l l \l\l\l\l :l l l l l \1.1 1 1 1 .1 1 1 \l\l l l'l··jl\l\l\l\l l ·l l l .llll�llil ':l \l 'l l l l'•l \l\l i·ililil l l l l l 'l:l:l .l\ l\ 1 1 1\l l l l l Af en toe moet je tijd verspillen om tijd te winnen. Wanneer ik in de klas op een 'toets met strakke tijdsafbakening' vraag de inhoud en de oppervlakte te berekenen van het ruimtelichaam dat ontstaat door een regelmatige zeshoek met zijde a te wentelen rond één van zijn zijden, is de kans groot dat deze toets een klassikale flop wordt. De leerlingen zijn gespannen, het inbeeldingsvermogen staat onder druk, het formulegeheugen vertoont lekkage ... Naar verwachting storten de leerlingen zich in wanhoop op inhoudsberekeningen met bollen, bolsegmenten en in het ergste geval met prisma's. In gewone klassituaties probeer ik rekening te houden met deze nevenverschijnselen van overdruk. De leerlingen mogen dan hun tijd nemen om een regelmatige zeshoek te tekenen en hei rotatiespoor van goedgekozen omtrekspzmten uit te zetten. Om het driedimensionale lichaam uit het blad te laten kruipen is het nodig dat de leerlingen het 'ding' kleuren ... met lichtinval, met glans- en met schaduwvlekken Het is nu muisstil in de klas. De minuten tikken onopgemerkt weg. Af en toe worden wat kleurpotloden uitgewisseld. Of wordt er in een pennenzak gerommeld om een puntenscherper te zoeken. Tijdens deze 'verloren tijd' gebeurt dan het wonder. De rechterhersenhelft krijgt de bovenhand op de linkerhelft. De heilzame manuele (zelf) therapie en de ntst maken het creatieve los in de leerlingen het verbeeldingsvermogen, het ruimtelijke inzicht. Mocht de directeur op dit moment in de klas stappen zou mijn (goede?) naam meteen een heftige deuk krijgen. Voor buitenstaanders lijkt het er namelijk sterk op dat ik de leerlingen aan het kleuren heb gezet omwille van slecht voorbereide lessen. Je kent dat wel, 's avonds laat nog vrienden op bezoek gehad, een flesje wijn uit de kelder gehaald, en daarna nog eentje, het gebeurt in de beste families... Maar niets is minder waar. Na tien minuten 'meditatie' kan ongeveer elke leerling beschrijven dat het bedoelde lichaam er uitziet als een wiel met links en rechts een conische uitholling voor de wieldoppen. De inhoudsberekening is plots geen obstakel meer: één centrale cilinder, twee afgeknotte kegels er zijdelings tegenaan geplakt en twee kleine kegeltjes er weer uitgehaald. En voor de oppervlakteberekening komt er nog meer inspiratie opborrelen: trek de conische uitsparingen naar buiten (leerling doet dit voor met de zijzakken van zijn jeans), de oppervlakte verandert niet (de inhoud uiteraard wel) maar de berekening vereenvoudigt drastisch. Manuele therapie wordt in onze wiskundelessen vaak over het hoofd gezien. Thuis kunnen we deze component beter in het studieproces integreren. ledereen kan ondervinden dat het bij zware geestelijke inspanningen concentratiebevorderend is elke driekwarfier vijf minuutjes te spenderen aan een contrasterende activiteit die meer gericht is op het motorisch-creatieve: pingel even op de piano, hoelahoep enkele malen door de tuin, brei (een deel van) een sjaal, jongleer met drie rubberballen ... Keuze genoeg. Het jongleren met rubberballen heb ik ten andere ooit in praktijk gezien bij een collega-lesgever die regelmatig experimenteerde met studietechnieken.
Ui�iskeling 20/4(oktober2004)
����-
��
Ook knutselen behoort tot de mogelijkheden. Onlangs loodste ik mijn leerlingen naar de site van het Nederlandse wiskundetijdschrift Pythagoras waarop een link van de maand naar een knutselsite van Thomas Hul! [1} te vinden was. Daarop werd uitgelegd hoe je fidlerenen (grotere broertjes van het voetbalveelvlak) kan maken door bijvoorbeeld 270 vierkante origamiblaadjes in de gepaste vorm te vouwen en de modules daarna in elkaar te klikken. Het vouwen van één module is zo eenvoudig dat je dit blindelings en zonder nadenken kan. Zonder dat ik er erg in had, werd het vouwen van .fiLllerenen een rage in het vijfde jaar. Net zoals bij het jongleren met drie rubberballen, werden nu alle gaatjes tussen de lessen dichtgevouwen met gekleurd origamipapier. Bij een onverwacht bezoek aan de vervangstudie merkte ik dat ook leerlingen uit andere klassen ingeschakeld werden om bouwstenen te leveren voor één grote superbal. De rage duurde slechts enkele weken. Uiteraard ontaardde ze in excessen: te grote ballen die bezweken onder eigen gewicht, meervoudig in elkaar verstrengelde ballen ... Niet elke leerkracht is ervan overtuigd dat het matig verspillen van kostbare tijd, op welke manier dan ook, heilzaam kan zijn. Je hoort verzuchtingen: '(De leerplannen zitten boordevol ', 'Er vallen weer massa's lessen weg omwille van uitstappen en projecten rond vakoverschrijdende eindtermen". Wel, net in deze situatie is het nodig rust te scheppen. En niet alleen ten behoeve van de leerling.
Luc, namens de redactie met een knipoog van Karel en Kenneth
Bronvenvijzing [1]
2
Site van Thomas Hul/: http://kahuna.merrimack.edul-thull
Knollen voor citroenen verkopen
Els Van Emelen
Als je zoals ik, op zoek bent naar een nieuwe wagen heb je deze zomer vast de reclame van Citroën gehoord: "21% BTW cadeau! "Wauw, een korting van 21 %", hoorde ik iemand zeggen. 'Ja ja, dat had je gedacht. Ze verkopen je knollen voor citroenen!", mijmerde ik bij mezelf. Percenten zijn een krachtig vergelijkingsmiddeL vergelijken met een deel van een
ander
Als je
een deel van een geheel
wilt
geheel is het handig om met percentages te werken.
Dit wordt onmiddellijk duidelijk aan de hand van een heel eenvoudig voorbeeld.
In school A komen
537. In komt (
49 %.
162
leerlingen van de
314
met de fiets. In school B zijn dat er
264
van de
welke school komen relatief de meeste leerlingen met de fiets naar school? In school A
162 =
314
) 52 %
van de leerlingen met de fiets naar school, in school B is dat (
264
=
537
)
Ook al gaat het om scholen die niet even groot zijn toch kun je door gebruik te maken
van percenten, het relatieve aantal fietsers gemakkelijk vergelijken. Dat percenten een handig vergelijkingsmiddel zijn, merk je aan het veelvuldige gebruik ervan in het dagelijkse leven. Je komt ze tegen in het nieuws, in de krant, tijdens de koopjesperiode, op voeding, ... Toch zitten er bij het gebruik van percenten wel enkele addertjes onder het gras ...
De problenten met percenten Een eerste probleem duikt al op bij de mterpretatie van de bijbehorende context. Voordat je kan starten met het maken van berekeningen is het noodzakelijk dat je weet wat je (datgene dat beschouwd wordt als het geheel of
100 %).
referentie
is
Het is belangrijk om hierover even
be�rust na te denken want voor sommige problemen is deze referentie niet altijd even voor de hand liggend. Voor een aantal onderwerpen bestaan vaste afspraken. •
Winst- en verliespercentages worden altijd berekend op de inkoopprijs, nooit op de verkoopprijs.
•
Korting wordt berekend op de verkoopprijs. Een prijsstijging wordt uitgedrukt als een percentage van de oorspronkelijke prijs.
•
Tarra of netto worden steeds uitgedrukt als een percentage van het brutogewicht.
3
Ui�iskeling20/4(oktober2004)
•
��
BTW is altijd een percentage van de prijs exclusief BTW.
Bij het oplossen van percentproblemen is het nodig dat je beseft dat het bepalen van de referentie de eerste stap van de oplossing is. Voor eenvoudige vergelijkingssituaties zoals het bovenstaande fietsersvraagstukje is het onmiddellijk duidelijk wat de referentie of 'het geheel' is. Bij voorbeelden met een groeipercentage is dit niet altijd zo vanzelfsprekend. Enkele voorbeelden om dit te illustreren:
Voorbeeld 1
Een kledingstuk kost 60 euro. De prijs
l1
ordt met 5 %verhoogd Wat is de nieuwe prijs?
De oorspronkelijke prijs van het kledingsstuk is de referentie. We hebben 5% nodig van deze referentie 5% van 60 euro is 3 euro. De nieuwe prijs is dus 63 euro. Dit is een voorbeeld waarbij de referentie één van de gegevens is. Het is een eenvoudig geval waartegen weinig fouten gemaakt worden.
Voorbeeld 2
De prijs van een horloge stijgt met 8 %tot 135 euro. Hoeveel kostte het horloge vroeger? Bij dit
vraagstuk
gaat
het eveneens
om
een
prijsstijging.
Bij
een
prijsstijging
is
de
oorspronkelijke prijs de referentie. Die is echter niet gegeven. Daardoor wordt dit vraagstuk veel moeilijker dan het voorgaande. De verschillende denkstappen om het op te lossen zijn: •
De referentie ( 100%) is het bedrag dat we zoeken. Dit is de oorspronkelijke prijs.
•
Dit bedrag nam toe met 8% plaats tot 108% (108%van de oorspronkelijke prijs).
•
Die nieuwe prijs kennen we, namelijk 135 euro.
•
108 %van de oorspronkelijke prijs is 135 euro.
•
. . . 135euro .. 1% van de oorspronkeliJke pnJs ts 108
•
100%van de oorspronkelijke prijs is dan 125 euro.
=
1 25euro .
Iemand die snel even dit probleem wil oplossen, heeft de neiging om het gegeven bedrag als referentie te nemen, een fout die in de verslaggeving vaak gemaakt wordt. Naast het bepalen van het referentiepunt illustreert dit vraagstuk een tweede moeilijkheid, namelijk het uitvoeren van de berekeningen. Tegen de tijd dat de leerlingen in het middelbaar onderwijs zitten, gebeurt het werken met percenten volledig abstract dit wil zeggen zonder schema of zonder uitgebreide verwoording (zoals hierboven) van de abstracte redenering. Deze redenering wordt meestal beperkt tot het noteren van de getallen:
135 108
x
I 00. Je hoort daardoor
vaak leerlingen hardop denken zoals: ''Moet ik delen door 108 en vermenigvuldigen met 100, of moet ik delen door 100 en vermenigvuldigen met 8, of delen door 135 en maal 108 ... "Het berekenen van percenten wordt daarbij gereduceerd tot een techniek waarbij over de betekenis
4
���
______
van het percentbegrip weinig of niet
\
het spinnenweb
ordt nagedacht. Dit heeft tot gevolg dat er inziehtsfouten
worden gemaakt. Het volgende eenvoudige schema kan echter de betekenis van het percentbegrip verduidelijken. De begrippen die meespelen in deze context zijn de oude prijs, de prijsstijging en de nieuwe prijs. Wat betekent 'de prijs stijgt met oorspronkelijke prijs komt er
%'? Voor elke schijf van honderd euro van de
euro bij en wordt de nieuwe prijs
8
euro
108
euro.
