. Rezgésterjedés a végtelen ideális húrban El˝ oször a végtelen kiterjedés˝ u, gerjesztésmentes húrokban terjed˝ o rezgéseket vizsgáljuk. Ez a téma messze elrugaszkodik a valóságos alkalmazásotól, de alkalmas arra, hogy bevezessük segítségével a

Bevezetve a

s c=

S µ

(2.6)

(2.7)

mennyiséget, egyenletünket az alábbi alakra hozhatjuk : 1 u00 (x, t) = 2 u ¨(x, t). (2.8) c Behelyettesítés útján könnyen látható, hogy a (2.8) egyenletet kielégíti az alábbi, d’Alembert-féle megoldás : u(x, t) = u+ (ct − x) + u− (ct + x),

(2.9)

ahol u+ (x) és u− (x) tetsz˝ oleges rezgésalakokat (impulzusokat) jelölnek. Az u+ (ct − x) a pozitív x tengely irányában c sebességgel haladó rezgésalakot ír le, u− (ct + x) pedig a negatív irányban c sebességgel haladó impulzus leírása. Eredményünk szerint a húrban a rezgések a (2.7)-ben definiált sebességgel terjednek. A terjedési sebesség négyzete a húr S feszít˝ o erejének és a húr egységnyi hosszra es˝ o µ tömegének hányadosa. A hangszerhúrokhoz használt anyagok s˝ ur˝ uségértékeit a 2.1. táblázatban soroljuk fel, tipikus heged˝ u és gitárhúr paramétereket a 2.2-2.3. tábláza-

2.3. REZGÉSTERJEDÉS A VÉGTELEN IDEÁLIS HÚRBAN

11

2.2. táblázat. Heged˝ uhúrok mért jellemz˝ oi jellemz˝ o frekvencia [Hz] átmér˝ o [mm] feszít˝ o er˝ o [N] tömeg [g/m]

E-húr 660 0,249 − 0,264 72,25 − 84,01 0,381 − 0,443

A-húr 440 0,452 − 0,701 48,89 − 63,51 0,579 − 0,752

D-húr 294 0,671 − 0,914 34,76 − 61,73 0,924 − 1,641

G-húr 196 0,790 − 0,833 35,43 − 49,92 2,115 − 2,799

2.3. táblázat. Gitárhúrok mért jellemz˝ oi jellemz˝ o frekvencia [Hz] átmér˝ o [mm] feszít˝ o er˝ o [N] tömeg [g/m]

E-húr 330 0,70 76,7 0,417

H-húr 247 0,83 61,1 0,593

tokban. Tekintve, hogy a húrok keresztmetszeti mérete tipikusan mm nagyságrend˝ u érték, az egységnyi hosszra es˝ o tömeg tipikusan a pár gramm nagyságrendbe esik. A hangszerek megfeszített húrjaiban ható feszít˝ o er˝ o tipikusan 50–200 N, így a sebesség jellemz˝ oen 100–500 m/s körüli érték.

2.3.2. Rezgés visszaver˝ odése megfogott húrvégz˝ odésr˝ ol Vizsgáljuk meg, hogy mi történik a haladó rezgéshullámmal, ha merev húrbefogásnak ütközik. Tegyük fel, hogy a húr bal oldali befogott végpontja x = 0-ban helyezkedik el. Ekkor a bal oldali befogási kényszer alakja :

G-húr 196 1,03 57,9 0,892

D-húr 147 0,75 74,5 2,04

A-húr 110 0,93 74,5 3,45

E-húr 82,4 1,07 61,2 5,33

a lezárás zérus kitérés feltétele. A harmadik pillanatképen megfigyelhet˝ o, hogy az eredeti impulzus képzeletben továbbhalad a negatív oldalra, és az eddig képzeletbeli ellenimpulzus felbukkan a pozitív oldalon. A negyedik ábrán már egyértelm˝ uen látszik, hogy az eredeti és ellenimpulzus helycseréje valójában a hullámforma ellentétes amplitúdójú visszaver˝ odését jelenti.

2.3.3. Rezgés visszaver˝ odése húrvégz˝ odésr˝ ol

szabad

Szabad húrvégz˝ odés alatt olyan lezárást értünk, amely amellett, hogy biztosítja a húr longitudinális S feszít˝ o erejét, a húrra keresztirányú er˝ ot nem tud kifejteni. Ez az er˝ o mentes lezárás egy függ˝ ou(0, t) = u+ (ct) + u− (ct) = 0, (2.10) leges rúdként képzelhet˝ o el, melyen a hurokban vagy lezáró gy˝ ur˝ uben végz˝ od˝ o húr súrlódásmentevagyis minden t értékre teljesül az sen csúszhat . A húr által a lezárásra kifejtett keresztirányú er˝ o u+ (ct) = −u− (ct) (2.11) a húrban ható S feszít˝ o er˝ o keresztirányú S sin φ összefüggés. Ennek értelmében a húrban pozitív komponensével egyezik meg. Mivel a sin φ tag kis és negatív irányban haladó rezgések egymás ellen- elmozdulások esetében megegyezik az u elmozduo deriváltjával, a szabad lezárás tettjei, más szóval a rezgésalak el˝ ojelt váltva ve- lás x szerinti els˝ szerint r˝ odik vissza a megfogott lezárásról. A jelenséget a 2.2(a). ábrasorozat mutatja be. A legfels˝ o ábrán u0 (x = 0, t) = 0. (2.12) egy pozitív kitérés˝ u impulzus halad a negatív x teno gely irányába, és a lezárás túloldaláról az impulzus A feltételt behelyettesítve (2.9)-be, a következ˝ (képzeletbeli) tükörképe halad vele szemben. Mi- összefüggést kapjuk : kor a két impulzus összetalálkozik, természetesen 0 0 az x = 0 pontban kioltják egymást, ezzel teljesül u+ (ct) = u− (ct), (2.13)


uy(x)

uy(x)

12

x

uy(x)

uy(x)

x

x

(b)

uy(x)

uy(x)

x

(a)

x

uy(x)

uy(x)

x

x

x

2.2. ábra. Impulzus visszaver˝ odése (a) befogott és (b) szabad húrlezárásról ahol a vessz˝ o az x koordináta szerinti deriválást jeMivel a húr végtelen hosszú, benne csak az er˝ olöli. A kifejezés egyszeri integrálása után gerjesztést˝ ol c sebességgel távolodó rezgések léphetnek fel. A húr elmozdulása tehát egy haladó hulu+ (ct) = u− (ct), (2.14) lám lesz, amelynek leírása vagyis a rezgés a szabad húrlezárásról azonos el˝ ojellel ver˝ odik vissza, ahogy azt a 2.2(b) ábrasorozat mutatja.

2.3.4. A félvégtelen húr bemen˝ o impedanciája Bevezetjük a félvégtelen húr bemen˝ o mechanikai impedanciájának fogalmát, ami a húr végére ható er˝ o és a húrvég sebességének hányadosa. Tekintsük azt a félvégtelen húrt, melynek vége x = 0-ban helyezkedik el, és melyet az x = 0 pozícióban F keresztirányú er˝ ovel gerjesztünk.

u(x, t) = u+ (x − ct),

(2.15)

ahol u+ a pozitív irányba haladó impulzus alakja. A kitéréshez tartozó gerjeszt˝ o er˝ o az F (0, t) = −S sin φ|x=0 = −Su0 (0, t) = − Su+0 (−ct) (2.16) képlettel fejezhet˝ o ki. A gerjesztés helyén mérhet˝ o sebesség kifejezése v(0, t) = u(0, ˙ t) = −cu+0 (−ct).

(2.17)

2.4. A VÉGES IDEÁLIS HÚR REZGÉSEI

13

Az er˝ o és a sebesség hányadosa adja meg a félvég- ahol k a rad/m dimenziójú hullámszám. Az A és telen húr r bemen˝ o mechanikai impedanciáját, ami B paraméterek értékét az aktuális peremfeltételek tehát határozzák meg. Az x = 0-beli befogási kényszer szerint Ux (0) = p F (0, t) −Su+0 (−ct) S = 0, ahonnan következik, hogy B = 0, vagyis µS = µc. r= = = = v(0, t) −cu+0 (−ct) c Ux (x) = A sin kx. Az x = L-beli Ux (L) = 0 fel(2.18) tételb˝ ol adódik, hogy

2.4. A véges ideális húr rezgései

A sin kL = 0,

(2.24)

vagyis kL = nπ, ahol n ∈ Z+ . Eredményeink szeFoglalkozzunk a továbbiakban az x = 0 és x = L rint a bevezetett k hullámszám csak a pozícióban befogott, véges hosszú húrral. nπ , n = 1, 2, . . . (2.25) kn = L

2.4.1. A véges hosszú húr sajátrezgései

diszkrét értékeket veheti fel. A szeparált egyenlet id˝ ofügg˝ o jobb oldalához tartozó feltétel alakja

El˝ oször a véges hosszú húr sajátrezgéseit keressük meg. A sajátrezgések olyan rezgésfomák, melyek a gerjesztés jelenléte nélkül is végtelen ideig fenn¨t (t) = −kn2 c2 Ut (t). U (2.26) maradhatnak a csillapítatlan húrban. Ezek a rezgések tehát a homogén húregyenlet u(x, t) meg- Az egyenlet megoldása oldásai, melyek semmiféle kezdeti feltételnek nem kell hogy eleget tegyenek, de kielégítik az u(0, t) = Ut (t) = U cos(kn ct + ϕ) = U cos(ωn t + ϕ), (2.27) = u(L, t) = 0 peremfeltételeket. A sajátrezgések megkereséséhez egy fontos ma- ahol nπc tematikai technikát, a változók szeparálásának , n = 1, 2, . . . (2.28) ωn = k n c = L módszerét alkalmazzuk : Keressük az u(x, t) függvényt a rezgés körfrekvenciája. u(x, t) = Ux (x)Ut (t) (2.19) Eredményeink szerint az ideális húrnak végtelen sok sajátrezgése van, melyek mind térben, mind szorzat alakban. Helyettesítsük be (2.19)-et a (2.8) id˝ o ben harmonikus függvények. Az n-edik sajátrezhomogén hullámegyenletbe : gés hely–id˝ ofüggvénye 1 00 ¨ Ux (x)Ut (t) = 2 Ux (x)Ut (t). (2.20) un (x, t) = Un sin kn x · cos(ωn t + ϕn ) c nπ nπc = Un sin x · cos t + ϕn . Osszuk el mindkét oldalt Ux (x)Ut (t)-vel : L L (2.29) ¨t (t) Ux00 (x) 1 U = 2 . (2.21) Ux (x) c Ut (t) A kapott sajátrezgések állóhullámok, melyek egy térben és egy id˝ oben harmonikus tag szorzataként Vegyük észre, hogy a (2.21) egyenlet bal oldala állnak el˝ o. csak az x helykoordinátától, a jobb oldala pedig Az állóhullámok térfüggését leíró tagokat a húr csak a t id˝ ot˝ ol függ, vagyis sikerült a változók sze- módusalakjainak nevezzük, és bevezetjük rájuk a parálása. Az egyenl˝ oség csak akkor állhat fenn, ha ψ jelölést : n mindkét tag konstans. Ezt a konstanst nevezzük el nπx −k 2 -nek. A bal oldali egyenlet alapján tehát ψn = sin kn x = sin . (2.30) L 00 2 Ux (x) = −k Ux (x). (2.22) A ψn módusalakokat a 2.3. ábra mutatja az n = = 1 . . . 5 értékekre. Ennek megoldása A módusalakok az alábbi fontos tulajdonságokUx (x) = A sin kx + B cos kx, (2.23) kal bírnak :

14


n=1

vényhez az αn koordináták csak egyféleképpen választhatók ki. L

0

L

0

L

– A módusalakok ortogonális rendszert alkotnak. Ez alatt azt értjük, hogy a ψn és ψm módusalakok skalárszorzata nulla, ha n 6= m, és pozitív, ha n = m. A skalárszorzatot a módusalakok esetében a Z L hψn , ψm i = ψn (x)ψm (x)dx (2.34) 0

integrállal definiáljuk, amire valóban teljesül, hogy ( Z L mπ nπ 0 n 6= m x sin x dx = L sin L L n=m 0 2 (2.35)

n=4

n=3

n=2

0

L

0

L

n=5

0

2.3. ábra. Az L hosszú, mindkét végén megfogott húr sin nπx/L alakú normál módusai – A ψn módusalakok lineárisan függetlenek, vagyis egyik módusalak sem állítható el˝ o a többi szuperpozíciójaként. Másként fogalmazva, a zérus függvény csak úgy keverhet˝ o ki a módusokból, ha minden módusalak együtthatója nulla. X αn ψn (x) = 0 → αn = 0, n = 1, 2, . . . n

(2.31) – A módusok teljes függvényrendszert alkotnak, vagyis a húrban kialakulni képes tetsz˝ oleges u(x) rezgésalak összerakható a ψn (x) módusalakok szuperpozíciójaként : u(x) =

∞ X

– Minden ψn (x) módusalakhoz tartozik egy ωn sajátfrekvencia. A kett˝ o kapcsolata az, hogy a magára hagyott csillapítatalan rendszerben a ψn (x) módusalak ωn frekvenciájú harmonikus rezgést végez, vagyis αn (t) = Un cos(ωn t + + ϕ) alakú súlyfüggvény tartozik hozzá, ahogy a fentebbi számítások is mutatják. Kihangsúlyozzuk, hogy ez a tulajdonság csak a szabadrezgések esetére áll fenn. Alkalmas g(x, t) gerjesztés megválasztásával tetsz˝ oleges módusalakra lényegében tetsz˝ oleges id˝ ofüggés rákényszeríthet˝ o. Az ideális, mindkét végén megfogott húr sajátfrekvenciái az alapfrekvencia egész számú többszörösei, más szóval harmonikusai. Az alaphang els˝ o nyolc felharmonikusához tartozó hangmagasságok :

G αn ψn (x),

(2.32)

n=1

ahol αn az n-edik módus súlya, az úgynevezett részesedési tényez˝ o vagy modális koordináta. Id˝ ofügg˝ o u(x, t) rezgésalakok esetében a részesedési tényez˝ ok id˝ ofügg˝ oek, ekkor a szuperpozíció alakja

ˇ

Ž

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

I ˇ

2.1. példa Heged˝ uhúrok paraméterei I. Mekkora a feszít˝ o er˝ o egy L = 325 mm hosszú és ∞ d = 0,25 mm átmér˝ oj˝ u acél E heged˝ uhúrban ? (Az X u(x, t) = αn (t)ψn (x). (2.33) E hang frekvenciája 660 Hz.) n=1 Az E húr alapharmonikusa f1 = 660 Hz-en rezeg, vagyis A ψn módusalakok függetlensége miatt a szuπc ω1 = = 2πf1 , perpozíció egyértelm˝ u, vagyis adott u(x) függL


15

ahonnan c = 2f1 L. A feszít˝ o er˝ o kifejezése (2.7) és (2.28) alapján 2 d 2 2 S = µc = ρ π × (2f1 L)2 = ρπ (df1 L) . 2

1

u [m]

Az f1 = 660 Hz az E hang frekvenciája, valamint ρ = 7700 kg/m3 az acél s˝ ur˝ usége. A helyettesítést elvégezve S = 70 N, vagyis az E-húr terhelése hozzávet˝ olegesen „7 kg”.

N=1 N=2 N=3 N = 10 N = 30

0

2.2. példa Heged˝ uhúrok paraméterei II. 0 0.5 1 x [m] Mozart szerint az ideális heged˝ un a négy húr feszít˝ o ereje azonos. Mekkora legyen ezen elv szerint az acélból készült A, D és G húrok átmér˝ oje ? 2.4. ábra. A 2.5. feladat u(x) függvényének A 2.1. példa megoldása szerint az S feszít˝ o er˝ o közelítése véges N elemszámú modális a ρ(df L)2 szorzattal arányos, vagyis azonos feszít˝ o szuperpozícióval er˝ o eléréséhez (azonos anyag és húrhosszúság mellett) a df szorzatot állandó értéken kell tartani. A A feszít˝ o er˝ o a frekvencia négyzetével arányos, p heged˝ u húrjai kvintenként vannak hangolva, vagy0 tehátf /f = S 0 /S, ahonnan a centben kifejezett is szomszédos húrok frekvenciaaránya 2 : 3. Eszehangmagasság-változás rint az A húr átmér˝ oje dA = 3/2dE = 0,375 mm, a D húré dD = (3/2)2 dE = 0,56 mm, a G húré pedig S0 f0 = 600 log2 1200 · log2 dG = (3/2)3 dE = 0,84 mm. f S 150 = 72 cent. 138

(2.36) 2.3. példa Heged˝ uhúrok paraméterei III. Hogyan változtassuk a húrok átmér˝ ojét, ha azonos feszít˝ o er˝ o mellett áttérünk acélról bélhúrokra ? A 2.1. példa megoldása szerint az S feszít˝ o er˝ o 2.5. példa Modális koordináták meghatározása a ρ(df L)2 szorzattal arányos, vagyis azonos feszít˝ o Határozzuk meg az L hosszú, mindkét végén beer˝ o eléréséhez (azonos húrhosszúság és frekvencia mellett) a ρd2 szorzatot állandó értéken kell tarta- fogott húron értelmezett ni. Ezek szerint ρbél d2bél = ρacél d2acél , illetve u(x) = U0 [ε(x) − ε(x − L/2)] r r ρacél 7700 dbél függvény modális koordinátáit ! = = = 2,43 dacél ρbél 1300 Írjuk fel az u(x) függvényt modális szuperpozícivagyis az átmér˝ oket 2,4-szeres értékre kell növelni. óval : ∞ X u(x) = αm ψm (x). = 600 log2

m=1

Szorozzuk skalárisan mindkét oldalt ψn -nel : 2.4. példa Heged˝ uhúrok paraméterei IV. * + Egy acél heged˝ uhúr hossza 30 cm, átmér˝ oje ∞ ∞ X X 0,5 mm, alaphangja 500 Hz. Az acél s˝ ur˝ usége hψn , ui = ψn , αm ψm = αm hψn , ψm i 7 800 kg/m3 . Legfeljebb hány centtel hangolhatjuk m=1 m=1 feljebb a húrt, ha a katalógus szerint megengedett = αn hψn , ψn i , (2.37) maximális feszít˝ o er˝ o „15 kg” ? ahonnan A 2.1. példa megoldása szerint a feszít˝ o er˝ o hψn , ui αn = . (2.38) S = ρπ(dLf )2 = 137,8 N. hψn , ψn i

16


Z 2U0 L/2 ψn (x)u(x)dx = sin kn xdx L 0 0 2U0 2U0 1 − cos nπ/2 L/2 =− [cos kn x]0 = kn L π n 2U0 1 2 1 0 1 2 1 0 = , , , , , , , ... (2.39) π 1 2 3 4 5 6 7 8

2 αn = L

Z

L

A véges N taggal elvégzett modális szuperpozíció eredményét a 2.4. ábra mutatja.

2.6. példa Gitárbundozás Az ökölszabály szerint a gitárokat úgy bundozzuk, hogy a következ˝ o bundot mindig a fennmaradó szabad húrhossz 1/18-ad részénél helyezzük el. Mekkora a 12. bundon lefogott oktáv eltérése a tiszta oktávtól ? A 12. bundnál a fennmaradó húrhossz L0 = = L · (17/18)12 = 0,5036L, ami a húr felénél kicsit hosszabb. Mivel a sajátfrekvencia a húr hosszának reciprokával arányos, az „oktáv” frekvenciaaránya f 0 /f = L/L0 = 1,9856, ami 1200 log2

1,9856 = −12,55 cent 2

eltérést mutat a tiszta oktávhoz képest.

2.4.2. A módusok energiája

(2.40)

u0(x) [m]

A skaláris szorzatok kifejtésével

0

L/m

L x [m]

2.5. ábra. A pengetett húr kezdeti u0 (x) elmozdulása. ami alapján a húr teljes kinetikus energiája Z L Ekn = dEn (x) x=0

1 = µUn2 ωn2 sin2 (ωn t) 2

Z

L

sin2 kn xdx

x=0 Z L

1 1 − cos 2kn x µUn2 ωn2 sin2 (ωn t) dx 2 2 x=0 1 = µLUn2 ωn2 sin2 (ωn t). (2.43) 4 =

Akárcsak a tömeg-rugó rendszernél, a teljes energia itt is az id˝ oben harmonikusan változó kinetikus energia maximuma, vagyis En =

1 mUn2 ωn2 , 4

(2.44)

ahol m a húr teljes tömege. Ha a húr rezgésalakja több módusalak szuperpozíciója, akkor a teljes rezgési energia az energiatagok összegeként írható fel, vagyis X mX 2 E= En = (Un ωn ) . (2.45) 4 n n

Akárcsak egy rezgésben lev˝ o tömeg-rugó rendszer, a rezg˝ o húr is energiát tárol potenciális és kinetikus 2.4.3. Pengetett húrok rezgései energia formájában. Tekintsük a két végén megfo- A két oldalon befogott húrok sajátrezgéseinek felgott, szabadon rezg˝ o húr n-edik módusát, melynek írása után a megpengetett húrok rezgéseivel foghely-id˝ ofüggése lalkozunk. Matematikai szempontból a pengetett rezgésalak egy szabadrezgés, ami adott elmozduun (x, t) = Un sin kn x cos ωn t. (2.41) lás kezdeti feltételb˝ ol indul. A pengetés során a játékos a húrt egy kezdeti u0 (x) elmozdulásra gerA húr egy dx hosszú darabjának kinetikus energiája jeszti, majd magára hagyja. Tegyük föl, hogy a játékos az L hosszúságú húrt az Ek = mv 2 /2 képlet alapján : az x0 = L/m pozícióban pengeti, ahol m > 1 tetsz˝ oleges valós érték. Ha feltételezzük, hogy a já1 dEkn (x) = µUn2 ωn2 sin2 kn x sin2 (ωn t)dx, (2.42) tékos ujja vagy penget˝ oje elhanyagolható méret˝ u 2


17

a húr hosszához viszonyítva, akkor a húr kezdeti elmozdulását egy, a 2.5. ábrán látható háromszögfüggvénnyel közelíthetjük : ( ha x ≤ x0 U0 xx0 u0 (x) = L x U0 L−x0 1 − L ha x0 < x < L (2.46) Az egyszer˝ uség kedvéért feltételezzük továbbá, hogy a játékos a húrt álló pozícióból engedi el, vagyis a kezdeti sebességfüggvény minden x pozícióban zérus : v0 (x) = u(x,0) ˙ = 0.

(2.47)

A húr válaszának meghatározása

=

∞ X n=1 ∞ X

sin(a − b) + sin(a + b) 2

(2.51)

trigonometrikus azonosságot : ∞ 1X Un (sin(kn x − ωn t) + sin(kn x + ωn t)) u(x, t) = 2 n=1

=

∞ 1X Un (sin(kn (x − ct) + sin(kn (x + ct)) 2 n=1 ∞ ∞ 1X 1X Un ψn (x − ct) + Un ψn (x + ct) . 2 n=1 2 n=1 {z } {z } | | u0 (x−ct)

u0 (x+ct)

(2.52) Az utolsó sort összehasonlítva (2.50)-nel észrevehetjük, hogy a szummák az u0 (x) kezdeti feltétel eltoltjait írják le :

αn (t)ψn (x) Un cos(ωn t + ϕn ) sin kn x

sin(a) cos(b) =

=

A pengetett húr rezgésének megadásához a modális szuperpozíció elvét használjuk, vagyis az u(x, t) szabadrezgést a módusok szuperpozíciójaként, u(x, t) =

Az Un értékek meghatározása el˝ ott alakítsuk át a (2.48) kifejezést, kihasználva immár a ϕn = 0 eredményt és a

(2.48)

n=1

u(x, t) =

u0 (x − ct) + u0 (x + ct) . 2

(2.53)

alakban írjuk fel. A felírásban kihasználtuk, hogy a pengetett húr szabadrezgést végez, ezért a ψn (x) módusalakhoz ωn sajátfrekvenciájú harmonikus id˝ ofüggés tartozik. A megoldás során az Un módusamplitúdók és ϕn fázisszögek meghatározása a célunk. Induljunk ki el˝ oször a sebesség kezdeti feltételb˝ ol, miszerint u(x,0) ˙ = 0:

Azt látjuk, hogy a véges hosszúságú húr rezgése a végtelen húrhoz hasonlóan egy c sebességgel jobbra illetve balra haladó rezgésalak szuperpozíciójaként alakul ki, ahol a terjed˝ o rezgésalakok az u0 (x)/2 kezdeti elmozdulással egyeznek meg. Figyelnünk kell azonban arra, hogy a (2.53)-ban az u0 (x) függvényt negatív illetve L-nél nagyobb argumentumokkal is ki kell értékelnünk. Mivel u0 (x)∞ et (2.50)-ben 2L-periodikus szinuszos módusok X u(x,0) ˙ =− Un ωn sin(ωn 0 + ϕn )ψn (x) = 0, szuperpozíciójaként állítottuk el˝ o, az eredményben n=1 u0 (x)-et páratlan, 2L-periodikus függvényként kell (2.49) kiterjesztenünk. ahonnan a ψn (x) módusalakok függetlensége miatt A pengetett u(x, t) rezgésalak pillanatfelvételea ϕn = 0 kezd˝ ofázis adódik. it a 2.6. ábrán követhetjük a pengetés id˝ opontjáA kezdeti elmozdulás peremfeltétel felírásával tól egy periódus feléig. Figyeljük meg, hogy a húr folytatjuk a megoldást : töréspontja kettéválik, c sebességgel halad a lezá∞ X rások irányába, majd azokról visszaver˝ odik. A húr u0 (x) = u(x,0) = Un cos(ωn 0)ψn (x) rezgésalakja a kezdeti elmozdulás egyenesei által n=1 kifeszített paralelogrammán belüli pályát ír le. ∞ X = Un ψn (x), (2.50) A modális koordináták meghatározása n=1 ahol már felhasználtuk a ϕn = 0 eredményt. Az eredmény szerint az Un együtthatók az u0 (x) kezdeti feltétel modális koordinátái.

Bár a húr u(x, t) rezgésalakját meghatároztuk az Un együtthatók ismerete nélkül, mégis érdemes megvizsgálnunk, hogy a húr módusai milyen

18

2. FEJEZET. HÚROK REZGÉSEI arányban vesznek részt a megoldásban. A (2.50) egyenlet szerint az Un értékek a kezdeti u0 (x) kitérésfüggvény modális koordinátái, melyek értékét a 2.5. példában megismert módon az alábbi integrál felírásával kaphatjuk meg : Z 2 L hψn , u0 i u0 (x) sin kn xdx. (2.54) = Un = hψn , ψn i L 0

t=0

Az integrálás parciális integrálás segítségével elvégezhet˝ o, a megoldás Un =

t = T /12

t = 2T /12

t = 3T /12

t = 4T /12

t = 5T /12

t = 6T /12

−L

0

L

2L

2.6. ábra. A pengetett húr u(x, t) alakjának pillanatfelvételei. A kék görbe a pozitív irányban haladó u0 (x − ct)/2, a zöld görbe a negatív irányban haladó u0 (x + ct)/2 rezgésalakokat mutatja, a piros görbe a kett˝ o összege.

2L2 1 sin kn x0 . π 2 x0 (L − x0 ) n2

(2.55)

Az eredmény szerint a pengetett húr felharmonikusainak amplitúdóarányait az 1/n2 tag határozza meg, vagyis a felharmonikus amplitúdók az n módusszámmal négyzetesen csökkennek. Példaként a negyedik felharmonikus már 24 dB-lel, a tizedik felharmonikus pedig 40 dB-lel gyengébben rezeg az alapharmonikusnál. A sin kn x0 tag a négyzetesen csökken˝ o burkolót egy harmonikus taggal súlyozza, melynek periódusát a pengetés x0 -val meghatározott pozíciója befolyásolja. Ha a húrt pont a felez˝ opontban pengetjük, vagyis x0 = L/2, akkor a harmonikus tag sin(nπ/2), aminek értéke páros felharmonikusok esetén zérus, a páratlan felharmonikusokra pedig felváltva +1 illetve −1. Tehát a húrban csak az els˝ o, harmadik, ötödik stb. felharmonikusok jelennek meg váltakozó el˝ ojellel, négyzetesen csökken˝ o amplitúdóval, ahogy a 2.7(a). ábra mutatja. Ha a húrt a hossz hatodánál (x0 = L/6) pengetjük, akkor a hatodik, tizenkettedik, tizennyolcadik stb. felharmonikusok esnek ki a kezdeti feltételb˝ ol, és természetesen a válaszból is, ahogy az a 2.7(b). ábrán látható. Látjuk tehát, hogy a pengetés pozíciója alapvet˝ oen befolyásolja a húr rezgésének frekvenciatartalmát, és így természetesen a rezg˝ o húr hangjának színezetét is. Minél közelebb pengetjük a húrt a lezáráshoz, annál dúsabb lesz a spektrum nagyfrekvenciás része, ami a megszólaló hang élesedését eredményezi. A hangszertestre kifejtett er˝ o A 2.6. ábra alapján határozzuk meg a húr bal oldali végpontja által a befogásra kifejtett er˝ o id˝ ofüggését. Ez azért fontos, mert ez az er˝ o gerjeszti a


19

u0(x)

1

u0(x)

1

(a)

0 −10 −20 −30 −40 −50 −60

L/2 x

0 0

L

L/6

L x

Un [dB]

Un [dB]

0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920 n (b)

0 −10 −20 −30 −40 −50 −60

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920 n

2.7. ábra. Pengetett húr kezdeti u0 (x) kitérésfüggvénye és annak felharmonikustartalma különböz˝ o pengetési pozíciók esetére. A spektrumok esetében a kék vonalak a pozitív, a piros vonalak a negatív értékeket jelölik, a fekete szaggatott vonal az 1/n2 -es burkolót mutatja. hangszertestet, melynek gerjesztett rezgései sugározzák le a hangszer hangját (akusztikus hangszer esetén). Az F er˝ o a húr kitéréséb˝ ol az F (0, t) = S sin φ(0, t) ≈ Su0 (0, t)

(2.56)

a négyszögjel szimmetrikus. Az m = 6 esetben a szimmetria megbomlik, és rövid idej˝ u nagy pozitív er˝ oimpulzusokat hosszú idej˝ u gyengébb negatív irányú er˝ ohatások váltanak fel. Figyeljük meg, hogy a négyszögjel teljes periódusa alatti el˝ ojeles terület zérus.

képlet alapján határozható meg, vagyis a húr kitérésének x szerinti deriváltjával arányos. Az egyszer˝ uség kedvéért jelöljük a húr kezdeti háromszög A húr egyes pontjainak elmozdulása alakjának x = 0-beli meredekségét a-val, az x = L pozícióbeli meredekséget pedig −b-vel. A két érték Elektromos hangszerek esetében nem a hangpontos meghatározása szertestre kifejtett er˝ o, hanem sokkal inkább a húr egyes pontjainak elmozdulása bír jelent˝ osebb U0 U0 a= , b= . (2.57) akusztikai tartalommal. Az elektromos gitár mágx0 L−x neses hangszed˝ oje egy tekercselt állandómágnes, A t = 0 és t = T /2m id˝ opontok között a balra melyet közvetlenül a gitár húrja alá helyeznek. húzódó töréspont még nem éri el az x = 0 pozíci- A húr mozgása a tekercsen átfolyó mágneses fluxus ót, tehát a húr kezdeti meredeksége a. A t = T /2m kicsiny változását eredményezi, ami a tekercsben pillanatban (mindössze egyetlen pillanatig) a húr feszültséget indukál. Az indukált feszültség lesz az kezdeti meredeksége (a − b)/2, majd el˝ ojelet vált, elektromos gitár kimen˝ o feszültségjele. és egészen a t = T · (1 − 1/2m) id˝ opontig a −b érHa a hangszed˝ ot a gitárhúr egy módusának csotéken marad. A t = T · (1 − 1/2m) id˝ opillanatban mópontja alá helyezzük, akkor az a felharmonikus értéke ismét (a − b)/2 lesz, majd a periódus végéig nem lesz hallható a vett jelben. A többi felharmoa konstans maximális a értéket veszi fel. Az ered- nikust is annak függvényében csillapítja a hangszeményként kapott négyszögjel leírása tehát d˝ o, hogy mekkora a hozzájuk tartozó módusalak  m amplitúdója a hangszed˝ o pozíciójában. A hangszeT T − 2m < t < 2m  S L d˝ o pozíciójának hatása tehát teljesen analóg a germ(m−2) T F (0, t) = S (m−1)L t = ± 2m jesztés pozíciójának hatásával. Minél közelebb he  −m T 1 S (m−1)L lyezzük el a hangszed˝ ot a húrlábhoz, annál dúsabb 2m < t < T 1 − 2m (2.58) lesz a vett hangjel felharmonikustartalma, és annál A négyszögjelet a 2.8. ábra mutatja az m = 2 és gyengébben szólalnak meg az alapharmonikushoz m = 6 esetekre. Az m = 2 esetben a = b, így közeli sajátfrekvenciák. Egy modern elektromos gi-

20


a

a

a−b 2

0

0 −b

−a (a) −T

(b) T − 2m

0

T 2m

T 1−

1 2m

T

−T

T 0 − 2m

T 2m

T 1−

1 2m

T

2.8. ábra. A pengetett húr vége által a megfogásra kifejtett er˝ o id˝ ofüggése különböz˝ o pengetési pozíciók esetére – (a) m = 2 és (b) m = 6 tár 4-5, különböz˝ o pozícióban elhelyezett hangsze- pulzus matematikai leírásához az inhomogén hulo tagot adjuk d˝ ot tartalmaz, melyek között a játékos kapcsolóval lámegyenletben definiált g(x) gerjeszt˝ választhat, illetve azok jeleit tetszés szerint kever- meg : g(x, t) = F (t)δ(x − x0 ), (2.60) heti. 2.7. példa Hangszed˝ o pozíciója Egy L hosszú elektromosgitár-húrt az x0 pozícióban pengetünk, és a hangszed˝ o az x1 pozícióban veszi a húr rezgését. Melyik felharmonikus lesz a leger˝ osebb a vett jelben ? A gerjesztés pozíciója a húr modális koordinátáit befolyásolja az nπ 1 1 Un ∝ 2 sin = 2 sin kn x0 n m n képlet szerint. A vételi pozíció hatása a módusalakok x1 -beli értékével való súlyozás, vagyis a vett jel felharmonikustartalmát az Un ∝

1 sin kn x0 sin kn x1 n2

(2.59)

képlet határozza meg.

2.4.4. Ütéssel gerjesztett húrok rezgései

ahol az er˝ o F (t) id˝ ofüggése egy ∆t szélesség˝ u négyszögimpulzus : F (t) = F0 [ε(t) − ε(t − ∆t)] .

(2.61)

Impulzusszer˝ u terhelés mint kezdeti sebesség feltétel A továbbiakban megismerjük, hogy miként írható át a nyugvó húrra ható impulzusszer˝ u er˝ ogerjesztés ekvivalens kezdeti sebesség feltételre. Ez az átírás azért el˝ onyös, mert a kezdetiérték probléma megoldása könnyen elvégezhet˝ o a modális szuperpozíció módszerével, míg a gerjesztett válasz meghatározása általában Laplace-transzformáció alkalmazását igényli. Ha az er˝ oimpulzus elég gyorsan véget ér, akkor az impulzus elt˝ unéséig az impulzus által gerjesztett rezgések nem érik el a húrlezárásokat, vagyis „az er˝ oimpulzus a húrt végtelennek látja”. A két félvégtelen húr bemen˝ o impedanciája 2µc (lásd a 2.3.4. fejezetet), aminek értelmében a gerjesztési pont sebessége

A továbbiakban zenei alkalmazásként megvizsgálF (t) F0 v(x0 , t) = = [ε(t) − ε(t − ∆t)] . (2.62) juk az impulzusszer˝ u er˝ ovel megütött húr rezgése2µc 2µc it. Ez az alkalmazás nyilvánvalóan a zongora vagy a cimbalom gerjesztési modelljéhez fontos. A ∆t id˝ o eltelte alatt a húr rezgésállapota c seA húr gerjesztése egy er˝ oimpulzus lesz, ami az bességgel terjed mindkét lezárás irányába, így t = x = x0 pozícióban, koncentráltan hat. Az er˝ oim- = ∆t-ben a húr sebességeloszlása egy x0 körüli,


21

2c∆t szélesség˝ u négyszögfüggvény lesz : F0 [ε(x0 + c∆t) − ε(x0 − c∆t)] , 2µc (2.63) ami alatti terület F0 ∆t/µ. Helyettesítsük ezt a sebességeloszlást egy ekvivalens impulzussal : v(x, ∆t) =

v(x, ∆t) =

F0 ∆tδ(x − x0 ). µ

(2.64)

Az eredményb˝ ol kiolvashatjuk, hogy az er˝ oimpulzussal ütött húrok felharmonikusainak amplitúdói 1/n szerint csökkennek, szemben a pengetett húrok esetében fennálló 1/n2 -es csökkenéssel. Ez azt jelenti, hogy az ütött húroknak er˝ osebb a nagyfrekvenciás tartalmuk, így élesebben szólnak a pengetett húroknál. A sin kn x0 tagból kiolvasható, hogy a gerjesztés pozíciójának hatása ütés esetén is a spektrumvonalak sz˝ urésében nyilvánul meg, pontosan ugyanúgy, mint a pengetett esetben.

Ez a sebességimpulzus lesz az ipulzusszer˝ u er˝ ovel ekvivalens kezdeti sebesség feltételünk. Eredményünket összevetve (2.60)-nal, elmond- A válasz jellemzése az id˝ otartományban hatjuk, hogy a t = 0-ban megjelen˝ o, és ∆t ideotartománybeli jellemzéséhez tegyük ig fennmaradó g(x) terheléssel ekvivalens sebesség A válasz id˝ fel, hogy az F (t) er˝ oimpulzus ∆t szélességét minkezdeti feltétel általában den határon túl csökkentjük úgy, hogy az impulzus g(x) ∆t. (2.65) alatti Q = F0 ∆t területet állandó értéken tartjuk. v(x,0) = µ Ekkor egy F (t) = Qδ(t) (2.70) A válasz spektrális jellemzése ideális er˝ oimpulzust kapunk. A gerjesztés megjeleOldjuk meg tehát az alábbi kezdeti érték feladatot : nése utáni kis id˝ ointervallumban a gerjesztési pont 2 00 sebessége c u (x, t) = u ¨(x, t) u(x,0) = 0 F0 ∆tδ(x − x0 ) u(x,0) ˙ = µ

v(x0 , t) = (2.66)

A választ keressük modális szuperpozícióval. Mivel szabadrezgéseket keresünk, a modális koordináták ωn frekvenciájú harmonikus függvények lesznek : ∞ X u(x, t) = Um sin(ωm t + ϕm )ψn (x). (2.67) m=1

Az u(x,0) = 0 kezdeti felételb˝ ol a módusok függetlensége miatt követkzik, hogy ϕm = 0. A sebességfeltétel az elmozdulás id˝ o szerinti deriválásával ∞ X u(x,0) ˙ = Um ωm ψn (x) (2.68)

Q F (t) = δ(t). r 2µc

(2.71)

A sebesség alapján a gerjesztési pont elmozdulása pedig Z

t

v(τ )dτ =

Q 2µc

Z

t

Q ε(t). 2µc 0 0 (2.72) Az x0 pozícióban megjelen˝ o egységugrás elmozdulás nyilván mind a pozitív, mind a negatív x tengely irányába c sebességgel fog terjedni, vagyis kezdetben a húr elmozdulása ( Q x−x0 2µc ε t − c x > x0 u(x, t) = (2.73) Q x−x0 x < x0 2µc ε t + c u(x0 , t) =

δ(τ )dτ =

m=1

ami egy szélesed˝ o négyszögimpulzust jelöl. A húrlezárásokról szóló 2.3.2. fejezetben tárgyaltak szerint a befogott húrvégz˝ odés hatása a húrvégz˝ odésre középpontosan tükrözött, vagyis ellentétes el˝ ojel˝ u ellenimpulzusok szuperpozíciójával vehet˝ o figyelembe. Ezért, amint a szélesed˝ o négyszögimpulzus egyik vége eléri a lezárást, az ellenimpulzus kioltja azt, és a négyszögimpulzus ütköz˝ o éle mintol a pillanattól egy (2.69) egy reflektálódik a lezárásról. Ett˝ állandó 2x0 szélesség˝ u négyszögimpulzus halad a

Az Un együtthatókat az egyenlet ψn módusalakkal való skaláris szorzásával kaphatjuk meg : Un =

hψn , u(x,0)i ˙ 2

ωn kψn k Z 2F0 ∆t L ψn (x)δ(x − x0 )dx = Lµωn 0 2F0 ∆t ψn (x0 ) 2F0 ∆t sin kn x0 = = . πµc n πµc n

22

2. FEJEZET. HÚROK REZGÉSEI x0

φ1

u

,→

→

→

→

→

→

→

S

φ2 L x

S

(a)

u(x,t)

←→

Mh

←

←

←

←

←

v0

← Ks (b)

0 x0

L x

2.9. ábra. Impulzusszer˝ u er˝ ovel gerjesztett húr rezgésalakja egy perióduson keresztül, rögzített id˝ opontokban húrban, majd ide-oda ver˝ odik a lezárásokról, minden reflexiónál el˝ ojelet váltva. A rezgésalak a 2.9. ábrán követhet˝ o végig egy perióduson keresztül. A kalapáccsal ütött húr lezárásán megjelen˝ o er˝ ofüggvény könnyen meghatározható, hiszen az er˝ o az elmozdulás hely szerinti deriváltjával arányos. Valahányszor egy négyszögimpulzus széle eléri a lezárást, ott egy Dirac-delta er˝ oimpulzus jelenik meg. Az egymást követ˝ o felfutó és lefutó élek reflexiói ellentétes irányú Dirac-delta er˝ oimpulzusokban nyilvánulnak meg. Míg tehát a pengetett húrok állandó er˝ ovel felváltva húzzák majd nyomják a befogási pontot, addig az ütött húrok ellentétes irányú, de azonos nagyságú er˝ oimpulzusokkal „kopognak” a hangszertesten.

