SKRIPSI
KOMPUTASI SIMBOL 6-J DAN 9-J MELALUI KAITAN REKURSIF ALJABAR
Sholihun 04/177849/PA/10043
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM YOGYAKARTA 2008
SKRIPSI
KOMPUTASI SIMBOL 6-J DAN 9-J MELALUI KAITAN REKURSIF ALJABAR
Sholihun 04/177849/PA/10043
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh derajat Sarjana S1 Fisika pada Jurusan Fisika
Dosen Pembimbing : Dr. Pekik Nurwantoro, M.S.
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM YOGYAKARTA 2008
THESIS
COMPUTATION OF THE 6-J AND 9-J SYMBOLS BY MEANS OF ALGEBRAIC RECURRENCE RELATIONS
Sholihun 04/177849/PA/10043
In partial fulfillment of the requirements for The Degree of Sarjana Sains at Physics Department
Supervisor : Dr. Pekik Nurwantoro, M.S.
NATIONAL EDUCATION DEPARTMENT GADJAH MADA UNIVERSITY FACULTY OF MATEMATICS AND NATURAL SCIENCE YOGYAKARTA 2008
KARYA SEDERHANA INI KU PERSEMBAHKAN UNTUK BAPAK - IBUKU TERCINTA DAN UNTUK ADIK BUNGSUKU YANG LUCU.....^_^ MUHAMMAD SUDIRO
SEKAPUR SIRIH
“Ta’allam fainna al-ilma zainun liahlihi # Wafadllun wa’unwanun likulli mahamidi” Belajarlah, karena sesungguhnya ilmu adalah perhiasan bagi shahibnya (orang yang mempunyai ilmu tersebut) # Dan ilmu tersebut sebagai fadlilah (keutamaan) dan juga sebagai tanda-tanda bagi orang-orang yang terpuji (orang mulia) (Syair) “Laisa al-fata man yaquulu kaana abii # Walakinna al-fata man yaquulu haa anaa dza” Bukanlah seorang pemuda / pemudi adalah seseorang yang berkata ”inilah Bapak saya” (mengandalkan orang tua)
#
Akan tetapi seorang pemuda /
pemudi adalah seseorang yang berkata ”inilah saya” (optimis dan percaya bahwa dia akan mampu untuk mewujudkan cita-citanya) (Mahfudhat) ” Man ’amila bima ’alima warotsahullahu ’ilma maa lam ya’lam” Barang siapa mengamalkan ilmu yang ia ketahui, maka Allah akan mewariskan (memberi pengetahuan) tentang ilmu yang belum ia ketahui (Al-Hadits) “Inna ahadan lam yuulad ‘aliman wainna al-ilma bitta’allum” Tiada seorangpun di dunia ini dilahirkan dalam keadaan pandai…. Dan sesungguhnya ilmu hanya dapat diperoleh dengan belajar. (‘Abdullah bin Mas’ud)
Religion without sciences is lame, sciences without religion is blind Agama tanpa ilmu pengetahuan pincang, ilmu pengetahuan tanpa agama buta (Albert Einstein) ”Kullu syai-in ma’quulun..... In nadhorta ghoirohu falaka jaahilun fiihi ” Segala sesuatu yang ada di alam ini adalah logis, jika kamu melihat selainnya (ketidaklogisan, keanehan atau bahkan kemustahilan) maka bagimu tidak ada pengetahuan tentangnya (kamu belum mampu untuk memahami hal tersebut). (Sholihun)
Sebuah Renungan ”Kam min a’maliddun-ya taj’al al-a’maala al-akhiroh..... Bima dza? Bishihhah an-niyyah Wa qod yakuunu al-a’maalu al-akhiroh taj’al al-a’maaladdun-ya..... Lima dza? Lianna ’indahu anniyyah lighoirillah” Banyak sekali amalan dunia (aktivitas yang secara lahiriyah merupakan amalan dunyawi) menjadi amalan ukhrowi..... Dengan apa (bagaimana bisa diperoleh)? Dengan niat yang sehat (baik dan ikhlas) Dan terkadang amalan ukhrowi bisa berubah menjadi amalan dun-yawi..... Kenapa bisa terjadi? Karena sudah tersisipkan niat selain karena Allah (riya’ dan sejenisnya)
Prakata
Puji syukur senantiasa penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT, Alladzi Laa Ilaaha Illaa Huwa. ‘Huwal Awwalu wal Akhiru’ Dialah Allah yang pertama dan yang terakhir, yang mengatur segala fenomena alam mulai dari awal terciptanya jagad raya sampai hari akhir, ‘Laisa Kamitslihi Syai-un’ Dzat yang merajai seluruh alam yang tidak sesuatupun menyerupai-Nya, ‘Khooliqu Kulli Syai-in’ Dzat yang telah menciptakan segala sesuatu yang ada di alam semesta dengan suatu keteraturan dan Dialah Dzat yang telah menganugerahkan akal dan fikiran kepada manusia sebagai penimbang antara yang haq dan yang bathil dan sebagai bekal dalam mengarungi kehidupan. Sholawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada Khotmil Anbiya’ wal Mursaliin, Habiibina wa Syafii’ina Rosulillah Muhammad SAW, keluarga dan para sahabatnya. Tiada kemustahilan ketika Allah berkehendak akan wujudnya sesuatu. Keanehan, ketidak logisan bahkan kemustahilan muncul karena keterbatasan logika manusia dalam memahami rahasia Allah. Dengan keyakinan tersebut penulis
bersyukur
kepada Allah SWT, karena dengan idzin-Nya skripsi dengan judul ‘Komputasi Simbol 6-j dan 9-j melalui Kaitan Rekursif Aljabar’ ini dapat terselesaikan. Dalam pengerjaan skripsi ini tidak terlepas dari dukungan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terimakasih kepada : 1. Ayah dan Ibu tercinta yang selalu memberikan kepercayaan penuh, dukungan dan doa restu kepada penulis 2. Kakak dan adik-adikku yang telah memberi semangat selama kuliah. Tak lupa kepada pamanku Supirso yang selalu mendoakan dan memberi dukungan spiritual kepada penulis 3. Bapak Dr. Pekik Nurwantoro selaku dosen pembimbing skripsi yang telah dengan sabar membimbing penulis dan atas nasihat yang diberikan
4. Bapak Dr. Kamsul Abraha selaku dosen pembimbing akademis yang telah membimbing mulai dari awal sampai akhir kuliah 5. Bapak Fahrudin Nugroho, S.Si., M.Si. dan Ibu Dwi Satya Palupi, M.Si. atas motivasi, nasehat dan doa yang diberikan 6. Mas Ahmad Kusuma A., S.Si. dan Mbak Ari Dwi N., S.Si. atas wawasan, arahan dan motivasi yang telah diberikan di awal kuliah. 7. Seluruh dosen yang pernah mengajar penulis, khususnya dosen program studi fisika atas sekian banyak ilmu yang telah diberikan 8. Ibu Zaenudin, Mbak Siti dan Pak Abu Bakar (Warga KebondalemWonosobo) atas nasehat dan keikhlasan doa yang diberikan 9. Teman-teman fisika angkatan 2004 terutama Muhammad Arifin, Moh. Adhib U. A, Isom Hilmi, Agung Tri Wibowo dan Budi P. Soewondo atas semangat dan dukungan yang diberikan selama ini 10. Terimakasih juga tak lupa saya sampaikan kepada teman-temanku seperjuangan di LSiS baik yang sudah tidak aktif (Mas Nanang, Mbak Inne, Mas Joko, Mbak Afni, Mas Afif, Mbak Wiwin, Mbak Ferra, Mbak Veni, Adhib, Isom, Novita dan yang lain) maupun yang masih aktif : Gunawan, Arifin, Ewie, Lambang, Dwi K., Risma, Ardana, Istikhomah, Jalu A., IB, Ali A., Wahyu, Pebri, Asep, Aan, Hana, Kiki, Avicha, Rianti dan seluruh temantemanku di LSiS yang tidak bisa saya sebut satu persatu. Melihat semangat kalian, membuatku malu untuk bermalas-malasan. Semoga Ukhuwwah kita selalu terjaga, Am!ii!i....nnNnn. Let’s Move! Hamasah! Ganbatte! Keep Spirit! and Keep Smile Always! .....^_^
Semoga dengan tersusunnya skripsi ini dapat berguna bagi perkembangan pendidikan dan penelitian di Indonesia khususnya dalam bidang fisika. Penulis menyadari sebagai suatu karya ilmiah, skripsi ini masih kurang sempurna. Oleh karena itu kritik dan saran dari berbagai pihak akan sangat berharga. Akhirnya penulis mohon maaf atas kekurangan yang ada dalam tulisan ini.