Nieuwe prijs
Stijging
Oude prijs
100
8
8
euro
108
euro
Als de oude prijs verdubbelt, verdubbelen ook de prijsstijging in euro s en de nieuwe prijs. De prijzen veranderen, met andere woorden, volgens dezelfde verhouding. In dit voorbeeld is de nieuwe prijs geen
108
euro maar
verhouding toe te passen.
135
euro. We kunnen de andere prijzen vinden door dezelfde
Nieuwe prijs
Stijging
Oude prijs
euro
euro
euro
108 �:!08;XI35 135
8 100 � :108· 135 �:108; 135 10 125 1 8 x
x
euro
euro
euro
De sterkte van dit schema is dat het enerzijds de leerling laat nadenken over de referentie (waar schrijf ik de
00?) en dat het anderzijds de betekenis van percent illustreert (wat betekent het dat
de prijs stijgt met
percent?).
Aan de hand van het volgende voorbeeld kun je merken dat het schema ook verhelderend is bij vraagstukjes die niet over groeipercentages gaan.
Voorbeeld 3 Het tarragewicht van een lading fruit is 35 kg Dit is 7 % van het brutogewicht. Hoeveel is het nettogewicht? Aan de hand van het pijlenschema krijg je de volgende redenering. De begrippen die meespelen zijn bruto, tarra en netto (de eerste regel in het schema). Wat betekent een tarragewicht van 7 %? Als we
100
tarragewicht zijn (tweede regel). We hebben nu verandert in dezelfde verhouding (derde regel). Bruto kg
100 �X5 500 kg
kg brutogewicht zouden hebben, zou er 7 kg
5
keer meer tarragewicht Het nettogewicht
Tarra
Netto
7 kg
93 � X5 465
� X5 35 kg
kg
kg
5
Ui�iskeling20/4(o�ober2004)
������
Het verband tussen de abstracte formule en het pijlenschema is het volgende: Nettogewicht
=
35/7
x
93 kg
5
x
93 kg
het aantal keer dat we 7 kg hebben X
het nettogewicht per 100 kg
Tot slot grijpen we nog even terug naar het voorbeeld van de reclame van Citroën. In de reclame geeft Citroën je de BTW op je wagen,
21 %, cadeau. Hoeveel percent korting
krijg je in dit geval? Op een auto wordt 21% BTW betaald. Het BTW-bedrag wordt berekend op de prijs zonder BTW. Dit betekent dat je per 100 euro zonder BTW, 21 euro BTW moet betalen. Prijs zonder BTW
BTW
Prijs met BTW
100 euro
21 euro
121 euro
Laten we voor de eenvoud veronderstellen dat je een auto kan kopen voor 121 euro BTW inclusief Je krijgt hierbij een korting die gelijk is aan de BTW, hier wil dit zeggen 21 euro en moet je dus 100 euro betalen. De begrippen die bij korting meespelen zijn de oorspronkelijke prijs (121 euro), de korting (21 euro) en de nieuwe prijs (100 euro). Om je kortingspercentage te berekenen,
moet je eerst goed beseffen dat de
referentie
bij dit
soort problemen
de
oorspronkelijke prijs is. Om het kortingspercentage te kennen moet je de referentie herleiden naar 100 euro. Oorspronkelijke prijs
Korting
Nieuwe prijs
121 euro
21 euro
100 euro
1 : 121·1oo x 10t euro
17,3 euro
82,6 euro
�: 121 IOOX
In dit geval betekent het kortingspercentage van
� :121·100X
17,3 % dat je voor elke 100 euro die je moet
betalen, je 17,3 euro korting krijgt. Je moet dus nog 82 7 euro betalen. Naast de moeilijkheden met de referentie en het inzicht in berekeningen krijg je hier ook nog verschillende begrippen die uitnodigen om je te vergissen (BTW en korting). Eerlijkheidshalve wil ik nog even opmerken dat de reclame van Citroën nergens vermeldt dat je
21 % korting krijgt, enkel dat je 21 % BTW cadeau krijgt. Maar toch, een reclame die je uitnodigt om knollen (korting) met citroenen (BTW) te vergelijken!
Bibliografie [1]
De Munter K., Gielis Th. Govaert E.. Van Hijfte J.
Van Iseghem H., J\1ile-module Percenten Niet
gepubliceerde cursus, MlLE-Vlaanderen consortium (Leuven) 2002. [2]
6
http://www.citroen.be
_______
het spinnenweb
De beker der gerechtigheid
Luc Van den Broeck
Sinds kort ben ik in het bezit van een hebbedingetje, door een kennis meegebracht van een vakantie op het Griekse eiland Samos, de geboorteplaats van Pythagoras. Wanneer Pythagoras in de wiskundeles ter sprake komt - en de leerlingen er blijk van geven aan een verfrissing toe te zijn- haal ik het 'ding wel eens uit de kast: de beker van Pythagoras. Niet dat ik erin geloof dat dit kleinood aan het brein van Pythagoras ontsproten is en zijn nazaten deze uitvinding bijgevolg postuum nog zouden kunnen patenteren. De stenen kelk duikt immers ook elders in de wereld en in de geschiedenis op, ver van de gadgetshops van Pythagorio. De originele uitvinder echter is verdwenen in de nevelen van de
geschiedenis. Vaak
wordt er naar clit raadselachtige
object verwezen met de benaming 'Tantalus-beker' Ue weet wel, de mythologische koning die als straf voor het tarten van de goden naar de onderwereld werd verbannen happend naar voedsel en water) of 'beker van Heron
vruchteloos
(ook die ken je wel, de wis- en
sterrenkundige uit Alexandrië die, naar men schrijft, aanspraak kan maken op de uitvinding van de muntautomaat, de waterspoeling, de stoommachine, de kilometerteller en zo meer). Volgens de overlevering heeft Pythagoras de 'beker der gerechtigheid' uitgevonden om het overmatige wijngebruik bij de bouwers van een waterwinningssysteem terug te dringen. Wanneer de arbeiders de stenen beker zeer bescheiden vulden (niet boven het cirkelvormige merkteken aan de binnenkant}, was alcoholconsumptie mogelijk. Overdaad van enkele druppels boven het merkteken zorgde ervoor dat het gegeerde vocht ogenblikkelijk langs een kanaaltje doorheen de voet naar buiten vloeide ... tot de beker volledig leeg was.
In de klas toon ik dit trucje . .. uiteraard njet met de allerduurste wijn. Leerlingen, die niet vertrouwd zijn met hydromechanische systemen, staan met grote ogen te kijken, vruchteloos happend naar de verspilde drank. Ze hopen collectief dat het vocht zal stagneren op de hoogte van het merkteken (n1in of meer het systeem van de overloop van de vertrouwde badkuip). Dan pas bemerken ze dat het gaatje van de overloop niet bovenaan maar onderaan zit. Precies aan de basis van de stenen uitstulping die in het midden van de beker zit (zie foto). 'Waarscrujnlijk zit er dan een klein bolletje in de holte."
start een slimmerd de discussie.
'Zoals bij een inktpatroon, of bij een deoflesje", 'Probeer er eens mee te schudden.", ''Neen, niet zó, domkop ... vlak bij je oor.'
Zit er iets in?", "Hoe kan ik dat nu horen, jullie maken
veel te veel lawaai", "Mag ik eens? Mijn gehoor is beter ontwikkeld.", "Kan je de beker niet gewoon kapotslaan op de vensterbank? Dan zien we het meteen" "Goed idee. Ga even achteruit voor de rondvliegende scherven.", 'Hé, laat rillj dat doen, het was mijn idee, ik heb er eerst aan gedacht!" ... Mijn hart slaat over. Nog net kan ik mijn kostbare beker redden uit de handen van een stelletje lawaaierige beeldenstormers en heiligschenners. Ik probeer de rust weer in het klaslokaal te krijgen en beloof de leerlingen de volgende les een foto van een doorrilldden gezaagde beker te zullen meebrengen (uiteraard geplukt van het internet). De fysische verklaring van het experiment verzwijg ik moeiteloos. Morgen werp ik de
7
Ui�iskeling20/4(o�ober2004)
�������
knuppel opnieuw in het hoenderhok. En dan kunnen de barbaren zich in ernst en stilte over dit probleem bezinnen. Tot gerechtigheid geschiedt.
Bronvermelding Polyvalente site van de Duitse fysicus Michael Lahanas: http://W\vw.mlahanas.de/Greeks/Inventions.htm
8
Kegelsneden Inhoud 1.
Inleiding a. Situering in de leerplannen b. De volgende paragrafen
2.
Kegelsneden als conflictlijnen a.
Parabool
b. Ellips en hyperbool c.
3.
Variaties op hetzelfde thema
Weerkaatsing en raaklijnen a.
Bij parabolen
b. Bij ellipsen c.
4.
Bij hyperbolen
Analytische uitdrukking voor de raaklijn aan een kegelsnede a. Een concreet voorbeeld b. Compacte vorm van de vergelijking van een kegelsnede c.
Snijpunten van een kegelsnede met een rechte
d. Vergelijking van een raaklijn in een punt aan een gegeven kegelsnede
1. Inleiding
a. Situering in de leerplannen Zowel het leerplan van het gemeenschapsonderwijs als dat van het Katholieke onderwijs voorzien in de derde graad van het ASO een beperkt en een uitgebreid pakket analytische meetkunde.
In het gemeenschapsonderwijs is het uitgebreide pakket verplicht voor de
7-urencursus en is het beperkte pakket een keuzeonderwerp voor de 5-urencursus. In het Katholiek onderwijs gaat het om twee keuzeonderwerpen,
'analytische meetkunde A' en
analytische meetkunde B', begroot op respectievelijk 30 en 60 lestijden.