2.10. ábra. (a) Koncentrált er˝ o hatására kialakuló statikus húrdeformáció, és (b) az érintkezési pontban érvényes egyszabadságfokú kölcsönhatásmodell pulzusok a kalapácsról ismét visszaver˝ odnek, ezáltal a kölcsönhatás ideje alatt meglehet˝ osen bonyolult rezgéskép alakul ki a húron. A továbbiakban lényeges egyszer˝ usítések mellett vizsgálunk kalapács–húr kölcsönhatásmodelleket, és említés szintjén a valóságot jobban leíró modelleket is bemutatunk. Nehéz kalapács könny˝ u húron A kalapács–húr kölcsönhatásmodellek egyik egyszer˝ u eseteként vizsgáljuk azt a határesetet, mikor a kalapács Mh tömege lényegesen nagyobb az L hosszú húr tömegénél : Mh µL.

(2.74)

Ebben az esetben a húr tömege elhanyagolható, és csak a benne ható S feszít˝ o er˝ o visszatérít˝ o hatását 2.4.5. Kalapács–húr kölcsönhatásmo- kell figyelembe vennünk. A húr tömegének elhanyagolása úgy isp felfoghadellek tó, hogy a húrban terjed˝ o rezgések c = S/µ seEddig csak azzal foglalkoztunk, hogy mi történik a bességét végtelennek tekintjük. Ha a húrban terjeo rezgések sebessége végtelen, akkor tetsz˝ oleges húrral, ha rövid, impulzusszer˝ u er˝ ogerjesztés hat d˝ rá. A kalapáccsal ütött húrok esete ennél lénye- gerjesztés hatására azonnal kialakul a húr állandógesen bonyolultabb : itt a húrt egy zuhanó kala- sult deformációja, vagyis a húr rezgésalakja minopillanatban a koncentrált kontakter˝ o hatápács mozdítja ki nyugalmi helyzetéb˝ ol, a kitérí- den id˝ o. tett húr pedig visszahat a kalapácsra és lassítja sára kialakuló statikus deformációval közelíthet˝ azt. A kölcsönhatás id˝ otartama alatt a kalapács és Tekintsük a 2.10(a) ábrát. Az x0 pozícióban u ela húr együtt mozog. Mindeközben rezgésimpulzu- mozdulásra kényszerített húr háromszög alakban sok indulnak a kalapácstól a húrlezárásig és ver˝ od- deformálódik. A deformációt okozó Fint er˝ o a húrnek vissza. A lezárásokról visszaver˝ od˝ o rezgésim- ban jelen lev˝ o S feszít˝ o er˝ o keresztirányú kompo-


23

nensével van egyensúlyban, vagyis Fint = S (sin φ1 + sin φ2 ) ,

v0

(2.75)

ahol φ1 és φ2 a húr két egyenes szakaszának elfordulási szögei. Kis elfordulásokra a szinuszok a tangensekkel közelíthet˝ ok, vagyis u u Fint = S (tan φ1 + tan φ2 ) = S + , x0 L − x0 (2.76) ahonnan látszik, hogy a húr Ks =

Fint S = u x0 × (L − x0 )

(2.77)

merevség˝ u rugóval modellezhet˝ o, ahol × a replusz m˝ uveletet jelöli. Az egyszer˝ usített modell a 2.10(b) ábrán látható. Az Mh tömeg˝ u kalapács a t = 0 id˝ opontban v0 sebességgel esik a Ks merevség˝ u húrra. Innent˝ ol egy egyszer˝ u tömeg-rugó rendszerrel van dolgunk, melyet u0 = 0 kezd˝ o pozícióból v0 kezd˝ o sebességgel hozunk rezgésbe. A tömeg elmozdulásának id˝ ofüggvénye egy szinuszgörbe fél periódusát járja be, majd a tömeg −v0 sebességgel elhagyja a húrt. A kontaktus T id˝ otartama a tömeg-rugó rendszer sajátrezgésének fél periódusideje, vagyis r Ks π T = , ω0 = (2.78) ω0 Mh

(a)

x

x0 Mh

v(0) = v0

r

r = µc

(b)

2.11. ábra. Végtelen húrra ható kalapácsgerjesztés és a vele ekvivalens egyszabadságfokú rendszer is a végtelen húr kölcsönhatás szempontjából releváns modellje egy 2r = 2µc mechanikai impedanciára v0 kezd˝ osebességgel ejtett Mh tömeg, ahogy az a 2.11(b) ábrán is látható. A vizsgált kezdetiérték-probléma : −2rv(t) = Mh v(t) ˙

(2.80)

v(0) = v0 ,

(2.81)

aminek megoldása v(t) = v0 e−t/τ ,

t > 0,

(2.82)

ahol az id˝ oállandó

Könnyen meghatározható a húr kontaktpontjának Mh . τ= maximális elmozdulása is. A v0 maximális sebessé2r g˝ u, ω0 körfrekvenciájú harmonikus rezgés kitéréséA húr érintkezési pontjának kitérése nek maximuma v0 /ω0 . A kontakter˝ o id˝ ofüggése pedig egy fél szinusz Z t impulzus u(t) = u(x0 , t) = v(tˆ)dtˆ tˆ=0 ( Ks v0 sin(ω0 t) 0 < t < ωπ0 −t/τ ω 0 = v τ 1 − e . 0 Fint (t) = (2.79) 0 egyébként

(2.83)

(2.84) (2.85)

A v(t) és u(t) függvényeket a 2.12. ábra mutatja. A közelít˝ oleg végtelen hosszú húrban az érintkezéKönny˝ u kalapács nehéz húron si pont u(t) elmozdulásalakja c sebességgel halad Második széls˝ oséges esetként vizsgáljuk azt, mikor végig a húron, vagyis a húr tetsz˝ oleges pontja ela húr nehéz, vagyis a benne haladó rezgések se- mozdulásának id˝ ofüggvénye bessége nagyon kicsi. Ebben az esetben a rezgések nagyon sokára reflektálódnak a húrlezárásoku(x, t) = u(t − |x − x0 |/c). (2.86) ról, vagyis a húr határesetben végtelenül hosszúnak tekinthet˝ o. A félvégtelen húr konstans r = A kialakuló elmozdulás pillanatfelvételeit = µc bemen˝ o impedanciával modellezhet˝ o, vagy- a 2.13. ábra mutatja az x0 = 0 gerjesztési

24


v(t) / v0

1

0 0

1

2

3

4

5

t/τ u(t) / v0 τ

1

0 0

1

2

3

4

5

2.14. ábra. Különböz˝ o hangmagasság-tartományokban használt zongorakalapácsok (www.heckscher.co.uk)

t/τ

2.12. ábra. Végtelen húrra es˝ o kalapács sebességnek (fent) és elmozdulásának (lent) id˝ ofüggvénye

2.4.6. A zongorahúr gerjesztésének modellezése

uy(x) [m]

A fent tárgyalt, analitikusan kezelhet˝ o kölcsönhatásmodellek természetesen igen egyszer˝ uek, és a valós kölcsönhatás leírásának csak néhány aspektusát képesek bemutatni. Az alábbiakban a zongorakalapácsok mechanikai kialakítását és modellezési 0 lehet˝ oségeit ismertetjük. A zongorakalapács egy keményfa magból és az azt körülvev˝ o több réteg˝ u filc bevonatból áll (lásd 0.01 a 2.14. ábrát). Zongoránál alulról, pianínónál oldalról üti meg a húrokat. A kalapácsok Mh töme0.02 ge a basszushúroknál 11 g körüli érték, a magas hangok tartományáig 3 g-ig csökken. A tömeg csökkentésével a kölcsönhatás idejét csökkenteni lehet 0.03 −20 −10 0 10 20 (lásd a (2.78) összefüggést). Ez azért fontos, mert x [m] ideális esetben a kontaktid˝ o a szabadon rezg˝ o húr fél periódusidejével egyezik meg. 2.13. ábra. Végtelen húrra es˝ o koncentrált tömeg A kalapács bevonata korábban pergamenb˝ ol kéáltal ébresztett elmozdulás rezgésalak szült, de a 19. század óta többréteg˝ u filc bevopillanatfelvételei natot alkalmaznak. A filc vastagsága (vagyis keménysége) is változik a különböz˝ o magasságú húrok között, mert pusztán a kalapácstömeg változtatásával az ideális kontaktid˝ otartam nem valósítható meg. Az igényes kialakítású hangszereken a kapozíció esetére. Látható, hogy a pontszer˝ u kala- lapácsok filcbevonatát kalapácsonként külön „hanpács által a húrra kifejtett térben koncentrált er˝ o golják”, vagyis merevségét útólag igazítják a kívánt töréspontos rezgésalakot eredményez. A valódi hangmagassághoz. A kalapácsfilcet is figyelembe vév˝ o egyszer˝ usített kalapácsok véges kiterjedés˝ uek, így a húrokban törés természetesen nem alakul ki. Az ábrán mu- kölcsönhatásmodell esetén a kalapácsmag modellje obbiekhez hasonlóan koncentrált tömegpont, tatott rezgésalakok valódi véges húrokban addig az el˝ a pontig érvényesek, amíg a húrvégr˝ ol reflektált a modell kritikus pontja a filc karakterisztikájának rezgésalakok vissza nem érnek a megfigyelési leírása. pontba. A legegyszer˝ ubb modellek lineáris filckarakte-

2.5. CSILLAPÍTOTT REZGÉSEK HÚROKBAN

25

risztikát alkalmaznak, melyben a filcre ható Ff er˝ o arányos a filc uf összenyomódásával :

Ff = Kf upf ,

6 p

ahol Kf a filc merevsége. A valós filcmérések azt igazolják, hogy a filckarakterisztika nemlineáris, vagyis a nyomóer˝ o a filcösszenyomódás p-edik hatványával arányos :

x 10

nemlineáris hiszterézises

(2.87) Ff / Kf [m ]

Ff = Kf uf ,

−9

8

4 2

(2.88)

0 ahol a p kitev˝ o értéke tipikusan 2 és 5 között mozog. Az egynél nagyobb kitev˝ o arra utal, hogy −2 összenyomásra a filc keményedik. 1 Ebben az eset0 0.5 1 1.5 2 ben az arányossági tényez˝ o természetesen N/mp −3 uf [m] x 10 dimenziójú. A valódi filcek további fontos tulajdonsága a hiszterézises viselkedés. Ez alatt azt kell 2.15. ábra. Nemlineáris és hiszterézises érteni, hogy ha a filcet Fmax er˝ oig összenyomjuk, filckarakterisztikák p = 3, τ0 = 5 · 10−3 s és = 0.2 majd a nyomóer˝ ot megszüntetjük, akkor a filc nem esetre. A hiszterézises karakterisztikán a föls˝ o nyeri vissza kezdeti vastagságát. A hiszterézist úgy görberész az összenyomódási, az alsó az is felfoghatjuk, hogy a filc aktuális összenyomóelengedési szakasz. dását nemcsak a nyomóer˝ o, hanem a filc el˝ oélete is befolyásolja. Tipikus hiszterézismodellek ezt a tulajdonságot egy τ0 id˝ oállandóig visszaemlékez˝ o modellel valósítják meg, melyben az aktuális össze- 2.5.1. A csillapítás forrásai nyomódás mellett figyelembe vesszük az elmúlt τ0 Viszkózus csillapítás id˝ o alatt mért összenyomódás átlagát is : Z t osebb csillapítási forma a leveg˝ ovel vaup (tˆ)dtˆ. (2.89) A legjelent˝ Ff (t) = Kf upf (t) − τ0 t−τ0 f ló kölcsönhatás. Mikor a húr egy darabkája halad, otti légrészben nyomásnövekedés, A 2.15. ábra egy nemlineáris és egy hiszterézi- a húrdarabka el˝ a húrdarabka kögött pedig nyomáscsökkenés jön ses filckarakterisztikát ábrázol. A nemlinearitást a létre. A leveg˝ o áramolni kezd a nagyobb nyomáp = 3 érték jellemzi, míg a hiszterézis paraméterei sú térrészb˝ o l a kisebb nyomású felé, és áramlás −3 τ0 = 5 · 10 s és = 0.2. A hiszteréziskarakteriszközben súrlódik a húr anyagával. A súrlódás kötika érdekessége, hogy az elengedési szakaszban vetkeztében a húr mozgási energiája részben h˝ ové a nyomóer˝ o negatívvá válik, vagyis a filcet összealakul. A viszkózus súrlódásnak egyszer˝ u fizikai lenyomás után ki kell húzni a kezdeti filcvastagság írása a húr sebességével arányos visszatérít˝ o er˝ o. visszaállításához. A ∆x hosszú húrra ható visszatérít˝ o er˝ o ∆F = − −βv∆x, ahol β a viszkózus csillapítási állandó. Kis 2.5. Csillapított rezgések húrok- frekvencián a β állandó frekvenciafüggetlennek tekinthet˝ o.

ban

Mindeddig csillapítatlan húrokkal foglalkoztunk, melyekben a pengetéssel életre keltett rezgésalak az id˝ ok végezetéig fennmarad. A valódi húrok természetesen csillapítottak. 1 Adott

uf összenyomódás esetén a filc lokális merevségét a dFf /duf = pKf up−1 , összenyomódásra monoton növ˝ o f derivált adja meg.

2.5.2. A csillapított húr mozgásegyenlete Tekintsük ismét a húr ∆x hosszú darabját, melyre a viszkózus csillapításból származó, sebességgel arányos er˝ o hat, ahogy a 2.16. ábra mutatja. A húr-

26

2. FEJEZET. HÚROK REZGÉSEI x x + ∆x S sin φ(x + ∆x)

S

g(x)

φ(x + ∆x)

A ψn (x) módusalakok lineáris függetlensége miatt az összeg csak úgy lehet nulla, ha a zárójelen belüli tag minden n értékre külön-külön zérus. Ezt a feltételt felírva – és (µ-vel végigosztva) – β S α˙ n (t) + kn2 αn (t) = µ µ α ¨ n (t) + 2ξn ωn α˙ n (t) + ωn2 αn (t) = 0, α ¨ n (t) +

φ(x) S

βv(x) S sin φ(x)

2.16. ábra. A húr ∆x hosszúságú darabja

g(x)∆x − βv(x)∆x + S [sin φ(x + ∆x) − sin φ(x)] = µ∆xa(x). (2.90) A ∆x hosszelemmel végigosztva és a határátmenetet elvégezve az alábbi csillapított húregyenletet kapjuk : g(x, t) − β u(x, ˙ t) + Su00 (x, t) = µ¨ u(x, t).

(2.91)

A csillapítatlan (2.5) húregyenlethez képest egyetlen változás a sebességfügg˝ o tag megjelenése.

2.5.3. Véges hosszú csillapított húr szabadrezgései A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy milyen szabadrezgést végez egy magárahagyott csillapított húr. Ehhez a homogén csillapított húregyenletet vizsgáljuk : 00

µ¨ u(x, t) + β u(x, ˙ t) − Su (x, t) = 0.

(2.92)

A szabadrezgéseket a modális szuperpozíció elvével keressük meg, vagyis az u(x, t) megoldást a 2.3. ábrán mutatott módusalakok szuperpozíciójaként írjuk fel : u(x, t) =

∞ X n=1

αn (t)ψn (x) =

∞ X

ahol bevezettük a ξn =

darabra felírható Newton-törvény alakja

αn (t) sin kn x

n=1

(2.93) Helyettesítsük be (2.93)-at (2.92)-be, eredményként az alábbi egyenletet kapjuk : ∞ X µ¨ αn (t) + β α˙ n (t) + Skn2 αn (t) ψn (x) = 0 n=1

(2.94)

n = 1, 2, . . . , (2.95)

β 2µωn

(2.96)

csillapítási tényez˝ oket, valamint kihasználtuk a sajátfrekvenciák és hullámszámok közti ωn = kn c összefüggést. A (2.95) egyenlettel már találkoztunk a csillapított tömeg-rugó rendszer esetében is, az összefüggés a csillapított tömeg-rugó rendszer szabadrezgésit adja meg. Az egyenlet megoldása a korábbi eredmények felhasználásával αn (t) = e−t/τn (An cos ωn∗ t + Bn sin ωn∗ t) , (2.97) p ahol ωn∗ = ωn 1 − ξn2 az n-edik módus csillapított sajátfrekvenciája, τn = 1/ξn ωn pedig az n-edik módus id˝ oállandója. Az eredmény szerint a csillapított húr szabadrezgései során a módusok exponenciálisan csillapodó harmonikus id˝ ofüggéssel rezegnek. Az exponenciális tag id˝ oállandója a húr paramétereib˝ ol közvetlenül is kifejezhet˝ o τn =

1 2µ = ξn ωn β

(2.98)

alakban. Látszik, hogy az id˝ oállandó nem függ a módusszámtól, vagyis viszkózus csillapítás esetén minden módus azonos id˝ oállandóval csillapodik. A továbbiakban el is tekintünk az id˝ oállandó indexelését˝ ol. 2.8. példa Viszkózus csillapítás és id˝oállandó kapcsolata Adjunk becslést egy 2 g/m tömeg˝ u gitárhúr viszkózus csillapítására, ha tudjuk, hogy a húr rezgésszintje öt másodperc alatt csökken negyven decibelt. A megadott információk alapján meghatározhatjuk a húr τ id˝ oállandóját, tudjuk ugyanis, hogy az exponenciális csillapodást leíró e−t/τ tag t0 = 5 s

2.5. CSILLAPÍTOTT REZGÉSEK HÚROKBAN alatt 40 dB-t csillapodik, ami 100-szoros amplitúdócsillapodásnak felel meg : e−t0 /τ = ahonnan τ=

1 , 100

t0 = 1,08 s. ln 100

A (2.98) egyenletb˝ ol kifejezhetjük a β viszkózus csillapítást : β=

2 · 2 · 10−3 kg/m kg 2µ = ≈ 3,7 · 10−3 . τ 1,08 s m·s

27 Az eredmény még az n = 1 esetben is elképeszt˝ oen kicsi, ezredcentes, hallhatatlan hangmagasságváltozást mutat, és a módusszám növekedésével drasztikusan csökken tovább. Elmondhatjuk tehát, hogy hangszerhúrok tipikus rezgései esetében a viszkózus csillapítás hangmagaság-csökkent˝ o hatása teljességgel elhanyagolható.

2.5.4. Pengetett csillapított húr Alkalmazzuk a (2.97) megoldást ismét az u0 (x) háromszögfüggvény alakban el˝ ofeszített és zérus kezd˝ osebességr˝ ol magárahagyott húr szabadrezgéseinek vizsgálatához ! A kezdeti elmozdulásfeltétel szerint

∞ X 2.9. példa Viszkózus csillapítás hatása a sajátfreku0 (x) = u(x,0) = αn (0)ψn (x) venciákra n=1 ∞ ∞ Vizsgáljuk meg, hogy hallható hangmagasságX X = An ψn (x) = An sin kn x, (2.99) csökkenést eredményez-e a viszkózus csillapítás n=1 n=1 a 2.8. példa gitárhúrja esetében, ha a csillapítatlan húr alapharmonikusának sajátfrekvenciája 100 Hz. vagyis az An együtthatók – a csillapítatlan esettel Mivel a hallható hangmagasság-eltérésekre vamegegyez˝ o módon – az u0 (x) háromszögfüggvény gyunk kíváncsiak, a viszkózus csillapítás hatását (2.55)-ben már bevezetett modális koordinátái. centben fogjuk kifejezni. A csillapított és csillapíFolytassuk a megoldást a kezdeti zérus sebességtatlan sajátfrekvenciák eltérése centben feltétel felírásával : p ∞ X ωn 1 − ξn2 ωn∗ = 1200 log2 1200 log2 α˙ n (0)ψn (x). (2.100) 0 = u(x,0) ˙ = ωn ωn n=1 2 = 600 log2 (1 − ξn ). A (2.97) id˝ o szerinti deriváltjából α˙ n (0)-t kifejezve : Vizsgáljuk meg a ξn értékek nagyságrendjét ! ∞ X −An ∗ + Bn ωn ψn (x), (2.101) 0= 1 1 1 1,47 · 10−3 τ n=1 ξn = = = τ ωn n 2π · 1,08 · 100 n vagyis – a módusalakok lineáris függetlenségét isLátjuk tehát, hogy a ξn értékek az ezrelékes nagy- mét kihasználva – ságrendt˝ ol indulnak, és a módusszámmal fordítotξn An Bn = ∗ = An p . (2.102) tan arányosan csökkennek. A kis ξn értékekb˝ ol ki2 ω τ 1 − ξ n 2 n indulva a 600 log2 (1 − ξn ) mennyiség számításához nyugodtan használhatjuk a log2 (1 + x) függvény elA teljes megoldásfüggvény ezek szerint s˝ ofokú Taylor-polinomját ∞ X −t/τ x u(x, t) = e An × , log2 (1 + x) ≈ 0 + ln 2 n=1 ! ξn ∗ ∗ ahonnan × cos ωn t + p sin ωn t sin kn x. 1 − ξn2 ξ2 −1,88 · 10−3 (2.103) 600 log2 (1 − ξn2 ) ≈ −600 = cent ln 2 n2

28


A 2.9. példa eredményei alapján az eredményként kapott kifejezést jelent˝ osen egyszer˝ usíthetjük. Kihasználhatjuk ugyanis, hogy ωn∗ ≈ ωn , illetve ξn ≈ ≈ 0, ami alapján az egyszer˝ ubb u(x, t) ≈ e−t/τ

∞ X

A megoldáshoz ismét a (2.93)-ban bevezetett modális szuperpozíciót alkalmazzuk : u(x, t) =

∞ X

(2.109)

αn (t)ψn (x).

n=1

An cos ωn t sin kn x

(2.104)

n=1

kifejezést használhatjuk. A (2.99) kifejezés és a (2.51) trigonometrikus azonosság alapján eredményünk ismét felírható

A szuperpozíciót a húregyenletbe helyettesítve és µ-vel osztva ∞ X α ¨ n (t) + 2ξn ωn α˙ n (t) + ωn2 αn (t) ψn (x) n=1

u(x, t) ≈ e−t/τ

u0 (x − ct) + u0 (x + ct) 2

(2.105)

alakban is, vagyis a csillapítatlan esethez képest egyetlen lényeges eltérés az exponenciálisan csökken˝ o szorzó a válaszfüggvényben.

2.5.5. Ütéssel gerjesztett húr rezgései

csillapított

A továbbiakban ismét megvizsgáljuk az impulzusszer˝ u er˝ ovel megütött húr rezgéseit, de most az általános leírásmód kedvéért a csillapított húr esetét vizsgáljuk, melynek mozgásegyenlete µ¨ u(x, t) + β u(x, ˙ t) + Su00 (x, t) = g(x, t). (2.106)

=

g(x, t) . (2.110) µ

A továbbiakban Laplace-transzformációval áttérünk az id˝ otartományból a komplex frekvenciatartományba. Kihasználjuk, hogy a Laplacetranszformáció az id˝ o szerinti deriválást s-sel való szorzásba viszi át (most nem foglalkozunk a kezdeti értékekkel, mivel azok zérusok), az alábbi Laplace-transzformált egyenlethez jutunk : ∞ X n=1

G(x, s) s2 + 2ξn ωn s + ωn2 An (s)ψn (x) = , µ (2.111)

ahol G(x, s) = Qδ(x − x0 )

(2.112)

A g(x, t) er˝ ogerjesztés legyen mind térben, mind a g(x, t) függvény Laplace-transzformáltja, An (s) id˝ oben koncentrált impulzus, mely a t = 0 id˝ opont- pedig az αn (t) függvény Laplace-transzformáltja. Olyan kifejezéshez jutottunk, melynek bal oldala ban és az x = x0 pozícióban hat. Az impulzus maegy id˝ ofüggetlen modális szuperpozíció. A módustematikai alakja alakok ortogonaitása miatt felírhatjuk, hogy g(x, t) = Qδ(x − x0 )δ(t), (2.107) hψn , Gi = s2 + 2ξn ωn s + ωn2 An (s) = ahol Q az impulzus er˝ ossége, δ(x) pedig a Diracµ hψn , ψn i delta függvényt jelöli. Ez a függvény x = 0-ban Z 2 LQ végtelen értéket vesz fel, mindenhol máshol zérus, δ(x − x0 ) sin kn xdx. (2.113) L 0 µ és teljesül rá a kiválasztási tulajdonság, miszerint Z

+∞

δ(x − x0 )g(x)dx = g(x0 ).

(2.108)

Az integrálás könnyen elvégezhet˝ o, kihasználva a Dirac-delta kiválasztási tulajdonságát :

−∞

2Q s2 + 2ξn ωn s + ωn2 An (s) = sin kn x0 , A kiválasztási tulajdonságból következik, hogy a µL δ(x) függvény dimenziója 1/m, illetve δ(t) dimen(2.114) ziója 1/s. Mivel a húrra ható g(x, t) er˝ ogerjesztést ahonnan a megoldásunk a komplex frekvenciatarN/m dimenzióban kell megadnunk, az Q gerjesz- tományban t˝ o mennyiség dimenziója Ns. A Q mennyiség egy igen rövid, konstans erej˝ u er˝ oimpulzus alatti terü2Q sin kn x0 An (s) = . (2.115) let nagyságaként képzelhet˝ o el. µL s2 + 2ξn ωn s + ω 2 n

2.5. CSILLAPÍTOTT REZGÉSEK HÚROKBAN

29

αn (t) =

sin ωn∗ t 2Q sin kn x0 e−t/τ µL ωn∗

(2.121)

u0(x) [m]

Az αn (t) id˝ ofügg˝ o tagokat An (s) inverz Laplacetranszformációjával2 kapjuk meg. 0

A húr rezgését leíró teljes kifejezés végül 0 L/m

∞ 2Q −t/τ X sin ωn∗ t u(x, t) = sin kn x0 sin kn x, e µL ωn∗ n=1 (2.122) de a csillapítás frekvenciacsökkent˝ o hatását elhanyagolva, és az ωn∗ = ωn = nπc/L kifejezést bevezetve használhatjuk az alábbi egyszer˝ ubb formulát :

2.17. ábra. A megütött húr kezdeti u0 (x) elmozdulását leíró négyszögfüggvény. t=0

∞ 2Q −t/τ X 1 e sin kn x0 sin ωn t sin kn x. u(x, t) = πµc n n=1 (2.123) A megoldás els˝ o konstans tagja az er˝ oimpulzus er˝ osségének és a húr µc impedanciájának hányadosa. A második, id˝ ofügg˝ o tag az elmozdulás exponenciális csillapodását írja le. A végtelen sorban ismét találkozunk a sin kn x0 taggal, ami a felharmonikusok közül „szelektál” a gerjesztés pozíciójának függvényében, a pengetett húr esetével teljesen megegyez˝ o módon. Jelen esetben a felharmonikusok amplitúdója 1/n szerint csökken. 2 Feladatunk

L x [m]

t = T /12

t = 2T /12

t = 3T /12

az L−1

s2

1 + 2ξωs + ω 2

(2.116)

t = 4T /12

inverz Laplace-transzformáció meghatározása. A számítást a részlettörtekre bontás módszerével végezzük. A nevez˝ o gyökei komplex konjugált párt alkotnak : s0 = −ξω + jωd ,

s∗0 = −ξω − jωd .

A részlettörtektre bontás folyamata : 1 1 1 1 = . − ∗ ∗ (s − s0 )(s − s0 ) 2jωd s − s0 s − s0

(2.117)

t = 5T /12 (2.118)

Tekintve, hogy L−1

L−1

1 s − s0

= es0 t ε(t),

1 1 1 − 2jωd s − s0 s − s∗0 ∗ 1 s0 t = e − es0 t ε(t) 2jωd jω t e d − e−jωd t = e−ξωt ε(t) 2jωd sin ωd t = e−ξωt ε(t). ωd

t = 6T /12 (2.119)

−L

(2.120)

0

L

2L

2.18. ábra. A megütött húr u(x, t) alakjának pillanatfelvételei. A kék görbe a pozitív irányban haladó u0 (x − ct)/2, a zöld görbe a negatív irányban haladó −u0 (x + ct)/2 rezgésalakokat mutatja, a piros görbe a kett˝ o összege.

30


2.6. Nemideális húrlezárások ,→

→

→

→

→

→

←

←

←

←

←

→

u(x,t)

←→

←

Eddig mindig olyan tökéletes lezárási esetekkel foglalkoztunk, mikor a húr végét vagy szabadon hagyjuk, vagy teljesen mereven lefogjuk. Vizsgáljuk meg, mi történik azzal a húrral, melynek végét koncentrált tömeggel vagy rugóval zárjuk le. Induljunk ki abból, hogy a húr bal oldali (x = = 0) lezárása tökéletesen merev, vagyis u(0, t) = 0. Ekkor a húr harmonikus rezgését leíró egyenlet u(x, t) = U sin(kx) cos(ωt + ϕ)

0 x0

L x

2.19. ábra. Impulzusszer˝ u er˝ ovel gerjesztett húr rezgésalakja egy perióduson keresztül, rögzített id˝ opontokban

(2.127)

2.6.1. Lezárás koncentrált rugóval Tekintsük el˝ oször azt az esetet, mikor a húr lezárása K merevség˝ u koncentrált rugó. Ekkor a lezárás egyenlete

−Su0 (L, t) −Sk cos(kL) F (L, t) = = = K. u(L, t) u(L, t) sin(kL) A rezgés id˝ ofüggvényének felírásához érdemes (2.128) ismét trigonometrikus átalakítást végeznünk. Fel- Vezessük be a K0 = S/L mennyiséget, ekkor használva a egyenletünk a sin a sin b =

cos(a − b) − cos(a + b) 2

(2.124)

azonosságot ∞ Q −t/τ X 4 e sin kn x0 × u(x, t) = 2µc nπ n=1

cos kn (x − ct) − cos kn (x + ct) . (2.125) 2 4 A szummában szerepl˝ o nπ sin nπ tag nevezetes, m ez ugyanis a 2.17. ábrán látható négyszögjel csupa koszinuszos tagot tartalmazó Fourier-sora. Ennek alapján felírhatjuk, hogy a megütött húr elmozdulása ×

u(x, t) = e−t/τ

u0 (x − ct) − u0 (x + ct) , (2.126) 2

−

K0 kL = tan(kL) K

(2.129)

alakra egyszer˝ usödik. A grafikus megoldást a 2.20. ábra mutatja. Amennyiben a lezáró merevség végtelen, ismét visszakapjuk a kL = nπ metszéspontokat, vagyis az ideális húr sajátfrekvenciáit. Ha a merevség értékét csökkentjük, de nagy véges értéken tartjuk, akkor a metszéspontok lefelé tolódnak, vagyis a véges merevséggel lezárt húr sajátfrekvenciái kicsit alacsonyabbak az ideális esethez tartozó értékeknél. A lefelé tolódás mértéke kezdetben igen gyors, és az n módusszám növekedésével egyre jelent˝ osebb. Ha a merevség lényegesen kisebb a K0 értéknél, a szabadon hagyott húrlezárás esetét kapjuk vissza. Ha a K0 /K érték elegend˝ oen kicsi, avagy a rugalmas lezárás elegend˝ oen kemény, akkor a grafikus megoldás helyett használhatjuk a tan x függvény els˝ ofokú Taylor-sorát :

ahol u0 az Q/2µc amplitúdójú, periodikus, páros tan x ≈ x − nπ, (2.130) négyszögjel, ami az L/m pozícióban vált el˝ ojelet. A szuperponált jelelakot a 2.18-2.19. ábrák mutatják. Felismerhetjük, hogy ugyanazt a megoldást ami szerint (2.129) átírható az alábbi alakra : kaptuk, mint a csillapításmentes esetben, az egyetK0 − kL = kL − nπ. (2.131) len lényeges eltérés a csillapított id˝ ofüggés. K

2.6. NEMIDEÁLIS HÚRLEZÁRÁSOK

31

10

10 K /K = 0.1 0

K0/K = 1 5

5

K0/K = 2

0

0

−5

−5

−10 0

0.5

1

1.5 kL / π [−]

2

2.5

3

−10 0

M/m = 0.1 M/m = 1 M/m = 2 0.5

1

1.5 kL / π [−]

2

2.5

3

2.20. ábra. A (2.129) egyenlet grafikus megoldása

2.21. ábra. A (2.136) egyenlet grafikus megoldása

Átrendezve :

a 2.21. ábra mutatja. Az ábrán a megoldás különböz˝ o tömegarányokra látható. Amennyiben a lezáró tömeg végtelen, visszakapjuk az ideális merev lezárás esetét. Ekkor a metszéspontok a kL = nπ értékeken vannak, amik a mindkét végén lezárt húr sajátfrekvenciáit definiálják. Ha a lezárás tömege elenyész˝ o a húréhoz képest, akkor a szabad lezáráshoz tartozó kL = (2n + 1)π metszéspontokat kapjuk vissza. Ha az M/m hányados elegend˝ oen kicsi, avagy a lezáró tömeg elegend˝ oen kis érték, akkor a grafikus megoldás helyett használhatjuk a cot x függvény els˝ ofokú Taylor-sorát :

kL 1 +

K0 K

= nπ.

(2.132)

Látjuk, hogy a nemideális rugalmas húrlezárás a húr hosszának növekedéseként is felfogható, ahol a növekmény ∆L = LK0 /K.

2.6.2. Lezárás koncentrált tömeggel Legyen második esetben a lezárás koncentrált tömeg, vagyis a lezárás egyenlete : F (L, t) = M, a(L, t)

(2.133)

ahol a(x, t) a húr gyorsulásának hely- és id˝ ofüggése. Az er˝ o és a gyorsulás kifejezésével F (L, t) −Su0 (L, t) −Sk cos(kL) = = = M, a(L, t) u ¨(L, t) −ω 2 sin(kL) (2.134) ahonnan ω2 M cot(kL) = . (2.135) kS Kihasználva, hogy ω 2 = (kc)2 = k 2 S/µ, cot(kL) =

M kL, m

(2.136)

ahol m = µL a húr tömege. A tranaszcendens egyenletet grafikusan tudjuk megoldani, ahogy azt

cot x ≈

(2n + 1)π − x, 2

(2.137)

ami szerint (2.136) átírható az alábbi alakra : (2n + 1)π M − kL = kL, 2 m ami átrendezve M (2n + 1)π kL 1 + = . m 2

(2.138)

(2.139)

Látjuk, hogy a nemideális húrlezárás a húr hosszának növekedéseként fogható fel, ahol a növekmény hozzávet˝ olegesen ∆L = LM/m. Ha a húrt lezáró tömeget nagyon nagynak feltételezzük a húr tömegéhez képest (M m), akkor a 2.21. ábrán a meredek M m kL egyenes és a cot kL

32

2. FEJEZET. HÚROK REZGÉSEI L

függvény metszéspontjait keressük. Ekkor a cot x függvényt az nπ környékén közelíthetjük Taylorsorral : cot x ≈

1 x − nπ

ha

S h

A

|x − nπ| 1. (2.140) m

A transzcendens egyenlet közelítése pedig M 1 kL = , m kL − nπ amib˝ ol átrendezéssel m = nπ. kL 1 − M (kL)2

K

(2.141) 2.22. ábra. Nemideális húrlezárás és annak koncentrált paraméteres modellje (2.142)

(vagyis nem végtelen merevség˝ u) rugalmas lezárás a húr sajátfrekvenciáinak csökkenését eredméEbb˝ ol látható, hogy a nagy tömeggel lezárt L nyezi. A sajátfrekvencia csökkenésének mértékét a hosszúságú húr ekvivalens egy L − ∆L hosszúságú K0 /K tényez˝ o határozza meg, ahol K0 = S/L = (rövidebb) ideális, mereven lezárt húrral, viszont = 70 N/0,4 m = 175 N/m a húr ekvivalens merev∆L-re nem adódik az el˝ oz˝ oekhez hasonló egyszesége. Mivel K0 /K 1, alkalmazható a hosszkorr˝ u kifejezés. Mivel a nagy tömeggel lezárt húr egy rekció közelítése, vagyis a kialakuló k hullámszárövidebb, ideális húrral ekvivalens, a sajátfrekvenmot meghatározó egyenlet ciák ebben az esetben az ideálishoz képest kissé nö vekednek. K0 = nπ. kL 1 + K 2.10. példa Nemideális lezárás hatása a húr alapfrekvenciájára A képletb˝ ol kiolvasható, hogy a nemideálisan lezárt Egy L = 40 cm hosszú gitárhúrban S = 70 N húr látszólagos hossza L0 = L(1 + K0 /K). A relatív feszít˝ o er˝ o hat. A húr bal oldala mereven be van hosszváltozás tehát a K0 /K értékkel egyezik meg, fogva, jobb oldalát egy fa húrláb tartja a 2.22. áb- ami jelen esetben rán vázolt módon. A húrláb keresztmetszetének teK0 175 N/m rülete A = 25 mm2 , magassága h = 4 cm. A fa = = 2,8 · 10−3 . 3 K 62500 N/m s˝ ur˝ usége ρ = 1300 kg/m , Young-modulusa pedig E = 100 MPa. A húrláb kis frekvencián jól közelít het˝ o koncentrált elemes rendszerrel, melynek ru- Ez 1200 · log2 1 + 2,8 · 10−3 = 4,87 gómerevsége K = EA/h, tömege pedig a húrláb tömegének fele. Hogyan hat a nemideális lezárás a közel ötcentes hangmagassság-csökkenésnek felel húr sajátfrekvenciáira ? meg. A húrláb K merevsége, m tömege és f0 sajátfrekvenciája K = EA/h = 62500 N/m, ρAh m= = 0,65 · 10−3 kg, 2r 1 K f0 = = 1,56 kHz. 2π m Az f0 sajátfrekvencia lényegesen magasabb, mint a gitárhúrok alapfrekvencia-tartománya, tehát a húr a lezárás merevségtartományában rezeg, és a lezárást koncentrált rugóként látja. A nemideális

3. fejezet

Hangsorok és hangolás A húrok rezgéseir˝ ol szóló fejezetben láttuk, hogy az L hosszúságú, mindkét végén befogott húr sajátfrekvenciái az f1 = c/2L alapharmonikus frekvencia egész számú többszörösei, vagyis fn = nc/2L, ahol c a rezgés terjedési sebessége a húrban. Mivel egy megpendített húr rezgésalakjában az alapfrekvencia mellett az els˝ o néhány felharmonikus még jól hallható, logikusnak t˝ unik, hogy az egymáshoz közeli n rendszámú felharmonikusokat az alapharmonikussal együtt szólva természetesnek, kellemes hangzásúnak érezzük. A húrok és harmonikusok ezen tulajdonságát már felismerte Püthagorasz is, aki a természetesnek hangzó, konszonáns hangközök rendszerét a felharmonikus arányok alapján írta le.

1200 · log2 (3/2) ≈ 702 centtel magasabb. A kvint bevezetésével a 2/1 arányhoz tartozó oktávot két hangközre bontottuk : egy 3/2 arányú kvintre és a fennmaradó 2/(3/2) = 4/3 frekvenciaarányú tiszta kvartra (T4, ≈ 498 cent).

