2007BSc)

Áramlástan minimum tételek Áramlástan Minimum Tételek (2006/2007BSc) 1 Írja fel a folytonosság tétel integrál alakját, és ismertesse, hogy milyen fizikai alapelvet fejez ki! Magyarázza el az egyenlet tagjainak jelentését! Hogyan és milyen feltételek mellett alkalmazható ez az alak áramcsőre? ∂ρ A folytonossági tétel integrált alakja: − ∫ dV = ∫ ρvd A ∂t V A Azt a fizikai alapelvet fejezi ki miszerint a tömeg nem keletkezhet és nem tűnhet el. A bal oldali tag kifejezik, hogy V térfogatban (melyet A felület határol) elhelyezkedő tömeg másodpercenként mennyit változik. (kg/s) A jobb oldal adja meg, hogy az A felületen (megy V térfogatot határolja) mennyivel több tömeg áramlik ki, mint be. (kg/s) d A felületi normális kifelé mutat, ezért a hozzá tartozó integrál (jobb o.) pozitív értéke azt jelenti, hogy fogy a tömeg a V térfogatban. Így a másik integrálnak negatívnak kell lennie. A kontinuitás tétele áramcsőre a következőképpen írható fel: ρ1 ⋅ v1 ⋅ A1 = ρ2 ⋅ v 2 ⋅ A 2 ahol 1-es és 2es indexek a be –és kilépő keresztmetszetet jelöli. A kifejezés azonban számos kritérium mellett van csak érvényben. Ezek: 1. A be és kilépő keresztmetszetben a sebesség merőleges A1 és A2 felületre, vagy csak merőleges komponensekkel számolunk. Azaz belépésnél cosα=-1, kilépésnél cosα=1. 2. A1 és A2 keresztmetszetekben a sűrűségek állandók. 3a. Stacionárius az áramlás.(bal old. dt miatt 0) 3b. Instacionárius esetben állandó sűrűség (hogy a bal old. 0 legyen) mellett v1 ⋅ A1 = v 2 ⋅ A 2 2 Írja fel a folytonosság tétel differenciálegyenlet alakját, és ismertesse, hogy milyen fizikai alapelvet fejez ki! Magyarázza el az egyenlet tagjainak a jelentését! Milyen egyszerűbb alakjait ismeri a tételnek, és azok milyen feltételek mellett alkalmazhatóak? ∂ρ A folytonossági tétel differenciált alakja: + div(ρ v) = 0 ∂t Az alak az integrál alakból jön ki, ugyanis annak jobb oldala a Gauss - Osztrogradszkij tételt alkalmazva: ∫ ρvd A = ∫ div(ρv)dV alakra hozható. Ezt behelyettesítve és a jobb oldalt átvive a A

V

 ∂ρ  bal oldalra ∫  + div(ρv)dV = 0 egyenletet kapjuk, ami csak a zárójel=0 esetén lesz 0. ∂t  V Azt a fizikai alapelvet fejezi ki, miszerint a tömeg nem keletkezhet és nem tűnhet el. Egyszerűbb alakok: Amennyiben az áramlás stacionárius, de a közeg összenyomható, a bal oldali tag zérus lesz, így marad: div(ρ v) = 0 Gyakran feltételezhetjük közel állandónak a sűrűséget (cseppfolyós közegeknél), de ha gázok nyomása nem változik jelentősen, akkor is számolhatunk ezzel a közelítéssel. Ebből az következik, hogy: div( v) = 0 érvényes mind stacionárius és instacionárius áramlásokra.

-1-

Áramlástan minimum tételek 3 Hogyan számolható ki egy kör keresztmetszetű csőben áramló közeg térfogatárama a v=v(r) sebességmegoszlás ismeretében (kialakult csőáramlás)?

Az alapképlet q v = A ⋅ v . Egy adott A keresztmetszetben v egyenletes sebességgel, ezért v-t   r n  egyértelműen meg kell határozni. Ez a fenti cső példa esetében: v(r ) = v max 1 −    ,   R   n=forg-i paraboloid fokszáma. Egy r sugarú, dr vastagságú, 2rπdr keresztmetszetű körgyűrűn átáramló térfogatáram: dq v = 2rπv(r )dr Ezt a kifejezést a cső esetében az egész kör keresztmetszetre integrálva kapjuk a végleges, keresett térfogatáram értékét: R   r n  q v = ∫ 2rπv max 1 −    dr 0   R   n Ha az integrálást elvégezzük, a következő kifejezés adódik: q v = R 2 πv max n+2 Másodfokú paraboloid esetén n=2, azaz az átlagsebesség a maximálisnak a fele. 4 Írja fel a hidrosztatika egyenletét, és ismertesse, hogy milyen fizikai alapelvet fejez ki! Magyarázza el az egyenlet tagjainak jelentését! Mutassa meg az egyenlet megoldását összenyomhatatlan közeg esetén! A hidrosztatika alapegyenlete: gradp = ρg

dv 1 = g − gradp kapjuk oly módon, hogy mivel a hidrosztatikai dt ρ feladatoknál a folyadék nem gyorsul, így a sebességváltozásra vonatkozó tag (bal o.) zérus. Hidrosztatikai feladatoknál az Euler egyenlet valóságos (súrlódásos) folyadékok esetén is pontos eredményt ad, hiszen hidrosztatikáról (nyugalomról) lévén szó nem lépnek fel csúsztatófeszültségek. Azt a fizikai alapelvet fejezi ki, hogy: - a nyomás leggyorsabb változásának iránya/irányítása a térerősség irányába mutat / irányításával egyezik meg. - a nyomás változásának rohamossága a térerősség abszolút értékével és a közeg sűrűségével arányos. Megoldása: összenyomhatatlan közeg esetén ρ=áll. Egy választott útvonal mentén integrálva p p az egyenletet, a Bernoulli egyenletet kapjuk a sebesség tag nélkül: 1 + U1 = 2 + U 2 ρ ρ Az Euler egyenletből

