50

TURUNAN

Departemen Matematika FMIPA-IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA-IPB)

Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

1 / 50

Topik Bahasan 1

Pendahuluan

2

Turunan Fungsi

3

Tafsiran Lain Turunan

4

Kaitan Turunan dan Kekontinuan

5

Rumus-rumus Turunan

6

Turunan Fungsi Trigonometri

7

Aturan Rantai

8

Turunan Implisit

9

Turunan Tingkat Lebih Tinggi

10

Laju Terkait


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

2 / 50

Pendahuluan

Mengapa Turunan Penting? Pemahaman yang baik tentang konsep turunan fungsi akan memudahkan memahami laju perubahan suatu variabel yang bergantung pada variabel lain, misalnya penentuan: Laju pertumbuhan suatu populasi (manusia, ikan, harimau, bakteri, dsb.) Biaya marjinal suatu produk. Kecepatan mobil seorang pembalap pada suatu waktu tertentu. Laju perubahan kecepatan aliran darah berdasarkan jarak dengan dinding pembuluh. Laju penyebaran informasi, gosip. Laju peluruhan bahan radioaktif.


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

3 / 50

Turunan Fungsi

Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan

De…nisi (Turunan Fungsi pada Suatu Titik) Turunan fungsi f pada titik/bilangan a dinyatakan dengan f 0 (a) , adalah f (a + h ) h !0 h

f 0 (a) = lim

f (a )

(1)

asalkan limit tersebut ada. Bila limit tersebut ada (bukan ∞ atau ∞), maka fungsi f dikatakan terturunkan (memiliki turunan, di¤erentiable) di a. Perhatikan Gambar (a) berikut.


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

4 / 50

Turunan Fungsi

Ilustrasi Geometris De…nisi Turunan Pada Titik


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

5 / 50

Turunan Fungsi

Alternatif Formula Turunan Bila pada de…nisi (1) diambil x = a + h, akan diperoleh alternatif formula: f 0 (a) = lim

x !a

f (x ) x

f (a ) a

(2)

(lihat Gambar (b))

) f 0 (a ) =

=


lim

f (a + h ) h

lim

f (x ) x

h !0

x !a

Kalkulus: Turunan

f (a )

f (a ) a Bogor, 2012

6 / 50

Turunan Fungsi

Contoh (De…nisi Turunan pada Titik) Gunakan de…nisi turunan untuk menentukan: 1

f 0 (0) bila f (x ) = 2x + 1.

SOLUSI

2

f 0 (3) bila f (x ) = 3/x.

SOLUSI


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

7 / 50

Turunan Fungsi

Soal Gunakan de…nisi turunan untuk menentukan f 0 (1) bagi fungsi-fungsi berikut. 1

f (x ) = 1/x

2

f (x ) = x jx 1j 8 > < x2 + 1 ; x 1 f (x ) = > : 2x ; x >1

3


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

8 / 50

Turunan Fungsi

Turunan Sebagai Kemiringan Garis Singgung

Garis singgung pada kurva y = f (x ) di titik (a, f (a)) adalah garis yang melalui (a, f (a)) yang kemiringan/gradiennya sama dengan f 0 (a), yakni turunan f di x = a. Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x ) di titik (a, f (a)) adalah

y

f (a ) = f 0 (a ) (x

(3)

a)

DEMO ANIMASI TURUNAN


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

9 / 50

Turunan Fungsi

Ilustrasi Geometris Persamaan Garis Singgung


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

10 / 50

Turunan Fungsi

Contoh Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f (x ) = 3/x yang melalui titik (3, 1) . SOLUSI


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

11 / 50

Turunan Fungsi

Turunan Sebagai Fungsi Ganti titik tetap a dengan variabel x pada de…nisi turunan (1) dan (2), akan diperoleh fungsi f 0 dengan f 0 (x ) =

=

f (x + h ) h !0 h lim

lim

z !x

f (z ) z

f (x ) (4)

f (x ) x

f 0 pada (4) merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertama fungsi f . Daerah asal f 0 , Df 0 = fx; f 0 (x ) adag , Df 0 Df . Nilai f 0 (a) juga dapat dihitung dari (4) kemudian mengevaluasi f 0 (x ) untuk x = a. (Departemen Matematika FMIPA-IPB)

Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

12 / 50

Turunan Fungsi

Contoh

p Diketahui fungsi f dengan f (x ) = x. Gunakan de…nisi turunan untuk menentukan f 0 (x ) dan f 0 (4). Tentukan Df dan Df 0 . SOLUSI


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

13 / 50

Turunan Fungsi

Soal Gunakan de…nisi turunan untuk menentukan f 0 (x ) , Df , dan Df 0 fungsi-fungsi berikut: 1 2

f (x ) = x 2 f (x ) =

2x

x 2/3


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

14 / 50

Turunan Fungsi

Notasi Lain Turunan

Misalkan y = f (x ). Beberapa notasi yang menyatakan turunan f :

y 0 = f 0 (x ) =

df d dy = = f (x ) = Df (x ) = Dx f (x ) dx dx dx

Catatan: notasi dy /dx, df /dx, d /dx hanya merupakan simbol, bukan merupakan operasi pembagian.


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

15 / 50


Aplikasi Turunan Fisika: Kecepatan Sesaat

Nilai f 0 (a) merupakan laju perubahan sesaat dari y = f (x ) terhadap x di x = a. Misalkan s = f (t ) menyatakan fungsi posisi suatu objek pada waktu t, kecepatan sesaat objek pada saat t = a adalah v = f 0 (a) = lim

∆t !0

∆s f (a + h ) f (a ) = lim ∆t ∆t ∆t !0

laju objek pada saat t = a adalah jf 0 (a) j, yakni nilai mutlak kecepatan sesaat.


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

16 / 50


Aplikasi Turunan Ekonomi, Demogra…

Misalkan C = f (x ) menyatakan total biaya produksi (Rp) untuk menghasilkan x barang (ton), f 0 (x ) = lim∆x !0 ∆∆Cx bermakna laju total biaya produksi terhadap banyaknya barang (Rp/ton). f 0 (x ) dikenal sebagai biaya marjinal.

Misalkan P = f (t ) menyatakan banyaknya populasi penduduk Indonesia pada waktu t (tahun), f 0 (t ) = lim∆t !0 ∆∆Pt bermakna laju perubahan populasi pada waktu t (orang/tahun).


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

17 / 50



Teorema (Keterturunan Berimplikasi Kekontinuan) Jika f memiliki turunan di a, maka f kontinu di a. Makna H Kekontinuan adalah syarat perlu agar f terturunkan, tetapi bukan syarat cukup. Untuk memeriksa keberadaan f 0 (a), terlebih dahulu periksa kekontinuan f di a. Jika f kontinu di a, maka f 0 (a) belum tentu ada. Jika f tak kontinu di a, maka f 0 (a) tidak ada.


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

18 / 50


Contoh (Kontinu, Tak Terturunkan) Tunjukkan bahwa f (x ) = jx j kontinu di x = 0 tetapi f 0 (0) tidak ada. SOLUSI

Contoh (Kontinu, Terturunkan) 0 Tentukan 8f (1), bila > < x2 + 1 ; x < 1 f (x ) = > : 2x ; x 1 SOLUSI


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

19 / 50


Soal (Keterkaitan Turunan dan Kekontinuan) 1

2

Tentukan8g 0 ( 1) dan g 0 (1) bila > > > 1 2x ; x < 1 > > < g (x ) = x2 ; 1 x > > > > > : 2x ; x >1

1

Fungsi f dide…nisikan sebagai f (x ) =

8 > < x2

; x

a

> : mx + b ; x > a Nyatakan nilai m dan b terhadap a agar f terturunkan di a.


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

20 / 50


Di mana Turunan Tidak Ada?


