Jitka Roubalová
Elektrotechnika
Vytvořeno v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost CZ.1.07/1.1.30/01,0038 Automatizace výrobních procesů ve strojírenství a řemeslech
1
2
Střední průmyslová škola strojnická a Střední odborná škola prof. Švejcara, Plzeň
ELEKTROTECHNIKA Jitka Roubalová
3
Anotace Tato učebnice obsahuje základy teoretické elektrotechniky v rozsahu požadavků na znalosti studentů středních průmyslových škol se strojírenským zaměřením. Jsou zde vysvětleny fyzikální základy elektrotechniky, jejich souvislosti a jejich využití při řešení praktických úkolů. Učebnice obsahuje vysvětlení elektrostatického pole, obvodů stejnosměrného proudu, magnetismu, obvodů střídavého proudu a trojfázové soustavy. Jednotlivé kapitoly jsou doplněny řešenými příklady typickými pro daný okruh. Příklady jsou řešeny i s podrobným výpočtem, aby použité výpočetní postupy ukázaly čtenáři, že vhodným krácením a prací s exponenty je možné výpočty zjednodušit a tak se vyvarovat chyb způsobených „kalkulačkovými překlepy“. Učebnice je rozdělena do pěti částí, z nichž každá obsahuje uzavřený tématický celek. Jednotlivé části: -
Fyzikální základ elektrických jevů a teorie elektrostatického pole
-
Stejnosměrný proud a řešení obvodů stejnosměrného proudu
-
Magnetické pole a elektromagnetická indukce
-
Střídavý proud a řešení obvodů střídavého proudu
-
Trojfázová soustava
4
Obsah Anotace....................................................................................................................................... 3 Úvod ........................................................................................................................................... 9 1
Fyzikální veličiny a jejich jednotky .................................................................................. 10 1.1 1.2
2
Fyzikální základ elektrických jevů ................................................................................... 12 2.1 2.2 2.3
3
Mezinárodní soustava jednotek SI ............................................................................. 10 Předpony jednotek ..................................................................................................... 11 Elektronová teorie ...................................................................................................... 12 Vodiče a izolanty ....................................................................................................... 12 Zdroje elektrické energie ........................................................................................... 12
Elektrostatické pole ........................................................................................................... 14 3.1 Zobrazování elektrostatického pole ........................................................................... 14 3.2 Homogenní elektrostatické pole ................................................................................ 16 3.3 Coulombův zákon ...................................................................................................... 17 3.4 Nehomogenní elektrostatické pole ............................................................................ 18 3.5 Elektrická indukce ..................................................................................................... 19 3.6 Elektrické vlastnosti izolantů..................................................................................... 21 3.6.1 Polarizace dielektrika ......................................................................................... 21 3.6.2 Elektrická pevnost dielektrika ............................................................................ 22 3.7 Kondenzátor............................................................................................................... 22 3.8 Spojování kondenzátorů ............................................................................................ 23 3.8.1 Paralelní spojování kondenzátorů ...................................................................... 24 3.8.2 Sériové spojování kondenzátorů ........................................................................ 24 3.9 Přechodový jev na kondenzátoru ............................................................................... 28 3.10 Energie elektrostatického pole ............................................................................... 29 3.11 Složená dielektrika ................................................................................................. 31 3.11.1 Dielektrika vedle sebe ........................................................................................ 31 3.11.2 Dielektrika za sebou ........................................................................................... 32 3.12 Kondenzátory s nehomogenním elektrickým polem ............................................. 34 3.12.1 Dvě soustředné kulové plochy ........................................................................... 34 3.12.2 Osamocená koule ............................................................................................... 35 3.12.3 Dvě soustředné válcové plochy .......................................................................... 36 3.13 Elektrostatické jevy v praxi.................................................................................... 37
4
Stejnosměrný proud .......................................................................................................... 38 4.1 Proudová hustota ....................................................................................................... 38 4.2 Intenzita proudového pole ......................................................................................... 39 4.3 Elektrický odpor vodičů a Ohmův zákon .................................................................. 39 4.3.1 Velikost elektrického odporu ............................................................................. 40 4.3.2 Závislost elektrického odporu na teplotě ........................................................... 41 4.4 Práce a výkon stejnosměrného elektrického proudu ................................................. 43 4.5 Kirchhoffovy zákony ................................................................................................. 45 4.5.1 První Kirchhoffův zákon .................................................................................... 46 4.5.2 Druhý Kirchhoffův zákon .................................................................................. 47 5
4.6 Spojování rezistorů .................................................................................................... 48 4.6.1 Sériové zapojení rezistorů .................................................................................. 48 4.6.2 Paralelní zapojení rezistorů ................................................................................ 49 4.7 Řešení elektrických obvodů stejnosměrného proudu s jedním zdrojem ................... 51 4.7.1 Obvody se sérioparalelním zapojením rezistorů ................................................ 51 4.7.2 Transfigurace ...................................................................................................... 56 4.8 Zdroje stejnosměrného napětí a proudu ..................................................................... 60 4.8.1 Reálný zdroj napětí ............................................................................................. 60 4.8.2 Spojování zdrojů napětí ...................................................................................... 62 4.9 Specifické způsoby využití rezistorů v praxi ............................................................. 64 4.9.1 Dělič napětí ........................................................................................................ 64 4.9.2 Změny rozsahů měřících přístrojů pomocí rezistorů .......................................... 66 4.9.3 Určení velikosti odporu pomocí měření napětí a proudu ................................... 68 4.9.4 Určení teploty pomocí měření odporu rezistoru ................................................ 69 4.10 Nelineární prvky v obvodech ................................................................................. 70 4.11 Řešení elektrických obvodů stejnosměrného proudu s více zdroji .............................. 74 4.11.1 Řešení elektrických obvodů s více zdroji aplikací Kirchhoffových zákonů ......... 74 4.11.2 Řešení elektrických obvodů metodou smyčkových proudů .................................. 77 4.11.3 Řešení elektrických obvodů metodou uzlových napětí ......................................... 80 4.11.4 Řešení elektrických obvodů metodou lineární superpozice .................................. 83 5
Magnetické pole ................................................................................................................ 88 5.1 Zobrazování magnetického pole ................................................................................ 88 5.2 Magnetické pole vybuzené elektrickým proudem ..................................................... 89 5.2.1 Magnetické pole vodiče ..................................................................................... 89 5.3 Veličiny magnetického pole ...................................................................................... 91 5.3.1 Magnetický tok ................................................................................................... 91 5.3.2 Magnetická indukce ........................................................................................... 91 5.3.3 Magnetomotorické napětí a magnetické napětí .................................................. 92 5.3.4 Intenzita magnetického pole............................................................................... 93 5.3.5 Vztah mezi zdrojem magnetického pole a jeho silovým působením ................. 94 5.4 Hopkinsonův zákon ................................................................................................... 97 5.5 Magnetické vlastnosti látek ....................................................................................... 97 5.5.1 Magnetické vlastnosti feromagnetických materiálů ........................................... 98 5.6 Řešení magnetických polí ........................................................................................ 104 5.6.1 Magnetické pole přímého vodiče ..................................................................... 104 5.6.2 Magnetické pole kruhového závitu .................................................................. 106 5.6.3 Magnetické pole tenké cívky............................................................................ 106 5.6.4 Magnetické pole válcové cívky ........................................................................ 107 5.6.5 Magnetické pole prstencové cívky ................................................................... 109 5.7 Řešení magnetických obvodů .................................................................................. 110 5.7.1 Výpočet magnetických obvodů buzených elektrickým proudem .................... 111 5.8 Elektromagnetická indukce ..................................................................................... 119 5.8.1 Indukční zákon ................................................................................................. 119 5.8.2 Pohybové napětí ............................................................................................... 122 5.8.3 Vlastní indukčnost ............................................................................................ 124 5.8.4 Vzájemná indukčnost ....................................................................................... 126 5.8.5 Spojování cívek ................................................................................................ 130 5.8.5 Přechodový jev na indukčnosti ........................................................................ 134 5.9 Energie magnetického pole ..................................................................................... 135 6
5.10 Ztráty ve feromagnetických materiálech.............................................................. 136 5.11 Silové působení magnetického pole ..................................................................... 138 5.12.1 Elektromagnety ................................................................................................ 140 6
Střídavé proudy ............................................................................................................... 143 6.1 Časový průběh harmonických střídavých proudů ................................................... 144 6.2 Fázorové zobrazení střídavých harmonických veličin ............................................ 146 6.3 Efektivní a střední hodnota střídavých harmonických veličin ................................ 146 6.3.1 Efektivní hodnota střídavého proudu ............................................................... 146 6.3.2 Střední hodnota střídavého proudu .................................................................. 147 6.4 Vznik střídavého harmonického napětí ................................................................... 148 6.5 Typy zátěží v obvodech střídavého proudu ............................................................. 152 6.5.1 Odporová zátěž ................................................................................................. 152 6.5.2 Induktivní zátěž ................................................................................................ 153 6.5.3 Kapacitní zátěž ................................................................................................. 155 6.5.4 Vzájemná indukčnost v obvodech střídavého proudu...................................... 159 6.6 Řešení obvodů střídavého harmonického proudu ................................................... 160 6.6.1 Sériový RC obvod ............................................................................................ 160 6.6.2 Sériový RL obvod ............................................................................................ 162 6.6.3 Sériový LC obvod ............................................................................................ 164 6.6.4 Sériový RLC obvod .......................................................................................... 165 6.6.5 Paralelní RC obvod .......................................................................................... 167 6.6.6 Paralelní RL obvod ........................................................................................... 168 6.6.8 Paralelní LC obvod ........................................................................................... 169 6.6.9 Paralelní RLC obvod ........................................................................................ 170 6.6.10 Sérioparalelní RLC obvody ................................................................................. 174 6.6 Výkon v obvodech střídavého harmonického proudu ............................................. 178 6.7 Rezonance ................................................................................................................ 181 6.7.1 Sériový rezonanční obvod ................................................................................ 181 6.7.2 Paralelní rezonanční obvod .............................................................................. 183 6.8 Kompenzace účiníku ............................................................................................... 187
7
Trojfázová soustava ........................................................................................................ 190 7.1 Vznik trojfázového střídavého harmonického napětí .............................................. 190 7.2 Výroba trojfázového proudu .................................................................................... 192 7.3 Přenos energie v trojfázové elektrizační síti ............................................................ 196 7.4 Připojování spotřebičů k trojfázové síti ................................................................... 198 7.4 Zapojení trojfázových spotřebičů ve trojfázové síti ................................................ 200 7.4.1 Zapojení trojfázového spotřebiče do hvězdy ................................................... 200 7.4.1 Zapojení trojfázového spotřebiče do trojúhelníka ............................................ 202 7.5 Výkon trojfázového proudu ..................................................................................... 206 7.5.1 Svorkovnice trojfázového spotřebiče, přepojování hvězda - trojúhelník ......... 207 7.6 Točivé magnetické pole ........................................................................................... 207 7.7 Kompenzace účiníku ............................................................................................... 212
8
Přehled nejdůležitějších veličin a vztahů ........................................................................ 214 Přehled obsahuje nejdůležitější veličiny uváděné v učebnici, jejich jednotky včetně jejich značek a základní vztahy mezi veličinami. ........................................................................ 214 8.1 Elektrostatické pole ................................................................................................. 214 8.2 Stejnosměrný proud ................................................................................................. 215 7
8.3 8.4 8.4
Magnetické pole ...................................................................................................... 217 Střídavé proudy........................................................................................................ 219 Trojfázová soustava ................................................................................................. 221
Použitá literatura .................................................................................................................... 222
8
Úvod Současná teoretická elektrotechnika je postavena na čtyřech základních rovnicích obsahujících obecný matematický popis elektromagnetického pole, nazvaných podle jejich autora fyzika Jamese Clerka Maxwella Maxwellovy rovnice. Maxwellovy rovnice jsou základní vztahy komplexně popisující elektromagnetické pole. Mohou být zapsány buď v integrálním, nebo v diferenciálním tvaru. V integrálním tvaru popisují elektromagnetické pole v jisté oblasti, kdežto v diferenciálním tvaru v konkrétním bodu této oblasti. Maxwellovy rovnice vycházejí ze všech do té doby známých poznatků elektrotechniky a všem těmto zákonům vyhovují. Matematická úroveň studenta střední školy neumožňuje využívat Maxwellovy rovnice; proto tato učebnice využívá základních vztahů mezi elektrickými veličinami, které byly odvozeny a ověřeny empiricky a matematicky různými fyziky a které jsou též odvoditelné z Maxwellových rovnic. Po prostudování této učebnice by měl mít čtenář přehled o základních jevech, procesech a jejich vzájemných souvislostech v elektrotechnice a měl by být schopný získané vědomosti aplikovat v praxi a využívat při studiu navazujících oborů ze silnoproudé i slaboproudé aplikované elektrotechniky.
9
1
Fyzikální veličiny a jejich jednotky
Fyzikální veličina je vlastnost hmoty, děje nebo jevu, kterou je možné změřit. Jednotkou fyzikální veličiny je pevně stanovené množství této veličiny. Konkrétní hodnotu každé veličiny stanovíme počtem jednotek, jimiž ji měříme. Například: veličina = délka (označení l), jednotka = metr; veličina = čas (označení t), jednotka = sekunda. Mezi různými fyzikálními veličinami platí vztahy, které je možné vyjádřit matematickým zápisem. Například: veličina = rychlost (označení v); rychlost je dráha s za určitý čas t, matematický zápis vyjadřující tento vztah je v = s/t. Jednotkou rychlosti je m/s.
1.1
Mezinárodní soustava jednotek SI
Pro jednoznačné vyjádření velikosti fyzikálních veličin bylo dohodou stanoveno několik základních veličin, jejichž jednotky byly nezávisle na sobě zvoleny. Tyto jednotky se nazývají základní jednotky a tvoří mezinárodní soustavu jednotek SI (Systéme International d'Unités). Mezinárodní soustava jednotek SI má tři kategorie jednotek: a) Základní jednotky soustavy SI Jednotka
zkratka jednotky
veličina
Metr
m
délka
Kilogram
k
hmotnost
Sekunda
s
čas
Ampér
A
elektrický proud
Kelvin
K
teplota
Mol
mol
látkové množství
Kandela
cd
svítivost
b) Doplňkové jednotky doplňují základní jednotky soustavy SI. radián
rad
jednotka rovinného úhlu
steradián
sr
jednotka prostorového úhlu
c) Odvozené jednotky soustavy SI vznikají kombinací základních jednotek podle matematických vztahů, které popisují vzájemnou závislost mezi veličinami. Některé odvozené jednotky soustavy SI se vyjadřují pomocí základních jednotek, jiné mají vlastní název. 10
Například: elektrický proud (označení I) je množství elektrického náboje (označení Q) proteklého vodičem za určitý čas, matematický zápis tohoto vztahu je I=Q/t. Elektrický náboj je tedy definován jako Q=I·t, jednotka je A·s (ampérsekunda) a má vlastní název Coulomb [C]. Mimo tyto jednotky SI existují ještě tzv. vedlejší jednotky, které mají odlišnou definici než jednotka pro tutéž veličinu v SI. Mezi vedlejší a odvozenou (základní) jednotkou existuje vždy převodní vztah. Vedlejší jednotky se dělí na dovolené (úředně se smí používat) a nedovolené (úředně se nesmí používat). Dovolené: Čas: hodina [h], minuta [min]: 1 h=3600 s a 1 min=60 s Hmotnost: tuna [t]: 1t = 1000 kg Objem: litr [l] : 1l=1dm3=0,001 m3 Úhly: stupeň je rozdělen na 60 minut a 1 minuta na 60 vteřin (/180 rad = 1 stupeň) Nedovolené: Délka: palec [inch]: 1 inch=2,54 cm, stopa [ft]: 30,48 cm, yard [y]: 1y =914 mm Výkon: kůň [k]: 1 k = 735,49875 W.
1.2
Předpony jednotek
Předpony a jejich dohodnuté zkratky jsou: Předpony zvětšují jednotky: 10
Předpony zmenšující jednotky:
3
k
kilo
M G
giga
T
terra 10 12
10 -3
m
mili
mega 10 6
mikro 10 -6
10 9
n
nano 10 -9
p
piko
10 -12
Například: 20 km = 20 103 m = 20 000 m; 5 F = 5 10-6 F = 0,000005 F. Doplňkové předpony zvětšují
Doplňkové předpony zmenšující 10 -1
d
deka 10
d
deci
h
hekto 10 2
c
centi 10 -2
11
2
Fyzikální základ elektrických jevů
2.1
Elektronová teorie
Každá látka se skládá z atomů, což jsou částice, které není možné dále chemicky rozdělit. Charakter látky určuje struktura atomu. Atomy se skládají z elementárních částic – protonů, neutronů a elektronů. Částice nazývaná elektron je nositelem elementárního záporného elektrického náboje (elementární náboj již nelze dělit, je to nejmenší možný elektrický náboj), označuje se -e. Částice nazývaná proton je nositelem elementárního kladného elektrického náboje, označuje se +e. Částice nazývaná neutron nemá žádný elektrický náboj. Struktura atomu je tvořena jádrem atomu složeným z protonů a neutronů (je tedy kladné) a z elektronového obalu (je záporný). Velikost elektrického náboje se měří v coulombech (označení C), elementární elektrický náboje e = 1,602 10-19 C. Atomy konkrétních látek se liší počtem elementárních částic – protonů, neutronů a elektronů, které daný atom obsahuje. Počet elektronů a protonů v jednom atomu je u dané látky vždy stejný, atom v klidovém stavu je tedy z vnějšího pohledu elektricky neutrální. Působením vnějších vlivů je u některých materiálů možné z atomu oddělit elektron. Tím se poruší elektrická rovnováha atomu a vznikne tzv. iont s kladným elementárním nábojem (kationt) a volný elektron se záporným elementárním nábojem. Jakékoliv elektricky nabité tělěso může tedy být nositelem elektrického náboje; ten je však vždy celočíselným násobkem elementárního náboje Q = ke, kde Q je celkový elektrický náboj a k je celé číslo. Náboje se stejnou polaritou se navzájem odpuzují, náboje opačné polarity se navzájem přitahují. Elektricky nabité těleso se ve svém okolí projevuje silovým působením na jiná elektricky nabitá tělesa – v okolí elektricky nabitého tělesa tedy existuje elektrické pole.
2.2
Vodiče a izolanty
Jsou-li vzájemné vazby mezi nabitými částicemi v dané látce slabé, mohou se tyto částice i při slabém vlivu okolního prostředí v látce pohybovat a přenášet elektrický náboj. Tyto materiály nazýváme vodiče. Jedná se většinou o kovy (vykazují elektronovou vodivost, volným nositelem náboje jsou elektrony), případně elektrolyty nebo ionizované plyny (nositelem náboje jsou kladné nebo záporné ionty). Vodiče (kovy) mají krystalickou mřížku, která je složena z kladných iontů kovu. Valenční elektrony jsou ke kationtům vázány kovovou vazbou, která je ale velmi slabá. Valenční elektrony lze proto velmi snadno odtrhnout silovým působením elektrického pole. Jsou-li částice v dané látce pevně chemicky vázány, přenos náboje nenastává. Tyto látky označujeme jako nevodiče (izolanty). Izolanty mají valenční elektrony v obalu vázány velkým silovým působením (př. chemická vazba).
2.3
Zdroje elektrické energie
Elektrický zdroj je zařízení, ve kterém vzniká elektrická energie přeměnou z jiného druhu energie. Elektrický zdroj rozdělí elektrický náboj tak, aby se na jednom místě udržoval přebytek záporného náboje (elektronů) a na druhém místě jeho nedostatek. Tato místa nazýváme póly 12
zdroje. Pól s přebytkem záporného náboje se označuje jako – (minus), pól s nedostatkem záporného náboje jako + (plus). Póly jsou vyvedeny na svorky, což jsou místa, kde se ke zdroji připojuje spotřebič.
Obr. 1 - Stejnosměrný elektrický zdroj a jeho schematická značka Nahromaděný náboj vytváří mezi póly zdroje elektrické napětí. Pokud se póly zdroje propojí vodičem, přebytek záporných elektronů ze záporného pólu je přitahován ke kladnému pólu, na němž je nedostatek elektronů a je tedy nabit kladně. Elektrický náboj prochází vodičem; tento jev se nazývá elektrický proud I. Směr proudu je dohodou stanoven od + k -.
Obr. 2 - Elektrický proud ve vodiči připojeném ke zdroji Elektrický proud je tedy pohyb elektrického náboje ve vodiči a je definován jako množství elektrického náboje, který projde průřezem vodiče za jednotku času:
I
Q ( A; C, s) t
Jednotkou elektrického proudu je ampér (A), což je jedna ze základních jednotek v SI soustavě. Tedy jednotka elektrického náboje coulomb má v SI rozměr: Q I t C A s . Coulomb je též označován jako ampérsekunda.
13
3
Elektrostatické pole
Elektricky nabité těleso se ve svém okolí projevuje silovým působením na jiná elektricky nabitá tělesa – v okolí elektricky nabitého tělesa tedy existuje elektrické pole. Silové působení elektrického náboje, který je v klidu, se nazývá elektrostatické pole. Elektrický náboj může být záporný, což je působeno přebytkem elektronů nad počtem kladných protonů, nebo kladný, tehdy je elektronů v materiálu nedostatek. Elektrostatické pole může existovat v jen v nevodivém prostředí, ve vodivém by vlivem elektrického pole nastal pohyb elektrického náboje až do doby, kdy by se náboje různé polarity vyrovnaly, síla by přestala působit a elektrické pole by přestalo existovat. Elektrický náboj se vyskytuje vždy jen na povrchu vodičů. Víme, že náboje se stejnou polaritou se navzájem odpuzují, náboje opačné polarity se navzájem přitahují.
Obr. 3 - Vzájemné silové působení elekrticky nabitých částic
3.1
Zobrazování elektrostatického pole
Působení elektrostatického pole popisujeme pomocí tzv. siločar. Na volnou kladně nabitou částici umístěnou do elektrostatického pole působí síla elektrostatického pole a vyvolává její pohyb v poli. Siločáry jsou křivky, které by byly dráhou pohybu volné kladně nabité částice v daném poli. Siločáry směřují od pevného nositele kladného náboje (kladné elektrody) do pevného nositele záporného náboje (záporné elektrody) a jejich tvar je takový, že vektor síly působící na volnou kladnou částici je vždy tečný k dráze pohybu volné částice. Elektrostatické pole osamoceného kladného a záporného náboje jsou radiální – viz obr. 4.
Obr. 4 - Radiální elektrostatické pole osamoceného kladného a záporného náboje Na obr. 5 je znázorněno elektrostatické pole dvou opačně nabitých elektrod. Kladná elektroda volnou kladně nabitou částici odpuzuje, záporná ji přitahuje. Elektrostatické pole působí na částici silou danou vektorovým součtem sil vyvolaných oběma elektrodami. 14
Obr. 5 - Elektrostatické pole dvou opačných nábojů Síla, která působí v elektrostatickém poli na pokusnou elektricky nabitou částici, je přímo úměrná velikosti náboje Q této částice. Silové schopnosti elektrostatického pole lze vyjádřit veličinou E – intenzita elektrického pole. F E Q ( N ; C, N C 1 )
Intenzita elektrického pole E je síla, která v daném místě působí na jednotkový kladný náboj; je tedy určena jako podíl elektrické síly, která by v daném místě působila na bodový náboj, a tohoto náboje. Z toho
E
F Q
( N C 1 ; N , C )
Působí-li v různých bodech elektrostatického pole síla různé velikosti nebo směru, nazýváme toto pole nehomogenní. Působí-li ve všech bodech elektrostatického pole síla stejné velikosti i směru, nazýváme toto polem homogenním.
Příklad 1: Intenzita elektrického pole v bodě X je 50 kV/m. Určete, jakou silou působí elektrostatické pole na částici nabitou nábojem 30 C. Řešení:
F E Q 50 103 30 10 6 1500 10 3 1,5 (N)
15
3.2
Homogenní elektrostatické pole
Homogenní pole se vyskytuje mezi dvěma rovnoběžnými vodivými deskami, které nesou stejně velké náboje opačné polarity. Intenzita tohoto pole má v každém bodě stejný směr a velikost.
Obr. 6 - Homogenní elektrostatické pole Je-li v prostoru pole volná částice nabitá elektrickým nábojem Q, působí na ni v elektrickém poli síla F E Q . Tato síla urychluje částici a vyvolá její pohyb po siločáře. Přemístí-li se částice s nábojem Q po siločáře z bodu 1 do bodu 2 ve vzdálenosti l, vykoná se práce A:
A F l ( J; N, m ) Po dosazení F=E Q dostaneme A F l E Ql
Pokud budeme z bodu 1 do bodu 2 přemisťovat nabitou částici s jednotkovým nábojem, pak práci potřebnou k tomuto přemístění nazýváme elektrické napětí – označení U.
U
A (V ; J , C ) Q
Jednotkou elektrického napětí je volt (V). 1 V je práce, která je potřebná k přemístění náboje o velikosti 1 C. Rozměr (V) je (JC-1). Elektrické napětí se vždy vztahuje ke dvěma bodům elektrického pole, na rozdíl od intenzity pole (což je vektor vázaný ke konkrétnímu jednomu místu v poli). Protože E
F A , lze po dosazení ze vztahů A F l E Q l a U vypočítat: Q Q A U Q F U ( V m 1 ) E l l Q Q Q l
Intenzitu elektrického pole je tedy možné vyjádřit také jako spád napětí U:
E
U l
( V m 1 ;V , m )
Napětí je v poli rozloženo rovnoměrně. Místa, která mají proti některé elektrodě stejné napětí (tzv. potenciál) se nazývají ekvipotenciály. 16
Obr. 7 - Vektory intenzity elektrického pole a hladiny ekvipotenciál
Příklad 2: Jaká je intenzita elektrického pole mezi dvěma kovovými deskami, jejichž vzájemná vzdálenost je 3 mm, je-li mezi nimi napětí 24 V? Řešení: U 24 24 10 3 E 8 10 3 8000 ( V m1 ) 3 l 3 10 3
3.3
Coulombův zákon
Dva elektrické náboje na sebe silově vzájemně působí. Měřením bylo zjištěno, že síla, kterou se náboje přitahují (kladný a záporný), případně odpuzují (kladný a kladný nebo záporný a záporný), je přímo úměrná součinu jejich velikosti a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti.
