12. modul. Forgásszög szögfüggvényei

MATEMATIKA „A”

10. évfolyam

12. modul Forgásszög szögfüggvényei

Készítette: Csákvári Ágnes

2

Matematika „A” 10. évfolyam

TANÁRI ÚTMUTATÓ

A modul célja

A hegyesszög szögfüggvényeinek átismétlése. A forgásszög fogalmának elmélyítése. A szögfüggvények általánosítása, grafikonjaik elkészítése függvény - transzformációkkal. Egyszerű trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Szögfüggvények alkalmazása a területszámításban.

Időkeret

9+1 óra

Ajánlott korosztály

10. évfolyam

Modulkapcsolódási pontok

Tágabb környezetben: hétköznapi szituációk, fizikai folyamatok Szűkebb környezetben: Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek. Függvények. Vektorok, koordinátageometria. Geometriai alakzatok. Megelőző tananyag: Hegyesszög szögfüggvényei és összefüggéseik. Függvények jellemzése, tulajdonságai. Egyenletek, egyenlőtlenségek. Háromszög területe. Középponti szög, kör jellemzői és tulajdonságai. Vektorok. Geometriai transzformációk. Követő tananyag: Addíciós-tételek, szinusz-, koszinusz-tétel. Trigonometrikus összefüggések, egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek. Koordináta-geometria. Analízis elemei.

A képességfejlesztés fókuszai

Számolás, számlálás, számítás: A függvényértékek kiszámítása. A függvények tulajdonságainak meghatározása. A grafikus megjelenítés a függvényértékek közötti reláció meghatározását képi formában is megerősíti. A függvények zérushelyének, szélsőértékének kiszámítása. 360°-nál nagyobb illetve negatív forgásszögeknek megfelelő 0°-360° közötti szögek kiszámítása. Átváltás fokból radiánba és vissza. Mennyiségi következtetés: A függvényértékek közötti reláció meghatározása. A körív- és a szög nagysága egyenesen arányos. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Forgásszögek szögfüggvény-értékének leolvasása koordináta-rendszerben. Forgásszög helyének meghatározása a szögfüggvényértéke ismeretében. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: függvények grafikonjának összehasonlítása, a geometriai transzformációk alkalmazása függvény-transzformációkban, egyenlőtlenségek megoldáshalmazának megállapítása,

TANÁRI ÚTMUTATÓ

12. modul: Forgásszög szögfüggvényei

3

Induktív, deduktív következtetés: Konkrét számokkal illetve összefüggésekkel megadott függvényekről átlépés az általános képlettel megadottakra, illetve az általánosítás után azok konkrét alkalmazása. A függvényértéknek megfelelő forgásszög kiszámítása után az összes megoldás meghatározása a periódus figyelembevételével.

4


TANÁRI ÚTMUTATÓ

TÁMOGATÓ RENDSZER: 12.1; 12.2; 12.3 és 12.4 kártyakészlet, 12.5; 12.6; 12.7; 12.8 és 12.9 fóliakészlet, röpdolgozat megoldásokkal, 12.10 szakértői mozaik anyaga, képek, grafikonok, függvénytáblázat, számológép.

Internet címek (2006-ban): I. A szögfüggvények kialakulása 1. http://www.sulinet.hu/cgibin/db2www/ma/et_tart/lst?kat=Aeav&url=/eletestudomany/archiv/1999/9922/dia koldal/matek/matemati.htm 2. http://www.jgytf.u-szeged.hu/tanszek/matematika/speckoll/2001/pi/hindu.html II. Függvényábrázolás transzformációkkal 1. http://www.ies.co.jp/math/java/trig/ 2. http://mathdemos.gcsu.edu/family_of_functions/trig_gallery.html

TANÁRI ÚTMUTATÓ


5

ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK: A függvény

Egyváltozós valós függvények

Függvények grafikonja, függvény transzformációk

Függvények jellemzése

Kerület, terület

Trigonometrikus egyenletek

Középszint Tudja a szögfüggvények általános definícióját. Tudja és alkalmazza a szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítő szögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés. Tudjon hegyesszögek esetén szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Ismerje és alkalmazza a nevezetes szögek (30°, 45°, 60°) szögfüggvényeit. Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az alábbi hozzárendeléssel megadott (alapvető) függvényeket: f (x) = sin x; g (x) = cos x; h (x) = tg x. Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról. Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [f(x) + c; f(x+c); c·f(x); f(cx)]. Egyszerű függvények jellemzése (grafikon alapján) értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, paritás és periodicitás szempontjából.

Ismerje a kerület és a terület fogalmát. Háromszög területének kiszámítása különböző adatokból: a ⋅ b ⋅ sin γ T= . 2 Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatokat megoldani.

Emelt szint Tudjon szögfüggvényeket kifejezni egymásból.

Tudjon összetett függvényeket képezni a lineáris, abszolútérték, másodfokú négyzetgyök és trigonometrikus függvényekből. Tudja ábrázolni az alapvető függvények transzformáltjainak grafikonját [c·f(ax+b)+d].

Függvények jellemzése korlátosság szempontjából. A függvények tulajdonságait az alapfüggvények ismeretében transzformációk segítségével határozza meg. Használja a konvexség és konkávság fogalmát a függvények jellemzésére. A területképletek bizonyítása.

Tudjon összetett feladatokat megoldani. Tudjon egyszerű trigonometrikus egyenleteket megoldani.

6 Matematika „A” 10. évfolyam

TANÁRI ÚTMUTATÓ

ÓRABEOSZTÁS: 1. óra: 2. óra: 3. óra: 4. óra: 5 – 6. óra: 7 – 8. óra: 9. óra: +1 óra (10.):

Forgásszögek Forgásszögek szinusza, koszinusza; keresés kalkulátorral Egyszerű (definíció alapján megoldható) trigonometrikus egyenletek A háromszög területének kiszámítása két oldal és a közbezárt szög ismeretében Szinusz és koszinusz függvények grafikonjának elkészítése függvénytranszformációkkal, jellemzésük Forgásszögek tangense (kotangense). Tangens (kotangens) függvény ábrázolása, jellemzése. Egyszerű egyenletek megoldása Hegyesszögekre érvényes azonosságok kiterjesztése, számítási feladatok az azonosságok felhasználásával Kiegészítő óra. Trigonometrikus egyenlőtlenségek. Trigonometrikus összefüggések alkalmazása egyenletekben

TANÁRI ÚTMUTATÓ


7

MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek I. Ismétlés, forgásszögek (1 óra) 1. Olvasmány (bevezetés, érdeklődés felkeltése) 2. Szögek mérése (ismétlés)

3. Forgásszögek

Kiemelt készségek, képességek

Szövegértés

Olvasmány

Számolás; induktív, deduktív, kombinatív gondolkodás Induktív, kombinatív gondolkodás; számolás

Mintapélda: 1–3. Feladat: 1–4. Mintapélda 4, 5. Feladat: 5–7. Kártyakészlet: 11.1; 11.2 és 11.3

II. Forgásszögek szinusza/koszinusza (6 óra) 1. Forgásszögek szinusza, koszinusza Becslés, számlálás, mennyiségi következtetés, induktív gondolkodás 2. Egyszerű egyenletek megoldása Becslés, kombinatív gondolkodás, számolás, induktív gondolkodás 3. A háromszög területének kiszámítása Induktív, deduktív két oldal és a közbezárt szög gondolkodás, kombinatív ismeretében gondolkodás, számolás, szövegértés 4. Szinusz és koszinusz függvények Becslés, kombinatív ábrázolása, jellemzése gondolkodás

5. Szinusz és koszinusz függvények ábrázolása függvénytranszformációkkal

Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény

Induktív, deduktív gondolkodás, kombinatív gondolkodás, számolás, szövegértés, becslés

III. Forgásszögek tangense/kotangense (1 óra) 1. Forgásszögek tangense (kotangense) Számolás, induktív gondolkodás 2. Nevezetes szögek szögfüggvényei Számolás, kombinatív 0°–360°-ig gondolkodás, rendszerezés 3. Egyszerű egyenletek megoldása Becslés, kombinatív gondolkodás, számolás, induktív gondolkodás

Mintapélda: 6–10. Feladat: 8–14 Mintapélda: 11–12. Feladat: 15–19. Mintapélda: 13., 14. Feladat:20–25. Röpdolgozat Mintapélda:15., 16. 11.5 fóliakészlet 11.10 szakértői mozaik 11.4 kártyakészlet Fóliakészlet: 11.6–11.9. Mintapélda: 17–19. Feladat: 26–27 Feladat:29., 30. Táblázat Feladat: 28. Feladat: 31–32.

8 Matematika „A” 10. évfolyam 4. Tangens- (kotangens-) függvény ábrázolása függvénytranszformációkkal, jellemzése IV. Azonosságok (1 óra) 1. Hegyesszögekre érvényes azonosságok kiterjesztése 2. Egyszerű feladatok V. Kiegészítő óra (1 óra) 1. Egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása

2. Trigonometrikus egyenletek

TANÁRI ÚTMUTATÓ

Induktív, deduktív gondolkodás, kombinatív gondolkodás, becslés

Szövegértés, induktív gondolkodás Kombinatív gondolkodás, számolás, rendszerezés Kombinatív gondolkodás, számolás, mennyiségi következtetés Kombinatív gondolkodás, számolás

Mintapélda: 20. Feladat: 33.

Mintapélda: 21. Feladat: 34. Mintapélda: 22. Feladat: 35. Mintapélda: 23. Feladat: 36.

TANÁRI ÚTMUTATÓ


9

I. Forgásszögek 1. MATEMATIKA: A SZÖG1 (OLVASMÁNY, RÉSZLETEK) A szög fogalmát valószínűleg a babiloni csillagászok vezették be. Egyedülállóan sikeres innováció volt: a forma vált így mérhetővé, és ezzel megragadható lett a számok nyelvén. Hogy minden háromszögben két derékszögnyi a szögek összege, azt már jóval Eukleidész előtt tudták a hozzáértők. Mára ez nevenincs közhely, s nem gondolunk arra, hogy egyike a tiszta matematika legelső igazi tételeinek. Szerényen állít valamit, aminek érvényességi köre messze túl mutat a tapasztalaton. Egyáltalán nem álmélkodunk el rajta. Korán, talán túl korán közlik velünk az iskolában. Részévé válik annak, ahogy a világot látni véljük. Az elmúlt száz év során ugyanis kiderült: csak emberi léptékre érvényes, a kozmosz és a kvantummechanika geometriája nem euklideszi.

MÉRÉS A szögnek – mint minden mennyiségnek – a méréséhez két dologra van szükség: mérési eljárásra és egységre. A babiloniak a szöget egy olyan körív hosszával mérték, amelynek középpontja a szög csúcsa. Az egység ezután tetszőlegesen választható mint a szöget mérő kör kerületének arányos része. Ennél azóta sincs jobb módszer. A babiloniak több mint háromezer éve osztották 360 egyenlő részre a szöget mérő kört: az így adódó ív jelöli ki az egységnyi nagyságú, 1°-os szöget. A bűvös 360-as szám a babiloni számrendszerből és kozmológiából ered. Amikor szöget mérünk, vagy például 90°-os szögről beszélünk, akkor a Biblia előtti korok csillagászainak, írnokainak eszközeit és nyelvét használjuk, még az ékírásos időkből. Mivel teljesen önkényes, a fok éppen olyan jó egység, mint bármi más. Van azonban két gyakorlati előnye. Egyrészt a csillagászatban gyakori fellépő kicsiny szögek mérőszáma így “emberi” nagyságrendű, másrészt az elemi geometriában megjelenő “nevezetes” szögek mértéke szép egész szám. Használatát a hagyományokhoz való ragaszkodáson túl az is indokolja, hogy több mint ezer éve az arab matematikusok erre az egységre készítették el az első trigonometriai táblázatokat. A szögmérés babiloni egységének nem volt igazi “konkurenciája”, itt nem burjánzott el az egységeknek az a dzsungele, mint a hosszúság vagy a súly mérésekor. Közrejátszhatott ebben az is, hogy szöget nem a piactéren vagy a vásárokban mértek, ez megmaradt a már akkor is a nemzetközi “tudományos-műszaki elit” feladatának. A szöggel mérhető mennyiségek nem voltak, és később sem lettek közvetlenül pénzre válthatók, nem úgy, mint a már említett hosszúság vagy a súlymérés esetében.

AZ ÍVMÉRTÉK A középiskolában találkozunk a szögmérés egy másik egységével, a tudományosan hangzó radiánnal. A definíció világos: 1 radián az a szög, amelyet a méréshez felhasznált kör sugarával (sugár = rádiusz) egyenlő nagyságú ív mér.

