A FAANYAG ÉS FAALAPÚ ANYAGOK ANIZOTROP RUGALMASSÁG- ÉS SZILÁRDSÁGTANA

SZALAI JÓZSEF

A FAANYAG ÉS FAALAPÚ ANYAGOK ANIZOTROP RUGALMASSÁG- ÉS SZILÁRDSÁGTANA I. RÉSZ

A MECHANIKAI TULAJDONSÁGOK ANIZOTRÓPIÁJA 184 ábrával Második, javított és bővített kiadás.

1994 SOPRON Második kiadás: 2004

Dr. Szalai József NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM FAIPARI MÉRNÖKI KAR MŰSZAKI MECHANIKA ÉS TARTÓSZERKEZETEK INTÉZET H-9400 SOPRON Bajcsy-Zs. E. u. 4. Tel.: (99) 518-215, Fax: (99)518-214 e-mail: [email protected]

Az első kiadás támogatói: A megjelenést az Országos Tudományos Kutatási Alap (E 012572), az Erdészeti és Faipari Egyetem, a POLYGRAF Kft. (3713 Arnót, Petőfi S. u. 96.), az Erdőgazdasági és Faipari Termékeket Értékesítő és Feldolgozó Vállalat (1871 Budapest 501), a Tanulmányi Erdőgazdaság Rt. (9400 Sopron, Honvéd u. 1.), a DU-PLAN Kft. (8000 Székesfehérvár, Sarló u. 7.), a ROBINIA Kft. (8002 Székesfehérvár, Pf.: 330), a DALIA Bútor Kft. (9701 Szombathely, Zanati u. 27.), a Zalahalápi Parkettagyár (8308 Tapolca-Zalahaláp, Pf.: 102), az ausztriai Holzleimbau (Zimmerei) (A-8793 Trofaiach, Koloniegasse 1), a németországi Hoffmann + Kühnhenrich Gmbh (5400 Koblenz, Zur Bergpflege 43), és a Hillebrand Nyomda Kft. (9400 Sopron, Csengery u. 51.) támogatása tette lehetővé.

2

Erdélyi József FA Hűs árnyékot vet nyári délben; tűzzel engesztel fagyos télben; virágot ád a szerelmesnek, gyümölcsöt-makkot az éhesnek, ágyat az ifjú párnak, bölcsőt a kisbabának, koporsót-fejfát a halottnak; szolgál minden elevent; sátorfát és szelement, hajót, árbocot és vitorlát, kútágast, gémet és sudarfát, kútostorra vedret, házba teknőt-csebret, jármot-rudat-szekeret, ásónyelet-gerebent, vesszőt a rossz gyermeknek, fegyvert a hadseregnek, asztalt-széket, hegedűt, kerítést és fabetűt, annyi mindent ád a fa; úgy áll felettünk áldó kézzel, mint egy ősapa, ágán gyümölccsel és odvában mézzel, mint ősanyánk maga ...

3

A MECHANIKAI TULAJDONSÁGOK (RUGALMASSÁGI ÉS SZILÁRDSÁGI TULAJDONSÁGOK) ANIZOTRÓPIÁJA

Alapismeretek, kísérleti eredmények, számító-eljárások a tervezői gyakorlat számára.

4

TARTALOMJEGYZÉK Anisotropic Elastic and Strength Theories of Wood and Wood-Based Composites Part I: Anisotropy of the Mechanical Properties Contents (in English) Anisotrope Elastizitäts- und Festigkeitslehre von Holz und Holzwerkstoffen Teil I.: Anisotropie der mechanischen Eigenschaften Inhaltverzeichnis (auf Deutsch) Jelmagyarázat Előszó Bevezetés és rövid történeti áttekintés Szakirodalom a bevezető fejezethez 1. Az anizotrópia általános jellemzői 1.1. Az anizotrópia kialakulása természetes és mesterséges anyagokban 1.2. A fizikai-mechanikai tulajdonságok szimmetriája 1.3. A fizikai-mechanikai tulajdonságok leírása a tenzorelmélet alkalmazásával 1.4. A természetes faanyag anizotrópiája mint a biológiailag kialakult mikro- és makroszerkezet következménye 1.4.1. A faanyag kémiai összetétele 1.4.2. A sejtfal szerkezete 1.4.3. A fatest szerkezeti felépítése 1.4.4. A természetes faanyag modellje 1.5. A faalapú anyagok anizotrópiája mint a technológiai kialakítás következménye 1.5.1. Modifikált faanyag 1.5.2. Rétegelt kompozitok 1.5.3. Részecske kompozitok 1.5.4. Farost kompozitok 1.5.5. Faliszt kompozitok Szakirodalom az 1. fejezethez

8 8 8 11 11 11 14 17 18 23 29 30 38 43 50 50 51 56 59 62 64 64 67 68 68 69

2. A rugalmasság anizotrópiája

70

2.1. Az anizotrop anyagok általános Hooke-törvénye 2.1.1. Az anizotropanyagok általános Hooke-törvényének rövidített mátrixreprezentációja 2.1.2. A rugalmas állandók kapcsolata a technikai állandókkal 2.1.3. A rugalmas állandók változása a koordinátarendszer elforgatásakor 2.1.4. A szimmetriaelemek hatása a rugalmas tenzorok független komponenseinek számára 2.1.5. A rugalmasságuk alapján különböző kristályrendszerekbe tartozó anyagok jellemzéséhez szükséges független állandók száma 2.2. A faanyag és faalapú anyagok általános Hooke-törvénye 2.2.1. A természetes faanyag rugalmasságának jellemzése 2.2.1.1. A természetes faanyag rugalmas mátrixának elemei 2.2.1.2. Az ortotrop faanyag rugalmas állandóinak transzformációja

71 78 82 84 86 89 94 94 94 96

5

2.2.1.3. Összefüggések a rugalmas állandók között 2.2.1.4. A térfogatváltozás rugalmas állandója 2.2.1.5. A rugalmas technikai állandók meghatározásának kísérleti módszerei A) A rugalmassági moduluszok és a Poisson-állandók meghatározása derékszögű négyszög keresztmetszetű prizmatikus rudakon B) A nyírórugalmassági moduluszok meghatározása rúd alakú próbatestek csavarásával C) A nyírórugalmassági moduluszok meghatározása lemez alakú próbatestek csavarásával D) A nyírórugalmassági moduluszok meghatározása húzóvagy nyomóigénybevétel alkalmazásával 2.2.1.6. Különböző fafajok rugalmas állandói az anatómiai főirányok rendszerében 2.2.1.7. A rugalmas állandók változása az anatómiai fősíkokban 2.2.1.8. A rugalmas állandók anizotrópia-diagramjai 2.2.2. A faalapú anyagok rugalmasságának jellemzése 2.2.2.1. A faalapú anyagok rugalmas mátrixainak elemei 2.2.2.2. A faalapú anyagok rugalmas állandóinak transzformációja és a rugalmas állandók közötti kapcsolatok 2.2.2.3. A faalapú anyagok technikai rugalmas állandóinak kísérleti meghatározása 2.2.2.4. Néhány faalapú anyagfajta rugalmas állandója a szerkezeti főirányok rendszerében, a rugalmas állandók változása a szerkezeti fősíkokban, anizotrópia-diagramok Szakirodalom a 2. fejezethez

103 110 111

3. A szilárdság anizotrópiája 3.1. A szilárdság értelmezése anizotrop anyagra 3.1.1. A szilárdság mint tenzormennyiség 3.1.1.1. A szilárdsági tenzor dimenziójának megválasztása 3.1.1.2. A szilárdsági tenzorkomponensek transzformációja 3.1.2. Szilárdsági kritériumok 3.1.2.1. Lineáris kritérium 3.1.2.2. A Mises- és Hill-féle kritérium 3.1.2.3. A Tsai-Wu-féle kritérium 3.1.2.4. Az Askenazi-féle kritérium 3.1.3. A szilárdsági kritérium grafikus ábrázolása 3.1.4. A tiszta húzó-, nyomó- és nyíróigénybevételeknek megfelelő szilárdságok iránytól való függése 3.1.4.1. A normálszilárdságok irányfüggése a különböző kritériumok alapján 3.1.4.2. A nyírószilárdságok irányfüggése a különböző kritériumok alapján 3.1.5. A hidrosztatikus nyomószilárdság 3.1.6. A törési elméletek összehasonlítása és alkalmazhatóságuk megítélése 3.1.6.1. A szilárdsági kritériumok összehasonlítása az iránytól függő szilárdsági jellemzők alapján

162 163 164 164 167 170 170 173 176 178 190

113 117 121 123 126 128 141 144 145 148 149

150 160

196 197 199 203 204 205

6

3.1.6.2. A lieáris kritérium ellentmondásai 3.1.6.3. A szilárdsági elméletek használhatóságának kísérleti adatokon nyugvó feltételei és megítélése 3.1.6.4. A szilárdsági elméletek megítélése energetikai alapon 3.1.6.5. Az Askenazi-féle tönkremeneteli elmélet előnyei 3.1.7. Összefüggések a szilárdság technikai jellemzői között 3.2. A természetes faanyag és a faalapú anyagok szilárdsága 3.2.1. A természetes faanyag szilárdságának jellemzése 3.2.1.1. A természetes faanyag szilárdsági mátrixának elemei 3.2.1.2. A technikai szilárdságok meghatározásának kísérleti módszerei A) A normálszilárdságok meghatározása B) A nyírószilárdságok meghatározása C) Két, egymásra merőleges irányú, azonos nagyságú normálfeszültséghez tartozó szilárdság meghatározása 3.2.1.3. Különböző fafajok technikai szilárdságai és változásuk az anatómiai fősíkokban 3.2.1.4. A technikai szilárdságok anizotrópia-diagramjai 3.2.1.5. A természetes faanyag Askenazi-féle szilárdsági felületének ábrázolása síkbeli feszültségi állapot esetén 3.2.2. A faalapú anyagok szilárdságának jellemzése 3.2.2.1. A faalapú anyagok szilárdsági mátrixának elemei 3.2.2.2. A technikai szilárdságok kísérleti meghatározása 3.2.2.3. Néhány faalapú anyagfajta technikai szilárdságai és azok változása a szerkezeti fősíkokban 3.2.2.4. A technikai szilárdságok anizotrópia-diagramjai 3.2.2.5. Néhány faalapú anyag Askenazi-féle szilárdsági felületének ábrázolása síkbeli feszültségi állapot esetén 3.3. A természetes faanyagból és a faalapú anyagokból készült szerkezetek erőtani méretezésének alapelvei 3.3.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezés 3.3.2. Valószínűségi alapon nyugvó határállapotra történő méretezés Szakirodalom a 3. fejezethez Utószó Függelék

211 212 216 221 221 226 227 227 229 231 231 236 238 263 263 265 269 272 273 284 285 290 291 292 294 298 399

7

Anisotropic Elastic and Strength Theories of Wood and Wood-Based Composites Part I: Anisotropy of the Mechanical Properties Contents List of symbols Introduction - historical overview References 1. General features of anisotropy 1.1. The anisotropy of natural and man-made materials 1.2. Symmetry of the physical and mechanical properties 1.3. Tensor theory for describing the physical and mechanical properties of materials 1.4. The anisotropy of natural wood pertaining to its micro- and macrostructure 1.4.1. Chemical composition of wood 1.4.2. The cell-wall structure 1.4.3. The macrostructure of wood 1.4.4. Anisotropic model for solid wood 1.5. Anisotropy of wood-based composites pertaining to the manufacturing technologies 1.5.1. Modified solid wood 1.5.2. Laminated wood composites 1.5.3. Wood-chip (particle) composites 1.5.4. Wood-fiber composites 1.5.5. Wood-dust composites References 2. Anisotropy of the elasticity 2.1. Hooke's law for anisotropic materials 2.1.1. Matrix representation of Hook's law for anisotropic materials 2.1.2. Relationship between the elastic constants and the stiffness and compliance tensor components 2.1.3. Tensor components in the off-axis co-ordinate system 2.1.4. The effect of symmetry on the number of independent tensor components 2.1.5. Required number of independent tensor components in different crystal-systems 2.2. Hooke's law for natural wood and wood based composites 2.2.1. Elastic behaviour of natural wood 2.2.1.1. Elements of stiffness and compliance matrices for wood 2.2.1.2. Transformation of the stiffness and compliance tensor components for wood 2.2.1.3. Relationship between the elastic constants 2.2.1.4. Volumetric modulus of elasticity 2.2.1.5. Determination of the elastic constants for wood by experiments A) Determination of Young's moduli and Poisson's rations on bars by tension B) Determination of moduli of rigidity by bar torsion C) Determination of moduli of rigidity by plate torsion D) Determination of moduli of rigidity by tension or compression 2.2.1.6. Elastic constants of different wood species in the main anatomical directions 2.2.1.7. Variation of the elastic constants in the main anatomical planes 2.2.1.8. 3D-cartesian representation of the elastic constants

8

2.2.2. Elastic behaviour of wood-based composites 2.2.2.1. Elements of stiffness and compliance matrices for wood-based composites 2.2.2.2. Transformation of the stiffness and compliance tensor components for wood-based composites, relationship between the elastic constants 2.2.2.3. Determination of the elastic constants for wood-based composites by experiments 2.2.2.4. Elastic constants of different wood-based composites in the main structural directions, variation of the constants in the main structural planes, 3D-cartesian representation of the elastic constants References 3. Anisotropy of strength 3.1. Interpretation of strength for anisotropic materials 3.1.1. Strength as a tensor-quantity 3.1.1.1. Choosing the dimension (rank) of the strength tensor 3.1.1.2. Transformation of the strength tensor components 3.1.2. Strength criteria 3.1.2.1. Linear criterion 3.1.2.2. A von Mises and Hill criterion 3.1.2.3. Tsai-Wu criterion 3.1.2.4. Ashkenazi criterion 3.1.3. Graphic representation of the strength criterion 3.1.4. Direction dependence of the pure tension, compression and shear strengths 3.1.4.1. Direction dependence of normal strengths based on different strength criteria 3.1.4.2. Direction dependence of shear strengths based on different strength criteria 3.1.5. Hydrostatic pressure-strength 3.1.6. Comparison and evaluation of the different strength theories 3.1.6.1. Comparison of the different strength criteria by the direction dependent material strengths 3.1.6.2. Inconsistencies of the linear criterion 3.1.6.3. The applicability of different strength criteria based on experimental results 3.1.6.4. The applicability of different strength criteria based on energy relations 3.1.6.5. Preferences of the Ashkenazi criterion 3.1.7. Relationship between the engineering strengths 3.2. The strength of wood and wood-based composites 3.2.1. Characterizing the strength of natural wood 3.2.1.1. The elements of the strength matrix for natural wood 3.2.1.2. Experimental methods for strengths determination A) Determination of normal strengths B) Determination of shear strengths C) Determination of the strengths by bi-axial compression 3.2.1.3. Engineering strengths of different wood species and their variation in the main anatomical planes 3.2.1.4. 3D-cartesian representation of engineering strengths for natural wood 3.2.1.5. Strength surface by Ashkenasi for plane stress state of natural wood 3.2.2. Characterizing the strengths of wood-based composites 3.2.2.1. The elements of the strength matrix for wood-based composites 3.2.2.2. Experimental determination of the engineering strengths 3.2.2.3. Engineering strengths of some wood-based composites and their variation in the main structural planes 3.2.2.4. 3D-cartesian representation of engineering strengths for wood-based composites

9

3.2.2.5. Strength surface by Ashkenasi for plane stress state of wood-based composites 3.3. Principles of structural design for wood and wood-based composite structures 3.3.1. Design based on working stresses 3.3.2. Design based on probability References Postscript Appendix

10

ANISOTROPE ELASTIZITÄTS- UND FESTIGKEITSLEHRE VON HOLZ UND HOLZWERKSTOFFEN Teil I.: ANISOTROPIE DER MECHANISCHEN EIGENSCHAFTEN Inhaltverzeichnis Vorwort Zeichenerklärung Einleitung und kurzer historischer Überblick Literaturverzeichnis 1. Allgemeine Kennzeichen der Anisotropie 1.1. Entstehung der Anisotropie der natürlichen und künstlichen Stoffe 1.2. Symmetrie der physikalischen und mechanischen Eigenschaften 1.3. Beschreibung der physikalischen und mechanischen Eigenschaften mit der Verwendung der Tensortheorie 1.4. Die Anisotropie des natürlichen Holzstoffes, als Folge der biologisch aufgebauten Mikro- und Makrostruktur 1.4.1. Die chemische Zusammensetzung des Holzstoffes 1.4.2. Die Struktur der Zellwand 1.4.3. Der strukturelle Aufbau der Holzmasse 1.4.4. Das Modell des natürlichen Holzstoffes 1.5. Die Anisotropie der Holzwerkstoffe, als Folge der während dem technologischen Prozess entstehenden inneren Struktur. 1.5.1. Modifiziertes Holz 1.5.2. Geschichtete Holzwerkstoffe 1.5.3. Partikelholzwerkstoffe 1.5.4. Faserholzwerkstoffe 1.5.5. Werkstoffe aus Holzmehl Literaturverzeichnis 2. Anisotropie der Elastizität 2.1. Das allgemeine Hooke’sche Gesetz der anisotropen Stoffe 2.1.1. Die verkürzte Matrixreprezentation des allgemeinen Hooke’schen Gesetzes der anisotropen Stoffe 2.1.2. Der Zusammenhang zwischen der elastischen Tensorkomponenten und der technischen elastischen Konstanten 2.1.3. Die Veränderung der elastischen Konstanten bei Drehung des Koordinatensystems 2.1.4. Die Wirkung der Symmetrieelemente auf die Zahl der unabhängigen Komponente des elastischen Tensors 2.1.5. Die Zahl der unabhängigen Konstanten der - auf Grund ihrer Elastizität - in verschiedene Kristallsysteme gehörenden Stoffe 2.2. Das allgemeine Hooke’sche Gesetz des Holzes und der Holzwerkstoffe 2.2.1. Die Beschreibung der Elastizität des natürlichen Holzes

11

2.2.1.1. Die Komponente der elastischen Matrix des natürlichen Holzes 2.2.1.2. Transformation der elastischen Konstanten des orthotropen Holzstoffes 2.2.1.3. Zusammenhänge zwischen den elastischen Konstanten 2.2.1.4. Die elastische Konstante der Volumenänderung 2.2.1.5. Die Versuchsmethoden der Ermittlung der technischen elastischen Konstanten A) Ermittlung der Young’schen und Poisson’schen Moduln an prismatischen Stäben mit einem rechtwinkligen Viereckquerschnitt B) Ermittlung der Schermoduln mit der Torsion von prismatischen Stäben C) Ermittlung der Schermoduln mit der Torsion von Platten D) Ermittlung der Schermoduln mit Zug- und Druckbeanspruchung 2.2.1.6.Die Elastischen Konstanten von verschieden Holzarten im Koordinatensystem der anatomischen Hauptrichtungen 2.2.1.7. Die Änderung der elastischen Konstanten in der anatomischen Hauptebenen 2.2.1.8. Anisotropie-Diagramme der elastischen Konstanten 2.2.2. Beschreibung der Elastizität von Holzwerkstoffen 2.2.2.1.Die Komponente der elastischen Matrix der Holzwerkstoffe 2.2.2.2. Transformation der elastischen Konstanten der Holzwerkstoffe und die Zusammenhänge zwischen den elastischen Konstanten 2.2.2.3. Die experimentelle Ermittlung der technischen elastischen Konstanten von Holzwerkstoffen 2.2.2.4. Die elastischen Konstanten von verschieden Holzwerkstoffen im Koordinatensystem der strukturellen Hauptrichtungen, die Änderung der elastischen Konstanten in den strukturellen Hauptebenen, Anisotropie-Diagramme Literaturverzeichnis 3. Anisotropie der Festigkeit 3.1. Interpretation der Festigkeit für anisotrope Stoffe 3.1.1. Die Festigkeit, als Tensorgrösse 3.1.1.1.Aussuchen der Dimension des Festigkeitstensors 3.1.1.2.Transformation der Komponenten des Festigkeitstensors 3.1.2. Festigkeitskriterien 3.1.2.1.Das lineare Kriterium 3.1.2.2. Das von Mises’sche und Hill’sche Kriterium 3.1.2.3. Das Tsai-Wu’sche Kriterium 3.1.2.4. Das Askenasi’sche Kriterium 3.1.3. Graphische Darstellung des Festigkeitskriteriums 3.1.4. Abhängigkeit der Festigkeiten von der Richtung bei reiner Zug-, Druckund Scherbeanspruchung 3.1.4.1.Die Abhängigkeit der Normalfestigkeiten von der Richtung auf Grund der verschiedenen Kriterien 3.1.4.2.Die Abhängigkeit der Scherfestigkeiten von der Richtung auf Grund der verschiedenen Kriterien 3.1.5. Hydrostatische Druckfestigkeit

12

3.1.6. Vergleich der Festigkeits-Hypothese und Beurteilung ihrer Verwendbarkeit 3.1.6.1.Vergleich der Festigkeits-Hypothese auf Grund der richtungsabhängigen Festigkeitswerte 3.1.6.2. Die Gegensprüche des linearen Kriteriums 3.1.6.3. Die Voraussetzungen und Beurteilung der Verwendbarkeit der Festigkeitstheorien auf Grund der experimentellen Ergebnisse 3.1.6.4. Die Beurteilung der Festigkeitshypothesen auf Grund ihrer Energieverhältnisse 3.1.6.5. Vorteile der Ashkenasi’schen Festigkeitstheorie 3.1.7. Zusammenhang zwischen der technischen Festigkeiten 3.2. Die Festigkeit des natürlichen Holzes und der Holzwerkstoffe 3.2.1. Beschreibung der Festigkeit des natürlichen Holzes 3.2.1.1.Die Komponenten des Festigkeitsmatrizes des Holzes 3.2.1.2. Die experimentellen Methoden der Ermittlung der technischen Festigkeiten A) Ermittlung der Normalfestigkeiten B) Ermittlung der Scherfestigkeiten C) Ermittlung der Festigkeit, die zu - in zwei, aufeinander senkrechter Richtungen wirkender - Spannung gleicher Grösse gehört 3.2.1.3. Die technische Festigkeiten von verschiedenen Holzarten und ihre Änderung in den anatomischen Hauptebenen 3.2.1.4. Anisotropie-Diagramme der technischen Festigkeiten 3.2.1.5. Darstellung der Askenasi’schen Festigkeitsoberflache des natürlichen Holzes bei ebenem Spannungszustand 3.2.2. Beschreibung der Festigkeit der Holzwerkstoffe 3.2.2.1. Die Komponenten des Festigkeitsmatrizes der Holzwerkstoffe 3.2.2.2. Experimentelle Ermittlung der technischen Festigkeiten 3.2.2.3. Technische Festigkeiten von verschiedenen Holzwerkstoffen und ihre Änderung in den strukturellen Hauptebenen 3.2.2.4. Anisotropie-Diagramme der technischen Festigkeiten 3.2.2.5. Darstellung der Askenasi’schen Festigkeitsoberflache von einigen Holzwerstoffen bei ebenem Spannungszustand 3.3. Das Grundprinzip der statischen Bemessung der lasttragenden Konstruktionen aus Holz und Holzwerkstoffe 3.3.1. Bemessung auf Grund der zugelassenen Spannungen 3.3.2. Bemessung auf Grund der Grenzzustände und mit der Verwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie Literaturverzeichnis Nachwort Anhang

13

JELMAGYARÁZAT t - tetszőleges fizikai-mechanikai tulajdonság skalárjellemzője, r, r0 - helyvektor, tulajdonságvektor a kiinduló koordinátarendszerben, , r - helyvektor, tulajdonságvektor a transzformált koordinátarendszerben r - anizotrópia fok, -mérték, n - egységvektor, a, b, c - bázisvektorok, α , β, γ - a bázisvektorok egymással bezárt szögei, α - a mikrofibrilla hajlásszöge, A, B, C - tetszőleges egész számok, x i - a kiinduló koordinátarendszer tengelyei (i =1, 2, 3 vagy L, R, T), x i' - a transzformált koordinátarendszer tengelyei (i' = 1', 2', 3'), β C , β T , β F , β TF , β CF - a centrális tükrözésnek, a síktükrözésnek, a forgatásnak, a tükröző forgatásnak, az inverz forgatásnak megfelelő transzformációk (szimmetria-elemek) mátrixa, i i' , β i', , β i - transzformációs mátrixok,

t i , t ij , t ijk , t ijkl , .... t ijkl ...q - 1-, 2-, 3-, 4-, ...z-dimenziós tenzorok, ill. azok komponensei a kiinduló koordinátarendszerben (i, j, k, l,...q =1, 2, 3), t i', , t i', j', , t i' j'k' , t i' j'k'l' , .... t i' j'k'l' ...q' - az előbbi tenzorok, ill. azok komponensei a transzformált koordinátarendszerben (i', j', k', l', ... ,q' = 1', 2', 3'), αi'j - az i' és a j irányok által bezárt szög, αij' - az i és a j' irányok által bezárt szög, ϕ, ϑ, ψ - irányszögek, L, R, T, - a faanyag rost-, sugár- és érintőiránya, σ ij - a feszültségi állapot tenzora, ε kl - az alakváltozási állapot tenzora, T- az abszolút hőmérséklet, u, U - nedvességtartalom, t - idő, cijkl - merevségi tenzor (i, j, k, l =1, 2, 3 vagy L, R, T), sijkl - alakíthatósági tenzor (i, j, k, l =1, 2, 3 vagy L, R, T), c ijkl , s ijkl - a fenti tenzorok mátrixa, u b - rugalmas potenciál, uˆ b - kiegészítő rugalmas potenciál, σ i - a feszültségi állapot rövidített jelölése (i =1, 2, ..., 6), ε j - az alakváltozási állapot rövidített jelölése (j =1, 2, ..., 6), C - hőkapacitás, α ij - a gátolt hőkiterjedés feszültségváltozási együtthatóinak 2-dimenziós tenzora, α ij - a szabad hőkiterjedés alakváltozási (hőtágulási) együtthatóinak 2-dimenziós tenzora,

[cij] - merevségi mátrix, [sij] - alakíthatósági mátrix,

14

[Cji] - a [cij] mátrix adjungáltja, [Sji] - az [sij] mátrix adjungáltja, E, G, ν - az izotrop anyag technikai rugalmas állandói, Ei, Gij, νij - az anizotrop anyag technikai rugalmas állandói a főirányokban és fősíkokban (i, j =1, 2, 3 vagy L, R, T), λij - kölcsönhatási tényezők (i, j =1, 2, ..., 6), µ, λ - Lamé-féle anyagállandók, D1, S1 - az alakváltozási és a feszültségi állapot első invariánsai, δij, δij - Kronecker-delta, Eijk( α ) - az i, j síkban lévő, az i tengellyel α szöget bezáró irányhoz tartozó húzó- vagy nyomórugalmassági modulusz, k( α ) G ij - nyírórugalmassági modulusz, amely ahhoz a nyírófeszültséghez tartozik, amelyik hatósíkjának normálisa benne van az i, j síkban az i tengellyel α szöget zár be és hatásvonala párhuzamos az i, j síkkal, j( α ) G ij - nyírórugalmassági modulusz, amely ahhoz a nyírófeszültséghez tartozik, amelyik hatósíkjának normálisa benne van az i, j síkban, az i tengellyel α szöget zár be és hatásvonala párhuzamos a j tengellyel, νijk(α ) - Poisson-tényező, amellyel az i, j síkban lévő, az i tengellyel α szöget bezáró irányban számítható a fajlagos hosszváltozás, ha a normálfeszültség hatásvonala párhuzamos az i, j síkkal és a j tengellyel α szöget zár be, j( α ) ν ji - Poisson-tényező, amellyel az i, j síkban lévő, az i tengellyel α szöget bezáró irányban számítható a fajlagos hosszváltozás, ha a normálfeszültség hatásvonala merőleges az i, j síkra, I1, I2 - négydimenziós tenzorok lineáris invariánsai, τ - nyírófeszültség, p - hidrosztatikus feszültségi állapot nyomófeszültsége, K - a térfogatváltozás rugalmas állandója, N - normálerő, F - terhelő erő, Mt - csavaró nyomaték, ai, bi, hi, li - geometriai méretek, k - mérőhossz, h - lemezvastagság, ∆d - a mérőkengyel által mutatott hosszváltozás, ϑ i - az i főtengellyel párhuzamos hossztengelyű rúd elcsavarodásának szöge, τ1, χ, µ, - módosító tényezők n - a statisztikai minta nagysága (terjedelme) vagy a biztonsági tényező, s - a statisztikai minta szórása, f, t - az izotrop anyag normál- és nyírószilárdsága, fi - az i irányhoz tartozó normálszilárdság (i = 1, 2, 3, vagy L, R, T), tij - az i normálisú síkon ható, j tengellyel párhuzamos hatásvonalú nyírófeszültséghez vagy a j normálisú síkon ható, i tengellyel párhuzamos hatásvonalú nyírófeszültséghez tartozó szilárdságok közül a kisebbik, rij - az i és j jelű főtengelyek irányában ható, két azonos nagyságú húzó- vagy nyomófeszültséghez tartozó szilárdság, bijkl, bijklmnop - 4- és 8-dimenziós tenzorok, 15

c - állandó, fijk (α ) - az i, j síkban lévő, az i tengellyel α szöget bezáró irányhoz tartozó normálszilárdság, t ijk (α ) - nyírószilárdság, ha a nyírási sík normálisa benne van az i, j síkban, az i tengellyel α j (α ) ij

szöget zár be és a nyírófeszültség hatásvonala párhuzamos az i, j síkkal, - nyírószilárdság, ha a nyírási sík normálisa merőleges a j tengelyre, az i tengellyel α

t jji(α )

szöget zár be és a nyírófeszültség hatásvonala párhuzamos a j iránnyal, - nyírószilárdság, ha a nyírási sík az i, j sík és a nyírófeszültség hatásvonala az i iránnyal

t

α szöget zár be, q - megoszló teherintenzitás, A - keresztmetszet-terület, σ n (α ) - a törés pillanatában a nyírási síkon ébredő normálfeszültség, τ n (α ) - a törés pillanatában a nyírási síkon ébredő nyírófeszültség.

16

ELŐSZÓ A faanyag ősidők óta az emberiség egyik legkedveltebb, igen sokoldalúan felhasználható, természetes eredetű anyaga. A faanyag formai változatossága, erezete, rajzolata, színe, illata szinte minden emberből érzelmi motivációt, ösztönös rokonszenvet vált ki. Kevésbé szeretettek, még kevésbé ismertek, de az ipar számára igen fontosak a századunkban elterjedt és egyre nagyobb méretekben felhasználásra kerülő, a kevésbé értékes fafajokból és farészekből készülő ún. faalapú anyagok (agglomerált lapok, idompréselt elemek stb.). Az elmúlt évszázadok folyamán, de különösen századunkban sok tudományos ismeret halmozódott fel a természetes faanyaggal és a faalapú anyagokkal kapcsolatban. Ezek azonban - érthetetlen módon - csak igen kis szakmai közösség birtokában vannak, aminek az a következménye, hogy még azok is, akik munkájukat a faanyaggal, faalapú anyagokkal kapcsolatos területeken végzik, általában igen egyszerű, sokszor kezdetleges anyagmodelleket alkalmaznak. E munkában a faanyag és a faalapú anyagok azon mechanikai tulajdonságaival foglalkozunk, melyek a fából készült szerkezetek, szerkezeti elemek erőtani méretezésének elméletét és gyakorlatát alapozzák meg. A tényleges tulajdonságokat mind jobban megközelítő anyagtörvények, anyagegyenletek, szilárdsági (tönkremeneteli) kritériumok kidolgozása és felhasználása teremtik meg a faszerkezetek tervezésének, helyes szerkezeti kialakításának, a teherbírás biztonságos meghatározásának az alapjait. Az I. részben a lineárisan rugalmas viselkedés és a rövid idejű, sztatikus szilárdság anizotrópiájával foglalkozunk. E könyv keretén belül nincs mód a faanyag és a faalapú anyagok viselkedését pontosabban leíró elaszto-viszkózus anyagmodell ismertetésére, ill. az időtartamszilárdság, a tartós szilárdság vagy a kifáradási jelenségek anizotrop alapon történő tárgyalására, jóllehet ezek az anizotrop rugalmassági és szilárdsági tulajdonságok ismertetésénél alkalmazott módszerekkel vizsgálhatók. A II. részben az egyszerűbb faszerkezeti elemek (rudak, lemezek) alapvető rugalmasságtani problémái kerülnek tárgyalásra. A könyv a faipari mérnök- és szakmérnökképzés ajánlott, ill. kötelező anyaga, de a faipar különböző területein tevékenykedő mérnökök, kutatók, oktatók számára is ismereteket, segítséget nyújthat.

17

BEVEZETÉS ÉS RÖVID TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS Feltehetően nincs olyan műszaki vagy természettudományi terület, ahol - különösen napjainkban - ne lenne szükség a mechanikai és klimatikus igénybevételeknek kitett, különféle anyagok viselkedésének egyre mélyrehatóbb ismeretére. Ez érvényes a gyártási és feldolgozási folyamatok, technológiák (fémek hengerlése, műanyagok extrudálása, forgácsolással történő megmunkálás) kivitelezése, vezérlése területén éppúgy, mint a gépek, építési szerkezetek elemeinek biztonságos és gazdaságos méretezésénél, ahol tekintettel kell lenni a szilárdságra, a merevségre, alakíthatóságra, az alakállóságra, a stabilitásra, a kifáradásra, öregedésre, klímaállóságra stb. A folyamatok és szerkezeti elemek viselkedésének matematikai modellezése a kontinuummechanika és a termodinamika alaptörvényein alapszik. A különféle jelenségek leírásához kétféle egyenlettípust kell alkalmazni, a mérlegegyenleteket, amelyek minden anyagra egyaránt érvényesek és az anyagegyenleteket (más néven anyagtörvényeket), amelyek a felhasznált anyag jellemzésére szolgálnak. Természetesen nincs arra mód, hogy olyan anyagtörvényt konstruáljunk, amely az anyagot az összes lehetséges szempontból egyaránt jellemzi. Egy ilyen anyagtörvényben az állapotjellemzők száma minden határon túlnőne és az egyenletek olyan bonyolulttá válnának, hogy kezelésük gyakorlatilag lehetetlen lenne. Egy anyagtörvény megoldásánál mindig azokra a tulajdonságokra kell koncentrálnunk, amelyek a vizsgálandó jelenség leírásához fontosak. Sohasem leszünk képesek semmilyen - a valóságban létező - anyagra olyan anyagtörvényt találni, amely pontosan leír minden lehetséges viselkedést. Ilyen értelemben minden anyagtörvény egy fiktív, valamilyen szempontból idealizált anyag viselkedését, tulajdonságait képviseli. A vizsgált anyag valamely pontjában, annak kis környezetében a keresett tulajdonságot leíró anyagegyenletben állapotjellemzők, más - nem túl szerencsés - néven anyagállandók szerepelnek. Ezek száma függ a vizsgált tulajdonság jellegétől és az anyag belső mikroszerkezeti ill. - fenomenológiai módszereket alkalmazva - makroszerkezeti felépítésétől. Ha a kiválasztott ponton át nem lehet felvenni legalább két olyan irányt (és kizárjuk azt a lehetőséget, hogy a két irány egymásnak ellentettje), amelynek mentén a mikró- vagy makroszerkezeti belső struktúra pontosan megismétlődik, az anyagot általánosan anizotropnak nevezzük. Ez esetben a legnagyobb az adott tulajdonságot képviselő állapotjellemzők száma. Ha léteznek ekvivalens irányok, akkor az anyag az anzitrópiának valamilyen speciális formájával rendelkezik. Az állapotjellemzők száma akkor a legkevesebb, ha az anyag minden irányban azonos mikroszerkezetű vagy makroszinten - jó közelítéssel - a rendezettség, a belső szerveződés semmilyen formáját sem mutatja. Anizotrópiával, az anizotrop anyagok tulajdonságainak vizsgálatával először - természetes módon - a kristályokkal kapcsolatban kezdtek foglalkozni. A kristályokat gyűjtötték és feldolgozták már a legősibb kultúrákban is, mégis, annak felismerése, hogy a kristályok viselkedése alapvetően különbözik a nem kristályos anyagokétól, tudományos szinten és igénnyel viszonylag későn kezdődött el. A mészpát kettős törését Erasmus Bartolinus 1669-ben fedezte fel. 1690-ben hozta nyilvánosságra Christian Huygens a kettős törés törvényszerűségeit és ekkor számolt be a fény polarizációjával kapcsolatos megfigyeléseiről. Ő figyelt fel először arra, hogy a mészpát keménysége különböző síkokon és annak különböző irányaiban nem azonos. A 18. sz. harmadik negyedétől azonban már szisztematikus megfigyeléseknek lehetünk tanúi. Ezek közül kiemelkedik Romé de l'Isle (1772) és Hauy (1784) kristályformák törvényszerűségeivel kapcsolatos úttörő munkája. A 19. sz. elején többek között Wollaston, Biot, Arago, Fresnel, Brewster végzett széleskörű vizsgálatokat a kristályoptika területén. Említésre méltó Mitscherlich (1824) egyenlőtlen termikus dilatációval kapcsolatos felfedezé-

18

se. Ez időben jelentek meg a kristályok fizikai tulajdonságaival, azok törvényszerűségeivel kapcsolatos elméletek is. Érdekes módon, néha az elmélet megelőzte a gyakorlatot és olyan jelenségekre hívták fel a figyelmet, amelyeket kísérletileg csak később igazoltak. Ezek közé tartozik - többek között - a kristályok rugalmasságát vizsgáló kutatási terület. Navier, Poisson és Cauchy rugalmasságtani elméletei röviddel 1820 után megjelentek, míg az első kvalitatív megfigyeléseket 1829-ben P. Savart végezte, az első mérésekre pedig csak 40 évvel később került sor. A rugalmassággal kapcsolatos anizotrop elméletek kezdetben az anyag atomi, ill. molekuláris felépítésén alapultak. Cauchy (1828, 1829) és Poisson (1829, 1831) számos tanulmányt szenteltek a kristályok rugalmas viselkedésének leírására. Alapelképzelésük az volt, hogy a szilárd test olyan anyagi pontok összessége, amelyben az egyes pontok a többi által kifejtett centrális erők hatására egyensúlyi helyzetben vannak és ez az egyensúlyi helyzet a tömeg- és felületi erők hatására megváltozik. Ez a feltételezés - kis deformációkra szorítkozva - 15-re csökkentette a deformáció- és feszültségkomponensek közötti lineáris függvénykapcsolat 36 együtthatóját. Cauchy (1829) azonban végül elvetette a részecske-elméletet - elsősorban azért, mert a nem kristályos szerkezetű anyagok esetén bonyodalmakhoz vezetett - és kontinuumelméletre (ma úgy mondjuk, fenomenológiai elméletre) tért át, amelyek lényege, hogy a véges testen megfigyelt viselkedésből levonható következtetéseket a test térfogatelemére alkalmazza. Az alakváltozási és feszültségi komponensek között tapasztalati úton megállapítható, lineáris kapcsolatot kifejező egyenletrendszerben 36 független anyagállandó szerepelt. G. Green (1839) azon feltételezése tette lehetővé az anyagállandók számának csökkentését, hogy a rugalmas testben a deformációval létrehozott belső erők konzervatívok, s így munkájuk teljes differenciál. Ez a feltevés a független paraméterek számát 36-ról 21-re csökkentette. A rugalmas állandók számának 21-re való csökkenése akkor vált fizikailag teljesen megalapozottá, mikor a reverzibilis rugalmas folyamatokra W. Thomson (1855, 1882) a termodinamika alaptételeit alkalmazta. Ennek alapján kiderült, hogy a Green-féle feltételezés teljes általánosságban nem helyes, de két, a gyakorlatban legtöbbször előforduló esetben, elfogadható. E két eset a hőcsere nélküli és a hőmérsékletváltozás nélküli rugalmas alakváltozás. Általában azt mondhatjuk, hogy a statikus folyamatok jó közelítéssel izotermikusak, míg a dinamikus folyamatok adiabatikusak. E két alakváltozási folyamatnál alkalmazható a Green-féle feltételezés, de nem feledkezhetünk meg arról, hogy az izotermikus és adiabatikus potenciál különböző, s ennek megfelelően az izotermikus és adiabatikus anyagállandók sem egyeznek meg. W. Thomson rendkívül eredményesen alkalmazta a termodinamikai alapelveket a kristályfizika számtalan területén. Majdnem minden, a kristályok termikus, rugalmas, elektromos, mágneses viselkedésével kapcsolatos fontos törvényt ő mondott ki elsőként, nagy lökést adva ezzel minden további kutatáshoz. A kristályok alaki tulajdonságainak, szimmetriatörvényeinek szisztematikus felfedezése és megadása Fr. Neumann (1885) nevéhez fűződik. Számos kísérletet végzett az optikával, a termikus dilatációval és a rugalmassággal kapcsolatos jelenségek megfigyelésére. Először mondta ki azt az alapelvet, hogy a kristályok fizikai tulajdonságainak leírásánál a kristály alakjának szimmetriajellemzőit feltétlenül figyelembe kell venni, ill. hogy a kristály alakjában a belső szerkezet sajátosságai jobban érvényre jutnak, mint más fizikai tulajdonságában. A kristályok tulajdonságainak elméleti és kísérleti vizsgálata területén elévülhetetlen érdemeket szerzett W. Voigt. 1910-ben megjelent könyvében (Lehrbuch der Kristallphysik, 1928-ban bővített kiadásban) összefoglalta, elemezte, rendszerezte korának kristályokkal kapcsolatos fizikai ismereteit és újakkal gazdagította azokat, kihasználva a tenzorok bevezetésével rendelkezésre álló matematikai apparátust. Az anizotrop rugalmasságtan alaptételeinek kidolgozása után a kutatók figyelme a speciális feladatok megoldására irányult. E területen számtalan eredmény született. A legjelentő-

19

sebb, összefoglaló jellegű munkák főbb képviselői A.E. Green (1939), R.F.S. Hearmon (1948, 1961), Sz.G. Lehnyickij (1950, 1957), R.O. Foschi (1968), E.K. Askenazi-E.V. Ganov (1972), B.A. Jayne (1972), J.Y. Liu-S. Cheng (1979), S. A. Ambartsumyan (1991) és mások. A kristályok fizikai tulajdonságainak további kutatása természetesen napjainkban is folyik (gondoljunk pl. a szupravezetésre) és feltehetően a jövőben is számos meglepetést tartogat. Ezek a vizsgálatok azonban könyvünk témáját kevéssé érintik. Érdekes módon, az anizotrop anyagok szilárdságával kapcsolatos kutatások lényegében a századfordulón kezdődtek meg és éppen a faanyag, illetőleg a faalapú anyagok vonatkozásában. A repülőgépgyártás követelményei hozták létre azt az igényt, hogy az összetett keresztmetszetű szerkezeti elemek, amelyek akkor többnyire még fából készültek, nemcsak lineáris, hanem síkbeli vagy térbeli feszültségi állapotokhoz tartozó tönkremenetelét is előrejelezzék. Az első publikációk néhány fafaj normálszilárdságát vizsgálták a rostirányhoz képest különböző irányokban (C.F. Jenkin 1920, R.L. Hankinson 1921). Az anizotrop szilárdság általános kérdéseivel a szálerősítésű műanyagok térhódítása után kezdtek el foglalkozni. A felhalmozott elméleti eredmények sokszor szinte minden változás nélkül alkalmazhatók voltak természetes eredetű anizotrop anyagokra (pl. csontra és bőrre) és a természetes faanyagra és a faalapú anyagokra is. Az általános anizotrop szilárdságtan területén elsősorban R. Hill (1956), C.B. Norris (1962), E.K. Askenazi (1966), S.W. Tsai-E.M. Wu (1971) munkáit kell kiemelni. A fával, a természetes faanyaggal kapcsolatos tudományos igényű vizsgálatok az elmúlt század első felében kezdődtek. I. Todhunter és K. Pearson (1886, 1893) a rugalmasságtan történetével foglalkozó munkájukban kiemelik, hogy az első, fával kapcsolatos kísérletek, sokkal inkább a rugalmasság elméletének megalapozására és igazolására szolgáltak, semmint a faanyag valóságos, a belső szerkezetének bonyolultságából fakadó, sajátos viselkedésének tanulmányozására. Hamarosan vizsgálni kezdték azonban a faanyag különböző igénybevételek alatti viselkedését és azt, hogy bizonyos rugalmas jellemzők hogyan változnak az irány, sűrűség, a nedvességtartalom függvényében. Mindenképpen kiemelkedő F. Savart 1830-ban megjelent munkája, amelyben elsőként javasolta annak elfogadását, hogy a faanyag a rugalmas tulajdonságok szempontjából három, egymásra merőleges szimmetriasíkkal rendelkezik s így a független rugalmas állandók száma kilenc. Felírta a Poisson-állandók közötti kapcsolatot és külön felhívta arra a figyelmet, hogy azok csak akkor igazak, ha a próbatest mérete kicsi a próbatest eredeti helyének a fatörzsközéppontjától elfoglalt távolságához képest, azaz az évgyűrűk görbültsége elhanyagolható. G.H.L. Hagen 1842-ben egy empirikus összefüggést javasolt a Young-féle rugalmassági modulusz valamelyik anatómiai fősíkba eső, különböző irányokhoz tartozó változásának számítására. Ez a kifejezés a lényegesen későbbi Hankinsonés Kollmann-féle formuláktól csak abban különbözik, hogy benne a trigonometrikus függvények a harmadik hatványon szerepelnek. E. Chevandier és G. Wertheim (1848) kimutatták, hogy a dinamikus mérésekkel meghatározott Young-féle moduluszok nagyobbak, mint a sztatikusok. A természetes faanyag 9 független rugalmas állandójának szisztematikus mérésével C.F. Jenkin (1920), H. Carrington (1921, 1922, 1923), R. Baumann (1922), J. Stamer-H. Sieglerschmidt (1933), F. Crestin-J. Campredon (1934), J. Stamer (1935), H. Horig (1931, 1935), D.V. Doyle-J.T. Drow-R.S. McBurney (1945), A.L. Rabinovics (1946, 1948), R.F.S. Hearmon (1946), A.N. Mityinszkij (1948, 1949), F.F.Wangaard (1950), E.K. Askenazi (1950) munkáiban találkozunk először. Ebben az időszakban kezdődtek meg a faalapú anyagokra vonatkozó vizsgálatok is (C.B. Norris 1942, 1943, R.F.S. Hearmon 1942. 1948, H. Roberts 1944, H. Brunner 1945, J.A. Liska (1946), R. Keylwerth 1951), majd később E.K. Askenasi (1958). Mindig nagy figyelmet szenteltek a kutatók a nehezen mérhető rugalmas állandók, a nyírórugalmassági moduluszok, bizonyos Poisson-állandók mérésének a legkülönbözőbb, alkalmasnak tartott vizsgálati módszerek bemutatására, azok elméleti és kísérleti igazolására. E területen többek között H. Hörig (1933, 1936, 1943), H.W. March-E.W. Kuenzi-W.J.

20

Kommers (1942), A. Ylinen (1942), A.N. Mityinszkij (1949), E.K. Askenazi-A.A. Pozdnyakov (1962), B.N. Ugoljev (1965). V.V. Tuluzakov (1969), B. Heimeshoff (1982) munkáit kell kiemelni. Mint láttuk, korábban is, de főleg századunkban számtalan tudós és kutató foglalkozott azzal a kérdéssel, hogy a rugalmas állandók hogyan függenek a faanyag anyag- és állapotjellemzőitől, ill. hogyan lehet a rugalmas állandókat közvetett, lehetőleg roncsolásmentes módszerekkel meghatározni. E tekintetben R.F.S. Hearmon (1948), F. Kollmann (1951), E. K. Askenazi (1978) és J. Bodig-B.A. Jayne (1982) könyveinek irodalomjegyzékére utalunk. Érdekesek azok a próbálkozások, amelyek a faanyag makroszkopikus rugalmas viselkedését biológiai felépítésével - évgyűrűs sejtes belső szerkezete, ill. a sejtfal belső szerveződése alapján - kívánják meghatározni, vagyis a fenomenológiai anyagállandókat alsóbb szerveződésű szintről kifejezni. Itt elsősorban A. Ylinen (1956), A.P. Schniewind (1959, 1966, 1970), J. Raczkowszki (1967), R.E. Mark (1967), J. Stupnicki (1968), J.R. Goodman-E.P. Popov (1968), A.P. Schniewind-J.D. Barrett (1969), M. Suzuku (1969), B.A. Meylan-M.C. Probine (1969), R.E. Mark -P.P. Gillis (1970), J. Bodig-B.A. Jayne (1982), L. Salmén-A. de Ruvo (1982) munkáit említjük. A rugalmas állandók ismerete alapfeltétele annak, hogy a faannyag, a faalapú anyagok rugalmasságtani alapegyenleteit, a vizsgált szerkezeti elem peremfeltételeit is figyelembe véve, megoldva, konkrét, a műszaki gyakorlat számára használható eredményeket kapjunk. Az anizotrop rugalmasságtani feladatok általános megoldásával foglalkozó, széles feladatkörre kiterjedő tanulmányok közül a legfontosabbak: R.F.S. Hearmon (1948, 1961), Sz. G. Lechnyickij (1950, 1957), B.A. Jayne-S.K. Suddarth (1966), B.A. Jayne-M.O. Hunt (1969), B.A. Jayne (1972), D. Noack-W. von Roth (1976), S.A. Ambartsumyan (1991). A faanyag és faalapú anyagok szilárdságával kapcsolatos feladatok a rövid idejű sztatikus és dinamikus szilárdsági tulajdonságoktól, a hosszú idejű sztatikus és dinamikus szilárdságon át a törésmechanikai jellemzőkig rendkívül sokrétűek. A szilárdsági problémák közül a rövid idejű sztatikus szilárdság vizsgálatának szentelték a legtöbb időt és energiát. A rövid idejű szilárdsággal kapcsolatos kutatások két - elvileg ugyan szorosan összetartozó - nagyobb csoportba oszthatók. Az első - és időben is korábban megkezdett - vizsgálatok a normálfeszültséghez és a tiszta nyíráshoz tartozó szilárdságok iránytól való függését kívánták kísérleti és elméleti úton meghatározni. C.F. Jenkin (1920), R.L. Hankinson (1921), R. Baumann (1922) és R.C. Rowse (1923) munkái voltak ezen a területen úttörők, de jelentős eredményeket mutatott fel W.R. Osgood (1928), A.N. Flakszerman (1931), Fr. Kollmann (1934, 1951), H. Winter (1944), J.M. Ivanov (1953), E.K. Askenazi (1955), C.B. Norris-P.F. McKinnon (1956), M.M. Csernyecov (1957), C.B. Norris (1962), J.R. Goodman-J. Bodig (1971), R.O. Foschi-J.D. Barrett (1976). Több szerző is megpróbálkozott empírikus úton felállítani olyan összefüggéseket, amelyek - jól illeszkedvén a kísérleti eredményekre - megfelelő pontossággal írják le a szilárdság iránytól függő változását. A normálszilárdságok változására R.L. Hankinsonnak sikerült egy viszonylag egyszerű, de a kísérleti adatokra meglepően jól illeszkedő formulát találnia, melyről később beigazolódott, hogy elméletileg erősen kifogásolható. A probléma elméleti megoldását a szilárdsági tenzor bevezetése jelentette, melyek közül a legsikeresebbek az E.K. Azkenazi (1966) és S.W. Tsai-E.M. Wu (1971) által értelmezett tenzorok. Ezek automatikusan megadták a normálszilárdságok iránytól függő változását és alkalmasak voltak arra, hogy a korábban végzett kísérleti eredményekre alkalmazva, az elméletek helyessége és pontossága ellenőrizhető legyen. Még ehhez a témakörhöz tartoznak azok a munkák, amelyek a technikai szilárdságok meghatározásának kísérleti metodikájával foglalkoznak. Különösen a nyírószilárdságok meghatározása okozott és okoz ma is sok problémát, így a kutatók sok közvetlen és közvetett kísérleti módszert ajánlottak (F.P. Beljankin 1955, A.A. Pozdnyakov-A.M. Koseljov (1955), E.K. Askenazi (1961), A.A. Yilnen (1963), B.N. Ugoljev (1965), N. Iosipescu (1967), V.V. Tuluzakov (1969), A. Takahashi-D.E. Lyon-A.P.

21

Schnienwind (1973), O. Suchsland (1977), M. Arcan-Z. Hashin-A. Voloshin (1978), H.J. Hall-J.G. Haygreen (1983), J.Y. Liu (1984). A szilárdsági probléma másik része az összetett igénybevételhez tartozó tönkremenetel fellépésének meghatározása. C.B. Norris 1939-ben javasolta a torzítási munkaelmélet faanyagra való alkalmazását, majd továbbfejlesztett elméletét 1962-ben publikálta. Az anizotrop képlékeny, de hidrosztatikus nyomással is tönkretehető anyagokra kidolgozott Hill-féle elméletet általánosítva S.V. Tsai és E.M. Wu 1971-ben javasolt egy szilárdsági kritériumot mindenféle anizotrop anyagra, s így faanyagra is. E.K. Askenazi elsősorban faanyagot és faalapú anyagokat vizsgálva - talán A.L. Rabinovics (1946, 1948) eredményeire támaszkodva - kidolgozott egy tönkremeneteli feltételt - nemcsak ortotrop, hanem teljesen általános anizotrópiával rendelkező anyagokra -, melyet az 19541978 időszakban folyamatosan publikált. Legjelentősebb, összefoglaló jellegű munkái 1966ban, ill. 1978-ban jelentek meg. A tönkremeneteli elméletekkel kapcsolatban külön ki kell emelni azokat a vizsgálatokat, amelyek különböző összetett feszültségi állapothoz határozták meg kísérletileg a tönkremenetelt. Ezek a sokszor bonyolult és költséges kutatások teszik lehetővé, hogy megbízhatóan ellenőrizzük a törési elméletek helyességét és alkalmazhatóságát. E tekintetben J.B. Fridman (1956), F.P. Beljankin-V.F. Jacenko (1971), E.M. Wu (1972), H.A. Evansen-H.A. Puppo (1972), E.K. Askenazi (1973) munkáit említjük. A rövid és hosszú idejű dinamikus szilárdságok kutatása terén csupán F. Kollmann (1951) és J. Bodig-B.A. Jayne (1982) könyvének irodalomjegyzékére hívjuk fel a figyelmet. A hosszú idejű sztatikus szilárdság, azaz az időtartam- és a tartós szilárdság területén anizotropiával gyakorlatilag nem foglalkoztak. A fellelhető - egyébként tekintélyes mennyiségű - szakirodalomban elsősorban hajlított farudakról (ahol a rúd hossztengelye egybeesik a rostiránnyal), ill. rostirányú húzó- vagy nyomóigénybevételről, esetleg nyírásról van szó. A faanyag és faalapú anyagok reológiai folyamataival foglalkozók figyelmébe A.P. Schniewind (1968) rendszerező jellegű cikkének irodalomjegyzéke ajánlható. A töréstechnika területén főleg a faanyag és faalapú anyagok anizotrop tulajdonságait lehetetlen nem figyelembe venni. A széleskörű kutatási anyagból K. Sumiya (1963), G.R. Debaise-A.W. Porter- R.E. Pentoney (1966), M. Tomin (1972), P.F. Walsh (1972), A.P. Schniewind-J.C. Centeno (1973), A.P. Schniewind-D.E. Lyon (1973), R.G. Pearson (1974) és J.D. Barrett-R.O. Foschi (1978) munkáit emeljük ki.

22

SZAKIRODALOM A BEVEZETŐ FEJEZETHEZ 1. Ambartsumyan, S.A. 1991: Theory of Anisotropic Plates:Strength, Stability, and Vibrations Hemisphere Publishing Corporarin. New York, Washington, Philadelphia, London. 2. Arcan, M.-Hashin, Z.-Voloshin, A. 1978: A Method to Produce Uniform Plane-stress States with Applications to Fiber-reinforced Materials. Experimental Mechanics 18 (4): 141146. 3. Askenazi, E.K. 1950: Ob opitnom opredelenii uprugih posztpjannich dreveszini kak anizotropnogo materiala. Trudi LTA Leningrad. No. 70:175-180. 4. Askenzi, E.K. 1954: Pervije v Posszii iszpitania dreveszini na procsnoszt: Besztnik Masinosztroenia. No. 12. 5. Askenazi, E.K. 1955: K voproszu obopredelenii uprugih posztojannih dreveszini. Zavodszkaja Laboratoria. No. 3: 357-360. 6. Askenazi, E.K. 1957: K voproszu o szimmetrii procsnoszti dreveszini. Trudi LTA. No. 78. 7. Askenazi, E.K. 1958: Ob opredelenii szoprotivlenia dreveszini udarnomu szzsatiu. Zavodszkaja Laboratoria. No. 9. 8. Askenazi, E.K. 1958: Anizotrópia mechanicseszkih szvojsztv dreveszini i faneri. Moszkva, Leningrad. 9. Askenazi, E.K. 1959: K voptoszu ob anizotropii procsnoszti konsztrukcionnih materialov. ZSTF, AN SZSZSZR, t. XXIX. vip. 3. 10. Askenazi, E.K. 1960: O metodah isszledovania mechanicseszkih szvojsztv konsztrukcionnih plasztmassz. Zavodszkaja Laboratoria. No. 6. 11. Askenazi, E.K. 1961: O metodah isszpitania anizotropnih materialov na szrez. Zavodszkaja Laboratoria. No. 4: 449-454. 12. Askenazi, E.K. 1961: K voproszu ob anizotropii procsnoszti konszrukcionnih materialov. ZSTF, AN SZSZSZR, t. XXXI. vip. 5. 13. Askenazi, E.K. 1964: Posztroenie predelnih poverhnosztej dlja ploszkogo naprazsennogo szosztojania anizotropnih materialov. 14. Askenazi, E.K. 1964: K voproszu ob anizotropii mechanicseszkih szvojsztv odnooszno orientirovannih plenok krisztallicseszkih polimerov. Plaszticseszkije masszi. No. 2. 15. Askenazi, E.K. 1965: K voproszi anizotropii procsnoszti. Mechanika Polimerov. Izdatelsztvo AN LSZSZR. No. 2. 16. Askenazi, E.K. 1966: Procsnoszt' anizotropnih drevesznih i szinteticseszkih materialov. Izdatelsztvo Lesznaja Promislennoszt: Moszkva. 17. Askenazi, E.K. 1967: K voproszu o geometrii teorii procsnoszti. Mechanika Polimerov. No. 4. Riga: 703-707. 18. Askenazi, E.K. 1973: Ocenka vliania modifikacii na anizotrpnuju dreveszinu. B kn.: Mechanicseszkaja technologia dreveszini. Vip. 3. Minszk: 94-102. 19. Askenazi, E.K. 1978: Anizotrópia dreveszini i drevesznih materialov. Moszkva. Izdatelsztvo Lesznaja Promislennoszty. 20. Askenazi, E.K.-Ganov, E.V. 1972: Anizotrópia konsztrukcionnih materialov. Masinosztroenie. Leningrad. 21. Askenazi, E.K.-Kapusztyin, M.G. 1977: Nerazrusajussij kontrol' kacsesztva dreveszini i faneri v szosztave sztroitelnih konsztrukcij. Leningrad. 22. Askenazi, E.K.-Morozov, A. Sz. 1976: Metodika ekszperimentalnogo isszledovania uprugih szvojsztv kompozicionnih materialov. Zavodszkaja Laboratoria. NO. 6: 731-735.

23

23. Askenazi, E.K.-Mulnyikova, O. Sz.-Rajhelgauz, R. Sz. 1976: Eso raz pro geometriu procsnoszti anizotropnih materialov. Mechanika Polimerov. No. 2. Riga: 269-278. 24. Askenazi, E.K.-Pozdnyakov, A.A. 1962: K voproszu o metodike opregelenia uprugih posztojjanih anizotropnih materialov. Trudi LTA. Leningrad. No. 94: 65-85. 25. Askenazi, E.K. és mások 1973: Ekszperimentalnoe isszledovanie procsnoszti anizotropnih materialov pri dvuh-i trehosznom szzsatii. Mechanika Polimerov. No. 6. Riga: 991-996. 26. Barrett, J.D.-Fodchi, R.O. 1978: On the Application of Brittle Fracture Theory, Fracture Mechanics, and Creep-Rupture Models for the Prediction of the Reliability of Wood Structural Element. In Report of a Workshop on General Constitutive Relations for Wood and Wood-Based Materials. Dept. of Mech. Engng., Syracuse University: 80-154. 27. Baumann, R. 1922: Die bisherigen Ergebnisse der Holzprüfungen in der Materialprüfungsanstalt an der technischen Hochschule Stuttgart. Forsch.-Arb.Ing. Wes. Heft 231, Berlin. 28. Beljakin, F.P. 1955: Procsnoszt' dreveszini pro szkalivanii bdol' volokon. Kiew, AN USZSZR. 29. Beljakin, F.P.-Jacenko, V.F.-Margolin, G.G. 1971: Procsnoszt' i deformativnoszt' sztekloplasztinkov pridbuhosznom szzsatii. Kiev. 30. Bodig, J.-Jayne, B.A. 1982: Mechanics of Wood and Wood Composites. New York, Cincinnati Toronto, London, Melbourne. Van Nostrand Reinhold Company. 31. Brunner, H. 1945: Elasticity and Shear Moduli of Plywood. Schweiz. Arch. angew. wiss. Tech. ii. (R.F.S. Hearmon-nél). 32. Carrington, H. 1921: The Moduli of Rigidity of Spruce. Phil. Mag. 41: 848-860. (R.F.S. Hearmon-nél). 33. Carrington, H. 1922: Young's Modulus and Poisson's Ratio of Spruce.Phil. Mag. 43: 871-878. (R.F.S. Hearmon-nél). 34. Carrington, H. 1923: The Elastic Constants of Spruce. Phil. Mag. 45: 1055-1057. (R.F.S. Hearmon-nél). 35. Cauchy, A. 1828: Exerc. de Math. T.3. (W. Voigt-nál). 36. Cauchy, A. 1829: Exerc. de Math. T. 4. (W. Voigt-nál). 37. Crestin, F.-Campredon, J. 1934: The Elastic Properties of Wood, an Anisotropic Material. Genie Civ. 55. No. 2722. (R.F.S. Hearmon-nél). 38. Chevandier, H.-Wertheim, G. 1848: Memoir on the Mechanical Properties of Wood. Paris. (R.F.S. Hearmon-nél). 39. Csernyecov, M.M. 1957: Isszledovanie procsnoszti dreveszini pro rasztazsenii poperek volokon. Derevoobrativajussaja Promislennoszt: No. 3. 40. Debaise, G.R.-Porter, A.W.-Pentoney, R.E. 1966: Morphology and Mechanics of Wood Fracture. Mat. Res.Stand. 6(10): 493-499. 41. Doyle, D.V.-Drow, J.T.-McBurney, R.S. 1945: The Elastic Properties of Wood. U.S.Dept.Agric., For.Prod.Lab. Mimeo 1528 and Supplements A to H. June 1945-Nov. 1946. (R.F.S. Hearmon-nél). 42. Evansen H.A.-Puppo, A.H. 1972: Strength of Anisotropic Material under Combined Stresses. Amer. Inst. of Aeronautics and Astronautics J. 10(4): 468-471. 43. Flakszerman, A.N. 1931: Vlijanie naklona volokon na mechanicseszkije szvojsztvo dreveszini szoszni. Moszkva, Leningrad. 44. Foschi, R.O. 1968: Plane Stress Problem in Body with Cylindrical Anizotropy. Forestry Branch Department Publication. No. 1244. Ottawa. 45. Foschi, R.O.-Barrett, J.D. 1976: Longitudinal shear strength of Douglas-fir. Civ.Ingng 3(2): 198-208.

24

46. Fridman, Ja.B. 1956: Nekotorie rezultati izucsenija charakterisztik razrusenia materialov. Szbornik ,,Szovremennije metodi iszpitania materialov". Masgiz. 47. Goodman, J.R.-Bodig, J. 1971: Orthotropic Strength of Wood in Compression. Wood Sci. 4(2): 83-94. 48. Goodman, J.R.-Popov, E.P. 1968: Layered Beam Systems with Interlayer Slip. J.Struct. Div.A.C.E. 94 (ST11): 2535-2547. 49. Green, A.E. 1939: Stress Systems in aeolotropic Plates. Part 2. Proceedings, Royal Society of London, Vol. 173: 173-192. 50. Green, G. 1839: Cambr. Trans. T.7. (W. Voigt-nál). 51. Hall, H.J.-Haygreen, J.G. 1983: The Minnesota Shear Test. Forest Prod.J. 33(9): 2932. 52. Hagen, G.H.L. 1842: The Elastisity of Wood. Ber.K. Preuss. Akad.Wiss. 9. (R.F.S. Hearmon-nél). 53. Hankinson, R.L. 1921: Investigation of Crushing Strength of Spruce at Varying Angles of Grain Air Service Information Circular. Vol. III. No.259, Material Section Paper No. 130. 54. Hearmon, R.F.S. 1942: The Effect of Grain Direction on the Elastic Constants of Plywood. Airor. Engng. 14. 55. Hearmon, R.F.S. 1946: The Elastic Constants of Anisotropic Material. Rev.mod. Physik 18. 56. Hearmon, R.F.S. 1948: The Elasticity of Wood and Plywood Dept. Sci. Indus. Res., For. Prod. Res. Special Rept. No. 7. His Majesty's Stacionery Office. London. 57. Hearmon, R.F.S. 1962: An Introduction to Applied Anisotropic Elastisity. Oxford University Press. 58. Heimeshoff, B, 1982: Über den Einfluss der Antisotropie auf den Spannungs- und Verformungszustand von Stäben mit Rechteckquerschnitt bei Torsionsbeanspruchung. I: Ehlbeck, I.-Steck, G. (Hrsg): Ingenieurholzbau in Forschung und Praxis. Karlsruhe. Bruderverlag. 59. Hill, R. 1956: The Mathematical Theory of Plasticity. Oxford. 60. Hörig, H. 1931: Zur Elastizität des Fichtenholzes. z.f.tech.Physik. 12(8): 369-379. (R.F.S. Hearmon-nél). 61. Hörig, H. 1933: Über die rechnerische Auswertung von Verdrehungs-messungen an Holzstäben. Ing.-Arch. Bd.4:570-576. 62. Hörig, H. 1935: Anwendung der Elastizitätstheorie anisotroper Körper auf Messungen an Holz. Ingenieur-Archiv 6(1): 8-14. 63. Hörig, H. 1936: Berechnung der Gleitzahlen s44, s55, s66 aus den Verdrehungmessungen von Stäben mit rechteckigen Querschnitten bei rhombischer Symmetrie. Ing-Arch. Bd.7: 165-170. 64. Hörig, H. 1943: Über die unmittelbare Bemessung der Gleitzahlen s44, s55, s66, bei Stoffen von rhombischer Symmetrie und geringen Starrheit. Ann.Phys. Bd.435: 285-295. 65. Iosipescu, N. 1967: New Accurate Procedure for Single Shear Testing of Materials. J.Matter 2(3): 537-566. 66. Ivanov, J.M. 1953: Szoprotivlenie dreveszini szoszni szzsatiju nod raznimi uglami voloknam. Trudi Instituta Lesza AN SZSZSZR, Izdatelsztvo AN SZSZSZR, t.IX: 67. Jayne, B.A. 1972: Orthotropic Elasticity. Chapter 2 in: B.B Jayne, ed. Theory and Design of Wood and Fiber Composite Materials. Syracuse Univ. Press, Syracuse, New York. 68. Jayne, B.A.-Hunt, M.O. 1969: Plane tress and plane strain in Orthotropic and anisotropic media. Wood and Fiber 1(3): 236-247.

25

69. Jayne, B.A.-Suddarth, S.K. 1966: Matrix-tenzor Matematics in Orthotropic Elasticity. Orientation Effects in the Mechanical Behavior on Anisotropic Structural Materials. A.S.T.M.Spec.Tech.Pub.405. Philadelphia, Pennsylvania. 70. Jenkin, C.F. 1920: Report on Materials Used the Contruction of Aircraft and Aircraft Engines. H.M. Stationary Office. London. 71. Kollmann, F. 1934: Die Abhängingkeit der Festigkeit und der Dehnungszahl der Hölzer vom Faserverlauf. Bauingenieur No.19/20. 72. Kollmann, F. 1951: Technologie des Holzes und der Holzwerkstoffe. Band 1. Berlin, Göttingen, Heidelberg. Springer Verlag. 73. Keylwerth, R. 1951: Die anisotrope Elastizität des Holzes und der Lagenhölzer. VDIForschungsheft 430. 74. Lechnickij, Sz.G. 1950: Teoria uprugoszti anizotropnogo tela. Goszudarsztvennoe Izdatelsztvo. Moszkva, Leningrad. 75. Lechnickij, Sz.G. 1957: Anizotropnie plasztinki. Goszudarsztvennoe Izdatelsztvo. Moszkva, Leningrad. 76. Liska, J.A. 1946: Tentative Method of Calculating the Stength and Modulus of Elasticity of Plywood in Compression. U.S. Dept.Agric., For.Prod.Lab., Mimeo 1315. (R.F.S. Hearmon-nál) 77. Liu, J.Y. 1984: New Shear Strength Taet for Solid Wood. Wood and Fiber Science 16(4): 567-574. 78. Liu, J.Y.-Cheng, S. 1979: Analisys of Orthotropic Beams. For.Prod.Lab. Research Paper FOPL 343. 79. March, H.W.-Kuenzi, E.W.-Kommers, W.J. 1942: Method of Measuring the Shearing Moduli in Wood. U.S.Dept.Agric., for.Prod.Lab., Mimeo 1301. 80. Mark, R.E. 1967: Cell Wall Mechanics of Tracheid Yale Univ.Press, New Haven. CT. 81. Mark, R.E. 1980: Molecular and Cell Wall Structure of Wood. J.Educ.Modules.Mat.Sci.Engrg., 2(2): 251-308. 82. Mark, R.E.-Gillis, P.P. 1970: New Models in Cell-Wall Mechanics. Wood Fiber 2(2): 79-95. 83. Meylan, B.A.-Probine, M.C. 1969: Microfibril Angle as a Parameter in Timber Quality Assesment. For. Prod.J. 19(4): 30-34. 84. Mityinszkij, A.N. 1948: Uprugie Posztojannie Dreveszini kak ortotropnogo materiala. Trudi LTA, Leningrad. No. 63: 22-54. 85. Mityinszkij, A.N. 1949: Moduli krucsanija i moduli szdviga dreveszinü kak ortotropnogo materiala. Trudi LTA. No.65. 86. Norris, C.B. 1939: Elastic Theory of Wood Failure. Trans.Amer.Soc.Mech. Engin. 61(3): 259-261. 87. Norris, C.B. 1942: The Technique of Plywood. I.F. Laucks Inc., Seattle, Washington. 88. Norris, C.B. 1943: The Application of Mohr's Stress and Strain Circles to Plywood. U.S.Dept. Agric.,For.Prod.Lab., Mimeo 1317. 89. Norris, C.B. 1962: Strenght of Orthotropic Materials Subjected to Combined Stresses. U.S. Forest Prod. Lab. Report No. 1816. 90. Norris, C.B.-McKinnon, P.F. 1956: Compression, Tension, and Shear on YellowPoplar Plywood Panels of Sizes That Do Not Buckle With Tests Made at Varius Angles to the Face Grain. For.Prob.Lab. Rpt. 1328. 91. Noack, D.-von Roth, W. 1976: On the Theory of Elasticity the Orthotropic Material Wood. Wood Sci.Techn. 10: 97-110. 92. Neumann, Fr. 1885: Vorlesungen über die Theorie der Elastizität. Leipzig. 93. Navier, L.M.H. 1827: Mém. de l'Acad. T.7. (W. Voigt-nál).

26

94. Osgood, W.R. 1928: Compressive Stress on Wood Surfacis Inclined to the Grain. Engin. News-Record. 95. Pearson, R.G. 1974: Application of Fracture Mechanics to the Tensile Strength of Structural Lumber. Holzforsch. 28(1): 11-19. 96. Poisson, S.D. 1829: Mém. de l'Acad. T.8. (W. Voigt-nál). 97. Poisson, S.D. 1831: Journ. de l'Éc. Pol. T.13. (W. Voigt-nál). 98. Pozdnyakov, A.A.-Koseljov, A.N. 1955: Procsnoszt dreveszini szoszni pri krucsenii i szkalivanii. Technicseszkaja Informacija LTA. No. 25: 46-51. 99. Rabinovics, A.L. 1946: Ob uprugih posztojannih i procsnoszti anizotropnih materialov. Trudi CAGI. Oborongiz. 100. Rabinovics, A.L. 1946: Ob uprugih posztojannih i procsnosztyi anizotropnih materialov. Moszkva. 101. Rabinovics, A.L. 1948: O roszcsote ortotropnih szloisztih panelej na rasztyazsenije, szdvig i izgib. Trudi Map. Oborongiz. No. 675. 102. Raczkowszki, J. 1967: The Transverse Anisotropy in Early Wood and Late Wood with Reference to Mechanical Properties. Indian Plywood Ind.Res.Ass. Bangalore: 26-34. 103. Roberts, H. 1944: The Elastisity of Plywood. Aircr.Engng. 16.(R.F.S. Hearmon-nél). 104. Rowse, R.C. 1923: The Strength of Douglas-Fir in Compression at Varius Angles to the Grain. Thesis for Degree of Bachelor in Civil Engin. at Washington University, St Luis. 105. Salmén, L.-de Ruvo, A. 1982: A Modell for the Prediction of Fiber Elasticity. Wood and Fiber Sci. 17(3): 336-350. 106. Savart, F. 1829: Ann. d. Chim. et de Phys. T.40: 5-113 (W. Voigt-nál) 107. Savart, F. 1830: Experiments on the Elastisity of Bodies which Crystallize Regularly. Mem.Acad.Fr.9: (R.F.S. Hearmon-nél). 108. Schniewind, A.P. 1959: Transverse Anisotropy of Wood: A Function of Gross Anatomic Structures. For.Prod.J. 9(10): 350-359. 109. Schniewind, A.P. 1966: On Differences in the Tensil Strength of Earlywood and Latewood Tracheids. Holz als Roh- u. Werkstoff 24(10): 502-506. 110. Schniewind, A.P. 1968: Recent Progress in the Study of the Rheology of Wood. Wood Sci.Techn. 2: 188-206. 111. Schniewind, A.P. 1970: Elastic Behavior of the Wood Fiber. In B.A. Jayne (ed), Theory and Design of wood and Fiber Composit Materials. Univ. Washington, Seattle. 112. Schniewind, A.P.-Barrett, J.D. 1969: Cell Wall Model with Complete Shear Restraint. Wood Fiber 1(3): 205-214. 113. Schniewind, A.P.-Centeno, J.C. 1973: Fracture Toughness and Duration of Load Factor I. Wood Fiber 5(2): 152-159. 114. Schniewind, A.P.-Lyon, D.E. 1973: A Fracture Mechanics Approach to the Tensile Strength Perpendicular to Grain of Dimension Lumber. Wood. Sci.Technol. 7(1) 45-59. 115. Stamer, J.-Sieglersmidt, H. 1933: Elastische Formänderungen von Hölzer. Z.V.DI Bd.77: 503-505. 116. Stamer, J. 1935: Elastizitätsuntersuchungen an Hölzer. Ing.-Arch. Bd.5: 1-8. 117. Stupnicki, J. 1968: Analysis of the Behaviour of Wood under external Load based on a study of the Cell Structure. Acta Politechnica Scandinavia. Civ.Eng.Bulding Constr. Ser. 53. Trondheim. 118. Suchsland, O. 1977: Compression Shear Test Deformation of Internal Bond Strength in Particlebard. Forest Prod.J. 27(1): 32-36. 119. Sumiya, K. 1963: A Study of Fracture of Wood Based on the Theory of Stochastic Processes. Wood Res. 29: 1-29.

27

120. Suzuki, M. 1969: Relationship between Young's Modulus and the Cell Wall Strukture of Sugi. J.Japan Wood Res.Soc. 1597): 278-284. 121. Takahashi, A.-Lyon, D.E.-Schniewind, A.P. 1973: Shear Tests of Wood Using vnotch Beam and Square Plate Specimens. Wood and Fiber 5(3): 198-207. 122. Thomson, W. 1855: Quart. Journ. of Math. T.5. (W. Voigt-nál). 123. Thomson, W. 1882: Math. u. Phys. Papers. T.i. Cambridge. (W. Voigt-nál). 124. Todhunter, I.-Pearson, K. 1886: A History of the Theory of Elastisity. Vol. I. Univ. Press. Cambridge. (R.F.S. Hearmon-nél). 125. Todhunter, I.-Person, K. 1893: A History of the Theory of Elastisity. Vol.II. Univ. Press. Cambridge. (R.F.S. Hearmon-nél). 126. Tomin, M. 1972: Influence of Anisotropy of Fracture Toughness on Wood. Wood Sci. 5(2): 118-121. 127. Tsai, S.W.-Wu, E.M. 1971: A General Theory of Strength for Anisotropic Materials. J. Composite Materials, Vol.5. 58-80. 128. Tulzakov, V.V. 1969: Isszledovenie csisztogo szdviga dreveszini. Avtoreferat kand.disz. 129. Ugoljev, B.N. 1965: Iszpitania dreveszini i drevesznih materialov. Moszkva. 130. Voigt, W. 1928: Lahrbuch der Kristellphysik. Verlag und Druck von B.G. Teubner in Leipzig u. Berlin. 131. Walsh, P.F. 1972: Linear Fracture Mechanics in Orthotropic Metarials. Engng. Fracture Mech. 4: 553-541. 132. Wangaard, F.F. 1950: The Machanical Properties of Wood John Wiley And Sons, New York. 133. Winter, H. 1944: Sperrholzer, Richtlinien für den Holzflugzeugbau, Berlin. 134. Wu, E.M. 1972: Optimal Experimental Measurements of Anisotropic Failure Tensors. J.Composite Materials. Vol.6: 472-489. 135. Ylinen, A. 1942: Ein neues Messverfahren für die Bestimmung der Schubmoduln des Holzes. Holz als Roh- u. Werkstoff 5: 375-385. 136. Ylinen, A.1956: Über den Einfluss des Spätholzanteils und der Rohwichte auf die Elastizitätsmoduln, die Poisson'schen Konstanten und die Schubmoduln bei Holz mit ausgepregten Jahrringsbau. Tech.Hochsch. in Finnl. Forsch. No. 9. Helsinki. 137. Ylinen, A. 1963: A Comparative Study of Different tupes of Shear Test of Wood. Fifth Conference on Wood Technology. U.S. For. Prod. Lab., Madison, Wisconsin, Sept. 1627.

28

1. AZ ANIZOTRÓPIA ÁLTALÁNOS JELLEMZŐI A természetben az anyag három halmazállapot - szilárd, cseppfolyós, légnemű - formában jelenik meg. A szilárd test alakja és térfogata a mechanikai terhelés hatására csak kis mértékben változik meg. A folyadékok nem rendelkeznek meghatározott alakkal, de a térfogatváltoztatással szemben nagy ellenállást fejtenek ki. A gázok térfogatukat is könnyen megváltoztatják és a rendelkezésre álló teret egyenletesen töltik ki. A halmazállapotok különbözősége a testet alkotó anyag mikro- és szubmikroszkopikus szerkezetének eredménye. A XX. századi kutatások bebizonyították, hogy minden anyag elemi részecskékből (elektron, proton, neutron stb.) épül fel, amelyek atomokat, molekulákat alkotnak. A szilárd testek többségét alkotó kristályos testekben ezek az alkotóelemek (atomok, ill. ionjaik vagy molekulák) egymáshoz közel, szabályos elrendezésben helyezkednek el ún. térbeli rácsot (kristályrácsot) alkotva. A rácsot alkotó elemek mindegyike meghatározott egyensúlyi helyzet körül rezgéseket végez. A folyadékokban a molekulák, ill. atomok egymáshoz közel, de rendezetlenül helyezkednek el. Legfeljebb csak igen kis térfogatelemen belül található valamilyen fokú rendezettség. A részecskék nincsenek egyensúlyi állapotban, egymáshoz képest könnyen elmozdulhatnak és rendszertelen mozgást végeznek. Hasonló belső felépítésűek a szilárd testek másik nagy csoportját alkotó amorf testek. Ezeknél azonban a részecskék egymáshoz képesti elmozdulása valamivel korlátozottabb, nagyobb belső súrlódással rendelkeznek. A gázokban a molekulák és atomok egymástól való átlagos távolsága viszonylag nagy. A részecskék rendszertelen, a hőmérséklet növekedésével egyre nagyobb sebességű mozgást végeznek, melynek során egymással és a tartóedény falával ütköznek. A fizikának azt a területét, amely az atomok, molekulák, valamint a különböző halmazállapotú anyagok belső szerkezetének vizsgálatával, a makroszintű viselkedés belső szerkezetének vizsgálatával, a makroszintű viselkedés belső szerkezeti felépítésen alapuló magyarázatával foglalkozik, korpuszkuláris elméletnek, módszernek nevezzük. A különböző anyagú testek makroszintű viselkedésének leírására a korpuszkuláris elmélet elsősorban minőségi szempontból ad sok értékes és hasznos információt. A műszaki gyakorlat számára szükséges menynyiségi számításokra azonban általában nem ad lehetőséget, mert a valóságos anyagokban mindig fellelhetők olyan rendellenességek (szennyeződés, torzult rácsszerkezet), ún. diszlokációk, amelyek jelentős hatással vannak a makroszkopikus viselkedésre, elméleti számbavételük azonban szinte lehetetlen. A fentiek miatt - valamint tudománytörténeti okokból - ma is nagy jelentősége van a fenomenológiai módszernek, amely eltekint az anyag részecske természetétől és azzal a feltételezéssel él, hogy a test által elfoglalt teret az anyag folytonosan tölti ki, az anyag ún. kontinuum. A fenomenológiai elmélet nem foglalkozik azzal, hogy egy adott tulajdonság milyen szerkezeti felépítés következménye, azt - fizikailag mérhető - tényként veszi tudomásul és a test viselkedésének leírására anyagállandókat (pl. sűrűség, rugalmas és szilárdsági állandók, hő-, nedvességvezetési tényezők, optikai állandók stb.) alkalmaz (Á. Budó - I. Pócza, 1962). Fenomenológiai szempontból megkülönböztetünk homogén, ill. inhomogén, valamint izotrop, ill. anizotrop anyagú testeket. Ha a fizikai tulajdonságok a test minden pontjában ugyanazok homogén, egyébként inhomogén testről beszélünk. Izotropnak nevezzük az anyagot, ha tulajdonságai egy adott pontban függetlenek az iránytól. Anizotrop* anyag esetén egy adott pont szűk - elemien kicsi - környezetében a fizikai tulajdonságok a pontból kiinduló irány függvényei. * Az anizotrópia elnevezés az an = nem, az isos = egyenlő és a tropos = irány, jelleg jelentésű görög szavak összetételének eredménye.

29

Az inhomogén, anizotrop anyagú test valamely, t-vel jelölt tulajdonságát (1.1. ábra) a t = t (r, n ) függvénnyel lehet megadni, ahol r - a test valamely pontjának hely-vektora, n - a pontból kiinduló irány egység-vektora. A homogén, anizotrop anyag valamely tulajdonságát a t = t(n), az inhomogén, izotrop anyagét a t = t (r ) vektor-skalár függvényekkel, a homogén, izotrop anyagét a t állandóval jellemezhetjük. Adott pontban felvett tetszőleges két irányhoz tartozó valamely tulajdonság jellemző értékének hányadosa, az t t(n 1) f = 1 = , t1 ≥ t 2 1.1 t 2 t(n 2 ) 1.1. ábra. A vizsgált P pontban az mennyiség az anizotrópia foka vagy mértéke, amely adott irányhoz tartozó t tulajdonság. a két irányhoz tartozó jellemző közötti különbség mutatója (mindig a nagyobb érték kerül a számlálóba). A 100(f-1) kifejezés megadja, hogy az n1 irányhoz tartozó mennyiség hány százalékkal nagyobb az n2 irányhoz tartozóénál. f =1-nél a két irány izotrop. Jóllehet elméleti és kísérleti vizsgálatainkat a műszaki mérnöki gyakorlat igényeinek megfelelően mi is a fenomenológiai módszert alkalmazzuk, a következő fejezetben mégis a természetes és mesterséges anyagok belső szerkezeti felépítésével foglalkozunk annak érdekében, hogy az anizotrópia lényegét megértsük.

1.1. AZ ANIZOTRÓPIA KIALAKULÁSA TERMÉSZETES ÉS MESTERSÉGES ANYAGOKBAN Az anizotrópia mindig a testet alkotó mikro- vagy makroszkopikus egységek (atomok, molekulák, szövetek, rostok, rétegek), építőelemek valamilyen rendezett elhelyezkedésének a következménye. A rendezettség, a szabályos belső felépítés kialakulhat természetes körülmények között, de lehet tudatos emberi tevékenység eredménye is. Az anizotrópia tanulmányozására a legalkalmasabbak az élettelen természetben kialakuló tökéletes szilárd testek, az ún. egykristályok (W. Voigt, 1928). Már a múlt század közepén felismerték, majd 1912-ben röntgenelhajlási kísérletekkel bizonyították (Á. Budó - T. Mátrai 1977), hogy a kristályok alaki, geometriai tulajdonságait az őket alkotó legkisebb anyagi részecskék szabályos térbeli elhelyezkedésével lehet magyarázni. Egyszerű kristályrácsot alkot az olyan csupa egynemű anyagi részecskék (ionok, atomok, molekulák) halmaza, amelyek súlypontjainak, az ún. rácspontoknak a helyvektora az

r = r 0 + Aa + Bb + C c összefüggéssel adható meg, ahol a, b, c - nem komplanáris bázisvektorok, r0 - egy tetszőleges rácspont helyvektora, A, B, C - tetszőleges pozitív vagy negatív egész szám A bázisvektorok által kifeszített triédert a rács primitív cellájának nevezzük, amelynek rendszerint csak kezdőpontjában található valamilyen részecske. Ha a rács nem azonos minőségű részecskékből épül fel, összetett kristályrácsról beszélünk. Ezek úgy foghatók fel, mint-

30

ha több, szabványosan egymásba tolt, egyszerű kristályrácsból állnának. A kristályrácsnak azt a legkisebb térfogatát, amely az anyag különböző alkotórészeit az egész anyagot jellemző számarányban és elrendezésében tartalmazza, elemi cellának nevezzük. Maga a véges kristályrács, az egykristály, ezeknek az elemi celláknak a tér három irányában való egymásmellé-helyezésével építhető fel, ill. képzelhető el. Az elemi cellák szerkezete az anyagot felépítő részecskék tulajdonságaitól (atommag- és elektronszerkezet, fizikai hatósugaruk), valamint a keletkezés alatti külső körülményektől (hőmérséklet, nyomás) függ. A kristályok külső alakját és minden egyéb fizikai tulajdonságát is rácsszerkezetük határozza meg. A természetben fellelhető rácsszerkezetek alapján a kristályokat hét kristályszerkezetbe csoportosítják. E csoportok már az egykristályok külső alakja szerint is elkülöníthetők, de a bázisvektorok alaptulajdonságai (abszolút értékük és egymással bezárt szögük) adják a legszemléletesebb rendszerezési lehetőséget.

I. Triklin rendszer (1.2/a. ábra): a≠ b≠c≠a ,

α ≠ β ≠ γ ≠ α, α, β, γ ≠ 90°. II. Monoklin rendszer (1.2/b. ábra): a≠ b≠c≠a , α = γ = 90° ≠ β .

III. Rombikus rendszer (1.2/c. ábra): a≠ b≠c≠a , α = β = γ = 90° . IV. Hexagonális rendszer (1.2/d. ábra): a = b ≠ c , α = β = 90°, γ=120°. V. Trigonális rendszer (1.2/e. ábra): a=b=c, α = β = γ ≠90° VI. Tetragonális rendszer (1. 2/f. ábra): a=b≠c , α = β = γ = 90° . VII. Köbös rendszer (1.2/g. ábra): a=b=c, α = β = γ = 90°

1.2. ábra. A hét kristályrendszer bázisvektorai.

Példaként az 1.3. ábrán felvázoltuk a rézkristály (Cu) és a konyhasókristály (NaCl) rácsának elemi celláját. A rézkristályban a rézionok egy négyzet csúcsain és a felületek középpontjában helyezkednek el ún. felületen centrált köbös rendszerű rácsot alkotva. A konyhasókristályban a Na- és Cl-ion is külön-külön egy felületen centrált köbös rácsot alkot. E két egyszerű rács, a tér három irányában a Na-ionok (vagy Cl-ionok) közötti távolság felével eltolva, képezi az összetett kristályrácsot (R. Seim, 1981). A kristályos szerkezetű szilárd testek anizotrop viselkedésének szükségszerűségét belső felépítésük azonnal megmagyarázza. A kristályrácsban felvett különböző irányokban nem azonos a

31

részecskék minősége, távolsága, sorrendje, így a kifelé megmutatkozó tulajdonságok is irányfüggők. A természetes módon kialakult anizotrop anyagok másik nagy csoportja az élőlények biológiai evolúciója során jött létre. Minden szervezetnek, növényeknek és állatoknak egyaránt szükségük van olyan tartószerkezetre, ami biztosítja a különböző mechanikai hatásokkal (önsúly, hó-, eső-, szélteher, a mozgás folyamán fellépő tehetetlenségi erők stb.) szembeni ellenállást, a külső alak megtartását. A vázszerkezet a terhek hordására - esetleg más feladatok ellátására - specializálódott szövetekből épül fel, melyek lehetnek viszonylag merevek (mészváz, cellulózváz) vagy jelentős alakváltozásra is képesek (bőr-, izomszövet). E szövetek építőanyagai, az atomok vagy molekulák, sokszor a kristályoknál megfigyelhető vagy ahhoz nagyon hasonló rendezett szerkezetet mutatnak, melyekből makroszinten rostok, vékony lemezek, héjak épülnek fel. Már maguk ezek az elemi szerkezeti egységek is anizotrop tulajdonságúak, de egymáshoz viszonyított, alkalmas orientációjú elhelyezkedésük a belőlük felépült testek anizotrop jellegét még inkább kiemelik (E.K. Askenazi, 1978).

