1 101
+
1 102
+
1 103
+ ... +
1 200
< 12 .
1
4. Az ´ abr´an egy trap´ez k´et p´arhuzamos oldal´anak felez˝opontj´at k¨ot¨ott¨ uk ¨ ossze a szemk¨ozti cs´ ucsokkal. Igazold, hogy a vonalk´azott ter¨ ulet egyenl˝o a pontozott ter¨ ulettel!
Melyik sz´am ´ all a 10., a 20., az n-edik sor v´eg´en? Mennyi a 10., a 20., az n-edik sorban ´ ıt´asodat indokold! all´o sz´amok ¨ ´ osszege? All´
3. Vizsg´ald meg a k¨ovetkez˝o sz´am-h´aromsz¨oget:
2. Egy 1200 m hossz´ u k¨or alak´ u versenyp´aly´an k´et ker´ekp´aros egyszerre indul el a rajtvonalr´ol, ellenkez˝o ir´anyban. Am´ıg az egyik 300 m-t tesz meg, addig a m´asik 400 m-t. H´any k¨ort tesznek meg, am´ıg u ´jra a rajtvonalon tal´alkoznak?
1. Egy tetsz˝oleges k´etjegy˝ u sz´am ut´an ´ırjunk egy null´at, majd u ´jra a k´etjegy˝ u sz´amot. Mutasd meg, hogy az ´ıgy kapott ¨otjegy˝ u sz´am mindig oszthat´o 11-gyel ´es 13-mal is!
1991. ´ evi verseny, 2. nap
4. Egy s´ık terepen szeretn´enk megm´erni az abr´an l´athat´o DC t´avols´agot, de a C pont hozz´a´ f´erhetetlen. Meg tudtuk m´erni az AB t´avols´agot ´es az ´ abr´an megadott sz¨ogeket, a B ´es A pontokn´al der´eksz¨og van. Mekkora a CD t´avols´ag?
3. Egy h´aromsz¨og h´arom cs´ ucsa k¨or¨ ul h´arom, egym´ast p´aronk´ent ´erint˝o k¨ort rajzoltunk. Mekkor´ak a k¨or¨ok sugarai, ha a h´aromsz¨og oldalai 11, 12, 15 cm?
2. Egy b´alon 42-en vettek r´eszt. Az els˝o l´any elmondta, hogy 7 fi´ uval t´ancolt, a m´asodik l´any 8-cal, a harmadik 9-cel, . . . , ´es v´eg¨ ul az utols´o l´any minden fi´ uval t´ancolt. H´any fi´ u volt a b´alon?
1. Bizony´ıtsd be, hogy
1991. ´ evi verseny, 1. nap
KMBK orsz´ agos d¨ ont˝ o, 6. oszt´ alyosok versenye
2
4. Az ABCD n´egyzet AB oldal´ara befel´e megszerkesztj¨ uk az AP B szab´alyos h´aromsz¨oget, BC oldal´ara pedig kifel´e a BRC szab´alyos h´aromsz¨oget. Igazoljuk, hogy D, P ´es R egy egyenesre illeszkedik!
3. Egy utca egyik oldal´an 12 h´az ´all egy sorban, k´et-k´et szomsz´edos h´az t´avols´aga 100 m. Egy v´allalkoz´o egy z¨olds´eg´arus´ıt´o pavilont akar ´ep´ıteni erre az oldalra. Az ´ep´ıt´esi enged´elyt azzal a felt´etellel kapja meg, hogy oda kell ´ep´ıtenie a pavilont, ahonnan sz´am´ıtva az utca ezen az oldal´an ´all´o ¨osszes h´az t´avols´ag´at lem´erve ´es ezeket ¨osszeadva, a legkisebb sz´amot kapunk (k´et h´az t´avols´ag´at kapuinak k¨ozep´enek t´avols´ag´aval m´erj¨ uk). Hov´a ´ep´ıti a pavilont?
2. Egy t´eglalap oldalai 8 ´es 18 egys´eg. Hogyan kell k´et darabra v´agni u ´gy (nem felt´etlen¨ ul egy szakasszal), hogy a k´et darabb´ol egy n´egyzetet lehessen ¨ossze´all´ıtani?
1. Melyik az a n´egyjegy˝ u sz´am, amely egy eg´esz sz´am n´egyzete ´es az els˝o k´et jegye is egyenl˝o, meg az utols´o k´et jegye is egyenl˝o?
