1. gyakorlat (pótolva: 2012. október 17.) feladatai 30A-5 Mágneses erőtérben mozgó töltött részecskére erő hat, ami merőleges mind a részecske mozgásirányára, mind a mágneses erőteret jellemző B indukcióvektorra. Megfelelő elrendezés (= a kérdéses vektorok páronként merőlegesek egymásra) esetén az erő nagysága . Körpályán haladó pontszerű részecskére hat a centripetális erő, amelynek nagysága . Itt m a részecske tömege, v a sebessége, R pedig a körpálya sugara. Mágneses térben haladó részecske esetén a centripetális erőt a mágneses erőtér részecskére ható ereje szolgáltatja:
egyszerűsítsünk, és rendezzünk át v-re, a részecske sebességére: Ezzel tehát megkapható a részecske sebessége. Esetünkben [a kiszámításhoz szükséges minden adat vagy a feladatból ismert (B, R), vagy a honlapra feltöltött képletgyűjtemény első oldalán, az Állandók című részben található meg (q, m)] Egy részecske kinetikus energiája megkapható a tömege és a sebessége ismeretében, az alábbi képlettel: Esetünkben Ezt elektronvoltba (eV) kell átszámolnunk. Az elektronvolt (szub)atomi részecskék esetén használt energiaegység. 1 eV egyenlő azzal az energiával, amekkora mozgási energiára egy 1 V feszültségű elektromos térben egy elektron gyorsulás útján szert tud tenni. Ez az energia egyenlő az elektron töltésnek [megtalálható a képletes lap Állandók részében], és az 1 V feszültségnek a szorzatával: Ennek ismeretében a proton energiája:
30B-14 Tekintsük ezt a 3 dimenziós derékszögű koordinátarendszert! Legyen a „felfelé” irány az ytengely pozitív iránya, a „lefelé” irány az y-tengely negatív iránya. Keletet azonosítsuk a pozitív x iránnyal. Ekkor a z tengely negatív fele az északi irány. Tehát a vektor a –z felé mutat, az vektor pedig –y felé. A feladatban használt elektron +x irányba halad. [A jobb megértéshez szerintem érdemes kinyomtatni a lapot, és belerajzolni ezeket, meg az ez utáni erőket is.] A mágneses tér által a mozgó részecskére ható erő az előző feladat alapján . Az erő iránya merőleges mind a haladó részecske, mind az erőtér irányára. Az erőirány a jobbkéz-szabállyal szemléltethető. Ha a jobb kezünk (és szigorúan a jobb kezünk!) hüvelykujját a haladó részecske haladási irányába fordítjuk, a mutatóujjunkat pedig a 1
mágneses térerősség vektorának irányába (az előző irányra merőlegesen), akkor a mágneses tér által a részecskére ható erőt a kinyújtott középső ujjunk () iránya fogja jelezni (mindkét előző irányra merőlegesen). Figyeljünk arra, hogy ezzel a módszerrel a pozitív töltésű részecskékre ható erő iránya határozható meg! A negatív töltésű részecskék esetén (most az elektron ilyen) az erőhatás éppen ellentétes irányú. Ha a hüvelykujjunkat a +x irányba, mutatóujjunkat pedig a –z irányba nyújtjuk, látjuk, hogy a pozitív részecskékre ható F erővektor a +y irányba, azaz felfelé mutat. Emiatt az elektronra lefelé, a -y irányba irányuló erő hat. Az elektromos tér esetén a helyzet sokkal egyszerűbb. A pozitív töltésekre ható erő vektorának iránya pont megegyezik az vektor irányával, tehát lefelé, -y irányba mutat. Az erő nagysága pedig arányos a töltés nagyságával: . Az elektronra ható erő ismét ellentétes irányú, tehát a +y irányba mutat. A gravitációs erő nyilván lefelé, -y irányba mutat, a részecske töltésétől függetlenül. Nagysága Ha kiszámoljuk az egyes erők nagyságát, az következőt kapjuk [minden szükséges adat vagy a feladatban, vagy a képletgyűjteményben szerepel]. , -y irányba , +y irányba , -y irányba 2 megfigyelés: - A gravitációs erő 12-13 nagyságrenddel kisebb a másik két erőnél, tehát gyakorlatilag elhanyagolható. - A felfelé mutató elektromos erő kb 5x nagyobb a lefelé mutató mágneses erőnél, az eredő erő tehát felfelé fog mutatni. 30B-12 Még mielőtt belefognánk bármelyik részfeladatba, írjuk fel a részecske (elektron!) kinetikus energiáját: A feladatban adott, pedig a képletek között szerepel. Ezért, ha átrendezünk, a sebességet ki tudjuk fejezni kizárólag ismert mennyiségek függvényeként: majd gyökvonással:
