18
VEMIMAM244A el˝oad´asjegyzet, 2010/2011
2.
Fourier-elm´ elet
2.1.
Komplex trigonometrikus Fourier-sorok
Tekints¨ uk az L2 ([0, 2π], C) Hilbert-teret, ahol a skal´aris szorzat defin´ıci´oja hf, gi =
Z
2π
f (t)g(t) dt.
0
Tekints¨ uk a [0, 2π] intervallumon defini´alt t 7→ eikt komplex ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyek rendszer´et: def S˜ =
n o eikt : k = 0, ±1, ±2, . . .
(2.1)
Megmutatjuk, hogy S˜ ortogon´alis rendszer L2 ([0, 2π], C)-ben.
´ ıt´ 2.1. All´ as. A (2.1) k´eplettel defini´ alt S˜ f¨ uggv´enyrendszer ortogon´ alis rendszer az L2 ([0, 2π], C) Hilbert-t´erben. Bizony´ıt´ as: Legyen k 6= ℓ, ´es tekints¨ uk k¨ovetkez˝ o skal´aris szorzatokat: ikt
he
Z
2π
Z
2π
Z
2π
ei(k−ℓ)t dt e e dt = e dt = 0 0 0 h h i it=2π 1 1 = ei(k−ℓ)t ei(k−ℓ)2π − 1 = 0. i(k − ℓ) i(k − ℓ) t=0
iℓt
,e i = =
ikt iℓt
e
ikt −iℓt
Teh´at S˜ egy ortogon´alis rendszert alkot L2 ([0, 2π], C)-ben.
2
Sz´am´ıtsuk ki S˜ elemeinek norm´ait: ikt
ke
µZ q k2 = heikt , eikt i =
2π
ikt ikt
e
e
0
dt
¶1/2
=
µZ
0
2π
ikt −ikt
e
e
dt
¶1/2
=
µZ
2π
dt 0
¶1/2
=
√
2π,
(2.2)
ha k ∈ Z. Ez´ert defini´aljuk az def
SC =
½
¾ 1 ikt √ e : k = 0, ±1, ±2, . . . 2π
(2.3)
f¨ uggv´enyrendszert. Ez m´ar ortonorm´alt rendszer lesz L2 ([0, 2π], C)-ben, s˝ ot bel´athat´o, hogy maxim´alis is:
2.2. T´ etel. A (2.3) k´eplettel defini´ alt SC halmazrendszer maxim´ alis ortonorm´ alt rendszer az L2 ([0, 2π], C) Hilbert-t´erben.
Alkalmazhat´o teh´at az SC f¨ uggv´enyrendszerre az 1.67. T´etel, azaz p´eld´aul az L2 ([0, 2π], C) t´er elemeit az SC rendszerre vonatkoz´o Fourier-sorba fejthetj¨ uk, ´es a Fourier-sor konverg´al az L2 norm´aban az adott f¨ uggv´enyhez. Az 1.67. T´etel jel¨ol´es´et haszn´alva: À X¿ 1 1 f∼ f, √ eikt √ eikt . 2π 2π k∈Z
2. Fourier-elm´elet
19
Ennek megfelel˝ oen az f ∈ L2 ([0, 2π], C) komplex trigonometrikus Fourier-sor´ an az f (t) ∼
∞ X
ck eikt
(2.4)
k=−∞
v´egtelen sort ´ertj¨ uk, ahol a ck Fourier-egy¨ utthat´ ok k´eplete À ¿ Z 2π 1 1 1 ikt f (t)e−ikt dt. ck = √ = f, √ e 2π 2π 2π 0
(2.5)
Azt mondjuk, hogy a t ∈ [0, 2π] pontban az f Fourier-sora konvergens, ha az sn (t) =
n X
ck eikt ,
n = 1, 2, . . . ,
k=−n
szimmetrikus r´eszlet¨osszegek sorozata konvergens, n → ∞ eset´en. Azt mondjuk, hogy az f f¨ uggv´eny Fourier-sora norm´ aban (vagy n´egyzetintegr´ alban) konverg´ al az f f¨ uggv´enyhez, ha Z 2π kf − sn k22 = |f (t) − sn (t)|2 dt → 0, ha n → ∞. 0
Vil´agos az eddigiek alapj´an, hogy a n´egyzetintegr´alban val´o konvergenci´ab´ol nem k¨ovetkezik a pontonk´enti konvergencia. A defin´ıci´ob´ol, a skal´aris szorzat linearit´as´ab´ol ´es a konvergens sorok tulajdons´agaib´ol r¨ogt¨on k¨ovetkezik, hogy a Fourier-sor sz´am´ıt´asa line´aris m˝ uvelet az al´abbi ´ertelemben: ´ ıt´ 2.3. All´ as. Legyen f1 , f2 ∈ L2 ([0, 2π], C), α ∈ C. Ekkor 1. az f1 + f2 f¨ uggv´eny Fourier-sora az f1 ´es f2 f¨ uggv´enyek Fourier-sorainak o ¨sszege, 2. az αf1 f¨ uggv´eny Fourier-sora az f1 f¨ uggv´eny Fourier-sor´ anak α-szorosa. Az SC halmazrendszer maximalit´as´ab´ol ´es az 1.67. T´etelb˝ ol r¨ogt¨on k¨ovetkezik az al´abbi eredm´eny. 2.4. T´ etel. Legyen SC a (2.3) k´eplettel defini´ alt halmazrendszer. Ekkor a k¨ ovetkez˝ o a ´ll´ıt´ asok teljes¨ ulnek. 1. Ha valamely f ∈ L2 ([0, 2π], C) f¨ uggv´enyre Z 2π 1 ck = f (t)e−ikt dt = 0, 2π 0
k = 0, ±1, ±2, . . .
azaz az f f¨ uggv´eny Fourier-egy¨ utthat´ oi null´ ak, m´ as sz´ oval az f merˆ oleges az SC halmazra (f ⊥ SC ), akkor f (t) = 0, m.m. t ∈ [0, 2π]-re. 2. Az f f¨ uggv´eny Fourier-sora n´egyzetesen konverg´ al az f f¨ uggv´enyhez, azaz ¯ ¯ Z 2π ¯ n ¯2 X ¯ ikt ¯ ck e ¯ dt → 0, ha n → ∞. ¯f (t) − ¯ ¯ 0 k=−n
3. Teljes¨ ul a Parseval-azonoss´ ag, azaz à ! Z 2π ∞ n X X 1 1 |ck |2 = lim |f (t)|2 dt = |ck |2 . kf k22 = n→∞ 2π 2π 0 k=−∞
k=−n
20
VEMIMAM244A el˝oad´asjegyzet, 2010/2011 Bizony´ıt´as n´elk¨ ul tekints¨ uk az al´abbi fontos eredm´enyt.