Yogyakarta, 2008 Penulis,
Sholihun
DAFTAR ISI
Halaman Judul Halaman Judul (inggris) Halaman Pengesahan Halaman Persembahan
i
Prakata
ii
Daftar Isi
iii
Daftar dan Arti lambang
iv
Daftar Gambar
v
Daftar Tabel
vi
Intisari
vii
Abstract
viii
BAB I. PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang .............................................................................................. 1 1.2 Perumusan Masalah ...................................................................................... 3 1.3 Batasan Masalah ........................................................................................... 3 1.4 Tujuan Penelitian .......................................................................................... 3 1.5 Sistematika Penulisan ................................................................................... 4
BAB II. DASAR TEORI
5
2.1 Momentum Sudut ......................................................................................... 6 2.2 Ruang Hilbert ............................................................................................... 8 2.3 Koefisien Clebsch-Gordan dan Simbol 3-j .................................................. 9 2.3.1 Kaitan ortogonal ………………………………………………..…… 12 2.3.2 Kaitan Rekursif ……………………………………………………… 13 2.4 Simbol 6-j …………………………………………………………………. 16 2.5 Simbol 9-j .............................……………………........................................ 21
BAB III. METODE PENELITIAN
26
3.1 Metode Komputasi ........................................................................................ 26 3.1.1 Kaitan rekursif aljabar .......................................................................26 3.1.2 Operasi aljabar pada almin .................................................................. 30 3.1.3 Metode Continued Fraction .............................................................. 37 3.2 Sarana Penelitian .......................................................................................... 38 3.3 Langkah-langkah dan Eksekusi Program ..................................................... 39
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
41
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN
44
4.1 Kesimpulan ................................................................................................... 44 4.2 Saran ............................................................................................................. 44
DAFTAR PUSTAKA
45
LAMPIRAN
46
LAMPIRAN 1 ..................................................................................................... 46 LAMPIRAN 2 ..................................................................................................... 60
DAFTAR DAN ARTI LAMBANG
^
j
: Operator momentum sudut j
: konjugate hermit dari operator A . Notasi δ ij
dinamakan dagger (belati)
: Delta kronecker. Jika i = j , δ ij = 1 dan jika i j , δ ij = 0 : vektor bra (notasi dirac) : vektor ket (notasi dirac) : vektor braket (notasi dirac) : Skema kopling antara l a dan lb menghasilkan L serta kopling antara
ma dan mb menghasilkan M l
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Kopling antara L dan S menghasilkan J ........................................... 6
Gambar 2.2
Penjumlahan momentum sudut ......................................................... 7
Gambar 2.3
limas tak beraturan (irregular tetrahedron) yang dibentuk oleh empat segitiga tertutup ................................................................................. 19
Gambar 3.1
Contoh mengeksekusi program ......................................................... 40
Gambar 1a
Diagram simbol 9-j yang dibentuk oleh produk tiga simbol 6-j ....... 51
Gambar 1b
Diagram transposisi simbol 9-j pada persamaan 1.14 ...................... 52
Gambar 1c
Diagram pada persamaan 1.15 .......................................................... 53
DAFTAR TABEL
Tabel 4. l
Hasil komputasi simbol 6-j................................................................ 41
Table 4.2
Hasil komputasi simbol 9-j................................................................ 41
Table 4.3
Perbandingan hasil komputasi dengan tabel simbol 6-j..................... 42
INTISARI
KOMPUTASI SIMBOL 6-J DAN 9-J MELALUI KAITAN REKURSIF ALJABAR
Oleh : Sholihun 04/177849/PA/10043
Telah dilakukan perhitungan simbol 6-j dan simbol 9-j melalui kaitan rekursif aljabar. Simbol 6-j muncul dalam mekanika kuantum ketika terjadi kopling tiga momentum sudut, sedangkan simbol 9-j muncul ketika terjadi kopling empat momentum sudut. Kasus ini mempunyai posisi yang cukup penting dalam dinamika kuantum, khususnya untuk sistem partikel banyak. Perhitungan secara analitik sulit dilakukan, bahkan tidak mungkin dilakukan karena banyaknya produk faktorial yang terkandung dalam persamaan yang terlibat. Sehingga perhitungan numerik sangat diperlukan untuk memecahkan permasalahan tersebut. Masalah yang masih muncul adalah kemungkinan terjadinya overflow. Untuk menghindari masalah tersebut, komputasi dilakukan melalui kaitan rekursif aljabar dan dengan beberapa operasi aljabar terhadap produk yang melibatkan faktorial sejenis sedemikian sehingga didapatkan argumen terkecil pada persamaan simbol 6-j. Kemudian perhitungan dilakukan secara logaritmik. Akhirnya dengan metode Continued Fraction, nilai dari simbol 6-j dan simbol 9-j dalam bentuk pecahan rasional, untuk sembarang nilai bilangan kuantum diperoleh. Kata kunci : momentum sudut, kaitan rekursif aljabar, simbol 6-j dan 9-j
ABSTRACT
COMPUTATION OF THE 6-J AND 9-J SYMBOL BY MEANS OF ALGEBRAIC RECURRENCE RELATIONS
By : Sholihun 04/177849/PA/10043
The calculations of the 6-j and 9-j symbols by means of algebraic recurrence relations have been done. The 6-j symbols arise in quantum mechanics when there are couplings among three angular momenta. Mean while, the 9-j symbols arise when there are couplings among four angular momenta. These particular cases play important rules in quantum dynamics, especially in many-body systems. Analitical calculation is too complicated to be done, or even impossible, because there are many factorial products in the equation. Hence, numerical calculation becomes escential to solve these problems. However, the problems still exist, those are the overflow possibilities. To solve such problems, the computation is done through some algebraic recurrence relations and by some algebraic operations to simplify the products that involve the same kind of factorial in such a way that they will produce the smallest argument of the 6-j symbols. Then, logarithm of the final relations are adopted in the calculations. Finally, by the Continued Fraction method, exact rational value for arbitrary quantum numbers of the 6-j and 9-j symbols is obtained.
Key words : angular momentum, algebraic recurrence relation, 6-j and 9-j symbols
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Dalam perkembangan fisika modern, pembahasan tentang mekanika kuantum menjadi sorotan para peneliti. Dalam mekanika kuantum dibahas dinamika partikel misalnya, dinamika elektron-elektron dalam sebuah atom. Pada elektron tersebut terjadi kopling (jumlahan) momentum sudut yaitu kopling LS (kopling antara momentum sudut orbital dan spin dalam satu elektron) dan kopling JJ (kopling antara momentum sudut total beberapa elektron). Perubahan dari kopling LS ke kopling JJ atau sebaliknya dinamakan rekopling [Rosyid, 2005]. Pembahasan tentang kopling dan rekopling ini sangat penting karena dengan analisa lebih lanjut akan didapatkan informasi tentang sifat-sifat atom beserta besaran-besaran fisis yang terkait. Perubahan kopling tersebut melibatkan koefisien transformasi (koefisien rekopling) yang biasa dikenal dengan simbol 3n-j (3-j, 6-j, 9-j dan seterusnya), dimana n adalah bilangan asli (n = 1, 2, 3. ...). Perhitungan simbol 3n-j ini menjadi sorotan para peneliti khususnya peneliti fisika komputasi karena kompleksnya persamaan yang terkait. Masalah yang dihadapi adalah sulitnya melakukan perhitungan secara analitik bahkan tidak bisa dilakukan untuk bilangan kuantum yang besar mengingat banyaknya produk faktorial dalam persamaan koefisien rekopling tersebut, terlebih untuk simbol 3n-j untuk n 2
1
2
(misalnya simbol 6-j dan 9-j). Berbagai metode telah dilakukan diantaranya dengan teori group [Cvitanovic, 2004], storage scheme [Rasch dan Yu, 2003] dan simbol Pochhammer [Alcaras dan Vanagas, 1984]. Untuk bilangan kuantum kecil, metode tersebut
bisa digunakan.
Namun kendala
yang
masih tetap ada adalah
ketidakmungkinan untuk menghitung simbol 6-j dan 9-j pada bilangan kuantum besar. Mengingat ketidakmungkinan melakukan perhitungan secara analitik, satusatunya cara adalah melakukan perhitungan secara komputasi. Namun kendalapun masih ada yaitu kemungkinan terjadinya overflow. Penelitian ini sebagai upaya untuk mengatasi masalah yang muncul dalam perhitungan simbol 6-j dan 9-j yaitu dengan metode komputasi tertentu yang akan dijelaskan dalam BAB III. Penelitian ini banyak aplikasi dalam bidang fisika khususnya dalam bidang fisika atom dan mekanika kuantum. Beberapa aplikasi penelitian ini antara lain : 1. Dalam fisika atom antara lain untuk mencari energi dan potensial interaksi atomatom dengan banyak elektron valensi 2. Mencari koefisien absorbsi dan energi dalam X-Ray Magnetic Dichroism (XMD) yaitu studi tentang interaksi antara kemagnetan zat padat, spin-orbit kopling dan polarisasi radiasi elektromagnet terabsorbsi 3. Mencari Photoionization Cross Section dalam Photoionization Processes invalving heavy element impurities in fusion reactors (kotoran elemen berat pada proses reaksi fusi)
3
1.2 Perumusan Masalah Permasalahan dalam penelitian ini secara umum dapat diuraikan sebagai berikut 1. Bagaimana mendapatkan bentuk kaitan rekursi aljabar untuk simbol 6-j, yang selanjutnya akan dibuat algoritma dalam kalkulasi simbol 6-j dan 9-j 2. Membuat program untuk perhitungan simbol 6-j dan 9-j 3. Menghindari kemungkinan over flow sehingga mendapatkan hasil numerik dari simbol 6-j dan 9-j untuk sembarang bilangan kuantum.
1.3 Batasan Masalah Pada penelitian ini tidak dibahas secara detail asal mula bentuk eksplisit dari simbol 6-j maupun simbol 9-j. Permasalahan dibatasi hanya untuk perhitungan nilai simbol 6-j dan simbol 9-j .
1.4 Tujuan Penelitian Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah 1. Menghasilkan program untuk perhitungan simbol 6-j dan simbol 9-j melalui kaitan rekursif aljabar. 2. Mendapatkan hasil perhitungan simbol 6-j dan simbol 9-j untung sembarang bilangan kuantum 3. Mempertahankan bentuk pecahan rasional dengan eksak meliputi tanda positip dan negatip yang terkait dengannya.
4
1.5 Sistematika Penulisan Teknik penulisan sekripsi ini terdiri dari beberapa bab yang dapat dijelaskan sebagai berikut. BAB I
PENDAHULUAN
Bab ini berisi uraian tentang latar belakang masalah, tujuan penulisan, batasan masalah dan sistematika penulisan. BAB II
DASAR TEORI
Bab ini membahas tentang dasar teori dari penelitian, meliputi pembahasan tentang momentum sudut, Ruang Hilbert, koefisien Clebsch-Gordan dan simbol 3-j dan simbol 6-j dan simbol 9-j. BAB III
METODE PENELITIAN
Menjelaskan langkah-langkah bagaimana penelitian dilakukan. BAB IV
HASIL KOMPUTASI DAN PEMBAHASAN
Menyajikan hasil penelitian yang telah dilakukan kemudian membahasnya. BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
Menyimpulkan hasil yang telah dicapai dalam penelitian ini dan memaparkan kekurangan yang masih ada sebagai saran untuk penelitian selanjutnya.
BAB II DASAR TEORI
Semua benda yang ada di alam ini terdiri dari partikel-partikel yang saling berinteraksi satu-sama lain. Mulai dari benda-benda langit, molekul, atom hingga partikel-partikel elementer penyusun atom. Di dalam atom terdapat elektron-elektron yang mengelilingi inti. Elektron-elektron ini masing-masing memiliki dua momentum sudut yaitu momentum sudut spin
(intrinsik) dan momentum sudut orbital
(ekstrinsik) yang keduanya (jika saling mengkopel) akan menghasilkan momentum sudut total. Karena terdapat banyak elektron dalam sebuah atom maka akan terjadi kopling dari momentum sudut total masing-masing elektron. Jadi dalam atom berelektron banyak terjadi dua kopling (jumlahan) yaitu kopling J-J dan kopling L-S. Kopling JJ adalah kopling yang terjadi antara momentum sudut total; dua buah elektron. Sedangkan kopling L-S adalah kopling yang terjadi antara momentum sudut orbital total hasil kopling momentum sudut orbital masing-masing elektron dengan momentum sudut spin total hasil kopling momentum sudut spin masing-masing elektron. Secara geometris kopling antara momentum sudut spin L dan S menghasilkan J ditunjukkan oleh gambar 2.1.
5
6
Gambar 2.1 : Kopling antara L dan S menghasilkan J
Dalam BAB I dijelaskan bahwa terjadinya perubahan dari kopling J-J ke kopling L-S atau sebaliknya disebut rekopling momentum sudut. Terjadinya rekopling ini melibatkan koefisien rekopling yang biasa disebut dengan simbol 3n-j. Dalam skripsi ini akan dibahas tentang simbol 6-j dan 9-j yang akhirnya akan dicari nilai dari kedua simbol tersebut untuk sembarang bilangan kuantum
2.1 Momentum Sudut Dalam perkembangan ilmu fisika, khususnya dalam mekanika kuantum pembahasan mengenai momentum sudut sangat penting, karena dari momentum sudut dapat diterangkan lebih mendalam sifat-sifat atom, molekul, kemagnetan dan
7
lain sebagainya [Ivan, 1996]. Dalam sekripsi ini, momentum sudut akan digunakan untuk menjelaskan kopling momentum sudut (baik spin maupun orbital) dari elektron-elektron dalam atom. Andaikan
j1 dan
j 2 merupakan dua vektor momentum sudut umum baik
momentum sudut (orbital atau spin) dari partikel yang sama maupun momentum suidut dari beberapa partikel yang berbeda. Maka momentum sudut total memenuhi
j j1 j 2 (2.1)
dan secara skema ditunjukkan oleh gambar 2.2.
