Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal ....................................................... 1 1.1. Gyökök és hatványozás..................................................................................................... 1 1.1.1. Hatványozás ................................................................................................................... 1 1.1.2. Gyökök .......................................................................................................................... 1 1.2. Azonosságok ..................................................................................................................... 2 1.3. Egyenlőtlenségek .............................................................................................................. 3
2. Függvények ................................................................................ 4 2.1. A függvény fogalma ......................................................................................................... 4 2.2. Injektív, szürjektív függvények ......................................................................................... 5 2.3. Függvények összetétele .................................................................................................... 6 2.4. Inverz függvény ................................................................................................................ 6
3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek .................................. 7 3.1. Elsőfokú egyenletek .......................................................................................................... 7 3.2. Valós szám abszolút értéke ............................................................................................... 9
4. Másodfokú függvény ................................................................. 9 5. Komplex számok ..................................................................... 11 5.1. Algebrai alak ....................................................................................................................12 5.2. Az i hatványai ..................................................................................................................12 5.3. A z konjugáltja .................................................................................................................12 5.4. Komplex szám abszolút értéke.........................................................................................13 5.5. Trigonometriai alak ..........................................................................................................14 5.6. Moivre-képlet ..................................................................................................................15 5.7. Exponenciális alak ...........................................................................................................16 5.8. Binom egyenlet ................................................................................................................16
6. Haladványok ............................................................................ 16 6.1. Számtani sorozatok ..........................................................................................................16 6.2. Mértani sorozatok ............................................................................................................17 6.2.1. Egy alkalmazás .............................................................................................................18
7. Logaritmusok ........................................................................... 19 7.1. Alap logaritmikus és exponenciális egyenletek................................................................21 7.2. Alap logaritmikus és exponenciális egyenlőtlenségek .....................................................21
8. Mértan ...................................................................................... 22 8.1. Vektorok ..........................................................................................................................22 8.1.1. Nevezetes helyzetvektorokkal kapcsolatos tételek ........................................................27 8.2. Analitikus mértan térben, síkban......................................................................................30 8.2.1. Egy pont és két nem párhuzamos irány által meghatározott sík egyenlete ....................31 8.2.2. Három nem kollineáris pont által meghatározott sík egyenlete .....................................32 8.2.3. A sík tengelymetszetes egyenlete ..................................................................................34 8.2.4. A sík általános egyenlete...............................................................................................34 8.2.5. A koordináta-rendszerhez viszonyítva sajátos helyzetű síkok egyenletei......................35
8.3. Egyenesek egyenletei ............................................................ 36 8.3.1. Két különböző pont által meghatározott egyenes egyenlete ..........................................37 8.3.2. Az egyenes általános egyenlete .....................................................................................37 8.3.3. Síkbeli egyenesek egyenletei ........................................................................................37 8.3.4. Két különböző pont által meghatározott egyenes egyenlete ..........................................38 8.3.5. Két térbeli egyenes szöge ..............................................................................................39 8.4. Pont távolsága egyenestől (síkban) ..................................................................................39 8.4.1. Szögfelezők egyenletei (síkban)....................................................................................40 8.5. Pont távolsága egyenestől (térben) ...................................................................................40 8.6. A kör ................................................................................................................................41 8.7. Az ellipszis.......................................................................................................................42
9. A hiperbola............................................................................... 42 9.1. Parabola ...........................................................................................................................43 9.2. Skaláris szorzat további alkalmazásai ..............................................................................44
10. A matematikai indukció módszere......................................... 45 10.1. A Peano-féle axiómák ....................................................................................................45 10.2. A matematikai indukció módszere .................................................................................46 10.3. A matematikai indukció módszerének egy változata .....................................................46
11. Kombinatorika ....................................................................... 47 11.1. Permutációk ...................................................................................................................47 11.2. Variációk........................................................................................................................47 11.3. Kombinációk..................................................................................................................47 11.4. Newton binomiális képlete.............................................................................................48 11.5. Azonos hatványösszegek ...............................................................................................49
12. Polinomok .............................................................................. 49 12.1. Egy polinom algebrai alakja...........................................................................................49 12.2. Polinomok oszthatósága .................................................................................................50
12.3. Irreducibilis polinomok ..................................................................................................51 12.4. Polinomok gyökei ..........................................................................................................51 12.5. Algebrai egyenletek .......................................................................................................52 12.6. Polinomok melyek együtthatói R, Q, Z-ből vannak .......................................................52
