11
Rozptyl
Sf´ erick´ e Besselovy funkce Sf´erick´e Besselovy funkce jsou dvˇe lin´arnˇe nez´avisl´a ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice 2. ˇra´du (nˇekdy naz´ yvan´e Helmholtzova rovnice)
2 d l(l + 1) d2 jl (z) + + 1− =0 . 2 2 nl (z) dz z dz z
(11.0.1)
• jl (z) se naz´ yv´a sf´erick´a Besselova funkce nebo sf´erick´a Besselova funkce 1. druhu. • nl (z) se naz´ yv´a sf´erick´a Neumannova funkce nebo sf´erick´a Besselova funkce 2. druhu. • Definuj´ı se tak´e sf´erick´e Hankelovy funkce 1. a 2. druhu vztahy (1)
hl (z) ≡ jl (z) + inl (z) , (2)
hl (z) ≡ jl (z) − inl (z) . l je parametr (pˇrev´aˇznˇe celoˇc´ıseln´ y nez´aporn´ y, coˇz budeme pˇredpokl´adat v dalˇs´ıch v´ yrazech, ale obecnˇe m˚ uˇze b´ yt re´aln´ y). Symetrie jl (z) = (−1)l jl (z) , nl (z) = (−1)l+1 nl (z) , (1,2)
hl
(1,2)
(z) = (−1)l hl
(z) .
Vyj´ adˇ ren´ı pomoc´ı ˇ rady 2 n 1 z jl (z) = z − n! (2l + 2n + 1)!! 2 n=0 ( l−1 X (2l − 2n − 1)!! z 2 n 1 z 2 l 1 − + nl (z) = − l+1 z n! 2 l! 2 n=0 2 n ) ∞ X z 1 − + (−1)l n! (2n − 2l − 1)!! 2 n=l+1 l
∞ X
Vyj´ adˇ ren´ı pomoc´ı goniometrick´ ych funkc´ı
l 1 d sin z jl (z) = (−z) z dz z l cos z 1 d nl (z) = −(−z)l z dz z l
Asymptotika z → 0 zl jl (z) −−→ (2l + 1)!! ( − z1 z→0 nl (z) −−→ − (2l−1)!! z l+1 z→0
pokud l = 0 pokud l > 0
(11.0.2)
Sf´erick´e Neumannovy funkce diverguj´ı pro z → 0. Asymptotika z → ∞ sin z − l π2 jl (z) −−−→ z cos z − l π2 z→∞ nl (z) −−−→ − z z→∞
(11.0.3)
Relace ortogonality Z
∞
jl (kr)jl (k ′ r)r2 dr = 0
π δ(k − k ′ ) 2k 2
(11.0.4)
Rozklad exponenci´ aly
e
ik·r
= 4π
∞ X l X
l=0 m=−l
=
∞ X
i
l
∗ jl (kr)Ylm
r k Ylm = k r
il (2l + 1)jl (kr)Pl (cos θ) ,
l=0
kde jsme zvolili souˇradnou soustavu tak, ˇze osa z je rovnobˇeˇzn´a s vektorem r, takˇze k · r = kr cos θ . Eplicitn´ı vyj´ adˇ ren´ı nejniˇ zˇ s´ıch Besselov´ ych funkc´ı sin z z sin z cos z j1 (z) = − 2 − z z 3 1 3 sin z − − cos z j2 (z) = z3 z z2 j0 (z) =
cos z z cos z sin z n1 (z) = − 2 − z z 3 1 3 cos z − n2 (z) = − − sin z z3 z z2 n0 (z) = −
Stacion´ arn´ı stavy voln´ e ˇ c´ astice s ostrou hodnotou impulsmomentu Vlnovou funkci voln´e ˇca´stice s velikost´ı vlnov´eho vektoru k zap´ıˇseme jako ψklm (r, θ, φ) = hr|k l mi = Rklm (r)Ylm (θ, φ) .