3.1. A diatonikus hangsor

Az ókori görögök a tiszta kvartot további két osztópont beiktatásával három hangközre bontották, és az így kialakuló, négy hangból álló hangsort tetrachordnak nevezték el. A tetrachord els˝ o és negyedik hangja tehát tiszta kvart távolságra van. A tetrachord osztópontjainak egyik fajta kialakítási módja a diatonikus tetrachord, amelyben a tiszta Az els˝ o (n = 1) és második (n = 2) harmonikus kvart két nagyszekundra (N2) és egy kisszekundfrekvenciaaránya 2/1, ez az arány a legegyszer˝ ubb, ra (K2) bontható. Az egyetlen kisszekund helyzete „legtisztább” hangköz, a tiszta oktáv (T8). Ha az szerint három tetrachordot különböztetünk meg : alapharmonikus frekvenciája f1 , akkor a 2f1 frekvencia annál egy oktávval magasabban, a 4f1 frek- dór. : T4 = N2 + N2 + K2 vencia két oktávval magasabban, a 2m f1 frekvencia pedig m oktávval magasabban szól. A zeneelmélet- fríg. : T4 = N2 + K2 + N2 ben a hallható hangtartományt oktávokra bontva líd. : T4 = K2 + N2 + N2 kezeljük, és használt hangsorainkat általában oko diatonikus távonként ismételjük. A hallható tartomány oktáv- A teljes oktáv hangterjedelmet felölel˝ jainak megnevezéseit a 3.1. táblázat tartalmazza. hangsor két tetrachordból áll, melyeket egy nagyA zongora legmélyebb hangja a szubkontra a (A, ,, szekund választ el egymástól. Egy dór hangsor A0), legmagasabb hangja az ötvonalas c (c00000 , C8). hangközei például : Az n = 3 értékhez tartozó, háromszoros frekvenciájú harmadik felharmonikus nyilván az alaphang fölötti els˝ o és második oktáv között helyezkedik ami el. Az alaphang oktávtartományába való letransz- és ponáláshoz frekvenciáját kett˝ ovel osztjuk, így az alaphanghoz képest 3/2 frekvenciaarányú, az alaphangnál egy tiszta kvinttel (T5) magasabban meg8 szólaló hanghoz jutunk. Ez a hang az alaphangnál

N2

N2

K2

N2

N2

K2

a ma használatos kottajelölést ábécés hangokat alkalmazva a 2

G ˇ

33

N2

c

d

e

f

g

ˇ ˇ

ˇ ˇ

ˇ ˇ

ˇ

a

h

c0

34

3. FEJEZET. HANGSOROK ÉS HANGOLÁS megnevezés szubkontra kontra nagy kis egyvonalas kétvonalas háromvonalas négyvonalas ötvonalas

zenei jelölés C, , −H, , C, −H, C −H c−h c0 − h0 c00 − H 00 c000 − h000 c0000 − h0000 c00000 − h00000

MIDI-szabvány C0-B0 C1-B1 C2-B2 C3-B3 C4-B4 C5-B5 C6-B6 C7-B7 C8-B8

fA [Hz] 27,5 55 110 220 440 880 1760 3520 7040

3.1. táblázat. A hallható tartomány oktávokra osztása. A táblázat az oktávok megnevezése, zenei jelölése és a MIDI szabvány szerinti számozása mellett az egyes oktávok a hangjának frekvenciáját is tartalmazza. diatonikus hangsornak felel meg. Egyszer˝ u megfo- szomszédos hangok közti nagy- és kisszekundoko frekvenciaarányok vannak feltüntetgalmazással a diatonikus hangsor a zongora fehér nak megfelel˝ ve. Megállapíthatjuk, hogy a püthagoraszi skálán billenty˝ uinek hangjaiból áll. a nagyszekund frekvenciaaránya 9/8 (≈ 204 cent), a kisszekund frekvenciaaránya pedig – példaként 3.1.1. A diatonikus hangsor püthagora- az E − F hangközt választva – (4/3)/(81/64) = = 256/243 (≈ 90 cent). szi hangolása A püthagoraszi hangsor kielégít˝ onek bizonyult a A püthagoraszi hangolás a diatonikus hangsor középkori, korai polifonikus zenében, amikor a poegyes hangjainak frekvenciáját egymástól tiszta lifóniát lényegében oktáv és kvint hangközök alkvint távolságra lev˝ o hangok alapoktávba transz- kalmazására alapozták. E hangközök közül ugyanis ponálásával határozta meg. Tekintsük például a kö- mindkett˝ o tökéletesen tiszta e hangsorban. vetkez˝ o, F hangról induló kvintláncot : F 2 3

c 1

g

d0

a0

3 2

3 2 2

3 3 2

e00 3 4

h00 3 5

2

2

3.1.2. A diatonikus skála tiszta hangolása

A püthagoraszi skála 81/64 frekvenciaarányhoz tartozó c − e, f − a és g − h nagyterc hangközei kellemetlen hangzásúak, b˝ ovebbek a tiszta nagytercnél. Ez a görög és korai középkori zenében nem okozott problémát, mert ekkor még nagytercet (a tiszta nagytercet is) disszonánsnak tartották, és nem használták a polifonikus zenében. A korai reneszánszban egyre összetettebbé váló polifonikus zene viszont elkerülhetelenné tette az eddig elhanya8 c d e f g a h c0 golt ötödik felharmonikushoz tartozó tiszta nagy9 81 4 3 27 243 1 2 8 64 3 2 16 128 terc bevezetését. Az ötödik (n = 5) felharmoni9 9 256 9 9 9 256 8 8 243 8 8 8 243 kus alapoktávba való transzponálásával egy új, 5/4 Az ábécés hangok alatti sorban a hangok c alap- frekvenciaarányhoz tartozó tiszta nagyterc N 3, (≈ o be, és lehet˝ oség nyílik egy hanghoz viszonyított frekvenciaarányait látjuk. Az ≈ 386 cent) vezethet˝ e hang frekvenciáját például úgy kaptuk meg, hogy kvinteken és nagyterceken alapuló új diatonikus a két oktávval magasabb tartományban lev˝ o e00 skála konstruálására. 2 hang frekvenciáját 2 = 4-gyel osztottuk, vagyA tiszta diatonikus hangsor egy lehetséges megis (3/2)4 /4 = 81/64. A második számsorban a valósítási módját mutatja az alábbi táblázat.

Hangsorunkban a C hang frekvenciáját választottuk egységnyinek, és a szomszédos hangok frekvenciaaránya 3/2. Ha minden hangot a kis oktávba transzponálunk (kett˝ o megfelel˝ o hatványával való osztással vagy szorzással), a következ˝ o diatonikus skálához jutunk :

G ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

3.1. A DIATONIKUS HANGSOR A 5/6 F 2/3

e 5/4 c1

35

h 15/8 g 3/2

Az eltérés mértéke pontosan a 81/80 aránynak megfelel˝ o szintonikus komma. A most bemutatott tiszta diatonikus skála el˝ onye, A táblázat alsó sora a püthagoraszi kvintalapú skáhogy tisztán játszható rajta minden, csupa fehér la F -t˝ ol d0 -ig terjed˝ o szakaszát jelöli, vagyis a vízbillenyt˝ u n játszható dúr hármas, vagyis a szintes lépésköz ismét 3/2 frekvenciaaránynak felel meg. A függ˝ oleges (felfelé irányuló) lépésköc−e−g zök ebben a táblázatban az 5/4-es tiszta nagyF −A−c terchez tartoznak. Példaként az A hang frekvenG−H −d ciáját az F -b˝ ol a 2/3 · 5/4 = 5/6 m˝ uvelettel kapjuk meg. A hangokat az alapoktávba transzhármashangzatok. Ezek a hármasok egy 5/4-es ponálva a következ˝ o diatonikus skálához jutunk : tiszta nagytercb˝ ol és egy 6/5-ös tiszta kistercb˝ ol (K3) állnak. A dúrakkordok tisztasága fontos tulajdonság, hiszen ezek a hangzatok képezik a dúr hangnem˝ u harmóniasorokban gya0 8 c d e f g a h c 9 5 4 3 5 15 kori I − IV − V − I kadencia akkordjait : 1 2

G ˇ

9 8

8

10 9

4

16 15

3

9 8

2

10 9

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

d0 9/4

3

9 8

8

16 15

Els˝ o ránézésre a tiszta diatonikus skála egyszer˝ ubb frekvenciaarányokat tartalmaz, mint a püthagoraszi, az e, a és h hangok alaphanghoz viszonyított frekvenciaarányai egyszer˝ usödtek. A szomszédos hangközöket vizsgálva láthatjuk, hogy a skála három különböz˝ o szekundlépést tartalmaz :

G ˇˇˇ

ˇˇˇ ˇ

ˇˇ

ˇˇ

ˇ

ˇ ˇ

ˇ

Ž I ˇ

I IV V I A diatonikus skálán szintén tisztán játszhatók az – Az e − f és h − c0 kisszekund lépésköz frekven- A − c − e és e − g − h moll hármasok, de a d − f − a moll hármas már nem, mert a d − f távolság egy ciaaránya 16/15 (≈ 112 cent) ; szintonikus kommával sz˝ ukebb a tiszta kistercnél, – A c − d, f − g és a − h nagyszekundok frekven- illetve a d − a távolság szintén ennyivel sz˝ ukebb a ciaaránya 9/8 (≈ 204 cent) ; tiszta kvintnél. Megjegyezzük, hogy a d hang szintonikus kom– A d − e és g − a nagyszekundok aránya pedig mával való leszállításával szerkeszthet˝ o olyan tisz10/9 (≈ 182 cent). ta hangsor, melyen minden moll hármas tisztán A kétféle nagyszekundot megkülönböztetend˝ o be- játszható. Könnyen látható azonban, hogy ezen a vezetjük a 10/9-es „kis nagyszekund” és 9/8-os skálán viszont sérül a G − H − d dúr akkord tiszta„nagy nagyszekund” elnevezéseket. A két nagysze- sága. kund frekvenciaaránya 81/80 (≈ 22 cent), ezt az Látjuk tehát, hogy a tiszta hangolás pusztán elneeltérést szintonikus kommának nevezzük. vezés, valójában ténylegesen tiszta hangolású hétA szintonikus komma másik, ekvivalens definí- fokú rendszer nem létezik. ciója a püthagoraszi nagyterc és a tiszta hangolású nagyterc közti eltérés. A püthagoraszi skálán a 3.1. példa Hétfokú skála tiszta hangolása nagyterc távolságot négy tiszta kvint lépéssel, majd Egy hathúros E-A-d-g-h-e’ hangolású akusztikus két oktáv visszalépéssel definiáltuk, a tiszta skálán gitárt úgy hangolunk fel, hogy szomszédos húrjai pedig egyszer˝ uen az 5/4 aránnyal. Könnyen láthatiszta kvart illetve nagyterc hangközöket adjanak tó, hogy a két definíció eltér, hiszen ki. Mekkora az E és e’ húrok alaphangjai közti frek4T5 − 2T8 > N3 (3.1) venciaarány ? Mekkora a tiszta két oktávtól való eltérés centben ? illetve frekvenciaarányokkal kifejezve A két e-húr közti frekvenciaarány 4

(3/2) 5 > 22 4

(3.2)

4/3 · 4/3 · 4/3 · 5/4 · 4/3 =

320 81

36

3. FEJEZET. HANGSOROK ÉS HANGOLÁS

0.0

C

0.0

F

G

0.0

0.0

B

21.51

D

0.0

0.0

Eb

A

−23.5

0.00 −1.95

12

0.0

G#

E 0.0

0.0

A kvintkörön – csakúgy, mint a zongora billenty˝ uzetén – az Esz és Disz hangok között pontosan hét oktáv az eltérés, vagyis tizenkét kvint megegyezik hét oktávval. Valójában tiszta 3/2-es kvintekkel 12 és oktávokkal számolva azonban (3/2) > 27 , az eltérés mértéke pedig

−23.46

(3/2) 27

=

531 441 ≈ 23,46 cent 524 288

(3.4)

Ezt a hangközt a püthagoraszi skála enharmonikus kommájának, vagy egyszer˝ ubben püthagoraszi F# kommának nevezzük, a Disz és Esz hangok pedig enharmonikus párt alkotnak. 3.1. ábra. A tizenkétfokú skála püthagoraszi Ha a zongora hangjait a teljes kvintkör alapján hangolása a kvintkörön. Az egyes hangokat definiáljuk, választanunk kell az enharmonikus páösszeköt˝ o vonalak színezése a tiszta rok, esetünkben az Esz és a Disz hangok közül. hangközökhöz képest mért eltérést jelöli. Amennyiben az Esz mellett döntünk, vagyis az Esz − B kvintet definiáljuk tisztán, akkor a Gisz − − Esz kvintünk nem lesz tiszta, hanem annál egy Ennek a tiszta két oktávtól való eltérése centben püthagoraszi kommával sz˝ ukebben szól. Így az Esz 80 320/81 hangra épül˝ o püthagoraszi hangolás esetében ke= 1200 · log2 = −21 cent 1200 · log2 4 81 (3.3) rülni kell az olyan harmóniákat, amik az Asz −Esz kvint hangközt tartalmazzák. ami a szintonikus komma. Láttuk, hogy a püthagoraszi skála nagyterc hangközei a 21,51 centnyi szintonikus kommával b˝ ovebbek az 5/4-es tisza nagytercnél. A tizenkétfokú püthagoraszi skálán négy olyan új nagyterc hangköz 3.2. Tizenkétfokú hangsorok is van, ami három tiszta kvintre és a tiszta kvintukebb Gisz − Esz hangközre Amint láttuk, már a hétfokú skála tiszta hangolása nél 23,46 centtel sz˝ is lehetetlen. A zongora fehér billeny˝ uihez rendelt épül. Az említett hangközök a H − Esz, F isz − B, ukífrekvenciaértékek rögzítésekor bizonyos hangkö- Cisz − F és Gisz − C nagytercek (illetve sz˝ zök tisztaságát el˝ onyben kell részesítenünk másik tett kvartok). Ezen hangközökben a szintonikus és hangközökkel szemben. A helyzet tovább bonyolo- püthagoraszi kommák majdnem kiegyenlítik egydik a tizenkétfokú hangsor bevezetésekor, amely a mást, így mindössze 1,95 centtel, vagyis egy schisukebbek a tiszta nagytercnél. fehér billenty˝ uk tetsz˝ oleges szomszédos, nagysze- mával sz˝ A schisma ekvivalens definícióját úgy kapjuk, ha kund távolságra lev˝ o hangjai közti félhang osztáa 3.1. ábrán pl. az Esz hangtól indulva nyolc tiszta sokat is tartalmazza. kvintet lépünk fel, majd a kvintkört egy nagyterc3.2.1. A tizenkétfokú skála püthagora- cel (H − Esz) zárjuk be. A kvintkör zárásához a nagytercet a tiszta nagytercnél egy schismával sz˝ uszi hangolása kebbnek kell vennünk, így : A tizenkétfokú skála püthagoraszi hangolása a 8T5 + 1N3 = 5T8 + schisma. (3.5) diatonikus skálánál bemutatott módon, a tiszta kvintekb˝ ol álló teljes kvintkör felírásával történik. A 3.1. ábrán látható kvintkör tartalmazza mind a 3.2.2. A tizenkétfokú skála tiszta hantizenkét félhangot úgy, hogy a szomszédos hangok golása egymástól kvint távolságra vannak. A kvintkörön az óramutató járásával megegyez˝ o lépésköz 3/2 A tizenkétfokú skála tiszta hangolása a hétfokú skáfrekvenciaszorzónak felel meg. láéhoz hasonlóan, tiszta kvinteken és tiszta nagyC#

H

0.0

0.0

3.3. A HANGSOROK KIEGYENLÍTÉSE C

0.0

41.06

0.0

F

37

G

−21.5

0.0

B

D

0.0

−21.5

Eb

A

41.1

A tiszta skálán tökéletesen tisztán szólal meg hat dúr és hat moll akkord. A dúr akkordok azok a hármasok, melyek a táblázatban L-alakban helyezkednek el. Az F -dúr hangjainak elhelyezkedése például A F

0.00

0.0

G#

E 0.0

−21.51

0.0 C#

H −21.5 F#

(disz 0 ) h g esz

F isz 0 d0 b

A táblázatban ismét tiszta kvint ugrásnak felel meg egy vízszintes lépés, és tiszta nagytercnek felel meg egy függ˝ oleges irányú ugrás. Az esz − disz 0 sarokhangokat vizsgálva könnyen látható, hogy az enharmonikus párok a tiszta hangolás esetén sem azonos magasságúak, hiszen három tiszta nagy terc nem tesz ki egy tiszta oktávot. A különbségük 3

f isz 0 d0

h

terceken alapszik, ahogy a 3.2. ábra és az alábbi táblázat mutatja : gisz e c

Hasonlóképpen a moll hármasok azok, melyek fordított L-alakban lelhet˝ ok fel a táblázatban. A Hmoll akkord hangjainak elhelyezkedése például

0.0

3.2. ábra. A tizenkétfokú skála tiszta hangolása a kvintkörön

cisz A F

c

Rövid vizsgálódás után belátható, hogy a tiszta kvintekre és tiszta nagytercekre épül˝ o tizenkétfokú skála gyakorlatilag csak nagyon sz˝ uk körben használható. Legjobb példaként az alábbi egyszer˝ u és igen gyakori I − IV − V − I moll kadenciát említhetjük, amely a tiszta skálán egyetlen hangnemben sem játszható le tisztán.

G ˇˇˇ Ž I ˇ

I

ˇˇ 4ˇˇ ˇ ˇ ˇˇ

ˇ

ˇ ˇ

IV

V

ˇ I

3.3. A hangsorok kiegyenlítése

A hangsorok kiegyenlítése vagy temperálása alatt (3.6) olyan módosításokat értünk, melyek a kommák szétosztására irányulnak. ami a tiszta hangolású tizenkétfokú skála enharmonikus kommája. A kvintkör bezárásához tehát a 3.3.1. A negyedkommás középhangú Gisz − Esz (sz˝ ukített szext) hangköznek 41,1 centtemperálás tel b˝ ovebbnek kell lennie a tiszta kvintnél. Érdekességként jegyezzük meg, hogy püthagora- A reneszánsz idejéb˝ ol származó és százötven évig szi skálán a sz˝ ukített szext a tiszta kvintnél sz˝ ukebb szinte egyeduralkodó temperált skála a negyedhangöz, tiszta hangolásnál pedig annál b˝ ovebbnek kommás középhangú kiegyenlített hangolás (quaradódik. Másként fogalmazva : Püthagoraszi skálán ter comma meantone temperament), mely a kvint az Esz alacsonyabb a Disz-nél, tiszta skálán ma- enyhe sz˝ ukítésével egyenlíti ki a szintonikus komgasabb. mát. Amint azt a (3.1-3.2) kifejezésekben láttuk, a A skála többi kvinthangközét vizsgálva megfi- szintonikus komma oka az, hogy négy tiszta kvint gyelhetjük, hogy a D − A kvint mellett szintonikus b˝ ovebb két tiszta oktávnál és egy nagytercnél : kommával sz˝ ukebbnek adódik a B − F és a F isz − 4 − Cisz kvint, hiszen ezek három tiszta kvintre és 5 3 > 22 · (3.7) egy tiszta nagytercre épülnek. 2 4 (5/4) 125 = ≈ −41,1 cent 2 128

38


temperált skála utolsó kvintjét farkaskvintnek nevezték el. A farkaskvint hamissága természetesen −5.4 −5.4 maga után vonja mindazon nagytercek hamisságát B D is, melyek a farkaskvintet tartalmazó kvintnégyesre épülnek. Ezek a H −Esz, a F isz −B, a Cisz −F és −5.4 −5.4 a Gisz − C nagytercek (melyek valójában sz˝ ukített Eb A 0.00 kvart hangközök). −5.38 A negyedkommás temperált hangolás a tiszta 35.7 −5.4 kvintt˝ ol való parányi, nem zavaró eltérés árán kiG# E egyenlítette a szintonikus kommát, és a beavatko−5.4 −5.4 zás útján alkalmassá vált a két bé és két kereszt C# H −5.4 F# −5.4 közti el˝ ojegyzéssel írt darabok szinte teljesen tiszta megszólaltatására. Bonyolultabb, vagyis több módosított hangot tartalmazó hangnemekben írt dara3.3. ábra. A negyedkommás középhangú bok játszására azonban a farkaskvint és a farkastertemperált skála a kvintkörön cek miatt nem volt alkalmas. Minél több módosító jel van az el˝ ojegyzésben, annál hamisabban szól a darab a negyedkommás temperált hangolásban. A ahol az eltérés mértéke ≈ 21,5 cent. A kiegyenlítéshangolási módszer el˝ o nye viszont, hogy a gyakorlahez új, sz˝ ukebb tiszta kvint definíciót vezettek be, ti hangolása viszonylag egyszer˝ u volt, hiszen négy amelyre a fenti egyenl˝ otlenség egyenl˝ oséggé alatemperált kvint pontos beállítása után csak tiszta kul. Ha a kvint frekvenciaarányát x-szel jelöljük, nagyterceket kellett kimérni. Az ezerötszázas évek akkor 5 elejét˝ o l egészen a XVII. század végéig szinte kizá(3.8) x4 = 22 · rólagosan használták. Példaként Purcell és Vivaldi 4 negyedkommás kiegyenlített skálára írták csembaahonnan √ lókísérettel játszott m˝ uveiket. 4 x= 5 (3.9) −5.4

F

C

−5.4

G

41.06 35.68

a kvint új frekvenciaaránya, ami ≈ 5,4 centtel sz˝ ukebb a 3/2-es tiszta kvintnél. Ez az eltérés a szintonikus komma negyede, innen a negyedkommás kiegyenlített hangolás elnevezés. Az ≈ 5,4 centtel sz˝ ukített új kvintek szabad füllel megkülönböztethet˝ oek a tiszta kvintt˝ ol. Ez természetes, s˝ ot szükséges, hiszen a középhangú temperált skálára fül után hangolták a hangszereket. A negyedkommás temperált skála szerint hangolt hangszereket általában az Esz hangra épül˝ o

3.3.2. Jóltemperált skálák

A jóltemperált (well-tempered) skála elnevezést azon temperált skálacsaládra alkalmazzuk, ahol a módosított hangközöket nem szisztematikusan, hanem önkényes rendszer szerint választjuk ki. A jóltemperált skálák alkalmazásának célja általában a teljes kör˝ u kromatikus transzponálás volt. Ennek érdekében nyilvánvaló cél a kvintkör bezárásánál keletkez˝ o farkaskvintek és farkastercek kiegyenlítése. A leghíresebb jóltemperált skála Andreas WerckEsz, B, F c g d0 a0 e00 h00 f isz 000 cisz 0000 gisz 0000 meister nevéhez f˝ uz˝ odik, és Werckmeister-III névre kvintkör szerint hangolták be, ahogy a 3.3. áb- hallgat. A Werckmeister skála a püthagoraszi kom√ ra mutatja. Ez a kvintkör tizenegy 4 5-ös kvintlé- mát négyfelé osztja, és a kvintkör négy önkényesen pést tartalmaz. A tizenkettedik kvint nagyságát a kiválasztott kvintje, a C − G, a G − D, a D − A és kvintkör zárásával a Gisz − Esz távolság jelöli ki a H − F isz kvintek közt osztja szét. Eredményként (ez valójában egy sz˝ ukítet kisszext), ami gyakor- a 3.4. ábrán látható kvintkört kapjuk. latilag a tizenegy temperált kvint hét oktávra való A Werckmeister temperálás el˝ onye, hogy a kevés kiegészítése. A szükséges utolsó lépés frekvencia- módosított hangot tartalmazó hangnemekben vi√ 11 aránya 27 / 4 5 ≈ 1,53. Ez a tizenkettedik kvint szonylag tiszta, tíz centen belüli eltérés˝ u nagyterce≈ 36 centtel b˝ ovebb a 3/2-es tiszta kvintnél. Az el- ket eredményez. A sok módosító hangot tartalmatérés annyira hamis hangközt eredményez, hogy a zó hangnemekben a Werckmeister-temperálás gya-

3.3. A HANGSOROK KIEGYENLÍTÉSE

0.0

C

39

−5.9

F

−3.9 G

−0.0

−5.9

B 0.0

−5.9

Eb

A

−0.0

21.51 15.64 9.78 3.91 0.00 −5.87

0.0

G#

E 0.0 C#

H −0.0

F#

C

G −3.9

B

D

0.0

−3.9

Eb

A

0.0

−5.9

G#

E −0.0

−3.9 H 0.0

0.0

21.51 17.60 13.69 9.78 5.87 0.00 −3.91

−3.9

C#

3.4. ábra. A Werckmeister-III jóltemperált skála a kvintkörön 0.0

−3.9

−0.0 D

0.0

C

F

F#

−0.0

3.6. ábra. A Vallotti-féle jóltemperált skála a kvintkörön

kvintet eredményez, melyeket a D − A és A − E hangok között osztunk szét. Ennek eredményeként 21.51 a C − E, G − H és D − F isz nagytercek egy schisB D mával térnek csak el a tiszta nagyterct˝ ol, az F − A 0.0 −11.7 9.78 és az A − Cisz nagytercek 9,78 centtel b˝ ovebbek Eb A 0.00 −1.95 a kelleténél, a többi nagyterc pedig a püthagoraszi 81/64 arányúnak felel meg. −0.0 −11.7 −11.73 Bemutatjuk ezen kívül a Francesco Vallotti G# E olasz orgonista nevéhez f˝ uz˝ od˝ o temperálást, mely 0.0 −0.0 a 3.6. ábrán látható. Ennek lényege, hogy a püthaC# H −0.0 F# −0.0 goraszi kommát hat egyenl˝ o részre osztjuk, és a hat töredéket a diatonikus hangsort felölel˝ o kvintláncon, vagyis az F és H hangok közti kvinteken oszt3.5. ábra. A Kirnberger-féle jóltemperált skála a juk szét. Az eredményül kapott hangsorban a kükvintkörön lönböz˝ o nagytercek igen széles választékával, ötféle nagyterccel találkozunk : A kvintkör bal oldalán korlatilag a püthagoraszi skálát adja vissza tiszta fellelhet˝ o három püthagoraszi nagyterc, a kvintkört kvintekkel és b˝ o nagytercekkel. jobb oldalán pedig három, 5,87 centtel b˝ o nagyterc. A skála lényeges tulajdonsága, hogy minden A két széls˝ oség között folyamatos az átmenet, ami hangnem játszható, és minden hangnem eltér˝ o. J. a különböz˝ o hangnemek színes skáláját biztosítja. S. Bach a Werckmeister-III skálára komponálta A A Kirnberger és Vallotti-féle temperált skálák a jóltemperált zongora cím˝ u m˝ uvét, mely tizenkét 18. század második felében és a korai 19. századkülönböz˝ o dúr és tizenkét különböz˝ o moll hang- ban voltak használatosak. Ezeken a skálákon komnemben játszott zongoradarabot tartalmaz. Tipiku- ponált például Haydn, Mozart, Beethoven és Schusan erre a skálára komponált Handel is. bert. Az ezerhétszázas évek második felében számos alternatív jóltemperált skála volt használatban. Megemlítjük közülük a Bach tanítványa, Jo- 3.3.3. Az egyenletesen temperált hanghan Kirnberger német orgonista és zeneelmélész sor nevéhez f˝ uz˝ od˝ o temperálást, mely a püthagoraszi komma felezésén alapul. A hangolás kvintkörét A szintonikus és enharmonikus komma együttes kia 3.5. ábra mutatja. egyenlítésére szolgáló teljesen kiegyenlített hangA felezés két, fejenként 11,7 centtel sz˝ ukített sor elvét már a 16. században is ismerték, gyakorlaF

−0.0

G

0.0

40


−2.0

C

−2.0

F

G

−2.0

−2.0

B

D

−2.0

−2.0

Eb

A

−2.0

13.69

−1.96

−2.0

G#

E −2.0

(3/2)4 /22 = 81/64 (a híres püthagoraszi nagyterc), a Fisz-A kisterc frekvenciaaránya pedig a kvintb˝ ol visszaszámolva (3/2)/(81/64) = 32/27. A püthagoraszi nagyterc temperált, azaz négyszáz centes nagyterct˝ ol való eltérése 1200 log2 (81/64) − 400 = 7,82 cent

(3.10)

A püthagoraszi kisterc temperált, azaz háromszáz centes kisterct˝ ol való eltérése

−2.0 C#

H −2.0

F#

−2.0

3.7. ábra. Az egyenletesen temperált skála a kvintkörön ti elterjedésére azonban csak a 19. század végefelé került sor, mikor lehet˝ ové vált a pontos frekvenciamérés. A hangsor az oktávot tizenkét azonos kisszekund √ hangközre bontja, melyek frekvenciaaráoség teljesen ponnya 12 2 = 100 cent. Itt az egyenl˝ tos, a cent ugyanis definíció szerint a temperált kisszekund századrésze. Természetesen az egyenletes temperálás a püthagoraszi komma tizenkét részre való osztását jelenti, ahogy azt a 3.7. ábra mutatja. A kiegyenlített skálán az oktávon kívül tiszta hangköz nincsen. A hét félhangból álló temperált kvint ≈ 2 centtel (vagyis észrevehetetlen mértékben) sz˝ ukebb a tiszta kvintnél, a négy félhangból álló nagyterc pedig a már jócskán hallható ≈ 14 centtel b˝ ovebb a tisztánál. A legkiemelked˝ obb eltérés a tiszta kisterc és a temperált kisterc közti majdnem 16 centes „hiba”. A teljesen kiegyenlített hangolásnál minden hangnem egyenérték˝ u : a különböz˝ o hangnemekben lejátszott zenem˝ u harmóniái azonos mértékben térnek el a tiszta hangközökt˝ ol. 3.2. példa Tizenkétfokú skála püthagoraszi hangolása Adja meg Esz-alapú püthagoraszi hangolású tizenkétfokú skálán a D-dúr (D-Fisz-A) hármashangzat hangközeinek frekvenciaarányait, illetve adja meg a hangközök egyenletesen temperált hangközökhöz mért eltéréseit centben ! Esz-alapú püthagoraszi kvintkörön a D-A kvint tiszta 2 : 3 arányhoz tartozik, a D-Fisz nagyterc pedig négy egymásra épül˝ o tiszta kvintbõl rakható össze. Ezek alapján a D-Fisz frekvenciaarány

1200 log2 (32/27) − 300 = −5,87 cent

(3.11)

4. fejezet

Rudak rezgései F

4.1. Bevezetés

F

(a)

A rudakat a húrokhoz hasonlóan egydimenziós rendszerként vizsgáljuk, vagyis feltételezzük, hogy keresztirányú méreteik lényegesen kisebbek a rajtuk megjelen˝ o rezgések hullámhosszánál. A rudak fontos tulajdonsága a húrokkal ellentétben az, hogy saját merevséggel rendelkeznek, így küls˝ o feszít˝ o er˝ o jelenléte nélkül is rezgésbe hozhatók.

dA

(b)

– A rúd anyagi és geometriai paraméterei csak hosszirányban változnak. – Minden rezgést leíró mennyiség (elmozdulás, er˝ o) csak hosszirányban változik. – Minden rezgést leíró mennyiség (elmozdulás, er˝ o) hosszirányú.

4.2.1. A mozgásegyenlet levezetése A rúd hosszirányú rezgéseit leíró mozgásegyenlet kiindulópontjai – a tömeg-rugó rendszerhez hasonlóan – ismét Newton második törvénye és a Hooketörvény.

x

dF

x + ∆x

4.1. ábra. (a) Hosszú vékony rúd deformációja húzóer˝ o hatására. (b) A rúd kicsi darabjára ható bels˝ o er˝ ok.

4.2. Rudak longitudinális rezgései El˝ oször rudak longitudinális, vagyis hosszirányú rezgéseit vizsgáljuk. A rezgések leírásakor a következ˝ o feltételezésekkel élünk :

x x + ∆x

A Newton-törvény differenciális alakja Tekintsük a 4.1. ábrán látható rudat, melyre F hosszirányú húzóer˝ ovel hatunk. A húzóer˝ o hatására a rúd hosszirányban megnyúlik. Vizsgáljuk a rúd egy kis szakaszát, mely nyugalmi helyzetben az x és x + ∆x pozíciók között helyezkedik el. Erre a szakaszra közvetlen küls˝ o er˝ o nem hat, mégis deformációt szenved. A deformáció oka az, hogy a küls˝ o gerjesztés hatására a rúdban húzó feszültség ébred, ami a rúd minden bels˝ o pontjára hatással van. A bels˝ o feszültségek fizikai jellemzéséhez képzeljük el, hogy a rudat darabokra metsszük a kiválasztott szegmens határoló síkjai mentén, majd a kis rúddarabra er˝ ovel hatunk annak érdekében, hogy ugyanazt a deformációt szenvedje, mint amikor a rúd részét képezte. Jelölje dF a rúdszegmens felületének dA felületdarabkájára ható er˝ ot. Ennek

41

42

4. FEJEZET. RUDAK REZGÉSEI

kifejezése definíció szerint dF = σdA

(4.1)

ahol a σ skaláris mennyiség a rúdban ébred˝ o mechanikai feszültség (stress). A (4.1) definíció szerint ennek mértékegysége N/m2 . A dA felületelem irányított, vagyis pozitív, ha a felület kifelé mutató normálisa a pozitív irányba néz, és negatív az ellenkez˝ o esetben. A definíció szerint egyértelm˝ u, hogy adott el˝ ojel˝ u σ feszültség a rúdelem két oldalán ellentétes irányú er˝ okhöz vezet, hiszen a normálisok ellentétes irányúak. A szokásos konvenció szerint pozitív mennyiségként jelöljük a húzó (tensile), negatív mennyiségként jelöljük a nyomó (compressive) feszültséget. Tételezzük fel, hogy a feszültség a rúd keresztmetszete mentén állandó, vagyis nem függ az y és z koordinátáktól. Ekkor a rúdszegmens határolófelületére ható teljes er˝ o kifejezése Z F = σdA = σnA (4.2) A

ahol n = ±1 a felületi normális irányát jelöli. Írjuk fel a rúd x és x+∆x közti darabjára Newton második törvényét : X F = ma (4.3)

alakváltozásával. A ∆x hosszúságú szegmens relatív megnyúlása a szegmens két oldalán mérhet˝ ou elmozdulások segítségével az ε(x) = lim

∆x→0

u(x + ∆x) − u(x) = u0 (x) ∆x

(4.6)

összefüggéssel definiálható. Hooke törvényének egydimenziós alakja pedig ε(x) =

1 σ(x) E

(4.7)

ahol σ az x irányú feszültség, E pedig a N/m2 dimenziójú Young-modulus. A rúd hullámegyenlete Helyettesítsük be a differenciális Hooke-törvényt leíró (4.7) egyenletb˝ ol a σ feszültség kifejezését a Newton-törvény differenciális alakját megadó (4.5) egyenletbe. Így, a ρ(x) s˝ ur˝ uség helyfüggését egyel˝ ore elhagyva : EAu00 (x, t) = ρA¨ u(x, t),

(4.8)

illetve a s

E (4.9) cL = Az er˝ oket fejezzük ki a rúdszegmens bal és jobb ρ oldali lapján fellép˝ o feszültségek, a tömeget a ρ s˝ ur˝ uség, a gyorsulást pedig az u elmozdulás segítsé- mennyiséget bevezetve az gével : c2L u00 (x, t) = u ¨(x, t) (4.10) σ(x + ∆x) · (+A) + σ(x) · (−A) = ∆xAρ(x)¨ u(x) (4.4) hullámegyenletet kapjuk. ahol a bal oldalon szerepl˝ o +A és −A felületek az eltér˝ o normális irányokra utalnak. A ∆x hosszelemmel és az A felülettel végigosztva, majd határ- Peremfeltételek átmenetet képezve, a Newton-törvény egydimenziMivel a hullámegyenletünk térben másodrend˝ u, ós differenciális alakját kapjuk : két térbeli feltételre van szükségünk az egyértelm˝ u σ 0 (x, t) = ρ(x)¨ u(x, t) (4.5) megoldáshoz. A két feltételt véges L hosszúságú rudak esetén rendszerint a két rúdvégen megjeleahol a vessz˝ o az x koordináta szerinti deriválást je- n˝ o elmozdulások vagy er˝ ok megadásával realizállöli. juk. A rúd két oldalán megjelen˝ o er˝ ok kifejezése a rúd elmozdulása segítségével : A Hooke-törvény differenciális alakja F1 (t) = −σ(0, t)A = −EAu0 (0, t) Hooke törvénye azt mondja ki, hogy a rúddarabban F2 (t) = σ(L, t)A = EAu0 (L, t) (4.11) ható σ direkt feszültség arányos a rúddarab relatív

4.2. RUDAK LONGITUDINÁLIS REZGÉSEI

43

4.2.2. A longitudinális mozgásegyenlet A két végén szabadon hagyott rúd módusai megoldása Vizsgáljuk el˝ oször az els˝ o esetet. A rúd bal és jobb Látjuk, hogy a (4.10) hullámegyenlet formailag teljesen megegyezik a húrok keresztirányú rezgéseit leíró (2.8) hullámegyenlettel. Az analógiát kihasználva, megállapíthatjuk az alábbiakat : – A végtelen rúd longitudinális szabadrezgései mindig felírhatók u(x, t) = u+ (cL t − x) + u− (cL t + x) (4.12)

végpontján a σ feszültségb˝ ol származó F1 és F2 er˝ ok (4.11) szerint az elmozdulás deriváltjával arányosak, a zérus er˝ o tehát zérus elmozdulás deriváltat eredményez mindkét oldalon. Ha a húr elmozdulásának helyfüggését általánosan ψ(x) = A sin kx + B cos kx

(4.14)

alakban keressük, akkor a bal oldali ψ 0 (0) = 0 feltétel az A = 0 értékhez vezet, a jobb oldali ψ 0 (L) = 0 feltételt kiírva pedig a

alakban, vagyis a pozitív és a negatív tengely irányában cL sebességgel haladó impulzusok −B sin(kL) = 0 (4.15) szuperpozíciójaként, ahol cL -t a (4.9) összefüggéssel definiáltuk. kitételhez jutunk, ahonnan kL = nπ és n ∈ Z+ . Összefoglalva : A két végén szabadon hagyott rúd – A rúdban haladó rezgésimpulzusok a me- módusainak alakja rev lezárásról −1-szeres, a szabadon hagyott nπ lezárásról +1-szeres amplitúdóval ver˝ odnek x (4.16) ψn (x) = cos kn x = cos L vissza. – A két végén megfogott végtelen rúd longitudinális szabadrezgései u(x, t) = = =

∞ X n=1 ∞ X n=1 ∞ X n=1

a sajátfrekvenciák pedig ωn =

nπcL L

(4.17)

αn (t)ψn (x)

ahogy azt a 4.2(a). ábra mutatja.

Un cos(ωn t + φn ) sin kn x

Az egyik végén befogott, másik végén szabadon hagyott rúd módusai

Un cos

nπx nc π L t + φn sin L L (4.13)

Amennyiben a húr bal oldalát szabadon hagyjuk, de jobb oldalát befogjuk, vagyis F1 = 0 és u(L) = = 0, akkor a

ψ(L) = B cos(kL) = 0 (4.18) alakú szuperpozícióval írhatók fel, ahol az egyes tagok az alapharmonikus f1 = cL /2L aminek megoldása kL = (2n − frekvenciájának többszörösein megjelen˝ o álló- feltételhez jutunk, + −1)π/2, n ∈ Z , vagyis a rúd módusainak helyfüghullámok. gése A húregyenlet megoldásához képest újdonság, (2n − 1)π hogy a rudak esetében van értelme vizsgálnunk a ψn (x) = cos kn x = cos x (4.19) 2L szabadon hagyott vég˝ u rudak szabadrezgéseit is. Két új esetet különböztethetünk meg : a sajátfrekvenciák pedig 1. A rúd mindkét vége er˝ omentes. ωn =

πcL (2n − 1) 2L

2. A rúd egyik vége be van fogva, a másik er˝ omentes. ahogy azt a 4.2(b). ábra mutatja.

(4.20)

n=1

4. FEJEZET. RUDAK REZGÉSEI n=1

44

0

L

0

L

0

L

0

L (b)

L

0

L

0

L

0

L

0

L

n=3 n=5

n=4

n=3 n=4 n=5

(a)

0 n=2

L

n=2

0

4.2. ábra. (a) A mindkét végén szabadon hagyott rúd ψn (x) longitudinális módusai. (b) A bal oldalán szabadon hagyott, jobb oldalán megfogott rúd ψn (x) longitudinális módusai.

4.3. Rúd hajlító rezgése

semleges szál összenyomódás

Hajlító rezgések rudakban akkor jönnek létre, ha egy hosszához képest kis keresztmetszet˝ u rúdra keresztirányú er˝ ovel hatunk. A gerjesztés eredményeként a rúd meghajlik, ahogy azt a 4.3. ábra mutatja. A deformációról az alábbiakat tételezzük fel : – A deformáció során a rúd keresztmetszete változatlan alakú marad. – A rúd középvonala, az úgynevezett semleges szál hosszváltozása zérus. A fentiek értelmében a semleges szál alatti és fölötti hosszirányú alakváltozás ellentétes irányú : Ha a rúd lefelé hajlik, akkor a semleges szál fölötti része megnyúlik, a semleges szál alatti rész pedig összehúzódik. Mivel a keresztmetszet merev marad, az alakváltozás mértéke a semleges száltól mért y távolság lineáris függvénye. Minél messzebb vagyunk a semleges száltól, annál intenzívebb a deformáció. A hajlítás során a húrban nemcsak σ direkt feszültségek ébrednek, hanem τ nyíró feszültségkomponensek is megjelennek. A nyíró feszültség szintén skaláris, N/m2 dimenziójú mennyiség, a direkt feszültséggel analóg módon definiáljuk : Ha a rúd x pozíciójában τ (x) feszültség uralkodik, akkor az x pozícióban felvett dA irányított felületdarabra dFy (x) = τ (x)dA nagyságú keresztirányú nyíró

tágulás

4.3. ábra. Rúd hajlító rezgése. A deformáció során a rúd keresztmetszete nem deformálódik, csak elmozdul. er˝ o hat.