Gambar 2.2 Penjumlahan momentum sudut
Operator-operator yang berkaitan dengan ketiga operator momentum sudut ^
^
^
j1 , j 2 dan j adalah j 2 , j x , j y dan j z , yang mempunyai kaedah komutasi
2 2 2 j , jx j , j y j , jz 0 (2.2)
8
dan j , j i j z x y
j , j i j x y z
j , j i j y z x
(2.3) 2.2 Ruang Hilbert Untuk menampilkan suatu informasi suatu sistem, digunakan suatu ruang vektor wakilan yang dibentang oleh sederet vektor 1 , 2 ,........ n
yang membentuk
suatu basis ruang wakilan yaitu sistem vektor yang bebas linear dan lengkap dan masing-masing
memuat
informasi
pasti
mengenai
observabel
H yaitu
h1 , h2 ,........hn [Ivan, 1996] . Sederetan vektor tersebut merupakan vektor ket khusus yang memenuhi
H n hn n
(2.4) Vektor ket mempunyai pendamping hermit yang disebut vektor bra yang dinotasikan 1 , 2 ,......... n untuk pendamping basis n
Ruang Hilbert didefinisikan sebagai ruang vektor wakilan yang dibentang oleh himpunan eigen state yang membentuk suatu sistem bebas linear yang lengkap dan dapat digunakan sebagai suatu basis Ruang Hilbert sebagai ruang penampakan sistem. Di ruang ini, setiap keadaan kuantum yang memuat informasi lengkap
9
mengenainya ditampilkan oleh suatu vektor ket yang dapat diwakili oleh basis
n
n 1,2 ,3 ,...
secara unik (tunggal).
Pemilihan operator A untuk mengimplementasikan salah satu asas Mekanika Kuantum harus dilakukan sedemikian sehingga eigen value bersifat real dan himpunan eigenvector ( n ) harus dapat diortonormalkan serta lengkap agar selalu dapat digunakan sebagai suatu basis penguraian vektor, ini dipenuhi apabila operator
A bersifat hermitan
(2.5) Notasi
dinamakan dagger (belati)
Operator
merupakan konjugate hermit dari operator A .
2.3 Koefisien Clebsch-Gordan dan Simbol 3-j Dalam fisika atom sering muncul istilah koefisien Clebsch-Gordan, yaitu koefisien ekspansi yang mentransformasikan ruang vektor dari penyajian terkopling dua momentum sudut ke penyajian tak terkopling, atau sebaliknya.. Sedangkan yang dimaksud dengan penyajian terkopling adalah penyajian dalam ruang Hilbert yang tersusun atas basis eigenvektor yang memiliki eigenilai berupa bilangan-bilangan kuantum total, sedang penyajian tak terkopling adalah penyajian dalam ruang Hilbert
10
yang sama tetapi tersusun atas basis eigen vektor yang memiliki eigen value berupa bilangan-bilangan kuantum mandiri milik masing-masing spin atau momentum sudut orbital penyusun spin atau momentum sudut orbital total. 2 1
Vektor ket j1 , m1 adalah eigen vector dari J
dan J 1z yang mempunyai eigen
value berturut-turut j1 ( j1 1 ) dan m biasanya cukup ditulis j1 ( j1 1 ) dan
m1 (dalam unit ) dan vektor ket j 2 , m2 adalah eigen vector dari J 22 dan J 2 z yang mempunyai eigen value berturut-turut j 2 ( j 2 1 ) dan m2 . Kita akan dapat membuat
eigen vector dari
J 12 dan J 1z sebagai kombinasi linear perkalian vektor
j1 , m1
dengan j 2 , m2 menurut [Cvitanovic, 2004]
j ,m
C j , j 1
2
, j ; m1 , m2 , m j1 , m1 j 2 , m2
m1 ,m2
(2.6) dimana
C j1 , j2 , j ; m1 , m2 , m
merupakan koefisien Clebsch-Gordan. Bentuk
penulisan lain dari koefisien Clebsch-Gordan antara lain C j1 , j 2 , m1 , m2 ; j , m dan ^
^
^
j1 , j 2 ; m1 , m2 j , m . Dari kaitan J z J 1z J 2 z berlaku ^ ^ ^ J z j , m J 1z J 2 z j , m
m j ,m
m
1
m2 C j1 , j 2 j ; m1 , m2 m j1 , m1 j 2 , m2
m1 ,m2
(2.7)
11
Karena vektor j1 , m1
j 2 , m2 bebas linear maka berlaku
m1 m2 mC j1 , j2 , j; m1 ,m2 m 0 (2.8) Dari persamaan 2.8 dapat disimpulkan bahwa koefisien Clebsch-Gordan akan lenyap (bernilai nol) jika tidak memenuhi aturan seleksi m m1 m2 . Syarat yang lain supaya koefisien Clebsch-Gordan tidak nol yaitu harus memenuhi aturan seleksi
| j1 j 2 | j j1 j2 . Nilai m, m1 dan m2 pada persamaan 2.8 harus berada pada jangkauan
m j , j 1, j 2,.............0,............., j 2, j 1, j m1 j1 , j1 1, j1 2,.............0,............., j1 2, j1 1, j1 m j 2 , j 2 1, j 2 2,.............0,............., j 2 2, j 2 1, j 2 (2.9) Koefisien Clebsch-Gordan tidak terdefinisikan (tidak mempunyai nilai) untuk m, m1 atau m2 yang tidak memenuhi persamaan 2.9.
2.3.1 Kaitan ortogonal Jika persamaan 2.6 disajikan dalam bentuk jumlahan m2 akan berbentuk
j , m C j1 , j 2 , j ; m m2 , m2 , m j1 , m m2
j 2 , m2
m2
(2.10) dimana m1 m m2
12
Jika semua vektor ket pada persamaan 2.10 ternormalkan maka akan berlaku kaitan
j ' , m' j , m j' j m' m (2.11)
C j , j 1
'2
, j ' ; m' m'2 , m'2 , m' C j1 , j 2 , j ; m m2 , m2 , m
m'2 ,m2
j1 , m' m'2 j1 , m m2
j 2 , m'2 j 2 , m2 j' j m' m (2.12)
Dari persamaan 2.12 didapat kaitan ortogonal
C j , j 1
'2
, j ' ; m1 , m2 , m' C j1 , j 2 , j ; m1 , m2 , m j' j m' m
m1 ,m2
(2.13)
Invers dari persamaan 2.10 berbentuk
j1 , m m2
j 2 , m2 C j1 , j 2 , j ; m m2 , m2 , m j , m j
(2.14) Kaitan ortogonal lain dapat dibentuk melalui proses yang sama dalam membentuk kaitan ortogonal pada persamaan 2.13, yaitu berbentuk
C j , j 1
j ,m
'2
, j ' ; m1 , m2 , m C j1 , j2 , j ; m1 , m2 , m m ' m m ' m '
'
1
1
2
2
(2.15)
13
2.3.2 Kaitan rekursif Basis standar yang dibentuk dari vektor ket j1 , j 2 ; m1 , m2 adalah ^
J 1 j1 , j 2 ; m1 , m2 j1 ( j1 1 ) m1 ( m1 1 ) j1 , j 2 ; m1 1, m2 ^
J 2 j1 , j 2 ; m1 , m2 j 2 ( j 2 1 ) m2 ( m2 1 ) j1 , j 2 ; m1 , m2 1 (2.16) Demikian halnya dengan ket j , m membentuk kaitan ^
J j , m j( j 1 ) m( m 1 ) j , m 1
(2.17) ^
^
^
dengan J J 1 J 2 . Analog dengan persamaan 2.6, ekspansi ket j , m pada basis j1 , j 2 ; m1 , m2 menghasilkan
j ,m
j1
j2
m1 j1 m2 j2
j1 , j 2 ; m1 , m2 j , m
j1 , j 2 ; m1 , m2
(2.18) ^
Dengan menerapkan operator J pada persamaan 2.17 dan 2.18 akan didapat
j( j 1 ) m( m 1 ) J , M 1
j1
j2
m1 j1 m2 j2
'
'
j1 , j 2 ; m1 , m2 j , m
j1 ( j1 1 ) m1 ( m1 1 ) j1 , j 2 ; m1 1, m2 '
'
'
'
' ' ' ' j 2 ( j 2 1 ) m2 ( m2 1 ) j1 , j 2 ; m1 , m2 1
(2.19)
14
Setelah kedua ruas dari persamaan dikalikan dengan bra j1 , j 2 ; m1 , m2 akan didapat
j( j 1 ) m( m 1 ) j1 , j 2 ; m1 , m2 j , m 1 j1 ( j1 1 ) m1 ( m1 1 ) j1 , j 2 ; m1 1, m2 j , m
j 2 ( j 2 1 ) m2 ( m2 1 ) j1 , j 2 ; m1 , m2 1 j , m (2.20) ^
Jika nilai M sama dengan –j, maka J j , j 0 dan dengan mengingat aturan pada persamaan 2.9, j1 , j 2 ; m1 , m2 j , m akan bernilai nol jika | m | > j. ^
Melalui proses yang sama, jika operator J diterapkan pada persamaan 2.17 dan 2.18 akan didapat
j( j 1 ) m( m 1 ) j1 , j 2 ; m1 , m2 j , m 1 j1 ( j1 1 ) m1 ( m1 1 ) j1 , j 2 ; m1 1, m2 j , m
j 2 ( j 2 1 ) m2 ( m2 1 ) j1 , j 2 ; m1 , m2 1 j , m (2.21) ^
Jika nilai M sama dengan j, maka J j , j 0 . Persamaan 2.20 dan 2.21 merupakan kaitan rekursif untuk koefisien Clebsch-Gordan.
15
Bentuk umum koefisien Clebsch-Gordan diberikan oleh Racah (1942) dengan bentuk eksplisit 1
( j j 2 j )! ( j1 j 2 j )! ( j1 j 2 j )! 2 C j1 , j 2 , j ; m1 , m2 , m m1 m2 ,m 1 ( j1 j 2 j 1 )! ( 2 j 1 )( j1 m1 )! ( j1 m1 )! ( j 2 m2 )! ( j 2 m2 )! ( j m )! ( j m )!2 1
( 1 ) k j1 j2 m k k ! ( j1 j 2 j k1 )! ( j1 m1 k )! ( j 2 m 2 k )!
1 ( j j 2 m1 k )! ( j j1 m2 k )! (2.22)
Adapun kaitan koefisien Clebsch-Gordan dengan simbol 3-j berbentuk [Rasch dan Yu, 2003]
j1 j 2 j 1 j1 j2 m C j1 , j 2 , j ; m1 , m2 ,m m m m 2 j 1 1 2 (2.23)
16
Sedangkan simbol 3-j sendiri mempunyai bentuk eksplisit [Johnson, 2002] 1
j1 j 2 j ( j j j )! ( j j j )! ( j j j )! 2 1 2 1 2 1 2 m m m ( j1 j 2 j 1 )! 1 2 ( j1 m1 )! ( j1 m1 )! ( j 2 m2 )! ( j 2 m2 )! ( j m )! ( j m )!2 1
( 1 ) k j1 j2 m k k ! ( j1 j 2 j k1 )! ( j1 m1 k )! ( j 2 m 2 k )!
1 ( j j 2 m1 k )! ( j j1 m2 k )! (2.24)
Seperti halnya koefisien Clebsch-Gordan, Simbol 3-j akan lenyap untuk m yang tidak memenuhi aturan seleksi m m1 m2 dan tidak mempunyai nilai jika j tidak memenuhi aturan seleksi | j1 j 2 | j j1 j2 .