9
Ui�iskeling20/4(o�ober2004)
����-
��
analytische meetkunde A' is ruimer dan het vroegere hoofdstuk over de ellips, de hyperbool en de parabool dat binnen de analyse was ondergebracht ('halve kegelsneden' als irrationale functies). Het omvat de volgende doelstellingen: de parabool, ellips Het keuzeonderwerp
en hyperbool als meetkundige plaats en hun eigenschappen gebruiken om meetkundige problemen op te lossen (AMl ); poolcoördinaten gebruiken om krommen voor te stellen (AM2) en parametervergelijkingen gebnliken om krommen voor te stellen (AM3). In het keuzepakket analytische meetkunde B' komen hier ook nog affiene en homogene coördinaten, punten op
oneindig, polen en poollijnen en kegelsnedenbundels bij. Dit pakket bevat in grote lijnen de leerstof
analytische
meetkunde
van
het
vroegere
8-uursleerplan,
maar
dan
wat
meer
gecondenseerd, want 60 lestijden is een stuk minder dan wat er in de praktijk aan werd besteed ... Dit uitgebreide pakket blijft volgens ons zeker een mooi geheel waarmee je typische Su-leerlingen (of ?u-leerlingen) het nut van abstractie kunt laten zien en de samenhang van een grotere wiskundige theorie kunt laten ervaren. In deze onder de loep werken we een gedeelte van het A-leerplan uit, meer bepaald de aanbreng van de drie soorten kegelsneden als meetkundige plaatsen en de 'weerkaatsing
in een
kegelsnede. Hiermee is het laatste woord over kegelsneden nog niet gezegd. Ook het ruimtelijke aspect van kegelsneden dat we hier niet behandelen moet volgens ons zeker in de klas aan bod komen. Een hoofdstuk 'kegelsneden' waarin geen kegel wordt gesneden is zoiets als een garnaalcroquet zonder garnalen ...
b. De volgende paragrafen In paragraaf 2 worden de drie types van kegelsneden aangebracht als meetkundige plaatsen. Dit
gebeurt binnen de context van 'conflictlijnen', grenzen tussen 'territoriale wateren' van landen rechte
met
of
cirkelvormige
kusten.
De
leerlingen
werken
zowel
op
papier
als
op
con1puterschermen, met dynamische meetkundesoftware zoals Cabri of 'Passer en Liniaal'. Paragraaf 3 gaat over de welbekende weerkaatsingseigenschappen en hun mooie toepassingen. Deze toepassingen stellen we niet uit tot 'oefeningen achteraf maar integreren we in de aanbreng zelf van de leerstof Paragraaf 4 is wat theoretischer van stij I. In deze paragraaf worden de raaklijnen analytisch behandeld, zonder gebruik te maken van afgeleiden. Hierbij laten we de leerlingen zien hoe je formules kort en kernachtig kunt weergeven door gebruik te maken van matrixrekening. Dit zou een mogelijke indeling van het keuzeonderwerp
analytische meetkunde A' kunnen
ZIJn: •
kegelsneden als conflictlijnen (zie paragraaf 2 hieronder);
•
een kegel vlak doorzagen (dit wordt niet in deze loep behandeld);
•
weerkaatsing en raaklijnen (zie paragrafen 3 en 4 hieronder);
•
enkele andere krommen deze loep behandeld).
10
parametervergelijkingen, poolvergelijkingen (dit wordt niet m
onderdeloep
2. Kegelsneden als conflictlij oen
a. Parabool Het idee om kegelsneden aan te brengen binnen de context van grenzen tussen territoriale wateren, ontlenen we aan [3]. De leerlingen herontdekken enkele vertrouwde meetkundige plaatsen zoals de deellijn van een hoek en de middelloodlijn van een lijnstuk. De parabool, die ze uit de tweede graad kennen als grafiek van een tweedegraadsfunctie, duikt hier ook op als een meetkundige plaats.
Grens tussen territoriale wateren Om conflicten te vermijden in verband met de visserij, de aardolie- en aardgaswinning en het plaatsen van windmolens in zee, zijn duidelijke afspraken nodig over de afbakening van de territoriale wateren. De grenzen tussen territoriale wateren worden ook
conflictlijnen genoemd.
11
Ui�iskeling 20/4(o�ober2004)
De eenvoudigste afspraak is dat een 'punt van de zeebodem (zeg maar een zandkorrel op de zeebodem) toebehoort aan het land waar dat punt het dichtst bij ligt. Soms wordt per internationaal verdrag van deze regel afgeweken. Deze regel geldt ook niet voor oceanen; verwacht bv. geen grens midden in de oceaan waar de territoriale wateren van Frankrijk en Amerika elkaar zouden ontmoeten. Hierboven zie je een kaart van de Noordzee (uit [5]). De inkleuring heeft met de diepte te maken (hoe donkerder hoe dieper)· daar kijken we nu even niet naar. De lijnen in de zee zijn de grenzen tussen de territoriale wateren. 1.
Controleer of deze grenzen voldoen aan de regel die hierboven beschreven werd. (Je mag de kromming van de aardbol verwaarlozen.)
(Een punt van de conl f ictlijn tussen de territoriale wateren van twee landen moet even ver liggen van deze twee landen. Hierbij kan even iets gezegd worden over de afstand tussen een punt en een land: dit is de kleinste van alle as f tanden tussen dat punt en punten van het land Misschien komen de leerlingen op het idee om een passer te gebruiken. Voor elk punt van de conl f ictlijn moet je een cirkel kunnen tekenen met dat punt als middelpunt en 'rakend' aan (net' niet overlappend met) deze twee landen. Ze stellen vast dat de regel over het algemeen goed gerespecteerd is. Ze vinden ook wel uitzonderingen, zoals het uitsteeksel van de Duitse territoriale wateren. Die uitzonderingen hebben te maken met boringen die al bezig waren voor de vastlegging van de grenzen. Als de leerlingen als middelpunt een 'knooppunt' nemen waar drie conflictlijnen samenkomen, kunnen ze een cirkel tekenen die aan drie landen raakt.) Vanaf nu werken we nog enkel met kusten die heel eenvoudige meetkundige vormen hebben: rechten, punten en cirkels. Het is immers niet de bedoeling om hier dieper in te gaan op echte conflictlijnen tussen territoriale wateren. Wat we hier wel willen doen is het idee van een conflictlijn gebruiken binnen de meetkunde. 2.
Onderzoek welke conflictlijnen je krijgt als de kusten (twee of meer) rechte lijnen ZlJn.
(Twee evenwijdige kusten: de middenparallel van deze kusten. Twee snijdende kusten: de deellijn van de hoek die ze vormen. Drie kusten met een driehoekige ingesloten zee: de drie deellijnen van de driehoek, die elkaar in één punt snijden, het middelpunt van de inge ·chreven cirkel,· de conl f ictlijnen zijn de stukken van deze deellijnen van de hoekpunten tot hun snijpunt. Het geval van drie kusten met een niet-ingesloten zee is analoog, maar het punt waar de deellijnen samenkomen is nu het middelpunt van een aangeschreven cirkel. Wellicht zullen de meeste leerlingen zich beperken tot twee of drie kusten. Bij vier kusten komen de deellijnen in het algemeen niet in één punt samen. Dit is echter wel het geval als de vier kusten raken aan een zelfde cirkel. Enkele van de mogelijke situaties zijn hieronder getekend.)
12
����-
��
onderdeloep
'f I ·." I
· _".··· ..
=,�-·;:�:::�"\'
3.
,,,__
Onderzoek welke conflictlijnen je krijgt als de landen piepkleine eilandjes zijn die je door punten kunt benaderen. (Twee punten: de middelloodlijn. Drie punten: de drie middelloodlijnen snijden elkaar in één punt, het middelpunt van de driehoek die bepaald is door deze drie punten. De conflictlijnen zijn 'halve' middelloodlijnen, tot aan het snijpunt (de volle lijnen op de figuren hieronder, zowel bij de scherphoekige als bij de stomphoekige driehoek). Bij vier punten is het weer iets ingewikkelder. De conflictlijnen van vier punten komen enkel in één punt samen als die vier punten op een zelfde cirkel liggen, m.a.w. als ze een 'koordenvierhoek' vormen.)
--�-ft--
-__-;---f
...,-
I
/ / /
\
�
____
-:r
.".
"
"
/
I
\
/ /
I
_.\ ....
I
I
\ I
"
/
/ I
/
--- ---
-
�
"
13
Ui�iskeling20/4(oktober2004)
����-
��
Q I
I
J I I
I
I
I
' '\ ' '
/
'\ '
'\
/
I I )
1
I
\
- .... ----�
I
.... � I
I
\
'
/
--\\..-_.. -
�-�::------� \
I
... --
,..-
�-----------
'
-3.
......
I
��
...... '
J
I
I
J ",.�'
�.,
-..--!{.......
--------
',1
�-� I
\
I
I
/
--- -------� ......
4.
;;t::
/
' -
/
I
'
I
/
/
' '\
I I
./
I
'
I
/
_____
,
Hoe ziet de conflictlijn erutt m het geval van een rechte kust en een piepklein eilandje (te benaderen door een punt)? Hoe kun je er nauwkeurig punten van construeren? Teken de conflictlijn ook met Cabri. Heb je de vorm van deze conflictlijn al eerder ontmoet?
(De leerlingen schetsen wellicht eerst 'op zicht' enkele punten die even ver liggen van de gegeven rechte (kust) als van het gegeven punt (eiland). Voor een nauwkeurige constructie nemen ze telkens een bepaalde afstand, bv. 3 cm. De punten die op drie centimeter liggen van het punt vormen een cirkel rond dat punt met straal 3 cm. De punten die op drie centimeter liggen van de rechte kust (aan de zeekant ervan) vormen een rechte. De snijpunten, als ze er zijn, liggen dan op de conflictlijn. Door telkens een andere afstand te nemen i.p.v. die 3 cm, construeren de leerlingen een hele boel punten van de conflictlijn. Met de losse hand verbinden ze deze punten tol een kromme. die ze wellicht herkennen als een parabool. Dezelfde constructie wordt vervolgens met Cabri gemaakt. Dan moet je maar twee punten van de conflictlijn construeren. Met de knop 'meetkundige plaats' kunnen ze dan meteen de hele kromme op het scherm laten komen.
\ \ ' \
\ \ ' \
14
onderdeloep
Om de knop meetkundige plaats te kunnen gebruiken, moeten ze er wel voor zorgen dat het veranderlijke punt van de conflictlijn ah f angt van een punt dat op een lijn kan worden versleept. Daarom werd eerst een halfrechte getekend (de positieve getallenas) en werd daar een punt op gezet waarvan de abscis de veranderlijke afstand is (op de tekening hierboven is dat, zoals in het voorbeeld hierboven, 3 cm). Met de knop passer' wordt deze as f tand dan gebruikt om de cirkel rond het eiland en de rechte evenwijdig met de kust te construeren. Misschien is het aangewezen om eerst de conl f ictlijn op het scherm te brengen door de snijpunten van de stippellijn en de stippelcirkel een 'spoor' te laten vormen en pas in een tweede fase met de knop 'meetkundige plaats' te werken. Een spoor komt minder als 'black box' over dan de knop 'meetkundige plaats'. Het nadeel van het spoor is evenwel dat het zich niet aanpast als je de gegevens (de kust en het eiland) verplaatst. Sommige leerlingen zullen verbaasd reageren: het eiland is maar een onooglijk puntje en toch krijgt het een onbegrensd stuk zee. Het criterium om te bepalen tot welk land een punt van de zee toebehoort, houdt enkel rekening met de afstand tot dat land en niet met de grootte ervan.) 5.
Hoe kun je verifiëren dat de conflictlijn uit vraag heeft?