1

Élet és Tudomány 1999. 22. szám. Diákoldal. Szerző: Pataki János

10


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Az új egység bevezetésének következménye az, hogy ha egységnyi sugarú kört használunk a méréshez, és így a hosszúságmérés egységére vezetjük vissza a szögmérés egységét, akkor valóban a szögszárak által kimetszett körív hossza a szög mértéke, az ív közvetlenül méri a szöget. A radián bevezetése mintegy szinkronizálja a hosszúság és a szög mérését: egy fontos elv érvényesül az új egység bevezetésekor. Az egyik első következmény, hogy néhány összefüggés leegyszerűsödik: az r sugarú ) ) körből az α radián nagyságú középponti szög α ⋅ r nagyságú ívet és 1) 2 α⋅ r területű körcikket metsz ki. 2

AZ ISKOLÁBAN Az új egység használatát különböző átváltási feladatokkal szokás gyakorolni, a jobb kalkulátorok pedig már automatikusan hajtják végre a megfelelő konverziókat. Ilyenkor jellemző hiba, ha a felhasználó elfeledkezik a gép beállításáról – vagy ami rosszabb, nem törődik vele –, és például radiánban "felejtett” gépével akarja kiszámítani, mennyi cos 60°. Jó esetben meglepődik a gép által közölt – 0.954… értéken – félreértés ne essék: nem ezért érdemes (kell) tudni, hogy például cos 60° = 0,5 –, de még mielőtt elemcserére vagy szervizre gondolna, érdemes ellenőrizni a beállításokat. A két egység egyidejű használatával első ránézésre zavarba ejtő egyenlőségeket kapunk, mint π például 60° = . 3 Ez az egyenlőség természetesen nem a mérőszámok, a 60, π ≈ 1,047 egyenlőségét mondja; nem is illetve a 3 mondhatja. Azt fejezi ki, hogy a két különböző egység felhasználásával mért szögek egyenlők. Hasonló ez a 13 = 1101 “egyenlőséghez”, ahol a bal és a jobb oldalon ugyanannak a számnak a tízes, illetve a kettes számrendszerbeli alakja áll. Az egyenlőség értelmezéséhez itt a számok jelentését is ismerni kell.

FOK VAGY RADIÁN? Mikor melyik egységet érdemes használni? A legfontosabb tanács: ne mindkettőt egyszerre! Egy háromszög keresett szögének nagyságára éppoly jó válasz a 48°, mint a ≈ 0,838 radián. Ha táblázatot használunk, akkor érdemes fokokban kifejeznünk a szöget, az újabb kalkulátorok azonban mindkét egységben használhatók. Igazság szerint az ilyen feladatokban teljesen mindegy, hogy melyik egységet választjuk. Illetlenség azonban egy feladat megoldása közben váltani, vagy más egységben közölni az eredményt, mint ahogyan az adatokat kaptuk például a feladat kitűzésekor. A körben adódó számítási feladatokban a szükséges formulák egyszerűbbek, ha ívmértéket használunk. A körív hosszára vonatkozó összefüggés például fokokban

TANÁRI ÚTMUTATÓ


i=

11

α o ⋅π

⋅r . 180° ) Vegyük észre, hogy a formula úgy kapható meg a már említett i = α ⋅ r eredményből, hogy a szög fokokban megadott mérőszámát radiánba konvertáljuk: π ) α° → α = ⋅α° . 180°

A szögek mérése című részt feledékenyebb tanulók otthoni, önálló feldolgozására ajánljuk. A tanórát az olvasmány elolvasása után – mely feleleveníti a szögmérésre vonatkozó ismereteket – a forgásszög fogalmával folytatjuk.

2. SZÖGEK MÉRÉSE Ahogy az a bevezető olvasmányból is kiderült, a szög nagyságát kétféleképpen határozhatjuk meg. Mindkét esetben egy teljes kört hívunk segítségül. I. A kör középpontjából kiinduló két félegyenes egy szögtartományt, a középponti szöget határozza meg. Ezt a szöget fokokban mérjük. A teljes szög 360°-nak felel meg. 1° a teljes kör 360-ad része. II. A másik esetben nem a középponti szöget mérjük, hanem annak a körívnek a sugárhoz való viszonyát, amelyet a körből a szögszárak metszenek ki. Ez az ívmérték. A mérőszám meghatározásához felhasználjuk, hogy a körív nagysága és a középponti szög nagysága egyenesen arányos. Ezt az arányossági tényezőt nevezzük radiánnak. 1 radián jelenti azt a középponti szöget, amelynél a körív hossza éppen )⎛ i ⎞ a sugárral egyenlő. Jele: α⎜ = ⎟ ⎝ r⎠ Tehát a radián azt mutatja meg, hogy egy adott középponti szöghöz tartozó körív hossza hányszorosa a sugárnak. A teljes szöghöz (360°) tartozó körív (teljes kör) a sugár 2π -szerese. (Ebből adódik a kör kerülete: K = 2rπ ) 360 o o ≈ 57,3o Tehát 360 = 2π rad ⇒ 1 rad = 2π Ez a meghatározás kapcsolatot teremt a fokban mért adatok és a valós számok halmaza között. Megjegyzés: a mértékegységül szolgáló rad szócskát nem szoktuk kiírni. Például: 180° és a 180 nem ugyanazt a szöget jelöli, ugyanis 180° = 3,141592….. radián , míg 180 radián ≈ 10313,25°.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Mintapélda1 Hányszorosa a sugárnak a 47°-hoz tartozó körív? Megoldás: Tudjuk: 180° esetén az ív a sugár π-szerese π Ebből: 1° esetén az ív a sugár -szorosa 180 π -szorosa ≈ 0,82 -szerese. 47° esetén az ív a sugár 47 ⋅ 180 π ) Tetszőleges α szög esetén α = α o ⋅ 180

Mintapélda2 Tudjuk, hogy a sugárnak 1,2-szerese a körív hossza. Hány fokos középponti szöghöz tartozik ez az ívhossz? Megoldás: ) Tudjuk: α = 1,2 . 180° esetén az ív a sugár π-szerese 180 o esetén az ív a sugár 1-szerese π 180 o 1,2 ⋅ ≈ 68,75° a középponti szög. π ) 180 o ) Tetszőleges α radián esetén α o = α ⋅ π Ebből:

Amikor számológéppel számoljuk ki a szög mérték fokban, akkor általában tizedestört alakot kapunk. A csillagászatban, asztrológiában előfordulhat, hogy tizedesjegyek helyett inkább perc és másodperc alak kellene. Van olyan számológép, amely gombnyomásra elvégzi az átváltást, de ha a sajátunkon nincs, nekünk kell átváltani.

Mintapélda3 a) Adjuk meg a 31,28° fok perc másodperc alakját! Megoldás: 31,28°=31°+0,28° Tudjuk: 1°=60’ Ebből: 0,28°=0,28⋅60’=16,8’ Általában addig folytatjuk az átalakítást, amíg el nem fogynak a tizedesjegyek. 16,8’=16’+0,8’. Tudjuk: 1’=60”. (Megjegyzés: 1°=60’=3600”.) Ebből: 0,8’=0,8⋅60’’=48”. A kapott eredményeket visszahelyettesítve kapjuk: 31,28°=31°16’48”. b) Amennyiben a feladat perc másodperc formátumban adta meg az adatot, de például a számológép miatt tizedestört alakra lenne a szükség, a következő eljárás segít: Váltsuk át tizedestörtté a 71°45’13” szöget!

TANÁRI ÚTMUTATÓ


13

Megoldás: o

o

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ Felhasználjuk: 1′ = ⎜ ⎟ valamint 1′′ = ⎜ ⎟ , ⎝ 60 ⎠ ⎝ 3600 ⎠ o

o

⎛ 42 ⎞ ⎛ 13 ⎞ 71°42′13′′ = 71° + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 71,7036° . ⎝ 60 ⎠ ⎝ 3600 ⎠

Feladatok 1. Váltsd át radiánba a következő fokban megadott szögeket! Hozd a legegyszerűbb alakba az eredményt: a) 30°; b) 150°; c) 240°; d) 315°; e) 132°. Megoldás: 30 π π 150π 5π 4π ; b) 150 o = ; c) 240 o = a) 30 o = = ; = 180 6 180 6 3 315π 7 π 132π 11π = ; e) 132 o = d) 315 o = = . 180 4 180 15 2.Váltsd át fokba a következő radiánban megadott szögeket! π 3π 2π b) ; c) ; d) 0,2967; e) 2,3736; f) 1. a) ; 4 2 7 Megoldás: 3π 3 ⋅ 180 o 2π 2 ⋅ 180 o π 180 o c) b) a) = = = 270 o ; = = 45 o ; 51,43o ; 4 4 2 2 7 7 180 o 180 o d) 0,2967 = 0,2967 ⋅ = 17 o ; e) 2,3736 = 2,3736 ⋅ = 136 o ; π π o 180 f) 1 = = 57,3o . π Megjegyzés: Az a) b) és c) feladatban elegendő, ha π helyébe 180°-ot írunk, ugyanis például: π π 180 o 180 o . = ⋅ = 4 4 π 4 3. Alakítsd át a következő fokban és percben megadott szögeket tizedestörtté! a) 36°13’52”; b) 121°36’; c) 201°10’2”. Megoldás: a) 36,23°; b) 121,6°; c) 201,17°. 4. Add meg a következő szögeket fokban percben, s szükséges másodpercben! a) 47,5°; b) 93,12°; c) 134,73°. Megoldás: a) 47°30′; b) 93°7′12″; c) 134°43′48″.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

3. FORGÁSSZÖGEK A továbbiakban rögzítsük a középponti szög egyik szárát. Ez lesz a nyugvó szögszár. A másik pedig a forgó szögszár. Forgassuk ezt a szögszárat a kör középpontja körül. A forgatás nagyságát a forgó szögszár által súrolt tartomány határozza meg. A forgatás iránya pedig a szög előjelét határozza meg: ha az óramutató járásának irányával ellentétes irányba forgatunk, akkor a szög pozitív előjelű. Ha pedig megegyező irányba, akkor a szög negatív előjelet kap. Például: − 60°

+ 60°

Mintapélda4 Ábrázoljuk a következő szögeket! a) 576°; 576° = 360°+216°

b) −1224°. −1224° = −(144°+3⋅360°)

5. Ábrázold a következő szögeket! (Használhatsz szögmérőt is.)

a) 75°;

b) 130°;

c) 194°;

d) 220°;

e) 295°;

g) 540°;

h) 2715°;

i) −30°;

j) −140°;

k) −517°.

Megoldás: a 4. mintapélda alapján.

f) 315°;

TANÁRI ÚTMUTATÓ


15

A most következő feladathoz 4 fős csoportokra lesz szükség. A 11.1 kártyakészlettel megoldandó feladat.

Gyűjtsük össze azokat a forgásszögeket, amelyek ugyanannak a 0° és 360° közé eső szögnek az elforgatottjai. A tanár minden asztalra leteszi írással lefelé fordítva a kártyakészletet összekeverve. Valamelyik tanuló kiosztja a kártyákat. Mindenkinek négyet oszt. A tanulóknak úgy kell az egymásnak megfelelő négy szöget összegyűjteni, hogy 1. egymással nem beszélhetnek, 2. egyszerre csak egy felesleges kártyájukat tehetik az asztal közepére, 3. csak az asztal közepére, írással felfelé letett kártyákból választhatják ki a hiányzó darabokat. 11.1 kártyakészlet

A forgó szögszárra illesztett vektor hossza mint sugár, rögzített szög mellett egyenesen arányos a körív nagyságával. A forgó szögszárra helyezett egységvektor végpontja forgatás közben egy körön mozog. Ezek után helyezzük el azt a szöget és az egységvektor végpontja által meghatározott kört a koordináta-rendszerben úgy, hogy a kör középpontja essen egybe az origóval, a nyugvó szögszár pedig az x tengelyt meghatározó i egységvektorral. A forgó szögszárat pedig jelöljük egy e-vel.

Megjegyzés: Az x tengely pontjait az i egységvektor számszorosaival, az y tengely pontjait pedig a j vektor számszorosaival skálázzuk.

szog011.jpg


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Mintapélda5 Állapítsuk meg, hogy az ábrán látható szög forgó szára melyik síknegyedben található, és becsüld meg a nagyságát! (Szögmérővel ellenőrizhető a becslés.)