4.3.1. A mozgásegyenlet levezetése A rudak hajlító rezgéseit leíró mozgásegyenlet levezetéséhez Newton második törvényét, a nyomatékok és er˝ ok közti kapcsolatot és a Hooke-törvényt használjuk fel. Tekintsük a rúd egy kiválasztott szegmensét, mely az x és x + dx pozíciók között helyezkedik el. A szegmens deformálódását a g(x) hosszegységre ható küls˝ o er˝ o mellett a rúdban uralkodó direkt σ és keresztirányú nyíró τ feszültségek okozzák. A nyíró feszültségek a rúddarab felületein Fy nyíró er˝ oket eredményeznek. A σ direkt feszültségek nem eredményeznek a keresztmetszetre ható hosszirányú er˝ oket, mert a semleges szál alatt és

4.3. RÚD HAJLÍTÓ REZGÉSE

45

Fy (x + dx) M (x)

y σx dA M

M (x + dx) Fy (x) x

g(x) x + dx

4.4. ábra. A rúd dx hosszú szegmensére ható küls˝ o er˝ ok, bels˝ o er˝ ok és nyomatékok fölött fellép˝ o húzó és nyomó feszültségek kiejtik egymást. A σ direkt feszültségek eredménye a rúd keresztmetszetére ható M forgató nyomatékok jelenléte. Jelölje g(x) a rúd egységnyi hosszú szakaszára ható keresztirányú nyíró er˝ ot. Ennek ismeretében a rúd dx hosszú darabjára ható teljes küls˝ o er˝ o g(x)dx. A rúdban fellép˝ o τ nyíró feszültségéb˝ ol származó er˝ oket a rúd bal és jobb oldalán jelölje rendre Fy (x) és Fy (x+dx). Feszültségb˝ ol származó er˝ okr˝ ol lévén szó, ezek irányai a felületi normálisoknak megfelel˝ oen ellentétesek. A rúdelem tömege ρdxA. Ezen mennyiségek ismeretében Newton második törvényének alakja g(x)dx + Fy (x + dx) − Fy (x) = ρAdxa(x), (4.21)

dA

α

R

4.5. ábra. A hajlított rúdszegmensben ébred˝ o elemi nyomatékok A rúdelemben uralkodó σ feszültségb˝ ol származó M nyomatékok kifejezéséhez tekintsük a 4.5. ábrát. A rúd középvonalától y távolságban a rúd semleges szállal párhuzamosan futó ívdarabjának nyúlása ε(y) =

(R + y)α − Rα y l(y) − l0 = = , (4.25) l0 Rα R

ahol R a rúd görbületi sugara. A görbületi sugár általános u(x) függvény esetén az 3/2 1 + u0 (x)2 R(x) = − u00 (x)

(4.26)

ahol a a rúdelem keresztirányú gyorsulása. A dx összefüggéssel adódik, mely kis elfordulások taggal osztva, majd a dx → 0 határátmenetet elvé(u0 (x) 1) esetén a keresztirányú elmozdulás mágezve : sodik deriváltjából g(x) + Fy0 (x) = ρAa(x). (4.22) 1 A rúdelemben jelen lev˝ o direkt σ feszültségekb˝ ol R(x) ≈ − 00 (4.27) u (x) ered˝ o nyomatékokat a rúdelem bal és jobb oldalán jelölje rendre M (x) és M (x + dx). A τ nyíró feszültségekb˝ ol származó Fy bels˝ o nyíró er˝ ok ál- módon számítható, ahonnan tal az elemre kifejtett nyomaték Fy (x)dx. Kis kiε(x, y) = −yu00 (x). (4.28) térések esetén a rúdelem teljes nyomatéka (a rúdelemre ható forgatónyomatékok összege) közelít˝ oA Hooke-törvény szerint a semleges száltól y táleg zérus.1 volságra uralkodó direkt feszültség M (x + dx) − M (x) + Fy (x)dx = 0, (4.23) σ(x, y) = Eε(x, y) = −Eyu00 (x), (4.29) ahonnan dx-szel leosztva, majd a dx → 0 határátmenetet képezve : aminek értelmében egy dA felület˝ u szegmens által kifejtett elemi dM forgató nyomaték (az ábrán je0 M (x) + Fy (x) = 0 (4.24) lölt forgási irányban tekintve) 1A

g(x) er˝ oeloszlás által keltett forgatónyomatékot elhanyagolhatjuk, mivel ezt a g(x)x szorzat integrálásával kapjuk, melynek eredménye (dx)2 szorzót tartalmaz, ami a dx → 0 határátmenetben zérust ad.

dM (x, y) = −σ(x, y)dAy = Ey 2 u00 (x)dA. (4.30) A teljes forgatónyomatékot az elemi nyomatékok

46

4. FEJEZET. RUDAK REZGÉSEI y

teljes felületre vett integrálásával kapjuk meg : Z M (x) = dM (x, y) ZA = Ey 2 u00 (x)dA

dA y

r θ

z

A

= EIu00 (x), ahol

Z I=

y 2 dA

(4.31) (4.32)

A

a rúd keresztmetszetének y irányú hajlítással szem4.6. ábra. Kör keresztmetszet inerciájának ben támasztott másodrend˝ u nyomatéka, vagy más számítása néven inerciája. Fejezzük ki (4.24)-b˝ ol Fy0 (x)-et, és helyettesítsük Kör keresztmetszet be (4.22)-be : g(x) − M 00 (x) = ρAa(x)

A kör keresztmetszet˝ u rúd középvonalra vonatkoztatott nyomatékának számítása A nyomaték második deriváltját fejezzük ki (4.31)Z b˝ ol, illetve helyettesítsük az a gyorsulást az u kitéI= y 2 dA (4.38) rés id˝ o szerinti második deriváltjával. Eredményül A a rúd hajlító rezgését leíró differenciálegyenletet Térjünk át polár-koordinátarendszerre, így y = kapjuk : = r sin θ, a dA felületelem kifejezése pedig rdrdθ 00 00 g(x, t) − (EI(x)u (x, t)) = ρA(x)¨ u(x, t). (4.34) lesz Amennyiben a rúd inerciája állandó, vagyis mind Z 2π Z R a Young-modulus, mind a felület keresztmetszete I= r2 sin2 θrdrdθ 0 0 konstans, a rúd hajlító rezgéseit leíró egyenlet az Z 2π Z R alábbi alakra egyszer˝ usödik : 1 − cos 2θ = dθ r2 rdr (4.39) 2 0 0 g(x, t) − EIu(4) (x, t) = ρA¨ u(x, t). (4.35) (4.33)

Kihasználva, hogy a koszinuszos tag teljes 2π peri-

4.3.2. Néhány tipikus keresztmetszet ódusra vett integrálja nulla, az eredmény másodrend˝ u nyomatéka R Z 2π Téglalap keresztmetszet

I= 0

1 r4 dθ 2 4

= 0

R4 π 4

(4.40)

A téglalap keresztmetszet˝ u rúd középvonalra voahonnan az inerciasugár natkoztatott nyomatékának számítása r r Z Z d/2 Z h/2 I R4 π/4 R 2 2 = = (4.41) K= y dydz I= y dA = 2 A R π 2 A −d/2 −h/2 3 h/2 dh3 y = (4.36) Kör keresztmetszet˝ =d u cs˝ o 3 −h/2 12 Az R küls˝ o és r bels˝ o átmér˝ oj˝ u kör keresztmetszet˝ u Az I p inercia helyett sok összefüggésben gyakran cs˝ o inerciája a (4.32)-ben szerepl˝ o integráloperátor a K = I/A inerciasugarat használjuk, ami a téglinearitása miatt számítható a küls˝ o és a bels˝ o cs˝ o lalap keresztmetszet˝ u rúd esetére inerciáinak különbségeként : r r I dh3 /12 h K= = =√ (4.37) R4 π r 4 π (R2 + r2 )(R2 − r2 )π A dh I= − = (4.42) 12 4 4 4


47

4.3.3. A rúd hajlító szabadrezgései – diszperzió Keressük a homogén rúdegyenlet megoldását a változók szeparálásának módszerével, vagyis legyen u(x, t) = Ut (t)Ux (x)

(4.44)

A rúdegyenletbe helyettesítve : −

(4) EI Ux (x) U¨t (t) = = −ω 2 ρA Ux (x) Ut (t)

(4.45)

Az id˝ ofügg˝ o tag megoldása a már jól ismert

4000

3000 c [m/s]

ahonnan az inerciasugár s r √ (R2 +r 2 )(R2 −r 2 )π I R2 + r 2 4 K= = = A (R2 − r2 )π 2 (4.43)

2000

1000

cL cB

0 0

5

10 f [kHz]

15

20

4.7. ábra. Hat centiméter átmér˝ oj˝ u rózsafa rúd hajlító rezgésének diszperziógörbéje. A kék vonal a longitudinális rezgés sebességét, a zöld görbe a hajlító hullám frekvenciafügg˝ o sebességét ábrázolja.

(4.46) elmozdulásimpulzust ébresztünk, akkor annak különböz˝ o frekvenciájú komponensei eltér˝ o sebesharmonikus id˝ ofüggvény. A helyfügg˝ o egyenlet átséggel terjednek. A nagyfrekvenciás komponensek alakítása gyorsabban terjednek a lassan változó összetev˝ okρA 2 Ux(4) (x) = ω Ux (x) (4.47) nél. A frekvenciafügg˝ o terjedési sebesség következEI ménye, hogy az impulzus rezgésterjedés közben Aminek megoldásai a harmonikus és hiperbolikus ˝rzi meg alakját, hanem „elken˝ nem o odik”. függvények : Ut (t) = U cos(ωt + ϕ)

Ux (x) = A sin kx + B cos kx + C sh kx + D ch kx (4.48) ahol ρA 2 k4 = ω (4.49) EI A (4.49) összefüggés a k hullámszám és az ω frekvencia közti kapcsolatot teremti meg, vagyis a rezgés terjedési sebességét definiálja. Kihasználva, hogy a hullámszám és a sebesség kapcsolata k = = ω/cB , a sebességre a következ˝ o kifejezést kapjuk : s r p E 4 I√ ω = cL Kω (4.50) cB = 4 ρ A vagyis a hajlító hullám terjedési sebessége a frekvencia négyzetgyökével arányos, amint azt a 4.7. ábra mutatja. Ezt a tulajdonságot diszperziónak nevezzük. Fontos fizikai tartalma az, hogy ha a rúdban egy

4.3.4. Véges hosszú rúd hajlító módusai A rudak hajlító rezgéseit leíró (4.35) egyenlet alapvet˝ oen eltér a longitudinális hullámegyenlett˝ ol, hiszen az elmozdulás hely szerinti negyedik deriváltját is tartalmazza, vagyis térben negyedrend˝ u. A negyedik deriváltnak számos fontos következménye van. Egyrészt a térbeli peremfeltételeket négy megkötéssel kell megadnunk, ami a véges rúd két végén definiált két-két peremfeltétellel realizálható. A másik fontos következmény a módusok hullámszámai és sajátfrekvenciái közti összefüggés lesz. Peremfeltételek A megoldáshoz négy peremfeltételt kell használnunk, melyeket az alábbi fizikai mennyiségek definiálnak : – Az u(x) keresztirányú elmozdulás

48

4. FEJEZET. RUDAK REZGÉSEI Egyszer˝ u alátámasztás, u(0) = 0, M (0) = 0

A lehetséges megoldásokhoz képezzük (4.53) és (4.54) különbségét : 2A sin(kL) = 0

(4.55)

Merev befogás, u(0) = 0, φ(0) = 0 ahonnan a lehetséges hullámszámok : kn = nπ/L, ahol n = 1, 2, . . . Másik lehet˝ oségként képezhetjük (4.53) és (4.54) összegét, de az így adódó

Szabad rúdvég, F (0) = 0, M (0) = 0

2C sh(kL) = 0 4.8. ábra. Peremfeltétel-típusok rúd hajlító rezgése esetén – A φ(x) = u0 (x) szögelfordulás – Az M (x) = EIu00 (x) forgatónyomaték – Az F (x) = −M 0 (x) = −EIu000 (x) keresztirányú er˝ o. A megoldásnál a rúd mindkét oldalán kétkét peremfeltételt definiálunk, melyek tipikusan a 4.8. ábrán megjelenített három esetb˝ ol kerülnek ki. Egyszer˝ u alátámasztás esetén a rúd vége nem tud elmozdulni, de nyomaték sem hat rá. A teljesen merev megfogás esetén a rúdvégz˝ odés sem elmozdulni, sem elfordulni nem tud. A szabadon hagyott rúdvégre sem er˝ o, sem forgatónyomaték nem hat.

(4.56)

egyenletnek nincsen nemtriviális, azaz konstans zérus elmozdulást eredményez˝ ot˝ ol különböz˝ o megoldása. Egyszer˝ u alátámasztás esetén tehát a rúd módusai nπ (4.57) ψn (x) = sin(kn x), kn = L alakúak, a hozzájuk tartozó sajátfrekvenciák pedig ωn = cL Kkn2 = cL K

nπ 2 L

(4.58)

Figyelemre méltó, hogy bár a módusalakok megegyeznek a befogott húr vagy a mindkét végén megfogott, longitudinálisan rezg˝ o rúd módusalakjaival, a sajátfrekvenciák ezennel a módusszámmal nem egyenesen arányosan, hanem négyzetesen növekednek.

Egyszer˝ u alátámasztás Tekintsük el˝ oször az egyszer˝ u alátámasztás esetét, mely során a rúd bal és jobb oldali elmozdulása zérus, illetve sem a bal, sem a jobb oldalra nem fejtünk ki forgatónyomatékot. A bal oldali elmozduláskényszer szerint, a (4.48) egyenlet alapján u(0) = B + D = 0

(4.51)

(4.52)

(4.51) és (4.52) alapján B = D = 0. A jobb oldali elmozduláskényszerb˝ ol kiindulva u(L) = A sin(kL) + C sh(kL) = 0

(4.53)

a jobb oldali zérus nyomaték feltétel szerint pedig u00 (L) ∝ −A sin(kL) + C sh(kL) = 0

Tekintsük most azt az esetet, mikor a rúd mindkét végét szabadon hagyjuk, vagyis sem er˝ ovel, sem nyomatékkal nem hatunk rá. Ez a peremfeltételtípus jó közelítéssel írja le a rugalmasan alátámasztott marimbarudak esetét. A peremfeltételeink ekkor : M (0) ∝ u00 (0) = 0,

a bal oldai zérus nyomaték szerint M (0) = EIu00 (0) = 0 ⇒ −D + B = 0

Szabad-szabad lezárás

(4.54)

000

F (0) ∝ u (0) = 0,

M (L) ∝ u00 (L) = 0 F (L) ∝ u000 (L) = 0 (4.59)

A második deriváltakat tartalmazó nyomatékfeltétel x = 0-ra való alkalmazása (a kiugró khatványok mell˝ ozésével) : u00 (0) ∝ −A sin(0) − B cos(0) + C sh(0) + D ch(0) = 0 (4.60)


49

ahonnan B = D. A harmadik deriváltakat tartalmazó er˝ ofeltétel alakja

1 cos x 1/ch x −1/ch x

u000 (0) ∝ −A cos(0) + B sin(0) + C ch(0) + D sh(0) = 0 (4.61) 0

ahonnan A = C. A helyettesítések elvégzésével a kitérésünk immár u(x) = A [sin kx + sh kx] + B [cos kx + ch kx] (4.62) alakú. Alkalmazzuk a nyomatékfeltételt az x = L pozícióban :

−1

π 2

3π 2

kL

5π 2

7π 2

4.9. ábra. A szabad-szabad és szabad-merev lezárásokhoz tartozó transzcendentális (4.69) és (4.76) egyenletek grafikus megoldása

u00 (L) ∝ A [− sin(kL) + sh(kL)] + B [− cos(kL) + ch(kL)] = 0. (4.63) ahonnan B=A

− sin(kL) + sh(kL) cos(kL) − ch(kL)

(4.64)

hogy a ch függvény exponenciálisan tart a végtelenhez, reciproka zérushoz tart. Ezek szerint nagy hullámszámok esetére teljesülnie kell a cos kL ≈ 0 egyenletnek, ami szerint nagy n-ekre kn L =

Alkalmazzuk az er˝ ofeltételt az x = L pozícióban : 000

u (L) ∝ A [− cos(kL) + ch(kL)] + B [sin(kL) + sh(kL)] = 0. (4.65) ahonnan B=A

cos(kL) − ch(kL) sin(kL) + sh(kL)

(4.66)

(4.64)-et és (4.66)-ot egyenl˝ ové téve − sin(kL) + sh(kL) cos(kL) − ch(kL) = (4.67) cos(kL) − ch(kL) sin(kL) + sh(kL)

π [5, 7, 9, . . . ] 2

(4.70)

Az alacsonyabb k értékekre a 4.9. ábrán látható grafikus megoldáshoz kell folyamodnunk, ami szerint – a k = 0, zenei szempontból érdektelen eseten felül – egyetlen egyéb megoldás a kn ≈ ≈ 3,0112π/2L. Összefoglalva : kn =

π [3,0112, 5, 7, 9, . . . ] 2L

(4.71)

ahonnan a sajátfrekvenciák ω n = cL K

π2 3,01122 , 52 , 72 , 92 , . . . 2 4L

(4.72)

Ez esetben tehát a rúd sajátfrekvenciáit a páratlan számok négyzetei írják le, de az alaphang az n ≈ 3 értékhez tartozik. A rúd hajlító módusait a 4.10(a) ábra mutatja. Megfigyelhet˝ o, hogy a módusalakok a rúd két szé0 = 2 [1 − cos(kL) ch(kL)] (4.68) lén a lokális maximumokhoz képest er˝ osebb kilengéseket mutatnak. Felismerhetjük továbbá, hogy a illetve átrendezve páros rendszámú módusalakoknak a rúd közepén csomópontjuk van, amib˝ ol következik, hogy a ru1 (4.69) dat az L/2 pozícióban megütve, a páros módusok cos(kL) = ch(kL) nem vesznek részt a válaszban. Az L/3, L/4 stb. A transzcendens (4.69) egyenlet közelít˝ o meg- arányok esetére ez a jelenség már csak er˝ os közelíoldásait viszonylag könny˝ u megtalálni. tekintve, tésként áll fenn. A nevez˝ okkel keresztbe szorozva, valamint kihasználva a sin2 x + cos2 x = 1 és ch2 x − sh2 x = 1 azonosságokat

(a)

n=2 n=3 n=4 n=5

n=5

n=4

n=3

n=2

n=1

4. FEJEZET. RUDAK REZGÉSEI n=1

50

0

L

(b)

0

L

4.10. ábra. (a) A mindkét végén szabadon hagyott rúd hajlító módusai. (b) A bal oldalon megfogott, jobb oldalon szabadon hagyott rúd hajlító módusai. Amennyiben a módusokat úgy normáljuk,√hogy maximális abszolút elmozdulásuk |ψn (L)| = 2 legyen, akkor a normanégyzetük kψn k2 = L/2. 4.1. példa Homogén rúd felhangjai Egy homogén, állandó keresztmetszet˝ u farudat ütéssel gerjesztünk. Az alaphanghoz képest milyen hangközök szólalnak meg ? A (4.72) képlet alapján az els˝ o felhang alaphanghoz viszonyított frekvenciaaránya

Merev-szabad lezárás A gyakorlati alkalmazásokban és hangszerekben is igen gyakran fordul el˝ o a merev-szabad lezárás, mikor a rúd x = 0-ban teljesen be van fogva, vagyis mind elmozdulása, mind szögelfordulása zérus, illetve x = L-ben szabadon van hagyva, vagyis sem er˝ ovel, sem nyomatékkal nem terheljük. Az állapotot leíró peremfeltételek u(0) = 0, 0

u (0) = 0, ω2 = ω1

5 3,0112

2 (4.73)

amihez tartozó hangmagasság-eltérés 1200 log2

5 3,0112

2 = 1756 cent

(4.74)

u00 (L) = 0 u000 (L) = 0

(4.75)

A szabad-szabad esethez hasonlóan könnyen végigvezethet˝ o a megoldás, végeredményként a megfelel˝ o hullámszámokra az alábbi transzcendentális egyenletet kapjuk : cos(kL) =

−1 ch(kL)

(4.76)

A (4.76) grafikus megoldása itt is kiolvasható ami egy tiszta oktávnak és 556 centnek felel meg. a 4.9. ábrából. A megfelel˝ o hullámszámok sorban Az 556 cent a tiszta kvartnál 58 centtel, vagyis egy π fél félhanggal magasabban szól, ami meglehet˝ osen kn = [1,194, 2,985, 5, 7, 9, . . . ] (4.77) 2L hamis hangot eredményez. A második felhang alaphanghoz viszonyított ahonnan a sajátfrekvenciák hangmagassága 2920 cent, ami két tiszta oktávπ2 1,1942 , 2,9852 , 52 , 72 , 92 , . . . ω = c K n L nak és a tiszta kvartnál 23 centtel magasabb hamis 2 4L (4.78) kvartnak felel meg. A módusalakok kifejezése A harmadik felhang három tiszta oktáv és egy 13 centnyivel sz˝ uk (nagy) nagyszekundnyi távolságra ψn (x) = A [sin kx − sh kx] van az alaphangtól. + B [cos kx − ch kx] (4.79)

4.3. RÚD HAJLÍTÓ REZGÉSE 0 L

51 x

0

U Un / U1 [dB]

−20

4.11. ábra. Bütykös harangjáték

−40 −60 −80

ahol B = −A

sin(kL) + sh(kL) cos(kL) + ch(kL)

−100 0

20

(4.80)

A módusalakokat a 4.10(b) ábra mutatja. Amennyiben a módusokat úgy normáljuk, hogy √ maximális abszolút elmozdulásuk |ψn (L)| = 2 legyen, akkor a normanégyzetük kψn k2 = L/2.

4.3.5. Bütykös harangjáték Pengetett rudak zenei alkalmazására az egyik legismertebb példa a 4.11. ábrán látható bütykös harangjáték, melynek forgódobján lev˝ o bütykök különböz˝ o hosszúságú és vastagságú fémrudacskákat pengetnek meg. Mivel a forgódobot lassan forgatjuk, feltételezhetjük, hogy a megfeszített rudacskák álló helyzetb˝ ol, adott kezdeti elmozdulásról kezdik rezgésüket. A kezdeti feltétel

40 60 ωn/ω1 [−]

80

100

4.12. ábra. A bütykös harangjáték modális amplitúdói. A kék vonalak a pozitív, a piros vonalak a negatív értékeket jelölik. A szürke vonalak az azonos alaphangon megszólaló, középen pengetett ideális húr spektrumvonalait ábrázolják. a jobb oldali elmozdulás pedig u0 (L) = U , ahonnan 3 x 2 x u0 (x) = U 1− (4.84) 2 L 3L A szabadrezgés Az álló helyzetb˝ ol, adott kezdeti feltétellel indított szabadrezgés alakja

∞ X A kezdeti elmozdulás u0 (x) helyfüggését egyérUn ψn (x) cos(ωn t + ϕn ) (4.85) u(x, t) = telm˝ uen meghatározza a rudacska végpontjának n=1 u0 (L) = U elmozdulása. A kezdeti feltétel termé˙ = 0 zérus kezdeti sebességb˝ ol következik szetesen kielégíti a statikus (¨ u = 0) rúdegyenletet : Az u(x,0) a ϕn = 0, a kezdeti elmozdulás kifejezése pedig (4)

c2L K 2 u0 (x) = 0

(4.81)

A megoldást egyszer˝ uen harmadfokú polinom alakban kereshetjük : u0 (x) = A + Bx + Cx2 + Dx3

(4.82)

A rudacska bal oldala mereven be van fogva, vagyis mind u0 (0) elmozdulása, mind u00 (0) szögelfordulása zérus. Innen A = B = 0. A rudacska jobb oldalára nyomatékkal nem hat a bütyök (u000 (L) = = 0), ahonnan D = −C/3L, vagyis x u0 (x) = Cx2 1 − (4.83) 3L

∞ X

u0 (x) = u(x,0) =

Un ψn (x)

(4.86)

n=1

ahonnan az Un együtthatók kifejezése hψn , u0 i 2 Un = = 2 kψn k L

Z

L

u0 (x)ψn (x)dx

(4.87)

0

Az integrál elvégzése harmadfokú polinom és harmonikus, illetve hiperbolikus függvények szorzatának integrálását igényli, ami parciális integrálással analitikusan is elvégezhet˝ o. Az eredményül kapott Un együtthatókat a 4.12. ábra mutatja. Az ábrán

52 kék vonalak jelölik a pozitív, piros vonalak a negatív Un értékeket. Összehasonlításként felvázoltuk a középen pengetett ideális húr spektrális komponenseit is. Figyelemre méltó, hogy míg a közepén pengetett ideális húrnak az ábrázolt frekvenciaskálán ötven módusa van, a pengetett harangjátéknak mindössze hat. Megjegyezzük, hogy 200 Hz alapfrekvenciájú rezgés esetén az ábrázolt tartomány a teljes hallható tartományt lefedi. A módusok amplitúdói nagyságrendileg megegyeznek a gitárhúr spektrális amplitúdóival, vagyis a frekvencia négyzetével arányosan csökkennek. Ez természetesen az n módusszám negyedik hatványával való csökkenésnek felel meg. 4.2. példa Harangjáték Egy kis kézi „teker˝ os” harangjáték forgó dobján elhelyezett bütykök az állórészbe befogott apró acélrudacskákat pengetnek meg. A kiválasztott rudacskánk 1,5 cm hosszú és 0,2 mm vastag. Milyen alapfrekvencián szólal meg a megpengetett rudacska ? (az acél Young-modulusa 200 GPa.) Mely frekvenciákon jelentkezik a rudacska els˝ o három felhangja ? A rudacska befogási feltétele merev-szabad, ami szerint a sajátfrekvenciák s E π K 1,1942 , 2,9852 , 52 , 72 , . . . fn = ρ 8L2 √(4.88) Az acélrudacska inerciasugara K = h/ 12 = = 5,77 · 10−5 m, az alapfrekvencia innen f1 = = 727 Hz. A sajátfrekvenciák a képlet szerint f2 = 4 544 Hz, f3 = 12 749 Hz, f4 = 24 987 Hz.

4.4. Rudak hangolása Láttuk, hogy mind a szabad-szabad peremfeltétellel, mind a merev-szabad peremfeltétellel definiált homogén rúd sajátfrekvenciái az alaphang irracionális többszörösein jelennek meg. A szabad-szabad lezárás esetén például az els˝ o felhang frekvenciája az alaphang 52 /3,01122 ≈ 25/9-szerese, ami két oktávnak és egy kicsit hamis b˝ ovített kvartnak (558 cent) felel meg. Látható tehát, hogy a téglatest alakú homogén farudak önmagukban is hamisan szól-

4. FEJEZET. RUDAK REZGÉSEI nak, ezért zenei célokra csak korlátozottan alkalmasak. A homogén geometriájú rúd rövidítésével vagy vastagításával növelhet˝ o a rúd alapfrekvenciája, de a felhangok egymáshoz képesti aránya nem, vagyis a rúd önmagához képest hamis marad. A rúd hangolásának fontos eszköze a rúd helyfügg˝ o vékonyítása. A továbbiakban azt vizsgáljuk meg, hogy egy homogén rúd enyhe helyfügg˝ o keskenyítésével miként változnak a rúd sajátfrekvenciái. Az inhomogén, vagyis változó keresztmetszet˝ u rúd harmonikus szabadrezgéseit leíró differenciálegyenlet alakja 00

c2L

(I(x)u00 (x)) = ω 2 u(x) A(x)

(4.89)

ahol I(x) a helyfügg˝ o inercia, A(x) pedig a helyfügg˝ o keresztmetszeti felület. A homogén rúd esetén a differenciálegyenlet lényegesen egyszer˝ ubb c2L K 2 u(4) (x) = ω 2 u(x)

(4.90)

ahol K a konstans inerciasugár. Vezessük be a (4.90) homogén differenciálegyenletre az alábbi általános jelölést : A0 {u} = γu

(4.91)

ahol A0 az egyenlet bal oldalán kifejtett differenciáloperátort jelöli, mely az argumentumát négyszer deriválja, majd a c2L K 2 konstanssal szorozza. A γ = = ω 2 mennyiség az A0 differenciáloperátor egy sajátértéke, melyhez tartozó sajátfüggvény u(x). Tudjuk, hogy az A0 operátor sajátfüggvényei a homogén rúd ψn (x) módusalakjai, a hozzájuk tartozó γn = ωn2 sajátértékek pedig az ωn sajátfrekvenciák négyzetei : A0 {ψn } = γn ψn

(4.92)

Ha a rudat inhomogén jelleggel keskenyítjük, akkor a differenciáloperátor meg fog változni : megjelennek benne az u(x) megoldásfüggvény második és harmadik deriváltjai, az I(x) inerciafüggvény legfeljebb második deriváltjai, valamint a nevez˝ oben a helyfügg˝ o A(x) tag is. Értelemszer˝ uen változnak a sajátfüggvények és az azokhoz tartozó sajátértékek is. Ezek a változások annyira bonyolultak, hogy az inhomogén egyenlet analitikus megoldására nincs lehet˝ oségünk.

4.4. RUDAK HANGOLÁSA

53 x0

4.4.1. A perturbációmódszer

x

h0 h0 Tegyük fel azonban, hogy a rudat csak igen kis ∆x mértékben keskenyítjük. Vezessük be a keskenyítés 4.13. ábra. Téglalap keresztmetszet˝ u rúd lokális mértékére az vágási mélységet, ami lényegesen keskenyítése kisebb a rúd magasságánál. Ekkor feltételezhetjük, hogy mind a differenciáloperátor, mind a megoldásfüggvény, mind a sajátérték az vágási mélyahonnan a lehetséges egyszer˝ usítések elvégzése séggel lineárisan változik : után a sajátérték változása az alábbi alakban fejezhet˝ o ki : A0 → A0 + δA hψn , δA {ψn }i δγ = (4.100) ψn → ψn + δψ 2 kψn k γn → γn + δγ (4.93) Helyettesítsük be a változásokat az eredeti (4.92) differenciálegyenletbe :

4.4.2. Alkalmazás téglalap keresztmetszet˝ u rúdra

A0 {ψn + δψ} + δA {ψn + δψ}

A továbbiakban általános eredményünket egy = (γn + δγ) (ψn + δψ) (4.94) konkrét esetre alkalmazzuk. Tekintsük a téglalap keresztmetszet˝ u rúd esetét, melynek szélessége w, használjuk ki az operátorok linearitását, valamint magassága pedig h(x). Ekkor az inercia és a felület hagyjuk el az elhanyagolható 2 -es tagokat : kifejezése A0 {ψn } + A0 {δψ} + δA {ψn } = γn ψn + (δγψn + γn δψ) (4.95)

h3 (x)w 12 A(x) = h(x)w I(x) =

(4.101)

(4.92) felhasználásával egyszer˝ usíthetünk : Tegyük fel továbbá, hogy a rúd helyfügg˝ o vékonyí(4.96) tását egy négyszögfüggvény írja le, melynek középpontja az x0 bels˝ o pont, szélessége ∆x, magassága Használjuk ki, hogy a sajátfüggvény δψ megvál- pedig h (4.13. ábra). A négyszögfüggvényt egy 0 tozása a rúd egy rezgésalakja, ami mindig felírható ekvivalens Dirac-impulzussal közelítjük, mely alata módusok szuperpozíciójaként : ti terület h0 ∆x : A0 {δψ} + δA {ψn } = δγψn + γn δψ

δψ =

∞ X

(4.97)

αm ψm

h(x) = h0 (1 − ∆xδ(x − x0 ))

(4.102)

m=1

A továbbiakban feladatunk az, hogy a h(x) függvényt, az I(x) és A(x) függvényeket behelyettesítsük a (4.89) egyenletbe, majd kifejezzük a bal ol∞ ∞ X X o operátor -nal arányos δA tagját. αm A0 {ψm }+δA {ψn } = δγψn +γn αm ψm dalon megjelen˝ Az elvi nehézséget nem okozó, de annál fáradságom=1 m=1 (4.98) sabb számításokat mell˝ ozve, az eredmény Egyszer˝ usítsünk ismét (4.92) felhasználásával, va lamint szorozzuk (4.98) mindkét oldalát skalárisan 2 2 δA {u} = −c K ∆x 2δ(x − x0 )u(4) (x)+ L ψn -nel, és használjuk ki a módusok ortogonalitá sát : + 6δ 0 (x − x0 )u000 (x) + 3δ 00 (x − x0 )u00 (x) amit (4.96)-ba behelyettesítve

(4.103)

αn γn kψn k2 + hψn , δA {ψn }i 2

= δγ kψn k + γn αn kψn k

2

(4.99)

A δA operátor ismeretében immár lehet˝ oségünk

54

4. FEJEZET. RUDAK REZGÉSEI tében :

nyílik a (4.100) egyenlet kiértékelésére :

s

ωn2 + δω 2 2 hψn , δA {ψn }i 1200 log2 = hψ , δA {ψ }i n n ωn2 kψn k2 L ( Z L 600 δω 2 δω 2 ∆x 2 2 (4) ≈ = 600 log 1 + 2 = − 2cL K 2 δ(x − x0 )ψn (x)ψn (x)dx ωn2 ln 2 ωn2 L 0 1200 ∆x 3ψn002 (x0 ) Z L 2 = (4.109) ψn (x0 ) − ln 2 L kn4 δ 0 (x − x0 )ψn (x)ψn000 (x)dx +6 0 ) Z L Az eredményt a 4.14. ábra mutatja az els˝ o öt mó00 00 o diagramja az öt módusδ (x − x0 )ψn (x)ψn (x)dx (4.104) dus esetére. Az ábra fels˝ +3 0 alakot, az alsó diagram pedig a centben kifejezett normalizált hangmagasság-eltérést mutatja. A norA Dirac-delta deriváltjainak kiválasztási tulajdon- malizálás jelen esetben az = ∆x/L = 1 széls˝ osésága miatt2 az integrálokat könnyen elvégezhet- ges esetet jelenti. jük : Az ábrából kiolvasható, hogy a rúd középs˝ o 70 − − 80%-án történ˝ o bemetszéssel a módusok frek∆x n venciáit alacsonyíthatjuk. Ha pl. a rúd középpontδγ = − 2c2L K 2 2ψn (x0 )ψn(4) (x0 ) ján ejtünk egy mind a hossz, mind a magassághoz L 0 mérten 10%-nyi bemetszést, akkor a legalsó módus 000 − 6 (ψn (x)ψn (x)) x0 frekvenciája ≈ 5000/10/10 = 50 centtel, a harma o 00 00 + 3 (ψn (x)ψn (x)) (4.106) dik és az ötödik módus frekvenciája pedig ≈ 35 x0 centtel csökken, míg a páros rendszámú módusok frekvenciája lényegében változatlan marad. A köA szorzatok deriválását elvégezve az alábbi ered- zéps˝ o tartományon igaz, hogy a módusok frekvenményt kapjuk : ciacsökkenése a módusalakok négyzetének bevágási helyen felvett értékével arányos. Ennek indoklá (4) 002 2 2 ∆x sa az, hogy a középs˝ o tartományon a módusalakok ψn (x0 )ψn (x0 ) − 3ψn (x0 ) δγ =2cL K L szinuszosan viselkednek, ami alapján ψn00 ≈ −kn2 ψn , (4.107) így a frekvenciaváltozás δγ =

(4)

illetve a c2L K 2 ψn lásával

= ωn2 ψn összefüggés felhaszná-

2∆x 2 2 δγ = δω 2 = ωn ψn (x0 ) − 3c2L K 2 ψn002 (x0 ) L (4.108) Fejezzük ki végül, hogy a vékonyítás hány cent hangmagasság-eltérést okoz az egyes módusok ese2 Parciális

Z

integrálással könnyen igazolható, hogy

+∞

δ(x − x0 )f (x)dx = f (x0 ) Z

−∞ +∞

0

0

−∞ +∞

00

00

δ (x − x0 )f (x)dx = f (x0 ) −∞

(4.105)

(4.110)

A széls˝ o tartományon a szinuszok mellett a hiperbolikus függvények már nem elhanyagolhatóak, ami miatt nem alkalmazható a ψn00 ≈ −kn2 ψn közelítés. Elmondhatjuk viszont, hogy a szélek felé közeledve a módusok második deriváltja zérushoz kell, hogy tartson, hiszen ez a modális nyomatékokkal arányos, amik a szabadon hagyott rúd vége felé szükségszer˝ uen zérus érték˝ uek. Ennek értelmében a rúd végei felé a frekvenciaváltozás centben kifejezett értéke hozzávet˝ olegesen 1200 ∆x 2 ψ (x0 ) ln 2 L n

δ (x − x0 )f (x)dx = −f (x0 ) Z

1200 ∆x −2ψn2 (x0 ) ln 2 L

(4.111)

Ez az eredmény jó összhangban van azzal, hogy a széleken történ˝ o bemetszés a rúd rövidítésének is tekinthet˝ o, ami a sajátfrekvenciák növekedését eredményezi.

ψ [−]

4.5. MEREV HÚROK INHARMONICITÁSA

55

0

4000

n=1 n=2 n=3 n=4

δ ω [cent]

2000 0 −2000 −4000 −6000 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x/L [−]

4.14. ábra. Mindkét végén szabadon hagyott rúd hajlító módusainak normalizált frekvenciaváltozása koncentrált, kis mérték˝ u vékonyítás esetén. Az alsó ábra a δf //(∆x/L) normalizált értékeket mutatja.

4.4.3. Marimbarúd hangolása

nagy terc hangközre történ˝ o hangolás. A módusalakokat megfigyelve látható, hogy a A szabad-szabad peremfeltétellel leírt hajlító rez- hangolás nemcsak a sajátfrekvenciákat, hanem a gés˝ u rúd fontos alkalmazási esete a marimbarúd. módusalakokat is befolyásolja. A középs˝ o tartoA marimbarudakat általában rózsafából készítik, mány keskenyítésével olyan módusalakokat kaaminek számunkra érdekes anyagjellemz˝ oi : E = punk, melyek a közép felé nagyobb amplitúdóval = 1 · 1010 Pa, ρ = 830 kg/m3 . rezegnek, mint a széleken. Ez azt is jelenti, hogy A 4.15 ábra bal oldai ábrasora egy rózsafából ki- a rudat a középtartományban megütve, nagyobb vágott, 40 cm hosszú, 6 cm széles és 4 cm magas amplitúdójú rezgéseket kelthetünk, mint a szélekrúd els˝ o öt módusalakját mutatja. hez közeli ütésekkel. Ez nem volt igaz a homogén Marimbarúdnak azt a rudat nevezzük, amely rúd esetére, ahol a módusalakok pont a széleken esetében az alaphang és az els˝ o felhang frekvenciái mutattak nagy kilengéseket. 1 : 4 arányra, vagyis két oktávra vannak behangolva. Ezt – többek között – a 4.15 ábra jobb oldalán bemutatott módon érhetjük el. A marimbarudat itt a közepe felé egyre jobban elkeskenyítettük. A kes- 4.5. Merev húrok inharmonicitákenyítés mértéke a rúd közepén 51%, a két szélen sa pedig a rúd hosszának 21%-21%-a változatlan vastagságú maradt. A beavatkozás eredményeképpen a rúd alapfrekvenciája 892 Hz-r˝ ol jelent˝ osen, 481 Térjünk vissza kicsit a húrok rezgéseihez. A húrokHz-re csökkent. Az els˝ o és második sajátfrekvenci- ról szóló fejezetben kizárólag ideális húrok rezgéák aránya a kívánt két oktáv, a harmadik sajátfrek- seit vizsgáltuk. Az idealitás egyik feltétele az volt, vencia pedig az alaphangnál három oktávval és egy hogy a húr nem bír önálló merevséggel, pusztán kissé b˝ o félhanggal magasabban szólal meg. küls˝ o feszít˝ o er˝ o hatására képes harmonikus rezKülönböz˝ o vastagságprofilok alkalmazásával a gésre. Amennyiben figyelembe vesszük a húr saját marimbarúd harmadik harmonikusa is behangol- merevségét is, a húregyenletet a rudak hajlító rezható, itt a cél általában az 1 : 10 értékhez tartozó géseib˝ ol ismert negyedrend˝ u taggal egészíthetjük

56


0 −0.02 −0.04 0

0.1

0.2 x [m]

0.3

0 −0.02 −0.04 0.4 0

0.1

0.2 x [m]

0.3

0.4

11902.98 Hz

13.34

9769.55 Hz

20.31

7968.11 Hz

8.93

6559.06 Hz

13.63

4820.24 Hz

5.40

4127.15 Hz

8.58

2458.81 Hz

2.76

1925.99 Hz

4.00

891.99 Hz

1.00

481.07 Hz

1.00

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x/L [−]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x/L [−]

4.15. ábra. Hangolatlan rózsafarúd (bal) és marimbarúd (jobb) módusalakjai és sajátfrekvenciái. A rudak hossza 40 cm, szélességük 6 cm, a hangolatlan rúd vastagsága 4 cm. Az ábrák bal oldalán a sajátfrekvencia, jobb oldalon az alapharmonikushoz viszonyított frekvencia van feltüntetve.