2.5. T´ etel (Riesz–Fisher-t´ etel). Tetszˆ oleges olyan γk ∈ C, k = 0, ±1, ±2, . . ., konstansokhoz, amelyekre ∞ X |γk |2 < ∞ k=−∞
teljes¨ ul, l´etezik olyan f ∈ L2 ([0, 2π], C) f¨ uggv´eny, hogy Z 2π 1 f (t)e−ikt dt(= ck ) γk = 2π 0 azaz γ0 , γ±1 , γ±2 , . . . az f f¨ uggv´eny Fourier-egy¨ utthat´ oi, ´es ∞ X
γk eikt
k=−∞
n´egyzetintegr´ alban konverg´ al f -hez. A Riesz–Fisher-t´etelt alkalmazva kapjuk, hogy ha egy f ∈ L2 ([0, 2π], C) f¨ uggv´enyhez hozz´arendelj¨ uk a Fourier-egy¨ utthat´oinak (ck )k∈Z (k´et ir´anyban v´egtelen) sorozat´at, akkor egy line´aris izomorfi´at kapunk a L2 ([0, 2π], C) ´es a n´egyzetesen ¨osszegezhet˝ o k´et ir´anyban v´egtelen sorozatok Banach-tere k¨oz¨ott. Ha ebben a t´erben egy (ck )k∈Z sorozat norm´aj´at a k(ck )k =
√
2π
Ã
∞ X
k=−∞
|ck |2
!1/2
k´eplettel ´ertelmezz¨ uk, akkor a fenti line´aris izomorfia izometria is lesz a Parseval-formula miatt. 2.6. Megjegyz´ es. Ha f ´es g k´et 2π szerint periodikus f¨ uggv´eny, akkor Z π Z 2π f (t)g(t) dt, f (t)g(t) dt = 0
−π
ez´ert az SC f¨ uggv´enyrendszer az L2 ([−π, π], C) Hilbert-t´eren is maxim´alis ortonorm´alt, tov´abb´a az SC -re vonatkoz´o Fourier-sor az L2 ([−π, π], C) Hilbert-t´eren is (2.4) alak´ u lesz, ahol a ck Fourier-egy¨ utthat´okat a Z π 1 ck = f (t)e−ikt dt 2π −π k´eplettel sz´amoljuk ki.
2.7. Megjegyz´ es. Az el˝ obbi meggondol´ Ha f ´es g k´et 2π szerint periodikus ³ ´ ast ´altal´anos´ ³ıthatjuk. ´ 2πt 2πt ˜ f¨ uggv´eny, akkor az f (t) = f b−a ´es g˜(t) = g b−a ¨osszetett f¨ uggv´enyek (b − a) szerint periodikus f¨ uggv´enyek lesznek, ´es Z
b
g (t) dt = f˜(t)˜
a
Z
a
b
f
µ
2πt b−a
¶ µ ¶ Z 2πb Z 2πt b − a 2π b − a b−a f (x)g(x) dx = g f (x)g(x) dx, dt = 2πa b−a 2π 2π 0 b−a
speci´alisan, kf˜k2L2 ([a,b],C) =
b−a kf k2L2 ([0,2π],C) . 2π
2. Fourier-elm´elet
21
Ez´ert az SC halmaz elemeit a
q
2π b−a
egy¨ utthat´oval megszorozva ´es u ´j v´altoz´ot bevezetve tekints¨ uk 2π
1 uggv´enyekb˝ ol ´all´o az [a, b] intervallomon ´ertelmezett t 7→ √b−a eik b−a t f¨ ½ ¾ 2π 1 def S[a,b] = √ eik b−a t : k = 0, ±1, ±2, . . . b−a
f¨ uggv´enyrendszert. Ez maxim´alis ortonorm´alt rendszer lesz az L2 ([a, b], C) Hilbert-t´eren. Egy f ∈ L2 ([a, b], C) f¨ uggv´eny Fourier-sor´an ez´ert az f∼
∞ X
2π
ck eik b−a t
k=−∞
v´egtelen sort ´ertj¨ uk, ahol a ck Fourier-egy¨ utthat´ok k´eplete 1 ck = b−a
Z
b
2π
f (t)e−ik b−a t dt,
a
k = 0, ±1, ±2, . . . .
A 2.4. T´etel ´ertelemszer˝ uen kiterjeszthet˝o L2 ([a, b], C)-re.
2.2.
Val´ os trigonometrikus Fourier-sorok
Tekints¨ uk az L2 ([−π, π], R) Hilbert-teret. Legyen def
S ∗ = {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, cos 3x, sin 3x, . . . , cos kx, sin kx, . . .}
a [−π, π]-n ´ertelmezett f¨ uggv´enyek halmaza. Megmutatjuk, hogy az S ∗ halmaz ortogon´alis rendszer L2 ([−π, π], R)-ben. ´ ıt´ 2.8. All´ as. Az S ∗ f¨ uggv´enyhalmaz ortogon´ alis rendszer az L2 ([−π, π], R) Hilbert-t´erben. Bizony´ıt´ as: Az ´all´ıt´as direkt m´odon is k¨onnyen bel´athat´o, de most mi az S ∗ ortogonalit´as´at az el˝ oz˝o szakaszban bevezetett S˜ f¨ uggv´enyhalmaz ortogonalit´as´at felhaszn´alva indokoljuk. Legyen k ∈ N. A cos kx =
eikx + e−ikx 2
´es
sin kx =
eikx − e−ikx 2i
Euler-k´epletek ´ertelm´eben sin kx ´es cos kx line´aris kombin´aci´oja az eikx ´es e−ikx f¨ uggv´enyeknek. ikx −ikx Ez persze ford´ıtva is teljes¨ ul, az e ´es e f¨ uggv´enyek is fel´ırhat´ok sin kx ´es cos kx line´aris ´ ıt´as szerint, ha egy f¨ kombin´aci´ojak´ent. Ez´ert az 1.58. All´ uggv´eny ortogon´alis az eikx ´es e−ikx f¨ uggv´enyekre, akkor ortogon´alis a sin kx ´es cos kx f¨ uggv´enyekre is. Ez´ert a 2.6. Megjegyz´est alkalmazva kapjuk, sin kx ´es cos kx is ortogon´alis b´armely eiℓx f¨ uggv´enyre, ahol |ℓ| = 6 k. De ekkor a fentiekb˝ ol k¨ovetkezik, hogy sin kx ´es cos kx ortogon´alis b´armely sin ℓx ´es cos ℓx f¨ uggv´enyre, valamint a konstans 1 f¨ uggv´enyre is. Most m´ar csak azt kell bel´atni, hogy sin kx ´es cos kx ´ ıt´as ´es (2.2) alapj´an kapjuk egym´asra is ortogon´alis. A 2.1. All´ À ¿ ikx e + e−ikx eikx − e−ikx , hcos kx, sin kxi = 2 2i ³ ´ 1 = ¯ heikx , eikx i − heikx , e−ikx i + he−ikx , eikx i − he−ikx , e−ikx i 4i ´ 1³ = ¯ 2π − 0 + 0 − 2π 4i = 0. Ezzel a bizony´ıt´as teljes.
