5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Pˇredn´aˇska prvn´ı aneb ´ Uvod do algebry ˇ a moˇzn´a i ZS) ˇ (opakov´an´ı ze SS

Matematika I (KMI/5MAT1)

Sezn´amen´ı s pˇredmˇetem Osnova pˇredn´aˇsky sezn´amen´ı s pˇredmˇetem mnoˇziny pojem mnoˇziny operace s mnoˇzinami ˇc´ıseln´e obory intervaly

mocniny a odmocniny pˇrirozen´y exponent racion´aln´ı exponent

ˇreˇsen´ı polynomick´ych rovnic definice polynomu polynomick´a rovnice kvadratick´a rovnice

Matematika I (KMI/5MAT1)

Mnoˇziny Mnoˇziny Mnoˇzinou budeme rozumˇet soubor“ objekt˚ u, kter´y je urˇcen ” takov´ym zp˚ usobem, ˇze m˚ uˇzeme jednoznaˇcnˇe rozhodnout, zda dan´y objekt do tohoto souboru (mnoˇziny) patˇr´ı, ˇci nikoliv. Jak urˇcit prvky mnoˇziny? Konkr´etn´ı mnoˇzinu A lze zav´est n´asleduj´ıc´ımi zp˚ usoby: v´yˇctem vˇsech prvk˚ u:

A = {a, b, . . . , c}

stanoven´ım charakteristick´e vlastnosti ϕ(x) : A = {x : ϕ(x)} Pˇr´ıklady: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {x : x 2 = 1} Matematika I (KMI/5MAT1)

Mnoˇziny Dalˇs´ı pˇr´ıklady stanoven´ı mnoˇzin {x : x 2 = 1} = {−1, 1} {d : d je pracovn´ı den} = {pondˇel´ı, u ´ter´y, stˇreda, ˇctvrtek, p´atek} {c : c je kladn´e sud´e ˇc´ıslo} = {2, 4, 6, 8, . . .} N´aleˇzen´ı do mnoˇziny Objekt x je prvkem mnoˇziny A: x ∈ A Objekt y nen´ı prvkem mnoˇziny B:

1 ∈ {1, 2, 3, 4} 2

1 ∈ {x; x = 1}

y 6∈ B

5 6∈ {1, 2, 3, 4} 5 6∈ {x; x 2 = 1} Matematika I (KMI/5MAT1)

V´yznamn´e mnoˇziny Z´akladn´ı mnoˇzina Z´akladn´ı mnoˇzina - v´ychoz´ı mnoˇzina, ze kter´e m˚ uˇzeme vyb´ırat prvky do dan´ych mnoˇzin. A = {x ∈ Z : ϕ(x)}

Pr´azdn´a mnoˇzina Pr´azdn´a mnoˇzina - mnoˇzina, kter´a nem´a ˇz´adn´y prvek - znaˇc´ıme ∅ nebo { } Matematika I (KMI/5MAT1)

Vztahy mezi mnoˇzinami Podmnoˇzina mnoˇziny Mnoˇzina B je podmnoˇzinou mnoˇziny A: B ⊆ A ⇔ (x ∈ B ⇒ x ∈ A)

Rovnost mnoˇzin Rovnost mnoˇzin A a B:

A = B ⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) Matematika I (KMI/5MAT1)

Operace s mnoˇzinami Sjednocen´ı mnoˇzin Sjednocen´ı mnoˇzin A a B:

A ∪ B = { x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

Matematika I (KMI/5MAT1)

Operace s mnoˇzinami Pr˚ unik mnoˇzin Pr˚ unik mnoˇzin A a B:

A ∩ B = {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

Matematika I (KMI/5MAT1)

Operace s mnoˇzinami Rozd´ıl mnoˇzin Rozd´ıl mnoˇzin A a B:

A\B = {x : (x ∈ A) ∧ (x 6∈ B)}

Matematika I (KMI/5MAT1)

Operace s mnoˇzinami Disjunktn´ı mnoˇziny Mnoˇziny A a B jsou disjunktn´ı:

A ∩ B = ∅.