4
inderdaad deze gekende vorm
�I'��
�
(c OHfLIC1 � LlJN ... -
vp
15
Ui�iskeling 20/4 (o�ober 2004)
���
��
(We vinden het belangrijk dat de leerlingen de kans krijgen om zelf voorstellen te doen. Hieronder geven we drie voorbeelden van werkwijzen die de leerlingen kunnen voorstellen om te verUiëren dat de conl f ictlijn een parabool is. Ook al komt niet elk voorstel neer op een volledig wiskundig bewijs, toch lijken het ons waardevolle pistes. De verschillende aanpakken kunnen klassikaal vergeleken worden. •
De leerlingen kunnen vertrekken van hun Cabrifiguur, een assenstelsel definiëren (de x-as evenwijdig met de kustlijn en dey-as loodrecht erop) en aan Cabri de vergelijking van de meetkundige plaats vragen (dit kan in de laatste versie). Als deze assen verder 'willekeurig' gekozen worden, verschijnt er een vergelijking van de vorm y = ax2 + bx + c. Nemen ze de oorsprong in de 'top' van de conflictlijn (met andere woorden het midden tussen het eiland en het voetpunt van de loodlijn op de kust) dan zal de vergelijking van de vorm y= ax2 zijn. In dit voorstel vertrouwt men op de technologie; dit kan leiden tot een korte discussie over 'bewijskracht' ...
y = 0.27
•
x2 +
2.35
x+
7.35
Andere leerlingen zullen voorstellen om te vertrekken van de grai f ek van een tweedegraadsfunctie, bv. y x2, en narekenen dat een willekeurig punt hiervan even ver ligt van een punt als van een rechte. Ze moeten dan bepalen waar het punt moet komen en waar de rechte. In ieder geval moet het punt coördinaten hebben van de vorm (0, u) en de rechte een vergelijking van de vormy =-u met u positief Neem een punt van de parabool, niet de oorsprong, bv. ( 1 1). Door uit te drukken dat de afstand tot de rechtey = -u gelijk moet zijn aan de as f tand tot het punt (0, u), vinden de leerlingen: =
1 +u=
�1 + (1- u)2
dus
u=
+·
Vervolgens kunnen ze narekenen dat een willekeurig punt (x, x2) van de grafiek inderdaad op gelijke afstand ligt van het punt (0,
+) als
van de rechtey=
-
�.
Je kunt opmerken dat bij deze werkwijze niet wordt aangetoond dat de
16
onderdeloep
2 meetkundige plaats enkel uit de punten van de grafiek y x bestaat. Ook wordt hier vertrokken van een welbepaalde parabool en wordt niet bewezen dat je de parabool kunt aanpassen aan gelijk welk gegeven punt en rechte. =
•
Nog andere leerlingen zullen vertrekken van de kust en het eiland in een assenstelsel, en de voorwaarde (as f tand tot de rechte gelijk aan de as f tand tot het punt) analytisch uitdrukken. Dit is wiskundig gezien de meest volledige aanpak. Voor het 'eenvoudige' assenstelsel waarbij het eiland het punt (0 u) is en de kust de rechte y =-u gee.fi dit: P (x, y) ligt op de conflictlijn �
y+u=
2 x +( y-u)
�
2
(0, u)
,......-
.... • I
(x,y)
�::------1
I y
=-u--+---.....,;,--
Tussendoor bij het klassikaal werken aan de bovenstaande werktekst, of bij de synthese achteraf, worden de benamingen brandpunt en richtlijn ingevoerd. De herkomst van het woord brandpunt' zal in de volgende paragraaf verklaard worden.
In de tweede graad hebben de leerlingen misschien bewezen dat alle parabolen gelijkvormig
2
zijn. Er werd aangetoond dat een parabool y = ax met willekeurige 'opening het beeld is van de 'standaardparabool
y=x
2
door een homothetie. Met de nieuwe beschrijving van een
parabool aan de hand van brandpunt en richtlijn kan men nu op een andere, heel eenvoudige manier inzien dat alle parabolen gelijkvormig zijn. Een parabool is volledig bepaald door de richtlijn en het brandpunt.
Stel dat twee leerlingen elk een willekeurige richtlijn en een
willekeurig brandpunt tekenen en de bijbehorende parabool construeren. Omdat de gegevens (de richtlijn samen met het brandpunt) duidelijk gelijkvormig zijn, is het duidelijk dat de parabolen ook gelijkvormig zijn: je krijgt dezelfde tekening eventueel op een andere schaal of in een andere richting gedraaid.
b. Ellips en hyperbool De leerlingen herhalen nu dezelfde opdracht met een punt en een cirkel in plaats van met een punt
en
een
rechte.
De
krommen
die
ze
op
die
manier
verkrijgen
zijn
ellipsen
en
hyperbooltakken. Deze krommen hebben ze nog niet eerder (systematisch) bestudeerd. De motivatie om er vergelijkingen voor op te stellen, kan er dus niet in bestaan te bewijzen dat het effectief om deze krommen gaat. We motiveren de vergelijkingen nu als hulpmiddelen om uit te rekenen in welk gebied gegeven punten liggen.
17
Ui�iskeling20/4(oktober2004)
����-
��
Andere conflictlijnen 1.
Hoe ziet de grens tussen territoriale wateren eruit tussen een puntvormig eilandje en een cirkelvormige kust? Onderscheid twee gevallen: het eiland ligt binnen de cirkel en het eiland ligt erbuiten. Bedenk een methode om nauwkeurig punten van deze conflictlijnen te construeren? Teken deze conflictlijnen ook met Cabri.
(Kies een afstand. De punten op die afstand van de cirkel (aan de zee-kant) vormen een cirkel die concentrisch is met de gegeven cirkel. De punten op die afstand van het punt vormen ook een cirkel. De snijpunten beschrijven de meetkundige plaats wanneer we de gekozen afstand laten variëren. Deze afstand moeten we in Cabri dus op een ha(frechte plaatsen .. .) ----...................................................... .
-- ---- -
/ /
'
/
'
/ I '�---- -
'
kust
/
\
.....
/ (
/ /
I
I I I
I ,,
;I /I /
I f
/ --
-
·
I --
----ooooOOOOOOOOOOOoooooooooooooooooooooooooOOOOOoooOoooooooooooooooooo
18
/
onderdeloep
De conflictlijn van een cirkel en een punt is een en een Een 2.
ellips als het punt binnen de cirkel ligt,
hyperbooltak als het punt buiten de cirkel ligt.
ellips is een soort uitgerekte cirkel. Verplaats op de Cabrifiguur de positie van het eiland binnen de cirkel. Wat stel je vast? Zijn alle ellipsen gelijkvormig?
(Hoe dichter bij de rand, hoe meer de ellips uitgerekt wordt. Breng je het 'eiland' bij het middelpunt van de cirkel, dan wordt de ellips ronder. De ellips is een cirkel als het 'eiland' en het middelpunt samenvallen. In tegenstelling tot de parabolen zijn de ellipsen duidelijk niet allemaal gelijkvormig) Je hebt wellicht gemerkt dat de twee gegeven punten
namelijk het 'eiland' en het
middelpunt van de cirkel symmetrisch lijken te liggen binnen de ellips. Je kunt nagaan dat je dezelfde ellips verkrijgt als je de rol van beide punten verwisselt en de straal van de cirkel gelijk houdt. Er bestaat ook een andere manier (dan een conflictlijn) om een ellips te bepalen. Bij deze nieuwe beschrijving spelen de twee gegeven punten van meet af aan een symmetrische rol. 3.
Neem op je figuur een punt van de ellips. Duid de afstanden aan van dat punt tot het eiland en de afstand tot het middelpunt van de cirkel. Welk eenvoudig verband bestaat er tussen deze afstanden?
(De som is gelijk aan de straal van de cirkel en is dus voor alle punten van de ellips hetzelfde.) 4.
Leg uit dat de figuur die hieronder geconstrueerd wordt inderdaad een ellips is.
(De som van de as f tanden tot de punten F1 en F2 (de punaises) is gelijk aan de lengte van de lus min IF1F21 en is dus constant. Teken met middelpunt F2 een cirkel met deze constante as f tandensom als straal. Dan speelt F1 de rol van het eilandje en deze cirkel die van de kust.) De leerlingen kunnen nu ten opzichte van een assenstelsel een analytisch criterium opstellen om te bepalen of een punt (x1,
YI) op de ellips ligt, erbinnen of erbuiten. Neemt men de x-as door F1 en F2 dey-as samenvallend met de middelloodlijn van [F1F2], stelt men F1 (-c 0) en F2 (c 0)
19
Ui�iskeling20/4(oktober2004)
����-
��
en noemt men de constante afstandensom
2a, dan vinden de leerlingen een vergelijking die kan
worden omgerekend tot de 'klassieke vergelijking van de ellips:
2
2
2 a
b2
x y 2_ 2 2 -+-=1 (metb -a -c). op de ellips als de gelijkheid erbuiten als het linkerlid groter is
Vul je de coördinaten van een punt hierin in dan ligt het punt klopt,
binnen de ellips als het linkerlid kleiner is dan
1 en
dan l . Tot hier voor de ellips. De hyperbooltak kan nu op een analoge manier behandeld worden. ln plaats van de
som is nu het verschil van de afstanden tot twee vaste punten constant. Ook hier is
deze constante gelijk aan de straal van de gegeven cirkel. Om de vergelijking van de hyperbooltak af te leiden, neem je 'hetzelfde
assenstelsel en druk je
de voolVIaarde uit opdat het verschil van de afstanden tot de twee vaste punten gelijk is aan de
2a. Op een bepaald ogenblik moet je een kwadrateringsvoorwaarde .. -a2 . .. . Je vmdt de vergelijking opschrijven namelijk x� c constante waarde
.
--
2
2
a2
b2
x y 2_ 2 2 ---=1 (metb -c -a). Als je geen rekening houdt met de kwadrateringsvoorwaarde, komt er een tweede hyperbooltak bij (het spiegelbeeld van de eerste tak ten opzicht van de y-as). De twee takken samen vormen de
hyperbool
met de bovenstaande vergelijking. Met methodes die ze in de analyse gezien
hebben kunnen de leerlingen de twee asymptoten van de hyperbool bepalen.
c.
Variaties op hetzelfde thema
Na de conflictlijn van twee punten, die van twee rechten, die van een rechte en een punt en die van een cirkel en een punt, zullen sommige leerlingen zich afvragen wat je krijgt als conflictlijn van twee cirkels of van een rechte en een cirkel. Daan1a veralgemenen we de idee van een conflictlijn van een punt en een rechte door 'even ver
te vervangen door 'half zo ver',
'anderhalve keer zo ver , enzovoort. Hiermee voeren we het begrip soorten 'kegelsneden
excentriciteit in. De drie
blijken heel nauw met elkaar verbonden te zijn. We besluiten met een
opgave waarin stukjes van conflictlijnen met elkaar gecombineerd worden: de conflictlijn van een rechte kust en een driehoekig eiland. Deze laatste opgave is eerder 'Spielerei leuk vindt en is niet noodzakelijk voor het vervolg.