13. Permutációk, mátrixok és determinánsok .............................. 53 13.1. Permutációk ...................................................................................................................53 13.2. Mátrixok ........................................................................................................................54 13.3. Műveletek mátrixokkal ..................................................................................................55 13.4. Determinánsok ...............................................................................................................56 13.5. Mátrix inverse ................................................................................................................58 13.5.1. A mátrix nyoma, Tr(A) ...............................................................................................58 13.6. További képletek............................................................................................................59
14. Lineáris rendszerek ................................................................ 60 14.1. Jelölések.........................................................................................................................60 14.2. Összeférhetőség .............................................................................................................61
15. Trigonometria ........................................................................ 61 15.1. Trigonometriai képletek .................................................................................................61 15.2. Trigonometria alkalmazása a mértanban ........................................................................63
16. Matematikai analízis .............................................................. 66 16.1. Rekurziók.......................................................................................................................66 16.1.1. Elsőrendű rekurziók ....................................................................................................66 16.1.2. Másodrendű rekurziók ................................................................................................66 16.2. Sorozatok határértéke .....................................................................................................66 16.2.1. Általános határértékek, konvergencia kritériumok ......................................................68 16.3. Függvényhatárértékek ....................................................................................................71 16.3.1. Műveletek függvényhatárértékekkel ...........................................................................71 16.4. Alaphatárértékek ............................................................................................................72 16.5. Függvények folytonossága .............................................................................................73 16.5.1. Folytonosságra vonatkozó tételek ...............................................................................74 16.6. Deriválható függvények .................................................................................................76 16.6.1. Derivált értelmezése egy pontban ...............................................................................76 16.6.2. Deriválási szabályok ...................................................................................................77 16.6.3. Néhány függvény deriváltja ........................................................................................77 16.6.4. Összetett függvény deriváltja ......................................................................................78 16.6.5. Magasabbrendű deriváltak ..........................................................................................79 16.6.6. Deriválható függvények tulajdonságai ........................................................................80 16.7. Integrálok .......................................................................................................................80 16.7.1. Határozatlan integrálok ...............................................................................................80
17. Primitiválhatósága ................................................................. 81 17.1. Racionális függvények primitívje ..................................................................................81 17.2. Integrálok amelyek tartalmazzák az r = (x2 + a2)1/2 ........................................................82 17.3. Integrálok amelyek tartalmazzák az s = (x2 – a2)1/2 ........................................................83 17.4. Integrálok amelyek tartalmazzák a t = (a2 – x2)1/2 ..........................................................84 17.5. Integrálok amelyek tartalmazzák az R = (ax2 + bx + c)1/2 ..............................................84 17.6. Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a sin-t tartalmazzák.....................................85 17.7. Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a cos-t tartalmazzák ....................................85 17.8. Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a tan-t tartalmazzák ....................................86 17.9. Trigonometrikus integrálok, amelyek tartalmazzák a sin-t és cos-t ................................86 17.10. Logaritmikus integrálok ...............................................................................................87 17.10.1. A határozott integrál tulajdonságai............................................................................87 17.10.2. Integrálok additivitása intervallumokon ....................................................................88 17.10.3. Fundamentális tétel (Alaptétel) .................................................................................88 17.10.4. Egyenlőtlenségek ......................................................................................................89 17.11. Más tételek ...................................................................................................................91 17.11.1. Primitiválható függvények ........................................................................................92 17.11.2. Integrálható függvények............................................................................................92
18. Algebrai struktúrák ................................................................ 93 18.1. Csoportok.......................................................................................................................93 18.1.1. Tulajdonságok és nevezetes tételek .............................................................................93 18.2. Monoidok.......................................................................................................................95 18.3. Gyűrűk ...........................................................................................................................96 18.4. Testek.............................................................................................................................98 18.5. Vektorterek ....................................................................................................................99
1 1.1 1.1.1
Muveletek ˝ valós számokkal Gyökök és hatványozás Hatványozás
1. am·n = am · an 2. am · bm = (a · b)m 3. am : an = am−n 4. am : bm = (a : b)m 5. a−m =
1 am
6. (am )n = amn . A valós számok hatványai kiterjeszthetőek racionális, irracionális, illetve valós hatványokkál is sorok segítségével. Ezek a hatványok is rendelkeznek azokkal a tulajdonságokkal amivel a természetes kitevöjű hayványok. 1.1.2
Gyökök
Az alábbi képletekben értelemszerűen az n, m ≥ 2, valamint az a, b, c számok olyan valós számok, amelyekre az adott kifejezéseknek van értelme: √ 1 n a = a n , a > 0; 1. q 1 1 −n ; 2. n a1 = √ n a = a √ n n 3. ( a) = a; √ √ √ 4. n a · n b = n ab; q n = a1 ; 5. n a1 √ √ √ √ 6. n a · n b · n c = n abc; √ p √ 7. n a : n b = n ab ; √ √ √ nm an+m ; 8. m a · n a = √ √ √ nm an−m ; 9. m a : n a = √ n 10. anm = am ; √ n 11. m an = a m ; √ √ 12. mn amp = n ap ; √ √ √ 13. m ap · n bq = nm apn · bqm ;
1
14.