2.4 Simbol 6-j Simbol 6-j merupakan pengembangan dari simbol 3-j. Jika simbol 3-j muncul akibat kopling dari dua momentum sudut, maka simbol 6-j muncul akibat dari kopling tiga momentum sudut. Jika j1 , j 2 dan j3 adalah tiga momentum sudut, maka ada beberapa cara untuk mengkopel (menjumlah) ketiga momentum sudut tersebut. Sebagai contoh, kopling antara j1 dan j 2 menghasilkan J 12 , kemudian dilanjutkan dengan kopling antara J 12 dan j3 menghasilkan J dan M, memenuhi
17
(2.25) Adapun kopling antara j 2 dan j3 menghasilkan J 23 , kemudian dilanjutkan dengan kopling antara J 23 dan j1 menghasilkan J dan M, memenuhi
(2.26) Dua skema kopling (persamaan 2.25 dan 2.26) dapat disajikan sebagai kombinasi linear berikut [Johnson, 2002]
(2.27) Koefisien rekopling
mempunyai bentuk
j1 j 2 J 12 ( j1 j 2 ) J 12 j3 , JM j1 ( j 2 j3 ) J 23 , JM (1) j1 j2 j3 J J 12 J 23 j J j 23 3 (2.28)
j1 j 2 J 12 adalah simbol 6-j. dengan J 12 2 J12 1, J 23 2 J 23 1 dan j J j 23 3
18
Simbol 6-j mempunyai kaitan simetri (dalam penyajian j1 , j 2 , j3 , j 4 , j5 dan j6 )
j1 j 2 j3 j 2 j1 j3 j 2 j3 j1 j j j j j j j j j 4 5 6 5 4 6 5 6 4 (2.29) dengan kata lain, simbol 6-j invarian terhadap permutasi (baik genap maupun ganjil) kolom. Selain invarian terhadap permutasi kolom, simbol 6-j juga mempunyai kaitan simetri berikut
j1 j 2 j3 j1 j5 j 6 j 4 j 2 j6 j j j j j j j j j 4 5 6 4 2 3 1 5 3 (2.30) Adapun kaitan ortogonal simbol 6-j memenuhi
j1 j 2 j3 j1 j 2 j3' j j3 j6 j3 j3' 6 j 4 j5 j6 j 4 j5 j 6 (2.31) Akan tetapi simbol 6-j akan lenyap jika tidak memenuhi kaitan segitiga momentum sudut
( j1 j2 j3 )( j1 j5 j6 )( j4 j2 j6 ) dan ( j4 j5 j3 ) .
Kaitan segitiga
ditunjukkan pada gambar 2.1. [Landau dan Lifshitz, 1977].
tersebut
19
Gambar 2.3 : limas tak beraturan (irregular tetrahedron) yang dibentuk oleh empat segitiga tertutup
Empat segitiga yang membentuk limas pada gambar 2.3 mewakili empat simbol 3-j yang membentuk simbol 6-j. Kaitan antara simbol 6-j dan simbol 3-j ditunjukkan pada persamaan (2.32)
j1 j 2 j3 j j j j1 j5 j 6 1 i ji mi 1 2 3 m j j j all m m m m m m 2 3 1 5 6 4 5 6 1 j 4 j 2 j6 j 4 j5 j3 m m m m m m 6 4 5 3 4 2 (2.32)
20
Setelah dilakukan penyederhanaan, simbol 6-j menjadi [Landau dan Lifshitz, 1977]
j1 j 2 j3 ( 1 ) k ( k 1 )! ( j j j )( j j j )( j j j )( j j j ) k ( k j j j )! 1 2 3 1 5 6 4 2 6 4 5 3 j j j 1 2 3 4 5 6
1 ( k j1 j5 j 6 )! ( k j 4 j 2 j 6 )! ( k j 4 j5 j3 )!
1 ( j1 j 2 j 4 j5 k )! ( j 2 j3 j5 j 6 k )! ( j1 j3 j 4 j 6 k )! (2.33)
dimana 1
(a b c)!(a b c)!(a b c)! 2 (abc) (a b c 1)! (2.34) Dengan a, b dan c harus memenuhi kaitan segi tiga. Indeks penjumlahan k adalah bilangan nol dan positip pada bentang
k min k k max (2.35)
kmin max( j1 j2 j3 , j1 j5 j6 , j2 j4 j6 , j3 j4 j5 ) k max min ( j1 j2 j4 j5 , j1 j3 j4 j6 , j2 j3 j5 j6 )
21
Untuk kasus khusus dimana salah satu bilangan kuantumnya bernilai nol, simbol 6-j tereduksi menjadi j1 j2 j3 j1 j 2 j3 ( 1 ) j1l2 j2l1 j j 0 j1 j2 4 5
(2.36) 2.5 Simbol 9-j Generasi selanjutnya setelah simbol 6-j adalah simbol 9-j, yang muncul akibat kopling dari empat momentum sudut. Misalnya, kopling momentum sudut spin dan orbital dari dua buah elektron. Metode kopling keempat momentum sudut tersebut dapat dilakukan dengan : Pertama, kopling antara l1 dan l 2 menghasilkan L, kopling s1 dan s 2 menghasilkan S, kemudian dilanjutkan dengan kopling antara L dan S menghasilkan J. Kopling semacam ini biasa disebut kopling LS. State (keadaan) kopling LS berbentuk
(2.37) Kedua, kopling antara l1 dan s1 menghasilkan j1 , kopling l 2 dan s 2 menghasilkan
j 2 , kemudian dilanjutkan dengan kopling antara j1 dan j 2 menghasilkan J. Kopling semacam ini biasa disebut kopling jj.
22
State kopling jj berbentuk
(2.38) State kopling jj dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari state kopling LS dalam bentuk [Johnson, 2002]
(2.39) dimana matriks ortogonal
L S J j1 j 2 J (1)
diberikan oleh
R
L LS j1 j2 l 2 l 1
S s2 s1
J j2 j1 (2.40)
dengan
R l1 l 2 s1 s2 j1 j2 L S J
bilangan kuantum momentum sudut.
L Sedangkan l 2 l 1
S s2 s1
J j 2 adalah simbol 9-j. j1
adalah
jumlahan
kesembilan
23
Seperti halnya simbol 6-j, simbol 9-j juga bisa disajikan dalam bentuk produk dari beberapa simbol 3-j (persamaan 2.41) [Landau dan Lifshitz, 1977].
j1 j 2 j3 j j j j j j j j j j j j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m 4 5 6 all m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 j j j 7 8 9 j1 j 4 j7 j 2 j5 j8 j3 j6 j9 m m m m m m m m m 1 4 7 2 5 8 3 6 9 (2.41) Namun, karena simbol 6-j sudah diberikan secara eksplisit (persamaan 2.33), maka akan lebih sederhana jika simbol 9-j ini disajikan dalam ekspresi simbol 6-j [Johnson, 2002] yaitu j1 j 2 j 3 j j j j j j j ( 1 ) 2 k ( 2k 1 ) 1 4 7 2 4 5 6 j j k j k 8 9 4 j j j 7 8 9
j8 j 3 j 6 j 9 k j 6 k j1 j 2
j5
(2.42)
dimana
k min k k max dengan
k min max (| j8 j4 |, | j2 j6 |, | j1 j9 |) kmax min( j8 j4 , j2 j6 , j1 j9 )
24
Simbol 9-j invarian terhadap permutasi genap baris maupun kolom. Untuk permutasi ganjil baris maupun kolom memberikan faktor ( 1 ) R . Simbol 9-j juga simetri terhadap transposisi baris maupun kolom. Sebagai contoh j1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 4 j 5 j 6 j1 j 4 j 7 j j j j j j ( 1 ) R j j j j j j 4 5 6 7 8 9 1 2 3 2 5 8 j j j j j j j j j j j j 7 8 9 1 2 3 7 8 9 3 6 9
(2.43) Untuk kasus khusus, dimana salah satu bilangan kuantumnya bernilai nol, simbol 9-j tereduksi menjadi j1 j 2 j 3 (1) j2 j4 j3 j7 j j j 4 5 6 j5 j6 j7 j8 j3 j7 j j 0 7 8
j1 j 2 j 3 j5 j 4 j7
(2.45) Penelitian tentang perhitungan simbol 6-j dan 9-j ini menjadi sorotan para peneliti khususnya peneliti fisika komputasi dengan berbagai metode yang digunakan diantaranya metode komputasi melalui kaitan rekursif binomial seperti yang telah dilakukan oleh Shan-Tao Lai dan Ying-Nan Chiu [Lai dan Ciu, 1989], Liqiang Wei [Wei, 1998]. Penelitian yang dilakukan oleh Lai dan Ciu adalah menghitung simbol 6-j dan 9-j sampai bilangan kuantum sekitar sepuluh. Untuk bilangan kuantum lebih dari sepuluh metode yang digunakan tidak mampu lagi untuk menghasilkan nilai yang valid karena terjadinya overflow [Wei, 1998]. Sedangkan penelitian yang dilakukan oleh
25
Liqiang Wei adalah melakukan perhitungan simbol 9-j sampai bilangan kuantum cukup besar, namun penelitian tersebut menuntut untuk rekonstruksi persamaan simbol 9-j. Masalah yang muncul adalah setiap dilakukan perhitungan simbol 3n-j yang mempunyai bentuk eksplisit, maka harus dilakukan rekonstruksi persamaan 3nj. Dengan
kata lain penelitian yang telah dilakukan oleh Wei khusus untuk
perhitungan simbol 9-j dan simbol 3n-j yang mempunyai bentuk yang melibatkan persamaan simbol 9-j. Dalam skripsi ini penelitian dilakukan dengan metode komputasi melalui kaitan rekursif aljabar tanpa merubah sedikitpun persamaan simbol 9-j. Sehingga metode ini dapat digunakan untuk simbol 3n-j baik yang mempunyai bentuk eksplisit maupun bentuk yang melibatkan simbol 9-j. Adapun penjelasan secara detail tentang metode komputasi yang dimaksud akan dijelaskan pada BAB III.
BAB III METODE PENELITIAN
Pada bab sebelumnya telah dijelaskan bahwa untuk bilangan kuantum besar, perhitungan simbol 6-j dan 9-j tidak mungkin dilakukan mengingat banyaknya produk faktorial yang terkandung dalam persamaan simbol 6-j dan 9-j. Kendalapun masih muncul, walaupun telah dilakukan perhitungan komputasi yaitu kemungkinan terjadinya overflow. Untuk mengatasi kendala ini digunakan metode komputasi melalui kaitan rekursif aljabar. Berikut dijelaskan tentang metode komputasi yang digunakan dalam penelitian ini
3.1 Metode Komputasi Seperti dijelaskan pada BAB II, yaitu dalam penelitian ini dipilih persamaan simbol 9-j yang melibatkan perkalian dari beberapa simbol 6-j (persamaan 2.42). Sehingga dapat disimpulkan bahwa keakuratan perhitungan simbol 9-j sangat bergantung pada keakuratan perhitungan simbol 6-j. 3.1.1
Kaitan rekursif aljabar simbol 6-j
Pada persamaan simbol 6-j terlihat bahwa kendala lamanya komputasi serta potensi terjadinya overflow disebabkan karena banyaknya produk bentuk faktorial pada ungkapan tersebut (persamaan 2.33). Dengan memanfaatkan sifat faktorial, penyederhanaan langkah komputasi dilakukan dengan membuat kaitan rekursif yang dapat mewakili persamaan 6-j.