Megoldás: 2. síknegyed, kb. 110°. Használjuk a 11.2 kártyakészletben található kártyákat és az előző feladatban ismertetett módszert. Itt is az összetartozó négyeseket kell megtalálni. Összetartozó négyest alkotnak azok a kártyák, amelyeken ugyanazon szög szerepel fokban illetve radiánban megadva, koordináta-rendszerben elhelyezve és a síknegyed is megfelelő. 11.2 kártyakészlet

A továbbiakban minden csoport megkapja a 11.3 kártyakészletben szereplő 4 db szöget, amelyet szétosztanak egymás közt. Eközben a tanár 4 asztalra kiteszi a 4 síknegyedet tartalmazó kártyákat. Minden csoportból, akiknél a kártyán ugyanaz a szög szerepel, keresse meg azt az asztalt, amelyen a megfelelő síknegyed található. Vigyenek magukkal füzetet, amelybe dolgozhatnak.

TANÁRI ÚTMUTATÓ


17

11.3 kártyakészlet

Minden asztalnál végrehajtják a következő feladatokat: 1. Írjanak fel 4 olyan forgásszöget,a melyek a megadott szöggel egyenlő nagyságú forgatást eredményeznek pozitív és negatív irányba egyaránt! 2. Váltsák át radiánba ezeket a szögeket! 3. Tükrözzék az x, y tengelyre, és az origóra a szöget! Határozzák meg a kapott szögek nagyságát! Megjegyzés: szög nagysága alatt azt a szöget értjük, amelyet a forgó szögszár az x tengely pozitív felével zár be, és iránya is pozitív. 4. Határozzák meg azt a szöget (kiegészítő szöget), amellyel az eredeti szöget összeadva 180°-ot kapunk. (Ez a szög lehet negatív is.) 5. Határozzák meg azt a szöget (pótszög), amellyel az eredeti szöget összeadva 90°-ot kapunk. (Ez a szög lehet negatív is.) A szög segítségével a forgó szögszáron felvett v vektor végpontját kétféleképpen is jellemezhetjük: 1. Az origótól való távolsággal valamint a szögszár és az x tengely pozitív felével bezárt pozitív előjelű szöggel.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

2. A V pont koordinátáival, amelyek függenek a szögtől.

Ha készen vannak, a tanulók visszaülnek a saját csoportjukhoz, és megbeszélik a tapasztalatokat a következő szempontok alapján: (a válaszokat külön lapra írják fel) 1. A tükrözések során kaptunk olyan szöget, amely az első, második a harmadik illetve a negyedik síknegyedbe esik. Hogyan lehet kifejezni az első síknegyedbeli szög segítségével a többi síknegyedbeli szöget? 2. Melyik az a szög a tükrözéssel kapottak közül, amelyiknek az x koordinátája (abszcisszája) ugyanaz, mint az eredeti szögé? (Mind a négy szög esetén add meg ezt a szöget.) 3. Melyik az a szög a tükrözéssel kapottak közül, amelyiknek az y koordinátája (ordinátája) ugyanaz, mint az eredeti szögé? (Mind a négy szög esetén add meg ezt a szöget.) 4. A három különböző tükrözés esetén az egységvektor koordinátái hogyan változnak, ha az eredeti egységvektor koordinátái e(x; y)? Próbálj általános szabályt keresni! Amikor megadták a kérdésekre a választ, két-két szomszédos csoport kicseréli a lapjaikat, és kijavítják egymásét. A következő szempontok alapján pontozhatnak is: 1. kérdés: Ha mind a 4 síknegyed esetén jól fejezték ki a szögeket, akkor az 4 pontot ér. 2. kérdés: A 4 megfelelő szög felírása 4 pontot ér. 3. kérdés: A 4 megfelelő szög felírása 4 pontot ér. 4. kérdés: A három általános szabály felírása 3 pontot ér. Minden csoport maximum 15 pontot szerezhet. A tanár eldöntheti, hogy ad-e osztályzatot a csoportmunkára. A ponthatárokat is a tanár határozza meg. Ha ad jegyet, akkor a csoportok minden tagja ugyanazt kapja.

TANÁRI ÚTMUTATÓ


19

6. Hány fokos szöget kapsz, ha az α = 143°-os szög mozgószárát pozitív irányba még

kétszer teljes körrel elforgatod? És ha 12-szer? Megoldás: 503; 4463°. 7. Tükrözd az α = 143°-os szög forgószárát az x, az y tengelyre, és az origóra. Hány

fokosak a kapott szögek? Tükrözd ugyanígy a 37°-os szöget is. Mit tapasztalsz? Megoldás: 217°, 37°, 327°. A 37°tükörképei: 327°, 148°, 217°. A megfelelő egységvektor

végpontjának koordinátái azonos abszolútértékűek.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

II. Forgásszögek szinusza, koszinusza 8. Mérd meg 2 tizedesjegy pontossággal a következő forgásszögek koordinátáit!

a)

b)

c)

d)

Az egyes esetekben milyenek a koordináták előjelei? Megoldás: a) Ha a szög 0° és 90° közötti, akkor mindkét koordinátája pozitív. b) Ha a szög 90° és 180° között van, akkor az x koordinátája negatív, az y pedig pozitív. c) Ha a szög 180° és 270° közötti, akkor mindkét koordinátája negatív. d) Ha a szög 270° és 360° között van, akkor az x koordinátája pozitív, az y pedig negatív. A síkbeli i, j koordináta-rendszerben egy e egységvektor irányszögének annak az elforgatásnak a szögét nevezzük, amely i-t e-be viszi át. ( Ez az elforgatás irányától függően pozitív vagy negatív is lehet.)

TANÁRI ÚTMUTATÓ

Tetszőleges forgásszög koszinuszán koordinátáját (abszcisszáját) értjük.


az

adott

irányszögű

21

egységvektor

x

Tetszőleges forgásszög szinuszán az adott irányszögű egységvektor y (ordinátáját) koordinátáját értjük.

Látható, hogy sem a szög szinusza, sem a szög koszinusza nem lehet –1-nél kisebb illetve +1-nél nagyobb. Most megmutatjuk, hogy ez a definíció hogyan kapcsolódik a korábbi derékszögű háromszögben megadott definícióhoz.

I. síknegyedben:

Ebben a derékszögű háromszögben: y x sin α = = y és cos α = = x . 1 1

A többi síknegyed esetén felhasználjuk a korábbi szögek tükrözésével szerzett tapasztalatokat.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

II. síknegyedben:

α ' = 180 o − α ; sin α = sin α ' = sin (180° − α ) ; cos α = − cos α ' = − cos(180° − α ) .

III. síknegyedben:

α ' = α − 180 o ; sin α = − sin α ' = − sin (α − 180°) ; cos α = − cos α ' = − cos(α − 180°) .

IV. síknegyedben:

α ' = 360 o − α ; sin α = − sin α ' = − sin (360° − α ) ; cos α = cos α ' = cos(360° − α ) . Minden szög szinusza, ill. koszinusza visszavezethető egy első síknegyedbeli megfelelő szög szinuszára, ill. koszinuszára. Az egyes szögek szögfüggvényeinek előjeleit jól szemléltethetjük az egységsugarú körrel: sin α cos α

cos 90° = cos 270° = 0.

sin 0° = sin 180° = 0.

TANÁRI ÚTMUTATÓ


23

9. Határozd meg az egységvektor koordinátáit két tizedesjegy pontossággal, ha adott a vektor irányszöge!

a) 37°;

b) 142°;

c) 198°;

d) 345°.

Használd a számológépet!

Mintapélda6 Eddig 0° és 360° közötti szögeket vizsgáltunk. Most megnézzük a negatív és a 360°-nál nagyobb szögeket! Számítsuk ki a szögek szinuszát, ill. koszinuszát! 1. sin 3218° = sin (338° + 8⋅360°) = sin 338° = − 0,3746; 2. cos (− 63°) = cos (− 63° + 360°) = cos 297° = 0,454; 3. sin (− 829°) = sin (251° − 3⋅360°) = sin 251° = − 0,9455.

Megjegyzés: a számológép természetesen bármelyik szög szinuszát/koszinuszát ki tudja számolni a fenti átalakítások nélkül is.

10. Határozd meg zsebszámológép segítségével négy tizedesjegy pontosan a keresett szögfüggvények értékeit!

a) sin 36°; b) sin (− 98°); c) sin 5261°; d) sin 144°36’12”; e) sin (− 681°39’); f) sin 211,73°; g) sin (− 26,2°); Megoldás: a) 0,5878; 0,5878; e) 0,6205; –0,9978;

cos 54°; cos (− 68°); cos 2183°; cos (− 52°23’48”); cos 536° 13’; cos 147,82°; cos (− 11,6°). b) –0,9903; 0,3746; c) –0,6561; 0,9205; d) 0,5792; 0,6102; f) –0,5259; –0,8464; g) –0,4415; –0,9796.

11. Határozd meg zsebszámológép segítségével négy tizedesjegy pontosan a keresett szögfüggvények értékeit! 2π 10π a) sin ; ; cos 5 3

b) sin 45 ;

cos 30 ;

c) sin 0,56 ;

cos1,18 ;

d) sin− 3 ; 2 e) sin 1 π ; 3 Megoldás: a) 0,9511; –0,5000; e) –0,8660; –0,9659.

cos− 0,1 ; 11 cos 2 π . 12 b) –0,8509; 0,1543; c) 0,5312; 0,3802;

d) –0,1411; 0,9950;


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Mintapélda7 Megjegyzés: Ábrázoljuk közös egységkörben a szögeket!

Végezzük el a kijelölt műveleteket! Ahol lehet, pontos értékkel számoljunk! a) sin 23° + sin 337°; b) cos 337° + cos 23°.

Megoldás: a) sin 23° + sin 337° = sin 23° – sin (360°−337°) = = sin 23° − sin 23° = 0. b) cos 337° + cos 23° = cos (360° − 337°) + cos 23° = = cos 23° + cos 23° = 2 · cos 23° ≈ 1,841. 12. Hozd egyszerűbb alakba a következő kifejezéseket, majd számold ki a pontos értéküket!

a) cos 111° − cos 249°; b) sin 47° + sin 317°; c) cos 157° + cos 203°; d) sin 348° − sin 168°; 3π ; 2 2 π 5π f) cos + cos π − cos ; 3 3 o sin 53 ; g) sin 127 o cos 215 o ; h) cos 325 o π 3π i) sin ⋅ cos π ⋅ sin ; 2 2 π 3π . j) cos ⋅ cos π ⋅ sin 2 2 e) sin

π

+ sin π + sin

Megoldás: a) cos 111° − cos 249° = cos 111° − cos ( 360° − 249° ) = cos 111° − cos 111° = 0; b) sin 47° + sin 313° = sin 47° + sin ( 360° − 47° ) = sin 47° − sin 47° = 0; c) cos 157° + cos 203° = cos 157° + cos (360° − 157° ) = 2⋅cos 157° = − 1,841; d) sin 348° − sin 168° = sin (360° − 12°) − sin (180° − 12°) = − sin 12° − sin 12° = = − 2⋅sin 12° = − 0,4158;

TANÁRI ÚTMUTATÓ

25

3π = 1 + 0 − 1 = 0; 2 2 π 5π 1 1 = − 1 − = − 1; f) cos + cos π − cos 2 2 3 3 sin 53° sin 53° sin 53° = = = 1; g) sin 127° sin (180° − 53°) sin 53° cos 215 o cos(180° + 35°) − cos 35° = = = − 1; h) cos 325° cos(360° − 35°) cos 35° π 3π = 1 · (−1) · (−1) = 1; i) sin ⋅ cos π ⋅ sin 2 2 π 3π = 0 · (−1) · (−1) = 0. j) cos ⋅ cos π ⋅ sin 2 2 e) sin

π


+ sin π + sin

A következő feladatok előkészítik a szinusz és koszinusz függvény monotonitásának vizsgálatát.

Mintapélda8 Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet! cos 48°

cos 76°

Megoldás: A szögek koszinusz értékei a szögekhez tartozó egységvektorok x koordinátái. A megfelelő egységvektorok végpontjának x tengelyre vetítése után már leolvasható a megfelelő relációs jel: cos 48° > cos 76°.

Mintapélda8 Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet! sin 36°

sin 153°

Megoldás: A szögek szinusz értékei a szögekhez tartozó egységvektorok y koordinátái. A megfelelő egységvektorok végpontjának y tengelyre vetítése után már leolvasható a megfelelő relációs jel: sin 36° > sin 153°.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

13. Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet!

a) sin 33° b) cos 100° c) sin 211° d) cos 294°

sin 46°; cos 146°; sin 256°; cos 357°.

Megoldás: a) <; b) >; c) >; d) <. 14. Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet!

a) cos 26° b) sin 253° c) cos 15° d) sin 318°

cos 157°; sin 53°; cos 296°; sin 218°.

Megoldások: a) >; b) <; c) >; d) <.

Mintapélda10 Eddig adott szögek szinuszát, ill. koszinuszát határoztuk meg. Most megfordítjuk a kérdést: az a feladat, hogy egy szög szinusza (koszinusza) ismeretében keressük meg, mely szög(ek)é lehet! Az ilyen feladatokat visszakeresésnek is szokták nevezni. Mely szögekre teljesül a sin α = 0,7 egyenlőség, ha 0° ≤ α ≤ 360°?

