Oddˇelen´ı fyzik´aln´ıch praktik pˇri Kabinetu v´yuky obecn´e fyziky MFF UK
PRAKTIKUM I. ´ Uloha ˇc. VIII N´azev: Kalibrace odporov´eho teplomˇeru a termoˇcl´anku – f´azov´e pˇrechody ˇ cek Pracoval: Pavel Seveˇ
stud. skup.: F/F1X/11
dne: 25. 2. 2012
Odevzdal dne:
Moˇzn´y poˇcet bod˚ u Pr´ace pˇri mˇeˇren´ı
0–5
Teoretick´a ˇc´ast
0–1
V´ysledky mˇeˇren´ı
0–8
Diskuse v´ysledk˚ u
0–4
Z´avˇer
0–1
Seznam pouˇzit´e literatury
0–1
Celkem
max. 20
Posuzoval: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Udˇelen´y poˇcet bod˚ u
1 Pracovn´ı u´kol 1. Okalibrujte pomoc´ı bodu t´ an´ı ledu, bodu varu vody a bodu tuhnut´ı c´ınu: (a) platinov´ y odporov´ y teplomˇer (urˇcete konstanty R0 , A, B). (b) termoˇcl´ anek mˇed’-konstantan (urˇcete konstanty a, b, c) 2. Registrujte ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh termoelektrick´eho napˇet´ı termoˇcl´anku ε(τ ) a odporu platinov´eho teplomˇeru R(τ ) pˇri ohˇrevu a varu vody a pˇri tuhnut´ı c´ınu. Zmˇeˇren´e pr˚ ubˇehy graficky zn´azornˇete. 3. Nakreslete graf teplotn´ı z´ avislosti odporu R (kalibraˇcn´ı kˇrivka odporov´eho teplomˇeru) a graf teplotn´ı z´avislosti termoelektrick´eho napˇet´ı ε (kalibraˇcn´ı kˇrivka termoˇcl´anku). 4. Ze z´avislost´ı ε(τ ) a R(τ ) dle bodu 2 a kalibraˇcn´ıch hodnot dle bodu 1 urˇcete ˇcasov´e z´avislosti tR (τ ) a tε (τ ) teplot mˇeˇren´ ych odporov´ ym teplomˇerem a termoˇcl´ankem pˇri ohˇrevu vody a tuhnut´ı c´ınu. Urˇcen´e z´avislosti porovnejte.
2
2 Teorie M´ame k dispozici dva r˚ uzn´e nekalibrovan´e teplomˇery - odporovou trubici a termoˇcl´anek. Naˇs´ı snahou je tyto teplomˇery kalibrovat. V obou pˇr´ıpadech pˇredpokl´ad´ame, ˇze mˇeˇren´a veliˇcina je na teplotˇe z´avisl´a kvadraticky (viz vztahy n´ıˇze). Pro urˇcen´ı polynomu (nejv´ yˇse) druh´eho stupnˇe tedy potˇrebujeme zjistit tˇri hodnoty veliˇciny pˇri zn´am´ ych teplot´ ach. Za tyto v´ ychoz´ı teploty vol´ıme teploty f´azov´ ych pˇrechod˚ u, protoˇze tyto teploty zn´ame a m˚ uˇzeme jednoduˇse realizovat prostˇred´ı o teplotˇe f´azov´eho pˇrechodu. Pˇri ochlazov´an´ı (resp. oteplov´ an´ı) l´ atky kles´a (resp. roste) jej´ı teplota, dokud l´atka nedos´ahne teploty f´azov´eho pˇrechodu. Pˇri n´ asledn´em odeb´ır´ an´ı (resp. dod´av´an´ı) tepla se teplota nemˇen´ı1 , teplo se spotˇrebov´ av´ a ’ na zmˇenu skupenstv´ı, dle [1]. Tento bod tedy m˚ uˇzeme jednoduˇse urˇcit, nebot teplota l´atky se pˇrestane mˇenit a tedy pˇrestane klesat (resp. r˚ ust) i mˇeˇren´ a veliˇcina. Za v´ ychoz´ı teploty vol´ıme bod t´ an´ı ledu t1 , bod varu vody t2 a bod t´an´ı c´ınu t3 . Za standardn´ıch ◦ podm´ınek je t1 = 0 C. Teplota t2 je netrivi´ alnˇe z´avisl´a na atmosf´erick´em tlaku, urˇc´ıme ji podle pˇribliˇzn´eho vztahu: 2 3 p p p t2 (p) = 100, 0 + 28, 0216 − 1 − 11, 642 − 1 + 7, 1 −1 (1) p0 p0 p0 Teplota t3 je pro ˇcist´ y c´ın rovna t3 = 231, 93 ◦ C.