1992. ´ evi verseny, 2. nap
4. Adott egy n´egyzet, melynek ´atl´oja 2 egys´eg. Melyik az a legkisebb d sz´am, amelyre igaz, hogy b´arhogyan vesz¨ unk fel ¨ot pontot a n´egyzet belsej´eben, vagy a ker¨ ulet´en, mindig kiv´alaszthat´o k¨oz¨ ul¨ uk k´et olyan pont, amelyek t´avols´aga kisebb, vagy egyenl˝o, mint d?
3. Egy h´aromsz¨og oldalai 8, 13 ´es 17 egys´eg. A h´aromsz¨ogbe ´ırt k¨or ´erint´esi pontja a 8 hossz´ us´ag´ u oldalt k´et r´eszre osztja. Mekkora ennek a k´et r´esznek az ar´anya?
2. Egy szab´alyos h´aromsz¨og cs´ ucsainak kisz´ınez´es´ehez ¨ot sz´ın ´all rendelkez´es¨ unkre. H´anyf´elek´eppen sz´ınezhet¨ unk, ha minden cs´ ucsot kisz´ınez¨ unk ´es a t¨ ukr¨oz´essel vagy elforgat´assal egym´asba vihet˝o kisz´ınez´eseket nem tekintj¨ uk k¨ ul¨onb¨oz˝onek?
1. Ki lehet-e fizetni 99 Ft-ot csak 1, 2 ´es 5 Ft-os p´enz´erm´ekkel u ´gy, hogy ¨osszesen 22 p´enzdarabot haszn´alunk fel ´es nem kell visszaadni? Ha igen, h´anyf´elek´eppen?
1992. ´ evi verseny, 1. nap
KMBK orsz´ agos d¨ ont˝ o, 6. oszt´ alyosok versenye
3
4. Van-e olyan pozit´ıv eg´esz k sz´am, amelyre igaz, hogy k + 5, k + 7 ´es k + 15 egyszerre pr´ımsz´amok?
3. H´arom egym´ast k¨ovet˝o p´aratlan sz´amot ¨ osszeszoroztunk, majd a kapott eredm´enyt megszoroztuk 5-tel. ´Igy egy k¨ovetkez˝o alak´ u hatjegy˝ u sz´amot kaptunk: ABABAB, ahol A ´es B sz´amjegyek. Mi volt az eredeti h´arom p´aratlan sz´am?
2. Egy h´aromsz¨og egyik sz¨oge 20◦ , m´asik sz¨oge 60◦ . Mutasd meg, hogy a 60◦ -os sz¨og cs´ ucs´an ´ athalad´o alkalmas egyenessel a h´aromsz¨og k´et egyenl˝o sz´ar´ u h´aromsz¨ogre bonthat´o!
1. Az apa ´es k´et fia egy¨ utt 51 ´evesek. Az apa 6-szor annyi ´eves, mint a k´et fi´ u ´eletkora sz´amjegyeinek ¨ osszege. H´any ´eves az apa?
1993. ´ evi verseny, 2. nap
4. K´et padon 6–6 gyerek u ¨lt. Valamennyien k¨ ul¨onb¨oz˝o ´eletkor´ uak (az ´eletkorok eg´esz sz´amok), ´es az egyik padon u ¨l˝o gyerekek ´eletkor´anak osszege ´es szorzata is megegyezik a m´asik padon u ¨ ¨l˝ok ´eletkor´anak ¨osszeg´evel ´es szorzat´aval. A legid˝osebb gyerek 16 ´eves. H´any ´evesek azok a gyerekek, akik vele egy padon u ¨lnek?
3. H´anyad r´esze a n´egyzet ter¨ ulet´enek a h´aromsz¨og ter¨ ulete? (A megjel¨olt pontok a n´egyzet oldalait n´egy-n´egy egyenl˝o r´eszre osztj´ak.)