p√
m
n
√
a=
√ a;
nm
a2 = |a|; √ √ 16. 2n+1 −a = −q2n+1 a; q p √ a−c 2 2 17. a ± b = a+c 2 ± 2 ahol a c = a − b egynlőségből határozzuk meg a c értékét.
15.
Tekintsük a következő példát a 17 képletre. Hozzuk egyszerűbb alakra q √ 3 + 8 kifejezést. Ebben az esetben nehéz dolgunk van és nem igazán tudunk vele mit kezdeni, ezért folyamodunk a fenti képlethez: c2 = 32 −8 = 1, tehát r r q √ 3+1 3−1 √ + = 2 + 1. 3+ 8= 2 2
1.2
Azonosságok
Bármely x, y, z, t, a, b, c, d ∈ R és n ∈ N esetén: 1. a2 − b2 = (a − b)(a + b) 2. (a2 + b2 )(x2 + y 2 ) = (ax − by)2 + (ay + bx)2 3. ab − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) 4. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) 5. a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) 6. ab + b3 + c3 = (a + b + c)3 − 3(a + b)(b + c)(c + a) 7. a4 − b4 = (a − b)(a + b)(a2 + b2 ) √ √ 8. a4 + b4 = (a2 + b2 − ab 2)(a2 + b2 + ab 2) 9. a5 − b5 = (a + b)(a4 + a3 b + a2 b2 + ab3 + b4 ) 10. a6 + b6 = (a3 − 2ab2 )2 + (b3 − 2a2 b)2 11. an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + ... + abn−2 + bn−1 ) 12. a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2 n − a2n−1 b + ... − ab2n−1 + b2n ) 13. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac 2 n n n X X X X a2j x2j − aj xj = (ai xj − aj xi )2 14. j=1
2
j=1
j=1
1≤i<j≤n
11
Kombinatorika
11.1
Permutációk
Értelmezés 11.1. Ehu halmazt egy rendezési relációval ellátva egy rendezett halmaznak nevezünk. és (a1 , a2 , ..., an ) jelölést használjuk. Értelmezés 11.2. Egy n elem˝u A halmaz permutációin az összes rendezett halmazt értjük melyet az A-nak az n db, eleméb˝ol lehet képezni. Egy elem˝u n,(n ∈ N∗ ) halmaz permutációinak a száma Pn = 1 · 2 · ... · n = n!; 0! = 1(definíció szerint). Tulajdonságok (faktoriálisok): n! = (n − 1)! · n és n! =
11.2
(n+1)! n+1 .
Variációk
Értelmezés 11.3. Egy n elem˝u A halmaz m-ed rend˝u variációján az A elemeib˝ol képezhet˝o összes m elem˝u rendezett részhalmazt értjük Jelölés Vnm . Tétel 11.1. Az n elem˝u halmaz m-ed rend˝u variációinak a száma Vnm = n(n − 1)...(n − m + 1) = Tulajdonságok: Ann = Pn , Ann =
11.3
n! 0!
n! , n ≥ m. (n − m)!
vagy Ann = n!; An−1 = Ann ; A0n = 1. n
Kombinációk
Értelmezés 11.4. Egy n elem˝u A halmaz m-ed rendü kombinációján az összes A-beli elemekb˝ol képezhet˝o m elem˝u részhalmazt értjük. Jelölés: Cnm . Tétel 11.2. Tulajdonságok: 1. Cn1 = n; Cnn = Cn0 = C00 = 1; 2. Cnm = Cnn−m ;
47
m−1 m 3. Cnm = Cn−1 + Cn−1 ;
4. Egy n elem˝u halmaz összes részhalmazainak a száma 2n , azaz Cn0 + ... + Cnn = 2n 5. m−1 m−1 m−1 m−1 m−1 + Cn−2 + .. + Cm+1 + Cm + Cm−1 ; Cnm = Cn−1
6.
n! p1 ! · p2 ! · ... · pm ! p2 m , = Cnp1 · Cn−p · ... · Cn−(p1+p2 +...+ppm−1 1
ahol p1 + ... + pm < n.
