3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1 Mohamad Sidiq PERTEMUAN : 9-10
INTEGRASI NUMERIK
METODE NUMERIK • •
TEKNIK INFORMATIKA – S1 3 SKS
Mohamad Sidiq
MATERI PERKULIAHAN SEBELUM-UTS
Pengantar Metode Numerik Sistem Bilangan dan Kesalahan Penyajian Bilangan Bulat & Pecahan Nilai Signifikan Akurasi dan Presisi Pendekatan dan Kesalahan Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi Penyelesaian Persamaan Non Linier (Lanjutan) Metode Iterasi Sederhana Metode Newton Raphson Metode Secant Penyelesaian Persamaan Simultan Metode Eliminasi Gauss Metode Gauss Jordan Penyelesaian Persamaan Simultan (Lanjutan) Metode Gauss Seidel Studi Kasus
SETELAH-UTS
Diferensi Numerik Selisih Maju Selisih Mundur Selisih Tengah Diferensi Tingkat Tinggi Integrasi Numerik Metode Reimann Metode Trapezoida Metode Simpson Integrasi Numerik (Lanjutan) Metode Gauss Studi Kasus Interpolasi Metode Linier Metode Kuadrat Interpolasi (Lanjutan) Metode Polinomial Metode Lagrange Regresi Linier Eksponensial Polinomial Tugas Akhir Semester
INTEGRASI NUMERIK
Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. Digunakan untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar
INTEGRASI NUMERIK
Fungsi yang dapat dihitung integralnya : ax n 1 ax dx n 1 C e ax ax e dx a C sin( ax b)dx 1 a cos(a b) C cos(ax b)dx 1 a sin( a b) C 1 x dx ln | x | C n
ln | x |dx x ln | x | x C
Fungsi yang rumit misal :
2
0
3
2 cos(1 x 2 ) 1 0.5 sin x
e 0.5 x dx
DASAR PENGINTEGRALAN NUMERIK
b
a
n
f ( x)dx ci f ( xi ) i 0
f(x)
x0
c0 f ( x0 ) c1 f ( x1 ) ... cn f ( xn )
x1
xn-1
xn
x
DASAR PENGINTEGRALAN NUMERIK
Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, dan menjumlahkan bagian-bagian kecil tersebut.
f(x)
x0
x1
xn-1
xn
x
DASAR PENGINTEGRALAN NUMERIK Formula Newton-Cotes b
b
a
a
I f ( x )dx fn ( x )dx Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
fn ( x ) a0 a1 x an1 x n1 an x n
DASAR PENGINTEGRALAN NUMERIK fn (x) bisa fungsi linear, bisa fungsi kuadrat
DASAR PENGINTEGRALAN NUMERIK fn (x) bisa fungsi kubik atau polinomial
DASAR PENGINTEGRALAN NUMERIK Polinomial dapat didasarkan data
INTEGRASI NUMERIK
Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan: b
L = f x dx a
METODE INTEGRAL REIMANN 0.5 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
METODE INTEGRAL REIMANN
Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x. Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b]. Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang di mana Li=f(xi).xi
METODE INTEGRAL REIMANN
Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan: L L0 L1 L2 .. Ln
f x0 x0 f x1 x1 f x 2 x 2 ... f x n x3 n
f xi xi i 0
Di mana: x0 x1 x 2 ... x n h n Didapat : b
f x dx h f xi a
i 0
CONTOH
Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1] 1 x**2
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
CONTOH
Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel:
10
L h. f ( xi ) i 0
0.10 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1.00 0.13,85 0,385 1
Secara kalkulus :
1 L x 2 dx x 3 |10 0,3333 ..... 3 0
Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 = 0,052
ALGORITMA METODE INTEGRAL REIMANN
Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi Tentukan jumlah pembagi area N Hitung h=(b-a)/N N Hitung
L h. f ( xi ) i 0
METODE INTEGRASI TRAPEZOIDA Aproksimasi garis lurus (linier)
b
a
1
f ( x )dx c i f ( x i ) c0 f ( x0 ) c 1 f ( x1 ) i 0
h f ( x0 ) f ( x 1 ) 2
f(x)
L(x)
x0
x1
x
ATURAN KOMPOSISI TRAPESIUM
b
a
x1
x2
xn
x0
x1
xn 1