-2-

Áramlástan minimum tételek 5 Mutassa be a folyadékszint kitérés elvén működő nyomásmérőt ("U" csöves manométer)! Készítsen róla a bekötéssel együtt egyszerű vázlatrajzot! Sorolja fel és indokolja azokat a módszereket, amelyekkel az ilyen manométereknél a nyomásmérés pontossága növelhető! Az U csöves mikromanométer csak néhány ezer Pa-nál kisebb nyomások mérésére alkalmas. ρ A mikromanométer üvegcsövében valamilyen, a nyomást közvetítő folyadékkal ( ny ) végezzük a mérést (nem keveredő mérőfolyadék ρ ). Így a levegő nyomásának mérése esetén a mérőfolyadék víz vagy alkohol, víz nyomásának mérésekor pedig higany. p1 − p 2 = ( ρ m − ρ ny ) ⋅ g ⋅ h m

ρ ny

p1 − p 2 = ρ ⋅ g ⋅ h elhanyagolható ha a mérőfolyadék sűrűsége lényegesen

meghaladja a nyomást közvetítő folyadékét. Az U csöves manométer legfontosabb előnye a megbízhatóság, és, hogy nem igényel karbantartást. Hátrányai: nagysűrűségű közvetítő közeg, és mérőfolyadék esetén (víznyomás különbségét higannyal) kis nyomáskülönbség esetén nagy leolvasási hiba. Kétszeres leolvasási hiba adódik, abból hogy az U csövet két helyen kell leolvasni. A hibákat kiküszöbölhetjük fordított U csöves manométer használatával. Párhuzamos furatok és körvezetékek segítségével (esetleg még több mérési pont), a mérés előtti helyes mérőfolyadék megválasztásával. 6.Határozza meg a pálya, az áramvonal és a nyomvonal fogalmát! Mit jelent, ha egy áramlás stacionárius vagy instacionárius? Pálya: kiszemelt pontsz. folyadékrész időben egymás után elfoglalt helyét összekötő görbe. Áramvonal: Olyan görbe, amit egy adott pillanatban minden pontjában érint a sebesség vektor. Az áramvonal a sebességvektorok burkoló görbéje. Nyomvonal: A tér adott pontján áthaladó folyadékrészeket adott pillanatban összekötő görbe. Stacionárius áramlásban a jellemzők (v, p, ρ, T) nem függenek az időtől, így pl. a sebességteret a v = v(r ) írja le azaz a sebességvektorok az áramlási tér egyes pontjaiban az adott koordináta rendszerben időben nem változnak. Ilyenkor a pálya, a nyomvonal és az áramvonal egybe esik. (Pl. csónak mozgása a tavon a csónakból figyelve.) Instacionárius áramlásoknál a sebességtér az időtől is függ: v = v(r , t ) (Pl. csónak mozgása a partról figyelve.) 7 Ismertesse a sebességi potenciál fogalmát! Milyen sajátosságai vannak egy potenciálos áramlásnak? m2  Sebességi potenciál egy skalártér, amelyet ϕ   -al jelölünk és v = gradϕ . Ez a fajta  s  potenciál csak örvénymentes áramlásokban létezhet (rotv=0). Síkáramlás esetén a ∂ϕ ∂ϕ sebességvektorok és komponenseik: v = v x i + v y j = gradϕ = i+ j ∂y ∂x A ϕ=áll ekvipotenciális vonalak és a koncentrikus kör alakú áramvonalakat érintő sebességvektorok egymásra merőlegesek, ebből az következik, hogy az ekvipotenciális felületek sugár irányú az x, y, síkra merőlege síkok. ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ K Sebességtér számítása a sebességi potenciálból: v = gradϕ = ez + er + eϑ = eϑ ∂z ∂r r∂ϑ r

-3-

Áramlástan minimum tételek

8 Írja fel és magyarázza a folyadékrészecske teljes gyorsulását Euler-féle írásmódban d v ∂v A folyadékrész gyorsulása: = + Dv dt ∂t Értelmezés: A teljes gyorsulás értéke egyenlő a lokális gyorsulás, valamint a konvektív gyorsulás összegével. A jobboldal első tagja a lokális gyorsulás, a második a konvektív. Lokális gyorsulás csak instacionárius  ∂v x ∂v x ∂v x  áramlásban van.  ∂x ∂y ∂z    Konvektív gyorsulás lehet stac. és instac. ∂v y ∂v y ∂v y  D: deriválttenzor: D =  áramlásban is, mivel független az időtől.  ∂x ∂y ∂z  Akkor van, ha a folyadék sebességének  ∂v  ∂v z ∂v z  z  nagysága vagy iránya az áramlás irányában ∂y ∂z   ∂x változik. 9 Írja fel az Euler-egyenletet! Magyarázza el, hogy milyen fizikai alapelvet fejez ki az egyenlet és milyen feltételek teljesülése mellett érvényes! Magyarázza el az egyenlet tagjainak jelentését! 1 dv Az Euler-egyenlet: = g − gradρ ρ dt Fizikai alapelv: Newton II axiómája értelmében az egységnyi tömeg mozgásmennyiségének időegységre jutó megváltozása egyenlő az egységnyi tömegre ható erők eredőjével. Egységnyi tömegű folyadékrész gyorsulása egyenlő ugyanarra a folyadékrészre ható erő, valamint a rá ható nyomásból származó erők összegével. Feltételek: Az Euler-egyenlet csak súrlódásmentes közegre érvényes. Sem a sűrűsége, sem az erőtérre nem kell kikötést tennünk. dv : a gyorsulásvektor, az egységnyi tömegű test mozgásmennyiségének változása dt

g : a térerősség vektor, az erőtérből az egységnyi tömegre ható erő 1

ρ

gradp : a nyomás gradiens és a sűrűség hányadosa, a nyomásból származó erő a felületre