20
voor wie dat
onderdeloep
Nog andere conflictlijnen? l.
Bestudeer de conflictlijn tussen twee cirkelvormige kusten en tussen een rechte en een cirkelvonnige kust.
(De leerlingen vinden geen nieuwe resultaten. De punten op gelijke as f tand van twee cirkels cM. en cN,s (r s) zijn niets anders dan de punten op gelijke as f tand Ze vinden hier dus opnieuw een ellips of een van het puntMen de cirkel cN.s hyperbooltak als conl f ictlijn. Als de stralen gelijk zijn zijn het de punten op gelijke afstand van de twee middelpunten, een rechte dus. De punten op gelijke as f tand tot een cirkel en een rechte zijn de punten op gelijke as f tand tussen het middelpunt van de cirkel en een nieuwe rechte.) r
_
r·
Twee keer zo ver, anderhalve keer zo ver, half zo ver, ... De conflictlijn van een punt en een rechte is de meetkundige plaats van de punten die
even ver liggen van het punt als van de rechte. We weten dat deze meetkundige plaats een parabool is. In deze opgave zoek je naar de meetkundige plaats van de punten die twee keer zo ver liggen van het punt als van de rechte. Of anderhalve keer zo ver, of half zo ver of . .
1.
.
in het algemeen
e keer zo ver (met e positief).
Maak een Cabrifiguur waarmee je al deze meetkundige plaatsen in beeld kunt brengen, voor gelijk welke waarde van
e. Je zet een getal op het scherm bv. 2, en je e 2. Daarna kun je
gebruikt dit getal om de meetkundige plaats te bepalen voor
=
het getal 2 wijzigen en zien hoe de meetkundige plaats verandert. Formuleer een besluit.
(De leerlingen ontdekken dat de meetkundige plaats een parabool is als e gelijk is aan 1 (uiteraard .. . ) op een (volledige .ij hyperbool lijkt als de factor groter is dan 1 en op een ellips als de factor tussen 0 en 1 ligt. We dnLkken hieronder twee schermafdrukken af Op de eerste is e 2 en zijn de hulpconstructies zichtbaar. De tweede is verkregen door te meetkundige plaats een spoor te laten maken en het getal e op het scherm te wijzigen van 0 tot 2, 5 met stappen van 0, 1. Je ziet mooi dat al deze krommen één 'familie' vormen. Eén van hen is de 'parabool , die de 'grens vormt tussen de 'ellipsen' en de 'hyperbolen'.) ,
=
Het getal
e is de excentriciteit. De waarde van de excentriciteit bepaalt de vorm van de
kegelsnede: twee kegelsneden zijn gelijkvormig als en slechts als ze dezelfde excentriciteit hebben. Een ellips wordt 'langwerpiger naarmate zijn excentriciteit groter is (dichter bij 1).
------
21
Ui�iskeling 20/4(o�ober2004)
����-
��
e
=
\.I
/
/
/ /
'
d
\. \.
/
\.
I I
\ \ \ \
F
2.0
\ \ \ I
u
I I 1\ I \ / I \/ 1 1' I I \ \. II \. I/ ' � -- _,1 _-----'::._..,._' I ' I\ I \
I I I I /
--t--ll �....,: ---
d
22
2.0
onderdeloep
Als de ellips bepaald is door twee brandpunten, kun je die 'langwerpiger' maken door de afstand tussen de brandpunten te vergroten zonder de afstandensom mee te vergroten. Er zal dus een verband zijn tussen de excentriciteit en de afstand
2c tussen de twee brandpunten.
Maar eerst moet er nog worden aangetoond dat de krommen die hier opduiken, dezelfde ellipsen, hyperbolen en parabool zijn als ervoor. Als de excentriciteit gelijk is aan 1, is het duidelijk dat we een parabool hebben. Een parabool heeft dus excentriciteit
I. Voor de andere
waarden van de excentriciteit, kunnen we analytisch te werk gaan.
Kiezen we het assenstelsel zo dat F(O, 0) end: x= -ken (kis positief) dan ligt een punt P (x, y) ekeer zo ver van F als vand op voorwaarde dat
Uitwerken geeft:
2 - 2e2kx + y2 = ek 2 .2 x2 (I -e)
Omdat
e 1, kunnen we dit als volgt herschrijven: 7:-
2 ek e4k2 + y 2 =e 2k2 +-e4k 2 (1-e 2 ) x 2 -2--x+ 1- 2 (1-e2 r 1-e 2
(
J
e
Op een horizontale verschuiving na is dit de 'standaardvergelijking' van een ellips of hyperbool. Het is een ellips als de noemer van de tweede term positief is, m.a.w. als hyperbool als die noemer negatief is en dus als excentriciteit
e
e in beide gevallen gelijk is aan �, de a
e 1, <
en een
> 1. De leerlingen kunnen nu narekenen dat de
relatieve' afstand tussen de brandpunten.
------ 23
U�wiskeling20/4(o�ober2004)
���
��
De titel van deze paragraaf is 'variaties op hetzelfde thema'. De vorige opgave was een (belangrijke) veralgemening van het idee van een conflictlijn. In de laatste opgave, die minder essentieel is, combineren we stukjes van gekende conflictlijnen met elkaar.
Een driehoekig eiland en een rechte kust In deze opgave ga je op zoek naar de grens tussen de territoriale wateren van een driehoekig eiland en van een groot land met een rechte kust.
I.
Hoe meet je de afstand van een punt P tot een driehoek
ABC (het punt ligt buiten
de driehoek)? Het gaat zoals steeds over de kortste afstand tussen dat punt en een punt van de driehoek. Maak een onderscheid volgens het 'gebied' waarin P ligt.
(Als P zo gelegen is dat je vanuit P loodrecht naar een zijde leunt gaan, is de kortste as f tand van P tot de driehoek gelijk aan de as f tand van P tot die zijde. In het andere geval is de afstand van P tot de driehoek gelijk aan de afstand van P tot een hoekpunt (zie figuur hieronde1).)
Pin clit gebied: afstand tot A nemen
2.
Bepaal de grens tussen de territoriale wateren van het driehoekige eiland rechte kust.
24
ABC en de
onderdeloep
" B �c (De oplossing bestaat uit een aaneenschakeling van lijnstukjes en stukjes van parabolen.)
\
'
\ \
\
'\.
'
\. \.
'\,
\
'\.
'
\. \.
"
' \.
\.
\.
'
'\
' \
'
' -�,---' ' '
'\
""'
.,�-"' � : -' '
25
Ui�iskeling 20/4 (o�ober2004)
�����
3. Weerkaatsing en raaklijnen
a. Bij parabolen De opgaven in de onderstaande werktekst zijn minder in detail uitgewerkt dan we gewoonlijk doen. De vragen zijn bewust meer open geformuleerd. Daarom wordt de werktekst ook niet onderbroken door de antwoorden. Na de werktekst vind je een bespreking van de opdrachten. Afuankelijk van de groep leerlingen zal je als leerkracht meer of minder hulp moeten bieden.
Raaklijnen aan een parabool en weerkaatsingseigenschap In Redu (in de provincie Luxemburg dicht bij de autosnelweg E4ll) bevindt zich een
grondstation van de ESA. Er staat daar een hele reeks paraboolantennes (zie foto hieronder). Deze antennes worden gebruikt om signalen die door satellieten worden uitgezonden op te vangen. Sommige antennes hebben een diameter van 15 meter.
Een
paraboolantenne
heeft
de
vorm
van
een
paraboloïde.
Dat
is
het
omwentelingslichaam dat ontstaat als je een parabool om zijn as wentelt. De ontvanger wordt in het brandpunt van de parabool geplaatst. Op de foto hieronder zie je zo n ontvanger van dichtbij. Het gaat om een veel kleinere antenne, maar het principe ts hetzelfde. De mannen op de foto zijn bezig met het positioneren van de ontvanger.
26
onderdeloep
Het is belangrijk dat de ontvanger precies in het brandpunt van de parabool staat; evenwijdige stralen die recht invallen op de parabolische spiegel, worden immers allemaal weerkaatst door het brandpunt. ln het brandpunt komen al die stralen dus samen en zijn ze sterk genoeg om waargenomen te worden. Waarom deze stralen weerkaatst worden door het brandpunt, zullen we nu onderzoeken. Daarvoor moeten we eerst weten hoe een straal weerkaatst wordt op een gebogen oppervlak. Uit de lessen fysica weten we dat weerkaatsing gebeurt volgens het principe van de wet van Snellius: invalshoek is gelijk aan uitvalshoek (zie figuur hieronder). Doordat
de
invallende
en
de
uitvallende
straal
in
hetzelfde
loodvlak
op
het
weerkaatsingsoppervlak liggen '' ordt het probleem herleid tot een vlak probleem. Bij een gebogen oppervlak wordt gebruik gemaakt van het raakvlak in het punt waar de straal weerkaatst.
I I I
Îl û
In de volgende opdracht gooien \\e het over een heel andere boeg. Ogenschijnlijk heeft de opdracht niets met parabolische spiegels te maken maar verrassend genoeg zal deze opdracht ons helpen inzicht te krijgen in het weerkaatsen op een parabolisch oppervlak! 1.
Neem een blad papier en duid een punt aan op het blad
(5 tot 6 cm van een van de
randen af). Vouw vervolgens het blad zodanig dat één bepaalde bladrand net door dat punt gaat. Wrijf eens goed over de vouw en vouw het blad terug open. Herhaal dit een aantal keer, d.w.z. maak steeds nieuwe vouwen waarbij diezelfde bladrand door het punt gaat.
------
27
Ui�iskeling 20/4 (o�ober2004) �����
Als je nu het resultaat van je vouwwer k bekijkt, valt het op dat de vouwlijnen in een bepaald gebied liggen en dat een heel gebied van het blad gevrijwaard is van vouwen. De rand van dat gebied lijkt wel de vorm van een parabool te hebben.
2. 3.
Toon aan dat dit inderdaad zo is. Wat is de rol van de vouwlijnen? Hoe zit het nu tnet de weerkaatsing? Teken daartoe een straal die evenwijdig met de as van de parabool invalt en construeer de weerkaatste straal. Wat kun je besluiten?
4.
28
Kun je nu uitleggen wat er gebeurt bij de antennes?
onder de loep
Deze opdrachten vragen wel een beetje verduidelijking. Om de opdracht goed te kunnen uitvoeren en om de redenering te kunnen volgen moet je het vouwen ook zelf uitvoeren. Je ziet dan inderdaad de parabool ontstaan: de vouwlijnen zijn de raaklijnen aan die parabool. Waarschijnlijk hebben de leerlingen wat hulp nodig voor vraag 2. Het is immers niet onmiddellijk duidelijk wat ze moeten aantonen. Door ze aan te moedigen precies dát concreter en preciezer te maken, zullen ze al een stuk op de goede weg geraken. Als ze echt niet goed uit de startblokken komen kun je ze op' eg helpen door enkele vraagjes: •
D_oor te vouwen leg je een punt van de rand op het vaste punt, wat is de betekenis van de vouwlijn voor deze twee punten? (Het is de middelloodlijn van deze twee punten.)