2.1 Odporov´a trubice Odporov´a trubice n´ am umoˇzn ˇuje mˇeˇrit teplotu prostˇred´ı pomoc´ı odporu. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze z´avislost odporu trubice na teplotˇe je kvadratick´ a, tedy ˇze plat´ı: R(t) = R0 (1 + At + Bt2 )
(2)
R0 , A a B jsou konstanty pro danou trubici a z´ısk´ame je pomoc´ı Lagrangeovy interpolace ze zmˇeˇren´ ych teplot t1 , t2 , t3 .
2.2 Termoˇcl´anek Termoˇcl´anek se skl´ ad´ a ze dvou r˚ uzn´ ych vodiˇc˚ u a umoˇzn ˇuje mˇeˇrit napˇet´ı ε mezi nimi, kter´e vznik´ a kv˚ uli Seebeckovˇe jevu (viz. [1]). Opˇet pˇredpokl´ ad´ame, ˇze z´avislost napˇet´ı na rozd´ılu teplot mezi vodiˇci bude kvadratick´a, tedy ε(t1 , t2 ) = a + b(t2 − t1 ) + c(t2 − t1 )2 (3) Stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe odporov´e trubice, a, b, c jsou konstanty, kter´e z´ısk´ame pˇri namˇeˇren´ı v´ ychoz´ıch teplot.
3 Mˇeˇren´ı 3.1 Postup mˇeˇren´ı Nejprve zmˇeˇr´ıme hodnotu odporu R(0◦ ). Pro realizaci t´eto teploty pouˇzijeme smˇes vody a ledu um´ıstˇenou v termosce. Je nutno poˇckat, aˇz se hodnota odporu u ´plnˇe ust´al´ı. Protoˇze mˇeˇr´ıme ve stupn´ıch Celsia a teplota t´an´ı ledu je pr´avˇe t1 = 0◦ C, odpov´ıd´ a R(0◦ ) odporu R0 v rovnici (2). D´ale zmˇeˇr´ıme rozd´ıl napˇet´ı ε(0◦ , 0◦ ), kdyˇz jsou oba vodiˇce ponoˇreny do termosky. Tato hodnota by v ide´aln´ı situaci byla nulov´ a, namˇeˇr´ıme vˇsak urˇcitou nenulovou hodnotu, nebot’ vodiˇce nejsou ze stejn´eho materi´alu, nejsou stejnˇe ponoˇreny do termosky atd. Ze stejn´eho d˚ uvodu jako v´ yˇse, tato namˇeˇren´a hodnota vlastnˇe odpov´ıd´a hodnotˇe koeficientu a ve vztahu (3). Nejprve budeme mˇeˇrit var vody, pot´e tuhnut´ı c´ınu, princip je vˇsak stejn´ y v obou. Budu tedy popisovat pouze var. Odporovou trubici a jeden z dvojice vodiˇc˚ u vloˇz´ıme nad vodu, kterou postupnˇe pˇrivedeme k varu, druh´ y z vodiˇc˚ u termoˇcl´anku nech´ ame v termosce. Termoˇcl´ankem mˇeˇr´ıme rozd´ıl teplot t2 − t1 , ale protoˇze t1 = 0◦ C, m˚ uˇzeme rovnici (3) pˇrepsat na tvar: ε(t) = a + bt + ct2 (4) 1
Za pˇredpokladu, ˇze l´ atka nen´ı amorfn´ı a nen´ı zneˇciˇstˇen´ a.