2. Janu´arban 3 vas´arnap esett p´aros sorsz´am´ u napra. A h´et melyik napj´ara esett janu´ar 20-a?
1. Melyik az a pozit´ıv eg´esz sz´am, amely a sz´amjegyei ¨osszeg´evel kisebb a 328-n´al?
1993. ´ evi verseny, 1. nap
KMBK orsz´ agos d¨ ont˝ o, 6. oszt´ alyosok versenye
4
3. Adott 12 darab 1 egys´eg hossz´ u gyufasz´al. K´esz´ıts ezek felhaszn´al´as´aval olyan soksz¨oget, amelynek ter¨ ulete 4 (ter¨ ulet)egys´eg ´es ker¨ ulete 12 egys´eg! 4. Az 1, 2, 3, 4, 5 sz´amjegyekkel (gondolatban) elk´esz´ıtj¨ uk az ¨osszes ¨otjegy˝ u, k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´amjegyekb˝ol ´all´o, t´ızes sz´amrendszerbeli sz´amot. Van-e ezek k¨oz¨ott k´et olyan sz´am, hogy egyik oszt´oja a m´asiknak?
1. A k¨ovetkez˝o szorzat eredm´eny´et pr´ımsz´amok hatv´any´anak szorzata alakj´aban ´ırjuk fel. Mennyi lesz ebben a 2 kitev˝oje? 31 · 32 · 33 · . . . · 59 · 60 2. N´egy szakasszal legfeljebb 2 egym´asba nem ny´ ul´o h´aromsz¨oget tudunk rajzolni Legfeljebb h´any, egym´asba nem ny´ ul´o h´aromsz¨oget tudunk rajzolni 5 ´ 6-tal? szakasszal? Es
1994. ´ evi verseny, 2. nap
3. H´anyf´elek´eppen v´alaszthatunk ki 1 ´es 20 k¨oz¨ott 2 eg´esz sz´amot u ´gy, hogy ¨osszeg¨ uk p´aros legyen? 4. Egy szab´alyos h´aromsz¨oget k¨onnyen fel tudunk bontani 4 szab´alyos h´aromsz¨ogre ´ıgy! A megjel¨olt pontok, amiket ¨osszek¨ot¨ott¨ unk, az oldalfelez˝o pontok. Felbonthat´o-e egy szab´alyos h´aromsz¨og 6 (nem felt´etlen¨ ul egybev´ag´o (egyforma)) szab´alyos ´ 8 szab´alyos h´aromsz¨ogre? h´aromsz¨ogre? Es
1. Figyeld meg a k¨ovetkez˝o ¨osszead´asokat: 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5, 1353 = 13 + 14 + 15 + . . . + 52 + 53, 133533 = 133 + 134 + . . . + 532 + 533. Mennyit kapunk, ha 1333-t´ol 5333-ig ¨osszeadjuk az eg´esz sz´amokat? ´ Altal´ anos´ıts! 2. Adott az ABC egyenl˝o sz´ar´ u h´aromsz¨og (AC = BC), ´es ennek BC sz´ar´an a D ´es E pontok u ´gy, hogy DA = DE ´es DAB 6 = CAE 6 teljes¨ ul. Mekkora az EAB 6 ?
1994. ´ evi verseny, 1. nap
KMBK orsz´ agos d¨ ont˝ o, 6. oszt´ alyosok versenye
5
4. A Fibonacci-sorozat els˝o k´et eleme: 1, 1; a tov´abbi elemeket u ´gy kapjuk, hogy az el˝oz˝o k´et elemet ¨ osszeadjuk: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . . Bizony´ıtsuk be, hogy a sorozat minden ¨ ot¨odik eleme oszthat´o 5-tel!
3. Egy rombusz tompasz¨og˝ u cs´ ucs´ab´ol indul´o k´et magass´agvonalnak az oldalakkal val´o metsz´espontjait ¨ osszek¨ot˝o szakasz a rombusz hosszabbik ´ atl´oj´anak fele. Mekkor´ak a rombusz sz¨ogei?
2. J´oska ´es Berci — egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul — kir´andulni indultak. Kider¨ ult, hogy egyforma ideig voltak t´avol, egyenl˝o t´avols´agot tettek meg, ´es u ´tk¨ozben mindketten megpihentek. Tudjuk m´eg, hogy J´oska k´etszerannyi ideig volt u ´ton, mint amennyit Berci pihent, Berci pedig h´aromszorannyi ideig volt u ´ton, mint ameddig J´oska pihent. Melyik¨ uk haladt gyorsabban?
1. H´any k¨ ul¨onb¨oz˝o olyan pozit´ıv eg´eszekb˝ol ´ all´o sz´amh´armas van, amelyeknek ¨ osszege 60? (A sz´amok k¨ ul¨onb¨oz˝o sorrendje nem sz´am´ıt k¨ ul¨onb¨oz˝onek.)