11.4
Newton binomiális képlete
Érvényes az alábbi kifejtés: (x+a)n = Cn0 xn +Cn1 xn−1 a+...+Cnk xn−k ak + ... + Cnn an , (x − a)n = Cn0 xn − Cn1 xn−1 a + ... + (−1)k Cnk xn−k ak + ... + (−1)n Cnn an . Tétel 11.3. Tulajdonságok: 1. A k + 1-ed rend˝u elem Tk+1 = (−1)k Cnk xn−k ak n−k k k+1 Cn ; k+1 n−k k Cn+1 = k+1 Cn ; a Tk+2 = n−k k+1 x Tk+1 vagy a Tk+2 = − n−k k+1 x Tk+1 ; n
2. Cnk+1 = 3. 4.
5. Az (x ± a) kibontásának n + 1 tagja van; 6. A két végét˝ol egyenl˝o távolságra elhelyezked˝o tagok együtthatói egyenl˝oek. Tétel 11.4. Érvényesek: 1. Cn0 + Cn1 + ... + Cnn = 2n ; Cn0 − Cn1 + ... + (−1n )Cnn = 0;
48
2. Cn0 + Cn2 + Cn4 + ... = 2n−1 ; Cn1 + Cn3 + Cn5 + ... = 2n−1 ; n = (Cn0 )2 + (Cn1 )2 + ... + (Cnn )2 . 3. C2n
A Newton-Binomiális kifejtés néhány sajátos esete: 1) (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; 2) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac); 3) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ; 4) (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 ; 5) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2 b + a2 c + b2 a + b2 c + c2 a + c2 b) + 6abc; 6) (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 .
11.5
Azonos hatványösszegek
Ha Sp = 1p + 2p + ... + np , p ∈ N, akkor: 1. S1 = 2. S2 = 3. S3 = 4. S4 = 5. S5 =
n(n+1) ; 2 n(n+1)(2n+1) ; 6 n(n+1) 2 ( 2 ) ; n(n+1)(6n3 +9n2 +n−1) ; 30 n2 (n+1)2 (2n2 +2n−1) . 12
6. Az Sp kiszámolására szolgáló egyik képlet, az Sp−1 , Sp−2 ,..., S1 segítségével az ún. Pascal formula: p 1 Sp + .. + Cp+1 S1 + n. (n + 1)p+1 = 1 + Cp+1
12 12.1
Polinomok Egy polinom algebrai alakja
Az f ∈ C[x] polinom a következő alakba írható f = a0 X n + a1 X n−1 + ... + a1 X + a0 , ahol n a polinom fokszáma, a0 szabad tag és an a főe-
49
13
Permutációk, mátrixok és determinánsok
13.1
Permutációk
Értelmezés 13.1. Legyen A = {1, 2, ..., n}, σ egy n-d rend˝u permutációnak nevezzük ha σ : A → A egy bijektív függvény. 1 2 σ(a) σ(2)
σ=
··· ···
n σ(n)
!
Legyen Sn az n-d rendű permutációk halmaza; |Sn | = n!, 1A = e, legyen az identikus permutáció 2 ··· 2 ···
1 1
e=
n n
! ;
Permutációk összetétele: Legyen σ, τ ∈ Sn akkor σ◦τ = 1
2
···
n
σ(τ (1))
σ(τ (2))
···
σ(τ (n))
! ∈ Sn .
Értelmezés 13.2. Legyen i, j ∈ A, i 6= j, τij ∈ Sn , τij transzpoziciónak nevezzük ha: j, ha k = i; τij (k) = i, ha k = j; k, különben , Tétel 13.1. Észrevételek: 1.) (τij )−1 = τij ; 2.) Az n-d rend˝u transzpoziciók száma Cn2 .