3
kde t je teplota druh´eho vodiˇce termoˇcl´ anku. Program Zapisovaˇc automaticky zaznamen´av´a v´ ysledky mˇeˇren´ı, odpor zaznamen´av´ame ruˇcnˇe kaˇzd´ ych 50 sekund. Namˇeˇren´e hodnoty odporu jsou uvedeny v tabulce 2 a ve grafu 1, zapsan´e hodnoty napˇet´ı jsou zobrazeny ve grafu 2. Napˇet´ı ε mˇeˇr´ıme pˇr´ıstrojem s rozsahem εM = 100 mV. Chyba mˇeˇren´ı tohoto pˇr´ıstroje je: ∆ε = 90 · 10−6 · ε + 35 · 10−6 · εM
(5)
Odpor R mˇeˇr´ıme s rozsahem RM = 0, 2 kΩ. Pˇr´ıstroj ud´av´a v´ ysledek mˇeˇren´ı s chybou: ∆R = 0, 5% · R + 0, 1% · RM
(6)
3.2 Kalibrace Z rovnice (1) urˇc´ıme teplotu t2 . Namˇeˇren´ y atmosferick´ y tlak je p = 99, 23 kPa, teplota varu vody je tedy t2 = 99, 42 ◦ C Z namˇeˇren´ ych hodnot urˇc´ıme dva zb´ yvaj´ıc´ı body pro kalibraci, tedy koeficienty A, B v rovnici (2), resp. koeficienty a, b v rovnici (3). Potˇrebujeme vˇedˇet, pˇri jak´e hodnotˇe R, resp. ε, je dosaˇzena kalibraˇcn´ı teplota t2 a t3 . To urˇc´ıme podle toho, ˇze hodnota R, resp. ε se pˇrestane mˇenit (v z´avislosti na ˇcase), tedy ˇze funkce z´avislosti R, resp. ε na ˇcase bude v dan´em m´ıstˇe (pˇribliˇznˇe) konstantn´ı. t [◦ C] 0 99,42 231,93
R [Ω] 100, 5 ± 0, 7 138, 4 ± 0, 9 187, 5 ± 1, 1
ε [mV] (−2, 3 ± 3, 5) · 10−3 4, 3 ± 0, 1 11, 0 ± 0, 1
Tabulka 1: Namˇeˇren´e hodnoty veliˇcin R a ε pˇri f´azov´ ych pˇrechodech.
Z tˇechto namˇeˇren´ ych hodnot urˇc´ıme koeficienty kvadratick´eho polynomu, jak je pops´ano v teorii. Dost´ av´ ame tyto hodnoty pro odporovou trubici: • R0 = 100, 5 ± 0, 7 Ω • A = (3, 84 ± 0, 15) · 10−3 K−1 • B = (−4, 6 ± 6, 0) · 10−7 K−2 Pro termoˇcl´anek dost´ av´ ame analogick´ ym zp˚ usobem n´asleduj´ıc´ı koeficienty: • a = (−2, 30 ± 3, 50) · 10−6 V • b = (4, 01 ± 0, 06) · 10−5 VK−1 • c = (3, 24 ± 0, 03) · 10−8 VK−2 V´ ysledn´e kalibraˇcn´ı kˇrivky jsou zobrazeny v grafech 3.
3.3 V´ypoˇcet teploty z namˇeˇren´ych hodnot Chceme-li zjistit teplotu tR z namˇeˇren´eho odporu Ri , jednoduˇse vyj´adˇr´ıme t z rovnice (2). Chybu t´eto teploty ∆tR pak z´ısk´ ame metodou pˇrenosu chyb dle [2]. r Ri − 1 −A + A2 + 4B R 0 (7) tR (Ri ) = 2B ∂tR ∆Ri r ∆tR (Ri ) = ∆Ri = (8) ∂R R=Ri Ri R0 A2 + 4B R − 1 0 4
Analogicky dostaneme teplotu tε a chybu ∆tε , kterou namˇeˇril termoˇcl´anek. p −b + b2 + 4c(εi − a) tε (εi ) = 2c ∂tε ∆εi ∆tε (εi ) = ∆εi = p 2 ∂ε ε=εi b + 4c (εi − a)
(9) (10)
V tabulce n´ıˇze jsou uvedeny odvozen´e hodnoty teplot tR podle namˇeˇren´ ych hodnot odporu R.