1.3. ábra. A rézkristály (Cu) és a konyhasó kristály (NaCl) elemi cellái. Szemléletes példa erre a nagy súlyú állatok teherhordó vázát alkotó csontok szövetének szerveződése. Az 1.4.a. ábrán egy szarvas (Cervus Elaphus) felső lábszárcsontjának metszetén a szivacsszerű állomány szerkezetét láthatjuk. Optikai feszültségvizsgálattal (a c és d felvételeken az egyszerűsített síkbeli modell színsáv- és 0°-os iránysávábrája látható) meghatároztuk a modell feszültségi trajektória-hálózatát (b. ábrarészlet). Szembetűnő a trajektóriarendszer és a szivacsos állomány szerkezetének hasonlósága. A csontszövet tehát úgy szerveződött, hogy szerkezeti vonalai éppen a főfeszültségek - amelyek a feszültségi állapot szélső feszültségértékeit jelentik - irányával párhuzamosak legyenek. Az anizotrópia kialakulásának oka tehát az optimális szerkezet létrehozásának igénye. A természet egyik legkifejezőbb példája az anizotrópia kialakulására, jelentőségére és szerepére a növényi szárak szerveződése, ezek közül is a legérdekesebb és műszaki szempontból is a legjelentősebb a fák törzse. Itt csak utalunk arra, hogy a fák törzsének alakja, sudarlóssága, sűrűségének, rugalmas és szilárdsági jellemzőinek a törzsön belüli változása, a korai és késői pásztákból álló réteges felépítés, a növekedés során kialakuló belső, sajátfeszültségi állapot mind azt a célt szolgálja, hogy a törzs a hossztengelyével párhuzamos

32

a)

b)

c)

d)

1.4. ábra. a) A szarvas lábszárcsontjában a szivacsos állomány szerveződése, b) Az iránysáv-ábrák alapján megszerkesztett főfeszültségi trajektória-hálózat, c) Az optikai feszültségvizsgálat színsávábrája, d) 0o-os iránysávábra.

33

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

- bütümetszet - sugármetszet - tangenciális m. - évgyűrű - korai pászta - késői pászta - bélsugárköteg - orsós bélsugarak - függőleges gy.j. - vízszintes gy.j. - udvaros gödörke - egyszerű gödörke - rostok (tracheidák)

1.5/a. ábra. Fenyő faanyag tipikus felépítése (Foulger, A.N. alapján).

1 2 3 4 5 6 7 8

- bütümetszet - sugármetszet - tangenciális m. - évgyűrű - korai pászta - késői pászta - bélsugárköteg - szállítóedény (trachea) 9 - létrás áttörés 10 - libriform rostok

1.5/b. ábra. Lombos faanyag tipikus felépítése (Foulger, A.N. alapján). normáligénybevételnek és a szélteherből származó hajlítóigénybevételnek a lehető legnagyobb biztonsággal tudjon ellenállni. Az evolúciós optimalizáció legfontosabb következménye azonban a mechanikai szilárdságot biztosító mikro- és makroszintű elemek, szerkezeti egységek (cellulóz, sejtfal, sejtek (rostok) orientációjában rejlik. A fa törzsében a farostok, amelyek szállításra és merevítésre specializálódott, hosszúra nyúlt sejtek s amelyek önmagukban is anizotropok (hossztengelyükkel párhuzamosan lényegesen nagyobb igénybevételnek

34

állnak ellen, mint keresztirányban) úgy rendeződnek, hogy hossztengelyük párhuzamosan helyezkedik el a törzs hossztengelyével. Ez a fajta orientáció azt vonja maga után, hogy a törzs hossztengelyének irányában az anyag merevségi, szilárdsági jellemzői nagyobbak, mint keresztirányban, ami pontosan megfelel annak a ténynek, hogy a törzsre ható külső erőkből származó igénybevételek hatásvonala is hossztengelyirányú, míg a keresztirányú igénybevételek jelentéktelenek. A fatörzsben is hasonló a helyzet, mint a csontokban, a szilárdító elemek, a rostok a legnagyobb főfeszültség hatásvonalával párhuzamosan rendeződtek. Az 1.5/a,b. ábrán (A.N. Foulger, 1969 alapján bemutatjuk a fenyő és a lombos faanyag tipikus belső szerkezeti felépítését, amelyből) az összetett tagozódás ellenére is jól kivehető a hosszirányban párhuzamosan rendeződött rostok domináns szerepe. Az anizotrópia kialakulásának érdekes típusát figyelhetjük meg néhány - elsősorban lágyszárú - növényen. Itt viszonylag nagy szilárdságú szálakból álló kötegek a szár többé-kevésbé homogénnek tekinthető anyagába ágyazódnak be. Az erősítő szálak most is a külső terhelésből származó feszültségi állapot legnagyobb főfeszültségének irányával párhuzamosan helyezkednek el. Az 1.6/a, b, c, d. ábrák ilyen növényeket, ill. preparált száraikat mutatják.

1.6/a. ábra. Martilapu (Tussilago farfara) A szerkezeti anyagokkal szemben támasztott egyre nagyobb követelmények a műszaki szakembereket arra késztették, hogy ellessék a természettől azokat a módszereket, amelyek a szerkezeti elemeket olyan merevségi és szilárdsági tulajdonsággal ruházhatja fel, amelyek az adott feladat ellátása szempontjából optimálisak. Orientálásnak nevezzük azt az eljárást, amely során a már eleve anizotrop részecskéket (molekulákat, egykristályokat, rostokat) valamilyen rendszer szerint (pl. a részecskék azonos tulajdonságú irányai az egész testen belül párhuzamosak) helyezzük el egymás mellett. Rétegezésnél vékony, anizotrop síklemezeket vagy héjakat erősítenek össze egymással úgy, hogy az egyes rétegek hasonló jellegű anizotrópia irányai egymással meghatározott viszonyba (pl. a rétegek azonos tulajdonságú irányai a szomszédosokkal egyforma szögeket zárnak be) kerülnek. Betétezéskor nagy szilárdságú, merev, nem hajlékony szálakat, fonatokat, szöveteket

35

1.6/b. ábra. Nagy útifű (Plantago major)

1.6/c. ábra. Medvetalp (Heracleum sphondilium)

36

1.6/d. ábra. Orvosi nadálytő (Symphitum officinale) helyeznek el kisebb szilárdságú anyagba (ún. mátrixba, matricába), amely elsősorban a betétek egymáshoz viszonyított elmozdulását gátolja meg, azaz az együttműködést biztosítja. Az orientálásra példa bizonyos fémötvözetek irányított kristályosításának módszere. Optimális esetben az egész test egykristálynak tekinthető a fémötvözet kristályrácsára jellemző anizotrop tulajdonságokkal. A fémek, fémötvözetek általában apró kristályok rendezetlen halmazából épülnek fel. Bizonyos megmunkálási technológiák esetén (kovácsolás, hengerlés, sajtolás stb.) véletlenszerűen vagy tudatosan kisebb-nagyobb mértékű orientálást lehet az anyagban létrehozni. A polimerek tulajdonságait is kedvezően lehet befolyásolni az őket alkotó láncszerű molekulák rendezésével. Ez történhet úgy, hogy a már kikeményedett, ill. fellágyított polimerben külső, mechanikai igénybevétellel (pl. húzással) a láncmolekulákat mintegy kiegyenesítik és párhuzamos helyzetbe hozzák. Lehetőség nyílik arra is, hogy a polimerizációt úgy befolyásolják, hogy a láncmolekulák eleve párhuzamosan növekedjenek. A rétegezéssel kialakított szerkezeti anyagok is igen sokfélék lehetnek. Ezek úgy készülnek, hogy az általában vékony rétegeket valamilyen kötő-, ragasztóanyaggal egységes tömbbé egyesítik. Az egyes rétegek lehetnek izotropok, de különböző fizikai tulajdonságúak, vagy maguk is anizotropok. Ez utóbbi esetben a szomszédos rétegek orientációjának alkalmas megválasztásával rendkívül változatos tulajdonságú testeket lehet létrehozni. A hámozott, esetleg késelt furnérlemezekből összeállított többrétegű lapok esetében néha éppen az alkotóelemek anizotrópia fokánál kisebb anizotrópia fokú lemezek kialakítása a cél. Bizonyos körülmények között elérhető, hogy a mechanikai tulajdonságok szempontjából a lemez síkjában minden irány ekvivalens, azaz a lemez síkban izotrop. A faalapú lemezek másik nagy csoportját úgy készítik, hogy a természetes faanyagot forgáccsá vagy farostokra, ill. rostkötegekre aprítják, s ezeket valamilyen ragasztóanyaggal vagy anélkül lapokká préselik (forgácslap, farostlemez stb.). Előfordul, hogy nem faanyag, hanem valamilyen növényi szár (kender, len) a lapok alapanyaga. Alkalmasan kialakított gyártástechnológiával elérhető, hogy ezek a lapok síkjukban izotropok vagy anizotropok legyenek. A rétegezéssel előállított lapok csoportjába

37

sorolhatók a szendvicslemezek, amelyek úgy épülnek fel, hogy a két szélső, jó mechanikai tulajdonságokkal rendelkező borítóréteg közé egy, mechanikai szempontból kedvezőtlenebb tulajdonságú, magréteg kerül. A középső réteg lehet könnyű műanyaghab vagy lyukacsos, üreges szerkezetű papír-, fém-, műanyagrácsozat. A mag- és a borítóréteg jellegétől függően a szendvicslapok is lehetnek síkban izotropok vagy anizotropok. A betétezett anyagoknál kötőanyagként általában gyantaszerű, térhálós polimereket használnak. A betét szerves, szervetlen, természetes vagy mesterséges eredetű anyag lehet (cellulóz, papír, textil, fémek, szén, grafit, azbeszt, üveg, szintetikus anyagok). Ezeknek az anyagoknak a szálaiból kötegeket, fonatokat, paplant, szöveteket készítenek, amelyeket megfelelően orientálva helyeznek el a kötőanyagban. A betétezéssel kialakított testek - melyekben nagyfokú inhomogenitás lép fel - makroszinten jelentős anizotrópiát mutatnak.

1.2. A FIZIKAI-MECHANIKAI TULAJDONSÁGOK SZIMMETRIÁJA A természetes körülmények között keletkező vagy a mesterségesen készített anyagok mikroés makro-struktúrájában fellelhető rendezettség általában bizonyos szimmetriában nyilvánul meg. Ez a szerkezeti szimmetria a térbeli korlátok nélkül, szabadon növekvő kristályok esetében már az egykristály alakját, habitusát is meghatározza, de kihatással van többi tulajdonságára is. Szimmetria alatt az anyagnak azt a tulajdonságát értjük, hogy valamely tetszőleges pontjában találhatók olyan irányok, amelyekben geometriai, fizikai-mechanikai jellemzői megegyeznek. Az ekvivalens irányok száma, egymáshoz viszonyított helyzetük az anyagnak fontos jellemzője. A szerkezeti szimmetria és a fizikai-mechanikai tulajdonságok szimmetriája közötti kapcsolatot - kristályok esetében - a Neumann-elv (E.K. Askenazi - E.V. Ganov, 1972 és W. Voigt, 1928) a következőképpen fogalmazza meg. A fizikai-mechanikai tulajdonságok anizotrópiája szempontjából a kristályok kevesebb számú csoportba sorolhatók, mint külső alakjuk szempontjából. Ez azt jelenti, hogy a kristály külső alakjában rácsszerkezetének sajátosságai jobban kifejeződnek, mint egyéb tulajdonságaiban. A fizikai-mechanikai tulajdonságok tekintetében tehát az anyag ugyanazzal vagy még tökéletesebb szimmetriával rendelkezik, mint szerkezeti szimmetriája. Az elv kiterjeszthető minden olyan anyagra, amely nem kristályos ugyan, de valamilyen szerkezeti szimmetriával rendelkezik. A különböző tulajdonságok szimmetriájának felismerése azért döntő fontosságú, mert az határozza meg, hogy az anyagot bizonyos viselkedése szempontjából hány adattal lehet jellemezni. Ezek az adatok, a fenomenológiai anyagállandók csak kísérlettel határozhatók meg, így nem közömbös, hogy egy anyag jellemzésére hány fajta kísérletsorozatot kell elvégezni és kiértékelni. A szimmetriatulajdonságok tüzetesebb vizsgálatához képzeljünk el egy kristálytestet, ill. annak kristályrácsát a térben rögzítve és ennek rácspontjait gondolatban hozzuk fedésbe egy másik ugyanolyan (kongruens) kristálytest rácspontjaival. Szimmetriaelemnek nevezzük azt a kinematikai műveletet, amelyet a mozgatható kristályrácsra alkalmazva, rácspontjai a rögzítettéivel ismét fedésbe hozhatók. Matematikai szempontból egy-egy szimmetriaelem ortogonális transzformációt jelent, hiszen a rácspontok egymáshoz viszonyított távolsága a kinematikai művelet során nem változhat meg. Az ortogonális transzformáció egy tetszőleges rácspont r helyvektorát r '-be viszi át az r' = β r

1.3

38

mátrixösszefüggés alapján, ahol β - az ortogonális transzformáció mátrixa, melynek 3x3 = 9 komponense a szimmetriaelem jellegétől függ. Szimmetriaelemek:

1. Centrális tükrözés (inverzió) Inverziós szimmetria esetén a szimmetriaközéppontból a rács tetszőleges P pontjához húzott helyvektorának ellentettje a P rácsponttól azonos minőségű anyagi részecskére mutat (1.7. ábra). A szimmetriaelemek megfelelő ortogonális transzformáció mátrixa: 0 − 1 0  β c =  0 − 1 0  = β ii' . .  0 0 − 1

[ ]

1.4

Ezt (1.3)-ban alkalmazva, azonnal megkapjuk az ábrának megfelelő eredményt: r ' = − r.

1.7. ábra. Centrális tükrözés. 2. Síktükrözés Síktükrözéskor létezik egy olyan sík, a szimmetriasík, amelyen át a tetszőleges rácspont helyvektorát tükrözve, ismét az eredeti minőségű rácspontot kapjuk (1.8/a ábra).

1.8. ábra. Síktükrözés mint szimmetria-elem. A kristálytest két teljesen egybevágó fémből áll. A tükrözési műveletnél célszerű a koordinátarendszert eleve úgy felvenni, hogy valamelyik koordinátasík legyen a szimmetriasík, mert ilyen módon a transzformációs mátrixok egyszerű felépítésűek. A mátrixok elemei, ha a szimmetriasík az x1x2 koordinátasík (1.8b. ábra): 1 0 0  1.5 β T = 0 1 0  = β ii' , 0 0 − 1

[ ]

ha a szimmetriasík az x1x3 koordinátasík (1.8/c. ábra):

39

1 0 0  β T = 0 − 1 0 = β ii' , 0 0 1 ha a szimmetriasík az x2x3 koordinátasík (1.8/d. ábra):  − 1 0 0 β T =  0 1 0 = β ii' .    0 0 1

[ ]

[ ]

1.6

1.7

3. n-fogású forgatótengely (forgástengely) n-fogású forgatás esetén található egy olyan tengely, amely körül a rácspont r helyvektorát ϕ = 2π/n (n = 1, 2, 3, 4, 6) szöggel elforgatva ismét azonos minőségű rácspontot találunk (1.9/a ábra). A megfelelő szöggel való elforgatás után a mozgatható kristálytest minden pontja, csúcsa, éle, lapja tökéletesen egybeesik a térhez kötöttével. Érdekes módon a természetben csak ϕ = 360, 180, 120, 90 és 60°-os elforgatást figyelhetünk meg. Ezek közül is a 360°-os minden fajta kristályrácsra alkalmazható, így nem igazi szimmetriaelem. Ha a koordinátarendszert - célszerűen - úgy vesszük fel, hogy valamelyik tengelye egybeessen a forgástengellyel, a transzformációs mátrixok komponensei a következő értékeket veszik fel:

1.9. ábra. Általános helyzetű és a koordinátatengelyek körüli ϕ szögű forgatás. a forgatótengely az x1 koordinátatengely (1.9/b ábra): 0 0  1 2π  , β Fn = 0 cosϕ sinϕ  = β ii' , ϕ = n 0 − sinϕ cosϕ 

[ ]

a forgatótengely az x2 koordinátatengely (1.9/c ábra):  cosϕ 0 sinϕ  2π , β Fn =  0 1 0  = β ii' , ϕ = n − sinϕ 0 cosϕ 

[ ]

1.8

1.9

a forgótengely az x3 koordinátatengely (1.9/d ábra): 40

 cosϕ sinϕ 0 2π . 1.10 β Fn = − sinϕ cosϕ 0 = β ii' , ϕ = n  0 0 1 A fenti három szimmetriaelemmel, azok kombinációjával tulajdonképpen minden lehetséges magasabb fokú szimmetria kifejezhető, ennek ellenére még kettőt az alap szimmetriaelemekhez szoktak sorolni.

[ ]

4. n-fogású tükröző forgástengely Ez egy n-fogású forgatásból és egy azt követő, a forgatótengelyre merőleges síkú tükrözésből áll (1.10 ábra). A két szimmetriaművelet egymás utáni végrehajtásának eredménye ortogonális mátrixainak szorzatával fejezhető ki:

β T Fn = β Fn β T .

1.11

Például az x1 tengely körüli n = 2-fogású forgatás, majd az x2x3 síkú tükrözésnél:

β T F2

0 0   − 1 0 0  − 1 0 0 1      = 0 cosπ sinπ   0 1 0 =  0 − 1 0  = β C . 0 − sinπ cosπ   0 0 1  0 0 − 1

1.12

A kétfogású tükröző forgatás tehát egyenértékű az inverzióval. Ez okból, valamint amiatt, hogy az inverziós szimmetria nem csökkenti a különböző mechanikai tulajdonságokat leíró tenzorkomponensek számát - amit később be is látunk -, az inverziót sokszor nem is szokták külön szimmetriaelemként kezelni.

1.10. ábra. φ szögű elforgatás, majd tükrözés. 1.11. ábra. φ szögű elforgatás, majd inverzió. 5. n-fogású inverziós forgatótengely Itt a szimmetriacentrumon áthaladó tengely körüli n-fogású forgatást inverzió követi (1.11. ábra) A transzformáció mátrixa:

β C Fn = β Fn β C

1.13

41

Például legyen x1 egy 2-fogású forgástengely, majd végezzünk inverziót:

β T F2

0 0  − 1 0 0   − 1 0 0 1    = 0 cosπ sinπ   0 − 1 0  =  0 1 0 = β T , 0 − sinπ cosπ   0 0 − 1  0 0 1

1.14

a fenti két szimmetriaelem egymás utáni alkalmazása tehát egyenértékű az x2x3 síkú tükrözéssel. Vizsgáljuk meg az x1 tengely körüli n = 6-fogású inverziós forgatást:

β C F6

 1 0  2π = β F6 β C = 0 cos 6  0 − sin 2π  6

 − 1 0  2π =  0 cos 3  2π  0 sin 3 

 0  − 1 0 2π  sin   0 − 1 6  2π   0 0 cos 6     0 0  − 1 2π    2π  cos −  − sin  = 0 3   3  2π   2π cos  0 − sin  −  3    3 

 0 0  − 1  2π 0  =  0 − cos 6 − 1  2π 0 sin  6

  2π  − sin  = 6  2π  − cos 6  0

    0 0  1 2π  2π    sin  −  = 0 cos  3  3    2π   2π  cos −  0 − sin 3  3  

 0  2π  sin  = β F3 . 3  2π  cos 3  1.15

A hatfogású inverziós forgatás tehát egyenértékű egy 3-fogású (egyszerű) forgatással (a fenti levezetés utolsó egyenlőségében azt használtuk fel, hogy az x1 tengely körüli ϕ szögű forgatás kinematikailag ugyanaz, mint az ellentett irányítású, azaz a - x1 tengely körüli - ϕ szögű forgatás. Természetesen más egyenértékű szimmetriaműveletek is elképzelhetők, ezek részletezésére azonban a továbbiakban nincs szükségünk. A szimmetriaelemek egymással igen változatos módon kombinálhatók. A természetben fellelhető rácsszerkezeteket bizonyos hasonlóságok, rokonságok alapján 32 csoportba, ún. kristályosztályba sorolták. A triklin rendszernek 2 osztálya van, az egyikben semmilyen szimmetriaelem sincs, a másikban egy szimmetriacentrum található. A monoklin rendszer 3 osztályából az elsőnek egy 2-fogású forgatótengelye, a másodiknak egy szimmetriasíkja, a harmadiknak 2-fogású szimmetriatengelye és szimmetriasíkja van. A rombikus rendszer 3 osztályát három, egymásra merőleges, de nem egyenértékű, 2-fogású egyszerű, tükröző vagy inverziós forgatótengely jellemzi. E rendszerben (1.14)-nek megfelelően sokszor három, egymásra merőleges szimmetriasík is megfigyelhető. A hexagonális rendszer 7 osztályában egy 6-fogású egyszerű, tükröző vagy inverziós (fő)forgatótengely található. E tengelyre merőlegesen is létezhetnek 2-fogású forgatótengelyek, melyek egymással 60°-ot zárnak be. A szimmetriasíkok a 6-fogású fő forgástengellyel párhuzamosak vagy arra merőlegesek. A trigonális rendszer 5 osztályához hasonló szimmetriaelemek tartoznak, mint a hexagonáliséhoz, csupán a fő forgatótengely nem 6-, hanem 3-fogású. Hasonló felépítésű a tetragonális rendszer 7 osztálya is, a fő forgatótengely azonban 4-fogású. A köbös rendszernek 5 osztálya van. Ezek mutatják a legmagasabb fokú szimmetriát. Mindig található 4 különböző helyzetű

42

3-fogású egyszerű, tükröző vagy inverziós forgatótengely, de vannak 2- és 4-fogású forgatótengelyek is. A szimmetriasíkok száma is magas lehet. A nem kristályos szilárd testek, amelyekben az anizotrópia általában makroszinten alakul ki, szintén rendelkezhetnek szimmetriaelemekkel, ill. azok igen változatos kombinációjával. Különösen a mesterségesen létrehozott anizotrop testek mutatnak sok szimmetriaelemet és jellemzőik tekintetében a rombikus, hexa-, tri- és tetragonális rendszerhez tartoznak.

1.3. A FIZIKAI-MECHANIKAI TULAJDONSÁGOK LEÍRÁSA A TENZORELMÉLET ALKALMAZÁSÁVAL

1.12. ábra. A vizsgált tulajdonság anizotrópia felülete.

Az anyag fizikai-mechanikai tulajdonságainak iránytól való változása jól szemlélhető egy olyan mértani alakzattal (felülettel), melyet úgy szerkeszthetünk meg, hogy a választott koordinátarendszer kezdőpontjából kiindulva felmérünk egy vektort, melynek hatásvonala egybeesik azzal az iránnyal, amelyhez a vizsgált jellemző tartozik, nagysága pedig - tulajdonság mértékegységének megfelelő alkalmas léptékben - az adott irányhoz tartozó jellemző értéke. Az összes lehetséges irányhoz tartozó vektorok végpontja által leírt felületet anizotrópia felületnek nevezzük. Egy fiktív anizotrópia felület első térnyolcadba eső részét láthatjuk az 1.12. ábrán. Ha a vizsgált jellemző szimmetriatulajdonságokat mutat, az az anizotrópia felület valamilyen szimmetriájában nyilvánul meg. Attól függően, hogy az anizotrópia felületen milyen szimmetriaelemek értelmezhetők, az anyag az adott tulajdonság szempontjából - a kristályokhoz hasonlóan - valamilyen kristályrendszerbe sorolható. A három dimenziós térben egy felület a következő általános formában adható meg:

t i x i + t ij x ij + t ijk x ijk + t ijkl x ijkl + t ijklm x ijklm + ... = c ,

1.16*

i,j,k,l,m, ... = 1,2,3 , ahol xi - az r tulajdonságvektor koordinátatengelyekre eső vetületei a vizsgált tulajdonság dimenziójának megfelelő mértékegységben, t i , t ij , t ijk , t ijkl , t ijklm ... - skalár együtthatók, mértékegységük a vizsgált tulajdonságnak megfelelő mértékegység reciproka, ill. annak az alsó indexek számával egyező hatványa, c - tetszőleges, dimenzió nélküli állandó, értéke csak a felület nagyságát befolyásolja, általában 1-nek szokták venni. Az (1.16) polinom egyenlet, ill. a neki megfelelő felület fokszáma megegyezik az összeszorzandó xi komponensek számával. Minél nagyobb a felület fokszáma, annál változatosabb, bonyolultabb az alakja. Csak az első tag síkot, csak a második tag - bizo* * Az összefüggésben alkalmaztuk az Einstein-féle összegzési konvenciót, amely szerint az azonos alsó és felső indexek automatikus öszszegzést jelentenek az indexek lehetséges értékeire. Pl. (1.16) első és második tagja hagyományos írásmódban a következő alakot ölti: tixi = t1x1 + t2x2 + t3x3, tijxixj = t11x1x1 + t12x1x2 + t13x1x3 + t21x2x1 + t22x2x2 + t23x2x3 + t31x3x1 + t32x3x2 + t33x3x3.

43

nyos feltételek mellett - ellipszoidot reprezentál. Magasabb fokszámú tagot vagy tagokat megtartva a felületnek nemcsak domború, hanem homorú részei is lesznek. Vegyünk a vizsgált pontban egy Descartes-féle koordinátarendszert (1.13. ábra). Jelöljük az r tulajdonságvektor komponenseit r = r (x1, x2, x3) = xi-vel (i = 1, 2, 3). Ha ehhez a kiinduló koordinátarendszerhez képest egy elforgatott, vesszős jelű koordinátarendszert választunk, akkor az előbbi tulajdonságvektort az r = r (x1', x2', x3') = xi' komponensek adják meg. A tulajdonságvektor azonban objektív mennyiség, nem függhet attól, hogy milyen koordinátarendszert választunk megadásához, ezért - az ábrának megfelelően - a vektor különböző koordinátarendszerbeli komponensei különböznek egymástól. Nyilvánvalóan léteznie kell olyan számítóeljárásnak, melynek segítségével a vektorkomponensek az egyik rendszerből a másikba átszámíthatók. Ez a kapcsolat a vektoralgebrából jól ismert: xi' = β i'i x i , ill.

xi = β ii' x i' , i = 1,2,3,

1.17/a,b i' = 1',2',3',

ahol β i'i - az i' tengely egységvektorának vesszőtlen (kiinduló) koordináta-rendszerbeli iránykoszinusai, βii' - pedig az i tengely egységvektorának veszszős koordinátarendszerbeli iránycosinuszai. Ezek értelmezését az 1.14. ábrán láthatjuk. 1.13. ábra. Az r vektor komponensei a Az (1.17) összefüggés tulajdonképpen a vesszőtlen és a vesszős koordinátarendvektor egyik lehetséges definíciója, azaz minden szerben. olyan számhármas, amely a koordinátarendszer forgatásakor (1.17)-nek megfelelően transzformálódik, vektor. β ii'

x1

x2

x3

x 1'

β11' = cosα 1'1

β12' = cosα1'2

β13' = cosα1'3

x 2' x 3'

β12' = cosα 2'1 β13' = cosα 3'1

β22' = cosα 2'2 β23' = cosα 3'2

β32 ' = cosα 2'3 β33' = cosα 3'3

1.14/a. ábra. A transzformációs mátrix komponensei a vesszőtlen koordinátarendszerből szemlélve.

44

β i'i x1

x 2'

β1'1 = cosα 11'

β12' = cosα 12'

β13' = cosα13'

x2

β1'2 = cosα 21'

β 2'2 = cosα 22'

β 3'2 = cosα 23'

x3

β1'3 = cosα 31'

β 32' = cosα 32'

β 3'3 = cosα 33'

x1'

x 3'

1.14/b. ábra. A transzformációs mátrix komponensei a vesszős koordinátarendszerből szemlélve. Az anyagtulajdonságok változását leíró anizotrópia felület alakja szintén nem függhet a koordinátarendszer felvételétől. A tetszőlegesen választott, vesszős koordinátarendszerben megadott t i' x i' + t i' j' x i' x j' + t i' j'k' x i' x j' x k' + t i' j'k'l' x i' x j' x k' x l' + t i' j'k'l'm' x i' x j' x k' x l' x m' + ... = c ,

1.18

i',j',k',l',m' = 1',2',3' összefüggés (1.16)-tal teljesen egyenértékű (a c skalár értéke minden koordinátarendszerben ugyanaz). Mivel (1.16) és (1.18) ugyanazt a felületet jelenti, a két koordinátarendszerbeli együtthatók között valamilyen kapcsolatnak kell lennie. Helyettesítsük be (1.16)-ba (1.17/b)-t:

t i β ii' x i' + t ijβ ii'β jj' x i' x j' + t ijk β ii'β jj'β kk' x i' x j' x k' + t ijkl β ii'β jj'β kk' β 11' x i' x j' x k' x l' + + t ijklm β ii'β jj'β kk 'β ll'β mm ' x i' x j' x k ' x l' x m ' + ... = c ,

1.19

i',j',k',l',m', = 1',2',3' , i,j,k,l,m = 1,2,3 . Tegyük fel, hogy (1.18)-ban és (1.19)-ben csak az első tagot tartjuk meg. Írjuk le ezeket hagyományosan:

t i' x i' = t 1' x 1' + t 2' x 2' + t 3' x 3' = c ,

t i β ii' x i' = t 1 (β11' x 1' + β12' x 2' + β13' x ' ) + t 2 (β 1'2 x 1' + β 22' x 2' + β 3'2 x 3' ) + t 3 (β 1'3 x 1' + β 32' x 2' + β 33' x 3' ) =

= (t 1β11' + t 2 β1'2 + t 3β1'3 )x 1' + (t 1β12' + t 2 β 22' + t 3β 32' )x 2' + (t 1β 13' + t 2 β 3'2 + t 3β 33' )x 3' = c .

xi' tetszőleges érték lehet, így a két utolsó összefüggés összehasonlításából azonnal következik az alábbi általános szabály: t i' = t i β ii' ,

1.20/a

A fentiekhez hasonló eljárással bizonyíthatjuk, hogy t i' j'= t ijβ ii'β jj' ,

1.20/b

45

t i' j'k' = t ijk β ii'β jj'β kk' ,

1.20/c

t i' j'k'l' = t ijkl β ii'β jj'β kk'β ll' ,

1.20/d

t i' j'k'l©m' = t ijkl β ii'β jj'β kk'β ll'β mm' ,

1.20/e

i,j,k,l,m = 1,2,3 , i',j',k',l',m', = 1',2',3' . Az együtthatók transzformációjához tehát elegendő a régi és új koordinátatengelyek közötti iránycosinuszok ismerete. Azok a számhalmazok, amelynek elemei az (1.20) szabály valamelyikével transzformálódnak a koordinátarendszer megváltoztatása során, tenzormennyiséget alkotnak. A tenzort a matematikában a következőképpen is definiálják; ha egy mennyiség, ill. annak komponensei a független változók homogén lineáris függvénye, akkor a kapcsolatot megadó egyenletrendszer együtthatói tenzormennyiséget alkotnak. A két definició egyenértékű. A tenzor dimenziója (rendje, rangja) alatt az összeszorzandó iránycosinuszok számát, azaz a tijkl - együtthatók indexeinek számát értjük (tijkl például négy dimenziós tenzor). (1.20/a) és (1.17/a) összehasonlításával megállapíthatjuk, hogy az egy dimenziós tenzor nem más, mint a vektor. A skalárt, amely a koordinátarendszer elforgatásával szemben invariáns, nulla dimenziós tenzornak is szokták nevezni. A tijklm... (i,j,k,l,m, ...= 1,2,3) jelölés magát a tenzort szimbolizálja. Ha az indexeknek egy lehetséges, konkrét értéksort adunk - pl. t12131...-, megkapjuk a tenzor egyik komponensét (elemét). A három dimenziós térben az indexek mindegyike három értéket vehet fel (1,2,3 vagy x,y,z stb.) így az n dimenziós tenzor komponenseinek száma 3n. A skalárt tehát 30 = 1, az egy dimenziós tenzort (vektort) 31 = 3, a két dimenziós tenzort 32 = 9, a három dimenziós tenzort 33 = 27, a négy dimenziós tenzort 34 = 81 adat jellemzi. Az anizotrópia felület akkor adott, ha ismertek az (1.16) polinom együtthatói, azaz a tenzorkomponensek. A fizikai-mechanikai tulajdonságokat tehát tenzor-mennyiségként kezelhetjük, ill. adhatjuk meg. Ha ezek a tulajdonságok összetettek, pontosabban az iránytól való változásuk bonyolult, matematikai leírásukhoz sokszor több, különböző dimenziójú tenzorra van szükség. Az esetek többségében azonban elegendő egy olyan tenzor, melynek dimenziószámát úgy kell megválasztani, hogy az a lehető legvalószínűbben írja le az anyagtulajdonság irányától függő tényleges változását. Az anyagok tulajdonságait leíró tenzorokat anyagtenzoroknak nevezzük, szemben az ún. állapottenzorokkal, amelyek a testet, annak elemi részecskéit ért külső hatások megadására szolgálnak (pl. feszültségtenzorok, deformációs tenzor). Az anyagtenzorok komponenseit kísérleti vizsgálatokkal kell és lehet meghatározni. Azt, hogy egy bizonyos fizikai-mechanikai tulajdonságot hány különböző fajta és milyen dimenziós tenzorral lehet jellemezni, részben elméleti megfontolásokra, részben kísérleti eredményre alapozva lehet megállapítani. Már említettük, hogy minél magasabb az anizotrópia felületét megadó polinom fokszáma, azaz minél magasabb dimenziójú tagot vagy tagokat tartalmaz, annál pontosabban írhatja le a kísérlettel meghatározott anizotrópia felületet. Ugyanakkor arra kell törekedni , hogy a vizsgált tulajdonság megadásához a még elfogadható - a gyakorlat igényeit kielégítő - legkisebb dimenziószámú tenzorokat tartsuk meg, mert az igen nagy számú tenzorkomponens kísérleti meghatározása gazdasági okokból lehetetlen. Ha pl. (1.16) bal oldalán az első hat tagot tartjuk meg, összesen 31+32+33+34+35+36 = 1092 tenzorkomponens ismeretére van szükség. A fizikai-mechanikai tulajdonságok többsége olyan, hogy egy adott irányban és a vele ellentétes irányban a jellemző értéke azonos, azaz r(e) = r(-e) , ahol e - tetszőleges irány egységvektora. A tulajdonságot leképező anizotrópia felületnek szimmetriacentruma van. Ez azonban azt jelenti, hogy az (1.16) polinom egyenletben csak páros kitevőjű tagok szerepel46

hetnek, mert csak ezekre áll fenn a c = f(xi, xj, xk) = = f(-xi, -xj, -xk) egyenlőség. Az anizotrópia felület polinom összefüggése tehát a legáltalánosabb alakban a következő formát ölti: t ijxi x j + t ijkl xi x jx k xl + t ijklmn xi x jx k xl x m x n +... = c ,

1.21 i , j, k , l , m, n , ..., q = 1,2,3

1 2 3 4 5

6

z

és z - tetszőleges pozitív páros szám. Az együtthatók, ill. a tenzorkomponensek értékére logikailag még egy - nem túl szigorú megállapítást tehetünk. Ha a fizikai-mechanikai tulajdonságok semmilyen irányban sem lehetnek végtelen nagyok, az együtthatók által meghatározott felület is csak véges lehet. Ez a követelmény az együtthatók értékére, ill, a köztük lévő arányokra bizonyos megkötéseket ad. Ezek ismerete elsősorban a kísérleti vizsgálatok eredményeinek, azok pontosságának ellenőrzése szempontjából nagy jelentőségű. A tulajdonságtenzorokban szereplő független komponensek száma nemcsak a tenzor dimenziójától, hanem az anyag szimmetriatulajdonságaitól és egyéb feltételek fennállásától is függ. A 2. fejezetben fogjuk megismerni azokat az eljárásokat, melyek segítségével meghatározhatók a független komponensek, ill. a függő komponensek közötti minőségi kapcsolat. A fizikai-mechanikai tulajdonságok többsége egyetlen egy tenzorral jellemezhető. (1.16) bal oldalán tehát csak egyfajta dimenziójú tenzorkomponensnek megfelelő együtthatók szerepelnek. Egy z dimenziós tenzor transzformációs szabálya (1.20) alapján: t i' j' k' ...q' = t i j k ...qβi'iβ jj'βkk' ...βqq' , 12 3

z

12 3...

i,j,k, ... q = 1,2,3 ,

1.22

z

i',j',k', ... q' = 1',2',3' . A fenti összefüggés 3 számú egyenletet reprezentál, melyek mindegyikének jobb oldalán 3q tag található. (1.22)-t használhatjuk tetszőleges tenzorkomponens iránytól függő változásának szemléltetésére, azaz az anizotrópia megszerkesztésére. A transzformáció elvégzéséhez szükséges iránycosinusokat célszerűen az 1.15. ábrán látható módon vehetjük fel. Az a. esetet akkor alkalmazzuk, ha a vizsgált (tenzorkomponens) egy irányhoz vagy egy normálvektorral jellemezhető síkhoz tartozik. A kérdéses irányt, a vesszős koordinátarendszer x1’ tengelyét az eredeti koordinátarendszerből a következő mozgatással kapjuk. Forgassuk el először az x3 tengely körül az x1 és x2 tengelyeket ϕ szöggel, majd az elforgatott x2 tengely körül ϑ nagyságú forgatást végzünk. Az így kapott vesszős koordinátarendszer bármely tengelyének helyzetét a ϕ, és ϑ szögek egyértelműen meghatározzák. A szögek értelmezési tartománya: 0° ≤ ϕ ≤ 360°, 0° ≤ ϑ ≤ 360°. Minden szögértékpár a tér egy q

1.15/a. ábra. Az x 1' tengely speciális megadása.

1.15/b. ábra. Az x 1' normálisú síkban fekvő x 2' helyzete és megadása.

47

Az 1.15/a. ábrának megfelelő βii , transzformációs mátrixa: x1 x2 β ii' x 1' x 2' x 3'

cos ϕ cos ϑ -sin ϕ -cosϕsin ϑ

x3 sin ϑ 0 cos ϑ

sin ϕ cos ϑ cos ϕ -sinϕsin ϑ

Az 1.15/b. ábrának megfelelő β i'i transzformációs mátrixa:

β ii'

x1

x2

x3

x 1' x 2' x 3'

cos ϕ cos ϑ sin ϕ sin ψ - cos ϕ sin ϑ cos ψ sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ϑ sin ψ

sin ϕ cos ϑ -cos ϕ sin ψ - sin ϕ sin ϑ cos ψ -cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ϑ sin ψ

sin ϑ cos ϑ cos ψ -cos ϑ sin ψ

irányát, pl. az x1' tengely irányát jelöli ki. Az 1.15. ábra felső táblázatában összefoglaltuk a βii' transzformációs mátrix komponenseit. Ezeket (1.22)-re alkalmazva, megkapjuk az adott jellemző anizotrópiafelületének egyenletét:

t i' j'k'...q' = f (ϕ ,ϑ ) .

1.23/a

Ez az iránymegadás azzal az előnnyel jár, hogy (1.22) jobb oldalának 3q tagja közül mindazok kiesnek, amelyek legalább egyszer tartalmazzák a β32' = 0 iránycosinust. Ezt a módszert célszerű alkalmazni a húzó- és nyomórugalmassági moduluszok, a húzó- és nyomószilárdságok iránytól függő változásának meghatározásánál. Ha egy vizsgált tulajdonság nem egyszerűen egy irányhoz, ill. egy síkhoz tartozik, hanem a síkon felvehető irányra is jellemző (ilyenek pl. a nyírórugalmassági moduluszok vagy a nyírószilárdságok, ahol nemcsak azt a síkot kell megadni, amelyen a nyírófeszültség hat, hanem e síkban a nyírófeszültség hatásvonalának irányát is, de ilyen mennyiségek az ún. interakciós jellemzők is), célszerűbb a koordinátarendszert a b. esetnek megfelelően felvenni. Itt a ϕ, ϑ szögek megadják az x1’ tengely, ill. a rá merőleges sík helyzetét. A másik két tengely természetesen benne van ebben a síkban (ABC sík). Az x2’ tengely helyzetét a CD egyenestől az óramutató járásával ellentétesen felmért ψ szöggel adhatjuk meg. A transzformációs mátrix komponenseit az 1.15. ábra alsó táblázatában foglaltuk össze. Az iránycosinuszokat (1.22)-be helyettesítve, megkapjuk az anizotrópia felület egyenletét:

t i' j'k'...q' = f (ϕ , ϑ , ψ ) ,

1.23/b

amely ábrázolástechnikailag csak úgy használható, ha valamelyik szöget rögzítjük. Példaként Askenazi (1972) munkája alapján bemutatjuk egy üvegszálerősítésű műanyag húzórugalmassági moduluszának anizotrópia felületét (1.16. ábra). Könnyű belátnunk, hogy bár a felület igen szemléletes képet nyújt a tulajdonság irány szerinti változásáról - a felület megszerkesztése, majd felhasználása ábrázolástechnikai okokból (a térbeli alakzat síkbeli ábrázolásánál a látszólagos megrövidülések az iránytól függnek) meglehetősen bonyolult és kényelmetlen. Az anizotrópia felületeket viszonylag gyorsan csak szerkesztő sablonnal lehet megrajzolni.

48

Sokkal célszerűbb a tulajdonság irányától függő változását - az anizotrópia felület polárkoordinátás ábrázolása helyett - Descartes-féle koordinátarendszerben bemutatni, ahol a vízszintes tengelyekre a ϕ és ϑ szögek kerülnek, a függőleges tengelyre pedig a választott tulaj-

1.16. ábra. Üvegszál erősítésű műanyag húzó-rugalmassági moduluszának anizotrópia felülete (Askenazi, E.K. alapján).

1.17. ábra. A húzórugalmassági modulusz anizotrópia diagramja.

49

donság értéke. A tulajdonságok ilyen formában történő ábrázolását anizotrópia diagramnak nevezzük. A fizikai-mechanikai tulajdonságok többségének centrális szimmetriája miatt elegendő a 0°≤ ϕ ≤ 360 és 0°≤ ϑ ≤180° tartomány feletti leképzés (magasabb szimmetria esetén még kisebb szögtartományok is elegendőek lehetnek). A 1.17. ábrán az előbbi üvegszálerősítésű műanyag húzórugalmassági anizotrópia diagramját látjuk. Az anizotrópia felület alapján azonnal megállapíthatjuk, hogy az anyag rugalmassági modulusz szempontjából a rombikus rendszerbe tartozik, így elegendő az anizotrópia diagram első térnyolcadba eső irányainak ábrázolása (0° ≤ ϕ , ϑ ≤ 90°). Az ábrázolásmód legnagyobb előnye, hogy a vízszintes sík ϕkoordinátapontjában függőlegesen felmért tulajdonság minden pontban azonos léptékű. Az anizotrópia diagramoknak ez a tulajdonsága előnyösen használható a kísérleti és elméleti eredmények összehasonlítására, annak eldöntésére, hogy az adott tulajdonság leírásához helyesen lett-e megválasztva a tenzor dimenziószáma.

1.4. A TERMÉSZETES FAANYAG ANIZOTRÓPIÁJA MINT A BIOLÓGIAILAG KIALAKULT MIKRO- ÉS MAKRO-SZERKEZET KÖVETKEZMÉNYE Természetes faanyagnak nevezzük a fák törzsének, ágának, gyökerének kéregtől megfosztott részét, ha annak geometriai méretei elérik a műszaki felhasználás szempontjából szükséges nagyságot. A századunkban egyre inkább terjedőben lévő ún. faalapú anyagok (kompozitok) alapanyagként nemcsak a természetes faanyag, hanem a kisebb geometriai méretű elfásodott növények (bokrok, cserjék, elfásodott szárú egynyári növények), sőt a kéreg és egyéb ipari és mezőgazdasági melléktermékek is szóba jöhetnek.

1.4.1. A FAANYAG KÉMIAI ÖSSZETÉTELE Az élő fa anyaga biológiai növekedés eredménye, így a természetes faanyag fizikaimechanikai tulajdonságai igen sok tényező (genetikai hatások, a növekedés külső és belső körülményei; talaj, éghajlat stb.) együttes hatásának következtében alakulnak ki. A faanyag alapvető tulajdonságait azonban elsősorban az őt alkotó kémiai anyagok szerveződése, struktúrája határozza meg. A fák, bokrok, cserjék testét a növény szövetei hozzák létre sejtek formájában. Ezek feladata a növény élettani funkcióinak biztosítása. Ezek közül a legfontosabbak a víz- és tápanyagszállítás, tápanyagraktározás és a szilárdítás. A növénynek az a képessége, hogy az élete folyamán fellépő mechanikai hatásoknak ellenáll, teste viszonylag szilárd vázat alkot, teszi alkalmassá a műszaki feladatokban való felhasználásra. A vágásérett növényekben az élő sejtek száma az élettelenekhez képest elhanyagolhatóan kicsi, így az élő sejtek sejtnedvében található kémiai vegyületek - fehérjék, keményítők és egyéb szerves és szervetlen anyagok - szilárdságra gyakorolt, közvetlen hatása jelentéktelen. A szilárdítási feladatokat a növény élő és élettelen sejtjeinek fala végzi. A sejtfalat alkotó kémiai elemek részarányában a különböző fajoknál nincs jelentős eltérés. A fő alkotóelemek a szén, az oxigén és a hidrogén. Ezek részaránya 50%, 44% és 6%. Találhatók ezen kívül igen kis mennyiségben fémes (B, Mn, Cr, Fe) és nemfémes (N, P, S) elemek is, ezeknek szilárdságra gyakorolt hatása azonban kicsi, ill. közvetett. A sejtfalat alkotó elemek bonyolult szerves vegyületeket alkotnak. Ezek két nagy csoportja a poliszacharidok és a lignin. A szilárdítás szempontjából az egyik legfontosabb poliszacharid a cellulóz. Mennyisége lombos fáknál 45%, fenyőféléknél 41% körül mozog. A cellulóz a fotoszintézis végterméke-

50

ként keletkező glukóz (szőlőcukor) molekulák polimerizációjával jön létre, a polimerizáció foka minimum 1000, de a 15000-20000-et is elérheti. Az egy dimenziós, fonal alakúnak tekinthető cellulózmolekula szerkezeti képlete az 1.18. ábrán látható.

1.18. ábra. A cellulóz lánc felépítése. A sejtfal alkotóelemeinek mintegy 30%-át teszi ki a hemicellulóz, amely két fajta szénhidrátból - lombos fáknál pentózokból (főleg xilózból), fenyőféléknél hexózokból (főként mannózból) - épül fel. A hermicellulóz láncai rövidebbek (polimerizációs fok 50 - 400 -1000), mint a cellulózé, a láncok el is ágazhatnak. Viszonylag kis mennyisége ellenére fontos szerepe van a sejtek összekapcsolásában, öszszeragasztásában a pektinnek, amely karboxilcsoportot tartalmazó hemicellulózok metilalkohollal észterizálódott és Ca- vagy Mg-hidakon keresztül térhálósodott poliszacharidja. A sejtfal harmadik igen fontos anyaga a lombos fáknál kb. 22%-ot, a tűlevelűeknél kb. 28%-ot kitevő lignin. Ez egy három dimenziós polimer, amely főként három fajta fenolmolekula változatos összekapcsolódásának eredménye. Találhatók ezen kívül még a sejtfalban kísérőanyagok (terpének, éterikus olajok, gyantasavak, zsírok, viaszok, cserzőanyagok, alkaloidák stb.), valamint ásványi anyagok, melyek szilárdításra gyakorolt hatása csekély vagy csak közvetett (pld. fajsúlynövelő hatásukon keresztül). Ezek mennyisége már erősen fafajfüggő, de általában 2-5%. A sejtfal szerkezeti felépítése szempontjából a betétezett anyagok közé sorolható. A cellulóz molekulák által alkotott vázrendszer a betétanyag, amely az amorf szerkezetűnek tekinthető hemicellulóz és lignin részecskék közé ágyazódik be.

1.4.2. A SEJTFAL SZERKEZETE Egy 12000 polimerizációs fokú cellulóz molekula hossza kb. 6000 nm, keresztmetszetének szélessége a legtávolabbra kinyúló karokat figyelembe véve 0,85 nm. E hosszú fonalszerű molekulák általában nem egyesével, egymástól elkülönülve helyezkednek el a sejtfalban, hanem egymással párhuzamosan rendeződve kötegeket, ún. elemi fibrillákat alkotnak. 50-80 fonalmolekula alkotja ezt a legkisebb elemi köteget. Ebben a párhuzamos szövedékben a cellulóz molekulalánc bizonyos szakaszai a környező molekulaláncokkal kristályszerkezetet alkot. E kristályos részekben a párhuzamosan futó molekulaláncok atomja szabályos rendbe szerveződnek. A cellulózkristály egy elemi cellájának sematikus képét az 1.19. ábrán láthatjuk. Az elemi cella egy paralelogramma alapú prizma, a paralelogramma oldalainak hossza 0,835 nm és 0,79 nm, a prizma magassága 1,025 nm. A magassági élek (b irány) párhuzamosak a cellulózmolekulák hossztengelyeivel. A prizma magassági élein két glükóz molekula, az ún. cellobióz helyezkedik el. A szemközti paralelogramma középpontjait összekötő egyenesen pedig a magasság 1/4-ével eltolt helyzetű cellobióz található. Ha a cellobióz első oxigén

51

atomját tekintjük vonatkoztatási pontnak, akkor a cellulóz kristály primitív cellájának alapvektorai a = 0,4175 nm, b =0,2562 nm, c =0,395 nm, α = γ = 90° , β = 83° . Ezek szerint a cellulóz kristály a monoklin rendszerbe tartozik. Röntgensugár diffrakcióval kimutatható, hogy a sejtfal összes cellulózának 60-70%-a alkot kristályos szerkezetet. A kristályos szerkezetű cellulózt Nägeli (F. Kollmann, 1951) után micellának is nevezik. A kristályos részek hossza 50-100 nm, a kristályba nem szerveződött, amorf szakaszok hossza 20-60 nm. A kristályos vagy amorf részeknek nem kell kiterjednie az elemi fibrilla teljes keresztmetszetére. Egy keresztmetszeten belül lehetnek kristályos és amorf területek is. Az elemi fibrilla keresztmetszeti mérete feltehetően 3-5 nm, hossza pedig - mivel benne a cellulóz szálak egymás után is elhelyezkedhetnek - a cellulóz molekula hosszának a többszöröse is lehet. Az elemi fibrillában futó cellulózláncok között oldalirányban másodlagos kötések alakulnak ki. A kristályos részben másodlagos kötések szabályos szerkezeti szimmetriát mutatnak és számuk lényegesen több, mint az amorf részben. A kristályos szerkezet okozza a cellulóz igen nagy kémiai stabilitását és kedvező szilárdsági tulajdonságait. A másodlagos kötések biztosítják, hogy az elemi fibrillának nemcsak hossztengelyével párhuzamosan, hanem arra merőlegesen is nagy a szakítószilárdsága. Ha megvizsgáljuk a cellulóz elemi cellájának méreteit, valamint a benne szereplő atomok méreteit (a C-atom kovalens rádiusza 0,077 nm, az Oatomé 0,073 nm, a H-atomé 0,032 nm) és figyelembe vesszük ezek szerkezeti elhelyezkedését, megállapíthatjuk, hogy a 0,32 nm átmérőjű vízmolekula a kristályos részbe nem fér be, vizet tehát nem vehet fel. Az amorf részben, ahol a cellulózmolekulák ugyan többé-kevésbé párhuzamosan, de lényegesen lazábban állnak, a vízmolekulák korlátozott számban beépülhetnek, ami lehetővé teszi az amorf részek kis mértékű dagadását.

1.19. ábra. A kristályba szerveződő cellulóz (micella) szerkezeti felépítése (monoklin kristályrendszer). Az elemi fibrillák egymással párhuzamosan elhelyezkedve sűrű szövedéket alkotnak, a mikrofibrillákat. Egy mikrofibrillában egyes szerzők (J. Bodig - B.A. Jayne 1982) szerint 3-5, mások (F. Kollmann, 1951) szerint 20-30 elemi fibrilla található. A mikrifibrillákban az elemi fibrillák olyan közel vannak egymáshoz, hogy az érintkező felületeken kialakulhatnak a má52

sodlagos kötések, sőt a kristályos szerkezet az elemi fibrillák határain is túlléphet. A mikrofibrillán belül az elemi fibrillák között hézagok, rések találhatók. Ezeknek az intermicelláris részeknek a szélessége részben megegyezik az elemi fibrilla amorf részének cellulózláncai közötti távolsággal, de annál nagyobb is lehet (0,4-5 nm). Az intermicelláris résekbe hemicellulóz-, lignin- és vízmolekulák, valamint egyéb - a rés szélességénél kisebb méretű - anyagok épülhetnek be. A mikrofibrillák keresztmetszeti mérete 10-20 nm között mozog. Hossza pedig az elemi fibrilla hosszának sokszorosa lehet, mert az elemi fibrillák is kapcsolódhatnak egymás után.

1.1. táblázat. A legfontosabb sejttípusok jellemzői. Facsoport Tűlevelű Sejttípus Tracheida Parenchym Libriform Részarány 85-90 5-12 37-70 a térgogat %-ban Hossza, l 2,5-7,0 0,02-0,2 0,6-2,3 (mm) Szélessége, t 25-80 0,005-0,1 10-30 tang. irányban (µm) Szélessége,rt 17-60 0,005-0,1 10-30 sugár irányban (µm) l/t 45-105 2-10 1-11 l/r 60-140 2-10 40-100 Sejtfal2-12 2-4,5 1-12 vastagság (µm)

Lombos Edény 6-55

Parenchym 10-32

0,2-1,3

0,02-0,2

20-500

0,005-0,1

20-350

0,005-0,1

3-10 0,5-25 1,6-20

2-10 2-10 2-4,5

A mikrofibrillák közötti tér, az intermikro-fibrilláris tér, szélességi mérete 10 nm fölött van. Ezt a teret a hemicellulóz, a lignin és egyéb sejtfalat alkotó anyagok töltik ki. A mikrofibrillák a sejtfal egyéb alkotóival újabb kötegekbe (fibrillákba) vagy vékony csíkokba, szalagokba (laminákba) szerveződnek s ezekből épülnek fel a sejtfal egyes rétegei. Ezeknek az újabb egységeknek sok kutató nem tulajdonít különösebb jelentőséget, ezeket egyszerűen úgy tekintik, mint a sejtfal mechanikai roncsolása során lehasadó mikrofibrillák és a köztük lévő térben található töltőanyagok egy kötege. Íly módon a sejtfalrétegek alapvető egységei a vázanyag szerepét betöltő mikrofibrillák és a töltőanyagnak tekinthető, amorf jellegű hemicellulóz és lignin részecskék. A mikrofibrillák anizotrop anyagként viselkednek, fizikaimechanikai tulajdonságaik nem egyformák a mikrofibrilla hossztengelye irányában és az arra merőleges sík irányában. A hemicellulóz molekulák rendezetlen elhelyezkedése, a lignin térhálós molekulaszerkezete miatt a töltőanyag jó közelítéssel izotropnak vehető. Megjegyezzük, hogy a vízmolekuláknak az intermicelláris és az intermikrofibrilláris résekbe történő be- és kilépése okozza a sejtfal s ezzel együtt a faanyag dagadását és zsugorodását. Jóllehet a különböző fafajokban rendkívül változatos alakú és funkciójú sejtek találhatók, a szilárdítási feladatokat ellátó sejtek falának belső felépítése, szerkezete hasonló. A legfontosabb sejttípusok jellemzőit a 1.1. táblázatban láthatjuk. A táblázat adatai természetesen csak

53

tájékoztató jellegűek, sőt az adott sejtnek a fatörzsben elfoglalt helyétől függően jelentős eltérések adódhatnak.

1.20. ábra. A sejtfal rétegződése. A sejtfalat az élő sejt, ill. annak citoplazmája hozza létre. Először az ún. elsődleges (primer) sejtfal alakul ki, jele P. A primer sejtfal addig nő, míg a sejt eléri a végleges alakját. A szomszédos sejtek a középlamellán keresztül kapcsolódnak egymáshoz, jele M. A középlamella pektinanyaga ragasztja össze az érintkező felületeket. Ha a sejt elérte végleges méretét, a sejtfal vastagodni kezd és fokozatosan kialakul a másodlagos (szekunder) sejtfal. Ez a három, jól elkülöníthető rétegre bontható, jelük S1, S2, S3, sőt néha a köztük lévő, átmeneti szakaszok is megkülönböztethetők, jelük S12, S23. A szekunder sejtfalat még egy vékony, kocsonyás jellegű záróréteg határolja el a sejtüregtől (lumen). Az 1.20. ábrán néhány szomszédos sejt sejtfalrétegeinek sematikus felépítését láthatjuk. Az egyes sejtfalrétegek egyrészt alkotóik összetételének arányában, másrészt a mikrofibrillák elhelyezkedésében különböznek egymástól. Az egyes rétegek vastagsága a fafajtól és a sejtfalnak a fában elfoglalt helyétől függ. Átlagértékként azonban elfogadhatjuk, hogy a teljes sejtfalvastagságnak az 5%-át az M+P rétegek, 15%-át az S1, 72%-át az S2 és 8%át az S3 réteg teszi ki. A záróréteg vastagsága elhanyagolható, szilárdító szerepe egyébként is jelentéktelen. A 1.21. ábrán a sejtfal fő alkotóelemeinek tömegeloszlását láthatjuk tűlevelű faanyagok esetében. A közép- és primer lamellában a cellulóz aránya alacsony, átlagosan 10%. E két réteg elsősorban töltőanyagból áll. A szekundersejtfalak cellulóztartalma lényegesen nagyobb. A legmagasabb, 50% körüli értéket azonban a legvastagabb rétegben, S2-ben éri el. Vastagságánál fogva éppen ennek a rétegnek van a szilárdításban legfontosabb szerepe. Itt tehát a vázanyag és a töltőanyag közel azonos tömegarányban fordul elő. Hasonló jellegű görbék rajzolhatók a lombos faanyagokra is. A lombosokra jellemző alacsonyabb hemicellulóz- és főleg

54

1.21. ábra. A sejtfal fő alkotóelemeinek tömegeloszlása fenyőknél.

1.22. ábra. Két szomszédos sejt falának rétegződése és a mikrofibrillák elhelyezkedése. 1.2. táblázat. A virginiai fenyő tracheidáinak sejtrétegeiben meghatározott mikrofibrilláris szögek. Vastagság Tangenciális irány Radiális irány P 16 S1 16 ±(78-80) ±(78-82) S12 54-57 44 S2 76 17-24 30-35 S23 53-57 42-45 S3 8 ±(73-75) ±(75-77) % fok fok 55

lignintartalom miatt azonban a görbék a szekunder sejtfalrétegben 5-10%-kal felfelé eltolódnak. A sejtfalrétegek közötti legfontosabb különbség a mikrofibrilláknak a sejtek hossztengelyével bezárt szögében van. A primér sejtfalban a mikrofibrillák rendszertelenül helyezkednek el az ágyazóanyagban, egy ,,filcelődött" szövedéket alkotva. A szekunder sejtrétegben a mikrofibrillák hossztengelye mindig valamilyen kitüntetett, a rétegre jellemző iránnyal párhuzamos. Az S1 réteg mikrofibrillái a sejt hossztengelyével α1 = ±80°-os szöget zárnak be, egy kereszthálós szövedékréteget hozva létre. Az S2 rétegben nincs kereszthálószerű szerkezet. A mikrofibrillák az egész rétegben párhuzamosan futnak a sejt hossztengelyével α2 = 20-30°-os szöget alkotva. Az S3 réteg ismét kereszthálós. A mikrofibrillák szöge α3 = ±75° körül mozog. A három fő réteg átmeneti szakaszain a fibrillák szöge 45-50°. Az 1.22. ábrán sematikusan ábrázoltuk két szomszédos sejt falának rétegeződését és a mikrofibrillák irányát. Az 1.2. táblázatban pedig a (E. Klingbeil, 1966) alapján bemutatjuk a virginiai fenyő tracheidáinak sejtrétegeiben kísérlettel meghatározott mikrofibrilláris szögeket. A mérések azt mutatták, hogy a sejtfalrétegekre jellemző szögek annak is függvényei, hogy a réteg a törzs anatómiai rendszerében milyen helyzetet foglal el, ugyanakkor az évgyűrűszerkezet, ill. az azon belüli rétegeződés (korai, átmeneti, késői pászta) hatása elhanyagolható. Egy sejt falának M, P, S1 és S3 rétegei a fentiek alapján olyan belső szerkezeti felépítéssel rendelkeznek, amely a sejt geometriai középpontján átmenő hossztengelyre és az arra merőleges síkra szimmetrikus. Egyedül az S2 réteg, amely a szilárdítás szempontjából a legjelentősebb, aszimetrikus. Ez azzal a következménnyel jár, hogy amennyiben a környezetétől elválasztott egyetlen egy sejtet a hossztengelyével párhuzamos normálerő terheli, akkor az nemcsak megnyúlni vagy megrövidülni fog, hanem - a mikrofibrillák ferde elhelyezkedése miatt el is csavarodik. Ha azonban a szomszédos sejtek érintkező sejtfalait megvizsgáljuk, megállapíthatjuk, hogy azokban az S2 rétegek mikrofibrilláinak dölése éppen ellentétes (1.22. ábra). A mikrofibrilláris szerkezet ilyen fajta kialakulása a több sejtből álló fatestnek nagy nyírási merevséget biztosít és ennek köszönhetően a fatest a rostsejtek hossztengelyével párhuzamos normál-igénybevétel hatására nem szenved csavarási alakváltozást. Ennek a jelenségnek a fatest mechanikai tulajdonságai szempontjából igen nagy szerepe van.

1.4.3. A FATEST SZERKEZETI FELÉPÍTÉSE Műszaki feladatok ellátására alkalmas természetes faanyag a fa törzséből, esetleg vastagabb ágaiból nyerhető. A többé-kevésbé egyenes növésű törzset csonkakúp vagy, ha a sudarlósság nem nagy, henger alakúnak tételezhetjük fel. Vágjunk ki a törzs közelítő alakjából, az 1.23/a. ábrának megfelelően, egy ék alakú szeletet. Ezt a szeletet az 1.23/b. ábrarészen kinagyítva is megrajzoltuk. Vegyünk fel ebben a testben (vagy ami ugyanaz, a törzsben) tetszőlegesen egy P pontot. E pontnak az ún. természetes koordinátarendszerét a következő módon kell felvenni. Az első tengely a P ponton átmenő, a törzs hossztengelyével párhuzamos irány, a longitudinális irány, jele L. A második tengelyt sugáriránynak nevezzük, jele R. A sugárirány merőleges a longitudinális irányra és metszi a törzs hossztengelyét. A harmadik tengely a tangenciális vagy érintő tengely, jele T, az L,R irányokra merőleges, azokkal (L, R, T sorrendben) jobbraforduló rendszert alkot. A tengelyek által alkotott síkoknak is van nevük, az L,R-sík a sugármetszet, az L,T-sík a tangenciális vagy érintő metszet, az R,T-sík a bütümetszet. Ha a P pont éppen a törzs hosszanti szimmetriatengelyére esik, az R és T irány nem értelmezhető. A szimmetriatengely pontjai szinguláris pontok.

56

1.23. ábra. A fatest biológiai szerkezete. A fatest szerkezeti felépítését legszemléletesebben biológiai növekedésének ismeretében érthetjük meg. Az 1.23/b. ábrán egy három éves törzs kinagyított szélét látjuk. A törzs vastagsági növekedése a kambium réteg által létrehozott új sejtek következménye. A kambium kifelé háncssejteket, befelé fasejteket hoz létre. Az élő háncssejtek fontos szerepet játszanak a táplálék- és vízszállításban. Az elhalt és összenyomódott háncssejtek alkotják a törzs külső kérgét, amely védi az élő szervezetet a külső behatolásoktól. A befelé termelt fasejtek alkotják a műszaki felhasználásra legalkalmasabb fatestet, azaz a természetes faanyagot. A fatestben a törzs hossztengelyével párhuzamosan helyezkednek el azok a hosszúra nyúlt sejtek, amelyek a függőleges irányú tápanyag- és vízellátást végzik, fenyőféléknél a tracheidák, lombosoknál főként az edények, ill. a függőleges irányú szilárdítás feladatát látják el, fenyőféléknél a tracheidák, lombosoknál elsősorban a libriform sejtek (más néven szklerenchym sejtek). Mint az 1.1. táblázatból megállapíthatjuk, ezek a sejtek teszik ki a fatest anyagának 70-90%-át. Az egy év alatt létrehozott sejtek keresztmetszete nem egyforma azokon a földrajzi területeken, ahol a különböző évszakok nem azonos feltételeket biztosítanak a növekedéshez. Így pl. tavasszal, ill. az esős évszakban, a felfokozott élettevékenységek idején, nagy sejtüregű, viszonylag vékony falú sejtek képződnek. Nyáron, ill. a száraz időszakban kisebb üregű, vastagabb falú sejtek keletkeznek. Ez az évenkénti periodicitás általában szabad szemmel is jól látható a törzs különböző metszetein, a bütümetszeten koncentrikus körök, az ún. évgyűrűk, a tangeciális metszeten a hossztengellyel párhuzamos csíkok formájában. Egy évgyűrű tehát általában egy korai és egy késői pásztára különíthető el.

57

1.24. ábra. A fatest anatómiai főirányai és anatómiai fősíkjai. Az átmenet a korai pásztából a későibe többnyire egyenletes, sokszor átmeneti szakaszt is megkülönböztetnek, a későiből a koraiba viszont ugrásszerű. A hirtelen változásnak megfelelő réteg az, ami általában szabad szemmel is jól látszik. A két pászta fizikai-mechanikai tulajdonságaik tekintetében jelentősen eltérhet egymástól. Trópusi fafajoknál az évgyűrűszerkezet nem vagy csak igen gyengén észlelhető. A kambium által létrehozott fasejtek másik része a törzsben horizontálisan helyezkedik el. Ezek az ún. bélsugarak egy vagy több sejtsorból állnak, a szimmetriatengelyben elhelyezkedő bélből vagy a fatest külsőbb részéből indulnak ki és mindig radiális irányban futnak. A bütü- és radiális metszeten - ha láthatók - vonalak, vékony csíkok formájában jelennek meg. A tangenciális metszeten a bélsugár keresztmetszetének megfelelő alakú keskeny foltok, rövid vonalak figyelhetők meg. A bélsugaraknak is jelentős szilárdítási szerepük van. Mennyiségük, jellegük határozza meg a faanyag R és T irányaihoz tartozó tulajdonságainak egymáshoz való viszonyát. Most már látjuk, hogy a P pontban definiált koordinátarendszer tengelyei fontos, biológiai szempontból értelmezhető irányokat reprezentálnak. A longitudinális tengely a szilárdító rostok és edények hossztengelyének iránya, röviden rostirány. A bélsugarak a sugáriránnyal párhuzamosak, a tangenciális irány pedig az évgyűrűk köréhez húzható érintő iránya. A fentiek miatt a P font természetes koordinátarendszerét a faanyag anatómiai főtengelyrendszerének, a tengelyeket anatómiai főtengelyeknek, az általuk alkotott síkokat pedig anatómiai fősíkoknak nevezzük. A természetes koordinátarendszert a gyakorlatban mindig az anatómiai főirányok alapján veszik fel, hiszen csak ritkán áll az egész törzs rendelkezésre. Egy adott pont környezetében felvett elemi hasábon azonban az anatómiai főirányok mindig megállapíthatók (1.24. ábra). Ha a P pont környezetében felvett hasáb véges méretű, de nem túl nagy, akkor - az 1.24. ábrának megfelelően kivágott, az anatómiai főirányokkal párhuzamos élű - hasáb minden pontjában jó közelítéssel a P ponton átmenővel párhuzamos természetes koordinátarendszer jelölhető ki. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy ilyen kis méreteken belül a faanyag sudarlóssága és az évgyűrűk görbültsége elhanyagolható. A természetes faanyag anatómiai fősíkjainak ábrázolásánál a továbbiakban is az 1.24. ábrán látható vonalrendszert fogjuk alkalmazni.

58

1.4.4. A TERMÉSZETES FAANYAG MODELLJE Az előző három alfejezetben bemutatott anyagszerveződést figyelembe véve a természetes faanyag kimondottan inhomogén és anizotrop. Az inhomogenitás egyrészt a szilárdítás legfontosabb elemének, a sejtfal inhomogén szerkezeti felépítésének a következménye (hiszen egy betétezett anyagról van szó), másrészt, még ha a sejtfalat majdnem homogén, ún. kvázihomogén anyagnak tekintjük is, a sejtes szerveződés már makroszinten okoz egyenlőtlen anyagelosztást. Végső soron a fatest sejtüregekből és a sejtfalak többé-kevésbé rendezett szövedékéből álló vázszerkezet, amely szigorúan véve mikro- és makroszinten is inhomogén. A fatestben vannak azonban egyéb, inhomogenitást növelő rendezetlenségek, ,,hibák" is. A hibák nagy része az élő fa természetes reakciója a külső körülményekre a túlélés esélyeinek növelésére, ezért ezek a rendezetlenségek csak az inhomogenitás növelése tekintetében nevezhetők hibáknak, az élő fa szempontjából erények. Fokozza az inhomogenitást az évgyűrűn belüli korai és késői pászta elkülönülés, a törzs keresztmetszetének szijácsra és gesztre való szétválása, a kihullott vagy benőtt ággöcs jelenléte, a nyomottfa vagy a húzottfa kialakulása. Nyilvánvaló, hogy ezt a bonyolult inhomogenitást tökéletesen leíró modell az elméleti számításokat igen megnehezítené. A műszaki gyakorlat tapasztalatai azt mutatják, hogy bizonyos esetekben - éppen a felhasznált faelemek méretei vagy az összetett keresztmetszet-kialakítás következtében - a homogén anyagmodellen alapuló elméleti számítások elfogadható eredményt adnak. Előfordulhat azonban olyan eset is, amikor valamilyen folyamat, jelenség pontosabb leírása szempontjából összetettebb modellt kell alkalmazni. Ilyenkor a határozott évgyűrűszerkezetet mutató fafajoknál réteges felépítésű modellt használnak a korai és késői pászták lamelláinak megfelelően (pl. szilárdsági, sajátfeszültségi, technológiai (szárítás, forgácsolás) problémák leírásánál). Az anizotrópia tekintetében az a kérdés, hogy a faanyag fizikai-mechanikai tulajdonságai alapján a kristályoknál definiált rendszerek melyikébe tartozik. A fatest anatómiai felépítésének ismeretében jó közelítéssel elfogadhatjuk azt a megállapítást, hogy a faanyag szerkezeti rendszere szimmetriatulajdonságokat mutat. Valamely P pont szűk környezetében felvett térfogatelemnek - az 1.24. ábrának megfelelően - az anatómiai főirányok 2-fogású forgatótengelyei, ill. 2-fogású inverziós forgatótengelyei (1.14) alapján ez egyben azt jelenti, hogy az anatómiai fősíkok szimmetria (tükröző) síkok. A faanyag ,,elemi cellája", ami természetesen csak egy fizikai tartalom nélküli, szemléletes fikció, tehát egy olyan derékszögű hasábként (téglatestként) képzelhető el, melynek élei az anatómiai főirányokkal párhuzamosak és az élhosszak különbözők. Ha az élhosszakat a, b, c betűvel, az élek közti szögeket α-, β-, γ-val jelöljük, akkor felírható, hogy a ≠ b ≠ c ≠ a , α = β = γ = 90° , ami a rombikus kristályrendszer jellemzője. A rombikus jelző helyett a szakirodalomban inkább az ortogonálisan anizotrop, röviden ortotrop elnevezést szokták alkalmazni. A rombikus szimmetriával rendelkező szerkezeti felépítés feltehetően maga után vonja, hogy bizonyos fizikai-mechanikai tulajdonságok szintén rombikus szimmetriát mutatnak, ill. a Neumann-elv értelmében a rombikusnál is magasabb fokú szimmetriával rendelkeznek. A különböző fafajok faanyagával végzett kísérletek alátámasztják, hogy - legalábbis a számunkra legfontosabb mechanikai tulajdonságok, a rugalmassági és szilárdsági jellemzők szempontjából - az ortogonális anizotrópia feltételezése helyes. A faanyag anizotrop tulajdonságainak leírásánál néha még egyszerűbb modellt is alkalmazunk. Ezt az teszi lehetővé, hogy a longitudinális irányhoz tartozó tulajdonságok általában lényegesen eltérnek a sugár- és érintő irányhoz tartozóétól, ill. a rostirányra merőleges síkhoz tartozó irányokban a tulajdonságok nem különböznek egymástól jelentősen, bizonyos fafajoknál meg is egyezhetnek. Lehetőség nyílik tehát arra, hogy az R,T-síkban a faanyagot izotropnak tekintsük. Az ,,elemi cella" olyan körhenger, melynek alkotói a faanyag rostirá-

59

1.25. ábra. Görbe vonalú anizotrópia.

1.26. ábra. A, B jelű faelem: egyenes vonalú anizotrópia. C, D jelű faelem: görbe vonalú anizotrópia.

1.27. ábra. Hengeres anizotrópia.

nyával párhuzamosak. Ezt az anyagmodellt transzverzálisan izotropnak, röviden transzotropnak nevezik és a fő előnye - a rombikus kristályrendszer érvényben maradása mellett -, hogy egy adott tulajdonság leírásához az ortotropéhoz képest kevesebb független anyagállandót tartalmaz. Napjainkban a természetes faanyagra transzotrop anyagmodellt csak a kevésbé igényes számításoknál használnak. Már említettük, hogy ha a fatest geometriai méretei - főleg sugár- és érintő irányban - elegendően kicsinyek, akkor a különböző pontjaihoz tartozó természetes koordinátarendszerek egyszerű transzlációval fedésbe hozhatók (azaz, ha egy pont természetes koordinátarendszerét önmagával párhuzamosan eltoljuk egy másik pontba, akkor éppen a második pont természetes koordinátarendszerét kapjuk). Ilyen esetben egyenes vonalú anizotrópiáról beszélünk. Ha a fatest mérete elér egy bizonyos értéket, akkor valamely pont természetes koordinátarendszerét egy másik pont természetes koordinátarendszerébe csak a transzlációt követő rotációval lehet átvinni. Ezt az esetet görbe vonalú anizotrópiának nevezzük. Ez a helyzet a viszonylag szabálytalan növésű fák törzsének esetében, főleg, ha az erősen sudarlós, az évgyűrűk pedig sza-

60

1.28. ábra. A fatest és a faalapú anyagok fiktív elemi cellája. bályos (1.25/a. ábra) vagy kevésbé szabályos íveket (1.25/b. ábra), esetleg teljesen szabálytalan görbéket (1.25/c. ábra), alkotnak. Ha a fa törzse jó közelítéssel henger alakú és az évgyűrűk is koncentrikus köröknek tekinthetők, ún. hengeres anizotrópiával van dolgunk, amely az elméleti számítások sokszor alkalmazott modellje. Az 1.26. ábrán a rönkkeresztmetszet különböző helyéről és különböző helyzetben kivágott faelemeit (fűrészáru) láthatjuk. Az A és B jelű elemek egyenes vonalú anizotrópiával, a C és D jelűek pedig hengeres anizotrópiával rendelkeznek. A hengeres anizotrópia középpontja szabálytalanabb évgyűrűlefutás esetén általában nem esik egybe a törzs középpontjával (a béllel). Azt úgy kell megállapítani, hogy a belőle megrajzolt körívek a lehető legjobban megközelítsék a faelem tényleges évgyűrűíveit. A 1.27. ábrán egy faelem hengeres anizotroppontjának szerkesztését mutatjuk be. Hengeres

61

anizotrópia esetén a bütüsík fő anatómiai irányainak helyzetét könnyű megadni, hiszen a sugárirány mindig a hengeres anizotrópia középpontjából az adott ponthoz húzott egyenes irányával egyezik, az érintőirány pedig erre merőleges. Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a természetes faanyagot homogénnek, esetleg rétegenként homogénnek tekintjük, a szimmetriatulajdonságok szempontjából pedig ortotropnak vagy még jobban leegyszerűsítve transzotropnak tételezhetjük fel. A fiktív elemi cella alakját az 1.28. ábrán láthatjuk, a tulajdonságok mindhárom anatómiai főirányban különböznek (a. ábrarészlet), a tulajdonságok az R és T irányokban megegyeznek ugyan, de bütüsík többi irányában már nem (b. ábrarészlet), a bütüsík izotrop (c. ábrarészlet). Az anizotrópia jellege a faelem méretétől és alakjától függően egyenes vagy görbe vonalú (bizonyos esetekben jó közelítéssel hengeres) lehet. Az e feltételezések mellett végzett elméleti számítások eredményei a gyakorlat igényeit általában kielégítik.

1.5. A FAALAPÚ ANYAGOK ANIZOTRÓPIÁJA MINT A TECHNOLÓGIAI KIALAKÍTÁS KÖVETKEZMÉNYE Faalapú anyagoknak, fakompozitoknak nevezzük azokat a mesterségesen kialakított szilárd anyagokat, testeket, melyekben a természetes faanyag részeit, részecskéit valamilyen kötőanyag egyesíti. Tágabb értelemben - a definíció alapján - ide tartozik minden faszerkezet (bútorok, hagyományos ácsszerkezetek, modern építési szerkezetek), anyagismereti szempontból azonban jelenlegi tanulmányainkban e szerkezetek - egy testnek tekinthető - alkotóelemei képezik vizsgálataink tárgyát. A faalapú anyagok tudatos kialakításának, fejlesztésének fő oka és célja a természetes faanyag bizonyos tulajdonságainak különböző szempontok szerinti javítása. E szempontok közül a legfontosabbak: - az inhomogenitás mértékének csökkentése, - a fizikai-mechanikai tulajdonságok javítása, - az anizotrópia fok csökkentése, - a törzs által nyújtott természetes geometriai méretkorlátok túllépése, - a nedvességtartalom-változás következtében fellépő méretváltozás (vetemedés) mértékének csökkentése, - a biológiai károsítókkal, a tűzzel, égéssel szembeni ellenállás növelése, - gazdaságosabb anyagfelhasználás és -kihozatal. A FAALAPÚ ANYAGOK (KOMPOZITOK) CSOPORTOSÍTÁSA

I. Természetes faanyag 1. Rönk, gömbfa 2. Fürészáru a) Palló b) Deszka c) Léc 3. Furnér (késelt, hámozott) 4. Forgács (darabos, szálkás, finom, bélyeg alakú, fagyapot, fűrészpor) 5. Rost, rostköteg (fibrilla, mikrofibrilla szövedék) 6. Faliszt II. Modifikált faanyag

62

1. Védőszerrel, égésgátlóval kezelt 2. Egyéb kémiai anyaggal kezelt 3. Besugárzott 4. Plasztifikált (hajlított) 5. Műgyantával telített 6. Préselt III. Rétegelt kompozitok 1. Párhuzamos rétegezés a) Rétegelt-ragasztott (egyenes, íves) fa - Rétegelt-ragasztott deszkatartó - Rétegelt-ragasztott furnértartó b) Bútorlapok - Lécbetétes - Furnérbetétes 2. Keresztezett rétegezés a) Rétegelt lemez (sík lap, idomtest) b) Kétoldalt borított (laminált) forgácslapok 3. Szendvicslemezek 4. Fém- és műanyag-erősítésű faanyag 5. Mechanikusan egyesített (csavarozott, szegezett) lemezek IV. Részecske kompozitok 1. Forgácslemezek (sík lap, idomtest) a) Egy- és többrétegű b) Orientált c) Extrudált 2. Farostlemezek a) Kemény lemezek b) Középkemény lemezek c) Szigetelő lemezek V. Farost kompozitok a) Papír b) Szervetlen kötőanyagú rostiszaplemez c) Farosterősítésű műanyag IV. Faliszt kompozitok (sík lap, idomtest) Olyan faalapú anyag kialakítása, amely az összes fenti szempontot figyelembe veszi, sajnos lehetetlen. Nem marad más hátra, mint a szerkezeti elem felhasználási körülményeinek megfelelő legfontosabb szempontok kielégítése. Ez a korlátozottság, ill. a XX. századi technikai fejlődés (modern forgácsolás, préselési technikák, ragasztóanyagok, műgyanták) a faalapú anyagok rendkívül változatos kialakítását tette lehetővé. Ezek legfontosabb típusait, csoportjait az 1.3. táblázatban foglaltuk össze. A csoportosítás legfontosabb ismérve, hogy a táblázatban lefelé haladva a fakompozitok homogenitása egyre nagyobb lesz, ami a természetes faanyag mindig nagyobb mértékű aprításával érhető el. Az aprítás azonban hátrányos következményekkel is jár, ezek közül a legfontosabb az, hogy az aprítás mértéke fordított arányban áll a kompozit merevségi és szilárdsági tulajdonságaival (pl. a forgácslapok vagy farostlemezek szilárdsági és rugalmassági jellemzőinek értéke csak tört része a természetes faanyag vagy bizonyos rétegelt kompozitok hasonló jellemzőinek).

63

1.5.1. MODIFIKÁLT FAANYAG A modifikálás jelenti a legkisebb beavatkozást a természetes faanyag eredeti tulajdonságaiba. A különböző védőszerek, égésgátlók, egyéb kémiai kezelőanyagok vagy a besugárzás nem változtatják meg sem az inhomogenitás mértékét, sem az anizotrópia jellegét, bizonyos fizikai-mechanikai tulajdonságok mértékére azonban kedvezően, esetleg kedvezőtlenül hatnak (a kezelés hatására pl. a faanyag ridegebbé válhat). A hőközléssel vagy egyéb anyagokkal plasztifikált faaanyag csak viszonylag rövid ideig marad képlékeny - s ilyen állapotban jelentős alakváltozásokra képes -, majd lényegében visszanyeri eredeti tulajdonságait. A műgyantával telített faanyag homogenitása lényegesen növekszik, bizonyos irányokban, elsősorban a bütüsík irányában a fizikai-mechanikai jellemzők kedvezőbbekké válnak és bár megmarad az ortotrop jelleg, az anizotrópia fok csökken. Préseléskor általában a rostirányra merőlegesen nyomják össze a faanyagot maradandó alakváltozást hozva létre. Ettől a faanyag sűrűsége megnő, inhomogenitása csökken és a rostokra merőleges irányban bizonyos mechanikai jellemzők értéke nagyobb lesz, ami ismét az anizotrópia fok csökkenésével jár. Összefoglalva, a modifikált faanyag anyagmodelljének megalkotásánál ugyanazokkal a feltételezésekkel élhetünk, mint a természetes faanyagnál. A homogén ortotrop, esetleg homogén transzotrop anyagmodell (1.28/a, b, c. ábra) a gyakorlat számára elfogadható.

1.5.2. RÉTEGELT KOMPOZITOK A rétegezés egyik fő célja a geometriai méretek növelése. A rétegezéssel kialakított tömbök, lemezek, rudak méretei lényegesen meghaladhatják a fatörzs természetes méreteit. A rétegezés egyúttal homogenizálással és az anizotrópia fok csökkenésével is járhat. A párhuzamos rétegezésű kompozitok egyik - az építőipar számára igen jelentős - képviselője a rétegelt ragasztott fa. A hossztoldással végtelenített deszka vagy palló méretű faelemeket lapjukon összeragasztva - elvileg korlátlan keresztmetszeti méretű és alakú - rudakat (1.29/a, b, c. ábra), élükön összeerősítve (ragasztással, ékfogas ragasztással, saját vagy idegen csappal, betéttel) pedig sík lapokat, lemezeket (1.29/d, e, f. ábra) nyerünk. Az utóbbi időben készülnek tartórudak furnér vastagságú elemek párhuzamos rétegzésével is. Ezek az elsősorban teherviselő szerkezetként felhasználásra kerülő rétegelt-ragasztott fatestek a fizikaimechanikai tulajdonságok szempontjából nagyon hasonlítanak a természetes faanyagra. Az alkotóelemek (a rétegek) válogatása, rendszerezése, a ragasztás azonban csökkenti az inhomogenitást, a vetemedést és jó hatással van a mechanikai tulajdonságokra is. Párhuzamos rétegezésűek a bútorlapok is, amelyek általában három rétegűek, két borítóés egy középréteggel. A borítóréteg furnér, a középréteg párhuzamosan rétegezett természetes faelemekből (lécekből, furnérból) áll (1.29/g,h. ábra). A párhuzamos rétegezésű ragasztott testek egy tetszőleges pontjának szűk környezetében a természetes faanyaghoz hasonlóan - rombikus anizotrópia van érvényben, az L,R,T irányoknak megfelelő ortotrópiával. Ha a pont körül valamivel nagyobb környezetet jelölünk ki, olyat amelyik már a szomszédos rétegekbe is beleér, akkor a sugár- és érintőirány megadása már problémát okoz. A párhuzamos rétegezésű ragasztott testek egészének viselkedése szempontjából ezért célszerűen a rostokra merőleges síkot izotropnak tekintjük. A transzotrop anyagmodell „elemi cellája” az 1.28/c. ábrának felel meg. E modellben a természetes koordinátarendszer egyik tengelye mindig a rostiránnyal párhuzamos, másik két tengelyét a síkbeli izotropia miatt tetszőlegesen vehetjük fel. Célszerűségi okokból ez utóbbi két tengelyt a kompozit keresztmetszetének oldalaival párhuzamosan vesszük fel, a keresztmetszet ugyanis általában derékszögű négyszög, vagy ilyenbe foglalható. Az ezen szempontok szerint megha-

64

tározott természetes koordinátarendszer tengelyeit az anizotrópia szerkezeti főirányainak nevezzük és a továbbiakban az 1, 2, 3 számmal jelöljük. A párhuzamosan rétegezett faelemekre az egyenes vonalú anizotrópia alkalmazható.

1.29. ábra. Párhuzamos rétegezésű kompozit faanyagok. A párhuzamos rétegezésű ragasztott farudak egyik speciális csoportját alkotják a rétegeltragasztott, íves tengelyű farudak (fatartók). Ezek sajátossága, hogy az egyes rétegeket párhuzamosan görbített állapotban ragasztják össze. Így egy olyan kedvező tulajdonságú íves tengelyű tartószerkezetet nyerünk, amelyben a faanyag rostiránya a tartó minden pontjában az ívhez húzott érintővel párhuzamos. A rétegelt-ragasztott, íves farúd anyagmodellje - ugyanúgy, mint az egyenes farúdnál - transzotrop, de anizotrópiája görbevonalú (ha az ív alakja kör, akkor hengeres anizotrópiával van dolgunk.)

65

A keresztezett rétegezésű fakompozitok legfontosabb képviselője a rétegelt lemez. Ezek furnérvastagságú természetes faanyagból összeragasztott sík (esetleg idompréselt) lapok, melyben a szomszédos rétegek anatómiai főirányai általában nem párhuzamosak. Az egyes rétegek rostiránya közötti szög 0° és 360° között változhat. A rétegek alapanyaga többnyire hámozott furnér (a hámozott furnér olyan - az rönk évgyűrűivel párhuzamosan szétvágott és síkba fejtett - vékony lemez, amely egyenes vonalú anizotrópiával rendelkezik, a sugárirány minden pontban merőleges a lemez síkjára, a rostirány és az érintőirány pedig benne van a lemez síkjában.) Ha késelt furnér kerül felhasználásra, a furnérlemez síkjának egyik iránya akkor is mindig rostirány. A rétegelt lemez legfontosabb előnyei közé tartozik, hogy síkjának geometriai méreteit csak technológiai paraméterek korlátozzák, s hogy ebben a síkban a fizikai-geometriai tulajdonságok anizotrópia foka csökkenthető, ill. a különböző irányokhoz tartozó tulajdonságok kiegyenlíthetők. A nedvességtartalom változás következtében keletkező vetemedés mértékének csökkentése érdekében a rétegezésnek a lemez geometriai középsíkjára szimmetrikusnak kell lennie. A legegyszerűbb és leggyakoribb rétegelt lemez fajtánál a szomszédos rétegek rostiránya egymásra merőleges (páros számú réteg esetén a két középső párhuzamos) (1.30/a,b. ábra). E lemezek szerkezeti főirányai a lap síkjában a két egymásra merőleges rostirány, 1 és 2 számmal jelölve, valamint a lap síkjára merőleges 3-as irány. Könnyen beláthatjuk, hogy ezek mindegyike 2-fogású forgatótengely, ill. 2-fogású inverz forgatótengely és a tengelyek által alkotott síkok, a szerkezeti fősíkok, egyben szimmetriasíkok is. Az anizotrópia szempontjából ezek a lemezek egyenesvonalú ortotrópiával modellezhetők. "Elemi cellájuk" az 1.28/d. ábrán látható. Ha a rétegezés olyan, hogy az 1-es és 2-es főirányok fizikai-mechanikai tulajdonságai megegyeznek, akkor az 1.28/e. ábrán bemutatott "elemi cella" használható, amely még nem jelent síkbeli izotrópiát.

1.30. ábra. Merőlegesen és változó szögekben rétegezett kompozitok.