53
Értelmezés 13.3. Legyen (i, j) ∈ A × A,i < j, (i, j) számpárról azt mondjuk hogy egy inverziója a σ-nak ha σ(j) < σ(i). Az m(σ) az inverziók száma esetén σ : 0 ≤ m(σ) ≤ Cn2 =
n(n − 1) . 2
Ekkor az (σ) = (−1)m(σ) nevezzük σ el˝ojelének. Tétel 13.2. Megjegyzések: 1. A σ permutációt párosnak mondjuk ha (σ) = 1, illetve páratlannak ha (σ) = −1; 2. Minden transzpozició páratlan; Y σ(i) − σ(j) 3. (σ) = ; i−j 1≤i<j≤n
4. (σ ◦ τ ) = (σ) · (τ ).
13.2
Mátrixok
Értelmezés 13.4. Legyen M = {1, 2, ..., m} és N = {1, 2, ..., n}. Egy A : M × N → C, leképezés eseteén amelyre A(i, j) = aij (m, n) mátrixnak nevezzük, amelynek m sora és n oszlopa van:
a11 a21 .. . am1
··· ··· .. . ···
a1n a2n .. . amn
és a komplex elem˝u mátrixok halmazát a következ˝oképpen jelöljük: Mm,n (C) amelyek (m, n) típusuak. Értelmezés 13.5. Ha m = n akkor n-d rend˝u négyzetes mátrixnak nevezzük, és ezek halmazát a következ˝oképpen jelöljük Mn (C). Értelmezés 13.6. Két A, B ∈ Mm,n (C)
54
akkor és csak akkor egyenl˝o ha aij = bij , ∀(i, j) ∈ M × N
13.3
Muveletek ˝ mátrixokkal:
1. (Összeadás:) Legyen A, B ∈ Mm,n (C) akkor C = A + B ∈ Mm,n (C), ahol cij = aij + bij , ∀(i, j) ∈ M xN , mátrixot az A és B mátrixok összegének nevezzük. Az összeadás tulajdonságai: ∀A, B, C ∈ Mm,n (C) esetén: (a) A + B = B + A (b) (A + B) + C = A + (B + C) (c) A + O = O + A = A(a semleges elem ahol O = Om,n a null mátrix) (d) A + (−A) = (−A) + A = O (az A elentetje −A). 2. (Skalárral való szorzás:) Legyen A ∈ Mm,n (C) és λ ∈ C akkor B = λA ∈ Mm,n (C), ahol bij = λaij , ∀(i, j) ∈ M × N a B mátrixot az A mátrix a λ skalárral való szórzásának nevezzük. Tulajdonságok: ∀A, B ∈ Mm,n (C) és λ, µ ∈ C esetén: (a) 1 · A = A; (b) λ · A = A · λ; (c) (λ + µ)A = λA + µA; (d) λ(A + B) = λA + λB; (e) λ(µA) = (λµ)A = µ(λA). 3. (Mátrix transzponáltja:) Legyen A ∈ Mm,n (C) akkor At ∈ Mm,n (C) ahol atij = aji , ∀(i, j) ∈ M × N . 4. (Mátrixok szorzása:) Legyen A ∈ Mm,n (C) és B ∈ Mn,p (C) akkor
55
C = A · B ∈ Mm,p (C), mátrixot a következő képpen kapjuk meg: cij =
n X
aik bkj ,
k=1
∀(i, j) ∈ M × N . A mátrixok szorzásának a következő fontos tulajdonságai vannak: (a) (AB)C = A(BC); (b) AIn = In (a semleges elem az egységmátrix) In =
1 0 ··· 0 1 ··· .. .. . . . . . 0 0 ···
0 0 .. . 1
∈ Mm,n (C); (d) (A + B)C = AC + BC; (e) A(B + C) = AB + AC.
13.4
Determinánsok
Legyen Mn (C) az n-d rendű négyzetes mátrixok halmaza, amelyet a következő alakban is írhatunk: A =
a11 a21 .. . an1
··· ··· .. . ···
a1n a2n .. . ann
Értelmezés 13.7. Az A mátrix determinánsán a következ˝o számot értjük det A = X σ∈Sn
56
(σ)a1σ(a) a2σ(2) ...anσ(n)
A következ˝oképpen jelöljük: a11 a21 det A = . .. a n1
··· ··· .. .
a1n a2n .. . ann
···
Érvényes: det A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ... + ain Ain , ahol Aij aij elem algebrai komplementuma, amely Aij = (−1)( i + j)dij , ahol dij az aij elemhez tartozó aldetermináns. Tétel 13.3. Ha C = A · B, akkor det C = det A · det B ahol A, B, C ∈ Mn (C)). Tétel 13.4. Négyzetes másodrend˝u mátrix determinánsa: a 11 a21
a12 a22
= a11 a22 − a12 a21 Tétel 13.5. Harmadrend˝u mátrix determinánsa: a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 −a31 a22 a13 − a11 a32 a23 − a21 a12 a33 .