4.5. MEREV HÚROK INHARMONICITÁSA

57

ki : g + Su00 − EIu(4) = µ¨ u

(4.112)

Mind térben, mind id˝ oben harmonikus megoldást feltételezve u(x, t) = U sin kx sin(ωt + ϕ)

(4.113)

amit a homogén, vagyis gerjesztésmentes húregyenletbe helyettesítve az alábbi diszperzióegyenlethez jutunk : Sk 2 + EIk 4 = µω 2

(a)

(b)

(c) 4.16. ábra. Bevonatolt húrok három fajtájának keresztmetszeti ábrája

(4.114)

anyagi tulajdonságot tekintve, a jobban megfeszített, vagyis magasabb hangon megszólaló húrok inTegyük fel, hogy a húr az n-edik módusában re- harmonicitása kisebb lesz. zeg, vagyis a hosszra pont n félhullám jut, azaz k = A kifejezésben rendkívül fontos az átmér˝ o negye= nπ/L. Ekkor a frekvencia kifejezése dik hatványával változó tag. Ez azt mutatja, hogy a húr vastagításával az inharmonicitás drasztikusan EI 4 S o k2 + k (4.115) növekszik. A hossz növelésével ugyan csökkenthet˝ ωn2 = µ S az inharmonicitás mértéke, de ennek általában komoly méretkorlátai vannak. Különösen nagy probp illetve némi átrendezés és a c = S/µ sebesség lémát jelent az inharmonicitás olyan mélyen szóló bevezetése után húroknál, melyeket méretkorlát miatt röviden kell r tartani. Ezeknél az alacsony alapfrekvenciát a húr p ncπ EI nπ 2 tömeg növelésével lehet elérni. A húr tömegének = nω10 1 + Bn2 ωn = 1+ L S L növelése az átmér˝ o növelését kívánja meg, ami az (4.116) inharmonicitást jelent˝ osen emeli. ahol ω10 az ideális húr alapfrekvenciája, B=

π 2 EI SL2

(4.117)

pedig a húr inharmonicitási állandója. Ennek értéke kör keresztmetszet˝ u húr esetére B=

π 3 Ed4 64SL2

(4.118)

Látjuk, hogy a nem ideális, önálló merevséggel bíró húr módusai nem az alapharmonikus frekvenciájának többszörösein, hanem annál magasabban szólalnak meg. Ezt a jelenséget a merev húr inharmonicitásának nevezzük. Az inharmonicitás mértéke a gyök alatti n2 tagnak köszönhet˝ oen a módusszámmal n˝ o, vagyis a nagy rendszámú felharmonikusok ωn frekvenciája egyre jobban tér el az nω10 értékt˝ ol. Az inharmonicitási állandó kifejezéséb˝ ol látszik, hogy az inharmonicitás mértéke az E/S aránnyal arányos, vagyis adott anyagjellemz˝ ok mellett az inharmonicitás csökkentéséhez érdemes nagy feszít˝ o er˝ ot alkalmazni. Ez azt jelenti, hogy pusztán az

4.5.1. Bevonatolt húrok A mély húrok magas inharmonicitását kiküszöböl˝ o megoldás a bevonatolt húrok alkalmazása, vagyis tömegnövelés az aktív húrátmér˝ o növelése nélkül. A bevonatolás során a húrt egy kis dc átmér˝ oj˝ u magból (core) és az arra feltekercselt dw átmér˝ oj˝ u bevonó szálból (winding) készítik el. A bevonó szál lényegében csak nehezíti a húrt, de a merevségb˝ ol származó feszültségek és forgató nyomatékok közvetítésében nem (vagy csak elhanyagolható mértékben) játszik szerepet. A bevonatok anyaga rendszerint réz, ezüst vagy nikkel. A gyakorlatban három fajta bevonatolási technika létezik, amint azt a 4.16. ábra mutatja. A kör keresztmetszet˝ u bevonat esetén a bevonó szál kör keresztmetszet˝ u, így kis felületen csatlakozik a húrmaghoz, és – ami sokkal fontosabb – a bevonat menetei kis felületen érintkeznek egymással. Az utóbbi nagy el˝ ony, mert minimalizálja a bevonatból származó merevséget – könny˝ u belátni, hogy a húr hajlító mozgása során a szomszédos

58 menetek elválnak egymástól, illetve a másik oldalon csak minimális mértékben nyomják össze egymást. A kör keresztmetszet˝ u bevonatolás hátránya viszont, hogy a húr érdes felület˝ u lesz, így jobban koptatja a húros hangszerek fogólapját és bundjait, illetve a hangszeres játéknál a húron csúszó ujjak er˝ os surrogó hangot adnak. Gyakorlati hátrány továbbá, hogy az érdes felület mélyedéseiben könnyebben megül a piszok, ami a húr rövidebb élettartamát eredményezi. A lekerekített téglalap keresztmetszet˝ u bevonatolás esetében az el˝ obb említett hátrányok csökkennek, de az inharmonicitás növekszik, hiszen a szomszédos téglalapok összenyomódás esetén nagyobb felületen közvetítik a merevségb˝ ol származó feszültségeket. Ez gyakorlatilag az inerciasugár növekedéseként fogható fel. A legdrágább bevonatolási technika a csiszolt bevonat alkalmazása. Ez azt jelenti, hogy a húrt eredetileg kör keresztmetszet˝ u bevonó szállal tekercselik körbe, majd a húr felületét préseléssel vagy csiszolással kiegyenlítik. A csiszolási technika el˝ onyös az inharmonicitás szempontjából, nem ad surrogó hangot, illetve alig piszkolódik, viszont komoly anyagveszteséggel jár, így drága. Mindhárom bevonatolási módszer esetében alkalmazzák a hatszög keresztmetszet˝ u húrmagokat is a bevonat jobb tapadása érdekében. 4.3. példa Bevonatolt húr Egy acél basszusgitárhúr hossza L = 60 cm, a húrban ható feszít˝ o er˝ o S = 70 N. A húr magátmér˝ oje dc = 0,8 mm, a kör keresztmetszet˝ u, szintén acél húrbevonat átmér˝ oje szintén dw = 0,8 mm. Az acél s˝ ur˝ usége ρ = 7 800 kg/m3 , Young modulusa E = 200 GPa. Határozzuk meg a húr inharmonicitási állandóját, valamint adjuk meg, hogy hány centtel tér el az els˝ o három felharmonikus frekvenciája az ideális felharmonikus frekvenciáktól. A húr egységnyi hosszra es˝ o µ tömege a mag és a bevonat tömegéb˝ ol adódik össze. A mag tömege

4. FEJEZET. RUDAK REZGÉSEI a bevonat tömege µw = ρ (dc + dw ) π

dw 2

2 π

1 g ≈ 24,63 dw m (4.120)

ahonnan az össztömeg µ = µc + µw = 28,6

g m

A húrban terjed˝ o rezgés sebessége p c = S/µ ≈ 49,5 m/s

(4.121)

(4.122)

A húr inharmonicitási állandója B=

π 3 Ed4c = 1,57 · 10−3 64SL2

(4.123)

A húr alaphangja f1 =

c √ 1 + B = 41,29 Hz 2L

(4.124)

Az els˝ o felharmonikus frekvenciája f2 =

2c p 1 + 22 B = 82,8 Hz 2L

(4.125)

q 2B az ideális oktávtól vett eltérés 1200 log2 1+2 1+B = = 4,1 cent. qA második felharmonikusra ez az érték 1+32 B 1+B

= 10,8 cent A harmadik felharq 2B monikusra pedig 1200 log2 1+4 1+B = 20,2 cent. 1200 log2

4.5.2. A Railsback-görbe

Azon húros hangszereknél, melyek húrjainak alapfrekvenciái széles hangtartományt fognak át, különösen fontos az inharmonicitás kezelése. Legjobb példa a zongora, melynek húrjai több mint hét oktávot fognak át, a hosszúság változása azonban nyilván meg sem közelítheti az 1 : 27 arányt. Az inharmonicitás elleni védekezés két módja a húrok bevonatolása, illetve a húrok megkett˝ ozése vagy 2 háromszorozása. Az utóbbi technika is nyilván az g dc π = 3,92 (4.119) inerciasugár csökkentéseként fogható fel. µc = ρ 2 m Az inharmonicitás a nagyon mély és nagyon maA s˝ ur˝ un tekercselt bevonat középvonala dw /2 tá- gas húrok esetében még így sem küszöbölhet˝ o ki : volságra fut a mag szélét˝ ol, vagyis hozzávet˝ olege- A legmélyebb oktávban a zongorahúr második felsen dw + dc átmér˝ oj˝ u köríven mozog. Az egységnyi harmonikusa hozzávet˝ olegesen 25-30 centtel mahúrhosszon befutott körívek száma 1/dw , ahonnan gasabban szólal meg az oktávnál, és ugyanez igaz

4.5. MEREV HÚROK INHARMONICITÁSA a legfels˝ o oktáv tartományában is. A különböz˝ o húrok együttes megszólalása esetén kialakuló lebegést elkerülend˝ o, a zongora hangközeit szándékosan tágabbra hangolják a temperált hangközöknél. Az egyes billenty˝ uk temperált hangoláshoz mért eltérését a Railsback-görbe adja meg, ami a legmélyebb hangoknál −40 centr˝ ol indul, az egyvonalas C és a 440 Hz-es kamara A hang között ≈ 0 cent körül halad, a legmagasabb oktávban pedig +40 centet ér el.

59

60


5. fejezet

Membránok rezgései S

g(x, y) y

φx (x) S

Bár az ábra nem jelöli, természetesen az y tengelyt˝ ol való elfordulásokból is származnak keresztφx (x + ∆x) irányú er˝ okomponensek. Ezeket az y + ∆y pozícióban jelölje S∆x sin φy (y + ∆y), az y pozícióban pedig −S∆x sin φy (y). A membrándarab felületegységre es˝ o tömege σ [kg/m2 ]. Ezen mennyiségek x ismeretében felírható a membrándarabra Newton második törvénye :

∆x

g(x, y, t)∆x∆y 5.1. ábra. Membrándarabra ható er˝ ok

+ S∆y [sin φx (x + ∆x, y, t) − sin φx (x, y, t)] + S∆x [sin φy (x, y + ∆y, t) − sin φy (x, y, t)]

5.1. Az ideális membrán egyenlete

= σ∆x∆ya(x, y, t),

(5.1)

ahol a(x) a membrándarab keresztirányú gyorsulását jelöli. Kis szögelfordulások esetén sin φx ≈ φx , Rezgéstani szempontból a membrán kétdimenzi- ami szerint (a ∆x∆y felületelemmel végigosztva) ós húr. Az ideális húrral analóg módon a memb∂φx (x, y) ∂φy (x, y) + = σa(x, y) g(x, y) + S rán olyan rezg˝ o rendszer, mely önálló merevséggel ∂x ∂x nem bír, pusztán küls˝ o feszít˝ o er˝ o jelenlétében ké(5.2) pes rezgésvégzésre. A membrán szögelfordulásai kifejezhet˝ ok a keA membránokban ható feszít˝ o er˝ ot jelölje S. Ez resztirányú u(x, y) kitérésfüggvény segítségével. hosszegységre es˝ o feszít˝ o er˝ ot jelent, mértékegysé- Kis szögek esetén ge N/m. ∂u(x, y) ∂u(x, y) Tekintsük a kitérített membrán x, y pozícióban φx (x, y) ≈ , φy (x, y) ≈ . (5.3) ∂x ∂y elhelyezked˝ o, ∆x × ∆y méret˝ u darabját, ahogy az 5.1. ábra mutatja. A membrándarabra g(x, y) Behelyettesítve (5.3)-at az (5.2) Newtonkeresztirányú küls˝ o gerjeszt˝ o er˝ o hat. A g(x, y) törvénybe, valamint a keresztirányú a gyorsulás mennyiség felületegységre es˝ o er˝ ot jelöl, mérték- helyett az u kitérés id˝ o szerinti második deriváltját egysége N/m2 . A teljes membrándarabra ható kül- írva, az alábbi membránegyenletet kapjuk : s˝ o er˝ o ezek szerint g(x, y)∆x∆y. g(x, y, t) + S∇2 u(x, y, t) = σ¨ u(x, y, t), (5.4) A hosszirányú S feszít˝ o er˝ o x tengellyel bezárt 2 hajlásszöge az elem bal oldalán φx (x), jobb oldalon ahol ∇ a Laplace-operátor, aminek kifejtése φx (x+∆x). A membránra ható feszít˝ o er˝ ok kereszt∂2u ∂2u irányú komponense a bal oldalon −S∆y sin φx (x), ∇2 u = + 2. (5.5) ∂x2 ∂y a jobb oldalon pedig S∆y sin (φx (x + ∆x)). 61

62

5. FEJEZET. MEMBRÁNOK REZGÉSEI

5.2. A membránegyenlet megoldása 5.2.1. A téglalap alakú membrán módusai Gyakorlati szempontból nem, de az elvi megoldás szempontjából lényeges az Lx ×Ly méret˝ u, téglalap alakú membrán esete. Ekkor az u(x, y, t) megoldást keressük három függvény szorzataként (5.6)

u(x, y, t) = uX (x)uY (y)uT (t)

Ezt az egyenletet a membránegyenletbe helyettesítve, majd a teljes elmozdulással végigosztva az alábbi összefüggést kapjuk : d2 uY (y) 1 d2 uX (x) 1 + 2 dx uX (x) dy 2 uY (y) | {z } | {z } 2 −kx

−ky2

=

1 d2 uT (t) 1 . (5.7) c2 dt2 uT (t) | {z }

ahol a lehetséges hullámszám értékek kxm =

mπ , Lx

kyn =

nπ . Ly

(5.15)

Jól látszik, hogy a membrán valóban kétdimenziós húrként kezelhet˝ o, hiszen a megoldás nem más, mint két független húr rezgésalakjainak „diádszorzata”. Az egyes módusalakok frekvenciáit az alábbi összefüggés adja meg : q 2 + k2 . ωmn = c kxm yn

(5.16)

A membránok módusait az úgynevezett Chladniféle ábrákkal ábrázoljuk. Ezek az ábrák a módusalakok csomóvonalait, azaz a zérus kitérés˝ u pontokat összeköt˝ o vonalakat tartalmazzák, a csomóvonalak közti tartományokon pedig a módusalak el˝ ojelét tüntetik fel. Néhány téglalap alakú membránmódust mutat az 5.2. ábra. Degenerált módusalakok

A téglalap alakú membránok között kitüntetett szerepet kapnak az L oldalhosszúságú négyzetes A kx , ky és k konstansokat azért vezettük be, membránok. Ezeknél az (m, n)-es módus frekvenmert a szeparált egyenlet minden tagja konstans, ciája hiszen az egyenl˝ oség csak ekkor teljesülhet. A hácπ p 2 m + n2 . (5.17) ωmn = rom hullámszám között fennáll a L −k2

k 2 = kx2 + ky2

(5.8)

összefüggés. A három taghoz tartozó egyenletek megoldásai rendre uX (x) = A sin(kx x) + B cos(kx x)

(5.9)

uY (y) = C sin(ky y) + D cos(ky y)

(5.10)

uT (t) = E sin(ωt) + F cos(ωt),

(5.11)

ahol ω = kc a rezgés körfrekvenciája. A téglalap alakú membrán peremfeltételei

Könnyen látható, hogy ugyanaz a frekvencia többféle módusalak esetén is el˝ ofordulhat, pl. ω1,2 = ω2,1 . Ha egy lineáris rendszernek egyazon frekvencián több módusalakja is van, akkor ezen módusalakok tetsz˝ oleges szuperpozíciója is egyfajta módusalak lesz ugyanazon a frekvencián. Az így kialakuló módusalakokat degenerált módusalakoknak hívjuk. Az n = 1 és m = 2 értékekhez tartozó, egy lehetséges degenerált módusalakot mutat az 5.3. ábra. A módusok s˝ ur˝ usége

u(x = 0, y) = u(x = Lx , y) = 0

(5.12)

u(x, y = 0) = u(x, y = Ly ) = 0.

(5.13)

Ezeket a megoldásba helyettesítve, a következ˝ o elmozdulásfüggvényt kapjuk : u(x, y, t) = U sin(kxm x) sin(kym y) cos(ωt + ϕ), (5.14)

A négyzetes membrán esetéb˝ ol könnyen belátható, hogy a membránok adott ω ¯ határfrekvencia alatti összes módusainak száma a frekvenciával négyzetesen változik. Felírhatjuk ugyanis az alábbi egyenletet : 2 ω ¯L > m2 + n2 , (5.18) cπ

5.2. A MEMBRÁNEGYENLET MEGOLDÁSA

63

5.2. ábra. Téglalap alakú alakú membrán módusalakjai n = 1 . . . 4 és m = 1 . . . 2 értékekre ahol bevezettük a r c=

S σ

(5.21)

rezgésterjedési sebességet. Látjuk, hogy a húrokhoz hasonlóan a membránben terjed˝ o rezgés sebessége nem pusztán anyagjellemz˝ o, hanem a membol függ. Ez teszi lehet˝ ové, hogy a 5.3. ábra. Négyzet alakú membrán n = 1 és m = 2 rán feszítettségét˝ membranofon hangszereket – a húrokhoz hasonlóértékekhez tartozó, egy lehetséges degenerált an – a membrán el˝ o feszítésével akár játék közben módusalakja. is hangoljuk. Mivel R sugarú kör alakú geometriát vizsgálunk, érdemes áttérnünk az x–y derékszög˝ u koordináahol minden lehetséges (m, n) pár egy módust ír tarendszerb˝ o l az r–θ polárkoordináta-rendszerre, le. Az összefüggést az r = ω ¯ L/cπ sugarú körön belüli pozitív egész koordinátájú pontok elégítik ki, melyben a koordinátákat az melyek száma hozzávet˝ olegesen (nagy ω ¯ körfrekx = r cos θ, y = r sin θ (5.22) venciák esetére) összefüggések definiálják, ahol 0 ≤ r ≤ R és 0 ≤ 2 ≤ θ ≤ 2π. r2 π 1 ω ¯L = . (5.19) A membránegyenlet megoldásához ismét a válto4 4π c zók szeparálásának módszerét alkalmazzuk, vagyis az u elmozdulást egy helyfügg˝ o és egy id˝ ofügg˝ o tag szorzataként írjuk fel : 5.2.2. Kör alakú membránok módusai A membránok tárgyalásakor a kör alakú membrángeometriák az els˝ odleges fontosságúak, hiszen a membranofon hangszerek rezonátorai szinte kivétel nélkül kör alakban kifeszített membránok. A membrán módusainak meghatározásához a gerjesztés nélküli (g = 0) membránegyenletet vizsgáljuk, melynek alakja c2 ∇2 u(x, y, t) = u ¨(x, y, t),

(5.20)

u(r, θ, t) = ψ(r, θ)α(t).

(5.23)

A szorzatalakot a homogén membránegyenletbe helyettesítve és a teljes elmozdulással leosztva : c2

∇2 ψ(r, θ) α ¨ (t) = = −ω 2 . ψ(r, θ) α(t)

(5.24)

Az id˝ ofügg˝ o tag megoldása α(t) = cos(ωt + ϕ),

(5.25)

64


vagyis a gerjesztetlen membrán szabadrezgéseit id˝ oben harmonikus függvények írják le. A helyfügg˝ o tagra pedig a (5.26)

Helmholtz-egyenletet kapjuk, ahol k = ω/c a hullámszám. A Helmholtz-egyenlet megoldásához szükségünk van a ∇2 Laplace-operátor polár-koordinátarendszerbeli kifejezésére is : ∇2 ψ =

1 ∂2ψ ∂ 2 ψ 1 ∂ψ + . + ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2

(5.27)

Éljünk ismét a változók szeparálásának módszerével, vagyis a ψ elmozdulást írjuk fel ψ(r, θ) = ψR (r)ψΘ (θ)

00 ψ 0 (r) ψ 00 (θ) ψR (r) +r R +r2 k 2 = − Θ = n2 . (5.29) ψR (r) ψR (r) ψΘ (θ)

A θ-tól függ˝ o tagra felírt egyenlet 00 ψΘ (θ)

2

= −n ψΘ (θ),

(5.30)

aminek megoldása : ψΘ (θ) = cos(nθ + ζ),

n ∈ Z.

0.5

0

−0.5 0

2

4

γ [−]

6

8

10

5.4. ábra. A Jn (γ) Bessel-függvények n = 0-tól 3-ig

(5.28)

alakban. A Helmholtz-egyenletbe helyettesítve, majd a ψ taggal végigosztva és r2 -tel végigszorozva, az alábbi összefüggést kapjuk : r2

n=0 n=1 n=2 n=3 Jn(γ) [−]

∇2 ψ(r, θ) = −k 2 ψ(r, θ)

1

(5.31)

Itt lényeges kiemelnünk, hogy a polárkoordinátarendszer miatt a ψΘ megoldásfüggvény a θ változó szerint 2π-periodikus kell legyen, vagyis a megoldás csak egész n-ek esetére igaz. Az r-t˝ ol függ˝ o oldal egyenlete kis átrendezés után 00 0 r 2 ψR (r) + rψR (r) + (r2 k 2 − n2 )ψR (r) = 0, (5.32)

illetve a γ = kr új változó bevezetésével 00 0 γ 2 ψR (γ) + γψR (γ) + (γ 2 − n2 )ψR (γ) = 0. (5.33)

– A Bessel-függvényeket az n rendszámmal indexeljük, ami 0-tól végtelenig fut. – A nulladrend˝ u J0 (γ) függvény γ = 0-ban 1 értéker˝ ol indul, az összes többi Jn (γ) függvény 0-ból. Az n-edrend˝ u Bessel-függvény az origó környezetében γ n jelleggel viselkedik. – A Bessel-függvények a harmonikus függvényekhez hasonlóan oszcillálnak, de monoton csökken˝ o burkolóval. Nagy argumentumokra (γ n2 − 1/4) jól közelíthet˝ ok a r 2 (2n + 1)π Jn (γ) ≈ cos γ − (5.35) πγ 4 aszimptotikus közelítéssel, vagyis szomszédos zérushelyeik a harmonikus függvényekhez hasonlóan hozzávet˝ olegesen π távolságra vanp nak egymástól. A 1/γ jelleg˝ u amplitúdócsökkenéshez 1/γ-val arányos energiacsökkenés tartozik, ami a hengerszimmetrikus terjedés sajátja (az energia a henger felületén oszlik el, ami a sugárral arányosan n˝ o).

Feszített membránok esetében természetesen élünk az u(R, θ, t) = 0 peremfeltétellel, ami az rEredményül Bessel differenciálegyenletét kaptuk, függ˝ o ψ R (r) tagra felírható aminek megoldásai az 5.4. ábrán látható Jn (γ) Bessel-függvények : ψR (R) = Jn (kR) = 0 (5.36) ψR (r) = Jn (kr). (5.34) alakban fogalmazható meg. A Bessel-függvények az alábbi tulajdonságokkal Látjuk, hogy a szabadrezgések k hullámszámait a Bessel-függvények zérushelyei határozzák meg. bírnak :

5.2. A MEMBRÁNEGYENLET MEGOLDÁSA m 1 2 3 4 5

J0 2.4048 5.5201 8.6537 11.7915 14.9309

J1 3.8317 7.0156 10.1735 13.3237 16.4706

65 J2 5.1356 8.4172 11.6198 14.7960 17.9598

J3 6.3802 9.7610 13.0152 16.2235 19.4094

J4 7.5883 11.0647 14.3725 17.6160 20.8269

J5 8.7715 12.3386 15.7002 18.9801 22.2178

5.1. táblázat. A Jn (γ) Bessel-függvények γmn zérushelyei. Nagyobb m értékekre a zérushelyek közelíthet˝ ok a γmn ≈ (4m + 2n − 1)π/4 kifejezéssel. F (t)

A Bessel-függvények tulajdonságaiból következik, hogy minden n értékhez végtelen sok zérushely tartozik. Ha a Jn (γ) függvény zérushelyeit γmn jelöli, akkor a lehetséges megoldásokat a kR = γmn egyenlet választja ki, ami alapján a feszített kör alakú membránok ψmn módusai γmn kmn = R (5.37) és a hozzájuk tartozó sajátfrekvenciák

R0 R

Q

t

ψmn (r, θ) = Jn (kmn r) cos(nθ + ζ),

ωmn = kmn c =

γmn c . R

5.6. ábra. A membrán közepére ható er˝ ogerjesztés térbeli és id˝ obeli eloszlása

(5.38)

A módusalakokat az 5.5. ábra mutatja az n = = 0 . . . 3 és m = 1 . . . 3 esetre. Az ábrákon feltüntettük a módusok zérus elmozduláshoz tartozó csomóvonalait és csomóköreit. A csomóátmér˝ ok száma megenyezik az n értékkel, a csomókörök száma pedig az m értékkel, ahol az m-edik csomókör a membrán pereme. Egyszer˝ ubb ábrázolási lehet˝ oségként rajzolhatunk Chladni-ábrákat is, melyek a csomóvonalakat és átmér˝ oket tartalmazzák, valamint feltültetik a köztes tartományhoz tartozó el˝ ojeleket is.

5.2.3. Megütött membránok szabadrezgései A továbbiakban egy fontos zenei alkalmazást, az impulzusszer˝ uen megütött membránok szabadrezgéseit vizsgáljuk. Kiindulásként egyszer˝ u impulzusmodellt vizsgálunk, melyben a membránt ér˝ o g(r, θ, t) gerjesztés a membrán középpontjában lev˝ o, R0 sugarú körfelületen egyenletesen eloszló er˝ o, ahogy azt az 5.6. ábra mutatja. Az impulzust a kalapáccsal gerjesztett húrmodellben bevezetett Q intenzitással jellemzzük, ami az impulzus er˝ o–id˝ o függvénye alatti területtel egyezik meg. Ennek értelmében a

g(r, θ, t) gerjesztés alakja g(r, θ, t) =

Q (1 − ε(r − R0 )) δ(t), R02 π

(5.39)

ahol ε(r) az egységugrás függvény. Az impulzusszer˝ u er˝ ogerjesztéssel ekvivalens kezdeti sebesség kifejezése a húroknál megtanult (2.65) összefüggés szerint g(r, θ, t) Q ∆t = (1 − ε(r − R0 )) . σ σR02 π (5.40) Az u(r, θ, t) választ ismét a módusok szuperpozíciójaként keressük, vagyis v0 (r, θ) =

u(r, θ, t) = =

∞ X m=0 ∞ X

ψm0 (r)αm0 (t) Um ψm0 (r) sin(ωm t + ϕm ), (5.41)

m=0

ahol azonnal kihasználtuk, hogy a gerjesztésünk körszimmetrikus, vagyis nem függ a θ koordinátától, így a válaszban sem vesznek részt azok a módusok, melyek a θ koordinátától függenek. A θfüggetlen módusalakok az n = 0 értékhez tartoznak, ezért csak az n = 0 indexek szerepelnek a megoldásban. A továbbiakban az n = 0 indexet elhagyjuk, és ψm alatt a ψm0 módust értjük.


m=3

m=2

m=1

66

n=0

n=1

n=2

n=3

5.5. ábra. Kör alakú membrán módusalakjai n = 0 . . . 3 és m = 1 . . . 3 értékekre. A fekete vonalak a módusok csomóvonalait és csomóköreit jelölik. A zérus kezdeti elmozdulásból következik, hogy ϕm = 0. A kezdeti sebességre felírhatjuk, hogy v0 (r) = u(r, ˙ t = 0) =

∞ X

Um ωm ψm (r).

(5.42)

m=0

A módusok ortogonalitása miatt (5.42) az alábbi kifejezéssel ekvivalens Um

1 hψm , v0 i = , ωm kψm k2

(5.43)

ahol jelenleg a skaláris szorzat az R sugarú körlapra vett integrállal értelmezhet˝ o:

Um

R R0 J0 (km r)rdr 1 Q 0 = RR 2 2 ωm σR0 π J (km r)rdr 0 0 R0 J km 1 (km R0 ) R2 2 2 J1 (km R)

=

1 Q ωm σR02 π

=

QR0 2J1 (km R0 ) , M c (km R0 )2 J12 (km R)

(5.45)

ahol M = σR2 π a membrán teljes tömege. A teljes megoldás ezek szerint az alábbi végtelen sorral írható fel : ∞ QR0 X 2J1 (km R0 ) u(r, t) = × M c m=0 (km R0 )2 J12 (km R)

×J0 (km r) sin ωm t} . (5.46)

Z ha, bi =

A skaláris szorzatokat behelyettesítve

a(r, θ)b(r, θ)dA A 2π

Z

Z

=

R

5.3. Harmonikus membránok – a timpani

a(r, θ)b(r, θ)rdrdθ 0

Z = 2π

0 R

a(r)b(r)rdr.

(5.44)

0

Az utolsó egyenl˝ oségnél kihasználtuk a θ változótól való függetlenséget.

Az ideális membrán sajátfrekvenciái nem az alaphang egész számú többszörösein jelennek meg, hanem a Bessel-függvények gyökei által kijelölt frekvenciákon. Ennek ellenére membranofon hangsze-

5.3. HARMONIKUS MEMBRÁNOK – A TIMPANI rek is lehetnek alkalmasak „zenei” játékra, vagyis adott magasságú hangok tiszta megszólaltatására. A legismertebb, adott magasságon megszólaló membranofon hangszerek a timpanik (üstdobok). A timpani egy közel félgömb alakú üstre kifeszített membránból áll. Az üst anyaga leggyakrabban réz. A membrán anyaga korábban borjúb˝ or volt, de ma már inkább az ötvenes években kifejlesztett, különösen er˝ os poliészterb˝ ol, mylárból készül, ami lényegesen homogénebb, illetve a leveg˝ o páratartalmára is érzéketlen. A mylár membránok vastagsága tipikusan 0,2 mm, s˝ ur˝ uségük pedig ρ = = 1,38·103 kg/m3 , aminek értelmében az egységnyi felületre es˝ o tömegük σ = 0,276 kg/m2 . A membránban terjed˝ o rezgés c ≈ 100 m/ s sebességét az S ≈ 2760 N/m feszít˝ o er˝ o biztosítja. A membrán hangmagassága a feszít˝ o er˝ o változtatásával egy szext tartományon belül változtatható, amihez a feszít˝ o er˝ onek ≈ 3-szoros tartományban kell változnia. A feszít˝ o er˝ ot a játékos a timpani pedálmechanikáján keresztül befolyásolhatja. Mivel a játékos a timpanit általában nem középen, hanem a sugár felez˝ opontjának környékén vagy a peremhez közeli negyedel˝ opontján üti, nem az (1,0), hanem az (1,1) módus a timpani alapmódusa. Timpanikon végzett mérések szerint a hangképben jellemz˝ oen kiemelked˝ o további módusok az (1,1), (1,2), (1,3), (1,4) és (1,5) alakok, melyek (1,1)-hez képest mért relatív frekvenciái 1 : 1,5 : 2 : 2,44 : 2,9,

67 köszönhet˝ oen 500 Hz fölött ez a hatás már teljesen elhanyagolható. A második domináns jelenség az üstben lev˝ o zárt légtérfogat merevít˝ o hatása. Ez a hatás a membrán sajátfrekvenciáinak enyhe növekedését okozza, de tipikusan csak a körszimmetrikus (m,0) módusok esetében. Harmadik domináns hatás a membrán anyagának merevsége, mely a merev húrokhoz hasonlóan a magasabb frekvenciájú módusok frekvenciáit felfelé tolja. Ez a hatás tipikusan 0,5–1%-os frekvencianövekedést eredményez. 5.1. példa Membránra ható légterhelés I. Mennyivel mélyül egy kisfrekvenciás membránmódus sajátfrekvenciája a légterhelés hatására ? A membrán átmér˝ oje R = 33 cm, s˝ ur˝ usége σ = = 262 g/m3 , a leveg˝ o s˝ ur˝ usége ρ0 = 1,225 kg/m3 . A frekvenciacsökkenés kifejezése p k/(mm + mt ) ω0 p = (5.48) ω k/mm ahol mm a membrán tömege, mt a terhel˝ o leveg˝ o tömege, k pedig a membrán módusához tartozó ekvivalens rugóállandó. A kifejezés kifejtése s r ω0 mm R2 πσ = = ω mm + mt R2 πσ + R2 πρ0 8R/3π s r 1 1 = = = 0,66, (5.49) ρ0 8R 1 + 1,3 1 + 3πσ

ami igen közel esik az 2 : 3 : 4 : 5 : 6, alapharmonikusban hiányos harmonikus sorhoz. Ideális memb- ami igen jelent˝ os, több mint egy tiszta kvintnyi rán esetén a megfelel˝ o frekvenciaarányok hangmagasság-csökkenésnek felel meg. 1 : 1,34 : 1,67 : 1,98 : 2,29. Az eltérés oka több tényez˝ oben keresend˝ o : A legfontosabb tényez˝ o a membránt felülr˝ ol terhel˝ o, a membránnal együttmozgó leveg˝ o tömege. Ökölszabály szerint kis frekvencián az együttmozgó légtérfogat jól közelíthet˝ o a membrán fölötti 8R/3π vastagságú légoszlop mt tömegével : mt ≈ R2 π ×

8ρ0 R3 ρ0 8R = , 3π 3

(5.47)

ahol ρ0 a leveg˝ o s˝ ur˝ usége. A 200–300 Hz-es tartomány fölött az együttmozgó légréteg tömege a frekvencia négyzetével arányosan csökken, aminek

68


6. fejezet

Lemezek rezgései A lemezek rezgései témakört csak érint˝ olegesen tárgyaljuk, mivel hangszerek esetében ritka az egyenes sík lemez mint hangsugárzó. A húros hangszerek sugárzó testét vagy merevítik, vagy meghajlítják a kell˝ o merevség elérése érdekében, az üt˝ os hangszerlemezek, pl. cintányérok is hajlítottak. Ezen beavatkozások jelent˝ osen módosítják a sugárzó viselkedését, ezért a sík lemezekkel nem érdemes behatóan foglalkoznunk. Jelen fejezetben felírjuk a sík lemezek rezgéseit leíró differenciálegyenletet, majd a megoldások elemzése helyett csak néhány alapvet˝ o jelenség megfigyelésével foglalkozunk.

6.1. Homogén sík lemez rezgései A homogén sík lemez fontos anyagjellemz˝ oi a ρ tömegs˝ ur˝ uség, a lemez anyagának E Youngmodulusa és ν Poisson-száma. A Poisson-szám anyagjellemz˝ o, és azt adja meg, hogy az anyagra ható direkt feszültségek milyen mértékben eredményezik az anyag keresztirányú deformációját. A Hooke-törvény a Poisson-hatás figyelembe vételével az alábbi alakban írható fel : 1 (σx − νσy − νσz ) E 1 εy = (−νσx + σy − νσz ) E 1 εz = (−νσx − νσy + σz ) E

εx =

tartozik. Falemezekre a Poisson-szám tipikusan 1/4 és 1/3 között mozog. A homogén lemez keresztirányú hajlító rezgéseit leíró differenciálegyenlet alakja g − ∇2 D∇2 u = σ¨ u,

(6.4)

ahol g(x, y) a lemezre ható felületegységre vetített keresztirányú er˝ o, u(x, y) a lemez keresztirányú elmozdulása, D pedig a hajlító merevség D=

Eh3 , 12(1 − ν 2 )

(6.5)

ahol h a lemez vastagsága. Vegyük észre, hogy az egyenlet nagyon hasonlít a rudak hajlító rezgéseit leíró differenciálegyenlethez. Az egyenlet hely szerint negyedrend˝ u, id˝ oben mésodrend˝ u, a hajlító merevség pedig rokon a téglalap keresztmetszet˝ u rúd EI = Eh3 w/12 hajlító merevségével.

6.1.1. Lemezek diszperz viselkedése Akárcsak a rudak hajlító rezgései, a lemezek hajlító rezgései is diszperz módon terjednek. A diszperziórelációhoz vegyük a gerjesztetlen differenciálegyenlet id˝ oben és térben harmonikus változatát, melyben u(t) ∝ ejωt és u(x, y) ∝ e−jkB x :

(6.1) (6.2) ahonnan

4 kB Du = σω 2 u,

(6.6)

p σ/Dω.

(6.7)

2 kB =

(6.3) A kB = ω/cB összefüggés felhasználásával a hajlító hullám cB sebessége r vagyis az x irányú alakváltozásban részt vesz az 4 D√ y és z irányú direkt feszültség is, negatív el˝ ojelω. (6.8) cB = σ lel. A Poisson-szám értéke elméleti megfontolásaok alapján −1 és 1/2 között változhat. A ν = 1/2 érték Ez a rudakkal analóg módon a frekvencia négyzetaz összenyomhatatlan anyagokhoz (pl. lágy gumi) gyökével arányos. 69

70

6. FEJEZET. LEMEZEK REZGÉSEI

6.2. Merev membránok A húrok és rudak közti határvonal nem éles, hasonló módon a membránok és lemezek sem különíthet˝ oek el határozottan egyméstól. Minden feszített membránnak van némi önálló merevsége, ami a merev húrokhoz hasonlóan inharmonicitásként jelentkezik. Membránok esetében okafogyott az inharmonicitás elnevezés, hiszen a membránmódusok zérus merevség˝ u membrán esetében sem alkottak harmonikus felhangsort. Timpanik esetében az inharmonicitás a sajátfrekvenciák százalékos emelkedését eredményezi.

T

L R

6.1. ábra. Ortotróp falemezek longitudinális, radiális és transzverzális irányainak definíciója

6.1.2. Ortotróp falemezek Falemezek esetében a diszperzió mellett fontos a lemez ortotróp viselkedése. A hangszerlemezeket a jó bútorlapokhoz hasonlóan az évgy˝ ur˝ ukre mer˝ olegesen, sugár mentén kivágott vékony falapokból ragasztják össze, így a lemezek bütürészén az évgy˝ ur˝ uk mer˝ oleges vonalkázatot adnak. A falapok ortotróp viselkedésének jellemzéséhez bevezetjük a longitudinális, transzverzális és radiális irányokat a 6.1. ábrán vázolt módon. Az ortotróp viselkedés azt jelenti, hogy az anyagjellemz˝ ok irányfügg˝ oek. A falemez másként reagál a longitudinális irány feszültségekre, mint a radiális irányúakra. A falapoknak külön megadható az El , Et és Er Young-modulusa, illetve a Poisson szám mind a kilenc iránykombinációra. Hangszerlapok esetében ezek közül az El , Er , νlr és νrl érdekes. A Young-modulusok közül a longitudinális irányú a nagyobb, vagyis a lapok merevebbek longitudinális irányban. A különböz˝ o irányú Young-modulusok aránya akár a tizes nagyságrendet is elérheti. Az ortotróp viselkedés következménye, hogy falemezek esetében a degenerált módusok nem négyzet, hanem egy bizonyos oldalarányú téglalap alakú lemezekben fordulnak el˝ o. A kívánt oldalarány Ll = Lr

r 4

El , Er

(6.9)

ami hozzávet˝ olegesen 1,5 és 1,9 között mozog, és jellemz˝ o a heged˝ u- és gitárfélék családjára.

7. fejezet

Kísérleti móduselemzés A korábbi fejezetekben láttuk, hogy a rezg˝ o rendszer módusainak ismeretében könnyen leírhatjuk a rendszer tetsz˝ oleges gerjesztésre adott válaszát. A következ˝ o fejezetben célunk egy rezg˝ o rendszer módusainak kísérleti, vagyis mérés útján történ˝ o meghatározása. Ez a téma a kísérleti móduselemzés (Experimental Modal Analysis, EMA). A kísérleti móduselemzés gyakorlati kivitelezése két lépésb˝ ol áll. Az els˝ o lépésben megmérjük a rendszer h(t) er˝ o-elmozdulás impulzusválaszait, majd a mért impulzusválaszok alapján meghatározzuk a módusok ωn sajátfrekvenciáit, αn csillapítási tényez˝ oit és ψn (x) módusalakjait.

malizálja a N X ¯ − yi )2 (xi h

(7.2)

i=1

négyzetes hibát. A hiba lokális minimumát a kifeje¯ szerinti deriváltjának zérushelyén keressük : zés h N X

¯ − yi )xi = 0, 2(xi h

(7.3)

i=1

ahonnan PN T ¯ H1 = P i=1 xi yi = x y , h N xT x i=1 xi xi

(7.4)

ahol x és y a mérési eredményeket tartalmazó oszlopvektorok. Az eredményként kapott kifejezést a h mennyiség H1-becsl˝ ojének nevezzük. 7.1.1. H1- és H2-becsl˝ ok A becslést alternatív módszerrel úgy is elvégezhetjük, hogy a g = 1/h reciprok mennyiségre Képzeljük el az alábbi egyszer˝ u mérési feladatot. adunk legkisebb négyzetes hibájú becslést : Egy fizikai rendszert az x bemeneti és y kimeneN ti mennyiségek közötti h arányossági tényez˝ o jelX (yi g¯ − xi )2 → min, (7.5) lemez (például egy ideális lineáris rugó esetében i=1 lehet a gerjesztés a rugóra ható er˝ o, a válasz a rugó megnyúlása, a rendszert pedig a rugó engedékenyaminek megoldása sége jellemzi).