2
22
VEMIMAM244A el˝oad´asjegyzet, 2010/2011 Sz´am´ıtsuk ki S ∗ elemeinek norm´aj´at. Legyen k 6= 0. Ekkor µ¿
k cos kxk2 =
eikx + e−ikx eikx + e−ikx , 2 2
˦1/2
´1/2 1 ³ ikx ikx he , e i + heikx , e−ikx i + he−ikx , eikx i + he−ikx , e−ikx i 2 ´1/2 1³ = 2π + 0 + 0 + 2π 2 √ = π. =
Hasol´oan kapjuk, hogy k sin kxk2 =
µ¿
eikx − e−ikx eikx − e−ikx , 2i 2i
˦1/2
=
√
π,
valamint a konstans 1 f¨ uggv´eny norm´aja k1k2 =
µZ
π
−π
1 dx
¶1/2
=
√
2π.
Kaptuk teh´at a k¨ovetkez˝ o eredm´enyt: ´ ıt´ 2.9. All´ as. Az def
SR =
½
¾ cos kx sin kx 1 cos x sin x cos 2x sin 2x √ , √ , √ , √ , √ ,... √ , √ ,... π π π π π π 2π
(2.6)
f¨ uggv´enyrendszer ortonorm´ alt rendszer az L2 ([−π, π], R) Hilbert-t´erben. Az 1.67. T´etel szerint az L2 ([−π, π], R) t´er elemeit az SR rendszerre vonatkoz´o Fourier-sorba fejthetj¨ uk, ´es a Fourier-sor konverg´al az L2 norm´aban az adott f¨ uggv´enyhez. Az 1.67. T´etel jel¨ol´es´et haszn´alva: À À À ¿ ∞ ¿ ∞ ¿ X sin kx sin kx cos kx cos kx X 1 1 √ + √ √ . f (x), √ + f (x), √ f (x) ∼ f (x), √ π π π π 2π 2π k=1 k=1 Ennek megfelel˝ oen az f ∈ L2 ([−π, π], R) val´ os trigonometrikus Fourier-sor´ an az f (x) ∼
∞ ´ a0 X³ ak cos kx + bk sin kx + 2
(2.7)
k=1
v´egtelen sort ´ertj¨ uk, ahol az a0 , a1 , . . . , b1 , b2 , . . . Fourier-egy¨ utthat´ ok k´eplete Z π 1 f (x) cos kx dx k = 0, 1, . . . , n, . . . ak = π −π Z 1 π bk = f (x) sin kx dx k = 1, 2, . . . , n . . . . π −π
(2.8) (2.9)
Az 1.67. T´etelb˝ ol r¨ogt¨on k¨ovetkezik a 2.4. T´etel val´ os Fourier-sorokra vonatkoz´o alakja. 2.10. T´ etel. Legyen SR a (2.6) k´eplettel defini´ alt halmazrendszer. Ekkor
2. Fourier-elm´elet
23
1. Ha valamely f ∈ L2 ([−π, π], R) f¨ uggv´enyre Z 1 π ak = f (t) cos kx dx = 0, π −π ´es
1 bk = π
Z
k = 0, 1, . . .
π
f (t) sin kx dx = 0,
k = 1, 2, . . . ,
−π
azaz az f f¨ uggv´eny o ¨sszes Fourier-egy¨ utthat´ oja nulla, m´ as sz´ oval az f merˆ oleges az SR halmazra, akkor f (x) = 0, m.m. x ∈ [−π, π]-re. 2. Az f f¨ uggv´eny Fourier-sora n´egyzetintegr´ alban konverg´ al az f f¨ uggv´enyhez, azaz ¶ Z πµ n 2 a0 X n → ∞. (ak cos kx + bk sin kx) dx → 0, f (x) − − 2 −π k=1
3. Parseval-azonoss´ ag:
∞
a20 X 2 1 (ak + b2k ) = + 2 π k=1
Z
π
f 2 (x) dx.
−π
A Riesz–Fisher-t´etel val´os Fourier-sorokra vonatkoz´o alakja: 2.11. T´ etel (Riesz-Fischer t´ etel). Tetszˆ olegesen elˆ o´ırt a0 , ak , bk (k ≥ 1) val´ os sz´ amokhoz, amelyekre ∞ ¢ a20 X ¡ 2 ak + b2k < ∞, + 2 k=1
van olyan f ∈ L2 ([−π, π] , R) f¨ uggv´eny, hogy a0 , a1 , . . . , ak , . . . , b1 , . . . , bk , . . . az f f¨ uggv´enynek az SR rendszerre vonatkoz´ o Fourier-egy¨ utthat´ oi. A 2.7. Megjegyz´esnek megfelel˝ oen egy tetsz˝oleges [−L, L] halmazon ´ertelmezett val´os f¨ uggv´enynek ´ertelmezhetj¨ uk a Fourier-sor´at. 2.12. Megjegyz´ es. Tekints¨ uk a [−L, L] intervallumon ´ertelmezett ( ) πx 2πx 2πx kπx kπx sin cos sin cos sin 1 cos πx def SR,L = √ , √ L , √ L , √ L , √ L , . . . , √ L , √ L , . . . 2L L L L L L L f¨ uggv´enyrendszert. Ez maxim´alis ortonorm´alt rendszer lesz az L2 ([−L, L], R) Hilbert-t´erben. Egy f ∈ L2 ([−L, L], R) f¨ uggv´eny Fourier-sor´an az f (x) ∼
∞
kπx kπx ´ a0 X³ ak cos + + bk sin 2 L L
(2.10)
k=1
v´egtelen sort ´ertj¨ uk, ahol az ak , bk Fourier-egy¨ utthat´ok k´eplete Z kπx 1 L f (x) cos dx, k = 0, 1, . . . , ak = L −L L Z 1 L kπx bk = f (x) sin dx, k = 1, 2, . . . . L −L L Most megmutatjuk, hogy val´os f¨ uggv´enyekre a komplex trigonometrikus Fourier-sor egybeesik a val´os trigonometrikus Fourier-sorral.
24
VEMIMAM244A el˝oad´asjegyzet, 2010/2011
´ ıt´ 2.13. All´ as. Legyen f ∈ L2 ([−π, π], R). Ekkor f -nek az SC ´es az SR rendszerekre vonatkoz´ o Fourier-sora megegyezik. Bizony´ıt´ as: Legyen f ∈ L2 ([−π, π] , R) val´os f¨ uggv´eny, ´es legyenek a ck , ak ´es bk konstansok a (2.5), (2.8) ´es (2.9) k´epletekkel defini´alva. Ekkor az f komplex Fourier-sora f (x) ∼
∞ X
ck eikx = c0 +
∞ X
ck eikx +
ck eikx = c0 +
∞ ³ X k=1
k=−∞
k=1
k=−∞
−1 X
´ ck eikx + c−k e−ikx .