Obr. 8 - Coulombův zákon Platí tedy:
F konst kde konstanta má hodnotu
konst
17
Q1 Q2 r2
1 4
kde se nazývá permitivita daného prostředí. Pokud se náboje nacházejí ve vakuu, tato hodnota se označuje 0 – permitivita vakua. Její hodnota je 0 = 8,85410-12 (CV-1m-1). V jakémkoliv jiném nevodivém prostředí platí
r 0 kde r je poměrná permitivita daného prostředí; r je vždy větší než 1, pro vzduch je přibližně rovna 1. Poměrná permitivita dielektrik se pro konkrétní materiály získává měřením a uvádí se v tabulkách. Tedy síla, jíž na sebe navzájem působí dva elektrické náboje v obecném nevodivém prostředí je Q Q 1 F 1 2 2 … Coulombův zákon 4 r 0 r
Příklad 3: Jak velkou silou na sebe vzájemně působí dva elektrony ve vakuu, je-li jejich vzdálenost 1 mm? Řešení:
F
3.4
1 4 r 0
Q1 Q2 1 1,602 10 19 1,602 10 19 2,3 10 22 ( N ) 2 12 3 2 r 4 8,854 10 (1 10 )
Nehomogenní elektrostatické pole
Nehomogenní elektrostatické pole se vyskytuje např. v okolí osamoceného elektrického náboje. Silové účinky tohoto pole budou tím větší, čím je větší daný elektrický náboj a tím větší, čím bude zkoumaný bod elektrostatického pole blíž k náboji, který ho vyvolal. Ekvipotenciálami budou soustředné kulové plochy se středem v místě elektrického náboje. Vliv silového působení náboje se tedy rovnoměrně rozloží po kulové ploše dané ekvipotenciály.
Obr. 9 - Ekvipotenciály v okolí nabité kulové částice a intenzita el. pole. Velikost intenzity v bodě A a B je tatáž EA = EB, směr je vždy do středu kulové plochy
18
Víme, že intenzita elektrického pole E
F
1 4 r 0
F a platí Coulombův zákon Q
Q1 Q2 , Q Q1 a Q2 1C . r2
Intenzita elektrostatického pole E v bodu A ve vzdálenosti r od středu koule tedy bude:
E
Q 4 r 2
kde
r 0
je konstanta zohledňující vliv okolního nevodivého prostředí. Na jedné ekvipotenciále bude stejná velikost intenzity elektrostatického pole E, její směr však bude v každém bodu do středu koule. Vyskytuje-li se v prostoru více nábojů, výsledná intenzita pole bude dána vektorovým součtem intenzit polí vyvolaných dílčími náboji.
Obr. 10 - Výsledná intenzita elektrického pole
3.5
Elektrická indukce
Při přiblížení tělesa 1, které je nabito záporným nábojem, k vodivému tělesu 2 v neutrálním stavu se poruší jeho elektrická rovnováha – viz obr. Elektrony v tělese 2 se odpuzují a část tělesa přivrácená k tělesu 1 je tudíž nabitá kladně. Po oddálení tělesa 1 od tělesa 2 se elektrická rovnováha tělesa 2 obnoví.
Obr. 11 - Elektrická indukce
19
Pokud bychom těleso 1 neoddálili od tělesa 2 a dotykem ruky odvedli elektrony z tělesa 2 do země, zůstane těleso 2 nabito kladným elektrickým nábojem. Tento jev se nazývá elektrická indukce. Mezi dvěma vodivými deskami A a B o ploše S1 nabitými nábojem +Q1 a -Q1 je homogenní pole. Vložíme-li do prostoru pole dvě navzájem přiléhající vodivé destičky o ploše S2 podle obr. 12 a) a uvnitř pole je oddálíme – viz obr. 12 b) a poté je z prostoru pole vyjmeme, na destičkách bude indukovaný elektrický náboj; jeho velikost bude Q2, kde
Q2
Q1 S2 S1
a)
b)
Obr. 12 - Elektrická indukce – indukovaný náboj Pro podíl náboje a plochy zavádíme veličinu D - elektrická indukce:
D
Q S
(C m 2 ; C, m 2 )
Příklad 4: Jaká je hodnota el. indukce ve vzdálenosti 2 mm od středu malé vodivé kuličky nabité el. nábojem 310-12 C? Řešení:
Q Q 3 10 12 3 10 12 D 5,97 10 14 (C m 2 ) 2 3 2 6 S 4 r (2 10 ) 4 4 10 4
Vztah mezi intenzitou elektrického pole E a elektrickou indukcí D Elektrická indukce je veličina závisející na velikosti elektrického náboje a na ploše; neovlivňuje ji druh nevodivého prostředí. Na rozdíl od elektrické indukce je velikost intenzity elektrického pole závislá na prostředí – dielektriku. Jejich vzájemný vztah je přímo úměrný – čím je větší intenzita elektrického pole, tím je větší elektrická indukce. Například pro kulový náboj platí:
D
Q Q S 4 r 2
a 20
E
Q 4 r 2
Tedy
D E kde je permitivita dielektrika (dielektrikum = izolant v elektrickém poli), r 0 .
D r 0 E
3.6
Elektrické vlastnosti izolantů
3.6.1 Polarizace dielektrika Mohou-li se volné elektricky nabité částice v materiálu pohybovat, nemůže uvnitř vodiče vzniknout samostatné elektrické pole. Působením vnějšího elektrického pole protéká vodičem elektrický proud. U nevodičů – izolantů – jsou nabité částice ve struktuře materiálu pevně vázány a nemohou se vlivem elektrického pole pohybovat – proud neprotéká. Izolant umístěný v elektrickém poli se nazývá dielektrikum (např. slída, sklo, papír). Pokud je atom dielektrika umístěn mimo elektrické pole, jsou náboje jednotlivých elektricky nabitých částic uspořádány symetricky. Vlivem vnějšího elektrického pole dochází k posunu částic v atomech – vznikají tzv. dipóly.
9 a)
9 b)
Obr. 13 - Atom vodíku a) v neutrálním stavu b) polarizovaný (dipól) Atomy nebo molekuly, ze kterých se izolant skládá, se vlivem vnějšího elektrického pole polarizují. Tím se v materiálu vytvoří vnitřní elektrické pole působící proti původnímu vnějšímu elektrickému poli, které polarizaci dielektrika způsobilo. Tím je celkové elektrické pole (dané součtem vnějšího pole a vnitřního pole polarizovaného dielektrika) menší než původní pole. To je také důvodem, proč r je vždy větší než 1 (r =1 pouze pro vakuum).
9 a)
9 b)
Obr. 14 - Polarizace dielektrika a) a vnitřní elektrické pole dielektrika b)
21
3.6.2 Elektrická pevnost dielektrika Jak již bylo uvedeno, nabité částice izolantu jsou ve struktuře materiálu pevně vázány a nemohou se vlivem elektrického pole pohybovat – proud neprotéká. Ale překročí-li intenzita elektrického pole určitou hodnotu, síla elektrické pole působící na nabité částice v materiálu je větší než síla vazby v atomu a pak dojde k porušení vazby a dochází k tzv. průrazu izolantu - proud začne izolantem protékat. Hodnota takové intenzity se nazývá elektrická pevnost dielektrika. Elektrická pevnost izolantů se pro konkrétní materiály získává měřením a uvádí se v tabulkách. Tabulka elektrických vlastností některých izolantů
3.7
Materiál
r
Ep (kV/mm)
vzduch minerální olej parafín kondenzátorový papír kabelový papír polyelylén slída sklo porcelán
1,0006 2,2 až 2,4 1,9 až 2,2 2 až 5 2,5 až 4 2,2 až 2,3 6 až 7 3,5 až 4 5,5 až 6,5
2 až 3 20 až 30 20 až 30 30 až 58 7 až 10 45 až 60 40 až 80 20 až 50 20 až 45
Kondenzátor
Kondenzátor je pasivní elektronická součástka sloužící k nahromadění a uchování elektrického náboje; je tvořená dvěma vodivými deskami (elektrodami), mezi nimiž je dielektrikum. Pokud na desky připojíme elektrické napětí, na deskách se nahromadí elektrické náboje opačných polarit.
Obr. 15 - Kondenzátor Mezi dvěma vodivými deskami vzájemně oddělenými dielektrikem vznikne po připojení napětí U homogenní elektrostatické pole. Na deskách kondenzátoru se nahromadí elektrický náboj + Q a -Q. Tento náboj je tím větší, čím je větší připojené napětí. Platí tedy: Q konst U 22
Konstanta platí pro daný kondenzátor, nazývá se kapacita kondenzátoru a označuje se C. Q C U
Q Q C a tedy rozměr jednotky farad je ( F ). U U V Jednotka farad (F) je velká, běžně se kapacita kondenzátorů měří v F, nF a pF. Jednotkou kapacity je farad (F). C
Schematická značka kondenzátoru je
Obr. 16 – Značka kondenzátoru Velikost kapacity C je závislá na ploše desek S, jejich vzdálenosti l a materiálu dielektrika. Víme, že platí
D
Q S
D r 0 E
E
U l
Dosazením získáme vztah
C
Q D S 0 r E S S 0 r U E l E l l
Kapacita kondenzátoru C je přímo úměrná velikosti desek na nepřímo úměrná jejich vzdálenosti. Kapacita se zvýší i použitím vhodného dielektrika o velké relativní permitivitě r.
Příklad 5: Jaká je velikost náboje na deskovém kondenzátoru ve svitkovém uspořádání, je-li rozměr elektrod 2 cm x 20 cm a jako dielektrikum je použit kondenzátorový papír o tloušťce 0,1 mm a r = 4. Napětí připojené ke kondenzátoru je 24 V. Řešení: Q C U
C 0 r
S kde S 2 10 2 20 10 2 4 10 3 (m2) l
C 0 r
S 4 10 3 8,854 10 -12 4 8,854 10 -12 160 1417 10 -12 ( F ) 3 l 0,1 10
1,417 10 -9 ( F ) 1,417(nF )
3.8
Spojování kondenzátorů
Kondenzátory je možno spojovat paralelně (vedle sebe) nebo sériově (za sebou).
23
3.8.1 Paralelní spojování kondenzátorů Schéma paralelního spojení tří kondenzátorů je na obr. 17 a). Chceme-li určit výslednou kapacitu daného zapojení, nahradíme spojení všech 3 kondenzátorů jediným kondenzátorem – viz obr 17 b), jehož působení bude stejné jako působení všech tří propojených kondenzátorů, to znamená, že připojíme-li k náhradnímu kondenzátoru stejné napětí, musí se na něm objevit stejný náboj jako na původním zapojení.
1a)
1b)
Obr. 17 - Paralelní spojení kondenzátorů Z obr. 1a) je patrné, že napětí na všech kondenzátorech je totožné a je rovno U. Celkový náboj na paralelním spojení kondenzátorů podle obr. 1a) je
Q Q1 Q2 Q3 Náboje na jednotlivých kondenzátorech jsou
Q1 U C1
Q2 U C2
Q3 U C3
Po dosazení
Q U C1 U C2 U C3 U (C1 C2 C3 ) Pro náhradní kondenzátor - viz 1b) – platí:
Q U C
Protože se při náhradě musí při stejném napětí na náhradním kondenzátoru nahromadit stejný náboj jako v původním obvodu, musí být
U C U (C1 C2 C3 ) C C1 C2 C3 Při paralelním zapojení kondenzátorů se výsledná kapacita zapojení rovná součtu kapacit jednotlivých kondenzátorů. Tato náhrada platí pro libovolný počet sériově spojených kondenzátorů.
3.8.2 Sériové spojování kondenzátorů Schéma sériového spojení tří kondenzátorů je na obr. 18 a). Chceme-li určit výslednou kapacitu daného zapojení, nahradíme spojení všech 3 kondenzátorů jediným kondenzátorem – viz obr. 18 b), jehož působení bude stejné jako působení všech tří propojených kondenzátorů, to znamená, že připojíme-li k náhradnímu kondenzátoru stejné napětí, musí se na něm objevit stejný náboj jako na původním zapojení. 24
1a)
1b) Obr. 18 - Sériové spojení kondenzátorů
Z obr. 18 a) je patrné, že se náboje mezi vnitrními deskami jednotlivých kondenzátorů, které jsou spojeny vodičem, vyrovnávají. Náboje na jednotlivých kondenzátorech jsou tedy všechny stejné a i výsledný náboj je stejný jako náboje na jednotlivých kondenzátorech:
Q1 Q2 Q3 Q Celkové napětí je dáno součtem napětí na jednotlivých kondenzátorech:
U U1 U 2 U 3 Napětí na jednotlivých kondenzátorech jsou:
U1
Q C1
U2
Q C2
U3
Q C3
Dosazením získáme výraz U U1 U 2 U 3
Q Q Q 1 1 1 Q( ) C1 C2 C3 C1 C2 C3
Pro náhradní kondenzátor – viz 18 b) – platí:
U
Q C
Protože se při náhradě musí při stejném napětí na náhradním kondenzátoru nahromadit stejný náboj jako v původním obvodu, musí být
1 1 1 1 C C1 C2 C3 Při sériovém zapojení kondenzátorů se převrácená hodnota výsledné kapacity zapojení rovná součtu převrácených hodnot kapacit jednotlivých kondenzátorů. Tato náhrada platí pro libovolný počet paralelně spojených kondenzátorů.
Příklad 6: Máme 4 kondenzátory o stejných kapacitách C = 1 F. Tyto kondenzátory jsou spojeny do série. Určete výslednou kapacitu tohoto zapojení.
25
Řešení:
1 1 1 1 1 4 Cvýsl C C C C C
Cvýsl
C 1 0,25 F 4 4
Obecně platí, že spojíme-li n kondenzátorů o stejných kapacitách C, výsledná kapacita takového spojení je C/n.
Příklad 7: Jaká je celková kapacita a celkový el. náboj v obvodu podle obr. 19, je-li napětí 24 V a kapacity jednotlivých kondenzátorů jsou C1 = 1 F, C2 = 0,5 F, C3 = 1,2 F a C4 = C5= 200 nF?
Obr. 19 - Sérioparalelní zapojení kondenzátorů Řešení: Kondenzátory C4 a C5 jsou zapojeny do série; nahradíme je kondenzátorem C4,5:
1 1 1 C 4 , 5 C 4 C5
z toho C4,5
C 4 C5 200 200 100 (nF) = 0,1F C4 C5 200 200
Tím jsme získali náhradní zapojení dle obr. 20
Obr. 20 - Náhradní zapojení kondenzátorů Nyní jsou všechny kondenzátory zapojeny paralelně, je tedy možno spočítat výslednou kapacitu C:
C C1 C2 C3 C4,5 1 0,5 1,2 0,1 2,8 F Výsledný elektrický náboj
Q C U 2,8 10 6 24 67,2 10 6 C
26
Příklad 8: Pro správnou funkci elektrického obvodu je potřebná kapacita CV = 2,5 F. K dispozici máme libovolný počet kondenzátorů o kapacitě C = 1 F. Navrhněte zapojení kondenzátorů tak, aby byl splněn daný požadavek. Řešení: Víme, že kapacity paralelně spojených kondenzátorů se sčítají a dále víme, že spojíme-li n kondenzátorů o stejných kapacitách C, výsledná kapacita takového spojení je C/n; 2,5 lze psát jako 1 + 1 + 0,5 a z toho plyne, že potřebné zapojení je sérioparalelní podle obr. 21:
Obr. 21 - Sérioparalelní zapojení kondenzátorů
Příklad 9: Kondenzátor s kapacitou C1 = 4 F je nabitý na napětí 24 V. K němu paralelně připojíme kondenzátor o kapacitě C = 2 F nabitý na napětí 12 V. Jaké je výsledné napětí na propojených kondenzátorech? Řešení: Náboj na prvním kondenzátoru Q1 je
Q1 U1 C1 24 4 10 6 96 10 6 (C) Náboj na druhém kondenzátoru Q2 je
Q2 U 2 C2 12 2 10 6 24 10 6 (C) Při paralelním spojení se náboje sčítají, tedy celkový náboj
Q Q1 Q2 96 10 6 24 10 6 120 10 6 (C) Výsledná kapacita tohoto zapojení je
C C1 C2 4 2 6 (F) Napětí na spojených kondenzátorech je
U
Q 120 10 6 20 (V) C 6 10 6
27
3.9
Přechodový jev na kondenzátoru
V následující kapitole platí, že veličiny, které jsou označeny malými písmeny, jsou okamžité hodnoty veličiny, tj. veličiny v konkrétním okamžiku daného fyzikálního děje. Na rozdíl od okamžitých hodnot se ustálené hodnoty veličiny, které jsou s časem konstantní, značí velkými písmeny. V ustáleném stavu je kondenzátor o kapacitě C, který je připojen k elektrickému napětí U, nabit nábojem Q = CU a napětí na něm se rovná připojenému napětí. Kondenzátor potřebuje t
určitou dobu t průchodu proudu, aby se na jeho deskách nahromadil el. náboj: Q i dt . 0
V okamžiku připojení kondenzátoru ke zdroji stejnosměrného napětí nastává tzv. přechodový děj na kondenzátoru:
Obr. 22 - Přechodový jev na kondenzátoru V obvodu platí v každém okamžiku 2. Kirchhoffův zákon: U0 = uR + uC Při připojení zdroje napětí k obvodu s kondenzátorem v čase t0 = 0 (tj. při sepnutí spínače S) není na kondenzátoru žádný náboj, tedy ani žádné napětí.
t0 = 0:
uC = 0
uR = U0 – uc = U0 – 0 = U0
i
uR U 0 R R
Proud v obvodu čase t0 je omezen jen odporem R. Proud je v okamžiku připojení napětí maximální; jak s postupem času roste napětí na kondenzátoru, proud klesá a rychlost nabíjení se zpomaluje. Proud nabíjí kondenzátor až do okamžiku, kdy Uc je rovno napětí zdroje. Tehdy proud přestává protékat a nastává ustálený stav. V ustáleném stavu t (to je po dostatečné době po sepnutí spínače S - přechodové děje v elektrotechnice jsou velmi rychlé, čas, v němž obvod dosáhne ustáleného stavu je maximálně v řádu sekund), se veličiny v obvodu již nemění, jsou konstantní. Platí:
t0 :
i=0
uR = Ri = 0
a
Průběh proudu a napětí je na obr. 23.
28
uC = U0
Obr. 23 - Průběh proudu a napětí při přechodovém ději na kondenzátoru Nárůst napětí uC se postupně zpomaluje, proud klesá, klesá i napětí na odporu uR. Průběh je dán částí exponenciální křivky, tečna v jejím počátku vytne na ose času hodnotu tzv. časové konstanty . t uc U 0 1 e kde R C
3.10 Energie elektrostatického pole Nabijeme-li na kondenzátor nábojem Q, bude na něm napětí U
Q C Pokud na tento kondenzátor chceme přivést další malý náboj dQ, musíme vynaložit práci dA. A Platí U A = U Q, tedy dA bude Q Q dA U dQ dQ C U
Celková energie, která je potřebná k nabití kondenzátoru na náboj Q, je dána součtem všech dílčích prací dA Q
WC dA 0
Q dQ C
tento výpočet se provádí pomocí integrálního počtu a výsledek je
WC
Q2 2C
Protože Q = C U, je energie elektrostatického pole kondenzátoru
WC
1 C U 2 2
nebo také
WC
1 Q U 2
Nabitý kondenzátor je zdrojem elektrické energie. Spojíme-li elektrody nabitého kondenzátoru přes rezistor s odporem R, začne rezistorem protékat elektrický proud, který se na rezistoru mění v tepelnou energii; tedy energie elektrostatického pole se mění v tepelnou energii a kondenzátor se vybíjí – viz obr. 24. 29
Obr. 24 - Vybíjení kondenzátoru Z předchozích kapitol víme, že Q = DS, D = E a U = El. Po dosazení těchto vztahů platí
1 1 1 1 WC Q U D S E l E S E l E 2 S l 2 2 2 2 Z tohoto výrazu je patrné, že energie nabitého kondenzátoru je úměrná ploše desek S a jejich vzdálenosti l, tedy objemu V = Sl prostoru mezi deskami kondenzátoru. Energie nahromaděná v jednotce objemu je
1 E2 S l WC 2 1 1 wC E 2 D E V S l 2 2 Protože D a E jsou veličiny, které se vztahují ke konkrétnímu místu elektrostatického pole, platí tento vztah pro libovolný tvar pole.
Příklad 10: Vzduchový kondenzátor má plochu desek 20 cm2, jejich vzdálenost je 1 mm a napětí na kondenzátoru je 12 V. Po odpojení kondenzátoru od zdroje posuneme desky do vzájemné vzdálenosti 1,5 mm. Určete, jak se změní napětí mezi deskami kondenzátoru. Řešení: Kapacita kondenzátoru ve výchozím stavu S 20 10 4 C1 0 r 8,854 10-12 1 8,854 10-12 2 17,708 10-12 F l1 1 10 3 Náboj na kondenzátoru
Q U1 C1 12 17,708 10-12 212,496 10-12 C Kapacita kondenzátoru po posunutí desek S 20 10 4 C2 0 r 8,854 10-12 1 8,854 10-12 1,333 11,80533 10-12 F 3 l2 1,5 10 Napětí po posunutí desek
U
Q 212,496 10 -12 18 V C 11,80533 10 -12
30
Příklad 11: Jak velkou energii získáme při úplném vybití kondenzátoru o kapacitě 5 mF, je-li nabit na napětí 230 V? Řešení:
1 1 WC C U 2 5 10 6 230 2 2,5 10 6 52900 132250 10 6 0,132250 J 2 2
3.11 Složená dielektrika Složená dielektrika je možné uspořádat buď vedle sebe, nebo za sebou.
3.11.1
Dielektrika vedle sebe
Mějme dvě deskové elektrody oddělené dvěma dielektriky s relativními permitivitami r1 a r2 podle obr. 25
Obr. 25 - Dielektrika vedle sebe V obou dielektrikách je stejná intenzita elektrického pole U E1 E2 E l Elektrická indukce bude v každém dielektriku jiná, a to
D1 r1 0 E
D2 r 2 0 E
a
Náboje Q1 a Q2 budou
Q1 D1 S1
Q2 D2 S 2
a
Celkový náboj na deskách bude
Q Q1 Q2 Dosadíme za Q1 a Q2: Q r1 0
S1 S U r 2 0 2 U l1 l2
31
Z výsledku je patrné, že toto uspořádání dielektrik se chová jako dva kondenzátory o S S kapacitách C1 r1 0 1 a C2 r 2 0 2 spojené paralelně. l1 l2 Pozor: elektrická pevnost uspořádání dielektrik vedle sebe má elektrickou pevnost danou dielektrikem s menší elektrickou pevností.
3.11.2
Dielektrika za sebou
Mějme dvě deskové elektrody oddělené dvěma dielektriky s relativními permitivitami r1 a r2 podle obr. 26 – tzv. vrstvené dielektrikum.
Obr. 26 - Dielektrika za sebou Náboj i plocha jsou pro obě dielektrika stejné, to znamená, že elektrická indukce v obou materiálech je stejná Q D1 D2 D S D D Intenzita elektrického pole je pro první dielektrikum E1 a pro druhé E2 .
0 r 2
0 r1
Celkové napětí mezi deskami U = U1 + U2 kde U1 E1 l1
D
0 r1
l1
U 2 E2 l 2
a
D
0 r 2
l2
Pak po dosazení
U
D
0 r1
l1
D
0 r 2
Protože platí C 0 r1
S , l
l2
je
Q S 0 r1 l1
l1
S 0 r1
Q S 0 r 2 1 C1
32
l2 Q (
a
l1
S 0 r1 l2
S 0 r 2
l2
S 0 r 2
1 C2
)
Tedy
U Q(
1 1 ) C1 C 2
U Q
a protože
1 , C
pak
převrácená hodnota kapacity vrstveného dielektrika je rovna součtu převrácených hodnot kapacit dílčích dielektrik:
1 1 1 C C1 C 2 Vrstvené dielektrikum se chová jako dva paralelně spojené kondenzátory. Intenzita elektrického pole v obou dielektrikách je E1
D
0 r1
D
E2
a
0 r 2
Poměr intenzit elektrického pole je
D E1 0 r1 r 2 D E2 r1
0 r 2
Intenzity elektrického pole jsou tedy v opačném poměru než relativní permitivity jednotlivých dílčích dielektrik.
E1
Lze tedy psát
r2 E a dosazením získáme r1 2
U U1 U 2 E1 l1 E2 l2
r2 l r1 l 2 E2 l1 E2 l 2 E2 ( r 2 l1 l2 ) E2 r 2 1 r1 r1 r1
Z toho E2
U r1 r 2 l1 r1 l 2
Pozor: elektrická pevnost každého jednotlivého dielektrika musí být větší než vypočtená intenzita tohoto dielektrika Ep > E.
Příklad 12: Mezi dvěma kovovými deskami je napětí 600 V. Desky jsou navzájem izolovány papírem tloušťky 0,2 mm a slídou tloušťky 0,3 mm. Vypočítejte elektrické namáhání jednotlivých dielektrik a zkontrolujte, zda jejich elektrická pevnost vyhovuje pro dané napětí. Materiál
r
Ep (kV/mm)
1
kondenzátorový papír
4
40
2
slída
7
60
33
Řešení: Intenzita elektrického pole ve slídě je E2
U r1 600 4 2400 923,0769 V/mm r 2 l1 r1 l2 7 0,2 4 0,3 1,4 1,2
E1
r2 7 E2 923,0769 1615,385 V/m r1 4
Obě hodnoty jsou menší než je Ep propříslušný materiál, elektrická pevnost vyhovuje.
3.12 Kondenzátory s nehomogenním elektrickým polem Pro výpočet nehomogenních polí je nutná znalost vyšší matematiky, která není obsahem učiva středních škol; berte tedy některé dále uvedené vztahy jako platná fakta.
3.12.1
Dvě soustředné kulové plochy
Mezi dvěma soustřednými kulovými plochami je radiální elektrostatické pole.
Obr. 27 - Elektrostatické pole dvou soustředných kulových ploch Elektrická indukce ve vzdálenosti r od středu kulových ploch je
D
Q Q S 4 r 2
Intenzita elektrického pole na tomto poloměru je
E
D
Q 4 r 2
Na celém povrchu myšlené koule o poloměru r se středem ve středu kulových ploch je stejná velikost vektoru D i E; směr vektorů je vždy radiální. Napětí mezi dvěma body se vzájemnou vzdáleností dr podle obr. 27 je 34
dU E dr
kde E je intenzita pole v daném místě.