Megoldás: Készítsünk ábrát! Vegyük fel az egységkört! A szögek szinuszát az irányszögükhöz tartozó egységvektor y koordinátájával értelmezzük. A 0,7-es ordinátához két egységvektort is tudunk találni, hiszen a 0,7-en áthaladó, az x tengellyel párhuzamos egyenes két pontban is metszi az egységsugarú kört. A két metszésponthoz tartozó irányszög: α1 = 44,4°; α2 = 180° − 44,4° = 135,6°.

TANÁRI ÚTMUTATÓ


27

EGYSZERŰBB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK MEGOLDÁSA Ha a szögfüggvények értékét négy tizedesjegy pontossággal adjuk meg, használhatjuk az „=” jelet a „≈” jel helyett is. Ha a visszakeresésnél a szöget három értékes jegyre adjuk meg, akkor az ellenőrzéskor a szögfüggvény értékében már a harmadik tizedesjegyben is mutatkozhat eltérés.

Mintapélda11

Mely szögekre teljesül a sin α = − 0,9272 egyenlőség?

Megoldás: A számológép segítségével α = −68°. Keressük meg a 0° és 360° közötti megfelelőjét, valamint az összes megoldást is! α’ = |α| = 68°; α1 = 360° − α’ = 360° − 68° = 292°; α2 = 180° + α’ = 180° + 68° = 248°. Természetesen α1’ = 292° + 360°; α1” = 292° + 2 · 360°; is megoldása a feladatnak:

Általános alakban felírva: α1 = 292° + k⋅360°, k ∈ Z; α2 = 248° + l⋅360°, l ∈ Z. Mivel ezek egymástól független megoldások, különböző betűket használunk. Célszerű először a [0°; 360°[ intervallumon megkeresni a megoldást, és csak utána kibővíteni a periódussal.

Mintapélda12

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! a) − 2 · sin( x + 52° ) + 0,5 = 0; 1 b) · cos ( 36° − x ) − 0,25 = 0. 3

Megoldás: a) − 2 · sin( x + 52° ) + 0,5 = 0, − 2 · sin( x + 52° ) = −0,5, sin( x + 52° ) = 0,25. Innen a zsebszámológép segítségével kapjuk, hogy x + 52° = 14,5°. A forgásszögek ismeretében ez két eset vizsgálatát jelenti:


TANÁRI ÚTMUTATÓ

I. x1 + 52° = 14,5° + k · 360°, x1 = −37,5° + k · 360° = 322,5° + k · 360°, II. x2 + 52° = 165,5° + l · 360°, x2 = 113,5° + l · 360°, b)

k ∈ Z. l ∈ Z.

1 · cos ( 36° − x ) − 0,25 = 0, 3

1 · cos ( 36° − x ) = 0,25, 3 cos ( 36° − x ) = 0,75. Zsebszámológép használatával: 36° − x = 41,4°. Innen két esetet kell megvizsgálni: I. 36° − x1 = 41,4° + m · 360°, x1 = 77,4° + m′ · 360°, m ∈ Z és m′ ∈ Z. II. 36° − x2 = 318,6° + n · 360°, x2 = 354,6° + n′ ⋅ 360°, n ∈ Z és n′ ∈ Z. Feldolgozási javaslat: A tanulók kialakítanak 4 fős csoportokat. A tanár felváltva osztja ki az alábbi feladatsorokat a csoportoknak. Egy csoport csak egy feladatsort old meg. Feladatsorok: „A”: 15/a); 16/e); 17/c); 18/b) „B”: 15/c); 16/d); 17/a); 18/c) „+” pontot kaphat azon csoport minden tagja, amelyik elsőként jó megoldást ad külön a „B” illetve külön az „A” csoport feladataira. Kétféle ellenőrzési lehetőség is van: 1. Az „+” pontot kapott 2 csoport külön - külön ismerteti a táblánál a feladatok megoldásait, s a többiek a helyükön ellenőrzik. 2. Egy „A” feladatsort megoldó csoport kijavít egy „B” feladatsort megoldó csoport megoldásait, és fordítva. Majd visszaadják a javítást. 15. Oldd meg a következő egyenleteket!

a) 0,5 sin x – 0,1743 = 0; c) sin ( x + 15° ) = 0,3452;

b) – cos x + 0,5628 = 1; d) 2 cos ( x – 20° ) = 1,4264.

Megoldás: k,l∈Z a) x1=20,4° + k·360° ; x2 = 159,6° + l·360°; b) x1=115,2° + k·360° ; x2 = 244,8° + l·360°; c) x1=5,2° + k·360° ; x2 = 144,8° + l·360°; d) x1=64,5° + k·360° ; x2 = 335,5° + l·360°.

16. Oldd meg a következő egyenleteket! 1 1 a) cos α – 3 = – 2; b) sin β + = – ; 2 2 1 2 d) ; cos δ = – c) 2 sin γ = 1; 3 3 π π f) sin (ψ – ) = 0. e) cos (φ + ) = 0; 6 3

TANÁRI ÚTMUTATÓ


29

Megoldás:

π 3π 5π + 2lπ ; l∈Z. c) γ1 = + 2mπ ; γ2 = + 2nπ ; m∈ Z és n∈Z. 2 6 6 π π 5π 7π π d) δ1 = + 2 gπ ; δ2 = + 2hπ ; g∈ Z és h∈Z. e) φ = − + aπ = + aπ ; a∈Z. 6 6 2 6 3 π f) ψ = + bπ ; b∈Z. 3 a) α = 2kπ; k∈Z. b) β =

17. Oldd meg a következő egyenleteket!

a) 3 sin ( – x + 48° ) = 2,5681;

b) 0,2 cos ( x – 12° ) = 0, 1358.

Megoldás: k∈Z és l∈Z a) x1=349,1° + k·360° ; x2 = 286,9° + l·360°, b) x1=59,2° + k·360°; x2 = 324,8° + l·360°.

18. Oldd meg a következő egyenleteket! π π 1 a) cos ( α – ) + = 0; b) 2 sin ( β + ) = 2 2 ; 6 2 4 1 1 2 c) cos γ + = ; d) 3 sin δ – 3 = 2 3 . 2 5 5

Megoldás:

a) α1 =

5π 3π + 2kπ; α2 = + 2lπ; k∈Z és l∈Z. b) Nincs megoldása. 6 2

c) γ1 = 66,42° + g⋅360°; γ2 = 293,58° + h⋅360°; g∈Z és h∈Z. d) Nincs megoldása.

19. Oldd meg a következő egyenleteket! 3 1 a) | cos x | = ; b) sin2x + = 1. 2 4

Megoldás:

a) Az abszolútérték definícióját felhasználva kapjuk: cos x = Ebből: x1 =

π 5π + rπ; x2 = + sπ; s∈Z, r∈Z. 6 6

b) Átrendezés majd négyzetgyökvonás után kapjuk: sin x = Ebből: x1 =

π 2π + aπ; x2 = + bπ; a∈Z, b∈Z. 3 3

3 3 , illetve cos x = − . 2 2

3 3 , illetve sin x = − . 2 2

Megjegyzés: A 15 – 19 feladatokban, ahol nem szerepel fok vagy radián, ott fogadjuk el a helyes megoldást, akár fokban, akár radiánban adja meg a tanuló.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Mintapélda13 Egy 10 cm2 területű háromszög 5 cm-es oldalán 72°-os szög nyugszik. Milyen hosszú a háromszögnek ezt a szöget határoló másik oldala? Megoldás: b ⋅ mb T= , 2 5 ⋅ mb , innen 4 = mb. 10 = 2 Az ABB’ derékszögű háromszögben a szinusz szögfüggvényt felírva: mb m 4 sin 72° = b , innen c = = . c sin 72° sin 72° c ≈ 4,2 cm.

Felhasználva, hogy mb = c · sin α kapjuk a háromszög területének egy másik –korábban b ⋅ mb b ⋅ c ⋅ sin α már említett– lehetséges kiszámítási módját: T = = . 2 2 A hegyesszögű háromszög területét megkapjuk, ha vesszük két oldalának és a közbezárt szögük szinuszának a szorzatát, és ezt a szorzatot elosztjuk kettővel. A mintapéldában szereplő módon igazolható az összefüggés bármely két oldalra és az általuk bezárt szögre. T=

a ⋅ b ⋅ sin γ b ⋅ c ⋅ sin α a ⋅ c ⋅ sin β = = . 2 2 2

A fenti összefüggés érvényes derékszögű illetve tompaszögű háromszög esetén is: Derékszögű háromszögben: γ = 90° , ezért sin γ = 1, értéket formálisan beírhatjuk a háromszög területképletébe: a ⋅ b ⋅ 1 a ⋅ b ⋅ sin 90° a ⋅ b ⋅ sin γ = = . T= 2 2 2

Tompaszögű háromszögben: m sin γ’ = a , b sin γ’ = sin ( 180° − γ ) = sin γ, innen ma = b · sin γ’ = b · sin γ, a ⋅ ma a ⋅ b ⋅ sin γ T= . = 2 2

TANÁRI ÚTMUTATÓ


31

Mintapélda14 Mekkorák az egyenlőszárú háromszög szögei és a kerülete, ha területe 23 egységnégyzet, és szárai 8 egység hosszúak? Megoldás: b = 8; T = 23. α=? β = γ = ? (A háromszög egyenlőszárú.) K=?

T=

b ⋅ b ⋅ sin α 8 2 ⋅ sin α = , 2 2 46 = 64 · sin α, sin α = 0,7187 és 0° < α < 180°.

I. α1 = 46°, β1 = (180° − 46°) : 2 = 67°, γ1 = 67°.

II. α2 = 180° − 46° = 134°, β2 = (180° − 46°) : 2 = 23°, γ2 = 23°.

Tehát a megadott adatokhoz egy hegyesszögű és egy tompaszögű háromszög is tartozik. A kerület meghatározásának egyik lehetséges módja: sin

I.

sin 23° =

α 2

=

a . 2b

a1 , innen 16

6,25 = a1. K1 = a1 + 2b = 6,25 + 16 = 22,25.

a2 , innen 16 14,73 = a2.

II. sin 67° =

K2 = a2 + 2b = 14,73 + 16 = 30,73.

20. Számítsd ki a háromszög területét, ha két oldala 30 cm, 4,2 dm hosszú és 29°-os szöget zárnak be egymással! 30 ⋅ 42 ⋅ sin 29 o Megoldás: T = = 305,4 cm2. 2 21. Számítsd ki a háromszög területét, ha két oldala 23 dm, 1,5 m hosszú és 108°-os szöget zárnak be egymással! 23 ⋅ 15 ⋅ sin 108 o Megoldás: T = = 164,1 dm2. 2


TANÁRI ÚTMUTATÓ

22. Számítsd ki a háromszög hiányzó adatát – az ábrán látható jelöléseket használva – , ha ismert

a) T = 18 cm2; c = 5,2 cm; a = 7,4 cm, b) T = 35 dm2; b = c = 8 dm,

β = ?; b = ? K=?

Megoldás:

a ⋅ c ⋅ sin β , 2 5,2 ⋅ 7,4 ⋅ sin β , 18 = 2 0,9356 = sin β, β1 = 69,3°, β2 = 110,7°.

a) T =

A b oldal egy kiszámítási lehetősége: Hegyesszögű eset:

Az a oldalhoz tartozó magasság talppontja az a oldalt két részre osztja. Az egyiket jelöljük x-szel, ekkor a másik szakasz a – x. Két derékszögű háromszöget kapunk, melyekre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk: I. x2 + ma2 = c2 II. (a − x)2 + ma2 = b2 a ⋅ ma Ebben az egyenlet-rendszerben három ismeretlen van, de a T = képletből ma 2 értéke kiszámítható, s így x értékét is meg tudjuk határozni: 7 ,4 ⋅ ma 18 = → ma ≈ 4,86. 2 Ezt visszahelyettesítve I. – be adódik: x2 + 4,862 = 5,22 → x ≈ 1,85. A II. egyenlet a kapott eredmények alapján a következőképpen alakul: b2 = (7,4 − 1,85)2 + 4,862 ≈ 54,42 → b ≈ 7,38. Tompaszögű eset:

Az a oldalt meghosszabbítjuk a magasság talppontjáig. A kiegészítő szakaszt jelöljük x-szel. A b oldal kiszámításához szükségünk van x értékére, valamint az a oldalhoz tartozó magasságra. Az ma; (a + x) és c oldalak egy derékszögű háromszöget határoznak meg. Ebben a háromszögben ismerjük β-t és c-t. a+x cos β = , de cos 110,7° < 0, ezért a tompaszögű esetből nem kapunk megoldást, c hiszen pozitív számok hányadosa nem lehet negatív. b) nincs ilyen háromszög, mert sin α =

2T 70 = > 1. b 2 64

TANÁRI ÚTMUTATÓ


33

23. Számítsd ki a paralelogramma területét, ha két oldala 7 dm és 1,3 m és a közbezárt szögük 113°! A paralelogramma területe kiszámítható két, egy csúcsból kiinduló oldalának és a közbezárt szögük szinuszának szorzatával. Tp = a · b · sin α.