M´asr´eszt az Euler-azonoss´ag alapj´an Z π Z π Z π 1 1 1 −iku ck = f (u)e du = f (u) cos ku du − i f (u) sin ku du 2π −π 2π −π 2π −π ´es c−k
1 = 2π
Z
π
iku
f (u)e
−π
1 du = 2π
π
1 f (u) cos ku du + i 2π −π
Z
Z
π
f (u) sin ku du = ck ,
−π
´ıgy c−k e−ikx = ck eikx = ck eikx ,
k = 1, 2, . . . .
Ezt felhaszn´alva f (x) ∼
∞ X
ck eikx = c0 +
k=−∞
∞ ³ ∞ ´ ³ ´ X X ck eikx + ck eikx = c0 + 2 Re ck eikx . k=1
k=1
Ugyanakkor ³
ikx
2 Re ck e
´
¶ ¸ Z π 1 f (u) cos ku du − i f (u) sin ku du (cos kx + i sin kx) = 2 Re 2π −π −π ¶ µ Z π ¶ µ Z π 1 1 f (u) cos ku du cos kx + f (u) sin ku du sin kx = π −π π −π = ak cos kx + bk sin kx, ·µ
1 2π
Z
π
tov´abb´a c0 = Ez´ert f (x) ∼
∞ X
k=−∞
a0 1 = 2 2π
ikx
ck e
Z
π
f (x) dx. −π
∞
a0 X (ak cos kx + bk sin kx) . + = 2 k=1
2
Azt mondjuk, hogy az f f¨ uggv´eny Fourier-sora tiszta szinuszos sor, ha csak szinuszos tagokat tartalmaz, azaz ak = 0 minden k = 0, 1, 2, . . .-re. Ha pedig f Fourier-sora csak koszinuszos tagokat tartalmaz, azaz bk = 0 minden k = 1, 2, . . .-re, akkor azt mondjuk, hogy a Fourier-sor tiszta koszinuszos sor. ´ ıt´ 2.14. All´ as. Legyen f ∈ L2 ([−L, L], R). 1. Ha f p´ aratlan f¨ uggv´eny, akkor a Fourier-sora tiszta szinuszos sor. 2. Ha f p´ aros f¨ uggv´eny, akkor a Fourier-sora tiszta koszinuszos sor.
2. Fourier-elm´elet
25
uggv´eny is p´aratlan, ez´ert Bizony´ıt´ as: 1. Tegy¨ uk fel, hogy f p´aratlan. Ekkor az f (x) cos kπx L f¨ 1 ak = L
Z
L
f (x) cos
−L
kπx dx = 0, L
k = 0, 1, 2, . . . .
uggv´eny lesz p´aratlan, ez´ert 2. Ha f p´aros, akkor az f (x) sin kπx L f¨ 1 bk = L
Z
L
f (x) sin −L
kπx dx = 0, L
k = 1, 2, . . . .
2
2.15. P´ elda. Tekints¨ uk a 2π szerint periodikus f : R → R f¨ uggv´enyt, amelyre f (x) = x,
ha
− π ≤ x < π.
Fejts¨ uk f -et Fourier-sorba! Vegy¨ uk ´eszre, hogy f p´aratlan f¨ uggv´eny, ´ıgy csak a szinuszos tagok egy¨ utthat´oit kell kisz´amolni: Z π 1 bk = x sin kx dx. π −π Parci´alis integr´al´assal kapjuk · ¸ Z π cos kx π x sin kx dx = −x + k −π −π ¸ · cos kx π + = −x k −π
1 k
Z
π
cos kx dx
−π
· ¸ 1 sin kx π k k −π
cos(−kπ) 1 1 cos kπ + (−π) + 2 sin kπ − 2 sin(−kπ) k k k k 2π = − cos kπ. k = −π
Teh´at
2 2 bk = − cos kπ = − (−1)k , k k
k = 1, 2, . . . ,
´es ´ıgy µ
¶ sin 2x sin 3x sin 4x f (x) ∼ 2 sin x − + − + ··· . 2 3 4
2.16. P´ elda. Tekints¨ uk most a 2L szerint periodikus f : R → R f¨ uggv´enyt, amelyre f (x) = x,
ha
− L ≤ x < L.
Az el˝ oz˝o p´eld´ahoz hasonl´o m´odon v´egigsz´am´ıthat´o, hogy Z kπx 2L 1 L x sin bk = dx = − (−1)k , L −L L kπ
k = 1, 2, . . . ,
´ıgy 2L f (x) ∼ π
! 3πx 4πx sin sin πx sin 2πx L L L − + − + ··· . sin L 2 3 4
Ã
2
26
VEMIMAM244A el˝oad´asjegyzet, 2010/2011
Ezt az eredm´enyt megkaphatjuk u ´gy is, hogy defini´aljuk a µ ¶ L t , t∈R g(t) = f π f¨ uggv´enyt. Ekkor g 2π szerint periodikus ´es g(t) = megkaphat´o a sorfejt´es.
L π t,
ha t ∈ [−π, π), ´ıgy az el˝oz˝o p´eld´ab´ol is
2
2.17. P´ elda. Legyen f : R → R olyan 2α szerint periodikus f¨ uggv´eny, amelyre f (x) = sin x,
−α < x < α,
ahol α olyan val´os sz´am, amelyre α > 0 ´es α 6= kπ, k = 1, 2, . . . . Mivel f p´aratlan f¨ uggv´eny, a Fourier-sora csak szinuszos tagokat tartalmaz, amelyek egy¨ utthat´oi bk = bk (α) ´es Z 1 α kπx bk (α) = sin x sin dx α −α α Z α ³ kπ ´ ³ kπ ´ 1 cos − 1 x − cos + 1 x dx = 2α −α α α " ¢ ¢ #x=α ¡ kπ ¡ kπ 1 sin α − 1 x sin α + 1 x = − kπ kπ 2α α −1 α +1 ! x=−α Ã 1 sin (kπ − α) sin (kπ + α) = − kπ kπ α α −1 α +1 Ã ! 1 sin kπ cos α − cos kπ sin α sin kπ cos α + cos kπ sin α = − kπ kπ α − 1 α α +1 ! Ã 1 (−1)k sin α (−1)k sin α − kπ = α 1 − kπ α α +1 + 1 − 1 + kπ (−1)k sin α kπ · α kπ ¡ kπ α ¢ α (1 − α ) α + 1 2kπ = (−1)k sin α . α2 − (kπ)2
=
Teh´at az f f¨ uggv´eny Fourier-sora: f (x) ∼ 2π sin α
∞ X
(−1)k
k=1
k sin kx. α2 − (kπ)2
Vizsg´aljuk azt az esetet, amikor α → π. Ekkor k = 1-re a L’Hospital-szab´alyt alkalmazva kapjuk lim b1 (α) = lim
α→π
α→π
−2π cos α −2π sin α = lim = 1, 2 2 α→π α −π 2α
egy´ebk´ent pedig lim bk (α) = 0,
α→π
k = 2, 3, . . . .