τ [s] 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000
Var vody R [Ω] 107, 0 ± 0, 7 107, 7 ± 0, 7 108, 1 ± 0, 7 108, 6 ± 0, 7 109, 0 ± 0, 8 109, 5 ± 0, 8 110, 0 ± 0, 8 110, 8 ± 0, 8 111, 8 ± 0, 8 113, 4 ± 0, 9 115, 5 ± 0, 9 118, 0 ± 0, 9 121, 2 ± 0, 9 131, 5 ± 1, 3 138, 3 ± 1, 3 138, 4 ± 0, 9 138, 4 ± 0, 9 138, 4 ± 0, 9 138, 4 ± 0, 9 138, 4 ± 0, 9
[◦ C]
tR 16, 9 ± 1, 9 18, 7 ± 1, 9 19, 7 ± 1, 9 21, 0 ± 2, 0 22, 1 ± 2, 0 23, 4 ± 2, 0 24, 7 ± 2, 0 26, 8 ± 2, 0 29, 4 ± 2, 0 33, 6 ± 2, 4 39, 1 ± 2, 4 45, 6 ± 2, 5 54, 0 ± 2, 5 81, 1 ± 3, 5 99, 2 ± 3, 6 99, 4 ± 2, 4 99, 4 ± 2, 4 99, 4 ± 2, 4 99, 4 ± 2, 4 99, 4 ± 2, 4
τ [s] 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000
Tuhnut´ı c´ınu R [Ω] tR [◦ C] 196, 5 ± 1, 2 256, 7 ± 3, 3 198, 8 ± 1, 2 263, 1 ± 3, 3 199, 4 ± 1, 2 264, 7 ± 3, 3 199, 3 ± 1, 2 264, 4 ± 3, 3 198, 5 ± 1, 2 262, 2 ± 3, 3 197, 3 ± 1, 2 258, 9 ± 3, 3 195, 8 ± 1, 2 254, 8 ± 3, 3 194, 0 ± 1, 2 249, 8 ± 3, 2 192, 1 ± 1, 2 244, 6 ± 3, 2 190, 1 ± 1, 2 239, 1 ± 3, 2 188, 1 ± 1, 1 233, 6 ± 3, 1 187, 5 ± 1, 1 231, 9 ± 3, 1 187, 5 ± 1, 1 231, 9 ± 3, 1 187, 5 ± 1, 1 231, 9 ± 3, 1 187, 5 ± 1, 1 231, 9 ± 3, 1 187, 5 ± 1, 1 231, 9 ± 3, 1 187, 4 ± 1, 1 231, 7 ± 3, 1 187, 4 ± 1, 1 231, 7 ± 3, 1 187, 2 ± 1, 1 231, 1 ± 3, 1 187, 0 ± 1, 1 230, 6 ± 3, 1
Tabulka 2: Namˇeˇren´e hodnoty odporu R v ˇcasech τ a vypoˇc´ıtan´e hodnoty teploty tR dle vztahu (7) a chyby ∆tR dle vztahu (8).
5
Obr´azek 1: Namˇeˇren´e hodnoty odporu R [Ω] v ˇcasech τ [s], v pˇr´ıpadˇe varu vody (nahoˇre) a tuhnut´ı c´ınu (dole). U c´ınu jsou patrny vˇetˇs´ı chybov´e u ´seˇcky neˇz u varu, coˇz je zp˚ usobeno jednak vyˇsˇs´ı namˇeˇrenou hodnotou (a tedy fakticky vˇetˇs´ı chybou pˇr´ıstroje), ale tak´e menˇs´ım rozpˇet´ım teplot grafu a tedy pouze zd´anlivˇe vˇetˇs´ı chybou.