Celkové napětí mezi kulovými plochami je dáno součtem všech dílčích napětí dU mezi kulovými plochami (vypočítá se pomocí integrálního počtu):
U
r r Q 2 1 4 0 r r1 r2
Obr. 28 - Průběh napětí v dielektriku v prostoru mezi kulovými plochami Kapacita dvou soustředných kulových ploch je C
3.12.2
r r Q 4 0 r 1 2 U r2 r1
Osamocená koule
Pro osamocenou kouli uvažujeme vnější poloměr r2 . Pak kapacita osamoceno koule je C lim 4 0 r r2
r1 r2 4 0 r r1 r2 r1
Elektrická indukce na povrchu koule je
D
Q Q S 4 r1 2
Intenzita elektrického pole na povrchu koule je
E
D
0 r
Q 0 r 4 r12
kde
Q C U 4 0 r r1 U
Po dosazení za Q dostaneme
E
D
0 r
4 0 r r1 U U Q 2 r1 0 r 4 r1 0 r 4 r12
Elektrické namáhání je tím větší, čím je menší poloměr zaoblení elektrody; u elektrod o velmi malém poloměru nebo u zašpičatělých elektrod je velké riziko překročení dovolené elektrické pevnosti izolantu. 35
3.12.3
Dvě soustředné válcové plochy
Mezi dvěma soustřednými válcovými plochami je radiální elektrostatické pole.
Obr. 29 - Elektrostatické pole dvou soustředných válcových ploch Elektrická indukce ve vzdálenosti r od osy válcových ploch je
D
Q Q S 2 r l
Intenzita elektrického pole na tomto poloměru je
E
D
Q 2 r l
Na celém povrchu myšleného válce o poloměru r s osou v ose válcových ploch je stejná velikost vektoru D i E; směr vektorů je vždy radiální. Napětí mezi dvěma body se vzájemnou vzdáleností dr podle obr. 29 je
dU E dr
kde E je intenzita pole v daném místě.
Celkové napětí mezi válcovými plochami je dáno součtem všech dílčích napětí dU mezi válcovými plochami (vypočítá se pomocí integrálního počtu): U
r Q ln 2 2 r l 0 r r1
Kapacita dvou soustředných válcových ploch je
C
Q 2 0 r l 2 0 r l r2 r U ln 2,3 log 2 r1 r1
Příklad 13: Jaká je kapacita jednoho metru koaxiálního kabelu? Vodič má průměr 1 mm, izolací je kabelový papír a plášť kabelu má průměr 5 mm. (r = 3) 36
Řešení:
2 0 r l 2 8,854 10 -12 3 1 166,894 10 -12 103,8136 10 -12 F r2 2,5 2,3 log 5 2,3 log 2,3 log 0,5 r1 C = 103,8 pF
C
3.13 Elektrostatické jevy v praxi V praxi se vyskytují objekty, které mají znaky kondenzátorů, to znamená dvě elektrody oddělené dielektrikem. Jednou elektrodou může být například kovová část technologického zařízení, která není uzemněná, druhou elektrodou je země. Tyto „provozní kondenzátory“ se nabíjejí; náboj na nich vzniká zpravidla třením. Pokud náboj dosáhne určité hodnoty, může dojít k proražení dielektrika a přeskočí elektrický výboj, kterým se elektrický náboj vybije. Taková situace nastane například v okamžiku, kdy se osoba oblečená v oděvu z umělých vláken po delší době pohybu přiblíží rukou ke kovovému uzemněnému předmětu, například vodovodní baterii. Při přiblížení se zkrátí vzdálenost natolik, že intenzita elektrického pole překročí elektrickou pevnost vzduchu a dojde k průrazu izolantu – přeskočí jiskra. Tím se nahromaděný náboj vybije. Tato situace samozřejmě není nebezpečná. Ale jsou případy, kdy nahromaděný elektrický náboj může způsobovat vážné problémy. Pokud přeskočí jiskra v prostorách s těkavými nebo výbušnými látkami, může dojít k výbuchu a důsledky mohou být fatální. Mimo to způsobuje elektrostatické pole přitahování, případně odpuzování lehkých objektů (například papír, vlákna,…) a tím komplikuje výrobní procesy. Dalšími nežádoucími důsledky působení nahromaděného elektrického náboje jsou například rušení radiosignálů, rušení elektronických měření nebo chemické rozrušování některých materiálů. Omezování nežádoucích účinků statických nábojů Nežádoucí elektrický náboj je nutno co nejrychleji odvést do země. To se realizuje uzemněním všech vodivých částí technologického zařízení. Vodivé části se pospojují a uzemní – stačí i velmi tenký uzemňovací vodič. Pro omezení velikosti vzniklého náboje se také využívá polovodivých podlah, je-li to možné, omezují se rychlosti pohybu dopravníkových pásů, které jsou zdrojem tření a vzniku náboje, zvyšuje se vodivost okolního vzduchu zvětšením vlhkosti nebo ultrafialovým zářením. Využití elektrostatického náboje Účinků elektrostatického pole se využívá například k čištění plynů od drobných mechanických nečistot, kdy pevné nabité částečky jsou přitahovány k opačně nabité elektrodě, na níž se hromadí. Na tomto principu pracují například odpopílkovací filtry. Na podobném principu se provádí úspornější nanášení laků na předměty v lakovnách: stříkaný objekt je nabit opačným nábojem než nádoba s nanášenou barvou. Barva je pak přitahována k objektu a rozptyl při stříkání se omezí.
37
4
Stejnosměrný proud
Připojíme-li vodič ke zdroji elektrické energie, na jehož svorkách je elektrické napětí U, začne vodičem protékat elektrický proud I. Směr proudu je dohodou stanoven od + k -. Elektrický zdroj zajišťuje napětí na svých svorkách tak, že udržuje trvalý přebytek záporného náboje – elektronů – na svém záporném pólu a na kladném pólu jeho nedostatek (například akumulátor, dynamo, solární článek…).
Obr. 30 Vodič připojený ke zdroji o napětí U Elektrický proud je pohyb elektrického náboje ve vodiči a je definován jako množství elektrického náboje, který projde průřezem vodiče za jednotku času:
Q ( A; C, s) t Jednotkou elektrického proudu je ampér (A). I
Jednotkou elektrického napětí je 1 volt (V). S jeho definicí jsme se seznámili již při výkladu elektrostatického pole. Lze také říct, že napětí o velikosti 1 volt je takové napětí, které vykoná ve vodiči práci 1joule, projde-li vodičem množství elektrického náboje 1 coulomb. Pokud vodičem protéká elektrický proud, vodič se zahřívá a v jeho okolí vzniká elektromagnetické pole, které se projevuje magnetickými účinky v okolí vodiče.
4.1
Proudová hustota
Vlivem průchodu elektrického proudu se vodič zahřívá. Teplo, které se ve vodiči vyvine, se nazývá Lenc-Jouleovo teplo. Jeho část se odvede povrchem vodiče do okolního prostoru. Aby se vodič příliš nezahříval, je nutné zajistit dostatečný odvod tepla do okolního prostředí. Odvod tepla bude tím větší, čím větší bude povrch vodiče, tedy oteplení bude tím nižší, čím bude průřez vodiče větší. V praxi se udává pro různé typy vodičů a jejich izolací tzv. proudová hustota, což je povolený proud na 1 mm2 průřezu vodiče pro daný typ vodiče. Takové zatížení nedovolí vodiči ohřát se na větší teplotu než jaká je povolena pro daný typ izolace a pro bezpečnost provozu. Proudová hustota se značí J a je dána podílem proudu a plochy průřezu vodiče
J
I S
( A m 2 ; A, m 2 )
V technické praxi se pro běžné typy vodičů používá jednotka A/mm2.
38
4.2
Intenzita proudového pole
Intenzita proudového pole E je poměr napětí na vodiči k délce l, na které je napětí měřeno.
E
4.3
U l
(V m 1 ; A, m)
Elektrický odpor vodičů a Ohmův zákon
Elektrický proud v pevném vodiči je usměrněný pohyb volných elektronů. Proud bude tím větší, čím bude větší urychlování elektronů, tedy síla působící na elektrony, a tato síla je přímo úměrná připojenému napětí. Elektrony ve svém pohybu narážejí na iontovou mřížku materiálu vodiče a na různé nečistoty obsažené v materiálu. Tím se jejich pohyb brzdí a tudíž musí být znovu urychlovány. Říkáme, že vodič klade elektrickému proudu odpor. Odpor vodiče je závislý na materiálu, ze kterého je vodič vyroben, a na rozměrech vodiče. Připojíme-li k vodiči elektrické napětí, jehož velikost měníme, a měříme velikost proudu, zjistíme, že proud je přímo úměrný velikosti připojeného napětí.
Obr. 31 - Přímá úměrnost proudu a napětí Pozn.: Proud se měří ampérmetrem. Ampérmetr se zapojuje vždy do série se spotřebičem, jehož proud měříme – pak proud spotřebičem je stejný jako proud ampérmetru. Napětí měříme voltmetrem, který se zapojuje paralelně se spotřebičem, na kterém měříme napětí – pak napětí na spotřebiči je stejné jako napětí na voltmetru. Vztah pro přímou úměrnost lze zapsat jako
I konst U kde konstantu označujeme G – vodivost, tedy
I G U
jednotkou vodivosti G je siemens – označení S - (S;A,V-1)
Častěji než vodivost G se používá veličina elektrická odpor – R. Je to převrácená hodnota G 39
R
1 G
jednotkou odporu R je ohm – označení - (;V,A -1)
Pak lze psát
I
U R
Čím je větší napětí U, tím je větší proud I a čím je větší odpor R, tím je menší proud I. Tento vztah se nazývá Ohmův zákon. Rezistory Rezistory jsou pasivní elektrotechnické součástky, jejichž základní vlastností je elektrický odpor R.
Obr. 32 – Schematická značka rezistoru
Příklad 14: Určete odpor žárovky, odebírá-li ze sítě o napětí 230 V proud 0,5 A. Řešení:
R
U 230 460 () I 0,5
4.3.1 Velikost elektrického odporu Jak již bylo uvedeno, odpor vodiče je závislý na rozměrech vodiče a na materiálu, ze kterého je vodič vyroben. Vzhledem k tomu, že elektrony ve svém pohybu narážejí na iontovou mřížku materiálu vodiče a na různé příměsi a nečistoty, je patrné, že čím bude délka vodiče větší, tím bude větší i počet kolizí elektronů s překážkami a tím bude větší odpor vodiče. Naopak čím bude průřez vodiče větší, tím větší bude počet volných elektronů na průřezu vodiče a tím bude odpor menší. Počet volných elektronů a struktura mřížky jsou specifické pro různé materiály. Odpor vodiče tedy lze vyjádřit vztahem
R
l S
(; m, m 2 ) nebo (; 10 6 m, mm2 )
kde l je délka vodiče S je průřez vodiče je konstanta platná pro konkrétní materiál vodiče a nazývá se rezistivita materiálu. Je to odpor vodiče z tohoto materiálu o délce 1 m a průřezu 1 mm2 při teplotě 20oC. 40
Rezistivita se pro konkrétní materiály získává měřením a uvádí se v tabulkách. Rezistivita některých materiálů mm2m-1
Materiál Měď Hliník Stříbro Ocel Konstantan Chromnikl Cekas
0,0178 0,0285 0,0163 0,13 0,5 1,1 1,1
Součástky, jejichž charakteristickou veličinou je elektrický odpor, nazýváme rezistory. Materiály měď, hliník a stříbro jsou výborné vodiče, Cu a Al jsou nejpoužívanější materiály pro výrobu vodičů. Materiály konstantan, chromnikl a cekas jsou odporové materiály používané pro výrobu rezistorů.
Příklad 15: Určete odpor měděného vodiče o kruhovém průřezu s průměrem 1 mm a délce 150 m. Řešení:
l 2 2 () kde S r (0,5) 0,785 mm2 S l 150 R 0,0178 3,4 () S 0,785 R
Příklad 16: Určete délku měděného vodiče o kruhovém průřezu s průměrem 2 mm, je-li jeho odpor 3 . Řešení:
l RS () z toho plyne l S 2 S r 2 (1) 2 3,14 mm R S 3 3,14 l 529 (m) 0,0178 R
4.3.2 Závislost elektrického odporu na teplotě S rostoucí teplotou se zvětšuje kmitání pevné iontové mřížky kovového materiálu. Volné elektrony realizující elektrický proud jsou tím vystaveny větší pravděpodobnosti srážky s mřížkou, čímž se jejich tok zpomalí – odpor vodiče vzroste. 41
Odpor vodiče tedy se vzrůstající teplotou roste, a to lineárně v širokém pásmu teplot. Při zahřátí vodiče o 1o C se odpor vodiče o velikosti 1 změní právě o hodnotu ; konstanta se nazývá teplotní součinitel odporu a je dána druhem materiálu vodiče a uvádí se v tabulkách (1/oK). Pokud se teplota vodiče zvýší z teploty 1 na teplotu 2 o = 2 - 1 , bude přírůstek odporu R = R2 - R1 mít velikost
R R1 Odpor vodiče po zahřátí tedy bude
R2 R1 R R1 R1 Tedy
R2 R1 (1 ) Teplotní součinitel odporu se pro konkrétní materiály získává měřením a uvádí se v tabulkách. Teplotní součinitel odporu pro některé materiály Teplotní součinitel odporu (K-1) 0,0042 0,004 0,004 0,006 210-6 2,510-4 710-5
Materiál Měď Hliník Stříbro Ocel Konstantan Chromnikl Cekas
Příklad 17: Měděný vodič o teplotě 20o C je připojen na napětí 24 V a protéká jím proud 20 A. Určete odpor tohoto vodiče při provozní teplotě 60o C. Řešení: Při teplotě 20o C má vodič odpor R1
R1
U 24 1,2 () I 20
Přírůstek teploty je
2 1 60 20 40( o C ) Odpor při teplotě 60o C
R2 R1 (1 ) 1,2 (1 0.0042 40) 1,4016()
42
Příklad 18: Teplota venkovního měděného vedení se v průběhu roku mění v rozsahu od -25o C do +40o C. Kolikrát bude odpor při maximální teplotě větší než odpor při minimální teplotě? Řešení: Teplotní rozdíl:
2 1 40 (25) 65( o C )
Odpor při -25o C:
R1
Odpor při -25o C:
R2 R1 (1 ) R1 (1 0.0042 65) 1,273 R1
Odpor bude právě 1,273 x větší.
4.4
Práce a výkon stejnosměrného elektrického proudu
Protože napětí je vlastně práce při průchodu elektrického náboje 1 coulomb průřezem vodiče, je tedy práce vykonaná průchodem elektrického náboje Q A Q U
Protože proud je I
(J; V, C)
Q , lze dosadit t A Q U U I t
(J; V, A, s)
Elektrická práce, kterou vykoná stejnosměrný proud při svém průtoku mezi dvěma místy elektrického obvodu, je tedy dána součinem napětí mezi těmito místy s protékajícím proudem a s časem, po který tento proud protéká. Protože platí Ohmův zákon I
U a zároveň A U I t , dostaneme dosazením vztah R
U U2 A U I t U t t R R
nebo
A U I t I R I t R I 2 t
Tato práce se ve vodiči mění v tepelnou energii – teplo - W = A. V praxi bylo zjištěno, že prochází-li vodičem elektrický proud, vodič se ohřívá. Elektrická práce potřebná k průchodu stejnosměrného elektrického proudu vodičem se všechna mění v teplo (tento fakt experimentálně ověřili fyzikové Lenc a Joule). Teplo vzniklé průtokem elektrického proudu vodičem se nazývá Joule-Lencovo teplo. Práce vykonaná za jednotku času je tzv. výkon P:
P
A U I t U I t t
Jednotkou výkonu je watt – označení W (W=Js-1) Dosazením Ohmova zákona získáme výrazy pro výkon
43
(W; V, A)
P U I R I I R I
2
nebo
U U2 P U I U R R
Příklad 19: Topný rezistor o odporu R = 50 je připojen na napájecí napětí 230 V po dobu 20 minut. Jaký je výkon a jaká je energie odebraná ze sítě během zapnutí topného tělesa? Řešení:
U 230 4,6( A) R 50
Odebíraný proud
I
Výkon
P U I 230 4,6 1058(W )
Doba provozu t = 20 minut, to je 20 60 = 1200 s W A P t 1058 1200 1269600(J) 1,269(MJ)
Odebraná energie
Jednotka energie (práce) joule (J =Ws) je z hlediska praxe velmi malá. Proto se běžně používá pro měření elektrické práce jednotka watt hodina (Wh = 3600 J) a jednotka kilowatt hodina (kWh = 36001000 J =3,6 106 J). Pokud je nějaký elektrický spotřebič připojen ke zdroji elektrického napětí, není veškerá energie W1 odebraná ze sítě přeměněna na práci odvedenou spotřebičem W2, existují vždy ztráty, například zahřívání přívodních vodičů – část energie se mění v teplo. Rozdíl mezi vykonanou prací a přivedenou energií nazýváme ztráty – WZ. Platí
W2 W1 WZ Poměr mezi energií využitou a přivedenou označujeme jako účinnost
W2 W1
a je to vždy číslo 1
Účinnost se většinou vyjadřuje v procentech:
Protože příkon je P1
W2 100 W1
(%; J , J )
W1 W a výkon je P2 2 , je možné vyjádřit účinnost t t
W2 P t P 100 2 100 2 100 W1 P1 t P1
44
(%;W , W )
Příklad 20: Rychlovarná konvice vykazuje odpor R = 120 a je připojena na napájecí napětí 220 V po dobu 5 minut. Její účinnost je 80%. Vypočtěte velikost tepelné energie předané vodě v konvici. Řešení:
4.5
U 220 1,83( A) R 120
Odebíraný proud
I
Příkon
P1 U I 220 1,83 403,3(W )
Výkon
P2 P1 403,3
80 323(W ) 100
Kirchhoffovy zákony
První Kirchhoffův zákon (proudový) a druhý Kirchhoffův zákon (napěťový) jsou základem nutným pro řešení elektrických obvodů. Nerozvětvený elektrický obvod Nerozvětvený elektrický obvod je tvořen jedinou smyčkou - obr. 33 - a lze jej snadno vyřešit pomocí Ohmova zákona.
Je-li dáno napětí zdroje U a velikost odporu zátěže R, pak proud I
R
U I
Obr. 33 - Nerozvětvený elektrický obvod Rozvětvený elektrický obvod Rozvětvený elektrický obvod obsahuje několik větví a uzlů. Rozvětvený elektrický obvod je na obr. 34.
Obr. 34 - Rozvětvený elektrický obvod 45
Místo, kde se vodič rozvětvuje (eventuálně spojuje), se nazývá uzel. A, B … uzly. Nerozvětvená dráha mezi dvěma sousedními uzly se nazývá větev obvodu. Smyčka je uzavřená dráha v obvodu. Pro řešení rozvětvených obvodů využíváme kromě Ohmova zákona dva Kirchhoffovy zákony.
4.5.1 První Kirchhoffův zákon První Kirchhoffův zákon (proudový) je zákon o zachování elektrického náboje. Elektrický proud je dán množstvím elektrického náboje, který prochází vodičem. Náboj se ve vodiči nemůže hromadit ani ztrácet. Z toho plyne, že pokud se vodič rozvětví, rozdělí se i elektrický proud, a pokud se vodič opět spojí, sečte se i proud. Z toho vyplývá, že veškerý proud, který do uzlu přiteče, musí z něho zase odtéct.
I1 I 2 I 3 I 4 I 5
Obr. 35 - První Kirchhoffův zákon Pokud pokládám proudy do uzlu přitékající za kladné a proudy z uzlu odtékající za záporné, lze psát n
I k 1
k
0
Celkový součet všech proudů v jednom uzlu je roven nule.
Příklad 21:
Určete velikost proudu I3 na obr. 36, jsou-li proudy I1 = 3 A, I2= 5 A a I4 = 6 A. Obr. 36 - Proudy v uzlu Řešení: n
I k 1
k
0
3 5 I3 6
I1 I 2 I 3 I 4 46
I3 2 A
4.5.2 Druhý Kirchhoffův zákon Druhý Kirchhoffův zákon (napěťový) je zákon o zachování energie. Napětí na jednotlivých prvcích obvodu je práce na přenesení náboje z bodu A do bodu B. Pokud je obvod tvořen uzavřenou smyčkou, vracíme se do téhož bodu (A) a výsledná práce je nulová. To znamená, že součet všech napětí v uzavřené smyčce je roven nule. n
U k 1
k
0
Znaménka jednotlivých napětí: + … orientace napětí souhlasí se směrem orientace smyčky - … orientace napětí je proti směru orientace smyčky Tedy U1 + U2 – U = 0. Obr. 37 - Druhý Kirchhoffův zákon Druhý Kirchhoffův zákon je možné formulovat i takto: Součet všech napětí na jednotlivých odporech v uzavřené smyčce je roven součtu napětí všech zdrojů v této smyčce.
Příklad 22: Určete proud v obvodu a napětí na odporech R1 = 20 a R2 = 30 , jsou-li napětí zdrojů Ua = 6 V a Ub = 4 V. Obvod je zapojen podle obr. 38.
Obr. 38 - Napětí ve smyčce Řešení: Podle druhého Kirchhoffova zákona
U1 U 2 U b U a 0 R1 I R2 I U b U a 0
20 I 30 I 4 6 0 50 I 2 I 0,04 A
U1 R1 I 20 0,04 0,8 V 47
U 2 R2 I 30 0,04 1,2 V
4.6
Spojování rezistorů
Rezistory je možno spojovat do série nebo paralelně.
4.6.1 Sériové zapojení rezistorů Je znázorněno na obr. 39
Obr. 39 - Sériové zapojení rezistorů Na základě 2. Kirchhoffova zákona v tomto obvodu platí
U1 U 2 U 0 Dosazením podle Ohmova zákona získáme
I R1 I R2 U 0 I ( R1 R2 ) U R1 R2
U I
U je velikost odporu, kterým je možno nahradit oba odpory R1 a R2 spojené do série, I aniž by se změnily proudové a napěťové poměry v obvodu. Výsledná hodnota odporu je rovna součtu hodnot jednotlivých odporů zapojených do série. Výraz
RV R1 R2
Obr. 40 - Adekvátní náhrada sériově zapojených rezistorů Obdobným způsobem lze odvodit vztah pro n sériově zapojených rezistorů. Dostaneme výraz
RV R1 R2 ... Ri ... Rn Výsledná hodnota odporu n sériově zapojených rezistorů je rovna součtu hodnot odporů jednotlivých rezistorů zapojených do série. 48
4.6.2 Paralelní zapojení rezistorů Je znázorněno na obr. 41
Obr. 41 - Paralelní zapojení rezistorů Podle 1. Kirchhoffova zákona v tomto obvodu platí
I I1 I 2 Podle 2. Kirchhoffova zákona je na obou rezistorech stejné napětí U. Dosazením podle Ohmova zákona získáme I I1 I 2
U U 1 1 U ( ) R1 R2 R1 R2
I 1 1 U R1 R2
kde
I 1 U RV
Z toho plyne, že pro výsledný odpor paralelního spojení dvou rezistorů RV platí
1 1 1 RV R1 R2 Převrácená hodnota výsledného odporu dvou paralelně zapojených rezistorů je rovna součtu převrácených hodnot odporů jednotlivých rezistorů.
Obr. 42 - Adekvátní náhrada sériově zapojených rezistorů Obdobným způsobem lze odvodit vztah pro n paralelně zapojených rezistorů. Dostaneme výraz 1 1 1 1 1 ... ... RV R1 R2 Ri Rn
Převrácená hodnota výsledného odporu n paralelně zapojených rezistorů je rovna součtu převrácených hodnot odporů jednotlivých rezistorů. 49
Příklad 23: Určete proud v obvodu a napětí na odporech R1 = 100 a R2 = 400 , je-li napětí zdroje U = 12 V. Obvod je zapojen podle obr. 43.
Obr. 43 - Elektrický obvod sériový Řešení: Výsledný odpor v obvodu je
RV R1 R2 100 400 500
Proud odebíraný ze zdroje je
I
U 12 0,024 A RV 500
Napětí na jednotlivých odporech je
U1 R1 I 100 0,024 2,4 V
U 2 R2 I 400 0,024 9,6 V
Příklad 24: Určete proudy v obvodu a napětí na odporech R1 = 100 R2 = 400 a R3 = 200 je-li napětí zdroje U = 220 V. Obvod je zapojen podle obr. 44.
Obr. 44 - Elektrický obvod paralelní Řešení: Výsledný odpor v obvodu určíme ze součtu převrácených hodnot jednotlivých odporů
1 1 1 1 1 1 1 4 1 2 7 RV R1 R2 R3 100 400 200 400 400 RV
400 57,14 7 50
Proud odebíraný ze zdroje je
I
U 220 3,85 A RV 57,14
Napětí na všech jednotlivých odporech je stejné U = 220 V Proudy v jednotlivých větvích jsou I2
U 220 0,55 A R2 400
I1
U 220 2,2 A R1 100
I3
U 220 1,1A R3 200
Pro ověření správnosti výpočtu můžeme použít 1. Kirchhoffův zákon. Musí platit:
I I1 I 2 I 3 I 3,85 A
I1 I 2 I 3 2,2 0,55 1,1 3,85 A
což potvrzuje správnost výpočtu.
4.7
Řešení elektrických obvodů stejnosměrného proudu s jedním zdrojem
4.7.1 Obvody se sérioparalelním zapojením rezistorů Obvody, ve kterých je více rezistorů, z nichž některé jsou zapojeny do série a jiné paralelně, řešíme postupným zjednodušováním tak dlouho, až dospějeme k jedinému výslednému odporu – to je celkový odpor daného seskupení rezistorů. Aplikací Ohmova zákona určíme celkový proud odebíraný ze zdroje. Postupným převáděním zjednodušeného obvodu na původní topografii zapojení rezistorů určíme pomocí Ohmova zákona a Kirchhoffových zákonů proudy v jednotlivých větvích a napětí na jednotlivých prvcích obvodu. Postup řešení nejlépe vysvětlíme na typických řešených příkladech.
