1. gyakorlat Egyenletes és egyenletesen változó mozgás egyenletes mozgás
egyenletesen változó mozgás ( )=
=0
gyorsulás ( )=
sebesség
=á
( ) = (0) +
ó
( ) = (0) +
pályakoordináta
=á
ó ∙
( ) = (0) + (0) ∙ +
∙
2
1. példa Egy gépkocsi a 0-ás kilométerkőtől álló helyzetből indulva, állandó a gyorsulással halad Δt ideig. Adatok:
m s m =5 s Δ = 4[s]
(0) = 0
a) Hol lesz a gépkocsi, és mekkora lesz a sebessége Δt idő elteltével? A gépkocsi egyenletesen változó mozgást végez. Gyorsulása állandó. A gépkocsi pályakoordinátája az idő függvényében: (
) = (0) + (0) ∙
+
2
∙(
5 ) = 0 + 0 ∙ 4 + ∙ 4 = 40[m] 2
∙
= 0 + 5 ∙ 4 = 20
Sebessége az idő függvényében: (
) = (0) +
b) Mennyi idő alatt tesz meg 10 métert? Ismét felírjuk a gépkocsi pályakoordinátáját az idő függvényében: (
) = (0) + (0) ∙
+
2
∙(
behelyettesítve: 10 = 0 + 0 ∙
5 + ∙( 2
10 ∙ 2 5 = 2[s]
=
)
)
m s
2. példa Egy állandó 12 sebességgel haladó autóbusz éppen akkor előz meg egy álló autót, amikor az 1,4 gyorsulással elindul. Adatok:
m s m = 1,4 s = 12
ó
a) Mennyi idővel az indulás után előzi meg az autó a buszt? Keressük azt az időpillanatot, amikor az autó és a busz pályakoordinátája azonos lesz. s(0) legyen az autó kezdeti helyzete: 0 [m]. A busz egyenletes mozgást végez, gyorsulása 0. Pályakoordinátája az idő függvényében: ( ) = (0) + (0) ∙ = 0 + 12 ∙ Az autó egyenletesen változó mozgást végez, gyorsulása állandó. Pályakoordinátája az idő függvényében: ó(
) = (0) + (0) ∙
+
2
∙(
) =0+0∙
+
1,4 ∙( 2
)
A két egyenletet egymással egyenlővé téve, egyszerűsítve, majd átrendezve kapjuk, hogy: 12 ∙ = 0,7 ∙ ( ) 0= ∙ (0,7 ∙ − 12) 0 = 0,7 ∙ − 12 12 = = 17,14[s] 0,7 b) Mennyi lesz az előzés pillanatában az autó sebessége? A gépkocsi egyenletesen változó mozgást végez, gyorsulása állandó. Sebessége az idő függvényében: m ( ) = (0) + ∙ = 0 + 1,4 ∙ 17,14 ≈ 24 s c) Mennyi utat tesz meg az autó az előzésig? Az autó pályakoordinátájának egyenletébe visszaírva Δt-t kapjuk a megtett távolságot: 1,4 + ∙ ( ) = 0 + 0 ∙ 17,14 + ∙ 17,14 = 205,65[m] ó ( ) = (0) + (0) ∙ 2 2
3. példa A Föld felszínétől 200[m] magasságban, 0[m/s] nagyságú kezdősebességgel függőlegesen lefelé leejtünk egy követ. A közegellenállástól eltekintünk. Adatok: ℎ = 200[m] m =0 s
a) Milyen magasan lesz a kő a Föld felszínétől 3[s] múlva? A kő egyenletesen változó mozgást végez, gyorsulása állandó. A kőre a Föld gravitációs ereje hat, így a kő gyorsulásának mértéke megegyezik a gravitációs gyorsulással: = 9,81 Számítsuk ki mennyi utat tesz meg 3[s] alatt: (
) = (0) + (0) ∙