57
Tétel 18.23. Ha A egy integritási tartomány, akkor A[x] is integrtási tartomány és grad(f · g) = gradf + gradg , ∀f, g ∈ A[x].
18.4
Testek
Legyen (K, +, ·) struktúra és K × K → K, (x, y) → x + y , K × K → K, (x, y) → x · y, K nem üres; Értelmezés 18.6. (K, +, ·) egy test, ha (K, +, ·) gy˝ur˝u, 0 6= 1 és ∀x ∈ K, x 6= 0 ⇒ x∃x−1 ∈ K : x·x−1 = x−1 ·x = 1. Ha x · y = y · x, ∀x, y ∈ K akkor a test kommutatív. Példák: 1. (Q, +, ·) racionális számok teste; 2. (R, +, ·) valós számok teste; 3. (C, +, ·) komplex számok teste; p 4. (Q( (d), +, ·)) , (d ∈ Z négyzetmentes); 5. (Zp , +, ·) maradékosztályok test modulo p ∈ N∗ , p > 1, p prím. 0
Értelmezés 18.7. Legyenek (A, ⊥, ∗) és (A , 4, ◦) testek: 0 f : A → A egy test izomorfizmus, ha f bijectív és f (x⊥y) = f (x)4f (y) f (x ∗ y) = f (x) ◦ f (y), ∀x, y ∈ A. Tétel 18.24 (Maradékos osztás tétele). K kommuatív test, g ∈ K[x], g 6= 0 ekkor ∀f ∈ K[x] esetén léteznek q, r ∈ K[x] egyértelm˝uen meghatározott polinomok úgy, hogy f = q · g + r, deg r < deg g.
98
Tulajdonságok: 1.) Ha K test karakterisztikája nem nulla, akkor bíztosan egy prímszám. 2.) Bármely, testek között ható morfizmus injektív. 3.) Wedderburn tétel:Minden véges test kommutatív. 4.) Kaplanski tétel: Legyen K egy test. Ha ∀a ∈ K, ∃n(a) ∈ N∗ úgy, hogy an(a) ∈ Z(K) következik, hogy K komutatív.
18.5
Vektorterek
Egy V halmaz (a vektorok halmaza), együtt egy (K, +, ·) testel(a skalárok teste),egy + a V -n értelmezett belső művelettel(a vektorok összeadása) és egy · művelettel (vektorok skalárral való szorzása) egy vektorteret képez, ha teljesülnek az alábbiak: 1.) (V, +) kommutatív csoport 2.) (K, +, ·) kommutatív test 3.) A skaláral való szorzásnak az alábbi tulajdonságai kell teljesüljenek: a.)∀a, b ∈ K és x ∈ V esetén: (a · b) · x = a · (b · x) (asszociativitás) b.) ∀x ∈ V esetén 1 · x = x, ahol 1 a K semleges elem a szorzásra nézve. c.) ∀a ∈ K és x, y ∈ V teljesül, hogy a · (x + y) = a · x + a · y (I. distributivitás) d.) ∀a, b ∈ K és x ∈ V esetén (a + b) · x = a · x + b · x (II. distributivitás) Azt mondjuk, hogy V egy K fölötti vektortér és K V -el jelöljük. Ha(egy vektortéren bevezetünk egy "mértéket" a vektorok hosszának a mérésére (melyet "normának" nevezünk), akkor egy normált teret kapunk. A norma egy távolság fogalmat is maga után von, így minden normált tér egyben metrikus tér is
99
és következésképpen topológikus tér is. Tulajdonságok: 1.) Legyen K V vektortér, a ∈ K és x ∈ V . Ekkor: ax = 0V ⇔ a = 0K és (−a)x = a(−x) = −ax 2.) a) Két vektortér morfizmus összetétele is vektortér morfizmus. b) Egy vektortér izomorfizmus inverze is egy vektortér izomorfizmus.
100