Příklad 25: Určete proud odebíraný ze zdroje, napětí na jednotlivých rezistorech R1 , R2 a R3 a proudy ve větvích pro obvod zapojený podle obrázku 45:
Obr. 45 - Schéma zapojení rezistorů pro příklad 25 51
Řešení: Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny paralelně, takže nahradíme-li je jediným rezistorem R2,3, platí pro jeho odpor
1 1 1 R2,3 R1 R2
tedy odpor
R2,3
R2 R3 R2 R3
Získáme zjednodušené zapojení
Obr. 46 - Zjednodušené schéma Zde jsou rezistory R1 a R2,3 zapojeny sériově, takže jejich výsledný odpor R1,2,3 = R1 + R2,3 Náhradní obvod pak je
Obr. 47 - Výsledný odpor kombinace rezistorů Proud I1 odebíraný ze zdroje je I1
U R1, 2,3
Obvod opět převedeme na původní zapojení a postupně počítáme napětí na jednotlivých rezistorech a proudy v jednotlivých větvích obvodu:
Obr. 48 - Původní zapojení rezistorů pro výpočet jednotlivých napětí a proudů Aplikací Ohmova zákona dostaneme 52
U1 R1 I
Aplikací 2. Kirchhoffova zákona dostaneme
U AB U U1
Aplikací Ohmova zákona dostaneme
I2
U AB R2
a
I3
U AB R3
1
Pozn.: Podobné příklady mají více správných možností řešení pro jednotlivá napětí a proudy. Tento příklad vyřešíme (se stejnými – správnými – výsledky) též tímto postupem: Zjednodušení obvodu je stejné, i výpočet celkového proudu I1 a napětí U1. Další postup může být následující:
U AB I1 R2,3
Aplikací Ohmova zákona dostaneme
I2
U AB R2
I 3 I1 I 2
Aplikací 1. Kirchhoffova zákona dostaneme Výsledky budou pro oba postupy totožné.
Příklad 26: Vypočtěte proudy a napětí na všech prvcích obvodu zapojeného podle obrázku 49.
Obr. 49 - Schema zapojení pro příklad 26 Řešení: Rezistory R4 a R5 jsou zapojeny paralelně, takže nahradíme-li je jediným rezistorem R45, platí pro jeho odpor
1 1 1 R45 R4 R5
tedy odpor
R45
53
R4 R5 R4 R5
Získáme zjednodušené zapojení
Obr. 50 - Schema zapojení pro příklad 26 – první zjednodušení Zde rezistory R3 a R45 jsou zapojeny do série – lze tedy určit R345= R3 + R45 Dostaneme další zjednodušené schéma
Obr. 51 - Schema zapojení pro příklad 26 – druhé zjednodušení Rezistory R2 a R345 spojené paralelně nahradíme rezistorem R2345, jehož velikost je dána vztahem R R R2345 2 345 R2 R345 Získáme náhradní obvod
Obr. 52 - Schema zapojení pro příklad 26 – třetí zjednodušení 54
Odpory R1 a R2345 jsou spojeny sériově, výsledný celkový náhradní odpor pro tento obvod je R12345= R1 + R2345 což je celkový odpor původního zadaného obvodu - Rc. Celkový proud odebíraný ze zdroje I1
U U RC R12345
Napětí U1 na rezistoru R1
U1 R1I1 Napětí UAC mezi uzly A a C je
U AC R2345 I1 Vypočteme proudy I2 a I3
I2
U AC R2
I3
U AC R345
Pomocí proudu I3 vypočteme napětí na rezistoru R3
U 3 R3 I 3 Nyní vypočteme napětí mezi uzly B a C
U BC U 4 U 5 U BC R45 I 3 Z napětí UBC vypočteme proudy I4 a I5 v rezistorech R4 a R5
I4
U BC R4
I5
U BC R5
Obvod je kompletně vyřešen. Pozn.: Pro kontrolu správnosti je možné ověřit proudy v uzlech a napětí ve smyčkách pomocí Kirchhofových zákonů.
55
Obr. 53 - Schema zapojení pro příklad 26 – ověření správnosti výpočtů Pro uzel A musí platit podle I. Kirchhofova zákona
I1 I 2 I 3 0 Pro uzel B musí platit
I3 I 4 I5 0 Pro uzel C
I 2 I 4 I5 I1 0 Pro smyčku x platí podle II. Kirchhofova zákona
U1 U 2 U 0 Pro smyčku y platí
U3 U 4 U 2 0 Splnění těchto podmínek potvrdilo správnost výsledků.
4.7.2 Transfigurace V některých obvodech se může vyskytnout taková topografie zapojení, v níž rezistory nejsou zapojeny ani do série, ani paralelně - viz obr. 54, a tak tyto obvody nelze zjednodušit postupným nahrazováním paralelních a sériových úseků, jak bylo uvedeno v předchozích příkladech.
Obr. 54 - Můstkové zapojení 56
Jedná se většinou o zapojení rezistorů do trojúhelníka – viz obr. 55 a):
a)
b)
Obr. 55 - Zapojení rezistorů do trojúhelníka a do hvězdy Zjednodušení obvodu se v takovém případu provádí přeměnou – transfigurací – trojúhelníka rezistorů na hvězdu rezistorů – viz obr. 55 b) – tak, aby výsledné působení hvězdy bylo stejné jako působení trojúhelníka. Zjednodušení obvodu se pak provádí podle obr. 56:
Obr. 56 - Transfigurace trojúhelníka na hvězdu Po této úpravě se již jedná o sérioparalelní obvod a lze postupovat jako v předchozích příkladech. Vztahy pro přepočet rezistorů trojúhelníka na rezistory hvězdy vychází z požadavku, že mezi stejnými svorkami zapojení musí být v obou případech stejný odpor; pak je náhrada správná. Pro celkový odpor mezi svorkami 1 a 2 v trojúhelníku platí
RCelk12
R12 ( R31 R23 ) R12 R31 R23
Pro celkový odpor mezi svorkami 1 a 2 v zapojení do hvězdy platí
RCelk12 R10 R20 Při splnění požadavku stejného odporu mezi týmiž svorkami po náhradě platí R12 ( R31 R23 ) R10 R20 R12 R31 R23
Stejně získáme vztahy i pro svorky 2 a 3 i pro svorky 3 a 1 57
R23 ( R12 R31 ) R20 R30 R12 R31 R23 R31 ( R12 R23 ) R10 R30 R12 R31 R23
Z těchto tří rovnic lze vypočítat odpory rezistorů R10, R20 a R30 v zapojení do hvězdy pro adekvátní náhradu trojúhelníka hvězdou
R10
R12 R31 R12 R31 R23
R20
R12 R23 R12 R31 R23
R30
R13 R32 R12 R31 R23
Obdobně lze vypočítat odpory rezistorů R12, R23 a R31 v zapojení do trojúhelníka pro adekvátní náhradu hvězdy trojúhelníkem
R12 R10 R20
R10 R20 R30
R23 R20 R30
R20 R30 R10
R31 R10 R30
R10 R30 R20
Příklad 27: Určete výsledný odpor, celkový proud odebíraný ze zdroje a napětí na rezistoru R5, je-li napájecí napětí U = 6 V. Velikosti odporů jednotlivých rezistorů jsou: R1 =20 , R2 = 30 , R3 =50 , R4 =40 , R5 =60 zapojení rezistorů je na obr. 57
Obr. 57 - Zapojení rezistorů pro příklad 27 Řešení: Trojúhelník tvořený odpory R1 =20 , R2 = 30 , R3 =50 nahradíme hvězdou a dále zjednodušujeme podle obr. 58 58
1.
2.
3.
4.
5.
Obr. 58 - Postupné zjednodušování obvodu Ze vztahů pro transfiguraci vypočteme odpory Ra, Rb, Rc
Ra
R1 R2 20 30 600 6 R1 R2 R3 20 30 50 100
Rb
R2 R3 30 50 1500 15 R1 R2 R3 20 30 50 100
Rc
R1 R3 20 50 1000 10 R1 R2 R3 20 30 50 100
Rezistory Rc a R4 jsou spojeny do série, jejich výsledný odpor je
Rc 4 Rc R4 10 40 50 Rezistory Rb a R5 jsou spojeny do série, jejich výsledný odpor je
Rb5 Rb R5 15 60 75 Rezistory Rc4 a Rb5 jsou spojeny paralelně, jejich výsledný odpor je Rc 4b5
Rc 4 Rb5 50 75 30 Rc 4 Rb5 50 75
Rezistory Ra a Rc4b5 jsou spojeny do série, jejich výsledný odpor je
Rcelk Ra Rc 4b5 6 30 36 Celkový proud odebíraný ze zdroje je I
U 6 1 0,167 A Rcelk 36 6
59
Napětí na náhradním rezistoru Rc4b5 je
U c 4b5 Rc 4b5 I 30
1 5 V 6
Proud náhradním rezistorem Rb5 je I b5
U c 4b 5 5 1 0,0667 A Rb5 75 15
Napětí rezistoru R5 je
U 5 R5 I b5 60
4.8
1 4 V 15
Zdroje stejnosměrného napětí a proudu
Zdroj stejnosměrného napětí a proudu je zařízení, které je schopné trvale dodávat do elektrického obvodu elektrickou energii. Napětí na výstupních svorkách zdroje se nazývá svorkové napětí. U obvodů, které jsme až doposud řešili, jsme předpokládali, že zdroj napětí je ideální, tj. jeho svorkové napětí je konstantní, nezávislé na zatížení zdroje a jeho hodnota je U0.
4.8.1 Reálný zdroj napětí Skutečné zdroje se vyznačují tím, že s rostoucím odebíraným proudem svorkové napětí poněkud klesá. Každý reálný zdroj totiž má určitý takzvaný vnitřní odpor, na kterém se vlivem odebíraného proudu vytvoří úbytek napětí; svorkové napětí je tedy o tento úbytek nižší. Reálný zdroj se chová jako by byl sériově složený z ideálního zdroje s konstantním napětím U0 a z rezistoru Ri (který charakterizuje vnitřní odpor zdroje). U0 – napětí naprázdno = napětí nezatíženého zdroje (ke zdroji není připojen žádný spotřebič, odebíraný proud je tedy nulový). Zapojíme-li zdroj do obvodu, je zatěžován proudem a na jeho svorkách naměříme napětí U< U0, což je způsobeno úbytkem napětí na vnitřním odporu zdroje. Se zvětšujícím proudem se zmenšuje svorkové napětí zdroje.
Obr. 50 - Obecná schematická značka ideálního zdroje napětí
60
Obr. 60 - Reálný zdroj Je-li ke zdroji připojen zatěžovací rezistor o odporu R, protéká obvodem proud I
I
U0 Ri R
Svorkové napětí zdroje při tomto zatížení je
U U 0 I Ri Závislost svorkového napětí na odebíraném proudu se nazývá zatěžovací charakteristika zdroje. Ze vztahu je patrné, že se jedná o lineární závislost.
Obr. 61 - Zatěžovací charakteristika zdroje Podle zatěžovací charakteristiky dělíme zdroje na tvrdé a měkké. Výhodou tvrdého zdroje je malý pokles svorkového napětí s rostoucím zatížením zdroje, což je dáno malým vnitřním odporem zdroje Ri; měkký zdroj vykazuje značný úbytek napětí, protože má značně velký vnitřní odpor Ri. Propojíme-li přímo výstupní svorky zdroje, bude obvodem protékat tzv. proud nakrátko Ik.
Obr. 62 - Proud nakrátko 61
U tvrdých zdrojů jsou proudy nakrátko velké a mohou způsobit technické problémy, případně zničení zdroje; u měkkých zdrojů je proud nakrátko výrazně nižší než u tvrdých zdrojů, měkké zdroje jsou lépe zkratuodolné.
Příklad 28: Určete proud nakrátko zdroje napětí, je-li napětí naprázdno 6 V a svorkové napětí při odběru proudu 0,2 A je 5,8 V. Řešení: Proud nakrátko bude
Ik
U0 Ri
Svorkové napětí U je
U U 0 I Ri 5,8 6 0,2 Ri Odtud vypočítáme vnitřní odpor zdroje Ri
Ri
6 5,8 1 0,2
Proud nakrátko tedy je
Ik
U0 6 6 A Ri 1
4.8.2 Spojování zdrojů napětí Spojování zdrojů do série Spojování zdrojů do série se používá pro získání většího celkového napětí. Zdroje se propojují podle obr. 63 a) – pól dalšího zdroje se propojí vždy na opačný pól předchozího zdroje. Výsledné napětí se rovná součtu napětí všech jednotlivých sériově spojených zdrojů. Celkový vnitřní odpor sériově spojených zdrojů se rovná součtu všech vnitřních odporů jednotlivých zdrojů. Napětí naprázdno sériově spojených zdrojů je U 0 U 01 U 02 . Vnitřní odpor sériově spojených zdrojů je Ri Ri1 Ri 2 . Svorkové napětí sériově spojených zdrojů je U U1 U 2 . Aby byly všechny zdroje stejně vytížené, je vhodné zapojovat do série zdroje o stejně velkém napětí naprázdno a o stejných vnitřních odporech. Pro n zdrojů v sérii pak platí:
U 0 n U 01
U n U1
62
Ri n Ri1
Protože zatěžovací proud protéká všemi sériově spojenými zdroji, je nutné sledovat, zda jeho hodnota nepřekročí jmenovitou hodnotu proudu jednotlivého zdroje; v takovém případě by hrozilo poškození zdroje.
a)
b)
Obr. 63 - Spojování zdrojů a) do série a b) paralelně Paralelní spojování zdrojů Paralelní spojení zdrojů se používá pro možnost odběru většího jmenovitého proudu než je jmenovitý proud jednotlivého zdroje. Zdroje se propojují podle obr. 63 b) – propojí se všechny kladné a všechny záporné póly zdrojů. Celkový proud, který je možné odebírat z paralelně spojených zdrojů, je dán součtem proudů odebíraných z jednotlivých zdrojů. Pro správné využití zdrojů je nutné, aby všechny paralelně spojené zdroje měly stejně velké napětí naprázdno a stejně velké vnitřní odpory; v opačném případě by mezi zdroji protékaly vyrovnávací proudy. Musí tedy platit
U 0 U 01 U 02
a
Ri Ri1 Ri 2
Pak pro celkový proud protékající zátěží platí
I z I Z1 I z 2 Pro n paralelně spojených zdrojů pak platí:
I z n I z1
U 0 U 01 U 02 ... U 0n
Ri
Ri1 n
Příklad 29: Mějme k dispozici libovolný počet stejnosměrných zdrojů napětí o napětí naprázdno U0 = 1,5 V a vnitřním odporu Ri = 2 . Jmenovitý proud zdroje je In = 0,05 A. Sestavte zdroj, jehož napětí naprázdno bude 4,5 V a jmenovitý proud bude 0,1 A. Určete proud nakrátko takto navrženého zdroje.
63
Řešení: Pro napětí naprázdno 4,5 V musí být tři takové zdroje v sérii; pro jmenovitý proud 0,1 A dva zdroje paralelně, schéma zapojení je na obr. 64.
Obr. 64 - Sérioparalelní spojení zdrojů Celkový vnitřní odpor bude
Rí
3 Ri1 3 2 3 2 2
Proud nakrátko bude Ik
4.9
3 U 01 3 1,5 1,5 A Ri 3
Specifické způsoby využití rezistorů v praxi
Mimo nejběžnější využití rezistorů jako topných těles a omezovačů proudu se rezistory využívají i v některých specifických případech. Nejčastější je využití pro děliče napětí, změny rozsahů měřících přístrojů a měření teploty.
4.9.1 Dělič napětí Na obr. 65 a) je nezatížený dělič napětí, na obr. 65 b) je zatížený dělič napětí.
64
a)
b) Obr. 65 - Dělič napětí
Pro nezatížený dělič platí I
U R1 R2
, tedy U 2 I R2
R2 U R2 U R1 R2 R1 R2
Pokud dělič napětí bude zatížený rezistorem s odporem Rz, bude pro výstupní napětí děliče U2 platit
I
U R R R1 2 z R2 Rz
a po dosazení
U2 I
R2 Rz R2 Rz
R R R2 Rz U 2 z U R R R2 Rz R1 R2 R1 Rz R2 Rz R1 2 z R2 Rz
Příklad 30: Dělič napětí realizujte posuvným rezistorem o odporu 1k- viz obr 66. Vypočítejte a nakreslete graf závislosti výstupního napětí děliče na poloze jezdce a) pro dělič naprázdno, b) je-li dělič zatížen rezistorem o odporu 500 a c) je-li dělič zatížen rezistorem o odporu 1500 Napájecí napětí je 24 V. Řešení:
R1 + R2 = 1000 , tedy R1 = 1000 – R2
Obr. 66 - Dělič napětí s posuvným rezistorem
65
a) pro nezatížený dělič platí
U2
R2 R U 2 24 R1 R2 1000
b) pro zatížený dělič platí
U2
R2 Rz R2 500 U 24 R1 R2 R1 Rz R2 Rz (1000 R2 ) R2 (1000 R2 ) 500 R2 500
c)
U2
R2 Rz R2 1500 U 24 R1 R2 R1 Rz R2 Rz (1000 R2 ) R2 (1000 R2 ) 1500 R2 1500
V tabulkovém kalkulátoru sestrojíme tabulku a graf pro závislost výstupního napětí na poloze jezdce posuvného rezistoru pro nezatížený i zatížený dělič.
Obr. 67 - Závislost výstupního napětí děliče na poloze jezdce pro různé zatěžovací odpory
4.9.2 Změny rozsahů měřících přístrojů pomocí rezistorů Zvětšení měřicího rozsahu ampérmetru Zvětšení měřicího rozsahu ampérmetru docílíme paralelním k ampérmetru – viz obr. 68. Tento rezistor se nazývá bočník.
Obr. 68 - Ampérmetr s připojeným bočníkem
66
připojením
rezistoru
Měřený proud I m I A I b a pro vzájemný poměr proudů v obou větvích platí
I A R A I b Rb
I A Rb I b RA
a tedy
Měřený proud se v uzlu rozdělí do dvou větví – do ampérmetru a do bočníku, a to v převráceném poměru vnitřního odporu ampérmetru a bočníku. Je-li měřicí rozsah ampérmetru právě IA a proud, který potřebujeme změřit, bude n x větší, tedy I m n I A , pak pro splnění předchozích podmínek platí pro velikost odporu bočníku
R R IA IA RA b b Rb I m I A RA n I A I A RA (n 1) Tímto bočníkem jsme zvětšili měřící rozsah ampérmetru právě n-krát. Zvětšení měřicího rozsahu voltmetru Zvětšení měřicího rozsahu voltmetru docílíme sériovým připojením rezistoru k voltmetru – viz obr. 69. Tento rezistor se nazývá předřadný rezistor.
Obr. 69 - Voltmetr s předřadným odporem Napětí na předřadném odporu a na voltmetru se dělí ve stejném poměru jako jsou odpory předřadného rezistoru a voltmetru. Celkové měřené napětí je rovno součtu napětí na předřadném odporu a na voltmetru.
U V RV U p Rp
U m UV U p
Je-li měřicí rozsah voltmetru právě UV a napětí, které potřebujeme změřit bude n x větší, tedy U m n UV , pak pro splnění předchozích podmínek platí pro velikost předřadného odporu
U p U m UV n UV UV UV (n 1)
a po dosazení
Velikost předřadného odporu je tedy
R p RV (n 1)
UV R V U V (n 1) R p
Tímto předřadným odporem jsme zvětšili měřící rozsah voltmetru právě n-krát.
Příklad 31: Navrhněte bočník k miliampérmetru o rozsahu 10 mA s vnitřním odporem 30 tak, aby bylo možné měřit proudy do velikosti 200 mA. 67
Řešení:
200 20 krát. 10 RA 30 1,58 Odpor bočníku bude Rb (n 1) (20 1) Rozsah potřebujeme zvětšit n
Příklad 32: Navrhněte předřadný odpor k voltmetru o rozsahu 120 V, který má vnitřní odpor 5000 tak, aby bylo možné měřit napětí do velikosti 600 V. Řešení: Rozsah potřebujeme zvětšit n
600 5 krát. 120
Odpor předřadného rezistoru bude R p RV (n 1) 5000 (5 1) 20000
4.9.3 Určení velikosti odporu pomocí měření napětí a proudu V mnoha případech je nutné přesně změřit velikost odporu rezistoru. K tomu se často využívá měření napětí na rezistoru, proudu rezistorem a aplikace Ohmova zákona. Často se používá zapojení podle schématu na obr. 70 – tzv. Ohmovy metody měření odporu.
Obr. 70 - Měření odporu Ohmovou metodou Napětí naměřené voltmetrem je totožné s napětím na neznámém odporu RX. Proud IA naměřený ampérmetrem se v uzlu dělí na proud rezistorem IX a proud voltmetrem IV, který je omezován vnitřním odporem voltmetru RiV. Velikost odporu RX je
Rx
Ux UV I x I A IV
Příklad 33:
68
UV U IA V RiV
Určete velikost neznámého odporu, je-li hodnota naměřená na voltmetru 16 V, proud ampérmetrem je 20 mA a vnitřní odpor voltmetru je 5000 . Schéma zapojení podle obr. 70. UV 16 16 16 952 Řešení: Rx UV 16 0 , 020 0 , 0032 0 , 0168 0,02 IA 5000 RiV
4.9.4 Určení teploty pomocí měření odporu rezistoru Z předchozích kapitol víme, že odpor vodičů je závislý na teplotě, a to lineárně v poměrně širokém pásmu teplot. Tepelná závislost odporu na teplotě je dána vztahem
R2 R1 (1 ) kde R1 je počáteční odpor a R2 je odpor po zahřátí rezistoru o přírůstek teploty . Rezistory s velkým teplotním součinitelem odporu jsou vhodné pro elektrické měření teploty. Pokud má rezistor při teplotě 20o C známý odpor R1, teplotu určíme z naměřené hodnoty odporu zahřátého rezistoru R2. R2 1 R1 R2 R R1 1 2 R2 R1 (1 ) R1 R1 Měřená teplota je tedy
2 1 1
R2 R1 R1
Příklad 34: Určete teplotu teplotně závislého rezistoru o teplotním součiniteli odporu , je-li hodnota jeho odporu při 20o C rovna 200 . Obvod je napájen tvrdým zdrojem napětí o velikosti 6 V, proud měříme miliampérmetrem s vnitřním odporem 30 a naměřený proud je 20 mA. Schéma zapojení podle obr. 71.
Obr. 71 - Schéma zapojení při měření teploty Řešení: Odpor při 20o C je R1 = 200 . Odpor při o C je R2
69
R2
U RA I A 6 30 20 10 3 5,4 103 5400 270 IA 20 20 20 10 3
Měřená teplota je tedy
2 1
R2 R1 270 200 70 20 20 107,5 o C 3 0,8 R1 200 4 10
4.10 Nelineární prvky v obvodech Obvody, se kterými jsme až dosud pracovali, se skládaly z rezistorů, které vykazovaly v provozních podmínkách vždy konstantní velikost odporu R. Tyto obvody se nazývaly lineární obvody. V některých obvodech se vyskytují pasivní prvky, jejichž charakteristika není lineární, ale vykazuje závislost odporu na připojeném napětí. Tyto prvky nazýváme nelineární.
Obr. 72 - Obecné schematické zobrazení nelineárního prvku Příkladem nelineárního prvku je žárovka; při nižším připojeném napětí se vlákno nažhaví na nižší teplotu a odpor je tedy větší než při jmenovitém napětí, kdy je vlákno více nažhavené a odpor je tedy vyšší. Na obr. 73 je a) je pracovní charakteristika rezistoru RL, velikost odporu RL je konstantní a pracovní charakteristika je přímková – lineární. Na obr. 73 b) je pracovní charakteristika nelineárního pasivního prvku.
a)
b)
Obr. 73 - Charakteristika lineárního a nelineárního pasivního prvku Pokud obvod obsahuje byť i jen jeden nelineární prvek, jeho řešení se liší od řešení lineárních obvodů. Používáme tzv. graficko-početní metodu řešení obvodu, která využívá grafické zobrazení voltampérových charakteristik nelineárního prvku. Pro použitý zdroj napětí nakreslíme jeho pracovní zatěžovací charakteristiku a hledáme pracovní bod pro daný nelineární prvek na tomto zdroji grafickým řešením. Pracovní bod je dán průsečíkem voltampérové charakteristiky nelineárního prvku se zatěžovací charakteristikou zdroje. 70
Postup řešení je podrobně vysvětlen na následujícím příkladu: Mějme reálný zdroj o napětí naprázdno U0 a proudu nakrátko Ik. K němu je připojen nelineární odpor, jehož voltampérovou charakteristiku máme k dispozici.
a)
b)
c)
Obr. 74 - a) obvod s nelineárním odporem b) VA charakteristika nelineárního odporu c) zatěžovací charakteristika zdroje Řešení je následující: do jednoho grafu zakreslíme pracovní charakteristiku zdroje a VA charakteristiku nelineárního prvku. Řešením je průsečík obou charakteristik – na nelineárním prvku bude po připojení na daný zdroj pracovní napětí Up a bude jím protékat proud Ip. Tyto hodnoty odečteme z grafu.
Obr. 75 - Grafické řešení nelineárního obvodu
Příklad 35: Určete proud nelineárním prvkem RN s VA charakteristikou podle obr. 76 b). Obvod je napájen tvrdým zdrojem napětí o velikosti 6 V, odpor rezistoru R1 = 100 . Schéma zapojení podle obr. 76 a).
a)
b) 71
Obr. 76 - Schéma zapojení a VA charakteristika nelineárního prvku Řešení: Lineární rezistor R1 a nelineární prvek RN jsou zapojeny v sérii, to znamená, že napětí U1 a UP se sčítají. Sestrojíme tedy VA charakteristiku rezistoru – je to přímka odpovídající velikosti odporu rezistoru R1 - a napětí lineárního a nelineárního prvku graficky sečteme. Zatěžovací charakteristika ideálního zdroje je přímka rovnoběžná s osou proudu a její hodnota je konstantně 6 V. Zakreslíme ji do grafu a průsečík křivky součtu s přímkou zatěžovací charakteristiky je pracovním bodem, z něhož odečteme velikost pracovního proudu IP. VA charakteristika rezistoru R1 je přímka daná dvěma body: U = 0, I = 0 a U = 5 V, I = 5/100 = 0,05 A
Obr. 77 - Grafické řešení příkladu 35 Grafickým řešením je graf na obr. 77, pracovní proud odečtený z grafu je Ip = 27 mA. Napětí na rezistoru R1 je U1 = 1000,027 = 2,7 V. Téhož výsledku bychom dosáhli odečtením hodnoty napětí z grafu na průsečíku hodnoty pracovního proudu s VA charakteristikou rezistoru R1. Napětí Up na nelineárním prvku je Up = U – U1 = 6 – 2,7 = 3,3 V. Téhož výsledku bychom dosáhli odečtením hodnoty napětí z grafu na průsečíku hodnoty pracovního proudu s VA charakteristikou nelineárního prvku RN. Příklad 36: Ke zdroji o napětí naprázdno U0 = 6 V a vnitřním odporu Ri = 20 je připojena žárovka paralelně spojená s rezistorem R1 = 40 . VA charakteristika žárovky je dána naměřenými hodnotami závislosti proudu žárovky na připojeném napětí - viz tabulka. U (V)
1
2
3 72
4
5
6
I (A)
0,1
0,165
0,22
0,25
0,28
0,3
Obr. 78 - Schéma zapojení pro příklad 32 Řešení: V tabulkovém kalkulátoru sestrojíme graf pro VA charakteristiku žárovky, rezistoru R1, součtu proudů paralelně spojených prvků a zakreslíme zatěžovací charakteristiku zdroje. Průsečík křivky součtu s přímkou zatěžovací charakteristiky je pracovním bodem, ze kterého odečteme výsledky. Pro VA charakteristiku rezistoru R1 platí Ohmův zákon, I1 = U/R1. Pro zatěžovací charakteristiku platí: Ik
U0 6 0,3 A Ri 20
Obr. 79 - Grafické řešení příkladu 36 Z grafu odečteme požadované hodnoty: Celkový proud odebíraný ze zdroje je 0,205 A. Proud žárovkou je 0,158 A a proud rezistorem R1 je 0,047 A. Napětí na žárovce i na rezistoru R1 je stejné a je rovno 1,88 V.