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

21 / 50

Rumus-rumus Turunan

Rumus-rumus Turunan Rumus-rumus turunan berikut, dapat diperoleh melalui de…nisi turunan (4) . Teorema (Turunan Fungsi) Misalkan u = f (x ), v = g (x ), dan c suatu konstanta d d du 1. 4. (c ) = 0 (u v ) = dx dx dx 2 ).

d (x n ) = nx n dx

3.

d du (cu ) = c dx dx

1

dv dx

5.

d du dv v +u (uv ) = dx dx dx

6.

d dx

u v

=

du v dx

u

dv dx

/v 2

2) n : bil. bulat positif


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

22 / 50

Rumus-rumus Turunan

Contoh Tunjukkan bahwa: 1 2

d SOLUSI (c ) = 0. dx d (x m ) = mx m 1 berlaku untuk bilangan bulat negatif m. dx


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

SOLUSI

23 / 50

Rumus-rumus Turunan

Turunan Fungsi Pangkat Teorema (Turunan Fungsi Pangkat Umum) Jika n sebarang bilangan real, maka d (x n ) = nx n dx

1

(5)

Dari pembahasan sebelumnya, berlaku d (x n ) = nx n dx

1

, n : bilangan bulat

(6)

Pada pembahasan turunan fungsi implisit akan ditunjukkan bahwa (6) berlaku untuk n : bilangan rasional (pecahan). Pada pembahasan teknik penurunan logaritmik akan ditunjukkan bahwa (6) berlaku untuk n : bilangan real. (Departemen Matematika FMIPA-IPB)

Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

24 / 50

Rumus-rumus Turunan

Soal 1

2 3 4

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut: a. y = 2x 3 x 2 + 5 b. g (x ) = x 3 3x / (3x 1) c. u = (x 2 x )(x 5 2x 3 )/x 4 x d 1 p Tunjukkan bahwa . =p 2 2 dx x (x 1)3 1

Tentukan g 0 (x ) jika g (x ) = x 2 f (x ) . x 2012 1 Nyatakan lim sebagai bentuk turunan, dan tentukan x !1 x 1 nilainya.


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

25 / 50

Rumus-rumus Turunan

Turunan Fungsi Sesepenggal Teorema berikut memudahkan dalam mencari turunan fungsi sesepenggal (piecewise functions), tanpa menggunakan de…nisi turunan. Teorema (Turunan Fungsi Sesepenggal) Andaikan f kontinu di a serta lim f 0 (x ) dan lim+ f 0 (x ) ada. Fungsi f x !a

x !a

terturunkan di a jika dan hanya jika lim f 0 (x ) = lim+ f 0 (x ) dan x !a

x !a

f 0 (a) = lim f 0 (x ) = lim+ f 0 (x ) x !a


Kalkulus: Turunan

(7)

x !a

Bogor, 2012

26 / 50

Rumus-rumus Turunan

Contoh 1 Periksa apakah f terturunkan di x = 1, jika 8 > < x2 , x < 1 f (x ) = > : px , x 1 Tentukan f 0 (x ) . SOLUSI

2

Tentukan8konstanta a dan b agar f terturunkan di x = 1. > < 3x 2 , x 1 f (x ) = > : ax + b , x > 1 SOLUSI


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

27 / 50


Turunan Fungsi Trigonometri Limit Penting


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

28 / 50


Turunan Sinus, Cosinus

d sin x dx

= = =

lim (sin (x + h )

h !0

sin x ) /h

lim (sin x cos h + cos x sin h

h !0

lim cos x (sin h ) /h

h !0

sin x (1

= cos x lim (sin h) /h h !0

= cos x 1

sin x ) /h cos h )/h

sin x lim (1 h !0

cos h )/h

sin x 0

= cos x dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa (Departemen Matematika FMIPA-IPB)

Kalkulus: Turunan

d dx

cos x =

sin x. Bogor, 2012

29 / 50



d sin x = cos x dx

d cos x = dx

sin x

d tan x = sec2 x dx

d cot x = dx

csc2 x

d sec x = sec x tan x dx

d csc x = dx

csc x cot x

(8)

Satuan sudut: radian (2π rad = 360o ! 1 rad = 57.3o ).


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

30 / 50


Soal Dengan menggunakan turunan fungsi sinus dan cosinus, tunjukkan kebenaran turunan fungsi trigonometri lainnya pada (8) .


