4. Hálózatszámítás: a hurokmódszer Kirchhoff törvényeinek alkalmazásával bármely hálózatban meghatározhatók az egyes ágakban folyó áramok és a hálózat tetszés szerinti két pontja közötti feszültség. A hurokmódszer egyszerűsíti, gépiessé teszi az áramok meghatározását. Lényege az, hogy az áramokat a hurkokhoz rendeljük az ágak helyett. Tekintsük a következő áramkört: R1 = 200 Ω R2 = 300 Ω R3 = 100 Ω R4 = 400 Ω R5 = 150 Ω R6 = 250 Ω R7 = 500 Ω R8 = 600 Ω
E1 = 4 V E2 = 10 V E3 = 10 V E4 = 46 V E5 = 49 V
Határozzuk meg az R8 ellenálláson folyó áramot és az UAB feszültséget! Megoldás: Vegyünk fel minden egyszerű hurokban egy-egy áramot. Célszerű azonos körüljárási irányt választani, mint az ábrán látható. A szabad ágakon a hurokáram, azokon az ágakon viszont, melyek egy másik hurokkal közösek, a saját áram és az idegen áram különbsége folyik. Ezzel az áramfelvétellel Kirchhoff I. törvénye automatikusan teljesül. (Pl. az A pontnál befolyik I2 áram és kifolyik I1, az AB közös ágon viszont befolyik I1 és kifolyik I2, azaz az A csomópontban az áramok összege valóban zérus.) Írjuk fel a hurokegyenleteket (azaz a potenciálváltozások összegét az egyes hurkokra) a felvett körüljárási irányokat követve! - R1 I1 - E1 - R3 I1 + E3 - R4 (I1-I3) - R2 (I1-I2) + E2 = 0 - R6 I2 + E4 - R5 I2 - E2 - R2 (I2-I1) - R7 (I2-I3) = 0 - R8 I3 - R7 (I3-I2) - R4 ( I3-I1) - E3 - E5 = 0 Rendezzük az egyenletrendszert az ismeretlen áramokra! (R1+R2+R3+R4) I1 - R2 I2 - R4 I3 = - E1 + E2 + E3 - R2 I1 + (R2+R5+R6+R7) I2 - R7 I3 = - E2 + E4 - R4 I1 - R7 I2 + (R4+R7+R8) I3 = - E3 - E5 Behelyettesítve a számértékeket: 1000 I1 - 300 I2 - 400 I3 = 16 -300 I1 + 1200 I2 - 500 I3 = 36 -400 I1 - 500 I2 + 1500 I3 = -59 Az áramok: I1 = 0,01 A I2 = 0,02 A I3 = - 0,03 A Az R8 ellenálláson I3= -0,03 A áram folyik, tehát a tényleges áramirány ellentétes a felvett áramiránnyal. Az AB ágban folyó áram 0,01 A, iránya A → B, tehát az A pont potenciálja pozitívabb, mint a B ponté. Az E2 telepen a potenciál 10 Vt, az R2 ellenálláson 3 V-t esik, tehát UAB = 13 V.
27
5. Váltóáramú hálózatok Ha a feszültség, illetve az áramerősség időfüggése harmonikus, azaz
U(t) = U0 cos (ωt + φ)
illetve
I(t) = I0 cos (ωt + ϕ)
alakú, váltófeszültségről, illetve váltóáramról beszélünk, melynek körfrekvenciája
ω = 2π ν , (ν a frekvencia), a feszültség amplitúdója U0, fázisállandója φ, az áramamplitúdó I0, és az áram fázisállandója ϕ. Egy tetszőleges R ellenálláson a feszültség minden pillanatban arányos a pillanatnyi áramerősséggel, U(t) = R ⋅ I(t), de kondenzátoroknál és tekercseknél nem. A kondenzátor feszültsége a rajta lévő töltéssel arányos:
UC(t) =
1 C
1
⋅ Q(t) =
C
⋅ ∫ IC(t) dt
és ha
IC(t) = I0 cos ωt, a feszültség, UC:
UC =
1 C
∫ I0 cos ωt dt =
I0 I0 sin ωt = cos(ωt - π/2). ωC ωC
A feszültség is harmonikus függvénye az időnek, frekvenciája megegyezik az áraméval, de π/2 fázissal késik az áramerősséghez képest. Az önindukciós tekercsen a feszültség a fluxus időderiváltjával, a fluxus pedig az áramerősséggel arányos:
UL(t) =
d Φ( t ) dt
= L⋅
d I L (t) dt
,
ahol L az önindukciós együttható. Váltóáram esetén a tekercsen a feszültség
UL = L ⋅
d I 0 cosωt dt
= - I0 ωL sin ωt = I0 ωL cos (ωt + π/2),
π/2 fázissal siet az áramerősséghez képest. Mind a kondenzátornál, mind a tekercsnél a feszültség és az áram hányadosa időben változik, ezért az egyenáramú hálózatokra érvényes számítási módszerek itt nem alkalmazhatók. Formális hasonlóság hozható viszont létre az alábbi módszerrel.