26
27
Kaitan rekursif secara umum berbentuk
ak 1 C ak (3.1) dan persamaan 2.11 akan kita bawa ke dalam bentuk j1 j 2 j3 kmax a k j j j 4 5 6 kmin
(3.2) dengan k k min ,......., k max 1 dan C adalah suatu konstanta (argumen yang tidak mengandung indeks k ) sedemikian sehingga menjadikan persamaan 3.2 dapat mewakili persamaan 2.33. Untuk mencari bentuk umum dari kaitan rekursif yang diinginkan, akan dijabarkan
bentuk
eksplisit
dari a k untuk
m,encari
hubungan
anatara
akmin , akmin 1 , akmin 2 dan seterusnya. Dari persamaan 3.2 dapat difahami bahwa a kmin ( j1 j 2 j3 )( j1 j5 j6 )( j 4 j 2 j6 )( j 4 j5 j3 )
( k min j1 j5 j6 )! ( k min
( 1 )kmin ( k min 1 )! ( k min j1 j 2 j3 )!
1 j 4 j 2 j6 )! ( k min j 4 j5 j3 )!
1 ( j1 j 2 j 4 j5 k min )! ( j 2 j3 j5 j6 k min )! ( j1 j3 j 4 j6 k min )!
(3.3)
28
a kmin 1 ( j1 j 2 j3 )( j1 j5 j6 )( j 4 j 2 j6 )( j 4 j5 j3 )
( k min 1 j1 j5 j 6 )! ( k min ( j1 j 2 j 4 j5 k min
( 1 ) kmin 1 ( k min 2 )! ( k min 1 j1 j 2 j3 )!
1 1 j 4 j 2 j 6 )! ( k min 1 j 4 j5 j3 )!
1 1 )! ( j 2 j3 j5 j6 k min 1 )! ( j1 j3 j 4 j6 k min 1 )!
(3.4)
( 1 ) kmin 2 ( k min 3 )! a kmin 2 ( j1 j 2 j3 )( j1 j5 j 6 )( j 4 j 2 j 6 )( j 4 j5 j3 ) ( k min 2 j1 j 2 j3 )!
1 ( k min 2 j1 j5 j 6 )! ( k min 2 j 4 j 2 j 6 )! ( k min 2 j 4 j5 j3 )!
1 ( j1 j 2 j 4 j5 k min 2 )! ( j 2 j3 j5 j 6 k min 2 )! ( j1 j3 j 4 j 6 k min 2 )! (3.5) .. .. ..
akmax
( 1 )kmax ( k max 1 )! ( j1 j2 j3 )( j1 j5 j6 )( j4 j2 j6 )( j4 j5 j3 ) ( k max j1 j2 j3 )!
1 ( k max j1 j5 j6 )! ( k max j4 j2 j6 )! ( k max j4 j5 j3 )!
1 ( j1 j2 j4 j5 k max )! ( j2 j3 j5 j6 k max )! ( j1 j3 j4 j6 k max )! (3.6)
29
Mengingat definisi umum faktorial
N! N( N 1 )( N 2 )( N 3 )..............3 2 1 (3.7) Hubungan antara argumen-argumen faktorial pada akmin 1 dan akmin dapat dijabarkan sebagai berikut
( k min 2 )! ( k min 2 )( k min 1 )! ( k min 1 j1 j 2 j3 )! ( k min 1 j1 j 2 j3 )( k min j1 j 2 j3 )! ( k min 1 j1 j5 j6 )! ( k min 1 j1 j5 j6 )( k min j1 j5 j6 )! ( k min 1 j 4 j 2 j6 )! ( k min 1 j 4 j 2 j6 )( k min j 4 j 2 j6 )! ( k min 1 j 4 j5 j3 )! ( k min 1 j 4 j5 j3 )( k min j 4 j5 j3 )! ( j1 j 2 j 4 j5 k min 1 )!
( j1 j 2 j 4 j5 k min )! ( j1 j 2 j 4 j5 k min )
( j 2 j3 j5 j6 k min 1 )!
( j 2 j3 j5 j6 k min )! ( j 2 j3 j5 j6 k min )
( j1 j3 j 4 j6 k min 1 )!
( j1 j3 j 4 j6 k min )! ( j1 j3 j 4 j6 k min ) (3.8)
Dari penjabaran di atas dapat disusun hubungan antara akmin 1 dan akmin sebagai
a kmin 1
( k min 2 )( j1 j 2 j 4 j 5 k min )( j 2 j 3 j 5 j 6 k min ) ( k min 1 j1 j 2 j 3 )( k min 1 j1 j 5 j 6 )( k min 1 j 2 j 4 j 6 ) ( j1 j 3 j 4 j 6 k min ) ak ( k min 1 j 3 j 4 j 5 ) min (3.9)
30
Secara umum persamaan 3.9 dapat ditulis
ak 1
( k 2 )( j1 j2 j4 j5 k )( j2 j3 j5 j6 k )( j1 j3 j4 j6 k ) ak ( k 1 j1 j2 j3 )( k 1 j1 j5 j6 )( k 1 j2 j4 j6 )( k 1 j3 j4 j5 ) (3.10)
Persamaan 3.10 merupakan kaitan rekursif yang dicari dan mempunyai argumen persis seperti persamaan 3.1. dengan
C
( k 2 )( j1 j 2 j 4 j5 k )( j 2 j3 j5 j 6 k )( j1 j3 j 4 j 6 k ) ( k 1 j1 j 2 j3 )( k 1 j1 j 5 j 6 )( k 1 j 2 j 4 j 6 )( k 1 j3 j 4 j5 ) k (3.11)
Dengan memanfaatkan kaitan rekursif pada persamaan (3.10), persamaan simbol 6-j menjadi lebih efisien yaitu j1 j 2 j3 kmax a k j 4 j5 j6 kmin
(3.12) dengan k berjalan dari k min sampai k max 1 .
3.1.2
Operasi aljabar pada a kmin
Kemungkinan terjadinya overflow saat diberi masukan nilai bilangan kuantum j besar akan semakin berkurang bahkan akan dapat dihindari dengan melakukan beberapa operasi aljabar terhadap produk yang melibatkan faktorial sejenis sedemikian sehingga didapatkan argumen terkecil pada semua bentuk faktorial pada persamaan a kmin .
31
Dari syarat simbol 6-j bahwa
kmin max( j1 j2 j3 , j1 j5 j6 , j2 j4 j6 , j3 j4 j5 ) (3.13) dapat dijabarkan menjadi beberapa kemungkinan yaitu
Jika k min j1 j2 j3 maka bentuk persamaan a kmin menjadi
a kmin
( 1 ) j1 j2 j3 ( j1 j 2 j3 1 )! D 0! ( j 2 j3 j5 j 6 )! ( j1 j3 j 4 j 6 )! ( j1 j 2 j 4 j5 )!
1 ( j 4 j5 j3 )! ( j5 j6 j1 )! ( j 4 j 6 j 2 )!
(3.14) dimana
D ( j1 j 2 j3 )( j1 j5 j 6 )( j 4 j 2 j 6 )( j 4 j5 j3 )
( j1 j 2 j3 )! ( j1 j3 j 2 )! ( j 2 j3 j1 )! ( j1 j 2 j3 1 )!
( j`1 j5 j 6 )! ( j`1 j 6 j5 )! ( j5 j 6 j1 )! ( j`1 j5 j 6 1 )!
( j 2 j 4 j 6 )! ( j 2 j 4 j 6 )! ( j 4 j 6 j 2 )! ( j` 2 j 4 j 6 1 )!
( j` 3 j 4 j5 )! ( j3 j5 j 4 )! ( j 4 j5 j3 )! ( j3 j 4 j5 1 )! (3.15)
32
Dari syarat pada persamaa 3.13 dapat dijabarkan menjadi
j1 j 2 j3 j1 j5 j6
j 2 j3 j5 j 6
j1 j 2 j3 j 2 j 4 j6
atau
j1 j 2 j3 j3 j 4 j5
j1 j3 j 4 j6 j1 j 2 j 4 j5 (3.16)
Dengan memanfaatkan logika faktorial dan syarat 3.16, didapat
( j1 j5 j 6 1 )! ( j1 j5 j 6 1 )..........( j1 j5 j 6 1 )( j1 j5 j 6 )! ( j 2 j 4 j 6 1 )! ( j 2 j 4 j 6 1 )..........( j 2 j 4 j 6 1 )( j 2 j 4 j 6 )! ( j3 j 4 j5 1 )! ( j3 j 4 j5 1 )..........( j3 j 4 j5 1 )( j3 j 4 j5 )! ( j1 j 2 j3 )! ( j1 j 2 j3 )..........( j 4 j5 j3 1 )( j 4 j5 j3 )! ( j1 j3 j 2 )! ( j1 j3 j 2 )..........( j 4 j 6 j 2 1 )( j 4 j 6 j 2 )! ( j 2 j3 j1 )! ( j 2 j3 j1 )..........( j5 j 6 j1 1 )( j5 j 6 j1 )! (3.17) Setelah dilakukan penyederhanaan terhadap argumen-argumen faktorial sejenis, maka persamaan 3.14 menjadi ( 1 ) j1 j2 j3 ( j1 j 6 j5 )! ( j 2 j 6 j 4 )! ( j3 j5 j 4 )! ( j1 j5 j 6 )!2 ( j 2 j3 j5 j 6 )! ( j1 j3 j 4 j 6 )! ( j1 j 2 j 4 j5 )! 1
a k min
( j1 j 2 j3 1 ).....( j1 j5 j6 2 )2 ( j1 j 2 j3 ).....( j 4 j5 j3 1 )2 1 1 ( j 2 j 4 j6 1 )....( j 2 j 4 j6 1 )2 ( j3 j 4 j5 1 )....( j3 j 4 j5 1 )2 1
1
( j j3 j 2 ).....( j 4 j6 j 2 1 )2 ( j 2 j3 j1 ).....( j5 j6 j1 1 )2 1 1
1
1
(3.18)
33
Jika k min j1 j5 j6 maka bentuk persamaan a kmin menjadi
a kmin D
( 1 ) j1 j5 j6 ( j1 j5 j6 1 )! ( j5 j 6 j 2 j3 )!0! ( j1 j5 j 4 j 2 )! ( j1 j 6 j 4 j3 )! 1 ( j 2 j 4 j6 )! ( j 2 j3 j1 )! ( j3 j 4 j5 )!
(3.19) Dari syarat pada persamaa 3.13 juga dapat dijabarkan menjadi
j1 j5 j6 j1 j 2 j3 j1 j5 j6 j 2 j 4 j6 j1 j5 j6 j3 j 4 j5
j5 j 6 j 2 j3 atau
j1 j5 j 2 j 4 j1 j6 j3 j 4 (3.20)
Dengan memanfaatkan logika faktorial dan syarat 3.20, didapat
( j 2 j 4 j 6 1 )! ( j 2 j 4 j 6 1 )..........( j 2 j 6 j 4 1 )( j 2 j 6 j 4 )! ( j3 j 4 j5 1 )! ( j3 j 4 j5 1 )..........( j 4 j5 j3 1 )( j 4 j5 j3 )! ( j1 j 2 j3 1 )! ( j1 j 2 j3 1 ).......... ( j1 j 2 j3 1 )( j1 j 2 j3 )! ( j5 j 6 j1 )! ( j5 j 6 j1 )..........( j 2 j3 j1 1 )( j 2 j3 j1 )! ( j1 j 6 j5 )! ( j1 j 6 j5 )..........( j3 j 4 j5 1 )( j3 j 4 j5 )! ( j1 j5 j 6 )! ( j1 j5 j 6 )..........( j 2 j 4 j 6 1 )( j 2 j 4 j 6 )! (3.21)
34
Setelah dilakukan penyederhanaan terhadap argumen-argumen faktorial sejenis, maka persamaan 3.19 menjadi
a k min
( 1 ) j1 j5 j6 ( j1 j3 j 2 )! ( j 4 j 6 j 2 )! ( j j5 j 4 )! ( j1 j 2 j3 )! 3
1 2
( j5 j 6 j 2 j3 )! ( j1 j5 j 4 j 2 )! ( j1 j 6 j 4 j3 )!
