4/16/2009
Galat (error error))
Uji Hipotesis MA 2081 Statistika Dasar K i , 16 Februari Kamis, Kamis F b i 2009
H0 be benar a
H0 sa salah a
H0 ditolak
P(menolak H0 | H0 benar) = galat tipe I = α
keputusan benar
H0 tidak ditolak
keputusan benar
P(tidak menolak H0 | H0 salah) = galat l t tipe ti II = β yang dimanfaatkan dalam pokok bahasan ini
Dosen : Udjianna S. Pasaribu Utriweni Mukhaiyar © 2008 by UM
3
© 2008 by UM
Pengertian
Skema Umum Uji Hipotesis
Hipotesis p adalah suatu anggapan gg p y yang g mungkin benar atau tidak mengenai satu populasi atau lebih yang perlu diuji kebenarannya
H1
•Hipotesis yang ingin dibuktikan •Disebut juga hipotesis alternatif •Memuat suatu perbedaan (≠, > atau <)
Hipotesis Statistik ???
Dalam statistika statistika,, hipotesis yang akan diuji dibedakan menjadi menjadi::
Keputusan
1. Hipotesis nol (H0) ; pernyataan yang mengandung tanda kesamaan (=, ≤ , atau ≥) 2. Hipotesis tandingan (H1) ; tandingan hipotesis H0, mengandung tanda ≠ , >, atau <. © 2008 by UM
H0
•Hipotesis yang ingin diuji •Memuat suatu kesamaan (=, ≤ atau ≥) •Dapat berupa - hasil penelitian sebelumnya - informasi dari buku atau - hasil percobaan orang lain
2
H0 ditolak
mungkin terjadi
H0 tidak ditolak
Kesimpulan
Kesimpulan
H1 benar
Tidak cukup bukti untuk menolak H0
© 2008 by UM
Kesalahan
Tipe I
Tipe II
Menolak H0 padahal H0 benar P(tipe I) = α = tingkat signifikansi
Menerima H0 padahal H0 salah P(tipe I) = β
4
1
4/16/2009
Statistik Uji untuk Rataan Satu Populasi
Statistik Uji dan Titik Kritis Statistik uji digunakan untuk menguji hipotesis statistik yang telah dirumuskan dirumuskan.. Notasinya berpadanan dengan jenis distribusi yang digunakan digunakan.. Titik kritis membatasi daerah penolakan dan penerimaan bersangkutan.. H0. Diperoleh dari tabel statistik yang bersangkutan kritis.. H0 ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis
1 Kasus σ2 diketahui 1.
Z=
X − µ0 σ/ n
~ N(0,1)
Tabel Z (normal baku)
2 Kasus σ2 tidak diketahui 2. daerah kritis = α/2
daerah penerimaan H0
daerah kritis = α/2
daerah penerimaan H0
1-α 0
titik kritis © 2008 by UM
titik kritis
daerah kritis
T=
1-α
diperoleh dari tabel statistik
titik kritis
5
X − µ0 s/ n
~ t(n-1)
Tabel t
7
© 2008 by UM
Daerah Kritis Uji Rataan Satu Populasi
Uji Rataan Satu Populasi uji dua arah
1. H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0 2. H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0 3. H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0
σ2 diketahui Statistik uji :
Z
T
H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0
Z < - Zα/2 atau Z > Zα/2
T < - Tα/2 atau T > Tα/2
H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0
Z > Zα
T > Tα
H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0
Z < - Zα
T < - Tα
uji satu arah
µ0 adalah suatu konstanta yang diketahui © 2008 by UM
σ2 tidak diketahui
titik kritis dengan derajat kebebasan n - 1
6
© 2008 by UM
8
2
4/16/2009
Daerah Kritis Uji Rataan Dua Populasi
Uji Rataan Dua Populasi uji dua arah
σ12, σ22 diketahui
1. H0 : µ1 - µ2 = µ0 vs H1 : µ1 - µ2 ≠ µ0 2. H0 : µ1 - µ2 = µ0 vs H1 : µ1 - µ2 > µ0 3. H0 : µ1 - µ2 = µ0 vs H1 : µ1 - µ2 < µ0
Statistik uji :
Statistik Uji untuk Rataan Dua Populasi
2.