Schr¨odingerova rovnice v tomto pˇr´ıpadˇe zn´ı −
~2 ∆ψklm (r, θ, φ) = Eψklm (r, θ, φ) , 2M
kde 1 ∂ 2∂ ∂2 1 ∂ 1 ∂ r + sin θ + r2 ∂r ∂r r2 sin θ ∂θ ∂θ r2 sin2 θ ∂φ2 2 ∂ L2 ∂2 − 2 , = 2+ ∂r r ∂r r
∆=
pˇriˇcemˇz E = ~2 k 2 /2M . Po dosazen´ı L2 ψklm (r, θ, φ) = l(l + 1)ψklm (r, θ, φ) 2 2 ∂ l(l + 1) ∂ 2 + + k − Rkl (r) = 0 ∂r2 r ∂r r2 ↓ z = kr 2 2 ∂ l(l + 1) ∂ + + 1− Rkl (z) = 0 2 ∂z z ∂z z2 coˇz je pˇresnˇe Helmholtzova rovnice pro sf´erick´e Besselovy funkce (11.0.1). Obecn´e ˇreˇsen´ı pro radi´aln´ı ˇca´st tedy zn´ı Rkl (r) = al (k)jl (kr) + bl (k)nl (kr).
(11.0.5)
Sf´erick´a Neumannova funkce podle asymptotiky (11.0.2) diverguje pro r = 0, ve v´ ysledn´em ˇreˇsen´ı se tud´ıˇz nebude vyskytovat. Uˇzit´ım relac´ı ortogonality (11.0.4) dost´av´ame normovanou radi´aln´ı ˇca´st vlnov´e funkce voln´e ˇca´stice r 2 Rkl (r) = kjl (kr) . π
Rozvoj amplitudy rozptylu do parci´ aln´ıch vln Asymptotick´a vlnov´a funkce ˇca´stice rozptyluj´ıc´ı se na potenci´alu V (r) je d´ana superpozic´ı rovinn´e vlny s vlnov´ ym vektorem k a rozpt´ ylen´e kulov´e vlny E D 1 eikr (+) (+) ′ ik·r = ψk (r) ≡ r ψk (11.0.6) e +f (k , k) 3 r (2π) 2
pˇriˇcemˇz k = k ′ a k′ = kr/r. Amplituda rozptylu je E D 1 2M ′ ˆ (+) 3 (2π) k V ψk f (cos θ) = − 4π ~2 Z M 4π 2 M D ′ ˆ E i(k−k′ )·r ≈− 2 e V (r)d3 r , k V k = − 2 ~ 2π~
(11.0.7)
kde posledn´ı ˇra´dek je tzv. Bornova aproximace (1. ˇclen Bornovy ˇrady). Diferenci´aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez rozptylu z amplitudy rozptylu je dσ 2 = |f (k′ , k)| . dΩ
(11.0.8)
Pro sf´ericky symetrick´ y potenci´al je v´ yhodn´e rozloˇzit amplitudu rozptylu do parci´aln´ıch vln ∞ X ′ f (k , k) = (11.0.9) (2l + 1)fl (k)Pl (cos θ) l=0
kde cos θ je u ´hel mezi smˇerem dopadaj´ıc´ı rovinn´e vlny dan´ ym vektorem k a polohov´ ym vektorem r k·r , cos θ = kr Pl (cos θ) je Legendre˚ uv polynom a fl (k) amplituda rozptylu l-t´e parci´aln´ı vlny. Dosazen´ım tohoto rozvoje do (11.0.6) a z asymptotiky a srovn´an´ı s volnou ˇca´stic´ı vypl´ yv´a vztah mezi fl (k) a f´azov´ ym posunut´ım δl (k) 1 sin δl (k) eiδl (k) k . 1 δl (k) = ln [2ikfl (δ) + 1] 2i
fl (k) =
(11.0.10)
Amplitudu rozptylu l-t´e parci´aln´ı vlny dostaneme pˇreintegrov´an´ım pln´e amplitudy rozptylu (11.0.9) s l-t´ ym Legendreov´ ym polynomem Z 1 Z 1 ∞ X ′ Pl (cos θ)Pm (cos θ) d cos θ (2m + 1)fm (k) f (k , k)Pl (cos θ) d cos θ = −1
=
m=0 ∞ X
−1
(2m + 1)fm (k)
m=0
2 δml = 2fl (k) , 2m + 1
kde jsme vyuˇzili relac´ı ortogonality Legendreov´ ych polynom˚ u Z 1 2 Pm (x)Pl (x)dx = δml . 2m + 1 −1 Dost´av´ame tedy 1 fl (k) = 2
Z
π
f (k′ , k)Pl (cos θ) sin θ dθ .