Matematika I (KMI/5MAT1)

ˇ ıseln´e obory C´ Mnoˇzina pˇrirozen´ych ˇc´ısel N = {1, 2, 3, . . .} N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} Mnoˇzina cel´ych ˇc´ısel Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} Mnoˇzina racion´aln´ıch ˇc´ısel  Q=

 p : p ∈ Z, q ∈ N q Matematika I (KMI/5MAT1)

ˇ ıseln´e obory C´ Mnoˇzina iracion´aln´ıch ˇc´ısel R\Q Mnoˇzina re´aln´ych ˇc´ısel R = (−∞, ∞) R+ = {x ∈ R; x > 0} R− = {x ∈ R; x < 0} R+ 0 = {x ∈ R; x ≥ 0} R− 0 = {x ∈ R; x ≤ 0}

Matematika I (KMI/5MAT1)

Mnoˇziny re´aln´ych ˇc´ısel Otevˇren´y interval (a, b) Mnoˇzina vˇsech re´aln´ych ˇc´ısel x, pro nˇeˇz plat´ı vztah a < x < b. Oba krajn´ı body intervalu, tj. a a b, podle t´eto definice do intervalu (a, b) nepatˇr´ı; (a, b) = {x ∈ R; a < x < b}.

Uzavˇren´y interval ha, bi Mnoˇzina vˇsech re´aln´ych ˇc´ısel x, pro nˇeˇz plat´ı vztah a ≤ x ≤ b. Oba krajn´ı body intervalu, tj. a a b, podle t´eto definice do intervalu ha, bi patˇr´ı; ha, bi = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}.

Matematika I (KMI/5MAT1)

Mnoˇziny re´aln´ych ˇc´ısel Polootevˇren´y interval (a, bi Mnoˇzina vˇsech re´aln´ych ˇc´ısel x, pro nˇeˇz plat´ı vztah a < x ≤ b. Z obou krajn´ıch bod˚ u a a b je prvkem mnoˇziny (a, bi pouze bod b; (a, bi = {x ∈ R; a < x ≤ b}.

Polouzavˇren´y interval ha, b) Mnoˇzina vˇsech re´aln´ych ˇc´ısel x, pro kter´a plat´ı nerovnost a ≤ x < b. Z obou krajn´ıch bod˚ u a a b je prvkem mnoˇziny ha, b) pouze bod a; ha, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b}.

Matematika I (KMI/5MAT1)

Okol´ı bodu

Okol´ı bodu A, Oδ (A) Mnoˇzina re´aln´ych ˇc´ısel x, pro kter´a plat´ı nerovnice |x − A| < δ. ˇ ıslo δ naz´yv´ame polomˇer okol´ı bodu A. C´ Oδ (A) = {x ∈ R; |x − A| < δ}, Oδ (A) = (A − δ, A + δ).

Matematika I (KMI/5MAT1)

Okol´ı bodu Prstencov´e okol´ı bodu A, Pδ (A) Okol´ı bodu A ochuzen´e o stˇred, tedy o bod A. Pδ (A) = Oδ (A)\{A}, Pδ (A) = (A − δ, A) ∪ (A, A + δ).

ˇ Casto n´am bude z´aleˇzet pouze na tom, ˇze nˇejak´e okol´ı bodu A s urˇcitou vlastnost´ı existuje. Potom vynech´av´ame u ´daje o polomˇeru δ a p´ıˇseme pouze O(A), resp. P(A).