10 Írja fel az Euler-egyenletet természetes koordináta-rendszerben stacionárius áramlás esetén! Milyen következtetések vonhatók le a komponens egyenletekből? Alkalmazási példákon keresztül mutassa meg a természetes koordináta-rendszer használatának előnyeit. ∂v 1 ∂p Az Euler-egyenlet e (érintő) irányában: v = g e − ρ ∂e ∂e

Az Euler-egyenlet n (normális) irányában: −

1 ∂p v2 = gn − ρ ∂n R

Az Euler-egyenlet b (binormális) irányban: 0 = g b −

1 ∂p ρ ∂b

A normális irányú komponensegyenletből a következő következtetések vonhatók le:

-4-

Áramlástan minimum tételek Párhuzamos áramlásra merőlegesen a nyomás nem változik, mert: R = ∞ → ∂p

∂n

=0

Áramvonalra merőlegesen a görbületi középponttól kifelé a nyomás nő: R ≠ ∞ → ∂p

=+ ∂n Alkalmazása előnyös: - személyautók körüli áramlás esetén jól modellezhető, az autó karosszéria elemei és körülöttük lévő áramlás (domború túlnyomás, homorú depresszió). - levegősugáron lebegő labda meggörbíti az áramvonalakat Conada-eff. és depresszióba kerül - esőcsepp ejtőernyő alakja (esés közben alul túlnyomás, oldalt depresszió) A binormális egyenlet a nyomásból és térerősségből származó erők egyensúlyát fejezi ki. Σ: ha a két erő kiegyenlíti egymást akkor nem gyorsul, ha nem a v nagysága / iránya változik

11 Írja fel a Bernoulli-egyenlet általános alakját! Elemezze az egyes tagok jelentését, és mutassa meg elhagyásuk és átalakításuk feltételeit! A Bernoulli-egyenlet általános alakja: 2

2

2

2

2

∂v 1 v2 ∫1 ∂t d s + ∫1 grad 2 d s − ∫1 v × rot vd s = ∫1 gd s − ∫1 ρ gradpd s I. II. III. IV. Az egyszerűsítés lehetőségeit tagonként vizsgáljuk: 0, ha az áramlás stacionárius. I. II. III.

V.

v 22 − v12 Minden további feltétel nélkül: 2 A 0, ha következő feltételek valamelyike teljesül: A v sebesség zérus rot v =0, azaz az áramlás potenciálos a d s a v és a rot v által kifeszített síkba esik ds II v , azaz áramvonal mentén integrálunk

(II = párhuzamos)

ds II rot v , azaz örvényvonalon integrálunk rot v II v , ún Beltrami áramlás. IV.

Ha potenciálos az erőtér, g = −gradU helyettesítéssel: − (U 2 − U 1 )

V.

Ha ρ=áll: − ha ρ=ρ(p):

p1 − p 2

ρ p2

dp

∫ ρ ( p)

p1

Tehát amennyiben: Az áramlás stacionárius, Az áramlás potenciálos vagy áramvonalak mentén integrálunk, Az erőtér potenciálos, és ρ=áll Bernoulli egyenlet:

v12 p1 v2 p + + U1 = 2 + 2 + U 2 2 ρ 2 ρ

-5-

Áramlástan minimum tételek

12 Írja fel a Bernoulli-egyenlet forgó koordináta-rendszerben érvényes alakját! Elemezze az egyes tagok jelentését, és mutassa meg elhagyásuk és átalakításuk feltételeit! 2

2

2

2

2

∂w 1 w2 Bernoulli-egyenlet forgó ben: ∫ ds + ∫ grad ds − ∫ w × rot wds = ∫ gds − ∫ gradpds ∂t ρ 2 1 1 1 1 1 I. integrál zérus, mert w relatív sebességtér (forgó lapátok) w 2 − w12 II. átalakítható: 2 2 III. integrál zérus, - ha áramvonalon integrálunk, - vagy ha nem áramvonalon integrálunk, de az abszolút áramlás örvénymentes áramlási térből ered (mert ilyenkor Coriolis erő integráljával egyező integrállá alakíthatjuk és kiesik) 2  r22 ω 2 r1 2 ω 2  2  + ∫ 2 w × ωd s alakra hozható, ugyanis a fellépő g erőtér IV. integrál: ∫ gd s =  −  2 2 1   1 a centrifugális erőtér potenciálos, de fellép a Coriolis erő g cor = 2 w × ω is, mert forgó rendszerben a tömeg elmozdul. Azonban a Coriolis erőt tartalmazó tag a III. tagnál felsorolt minkét esetben szintén kiesik. p − p1 V. integrál ρ=áll következtében=> − 2