Teh´at a Fourier-sor egy¨ utthat´oi tartanak a 2π periodikus sin x f¨ uggv´eny Fourier-sor´anak egy¨ utthat´oihoz. 2
2. Fourier-elm´elet
2.3.
27
Val´ os Fourier-sorok pontonk´ enti konvergenci´ aja
2.18. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az f : R → R val´os f¨ uggv´eny szakaszonk´ent folytonosan differenci´ alhat´ o, ha b´armely korl´atos [a, b] intervallumon v´eges sok szakad´asi pontja van, b´armely x0 szakad´asi pontj´aban l´eteznek az f (x0 +) = lim f (x), x→x0 +
f (x0 −) = lim f (x) x→x0 −
egyoldali f¨ uggv´enyhat´ar´ert´ekek ´es az f ′ (x0 +) = lim
x→x0 +
f (x) − f (x0 +) , x − x0
f ′ (x0 −) = lim
x→x0 −
f (x) − f (x0 −) x − x0
egyoldali deriv´altak, tov´abb´a b´armely k´et szakad´asi pontja k¨oz¨otti ny´ılt intervallumon folytonosan differenci´alhat´o.
Bizony´ıt´as n´elk¨ ul tekints¨ uk a k¨ovetkez˝ o eredm´enyt, amely a Fourier-sorok pontonk´enti konvergenci´aj´ara vonatkozik. 2.19. T´ etel. Legyen f : R → R szakaszonk´ent folytonosan differenci´ alhat´ o 2L szerint periodikus f¨ uggv´eny. Ekkor b´ armely x ∈ R pontban az f f¨ uggv´eny SR,L rendszerre vonatkoz´ o (2.10) Fouriersora konverg´ al az f (x+) + f (x−) 2 hat´ ar´ert´ekhez. Speci´ alisan, ha f folytonos az x pontban, akkor a Fourier-sora x-ben konverg´ al az f (x) f¨ uggv´eny´ert´ekhez.
Ha egy f ∈ L2 ([−π, π], R) f¨ uggv´eny Fourier-sor´anak pontonk´enti konvergenci´aj´at vizsg´aljuk, akkor el˝ osz¨or periodikusan kiterjesztj¨ uk f -et R-re, ´es a kiterjesztett f¨ uggv´enyre alkalmazzuk a t´etelt. Megjegyezz¨ uk, hogy a periodikus kiterjeszt´es csak akkor lehets´eges, ha f (−π) = f (π). Egy´ebk´ent vagy az f (−π) vagy az f (π) f¨ uggv´eny´ert´eket haszn´aljuk a periodikus kiterjeszt´eshez, azaz a kiterjeszett f¨ uggv´eny egy pontben nem egyezik meg az eredeti f¨ uggv´ennyel. Viszont a k´et f¨ uggv´eny Fourier-egy¨ utthat´oi, ´es ´ıgy a Fourier-sora is megegyezik. 2.20. P´ elda. Tekints¨ uk u ´jra a 2.15. P´eld´aban kisz´am´ıtott Fourier-sort. Az el˝obbi t´etelt alkalmazva kapjuk, hogy a Fourier-sor pontonk´ent konvergens, ´es ¶ ½ µ x, −π < x < π, sin 2x sin 3x sin 4x + − + ··· = 2 sin x − 0, x = −π ´es x = π. 2 3 4 A Fourier-sor n-edik r´eszlet¨osszeg´et jel¨olje ¶ µ sin 2x sin 3x sin 4x sin nx def . fn (x) = 2 sin x − + − + · · · − (−1)n 2 3 4 n A k¨ovetkez˝ o ´abr´an az f2 , f4 ´es f6 k¨ozel´ıt˝ o ¨osszegek grafikonja l´athat´o. Ebb˝ol is ´erz´ekelhet˝ oa Fourier-sor konvergenci´aja. 2
28
VEMIMAM244A el˝oad´asjegyzet, 2010/2011
3 2 1 –8
–6
–4
–2
–1 –2 –3
f2 2
4
6
f4
f6
8
Az f2 (x), f4 (x) ´es f6 (x) r´eszlet¨osszegek grafikonja. A Fourier-sorok egyik legfontosabb alkalmaz´asi ter¨ ulete a parci´alis differenci´alegyenletek elm´elet´eben tal´alhat´o, ahol bizonyos feladatokat a megold´asok Fourier-sorba fejt´es´evel oldunk meg. Az egyik kulcs k´erd´es a m´odszer alkalmaz´as´an´al, mikor lehet differenci´alni a Fouriersort, ill. a v´egtelen ¨osszeg deriv´altj´at tagonk´enti differenci´al´assal kisz´amolni. Erre ad v´alaszt a k¨ovetkez˝ o t´etel, amit szint´en bizony´ıt´as n´elk¨ ul k¨ ozl¨ unk. 2.21. T´ etel. Legyen f : [−π, π] → R folytonos, szakaszonk´ent folytonosan differenci´ alhat´ o, tov´ abb´ a f (−π) = f (π). Ekkor az f f¨ uggv´eny Fourier-sora abszol´ ut ´es egyenletesen konverg´ al a [−π, π] intervallumon az f f¨ uggv´enyhez, azaz ∞ ´ a0 X³ ak cos kx + bk sin kx , + f (x) = 2 k=1
ahol ak , bk a (2.8) ´es (2.9) k´epletekkel defini´ alt Fourier-egy¨ utthat´ ok. Tov´ abb´ a, f ′ Fourier-sor´ at f Fourier-sor´ anak tagonk´enti differenci´ al´ as´ aval megkaphatjuk, azaz f ′ (x) ∼
∞ ³ X k=1
´ −kak sin kx + kbk cos kx .
Minden olyan x pontban, ahol f ′′ (x) l´etezik, az el˝ oz˝ o rel´ aci´ o egyenl˝ os´eggel helyettes´ıthet˝ o. A 2.19. ´es 2.21. T´eteleket nyilv´anval´o m´odon terjeszthetj¨ uk ki arra az esetre, amikor az f f¨ uggv´eny a [−L, L] szimmetrikus intervallumon defini´alt.
2.4.