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
f ( x )dx
h f ( x0 ) f ( x 1 ) h f ( x 1 ) f ( x 2 ) h f ( x n 1 ) f ( x n ) 2 2 2 h f ( x0 ) 2 f ( x1 ) 2f ( x i ) 2 f ( x n1 ) f ( x n ) 2
f(x)
h
ba n x0
h
x1
h
x2
h
x3
h
x4
x
METODE INTEGRASI TRAPEZOIDA 1 Li f xi f xi 1 .xi 2 atau 1 Li f i f i 1 .xi 2
1
L Li
n 1
i 0
1 h L h f i f i 1 f 0 2 f1 2 f 2 ... 2 f n1 f n 2 i 0 2 n 1 h L f 0 2 f i f n 2 i 1
ALGORITMA METODE INTEGRASI TRAPEZOIDA
Definisikan y=f(x) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) Tentukan jumlah pembagi n Hitung h=(b-a)/n Hitung n 1 h
L
f 0 2 f i f n 2 i 1
ATURAN SIMPSON 1/3 Aproksimasi dengan fungsi parabola
b
a
2
f ( x )dx c i f ( x i ) c0 f ( x0 ) c 1 f ( x1 ) c 2 f ( x 2 ) i 0
h f ( x0 ) 4 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 3
L(x)
f(x)
x0
h
x1
h
x2
x
ATURAN SIMPSON 1/3 L( x )
( x x0 )( x x 2 ) ( x x 1 )( x x 2 ) f ( x0 ) f ( x1 ) ( x0 x 1 )( x0 x 2 ) ( x 1 x0 )( x 1 x 2 ) ( x x0 )( x x 1 ) f ( x2 ) ( x 2 x0 )( x 2 x 1 )
ab 2 x x1 ba dx h , , d 2 h h x x0 1 x x1 0 x x 1 2
let
x0 a, x 2 b, x 1
L( )
( 1) 2
f ( x0 ) ( 1 2 ) f ( x1 )
( 1) 2
f ( x2 )
ATURAN SIMPSON 1/3
L( )
b
a
( 1) 2
f ( x0 ) ( 1 ) f ( x1 ) 2
( 1) 2
f ( x2 )
h 1 f ( x)dx h L( )dξ f ( x0 ) ξ (ξ 1)dξ 1 2 1 1 h 1 2 f ( x1 )h ( 1 ξ )dξ f ( x2 ) ξ (ξ 1)dξ 0 2 1 1
1
1
ξ ξ h ξ f ( x0 ) ( ) f ( x1 )h(ξ ) 3 1 2 3 2 1 3
2
1
ξ h ξ f ( x2 ) ( ) 2 3 2 1 3
2
3
b
a
h f ( x )dx f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 ) 3
ATURAN KOMPOSISI SIMPSON ba h n f(x)
…... x0 h x1 h x2 h x3 h
x4
xn-2 xn-1
xn
x
METODE INTEGRASI SIMPSON
Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut: N=0–n L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln
h h h h h h L f 0 2 f1 2 f1 f 2 f 2 2 f 3 2 f 3 f 4 ... f n2 2 f n1 2 f n1 f n 3 3 3 3 3 3
atau dapat dituliskan dengan: h L f 0 4 f i 2 f i f n 3 i ganjil i genap
CARA II
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tersebut
x x( x h) 2 x x( x h) 2 p2 x f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x ) f f f0 0 0 0 2 2 h h 2!h 2!h
CARA II
Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h] 2h
L
2h
f ( x)dx p 0
2
xdx
0
x x ( x h) 2 L f 0 f 0 f 0 dx 2 h 2!h 0 2h
x3 x2 x2 2 L f0 x f 0 2 2 f 0 | xx 02 h 2h 4h 6h 8h 3 4h 2 2 4h 2 f 0 L 2hf 0 x f 0 2 2h 4h 6h 4h L 2hf 0 x 2hf 0 h 2 f 0 3 h L 2hf 0 x 2hf 0 2 f 0 3
Cara II
Mengingat
f 0 f1 f 0
2 f 0 f1 f 0 ( f 2 f1 ) ( f1 f 0 ) f 2 2 f1 f 0
Maka selanjutnya h L 2hf0 x 2h( f1 f 0 ) ( f 2 2 f1 f 0 ) 3 h 2h h L 2hf0 x 2hf1 2hf0 f 2 f1 f 0 3 3 3 h 4h h L f0 f1 f 2 3 3 3 h L ( f 0 4 f1 f 2 ) 3
ATURAN SIMPSON 3/8 Aproksimasi dengan fungsi kubik
b
a
3
f ( x )dx c i f ( x i ) c0 f ( x0 ) c 1 f ( x1 ) c 2 f ( x 2 ) c 3 f ( x 3 ) i 0
3h f ( x0 ) 3 f ( x 1 ) 3 f ( x 2 ) f ( x 3 ) 8
L(x)
x0
h
f(x)
x1
h
x2
h
x3
x
ATURAN SIMPSON 3/8 L( x )
( x x1 )( x x 2 )( x x 3 ) ( x x0 )( x x 2 )( x x 3 ) f ( x0 ) f ( x1 ) ( x0 x1 )( x0 x 2 )( x0 x 3 ) ( x1 x0 )( x1 x 2 )( x1 x 3 ) ( x x0 )( x x1 )( x x 3 ) ( x x0 )( x x1 )( x x 2 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ( x 2 x0 )( x 2 x1 )( x 2 x 3 ) ( x 3 x0 )( x 3 x1 )( x 3 x 2 )
b
a
f(x)dx
b
a
ba L(x)dx ; h 3
3h f ( x0 ) 3 f ( x 1 ) 3 f ( x 2 ) f ( x 3 ) 8
Error Pemenggalan
3 5 (4) ( b a) 5 ( 4 ) ba Et h f ( ) f ( ) ; h 80 6480 3
METODE INTEGRASI GAUSS
Metode Newton Cotes (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik-titik data diskrit. Dengan batasan :
H sama Luas dihitung dari a sampai b
Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.