ρ

Σ :Ha a fogó koordináta rendszerben a relatív sebesség nem zérus, akkor a centrifugális erőtér mellett a Coriolis erős is figyelembe veendő. Ha áramvonalon integrálunk, akkor a Coriolis erő vonalintegrálja zérus. Ha nem tudunk áramvonalon integrálni, de az abszolút áramlás örvénymentes áramlási térből ered, akkor a Coriolis tag a Bernoulli egyenlet III integráljával együtt kiesik. 13 Ismertesse a statikus-, dinamikus- és össznyomás fogalmát és mérésük módját! Statikus nyomás P∞ a zavartalan áramlásban uralkodó nyomás. Barométerrel mérhető. Össznyomásnak nevezzük a tolrlóponti nyomást ρ 2 p∞ + v∞ = p t = pö Pitot vagy Prandtl csővel mérhető. 2 Dinamikus nyomás az össznyomás és a statikus nyomás ρ különbsége. p d = v ∞2 Prandtl csővel mérhető. 2 14 Mondja el a Pitot- és Prandtl-csöves sebességmérés módját, magyarázatát illusztrálja vázlatrajzzal! Pitot-cső Az össznyomás mérésére használjuk. A Pitot-cső egy, az áramlással szembefordított cső, amelynek a másik végét egy nyomásmérő műszerhez (pl. U-csőhöz) csatlakoztatjuk. Mérhetünk vele dinamikus nyomást is, ha az U-cső másik szárához csatlakoztatunk egy olyan csövet, amely az áramlási térből a

-6-

Áramlástan minimum tételek statikus nyomást vezeti ki. (ld. ábra) A sebesség a következő képlettel határozható 2 meg: v = ( p össz − p stat )

ρ

Prandtl-cső A Pitot-csőhöz hasonló eszköz, ugyanúgy az áramlással fordítjuk szembe, de megbízhatóbb eredményt szolgáltat, mert a statikus nyomást és az össznyomást közel azonos helyen méri. Két, koncentrikusan elhelyezett csőből áll. A cső orrán a belső cső szabad vége található. Ebben a pontban méri az össznyomást. A cső végétől szabványos távolságban, ahol az áramvonalak közel párhuzamosak, az oldalon furatok mérik a statikus nyomást. A kettő különbsége adja a dinamikus nyomást, amiből a sebességet a fent leírt módon számíthatjuk. A Prandtl-cső viszonylag irány érzéketlen, 20°-ig elhanyagolható a hiba mértéke. 15 Ismertesse a sebességmérésen alapuló térfogatáram mérési módszert kör és téglalap keresztmetszetű csövek esetén! A téglalap keresztmetszetet felosztjuk n = k ⋅ k számú, egyenlő nagyságú (az eredeti keresztmetszethez hasonló) részterületekre, és valamennyi részterület súlypontjában mérjük az adott részterületre vonatkozó átlagsebességeknek tekintett sebességet. Így a térfogat áram n

n

jó közelítéssel q v ≅ ∑ v mi ∆A = A i =1

∑v i =1

mi

n

Kör keresztmetszet esetén r j sugarú körökkel 5 egyenlő nagyságú körgyűrűre bontjuk a

keresztmetszetet, és a körgyűrűket területileg felező körök és két átmérő metszéspontjában vesszük fel a mérési pontokat 16 Ismertesse a mérőperemes és Venturi-csöves térfogatáram mérési módszereket! Magyarázatában részletesen térjen ki az átfolyási szám (α) megválasztásának módjára! A venturi cső egy szabványos, térfogatáram mérésére szolgáló eszköz. Működésének alapja a kontinuitás, valamint az a tény, hogy gyorsabb áramlású közegben a nyomás alacsonyabb. A térfogatáram a kitérés gyökével lesz arányos. A venturicsövet cseppfolyós folyadékok térfogatáram mérésére használják, geometriai adatai szabványban rögzítettek. Hátránya, hogy bizonyos folyadékok esetén, és bizonyos üzemidő elteltével a szűk keresztmetszet felülete kopik, érdes lesz, ez D 2π 2(ρ Hg − ρ )gh pedig meghamisítja a mérést. Ilyenkor az eszközt cserélni kell. q v = 4  D  4  ρ   − 1  d   Mérőperemes:

-7-

Áramlástan minimum tételek Ez esetben a szűkítő elem egy, a cső tengelyével koncentrikus, kör alakú nyílás. Sokkal olcsóbb, mint a Venturicső, mivel könnyebb az elkészítése. Akkor használható, ha hosszú, egyenes csőszakasz előzi meg, és rövidebb követi azt. Hátránya, hogy (egyaránt a Venturicsõ, de a mérőperem különösképp) jelentős áramlási veszteségeket okoz, ami kihatással van a mért berendezés üzemállapotára. A mérőperem által mért térfogatáram a következő képlet segítségével számítható: 2 d mp π 2∆Pmp q v = εα ρ 4 α átfolyási szám megválasztása: α = α ( β , Re D ) MSZ 1709 Szabvány szerint kell megválasztani.(β=d/D átmérő viszony, Re Reynolds szám) 17 Hasonlítsa össze előnyös és hátrányos tulajdonságaik alapján a sebességmérésen alapuló és a mérőperemes térfogatáram mérési módszereket! Sebességmérésen alapuló mérőberendezés előnye a szűkítő elemmel szemben, hogy a sebességmérő eszköz gyakorlatilag nem változtatja meg a mért berendezés üzemállapotát a mérés egyszerű (elég a csőben egy furatot készíteni). Hátránya viszont hogy a mérési hiba általában meghaladja a szűkítő elemes módszer hibáját, különösen akkor ha a mérési pontban az áramlásban valamilyen zavar, rendezetlenség lép fel (Prandtl-csöves mérés esetén általában nagyobb értéket kapunk). Mérőperemes: Ez esetben a szűkítőelem egy, a cső tengelyével koncentrikus, kör alakú nyílás. Sokkal olcsóbb, mint a Venturi-cső, mivel könnyebb az elkészítése. Akkor használható, ha hosszú, egyenes csőszakasz előzi meg, és rövidebb követi azt. Hátránya, hogy (egyaránt a Venturi-cső, de a mérőperem különösképp) jelentős áramlási veszteségeket okoz, ami kihatással van a mért berendezés üzemállapotára. A mérő- perem 2 π 2∆Pmp d mp által mért térfogatáram a következő képlet segítségével számítható: q v = ε ⋅ α ρ 4 18 Írja fel az Euler-féle turbina-egyenletet, és magyarázza el a jelentését! Sorolja fel, hogy milyen feltételek mellett érvényes az egyenlet!