66

Ha a szomszédos rétegek rostiránya 90°-nál kisebb szöget zár be egymással egy lemezen belül a 360°-ot egyenletesen elosztva, az ún. csillaglemezeket kapjuk (1.30/c,d. ábra). Könynyen beláthatjuk, hogy minél kisebb a szomszédos rétegek rostir ánya által bezárt szög, annál kevésbé változnak a lemez síkjának irányaihoz tartozó tulajdonságok. Bizonyítható, hogy ha 2π ϕ= , ahol n ≥ 5 , akkor a lemez síkban izotrop.* Ilyen esetekben a csillaglemez ,,elemi n

cellája" az 1.28/f. ábrán vázolt körhenger. Az anizotrópia egyenesvonalú és transzotrop. A rétegelt lemezek fontos tulajdonsága, hogy - síkjuk különböző irányaihoz tartozó merevségi és szilárdsági jellemzőinek közel azonos és viszonylag magas értéke miatt - mechanikai szempontból kedvezőbbnek mondhatók, mint az ugyanolyan méretű természetes faanyag. A lapsíkra merőleges irányhoz tartozó jellemzők gyakorlatilag a természetes faanyag sugárirányú tulajdonságaival egyeznek meg. A keresztezett rétegezésű kompozitok közé sorolhatók a kétoldalt borított (laminált) forgácslapok. Ezek anyagmodelljeként többnyire a borítatlan forgácslapok modellje használható. A fém- és műanyagerősítésű faanyagok, a szendvicslemezek, a mechanikusan egyesített lemezek annyira különböző tulajdonságú anyagokból álló kompozitok, hogy nem tekinthetők egyetlen egy, egységes anyagnak. Ezek mechanikai viselkedésének leírása szerkezetvizsgálati módszereket igényel, ami kívül esik jelen tanulmányaink témakörén.

1.5.3. RÉSZECSKE KOMPOZITOK A részecskekompozitok egyik nagy csoportját a forgácslapok alkotják. Ezek fő alkotórésze valamilyen speciális alakú faforgács, melyeket szerves vagy szervetlen eredetű kötőanyaggal préselés közben egyesítenek általában sík lappá, esetleg idomtestté. A különböző geometriájú forgácsok alkalmas megválasztásával, azok egymáshoz képesti elhelyezkedésével, speciális gyártási technnológiák alkalmazásával - a kívánt felhasználási célnak megfelelően - rendkívül változatos belső felépítésű lapokat lehet készíteni. Hosszúkás forgácsokkal, ill. azok lapon belüli egy irányba való elrendezésükkel orientált forgácslapokat lehet létrehozni, amelyeknél kidomborodik az anizotrop jelleg. Bélyeg (pajzs) alakú forgácsokkal kevésbé aniztrop, jó mechanikai tulajdonságú lemezek készíthetők. Ha a forgácsok nagysága közel azonos, egyrétegű, viszonylag homogén lap keletkezik. Bizonyos technológiák lehetővé teszik, hogy a lap külső rétegébe a kisebb szemcsék kerüljenek, így finom felületű, háromrétegű lap gyártható, amelyek szélső rétege jobb mechanikai tulajdonságú. Ha a kötőanyag kikeményedése alatt a lap síkjára merőleges nyomást alkalmaznak, akkor a lemez hajlítómerevsége és -szilárdsága lesz jobb, ha a nyomás a lap síkjával párhuzamos, a nyomómerevség és -szilárdság lesz kedvezőbb. A forgácslap lényegesen homogénebb a természetes faanyagnál. A faanyag anatómiai irányai a forgácslapban gyakorlatilag eltűnnek. Az anizotrop tulajdonságok szempontjából a rombikus anyagok közé sorolható. Szerkezeti főtengelyei a lap síkjában a technológiai gyártási folyamat iránya és az arra merőleges irány, a 3. főtengely pedig a lap síkjára merőleges. Orientált forgácslapoknál a lap két szerkezeti főirányában a tulajdonságok eltérőek, így az egyenesvonalú ortotrop modellt kell alkalmazni (1.28/d. ábra). Ha a lap síkjában a szerkezeti főirányokhoz tartozó jellemzők azonosak, akkor a lap összes többi iránya egyenértékű és egyenes vonalú, transzotrop anyagmodell használható (1.28/f. ábra). A faroslemezek alapanyaga a faanyag sejtfalának fibrillái, mikrofibrilla kötegei. Kötőanyagként sokszor a lignin ragasztóképességét használják fel. A lapképzés során alakalmazott nyomás nagyságának függvényében különböző sűrűségű, keménységű lapokat lehet készíteni, * Lásd a Függeléket.

67

melyek skálája az önhordó szigetelőlemezektől kezdve egészen a teherviselő lemezekig terjed. A gyártástechnológia következményeként a rostkötegek a gyártási folyamat irányával párhuzamosan rendeződnek, azért a tulajdonságok a lemez síkján belül is eltérhetnek egymástól. A farostlemez az egyik leghomogénebb fakompozit. Anyagmodellként egyenes vonalú ortotrópia vagy még inkább egyenes vonalú transzotrópia alkalmazható (1.28/d, f. ábra). Szerkezeti főirányai a lap síkjában a gyártási folyamat iránya és az arra merőleges irány, valamint a lap síkjára merőleges irány. Idompréselt részecske-kompozitok esetén az anizotrópia jellege általában megmarad, csak görbe vonalúvá válik. A részecske kompozitok mechanikai tulajdonságaikat tekintve lényegesen rosszabbak, mint a természetes faanyag vagy a rétegezéssel készült fakompozitok. Különösen kedvezőtlenek a tulajdonságok a lemezek síkjára merőleges irányban.

1.5.4. FAROST KOMPOZITOK A gyártástechnológia főbb vonásainak azonosságából az következik, hogy a papír anyagismereti, belső szerkezeti szempontból leginkább a farostlemezre hasonlít. Ennek megfelelően anyagmodellként az egyenesvonalú ortotrópia vagy transzotrópia alkalmazható. A rombikus anyagmodell használható a rostiszaplemezekre és a farosterősítésű műanyagokra is. Az előbbiekre a nagy homogenitás és a kis anizotrópiai fok, az utóbbiakra a kifejezett inhomogenitás és nagy anizotrópia fok jellemző.

1.5.5. FALISZT KOMPOZITOK A faliszt finom porrá őrölt faanyag (mintha a mikrofibrilla kötegeket a szélességüknek megfelelő hosszúságúra darabolnánk). Ezt a finom szemcsés port kötőanyaggal egyesítik egyetlen testté. A faliszt kompozitok homogének, a fizikai-mechanikai tulajdonságok szempontjából nincsenek kitüntetett irányaik, így izotropok.

68

SZAKIRODALOM AZ 1. FEJEZETHEZ 1. Askenazi, E.K. 1978: Anizotrópia dreveszinü i drevesznüh materialov (magyar nyelvű fordítás). 1. kiadás. 2. Askenzi, E.K. - Ganov, K.V. 1972: Anizotrópia konsztrukcionnüh materialov (magyar nyelvű fordítás). 1. kiadás. Leningrád: Masinosztroenie. 3. Babos, K.-Filló, Z.-Somkuti, E. 1979: Haszonfák. 1. kiadás. Budapest: Műszaki Könyvkiadó. 4. Bodig, J.-Jayne, B.A. 1982: Mechanics of Wood and Wood Composites. 1. kiadás. New York: VNR Company. 5. Budó, Á.-Pócza, J. 1962: Kísérleti fizika. I. kötet. 1. kiadás. Budapest: Tankönyvkiadó. 6. Budó, Á.-Mátrai, T. 1977: Kísérleti fizika. III. kötet. 1. kiadás. Budapest: Tankönyvkiaadó. 7. Budó, Á. 1964: Mechanika. 3. átdolgozott kiadás. Budapest: Tankönyvkiadó 8. Flügge, W. 1972: Tensor Analysis and Continuum Mechanics. 1. kiadás. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. 9. Farkas, M. 1961: A relativitáselmélet matematikai alapjai. Kézirat. Budapest: Mérnöki Továbbképző Intézet. 10. Foulger, A.N. 1969: Classroom demonstrations of wood properties. U.S. Ford. Prod. Lab. Supt. Dokuments. Washington, DC: U.S. Govt. Printing Office. 11. Hearmon, R.F.S. 1961: An Introduktion to Applied Anisotropic Elasticity. 1. kiadás. Oxford: University Press. 12.Jánossy, L.-Tasnádi, P. 1982: Vektorszámítás. I. kötet. 2. kiadás. Budapest: Tankönyvkiadó. 13. Klingbeil, E. 1966: Tensorrechnung für Ingeniuere. Hochschultaschenbücher, Band 197. Mannheim/Wien/Zürich: B.I.-Wissenschaftsverlag. 14. Kollmann, F. 1982: Technologie des Holzes und der Holzwerkstoffe. I. kötet. 2. kiadás. Berlin: Springer-V. 15. Lechnickij, Sz.G. 1981: Theory of Elasticity of an Anisotropic Body (magyar nyelvű fordítás). 1. kiadás. Moszkva: Mir. 16. Mark, R.E.-Gillis, P.P. 1970: New Models In Cell-Wall Mechanics. Wood and Fiber, 2/2/: 79-95. 17. Paulitsch, M. 1989: Moderne Holzwerkstoffe. 1. kiadás. Berlin: Springer-Verlag. 18. Seim, R. 1981: Minerale. 1. kiadás. Leipzig: Neumann. 19. Schniewind, A.P.-Barrett, J.D. 1969: Cell Wall Model With Complete Shear Restraint. Wood and Fiber, 1/3/: 205-214. 20. Tang, R.C. 1973: The Micrifibrillar Orientation in Cell-Wall Layers Of Virginia Pine Tracheids. Wood Science, 5/3/: 181-186. 21. Voigt, W. 1928: Lehrbuch der Kristallphysik. 2. kiegészített kiadás. Leipzig und Berlin: B.G. Teubner.

69

2. A RUGALMASSÁG ANIZOTRÓPIÁJA A deformálható testek mechanikai viselkedésének leírásához szükség van az alakváltozási jellemzők és a belső erők közötti kapcsolat ismeretére. Azt a függvénykapcsolatot, amely megadja, hogy egy adott pontban az alakváltozási állapot milyen feszültségi állapotot (vagy fordítva) hoz létre, anyagtörvénynek, anyagegyenletnek nevezzük. A kapcsolat jellegét elsősorban az anyagminőség határozza meg, de jelentős szerepe lehet az igénybevétel fajtájának, a test előzetes tehertörténetének, a külső körülményeknek (hőmérséklet, nedvességtartalom). Mindezeken túlmenően a kapcsolat még az időnek is függvénye. Általánosan: σ ij = σ ij (ε kl , T, u, t, ...) , ahol σ ij - a feszültségi állapot tenzora, ε kl - az alakváltozási állapot tenzora, T - a hőmérséklet, u - a nedvességtartalom, t - az idő. Olyan függvénykapcsolat, azaz modell alkalmazása, amely az összes lényeges befolyásoló tényező hatását figyelembe veszi, rendkívüli mértékben megnehezíti, sőt esetleg lehetetlenné teszi az elméleti számításokat. Ennek következtében mindig olyan modellt kell választani, amely az adott probléma szempontjából a legalapvetőbb tulajdonságokat tartalmazza. Néha meglepően egyszerű modellek is igen jól használható eredményekhez vezetnek. A legfontosabb modellek a lineárisan rugalmas, a képlékeny, a viszkózus anyagtörvények, ill. ezek alkalmas kombinációi, pl. rugalmas-képlékeny, rugalmas-viszkózus stb. A tapasztalat azt mutatja, hogy a legtöbb anyag tökéletesen rugalmasnak tekinthető, ha az alakváltozás nem halad meg egy bizonyos, az anyagra jellemző értéket. Az épületszerkezetek, bútorok és egyéb teherviselésre alkalmas és teherviselés céljára épített szerkezetek egyik fontos kritériuma, hogy alakváltozásuk meglehetősen korlátozott, hiszen a nagy deformációk már a szerkezet törési tönkremenetele előtt lehetetlenné teszik azok rendeltetésszerű használatát. Ez a megkötés alátámasztja azt a feltételezést, hogy a legtöbb szerkezeti anyag jó közelítéssel rugalmasnak tekinthető. Az ideálisan rugalmas anyagmodell azt jelenti, hogy a test valamely pontjában keletkező feszültségállapot komponensei az időtől függetlenül, kizárólag a pillanatnyi és helyi alakváltozási állapot komponenseitől függenek és fordítva. A feszültségkomponenseket a σij = σij ( ε kl ) ,

i,j,k,l = 1,2,3

2.1

függvénykapcsolat egyértelműen meghatározza. A függvénykapcsolat konkrét alakját a kísérleti tapasztalatok alapján kell kiválasztani. A normál-igénybevételkor fellépő hosszváltozás vizsgálata alapján R. Hooke - 1676-ban közölt publikációjában - úgy találta, hogy ,,a deformációk arányosak az erőkkel". A kutatások szerint ez az állítás más igénybevételek esetében is fennáll. A feszültségek és az alakváltozások precíz definíciójának ismeretében a Hooke-törvény úgy fogalmazható meg, úgy általánosítható, hogy a feszültségkomponensek és a deformáció-komponensek között a kapcsolat lineáris.

70

2.1. AZ ANIZOTROP ANYAGOK ÁLTALÁNOS HOOKE-TÖRVÉNYE Anizotrop anyag esetén a legáltalánosabb feltételezés az, hogy minden feszültségkomponens minden alakváltozási komponensnek függvénye. Linearitást is feltételezve a (2.1)-nek megfelelő függvénykapcsolat konkrét formája úgy vezethető le, hogy σij − t az ε kl = 0 hely környezetében Taylor-sorba fejtjük - a kis alakváltozások feltételezésének megfelelően - az első foknál magasabb fokú tagokat elhanyagolva:

 ∂σ ij σ ij = σ ij (ε kl ) = σ ij (0) +   ∂ε kl

  ε kl + ... , 0

i,j,k,l = 1,2,3.

2.2

Ha elfogadjuk azt a - nem feltétlenül magától értetődő - feltételezést, hogy alakváltozásmentes állapotban a feszültségi állapot nulla, akkor σ ij (0) = 0. Ilyenkor (2.2) részletesen kiírt alakja:

σ = σ (ε kl ) = ij

ij

 ∂σ ij   ∂σ ij   ∂σ ij   ε13 +   ε11 +   ε12 +  ∂ε ∂ε ∂ε  11  0  12  0  13  0  ∂σ ij   ∂σ ij  ε 21 +  +   ∂ε 21  0  ∂ε 22

 ∂σ ij    ε 23 +  ε 22 +  0  ∂ε 23  0

 ∂σ ij   ∂σ ij  ε 31 +  +   ∂ε 31  0  ∂ε 32

  ∂σ ij   ε 32 +   ε 33 , 0  ∂ε 33  0

2.3/a

i,j = 1,2,3

A parciális deriváltak nulla helyen számított értékei konstansok, jelöljük ezeket a következő definíció alapján:

 ∂σ ij (ε kl )    = c ijkl ,  ∂ε kl  0

i,j,k,l = 1,2,3.

Ezzel (2.1) konkrét alakja indexes (tenzoriális) jelölésmódban: σ ij = cijkl ε kl ,

i,j,k,l = 1,2,3 .

2.3/b

Ezt az összefüggést nevezzük az anizotrop anyagok általános Hooke-törvényének. E szerint a feszültségkomponensek a deformációkomponensek homogén lineáris függvénye. (2.3/b) 9 skaláregyenletet reprezentál, mely mindegyikében 9 tag található. A c ijkl együtthatók tulajdonképpen az egyes feszültségi és alakváltozási komponensek közötti arányossági tényezők. Az általános Hook-törvényt más, talán kissé szemléletesebb, formában is felírhatjuk a 9 skaláregyenlet mátrixreprezentációjaként. Jelöljük σ ij -vel és ε kl -lel a feszültségi és alak-

[ ]

változási tenzor komponenseiből képzett egy dimenziós (sor és oszlop) mátrixot, c ijkl -lel pedig az együtthatók két dimenziós, 9x9 = 81 elemből álló, négyzetes mátrixát. Az anizotrop anyagok általános Hooke-törvényének alakja mátrixreprezentációban:

[σ ] = [c ][ε ] ij

ijkl

kl

i,j,k,l = 1,2,3,

2.3/c

részletesen kiírva:

71

[σ

11

]

, σ12 , σ13 , σ 21 , σ 22 , σ 23 , σ 31 , σ 32 , σ 33 =

 c1111  1211 c  c1311  2111 c = c 2211  2311 c c 3111  c 3211  3311 c

c1112

c1113

c1121

c1122

c1123

c1131

c1132

c1212

c1213

c1221

c1222

c1223

c1231

c1232

c1312

c1313

c1321

c1322

c1323

c1331

c1332

c 2112

c 2113

c 2121

c 2122

c 2123

c 2131

c 2132

c 2212

c 2213

c 2221

c 2222

c 2223

c 2231

c 2232

c 2312

c 2313

c 2321

c 2322

c 2323

c 2331

c 2332

c 3112

c 3113

c 3121

c 3122

c 3123

c 3131

c 3132

c 3212

c 3213

c 3221

c 3222

c 3223

c 3231

c 3232

c 3312

c 3313

c 3321

c 3322

c 3323

c 3331

c 3332

c1133   c1233  c1333   c 2133  c 2233   c 2333  c 3133   c 3233   c 3333 

 ε 11  ε   12   ε 13     ε 21  ε 22    ε 23  ε   31  ε 32  ε   33 

2.3/d

Tudjuk, hogy a feszültségi és alakváltozási állapotot tenzormennyiségként lehet megadni. E tenzorok komponensei meghatározott szabály szerint transzformálódnak a koordinátarendszer forgatásakor. Az anizotrop anyagok általános Hooke-törvénye olyan objektív törvény, amely nem függhet a koordinátarendszer felvételétől, tehát egy elforgatott koordinátarendszerben - az állapottenzorok komponenseinek változásával együtt - az együtthatók értékének is változnia kell. Vizsgáljuk meg, hogyan változnak az együtthatók. A kiinduló x i koordinátarendszerben a törvény (2.3/b) alakú. Egy ehhez képest elforgatott x i' koordinátarendszerben a törvény alakja: σ i' j' = c i' j'k'l' ε k'l' ,

i',j',k',l' = 1',2',3'.

2.4

A feszültségi és alakváltozási tenzorok transzformációs szabálya az (1.20/b) összefüggésnek megfelelően: σ ij = σ m'n'β im'β n'j

,

ε kl = ε k'l'β k'kβ1'1 .

Helyettesítsük be ezeket (2.3/b)-be: σ m'n'β im'β n'j = c ijkl ε k'l'β k'kβ1'1 . Szorozzuk meg az egyenlőség mindkét oldalát a βi'i β j'j mennyiséggel: σ m'n'β im'β i'iβ n'j β j'j = c ijkl ε k'l'β i'iβ j'jβ k'kβ l'l . Tudjuk azonban, hogy az iránycosinuszok két olyan mátrixának a szorzata, amelyek egy alsó és egy felső indexe megegyezik, éppen a másik két indexnek megfelelő Kronecker-delta mátrixot adja (pl. β im'β i'i = δ i'm' ). Így az előző egyenlőség: σ m'n' δ i'm' δ n'j' = c ijkl β i'iβ j'jβ k'kβ l'l ε k'l' ,

72

innen σ i' j' = c ijkl β i'iβ j'jβ k'kβ l'l ε k'l' , amit (2.4)-gyel összehasonlítva azonnal kapjuk, hogy c i' j'k'l' = c ijkl β i'iβ j'jβ k'kβ l'l ,

2.5

ami éppen a négy dimenziós tenzorok transzformációs szabálya. (Megjegyezzük, hogy a tenzorkomponensek jelölésénél a futó indexek alsó vagy felső helyzetben való elhelyezése egyáltalán nem közömbös, hisz az alsó indexek egy tenzornak a kovariáns komponenseit, a felső indexek ugyanannak a tenzornak a kontravariáns komponenseit jelentik. Jóllehet, hogy a kovariáns és kontravariáns komponensek ugyanazt a tenzort reprezentálják, a komponensek geometriai jelentése más. A tenzorok komponenseinek kovariáns és kontravariáns megkülönböztetése hegyesszögű koordinátarendszerekben fontos. Derékszögű koordinátarendszerben a két reprezentáció komponensei megegyeznek. Mi mindig derékszögű koordinátarendszert fogunk használni, mégis megtartjuk a kétféle jelölésmódot, mert az a tenzorműveletek szimbolikáját (pl. az Einstein-féle összegzési konvenciót) lényegesen megkönnyíti. (2.5) tehát azt bizonyítja, hogy az anizotrop anyagok Hooke-törvényében szereplő együtthatók tenzormennyiséget alkotnak. Ezek az együtthatók nem külső állapotot, hanem anyagminőséget definiálnak, tehát anyagtenzorral van dolgunk, amit merevségi tenzornak nevezünk. Elemei a merevségi komponensek, melyek dimenziója a - (2.3) kifejezésből kiolvashatóan - megegyezik a feszültségek dimenziójával, egysége célszerűen GPa vagy MPa. A merevségi jelző onnan származik, hogy minél nagyobb a c ijkl komponens, adott feszültség hatására annál kisebb alakváltozás jön létre, azaz annál merevebb a test. Ha - legalábbis elvileg c ijkl → ∞, az anyag egyre inkább merev testként viselkedik. Természetesen annak sincs akadálya, hogy meghatározzuk a (2.3/b) egyenletrendszer inverzét, azaz az alakváltozási komponenseket fejezzük ki a feszültségi komponensek függvényében. Formálisan ezt írhatjuk: ε ij = s ijkl σ kl ,

i,j,k,l = 1,2,3,

2.6/a

vagy mátrix alakban:

[ε ] = [s ][σ ] kl

ij

ijkl

,

2.6/b

részletesen kiírva:

[ε

11

, ε12 , ε13, ε 21 , ε 22 , ε 23 , ε 31 , ε 32 , ε 33 ] =

73

s1111 s1112 s  1211 s1212 s1311 s1312  s 2111 s 2112 = s 2211 s 2212  s 2311 s 2312 s s  3111 3112 s 3211 s 3212 s  3311 s 3312

s1113 s1213

s1121 s1221

s1122 s1222

s1123 s1223

s1131 s1231

s1132 s1232

s1313

s1321

s1322

s1323

s1331

s1332

s 2113

s 2121 s 2122

s 2123

s 2131 s 2132

s 2213

s 2221 s 2222

s 2223

s 2231 s 2232

s 2313

s 2321 s 2322

s 2323

s 2331 s 2332

s 3113

s 3121

s 3122

s 3123

s 3131

s 3132

s 3213 s 3313

s 3221 s 3321

s 3222 s 3322

s 3223 s 3323

s 3231 s 3331

s 3232 s 3332

s1133  s1233  s1333   s 2133  s 2233   s 2333  s 3133   s 3233  s 3333 

 σ11   12  σ   σ13   21  σ  σ 22   23  σ   σ 31    σ 32   33  σ 

2.6/c

A c ijkl -nél bemutatott módszerhez hasonlóan bizonyíthatjuk, hogy s i' j'k'l' = s ijkl β ii'β jj'β kk'β ll' ,

2.7

tehát ezek az együtthatók is egy négy dimenziós tenzort alkotnak. Ez az anyagtenzor az alakíthatósági (vagy deformálhatósági) tenzor (néhol hajlékonysági vagy érzékenységi tenzornak is nevezik). Elemeik az alakíthatósági komponensek, ezek száma 34 = 81. Az alakíthatósági komponensek dimenziója - a (2.6) képletekből megállapíthatóan - a feszültségdimenzió reciproka, egysége célszerűen 1/GPa vagy 1/MPa. Minél nagyobbak az alakíthatósági komponensek, annál könnyebb a testet deformálni, alakítani. Ha sijkl → ∞ , a test semmilyen ellenállást nem mutat az alakváltoztató hatással szemben. A (2.3/c) és (2.6/b) mátrixösszefüggésekből azonnal következik, hogy a merevségi és az alakíthatósági tenzorkomponensekből alkotott, négyzetes mátrixok egymásnak inverzei:

[s ] = [c ]

ijkl −1

ijkl

[ ] [ ]

, ill. c ijkl = s ijkl

−1

.

2.8/a,b

Az inverzió fogalmát a tenzorokra is értelmezhetjük és a (2.8)-nak megfelelő összefüggést a következőképpen fogalmazhatjuk meg: a merevségi tenzor inverze az alakíthatósági tenzor és fordítva, az alakíthatósági tenzor inverze a merevségi tenzor. Az invertálhatóság feltétele az, hogy a tenzorkomponensekből képzett mátrixok determinánsa különbözzön nullától, azaz

[ ]

[ ]

det c ijkl ≠ 0, ill. det s ijkl ≠ 0.

2.9

E feltétel fennállását a tenzorkomponensek oldaláról még nem láthatjuk be, hisz azokról kevés konkrét ismeretünk van. Ha figyelembe vesszük azonban, hogy az általános Hooketörvényben fizikailag közömbös a feszültség és az alakváltozás közötti ok-okozati kapcsolat, azaz a törvény (2.3) vagy (2.6) alakja teljesen egyenértékű, akkor az átszámolás lehetősége is biztosított, így a (2.9) feltételnek mindig teljesülnie kell. A merevségi és alakíthatósági tenzorok, röviden a rugalmas tenzorok komponenseinek száma 81. Egy anyag rugalmas tulajdonságainak jellemzéséhez azonban - szerencsére - nincs szükség ilyen sok állandóra, mert a komponensek egymástól nem teljesen függetlenek. A tenzorkomponensek közötti kapcsolat egy része a feszültségi és alakváltozási tenzorok szimmetriájának következménye. A feszültségi állapot tenzorának szimmetriájából következik, hogy 74

cijkl = cjikl , 2.10/a 12 21 amit (2.3/d) alapján könnyen beláthatunk. Pl. σ = σ miatt a merevségi tenzort reprezentáló mátrix 2. és 4. sorában található, egymás alatt lévő elemeknek páronként meg kell egyezniük. Az alakváltozási tenzor szimmetriája miatt pedig célszerű az cijkl = cijlk 2.10/b egyenlőséget választani, mert (2.3/d) skaláregyenlet kiírt alakjában azok a tagok, melyeknek deformációkomponensei csak az index sorrendjében különböznek, összevonhatók, pl.

(

)

(

)

(

)

σ12 = c1211ε11 + c1212 + c1221 ε12 + c1222 ε 22 + c1213 + c1231 ε13 + c1233 ε 33 + c1223 + c1232 ε 23

Mint látjuk, a zárójelben lévő mennyiségeknek csak az összege fontos, nincs akadálya, hogy azonos nagyságúnak vegyük fel őket. Az, hogy (2.10/b) nemcsak önkényesen választott, hanem valóban fennálló egyenlőség, az alakíthatósági tenzorkomponensekre vonatkozó vizsgálattal lehet bizonyítani. Végeredményül tehát írhatjuk: cijkl = cjikl = cijlk = cjikl ,

2.10/c

ami azt jelenti, hogy csak az 1,1; 1,2; 1,3; 2,2; 2,3 és 3,3 indexpárok különböznek egymástól. Az egymástól független komponensek száma e 6 elem másodosztályú ismétléses variációjaként adódik, azaz 62 = 36. Tovább csökken a rugalmas állandók száma, ha figyelembe vesszük, hogy ideálisan rugalmas anyag esetén a külső erőknek a test deformálása során végzett saját munkája a testben potenciális energiaként felhalmozódik és teljes mértékben visszanyerhető. A test egy elemi nagyságú, de egységnyi térfogatú részében az elemi belső potenciális energia. du b = σ ij dε ij

i,j = 1,2,3,2.11/a

az elemi kiegészítő belső potenciális energia: d~ u b = ε ij dσ ij .

2.11/b

Ha az anyagtörvény nemcsak rugalmas, de lineáris is, az alakváltozási folyamat végén felhalmozott teljes potenciális energiát a következő gondolatmenettel számíthatjuk. Tegyük fel, hogy pl. csupán a σ 23, ill. a ε 23 komponensek nem nullák, köztük az egyenesarányossági kapcsolat a

σ 23 = cε 23 , ill. ε 23 = sσ 23 összefüggések fejezik ki, ahol c és s állandó. A teljes potenciális energia (2.11/a) felhasználásával: ε 23

ε 23

u b = ∫ du b = ∫ σ dε 23 = c ∫ ε 23 dε 23 = 23

0

0

1 1 2 c(ε 23 ) = σ 23 ε 23 , 2 2

ill. a teljes kiegészítő potenciális energia:

75

~ ub =

σ 23

σ 23

0

0

~ ∫ du b =

∫

σ 23

ε 23 dσ 23 = s ∫ σ 23 dσ 23 = 0

( )

1 s σ 23 2

2

=

1 ε 23 σ 23 . 2

A többi feszültség- és alakváltozási komponens által felhalmozott teljes potenciális energiát analóg módon számíthatjuk és a részenergiákat - mivel a potenciális energia skalármenynyiség - algebrailag összegezhetjük. Ily módon

ub = űb =

1 ij σ ε ij , 2 1 1 ε ij σ ij = σ ij ε ij 2 2

,

i,j = 1,2,3,

2.12/a

i,j = 1,2,3.

2.12/b

Mint látjuk, lineárisan rugalmas anyag esetén a két fajta belső potenciális energia megegyezik, a rugalmas potenciált rendes és kiegészítő belső potenciális energiaként is számíthatjuk. A potenciális energia mindig pozitív mennyiség, mert deformálatlan állapotban, mint stabilis egyensúlyi állapotban, a potenciális energiának minimuma van. A deformált állapothoz tehát mindig magasabb energiaszint tartozik. Mivel a rugalmas potenciált, (2.12) szerint, a feszültség- és alakváltozás-komponensek egyértelműen meghatározzák, differenciális növekménye teljes differenciálként írható fel: du b =

∂u b ∂u dσ ij + b dε ij . ij ∂ε ij ∂σ

Alkalmazzuk a láncszabályt és az anyagtörvény (2.3/b) alakját:

du b = =

∂u b ∂u b ∂σ kl ∂u b ∂u b ∂σ ij d ε + d ε = d ε + dε ij = kl ij ij ∂ε ij ∂ε ij ∂σ ij ∂ε kl ∂σ kl ∂ε ij

1 1 1 ε kl c klij dε ij + σ ij dε ij = (c klij ε kl + σ ij )dε ij . 2 2 2

(2.11/a)-val összehasonlítva adódik:

σ ij =

(

)

1 klij c ε kl + σ ij , 2

ahonnan σ ij = c klij ε kl , ami (2.3/b)-t is figyelembe véve csak akkor állhat fenn, ha

c ijkl = c klij .

2.10/d

Ez azt jelenti, hogy a merevségi komponensek az első és második indexpárra nézve szimmetrikusak, ill. a cijkl mátrix főátlójára szimmetrikus. Az eddig meghatározott 36 merevségi komponensből hatban az indexpárok cseréje nem jelent változást, mert azok azonosak. A fennmaradó 30 komponens pedig páronként megegyezik. A merevségi tenzor független komponenseinek száma tehát a legáltalánosabb esetben 6 + 15 = 21. Hasonló gondolatmenettel láthatjuk be, hogy az alakíthatósági tenzor független komponenseinek száma is 21. ε kl = ε lk

miatt

sijkl = sijlk .

2.13/a

76

(2.13/a)-ból következik a (2.10/b) választás helyessége. A feszültségi állapot szimmetriája és (2.10/a) alapján: sijkl = sjikl .

2.13/b

Összevontan: sijkl = sjikl = sijlk = sjilk .

2.13/c

A rugalmas potenciál felhasználásával a fentiekhez hasonlóan bizonyíthatjuk az alakíthatósági tenzor komponenseinek első és második indexpárra vonatkozó szimmetriáját: sijkl = sklij ,

2.13/c

tehát az alakíthatósági tenzort reprezentáló mátrix is szimmetrikus saját főátlójára (ami a mátrixalgebra alapján is nyilvánvaló, hiszen egy szimmetrikus mátrixnak az inverze is szimmetrikus). A rugalmas potenciált az általános Hooke-törvény két alakjának megfelelően kifejezhetjük csak az alakváltozási komponensek vagy csak a feszültségkomponensek függvényeként:

ub = ~ ub =

1 ijkl c ε ij ε kl , 2

2.13/a

ub = ~ ub =

1 s ijkl σ ij σ kl . 2

2.13/b

A rugalmas potenciál tehát az alakváltozási komponensek vagy a feszültségi komponensek homogén kvadratikus függvénye. Mivel a rugalmas potenciál mindig pozitív mennyiség, mindkét rugalmas tenzor pozitív definit tenzor. Ez azt jelenti, hogy a tenzorkomponensek értéke nem lehet teljesen tetszőleges, az egyes komponensekre vagy azok bizonyos kombinációira különböző feltételeknek, relációknak kell fennállni (pl. a rugalmas tenzorok mátrixreprezentációjában a fő átló elemei csak pozitívak lehetnek). A testek deformációja során mindig fellépnek hőtani folyamatok is. A termodinamikai értelemben különböző deformációk közül a leglényegesebb az izotermikus és az adiabatikus deformáció. Izotermikus esetben a test hőmérséklete az alakváltozás során nem változik meg. Jó közelítéssel ilyenek a lassan végbemenő, ún. statikus alakváltozási folyamatok. Adiabatikus deformáció során sem a test egyes részei, sem a test és környezete között nincsen hőcsere, a test entrópiája állandó. Ide sorolhatók a gyorsan végbemenő, rezgés jellegű, ún. dinamikus alakváltozási folyamatok. A rugalmas potenciál izotermikus esetben a fajlagos szabad energiával, adiabatikus esetben a fajlagos belső energiával egyenlő. Ezek különbözősége miatt a rugalmas tenzorkomponensek izotermikus és adiabatikus állapotban nem egyeznek meg. S indexszel jelölve az állandó entrópiaszinten végbemenő, adiabatikus deformáció, T indexszel az állandó hőmérsékleten végbemenő, izotermikus deformáció rugalmas állandóit, az adiabatikus és az izotermikus rugalmas tenzorkomponensek között az alábbi kapcsolat vezethető le: ij kl T c Sijkl = c ijkl , 2.14/a T +α α Cε T s Sijkl = s ijkl - α ij α kl

T , Cσ

2.14/b

ahol T - a test abszolút hőmérséklete, Cε - az anyag egységnyi térfogatára vonatkozó hőkapacitása állandó alakváltozás (térfogat) mellett,

77

Cσ - az anyag egységnyi térfogatára vonatkozó hőkapacitása állandó feszültségi állapot mellett, ij α - a gátolt hőkiterjedés feszültségváltozási együtthatóinak két dimenziós tenzora, αij - a szabad hőkiterjedés alakváltozási (hőtágulási) együtthatóinak két dimenziós tenzora. A műszaki gyakorlatban szokásos körülmények között, szilárd testek esetében az izotermikus és adiabatikus rugalmas komponensek között nincs jelentős eltérés (a különbség a legtöbb kristály esetében néhány százalékon belül van). A rugalmas állandók kísérleti meghatározásánál azonban különbséget kell tenni közöttük attól függően, hogy a vizsgálathoz statikus vagy dinamikus terhelést alkalmaznak.

2.1.1. AZ ANIZOTROP ANYAGOK ÁLTALÁNOS HOOKE-TÖRVÉNYÉNEK RÖVIDÍTETT MÁTRIXREPREZENTÁCIÓJA Vezessük be a feszültségi és alakváltozási állapot tenzorkomponenseinek alábbi, egy indexes jelölését: σ1 = σ11 , σ 2 = σ 22 , σ 3 = σ 33 , 2.15/a σ 4 = σ 23 = σ 32 , σ 5 = σ 31 = σ13 , σ 6 = σ12 = σ 21 és ε 1 = ε 11 , ε 2 = ε 22 , ε 3 = ε 33 , ε 4 = 2ε 23 = 2ε 32 , ε 5 = 2ε 31 = 2ε13 , ε 6 = 2ε12 = 2ε 21 .

2.15/b

Alkalmazzuk ezt a jelölésmódot (2.3/b) és (2.6/a) részletesen kiírt alakjára. Példaként bemutatjuk (2.3/b) első és (2.6/a) második skaláregyenletét:

(

)

(

)

σ 11 = c1111ε 11 + c1112 + c1121 ε 12 + c1113 + c1131 ε 13 + c1122 ε 22 +

(

+ c

1123

+c

1132

)ε

23

+c

1133

ε 33 = c

1111

ε1 + c

1122

ε 2 + c1133 ε 3 + c1123 ε 4 +

c1131ε 5 + c1112 ε 6 = c11ε 1 + c12 ε 2 + c13 ε 3 + c14 ε 4 + c15 ε 5 + c16 ε 6 = σ1 ,

2.16

ill. ε 12 = s 1211σ11 + (s 1212 + s 1221 )σ12 + (s 1213 + s 1231 )σ13 +

+ s 1222 σ 22 + (s 1223 + s 1232 )σ 23 + c1233 σ 33 = s 1211σ1 + s 1222 σ 2 +

+ s 1233 σ 3 + 2s 1223 σ 4 + 2s 1231σ 5 + 2s 1212 σ 6 = s 61 σ1 + s 62 σ 2 + ε + s 63 σ 3 + s 64 σ 4 + s 65 σ 5 + s 66 σ 6 = 6 . 2

2.17

Az összes skaláregyenletet az új jelölésmóddal két mátrixegyenletbe foglalhatjuk össze:

[σ ] = [c ][ε ]

,

i,j = 1,2,3,4,5,6,2.18/a

[ε i ] = [s ij ][σ j ]

,

i,j, = 1,2,3,4,5,6,2.19/a

i

ij

j

78

részletesen kiírt formában:

c11 c12 c13 c14 c15 c16   21 22 23 24 25 26  c c c c c c  c 31 c 32 c 33 c 34 c 35 c 36  2 3 4 5 6  1   σ , σ , σ , σ , σ , σ  =   c 41 c 42 c 43 c 44 c 45 c 46   51 52 53 54 55 56  c c c c c c   61 62 63 64 65 66  c c c c c c 

ε 1  ε   2 ε 3   , ε 4  ε 5    ε 6 

s11 s12 s13 s14 s15 s16   σ 1  s s s s s s   2   21 22 23 24 25 26  σ  s s s s s s   3  [ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 , ε 5 , ε 6 ] =  31 32 33 34 35 36  σ 4  , s 41 s 42 s 43 s 44 s 45 s 46  σ  s s s s s s  σ 5   51 52 53 54 55 56   6  s 61 s 62 s 63 s 64 s 65 s 66  σ 

2.18/b

2.19/b

[ ]

ahol c ij és sij a merevségi, ill. az alakíthatósági mátrix. Ha (2.16) és (2.17) analógiájára felírtuk a többi skaláregyenletet is, e mátrixok elemei és a rugalmas tenzorok komponensei közötti kapcsolat egyszerűen megállapítható: c11 = c1111 , c 12 = c 1122 , c13 = c 1133 , c14 = c1123 , c 15 = c 1131 , c16 = c1112 , c 21 = c 2211 , c 22 = c 2222 , c 23 = c 2233 , c 24 = c 2223 , c 25 = c 2231 , c 26 = c 2212 , c 31 = c 3311 , c 32 = c 3322 , c 33 = c 3333 , c 34 = c 3323 , c 35 = c 3331 , c 36 = c 3312 , c 41 = c 2311 , c 42 = c 2322 , c 43 = c 2333 , c 44 = c 2323 , c 45 = c 2331 , c 46 = c 2312 , c 51 = c 3111 , c 52 = c 3122 , c 53 = c 3133 , c 54 = c 3123 , c 55 = c 3131 , c 56 = c 3112 , c 61 = c1211 , c 62 = c 1222 , c 63 = c 1233 , c 64 = c1223 , c 65 = c 1231 , c 66 = c1212 ,

                   

2.20/a

ill.

79

s11 = s1111 , s12 = s1122 , s13 = s1133 ,

                  

s14 = 2s1123 , s15 = 2s1131 , s16 = 2s1112 , s 21 = s 2211 , s 22 = s 2222 , s 23 = s 2233 , s 24 = 2s 2223 , s 25 = 2s 2231 , s 26 = 2s 2212 , s 31 = s 3311 , s 32 = s 3322 , s 33 = s 3333 , s 34 = 2s 3332 , s 35 = 2s 3331 , s 36 = 2s 3312 , s 41 = 2s 2311 , s 42 = 2s 2322 , s 43 = 2s 2333 , s 44 = 4s 2323 , s 45 = 4s 2331 , s 46 = 4s 2312 , s 51 = 2s 3111 , s 52 = 2s 3122 , s 53 = 2s 3133 , s 54 = 4s 3123 , s 55 = 4s 3131 , s 56 = 4s 3112 , s 61 = 2s1211 , s 62 = 2s1222 , s 62 = 2s1233 , s 64 = 4s1223 , s 65 = 4s1231 , s 66 = 4s1212 .

.

2.20/b

A fenti összefüggések alapján megállapítható, hogy a merevségi és alakíthatósági mátrixok is szimmetrikusak főátlójukra. E rövidített írásmód igen szemléletesen mutatja, hogy a független rugalmas állandók száma valóban 21, hiszen a főátlóban 6 elem van, az átlón kívüli 30 elem pedig páronként egyenlő. A rugalmassági mátrixok elemei és a rugalmassági tenzorok komponensei közötti kapcsolatot mátrixreprezentációik egymásnak ellentétes komponensükkel való kifejezésével is szemléltethetjük. A merevségi tenzor mátrixreprezentációja a merevségi mátrix elemeivel kifejezve:

c11  61 c c 51  c 61 c ijkl  = c 21     41 c c 51  41 c  31 c

c13   c 64 c 63  c 54 c 53   c 64 c 63   c 24 c 23  .  c 44 c 43  c 54 c 53   c 44 c 43   c 34 c 33 

c16 c15 c16 c12 c14 c15 c14 c 66 c 65 c 66 c 62 c 64 c 65 c 56 c 55 c 56 c 52

c 54 c 55

c 66 c 65 c 66 c 62

c 64 c 65

c 26 c 25 c 26 c 22

c 24 c 25

c 46 c 45 c 46 c 42

c 44 c 45

c 56 c 55 c 56 c 52

c 54 c 55

c 46 c 45 c 46 c 42 c 44 c 45 c 36 c 35 c 36 c 32 c 34 c 35

A merevségi mátrix a merevségi tenzorkomponensekkel kifejezve:

c1111  2211 c  3311 c ij  = c   c 2311  3111 c  1211 c

c1122

c1133

c1123

c1131

c 2222

c 2233

c 2223

c 2231

c 3322

c 3333

c 3323

c 3331

c 2322

c 2333

c 2323

c 2331

c 3122

c 3133

c 3123

c 3131

c1222

c1233

c1223

c1231

c1112   c 2212  c 3312  . c 2312   c 3112   c1212 

80

Hasonlóan írhatjuk az alakíthatósági tenzort és mátrixot is:

[s ] ijkl

 s 11 s / 2  61 s 51 / 2  s 61 / 2 =  s 21  s 41 / 2 s / 2  51 s 41 / 2  s  31

s 16 / 2 s 15 / 2 s 16 / 2

s 12

s 14 / 2 s 15 / 2 s 14 / 2

s 66 / 2 s 65 / 2 s 66 / 4 s 62 / 2 s 64 / 4 s 65 / 4 s 64 / 4 s 56 / 4 s 55 / 4 s 56 / 4 s 52 / 2 s 54 / 4 s 55 / 4 s 54 / 4 s 66 / 4 s 65 / 4 s 66 / 4 s 62 / 2 s 64 / 4 s 65 / 4 s 64 / 4 s 26 / 2 s 25 / 2 s 26 / 2

s 22

s 24 / 2 s 25 / 2 s 24 / 2

s 46 / 4 s 45 / 4 s 46 / 4 s 42 / 2 s 44 / 4 s 45 / 4 s 44 / 4 s 56 / 4 s 55 / 4 s 56 / 4 s 52 / 2 s 54 / 4 s 55 / 4 s 54 / 4 s 46 / 4 s 45 / 4 s 46 / 4 s 42 / 2 s 44 / 4 s 45 / 4 s 44 / 4 s 36 / 2 s 35 / 2 s 36 / 2

s 32

s 34 / 2 s 35 / 2 s 34 / 2

s 13  s 63 / 2 s 53 / 2  s 63 / 2 s 23  ,  s 43 / 2 s 53 / 2  s 43 / 2 s 32 

 s 1111 s 1122 s 1133 2s 1123 2s 1131 2s 1112   s   2211 s 2222 s 2233 2s 2223 2s 2231 2s 2212   s 3311 s 3322 s 3333 2s 3323 2s 3331 2s 3312  s ij =  . 2s 2311 2s 2322 2s 2333 4s 2323 4s 2331 4s 2312  2s 2s 2s 4s 4s 3131 4s 3112   3111 3122 3133 3123  2s 1211 2s 1222 2s 1233 4s 1223 4s 1231 4s 1212 

[ ]

A (2.18) és (2.19) összefüggésekből nyilvánvaló. hogy a merevségi és az alakíthatósági mátrixok egymásnak inverzei. Az átszámítást a következő formulák alapján végezhetjük: ji s  = c ij  = [C ] ,  ij    [ ij ]

2.21/a

det c

ahol C

ji

- a merevségi mátrix c ij eleméhez tartozó előjeles aldeterminánsa, vagyis

[C ] = adj[c ] ji

ij

a C ji mátrix a c ij mátrix adjungáltja. A fordított összefüggés:

cij = sij

−1

=

S ji det sij

2.21/b

,

ahol S ji = adj sij .

A rugalmas potenciál a rövidített jelölésmódban: ub =

1 i 1 σ ε i = cijε i ε j , 2 2

i,j = 1,2,3,4,5,6,

2.22/a

81

vagy ub =

1 2

sijσ i σ j ,

i,j = 1,2,3,4,5,6.

2.22/b

Természetesen most is helytálló az az állítás, hogy a rugalmas potenciál a deformációkomponensek, ill. a feszültségkomponensek homogén kvadratikus függvénye, valamint, hogy - u b 〉 0 miatt - a merevségi mátrix és az alakíthatósági mátrixok pozitív definit mátrixok. Ez azzal a következménnyel jár, hogy a rugalmas mátrixokból kiválasztott 11

c11,

12

c c

c21 c22

c11 c12 c13

[ ]

, c21 c22 c23 , ..., det cij 31

32

c c c

2.23

33

aldeterminánsok mindegyike pozitív (Sylvester-féle kritérium). Tudjuk azonban, hogyha a mátrixban páros számú sorcserét hajtunk végre, a determináns értéke nem változik meg (a sorcsere gyakorlatilag azt jelenti, hogy (2.18/b)-ben a feszültségi és alakváltozási komponensek sorrendjét tetszőlegesen, de egymással párhuzamosan megcseréljük, aminek semmi akadálya sincs, hiszen az első sorrend is önkényes volt). A páros sorcserével előállított mátrixok (2.23) szerinti determinánsainak értékei is mind nagyobbak nullánál. A hat komponenst 6!féleképpen lehet sorrendbe rakni s ezek fele páros cserének felel meg. Az összesen felírható 360 reláció között lesznek azonosak is, de még így is sok olyan egyenlőtlenségi kifejezés marad az egyes mátrixelemekre, ill. azok különböző függvényeire, amelyek a gyakorlati vizsgálatok során nyert anyagállandók helyességének megítélésében fontos szerepet játszanak. A fenti megállapítások nemcsak a merevségi, hanem az alakíthatósági mátrix elemeire is értelemszerűen érvényesek.

2.1.2. A RUGALMAS ÁLLANDÓK KAPCSOLATA A TECHNIKAI ÁLLANDÓKKAL A rugalmassági tenzorok, ill. mátrixok komponensei, melyek matematikai szempontból az anizotrop általános Hooke-törvény lineáris egyenletrendszerének együtthatóit jelentik, különböző fizikai tartalommal rendelkeznek. Izotrop anyag esetén az alapigénybevétel jellegének megfelelően 3 rugalmas állandót (ezek közül csak 2 független) szoktak megkülönböztetni. Ezek igen szemléletesek és fizikailag jól értelmezhetők. E-vel jelöljük az ún. Young-féle moduluszt, amely egytengelyű normáligénybevétel esetén az E = σ/ε összefüggésnek megfelelően az egységnyi fajlagos hosszváltozáshoz szükséges (fiktív) feszültség. G-vel jelöljük a nyírórugalmassági moduluszt, amely tiszta nyírásnál a G = τ/γ összefüggésnek megfelelően az egységnyi szögváltozáshoz szükséges (fiktív) nyírófeszültség. Mindkét modulusz feszültség dimenziójú mennyiség, praktikus mértékegységük [MPa] vagy [GPa]. ν-vel jelöljük a kereszt (haránt) irányú deformáció tényezőjét (más néven Poissontényező), amely a normálfeszültség hatására létrejött, a normálfeszültség hatásvonalára merőleges irányba eső fajlagos hosszváltozásnak és a normálirányú hosszváltozásnak negatív hányadosa,. azaz ν = -εkereszt/εhossz. A Poisson-tényező dimenzió nélküli puszta szám. A fenti anyagjellemzőket rugalmas technikai állandóknak nevezzük részben a mechanikailag szemléletes definíció miatt, részben azért, mert ezek a definíciók egyben gyakorlati meghatározásuk technikai módszerét is konkretizálják.

82

Anizotrop anyag esetén a rugalmas technikai állandók természetesen függvényei annak, hogy a feszültségek milyen irányban, ill. milyen síkon hatnak. A különböző irányokhoz tartozó rugalmas technikai állandók azonban alkalmasan kialakított próbatesteken egyszerű normál- és tiszta nyíróigénybevétel alkalmazásával elvileg viszonylag könnyen meghatározhatók. Összetett feszültségi állapotot feltételezve az anizotrop általános Hooke-törvényt a rugalmas technikai állandókkal a (2.19/b)-nek megfelelő alakban a következőképpen írhatjuk fel:

 λ 11 E  1  λ 12  E1 λ  13 [ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 , ε 5 , ε 6 ] =  λE1 14   E1  λ 15 E  1  λ 16  E 1

λ 21 E2 λ 22 E2 λ 23 E2 λ 24 E2 λ 25 E2 λ 26 E2

λ 31 E3 λ 32 E3 λ 33 E3 λ 34 E3 λ 35 E3 λ 36 E3

λ 41 G4 λ 42 G4 λ 43 G4 λ 44 G4 λ 45 G4 λ 46 G4

λ 51 G5 λ 52 G5 λ 53 G5 λ 54 G5 λ 55 G5 λ 56 G5

λ 61  G6   λ 62   1 G 6 σ  2 λ 63  σ   3 G 6  σ  , λ 64  σ 4   G 6  σ 5  λ 65   6  σ  G6   λ 66  G 6 

2.24

ahol Ei (i = 1 vagy 2 vagy 3) - az i irányhoz tartozó, Young-féle rugalmassági modulusz, Gi (i = 4 vagy 5 vagy 6) - az i jelhez tartozó, azaz a 2,3 vagy 3,1 vagy 1,2 tengelyek közötti szögváltozásnak megfelelő nyírórugalmassági modulusz, λ ij (i,j = 1,2,3,4,5,6) - kölcsönhatási (interaktív) tényező, amely azt fejezi ki, hogy valamelyik σi feszültségkomponens a jellegének megfelelő fajlagos alakváltozás hányszorosát hozza létre az εj alakváltozási komponensben. Pl. a σ3 = σ33 normálfeszültség a hatásvonalának megfelelő irányban ε3 = ε33 = σ3/E3 fajlagos hosszváltozást hoz létre, ugyanakkor a 2,3 tengelyek között ε4 = 2ε23 = λ34ε3 = λ34σ3/E3 nagyságú szögváltozást okoz, vagy az 1-es irányban fellépő hosszváltozás ε1 = ε11 = λ31ε3 = λ31σ3/E3 , s így tovább. A kölcsönhatási tényezők dimenzió nélküli puszta számok. Definíciójukból következik, hogy λii = 1, tehát (2.24)-ben felírt mátrix főátlójában lévő elemek számlálója 1. A kölcsönhatási tényező az i,j = 1,2,3 esetben kifejezhető a keresztirányú deformáció tényezőjével: λij = -νij , ha i,j = 1,2,3 és i ≠ j.

2.25

A ν23 jelű Poisson-tényező a σ2 normálfeszültség hatására fellépő 3-as irányú hosszváltozásának szorzótényezője: ε3 = λ23ε2 = -ν23σ2/E2 . Az alakíthatósági mátrix elemeinek és a rugalmas technikai állandóknak a kapcsolatát röviden összefoglalhatjuk: sij =

λ ij Ej

, ha

j = 1,2,3

és

i = 1,2,3,4,5,6 ,

83

sij =

λ ji Gj

, ha

j = 4,5,6

és

i = 1,2,3,4,5,6 ,

2.26

valamint λii = 1 és (2.25) is érvényes. Könnyen összeszámolhatjuk, hogy általános anizotropia esetén a rugalmas technikai állandók száma 36, 3 Young-féle modulusz, 3 nyírórugalmassági modulusz és 30 kölcsönhatási tényező. Ezek azonban nem teljesen függetlenek egymástól, hiszen az alakíthatósági mátrix szimmetriája miatt (2.24) mátrixában a főátlóra szimmetrikus elemek páronként egyenlők (vigyázzunk nem a kölcsönhatási tényezők egyenlők, azaz λij ≠ λji). Például λ 21 E2

=

vagy

λ 61 G6

=

λ 12 E1 λ 16 E1

=−

ν 21 E2

=−

ν12 E1

,

stb.

Végeredményben tehát a független technikai rugalmas állandók száma is 21. A technikai rugalmas állandókkal kifejezhetjük a merevségi mátrix elemeit is (2.24) inverzének meghatározásával. A merevségi komponensek technikai rugalmas állandókkal való kifejezésének nincs nagy gyakorlati jelentősége, mert a technikai rugalmas állandók kísérleti meghatározásának módszere szinte kivétel nélkül azon alapszik, hogy önkényesen megválasztott igénybevételhez, ill. feszültségi állapothoz megmérjük az alakváltozási jellemzőket és a (2.24) egyenletrendszerből, amely sokszor egyetlen egy egyenletté fajul, kiszámíthatjuk az ismeretlen technikai rugalmas állandókat. Ezek felhasználásával az alakíthatósági és a merevségi mátrixok komponensei már egyszerűen számíthatók (2.26) és (2.21) felhasználásával.

2.1.3. A RUGALMAS ÁLLANDÓK VÁLTOZÁSA A KOORDINÁTARENDSZER ELFORGATÁSAKOR A rugalmas tulajdonságok leírása szempontjából a koordináta-transzformációnak elsősorban az a speciális esete fontos, mikor az eredeti koordinátarendszert saját kezdőpontján átmenő tengely körül merevtestszerűen elforgatjuk. Az anyagtenzorok megadásakor leggyakrabban derékszögű koordinátarendszert használunk. Derékszögű koordinátarendszerben azonban nincs különbség egy tenzor kovariáns és kontravariáns reprezentációja között, ezért a tenzorkomponensek transzformációját is elegendő pl. a kovariáns komponensekre részletezni. A kontravariáns komponensek transzformációját megadó összefüggések formailag teljesen azonosak. Jelöljük a rugalmas anyagtenzorok kovariáns komponenseit tijkl-lel, e négy dimenziós tenzor komponenseinek transzformációs szabálya (1.22) alapján: t i ' j'k 'l ' = t ijkl β ii 'β jj'β kk 'β ll '

i,j,k,l = 1,2,3

, i',j',k',l' = 1',2',3', .

2.27

Ha felhasználjuk, hogy a rugalmas állandók közül csak 21 független és (2.27)-ben elvégezzük a lehetséges összevonásokat, a transzformációs szabályra egy elég hosszú, de szerkezetében jól áttekinthető összefüggésekhez jutunk:

84

t i ' j'k 'l ' = t 1111β1i 'β1j'β1k 'β1l ' +

( ) (β β β β + β β β β ) + (β β β β + β β β β + β β β β (β β β β + β β β β + β β β β (β β β β + β β β β + β β β β (β β β β ) + (β β β β + β β β β ) + (β β β β + β β β β + β β β β (β β β β + β β β β + β β β β (β β β β + β β β β + β β β β (β β β β ) + (β β β β + β β β β + β β β β (β β β β + β β β β + β β β β (β β β β + β β β β + β β β β (β β β β + β β β β + β β β β

+ t 1122 β1i 'β1j'β 2k 'β l2' + β i2' β 2j'β1k 'β1l ' + + t 1133 + t 1123 + t 1131 + t 1112 + t 2222 + t 2233 + t 2223 + t 2231 + t 2212 + t 3333 + t 3323 + t 3331 + t 3312 + t 2323

1 1 i ' j'

3 k'

3 l'

3 i'

1 1 i ' j'

2 k'

3 l'

1 1 i ' j'

1 1 i ' j'

3 1 k ' l'

1 1 1 i ' j' k '

2 l'

2 i'

2 j'

2 k'

2 l'

2 i'

2 j'

3 k'

2 i'

2 j'

2 k'

2 i'

2 j'

2 i'

2 1 j' k '

2 l'

3 i'

3 j'

3 k'

3 l'

3 i'

3 j'

2 k'

3 i'

3 j'

3 i'

3 1 j' k '

2 i'

3 j'

3 1 1 j' k ' l ' 3 k'

2 l'

2 i'

1 1 1 i ' j' k '

3 l'

3 1 1 1 i ' j' k ' l '

1 1 i ' j'

2 1 k ' l'

3 l'

3 i'

3 j'

2 k'

2 l'

3 l'

2 i'

2 j'

2 k'

3 1 k ' l'

2 i'

2 1 j' k '

2 i'

2 j'

3 l'

3 i'

3 j'

3 1 k ' l'

2 k'

3 1 1 j' k ' l '

2 i'

1 1 1 j' k ' l '

3 l'

2 i'

3 j'

2 k'

2 l'

3 l'

3 1 i ' j'

2 k'

2 l'

2 1 k ' l'

1 i'

2 j'

2 k'

2 l'

3 k'

2 l'

2 i'

3 j'

3 k'

3 l'

3 i'

3 1 j' k '

3 l'

3 1 i ' j'

3 k'

3 l'

2 l'

3 i'

3 j'

2 1 k ' l'

1 i'

2 j'

3 k'

3 l'

3 l'

2 i'

3 j'

3 k'

3 i'

2 j'

3 k'

2 l'

2 l'

) + β β β β )+ + β β β β )+ + β i3'β 2j'β1k 'β1l ' + 1 i'

3 1 1 j' k ' l '

1 i'

2 1 1 j' k ' l '

) + β β β β )+ + β β β β )+ + β i3'β 2j'β 2k 'β l2' + 1 i'

3 j'

2 k'

2 l'

2 i'

1 j'

2 k'

2 l'

) + β β β β )+ + β β β β )+ + β β β β )+ + β i3'β 2j'β 3k 'β 3l ' + 1 i'

3 j'

3 k'

3 l'

2 i'

1 j'

3 k'

3 l'

3 i'

2 j'

2 k'

3 l'

2.28

+ t 2331 (β i2' β 3j'β 3k 'β1l ' + β i2' β 3j'β1k 'β 3l ' + β i3'β 2j'β 3k 'β1l ' + β i3'β 2j'β1k 'β 3l ' + + β i3'β1j'β 2k 'β 3l ' + β1i 'β 3j'β 2k 'β 3l ' + β i3'β1j'β 3k 'β l2' + β1i 'β 3j'β 3k 'β l2' ) +

+ t 2312 (β i2' β 3j'β1k 'β l2' + β i2' β 3j'β k2 'β1l ' + β i3'β 2j'β1k 'β l2' + β i3'β 2j'β k2 'β1l ' + + β1i 'β 2j'β 3k 'β l2' + β1i 'β 2j'β k2 'β 3l ' + β i2' β1j'β k2 'β 3l ' + β i2' β1j'β 3k 'β l2' ) +

(

)

+ t 3131 β i3'β1j'β1k 'β 3l ' + β i3'β1j'β 3k 'β1l ' + β1i 'β 3j'β 3k 'β1l ' + β1i 'β 3j'β1k 'β 3l ' + + t 3112 (β i3'β1j'β1k 'β l2' + β i3'β1j'β k2 'β1l ' + β1i 'β 2j'β 3k 'β1l ' + β1i 'β 2j'β1k 'β 3l ' + + β i2' β1j'β1k 'β 3l ' + β i2' β1j'β 3k 'β1l ' + β1i 'β 3j'β k2 'β1l ' + β1i 'β 3j'β1k 'β l2' ) +

(

+ t 1212 β1i 'β 2j'β1k 'β l2' + β1i 'β 2j'β k2 'β1l ' + β i2' β1j'β k2 'β1l ' + β i2' β1j'β1k 'β l2'

)

A fenti kifejezésben a 21 független tenzorkomponensnek megfelelő összesítésben kapjuk meg az elforgatott koordinátarendszerhez tartozó komponensek értékét. Ha (2.28) bal és jobb oldalán elvégezzük a (2.20/a,b) helyettesítést, azaz a tenzorkomponenseket kifejezzük a merevségi vagy az alakíthatósági mátrix elemeivel, az összefüggések megadják a mátrixkomponensek transzformációs szabályát (ne felejtsük el, hogy a mátrixkomponensek - jóllehet tenzorkomponensek különböző függvényeiként alakultak ki - nem tenzorkomponensek, transzformációjuk nem a (2.27) szabály szerint történik, a (2.27) összefüggés a mátrixkomponensekre már formailag sem végezhető el). A számítás konkrét kivitelezése során úgy célszerű eljárni, hogy a tenzorkomponenseket használjuk fel, mert azok négy indexe határozza meg, hogy milyen iránycosinuszokat kell alkalmazni. A transzformált tenzorkomponensből végül (2.20/a,b)-vel meghatározzuk a transzformált mátrixelemeket.

85

2.1.4. A SZIMMETRIAELEMEK HATÁSA A RUGALMAS TENZOROK FÜGGETLEN KOMPONENSEINEK SZÁMÁRA Az 1.2. fejezetben beláttuk, hogy a szimmetriaelemeknek megfelelő transzformáció a fizikaimechanikai tulajdonságok leírása szempontjából semmilyen változást nem jelent. Ez azt jelenti, hogy a tulajdonságot leíró tenzor komponensei egyformák az eredeti és a szimmetriaelemnek megfelelő transzformált, új koordinátarendszerben. A fenti felismerésnek fontos következménye van a független rugalmas állandók számára. A szimmetriaelemnek megfelelő, transzformált koordinátarendszerben a t i ' j'k 'l ' tenzorkomponensnek meg kell egyeznie az eredeti koordinátarendszer tijkl komponensével. Ha felírjuk a tenzorkomponensekre a (2.28) összefüggést, a t ijkl = t i ' j'k 'l ' egyenlőség alapján bizonyos komponenseknek nullával kell egyenlőnek lenniük, néhány között pedig függvénykapcsolatot állapíthatunk meg. Ilyen módon a nullától különböző és az egymástól független tenzorkomponensek száma az eredeti 21-hez képest csökkenhet. Minél több szimmetriaelemmel rendelkezik az anyag, annál kevesebb a független rugalmas jellemzők száma. A rugalmas állandók számának csökkenését a rugalmas potenciál felhasználásával is beláthatjuk. A rugalmas potenciál skalár mennyiség, értéke tehát a koordinátarendszer felvételétől független. Ha felírjuk a rugalmas potenciált - pl. a (2.13/a,b) formában - mind a két koordinátarendszerben és a vesszős koordinátarendszerbeli feszültség-, ill. alakváltozáskomponenseket a két dimenziós tenzor transzformációjának megfelelően kifejezzük a vesszőtlen koordinátarendszerbeli feszültség-, ill. alakváltozás-komponensekkel és a megfelelő iránycosinuszokkal, az eredményül kapott egyenlőségből a rugalmas állandókra az előző módszerrel kapott megállapításokat tehetjük. Mindkét eljárás azonos értékű és természetesen azonos eredményre vezet. Határozzuk meg, hogy az egyes szimmetriaelemek külön-külön milyen mértékben csökkentik a rugalmas állandók számát.

1. Centrális tükrözés (inverzió) A centrális tükrözés transzformáció mátrixát (1.4) adja, vagyis β11' = β 22' = β 33' = −1, a többi nulla. Számítsuk ki (2.28) felhasználásával a t1111 ' ' ' ' tenzorkomponens értékét melyről tudjuk, hogy t1111 -gyel kell egyenlőnek lennie:

t 1'1'1'1' = t 1111 = t 1111 (− 1) + t 1122 .0 + ... + 0 = t 1111 , 4

az egyenlőség tehát azonosan kielégül. Ez a feltétel nem változtatja meg a független tenzorkomponensek számát. Hasonló azonosságokat kapunk a fennmaradó 20 komponensre, ami azt jelenti, hogy a centrális tükrözésnek megfelelő szimmetriaelem nem csökkenti a rugalmas állandók számát.

2. Síktükrözés (1.14) alapján beláttuk, hogy a síktükrözés azonos a kétfogású inverziós forgatótengellyel. Legyen a szimmetriasík az x1,x2 tengelyek által alkotott sík, vagy az x3 tengely a forgatótengely. A transzformáció mátrixát (1.5) képviseli, azaz β11' = β22' = 1 , β33' = −1 , a többi nulla. Írjuk fel néhány tenzo-rkomponens transzformációs összefüggését (2.28) alapján:

86

t 1'1'1'1' = t 1111 = t 111114 + 0 + ... + 0 = t 1111 , t 1'1' 2' 2' = t 1122 = t 1111 .0 + t 1122 1212 + 0 + ... + 0 = t 1122 , t 1'1'3'3' = 0 + 0 + t 113312 (− 1) + 0 + ... + 0 = t 1133 , 2

t 1'1' 2'3 ' = 0 + 0 + 0 + t 112313 (− 1) + 0 + ... + 0 = − t 1123 ,

t 1'1'3'1' = 0 + 0 + 0 + 0 + t 113113 (− 1) + 0 + ... + 0 = − t 1131 ,

mint megállapítható, az első három egyenlőség azonosan teljesül, a síktükrözésnek ezekre a komponensekre nincsen hatása. A negyedik és ötödik egyenlőség azonban csak akkor áll fenn, ha t1123 = 0 és t1131 = 0. Ha felírjuk a többi transzformációs összefüggést, még 6 tenzorkomponens értékét kell nullával egyenlővé tennünk. A 21 független tenzorkomponensből 8 nullával egyenlő. Ezek t1123 = t1131 = t2223 = t2231 = t3323 = t3331 = t2312 = t3112 = 0 .

2.29

Így, ha az anyag rendelkezik egy szimmetriasíkkal, vagy egy kétfogású inverziós forgatótengellyel, a független rugalmas állandók száma 13-ra csökken.

3/. Kétfogású forgatótengely Legyen a forgástengely az x3 koordinátatengely. n = 2 esetén (1.10) alapján a transzformációs mátrix komponensei: β11' = β22' = −1 , β33' = 1 , a többi nulla. A mátrix ugyanolyan alakú, mintha egy síktükrözés után inverziót is végeznénk. Az inverzió azonban, mint az előbb beláttuk, nem változtatja meg a független komponensek számát, így a kétfogású forgatótengely ugyanolyan hatású, mint a tengelyre merőleges síkú tükrözés. (2.29) itt is érvényes, s a független rugalmas állandók száma 13. 3/b. Háromfogású forgatótengely Válasszuk megint az x3 koordinátatengelyt forgatótengelynek. (1.10)-ben a ϕ = 2π/3 helyettesítést elvégezve, az iránycosinuszokra a következő értékeket kapjuk, β11' = β 22 ' = −

1 2

, β12 ' = −

3 2

, β12' =

3 2

, β 33' = 1 , a többi nulla. Írjuk fel (2.28)-at az alábbi 6

tenzorkomponensre:

1 6 4 3 9 12 3 12 + t1122 − t1112 + t 2222 − t 2212 + t1212 , 16 16 16 16 16 16 3 10 4 3 3 4 3 12 t1'1'2 '2 ' = t1122 = t1111 + t1122 + t1112 + t 2222 + t 2212 − t1212 , 16 16 16 16 16 16 3 2 3 8 3 3 4 3 t1'1'1'2 ' = t1112 = t1111 + t1122 − t1112 − t 2222 + t 2212 0 + t1212 , 16 16 16 16 16 9 6 12 3 1 4 3 12 t 2' 2' 2 '2 ' = t 2222 = t1111 + t1122 + t1112 + t 2222 + t 2212 + t1212 , 16 16 16 16 16 16 3 3 2 3 13 8 4 3 t 2' 2'1'2 ' = t 2212 = t1111 − t1122 + t1112 0 − t 2222 − t 2212 − t1212 , 16 16 16 16 16 3 6 4 3 3 4 3 4 t1' 2 '1'2 ' = t1212 = t1111 − t1122 − t1112 + t 2222 + t 2212 + t1212 . 16 16 16 16 16 16 t1'1'1'1' = t1111 = t1111

87

A fenti egyenletrendszert megoldva kapjuk: t1112 = t 2212 = 0, t1111 = t 2222 ,

t1212 =

1 ( t1111 − t1122 ) . 2

2.30/a

Tovább folytatva a transzformációs összefüggések felírását - a többi összefüggés egy vagy maximum két egyenletből álló, egyenletrendszerre esik szét - az alábbi megállapításokat tehetjük: t1133 = t 2233 ,

t 2323 = t 3131,

t 3323 = t 3331 = t 3312 = t 2331 = 0

  

2.30/b

és t1123 = - t2223 = t3112,

t2231 = - t1131 = t2312 .

2.30/c

Háromfogású forgatótengely esetén 6 tenzorkomponens nulla és 8 a fennmaradók függvénye. A független rugalmas állandók száma tehát 7.

3/c. Négyfogású forgatótengely Ha x3-at választjuk forgatótengelynek, (1.10) szerint a transzformáció iránycosinuszai: β12' = −1, β1'2 = 1, β33' = 1, a többi nulla, mert ϕ = π 2. Felírva a komponensek transzformációs összefüggéseit, a következő megállapításokat tehetjük: t 1123 = t 1131 = t 2223 = t 2231 = t 3323 = t 3331 = t 3312 = t 2331 = t 2312 = 0 , valamint t 1111 = t 2222 , t 2323 = t 3131 , t 2233 = t 1133 , t 1112 = − t 2212 .

2.31

10 komponens nullával egyenlő, 4 a többinek függvénye. A független rugalmas állandók száma itt is 7.

3/d. Hatfogású forgatótengely Ismét az x3 tengelyt véve forgatótengelynek, a ϕ = π 3 -nak megfelelően a transzformációs mátrix komponensei: β11' = β22 ' =

1 2

, β12 ' = −

3 2

, β33' = 1, a többi nulla.

Ezekkel az iránycosinuszokkal ugyanazt a hat egyenletből álló egyenletrendszert kapjuk, mint háromfogású forgatótengely esetén azzal a különbséggel, hogy a 3 -at tartalmazó tagok előjele az ellenkezőjére változik. Az egyenletrendszer megoldása (2.30/a)-t adja. Hasonlóan érvényben maradnak a (2.30/b) megállapítások is. A (2.30/c) összefüggések helyett azonban a következőket kapjuk: t1123 = t1131 = t2223 = t2231 = t2312 = t3112 = 0 2.32 Itt 12 komponens nulla és 4 a többinek függvénye. A független rugalmas állandók száma 5.

3/e. Végtelen-fogású forgatótengely Ha az x3 tengelyre merőleges síkban minden irány ekvivalens, a forgatótengely végtelenfogású, hiszen az x1 és x2 tengelyeket tetszőlegesen kis szöggel elforgatva a rugalmas állandók nem változhatnak meg. Könnyen beláthatjuk, hogy a rugalmas állandók rendszere azonos lesz a hatfogású forgatótengelynél meghatározottal. A transzotrop anyagok rugalmas tulajdonságait tehát 5 független adattal jellemezhetjük.

88

4. n-fogású tükröző forgatótengely Ez a szimmetriaelem különböző hatással lehet a független rugalmas állandók számára. Az állandók számának csökkenése n értékétől függ. Az állandók számát úgy határozzuk meg, hogy először meghatározzuk az n-fogású egyszerű forgatótengelynek megfelelő független komponensek számát, majd ezekre még alkalmazzuk a forgatótengelyre merőleges síktükrözést. Az (1.12) összefüggésnek megfelelő speciális esetben, a kétfogású tükröző forgatótengely nincs hatással a rugalmas állandók számára, hiszen az a centrális tükrözéssel egyenértékű . 5. n-fogású inverziós forgatótengely Mivel a centrális tükrözés nem változtatja meg a rugalmas állandók számát, ez a szimmetriaelem a független rugalmas állandók számát tekintve egyenértékű az n-fogású egyszerű forgatással. Abban az esetben, amikor az anyag egyszerre többfajta szimmetriaelemmel is rendelkezik, a független rugalmas állandók számának meghatározásánál hasonlóan járunk el, mint az előző pontokban tárgyalt, összetett szimmetriaelemek vizsgálatánál. Meghatározzuk az egyik szimmetriaelemnek megfelelő tenzorkomponensek számát, majd erre alkalmazzuk az új szimmetriaelemet, és így tovább. Az eljárás végén megmaradó független komponensek száma adja az anyag jellemzéséhez szükséges adatok számát.

2.1.5. A RUGALMASSÁGUK ALAPJÁN KÜLÖNBÖZŐ KRIS-TÁLYRENDSZEREKBE TARTOZÓ ANYAGOK JELLEMZÉSÉHEZ SZÜKSÉGES FÜGGETLEN ÁLLANDÓK SZÁMA

I. Triklin rendszer E rendszerben vagy nincs semmilyen szimmetriaelem vagy csupán szimmetriacentrum van, ami, mint láttuk, nem csökkenti a független állandók számát. A triklin rendszer rugalmas mátrixát (2.18/b), ill. (2.19/b) jellemzi, a független rugalmas állandók száma; N = 21. II. Monoklin rendszer Szimmetriaelemként egy kétfogású forgatótengely vagy egy szimmetriasík fordul elő. Ha a forgatótengely, ill. a szimmetriasík normálisa az x3 koordinátatengellyel esik egybe, (2.29) érvényes. A merevségi mátrix: c11  12 c c13 c ij =  0 0  16 c

[ ]

c12

c13

0

0

c 22

c 23

0

0

c 23

c 33

0

0

44

c 45

0

0

c

0

0

c 45

c 55

c 26

c 36

0

0

c16   c 26  c 36   . 0 0  c 66 

2.33

Ugyanilyen felépítésű az alakíthatósági mátrix, c helyett csupán s-t kell írni. A független komponensek száma; N = 13. III. Rombikus rendszer A rombikus rendszer legfontosabb jellemzője a három egymásra merőleges kétfogású forgatótengely, vagy ami ezzel egyenértékű, három egymásra merőleges szimmetriasík. Ha a koordi-

89

nátatengelyeket a forgatótengelyekkel vagy a szimmetriasíkok normálisával egybeesőnek vesszük fel és a szimmetriaelemeknek megfelelő transzformációt egymás után háromszor elvégezzük, az alábbi merevségi mátrixot kapjuk:

c11  12 c c13 c ij =  0 0   0

[ ]

c12

c13

0

0

c

22

c

23

0

0

c

23

c

33

0

0

0

0

44

0

0

0

0

c 55

0

0

0

0

c

0  0 0  . 0 0  c 66 

2.34

Ugyanilyen felépítésű az alakíthatósági mátrix. A független rugalmas állandók száma; N = 9.

IV. Hexagonális rendszer A hexagonális rendszer minden osztályában található egy hatfogású egyszerű vagy tükröző vagy inverziós forgatótengely. A (2.30/a), (2.30/b), és a (2.32) megállapítások mindegyik osztályban érvényesek, ha a forgatótengely egybeesik az x3 tengellyel. A merevségi mátrix:   c11 c12 c13 0 0 0  12  22 13 c c 0 0 0 c   c13 c13 c 33 0 0 0 ij   2.35 c = 0 0 c 44 0 0 0   0 0 0 0 c 44 0  1 11 12  0 0 0 0 c −c  0 2  

[ ]

(

)

Az alakíthatósági mátrix hasonló felépítésű, de az utolsó elem változik, s66 = 2(s11-s12). A független állandók száma; N = 5.

V. Trigonális rendszer Azokban az osztályokban, amelyekben a fő szimmetriaelem egy háromfogású forgatótengely található, s ez egybeesik az x3 tengellyel a (2.30/a,b,c) megállapítások a mérvadóak. A merevségi mátrix:

 c11  12 c c13 ij c =  14 c c15  0 

[ ]

c12 c11

c13 c13

c14 − c14

c15 − c15

c13 − c14 − c15

c 33 0 0

0 c 44 0

0 0 c 44

0

0

− c15

c14

    0  . 15 −c   c14 1 11 12  (c − c )  2 

0 0

2.36

Az alakíthatósági mátrixban a betűcserén kívül az s66 = 2(s11-s12) , s46 = -2s15 éss56 = 2s14 változást kell végrehajtani. A független rugalmas állandók száma; N = 7 .

90

Ha a háromfogású forgatótengelyeken kívül a tengelyre merőlegesen még egy kétfogású forgatótengely is létezik (x3 a háromfogású, x1 a kétfogású forgatótengellyel esik egybe), a merevségi mátrix:

c11  12 c c13 ij c =  14 c 0  0 

[ ]

c12 c11

c13 c13

c14 − c14

0 0

c13 − c14 0

c 33 0 0

0 c 44 0

0 0 c 44

0

0

0

c14

    0  . 0  14  c 1 11 12  (c − c )  2 

0 0

2.37

Az alakíthatósági mátrixban végrehajtandó változás:s66 = 2(s11-s12) és s56 = 2s14 . A független rugalmas állandók száma; N = 6.

VI. Tetragonális rendszer Ha a fő szimmetriaelem egy négyfogású forgatótengely és ez egybeesik az x3 koordinátatengellyel, a (2.31) megállapítások érvényesek. A merevségi mátrix: c11  12 c c13 c ij =  0 0  16 c

[ ]

c12

c13

0

0

c11

c13

0

0

13

33

c 0

c 0

0 c 44

0 0

0

0

0

c 44

− c16

0

0

0

c16   − c16  0   , 0  0   c 66 

2.38

Az alakíthatósági mátrix ugyanilyen szerkezetű. A független állandók száma; N = 7. Ha a fő forgatótengely mellett - arra merőlegesen - még egy kétfogású forgatótengely is található (az x2 és x1 tengellyel azonos irányban), a merevségi mátrix:

c11  12 c c13 c ij =  0 0   0

[ ]

c12

c13

0

0

11

13

0

0

c 33

0

0

44

0

c

c13

c

0

0

c

0

0

0

c 44

0

0

0

0

0  0 0  . 0 0  c 66 

2.39

Az alakíthatósági mátrix ugyanilyen. A független rugalmas állandók száma; N = 6.

VII. Köbös rendszer A köbös rendszer a szimmetriaviszonyok szempontjából hasonlít a rombikus rendszerre, azzal a különbséggel, hogy itt az x1, x2, x3 forgatótengely (vagy a három szimmetriasík) teljesen egyenértékű. Ez annyit jelent, hogy a merevségi mátrix főátlójának első három eleme egyenlő, második három eleme is, valamint a főátlón kívüli nem nulla elemek is egyenlők. 91

c11 c12 c12 0 0 0  12  11 12 c c 0 0 0 c c12 c12 c11 0 0 0 ij 2.40 c =  . 0 0 c 44 0 0 0 0 0 0 0 c 44 0    0 0 0 0 c 44   0 Azonos felépítésű az alakíthatósági mátrix is. A független rugalmas állandók száma; N = 3 .

[ ]

VIII. Izotrop anyag Az izotrop anyagot a köbös rendszer és a síkbeli izotrópia együtteséből származtathatjuk. A síkbeli izotrópiának megfelelő végtelen-fogású forgatótengely esetén a hatfogású forgástengely vizsgálatánál nyert megállapítások az érvényesek. Ezek közül csak a (2.30/a) utolsó öszszefüggése jelent újdonságot a (2.40)-ben már megállapított egyenlőségekhez képest. E sze1 rint c 44 = c11 − c12 . A merevségi mátrix: 2  c11 c12 c12  0 0 0  12  11 12 c c 0 0 0  c  c12 c12 c11 0 0 0   1 11 12 ij − 0 0 0 c c 0 0   , c = 2.41 2   1 11 12 0  0 0 0 c −c 0   2  1 11 12  0 0 0 0 c −c   0 2  Az alakíthatósági mátrixban a főátló három utolsó eleme helyett s 44 = 2(s11 − s12 ) -t kell írni. A független rugalmas állandók száma; N= 2. Ha visszatérünk a feszültségi és alakváltozási állapot tenzorális (két indexes) jelölésmódjára, az izotrop anyag általános Hooke-törvényét az alábbi összefüggéssel adhatjuk meg:

(

)

[ ]

(

)

(

)

(

σ ij = 2µε ij + λD1δ ij ,

)

i,j, = 1,2,3,

2.42

ahol D1 = ε11 + ε 22 + ε 33 - az alakváltozási állapot első invariánsa, δ ij - a Kronecker-delta,

µ, λ - az ún. Lamé-féle rugalmas állandók. (2.18/a)-t felhasználva megkapjuk az izotrop anyag merevségi komponensei és a Lamé-féle állandók közötti kapcsolatot: c11 = 2µ + λ , c12 = λ ,

1 11 12 (c − c ) = µ . 2

2.43

Fejezzük ki az alakváltozási komponenseket a feszültségkomponensek függvényében a technikai állandók felhasználásával:

92

ε ij =

1  ij νS1 ij  δ  σ − 2G  1+ ν 

i,j = 1,2,3,

2.44

ahol S1 = σ11 + σ 22 + σ 33 - a feszültségi állapot első invariánsa, δ ij - a Kronecker-delta, ν - Poisson-tényező. (2.18/b)-vel meghatározhatjuk a technikai állandók és az alakíthatósági komponensek közötti kapcsolatot:

s11 =

1 1 = , E 2G (1 + ν )

s12 = −

ν , E

2(s11 − s12 ) =

1 2(1 + ν ) = . G E

2.45

Ha felhasználjuk a cij és sij mátrixok közötti inverzkapcsolatot, meghatározhatjuk a Lamé-féle állandók és a technikai rugalmas állandók közötti kapcsolatot is: µ=G ,

λ=

2ν G νE = 1 − 2ν (1 + ν )(1 − 2ν )

.

2.46

Nem szabad szem elől tévesztenünk, hogy a merevségi és alakíthatósági mátrixok (2.33)tól (2.40)-ig bemutatott belső szerkezeti felépítése mindig a szimmetriaelemeknek megfelelő koordinátarendszerben érvényes (ezért hangsúlyoztuk ki mindig, hogy a koordinátatengelyek milyen forgatótengellyel, a koordinátasíkok milyen szimmetriasíkokkal esnek egybe). Ha a szimmetriaelemekre jellemző koordinátarendszerhez képest elforgatott helyzetű rendszerben akarjuk megadni a rugalmas állandókat, a szimmetria nélküli, teljes anizotropiának megfelelő rugalmas mátrixokat kapjuk, a 21 független elemből egyik sem lesz nulla. Egyedül az izotrop esetben nincsenek kitüntetett irányok, így tetszőleges koordinátarendszer felvételénél is a rugalmas mátrixok belső felépítése mindig (2.41) alakú. Éppen a fentiek miatt van óriási jelentősége a szimmetriaelemek létezésének. Mindig a szimmetriaelemeknek megfelelő koordinátarendszerben jellemezhető valamilyen anyagtulajdonság a lehető legkevesebb állandóval. Ezeknek az állandóknak a kísérleti meghatározása tehát a kitüntetett koordinátarendszerekben a leggazdaságosabb. Ha mégis szükség van a rugalmas állandókra egy általános helyzetű koordinátarendszerben, azokat a tenzor transzformációs szabályának megfelelően minden további nélkül számíthatjuk s ez csupán számítástechnikai feladat, általában semmiféle költségráfordítással nem jár.

2.2. A FAANYAG ÉS A FAALAPÚ ANYAGOK ÁLTALÁNOS HOOKE-TÖRVÉNYE 2.2.1. A TERMÉSZETES FAANYAG RUGALMASSÁGÁNAK JELLEMZÉSE Az 1.4. fejezetben beláttuk, hogy a természetes faanyag anatómiai felépítése következtében a fizikai-mechanikai tulajdonságok szempontjából a rombikus kristályrendszerbe tartozik. A fatest egy tetszőleges pontjában a természetes koordinátarendszer tengelyeit az anatómiai főirányok képezik, amelyek szimmetriaszempontból kétfogású, egyszerű forgatótengelyek. A faanyag idealizált szerkezeti modelljén az anatómiai főirányok egymásra merőlegesek, ezért ortogonális anizotrópiáról, röviden ortotrópiáról beszélünk (a rombikus kifejezés helyett). Az

93

anatómiai főtengelyek által alkotott síkok az anatómiai fősíkok, amelyek egyben szimmetriasíkok is. Az anatómiai főtengelyek és fősíkok helyzetét egy P pont környezetében felvett elemi (esetleg véges, de nem túl nagy) fahasábon az 1.24. ábrán már bemutattuk.

2.2.1.1. A TERMÉSZETES FAANYAG RUGALMAS MÁTRIXAINAK ELEMEI A rombikus szimmetriának megfelelően a faanyag rugalmasságát leíró mátrixok felépítése (2.34)-gyel egyezik meg. Írjuk fel a merevségi és az alakíthatósági tenzor komponenseivel a merevségi és az alakíthatósági mátrixokat, de alkalmazzuk a faanyag természetes koordinátarendszerének megfelelő jelölést, azaz 1→ L, 2 → R, 3 → T és vegyük figyelembe a (2.20/a,b) összefüggéseket.

 c LLLL  RRLL c  c TTLL c ij =   0  0   0

c LLRR c RRRR

c LLTT c RRTT

c TTRR

c TTTT

 s LLLL s  RRLL s s ij =  TTLL  0  0   0

[ ]

[ ]

c

0 0

0 0

0

0

RTRT

0

0

0

0

0

0

c TLTL

0

0

0

0

s LLRR

s LLTT

0

0

s RRRR

s RRTT

0

0

s TTRR

s TTTT

0

0

0

0

4s RTRT

0

0

0

0

4s TLTL

0

0

0

0

0   0  0   0  0   c LRLR 

 0  0   0  0   4s LRLR 

,

2.47/a

0

.

2.47/b

Fejezzük ki az alakíthatósági mátrixot a rugalmas technikai állandókkal:

 1  E  L − ν LR  EL  ν  − LT EL s ij =    0   0    0 

[ ]

ν RL ER 1 ER ν − RT ER −

ν TL ET ν TR − ET 1 ET −

0

0

0

0

0

0

0

0

1 G RT

0

0

0

1 G TL

0

0

0

0

0

 0   0    0   ,  0   0   1  G LR 

2.48/a

ahol Ei (i = L, R, T) - a hosszváltozással kapcsolatos rugalmassági modulusz az i jelű anatómiai főirányban, 94

Gij (i,j = R, T vagy T, L vagy L, R - a szögváltozással kapcsolatos nyírórugalmassági modulusz az i,j jelű anatómiai fősíkban (az i normálisú síkon működő, j-vel párhuzamos hatásvonalú nyírófeszültség arányossági tényezője), a nyírófeszültségek dualitástétele következményeként G ij = G ji , νij (i,j = R,T vagy T,R vagy T,L vagy L,T vagy L,R vagy R,L) - az interakciós hatás Poisson tényezője (az első index irányában ható normálfeszültség hatására fellépő, a második index irányába eső hosszváltozás arányossági tényezője). A mátrix szimmetriája miatt az alábbi egyenlőségek érvényesek: ν RL ν LR , = ER EL

ν TL ν LT , = ET EL

ν TR ν RT = ET ER

.

2.49

[ ]

[ ]

Határozzuk meg a merevségi mátrix elemeit annak felhasználásával, hogy s ij és c ij

egymásnak inverzei. A (2.21/b) összefüggések automatikus alkalmazása helyett azonban célszerű almátrixokra bontani a két mátrixot:

[ ] [ ] [[s0]]   s ij' s ij =   [0]

így

[ ] [ ]

 s ' −1 c =  ij  [0] ij

'' ij

,

[ ] [0]  [c ]

[0]

  c ij = ' '' −1 s ij   [0]

[ ]

ij ''

.

Ilyen felbontással nem kell 6x6-os mátrixot, csak két 3x3-as mátrixot invertálni, ami lényegesen könnyebb feladat. s ij'' diagonálmátrix, így inverze:

[ ]

G RT c =  0  0

[ ] ij ''

0 G TL 0

0  0  . G LR 

Az egy vesszős almátrix inverze: (s 22 s 33 − s 23s 32 ) (s12 s 33 − s13s 32 ) (s12 s 23 − s13s 22 ) 1  (s s − s s ) (s s − s s ) (s s − s s ) , c ij' = 21 33 23 31 11 33 13 31 11 23 13 21  det s ij'  (s 21s 32 − s 22 s 31 ) (s11s 32 − s12 s 31 ) (s11s 22 − s12 s 21 ) ahol det s ij' = s11s 22 s 33 + s12 s 23s 31 + s13s 21s 32 + s11s 23s 32 + s12 s 21s 33 + s13s 22 s 31 =

[ ]

[ ]

[ ]

=

1 (1 − 2ν RT ν TL ν LR − ν RT ν TR − ν TL ν LT − ν LR ν RL ) = A . ELER ET ELER ET

2.50

[ ]

A merevségi mátrix elemeit fejezzük ki a rugalmas technikai állandókkal c ij' mátrixában. A teljes merevségi mátrix:

95

1 − ν RT ν TR   EL A  ν +ν ν LT TR E R LR A  c ij =  E ν LT + ν RT ν LR  T A  0  0   0 

[ ]

ν RL + ν RT ν TL A 1 − ν TL ν LT ER A ν RT + ν RL ν LT ET A 0 0

ν TL + ν RL ν TR A ν TR + ν LR ν TL ER A 1 − ν LR ν RL ET A 0 0

0

0

EL

EL

0

0

0

0

0

0

G RT 0 0 G TL 0

0

 0   0    0  . 2.48/b 0   0  G LR 

2.2.1.2. AZ ORTOTROP FAANYAG RUGALMAS ÁLLANDÓINAK TRANSZFORMÁCIÓJA Ha a kiinduló koordinátarendszerként a faanyag természetes koordinátarendszerét választjuk, akkor a (2.28) transzformációs összefüggés egyszerűsödik, hiszen csak a 9 független, ill. nem nulla tagok maradnak meg a jobb oldalán: t i ' j'k 'l' = t LLLLβiL'β Lj' β kL'βlL' + t RRRRβiR' β Rj' β kR'βlR' + t TTTTβiT' βTj' βTk 'βTl' + + t RRTT (βiR' β Rj' βTk 'βTl' + tβiT' βTj' β kR'βlR' ) + t TTLL (βiT' βTj' β Lk 'βlL' + βiL'β Lj' βTk 'βTl' ) + t LLRR (βiL'β Lj' β Rk 'βlR' + βiR' β Rj' β kL'βlL' ) + + t RTRT (βiR' βTj' β kR'βTl' + βiR' βTj' βTk 'βlR' + βiT' β Rj' βTk 'βlR' + βiT' β Rj' β Rk 'βTl' ) + + t TLTL (βiT' β Lj' βTk 'βlL' + βiT' β Lj' β kL'βTl' + βiL'βTj' β Lk 'βTl' + βiL'βTj' βTk 'βlL' ) + + t LRLR (βiL'β Rj' β kL'βlR' + βiL'β Rj' β kR'βlL' + βiR' β Lj' β Rk 'βlL' + βiR' β Lj' β Lk 'βlR' ) ,

i' , j' , k ' , l' = 1' ,2' ,3' .