Matematika I (KMI/5MAT1)

Mocniny a odmocniny kladn´e celoˇc´ıseln´e mocniny Je-li a ∈ R a n ∈ N, potom je an = a · a · a · . . . · a (kde a je n-kr´at n´asobeno samo sebou. Ve v´yrazu an naz´yv´ame ˇc´ıslo n exponent (mocnitel) a ˇc´ıslo a z´aklad (mocniny). 45 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1 024 kladn´e celoˇc´ıseln´e mocniny 32 = 3 · 3 = 9 021 = 0 · 0 · 0 · · · 0 = 0 103 = 10 · 10 · 10 = 1 000

23 = 2 · 2 · 2 = 8 (−1)3 = (−1) · (−1) · (−1) = −1 107 = 10 000 000

Matematika I (KMI/5MAT1)

Pˇr´ıklady z´aporn´e celoˇc´ıseln´e mocniny Je-li a ∈ R\{0} a n je kladn´e cel´e ˇc´ıslo, potom je a−n = =

1 an

1 23 1 = = 0, 125 8

2−3 =

1 a · a · a · ... · a

z´aporn´e celoˇc´ıseln´e mocniny 1 1 = 2 3 9 1 1 a−1 = 1 = a a 2 a 1 a−6 a2 = 6 = a−4 = 4 a a 3−2 =

1 =1 111 1 1 1 = = =− 3 (−2) −8 8

1−11 = (−2)−3

0−7 nen´ı definov´ano Matematika I (KMI/5MAT1)

Mocniny

nulov´y exponent Je-li a ∈ R\{0}, potom je a0 = 1. V´yraz 00 nen´ı definov´an! nulov´y exponent 30 = 1 1 000 0000 = 1 00 = nen´ı definov´ano

Matematika I (KMI/5MAT1)

Pr´ace s mocninami Pˇr´ıklady Vzorce ar · as = ar +s

35 · 32 = 35+2 = 37 = 2 187 x 3 · x −2 = x 3−2 = x 1 = x Pˇr´ıklady

Vzorce ar = ar −s as

pro a 6= 0

53 = 53−2 = 51 = 5 52 x3 = x 3−(−2) = x 5 x −2 32 1 = 32−4 = 3−2 = 34 9 Matematika I (KMI/5MAT1)

Pr´ace s mocninami Pˇr´ıklady Vzorce

a2 r s

(a ) = a

rs


3

= a(2·3) = a6

(3x )4 = 34x

3 83 = 23 = 23·3 = 29 Pˇr´ıklady

Vzorce

(4 · 2)3 = 43 · 23 = 512 n

n n

(ab) = a b

(−2y )4 = (−2)4 · y 4 = 16y 4 154 = (3 · 5)4 = 34 · 54

Matematika I (KMI/5MAT1)

Pr´ace s mocninami Pˇr´ıklady

Vzorce  a n b

=

an bn

pro b 6= 0

 2 42 4 16 = 2 = 3 3 9  3 3 x x x3 = = − −y (−y )3 y3   65 6 5 = 25 = 32 = 35 3 66 65 · 6 65 = = 6 · 35 35 35  5 6 =6 = 6 · 25 3 = 6 · 32 = 192 Matematika I (KMI/5MAT1)

Odmocniny Definice n-t´e odmocniny √ n a=b

⇔

bn = a

Pˇr´ıklady √ √ 3

4=2

⇔

22 = 4

8 = 2 ⇔ 23 = 8 p 3 (−8) = (−2) ⇔ (−2)3 = (−8) D˚ uleˇzit´a rovnost √

x 2 = |x| Matematika I (KMI/5MAT1)

Racion´aln´ı mocniny Racion´aln´ı mocnina Je-li a nez´aporn´e ˇc´ıslo, potom √ √
r s ar /s = ar = s a . Speci´alnˇe plat´ı: a1/s =

√ s

a

Pˇr´ıklady √ 43/2 = ( 4)3 = 23 = 8 √ 1 9−3/2 = ( 9)−3 = 3−3 = 27

82/3 = . . .? 64−4/3 = . . .?