6
Obr´azek 2: Hodnoty napˇet´ı ε [mV ] v ˇcasech τ [s] zapsan´e programem Zapisovaˇc, v pˇr´ıpadˇe varu vody (nahoˇre) a tuhnut´ı c´ınu (dole).
7
Obr´azek 3: Kalibraˇcn´ı kˇrivky pro odporovou trubici (nahoˇre) a termoˇcl´anek (dole) s vyznaˇcen´ ymi kalibraˇcn´ımi body. U odporov´e trubice vyˇsla t´emˇeˇr dokonal´a line´arn´ı z´avislost, u termoˇcl´anku je znateln´e m´ırn´e zakˇriven´ı.
8
Obr´azek 4: Z´avislost tR a tε , ud´ avan´e ve ◦ C, na ˇcase τ u mˇeˇren´ı varu vody. Teplota namˇeˇren´a obˇema zp˚ usoby se (pochopitelnˇe) shoduje na zaˇc´ atku (v bl´ızkosti 0◦ ) a na konci (u 100◦ ), protoˇze byly pˇr´ıstroje podle tˇechto hodnot kalibrovan´e. Vid´ıme vˇsak znaˇcn´e rozd´ıly v pr˚ ubˇehu mˇeˇren´ı, viz. Diskuze.
9
Obr´azek 5: Z´avislost tR a tε na ˇcase τ u tuhnut´ı c´ınu. Jde vidˇet, ˇze (snad kromˇe zaˇc´atku) teplota tε namˇeˇren´ a termoˇcl´anku spad´a do chybov´eho intervalu teploty tR namˇeˇren´e odporovou trubic´ı. Viz. Diskuze.
10
4 Diskuze 4.1 Kalibrace Protoˇze nem´ame ˇz´ adn´e srovn´ an´ı s jin´ ym jiˇz kalibrovan´ ym teplomˇerem, mus´ıme slepˇe doufat, ˇze namˇeˇren´e hodnoty f´azov´ ych pˇrechod˚ u skuteˇcnˇe odpov´ıdaj´ı tabulkov´ ym hodnot´am. V pˇr´ıpadˇe smˇesi ledu a vody pˇredpokl´ad´ame, ˇze pracujeme s destilovanou vodou, kter´a tuhne pr´avˇe pˇri 0 ◦ C; ve skuteˇcnosti vˇsak m˚ uˇze b´ yt zneˇciˇstˇen´a a kv˚ uli tˇemto neˇcistot´ am se m˚ uˇze skuteˇcn´ y bod tuhnut´ı od tabulkov´eho m´ırnˇe liˇsit. Namˇeˇren´ a ◦ ◦ hodnota napˇet´ı ε(0 , 0 ) je sice nenulov´ a, nicm´enˇe menˇs´ı neˇz chyba pˇr´ıstroje. V pˇr´ıpadˇe varu vody pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze teplotu varu t2 spr´avnˇe urˇc´ıme podle rovnice (1), tedy ˇze v baˇ nce je pr´avˇe atmosf´erick´ y tlak. Ve skuteˇcnosti je vˇsak vˇetˇs´ı neˇz namˇeˇren´ y tlak kv˚ uli unikaj´ıc´ım par´ am. D´ale je potˇreba si uvˇedomit, ˇze kromˇe vody se zahˇr´ıv´a i samotn´a baˇ nka a ta se m˚ uˇze zahˇr´at na v´ıce neˇz 100◦ bez f´azov´eho pˇrechodu. Unikaj´ıc´ı p´ ary se tedy pˇri kontaktu s hork´ ym sklem nahˇrej´ı na vˇetˇs´ı teplotu, neˇz je skuteˇcn´a teplota varu. Pˇri mˇeˇren´ı bodu tuhnut´ı c´ınu pˇredpokl´ ad´ame (stejnˇe jako u vody), ˇze se jedn´a o c´ın bez pˇr´ımˇes´ı a neˇcistot, coˇz vˇsak nem˚ uˇzeme zaruˇcit. Namˇeˇren´ y teplota t3 tedy m˚ uˇze b´ yt vyˇsˇs´ı nebo niˇzˇs´ı neˇz skuteˇcn´ a teplota tuhnut´ı, podle neˇcistot, kter´e c´ın obsahuje.