7.1. Az impulzusválasz mérése

y = hx

(7.1)

g¯H1 =

yT x . yT y

(7.6)

Célunk a h arányossági tényez˝ o meghatározása, ezért N független méréssel felvesszük a rendszer Az eredmény reciprokát véve kapjuk h alternatív xi gerjesztésekre adott yi válaszait. Mind az xi ger- becslését : jesztéseket, mind az yi válaszokat mérjük, és a méPN 1 yT y rések természetesen zajjal terheltek. Így az összeH2 i=1 yi yi ¯ h = H1 = PN = T , (7.7) tartozó xi , yi párok pontjai nem esnek egy egyeg¯ y x i=1 yi xi nesre, hanem attól némileg eltérnek. A rendszer ¯ átvitelét úgy választjuk meg, hogy mini- amit a h mennyiség H2-becsl˝ ojének nevezünk. becsült h 71

72

7. FEJEZET. KÍSÉRLETI MÓDUSELEMZÉS

7.1.2. Az impulzusválasz mérése H1 H2

y

A rendszer hi (t) er˝ o-elmozdulás impulzusválaszait a következ˝ o módon értelmezzük : A mért rendszer x0 pontjában pontszer˝ u δ(t) er˝ oimpulzussal hatunk, és mérjük a rendszer xi pontjaiban az elmozdulás hi (t) id˝ ofüggvényét. Természetesen a valóságban nem tudjuk kivitelezni a δ(t) impulzussal való gerjesztést, hanem egy valóságos f (t) kalapács-impulzussal gerjesztjük a rendszert, és az ui (t) válaszokat mérjük. Az impulzusválaszt spektrális elemzéssel határozzuk 0 0 meg, vagyis képezzük a válaszok Ui (jω) Fourierx transzformáltjainak és a gerejsztés F (jω) Fouriertranszformáltjának Hi (jω) hányadosait, és ezeket 7.1. ábra. Az (xi , yi ) pontokra illesztett H1- és inverz Fourier-transzformálva megkapjuk az impulH2-becsl˝ ok. A H1-becsl˝ o a kék, a H2-becsl˝ o a piros zusválaszokat, ahogy azt a 7.2. ábra mutatja. vonalakkal jelzett távolságok négyzetösszegeit A mérés során problémát jelent, hogy tipikusan minimalizálja. több tucat, vagy akár több száz pozícióban is mérni akarjuk a rendszer válaszát, ezért a sok rezgésérzékel˝ ovel végzett szinkron mérés lehetetlenné A H1- és H2-becsl˝ ok közti koncepcionális kü- válik. Szerencsére kihasználhatjuk a rendszer relönbséget a 7.1. ábra szemlélteti. A H1-becsl˝ o az y- ciprok voltát, miszerint az x0 pontban gerjesztett tengely menti eltérések négyzetösszegeit minima- rendszer xi pontban mért válasza megegyezik az xi lizálja, így akkor érdemes használni, ha a rend- pontban gerjesztett rendszer x0 pontban mért válao rendszerre egyetlen rezgésszer kimenetén megjelen˝ o, a mérend˝ o mennyiség- szával. Eszerint a rezg˝ ot helyezünk, majd az objektumot végigkagel korrelálatlan zajt akarjuk kiátlagolni. A H2- érzékel˝ becsl˝ o az x-tengely menti eltérések négyzetössze- lapáljuk az xi pozíciókban. Így nagy számú fi (t) gét minimalizálja, így akkor érdemes használni, ha gerjesztést és ui (t) választ mérünk. A mérés során fellép˝ o zajok hatását átlagolása rendszer bemenetének mérését terheli a bemesal csökkentjük. Az xi pontban történ˝ o gerjesztés nettel korrelálatlan zaj. esetén nem csupán egy regisztrátumpárt rögzítünk, A H1- és H2-becsl˝ ok arányát a mérés determiná- hanem a mérést N -szer megismételjük. A vett reciós együtthatójának vagy koherenciájának nevez(n) (n) gisztrátumokat hi (t) és ui (t)-vel jelöljük, ahol zük. Ennek értéke mindig 0 és 1 közé esik : n az átlagolás indexe. Az átlagolást a spektrális tartományban, H1-becsl˝ ovel végezzük. Ez azt jelenti, ¯ H1 hogy az átviteli függvényt xT y y T x h 0 ≤ ¯ H2 = ≤ 1. (7.8) PN (n) (xT x) (yT y) h Fi∗ (n) (jω)Ui (jω) H1 (7.9) Hi (jω) = Pn=1 N ∗ (n) (jω)F (n) (jω) i n=1 Fi A koherencia akkor egy, ha a mérés zajmentes, és a mért rendszer lineáris. Ellenkez˝ o esetben a ko- alakban becsüljük, a koherenciát pedig herencia egynél kisebb lesz. Zérushoz közeli koheH H1 (jω) Ci (jω) = iH2 (7.10) rencia esetén a mérést er˝ osen terheli a zaj, vagy a Hi (jω) rendszer nem írható le lineáris modellel. alakban adjuk meg, ahol a H2-becsl˝ o definíciója érKomplex mennyiségek mérése esetén is értel- telemszer˝ uen mezzük a H1- és H2-becsl˝ oket, itt a vektoros megPN (n) Ui∗ (n) (jω)Ui (jω) határozási módok az érvényesek, annyi különbségH2 Hi (jω) = Pn=1 . (7.11) N ∗ (n) (jω)F (n) (jω) gel, hogy a transzponált vektorok helyett konjugált i n=1 Ui transzponált vektorokkal kell számolnunk.

7.2. MÓDUSELEMZÉS

73

f (t)

u(t)

F

F

F (jω)

H1becsl˝ o

U (jω)

H(jω) F −1 h(t) 7.2. ábra. Az impulzusválasz-mérés blokksémája

helyfügg˝ o módusalakokat, így ezek nyilván másmás értéket vesznek fel a különböz˝ o gerjesztésválasz párok esetére. Érdemes megjegyezni, hogy a (7.12)-ben az Un együtthatók tartalmazzák a ψn (x0 ) szorzótényez˝ ot, ami azt jelenti, hogy ha a mérési pozíció valamelyik módus nullhelyére esik, akkor az adott módus nem jelenik meg a hi impulzusválaszokban, így az elemzés során a hozzá tartozó sajátfrekvenciát, csillapítási tényez˝ ot illetve módusalakot nem tudjuk meghatározni.

7.2.1. A komplex pólusok meghatározása Célunk els˝ oként a γn komplex pólusok, vagyis a sajátfrekvenciák és csillapítási tényez˝ ok felvétele. Valóságos mérés esetén az id˝ ofüggvények ∆t id˝ oközönként rögzített minták formájában, t = = k∆t, k = 1,2 . . . , K alakban állnak rendelkezésünkre. Ekkor a modális szuperpozíció alakja

7.2. Móduselemzés

D X

∗ ∗k rni znk + rni zn ,

(7.16) n=1 Az impulzusválasz-mérés során el˝ oállítottuk a rendszer hi (t) = h(xi , t) impulzusválaszait, melyek ahol – szabadrezgésr˝ ol lévén szó – a modális szuperpozn = eγn ∆t , (7.17) zíció felhasználásával és a szuperpozíciót D számú módusra korlátoztuk ∞ X (7.16)-ban a hi [k] mintasorozat 2D diszkrét z−αn t h(xi , t) = Un ψn (xi ) cos(ωn t + ϕn )e hatványfüggvény szuperpozíciója, vagyis egy 2Dn=1 fokú diszkrét rendszer szabadválasza. E diszkrét (7.12) rendszer rendszeregyenlete a alakban írhatók fel. A cos függvény exponenciális alakját felhasználva (7.12) ekvivalens alakja hi [k] = a1 h[k − 1] + a2 h[k − 2] + . . . a2D h[k − 2D] ∞ (7.18) X ∗ ∗ γn hi (t) = rni eγn t + rni e t , (7.13) rekurzív képlettel adható meg. Fontos, hogy a n=1 rekurzió an együtthatói az i indext˝ ol függetlenek, vagyis minden impulzusválasz ugyanannak a ahol rekurziós összefüggésnek engedelmeskedik. Mivel γn = −αn + jωn (7.14) (7.16)-ban a zn tagok komplex konjugált párokat alkotnak, a rendszeregyenlet an együtthatói valóa rendszer komplex pólusai, melyek az ωn sajátsak. A rendszeregyenlet és a zn komplex gyökök frekvenciákat és az αn csillapítási tényez˝ oket adják közti összefüggést az adja meg, hogy a zn értékek meg, az jϕn a rendszeregyenlet Un ψn (xi )e (7.15) rni = 2 D Y tagok pedig a módusokhoz tartozó reziduumok. A(z) = (z − zn )(z − zn∗ ) (7.19) Látjuk, hogy a rendszer sajátfrekvenciái és csiln=1 lapítási tényez˝ oi, vagyis a komplex pólusok nem = z 2D − a1 z 2D−1 − · · · − a2D−1 z − a2D függnek a gerjesztés és a válasz helyzetét˝ ol, vagyis az i indext˝ ol. A reziduumok tartalmazzák a karakterisztikus polinomjának gyökei. hi [k] =

74

7. FEJEZET. KÍSÉRLETI MÓDUSELEMZÉS

A számítást id˝ otatománybeli illesztéssel végezzük, vagyis a mért hi [k] impulzusválasz minták alapján próbáljuk meghatározni a rendszeregyenlet an együtthatóit. Ehhez felírjuk a (7.18) szuperpozíciót az i-edik impulzusválasz minden egymás melletti 2D + 1 számú mért hi [k] mintájára. Az i indexeket lehagyva : h[1]  h[2]   ..  .  h[K − 2D − 1] h[K − 2D] 

 h[2] ... h[2D] h[3] . . . h[2D + 1]   .. .. × . .  h[K − 2D] . . . h[2D + 1] h[K − 2D + 1] . . . h[K − 1]    h[2D + 1]   h[2D + 2]    a1            a2  . . (7.20) = × .. ..            h[K − 1]     .      a2D h[K]

Ugyanez kompakt formában : (7.21)

Ri a = yi .

Az egyenletrendszert az összes impulzusválaszra felírva, majd közös mátrixba rendezve az alábbi egyenletet kapjuk :     y1  R1       R1   y2    . (7.22)  ..  a = ..    .     .    yN RN A sokszorosan túlhatározott egyenletrendszer (tipikusan százezres nagyságrend˝ u egyenletszám néhány tucat ismeretlenhez) legkisebb négyzetes értelemben optimális megoldását úgy kapjuk, hogy az egyenletet balról szorozzuk az R mátrix transzponáltjával, majd a bal oldalon megjelen˝ o 2D × 2D méret˝ u együtthatómátrixot invertáljuk : −1 T a = RT R R y. (7.23) Az an együtthatók ismeretében meghatározzuk az A(z) polinom zn komplex konjugált gyökpárjait, majd a komplex pólusokat a γn = −αn + jωn =

ln zn ∆t

(7.24)

összefüggéssel számíthatjuk.

7.2.2. A módusalakok meghatározása A komplex pólusok felvétele után, második illesztési fázisban határozzuk meg az egyes impulzusválaszokhoz tartozó rni reziduumokat. Írjuk fel ismét

(7.16)-ot az i-edik impulzusválasz minden mintájára : 

z1  z12   ..  .

z1K

z2 z22 .. .

... ...

z2K

...

zD 2 zD .. .

z1∗ z1∗ 2 .. .

... ...

 ∗ zD ∗2 zD  ..  × . 

K ∗K zD z1∗ K . . . zD   r1i    r        2i    .    hi [1]          ..     hi [2]   × rDi = . (7.25) ..   .  ∗      r1i           hi [K]   ..       .    ∗  rDi

Az er˝ osen túlhatározott, K × 2D méret˝ u Zri = = hi egyenletrendszert impulzusválaszonként külön-külön ismét a legkisebb négyezetek módszerével oldjuk meg, vagyis −1 H r i = ZH Z Z hi ,

(7.26)

ahol H a konjugált transzponáltat jelöli. A reziduumok meghatározása után a ψn (xi ) módusalakok kinyerése már egyszer˝ u, ehhez mindössze az rni /rn1 hányadost kell képeznünk, aminek értéke ψn (xi )/ψn (x1 ). Nem kapjuk meg tehát amplitúdóhelyesen a módusalakokat, hanem a kiválasztott els˝ o (vagy tetsz˝ oleges másik referencia) csomóponthoz viszonyított értéküket nyerhetjük ki. Ez nem probléma, hiszen a módusalakok természetesen tetszés szerint újraskálázhatók, ezzel pusztán a modális szuperpozíció Un együtthatói módosulnak.

8. fejezet

A hangtér 8.1. Bevezetés

u(x)

Eddig rezg˝ o mechanikai rendszerekkel foglalkoztunk, a hátralev˝ o fejezetekben pedig a rezg˝ o testek hangkeltési mechanizmusát, illetve a hang leveg˝ oben való terjedését leíró fizikai modelleket tárgyaljuk.

8.2. A hangtér alapegyenletei

P (x) x

ρ0

u(x + ∆x) P (x + ∆x) x + ∆x

8.1. ábra. Légtérfogat az egydimenziós hullámegyenlet levezetéséhez er˝ o hat, jobb oldalára −P (x + ∆x)A. Newton II. törvényének alakja ezek szerint

Tárgyalásunkat természetesen a hang terjedését P (x, t)A − P (x + ∆x)A = ρ0 A∆x¨ u(x, t) (8.2) leíró differenciálegyenlet levezetésével kezdjük. A hangot leíró els˝ odlegesen fontos mennyiség a ahol ρ0 = 1,225 kg/m3 a leveg˝ o s˝ ur˝ usége, u ¨(x, t) P (x, t) légnyomás, mely felbontható a mind térpedig a leveg˝ odarabka elmozdulásának id˝ o szerinti ben, mind id˝ oben állandó P0 légköri nyomás és a második deriváltja, azaz a gyorsulás. A lehetséges p(x, t) hangnyomás összegére : egyszer˝ usítések és határátmenet képzése után a P (x, t) = P0 + p(x, t)

−P 0 (x, t) = ρ0 u ¨(x, t)

(8.1)

hétköznapi körülmények között a normál légköri nyomás értéke P0 = 103 kPa.

8.2.1. Egydimenziós leírás

összefüggést kapjuk. Kihasználva továbbá a 8.1 szuperpozíciós összefüggést és a normál légköri nyomás állandóságát, a Newton-törvény alábbi formájához jutunk : −p0 (x, t) = ρ0 u ¨(x, t)

El˝ oször a hangterjedést leíró differenciálegyenlet egydimenziós változatát vezetjük le. Az egydimenziós leírás azt jelenti, hogy minden mennyiség csak a tér x koordinátája mentén változik. Ez a feltétel megállja a helyét olyan hullámvezet˝ okben (pl. csövekben), melyek keresztirányú mérete lényegesen kisebb a bennük haladó hang hullámhosszánál. Tekintsük a 8.1. ábrán látható, A keresztmetszet˝ u hullámvezet˝ o ∆x hosszú szakaszát, és írjuk fel az x és x + ∆x pozíciók közti leveg˝ odarabra ható er˝ ok ered˝ ojét ! A leveg˝ odarab bal oldalára P (x, t)A

(8.3)

(8.4)

Ez a hangtér els˝ o alapegyenlete, amit a hangtanban gyakran használatos v(x, t) részecskesebesség mennyiség bevezetésével az p0 (x, t) + ρ0 v(x, ˙ t) = 0

(8.5)

alakban is írhatunk. A második alapegyenletünk a gáztörvény, mely a légnyomás és a leveg˝ odarab térfogata közti kapcsolatot írja le. A hallható hang frekvenciatartományában a leveg˝ o állapotváltozása adiabatikus, ami

75

76

8. FEJEZET. A HANGTÉR P

valamint helyettesítsük be p kifejezésébe a relatív térfogatváltozásra kapott eredményt. Ekkor a hangtér második alapegyenletéhez jutunk : p(x, t) = −κP0 u0 (x, t)

CV −κ

(8.11)

A hangtér második alapegyenletének hely szerinti els˝ o deriváltját és az els˝ o alapegyenletet összevonva, az alábbi hullámegyenletet kapjuk :

P0

P0 + p

u00 (x, t) = V0 V0 + ∆V

ahol

V

s c=

8.2. ábra. A leveg˝ o adiabatikus állapotváltozásának linearizálása azt jelenti, hogy nincs h˝ ocsere a szomszédos leveg˝ oszegmensek között. Az adiabatikus állapotváltozást leíró egyenlet P V κ = állandó = C

1 ρ0 ¨(x, t) u ¨(x, t) = 2 u κP0 c

(8.6)

κP0 ρ0

(8.12)

(8.13)

a hang terjedési sebessége a leveg˝ oben. Ennek értéke hozzávet˝ olegesen c = 340 m/s. Alternatív kifejezésként vonjuk össze az els˝ o alapegyenlet hely szerint els˝ o deriváltját a második alapegyenlet id˝ o szerinti második deriváltjával. Ekkor a nyomásra felírt hullámegyenlethez jutunk :

alakú, ahol κ = cP /cV a leveg˝ o fajh˝ oállandója, ami 1 p00 (x, t) = 2 p¨(x, t) (8.14) az állandó nyomáson mérhet˝ o cP és az állandó térc fogaton mérhet˝ o cV fajh˝ ok aránya. Leveg˝ o esetére A fentieket összefoglalva, a hangtér egyenleteit a fajh˝ oállandó értéke κ = 1,4. általában az alábbi két egyenlettel adjuk meg : A továbbiakban linearizáljuk a gáztörvény alakját, vagyis a P −V görbét a P0 munkapontban érin1 p00 (x, t) = 2 p¨(x, t) (8.15) t˝ o egyenessel közelítjük a 8.2. ábrán mutatott móc don. Ezt megtehetjük azért, mert a ∆P nyomásválp0 (x, t) = −ρ0 v(x, ˙ t) (8.16) tozás lényegesen kisebb a normál légköri nyomásnál. 8.2.2. Háromdimenziós leírás A P = CV −κ (8.7) A következ˝ okben a hullámegyenletet levezetjük összefüggés alapján a ∆P nyomásingadozás kifeje- a háromdimenziós általános esetre. tekintsük zése a 8.3. ábrán látható, általános zárt V térfogatot, −κ ∂P CV ∆V melynek felületét jelölje A, a felület x pontjában ∆P = ∆V = −κ ∆V = −κP0 ∂V V0 V V0 kifelé mutató egységnormálist pedig n(x). V0 A teljes V térfogatra felírhatjuk Newton második (8.8) törvényét, miszerint A ∆V /V0 relatív térfogatváltozás kifejezése Z Z könnyen megadható a leveg˝ odarabka bal és jobb oldalának elmozdulásaival : ¨ (x)dV − p(x)n(x)dA = ρ0 u (8.17) A V (u(x + ∆x) − u(x)) A ∆V → u0 (x) (8.9) = Itt a −pndA tag a felületre ható, a küls˝ o nyomásV0 ∆xA ból származó er˝ o t jelöli. A Gauss-tétel értelmében Használjuk ki végül,hogy a ∆P nyomásingadozás a felületi integrál térfogati integrállá alakítható : a p hangnyomást adja meg : Z Z ∆V ¨ (x)dV − ∇p(x)dV = ρ0 u (8.18) p = −κP0 (8.10) V0 V V

˝ MEGOLDÁSAI 8.3. A HULLÁMEGYENLET EGYSZERU

77

Kihasználva, hogy ∇·∇ = ∇2 = ∆, a háromdimenziós hangtér egyenleteit az alábbi formában foglalhatjuk össze :

n dA

1 p¨(x, t) c2 ˙ ∇p(x, t) + ρ0 v(x, t) = 0 ∇2 p(x, t) =

x

(8.25)

z

x

8.3. A hullámegyenlet egyszer˝ u megoldásai

y

8.3. ábra. Zárt térfogat a háromdimenziós hullámegyenlet levezetéséshez

A továbbiakban a hullámegyenlet egyszer˝ u megoldásait keressük meg.

8.3.1. Síkhullámok és mivel az egyenletnek tetsz˝ olegesen megválaszott V térfogatra fenn kell állnia, az integrandusoknak A húregyenlettel mutatott teljes analógia szerint az egydimenziós hullámegyenletnek megoldásai a c meg kell egyezniük : sebességgel haladó, tetsz˝ oleges kétszer deriválható hullámalakok : ˙ ∇p(x) + ρ v(x) =0 (8.19) 0

ahol bevezettük a v részecskesebesség vektort. Az egydimenziós levezetésnél eredményül kapott (8.8) képlet változtatás nélkül alkalmazható a háromdimenziós esetre : p(x) = −κP0

∆V V0

(8.20)

p(x, t) = p+ (ct − x) + p− (ct + x)

A gyakorlatilag fontos harmonikus esetben a hullámegyenlet alakja a Helmholtz-egyenlet : p00 (x) + k 2 p(x) = 0

p(x) = Ae−jkx + Bejkx

=

Z

1 V

u(x) · n(x)dA A

Z ∇ · u(x)dV → ∇ · u(x, t) (8.21) V

(8.27)

ahol k = ω/c a hang hullámszáma. A Helmholtzegyenlet általános komplex alakú megoldása

ahol a relatív térfogatváltozás kifejezése 1 ∆V = V V

(8.26)

(8.28)

ahol A és B a pozitív és negatív irányba haladó síkhullámok tetsz˝ oleges komplex amplitúdói. Éljünk a B = 0 feltétellel, vagyis csak a pozitív irányban haladó hullámot válasszuk ki a megoldásból, majd írjuk fel a Newton-törvény alapján a hangnyomás és a részecskesebesség kapcsolatát :

ahonnan a második alapegyenlet 1 0 jkp(x) p(x) p(x) p (x) = = = jωρ0 jωρ0 ρ0 c z (8.29) illetve a sebességgel kifejezve ahol z = ρ0 c. Eredményünk szerint a leveg˝ oben haladó síkhullám nyomása és sebessége köp(x, ˙ t) = −κP0 ∇ · v(x, t) (8.23) zött a z = ρ0 c mennyiség, a síkhullámú tér hullámimpedanciája teremti meg a kapcsolatot. A síkA második alapegyenlet id˝ o szerinti els˝ o derihullám nyomása és sebessége fázisban van egyváltjából és az els˝ o alapegyenlet divergenciájából mással, vagyis nyomásmaximumhoz sebességmaxia nyomásra felírt hullámegyenlet adódik : mum tartozik, a nyomás zérushelyéhez pedig a sebesség zérushelye is. A síkhullámú impedancia ér1 ∇ · ∇p(x, t) = 2 p¨(x, t) (8.24) téke hozzávet˝ olegesen 409 Pas/m c p(x, t) = −κP0 ∇ · u(x, t)

(8.22)

v(x) = −

78

8. FEJEZET. A HANGTÉR

8.3.2. Megoldás gömbi rendszerben

kooridnáta-

Következ˝ o fontos esetként a háromdimeziós Helmholtz-egyenlet és Newton-törvény megoldásával foglalkozunk : ∇2 p + k 2 p = 0 ∇p + jωρ0 v = 0

(8.30)

A megoldást gömbi koordinátarendszerben keressük, vagyis p(x) = p(r, θ, φ), továbbá az egyszer˝ uség kedvéért feltesszük, hogy minden mennyiség csak az origótól mért r távolságtól függ. Ebben az esetben a gradiens az r szerinti differenciálásnak felel meg, a Laplace-operátor kifejezése pedig 1 ∂ 2 ∂p r (8.31) ∆p = 2 r ∂r ∂r Behelyettesítéssel könnyen ellen˝ orizhet˝ o, hogy a Helmholtz-egyenletet kielégíti a p(r) = A

e−jkr r

8.4. ábra. Az origóban elhelyezett pontszer˝ u forrás (bal) sebesség- és (jobb) nyomásterének fázisviszonyai. Az ábra az 1/r-es amplitúdócsökkenést nem mutatja.

(8.32)

ahonnan a gömbhullámú hangtér specifikus impenyomásfüggvény, ahol A tetsz˝ oleges konstans. A danciája az origótól r távolságban megoldás az origótól c sebességgel távolodó gömbhullámot ad meg, melynek amplitúdója a távolságp jkr zs = = ρ0 c (8.35) gal arányosan csökken. v 1 + jkr

8.3.3. A lélegz˝ o gömb Ilyen gömbi nyomásteret az ún. lélegz˝ o gömb hoz létre. A lélegz˝ o gömb egy R sugarú gömbfelület, melynek felületén p0 harmonikus hangnyomás uralkodik. Szimmetriaokokbók nyilvánvaló, hogy a lélegz˝ o gömb gömbszimmetrikus teret ébreszt, vagyis a nyomás helyfüggését a (8.32) egyenlet adja meg. A p(R) = p0 peremfeltétel felírásával az A konstans kifejezhet˝ o, és megoldásként a p(r) = p0

e−jk(r−R) r/R

(8.33)

nyomásfüggvényt kapjuk. Gömbhullámú térben a p nyomás és a v sebesség kapcsolata tetsz˝ oleges pozícióban v(r) = −

1 0 1 jkr + 1 p (r) = p(r) jωρ0 ρ0 c jkr

(8.34)

A síkhullámú és a gömbhullámú tér specifikus impedanciái közti eltérés a jkr/(1 + jkr) szorzó, mely kis kr értékekre hozzávet˝ olegesen jkr, nagy kr értékekre pedig egyhez tart. Ez azt jelenti, hogy gömbhullámú térben az origóhoz közel a nyomás és a sebesség között 90◦ -os fáziskülönbség van, de a távolság növekedésével a fáziskülönbség elt˝ unik, és a tér egyre inkább a síkhullámú térhez hasonlít. Ezt a jelenséget mutatja a 8.4. ábra, melynek bal oldalán egy pontszer˝ u gömbi sugárzó sebességtere, jobb oldalán pedig a nyomástere van ábrázolva. Az ábra figyelmen kívül hagyja az amplitúdócsökkenést, csupán a fázisviszonyokat ábrázolja. Látszik, hogy az origóban nyomásmaximumhoz sebesség nullhely tartozik, ami a π/2 fáziseltérés jellegzetessége. A forrástól 2 − 3 hullámhossz távolságra a sebesség és a nyomás fázisban van, vagyis a gömbhullámú hangtér már lényegében síkhullámúnak tekinthet˝ o.

˝ MEGOLDÁSAI 8.3. A HULLÁMEGYENLET EGYSZERU

79

8.3.4. Monopólus, forráser˝ osség Képzeljük el, hogy egy R sugarú lélegz˝ o gömb felülete v0 sebességgel harmonikusan rezeg. A gömb forráser˝ ossége definíció szerint a Q = v0 A = 4πR2 v0

(8.36)

összefüggéssel számítható, ahol A a sugárzó felülete. Képzeljük el, hogy a sugárzó R sugarát minden határon túl csökkentjük úgy, hogy forráser˝ ossége állandó Q érték marad. Ehhez nyilván a sebességet minden határon túl növelnünk kell. Végeredményként egy olyan pontforrást kapunk, amely végtelen sebességgel rezeg, de véges Q forráser˝ osséggel sugároz. A Q forráser˝ osség˝ u monopólus nyomásterének kifejezése p(r) = p0

e−jk(r−R) r/R

(8.37)

ahol

z r+ r +Q

r− θ

∆z

θ x

−Q 8.5. ábra. Akusztikai dipólus

el˝ ojellel sugárzóé. Az összefüggést ∆z-vel b˝ ovítve, majd a ∆z → 0 határátmenetet elvégezve − p(r − r+ 0 ) − p(r − r0 ) ∆z→0 ∆z dp(r − r0 ) = ∆z dz0 dp(r) dr = ∆z dr dz0 dp(r) −z = ∆z dr r dp(r) = ∆z (− sin θ) dr µjωρ0 e−jkr 1 + jkr = sin θ (8.42) | 4π {z r } | r {z }

p(r) = ∆z lim Q jkR · 1 + jkR 4πR2

(8.38)

jkR Q e−jk(r−R) · 1 + jkR 4πR2 r/R

(8.39)

p0 = zs (R)v0 = ρ0 c Összevetve p(r) = ρ0 c

egyszer˝ usítve és az R → 0 határátmenetet elvégezve a pontforrás terére az alábbi összefüggést kapjuk : Qjωρ0 e−jkr p(r) = (8.40) 4π r monopol tér dipólus korrekció Ezt az összefüggést kés˝ obb használjuk majd a bonyolultabb alakú, adott sebességeloszlású sugárzók ahol bevezettük a µ = Q∆z dipol nyomatékot. terének számításához. A távolságfüggést tekintve a dipólus a távoltérben lényegében monopólusként viselkedik, vagyis a hangnyomás amplitúdója az 1/r szabály sze8.3.5. Dipólus, dipol nyomaték rint csökken. A közeltérben (kis kr értékekre) ez a Az akusztikai dipólus els˝ o közelítésként két, egy- függés a második tag miatt 1/r2 jelleg˝ ure változik. mástól ∆z távolságra elhelyezett, ellentétes ±Q Fontos továbbá a dipol sugárzó irányítottsága, amit forráser˝ osséggel sugárzó monopólus párként kép- a sin θ iránykarakterisztika fejez ki. A sugárzás mazelhetjük el, ahogy a 8.5. ábra mutatja. A monopó- ximális er˝ osség˝ u a dipólus tengelyének irányában, lus pár szuperponált terét a (8.40) egyenlet alapján és zérus er˝ osség˝ u arra mer˝ olegesen. A tengellyel ellentétes irányban szimmetriaokokból nyilván el− p(r) = p(r − r+ (8.41) lentétes el˝ ojel˝ u nyomástér alakul ki. 0 ) − p(r − r0 ) ahol r+ ojellel sugárzó A dipólus nyomástere szintén fontos összetev˝ oje 0 = (0,0, ∆z/2) a pozitív el˝ forrás pozíciója, r− oleges alakú akusztikai sugárzó terének. 0 = (0,0, −∆z/2) pedig a negatív lesz a tetsz˝

80

8. FEJEZET. A HANGTÉR A teljes hangnyomás kifejezése pedig Z jωρ0 A e−jkr 1 l/2 v(z)ejkz sin θ dz p(r, θ) = 4π r l −l/2 (8.45) ahol A = 2πal a vonalsugárzó teljes felülete. A kifejezést megvizsgálva felt˝ unik, hogy az Z 1 l/2 v(z)ejkz sin θ dz (8.46) l −l/2

x − x0

z l/2

x

z

x0

θ ∆r

0

−l/2

8.6. ábra. Lélegz˝ o vonalforrás terének számítása

8.4. Összetett sugárzók hangtere A következ˝ o fejezetekben az imént megismert monopólus és dipólus sugárzókat használjuk fel arra, hogy bonyolultabb, és a gyakorlati esetek szempontjából is fontos sugárzók terét meghatározzuk.

8.4.1. Véges vonalforrás tere

integrál a v(z) sebességfüggvény Fouriertranszformáltja. Tegyük fel továbbá, hogy a sugárzó hossza mentén a sebesség állandó, majd végezzük el az integrálást a sugárzó hossza mentén : Z jωρ0 Q e−jkr 1 l/2 jkz sin θ e dz p(r, θ) = 4π r l −l/2 " l # l jωρ0 Q e−jkr ejk 2 sin θ − e−jk 2 sin θ = 4π r 2jk 2l sin θ jωρ0 Q e−jkr sin k 2l sin θ (8.47) = 4π r k 2l sin θ

A kifejezésb˝ ol látszik, hogy a távoltérb˝ ol a véges Tekintsünk egy l hosszú, a keresztmetszeti suga- hosszúságú cs˝ odarab lényegében Q forráser˝ osség˝ u rú, hengeres vonalforrást, melynek palástja v(z) pontforrásként látszik, mely irányítottan sugároz. sugárirányú sebességgel rezeg. A hengerfelület Az irányítottságot a dz hosszúságú szakaszának dQ(z) forráser˝ ossége sin k 2l sin θ sin x dQ(z) = 2πadzv(z). A kis cs˝ oszegmens által leΨ(θ) = = (8.48) sugárzott nyomás kifejezéséhez alkalmazhatjuk a x k 2l sin θ monopólussal való közelítést, aminek értelmében iránykarakterisztika írja le, ami nem más, mint a −jk|x−x0 | véges szakaszon egyenletes v(z) sebességfüggvény jωρ0 e dp(x) = dQ (8.43) Fourier-transzformáltja. 4π |x − x0 | Az iránykarakterisztika maximumát az x = = k sin θl/2 = 0 helyen veszi fel, ahonnan sin θ = 0, Tételezzük fel, hogy az x vev˝ opont igen messze azaz θ = 0 adódik. Eszerint a cs˝ odarab sugárzása a van, vagyis az r = |x| távolság lényegesen nagyobb 0 hosszirányra mer˝ o legesen a legintenzívebb. a cs˝ o l hosszánál. Ekkor az x−x vektor lényegében Mivel a sin θ tag értéke ±1 között mozog, az párhuzamos az x vektorral, a hosszúságaik különb0 iránykarakteriszika a sin x/x függvénynek csak a sége pedig ∆r = z sin θ, azaz |x − x | = r − z sin θ. A közelítést a fázis kifejezésébe behelyettesítve (az amplitúdó esetében a ∆r tag hatása elhanyagolható) jωρ0 e−jk(r−z sin θ) dQ 4π r jωρ0 e−jkr jkz sin θ = e 2πadzv(z) 4π r

dp(r, θ) =

(8.44)

−kl/2 ≤ x ≤ kl/2

(8.49)

ún. láthatósági tartományát tartalmazza. A frekvencia vagy a cs˝ ohossz (azaz a kl érték) növelésével a láthatósági tartomány szélesedik, aminek hatására egyre több zérushely és lokális maximum jelenik meg az iránykarakterisztikában. A 8.7 ábra a kl = 1, kl = 10 és kl = 20 esetekre mutatja

8.4. ÖSSZETETT SUGÁRZÓK HANGTERE

81

90 1 120

0.8

60 0.8

0.6

0.6

150

30

Ψ(θ)

0.4

0.4

0.2

180

0.2

0

0 210

330

−0.2 −15

(a)

−10

−5

0 k l/2 cos θ

5

10

15

240

(b)

300 270

8.7. ábra. Véges hosszú vonalforrás iránykarakterisztikájának számítása különböz˝ o kl értékekre. Az (a) ábra a sebességeloszlás Fourier-transzformáltját, illetve a láthatósági tartomány határait mutatja három különböz˝ o kl értékre (kék : kl = 1, zöld : kl = 10, piros : kl = 20.) A (b) ábra a különböz˝ o frekvenciákon kialkuló iránykarakterisztikákat szemlélteti. a láthatósági tartományt, illetve az ezen értékeken kialkuló iránykarakterisztikákat. Az iránykarakteriszika nullhelyeit az

8.4.2. Hangsugárzás végtelen féltérbe – A Rayleigh-integrál

A következ˝ o fontos sugárzótípusunk a végtelen síklemez, melynek adott a rezgési sebességeloszlása. (8.50) Vegyünk egy végtelen merev síklapot, melynek A felület˝ u, tetsz˝ oleges alakú darabja adott v(x0 ) normális sebességgel rezeg (x0 jelenleg a síklap tetösszefüggés határozza meg. oleges pontját jelöli). A síklap x0 -ben elhelyezkeVizsgáljuk meg a cs˝ o f˝ onyalábának kúpszögét és sz˝ o dA felület˝ u darabkájának forráser˝ ossége dQ = a cs˝ osugárzó melléknyalábelnyomását ! A f˝ onyaláb d˝ = v(x0 )dA. Ez a forrás monopólusként kezelhet˝ o, kúpszöge a 2θ1 érték, amire igaz, hogy melynek x pontba lesugárzott nyomástere λ 0 sin θ1 = (8.51) jωρ0 dQ(x0 ) e−jk|x−x | l dp(x) = (8.54) 2π |x − x0 | Nagy frekvencián (kis nyílásszög esetére) élhetünk oben szerepl˝ o 2π-re, a sin θ ≈ θ közelítéssel, ahonnan a nyílásszög radi- Felhívjuk a figyelmet a nevez˝ ami eltér a végtelen térbe sugárzó monopólus teánban kifejezett értéke rénél megjelen˝ o 4π tényez˝ ot˝ ol. Az eltérés oka egy 2λ egyszer˝ u analógiával magyarázható. A merev fal2θ1 = (8.52) ba épített, végtelen féltérbe sugárzó forrás helyetl tesíthet˝ o egy olyan, végtelen térben elhelyezked˝ o A melléknyalábelnyomást a sin x/x függvény forrással, mely szimmetrikusan, „lélegezve” rezeg. egymást követ˝ o két széls˝ oértékének amplitúdóará- A szimmetrikusan rezg˝ o forrás szimmetrikus nyonya határozza meg. A függvény maximuma 1, kö- másteret hoz létre, vagyis a szimmetriasíkban a vetkez˝ o széls˝ oértéke pedig −0,2172, ahonnan a nyomás normális irányú deriváltja nulla lesz. Ez melléknyalábelnyomás pontosan megegyezik a merev fal által megvalósított zérus normális sebesség peremfeltételnek. Ha 1 ossége dQ, akkor 20 log10 = 13,26 dB (8.53) a féltérbe sugárzó forrás forráser˝ 0,2172 az ekvivalens, szimmetrikusan lélegz˝ o forrás forl k sin θn = nπ, 2

n2π nλ sin θn = = kl l

82


ráser˝ ossége a felület megduplázódásával 2dQ lesz. Ha továbbá a 2dQ forráser˝ osség˝ u monopólus nyomásterét keressük, akkor pont az 1/2π tagot tartalmazó egyenletet kapjuk meg. A teljes síklemez sugárzását a különböz˝ o források tereinek szuperponálásával kapjuk meg : Z 0 e−jk|x−x | jωρ0 v(x0 ) dA(x0 ) (8.55) p(x) = 2π A |x − x0 | Az eredményül kapott kifejezés neve Rayleigh1 integrál. A Rayleigh-integrál segítségével tetsz˝ oleges sebességeloszlású sugárzó tere számítható numerikusan.