•
Als het inderdaad om een parabool gaat, welk punt zal het brandpunt zijn? (Het vaste punt dat we op het blad getekend hebben.) En de richtlijn? (De bladrand die we telkens op het punt leggen.)
•
Aan welke meetkundige voorwaarde voldoen de punten van een parabool? (De afstand tot het brandpunt moet gelijk zijn aan de afstand tot de richtlijn.)
•
Uiteindelijk zouden ze een schets zoals hieronder op hun blad moeten hebben: in deze figuur is F het vaste punt, dis de bladrand P1 is het punt van de bladrand dat door het vouwen opFkomt te liggen. Voor alle punten van de vouwlijn weten we dat ze even ver vanFals van P1 liggen. We construeren dan het punt P op de vouwlijn waarvoor de afstand tot P1 gelijk is aan de afstand tot de rechted.
vouwlijn
p I I I I I
J I pPI I
F
=
d(P'
d)
I I I I I I I
�L ------------------�------��----- d
Zo hebben we op elke vouwlijn een punt P gevonden dat voldoet aan de voorwaarde
I PF I
=
d(P,
d),
(1)
waarbijFhet vaste punt is end de rechte bepaald door de bladrand. Deze punten P bepalen dus de parabool met richtlijnden brandpunt F. We moeten nu nog duidelijk maken dat de vouwlijn
v een raaklijn is aan de parabool met brandpuntFen richtlijn d. Dit kunnen we doen door te (1) voldoet en
laten zien dat het punt P het enige punt van de vouwlijn is dat aan de voorwaarde
------
29
Ui�iskeling20/4(oktober2004)
�����
dat alle andere punten van de vouwlijn in het buitengebied van de parabool liggen. Neem een ander punt Q van de vouwlijn v (zie de figuur hieronder). Voor dat punt Q geldt: IQFI >
IQP'I
(Q ligt op de middelloodlijn van [FP1)
IQQ'I = d(Q, cl)
(driehoeksongel ij kheid)
p .;
/
/
F
-."
."
."."" --- Q _
_
_
1\ I \ I \ I \ I \ \ ' ,,
��������-- d
De conclusie is dus dat de vouwlijn v een raaklijn is weten we ook dat het de raaklijn is in het punt P.
de parabool en door onze constructie
aan
De weerkaatsingseigenschap volgt dan uit onze vouwconstructie. vouwlijn
2:
JIPP'I= d(P, cl)
F
' ' ' '
' '
�
--��� � ����
'
L ��
���
'
�---
d
(overstaande hoeken) (de vouwlijn is de bissectrice)
Een leuke gadget die deze weerkaatsingseigenschap zeer concreet maakt is de Mirage (zie de foto's hieronder).
30
onderdeloep
De Mirage bestaat uit twee parabolische spiegels. Het is niet zo moeilijk na te gaan vanwaar dat varkentje komt dat je wel kunt zien maar niet kunt voelen. Het echte varkentje
staat
in
het
brandpunt
van
de
bovenste
parabolische spiegel en het virtuele varkentje is het beeld dat gevormd wordt in het brandpunt van de onderste parabolische spiegel. Meer uitleg over de Mirage vind je op [5] en [7].
------
31
Uitwiskeling20/4(oktober2004)
Van Archimedes wordt beweerd dat hij tijdens het beleg van Syracuse door de Romeinen in het jaar 212 v.Chr., de vijandelijke schepen met een brandspiegel in brand heeft gestoken. In principe is het mogelijk om de zonnestralen op te vangen op een parabolische spiegel en te laten weerkaatsen door het brandpunt. In het brandpunt kan de temperatuur dan zo hoog oplopen dat je er hout mee kunt laten ontvlammen. Maar als de afstand tussen de top van de parabool en het brandpunt groter wordt, wordt de parabool vlakker. Om een schip dat voor Syracuse op zee vaarde op deze manier van op de kust te kunnen treffen, moet de parabool bijna vlak zijn. De zonnestralen worden dan verstrooid en gaan niet meer netjes door het brandpunt. Tenzij de spiegel een immense grote diameter heeft. Het verhaal van de brandspiegels is dus wellicht niet meer dan een legende. De legende was wel een inspiratiebron voor verschillende kunstenaars. Hieronder vind je een prent van Kircher uit de 17de eeuw.
b.
Bij ellipsen
Ook voor de ellips heb je een vouwconstructie die kan helpen om de weerkaatsingseigenschap aan te tonen. Voor de vouwconstructie ga je als volgt te werk: •
neem een blad papier, teken een zo groot mogelijke cirkel op het blad en knip die cirkel uit;
•
duid ergens binnen die cirkel een punt aan (verschillend van het middelpunt);
•
vouw nu telkens zo dat de rand (de cirkel dus) door het punt gaat wrijf goed over de vouw en vouw de cirkel weer open·
•
maak nu een nieuwe vouw waarbij een ander punt van de rand op het aangeduide punt valt' herhaal dit verschillende keren.
Er ontstaat uiteindelijk weer een patroon van lijnen. In dit geval lijken het wel raaklijnen aan een ellips te zijn (zie figuur).
32
���
��
onderdeloep
Om aan te tonen dat het inderdaad om raaklijnen aan een ellips gaat, zoeken we op elke rechte (vouwlijn) een punt dat even ver van het gegeven punt F ligt als van de cirkel. We noemen P' het punt van de cirkelrand dat bij het vouwen op F terechtkomt. Dan is de vouwlijn de middelloodlijn van het lijnstuk [FP']. Alle punten van de vouwlijn liggen dus even ver van F als van P'. We zoeken dan het punt P van de vouwlijn waarvoor de afstand
I PP' I
gelijk is aan de
afstand van P tot de cirkel. Dat is het snijpunt van de vouwlijn met de straal van de cirkel door P'. (Zie de tekening hieronder.)
vouwlijn
Nu
\
e het punt P gevonden hebben, is het ook duidelijk dat (Mis het middelpunt van de cirkel)
------
33
Ui�iskeling20/4(o�ober2004)
������-
een constante waarde gelijk aan de straal van de cirkel. Het tweede brandpunt is dus het middelpunt M van de cirkel. Tot slot moeten we nog aantonen dat alle andere punten
Q
van de vouwlijn in het buitengebied
van de ellips liggen.
vouwlijn
I FQ I
=
I QP' I
(en I QQ' I is de Q tot de cirkel)
c.
>
I QQ' I
afstand van
Bij hyperbolen
De werkwijze bij hyperbolen is gelijklopend aan die bij ellipsen. Het verschil is dat je vertrekt van een punt buiten de cirkel (waardoor je de cirkel niet meer kunt uitknippen zie de figuren hieronder).
Na
het
vorige
moeten
de
leerlingen
dit
zelfstandig
kunnen
uitwerken.
In
tegenstelling tot de conflictlijn vind je hier een hele hyperbool en niet enkel één van de twee takken.
•
34
onderdeloep
4. Analytische uitdrukking voor een raaklijn aan een kegelsnede In deze paragraaf stellen we een vergelijking op van een raaklijn aan een kegelsnede. We hebben gekozen voor de matrixnotatie van de vergelijking van de raaklijn. Op het eerste gezicht doet deze manier van werken meer denken aan het uitgebreide pakket kegelsneden, maar in se is het niet moeilijker dan de klassieke methode (met afgeleiden).
De aanpak is zeker niet
gemakkelijk voor de leerlingen, maar je laat ze wel kennismaken met de kracht van het rekenen met matrices: de drie types kegelsneden kunnen in één keer behandeld worden, de berekeningen blijven overzichtelijk en je hoeft je niet te beperken tot kegelsneden met een canonieke vergelijking. Vooraleer we snijpunten van een rechte met een kegelsnede kunnen zoeken met behulp van deze matrixnotatie, moeten we de nodige aandacht besteden aan de matrixnotatie zelf voor kegelsneden en rechten.
Maar we beginnen met de zoektocht naar een raaklijn in een gegeven
punt aan een gegeven kegelsnede. Het (toch wel lastige) rekenwerk in dit voorbeeld zal voor de leerlingen een motivatie zijn om te zoeken naar een meer compacte vorm van de vergelijking met hopelijk ook compactere berekeningen.
a. Een concreet voorbeeld
F(O, 0) en richtlijn dB x+ y 4. Gevraagd is de raaklijn P(l, -7). Eerst zoeken we een vergelijking van de parabool. Door uit te schrijven dat een punt tot de parabool behoort als de afstand tot F gelijk is aan de afstand tot d, vinden we
We nemen de parabool met brandpunt
=
in het punt
------
35
Ui�iskeling 20/4(o�ober2004)
���
��
x 2- 2xy+y 2+8x+8y - 16 = 0 . Je kunt eenvoudig nagaan dat het punt
P( 1, -7) een punt
van deze parabool is. De raaklijn aan
deze parabool in het punt P is een rechte door P waarvan we de richtingscoëfficiënt niet kennen. Het is dus een rechte met vergelijking
y = m(x- 1)- 7 waarbij
m de onbekende richtingscoëfficiënt is. De raaklijn is de rechte die slechts één punt
gemeenschappelijk heeft met de parabool. We gaan dus op zoek naar de snijpunten van de rechte met de parabool, bv. door
y te vervangen in de vergelijking van de parabool. Na wat x. Deze vierkantsvergelijking mag slechts
rekenwerk krijgen we een vierkantsvergelijking in
één oplossing hebben, bijgevolg moet de discriminant nul zijn. Na heel wat rekenwerk vinden de leerlingen dan dat
m = 3. Bijgevolg heeft de raaklijn als vergelijking y= 3 x-
10.
Hetzelfde procédé kan toegepast worden om de raaklijn te zoeken in het punt
Q(2, -2). Maar
deze keer lukt het niet. Op een figuur wordt duidelijk dat de raaklijn in Q verticaal is en dus geen richtingscoëfficiënt heeft. We kunnen dan inderdaad controleren dat
x= 2 de raaklijn is in
Q aan de paraboa l. Het rekenwerk in het concrete voorbeeld hierboven is niet bemoedigend om op die manier een formule te zoeken voor een raaklijn in een punt aan een willekeurige kegelsnede. Merkwaardig genoeg zullen we het wat abstracter aanpakken om het eenvoudiger te maken.
b. Compacte vorm van de vergelijking van een kegelsnede Bij het opstellen van de vergelijking van een parabool, ellips of hyperbool hebben we opgemerkt dat deze kegelsneden voorgesteld worden door een vergelijking van de tweede graad. Dit onderscheidt de kegelsneden op algebraïsch vlak onn1iddellijk van rechten: rechten hebben immers een vergelijking van de eerste graad. Parabool, ellips en hyperbool vormen dus niet alleen in meetkundig opzicht een mooie 'familie -het zijn alle drie 'kegel-sneden -maar ook op analytisch vlak vertonen ze een mooie overeenkomst. Een willekeurige rechte kunnen we voorstellen met een vergelijking van de vorm
ax + by+ c = 0. Voor elke kegelsnede kan de vergelijking in de vorm
a11 x 2+2a12 xy+a22 y 2+2a13 x+2a 3y+a 33 2
=0
geschreven worden. In het voorbeeld hierboven is deze vorm onmiddellijk te herkennen. Maar ook de 'canonieke vergelijkingen leerlingen nagaan.