(11.0.11)
−π
V prvn´ı Bornovˇe aproximaci se pˇredpokl´ad´a, ˇze je amplituda rozptylu mal´a. Vyuˇzijeme pˇribliˇzn´ y vzorec pro logaritmus ln(1+x) ≈ x, platn´ y pro x ≪ 1, a z (11.0.10) dostaneme jednoduch´ y vztah δl (k) = kfl (k) . (11.0.12) Pˇreintegrov´an´ım vztahu pro diferenci´aln´ı u ´ˇcin´ y pr˚ uˇrez (11.0.8) dostaneme vztah mezi u ´ˇcinn´ ym pr˚ uˇrezem pro l-tou parci´aln´ı vlnu a jej´ım f´azov´ ym posunut´ım σl (k) =
4π (2l + 1) sin2 δl (k) . k2
(11.0.13)
Celkov´ yu ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez je pak σ(k) =
∞ X
σl (k)
l=0
F´azov´e posunut´ı je kladn´e pro pˇritaˇzliv´e s´ıly (z´aporn´ y potenci´al) a z´aporn´e pro odpudiv´e s´ıly.
11.1
Gaussovsk´ y potenci´ al
Interakce je urˇcena sf´ericky symetrick´ ym potenci´alem 2
V (r) = v e−µr , kde v a µ jsou re´aln´e konstanty, µ > 0. 1. Urˇcete v Bornovˇe aproximaci amplitudu rozptylu a diferenci´aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez rozptylu na tomto potenci´alu. 2. Urˇcete f´azov´e posunut´ı pro s vlnu. 3. Urˇcete f´azov´e posunut´ı pro p vlnu. ˇ sen´ı: Reˇ Pˇrednˇe oznaˇc´ıme q = k − k′ a u ´hel mezi vektory k a k′ jako ψ. Pak (vyuˇzijeme toho, ˇze k = k ′ ) ψ ′ q 2 = k 2 − 2k · k′ + k 2 = 2k 2 (1 − cos ψ) = 4k 2 sin2 , 2 a tedy ψ q = 2k sin . 2 1. Amplitudu rozptylu spoˇc´ıt´ame pomoc´ı vzorce (11.0.7): sf´erick´e souˇradnice, Z Mv iq·r −µr 2 3 osa z paraleln´ı s q e e d r = f (k′ , k) = − 2π~2 q · r = qr cos θ Z ∞ Z π Z 2π u = cos θ Mv iqr cos θ −µr 2 2 =− e e r sin θ dr dθ dφ = du = − sin θ dθ 2π~2 0 0 0 Z 1 Z ∞ Mv 2 =− 2 eiqru du r2 e−µr dr ~ −1 0 iqru 1 Z ∞ Z Mv M v ∞ −µr2 +iqr 2 2 −µr 2 e =− 2 r e e − e−µr −iqr r dr dr = − 2 ~ iqr −1 iq~ 0 0 x = r − a Z ∞h 2 2 2i iq iq q Mv e−µ(r− 2µ ) − e−µ(r+ 2µ ) r dr = y = r + a = − 2 e− 4µ iq~ 0 a = iq 2µ Z ∞ Z ∞ 2 q M v − 4µ −µy 2 −µx2 (y − a) e dy . (x + a) e dx − =− 2e iq~ a −a {z } | I