Tiszta koszinuszos ´ es szinuszos Fourier-sorok
Ebben a szakaszban azzal a k´erd´essel foglalkozunk, hogyan lehet Fourier-sorba fejteni egy [0, L] alak´ u intervallumon defini´alt f¨ uggv´enyt. Egy term´eszetes ¨otlet erre az, hogy kiterjesztj¨ uk a f¨ uggv´enyt a [−L, L] intervallumra, ´es a kiterjesztett f¨ uggv´enynek sz´am´ıtjuk ki a Fourier-sor´at. Ekkor a 2.19. T´etelben megadott felt´etelek teljes¨ ul´ese eset´eben a Fourier-sor konverg´al a kiterjeszett f¨ uggv´enyhez, ill. [0, L]-re lesz˝ uk´ıtve a Fourier-sor ´ertelmez´esi tartom´any´at, az eredeti f¨ uggv´enyhez. K´et speci´alis esetet vizsg´alunk: p´aros ill. p´aratlan f¨ uggv´enyk´ent terjesztj¨ uk ki a f¨ uggv´enyt. Tekints¨ uk el˝ osz¨or a p´aros kiterjeszt´es eset´et. Legyen f : [0, L] → R adott, ´es legyen ½ f (−x), x ∈ [−L, 0) ˜ f (x) = f (x), x ∈ [0, L].
2. Fourier-elm´elet
29
´ ıt´as szerint tiszta koszinuszos sor, ´ıgy a Fourier-sor´ Ekkor f˜ Fourier-sora a 2.14. All´ aban minden bk = 0. Az ak Fourier-egy¨ utthat´okat az ¶ µZ 0 Z L Z L 1 kπx kπx 1 kπx ak = f˜(x) cos f˜(x) cos dx = dx + dx f˜(x) cos L −L L L L L 0 −L
et p´aros f¨ uggv´eny szorzata, ez´ert maga is p´aros k´eplettel sz´am´ıthatjuk ki. Mivel f˜(x) cos kπx L k´ f¨ uggv´eny, ´ıgy a fenti k´et integr´al megegyezik, teh´at Z kπx 2 L f (x) cos dx, k = 0, 1, 2, . . . . (2.11) ak = L 0 L
Most tekints¨ uk azt az esetet, hogy p´aratlan m´odon terjesztj¨ uk ki f -et a [−L, 0] intervallumra, azaz legyen ( −f (−x), x ∈ [−L, 0], 0, x = 0, f˜(x) = f (x), x ∈ [0, L]. Ekkor f˜ p´aratlan periodikus f¨ uggv´eny, ez´ert a Fourier-sora tiszta szinuszos sor lesz, azaz minden ak = 0. A bk egy¨ utthat´okat az el˝ oz˝o esethez hasonl´o levezet´essel kapjuk: Z L kπx 1 f˜(x) sin dx bk = L −L L ¶ µZ 0 Z L 1 kπx kπx = f˜(x) sin dx + dx f˜(x) sin L L L 0 −L Z L kπx 2 f (x) sin dx, k = 1, 2, . . . . (2.12) = L 0 L
Az el˝ oz˝o levezet´esb˝ol r¨ogt¨on k¨ovetkezik az al´abbi eredm´eny. Ha a kiterjeszett f¨ uggv´eny p´aros, akkor annak Fourier-sora tiszta koszinuszos sor lesz, ´ ıt´ 2.22. All´ as. Az ´es az
def
Scos = {1, cos x, cos 2x, cos 3x, . . .} def
Ssin = {sin x, sin 2x, sin 3x, . . .}
rendszerek egyar´ ant teljes ortogon´ alis rendszert alkotnak a [0, π] intervallumon. 2.23. P´ elda. Sz´am´ıtsuk ki a [0, π] intervallumra megszor´ıtott sin x f¨ uggv´eny tiszta koszinuszos sor´at, azaz az Scos f¨ uggv´enyrendszerre vonatkoz´o Fourier-sor´at! A (2.11) k´epletet ´es trigonometrikus azonoss´agokat alkalmazva kapjuk k 6= 1-re, hogy Z 2 π sin x cos kx dx ak = π 0 Z π 1 = sin(1 + k)x + sin(1 − k)x dx π 0 · ¸ 1 cos(1 + k)x cos(1 − k)x π = − − π 1+k 1−k 0 µ ¶ 1+k 1−k 1 (−1) − 1 (−1) −1 = − − π 1+k 1−k µ ¶ k (−1) + 1 1 1 = + π 1+k 1−k 2 (−1)k + 1 · . = π 1 − k2
30
VEMIMAM244A el˝oad´asjegyzet, 2010/2011
k = 1-re kapjuk 2 a1 = π
Z
π
0
1 sin x cos x dx = π
Z
0
π
· ¸ 1 − cos 2x π sin 2x dx = = 0. π 2 0
A 2.19. T´etel szerint a Fourier-sor minden pontban konverg´ al a f¨ uggv´enyhez, teh´at kapjuk, hogy ¶ µ 2 2 2 2 cos 2x + cos 4x + cos 6x + · · · , x ∈ [0, π]. sin x = 1+ π 1 − 22 1 − 42 1 − 62
Megjegyezz¨ uk, hogy a sin x f¨ uggv´eny tiszta szinuszos Fourier-sora term´eszetesen ¨onmaga (azaz b1 = 1 ´es bk = 0 minden k > 1-re). 2
2.24. P´ elda. Sz´am´ıtsuk ki az f : [0, 5] → R, f (x) = 1 f¨ uggv´eny tiszta szinuszos Fourier-sor´at! A (2.12) k´eplet szerint #5 " Z cos kπx 2 kπx 2 2 2 5 5 = sin − kπ dx = (1 − cos kπ) = (1 − (−1)k ), k = 1, 2, . . . , bk = 5 0 5 5 kπ kπ 5 0
ez´ert
µ ¶ πx 1 3πx 1 5πx 1 7πx 4 sin + sin + sin + sin + ··· , x ∈ (0, 5). 1= π 5 3 5 5 5 7 5 x = 0 ´es x = 5-re a Fourier-sor ¨osszege 0. Ha x = 5/2-et helyettes´ıt¨ unk be az el˝oz˝o egyenletbe, akkor kapjuk a π 1 1 1 1 1 =1− + − + − + ··· 4 3 5 7 9 11 u ´.n., Euler-¨osszef¨ ugg´est. Pn kπx Jel¨olje fn a Fourier-sor n-edik r´eszlet¨osszeg´et, azaz fn (x) = k=1 bk sin 5 . A bal oldali ´abr´an az f5 (x), f17 (x) ´es f41 (x) r´eszlet¨osszegek grafikonjai, a jobb oldalin pedig az f81 (x) r´eszlet¨osszeg grafikonj´anak kinagy´ıtott r´esze l´athat´o.
