3 Frekvence a doba příchodu signálu z kosmických sond První umělá družice Země, Sputnik 1, vysílala radiový signál na frekvencích 20,005 a 40,002 MHz. Pohybovala se ve výšce 215 až 939 km nad povrchem Země, její doba oběhu byla 96,2 minuty. Vypočtěte, jak dlouho letěl signál z družice k přijímači a na jaké frekvence bylo zapotřebí přijímač naladit, pokud družice prolétala nad stanicí a) v apogeu b) v perigeiu. Stejné výpočty proveďte pro družici Pioneer 10, která byla je vzdálenosti 12 miliard kilometrů od Země a pohybuje se rychlostí 17,06 km·s-1 směrem od Slunce. Tato družice komunikovala na frekvenci 8,422 GHz.
Řešení: Na začátku této úlohy stála úvaha, zda Sputnik nevysílal na frekvencích 20,000 MHz a 40,000 MHz a přijímané frekvence nebyly ovlivněny Dopplerovým posuvem. Pro frekvenci přijímanou z pohybujícího se zdroje platí:
(
f = 1
)
vr f c 0
(1)
kde f0 je vysílaná frekvence, v relativní rychlost zdroje vůči pozorovateli a c je rychlost šíření vln v daném prostředí. V našem případě c = 300 000 km·s-1 je rychlost světla. Pro změnu frekvence pak platí
∆f =
vr f c 0
(2)
Odsud už je zřejmé, že Dopplerův jev nelze vinit z toho, že přijímané frekvence byly 20,005 a 40,002 MHz. Pokud by to opravdu způsobil Dopplerův jev, musela by být rozdíl na frekvenci 40 MHz dvakrát větší než na frekvenci 20 MHz, což plyne z výše uvedených vztahů. Dopplerův jev se ovšem při příjmu signálů z družic uplatňuje a to tím více, čím je frekvence vyšší (např. u družic systému GPS, které pracují v pásmu 1,18 GHz je nutné s tím počítat. Uvažujme nejprve satelit na kruhové dráze nad nehybnou Zemí. Položme h = 800 km (v této výšce se pohybují radioamatérské satelity, používané
k navazování spojení na velké vzdálenosti v nejrůznějších frekvenčních pásmech). Oběžná rychlost takového satelitu bude
vk=
κM Z , RZ + h
(4)
Pro hodnoty kappa = 6,67·10-11, MZ = 6·1024 kg a RZ = 6378 km dostáváme pro oběžnou rychlost takového satelitu hodnotu 7467 m·s-1. Je ovšem zapotřebí si uvědomit, že toto je oběžná rychlost vypočítaná vzhledem ke středu Země. Přijímač se nachází na jejím povrchu a relativní rychlost družice vůči přijímači se mění (viz obr. 4).
Obr. 4 – Vzájemná rychlost družice a přijímače Z nákresu je patrné, že relativní rychlost družice je maximální tehdy, je-li družice právě na obzoru (elevace 0°), nulová, je-li družice v zenitu (elevace 90°). Pro relativní rychlost družice vr zřejmě platí v r = v k cos
(π2
arcsin
RZ RZ + h
)
(5)
Pro interval elevačních úhlu <-90°;90°> lze vypočítat příslušné relativní rychlosti a poté i Dopplerovy posuny:
∆f =
f0 f0 vr = c c
(
κM Z π cos RZ + h 2
arcsin
RZ RZ + h
)
(6)
Pokud graficky vyneseme závislost Dopplerova posunu pro konkrétní frekvenci v závislosti na elevačním úhlu družice, dostaneme následující graf:
Dopplerův posun na frekvenci 20,000 MHz 60 ∆f [Hz] 40 20 0 -90°
-60°
-30°
-20
0°
30°
60°
90° Elevace
-40 -60 Obr. XX – Dopplerův posuv na frekvenci 20,000 MHz