∙(
+
) =0+0∙3+
9,81 ∙ 3 = 44,145[m] 2
2 és vonjuk ki ezt a távolságot a kiindulási magasságból: ℎ( ) = ℎ(0) − ( ) = 200 − 44,145 = 155,86[m]
b) Mennyi idő alatt ér földet a kő, és mekkora ekkor sebességének nagysága? Számítsuk ki mennyi idő alatt tesz meg 200[m]-t: (
) = (0) + (0) ∙ 200 = 0 + 0 ∙
=
+ ∙( ) 2 9,81 + ∙( ) 2
2 ∙ 200 = 6,39[s] 9,81
Ezt az értéket felhasználva kapjuk meg a kő sebességét: (
) = (0) +
∙
= 0 + 9,81 ∙ 6,39 = 62,69
m s
4. példa 300[m] magasságból, 10[m/s] nagyságú kezdősebességgel függőlegesen lefelé leejtünk egy követ. A közegellenállástól eltekintünk. Mekkora gyorsulással kell elindulnia a tőle vízszintesen 100[m]-re álló teherautónak ahhoz, hogy a kő éppen a platójára essen? Adatok: ℎ = 300[m] m = 10 s = 100[m]
Számítsuk ki mennyi idő alatt teszi meg a kő a 300[m]-t: (
) = (0) + (0) ∙
300 = 0 + 10 ∙ 0=
,
9,81 ∙( 2
+ ∙( ) 2 9,81 + ∙( ) 2
) + 10 ∙
− 300
9,81 −10 ± 10 − 4 ∙ 2 ∙ (−300) = = 6,87[s] 9,81 2∙ 2
A teherautónak ennyi idő alatt kell megtennie a 100[m]-t: (
) = (0) + (0) ∙ 100 = 0 + 0 ∙ 6,87 + =
∙( ) 2 ∙ 6,87
+ 2
100 ∙ 2 m = 4,24 6,87 s
Egyenletes és egyenletesen változó körmozgás A pálya kör alakú, a mozgást szögmennyiségekkel jellemezzük. A pályamenti mennyiségekből a sugárral való osztással kapjuk a hozzájuk tartozó szögmennyiségeket. egyenletes mozgás
egyenletesen változó mozgás
=0
szöggyorsulás ( )=
szögsebesség
=á
ó
( ) = (0) +
szögkoordináta
( )=
=á
( )=
(0) + ∙
( ) = (0) + (0) ∙ +
∙
rad s rad s
ó
2
[rad]
A radián a sugárnyi hosszúságú ívhosszhoz tartozó középponti szög. 360° = 2 ∙
∙
1° =
∙
[rad]
=
1[rad] =
° ≈ 57°
Számológéppel átváltható, figyeljünk a DEG és RAD állapotra! 5. példa Egy r sugarú körpályán egyidejűleg elindul P és Q anyagi pont. P egyenletesen gyorsuló, Q egyenletesen lassuló körmozgást végez. Adatok: m s m (0) = 10 s (0) = 4
= 3[m] rad s rad = −2 s =3
a) Mennyi idő múlva éri utol P a Q pontot? ( )= (0) = (0) = ( )= ( )=
(0)
4 rad 3 s (0) 10 rad = 3 s
(0) +
(0) ∙ +
(0) +
(0) ∙ +
4 3 ∙ + ∙ 3 2 5 ∙ 2
( )
−2∙ −
2
=
2
=
2 2
+
4 3 =0+ ∙ + ∙ 3 2 10 2 = + ∙ − ∙ 2 3 2
10 ∙ − 3
= 0 => = 1,29[s]
b) Mennyi szöget fut be az indulástól az utólérésig a P pont? 4 3 ( ) = (0) + (0) ∙ + = 0 + ∙ 1,29 + ∙ 1,29 = 4,22 [rad] = 241,79° 2 3 2 c) Mekkora az utólérés pillanatában a pontok szögsebessége? 4 rad (0) = (0) + ∙ = + 3 ∙ 1,29 = 5,2 3 s 10 rad (0) = (0) + ∙ = − 2 ∙ 1,29 = 0,75 3 s d) Mekkora az utólérés pillanatában a P pont gyorsulása? é
= =
=
(
é
+
= ∙ )
∙ =3∙3 =9 = =
m s
∙ = 5,2 ∙ 3 = 81,12 9 + 81,12 = 81,62
m s
m s