73
4.11 Řešení elektrických obvodů stejnosměrného proudu s více zdroji Obvody, které obsahují více zdrojů a několik smyček, se řeší buď aplikací Kirchhoffových zákonů a Ohmova zákona na daný obvod, nebo některou z dále uvedených metod, které řešení zjednoduší. Tyto metody ale také vychází z Kirchhoffových zákonů a Ohmova zákona.
4.11.1 Řešení elektrických obvodů s více zdroji aplikací Kirchhoffových zákonů Při řešení postupujeme tak, že sestavíme soustavu rovnic aplikací I. Kirchhoffova zákona na uzly v obvodu a aplikací II. Kirchhoffova zákona na smyčky v obvodu. Soustava musí mít tolik rovnic, kolik neznámých se v daném obvodu vyskytuje, soustavu doplníme aplikací Ohmova zákona. Při řešení obvodu známe velikost a polaritu napětí zdrojů a velikost odporů použitých rezistorů. Směr proudu v jednotlivých větvích označíme šipkou ve směru, ve kterém předpokládáme, že jím proud poteče. Pro jednotlivé uzly sestavíme rovnici vyjadřující, že orientovaný součet všech proudů v uzlu je roven 0. Pokud bude skutečný výsledný proud mít opačný směr než byl původní předpoklad, vypočítaný výsledek bude mít zápornou hodnotu. Pro jednotlivé smyčky obvodu zvolíme orientaci smyčky a poté napíšeme rovnici vyjadřující, že součet orientovaných napětí v této uzavřené smyčce je roven 0. Napětí, která jsou orientována ve směru orientace smyčky, jsou kladná, napětí, která jsou orientována proti směru orientace smyčky, jsou záporná. Postup výpočtu předvedeme na řešení obvodu podle obr. 80.
Obr. 80 - Řešení obvodu pomocí Kirchhoffových zákonů V tomto obvodu známe velikosti a polaritu napětí U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1, R2 a R3. Neznámé, které potřebujeme vypočítat, jsou proudy I1, I2 a I3 a napětí UR1, UR2 a UR3. Potřebujeme tedy 6 rovnic pro vyřešení šesti neznámých. Nejdříve si zakreslíme předpokládaný směr proudů ve větvích a zvolíme si orientaci zvolených smyček x a y. Poté píšeme soustavu rovnic s využitím Kirchhoffových zákonů. Pro uzel A platí (podle I. Kirchhoffova zákona) I1 I 2 I 3 (1) 74
Pro smyčku x platí (podle II. Kirchhoffova zákona)
U R1 U R 2 U 2 U1 0
(2)
Pro smyčku y platí (podle II. Kirchhoffova zákona)
U R 2 U R3 U 2 0
(3)
Tyto 3 rovnice doplníme na požadovaných 6 rovnic aplikací Ohmova zákona, podle kterého platí U R1 I1 R1 (4) U R 2 I 2 R2 (5) U R3 I 3 R3 (6) Tím je připravena soustava šesti rovnic. Jejím vypočítáním vyřešíme daný obvod. Do rovnic (2) a (3) dosadíme (4), (5) a (6):
I1 R1 I 2 R2 U 2 U1 0
(2a)
I 2 R2 I 3 R3 U 2 0
(3a)
Do rovnice (3a) dosadíme (1):
I 2 R2 ( I1 I 2 ) R3 U 2 0
(3b)
Upravíme (3b):
I 2 R2 I1 R3 I 2 R3 U 2 0 I 2 ( R2 R3 ) I1 R3 U 2 0
I2
U 2 I1 R3 R2 R3
(3c)
a dosadíme do rovnice (2a):
I1 R1
U 2 I1 R3 R2 U 2 U 1 0 R2 R3
(2b)
Dostali jsme jednu rovnici o jedné neznámé; tu upravíme a vypočítáme proud I1:
I1 R1
I1 R1 I1
I R U2 R2 1 3 R2 U 2 U1 0 R2 R3 R2 R3
R3 R2 U2 R2 U 2 U 1 R2 R3 R2 R3
U2 R2 U 2 U 1 R2 R3 U R U 2 R2 U 2 R3 U 1 R2 U 1 R3 I1 2 2 R R R1 R2 R1 R3 R3 R2 R1 3 2 R2 R3 I1
U 1 ( R2 R3 ) U 2 R3 R1 ( R2 R3 ) R3 R2
Hodnotu proudu I1 dosadíme do (3c) a získáme proud I2. 75
I1 a I2 dosadíme do (1) a vypočítáme proud I3. Napětí UR1, UR2 a UR3 na rezistorech R1, R2, R3 vypočítáme dosazením I1, I2, I3 do (4), (5) a (6). Tím je obvod kompletně vyřešen. Příklad 37: V obvodu na obr. 81 určete proudy ve všech větvích a napětí na všech rezistorech. Napětí zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V, Odpory rezistorů R1 = 200 , R2 = 100 a R3 = 100 .
Obr. 81 - Schéma zapojení pro příklad 37 Řešení: Pro uzel A platí
I1 I 2 I 3 Pro smyčku x platí
U 2 U R 2 U1 U R1 0 Pro smyčku y platí
U 2 U R3 U R 2 0 Dosadíme do rovnic:
20 I 2 100 10 I1 200 0 I 2 10 I1 20 3 20 I 3 100 I 2 100 0 I 3 10 I 2 10 2 Z těchto rovnic získáme výrazy pro I1 a I3:
I1
3 10 I 2 20
a
I3
2 10 I 2 10
Dosadíme do rovnice pro uzel A:
3 10 I 2 2 10 I 2 I2 20 10 3 10 I 2 20 I 2 4 20 I 2 76
/ 20
7 50 I 2 I2
7 0,14 A 50
Zpětným dosazením získáme I1 a I3:
I1
3 10 I 2 3 10 0,14 0,08 A 20 20
I3
2 10 I 2 2 10 0,14 0,06 A 10 10
Záporné znaménko u proudu I3 znamená, že skutečný proud teče v opačném směru, než byl původní předpoklad. Napětí na jednotlivých rezistorech jsou:
U R1 I1 R1 0,08 200 16 V U R 2 I 2 R2 0,14 100 14 V U R3 I 3 R3 -0,06 100 6 V
4.11.2 Řešení elektrických obvodů metodou smyčkových proudů Řešení obvodu Kirchhoffovými zákony je matematicky náročné na výpočet; proto se postupně vyvinuly metody, které výpočet zjednoduší. Metoda smyčkových proudů vychází z II. Kirchhoffova zákona. Postup řešení je následující: Pro každou smyčku zavedeme tzv. smyčkový proud, smyčkové proudy budou neznámé veličiny, které budeme počítat. Poté pro každou smyčku napíšeme rovnici podle II. Kirchhoffova zákona. Tím jsme získali dostatečný počet rovnic pro řešení soustavy rovnic, a to menší než tomu bylo při řešení Kirchhoffovými zákony. Je vhodné smyčkové proudy orientovat v jednom směru, např. ve směru hodinových ručiček. Pokud je některý s rezistorů v obvodu společný dvěma smyčkám, protékají skrz něj smyčkové proudy obou smyček. Skutečný proud tímto rezistorem je dán rozdílem obou smyčkových proudů. Postup výpočtu předvedeme na řešení obvodu podle obr. 82.
Obr. 82 - Řešení obvodu metodou smyčkových proudů 77
V tomto obvodu známe velikosti a polaritu napětí U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1, R2 a R3. Pro smyčky obvodu zavedeme smyčkové proudy Ia a Ib. Pro každou smyčku napíšeme rovnici podle II. Kirchhoffova zákona: Smyčka a:
( I a I b ) R2 U 2U1 I a R1 0
Smyčka b:
I b R3 U 2( I b I a ) R2 0
Dostali jsme dvě rovnice pro dvě neznámé. Soustavu rovnic vyřešíme.
I a R2 I b R2 U 2U1 I a R1 0 I b R3 U 2 I b R2 I a R2 0
I b R3 I b R2 U 2 I a R2 Ib
I a R2
U 2 I a R2 R2 R3
U 2 I a R2 R2 U 2U1 I a R1 0 … jedna rovnice o jedné neznámé R2 R3
Vyřešíme jednu rovnici o jedné neznámé - vypočteme smyčkový proud Ia: I a R2
I R U 2R2 a 2 R2 U 2U1 I a R1 0 R2 R3 R2 R3
I a R2
I a R2 U R R2 I a R1 2 2 U1 U 2 R2 R3 R2 R3
U 2R2 U 1 U 2 R2 R3 U 2R2 U 1 R2 U 1 R3 U 2R2 U 2R3 U R U 1 R3 U 2R3 Ia 1 2 R R R2 R2 R2 R3 R2 R2 R1 R2 R1 R3 R2 R3 R1 R2 R1 R3 R2 2 2 R1 R2 R3 U I R Hodnotu smyčkového proudu Ia dosadíme do I b 2 a 2 a získáme smyčkový proud Ib. R2 R3 Skutečný proud I1 je shodný se smyčkovým proudem Ia, skutečný proud I3 je shodný se smyčkovým proudem Ib. Skutečný proud I2 je roven rozdílu smyčkových proudů Ib a Ia:
I 2 Ib I a Napětí na jednotlivých rezistorech vyřešíme aplikací Ohmova zákona:
U R1 I1 R1
U R 2 I 2 R2
U R3 I 3 R3
Z postupu řešení je patrné, že výpočet je výrazně pohodlnější a rychlejší než při použití řešení Kirchhoffovými zákony.
Příklad 38: 78
Metodou smyčkových proudů vyřešte obvod podle obr. 83 a). Napětí zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V, odpory rezistorů R1 = 200 , R2 = 100 a R3 = 300 R4 = 200 .
a)
b) Obr. 83 - Schéma zapojení pro příklad 38
Řešení: Rezistory R3 a R4 jsou spojeny paralelně; můžeme tedy zadaný obvod zjednodušit na obvod podle obr. 83 b), kde R34 je: R34
R3 R4 300 200 600 120 R3 R4 300 200 5
Zavedeme smyčkové proudy Ia a Ib a napíšeme rovnice pro smyčky: a:
( I a I b ) R2 U 2U1 I a R1 0 ( I a I b ) 100 20 10 I a 200 0
b:
I b R34 U 2( I b I a ) R2 0 I b 120 20 ( I b I a ) 100 0
Upravíme a dosadíme a: I a 100 I b 100 20 10 I a 200 0 b:
Ib
I a 300 10 100
I a 300 10 I 300 10 120 20 ( a I a ) 100 0 100 100
Dosazením jsme získali jednu rovnici o jedné neznámé Ia, kterou vyřešíme.
I a 360 12 20 I a 300 10 I a 100 0 I a 560 2 0
Ia
2 0,003571 A 560
Záporná hodnota udává, že orientace proudu je opačná než jsme předpokládali. Dosadíme do výrazu pro druhý smyčkový proud Ib:
79
Ib
I a 300 10 - 0,003571 300 10 0,089286 A 100 100
Skutečný proud I1 je shodný se smyčkovým proudem Ia, skutečný proud I34 je shodný se smyčkovým proudem Ib. Skutečný proud I2 je roven rozdílu smyčkových proudů Ib a Ia:
I 2 I b I a 0,089286 (0,003571) 0,092857 A Napětí na rezistorech R3 a R4 jsou stejné a jsou
U R3 U R 4 I 34 R34 0,089286 120 10,71429 V Proudy rezistory R3 a R4 jsou
I3
10,71429 0,035714 A 300
I4
10,71429 0,053571 A 200
Napětí na rezistorech R1 a R2:
U R1 I1 R1 0,003571 200 0,714286 V U R 2 I 2 R2 0,092857 100 9,2857 V Správnost výpočtu je možné ověřit dosazením vypočtených hodnot proudů a napětí do rovnic daných Kirchhoffovými zákony: 9,2857 - (-0,714286) 10 - 20 0 9,2857 10,71429 - 20 0 0,092857 (-0,003571) 0,089286
Rovnost pravé a levé strany rovnic dokazuje správnost výsledku. Výhodnost této metody se projeví zejména u složitějších obvodů, v nichž by bylo řešení pomocí Kirchhoffových zákonů spojeno s řešením soustavy o mnoha rovnicích a tudíž by bylo matematicky obtížné.
4.11.3 Řešení elektrických obvodů metodou uzlových napětí Metoda uzlových napětí vychází z I. Kirchhoffova zákona. Postup řešení je následující: Jeden z uzlů v obvodu zvolíme jako tzv. referenční uzel. Výhodné je volit ten z uzlů, v němž je spojeno nejvíce větví obvodu. Napětí všech ostatních uzlů proti uzlu referenčnímu označujeme jako tzv. uzlová napětí. Pro každý uzel sestavíme rovnici podle I. Kirchhoffova zákona, kde proudy tekoucí skrz jednotlivé větve obvodu vyjádříme pomocí uzlových napětí. Tím získáme soustavu rovnic – neznámé v této soustavě jsou uzlová napětí. Řešením soustavy vypočítáme uzlová napětí a z nich pak proudy ve větvích obvodu. Postup výpočtu předvedeme na řešení obvodu podle obr. 84.
80
Obr. 84 - Řešení obvodu metodou uzlových napětí V tomto obvodu známe velikosti a polaritu napětí U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1, R2 a R3. Jako referenční uzel zvolíme uzel označený R. Uzlové napětí v uzlu A k referenčnímu uzlu R je UA. Z I. Kirchhoffova zákona pro uzel A platí
I1 I 2 I 3 Proudy vyjádříme pomocí II. Kirchhoffova zákona a Ohmova zákona z uzlového napětí a dosadíme do výchozí rovnice U1 U A U 2 U A U A R1 R2 R3
Vypočítáme UA
(U1 U A ) R2 R3 (U 2 U A ) R1 R3 U A R1 R2 U1 R2 R U A R2 R3 U 2 R1 R3 U A R1 R3 U A R1 R2 U1 R2 R U 2 R1 R3 U A R1 R2 U A R2 R3 U A R1 R3 U R R U 2 R1 R3 UA 1 2 3 R1 R2 R2 R3 R1 R3 Z uzlového napětí UA vypočítáme proudy ve větvích I1
U1 U A R1
I2
U 2 U A R2
I3
UA R3
Napětí na jednotlivých rezistorech vyřešíme aplikací Ohmova zákona:
U R1 I1 R1
U R 2 I 2 R2
U R3 I 3 R3
Příklad 39: Metodou uzlových napětí vyřešte obvod podle obr. 85 a). Napětí zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V, odpory rezistorů R1 = 200 , R2 = 100 a R3 = 30 R4 = 90 . 81
a)
b) Obr. 85 - Schéma zapojení pro příklad 39
Řešení: Rezistory R3 a R4 jsou spojeny sériově; můžeme tedy zadaný obvod zjednodušit na obvod podle obr. 85 b), kde R34 je:
R34 R3 R4 30 90 120 Zvolíme referenční uzel a zapíšeme vztah proudů pro uzel A:
I1 I 2 I 3 U1 U A U 2 U A U A R1 R2 R34 Vypočítáme UA:
10 U A 20 U A U A 200 100 120
6 (10 U A ) 12 (20 U A ) 10 U A 60 6 U A 240 12 U A 10 U A UA
300 1,071429 V 28
Vypočítáme proudy ve větvích:
I1
10 U A 10 10,71429 -0,00357 A 200 200
Záporná hodnota znamená, že proud protéká v opačném směru, než byl původní předpoklad.
I2
20 U A 20 10,71429 0,09285714 A 100 100
I3
U A 10,71429 0,089286 A 120 120
Napětí na jednotlivých rezistorech: 82
U R1 I1 R1 -0,00357 200 -0,71429 V U R 2 I 2 R2 0,09285714 100 9,285714 V U R3 I 3 R3 0,089286 30 2,678571V U R 4 I 3 R4 0,089286 90 8,035714 V
4.11.4 Řešení elektrických obvodů metodou lineární superpozice Je-li v elektrickém obvodu zapojeno několik zdrojů, pak proud a napětí na jednotlivých prvcích obvodu je dán součtem všech proudů / napětí /, které by v obvodu byly, pokud by byl připojen vždy jen jeden ze zapojených zdrojů samostatně. Pozor – tato metoda platí pouze tehdy, jsou-li všechny prvky v obvodu lineární! Postup výpočtu předvedeme na řešení obvodu podle obr. 86.
Obr. 86 - Řešení obvodu metodou lineární superpozice V tomto obvodu známe velikosti a polaritu napětí U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1, R2 a R3. Postupně vyřešíme všechny obvody, a to - pokaždé s jiným - jediným zdrojem; druhý zdroj jako by nebyl. Poté sečteme výsledky jednotlivých řešení a získáme tím řešení zadaného obvodu.
a)
b)
Obr. 87 - Rozdělení obvodu při metodě lineární superpozice
83
Nejprve řešíme obvod se zapojeným zdrojem U1. Obvod, v němž získáme dílčí výsledky, je na obr. 87 a). R2 R3 R2 R3
R23
R123 = R1 + R23
I1 /
U1 R123
U R1 R1 I1 /
/
U AB U1 U R1 /
U I 2 AB R2
/
/
/
a
U I 3 AB R3
/
/
1
Pak řešíme obvod se zapojeným zdrojem U2. Obvod, v němž získáme dílčí výsledky, je na obr. 87 b)
R1 R3 R1 R3
R13
R123 = R2 + R13 I1 //
U2 R123
U R1 R1 I1 //
U AB I1 //
//
//
U 2 U R1
U AB R1
//
//
a
I // 3
U AB R3
//
Pokud by v obvodu bylo více zdrojů, postupovali bychom stejně i pro případné další zdroje. Celkové řešení proudů v zadaném obvodu získáme sečtením všech dílčích řešení:
I1 I1 I1 /
//
I2 I2 I2
/
I3 I3 I3
U R 2 R2 I 2
U R3 R3 I 3
//
/
//
Napětí na jednotlivých rezistorech jsou
U R1 R1 I1
Příklad 40: Metodou lineární superpozice vyřešte obvod podle obr. 88. Napětí zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V, odpory rezistorů R1 = 200 , R2 = 100 a R3 = 110 R4 = 130 , R5= 240 .
84
Obr 88 - Schéma zapojení pro příklad 40 Řešení: Rezistory R3 a R4 jsou spojeny sériově; můžeme je tedy nahradit odporem R34:
R34 R3 R4 110 130 240 Rezistory R34 a R5 jsou spojeny paralelně; můžeme je tedy nahradit odporem R345: R345
R5 R34 240 240 120 R5 R34 240 240
Tím jsme obvod zjednodušili – viz obr. 89 a)
a)
b)
c)
Obr 89 - Zjednodušená schémata zapojení pro příklad 40 Nyní vyřešíme obvod pro napájení zdrojem U1, zdroj U2 není – viz obr. 89 b): R2345
R2 R345 100 120 54,54545 R2 R345 100 120
R12345 = R1 + R2345 =200 + 54,54545 =254,54545
I1 /
U1 10 0,039286 A R12345 254,54545
U R1 R1 I1 200 0,039286 7,857143 V /
/
U AB U1 U R1 10 7,857143 2,142857 V /
/
85
/
U 2,142857 I 2 AB 0,02142857 A R2 100 /
1
/
I
U 2,142857 AB 0,017857 A R345 120
/ 345
Dále vyřešíme obvod pro napájení zdrojem U2, zdroj U1 není – viz obr. 89 c): R1345
R1 R345 200 120 75 R1 R345 200 120
R12345 = R2 + R1345 =100 + 75 =175 I2 //
U2 20 0,114286 A R12345 175
U R 2 R2 I 2 100 0,114286 11,4286 V //
//
U AB U 2 U R1 20 11,4286 8,571429 V //
//
//
I1
//
U 8,571429 AB 0,042857 A R1 200
1
//
I 345 //
U AB 8,571429 0,071429 A R345 120
Skutečné proudy v zadaném obvodu jsou:
I1 I1 I1 0,039286 - 0,042857 -0,00357 A /
//
I 2 I 2 I 2 0,114286 0,02142857 0,092857 A //
/
I 345 I 345 I 345 0,089286 A /
//
Napětí na jednotlivých rezistorech jsou
U R1 I1 R1 -0,00357 200 -0,71429 V U R 2 I 2 R2 0,092857 100 9,2857 V U AB U R345 I 3 R345 0,089286 120 10,71432 V U R5 U AB 10,71432 V I5
U 5 10,71432 0,044643 A R5 240
86
I3 I4
U AB 10,71432 0,044643 A R34 240
U R3 I 3 R3 0,044643 110 4,91073 V U R 4 I 3 R3 0,044643 130 5,80359 V
87
5
Magnetické pole
Magnetické pole se vyznačuje silovými účinky, je to tedy silové pole. Vzniká v okolí magnetických materiálů nebo v okolí vodičů, kterými protéká elektrický proud. Už ve starověku lidé zpozorovali, že některé materiály, zejména magnetovec (železná ruda, Fe3O4 , která se nacházela u řeckého města Magnesie - odtud magnet), přitahují menší železné předměty; drobné železné piliny se na magnetu udržely. Pokud se takový předmět z okolí magnetu vyjmul, sám vykazoval magnetické účinky - zůstal zmagnetovaný. Mimo to lidé zpozorovali, že lehký zmagnetovaný předmět volně umístěný v prostoru (magnetka) ukazuje vždy k severu. Tyto magnety nazýváme permanentní (stálé) magnety. Později bylo pozorováno, že stejné magnetické pole vzniká v okolí vodičů, jimiž protéká elektrický proud, tedy v okolí pohybujícího se elektrického náboje. Magnetické pole se projevuje nejen silovými účinky na feromagnetické předměty, ale také silovými účinky na vodiče, kterými protéká proud.
5.1
Zobrazování magnetického pole
Magnetické pole zobrazujeme pomocí magnetických indukčních čar (někdy se také nazývají magnetické siločáry). Magnetická indukční čára je uzavřená prostorová orientovaná křivka. Její průběh vně magnetu směřuje od severního pólu k jižnímu, její tečna v daném bodě má směr osy velmi malé magnetky umístěné v tomto bodě (uvnitř magnetu magnetická indukční čára probíhá od jižního k severnímu pólu). Směr magnetky od jižního k severnímu pólu určuje orientaci indukční čáry. Smysl pole vyznačujeme šipkami na magnetických indukčních čarách. Velikost silového působení magnetického pole udává hustota magnetických indukčních čar. Čím jsou čáry hustší, tím je pole silnější. Silové účinky magnetu se nejvíce projevují na jeho dvou místech – tzv. pólech magnetu označujeme je jako pól severní (N – north) a pól jižní (S – south).
a)
b) Obr. 90 - Magnetka a) a magnetické pole tyčového magnetu b)
Pokud bychom magnet rozdělili, každá z obou částí bude mít opět oba póly- severní a jižní. Póly není možné oddělit. Magnetická indukční čára je vždy uzavřená.
88
Obr. 91 - Rozdělení tyčového magnetu
a)
b)
c)
Obr. 92 - Magnetické pole a) mezi nesouhlasnými póly magnetů b) mezi souhlasnými póly c) podkovovitého magnetu Jsou-li magnetické indukční čáry rovnoběžné a jsou od sebe stejně vzdálené, pak je silové působení tohoto pole ve všech jeho bodech stejné. Takové pole se nazývá homogenní.
5.2
Magnetické pole vybuzené elektrickým proudem
Protéká-li vodičem elektrický proud, vzniká v okolí vodiče magnetické pole. To, jak již víme, silově působí jednak na předměty z feromagnetických materiálů (kam patří hlavně železo a jeho slitiny) a také na jiné vodiče, jimiž protéká elektrický proud.
5.2.1 Magnetické pole vodiče V případě dlouhého přímého vodiče mají magnetické indukční čáry tvar soustředných kružnic, které leží v rovině kolmé k ose vodiče, se středem ve středu vodiče. Silové působení takového pole je tím větší, čím je daný bod pole blíž k povrchu vodiče; magnetické indukční čáry jsou tedy blíž k povrchu vodiče hustší a se zvětšující se vzdáleností od středu se zřeďují. V grafickém znázornění se proud, který vstupuje do průřezu vodiče, zakresluje jako křížek ve středu průřezu vodiče; proud, který z průřezu vystupuje, se značí tečkou – viz obr. 93.
Obr. 93 - Grafické znázornění orientace proudu ve vodiči 89
Obr. 94 - Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem Smysl magnetického pole přímého vodiče je dán směrem protékajícího proudu a je zobrazen na obr. 94. Pro snadné určení smyslu pole používáme Ampérovo pravidlo pravé ruky, případně pravidlo pravotočivého šroubu. Ampérovo pravidlo pravé ruky: Uchopíme-li vodič do pravé ruky tak, aby palec ukazoval směr proudu, pak prsty obepínající vodič ukazují směr indukčních čar magnetického pole.
Obr. 95 - Ampérovo pravidlo pravé ruky Pravidlo pravotočivého šroubu: Pokud vodič nahradíme pravotočivým šroubem, kterým otáčíme tak, aby se posouval ve směru proudu, pak smysl otáčení udává orientaci indukčních čar.
90
5.3
Veličiny magnetického pole
5.3.1 Magnetický tok Magnetický tok je vybuzen buď permanentním magnetem, nebo elektrickým proudem. Magnetický tok je možné znázornit celkovým počtem indukčních čar v daném magnetickém poli. Popisuje tedy pole jako celek. Magnetický tok označujeme , jeho jednotkou je weber (Wb).