Maximální Dopplerův posuv je v tomto případě 46 Hz. I kdybychom do relativní rychlosti započítali oběžnou rychlost Země (maximálně 465 m·s-1 na rovníku), Dopplerův posuv by byl maximálně 49 Hz. Družice však navíc většinou neobíhají v rovníkové rovině, se kterou jsme zde počítali, ale rovina jejich dráhy je jiná. V případě Sputniku byla dráha družice skloněna o 65,1°, což Dopplerův posuv ještě sníží. Vypočtěme nyní Dopplerovy posuvy pro Sputnik 1 v apogeu a perigeu a pro případ, kdy je družice právě na obzoru. Pro výšky nad povrchem Země a oběžné rychlosti platí:
h1 = 215 km, v k 1 =
κM Z = 7791 m·s-1 RZ + h1
h2 = 939 km, v k 2 =
κM Z = 7396 m·s-1 RZ + h2
Dopplerovy posuny pro frekvence 20,002 MHz a 40,005 MHz dostaneme užitím vztahu (6) pro výše uvedené hodnoty vr a h následujícím způsobem:
V perigeu
(
arcsin
RZ = 503 Hz RZ + h1
(
arcsin
RZ = 1006 Hz RZ + h1
∆f 20 =
f0 π v r 1 cos c 2
∆f 40 =
f0 π v r 1 cos c 2
)
)
V apogeu
(
arcsin
RZ = 430 Hz RZ + h 2
(
arcsin
RZ = 860 Hz RZ + h 2
∆f 20 =
f0 π v r 2 cos c 2
∆f 40 =
f0 π v r 2 cos c 2
) )
Závěrem lze říci, že důvody, proč Sputnik 1 vysílal právě na těchto „nezaokrouhlených frekvencích“ byly ryze konstrukční. V roce 1957 sice bylo možné sestrojit vysílač pracující na frekvenci 20,000 000 MHz, rozhodně by se však nevešel do družice. Co se týče času, který uplynul mezi vysláním signálu a jeho příjmem na pozemském přijímači, lze ho určit jako: t1 =
h1 = c
215 km = 0,00072 s km 300 000 s
t2 =
h1 = c
939 km = 0,00313 s km 300 000 s
V tomto případě lze říci, že tyto časy byly zcela zanedbatelné. Konečnou rychlost šíření elektromagnetické vlny je však potřeba mít na paměti např. při komunikaci s kosmickými sondami (např. v případě robotických vozítek na Marsu trvalo v průměru čtyři minuty, než data dorazila na Zemi). Pro kosmickou sondu Voyager 1 tuto hodnotu zanedbat nemůžeme. Jestliže se pohybovala ve vzdálenosti 12 miliard kilometrů, pro čas chodu signálu dostáváme
s 12 × 10 9 km t= = = 40 000 s, km c 300 000 s což je přes jedenáct hodin. Pro výpočet Dopplerova posuvu je potřeba uvážit, že rychlost v = 17,06 km·s-1 je uvažována vzhledem ke Slunci (je to rychlost, se kterou Voyager opouští Sluneční soustavu). Pokud bychom měli přijímač na Slunci (což je poměrně nepohodlné), Dopplerův posuv by se podle (1) vypočetl jako
(
f = 1
17,06 300 000
)8,422 GHz = 8,42152 GHz
Přijímač však bude spíše na Zemi, která se vzhledem ke Slunci pohybuje. Jestliže je vzdálenost středů Slunce a Země 156 miliónů kilometrů a jeden oběh trvá jeden rok, dostáváme pro oběžnou rychlost
v ob =
2π 156 × 10 6 km = 29,72 km·s-1 31557600 s
Relativní rychlost sondy Voyager se tedy během roku mění v intervalu
, číselně tedy od 12,66 do 46,78 km·s-1 a pro přijímané frekvence platí:
( f = (1
f = 1
) )
v ob + v f 0 = 8,42069 GHz c v ob - v f 0 = 8,42164 GHz c
To je v souladu s výsledkem, který poskytl James R. Miller, jeden z radioamatérů ze skupiny AMSAT-DL Group, která v roce 2006 pomocí parabolické antény o průměru 20 metrů zachytila signál z Voyageru 1. Tehdy byla na přijímači naladěna frekvence 8,42042 GHz, což je velice blízko vypočtených hodnot (v roce 2006 byla rychlost družice jiná než dnes).