Integr´al je Z I=
0
Z
−µx2
0
−µx2
Z
Z
∞ −µx2
∞ 2
dx + a dx + +a e−µx dx xe e xe 0 0 −a −a Z ∞ Z ∞ Z a Z a 2 2 2 2 −µx −µx −µx − xe dx + a e dx + xe dx − a e−µx dx Z ∞0 Z a 0 Z a 0 Z 00 2 2 2 2 = 2a e−µx dx + x e−µx dx + a e−µx dx e−µx dx − a 0 | −a {z } | −a {z 0 } 0 (lich´ a funkce)
= 2a
Z
∞
2
e−µx dx = a
0
r
0 (sud´ a funkce)
π , µ
takˇze amplituda rozptylu je Mv f (k , k) = − 2µ~2 ′
r
q2 π − 4µ e µ
a diferenci´aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez q2 π(M v)2 − 2µ dσ = e . dΩ 4~2 µ3
2. K v´ ypoˇctu amplitudy rozptylu s-vlny (l = 0) aplikujeme vzorec (11.0.11): ψ 4k2 sin2 2
z}|{ r Z 1 q2 Mv π − 4µ e P (cos ψ) d cos ψ f0 (k) = − | 0 {z } 4µ~2 µ −1 1 r Z 1 2 Mv π − k2µ (1−x) e dx =− 4µ~2 µ −1 1 r M v π 2µ − k2µ2 (1−x) e =− 4µ~2 µ k 2 −1 r r 2 k M v π − k2µ2 k2 π Mv −µ =− 2 2 sinh 1−e e . =− 2 2 2~ k µ ~k µ 2µ F´azov´e posunut´ı urˇc´ıme pomoc´ı pˇribliˇzn´eho vzorce (11.0.12) r k2 M v π − k2µ2 sinh δ0 (k) ≈ − 2 e . ~k µ 2µ 3. Aplitudu rozptylu a f´azov´e posunut´ı p-vlny poˇc´ıt´ame analogicky jako v pˇredchoz´ım
bodˇe: r Z 1 k2 π e− 2µ (1−x) P1 (x) dx = Per partes | {z } µ −1 x ) 1 r ( Z 2 2µ 1 − k2µ2 (1−x) Mv π 2µ − k2µ (1−x) =− − 2 xe e dx 4µ~2 µ k2 k −1 −1 r 2 2 Mv π 2µ − kµ − kµ =− 2 2 − 2 1−e 1+e 2~ k µ k 2 r k k2 k2 k2 π − k2µ2 2µ Mv − − e e 2µ + e 2µ − 2 e 2µ − e 2µ =− 2 2 2~ k µ k r 2 2 2µ k2 M v π − k2µ k , e − sinh =− 2 2 cosh ~k µ 2µ k 2 2µ r M v π − k2µ2 k2 2µ k2 δ1 (k) = − 2 e − sinh . cosh ~k µ 2µ k 2 2µ
Mv f0 (k) = − 4µ~2
0
3
0.0
6
k
δ1(k) -0.3
δ0(k) -0.6
Obr´azek 11: F´azov´a posunut´ı s a p parci´aln´ı vlny pro rozptyl na Gaussovsk´em potenci´alu v 1. Bornovˇe aproximaci. Hodnoty parametr˚ u jsou M = ~ = v = µ = 1. F´azov´a posunut´ı pro s a p vlnu jsou zn´azornˇena na obr´azku 11.1.