f5
1.2
f17
f41
1
1.2
1.1
0.8 1
0.6 0.4
0.9
0.2 0
1
2
3
4
5
0.8 0
1
2
3
4
5
Az ´abra azt igazolja, hogy a r´eszlet¨osszegek n n¨oveked´es´evel egyre jobban k¨ozel´ıtik a konstans 1 f¨ uggv´eny grafikonj´at. Viszont ez a hat´ar´ert´ek nem egyenletes, az intervallum k´et v´egpontj´ahoz k¨ozel a Fourier-sor r´eszlet¨osszegeinek maximuma kb. 1.18 k¨or¨ uli ´ert´eket vesz fel. Numerikusan ellen˝orizhetj¨ uk, hogy ez a maximum n n¨ovel´es´evel nem v´altozik, csak azt a r´eszlet¨osszeg f¨ uggv´eny egyre k¨ozelebb veszi fel az intervallum v´egpontj´ahoz. Hasonl´o viselked´es figyelhet˝ o meg nem folytonos f¨ uggv´enyek v´eges Fourier-f´ele k¨ozel´ıt˝ o ¨osszegein´el. Ezt a jelens´eget Gibbs-jelens´egnek h´ıvjuk. Az f f¨ uggv´eny tiszta koszinuszos Fourier-sora 1, azaz a0 = 2, ak = bk = 0 minden k = 1, 2, . . .-ra. 2
2. Fourier-elm´elet
2.5.
31
Fourier-transzform´ alt ´ es Fourier-integr´ al
Legyen f : R → C szakaszonk´ent folytonosan differenci´alhat´o f¨ uggv´eny, amely nem sz¨ uks´egszer˝ uen periodikus. Legyen L > 0 ´alland´o, gL : R → C olyan 2L periodikus f¨ uggv´eny, amelyre gL (x) = f (x), −L < x < L. ´Irjuk fel gL komplex Fourier-sor´at. A gL f¨ uggv´eny Fourier-egy¨ utthat´oi Z L π 1 gL (t)e−in L t dt, cn = 2L −L ´es ez´ert gL (x) ∼
¶ Z L ∞ µ X π π 1 gL (t)e−in L t dt ein L x , 2L −L n=−∞
x ∈ R.
Mivel gL (x) = f (x) ha −L < x < L, ´ıgy a 2.19. T´etel szerint ¶ Z L ∞ µ X π π 1 f (x+) + f (x−) t −in L dt ein L x , f (t)e = 2 2L −L n=−∞ Legyen λn = def
Ekkor ∆λn = λn+1 − λn =
π L.
x ∈ (−L, L) .
nπ . L
Ezzel a jel¨ol´essel az el˝ obbi egyenlet az
¶ Z L ∞ µ X 1 f (x+) + f (x−) −iλn t f (t)e dt eiλn x ∆λn , = 2 2π −L n=−∞ alakban ´ırhat´o fel. Ez minden L-re teljes¨ ul, ez´ert ¶ Z L ∞ µ X f (x+) + f (x−) 1 −iλn t f (t)e dt eiλn x ∆λn , = lim L→∞ 2 2π −L n=−∞
x ∈ (−L, L)
x ∈ R.
(2.13)
Defini´aljuk az
Z ∞ 1 F : R → C, F (λ) = √ f (t)e−iλt dt (2.14) 2π −∞ f¨ uggv´enyt, amelyet az f f¨ uggv´eny Fourier-transzform´ altj´ anak vagy komplex Fourier-integr´ alj´ anak nevez¨ unk. Ezzel a jel¨ol´essel kapjuk a (2.13) egyenletb˝ ol, form´alisan el˝osz¨or a z´ar´ojelen bel¨ ul elv´egezve a hat´ar´atmenetet, hogy ∞ X 1 f (x+) + f (x−) √ F (λn )eiλn x ∆λn , = lim L→∞ 2 2π n=−∞
x ∈ R.
A jobb oldali ¨osszeg egy improprius integr´al Riemann-f´ele k¨ozel´ıt˝ o ¨osszege, ahol a {λn : n ∈ Z} oszt´opontokat haszn´aljuk a sz´amegyenes feloszt´as´ahoz, ´ıgy kapjuk, hogy Z ∞ 1 f (x+) + f (x−) =√ F (λ)eiλx dλ, x ∈ R. (2.15) 2 2π −∞ A (2.14) ´es (2.15) k´epletet egy¨ utt a Fourier-f´ele inverzi´ os formul´ aknak nevezz¨ uk. Hangs´ ulyozni kell, hogy a fenti levezet´es csak form´alis sz´amol´as volt. A k´epletek prec´ızen is levezethet˝ok a k¨ovetkez˝ o felt´etel mellett: Z ∞ |f (t)| dt < ∞. −∞
32
VEMIMAM244A el˝oad´asjegyzet, 2010/2011
Azon f : R → C Lebesgue-m´erhet˝o f¨ uggv´enyek line´aris ter´et, amelyek abszol´ ut ´ert´eke az eg´esz sz´amegyenesen v´egesen Lebesgue-integr´alhat´o, azaz amelyekre a fenti egyenl˝otlens´eg teljes¨ ul, L1 (R, C)-vel jel¨olj¨ uk. Ezzel a jel¨ol´essel a k¨ovetkez˝ ok´eppen foglalhatjuk ¨ossze az eredm´eny¨ unket.
2.25. T´ etel. Legyen f ∈ L1 (R, C) szakaszonk´en folytonosan differenci´ alhat´ o f¨ uggv´eny. Ekkor ´erv´enyes az u ´n. Fourier-f´ele integr´alformula: ¶ Z ∞ µZ ∞ Z ∞ f (x−) + f (x+) 1 1 −iλt iλx √ f (t)e dt eiλx dλ = , x ∈ R. F (λ)e dλ = 2π 2 2π −∞ −∞ −∞ Vizsg´aljuk meg most azt az esetet, amikor az f val´os f¨ uggv´eny, azaz f : R → R. Ekkor a Fourier-f´ele integr´alformul´an a k¨ovetkez˝ o ´atalak´ıt´asokat v´egezz¨ uk: ¶ Z ∞ µZ ∞ 1 −iλt f (t)e dt eiλx dλ 2π −∞ −∞ ¶ Z ∞ µZ ∞ 1 iλ(x−t) f (t)e dt dλ = 2π −∞ −∞ ¶ ¶ Z 0 µZ ∞ Z ∞ µZ ∞ 1 1 = f (t)eiλ(x−t) dt dλ + f (t)eiλ(x−t) dt dλ. 2π −∞ 2π 0 −∞ −∞ Haszn´alva az u = −λ (du = −dλ) helyettes´ıt´est az els˝ o integr´alban, kapjuk, hogy ¶ Z ∞ µZ ∞ 1 −iλt f (t)e dt eiλx dλ 2π −∞ −∞ ¶ ¶ Z ∞ µZ ∞ Z ∞ µZ ∞ 1 1 −iu(x−t) iλ(x−t) f (t)e dt du + f (t)e dt dλ = 2π 0 2π 0 −∞ −∞ Z ∞ µZ ∞ ³ ´ ¶ 1 −iλ(x−t) iλ(x−t) f (t) e +e dt dλ. = 2π 0 −∞ Mivel e−iλ(x−t) + eiλ(x−t) = 2 cos λ(x − t), f val´os f¨ uggv´eny, ez´ert ¶ Z µZ ∞ f (x+) + f (x−) 1 ∞ = f (t) cos λ(x − t) dt dλ. 2 π 0 −∞ Ez a val´os Fourier-f´ele integr´ alformula. A jobb oldalon ´all´o integr´alban a cos f¨ uggv´enyt kifejtve kapjuk a k¨ovetkez˝ o ´all´ıt´ast.