Megoldás: a = 1,3 m = 13 dm; b = 7 dm; β = 113°; T=?

A paralelogrammát az átlója két egybevágó háromszögre bontja. Ekkor egy háromszög a ⋅ b ⋅ sin β képlettel számíthatjuk ki. A területét a megadott adatok alapján a Th = 2 paralelogramma területe pedig Tp = 2Th = a · b · sinβ ≈ 87,76 dm2 24. Egy rombusz kerülete 36 cm, területe 52 cm2. Mekkorák az oldalai és a szögei?

Megoldás: K = 36 cm, T = 52 cm2, a=? α = ?; β = ? K = 4a, 36 = 4a, a = 9 cm. Korábban a paralelogramma területével kapcsolatban láttuk, hogy T = a · b · sin α. Rombusz esetén: 52 = 92 · sin α. Ebből α1 ≈ 39,9° illetve α2 = 180° – α1 = 140,1° = β. Mivel a rombusz szögei nem lehetnek 180° - nál nagyobbak, így csak ez a két megoldás lehetséges.

25. Számítsd ki a paralelogramma területét, ha két átlója 6 cm és 10 cm, és a közbezárt szögük 52°!

Megoldás:

Legyenek az átlók: e = 6cm és f = 10 cm, valamint γ = 52°. TP = ? Az AMB és a CMD háromszögek, valamint a BMC és a DMA háromszögek egybevágóak. Ezért TAMB =


TANÁRI ÚTMUTATÓ

⎛e f ⎞ 1 ⎛e f ⎞ 1 TCMB = ⎜ ⋅ ⋅ sin γ ⎟ ⋅ , valamint TBMC = TDMA = ⎜ ⋅ ⋅ sin (180° − γ )⎟ ⋅ . ⎝2 2 ⎠ 2 ⎝2 2 ⎠ 2 Tudjuk, hogy sin γ = sin (180° − γ). Ezért TAMB = TCMB = TBMC = TDMA. 1 TAMB = (3 · 5 · sin 52° ) ⋅ ≈ 5,91 cm2. 2 TP = TAMB + TCMB + TBMC + TDMA = 4 · TAMB = 4 · 11,82 cm2 = 23,64 cm2. Mielőtt továbbhaladnánk a szinusz és koszinusz függvény ábrázolására, a tanár írathat egy röpdolgozatot az osztállyal. A feladatsort és a javítási útmutatót a röpdolgozat melléklet tartalmazza.

SZINUSZ- ÉS KOSZINUSZFÜGGVÉNY A forgásszögekkel való ismereteink megszerzése után már minden szöghöz egyértelműen hozzárendelhető annak szinusza és koszinusza. A hozzárendelésnél valós számokhoz valós számokat rendelünk, ezért a szöget radiánban kell megadni. Az így nyert két függvény:

f(x) = sin x illetve g(x) = cos x. Az eddigi tapasztalatok alapján ezeknek a függvényeknek néhány tulajdonságát már ismerjük: 1. A függvényértékek [−1; +1 ] intervallumban találhatóak. A –1-et is és a +1-et is végtelen sok helyen veszi fel. 2. A függvényértékek 2π szerint ismétlődnek, tehát a függvények periodikusok, és periódusuk 2π. Az f(x) függvényt periódikusnak nevezzük, ha létezik olyan pozitív p érték, amelyre a függvény értelmezési tartományának minden x értékére x + p is az értelmezési tartományhoz tartozik és f (x) = f (x + p). Ha a függvénynek van legkisebb pozitív periódusa, akkor ezt szoktuk figyelembe venni.

Példák periódikus függvényekre: 1. Törtrész függvény:

É.T.: R, f ( x ) = { x }, periódus: p = 1.

TANÁRI ÚTMUTATÓ


35

2. Konstans függvény:

É.T.: R, f ( x ) = 2, periódus: minden valós szám megfelelő, de nincs közöttük legkisebb.

3. A valós életben például a szívritmus görbe (EKG):

A Mintapélda15 és Mintapélda16 megtalálható az 11.5 fóliakészletben. Eleinte a grafikon több pontját is meghatározzuk, hogy jobban kirajzolódjon a görbe. Később az értéktáblázat készítése elhagyható. Elegendő, ha a zérushelyeket illetve a szélsőértékhelyeket vesszük fel, és ezekre illesztjük a görbét.

Mintapélda15 Ábrázoljuk és jellemezzük az f( x ) = sin x függvényt!

Megoldás: Készítsünk értéktáblázatot!

x

−2π

sin x

0

−

3π 2

1

−π

−

π 2

0

π 6

π 4

π 3

π 2

π

0

−1

0

1 2

2 2

3 2

1

0

7π 6

−

1 2

4π 3

5π 4

−

2 2

−

3 2

3π 2

2π

−1

0


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Jellemzés: É.T.: R. É.K.: [−1; 1]. Zérushely: sin x = 0, x = k · π, k ∈ Z. Periódus: 2 π. Monotonitás:

π π + 2lπ ≤ x ≤ + 2lπ , l ∈ Z, 2 2 3π π szigorúan monoton csökkenő: + 2mπ ≤ x ≤ + 2mπ , m ∈ Z. 2 2 Szélsőérték: π maximumhely: x = + 2nπ ; n ∈ Z, 2 maximumérték: sin x = 1, 3π minimumhely: x = + 2sπ ; s ∈ Z, 2 minimumérték: sin x = −1. Paritás: páratlan, mert sin x = − sin (− x). Alulról nézve konkáv: 2aπ ≤ x ≤ π + 2aπ; a ∈ Z intervallumon. Alulról nézve konvex: π + 2bπ ≤ x ≤ 2π + 2π; b ∈ Z intervallumon. szigorúan monoton növekvő: −

Mintapélda16 Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x ) = cos x függvényt!

Megoldás: Készítsünk értéktáblázatot!

x

−2π

cos x

1

−

3π 2

−π

0

−1

−

π 2

0

0

π 6

π 4

π 3

π 2

1

3 2

2 2

1 2

0

2π 3

−

1 2

3π 4

−

2 2

5π 6

−

3 2

π

3π 2

2π

−1

0

1

TANÁRI ÚTMUTATÓ


Jellemzés: É.T.: R. É.K.: [ –1; 1 ]. Zérushely: cos x = 0; π x = + k · π, k ∈ Z. 2 Periódus: 2 π. Monotonitás: szigorúan monoton csökkenő: 2lπ ≤ x ≤ π + 2lπ; l ∈ Z, szigorúan monoton növekvő: π + 2mπ ≤ x ≤ 2π + 2mπ; m ∈ Z. Szélsőérték: maximumhely: x = 2nπ; n ∈ Z, maximumérték: cos x = 1, minimumhely: x = π + 2 s π; s ∈ Z, minimumérték: cos x = −1. Paritás: páros, mert cos x = cos (−x). Alulról nézve konkáv: − Alulról nézve konvex:

π

2

+ 2 aπ ≤ x ≤

π

2

+ 2aπ ; a ∈ Z.

3π π + 2bπ ≤ x ≤ + 2bπ ; b ∈ Z. 2 2

37


TANÁRI ÚTMUTATÓ

A valós életben ezen függvények transzformáltjaival találkozhatunk: Rezgőmozgás:

A hang terjedése:

A kék illetve a piros fény terjedése:

A SZINUSZ ÉS KOSZINUSZFÜGGVÉNY ÁBRÁZOLÁSA FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓKKAL Az anyag feldolgozásához a 12.10 szakértői mozaik nyújt segítséget. A feldolgozás közben a tanár kivetítheti a 12.5 fóliakészletet, hogy a tanulók lássák az ábrázolandó alapfüggvényeket. A szakértői mozaikban kiemeljük a függvény azon tulajdonságait, amelyeket a transzformáció megváltoztathat. A feldolgozás menete: 1. A tanulók négyfős csoportokban dolgoznak. A tanár minden csoportnak odaadja a 12.10. szakértői mozaikot, amely 4 lapból áll. A csoporton belül a tanulók szétosztják egymás között a lapokat. Azok, akik ugyanazt a témát kapták egy, a tanár által kijelölt asztalhoz mennek. A tanár ezekre az asztalokra kikészít csomagolópapírt és filctollakat.

TANÁRI ÚTMUTATÓ


39

A tanulók közösen feldolgozzák az anyagukat, majd az oldal alján található hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját („Ábrázolandó függvény” címszónál) ábrázolják és a függvényt jellemzik a csomagoló papíron. Ha elkészültek, visszamennek a saját csoportjukhoz. A csoportok körbe mennek az asztalok mentén. Egy asztalnál a csoport azon tagja magyarázza el az anyagot, aki annak a készítésében részt vett. 2. Közben a tanár minden csoportnak ad egy sorszámot, és csoportonként négy-négy darab betűt a 4. kártyakészletből. Minden számból és betűből magánál tart egyet-egyet. Ezt követően felteszi az alábbi kérdéseket egyesével. (Ezek a tanulói kézikönyvben is megtalálhatók, amelyeket a tanuló otthon egyedül is kitölthet. A kérdések a tananyag általános feldolgozására szolgálnak.) Minden kérdés elhangzása után húz egy számot és egy betűt. A kérdésre – rövid megbeszélés után – az adott csoportnak az a tagja válaszol, akinél az adott betű van. Itt lehetőség van a csoport pontozására: Jó válasz esetén +, rossz válasz esetén –. A csoport minden tagja ugyanazt a jelet kapja. Egyik lehetőségként a tanár feljegyzi ezeket a pontokat, és a legvégén a csoportok osztályzatot is kaphatnak. (A csoport minden tagja ugyanazt az osztályzatot kapja.) Másik lehetőség, hogy ezeket a pontokat csak akkor váltja be jegyre, ha az a korábbi „+” -okkal és „–” -okkal együtt indokolttá teszi. A téma tárgyalása előtt célszerű feltenni a következő kérdéseket:

1. Hogyan változik az f (x) = sin x függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját eltoljuk a v(0; −2) vektorral? 2. Hogyan változik az f (x) = cos x függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját eltoljuk a v( −

π

; 0) vektorral? 3 3. Milyen transzformációval vihető át az f (x) = sin x függvény grafikonja a g(x) = cos x függvény grafikonjába? 4. Milyen transzformációval vihető át az f (x) = cos x függvény grafikonja a g(x) = sin x függvény grafikonjába? 5. Mennyivel kell eltolni és milyen irányban az f (x) = sin x függvény grafikonját, hogy a függvényértékek ne legyenek pozitívak? 6. Hol vannak az f ( x ) = cos x + 1 függvény zérushelyei? 7. Mik lesznek a szinusz- és a koszinusz függvény szélsőértékei, ha grafikonját az y tengely 1 mentén -szeresére zsugorítjuk? 4 8. Mik lesznek a szinusz-, ill. koszinusz függvény szélsőértékei, ha grafikonját az y tengely mentén (−2)-szeresére nyújtjuk? 9. Milyen transzformációval kapjuk meg az f (x) = sin x függvény grafikonjából a g (x) = sin (−x) függvény grafikonját? π⎞ 1 ⎛ 10. Milyen transzformációs lépések találhatók az f( x ) = − cos⎜ x + ⎟ − függvény 2⎠ 2 ⎝ grafikonjának elkészítésekor? 11. Mekkora a periódusa az f (x) = sin 3x függvénynek? 12. Hogyan változtatod meg az f (x) = cos x függvény hozzárendelési utasítását, hogy a függvény periódusa a kétszeresére nőjön? 13. Milyen paritású az f (x) = cos (−x) függvény? 14. Milyen értékeket vehet fel az f (x) = | sin x | függvény?


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Válaszok: 1. f ( x ) = sin x − 2 lesz. π⎞ ⎛ 2. f ( x ) = cos⎜ x + ⎟ lesz. 3⎠ ⎝

3. x tengely menti negatív irányú, 4. x tengely menti pozitív irányú, 5. 6. 7. 8. 9.

π 2

π

nagyságú eltolással. 2 y tengely mentén negatív irányba 1 egységgel. x = (2k + 1) π, k∈Z. 1 1 Maximuma: ; minimuma: − . 4 4 Maximuma: 2; minimuma: −2. x vagy y tengelyre történő tükrözéssel.