Vigyázzunk, hogy csak SI mértékegységeket helyettesítsünk be! Ehhez még a fenti képletbe való helyettesítés előtt váltsuk át az elektron energiáját keV-ből Joule-ba! Most pedig a részfeladatok:
2
a) Vegyük elő a 30A-5-ben már szerepelt összefüggést a mágneses tér által kifejtett erő, és a centripetális erő között: Egyszerűsítsünk, rendezzünk át a pályasugárra, és helyettesítsük be az ismert adatokat:
b) A sugár ismeretében tudjuk a kör kerületét, és az energiából ismerjük a sebességet. A periódusidő éppen egy kör megtételéhez szükséges idő, azaz c) A frekvencia bármilyen periodikus jelenség jellemzője. Gondoljuk el, hogy a periódusidő a mozgás, vagy bármilyen jelenség egyszeri végbemenéséhez szükséges idő (nyilván körmozgás esetén ez az 1 kör megtételéhez szükséges idő). A frekvencia esetén pedig nem azt nézzük, hogy egy „darab” jelenség mennyi idő alatt megy véghez, hanem hogy egységnyi idő alatt hány darab jelenség megy véghez. Ebből könnyen érthető, hogy a frekvencia éppen a periódusidő reciproka: Ha ezt behelyettesítjük a periódusidő fenti képletébe, azt kapjuk, hogy Átrendezéssel kifejezhetjük a körmozgást végző test sebességét a frekvenciája függvényében: A ciklotron-frekvencia egy a körpályán lévő részecskék mozgását jellemző frekvencia. Képlete , ahol B a mágneses tér erőssége, q a részecske töltése, m pedig a tömege. Induljunk ki az erőkre vonatkozó, már többször használt összefüggésből, és próbáljuk visszakapni a ciklotron-frekvencia definícióját:
Írjuk be a
helyére a fentebb kapott, frekvenciával kapcsolatos összefüggést:
Egyszerűsítsünk, És rendezzünk át a frekvenciára: Pontosan visszakaptuk tehát a ciklotron-frekvenciát úgy, hogy a periódusidőből számított frekvenciát használtuk fel.
3
30B-15 Ez a feladat szinte pontosan ugyanolyan, mint a 30B-14. Legelőször határozzuk meg a 750 eV energiájú elektron sebességét [előtte váltsunk át Joule-ba!]:
A +x irányba haladó elektronra a +y irányba mutató mágneses térben a jobbkéz-szabály értelmében +z irányú erő fog hatni. Ebből rögtön tudjuk, hogy az E térerősség vektorának az ellentétes, -z irányba kell mutatnia. A térerősség nagyságát abból kaphatjuk meg, hogy ahhoz, hogy a pálya egyenes maradjon, az elektronra ható elektromos és mágneses erőknek ki kell egyenlíteniük egymást. Ez ellentétes irányt, és azonos abszolútértéket jelent:
Egyszerűsítés után, majd az ismert adatokat behelyettesítve:
30A-16 Először válaszoljuk arra a kérdésre, hogy melyik a telep pozitív pólusa! A telepre és a huzalra lefelé mutató gravitációs erő hat. Ezt nyilván csak a vezető mágneses térben lévő részére ható mágneses erő tudja ellensúlyozni. Az áramjárta vezetőre ható erő iránya ugyanolyan jobbkéz-szabállyal határozható meg, mint a töltött részecskére ható erő iránya: Az erőre vonatkozó képlet ebben az esetben , ahol I a vezetőben folyó áram erőssége, a vezető mágneses térbe eső részének hossza, B pedig a mágneses térerősség. A lefelé mutató gravitációs erő ellensúlyozásához felfelé mutató mágneses erőre van szükség. A B vektor iránya a lapba befelé mutat. Ahhoz, hogy az erő felfelé mutasson ilyen mágneses tér mellett, az áramot jellemző vektornak a lapon jobbra kell mutatnia. A hurokban tehát balról jobbra folyik az áram. Ennek az a feltétele, hogy a telep bal oldali pólusa negatív, jobb oldali pólusa pozitív legyen. Ahhoz, hogy a mérleg nullát mutasson, a gravitációs és mágneses erőnek éppen ki kell egyenlítenie egymást. Mivel a lényeges vektorok kölcsönösen merőlegesek egymásra, ezért a mágneses erő nagyságára írható, hogy . Tehát
Fejezzük ki az áramot a feszültség és az ellenállás hányadosaként, majd írjuk ezt be az egyenletbe:
4
Rendezzünk át az ellenállásra, és helyettesítsünk be:
30A-24 A Hall-effektus során mágneses térbe helyezett, áramjárta elektromos vezető oldalai között feszültség jelenik meg. A mágneses tér olyan erőhatást gyakorol a vezető protonjaira és elektronjaira, amely azokat a vezető különböző oldalai felé mozgatja. A töltésszétválasztódás következtében elektromos tér alakul ki, amely az egyes töltésekre éppen ellentétes irányú erővel hat, mint teszi azt a mágneses mező, ezzel korlátozva (de nem teljesen megszüntetve) a szétválasztódást. Végeredményben valamilyen egyensúlyi, szétválasztott töltésű állapot alakul ki. A szétválasztott töltések miatt kialakuló elektromos térben potenciálkülönbség áll elő, ezt hívjuk Hall-feszültségnek. A Hall-feszültség nagyságát leíró képletet megtaláljuk a Hudson-Nelson könyv 720. oldalán (és a gyakorlat képletgyűjteményében): ahol B a mágneses térerősség, I a vezető árama, n a töltéshordozók sűrűsége, e az elemi töltés, b a vezető vastagsága (a feladatban ez a 0,1 mm vékonyság, a 4 cm szélesség pedig csak megtévesztésként van megadva, nem kell felhasználni). A Hall-effektus fenti képletéből a feladatban, vagy képletgyűjteményben az n töltéshordozósűrűség kivételével mindent megtalálunk. A töltéshordozó-sűrűséget megkaphatjuk, ha ismerjük az ezüstatomok sűrűségét, és tudjuk, hogy egy atom hány töltéshordozóval vesz részt az áramvezetésben (ezt megadja a feladat kiírása: eggyel). Egy ismert sűrűségű és moláris tömegű anyag atomsűrűségét [azaz a térfogategységre eső atomszámot] a következő képlet adja meg: A képletben az anyag sűrűsége [g/cm3], M az anyag moláris tömege [g/mol], pedig az Avogadro-szám [1/mol]. Ennek értéke szerepel az képletgyűjtemény állandói között. A képletbe a zárójelben jelzett mértékegységekkel megadott adatokat behelyettesítve a következő eredményt kapjuk n-re: A köbcentiméterenkénti atomszám elterjedt mértékegysége az atomsűrűségnek, a további számolásokhoz azonban váltsuk át ezt a számot SI-mértékegységbe, azaz 1/m3-be: Mivel tudjuk, hogy atomonként egy elektron vesz részt a vezetésben, ezért ismerjük a töltéshordozók sűrűségét is:
5
Ekkor pedig minden adatot ismerünk a Hall-feszültség kiszámításához. Az ismert adatokat behelyettesítve:
31A-13 Ismert menetszámú, hosszú, és ismert erősségű árammal átjárt (vasmag nélküli!) szolenoid belsejében a mágneses tér nagysága a következő képlettel kapható: A képletben szereplő a vákuum a mágneses permeabilitása. Értéke megtalálható az állandók között a képletes lapon. A mágneses fluxust mindig egy felületre vonatkozóan adhatjuk meg, a következő integrállal: A fluxus tehát a térerősség felületen vett integrálja. Speciális esetben, amikor a felület minden pontjára igaz, hogy az adott ponthoz tartozó felületi normálvektor, és a B térerősségvektor párhuzamos (azaz akkor, amikor a mágneses térerősség minden pontban merőleges a felületre), az integrál egyszerű szorzatként írható fel: A szolenoid belsejében olyan homogén mágneses tér alakul ki, hogy ott ezt megtehetjük. a) A mágneses fluxus a tekercs belsejében tehát megkapható a B indukció és az A felület ismeretében. Fejezzük ki a szolenoid felületét az átmérőjével. Majd helyettesítsünk be: A mágneses indukció mértékegysége a weber , másképpen . b) Ennek a részfeladatnak a megoldásához egyszerűen rendezzük át a mágneses indukció szolenoidra vonatkozó képletét:
31B-16 Használjuk az Ampère-törvényt! Az előző heti [okt. 10.] gyakorlaton már előkerült a kiegészített Ampère-törvény, itt elég a „fapados” Ampère-törvény, amiben nem szerepel az eltolási áramot leíró tag. Az általunk használandó alak a következőképpen néz ki: A törvény azt írja le, hogy egy zárt felület határa mentén a mágneses térerősség vonalmenti integrálja egyenlő a felületet átdöfő áramvezetők áramának előjeles összegével.