11.2
Wronski´ an sf´ erick´ e Besselovy rovnice
Naleznˇete, ˇcemu se rovn´a Wronski´an22 sf´erick´ ych Besselov´ ych funkc´ı, tj. determinant jl (z) nl (z) = jl (z)n′l (z) − jl′ (z)nl (z) . Wl (z) ≡ det ′ jl (z) n′l (z) 22
Nenulovost Wronski´ anu zaruˇcuje line´arn´ı nez´avislost z´ uˇcastnˇen´ ych funkc´ı.
ˇ sen´ı: Reˇ Rovnici pro sf´erick´e Besselovy funkce (11.0.1) vyn´asob´ıme zleva sf´erickou Neumannovou funkc´ı a naopak. V´ ysledn´e rovnice od sebe odeˇcteme: 2 d 2 l(l + 1) d nl (z) + + 1+ jl (z) = 0 dz 2 z dz z2 2 2 d l(l + 1) d + + 1+ nl (z) = 0 jl (z) dz 2 z dz z2 jl′′ (z)nl (z) − jl (z)n′′l (z) + 2z(jl′ (z)nl (z) − jl (z)n′l (z)) = 0 Wl′ (z) + 2zWl (z) = 0
Obdrˇzeli jsme diferenci´aln´ı rovnici pro W (z), jej´ıˇz ˇreˇsen´ı hled´ame ve tvaru Wl (z) = cz α . Dosazen´ım dostaneme α = −2. Pro urˇcen´ı konstanty c n´am staˇc´ı spoˇc´ıtat hodnotu Wronski´anu pro jedno konkr´etn´ı z. Vyuˇzijme napˇr´ıklad asymptotiky z → 0 (11.0.2). Pro l 6= 0 dost´av´ame zl (2l − 1)!! (2l − 1)!! d zl d Wl (z ∼ 0) = − + (2l + 1)!! dz z l+1 z l+1 dz (2l + 1)!! zl (l + 1)(2l − 1)!! (2l − 1)!! lz l−1 = + (2l + 1)!! z l+2 z l+1 (2l + 1)!! 1 l 1 1 l+1 = 2 + 2 = 2 z 2l + 1 z 2l + 1 z a pro l = 0 d W0 (z ∼ 0) = 1 dz
1 1 d 1 − + 1 = 2. z z dz z
Wronski´an sf´erick´ ych Besselov´ ych funkc´ı tedy je Wl (z) = jl′ (z)nl (z) − jl (z)n′l (z) =
11.3
1 . z2
Sf´ erick´ a dutina obalen´ a δ-slupkou
Mˇejme ˇca´stici rozptyluj´ıc´ı se na potenci´alu v V (r) = δ(r − a) a (dutina obalen´a slupkou z δ-funkce). • Naleznˇete radi´aln´ı ˇca´st vlnov´e funkce Rkl (r). • Urˇcete f´azov´e posunut´ı l-t´e parci´aln´ı vlny δl (k). • Urˇcete tot´aln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez l-t´e parci´aln´ı vlny σl (k).