10. Egy x tengely menti

π

2

egységnyi eltolás balra, majd egy y tengelyre történő tükrözés,

végül egy y tengely menti eltolás 11.

nagyságú eltolással.

2π . 3

12. f (x) = cos

1 egységgel lefelé. 2

1 x. 2

13. Páros. 14. 0 és 1 közötti értékeket.

Mintapélda17 A 11.6 fóliakészletben egyes lépések eredményeként létrejövő grafikonok. Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x ) = −

1 ⎛ π⎞ sin⎜ x + ⎟ − 2 függvényt! 2 ⎝ 3⎠

Megoldás:

Transzformációs lépések: 1. a ( x ) = sin x, π⎞ ⎛ 2. b ( x ) = sin ⎜ x + ⎟ , 3⎠ ⎝

← a függvény grafikonjának eltolása az x tengely ⎛ π ⎞ mentén a v ⎜ − ; 0 ⎟ vektorral, ⎝ 3 ⎠

3. c ( x ) =

π⎞ 1 ⎛ sin ⎜ x + ⎟ , 2 ⎝ 3⎠

π⎞ 1 ⎛ 4. d ( x ) = − sin ⎜ x + ⎟ , 2 ⎝ 3⎠

← b függvény grafikonjának y tengely menti

1 - szeres 2

zsugorítása, ← c függvény grafikonjának tükrözése az x tengelyre,

TANÁRI ÚTMUTATÓ


41

π⎞ 1 ⎛ 5. f ( x ) = − sin ⎜ x + ⎟ − 2 . ← d függvény grafikonjának eltolása az y tengely 2 ⎝ 3⎠ mentén a v ( 0; −2 ) vektorral.

Jellemzés: É.T.: R. É.K.: az ábráról is leolvasható, de algebrai úton is levezethető. 1 Megjegyzés: Az É.K. az y tengely menti -szeres zsugorítás és az y tengely menti –2 vel 2 való eltolás miatt változik, melyet a lépések sorrendjében levezethetünk: ⎛ 1⎞ −1 ≤ sin α ≤ 1 / · ⎜− ⎟ , ⎝ 2⎠ 1 1 1 ≥ − sin α ≥ − / −2, 2 2 2 3 1 5 − ≥ − sin α −2 ≥ − . 2 2 2 ⎡ 5 3⎤ Az értékkészlet: ⎢− ;− ⎥ . ⎣ 2 2⎦ Zérushely: Egy jó ábráról szintén leolvasható. Most nézzük az algebrai levezetését: π⎞ 1 ⎛ − sin ⎜ x + ⎟ − 2 = 0 , 2 ⎝ 3⎠ π⎞ ⎛ sin ⎜ x + ⎟ = −4 , és mivel egy szög szinusza csak –1 és +1 közötti szám lehet ⇒nincs 3⎠ ⎝ zérushelye. Periódus: 2π. Monotonitás: Megjegyzés: Az ábráról olvassuk le a megfelelő intervallumokat. Célszerű először a [0; 2π] intervallumon megkeresni a megfelelő szakaszokat, majd utána kibővíteni a periódussal. Igyekezzünk egybefüggő szakaszokat találni. Ha „túllóg” a [0; 2π] –n, akkor az utána lévő részt vegyük figyelembe. 1 A szakaszok helyét az x tengelyre történő tükrözés (a − szorzó miatt) és az x tengely 2 π menti − -mal történő eltolás befolyásolja. 3 7π ⎡π ⎤ + 2kπ⎥ ; k∈Z intervallumokban; Szigorúan monoton növő: ⎢ + 2kπ; 6 ⎣6 ⎦ 13π ⎡ 7π ⎤ + 2lπ⎥ ; l∈Z intervallumokban. Szigorúan monoton csökkenő: ⎢ + 2lπ; 6 ⎣6 ⎦ Szélsőérték:


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Megjegyzés: Egy jó ábráról leolvashatók a szélsőértékhelyek, de algebrai úton is levezethetők. 1 A szélsőérték helyeket az x tengelyre történő tükrözés (a − szorzó miatt) és az x tengely 2 π menti − -mal történő eltolás határozza meg. 3 π⎞ 1 ⎛ 5 Minimum hely: − sin ⎜ x + ⎟ − 2 = − , 2 ⎝ 3⎠ 2 π⎞ ⎛ sin ⎜ x + ⎟ = 1 , 3⎠ ⎝ π π x + = + 2mπ ; m ∈ Z, 3 2 π x = + 2mπ. 6 5 Minimum érték: − . 2 π⎞ 1 ⎛ 3 Maximum hely: − sin ⎜ x + ⎟ − 2 = − , 2 ⎝ 3⎠ 2 π 3π x+ = + 2nπ ; n ∈ Z, 3 2 7π x= + 2nπ. 6 3 Maximum érték: − . 2 Paritás: nem páros, nem páratlan. Megjegyzés: a grafikon nem szimmetrikus sem az origóra, sem az y tengelyre, ez algebrailag is bebizonyítható. Ehhez a definíciókat használjuk fel: A függvény páros, ha az értelmezési tartomány minden x elemére –x is eleme az értelmezési tartománynak, és f ( x ) = f ( −x ), illetve páratlan, ha f ( x ) = − f ( −x ). Állítsuk elő f (–x ) -et! π⎞ 1 ⎛ f (–x ) = − sin ⎜ x + ⎟ − 2 , 2 ⎝ 3⎠ ⎛ ⎛ π⎞ π⎞ π⎞ π ⎞⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ sin ⎜ x + ⎟ = sin ⎜ − x + ⎟ nem teljesül, mert sin ⎜ − x + ⎟ = sin ⎜⎜ − ⎜ x − ⎟ ⎟⎟ = − sin ⎜ x − ⎟ , 3⎠ 3 ⎠⎠ 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ezért a függvény nem páros. π⎞ 1 ⎛ – f (–x ) = sin ⎜ − x + ⎟ + 2 , ezért a függvény nem páratlan. 2 ⎝ 3⎠ 5π ⎡ 2π ⎤ + 2aπ⎥ , a ∈ Z intervallumokon. Alulról nézve konkáv a ⎢ + 2aπ; 3 ⎣3 ⎦ 2π ⎡ π ⎤ + 2bπ⎥ , b ∈ Z intervallumokon. Alulról nézve konvex a ⎢− + 2bπ; 3 ⎣ 3 ⎦ Megjegyzés: A grafikonról mindez leolvasható.

TANÁRI ÚTMUTATÓ


43

Mintapélda18 Ábrázoljuk az alábbi függvények grafikonjait, és állapítsuk meg a periódusukat, zérushelyüket és szélsőértékhelyüket! ⎛ 3π ⎞ − x⎟ ; a) f ( x ) = sin ⎜ ⎝ 2 ⎠ π⎞ ⎛ b) g ( x ) = cos⎜ 3x − ⎟ ! 2⎠ ⎝ Megoldás: a) A grafikon elkészítéséhez alakítsuk át a hozzárendelési utasítást! ⎛ ⎛ 3π ⎞ ⎞ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ sin ⎜ − x ⎟ = sin ⎜⎜ − ⎜ x − ⎟ ⎟⎟ = − sin ⎜ x − ⎟. 2 ⎠⎠ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ Ábrázolás menete: (11.7. fóliakészlet) 1. d ( x ) = sin x, 3π ⎞ ⎛ 2. e ( x ) = sin ⎜ x − ⎟, 2 ⎠ ⎝ 3π ⎞ ⎛ 3. f ( x ) = − sin ⎜ x − ⎟, 2 ⎠ ⎝

Periódus: 2π.

← d grafikonjának eltolása az x tengely mentén ← e grafikonjának tükrözése az x tengelyre.

3π ⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟=0, 2 ⎠ ⎝ 3π x− = kπ; k ∈ Z, 2 3π ⎛ π ⎞ x= + kπ ⎜ = + k ′π ⎟ ; k′ ∈ Z. 2 ⎝ 2 ⎠ Szélsőérték helyek: Minimumhely: 3π ⎞ ⎛ − sin ⎜ x − ⎟ = −1 , 2 ⎠ ⎝ 3π ⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟ = 1, 2 ⎠ ⎝ 3π π x− = + 2lπ; l ∈ Z. 2 2 x = 2 π + 2lπ = 2 l’ π; l’ ∈ Z. Maximumhely: Zérushely:

3π -vel, 2


TANÁRI ÚTMUTATÓ

3π ⎞ ⎛ − sin ⎜ x − ⎟ = 1, 2 ⎠ ⎝ 3π ⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟ = −1 , 2 ⎠ ⎝ 3π 3π x− + 2mπ; m ∈ Z, = 2 2 x = 3π + 2mπ = π + 2 ( m + 1 ) π = π + 2 m’ π; m’∈Z. b) A trigonometrikus függvények grafikonjának elkészítésekor az x változó együtthatójának 1-nek kell lennie, ezért az argumentumban kiemelést végzünk: ⎛ ⎛ π⎞ π ⎞⎞ ⎛ cos⎜ 3x − ⎟ = cos⎜⎜ 3⎜ x − ⎟ ⎟⎟ . 2⎠ 6 ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 2π . Periódus: 3 π⎞ ⎛ Zérushely: cos⎜ 3x − ⎟ = 0 , 2⎠ ⎝ π π 3x − = + kπ; k ∈ Z, 2 2 3x = π + kπ = k’ π; k’ ∈ Z, x = k′

π

3

.

Szélsőérték helyek: Minimumhely: π⎞ ⎛ cos⎜ 3x − ⎟ = −1 , 2⎠ ⎝ π 3x − = π + 2lπ ; l ∈ Z, 2 3π 3x = + 2lπ, 2 2π π x= + l. 2 3 Maximumhely: π⎞ ⎛ cos⎜ 3 x − ⎟ = 1 , 2⎠ ⎝ π 3x − = 2mπ ; m ∈ Z, 2 π 3x = + 2mπ, 2 2π π x= + m. 6 3 Tapasztalat: Ha x együtthatója nem 1, akkor kiemeljük az együtthatót kiemelhetjük: ⎛ ⎛ b ⎞⎞ cos(ax + b ) = cos⎜⎜ a⎜ x + ⎟ ⎟⎟ (a ≠ 0 ) . a ⎠⎠ ⎝ ⎝

TANÁRI ÚTMUTATÓ


45

A függvény grafikonjának ábrázolása ebben az esetben 3 lépésből áll: (11.8. fóliakészlet) 1) d(x) = cos x. 2π 1 1) x tengely menti zsugorítás / nyújtás. A függvény periódusa -szorosára változik, azaz a a lesz. Konkrétan: e( x )=cos (3x). b b 2) x tengely menti nagyságú, előjelével ellentétes irányú eltolás. a a ⎛ ⎛ π ⎞⎞ Konkrétan: f ( x ) = cos⎜⎜ 3⎜ x − ⎟ ⎟⎟ . 6 ⎠⎠ ⎝ ⎝

Megjegyzés: A szinusz- és a koszinusz függvény grafikonja ilyen hullámok ismétlődéséből épül fel. Egy hullám „hossza” 2π. Az x szorzótényezője – ha az abszolútértékben 1-nél nagyobb – szemléletesen azt mutatja meg, hogy hány db ilyen hullám fér bele egy 2π hosszú intervallumba. Ilyenkor a hullám „összenyomódik”. 1 Ha a szorzótényező abszolútértékben 1-nél kisebb, például , akkor egy 2π hosszúságú 2

intervallumba a hullámnak csak a fele

fér el.

2 esetén: 3

. Ekkor a

hullám „széthúzódik”. Minden esetben a hullám „hossza” éppen a szorzótényező reciprokszorosára változik. A 19. mintapélda nem tananyag. Az itt található függvények ábrázolása grafikus kalkulátorral vagy számítógéppel ajánlható, de a grafikonok a 11.9. fóliakészletben is megtalálhatók.

Mintapélda19 Készítsük el a következő függvények grafikonját: b) cos x2; c) sin x ; d) sin x . a) cos2 x; Megoldás: a)


TANÁRI ÚTMUTATÓ

b)

c)

d)

26. Készítsd el a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket: 1 a) f ( x ) = sin x + 2; b) g ( x ) = cos x − ; c) h ( x ) = sin ( x − 2π ); 2 5π ⎞ 3 ⎛ e) l ( x ) = · sin x; f) m ( x ) = −2 · cos x! d) k ( x ) = cos⎜ x + ⎟; 4 ⎠ 2 ⎝ Megoldási útmutató: ezek a függvények az alapvető függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. + 27. Készítsd el a következő függvények grafikonját! Állapítsd meg a függvények paritását!

a) a ( x ) = sin | x |; Megoldás: a)

b) b ( x ) = | sin x |.

TANÁRI ÚTMUTATÓ

b)

Mindkét függvény páros.