Komplex mennyiségek bevezetése A komplex algebrában értelmeztük az eix függvényt:
eix = cos x + i sin x , vagyis
cos x = Re (eix),
vagy
cos x = ˝ (eix + e-ix).
Elvben feltételezhetjük, hogy az áramerősség komplex függvénye az időnek:
!I = !I 0 eiωt , ahol a " ^ " utal arra, hogy komplex mennyiségről van szó. Bár ennek fizikai értelme nincs, ha vesszük !I valós részét, az már egy közönséges harmonikus időfüggés. Mindaddig, míg lineáris műveleteket (összeadást, konstans-szorzást, differenciálást és integrálást) hajtunk végre a feszültségen és áramokon, ezt elvégezhetjük a komplex függvényalakon, és azután vesszük az eredmény valós részét. 28
Tételezzük fel tehát, hogy az áramerősség !I = !I 0 e alakú, és határozzuk meg ennél az időfüggésnél a kondenzátor és tekercs komplex feszültségét: !I ! ! = 1 I! e iωt dt = 1 ⋅ 0 e iωt = I , U C 0 C C iω iω C i t ω d !I e ! L= L 0 = L ⋅ !I 0 iω eiωt = iωL !I . U dt A komplex alakban a kondenzátor és a tekercs feszültségének és áramának hányadosa egy-egy időtől nem függő komplex szám, melyet a kondenzátor illetve tekercs komplex impedanciájának nevezünk. Ha most ellenállásokból, tekercsekből és kondenzátorokból tetszőleges kétpólust építünk, ennek a két pólusán a komplex feszültség arányos lesz a komplex árammal, mert ez az arányosság minden egyes elemen fennáll. Egy kétpólus komplex feszültségének és áramának hányadosát a kétpólus komplex ! -vel jelöljük: impedanciájának nevezzük és Z ! / !I . Z! = U Az ellenállás, tekercs és kondenzátor komplex impedanciája: iωt
∫
Z! R = R ,
Z! L = i ωL ,
1 1 =− i. Z! C = iωC
ωC
Ha sorba kapcsolunk egy R ellenállást, egy L önindukciójú tekercset és egy C kapacitású kondenzátort, (soros rezgőkör),
! AB feszültség az egyes elemeken eső feszültségek összege. Ha a kétpóluson !I = !I 0 e áram folyik, az U az egyes komplex feszültségek: ! R = !I R, U ! L = i ωL !I , U ! C = -i/(ωC) !I , U és a teljes feszültség ! AB = U !R+U ! L+ U ! C = (R + iωL - i/(ωC)) !I = Z! !I , U Z! = R + iωL - i/(ωC) iωt
Hálózatszámítás komplex mennyiségekkel Tetszőleges passzív kétpólusokból felépített kétpólus impedanciáját ugyanazokkal a módszerekkel tudjuk meghatározni, mint az ellenállások esetében. Így sorba kapcsolt impedanciák eredője az egyes komplex impedanciák összege; párhuzamos kapcsolásnál pedig az impedanciák reciprokai, az admittanciák ! = 1/ Z! ) összegződnek. (Y
! = Σ Z! j, Soros kapcsolásnál Z
! =Σ Y ! j. párhuzamosnál Y
Ugyanígy a Kirchhoff-törvények is érvényesek maradnak a komplex áramokra, feszültségekre és impedanciákra. A komplex számok megadhatók vagy valós és képzetes részükkel:
Z! = R + i X , vagy abszolút értékükkel és fázisukkal; az utóbbi az Euler-alak:
Z! = Z ei φ , ! = R 2 + X 2 az abszolút érték, és φ a fázis, a komplex szám mint kétdimenziós vektor és a ahol Z = Z valós tengely által bezárt szög és
tg φ = X /R. 29
Komplex számokat összeszorozva az abszolút értékek szorzódnak, a fázisok pedig összeadódnak. Így ha ! = Z! !I , a feszültség abszolút értéke az impedancia abszolút értékének és az áram abszolút értékének U szorzata; a feszültség fázisa viszont az impedancia és az áram fázisának összegével egyenlő. A komplex mennyiségeket a komplex számsíkon ábrázolva kapjuk a váltóáramok, feszültségek, impedanciák vektorábráját:
Térjünk vissza a valós mennyiségekre! iϕ Az !I 0 komplex amplitúdó Euler-alakja !I 0 = I0 e , így
!I = I0 ei (ωt +ϕ) = I0 (cos(ωt+ϕ) + i sin(ωt+ϕ)) . A valóságos áramerősség a fenti komplex áram valós része:
Ivalós = Re ( !I ) = I0 cos (ωt+ϕ), melynek amplitúdója megegyezik a komplex áram abszolút értékével, fázisa a komplex áram fázisával. ! = Z eiφ, akkor a valós feszültségamplitúdó az áram és impedancia abszolút értékének szorzata, a Ha Z feszültség fázisa pedig az áram fázisának és az impedancia fázisának összege, vagyis a valós feszültség:
Uvalós = I0 Z cos(ωt+ϕ+φ) . Váltóáramú teljesítmény számítása Periodikusan változó áram és feszültség esetén a pillanatnyi teljesítmény helyett az átlagteljesítménynek van gyakorlati jelentősége. Az átlagteljesítmény a pillanatnyi valós feszültség és áram szorzatának (a pillanatnyi teljesítménynek) az időátlaga egy periódusra. Legyen az áram fázisa ϕ = 0, így a feszültség fázisa egyenlő az impedancia fázisával, φ-vel.
P=
1
T
∫U T
0 cos( ωt + φ ) ⋅ I 0 cos( ωt) dt
=
0
U0 I0 T
T
∫
cos(2 ωt + φ) + cos φ 2
0
dt =
U 0I 0 cosφ = Ueff Ieff cosφ 2
Felhasználva, hogy U0 = Z I0, mely fennáll az effektív értékekre is:
Ueff = Z Ieff, a teljesítmény
P = I2eff Z cosφ = I2eff Re( Z! ) A váltóáramú átlagteljesítmény egy ellenállásokból és reaktív elemekből álló kétpóluson az impedancia valós részén disszipálódó teljesítménnyel egyenlő, azaz az egyes ohmos ellenállásokon disszipálódó teljesítmények összegével. Vigyázat: nem igaz viszont az egyenáram analógiájára, hogy a teljesítmény az számítható, hanem P = U eff ⋅
U eff Z
⋅ cos φ =
U eff 2 ⋅ Z cos φ Z
2
=
U eff 2 ⋅ Re( Z! ) Z
2
30
.
U eff 2 képlettel lenne Re( Z! )
6. Példa váltóáramú hálózat számítására Az önindukciós tekercsen IL,eff = 20 mA effektív értékű váltóáram folyik,
ω = 10000 1/s.