2.26. K¨ ovetkezm´ eny. Legyen f ∈ L1 (R, R) szakaszonk´en folytonosan differenci´ alhat´ o f¨ uggv´eny. Ekkor Z ∞³ ´ f (x+) + f (x−) , x ∈ R, (2.16) A(λ) cos λx + B(λ) sin λx dλ = 2 0 ahol A(λ) =
1 π
Z
∞ −∞
f (t) cos λt dt
´es
B(λ) =
1 π
Z
∞
f (t) sin λt dt.
−∞
A (2.16) egyenlet bal oldal´an ´all´o integr´alt val´ os Fourier-integr´ alnak nevezz¨ uk.
(2.17)
2. Fourier-elm´elet
33
2.27. P´ elda. ´Irjuk fel az f : R → R,
f (x) =
(
f¨ uggv´eny Fourier-integr´alj´at! A (2.17) k´epletek szerint A(λ) = = =
1 π 1 π
Z
∞
−3, x ∈ [−2, 0], 5, x ∈ (0, 4], 0, x < −2 vagy x > 4.
f (t) cos λt dt
−∞ µZ 0
Z
4
5 cos λt dt −3 cos λt dt + 0 ÷−2 ¸ ¸ ! · 1 sin λt 0 sin λt 4 −3 + 5 π λ λ −2 0
¶
−3 sin 2λ + 5 sin 4λ . πλ Megjegyezz¨ uk, hogy A(λ) folytonosan kiterjeszthet˝o λ = 0-ra is, hiszen l´etezik a ¶ µ −6 + 20 14 −3 sin 2λ 5 sin 4λ + = = lim A(λ) = lim λ→0 λ→0 πλ πλ π π =
hat´ar´ert´ek. B(λ) hasonl´oan sz´am´ıthat´o: ¶ µZ 0 Z 4 1 5 sin λt dt B(λ) = −3 sin λt dt + π 0 ÷−2 ¸ ¸ ! · 1 cos λt 4 cos λt 0 = + −5 3 π λ λ −2 0
8 − 3 cos 2λ − 5 cos 4λ . πλ Megmutathat´o, hogy limλ→0 B(λ) = 0. A 2.26. K¨ovetkezm´eny szerint =
0, −3/2, ¶ Z ∞µ −3, −3 sin 2λ + 5 sin 4λ 8 − 3 cos 2λ − 5 cos 4λ 1, cos λx + sin λx dλ = πλ πλ 0 5, 5/2, 0,
x < −2, x = −2, x ∈ (−2, 0), x = 0, x ∈ (0, 4), x = 4, x > 4.
2
Az f f¨ uggv´eny Fourier-transzform´altj´ara haszn´aljuk az F(f )(λ) = F (λ) jel¨ol´est is. A k¨ovetkez˝ o t´etelben ¨osszefoglaljuk a Fourier-transzform´alt n´eh´any fontosabb tulajdons´ag´at. 2.28. T´ etel. Legyen f, g ∈ L1 (R, C) ´es α, β ∈ C. Ekkor 1. F(αf + βg) = αF(f ) + βF(g).
2. Ha f differenci´ alhat´ o ´es f ′ ∈ L1 (R, C), akkor F(f ′ )(λ) = iλF(f )(λ). 3. F(f ∗ g) = F(f ) · F(g), ahol (f ∗ g)(x) = az f ´es g konvol´ uci´ oja.
Z
∞
−∞
f (t)g(x − t) dt
34
2.6.
VEMIMAM244A el˝oad´asjegyzet, 2010/2011
Alkalmaz´ asok
Tegy¨ uk fel, hogy f Fourier-transzform´altja a [−L, L] intervallumon k´ıv¨ ul azonosan nulla, azaz F (λ) = 0,
|λ| > L.
(2.18)
2.29. T´ etel (Mintav´ eteli t´ etel). Tegy¨ uk fel, hogy f ∈ L1 (R, C) f¨ uggv´eny folytonos ´es szakaszonk´ent folytonosan differenci´ alhat´ o, amelyre (2.18) teljes¨ ul. Ekkor f -et meghat´ arozz´ ak a 2π π 0, ± , ± , . . . L L pontokban felvett ´ert´ekei: f (x) =
∞ X
n=−∞
f
³ nπ ´ sin(Lx − nπ) L
Lx − nπ
,
x 6=
nπ , (n ∈ Z). L
Bizony´ıt´ as: A Fourier-f´ele inverzi´os formul´at ´es a (2.18) felt´etelt alkalmazva Z ∞ Z L 1 1 f (x) = √ F (λ)eiλx dλ = √ F (λ)eiλx dλ, x ∈ R. 2π −∞ 2π −L
(2.19)
Az F (λ) f¨ uggv´eny a (−L, L) intervallumon fel´ırhat´o Fourier-sora ¨osszegek´ent: F (λ) =
∞ X
cn ei
n=−∞
ahol
nπλ L
,
λ ∈ (−L, L),
Z L nπλ 1 F (λ)e−i L dλ. 2L −L A (2.19) ¨osszef¨ ugg´est alkalmazva kapjuk, hogy √ ¶ µ 2π −nπ . f cn = 2L L cn =
Ezt visszahelyettes´ıtve F Fourier-sor´aba kapjuk √ ¶ µ ∞ nπλ 2π X −nπ F (λ) = ei L f 2L n=−∞ L √ ∞ 2π X ³ nπ ´ −i nπλ e L . f = 2L n=−∞ L Ez´ert a (2.19) formula szerint x 6= f (x) = = = =
nπ L -re
√
∞ 2π X ³ nπ ´ −i nπλ iλx e L e dλ f L −L 2L n=−∞ Z ∞ 1 X ³ nπ ´ L iλ(− nπ +x) L dλ e f 2L n=−∞ L −L
1 √ 2π
Z
L
∞ 1 X ³ nπ ´ ei(Lx−nπ) − e−i(Lx−nπ) f 2 n=−∞ L i(xL − nπ) ∞ X
n=−∞
f
³ nπ ´ sin(Lx − nπ) L
xL − nπ
.
2