4.2 Z´avislost tR (τ ) a tε (τ ) Porovn´an´ım graf˚ u 4 a 5 s grafy 1 a 2 vid´ıme, ˇze funkce R(τ ), resp. ε(τ ) m´a velice podobn´ y pr˚ ubˇeh jako ’ funkce tR (τ ), resp. ε(τ ). To nen´ı pˇrekvapiv´e, nebot kalibraˇcn´ı kˇrivky (2) a (3) jsou velice bl´ızk´e line´ arn´ım funkc´ım. V pˇr´ıpadˇe tuhnut´ı c´ınu dost´ av´ ame pomˇernˇe dobrou shodu mezi teplotami tR a tε . V cel´em mˇeˇren´em u ´seku spad´a teplota tε do chybov´eho intervalu tR , pˇri f´azov´em pˇrechodu jsou teploty totoˇzn´e, nebot’ byly podle tohoto bodu kalibrov´ any. Oproti tomu v grafu 4 jde vidˇet velk´e rozd´ıly mezi teplotami tR a tε . V okol´ı 0 ◦ C a 100 ◦ C se teploty shoduj´ı opˇet kv˚ uli kalibraci, v ”prostˇredn´ı”ˇc´asti je vˇsak teplota tε zcela mimo chybov´e intervaly teploty tR . Bl´ıˇze ke skuteˇcn´e teplotˇe m´ a zˇrejmˇe tε , protoˇze lze pˇredpokl´adat pˇribliˇznˇe line´arn´ı r˚ ust. N´ahl´ y vzr˚ ust teploty, kter´ y ukazuje funkce tR (τ ), ned´ av´ a smysl. Vysvˇetlen´ı tohoto jevu m˚ uˇze b´ yt v´ıce. Pokud vylouˇc´ıme systematick´e (ˇc´ı hrub´e) chyby mˇeˇren´ı, m˚ uˇze b´ yt t´eˇz chyba v pˇredpokladu kvadratick´e z´avislosti R(t). Z namˇeˇren´ ych hodnot sice vid´ıme t´emˇeˇr line´ arn´ı z´avislost, ale ze tˇr´ı hodnot tˇeˇzko m˚ uˇzeme usuzovat na pr˚ ubˇeh ◦ ◦ cel´e funkce. Pokud je tedy skuteˇcn´ a hodnota funkce R(t) v oblasti mezi 0 C a 100 C menˇs´ı neˇz kalibrovan´ a hodnota, v´ ysledn´a funkce tR (τ ) pak bude bliˇzˇs´ı funkci tε (τ ).
5 Z´avˇer Byly kalibrov´any dva r˚ uzn´e teplomˇery, odporov´a trubice a termoˇcl´anek. Kalibraˇcn´ı koeficienty pro trubici: R0 = 100, 5 ± 0, 7 Ω, A = (3, 84 ± 0, 15) · 10−3 K−1 , B = (−4, 6 ± 6, 0) · 10−7 K−2 a pro termoˇcl´anek: a = (−2, 30 ± 3, 50) · 10−6 V, b = (4, 01 ± 0, 06) · 10−5 VK−1 , c = (3, 24 ± 0, 03) · 10−8 VK−2 Byly vykresleny grafy tˇechto kalibraˇcn´ıch funkc´ı, d´ale grafy R(τ ), ε(τ ), tR (τ ), tε (τ ), a to pro var vody i tuhnut´ı c´ınu.
Reference [1] Studijn´ı text k fyzik´ aln´ımu praktiku I, u ´loha VII http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt 107.pdf ´ [2] Englich, J. Uvod do praktick´e fyziky I. Praha: Matfyzpress, 2006. http://www.mff.cuni.cz/fakulta/mfp/download/books/englich - uvod do prakticke fyziky 1.pdf
11