1995. ´ evi verseny, 2. nap
4. Egy t´eglalap ker¨ ulet´et centim´eterekben m´erve eg´esz sz´am fejezi ki. Kider¨ ult, hogy ugyanez az eg´esz sz´am mutatja meg azt is, h´any 1 cm oldal´ u kis n´egyzettel rakhat´o ki pontosan a t´eglalap ter¨ ulete. Mekkor´ak lehetnek a t´eglalap oldalai?
3. Egy h´ urtrap´ezt (szimmetrikus trap´ezt) az egyik ´atl´oja k´et egyenl˝o sz´ar´ u h´aromsz¨ogre bont. Mekkor´ak a trap´ez sz¨ogei?
6
4. Igaz-e, hogy 19952 + 21995 ´es 1995 legnagyobb k¨oz¨os oszt´oja 1? ´ All´ıt´asodat indokold!
3. Egy kocka minden lapj´at kilenc egybev´ag´o n´egyzetre bontjuk ´es a kapott kis n´egyzeteket kisz´ınezz¨ uk a k¨ovetkez˝o m´odon. B´armely k´et olyan kis n´egyzet, amelynek van k¨oz¨os oldala, k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´ın˝ u legyen. Legal´abb h´any sz´ın sz¨ uks´eges a sz´ınez´eshez?
2. Pap´ırb´ol kiv´agtak n´eh´any egybev´ag´o (egyforma) szab´alyos h´aromsz¨oget ´es mindegyiknek a cs´ ucs´ara r´a´ırt´ak sorra az 1, 2, 3 sz´amokat. ´ az, hogy El˝ofordulhat-e, hogy a cs´ ucsokra ´ırt sz´amok ¨osszege 1996? Es 1998?
1. Fejts¨ uk meg a k¨ovetkez˝o szorz´asokat! Azonos bet˝ uk azonos sz´amjegyeket, k¨ ul¨onb¨oz˝o bet˝ uk k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´amjegyeket jelentenek mindk´et szorz´asban: M · IKM = KM BK, IB · BL = KM BK.
1996. ´ evi verseny, 2. nap
4. Egy kis utca egyik oldal´an egym´ast´ol egyenl˝o t´avols´agra 15 h´az a´ll. Egy aut´obuszmeg´all´ot u ´gy akarnak elhelyezni ezen az oldalon, hogy az egyes h´azakt´ol az aut´obuszmeg´all´ohoz vezet˝o utak hossz´at ¨osszeadva a lehet˝o legkisebb legyen az ¨osszeg. Hova helyezz´ek az aut´obuszmeg´all´ot?
3. Igaz-e, hogy minden konvex kilenc-sz¨ognek van k´et olyan ´atl´oja, amelyek sz¨oge 7◦ -n´al kisebb?
2. Adott egy hegyessz¨og ´es sz´arai k¨ozt k´et pont, P ´es Q. Hogyan kell kijel¨oln¨ unk a sz¨og k´et sz´ar´an az X ´es Y pontokat, hogy a P X + XY + Y Q szakaszhosszak ¨osszege a legkisebb legyen?
1. Az A k´etjegy˝ u pozit´ıv eg´esz sz´amr´ol tudjuk, hogy b´armelyik pozit´ıv eg´esz kitev˝oj˝ u hatv´any´anak utols´o k´et sz´amjegy´eb˝ol alkotott sz´am A-val egyenl˝o. Mi lehet A?
1. A 2, 3, 6 sz´amok ´erdekes tulajdons´aga, hogy ¨osszeg¨ uk 11 ´es ´ ıtsuk el˝o a 24-et ´es a 31-et reciprokaik ¨ osszege: 12 + 13 + 16 = 1. All´ is olyan pozit´ıv eg´eszek ¨ osszegek´ent, amelyeknek reciprokait ¨osszeadva 1-et kapunk!
2. Igazoljuk, hogy a 376 b´armely pozit´ıv eg´esz kitev˝oj˝ u hatv´anya 376-ra v´egz˝odik!
1996. ´ evi verseny, 1. nap
KMBK orsz´ agos d¨ ont˝ o, 6. oszt´ alyosok versenye
1995. ´ evi verseny, 1. nap
KMBK orsz´ agos d¨ ont˝ o, 6. oszt´ alyosok versenye
· 315
18
· 417 ?