(11.2.1)
ˇ sen´ı: Reˇ Aˇz na oblast δ-slupky m´ame vlastnˇe volnou ˇca´stici. Radi´aln´ı ˇca´st jej´ı vlnov´e funkce bude m´ıt obecn´ y tvar dan´ y line´arn´ı kombinac´ı sf´erick´e Besselovy a Neumannovy funkce (11.0.5). Uvnitˇr koule mus´ı b´ yt Rkl (r < a) = Al (k)jl (kr) (od˚ uvodnˇen´ı stejn´e jako v pˇr´ıpadˇe voln´e ˇca´stice, vlnov´a funkce nesm´ı divergovat v poˇca´tku). ˇ sen´ı vnˇe koule zapiˇsme jako Reˇ Rkl (r) = Bl (k) [αl (k)jl (kr) + βl (k)nl (kr)] coˇz v asymptotice r → ∞ (11.0.3) d´av´a "
# sin kr − l π2 cos kr − l π2 Rkl (r → ∞) → Bl (k) αl (k) − βl (k) kr kr
Asymptotika zcela voln´e ˇca´stice, jej´ıˇz ˇreˇsen´ı je (11.0.5), zn´ı sin kr − l π2 (0) . Rkl (r → ∞) → kr
(11.3.1)
V naˇsem pˇr´ıpadˇe dojde k f´azov´emu posunut´ı oproti ˇreˇsen´ı voln´e ˇca´stice, kter´e lze popsat pomoc´ı veliˇciny δl (k): sin kr − l π2 + δl (k) Rkl (r → ∞) → = kr cos kr − l π2 sin kr − l π2 + sin δl (k) = cos δl (k) kr kr Srovn´an´ım s pˇredchoz´ım vyj´adˇren´ım (11.3.1) vid´ıme, ˇze αl (k) = cos δl (k) βl (k) = − sin δl (k) a vlnov´a funkce zapsan´a pomoc´ı f´azov´eho posunut´ı je Rkl (r) =
(
Al (k)jl (kr) pro r < a Bl (k) [cos δl (k)jl (kr) − sin δl (k)nl (kr)] pro r > a
F´azov´e posunut´ı urˇc´ıme pomoc´ı seˇs´ıvac´ı podm´ınky na slupce. Stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe jednorozmˇern´eho potenci´alu i zde mus´ı platit dvˇe podm´ınky: 1. Vlnov´a funkce je spojit´a Al (k)jl (ka) = Bl (k) [cos δl (k)jl (ka) − sin δl (k)nl (ka)]
(11.3.2)
2. V derivaci je skok dan´ y silou δ-funkce (viz 5. cviˇcen´ı zimn´ıho semestru) 2M v Rkl (a), ~2 a
′ ′ (a − 0) = (a + 0) − Rkl Rkl ′ coˇz v naˇsem pˇr´ıpadˇe d´av´a (pozor, Rkl =
d R , dr kl
tj. derivujeme jen podle r)
kAl (k) [cos δl (k)jl′ (ka) − sin δl (k)n′l (ka)] − kBl (k)jl′ (ka) =
Q Bl (k)jl (ka), (11.3.3) a
pˇriˇcemˇz jsme oznaˇcili Q ≡ 2mv/~2 . Dosazen´ım z (11.3.2) do (11.3.3) dostaneme (nep´ıˇsu jiˇz argumenty funkc´ı) Q jl (jl cos δl − nl sin δl ) ka Q jl (jl cos δl − nl sin δl ) . − (jl n′l − jl′ nl ) sin δl = ka
jl jl′ cos δl − jl n′l sin δl − jl jl′ cos δl + jl′ nl sin δl =
Na lev´e stranˇe se n´am objevil Wronski´an (11.2.1), za kter´ y dosad´ıme: −
1 Q sin δl = jl (jl cos δl − nl sin δl ) 2 (ka) ka
Z toho jiˇz z´ısk´ame explicitn´ı v´ yraz pro f´azov´e posunut´ı Qjl2 (ka) tg δl (k) = Qjl (ka)nl (ka) −
(11.3.4)
1 ka
D´ale m˚ uˇzeme z podm´ınky spojitosti (11.3.2) urˇcit koeficient pr˚ uniku Al (k) 2 cos δl (k)jl (ka) − sin δl (k)nl (ka) = Pl (k) ≡ , Bl (k) jl (ka)