A feladatban szereplő zárt felület egy mágnes két pólusa között található, olyan térrészben, amelyet egyetlen áramvezető sem döf át. Ezért az integrál jobb oldala nulla:
6
Szedjük tagokra a bal oldali integrált! Ehhez bontsuk fel a mágnes két pólusa között felvett felület határát az ábrán jelölt módon 4 részre. A 4 rész közül az (1)-gyel és (3)-mal jelölt szakaszokon a skalárszorzat a szakasz minden pontjában nulla lesz, mert minden pontban merőleges egymásra a mágneses térerősség vektora, és a szakasz irányába eső vektor. Ekkor az a helyzet áll elő, hogy a egyenlet teljesüléséhez a (4) és (2) jelű szakaszok integráljának összege kell, hogy 0 legyen. Tegyük fel, hogy a (2) szakaszon a mágneses térerősség minden pontban 0, azaz a mágneses erőtér a mágnesek végeinél hirtelen véget ér. Ekkor ellentmondásra jutunk, hiszen a (4) szakasz minden pontjában párhuzamos egymással a és a vektor, és így az erre a szakaszra eső részintegrál nem 0. Egy nulla értékű, és egy nem nulla értékű integrál összege pedig nem lehet nulla, pedig mi ezt szeretnénk. Az ellentmondás feloldása az, hogy a (4) szakasz pontjaiban valóban nem 0 a mágneses tér. A kinyúlás milyenségéről ebből a feladatból nem lehet következtetni, csak arra, hogy a mágnesek szélénél nem csökken hirtelen nullára az indukcióvektor nagysága. 32B-5 A hurokban a mágneses fluxus megváltozása hatására feszültség indukálódik, ami miatt aztán áram is fog folyni. Az indukció jelenségét a Faraday-törvény írja le, amelyik kapcsolatot teremt a mágneses mező időbeli változásának nagysága, és az ez által a változás által létrehozott elektromos mező térerőssége között. A Faraday-törvény a következő: A törvény szerint egy tetszőlegesen felvett felület határa mentén kiszámolva, az elektromos térerősség vonalmenti integrálját, eredményül a felületre számolt mágneses fluxus időbeli megváltozását kapjuk. A képlet mínusz-előjele azt jelzi, hogy a mágneses fluxus és az elektromos térerősség nagysága mindig ellentétes irányban változik. Ha a fluxus csökken, az elektromos tér nő, és fordítva. Ha ez nem így lenne, az azt jelentené, hogy valahol a térben kicsit megnövelve a mágneses térerősséget, tetszőleges mennyiségű energiát állíthatnánk elő, mivel a mágneses térerősség növekedése megnövelné az elektromos térerősséget, amely a kiegészített Ampère-törvény értelmében tovább növelné a mágneses térerősséget. Ez a pozitív visszacsatolás pedig a végtelenségig lehetővé tenné a mágneses, azon keresztül pedig az elektromos tér erősségének, egyúttal a bennük tárolt energiának a növekedését. Ilyen nincs, ez a semmiből való energiatermelés lenne. A Faraday-törvény következtében változó fluxusú mágneses mezőben lévő körvezetőben feszültség indukálódik: [N a vezető menetszáma, ha a vezető esetleg tekercs. A mi esetünkben a vezető egy egyszerű hurok, azaz egy „egymenetes tekercs”.] Egy zárt hurokban ez nyilván áram folyásával jár együtt.