5.3.2 Magnetická indukce Magnetická indukce se označuje B, její jednotkou je tesla (T); je dána velikostí magnetického toku na jednotku plochy. B S Magnetickou indukci je možné znázornit počtem indukčních čar na jednotku plochy v daném magnetickém poli. Popisuje tedy pole v jeho konkrétním místě. Fyzikální význam magnetické indukce Magnetické pole, jak již bylo řečeno, silově působí na vodiče, jimiž protéká elektrický proud. Vložíme-li do homogenního magnetického pole (označené B1) vodič, kterým protéká proud I, tak, aby jeho osa byla kolmá na indukční čáry daného pole, nastane situace podle obr. 1. Kolem vodiče se vlivem proudu I vytvoří magnetické pole (označené B2) – viz obr 96 a). To se sčítá s původním homogenním polem a výsledné pole bude polem vodiče deformováno – viz obr 96 b). Výsledné magnetické pole bude silově působit na vodič tak, že síla F se snaží nastolit původní klidový stav; tedy vytlačuje vodič ze zhuštěného magnetického pole do zeslabeného pole.
a)
b)
Obr. 96 - Deformace homogenního magnetického pole vlivem proudu ve vodiči Velikost této síly je úměrná velikosti proudu I a té délce vodiče l, která se nachází v magnetickém poli: F konst I l Velikost konstanty závisí na původním magnetickém poli, nazýváme ji magnetická indukce a označujeme ji B. Její jednotkou je tesla (T).
F B I l
(N; T, A, m) 91
Obr. 97 - Silové působení magnetického pole na vodič protékaný proudem Magnetická indukce tedy popisuje silové účinky daného magnetického pole.
B
F I l
(T; NA-1m-1)
Magnetická indukce B je fyzikální veličina, která vyjadřuje silové účinky magnetického pole. Velikost magnetická indukce graficky znázorňuje hustota magnetických indukčních čar. Čím jsou čáry hustší, tím je pole silnější. Magnetická indukce je vektor, jeho směr a smysl je stejný jako směr a smysl vektoru intenzity magnetického pole. Pokud vložený vodič nebude kolmý ke směru indukčních čar, ale bude s nimi svírat úhel , pak síla působící na vodič bude
F B I l sin
viz obr. 98
Obr. 98 - Vodič v homogenním magnetickém poli
5.3.3 Magnetomotorické napětí a magnetické napětí Příčinou vzniku magnetického pole je elektrický proud, případně souhrn všech proudů, které se podílejí na jeho vzniku. Tento souhrn proudů nazýváme magnetomotorické napětí a značíme ho Fm (A). Magnetické pole vybuzené magnetomotorickým napětím je tím silnější, čím větší je magnetomotorické napětí, které toto pole vybudilo. 92
Pro přímý vodič je původcem magnetického pole proud I, který vodičem protéká, magnetomotorické napětí je tedy Fm = I Na obr. 99 a) je svazek vodičů s proudy I1, I2 a I3. Magnetomotorické napětí příslušného magnetického pole je Fm = I1 - I2 + I3 Obecně platí, že magnetomotorické napětí je rovno algebraickému součtu všech proudů, které daná indukční čára obepíná. n
Fm I i i 1
a)
b)
Obr. 99 - Magnetomotorické napětí a) a magnetické napětí b) Mezi každými dvěma body na téže indukční čáře se definuje magnetické napětí U m. Součet všech magnetických napětí na jedné indukční čáře je roven magnetomotorickému napětí pro tuto indukční čáru. n
Fm U mi i 1
Pro případ na obr. 99 b) platí Fm = Um1 + Um2 + Um3
5.3.4 Intenzita magnetického pole Intenzita magnetického pole je magnetické napětí připadající na jednotku délky magnetické indukční čáry. Značí se H. Je to vektor. Jeho velikost je
H
Um l
(Am-1; A, m)
kde l je délka té části magnetické indukční čáry, na kterou připadá dané Um. Směr a smysl vektoru H je dán směrem indukčních čar, vektor H v daném bodě je tečný ke křivce magnetické indukční čáry.
93
Obr. 100 - Intenzita magnetického pole pro přímý vodič V okolí dlouhého přímého vodiče je intenzita magnetického pole
H
Um I l 2 r
Intenzita je tedy tím větší, čím je větší budící proud a tím větší, čím je menší délka příslušné indukční čáry. Velikost intenzity je po celé délce indukční čáry stejná, směr se mění – je vždy tečnou k příslušné indukční čáře v daném bodě – zde ke kružnici se středem ve středu průřezu vodiče na rovině indukční čáry.
5.3.5 Vztah mezi zdrojem magnetického pole a jeho silovým působením Vztah mezi zdrojem magnetického pole a jeho silovým působením je vlastně vztahem mezi intenzitou magnetického pole a magnetickou indukcí. Magnetické pole lze vybudit v každém prostředí. Jak již bylo uvedeno, původcem magnetického pole je elektrický proud – tzv. budící proud; magnetické pole v konkrétním bodě pak popisuje intenzita magnetického pole H, která závisí na budícím proudu a na délce indukční čáry. Intenzita magnetického pole H není nijak závislá na prostředí, v němž se pole vybudilo. Silové účinky magnetického pole popisuje magnetická indukce B. Měřením bylo zjištěno, že oba tyto vektory H a B v každém bodě magnetického pole spolu souvisí. U většiny materiálů (s výjimkou materiálů feromagnetických) je mezi nimi vztah přímé úměrnosti B konst H . Tato konstanta je závislá na materiálu, stejnou intenzitou magnetického pole docílíme v různých materiálech různé hodnoty magnetické indukce B. Konstantu označujeme a nazýváme ji permeabilita. Platí B H
Pro vakuum je = 0 = permeabilita vakua, 0= 410-7 (Hm-1); (H) je jednotka henry – její rozměr vysvětlíme později. Pro ostatní materiály platí B 0 r H kde r je relativní permeabilita; r udává, kolikrát je dané prostředí magneticky vodivější než vakuum. Pro většinu látek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1. 94
Příklad 41: Určete intenzitu magnetického pole na povrchu vodiče o průměru 2 mm, protéká-li jím proud 8 A. Jaká bude intenzita magnetického pole ve vzdálenosti 1 cm od povrchu vodiče? Řešení: Intenzita magnetického pole na povrchu vodiče I 8 4 H 10 3 1273,239545 (A/m) 3 2 r 2 1 10 Intenzita magnetického pole ve vzdálenosti 1 cm od povrchu vodiče I 8 40 H 10 2 115,74905 (A/m) 3 2 r 2 11 10 11
Příklad 42: Určete intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti 2 cm od středu svazku vodičů podle obr. 101. Velikost proudů v jednotlivých vodičích je I1 = 20 A, I2 = 7 A, I3 = 15 A.
Obr. 101 - Svazek vodičů Řešení: Intenzita magnetického pole ve vzdálenosti 2 cm od povrchu svazku
Fm I1 I 2 I 3 20 7 15 28 A
H
Fm 8 2 200 10 2 63,66198 (A/m) 2 2 r 2 2 10
Příklad 43: Určete velikost a směr síly, která působí na vodič v homogenním magnetickém poli – viz obr. 102, a = 200 mm, b = 150 mm, o magnetické indukci 0,6 T protéká-li vodičem proud I = 15A.
Obr. 102 - Vodič v magnetickém poli 95
Řešení: Velikost síly působící na vodič je F B I l 0,6 15 0,2 1,8 N
Síla bude kolmá k ose vodiče i k vektoru magnetické indukce B a bude směřovat do zředěného pole – tedy „do papíru“.
Příklad 44: Jaký je celkový magnetický tok mezi póly pro předchozí příklad? Řešení: B S 0,6 (0,2 0,15) 0,018 Wb
Příklad 45: Jaký je proud I2 ve vodiči, je-li v bodě A na obr. 1 magnetická indukce B = 0,002 T? I1 = 30 A, I3 =40 A, r = 15 mm, okolní prostředí je vzduch.
Obr. 103 - Proudy ve svazku vodičů Řešení:
B 0 r H
H
Fm 2 r
0= 410-7 (Hm-1), pro vzduch je r přibližně 1. n
a
Fm I i i 1
Z toho plyne Fm 2 r H 2 r
Fm 2 r Fm I1 I 2 I 3
B 0 r
0,002 2 15 10 3 10 4 150 A 7 2 4 10 z toho
I 2 Fm I1 I 3 150 30 40 80 A
96
5.4
Hopkinsonův zákon
Je vztah mezi magnetickým napětím jako zdrojem magnetického pole a magnetickým indukčním tokem.
, S
Víme, že
B
Protože platí
B H
Výraz
z toho B S .
Um , získáme dosazením l U S B S H S m S U m l l H
a
S U m se označuje Gm a nazývá se magnetická vodivost (permeance). Jednotkou je l
henry (H).
Gm
S U m (H) l
Platí tedy
Gm U m Rozměr jednotky henry:
Wb T m2 (H ) ( ) ( ) A A Um Převrácená hodnota magnetické vodivosti je magnetický odpor (reluktance) Rm. Gm
Rm
1 , Gm
tedy
Rm
1 l (H-1), S
kde
0 r
Magnetický odpor je odpor, který klade dané prostředí průchodu magnetického toku. Pro magnetický tok v každé části magnetického obvodu tedy platí vztah
5.5
Um Rm
- Hopkinsonův zákon
Magnetické vlastnosti látek
Z Hopkinsonova zákona je patrné, že celkový magnetický tok je přímo úměrný velikosti magnetického napětí a nepřímo úměrný magnetickému odporu dané cesty magnetického toku. Magnetický odpor konkrétní části magnetického obvodu je daný jednak jeho rozměry, tedy délkou a průřezem, a jednak velikostí permeability materiálu.
Rm
1 l , kde S
0 r
Pro většinu látek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1. Pro feromagnetické materiály je hodnota r mnohonásobně vyšší. Pro tuto vlastnost jsou feromagnetické materiály využívány pro konstrukci magnetických obvodů. Jejich použitím docílíme výrazně silnějšího magnetického pole při stejném budícím proudu v obvodu. 97
Z hlediska magnetických vlastností dělíme materiály do tří skupin:
Látky diamagnetické, kde r 1 . Tyto látky nepatrně zeslabují magnetické pole. Patří sem např. měď, zlato, stříbro, voda, zinek a další. Látky paramagnetické, kde r 1. Tyto látky nepatrně zesilují magnetické pole. Patří sem např. hliník, platina, vzduch a další. Látky feromagnetické, kde r 1 (až 104 krát). Tyto látky výrazně zesilují magnetické pole. Patří sem železo, nikl, kobalt a jejich slitiny.
Pro praktické výpočty se hodnota r pro všechny diamagnetické i paramagnetické látky pokládá za rovnu jedné r 1 .
5.5.1 Magnetické vlastnosti feromagnetických materiálů Jak už bylo uvedeno, v okolí pohybujícího se elektrického náboje vzniká magnetické pole. Protože elektrony jsou nosiči elementárního elektrického náboje a pohybují se v rámci atomů po svých drahách okolo atomového jádra a mimo to se otáčejí kolem své osy (tzv. spin elektronu), vybuzuje se v jejich okolí elementární magnetické pole. Tyto magnetické účinky se navenek vzájemně většinou ruší a materiál se navenek jeví jako nemagnetický. U feromagnetických materiálů nastává tzv. spontánní magnetizace; to je magnetické uspořádání atomů v určité oblasti nazývané doména, které nastává v krystalické struktuře materiálu při určitých teplotách při zpracování těchto kovů. Feromagnetický materiál se tedy skládá z takto vzniklých domén o velikosti řádově 10-4 m. Každá doména tedy je miniaturním magnetem a vytváří magnetické pole. V nezmagnetizovaném stavu jsou jednotlivé domény, a tedy i magnetická pole jednotlivých domén, různě orientována. Při zmagnetování materiálu vnějším magnetickým polem dochází k uspořádání domén do směru působícího magnetického pole. Po vyjmutí z magnetického pole zůstávají domény částečně uspořádány – materiál vykazuje tzv. zbytkový magnetizmus. Při prvním zmagnetování se domény postupně orientují v materiálu. Z toho plyne skutečnost, že permeabilita feromagnetika není konstantní (jak je tomu u ostatních materiálů), ale je závislá na velikosti vnějšího magnetického pole. Závislost magnetické indukce na intenzitě magnetického pole B = f(H) vyjádřená grafem se nazývá magnetizační charakteristika.
Obr. 104 - Magnetizační charakteristika
98
Při prvním zmagnetování materiálu se jedná o tzv. křivku prvotní magnetizace. Z magnetizační křivky je patrné, že až do bodu B – tzv. kolena - roste magnetická indukce strmě, což znamená, že malým přírůstkem intenzity magnetického pole dosáhneme velkého přírůstku magnetické indukce. Nad bodem B je většina domén již natočena podle směru vnějšího magnetického pole; tato část magnetizační charakteristiky se nazývá oblast nasycení. Se stejným přírůstkem intenzity magnetického pole dosáhneme podstatně menšího přírůstku magnetické indukce. Proto se při navrhování magnetických obvodů snažíme pohybovat se v oblasti magnetizační křivky mezi body A a B, kde má permeabilita největší hodnotu. V této části křivky má magnetizační charakteristika téměř lineární průběh a je největší. Hystereze feromagnetických materiálů Při dalším zmagnetování je závislost magnetické indukce jako funkce intenzity magnetického pole B = f(H) již jiná než při prvotní magnetizaci – materiál vykazuje magnetickou paměť. Po vyjmutí z magnetického pole zůstávají domény částečně uspořádány – materiál vykazuje tzv. zbytkový magnetizmus. To znamená, že i když bude nulový budící proud (tedy nulová intenzita magnetického pole), bude materiál vykazovat magnetické účinky s určitou hodnotou magnetické indukce. Této hodnotě říkáme remanentní magnetická indukce (též remanence) a značíme ji Br. Abychom zbytkový magnetizmus odstranili, musí se materiál zmagnetovat v opačném smyslu – to znamená změnit smysl budícího proudu a tím i smysl intenzity magnetického pole H. Pro dosažení nulové magnetické indukce musíme dosáhnout určité hodnoty intenzity magnetického pole – označujeme ji jako Hc a nazývá se koercitivní intenzita (koercitivita). Pokud bychom dál zvětšovali budící proud v tomto opačném smyslu, dosáhli bychom nasycení s opačnou orientací domén – materiál by byl zmagnetován v opačném smyslu. Při snižování proudu na nulovou hodnotu by materiál opět zůstal zmagnetován zbytkovým magnetizmem s hodnotou remanentní magnetické indukce -Br. Pro její odstranění je třeba opět obrátit smysl proudu – celý proces přemagnetování se bude opakovat. Graficky tento jev popisuje křivka nazývaná hysterezní smyčka.
Obr. 105 - Hysterezní smyčka
99
Při změně polarity magnetického pole je nutné vynaložit určitou energii na přemagnetování feromagnetického materiálu. Tato energie se mění v teplo, představuje tedy ztráty ve feromagnetickém materiálu; nazývají se hysterezní ztráty a jsou úměrné ploše hysterezní smyčky.
Obr. 106 - Hysterezní ztráty Různé feromagnetické materiály mají různý průběh magnetizační charakteristiky a různý tvar hysterezní smyčky. Je to dáno jejich složením a vnitřní krystalickou strukturou konkrétního materiálu. Magnetizační a hysterezní křivky materiálu udává výrobce na základě měření na vzorku příslušného materiálu. Podle tvaru hysterezní smyčky se materiály dělí na magneticky tvrdé a magneticky měkké. Magneticky tvrdé materiály mají velkou remanentní magnetickou indukci a velkou koercitivní intenzitu, tedy hysterezní smyčka je široká a má velkou plochu. Na likvidaci remanence u takového materiálu by bylo nutné velmi silné vnější magnetické pole. Proto se tyto materiály používají k výrobě trvalých (permanentních) magnetů. Jednou zmagnetovaný materiál si svůj magnetismus udrží bez jakékoliv vnější podpory. Jedná se převážně o slitiny oceli a chromu, wolframu a molybdenu. Magneticky měkké materiály mají malou remanentní magnetickou indukci a malou koercitivní intenzitu, tedy hysterezní smyčka je úzká a má malou plochu. Proto se používají tam, kde dochází k častému přepólování magnetického pole, tedy v obvodech napájených střídavým proudem. Malá plocha hysterezní smyčky je zárukou malých hysterezních ztrát. Jedná se převážně o slitiny železa s křemíkem nebo niklem.
a)
b)
Obr. 107 - Materiály magneticky a) tvrdé a b) měkké
100
Protože feromagnetické materiály mají tendenci vracet se k předchozímu magnetickému stavu, má i po dosažení hodnoty – Hc při rychlém odpojení budícího proudu materiál zachovánu určitou magnetickou indukci, k níž se vrací – viz bod X na obr. 108 a). Pro úplné odmagnetování feromagnetického materiálu je nutné při každém cyklu přemagnetování snižovat budící proud, tedy i intenzitu magnetického pole, tak dlouho, až magnetizmus klesne k nule. Vrcholy takto vzniklých hysterezních smyček leží na křivce, která je téměř shodná s křivkou prvotní magnetizace a nazýváme ji komutační křivka – viz obr 108 b).
a)
b)
Obr. 108 - Odmagnetování feromagnetického materiálu a komutační křivka Příklady magnetizačních charakteristik některých feromagnetických materiálů
Obr. 109 - Magnetizační charakteristika pro ocel – H = 0 – 1500 A/m
101
Obr. 110 - Magnetizační charakteristika pro šedou litinu
Obr. 111 - Magnetizační charakteristika pro plechy pro elektrotechniku 2,2 W/kg
102
Obr. 112 - Příklady výstupů při měření magnetizačních charakteristik
103
5.6
Řešení magnetických polí
Indukční čáry každého magnetického pole jsou uzavřené křivky obepínající elektrický proud, který toto pole vyvolal. Intenzita magnetického pole H je podíl proudu a délky příslušné n F I indukční čáry H , případně H m , kde Fm I i , tedy součet všech proudů, které se l l i 1 podílely na vygenerování příslušného magnetického pole. Pro komplikované tvary se pro výpočet intenzity magnetického pole používá Biot-Savartův zákon. Biot-Savartův zákon:
Obr. 113 - Biot-Savartův zákon Intenzita magnetického pole H v bodě A vygenerovaná proudem I v části vodiče o délce l je I l H sin 4 r 2 kde je úhel mezi příslušnou částí vodiče l a spojnicí r mezi částí vodiče a bodem A. Pozn.: Tento vztah berte jako fakt; jeho odvození není možné bez znalosti vyšší matematiky, která není obsahem středoškolských osnov.
5.6.1 Magnetické pole přímého vodiče Magnetické indukční čáry magnetického pole přímého vodiče, kterým protéká proud I, mají tvar soustředných kružnic, které leží v rovině kolmé k ose vodiče, se středem ve středu průřezu vodiče – obr. 114 a). Intenzita magnetického pole má na téže indukční čáře všude stejnou velikost a její směr je tečný k magnetické indukční čáře. Smysl se určuje pravidlem pravotočivého šroubu (nebo pravidlem pravé ruky). I H Intenzita magnetického pole vně vodiče má velikost 2 x kde x je vzdálenost bodu, v němž určujeme intenzitu, od středu vodiče. Průběh H jako funkce vzdálenosti od středu x pro x > r je lomená funkce, průběh je tedy I hyperbolický – obr. 1 b). Maximální intenzity dosáhne pole na povrchu vodiče: H r 2 r I Hb Ve vzdálenosti b od středu vodiče je intenzita 2 b 104
a)
b)
Obr. 114 - Magnetické pole přímého vodiče a) a průběh intenzity magnetického pole b) Intenzitu uvnitř vodiče generuje pouze ta část proudu, kterou obepíná příslušná indukční čára. Proudová hustota J ve vodiči je
J
I I S r2
Budící proud pro poloměr a < r je Ia
I a J Sa
I a2 2 a I r2 r2
Intenzita magnetického pole uvnitř vodiče ve vzdálenosti a < r od středu vodiče je tedy
a2 2 I I a H r 2 a 2 a 2 r 2 I
Tato funkce H = f (x) je pro x < r lineární, průběh intenzity H v závislosti na vzdálenosti od středu vodiče je přímkový.
Příklad 46: Určete maximální intenzitu magnetického pole a intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti 15 mm od povrchu vodiče o průměru 10 mm, protéká-li jím proud 160 A. Řešení: Maximální intenzita je na povrchu vodiče a je
H max
I 2 r
160 16000 5093 A/m 3 2 5 10
Intenzita ve vzdálenosti 5 mm od povrchu vodiče je
H5
I 2 x
160 160 103 4 103 1273 A/m 2 (5 15) 10 3 40
105
5.6.2 Magnetické pole kruhového závitu
a)
b)
Obr. 115 - Magnetické pole kruhového závitu a) pohled na závit b) řez A – A Magnetické pole kruhového závitu je pole nehomogenní. Indukční čáry mají tvar nesoustředných kružnic – viz obr. 115 b). Hodnota intenzity magnetického pole se určuje ve středu závitu aplikací Biot-Savartova zákona na kruhový závit:
H
I l sin 4 r 2
Úhel ve středu závitu je 90o, pro kruhový závit tedy platí
H
I l 4 r 2
Celková intenzita magnetického pole H bude dána součtem dílčích intenzit po celé délce závitu: 2 r I l I 2 r I I H l 2 r 2 2 2 2r 4 r 0 4 r 0 4 r I H Tedy , kde r je poloměr závitu. 2r
5.6.3 Magnetické pole tenké cívky Za tenkou cívku považujeme takovou cívku, pro jejíž rozměry platí:
l
D 2
a
D2 D1
kde D je střední průměr cívky
D 2 D
D2 D1 2
Obr. 116 - Magnetické pole tenké cívky 106
Pole této cívky bude podobné poli kruhového závitu s tím rozdílem, že na jeho vyvolání se podílí proud v N závitech; Fm tedy bude rovno N I a intenzita magnetického pole ve středu cívky je
H
N I 2r
kde
r
D 2
Příklad 47: Určete, kolik závitů musí mít tenká cívka o rozměrech podle obr. 117, protéká-li jí proud 2A, aby intenzita magnetického pole ve středu cívky byla 100 A/m.
Obr. 117 - Tenká cívka pro příklad 47 Řešení: Intenzita magnetického pole ve středu cívky je
H
N I 2r
D
D2 D1 100 110 105 mm 2 2
kde
r
D 2
a
D
a
r
D2 D1 2 D 105 52,5 mm 2 2
Počet závitů v cívce je
N
2 r H 2 52,5 10 3 1000 52,5 Cívka bude mít 53 závitů. I 2
5.6.4 Magnetické pole válcové cívky Válcová cívka neboli solenoid – viz obr. 118 - je taková cívka, pro jejíž rozměry platí podmínka D l .
Obr. 118 - Válcová cívka
107
Obr. 119 - Magnetické pole válcové cívky Uvnitř solenoidu je homogenní magnetické pole – viz obr. 119. Indukční čáry jsou uvnitř cívky rovnoběžné s osou cívky a uzavírají se vnějším prostorem. Tvar magnetického pole je totožný s tvarem pole tyčového magnetu – cívka navenek vykazuje severní pól (na tom konci cívky, kde indukční čáry vystupují z cívky) a jižní pól (na tom konci cívky, kde indukční čáry vstupují do cívky) Protože prostor, jímž se vnější indukční čáry uzavírají, má veliký průřez, je možné magnetický odpor této části magnetického obvodu zanedbat a za délku magnetického obvodu lze pro praktický výpočet považovat délku cívky l. Má-li cívka N závitů, je magnetické napětí
Um N I . Intenzita magnetického pole uvnitř cívky v její ose je
H
Um N I l l
Příklad 48: Vypočítejte intenzitu magnetického pole a celkový magnetický tok ve středu válcové cívky, která má 500 závitů, průměr 15 mm, délku 10 cm a feromagnetické jádro, jehož relativní permeabilita je 80. Cívkou protéká proud 0,5 A. Řešení: Intenzita magnetického pole ve středu cívky je
H
N I 500 0,5 500 0,5 10 2500 l 10 10 2
Magnetický tok vypočítáme ze vztahu B
BS
A/m
S
kde
B 0 r H 4 10-7 80 2500 800000 10-7 0,08 0,251327 T a
108
15 15 S r 2 ( 10 3 ) 2 ( ) 2 10 6 176,7146 10 6 m2 2 2 B S 0,251327 176,7146 10 6 0,4441322 10 4 Wb
5.6.5 Magnetické pole prstencové cívky Prstencová cívka neboli toroid – viz obr. 120 – má N závitů navinutých na prstenci o kruhovém průřezu. Indukční čáry se uzavírají uvnitř prstence a mají tvar soustředných kružnic. Magnetické pole je téměř homogenní.
Obr. 120 - Toroid a jeho magnetické pole Pro praktický výpočet pokládáme magnetické pole za homogenní; v takovém případě bude intenzita magnetického pole v celém průřezu prstence stejná. Délka indukční čáry pak je 2r, kde r = D/2, D je střední průměr prstence. Tento předpoklad je tím přesnější, čím je D větší než d. Magnetické napětí Um je Um N I Intenzita magnetického pole uvnitř cívky je
H
Um N I l 2 r
Příklad 49: Vypočítejte intenzitu magnetického pole a celkový magnetický tok v toroidu, která má 400 závitů, průměr průřezu jádra 20 mm, střední průměr prstence 10 cm a feromagnetické jádro vyrobené z oceli. Cívkou protéká proud 0,8 A. Řešení: Intenzita magnetického pole je
H
N I 400 0,8 320 3200 1018,592 2 D 0,1 10 10 2 2 2 2 109
A/m
Magnetický tok vypočítáme ze vztahu B
S
kde hodnotu magnetické indukce B zjistíme BS z magnetizační křivky pro materiál jádra – viz obr. 1:
Obr. 121 - Odečtení magnetické indukce z magnetizační charakteristiky materiálu
10 S r 2 ( 10 3 ) 2 5 2 10 6 78,53982 10 6 m2 2 B S 1,42 78,53982 10 6 1,115265 10 4 Wb
5.7
Řešení magnetických obvodů
Jak již bylo uvedeno, magnetický obvod je dráha, po které se uzavírá magnetický tok. Magnetické obvody elektrických strojů a přístrojů jsou většinou sestaveny tak, aby byly tvořeny převážně z feromagnetických materiálů z toho důvodu, že i malým budícím proudem docílíme značné magnetické indukce potřebné k práci daného stroje nebo přístroje.
a)
b)
Obr. 122 - Magnetický obvod a) rozvětený b) nerozvětvený se dvěma cívkami
110
Pokud má magnetický obod více větví, magnetický tok se do nich rozdělí, a to tak, že čím menší bude magnetický odpor větve, tím větší část magnetického toku bude procházet touto větví. Na obrázku 1 a) jsou průřezy obou krajních větví stejné, poloviční než průřez střední větve, takže tok se rozdělí na dvě stejné části. Téměř 100% toku se bude uzavírat po dráze dané feromagnetickým jádrem, protože magnetický odpor okolního prostředí (vzduchu) je mnohonásobně vyšší nez odpor feromagnetického obvodu. Nepatrná část magnetického toku, která se uzavírá vzduchem, s nazývá rozptylový tok. Pro každé místo, kde se magnetický tok dělí (tzv. uzel magnetického obvodu) obecně platí, že součet všech magnetických toků do uzlu vstupujících se rovná součtu všech magnetických toků z uzlu vystupujících. n
k 1
k
0
Pokud se na vygenerování magnetického toku podílí více magnetických napětí, celkové magnetomotorické napětí je součtem jednotlivých magnetických napětí. n
Fm U mk k 1
Při řešení magnetických obvodů využíváme Hopkinsonův zákon
Um Rm
kde
Rm
1 l (H-1) S
0 r
5.7.1 Výpočet magnetických obvodů buzených elektrickým proudem Uzavřený toroidní kroužek o konstantním průřezu Je-li na uzavřeném toroidním kroužku (jádru) z feromagnetického materiálu o konstantním průřezu navinuta cívka s N závity, kterou protéká proud I, vznikne magnetické pole, které se uzavírá převážně v jádru; rozptylový tok v okolním vzduchu je tak malý, že je možné jej v praktickém výpočtu zanedbat.