( j1 j5 j6 1 ).....( j1 j 2 j3 2 )2 ( j5 j6 j1 ).....( j 2 j3 j1 1 )2 1 1 ( j 2 j 4 j6 1 )....( j 2 j6 j 4 1 )2 ( j3 j 4 j5 1 )....( j 4 j5 j3 1 )2 1
1
( j j6 j5 ).....( j3 j 4 j5 1 )2 ( j1 j5 j6 ).....( j 2 j 4 j6 1 )2 1 1
1
1
(3.22)
Jika k min j 2 j 4 j6 maka bentuk persamaan a kmin menjadi
a kmin
( 1 ) j2 j4 j6 ( j 2 j 4 j 6 1 )! D ( j 4 j 6 j1 j3 )! ( j 2 j 4 j1 j5 )!0! ( j 2 j6 j5 j3 )!
1 ( j1 j5 j 6 )! ( j3 j5 j 4 )! ( j1 j3 j 2 )!
(3.23) Syarat yang memenuhi adalah
j 2 j 4 j 6 j1 j 2 j3 j 2 j 4 j 6 j1 j5 j6 j 2 j 4 j 6 j3 j 4 j5
j 4 j6 j1 j3 atau
j 2 j 4 j1 j5 j 2 j 6 j3 j5 (3.24)
35
Dengan memanfaatkan logika faktorial dan syarat 3.24, didapat ( j1 j 2 j3 1 )! ( j1 j 2 j3 1 ).......... ( j1 j 2 j3 1 )( j1 j 2 j3 )! ( j1 j j 6 1 )! ( j1 j j 6 1 )..........( j1 j 6 j5 1 )( j j 6 j5 )! ( j3 j 4 j5 1 )! ( j3 j 4 j5 1 )..........( j3 j 4 j5 1 )( j3 j 4 j5 )! ( j 4 j 6 j 2 )! ( j 4 j 6 j 2 )..........( j1 j3 j 2 1 )( j1 j3 j 2 )! ( j 2 j 6 j 4 )! ( j 2 j 6 j 4 )..........( j3 j5 j 4 1 )( j3 j5 j 4 )! ( j 2 j 4 j 6 )! ( j 2 j 4 j 6 )..........( j1 j5 j 6 1 )( j1 j5 j 6 )!
(3.25) Setelah dilakukan penyederhanaan terhadap argumen-argumen faktorial sejenis, maka persamaan 3.23 menjadi ( 1 ) j2 j4 j6 ( j 2 j3 j1 )! ( j5 j 6 j1 )! ( j 4 j5 j3 )! ( j1 j 2 j3 )!2 ( j 4 j 6 j1 j3 )! ( j 2 j 4 j5 j1 )! ( j 2 j 6 j5 j 2 )! 1
a k min
( j 2 j 4 j6 1 ).....( j1 j 2 j3 2 )2 ( j 4 j6 j 2 ).....( j1 j3 j 2 1 )2 1 1 ( j1 j5 j6 1 )....( j1 j6 j5 1 )2 ( j3 j 4 j5 1 )....( j3 j 4 j5 1 )2 1
1
( j j6 j 4 ).....( j3 j5 j 4 1 )2 ( j 2 j 4 j6 ).....( j1 j5 j6 1 )2 2 1
1
1
(3.26)
Jika k min j3 j 4 j5 maka bentuk persamaan a kmin menjadi a kmin D
( 1 ) j3 j4 j5 ( j3 j 4 j5 1 )! ( j 4 j5 j1 j 2 )! ( j3 j 4 j1 j6 )! ( j5 j5 j 2 j 6 )! 1 ( j1 j 2 j3 )! ( j 2 j 6 j 4 )! ( j1 j6 j5 )!
(3.27)
36
Syarat yang memenuhi adalah
j3 j 4 j5 j1 j 2 j3
j 4 j5 j1 j 2
j3 j 4 j5 j1 j5 j6
atau
j3 j 4 j5 j 2 j 4 j6
j3 j 4 j1 j6 j3 j5 j 2 j 6 (3.28)
Dengan memanfaatkan logika faktorial dan syarat 3.28, didapat ( j1 j 2 j3 1 )! ( j1 j 2 j3 1 ).......... ( j1 j3 j2 1 ) ( j1 j3 j2 )! ( j1 j j 6 1 )! ( j1 j j 6 1 )..........( j1 j5 j 6 1 )( j1 j5 j 6 )! ( j 2 j 4 j 6 1 )! ( j 2 j 4 j 6 1 )..........( j 2 j 4 j 6 1 )( j 2 j 4 j 6 )! ( j 4 j5 j3 )! ( j 4 j5 j3 )..........( j1 j 2 j3 1 )( j1 j 2 j3 )! ( j3 j5 j 4 )! ( j3 j5 j 4 )..........( j 2 j 6 j 4 1 )( j 2 j 6 j 4 )! ( j3 j 4 j5 )! ( j3 j 4 j5 )..........( j1 j 6 j5 1 )( j1 j 6 j5 )!
(3.29) Setelah dilakukan penyederhanaan terhadap argumen-argumen faktorial sejenis, maka persamaan 3.27 menjadi ( 1 ) j3 j4 j5 ( j 2 j3 j1 )! ( j5 j 6 j1 )! ( j 4 j 6 j 2 )! ( j1 j3 j 2 )!2 ( j 4 j5 j1 j 2 )! ( j3 j 4 j1 j 6 )! ( j3 j5 j 2 j 6 )! 1
a k min
( j3 j 4 j5 1 ).....( j1 j 2 j3 2 )2 ( j 4 j5 j3 ).....( j1 j 2 j3 1 )2 1 1 ( j1 j5 j6 1 )....( j1 j5 j6 1 )2 ( j 2 j 4 j6 1 )....( j 2 j 4 j6 1 )2 1
1
( j j3 j 4 ).....( j 2 j6 j 4 1 )2 ( j3 j 4 j5 ).....( j1 j6 j5 1 )2 5 1
1
1
(3.30) Langkah terakhir untuk menghindari tidak terjadinya overflow adalah dengan melakukan perhitungan secara logaritmik terhadap semua bentuk faktorial yang terdapat pada persamaan (3.18), (3.22), (3.26) dan (3.30).
37
3.1.3
Metode Continued Fraction
Hasil komputasi yang akan diperoleh adalah bilangan desimal kurang dari 1 (satu). Untuk mengembalikan ke bentuk pecahan rasional seperti ketika perhitungan dilakukan secara analitik, maka hasil perhitungan numerik akan diproses lebih lanjut dengan metode continued fraction. Selain dapat disajikan melalui metode deret, sebarang fungsi f (x) dapat disajikan dengan metode continued fraction. Metode yang dimaksud berbentuk [Hirvensalo, 2004]
f ( x ) a0
1 a1
1 a2
1 a3
1 a4 ... (3.31)
atau biasa ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana yaitu
f ( x ) a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ,... (3.32) parameter {ai , i 0,1,2,3,.....} merupakan parameter yang mengandung peubah x. Uuntuk f ( x ) z
p yaitu bilangan pecahan rasional dengan p q
dan q
keduanya merupakan bilangan bulat, maka metode continued fraction untuk mendapatkan bentuk pendekatan
z zn
pn qn (3.33)
38
dengan n bilangan bulat adalah melalui prosedur rekurensi berikut a0 z , b0
1 , p0 a0 , q0 1 z a0
a1 b0 , b1
1 , p1 a1 p0 1, q1 1 b0 a1
(3.34) dan untuk sembarang n berlaku
an bn 1 , bn
1 bn 1 an
pn an pn 1 pn 2 , qn an qn 1 qn 2 (3.35) Dalam semua ungkapan di atas, simbol z berarti bagian bulat dari bilangan z.
3.2 Sarana Penelitian Dalam penelitian ini digunakan beberapa sarana penelitian berupa perangkat keras (hardware)
dan perangkat lunak (software) dengan spesifikasi sebagai
berikut
Untuk Perangkat keras digunakan komputer dengan spesifikasi : Prosessor Intel pentium IV 2,66 GHz, RAM 512 Mb, Hardisk 40 Gb,dan VGA 64 Mb.
Untuk perangkat lunak, program-program yang digunakan dalam penelitian ini adalah: Microsoft Windows XP Professional (5.1, Build 2600), Matlab versi 7.1.0.246 (R14) service pack 3, Microsoft paint version 5.1 dan Microsoft Office.
39
3.3 Langkah-langkah dan Eksekusi Program Dalam penelitian ini melibatkan enam program, masing-masing dengan nama ln_fact.m,
ln_product.m,
angdelta.m,
c_fract.m,
sixj_symbol.m
dan
ninej_symbol.m. Keenam program tersebut yang merupakan program utama adalah sixj_symbol.m dan ninej_symbol.m yaitu program yang akan dieksekusi. Eksekusi program dilakukan dengan cara mengetikkan nama program yang akan dieksekusi tanpa ekstensi ‘.m’ lengkap dengan bilangan-bilangan kuantumnya ke Command Window kemudian Enter. Sebagai contoh, untuk mencari nilai simbol 6-j dengan bilangan kuantum j1, j2, j3, j4, j5 dan j6 dilakukan dengan mengetikkan ‘sixj_symbol(j1,j2,j3,j4,j5,j6)’ di Command Window. Sedangkan untuk mencari nilai simbol 9-j dengan bilangan kuantum j1, j2, j3, j4, j5, j6, j7, j8 dan j9 dilakukan dengan mengetikkan ‘ninej_symbol(j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7,j8,j9)’ di Command Window (lihat gambar 3.1).
40
Gambar 3.1 : contoh mengeksekusi program
Gambar 3.1 menunjukkan bagaimana mengeksekusi program simbol 9-j untuk bilangan-bilangan kuantum j1 = 30, j2 = 20, j3 = 10, j4 = 30, j5 = 10, j6 = 0, j7 = 60, j8 = 30, j9 = 30 menghasilkan nilai 0.000268744961032024970 dengan bentuk pecahan rasional
1 . 3721
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Keluaran program yang dihasilkan berupa bilangan desimal dan pecahan rasional, yang dapat dilihat pada tabel 4.1 (untuk simbol 6-j) dan tabel 4.2 (untuk smbol 9-j).