20
1. Van 23 darab k´arty´ank, amelyekre fel´ırtuk a pozit´ıv eg´esz sz´amokat 1-t˝ol 23-ig. K´et csoportra akarjuk osztani a k´arty´akat u ´gy, hogy az egyik csoportba tartoz´okra ´ırt sz´amok ¨osszege 17-tel nagyobb a m´asik csoportba rakott k´arty´akra ´ırt sz´amok ¨osszeg´en´el. Megoldhat´o-e ez a csoportos´ıt´as?
1. Melyik lehet az a k´et pozit´ıv eg´esz sz´am, amelyek ¨osszege 168 ´es legnagyobb k¨oz¨os oszt´oja 24?
7
4. Egy kock´at s´ıkokkal 25 r´eszre akarunk sz´etv´agni. Legal´abb h´any s´ık sz¨ uks´eges ehhez?
ul a 3. Adott egy 60◦ -os sz¨og sz´arai k¨oz¨ott egy P pont. Azok k¨oz¨ h´aromsz¨ogek k¨oz¨ ul, amelyeknek egyik cs´ ucsa P , m´asik k´et cs´ ucsa pedig a sz¨og egy-egy sz´ar´an van, melyiknek lesz legkisebb a ker¨ ulete?
8
4. Melyik az a legkisebb pozit´ıv eg´esz sz´am, amelynek fele egy eg´esz sz´am n´egyzete, ¨ot¨ode pedig egy eg´esz sz´am k¨obe (harmadik hatv´anya)?
3. Az A ´es B pontok az e egyenes k¨ ul¨onb¨oz˝o oldalain vannak, k¨ ul¨onb¨oz˝o t´avols´agra. Az e egyenes melyik P pontj´ara igaz, hogy az AP ´es BP t´avols´agok k¨ ul¨onbs´ege a legkisebb?
2. H´any olyan n´egyjegy˝ u sz´am van, amelyben csak 2 k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´amjegy fordul el˝o?
1998. ´ evi verseny, 2. nap
1997. ´ evi verseny, 2. nap
2. Felbonthat´o-e k´et egym´ast k¨ovet˝o pozit´ıv eg´esz sz´am szorzat´ara 311 + 1?
4. Mutassuk meg, hogy egy t´eglalapot fel lehet darabolni n t´eglalapra u ´gy, hogy a darabok k¨oz¨ ul semelyik kett˝o nem alkot (az eredeti hely´en) egy t´eglalapot, ha n = 5, 6, 7 ´es 8.
3. Melyek azok a t´ızes sz´amrendszerben fel´ırt h´aromjegy˝ u sz´amok, amelyekre igaz, hogy egyenl˝ok sz´amjegyeik ¨osszeg´enek 12-szeres´evel?
11, 111, 1111, 11111, . . .
4. H´any olyan 1000-n´el kisebb pozit´ıv eg´esz sz´am van, amelyik nem oszthat´o sem 5-tel, sem 7-tel?
3. Az ABCD n´egyzet oldala 5 egys´eg. Az AB oldalon a P pont A-t´ol 1, a BC oldalon a Q pont B-t˝ol 1 ´es a CD oldalon az R pont a C-t˝ol 2 egys´eg t´avols´agra van. Sz´am´ıtsd ki a P QR h´aromsz¨og ter¨ ulet´et!
246
16
2. Vannak-e n´egyzetsz´amok a k¨ovetkez˝o sorozatban?
1. H´anyf´elek´eppen v´alaszthatunk ki h´arom k¨ ul¨onb¨oz˝o, 30-n´al nem nagyobb pozit´ıv eg´esz sz´amot u ´gy, hogy ¨osszeg¨ uk p´aros legyen?