2.51

Az elforgatott, vesszős koordinátarendszer teljesen tetszőleges helyzetű lehet, s ilyenkor mivel a koordinátairányok és -síkok nem esnek össze a szimmetriatengelyekkel vagy szimmetriasíkokkal - látszólag visszaáll az általános anizotrópia, mert a 21 független rugalmas állandó mindegyike különbözik nullától. Ha a vesszős koordinátarendszer tengelyeit speciálisan választjuk meg (pl. bizonyos tengelyek az anatómiai fősíkokban maradnak), akkor egyes iránycosinuszok nullák és a (2.51) kifejezés még egyszerűbb alakot ölt. A gyakorlat szempontjából a három, fizikailag különböző értelmezésű rugalmas állandó transzformációja a legfontosabb. A húzó- vagy nyomórugalmassági modulusszal kapcsolatos tenzorkomponensek iránytól függő változását a t LLLL transzformációs összefüggés adja. Az x1' irányt az 1.15. ábrának megfelelően, az ott feltüntetett két lehetőség bármelyikét is alkalmazzuk, a ϕ és ϑ szögek megha1 tározzák. Jelöljük t 1'1'1'1' = -vel az x1' -hez tartozó tenzorkomponenst. Helyettesítsük be E 1' (2.51)-be az 1.15. ábra első vagy második táblázatának megfelelő iránycosinuszait (mindkettő ugyanarra az eredményre vezet).

96

t1'1'1'1' =

1 = t LLLL cos4 ϕ cos4 ϑ + t RRRR sin4 ϕ cos4 ϑ + t TTTT sin4 ϑ + E1'

+ (4t RTRT + 2t RRTT) sin2 ϕsin2 ϑcos2 ϑ + (4t TLTL + 2t TTLL) cos2 ϕsin2 ϑcos2 ϑ + 2.52/a

+ (4t LRLR + 2t LLRR) sin2 ϕ cos2 ϕ cos4 ϑ .

Fejezzük ki E 1' -t a technikai rugalmas állandókkal:

t 1'1'1'1' =

1 1 1 1 = cos 4 ϕ cos 4 ϑ + sin 4 ϕ cos 4 ϑ + sin 4 ϑ + E 1' E L ER ET

 1 2ν +  − TR ET  G RT  1 2ν +  − RL ER  G LR

 2  1 2ν  sin ϕ sin 2 ϑ cos 2 ϑ +  − LT EL   G TL  2  sin ϕ cos 2 ϕ cos 4 ϑ . 

  cos 2 ϕ sin 2 ϑ cos 2 ϑ + 

2.52/b

A nyírórugalmassági modulusszal kapcsolatos tenzorkomponensek iránytól függő változását a tLRLR komponens transzformációs összefüggésével adhatjuk meg. A nyírórugalmassági modulusz azonban két irány függvénye. Az egyik irány mint normális megadja azt a síkot, amelyen a nyírófeszültség működik, a másik irány pedig e síkon a nyírófeszültség hatásvonalát határozza meg. Legyen a nyírófeszültség normálisa az x 1' tengely, a hatásvonal iránya pedig x 2' . Ennek megfelelően a vesszős koordinátarendszert az 1.15. ábra b. esetének megfelelően célszerű megadni. A ϕ és a ϑ szög kijelöli az x 1' tengely helyzetét, a ψ szög pedig a nyírófeszültség hatássíkjában a hatásvonal irányát, x 2' -t. Alkalmazzuk (2.51)-ben az 1.15. ábra alsó táblázatában található iránycosinuszokat: 1 2 t 1'2'1'2' = = t LLLL cos2 ϕ cos2 ϑ(sin ϕ sin ψ − cosϕ sin ϑ cosψ) + G1'2'

+ t RRRR sin2 ϕ cos2 ϑ(cosϕ sin ψ + sin ϕ sin ϑ cosψ) + 2

+ t TTTT sin2 ϑ cos2 ϑ cos2 ψ +

+ t RRTT sin ϕ sin 2ϑ cosϑ cosψ(− cosϕ sin ψ − sin ϕ sin ϑ cosψ) + + t TTLL cosϕ sin 2ϑ cosϑ cosψ(sin ϕ sin ψ − cosϕ sin ϑsosψ) +

+ t LLRR sin 2ϕ cos2 ϑ(cos2ϕ sin ϑsin ψ cosψ + sin ϕ cosϕ(sin2 ϑ cos2 ψ − sin2 ψ)) +

[

+ t RTRT sin2 ϕ cos4 ϑ cos2 ψ + sin2 ϑ(cosϕ sin ψ + sin ϕ sin ϑ cosψ) − 2

− sin ϕ sin 2ϑ cosϑ cosψ(cosϕ sin ψ + sin ϕ sin ϑ cosψ)] +

[

+ t TLTL sin2 ϑ(sin ϕ sin ψ − cosϕ sin ϑ cosψ) + cos2 ϕ cos4 ϑ cos2 ψ + 2

+ cosϕ sin 2ϑ cosϑ cosψ(sin ϕ sin ψ − cosϕ sin ϑ cosψ)] +

[

+ t LRLR cos2 ϕ cos2 ϑ(cosϕ sin ψ + sin ϕ sin ϑ cosψ) 2 + sin2 ϕ cos2 ϑ(sin ϕ sin ψ − cosϕ sin ψ cosϕ) + 2

]

+ sin 2ϕ cos2 ϑ(sin ϕ sin ψ − cosϕ sin ϑ cosψ)(− cosϕ sin ψ − sin ϕ sin ϑ cosψ) . 2.53 Nem írjuk le még egyszer a fenti összefüggés rugalmas technikai állandókkal kifejezett változását. A helyettesítést (2.48/a)-nak megfelelően könnyen elvégezhetjük, a t1'2'1'2' helyébe pedig 1 / G1'2' -t írhatunk. 97

Az interakciós (kölcsönhatási) rugalmas állandók változását a t1122 tenzormennyiség transzformációja állítja elő. Ez a függvénykapcsolat azt a rugalmas állandót adja meg, amely az x2' irányban tartó normálfeszültség hatására fellépő, x1' irányú fajlagos alakváltozás mértékével kapcsolatos. Ily módon itt is két irány meghatározására van szükség, ezért az 1.15. ábra alsó táblázatának iránycosinuszait kell (2.51)-ben felhasználnunk: ν 2 t1'1'2'2' = − 2'1' = t LLLL cos2 ϕ cos2 ϑ(sin ϕ sin ψ − cos ϕ sin ϑ cos ψ) + E 2' + t RRRR sin2 ϕ cos2 ϑ(cos ϕ sin ψ + sin ϕ sin ϑ cos ψ) + t TTTT sin2 ϑ cos2 ϑ cos2 ψ + 2

( ) (cos ϕ cos ϑcos ψ + sin ϑ(cosϕsin ψ + cosϕsin ϑcosψ) )+ (cos ϕ cos ϑ(cosϕ sin ψ + sin ϕsin ϑcosψ) + ϕ cos ϑ(sin ϕ sin ψ − cos ϕ sin ϑ cosψ) ) +

+ t RRTT sin2 ϕ cos4 ϑ cos2 ψ + sin2 ϑ(cosϕ sin ψ + sin ϕ sin ϑ cosψ)2 + + t TTLL

2

4

+ t LLRR

2

2

+ sin2

2

2

2

2

2

2

+ 4t RTRT sin ϕ sin ϑ cos2 ϑ cos ψ(− cos ϕ sin ψ − sin ϕ sin ϑ cos ψ) + + 4t TLTL cos ϕ sin ϑ cos2 ϑ cos ψ(sin ϕ sin ψ − cos ϕ sin ϑ cos ψ) +

+ 4t LRLR sin ϕ cos ϕ cos2 ϑ(sin ϕ sin ψ − cos ϕ sin ϑ cos ψ)(− cos ϕ sin ψ − sin ϕ sin ϑ cos ψ) . 2.54 Most sem írjuk ki az összefüggést a technikai rugalmas állandókkal, a helyettesítést könnyen elvégezhetjük. A bal oldal tenzorkomponensét −ν2 '1' / E 2' -vel jelöljük.

98

2.1. ábra. A koordinátatengelyek speciális forgatási lehetőségei. Jóllehet nincs nagy gyakorlati jelentősége, mégis újra hangsúlyozzuk, hogy a független 21 tenzorkomponens akármelyikét az előbb bemutatottakéhoz hasonlóan kell transzformálni. Például a t1'2 '3'2' transzformációs függvényét is (1.51)-gyel végezzük és az összefüggésnek a ϕ = ϑ = ψ = 0 helyen nullát kell adnia, annak megfelelően, hogy az anatómiai főirányok rendszerében a t1232 = t LRTR = 0. A gyakorlati anyagvizsgálatok szempontjából igen nagy jelentősége van azoknak a transzformációknak, mikor a vesszős koordinátarendszer két tengelye benne marad a faanyag valamelyik anatómiai fősíkjában, ill. ami ugyanazt jelenti, az új koordinátarendszert az eredetinek valamelyik anatómiai főtengely körüli forgatásával nyerjük. A 2.1. ábrán összefoglaltuk az ilyen jellegű transzformációs lehetőségeket. 1. és 2. eset: a forgatás tengelye a T anatómiai főirány, az x1' irány benne van az L,R síkban (radiális sík), helyzetét a ϕ szög megadja. 3. és 4. eset: a forgatás tengelye az R anatómiai főirány, az x1' irány az L,T (érintő) síkban van, helyzetét a ϑ szög adja. 5. és 6. eset: a forgatás tengelye az L anatómiai főirány, az x1' tengely az R,T (bütü) síkban van, helyzetét a ϑ szög adja. A páratlan számú esetekben az x2' tengely merőleges a forgástengelyre, a páros számú esetekben pedig azzal párhuzamos.

99

Vizsgáljuk meg először a húzó- vagy nyomórugalmassági modulusz anatómiai fősíkokban való változását. Ennél csak egy irány mérvadó, így három esetet kell megkülönböztetnünk. 1. és 2. eset: Végezzük el (2.52/b)-ben a ϑ = 0 helyettesítést, míg 0 ≤ ϕ ≤ 2 π:

 1 2ν 1 1 1 = T (ϕ) = cos 4 ϕ +  − RL E 1' E LR EL ER  G LR

 2 1  sin ϕ cos 2 ϕ + sin 4 ϕ , 2.55/a ER 

3. és 4. eset: Most ϕ = 0 és 0 ≤ ϑ ≤ 2 π :  1 2ν 1 1 1 cos 4 ϑ +  = R ( ϑ) = − TL E 1' E LT EL ET  G TL

 2 1  sin ϑ cos 2 ϑ + sin 4 ϑ , 2.55/b ET 

5. és 6. eset: Itt ϕ = π 2 és 0 ≤ ϑ ≤ 2 π :  1 2ν 1 1 1 = L ( ϑ) = cos 4 ϑ +  − TR E 1' E RT ER ET  G RT

 2 1  sin ϑ cos 2 ϑ + sin 4 ϑ , 2.55/c ET 

Vegyük észre, hogy a fenti három összefüggést egyetlen képletbe is összefoglalhatjuk:

 1 2ν ji  2 1 4   sin α cos 2 α + 1 sin 4 α , cos α + − 2.56/a k (α)   E ij Ei Ej  G ij E j  i,j = L,R vagy L,T vagy R,T. k - a még fel nem használt, harmadik anatómiai főirány, α - az i,j anatómiai fősíkban elhelyezkedő x1' iránynak az i jelű anatómiai főiránnyal bezárt szöge és ne feledjük el, hogy G ij = G ji . A nyírórugalmassági moduluszok változása két iránytól függ, ezért mind a hat esetben különböző függvényeket kapunk. A (2.53) összefüggésbe helyettesítsük a konkrét értéket felvett iránycosinuszokat és a tenzorkomponenseket fejezzük ki a technikai rugalmas állandókkal. 1. eset: ϑ = 0 , ψ = π 2 , 0 ≤ ϕ ≤ 2 π

G

1

=

1

 1 1 2ν RL 1 = 4 + + − ER G LR  EL ER

T (ϕ) LR

 2 1  sin ϕ cos 2 ϕ + , G LR 

2.57/a

2. eset: ϑ = ψ = 0 , 0 ≤ ϕ ≤ 2 π

1 G

T (ϕ) LT

=

1 1 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ , G LT G RT

2.58/a

3. eset: ϕ = ψ = 0 , 0 ≤ ϑ ≤ 2 π 1 G RLT( ϑ)

 1 1 1 2ν TL 1  2  sin ϑ cos 2 ϑ + , = 4 + + − ET G LT  G LT  EL ET

2.57/b

100

4. eset: ϕ = 0 , ψ = π 2 , 0 ≤ ϑ ≤ 2 π

1 G

R ( ϑ) LR

=

1 1 cos 2 ϑ + sin 2 ϑ , G LR G TR

2.58/b

5. eset: ϕ = π 2 , ψ = 0 , 0 ≤ ϑ ≤ 2 π 1 G

L ( ϑ) RT

 1 1 2ν TL 1 = 4 + + − ET G RT  ER ET

 2 1  sin ϑ cos 2 ϑ + G RT 

,

2.57/c

6. eset: ϕ = ψ = π 2 , 0 ≤ ϑ ≤ 2 π

1 G

L ( ϑ) RL

=

1 1 cos 2 ϑ + sin 2 ϑ . G RL G TL

2.58/c

Látjuk, hogy két fajta, azonos felépítésű összefüggéssort kaptunk, amelyek a következőképpen általánosíthatók. 1, 3, 5. eset:

 1  2ν  + 1 + ji − 1  sin 2 α cos 2 α + 1 , = 4 2.59/a E Ej G ij  G ij G ijk ( α )  i Ej i,j = L,R vagy L,T vagy R,T , ezek azok a nyírórugalmassági moduluszok, amelyek azokhoz a nyírófeszültségekhez tartoznak, melyek síkjának normálisa az i,j síkban van és az i anatómiai főiránnyal α szöget zár be, valamint a nyírófeszültség hatásvonala mindig párhuzamos az i,j síkkal. 1

2, 4, 6. eset: 1 G

j( α ) ij

=

1 1 cos 2 α + sin 2 α , G ij G kj

2.60

i,j = L,R vagy L,T vagy R,L és k - az i,j-re merőleges, harmadik anatómiai főirány. Ezek ahhoz a nyírófeszültséghez tartozó moduluszok, amelyek síkjának normálisa benne van az i,k síkban és az i anatómiai iránnyal α szöget zár be, valamint a nyírófeszültség hatásvonala mindig párhuzamos a forgatótengellyel (azaz merőleges az i,k síkra). Vegyük észre, hogy ilyen jelölésmód mellett G RLR(α ) ≠ G LRL(α ) hiszen ezek - mint az a 2.1. ábráról könnyen megállapítható - különböző forgatású síkokhoz tartoznak, jóllehet a nyírófeszültségek hatásvonala mindig párhuzamos az L,R síkkal. A kölcsönhatást kifejező rugalmas állandókra is hat különböző függvényt vezethetünk le a nyírórugalmassági moduluszokhoz hasonló módon. 1. eset: −

ν 2 '1' ν T (ϕ) ν1'2 ' ν TLR( ϕ)  1 2ν 1 1 = − T (RL = − = − =  + + RL − ϕ+ π 2 ) T ( ϕ) E 2' E 1' ER G LR E LR E LR  EL ER

 2 ν  sin ϕ cos 2 ϕ − RL ER  2.61/a 101

ϕ + π 2) A fenti összefüggésben az ET( értelemszerűen ahhoz az irányhoz tartozó rugalmassági LR moduluszt jelöli, amelyik az L,R síkban van és az R anatómiai főiránnyal ϕ szöget zár be. A jelölés logikáját alkalmazva lássuk be, hogy νTRL(ϕ) = νTLR(ϕ + π 2) .

2. eset: ν 31© ν1©3 ν TTL( ϕ) ν TTL( ϕ) ν ν − =− =− = − T ( ϕ) = − TL cos 2 ϕ − TR sin 2 ϕ E3 ET E 1© ET ET TLR

,2.62/a

3. eset: −

ν 3'1' ν 1'3' ν R ( ϑ) ν RLT( ϑ)  1 1 2ν TL 1 = − R (TL = − = − =  + + − ϑ+ π 2 ) R ( ϑ) E 3' E 1' ET G TL E LT E LT  EL ET

 2 ν  sin ϑ cos 2 ϑ − TL ET  2.61/b

4. eset: −

ν 21' ν R (ϑ ) ν ν R (ϑ ) ν ν = − RL = − 1'2 = − LR = − RL cos 2 ϑ − RT sin 2 ϑ , R (ϑ ) E2 ER E 1' ER ER E LT

2.62/b

5. eset: L ( ϑ) ν 3' 2 ' ν 2 '3 ' ν TR ν LRT( ϑ)  1 1 2ν TR 1 − = − L ( ϑ+ π 2 ) = − = − R ( ϑ) =  + + − E 3' E 2' ET G TR E RT E RT  ER ET

 2 ν  sin ϑ cos 2 ϑ − TR ET  2.61/c

6. eset: −

ν12' ν L (ϑ ) ν ν L (ϑ ) ν ν = − LR = − 2'1 = − RL = − LR cos 2 ϑ − LT sin 2 ϑ , L (ϑ ) E1 EL E 2' EL EL E RT

2.62/c

Ismét két fajta képletsort kaptunk, amelyek a következőképpen általánosíthatók: 1, 3, 5. eset:

−

ν kji(α ) E

k (α + π 2 ) ij

=−

ν ijk (α ) E

k (α ) ij

 1 ν ji 1 2ν ji 1  2 = + + − sin α cos 2 α − , 2.63/a E  E E G E j j ij  j  i i,j = L,R vagy L,T vagy R,T .

Itt azokról az interakciós rugalmas állandókról van szó, amelyek megadják az i,j anatómiai fősíkban lévő, az i anatómiai főtengellyel α szöget bezáró irányban a fajlagos hosszváltozást, ha a normálfeszültség hatásvonala párhuzamos az i,j síkkal és a j tengellyel α szöget zár be, ill. az i,j anatómiai fősíkban lévő, a j iránnyal α szöget bezáró irányban a fajlagos hosszváltozást, ha a normálfeszültség hatásvonala párhuzamos az i,j síkkal és az i tengellyel α szöget zár be (a két rugalmas állandó a rugalmas mátrixok szimmetriája következtében azonos).

102

2, 4, 6. eset: −

ν jji(α ) Ej

=−

ν ijj(α ) E

j( α ) ik

=−

ν ji Ej

cos 2 α −

ν jk Ej

sin 2 α ,

2.64

i,j = L,T vagy L,R vagy R,L , k - a még fel nem használt harmadik anatómiai főirány. Ezek a függvények adják meg az i,j anatómiai fősíkban lévő, az i anatómiai főiránnyal α szöget bezáró irányban a fajlagos hosszváltozást, ha a normálfeszültség hatásvonala k irányú (azaz merőleges az i,j síkra), ill. a j anatómiai főirányhoz tartozó fajlagos hosszváltozást, ha a normálfeszültség hatásvonala az i,k síkkal párhuzamos és az i iránnyal α szöget zár be (a két rugalmas állandónak a rugalmas mátrixok szimmetriája miatt itt is azonosnak kell lenniük).

2.2.1.3. ÖSSZEFÜGGÉSEK A RUGALMAS ÁLLANDÓK KÖZÖTT A különböző meggondolások alapján a rugalmas állandókra levezetett kapcsolatok, különösen a technikai rugalmas állandókra alkalmazva, igen jó szolgálatot tesznek a kísérlettel meghatározott anyagállandók ellenőrzésére, a kísérleti körülményektől függő hibák mértékének becslésére, ill. bizonyos, kísérlettel csak igen nehézkesen, esetleg pontatlanul meghatározható technikai állandók, más, könnyen és pontosabban mérhető technikai állandókkal való kiváltására. A) A rugalmas tenzorok, ill. mátrixok szimmetriájából következő kapcsolatok A faanyag ortotrop jellege következtében a szimmetriának csak az interakciós tenzorkomponensek esetén van jelentősége: ciijj = c jjii vagy siijj = s jjii

i,j = L,R vagy L,T vagy R,T.

Könnyen ellenőrizhetjük, hogy akár a merevségi, akár az alakíthatósági komponenseket helyettesítjük a rugalmas technikai állandókkal, mindig a már ismert összefüggésekre jutunk: ν ji

Ej

=

νij

Ei

,

i,j = L,R vagy L,T vagy R,T ,

2.65

ami részletesen kiírva a (2.49) összefüggésnek felel meg. Ha a fenti egyenlőségekben kiküszöböljük a húzó- vagy nyomórugalmassági moduluszokat, az alábbi kapcsolatot nyerjük: νRT νTL νLR = νTR νLT νRL .

2.66

B) A rugalmas potenciál létezéséből következő kapcsolatok, egyenlőtlenségek A 2.1.1. fejezetben beláttuk, hogy a merevségi és alakíthatósági mátrixok pozitív definitek, ami azzal a következménnyel jár, hogy a (2.23)-nak megfelelően kiválasztott almátrixaik determinánsa mindig pozitív. Az ortotrop tulajdonságok miatt lényegesen kevesebb reláció írható fel, mint teljes anizotrópia esetén és sok közülük ugyanarra az eredményre vezet, mégis érdekes kapcsolatrendszerhez jutunk. (2.23) szerint a merevségi és alakíthatósági mátrix főátlójában lévő minden elemnek pozitívnak kell lennie:

103

c iiii 〉 0 ,

c ijij 〉 0 ,

s iiii 〉 0 ,

s ijij 〉 0 ,

i,j = L vagy R vagy T , azaz E L , E R , ET , G RT , G TL , G LR 〉 0 .

2.67

(2.23) második aldeterminánsa alapján: c iiii c jjjj − c iijj c jjii 〉 0,

s iiii ss jjjj − s iijj s jjii 〉 0 , i,j = L,R vagy L,T vagy R,T .

Az alakíthatósági komponensekből a technikai állandókra kapjuk: 1 − νijν ji 〉 0 ,

vagy (2.65)-tel: Ei Ej

〉 νij ,

részletesen kiírva: 1 − νLR νRL 〉 0 ,

1- νLT νTL 〉 0 ,

1 − νRT νTR 〉 0 ,

vagy ET ER ET EL ER EL 〉 ν LR , 〉 ν RL , 〉 ν LT , 〉 ν TL , 〉 ν RT , 〉 ν TR . ER EL ET EL ET ER

2. 68/b

A merevségi komponensekből a következő reláció állapítható meg: 1 − 2ν RT ν TL ν LR − ν RT ν TR − ν TL ν LT − ν LR ν RL = A〉 0 .

2.69

(2.23) harmadik aldeterminánsa kifejtett alakban: c LLLLc RRRR c TTTT + c LLRR c RRTT c TTLL + c LLTT c RRLL c TTRR − − c LLLLc RRTT c TTRR − c LLRR c RRLL c TTTT − c LLTT c RRRR c TTLL 〉 0 , ahonnan a rugalmas technikai állandókra (2.69)-et kapjuk. Hasonló módon a többi aldeterminánst is megvizsgálhatjuk. Az ezekből levonható megállapítások azonban általában nem mondanak újat az előző relációkhoz képest. C) A koordinátatranszformáció során előálló kapcsolatok Elvileg tetszőleges irányban felírhatnánk különböző tenzorkomponensekre a transzfomációs összefüggéseket, ahogy azt a (2.52), (2.53), (2.54) összefüggéseknek megfelelően megtettük, 104

így konkrét függvénykapcsolatot kapnánk az adott irányhoz tartozó rugalmas technikai állandó és az anatómiai főirányhoz tartozó állandók, ill, a rugalmas tenzorkomponensek között. A gyakorlat szempontjából fontos irányok azonban elsősorban az anatómiai fősíkok főtengelyeket felező irányai. Ezekhez a transzformációkhoz (2.56), (2.59), (2.60), (2.63) és (2.64) összefüggéseket célszerű használni. Végezzük el az α = 45° helyettesítést: 1

=

E ijk ( 45)

1  1  1 2ν ji  1  − + ,  + 4  E i  G ij E j  E j 

2.70 i,j = L,R vagy L,T vagy R,T,

 1 1 2ν ji 1  1 1 1 2ν ji = + + − + = + + , E Ej G ij  G ij E i E j Ej  i Ej i,j = L,R vagy L,T vagy R,T,

1 G ijk ( 45)

1 1 1  =  + , 2  G ij G kj 

1 G ijj( 45) −

−

ν ijk ( 45) E ijk ( 45)

ν jij( 45) Ej

=

2.71

i,j = L,R vagy L,T vagy R,L,

2.72

1  1 1 2ν ji 1  ν ji 1 1 1 1  ν ji + + − − ==  + − − , 4  E i E j E j G ij  E j 4  E i E j G ij  2E j i,j =L,R vagy L,T vagy R,T,

2.73

1  ν ji ν jk  =−  + , 2  E j E j 

i,j =L,R vagy L,T vagy R,L.

2.74

A (2.70)-es összefüggés lehetővé teszi, hogy (2.56)-ban csak húzó- vagy nyomórugalmassági-moduluszok szerepeljenek, hiszen: 2ν ji 1 4 1 1 − = k ( 45) − − , G ij Ej E ij Ei E j

i,j =L,R vagy L,T vagy R,T,

2.75

vagy kifejezhetjük az interakciós alakíthatósági tenzorkomponenseket: s iijj = −

ν ji

1 4 1 1 1  =  k ( 45) − − − , i,j =L,R vagy L,T vagy R,T, E j 2  E ij E i E j G ij 

2.76

Az utóbbiból kifejezhetjük a Poisson-tényezőket is: ν ji =

4E j  Ej 1  E j E j 1+ + − k ( 45)  = ν ij , 2  E i G ij E ij  Ei

2.77

ill.

105

ν ij =

1  E E 4E  1 + i + i − k (45i )  , 2.78 2  E j G ij E ij  i,j = L,R vagy L,T vagy R,T .

Az interakciós alakíthatósági tenzorkomponenst (2.71)-ből is kifejezhetjük: s iijj = −

ν ji Ej

=

1  1 1 1  + − k (45 )  , 2  E i E j G ij 

i,j = L,R vagy L,T vagy R,T ,

2.79

vagy a Poisson-tényezők: ν ji =

 Ej 1  E j , − − 1  2  G ijk (45 ) E i 

2.80

ν ij =

 1  E i Ei , − − 1  2  G ijk (45 ) E j 

2.81

ill.

i,j = L,R vagy L,T vagy R,T . (2.59) első tagjának együtthatóját is kifejezhetjük csupán nyírórugalmassági-moduluszokkal (2.71) felhasználásával: 1 1 2ν ji 1 1 1 + + − = k (45 ) − , Ei E j Ej G ij G ij G ij

2.82 i,j = L,R vagy L,T vagy R,T.

Helyettesítsük be (2.73)-ba (2.76)-ot és fejezzük ki a nyírórugalmassági moduluszt: G ij =

(

E ijk (45 )

2 1 + ν ijk (45 )

),

i,j = L,R vagy L,T vagy R,T ,

2.83

ami nagyon hasonlít az izotrop anyagok rugalmas állandói közötti összefüggésekre ((2.45) első vagy harmadik egyenlősége), a hasonlóság azonban véletlen, s csak a megjegyzést segíti elő. Helyettesítsük be (2.73)-ba a (2.76)-ból kifejezett G ij függvényt. Némi rendezés után:

(

)

k ( 45 ) 1 1 2ν ji 2 1 − ν ij + − = , Ei E j E j E ijk (45 )

i,j = L,R vagy L,T vagy R,T .

2.84

Szorozzuk meg (2.75)-öt G ij -vel és használjuk fel (2.83)-at:

106

 1 2ν  4G ij 1 − ν ijk (45 )  + 1 − ji G ij = −1 = , E E j  E ijk (45 ) 1 + ν ijk (45 ) j  i i,j = L,R vagy L,T vagy R,T .

2.85

Ötvözzük most a (2.83) összefüggést (2.84)-gyel:

G ij =

E ijk (45 ) E ijk (45 )  E  4− 1 − 2ν ij + i  E i  E j 

=

E ijk (45 )

E ijk (45 )  Ej  4− 1 + (1 − 2ν ij )  Ej  Ei 

2.86

,

i,j = L,R vagy L,T vagy R,T . D) A tenzorinvariánsokon alapuló kapcsolatok Egy tenzor komponensei között mindig található olyan függvénykapcsolat, melynek skalárértéke a koordináta-transzformációval szemben invariáns. Lineáris invariánsnak nevezzük azokat a mennyiségeket, amelyekben a komponensek csak az első hatványon szerepelnek és szorzataik sem fordulnak elő. A négy dimenziós tenzor lineáris invariánsait kétszeres kontrakcióval állíthatjuk elő. Ez azt jelenti, hogy a négy indexből kettőt egyenlővé teszünk, majd ezen index alapján összegezzük a komponenseket. Ilyen módon egy két dimenziós tenzort kapunk. Ebben a leírtaknak megfelelően ismét kontrakciót végzünk. Eredményül egy skalárhoz jutunk. A kétszeres kontrakciót indexes jelölésmódban a következőképpen szimbolizálhatjuk: I l = s ijkl δ ij δ kl ,

2.87/a

ahol a Kronecker-delták jelentésének megfelelően az i és j , valamint a k és l indexeket tettük egyenlővé. (2.87) kifejtve: I l = s1111 + s 2222 + s 3333 + s1122 + s 2211 + s1133 + s 3311 + s 2233 + s 3322 = =

ν 1 1 1 ν ν  + + − 2 LR + RT + TL  . EL ER ET ER ET   EL

2.87/b

Végezzünk most kontrakciót az i,k és j,l indexekre: I 2 = s ijkl δ ik δ jl = s1111 + s 2222 + s 3333 + s1212 + s 2121 + s1313 + s 3131 + s 2323 + s 3232 = =

1 1 1 1 1 1 + + + + + . E L E R E T 2G RT 2G TL 2G LR

2.88

Az invariáns tulajdonságok miatt ez utóbbi mennyiség egyenlő egy tetszőlegesen elforgatott koordinátarendszerben a megfelelő tenzorkomponensek ugyanezen függvényértékével. Válasszuk például az új koordinátarendszert oly módon, hogy az az eredetinek T tengely körüli 45° elforgatásával adódjék. Ilyenkor:

107

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + = T (45 ) + T (135 ) + + + + . T ( 45 ) T ( 45 ) E L E R E T 2G RT 2G TL 2G LR E LR E T 2G LR E LR 2G LT 2G TRT(45 ) (2.72) szerint azonban:

1 1 1 1 + = + , T ( 45 ) T ( 45 ) 2G LT 2G RT 2G LT 2G RT ezzel

1 1 1 2 1 + + = T (45 ) + . E L E R 2G LR E LR 2G TLR(45 ) A fenti levezetést mindhárom anatómiai fősíkban elvégezhetjük, ezért általánosan a következő összefüggést írhatjuk: 1 1 1 2 2 + + = k (45 ) + , E i E j 2G ij E ij 2G ijk (45 )

i,j = L,R vagy L,T vagy R,T .

2.89

A fenti kapcsolatok alapján a faanyag alakíthatósági mátrixának (2.47/b)-ben jelölt elemeit a leggyakrabban az alábbi - (2.48/c)-vel jelölt - formulákkal szokták kísérletekkel meghatározni. Az interakciós elemekhez szükség, ill. lehetőség esetén a (2.79) kapcsolat is felhasználható.  1 1 4 1 1 1  1 4 1 1 1   T(45) − −   R(45) − − −  0 −  E 2 E E E G 2 E E E G L L R LR  L T LT   LR  LT  1  4 1 1 1  1 1 4 1 1 1    L(45) −  0 − − −   T(45) − − EL ER GLR  ER 2  ERT ER ET GRT   2  ELR 1  4 1 1 1  1 4 1 1 1  1    0 − − − − − −   s  =  2  ERLT(45) EL ET GLT  2  ELRT(45) ER ET GRT  ET  ij   1 0 0 0  GRT   0 0 0 0    0 0 0 0 

0 0 0 0 1 GLT 0

 0    0    0    0   0   1   GLR 

2.48/c Végül felírjuk még (2.56/a) és (2.59/a) gyakorlati alkalmazás szempontjából praktikusabb alakját (egy kifejezésben csak egyfajta rugalmas állandó szerepel): (2.76) felhasználásával:  4 1 1 1 1  1 = cos 4 α +  k (45 ) − −  sin 2 α cos 2 α + sin 4 α . 2.56/b k (α ) E  E ij Ei E E E ij i j j   (2.79)-et figyelembe véve:

108

1 G

k (α ) ij

=

1 1 cos 2 2α + k (45 ) sin 2 2α . G ij G ij

2.59/b

(2.63/a) és (2.73) felhasználásával: −

ν ijk (α )

E ijk (α )

 ν ji ν ijk (45 )  ν ji = 6 − 4 k (45 )  sin 2 α cos 2 α − .  E  E E j ij j  

2.63/b

2.2.1.4. A TÉRFOGATVÁLTOZÁS RUGALMAS ÁLLANDÓJA A térfogatváltozás rugalmas állandóját legegyszerűbben úgy definiálhatjuk, mint a hidrosztatikus feszültségi állapot p feszültsége által létrehozott fajlagos térfogatváltozás közötti arányossági tényezőt:

p=K

∆V'− ∆V = K (ε11 + ε 22 + ε 33 ) = KD1 . ∆V

Hidrosztatikai feszültségi állapotban nincsen a főfeszültségeknek kitüntetett iránya, bármely normálisú síkhoz csak p nagyságú normálfeszültség tartozik. Az ortotrop faanyag esetén az anyagtörvényben a (2.48/a)-nak megfelelő technikai állandókat használva a térfogatváltozás rugalmas állandójára a következő összefüggést vezethetjük le: p K= = ε LL + ε RR + ε TT = = =

=

p

(s LLLL + s LLRR + s LLTT )p + (s RRLL + s RRRR + s RRTT )p + (s TTLL + s TTRR + s TTTT )p 1 s LLLL + s LLRR + s LLTT + s RRLL + s RRRR + s RRTT + s TTLL + s TTRR + s TTTT 1 1 ν LR ν LT 1 ν RL ν RT 1 ν TL ν TR − − − − − + − − EL EL EL ER ER ER ET ET ET

=

=

2.90

=

E L ER ET . (1 − ν LR − ν LT )E R E T + (1 − ν RL − ν RT )E L E T + (1 − ν TL − ν TR )E L E R

Tegyük fel, hogy csak a σ LL feszültségkomponens nem nulla. E feszültségkomponensnek és az általa létrehozott fajlagos térfogatváltozás hányadosát jelöljük K L -lel. Ekkor

KL =

σ LL  1 ν RL ν TL  LL  σ − − E T   EL ER

=

1 1 ν LR ν LT − − EL EL EL

=

EL 1 − ν LR − ν LT

2.91/a

Hasonlóan definiálhatunk a másik két anatómiai főirányban ható egyedüli normálfeszültséghez tartozó újabb két mennyiséget:

109

KR =

ER , 1 − ν RL − ν RT

2.91/b

KT =

ET . 1 − ν TL − ν TR

2.91/c

Ezekkel a mennyiségekkel a térfogatváltozási rugalmas állandó:

K=

1 KLK R KT . = 1 1 1 K R KT + K LKT + K LK R + + KL KR KT

2.92

Vizsgáljuk meg, hogyan változik a K L a koordináta-transzformáció során, azaz, ha a normálfeszültség tetszőleges irányú: K 1' =

E 1' 1 = 1 − ν1' 2' − ν1'3' s1'1'1'1' + s 2 ' 2'1'1' + s 3'3'1'1'

Két alakíthatósági tenzorkomponens transzformációját (2.52/a)-val és (2.54)-gyel már meghatároztuk. Mivel a 2' és a 3' irányok egymásra merőlegesek, a harmadik tenzorkomponens transzformációja is (2.54) szerint történik annyi módosítással, hogy abban sin ψ → cosψ és cosψ → -sinψ cserét végzünk. Elemi, de kicsit hosszadalmas számolás után a három tenzorkomponens összegére a következő kifejezést kapjuk:

s1'1'1'1' + s 2'2 '1'1' + s 3'3'1'1' = s LLLL cos 2 ϕ cos 2 ϑ +

(

)

s RRRR sin 2 ϕ cos 2 ϑ + s TTTT sin 2 ϑ + s RRTT sin 2 ϕ + cos 2 ϕ sin 2 ϑ +

(

)

+ s TTLL cos ϕ + sin ϕ sin ϑ + s LLRR cos ϑ . 2

2

2

2

Mint látjuk, az összefüggésben nem szerepel a ψ szög. Ha meggondoljuk, hogy a térfogatváltozás csak a σ11'' normálfeszültség hatásvonalának irányától függ, vagyis lényegtelen, hogy a 2' és 3' irányokat hogyan vesszük fel, akkor a ψ szög kiesése már magától értetődő, sőt a levezetés helyességének ellenőrzésére szolgál. A fenti összefüggést további azonosságok felhasználásával a következő formára hozhatjuk:

 1 ν LR ν LT   cos 2 ϕ cos 2 ϑ + s1'1'1'1' + s 2 '2 '1'1' + s 3'3'1'1' =  − − EL   EL EL  1 ν RL ν RT  2  1 ν TL ν TR  2  sin ϕ cos 2 ϑ +   sin ϑ = +  − − − − ER  E T   ER ER  ET ET =

1 1 1 cos 2 ϕ cos 2 ϑ + sin 2 ϕ cos 2 ϑ + sin 2 ϑ . KL KR KT

Végül K1' transzformációs összefüggése:

110

K 1' =

=

1 1 1 1 cos 2 ϕ cos 2 ϑ + sin 2 ϕ cos 2 ϑ + sin 2 ϑ KR Kr KL

= 2.93/a

K LKR KT K R K T cos ϕ cos ϑ + K L K T sin 2 ϕ cos 2 ϑ + K L K R sin 2 ϑ 2

2

Ezt az összefüggést még általánosabban is írhatjuk, ha figyelembe vesszük az 1.15. ábra felső táblázatának együtthatómátrixát:

K i' =

1

( )

1 1 βi' KL

2

( )

1 + β i2' KR

2

( )

1 3 + βi' KT

,

i' = 1' , 2' , 3' ,2.93/b

2

ahol βii' a normálfeszültség hatásvonalának az anatómiai főirányokhoz tartozó iránycosinuszai. (2.93/b) felhasználásával analitikusan is bizonyíthatjuk azt a fizikailag nyilvánvaló tényt, hogy a K térfogatváltozási rugalmas állandó a koordináta-transzformációval szemben invariáns. Ez egyébként (2.87/b)-ből is következik. A térfogatváltozás azon fizikai feltételéből, hogy húzáskor a térfogat nő, nyomáskor pedig csökken, a rugalmas állandók között újabb relációkat fogalmazhatunk meg, hiszen ez a feltétel azt jelenti, hogy K, K L' K R' KT csak pozitív mennyiség lehet. A húzó- vagy nyomórugalmassági moduluszok csak pozitívek lehetnek, így (2.91) és (2.90) összefüggések alapján: ν LR + ν LT ≤ 1 , ν RL + ν RT ≤ 1 , ν TL + ν TR ≤ 1 , 2.94/a ill. ν 1 1 1 ν ν  + + − 2 LR + RT + TL  ≥ 0 . EL ER ET ET   EL ER

Ezt a következő formára hozhatjuk:

ν egy

ν LR ν RT ν TL + + EL ER ET = ≤ 0,5 . 1 1 1 + + EL ER ET

2.94/b

Ha az anyag izotrop, a fenti tört éppen a Poisson-tényezőt adja, ezért νegy -et egyenértékű Poisson-tényezőnek nevezzük. Mint látjuk ennek értéke is mindig kisebb 0,5-nél, hasonlóan az izotrop anyaghoz.

2.2.1.5. A RUGALMAS TECHNIKAI ÁLLANDÓK MEGHATÁROZÁSÁNAK KÍSÉRLETI MÓDSZEREI Mint láttuk, a természetes faanyag rugalmasságának jellemzésére szolgáló tenzoroknak az anatómiai főirányok rendszerében 9 független komponense van. E kilenc komponenst (2.48/a,b) alapján - elvileg 9 rugalmas technikai állandó meghatározza. Ha mérni tudjuk az

111

E L , E R , ET , νRT , νTL , νLR , G RT , G TL , G LR , fizikai mennyiségeket, akkor a merevségi és ala-

kíthatósági tenzor minden komponensét számíthatjuk. A gyakorlatban azonban a helyzet lényegesen bonyolultabb. Ennek egyik oka az, hogy sok anyagfajta, így a természetes faanyag is ugyanakkora húzó- és nyomóigénybevétel hatására nemcsak előjelben, de abszolút értékben is eltérő alakváltozást szenved. Azaz a húzó- és nyomóigénybevételhez tartozó E rugalmassági moduluszok és a ν Poisson-tényezők különböző nagyságúak. Egy fából készült szerkezeti elem rugalmas viselkedése tehát az igénybevétel előjelétől függ, ezért ismerni kell mind a pozitív, mind a negatív igénybevételhez tartozó rugalmas technikai állandók értékeit is. A nyírórugalmassági modulusznál ez a probléma szerencsére nem áll fenn, σ1'2' és - σ1'2' nyírófeszültséghez ugyanaz a G1'2' modulusz tartozik. A másik súlyos probléma az, hogy bizonyos rugalmas technikai állandók csak igen körülményesen, nehezen s ezért pontatlanul határozhatók meg, ill. bizonyos technikai állandók értéke jelentősen függ az alkalmazott kísérleti metodikától (ilyen esetekben tulajdonképpen nem anyagjellemzőt, hanem a kísérleti módszerben alkalmazott próbatestnek a szerkezeti jellemzőjét határozzuk meg). Ezek közé a jellemzők közé tartoznak a nyírórugalmassági moduluszok és néhány Poisson-tényező, elsősorban azok, amelyek értéke nagyon kicsi. A fenti nehézségek arra vezettek, hogy a rugalmas technikai állandók egy részét közvetve határozzuk meg. Ez annyit jelent, hogy kísérlettel meghatározunk az anatómiai főirányokon kívül (általában az anatómiai főirányok szögfelezőjének irányába) eső olyan technikai állandókat, melyek viszonylag egyszerűen és pontosan mérhetők, majd alkalmazzuk a rugalmas állandók közötti kapcsolatot kifejező (2.65)-(2.89) összefüggések közül a megfelelőt. Egy lehetséges vizsgálatsorozat a következő. Meghatározzuk az anatómiai főirányokhoz és azok szögfelező irányaihoz az E rugalmassági moduluszokat, vagyis az

E L+ , E L− , E R+ , E R− , E T+ , E T− ,

  

E TLR(45 )+ , E TLR(45 )− , E RLT(45 )+ , E RLT(45 )− , E LRT(45 )+ , E LRT(45 )− ,

2.95

mennyiségeket. E rugalmas állandók meghatározására szolgáló próbatesteken általában egyszerre mérhetjük az alábbi Poisson-tényezőket: + − + − + − ν LR , ν LR , ν LT , ν LT , ν RT , ν RT ,

ν TLR(45 )+ , ν TLR(45 )− , ν RLT(45 )+ , ν RLT(45 )− , ν LRT(45 )+ , ν LRT(45 )− , + − + − + − ν RL , ν RL , ν TL , ν TL , ν TR , ν TR ,

R ( 45 )+ R ( 45 )− L ( 45 )+ L ( 45 )− ν TRL(45 )+ , ν TRL(45 )− , ν TL , ν TL , ν TR , ν TR ,

      

2.96

A + felső index a húzóigénybevételhez, a - a nyomóigénybevételhez tartozó rugalmas állandókat jelöli. Ha ismerjük a szögfelezők irányához tartozó rugalmassági moduluszokat és meghatározzuk (2.96) első két sorának Poisson-tényezőit, akkor az anatómiai fősíkhoz tartozó nyírórugalmassági moduluszokat a (2.83) összefüggéssel számítjuk. Amennyiben csak az anatómiai főirányhoz tartozó Poisson-tényezők adottak, a nyírórugalmassági moduluszok - Ei , E j és E ijk (45 ) ismeretében - a (2.86) összefüggésekkel számíthatók. Ha a (2.95)-ben és (2.96)-ban jelölt összes rugalmas állandót sikerül kísérlettel meghatározni, akkor a nyírórugalmassági moduluszok meghatározásán túlmenően, az adatokat a rendelkezésre álló összefüggések alapján a kísérletek pontosságának ellenőrzésére használhatjuk fel.

112

Bizonyos feltételek mellett - rúd vagy lemez alakú próbatesteken - a nyírórugalmassági moduluszok is meghatározhatók a gyakorlat igényeit kielégítő pontossággal. Ezekben a vizsgálatokban elsősorban az anatómiai fősíkokhoz tartozó állandókat, de megfelelő orientációval rendelkező próbatesteken az anatómiai fősíkkal 45°-os szöget bezáró síkokhoz is meghatározhatjuk a nyírórugalmassági moduluszokat: G LR , G LT , G RT , G

T ( 45 ) LR

,G

R ( 45 ) LT

,G

L ( 45 ) RT

,

  

2.97

Ezek és a (2.95)-ben jelölt rugalmassági moduluszok ismeretében a (2.77), (2.78), vagy a (2.80), (2.81) összefüggésekkel az anatómiai főirányokhoz tartozó Poisson-tényezők számíthatók. A rugalmas állandók meghatározásához statikus és dinamikus vizsgálatok alkalmazhatók. A statikus vizsgálatok jellemzője, hogy a terhelő erő nulláról indulva lassan és folyamatosan éri el végső értékét. A terhelés lassú növekedésének megfelelő lassú alakváltozás során a hőfejlődés kicsi és - legalábbis elvileg - a terhelési folyamat alatt el is távozik. A vizsgált próbatest hőmérséklete a terhelési folyamat alatt állandó, a statikus terhelési folyamat tehát izotermikus. A dinamikus vizsgálatok legfontosabb jellemzője, hogy a vizsgált test részecskéi viszonylag kis amplitúdójú, de nagy gyorsulású (általában harmonikus rezgő) mozgást végeznek (ilyenek a rezonanciafrekvenciával vagy a hanghullámok terjedési sebességének mérésével kapcsolatos mérések). A gyors mozgás - a belső súrlódás révén - hőfejlődéssel jár, melyről feltételezzük, hogy a rövid vizsgálati időtartam alatt nem tud a környezetbe kisugárzódni. A dinamikus vizsgálati folyamat elvileg tehát adiabatikus. A gyakorlatban a statikus és dinamikus méréssel meghatározott rugalmas állandók között nincs jelentős eltérés. A dinamikus mérésekkel meghatározott technikai rugalmas állandók - a (2.14) összefüggésekkel összhangban - valamivel nagyobbak, mint a statikus méréssel meghatározottak. Néhány szerző véleménye szerint (R.E.S. Hearmon, 1948, 1951) a két különböző termodinamikai folyamatban meghatározott rugalmas állandók faanyag esetén csak elhanyagolható mértékben különböznek. A kétféle módon meghatározott állandók közötti különbség sokkal inkább a mérési metodikák különbségével, ill. a statikus vizsgálatok hibáival magyarázható. Dinamikus vizsgálatokkal e könyvben nem foglakozunk, csupán a szakirodalomra utalunk (A. Budó, 1964; W. Flügge, 1992; R.F.S. Hearmon, 1961). A statikus vizsgálatok közül néhány lehetőséget mutatunk be a három különböző fajta technikai rugalmas állandó meghatározására. A) A RUGALMASSÁGI MODULUSZOK ÉS A POISSON-TÉNYEZŐK MEGHATÁROZÁSA DERÉKSZÖGŰ NÉGYSZÖG KERESZTMETSZETŰ PRIZMATIKUS RUDAKON Vágjunk ki a vizsgálandó faanyagból, egyelőre teljesen tetszőleges orientációjú, téglalap keresztmetszetű prizmatikus rudat a 2.2. ábrának megfelelően. A hasáb éleinek hossza legyen a, b és L. E méretek elvileg tetszőlegesek, a kísérletben megválasztott értéküket azonban a külső adottságok és korlátok általában meghatározzák. A méretek megválasztásánál arra kell törekedni, hogy az évgyűrűk íveltsége a lehető legkisebb legyen (a próbatesten belül egyenessel legyenek közelíthetők). E szempont figyelembevétele minél kisebb geometriai méretek felvételére ösztönöz. A homogenitás feltételezése miatt ugyanakkor arra is figyelemmel kell lenni, hogy a próbatest korai és késői pásztáinak aránya megegyezzen a vizsgált faanyagra jellemző

113

aránnyal. Olyan méreteket kell tehát választani, hogy legalább 5-5 korai és késői pásztát tartalmazzon a próbatest. A próbatest hosszának megválasztásánál arra kell figyelemmel lenni, hogy az alakváltozásmérés környezetében az erőátadási helyek közelében elkerülhetetlenül fellépő feszültségi állapot torzulásoknak ne legyen hatása. Nyomott próbatesteknél a kihajlás veszélyéről sem szabad megfeledkezni, a hosszúság általában nem lehet nagyobb a kisebb keresztmetszeti méret 3-4-szeresénél. Ha a próbatesten a 2.2. ábrán látható külső terhelést alkalmazzuk, középső 2/3-ában jó közelítéssel csak normáligénybevétel lép fel, a feszültségi állapot lineáris, a feszültségi állapotmező a rúd ezen középső szakaszán homogén. Az egyetlen nem nulla feszültségkomponens nagysága: σ11'' =

N ab

,

2.98

ahol N - a normálerő, a,b - a keresztmetszeti méretek. Ha a próbatest élei nem párhuzamosak a faanyag anatómiai főirányával, akkor az általános anizotrópiának megfelelően a Hooke-törvény a következő alakot ölti:  ε1'1' = s1'1'1'1' σ1'1' ,  ε 2' 2 ' = s 2 '2 '1'1' σ1'1' ,   1'1' ε 3'3' = s 3'3'1'1' σ ,  2.99  1'1' ε 2'3' = s 2'3'1'1' σ ,   ε 3'1' = s 3'1'1'1' σ1'1' ,   ε1'2 ' = s1'2 '1'1' σ1'1' .

2.2. ábra. Tetszőleges orientációjú négyzet keresztmetszetű prizmatikus rúd alakváltozásainak mérése húzáskor és nyomáskor.

114

Az alakváltozási állapot tehát térbeli lesz. A fenti összefüggések alapján látszik, hogy amenynyiben adott normálfeszültségnél mérjük az alakváltozási tenzorkomponenseket, a vizsgált próbatest anyagának hat különböző alakíthatósági tenzorkomponensét határozhatjuk meg. A fajlagos szögváltozások mérése azonban igen nehézkes és pontatlan, a fenti vizsgálati módszerrel csak a fajlagos hosszváltozásokat lehet viszonylag egyszerűen és pontosan meghatározni, azaz csupán az első három összefüggés alakíthatósági komponenseit, ill. a nekik megfelelő technikai rugalmas állandókat tudjuk számítani: E 1'1' ν 1' 2' ν 1'3'

σ1'1' = = , s1'1'1'1' ε1'1' ε E ε = 2 '2 '1'1'1'1' = − 2' 2 ' , ε1'1' σ ε E ε = − 3'3'1'1'1'1' = − 3'3' . ε1'1' σ 1

2.100/a 2.100/b 2.100/c

2.3. ábra. Prizmatikus próbatestek az anatómiai főirányokkal párhuzamosan.

2.4. ábra. Prizmatikus próbatestek az anatómiai fősíkok szögfelezőinek irányában.

115

2.5. ábra. Az L-R anatómiai fősíkban kivágható próbatestek.

2.6. ábra. Az L-T anatómiai fősíkban kivágható próbatestek.

116

2.7. ábra. Az R-T anatómiai fősíkban kivágható próbatestek. Ha a próbatestek orientálását a 2.3. ábrának megfelelően végezzük, meghatározhatjuk az anatómiai főirányokhoz tartozó húzó- és nyomórugalmassági moduluszokat, valamint az anatómiai fősíkhoz tartozó Poisson-tényezőket ((2.95) első sorát és (2.96) első és harmadik sorát). Ha a próbatesteket az anatómiai fősíkokban 45° szöggel elforgatott orientációval készítjük, a 2.4. ábrának megfelelően, meghatározhatjuk a 45°-os irányhoz tartozó rugalmassági moduluszokat és Poisson-tényezőket ((2.95) második sorának, (2.96) második és negyedik sorának elemeit). A 2.5.-2.7. ábrán bemutatjuk a kívánt orientációnak megfelelő próbatest-kialakítás egy lehetséges módját. A tervezett orientációnak megfelelő szögek pontos betartása igen lényeges a vizsgálati eredmények megbízhatósága szempontjából. B) A NYÍRÓRUGALMASSÁGI MODULUSZOK MEGHATÁROZÁSA RÚD ALAKÚ PRÓBATEST CSAVARÁSÁVAL A nyírórugalmassági moduluszok meghatározásának egyik legegyszerűbb formája, ha kör vagy téglalap keresztmetszetű rudat súlyponti hossztengelye körül forgató nyomatékkal terhelünk. A rúd két l távolságra lévő keresztmetszetének egymáshoz viszonyított szögelfordulása többek között az anizotrop anyag nyírórugalmassági moduluszainak függvénye. A teljesen általános orientáció igen megnehezíti a csavart rúd feszültségeloszlásának és alakváltozásának elméleti meghatározását, még abban a speciális esetben is bonyolult a számítás, ha a faanyag anatómiai főirányai párhuzamosak a derékszögű négyszög keresztmetszetű próbatest (kör keresztmetszetű próbatestet sem szoktak alkalmazni a sokkal bonyolultabb gyártási technológia miatt) éleivel. A nyírófeszültségek eloszlása és a keresztmetszetek elfordulása ilyen esetben is függvénye a nyírórugalmassági moduluszok arányának és a keresztmetszetoldalak arányának. A nyírórugalmassági modulusz meghatározását B. Heimeshoff (1982) elméleti mun-

117

kája alapján mutatjuk be. A rúdvégek megfogását úgy kell kialakítani, hogy a rúd hossztengelyével párhuzamos alakváltozás szabadon végbemehessen, a keresztmetszet öblösödése ne legyen gátolt. Ilyen feltételek mellett a 2.8. ábrának megfelelő terhelés (a próbatest geometriai méreteinek megválasztási szempontjai ugyanazok, mint a húzott rúdnál) egymástól l távolságban lévő keresztmetszeteinek viszonyított szögelfordulása:

ϑ1 =

3M t l  4s1313 4s1212  + 2  η1 , bh  b 2 h 

2.101

ahol Mt. - a csavarónyomaték, b - a téglalap keresztmetszet szélessége, h - a téglalap keresztmetszet magassága, 1 1 4s1212 = , 4s1313 = , G12 G13 G12 - a σ12 nyírófeszültséghez tartozó szögváltozás arányossági tényezője, G13 - a σ13 nyírófeszültséghez tartozó szögváltozás arányossági tényezője, l - a szögelfordulás mérőhossza, 1 η1 = , 2.102/a  1  1 ∞ 1 µχ  1 + 2 1 − 192 ∑ 5 th  µ n =1 χ 2   µ  χ = π(2n − 1) , n = 1,2,3,... 2.102/b µ=

h b

s1313 h G12 = . s1212 b G13

2.102/c

A η1 módosító tényező értékét az alábbi táblázatból is kivehetjük (2.1. táblázat).

2.1. táblázat. A η1 módosító tényezők értéke. 0,5 0,6 0,7 0,8 µ 1,166 1,175 1,180 1,184 η1 µ η1

2,0 1,166

3,0 1,139

4,0 1,117

5,0 1,100

0,9 1,185

1,0 1,186

1,25 1,184

1,5 1,179

6,0 1,087

8,0 1,069

10,0 1,057

∞ 1,000

A (2.101) összefüggés szerint nem mindegy, hogy a téglalap keresztmetszet hosszabbik oldala melyik anatómiai főiránnyal párhuzamos. Ennek következtében, a 2.9. ábrának megfelelően, hatféle orientációval készíthetjük a próbatesteket. Ezek szögelfordulása: a. eset: ϑL =

3M t l L  1 1  2 + 2 b R h T  b R G TL h T G LR

 η1 , 

µ=

hT bR

G LR , G TL

118

b. eset ϑL =

3M t l L  1 1   2 η1 , + 2 b T h R  b T G LR h R G TL 

µ=

hR bT

G TL , G LR

 1 1   2 η1 , + 2  b T G LR h L G RT 

µ=

hL bT

G RT , G LR

 1 1   2 η1 , + 2  b L G RT h T G LR 

µ=

hT bL

G LR , G RT

c. eset ϑR =

3M t l R bT h L

d. eset ϑR =

3M t l R bLh T

2.8. ábra. Derékszögű négyszög keresztmetszetű rúd csavarása.

e. eset

ϑT =

3M t lT  1 1   2 η1 , + 2 b R h L  b R G TL h L G RT 

µ=

hL bR

G RT , G TL

µ=

hR bR

G TL . G RT

f. eset ϑT =

3M t lT  1 1   2 η1 , + 2 b L h R  b L G RT h R G TL 

A próbatestek alaki és orientációs pontossága szempontjából a b, c. és e. esetek a kedvezőbbek. Alakítsuk át a nekik megfelelő összefüggéseket a következő módon: 2

h  ϑL b T h 3R 1 1 = a L =  R  ⋅ + , 3M t l L ηl  b T  G LR G TL

2.103/a

2

h  ϑR b T h 3L 1 1 = a R =  L  ⋅ + , 3M t l R ηl  b T  G LR G RT

2.103/b

2

h  ϑT b R h 3L 1 1 = a T =  L  ⋅ + . 3M t lT ηl  b R  G TL G RT

2.103/c

Ezekből az egyenletekből a három nyírórugalmassági modulusz kifejezhető:

119

2.9. ábra. Csavaráshoz készíthető próbatestek orientációja. 2

G RT

h  1 +  R   bR  = 2 h  h − a L  L  + a R  R  bR   bR

G TL

h  1 +  R   bR  = 2  hR  h a L − a R   + a T  R  hL   hL

2

  + a T 

,

2.104/a

2

  

2

,

2.104/b

120

2

G LR

h  1 +  R   bR  , = 2 2  bT   bT  a L + a R   − a T    hL   hL 

2.104/c

ahol a L , a R , a T mennyiségeket a (2.103) összefüggések definiálják. A módszer problémáját az okozza, hogy az η1 módosító tényező meghatározásához szükség van a megfelelő nyíróru-

galmassági moduluszok arányára. Ezt az ellentmondást úgy hidalhatjuk át, hogy először esetleg irodalmi adatok alapján - felveszünk a moduluszok arányára egy-egy értéket, majd ezekkel kiszámítjuk a G ij moduluszokat. Ezekkel az első számított adatokkal újra elvégezzük a számítást. Minél több iterációt végzünk, annál pontosabban kapjuk meg a nyírórugalmassági moduluszok tényleges értékét. A 2.1. táblázatból megállapíthatjuk, hogy η1 értéke csak kis intervallumban változik, ezért már egy-két iterációval is a gyakorlat igényeit kielégítő pontosságú eredményt kapunk. C) A NYÍRÓRUGALMASSÁGI MODULUSZOK MEGHATÁROZÁSA LEMEZ ALAKÚ PRÓBATESTEK CSAVARÁSÁVAL Terheljünk egy h vastagságú, a élhosszúságú, négyzet alakú lemezt a 2.10 ábrán látható módon. Az oldalakkal párhuzamos bármely keresztmeszet igénybevétele csavarás. Ha a » h (a különbség legalább egy nagyságrendnyi), azaz vékony lemezről van szó, a lemez pontjaiban jó közelítéssel - síkbeli feszültségi állapot uralkodik. A feszültségi állapot síkja az 1,2 sík. Ha a lemezt úgy alakítjuk ki, hogy a faanyag anatómiai főirányai párhuzamosak legyenek az 1,2,3 tengelyekkel, akkor R.F.S. Hearmon, (1948, 1961) alapján a lap átlójának irányában a koordinátarendszer középpontjától k/2 távolságra a terheletlen lemez középsíkjához viszonyított függőleges irányú elmozdulás: 3Fk 2 1 u3 = , 2.105 16h 3 G12 ahol F - lemez aktív terhelőereje, h - a lemez vastagsága, k - a mérőkengyel feltámaszkodó pontjainak távolsága, G12 - a lemez 1,2 síkhoz tartozó nyírórugalmassági modulusza. Ha a lemez átlóival párhuzamosan két, k fesztávolságú kengyelt helyezünk el egymásra merőlegesen, melyek között középen, terheletlen állapotban a függőleges távolság d, akkor a terhelés következtében ez a távolság ∆d-vel változik meg. A geometriai és terhelési szimmetria alapján könnyű belátni, hogy ∆d = 2u3 . Ennek felhasználásával fejezzük ki (2.105)-ből a nyírórugalmassági moduluszt: − +

G12 =

3 Fk 2 . 8 ∆dh 3

2.106

121

Ha a lemezeket úgy orientáljuk, hogy az 1 és 2 tengelyek rendre az R-T, T-L és L-R anatómiai főirányokkal legyenek párhuzamosak, a fenti vizsgálati módszerrel meghatározhatjuk az anatómiai fősíkokhoz tartozó nyírórugalmassági moduluszokat (2.11 ábra): a. eset: G RT =

3 Fk 2 , 8 ∆dh 3

2.107/a

2.10. ábra. Lemez alakú próbatest speciális terhelése és deformációjának mérése.

b. eset 3 Fk 2 , 8 ∆dh 3

2.107/b

3 Fk 2 = , 8 ∆dh 3

2.107/c

G TL = c. eset G LR

2.11. ábra. A lemez alakú próbatestek orientálása. Méréstechnikai okokból a falemez vastagsága általában nem lehet 10 mm-nél kisebb. Ez azt jelenti, hogy a lemez szélessége minimálisan 150 mm, de inkább 200 mm. Ilyen geometriai méretek mellett az évgyűrűk görbültsége következtében már közelítőleg sem valósítható meg, hogy a tangenciális irány mindenütt párhuzamos legyen a lemez valamelyik élével. Különösen érvényes ez a 2.11 ábra a, b esetére. Ilyen orientációnál tulajdonképpen nem szoros értelemben vett anyagjellemzőt, hanem a lapra, annak síkjára jellemző szerkezeti állandóit ha-

2.12. ábra. Kisebb elemekből ragasztott lemezek az R-T és L-T anatómiai fősíkokban.

122

tároztuk meg. Vannak olyanpróbálkozások, mikor a vizsgálandó lemezt több lapocskából ragasztják össze (2.12. ábra), úgy válogatva a lapokat egymás mellé, hogy a tangenciális irány jobban kövesse a lemez éleinek irányát. Ilyen módon azonban a ragasztás lesz hatással a rugalmassági moduluszok értékére. D) A NYÍRÓRUGALMASSÁGI MODULUSZ MEGHATÁROZÁSA HÚZÓ- VAGY NYOMÓIGÉNYBEVÉTEL ALKALMAZÁSÁVAL Térjünk vissza a 2.2. ábrán látható próbatesthez és igénybevételhez. Válasszuk meg a próbatest orientációját speciálisan, mégpedig úgy, hogy az x 3' tengely legyen mindig valamelyik anatómiai főirány, az x 1' és x 2' tengelyek pedig zárjanak be a másik két anatómiai főiránnyal tetszőleges nagyságú α szöget, a próbatesteket tehát mindig valamelyik anatómiai fősíkkal párhuzamosan vágjuk a 2.5. 2.6. és 2.7. ábrának megfelelően (a változás csupán annyi, hogy az α szög nem 45°-os, hanem tetszőleges). A feszültségi állapot most is lineáris és az egyetlen nem nulla feszültségkomponens (2.98)-cal számítható. Az alakváltozási állapot komponenseit (2.99) adja. Fejezzük ki (2.99) alakíthatósági komponenseit a faanyag főirányokhoz tartozó rugalmas technikai állandóival az x 3' tengely (valamelyik anatómiai főirány) körüli forgatásnak megfelelően. Azaz alkalmazzuk a (2.51) transzformációs összefüggést az (1.10) transzformációs mátrix elemeinek felhasználásával. A transzformálás elvégzése után az alakváltozási komponensek:          ν ν  2.108 ε 3'3' = s 3'3'1'1' σ1'1' = − 32 sin2 α − 13 cos2 ασ1'1' ,  E1  E3    1'1' 1'1' ε 2'3' = s 2'3'1'1' σ = 0 ⋅ σ = 0 ,   ε 3'1' = s 3'1'1'1' σ1'1' = 0 ⋅ σ1'1' = 0 ,  3 3      2 ν sin α cos α sin α cosα 1 1 ε1'2' = s1'2'1'1' σ1'1' = − + +  − 21  sin α cos3 α − sin3 α cosα σ1'1'  E1 E2 2  G12 E 2    

 cos4 α sin4 α  1 2ν 21  2   sin α cos2 ασ1'1' , ε1'1' = s1'1'1'1' σ1'1' =  + +  − E2  G12 E 2   E1   1  ν 1 1  2  sin α cos2 α − 21 sin4 α + cos4 α σ1'1' , ε 2'2' = s 2'2'1'1' σ1'1' =  + − E2  E1 E 2 G12  

(

)

(

)

Ezen összefüggések szerint tehát ilyen orientáció mellett az alakváltozási állapot térbeli ugyan, de az ε 2'3' és ε 3'1' szögváltozási komponensek mindig nullával egyenlők. Ilyen esetben az ε1'2 ' szögváltozási tenzorkomponens és a fajlagos hosszváltozási komponensek között az alábbi összefüggés áll fenn:

ε1'2 ' = ε 45 −

1 (ε1'1' + ε 2'2' ) , 2

2.109

ahol ε 45 - az x 1' , x 2' tengelyek szögfelezőjének irányába eső fajlagos hosszváltozás (a 2.2. ábrán a próbatest x 3' normálisú oldalán, a próbatest hossztengelyével 45°-os szöget bezáró irány ε45 -tel jelölt fajlagos hosszváltozása). Vezessük be a következő jelöléseket:

123

A = s1'1'1'1' =

ε1'1' , σ1'1'

B = s 2' 2'1'1' =

ε 2'2' , σ1'1'

C=

ε 45 . σ1'1'

2.110

(2.108) első és második összefüggésének felhasználásával: cos 4 α sin 4 α  1 2ν  A= + +  − 21  sin 2 α cos 2 α , E1 E2 E2   G12

2.111/a

 1 1 1  2 ν  sin α cos 2 α − 21 sin 4 α + cos 4 α , B =  + − E2  E1 E 2 G12 

(

)

2.111/b

(2.109)-et és (2.108) utolsó összefüggését is figyelembe véve: ε1'2 ' 1  1 1  = 1'1'  ε 45 − (ε1'1' + ε 2 '2 ' ) = C − (A + B) = 1'1' 2 2 σ σ   2ν  1 1 1 1 = − sin α cos 3 α + sin 3 α cos α +  − 21  sin α cos 3 α − sin 3 α cos α E1 E2 2  G 12 E2 

(

)

2. 111/c

Ha (2.111) első két egyenletét kivonjuk egymásból és az eredményt behelyettesítjük (2.111/c)-be, a Poisson-tényező ki fog esni, és a nyírórugalmassági moduluszra rendezhetjük az összefüggéseket:

G12 =

1 , 2(2C − A − B)ctg 2α + 2(A − B)

2.112/a

vagy a 2 tg2α = ctgα - tgα azonosság felhasználásával:

G12 =

1 . 2(A − B) + (2C − A − B)(ctgα − tgα )

2.112/b

Ha pl. α = 45° , G 12 =

1 σ1'1' = . 2(A − B) 2(ε1'1' − ε 2' 2 ' )

2.113

Ugyanakkor, ha α = 0° vagy α = 90°, azaz, ha valamelyik anatómiai főirány egybeesik a próbatest hossztengelyével, (2.112) nevezője végtelen értéket vesz fel. Ilyen esetben nem lehet meghatározni a nyírórugalmassági moduluszt.

124

2.13. ábra. A próbatestek orientálása és az alakváltozás-mérők elhelyezésének módja a nyíró-rugalmassági modulusz meghatározásánál. A 2.13. ábrán bemutatjuk a próbatestek orientálásának és az alakváltozás-mérők elhelyezésének módját. Az a, b. és c. ábrarészeknek megfelelő kialakítással a G LT , G LR és G RT nyírórugalmassági moduluszokat határozhatjuk meg. A nyírórugalmassági modulusz meghatározásának ezt a módját először L.B. Greszczuk (1966) írta le. Konkrét mérésekről azonban ezidáig csak kevesen számoltak be (W. Zhang - A. Sliker, 1991.) A technikai rugalmas jellemzők meghatározása során ún. sztochasztikus jelenséggel állunk szemben, ami azt jelenti, hogy - hiába is igyekszünk állandó értéken tartani a vizsgálat különböző paramétereit - a vizsgált mennyiség értéke véletlenszerűen alakul ki. A mért jellemző értékének véletlenszerűsége annak következménye, hogy - bizonyos vizsgálati paramétereket (geometriai méret, erő-, alakváltozási érték) eleve csak korlátozott pontossággal határozhatunk meg. E mennyiségek értéke egy pontossági határon belül véletlenszerűen ingadozik, - bizonyos paramétereknek a mechanikai jellemzőkre gyakorolt hatását nem ismerjük kielégítő pontossággal (pl. a sűrűség, nedvességtartalom, hőmérséklet stb. hatása), - bizonyos paraméterek próbatesten belüli eloszlását, változását nem tudjuk - vagy csak igen költségesen - meghatározni. A jellemzőket befolyásoló paraméterek bonyolult láncolatát nem lehet determinisztikusan számításba venni. Ezek következményeként a vizsgálat eredménye, a mért, ill. számított érték valószínűségi változó lesz. Amikor valamilyen jellemzőt határozunk meg, akkor egy ún. statisztikai sokaságra kívánunk megállapításokat tenni. Arra azonban általában nincs mód, hogy a sokaság minden elemét megvizsgáljuk. Ennek részben anyagi okai vannak, de az is előfordulhat, - mint a mechanikai tulajdonságok meghatározásának legtöbbjénél -, hogy a vizsgálat az anyagot további felhasználásra alkalmatlanná teszi. A teljes sokaság helyett annak csak egy (sokszor elenyésző) részét vizsgálhatjuk. Egy adott valószínűségi változóra (esetünkben valamilyen mechani125

kai jellemzőre) vonatkozó, adott véges számú, független, azonos körülmények között végrehajtott kísérletek eredményét statisztikai mintának nevezzük. Az egyes megfigyelések a minta elemei. A minta nagysága alatt elemeinek számát értjük. Az egyes kísérletek (megfigyelések) eredményeit valószínűségi változónak tekintjük. A statisztikai minta tehát véges sok (n számú) független - elméletileg - egyforma eloszlású valószínűségi változó együttese. A mintával szemben támasztott gyakorlati követelmény az, hogy jól tükrözze azt a sokaságot, amelyből származik, reprezentatív legyen. E kívánalomnak a faanyag mechanikai tulajdonságainak meghatározásánál nem könnyű eleget tenni. A feltétel fennállását fizikai és statisztikai homogenitás-viszgálatokkal lehet ellenőrizni. Annak érdekében, hogy a mintából az egész sokaságra jellemző megállapításokat tehessünk, a mintaelemeket rendezni, alkalmasan ,,tömöríteni" kell. A mintából kell következtetnünk a sokaság eloszlásfüggvényére, annak elhelyezkedésére, azaz várható értékére, mediánjára, móduszára, és más kvantiliseire; az értékek szóródására, az eloszlás ferdeségére, csúcsosságára. Ezek az ún. statisztikák a mintaelemek valamilyen függvényei, így maguk is valószínűségi változók, van eloszlásuk, várható értékük, szórásuk stb. E statisztikák pontos eloszlásfüggvényeinek meghatározása nem egyszerű feladat, elég nagy elemszámú minták esetén azonban meg lehet határozni a statisztikák közelítő eloszlását, melynek segítségével jól meg lehet becsülni a statisztikák eloszlásának egyéb jellemzőit. A mintanagyság helyes megválasztása tehát döntő jelentőségű. Ahhoz, hogy a kísérletben meghatározott esemény kimenetelének relatív gyakorisága a sokaságra jellemző, ismeretlen tényleges valószínűségétől egy tetszőlegesen kicsi ε értéktől ne térjen el jobban, a nagy számok törvénye alapján (W. Voigt, 1928):

n=

2,25 ε2

2.114

számú kísérletet (megfigyelést) kell végezni. Ha az eloszlásfüggvényt ε = 0,1 pontossággal kívánjuk meghatározni, akkor n = 225. ε = 0,05 esetén n = 900, ε = 0,01 esetén n = 22500. Ez utóbbi pontosság (melyre a gyakorlatban ritkán van szükség) olyan mennyiségű vizsgálatot igényel, amire sem anyagi, sem más szempontok alapján nincs mód. Tekintettel arra, hogy a faanyag rugalmas viselkedésnek jellemzéséhez minimálisan 9 jellemzőt kell meghatározni, az ε = 0,05 pontossági igény is elérhetetlen. Ahhoz, hogy a minta s ezzel a sokaság eloszlásának ferdeségét és csúcsosságát is megfelelő megbízhatósági szinten becsülhessük meg, célszerű minden technikai rugalmas állandót minimum 300 elemet tartalmazó sorozatokkal meghatározni. A rendelkezésre álló statisztikai minta adatai alapján az empirikus jellemzők meghatározását, a különböző becsléseket, a statisztikai hipotézisek vizsgálatát a témával foglalkozó, meglehetősen nagy szakirodalom ajánlásai alapján célszerű elvégezni.

126

2.2.1.6. KÜLÖNBÖZŐ FAFAJOK RUGALMAS ÁLLANDÓI AZ ANATÓMIAI FŐIRÁNYOK RENDSZERÉBEN Az előző fejezetben láttuk, hogy valamely fafaj összes technikai rugalmas állandójának meghatározása - megfelelő megbízhatósági szinten - nem is olyan egyszerű feladat. A szakirodalom alapján rendelkezésre álló adatok többségéről nemcsak a vizsgálatok statisztikai jellemzői, de sokszor még a vizsgálati körülmények (módszer, eljárás) sem állapíthatók meg. Különösen a korábban végzett vizsgálatok nagy részében a technikai rugalmas állandókat viszonylag kis elemszámú kísérletsorozatokkal határozták meg. Az egyik legrégebbi, de elég sok fafajt tartalmazó táblázatot Hearmon (1948) közölte. Elsősorban ezen adatok alapján állítottuk össze a 2.2. táblázatban néhány tűlevelű fafaj, a 2.3. táblázatban néhány lombos fafaj anatómiai főirányokhoz tartozó technikai rugalmas állandóit a vizsgált fafaj sűrűségének és nedvességtartalmának megjelölésével. A 2.4. és 2.5. táblázat adatait Bodig és Goodman (1973) gyűjtötte össze amerikai kutatók vizsgálatai alapján. Ezekben az Észak-Amerikában honos tűlevelű és lombos fafajok egy részének jellemzői találhatók. A 2.6. táblázatban néhány oroszországi fafaj technikai rugalmas állandóját foglalta össze Askenazi (1978). Itt megtalálhatjuk a húzó- és nyomó-igénybevételhez tartozó rugalmassági moduluszokat is. A 2.7. táblázatban - szintén Askenazi alapján - az erdei fenyő rugalmas jellemzőit foglaltuk össze. Ebben a táblázatban nemcsak a főirányokhoz, hanem - az E-k és ν-k esetében - az anatómiai fősíkok szögfelezőjének irányához tartozó állandók is megtalálhatók. Végül a 2.8. és 2.9. táblázatban közöltük a bükk és dió technikai rugalmas állandóinak ismeretében a (2.48/a,b)-vel számított alakíthatósági és merevségi mátrixának komponenseit. 2.2.1.7. A RUGALMAS ÁLLANDÓK VÁLTOZÁSA AZ ANATÓMIAI FŐSÍKOKBAN A rugalmas jellemzők és elsősorban a technikai rugalmas állandók változását az anatómiai fősíkokba eső irányok helyzetének függvényében a rugalmasság anizotrop elmélete alapján a 2.2.1.2. fejezetben analitikusan meghatároztuk. A különböző fajta rugalmas állandóra vonatkozó összefüggések, ill. a változás szemléltetésére egy lombos és egy tűlevelű fafajon - bükkön és lucfenyőn - a 2.2. és 2.3. táblázatok adatai alapján megrajzoltuk az elméleti függvényeknek megfelelő görbét. Az egyes ábrákon feltüntettük az összefüggésekben szereplő állandók (paraméterek) felhasznált értékét és azt is, hogy az adott függvénygörbe a 2.1. ábrán vázolt iránymegadás, ill. irányváltozás melyik esetének felel meg. A 2.14. és 2.15. ábrákon láthatók a lucfenyő és a bükk rugalmassági moduluszainak anatómiai fősíkokba eső változása, a (2.56)-nak megfelelő E ijk (α ) függvénygörbe. A sugár- és húrmetszetekhez tartozó görbék legfontosabb jellegzetessége, hogy a rugalmassági modulusz értéke a legnagyobb mértékben a 0°-15° vagy a 0°-30° tartományban változik, azaz, ha a terhelőerő iránya kicsit is eltér a faanyag rostirányától, jelentős rugalmassági moduluszcsökkenéssel kell számolnunk. Ez a jelenség arra is felhívja a figyelmet, hogy a rugalmassági modulusz kísérleti meghatározásánál mennyire fontos - különösen a 0°- 45°-os szögtartományban - a pontos orientáció betartása (már 1°-2°-os eltérés is jelentős mérési hibát okozhat). Különösen érdekes a rugalmassági modulusz bütüsíkban való változása. Lucfenyő esetében például az anatómiai főirányok szögfelezőjében és az ahhoz közeli irányokban a legkisebb E értéke. Bükk faanyagnál ez a jelenség nem figyelhető meg. A 2.16. és 2.17. ábrákon láthatjuk a G ijk (α ) nyírórugalmassági moduluszok változását a pá-

127

2.2. táblázat. Tűlevelű fafajok anatómiai főirányokhoz tartozó technikai rugalmas állandói ER ET GRT Fafaj Sűrűség Nedv.t. EL GTL 3 [MPa] [MPa] [MPa] [g/cm ] [%] [MPa] [MPa] Duglaszfenyő 15700 1060 780 88 880 ∼0,48 ∼12

GLR [MPa] 880

νRT/νTR [-]/[-] 0,39/0,37

νTL/νLT [-]/[-] 0,022/0,45

νLR/νTR [-]/[-] 0,29/0,020

Pseudotsuga Menziesii Fr.

Erdei fenyő

0,55

10

16300

1100

570

66

680

1160

0,68/0,31

0,015/0,68

0,42/0,038

-

-

12700

930

480

140

750

930

0,60/0,14

0,020/0,75

0,45/0,030

0,37 0,39 0,39 0,43 0,44 0,50 0,59 0,39

12 12 12 12 10 12 9 ∼12

9900 10700 10900 13500 15900 16600 16400 11600

730 710 640 890 690 850 1300 900

410 430 420 480 470 690 900 430

22 23 26 32 36 37 79 39

610 620 590 500 770 840 910 720

500 500 580 720 620 630 1180 750

0,57/0,29 0,51/0,31 0,64/0,32 0,56/0,30 0,47/0,25 0,43/0,33 0,63/0,40 0,43/0,25

0,013/0,56 0,025/0,51 0,019/0,49 0,019/0,54 0,013/0,38 0,023/0,52 0,024/0,37 0,020/0,47

0,44/0,031 0,38/0,030 0,39/0,029 0,45/0,030 0,44/0,028 0,36/0,018 0,43/0,028 0,37/0,029

GTL [MPa] 85 203 1060

GLR [MPa] 124 312 1610

νRT/νTR [-]/[-] 0,66/0,24 0,66/0,24 0,75/0,36

νTL/νLT [-]/[-] 0,009/0,49 0,009/0,49 0,044/0,51

νLR/νTR [-]/[-] 0,23/0,018 0,23/0,018 0,45/0,073

Pinus silvestris L.

Jegenye fenyő Abies Alba Mill.

Lucfenyő Picea excelsa L:

Oregon fenyő Sitka fenyő

2.3. táblázat. Lombos fafajok anatómiai főirányokhoz tartozó technikai rugalmas állandói. EL Fafaj Sűrűség Nedv.t. ER ET GRT [g/cm3] [%] [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] Balsafa 0,10 9 2440 114 38 14 Ochroma lagopus Sw. 0,20 9 6300 300 106 33 Bükk 0,75 11 13700 2240 1140 460 Fagus silva tica L.

Dió

0,59

11

11200

1190

630

23

700

960

0,72/0,37

0,036/0,63

0,49/0,052

0,54 0,59

11 10

11930 10000

1380 1520

600 870

280 290

810 1100

1180 1222

0,70/0,30 0,82/0,40

0,022/0,43 0,038/0,50

0,36/0,041 0,46/0,093

0,44 0,67 0,80 0,50 0,53

11 9 14 12 13

10200 15800 15000 11400 12400

1130 1510 1640 1220 970

510 800 970 730 480

210 270 250 320 150

600 890 610 750 470

900 1340 860 980 610

0,60/0,26 0,71/0,36 0,66/0,39 0,60/0,33 0,84/0,41

0,032/0,64 0,030/0,51 0,042/0,65 0,034/0,53 0,022/0,55

0,30/0,033 0,46/0,051 0,53/0,058 0,31/0,033 0,31/0,024

Juglans regia L.

Dió (satin) Hegyi juhar Acer pseudo Platanus L.

Khaya Kőris Fraxinus excelsior L.

Mahagóni Swietenai mahagoni Jacq.

2.3. táblázat (folytatás). Lombos fafajok anatómiai főirányokhoz tartozó technikai rugalmas állandói. ER ET GRT Fafaj Sűrűség Nedv.t. EL GTL GLR 3 [MPa [MPa] [MPa] [g/cm ] [%] [MPa] [MPa] [MPa] Nyár (sárga) 0,38 11 9700 700 410 110 670 720 Nyír 0,62 9 16300 1110 620 190 910 1180

νRT/νTR [-]/[-] 0,70/0,33 0,78/0,38

νTL/νLT [-]/[-] 0,019/0,39 0,018/0,43

νLR/νTR [-]/[-] 0,32/0,030 0,49/0,034

Betula pen dula Roth.

Nyír (sárga) Quipo Tölgy(kocsányos)

0,64 0,10 0,20 0,66

13 10 10 12

14300 1050 3300 15300

1120 234 392 2140

720 41 46 970

240 39 72 390

970 59 140 760

1060 112 215 1290

0,70/0,43 0,46/0,13 0,46/0,13 0,64/0,30

0,024/0,45 0,031/0,67 0,031/0,67 0,086/0,30

0,43/0,043 0,21/0,047 0,21/0,047 0,33/0,120

-

-

8500

1320

630

490

650

1170

0,78/0,37

0,030/0,33

0,36/0,060

0,38

11

9890

910

420

110

680

730

0,71/0,33

0,018/0,42

0,33/0,030

Quercus robur L.

Tölgy (vörös) Quercus bor alis

Tulipánfa

2.4. táblázat. Tűlevelű, Észak-Amerikában honos fafajok rugalmas technikai állandói. Fafaj Sűrűség Nedv.t. EL ER ET GRT [g/cm3] [%] [MPa] [MPa [MPa] [MPa] Northern white 0,256 11,2 3544 649 287 53 cedar Subalpine fire 0,309 13,1 8019 816 304 48 Engelman spruce 0,314 12,2 6888 763 374 54 0,318 12 5605 351 379 55 0,319 12 6322 780 361 71 0,330 12 6047 1301 350 76 Western red cedar 0,280 11,5 6681 543 365 35 Sugar pine 0,364 11,9 6743 884 588 96 Western white pine 0,336 11,9 9273 728 352 49 Redwood 0,388 10,9 10501 909 937 81 Ponderose pine 0,413 12,9 7729 946 642 117 Lodgepole pine 0,339 12,8 6557 666 447 32

GTL [MPa] 663

GLR [MPa] 746

461 625 705 788 873 577 763 443 813 887 301

558 645 618 854 962 584 836 478 692 1069 322

νRT/νTR νTL/νLT νLR/νTR [-]/[-] [-]/[-] [-]/[-] 0,548/0,345 0,028/0,340 0,337/0,062 0,437/0,336 0,416/0,361 0,347/0,265 0,474/0,197 0,884/0,197 0,484/0,403 0,428/0,358 0,410/0,334 0,373/0,400 0,426/0,359 0,469/0,381

0,013/0,332 0,018/0,338 0,092/0,541 0,040/0,489 0,042/0,481 0,016/0,296 0,030/0,349 0,013/0,344 0,031/0,346 0,033/0,400 0,024/0,347

0,341/0,035 0,369/0,041 0,349/0,070 0,474/0,067 0,494/0, 0,378/0,031 0,356/0,047 0,329/0,026 0,360/0,031 0,337/0,041 0,316/0,032

2.4. táblázat (folytatás). Tűlevelű, Észak-Amerikában honos fafajok rugalmas technikai állandói. Fafaj Sűrűség Nedv.t. ER ET GRT EL GTL 3 [g/cm ] [MPa [MPa] [MPa] [%] [MPa] [MPa] Red pine 0,400 11,9 9873 867 430 114 800 Western hemlock 0,361 13,2 10335 598 323 36 331 Bald cypress 0,433 13,7 12266 1035 475 84 658 Douglas-fir 0,468 12 16740 947 932 114 800 0,436 12 16816 846 840 109 854 0,383 12 12314 889 807 114 874 Loblolly pine 0,465 13,4 11087 1253 871 142 898 Western larch 0,444 12,6 11728 923 759 80 812 Pond pine 0,582 12,8 19036 1356 781 173 862 Longleaf pine 0,518 12,5 14644 1487 805 172 886 Slash pine 0,496 12,5 15975 1189 725 157 843

GLR [MPa] 945 396 772 747 711 743 903 737 958 1038 883

νRT/νTR [-]/[-] 0,408/0,308 0,442/0,382 0,411/0,365 0,517/0,213 0,541/0,515 0,483/0,728 0,382/0,362 0,389/0,352 0,389/0,320 0,384/0,342 0,447/0,387

νTL/νLT [-]/[-] 0,014/0,315 0,013/0,423 0,013/0,326 0,021/0,469 0,052/0,542 0,073/0,501 0,023/0,292 0,018/0,276 0,015/0,364 0,020/0,365 0,020/0,444

νLR/νTR [-]/[-] 0,347/0,030 0,485/0,028 0,338/0,029 0,174/0,050 0,411/0,044 0,271/0,023 0,328/0,037 0,355/0,028 0,280/0,020 0,332/0,034 0,392/0,029

2.5. táblázat. Lombos, Észak-Amerikában honos fafajok rugalmas technikai állandói. Fafaj Sűrűség Nedv.t. EL ER ET GRT 3 [g/cm ] [%] [MPa [MPa] [MPa] [MPa] Quaking aspen 0,302 12 7846 743 264 83 0,306 12 9542 712 281 97 0,285 12 8901 722 252 102 Red oak 0,565 12 15210 1179 614 319 0,582 12 12707 1288 621 301 0,596 12 14844 1501 828 398

GLR [MPa] 601 674 578 826 940 967

νRT/νTR [-]/[-] 1,272/0,452 1,594/0,628 1,172/0,409 0,599/0,118 0,626/0,282 ,508/0,3110

νTL/νLT [-]/[-] 0,014/0,202 0,017/0,537 0,034/0,384 0,019/0,567 0,024/0,410 0,051/0,458

νLR/νTR [-]/[-] 0,458/0,053 0,487/0,089 0,523/0,019 0,390/0,040 0,274/0,025 0,223/0,035

GTL [MPa] 447 432 429 686 767 695

130

2.6. táblázat. Néhány Oroszországban honos fafaj,különböző igénybevételekkel meghatározott rugalmas technikai állandói. Tölgy Kőris Nyír Lucfenyő Erdei enyő. Nedv. Tart. 15 15 15 15 15 % EL (nyo14000 15000 15800 14200 11700 MPa más) ER(nyomás) 1290 970 600 590 620 MPa ET(nyomás) 910 450 360 500 MPa EL(húzás) 14000 14000 18100 14300 11700 MPa ER(húzás) 1100 600 620 510 MPa ET(húzás) 830 420 420 430 MPa EL(hajlítás) 15100 12800 15100 10600 12200 MPa GRT 440 200 50 MPa GTL 910 800 710 MPa GLR 1320 1450 1140 MPa G(csavarás) 800 1010 660 MPa νRT 0,830 0,740 0,810 0,480 0,790 νTR 0,340 0,600 0,490 0,250 0,380 νTL 0,090 0,043 0,040 0,031 0,037 νLT

νLR

νRL

0,410

0,260

0,450

0,411

0,410

-

0,430

0,430

0,580

0,440

0,490

-

0,070

0,043

0,043

0,017

0,030

-

2.7. táblázat. Az erdei fenyő anatómiai főirányokhoz és a főirányok szögfelezőihez tartozó rugalmas technikai állandói. Erdei fenyő EL

11300

MPa

ν RT

0,527

-

ER

1740

MPa

ν TR

0,306

-

E

930

MPa

ν TL

0,045

-

2230

MPa

ν LT

0,463

-

1158

MPa

ν LR

0,504

-

285

MPa

νRL

0,078

-

0,730

-

0,157

-

-0,075

-

E E E

T ( 45 ) LR R ( 45 ) LT L ( 45 ) RT

GRT

82

MPa

ν

GTL

653

MPa

ν

GLR

1005

MPa

ν

L ( 45 ) RT T ( 45 ) LR R ( 45 ) LT

2.8. táblázat. A bükk faanyag rugalmas mátrixai. A természetes bükk faanyag rugalmas mátrixai, ha a rugalmas technikai állandók: EL = 14000 MPa , ER = 2285 MPa ,

GRT= 467 MPa , GTL = 952 MPa ,

νRT = 0,709 , νLT = 0,510 , 131

ET = 1160 MPa ,

GLR = 1972 MPa ,

νLR = 0,447 .