Table 4. l Hasil komputasi simbol 6-j Bilangan Kuantum (j1,j2,j3,j4,j5,j6) 9,14,6,12,10,10 9,14,6,12,12,10 9,15,6,12,10,10 11,15,8,14,12,12
Hasil Komputasi Simbol 6-j
Penelitian Berndt M. Gammel
-1.79164931318641e-2 -124/6921 -1.23542572577817e-2 -89/7204 -1.54777127778549e-2 -133/8593 1.29287118161626e-3 36/27845
-179164931318641e-2 -1.23542572577818e-2 -1.54777127778549e-2 7.26427514442396e-4
Table 4.2 Hasil komputasi simbol 9-j Bilangan Kuantum (j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7,j8,j9) 5,0.5,4.5,5,0.5,5.5,9,1,10
Hasil Komputasi Simbol 9-j 2.57786760370729e-3 97 / 37628 15,15,30,15,3,15,15,18,30 1.39262378113594e-5 10/718069 20,10,30,30,30,60,10,20,30 2.68744961032048e-4 1 / 3721 30,20,10,30,10,20,60,30,30 2.68744961032006e-4 1 / 3721 45,30,20,45,15,35,90,45,45 -4.3763914165764e-9
-1/228498757
41
Penelitian Liqiang Wei 2.57786760370727e-3 1.68384777511566e-4 2.68744961031980e-4 2.68744961031980e-4 -6.51130967998823e-7
42
Table 4.3 Perbandingan hasil komputasi dengan tabel simbol 6-j Bilangan Kuantum (j1,j2,j3,j4,j5,j6) 100,200,300,1,299,201 1000,2000,3000,1,2999, 2001 10000,20000,30000,1, 29999,20001 100000,200000,300000, 1,299999,200001 1000000,2000000,3000000, 1,2999999,2000001
Hasil Program Simbol 6-J 2.38172999196966e-6 2.40322210652586e-8
Tabel Simbol 6-j 2.38172999196980e-6 2.40322210652027e-8
2.40538557509405e-10
2.40538557513122e-10
2.40560206661221e-12
.2.40560206552343e12 2.40562371599893e-14
2.40562372868172e-14
Untuk mengetahui ketelitian komputasi dilakukan dengan membandingkan hasil penelitian yang dilakukan dengan hasil dari peneliti lain. Dalam hal ini yang digunakan sebagai rujukan adalah hasil penelitian Berndt M. Gammel (2005) untuk simbol 6-j dan hasil penelitian Liqiang Wei (1998) untuk simbol 9-j. Dari tabel 4.1 dan tabel 4.2 terlihat adanya kesesuaian hasil komputasi yang dilakukan pada penelitian ini dengan penelitian lain (Berndt M. Gammel untuk simbol 6-j dan Liqiang Wei untuk simbol 9-j). Namun untuk bilangan kuantum besar, ketelitian komputasi semakin berkurang. Hal ini disebabkan karena proses komputasi melibatkan bilangan yang sangat besar yang muncul dari banyaknya produk faktorial pada persaman simbol 6-j. Sehingga program sangat sensitif yang akan mengurangi kestabilan program dan memungkinkan terjadinya overflow, walaupun telah dilakukan pengoperasian aljabar dan semua perhitungan dilakukan secara logaritmk. Untuk mengetahui benar tidaknya program yang dibuat, dapat dilakukan dengan membandingkan hasil komputasi dengan tabel simbol 6-j pada tabel 4.3.
43
Terlihat adanya kesesuaian antara hasil komputasi dengan tabel simbol 6-j walaupun untuk bilangan kuantum sangat besar.
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan Dari seluruh rangkaian skripsi ini yang telah dijelaskan dalam bab-bab sebelumnya, dapat disimpulkan : 1. Telah dihasilkan program untuk perhitungan simbol 6-j dan simbol 9-j melalui kaitan rekursif aljabar. 2. Telah didapatkan hasil perhitungan simbol 6-j dan simbol 9-j untung bilangan kuantum bulat atau setengah bulat yang sembarang dan yang memenuhi kaitan segitiga momentum sudut. 3. Dapat dipertahankannya bentuk pecahan rasional dengan eksak meliputi tanda positip dan negatip yang terkait dengannya.
5.2 Saran Metode yang digunakan dalam penelitian ini dapat diterapkan untuk perhitungan 12-j atau 3n-j, namun kekurangan yang masih ada adalah terjadinya ketidakstabilan program untuk bilangan kuantum besar dan masih diperlukannya operasi aljabar untuk menyederhanakan bentuk eksplisit amin pada masing-masing simbol tersebut.
44
DAFTAR PUSTAKA [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]
[9] [10]
[11]
[12] [13] [14] [15] [16] [17]
[18]
Alcaras dan Vanagas, V., 1984, New Algebraic Tables of SU(2) Quantitieo, Revista Brasileira de Fisica, Vol. 14, Instituto de Fisica Teórica, Brasil Cohen, 1977, Quantum Mechanics, Volume 2, John Willey & sons, New York. Cvitanovic, 2004, Group Theory, Tracts, Lie’s and Expectational Groups, Gone with the Wind Press, Atlanta and Copenhagen Gammel, B., 2005, Matpack special functions - Wigner 6-j coefficients, Matpack Library Release 1.9.0 Goswami, 1992, Quantum Mechanics, University of Oregon, Wm. C. Brown Publishers. Hanselman dan Littlefield, 1995, Mastering Matlab, Prentice-Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458 Hirvensalo, 2004, Quantum Computing, Second Edition, Springer – Verlag Berlin Heidelberg. Ivan, 1996, Pemanfaatan Operator Boson pada Momentum Sudut dan Teori Usikan Disertai Contoh Penerapan Terpadunya, Jurusan Fisika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta, Indonesia. Johnson, 2002, Lecture on Atomic Physics, Department of Physics, University of Notre Dame Notre Dame, Indiana 46556, U.S.A. Lai dan Chiu, 1989, Exact computation of the 3-j and 6-j symbols, Center for Molecular Dynamics and Energy Transfer, Department of Chemistry, The Catholic University of America, Washington, DC 20064, USA. Landau, L. D. dan Lifshitz, E. M., 1977, Quantum Mechanics (Non-relativistic Theory), Course of Theoretical Physics, Volume 3 Third Edition, Pergamon Press. Nurwantoro, 2007, Robust Computation of the Gaunt Coefficients, Proceed of 2nd Jogja International Physics Conference, Yogyakarta, Indonesia Racah, G., 1942, Physical Review, 62, 438. Rasch, J. dan Yu, A.C.H, 2003, Efficient Storage Scheme for Recalculated Wigner 3J, 6J and Gaunt Coefficients, Siam. J.Sci.Comput., 25, 1416. Rosyid, M. F., 2005, Mekanika Kuantum, Laboratorium Fisika Atom dan Inti Jurusan Fisika FMIPA UGM, Yogyakarta. Wei 1998, New formula for 9-j symbols and their direct calculation, School of Chemical Sciences, University of Illinois, Urbana, Illinois 61801. Wei dan Dalgarno, 2007, Universal Factorization of 3n − j (j > 2) Symbols of the First and Second Kinds for SU(2) Group and Their Direct and Exact Calculation and Tabulatio, Institute for Theoretical Atomic, Molecular and Optical Harvard University, Cambridge, MA 02138 Wormer dan Paldus, 2006, Angular Momentum Diagrams, Advances in Quantum Chemistry, Volume 51, Institute for Molecules and Materials, Radboud University Nijmegen,Toernooiveld, 6525 ED Nijmegen, The Netherlands