1. Melyek azok a p ´es q pr´ımsz´amok, amelyekre p + q is ´es p − q is pr´ımsz´am?
2. Milyen sz´amjegyre v´egz˝odik a k¨ovetkez˝o szorzat:
1998. ´ evi verseny, 1. nap
KMBK orsz´ agos d¨ ont˝ o, 6. oszt´ alyosok versenye
1997. ´ evi verseny, 1. nap
KMBK orsz´ agos d¨ ont˝ o, 6. oszt´ alyosok versenye
9
3. Egy k¨orlemezt n´egy ´ atm´er˝oj´evel 8 egybev´ag´o k¨orcikkre boontunk. Mindegyik k¨orcikkbe egy h´aromjegy˝ u sz´amot kell ´ırni u ´gy, hogy csak az 1 ´es 2 sz´amjegyeket haszn´alhatjuk fel, ´es k´et szomsz´edos k¨orcikkbe ´ırt sz´am csak egy helyi ´ert´eken k¨ ul¨onb¨ozhet. Elv´egezhet˝o-e ez a be´ır´as, ha igen, hogyan? Fogalmazzuk meg, ´es oldjuk is meg a megfelel˝o feladatot 8 ´atm´er˝ovel ´es 4-jegy˝ u sz´amokkal! ´ 4. H´et horg´asz ¨ osszesen 100 halat fogott. Erdekes, hogy mindegyik¨ uknek k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´am´ u hal akadt a horg´ara. Mutassuk meg, hogy van k¨ozt¨ uk h´arom olyan horg´asz, akik egy¨ utt legal´abb 50 halat fogtak!
2. Legfeljebb h´any r´eszre osztja fel a s´ıkot k´et k¨or, h´arom k¨or, ´es n´egy k¨or?
1. Melyek azok a t´ızes sz´amrendszerben fel´ırt h´aromjegy˝ u sz´amok, amelyeket ha ugyanezekkel a sz´amjegyekkel ugyanilyen sorrendben a 15-¨os sz´amrendszerben olvasunk, akkor ´eppen 2-szer akkora sz´amot kapunk?
1999. ´ evi verseny, 2. nap
4. El kell sz´all´ıtani n´eh´any lez´art l´ad´aban l´ev˝o ´ arut. A sz´all´ıt´ast u ´gy kell megszervezni, hogy h´aromtonn´as teheraut´okkal egyszerre kell az ¨ osszes l´ad´at elvinni (a 3 tonn´as teheraut´o legfeljebb 3 tonn´at tud elvinni). Csak annyit tudunk, hogy a l´ad´ak egy¨ uttes s´ ulya 10 tonna, ´es egyik l´ada sem nehezebb 1 tonn´an´al. Minim´alisan h´any teheraut´ora van sz¨ uks´eg?
3. X ´es Y a m´ ult sz´azadban sz¨ ulettek, k¨ ul¨onb¨oz˝o ´evekben. K´es˝obb mindketten elmondhatt´ak magukr´ol, hogy n ´eves voltam az n2 ´evsz´ammal jel¨olt ´evben. Melyik ´evben sz¨ uletett X ´es Y ?
2. Az ABCD n´egyzet oldala 3 egys´eg. Az AB oldal A-hoz k¨ozelebbi harmadol´opontja E, a BC oldal B-hez k¨ozelebbi harmadol´opontja F ´es a DA oldal D-hez k¨ozelebbi harmadol´opontja G. Mennyi az EF G h´aromsz¨og ter¨ ulete?
1. Melyik az a h´arom pr´ımsz´am, amelyekre igaz, hogy a szorzatuk ´eppen 5-sz¨or¨ose az ¨ osszeg¨ uknek?
1999. ´ evi verseny, 1. nap
KMBK orsz´ agos d¨ ont˝ o, 6. oszt´ alyosok versenye
10
4. Anti ´es B´ela egy¨ utt elv´allaltak egy bizonyos munk´at, amit ketten 24 nap alatt v´egeztek el. Anti csak 23 annyit v´egzett, mint B´ela. H´any nap alatt v´egezt´ek volna el ezt a munk´at k¨ ul¨on-k¨ ul¨on?
3. Igaz-e, hogy b´armely konvex nyolcsz¨ognek van k´et olyan ´atl´oja, amelyek legfeljebb 12◦ -os sz¨oget z´arnak be?
2. Egy t´abl´ara fel´ırt´ak 1-t˝ol 2002-ig az eg´esz sz´amokat. Egy l´ep´esben b´armelyik k´et sz´amot let¨or¨olhetj¨ uk, ´es hely¨ ukre az ¨osszeg¨ uket, vagy a k¨ ul¨onbs´eg¨ uket ´ırhatjuk. El˝ofordulhat-e, hogy 2001 ilyen l´ep´es ut´an a 2 marad a t´abl´an?
1. Az ¨osszes 0-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´amjegyet pontosan egyszer haszn´alva ´ırjunk fel olyan pr´ımsz´amokat (t¨orzssz´amokat), amelyeknek az ¨osszege a lehet˝o legkisebb!