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

31 / 50

Aturan Rantai

Aturan Rantai Misalkan ingin ditentukan dy /dx bagi y = (x 2

3x )2 .

Teknik O i) kuadratkan (karena bentuknya sederhana): y dy /dx

= x4 =

6x 3 + 9x 2

4x 3

18x 2 + 18x

ii) pemisalan variabel baru: misalkan y = u 2 , u = x 2 3x ! dy /du = 2u, du/dx = 2x dy dy du = = 2u (2x 3) = 2x 2 6x (2x 3) dx du dx

=

4x 3

18x 2 + 18x

3

( = cara i)

Metode ii) dikenal dengan aturan rantai. Misalkan y = (x 2 3x )2012 , dy /dx = ? Teknik i) amat rumit, teknik aturan rantai amat e…sien. (Departemen Matematika FMIPA-IPB)

Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

32 / 50

Aturan Rantai

Teorema (Aturan Rantai) Misalkan f (u ) terturunkan di u = g (x ) dan g (x ) terturunkan di x, maka fungsi komposisi (f g ) (x ) terturunkan di x dan

(f

g )0 (x ) = f 0 (g (x )) g 0 (x )

(9)

Dengan notasi Leibniz, jika y = f (u ) dan u = g (x ) , maka dy dy du = dx du dx


Kalkulus: Turunan

(10)

Bogor, 2012

33 / 50

Aturan Rantai

Ilustrasi Aturan Rantai Komposisi 2 Fungsi


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

34 / 50

Aturan Rantai

Perluasan Aturan Rantai Komposisi > 2 Fungsi

dst. (Departemen Matematika FMIPA-IPB)

Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

35 / 50

Aturan Rantai

Contoh Tentukan

d p 4x + 10 dx

SOLUSI


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

36 / 50

Aturan Rantai

Soal 1

2

3

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut: 4 a. y = x 2 + 1 2x 3 3x + 5 2 b. y = tan(1 sin (2t 1)) d Tentukan dx cos x berdasarkan kesamaan cos x = sin (π/2 sin x = cos (π/2 x ).

x ) dan

Diketahui x

f (x )

g (x )

f 0 (x )

g 0 (x )

0

1

1

5

1/3

1

3

4

1/3

8/3

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut di titik yang diberikan. a) b)

f (x ) g 3 (x ) , x = 0 p f x ,x =1


c) d)

f (x + g (x )) , x = 0 p x 5 + f (x ), x = 1

Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

37 / 50

Turunan Implisit

Turunan Implisit

Fungsi eksplisit: y = f (x ) Contoh: y = 2x + 1, y =

p

1

x2

Fungsi implisit: F (x, y ) = c (konstanta), dengan asumsi y fungsi terhadap x. Contoh: y

2x

1 = 0, x 2 + y 2 = 1, sin (xy ) + 2x 2 = 3

Menurunkan fungsi implisit turunkan kedua ruas terhadap x, gunakan aturan rantai, tentukan dy /dx.


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

38 / 50

Turunan Implisit

Contoh Tentukan dy /dx = y 0 pada lingkaran x 2 + y 2 = 25, dan tentukan persamaan garis singgung di titik (4, 3) pada lingkaran. SOLUSI


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

39 / 50

Turunan Implisit

Turunan Fungsi Pangkat Rasional

Teorema Misalkan p, q bilangan bulat, d p/q p x = x p/q dx q

1

,

q 6= 0

(11)

Soal Gunakan teknik penurunan implisit untuk menunjukkan (11) .


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

40 / 50

Turunan Implisit

Soal Tentukan dy /dx bagi persamaan-persamaan berikut.

2

3x 3 + 4y 3 + 8 = 0 p xy + 4 = y

3

cos (x + y ) = x 2 + y 2

4

Tunjukkan bahwa kurva xy 3 + x 3 y = 4 tidak memiliki garis singgung horizontal.