Az Euler-féle turbina- egyenlet: ∆p öid = ρ (v 2u u 2 − v1u u1 ) v: abszolút sebesség, v2u a v2 sebesség u irányú vetülete. u: kerületi sebesség. Az együttforgó rendszerbeli Bernoulli egyenletből kaptuk, úgy hogy az abban lévő w relatív sebességet a cosinus tétel alkalmazásával w2=v2+u2-2uv alakra írtuk és amit lehetett egyszerűsítettünk. ∆p öid ideális összenyomás-növekedést jelöl, mert súrlódásmentességet feltételezünk, mivel a az egyenlet meghatározásához használt Bernoulli-egyenlet csak ekkor érvényes. Az Euler-féle turbinaegyenlet radiális és axiális átömlésű áramlástechnikai gépekre is alkalmazható. Ha a ventilátor nyugvó térből szív, v1u = 0 , így: ∆p öid = ρv 2u u 2

-8-

Áramlástan minimum tételek Az Euler-turbina egyenlet elvileg a turbina lapát előtti és mögötti nyomáskülönbséget adja meg. Mivel azonban a lapát mögött és a nyomócsonk, valamint a lapát előtt és a szívócsonk közt nincs jelentős nyomáskülönbség, vehetjük úgy, hogy a fenti összefüggés a nyomó- illetve szívócsonk közti nyomáskülönbséget adja meg. Az egyenlet érvényes ha: súrlódásmentes a közeg a sűrűség állandó stacionárius az áramlás a Coriolis tag kiesik a diff.egyenletből (örv.ment.besz., vonalm.int.) 19 Írja fel az impulzus-tétel általános alakját, és magyarázza el, hogy milyen fizikai alapelvet fejez ki a tétel! Adja meg az egyenlet tagjainak a jelentését! Az impulzus tétel általános alakja: ∂ (ρv)dV + ∫ vρ( vd A) = ∫ ρgdV − ∫ pd A ∂t V∫ A V A Az impulzus-tétel egy mozgásegyenlet, amely a folyadékra ható erők és a folyadék mozgásállapota között teremt kapcsolatot. Az impulzus-tétel alkalmazásánál egy, a koordináta-rendszerhez képest rögzített, zárt A felületet, az ellenőrző felületet kell felvenni. (Ez veszi körül V térfogatot.) Így kiszámolhatók az integrálok, melyekből erővektorok adódnak. A tagok jelentése: - A bal oldali térfogati integrál zérus, amennyiben az áramlás stacionárius. ∂ ( ρ v)dV : vektor ami megadja a V térfogatban lévő tömegrészek eredő mozgásmennyiség ∂t ∫v (lokális) megváltozását 1 s alatt (csak instacionárius áramlás esetén) - ∫ ρ v(vd A) vektor megadja a felületen át egységnyi idő alatt kilépő és belépő tömeg A

mozgásmennyiségének (vektoriális) különbségét, azaz a felület által határolt térfogatban lévő mozgásmennyiség (konvektív) egységnyi időre jutó csökkenését - A jobb oldali térfogati integrál az ellenőrző felületben lévő folyadékra ható térerőből származó erőt fejezi ki. - A jobb oldali felületi integrál a felületre ható nyomásból származó erőt fejezi ki. 20 Írja fel a Zsukovszkij-tételt, és magyarázza el a fizikai jelentését! Egyedülálló szárny esetén a szárnyra ható erő merőleges a zavartalan (szárnytól távol érvényes) áramlási sebességre (v∞) amit megfúvási sebességnek is nevezünk. A szárny 1 m hosszú szakaszára ható felhajtóerőt az R = ρ v ∞ Γ [N/m]-összefüggésből számolhatjuk ki. 21. Rajzolja fel az áramlásba helyezett szárnyon keletkező felhajtóerő és ellenálláserő vektorokat! Ismertesse az áramlásba helyezett test felhajtóerő- és ellenállástényezőjének definícióját! Rajzolja fel jellegre helyesen a felhajtóerő- és ellenállástényező változását a megfúvási szög függvényében!

-9-

Áramlástan minimum tételek

(ha kijelölöd a képet és felnagyítod 200%-ra akkor már jól kivehető minden az ábrán) Egyébként az egész a tankönyv 495-497. oldalán megvan szépen is ☺

Cf =

Ff

ρ 2 ⋅ v∞ ⋅ A 2 Fe Ce = ρ 2 ⋅ v∞ ⋅ A 2

felhajtóerő-tényező

ellenállás-tényező

-10-

Áramlástan minimum tételek

22. Ismertesse az Allievi-elmélet segítségével meghatározott nyomásnövekedési összefüggést! Milyen feltételek teljesülése mellett érvényes? Mondjon példát az összefüggés gyakorlati alkalmazására! a nyomáshullám hatására létrejövő nyomásnövekedés ∆p = ρ ⋅ v ⋅ a Ahol - ρ a közeg sűrűsége - v a közeg sebessége - a a hullám terjedési sebessége Ezt az összefüggést nevezik Allievi-féle nyomáslökésnek is. Akkor érvényes ha v << a, mert a teljes képlet ∆p = ρ ⋅ v ⋅ (a + v) Gyakorlati alkalmazásra csak annyit találtam, hogy a vízvezetékekben ezért tapasztalható sokszor erős hangjelenség. Feltételek: annál nagyobb a nyomáshullám terjedési sebessége minél kisebb a sűrűség és minél nagyobb a redukált rugalmassági modulus. Ezért terjed gyorsabban a hullám vízben vagy acélban, mint levegőben és ezért csökken le jelentősen a hullám terjedés sebessége, ha a cső fala pl. könnyen táguló gumiból van, vagy, ha a vízben jelentős mennyiségű levegőbuborék van. 23. Ismertesse és magyarázza a Newton-féle viszkozitási törvényt, és rajzoljon fel jellegzetes reológiai görbéket! dγ dv Newton-féle viszkozitási törvény τ yx = µ ⋅ = µ⋅ x dt dy dγ az 1s-ra eső szög megváltozását adja meg Ahol dt - µ a dinamikai viszkozitás