Matematika I (KMI/5MAT1)

Polynom n-t´eho stupnˇe Definice polynomu Polynomem Pn (x) promˇenn´e x rozum´ıme v´yraz, kter´y lze zapsat ve tvaru Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + an−2 x n−2 + . . . + a2 x 2 + a1 x + a0 , kde ai jsou pevnˇe dan´e konstanty. Je-li an 6= 0 potom ˇr´ık´ame, ˇze dan´y polynom m´a stupeˇ n rovn´y ˇc´ıslu n, resp. ˇze se jedn´a o polynom n-t´eho stupnˇe. Pˇr´ıklad P3 (x) = 5x 3 + 9x 2 − 11x + 5

P2 (x) = (x − 1)2

P3 (x) = x 3 + 5x − 15

P1 (x) = 7x + 11

2

P2 (x) = x + 4x + 5

P0 (x) = 10 Matematika I (KMI/5MAT1)

ˇ sen´ı polynomick´ych rovnic Reˇ Polynomick´a rovnice Polynomick´a rovnice jedn´e nezn´am´e m˚ uˇze b´yt zaps´ana ve tvaru an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 = 0, kde a0 , a1 , a2 , . . . , an jsou re´aln´e konstanty. Nejvyˇsˇs´ı mocninu v´yrazu x s nenulov´ym koeficientem ai naz´yv´ame stupnˇem rovnice. Pˇr´ıklady polynomick´ych rovnic ax + b = 0 2

line´arn´ı rovnice, rovnice 1. stupnˇe

ax + bx + c = 0

kvadratick´a rovnice, rovnice 2. stupnˇe

ax 3 + bx 2 + cx + d = 0

kubick´a rovnice, rovnice 3. stupnˇe

Matematika I (KMI/5MAT1)

ˇ sen´ı kvadratick´e rovnice Reˇ Kvadratick´a rovnice Kvadratick´a rovnice m˚ uˇze b´yt vyj´adˇrena ve tvaru ax 2 + bx + c = 0, kde a, b a c jsou re´aln´a ˇc´ısla a a 6= 0. Koˇreny rovnice vypoˇcteme ze vztahu x1,2

√ −b ± D , = 2a

kde je tzv. diskriminant kvadratick´e rovnice a vypoˇcteme jej ze vztahu D = b 2 − 4ac.

Matematika I (KMI/5MAT1)

ˇ sen´ı kvadratick´e rovnice Reˇ Kvadratick´a rovnice Vypoˇctˇete ˇreˇsen´ı kvadratick´e rovnice 2x 2 − 8x + 6 = 0. ˇ sen´ı: Koeficienty a, b, c jsou po ˇradˇe rovny a = 2, b = −8, Reˇ c = 6. D = b 2 − 4ac = (−8)2 − 4 · 2 · 6 = 64 − 48 = 16 √ −(−8) ± 16 x1,2 = 2·2 8−4 x1 = =1 4 8+4 =3 x2 = 4 Matematika I (KMI/5MAT1)

ˇ sen´ı kvadratick´e rovnice Reˇ Kvadratick´a rovnice Vypoˇctˇete ˇreˇsen´ı kvadratick´e rovnice x 2 − 4x + 4 = 0. ˇ sen´ı: Koeficienty a, b, c jsou po ˇradˇe rovny a = 1, b = −4, Reˇ c = 4. D = b 2 − 4ac = (−4)2 − 4 · 1 · 4 = 16 − 16 = 0 √ −(−4) ± 0 x1,2 = 2·1 4−0 x1 = =2 2 4+0 =2 x2 = 2 Matematika I (KMI/5MAT1)

ˇ sen´ı kvadratick´e rovnice Reˇ Kvadratick´a rovnice Vypoˇctˇete ˇreˇsen´ı kvadratick´e rovnice x 2 + 3x + 10 = 0. ˇ sen´ı: Koeficienty a, b, c jsou po ˇradˇe rovny a = 1, b = 3, Reˇ c = 10. D = b 2 − 4ac = 32 − 4 · 1 · 10 = 9 − 40 = −31 x1,2

√ −(3) ± −31 = 2·1

Zadan´a rovnice nem´a ˇreˇsen´ı.

Matematika I (KMI/5MAT1)