47


TANÁRI ÚTMUTATÓ

III. Forgásszögek tangense, kotangense Emlékeztető: α hegyesszög esetén: a szöggel szemközti befogó sin α tg α = = = , b szög melletti befogó cos α szög melletti befogó cos α b ctg α = = = . a szöggel szemközti befogó sin α

Tetszőleges α szögre már definiáltuk a szögek szinuszát és koszinuszát, így hányadosuk segítségével a tangensüket és a kotangensüket is értelmezhetjük, ha a nevezőben szereplő kifejezés helyettesítési értéke 0-tól különböző. Ha x ∈ R és x ≠ lπ ( l ∈ Z ), akkor ctg x =

π + kπ ( k ∈ Z ), akkor 2 sin x tg x = . cos x

Ha x ∈ R és x ≠

cos x . sin x

A sin α és cos α értéket korábban az α irányszögű egységvektor y illetve x koordinátájaként definiáltuk. Megmutatjuk, hogy a tg α és a ctg α fenti definíciójának milyen geometriai tartalma van: 1) tg α (tangens alfa) annak a pontnak az ordinátája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (0; 1) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk meg. 2) ctg α (kotangens alfa) annak a pontnak az abszcisszája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (1; 0) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk. Az 1) geometriai tartalom következik a tg α definíciójából:

Az OAB illetve az OPQ háromszögek hasonlók, hiszen mindkettő derékszögű, és egyik szögük közös, ezért a megfelelő oldalaik aránya megegyezik:

TANÁRI ÚTMUTATÓ


49

sin α sin α cos α = →, = PQ PQ 1 cos α tg α = PQ. Az első síknegyedre tehát érvényes az összefüggés; a többi síknegyedre hasonlóan igazolható. Ha 1)-et tekintjük definíciónak, akkor tételként igazolható, hogy az eredeti definíció fennáll, azaz megmutatható, hogy tg α kétféle módon adott meghatározása ekvivalens. A 2) geometriai tartalom következik a ctg α definíciójából:

Vegyük észre, hogy az OAB derékszögű háromszögben OA = sin α, és AB = cos α. Az OAB, illetve az OPQ háromszögek hasonlók, hiszen mindkettő derékszögű, és egyik szögük közös, ezért a megfelelő oldalaik aránya megegyezik: sin α cos α cos α = → = PQ , PQ x sin α ctg α = PQ. Az első síknegyedre érvényes az összefüggés, a többi síknegyedre hasonlóan igazolható. π + kπ, k ∈ Z nagyságú szögeknek a tangense, az lπ, l ∈ Z nagyságú Látszik, hogy a 2 szögeknek pedig a kotangense nem értelmezett, hiszen ekkor az egységvektor egyenese és a megfelelő érintő párhuzamosak. tg α esetén

ctg α esetén


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Ha egy szög nem 90°-os vagy attól nem tér el 180° valamely egész számú többszörösével, akkor a tangense létezik és egyértelműen meghatározható. ⎧π ⎫ Vagyis az R \ ⎨ + kπ , k ∈ Z ⎬ halmazon létesíthető egyértelmű hozzárendelés: ⎩2 ⎭ f ( x ) = tg x. Ezt tangensfüggvénynek nevezzük.

Ha egy szög nem 180° vagy annak egész számú többszöröse, akkor létezik és egyértelműen meghatározható a kotangense is. Vagyis az R \ { lπ, l∈Z } halmazon létesíthető egyértelmű hozzárendelés az f ( x ) = ctg x. Ezt kotangensfüggvénynek nevezzük.

Megfigyelések: 1. Az f(x) = tg x függvény a III. síknegyedben, azaz 180° és 270° közötti szögekre ugyanazt az értéket veszi fel, mint az I. síknegyedben. Ez az állítás a g(x) = ctg x függvényre is érvényes. (0° < α < 180° és α + 180° tangense ugyanaz.) 2. Az f(x) = tg x függvény a IV. síknegyedben, azaz 180° és 270° közötti szögekre ugyanazt az értéket veszi fel, mint az II. síknegyedben. Ez az állítás a g ( x ) = ctg x függvényre is érvényes. 3. Az 1. és a 2. megállapításból következik, hogy az f(x) = tg x és a g(x) = ctg x függvények periódikusak, és periódusuk π. Ez algebrai úton is belátható: sin (α + π ) − sin α tg (α + π ) = = = tgα . cos(α + π ) − cos α sin (− α ) − sin α = = −tgα . 4. Az f ( x ) = tg x függvény páratlan, mert tg (− α ) = cos(− α ) cos α Hasonlóan a g ( x ) = ctg x függvény is páratlan. A fentiek alapján töltsétek ki a következő oldalon lévő táblázatot! A tanulók csoportmunkával töltsék ki az alábbi táblázatot számológép használata nélkül. Alkalmazzák az eddigi tapasztalataikat. Esetleg házi feladatnak is kitűzhető.

TANÁRI ÚTMUTATÓ


51

NEVEZETES SZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI 0° ÉS 360° KÖZÖTT: A tanulók megpróbálhatnak minél több szimmetriát felfedezni a táblázatban az értékekre illetve az előjelekre vonatkozóan. Segítségképpen néhány értéket előre beírtunk.

0°=360°

I. síknegyed 30° 45° 60° 1 2 3 2 2 2 1 3 2 2 2 2

90°

II. síknegyed 120° 135° 150°

180°

III. síknegyed 210° 225° 240° 1 3 2 – – – 2 2 2 1 3 2 – – – 2 2 2

sin

0

cos

1

tg

0

3 3

1

3

⎯

3 3

1

3

ctg

⎯

3

1

3 3

0

3

1

3 3

1 0

270°

IV. síknegyed 300° 315° 330°

Megoldás: 0°=360°

I. síknegyed 30° 45° 60° 1 2 3 2 2 2 1 3 2 2 2 2

90°

II. síknegyed 120° 135° 150° 1 3 2 2 2 2 1 2 3 – – – 2 2 2

180° 0

III. síknegyed 210° 225° 240° 1 2 3 – – – 2 2 2 1 3 2 – – – 2 2 2

270°

IV. síknegyed 300° 315° 330° 1 3 2 – – – 2 2 2 1 2 3 2 2 2

sin

0

cos

1

tg

0

3 3

1

3

⎯

– 3

–1

–

3 3

0

3 3

1

3

⎯

– 3

–1

–

ctg

⎯

3

1

3 3

0

–

3 3

–1

– 3

⎯

3

1

3 3

0

–

3 3

–1

– 3

1 0

–1

–1 0

3 3


TANÁRI ÚTMUTATÓ

TANÁRI ÚTMUTATÓ


53

28. A nevezetes szögek szögfüggvényeit felhasználva határozd meg a következő kifejezések pontos értékét! 2 − tg 225° a) sin245° – cos230°; b) ; sin 135° + cos 45° cos150° − sin 2 120° ; d) tg 840° + cos 240° – sin 1050°; c) tg 45° − ctg 225° π π 11π ; f) 2 tg 60° + ctg 135° – 3 tg 45° + 2 cos 120°. e) cos · sin · tg 3 4 6 Megoldás: 3 1 3+2 6 ; c) − a) − ; b) ; d) − 3 ; e) ; f) 2 3 − 5 . 4 4 12 2

29. Számold ki a következő értékeket! a) tg 203°; b) ctg ( –514°); c) tg 5,64;

d) ctg 102°42’15”.

Megoldás: a) 0,4245; b) 2,0503; c) –0,7495; d) –0,2254.

30. Add meg azokat a szögeket, amelyeknek tangense a) –3; b) 2 3 ! Megoldás: a) 108,4° + k ⋅ 180°, k ∈ Z; b) 73,9° + l ⋅ 180°, l ∈ Z.

31. Oldd meg a következő egyenleteket! a) tg x = –1,2;

b) ctg x = 11;

c) tg ( x + 16° ) = –3;

d) tg x =

7 . 3

Megoldás: a) x = –50,2° + k · 180°, k ∈ Z; b) x = 5,2° + l · 180°, l ∈ Z; c) x = 92,4° + m · 180°, m ∈ Z; d) x = 66,8° + n · 180°, n ∈ Z.

32. Oldd meg a következő egyenleteket! π⎞ ⎛ ⎛π ⎞ a) tg 3x = 2 3 ; b) tg 2x = –3; c) ctg⎜ 5 x + ⎟ = 3 ; d) tg⎜ − x ⎟ = −1 . 2⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 16 Megoldás: a) x = 24,6° + k · 60°, k ∈ Z; b) x =54,2° + l · 90°, l ∈ Z; π π 5π c) x = − + m °, m ∈ Z; d) x = + nπ , n ∈ Z. 15 5 16


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Mintapélda20 Ábrázoljuk az f ( x ) = tg x illetve a g ( x ) = ctg x függvények grafikonját, és jellemezzük a függvényeket! Megoldás: f(x) = tg x

Jellemzés: ÉT: ÉK: Zérushely:

⎧π ⎫ R \ ⎨ + kπ ; k ∈ Z ⎬ ; ⎩2 ⎭ R; tg x = 0, x = l π; l ∈ Z.

Periódus: π. Monotonitás: szigorúan monoton növő a π ⎤ π ⎡ ⎥⎦ − 2 + mπ ; 2 + mπ ⎢⎣ ; m ∈ Z intervallumokon. Szélsőérték: nincs.

g(x) = ctg x

R \ { a π; a ∈ Z}; R; ctg x = 0, π x = + b π; b ∈ Z. 2 π. szigorúan monoton csökkenő a ] c π ; π + c π [; c ∈ Z intervallumokon. nincs.

TANÁRI ÚTMUTATÓ


55

Paritás: páratlan. Konvexitás: π ⎡ ⎡ az ⎢nπ ; + nπ ⎢ ; n ∈ Z 2 ⎣ ⎣ intervallumokon. Konkávitás: ⎤π ⎤ ⎥⎦ 2 + rπ ; π + rπ ⎥⎦ , r ∈ Z intervallumokon.

páratlan.

π ⎤ ⎤ ⎥⎦ dπ ; 2 + dπ ⎥⎦ ; d ∈ Z intervallumokon. ⎡π ⎡ ⎢⎣ 2 + eπ ; π + eπ ⎢⎣ , e ∈ Z intervallumokon.

33. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! b) g ( x ) = – tg x; c) h ( x ) = tg ( –x ); d) k ( x ) = tg x + 2; a) f ( x ) = 2 tg x; π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ e) l ( x ) = tg ⎜ x − ⎟ ; f) m ( x ) = tg ⎜ 2 x + ⎟ ; g) n ( x ) = | tg x |. 3⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ Megoldási útmutató: Az f, g, h, k és l függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. Az f) ⎛ ⎛ π ⎞⎞ feladatban m(x) = tg ⎜⎜ 2⎜ x + ⎟ ⎟⎟ függvény szinusz-, illetve koszinuszfüggvényeknél 4 ⎠⎠ ⎝ ⎝ ismertetett módon ábrázolandó.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

IV. Szögfüggvények közötti összefüggések általánosítása I.A tangens és a kotangens függvények értelmezése: sin x π tg x = , ha x ≠ + k π; k ∈ Z. cos x 2 cos x , ha x ≠ l π; l ∈ Z. ctg x = sin x Ezek következménye: tg x · ctg x = 1

,

1 1 , illetve tg x = , azaz ugyanazon szög tangense és kotangense tg x ctg x π egymás reciproka, ha x ≠ n · ; n ∈ Z. 2 innen ctg x =

II. Pitagoraszi (négyzetes) trigonometrikus azonosság: sin2α + cos2α = 1

.

Megmutatjuk, hogy bármekkora szög esetén teljesül ez az összefüggés. Két esetet különböztetünk meg: π 1) α = k ; k ∈ Z 2 Ekkor vagy |sin α| = 1 és |cos α| = 0 vagy |cos α| = 1 és |sin α| = 0. Behelyettesítve a fenti összefüggésbe kapjuk: sin2α + cos2α = |sin α|2 + |cos α|2 = 12 + 02 = 1.

π 2) α ≠ k ; k ∈ Z. 2 Minden esetben létrejön egy derékszögű háromszög, melynek befogói sin α, illetve cos α hosszúak, átfogója pedig |e| = 1 nagyságú. Írjuk fel a Pitagorasz-tételt felhasználva, hogy |sin α|2 = sin2α és |cos α|2 = cos2α: |sin α|2 + |cos α|2 = |e|2, sin2α + cos2α = 12 = 1.