-11-

Áramlástan minimum tételek -

Itt:

-

dv x az x- irányú sebesség megváltozása távolodva a tapadási ponttól dy (Tapadás-tv)

1 newtoni folyadékok 2 pszeudoplasztikus folyadék  ∂y  τ = k ∗   ∂t 

n

n<1 n

-

 ∂y  3 dilatáló közeg τ = k ∗    ∂t 

-

4 plasztikus folyadékok τ = τ h + µ ∞ ∗

τ h határ csúsztatófeszültség

n>1 ∂γ ∂t

24. Mit értünk egy áramlás lamináris és turbulens jellegén? Ismertesse a turbulens határréteg leírásánál alkalmazott keveredési úthossz modellt! Lamináris (réteges) áramlás: Amikor az egymás mellett áramló folyadékrétegek anyaga csak a molekuláris diffúzió miatt keveredik egymással. Tetszőleges folyadékelem sebességvektorának nagysága és iránya állandó, tehát egyirányú úthossz jellemzi, mindaddig amíg nem bomlik fel a folyadékelem nincsenek leválások

Turbulens áramlás: Turbulens áramlásban a sebességvektor az átlagérték körül nagyság és irány szerint véletlenszerűen ingadozik, örvénylő mozgást végez. Az örvények a főáramlás sebességére merőlegesen mozdulnak el, tehát fellép a csőfalra merőleges erő is ami segíti a keveredést. Keveredési úthossz (L): egy kis „folyadékcsomag” (örvény), amely a fő áramlási irányra merőlegesen ún. keveredési úthosszt képes megtenni v 'y ingadozási sebességgel. Határréteg (δ): azt a felszínre merőleges távolságot, ahol a sebesség eléri a zavartalan áramlás sebességének egy meghatározott részét (pl. 99%-át), a határréteg vastagságának nevezzük(δ).

Látszólagos csúsztatófeszültség: τ lyx = − ρ ∗ v x' ∗ v 'y -12-

Áramlástan minimum tételek 25. Írja fel a Navier-Stokes egyenletet! Ismertesse az egyenlet fizikai tartalmát és felírásának feltételeit! Magyarázza el az egyenlet tagjainak jelentését!

d v ∂v v2 1 = + grad − v × rot v = g − grad p + ν{ ∆v 1 4 2 4 3 { ρ ∂t 1 dt { 2 424 3 6 3 1424 3 4 1

2

5

Feltétettük: a (µ) viszkozitás és (ρ) sűrűség állandóságát. A súrlódásmentességet viszont nem! Az egyenlet jobb oldali utolsó tagjával különbözik csak a súrlódásmentes közegre levezetett Euler – egyenlettől. Felbontva ∆ v = grad div v − rot rot v és miután a folytonosság tétel értelmében ha ρ=áll. akkor div v = 0 : 1 ∂v = g − ⋅ gradp − ν rot rot v ha ρ=0 ∂t ρ 1 : lokális gyorsulás, 0 ha stacionárius az áramlás 2+3 : konvektív gyorsulás ( D ⋅ v ) ; 3-as = 0 - ha potenciálos az áramlás - ha áramvonalon integrálunk - ha örvényvonalon integrálunk - ha v || rot v Beltrami áramlás 4 : gravitációs térerősség, 0 ha potenciálos az erőtér 5 : nyomásból származó erő 6 : súrlódási erő, 0 ha rot v = 0 ha potenciálos az áramlás. az egyenlet Eulerbe megy át 26.

Ismertesse a határréteg fogalmát és a határréteg leválás kialakulásának folyamatát! Milyen módszerekkel befolyásolható a határréteg leválása?

Határréteg (δ): Azt a felszínre merőleges távolságot, ahol a sebesség eléri a zavartalan áramlás sebességének egy meghatározott részét (pl. 99%-át), a határréteg vastagságának nevezzük (δ). A határrétegen kívül a súrlódás elhanyagolható, azon belül számottevő! A leválásnak 2 feltétele van: a fal jelenléte és az áramlás irányába növekvő nyomás. A határrétegen belüli részecskéket nem csak ez a nyomás fékezi, hanem a falon keletkező csúsztatófeszültség is. Ezért a fal közelében áramló részecskék az áramlás irányában rohamosan lassulnak, aminek következtében a sebességmegoszlások „teltsége” az áramlás irányában rohamosan csökken, a határréteg gyorsan vastagszik. Ha a külső áramlás nem képes impulzuscsere révén mozgásban tartani a határrétegben áramló részecskéket akkor azok megállnak. Ekkor a nyomáscsökkenés irányában visszaáramlás indul meg. A fal mellett visszaáramló folyadékrészek a határrétegben áramló közeget elválasztják a faltól határréteg leválik, és az áramlási tér belseje felé áramlik.