A másik három Poisson-tényezőt már számíthatjuk: νTR = 0,360 ,

νTL = 0,042 ,

νRL = 0,073

Az alakíthatósági mátrix: − 3,19 − 3,64 0 0 0   7,14  − 3,19 43,76 − 31,03 0 0 0   − 3,64 − 31,03 86,20 0 0 0  −5  1  s ij =   ⋅ 10  MPa  . 0 0 214,10 0 0     0  0 0 0 0 105,00 0    0 0 0 0 50,70  0

[]

A merevségi mátrix: 0 0  15702 2170 1445 0  2170 3367 1304 0 0 0    ij   1445 1304 1690 0 0 0  c  =   MPa . 0 0 467 0 0     0  0 0 0 0 952 0    0 0 0 0 1972  0

[ ]

2.9. táblázat. A dió faanyag rugalmas mátrixai. A természetes dió faanyag rugalmas mátrixai, ha a rugalmas technikai állandók: EL = 11930 MPa , ER = 1380 MPa , ET = 600 MPa ,

νRT = 0,7 ,

GRT = 280 MPa , GTL = 810 MPa , GLR = 11180 MPa ,

νLT = 0,43 , νLR = 0,36 .

A másik három Poisson-tényezőt már számíthatjuk: νTR = 0,3 ,

νTL = 0,022 ,

νRL = 0,042

Az alakíthatósági mátrix: 0 0 0  − 2,97 − 3,60  8,38 − 2,97 72,46 − 50,00 0 0 0    − 3,60 − 50,00 166,67 0 0 0  −5  1  s ij =   ⋅ 10  MPa  . 0 0 0 357 , 14 0 0      0 0 0 0 123,45 0    0 0 0 0 84,74  0

[ ]

A merevségi mátrix: 132

0 0  12488 892 542 0  892 1811 563 0 0 0    542 563 783 0 0 0  c ij =   [MPa ] . 0 0 0 280 0 0    0 0 0 0 810 0    0 0 0 0 1180  0

[ ]

ratlan számú orientációs esetekben ((2.59.) összefüggés)). A változás bükk esetében nem jelentős, ugyanakkor a G LRT(45 ) értéke lényegesen nagyobb az R vagy T normálisú síkokhoz tartozó nyírórugalmassági moduluszoknál. A 2.18. és 2.19. ábrákon a (2.60) összefüggéssel megadott G ijj(α ) nyírórugalmassági függvényt ábrázoltuk (páros orientációs esetek). Ezek jellegükben az E moduluszok változását követik. A 2.20-2.23. ábrákon a Poisson-tényezők függvénygörbéi láthatók. Az első két ábra a (2.63)-mal megadott ν ijk (α ) tényezőket (páratlan orientációs esetek), a második két ábra a (2.64)-gyel megadott ν ijj(α ) tényezőket (páros orientációs esetek) mutatja. Megállapíthatjuk, hogy a függvényparaméterek konkrét értékeinek függvényében változatos alakú görbék jönnek létre. A legérdekesebb jelenség, hogy a lucfenyő ν RLT(α ) Poisson-tényezője bizonyos szögtartományon negatív értéket vesz fel, ami azt jelenti, hogy pl. húzóigénybevétel hatására a terhelőerő hatásvonalára merőleges irányú geometriai méretek is növekednek. Ez a jelenség a gyakorlatban is megfigyelhető. A fentiekhez hasonló függvények egyik nagy jelentősége abban áll, hogy alkalmasan megválasztott kísérletsorozatok eredményeinek és az elmélet összehasonlításával megítélhető, mennyire írható le a faanyag rugalmas viselkedése az ortogonális anizotrop anyagmodellel. Ilyen, ellenőrzésre szolgáló mérések a szakirodalomban csak elvétve találhatók. R.F.S. Heamon, (1948) és E.K. Askenazi, (1978) alapján bemutatunk néhány kísérleti vizsgálatot, ill. azokból megállapítható paraméterek segítségével számított elméleti összefüggések görbéit. A 2.24. ábrán L-T síkban végzett kísérleti adatok szerepelnek a rugalmassági moduluszra, melyet Gaber és Christians okumé, Kraemer nyír faanyagra határozott meg. A 2.25. ábrán Jenkin kísérleti eredményeit ábrázoltuk mindhárom anatómiai fősíkban a rugalmassági moduluszra sitka fenyő esetén. A 2.26. ábrán ugyancsak Jenkin vizsgálatai alapján a rugalmassági moduluszokat ábrázoltuk sitka fenyőre és nyírre az L-R és L-t anatómiai fősíkokban. A fenti ábrákon az elméleti görbe (2.56)-os egyenletében felhasználtuk a (2.75)-ös azonosságot. Ennek az eljárásnak az az előnye, hogy ilyen módon nincs szükség a Gij és νji értékekre, E ijk (45 ) értéke pedig - ugyanúgy, mint Ei és Ej - a kísérleti adatok alapján állapítható meg.

133

2.14. ábra. A lucfenyő rugalmassági modu-luszának változása az anatómiai fősíkokban.

2.15. ábra. A bükk rugalmassági moduluszának változása az anatómiai fősíkokban.

134

2.16. ábra. A lucfenyő nyírórugalmassági moduluszának változása az anatómiai fősíkokban.

2.17. ábra. A bükk nyírórugalmassági moduluszának változása az anatómiai fősíkokban.

135

2.18. ábra. A lucfenyő nyírórugalmassági moduluszának változása az anatómiai fősíkokban.

2.19. ábra. A bükk nyírórugalmassági moduluszának változása az anatómiai fősíkokban.

136

2.20. ábra. A lucfenyő Poisson-tényezőinek változása az anatómia fősíkokban.

2.21. ábra. A bükk Poisson-tényezőinek változása az anatómia fősíkokban.

137

2.22. ábra. A lucfenyő Poisson-tényezőinek változása az anatómia fősíkokban.

2.23. ábra. A bükk Poisson-tényezőinek változása az anatómia fősíkokban.

138

2.24. ábra. Az okumé rugalmassági moduluszának változása az anatómiai fősíkokban.

2.25. ábra. A sitka fenyő rugalmassági moduluszának változása az anatómiai fősíkokban.

139

2.26. ábra. A sitka fenyő és a nyír faanyag rugalmassági moduluszának változása az anatómiai fősíkokban.

2.27. ábra. A sitka fenyő és a nyír faanyag nyíró-rugalmassági moduluszának változása az anatómiai fősíkokban (1., 3., 5. este).

2.28. ábra. A sitka fenyő és a nyír faanyag nyíró-rugalmassági moduluszának változása az anatómiai fősíkokban (2., 4., 6. eset). Jenkin a nyírórugalmassági moduluszok iránytól függő változását is vizsgálta. A 2.27. ábrán az 1.3. orientációs esetnek, a 2.28. ábrán a 2. és 4. orientációs esetnek megfelelő kísérleti eredményeket tüntettük fel. A páratlan orientációs eseteknek megfelelő (2.63)-as összefüggésben felhasználtuk a (2.83) azonosságot. Ily módon nincs szükség az Ei, Ej és νji paraméterekre, Gij és G ijk (45 ) értékeit a kísérleti eredmény alapján vesszük fel. A bemutatott esetek mindegyikében igen jó egyezést találunk a kísérleti eredmények és az elméleti összefüggések felhasználásával nyert értékek között. Ez valóban arra utal, hogy a faanyag rugalmassági szempontból ortogonálisan anizotrop. Hasonló, ellenőrző vizsgálatokat célszerű lenne azonban más fafajok esetén is elvégezni.

2.2.1.8. A RUGALMAS ÁLLANDÓK ANIZOTRÓPIA DIAGRAMJAI Az anizotrópia diagramok (vagy felületek) - hasonlóan az anatómiai fősíkokba eső irányokhoz tartozó rugalmas állandók előző fejezetben ábrázolt függvényeihez - a rugalmas tulajdonság teljesen általános és tetszőleges irányhoz tartozó változását szemléltetik. A húzó- vagy nyomórugalmassági moduluszok anizotrópia-diagramját a (2.52) összefüggés felhasználásával szerkeszthetjük meg az 1.3. fejezetben leírtaknak megfelelően (1.17. ábra). A nyíró-rugalmassági moduluszok és az interakciós tényezők (Poisson-tényezők) diagramjának szerkesztéséhez a (2.53) és (2.54) összefüggéseket használhatjuk. Ezeket a mennyiségeket azonban három független adattal (szöggel) lehet megadni, ábrázolásukhoz tehát négy di-

141

menzióra lenne szükség. Ez nem áll rendelkezésünkre, ezért úgy járunk el, hogy a három szögérték közül valamelyiket rögzítjük. Például a ϕ és ϑ szöggel megadjuk a vizsgált rugal-

2.29. ábra. A nyír anizotrópia diagramja húzáskor és nyomáskor. mas állandókhoz tartozó feszültség hatósíkját (nyírórugalmassági modulusznál a nyírófeszültség síkját, Poisson-tényezőnél a normálfeszültség síkját), mint független változót, végigfuttatva a teljes értelmezési tartományon, a ψ szöget, ami a nyírófeszültség hatásvonalának saját síkján belüli helyzetét, ill. a keresztirányú hosszváltozás irányát adja meg, rögzítjük. Ilyen módon minden rögzített ψ -hez egy olyan diagramot szerkeszthetünk meg, amely formailag analóg a rugalmassági moduluszok diagramjával. Az anizotrópia-diagramok megszerkesztése meglehetősen körülményes, célszerű valamilyen számítógépes algoritmus, ill rajzolóprogram alkalmazása.

142

Elvileg az anizotrópia-diagramok is alkalmasak annak megítélésére, hogy a faanyag mennyire követi az ortogonálisan anizotrop anyagmodellt. Teljesen általánosan orientált próbatestek elkészítése azonban igen bonyolult és pontatlan, ezért az elmélet ilyen módon történő igazolása nemigen jöhet szóba (az anatómiai fősíkokban történő igazolás egyébként tökéletesen

a

2.30. ábra. A tölgy anizotrópia diagramja húzáskor és nyomáskor. elegendő). A 2.29-2.31. ábrákon bemutatjuk a nyír, tölgy és erdei fenyő húzó- és nyomórugalmassági moduluszának anizotrópiai-diagramjait. A szerkesztéshez szükséges adatokat 2.6. táblázatból vettük, a szögfelezők irányához tartozó rugalmassági moduluszokat a (2.75) ösz-

143

szefüggéssel számítottuk. Az erdei fenyő hiányzó, R-T síkhoz tartozó nyíró-rugalmassági moduluszának 65 MPa-t választottunk.

2.31. ábra. Az erdei fenyő anizotrópia diagramja húzáskor és nyomáskor.

2.2.2. A FAALAPÚ ANYAGOK RUGALMASSÁGÁNAK JELLEMZÉSE Az 1.3. táblázatban felsorolt faalapú anyagok közül a modifikált faanyag, a rétegelt-ragasztott elemek, valamint a furnértartók anyaga a rugalmas tulajdonságok szempontjából a természetes faanyaghoz hasonlítanak. A modifikálás és a párhuzamos rétegezés csökkenti az anyag inhomogenitását, sokszor anizotrópiafokát is, alapvetően azonban megmarad a rombikus kris-

144

tályformának megfelelő szerkezeti, anatómiai felépítés. Ezekre az anyagokra tehát a 2.2.1. fejezetben leírtak érvényesek. Azok a faalapú anyagok, amelyek egészen apró részecskékből épülnek fel (farostlemez, papír, falisztkompozitok), viszonylag homogének és egyenesvonalú anizotrópiával rendelkeznek. Ezek minden pontjának kis környezetében ugyanaz az anizotrop anyagmodell értelmezhető. A bonyolultabb szerkezetű, nagyobb elemekből álló faalapú anyagok még a természetes faanyagnál is nagyobb inhomogenitással rendelkeznek (bútorlapok, rétegelt lemezek, szendvicslemezek). Itt a test kisebb-nagyobb résztérfogataiban különböző anizotrop modellekkel írhatók le a rugalmas tulajdonságok. Az a módszer azonban, amely olyan módon kívánja megadni a teljes test rugalmas viselkedését, hogy részelemeinek viszonylag valósághű anyagmodelljeinek összességét veszi figyelembe, igen bonyolult és gyakorlatilag használhatatlan. E helyett olyan modellt alkalmazunk, amely nem a test egyes pontjainak kis környezetében adja meg a rugalmas tulajdonságokat, hanem az egész testnek, mint egységes egésznek a rugalmas viselkedését tükrözi, az ún. eredő rugalmas tulajdonságokat adja meg. Az 1.5. fejezetben láttuk, hogy a faalapú anyagok gyártási technológiája következtében, a belső szerkezeti szerveződésnek megfelelően a testekben szerkezeti főirányok jönnek létre, amelyek fontos szerepet játszanak a rugalmas tulajdonságok, ill. azok megadása szempontjából, hasonlóan a természetes faanyag anatómiai főirányaihoz. A szerkezeti főirányok a legtöbb esetben merőlegesek egymásra, tehát célszerűen a kiinduló koordinátarendszer tengelyeinek választhatók.

2.2.2.1. A FAALAPÚ ANYAGOK RUGALMAS MÁTRIXAINAK ELEMEI A faalapú anyagok legtöbbje szigorú értelemben ortogonálisan anizotrop. Ha a szerkezeti főirányokat 1, 2, 3 számmal jelöljük, akkor a (2.34) merevségi mátrix elemei a merevségi tenzorkomponensekkel a következőképpen fejezhetők ki:  c1111  2211 c c 3311 ij c =  0  0   0

[ ]

c1122

c1133

0

0

c

2222

c

2233

0

0

c

3322

c

3333

0

0

0

0

2323

0

0

0

0

c 3131

0

0

0

0

c

0   0  0   . 0  0   c1212 

2.115

Az alakíthatósági mátrix az alakíthatósági tenzorkomponensekkel kifejezve s 1111 s  2211 s s ij =  3311  0  0   0

[ ]

s 1122

s 1133

0

0

s 2222

s 2233

0

0

s 3322

s 3333

0

0

0

0

4s 2323

0

0

0

0

4s 3131

0

0

0

0

0  0  0   . 0  0   4s 1212 

2.116

Faalapú anyagok esetén is értelmezhetők a rugalmas technikai állandók:

145

ν ν  1  − 21 − 31 0 0 0   E E2 E3  1  ν ν 1 32 − 12 − 0 0 0   E1  E2 E3  ν  ν 1  − 13 − 23 0 0 0  E2 E3  E1  2.117 s ij =  , 1 0 0 0 0   0 G 23   1   0 0 0 0   0 G 31   1   0 0 0 0 0  G 12  ahol az Ei , Gij , νij technikai állandókat ugyanúgy definiáljuk, mint a természetes faanyagnál (i,j = 1,2,3). A faalapú anyagok jelentős része lap, lemez formájában kerül felhasználásra. Az egyik szerkezeti főirány mindig a lap síkjára merőleges irány, általában ezt szokták a 3-as számmal jelölni. A másik két főirány benne van a lap síkjában, ill. azzal párhuzamos. A gyártási technológia következtében a részecskékből felépülő faalapú lemezek saját síkjukban is orientáltak, mert az általában hosszúkás alakú részecskék (forgácsok, rostok) többsége a gyártási folyamat menetirányának hossztengelyével párhuzamosan helyezkednek el. Ennek az a következménye, hogy a lap ebben az irányban merevebb lesz, mint a gyártási menetirányra merőleges irányban. Rétegelt lemezeknél a lap síkjának főirányai az egyes rétegek egymáshoz viszonyított helyzetétől függenek. Abban a speciális esetben, mikor a faalapú lemezek síkjában az egymásra merőleges két szerkezeti főirányban a rugalmas tulajdonságok megegyeznek, azaz a 3-as főirány egy 4fogású forgatótengely, kristálytani szempontból a tetragonális csoportba tartozó szerkezettel van dolgunk. Ennek alakíthatósági mátrixa (2.39)-nek felel meg:

[]

 1  E  1 − ν 12  E1  ν  − 13  E1 s ij =   0    0   0  

[ ]

ν 12 E1 1 E1 ν − 13 E1

−

ν 31 E3 ν 31 − E3 1 E3

−

0

0

0

0

0

0 0

0

0

1 G 31

0

0

0

1 G 31

0

0

0

0

 0   0    0    0    0   1  G 12 

2.118

amit (2.117)-ből is megkapunk, ha a 2-es index helyébe egyszerűen 1-et írunk. Ilyen esetet ábrázol a 2.32/b ábra, ahol két furnérréteg helyezkedik el egymás felett, melyek rostiránya egymásra merőleges. A 2.32/a. ábrán felvázolt polárkoordináta-rendszerben valamelyik ru-

146

galmas jellemző iránytól függő változását, a b. ábrán pedig az eredő rugalmas jellemző változását (ezzel a feltétellel, hogy a két furnérréteg geometriailag teljesen azonos). Megállapíthatjuk, hogy - jóllehet az eredő rugalmas jellemző a két szerkezeti főirányban tökéletesen azonos - a lemez síkjához tartozó jellemzők mégsem egyeznek meg. A síkbeli izotrópiának tehát más feltételei is vannak. A tetragonális anizotrópiának megfelelő a rugalmasság 6 adattal jellemezhető. A lemez síkjához tartozó technikai állandók: E1, G12 , ν12 és másik három állandó: E3 , G 31 , ν13 .

2.32. ábra. Rétegezéssel készített lapok anizotrópiája. Rétegelt tömböt, lemezt készítenek úgy is, hogy a szomszédos rétegek rostiránya által bezárt szög kisebb, mint 90°. Ilyen módon különböző fogásszámú forgatótengellyel rendelkező lemezeket lehet gyártani. A variációk számát azzal is lehet növelni, hogy a furnérrétegek vastagsága különböző. A 2.32/c. ábrán egy 12 rétegű, azonos vastagságú furnérokból álló tömb elemeinek anizotropia görbéit és eredő anizotrópiagörbéjét vázoltuk fel. Felhívjuk a figyelmet, hogy az eredő anizotrópiagörbe nem a részanizotrópia-görbék burkológörbéje. Egy kiválasztott irányban az eredő rugalmas jellemző - a rétegek párhuzamos kapcsolásának megfelelően - az adott irányhoz tartozó réteganyag-jellemzők furnérvastagsággal súlyozott átlaga. Az ábrán vázolt, 12-fogású forgatótengelynek megfelelő esetben például kör lesz, azaz a lemez saját síkjában izotrop. Kézenfekvő a kérdés, hogy mekkora az a legkisebb szög, amelynél a lemezek saját síkjukban már izotropnak tekinthetők, azaz hány fogású a forgatótengely. A Függelékben ezzel a kérdéssel teljes általánosságban foglalkozunk. Itt elegendő annak felismerése, hogy tetragonális rendszerben az i,j-fősíkban tetszőleges irányhoz akkor kapunk azonos rugalmas állandókat, ha Ei = E j G ij =

és 2.119/a

Ei 2(1 + ν ij )

Az állítás helyességéről (2.65/a), (2.59/a) és (2.61/a) alapján könnyen meggyőződhetünk. E két feltételt a merevségi és alakíthatósági tenzorkomponensekkel is felírhatjuk:

c iiii = c jjjj , c ijij =

(

)

1 iiii c − c iijj , 2

2.119/b

147

ill.

s iiii = s jjjj , s ijij = 2(s iiii − s iijj ).

2.119/c

(2.119) azonban szükséges, de nem elégséges feltétel, elégséges feltételként - mint azt a Függelékben megmutattuk - még a c1112 = c 2212 = 0 , ill.

s1112 = s 2212 = 0

2.119/d

azonosságot is figyelembe kell venni. (2.119) minden azonossága olyan k irányba eső forgatótengely esetén áll fenn, melynek fogásszáma n = 3 és n ≥ 5. Síkban izotrop tehát minden olyan test, amely a természetes körülmények között kialakuló trigonális és tetragonális kristályrendszerbe tartozik. Mesterségesen készíthetők síkban izotrop testek, ha a forgatótengely fogásszáma 3, 5, 6, 7, 8 stb. Mivel egy furnérréteg eleve rendelkezik egy 2-fogású forgatótengellyel, gyakorlatilag csak páros fogásszámú forgatótengellyel bíró rétegelt lemezek készíthetők. A szomszédos rétegek rostiránya által bezárt szög 60°, 45°, 36°, 30° stb. lehet, amennyiben a furnérrétegek geometriai és fizikai tulajdonságai azonosak. Transzotrop lemezek gyárthatók úgy is, hogy különböző vastagságú és eltérő fizikai tulajdonságú rétegeket egyesítünk tömbbé, biztosítva (2.119) fennállását. A síkban izotrop testek alakíthatósági mátrixa:  1  E  1 − ν 12  E1  ν  − 13  E1   0   0    0 

ν12 E1 1 E1 ν − 13 E1

ν 31 E3 ν − 31 E3 1 E3

0

−

−

0

0

0

0

0

0

0

1 G 31

0

0

0

0

1 G 31

0

0

0

0

    0    0 ,  0    0   E1  2(1 + ν 12 )  0

2.120

a független technikai rugalmas állandók az anizotrop síkban: E1, ν12, valamint:E3, G31, ν31 , összesen 5.

2.2.2.2. A FAALAPÚ ANYAGOK RUGALMAS ÁLLANDÓINAK TRANSZFORMÁCIÓJA ÉS A RUGALMAS ÁLLANDÓK KÖZÖTTI KAPCSOLATOK Az előző fejezetben láttuk, hogy a faalapú anyagok rugalmas mátrixainak szerkezete még síkbeli izotrópia esetén is az ortogonálisan anizotrop anyagok mátrixainak szerkezetével egyezik meg. A különbség csupán annyi, hogy bizonyos komponensek a tetragonális rendszerben vagy a síkbeli izotrópia esetében azonos nagyságúak. Ez azonban nem befolyásolja a tenzorkomponensek transzformációjának általános szabályait. Értelemszerűen ugyanez a megállapítás érvényes a rugalmas állandók közötti relációkra, összefüggésekre is. A végösszegfüggésekben csupán annyi változás lehetséges, hogy az azonos nagyságú komponensek összevonhatósága miatt némileg egyszerűsödnek.

148

Ily módon a 2.2.1.2, 2.2.1.3. és 2.2.1.4. fejezetek minden összefüggése és relációja érvényes faalapú anyagok esetében is azzal a formai változással, hogy i,j,k,l = 1,2,3, azaz a futó indexek helyébe a szerkezeti főirányok jeleit kell írni.

2.2.2.3. A FAALAPÚ ANYAGOK RUGALMAS ÁLLANDÓINAK KÍSÉRLETI MEGHATÁROZÁSA Az ortogonális anizotrópiának megfelelően a faalapú anyagokat a szerkezeti főirányok rendszerében 9 független tenzor-komponenssel jellemezzük. Elvileg ezt a 9 komponenst az E 1 , E 2 , E 3 , ν 23 , ν 31 , ν 12 , G 23 , G 31 és G 12 technikai rugalmas állandók meghatározzák. Ezeknek a technikai állandóknak a kísérleti meghatározásánál sajnos ugyanolyan problémák lépnek fel, mint a természetes faanyagnál. A húzó- és nyomó-igénybevételhez tartozó rugalmassági moduluszok és Poisson-tényezők itt is különböznek egymástól és bizonyos állandókat célszerűbb közvetve meghatározni. Végeredményben az E 1+ , E 1- , E +2 , E -2 , E 3+ , E 3- , 3( 45 )+ 12 + − 12 12

E

,E

3( 45 )− 2 ( 45 )+ 12 13 + − + 13 13 23

,E

,E

2 ( 45 )− 13

,E

1( 45 )+ 23

,E

1( 45 ) 23

− ν , ν , ν , ν , ν , ν 23 ,

3( 45 )+ 3( 45 )− 2 ( 45 )+ 2 ( 45 )− ν 12 , ν 12 , ν 13 , ν 13 , ν 123(45 )+ , ν 123(45 )− , + − + − ν +21 , ν −21 , ν 31 , ν 31 , ν 32 , ν 32 , 2 ( 45 )+ 2 ( 45 )− ν 321(45 )+ , ν 321(45 )− , ν 31 , ν 31 , ν 132(45 )+ , ν132(45 )− , 3( 45 ) 2 ( 45 ) G 12 , G 13 , G 23 , G 12 , G 13 , G 123(45 )

,

          

2.121 2.122

2.123

technikai rugalmas állandók közül kell az adott típusú faalapú anyagnak azt a jellemzőjét meghatározni., amelyik a kísérleti vizsgálat és az eredmények megbízhatósága szempontjából optimális. Annak megítélése, hogy valamely faalapú lemez síkban izotrop-e, csak a mérések elvégzése és kiértékelése után lehetséges. A transzotrópia kritériuma, hogy a kísérlettel meghatározott rugalmas állandók között a gyakorlat számára kielégítő megbízhatósági szinten (2.119) teljesüljön. Maguk a vizsgálati módszerek, a próbatestek kialakításának szempontjai teljesen azonosak a 2.2.1.5. fejezetben bemutatottakkal. Egyedül lemez alakú anyagoknál okoz gondot a lemez síkjára merőleges irányhoz tartozó rugalmas állandók meghatározására szolgáló próbatestek kialakítása, mert a lemez vastagsága általában kisebb, mint a vizsgálathoz szükséges minimális geometriai méret. Ilyenkor a 2.33. ábrán látható módon, a lemezből kivágott csíkokból ragasztással állítunk össze olyan síkelemeket, amelyekből az 1,3- és 2,3-szerkezeti fősíkokhoz tartozó próbatestek is készíthetők.

149

2.2.2.4. NÉHÁNY FAALAPÚ ANYAGFAJTA TECHNIKAI RUGALMAS ÁLLANDÓJA A SZERKEZETI FŐIRÁNYOK RENDSZERÉBEN, A RUGALMAS ÁLLANDÓK VÁLTOZÁSA A SZERKEZETI FŐSÍKOKBAN, ANIZOTRÓPIADIAGRAMOK A faalapú anyagok rendkívüli sokfélesége, az a tény, hogy még azonos típusú anyagon belül is, a felhasznált fafaj és gyártási technológia (az aprítás mértéke, ragasztóanyag, nyomás, hőmérséklet stb.) függvényében igen változatos fizikai-mechanikai tulajdonságokat lehet létre-

2.33. ábra. A lemezek rugalmas jellemzőinek meghatározásához szükséges próbatestek kialakítása. 150

hozni, hogy a faalapú anyagok jelentős részét általában erőtanilag kevésbé frekventált területen alkalmazzák, ill. a század első felében a repülőgyártásban alkalmazott faalapú anyagok tulajdonságai ipari titoknak

2.10. táblázat. Néhány speciális rétegelt lemez rugalmas állandói. BSZ. réte- BSZ réte- Bakelizált Bakelizált gelt lemez gelt lemez BSZ rét. l. BSZ rét. l. vastagság 10 8 10 7 rétegszám 9 7 11 7 E1 13400 11000 15300 14800 E2 8600 9500 11100 10000 3( 45 ) 3700 3000 4800 4400 E 12 G12 ν 12 ν 21

3( 45 ) ν12

1080 0,081 0,050 0,690

900 0,076 0,060 0,700

1420 0,085 0,064 0,680

1350 0,088 0,062 0,650

2.11. táblázat. Műanyagtelítésű rétegelt lemez rugalmas jellemzői. DSZP-B típusú műanyagtelítésű rétegelt lemez E1 E2 E3 G12 G31 ν 12 30000 5800 2500 2000 1200 0,36 MPa MPa MPa MPa MPa -

FSZF rét. lemez 10 10900 8700 2800

mm MPa MPa MPa

950 0,174 0,038 0,577

MPa -

ν 23 0,30 -

ν 31 0,07 -

számítottak, maga után vonta, hogy a szakirodalomban meglehetősen kevés konkrét adat található a faalapú anyagok mechanikai tulajdonságairól. A rugalmas tulajdonságok leírásához szükséges technikai állandók rendszere pedig szinte teljesen hiányzik. Jóllehet a század elején éppen a repülőgépgyártás magas technikai igénye - nagy megbízhatóság a lehető legkisebb önsúly mellett - támasztotta a legnagyobb igényt az anizotrop testek viselkedésének elméleti és gyakorlati kutatásával szemben, napjainkra a faalapú anyagok a repülőgépgyártásból szinte teljesen kiszorultak (helyüket a különböző szálerősítésű műanyagok váltották fel, amelyek természetesen szintén anizotrop anyagok). Jelenleg faalapú anyagokat erőtani szempontból is kényes helyeken a gépjárműiparban és építési szerkezetekben használnak fel. Emellett természetesen jelentős a bútoriparban és a belsőépítészetben való alkalmazásuk. A faalapú anyagok mechanikai tulajdonságainak leírásához szükséges jellemzők megadásának egyetlen járható útja, ha a jellemzők meghatározásához szükséges méréseket maga a gyártó vállalat végzi vagy végezteti el. A 2.10. táblázatban (E.K. Askenazi, 1978-ból) idézett adatok alapján felsoroltuk néhány merőleges rétegezésű lemez lemezsíkhoz tartozó technikai rugalmas állandóit. A BSZ jelű rétegelt lemezhez tartozó adatokkal pedig a 2.34. ábrán bemutatjuk az E, G

151

2.34. ábra. BSZ rétegelt lemez rugalmas állandóinak változása a lemez szerkezeti fősíkjában.

152

2.35. ábra. Rétegelt lemez rugalmassági moduluszának változása a lemez szerkezeti fősíkjában.

2.36. ábra. Rétegelt lemez rugalmassági moduluszának változása a lemez szerkezeti fősíkjában.

2.37/a. ábra. Rétegelt lemez rugalmassági moduluszának változása saját síkjában.

153

2.37/b. ábra. Három rétegű lemez rugalmassági moduluszának változása saját síkjában.

2.37/c. ábra. Három rétegű lemez rugalmassági moduluszának változása saját síkjában.

2.37/d. ábra. Öt rétegű lemez rugalmassági moduluszának változása saját síkjában.

154

2.37/e. ábra. Három rétegű lemez rugalmassági moduluszának változása saját síkjában.

2.37/f. ábra. Négy rétegű lemez rugalmassági moduluszának változása saját síkjában.

2.38/a. ábra. Három rétegű lemez nyíró-rugalmassági moduluszának változása saját síkjában.

155

2.38/b. ábra. Három rétegű lemez nyíró-rugalmassági moduluszának változása saját síkjában.

2.38/c. ábra. Három rétegű lemez nyíró-rugalmassági moduluszának változása saját síkjában.

2.38/d. ábra. Öt rétegű lemez nyíró-rugalmassági moduluszának változása saját síkjában.

156

2.38/e. ábra. Három rétegű lemez nyíró-rugalmassági moduluszának változása saját síkjában.

2.38/f. ábra. Három rétegű lemez nyíró-rugalmassági moduluszának változása saját síkjában. és ν jellemzők lemezsíkhoz tartozó, irányfüggő változását, melyeket a (2.56/b), (2.59/b) és (2.63/b) összefüggések felhasználásával rajzoltunk meg. A 2.11. táblázatban egy DSZP-B típusú műanyagtelítésű rétegelt lemez technikai rugalmas állandóinak teljes rendszerét találjuk meg, melyet (2) forrásmunka szerint P.I. Szemjonov közölt először. A faalapú anyagok rugalmas jellemzőinek iránytól való változását vizsgáló kísérletekről is kevés információ áll rendelkezésre. A 2.35. ábrán R. Keywerth, 1951-ben közölt adatai alapján összehasonlítottuk egy 20 rétegből álló, párhuzamos rétegezésű lemez E rugalmassági moduluszának elméleti és kísérleti eredményeit. Megállapíthatjuk, hogy a párhuzamos rétegezés nem változtatja meg a természetes faanyag alapvető rugalmas karakterét. A 2.36. ábrán olyan merőleges rétegezésű lemezt mutatunk be, amelynél a lemezsík két szerkezeti főirányában a rugalmassági moduluszok elméletileg azonosak, bár gyakorlatilag van egy kis eltérés. Jól látszik, hogy a természetes faanyaghoz itt már jelentős változás lép fel a rugalmas tulajdonság jellegében. Hearmon (1948) viszonylag részletes adatokat közölt 3- és 5-rétegű, merőleges rétegezésű, különböző fafajú lemezek hajlítással és nyomással meghatározott E rugalmassági moduluszának és nyírórugalmassági moduluszának a lemezsík különböző irányaihoz tartozó értékéről. Ezeket az adatokat és az elméleti görbéket láthatjuk a 2.37. és 2.38. ábrákon. A nyírórugalmassági moduluszoknál található nagyobb eltérés a kísérleti adatok és az elmélet között feltehetően a kísérleti metodika hiányosságaival magyarázható. 157

F. Kollmann (1951) közli O. Kraemer vizsgálatait nyír furnérlemezek rugalmassági moduluszára vonatkozóan három rétegű, merőleges rétegezésű, valamint két különböző vastagságú csillaglemez esetén (ahol a szomszédos rétegek rostiránya 45°-os szöget zár be egymással, így a rétegek száma 8). A kísérleti adatokat és az elméleti görbéket a 2.39. ábrán mutatjuk be. A csillaglemezeknek elméletileg izotropoknak kellene lenniük. A kísérleti adatokból megállapítható, az izotrópiától való kisméretű eltérés feltehetően azzal magyarázható, hogy az egyes rétegek - a természetes faanyag tulajdonságainak nagy szórásának megfelelően - nem voltak tökéletesen egyformák.

2.39. ábra. Egy három rétegű és két csillaglemez rugalmassági moduluszának változása.

2.40. ábra. Orientált részecske-elhelyezkedésű lemez rugalmassági moduluszának változása. A 2.40. ábrán E.K. Askenazi (1978) alapján bemutatjuk még egy orientált részecske elhelyezésű forgácslap lemezsíkhoz tartozó rugalmassági moduluszának függvénygörbéjét. Ha158

sonló, de orientálatlan részecske-elhelyezkedésű 3( 45 )+ E 1+ = E 2+ = E 12 = 5000 MPa. .

lemez

síkban

izotrop

és

2.41. ábra. Műanyagtelítésű rétegelt lemez anizotrópia felülete.

2.42. ábra. Keresztezett állású bükk rétegelt lemez anizotrópia diagramja.

159

2.43. ábra. Nyír csillaglemez anizotrópia diagramja. A 2.41-2.43. ábrákon anizotrópia-diagramokat láthatunk. Az elsőhöz a 2.11. táblázat adatait használtuk fel. A DSZP-B típusú műanyagtelítésű rétegelt lemez szögfelező irányokhoz tartozó rugalmassági moduluszait a (2.65) és (2.75) összefüggések segítségével számítottuk. A következő ábrán egy 6 mm vastag, 7 rétegű, ortogonális rétegezésű bükk lemez húzórugalmassági moduluszának változását ábrázoltuk. A diagram szerkesztéséhez a 2.36. ábrán 2 ( 45 )+ feltüntetett adatokat használtuk fel, E 3+ , E 13 , E 123(45 )+ értékét becsültük. A harmadik ábra egy 2,3 mm vastag nyír csillaglemez anizotrópia-diagramját mutatja. A szerkesztést a 2.39. ábra 2 ( 45 )+ adataival végeztük el, E 3+ , E 13 és E 123(45 )+ értékét itt is becsültük.

SZAKIRODALOM A 2. FEJEZETHEZ: 1. Askenazi, E.K.-Ganov, E.V. 1972: Anizotropia konsztrukcionnüh metarialov (magyar nyelvű fordítás). 1. kiadás. Leningrád: Masinosztroenie 2. Askenazi, E.K. 1978: Anizotropia dreveszinü i drevesznüh materialov (magyar nyelvű fordítás). 1. kiadás. Moszkva: Lesznaja Promüslennoszty 3. Bodig, J.-Goodman, J.R. 1973: Prediction of Elastic Parameters for Wood Science. Vol 5. No. 4. 249-264. 4. Bröker, F.W.-Schwab, E. 1988: Torsionsprüfung von Holz. Holz als Roh-und Werkstoff 46 (1988) 47-52. 5. Budó, Á. 1964: Mechanika. 3. átdolgozott kiadás. Budapest: Tankönyvkiadó. 6. Ehlbeck, J.-Steck, G. (Herausgeber) 1982: Ingenieurholzbau in Forschung und Praxis. 1. kiadás. Karlsruhe: Bruderverlag. 7. Farkas, M. 1961: A relativitáselmélet matematikai alapjai. Kézirat. Budapest: Mérnöki Továbbképző Intézet. 8. Flügge, W. 1972: Tenzor Analysis and Continuum Mechanics. 1. kiadás. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag.

160

9. Greszczuk, L.B. 1966: New Test Technique for Shear Modulus and Other Elastic Constant of Filamentary Composites. Douglas Paper No. 3670. Douglas Aircraft Co. Inc., Santa Monica, CA. 10. Hearmon, R.F.S. 1961: An Introduction to Applied Anisotropic Elasticity. 1. kiadás. Oxford: University Press. 11. Hearmon, R.F.S. 1948: The Elasticity of Wood and Plywood. London: His Majesty's Stationerz Office. 12. Heimeshoff, B. 1982: Az anizotropia hatása a feszültségi és alakváltozási állapotra derékszögű négyszög keresztmetszetű rudak csavaróigénybevételénél (magyar nyelvű fordítás). Ingenierholzbau in Forschung und Praxis. 1. kiadás. Karlsruhe: Bruderverlag. 13. Hörig, H. 1936: Berechnung der Gleitzahlen s44, s55, s66 aus der Verdrehungen von Staben mit rechteckingen Querschnitten bei rhombischer Symmetrie. Ingenieur Archiv VII (1936), 165-170. 14. Hörig, H. 1933: Über die rechnerische Auswertung von Verdrechungsmessungen an Holzstäben. Ingenieure Archiv IV. (1933) 570-576. 15. Ylinen, A. 1963: A Comparative Study of Different Types of Shear Test of Wood. Fifth Conference on Wood Technology. U.S. Forest Producta Laboratory, Madison Wisconsin, September 16-27. 1963. 16. Jánossy, L.-Tasnádi, P. 1982: Vektorszámítás. I. kötet. 2. kiadás. Budapest: Tankönyvkiadó. 17. Keylwerth, R. 1951: Die anisotrope Elasticitat des Holzes und der Lagenhölzer. VDIForschungsheft 430, Ausgabe B Band 17. Düsseldorf: Verlag des Vereines Deutscher Ingenieure. 18. Klingbeil, E. 1966: Tenzorrechnung für Ingenieure. Hochschultaschenbücher, Ban 197. Mannheim (Wien) Zürich: B.I.-Wissenschaftverlag. 19. Korn, G.A.-Korn, T.M. 1975: Matematikai kézikönyv műszakiaknak. Budapest: Műszaki Könyvkiadó. 20. Kollmann, F. 1951: Technologie des Holzes und der Holzwerkstoffe. I. kötet. 2. kiadás. Berlin: Springer-Verlag. 21. Landau, L.D.-Lifsic. E.M. 1974: Elméleti fizika VII. Rugalmasságtan. Budapest: Tankönyvkiadó. 22. Lechnickij, Sz.G. 1981: Theory of Elasticity of an Anisotropic Body (magyar nyelvű fordítás). 1. kiadás. Moszkva: Mir. 23. Möhler, K.- Hemmer, K. 1977: Verformungs- und Festigkeitsverhalten von Nadelvollund Brettschichtholz bei Torsionbeanspruchung. Holz- und Werkstoff 35 (1977) 473-478. 24. Reimann, J.-V. Nagy, 1984: Hidrológiai Statisztika. 1. kiadás. Budapest: Tankönyvkiadó. 25. Schwab, E.-Polaczek, P. 1977: Bestimmung der Schubmoduln von Holz durch statische Torsionsversuche. Beitrag zur Neufassung DIN 52190. Holz als Roh- und Werkstoff 35 (1977) 23-27. 26. Tang, R.C.-Adams, S.F.-Mark, R.E. 1971: Moduli of Rigidity and Torsional Strenght of Scarlet Oak Related to Moisture Content. Wood Science Vol. 3, No. 4. 27. Wooster, W.A. 1949: A Text Book on Crystal Physics. Cambridge: University Press. 28. Voigt, W. 1928: Lehrbuch der Kristallphysik. 2. kiegészített kiadás. Leipzig und Berlin: B.G. Teubner. 29. Zhang, W.-Sliker, A. 1991: Measuring Shear Moduli in Wood with Small Tension and Compression Samples. Wood and Fiber Science. 23(1). 1991. 58-68.

161

3. A SZILÁRDSÁG ANIZOTRÓPIÁJA A különböző anyagú testek terhelés és alakváltozás kapcsolatát kifejező anyagtörvények, ill. annak anyagállandói mellett gyakorlati szempontból rendkívül fontos másik jellemzői a terhelhetőség maximumát kifejező mennyiségek. A szerkezet teherbíróképessége alatt a ható erőrendeszernek azt a kombinációját értjük, amelynél a szerkezet éppen elveszti a terheléssel szembeni ellenállását. Egy szerkezetnek annyi különböző teherbíróképessége van, ahányféle teherállás képzelhető el rajta. Valamivel egyszerűbb a helyzet, ha a teherbíróképességet az anyagra értelmezzük. Az anyag teherbíróképességét szilárdságnak nevezzük. Az anyag szilárdsági jellemzőinek kísérleti meghatározásánál leggyakrabban olyan igénybevételeket alkalmaznak, melyeknél a teherbíróképességhez (tönkremenetelhez) tartozó feszültségállapot viszonylag egyszerű és egyetlen adattal jellemezhető. Húzó- és nyomóigénybevételnél lineáris feszültségi állapot keletkezik, a tönkremenetel pillanatában a feszültségi állapotot a σ +max , ill. a σ −max , adja meg. Az f + = σ +max és f − = σ −max mennyiségeket az anyag húzó-, ill. nyomószilárdságának nevezzük. Tiszta nyíróigénybevétel alkalmazásával a feszültségi állapot síkbeli ugyan, de ismét egyetlen adattal τmax-szal jellemezhető a tönkremenetel pillanatában, a t = τmax értéket az anyag nyírószilárdságának hívjuk. A valóságos szerkezetekben az igénybevételek általában olyan jellegűek, hogy hatásukra a test pontjaiban összetett feszültségi állapot keletkezik. A kísérleti tapasztalatok azt mutatják, hogy az anyag összetett feszültségi állapotban már akkor is elvesztheti ellenállóképességét, ha egyik feszültségkomponens sem éri el az egyszerű feszültségi állapotoknak megfelelő szilárdságot. Akármilyen feszültségi állapotot is választunk, azok komponenseit lineárisan növelve, elérünk egy olyan határállapothoz, amelynél az anyag tönkrementnek tekinthető. Azt a feszültségi állapotot, amelynél az anyag éppen tönkremegy, ill. a tönkremenetel határára kerül tönkremeneteli vagy szilárdsági határállapotnak nevezzük. Nyilvánvaló, hogy végtelen sok olyan feszültségi állapot létezik, amelynél az anyag szilárdsági határállapotba kerül. A műszaki gyakorlat számára nagyon fontos ezeknek a szilárdsági határállapotoknak az ismerete. Természetesen minden anyagfajtára - de még egyre is - e végtelen sok határállapotnak a kísérleti meghatározása lehetetlen. Arra van tehát szükség, hogy egyrészt bizonyos kísérleti eredmények figyelembevételével, másrészt elméleti megfontolások alapján olyan módszereket dolgozzanak ki, melyekkel eldönthető, hogy egy adott feszültségi állapot a vizsgált anyag szempontjából tönkremenetelinek tekinthető-e vagy sem. Az ilyen elméleteket tönkremeneteli vagy szilárdsági elméleteknek nevezzük.

3.1. A SZILÁRDSÁG ÉRTELMEZÉSE ANIZOTROP ANYAGRA Anizotrop anyagok, különösen faanyag esetén, a szilárdság fogalmának - a mechanikai terhelés hatására fellépő viselkedés sokfélesége miatt - az izotrop anyagoknál megszokottéhoz képest általánosabb értelmezést kell adnunk. A kísérleti tapasztalatok ugyanis azt mutatják, hogy az anizotrop anyag tönkremenetele nemcsak különböző jellegű, hanem azonos minőségű feszültségi állapotok hatására is az orientációtól - és egyéb, főleg külső tényezőktől is - függően eltérő jellegzetességekkel rendelkezik. A legújabb kísérletek (Szalai, J. et al. 2004) azt mutatták, hogy a faanyag törésének jellege minden igénybevételnél a nedvességtartalomtól függetlenül rideg. Nyomásnál is bizonyos otientációjú nyírásnál feltünnek az alakáltozási diagramokon szívós (képlékeny) alakváltozásra utaló jelek, ezek azonban a sejtfalak roncsolódását követő (tehát tönkremenetel utáni) makroszkopikus alakvcáltozások következményei. A vizsgálatok szerint nem a nedvességtartalomnak, hanem a hőmérsékletnek van jelentős befolyása a

162

tönkremenetel jellegére. A mechanikai hatással szembeni ellenállás megszűnését tehát alapvetően két ok idézheti elő: - normál hőmérsékleten viszonylag kis alakváltozás mellett fellépő rideg törés, az anyagban repedések jelennek meg, néha részekre esik szét, - magasabb hőmérséklet, esetlen bizonyos kémiai kezelés (pl. ammónia) hatására a szerkezeti elem olyan nagymértékű rugalmas vagy plasztikus alakváltozást szenved, ami korlátozza vagy lehetetlenné teszi a szerkezet használatát. Az orientációtól és egyéb hatásoktól függően e két szélsőségesnek mondható törési jelleg különböző átmenetei, változatos kombinációi fordulnak elő. Bizonyos tehertípusok és orientációk esetén még a szilárdságra jellemző feszültség érték meghatározása is problémát okozhat. Sok szerző (E.K. Askenazi, 1966; B. Edlund, 1982; F. Kollmann, 1982; A.K. Malmeiszter, 1966) pl. a tiszta nyomásra vonatkozó nyomószilárdságnak az egyenesarányossági határhoz tartozó feszültségértéket javasolja. A fentiek alapján anizotrop anyagok esetében tönkremeneteli vagy szilárdsági határállapoton azokat a feszültségi állapotokat értjük, amelyeknél megszűnik az adott terhelési folyamattal szembeni ellenállás, függetlenül a tönkremenetel jellegétől és a szerkezeti elem, ill. vele együtt az egész szerkezet feladatának ellátására alkalmatlanná válik. A szilárdsági határállapot fellépésének fizikai - koposzkuláris elméleten nyugvó - magyarázata rendkívül összetett és bonyolult feladat még izotrop anyagok esetén is. Eredményei ugyanakkor az anyag atomi, molekuláris felépítésében mindig fellelhető szabálytalanságok (diszlokációk) miatt a kísérleti adatoktól jelentősen eltérnek. E fizikai alapon meghatározott jellemzők mindig lényegesen nagyobbak, mint a kísérlettel meghatározottak. Az anyagok szilárdsági jellemzésére alkalmazható, legegyszerűbben célra vezető eljárásnak - a rugalmasság leírásához hasonlóan - a fenomenológiai elmélet alkalmazása látszik. Ennek lényege, hogy lemondunk a tönkremenetelhez vezető folyamat részletes fizikai magyarázatáról és a szilárdsági határállapot feltételét úgy adjuk meg, hogy „jóslatai” mennyire egyeznek a gyakorlattal. A keresett feltételt valamilyen matematikai összefüggés formájában, általában egy polinommal, fogalmazzuk meg, melynek megválasztásánál bizonyos elméleti megfontolások és gyakorlati tapasztalatok játszanak fontos szerepet. A polinom együtthatóinak meghatározása kísérleti adatok alapján történik. Minél több és minél magasabb fokszámú tagot tartalmaz a polinom, annál jobban leírhatja a vizsgált jelenséget, ugyanakkor gazdaság okokból arra is törekedni kell, hogy a kísérlettel meghatározandó együtthatók száma a lehető legkevesebb legyen (ugyanezt az elvet alkalmaztuk a rugalmasság leírásánál). Az anizotrop anyagok tönkremenetelével kapcsolatos fenomenológiai feltételt tönkremeneteli vagy szilárdsági kritériumnak nevezzük, s alatta egy olyan egyenletet (polinom összefüggést) értünk, amely megadja, hogy a ténylegesen ható feszültségi állapot határállapot-e. Az anizotrop anyagok szilárdságának problémáját két feladatra lehet bontani: - hogyan függ a szilárdság, hogyan függenek a szilárdsági jellemzők lineáris feszültségi állapotban vagy a tiszta nyírás feszültségi állapotában a feszültségeknek az anyag anatómiai vagy szerkezeti főirányaihoz képest elfoglalt helyzetétől, - melyek azok az összetett (síkbeli vagy térbeli) feszültségi állapotok, amelyek hatására az anyag éppen a tönkremenetel határára kerül. Az első kérdés tulajdonképpen a szilárdsági jellemzők mint a mechanikai tulajdonságok irányától való függését, azaz anizotropiáját jelenti. A második pedig az előbb felvázolt és a homogén, izotrop anyagokra jól ismert töréselméleti probléma. A két feladat egymással szoros összefüggésben van. Helyesen kialakított elméleti modell mindkét kérdésre automatikusan tartalmazza a választ. A feladat kettébontásának azonban mind gyakorlati, mind elméleti szempontból nagy a jelentősége. Az első kérdés és az anizotrop mechanikai tulajdonságokkal kapcsolatos eddigi ismereteink eleve azt sugallják, hogy a szilárdságot tenzormennyiségként

163

kezeljük és alkalmazzuk rá a tenzorelmélet matematikai eredményeit. A tenzorelmélet alapján felírható összefüggések ugyanakkor lehetőséget adnak arra, hogy belőlük következtessünk a töréselméleti megoldásra. Kísérleti szempontból az összetett feszültségi állapotok létrehozása általában bonyolult és költséges, így a különböző szilárdsági elméletek egyik legegyszerűbb és kézenfekvő kísérleti ellenőrzése a különböző orientációjú normálfeszültségekhez és a tiszta nyírás feszültségi állapotához tartozó szilárdságokkal való összehasonlítás.

3.1.1. A SZILÁRDSÁG MINT TENZORMENNYISÉG E fejezetben az első kérdésben felvetett problémával, azaz valamilyen szilárdsági jellemző iránytól függő változásával foglalkozunk. Képzeljük el, hogy az anyag valamely pontjának kis környezetében kivágott, megfelelően orientált próbatesteken meghatározzuk a húzószilárdságot és megrajzoljuk a ponthoz tartozó húzószilárdság anizotrópia felületét. Az eredmény az 1.16. ábrához hasonló lesz. Az 1.3. fejezetben beláttuk, hogy ilyen esetekben a vizsgált tulajdonságot, jelen esetben a szilárdságot tenzormennyiségként kell kezelnünk. Végeredményben tehát a szilárdsági tulajdonságokat (1.16)-tal adhatjuk meg. A kérdés csupán az, hogy (1.16)-nak hány és melyik tagját kell megtartanunk a szilárdsági tulajdonságok minél pontosabb visszaadása érdekében. A további meggondolásokban és számításokban az általános anizotrópia helyett feltételezzük az ortogonális anizotrópia érvényességét. Ez a feltételezés lényegesen leegyszerűsíti és átláthatóbbá teszi az összefüggéseket annak következtében, hogy rombikus szimmetriának megfelelően a tenzorok független komponenseinek száma jelentősen csökken. Később azt is belátjuk, hogy e korlátozó feltétel mellett nyert eredmények a teljesen általános anizotrópia esetére is kiterjeszthetők.

3.1.1.1. A SZILÁRDSÁGI TENZOR DIMENZIÓJÁNAK MEGVÁLASZTÁSA A kísérletek alapján, de logikailag is belátható, hogy a szilárdsági jellemzőkre is fennáll az a tulajdonság, hogy egy adott e irányhoz és a vele ellentétes - e irányhoz ugyanakkora szilárdsági érték tartozik. A szilárdsági tulajdonságokat leképező anizotrópiafelületnek szimmetriacentruma van, vagyis a szilárdsági tenzor(ok) dimenziója csak páros lehet. A szilárdsági tenzorfelületet legáltalánosabb alakban (1.21)-gyel adhatjuk meg. Szem előtt tartva azt a következményt, hogy a tenzorkomponensek száma a feltétlenül szükségesnél ne legyen nagyobb, vizsgáljuk meg, hogy a legkisebb páros számot, azaz 2-t választva a tenzor dimenziószámának, nem kapunk-e valamilyen ellentmondást. A 3.1. ábrán felvázoltunk egy fiktív anizotrópiafelületet és felvettük tetszőleges P pontjának r helyvektorát. Ennek koordináta-tengelyekre eső vetületei: x i − r cos α i 'i − rβ ii ' ,

3.1

3.1. ábra. Az anizotrópia felület egy tetszőleges felületi pontjának helyvektora.

az 1.14. ábra jelölésrendszerének megfelelően.

164

Jelöljük t ij -vel a két dimenziós szilárdsági tenzort. Ha az xi koordinátatengelyek egybeesnek az ortogonális szimmetriatengelyekkel, akkor a t ij tenzornak csak az azonos indexű elemei nem nullák, t ij ≠ 0, t ij = 0,

ha i = j és i ≠ j,

aminek helyességéről a négy dimenziós tenzoroknál alkalmazott eljáráshoz hasonlóval győződhetünk meg, de az is elég, ha pl. a feszültségi állapot főfeszültségeivel kapcsolatos analógiára gondolunk. A két dimenziós tenzor komponenseinek transzformációs szabályát (1.20/b) adja. Helyettesítsük be ebbe (3.1)-ből az iránycoszinuszokat: xi x j . r r Ez alapján valamelyik, pl. a t11 tenzorkomponens transzformációs összefüggése: t i' j' = t ijβ ii 'β jj' = t ij

xi x j . r r Ha r = 1 / t l 'l ' -őt választunk, ami csupán a felület nagyságát befolyásolja, jellegét nem, akkor az utolsó kifejezés - részletesen kiírva - az alábbi alakot ölti: t l'l ' = t ijβ il 'β lj' = t ij

t ij x i x j = t 11 ( x 1 ) 2 + t 22 ( x 2 ) 2 + t 33 ( x 3 ) 2 = 1 , melyről már azonnal látszik, hogy egy másodfokú felület egyenlete. Ha a szilárdsági tulajdonságok a főtengelyek irányában azonosak, azaz t 11 = t 22 = t 33 , akkor a másodfokú felület az

(x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 =

3.2

1 t 11

alakot ölti, ami egy 1 / t 11 sugarú gömbfelület egyenlete. Ez az eredmény fizikai szempontból azt jelenti, hogy amennyiben a szilárdsági jellemzők a főtengelyek irányában megegyeznek, az összes többi irányban is ugyanakkorák, vagyis az anyag a szilárdság tekintetében izotrop. Ez az eredmény azonban ellentmond számos ortotrop anyag kísérleti tapasztalatainak, mert azok azt mutatják, hogy bár a szilárdsági tulajdonságok a szimmetriatengelyekben megegyeznek, az azoktól eltérő irányokban a szilárdsági jellemző értéke különböző. A fentiek alapján azt a megállapítást tehetjük, hogy a szilárdság leírására szolgáló tenzor dimenziójának kettőnél magasabbnak kell lennie, pontosabban a szilárdság jellemzésére egy 2-dimenziós tenzor nem elegendő. A következő lehetséges dimenziószám a négy. Ortotrop anyagoknál - mint azt már a rugalmas tulajdonságok tárgyalásánál beláttuk - a 4-dimenziós tenzornak csak a t iiii , t iijj , t ijij , t ijji , t jiij és t jiji (i,j = 1,2,3) komponensei különböznek nullától. Transzformáljuk az t1111 komponenst, (1.20/d)-nek megfelelően, az anizotrópiafelület egy tetszőleges P pontjába mutató helyvektorának irányába:

165

t l 'l 'l 'l ' = t ijkl β1i 'β1j'β1k' β11' . (3.1)-ből helyettesítsük be az iránycosinuszokat: t l 'l 'l 'l ' = t ijkl

xi x j xk xl . r r r r

Ha a helyvektor hosszát r = 1 / 4 t l 'l 'l 'l ' -nek választjuk, az alábbi összefüggést kapjuk: t ijkl x i x j x k x l = t 1111 ( x 1 ) 4 + t 2222 ( x 2 ) 4 + t 3333 ( x 3 ) 4 + + ( t 2233 + t 3322 + t 2323 + t 2332 + t 3223 + t 3232 )( x 2 x 3 ) 2 + + ( t 1133 + t 3311 + t 1313 + t 1331 + t 3113 + t 3131 )( x 1 x 3 ) 2 + + ( t 1122 + t 2211 + t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 )( x 1 x 2 ) 2 = 1, ami egy negyedfokú polinom egyenlete. Könnyen beláthatjuk, hogy (3.2) fennállása még nem eredményez gömbfelületet. Ennek feltétele (3.2) mellett még az, hogy a 2 t 1111

= t 1122 + t 2211 + t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121

=

= t 2233 + t 3322 + t 2323 + t 2332 + t 3223 + t 3232

=

3.3

= t 1133 + t 3311 + t 1313 + t 1331 + t 3113 + t 3131 kapcsolat is fennálljon. Ilyenkor ugyanis t1111 ( x1 )4 + ( x2 )4 + ( x3 ) 4 + 2 ( x2 x3 )2 + 2 ( x1x3 )2 + 2 ( x1x2 )2 = 1,

ami rendezés után az ( x1 )2 + ( x2 )2 + ( x3 )2 =

1 t1111

alakot ölti. (3.2) és (3.3) fennállása esetén tehát a szilárdsági felület 1 / 4 t 1111 sugarú gömb, ami izotrop viselkedést jelent. A negyedfokú felület, s így a 4-dimenziós tenzor már megfelel a szilárdsági jellemzők változását ábrázoló anizotrópia-felület azon sajátosságának, hogy akkor sem egyszerűsödik gömbbé, ha a szilárdsági jellemzők az ortogonális szimmetriatengelyek irányában megegyeznek. Ennek a követelménynek természetesen az összes 4-nél magasabb dimenziójú tenzor is megfelel. Ha azonban meggondoljuk, hogy míg a 4-dimenziós tenzor komponenseinek száma 34 = 81, addig a 6-dimenziósé 36 = 729 , a 8-dimenziósé 38 = 6561, nyilvánvalóan a még elvileg lehetséges legkisebb dimenziószámú tenzort alkalmazzuk, különben a kísérlettel meghatározandó szilárdsági tenzorkomponensek száma gyakorlatilag kivitelezhetetlenül magas lesz. W. Voigt (1928) kristályok tulajdonságait vizsgálva mondta ki először, hogy az anizotrop testek szilárdságának jellemzésére 4-dimenziós tenzor alkalmazható, bár végül - Zanke kősókristályokkal kapcsolatos kísérleteire támaszkodva - arra a meggyőződésre jutott, hogy 6dimenziós tenzorra van szükség. Feltételezése tulajdonképpen egyezik eddigi megfontolásaink eredményével. Elvileg természetesen annak sincs akadálya, hogy a szilárdságot egyszerre

166

többfajta tenzorral írjuk le. A szakirodalomban (S.W.Tsai - E.M.Wu, 1971) található is példa egy két- és négydimenziós tenzor együttes alkalmazására. A könnyebb áttekinthetőség kedvéért írjuk fel az ortogonálisan anizotrop anyag tenzorkomponeneit a főtengelyek rendszerében mátrixcsoportosításban, 4-dimenziós esetben:

[t ] ijkl

[t ] ij

 t 1111 t  2211  t 3311   0 = 0   0  0   0  0 

 t 11 =  0  0

t 1122

t 1133

0

0

0

0

0

t 2222

t 2233

0

0

0

0

0

t 2233

t 3333

0

0

0

0

0

0

0

t 2323

t 3223

0

0

0

0

0

t 2332

t 3232

0

0

0

0

0

0

0

t 3131

t 1331

0

0

0

0

0

t 3113

t 1313

0

0

0

0

0

0

0

t 1212

0

0

0

0

0

0

t 1221

0 0  , t 33 

0 t 22 0

0  0  0   0  0 ,  0  0   t 2112  t 2121 

3.4/a

3.5

ha 2-dimenziós tenzorra is szükség van. Felhívjuk a figyelmet, hogy (3.4/a)-ban még nem tételezhetünk fel semmiféle szimmetriát (jóllehet a nulla és nem nulla elemek elhelyezkedése valamiféle szimmetriára utal). A szilárdsági tenzorkomponensek fizikai jelentéséről, így azok dimenziójáról egyelőre semmit sem tudunk.

3.1.1.2. A SZILÁRDSÁGI TENZORKOMPONENSEK TRANSZFORMÁCIÓJA Legyen adott a szilárdsági tenzor az ortotrop szimmetriatengelyek rendszerében, azaz a lehető legkevesebb nem nulla komponenssel. Egy ehhez képest elforgatott, xi' rendszerben a tenzor komponenseit az (1.20) transzformációs összefüggésekkel kapjuk, ahol a transzformációs mátrix elemeit az 1.14. ábrán foglaltuk össze. A 2-dimenziós tenzor t11 elemének transzformációja:

t 1'1' = t 11β11'β11' + t 22 β12'β12' + t 33β13'β13' ,

3.6

hasonlóan kapjuk t22 és t33 transzformációs összefüggését, csupán 1' helyébe 2'-őt, ill. 3'-őt kell írni. A 4-dimenziós tenzor t1111 elemének transzformációja (2.51) analógiájára történhet, azzal a különbséggel, hogy itt a tiijj = tjjii és a tijij = tijji = tjiij = tjiji egyenlőségeket még nem használhatjuk fel. Ezeknek az elemeknek egymástól való függetlensége miatt a transzformációs öszszefüggések (2.51)-től kicsit különböznek:

( )

t 1'1'1'1' = t 1111 β11'

4

( )

+ t 2222 β12'

4

( )

+ t 3333 β13'

4

+

167

(

)+ )(β β ) + )(β β ) .

+ (t 2233 + t 3322 + t 2323 + t 2332 + t 3223 + t 3232 ) β12'β13' + (t 1133 + t 3311 + t 1313 + t 1331 + t 3113 + t 3131 + (t 1122 + t 2211 + t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121

2

1 3 2 1' 1'

1 2 2 1' 1'

3.7

Hasonlóan transzformálódik a t2222 és t3333 komponens is, annyi változással, hogy 1' helyébe 2'-őt, ill, 3'-at kell írni. Írjuk fel a t1212, t1221, t2112 és t2121 komponensek transzformációs kifejezéseit is:

t1' 2 '1'2 ' = t1111 (β11'β12 ' ) + t 2222 (β12'β22 ' ) + t 3333 (β13'β32 ' ) + 2

2

2

+ (t 2233 + t 3322 )β12'β 22 'β13'β 32 ' + (t 1133 + t 3311 )β11'β12'β13'β 32 ' +

+ (t 1122 + t 2211 )β11'β12 'β12'β 22 ' + t 2323β12'β 32 'β12'β 32 ' +

+ t 2332β12'β 32'β13'β 22 ' + t 3223β13'β 22 'β12'β 32 ' + t 3232β13'β 22 'β13'β 22' + +t

β β β β +t

1 1313 1'

3 1 2 ' 1'

3 2'

β β β β +t

1 1331 1'

3 3 1 2 ' 1' 2 '

3.8/a

β β β β +

3 1 1 3113 1' 2 ' 1'

3 2'

+ t 3131β13'β12 'β13'β12' + t 1212β11'β 22 'β11'β 22 ' + t 1221β11'β 22 'β12'β12 ' + + t 2112β12'β12 'β11'β 22 ' + t 2121β12'β12 'β12'β12 ' .

t1' 2 '2 '1' = t1111 (β11'β12 ' ) + t 2222 (β12'β12 ' ) + t 3333 (β13'β32 ' ) + 2

2

2

+ (t 2233 + t 3322 )β12'β 22 'β 32 'β13' + (t 1133 + t 3311 )β11'β12'β 32 'β13' +

+ (t 1122 + t 2211 )β11'β12 'β 22 'β12' + t 2323β12'β 32 'β 22 'β13' +

+ t 2332β12'β32 'β32'β12' + t 3223β13'β22 'β22'β13' + t 3232β13'β22 'β32 'β12' + +t

β β β β +t

1 1313 1'

3 1 3 2 ' 2 ' 1'

β β β β +t

1 1331 1'

3 2'

3 1 2 ' 1'

3.8/b

β β β β +

3 1 1 3 3113 1' 2 ' 2 ' 1'

+ t 3131β13'β12 'β 32 'β11' + t 1212β11'β 22 'β12 'β12' + t 1221β11'β 22 'β 22 'β11' + + t 2112 β 12' β 12 © β 12 © β 12© + t 2121 β 12© β 12 © β 22 © β 11 © .

t 2 '1'1' 2' = t 1111 (β12'β11' ) + t 2222 (β 22'β12' ) + t 3333 (β 32 'β13' ) + 2

2

2

+ (t 2233 + t 3322 )β 22'β12'β 32 'β13' + (t 1133 + t 3311 )β12'β11'β13'β 32 ' +

+ (t 1122 + t 2211 )β12 'β11'β12'β 22 ' + t 2323β 22 'β13'β12'β 32 ' +

+ t 2332β 22'β13'β13'β 22 ' + t 3223β 32 'β12'β 22'β 32' + t 3232β 32 'β12'β13'β 22' +

3.8/c

+ t 1313β12 'β13'β11'β 32 ' + t 1331β12 'β13'β13'β12 ' + t 3113β 32'β11'β11'β 32 ' + + t 3131β 32 'β11'β13'β12' + t 1212β12 'β12'β11'β 22 ' + t 1221β12 'β12'β12'β12 ' + + t 2112β 22'β11'β11'β 22 ' + t 2121β 22'β11'β12'β12 ' .

t 2 '1'2 '1' = t 1111 (β12'β11' ) + t 2222 (β 22'β12' ) + t 3333 (β 32 'β13' ) + 2

2

2

+ (t 2233 + t 3322 )β 22'β12'β 32 'β13' + (t 1133 + t 3311 )β12'β11'β 32 'β13' +

+ (t 1122 + t 2211 )β12 'β11'β 22 'β12' + t 2323β 22 'β13'β 22 'β13' +

+ t 2332β 22'β13'β 32'β12' + t 3223β 32 'β12'β 22 'β13' + t 3232β 32 'β12'β 32 'β12' +

3.8/d

+ t 1313β12 'β13'β12 'β13' + t 1331β12 'β13'β 32 'β11' + t 3113β 32'β11'β12'β13' +

168

+ t 3131β 32 'β11'β 32 'β11' + t 1212β12 'β12'β12 'β12' + t 1221β12 'β12'β 22 'β11' + + t 2121β 22 'β11'β12 'β12' + t 2121β 22 'β11'β 22 'β11' . Az iránycosinuszok vesszős indexeinek értelemszerű megváltoztatásával kapjuk meg a másik két négyes csoport transzformációs összefüggéseit. Később szükség lesz még az utolsó négy kifejezés összegére is. Rendezés után:

(

)

2

t 1'2 '1' 2' + t 1' 2' 2 '1' + t 2 '1'1' 2' + t 2'1'2 '1' = 4 t 1111 β11'β12'

(

+ 4 t 2222 β12'β 22'

)

2

(

+ 4 t 3333 β13'β 32 '

)

2

+

+ 4(t 2233 + t 3322 )β12'β13'β 22'β 32' +

+ 4(t 1133 + t 3311 )β11'β13'β12 'β 32 ' + 4(t 1122 + t 2211 )β11'β12'β12 'β 22 ' +

(

+ (t 2323 t 2332 + t 3223 + t 3232 ) β12'β 32 ' + β13'β 22'

( )(β β

)

2

+ (t 1313 + t 1331 + t 3113 + t 3131 ) β11'β 32' + β13'β12 ' + (t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121

1 1'

2 2'

+ β12'β12 '

+

) )

2

3.9

+

2

.

A t1122 és t 2211 komponensek transzformációja:

t 1'1' 2' 2' = t 1111 (β11'β12 ' ) + t 2222 (β12'β 22' ) + t 3333 (β13'β 32 ' ) + 2

( ) (β β )

+ t 2233 β12'β 32 ' + t 1122

1 1'

2

2 2 2'

2

( ) (β β )

2

+ t 3322 β13'β 22 ' + t 2211

2 1 2 1' 2 '

2

(

+ t 1133 β11'β 32 '

)

2

(

+ t 3311 β13'β12'

)

2

+

+

+ (t 2323 + t 2332 + t 3223 + t 3232 )β12'β13'β 22 'β 32' +

3.10/a

+ (t 1313 + t 1331 + t 3113 + t 3131 )β11'β13'β12'β 32' +

+ (t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 )β11'β12'β12 'β 22 ' ,

t 2 '2 '1'1' = t 1111 (β12'β11' ) + t 2222 (β 22 'β12' ) + t 3333 (β 32 'β13' ) + 2

( (β

+ t 2233 β 22'β13' + t 1122

) )

2

1 2 2 2 ' 1'

β

2

( (β

+ t 3322 β 32 'β12' + t 2211

) )

2

2 1 2 2 ' 1'

β

2

(

+ t 1133 β12 'β13'

)

2

(

+ t 3311 β 32'β11'

)

2

+

+

+ (t 2323 + t 2332 + t 3223 + t 3232 )β 22 'β 32 'β12'β13' +

3.10/b

+ (t 1313 + t 1331 + t 3113 + t 3131 )β β β β + 1 2'

3 1 3 2 ' 1' 1'

+ (t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 )β12'β 22'β11'β12' . A két utolsó kifejezés összege:

( ) ( ) + (β β ) ]+ ) + (β β ) ]+ ) + (β β ) ]+ 2

)

2

(

)

2

t 1'1'2 '2' + t 2'2'1'1' = 2t 1111 β11'β12 ' + 2t 2222 β12'β 22' + 2 t 3333 β13'β 32' +

[( )[(β β )[(β β

+ (t 2233 + t 3322 ) β12'β 32 ' + (t 1133 + t 3311 + (t 1122 + t 2211

2

1 1'

3 2 2'

1 1'

2 2 2'

2(t 2323 + t 2332 + t 3223 + t

3 1'

2 2 2'

3 1 2 1' 2 '

2 1 2 1' 2 ' 2 3 2 3232 1' 1' 2 '

)β

3.11

β β β + 3 2'

169

2(t 1313 + t 1331 + t 3113 + t 3131 )β11'β13'β12'β 32' +

2(t1212 + t1221 + t 2112 + t 2121 )β11'β12'β12 'β22 ' .

Abban a speciális esetben, amikor a vesszős koordinátarendszert a vesszőtlen x3 tengely körüli, α szögű elforgatásával nyerjük, azaz a transzformációs mátrix (1.10)-nek felel meg, az előző transzformációs összefüggések az alábbi alakra egyszerűsödnek: t 1'1'1'1' = t 1111 cos 4 α + t 2222 sin 4 α +

+ (t 1122 + t 2211 + t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 ) sin 2 α cos 2 α ,

3.12

t1'2'1'2' + t1'2'2'1' + t 2'11' '2 ' + t 2'1'2'1' =

= (t 1111 + t 2222 − t 1122 − t 2211 )sin 2 (2α ) + (t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 )cos 2 (2α ) ,

3.13

t 1'1' 2' 2' + t 2' 2'1'1' = t 1122 + t 2211 +

+ (2 t 1111 + 2 t 2222 − t 1122 − t 2211 − t 1212 − t 1221 − t 2112 − t 2121 ) sin 2 α cos 2 α .

3.14

3.1.2. SZILÁRDSÁGI KRITÉRIUMOK A szakirodalomban fellelhető és jelenleg a leghasználhatóbbnak látszó szilárdsági kritériumok kivétel nélkül az alábbi általános alakú polinomba foglalhatók össze: t ij σ ij + t ijkl σ ij σ kl + t ijklmn σ ij σ kl σ mn + t ijklmnopσijσ klσ mn σop +... = c ,

3.15

ahol σ ij - a ható feszültségi állapot tenzora, ill. annak komponensei, t ij , t ijkl , t ijklmn , t ijklmnop ,... - a szilárdságra jellemző 2, 4, 6, 8, ... dimenziós tenzorok, c - tetszőleges skalár. Ha a test vizsgált pontjában a ténylegesen ható feszültségi állapot komponensei (3.15)-öt kielégítik, a pont éppen a szilárdsági határállapotban van. Geometriai szempontból a szilárdsági határállapotot a feszültségek 9-, ill. a dualitás tétel érvényessége miatt 6-dimenziós terében definiált hiperfelület adja meg. A c skalár értéke a felület jellegét nem, csak annak nagyságát befolyásolja, így általában egységnyinek szokták választani. (3.15) szerint az anyag valamely pontjában a szilárdságot annyi különböző dimenziójú tenzor jellemzi, ahány tagot veszünk fel, ill. hagyunk meg benne. Ez azonban mind matematikailag, mind fizikai értelmezés szempontjából kényelmetlen. A jelenleg alkalmazott szilárdsági kritériumok éppen abban különböznek egymástól, hogy (3.15) bal oldalán hány és milyen típusú tagokat tartanak meg, ill. hogyan definiálják a tenzorkomponensek fizikai értelmét. A továbbiakban röviden bemutatjuk a legelterjedtebben alkalmazott konkrét szilárdsági kritériumokat.

3.1.2.1. LINEÁRIS KRITÉRIUM Lineáris közelítésnél a feszültségkomponenseknek csupán első fokú hatványait engedjük meg, így (3.15)-ből csupán az eső tagot tartjuk meg:

170

t ijσ ij = 1 ,

i,j = 1', 2', 3', .

3.16/a

A kifejtett alak sem túlságosan bonyolult, hiszen ortotrop anyagnál az anatómiai főirányok rendszerében csak az azonos indexű tagok különböznek nullától: t11σ11 + t 22σ22 + t 33σ33 = 1 .

3.16/b

A három tenzorkomponens fizikai értelmét a következő gondolatmenettel kapjuk meg. Alkalmazzunk olyan igénybevételt, tiszta húzást vagy nyomást, melynek hatására valamelyik szimmetriatengellyel, pl. az 1 jelűvel, párhuzamosan lineáris feszültségi állapot ébred. A feszültségi állapot σ22 és σ 33 komponense ilyenkor nulla. A külső terhelést folyamatosan növelve elérünk a test tönkremeneteléhez. A tönkremenetel pillanatában jelöljük a σ11 normálfeszültség értékét f1 -gyel. Ennek az f1 jelű normálszilárdságnak ki kell elégítenie a (3.16/b) egyenletet: t11f1 = 1 ,

innen: t11 =

1 f1

.

Ezek szerint a t11 szilárdsági komponens az anyag 1-es irányú normálszilárdságának reciproka, dimenziója ennek megfelelően a feszültségdimenzió reciproka. Teljesen analóg módon értelmezhetjük a másik két tenzorkomponenst. A lineáris kritérium tenzorkomponensei ortogonális anizotrópia esetén - a szimmetriatengelyek koordinátarendszerében - a következőképpen foglalhatók össze: t ii =

1 fi+

vagy =

1 fi-

,

i = 1 v. 2 v. 3 ,

3.17

ahol f i+ és f i- - a technikai normálszilárdságok az anyag szimmetriatengelyeinek irányában, természetes faanyagnál az anatómiai, faalapú anyagoknál a szerkezeti főirányokban. A + felső index a húzó-, a - felső index a nyomószilárdságot jelenti. A lineáris szilárdsági kritérium a fentiek szerint 3 anyagjellemzőt tartalmaz. Az f i+ és f ijellemzők közül úgy kell kiválasztani a szükséges hármat, hogy azok felső indexe megegyezzen a tényleges feszültségi állapot normálfeszültségkomponenseinek előjelével. Tehát, ha pl. σ11 és σ 33 nyomó-, σ22 húzófeszültség, f 1− , f 2+ és f 3- jellemzőket kell alkalmazni. Korábban beláttuk ugyan, hogy a szilárdság egyetlen két-dimenziós tenzorral nem jellemezhető, tárgyalásának a didaktikai szempontok mellett a későbbiekben egyéb előnyei is lesznek.

3.1.2.2. A MISES- ÉS A HILL-FÉLE KRITÉRIUM Olyan plasztikus anyagokra, amelyek húzó- és nyomószilárdsága megegyezik, szilárdsági kritériumként von Mises egy másodfokú polinomot javasolt, melyet a rugalmas potenciál analógiájára (lásd a (2.13/b) összefüggést) plasztikus potenciálnak nevezett:

171

t ijkl σ ij σ kl = 1 ,

i,j,k,l = 1',2',3' ,

3.18/a

amely formailag nem más, mint (3.15) második tagjának megtartása. Általános anizotrópia esetén, de felhasználva a plasztikus potenciál létezéséből fakadó tijkll = tklij szimmetriát, a t ijkl szilárdsági (plasztikus) tenzornak 21 független komponense van. Ortotrop anyagokra a kritérium az alábbi alakot ölti:

t 1111σ11σ11 + t 2222 σ 22 σ 22 + t 3333 σ 33 σ 33 + (t 2233 + t 3322 )σ 22 σ 33 +

+ (t 1133 + t 3311 )σ11σ 33 + (t 1122 + t 2211 )σ11σ 22 + + (t 2323 + t 2332 + t 3223 + t 3232 )σ 23 σ 23 +

+ (t 1313 + t 1331 + t 3113 + t 3131 )σ13 σ13 +

+ (t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 )σ12 σ12 = 1 .

3.18/b

A fenti összefüggésben a zárójelben lévő komponensek fizikai szempontból egy értéket jelentenek. Így a független jellemzők száma ortotrópia esetén 9. Fizikai jelentésüket ismét alapigénybevételek alkalmazásával határozhatjuk meg. A szimmetriatengelyek valamelyikével párhuzamos normáligénybevétel alkalmazásával a lineáris kritériumnál bemutatott gondolatmenettel - meghatározhatjuk az azonos indexű tenzorkomponenseket: t iiii =

1

(f )

+ 2 i

vagy

=

1

(f )

− 2 i

,

i = 1 v. 2 v. 3 ,3.19/a

ahol f i+ és f i- - a főirányokhoz tartozó húzó- és nyomószilárdság. Tiszta nyíróigénybevétel alkalmazásával, mikor az 1-es normálisú síkon olyan nyírófeszültség hat, melynek hatásvonala a 2-es tengellyel párhuzamos, a feszültségi állapot a σ12 = σ 21 nyírófeszültségek meghatározzák, hiszen minden más feszültségkomponens nulla. Ismét folyamatosan növelve a külső terhelést, a tönkremenetel pillanatában jelöljük a σ12 feszültségkomponens értékét t12-vel. t12-nek ki kell elégítenie (3.18/b)-t. Az így kapott egyenlőségből kifejezhetjük a tenzorkomponensek egy négyes csoportját:

(t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 ) =

1

(t 12 )2

,

Hasonlóan kapjuk a másik két négyes csoportot. Általánosan összefoglalva:

(t

ijij

+ t ijji + t jiij + t jiji ) =

1

(t )

2

,

i, j = 1, 2 v. 1, 3 v. 2, 3,3.19/b

ij

ahol tij - az i normálisú síkon ható, a j tengellyel párhuzamos hatásvonalú nyírófeszültséghez tartozó, ill. a j normálisú síkon ható, az i tengellyel párhuzamos nyírófeszültséghez tartozó szilárdságok közül a kisebbik. Anizotrop anyagok esetén tij és tji általában nem egyenlő egymással. A külső terhelésből származó nyírófeszültség a dualitás tétel értelmében egyenlő mértékben hat az i és a j normálisú síkokon (feltéve, ha azok egymásra merőlegesek). Nyilvánvaló, hogy a tönkremenetel, a törés azon a síkon fog először bekövetkezni, amelynek a nyírószi-

172

lárdsága kisebb. Természetes faanyag esetén általában a következő relációk érvényesek a nyírószilárdságokra: t LR 〉 t RL , t LT 〉 t TL , t RT ≅ t TR .

3.20

Az első két reláció azt fejezi ki, hogy a rostokra merőleges nyírószilárdság mindig nagyobb, mint a rostokkal párhuzamos. (3.4) többi nem nulla elemének, az ún. interakciós szilárdsági komponenseknek nem lehet a fentiekhez hasonló, szemléletes fizikai értelmezést adni. Értéküket azonban többféleképpen is meghatározhatjuk. Az egyik lehetőség pl. az, mikor lineáris feszültségi állapotot állítunk elő húzó- vagy nyomóigénybevétellel, de úgy, hogy a normálfeszültség hatásvonala benne legyen valamelyik fősíkban és a szimmetriatengelyek szögfelezőjébe essen a 3.2. ábrának megfelelő módon. Jelöljük σ1'1' -vel az x1, x2 szimmetriatengelyek szögfelezőjébe eső normálfeszültséget. Ez a lineáris feszültségi állapot az x1, x2 rendszerben a σ11 = σ1'1' cos 2 45° , σ 22 = σ1'1' sin 2 45° ,

σ12 = σ 21 = σ1'1' sin 45° cos 45°

3.2. ábra. Az anatómiai főirányok szögfelezőjébe eső lineáris feszültségi állapot.

feszültségkomponensekkel adható meg. Jelöljük a tönkremenetel pillanatában a σ1'1' normálfeszültség értékét f123(45 ) -tel. Ennek ki kell elégítenie (3.18/b)-t. Az egyenlőségből a bennmaradó interaktív tagok kifejezhetők:

(t1122 + t 2211 ) =

4

(f )

3( 45 ) 2 12

− t1111 − t 2222 − (t1212 + t1221 + t 2112 + t 2121 ) ,

vagy (3.19/a) és (b) felhasználásával:

(t 1122 + t 2211 ) =

(f

4

1

−

1

−

1

−

) (f ) (f ) (t )

3( 45 ) 2 12

2

2

1

2

2

.

12

Hasonlóan kapjuk a másik két fajta interakciós tenzorkomponenst. Általános érvényű képlettel:

(t

iijj + t jjii ) =

(t

+ t jjii ) =

iijj

(f (f

4

1

−

1

−

1

) ( ) ( ) ( )

k ( 45 )+ 2 ij

4

  , 2 2 2  f i+ f j+ t ij+  1 1 1 − −2− −2− +2,   fi fj t ij  i,j = 1, 2 v. 1, 3 v. 2, 3 ,

−

3.19/c

) ( ) ( ) ( )

k ( 45 )− 2 ij

ahol f ijk (45 )+ , f ijk (45 )− - a húzó-, ill. nyomószilárdság az i,j főtengelyek szögfelezőjének irányában.

173

Az interakciós komponenseket a fősíkok szögfelezőire merőleges síkon ható tiszta nyírással is meghatározhatjuk. Terheljük úgy a testet, hogy az 1' és 2' normálisú síkjain a 3.3. ábrának megfelelő nyírófeszültségek ébredjenek. A tiszta nyírásnak megfelelő síkbeli feszültségi állapotot a főirányok rendszerében a következő komponensekkel adhatjuk meg, ha a tönkre3( 45 ) menetel pillanatában a σ1'2 ' nyírófeszültséget t 12 -tel jelöljük: 3( 45 ) σ11 = −σ 22 = t 12 sin 2(45°) ,

3( 45 ) σ12 = σ 21 = t 12 cos 2(45°) = 0 .

Ezeket (3. 18/b)-be helyettesítve, onnan a keresett komponenseket kifejezhetjük:

3.3. ábra. Az anatómiai fősík szögfelezőjáhez tartozó nyírószilárdság kétféle értelmezése.

(t 1122 + t 2211 ) = t 1111 + t 2222 −

1

(t ( ) ) 3 45 12

2

.

Hasonló gondolatmenettel kapjuk a másik két interakciós komponensösszeget. Néhány anizotrop anyagon végzett kísérleti eredmény azt mutatja, hogy különbség lehet a diagonálisan orientált nyírószilárdság értékében, ha a 3.3/a és a 3.3/b ábrán látható nyírófeszültségértelmet választjuk. Bizonyos kísérletek (E.K. Askenazi,1978; Ch.B. Norris, 1962) arra utalnak, hogy nagyobb diagonális nyírószilárdságot kapunk, ha úgy választjuk meg a nyírószilárdság értelmét, hogy az 1,2 főtengelyrendszerbe átszámított normálfeszültségek közül az legyen a pozitív, amelyik irányban nagyobb az anyag húzó- vagy nyomószilárdsága. 3( 45 )+ 3( 45 )− A két szilárdság megkülönböztetésére a t 12 és t 12 jelölést használjuk. Más kísérletek azt mutatják, hogy a kétfajta diagonális nyírószilárdság között az eltérés nem jelentős, s a gyakorlatban elhanyagolható (Szalai, 1992). A különbséget mégis figyelembe véve az interakciós szilárdsági tenzorkomponenseket az alábbi általános formulákkal fejezhetjük ki (3.19/a) felhasználásával:

(t

iijj

+ t jjii ) =

1

+

1

−

(f ) (f ) (t + 2 i

fi+ 〉 f j+ ,

− 2 j

fi− 〉 f j− ,

1

)

k ( 45 )+ 2 ij

(t

iijj

+ t jjii ) =

1

+

1

−

(f ) (f ) (t

i,j = 1, 2

− 2 i

+ 2 j

v. 1, 3

1

)

k ( 45 )− 2 ij

,

3.19/d

v. 2, 3 ,

feltéve, hogy ill. ahol t ijk (45 )+ - az i,j sík szögfelezőjének irányával párhuzamos normálisú síkon ébredő, az i,j sík-

174

kal párhuzamos hatásvonalú nyírófeszültséghez tartozó nyírószilárdság, ha a nagyobb normálszilárdság irányához átszámított normálfeszültség pozitív, t ijk (45 )− - mint előbb, csak a nagyobb normálszilárdság irányához átszámított normálfeszültség negatív. Újabb lehetőség az interakciós komponensek meghatározására az egyidejűleg két egymásra merőleges tengely mentén ható, azonos húzó- vagy nyomófeszültség alkalmazása, ahol a tengelyek egybeesnek az ortotrop főtengelyekkel. Ha az 1 és 2 jelű irányokban alkalmazunk normál igénybevételt, a síkbeli feszültségi állapotot a σ11 = σ22 normálfeszültségek adják meg, ha a tönkremenetel pillanatában ezek értékét r12-vel jelöljük, akkor (3. 18/b)- be való helyettesítés után, kifejezhetjük a keresett interakciós komponenseket: (t1122 + t 2211 ) = 1 2 − t1111 − t 2222 . másra merőleges tengely mentén (r12 ) Hasonlóan kapjuk a másik kétfajta tenzorkomponens- 3.4. ábra. Egyidejűleg két egymásra összeget. Az általános formulák a húzó- és nyomóimerőlegesen ható, azonos nagyságú húzó- vagy nyomófeszültség alkalgénybevételnek megfelelően: mazása   (t iijj + t jjii ) = 1+ 2 − 1+ 2 − 1+ 2 ,  rij fi fj 3.19/e  1 1 1  (t iijj + t jjii ) = − 2 − − 2 − − 2 ,  rij fi fj  i,j = 1, 2 v. 1, 3 v. 2, 3 , ahol rij+ , rij− - a szilárdság az i és j jelű főtengelyek irányában ható, azonos nagyságú húzó-, ill. nyomófeszültségek esetén. A 3.3. és 3.4. ábrának megfelelő terheléseket kielégítő pontossággal igen nehéz létrehozni, így a legnagyobb gyakorlati jelentősége a 3.2. ábrának megfelelő módszernek van. A Mises-féle szilárdsági kritérium 4-dimenziós tenzorának komponensei a különböző típusú technikai szilárdságok négyzetének reciprokai, ill. ezek különböző kombinációi, dimenziójuk a feszültségdimenzió reciprokának négyzete. A komponensek a legkörültekintőbb esetben 27 különféle technikai szilárdsággal fejezhetők ki. Ezek - a főirányokba eső húzó- és nyomószilárdságok: f 1+ , f 2+ , f 3+ , f 1− , f 2− , f 3− ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

- a fősíkok diagonális irányaiba eső húzó- és nyomószilárdságok: 1( 45 )+ 1( 45 )− f 123(45 )+ , f 132(45 )+ , f 23 , f 123(45 )− , f 132(45 )− , f 23 , - a főirányokra merőleges síkokon ható nyírófeszültségekhez tartozó nyírószilárdságok: t 12 vagy t 21 , t 13 vagy t 31 , t 23 vagy t 32 ,

175

- a főirányok szögfelelzőjére merőleges síkokon ható nyírófeszültségekhez tartozó nyírószilárdságok: 3( 45 )+ 2 ( 45 )+ 3( 45 )− 2 ( 45 )− t 12 , t 13 , t 123(45 )+ , t 12 , t 13 , t 123(45 )− , - két főirányba eső, egyenlő nagyságú húzó- vagy nyomófeszültséghez tartozó szilárdság: r12+ , r13+ , r23+ , r12− , r13− , r23− . A Mises-féle kritérium nem tartalmazza azt a feltételt, hogy az anyag hidrosztatikai nyomással nem tehető tönkre. Ez az izotrop anyagok esetén gyakran alkalmazott feltevés a kísérletek tanúsága szerint anizotrop anyagra nem is helytálló. Ha mégis fenntartjuk azt az állítást, hogy az anyagot hidrosztatikus feszültségállapottal nem lehet tönkretenni, akkor a t ijkl tenzorkomponensek között olyan kapcsolatot kell találni, hogy (3.18/b) akkor is fennálljon, ha megváltoztatjuk a ható feszültségi állapot gömbtenzor részét. Egyszerűen ellenőrizhetjük, hogy ez akkor teljesül, ha

(t

iijj

 1 1 1 + t jjii ) = −(t iiii + t jjjj − t kkkk ) = − − 2 + − 2 − −  f fj fk  i

  2  

3.21

( ) ( ) ( )

i,j,k = 1, 2, 3 . Ily módon az összenyomhatatlan, pontosabban hidrosztatikai nyomással tönkretehetetlen anyagot 6 független állandó jellemzi. A (3.21)-gyel megadott interakciós komponenseknek megfelelő (3.18/b) szilárdsági kritériumot az inkompresszibilis ortotrop anyagok plasztikus tönkremenetelére R. Hill (1950) fogalmazta meg először. Amennyiben az anyag valamely irányában a húzó- és nyomószilárdság nem azonos, (3.18/a)-t ki lehet egészíteni egy lineáris taggal, azaz (3.15) első két tagját kell megtartani: t ij σ ij + t ijkl σ ij σ kl = 1 ,

i,j,k,l = 1', 2', 3' .