8.4.3. Hengeres dugattyú tere Határozzuk meg a Rayleigh-integrál segítségével egy végtelen merev falba ágyazott, egyenletes v sebességgel rezg˝ o, R sugarú hengeres dugattyú terét. A számítást gömbi koordinátarendszerben végezzük, ahol θ a sík normálisával bezárt szöget jelöli. jωρ0 v p(x) = 2π

Z A

0

e−jk|x−x | dA(x0 ) |x − x0 |

(8.56)

Tegyük fel, hogy az r = |x| távolság lényegesen nagyobb a sugárzó R sugaránál. Ekkor a nevez˝ oben az |x − x0 | tagot nyugodtan közelíthetjük rrel, a számláló exponensében pedig feltételezhetjük az x és x − x0 vektorok párhuzamosságát, aminek értelmében a távolságkülönbség |x − x0 | = r − − r0 cos φ sin θ. Az integrál kifejezése tehát Z Z jωρ0 v e−jkr R 2π jkr0 cos φ sin θ p(r, θ) = e dφr0 dr0 2π r 0 0 (8.57) Az integrál további egyszer˝ usítéséhez a Besselfüggvények két azonosságát használjuk : Z 2π 1 ejγ cos φ dφ = J0 (γ) (8.58) 2π 0 aminek értelmében az integrál Z e−jkr R p(r, θ) = jωρ0 v J0 (kr0 sin θ)r0 dr0 (8.59) r 0 illetve

Z J0 (γ)γdγ = J1 (γ)γ

1 III.

(8.60)

Lord Rayleigh, azaz John William Strutt 1842–1919. Nobel-díjas angol fizikus

amib˝ ol e−jkr J1 (kR sin θ)R r k sin θ jωρ0 Q e−jkr 2J1 (kR sin θ) = 2π r kR sin θ

p(r, θ) = jωρ0 v

(8.61)

Az eredményb˝ ol látszik, hogy a végtelen féltérbe sugárzó hengeres dugattyú a távoltérb˝ ol lényegében egy Q forráser˝ osség˝ u, féltérbe sugárzó monopólusként látszik, mely irányítottan sugároz. Az irányítottság mértékét a Ψ(θ) =

2J1 (γ) 2J1 (kR sin θ) = kR sin θ γ

(8.62)

függvény adja meg, ami hasonlóan viselkedik a sin γ/γ függvényhez (lásd 8.8. ábra). Értéke γ = = 0-ban maximális egységnyi, vagyis a hengeres dugattyú f˝ oiránya a θ = 0 mer˝ oleges irány. A nagy γ értékekre az oszcilláló függvény burkolója nagyjából γ −3/2 szerint csökken, ami a sin γ/γ függvénynél gyorsabb lecsengésre utal. A vonalforrás teréhez hasonlóan ismét definiálhatjuk a láthatósági tartományt, amit a −kR < γ < kR

(8.63)

összefüggés határoz meg. Nagyobb kR értékre a 2J(γ)/γ függvénynek szélesebb szakasza képz˝ odik le az iránykarakterisztika −π/2, +π/2 tartományára, ami a frekvencia növekedésével egyre nagyobb számban megjelen˝ o oldalnyalábok jelenlétére utal. Az iránykarakteriszika kioltási helyeit a Besselfüggvény γm1 zérushelyei határozzák meg, melyek megtalálhatók az 5.1. táblázatban. A f˝ onyaláb kúpszögét az els˝ o θ1 zérushely határozza meg, amire sin θ1 =

γ11 3,83 1,22λ = = kR kR D

(8.64)

ahol D a henger átmér˝ oje. Nagyfrekvencián a f˝ onyaláb kúpszöge hozzávet˝ olegesen 2θ1 ≈

7,86 2,44λ = kR D

(8.65)

A melléknyaláb-elnyomást a J1 (γ)/γ függvény lokális széls˝ oértékeinek aránya adja meg, ami jelen esetben 1 20 log10 = 17,5 dB (8.66) 0,132


83

90 1 120

0.8

60 0.8

0.6

0.6

150

30

Ψ(θ)

0.4

0.4

0.2

180

0.2

0

0 210

330

−0.2 −15

−10

(a)

−5

0 k R sin θ

5

10

15

240

(b)

300 270

8.8. ábra. Végtelen merev síkba épített, R sugarú hengeres dugattyú iránykarakterisztikájának számítása különböz˝ o kR értékekre. Az (a) ábra a sebességeloszlás Fourier-transzformáltját, illetve a láthatósági tartomány határait mutatja három különböz˝ o kR értékre (kék : kR = 0,5, zöld : kR = 5, piros : kR = 10.) A (b) ábra a különböz˝ o frekvenciákon kialkuló iránykarakterisztikákat szemlélteti.

kR = 2

kR = 4

kR = 8

kR = 6

kR = 10

8.9. ábra. Egyenletes sebességgel rezg˝ o, végtelen merev falba ágyazott kör alakú lemez nyomásterénak abszolút értéke különböz˝ o kR értékekre. A közeltéri nyomáseloszlást a Rayleigh-integrál segítségével határoztuk meg.

84


8.4.4. Hangsugárzás rezg˝ o lemezr˝ ol Végtelen lemezben id˝ oben harmonikus hajlító síkhullám halad. A lemez transzverzális sebességének leírása vB = V e−jkB x (8.67) ahol kB a hajlító hullám hullámszáma. A lemez síkhullámú nyomásteret kelt, melynek leírása p(x, z) = P e−j(kx x+kz z) (8.68) ahol k=

ω q 2 = kx + ky2 . c

(8.69)

illetve kz = k cos θ

(8.70)

Az Euler-egyenlet alapján a z irányú részecskesebesség-komponens kifejezése a lemez felületén 1 ∂p(x, z) vz (x,0) = − jωρ0 ∂z z=0 kz cos θ = p(x,0) (8.71) p(x,0) = ωρ0 ρ0 c Ennek a sebességkomponensnek meg kell egyeznie a lemez transzverzális vB (x) rezgésével. Ez két követelményt támaszt :

id˝ oben és térben is harmonikus függést, csak x irányú változást és gerejsztésmentes homogén lemezt feltételezve 4 kB DU = ω 2 σU (8.76) ahonnan a hajlító rezgés diszperziórelációja r σ 2 (8.77) kB =ω D aminek értelmében p p 2 ω σ/D c2 σ/D kB = = k2 ω 2 /c2 ω

(8.78)

Azt az ωc frekvenciát, melyen a kB /k hányados éppen egységnyi, vagyis a kz kifejezésben a gyök alatti tényez˝ o nullává válik, koincidenciafrekvenciának hívjuk : p (8.79) ωc = c2 σ/D A koincidenciafrekvencia fölött a lemez haladó síkhullámot sugároz le a hangtérbe, a koincidenciafrekvencia alatt evaneszcens hullámokat ébreszt. A koincidenciafrekvencia fölött a sugárzás f˝ oirányát a s p c2 σ/D −1 kz −1 θ = cos = cos 1− (8.80) k ω

kifejezés adja meg. A koincidenciafrekvencián θ = = ±π/2, vagyis ±x irányú síkhullám terjed a hangtérben. Ha a frekvencia növekszik, a hullámnak z irányú komponense is lesz, és ha a frekvencia tart a végtelenhez, a sugárzás iránya egyre inkább tart a mer˝ olegeshez. A jelenséget a 8.10 ábra mutatAmennyiben a hajlító rezgés hullámszáma ki- ja be. Az ábrán a végtelen lemez hangterének vao frekvenciákon. A tengesebb a hang hullámszámánál, kz > 0 valós érték lós részét látjuk különböz˝ lesz, ami a z irányban cz = ω/kz sebességgel ha- lyek normalizáltak úgy, hogy az x tengely látható ladó síkhullámot ír le. Amennyiben a hajlító rezgés szakaszára mindig ugyanannyi félhullám essen. Az hullámszáma meghaladja a hang hullámszámát, a ábrán jól látszik, hogy koincidenciafrekvencia alatt a nyomás z irányban exponenciálisan lecseng, de gyök alatti kifejezés negatív lesz, vagyis kz a frekvencia növelésével er˝ osödik. A koincidenciaq 2 frekvencia fölött a hanghullám terjed˝ o, és iránya 2 −j kB − k (8.74) tart a mer˝ olegeshez. ρ0 c P = V (8.72) cos θ r q 2 2 = k 1 − kB (8.73) kx = kB → kz = k 2 − kB k2

alakban írható fel, amit az e−jkz z kifejezésbe helyettesítve, a z irányban exponenciálisan csökken˝ o, 8.4.5. Véges méret˝ u lemezr˝ ol lesugárevaneszcens hullámot kapunk. zott hangnyomás A lemezben terjed˝ o hajlító rezgést leíró differenA továbbiakban azt vizsgáljuk meg, hogy a koinciciálegyenlet denciafrekvencia miként befolyásolja véges méreg − ∇2 D∇2 u = σ¨ u (8.75) t˝ u lemezek hangterét. Ehhez a következ˝ o egysze-


85

ω = 0,1ωc

ω = 0,6ωc

ω = 0,99ωc

ω = 1,01ωc

ω = 2ωc

ω = 4ωc

8.10. ábra. Végtelen lemez lesugárzott hangtere különböz˝ o frekvenciákon. r˝ u modelt vizsgáljuk : Tegyük fel, hogy egy mindkét végén egyszer˝ uen alátámasztott, L hosszúságú lap harmonikus sebességeloszlással sugároz. Az egyszer˝ uség kedvéért legyen a lap sebességeloszlása a z tengelyre szimmetrikus. Ekkor a véges lélegz˝ o vonalforrás terér˝ ol tanultak értelmében a lesugárzott távoltéri iránykarakterisztikát a sebességeloszlás Fourier-transzformáltjaként számíthatjuk : 1 Ψ(θ) = L

Z

L/2

v(x)ejk sin θ dx

(8.81)

Ez az iránykarakterisztikában úgy nyilvánul meg, hogy a koincidenciafrekvencia alatt a lemez iránykarakterisztikája többé-kevésbé egyenletesen eloszló oldalnyalábokat tartalmaz, melyek a sinc függvény hullámainak leképzései a θ tengelyre. Koincidenciafrekvencia környékén az oldalirányú oldalnyaláb nagyon feler˝ osödik, majd két éles oldalnyaláb uralja a hangteret, melyek irányszöge a frekvenci növelésével tart a zérushoz (mer˝ olegeshez).

−L/2

Ha a lemez v(x) sebességeloszlása kB hullámszámú harmonikus függvény, akkor az ered˝ o spektrum a harmonikus függvény spektrumának, illetve az L szélesség˝ u négyszögablak spektrumának konvolúciója, vagyis ±kB hullámszámoknál elhelyezked˝ o sinc függvények szuperpozíciója, ahogy azt a 8.11. ábra mutatja. A spektrum láthatósági tartományát a k hullámszám határozza meg. mivel a kB hajlító hullámszám a módusszám négyzetes függvénye, a láthatósági tartomány viszont a módusszámmal arányosan szélesedik, eleinte a spektrum maximumai távolodnak a láthatósági tartomány széleit˝ ol, majd a koincidenciafrekvencián a láthatósági tartomány határai elérik a hajlító hullámszám által meghatározott maximumokat.

8.4.6. Tetsz˝ oleges alakú sugárzó hangtere Zárásként a tetsz˝ oleges alakú hangsugárzó hangterét adjuk meg. Legyen a hangsugárzónk egy zárt A felület, melyen ismerjük a normális irányú vn (x) részecskesebességet vagy a p(x) hangnyomást. tekintsük el˝ oször azt az esetet, mikor a sugárzó az A felület által körbefoglalt zárt V térfogatba sugároz. A V térfogatban természetesen érvényes a hangtér hullámegyenlete, melynek harmonikus alakja a Helmholtz-egyenlet : ∇2 p + k 2 p = 0

(8.82)

Írjuk fel a zárt térfogatra a vektoranalízis Green-

86


1 120

0.8 Ψ(θ)

v(x)

150

0

0.6

0.2

−L/2

0 x [m]

L/2

0

210

0 kL/2 sin(θ)

500

330 240

120

0.8 Ψ(θ)

v(x)

150

0.6

0.2

−L/2

0 x [m]

L/2

210

0 kL/2 sin(θ)

500

330 240

0.8 Ψ(θ)

v(x)

150

0.6

0 x [m]

L/2

210

0 kL/2 sin(θ)

500

330 240

0.8 Ψ(θ)

v(x)

150

0.6

0 x [m]

L/2

90 1 0.8 60 0.6 0.4 0.2

180

0.4 0.2

−L/2

300 270

120

0 −500

30

0

1

0

90 1 0.8 60 0.6 0.4 0.2

180

0.4 0.2

−L/2

300 270

120

0 −500

30

0

1

0

90 1 0.8 60 0.6 0.4 0.2

180

0.4

0 −500

300 270

1

0

30

180

0.4

0 −500

90 1 0.8 60 0.6 0.4 0.2

0

210

0 kL/2 sin(θ)

500

30

330 240

300 270

8.11. ábra. L széles lemezdarab hajlító módusai által sugárzott hangtér irányítottsága. A bal oldali sor a lemezdarab v(x) sebességeloszlását, a középs˝ o sor a sebességeloszlás Ψ(k sin θL/2) spektrumát, a jobb oldali sor pedig a spektrum láthatósági tartományába es˝ o szakasz polárdiagramos ábrázolását mutatja.

8.4. ÖSSZETETT SUGÁRZÓK HANGTERE tételét. Ha p és q tetsz˝ oleges, kétszer differenciálható skalárterek, akkor érvényes a Z Z ∇2 pq − ∇2 qpdV = − (∇pq − ∇qp) ndA

87

Amennyiben a sugárzónk nem a zárt V térfogatba, hanem a nyílt végtelen térbe sugároz, A Krichhoff–Helmholtz-integrál érvényes marad, csak arra a végtelen térfogatra kell felírnunk, meV A lyet belülr˝ ol az A felület, kívülr˝ ol pedig egy R suga(8.83) rú gömbfelület határol, ahol R → ∞. A felületi inahol n a felület befelé mutató egységnormálisa (entegrált ekkor nyilván a két felület uniójára kell felírnek iránya miatt a jobb oldali negatív el˝ ojel). Alnunk, de feltételezzük, hogy az R sugarú gömbfelükalmazzuk a Green-tételt a következ˝ o szereposzletre felírt tag zérus. Ezt a feltételt Sommerfeld-féle tásban : Legyen p a V térfogaton belül uralkodó sugárzási feltételnek hívjuk. Praktikusan azt jelenhangnyomás, q pedig a hangtér g(x, x0 ) Greenti, hogy a végtelenb˝ ol nem reflektálódik hang a V függvénye, mely a térfogatba. ∇2 g + k 2 g = −δ(x − x0 ) (8.84) egyenlet megoldása, vagyis az x0 pontban elhelyezett monopólus nyomástere. A Green-tétel alakja ekkor Z (−k 2 p)g − (−δ(x − x0 ) − k 2 g)pdV = V Z − (∇pg − ∇gp) ndA (8.85) A

A lehetséges egyszer˝ usítések és a Dirac-delta kiválasztási tulajdonságának kihasználásával Z p(x0 ) = gn0 p − p0n gdA (8.86) A

ahol p0n a nyomás normális irányú deriváltját jelöli. Az Euler-egyenlet értelmében ez a normális irányú részecskesebességgel arányos : Z p(x0 ) = gn0 (x, x0 )p(x) + jωρ0 vn (x)g(x, x0 )dA A

(8.87) Az integrál neve Krichhoff–Helmholtz-ingtegrál. Eredményünk szerint az x0 pontban kialakuló nyomás a felületi p(x) nyomás és vn (x) normális irányú rezgéssebesség ismeretében két integrál kiértékelésével számítható. A sebességet tartalmazó integrálban a sebesség együtthatója az x0 pontban elhelyezett monopólus x-beli nyomástere, ami a reciprocitési elv értelmében megegyezik az x-beli monopólus x0 -beli terével. A nyomást tartalmazó integráltagban a nyomás együtthatója a monopol tér normális irányú deriváltja, ami egy, a felület x pontjában elhelyezked˝ o, normális irányban rezg˝ o dipol sugárzó x0 -beli nyomásterét adja meg. Azt látjuk tehát, hogy tetsz˝ oleges akusztikus sugárzú hangtere monopol és dipol források szuperpozíciójával számítható.

88


9. fejezet

Hangterjedés zárt hangszertestekben

θ

Ismét kihasználjuk, hogy a különböz˝ o tagok különböz˝ o változóktól függenek, így mindhárom jelölt tag konstans, a köztük lev˝ o összefüggés pedig ω 2 (9.5) kr2 + kx2 = k 2 = c

x

r

A pX tagra felírt egyenletb˝ ol következik, hogy pX (x) = p+ e−jkx x + p− ejkx x

9.1. ábra. Koordinátaváltozók értelmezése hengerkoordináta-rendszerben

A pR és pΘ tagokra felírt p00R (r) p0 (r) p00 (θ) + R + Θ2 = −kr2 pR (r) rpR (r) r pΘ

9.1. Egyenes hengeres csövek (9.1)

Helmholtz-egyenlet rθx hengerkoordináta-rendszerben való megoldását tárgyaljuk. A Helmholtzegyenlet hengerkoordináta-rendszerben érvényes alakja ∂ 2 p 1 ∂p 1 ∂2p ∂2p + + + + k2 p = 0 ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 ∂x2

(9.7)

egyenlet r2 -tel való szorzás után tovább szeparálható :

A továbbiakban a ∆p + k 2 p = 0

(9.6)

p00 (θ) r2 p00R (r) rp0R (r) + + (kr r)2 = − Θ = n2 (9.8) pR (r) pR (r) pΘ A pΘ tagra felírt egyenlet megoldása egyenl˝ oség megoldása pΘ (θ) = cos(nθ) (9.9)

(9.2) ahol a periodicitási feltételb˝ ol következik, hogy n csak egész értéket vehet fel. A megoldáshoz alkalmazzuk szokásos módon a válA pR tagra felírt egyenlet pR -rel való szorzás tozók szeparálásának módszerét, azaz írjuk fel a után megoldást három függvény szorzataként, ahol a három tag csak egy-egy koordinátaváltozótól függ : r2 p00R (r)+rp0R (r)+ (kr r)2 − n2 pR (r) = 0 (9.10) (9.3) alakot ölt. A γ = kr r Változócsere után a Visszahelyettesítés és p(r, θ, x)-szel való osztás után γ 2 p00 (γ) + γp0 (γ) + γ 2 − n2 p(γ) = 0 (9.11) az alábbi összefüggést kapjuk : Bessel-egyenletet kapjuk, aminek megoldásai a p00R (r) p0 (r) p00 (θ) p00X (x) + R + Θ2 + +k 2 = 0 (9.4) Jn (γ) Bessel-függvények : pR (r) rpR (r) r pΘ pX (x) | {z } | {z } 2 pR (r) = Jn (kr r) (9.12) −kr2 −kx p(r, θ, x) = pR (r)pΘ (θ)pX (x)

89

90

9. FEJEZET. HANGTERJEDÉS ZÁRT HANGSZERTESTEKBEN

A teljes általános megoldás ezek szerint p(r, θ, x) = Jn (kr r) cos(nθ) p+ e−jkx x + p− ejkx x ω 2 (9.13) kr2 + kx2 = k 2 = c

9.1.1. Hullámterjedés végtelen, merev falú cs˝ oben – haladó és evaneszcens hullámok A következ˝ okben végtelen hengeres cs˝ oben terjed˝ o hullámokat vizsgálunk. El˝ oször is feltételezzük, hogy a hullám csak a pozitív x tengely irányában terjed, vagyis a teljes (9.13) megoldásból kizárjuk a p− tagot :

(0,1) (0,2)

(0,0)

(0,3)

(0,4) (2,0)

0.5

(2,1)

Jn(γ)

alakú, azaz a Helmholtz-egyenlet hengerkoordináta-rendszerben felírt általános megoldását sugárirányban Bessel-függvények, érint˝ oirányban harmonikus függvények, hosszirányban pedig síkhullámok adják.

1

0 (1,0)

−0.5 0

2

4

(1,1)

γ

(1,2)

6

8

10

9.2. ábra. A Jn (γ) Bessel-függvények Jn0 (γ) deriváltjainak γmn zérushelyei, azaz a Jn Bessel-függvények lokális széls˝ oérték-helyei

Az utóbbi összefüggés fontos jelenségre mutat rá. Mindazon mn kombinációkra, ahol a gyök alatt p(r, θ, x) = p0 Jn (kr r) cos(nθ)e−jkx x (9.14) pozitív mennyiséget kapunk, vagyis k r,mn < ω/c, a k hosszirányú hullámszám pozitív valós érték x,mn Peremfeltételkét figyelembe vesszük, hogy a cs˝ o −jkx,mn x lesz, vagyis az e tag x irányú haladó hulláfalán a sugárirányú vr sebességkomponens zérus, 0 mot ír le. Ha ellenben a keresztirányú hullámszám vagyis a p nyomás sugár irányú pr deriváltja zérus. Ez a feltétel a Bessel-függvénnyel leírt komponenst meghaladja a hang ω/c hullámszámát, a gyökjel alól −1-et kiemelve érinti : r ω 2 p0R (R) = 0 → Jn0 (kr R) = 0 (9.15) 2 kx,mn = −j kr,mn − = −jαmn (9.18) c A feltételt kielégít˝ o kr hullámszámokat a Besselfüggvények deriváltjainak γmn gyökhelyei, vagy- vagyis a hosszirányú hullámszám negatív képzetes is a Bessel-függvények széls˝ oérték-helyei határoz- lesz, az e−jkx,mn x = e−αx (9.19) zák meg. A széls˝ oérték-helyeket a 9.2. ábra ábrázolja, és 9.1. táblázat sorolja fel. Mivel a Bessel- tag pedig a pozitív x tengely mentén exponencifüggvények oszcillálnak, természetesen minden álisan csökken˝ o, nem oszcilláló nyomásfüggést ír Jn függvénynek végtelen sok széls˝ oértéke van. le. Ezek az ún. evaneszcens hullámok a gerjeszA páratlan rendszámú Bessel-függvényeknek min- tés helyének közelében gyorsan lecsillapodnak, és den széls˝ oérték-helyük pozitív, a páros n rendszá- nem játszanak szerepet a végtelen cs˝ oben kialakuló mú Bessel-függvényeknek lokális széls˝ oértékük a hangképben. γ0n = 0 hely is. Egy adott mn kombinációhoz tarLátjuk, hogy minden keresztirányú módushoz tozó γmn széls˝ oértékhely ismeretében a keresztirá- tartozik egy határfrekvencia, ami fölött a módusnyú hullámszám a hoz terjed˝ o hullám, és ami alatt a módushoz evanγmn eszcens hullámforma tartozik. A határfrekvencia (9.16) kr,mn = kifejezése R γmn c összefüggéssel számolható, a hosszirányú hullám(9.20) ωmn = kr,mn c = szám kifejezése pedig R r A keresztirányban konstans (0,0) módushoz zérus ω 2 2 kx,mn = − kr,mn (9.17) határfrekvencia tartozik, vagyis tetsz˝ oleges frekc

9.1. EGYENES HENGERES CSÖVEK m 0 1 2 3 4

J0 0 3.8317 7.0156 10.1735 13.3237

91

J1 1.8412 5.3315 8.5364 11.7060 14.8636

J2 3.0542 6.7061 9.9694 13.1704 16.3475

J3 4.2012 8.0153 11.3459 14.5858 17.7888

J4 5.3176 9.2824 12.6819 15.9641 19.1960

J5 6.415610.5199 13.9872 17.3129 20.5755

9.1. táblázat. A Bessel-függvények lokális széls˝ oérték-helyei vencián kialkulhat a végtelen cs˝ oben olyan haladó további peremfeltételt : Legyen a csövünk mindkét hullám, melyhez a cs˝ o keresztmetszete mentén ál- végen mereven lezárva, vagyis legyen a részecskelandó nyomás tartozik. A következ˝ o határfrekven- sebesség zérus a cs˝ o mindkét végén : cia a (0,1)-es módushoz tartozó ω01 érték, amit a vx (0) = vx (L) = 0 cs˝ o vágási frekvenciájának nevezünk, és melynek kifejezése p0x (0) = p0x (L) = 0 (9.25) 1,84c cγ01 = R R

(9.21) A peremfeltétel nyilván a pX (x) megoldásfüggvényt érinti, amire a következ˝ o megoldásfüggvényeket kapjuk : Mint kés˝ obb látni fogjuk, a vágási frekvencia fontos szerepet tölt be a fúvós hangszerek m˝ uködésében. lπ x = cos kx,lmn x (9.26) pX (x) = cos L 9.1. példa Hullámalakok végtelen cs˝ oben Milyen hullámalakok terjedhetnek egy R = ahol kx,lmn = lπ/L a hosszirányú hullámszám. = 10 cm sugarú, merev falú cs˝ oben f = 2900 Hz frekvencia alatt ? 2 2 kr,lmn + kx,lmn = k2 (9.27) A terjed˝ o hullámalakokat a A cs˝ o módusait három egész számmal, az ω γmn > (9.22) (l, m, n) számhármassal tudjuk leírni. A cs˝ o ψlmn c R nyomásmódusának alakja feltétel választja ki, vagyis a megfelel˝ o γmn értékek γ lπ mn r cos(nθ) cos x ψlmn (r, θ, x) = Jn R L 2πf R 2π2900 · 0,1 (9.28) γmn < = = 5,3592. (9.23) c 340 ahol fennáll a ωc = ω01 =

A megfelel˝ o (mn) párok és a hozzájuk tartozó széls˝ oérték-helyek a következ˝ ok : (0,0) 0

(0,1) 1.84

(0,2) 3.05

(1,0) 3.83

(0,3) 4.20

A (0,0) alak tiszta síkhulám.

(0,4) 5.31

γ

mn

R

2

+

lπ L

2 =

ω 2 c

(9.29)

összefüggés. Ez utóbbi határozza meg a ψlmn mó(1,1) dus r 5.33 cπ γmn 2 (9.24) ωlmn = + l2 (9.30) L πR0

9.1.2. Véges hosszú, merev falú hengeres csövek módusai A végtelen csövek után térjünk át a véges L hosszúságú csövek vizsgálatára. Fogalmazzunk meg két

sajátfrekvenciáját, ahol R0 = R/L a cs˝ o relatív sugara. A ψlmn módusalakokat a 9.3. ábra mutatja l = = 0 . . . 2, m = 0 . . . 3 és n = 0 . . . 3 esetekre. Figyeljük meg, hogy a módusalakok csomóhengereket, valamint keresztirányú és hosszanti irányú csomósíkokat tartalmaznak. A keresztirányú csomósíkok


m=3

m=2

m=1

m=0

92

n=1 n=2 (0mn) módusok

n=3

n=0

n=1 n=2 (l2n) módusok

n=3

l=2

l=1

n=0

9.3. ábra. Véges hosszú, merev falú és mindkét végén zárt hengeres cs˝ o módusai

9.1. EGYENES HENGERES CSÖVEK

0

0.5

93

1

1.5

2

2.5

f / fc

9.4. ábra. R0 = 0,1 relatív sugarú kör keresztmetszet˝ u cs˝ o sajátfrekvenciáinak eloszlása. A különböz˝ o színek a különböz˝ o keresztirányú módusokat jelölik : kék : (l,0,0), zöld : (l,0,1), piros : (l,0,2), türkiz : (l,1,0). száma az l érték, m adja meg a csomóhengerek számát, n pedig a hosszirányú csomósíkok számát írja le. Térjünk vissza a vágási frekvencia fontos szerepére, és vizsgáljuk meg egy R/L = 0,1 relatív sugarú hengeres cs˝ o els˝ o néhány sajátfrekvenciáját. A sajátfrekvenciákat a 9.4. ábra mutatja. Látjuk, hogy az els˝ o keresztirányú módus megjelenéséig a sajátfrekvenciák az alapfrekvencia egész számú többszörösei, vagyis annak felharmonikusai. A vágási frekvencián belépnek a módusok közé az (l01) módusok is, és innent˝ ol a Bessel-függvények széls˝ oértékhelyeinek rendezetlensége miatt meglehet˝ osen szabálytalanul követik egymást a sajátfrekvenciák. A kép tovább bonyolodik minden újabb keresztirányú módus belépésekor.

térfüggését a p(x) = p+ e−jkx + p− ejkx

(9.31)

egyenlet írja le. A hangtér els˝ o (8.4) egyenletének harmonikus alakja szerint p0 + jωρ0 v = 0

(9.32)

amit (9.31)-be helyettesítve 1 −p0 (x) p+ e−jkx − p− ejkx = jωρ0 ρ0 c

v(x) =

A cs˝ o z(x) impedanciáját tetsz˝ oleges pozícióan a nyomás és a sebesség hányadosaként definiáljuk : z(x) =

p+ e−jkx + p− ejkx p(x) = ρ0 c + −jkx v(x) p e − p− ejkx

(9.33)

9.1.3. Véges hosszú hengeres cs˝ o bemevezessük be az r = p− /p+ reflexiós tényez˝ ot, ami n˝ o impedanciája A továbbiakban azzal foglalkozunk, hogy egy véges hosszú hengeres cs˝ o bemenetén hogyan alakul a hangnyomás és a részecskesebesség kapcsolata. Ez a téma többek között az akusztikai mérések szempontjából fontos : Ha tudjuk, hogy különböz˝ o cs˝ otípusok esetén milyen kapcsolat van a cs˝ o végén mérhet˝ o hangtérjellemz˝ ok között, akkor a hangtérjellemz˝ oket megmérve következtethetünk a cs˝ o bels˝ o viselkedésére, rezonanciáira és a lesugárzás tulajdonságaira is. Az egyszer˝ uség kedvéért csak a longitudinális módusokkal foglalkozunk, vagyis feltételezzük, hogy a csövet a vágási frekvencia alá es˝ o zenei tartományban használjuk. Ebben a frekvenciatartományban a cs˝ oben kialakuló harmonikus nyomás

a pozitív és a negatív x irányban terjed˝ o hullámok komplex amplitúdóit viszonyítja egymáshoz. Ekkor az impedanciára a z(x) = ρ0 c

e−jkx + rejkL 1 + rej2kx = ρ c (9.34) 0 e−jkx − rejkL 1 − rej2kx

kifejezést kapjuk. tegyük fel, hogy a csövet lezáró impedancia z(L) = z2 . Ekkor a reflexiós tényez˝ o kifejezhet˝ o: z(L) = z2 = ρ0 c

1 + rej2kL 1 − rej2kL

(9.35)

alakban, amit átrendezve r=

z2 − z0 −j2kL e z2 + z0

(9.36)

94


A reflexiós tényez˝ o ismeretében könnyen kifejez- Ideális merev lezárás het˝ o a cs˝ o bemen˝ o impedanciája : Ideális merev z2 = ∞, v(L) = 0 lezárás esetén a cs˝ o bemen˝ o impedanciája 1+r z1 = z(0) = z0 cos kL 1−r z1 = z0 = −jz0 cot kL (9.39) j sin kL z2 cos kL + jz0 sin kL = z0 jz2 sin kL + z0 cos kL Ebben az esetben a bal oldalon nyitott cs˝ o rezoz2 + jz0 tan kL nanciafrekvenciáit a kL = (2n + 1)π/2, a mind= z0 (9.37) z0 + jz2 tan kL két végén lezárt cs˝ o rezononciafrekvenciáit pedig a kL = nπ értékek határozzák meg. A bemen˝ o impedancia kifejezése után viszgáljuk meg, hogy mire következtethetünk a bemen˝ o impedancia alapján. Tegyük fel, hogy a vizsgált csövünk x = 0-ban ideálisan zárt, vagyis v(x = 0) = 0. A cs˝ o sajátfrekvenciáin a cs˝ oben véges nyomás alakulhat ki a lezáráson, vagyis a cs˝ o bemen˝ o impedanciája végtelen. A bemen˝ o impedancia szingularitásai tehát az x = 0-ban zárt cs˝ o sajátfrekvenciáin jelentkeznek. Tegyük fel, hogy a csövünk x = 0-ban ideálisan nyitott, vagyis p(x = 0) = 0. A cs˝ o rezonanciafrekvenciáin a zérus nyomás véges részecskesebesség mellett alakul ki, vagyis a cs˝ o bemen˝ o impedanciája zérus. A bemen˝ o impedancia zérushelyei tehát az x = 0-ban ideálisan nyitott cs˝ o sajátfrekvenciáin jelentkeznek. A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy hogy alakul a bemen˝ o impedancia néhány tipikus lezárás esetén.

Lezárás specifikus impedanciával Ha a csövet a síkhullám z0 specifikus impedanciájával zárjuk le, akkor z1 = z0

z0 cos kL + jz0 sin kL = z0 jz0 sin kL + z0 cos kL

(9.40)

vagyis a cs˝ o végtelen hosszúnak látszik. Könnyen látszik, hogy ebben az esetben az r reflexiós tényez˝ o zérus, vagyis egyáltalán nem ver˝ odik vissza hullám a cs˝ o lezárásáról. Lezárás a féltér bemen˝ o impedanciájával

Az ideálisan merev lezárás igen jól közelíti a mereven lezárt hangszervégek esetét. A szabad lezárás esetében azonban nagyon fontos az ideális szabad lezárásnál pontosabb modell használata. A lezáráshoz azt az esetet modellezzük, mikor a cs˝ o egy a sugarú, mereven mozgó dugattyúban végz˝ odik, amely a végtelen féltérbe sugároz. Egy ilyen, v sebességgel mozgó dugattyú által ébreszIdeális szabad lezárás tett távoltéri nyomást már vizsgáltuk a ?? fejezetben. A közeltérben, a dugattyú felületén kialakuló Ideális szabad lezárás esetén a lezáró z2 = z(L) p nyomás kifejezésére az alábbi közelít˝ o összefügimpedancia zérus, ami zérus p(L) hangnyomásnak gést használhatjuk : felel meg. Ebben az esetben a cs˝ o bemenetén látp(L) szódó impedancia = z2 = R + jX (9.41) v(L) jz0 sin kL = jz0 tan kL (9.38) ahol R a sugárzási impedancia valós része, X pedig z1 = z0 z0 cos kL annak képzetes része. Ezek közelít˝ o összefüggései : " # 2 4 6 (ka) (ka) (ka) A mindkét végén szabadon hagyott cs˝ o rezonanR = z0 − 2 + 2 2 − ··· 2 2 3 2 3 4 ciafrekvenciáit a bemen˝ o impedancia zérushelyei " # adják meg, melyekre kL = lπ. 3 5 7 z0 (2ka) (2ka) (2ka) X= − + 2 2 − ··· A bal oldalon zárt és jobb oldalon nyitott cs˝ o re2 3 32 5 3 5 7 π (ka) zonanciafrekvenciáit a tan kL függvény szinguláris (9.42) helyei adják meg, melyekre kL = (2l + 1)π/2.

9.1. EGYENES HENGERES CSÖVEK

95

0

z / ρ c [−]

10

−1

10

zféltér

−2

10

R X

−3

10

−2

10

−1

0

10

10

1

10

z=0

ka [−]

9.5. ábra. A végtelen féltérbe sugárzó a sugarú dugattyúra ható akusztikai impedancia valós R és képzetes X része. A piros vonal a vágási frekvenciát jelöli.

L0 ≈ 0,85a 9.6. ábra. A végtelen féltérbe sugárzó cs˝ o lezáró impedanciája kisfrekvencián L0 effektív hosszú, ideálisan nyitott cs˝ ovégz˝ odéssel ekvivalens.

a függvényeket pedig a 9.5. ábra ábrázolja. A kis ka 1 értékek tartományában a lezáró im- cia értékét. Ez azt jelenti, hogy a lezáráson megpedancia képzetes része dominál, és alkalmazható jelen˝ o nyomás és sebesség egyre inkább fázisban a sorfejtés egytagú közelítése : lesznek, így a lezáráson Apv ≈ Av 2 ρ0 c teljesítmény disszipálódik. A disszipált teljesítmény lesugárzott 8a 8ka ovégr˝ ol. ≈ jz0 tan k (9.43) hangteljesítmény formájában távozik a cs˝ z2 ≈ jz0 3π 3π ami jól láthatóan egy L0 =

9.1.4. Oldalfuratok 8a ≈ 0,85a 3π

(9.44) A fúvós hangszerek hangmagasság-változtatásának egyik módja az oldalfuratok alkalmazása. Ha a jáhosszúságú, ideálisan zérus nyomással lezárt cs˝ o tékos egy, a hangszer végéhez közeli oldafuratot felnyit, a hangszer látszólagos hosszát megrövidíimpedanciájának felel meg. Elmondhatjuk tehát, hogy egy, a szabad végtelen ti, így a hangszer magasabb hangon szólal meg. Az féltérbe sugárzó L hosszú és R sugarú cs˝ o a kis- oldalfuratok hangmagasságra gyakorolt hatásának u fúvós hangszermodellt frekvenciás tartományban praktikusan olyan, ideá- analíziséhez egy egyszer˝ vizsgálunk meg. lisan lezárt cs˝ oként kezelhet˝ o, melynek hossza L + A 9.7. ábrán mutatott hangszer egy L hosszúsá+ 0,85R. Az L0 tagot korrekciós hossznak hívjuk. gú, A bels˝ o keresztmetszeti felület˝ u cs˝ o, melynek Amennyiben a cs˝ o nem a végtelen féltérbe, hafalvastagsága d. A hangszer mindkét vége nyitott, nem a végtelen szabad térbe sugároz, akkor a kor0 és jobb oldali végét˝ o l D távolságra egy a felület˝ u rekciós hossz némileg rövidebb, értéke L ≈ 0,61R. oldalfuratot helyezünk el. Mivel a kisfrekvenciás tratományban a lezáró imAz oldalfurattal a hangszert lényegében három pedancia képzetes része dominál, a lezáráson a ore bontottuk : Egy L − D hosszú cs˝ o a hangszer nyomás és a sebesség π/2 fáziskülönbséggel van cs˝ jelen. Ez azt jelenti, hogy a cs˝ ovég nem sugároz bal oldala és az oldalfurat között helyezkedik el, o maga az oldalfurat, végül a harle valós teljesítményt, hanem csak a leng˝ o teljesít- egy d hosszú cs˝ madik, D hosszú cs˝ o az oldalfurattól a hangszer ménytag alakul ki rajta. A nagyfrekvenciás tartományban már a lezáró végéig halad. Éljünk azzal a feltételezéssel, hogy a hangszert impedancia valós része lesz domináns, és kR ≈ 1 értéknél eléri a ρ0 c síkhullámú specifikus impedan- ideális, zérus impedancia peremfeltétel zárja le a

96


L−D

nagy Z jelöléssel a hagyományos z specifikus impedanciától való eltérésre utalunk, a Z = p/U impedanciát szokás akusztikai impedanciának mértékegységét pedig akusztikai ohmnak nevezni), illetve ennek reciprokát, az Y akusztikai admittanciát. Az admittanciára felírhatjuk hogy

D U1 U

p

U2

Y =

∆ D0

U U1 + U2 U1 U2 = = + = Y1 + Y2 (9.49) p p p1 p2

vagyis elágazásnál a cs˝ odarabok admittanciái összeadódnak. Ez az impedanciák esetében természetesen replusz kapcsolatot jelent. Az elágazásnál balról látszódó teljes admittancia tehát

9.7. ábra. Oldalfurat helyettesítése

A a A a + + = z1 z2 jz0 tan kd jz0 tan kD jobb oldalon és az oldalfuraton. Ezzel nem csor(9.50) bítjuk az általánosságot, hanem azt feltételezzük, Alkalmazzuk a tan x ≈ x egyszer˝ usítést, feltéve, hogy az L, D és d távolságok már tartalmazzák a hogy mind a D, mind a d távolság elegend˝ oen rökorrekciós hosszakat is. vid a hullámhosszhoz képest. Ekkor a bemen˝ o adA d hosszú oldalfurat hangszer belsejéb˝ ol „látott” mittancia 1 a A z1 bemen˝ o impedanciája Y = + (9.51) jz0 k d D z1 = jz0 tan kd (9.45) ahonnan a bemen˝ o impedancia A D hosszú cs˝ ovég bemen˝ o z2 impedanciája pedig 1 dD hasonló módon Z= = jz0 k (9.52) Y aD + Ad z2 = jz0 tan kD (9.46) illetve az A keresztmetszet˝ u bal oldali cs˝ o végén látszódó specifikus impedancia Kérdés, hogy milyen impedanciaként látszik a cs˝ o Y = Y1 + Y2 =

belsejéb˝ ol az oldalfurat és a cs˝ ovég együttese. Ennek megválaszolásához bevezetjük a térfogatsebesség fogalmát, amely a részecskesebesség és a felület szorzata, dimenziója pedig m3 /s (innen a térfogatsebesség elnevezés). Tegyük fel, hogy a cs˝ o bal oldalának végén U = vA térfogatsebesség jelenik meg. Ez a térfogatsebesség szétoszlik az oldalfuratba beáramló U1 = v1 a és a jobb oldali cs˝ ovégbe beáramló U2 = v2 A térfogatsebességekre, vagyis az elágazásnál érvényes az alábbi folytonossági egyenlet : U = U1 + U2 (9.47) A hangnyomás az elágazásnál természetesen azonos mind a három cs˝ ovégz˝ odésben, vagyis p = p1 = p2

(9.48)

Vezessük be a hangnyomás és a térfogatsebesség hányadosából képzett Z akusztikai impedanciát (a

AdD AdD ≈ jz0 tan k aD + Ad aD + Ad (9.53) ahonnan leolvasható, hogy az oldalfurat és a D hosszúságú cs˝ ovégz˝ odés együtt egy z = ZA = jz0 k

D0 =

AdD aD + Ad

(9.54)

hosszú, ideálisan nyitott, A keresztmetszet˝ u cs˝ oként látszik. A végt˝ ol D távolságban megnyitott oldalfurat mellett a cs˝ o látszólagos rövidülése tehát nem D, hanem attól eltér. A rövidülés mértéke ∆ = D − D0 =

aD2 aD + Ad

(9.55)

A rövidülés mértékét tekintve látszik, hogy amennyiben az oldalfurat a átmér˝ oje nulla (nincs

9.2. KÜRTÖK

97 hossza L∗ = L + 8R/3π = 30,42 cm, a furat látszólagos mélysége pedig d∗ = d + 8r/3π = 7,54 mm. A kívánt látszólagos hosszcsökkenés ∆∗ = L∗ /16 = = 19,02 mm. Az ehhez szükséges (L∗ korrigált hosszhoz mért) furatpozíció   s 2 ∗ (9.56) ∗ 4d R  ∆  1+ 1+ ∗ = 31,62 mm D∗ = 2 ∆ r

oldalfurat), a rövidülés zérus. Amennyiben az oldalfurat átmér˝ oje végtelen, a rövidülés mértéke megegyezik a D furattávolsággal. Valóságos esetekben persze a furatátmér˝ o nem haladhatja meg a cs˝ o átmér˝ ojét, vagyis a ≤ A. Az a = A határesetben a rövidülés mértéke ∆=

D2
9.2. példa Oldalfurat hatása I A végét˝ ol milyen távol kell megnyitni egy L = = 30 cm hosszú, R = 5 mm bels˝ o sugarú és d = = 5 mm falvastagságú, mindkét végén nyitott sípot, ha az alapfrekvenciát egy 16/15-ös kisszekunddal szeretnénk növelni ? A furatátmér˝ o 3 mm. A megoldás során el˝ oször eltekintünk a hosszkorrekciótól, vagyis ideális nyitott végeket feltételezünk. A kisszekundnyi hangmagasság-növekedés 16/15 frekvenciaszorzónak felel meg, vagyis a hosszúságot 15/16 részre kell csökkenteni. Ez a 30 cm hosszú síp esetében ∆ = L/16 = 18,75 mmes hosszcsökkenésnek felel meg. Adott ∆ hosszcsökkentés mellett A (9.55) egyenletb˝ ol a D furatpozícióra másodfokú egyenlet adódik : A (9.57) D2 − ∆D − d∆ = 0 a ahonnan a D furatpozíció   s 2 ∆ 4d R  D1,2 = (9.58) 1± 1+ 2 ∆ r Mivel a gyökös kifejezés egynél nagyobb, a D1 megoldás ∆-nál nagyobb, a D2 megoldás pedig negatív lesz, és fizikai tartalmat nem hordoz. A megadott értékekkel a fizikailag értelmes megoldás D1 = 28,04 mm. Figyelemre méltó, hogy a ∆ = 18,75 mm-es látszólagos hosszcsökkenéshez az oldalfuratot lényegesen távolabb, 28,04 mm-re kell elhelyezni. A nagy különbség a cs˝ o sugarához képest kis furatátmér˝ onek és a nem elhanyagolható falvastagságnak köszönhet˝ o.