-13-

Áramlástan minimum tételek

Re =

v⋅L ν

Re: Reynolds-szám

v: sebesség L: jellemző méret ν : kinematikai viszkozitás A határréteg leválása függ a hossztól, a közeg sebességétől és a fal érdességétől. Megelőzhető, ha áramvonalas testet készítünk és lekerekítésekkel is. 27 Írja fel a súrlódásos taggal bővített Bernoulli-egyenletet, és határozza meg fizikai jelentését! ρ 2 ρ v1 + ρU1 = p 2 + v 22 + ρU 2 + ∆p' az utolsó, a veszteséges tag 2 2 Fizikai jelentése, hogy a súrlódás következtében az áramlás irányába lassul a közeg. A súrlódási veszteségek gyakorlati szempontból azért jelentősek mert a közegek szállításához szükséges szivattyúk, vagy ventillátorok teljesítménye a térfogatáram és az össznyomásnövekedés szorzatával arányos, az utóbbi túlnyomó részét pedig a súrlódási veszteségek teszik ki. p1 +

28. Adja meg az egyenes csőszakasz, a diffúzor, a Borda-Carnot átmenet és egy idomdarab (pl.: tolózár, könyök) nyomásveszteségét meghatározó összefüggést! ρ L Egyenes csőszakasz nyomásvesztesége: ∆p' = ∗ v 2 ∗ ∗ λ (Re) 2 d ρ Diffúzor nyomásveszteséges: ∆p ' = (1 − η d ) ∗ ∗ (v12 − v 22 ) 2 ρ 2 Borda-Carnot átmenet nyom. veszt.: ∆p ' BC = ∗ (v1 − v 2 ) 2 ρ itt Szelepek, tolózárak, csappantyúk ny. v.: ∆p'sz = ∗ v 22 ∗ ζ sz 2 2

ζ sz 29.

v  A  =  1 − 1 vagy  2 − 1  v2   A1 

2

Határozza meg a csősúrlódási tényezőt, és jellegre helyesen rajzolja fel, hogy miként függ a Re számtól és a csőfal érdességétől! Magyarázza el a hidraulikailag sima és érdes cső fogalmát!

-14-

Áramlástan minimum tételek

λlam =

64 Re

λturb =

0,316 4

Re

Hidraulikailag sima cső: amelynek az érdessége csökkenésével nem változik a csősúrlódási tényező értéke, mivel csak a Re-tól függ. Hidraulikailag érdes cső: amelynél csökkenő érdesség mellett a csősúrlódási tényező értéke csökken. Mondja el, hogy hogyan lehet méréssel meghatározni egy idomdarab (pl.: egy könyök) hidraulikai veszteségtényezőjét! A veszteséges Bernoulli-egyenlet segítségével, különböző térfogatáramoknál meg kell mérni a nyomásesést és a Bernoulli-egyenletből kiszámolható a veszteségtényező. A veszteségtényező a dinamikus nyomással dimenziótlanított könyök előtti és utáni össznyomás különbség: 30.

ahol

a sűrűség,

a keresztmetszetben az átlagsebesség.

Aki mélyebben szeretné megérteni, http://www.ara.bme.hu/oktatas/labor/M7.htm

-15-

annak

itt

egy

hasznos

link:

Áramlástan minimum tételek 31 Mondja el, hogyan lehet méréssel meghatározni egy diffúzor hatásfokát!

Diffízor: Áramlás irányába növekvő keresztmetszetű csőidom, ami a kontinuitás tételéből következően lassítja az áramlási sebességet, a nyomásnövekedéssel szemben áramlik a közeg. Bernoullit felírva: (p2-p1)id = ρ/2 *(v12-v22) A valóságban azonban a súrlódás miatt a falnál nagyobb lassulás, esetleg leválás történhet ami következtében a folyadék közepén a lassulás mértéke kisebb. (p2-p1) valóst tehát méréssel az ideálist számolással határozhatjuk meg. (p − p ) η diff = 2 1 valós (p 2 − p1 )ideális 32. Írja fel az energiaegyenletet, és adja meg, hogy milyen feltételek mellett érvényes! Ismertesse, hogy milyen fizikai elvet fejez ki az egyenlet!

v2 + c p T = állandó 2 Az energiaegyenlet súrlódásmentes, hőszigetelt, stacionárius áramlás esetén igaz és azt fejezi ki, hogy a gáz mozgási energiájának és entalpiájának összege állandó! Azt is kimondja, hogy hőátvitel és súrlódás nélkül a gáz csak entalpiája csökkentése árán növelheti sebességét és a közeg lassulása esetén a hőmérséklete nő. 33. Mit jelent két áramlás hasonlósága, és adja meg összenyomhatatlan közeg esetén két áramlás hasonlóságának feltételeit! Hasonlóság feltételei: Ha két áramlás azonos differenciálegyenletekkel leírható és ugyanazok a kezdeti és peremfeltételek. Azonosak a diff. egyenletek ha bizonyos állandók és együtthatók egyeznek. Nagy kivitel és modell esetén (a Navier-Stokes-ból) a dimenziótlan diffegyenlet: g x * l 0 g xm * l 0 m vm v v v*l = és = Ezekből: Fr= Re= 2 2 ν v0 * l 0 v0 m * l 0 m v0 v0 g*l Hasonlóságuk elengedhetetlen a két áramlást leíró dimenziótlanított differenciálegyenletrendszer megegyezéséhez. A Froude szám elhagyható ha az áramló közeg kitölti az áramlási teret, de hajómodelleknél pont ez a szám a fontosabb.

f *l v Hasonlósága elengedhetetlen ahhoz, hogy a kezdeti- és peremfeltételek megegyezzenek a kisés nagyminta esetén. Ebből a feltételből már meghatározható a modell lengetésének periódusideje.