3.22/a

Az itt szereplő tij 2-dimenziós tenzort a képlékenységtanban Bauschinger-tenzornak (M. Schlimmer, 1984) nevezik. (3.22/a) már alkalmas az anyagban meglévő sajátfeszültségek, ill. az eltérő húzó- és nyomószilárdság figyelembevételére. A (2.22/a)-ban szereplő tijkl négydimenziós tenzor komponenseinek fizikai jelentése és értelmezése lényegesen megváltozik a (3.18/a)-ban találhatóhoz képest. A plasztikus anyagokra vonatkozó (3.22/a) tönkremeneteli függvényt abból a szempontból kell megvizsgálni, hogy alkalmazható-e azonos veszélyességű állapotok általános feltételeként, hiszen az anizotrop anyagok többségénél nem beszélhetünk tiszta plasztikus tönkremeneteli formáról. A plasztikus tönkremenetel a kritikus állapotra vonatkozó feltétel részesetének tekinthető.

3.1.2.3. A TSAI-WU-FÉLE KRITÉRIUM S.W. Tsai és E.M. Wu (1971, 1972) a (3.22/a) szilárdsági kritériumot tetszőleges anizotrop anyagra alkalmazhatónak és érvényesnek tekintette, akkor is, ha a tönkremenetel jellege nem kifejezetten plasztikus. Mint már említettük, ez a (3.15) általános szilárdsági kritérium első két tagjának megtartásával nyert egyenlet. Ortotrop anyagra a kritérium a következő alakot ölti:

176

t 11σ11 + t 22 σ 22 + t 33 σ 33 + t 1111σ11σ11 + t 2222 σ 22 σ 22 + t 3333 σ 33 σ 33 +

+ (t 2233 + t 3322 )σ 22 σ 33 + (t 1133 + t 3311 )σ11σ 33 + (t 1122 + t 2211 )σ11σ 22 +

+ (t 2323 + t 2332 + t 3223 + t 3232 )σ σ 23

23

3.22/b

+ (t 1313 + t 1331 + t 3113 + t 3131 )σ σ + 13

13

+ (t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 )σ σ = 1 . 12

12

A zárójelben levő tagok fizikai értelemben egyetlen mennyiséget jelentenek, így ortotrop anyagra a kritérium kétdimenziós tenzorának 3, négydimenziós tenzorának 9 független komponense van a főirányok rendszerében. A komponensek fizikai értelmezése itt is az előző fejezetben megismert módszerrel történik. A főirányokban alkalmazott tiszta húzás és nyomás megfelelő normálszilárdságainak a (3.22/b)-be való helyettesítésével két egyenletből álló egyenletrendszert nyerünk, melynek megoldásával megkapjuk az azonos indexű 2- és 4-dimenziós tenzorkomponenseket. Most már csak az általános formulákat közöljük:

1 1 − −, + fi fi 1 = + −, fi fi

t ii =

i=1

v. 2

v. 3 ,

3.23/a

t iiii

i=1

v. 2

v. 3 ,

3.23/b

A főirányokra merőleges síkokon ható nyírófeszültséggel, ill. az azokhoz tartozó nyírószilárdsággal az alábbi összefüggéseket kapjuk: t ij =

1 1 − − = 0, + t ij t ij

(t

+ t ijji + t jiij + t jiji ) =

ijij

1 , t t + − ij ij

i,j = 1, 2

v. 1, 3

v. 2, 3 ,3.23/c

i,j = 1, 2

v. 1, 3

v. 2, 3 .3.23/d

Az interakciós komponenseket meghatározhatjuk a 3.2. ábrának megfelelő normálszilárdság-vizsgálattal:  k ( 45 )+     f (t iijj + t jjii ) = k (454 )+ 2 1 − ij  1+ − 1− + 1+ − 1−  −  2  fi fi f j f j  f ij    2  f ijk (45 )+  1  1 1  + − + + − + + −  , −    4  f i f i f j f j t ij t ij    vagy  3.23/e   f ijk (45 )−  1 1  4 1 1   + − − + + − − − (t iijj + t jjii ) = k (45)− 2 1 +    2  fi fi f j f j  f ij    k ( 45 )− 2  1 f ij 1 1    , i, j = 1, 2 v. 1, 3 v. 2, 3 .  − + +  f + f − f + f − t + t −   4 j j ij ij   i i    A 3.3 ábrának megfelelő módszerrel:

(

(

)

)

(

)

(

)

177

(t

iijj + t jjii ) = −

1

(t ( ) )

k 45 + 2 ij

  1 1 1  k ( 45 )+  1 − + − − 1 − t ij f+ f− f+ f−   i j j   i

2 1 1  − t ijk (45 )+  + − + + −  , f f f j f j   i i vagy

(

(t

)

iijj + t jjii ) = −

1

(t ( ) )

k 45 − 2 ij

  1 1 1 1 k ( 45 )− 1 + t ij  + − − + + − −  − fi fj fj    fi

2 1 1  − t ijk (45 )−  + − + + −  , i, j = 1, 2 f f f j f j   i i

(

)

v. 1, 3

v. 2, 3 .

              

3.23/f

A 3.4. ábrának megfelelő módszerrel:         2 1 1  − rij+  + − + + −  , f f f j f j    i i  vagy  3.23/g   1  1 1 1   − 1 (t iijj + t jjii ) = − 2 1 + rij  + − − + + − −  −  fi fj fj  rij   fi     1  − 2 1  − rij + , i, j = 1, 2 v. 1, 3 v. 2, 3 .  f + f − f + f −   j j   i i   A fenti kifejezésekben a technikai szilárdságokat ugyanúgy definiáljuk, mint az előző fejezetekben, annyi kiegészítéssel, hogy t ij+ = t ij− = t ij (tij és tji közül a kisebb). Az interakciós komponensek meghatározásához olyan kéttengelyű húzó-vagy nyomóvizsgálatok is alkalmasak, amelyeknél a két irányban ható feszültségek nem egyenlők egymással. E.M. Wu. (1972) szerint a két feszültség arányának a kontrakciós komponensek meghatározásának pontossága szempontjából létezik egy optimuma.    (t iijj + t jjii ) = 1+ 2 1 − rij+  1+ − 1− + 1+ − 1−  − fi fj fj  rij   fi

( )

( )

( )

( )

3.1.2.4. AZ ASKENAZI-FÉLE KRITÉRIUM Az előző fejezetekben láttuk, hogy a 4-dimenziós szilárdsági tenzor bizonyos komponensei a

178

t 1122 + t 2211 2

 t 1111  t + t 2211  1122 2   t 1133 + t 3311  2    0       0       0   

t 2222 t 2233 + t 3322 2

t 1133 + t 3311 2 t 2233 + t 3322 2 t 3333

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

t 2323 + 0

t 2332 + t 3223 + t 3232

0

0

t 1313 + t 1331 +

0

0

t 3113 + t 3131

t 1212 0

0

0

0

t 1221 t 2112 t 2121

                   +  + +  

3.4/b

feszültségek 6 dimenziós terében összevonhatók, pontosabban a fizikai értelmezés a komponensek összevont csoportjára alkalmazható. A 3.4/b. szerkezetben összefoglaltuk a 4dimeziós szilárdsági tenzor komponenseinek 6x6-os mátrixát. Vegyük észre, hogy ez a mátrix szerkezeti felépítésében (2.47/b)-re, a rugalmasság alakíthatósági mátrixára hasonlít. A mátrix főátlón kívüli elemeit, amely az interakciós komponenseket tartalmazza, úgy kaptuk, hogy a tiijj+tjjii összeget megfelezzük. Ilyen módon a 4-dimenziós szilárdsági tenzort reprezentáló mátrix szimmetrikussá válik. E. K. Askenazi a szilárdság jellemzésére - részben intuitív úton, részben a rugalmasságal kapcsolatos analógiákra támaszkodva - egyetlen 4-dimenziós tenzort javasolt a 3.4/b. mátrixnaknak megfelelő struktúrával. A komponenseket azonban a következőképpen definiálta (1966, 1967, 1972, 1973, 1976, 1978):

t iiii =

1 f i+

vagy

=

1 fi−

(t

ijij

+ t ijji + t jiij + t jiji ) =

(t

iijj

+ t jjii ) =

, 1 , t ij

4

−

1 1 1 − +− , + f i f j t ij

4

−

1 1 1 − −− , − f i f j t ij

f

k ( 45 )+ ij

f

k ( 45 )− ij

i=1

iijj

+ t jjii ) =

v. 3 ,3.24/a

i,j = 1, 2

v. 1, 3. v. 2, 3 ,3.24/b

i,j = 1, 2

    3.24/c    v. 1, 3. v. 2, 3 ,

vagy

(t

v. 2

ill.

179

(t iijj + t jjii ) = 1+ + 1− − k (145)+ , fi f j t ij (t

iijj

+ t jjii ) =

1 1 1 + + − k (45 )− − fi f j t ij i,j = 1, 2

    3.24/d    v. 1, 3. v. 2, 3 ,

Összehasonlítva a (3.19) és (3. 24) kifejezéseket, megállapíthatjuk, hogy a Mises-féle szilárdsági tenzor komponensei az Askenázi-félékkel felépítésében megegyeznek, a különbség csupán annyi, hogy az Askenázi értelmezésében a technikai szilárdságok mindig az első hatványon szerepelnek. Az Askenázi-féle szilárdsági tenzor fizikai értelmezése tehát viszonylag egyszerű, minden komponens valamilyen technikai szilárdság reciproka vagy azok bizonyos kombinációja. A tenzorkomponensek dimenziója ennek megfelelően a feszültségdimenzió reciproka. Ily módon az analógia a szilárdsági tenzor és annak mátrixa, valamint a rugalmasság alakíthatósági tenzora és annak mátrixa között még szembeötlőbb. A (3.24) összefüggésekkel definiált szilárdsági tenzor a szilárdsággal kapcsolatos első kérdésre, arra, hogy hogyan változnak a szilárdsági tulajdonságok, a tenzorkomponensek, ill. a technikai szilárdságok az iránytól függően, megadja a választ. Később látni fogjuk, hogy az Askenázi-féle tenzorkomponensekre alkalmazva a transzformációs szabályokat, olyan elméleti eredményeket kapunk, amelyek igen jó összhangban vannak a kísérleti adatokkal. A transzformációs összefüggéseket (3.7), (3.9) és (3.11) kifejezésekkel kapjuk, ha azokba a (3.24)gyel definiált tenzorkomponenseket helyettesítjük be. A szilárdásággal kapcsolatos második kérdés megoldásához Askenázi a (3.15) általános szilárdsági kritérium második és negyedik tagját tartotta meg annyi változtatással, hogy a jobb oldalon az egység helyett egy tetszőleges állandót választott. E polinom egyenlete: b ijkl σ ij σ kl + b ijklmnop σ ij σ kl σ mn σ op = c ,

3.25

i,j,k,l,m,n,o,p = 1', 2', 3' , ahol b ijkl - 4-dimenziós tenzor,

b ijklmnop - 8-dimenziós tenzor, c - tetszőleges állandó. Ez a szilárdsági kritérium a feszültségek negyedik hatványát tartalmazza, a polinom tehát negyedfokú, szemben az eddigi másodfokú közelítésekkel. Joggal várjuk tehát, hogy az Askenazi-féle szilárdsági kritérium valósághűbben tudja követni, leírni az anizotrop anyagok tényleges szilárdsági viselkedését. A 4-dimenziós tenzor 34 = 81 és a 8-dimenziós tenzor 38 = 6561 komponensét azonban még nem ismerjük és a korábban alkalmazott eljárás, vagyis, hogy egyszerű terheléseknek megfelelő feszültségi állapotok feszültségkomponenseit helyettesítjük a szilárdsági kritériumba és onnan kifejezzük a keresett szilárdsági tenzorkomponenseket, itt nem alkalmazható, a komponensek lehetetlenül nagy száma miatt. Askenázi a (3.25) kritérium tenzorkomponenseinek meghatározására a következő gondolatmenetet alkalmazta. (3.25) a feszültségkomponensek 6-dimenziós terében egy negyedfokú hiperfelületet ad meg. A (3.7), (3.9) és (3.11) transzformációs összefüggések pedig ugyanebben a 6-dimenziós feszültségtérben vonalakat, görbéket definiálnak. Ezeknek a görbéknek azonban bele kell simulniuk a (3.25) hiperfelületbe, hiszen a görbék pontjai a különböző irányokhoz tartozó normál-, nyíró- és interaktív szilárdságokat jelentik. Másképpen kifejezve, a

180

hiperfelület mindazon pontok összessége, amelyek megadják a tönkremeneteli feszültségállapotokat, tehát a felületnek a legegyszerűbb feszültségi állapotokhoz tartozó határállapotnak megfelelő pontokat is tartartalmaznia kell. A fenti gondolatmenet kivitelezéséhez határozzuk meg először annak a görbének az egyenletét, amelyik ortotrop anyag esetén az 1,2 szimmetriasíkba eső, az 1-es tengellyel α szöget bezáró, egytengelyű feszültségi állapothoz (tiszta húzáshoz vagy nyomáshoz) tartozó szilárdságnak felel meg. Ha a tönkremenetel pillanatában a normáligénybevételtől származó σ1'1' normálfeszültség értékét f 123(α ) -val jelöljük, akkor a 3.5. ábrának megfelelően a vesszős koordinátarendszerben a határ (tönkremeneteli) feszültségi állapot tenzorának mátrixa:

f 123(α ) σ i ' j '  =  0     0 

3.5. ábra. Tiszta húzás, ha a normálfefeszültség iránya az x1 anatómiai főtengellyel α szöget zár be.

0 0  0 0 . 0 0

Ugyanennek a feszültségi állapotnak a mátrixa az ortotrop főirányok rendszerében: σ11 σ ij  = σ12      0

0  0 , 0

σ 21 σ

22

0

ahol a kétdimenziós feszültségtenzorkomponensek transzformációs szabályának megfelelően: σ11 = f 123(α ) cos 2 α , σ 22 = f 123(α ) sin 2 α , σ12 = σ 21 = f 123(α ) sin α cos α

3.26

az első két feszültségi invariáns pedig: I1 = σ11 + σ 22 = f123(α ) ,

( )

I 2 = σ11σ 22 − σ12

2

3.27/a

= 0.

3.27/b

(3.26)-ból fejezzük ki a szögfüggvényeket és helyettesítsük be őket a (3.12) transzformációs képletbe, valamint vegyük figyelembe (3.24)-et is (bár egyelőre nem teszünk különbséget húzó- és nyomószilárdság között, ezért a +, - jelet elhagyjuk):

t 1'1'1'1' =

1

f 123(α )

= t 1111

(σ ) (f ( ) )

11 2

3α 12

2

+ t 2222

(σ ) + (t (f ( ) ) 22 2

3α 12

2

1122

+ t 2211 + t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 )

σ11σ 22

(f ( ) ) 3α 12

2

.

181

(3.27)-et figyelembe véve, majd rendezve:

( )

( )

( )

t1111 σ11 + t 2222 σ 22 + (t1122 + t 2211 )σ11σ 22 + +(t1212 + t1221 + t 2112 + t 2121 ) σ12 = σ11 + σ 22 . 3.28 Ez utóbbi összefüggés annak a görbének az egyenlete, amelyik megadja a normálszilárdságot, ha a külső húzó- vagy nyomóerőből származó normálfeszültség hatásvonala benne marad az 1,2 szimmetriasíkban. Határozzuk meg ezek után annak a görbének az egyenletét., amelyik azt a nyírószilárdságot mutatja, amely ahhoz a nyírófeszültséghez tartozik, mely hatássíkjának normálisa benne marad az 1,2 szimmetriasíkban és hatásvonala mindig párhuzamos az 1,2 síkkal. A 3.6. ábrának megfelelően α szög jelenti a nyírófeszültség hatássíkjának az 1-es főtengellyel bezárt szögét. A feszültségi állapot tenzorának mátrixa a vesszős koordinátarendszerben: 2

2

2

3 (α ) t 12

 0  σ i ' j'  =  t 3 ( α )    12  0 

0  0 0 , 0 0  3(α ) - az adott orientációhoz tartozó nyírószilárdság, a σ1'2 ' feszültségkomponens maximuma. ahol t 12 A fenti feszültségi állapot mátrixa az ortogonális főtengelyek rendszerében: σ11  σ ij  = σ12     0

σ 21 σ 22 0

0  0 ,  0

ahol 3( α ) σ11 = −σ 22 = t 12 sin 2α ,

3.29

3( α ) σ12 = σ 21 = t 12 cos 2α .

A feszültségi invariánsok: I1 = σ11 + σ 22 = 0 ,

( )

I 2 = σ11σ 22 − σ

12 2

(

3(α ) = − t 12

)

3.30/a

2

3.6. ábra. Tiszta nyírás, mikor a nyírófeszültség hatássíkja az anatómiai főtengellyel α szöget zár be.

.

3.30/b

(3.29)-ből fejezzük ki a szögfüggvényeket és helyettesítsük be őket (3.13)-ba. (3.24)-et is figyelembe véve: 1 t 1'2 '1' 2' + t 1' 2 '2 '1' + t 2 '1'1'2 ' + t 2 '1'2 '1' = 3(α ) = t 12 = (t 1111 + t 2222 − t 1122 − t 2211

) (σ( )) + (t (t ) 11 2

3α 12

2

1212

+ t 1221 + t 2112 + t 2121

) (σ( )) (t )

12 2

3α 12

2

.

Rendezve és (3.30) figyelembevételével:

182

(t 1111 + t 2222 − t 1122 − t 2211 )(σ11 )2 + (t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 )(σ12 )2 ==

(σ ) + (σ ) 12 2

11 2

. 3.31 A szilárdsági hiperfelületnek tehát a (3.28) és a (3.31) összefüggéseknek megfelelő görbéket, ill. a másik két szimmetriasíkhoz tartozó görbéket, amiket az indexek alkalmas variálásával (3.28)-ból és (3.31)-ből nyerünk, kell tartalmaznia. Fejtsük ki (3.25)-t azzal a feltételezéssel, hogy az anyag ortotrop és a külső terhelés olyan síkbeli feszültségi állapotot hoz létre, melynek síkja az 1,2 szimmetriasík (a hiperfelület kifejezésében csak azok a tagok maradnak meg, amelyek nem tartalmazzák a 3-as indexet):

( )

b1111 σ11

2

( ) + (b

+ b 2222 σ 22

2

1122

+ b 2211 )σ11σ 22 +

( )+ (σ ) + (b

+ (b 1212 + b 1221 + b 2112 + b 2121 ) σ12

( )

2

(

)

11 22 + b 11111111 σ11 + b 22222222 22 + 11112222 + b 22221111 ) σ σ + (b12121212 + b12121221 + b12122112 + b12122121 + b12211212 + b12212112 + b12212112 + b12212121 + 4

4

2

( )

+ b 21121212 + b 21121221 + b 21122112 + b 211212121 + b 21211212 + b 21211221 + b 21212112 + b 21212121 ) σ12 + 4

( )+ )(σ ) σ + )(σ ) σ +

+ (b 11221122 + b 11222211 + b 22111122 + b 22112211 ) σ11σ 22 +( b11111122 + b11112211 + b11221111 + b22111111

11

+ (b 22221122 + b 22222211 + b11222222 + b 22111111

3

2

22

22 3

3.32

11

(

+ (b11111212 + b11111221 + b11112112 + b11112121 + b12121111 + b12211111 + b 21121111 + b 21211111 ) σ11σ12

(

)

2

+

+ (b 22221212 + b 22221221 + b 22222112 + b 22222323 + + b12122222 + b12212222 + b 21122222 + b 21212222 ) σ 22 σ12 + (b11221212 + b11221221 + b11222112 + b11222121 + + b 22111212 + b 22111221 + b 22112112 + b 22112121 +

(

)( )

+ b12121122 + b12211122 + b 21121122 + b 21211122 + b12122211 + b12212211 + b 21122211 + b 21212211) σ11σ 22 σ12

2

)

2

+

=c

Helyettesítsük be ebbe az egytengelyű feszültségi állapotnak megfelelő (3.27/b) összefüggést, ill. abból a σ12 értékét. A lehetséges összevonások után:

( )

( )

− c + b1111 σ11 + b 2222 σ 22 + (b1122 + b 2211 + 2

2

+ b 1212 + b 1221 + b 2112 + b 2121 )σ11σ 22 +

( )

( )

+ b 11111111 σ11 + b 22222222 σ 22 + (b12121212 + b12121221 + b12122112 + b12122121 + + b 12211212 + b 12211221 + b 12212112 + b 12212121 + b 21121212 + b 21121221 + b 21122112 + + b 21122121 + b 21211212 + b 21211221 + b 21211221 + b 21212121 + + b11112222 + b 22221111 + + b 11221122 + b 11222211 + b 22111122 + b 22112211 + b11221212 + b11221221 + b11222112 + + b11222121 + b22111212 + b22111221 + b22112112 + b22112121 + b 12121122 + b 12211122 + 4

4

(

)

+ b 21121122 + b 21211122 + b12122211 + b12212211 + b 21122211 + b 21212211 ) σ11σ 22 + + (b 11111122 + b 11112211 + b 11221111 + b 22111111 + b11111212 + b11111221 + b11112112 + 2

3.33

( )

+ b 11112121 + b12121111 + b12211111 + b 21121111 + b 21211111 ) σ11 σ 22 + + (b 22222211 + b 22221122 + b 22112222 + b11222222 + b22221212 + b22221221 + b22222112 + 3

( )

+ b22222121 + b12122222 + b12212222 + b 21122222 + b 21212222 )σ11 σ 22

3

= 0.

183

(3.28)-ban is végezzük el a (3.27/b) helyettesítést és emeljük az egész egyenletet négyzetre. Rendezés után:

( ) − (σ )

− σ11

2

22 2

( )

4

2 − 2σ11σ 22 + t 1111 σ11

( )

+ t 22222 σ 22

4

+

+ ((t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 ) + 2 t 1111 t 2222 + (t 1122 + t 2211 ) + 2

2

(

+ 2(t 1122 + t 2211 )(t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 ) ) σ11σ 22

)

2

+

( )σ + ) )σ (σ ) = 0.

+ (2 t 1111 (t 1122 + t 2211 ) + 2 t 1111 (t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 ) ) σ + (2 t 2222 (t 1122 + t 2211 ) + 2 t 2222 (t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121

11 3

11

3.34

22

22 3

Helyettesítsük be ezek után (3.32)-be a tiszta nyírásnak megfelelő (3.30/a)-ból σ22 -t. A lehetséges összevonások után:

( ) )(σ ) +

− c + (b 1111 + b 2222 − b 1122 − b 2211 ) σ11

2

+

+ (b 1212 + b 1221 + b 2112 + b 2121 + (b 11111111 + b 22222222 + b 11112222 + b 22221111 + b 11221122 + b 11222211 + b 22111122 + 12 2

+ b22112211 − b11111122 − b11112211 − b11221111 − b22111111 − b22222211 − b22221122 −

( )

− b 22112222 − b 11222222 ) σ11 + (b11111212 + b 11111221 + b11112112 + b 11112121 + + b 12121111 + b 12211111 + b 21121111 + b 21211111 + b 22221212 + b 22221221 + b 22222112 + + b 22222121 + b 12122222 + b 12212222 + b 21122222 + b 21212222 − b11221212 − b 11221221 − − b11222112 − b11222121 − b 22111212 − b 22111221 − b 22112112 − b 22112121 − b 12121122 − − b12211122 − b21121122 − b21211122 − b12122211 − b 12212211 − b 21122211 − 4

(

3.35

)

− b 21212211 ) σ11σ12 + (b 12121212 + b 12121221 + b 12122112 + b 12122121 + b 12211212 + + b12211221 + b12212112 + b12212121 + b21121212 + b21121221 + b21122112 + b21122121 + 2

+ b 212112112 + b 21211221 + b 21212112 + b 21212121

)(σ12 )4 = 0.

(3.31)-ben is végezzük el az előbbi helyettesítést és emeljük az egyenletet négyzetre. Rendezés után:

( ) − (σ ) + (t

− σ11

2

12 2

2 1111

+ t 22222 + (t 1122 + t 2211 ) + 2 t 1111 t 2222 − 2

( )

− 2 t 1111 (t 1122 + t 2211 ) − 2 t 2222 (t 1122 + t 2211 )) σ11

4

+

(

+ 2(t 1111 + t 2222 − t 1122 − t 2211 )(t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 ) σ11σ12

( )

+ (t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 ) σ12 2

4

)

2

+

3.36

= 0.

A (3.34)-gyel megadott görbe az 1,2 fősíkban ható, különböző orientációjú normálfeszültséghez tartozó szilárdságnak felel meg. Ugyanezt a görbét írja le (3.33) is az egyelőre ismeretlen bijkl és b ijklmnop együtthatókkal. Mivel a két kifejezésnek tetszőleges σ ij (i, j = 1,2) feszültségkomponensek esetén is meg kell egyeznie, az azonos feszültségkomponensszorzatok együtthatóinak egyenlőnek kell lenniük egymással. Ugyanez az alapelv érvényes a nyírószilárdság változását leíró (3.36) és (3.35) összefüggésekre is. A másodfokú tagok egyenlőségéből a következő relációkat kapjuk:

184

b1111 = −1, b2222 = −1, b1122 + b2211 + b1212 + b1221 + b2112 + b2121 = −2

-c = 0, és

b1111 + b2222 − b1122 − b2211 = −1 , b1212 + b1221 + b2112 + b2121 = −1 .

-c = 0,

Ezek alapján a (3.32)-ben szereplő együtthatókra az alábbi értékek számíthatók: c = 0,

    

b 1111 = b 2222 = b 1122 + b 2211 = −1, b 1212 + b 1221 + b 2112 + b 2121 = −1.

3.37

Ezzel a 4-dimenziós tenzor 1,2 fősíkba eső minden eleme ismert. A 8-dimenziós tenzor elemeit a negyedfokú tagok együtthatóinak összehasonlításával nyerjük. Bizonyos együtthatók egyenlővé tételénél néha átfedéseket tapasztalunk, így csak a végeredményt, a (3.32)-ben szereplő, 8-dimenziós tenzorkomponensek csoportjainak megfelelő együtthatók értékét írjuk fel: 2 b11111111 = t1111 , b 22222222 = t 22222 ,

  b11112222 + b 22221111 = 2 t1111t 2222 ,   b12121212 + b12121221 + b12122112 + b12122121 +  + b12211212 + b12211221 + b12212112 + b12212121 +   + b 21121212 + b 21121221 + b 21122112 + b 21122121 +  2  + b 21211212 + b 21211221 + b 21212112 + b 21212121 = (t1212 + t1221 + t 2112 + t 2121 ) ,  2 b11221122 + b11222211 + b 22111122 + b 22112211 = (t1122 + t 2211 ) ,   b11111122 + b11112211 + b11221111 + b 22111111 = 2t1111 (t1122 + t 2211 ) ,  b 22222211 + b 22221122 + b 22112222 + b11222222 = 2t 2222 (t1122 + t 2211 ) ,   b11111212 + b11111221 + b11112112 + b11112121 +  + b12121111 + b12211111 + b 21121111 + b 21211111 = 2t1111 (t1212 + t1221 + t 2112 + t 2121 ) ,   b 22221212 + b 22221221 + b 22222112 + b 22222121 +  + b12122222 + b12212222 + b 21122222 + b 21212222 = 2t 2222 (t1212 + t1221 + t 2112 + t 2121 ) ,  b11221212 + b11221221 + b11222112 + b11222121 + b 22111212 + b 22111221 + b 22112112 +   + b 22112121 + b12121122 + b12211122 + b 21121122 + b 21211122 + b12122211 + 3.38  + b12212211 + b 21122211 + b 21212211 = 2(t1122 + t 2211 )(t1212 + t1221 + t 2112 + t 2121 )  Láthatjuk, hogy a (3.25) szilárdsági kritérium 8-dimenziós tenzorának 1,2 fősíkba eső elemei, pontosabban azok (3.32) együtthatóinak megfelelő csoportjai - ortotrop anyag esetén - kivétel nélkül meghatározhatók a (3.24) összefüggésekkel definiált négy dimenziós tenzor komponenseinek ugyanebbe a síkba eső elemeinek alkalmas csoportjával. Írjuk fel a (3.32) összefüggést (3.37) és (3.38) felhasználásával:

( ) − (σ )

− σ11

2

22 2

( )

− σ11σ 22 − σ12

2

( )

2 + t 1111 σ11

4

( )

+ t 22222 σ 22

4

+

185

(

) + (t

+ (t 1122 + t 2211 ) σ11σ 22 2

(

+ 2 t 1111 t 2222 σ11σ

)

2

1212

( )σ

+ 2 t 1111 (t 1122 + t 2211 ) σ

22 2

( )

+ 2 t 2222 (t 1122 + t 2211 )σ11 σ

22 3

( )

+ t 1221 + t 2112 + t 2121 ) σ12

2

+

( )(σ

+ 2 t 1111 (t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 ) σ11σ12 + 2 t 2222 (t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121

22

11 3

)+ )+

4

+

+

22

2

σ12

2

( )

+ 2(t 1122 + t 2211 )(t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 )σ11σ 22 σ12

2

= 0.

A fenti kifejezésben a pozitív előjelű tagok egy közös négyzetbe rendezhetők:

( ) − (σ )

− σ11

2

22 2

( )

− σ11σ 22 − σ12

2

[

( )

+ t 1111 σ11

2

( )+ )(σ ) ] = 0.

+ t 2222 σ 22

+ (t 1122 + t 2211 )σ11σ 22 + (t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121

2

2 12 2

3.39

Az itt bemutatott gondolatmenettel teljesen analóg módon (3.39)-hez hasonló összefüggéseket vezethetünk le az 1,3 és 2,3 fősíkokban is. Általános érvényű kifejezésként írhatjuk tehát:

( ) − (σ ) − σ σ − (σ ) + [t (σ ) + t (σ ) + (t + t )σ σ + (t + t + t + t )(σ ) ] = 0, − σ ii

2

jj 2

jj

ij 2

ii 2

iiii

ii

iij

ii

jj 2

jjjj

+

2 ij 2

jj

jjii

ijij

ijji

jiij

3.40

jiji

i,j = 1,2 v. 1,3 v. 2,3. Ha (3.37)-ben és (3.38)-ban az 1, 2 indexek helyébe i-t és j-t írunk, annak megfelelően, hogy megállapításaink a másik két szimmetriasíkban is érvényesek, a (3.25) szilárdsági kritérium minden együtthatóját és állandóját ortotrop anyag esetén meghatároztuk. A 4-dimenziós tenzor kompnensei a főtengelyek rendszerében:

b iiii = b iijj + b jjii = b ijij + b ijji + b jiij + b jiji = −1 ,

i,j = 1, 2, 3 ,3.41/a

az összes többi tenzorkomponens nulla, a 8-dimenziós tenzor komponenseire egy egészen egyszerű megállapítást tehetünk, ha alaposan áttanulmányozzuk (3.38)-at:

b ijklmnop = t ijkl t mnop,

i,j,k,l,m,n,o,p = 1, 2, 3 .3.41/b

Ez ugyan 6561 egyenlőséget jelent, de ortogonálisan anizotrop anyagnál - a (3.4) mátrixnak megfelelően - a tijkl-ek közül csak 21 különbözik nullától, így (3.41/b)-ben lényegesen kevesebb egyenlet ad értékes, használható információt. A (3.25) kifejezés jobb oldalának állandója pedig: c=0. 3.41/c A tenzorkomponensek ismeretében vizsgáljuk meg (3.25) bal oldalának első tagját. Fejtsük ki a 4-dimenziós tenzor elemeiből álló szorzatot:

( )

b ijkl σ ij σ kl = b 1111 σ11

2

( )

+ b 2222 σ 22

2

( )

+ b 3333 σ 33

2

+

+ b1122 σ11σ 22 + b 2211σ 22 σ11 + b1133 σ11σ 33 + b 3311σ 33 σ11 + + b 2233 σ 22 σ 33 + b 3322 σ 33 σ 22 + b1212 σ12 σ12 + b1221σ12 σ 21 +

186

+ b2112σ21σ12 + b2121σ21σ21 + b1313σ13σ13 + b1331σ13σ31 +

+ b 3113 σ 31σ13 + 3131 σ 31σ 31 + b 2323 σ 23 σ 23 + b 2332 σ 23 σ 32 +

( ) ( ) ( ) − 2σ σ − 2σ σ − 2σ σ − (σ ) − (σ ) − (σ ) = = σ σ − (σ ) + σ σ − (σ ) + σ σ − (σ ) − (σ + σ 2

2

3.42/a

2

+ b3223σ32σ 23 + b3232σ32σ32 = − σ11 − σ 22 − σ33 − 11

11

22

11

33

12 2

22

22

11

12 2

33

13 2

33

13 2

22

33

23 2

23 2

11

22

)

2

+ σ33 =

= I 2 − I12 . Ezek szerint (3.25) első tagja nem más, mint a ható feszültségi állapot invariánsainak függvénye, mégpedig a második invariánsnak és az első invariáns négyzetének a különbsége. Némi átalakítással (3.42/a) az alábbi kifejezéssel is számítható:

((

)

)

1 ij 2 σ δij + σijσij , 2

I 2 − I12 = −

i,j = 1, 2, 3 ,

3.42/b

ahol δ ij - a Kronecker-delta. Az összefüggés helyességéről könyen meggyőződhetünk, ha kifejt-

jük. A σ ij és σ ij feszültségkomponensek között Descartes-féle koordinátarendszerben nincs különbség, az alsó és felső indexelést az összegzési konvenció teszi szükségessé. (3.25) bal oldalának második tagja a következő formára hozható (3.41/b) felhasználásával: b ijklmnop σ ij σ kl σ mn σ op = t ijkl t mnop σ ik σ kl σ mn σ op =

(

= t ijkl σ ij σ kl t mnop σ mn σ op = t ijkl σ ij σ kl

)

2

,

3.43

i,j,k,l,m,n,o,p = 1, 2, 3 . Most már semmi akadálya sincs annak, hogy felírjuk a szilárdsági kritérium és az annak megfelelő hiperfelület - új módon értelmezett - Askenázi-féle, végleges alakját:

(t

ijkl

σ ij σ kl

)

2

−

((

1 ij σ δ ij 2

)

2

)

+ σ ij σ ij = 0 ,

i,j,k,l = 1, 2, 3 ,

3.44/a

i,j,k,l = 1, 2, 3 ,

3.44/b

Vagy a feszültségi invariánsokkal:

(t

) ( 2

ijkl

)

σijσ kl − I12 − I 2 = 0 ,

vagy a később használatos alakban:

(t

ijkl

)

σijσ kl =

I12 − I 2

,

3.44/c

amelyben a tijkl szilárdsági tenzor komponenseit (3.24)-gyel definiáljuk. Ortotrop anyagra (3.44) kifejtett alakja:

[t

1111

σ11σ11 + t 2222 σ 22 σ 22 + t 3333 σ 33 σ 33 + (t 1122 + t 2211 )σ11σ 22 +

+ (t 1133 + t 3311 )σ11σ 33 + (t 2233 + t 3322 )σ 22 σ 33 +

+ (t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 )σ12 σ12 + (t 1313 + t 1331 + t 3113 + t 3131 )σ13 σ13 +

3.45

187

]

+ (t 2323 + t 2332 + t 3223 + t 3232 )σ 23σ 23 = =

(σ

I12 − I 2 =

)

σ + σ 22σ 22 + σ33σ33 + σ11σ 22 + σ11σ33 + σ 22σ33 + σ12σ12 + σ13σ13 + σ 23σ 23 .

11 11

Az Askenazi-féle szilárdsági kritériumnak az előző fejezetekben bemutatott kritériumokkal szemben rendkívül fontos előnye, hogy a szilárdsági felületet negyedfokú polinommal közelíti, ugyanakkor a 8-dimenziós tenzorkomponenseket egy 4-dimenziós tenzor függvényeiként adja meg, így az elmélet alkalmazásához csupán a 4-dimenziós szilárdsági tenzor komponenseinek számításához szükséges, viszonylag kis számú anyagjellemzőt, a technikai szilárdságokat kell meghatározni. (3.44)-nek - hasonlóan a bemutatott szilárdsági kritériumokhoz - megvan az a nagy előnye, hogy a koordinátatranszformációval szemben invariáns, azaz tetszőleges koordinátarendszerben érvényes. Ortotrop anyag esetén a szimmetriatengelyek rendszerében a tijkl tenzornak 21 független komponense van, melyek fizikai értelmezés szempontjából egy kilences csoportba rendezhetők. Végeredményben tehát a szilársági tenzor, ill. a szilárdsági kritérium alapján összeállítható szilárdsági mátrixnak ortotrop anyagok esetén - a rugalmas mátrixhoz hasonlóan - 9 független komponense van. Ha a szimmetriatengelyektől eltérő koordinátarendszert alkalmazunk, akkor (3.44)-ben mind a feszültségi tenzorra, mind a szilárdsági tenzorra, ill. annak komponenseire alkalmazni kell a transzformációs összefüggéseket. Ez azt jelenti, hogy a t ijkl tenzornak még ortotrop anyag esetén is a legáltalánosabb esetben minden komponense különbözni fog nullától, formailag teljes általános anizotrópia áll fenn. A feszültségi állapot komponenseinek transzformációjára gyakorlatilag nincs szükség, hiszen az a feszültségi invariánsok függvénye, azaz minden koordinátarendszerben ugyanaz. Az a lehetőség, hogy az Askenázi-féle kritériumot ortotrop anyag esetén a nem szimmetriatengelyek rendszerében is használhatjuk, egyben azt is jelenti, hogy a kritérium teljesen általános anizotrópia esetén is érvényes. Így a levezetés során alkalmazott ortotrópia feltétele valóban csupán az összefüggések egyszerűsödését jelentette, de végeredményben nem érinti az elmélet általános alkalmazhatóságát. Az Askenázi-féle szilárdsági kritériumot a szilárdsági tenzor (3.24) relációkkal megadott fizikai értelmezés felhasználásával határoztuk meg. A 3.1 táblázatban megadott mátrixelemek, együthatók értelmezése tehát tulajdonképpen ismert. Most mégis röviden bemutatjuk a szilárdsági együtthatók meghatározásának módszerét elsősorban azért, hogy tapasztalatokat szerezzünk a szilárdsági kritérium konkrét alkalmazásával kapcsolatban. Bár maga a szilárdsági kritérium ortotrop anyagok esetén a szimmetriatengelyek rendszerében 9 nullától különböző együtthatóval rendelkezik, a kritérium haszná-latának nagyobb megbízhatósága érdekében ennél lényegesen több technikai állandót kell meghatározni. Ennek egyik oka az, hogy a legtöbb anizotrop anyag húzó- és nyomószilárdsága nem egyezik meg. A szilárdsági kritériumban azokat a technikai állandókat kell alkalmazni, amelyek megfelelnek a ható feszültségek előjelének. A másik ok a technikai szilárdságok meghatározásának kísérleti technikájában van. Bizonyos fajta feszültségi állapotok pontosabban, bizonyosak csak igen pontatlanul állít-hatók elő. A lehetséges vizsgálati módszerek közül mindig azt kell alkalmazni, ame-lyik az adott szilárdsági jellemzőt a lehető legnagyobb biztonsági szinten adja meg. Vizsgáljunk először egy lineáris feszültségi állapotot. Legyen σ11 ≠ 0, a többi feszültségkomponens pedig nulla. A feszültségi állapot komponenseit (3.44)-be helyettesítve, az alábbi egyszerű alakot kapjuk:

(t

(σ ) ) − (σ ) 2 11 2

1111

11 2

= 0.

188

Legyen a tönkremenetel pillanatában a normálszilárdság f 1 , melynek a σ11 = f 1 , helyettesítésnél ki kell elégítenie az előző egyenletet, azaz t1111 =

1 f1

.

Hasonló gondolatmenettel kapjuk a (3.24/a) relációnak megfelelő összefüggéseket. Ha a feszültségi állapot tiszta nyírás, azaz pl. csak a σ12 = σ 21 feszültségkomponensek nem nullák, a szilárdsági kritérium a

((t

1212

( ) ) − (σ )

+ t 1221 + t 2112 + t 2121 ) σ12

2 2

12 2

=0

alakot ölti. Ha a tönkremenetel pillanatában σ12 = t12 (mert t 12 〈 t 21 ), akkor

t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 =

1 , t 12

ami a (3.24/b) összefüggések egyik konkrét formája. Diagonális húzásnál vagy nyomásnál a (218.) oldalon megadott feszültségkomponenseket kell (3.44)-be helyettesíteni. Jelöljük a diagonális normálszilárdságot f 123 (45 ) -tel. Rendezés után: 4 t 1122 + t 2211 = 3(45 ) − t 1111 − t 2222 − t 1212 − t 1221 − t 2112 − t 2121 , f 12 ami (3.24/c) egyik konkrét alakja. Diagonális nyírásnál (3.44)-be a (219.) oldal feszültségkomponenseit kell behelyettesíteni. 3( 45 ) t 12 -tel jelölve a diagonális nyírószilárdságot, az alábbi kifejezést kapjuk:

t 1122 + t 2211 = t 1111 + t 2222 −

1 t

3( 45 ) 12

,

(3.24/d) egyik konkrét alakját. Kéttengelyű, azonos nagyságú húzó- vagy nyomófeszültséget alkalmazva, a feszültségi állapot σ11 = σ 22 komponensei nem nullák. E komponenseket (3.44)-be helyettesítve kapjuk:

t 1111 + t 2222 + t 1122 + t 2211 =

3 σ

11

.

r12 -vel jelölve a tönkremenetel pillanatában a feszültséget, kapjuk

t 1122 + t 2211 =

3

− t 1111 − t 2222 . r12 Ennek általános formáját még nem írtuk fel:

189

t iijj + t jjii

        

3

1 2 = + − + − +, rij f ij f j

vagy t iijj + t jjii =

3 − ij

r

−

1 1 − −, j fi f j i,j = 1, 2

v.

1, 3

v.

3.24/e

2, 3 .

Ezek az összefüggések ismét (3.19/e)-hez hasonlítanak, csupán a négyzetreemelés marad el.

3.1.3. A SZILÁRDSÁGI KRITÉRIUM GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁSA A különböző szilárdsági kritériumok polinomjai a feszültségek hat dimenziós terében egy-egy hiperfelületet, a szilárdsági felületet adják meg. A szilárdsági felület mindazon pontok mértani helye, amelyeknek megfelelő feszültségi állapot komponensei kielégítik a szilárdsági kritérium egyenletét. A szilárdsági felület hat dimenziós ábrázolására sajnos nincs mód. Lehetőség nyílik azonban a szilárdsági felület megszerkesztésére, ha a ható feszültségi állapot síkbeli. Jelen esetben azonban a síkbeli feszültségi állapotot kicsit szűkebben kell értelmeznünk, mint általában tesszük. Mivel anizotrop anyagnál minden feszültségi állapotot a szimmetriatengelyek rendszerére kell transzformálnunk, a szilárdság szempontjából csak azok a feszültségi állapotok tekinthetők síkbelinek, amelyek síkja az anyag valamelyik szimmetriasíkjába esik. Tehát csak a σ ii , σ jj , σ ij = σ ji ,

i,j = 1, 2

v. 1, 3

v. 2, 3

feszültségkomponensek lehetnek nullától különbözőek. Síkbeli feszültségi állapot esetén a (3.44) Askenazi-féle kritérium kifejtett formája:

(t

(σ ) + t (σ ) + (t + t )σ σ + (t − (σ ) − (σ ) − σ σ − (σ ) = 0 , ii 2

iiii

jj 2

ii

jjjj

ii 2

jj 2

iijj

ii

jj

jjii

ijij

( ))

+ t ijji + t jiij + t jiji ) σ ij

2 2

−

3.46

ij 2

jj

i,j = 1, 2

v. 1, 3

v. 2, 3 .

Ezt az egyenletet a szilárdsági felület ábrázolása szempontjából célszerűbb alakra hozhatjuk, ha kifejezzük belőle a σ ij nyírófeszültség-komponenst. Ekkor egy σ ij = f σ ii , σ jj , t ijkl alakú

(

)

függvényt nyerünk, melyben független változóként a két normálfeszültség szerepel. (3.46) elemi, de elég hosszadalmas átalakítás után:

σ ij = ±

1 q ij

 1 − t iiii σ ii  2q  ij

( )

2

( ) − (t

− t jjjj σ jj

2

iijj

+ t jjii )σ ii σ jj ± ___

±

t  1 −  iiii − 1 σ ii 2  4q ij  q ij 

( )

2

 t jjjj  − − 1 σ jj q   ij 

( )

2

  t iijj + t jjii  − − 1σ ii σ jj  ,  q   ij   

3.47

190

ahol q ij = t ijij + t ijji + t jiij + t jiji ,

i,j = 1, 2

v. 1, 3

v. 2, 3 .

A (3.46) egyenletnek σ ij -re mint (3.47) is mutatja, négy megoldása van, ezek lehetnek mind komplexek, vagy két valós és két komplex megoldás. A szilárdsági felület szempontjából csak a valós gyökök érdekesek, a két valós gyök csak előjelben különbözik egymástól. Egy olyan derékszögű koordinátarendszerben, melyben a vízszintes tengelyekre a σ ii és σ jj normálfeszültségeket mérjük fel, a függőleges tengelyekre pedig a σij nyírófeszültséget, (3.47) valós gyökeinek abszolút értéke adja meg a σ ii , σ jj koordinátájú alapponthoz a szilárdsági felület magassági koordinátáját. Egy fiktív szilárdsági felületet rajzoltunk meg a 3.7/a. ábrán. A felület egy tetszőleges D pontját úgy kapjuk, hogy a konkrétan megválasztott normálfeszültségpárral, a (3.47) összefüggéssel számított nyírófeszültség értékét alkalmas léptékben a D' talppontban függőlegesen felmérjük. A valós gyökök abszolút értékének egyenlősége azt jelenti, hogy a szilárdsági felület a normálfeszültségek tengelyének síkjára szimmetrikus. Alsó felét ezért felesleges is ábrázolnunk. A felület jellege alapján megállapíthatjuk, a komplex gyökök arra utalnak, hogy olyan normálfeszültség-komponenseket vettünk fel, amelyeknek megfelelő alappont kívül esik a szilárdsági felület vízszintes síkra eső vetületén. A 3.7/a. ábrán látható felületen bejelöltük azokat a nevezetes pontokat, amelyek koordinátáit kísérlettel határozhatjuk meg. A pont jele után zárójelben megadott három mennyiség a pont koordinátáit jelenti és megjelöljük a kísérletet, amellyel az adott jellemző meghatározható:

( ) A (r , r ,0 ) - két irányú (i, j síkú), egyenlő nagyságú húzás, A (f ,0,0 ) - j irányú tiszta húzás A (- t ( ) , t ( ) , 0 ) - diagonális irányú tiszta nyírás, ha σ 〈 0 és A (- f , 0, 0) - i irányú tiszta nyomás, A (-r , -r , 0 ) - két irányú (i,j síkú), egyenlő nagyságú nyomás, A (- f , 0, 0) - j irányú tiszta nyomás, A 1 f i+ ,0,0 - i irányú tiszta húzás, 2

+ ij

3

+ j

+ ij

k 45 ij

4

k 45 ij

ii

σ jj 〉 0,

− i

5

6

− ij

7

− j

(

− ij

)

k 45 k 45 A8 t ij( ) , - t ij( ) , 0 - diagonális irányú tiszta nyírás, ha σii 〉 0 és σ jj 〈 0,

1 1 1  B1  f ijk ( 45) + , f ijk (45 )+ , f ijk (45 )+  - diagonális irányú (i,j síkú) húzás, 2 2 2  1 1  1  B 2  - f ijk (45 )− , - f ijk (45 )− , - f ijk (45 )−  - diagonális irányú (i,j síkú) nyomás, 2 2  2  C(0, 0, t ij ) - az i normálisú felületelem j irányú (vagy fordítva) tiszta nyírása. A fentiek alapján is látszik, hogy - bár (3.47) általános érvényű összefüggés - a szilárdsági felület tenzorkomponenseit mindig a ténylegesen ható feszültségek előjelének megfelelő igénybevételekkel kell meghatározni. Ennek megfelelően felírjuk a szilárdsági felület egyenletét mind a négy térnyolcadban azokat a technikai szilárdságokat felhasználva, amelyek a normálfeszültségek előjelének megfelelnek. I. térnyolcad: σ ii 〉 0 , σ jj 〉 0 .

191

Mivel az A 2 pontnak megfelelő, kétirányú, egyenlő nagyságú húzóigénybevételt technikailag igen nehéz megvalósítani, a részfelület egyenletét az A 1 , A 3 , B1 és C pontok jellemzőinek felhasználásával adjuk meg, vagyis a (3.24/a,b,c) összefüggések közül a pozitív felső indexűeket vesszük figyelembe:

( ) ( )

( )

2

2  σ ii 2 σ jj 2  4 2 2 2 1 1 1  ii jj σ ij   σ σ +  + + + + k (45 )+ − + − + −  − σ ii − σ jj − σ ii σ jj − σ ij = 0 ,   t ij  f j fi f j t ij   f ij  f i i,j = 1, 2 v. 1, 3 v. 2, 3 . 3.48/a ii jj II. térnyolcad: σ 〉 0 , σ 〈 0 . Itt az A1 , A 7 , A8 és a C pont koordinátáit használjuk fel. A szilárdsági tenzor komponenseihez a (3.24/a,b,d) összefüggéseket alkalmazzuk olyan felső indexeléssel, amely megfelel a normálfeszültségek előjelének:

( ) ( )

 σ ii 2 σ jj 2  1 1 1  + + − +  + + − − k (45 )+ f f j  f i  i f j t ij

( )

2

( ) ( )

( )

 ii jj σ ij 2  2 2 2 σ σ +  − σ ii − σ jj − σ ii σ jj − σ ij = 0 ,  t ij   i,j = 1, 2 v. 1, 3 v. 2, 3 . 3.48/b

( ) ( )

( )

III. térnyolcad: σ ii 〈 0 , σ jj 〈 0 . Megadhatjuk a részfelület egyenletét az A5 , A 7 , B2 , C pontokra támaszkodva is. Ebben az esetben (3.48/a) egyenlet érvényes, csupán a + indexek helyére kell - jelet írni. De megadhatjuk a felületet az A 6 pontnak megfelelő kísérleti adattal is, mert a két irányú nyomás kísérletileg már könnyebben megvalósítható. A tenzorkomponenseket a (3.24/a,b,e) összefüggések negatív felső indexű formájával adjuk meg:

 (σ ii )2 (σ jj )2  3 1 1  ii jj (σ ij )2  2 2 2  − + − +  − − − − σ σ +  − (σ ii ) − (σ jj ) − σ ii σ jj − (σ ij ) = 0 , r  t ij  f j  f i  ij f i f j  i,j = 1, 2 v. 1, 3 v. 2, 3 . 3.48/c 2

IV. térnyolcad: σ ii 〈 0 , σ jj 〉 0 . A felület egyenletét az A 3 , A 4 , A5 és C pontok alapján adjuk meg. A (3.24/a,b,d) összefüggéseket alkalmazzuk:

 (σ ii )2 (σ jj )2  1 1 1  − + + +  − + + − k (45 )−  f j  f i  f i f j t ij

 ii jj (σ ij )2  2 2 2 σ σ +  − (σ ii ) − (σ jj ) − σ ii σ jj − (σ ij ) = 0 ,  t ij   i,j = 1, 2 v. 1, 3 v. 2, 3 . 3.48/d 2

A szilárdsági felület és bizonyos síkok metszetei néhány jellegzetes görbét határoznak meg. A szilárdsági felület és a σ ii , σ jj sík a 3.7.b. ábrán látható görbét adja. Ennek egyenletét úgy kapjuk, ha a (3.48) összefüggésekben elvégezzük a σ ij = 0 helyettesítést. A görbe a két irányú és tetszőleges nagyságú normálfeszültségnek megfelelő szilárdságot mutatja.

192

3.7/a. ábra. Az Askenazi-féle szilárdsági felület elvi alakja. 193

A σ ii , σ ij síkkal vett metszésvonalat a 3.7.c. ábrán láthatjuk. A görbe egyenletét a (3.48) egyenletekből σ jj = 0 helyettesítéssel kapjuk. Ez a görbe akkor adja meg a szilárdságot, ha a ható feszültségtenzorban csak a σii és σ ij feszültségkomponensek különböznek nullától. A σ jj , σ ij síkkal vett metszésvonalat a 3.7.d. ábrán láthatjuk. Egyenletét σii = 0 helyettesítéssel határozhatjuk meg. A görbe akkor adja a szilárdságot, ha a feszültségtenzorban csak a σ jj és σ ij komponensek nem nullák. Az I. és III. térnyolcadban lévő, függőleges szögfelező sík a 3.7.e. ábra görbéjét határozza meg. Egyenletét úgy kapjuk, hogy a (3.48/a) és (3.48/c) összefüggésekbe a σii = σ jj egyenlőséget helyettesítjük be. E görbe akkor adja a szilárdságot, ha a szimmetriatengelyekben ható, két egyenlő nagy normálfeszültség mellett még nyírófeszültség is működik. A IV. és II. térnyolcadban lévő, függőleges szögfelező sík a 3.7.f. ábra görbéjét metszi ki. Egyenletét a (3.48/b) és (3.48/d) összefüggésekből kapjuk σ ii = −σ jj helyettesítéssel. A görbe abban az esetben adja meg a szilárdságot, ha a szimmetriatengelyekben azonos nagyságú, de ellentétes előjelű normálfeszültségek, valamint nyírófeszültség hat. A 3.7.a. ábrán még két jellegzetes görbét jelöltünk be. Az A1 , B1 , A 3 pontokon átmenő az i,j síkban lévő, az i tengellyel α szöget bezáró hatásvonalú tiszta húzásnak megfelelő szilárdság, a (3.34)-es függvénykapcsolat grafikus alakja. Ez az egyik görbe, melynek segítségével meghatároztuk a szilárdsági felület Askenazi-féle alakját. E görbe párja az A5 , B2 , A 7 pontokon megy át és az i,j síkban lévő, különböző irányokhoz tartozó nyomószilárdságot adja meg. Természetesen nemcsak az Askenazi-féle, hanem az összes többi szilárdsági kritériumnak is megszerkeszthető a szilárdsági felülete. A szerkesztésnél mindig az adott térnyolcadnak - a normálfeszültségek előjelének - megfelelő vizsgálattal meghatározott technikai szilárdságokkal számított tenzorkomponenseket kell felhasználni. Erre csak a Tsai-Wu-féle elméletnél nincs szükség, mert ott a tenzorkomponensek mind a húzó-, mind a nyomószilárdságokat tartalmazzák. Leginkább a lineáris elmélet szilárdsági felülete tér el a 3.7/a. ábrán láthatótól. Az ugyanis egy A1 , A 3 , A5 , A 7 , C csúcspontú, szabálytalan négyszög alapú gúla (3.7/b. ábra). A Misesés a Tsai-Wu-elméleteknek megfelelő felület másodfokú, a két felület azonban a tenzorkomponensek eltérő értelmezése következtében különböző. A szilárdsági felületnek a szilárdság fizikai értelme következtében nem lehet végtelen távoli pontja, azaz a lehetséges másodfokú felületek közül csak ellipszoid lehet. Ennek matematikai feltétele mindkét felület esetén: t iiii t jjjj − t iijjt jjii 〉 0 .

3.49

Ez a feltétel az interakciós tenzorkomponensek értékét szorítja korlátok közé, melyek meghatározása méréstechnikai szempontból egyébként is kényes feladat. A Mises-elmélet szilárdsági felülete - síkbeli feszültségi állapotban - olyan ellipszoid, melynek főtengelyei egybeesnek a σii , σ jj és σ ij tengelyekkel. A 3.7/a. ábrának megfelelő ábrázolásban azonban mind a négy térnyolcadban - a húzó- és nyomószilárdság eltérő nagysága következtében - más és más a főtengelyek hosszúsága. A térnyolcadok határoló síkjain azonban az ellipszoidokból a koordinátasíkok által kimetszett szomszédos ellipszisek egybevágóak (3.7/c. ábra). A Tsai-Wuelmélet szilárdsági felülete olyan ellipszoid, melynek középpontja nem esik egybe a koordinátarendszer középpontjával, a σ ii , σ jj síkba eső főtengelyei pedig a koordinátatengelyekkel szöget zárnak be, amely annál nagyobb, minél nagyobb a különbség az anyag húzó- és nyomószilárdsága között (3.7/d. ábra). Az Askenazi-féle szilárdsági felület legfontosabb sajátsága, hogy kívülről nézve homorú részei is lehetnek (3.7/e. ábra), ami másodfokú felületek esetén lehetetlen. Annak feltételét, hogy a felületnek ne legyen végtelen távoli pontja, azaz ,,domb"-szerű legyen, sokkal nehe194

zebb megfogalmazni, mint másodfokú felület esetén. A későbbiek folyamán ezért megelégszünk egy, a tiszta húzásnak és nyomásnak megfelelő szilárdság iránytól való függése alapján meghatározható, szigorúbb, de lényegesen könnyebben felállítható feltétellel.

3.7/b. ábra. Lineáris kritérium szilárdsági felülete.

3.7/c. ábra. A von Mises-kritérium szilárdsági felülete.

195

3.7/d. ábra. A Tsai-Wu- kritérium szilárdsági felülete.

3.7/e. ábra. Az Askenazi-kritérium szilárdsági felülete.

3.1.4. A TISZTA HÚZÓ-, NYOMÓ- ÉS NYÍRÓIGÉNYBEVÉTELEKNEK MEGFELELŐ SZILÁRDSÁGOK IRÁNYTÓL VALÓ FÜGGÉSE A tiszta húzó-, nyomó- és nyírófeszültségekhez tartozó szilárdságokat különböző orientáció esetén kísérletileg viszonylag könnyű meghatározni, így ezeknek a vizsgálatoknak nagy jelentősége van a szilárdsági elméletek használhatóságának megítélése szempontjából. Gyakorlatilag az ortogonális szimmetriatengelyekbe, a fősíkokba eső irányok a legfontosabbak. Ezeknek a szilárdságoknak az iránytól való függését elméletileg úgy határozzuk meg, hogy a tetszőleges irányú tiszta húzásnak vagy nyomásnak megfelelő lineáris feszültségi állapotot, ill. a tiszta nyírás síkbeli feszültségi állapotát kifejezzük a főirányok rendszerében és az így kapott feszültségkomponenseket behelyettesítjük a különböző szilárdsági kritériumok egyenletébe. Az így nyert összefüggésekből a keresett szilárdságok kifejezhetők.

196

3.1.4.1. A NORMÁLSZILÁRDSÁGOK IRÁNYFÜGGÉSE A KÜLÖNBÖZŐ KRITÉRIUMOK ALAPJÁN Tiszta húzáskor vagy nyomáskor - ha a normálfeszültség hatásvonala benne van az i,j fősíkban és az i tengellyel α szöget zár be, ahogy azt a 3.5. ábrán már felvázoltuk (csak az 1,2 jelölést i,j-vel kell felcserélni) - a feszültségi állapot főtengelybeli komponensei: σ ii = f ijk (α ) cos 2 α , σ jj = f ijk (α ) sin 2 α,

σ ij = σ ji = f ijk (α ) sin α cos α ,

σ kk = σ ik = σ ki = σ jk = σ kj = 0 ,

3.50

i,j,k= 1, 2, 3 , ahol f ijk (α ) - az i,j síkban, az i tengellyel α szöget bezáró irányhoz tartozó normálszilárdság (vegyük észre, hogy ugyanazt a jelölési rendszert alkalmazzuk, mint az E rugalmassági moduluszok esetében). A normálszilárdságok iránytól függő változására az alábbi kifejezéseket vezethetjük le. Lineáris kritérium: Helyettesítsük be (3.16/b)-be (3.50)-et és használjuk fel (3.17)-et annak érdekében, hogy a függvényt a technikai szilárdságokkal fejezhessük ki. Egyszerű számolás után: f ijk (α ) =

fif j f i sin α + f j cos 2 α 2

,

3.51/a

mint megállapíthatjuk két paraméteres függvénykapcsolatot kaptunk. Ezt az összefüggést Hankinson-formulának is nevezik. Hankinson ezt a kifejezést az E rugalmassági modulusz és a normálszilárdság iránytól függő változására tapasztalati úton állította fel (S.C. Covin, l979; J.R. Goodman - J. Bodig, l971). A Mises-féle kritérium: Az átszámított feszültségkomponenseket most (3.18/b)-be helyettesítjük és felhasználjuk a (3.19/a,b,c) relációkat:

f ijk (α ) =

fif j  4f 2 f 2  i j 2 4 2 2  f i sin α + − f i − f j  sin 2 α cos 2 α + f j2 cos 4 α 2 ( ) k 45  f ij   

(

.

3.51/b

)

Ez az összefüggés már három paramétert tartalmaz, a főirányokhoz tartozó normálszilárdságokon kívül ismerni kell az i,j irányok szögfelezőjének irányához tartozó normálszilárdságot is. A fenti két összefüggésben a technikai szilárdságok felső indexébe + vagy - jelet kell tenni, attól függően, hogy húzó- vagy nyomószilárdság-változást kívánunk meghatározni. Tsai-Wu-féle kritérium: A transzformált feszültségkomponenseket most a (3.22/b) kritériumba helyettesítjük. Itt eleve különbséget kell tenni a húzó- és nyomószilárdság között:

197

f

k (α )+ ij

− A + A 2 + 4B A + A 2 + 4B k (α )− = , f ij = , 2B 2B

3.51/c

ahol A = t ii cos 2 α + t jj sin 2 α ,

B = t iiii cos 4 α + t jjjj sin 4 α + (t iijj + t jjii + t ijij + t ijji + t jiij + t jiji )sin 2 α cos 2 α ,

a t ij és t ijkl tenzorkomponenseket a (3.23) összefüggésekkel megadott technikai szilárdságokkal számítjuk. Az Askenazi-féle kritérium: Most a (3.45) kifejezésből indulunk ki és a (3.24) relációkat alkalmazzuk:

f ijk (α ) =

fif j  4f i f j  f i sin 4 α +  k (45 ) − f i − f j  sin 2 α cos 2 α + f j cos 4 α  f ij 

3.51/d

A felső indexeket itt is az igénybevétel előjelének megfelelően adjuk meg. Ez a függvénykapcsolat is három paraméteres és mint látjuk, csak annyiban különbözik a von Mises-féle szilárdsági kritériumtól, hogy benne a technikai állandók az első hatványon szerepelnek. A (3.51) összefüggések mindhárom fősíkban érvényesek, tehát i,j = 1, 2 v. 1, 3 v. 2, 3. Ha teljesen általános irányban kívánjuk meghatározni a normálszilárdságot, eljárhatunk úgy, hogy a (3.7) összefüggésben az iránycosinuszok helyébe az 1.15. ábra a esetének megfelelő transzformációs mátrix elemeit helyettesítjük be: 1 t 1'1'1'1' = = t 1111 cos 4 ϕ cos 4 ϑ + t 2222 sin 4 ϕ cos 4 ϑ + t 3333 sin 4 ϑ + f 1' 3.52/a + (t +t +t +t +t + t ) sin 2 ϕ cos 2 ϑ sin 2 ϑ + 2233

3322

2323

2332

3223

3232

+ (t 1133 + t 3311 + t 1313 + t 1331 + t 3113 + t 3131 ) cos 2 ϕ cos 2 ϑ sin 2 ϑ +

+ (t 1122 + t 2211 + t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 )sin 2 ϕ cos 2 ϕ cos 4 ϑ ,

ahol f 1' - a normálszilárdság a ϕ és ϑ szögekkel jellemzett irányban. Most csak az Askenazi-féle szilárdsági tenzor komponenseinek megfelő technikai állandókat felhasználva: 1 cos 4 ϕ cos 4 ϑ sin 4 ϕ cos 4 ϑ sin 4 ϑ = + + + f 1' f1 f2 f3  4 1 1 +  1(45 ) − −  sin 2 ϕ sin 2 ϑ cos 2 ϑ + f2 f3   f 23  4 1 1 +  2(45 ) − −  cos 2 ϕ sin 2 ϑ cos 2 ϑ + f1 f 3   f 13

3.52/b

 4 1 1 +  3(45 ) − −  sin 2 ϕ cos 2 ϕ cos 4 ϑ . f1 f 2   f 12

198

Ezzel az összefüggéssel lehet megszerkeszteni a húzó- vagy nyomószilárdság anizotrópia felületeit vagy diagramjait. Ezt a feladatot a szilárdsági kritérium felhasználásával is meg lehet oldani. Először az x i ' koordinátarendszerbeli lineáris feszültségi állapotot kell transzformálni a főirányok rendszerébe: σ11 = σ1'1' cos 2 ϕ cos 2 ϑ , σ12 = σ 21 = σ1'1' sin ϕ cos ϕ cos 2 ϑ , σ 22 = σ1'1' sin 2 ϕ cos 2 ϑ, σ 23 = σ 32 = σ1'1' sin ϕ sin ϑ cos ϑ , σ 3 = σ1'1' sin 2 ϑ , σ13 = σ 31 = σ1'1' cos ϕ sin ϑ cos ϑ , a fenti összefüggéseket az (1.20/b) transzformációs törvény alapján írtuk fel. Ezeket kell behelyettesíteni az Askenazi-féle kritérium (3.45)-ös alakjába, majd σ1'1' = f 1' helyettesítéssel és a (3.24) relációkkal éppen (3.52/b)-re jutunk.

3.1.4.2. A NYÍRÓSZILÁRDSÁGOK IRÁNYFÜGGÉSE A KÜLÖNBÖZŐ KRITÉRIUMOK ALAPJÁN Abban a speciális esetben, amikor a nyírási sík normálisa és a nyírófeszültség hatásvonala párhuzamos az i,j fősíkkal, valamint α szöget zár be a normális az i főiránnyal, tehát a 2.1. ábrán vázolt 1, 3. és 5. terhelési esetek érvényesek, a nyírószilárdság változása a különböző kritériumok alapján a következőképpen számítható. A tiszta nyírás xi' koordinátarendszerbeli síkbeli feszültségi állapota a főirányok rendszerében, a 3.6. ábrának megfelelően, az alábbi komponensekkel adható meg: σ ii = −σ jj = t ijk (α ) sin 2α ,

σ ij = σ ji = t ijk (α ) cos 2α ,

3.53

σ kk = σ ik = σ ki = σ jk = σ kj = 0 , i,j,k = 1, 2, 3 ,

ahol t ijk (α ) - a nyírószilárdság, ha a nyírófeszültség síkjának normálisa az i főtengellyel α szöge zár be és a normális, valamint a nyírófeszültség hatásvonala párhuzamos marad az i,j síkkal (a jelölés logikája most a G nyírórugalmassági moduluszét követi). Lineáris kritérium: (3.16/b)-be most (3.53)-at helyettesítjük és felhasználjuk a technikai szilárdságok (3.17)-es definicióját:

t ijk (α ) =

(f

fif j

j

− f i )sin 2α

.

3.54/a

A Mises-féle kritérium: A transzformált feszültségkomponenseket (3.18/b)-be helyettesítjük és a (3.19/a, b, d) definiciókat használjuk:

199

t ij t ijk (45 )

t ijk (α ) =

(

t sin 2α + t 2 ij

2

)

k ( 45 ) 2 ij

cos 2α

.

3.54/b

2

Tsai-Wu-féle kritérium: Az átszámított feszültségkomponenseket (3.22/b)-be helyettesítjük: t ijk (α )+ =

− A'+ A' 2 +4B' A'+ A' 2 +4B' , t ijk (α ) = , 2B' 2B'

3.54/c

ahol A' = (t ii − t jj )sin 2α ,

B' = (t iiii + t jjjj − t iijj − t jjii )sin 2 2α + (t ijij + t ijji + t jiij + t jiji )cos 2 2α ,

a t ij és t ijkl tenzorkomponenseket a (3.23) összefüggéseknek megfelelő technikai állandókkal számítjuk. Az Askenazi-féle kritérium: A (3.53) feszültségkomponenseket (3.45)-be helyettesítjük és a (3.24) relációkat alkalmazzuk:

t

k (α ) ij

=

t ij t ijk (45 ) t ij sin 2 2α + t ijk (45 ) cos 2 2α

.

3.54/d

A (3.54) kifejezések mindhárom fősíkban érvényesek, így i,j = 1, 2 v. 1, 3 v. 2, 3. A nyírószilárdság iránytól való függésének meghatározása a (3.54) képletek levezetésénél alkalmazott gondolatmenetnél bonyolultabb feladat, hiszen a 2.1. ábra páros számú eseteinek megfelelő nyírási sík és nyírófeszültség-hatásvonal variációk is léteznek. Sőt újabb problémát jelent, hogy míg a nyírórugalmassági modulusz esetén az x i ' , x j' síkhoz egyetlen G i ' j' anyagjellemző tartozik, addig elvileg más nyírószilárdság tartozik a σ i ' j' feszültségkomponenshez, mint a σ j'i ' -höz. Ezt a problémát a szilárdsági kritériumok használatakor úgy hidaltuk át, hogy a két összetartozó nyírószilárdság közül a kisebbet tekintettük az i' és j' normálisú síkok mindegyikére érvényesnek. Ez a feltevés azonban tarthatatlan, ha a nyírószilárdság iránytól függő változását kívánjuk meghatározni. A nyírószilárdsággal kapcsolatos tenzorkomponensek most már csak az Askenazi-féle szilárdsági tenzorra szorítkozva - iránytól függő változását a legegyszerűbben a (3.8) általános érvényű transzformációs összefüggésekkel számíthatjuk a nyírási síknak és a nyírófeszültség hatásvonalának megfelelő transzformációs mátrix elemeinek felhasználásával. Újabb problémák adódnak azonban, ha a nyírószilárdság változását a technikai állandókkal kívánjuk megadni. A szilárdsági kritérium alapján ugyanis eddig csak a t ijij + t ijji + t jiij + t jiji komponensösszeget tudtuk fizikailag értelmezni (ez nem volt más, mint

t ij

t

ij

és t ji közül a kisebbik). Most azonban szükség lenne az összeg tagjainak fizikai értel-

mezésére is. Azt minden további nélkül elfogadhatjuk, hogy a t ijij komponens a t ij szilárdsággal, a t jiji komponens a t ji szilárdsággal van kapcsolatban. Az igazi nehézség a t ijji és t jiij komponensek értelmezésénél lép fel. Sajnos nincs más lehetőség, mint egy olyan feltételezéssel élni, amely nem mond ellent eddigi elméleti eredményeinknek és a kísérleti adatokkal is

200

összhangban van. E két utóbbi komponens közül az egyiket rendeljük a t ijij , a másikat a t jiji komponensekhez a következő módon: 1 t ijij + t ijji = 2 t ijij = , 2 t ij t jiji + t jiij = 2 t jiji =

3.55/a

1 , 2 t ji

3.55/b

Ha összeadjuk a két kifejezést és t ji = t ij -t

(mivel t ij 〈 t ji ) figyelembe vesszük, akkor éppen

(3.24/b)-t kapjuk, az Askenazi-féle szilárdsági tenzor nyírási komponenseinek fizikai értelmezését. Ezek után határozzuk meg a 2.1. ábra páratlan számú eseteinek megfelelő nyírószilárdságváltozást. Ehhez elegendő, ha a (3.8) összefüggésbe rendre egymás után az (1.8), (1.9), (1.10) forgatási transzformációs mátrixkomponenseket helyettesítjük be. Csak az általános összefüggést írjuk le: t i ' j'i ' j' = t ijij cos 4 α + t jiji sin 4 α +

+ (t iiii + t jjjj − t iijj − t jjii − t ijji − t jiij )sin 2 α cos 2 α ,

3.56/a

a technikai állandókkal:

1 t ijk (α )

2  cos 2 α sin 2 α   cos 2α + sin 2α , = −  t t ji  t ijk (45 )  ij

3.56/b

vagy átalakítva: cos 4 α sin 4 α  1 1 1 + + k (45 ) − − k (α )  t ij t ij t ji 4 t ij 4 t ji t ij  3.56/c i,j,k = 1,2,3 v. 1,3,2 v. 2,3,1 . 1

=

 2  sin 2α .  

Ezek az összefüggések tehát megadják a nyírószilárdságot, ha a nyírási sík normálisa merőleges a k jelű főtengelyre és az i főiránnyal α szöget zár be, a nyírófeszültség hatásvonala pedig párhuzamos az i,j fősíkkal. A 2.1. ábra páros számú eseteinek megfelelő nyírószilárdság: t i ' j'i ' j' = t ijij cos 2 α + t kjkj sin 2 α ,

3.8. ábra. További nyírási esetek.

3.57/a

a technikai állandókkal: 1 t ijj(α )

cos 2 α sin 2 α = + , t ij t kj

i,j,k = 1,2,3,

v.

1,3,2

v.

2,3,1 .

3.57/b

201

Ez az összefüggés akkor adja meg a nyírószilárdságot, ha a nyírási sík normálisa merőleges a j főtengelyre és az i iránnyal α szöget zár be, valamint a nyírófeszültség hatásvonala mindig párhuzamos a j iránnyal. A 3.8. ábrán felvázoltuk azokat a terhelési eseteket, amelyek a 2.1. ábra páros eseteiben a nyírófeszültség dualitáspárjának felelnek meg. Itt a nyírási sík normálisa mindig valamelyik főirány, a nyírófeszültség hatásvonala pedig a nyírási síkban tetszőleges. A nyírószilárdság függvényét úgy kapjuk meg, hogy a 3.8. ábra különböző terhelési eseteinek megfelelő szögeket vesszük fel az 1.15. ábra b. mátrixában és ezt a transzformációs mátrixot alkalmazzuk (3.8/d)-re. A három összefüggést végül egy kifejezéssel adhatjuk meg:

t 2 '1'2'1' = t 2121 cos 2 α + t 2323 sin 2 α ,

3.58/a

a technikai szilárdságokkal: 1 t jji(α )

cos 2 α sin 2 α = + , t ji t jk

i,j,k = 2,3,1

v.

3,2,1

v.

2,1,3.

3.58/b

Ezek az összefüggések megadják a nyírószilárdságot, ha a nyírási sík az i,j fősík és a nyírófeszültség hatásvonala az i főiránnyal α szöget zár be. Amennyiben teljesen általános helyzetű síkon, tetszőleges hatásvonalú nyírófeszültséghez tartozó nyírószilárdságot akarjuk meghatározni, az 1.15. ábra b. táblázatának iránycosinuszait kell alkalmazni a (3.8) vagy a (3.9) összefüggésekre. Így pl.

t 1'2 '1' 2' + t 1' 2' 2 '1' + t 2 '1'1' 2' + t 2'1'2 '1' =

1 t 1'2 '

=

= 4t 1111 cos2 ϕ cos2 ϑ(sin ϕ sin ψ − cosϕ sin ϑ cosψ) + 2

+ 4t 2222 sin2 ϕ cos2 ϑ(− cosϕsinψ − sinϕsinϑcosψ) + 2

+ 4t 3333 sin 2 ϑ cos 2 ϑ cos 2 ψ +

+ 4(t 2233 + t 3322 )sin ϕ sin ϑ cos 2 ϑ cos ψ (− cos ϕ sin ψ − sin ϕ sin ϑ cos ψ ) +

+ 4(t 1133 + t 3311 ) cos ϕ sin ϑ cos2 ϑ cos ψ(sin ϕ sin ψ − cos ϕ sin ϑ cos ψ) +

3.59

+ 4(t 1122 + t 2211 )sin ϕ cos ϕ cos ϑ(sin ϕ sin ψ − cos ϕ sin ϑ cos ψ )(− cos ϕ sin ψ − sin ϕ sin ϑ cos ψ ) + 2

+ (t 2323 + t 2332 + t 3223 + t 3232 )(sin ϕ cos2ϑ cosψ − cosϕ sin ϑsin ψ) + 2

+ (t1313 + t1331 + t 3113 + t 3131)(cosϕcos2ϑcosψ + sinϕsinϑsinψ) + 2

+ (t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 )(− cos 2ϕ cos ϑ sin ψ − sin 2ϕ sin ϑ cos ϑ cos ψ ) . 2

A tenzorkomponensek helyébe a (3.24)-gyel definiált technikai szilárdságokat helyettesíthetjük. (3.59) felhasználásával szerkeszthetjük meg a nyírószilárdság anizotropia diagramjait, ill. felületeit. Itt is, mint a nyírórugalmassági modulusznál, a három független változó valamelyikét rögzíteni kell a háromdimenziós ábrázolhatóság érdekében.

202

3.1.5. HIDROSZTATIKUS NYOMÓSZILÁRDSÁG Az izotrop anyagokra vonatkozó kísérletek tanúsága szerint a hidrosztatikus nyomószilárdság tetszőlegesen nagy lehet. Anizotrop testek esetén azonban nem ez a tapasztalat. Bizonyos nyomásértékeknél a vizsgált testen rideg törésre jellemző repedések jelennek meg, vagy olyan nagymértékű alakváltozások lépnek fel, hogy a test tönkrementnek tekinthető. Anizotrop anyagnál tehát a szilárdság nem független a ható feszültségi állapot gömbtenzorától. A hidrosztatikus nyomáshoz tartozó szilárdságot, a p nagyságú nyomófeszültség maximumát, elméletileg a σ11 = σ22 = σ33 = − p ,

σ12 = σ21 = σ13 = σ 31 = σ12 = σ 21 = 0

feszültség-komponenseknek a különböző szilárdsági kritériumokba való helyettesítésével kapjuk: Lineáris kritérium: p=−

1 t11 + t 22 + t 33

3.60/a

,

amelyben a tenzorkomponenseket a (3.17)-tel megadott technikai nyomó-szilárdságokkal számítjuk. A Mises-féle kritérium: 1

p=

t1111 + t 2222 + t 3333 + t1122 + t 2211 + t1133 + t 3311 + t 2233 + t 3322

,

3.60/b

ahol a tenzorkomponenseket a (3.19) összefüggések közül a nyomásnak megfelelő technikai szilárdságokat alkalmazzuk. Ha az interakciós tagokat a Hill-féle, (3.21) összefüggéssel adjuk meg, a hidrosztatikus nyomószilárdságra végtelen értéket kapunk. Tsai-Wu-féle kritérium: p=

A* +

(A )

* 2

+ 4B *

2B *

3.60/c

,

ahol A * = t 11 + t 22 + t 33 ,

B * = t 1111 + t 2222 + t 3333 + t 1122 + t 2211 + t 1133 + t 3311 + t 2233 + t 3322 , és a szilárdsági tenzo-rkomponenseket a (3.23) összefüggésekkel számítjuk. Askenazi-féle kritérium: p=

6 t1111 + t 2222 + t 3333 + t1122 + t 2211 + t1133 + t 3311 + t 2233 + t 3322

,

3.60/d

amelyben a tenzorkomponenseket a nyomásnak megfelelő (3.24) összefüggések technikai szilárdságával számítjuk. (3.24/a,c)-vel:

203

p=

6  1 1 1 4 3(45 )− + 2(45 )− + 1(45 )− f 13 f 23  f 12

  1 1 1 1 1 1  − − + − + − +  + +  f t 12 t 13 t 23  f2 f3   1

3.60/e

vagy (3.24/a,e)-vel: p=

6  1 1 1   1 1 1 3  − + − + −  −  − + − + − f2 f3  r12 r12 r23   f 1

   

.

3.60/f

3.1.6. A TÖRÉSI ELMÉLETEK ÖSSZEHASONLÍTÁSA ÉS ALKALMAZHATÓSÁGUK MEGÍTÉLÉSE A különböző törési elméleteknek megfelelő szilárdsági kritériumok valamely anyagra való

3.2. táblázat. Néhány anyag technikai szilárdságai. Grafit epoxi Erdei fenyő + fL 2,28 59,0 − fL 1,52 44,6 + fR 0,09 5,3 − fR 0,26 3,6 + fT 0,09 3,2 − fT 0,26 6,7 T ( 45 ) + f LR 0,18 10,0 T ( 45 ) − f LR

Nyír 168,6 76,7 10,9 12,3 6,9 6,5 17,1

0,36

8,0

26,0

0,18

10,0

12,9

0,36

15,2

20,7

0,09

4,8

7,3

t LR t RL t LT t TL t RT t TR

t TLR(45 )+

0,26 0,15 0,15 0,29

2,7 31,1 8,2 29,3 6,3 17,8 13,3 13,3

7,2 10.1 15,5 10,0 -

t TLR( 45) −

0,08

-

-

0,29

21,2

-

0,08

-

-

-

20,1

-

-

-

-

f f f f

R ( 45 ) + LT R ( 45 ) − LT L ( 45 ) + RT L ( 45 ) − RT

t t t t

R ( 45 ) + LT R ( 45 ) − LT L ( 45 ) + RT L ( 45 )− RT

MPa

204

alkalmazhatóságát elsősorban és döntően az alapján kell megítélni, hogy előrejelzései menynyire vannak összhangban az adott anyagfajtán végett kísérletek eredményeivel. Bizonyos elméleti megfontolások azonban lehetővé teszik, hogy már előre kiválasszuk a sokféle szilárdsági kritérium közül azt, vagy azokat, amelyek egy anyagfajta szilárdságának leírása szempontjából szóba jöhetnek. Ez az előzetes elméleti vagy gyakorlati tapasztalatokon nyugvó válogatás sok esetben lényegesen csökkentheti a költséges és sokszor igen bonyolult kísérleti vizsgálatok nagy számát.

3.1.6.1. A SZILÁRDSÁGI KRITÉRIUMOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA AZ IRÁNYTÓL FÜG-GŐ SZILÁRDSÁGI JELLEMZŐK ALAPJÁN Sajnos csak kevés olyan anizotrop anyagot ismerünk, melynek a szilárdsági tenzorkomponensek számításához szükséges összes technikai szilárdságát már meghatározták. Az iránytól függő szilárdsági jellemzők meghatározásához szükséges technikai szilárdságokat E. M. Wu (1972) alapján egy grafit szálerősítésű epoxi műgyantára és E. K. Askenazi (1961, 1989) alapján erdei fenyőre és nyír faanyagra a 3.2. táblázatban foglaltuk össze. Mint látjuk ez a táblázat is hiányos és az általában bonyolult kísérleti technika, s főként a sorozatok kis elemszáma miatt a meglévő adatok abszolút helyességéről sem lehetünk teljesen meggyőződve. A transzverzálisan izotrop grafit-epoxi műgyanta húzó és nyomószilárdságának az izotróp síkjára merőleges síkban lévő irányokhoz tartozó változását a 3.9.a,b. ábrákon láthatjuk a kí-

3.9/a.ábra: A grafit epoxi műgyanta húzószilárdságának változása az 1,2 szerkezeti fősíkban.

3.9/b. ábra. A grafit epoxi műgyanta nyomószilárdságának változása az 1,2 szerkezeti fősíkban.

205

3.10/a. ábra. Az erdei fenyő húzószilárdságának változása az L,R anatómiai fősíkban.

3.10/b. ábra. Az erdei fenyő nyomószilárdságának változása az L,R anatómiai fősíkban.

3.10/c. ábra. Az erdei fenyő húzószilárdságának változása az L,T anatómiai fősíkban.

3.10/d. ábra. Az erdei fenyő húzószilárdságának változása az L,T anatómiai fősíkban. 206

3.10/e. ábra. Az erdei fenyő húzószilárdságának változása az R,T anatómiai fősíkban.

3.10/f. ábra. Az erdei fenyő nyomószilárdságának változása az R,T anatómiai fősíkban.

3.11/a. ábra. A nyír húzószilárdságának változása az L,R anatómiai fősíkban.

3.11/b. ábra. A nyír nyomószilárdságának változása az L,R anatómiai fősíkban. 207

3.11/c. ábra. A nyír húzószilárdságának változása az L,T anatómiai fősíkban.

3.11/d. ábra. A nyír nyomószilárdságának változása az L,T anatómiai fősíkban.

3.11/e. ábra. A nyír húzószilárdságának változása az R,T anatómiai fősíkban.

3.11/f. ábra. A nyír nyomószilárdságának változása az R,T anatómiai fősíkban. 208

sérleti adatok feltüntetése mellett. Az 1,2 síkkal párhuzamos nyírófeszültségekhez tartozó szilárdságok kísérleti adatait és elméleti függvényeit a 3.12.a,b. ábrák mutatják. Az erdei fenyő húzó- és nyomószilárdságának változását a három anatómiai fősíkban a 3.10. jelű ábrák szemléltetik. A nyírószilárdságok változását a 3.13. jelű ábrákon láthatjuk. Itt a t ijk (45 )− értékeket kísérleti adatok hiányában fiktív mennyiségekkel helyettesítettük. A nyír faanyag normálszilárdságának változását a 3.11. jelű ábrák mutatják. A technikai szilárdságok egy részének hiánya miatt a nyírószilárdság elméleti változását nem volt módunkban meghatározni. A két fafajnál a technikai szilárdságoknak csak az átlagértéket ismerjük, ezért a rájuk vonatkozó ábrákon kísérleti adatokat nem tüntettünk fel (a háromparaméteres görbék ugyanis a három kísérleti átlagértéknek megfelelő pontokon mindenképpen átmennek). A 3.9.-3.13. jelű ábrák alapján a következő megállapításokat tehetjük:

3.12/a. ábra. A grafit epoxi műgyanta nyírószilárdságváltozása az 1,2 szerkezeti fősíkban.

3.12/b. ábra. A grafit epoxi műgyanta nyírószilárdságváltozása az 1,2 szerkezeti fősíkban.

3.13/a. ábra. Az erdei fenyő nyírószilárdságváltozása az L,R anatómiai fősíkban. 209

3.13/b. ábra. Az erdei fenyő nyírószilárdságváltozása az L,R anatómiai fősíkban.

3.13/c. ábra. Az erdei fenyő nyírószilárdság-változása az L,T anatómiai fősíkban.

3.13/d. ábra. Az erdei fenyő nyírószilárdságváltozása az L,T anatómiai fősíkban.

3.13/e. ábra. Az erdei fenyő nyírószilárdságváltozása az R,T anatómiai fősíkban.

210

3.13/f. ábra. Az erdei fenyő nyírószilárdságváltozása az R,T anatómiai fősíkban. - A grafit-epoxi műgyantára vonatkozó normál- és nyírószilárdsági függvények a Mises-, a Tsai-Wu- és az Askenazi-elmélettel meghatározva gyakorlatilag megegyeznek és viszonylag jól követik a kísérleti adatokat. - Az erdei fenyő és nyír faanyagnál a három elmélet közel azonos eredményt ad a 3.10.a,e,f. és 3.11.a,c,e,f. ábráknak megfelelő igénybevételeknél. A többi esetben azonban csak az Askenazi-elmélet nyújt szemléletünknek megfelelő és a gyakorlattal egyező függvényt. A von Mises- és a Tsai-Wu-elmélet függvénygörbéinek ugyanis 10° és 30° között maximuma, esetleg szakadása van, ami ellentmond a faanyag normálszilárdságával kapcsolatos kísérletek eredményeinek. Hasonló jellegű maximum az Askenazi-elmélettel csak 3.11.b. ábrának megfelelő esetben fordul elő. - Az erdei fenyő különböző elméletekkel megrajzolt nyírószilárdsági függvényei jó egyezést mutatnak, kivétel az R,T síkkal párhuzamos nyírófeszültségekhez tartozó szilárdság, melynél a Tsai-Wu-elmélet görbéi lényegesen különböznek a von Mises- és Askenazi-elmélet függvényeitől.