Příklad 50: Vypočítejte velikost budícího proudu v cívce o 200 závitech navinuté na toroidním kroužku z oceli s rozměry podle obr. 123 tak, aby celkový magnetický tok 410-4 Wb. D = 80 mm, d = 20 mm.
Obr. 123 - Toroidní jádro 111
Řešení: Magnetické indukce je
B
S S r2 (
kde
B
20 3 2 10 ) 10 2 10 6 314 10 6 m2 2
4 10 4 400 1,27 T 6 S 314 10 314
Hodnotu intenzity magnetického pole H zjistíme z magnetizační křivky pro materiál jádra – viz obr. 123: H = 1250 A/m Magnetomotorické napětí je
Fm H l H D 1250 80 10 3 1,25 80 314,1593 A Budící proud bude
I
Fm 314,1593 1,570796 A N 200
Příklad 51: Vypočítejte velikost magnetického odporu jádra z předchozího příkladu a relativní permeabilitu materiálu při daném budícím proudu. Řešení: Z Hopkinsonova zákona
Rm
Um
Um je Rm
kde Um pro celé jádro je rovno Fm
Fm 314,2 314,2 10 4 Rm 78,54 10 4 H-1 4 4 10 4 Magnetický odpor tohoto jádra je možné řešit také ze vztahu
Rm
1 l S
B 1,27 0,001016 (Hm-1) H 1250 1 l 1 80 10 3 1 10 3 80 10 3 Rm 0,787 10 6 H -1 6 S 0,001016 314 10 1,016 314 kde
Výsledek je téměř stejný, zanedbatelný rozdíl ve výsledku je důsledkem zaokrouhlování. Relativní permeabilitu vypočteme ze vztahu
B 0 r H
kde 112
0 r
a
0= 410-7 Hm-1
r
B 1,27 1270 10 10 3 0,808507 10 3 808,5 -7 0 H 4 10 1250 4 1250
Toroidní kroužek o konstantním průřezu se vzduchovou mezerou Pokud je vzduchová mezera ve feromagnetickém jádru malá, magnetický tok se uzavírá v magnetickém obvodu po stejném průřezu S = r2.
Obr. 124 - Toroidní jádro se vzduchovou mezerou
, je tedy po celé délce indukční čáry stejná. S B Intenzita magnetického pole H je dána vztahem H . 0 r Magnetická indukce je B
Protože relativní permeabilita vzduchu je výrazně menší než relativní permeabilita feromagnetického materiálu, bude intenzita ve vzduchové mezeře podstatně větší než intenzita ve feromagnetickém materiálu.
H
B
0 r
B
0
H Fe
>>
B
0 rFe
Magnetické napětí ve vzduchové mezeře je U m H
B
0
Magnetické napětí ve feromagnetické části obvodu je U mFe H Fe l
B
0 r
l
Celkové magnetomotorické napětí je
Fm U m U mFe Po dosazení Fm U m U mFe
113
B
0
B
0 r
l
Příklad 52: Určete, jaký počet závitů musí mít toroidní cívka navinutá na toroidním kroužku z oceli se vzduchovou mezerou s rozměry podle obr. 1 tak, aby hodnota magnetické indukce ve vzduchové mezeře byla 1,2 T. D = 80 mm, d = 20 mm, = 1,5 mm. Budící proud může mít hodnotu maximálně 0,8 A. Řešení: Magnetické indukce je 1,2 T a je stejná ve vzduchové mezeře i ve feromagnetickém jádru. Intenzita magnetického pole ve vzduchové mezeře je
H
B
0
1,2 12 10 6 0,95493 10 6 A/m 7 4 4 10
Intenzitu magnetického pole ve feromagnetické části odečteme z magnetizační charakteristiky pro ocel HFe = 1200 A/m. Magnetické napětí ve vzduchové mezeře je
U m H 0,95493 10 6 1,5 10 3 1435,395 A Magnetické napětí ve feromagnetické části obvodu je
U mFe H Fe l 1200 ( D ) 1200 ( 80 10 3 1,5 10 3 ) 1,2 ( 80 1,5) 299,7929 A Celkové magnetomotorické napětí je
Fm U m U mFe 1435,395 299,7929 1735,188 A Pro budící proud I = 0,8 A musí mít cívka
N
Fm 1735,188 2168,985 2169 závitů I 0,8
Příklad 53: Vypočítejte celkový magnetický tok v magnetickém obvodu podle obr. 125. Cívka 1 má 500 závitů a protéká jí proud 0,6 A, cívka 2 má 200 závitů a protéká jí proud 0,9 A. Jádro je vyrobeno z plechů pro elektrotechniku 2,2 W/kg.
114
Obr. 125 - Magnetický obvod pro příklad 53 Řešení: Délka střední indukční čáry je l 2 (70 90) 320 mm
Celkové magnetomotorické napětí je
Fm Fm1 Fm2 N1 I1 N 2 I 2 500 0,6 200 0,9 300 180 120 A Intenzita magnetického pole
H
Fm 120 375 A/m l 0,32
Magnetickou indukci odečteme z magnetizační charakteristiky materiálu jádra B = 1,2 T Celkový magnetický tok je
B S 1,2 (0,03 0,03) 1,2 3 3 104 1,08 103 Wb
Příklad 54: Vypočítejte magnetomotorické napětí v magnetickém obvodu podle obr. 126 tak, aby magnetická indukce ve vzduchové mezeře byla 1,6 T. Jádro je vyrobeno z plechů pro elektrotechniku 2,2 W/kg. Navrhněte počet závitů cívky a velikost budícího proudu.
Obr. 126 - Magnetický obvod pro příklad 54 115
Řešení: Délka střední indukční čáry ve feromagnetické části obvodu je l 2 (70 90) 2 318 mm
Magnetické indukce je 1,6 T a je stejná ve vzduchové mezeře i ve feromagnetickém jádru Intenzita magnetického pole ve vzduchové mezeře je
H
B
0
1,6 4 10 6 1,27324 10 6 A/m 7 4 10
Intenzitu magnetického pole ve feromagnetické části odečteme z magnetizační charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 2,2 W/kg – HFe = 3500 A/m. Magnetické napětí ve vzduchové mezeře je
U m H 1,27324 10 6 2 10 3 2,546479 103 A Magnetické napětí ve feromagnetické části obvodu je
U mFe H Fe l 3500 318 10 3 1113 A Celkové magnetomotorické napětí je
Fm U m U mFe 1113 2546,5 3659,5 A Protože Fm N I b , navrhneme vhodný budící proud, dopočítáme počet závitů a provedeme korekci proudu pro celé číslo počtu závitů. Například je-li pro Ib možné použít maximálně 5 A; pak
Fm 3659,5 731,9 - navrhneme tedy např. N = 800 závitů a I 5 F 3659,5 4,574375 A budící proud bude I b m N 800 N
Graficko-početní metoda řešení magnetických obvodů Pokud je magnetický obvod složen z více částí z různých feromagnetických materiálů a je známé magnetomotorické napětí, je problematické vypočítat magnetický tok. Platí, že např. pro dvě části obvodu
Um Rm1 Rm 2
– Hopkinsonův zákon
Magnetický odpor u feromagnetických materiálů je ale závislý na velikosti magnetizace a proto ho není možné běžným způsobem spočítat – hodnota není konstantní – je dána magnetizační křivkou. Proto byla vyvinuta tzv. graficko-početní metoda, která spočívá ve vykreslení funkce f ( Fm ) , která je pro malé rozdíly toku přibližně lineární. Z průběhu této funkce je pak možné odečíst magnetický tok pro zadanou hodnotu magnetomotorického napětí Fm. 116
Je-li zadána konkrétní hodnota Fm, při řešení postupujeme tak, že zvolíme libovolný tok 1 a pro něj vypočítáme příslušné magnetomotorické napětí Fm1. Tok volíme tak, aby Fm1 < Fm. Poté zvolíme libovolný tok 2 a pro něj vypočítáme příslušné magnetomotorické napětí Fm2; tok volíme tak, aby Fm2 > Fm. Tím získáme dva body magnetizační křivky a nakreslíme průběh funkce f ( Fm ) :
Obr. 127 - Funkce f ( Fm ) Při volbě hodnot 1 a 2 se snažíme, aby úsek mezi nimi byl co nejmenší; pak je lineární náhrada magnetizační křivky velmi přesná. Výsledný magnetický tok výsl. získáme odečtem jeho hodnoty pro zadané magnetomotorické napětí z grafu funkce f ( Fm ) .
Příklad 55: Vypočítejte magnetický tok v magnetickém obvodu ze dvou různých feromagnetických materiálů, a to z plechů pro elektrotechniku s měrnými ztrátami 2,2 W/kg a z šedé litiny podle obr. 128. Budící proud je 1,5 A a cívka má 500 závitů.
Obr. 128 - Magnetický obvod ze dvou různých feromagnetických materiálů
117
Řešení: Magnetomotorické napětí v magnetickém obvodu
Fm N I 500 1,5 750 A Délka střední indukční čáry ve feromagnetické části obvodu – plechy - je
l plechy 2 45 90 180 mm Délka střední indukční čáry ve feromagnetické části obvodu – litina - je
llitina 2 25 90 140 mm Zvolíme magnetický tok 1 = 510-4 Wb a vypočteme magnetomotorické napětí Fm1: Protože průřez v obou materiálech je stejný, bude i magnetická indukce B stejná pro oba materiály:
S 30 103 30 103 900 106 m2 kde S 5 10 4 B 0,555556 T S 9 10 4
B
Intenzitu magnetického pole ve feromagnetické části – plechy - odečteme z magnetizační charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 2,2 W/kg – Hplechy = 200 A/m. Intenzitu magnetického pole ve feromagnetické části – litina - odečteme z magnetizační charakteristiky pro šedou litinu – Hlitina = 2400 A/m. Magnetomotorické napětí pro tok 1 je Fm1
Fm1 U mPlechy U mLitina H Plechy l Plechy H Litina l Litina 200 180 10 3 2400 140 10 3 36 336 372 A Zvolíme magnetický tok 2 = 710-4 Wb a vypočteme magnetomotorické napětí Fm2: B S 30 103 30 103 900 106 m2 kde S 7 10 4 B 0,777778 T S 9 10 4 Intenzitu magnetického pole ve feromagnetické části – plechy - odečteme z magnetizační charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 2,2 W/kg – Hplechy = 400 A/m. Intenzitu magnetického pole ve feromagnetické části – litina - odečteme z magnetizační charakteristiky pro šedou litinu – Hlitina = 5300 A/m. Magnetomotorické napětí pro tok 2 je Fm2
Fm 2 U mPlechy U mLitina H Plechy l Plechy H Litina l Litina 400 180 10 3 5300 140 10 3 72 742 814 A Z hodnot Fm1 = 372 A, 1 = 510-4 Wb a Fm2 = 814 A, 2 = 710-4 Wb sestrojíme v Excelu graf funkce f ( Fm ) :
118
Fm (A)
Wb
372 0,0005
814 0,0007
Obr. 129 - Graf funkce f ( Fm ) pro příklad 55 Výsledný magnetický tok odečteme z grafu - výsl. = 0,00067 Wb.
5.8
Elektromagnetická indukce
5.8.1 Indukční zákon Jak již bylo vysvětleno, prochází-li vodičem elektrický proud, vzniká v jeho okolí magnetické pole. Řadou pokusů bylo doloženo, že i magnetické pole způsobuje elektrické jevy. Pokud se bude měnit magnetický tok skrz vodivou smyčku, bude se ve smyčce indukovat elektrické napětí. Bude-li smyčka uzavřená, začne jí protékat elektrický proud. Tento jev je vyjádřen tzv. indukčním zákonem. Indukční zákon: Časovou změnou magnetického toku spřaženého s vodivou smyčkou se ve smyčce indukuje elektrické napětí u:
u
d dt
kde
d = změna (přírůstek nebo úbytek) magnetického toku dt = změna času, za který se magnetický tok změnil o d
119
Obr. 130 - Magnetický tok spřažený se smyčkou a indukční zákon Pozn.: Malá písmena označující veličinu znamenají, že se jedná o okamžitou hodnotu veličiny, která se v průběhu času může měnit. Pokud bude smyčka, ve které se indukuje napětí, uzavřená, bude jí protékat proud i.
Obr. 131 - Indukované napětí a proud Smysl indukovaného napětí bude takový, aby proud v obvodu působil magnetickým polem, které vybudí, proti změně spřaženého magnetického toku (Lencův zákon). Vodivá smyčka, skrz kterou prochází měnící se magnetický tok, je základním principem získávání elektrické energie. Indukované napětí u a vnitřní (elektromotorické) napětí zdroje e jsou stejně velká a mají opačnou polaritu: u = -e Bude-li procházet magnetický tok cívkou o N závitech a bude se měnit v závislosti na čase – viz obr. 132, bude se v cívce indukovat napětí
uN
d dt
(závity jsou „spojeny“ do série napětí se sčítají)
Obr. 132 - Elektromagnetická indukce v cívce 120
Napětí v závitu (v cívce) se bude indukovat pouze tehdy, bude-li se měnit magnetický tok závitem (cívkou). Čím rychlejší bude změna toku, tím větší bude indukované napětí. Bude-li tok konstantní, indukované napětí je nulové.
Příklad 56: Jaké je indukované napětí v cívce o 150 závitech, je-li v celém prostoru uvnitř cívky homogenní magnetické pole, jehož magnetická indukce se mění plynule za 0,05 s z 0 na 0,8 T a za následující 0,05 s z 0,8 T na 0? Vnitřní průřez cívky je 2cm2. Vypočítejte indukované napětí a nakreslete graf závislosti u = f(t). Řešení: Magnetický tok je
BS Na začátku a na konci bude magnetický tok roven 0 Po 0,5 s bude tok
B S 0,8 2 104 1,6 10 4 Wb Změna magnetického toku bude
d 1 0 1,6 104 0 1,6 10 4 Wb Změna času bude dt 0,05 s Protože změna bude plynulá, indukované napětí bude konstantní, a to
uN
d 1,6 10 4 150 150 32 10 4 4800 10 4 0,48 V dt 0,05
V průběhu prvních 0,05 s se magnetický tok plynule zvětšuje, indukované napětí je tedy konstantní a kladné; v průběhu dalších 0,05 s hodnota toku plynule klesá, indukované napětí bude záporné. Průběh indukovaného napětí v závislosti na čase je na obr. 133.
Obr. 133 - Průběh indukovaného napětí u = f(t) z příkladu 56
121
5.8.2 Pohybové napětí Mění-li se magnetický tok vodivou smyčkou, indukuje se ve smyčce elektrické napětí. Na obr. 134 jsou dva rovnoběžné vodiče, jejichž vzájemná vzdálenost je l, které jsou na jednom konci vodivě spojeny, a na druhém konci (v bodu X) na nich kolmo leží další vodič; vzájemný dotek vodičů je vodivý. Toto uspořádání vodičů tvoří smyčku. Kolmo k ploše této smyčky působí magnetické pole o magnetické indukci B. Velikost ani směr magnetického toku se nemění. Začne-li se příčný vodič pohybovat rychlostí v ve směru osy pevných podélných vodičů – viz obr. 134 – z bodu X do bodu Y, bude se ve smyčce indukovat napětí u – tzv. pohybové napětí.
Obr. 134 - Vznik pohybového napětí
d . dt Za čas t se příčný vodič posune o vzdálenost s v t . Magnetický tok smyčkou se tedy zmenší o hodnotu : B S B s l B v t l Velikost indukovaného pohybového napětí vypočítáme z indukčního zákona u
Velikost napětí indukovaného při pohybu vodiče bude
d ( B v t l ) B l v dt t Začne-li se příčný vodič pohybovat rychlostí v zpět z bodu Y do bodu X, magnetický tok smyčkou se zvětší o hodnotu a ve smyčce se bude indukovat napětí obrácené polarity: u
u
d B v t l B l v dt t
Pohybujeme-li vodičem v rovině kolmé k indukčním čarám, objeví se na koncích vodiče elektrické napětí – tzv. pohybové indukované napětí Smysl indukovaného napětí a proudu je dán Lenzovým zákonem. Lenzův zákon: Indukovaný elektrický proud v uzavřeném obvodu má takový směr, že svým magnetickým polem působí proti změně magnetického indukčního toku, která je jeho příčinou.
122
Obr. 135 - Lenzův zákon Pokud se magnetický tok zmenšuje, je směr proudu takový, aby jím vyvolané magnetické pole původní magnetický tok zesilovalo – viz obr. 135, a naopak pokud se tok zvětšuje, směr proudu bude takový, aby jeho magnetické pole původní pole zeslabovalo.
Příklad 57: Jaké je indukované napětí ve vodiči, který se pohybuje v homogenním magnetickém poli o magnetické indukci B = 1,2 T rychlostí 0,5 m/s, je-li délka, jíž vodič zasahuje do magnetického pole 30 cm, osa vodiče je kolmá k magnetickým indukčním čarám a vektor rychlosti v svírá se směrem indukčních čar úhel a) 90o b) 0o a c) 60o? Řešení: a) Při úhlu 90 o bude indukované napětí největší, a to
u B l v 1,2 0,3 0,5 0,18 V b) Při úhlu 0 o bude indukované napětí nulové; pohyb probíhá ve směru indukčních čar, a tudíž magnetické pole neprotíná, změna toku ve smyčce je nulová. u=0 c) Při úlu 60o se bude na elektromagnetické indukci podílet pouze ta složka rychlosti, která je kolmá k indukčním čarám; složka s indukčními čarami rovnoběžná neovlivní velikost indukovaného napětí. Vektor rychlosti rozložíme na dvě kolmé složky a vypočítáme složku kolmou k indukčním čarám:
vkolmá 0,5 cos 600 0,5 0,5 0,25 m/s
Obr. 136 - Rozklad rychlosti na složky 123
Indukované napětí pak bude
u B l vkolmá 1,2 0,3 0,25 0,09 V
5.8.3 Vlastní indukčnost Bude-li cívkou o N závitech procházet elektrický proud, který se s časem mění, vznikne v ní magnetický tok, který se pochopitelně s časem také mění – viz obr. 137, a v cívce se bude indukovat napětí d uN dt
Obr. 137 - Vlastní indukčnost cívky
Um N I , kde U m N I , a tedy po dosazení , Rm Rm můžeme vyjádřit vztah pro změnu magnetického toku v závislosti na změně budícího proudu za čas dt Protože platí Hopkinsonův zákon
d
N di Rm
V každém závitu cívky se bude indukovat napětí
N di Rm u dt Cívka má N závitů (za sebou) a tak bude celkové indukované napětí
N di Rm d N 2 di uN N dt dt Rm dt N2 Výraz byl nazván vlastní indukčnost cívky a značí se L. Pak lze psát Rm
124
u L
di dt
kde L je vlastní indukčnost cívky
L
N2 Rm
Jednotkou indukčnosti je henry (H). Rozměr jednotky H je
L
u dt di
(H )
(V ) ( s) V s A1 ( A)
Velikost vlastní indukčnosti závisí na konstrukčních a materiálových parametrech cívky.
N2 S L N 2 0 r Rm l kde S je průřez cívky, l je její délka, 0 je permeabilita vakua a r je relativní permeabilita materiálu, ze kterého je vyrobeno jádro cívky. Pokud je jádro cívky z neferomagnetického materiálu, je indukčnost cívky konstantní, nezávislá na velikosti budícího proudu. Cívka, která má jádro z feromagnetického materiálu, má indukčnost výrazně větší dík vyšší hodnotě r , ale její velikost není konstantní, závisí na velikosti budícího proudu. To se v praxi řeší přidáváním vzduchových mezer do magnetického obvodu jádra cívky, čímž se nelinearita indukčnosti omezí na minimum. Pro výpočet indukčností se v praxi využívají empirické vzorce.
Příklad 58: Jaké je indukčnost cívky s jádrem z elektrotechnické lepenky o průměru 1cm, má-li 50 závitů vinutých těsně v jediné vrstvě, průměr vodiče je 0,4 mm. Řešení:
Obr. 138 - Jednovrstvá cívka Indukčnost cívky je
L
N2 S N 2 0 r Rm l
kde
l = N 0,4 = 50 0,4 = 20 mm
a
S = r2 = 52 =78,53982 mm2
L N 2 0 r
S 78,54 10 6 50 2 4 10 7 l 20 10 3 125
78,54 10 6 25 10 4 10 10 3,93 10 6 H 20 2
7
3
Příklad 59: Vypočítejte indukčnost toroidní cívky o 1500 závitech navinuté na toroidním kroužku z oceli se vzduchovou mezerou s rozměry podle obr. 139. D = 80 mm, d = 20 mm, = 1,5 mm. Relativní permeabilita materiálu jádra je 400.
Obr. 139 - Magnetický obvod toroidní cívky Řešení: Magnetický odpor ve vzduchové mezeře Rm
Rm
1 1 1,5 10 3 0 S 4 10 7 (10 10 3 ) 2
10 7 1,5 10 3 10 4 100 10 6 2,53 10 6 H-1 4 4
Magnetický odpor ve feromagnetickém jádru
Rm Fe
1 l 1 80 10 3 1,5 10 3 0 r S 4 10 7 400 (10 10 3 ) 2
10 7 80 10 3 1,5 10 3 10 7 10 3 78,5 10 4 1,56 10 6 H-1 4 4 400 4 400 10
Indukčnost cívky je
L
N2 N2 1500 2 1,5 2 0,549 H Rm Rm RmFe (2,53 1,56) 10 6 2,53 1,56
5.8.4 Vzájemná indukčnost Pokud do blízkosti cívky 1 (primární cívky), kterou protéká proud I1, umístíme další cívku 2 (sekundární cívku), nastane následující situace: proud I1 v primární cívce vybudí magnetický tok 1, jehož část 12 se uzavírá i cívkou 2 – viz obr. 140. 126
Obr. 140 - Vzájemná indukčnost Bude-li se proud I1 v cívce 1 v průběhu času měnit, bude se měnit i magnetický tok 1 a tím i jeho část 12 cívkou 2. Víme, že pokud se mění magnetický tok cívkou, v cívce se indukuje elektrické napětí. Z uvedeného vyplývá, že změnou proudu I1 v primární cívce se bude indukovat elektrické napětí U2 v sekundární cívce. Lze psát
u 2 konst
di1 dt
Konstantu v uvedeném vztahu nazýváme vzájemná indukčnost a označujeme ji M. Jednotkou vzájemné indukčnosti je henry (H). Velikost vzájemné indukčnosti pro dvě cívky určíme pomocí Hopkinsonova zákona. Magnetický tok 1 a tím i jeho část 12 sekundární cívkou byl vybuzen magnetomotorickým napětím primární cívky Fm1:
Fm1 N1 I1 Je-li magnetický odpor magnetické cesty mezi primární a sekundární cívkou Rm12, je velikost magnetického toku 12 sekundární cívkou
12
N1 I 1 Rm12
Napětí U2 indukované v sekundární cívce změnou proudu I1 v primární cívce tedy bude u2 N 2
d12 N di N N di di N2 1 1 2 1 1 M 1 dt Rm12 dt Rm12 dt dt
Velikost vzájemné indukčnosti je
M
N 2 N1 Rm12
Pokud budou obě cívky navinuty na společném feromagnetickém jádru - viz obr. 141, téměř všechen magnetický tok 1 vygenerovaný primární cívkou se bude uzavírat i prostorem sekundární cívky. V ideálním případě bude12 = 1.
127
Obr. 141 - Vzájemná vazba mezi cívkami Vlastní indukčnost primární cívky L1 a vlastní indukčnost sekundární cívky L2 je 2
2
N L1 1 Rm
N L2 2 Rm
Vzájemná indukčnost M je
N 2 N1 Rm
M
Umocníme-li tento vztah na druhou, dostaneme
N N N N N N1 M ( 2 1 )2 2 2 1 2 L1 L2 Rm Rm Rm Rm 2
2
2
2
2
a tedy
M L2 L2 Změní-li se proud v primární cívce o hodnotu di za čas dt, napětí indukované v primární cívce bude 2
u1 L1
di N1 di dt Rm dt
a napětí indukované v sekundární cívce bude u2 M
Poměr napětí
di N1 N 2 di dt Rm dt
u1 je u2 2
N1 di Rm dt u1 N 1 u 2 N1 N 2 di N 2 Rm dt Tento poměr se nazývá transformační poměr. 128
Ve skutečnosti nebývá magnetický tok 1 stoprocentně spřažen se sekundární cívkou, ale dochází k jistému magnetickému rozptylu, magnetický tok 12 je oproti toku 1 menší právě o tento rozptylový tok, který se uzavírá vzduchem nebo konstrukčními prvky v okolí cívek. Pak
M L2 L2 ;
M L2 L2
kde je činitel vazby obou cívek, 1 .
Příklad 60: Vypočítejte vlastní indukčnosti cívek L1 a L2 a jejich vzájemnou indukčnost M. Počet závitů primární cívky je 1000, počet závitů sekundární cívky je 150, magnetický obvod je na obr. 142. Činitel vazby mezi cívkami je 0,9. Relativní permeabilita feromagnetického materiálu je 800.