Strouhal-szám:

Eu=

p − p0 Hasonlósága esetén a nyomás, mint peremfeltétel biztosított. ρ * v02

ρ * l0 * v02 Webber-szám= σ Hasonlósága különösen fontos azon modellkísérleteknél, amelyekben a felületi feszültségnek fontos szerepe van. (pl. porlasztás) Kezdeti és peremfeltételek: a modell és a nagy kivitel geometriai hasonlóságával az áramlás peremén hasonló viszonyok biztosíthatók. -16-

Áramlástan minimum tételek

34. Mit jelent két áramlás hasonlósága, és adja meg összenyomható közeg esetén két áramlás hasonlóságának feltételeit! Ugyanaz mint az előbb+ Azoknál az áramlásoknál, ahol a gáz > 10%, összenyomható az Euler szám nem következmény hanem feltétel, és a K és a Mach szám azonosságát is biztosítani kell. 35. Határozza meg a sűrített levegő tartályból történő kiáramlás sebességét egyszerű kiömlőnyílás esetén különböző nyomásviszonyoknál!

a, ha 0,95 ≤

P0 2 < 1 akkor vki = * ( Pt − Pe ) Pt ρ

κ −1   κ   P0 P 2κ 0  < 0,95 akkor vki= * R * Tt * 1 −    b, ha 0,53 ≤   Pt   Pt κ −1   P c, ha 0 ≤ 0,53 akkor v*= κ * R * T * ahol T * =0,833*Tt Pt 36. Miért alkalmazunk a kritikus nyomásviszony alatti tartományban Laval-fúvókát? Mekkora ilyen esetben az áramlási sebesség a Laval-fúvóka legszűkebb és kilépő keresztmetszetében? Mert így tovább lehet gyorsítani a gázt, az ellennyomásnak megfelelő és az b, összefüggéssel számolható sebességre. P Akkor alkalmazzuk ha 0 ≤ 0,53 Pt Ilyenkor a legszűkebb keresztmetszetben: v*=a*= lásd egyel fentebb a c, pontban

Kilépő km.-ben: vki= lásd egyel fentebb a b, pontban 37. Magyarázza el a hangsebesség fogalmát! Írja fel a hangsebesség képletét differenciális alakban tetszőleges közegre, illetve izentropikus áramlás esetén légnemű közegre! Elemezze az összefüggéseket! Hangsebesség: Adott egy cső a bal oldali végén dugattyú, első dt időtartama alatt az ahhoz közelebb lévő levegőrészecskék dv sebességű mozgásba jönnek és a levegő nyomása, sűrűsége és hőmérséklete elemi mértékben megnő. Ez a változás akkor megy végbe egy adott keresztmetszetben, ha a jobbra a[m/s] terjedési sebességgel mozgó hullám az adott keresztmetszetet eléri. A hang eleminek tekinthető nyomás hullámok sorozata, ezért a tárgyalt hullám terjedési sebessége a hang terjedési sebességével egyezik meg. Másként fogalmazva a hang a sűrűségváltozás következtében terjedő kis nyomásingadozás eredménye. dp differenciálegyenlet; izentropikus áramlás esetén, gázokra: a= κ * R * T a= dρ Ebből látszik, hogy a hangsebesség egy gázban csak a hőmérséklettől függ. A rendezetlenül mozgó részecskék továbbítják a hullámot. A végzett munka megnöveli a részecskék rendezett és rendezetlen sebességét (hullámot hoz létre) amit egymásnak továbbadnak, egy csak T-től függő sebességgel, a hangsebességgel.

-17-

Áramlástan minimum tételek

38. Ismertesse a felületi feszültség fogalmát, és mondjon példát olyan jelenségekre, ahol a felületi feszültség szerepet játszik! A folyadékmolekulák közt a távolság függvényében vonzó- vagy taszítóerő lép fel. A légnemű közegtől eltérően, mivel a molekulák közti távolság kisebb a cseppfolyósnál így vonzóerő itt szerepet játszik. A belső molekulákra minden irányból hatnak ezek az erők, de a határoló felületen lévők esetén a szomszédos molekulák hatása kiegyensúlyozatlan. Az egyik oldalról vonzás, de a másik oldalról a levegő nem vonzza úgy. A kiegyenlítetlen erők eredményeként felületi feszültség keletkezik, ami össze akarja húzni a felszínt, ami így rugalmas hártya ként viselkedik. Pl.: vízen rohangászó rovarok, vagy buborékoknál túlnyomás. F= 2*L*σ ahol L a keret szélessége, F a húzóerő, σ az egységnyi L-re jutó felületi feszültségből származó erő [N/m] 39. Ismertesse a kavitáció fogalmát, és mondjon rá példát a műszaki életből! Hogyan lehet a kavitációt megszüntetni? Áramló folyadékban a sebesség megnő, lecsökken a helyi nyomás, ami ha a telített gőznyomásig csökken, gőzbuborékok keletkeznek, ami nagyobb nyomású helyre kerül és összeroppan→ kavitációs erózió. Csökkenteni lehet az áramló közegek nyomásának növelésével vagy sebesség csökkentés vagy a berendezés süllyesztésével. 40. Ismertesse a Thomson illetve a Helmholtz I. és II. örvénytételeket!

Thomson-tétel: d v * ds = 0 azt mondja ki, hogy a cirkuláció időben nem változik dT ∫ Potenciálos erőtérbe igaz ahol a sűrűség állandó vagy csak a nyomás függvénye. Helmholtz-I: ∫ v * ds = ∫ rotvdA = 0 A folyékony örvényvonalak ugyanazon folyadékrészekből állnak.

Helmholtz-II: ∫ rotvdA = áll Egy örvénycső nem fejeződhet be áramló közegben: vagy zárt gyűrűt alkot A

vagy az áramlási tér határáig ér.

-18-