3.1.6.2. A LINEÁRIS KRITÉRIUM ELLENTMONDÁSAI A szilárdsági kritérium lineáris formájának az iránytól függő normálszilárdságra kapott (3.51/a) összefüggése, mint már említettük, nem más, mint a Hankinson által tapasztalati úton felállított formula. Ez a függvény sokszor meglepően jól követi a normálszilárdság változását a legkülönbözőbb ortotrop anyagok esetén (S. C. Covin, 1979; B. Edlung, 1982; J. R. Goodman-J. Bodig, 1971; F. Kollmann, 1982). E két paraméteres Hankinson-formula a szögfelezők irányához tartozó normálszilárdságot eleve meghatározza. (3.51/a)-ba 45°-ot helyettesítve: 2f i f j f ijk (45 ) = . 3.61 fi + f j A Hankinson-formula felépítésében és a tenzorkomponensek fizikai értelmezésében leginkább az Askenazi-elméletből levezethető (3.51/d) összefüggéshez hasonlít. Ha az anyagnak a szimmetriatengelyek szögfelezőjének irányába eső normálszilárdsága a (3.61)-gyel számítható értéktől nem nagyon tér el, akkor a két paraméteres (3.51/a) és a háromparaméteres (3.51/d) függvények gyakorlatilag ugyanazt a görbét írják le. Ez az oka annak, hogy a Hankinsonformula igen sok esetben jobban követi a normálszilárdság iránytól függő változását, mint a lényegesen bonyolultabb elméletek, amelyről B. Edlund (1982) is beszámol.

211

A Hankinson-formula normálszilárdságra vonatkozó kísérletekkel való egyezése ellenére a szilárdsági kritérium lineáris közelítését gyakorlati és elméleti okokból is el kell vetni. Erről meggyőződhetünk a (3.54/a) és a (3.60/a) összefüggések tanulmányozásával. Az első kifejezés a nyírószilárdságra 0°-nál és 90°-nál végtelen értéket ad, ami lehetetlen, a második összefüggés pedig a hidrosztatikus nyomás maximumára - amit eleve negatívnak vettünk fel - pozitív helyett negatív értéket ad. A lineáris elmélet tarthatatlanságát korábban is beláttuk, mikor megállapítottuk, hogy a kétdimenziós szilárdsági tenzor, ill. a neki megfelelő lineáris közelítés f1 = f2 = f3 = f esetén minden irányhoz f nagyságú normálszilárdságot rendel, ami azt jelenti, hogy az anyag izotrop. Ez, mint tudjuk, ellentétben áll az ortotrop anyagokkal kapcsolatos kísérleti eredményekkel. Végeredményül tehát még egyszer megállapíthatjuk, hogy a szilárdság jellemzésére a kétdimenziós tenzor, ill. a lineáris közelítés nem alkalmas.

3.1.6.3. A SZILÁRDSÁGI ELMÉLETEK HASZNÁLHATÓSÁGÁNAK KÍSÉRLETI ADATOKON NYUGVÓ FELTÉTELEI ÉS MEGÍTÉ-LÉSE A normálszilárdság iránytól függő változását megadó függvények jellegzetességei alapján olyan feltételeket szabhatunk meg bizonyos technikai szilárdságok között, amelyek - összehasonlítva a tényleges szilárdsági jellemzőkkel - lehetővé teszik annak eldöntését, hogy melyik töréselmélet a legalkalmasabb az adott anyag szilárdsági viselkedésének leírására. A faanyagnál és sok mesterségesen kialakított ortotrop vagy transzverzálisan izotróp anyagnál mindig létezik egy olyan főirány, amelynek normálszilárdsága lényegesen nagyobb, mint a másik két főirányhoz tartozó. Ilyen esetben a kísérletek tanúsága szerint pl. természetes faanyagnál: f i ≥ f ijk (α ) ≥ f j ,

i,j = L, R v. L, T ,

3.62

azaz a normálszilárdság szélső értékei a főirányokba esnek. A két kisebb szilárdságnak megfelelő irányok síkjában - faanyagnál az R,T (bütü) síkban - a fenti relációnak nem kell feltétlenül teljesülnie. (3.62) azt jelenti, hogy a (3.51.b,c,d) függvényének a 0 0 〈 α 〈 90 0 tartományban nem lehet szélső értéke. Ennek feltételeit a függvények analízisével határozhatjuk meg. A von Mises és Askenazi-elmélet esetén a négydimenziós szilárdsági tenzorok transzformációs szabályainak megfelelően a t iiii = 1 / f i2 , ill. a t iiii = 1 / f i komponensek irányától függő változása az i,j síkban (3.12) analógiájára: t i 'i 'i 'i ' = t iiii cos 4 α + t jjjj sin 4 α + t sin 2 α cos 2 α ,

3.63

ahol t = t iijj + t jjii + t ijij + t ijji + t jiij + t jiji .

Differenciáljuk a fenti függvényt α szerint és az eredményt tegyük egyenlővé nullával:

[

]

dt i 'i 'i 'i ' = 2 sin α cos α (2 t jjjj − t )sin 2 α − (2 t iiii − t ) cos 2 α = 0 . dα A szélső érték lehetséges helyei:

212

α1 = 0 + kπ ,

α 3 = arc tg

α2 =

π

2

+ kπ ,

3.64/a

 2t iiii − t  2t iiii − t + kπ , α 4 = arc tg  + kπ . 2 t jjjj − t  2 t jjjj − t  k = 0,1,2, ...

3.64/b

Az α1 -gyel és α 2 -vel megadott szélsőérték helyek (3.62)-vel összhangban vannak. A (3.64/b)vel számítható szélsőérték-helyek akkor tűnnek el, ha 2 t iiii − t ≤ 0, 2 t jjjj − t ami akkor teljesül, ha 2 t iiii − t ≤ 0 és 2 t jjjj − t 〉 0 ,

3.65/a

vagy 2 t iiii − t ≥ 0 és 2 t jjjj − t 〈 0 .

3.65/b

A von Mises-elmélet (3.18)-nak megfelelő technikai szilárdságaival a (3.65/a) feltétel a következő alakba írható: 2f i f j 3f i2 + f j2

〈 f ijk(45) ≤

2f i f j f i2 + 3f j2

,

i,j = L, R v. L, T .

3.66

Az Askenazi-elmélet (3.24)-nek megfelelő technikai szilárdságaival a (3.65/a) feltétel: 4f i f j 3f i + f j

〈 f ijk(45) ≤

4f i f j f i + 3f j

,

i,j = L, R v. L, T .

3.67

A (3.65/b) feltétel mindkét elmélet technikai szilárdságaival ellentmondáshoz vezet, így figyelmen kívül hagyható. A Tsai-Wu-elmélet (3.62)-nek megfelelő feltételét a (3.51/c) összefüggés szélsőérték vizsgálatával határozhatjuk meg. α szerinti differenciálás és rendezés után: df ijk (α )

 m A + A 2 + 4B  dB dA  dB = 0. = −B  A − dα 2B dα  dα   dα

Mivel a szögletes zárójelben lévő kifejezés éppen f ijk (α ) , ami sohasem nulla, a fenti egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha

213

3.14.ábra: A normálszilárdság változásában fellépő anomáliák, ha az f ijk ( 45) normálszilárdságok nem esnek bele a kritériumok által megszabott tartományba.

dB dA = 0 és B = 0. dα dα

3.68

Az első egyenlőséget fejtsük ki (3.51/c) mellékösszefüggéseinek felhasználásával:

[

]

dB = 2 sin α cos α (2t jjjj − t )sin 2 α − (2t iiii − t ) cos 2 α = 0 . dα Ez az összefüggés megegyezik a 4-dimenziós tenzor szélsőérték-helyeinek számításánál kapott kifejezéssel, így a szélsőérték helyét a (3.64) kifejezések adják. A (3.64/b) helyek most is a (3.65) feltételek mellett tűnnek el. A Tsai-Wu-elmélet (3.23) jelű technikai szilárdságaival a (3.65/b) feltétel itt is ellentmondáshoz vezet, (3.65/a) pedig a következő alakot ölti:

m C + C 2 + 4D 1 D1

〈 f ijk (45 ) ≤

m C + C 2 + 4D 2 D2

,

3.69

ahol C = t ii + t jj =

1 1 1 1 − − + + − − , + fi fi fj fj

214

3.3. táblázat. Az átlós irányú technikai szilárdságokra vonatkozó feltétel teljesülése a három tönkrementeli elmélet alapján. von Mises Askenasi Tsai-Wu Ortotrop f k(45) min. max. Teljemin. max. Teljemin. max. Teljeij fősík sül? sül? sül? 1,2 0,18 0,10 0,18 igen 0,12 0,32 igen 0,13 0,18 igen Grafit húzás epoxi 1,2 0,36 0,30 0,50 igen 0,33 0,69 igen 0,24 0,50 igen nyomás L,R 10,0 6,11 10,47 igen 6,86 16,70 igen 5,67 10,59 igen húzás L,R 8,0 4,15 7,13 nem 4,67 11,59 igen 4,47 7,06 nem Erdei nyomás fenyő L,T hú- 10,0 3,69 6,37 nem 4,19 11,01 igen 4,33 6,43 nem zás L,T 15,2 7,71 12,97 nem 8,51 18,47 igen 6,58 13,03 nem nyomás L,R 17,1 12,58 21,66 igen 14,23 36,52 igen 13,20 22,38 igen húzás L,R 36,0 14,14 23,70 nem 15,57 33,22 nem 13,50 23,24 nem Nyír nyomás L,T hú- 12,9 7,97 13,77 igen 9,08 24,58 igen 7,97 14,06 igen zás L,T 20,7 7,50 12,86 nem 8,43 20,73 igen 7,49 12,63 nem nyomás MPa MPa MPa MPa D 1 = t iiii + 3t jjjj =

1 f f

+

3 , f f

D 2 = 3t iiii + t jjjj =

3 f f

+

1 , f f

+ − i i

+ − i i

+ − j j

+ − j j

i,j = L, R v. L, T . (3.69) számlálójának első tagjánál a negatív előjelet kell használni húzó-, a pozitívot nyomószilárdság esetén. (3.68) második egyenlőségéből f ijk (45 ) -re egy felső korlátot kapunk, amely azonban kevésbé szigorú, mint (3.69) jobb oldala, így gyakorlatilag nincs jelentősége. A (3.66), (3.67) és (3.69) relációk tehát megadják adott fi és f j normálszilárdságok mellett az i,j irányok szögfelezőjébe eső normálszilárdság elméletileg lehetséges értékeit. Ezek a korlátok szigorúbb megkötést jelentenek, mint a (3.49) relációk. Ha a tényleges technikai szilárdság a kijelölt határok közé esik, a normálszilárdság függvényének a 0 0 〈 α 〈 90 0 szögtartományban nem lesz szélső értéke. Ha f ijk (45 ) kisebb, mint az alsó határérték, a függvénygörbének 45° és 90° között minimuma van (a. 3.14.b. ábra 4-es és 5-ös jelű görbéje), ha nagyobb, mint a felső határérték, 0° és 45° között maximuma, esetleg végtelenbe ugró értéke lesz (a 3.14.a ábra 2-es és 3-as jelű görbéje). A 3.3. táblázatban összefoglaltuk a 3.9.-3.13. ábrának megfelelő anyag- és igénybevételfajtákhoz tartozó tényleges f ijk (45 ) technikai szilárdságokat és

215

a három elmélettel számított korlátokat. A táblázat alapján megállapíthatjuk, hogy míg az Askenazi-elmélet feltétele csak egyetlenegy esetben nem teljesül, addig a Mises- és a TsaiWu-elmélet feltételei a vizsgált esetek felében nem állnak fenn. A nyírószilárdság iránytól függő változására vonatkozó kísérletek alapján a nyírószilárdsági jellemzőkre (3.62)-höz hasonló megkötést nem lehet tenni, mert vannak, lehetnek olyan síkok, melyek nyírószilárdsága nagyobb, mint az anatómiai vagy szerkezeti fősíkok nyírószilárdságai. Nyírószilárdság esetén a 3.14.a. ábra 2-es jelű görbéjét a gyakorlat is igazolja (E. K. Askenazi 1966, 1978). Így az egyetlen elvi feltétel csak az lehet, hogy a nyírószilárdság semmilyen orientáció esetén sem érheti el a végtelen értéket, amit a szilárdsági felület ,,domb"szerű alakjának feltétele eleve magában foglal. A faanyag és egyéb anizotrop anyagok hidrosztatikus nyomószilárdságára vonatkozó kísérletet csak nagyon kevesen írtak le. Az E. K. Askenazi (1978) által közölt vizsgálatok szerint a nyomás megszűnése után rideg jellegű törésnél az anyagban repedések jelennek meg, plasztikus jellegű tönkremenetelnél jelentős mértékű alakváltozások keletkeznek. A hidrosztatikus nyomószilárdság meghatározása technikailag nehéz feladat. Askenazi (1978) a nyír faanyagból készített, gömb alakú próbatestek plasztikus jellegű tönkremeneteléhez tartozó hidrosztatikus nyomásértéket 12,5-15,0 MPa határok között adja meg. A 3.4. táblázatban összefoglaltuk a 3.2. táblázat adataival a (3.60) összefüggésekkel számított elméleti hidrosztatikus nyomószilárdságot (a grafit-epoxi műgyantánál a hiányzó t 23 mennyiségnek a 0,10 MPa fiktív értéket adtuk).

3.4. táblázat. A hidrosztatikus nyomószilárdság értékei a három tönkremeneteli elmélettel. von Mises Tsai-Wu Askenazi Grafit epoxi 0,46 0,41 Erdei fenyő 1,44 1,43 1,70 Nyír 5,33 5,28 7,04 MPa Meglepő módón az elméletek egészen hasonló értékeket eredményeznek. A nyír faanyagra kapott nyomószilárdság ugyan csak fele, harmada az irodalomban közölt kísérleti értéknek, az eltérés azonban a kísérleti metodika nehézségeivel is magyarázható. A hidrosztatikai nyomószilárdság elméleti összefüggéseivel is meghatározhatunk a technikai szilárdságok, ill. azok csoportjai között bizonyos relációkat, ezek azonban annyira általánosak és összetettek, hogy a szilárdsági elméletek használhatóságának megítélésére nem alkalmasak. Az előzőek alapján látjuk, hogy bizonyos, a technikai szilárdságok között fennálló feltételek teljesülése esetén a von Mises-, a Tsai-Wu- és az Askenazi-elmélet a faanyag és más ortotrop anyagok szilárdsági viselkedését gyakorlatilag azonosan írja le. A természetes faanyagra és a faalapú anyagokra való használhatóságuk szempontjából azt az elméletet kell a legalkalmasabbnak tekintenünk, amelyik a legtökéletesebben tudja követni a kísérleti vizsgálatok eredményeit. ill. amelyek segítségével bizonyos szilárdsági jellemzők ismeretében más jellegű szilárdságokra és viselkedésre szemléletünknek megfelelő elméleti következtetéseket vonhatunk le.

3.1.6.4. A SZILÁRDSÁGI ELMÉLETEK MEGÍTÉLÉSE ENERGETIKAI ALAPON A rugalmas rideg anyagok alakváltozási jelleggörbéje - különösen a légszáraz faanyagé - a rideg törés bekövetkezéséig sokszor lineáris, esetleg egy olyan hatványfüggvénnyel közelíthe-

216

tő, amely csak a törési alakváltozás közelében görbül jelentősebb mértékben az alakváltozási tengely felé. Rideg törésnél a képlékeny agyagra jellemző viszonylag nagy alakváltozás nem lép fel és az alakváltozási folyamat gyakorlatilag egészen a tönkremenetelig rugalmas. Összetett feszültségi állapotban, mindaddig, amíg nem lép fel a törés, az 5.1. pontban leírt megállapítások és összefüggések érvényesek. Lineárisan rugalmas anyagnál minden törési feszültségi állapotnak megfelelő képpont a (6)-tal megadott Ω = c1 kiegészítő rugalmas potenciálnak megfelelő (hiper)ellipszoidra esik. A tönkremenetel bekövetkeztéig a rugalmas alakváltozást az Ω kiegészítő rugalmas potenciál határozza meg a (11) és (12) összefüggésnek megfelelően. Folyamatosan növelve egy konkrét feszültségi állapot komponenseit a normalitás és a konvexitás törvénye a tönkremenetelig fennáll. Anizotrop anyag esetén azonban a tönkremenetelhez a különböző feszültségi állapotoknál különböző nagyságú Ω = ci (i = 1, 2, 3, ...) felületek tartoznak. Izotrop anyagnál az orientációnak nincs jelentősége. Itt a tönkremeneteli felület konvex, hiszen a tönkremenetelhez tarozó feszültségi állapotok képpontja az anyagra jellemző kiegészítő potenciális energiaértéknek megfelelő (hiper)ellipszoidon helyezkedik el. Anizotrop anyagnál minden orientációhoz más kiegészítő potenciál tartozhat. A tönkremenetelhez tartozó feszültségi képpontok összessége alkotja a rideg anyagok törési határfelületét (4. ábra).

σ 22

σ11

σ ij ( c 4 ) Tönkremeneteli felület

Ω = c4

Ω = c3 Ω = c2

Ω = c1

3.15. ábra. A ridegen törő anizotrop anyagok tönkremeneteli felülete (síkbeli feszültségi állapotot feltételve) domború és homorú részeket is tartalmazhat. Anizotrop anyagnál a tönkremeneteli felület így nem feltétlenül konvex. A 4. ábrán látható módon a tönkremeneteli feszültségi képpontok különböző ellipszoidokon fekszenek, de a tönkremenetelhez tartozó képpontok által alkotott felület konvex és konkáv részeket egyaránt tartalmazhat. A tönkremenetel pillanatában ugyanis a Drucker-féle stabilitási feltétel nem érvényes, hiszen megszűnik az anyag folytonossága és a dε ijdσ ij szorzat fizikailag értelmét veszti. Ezzel elméletileg is belátható az a kísérleti tapasztalat, hogy a rugalmas-rideg anyagok tönkremeneteli felületének konkáv részei is lehetnek. Hasson egy - az anatómiai főirányokkal párhuzamosan kivágott - fa próbatestre (3.16. ábra) a tönkremenetel pillanatában az R irányban σRR = σ22 = fR , azaz a radiális irányú húzószilárdságnak megfelelő lineáris feszültségi állapot. Légszáraz állapotban az alakváltozási 217

diagram egészen a törésig lineárisnak tekinthető, ezért a törésig felhalmozott kiegészítő rugalmas potenciál 2.13/b-nek megfelelően:

1 1 ~ u b = s ijkl σ ij σ kl = s 2222 σ RR σ RR 2 2

,

3.70/a

sijkl - az alakíthatósági tenzor. Forgassuk el a hasábot (vagy a normálfeszültséget) 900-kal. Ebben az esetben a lineáris feszültségi állapot egyetlen nem nulla feszültsége:

σ11 = σLL = σRR = fR , ami nem okoz tönkremenetelt, hiszen faanyagnál fL > fR, ahol fL és fR - a faanyag húzószilárdsága rost és radiális irányban. Ezután növeljük meg egyenletesen a σ11 feszültség értékét, és legyen a tönkremenetel pillanatában σ11 = kσRR . A kiegészítő rugalmas potenciál

1 1 ~ u b' = s ijklσijσ kl = s1111k 2 σ RR σ RR . 2 2

3.70/b

σ22

Ha azzal a feltételezéssel élünk, hogy az anizotrop anyag akkor megy tönkre, ha a fajlagos kiegészítő potenciál elér egy bizonyos, az anyagra jellemző értéket (mint azt izotrop anyagnál általában megtesszük), akkor (3.70/a) és (3.70/b) egyenlő:

L

1 1 s 2222 σ RR σ RR = s1111 k 2 σ RR σ RR , 2 2 ahonnan

k=

s 2222 = s1111

EL . ER

3.70/c

σ22 R

(3.70/c) általánosítva azt jelenti, hogy ameny3.16. ábra. Az anatómiai fősíkokkal nyiben feltételezzük, hogy anizotrop anyagnál párhuzamosan kivágott fatest R irányú a különböző tönkremeneteli feszültségi állapoterhelése. tokhoz tartozó kiegészítő rugalmas potenciál azonos, akkor létezik egy k feszültségnövelő tényező, amely megmutatja, hogy egy feszültségi állapot komponenseit, vagy azok valamelyikét milyen mértékben kell (lehet) növelni a tönkremenetel bekövetkezéséhez. Összetettebb feszültségi állapot esetén k függvénye (3.70/c)-nál bonyolultabb lesz, de mindenképpen az anyag rugalmas állandóinak valamilyen függvénye. Alkalmazzuk a tönkremeneteli elméleteket a két feszültségi állapot esetén. A von Mises-féle tönkremeneteli elmélet:

218

t ijkl σ ij σ kl = 1 , vagy kicsit módosított formában

f L t ijkl σ ij σ kl = f L = áll.

3.71/a

Esetünkben: t 2222 σ RR σ RR = 1 Ahonnan k2 =

t 1111 k 2 σ RR σ RR = 1

,

t 2222 f L2 = t 1111 f R2

,

,

(3.70/c) felhasználásával

fL = fR

EL ER

.

3.70/d

A Tsai-Wu-féle tönkrementeli elmélet: t ij σ ij + t ijkl σ ij σ ki = 1

, vagy módosított formában

f L t ij σ + f L t ijkl σ σ = f L = áll. ij

ij

ki

3.70/e

esetünkben t 22 σ RR + t 2222 σ RR σ RR = 1

,

t 11 kσ RR + t1111 k 2 σ RR σ RR = 1 ,

ahonnan elemi számolás, majd (3.70/c) felhasználása után: E L f R+ + E R f L+ f L−

EL ER

 1 1 1  + − − = +  fL fL  fR

,

3.70/f

ahol a pozitív felső index a húzószilárdságot, a negatív a nyomószilárdságot jelöli. (3.70/d) és (3.70/f) összefüggések azt jelentik, hogy amennyiben feltételezzük, hogy az anizotrop anyagban a tönkremenetel pillanatában felhalmozott kiegészítő rugalmas potenciál bármilyen jellegű feszültségi állapotnál ugyanaz (és feltételezve, hogy az anyagtörvény a tönkremenetelig lineáris, ami a ridegen törő faanyagnál elég jól teljesül), akkor a rugalmas állandók és a szilárdságok között valamilyen függvénykapcsolatnak kell lenniük. E kapcsolatok által előírt mennyiségi viszonyok azonban a gyakorlatban meghatározott anyagjellemzőkre nem teljesülnek (átlagos faanyagjellemzőkkel számolva (3.70/f) jobb és bal oldala között legalább egy nagyságrendnyi van eltérés, de (3.70/d) sem áll fenn). Felhívjuk a figyelmet arra, hogy izotrop anyagnál (azonos húzó- és nyomószilárdság esetén) mind a (3.70/d), mind az (3.70/f) egyenlőség teljesül. Ha feladjuk a tönkremenetelhez tartozó kiegészítő potenciál azonosságának gondolatát, ahogy azt az Askenazi-féle elmélet is teszi, a következőket állapíthatjuk meg. Az Askenazi-féle tönkremeneteli elmélet (3.44)-ből levezethető, módosított alakja:

219

t ijkl σ ij σ kl =

[(

]

)

1 ij σ δ ij + σ ij σ ij = 2

I12 − I 2

,

3.70/g

ahol σij = σij - a ható feszültségi állapot, I1 és I2 - az első és második feszültségi invarián, tijkl - az Askenazi-féle szilárdsági tenzor, δij - a Kronecker-delta. (3.70/g) bal oldalának négyzetgyöke kiegészítő potenciál jellegű mennyiség, ill. azzal valamilyen kapcsolatban van (lásd az (3.70/a) kifejezés általános részét), a jobb oldal viszont nem állandó, hanem az első és második feszültségi invariáns függvénye, azaz az uralkodó feszültségi állapot függvénye, de függetlenül attól, hogy a feszültségi állapotot milyen koordinátarendszerben adjuk meg. Térjünk vissza a két terhelési esethez:

(t

RR RR σ 2222 σ

) = (σ ) 2

RR 2

=

ub 2~ , s 2222

(t

2 RR RR σ 1111 k σ

)

2

( )

= k 2 σ RR

2

=

u b' 2~ , s1111

ahol felhasználtuk (3.70/a)-et és (3.70/b)-t. Végül 1 f R2 ~ ub = 2 ER

,

1 f L2 ~ u b' = 2 EL

,

a kettő hányadosa: 2 ~ u b' E R  f L    , = ~ u b E L  f R 

3.70/h

amit ebben az egyszerű terhelési estben szemlélettel is beláthatunk. Pl. valamilyen fenyő fajra jellemző fiktív adatokkal: 2 ~ u b' 1000  100  =   = 40 , ~ u b 10000  5 

azaz rostirányban tönkremenetelig terhelve 40-szer akkora fajlagos kiegészítő rugalmas potenciál halmozódik fel, mint sugár irányú tönkremenetelnél. Az Askenazi elmélettel tehát meghatározhatók a tönkremenetelhez tartozó feszültségállapotok, a rugalmas anyagállandók ismeretében pedig a különböző törési feszültségi állapotoknak megfelelő kiegészítő potenciál, vagy azok egymáshoz viszonyított aránya. Levezetésünkben felhasználtuk azt feltételezést, hogy az ortotrop anyag lineárisan rugalmas. Erre a feltevésre valójában nincs szükség, ez csupán a számítást teszi egyszerűbbé. Ha ismerjük az anyagtörvényt, a kiegészítő potenciál számítása elvileg elvégezhető.

220

3.1.6.5. AZ ASKENAZI-FÉLE TÖNKREMENETELI ELMÉLET ELŐNYEI Az előzőek alapján megállapíthatjuk, hogy a von Mises- és a Tsai-Wu-elméletek sok szempontból hasonlónak bizonyulnak, ami annak következménye, hogy mindkettő másodfokú polinommal adja meg a szilárdsági kritériumot, mindkettő négydimenziós tenzort használ, melyek komponenseinek fizikai értelmezése sok hasonló vonást mutat, dimenziójuk pedig megegyezik. A Tsai-Wu-elmélet kétdimenziós tenzora elsősorban az eltérő húzó- és nyomószilárdságnak, ill. az eltérő pozitív és negatív irányú nyírószilárdságnak a figyelembevételére szolgál. Ezt a funkciót a von Mises- és Askenazi-elméletben a feszültségtér különböző térnyolcadainak megfelelő technikai szilárdságok látják el. Az Askenazi-elmélet előnyeit a következőképpen foglalhatjuk össze: 1. Az Askenazi-féle elmélet az egyetlen a létező (a tudományos köztudatban ismert) elméletek közül, amelyik kifejezi az a kísérleti tapasztalatot, ill. logikailag is nyilvánvaló megállapítást, hogy az anizotrop anyagban az tönkremenetelig felhalmozott belső kiegészítő rugalmas energia az orientációtól függ. A többi tönkremeneteli kritérium közvetve azt állítja - mint az ismert izotrop kritériumok - , hogy ez az energia az orientációtól függetlenül állandó. 2. A szilárdsági tulajdonságok jellemzésére elegendő egyetlenegy négydimenziós tenzor, ill. annak komponenseinek ismerete. 3. A szilárdsági tenzorkomponensek fizikai értelmezése egyszerű, dimenziójuk a feszültségdimenzió reciproka, így a szilárdsági tenzor formailag analóg az anizotrop rugalmasság jellemzésére szolgáló s ijkl alakíthatósági tenzorral. 4. Az iránytól függő szilárdságok meghatározásához elegendő a szilárdsági tenzor, ill. a négydimenziós tenzor transzformációs szabályának ismerete. 5. A szilárdsági kritérium negyedfokú polinom, a másodfokúnál sokkal jobb illeszkedést tesz lehetővé, a negyedfokú közelítésnek megfelelő felület kívülről nézve homorú részeket is tartalmazhat, az ilyen ,,benyomódott" szilárdsági felület létezését a természetes faanyaggal is a faalapú anyagokkal végzett kísérletek igazolták (E. K. Askenazi, 1966; E. K. Askenazi-E. V. Ganov, 1972). 6. A negyedfokú közelítésnek megfelelő nyolcdimenziós tenzor komponensei kifejezhetők a négydimenziós szilárdsági tenzor komponenseivel, azaz a kísérlettel meghatározandó szilárdsági anyagjellemzők száma ugyanannyi, mint másodfokú közelítés esetén, 7. A technikai szilárdságok - különösen az fi , f j és f ijk (45 ) - közötti arányokra vonatkozó feltételek lényegesen tágabb határok között mozognak, mint a másik két elméletnél, így az elmélet alkalmazhatósága sokkal kevésbé függ a technikai szilárdságok méréstechnikai okokból származó esetleges pontatlanságából. A fenti előnyök elméleti és gyakorlati jellegűek, így jól megalapozzák és alátámasztják az Askenazi-elmélet faanyagra való alkalmazhatóságát. A szakirodalomban (E. K. Askenazi, 1966, 1978; E. K. Askenazi-E. V. Ganov, 1972, J. Szalai, 1992) leírt kísérletek mind a természetes faanyagra, mind a faalapú anyagokra az elmélet használhatóságát igazolták. Később bemutatjuk, hogy a szakirodalomban sokszor évtizedekkel korábban közölt, szilárdságra vonatkozó kísérleti eredményekkel az Askenazi-elmélet szinte kivétel nélkül igen jó egyezést ad. Ennek ellenére az elmélet - különösen összetett feszültségi állapotok esetén - további gyakorlati igazolást igényel.

3.1.7. ÖSSZEFÜGGÉSEK A SZILÁRDSÁG TECHNIKAI JELLEMZŐI KÖZÖTT A szilárdsági jellemzők közötti kapcsolatok gyakorlati jelentősége lényegesen kisebb, mint a

221

rugalmas jellemzők közöttieké. Ennek egyik oka az, hogy a rugalmasság és a szilárdság közötti bizonyos matematikai analógia ellenére a két mechanikai jellemző fizikai tartalmát tekintve lényeges különbségeket mutat. Igaz ugyan, hogy mind a rugalmasság, mind a szilárdság 4-dimenziós tenzorral jellemezhető - és ez számos párhuzamos megállapítást, főleg matematikai analógiát enged meg -, de míg a rugalmas alakváltozásnál elfogadjuk a rugalmas potenciál létezését, addig a szilárdsági tenzorkomponensek és a feszültségkomponensek homogén kvadratikus függvénye nem alkot potenciált. Von Mises ugyan bevezette a rugalmas potenciál analógiájára a plasztikus potenciált, azonban csak olyan anyagokra, amelyek anizotropok ugyan, de a tönkremenetel jellege minden orientációnál és tetszőleges igénybevételfajtánál plasztikus. Ezen túlme- 3.17.ábra: „A képlékeny potencinően az alakváltozási jelleggörbe nemlinearitását azzal az ál”. indoklással hanyagolta el, hogy az anyag terhelését a folyáshatár közvetlen elérése előtt visszavéve, az újraterhelés alakváltozási görbéje jó közelítéssel lineáris lesz, a 3.17. ábrán bemutatottnak megfelelően. Az anizotrop anyagok többségénél, így a természetes faanyagnál és a faalapú anyagoknál is, a tönkremenetel az orientációtól és az alkalmazott igénybevételtől függően lehet rideg, plasztikus vagy e kettő valamilyen átmenete, ezért a szilárdsági (plasztikus) potenciál feltételezése helytelen és hibás következtetésekre vezet. A szilárdsági potenciál hiánya két fontos következménnyel jár. Az egyik az, hogy a szilárdsági tenzor az első és második pár indexére nem szimmetrikus, azaz t ijkl ≠ t klij a másik pedig, hogy a szilárdsági tenzorkomponensekből képzett - ortotrop esetben a (3.4) jelű - mátrix nem feltétlenül pozitív definit. Ilyen módon a 2.2.1.3. fejezetben bemutatott három különböző összefüggéscsoport A/ és B/ esete a szilárdságokra nem érvényes. Az összefüggések keresésénél újabb problémát jelent, hogy a szilárdsági tenzor interakciós komponenseinek nincs fizikailag szemléletes jelentése (a rugalmasságtanban az interakciós komponensek a harántdeformációval vannak kapcsolatban és a Poisson-tényezőnek konkrét fizikai értelme van). Az interakciós szilárdsági komponenseket, ill. azok t iijj + t jjii összegét kifejeztük ugyan bizonyos technikai szilárdságok különböző kombizációjaként, ez azonban azt jelenti, hogy a technikai szilárdságok között eleve megadtunk olyan kapcsolatokat, amelyek egyébként a tenzorkomponensek transzformációs szabályai alapján is levezethetők. A koordináta-transzformáció alapján levezethető összefüggések felírását nehezíti az a tény, hogy a rugalmasságnál természetesnek tekintett G ij = G ji egyenlőség, a szilárdság analóg mennyiségére nem áll fenn, tehát t ij ≠ t ji . Míg az Askenazi-féle törési kritériumban tij és tji közül a kisebbet kell alkalmazni, a transzformációs összefüggésekben a (3.55) feltételt kell figyelembe venni. A legbiztosabb, ha a transzformációt a (3.7), (3.8) összefüggésekkel a tenzorkomponensekre alkalmazzuk és a végösszefüggésekbe helyettesítjük be (3.24)-ből a szükséges relációkat. A szilárdság esetében is a 45°-os forgatásoknak van a legnagyobb jelentősége. Határozzuk meg az 1,2 fősík szögfelezőjének irányába eső normálszilárdságot. Ehhez a (3.7) összefüggést és az (1.10) transzformációs mátrixot kell használni: 4 t 1'1'1'1' = t 1111 + t 2222 + (t 1122 + t 2211 ) + (t 1212 + t 1221 + t 2112 + t 2121 ).

A technikai szilárdságokkal való kifejezéshez vegyük (3.24/a)-t, (3.24/c)-t és (3.55)-öt:

222

4 f

3( 45 ) 12

=

1 1 4 1 1 1 1 1 1 + + 3(45 ) − − − − + + , f 1 f 2 f 12 f 1 f 2 2t 12 2t 21 2 t 12 2t 21

mint látjuk azonosságot kapunk, ami nem csoda, hiszen (3.24/c)-t a szilárdsági kritérium felhasználásával nyertük, az pedig nem lehet ellentétben a tenzor transzformációs szabályainak alkalmazásával levezethető eredményekkel. Fejezzük ki az interakciós komponenseket (3.24/d)-vel, nem szabad azonban elfeledkeznünk arról, hogy ennél olyan feszültségi állapotot alkalmaztunk, melynél σ11 ≥ 0 és σ 22 ≤ 0 :

4 f vagy

3( 45 )+ 12

4 f

3( 45 ) − 12

=

2 2 1 1 1 + − − 3( 45) + + + , + 2t 12 2 t 21 f1 f 2 t 12

=

2 2 1 1 1 + + − 3( 45) − + + . − 2t 12 2t 21 f1 f 2 t 12

Ez új információ és természetesen mindhárom fősíkban érvényes. Általánosan: 4 f

     

2 2 1 1 1 + − − k ( 45) + + + , + 2 t ij 2 t ji fi fj t ij 2 2 1 1 1 = − + + − k ( 45) − + + , 2 t ij 2 t ji fi fj t ij

=

k ( 45 ) + ij

4 f ijk ( 45) −

i,j=1, 2

v. 1, 3

v.

3.71/a

2, 3.

Kifejezhetjük az interakciós komponenseket (3.24/e)-vel is:

4 f

3( 45 ) 12

=

3 r12

+

1 1 + . 2t 12 2 t 21

+

1 1 + , 2 t ij 2 t ji

Általánosan: 4 f

k ( 45 ) ij

=

3 rij

i,j = 1, 2

v.

1, 3

v.

2, 3

3.71/b

és f ijk ( 45) , rij egyszerre vagy + vagy - felső indexű. (3.71/a) és (3.71/b) összehasonlításából adódik: 3 + ij

r

=

2 2 1 + − − k ( 45) + , + fi fj tj

3.72/a

=

2 2 1 + + − k ( 45) − , − fi f j t ij

3.72/b

vagy 3 − ij

r

i,j = 1, 2

v.

1, 3

v.

2, 3

223

Nézzük most a (3.8/a) transzformációt az (1.10) mátrixszal: 4 t 1'2 '1' 2' = t 1111 + t 2222 − (t 1122 + t 2211 ) + t 1212 − t 1221 − t 2112 + t 2121 . (3.24/a)-val, (3.24/c)-vel és (3.55)-tel:

1 t

3( 45) 12

2 2 4 1 1 + − 3( 45) + + , f 1 f 2 f 12 2t 12 2t 21

=

vagy általánosan: 1 t ijk ( 45)

=

2 fi

+

2 fj

−

4 fijk ( 45)

+

1 2 t ij

+

1 2 t ji

3.73

,

i,j =1, 2

v.

1, 3

v.

2, 3

és a normálszilárdságok, valamint t ijk ( 45) felső indexe vagy mind pozitív, vagy mind negatív. (3.73) csak a felső indexelésben tér el (3.71)-től. (3.24/d)-vel a t ijk ( 45) = t ijk ( 45) azonosságot kapjuk az előző esethez hasonló okokból. (3.24/e)-vel pedig:

1 t

3( 45 ) 12

=

2 2 3 + − , f 1 f 2 r12

ill. általánosan: 1 t

k ( 45 ) ij

=

2 2 3 + − , f i f j rij

i,j = 1, 2

v.

1, 3

v.

2, 3

3.74

és a normálszilárdságok, valamint t ijk ( 45) felső indexei mind pozitívak vagy mind negatívak. A felső indexelés kivételével ez az eredmény is összhangban van (3.72)-vel. Alkalmazzuk (3.8/d)-re is az (1.10) transzformációs mátrixot: 4 t 2 '1' 2'1' = t 1111 + t 2222 + (t 1122 + t 2211 ) + t 1212 − t 1221 − t 2112 + t 2121 . Az interakciós komponenst (3.24/c)-vel kifejezve:

1 t

3( 45) 21

=

2 2 4 1 1 + − 3( 45) + + , f 1 f 2 f 12 2t 12 2t 21

általánosan: 1 t

k ( 45 ) ji

=

2 2 4 1 1 + − k ( 45) + + , i,j = 1, 2 f i f j f ij 2 t ij 2 t ji

v.

1, 3

v.

2,

3

3.75

224

és a normálszilárdságok, valamint t ijk ( 45) felső indexei mind pozitívak vagy mind negatívak. (3.73) és (3.75) együttesen azt jelenti, hogy t ijk ( 45) = t kji( 45) ,

3.76

amiről a 3.18. ábra segítségével szemlélet alapján is meggyőződhetünk. (3.9)-re is alkalmazva az (1.10) transzformációs mátrixot, ismét (3.73)-at kapjuk. (3.8/a)-ban az 1-es tengely körüli forgatás (1.8) transzformációs mátrixát alkalmazva, a nyírószilárdságokra az alábbi két általános összefüggést nyerjük: 3.18. ábra: t ijk ( 45) = t kji( 45) állításának igazolása.

1 t iij( 45)

1  1 1  + , 2  t ij t ik 

i,j,k = 1, 2, 3

3.77

1 1 1  =  + , 2  t ij t kj 

i,j,k = 1, 2, 3.

3.78

=

és

1 t ijj( 45)

Ugyanezeket a kapcsolatokat kapjuk, ha az előző két transzformációt (3.8/d)-ben alkalmazzuk. A szilárdsági tenzorra is érvényben van az invariáns-képzés. A lineáris invariánsok: I1 = t ijkl δ ij δ kl = t 1111 + t 2222 + t 3333 + t 1122 + t 2211 + t 1133 + t 3311 + t 2233 + t 3322 . Ennek technikai szilárdságokkal megadott alakja megint attól függ, hogy az interakciós komponenseket melyik relációval fejezzük ki. (3.24/c)-vel:

 1 1 1 I1 = 4 3( 45) + 2( 45) + 1( 45) f 13 f 23  f 12

 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   −  + +  − −   + + + + +  f 2  t 12 t 21 t 13 t 31 t 23 t 32    1 f2 f3  3.79/a

(3.24/d)-vel: 1 1 1  1 1 1 I1 = 3 + +  −  3( 45) + 2( 45) + 1( 45) t 13 t 23  f 1 f 2 f 3   t 12

 ,  

(3.24/e)-vel:  1 1 1  1 1 1  −  + +  . I1 = 3 + +  r12 r13 r23   f 1 f 2 f 3 

3.79/b

3.79/c

A másik lineáris invariáns: I 2 = t ijkl δ ik δ jl = t 1111 + t 2222 + t 3333 + t 1212 + t 2121 + t 1313 + t 3131 + t 2323 + t 3232 .

225

A technikai szilárdságok felhasználásával: I2 =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +  + + + + + f 1 f 2 f 3 4  t 12 t 21 t 13 t 31 t 23 t 32

  . 

3.80

Ha a koordinátarendszert 45°-kal elforgatjuk a 3-as tengely körül, az új rendszerbeli szilárdságokkal kifejezett I2 értéke ugyanaz marad:

I2 =

1 f

3( 45 ) 12

+

1 f

3(135 ) 12

+

1 1 1 1 1 1 1 + 3( 45) + 3( 45) + + 3( 45) + 3( 45) + 3( 45) + 3( 45) . f 3 4 t 12 4t 21 4 t 13 4t 31 4t 23 4t 32

Fejezzük ki a szögfelezőkhöz tartozó nyírószilárdságokat (3.77) és 3.78) alapján a főirányok síkjához tartozó nyírószilárdságokkal. Rendezés után ismét (3.73)-at kapjuk. Megállapíthatjuk tehát, hogy annak következtében, hogy az interakciós tenzorkomponensek nem rendelkeznek önálló jelentéssel, a technikai szilárdságok közötti összefüggések száma nem jelentős. A technikai szilárdságok közötti összefüggések másik problémája, hogy az egyenlőségek a gyakorlatban nem teljesülnek olyan pontosan, mint a technikai rugalmasságokra vonatkozók. Ennek oka a technikai szilárdságok kísérleti meghatározásával kapcsolatos nehézségekben rejlik.

3.2. A TERMÉSZETES FAANYAG ÉS A FAALAPÚ ANYAGOK SZILÁRDSÁGA Az előző fejezetekben megismertük az anizotrop anyag szilárdsági viselkedésének általános jellemzőit, annak leírását és, bár a tönkremeneteli kritériumokról, ill. a szilárdsági tenzorokról azt állítottuk, hogy általános anizotrópia esetén is érvényesek, mégis meggondolásainkban -- a könnyebb érthetőség érdekében -- ortogonálisan anizotrop anyagra szorítkozunk. Ez a tárgyalásmód azonban azt jelenti, hogy a korábban leírtak minden ortotrop vagy annál magasabb szimmetriával rendelkező anyagra szinte szó szerint érvényesek. A következő fejezetekben csak a legfontosabb és speciálisan a természetes faanyagra és a faalapú anyagokra érvényes ismereteket, tudnivalókat mutatjuk be.

226

3.2.1. A TERMÉSZETES FAANYAG SZILÁRDSÁGÁNAK JELLEMZÉSE Az 1.4. fejezetben beláttuk, hogy a természetes faanyag makroszkopikus viselkedését tekintve jó közelítéssel ortogonálisan anizotrop. A 3.1.6. fejezetben pedig - bizonyos elméleti és gyakorlati megfontolások alapján - úgy ítéltük meg, hogy a természetes faanyag szilárdsági viselkedését az Askenazi-elmélet írja le a legpontosabban. A továbbiakban a faanyag szilárdsági tulajdonságait az Askenazi-féle töréselmélet alapján vizsgáljuk. Az ortotrop faanyag szilárdsági kritériumaként a 3.1.2.4. fejezetben levezetett (3.44) jelű polinom összefüggést fogadjuk el, annyi változtatással, hogy az i, j, k, l futó indexek az anatómiai főirányokkal egybeeső, természetes koordinátarendszer három főtengelyének L, R, T jelét veszik fel. A gyakorlati számításokban szinte sosem fordul elő, hogy az anatómiai főirányok rendszerétől különböző koordinátarendszerben dolgozunk, hiszen sokkal hosszadalmasabb feladat a 4-dimenziós tenzorkomponenseket átszámolni a feszültségi állapot főirányaira, mint a 2-dimenziós feszültségi tenzor komponenseit az anatómiai főirányok rendszerére. A polinom (3.45)-ös kifejtett formáján is csak annyi változtatást kell végrehajtani, hogy az 1, 2, 3 indexek helyett sorra L, R, T jelet írunk:

[t

LLLL

σ LL σ LL + t RRRR σ RR σ RR + t TTTT σ TT σ TT + (t LLRR + t RRTT )σ LL σ RR +

+ (t LLTT + t TTLL )σ LL σ TT + (t RRTT + t TTRR )σ RR σ TT +

+ (t LRLR + t LRRL + t RLLR + t RLRL )σ LR σ LR + + (t LTLT + t LTTL + t TLLT + t TLTL )σ LT σ TL + + (t RTRT + t RTTR + t TRRT + t TRTR )σ RT σ RT

] − (σ 2

LL

σ LL + σ RR σ RR + σ TT σ TT

)

σ LL σ RR + σ LL σ TT + σ RR σ TT + σ LR σ LR + σ LT σ LT + σ RT σ RT = 0 . Megszámolhatjuk, de a (3.4) mátrixban általában is megállapítottuk, hogy ortotrop anyagnál a 4-dimeniós szilárdsági tenzornak 21 nullától különböző, független eleme van. E szilárdsági tenzorkomponenseket az Askenazi-elméletben a (3.24) összefüggésekkel definiáljuk. 3.2.1.1. A TERMÉSZETES FAANYAG SZILÁRDSÁGI MÁTRIXÁNAK ELEMEI A tenzorkomponensek transzformációs szabálya vagy a szilárdsági kritérium különböző speciális határállapotokra való alkalmazása alapján határozhatjuk meg, milyen kapcsolatban vannak egymással a technikai szilárdságok és a szilárdsági tenzor komponensei, ill. azok bizonyos függvényei. A tenzorkomponensek fizikai értelmezése lehetővé, sőt célszerűvé teszi a szilárdság jellemzésére szolgáló tenzor elemeinek 6x6-os mátrixba való rendezését a 3.1. táblázatnak megfelelően. Jelöljük Tij -vel (i,j = 1,2,3,4,5,6) ennek a szilárdsági mátrixnak az elemeit: 0 0 0   T11 T12 T13 T 0 0   21 T22 T23 0 T T32 T33 0 0 0  3.82 Tij =  31  . 0 0 T44 0 0   0  0 0 0 0 T55 0    0 0 0 0 T66   0

[ ]

227

A mátrix szerkezeti felépítésénél ugyanazt a logikát követtük, mint az alakíthatósági mátrix létrehozásánál. A mátrix elemek és a tenzorkomponensek közötti kapcsolatot (3.82) és a 3.1. táblázat összehasonlításával kereshetjük meg. Ezek ismeretében és a (3.24) összefüggések felhasználásával pedig megkapjuk a mátrixkomponensek és a technikai szilárdságok közötti kapcsolatot. Kicsit bonyolítja a feladat megoldását, hogy (3.81) alkalmazásánál a tenzorkomponenseket mindig olyan technikai szilárdságokkal kell kifejezni, amelyek a vizsgált feszültségi állapotban szereplő normálfeszültségek előjelének megfelelő kísérleti körülmények között határozzák meg. Ez ugyanazt jelenti, mint a síkbeli feszültségi állapotban ábrázolt szilárdsági felület esetében alkalmazott eljárás. A felület egyenletében szereplő együtthatókat aszerint választottuk meg és alkalmaztuk a (3.48/a,b,c vagy d) képleteket, hogy a ténylegesen ható normálfeszültségek előjelének milyen térnyolcad felelt meg. A 3.5. táblázatban összefoglaltuk a szilárdsági mátrix technikai szilárdságokkal kifejezett elemeit abban az esetben, mikor minden normálfeszültség pozitív. Az interakciós komponenseknek a két irányú, azonos nagyságú normálfeszültséghez tartozó szilárdsággal való kifejezésének nincsen gyakorlati jelentősége, mert a két irányú, egyenlő nagyságú húzófeszültség kísérleti létrehozása igen bonyolult és pontatlan. Ha mindhárom normálfeszültség negatív, a szilárdsági mátrix elemeinek kifejezései azonosak a 3.5. táblázatban láthatóval, csupán a + felső indexet kell negatívra cserélni, vagyis a nyomófeszültséghez tartozó szilárdságokat kell felhasználni. Ha rendelkezésre állnak a kétirányú, azonos nagyságú nyomáshoz tartozó szilárdságok, akkor az interakciós elemeket a 3.5. táblázat alsó sorának megfelelő analóg összefüggésekkel is kifejezhetjük. Hasonlóan járunk el a normálfeszültségek előjelének minden lehetséges kombinációjánál (összesen 8 kombináció létezik). Például megmutatjuk még a szilárdsági mátrix elemeinek függvényeit a 3.6. táblázatban, akkor, ha a ható feszültségi állapot normálfeszültségeire a σ LL ≥ 0 , σ RR ≥ 0 , σ TT ≤ 0 relációk érvényesek.

3.5. táblázat. A szilárdsági mátrix elemei, természetes faanyagra a technikai szilárdságok olyan függvényeivel kifejezve, melyek abban az esetben adják meg a legpontosabban a határállapot feltételét, ha σ LL ≥ 0 , σ RR ≥ 0 és σ TT ≥ 0 .  1 1 4 1 1 1   T(45)+ − + − + −   +   2 t f f f f RL  L L R  LR  1  4 1 1 1  1    T(45)+ − + − + −  f L f R t RL  f R+  2  f LR 1  4 1 1 1  1 4 1 1 1    L(45)+ − + − + −    R (45)+ − + − + − f L f T t TL  2  f RT f R f T t RT   2  f LT  0 0    0 0    0 0 

1 4 1 1 1   R (45)+ − + − + −   2  f LT f L f T t TL  1 4 1 1 1   L(45)+ − + − + −   2  f RT f R f T t RT  1 f T+ 0

0

0

0

0

0

0

1 t RT

0

0

0

0

0 1 t TL 0

 0    0    0    0    0   1  t RL 

Az interakciós komponenseket kifejezhetjük a kétirányú, egyenlő nagyságú normálszilárdság technikai mennyiségeivel is: 1 3 1 1  1 3 1 1  1 3 1 1  T12 = T21 =  + − + − +  , T32 = T31 =  + − + − +  , T23 = T32 =  + − + − +  2  rLR f L f R  2  rLT f L f T  2  rRT f R f T 

228

3.6. táblázat. A szilárdsági mátrix elemei, természetes faanyagra a technikai szilárdságok olyan függvényeivel kifejezve, amelyek abban az esetben adják meg a legpontosabban a határállapot feltételét, ha σ LL ≥ 0 , σ RR ≥ 0 és σ TT ≤ 0 .  1 1 4 1 1 1   T(45)+ − + − + −   + 2  f LR fL f L f R t RL   1  4 1 1 1  1    T(45)+ − + − + f L f R t RL  f R+  2  f LR  1 1 1 1  1 1 1 1   + + − − L(45)+    + + − − R (45)+  2  f R f T t RT   2  f L f T t LT   0 0    0 0    0 0 

1 1 1 1   + + − − R (45)+  2  f L f T t LT  1 1 1 1   + + − − R (45)+  2  f R f T t RT  1 f T−

0

0

0

0

0

0

1

0

t RT

0

0

0

0

0 1 t TL 0

 0    0    0    0   0   1   t LR 

3.2.1.2. A TECHNIKAI SZILÁRDSÁGOK MEGHATÁROZÁSÁNAK KÍSÉRLETI MÓDSZEREI A természetes faanyag szilárdságának jellemzésére szolgáló Askenazi-féle tenzornak - mint láttuk - kilenc független eleme van. E kilenc elemet, figyelembe véve, hogy a normálfeszültségek előjelének megfelelően a komponensek értéke más és más, az alábbi technikai szilárdságokkal lehet kifejezni: - normálszilárdságok az anatómiai főtengelyek és a fősíkok szögfelezőinek irányában: f L+ , f L- , f R+ , f R- , f T+ , f T- , T ( 45 )+ T ( 45 )− R ( 45 )+ R ( 45 )− L ( 45 )+ L ( 45 )− f LR , f LR , f LT , f LT , f RT , f RT ,

  

3.83

- a nyírószilárdságok az anatómiai fősíkokban, ha a nyírófeszültség hatásvonala párhuzamos valamelyik anatómiai főtengellyel: t LR , t RL , t LT , t TL , t RT , t TR ,

3.84

- a diagonális nyírószilárdságok: t TLR(45 )+ , t TLR(45 )− , t RLT(45 )+ , t RLT(45 )− , t LRT(45 )+ , t LRT(45 )− ,

3.85

- két, egymásra merőleges irányú, azonos nagyságú húzó- vagy nyomó-feszültséghez tartozó szilárdság: + − rLR , rLR , rL+T , rL−T , rR+T , rR−T .

3.86

229

A szilárdsági tenzor, ill. a szilárdsági kritérium lehető legpontosabb, a valóságos viselkedést legjobban leíró megadásához elvileg tehát 30 különböző fajta technikai szilárdságot kell ismerni, ill. kísérlettel meghatározni. A technikai szilárdságok meghatározása lényegesen nehezebb feladat, mint a rugalmas állandók vizsgálata. Igaz ugyan, hogy nincs szükség a nagy pontosságot igénylő alakváltozásmérésre, csak a tönkremenetelhez tartozó terhelőerőt és a próbatest geometriai méreteit kell méréssel megállapítani. Méréstechnikailag tehát a feladat viszonylag egyszerű. A probléma abban rejlik, hogy a szilárdság vizsgálatánál lényegesen nagyobb terhelőerőket kell alkalmazni, mint a rugalmas jellemzők meghatározásánál. Ezeknek az erőknek a hatására a próbatest az esetek többségében olyan nagymértékű deformációt, torzulást szenved, hogy a számító modell, melyet általában a terheletlen próbatest-alakra építenek fel, a tönkremenetel pillanatában, sőt már jóval korábban elveszti érvényességét. Ez a jelenség elsősorban azoknál a vizsgálatoknál lép fel, amelyeknél a tönkremenetel jellege plasztikus. Ezen túlmenően a feszültségeloszlás - részben az anizotrop szerkezet, részben faanyagnál az évgyűrűszerkezet miatt - sohasem olyan egyenletes, mint izotrop anyagoknál. Nehezíti a helyzetet, hogy az anatómiai főirányoknak megfelelő orientációk kivételével a normálfeszültségek nyírási, a nyírófeszültségek pedig normálirányú alakváltozást is okoznak, azaz egészen egyszerű feszültségi állapotok bonyolult alakváltozási állapotot okozhatnak. Ez a bonyolult és nagymértékű alakváltozás odáig is elvezethet, hogy a tervezett módon nem is lehet tönkretenni az anyagot. Bizonyos esetekben - elsősorban a képlékeny jellegű töréseknél - a törőerő egyértelmű megállapítása is nehéz. Természetesen lehetőség nyílik arra, hogy olyan számítómodelleket állítsunk fel, amelyek figyelembe veszik a tönkremenetelig fellépő jelentős mértékű alaktorzulást vagy a nemlieáris feszültségeloszlást. Ezek a modellek azonban igen bonyolultak és használatukhoz ismerni kell az anyag alakváltozással kapcsolatos rugalmas, esetleg képlékeny jellemzőit. Anizotrop anyagnál azonban nagyon sok alakváltozási jellemző jöhet szóba. Ezek esetleges hibái következtében a pontosabb számítómodellel sem kapunk a valóságnak megfelelő eredményt, csak a befektetett munka és annak költségei növekednek meg jelentős mértékben. A fenti, gyakorlatilag elkerülhetetlen nehézségek azt jelentik, hogy a kísérlettel meghatározott technikai szilárdságok szorosan kapcsolódnak a vizsgálati metodikához és sokkal inkább szerkezet-, mint anyagjellemzők. A nagyon alaposan megtervezett kísérleti módszer és az igen gondos kivitelezés lehetővé teszi, hogy az adott vizsgálati metodikához tartozó szerkezetjellemző megközelítse az anyag sajátosságainak megfelelő értéket. A technikai szilárdságokat, akárcsak a rugalmas jellemzőket, meghatározhatjuk rövid idejű sztatikus és dinamikus vizsgálatokkal, azaz különbséget tehetünk izotermikus és adiabatikus szilárdsági jellemzők között. Fontos szerepe van még ezen kívül az időben változó terheléshez tartozó szilárdságoknak és a hosszú időn át közel állandó nagyságú terheléshez tartozó ún. időtartam- és tartósszilárdságoknak. Jóllehet ezekre a szilárdságfajtákra is érvényesek az anizotrópiával kapcsolatos általános megállapítások, a műszaki gyakorlat és az anyagtudomány messze van még attól, hogy az anizotrop anyagok ezen speciális szilárdságainak elméletileg szükséges teljes rendszerét meghatározza és felhasználja. Sajnos csak napjainkban kezdődött el - az elméleti feldolgozás után - az anizotrop anyagok, különösen a természetes faanyag és a faalapú anyagok rövid idejű sztatikus terheléssel meghatározott, azaz izotermikus szilárdsági jellemzőinek szisztematikus vizsgálata is. Külön szeretnénk felhívni a figyelmet a Bécsi Műszaki Egyetem Szilárdságtani Intézetében – Vecchio , F. (1979) és Vecchio, F. Collins, M. (1982) javaslatára – kialakított biaxiális terhelő-berendezésre, amely nemcsak síkbeli összetett feszültségi állapot létrehozására alkalmas (Eberhardsteiner, J. 2002), de a 30féle technikai szilárdság, vagy az azokat kiváltó egyeb összetett feszültségi állapothoz tartozó

230

szilárdságok viszonylag egyszerűen mérhetők. J. Eberhardstaeiner munkássága ezen a téren úttörőnek és példamutatónak mondható. A) A NORMÁLSZILÁRDSÁGOK MEGHATÁROZÁSA A természetes faanyag normálszilárdságainak, húzó- és nyomószilárdságoknak a kísérleti meghatározása a viszonylag egyszerűen és pontosan végrehajtható feladatok közé tartozik. Az elemi szilárdságtanban feltételezett feszültségi állapotmező a helyesen kialakított próbatestek középső szakaszán elég jól megfelel a valóságnak. A próbatestek alakváltozása - különösen húzásnál - nem olyan jellegű, hogy jelentősebben befolyásolná az elméleti számítómodell érvényességi feltételeit. A próbatestek kialakítása és orientálása gyakorlatilag azonos a húzó- és nyomórugalmassági moduluszok meghatározásánál elmondottakkal, a 2.5, 2.6. és 2.7. ábra alkalmazható. Húzásnál a legnagyobb nehézséget az okozza, hogy az erőátadás helyein összetett feszültségi állapot ébred, amely a tönkremenetel szempontjából kritikusabb, mint a homogénnek tekinthető, lineáris feszültségállapot a próbatest középső harmadában, s így a törés a befogópofák környezetében következik be. Ennek elkerülésére ki kell gyengíteni a rúd alakú próbatesteket a 3.19/a. ábrán látható módon. A kigyengített szakasz keresztmetszetének vastagsága az orientációtól függően változhat, rostirányú húzásnál a legvékonyabb, de mindig ügyelni kell arra, hogy több korai és késői pásztát is tartalmazzon, pontosabban a levékonyított keresztmetszet is hűen reprezentálja a faanyag tényleges évgyűrűszerkezetét. Nyomásnál a próbatest hosszának helyes megválasztására kell gondosan ügyelni. Túl hosszú próbatest ugyanis kihajlik és a nyomásból származó feszültségek mellett, azokkal azonos nagyságrendű, hajlításból származó normálfeszültségek is ébrednek. Ha túl rövid próbatesthosszt választunk, akkor az erőátadási helyek, a végkeresztmetszetek összetett feszültségi állapota zavaró hatással van a próbatest középső részének elvileg homogén lineáris feszültségi állapotára. A szakirodalomban általában azt javasolják, hogy a próbatest hossza legkisebb keresztmetszeti méretének 2-3-szorosa legyen (E. K. Askenazi, 1978), bár kocka alakú nyomó próbatestek használatáról is beszámolnak (E. K. Askenazi, 1966). Saját vizsgálatainkban a 3.19/b. ábrának megfelelően olyan próbatesteket alkalmaztunk, melynek hossza a négyzetkeresztmetszet oldalának kétszerese volt. Az adott orientációhoz tartozó normálszilárdságot az

f ijk (α ) =

F(α ) A

3.87

összefüggéssel számítjuk, ahol F(α ) - a törőerő, ha annak hatásvonala az i,j síkban van és az i főiránnyal α szöget zár be, A - a homogén, lineáris feszültségi állapotban lévő tartomány keresztmetszet-területe. B) A NYÍRÓSZILÁRDSÁGOK MEGHATÁROZÁSA A nyírószilárdság kísérleti meghatározása már nagyon sok problémát vet fel. Éppen ezért számos módszert dolgoztak ki az anizotrop és izotrop anyagok nyírószilárdságának mérésére, amelyek a próbatestek alakjában és az erőátadás formájában különböznek egymástól. A 3.20. ábrán bemutatunk néhány olyan módszert, melynek lényege, hogy a próbatest alkalmasan megválasztott keresztmetszete tiszta nyíró-igénybevételnek legyen kitéve. Történtek próbálkozások a nyírószilárdság csavarással, közönséges hajlítással és egyéb speciális igénybevételés terhelésfajtákkal történő meghatározására ( A. Ylinen, 1963; I. Y. Liu, 1984). Sajnos akár231

3.19. ábra. A húzó- és nyomószilárdság meghatározásához kialakítandó próbatestek. milyen, a 3.18. ábrán látható vagy ahhoz hasonló módszert választunk, mindegyik rendelkezik az alábbi problémák valamelyikével, esetleg egyszerre többel is: - a kívánt síkban tiszta nyíró-igénybevétel létrehozása gyakorlatilag szinte lehetetlen, ennek következtében a nyírófeszültségek mellett mindig ébrednek a nyírási síkban vagy arra merőlegesen normálfeszültségek, - a nyírófeszültség eloszlása a nyíróerővel párhuzamos hossz mentén sohasem egyenletes, a nyírófeszültségek maximuma függ a nyírási felület hosszától és az anyag rugalmas és képlékeny jellemzőitől, az egyenlőtlen elosztást leíró elméletek a valóságnál nagyobb nyírófeszültségcsúcsokat adnak, - bizonyos orientációk esetén olyan nagymértékű alakváltozás, roncsolódás lép fel, hogy az elméleti számítómodell teljesen érvénytelenné válik, - bizonyos orientációk esetén a próbatest a nyírási síkban tönkre sem tehető.

232

3.20. ábra. A nyírószilárdság meghatározásának néhány közvetlen mérési módszere. A fenti hiányosságok és problémák ellenére a 3.20. ábrának megfelelő esetekben a nyírószilárdságot a

T(α ) 3.88 A egyenletes nyíró-feszültségelosztást feltételező összefüggéssel számítják, ahol T (α ) - a nyíróigénybevétel a tönkremenetel pillanatában, ha a nyíró-erő hatásvonala az i,j síkban van és az i anatómiai főtengellyel α szöget zár be, A - a nyírt keresztmetszet területe. A fentiek alapján valóban beláthatjuk, hogy ezek a nyírószilárdság meghatározására szolgáló közvetlen módszerek nem az anyag valódi szilárdságát adják, hanem a kísérleti metodikának megfelelő, a próbatestből és a teherátadó berendezésből álló szerkezet maximális terhelhetőségét, ill. annak a nyírási felület egységére átszámított értékét. Ezek a módszerek 3.21. ábra. A közvetett nyíinkább csak a különböző hatások (hőmérséklet, nedvességtarta- rószilárdság-meghatározás lom, egyéb kezelések) nyírószilárdságra gyakorolt befolyásáelvi alapja. nak vizsgálatára, összehasonlítására alkalmasak. Faanyag esetén ezek a módszerek a (3.84)-ben és (3.85)-ben felsorolt nyírószilárdságok közül csupán a t RL és a t TL meghatározására alkalmasak (a fentebb felsorolt hibákkal terhelt ijk (α ) =

233

ve), más orientáció esetén a próbatest általában nem a kívánt nyírási síkban és nem nyírás következtében megy tönkre. A közvetlen nyíró-szilárdságmeghatározás problémái arra vezettek, hogy az anyagtudományokban tevékenykedő kutatók állandóan keresik azokat a lehetőségeket, melyek lehetővé teszik a nyírószilárdságnak mint anyagjellemzőnek a kísérleti meghatározását. Az Askenaziféle anizotrop szilárdságelmélet és a gyakorlati tapasztalat a következő kísérleti metodikát teszi lehetővé (E. K. Askenazi, 1978). Vizsgáljuk a normálszilárdságot az anatómiai fősíkokban a 3.21. ábrának megfelelő módon. Azt tapasztaljuk, hogy a próbatest bizonyos orientációk esetén – a normáligénybevétel ellenére – úgy megy tönkre, hogy az anatómiai fősíkok i jelű főtengelyével párhuzamosan elnyíródik. A tönkremenetel pillanatában a nyírási síkban normál- és nyírófeszültségek lépnek fel. Ezek nagysága a feszültségelmélet szerint:

σ n (α ) = f ijk (α ) sin 2 α , τ n (α ) = f ijk (α ) sin α cos α . Helyettesítsük be ide (3.51/d)-t:

f i f j sin 2 α

σ n (α ) =

τ n (α ) =

,

 4f i f j  f i sin 4 α +  k (45 ) − f i − f j  sin 2 α cos 2 α + f j cos 4 α  f ij 

f i f j sin α cos α  4f i f j  f i sin 4 α +  k (45 ) − f i − f j  sin 2 α cos 2 α + f j cos 4 α  f ij 

,

3.89/a

3.89/b

amelyben a technikai szilárdságok mind húzószilárdságok vagy mind nyomószilárdságok. E függvények grafikus képe az ott megjelölt három szilárdsági paraméter mellett a 3.22. ábrán látható. A τ n = τ n (σ n ) függvényt (3.89)-cel az α független változó kiejtésével kapjuk. Az analitikus megoldás helyett sokkal egyszerűbben célhoz érhetünk grafikus módszerek alkalmazásával. A tönkremenetel azon jellegzetessége következtében, hogy bizonyos szögtartományban a próbatestek elnyíródnak, feltételezhető, hogy az anyag nyírószilárdsága az i,j síkban – t ij és t ji közül a kisebbik, tehát a gyakorlat számára a fontosabbak – azonos a τ n (α ) függvény maximumával. A maximum helyét úgy kapjuk, hogy (3.89/b) α szerinti differenciálása után nyert függvényt nullával tesszük egyenlővé. Ilyen módon egy hatodfokú függvényt kapunk, amely az x = tg2α ,

3.90/a

helyettesítés után a következő alakot ölti:     4f i f j 4f i f j x 3 f i + x 2 3f i − k (45 ) + f i + f j  − x 3f j − k (45 ) + f i + f j  − f j = 0 . f ij f ij    

3.90/b

234

Ennek az egyenletnek a pozitív valós megoldása (3.90/a) figyelembevételével adja a maximum helyét. α'-t (3.89/b)-be helyettesítve kapjuk a nyírófeszültség maximumát. A 3.20. ábra alapján megállapíthatjuk, hogy a maximális nyírófeszültséghez mindig tartozik normálfeszültség is. A tiszta nyírás feszültségi állapota tehát itt sem valósul meg. Nagy előnye viszont a vizsgálatnak, hogy a nyírófeszültségek eloszlása a nyírási keresztmetszet hossza mentén egyenletes. Ez semmilyen közvetlen vizsgálati módszerrel sem érhető el. A normálfeszültségek zavaró hatásának mértékét viszonylag egyszerűen eldönthetjük. Ha kísér-

3.22. ábra. A nyírási síkon ébredő feszültségkomponensek az orientáció függvényében.

letileg meghatározzuk a 3.22. ábra görbéit húzó- és nyomóigénybevételel is és a kétfajta igénybevételnek megfelelő nyíró-feszültségfüggvény maximuma között az eltérés nem jelentős, ill. a fával kapcsolatos kísérletek - sajnos meglehetősen nagy - szórását figyelembe véve a megkívánt valószínűségi szinthez tartozó értéken belül van, azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a normálfeszültségek jelenléte a nyírószilárdságra nincs döntő hatással. Ennek a közvetett nyírószilárdság-meghatározási módszernek a jelentősége abban áll, hogy amennyiben kísérletileg igazoltuk és alkalmazhatóságát elfogadjuk - a természetes faanyag t RL , t TL és t RT = t TR szilárdságait nyírószilárdsági vizsgálatok nélkül, az fi , f j és f ijk (45 ) normálszilárdságok ismeretében a (3.89) és (3.90) összefüggések felhasználásával meghatározhatjuk. Később bemutatjuk azokat a tűlevelű és keménylombos fafajon végzett kísérletek eredményeit, amelyek a közvetett nyíró-szilárdságmeghatározás feltételezéseinek helyességét igazolják A diagonális nyírószilárdságok meghatározásához a 3.23. ábrán látható elvi elrendezésnek megfelelő metodikát lehet alkalmazni. Az a. ábrarészen bemutatott megoldás (I. R. Goodman-

235

I. Bodig, 1971) szerint a faalapú lemezek nyírószilárdságának meghatározására használható. A homogén feszültségi állapot, ill. a nyírófeszültségek egyenletes eloszlása sajnos itt sem valósul meg a kívánt mértékben. Ugyanakkor, ha az anatómiai főirányokat 45°-kal elforgatjuk, a b. esetben a 3.3.a. ábrának megfelelő terhelést, a c. esetben a 3.3.b. ábrának megfelelő terhelést kapjuk, tehát a t ijk (45 )+ és t ijk (45 )− jelű technikai szilárdságokat. A vizsgálatok pontosságát növeli, ha a külső terhelést nem mechanikus terhelőkeret, hanem párhuzamosan kapcsolt hidraulikus hengerek segítségével állítjuk elő. C) KÉT, EGYMÁSRA MERŐLEGES IRÁNYÚ, AZONOS NAGYSÁGÚ NORMÁLFESZÜLTSÉGHEZ TARTOZÓ SZILÁRDSÁG MEGHATÁROZÁSA Olyan módszert még nem írtak le a szakirodalomban, amellyel bármilyen anyag - akár izotrop, akár anizotrop rij+ jellemzőjét, azaz a két irányú, azonos nagyságú húzófeszültséghez tartozó szilárdságot lehetne meghatározni. Ennek az a fő oka, hogy az egymásra merőleges hatásvonalú húzóerők próbatestre való átadhatóságához szükséges alak önkényessé, határozatlanná tenné a húzófeszültségek számításához elengedhetetlen keresztmeszetterület megállapítását. A teherátadás lényegesen egyszerűbb nyomóigénybevétel esetén. A kétirányú nyomáshoz tartozó szilárdság meghatározására szolgál az ún. Föppl-kereszt, melynek mechanikai vázlatát a 3.24. ábrán láthatjuk. Egyszerűen kiszámíthatjuk, hogy – amennyiben a keresztet körülölelő kötélben F nagyságú húzóerő hat – a próbatest oldallapjain ébredő nyomóigénybevétel nagysága F 2 . Azt is könnyen beláthatjuk, hogy a fenti állítás csak akkor igaz, ha a próbatest alakváltozása során is megmarad az elrendezés szimmetriája. Ha olyan anizotrop anyagot vizsgálunk, amelynél E i ≠ E j , a terhelés növekedésével fellépő, a két irányban különböző nagyságú alakváltozás a szerkezetet aszimmetrikussá torzítja, aminek az a következménye, hogy az oldallapokon ható erők már nem lesznek azonos nagyságúak. A Föppl-kereszt tehát csak izotrop anyagok, ill. transzotrop anyagoknak az izotrópia síkjához tartozó szilárdságának meghatározására alkalmas. Anizotrop anyagoknak ezen szilárdsági jellemzőjét csak akkor lehet meghatározni, ha biztosítani lehet a két egymásra merőleges erő azonosságát, ill. azok viszonylag pontos meghatározhatóságát. Ez megtehető úgy, ha a 3.25 ábrán látható két aktív erőt párhuzamosan kapcsolt hidraulikus hengerekkel hozzuk létre. Ennek az eljárásnak az is előnye lehet, hogy a hidraulikus hengereket egymás3.23. áb ra. A diagonális nyírótól függetlenül működtetve, a két egymásra merőleges erő szilárdság mérésének elvi vázlaviszonyát tetszőlegesen választhatjuk (természetesen mind- ta.

236

3.24. ábra. Föppl-kereszt.

3.25. ábra. Két, egymásra merőleges nyomóigénybevétel elvi megvalósítása.

kettő csak nyomóerő lehet). Az adott erőarányhoz tartozó technikai szilárdságot, pontosabban a tönkremenetel pillanatához tartozó σ ii és σ jj feszültségkomponenseket az Askenazi-féle szilárdsági kritériumba helyettesítve, onnan kifejezhetjük az interakciós szilárdsági tenzor1 kom-ponenseket, ill. azok (t iijj + t jjii ) kombinációját. Ezt az elvet alkalmazza Tsai és Wu 2 (1991), (1992) saját töréselméletük interakciós komponenseinek meghatározásához. Itt említjük meg, hogy az interakciós tenzorkomponensek meghatározására, de elsősorban a töréselméletek helyességének és alkalmazhatóságának ellenőrzésére használnak vékony falú, hengeres - cső alakú – próbatesteket (Hemmer, K. 1984). Ezeket a henger hossztengelyével párhuzamosan húzó- esetleg nyomóigénybevételnek teszik ki, s egyidejűleg a henger belsejében túlnyomást hoznak létre. Ilyen módon a vékony hengerfalban elég változatos síkbeli feszültségi állapotokat lehet létrehozni. Sajnos ez a módszer is inkább izotrop anyagok, vagy mesterségesen kialakított anizotrop anyagok vizsgálatára alkalmas. Faanyagból már a próbatest elkészítése is körülményes, hiszen néhány cm-es külső átmérő mellett, néhány mm falvastagságú csövet kell készíteni. Ennél is nagyobb probléma azonban, hogy a henger fala valamely irányra merőleges összes lehetséges orientációt tartalmazza. A tönkremenetel helyét ezért nem lehet előre kiválasztani. Ily módon ezek a vizsgálatok inkább a szilárdságelmélet ellenőrzésére, mint a szilárdsági jellemzők meghatározására alkalmasak. A szilárdsági jellemzők meghatározására szolgáló mintasorozatok elemszáma, ezek statisztikai kiértékelése hasonlóan történik, mint az a 2.2.1.5. fejezet végén a rugalmas jellemzőkkel kapcsolatban leírtuk. Napjainkban kevés olyan fafaj akad, melynek minden olyan technikai szilárdságát - megfelelő megbízhatósági szinten - ismerjük, amelyek a szilárdsági kritériumban szereplő tenzorkomponensek számításához szükségesek. Első lépésben ezért arra kell törekednünk, hogy a lehető legkevesebb, de nagy biztonsággal helyesen megállapítható technikai szilárdságot határozzunk meg, olyan technikai szilárdságokat, melyekkel a szilárdsági kritérium, ill. hiperfelület a normálfeszültségek előjelének megfelelő különböző tartományokban (síkbeli feszültségi állapot esetén térnyolcadokban) pontosan vagy közelítőleg megadható. Csak akkor kezdődhet el a teherviselő faszerkezetek anizotrop alapon történő méretezése, ha a bennük alkalmazott legfontosabb fafajok szilárdsági kritériumának együtthatóit a gyakorlat igényeit kielégítő pontossággal ismerjük. E cél minél előbbi elérése érdekében az alábbi, a lehető legkevesebb anyagi befektetéssel járó, de eredményes eljárás javasolható. 237

Kísérlettel meghatározzuk a vizsgált fafaj normálszilárdságait az anatómiai főirányokban és azok szögfelezőinek irányában. f L+ , f L− , f R+ , f R- , f T+ , f T- ,

T ( 45 )+ T ( 45 )− R ( 45 )+ R ( 45 )− L ( 45 )+ L ( 45 )− f LR , f LR , f LT , f LT , f RT , f RT .

E 12 különböző technikai szilárdságot minimálisan 300-300 elemszámú mintasorozatokon kell vizsgálni annak érdekében, hogy az adott jellemző eloszlásfüggvényét és annak jellemzőit megfelelő valószínűséggel meghatározhassuk. Még biztosabbak lehetünk az eredmények helyességében, ha mód van nemcsak a szögfelezők irányához tartozó normálszilárdságok, hanem az anatómiai fősíkok egyéb irányaihoz tartozó normálszilárdságok meghatározására is. Ezek ismeretében ugyanis meghatározhatjuk a (3.51/d) függvényt, ami az anatómiai fősíkba eső irányokhoz tartozó normálszilárdságok változását mutatja és abban az fi , f j és f ijk (45 ) paraméterek értékét úgy választhatjuk meg - a konkrét kísérleti eredménytől eltérve -, hogy az elméleti függvény a lehető legjobban illeszkedjen a kísérleti adatok pontjaira. Ha meghatároztuk a fent megjelölt normálszilárdságokat, a közvetlen nyírószilárdságvizsgálat helyett a közvetett nyíró-szilárdságmeghatározás elméletét alkalmazhatjuk. Azaz kiszámíthatjuk a (3.89/b) nyírófeszültségi függvény maximumát mindhárom anatómiai fősíkban húzó- és nyomóigénybevételre is. Az anatómiai fősíkok nyírószilárdságának a húzásra és nyomásra kapott feszültségmaximumok átlagát tekintjük. Ilyen módon egyszerű számítással meghatározhatjuk az adott fafaj anyagának t RL , t TL és t RT ≅ t TR nyírószilárdságait. Ezzel meghatároztuk a szilárdsági hiperfelület azon tartományok fölé eső részeit, amelyekben, a 3.5. táblázatnak megfelelően, a ható feszültségi állapot normálfeszültségei mind pozitívak vagy mind negatívak. A normálfeszültségek kevert előjelének megfelelő tartományokban a hiperfelület együtthatóit közelítőleg a technikai szilárdságok közötti kapcsolatok felhasználásával határozhatjuk meg. Ha ismerjük saját kísérletek, esetleg irodalmi adatok alapján a diagonális nyírószilárdságokat, akkor a (3.70) vagy a (3.73) összefüggésekkel a rostokra merőleges nyírószilárdságot, a (3.71) (3.72) vagy (3.74) összefüggésekkel pedig a kétirányú, azonos normálfeszültséghez tartozó szilárdságokat számíthatjuk.

3.2.1.3. KÜLÖNBÖZŐ FAFAJOK TECHNIKAI SZILÁRDSÁGAI ÉS VÁLTOZÁSUK AZ ANATÓMIAI FŐSÍKOKBAN Mint már említettük, olyan fafaj, melynek összes szilárdsági jellemzőjét a megkívánt megbízhatósági szinten ismernénk, nincs. A szakirodalomban elvétve találhatók adatok különböző fafajok néhány technikai szilárdságáról, melyek többnyire kis elemszámú mintákon lettek meghatározva. A 3.2. táblázatban már közöltük Askenazi erdei fenyőre és nyírre meghatározott kísérleti eredményeit. A következő 3.7. táblázatban pedig bemutatjuk J.R. Goodman és J. Bodig (1991) kísérleti adatait. A különféle fafajok irányától függő változásával kapcsolatban lényegesen több adat áll rendelkezésre, hiszen a szilárdság anizotrop jellegét már évszázadokkal ezelőtt felismerték és a különböző anatómiai fősíkokba eső irányokhoz tartozó szilárdságok változását megpróbálták elméletileg vagy legalább függvénygörbe illesztéssel leírni. A következőkben bemutatunk néhányat a szakirodalomban fellelhető kísérleti eredmények közül annyi kiegészítéssel, hogy az Askenazi elmélet alapján megrajzoltuk a szilárdság elméleti változását leíró görbéket is.

238

3.7. táblázat. J.R. Goodman és J. Bodig (1991) technikai szilárdságai néhány fafajra. t RL t TL Fafaj *Sűrűség f R− f L− fT− Engelman lúc Douglas fenyő Tölgy Rezgőnyár

0,323 0,429 0,581 0,298 g/cm3

26,5 51,6 45,0 27,4 MPa

4,4 4,3 11,9 4,1 MPa

3,2 5,1 10,3 3,0 MPa

8,9 5,4 7,6 8,0 MPa

9,7 7,5 7,7 7,5 MPa

t TR 12,1 9,0 9,5 9,1 MPa

Először a Kollmann (1982) által közölt vizsgálatokat mutatjuk be a 3.24. és 3.25. ábrákon, ahol a nyomószilárdság változását láthatjuk erdei fenyő és vörös bükk esetén tangenciális síkban különböző nedvességtartalom mellett. Az ábrák alapján nemcsak az állapítható meg, hogy a normálszilárdság változása a két fafajra jól leírható, hanem az is, hogy a nedvességtartalom hatása is pontosan követhető.

3.26. ábra. Az erdei fenyő nyomószilárdságának változása az L,R síkban (+ - abszolút száraz és o - 15 %-os nedvességtartalmon).

3.27. ábra. A vörös bükk nyomószilárdságának változása az L,T síkban (három különböző nedvességtartalmon). * az abszolút száraz tömeg és az élőnedves térfogat hányadosa

239

3.28. ábra. A jegenyefenyő húzószilárdságának változása az L,T síkban.

3.29. ábra. A hárs húzószilárdságának változása az L,T síkban.

3.30/a. ábra. A kőris szíjácsának nyomószilárdsága az L.R és L,T síkokban.

240

3.30/b. ábra. A kőris gesztjének nyomószilárdsága az L.R és L,T síkokban.

3.31/a. ábra. A douglas fenyő nyomószilárdságának változása at L,T síkban.Rossz!!!

3.31/b. ábra. A douglas fenyő nyomószilárdság-változása a az L.R és L,T síkokban.

241

3.32. ábra. Az Engelmann luc nyomószilárdságának változása a L,R és L,T síkokban.

3.33. ábra. A tölgy nyomószilárdságának változása az L,R és L,T síkokban.

3.34. ábra. A rezgőnyár nyomószilárdságának változása az L,R és L,T síkokban.

3.35. ábra. Az Engelmann luc nyomószilárdságának változása az R,T síkban.

242

3.36. ábra. A douglas fenyő nyomószilárdságának változása az R,T síkban.

3.37. ábra. A tölgy nyomószilárdságának változása az R,T síkban.

3.38. ábra. A rezgőnyár nyomószilárdságának változása az R,T síkban.

243

3.39. ábra. Az erdei fenyő nyomószilárdságának változása az L,R síkban.

3.40. ábra. Az erdei fenyő nyomószilárdságának változása az R,T síkban.

3.41. ábra. Az erdei fenyő nyomószilárdságának változása az L,R és L,T síkokban.

244

3.42. ábra. Az erdei fenyő nyomószilárdságának változása az R,T síkban.

3.43. ábra. Az erdei fenyő nyíró-szilárdságának változása a 2.1. ábra 1. esetében.

3.44. ábra, Az erdei fenyő nyíró-szilárdságának változása a 2.1. ábra 3. esetében.

3.45. ábra. Az erdei fenyő nyíró-szilárdságának változása a 3.8. ábra 8. esetében.

245

3.46. ábra. Az erdei fenyő nyíró-szilárdságának változása a 2.1. ábra 4. esetében.

3.47. ábra. Az erdei fenyő nyíró-szilárdságának változása a 2.1. ábra 2. esetében.

Az F. Kollmann könyvben közölt, Baumann által végzett kísérleteket a 3.26.-3.30/a. és b.. ábrákon láthatjuk. Ezek is a húzó- és nyomó szilárdság iránytól függő változására vonatkoznak különböző fafajok esetén. Ch. B. Norris 1962-ben közreadott munkájában többféle elméletileg levezetett összefüggéssel is próbálkozott, de egyik sem tudta olyan pontosan követni a 3.31/a. ábrán látható kísérleti eredményeket, mint a (3.51/d) kifejezés. J.R. Goodman és J. Bodig (1971) a Hankinson-formulát tetszőleges térbeli irány használatára tette alkalmassá, ami nagyon jól leírja a nyomószilárdságra vonatkozó kísérleti eredményeiket. A 3.31/b.-3.32. ábrákon, valamint a 3.33.-3.38. ábrákon látható kísérleti adatokat azonban az E.K. Askenazi elmélet függvényei is jól követik mind a négy fafaj és mind a három anatómiai fősík esetén. Általános térbeli irányban az összehasonlításra nem volt mód, mert a tanulmány ezeket a kísérleti adatokat nem tartalmazza. Ezután az E.K. Askenazi könyveiben (1966, 1978) közzétett kísérleti eredményeket mutatjuk be. A vizsgálatok mind erdei fenyőre vonatkoznak. A 3.39. ábra a húzószilárdság L, R síkbeli, a 3.40. ábra az R, T síkbeli változását szemlélteti Askenazi és Csernyecov kísérletei nyomán. L ( 45 )+ A 3.40. ábra alapján azonnal megállapíthatjuk, hogy Csernyecov az f RT jellemzőre, feltehetően valamilyen szisztematikus hiba következtében, túl magas értéket kapott. A szögfelezőhöz tartozó húzószilárdság értékét próbálgatással addig csökkenthetjük, míg az elméleti görbe α = 25° körüli maximuma eltűnik, ill. míg olyan görbét nem kapunk, amelyik a kísérleti adatokat a lehető legjobban megközelíti (pl. korrelációszámítást végezve, a legjobb illeszkedést kapjuk). A 3.41.-3.44. ábrák Flakszerman kísérleteit mutatják. Ezek körül a t TLR(α ) és a t RLT(α ) nyírószilárdságra vonatkozó vizsgálatok jelentenek újdonságot, melyeket a (3.56/b) összefüggés kielégítő pontossággal ír le. Figyelemre méltó, hogy az α = 20° körüli értéknél jelentkező nyírószilárdsági maximumokat a kísérleti adatok is igazolni látszanak. Karlszen az érintősík-

246

ban fellépő, különböző hatásvonalon működő nyírófeszültséghez tartozó szilárdságot vizsgálta, melyet, mint azt a 3.45. ábra alapján megállapíthatjuk, a (3.58/b) összefüggés hűen ír le. Végül a 3.46. és 3.47. ábrák a nyírószilárdságnak olyan változását mutatják, mikor a nyírási síkot az R és T tengely körül forgatjuk és a nyírófeszültség hatásvonala mindig párhuzamos marad ezekkel a főtengelyekkel. A (3.57/b) összefüggés ebben az esetben is használhatónak bizonyul. Ezek után bemutatjuk még a normálszilárdság iránytól függő változására és a közvetett nyírószilárdság-meghatározásra vonatkozó saját vizsgálati eredményeinket. 3.8. táblázat. A lucfenyő kísérlettel meghatározott húzó- és nyomószilárdsága a három anatómiai fősíkban különböző orientációknál. α 0o 10o 15o 20o 25o 30o 45o 90o n 21 20 21 22 20 20 22 21 darab T (α )+ 58,47 33,23 28,30 20,60 21,01 17,26 8,0 5,10 MPa f LR s 5,43 7,50 6,50 3,90 4,50 2,60 3,27 1,02 MPa u 8,5 8,8 8,9 8,1 8,5 9,1 7,7 % n 25 29 23 22 26 19 30 21 darab T (α )− 78,20 58,60 31,20 32,00 22,60 10,00 6,5 3,00 MPa f LR

s u n R (α )+ f LT s u n R (α )− f LT s u α n L (α )+ f RT s u n L (α )− f RT s u

9,50 8,4 17 78,20

11,80 8,4 22 58,60

7,10 8,1 21 21,20

8,20 8,6 18 32,00

5,00 22 22,60

2,70 7,3 20 10,00

1,80 7,4 21 6,50

0,6 8,3 20 3,00

MPa % darab MPa

9,50 8,4 22 50,00

11,80 8,4 21 39,80

7,10 8,1 21 37,10

8,20 8,6 23 35,10

5,00 24 34,50

2,70 7,3 20 21,10

1,80 7,4 22 12,00

0,60 8,3 19 6,10

MPa % darab MPa

4,90 7,6 0o 19 3,40

4,50 7,8 20o 19 4,20

6,30 7,6 30o 23 4,50

5,00 8,4 40o 17 3,80

4,90 8,7 45o 21 3,40

3,30 7,7 50o 15 2,80

1,50 8,5 60o 18 3,20

1,10 8,4 90o 21 1,80

MPa % darab MPa

0,80 8,2 24 2,50

1,00 8,5 25 2,40

0,80 8,3 22 2,30

0,60 8,0 23 2,30

0,50 8,1 22 2,30

0,60 8,5 25 2,30

0,50 7,9 21 3,40

0,40 8,1 23 5,50

MPa % darab MPa

0,07 6,6

0,10 6,5

0,10 6,4

0,10 6,2

0,15 6,9

0,10 6,7

0,50 6,7

0,70 6,8

MPa %

α- a normálerő hatásvonala és az i jelű főtengely közötti szög , n - a mintasorozat elemeinek száma

f ijk (α )+ , f ijk (α )− - a normálszilárdság középértéke,

s - az adatok szórása, u - a próbastestek nettó nedvességtartalma.

Ezeket a vizsgálatokat egy tűlevelű és egy kemény lombos fafajon - lucfenyőn és bükkön végeztük elsősorban azzal a céllal, hogy kísérletileg is igazoljuk a közvetett nyírószilárdságmeghatározás módszerének helyességét és alkalmazhatóságát. A vizsgálat ,,mellékterméke" a

247

két fafaj normálszilárdságainak összessége és a normálszilárdságok anatómiai fősíkokba eső változásának az elméleti változással való összehasonlítása. A lucfenyőre vonatkozó alapvető kísérleti adatokat és eredményeket a 3.8. táblázatban foglaltuk össze. Ezeket az adatokat ábrázoltuk a megfelelő anatómiai fősíkokban a 3.48.-3.57. ábrákon és megrajzoltuk az elméleti görbéket is. Ez az ábrázolás lehetőséget ad arra, hogy bizonyos mértékig ellenőrizzük a mérési eredményeket, különösen az f ijk (45 ) normálszilárdság helyességét. A 3.48. és 3.49. ábrán látjuk a normálszilárdság L, R síkhoz tartozó változását. Megállapíthatjuk, hogy a (3.51/d) összefüggésnek megfelelő függvénygörbe csak a benne felhasznált három technikai szilárdság kísérleti pontjain halad át, míg a többi kísérleti adattól elég távol esik. Lényegesen jobb egyezést érünk el, ha megváltoztatjuk a szögfelező irányába T ( 45 )+ T ( 45 )− eső normálszilárdságok értékét, esetünkben f LR -t 11,7 MPa-ról 8,0 MPa-ra, f LR -t 13,8 MPa-ról 9,0 MPa-ra. A módosított szilárdsági adatoknak megfelelő elméleti görbét a 3.50 és 3.51 ábrákon láthatjuk. Az elméleti és kísérleti eredmények ily módon elért összhangja arra T ( 45 ) enged következtetni, hogy az f LR szilárdság kísérleti meghatározása során valamilyen, saj-

3.48. ábra. A lucfenyő húzószilárdsága az L,R síkban.