a. Mennyi a generátorfeszültség és a generátoron folyó áram effektív értéke? b. Mennyi a generátorfeszültség fázisa a generátoráramhoz képest? c. Határozzuk meg a kör impedanciáját az A, B pontok között, valamint az impedancia abszolút értékét és fázisát! d. Mennyi teljesítmény disszipálódik az áramkörben? e. Mekkora a kondenzátoron a maximális feszültség? Megoldás: a. Írjuk fel a tekercs és a kondenzátor komplex impedanciáját! (Az impedanciákat kΩ-ban, az áramokat mA-ben, a feszültséget V-ban fogjuk számolni.) Z! C = -i/ωC = -2i kΩ, Z! L = iωL = 2i kΩ Az LR tag impedanciája:
Z! LR = R + Z! L = (1 + 2i) kΩ
Az LR tagon folyó komplex áramerősség, az áram fázisszögét zérusnak választva: !I LR = 2 ⋅ IL,eff = 20 2 mA, és az LR tagon a komplex feszültség: ! LR = Z! LR⋅ !I LR = 20 2 (1 + 2i ) V = U !C=U ! G. U Ugyanez a kondenzátoron és a generátoron is a feszültség, mert párhuzamosan van kapcsolva az LR taggal. Így a kondenzátoron folyó komplex áramerősség: !I C = U ! LR / Z! C = 20 2 (1 + 2i) / (-2i) = -10 (2-i) 2 mA. A generátoron folyó áram, vagyis a teljes áramerősség az A,B pontok között a kondenzátoron és az LR tagon folyó komplex áramerősségek összege: !I G = !I C + !I LR = ( 20 - 10 (2-i) ) 2 = 10 2 i mA. Tehát a generátorfeszültség effektív értéke:
UG,eff =
! U LR 2
= 20 5 V,
a generátoron átfolyó áram effektív értéke pedig:
IG,eff =
!I G 2
= 10 mA.
b. A komplex generátorfeszültség fázisa ϕU = arctg(2) = 1,107 (radián), fázisa ϕI = π/2 = 1,571 (radián), a feszültség fázisa az áramhoz képest
az áram tisztán képzetes,
ϕ = ϕU - ϕI = - 0,467 (= - 26,6° ). ! AB a kondenzátor és az LR tag impedanciáinak párhuzamos eredője: c. Az eredő impedancia, Z
1/ Z! AB = 1/ Z! C + 1/ Z! LR = 1/(-2i) + 1/(1+2i) = 0,5i + (1-2i)/5 = 0,5i + 0,2 - 0,4i = 0,2 + 0,1i Z! AB = 1 / (0,2 + 0,1i) = (0,2 - 0,1i) / 0,05 = 2 (2-i) kΩ . Az impedancia abszolút értéke: Z = 2 5 kΩ, fázisa ϕ = arctg(-0,5) = -26,6°. Éppen ennyit kaptunk a feszültség és az áramerősség közötti fáziskülönbségre a b pontban. A feszültség és áramerősség abszolút értékének -illetve effektív értékének- hányadosa pedig éppen 2 5 kΩ.
31
d. A körben disszipálódó teljesítmény P = UG,eff ⋅IG,eff ⋅cosϕ = 20 5 ⋅10⋅ cos (-26,6°) = 400 mW . Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha az ellenálláson számítjuk ki a teljesítményt: P = I2L,eff ⋅R = 400 mW. e. A kondenzátoron a maximális feszültség a komplex feszültség amplitúdója, UC,max = 20⋅ 2 ⋅ 5 = 63,2 V. A kondenzátorokon általában megadják az átütési feszültséget. Ennél a kondenzátoron eső maximális feszültséget kell figyelembe venni.