1


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

41 / 50


Turunan Tingkat Lebih Tinggi Notasi f 0

Notasi y 0

1

f 0 (x )

y0

2

f 00 (x )

y 00

3

f 000 (x )

y 000

f (n ) ( x )

y (n )

Turunan ke-

n, n

4

dny d = dx n dx (Departemen Matematika FMIPA-IPB)

Notasi Leibniz dy dx d 2y dx 2 d 3y dx 3 dny dx n

Notasi D Dx y Dx2 y Dx3 y Dxn y

d n 1y dx n 1

Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

42 / 50


Aplikasi Turunan Kedua Penentuan Percepatan

Jika s = f (t ) menyatakan fungsi posisi objek pada waktu t yang bergerak pada garis lurus, maka ds = f 0 (t ) menyatakan kecepatan objek pada waktu t. dt dv d 2s a (t ) = = 2 = f 00 (t ) menyatakan percepatan objek pada dt dt waktu t. v (t ) =


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

43 / 50


Contoh Tentukan turunan ke-n bagi y =

1 . x

SOLUSI


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

44 / 50


Soal 1

Tentukan turunan ke-n bagi: a. f (x ) = x n b. f (x ) = x / (x + 1)

2

Dide…nisikan f (x ) =

8 > < x2 > :

; x

0

x2 ; x < 0

Buat sketsa gra…k f . Tunjukkan bahwa f 0 (x ) = 2 jx j dan simpulkan bahwa f 00 (0) tidak ada. 3

Tunjukkan bahwa lingkaran x 2 + y 2 = r 2 memiliki turunan kedua y 00 = r 2 /y 3 .


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

45 / 50

Laju Terkait

Laju Terkait

Bila terdapat suatu kaitan antar variabel serta masing-masing variabel bergantung pada waktu t, maka perubahan laju dalam satu variabel dapat berakibat perubahan laju pada variabel lainnya. Makna tanda laju: dx /dt > 0 : t membesar (mengecil) ) x membesar (mengecil) dx /dt < 0 : t membesar (mengecil) ) x mengecil (membesar) dx /dt = 0 : x konstan (Departemen Matematika FMIPA-IPB)

Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

46 / 50

Laju Terkait

Strategi Menyelesaikan Masalah Laju Terkait

1

Pahami permasalahan.

2

Buat diagram, berikan notasi kepada variabel-variabel yang merupakan fungsi terhadap waktu.

3

Nyatakan informasi dan laju yang diketahui dalam bentuk turunan.

4

Tuliskan persamaan yang mengaitkan variabel yang diketahui.

5

Gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas terhadap t.

6

Substitusi informasi yang diketahui dan tentukan laju yang diinginkan.

Kesalahan umum: terlalu dini menyubstitusi informasi numerik yang diketahui!


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

47 / 50

Laju Terkait

Contoh Seberapa cepat ketinggian air di dalam silinder tegak berjari-jari 1 m turun jika silinder dipompa dengan laju 3000 liter/menit.


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

48 / 50

Laju Terkait

Soal (Laju Terkait) 1

Sebuah tangga dengan panjang 5 m bersandar pada dinding tegak. Jika puncak tangga bergeser mendekati lantai pada laju 1 m/detik, seberapa cepat alas tangga bergeser pada saat puncak tangga berada 4 m dari lantai?

2

Seseorang sedang menguras sebuah penampung air berbentuk kerucut terbalik. Jari-jari kerucut 1 m dengan ketinggian 3 m. Air mengalir dari bagian bawah dengan laju 1/4 m3 /menit. Seberapa cepat air menurun ketika ketinggian air 2 m? Seberapa cepat jari-jari permukaan air berubah ketika ketinggian air 2 m?

3

Sebuah bola salju mencair pada suatu tingkat yang sebanding dengan dengan luas permukaannya. a b

Tunjukkan bahwa jari-jarinya memendek secara konstan. 8 dari volume semula dalam Jika bola salju tersebut mencair menjadi 27 waktu satu jam, berapa lamakah waktu yang diperlukan agar bola salju tersebut habis mencair? Jawab: 3 jam.


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

49 / 50

Laju Terkait

Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB) Versi: 2012 (sejak 2009) Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)


Kalkulus: Turunan

Bogor, 2012

50 / 50

50

Recommend Documents