(9.59) vagyis a tényleges, síp végét˝ ol mért furatpozíció D = D∗ − 8R/3π = 27,38 mm. A hosszkorrekcióval és anélkül számított megoldások eltérése 0,66 mm.

9.2. Kürtök Kürt alatt változó keresztmetszet˝ u csöveket értünk. Fúvós hangszereknél a kürtök alkalmazásának kett˝ os célja van : – A táguló kürtök impedanciatranszformátorok, melyek optimális tejesítményátvitelt eredményezhetnek egy cs˝ oszakasz és a végtelen szabad tér között. – A kürtök jelent˝ os mértékben hangolják a fúvós hangszereket.

9.2.1. A Webster-egyenlet A Webster-egyenlet a változó keresztmetszet˝ u hullámvezet˝ oben terjed˝ o nyomáshullámokat leíró differenciálegyenlet. Levezetéséhez tekintsük ismét az egydimenziós hangtér (8.10) egyenletét, mely a a V0 térfogatban uralkodó nyomást a relatív térfogatváltozással fejezi ki : ∆V (x) V0 (x) A(x + ∆x)u(x + ∆x) − A(x)u(x) = −κP0 ∆xA(x) (Au)0 → −κP0 (9.60) A

p(x) = −κP0

9.3. példa Oldalfurat hatása II Oldjuk meg a 9.2. feladatot a hosszkorrekció fiamit id˝ o szerint kétszer deriválva gyelembe vételével is A hosszkorrekció hat mind a síp lezárására, mind A¨ p = −κP0 (Av) ˙ 0 az oldalfurat lezárására, vagyis a cs˝ o látszólagos

(9.61)

98


r(x)

0

L

x

A deriválások elévégzése és egyszer˝ usítések után az alábbi hullámegyenlethez jutunk : r00 Ψ00 + k 2 − Ψ=0 (9.68) r ahol az F (x) =

9.8. ábra. Kürt Az Euler-egyenlet (8.4) alapján −p0 (x, t) = ρ0 u ¨(x, t)

(9.62)

amit A-val szorozva, majd hely szerint egyszer deriválva 0 0 − (Ap0 ) = ρ0 (Av) ˙ (9.63) (9.63) és (9.61) kombinálásával az alábbi Webster-egyenletet kapjuk : 0

1 (Ap0 ) p¨ = 2 c A

(9.64)

0

(9.65)

9.2.2. A kürtfüggvény

(9.69)

mennyiség a kürtfüggvény, ami a kürt geometriáját jeleníti meg az egyenletben. Ha adott x pozícióban k 2 > F (x), akkor a hullámegyenlet megoldása az adott pozícióban haladó hullámot ad, ha k 2 < < F (x), akkor a megoldást lokálisan exponenciálisan csökken˝ o evaneszcens hullámok írják le. Fontos kiemelnünk, hogy míg állandó keresztmetszet˝ u csövek esetében csak a keresztirányú módusok esetében jelentek meg evanszcens hullámok a hullámegyenlet megoldásában, addig változó keresztmetszet˝ u csövek esetében a keresztirányban konstans nyomáshullámok is csak vágási frekvenciájuk fölött terjedhetnek. A továbbiakban szükségünk lesz a v(x) részecskesebesség és a z(x) impedancia kifejezésére is. Ezek a mennyiségek a hullámfüggvény segítségével az alábbi alakban adhatók meg. v(x) =

Id˝ oben harmonikus esetben az id˝ o szerinti kétszeres deriválás −ω 2 szorzóvá egyszer˝ usödik, aminek értelmében a Webster-egyenlet alakja (Ap0 ) + k2 p = 0 A

r00 (x) r(x)

z(x) =

1 Ψr0 − Ψ0 r jωρ0 r2

(9.70)

Ψ/r p(x) Ψr = = jωρ0 0 1 Ψ0 r−Ψr 0 v(x) Ψr − Ψ0 r − jωρ0 r2 (9.71)

9.2.3. Salmon-kürtök

A harmonikus Webster-egyenlet új Ψ változó bevezetésével egyszer˝ ubb, analitikusan kezelhet˝ o alak- Az analitikus megoldás szempontból fontosak azok a kürtgeometriák, melyekre a kürtfüggvény konsra hozható. Legyen tans : Ψ(x) F (x) = F (9.72) p(x) = (9.66) r(x) A konstans kürtfüggvény˝ u kürtöket Salmon-kürtöknek nevezzük. A kürtfüggvény konstans, ha ahol Ψ a hullámfüggvény, r(x) pedig a kürt bels˝ o sugara az x pozícióban. Kör keresztmetszet˝ u kürtgeometria esetére a Webster-egyenlet új alakja ekkor 0 0 r2 π Ψ r Ψ + k2 = 0 (9.67) r2 π r

r00 = F r

(9.73)

aminek általános megoldása r(x) = r0 (ch mx + T sh mx)

(9.74)

9.2. KÜRTÖK

99 sorban a kürtök sajátfrekvenciáinak meghatározása, és természetesen a legalább az egyik végén nyitott kürtök iránt érdekl˝ odünk. A vizsgálat módszere a kürt zin bemen˝ o impedanciájának meghatározása, hiszen az impedancia zérus- és maximumhelyei a kürt sajátfrekvenciáit adják meg. A p(L) = 0 ideálisan nyitott feltétel ekvivalens a Ψ(L) = 0 kikötéssel, ami szerint (9.77)-ben B = − −A cot κL. A bemen˝ o impedancia kifejezése ezek után (9.71) alapján

R

r0 0

kúpos exponenciális katenoid −x0

0

L x

Ψ(0)r(0) Ψ(0)r0 (0) − Ψ0 (0)r(0) Ar0 = jωρ0 0 Ar (0) − κBr0 1 (9.78) = jz0 r0 (0) κ kr0 + k cot κL

zin = z(0) = jωρ0

9.9. ábra. Salmon-kürtök

Könnyen látható, hogy ez esetben F = m2 , ahol az m konstans a tágulási állandó. A T és m paraméterek megválasztásával különKúpos kürtök böz˝ o kürtcsaládokat definiálhatunk. A kúpos kürt esetében r(x) = r0 (1 + x/x0 ), vagyis – Ha T = 1, az exponenciális kürtöt kapjuk meg, r0 (0)/r0 = 1/x0 . Mivel a kúpos kürtre a kürtfüggmelyre r(x) = r0 emx . vény zérus, m = 0, ahonnan κ = k. A bemen˝ o impedancia kifejezése ezek szerint – Ha T = 0, akkor az ún. katenoid kürtöket kap −1 juk meg, melyekre r(x) = r0 ch mx. 1 zin = jz0 + cot kL kx0 – Ha T m = 1/x0 konstans, és m → 0, akkor sin kL az r(x) = r0 (1 + x/x0 ), alakú kúpos kürtöket (9.79) = jz0 1 sin kL + cos kL kx0 kapjuk meg. Természetesen x0 → ∞ esetben visszakapjuk a A különböz˝ o Salmon-kürtöket a 9.9. ábra mutatja. hengeres cs˝ o bemen˝ o jz0 tan kL impedanciáját. Salmon kürtök esetére a hullámegyenlet terméA mindkét végén nyitott kúpos kürt sajátfrekvenszetesen ciáit a bemen˝ o impedancia nullhelyein, vagyis a Ψ00 + k 2 − m2 Ψ = 0 (9.75) sin kL gyökeinél kell keresnünk. Ezek egybeesnek a mindkét végén nyitott hengeres cs˝ o kn = nπ/L alakú, aminek megoldása sajátfrekvenciáival. A bal oldalon zárt, jobb oldalon nyitott kúpos Ψ(x) = Ψ+ e−jκx + Ψ− ejκx (9.76) kürt rezonanciafrekvenciáit a zin függvény maximumhelyein, vagyis a tan kL = −kx0 egyenlet gyövagy más felírási móddal keinél kell keresnünk. Átírva x0 Ψ(x) = A cos κx + B sin κx (9.77) − kL = tan kL (9.80) L √ ahol κ = k 2 − m2 Kis x /L értékekre a bal oldal hozzávet˝ olegesen 0

9.2.4. Salmon-kürtök módusai Az alábbiakban az x = L-ben ideálisan nyitott Salmon-kürtök módusait vizsgáljuk. Célunk els˝ o

zérus, vagyis a jobb oldalon használhatjuk a tan függvény zérushelyek közelében érvényes tan kL ≈ ≈ kL − nπ közelítését, ahonnan visszakapjuk a kn ≈

nπ L + x0

(9.81)

100

9. FEJEZET. HANGTERJEDÉS ZÁRT HANGSZERTESTEKBEN 7

5

6 4

3

kn / k1 [−]

kn L / π [−]

5

2

4 3 2

1

1 0 −2 10

−1

10

(a)

0

10 x / L [−] 0

1

10

0 −2 10

2

10

−1

10

(b)

0

10 x0 / L [−]

1

10

2

10

9.10. ábra. Egyik végén zárt, másikon nyitott kúpos kürt sajáthullámszámai különböz˝ o tágulási arányok esetére. sajáthullámszámokat. Ez az eredmény jelent˝ os, hiszen azt látjuk, hogy a kúpos kürtök esetében az egyik végén zárt, másik végén nyitott peremfeltétellel is közel harmonikus sajátfrekvencia-sort kaphatunk, ha a kürt L hossza lényegesen nagyobb az x0 fókusztávolságnál, vagyis ha a szájnyílás lényegesen nagyobb a toroknyílásnál. Az ellenkez˝ o esetben természetesen a kn ≈ (2n − 1)/2L hullámszámokat kapjuk vissza. A jelenséget a 9.10. ábra szemlélteti, ahol az x0 /L mennyiség függvényében látjuk a bemen˝ o impedancia maximumhelyeit. Ha x0 /L kis érték, vagyis a kürt fókuszpontja az origóhoz közel van, a sajáthulámszámok az alapharmonikus egész számú többszörösein jelennek meg. Ha a fókuszpont távoodik az origótól, a felharmonikusok az alapharmonikus páratlan számú többszörösein jelentkeznek. Figyeljük meg, hogy az x0 /L ≈ 0,1 értéknél, vagyis hozzávet˝ olegesen tízszeres sugárnövekedésnél is harmonikus felhangsort kapunk a bal oldalon zárt kúpos kürt esetében. Ez a jelenség magyarázza meg azt, hogy a fafúvós nádsípos hangszerek túlnyomó többségének f˝ ofurata kúpos alakú. Így, bár a nádsípos gerjesztés zárt peremfeltétellel írható le, a f˝ ofurat alakja mégis harmonikus felhangsort eredményez. Exponenciális kürt Az exponenciális kürt r(x) sugarát az r(x) = r0 emx exponenciális függés írja le. Lényeges eltérés a kúpos kürtököhöz képest, hogy itt a kürtfüggvény po-

zitív, vagyis a kürt nem enged át tetsz˝ olegesen mély hangokat : a vágási frekvencia alatti harmonikusokat er˝ osen csillapítja. A kürt bemen˝ o impedanciája sin κL κ k sin κL + k cos κL −1 m κ = jz0 + cot κL (9.82) k k A bemen˝ o impedancia minimumhelyei a számláló zérushelyein, vagyis a κn = nπ/L értékeken jelennek meg, ahonnan r nπ 2 kn = + m2 (9.83) L zin = jz0 m

Látjuk, hogy az m tágulási állandó a mindkét végén nyitott kürt sajátfrekvenciáinak alsó korlátja. A bemen˝ o impedancia maximumhelyeit a κ tan κL = − (9.84) m egyenlet határozza meg. Azt látjuk, hogy kis m értékre a tangens függvény maximumhelyeit keressük, vagyis (2n − 1)π (9.85) 2L Nagy m értékekre, vagyis gyorsan táguló exponenciális kürtök esetére a tangens függvény zérushelyeit keressük, ahonnan r nπ nπ 2 κn ≈ , kn ≈ + m2 (9.86) L L κn ≈ kn =

101

7

7

6

6

5

5 kn/k1 [−]

kn L / π [−]

9.2. KÜRTÖK

4 3

4 3

2

2

1

1

0 −2 10

(a)

−1

10

0

mL / π [−]

10

0 −2 10

1

10

−1

0

10

1

10

10

mL/π [−]

(b)

9.11. ábra. Egyik végén zárt, másikon nyitott exponenciális kürt sajáthullámszámai különböz˝ o tágulási arányok esetére. A bal oldalon zárt, jobb oldalon nyitott kürt sajátfrekvenciáit a 9.11 ábra mutatja. Figyelemre méltó, hogy amennyiben a tágulási arányt úgy választjuk meg, hogy a torok- és szájnyílás sugarainak aránya emL ≈ 5,6, hozzávet˝ olegesen harmonikus felhangsorú exponenciális kürtöt kapunk.

L L1

x

L2

9.13. ábra. Kompozit kürt

Katenoid kürtök Katenoid kürtök esetén a sugarat az r(x) = = r0 ch mx összefüggés adja meg. A katenoid kürtök el˝ onye, hogy mivel a ch függvény meredeksége x = 0-ban nulla, ezért a katenoid kürt törés- (és ezáltal reflexió)mentesen illeszthet˝ o hengeres csövek végére. Az exponenciális kürthöz hasonlóan a katenoid kürt kürtfüggvénye is F (x) = m2 , vagyis a kürt a k = m határ fölötti hullászámú rezgéseket engedi át. Az x = L-ben nyitott katenoid kürt bemen˝ o impedanciája p(0) tan κL zin = = jz0 v(0) κ/k p(L)=0

A mindkét végén nyitott katenoid kürt sajátfrekvenciáit az exponenciális kürthöz hasonlóan a r nπ 2 + m2 (9.87) kn = L összefüggés adja meg. A bal oldalon zárt, jobb oldalon nyitott kürt sajátfrekvenciáit a r κ m2 tan κL = = 1 − 2 (9.88) k k

adja meg. Az egyenlet megoldásait a 9.12. ábra mutatja. Az ábrázolt sajátfrekvenciák igen közel esnek az exponenciális kürtnél látottakhoz. Katenoid kürtök esetén a harmonikus felhangsorhoz vezet˝ o optimális torok-szájnyílás átmér˝ o arányt a ch mx ≈ ≈ 5 érték adja meg.

9.2.5. Kompozit kürtök Rézfúvós hangszerek esetében, ahol a hangmagasságváltoztatást els˝ odlegesen toldalékcsövek beiktatásával érjük el, mindenképpen szükséges a hengeres cs˝ oszakaszok alkalmazása. Vizsgáljuk meg ezért, hogy miként viselkedik egy olyan kompozit kürt, melynek egy L1 hosszúságú darabja hengeres, további L2 hosszú darabja pedig kúpos. Ennek a kürtnek a bemen˝ o impedanciája egy z2 impedanciával lezárt hengeré, ahol z2 egy ideális zérus nyomás feltétellel lezárt kúpos kürt bemen˝ o impedan-

9. FEJEZET. HANGTERJEDÉS ZÁRT HANGSZERTESTEKBEN 7

7

6

6

5

5 kn/k1 [−]

kn L / π [−]

102

4 3

4 3

2

2

1

1

0 −2 10

−1

10

(a)

0

mL / π [−]

0 −2 10

1

10

10

−1

0

10

1

10

10

mL/π [−]

(b)

10

10

8

8

6

6

kn / k1 [−]

kn L / π [−]

9.12. ábra. Egyik végén zárt, másikon nyitott katenoid kürt sajáthullámszámai különböz˝ o tágulási arányok esetére.

4

2

2

0 0

4

0.2

0.4

0.6

0.8

L /L [−]

(a)

2

0 0

1

(b)

0.2

0.4

0.6

0.8

1

L2/L [−]

9.14. ábra. L1 hosszú hengeres és L2 = L − L1 hosszúságú kúpos kürtb˝ ol összeállított kompozit kürt sajáthullámszámai különböz˝ o L2 /L hosszarányok esetére ciája : z2 + jz0 tan kL1 z0 + jz2 tan kL1 −1 1 + tan kL1 kx0 + cot kL2 = jz0 −1 1 − kx1 0 + cot kL2 tan kL1

zbe = z0

(9.89)

A bal oldalon zárt hangszer rezonanciafrekvenciáit a zbe bemen˝ o impedancia maximumhelyein, vagyis a nevez˝ o nullhelyein keressük : tan kL1 =

1 + cot kL2 kx0

(9.90)

A transzcendentális egyenlet kn megoldásait a 9.14. ábra mutatja különböz˝ o L2 /L arányok esetére, ahol L a hangszer teljes hossza. Meglep˝ o, hogy amennyiben L2 ≈ L/2, vagyis a kürtnek fele hengeres, fele pedig kúpos, a hangszer felhangsora közel harmonikusnak adódik. Megmutatható továbbá, hogy az eredményül kapott optimális hosszarány igen kevéssé függ a kúpos tölcsérszakasz x0 /L2 tágulási állandójától. A számítások részletezése nélkül megjegyezzük, hogy igen hasonló eredmény adódik L2 = L/2 hosszúságú exponenciális és katenoid kürtbetoldások esetére is.

9.2. KÜRTÖK

103

9.2.6. Kürtök finomhangolása

Legyen δA(x) = ∆xδ(x − x0 ), ekkor

Láttuk, hogy kompozit kürtök segítségével a rézfúvós hangszerek felhangsora közel ideális, harmonikus sorra állítható be. A továbiakban azt vizsgáljuk, hogy milyen lehet˝ oség adódik a sajátfrekvenciák finomhangolására. Tekintsük a Webster-egyenletet :

A00 0 0 p0 p0 + (p00 p0 ) A0 = ∆x −k02 p20 + (p00 )2 (9.96)

hδA {p0 } , p0 i = ∆x

ahol kihasználtuk a Dirac-delta és deriváltja kivá(9.91) lasztási tulajdonságát, valamint ismét felhasználtuk a Webster-egyenletet. Mivel a nyomásmódusok normanégyzete váltoamit operátoros jelölésmóddal az alábbi alakban írzó keresztmetszet˝ u kürtök esetében is L/2, a sajáthatunk : frekvencia megváltozása A {p} = γp (9.92) 1 0 (A(x)p0 (x)) = k 2 p(x) − A(x)

Tegyük fel, hogy az A(x) függvgényt az A0 (x) értékr˝ ol A0 (x) + δA(x) értékre változtatjuk. Ekkor a differenciáloprátor A0 értékr˝ ol A0 + δA-ra változik. Ha feltételezzük, hogy elég kicsi, akkor a hangnyomás és a sajátfrekvencia is megváltozása is lineáris függvényeként közelíthet˝ o, p(x) = = p0 (x)+δp(x) és γ = γ0 +δγ. A . fejezetben megismert eredmények szerint a δγ sajátfrekvenciaváltozás kifejezése δγ =

hδA {p0 } , p0 i 2

kp0 k

δγ = δk 2 =

2∆x −k02 p20 + (p00 )2 L

(9.97)

Hozzávet˝ olegesen harmonikus módusokat feltételezve eredményünk azt jelenti, hogy amennyiben a kürtöt egy módusának duzzadópontján szélesítjük, akkor az adott módus sajátfrekvenciáját csökkenthetjük. Ha a kürtöt egy módus csomópontjában szélesítjük, akkor a nyomás deriváltat tartalmazó tag miatt a módus sajátfrekvenciája növeked(9.93) ni fog.

ahol

9.2.7. Kürtök hatásfoka ∂A {p} δA {p} = ∂ =0 0 ∂ ((A0 + δA)p0 ) = − ∂ A0 + δA =0 (A0 + δA)0 p0 ∂ 00 − +p = ∂ A0 + δA =0 0 δA A0 − A00 δA 0 =− p A20 δAA00 δA0 = − p0 (9.94) A20 A0

A sajátfrekvencia megváltozásában szerepl˝ o skaláris szorzat kifejtése ezek szerint Z

L

hδA {p0 } , p0 i =

δA {p0 (x)} A0 (x)p0 (x)dx Z L δAA00 = − δA0 p00 p0 dx A0 0 0

(9.95)

A kürtök hatásfokát a sugárzási hatásfokhoz hasonlóan definiáljuk, vagyis azt vizsgáljuk, hogy a végtelen hosszú kürt toroknyílásában v sebességgel mozgó dugattyú mekkora teljesítményt képes a kürtbe becsatolni. A hatásfokot a végtelen, azonos torokátmér˝ oj˝ u egyenes hengerbe sugárzott teljesítményhez viszonyítjuk. A τ hatásfok definíciója eszerint τ=

1 2 2 v A Re {zbe } 1 2 2 v Az0

=

Re {zbe } z0

(9.98)

ahol A a torokfelület. A kifejezésben a számláló a végtelen kürtbe betáplált teljesítményt fejezi ki, a nevez˝ o pedig a végtelen hengeres cs˝ obe betáplált teljesítményt adja meg. Salmon-kürtök esetére a hullámfüggvény (reflexiómentes esetet feltételezve) Ψ(x) = Ψ+ e−jκx , √ 2 ahol κ = k − m2 a terjedési állandó, m pedig a tágulási állandó. Ennek alapján tetsz˝ oleges

104


kúpos exponenciális katenoid

Re {κ} = τ= k

τ [−]

−1

0

10

1

10 k/m [−]

10

+

κ k 2 r0 kr x=0

1+

1 kx0

2

9.3. Fúvós gerjesztés

9.3.1. Nádgerjesztés

Kónikus kürtre a kürtfüggvény zérus, ahonnan κ = = k, valamint r0 /r = 1/x0 . Ezek szerint a hatásfok 1

(9.103) A hatásfok frekvenciafüggését a 9.15. ábra mutatja. A vágási frekvencián a katenoid kürt hatásfoka végtelen, majd rohamosan csökken, és a frekvencia növekedtével az egységnyi érték felé tart, vagyis az exponenciális kürthöz hasonlóan a katenoid kürt a vágási frekvencia fölött nagyon hatékony sugárzó.

(9.100)

A kónikus kürt hatásfoka

τ=

Katenoid kürt esetére r0 (0) = 0, ahonnan a hatásfok  q 1 2 k > m 1 1−( m k ) τ= = Re {κ} /k 0 egyébként

A fúvós gerjesztést alapvet˝ oen két csoportra osztjuk : a nádgerjesztésre és az ajaksípos gerjesztésre.

ahonnan a sugárzási hatásfok

k

0

A katenoid kürt hatásfoka

Ψ(0)r(0) p(0) = jωρ0 0 v(0) Ψ(0)r (0) − Ψ0 (0)r(0) 1 = jωρ0 r0 r x=0 + jκ 1 = z0 κ r0 k − j kr x=0 κ r0 k + j kr x=0 = z0 2 (9.99) 2 κ r0 + k kr x=0

κ 2

k>m

2

Salmon-kürtre a bemen˝ o impedancia

τ=

m 2 k

10

9.15. ábra. Salmon-kürtök hatásfoka a frekvencia függvényében. A kónikus kürt esetében m = 1/x0 .

zbe =

1−

egyébként (9.102) A hatásfok frekvenciafüggését a 9.15. ábra mutatja. A vágási frekvencia fölött a kürt hatásfoka ugrásszer˝ uen növekszik fel egységnyi értékre, vagyis az exponenciális kürtök a vágási frekvenciájuk fölött nagyon hatékony sugárzók.

1

0 −2 10

(q

(9.101)

Látjuk, hogy a kürt hatásfoka kisfrekvencián közel zérus, a frekvencia növekedtével pedig egységnyihez tart. A hatásfok függvényt a 9.15. ábra mutatja. Az exponenciális kürt hatásfoka Az exponenciális kürt esetére r0 /r = m, ami alapján a hatásfok nevez˝ oje egységnyinek adódik, így

A nádgerjesztésnek két alfaja van : a tölcséres fúvókás hangszerek gerjesztési mechanizmusa, valamint a fafúvós hangszerek valódi nádnyelves gerjesztési mechanizmusa. Az el˝ obbi valójában nem náddal történ˝ o gerjesztés, fizikai leírása miatt mégis a nádgerjesztés családjába soroljuk. A tölcséres fúvókás hangszerek fúvókájának sematikus ábráját a 9.16. ábra mutatja. Itt a gerjesztést a játékos fúvókának préselt ajkainak rezgése biztosítja. Ennek a gerjesztési típusnak sajátossága, hogy a szájban növekv˝ o légnyomás az ajkak szétnyílását eredményezi. Ezt a fajta gerjezstést szokás „blown-open” gerjesztésnek nevezni. A valódi nádnyelves gerjesztés sematikus ábráját a 9.17. ábra mutatja. Itt a játékos egy valódi nádat feszít ajkaival a hangszer fúvókájához. Ezen

9.3. FÚVÓS GERJESZTÉS

105 A Bernoulli-törvény A nádgerjesztés fizikai leírásához el˝ oször a Bernoulli-féle áramlási törvényt írjuk fel, ami a szájüregb˝ ol kiáramló leveg˝ o sebességének meghatározásához alkalmazható. Vizsgáljuk az egydimenziós tér ∆x szélesség˝ u légtömegére ható, légnyomásból származó er˝ oket, és írjuk fel a légtömegre Newton II. törvényét :

(a)

X

fúvóka szájüreg

F = P (x, t)A−P (x+∆x, t)A = A∆xρ

Dv(x, t) Dt (9.104)

ahonnan

ajak

P 0 (x, t) + ρ (b)

9.16. ábra. (a) Trombita fúvókája (b) Tölcséres fúvókás hangszer fúvókájának sematikus ábrája

Dv(x, t) =0 Dt

(9.105)

A második tagban szerepl˝ o D/Dt id˝ o szerinti derivált alatt id˝ o szerinti teljes deriváltat értünk, melynek megadása Dv(x, t) ∂v dx ∂v = + Dt ∂x dt ∂t 2 0 v 0 = v v + v˙ = + v˙ 2

(9.106)

Ennek alapján az Euler-egyenlet kib˝ ovített alakja P0 + ρ

(a) szájüreg

fúvóka hangszertest

v2 2

0 + ρv˙ = 0

(9.107)

Amennyiben az id˝ obeli változásokat elhanyagoljuk, vagyis id˝ oben állandó, stacioner áramlást vizsgálunk (v˙ = 0), a Bernoulli-féle áramlási törvényt kapjuk vissza : 2 v (x) P (x) + ρ = C = állandó (9.108) 2

ahol C a vizsgált rendszer teljes dinamikus nyomása. A Bernoulli-törvény egyszer˝ u alkalmazásaként vizsgáljunk egy zárt üreget, melyben P0 statikus 9.17. ábra. (a) Klarinét fúvókája (b) Nádnyelves nyomás uralkodik. Az üregen kívül a nyomás lefafúvós hangszer fúvókájának sematikus ábrája gyen P1 . Nyissunk meg az üregen egy kis nyílást, aminek felülete eléggé kicsi ahhoz, hogy a kiáramló leveg˝ o csak elhanyagolható mértékben csökkentse az üreg nyomását. Ebben az esetben felételezhetgerhesztés esetén a játékos szájüregének növekv˝ o jük, hogy az üregben a v0 áramlási sebesség zényomása a nád záródását eredményezi, ezért a ger- rus marad, az üregen kívül viszont v1 sebességjesztési mechanizmus neve „blown-closed”. gel áramlik kifelé a leveg˝ o. Bernoulli törvényét az (b)

nád

106


v0 = 0

v1

P0

P1

9.18. ábra. Leveg˝ o áramlása P0 nyomású nagy tartály sz˝ uk nyílásán keresztül üregre és a kiáramló légáramra felírva : P0 + 0 = C = P1 + ρ 0

v12 2

ahonnan a kiáramló leveg˝ o sebessége s 2(P0 − P1 ) v1 = ρ

(9.109)

(9.110)

növekedtével kinyílik. Az els˝ o eset a nádnyelves fafúvós hangszerek esete, ahol a szelepet a nádnyelv növekv˝ o szájnyomásra bezárja, az utóbbi pedig a tölcséres fúvókájú rézfúvós hangszerek esete ahol a játékos ajkait a növekv˝ o p0 szájnyomás kinyitja. Nádnyelves hangszerek esetében a nád valójában nem tömeg nélküli rugó, hanem egy egyik végén befogott, másikon szabadon hagyott rúd, melynek els˝ o sajátfrekvenciája tipikusan 4 − 6 kHz körül van. Mivel ilyen peremfeltételek esetén a második felhang sajátfrekvenciája az alaphang frekvenciájának több mint hatszorosa, a hallható frekvenciatartományban nyugodtan közelíthetjük a nádat egyszabadságfokú rendszerként, illetve a párszáz Hzes zenei tartományban rugóként. A tölcséres fúvókás hangszerek esetében ez a közelítés kevésbé állja meg a helyét, de a kés˝ obbiekben még modellünket pontosítjuk. A Hooke-törvény átrendezésével x0 + (p0 − p)

Ar =x Kr

(9.112)

A fenti példa jól írja le a nádgerjesztés esetét. Itt Ha a szájban megn˝ o a légnyomás, akkor Bernoaz üreg a játékos szája, ahol a nyomás tipikusan ulli törvénye szerint v > 0 sebesség˝ u légáram indul 1 kPa körül mozog (természetesen a küls˝ o légköri ki a szájból. A légáram sebessége nyomáshoz viszonyítva), ennek értelmében a sz˝ uk s ajak- vagy nádnyíláson kiáramló leveg˝ o sebessége 2(p0 − p) hozzávet˝ olegesen 40 m/s. v= (9.113) ρ0 Statikus nádmodell Mind a tölcséres fúvókájú, mind a nádsípos hangszerek esetében a nád egyszer˝ u modellje egy rugóval megtámasztott tömeg nélküli lapka, mely el˝ ofeszítetlen nyugalmi állapotban x0 pozícióban helyezkedik el. Ha a lapka bal és jobb oldalán eltér a légnyomás, az A felület˝ u lapkára Ar (p0 − p) pozitív irányú er˝ o hat, aminek hatására a rugó összenyomódik, és a lapka x pozícióba mozdul el, ahogy azt a 9.19. ábra mutatja. Hooke törvénye szerint

A szájból a hangszerbe bejutó térfogatsebességet a v sebesség és a nyílás felületének szorzataként kapjuk meg. Tegyük fel, hogy az x távolság elég kicsi ahhoz, hogy a nyílás felületét alapvet˝ oen |x| határozza meg. Legyen a szelepsapka kerülete d, ekkor az áramlási felület d|x|, vagyis a beáramló U térfogatsebesség U = Any v = d|x|v

(9.114)

(9.111)

A fafúvós (nádsípos, nyomásra záródó) esetben x < 0, vagyis

ahol Kr a nád merevsége. Az x = 0 pozícióban a lapka merev falnak ütközik, és lezárja a bal és jobb oldali térrészek közti légáramlást. Az x0 nyugalmi pozíció el˝ ojele szerint két esetet különböztetünk meg. Ha x0 < 0, akkor a szelep növekv˝ o p0 − p nyomáskülönbségre záródik, ha x0 > 0, akkor a szelep a p0 −p nyomás különbség

s Ar 2(p0 − p) U = −dxv = −d x0 + (p0 − p) Kr ρ0 r Ar 2 3/2 |x0 |(p0 − p)1/2 − (p0 − p) =d ρ0 Kr (9.115)

(p0 − p) Ar = Kr (x − x0 )


107 v

p0

p

p0

p

Kr

Ar

(a)

(b) x x0

x

0

x 0 x0

x

9.19. ábra. (a) Nádnyelves és (b) tölcséres fúvókás nádgerjesztés egyszer˝ usített modellje

klarinét trombita

0.016 0.014

U [m3/s]

0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0 0

1000

2000 3000 p0−p [Pa]

4000

5000

9.20. ábra. A hangszerbe beáramló térfogatsebesség a nyomáskülönbség függvényében A tölcséres fúvókájú (rézfúvós) hangszerek esetében s Ar 2(p0 − p) U = dxv = d x0 + (p0 − p) Kr ρ0 r 2 Ar 3/2 =d |x0 |(p0 − p)1/2 + (p0 − p) ρ0 Kr (9.116)

pmax = Kr |x0 |/Ar értéket, a szelep bezárul, és az áramlás zérus lesz. A tölcséres fúvókájú hangszerek esetében a Bernoulli-hatás és a szelep nyílása er˝ osítik egymást, aminek értelmében a térfogatsebesség monoton növekszik. Vizsgáljuk meg, hogy a hangszer belesejéb˝ ol a játékos szája felé nézve milyen Yr akusztikai admittanciaként látszik a lezárás. Tegyük fel ehhez, hogy p p0 harmonikusan változó nyomás. Tekintve, hogy a hangszer fel˝ ol nézve a térfogatsebesség ellentétes el˝ ojel˝ u, a lezárás admittanciája az alábbiak szerint alakul ∂U ∂U = (9.117) Yr = − ∂p p0 −p=p0 ∂(p0 − p) p=0 A nádnyelves hangszerek esetén az admittancia r 1 Ar Yr = d |x0 | − 3 p0 (9.118) 2ρ0 p0 Kr

ami a p∗ = |x0 |Kr /3Ar = pmax /3 küszöbnyomás felett negatív, alatta pozitív. A negatív lezáró admittancia azt jelenti, hogy amennyiben a hangszertestben növekszik a p nyomás, a lezáráson kiáramló térfogatsebesség csökken, vagyis a beáramló térfogatsebesség növekszik. A küszöbnyomás fölötti statikus p0 nyomás esetén a lezárás akusztikai generátorként m˝ uködik. Tölcséres fúvókájú hangszerek esetén az admitA két térfogatsebesség függvényt a 9.20. ábra tancia mutatja azonos geometriai és anyagjelemz˝ ok eser tére. Látszik, hogy a nádsípos esetben a nyomás1 Ar Yr = d |x0 | + 3 p0 (9.119) különbség növekedtével a térfogatsebesség eleinte 2ρ0 p0 Kr növekszik, mert a Bernoulli-hatás er˝ osebb a nyílászáródás hatásánál. Egy küszöbnyomás elérése után ami természetesen mindig pozitív, így itt semmio a negatív adviszont a nyílás sz˝ ukülése miatt a térfogatsebesség lyen küszöbnyomás fölött sem áll el˝ csökken˝ obe vált, és ha a nyomáskülönbség eléri a mittanciájú lezárás akusztikai generátor esete.

108

9. FEJEZET. HANGTERJEDÉS ZÁRT HANGSZERTESTEKBEN −jkL

e

admittancia kifejezése ekkor r e−jkL 1 Ar Yr = d |x0 | − 3 p 0 2ρ0 p0 Kr + jωRr − ω 2 Mr (9.121) 9.21. ábra. A fúvós hangszer hullámvezet˝ o a klarinét, modellje r 1 Ar Yr = d |x0 | + 3 p0 2ρ0 p0 Kr + jωRr − ω 2 Mr Vizsgáljuk meg másként is, hogy mi történik, ha (9.122) egy ideális hengeres csövet nádsíppal zárunk le, a trombita esetére. és a nádsípot a kritikus nyomás fölött gerjesztjük. Vizsgáljuk meg, hogy mely frekvenciatartomáEkkor a síp bal oldalon negatív valós admittanciá- nyon alakul ki az a kedvez˝ o eset, hogy az admittanval, azaz negatív valós impedanciával van lezárva. cia valós része negatív. A 9.22. ábra a klarinét és a A 9.21. ábra egy ilyen cs˝ o hullámvezet˝ o modelljét trombita nádjának lezáró impedanciáját ábrázolja ábrázolja. Az ideális cs˝ o a pozitív és negatív x ten- a frekvencia függvényében a kritikus nyomás fölötgely irányában c sebességgel haladó hullámokat ve- ti p0 = pmax /2 statikus nyomás esetén. Látjuk, hogy zet˝ o hullámvezet˝ ok együtteseként képzelhet˝ o el, a a klarinét esetében az Yr admittancia egy széles lezárásokat pedig reflexiós tényez˝ oikkel modellez- tartományban negatív valós rész˝ u, és itt a képzehetjük. A két hullámvezet˝ o e−jkL és ejkL szorzóként tes része eleinte elhanyagolható, majd a rezonanvehet˝ o figyelembe, a jobb oldali lezárás legyen ide- ciafrekvencia közledtével egyre növekszik. Eszerint ális zérus nyomású, aminek értelmében r2 = −1, a a klarinét a nád rezonanciafrekvenciája alatti szébal oldali lezárás pedig les frekvenciatartományban jó akusztikai gerjesztést tud biztosítani, ha a kritikus nyomás fölé esik a szájüreg statikus nyomása. ρ0 c/A + |Zr | Zr − ρ0 c/A = (9.120) r1 = A trombita esetében a helyzet eltér˝ o. Itt a lezáZr + ρ0 c/A ρ0 c/A − |Zr | ró admittancia valós része a kisfrekvenciás tartoaminek értelmében |r1 | > 1 (s˝ ot, a tipikus esetben mányban végig pozitív – ezt a statikus modell már megmutatta –, csupán az ajak rezonanciafrekvenr1 > 1). ciája környékén vált negatív értékre. Ez azt jelenA teljes rendszer nyílthurkú körer˝ osítése ezek ti, hogy a rézfúvós játékos csak az ajak rezonanszerint −r1 e−2jkL , ami egynél nagyobb abszolút érciafrekvenciája körüli tartományban képes meggerték˝ u. jeszteni a hangszer módusait, vagyis az ajkak feszíA stabil oszcilláció feltétele, hogy a körer˝ osítés tésével követnie kell a játszott hang frekvenciáját. egynél nagyobb valós érték legyen. Ez teljesül akFontos még megjegyeznünk, hogy a lezáró adkor, ha r1 pozitív, és a két hullámvezet˝ o együttes mittancia a klarinét esetére pozitív képzetes rész˝ u, fázistolása π páratlan számú többszöröse, ami pont ami szerint a lezárás a hangszertestet hosszabbíta bal oldalon ideálisan mereven lezárt síp rezonan- ja. Ennek eredményeként a nádnyelves hangszerek ciafrekvencián alakul ki. esetében a tényleges sajátfrekvenciák az ideálisan A tölcséres fúvókájú hangszerek esetében a bal lezárt cs˝ o rezonanciafrekvenciáinál némileg kiseboldali reflexiós tényez˝ o abszolút értéke egynél ki- bek lesznek. A trombita esetében a lezáró admitsebb érték lesz, így nem alakulhat ki stabil oszcillá- tancia negatív képzetes rész˝ u, ami szerint a lezárás ció az egyszer˝ u modell szerint. a csövet rövidíti, és a sajátfrekvenciák az ideális sajátfrekvenciáknál kissé magasabban jelentkeznek. r1

−1

Dinamikus nádmodell Tekintsünk ezért egy dinamikus nádmodellt, ahol a nádat egy egyszabadságfokú, de immár tömeggel és csillapítással felruházott rendszer írja le. Az


109

−5

2

−5

x 10

1.5 valós képzetes

1 0.5 0 −0.5 −1 0

(a)

valós képzetes

1 Admittancia [Pa s / m3]

Admittancia [Pa s / m3]

1.5

x 10

0.5 0 −0.5 −1 −1.5

2000

4000 Frekvencia [Hz]

6000

−2 0

8000

(b)

2000

4000 Frekvencia [Hz]

6000

8000

9.22. ábra. A (a) klarinét és a (b) trombita nádgerjesztésének lezáró admittanciája a p0 = pmax /2 statikus nyomáson

A hangszerek fizikája

Recommend Documents