7. Műszerek Áramerősséget ampermérővel, feszültséget voltmérővel mérünk. A voltmérőt arra a két pontra csatlakoztatjuk, melyek között mérni akarjuk a feszültséget. Árammérésnél meg kell szakítanunk az áramkört és a műszert abba az ágba kell beiktatnunk, amelyikben mérni akarjuk az áramerősséget. Fontos, hogy a műszer ne változtassa meg az áramköri viszonyokat. Az ampermérő akkor ideális, ha nem esik rajta feszültség, tehát a belső ellenállása zérus. Az ideális voltmérőn viszont áram nem folyik, tehát a belső ellenállása végtelen. A valóságban a műszerek belső ellenállása véges érték. Ez a belső ellenállás árammérésnél sorba kapcsolódik azzal az elemmel, melynek az áramát mérjük; a feszültség mérésénél pedig párhuzamosan kapcsolódik ahhoz a két ponthoz, melyek között a feszültséget mérni akarjuk. A Deprez-rendszerű ampermérő működési elve: a mérendő áramerősség egy meghatározott törtrésze átfolyik a műszer forgótekercsén, melyre egy állandó mágnes terében az áramerősséggel arányos forgatónyomaték hat. Ezt a forgatónyomatékot egy spirálrugó megnyúlása ellensúlyozza, a megnyúlás a tekercs meghatározott szögelfordulásával ekvivalens, és ezt a szögelfordulást mutatja a tekercsre erősített mutató. A műszer használatánál vigyázni kell a polaritásra és arra, hogy ne kapjon a végkitérésének megfelelő áramnál nagyobb áramot, mert a mutató kiakadhat, a műszer tönkremehet. Az analóg (mutatós) műszerekkel ellentétben, melyek az elektromos áram mágneses vagy hőhatását felhasználva a mérendő elektromos jelet a mutató elmozdulásává alakítják át, a digitális kijelzésű műszerek az analóg feszültséget digitalizálják, számjellé alakítják, és ez a számjel vezérel egy -általában folyadékkristályos- kijelzőt. Árammérésnél az áram által adott ellenálláson létrehozott potenciálesést digitalizálják. A digitális műszerek általában védve vannak túlfeszültség és túláram ellen. Ez azt jelenti, hogy ha a bemenő jel nagyobb, mint a kiválasztott méréshatár, akkor a műszer kijelzőjén "1" jelenik meg, de a műszer nem károsodik. A műszerek egy része többfunkciós, univerzális: áram-, feszültség- és ellenállásmérésre, vagy egyen- és váltóáramú mérésekre is alkalmas, és a mérendő mennyiség több nagyságrendet kitevő tartományában is használható a méréshatár változtatásával. Az áramkörbe úgy kötjük be a műszert, hogy az egyik csatlakozási pont a "COM" (közös) jelű bemenet, a másikat pedig a mért mennyiségnek (és esetleg annak nagyságának) megfelelően válasszuk ki (feszültség- és ellenállásmérésnél a V - Ω/kΩ jelű, árammérésnél a mA/10A jelű bemenet - a jelölések műszertípusonként változóak). A megfelelő kapcsolókkal ki kell még választani a kívánt funkciót és méréshatárt, valamint hogy egyen- vagy váltójelű üzemmódot kívánunk-e használni. Mindig nagyobb méréshatárt válasszunk, mint a mérendő mennyiség várható legnagyobb értéke, de azok közül a pontosság érdekében mindig a lehető legkisebb méréshatáron mérjünk. Mérési sorozat felvétele közben ne változtassuk a méréshatárt, mert ezzel megváltozik a műszer belső ellenállása, és ez befolyásolja a mérési eredményt! 32
A műszer pontossága, érzékenysége, hibája A műszer leolvasásánál a leolvasási hiba a műszer számlapján a legkisebb skálarésznek, digitális kijelzésű műszernél az utolsó számjegy helyiértékének megfelelő mennyiség. A műszer érzékenysége: a kijelzés változása (mutató kitérésének megváltozása skálarészben) osztva a mért mennyiség értékének megváltozásával. Digitális kijelzésű műszernél ez az utolsó digitnek megfelelő mennyiség reciproka. (Pl. az ampermérő érzékenysége 1⋅103 A-1, ha skálája 1 mA beosztású, vagy ha az utolsó leolvasható digit 0,001 A. A műszerek a leolvasási hibától eltekintve sem abszolút pontosak. A műszer skáláján általában feltűntetik a műszer pontossági osztályát. Ez 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 5 lehet. Ezek a számok a végkitérés (méréshatár) százalékában adják meg a műszer maximális abszolút értékű hibáját. A hibahatárt a gyártó cég csak a referenciafeltételek fennállása esetén garantálja. A referenciafeltételekről, melyek tartalmazhatják a hőmérsékletet, a műszer helyzetét, váltóáram esetén a frekvenciát stb., az MSz 808 szabvány rendelkezik.
A műszereken található leggyakoribb jelek:
~
egyenáramú műszer váltóáramú műszer helyzetjelzés: vízszintes függőleges 60° -os a műszer pontossági osztálya a feszültségpróba jele. A beírt szám a feszültséget jelenti; ha nincs szám, a feszültségpróba 500 V-on történt Deprez- (forgó tekercses) műszer nullapont állító
33