2 2
σ σ + n1 n 2
(X
1
− X2 ) − µ0
(X
1
Sp
− X2 ) − µ0 1 1 + n1 n 2
dengan
S2p =
(n1 − 1)S12 + (n 2 − 1)S22 n1 + n 2 − 2
⎛ S12 S 22 ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ n1 n 2 ⎠ 2 2 ⎛ S 22 ⎞ 1 ⎛ S12 ⎞ 1 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ (n 1 − 1) ⎝ n 1 ⎠ (n 2 − 1) ⎝ n 2 ⎠
H0 : µ1 - µ2 = µ0 vs H1 : µ1 - µ2 ≠ µ0
Z < - Zα/2 atau Z > Zα/2
T < - Tα/2 atau T > Tα/2
T < - Tα/2 atau T > Tα/2
H0 : µ1 - µ2 = µ0 vs H1 : µ1 - µ2 > µ0
Z > Zα
T > Tα
T > Tα
H0 : µ1 - µ2 = µ0 vs H1 : µ1 - µ2 < µ0
Z < - Zα
T < - Tα
T < - Tα 11
© 2008 by UM
Statistik uji menyerupai statistik untuk k kasus satu populasi l i dengan d variansi i i tidak diketahui diketahui..
S12 S22 + n1 n 2
Kasus σ12 dan σ22 tidak diketahui dan σ12 = σ22 TH =
© 2008 by UM
2 1
v=
1. H0 : µd = µ0 vs H1 : µd ≠ µ0 2. H0 : µd = µ0 vs H1 : µd > µ0 3. H0 : µd = µ0 vs H1 : µd < µ0
− X2 ) − µ0
Kasus σ12 dan σ22 tidak diketahui dan σ12 ≠ σ22 T H =
3.
1
n1 + n2 - 2
Uji untuk Rataan Berpasangan
Kasus σ12 dan σ22 diketahui
(X
σ12 ≠ σ22 2
9
ZH =
T
Derajat Kebebasan
µ0 adalah suatu konstanta yang diketahui
1.
Z σ12 = σ22
uji satu arah
© 2008 by UM
σ12, σ22 tidak diketahui
T= 10
© 2008 by UM
D − µ0 ; Sd / n
12
3
4/16/2009
Contoh 1 Berdasarkan 100 laporan p kematian di AS y yang g diambil secara acak, diperoleh bahwa rata rata--rata usia saat meninggal adalah 71.8 tahun dengan simpangan baku 8.9 tahun. Hal ini memberikan dugaan bahwa rata rata--rata usia meninggal di AS lebih dari 70 tahun. a. Nyatakan N t k d dugaan ttersebut b td dalam l pernyataan t hipotesis statistik b. Untuk tingkat signifikansi 5% , benarkah dugaan tersebut? 13
© 2008 by UM
Solusi Diketahui Ditanya: µ 0 = 70, X = 71.8, s = 8.9, Dit a. Hipotesis statistik b. Kesimpulan uji hipotesis Jawab: Parameter y yang g akan diuji j :µ a. Rumusan hipotesis: H0: µ = 70 H1: µ > 70 © 2008 by UM
b. α = 5%=0.05, maka titik kritis t0.05,(99) = 1.66 t=
x − µ 0 71,8 − 70 = = 2, 02 s 8, 9 n 100
Karena t > t0.05,(99) , maka t berada pada daerah penolakan sehingga keputusannya H0 ditolak. J Jadi dugaan g tersebut benar bahwa rata-rata usia meninggal di AS lebih dari 70 tahun.
© 2008 by UM
15
Contoh 2 Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan karena gosokan k d darii d dua b bahan h yang dil dilapisi. i i D Dua b belas l potong t b bahan h 1 diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan. Sampel bahan 1 memberikan rata rata--rata keausan (sesudah disandi) sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata rata--rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5. Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata rata--rata keausan bahan 1 melampaui rata rata--rata keausan bahan 2 lebih dari dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.
α = 0, 05
14
© 2008 by UM
16
4
4/16/2009
Solusi Misalkan µ1 dan µ2 masing masingg-masing g menyatakan y rata--rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2. rata Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel. Diasumsikan variansi populasi kedua bahan adalah sama. Rumusan hipotesis yang diuji adalah: d l h H0 : µ1 - µ2 = 2 H1 : µ1 - µ2 > 2 17
© 2008 by UM
x1 = 85, s1 = 4, n1 = 12 x 2 =81, s 2 =5, n 2 =10
( x1 − x 2 ) − µ 0 1 1 + n1 n 2
dengan Sp =
(n1 − 1)S12 + (n 2 − 1)S22 (11)(16) + (9)(25) = = 4.478 n1 + n 2 − 2 12 + 10 − 2
Maka diperoleh ( x − x2 ) − µ0 = (85 − 81) − 2 = 1.04 tH = 1 1 1 4.478 (1/12) + (1/10) + Sp n1 n 2 © 2008 by UM
© 2008 by UM
19
Pada tahun 1976, J.A. Weson memeriksa pengaruh obat b succinylcholine i l h li terhadap h d kadar k d peredaran d hormon androgen dalam darah. darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segera setelah succinylcholine disuntikkan pada otot rusa. rusa. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira kira--kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian rusa tersebut dilepaskan. dilepaskan. K d androgen Kadar d pada d waktu kt ditangkap dit k dan d 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng ng/ml) /ml) untuk 15 rusa rusa.. Data terdapat pada tabel berikut
Kita gunakan statistik uji untuk variansi kedua populasi tak diketahui tapi dianggap sama, yaitu
Sp
Karena t < 1.725, maka H0 tidak ditolak. Tidak dapat disimpulkan b h bahwa rata-rata t t keausan k bahan b h 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari 2 satuan.