METODE INTEGRASI GAUSS
Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1] 1
h I f ( x)dx f (1) f (1) f (1) f (1) 2 1
h2
Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss) 1
I
f ( x)dx c
1
f ( x1 ) c 2 f ( x 2 )
1
Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga error integrasinya min
METODE INTEGRASI GAUSS
Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1] f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3 1
1
I
c1 c 2 1dx 2
f ( x)dx c
1
f ( x1 ) c 2 f ( x 2 )
1
1
1
c1 x1 c 2 x 2 xdx 0
Didapat
1
c1 c 2 1
1
c1 x12 c 2 x 22 x 2 dx 2 1 1
c x c 2 x x dx 0 3 1 1
3 2
3
1
3
x1
1 3
x2
1 3
METODE INTEGRASI GAUSS
Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik 1
f ( x)dx f (
1
1 3
) f(
1 3
)
TRANSFORMASI b
Li f ( x )dx
1
Li g (u )du 1
a
Range [a,b] [-1,1] X u f(x) g(u) dx du
TRANSFORMASI x a u 1 ba 2 2 x 2a (u 1)(b a ) 2 x (u 1)(b a ) 2a a b bu au x 2 (a b) (b a )u x 2 ba dx du 2
a
x
b
-1
u
1
TRANSFORMASI 1
Li g (u )du 1
1 g (u ) (b a) f 2 1
1
12 (b a)u 12 (b a)
1 g ( u ) du (b a) 1 2 1
(a b) (b a )u f du 2
ANALISIS METODE
Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode GaussLegendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi. Lebih teliti dibandingkan dengan metode NewtonCotes. Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi 1
g (u )du
1
ALGORITMA INTEGRASI KUADRATUR GAUSS DENGAN PENDEKATAN 2 TITIK
Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) Hitung nilai konversi variabel : x
Tentukan fungsi g(u) dengan: g (u)
1 b a u 1 (b a) 2 2
Hitung
1 (b a) f 12 (b a)u 12 (b a) 2 1 1 L g g 3 3
CONTOH SOAL
METODE GAUSS LEGENDRE 3 TITIK 1
I
f ( x)dx c
1
f ( x1 ) c2 f ( x2 ) c3 f ( x3 )
1
Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut : f ( x) 1; f ( x) x; f ( x) x 2
f ( x) x 3 ; f ( x) x 4 ; f ( x) x 5 Dengan cara yang sama didapat 5 8 5 c1 ; c 2 ; c3 9 9 9 x1 3 5 ; x 2 0; x3 3 5
METODE GAUSS LEGENDRE 3 TITIK 5 3 8 5 3 g ( u ) du g g 0 g 1 9 5 9 9 5 1
ALGORITMA METODE INTEGRASI GAUSS DENGAN PENDEKATAN 3 TITIK
METODE GAUSS N-TITIK
BEBERAPA PENERAPAN INTEGRASI NUMERIK
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar Menghitung Luas dan Volume Benda Putar
MENGHITUNG LUAS DAERAH BERDASARKAN GAMBAR 9
6
3
Skala 1:100000 0
5
10
15
Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m. Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
MENGHITUNG LUAS DAERAH BERDASARKAN GAMBAR
Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode: Dengan menggunakan metode integrasi Reimann 16
L h y i 73.5 i 0
Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida 15 h L y 0 y16 2 yi 73.5 2 i 1
Dengan menggunakan metode integrasi Simpson h L y 0 y16 4 y i 2 y i 74 3 i ganjil i genap
MENGHITUNG LUAS DAN VOLUME BENDA PUTAR
Luas benda putar: b
L p 2 f ( x)dx a
Volume benda putar: b
V p f ( x)2 dx a
CONTOH 5 cm 7 cm
I
II
6 cm 4 cm
III
12 cm
IV
7 cm
satuan dalam cm
Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian
bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali. Bagian I:
LI 2 (4)(7) 56 VI (4)(7) 2 196
Bagian II:
LII 2 12(12) 288 VII 2 12 12 2 3456
CONTOH
Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:
Pada bagian II dan IV: LII LIV dan VII VIV Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh: 4 h LII ( LIV ) 2 y 0 y5 2 yi 108 2 i 1 4 h 2 2 V II V IV y 0 y5 2 yi2 1187 .5 2 i 1
CONTOH
Luas permukaan dari botol adalah:
L LI LII LIII LIV
Luas = 1758.4 cm2 Volume botol adalah:
56 108 288 108 560 1758 .4 V VI VII VIII VIV 196 1187 .5 3456 1187 .5 6024
Volume = 18924.78 cm3