36
kunnen in deze vorm geschreven worden. Dit kunnen de
onderdeloep Elke kegelsnede heeft dus een vergelijking van de tweede graad. We gaan echter niet in op de omgekeerde vraag, nl. stelt elke tweedegraadsvergelijking een kegelsnede voor? Wiskundigen houden van een 'ja" op een dergelijke vraag. Maar om dat hier te verkrijgen is wel een truc nodig: je moet een unie van twee rechten (en zelfs van een rechte met zichzelf) ook als een kegelsnede bekijken en 'imaginaire'
kegelsneden toelaten. Dergelijke bespiegelingen zijn
voorbehouden voor het leerplanonderdeel "analytische meetkunde B". Deze
algemene
vergelijkingen
van
rechten
opschrijven. De vergelijking ax+ by + c
=
en
kegelsneden
kunnen
we
nu
compacter
0 is hetzelfde als
In het linkerlid staat eigenlijk een lxI-matrix. We zouden dus eigenlijk in het rechterlid (0) moeten schrijven. Maar we zullen de notaties niet nodeloos verzwaren en laten die matrixhaken weg. Ook
de
vergelijking
2 2 a11x +2a12x) +a22y +2a13x+2a23y+a33
kunnen we met behulp van matrices noteren: a13 a23 a33
][ ]
=
0
van
een
kegelsnede
x
y
=
0.
1
(Reken na!) De coëfficiënten zijn weer samengebracht in een matrix en de coördinaten in een andere matrix. Deze laatste matrix wordt nu twee keer gebruikt (één keer in getransponeerde vorm) om uitdrukkingen van de tvveede graad te krijgen. We noemen de matrix
de matrix van de kegelsnede. Merk op dat A symmetrisch is, d.w.z. dat AT= A. De leerlingen kunnen nu deze matrix A opstellen voor de kegelsnede uit het voorbeeld hierboven en voor kegelsneden met een canonieke vergelijking.
Indien we
[�]
(
noteren met X dan •s X T = x
y
!)
en kunnen we de vergelijking zeer
compact noteren met XT·A·X=O.
------
37
Ui�iskeling 20/4(o�ober2004)
�����
c. Snijpunten van een kegelsnede met een rechte Raaklijnen zijn limietgevallen van snijlijnen. We zullen dus eerst moeten onderzoeken hoe je snijpunten van rechten met kegelsneden zoekt met behulp van de nieuwe matrixnotaties. In het voorbeeld bij het begin van deze paragraaf hebben we de rechten genomen door een punt en met een variabele richtingscoëfficiënt. We hebben ondervonden dat indien de raaklijn verticaal is, we met deze
werkwijze
problemen
krijgen.
Dit is te vermijden
door
te
werken met
parametervergelijkingen voor de rechte. Die zijn van de vorm
{
x= x1 +ku · y=y1 +kv ·
waarbij (x 1, y 1) de coördinaten van een punt van de rechte zijn, (u, v) een richtingsvector enkde parameter is. Door een waarde voor k in te vullen krijg je een punt van de rechte. Dit is hét grote voordeel van pararnetervergelijkingen: je kunt elk punt van de rechte met één parameterwaarde beschrijven. Je kunt daarenboven élke rechte op dezelfde manier beschrijven. Het
pnnc1pe
van
parametervergelijkingen
kennen
de
leerlingen
vanuit
het
stuk
ruimtemeetkunde maar is nieuw in het vlak. Ook deze parametervergelijkingen schrijven we in matrixvorm:
Dit zullen we in het vervolg kortweg noteren alsX=X1 + k U · . Nu kunnen we de kracht van deze compacte notaties laten zien. Om de doorsnede van de rechte met de kegelsnede te onderzoeken substitueren we deze uitdrukking in de vergelijking van de
kegelsnede. Dit geeft
We werken dit uit: X1 T·AX · 1 +k·X1 T· A·U+k· UT·A·X1 +k2 U · T·A·U= 0. Merk op dat XITA · X · l' UT·AX · l, xlT·A·U en UTA · U · gewone getallen zijn of juister gezegd
1 x I-matrices. We krijgen dus een uitdrukking van de tweede graad in de variabele k.
. xl) T Bemerk bovendien dat UTA . . xl =(UTA .
=
xlTA . . u . De uitdrukking wordt dus
TA X1 TA . X1 . + 2kX1 . . . u+ k2. uTA . . u= o
(1)
Om de parameterwaarde(n) voor de snijpunten te vinden moeten we k oplossen uit deze vergelijking. Omdat
38
(1) een vierkantsvergelijking in kis hebben we drie mogelijke gevallen:
onderdeloep
•
de discriminant is negatief: er zijn geen snijpunten
1\::J
•
de discriminant is positief: er zijn twee snijpunten
•
de discriminant is nul: er is één gemeenschappelijk punt
In het laatste geval spreken we van een
raaklijn.
We kunnen dus besluiten dat een rechte geen, een enkel punt of twee punten gemeenschappelijk heeft met een kegelsnede. De schetsen hierboven kunnen door de leerlingen aangevuld worden met schetsen van hyperbolen en parabolen. Al moeten we bij dit laatste type wel voorzichtig zijn. Een rechte evenwijdig met de as van de parabool lijkt de parabool ook maar in één punt te snijden, maar is duidelijk geen raaklijn. Dit is zeker niets om heel diep op in te gaan, maar je kunt
er
de
leerlingen
vierkantsvergelijking
(1)
wel de
op
wijzen
coëfficiënt
dat van
dit
precies
het
geval
I! nul is en de
is
wanneer
vergelijking
in
dus
de een
eerstegraadsvergelijking wordt. Hetzelfde heb je als je bij hyperbolen snijdt met rechten evenwijdig met de asymptoten. Ook hier heb je dat de vierkantsvergelijking herleid wordt tot een eerstegraadsvergelijking. Als leerkracht weet je dat het tweede snijpunt in deze gevallen een punt op oneindig' is, maar dit hoort niet meer bij 'analytische meetkunde A .
------
39
Uitwiskeling20/4(oktober2004)
���
��
d. Vergelijking van een raaklijn in een punt aan een gegeven kegelsnede We kunnen nu het vorige gebruiken om raaklijnen te zoeken. Stel dat een kegelsnede gegeven wordt door de (matrix-)vergelijking
en dat het punt P(x1
,
y 1 ) een punt is van die kegelsnede. Bijgevolg is
met X,=
[ �: ]
(2)
We onderzoeken wanneer een rechte door P een raaklijn is aan de kegelsnede. Een rechte door P heeft als parametervergelijkingen X=X1 +k-U Om de gemeenschappelijke punten van de kegelsnede en de rechte te onderzoeken vullen we deze parametervergelijkingen in de vergelijking van de kegelsnede in en we vinden opnieuw de T vierkantsvergelijking (1). Omdat xl . A. xl = 0 wordt de vergelijking nu 2k·X1
T
T 2 ·A·U +k ·U ·A·U= 0.
We moeten nu eisen dat de discriminant gelijk is aan nul. Zoals de leerlingen gemakkelijk kunnen narekenen betekent dit dat T X1 ·A·V=O. Hiermee hebben we een voorwaarde gevonden waaraan de richtingsvector van de raaklijn moet voldoen. Hiermee kunnen we tot de vergelijking van de raaklijn komen. Een vergelijking van een rechte is een voorwaarde waaraan de coördinaten (x
y) van een punt Q moeten voldoen y) van de raaklijn
opdat het punt Q tot die rechte zou behoren en omgekeerd. Voor elk punt Q(x, in P geldt dat er een zekere waarde t bestaat zo dat
met X=
We kunnen dan narekenen dat
40
[� ]
onderdeloep T T X1 ·A·X =X1 ·A·(X1 +tV) T T =X1 ·A·X1 +t·X1 ·A·U =O+t·O =0 De punten Q(x,y) van de raaklijn in
P
voldoen dus aan de voorwaarde X1
T
·A·X=O.
T T De matrix X1 ·A is een 3x1-matrix. De vergelijking X1 ·A·X =0 stelt dus een rechte voor, namelijk de raaklijn aan de kegelsnede in het punt P. We besluiten: een punt Q(x, y) behoort tot de raaklijn aan de kegelsnede in het punt P(xJ YJ) indien
(x,
y1
1)· A
{�]
=0
Deze laatste uitdrukking is de vergelijking van de raaklijn in P(xJ, YJ) aan de kegelsnede. Met deze formule controleren we de vergelijkingen uit het voorbeeld aan het begin van deze paragraaf. Voor de raaklijn in
P(l, -7)
is de vergelijking
!)[�' : l [;] -40)[�l -1
(1
-7
=0
1 4
� 12
(
-16
1
=0
-4
�3x-y-10=0. Voor het punt Q(2, -2) kan dit op dezelfde manier:
(2
-2
1
)
[�I 4
-
4
I
: -16
l[;]
=0
1
------
41
Ui�iskeling20/4(oktober2004)
������-
�x-2=0.
Bibliografie [1] J. W. Downs Practical conic sections, Dale Seymour Publications (Palo Alto) 1993. [2] T. Pappas A1ore Joy ofA;fathematics, Wide World Publishing!fetra (San Carlos) 1992. [3] W. Reuter M. Kindt, A. Goddijn Conflictlijnen en spiegels; voortgezette meetkunde deel Nieuwe wiskunde tweede fase, Profiel N&T, Freudenthal Instituut (Utrecht) 1997. [4] http://ccins.camosun.bc.ca/�jbritton/jbconics.htm (toepassingen van kegelsneden) [5] www. arabesk.nl
[6] www.dep. no/md/nsc/map/bn.htrnl (kaart Noordzee) [7] www. optigone. com
Michel en Hilde
42
M. Kindt,
Wat te bewijzen is (25): oneindig veel priemgetallen
Nieuwe Wiskrant 23/4 (2004), 6-9
De 25ste aflevering van Martin Kindts vaste bewijzenrubriek in de Nieuwe Wiskrant gaat over verschillende manieren om te bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen bestaan. De auteur betreurt dat de priemgetallen nog nauwelijks aan bod komen in het secundair onderwijs, terwijl ze juist een geschikte context vormen om op een relatief eenvoudige manier met bewijzen kennis te maken. Een eerste bewijs is millenniaoud en heel beroemd. In propositie 20 van boek 9 van de Elementen schrijft Euclides dat er meer priemgetallen zijn dan elk voorgeschreven aantal. In het bewijs vertrekt hij van drie priemgetallen a, b en
c
en laat hij zien dat hiermee een nieuw
priemgetal kan worden gemaakt. Hij beschouwt namelijk het getal d+ 1 waarbij d het kleinste gemeenschappelijke veelvoud is van a b en
c.