Contoh 3 (data berpasangan)
Tingkat keberartian, α = 0.05
tH =
Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan n1+n2-2 = 12 +10 - 2= 20, sehingga titik kritisnya adalah t0.05,20 = 1.725.
18
© 2008 by UM
20
5
4/16/2009
N0
Kadar androgen (ng/ml) sesaat setelah disuntik
Kadar androgen (ng/ml) 30 menit setelah disuntik
Selisih (di)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2.76 5.18 2.68 3.05 4.10 7.05 6.60 4.79 7.39 7 30 7.30 11.78 3.90 26.00 67.48 17.04
7.02 3.10 5.44 3.99 5.21 10.26 13.91 18.53 7.91 4 85 4.85 11.10 3.74 94.03 94.03 41.70
4.26 -2.08 2.76 0.94 1.11 3.21 7.31 13.74 0.52 -2.45 2 45 -0.68 -0.16 68.03 26.55 24.66
© 2008 by UM
Solusi Ini adalah data berpasangan karena masingmasing-masing unit percobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran masing--masing Misalkan µ1 dan µ2 masing menyatakan ratarata-rata konsentrasi androgen sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian. Rumusan hipotesis yang diuji adalah H0 : µ1 = µ2 atau µD = µ1 - µ2 = 0 H1 : µ1 ≠ µ2 atau µD = µ1 - µ2 ≠ 0 Tingkat signifikansi yang digunakan adalah α = 5% = 0.05 21
23
© 2008 by UM
Rata-rata sampel dan variansi sampel untuk selisih
Anggap populasi androden sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian berdistribusi normal. Ujilah, pada tingkat keberartian 5%, apakah konsentrasi androgen berubah setelah ditunggu 30 menit.
© 2008 by UM
( di ) adalah
d = 9.848
dan sd = 18.474
Statistik uji yang digunakan adalah t=
d − d0
sd / n 9.848 − 0 = 2.06 Dalam hal ini t = 18.474 / 15
22
© 2008 by UM
24
6
4/16/2009
Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan n – 1 = 15 – 1 = 14. Pada tingkat keberartian 0.05, 0 05 H0 ditolak jika
Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah :
t < - t0.025,14 = -2.145 atau t > t0.025,14 = 2.145. χ2 =
Karena nilai t = 2.06, maka nilai t tidak berada pada daerah penolakan. Dengan demikian, H0 tidak ditolak. Kendati demikian, nilai t = 2.06 mendekati Jadi p perbedaan rata-rata kadar nilai t0.025,14 0 025 14 = 2.145. J peredaran androgen tidak bisa diabaikan.
Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu Populasi
χ2 < χ2 α
1− ,( n −1)) 2
atau χ 2 > χ α2 2
,( n −1))
Untuk hipotesis H 0 : σ 2 = σ 02 vs H 1 : σ 2 < σ,02tolak H0 pada tingkat keberartian α jika χ 2 < χ12−α ,( n −1)