3.49. ábra. A lucfenyő nyomószilárdsága az L,R síkban.

248

3.50. ábra. A lucfenyő húzószilárdsága az L,R síkban.

3.51. ábra. A lucfenyő nyomószilárdsága az L,R síkban.

3.52. ábra. A lucfenyő húzószilárdsága az L,T síkban.

3.53. ábra. A lucfenyő nyomószilárdsága az L,T síkban.

249

3.54. ábra. A lucfenyő húzószilárdsága az L,T síkban.

3.55. ábra. A lucfenyő nyomószilárdsága az L,T síkban.

3.56. ábra. A lucfenyő húzószilárdsága az R,T síkban.

3.57. ábra. A lucfenyő nyomószilárdsága az R,T síkban.

250

nos rejtve maradt, szisztematikus hiba lépett fel. A jó egyezés azonban feljogosít minket arra, hogy a további feldolgozás során a módosított értékeket fogadjuk el pontosabbnak. Hasonló módosítást végeztünk az L, T síkban, ahol a diagonális húzószilárdságot 5,0 MPa-ról 6,5 MPa-ra, a diagonális nyomószilárdságot 11,3 MPa-ról 12,0 MPa-ra változtattuk. A 3.56. és 3.57. ábrákon látható, R, T síkhoz tartozó ábrázolásban az elméleti és kísérleti eredmények jó egyezése a szilárdsági értékek módosítását nem tette szükségessé. A normálszilárdságok ismeretében megrajzolhatjuk a (3.89) függvényeket mindhárom anatómiai fősíkban. Ezeket a kísérleti adatoknak megfelelő pontokat láthatjuk a 3.58-3.60. ábrákon. A faanyaggal kapcsolatos kísérletek viszonylag nagy szórását figyelembe véve a kísérleti adatok és az elméleti görbék elég jó egyezést mutatnak. Egyedül az L, T síkban találunk nagyobb eltérést a nyírófeszültségi függvénygörbe és kísérleti pontok között. Ez valószínűleg azzal magyarázható, hogy az L, T síkban a legnehezebb betartani a próbatestek pontos orientációját, az évgyűrűk görbülete miatt ugyanis az L, T síkra merőleges irány nem sugárirány lesz, hanem attól kisebb-nagyobb mértékben eltérő. A nyírófeszültségi függvény maximumait meghatározva kapjuk a keresett nyírószilárdságokat. A számítás eredményeit a 3.9. 3.9. táblázat. Lucfenyő húzással és nyomással meghatározott nyírószilárdsága (közvetett módszer). Sík L-R L-T R-T Igénybevétel húzás nyomás húzás nyomás húzás nyomás ° 14,48 18,88 12,35 20,62 38,10 62,21 MPa α' 7,42 8,69 8,67 9,67 1,8 0 1,26 MPa τ n (α') 1,92 -2,97 1,90 -3,67 1,41 -2,39 MPa σ n (α') Átlag MPa tRL = 8,06 TTL = 9,17 TRT = 1,53 táblázatban foglaltuk össze. A táblázat alapján azt a fontos megállapítást tehetjük, hogy annak ellenére, hogy a nyíró-feszültségmaximumokhoz a kétféle igénybevételnél húzó- és nyomófeszültségek járulnak, a nyíró-feszültségmaximumok értékében nincs jelentős eltérés. Így jogosnak látszik az az eljárás, hogy a különbséget a kísérleti adatok természetes szórásának tulajdonítjuk és nyírószilárdságként a húzással és nyomással kapott nyírófeszültségmaximumok számtani közepét fogadjuk el. 3.10. táblázat. A lucfenyő három anatómiai fősíkba eső nyírószilárdsága két közvetlen és a közvetett módszerrel meghatározva. Lucfenyő tRL tTL tRT tTR a. jelű középérték 2,82 3,31 MPa közvetlen szórás 32,2 26,1 % módszer d. jelű középérték 7,34 4,72 1,71 1,72 MPa közvetlen szórás 19,5 24,9 30,4 20,1 % módszer Közvetett középérték 8,06 9,17 1,53 MPa módszer szórás 18,98 18,66 17,68 %

Összehasonlításként meghatároztuk a lucfenyő nyírószilárdságait közvetlen módon is a 3.18. ábra a. és d. sematikus ábrázolásának megfelelő módszerekkel. A 3.10. táblázatban öszszefoglaltuk a közvetlen és közvetett nyírószilárdság-meghatározás eredményeit. Szembeötlő, hogy a közvetett módszerrel kapott nyírószilárdságok lényegesen nagyobbak mint a közvetlen

251

módszerrel meghatározottak (ez az állítás látszólag nem igaz a t RT , t TR jelű szilárdságokra, de a szórás mértékét is figyelembe véve már nem lehetetlen). Ennek oka feltehetően az, hogy a közvetett módszereknél a feszültségi állapotot a nyírási keresztmetszet hossza mentén sokkal homogénebb, mint a közvetlen módszerek esetén, hiányoznak a feszültségcsúcsok, amelyek a mérési eredményeket meghamisítják. Azt is megfigyelhetjük, hogy a mérési eredmények középértékéhez viszonyított, százalékos szórása a közvetett módszernél a legkisebb, sőt érdekes módon a három anatómiai fősíkban alig különbözik egymástól, míg a közvetlen módszernél ilyen tendencia nem figyelhető meg. A magasabb nyírószilárdsági érték és különösen a szórások azonossága arra utal, hogy a közvetett módszerrel meghatározott nyírószilárdságok nem a kísérleti módszer speciális feltételeit tükröző szerkezeti, hanem valódi anyagjellemzők. A bükkre vonatkozó kísérleti eredményeket a 3.11 és 3.12. táblázatban foglaltuk össze. A 3.67.-3.72. ábrákon megfigyelhetjük a vizsgált összes orientációhoz tartozó húzó- és nyomópróbatestek egy-egy példányát és jellegzetes törésképüket. Megrajzoltuk az anatómiai fősíkok normálszilárdság-változását mutató függvényeket is a kísérleti adatok feltüntetése mellett. A 3.61.-3.66. ábrákon azonban már csak a módosított diagonális normálszilárdságnak megfelelő elméleti görbéket rajzoltuk meg. Húzóigénybevételnél módosításra gyakorlatilag csak az L, R

3.58. ábra. A lucfenyő nyírószilárdságának közvetett meghatározása az L,R síkban.

252

3.59. ábra. A lucfenyő nyírószilárdságának közvetett meghatározása az L,T síkban.

253

3.60. ábra. A lucfenyő nyírószilárdságának közvetett meghatározása az R,T síkban. T (α )+ síkban volt szükség, ahol f LR értékét 31,18 MPa-ról 28,0 MPa-ra csökkentettük. Nyomóigénybevételnél a rostirányú szilárdságot mindkét síkban 64,5 MPa-nak vettük, a szögfelezőkhöz tartozó szilárdságokat pedig 29,37 MPa-ról 26,37 MPa-ra, 27,47 MPa-ról 19,47 MPa-ra és 8,75 MPa-ról 10,75 MPa-ra módosítottuk. A 3.73.-3.75. ábrákon láthatjuk a (3.89) függvények görbéit az egyes anatómiai fősíkokban és a kísérleti eredmények pontjait. Meglepő, hogy az elméleti és a kísérleti eredmények között jobb egyezést találunk itt, mint a lucfenyőnél. A bükk anatómiai szerkezete, szöveti felépítése jóval bonyolultabb, mint a lucfenyőé, így automatikusan azt várjuk, hogy a belső szerkezetben lényegesen gyakrabban előforduló, véletlenszerű eltérések az elméletben kimutatott és igazolni kívánt tendenciák rekonstrukcióját, s így bizonyítását lényegesen nagyobb bizonytalansággal teszik csak lehetővé. Az itt bemutatott kísérletek ellentmondani látszanak ennek a gondolatmenetnek. Végül a 3.13. táblázatban összefoglaltuk a nyírófeszültségfüggvények maximumának helyét, az e helyen számított nyíró- és normálfeszültségek értékét és a bükk három anatómiai fősíkjához tartozó nyírószilárdságait.

254

3.11/a. táblázat. A bükk kísérlettel meghatározott húzószilárdsága a három anatómiai fősíkban különböző orientációknál. α 0°° 5°° 10°° 15°° 20°° 25°° 30°° 35°° 40°° 45°° 50°° 55°° 60°° 85°° n 79 41 29 112 90 107 84 10 76 15 T (α )+ 31,18 29,67 121,15 112,48 91,73 68,77 56,78 49,43 43,55 40,79 f LR s u n R (α )+ f LT s u n L (α )+ f RT s u

90°° 78 20,10

darab MPa

22,74 17,56 21,16 8,77 7,46 80 28 115 144,02 132,13 104,03

11,31 8,48 94 77,34

10,32 7,86 98 53,82

7,17 6,91 78 43,83

5,46 6,87 64 37,99

5,00 15 28,81

-

3,47 7,70 83 18,32

3,56 -

-

-

-

2,51 7,46 131 9,97

MPa % darab MPa

26,93 6,97 48 20,17

14,91 38 19,98

23,83 7,39 36 19,28

19,84 7,28 28 18,50

9,47 7,37 51 17, 73

6,32 7,06 45 16,65

5,98 7,52 71 141,76

5,00 44 15,24

74 14,36

2,72 7,55 83 13,52

74 12,47

43 11,95

43 11,63

19 9,56

1,50 8,39 42 9,43

MPa % darab MPa

2,55 7,16

2,87 -

1,60 7,43

2,78 7,12

2,66 7,36

2,14 7,08

1,95 7,31

3,57 5,98

2,24 8,20

2,28 7,01

1,76 7,20

1,32 -

1,18 6,47

2,46 -

1,70 8,88

MPa %

α - a normálerő hatásvonala és az i jelű főtengely közötti szög, n - a mintasoroszat elemeinek száma, f ijk (α )+ - a húzószilárdság várható értéke s - az adatok szórása, u - a próbatestek átlagos nettó nedvességtartalma.

255

3.11/b. táblázat. A bükk kísérlettel meghatározott nyomószilárdsága a három anatómiai fősíkban különböző orientációknál. α 0°° 10°° 15°° 20°° 25°° 30°° 40°° 45°° 50°° 60°° n 80 90 90 68 75 85 85 T (α )− f LR 59,12 55,67 50,18 43,37 42,50 36,76 28,36 s 7,51 5,62 6,28 5,34 4,72 5,05 5,06 u 13,67 12,70 11,57 12,86 13,68 12,74 12,69 T (α )− f LR12 64,51 57,69 49,12 45,32 46,40 38, 17 29,37 n 85 80 82 90 90 92 90 R (α )− f LT 70,33 51,59 46,13 39,51 35,57 35,16 24,30 s 5,75 6,84 7,37 4,92 4,72 5,45 3,91 u 13,10 11,00 10,61 11,19 10,57 11,54 12,14 R (α )− f LT12 74,42 49,13 43,13 37,97 33,20 34,37 24,47 n 75 90 95 52 70 67 95 L (α )− f RT 11,98 19,17 14,19 13,13 9,08 10,71 11,06 s 2,00 3,52 2,16 1,73 2,25 2,04 1,56 u 12,31 6,57 8,50 11,50 11,24 11,82 11,61 L (α )− f RT12 12,17 15,08 12,08 12,81 8,75 10,61 10,85 α - a normálerő hatásvonala és az i jelű főtengely közötti szög, n - a mintasorozat elemeinek száma, f ijk (α )− - a nyomósszilárdság várható értéke az adott nedvességtartalomnál.

90°° 80 17,10 1,14 12,77 17,78 20 12,72 1,33 13,75 13,94 80 9,81 1,67 11,62 9,63

darab MPa MPa % MPa darab MPa MPa % MPa darab MPa MPa % MPa

s - az adatok szórása, u - a próbatestek átlagos nettó nedvességtartalma, f ijk12(α )− - a nyomószilárdság várható értéke 12%-os nedvességtartalomra átszámítva.

256

3.61. ábra. A bükk húzószilárdsága az L,R síkban.

3.62. ábra. A bükk nyomószilárdsága az L,R síkban.

3.63. ábra. A bükk húzószilárdsága az L,T síkban.

3.64. ábra. A bükk nyomószilárdsága az L,T síkban.

257

3.65. ábra. A bükk húzószilárdsága az R,T síkban.

3.66. ábra. A bükk nyomószilárdsága az R,T síkban.

3.67. ábra. Húzással összetört bükk próbatestek az L,R síkban nyolcféle orientációnál.

258

3.68. ábra. Húzással összetört bükk próbatestek az L,T síkban kilencféle orientációnál.

3.69. ábra. Húzással összetört bükk próbatestek az R,T síkban tízféle orientációnál.

259

3.70. ábra. Nyomással összetört bükk próbatestek az L,R síkban nyolcféle orientációnál.

3.71. ábra. Nyomással összetört bükk próbatestek az L,T síkban kilencféle orientációnál.

3.72. ábra. Nyomással összetört bükk próbatestek az R,T síkban kilencféle orientációnál.

260

3.73. ábra. A bükk nyírószilárdságának közvetett meghatározása az L,R síkban.

3.74. ábra. A bükk nyírószilárdságának közvetett meghatározása az L,T síkban.

261

3.75. ábra. A bükk nyírószilárdságának közvetett meghatározása az R,T síkban. T (α )+ csak az L, R síkban volt szükség, ahol f LR értékét 31,18 MPa-ról 28,0 MPa-ra csökkentettük. Nyomóigénybevételnél a rostirányú szilárdságot mindkét síkban 64,5 MPa-nak vettük, a szögfelezőkhöz tartozó szilárdságokat pedig 29,37 MPa-ról 26,37 MPa-ra, 27,47 MPa-ról 19,47 MPa-ra és 8,75 MPa-ról 10,75 MPa-ra módosítottuk. A 3.73.-3.75. ábrákon láthatjuk a (3.89) függvények görbéit az egyes anatómiai fősíkokban és a kísérleti eredmények pontjait. Meglepő, hogy az elméleti és a kísérleti eredmények között jobb egyezést találunk itt, mint a lucfenyőnél. A bükk anatómiai szerkezete, szöveti felépítése jóval bonyolultabb, mint a lucfenyőé, így automatikusan azt várjuk, hogy a belső szerkezetben lényegesen gyakrabban előforduló, véletlenszerű eltérések az elméletben kimutatott és igazolni kívánt tendenciák rekonstrukcióját, s így bizonyítását lényegesen nagyobb bizonytalansággal teszik csak lehetővé. Az itt bemutatott kísérletek ellentmondani látszanak ennek a gondolatmenetnek. Végül a 3.13. táblázatban összefoglaltuk a nyírófeszültségfüggvények maximumának helyét, az e helyen számított nyíró- és normálfeszültségek értékét és a bükk három anatómiai fősíkjához tartozó nyírószilárdságait.

3.13. táblázat. Bükk húzással és nyomással meghatározott nyírószilárdsága (közvetett módszer). Sík L-R L-T R-T Igénybevétel húzás nyomás húzás nyomás húzás nyomás ° 21,92 27,09 17,12 22,50 34,10 41,70 MPa α' 20,07 16,03 18,34 12,81 6,71 5,41 MPa τ n (α') 8,08 -8,21 5,64 -5,31 4,55 - 4,82 MPa σ n (α') Átlag MPa tRL = 18,05 tTL = 15,58 tRT = 6,06

262

3.2.1.4. A TECHNIKAI SZILÁRDSÁGOK ANIZOTRÓPIA DIAGRAMJAI A technikai szilárdságok iránytól való függésének szemléltetésére a 3.76 és 3.77. ábrákon megrajzoltuk az erdei fenyő húzó- és nyomószilárdságának anizotrópia diagramját az E. K. Askenazi és E. V. Ganov (1972) által írt könyv 52. táblázatában megadott adatokkal, valamint a 3.78. és 3.79. ábrákon a nyír faanyag anizotrópia diagramjait a 3.18. táblázat adatainak felhasználásával. Az ábrákon a függőleges tengelyre nem a normálszilárdságot, hanem annak az L irányhoz tartozó szilárdsággal osztott - egységre normált - értékét mértük fel (ugyanúgy, mint ahogy azt a rugalmassági moduluszok anizotrópia diagramjánál tettük.) Megállapíthatjuk, hogy minél nagyobb a vizsgált tulajdonság anizotrópia foka, annál jobban kicsúcsosodik a felület az origó környezetében. Mint a legtöbb fafaj esetében, a fenti két fafajra is fennáll, hogy a húzószilárdság anizotrópia foka nagyobb, mint a nyomószilárdságé.

3.76. ábra. Az erdei fenyő húzószilárdságának anizotrópia diagramja.

3.77. ábra. Az erdei fenyő nyomószilárdságának anizotrópia diagramja.

3.78. ábra. Nyír húzószilárdságának anizotrópia diagramja.

3.79. ábra. Nyír nyomószilárdságának anizotrópia diagramja. A nyírószilárdság anizotrópia diagramját csak úgy tudjuk megrajzolni, ha a ϕ , ϑ , ψ szögek közül valamelyiket rögzítjük. Íly módon a nyírószilárdság iránytól függő változásának szemléltetéséhez - elvileg - végtelen sok diagramra van szükség.

3.2.1.5. A TERMÉSZETES FAANYAG ASKENAZI-FÉLE SZILÁRDSÁGI FELÜLETÉNEK ÁBRÁZOLÁSA SÍKBELI FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT ESETÉN Mint már rámutattunk, a szilárdsági felület csak a síkbeli feszültségi állapot esetén ábrázolható kényelmesen. Jóllehet a szilárdsági felület geometriai alakjának konkrét ismeretére a gyakorlati méretezés folyamán nincs szükség, elég ha ismerjük (3.81)-t, ill. annak állandóit, néhány esetben mégis érdekes és tanulságos lehet a felületek megjelenítése. A szilárdsági felületek ábrázolásához nem a 3.7. ábrán alkalmazott koordinátarendszert választottuk, hanem an-

264

nak 90°-kal elforgatott és tükrözött alakját, az ilyen módon fellépő látszólagos rövidülések ugyanis nem olyan zavaróak. A szilárdsági felület alakjának elképzelését segíti, hogy mindig ábrázoltuk annak anatómiai fősíkokkal való metszésvonalait is. A jobb áttekinthetőséget szolgálja az is, hogy az egyes anatómiai fősíkokhoz tartozó felületeknél még egy fafajon belül is különböző léptéket választottunk. Azonos lépték esetén bizonyos - főleg a bütümetszethez tartozó - felületek szinte ponttá zsugorodtak volna. A 3.80/a,b,c. ábrákon a lucfenyő anatómiai fősíkokhoz tartozó szilárdsági felületeit láthatjuk. A szerkesztéshez szükséges adatokat, a technikai szilárdságokat a 3.8. táblázatból vettük. A 3.81.-3.83. ábrák a bükk szilárdsági felületeit mutatják, ezekhez a 3.9. táblázat adatait használtuk fel. A természetes nyír szilárdsági felületeit a 3.18. táblázat adatai alapján szerkesztettük meg. A három anatómiai fősíkhoz tartozó felület a 3.84.-3.86. ábrákon látható. Mindhárom fafaj esetében a szögfelezőkhöz tartozó nyírószilárdság értékét - kísérleti adatok hiányában - becsültük. A felületek sokszor meglehetősen bonyolult alakja valóban meggyőzhet minket arról, hogy az Askenazi-féle szilárdsági kritérium negyedfokú polinomja igen változatos tönkremeneteli viselkedés leírására alkalmas. 3.2.2. A FAALAPÚ ANYAGOK SZILÁRDSÁGÁNAK JELLEMZÉSE Az anizotrop anyagok szilárdsági viselkedésének általános tárgyalásánál az ortogonális anizotrópia egyszerűsítő feltevésével éltünk. Azt is láttuk, hogy a faalapú anyagok többsége ortotrop vagy annál magasabb fokú szimmetriával rendelkezik, rájuk tehát a 3.1. fejezetben leírtak minden változtatás nélkül érvényesek. A faalapú anyagokon végzett kísérletek azt mutatják, hogy az Askenazi-féle szilárdsági kritérium rájuk is eredményesen alkalmazható. A faalapú anyagok szilárdsági kritériumát, ill. az annak megfelelő hiperfelületet (3.45) adja minden változás nélkül.

3.80/a. ábra. A lucfenyő szilárdsági felülete, ha a feszültségi állapot az L,R síkban van. 265

3.80/c. ábra. A lucfenyő szilárdsági felülete, ha a feszültségi állapot az L,T síkban van.

3.80/d. ábra. A lucfenyő szilárdsági felülete, ha a feszültségi állapot az R,T síkban van.

266

3.81. ábra. A bükk szilárdsági felülete, ha a feszültségi állapot az L,R síkban van.

3.82. ábra. A bükk szilárdsági felülete, ha a feszültségi állapot az L,R síkban van.

267

3.83. ábra. A bükk szilárdsági felülete, ha a feszültségi állapot az R,T síkban van.

3.84. ábra. A nyír szilárdsági felülete, ha a feszültségi állapot az L,R síkban van.

268

3.85. ábra. A nyír szilárdsági felülete, ha a feszültségi állapot az L,T síkban van.

3.86. ábra. A nyír szilárdsági felülete, ha a feszültségi állapot az R,T síkban van.

3.2.2.1. A FAALAPÚ ANYAGOK SZILÁRDSÁGI MÁTRIXÁNAK ELEMEI Az Askenazi-féle szilárdsági kritérium együtthatói faalapú anyagoknál is a (3.82) mátrixba foglalhatók. A mátrix elemei és a technikai szilárdságok kapcsolatát a (3.24) összefüggések 269

határozzák meg. Itt is tekintetbe kell venni, hogy a ható normálfeszültségek előjelkombinációjának megfelelően kell az alkalmas összefüggéseket kiválasztani. Ha valamennyi normálfeszültség pozitív, a szilárdsági mátrixot a 3.14. táblázatban található elemekkel adjuk meg. Hasonló a szilárdsági mátrix akkor is, ha minden normálfeszültség negatív, csupán a felső indexekbe kell - jelet írni. A 3.15. táblázatban található elemekkel akkor adjuk meg a szilárdsági mátrixot, ha σ11 ≥ 0, σ 22 ≥ 0, σ 33 ≤ 0 . Transzotrop anyagok esetén a szilárdsági jellemzők száma kisebb lesz, hiszen a faalapú lemez síkjában minden irány ekvivalens. Ilyen esetben a szilárdsági mátrix elemei a 3.16. táblázatnak megfelelően alakulnak. A lap síkjára merőleges irányt 3-mal jelölve, az 1-es és 2es szerkezeti főirányok a lap síkjában vannak. A transzotrópiának megfelelően: 3( 45 ) f 2 = f 1 = f 123(45 ) , f 121(45 ) = f 122(45 ) , t 23 = t 13 , t 12 = t 21 = t 12 ,

3.91

valamint (2.119/c) második egyenlőségének megfelelő T12 = T11 − 2 T66

analóg összefüggés alapján T12 =

1 1 − . f1 2 t12

3.92

3.14. táblázat. A szilárdsági mátrix elemei ortotrop faalapú anyagra a technikai szilárdságok olyan függvényeivel kifejezve, melyek abban az esetben adják meg a legpontosabban a határállapot feltételeit, ha σ11 ≥ 0 , σ22 ≥ 0 , és σ 33 ≥ 0 .

 1 1 4 1 1 1   −  +  f 3(45)+ f + − f + − t  2 f 12  1 1 2  12  1  4  1 1 1 1   3(45)+ − + − + −  f1 f 2 t12  f 2+  2  f12 1  4 1 1 1  1 4 1 1 1   2(45)+ − + − + −   1(45)+ − + − + −  f1 f 3 t13  2  f 23 f 2 f 3 t 23   2  f13  0 0    0 0    0 0  t ij és t ji közül mindig a kisebbiket kell használni.

1 4 1 1 1  2(45)+ − + − + −  2  f13 f1 f 3 t13  1 4 1 1 1  1(45)+ − + − + −  2  f 23 f 2 f 3 t 23  1 f 3+

0

0

0

0

0

0

0

1 t 23

0

0

0

1 t 13

0

0

0

 0   0   0   0   0  1 t12 

Az interakciós komponenseket kifejezhetjük a kétirányú, egyenlő nagyságú normálszilárdságok mennyiségeivel is:

1 3 1 1  1 3 1 1  1 3 1 1  T12 =  + − + − +  , T13 =  + − + − +  , T23 =  + − + − +  2  r12 f 1 2  r13 f 1 2  r23 f 2 f 3  f2  f3 

270

3.15. táblázat. A szilárdsági mátrix elemei ortotrop faalapú anyagra a technikai szilárdságok olyan függvényeivel kifejezve, amelyek abban az esetben adják meg a legpontosabban a határállappot feltételét, ha σ11 ≥ 0 , σ 22 ≥ 0 , σ 33 ≤ 0 .

 1 1 4 1 1 1    − − −  +  f 3(45)+ f + f + t  2 f 12  1 1 2  12  1  4  1 1 1 1   3(45)+ − + − + −  f1 f 2 t 12  f 2+  2  f12  1 1 1 1  1 1 1 1   + + − − 2(45)+   + + − − 1(45)+   2  f 2 f 3 t 23   2  f1 f 3 t 13   0 0    0 0    0 0  t ij és t ji közül mindig a kisebbet kell hasznáni.

1 1 1 1   + + − − 2(45)+  2  f1 f 3 t 13  1 1 1 1   + + − − 1(45)+  2  f 2 f 3 t 23  1 f 3−

0

0

0

0

0

0

0

1 t 23

0

0

0

1 t 13

0

0

0

 0   0   0   0   0  1 t 12 

3.16. táblázat. A szilárdsági mátrix elemei transzotrop faalapú anyagra a technikai szilárdságok olyan függvényeivel kifejezve, amelyek abban az esetben adják meg a legpontosabban a határállapot feltételét, ha σ11 ≥ 0 , σ 22 ≥ 0 , σ 33 ≥ 0 .  1 1 1    −  +  f + 2t  f 12  1  1   1 1  1  +−   f  2 t f1+  12 1   1  4 1 1 1  1 4 1 1 1  2(45)+ − + − 1 −    2(45)+ − + − 1 −   f1 f 3 t 13  2  f13 f1 f 3 t 13   2  f13  0 0    0 0    0 0  t ij és t ji közül mindig a kisebbiket kell használni.

1 4 1 1 1  2(45)+ − + − 1 −  2  f13 f1 f 3 t 13  1 4 1 1 1  2(45)+ − + − 1 −  2  f13 f1 f 3 t 13  1 f 3+

0

0

0

0

0

0

0

1 t 13

0

0

0

1 t 13

0

0

0

 0   0   0   0   0  1 t 12 

Ugyanezt a kifejezést kapjuk T12 -re, ha (3.24/c) vagy (3.24/d) összefüggésben felhasználjuk a (3.91) azonosságokat.A transzotrop anyagot tehát 5 független adat, technikai szilárdság jellemzi. Vizsgáljuk meg végül az izotropia esetét. Ilyenkor természetesen:

271

1( 45 ) f 1 = f 2 = f 3 = f 123(45 ) = f 132(45 ) = f 23 ,

  

3( 45 ) 2 ( 45 ) t 12 = t 21 = t 13 = t 31 = t 23 = t 32 = t 12 = t 13 = t 123(45 )

3.93

így minden interakciós komponensre fennáll (3.92). A szilárdsági mátrix elemeit a 3.17. táblázatban foglaltuk össze. Izotrop anyag szilárdságát tehát - hasonlóan a rugalmassághoz - két független adattal, f1 -gyel és t12 -vel jellemezhetjük. Az Askenazi elmélet izotrop anyagra, a Mohr-féle töréselmélethez hasonlóan, nem teszi lehetővé, hogy pl. a nyírószilárdságot kifejezzük a normálszilárdság függvényeként. Az anyag normálszilárdsága és nyírószilárdsága két, egymástól független jellemző.

3.17. táblázat. A szilárdsági tenzor elemei izotrop anyagra. A technikai szilárdságok olyan függvényeivel kifejezve, amelyek abban az esetben adják meg a legpontosabban a határállapot feltételét, ha σ11 ≥ 0 , σ 22 ≥ 0 , σ 33 ≥ 0 .

    1  +  f 1  1  +  f 1        

1 f 1+

   1   − 2t 12 

−

1 2t 12

 1 1  + −  f 1 2 t 12 1 f 1+  1 1  + −  f 1 2 t 12

  

  

 1 1   + −   f 1 2t 12   1 1   + −  2 t f 12   1 1 f 1+

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 t 12

0

0

0

0

0

1 t 12

0

0

0

0

0

 0   0   0   0  0  1   t 12 

t12 és t 21 közül mindig a kisebbet kell alkalmazni.

3.2.2.2. A TECHNIKAI SZILÁRDSÁGOK KÍSÉRLETI MEGHATÁROZÁSA Ha feltételezzük, hogy a faalapú anyagok belső szerkezeti felépítése ortotrop vagy annál magasabb fokú szimmetriával rendelkező rendszert alkot, az Askenazi-féle szilárdsági tenzor 9 komponensét, figyelembe véve, hogy általában a faalapú anyagok húzáshoz és nyomáshoz tartozó normálszilárdsága sem egyezik meg, az alábbi technikai szilárdságokkal lehet kifejezni: - normálszilárdságok a szerkezeti főtengelyek és a fősíkok szögfelezőinek irányában: f 1+ , f 1− , f 2+ , f 2− , f 3+ , f 3− , 1( 45 )+ 1( 45 )− f 123(45 )+ , f 123(45 )− , f 132(45 )+ , f 132(45 )− , f 23 , f 213 ,

  

3.94

- nyírószilárdságok a szerkezeti fősíkokban, ha a nyírófeszültség hatásvonala párhuzamos valamelyik főtengellyel:

272

t12 , t 21 , t13 , t 31 , t 23 , t 32 ,

3.95

- a diagonális nyírószilárdságok: 3( 45 )+ 3( 45 )− 2 ( 45 )+ 2 ( 45 )− t 12 , t 12 , t 13 , t 13 , t 123(45 )+ , t 123(45 )− ,

3.96

- két egymásra merőleges irányú, azonos nagyságú húzó- vagy nyomófeszültséghez tartozó szilárdság:

r12+ , r12− , r13+ , r13− , r23+ , r23− .

3.97

A szilárdsági viselkedés valósághű leírásához tehát elvileg 30 különböző fajta technikai szilárdságot kell kísérlettel meghatározni. Ha a mért technikai állandók között fennáll (3.91), az anyagot transzotrópnak tekinthetjük. Ha (3.93) is fennáll, a faalapú anyag izotrop. A technikai szilárdságok meghatározására gyakorlatilag ugyanazok a szempontok érvényesek, mint a természetes faanyagnál. Lemez alakú faalapú anyagoknál a 2.33. ábrán bemutatott módszert kell alkalmazni a lap síkjára merőleges orientációjú próbatestek kialakításához. A faalapú anyagok rendkívüli sokfélesége gyakorlatilag lehetetlenné teszi, hogy a gyártók vagy felhasználók mindig meghatározzák az elvileg szükséges összes technikai szilárdságot. Itt is, ugyanúgy, mint faanyagnál, alkalmazható az a részmegoldás, hogy meghatározzuk a normálszilárdságokat a szerkezeti főirányokban és a szögfelezők irányában. Az f1+ , f1− , f2+ , f2− , f3+ , f3− , 1( 45 )+ 1( 45 )− f 123(45 )+ , f 123(45 )− , f 132(45 )+ , f 132(45 )− , f 23 , f 23

technikai szilárdságok ismeretében, meghatározhatjuk a fősíkok nyírószilárdságai közül a három legkisebbet és a technikai szilárdságok között fennálló összefüggések segítségével azokat a szilárdsági jellemzőket, amelyek a szilárdsági kritérium együtthatóinak számításához szükségesek. Ilyen módon megkapjuk a szilárdsági határállapotot kifejező összefüggés egy elég jó közelítést biztosító egyenletét. Ezzel az eljárással lehetőség nyílik - viszonylag kis anyagi befektetéssel - akár a faalapú anyagok gyártási minőségének folyamatos ellenőrzésére, akár teherviselő szerkezeti elemként való, közelítő méretezésére.

3.2.2.3. NÉHÁNY FAALAPÚ ANYAGFAJTA TECHNIKAI SZILÁRDSÁGAI ÉS AZOK VÁLTOZÁSA A SZERKEZETI FŐSÍKOKBAN A faalapú anyagok technikai szilárdságaival kapcsolatban is csak nagyon kevés irodalmi adatot találni. Lemez alakú szerkezeteknél az adatok többsége a lap síkjában érvényes szilárdsági jellemzőkre vonatkozik. Sokszor azt sem lehet tudni, hogy egy márkanévvel megjelölt termék mögött milyen szerkezetű, felépítésű faalapú anyag rejtőzik. Mégegyszer hangsúlyozzuk, hogy az az egyetlen helyes és kivitelezhető eljárás, ha a gyártó maga végzi vagy végezteti el azokat a vizsgálatokat, amelyek lehetővé teszik a termék tudományos alaposságú és teljes körű szilárdsági minősítését.

273

Az itt bemutatásra kerülő néhány példa csak arra szolgál, hoogy lássuk a faalapú anyag belső szerkezetének, a különböző kezeléseknek a szilárdságra gyakorolt hatását és az Askenazi-féle szilárdsági elmélet faalapú anyagokra való alkalmazásának lehetőségét. Nézzük először a kémiai modifikálás hatását a természetes faanyagra E.K. Askenazi (1978) vizsgálatai alapján. A modifikálás elsődleges célja általában a faanyag vízállóságának növelése, a zsugorodás és dagadás következtében fellépő alaktorzulások mértékének csökkentése, ill. a szilárdsági jellemzők értékének növelése vagy az anizotrópia fok csökkentése. A 3.18. táblázatban összefoglaltuk a természetes nyír faanyag és a polimerrel telített, modifikált nyír húzó- és nyomószilárdsági jellemzőit. Megállapíthatjuk, hogy a modifikálásnak jelentős hatása van a nyomószilárdságra. Nemcsak rostirányban nőtt a nyomószilárdság jelentősen, hanem elsősorban a rostra merőleges irányok szilárdságai növekedtek. A sugár és tangenciális irányban a nyomószilárdság 4-, 7-szerese a kezeletlen anyagénak. Nagyon fontos tehát, hogy nem pusztán a nyomószilárdság növekedéséről van szó, hanem az anizotrópia fok lényeges csökkentése is megállapítható, ami a teherbírás szempontjából döntő jelentőségű. A modifikált nyír húzószilárdsági adatai elég hiányosak, de Askenazi azt állítja, s ez a meglévő adatok alapján meg is figyelhető, hogy a modifikálás húzószilárdságra gyakorolt hatása elhanyagolha-

3.18. táblázat. A természetes és modifikált nyír szilárdsági jellemzői. Kezeletlen nyír Modifikált nyír Modifikált nyír + fL 168,6 (27,9) 132,9 (26,0) - (-)

f f f f f f

f L−

76,7+ (7,1)

115,7 (7,1)

96,0+ (6,5)

f R+

10,9 (2,7)

- (-)

- (-)

− R + T − T T ( 45 )+ LR T ( 45 )− LR R ( 45 )+ LT R ( 45 )− LT L ( 45 )+ RT L ( 45 )− RT

+

f

12,3 (0,9)

46,3 (11,3)

31,6+ (2,7)

f

6,9 (0,4)

7,8 (1,0)

- (-)

f

6,5+ (1,0)

41,2 (6,2)

18,4+ (2,6)

7,1 (5,9)

- (-)

- (-)

6,0 (4,1)

58,0 (6,3)

32,8+ (4,8)

12,9 (1,4)

17,3 (1,8)

- (-)

20,7 (5,2)

48,5 (9,7)

23,7+ (3,9)

7,3 (1,5)

- (-)

- (-)

39,0 (6,6)

18,8+ (2,7)

+

+

+

7,2 (0,7)

A modifikáló polimer súlyszá0 64 45,7 zaléka A technikai szilárdság alatt található adat a jellemző szórása. +Nem a törőerőhöz, hanem az egyenesarányossági határhoz tartozó feszültség

MPa

%

tó. Sem a szilárdságot, sem az anizotrópia fokot nem változtatja meg jelentősen. A 3.19. táblázatban rétegelt lemezek lapsíkhoz tartozó normálszilárdságait láthatjuk - ismét Askenazi vizsgálatai alapján - kezelés nélkül összeragasztott és telített faalapú anyagokra különböző vastagság esetén (a szomszédos rétegek rostiránya 90°-os szöget zár be egymással). Ezeknek az adatoknak a felhasználásával megrajzoltuk a normálszilárdság iránytól függő változását a rétegelt lemezek síkjában. Ezeket az elméleti függvénygörbéket látjuk a 3.87.-3.92.

274

ábrákon. Az első négy ábrán az E. K. Askenazi (1978) könyvében kiadott, egyéb irányokhoz tartozó kísérleti adatoknak megfelelő pontokat is feltüntettük. Ezen adatok alapján úgy tűnik, hogy a modifikálás normálszilárdságra gyakorolt hatása húzásnál is majdnem ugyanolyan mértékű, mint nyomásnál. Az anizotrópia fok csökkenése viszont nem olyan jelentős, mint a természetes faanyag nyomószilárdságánál. A 2.93. és 2.94. ábrákon ugyanezek a rétegelt lemezeknek a lapsíkhoz tartozó nyírószilárdságváltozás elméleti és kísérleti eredményeit láthatjuk. Mind a 8, mind a 10 mm vastagságú rétegelt lemezek esetében a modifikálás jelentősen növeli a nyírószilárdságot minden irányban. A görbék, ill. a kísérleti eredmények párhuzamos futása azonban azt jelenti, hogy a nyírószilárdság anizotrópia foka nem változik a kezelés hatására. Érdekes megfigyelnünk azt a jelenséget, hogy ortogonális belső szerkezetű faalapú anyagoknál a lap síkjának 45°-os irányhoz lényegesen kisebb húzószilárdság tartozik, mint akármelyik szerkezeti főirányhoz, a nyírószilárdság viszont a szögfelező irányával párhuzamos normálisú síkokon a legnagyobb. A normálszilárdság 45°-os irányhoz tartozó értéke pedig általában a két szerkezeti főirányhoz tartozó értékek közé esik.

3.19. táblázat. Különböző vastagságú rétegelt és modifikált rétegelt lemezek lapsíkba eső húzó- és nyomószilárdságai. Rétegelt lemez Modifikált rétegelt lemez Szilárd- Vastag- Elem- Várható SzóVastagElem- Várható Szóság ság szám érték rás ság szám érték rás + f1 27 81,0 9,9 42 93,5 14,75 10 10 f 2+ 25 79,6 13,0 42 90,0 15,8 f 123(45 )+ f f f f f f f f f f f f

+ 1 + 2 3( 45 )+ 12 + 1 + 2 3( 45 )+ 12 − 1 − 2 3( 45 )− 12 − 1 − 2 3( 45 )− 12

26

36,0

5,64

41

53,4

5,75

39

88,0

11,4

21

105,2

15,0

42

81,2

9,65

18

86,5

13,4

42

31,7

1,9

18

47,7

5,87

6

78,8

8,07

6

82,4

12,7

6

76,0

7,96

6

80,0

10,0

6

26,0

1,95

6

44,0

6,17

15

44,2

4,52

18

65,8

3,45

15

35,1

4,38

18

59,2

3,76

14

37,6

3,2

17

59,4

3,76

15

42,4

4,87

21

63,9

5,3

15

34,5

5,52

21

45,7

4,6

12

34,5

3,58

21

50,1

5,16

12

53,8

2,74

6

71,3

1,93

6

11

44,7

2,15

6

6

54,7

2,29

mm

6 darab

34,7 MPa

1,76 MPa

mm

6 darab

54,8 MPa

5,0 MPa

8

6

10

8

f 1− f f

− 2 3( 45 )− 12

7

6

10

8

275

A 3.95. ábrán a kezeletlen és modifikált furnérlemezből készült rétegelt lemezek többféle vizsgálat összefoglalásával általánosított, lapsíkhoz tartozó technikai szilárdságainak változását láthatjuk az elméleti és kísérleti adatokkal együtt.

3.87. ábra. Rétegelt lemez húzó- és nyomószilárdságának változása a lap síkjában.

3.88. ábra. Rétegelt lemez húzó- és nyomószilárdságának változása a lap síkjában.

276

3.89. ábra. Modifikált rétegelt lemez húzó- és nyomószilárdságának változása a lap síkjában.

3.90. ábra. Modifikált rétegelt lemez húzó- és nyomószilárdságának változása a lap síkjában.

277

3.91. ábra. Rétegelt lemez húzó- és nyomószilárdságának változása a lap síkjában.

3.92. ábra. Modifikált rétegelt lemez húzó- és nyomószilárdságának változása a lap síkjában.

278

3.93. ábra. Modifikált rétegelt lemez nyírószilárdságának változása a lap síkjában.

3.94. ábra. Modifikált rétegelt lemez nyírószilárdságának változása a lap síkjában.

279

3.95/a. ábra. Modifikált rétegelt lemez húzószilárdságának változása a lap síkjában.

3.95/b. ábra. Modifikált rétegelt lemez nyomószilárdságának változása a lap síkjában.

3.95/c. ábra. Modifikált rétegelt lemez húzószilárdságának változása a lap síkjában.

280

3.96. ábra. Rétegelt lemez nyírószilárdságának változása a lap síkjában. A 3. 96. ábrán párhuzamos rétegezésű nyírfurnérból készült lemez lapsíkba eső nyírószilárdságának változását ábrázoltuk az elméletnek megfelelő görbével és a kísérleti adatok alapján. A változás jellege természetesen igen hasonló a természetes faanyag t TLR(α ) vagy t RLT(α ) jellemzőinek változásához (lásd pl. a 3.43. vagy 3.44. ábrát). E.K. Askenazi (1978) közli L. Ja. Kupcs azon kísérleti eredményeit, amellyel képet alkothatunk arról, hogy a rétegelt lemezek szomszédos rétegeinek egymáshoz viszonyított helyzete, a furnérlemezek rostirányának egymással bezárt szöge, milyen hatást gyakorol a normálszilárdságra. A 3.20. táblázat alapján megállapíthatjuk, hogy a tenzorelméletnek megfelelően az 5 vagy annál magasabb fogású forgató tengelyek létezése esetén az anyag - mint a húzószilárdságok kísérleti adatai is mutatják - síkban izotrop. A 3.21. táblázatban összefoglaltuk még egy FSZF típusú rétegelt lemez szilárdsági jellemzőit, melyeket E. K. Askenazi közölt egy 1962-es szabványra és M. Sz. Tadfi vizsgálatára hivatkozva, azért mert ez az egyetlen faalapú anyag, melynek technikai szilárdságai a legrészletesebben adottak (a szükséges 30-ból 11).

3.20. táblázat. Rétegelt lemez húzószilárdsági jellemzői az egyes rétegek rostiránya által bezárt szög függvényében. f1+ f 2+ f 123(45 )+ Rétegelt lemez 99,7 17,1 16,7 Párhuzamos rétegezés, α = 0° 43,0 43,0 43,0 Csillaglemez, α = 20° 54,6 54,6 54,6 Csillaglemez, α = 45° 55,0 55,0 55,0 Csillaglemez, α = 60° 71,0 66,2 27,0 Ortogonális rétegezés, α = 90° MPa

281

3.21. táblázat. Ortogonális felépítésű rétegelt lemez szilárdsági jellemzői. FSZF típusú ortogof 3+ f1+ f1− f 2+ f 2− nális rétegelt lemez várható érték 75,0 51,0 60,0 45,0 szórás 2,9 2,4 2,2 1,8 elemszám 10 12 10 10 FSZF típusú ortogonális rétegelt lemez várható érték szórás elemszám

f 3− 9,5 50

f 123(45 )+

f 123(45 )−

t 12

3( 45 )+ t 12

3( 45 )− t 12

r12−

24,9 1,5 6

29,8 1,9 12

16,0 1,6 10

34,0 2,8 10

32,0 1,7 10

39,5 1,8 12

MPa MPa darab

MPa MPa darab

3.97. ábra. Három rétegű ortogonális nyírfurnér húzószilárdsága.

3.98. ábra. Három rétegű ortogonális nyírfurnér húzószilárdsága.

282

3.99. ábra. Három rétegű ortogonális nyírfurnér húzószilárdsága.

3.100. ábra. Három rétegű ortogonális nyírfurnér húzószilárdsága.

3.101. ábra. Három rétegű ortogonális nyírfurnér húzószilárdsága.

283

3.102. ábra. Ötrétegű ortogonális nyírfurnér húzószilárdsága. Végül a 3.97-3.102. ábrákon bemutatjuk J. Bittner kísérleti munkáját - F. Kollmann könyve alapján -, melyben különböző vastagságú nyírfurnérokból készített ortogonális lemezek lapsíkba eső húzószilárdságát vizsgálta 0°-tól 360°-ig 10°-onként. A kísérleti eredményeket a már megszokott 0°-90°-os tartományban ábrázoltuk és felvettük az Askenazi elmélet alapján meghatározott görbéket is. Könnyen megállapíthatjuk, hogy csupán a lemez egyes rétegeinek vastagsága, azok egymáshoz való viszonya is jelentős hatással van a húzószilárdságra.

3.2.2.4. A TECHNIKAI SZILÁRDSÁGOK ANIZOTRÓPIA DIAGRAMJAI A 3.18. táblázat adatainak felhasználásával megszerkesztettük a műgyantával telített, modifikált nyír faanyag normálszilárdságának anizotrópia diagramját. Összehasonlítva a természetes nyír diagramjával megállapíthatjuk, hogy míg a húzószilárdságot a telítés csak csekély mér-

3.103. ábra. 64 %-os műgyanta telítettségű nyír faanyag húzószilárdságának anizotrópia diagramja.

284

3.104. ábra. 64 %-os műgyanta telítettségű nyír faanyag nyomószilárdságának anizotrópia diagramja.

3.105. ábra. 45,7 %-os műgyanta telítettségű nyír faanyag nyomószilárdságának anizotrópia diagramja. tékben módosítja (3.78. és 3.103. ábrák), addig a nyomószilárdság abszolút értékére és jellegére jelentős hatással van. A műgyanta súlyszázalékának növekedésével csökken a nyomószilárdság anizotrópia foka. A telítés elsősorban a rostra merőleges értékeket növeli meg jelentős mértékben.

3.2.2.5. NÉHÁNY FAALAPÚ ANYAG ASKENAZI-FÉLE SZILÁRDSÁGI FELÜLETÉNEK ÁBRÁZOLÁSA SÍKBELI FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT ESETÉN A szilárdsági felületek szerkesztésénél ugyanazokat az elveket alkalmaztuk, mint 3.2.1.5. fejezetben a természetes faanyagnál.

285

Először megszerkesztettük a 64 súlyszázalékos telítettségű, modifikált nyír szilárdsági felületeit a 3.18. táblázatban található adatokkal (3.106/a,b,c. ábrák). Összehasonlítva ezeket a kezeletlen nyír megfelelő felületeivel (3. 84-3.86. ábrák), megállapíthatjuk, hogy a telítésnek a nyomószilárdságra gyakorolt lényegesen jelentősebb hatását ezek az ábrák is igen jól szemléltetik.

3.106/a. ábra. Modifikált nyír szilárdsági felülete, ha a feszülségi állapot az 1,2 szerkezeti fősíkba esik.

3.106/b. ábra. Modifikált nyír szilárdsági felülete, ha a feszülségi állapot az 1,3 szerkezeti fősíkba esik.

286

3.106/c. ábra. Modifikált nyír szilárdsági felülete, ha a feszülségi állapot az 2,3 szerkezeti fősíkba esik.

3.107/a. ábra. Rétegelt lemez szilárdsági felülete, ha a feszülségi állapot a lap szerkezeti fősíkjába esik.

287

3.107/b. ábra. Modifikált rétegelt lemez szilárdsági felülete, ha a feszülségi állapot a lap szerkezeti fősíkjába esik.

3.108/a. ábra. Ortogonális rétegelt lemez szilárdsági felülete, ha a feszülségi állapot a lap szerkezeti fősíkjába esik.

288

3.108/b. ábra. Ortogonális rétegelt lemez szilárdsági felülete, ha a feszülségi állapot az 1,3 szerkezeti fősíkba esik.

3.108/c. ábra. Ortogonális rétegelt lemez szilárdsági felülete, ha a feszülségi állapot az 2,3 szerkezeti fősíkba esik. A 3.107/a,b. ábrákon a kezeletlen és a műgyantával telített (modifikált) rétegelt lemezek lapsíkhoz tartozó szilárdsági felületeit láthatjuk. A szerkesztéshez a 3.88, 3.90. és 3.94. ábrák adatait használtuk fel.

289

Végül a 3.108/a,b,c. ábrákon az FSZF típusú ortogonális rétegelt lemez mindhárom szerkezeti fősíkhoz tartozó szilárdsági felületét ábrázoltuk a 3.21. táblázat adatai alapján. Érdekes és tanulságos ezeknek a felületeknek a tanulmányozása és összehasonlítása a természetes faanyag megfelelő felületeivel.

3.3. A TERMÉSZETES FAANYAG ÉS A FAALAPÚ ANYAGOK ERŐTANI MÉRETEZÉSÉNEK ALAPELVEI Az anizotrop töréselméletek legfontosabb gyakorlati jelentősége abban áll, hogy lehetővé teszik az anizotrop anyagú szerkezetek erőtani méretezését akármilyen feszültségi állapotban is van a szerkezeti elem kritikus pontja. A faanyagra és a faalapú anyagokra elfogadott Askenazi-féle szilárdsági kritériumot eddig csak arra használtuk, hogy meghatározzuk azokat a feszültségi állapotokat, amelyek az anizotróp anyagot a tágabb értelemben vett tönkremenetel határhelyzetébe hozzák. A szerkezeti anyagok méretezésénél azonban általában az a feladat, hogy eldöntsük, a külső terhelésből származó feszültségi állapot okoz-e tönkremenetelt vagy sem és sokszor a biztonság, az erőtani tartalék mértékére is kíváncsiak vagyunk. E feladat megoldásához következőkképpen gondolkodhatunk. Legyen adott a vizsgált pontban a tényleges feszültségi állapot tenzora. Ha ennek komponensei kielégítik a szilárdsági kritérium egyenletét, az azt jelenti, hogy a feszültségkomponensek által reprezentált pont rajta van a szilárdsági hiperfelületen. A felület egyenletét, ill. alakját a szilárdsági tenzor komponensei szabják meg. Ezeket azonban kísérlettel kell meghatározni. Az elvileg azonos körülmények között végrehajtott kísérletek eredményei - mint erről már szó volt - a faanyag inhomogenitása, az anatómiai főirányok ideálistól való eltérése, a termőhelytől függő, a törzsön

3.109. ábra. A konfidenciahatároknak megfelelő szilárdsági „héj”. belül is eltérő jellemzők, a technológiai fegyelmezetlenség következtében fellépő eltérések, az anyagjellemzők meghatározására szolgáló kísérleti technika hiányosságai és egyéb számtalan ok következtében viszonylag nagy szóródást mutatnak. A megfelelő számú kísérleti adat statisztikai kiértékelésével meghatározhatjuk a szilárdsági jellemzők eloszlásának jellegét. Az eloszlás paramétereinek ismeretében kiszámíthatjuk a vizsgált technikai szilárdság és ezekből a szilárdsági tenzorkomponensek általunk kielégítőnek ítélt valószínűségi szinthez tartozó alsó és felső küszöbértékét. Ily módon a konfidenciaintervallum alsó és felső értékéhez is meghatározhatunk egy hiperfelületet, amely közrefogja a várható értékeknek megfelelő felületet. A szilárdsági felület tehát a valóságban nem egy vastagság nélküli, matematikai felület lesz, hanem egy a kísérleti adatok szórása és a kívánt valószínűségi szint alapján számítható konfidenciaintervallum szélességének megfelelő, véges vastagságú héj.

290

A tönkremenetel feltételét ezek után a következőképpen fogalmazhatjuk meg. Az anyag valamely pontja a megkívánt valószínűségi szinten akkor kerül a tönkremenetel határhelyzetébe, ha a tényleges feszültségi állapotot reprezentáló pont a szilárdsági hiperfelület konfidencia-intervallumának megfelelő részébe, ill. annak belső határolófelületére esik. Az 3.109. ábrán feltüntettük a technikai szilárdságok alsó és felső küszöbértékével számított tenzorkomponenseknek megfelelő, fiktív belső és külső hiperfelületet. A két határolófelület közötti távolság nem állandó, mindig a kísérleti adatok szórásától függ. A fentiek alapján az anizotrop anyagok erőtani méretezését a megengedett feszültségen alapuló és a valószínűségi alapon nyugvó határállapot módszerével a következőképpen végezzük. 3.3.1. MÉRETEZÉS A MEGENGEDETT FESZÜLTSÉGEK MÓDSZERE ALAPJÁN Számítsuk a szilárdsági tenzorkomponenseket a technikai szilárdságok megengedett értékével, azaz a normatív szilárdság n ( n ≥ 1 ) biztonsági tényezővel osztott értékével. E módosítással az Askenazi-féle szilárdsági kritérium (3.44) alakja a következőképpen módosul:

[nt

ijkl

σ ij σ kl

]

2

−

[

]

2 1 ( σ ij δ ij ) + σ ij σ ij = 0 , 2

i,j,k,l = 1, 2, 3 ,

3.98

ahol tijkl - a technikai szilárdságok várható vagy normatív értékével számított tenzorkomponensek, n - a biztonsági tényező. Egyszerű átalakítás után:

(

)

1  ij 2 σ δ ij + σ ij σ ij     2 =n, ij kl t ijkl σ σ

i,j,k,l = 1, 2, 3 .

3.99

Amennyiben a ható feszültségi állapot komponensei kielégítik (3.99)-et, akkor az azokat reprezentáló pont az n-ed részére csökkentett szilárdsági jellemzőkkel meghatározott felületen helyezkedik el. Ezt a felületet megengedett feszültségi felületnek nevezhetjük, hiszen szerepe és értelmezése hasonló az izotróp anyagok töréselméletében alkalmazott megengedett feszültséghez. Nyilvánvaló, hogy ez a feszültségi állapot még nem okoz tönkremenetelt, hiszen, mint azt az 3.110. ábrán is láthatjuk, a tényleges feszültségi állapotot jellemző pont még csak a

3.110. ábra. A megengedett feszültségi felület n = 2 esetén.

291

engedett feszültségi felületen van rajta, ami távol van a szilárdsági jellemzők várható értékével számított szilárdsági felülettől. (3.99)-et a következőképpen is értelmezhetjük. Adott feszültségi állapothoz kiszámítva (3.90) bal oldalát, olyan értéket kapunk, amelyik megmutatja, hogy a feszültségi állapotot reprezentáló pont milyen n értékkel számított megengedett feszültségi felületen helyezkedik el. Ez egyben azt jelenti, hogy mindaddig amíg a

(

)

1  ij 2 σ δ ij + σ ij σ ij     2 ≥n, ij kl t ijkl σ σ

i,j,k,l = 1, 2, 3 .

3.100

reláció fennáll, a vizsgált pontban az anyag szilárdsági szempontból n-szeres vagy még nagyobb biztonsággal megfelel. Az n biztonsági tényező tehát itt is ugyanolyan szerepet tölt be, mint izotróp anyagok esetén a megengedett feszültségek esetében. Megengedett feszültségen alapuló méretezési eljárásnál anizotrop anyagokra az ellenőrzés alaprelációja tehát (3.100). Annak sincs akadája, hogy – az izotróp anyagokénál megszokott módon – meghatározzuk a lineáris feszültségi állapottal egyenértékű feszültséget. Anizotrop anyagnál a megengedett húzófeszültség szerepét a rostirányú megengedett húzófeszültség veszi át. (3.44a) második tagját vigyük át a jobb oldalra és ezzel osszuk el az egész relációt, majd szorozzuk meg az egészet f L+ - szal. Rendezés után az alábbi kifejezést nyerjük: t ijkl σ ij σ kl

1 t LLLL

(

1  ij σ δ ij 2 

)

2

+ σ σ ij  

≤ f L+ ,

3.101

ij

ahol tLLLL - a szilárdsági tenzor rostirányhoz tartozó eleme, t LLLL = 1 f L+ . A reláció bal oldalát tekinthetjük az egyenértékű feszültségnek, és ha a jobb oldalon nem a technikai szilárdság átlagértékét, hanem annak biztonsági tényezővel osztott értékét vesszük, akkor a megengedett feszültségen alapuló méretezésnél a

σ egy =

t ijkl σ ij σ kl

1 t LLLL

(

1  ij σ δ ij 2 

)

2

+ σ ij σ ij  

≤ σe =

f L+ n

3.102

reláció fennállása esetén a szerkezeti elem kritikus pontja legalább n-szeres biztonsággal megfelel.

3.3.2. MÉRETEZÉS A VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLETTEL KIEGÉSZÍTETT HATÁRÁLLAPOT MÓDSZERE ALAPJÁN Ha a szilárdsági kritérium együtthatóit a technikai szilárdságok határfeszültségeinek megfelelő értékével számítjuk, akkor a tönkremeneteli kritériumnak megfelelő felületet – a határállapoton alapuló méretezés analógjára – határfeszültségi felületnek nevezzük. A technikai szilárdságok határfeszültségének alapértékeként a szilárdsági jellemző 1‰-es valószínűségi szinthez tartozó alsó küszöbértékét kell választani. Az 3.111. ábrán megrajzoltunk egy fiktív

292

határfeszültségi felületet a várható értékeknek megfelelő szilárdsági felülettel együtt. Ne kerülje el a figyelmünket, hogy míg a megengedett feszültségi felület tenzorkomponensei mind azonos arányban (n arányban) csökkennek a szilárdságok várható értékeihez képest,

3.111. ábra. A határfeszültségi felület. tehát a két felület hasonló, addig a határfeszültségi felület tenzorkomponenseinek csökkenését az adott szilárdsági jellemző eloszlása, szórása, a kívánt megbízhatósági szint határozza meg, elvileg tehát minden tenzorkomponensre más és más. A határfeszültségi felület és a várható értékeknek megfelelő szilárdsági felület nem hasonló (legfeljebb véletlenül). Ha (3.100)-ban n értékét egységnyinek választjuk, a szilárdsági tenzor komponenseit a technikai szilárdságok határfeszültségeivel, a feszültségkomponenseket a mértékadó igénybevételekből számítjuk, akkor a határállapoton alapuló méretezés alaprelációja:

(

)

2 1  ij σ M δ ij + σ ijM σ ijM    2 ≥1 , H σ ijM σ klM t ijkl

i,j,k,l = L,R,T ,

3.103

amelyben H t ijkl - a szilárdsági tenzorkomponensek olyan értékei, melyeket a technikai szilárdságok 1‰-es valószínűségi szinthez tartozó alsó küszöbértékeivel számítunk, σ ijM = σ ijM - a mértékadó igénybevételek alapján számított feszültségkomponensek. Annak sincs akadálya, hogy a határállapot egyenértékű feszültségét számítsuk ki. Az előző fejezetben bemutatott gondolatmenettel a méretezés alaprelációja: H σ egy =

H t ijkl σ ijM σ klM

1 t

H LLLL

(

1  ij σ M δ ij 2 

)

2

+ σ ijM σ ijM  

≤ σ H = f LH + ,

i,j,k,l = L,R,T ,

3.104

ahol f LH + - a rostirányú húzószilárdság határértéke. Néhány konkrét méretezési feladat, ill. példa található Wittmann, Gy. (2004) által szerkesztett „Mérnöki faszerkezetek II.” c. könyvének 18.1.8. alfejezetében.

293

SZAKIRODALOM A 3. FEJEZETHEZ 1. Askenazi, E.K. 1966: Procsnoszt' anizotropnüh drevesznüh i szinteticseszkih materialov. 1. kiadás. Moszkva: Izdatelsztvo Lesznaja Promüslennoszt. 2. Askenazi, E.K. 1967: K voproszu o geometrii teorii procsnoszti. Mechanika Polimerov, No.4. Riga. 703-707. 3. Askenazi, E.K. 1973: Ekszperimentalnoe iszledovanie procsniszti anizotropnüh materialov pri dvuh-i trohosznom szzsatii. Mehanika Polimerov, No. 6. Riga. 991-996. 4. Askenazi, E.K. 1976: Esso raz pro geometriu procsnoszti anizotropnüh materialov. Mehanika Polimerov, No.2. Riga. 269-278. 5. Askenazi, E.K. 1978: Anizotrópia dreveszinü i drevesznüh materialov. 1. kiadás. Moszkva: Izdatelsztvo Lesznaja Promüslennoszt'. 6. Askenazi, E.K.-Ganov, E.V. 1972: Anizotrópia konstrukcionnüh materialov. Leningrad: Izdatelsztvo Masinosztroenie. 7. Azzi. V.D.-Tsai, S.W. 1956: Anisotropic Strength of Composites. Experimental Mecanics, 283-288. 8. Bejó, L. – Láng, E, - Szalai, J. – Kovács, Zs. – Divós, F. 2003: Lombos fafajok ortotrop szilárdsága és rugalmassága. I. rész: elméleti alapok, kísérleti módszerek. Faipar. LI. Évf. 2003/2. 19-25. 9. Bejó, L. – Láng, E, - Szalai, J. – Kovács, Zs. – Divós, F. 2003: Lombos fafajok ortotrop szilárdsága és rugalmassága. II. rész: kísérleti eredmények és következtetések. Faipar. LI. Évf. 2003/4. 8-16. 10. Corvin, S.C. 1979: On the Strength Anisotropy of Bone and Wood. Department of Biomedical Engineering, Tulane University, New Orleans, LA. 70118. 11. Eberhardsteiner, J. 1995: Biaxial Testing of Orthotropic Materials Using Electronos Specle Pattern Interferometry. Measurement 16, 139-148. 12. Eberhardsteiner, J.-Gingerl, M.-Ondris, L’ 1996: Beurteilung der Meccganaigkeit eines 3D-ESPI-Systems bei der biaxialen Festigkeitsprüfungen von Holz. GESA-Symposium 1996. Experimentelle Beanspruchungsanalyse, neue Entwocklungen und Anwendungen, Schliersee, NSZK. 13. Eberhardsteiner, J.-Pulay, F.-Mang, H 1991: úr Frage der Lasteinleitung bei experimentellen Festigkeitsuntersuchungen von zweiaxial beanspruchtem Holz. Österreichesche Ingenieur- und Architekten Zeitschrift 136, 265-272. 14. Edlund, B. 1982: Festigkeitshypotesen von orthotropen Werkstoffen. Ingenieurholzbau in Forschung und Praxis. Karlsruhe: Bruderverlag 15. Ehlbeck, J.-Hemmer, K. 1986: Erfassung, systematische Auswertung und Ermittlung von Grundlagen über das zusammenwirken von Längs-, Quer- und Schubspannungen bei fehlerfreiem und fehlerbehaftetem Nadelholz. Műszaki beszámoló. Stuttgart: IRB Verlag. 16. Flügge, W. 1972: Tensor Analysis and Continum Mechanics. Berlin-Heidelberg-New York: Springer Verlag. 17. Goodman, J.R.-Bodig, J. 1971: Ortotropic Strength of Wood in Compression. Wood Scince, 4/2. 83-94. 18. Hemmer, K. 1984: Versagensarten des Holzes der Weisstanne (abies alba) unter mehrachsiger Beanspruchung. Disszertáció. Karlsruhe. SDelbstverlag. 19. Hill, R. 1950: The Matematical Theory of Plasticity. London: Oxford University Press. 20. Kollmann, F. 1982: Technologie des Holzes und der Holzwerkstoffe. 2. kiadás. BerlinHeidelberg-New York: Springer Verlag. 21. Koberz, R.W.-Kruger, G.P. 1976: Ultimate Strength Design of Reinforced Timber Biaxial Stress Failure Criteria. Wood Science, 8/4/. 252-261.

294

22. Lang, E.M. – Bejó, L. - Szalai, J. – Kovács, Zs. 2000: Orthotropic Strength and Elasticity of Hardwoods in Relation to Composite Manufacture. Part I. Orthotropy of Shear Strength. Wood and Fiber Science. 32(4). 502-519. 22. Lang, E.M. – Bejó, L. - Szalai, J. – Kovács, Zs. – Andersin, R.B. 2002: Orthotropic Strength and Elasticity of Hardwoods in Relation to Composite Manufacture. Part II. Orthotropy of Compression Strength and Elasticity. Wood and Fiber Science. 34(2). 350-365. 23. Liu, J.Y. 1984: New Shear Strength Test for Solid Wood. Wood and Fiber Science. 16/4/, 567-574. 24. Liu, J.Y. 1980: Shear Strength of Wood Beams: A eibull Analysis. Journal of the Structural Division. ST10. Oktober, 2035-2052. 25. Malmeiszter, A.K. 1966: Geometria teorij procsnoszti. Mehanika Polimerov, No.4. 519-534. 26. Mistéth, Á. 1979: A faanyag szilárdsági tulajdonságainak változása mesterséges öregítés hatására. TDK dolgozat Sopron. 21. Norris: Ch.B. 1962: Strength of orthotropic materials subjected to combined stresses. Forest Product Laboratory, No. 1816. 27. Spengler, R. 1982: Festigkeitsverhalten von Brettschichtholz unter zweiachsiger Beanspruchung. 1. rész. Ermittlung des Festigkeitverhaltens von Brettelementen aus Fichte durch Versuche. Technische Universität München. LKI. Heft 62. 28. Schlimmer, M. 1984: Zeitabhängiges mechanisches Werkstoffverhalten. BerlinHeidelberg-New York: Springer Verlag. 29. Szalai, J. 1992: Indirekte Bestimmung der Scherfestigkeit des Holzes mit Hilfe der anizotropen Festigkeitstheorie. Holz als Roh- und Werkstoff, 50. 233-238. 30. Szalai, J. 1990: Anizotrop szilárdsági kritériumok összehasonlítása a természetes faanyagra való alkalmazhatóságuk szempontjából. Építés-, Építészettudomány, XXI. 1-4. 23-57. 31. Szalai, J. 1992: Comparing of failure theories for orthotropic materials on the basis of theoretical criteria of their applicability. Acta Facultatis Ligniensis. 1992/1, 15-31. 32. Szalai, J. 1994) A faanyag és faalapú anyagok erőtani méretezése összetett feszültségi állapot esetén. Építés-, Építészettudomány. XXVI/3-4. 215-223. 33. Szalai, J. 1996: Az erdei fenyő (Pinus silvestris) technikai szilárdságai. Bútor- és Faipar. 1996/6-7. 14-15. 34. Szalai, J. 1997: Technische Festigkeiten des Buchenholzes (Fagus silvatica). Drevársky Vyskum. Vol. 42. No. 3. 1997. 1-14. 35. Szalai, J. 1998: Technische Festigkeiten der Akazie (Robinia pseudo-Acacia) und der Fichte (Picea excelsa). Drevársky Vyskum. Vol. 43. No. 3-4. 1999. 39-51. 36. Szalai, J. 1999: Technische Festigkeiten der Eiche (Quercus Robur). A Soproni Egyetem Tudományos Közleményei. 1996—1999. 42-45. évfolyam. 189-198. 37. Szalai, J. 1999: A természetes faanyag tönkremeneteli kritériumok által meghatározott szilárdsági felületének általános jellemzői. Faipar. XLVII. 1999/2-3. 15-17. 38. Szalai, J. 2003: A természetes faanyag szilárdsági felületének jellemzői. Építés- Építészettudomány XXXI (1-2) 43-59. 38. Szalai, J.-.Niemz, P. - Andor, K. - Bariska, M - Howald, M. 2004: Untersuchungen zum Einfluss der Holzfeuchtigkeit auf das Bruchverhalten von Fichte bei Zugbelastung in Faserrichtung. Schweizerische Zeitschrift für Forstwesen. 155. Jahrgang, 2004/1. 1-5. 40. Tsai, S.W.-Wu, E.M. 1971: A general theory of strength for anisotropic material. J. Composite Materials, Vol. 5. 58-80. 41. Vecchio, F. 1979: Shear Rig Design. Diplomamunka. University of Toronto. 42. Vecchio, F.-Collins, M. 1982: The Responseof Reinforced Concrete to In-Plane Shear and Normal Stress. Műszaki Jelentés. University of Toronto.

295

43. Voigt, W. 1928: Lehrbuch der Kristallphysik. Leipzig-Berlin: Teubner Verlag. 44. Wittmann, Gy. 2001: Mérnöki faszerkezetek II. Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó. Budapest, 2001. 262 old. 45. Wu, E.M. 1972: Optimal experimental measurements of anisotropic Failure Tensors. J. Composite Materials, Vol. 6. 472-489. 46. Ylinen, A. 1963: A Comparative Study of Different Types of Shear Test of Wood. Background Paper. Fifth Conference on Wood Technology. U.S. Forest Products Laboratory. Madison. Wisconsin. September 16-27.

296

UTÓSZÓ A könyv 1. fejezetében megismerkedtünk az anizotrópia fogalmával, természetes és mesterséges kialakulásával és beláttuk, hogy az anyag fizikai-mechanikai viselkedésének leírásához szükséges tulajdonságokat tenzormennyiségként kell kezelnünk. Az anyagtulajdonságokat képviselő tenzor jellemzőit (dimenzióját, független komponenseinek számát, komponenseinek fizikai jelentését) részben bizonyos elvi megfontolások után, részben az anyaggal végzett kísérletek eredményei alapján kell és lehet meghatározni. A 2. és 3. fejezetet úgy is tekinthetjük, mint példát arra nézve, hogy egy-egy konkrét tulajdonságot kiválasztva, hogyan végezzük el ezt a feladatot. Akármilyen más fizikai vagy mechanikai viselkedést kivánunk leírni, a jelenségre jellemző anyagtenzor szerkezetét e két fejezetben alkalmazott módszerekhez hasonlóan kell feltárni. Meglepő és – miután F. Savart már 1830-ban javasolta a természetes faanyagra az ortogonális anizotrop anyagmodellt – érthetetlen, hogy a faanyag és a faalapú anyagok fizikaimechanikai tulajdonságainak leírásánál a legtöbb esetben csak érintik az anizotrópiát és szó sincs arról, hogy eleve anizotrop alapon tárgyalnák, ill. vizsgálnák a jelenséget (pl. sokszor előfordul, hogy valamilyen anyagjellemző iránytól való függésére, jóllehet könnyen meghatározhatók lennének a tulajdonság tenzorkompnenseinek transzformációjával levezethető, elméletileg is megalapozott összefüggések, empírikusan felállított, közelítő képleteket használnak). A fával, a faalapú anyagokkal kapcsolatos legfontosabb témakörök: - hő- és anyagtranszport, - zsugorodás, dagadás, - viszkózus, plasztikus viselkedés, - a szilárdságok különböző fajtái (statikus, dinamikus rövid és hosszú idejű), - törésmechanikai jellemzők, - dagadási nyomás, - keménység, kopásállóság, - termikus tulajdonságok, - akusztikus tulajdonságok, - elektromos, mágneses tulajdonságok. A fenti területeken nemcsak lehetséges, hanem kötelező az anizotrop szemléleten alapuló tárgyalásmód. A további kutató és tudományos munka egyik része éppen az lehet, hogy valamilyen tulajdonság esetén a korábban felhalmozott ismereteket az anizotrop szemléletmódnak megfelelő rendszerbe foglaljuk. Ez az új rendszerező elv szinte automatikusan kijelöli az adott terület további kutatási feladatait. E könyv áttanulmányozása remélhetőleg segítséget és bíztatást ad a faanyaggal, a faalapú anyagokkal kapcsolatos szakterület iránt érdeklődők számára a fent felsorolt kutatási témák valamelyikének feldolgozására és továbbfejlesztésére.

297

FÜGGELÉK 1. AZ n-FOGÁSÚ FORGATÓTENGELY HATÁSA A MECHANIKAI TULAJDONSÁGOKAT LEÍRÓ TENZORKOMPONENSEK SZÁMÁRA Vizsgáljuk azt az esetet, mikor az anyagnak egy n-fogású forgatótengelye van. Ha e tengelyt x3-mal jelöljük, a szimmetriaelemnek megfelelő transzformációs mátrix (1.10)-zel adható meg

 cos α sin α 0 β = − sin α cos α 0 ,  0 0 1

[ ] i i'

ahol α=

2π , és n értékét egyelőre nem rögzítjük, elvileg tetszőleges pozitív egész szám lehet. n

A mechanikai tulajdonságokat leíró négy dimenziós tenzornak általános anizotrópia esetén 21 független komponense van. Határozzuk meg, hogyan transzformálódnak ezek a komponensek, ha az anyag n-fogású forgatótengelynek megfelelő szimmetriaelemmel rendelkezik. A transzformációt a (2.28) összefüggésnek megfelelően végezzük. Annak figyelembevételével, hogy a szimmetriaelemnek megfelelő transzformáció nem változtatja meg a tenzorkomponens értékét azaz t i ' j'k 'l ' = t ijkl , a 21 komponensre a következő összefüggéseket kapjuk: t 1111 = t 1111 cos 4 α + 2 t 1122 sin 2 α cos 2 α + 4 t 1112 sin α cos 3 α + t 2222 sin 4 α +

+ 4 t 2212 sin 3 α cos α + 4 t 1212 sin 2 α cos 2 α ,

F1

(

)

t 1122 = t 1111 sin 2 α cos 2 α + t 1122 sin 4 α + cos 4 α +

( (sin α cos

) α cos α ) − 4 t

+ 2 t 1112 sin α cos α − sin α cos α + t 2222 sin α cos 2 α + 3

+ 2 t 2212

3

3

α − sin

3

2

1212

sin 2 α cos 2 α ,

F2

t 1133 = t 1133 cos 2 α + t 2233 sin 2 α + 2t 3312 sin α cos α ,

F3

t 1123 = t 1123 cos α − t 1131 sin α cos α + t 2223 sin α cos α − t 2231 sin α + 3

3

2

3

+ 2t 2312 sin α cos 2 α − 2t 3112 sin 2 α cos α ,

F4

t 1131 = t 1123 sin α cos 2 α + t 1131 cos 3 α + t 2223 sin 3 α + t 2231 sin 2 α cos α + + 2t 2312 sin 2 α cos α + 2t 3112 sin α cos 2 α ,

F5

( ) α) + t sin α cos α + α ) + 2 t (sin α cos α − sin α cos α ) ,

t 1112 = − t 1111 sin α cos 3 α + t 1122 sin α cos 3 α − sin 3 α cos α +

( (3 sin

+ t 1112 cos α − 3 sin α cos 4

+ t 2212

2

2

2

α cos 2 α − sin 4

3

2222

3

3

1212

F6

t 2222 = t 1111 sin 4 α + 2 t 1122 sin 2 α cos 2 α − 4 t 1112 sin 3 α cos α + t 2222 cos 4 α −

− 4 t 2212 sin α cos 3 α + 4 t 1212 sin 2 α cos 2 α ,

F7

t 2233 = t 1133 sin 2 α + t 2233 cos 2 α − 2t 3312 sin α cos α ,

F8 298

t 2223 = t 1123 sin 2 α cos α − t 1131 sin 3 α + t 2223 cos 3 α − t 2231 sin α cos 2 α − − 2t 2312 sin α cos 2 α + 2t 3112 sin 2 α cos α ,

F9

t 2231 = t 1123 sin 3 α + t 1131 sin 2 α cos α + t 2223 sin α cos 2 α + t 2231 cos 3 α − − 2t 2312 sin 2 α cos α − 2t 3112 sin α cos 2 α ,

F10

(

)

t 2212 = − t 1111 sin 3 α cos α + t 1122 sin 3 α cos α − sin α cos 3 α +

( (cos

) α ) + 2 t (sin

+ t 1112 3 sin 2 α cos 2 α − sin 4 α + t 2222 sin α cos 3 α + + t 2212

4

α − 3 sin α cos 2

2

1212

3

)

α cos α − sin α cos 3 α ,

F11

t 3333 = t 3333 ,

F12

t 3323 = t 3323 cos α − t 3331 sin α ,

F13

t 3331 = t 3323 sin α + t 3331 cos α ,

F14

t 3312 = − t 1133 sin α cos α + t 2233 sin α cos α + t 3312 (cos 2 α − sin 2 α ) ,

F15

t 2323 = t 2323 cos 2 α − 2t 2331 sin α cos α + t 3131 sin 2 α ,

F16

(

)

t 2331 = t 2323 sin α cos α + t 2331 cos 2 α − sin 2 α − t 3131 sin α cos α ,

F17

t 2312 = − t 1123 sin α cos 2 α + t 1131 sin 2 α cos α + t 2223 sin α cos 2 α −

(

)

− t 2231 sin 2 α cos α + t 3112 sin 3 α − sin α cos 2 ,

F18

t 3131 = t 2323 sin 2 α + 2 t 2331 sin α cos α + t 3131 cos 2 α ,

F19

t 3112 = − t 1123 sin 2 α cos α − t 1131 sin α cos 2 α + t 2223 sin 2 α cos α +

+ t 2312 (sin α cos 2 α − sin 3 α ) + t 3112 (cos 3 α − sin 2 α cos α ) ,

F20

t 1212 = t 1111 sin 2 α cos 2 α − 2 t 1122 sin 2 α cos 2 α +

( (sin α cos

) α cos α ) + t (cos

+ 2 t 1112 sin 3 α cos α − sin α cos 3 α + t 2222 sin 2 α cos 2 α + + 2 t 2212

3

α − sin 3

1212

4

)

α − 2 sin 2 α cos 2 α + sin 4 α .

F21

(F12) azt jelenti, hogy az x3 irányú forgatótengelynek a t 3333 komponensre nincs hatása. (F16) és (F19) mindegyike ugyanarra az összefüggésre vezet:

(t 2323 − t 3131 ) sin 2 α = −2t 2331 sin α cos α .

F22

(F17)-ből:

299

(t 2323 − t 3131 ) = 2t 2331 tgα ,

F23

E két utóbbi egyenletet összevonva: sin α(tgα sin α + cos α )t 2331 = 0 .

F24

Ez a kifejezés úgy lehet nulla, ha tényezőinek valamelyike nulla. A zárójelben lévő trigonometrikus függvénykapcsolat sohasem lehet nulla. sin α = 0, ha α = kπ (k = 0,1,2,...). A forgatótengely fogásszáma szempontjából csak a k = 1 esetnek van értelme. Így α = π , ami 2-fogású forgatótengelyt jelent. A fentiek alapján megállapíthatjuk, hogy n = 2 esetét kivéve (F24) csak úgy teljesülhet, ha t 2331 = 0. Kétfogású forgatótengely esetén (F22) tetszőleges t 2323 és t 3131érték mellett teljesül. Minden más fogásszám esetén azonban t 2323 = t 3131 . Pontosan ezeket a megállapításokat tettük a 2.1.5. fejezetben a különböző kristályrendszerek komponenseire. Monoklin rendszerben, amit a 2-fogású forgatótengely jellemez, t 2331 ≠ 0 és t 2323 ≠ t 3131 . A trigonális, tetragonális és hexagonális rendszerekben viszont t 2331 = 0 és t 2323 = t 3131 . (F3) és (F8) ismét ugyanazt az összefüggést adja:

(t 1133 − t 2233 ) sin 2 α = 2t 3312 sin α cos α .

F25

(F 15) szerint:

(t 1122 − t 2233 ) = −2t 3312 tgα .

F26

E két kifejezés alapján, az előzőhöz teljesen hasonló meggondolással, megállapíthatjuk, hogy 2 fogású forgatótengely esetén t 3312 , t1133 és t 2233 tetszőleges, minden más esetben t 3312 = 0 és t1133 = t 2233 . A megállapítás helyességét ismét ellenőrizhetjük a 2.1.5. fejezetben. (F13) és (F14) az alábbi alakra hozható: t 3323 (1 − cos α ) = − t 3331 sin α ,

t 3331 (1 − cos α ) = t 3323 sin α . E két összefüggésből:

(t

2 3323

2 )(1 − cos α ) = 0 . + t 3331

F27

A bal oldali kifejezés vagy akkor nulla, ha cos α = 1, vagyis α = 2kπ (k = 0,1,2,...), ami egyfogású forgatótengelynek felel meg, ami nem szimmetriaelem, vagy 2 2 t 3323 = − t 3331 ,

ami csak akkor lehetséges, ha t 3323 = t 3331 = 0. A fenti meggondolás tehát azt eredményezi, hogy amennyiben x3 másod vagy annál nagyobb fogású forgatótengely, akkor a t 3323 és t 3331 tenzorkomponensek mindig nullával egyenlők. Ezek után adjuk össze (F4)-et és (F9)-et:

300

(1 − cos α )(t 1123 + t 2223 ) = − sin α(t 1131 + t 2231 ) , majd (F5)-öt és F(10)-et:

(1 − cos α )(t 1131 + t 2231 ) = sin α(t 1123 + t 2223 . ) A két egyenletből:

[(t

]

+ t 2223 ) + (t 1131 + t 2231 ) (1 − cos α ) = 0 . 2

1123

2

Az (F27)-nél alkalmazott gondolatmenetet megismételve kapjuk, hogy

(t 1123 + t 2223 )2 = −(t 1131 + t 2231 )2 , ami csak úgy lehetséges, ha a jobb és bal oldal értéke nulla, s így t 1123 = − t 2223 és t 1131 = − t 2231 .

F28

Ez utóbbi két megállapítás tetszőleges fogásszámú forgatótengely esetén érvényes, ha az egybeesik az x3 koordinátatengellyel. Helyettesítsük be (F28)-at (F4)-be, (F5)-be, (F18)-ba és (F20)-ba:

(

)

t 1123 1 − cos α + 2 sin 2 α cos α = − t 1131 sin α cos 2α + 2t 2312 sin α cos 2 α − 2t 3112 sin 2 α cos α , F29/a 2 2 t 1131 1 − cos α + 2 sin α cos α = t 1123 sin α cos 2α + 2 t 2312 sin α cos α + 2t 3112 sin α cos 2 α , F29/b 2 2 2 t 2312 1 − cos α + 2 sin α cos α = −2t 1123 sin α cos α + 2t 1131 sin α cos α − 2t 3112 sin α cos 2α , F29/c 2 2 2 t 3112 1 − cos α + 2 sin α cos α = −2t 1123 sin α cos α − 2t 1131 sin α cos α + 2t 2312 sin α cos 2α . F29/d Adjuk össze az első két egyenletet, miután az elsőt sinα -val, a másodikat cosα -val ( sin α ≠ 0 és cosα ≠ 0 ) megszoroztuk, majd hasonlóan járjunk el a második két összefüggéssel is. Ezután szorozzuk meg az egyenleteket sin α -val és cosα -val az előzőhöz képest fordítva és vonjuk ki egymásból az első kettőt és a második kettőt. Ilyen módon az alábbi egyenletrendszerhez jutunk: t 2312 sin α − t 3112 (cos α − cos 2α ) − t 1131 sin 2α + 0 = 0 ,   t 2312 (cos α − cos 2α ) + t 3112 sin α + 0 + t 1123 sin 2α = 0 ,  F30  0 − t 3112 sin 2α + t 1131 (cos α − cos 2α ) − t 1123 sin α = 0 ,   t 2312 sin 2α + 0 − t 1131 sin α + t 1123 (cos α − cos 2α ) = 0 .

(

)

(

)

(

)

Ennek az egyenletrendszernek csak akkor van a triviálistól különböző megoldása, ha az együtthatók determinánsa nulla:

301

sin α

(cos α − cos 2α )

− (cos α − cos 2α )

− sin 2α

0

sin α

0

sin 2α

0

− sin 2α

(cos α − cos 2α )

sin 2α

0

− sin α

− sin α

=0

(cos α − cos 2α )

Kifejtve:

(

)

2 sin 2 α(cos α − cos 2α ) = 2 sin 2 α 2 cos 2 α − cos α − 1 = 0 . 2

2

A sin α = 0 lehetőséget a rendezés során kizártuk, ezért a fenti egyenlőség csak úgy állhat fenn, ha a zárójelben lévő kifejezés értéke nulla. A másodfokú egyenlet megoldása: cosα = 1 , azaz α = 2kπ (k = 0,1,2,...) és n = 1, ami nem szimmetriaelem, valamint 1 2π cos α = − , α = k (k = 1,2,...). 2 3

A forgatótengely fogásszáma szempontjából csupán a k = 1 esetnek van értelme. α = 120o , ami 3-fogású forgatótengelyt jelent. Ilyenkor t1123 , t1131 , t 2312 és t 3112 közül legalább egynek különböznie kell nullától. A gyakorlatban általában egyik sem nulla, mint arról a trigonális rendszer - melynek fő jellemzője a 3-fogású forgatótengely - (2.36)-os merevségi mátrixában is meggyőződhetünk. A levezetésből azonban az a fontos megállapítás is következik, hogy minden olyan forgatótengelynél, ahol n ≠ 3, t 1123 = t 1131 = t 2312 = t 3112 = 0 , F31 amit a monoklin, a tertragonális és a hexagonális rendszerek megfelelő merevségi mátrixai is tanúsítanak. Adjuk össze (F1)-et és (F7)-et, majd vonjuk ki őket egymásból, ugyanezeket a műveleteket végezzük el az (F6) és (F11) összefüggésekkel is. A következő egyenleteket kapjuk:

  1   sin 2α  (t 1111 + t 2222 ) − t 1122 − 2t 1212  sin 2α + 2 cos 2α(t 2212 − t 1112 ) = 0 ,   2    sinα[(t 1111 + t 2222 )sin α − 2 cos α(t 1112 + t 2212 )] = 0 ,  sinα[4(t 1112 + t 2212 )sin α + 2 cos α(t 1111 − t 2222 )] = 0 ,    1   sin2α  (t 1111 + t 2222 ) − t 1122 − 2 t 1212  cos 2α + 2 sin 2α(t 1112 + t 2212 ) = 0 .    2  

F32

Mind a négy egyenlőség fennáll, ha sin α = 0, azaz α = kπ (k = 0,1,2,...) vagyis n = 2. Ha a forgatótengely 2-fogású – monoklin rendszerben – az (F32)-ben szereplő hat komponensre semmilyen megállapítás nem tehető. Minden más fogásszám esetén (F32) második és harmadik összefüggését összevonva kapjuk:

[

]

sin α (t 1111 − t 2222 ) + 4(t 1112 + t 2212 ) = 0 . 2

2

302

Mivel a sin α = 0 lehetőséget már kizártuk, a szögletes zárójelben lévő kifejezésnek kell nullával egyenlőnek lennie, azaz

(t 1111 − t 2222 )2 = −4(t 1112 + t 2212 )2 , amiből a zárójelben lévő kifejezésnek nulla volta következik. Íly módon: t 1111 = t 2222 , t 1112 = − t 2212 .

F33

(F33) az n = 2 kivételével, minden más fogású forgatótengelyre fennáll. Helyettesítsük be ezeket az egyenlőségeket (F32) negyedik egyenletébe: cos 2α(t 1111 − t 1122 − 2 t 1212 ) = 0 .

1 π arccos 0 = (2k + 1) , k = 0,1,2,...). 2 2 Ez 4-fogású forgatótengelyt jelent. Ilyenkor t 1111 , t 1122 és t 1212 egymástól függetlenek. Az n = 2 és n = 4 eseteket kivéve, minden más fogásszámú forgatótengelyre azonban a zárójelben lévő mennyiségnek kell nullával egyenlőnek lennie. Azaz Az egyenlőség teljesül, ha cos 2α = 0, α =

1 (t 1111 − t 1122 ) . 2 Ennek felhasználásával (F32) első egyenletéből következik: t 1212 =

F34/a

2 cos 2α(t 2212 − t 1112 ) = 4 t 1112 cos 2α = 0 , ami az α = (2k + 1) t 1112 = t 2212 = 0 .

π 2

(k = 0,1,2,...), n = 4 esetet kivéve csak akkor állhat fenn, ha F34/b

(F33), (F34) tehát n = 2 és n = 4 kivételével, minden más fogásszám esetén fennáll. Az állítás helyességét a 2.1.5. fejezetben a trigonális (n = 3) és hexagonális (n = 6)rendszerek merevségi mátrixainak segítségével ellenőrizhetjük. (2.56/a), (2.59/a) és (2.61/a) alapján könnyen beláthatjuk, hogy az 1,2-sík akkor izotrop, ha E1 , F35/a E1 = E 2 és G 12 = 2(1 + ν 12 ) vagy a tenzorkomponensekkel kifejezve: t 1111 = t 2222 és t 1212 =

1 (t 1111 + t 1122 ) . 2

F35/b

Az előző levezetés során megállapítottuk, hogy az (F35) feltételek minden pozitív egész számnak megfelelő fogászámú forgatótengely esetén fennállnak az 1 (ami egyébként sem ad szimmetriaelemet), 2 és 4 értéket kivéve. Ha n ≥ 5, a forgatótengelyre merőleges sík mindig izotrop.

303

Az első kiadás készült a Hillebrand Nyomda szövegszerkesztő rendszerével, Times típusú betűvel, íves ofszet nyomtatással. Terjedelme 35 A/5 ív Felelős kiadó: dr. Szalai József Felelős nyomdavezető: Hillebrand Imre 95.O(2000)

A második, javított és bővített kiadás szerkesztője és szerzője dr. Szalai József, az ábraanyagot számítógépre adaptálta Vágó József doktorandusz.

304