Dit getal d + 1 kan niet deelbaar zijn door a, b of
c. Er is dus zeker een priemgetal bijgekomen: d+ 1 zelf als het priem is, of in het andere geval
een priemfactor van d + 1. Op die manier bewijst Euclides dat er meer dan drie priemgetallen zijn
maar is het duidelijk dat je ditzelfde procédé op elk ander aantal kunt toepassen. De
oorspronkelijke tekst
die in een letterlijke vertaling opgenomen is in het artikel, klinkt
meetkundiger dan deze 'moderne '
vertaling. De getallen stelt Euclides voor als lijnstukken,
1 bijtellen bij een getal" doet hij door er een eenheidslijnstuk tegen te plakken en ' is deelbaar
door formuleert hij als' wordt gemeten door". Een andere manier om met een aantal gegeven priemgetallen steeds een nieuw priemgetal bij te fabriceren,
gaat als volgt:
je
verdeelt
de gegeven
priemgetallen
in twee groepjes,
je
vermenigvuldigt de getallen in elke groep en je telt de twee uitkomsten op. Dan heb je, net zoals met het procédé van Euclides priemfactoren
nieuw
ofwel opnieuw een priemgetal, ofwel een getal waarvan de
zijn. Met 2 3 5 7 en 11 kun je bv. 2·3·5 + 7·11
priemgetal) of2·3 + 5·7·11
=
391
=
=
107 maken (een
17·23 (nieuwe priemfactoren). Het is helemaal niet moeilijk
om te bewijzen dat dit systeem steeds werkt. Als je een zeef van Eratosthenes van zes hokjes breed opstelt, dan valt meteen op dat, op 2 en 3 na, alle priemgetallen in de eerste of in de vijfde kolom staan. Ieder priemgetal groter dan 3 is in1mers ofwel een 'zesvoud + 1
ofwel een 'zesvoud + 5 . De auteur toont aan dat de vijfde '
kolom op zichzelf al oneindig veel priemgetallen bevat. Met elk eindig rijtje priemgetallen p1, p2, ... , Pn uit die vijfde kolom kun je immers een nieuw priemgetal van dezelfde kolom
bijmaken: 6p1p2 ...p"- 1 of een priemfactor hiervan. Immers: 6p1P2· ..p"- 1 is niet deelbaar door 2 door 3 of door één van de Pk van het rijtje. De priemfactoren van dit getal kunnen ook niet
allemaal in de eerste kolom zitten want een product van 'zesvouden+ l' is opnieuw een
43
U�wiskeling20/4(o�ober2004)
�����
'zesvoud+ 1 . Ook de eerste kolom bevat oneindig veel priemgetallen maar dat is een stuk moeilijker te bewijzen. Er bestaan nog veel voorbeelden van rijen die oneindig veel priemgetallen bevatten. Dirichlet bewees dat dit onder meer het geval is met iedere rekenkundige rij waarvan de beginterm en het verschil onderling ondeelbaar zijn. Men heeft lang gedacht dat ook de rij van de Permatgetallen Fn =
2
211
+ 1 van deze soort was.
Permat dacht zelfs dat ze allemaal priem zijn, maar voor een keertje had hij ongelijk. De eerste vijf Permatgetallen F0, ... , F4 zijn priemgetallen maar F5 blijkt deelbaar te zijn door 641, en ook grotere Permatgetallen werden (en worden) in factoren ontbonden. Men denkt nu zelfs dat misschien enkel de eerste vijf Permatgetallen priem zouden zijn. Een mooie eigenschap van de Permatgetallen is: Fo = 3 =Ft- 2 Fo
Fo
·
·
Ft
Ft = 15 = F - 2 2
·
.
..
·
Fn =Fn+t
-
2
Je kunt dit aantonen door van het rechterlid te vertrekken: F"+t-
2
Hieruit
=
22
n +l
volgt
-1 =
dat
�
n 2 +1
twee
)�
2
n
)
-1 = F" (F"-
getallen
van
2)
= F" Fn-t (Fn-t-
Permat
gemeenschappelijke priemfactor van F"+t en F;
(0 �
steeds i
2)
onderling
= ... = F,, F"_t F"_ ... Fo. 2
ondeelbaar
zijn.
Een
� n) zou immers ook 2 moeten delen en
dat kan niet omdat de getallen van Permat oneven zijn. Dus is een priemfactor van een Permatgetal nooit gelijk aan een priemfactor van een vorig PermatgetaL Omdat er oneindig veel Permatgetallen zijn, bewijst dit nog maar eens dat er oneindig veel priemgetallen bestaan.
Michel
44
---
de bibwijzer
Teik-Cheng Lim, The square root of -1 is real!? The College Mathetnaties Journal 31/3 (2004), 214
De auteur begint 1net de eenvoudige gelij kheid
i= 1 + (i- 1)
en werkt dit verder uit tot:
2 2 i -1)(i+1) i= 1 +(i-1) = 1+ ( = 1- - - = 1i+ 1 i+ 1 2 +(i-1) . . .. Hieruit blijkt dus dat i - 1=-
2 ---
2 +(i-1)
Herhalen we voortdurend deze substitutie, dan ontstaat de volgende mooie kettingbreuk
i= 1-
2 ------
2-
2
------
2-
2
-----
2-
2
---
2-
2 2- ...
-
En aangezien sommen en quotiënten van reële getallen reële getallen opleveren ... We lossen deze paradox hier niet op, maar ven ij zen naar de bibliografie voor meer informatie over kettingbreuken.
Bibliografie
http://plus.matlls.org/issue l l /features/cfractions/index.ht.Inl http://www.mcs.surrey.ac.uk!Personal/R.Knott/Fibonacci/cflNTRO.html
Pedro
-------
45
U�wiskeling20/4(o�ober2004)
���
��
Jeff Miller, Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathernaties http:/!tnembers.aol.com/jeff570!tnathword.htinl
Ooit gebruikte ik het woord precalculus in een gesprek met een wiskundeleerkracht Dat bleek geen goed idee,
want ik kreeg
prompt het verwijt de wiskunde te
willen opdelen in
nieuwerwetse hokjes, waarbij precalculus' een illustratie vormde van de recente en wild om zich heen grijpende verloedering van het wiskundeonderwijs. Zoiets. Op zo n ogenblik is het handig een kijkje te kunnen nemen op de site
Earliest
Same of the
Known
Uses
of
Words of Mathe
matics" van Jeff Milier een leer
ICarli�st K.tHHl'n Ust.·� nf Stnuc nf tht.· \Vords of
kracht in een secundaire school
l\ lathf:Ill�ltifs
in de V.S. Daar vind je namelijk dat het woord al opdook in 194 7 als
adjectief
zelfstandig
en
in
1969
naamwoord
Gelijkaardige informatie vind je voor termen die we jaarlijks in lessen
gebruiken,
zoals
abscis, priemgetal, functie, primi tieve functie, fractal, harmonisch gemiddelde
natuurlijk
·
een
m
wiskundetijdschrift.
onze
.
....
als
getal,
l.EFT TO RIGIIT Ja.-s Jen-pk Syloeslor,lrllo inl.toducrd thr words matrix. df5<'rlmimmt. 1mcJriant, toNen!, aa� J�oblan; C.tt&U4 Willorbft Ldum, wbo l!lltodu:rd lhr werd' .,anobl•. �o>ulm:t. .ftmt:hon. obl�l.ua. po•arr.ocr. �oo•dinote and periups do1vohve; !U u D�uiu, who m!Joduced lhe lel'TT\!1 T
� �nterpolaho•l t:O>IIl>JIHdfiocho>\ mcmh.ua, &nd hyp4rg.omct11C SI71CS A· TI - (' - D - E- F- G - H- I- .T- K- L- M- N- I)
·
P-
Q - R-
Tlt\'Sl' l'"i-"� aii\'!Jllll lo sho�
S - T - U- \'- \Y- X- 'i- Z-
w
an:llhf'an:ttks. Research for
these pages is ongo111g. and a citation s b ould nol be asrurucd to be lhe earliest use unless it 1S llldica!ed as
such These
pages are maintained by JeffMillrr. a teacher at Gulfffigh Schoollll NcwPort fuchcy. pnncipal conlnbutors are Joho Aldnclt. Julio Go�áln CabiDón, Carlos César de Araujo, and Antrarug Basman, Dave Cohen,
normale verdeling, matrix, ...
Florida The
Voor de meeste woorden gaat hij
John Conway, Martin Davis. Karen Dee M.ichalowicz, Joanne M Despres ofMemam-Webster Inc., Bil!
terug op vermeldingen ervan in
Jamcs A Landau Othcr conmbutors are Manoei de Campo s A1mc1da,
Dubuque. Mark Dunn. Joho G. Fauvel. Walter Fclscher, Giovanni Ferraro. Tom Forcggcr, Mich ael N.
andere teksten. Dit hoeft niet te impliceren dat het woord voordien nog niet in voege was. ledereen die dus een correctie heeft of een verdere precisering kan gerust een mailtje sturen naar Jeff Milier met meer informatie.
Pedro
46
UITWISKELING
bestaat
20
jaar!
Nog niet ingeschreven voor dit feest? Surf dan onmiddellijk naar www.uitwiskeling.be en schrijf je vandaag nog in. Wij verwachten je!
rl .
e
.
47
Het spinnenweb
20/1
K. Jannis, S. Luca, L. Sniekers en D. Vrijsen, Toetsen van hypothesen
2
20/1
G. Verbeeck Afgeleide en !CT
9 2
20/2
P. Tytgat Een trip naar Afars- een modelleeropdracht voor de derde graad
20/2
H. Troch, Een verhaaltje "van" niets
20/2
J. Peeters, G. Verbeeck Stelsels oplossen en bespreken met !CT
10
20/2
M. Roelens, Symmetrische figuren
19
20/3
M. Roelens, Viewmaster en driedimensionaal zicht
20/3
J. Willems, Zwaartelijnen en zwaartepunt van een driehoek
9
2 12
20/4
E. Van Emelen Knollen voor citroenen
3
20/4
L. Van den Broeck, De beker der gerechtigheid
7
Onder de loep
20/1
Het mysterie van de Mekkawijzers van Isfahan
24
20/2
Wiskunde uit de speelgoedkast
25
20/3
Discrete dynamische processen
14
20/4
Kegelsneden
9
De bibwijzer
20/1
+Piusmagazine, http://plus.maths. org
20/2
R. Bosch Randomized response
47
20/2
JtVebsites met historische werken Het programma voor dynamische meetkunde 'Passel en Liniaal (PeL) M. Kindt, Wat te bewijzen is (25) : oneindig veel priemgetallen Teilc-Cheng Lin De complexe eenheid i is een reëel getal? JeffMiller Earliest Known Uses ofsome of the Words ofA1athematics
50
20/3 20/4 20/4 20/4
48
52
51 43 45 46