1. H 0 : σ 2 = σ 02 vs H 1 : σ 2 ≠ σ 02
2 Untuk hipotesis H 0 : σ 2 = σ 02 vs H 1 : σ 2 > σ, 0tolak H0 pada tingkat p g keberartian α jjika
2. H 0 : σ 2 = σ 02 vs H 1 : σ 2 < σ 02 3 H 0 : σ 2 = σ 02 vs H 1 : σ 2 > σ 02 3.
χ 2 > χα2 ,( n−1)
2
© 2008 by UM
27
© 2008 by UM
2 Untuk hipotesis H 0 : σ 2 = σ 02 vs H 1 : σ 2 ≠ σ, 0tolak H0 pada tingkat keberartian α jika :
Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk kasus variansi satu populasi adalah
Dengan σ 0 menyatakan suatu konstanta mengenai variansi yang diketahui
σ 02
Jika H0 benar, maka statistik uji tersebut berdistribusi chi chi-square square dengan derajat kebebasan n n-1 1
25
© 2008 by UM
( n − 1) S 2
χ α2 2
26
,( n −1)
,χ2 α
1− ,( n −1) 2
, χα2 ,( n −1) , dan χα2 ,( n −merupakan nilai1)
nilai dari tabel distribusi chi-square dengan derajat kebebasan n - 1
28
© 2008 by UM
7
4/16/2009
Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua Populasi
Untuk hipotesis H 0 : σ 12 = σ 22 vs H1 : σ 12 ≠ σ 22 , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika : F< f
α
1− ,( v1 ,v2 ) 2
Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk uji hipotesis mengenai variansi dua populasi adalah
atau F > f α 2
,( v1 ,v2 )
Untuk hipotesis H 0 : σ 12 = σ 22 vs H 1 : σ 12 < σ 22 , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika : F < f1−α ,( v1 ,v2 )
1. H 0 : σ 12 = σ 22 vs H 1 : σ 12 ≠ σ 22
Untuk hipotesis H 0 : σ 12 = σ 22 vs H 1 : σ 12 > σ 22 , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika :
2. H 0 : σ 12 = σ 22 vs H 1 : σ 12 < σ 22 3. H 0 : σ 12 = σ 22 vs H 1 : σ 12 > σ 22
F > fα ,( v1 ,v2 )
Dengan σ12 dan σ22 masing-masing adalah variansi populasi ke-1 dan variansi populasi ke-2
fα ,( v ,v ) , f1−α ,( v ,v ) , fα / 2,( v ,v ) , dan f1−α / 2,( v ,v ) adalah nilai-nilai dari tabel distribusi Fisher dengan derajat kebebasan v1 dan v2 1
29
© 2008 by UM
2
1
2
© 2008 by UM
1
2
1
2
31
Contoh 4 Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah F =
Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0.9 tahun. Bila sampel acak 10 baterai tersebut menghasilkan simpangan i b baku k 11.2 2 ttahun, h apakah k h anda d setuju bahwa σ > 0.9 tahun? Gunakan taraf kebartian 5%!
S 12 S 22
Jika H0 benar, statistik uji tersebut berdistribusi Fisher dengan derajat kebebasan v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 – 2
© 2008 by UM
30
© 2008 by UM
32
8
4/16/2009
Solusi
Solusi
H0 : σ2 = 0.81 H1 : σ2 > 0.81 α = 0.05 Diketahui simpangan baku sampel, s = 1.2 Statistik uji χ2 =
( n − 1) s 2
=
(9)(1.44)
Misalkan σ12 dan σ22 adalah variansi populasi dari masingmasing-masing keausan bahan 1 dan bahan 2. rumusan hipotesis yang akan diuji adalah H0: σ12 = σ22 H1: σ12 ≠ σ22
= 16
0.81 σ 02 16 919 Titik kritis k iti adalah d l h χ 2α ,n −1 = χ 2 0.05,9 = 16.919 2 2 Karena χ < χ 0.05,9 , maka H0 tidak ditolak. Simpulkan bahwa simpangan baku umur baterai tidak melebihi 0.9 © 2008 by UM
α = 0.10 33
Contoh 5
35
© 2008 by UM
Statistik uji f = s12/ s22 = 16 / 25 = 0.64 H0 ditolak dengan tingkat keberartian α jika
Dalam pengujian keausan kedua bahan di contoh 2, dianggap bahwa kedua variansi yang tidak diketahui sama besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan taraf keberartian 0.10.
f < f
α
1− ,( v1 , v2 ) 2
atau f > f α 2
,( v1 , v2 )
Dalam hal ini α = 0.10, v1 = n1 – 1 = 12 – 1 = 11 , dan v2 = n2 – 1 = 10 – 1 = 9. Maka f α
1− ,(( v1 , v2 ) 2
= f 0.95,(11.9) = 0.34 dan
fα 2
,(( v1 , v2 )
= f 0.05,(11.9) = 3.11
Karena f1−α ,( v ,v ) < f < f α ,( v ,v ) , maka jangan tolak H0. 2
1
2
2
1
2
Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwa variansinya berbeda. © 2008 by UM
34
© 2008 by UM
36
9
4/16/2009
Referensi Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis y off Data, Data, USA: Duxbury y Press,, 1997. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. Biostatistika. Wild, C.J. and Seber, Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., Wiley&Sons,Inc ., 2000. Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Ilmuwan, Edisi 4, 4 Bandung: Penerbit ITB, 1995. 1995. Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice Hall, 2007. 2007. © 2008 by UM
37
10