45
)
*
)
#
4
)
/
!
5
)
#
6
)
!
!
"
0
)
7
)
!
!
1
"
)
6
!
"
)
+
)
,
)
-
,
.
)
!
,
"
#
$
%
&
,
'
(
)
*
"
2
!
!
"
8
9
$
:
;
)
<
=
9
/
>
?
!
!
!
0
)
!
,
/
!
,
"
"
"
3
4
3
*
'
3
@
A
D
E
F
G
H
G
I
&
)
J
K
B
J
K
L
M
*
)
N
O
C
J
P
N
Q
)
N
R
H
)
S
Y
M
)
D
T
U
V
J
W
X
*
T
U
)
*
,
)
)
)
.
)
.
)
[
]
^
Z
d
_
`
\
b
c
a
*
)
Y
)
*
*
)
.
)
*
*
)
e
,
)
)
)
f
N
J
h
I
J
R
i
S
G
j
N
P
N
G
W
k
M
g
A
N g
J
)
h
I
B
J
R
P
N
)
R
H
C
S
M
o
T
U
R
G
H
P
l
m
T
n
S
I
V
J
W
p
I
q
i
S
N g
r
S
W
J
W
P
h
S
r
I
I
I
J
J
R
R
J
O
M
P
P
N
r
J
P
N
N
R
H
S
M
s
T
U
R
t
E
L
r
|
I
J
W
n
I
J
j
N
O
}
n
I
J
K
m
#
N
u
l
J
M
{
G
O
r
S
I
V
J
W
J
I
J
I
S
V
|
O
G
W
P
S
I
m
H
J
I
N
P
~
v
|
M
G
w
#
5
x
5
"
#
v
y
v
z
$
)
*
§
¡
¢
£
±
µ
¤
±
·
£
¨
¥
¢
£
¤
¡
¦
¤
¬
£
±
§
£
©
°
¨
ª
¡
·
¥
£
¡
,
ª
¤
¡
«
©
£
¬
ª
¢
¥
¨
£
¸
¯
ª
°
¹
§
¨
¬
¬
¤
±
¬
¡
±
ª
¬
©
¨
¦
¡
¥
®
³
¯
±
µ
°
¤
¥
£
±
ª
¬
²
£
£
£
³
ª
´
·
¡
©
©
±
£
µ
º
ª
¡
£
¥
£
¡
ª
¥
¶
·
±
£
³
¨
ª
©
±
ª
§
¨
¢
·
¡
£
«
µ
£
¬
·
£
µ
¡
³
±
µ
¤
£
¬
£
£
ª
'
¬
£
¢
£
¤
¡
¬
©
»
»
¼
£
·
£
¥
£
¦
¥
®
¯
°
¦
´
½
e
»
»
¼
¶
¼
Ã
Ä
»
Å
Ä
Ô
Æ
Ç
¡
È
Ç
¬
©
É
Ç
¥
Ê
®
¯
Ë
Ç
°
Ì
¬
Í
±
Ê
Î
¬
Å
±
ª
Ï
¨
Ð
¦
Ñ
Í
Ê
¡
Î
¢
Å
£
¡
Ï
§
£
Ð
Ò
ª
¤
Ñ
¡
¾
¿
À
Á
¿
À
Â
Ó
¬
±
§
µ
¡
©
±
µ
¡
¢
¨
§
´
Õ
Ö
µ
£
ª
¤
³
¤
¡
¤
¡
¢
¥
¬
³
±
µ
§
£
¬
£
·
£
ª
¢
±
·
¨
£
»
»
¶
¼
×
Ø
Õ
Ù Ê
Ç
Ú
Æ
Ç
£
Î
¡
§
Û
£
Ç
ª
Ì
£
Ü
ª
§
Ä
£
µ
Æ
£
Ç
Ì
¤
¡
Ú
¬
É
©
Ç
Ë
¥
Ý
®
¯
Ê
Î
°
Å
·
±
ª
Ï
Ð
«
£
Ò
Ñ
Ó
ª
¤
¡
¬
©
¥
¸
¯
°
£
·
£
¥
£
¦
Þ
´
·
½
¡
¬
·
£
£
ª
³
£
¨
ª
³
±
ª
²
£
°
¡
£
ª
¤
¡
¬
©
¥
®
¯
°
·
£
¥
£
¬
©
±
ª
§
¨
¢
·
¡
£
«
µ
£
¬
£
·
£
¥
£
¦
¤
±
©
£
«
£
¡
©
±
µ
¡
¢
¨
§
»
»
Õ
¶
¼
æ ç ç è
£
¡
§
£
ª
¤
¡
¬
±
§
µ
¡
¥
£
¡
ª
²
£
¡
§
å
å
ö æ ÷=ç ÷ ç ø è
å
á
à
å
ß
å
å
ä
â
ã
å
å
à
å
æ
ß
å
á
ö æ ÷=ç ÷ ç ø è
å
á
æ
å
æ
à
ß
å
å
á
à
å
ö ÷ ÷ ø
å
æ
ß
å
æ
å
á
à
æ
»
ß
´
»
»
´
»
»
ç
¶
¨
Þ
ìï í ïî
Ô
¡
¬
·
¬
©
±
£
ª
ª
¨
°
¥
¢
¨
¸
£
«
¯
µ
£
î
¬
°
¡
±
ª
¬
í
£
ï
µ
¡
£
ð
±
ª
¦
ì
é
ì
é
£
¡
ª
é
é
§
¡
ë
è
ª
·
¨
é
±
µ
ë
³
í
£
é
£
ñ
ª
è
¦
µ
·
£
¡
£
ê
£
·
è
³
³
£
ª
üï ìï ý=í ïþ ïî
ê
·
¤
¡
¡
©
±
£
¬
µ
µ
ì
é
ì
¡
«
±
é
¡
è
ª
£
¢
é
¨
é
·
¬
£
©
§
ë
è
ë
¦
£
±
µ
é
ê
é
ê
ª
¡
´
¢
¨
üï ý= ïþ
è
§
§
µ
£
ª
¤
ìï í ïî
³
é
ì
é
ì
¤
è
é
ë
é
¡
¤
ë
¡
¶
è
¢
é
ê
é
ê
¥
è
üï ìï ý= í ïþ ïî
¬
£
º
é
ì
é
ì
£
è
é
é
¥
ë
è
é
ë
·
é
£
ª
üï ý ïþ
ê
ê
¢
è
¥
¬
£
¢
¦
¡
µ
·
±
ª
«
»
£
¶
ª
¼
·
±
ª
Ö
£
Ø
£
ª
¬
ó
«
ª
·
±
³
£
ª
¨
±
«
ª
°
ª
±
¨
²
«
¢
£
£
¢
§
£
°
¡
¡
£
ª
·
³
ª
´
£
µ
¯
£
¡
£
«
¶
µ
¬
¦
©
£
¬
±
±
µ
ª
¥
¨
£
ª
º
°
£
¨
¢
ª
£
¢
£
ª
ª
³
£
¨
§
µ
£
µ
£
´
µ
£
¦
³
ª
°
£
¨
µ
§
¨
£
µ
¬
£
°
ª
£
°
¬
£
µ
¨
¬
°
£
¬
·
£
ª
§
£
ª
·
£
³
¤
¡
§
¡
³
´
Ç
Ú
Æ
Ô
Ô
¡
¬
©
¥
Ç
¡
¸
Î
¬
¯
Û
©
°
¬
Ç
¥
±
Ì
¸
¯
¬
³
Ü
°
Ä
Æ
¬
¨
±
ª
Ç
Ì
Ú
¬
²
³
£
¡
É
¨
¢
Ç
ª
£
Ë
²
¡
§
ìï í ïî
¶
Ý
£
£
¡
ø
÷
ø
Î
©
ª
÷
Ê
±
¤
¡
ª
Ï
§
¬
÷
ö
Å
¨
±
µ
÷
÷
ú
ô
Ó
·
¡
£
«
µ
£
¬
±
³
µ
±
¤
±
ª
§
£
¤
¡
«
µ
£
õ
¡
¢
¶
©
±
µ
¡
¢
¨
§
¡
üï ìï ý=í ïþ ïî
ù
ö
Ñ
¢
§
ú
Ð
÷
ù
ö
÷
ú
÷
ú
÷
ö
ø
÷
÷
ø
üï ìï ý=í ïþ ïî
ù
ö
÷
ù
ö
÷
ú
÷
ú
÷
ù
ö
÷
÷
ù
ø
ö
÷
ø
ö
üï ý ïþ ´
Ô
ò
Ù Ê
·
ç
±
ª
±
«
¥
£
£
¡
ª
ª
¢
¡
ª
£
í
§
£
£
¥
µ
¡
£
£
¡
ª
ª
¹
§
¤
±
µ
¡
¦
¬
©
£
·
£
¥
³
¸
³
¯
±
°
¡
µ
¬
ª
í
¨
£
§
µ
£
¡
¤
£
¡
ª
¢
§
±
¥
µ
¦
¬
£
·
¹
£
¤
³
¡
³
¬
±
©
µ
¬
¥
¨
¸
§
¯
°
£
¤
°
¨
¡
´
«
©
£
£
¬
¡
¢
±
«
¬
±
³
ª
¨
£
³
ª
¬
²
£
£
¡
¢
¨
³
£
¡
¨
§
ª
£
ª
«
¤
£
¡
ª
¬
°
±
¡
¥
§
¶
µ
¢
¡
©
¥
±
µ
¬
¡
¢
¨
§
»
®
¶
û
±
µ
¤
£
¬
£
£
ª
»
¸
·
£
³
£
§
·
¡
¤
£
°
¡
¢
£
ª
·
£
¥
£
¬
©
±
ª
§
¨
¢
·
¡
£
«
µ
£
¬
©
±
µ
¡
¢
¨
®
´
»
¸
¶
´
»
þ
¶
´
»
ÿ
¶
§
ü
Õ
ý
±
©
·
±
ª
·
£
ª
±
«
µ
£
£
ª
³
£
³
¢
±
£
ª
¡
²
§
£
£
°
ª
¡
¤
£
ª
¡
¬
·
©
¡
£
«
¥
µ
£
¯
°
²
£
ª
«
¥
£
¡
ª
¬
û
û
Ø
©
±
µ
£
³
£
¦
¨
©
¨
ª
«
£
ª
¥
£
¡
ª
ó Ç
Ú
Æ
Ô
£
±
Ù Ê
·
ý
ª
ÿ
¬
±
Ç
¡
¬
Î
¬
Û
©
³
¨
Ç
¥
ª
²
Ì
£
Ü
¯
¡
°
¦
Ä
Æ
¬
¨
Ç
±
©
Ì
¬
¨
Ú
³
ª
«
É
¨
£
Ç
ª
ª
Ë
²
Ý
£
·
Ê
¡
±
Î
©
ª
Å
±
«
ª
£
Ï
§
ª
Ð
¨
Ñ
¢
¢
·
±
Ó
¡
õ
¡
£
«
¤
¡
µ
±
£
¬
ª
´
µ
±
³
²
µ
£
±
ª
¤
±
«
ª
·
§
¡
§
£
¤
¨
ª
¡
«
°
µ
¨
¢
£
¢
õ
¡
¢
£
¶
ª
©
¥
±
±
µ
¦
¡
¢
³
¨
±
§
µ
¤
£
¬
£
£
ª
»
û
´
»
û
¶
´
»
¼
¶
ó Ã
Ä
»
Å
Ä
Ô
Æ
Ç
¡
¬
È
Ç
©
È
¥
Ä
Æ
¯
Ç
°
Ì
¡
Ú
ª
É
í
Ç
£
µ
Ë
¡
Í
£
ª
Ê
Î
Å
§
±
µ
Ï
¦
Ð
£
Ñ
·
£
Ó
³
Ð
³
Ç
Ê
±
Ì
µ
Û
¬
Ê
¨
§
Ç
Ì
£
¤
Ë
¡
Ç
¢
Æ
Ç
Ì
¥
¬
Ç
·
£
ª
©
£
µ
¡
¤
û
Ü
Ä
¡
Ã
Æ
¢
Ì
£
Ä
»
Ç
Ú
Å
Ä
É
Ç
Æ
Í
Ç
Ë
Ç
±
Î
È
Ê
È
õ
¡
¤
¡
Ä
Ä
¹
Æ
±
Ë
Æ
¢
Ç
É
Ì
ª
Ê
±
Ú
Ï
õ
É
¡
¤
Ç
Ä
¡
±
Ë
©
Ê
µ
Ê
ª
É
±
Í
Ì
Ï
ª
Ä
¥
£
Ä
¡
Ê
¬
Í
¡
Ê
µ
±
Ä
±
Ì
ª
°
£
¥
£
·
§
±
µ
¥
¡
´
þ
Ç
¡
Ì
¦
£
Ú
Ð
§
³
Ç
£
Ê
Ì
·
£
©
±
ª
§
¨
¢
±
¢
¤
³
¥
¡
¤
¡
§
³
±
µ
¤
£
¬
£
£
ª
»
Õ
¶
¹
¤
±
¦
¡
ª
«
«
£
Þ
·
Õ
£
³
ñ
£
£
·
§
µ
±
¡
ª
¢
«
£
·
µ
±
£
±
¡
§
¨
¥
ª
¡
¡
¤
§
±
¨
¥
£
±
§
¹
õ
¬
¡
¤
£
=
£
Þ
©
µ
ª
JJ =
ª
ª
¨
£
¡
±
¢
³
±
·
£
+
µ
£
§
J
µ
·
£
ª
J =
ª
·
£
ª
©
µ
±
±
µ
£
¥
ª
²
£
¢
±
õ
¡
¤
¡
±
ª
¹
©
ª
²
±
©
©
£
¢
¨
ª
¡
¥
£
¡
¤
±
§
±
ª
«
£
¦
©
¡
¥
£
ª
«
£
ª
©
¨
¥
£
§
°
¡
¢
£
¤
±
§
±
ª
«
£
¦
©
¡
¥
£
ª
«
£
ª
£
ª
£
¥
¡
ª
í
£
µ
¡
£
ª
§
±
µ
¦
£
·
£
³
³
±
µ
§
¨
¢
£
µ
£
ª
¤
¡
¬
¨
¥
§
£
ª
!
±
µ
Þ
¬
±
¢
£
ª
%
«%
Ô
±
¦
¡
ª
«
«
£
«
!
·
£
ª
$
#
«$
"
¹
²
£
ª
«
&
ó Ý
Ø
)
(
Ã
-
Ù
&
+
Ñ
'
(
Ü
)
*
'
+
,
Ù
.
'
Ù
+
)
'
*
'
(
(
-
(
/
+
0
1
(
Ý
1
1
0
2
,
Ï
Ä
Ê
Í
Ê
Ä
±
Ì
õ
¡
¤
Ð
¡
±
Ä
Å
ª
Í
ð
3
4
7
Ñ
¬
Ï
¨
Æ
ª
Û
8
Ç
¨
Ì
¥
5
¢
±
§
¡
¢
6
£
§
±
µ
°
£
·
¡
³
µ
·
¨
¢
§
±
ª
¤
µ
·
£
µ
¡
·
¨
£
©
£
¤
¡
¤
§
±
µ
ª
µ
¬
£
¥
¢
£
ª
9
¡
¤
£
¥
ª
²
£
Þ
©
£
¤
¡
¤
:
;
:
·
±
ª
«
£
ª
>
=
?
>
¬
±
ª
«
¦
£
¤
¡
¥
¢
£
ª
A
<
@
´
·
±
ª
Ô
·
£
±
±
«
8
ª
ª
£
«
ï
µ
Á
£
£
·
±
¢
¤
³
¥
¡
¤
¡
§
£
ª
£
·
£
¥
£
¦
¢
±
õ
»
¡
¤
¡
»
±
¶
ª
¹
¬
±
¬
³
¨
ª
²
£
¡
©
±
ª
§
¨
¢
´
»
Õ
¶
´
»
¶
ª
û
¸