7
a) A változó mágneses fluxus által indukált elektromos tér irányáról az úgynevezett balkéz-szabály ad információt. Eszerint, ha az ember a mágneses indukcióvektor VÁLTOZÁSÁNAK (tehát nem feltétlenül az aktuális irányának! növekedés esetén a változás iránya megegyezik az aktuális iránnyal, csökkenés esetén a változás ellentétes az aktuális iránnyal) irányába mutat a bal keze hüvelykujjával, a bal keze többi ujját pedig begörbíti, a létrejövő elektromos mező irányultsága a begörbített ujjak irányultságát fogja követni. A feladatban érdekes helyzet áll elő, mert az képlettel számolható mágneses fluxus ugyan megváltozik (csökken), de éppen nem a B indukcióvektor, hanem az A felület változásán keresztül. Ha azonban a felület lenne változatlan, és a B indukcióvektor változna meg, úgy, hogy a fluxusváltozás összességében ugyanakkora legyen, akkor az indukcióvektor változása a lap síkjából kifelé mutatna (mivel az indukcióvektor alapból a lap síkjába befelé mutat, csökkenés esetén pedig a változás éppen ezzel ellentétes lenne). Kifelé mutató dB esetén pedig a balkéz-szabály értelmében az óramutató járásával megegyező irányú áram folyik a keretben. A keretben folyó áram irányát más meggondolással is megállapíthatjuk. A feladat szerint be fog állni egy olyan állapot, amelyben a hurok gyorsulás nélkül fog mozogni. Annak, hogy a bármilyen test ne gyorsuljon (ebbe beletartozik az az eset is, hogy nyugalomban marad, és az az eset is, hogy az aktuális sebességével folytatja a mozgását) az szükséges, hogy a testre ható erők kiegyenlítsék egymást. A hurokra, mint testre az esés kezdetekor egyedül a gravitációs erő hat, ami nyilván lefelé mutat. Ahhoz, hogy a rá ható erők kiegyenlítsék egymást, olyan mágneses erőhatásnak kell érnie a hurkot, hogy az semlegesítse a gravitációs erő hatását. Mágneses erőhatás a hurokban folyó áramra fog hatni. Az áram irányának ezek szerint olyannak kell lennie, hogy a feladatban ábrázolt befelé mutató mágneses térben olyan erő érje, hogy az felfelé, vagyis a gravitációs erővel ellentétes irányba mutasson. A huroknak csak három oldalára fog hatni mágneses erő, mégpedig azokra, amelyek mágneses téren belül találhatóak. A bal és jobb oldalára ható erők azonban ki fogják egymást egyenlíteni (és egyébként is, bal-jobb irányúak lesznek). A felső oldalra ható erő lesz ezért az, amelynek ki kell egyenlítenie a gravitációs erőt. A 30A16 feladatban leírt jobbkéz-szabályt használva kitalálható, hogy ehhez a felső oldali vezetékben az áramnak jobbra kell folynia. Ez pedig az egész hurkot tekintve azt jelenti, hogy abban az óramutató járásával megegyező irányú áram kell folyjon. [Szerencsére az előző gondolatmenettel is ezt kaptuk.] b) Az előző részfeladatban volt szó a gyorsulásmentes mozgás feltételéről. Ehhez az kell, hogy a hurokra ható gravitációs erőt kiegyenlítse a hurokban folyó áramra ható mágneses erő. Tehát a 30A-16-hoz hasonlóan: Ebben a feladatban írjunk az helyett a következőkben a-t, annyi ugyanis a hurok felső, erőhatásért felelős részének hossza. Illetve ugyanúgy, mint a 30A-16-ban, írjuk be az áram helyett a feszültség és ellenállás hányadosát:
8
Ami ebben a feladatban máshogy alakul, az az indukált feszültség nagysága. Ehhez használjuk fel az egyszer már felírt törvényt: A menetszámról tudjuk, hogy , a fluxus megváltozásáról pedig tudjuk, hogy azt a hurok belsejébe eső, mágneses erővonalakkal átdöfött felület csökkenése okozza, nem pedig a B vektor megváltozása. Fejezzük ki a felületet a két oldalhossz szorzatával, és vegyük észre, hogy ezek közül csak a b oldal hossza változik:
A
hányados pedig éppen a hurok v esési sebessége:
Így tehát az indukált feszültség amit ha beírunk az erőhatások egyenlőségét leíró egyenletbe:
majd ebből kifejezzük a v-t: Ez pedig pont az a feltétel, ami a feladatban is szerepelt. Gíber-Sólyom 137 A feladatban a Biot-Savart törvény alkalmazását lehet gyakorolni, de talán túl bonyolultan ahhoz, hogy érdemes lenne ezt teljesen kifejteni. [Illetve nem hiszem hogy még egyszer annyit tudnék írni, mint az előző feladatban, bocsánat mindenkitől. Ha valakit komolyabban érdekel a megoldás, szívesen elmondom személyesen, valamelyik gyak előtt, vagy után.] A Biot-Savart törvény fentebb látható. Lényege, hogy megadja egy I áram által átjárt elektromos vezető differenciálisan kis darabja által létrehozott mágneses mező indukcióvektorának nagyságát, a vezetőtől r távolságban. Tetszőleges alakú és kiterjedésű áramjárta vezető mágneses hatásra megmondható bármelyik pontban úgy, hogy a vezető differenciálisan kis részei által létrehozott indukcióvektorokat összegezzük ebben a bizonyos pontban. A feladatban éppen ezt kell csinálni, úgy, hogy ezt a bizonyos pontot éppen a vezetőkeret közepén vesszük fel. A vezetőt érdemes négy részre bontani, és a négy oldal hatását külön-külön vizsgálni a pontban. A feladatlapon látható megoldás-képlet egy-egy oldal hatását írja le. Úgy kapható meg, ha felírjuk a Biot-Savart törvényt a vezetőkeret egyes oldalainak minden egyes pontjára, majd 9
integrálunk. A , I és d tényezők szerepe érthető, a sinα tag pedig arra az ábrán látható α szögre vonatkozik, tehát arra a szögre, amit az adott oldal, és a keret megfelelő fél-átlója bezár. (Bocs a csúnya ábráért.) Gíber-Sólyom 153 Az indukált feszültségre vonatkozó képletben a mágneses fluxus időbeli deriváltja szerepel. A derivált rendkívül kicsi idő alatt történő megváltozást jelent. A feladatban az történik, hogy alatt a kezdetben értékű fluxus nullára csökken, azaz nagyságú változást szenved el. Írjuk tehát úgy a fluxus deriváltját, hogy: A kezdeti fluxust meg tudjuk mondani a képletből, miután a tekercsben olyan mágneses mező van, ahol B és dA egy kiválasztott felület minden pontján párhuzamosak egymással. A B nagyságát pedig úgy számoljuk, mint bármilyen áramjárta tekercs esetén: Helyettesítsünk be az
képletébe mindent, amit ismerünk:
2 Megjegyzés: - Ne felejtsetek el mindig SI mértékegységben behelyettesíteni! - A lapon szereplő megoldásban 2 hiba is van, az egyik a képlet (N2 helyett N szerepel), a másik pedig a képletből következően a végeredmény. Gíber-Sólyom 154 A mágneses fluxus legáltalánosabb képlete A legtöbb esetben könnyítette a feladatok megoldását, hogy és egymással párhuzamosak voltak, ennél a feladatnál azonban éppen azt kell felhasználnunk, hogy a forgás során minden pillanatban különböző szöget zárnak be egymással! Tekintsük a mágneses mezőben mozgó vezetőkeret fluxusát! Nyilván időfüggő fluxust fogunk kapni. A fenti skalárszorzatban a nagysága és iránya állandó lesz (mivel állandó indukciójú mágneses térről beszélünk). Az A felület nagysága állandó lesz, iránya viszont (és ezáltal a vektorral bezárt szöge) fokozatosan változni fog.
10
A körmozgás és a harmonikus rezgőmozgás kapcsolata1 alapján belátható, hogy az A felület normálvektorának iránya éppen úgy fog változni, hogy a fluxus nagysága éppen egy szinusz függvény szerint változzon. Azaz az időfüggő fluxusra felírható: Ahol a körmozgás körfrekvenciája, amire igaz, hogy , ahol f a forgás frekvenciája. A keretben (= egymenetes tekercs) indukált feszültség nagysága arányos lesz a fluxus időbeli deriváltjával: Lederiválva a kérdéses függvényt, majd behelyettesítve
-t:
Látható, hogy az indukált feszültség nagysága időben nem minden esetben ugyanakkora. Tudjuk azonban azt, hogy abban a pillanatban, vagyunk kíváncsiak az indukált feszültségre, amikor a és A bezárt szöge éppen 45°, azaz: A képletben d a keret oldalhosszúságát jelöli.
1
http://hu.wikipedia.org/wiki/Harmonikus_rezg%C5%91mozg%C3%A1s#Az_egyenletes_k.C3.B6rmozg.C3.A1s _.C3.A9s_a_harmonikus_rezg.C5.91mozg.C3.A1s_kapcsolata
11