2000. ´ evi verseny, 2. nap
4. H´arom ´es n´egy ´ora k¨oz¨ott pontosan h´any ´orakor z´ar be az ´ora kis ´es nagy mutat´oja ´eppen 180◦ -os sz¨oget?
3. Fel lehet-e rakni 7 darab 3 tonn´as teherb´ır´as´ u aut´ora a k¨ovetkez˝o 50 l´ad´at, amelyek t¨omege sorra: 370 kg, 372 kg, 374 kg, 376 kg, . . . , 468 kg?
2. Egy kock´at 4 s´ıkkal legal´abb ´es legfeljebb h´any r´eszre lehet v´agni? Feltessz¨ uk, hogy mind a 4 s´ık belev´ag a kock´aba.
1. Milyen sz´amjegyeket kell ´ırni a ?-ok hely´ere, hogy a t´ızes sz´amrendszerben fel´ırt 32 ? 35717? sz´am oszthat´o legyen 72-vel?
2000. ´ evi verseny, 1. nap
KMBK orsz´ agos d¨ ont˝ o, 6. oszt´ alyosok versenye
11
4. Egy h´aromsz¨og k´et sz¨oge 20◦ ´es 60◦ . Mutass´atok meg, hogy a h´aromsz¨og egyetlen egyenessel k´et egyenl˝osz´ar´ u h´aromsz¨ogre bonthat´o!
3. ´Irj´atok le a mai d´atumot ´ıgy: 20010627. A kapott nyolcjegy˝ u sz´am sz´amjegyeit ´ırj´atok m´as sorrendbe (mindegy, milyenbe): 21600207. A k´et sz´am k¨oz¨ ul a nagyobbikb´ol vonj´atok ki a kisebbet: 1598580. Adj´atok ¨ ossze a kapott sz´am sz´amjegyeit: 36, majd a most kapott sz´am jegyeit: 9. Induljatok ki a sz¨ ulet´esetek d´atum´ab´ol ´es v´egezz´etek el ugyanezeket a m˝ uveleteket. Mit kaptatok? Magyar´azz´atok meg!
2. A n´egyzetr´acsos (kock´as) pap´ıron megrajzoltak egy olyan t´eglalapot, amelynek oldalai r´acsegyeneseken vannak, cs´ ucsai r´acspontok, ´es oldalai 8 ´es 10 egys´eg hossz´ uak (egy egys´eg egy r´acsn´egyzet oldal´anak hossza). H´any n´egyzet l´athat´o ebben a t´eglalapban (olyan, amelynek oldalai r´acsegyeneseken vannak, cs´ ucsai r´acspontok)?
1. N´egy ´ ora ut´an h´any perc m´ ulva fedi el˝osz¨or egym´ast a percmutat´o ´es az o´ramutat´o?
2001. ´ evi verseny, 2. nap
4. Az ABC der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og A cs´ ucs´aban 30◦ -os, B cs´ ucs´a◦ ban 60 -os sz¨og van. A h´aromsz¨oget t¨ ukr¨ozz¨ uk az AB ´ atfog´o egyenesre, majd az ´ıgy kapott ACBC1 n´egysz¨oget u ´jra t¨ ukr¨ozz¨ uk a CC1 ´atl´oj´ara. A t¨ uk¨ork´ep az A1 CB1 C1 n´egysz¨og. H´anyad r´esze az ACA1 C1 n´egysz¨og ter¨ ulet´enek a CBC1 B1 n´egysz¨og ter¨ ulete?
3. H´any olyan n´egyjegy˝ u pozit´ıv eg´esz sz´am van, amely csupa k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´amjegyb˝ol ´ all?
2. Igazoljuk, hogy ha egy konvex kilencsz¨ognek nincs k´et p´arhuzamos ´ atl´oja, akkor van k´et olyan ´ atl´o, amelyeknek egyenese 7◦ -n´al kisebb sz¨oget z´ar be egym´assal!
1. Az a term´eszetes sz´amr´ol tudjuk, hogy oszthat´o 5-tel ´es 49-cel is, tov´abb´a ¨ osszesen 10 pozit´ıv oszt´oja van (1-et ´es a-t is bele´ertve). Mi lehet az ´ert´eke?
2001. ´ evi verseny, 1. nap
KMBK orsz´ agos d¨ ont˝ o, 6. oszt´ alyosok versenye