TANÁRI ÚTMUTATÓ


57

III. Pótszög-összefüggések: π – α ), 2 π cos α = sin ( – α ), 2

sin α = cos (

π π – α ); x ≠ + k π k ∈ Z, 2 2 π ctg α = tg ( – α ); x ≠ l π l ∈ Z. 2

tg α = ctg (

1) Az f(x) = cos x függvény ábrázolásakor tapasztaltuk, hogyha f grafikonját eltoljuk az x π tengely mentén + - vel, akkor éppen a g(x) = sin x függvény grafikonját kapjuk: 2

⎛ ⎛π π⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛π ⎞ sin x = cos⎜ x − ⎟ = cos⎜⎜ − ⎜ − x ⎟ ⎟⎟ = cos⎜ − x ⎟ . 2⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ ⎝2 mivel a koszinusz függvény páros 2) Ha az f(x) = sin x függvény grafikonját eltoljuk az x tengely mentén +

π – vel, akkor 2

g(x) = – cos x függvény grafikonját kapjuk.

⎛ ⎛π π⎞ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛π − cos x = sin ⎜ x − ⎟ = sin ⎜⎜ − ⎜ − x ⎟ ⎟⎟ = − sin ⎜ − x ⎟ , 2⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ ⎝2 mivel a szinusz függvény páratlan ⎛π ⎞ cos x = sin ⎜ − x ⎟ . ⎝2 ⎠


TANÁRI ÚTMUTATÓ

⎛π ⎞ cos⎜ − x ⎟ sin x ⎝2 ⎠ = ctg⎛ π − x ⎞ , 3) tg x = = ⎜ ⎟ 2 cos x ⎛π ⎞ ⎝ ⎠ sin ⎜ − x ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎞ ⎛π sin ⎜ − x ⎟ cos x ⎠ = tg⎛ π − x ⎞ , ⎝2 4) ctg x = = ⎟ ⎜ 2 sin x ⎞ ⎛π ⎠ ⎝ cos⎜ − x ⎟ 2 ⎠ ⎝

x≠

π 2

+ kπ ; k ∈ Z .

x ≠ lπ ; l ∈ Z .

Ezt a mintapéldát csak erős csoportoknak ajánljuk!

Mintapélda21 Számítsuk ki a szög értékének meghatározása nélkül a másik három szögfüggvény értékét, és szerkesszük is meg a keresett szögeket, ha tudjuk, hogy 2 3 ; b) tg x = ! a) sin x = − 3 8 Megoldás: 2 . 3 cos x értékének meghatározásához a Pitagoraszi összefüggést használjuk fel: sin2x + cos2x = 1,

a) sin x = −

2

⎛ 2⎞ 2 ⎜− ⎟ ⎜ 3 ⎟ + cos x = 1, ⎝ ⎠ 4 + cos2x = 1, 9 5 cos2x = , 9 5 . cos x = ± 3

tg x és ctg x értékek kiszámításhoz a tg x =

sin x 1 illetve ctg x = összefüggéseket cos x tg x

alkalmazzuuk: sin x = −

cos x =

7 , 3

2 3

cos x = −

7 , 3

TANÁRI ÚTMUTATÓ

2 3 =− 2, tg x = 7 7 3 1 7 =− , ctg x = tg x 2 −


2 3 = 2, tg x = 7 7 − 3 1 7 = ctg x = . tg x 2 −

Szerkesztés vázlata: 2 , akkor Ha sin α = 3

Megjegyzés: Az egységet tetszőlegesen vehetjük fel. Mivel sin x = −

2 , ezért az egységkörön ábrázolva: 3

3 . 8 Közvetlenül ctg x értékét tudjuk kiszámítani: 1 8 ctg x = = . tg x 3 3 Szerkesztés: Ha x hegyesszög, akkor tg x = . 8 b) tg x =

Innen a Pitagorasz-tétel alkalmazásával sin x és cos x már meghatározható.

59

60 Matematika „A” 10. évfolyam Ha x tetszőleges forgásszög, akkor tg x =

TANÁRI ÚTMUTATÓ

3 értéket az egységkörön ábrázolhatjuk: 8

Innen a Pitagorasz-tétel alkalmazásával sin x és cos x már meghatározható.

34. Számítsd ki a szög nagyságának meghatározása nélkül a másik három szögfüggvény értékét és szerkeszd is meg a keresett szögeket: 2 1 9 a) sin x = ; b) cos x = − ; c) tg x = ; d) ctg x = 3,8! 7 5 7 Megoldás: 2 3 5 3 5 a) | cos x | = ; | ctg x | = ; | tg x | = , 7 2 3 5 1 2 6 , ; | tg x | = 2 6 ; | ctg x | = 5 2 6 7 9 7 ; | sin x | = , c) ctg x = ; | cos x | = 9 130 130 19 5 5 ; | sin x | = . ; | cos x | = d) tg x = 19 386 386 b) | sin x | =

TANÁRI ÚTMUTATÓ


61

V. Kiegészítő anyag Mintapélda22 Mely x-ekre teljesül? 1 a) sin x ≥ − ; 2

b) tg 2x >

3 ; 3

c) | cos x | <

2 ; 2

d) ctg2x ≥ 1?

Megoldás: Mindegyik feladatnál először egy perióduson belül keressük meg a megoldást. Ez általában a szinusz és koszinusz függvény esetén a [ 0; 2π ], tangens és kotangens függvény esetén pedig a [ 0; 2π ] intervallumot jelenti. Csak ezután általánosítunk. a) sin x ≥ −

1 2

−

b) tg 2x >

3 3

π 6

+ 2kπ ≤ x ≤

7π + 2kπ ; k ∈ Z. 6


TANÁRI ÚTMUTATÓ

π π + mπ ≤ 2 x ≤ + mπ ; 6 2

π

12 c) | cos x | <

+ m′

π

2

≤x≤

π

4

+ m′

π 2

m ∈ Z. ;

m′ ∈ Z.

2 2

Az ábráról is leolvasható, de az abszolútérték definícióját felhasználva is kiderül, hogy azokat 2 2 . < cos x < az x értékeket keressük, amelyekre − 2 2 A keresett intervallumok: π 3π 5π 7π + 2lπ < x < + 2lπ , l∈ Z illetve + 2nπ < x < + 2nπ , n ∈ Z. 4 4 4 4 Mivel |cos x| periódusa π, ezért e két megoldási tartomány összefoglalható: π 3π + pπ < x < + pπ , p∈ Z. 4 4 d) ctg2x ≥ 1

TANÁRI ÚTMUTATÓ


Az ábráról leolvasható, hogy olyan x -eket keresünk, melyekre ctg x ≥ 1 vagy ctg x ≤ –1. A keresett intervallumok: π rπ < x ≤ + r π , r ∈ Z 4

illetve

3π + sπ ≤ x < (s + 1)π ; s ∈ Z. 4

35. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket! 3 1 a) sin x ≤ ; b) cos x < − ; c) tg x ≤ 2 2 Megoldás: 2π 7π a) + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ , k ∈ Z; 3 3 2π 4π + 2lπ < x < + 2lπ , l ∈ Z; b) 3 3 π π c) − + mπ < x < + mπ , m ∈ Z. 2 3

3.

Mintapélda23 Oldjuk meg a következő egyenleteket: π⎞ ⎛ 7π ⎞ ⎛ ⎛π ⎞ b) sin ⎜ 2 x + ⎟ = sin x; c) tg x = tg ⎜ − 2 x ⎟ . − x⎟ ; a) cos 3x = cos ⎜ 8⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ ⎝4 ⎠ Megoldás: A megoldás során felhasználjuk, hogy cos x = cos (2π – x) és sin x = sin (π – x). ⎛ 7π ⎞ − x⎟ a) cos 3x = cos ⎜ ⎝ 6 ⎠

63


TANÁRI ÚTMUTATÓ

7π – x = 3 x + k · 360° k ∈ Z 6 7π – 2kπ = 4x, 6 π 7π − k = x. 24 2

I.

II.

7π – x = 2π – 3 x + l · 2π ; l ∈ Z, 6 7π 5π 2x = + 2lπ = − + 2π (l + 1) , 6 6 7π 5π x= + lπ = − + π (l + 1) . 12 12

π⎞ ⎛ b) sin ⎜ 2 x + ⎟ = sin x 8⎠ ⎝

π = π – x + 2nπ; n ∈ Z, 8 7π 3x = + 2nπ, 8 7π 2 x= + nπ. 24 3

π = x + 2mπ; m ∈ Z, 8 π x = – + 2mπ. 8

I. 2x +

II. 2x +

⎛π ⎞ c) tg x = tg ⎜ − 2 x ⎟ , ⎝4 ⎠

π

4

– 2x = x + rπ; r ∈ Z, –3x = –

x=

π 4

π 12

+ rπ, −r

π 3

.

36. Oldd meg a következő egyenleteket!

π⎞ ⎛ b) cos 2x = cos ⎜ x + ⎟ ; 4⎠ ⎝

a) sin x = sin 75°; c) sin

x ⎛ 5π = ⎜x − 2 ⎝ 6

⎞ ⎟; ⎠

e) tg 4x = tg (36° + x);

d) cos (3x + 60°) = cos (x + 24°);

π⎞ ⎛ f) ctg πx = ctg ⎜ 3πx − ⎟ . 4⎠ ⎝

TANÁRI ÚTMUTATÓ


Megoldás: a) x1 = 75° + k · 360°, k ∈ Z; x2 = 105° + l · 360°; l ∈ Z. π 7π 2 b) x1 = + 2kπ, k ∈ Z; x2 = + lπ; l ∈ Z. 4 12 3 5π 11π + 4lπ; l ∈ Z. c) x1 = + 4kπ, k ∈ Z; x2 = 3 3 d) x1 = – 18° + k · 360°, k ∈ Z; x2 = 69° + l · 90°; l ∈ Z. e) x = 12° + k · 60°; k ∈ Z. 1 l f) x = + ; l ∈ Z. 8 2

65


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Kislexikon Radián: megmutatja, hogy egy adott középponti szöghöz tartozó körív hossza hányszorosa a kör sugarának; 180° = π radián. Átváltások: π ) , fok → radián: α = α o ⋅ 180 ) 180 o . radián → fok: α o = α ⋅ π Pótszög: a szöget 90°-ra egészíti ki. Kiegészítő szög: a szöget 180°-ra egészíti ki. Irányszög: A síkbeli i, j koordináta-rendszerben egy e egységvektor irányszögének annak az elforgatásnak a szögét nevezzük, amely i-t az e-be viszi át. (Ez az elforgatás irányától függően pozitív vagy negatív is lehet.) Forgásszög koszinusza: Tetszőleges forgásszög koszinuszán az adott irányszögű egységvektor x koordinátáját (abszcisszáját) értjük. Jele: cos α. Forgásszög szinusza: tetszőleges forgásszög szinuszán az adott irányszögű egységvektor y koordinátáját (ordinátáját) értjük. Jele: sin α. Háromszög területe: a ⋅ b ⋅ sin γ a ⋅ c ⋅ sin β b ⋅ c ⋅ sin α = = . T= 2 2 2 Egy háromszög területe két oldalának és a közbezárt szögük szinusza szorzatának a fele. Paralelogramma területe: A paralelogramma területe kiszámítható két, egy csúcsból kiinduló oldalának és a közbezárt szögük szinuszának szorzatával. Tp = a · b · sin γ. Az f(x) függvényt periódikusnak nevezzük, ha létezik olyan pozitív p érték, amelyre a függvény értelmezési tartományának minden x értékére p + x is az értelmezési tartományhoz tartozik és f(x) = f(x + kp). Ha a függvénynek van legkisebb pozitív periódusa, akkor ezt szoktuk figyelembe venni. Forgásszög tangense: sin α π , α ≠ + kπ, (k ∈ Z). Definíció: tg α = cos α 2 Geometriai tartalom: tg α (tangens alfa) annak a pontnak az ordinátája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (1 ;0) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk meg.

TANÁRI ÚTMUTATÓ


67

Forgásszög kotangense: cos α , α ≠ kπ, (k ∈ Z). Definíció: ctg α = sin α Geometriai tartalom: ctg α (kotangens alfa) annak a pontnak az abszcisszája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (0; 1) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk meg. ⎧π ⎫ Tangensfüggvény: az R \ ⎨ + kπ , k ∈ Z ⎬ értelmezési tartományon érvényes f(x) = tg x ⎩2 ⎭ hozzárendelési utasítással megadott függvény. Kotangensfüggvény: R \ { lπ, l∈Z } értelmezési tartományon érvényes f(x) = ctg x hozzárendelési utasítással megadott függvény. Szögfüggvények közötti összefüggések általánosítása: sin α cos α ; ctg α = → tg α · ctg α = 1, 1) tg α = cos α sin α 1 ctg α = , tg α 1 tg α = a megfelelő értelmezési tartományon. ctg α 2) Pitagoraszi összefüggés: sin2α + cos2α = 1.

12. modul. Forgásszög szögfüggvényei

Recommend Documents