(11.3.5)
kde dosad´ıme v tuto chv´ıli jiˇz zn´am´e f´azov´e posunut´ı δl (k). Nakonec urˇc´ıme u ´ˇcin´ y pr˚ uˇrez pro l-tou parci´aln´ı vlnu. K tomu se bude hodit vztah (11.0.13). Mezi goniometrick´ ymi funkcemi plat´ı tg2 x . sin x = 1 + tg2 x 2
V naˇsem pˇr´ıpadˇe tg2 δl (k) = 1 + tg2 δl (k) Q2 jl4 (ka) = Q2 jl4 (ka) + Qjl (ka)nl (ka) −
sin2 δl (k) =
au ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez je tedy σl (k) =
1 2 ka
4π Q2 jl4 (ka) (2l + 1) k2 Q2 jl4 (ka) + Qjl (ka)nl (ka) −
1 2 ka
(11.3.6)
∆HkL
∆HkL
∆HkL
k 2
4
6
8
k
10
2
-0.1
4
6
8
k
10
2
4
6
8
10
-0.5
-0.5
-1.0
-0.2 -1.0
-0.3 -0.4
-1.5
-0.5
-2.0
PHkL 1.2
-1.5 -2.0 -2.5
PHkL 15
PHkL 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
10 5
k 2
4
6
8
k
10
2
4
6
8
ΣHkL
ΣHkL 3.0
10
2.5
8
2.0
6
k
10
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
ΣHkL 12 10 8 6
1.5 4
1.0
4
2
0.5
2
k 2
4
6
8
k
10
2
4
6
8
ΣHkL
ΣHkL 3.0
10
2.5
8
2.0
6
k
10 ΣHkL 12 10 8 6
1.5 4
1.0
4
2
0.5
2
k 2
4
6
8
10
k 2
(j) Q = 1
4
6
8
10
k
(k) Q = 10
(l) Q = 50
Obr´azek 12: 1. ˇr´ adek: F´azov´e posunut´ı l-t´e parci´ aln´ı vlny δl (k) podle (11.3.4) pro l = 0 (modˇre), l = 1 (fialovˇe), l = 2 (b´eˇzovˇe). 2. ˇ r´ adek: Koeficient pr˚ uniku l-t´e parci´ aln´ı vlny Pl (k) ´ cinn´ podle (11.3.5). 3. ˇ r´ adek: Uˇ y pr˚ uˇrez l-t´e parci´ aln´ı vlny podle (11.3.6). 3. ˇ r´ adek: Souˇcet u ´ˇcinn´ ych pr˚ uˇrez˚ u σ0 (modˇre), σ0 +σ1 (fialovˇe), σ0 +σ1 +σ2 (b´eˇzovˇe), σ0 +σ1 +σ2 +σ3 (zelenˇe). Vˇse je zn´ azornˇeno pro r˚ uzn´e hodnoty Q.
Hladina ka
1s π = 3.1
1p 4.5
1d 5.8
2s 2π = 6.3
1f 7.0
2p 7.7
1g 8.2
2d 9.1
Tabulka 2: V´azan´e stavy nekoneˇcnˇe hlubok´e sf´ericky symetrick´e j´amy. Je uˇzito spektroskopick´e znaˇcen´ı s(l = 0), p(l = 1), d(l = 2), f (l = 3), g(l = 4).
Na obr´azku 11.3 jsou zn´azornˇeny v´ ysledky pro nejniˇzˇs´ı parci´aln´ı vlny a pro r˚ uzn´e ˇ s´ıly potenci´alu dan´e velikost´ı parametru Q. C´ım je Q vˇetˇs´ı (potenci´al silnˇejˇs´ı), t´ım jsou v´ yraznˇejˇs´ı a ostˇrejˇs´ı maxima v koeficientu pr˚ uniku a v u ´ˇcinn´em pr˚ uˇrezu. To je uk´azka rezonanc´ı (kvaziv´azan´ ych stav˚ u). Kdybychom spoˇc´ıtali v´azan´e stavy nekoneˇcn´e hlubok´e sf´erick´e dutiny s potenci´alem ( 0 pro r < a V (r) = ∞ pro r > a obdrˇzeli bychom v´azan´e stavy uveden´e v tabulce 11.3. Jejich poloha dobˇre koresponduje s rezonanˇcn´ımi maximy pˇri velk´ ych Q. Z obr´azku je tak´e vidˇet, ˇze pro mal´e hybnosti (energie) k pˇrisp´ıv´a k rozptylu prakticky jen s-vlna (l=0).