Obr. 142 - Společný magnetický obvod cívek Řešení: Délka střední indukční čáry je
l 2 (70 90) 320 mm Magnetický odpor RmFe
Rm Fe
1 l 1 320 10 3 0 r S 4 10 7 800 (30 10 3 ) 2
320 10 3 10 7 10 2 10 4 0,353678 10 6 4 8 9
H-1
Indukčnost první cívky 2
N1 1000 2 1 L1 2,827433 H 6 RmFe 0,353678 10 0,353678 Indukčnost druhé cívky
N2 150 2 1,5 2 10 2 0,0636 H RmFe 0,353678 10 6 0,353678 2
L2
Vzájemná indukčnost cívek
M L2 L2 0,9 2,83 0,0636 0,381704 H 129
Příklad 61: Vypočítejte, jaké napětí se bude indukovat v primární i sekundární cívce z předchozího příkladu, změní-li se proud v primární cívce z 0,1 na 0,6 A za 0,02 s. Řešení: Napětí indukované v primární cívce
u1 L1
di 0,6 - 0,1 2,827433 70,7 V dt 0,02
Napětí indukované v sekundární cívce
u2 M
di 0,6 - 0,1 0,382 9,54 V dt 0,02
Pozn.: pokud by rozptylový tok byl nulový, pak by indukované napětí ve druhé cívce bylo u2ideál.
u 2ideál.
N 2 N1 di1 1000 150 0,6 - 0,1 0,15 0,5 10,60288 V 6 Rm12 dt 0,353678 10 0,02 0,353678 0,02
Spočítáme-li poměr u1 / u2ideál , dostaneme 70,7/10,6 = 6,67 Spočítáme-li poměr N1/N2, dostaneme 1000/150 = 6,67 Z rovnosti vyplývá, že pro ideální vazbu mezi cívkami platí
u1 N1 … transformační poměr. u2 N 2
5.8.5 Spojování cívek Schematická značka cívky v elektrotechnických obvodech je
.
Cívky se mohou spojovat sériově nebo paralelně. Cívky spojené sériově Spojíme-li do série dvě cívky o indukčnostech L1 a L2, můžeme je v obvodu nahradit jedinou cívkou o indukčnosti L, která má stejné vnější účinky jako dané sériové spojení – viz obr. 143, to znamená, že při stejných změnách proudu v obvodu se bude v obou případech indukovat stejné napětí.
Obr. 143 - Náhrada sériově spojených cívek s nulovou vzájemnou indukčností
130
Pokud mezi oběma cívkami není žádná vazba, tedy vzájemná indukčnost M = 0, pro první obvod lze psát:
u u1 u 2
kde
u L1
Po dosazení
u1 L1
di dt
u 2 L2
a
di dt
di di di L2 ( L1 L2 ) dt dt dt
Pro výslednou indukčnost platí
u L
di dt
L L1 L2
Z rovnosti těchto vztahů je patrné, že
Celková indukčnost dvou cívek zapojených do série, mezi nimiž není vzájemná magnetická vazba (M = 0), je rovna součtu indukčností jednotlivých cívek. Analogicky lze vyjádřit výslednou indukčnost n sériově zapojených cívek: Pokud je do série zapojeno několik cívek, mezi nimiž není vzájemná vazba, platí pro výslednou indukčnost tohoto zapojení vztah n
L Lk k 1
Pokud je mezi oběma cívkami vzájemná vazba – viz obr. 144, tedy je nenulová vzájemná indukčnost M, pak pokud se jejich magnetická pole sčítají, lze psát:
Obr. 144 - Náhrada sériově spojených cívek se vzájemnou indukčností M Pro první obvod:
u u1 u 2 Po dosazení
kde
u1 L1
u L1
di di M dt dt
a
u 2 L2
di di M dt dt
di di di di di L2 M M ( L1 L2 2M ) dt dt dt dt dt
Pro výslednou indukčnost platí
u L
di dt
L L1 L2 2M
Z rovnosti těchto vztahů je patrné, že
Celková indukčnosti dvou cívek zapojených do série, mezi nimiž je vzájemná indukčnost M, je rovna součtu indukčností jednotlivých cívek a jejich vzájemných indukčností. Pokud je mezi oběma cívkami vzájemná indukčnost M a civky jsou zapojeny „proti sobě“ – viz obr. 145, pak se jejich magnetická pole odečítajíčítají a lze psát: 131
Obr. 145 - Náhrada sériově spojených cívek se vzájemnou indukčností M zapojených „proti sobě“ Pro první obvod:
u u1 u 2 Po dosazení
kde
u1 L1
u L1
di di M dt dt
u 2 L2
a
di di M dt dt
di di di di di L2 M M ( L1 L2 2M ) dt dt dt dt dt
Pro výslednou indukčnost platí
u L
di dt
L L1 L2 2M
Z rovnosti těchto vztahů je patrné, že Cívky spojené paralelně
Spojíme-li paralelně dvě cívky o indukčnostech L1 a L2, můžeme je v obvodu nahradit jedinou cívkou o indukčnosti L, která má stejné vnější účinky jako dané paralelní spojení – viz obr. 146, to znamená, že při stejných změnách proudu v obvodu se bude v obou případech indukovat stejné napětí.
Obr. 146 - Náhrada paralelně spojených cívek s nulovou vzájemnou indukčností Pokud mezi oběma cívkami není žádná vazba, tedy vzájemná indukčnost M = 0, pro první obvod lze psát:
u u1 u2
a
i i1 i2 , tedy také di di1 di2
di1 dt
a
u 2 L2
a
u L2
a
di2 u dt L2
kde
u1 L1
a tedy
u L1
z toho
di1 u dt L1
di1 dt
132
di2 dt
di2 dt
Po dosazení
di di1 di2 di
u u L1 L2
Pro výslednou indukčnost platí
u L
di dt
di u dt L
z toho
1 1 1 L L1 L2
Z rovnosti těchto vztahů je patrné, že
Převrácená hodnota celkové indukčnosti dvou cívek zapojených paralelně, mezi nimiž není vzájemná magnetická vazba (M = 0), je rovna součtu převrácených hodnot indukčností jednotlivých cívek. Analogicky lze vyjádřit výslednou indukčnost n paralelně zapojených cívek: Pokud je paralelně zapojeno několik cívek, mezi nimiž není vzájemná vazba, platí pro výslednou indukčnost tohoto zapojení vztah n 1 1 L k 1 Lk
Pokud je mezi oběma cívkami vzájemná indukčnost M a civky jsou zapojeny paralelně – viz obr. 147, pak jejich magnetická pole působí souhlasně a analogicky platí:
1 1 1 L L1 M L2 M
Obr. 147 - Výsledná indukčnost paralelně spojených cívek se vzájemnou indukčností M Pokud je mezi oběma cívkami vzájemná indukčnost M a civky jsou zapojeny antiparallně – viz obr. 148, pak jejich magnetická pole působí proti sobě a lze psát:
1 1 1 L L1 M L2 M
Obr. 148 - Výsledná indukčnost antiparalelně spojených cívek se vzájemnou indukčností M
133
Příklad 62: Jaká je vzájemná indukčnost dvou cívek spolených do série, je-li celková indukčnost sériového spojení cívek 180 mH, vlastní indukčnost první cívky je 100 mH a vlastní indukčnost druhé cívky je 40 mH? Řešení: Výsledná indukčnost při sériovém spojení dvou cívek je
L L1 L2 2M Z toho
M
L ( L1 L2 ) 180 (100 40) 20 mH 2 2
5.8.5 Přechodový jev na indukčnosti Napětí v cívce se bude indukovat pouze tehdy, bude-li se měnit elektrický proud v cívce:
uiL L
di . dt
Bude-li proud konstantní(di = 0), indukované napětí je nulové. Cívka připojená ke zdroji stejnosměrného napětí bude v ustáleném stavu vykazovat pouze ohmický odpor R daný odporem drátu, z něhož je cívka navinuta (POZOR - většinou se jedná o měděný drát, odpor bude tedy velmi malý a při větších napětích by velký proud během krátké doby cívku poškodil). V okamžiku připojení cívky ke zdroji stejnosměrného napětí nastává tzv. přechodový děj na indukčnosti:
Obr. 149 - Přechodový jev na indukčnosti V obvodu platí v každém okamžiku 2. Kirchhoffův zákon: V čase t0 = 0 (tj. při sepnutí spínače S) musí být proud cívkou 0; pokud by měl proud jakoukoliv jinou hodnotu, pak di by bylo di = i - 0, tedy nenulové a dt v čase t = 0 by bylo 0; di pak výraz u L L by se blížil k nekonečnu a to je v rozporu s 2. Kirchhoffovým zákonem. dt Pro t0 platí:
t0 = 0:
i=0
uR = Ri = 0 134
uL = U0 - uR = U0 – 0 = U0
V čase t0 = 0 se celé napětí zdroje U0 objeví na cívce, na cívce je tedy v tomto momentu největší napětí pro celý průběh přechodového děje. Je-li největší indukované napětí, znamená to, že v tomto momentě je největší změna proudu i – průběh proudu je nejstrmější. V ustáleném stavu t (to je po dostatečné době po sepnutí spínače S - přechodové děje v elektrotechnice jsou velmi rychlé, čas, v němž obvod dosáhne ustáleného stavu je maximálně v řádu sekund), se veličiny v obvodu již nemění, jsou konstantní. Platí:
t0 :
i = konst.
uL L
di 0 dt
di 0 dt
di = 0
uR = U0 – uL = U0 – 0 = U0
i
uR U 0 R R
V ustáleném stavu se v cívce neindukuje napětí; celé napětí zdroje U0 je na rezistoru a proud v obvodu je omezen jen odporem rezistoru. Průběh proudu a napětí je na obr. 150. Nárůst proudu se postupně zpomaluje, indukované napětí cívky klesá, proud roste a roste i napětí na odporu uR. Průběh je dán částí exponenciální křivky, tečna v jejím počátku vytne na ose času hodnotu tzv. časové konstanty . t
uL U 0 e
kde
L R
Obr. 150 - Průběh proudu a napětí při přechodovém ději na indukčnosti
5.9
Energie magnetického pole
Víme, že v okolí vodiče, kterým protéká elektrický proud, vzniká magnetické pole, a to silově působí na feromafneticlé předměty nebo na jiné vodiče, jimiž protéká proud. Z toho je patrné, že na vytvoření magnetického pole je potřebná určitá energie, kterou dodá průchod elektrického proudu, a ta zůstává v magnetickém poli nahromaděna. Na její udržování již není třeba žádnou další energii (pokud neuvažujeme ztráty Jouleovým teplem). Celková energie magnetického pole je dána vztahem
Wm
1 U m 2
(J; Wb, A)
Pro magnetická pole zavádíme pojem hustota energie, označení wm, což je množství energie nahromaděné v jednotce objemu V = Sl, kde S je průřez a l délka objemu: 135
wm
Wm U m U m 1 BH V 2 V 2 S l 2
Tento vztah platí obecně v kterémkoliv prostředí, protože veličiny B a H se vztahují ke konkrétnímu místu magnetického pole. Celková energie magnetického pole pak je
1 1 Wm wm V B H V B H S l 2 2
Příklad 63: Vypočtěte energii, která je nahromaděna v magnetickém poli cívky. Řešení: Energie magnetického pole je
Wm
1 U m 2
kde
Um N I
a
N I Rm
Po dosazení
1 1 N I 1 N2 I2 Wm U m N I 2 2 Rm 2 Rm Protože
N2 L Rm
dostaneme výraz Wm
1 LI 2 2
5.10 Ztráty ve feromagnetických materiálech Vířivé proudy a ztráty vířivými proudy Vířivé proudy (také nazývané Foucaultovy proudy) jsou proudy vzniklé ve vodivých materiálech vlivem proměnlivého magnetického pole. Změnou magnetického toku se ve vodivých součástech indukuje napětí, které v uzavřených vodivých obvodech – vodivých materiálech – vyvolává proudy. Tyto proudy se uzavírají ve vodivém materiálu cestou nejmenšího odporu. Podle Lenzova zákona působí tyto proudy proti příčině, která je vyvolala, a tak zeslabují původní magnetický tok, a to nejvíce ve střední části plného průřezu.
136
Obr. 151 - Vířivé proudy v spojitém feromagnetickém materiálu a v izolovaných plechách Mimo to vířivé proudy vyvolávají při svém průtoku materiálem teplo (vyvinutá tepelná energie W P t R I 2 t ). Tato energie je nežádoucí jednak proto, že se jedná o ztrátovou energii a jednak proto, že vede k nežádoucímu ohřívání materiálů. Čím bude větší frekvence (počet změn směru proudu za jednotku času), tím budou větší jednak ztráty dané zeslabením toku, jednak tepelné ztráty vířivými proudy. Celkové ztráty způsobené vířivými proudy budou úměrné druhé mocnině frekvence a magnetické indukce: Pv f 2 B2. Vířivé proudy je možné omezit tím, že se magnetické obvody elektrických strojů sestavují z tenkých, navzájem izolovaných plechů (plechy pro elektrotechniku mají tloušťku 0,5 mm, transformátorové plechy 0,35 mm); tím se jádro rozdělí a omezí se výraznější zeslabování budícího toku ve středu jádra. Mimo to se do materiálu pro tyto plechy přidává malé množství křemíku, čímž se výrazně zvětší jejich elektrický odpor. Plechy se vyrábí válcováním za studena, čímž se zvýší jejich magnetická vodivost v jednom směru. V některých speciálních případech lze vířivé proudy využít, například při indukčním ohřevu. Hysterezní ztráty Při změně polarity magnetického pole je nutné vynaložit určitou energii na přemagnetování feromagnetického materiálu. Tato energie se mění v teplo, představuje tedy ztráty ve feromagnetickém materiálu, které se nazývají hysterezní ztráty a jsou úměrné ploše hysterezní smyčky.
Obr. 152 - Plocha hysterezní smyčky
137
Čím četnější je počet přemagnetování za jednotku času, tím budou ztráty větší; hysterezní ztráty jsou tedy úměrné nejen ploše hysterezní smyčky, ale i frekvenci. Ph f B2. Celkové ztráty ve feromagnetických materiálech Celkové ztráty ve feromagnetických materiálech v magnetických obvodech s časově proměnným magnetickým polem jsou dány součtem hysterezních ztrát a ztrát vířivými proudy. PFe = Ph + Pv. V praxi se pro výpočet ztrát vířivými proudy i pro výpočet hysterezních ztrát používají empirické vzorce.
5.11 Silové působení magnetického pole Při výkladu fyzikálního významu magnetické indukce bylo uvedeno, že magnetické pole silově působí na vodiče, jimiž protéká elektrický proud. Velikost této síly je úměrná velikosti magnetické indukce B, velikosti proudu I a té délce vodiče l, která se nachází v magnetickém poli:
F B I l Tento vztah platí tehdy, je-li vodič kolmý k indukčním čarám magnetického pole. Pokud svírá vodič s vektorem magnetické indukce B úhel , bude na vodič silově působit pouze ta složka magnetického pole, která je na vodič kolmá.
F B I l sin
viz obr. 153
Obr. 153 - Síla působící na vodič v homogenním magnetickém poli Směr síly je dán Lenzovým pravidlem: vodič bude silou F vytlačován ze zesíleného magnetického pole do pole zeslabeného. Prochází-li vodičem proud, vzniká v jeho okolí magnetické pole. Víme, že magnetické pole působí silou na vodiče, kterými prochází proud. Z uvedeného vyplývá, že na vodič, kterým protéká proud, působí v blízkosti jiného vodiče, kterým protéká proud, síla. 138
Obr. 154 - Vzájemné silové působení dvou rovnoběžných vodičů Velikost síly F:
F B1 I 2 l kde B1 0 r H1 0=410-7 (Hm-1), pro vzduch je r přibližně 1. kde H 1
I1 2 r
Dosazením získáme vztah
F B1 I 2 l 4 10 -7
I1 2 I1 I 2 l I2 l 10 -7 (N; A ,A ,m ,m) 2 r r
Stejně velká síla působí i na druhý vodič:
Obr. 155 - Vzájemné silové působení dvou rovnoběžných vodičů – síla působící na druhý vodič
F B2 I1 l 4 10 -7
I2 2 I1 I 2 l I1 l 10 -7 2 r r
Smysl síly bude vždy ze zesíleného magnetického pole do zeslabeného. Je-li směr proudů v obou vodičích opačný, magnetické pole v prostoru mezi vodiči je zesílené a vodiče se tedy odpuzují. Je-li směr proudů v obou vodičích souhlasný, magnetické pole v prostoru mezi vodiči je zeslabené a vodiče se tedy přitahují.
139
Obr. 156 - Smysl síly při vzájemném silovém působení dvou rovnoběžných vodičů Základní jednotka v soustavě SI pro elektrotechniku je jeden ampér (A) a jeho definice zní: Stejnosměrný proud o velikosti 1 A je takový proud, který při průchodu dvěma přímými rovnoběžnými nekonečně dlouhými vodiči o nekonečně malém průřezu a vzájemné vzdálenosti 1 m vyvolá ve vakuu mezi těmito vodiči přitažlivou sílu 210-7 N na 1 m délky vodičů.
Příklad 64: Jakou silou na sebe působí při zkratu dva vodiče v rozváděči, jsou-li v délce 30 cm rovnoběžné a jejich vzdálenost je 5 cm? Proudy tečou opačným směrem a velikost zkratového proudu v nich je 40 A. Řešení: Vodiče se odpuzují a velikost síly je
F
5.12.1
2 I1 I 2 l 2 40 40 0,3 -7 10 -7 10 1,9200 10 -3 N 2 r 5 10
Elektromagnety
Elektromagnety se obvykle skládají z pevného feromagnetického jádra, na kterém je navinuta cívka, a z pohyblivé kotvy – viz obr. 157. Prochází-li cívkou proud, vytvoří se magnetické pole, jehož indukční čáry se uzavírají feromagnetickým jádrem a přes vzduchovou mezeru feromagnetickou kotvou.
Obr. 157 - Elektromagnet 140
Víme, že magnetické pole přitahuje předměty z feromagnetických materiálů, takže na pohyblivou kotvu působí přitažlivá síla elektromagnetu a přitahuje kotvu k jádru. Přitažlivá síla magnetu Již bylo uvedeno, že silové účinky magnetického pole charakterizuje jeho magnetická indukce B. Přitažlivá síla magnetu, a to jak permanentního, tak elektromagnetu, je závislá na velikosti magnetické indukce B.
Obr. 158 - Výpočet přitažlivé síly magnetu V souladu se zákonem zachování energie platí, že pokud magnetické pole vykoná práci danou posunem kotvy o vzdálenost dl silou F, musí se o stejnou hodnotu snížit energie magnetického pole. Je-li magnetická indukce ve vzduchové mezeře B, pak změna energie magnetického pole
1 1 B 1 B2 Wm B H S dl B S dl S dl 2 2 0 2 0 a práce vykonaná posunutím o dl silou F
A F dl Z rovnosti
Wm = A
Platí, že
B
S
plyne, že síla F
a
1 2 0
B2 S
N I ; Rm
kde Rm je magnetický odpor vzduchové mezery Rm >> RmFe a proto se pro praktický výpočet hodnota RmFe zanedbává. Pak vztah pro přitažlivou sílu magnetu bude po dosazení
F
1 2 0
2 1 N2 I2 S 2 0 Rm 2 S S2
141
Při pohybu kotvy se mění délka vzduchové mezery a tím i Rm a následně síla F. Při úplném přitažení kotvy k jádru dojde ke styku ploch feromagnetických materiálů, uplatní se pouze magnetický odpor feromagnetické cesty RmFe a magnetická indukce se výrazně zvýší.
Příklad 65: Vypočítejte nosnou sílu elektromagnetu z obr. 157, je-li vzdálenost kotvy od jádra 3 mm, plocha průřezu jádra S je 9 cm2, cívka má 300 závitů a proud cívkou je 2 A. Řešení: Magnetický odpor vzduchové mezery je
Rm
2 lv 2 3 10 3 10 3 100 106 5,305165 106 H-1 0 S 4 10 7 9 10 4 2 10 7 3 10 4 6
Minimální nosná síla elektromagnetu je
F
1 2 0
2 1 N2 I2 S 2 0 Rm 2 S S2
F
1 300 2 2 2 9 10 4 4 107 10 12 10 4 2 4 10 7 (5,305165 106 ) 2 9 10 4 2 4 (5,305165) 2 9
F
94 1000 500 103 5,658 N 2 4 28,14303 9 2 28,14303 28,14303
142
6
Střídavé proudy
Střídavý proud je takový proud, který v průběhu času mění svoji velikost a svůj směr. Pokud se tyto změny ve stejných časových intervalech opakují, pak se jedná o takzvaný periodický střídavý proud. Čas jednoho cyklu průběhu proudu se nazývá perioda a značí se T. Střídavé proudy se graficky znázorňují svým časovým průběhem; na vodorovné ose se vynáší čas, na svislé ose okamžitá hodnota proudu. Okamžité hodnoty se značí malými písmeny označení příslušné veličiny. Speciálním případem periodických střídavých proudů je proud harmonický. Harmonický proud je střídavý proud, jehož časová závislost je sinusová. Proud ve spotřebitelské síti je právě proud harmonický. Střídavé proudy používané v elektrotechnice jsou převážně proudy harmonické. Babyčka.
Obr. 159 - Časový průběh harmonického proudu Počet period za jednu sekundu se nazývá kmitočet nebo také frekvence, označuje se f a její jednotkou je hertz, značka Hz. Doba jedné periody je
T
1 (s; Hz) f
Průmyslová frekvence používaná v Evropě je 50 Hz, v USA a Japonsku se používá průmyslová frekvence 60 Hz. Frekvence používané v radiotechnice se pohybují v řádech kHz až MHz.
Příklad 66: Vypočítejte dobu jedné periody pro průmyslový kmitočet v Evropě. Řešení:
T
1 1 0,02 s f 50
143
6.1
Časový průběh harmonických střídavých proudů
Časový průběh harmonického proudu popisuje výraz
i I max sin
Obr. 160 - Časový průběh jedné periody harmonického proudu Hodnota Imax je maximální hodnota harmonického průběhu, tedy amplituda sinusoidy. Úhel je úměrný času; úhel 2 odpovídá době jedné periody T. Času t odpovídá úhel
2 2 t t 2 f t 1 T f
Protože za jednotku času proběhne f period a jedné periodě odpovídá úhel 2, je úhel za jednotku času právě 2 f . Hodnota 2 f je úhlová rychlost, značí se .
2 f (rads-1) Platí tedy
i I max sin( t )
Pokud sinusový průběh nezačíná nulovou hodnotou, ale je na časové ose posunutý o úhel , nazýváme úhel fázový posun. Fázově posunutý průběh sinusoidy je
i I max sin( t ) Tento průběh harmonického proudu se před základní sinusoidou předbíhá:
Obr. 161 - Časový průběh předbíhajícího se proudu 144
Pokud je sinusový průběh na časové ose posunutý o úhel -, je fázově posunutý průběh sinusoidy
i I max sin( t ) Tento průběh harmonického proudu se za základní sinusoidou zpožďuje:
Obr. 162 - Časový průběh zpožďujícího se proudu
Příklad 67: Určete, za jaký čas dosáhne okamžitá hodnota proudu poprvé nulové hodnoty, a okamžitou hodnotu proudu v čase 0,015 s, je-li maximální hodnota proudu 25 mA a frekvence je 50 Hz a proud je fázově zpožděn o 30o. Řešení: Doba periody je
T
1 1 0,02 s f 50
Úhel odpovídající času T je 2. Okamžitá hodnota proudu dosáhne poprvé nulové hodnoty za čas odpovídající zpoždění 30o:
30o je /6 radiánů
1 t1 T 6 0,02 0,001667 s 2 12
Okamžitá hodnota proudu v čase 0,015 s je
i(0,015) I max sin( t ) 25 sin(2 f 0,015 ) 6
i(0,015) 25 sin(2 50 0,015 ) 25 sin(314 0,015 ) -21,6207 mA 6 6
145
6.2
Fázorové zobrazení střídavých harmonických veličin
Časový průběh harmonického proudu i = f(t) má stejný tvar jako křivka, která vznikne průmětem rotujícího fázoru do svislé osy - viz obr. 163.
Obr. 163 - Rotující fázor a jeho průmět Střídavé veličiny mají kromě velikosti i směr a rychlost rotace. Fázor znázorňující střídavou harmonickou veličinu plně určuje její vlastnosti. S fázory znázorňujícími střídavé veličiny lze počítat – skládat je vektorově.
6.3
Efektivní a střední hodnota střídavých harmonických veličin
Střídavé harmonické veličiny mají v každém okamžiku jinou velikost a tím je i jejich působení v každém okamžiku jiné. Pro praxi jsou podstatné účinky střídavých proudů ve větším časovém úseku, nejlépe v průběhu jedné periody nebo jedné půlperiody. Pro vyhodnocení účinků střídavého proudu je vhodné je porovnat se stejnými účinky stejnosměrného proudu za stejný časový interval. U střídavých veličin (napětí, proud) rozlišujeme tyto pojmy: •
Okamžité hodnoty u, i – průměty fázorů (malá písmena)
•
Maximální hodnoty Umax, Imax – délky fázorů.
•
Efektivní hodnoty U, I (velká písmena)
•
Střední hodnoty Umed, Imed (případně Ustř, Istř)
6.3.1 Efektivní hodnota střídavého proudu Efektivní hodnota proudu (napětí) je taková velikost stejnosměrného proudu (napětí), která v stejném odporu vyvolá za stejnou dobu působení stejnou tepelnou energii jako daný střídavý harmonický proud (napětí). Pro stejnosměrný proud platí, že výkon elektrického proudu je úměrný druhé mocnině proudu. Tepelná energie vyvinutá na odporu R stejnosměrným proudem I za dobu t je W I t U R I 2 t
146
P
W I U R I 2 t
Pro střídavý proud platí, že energie dW, která se vyvine na odporu R za malý časový interval dt je dW R i 2 dt 2 dW R i 2 dt R I max sin 2 ( t ) dt
Obr. 164 – Efektivní hodnota harmonického proudu Pokud sečteme všechny dílčí energie dW po dobu celé periody T, dostaneme hodnotu „Rplocha pod křivkou i2 “. Jsou-li si vyšrafované plochy nad a pod přímkou I2 na obr. 164 rovny, pak plocha pod přímkou I2 po dobu jedné periody je rovna ploše pod křivkou i2 po dobu jedné periody a tudíž stejnosměrný proud I I 2 je efektivní hodnota střídavého proudu daného průběhu. Platí 2 I max I 2 2
I
I max 2
což je I I max 0,707
Efektivní hodnota je hodnota, se kterou je nutné počítat při vyhodnocování tepelných i silových účinků střídavého proudu.
6.3.2 Střední hodnota střídavého proudu Pojem střední hodnota má význam u usměrněného střídavého proudu. Je to taková velikost stejnosměrného proudu, který přenese stejný náboj jako usměrněný daný střídavý proud. Víme, že elektrický proud I je množství náboje, který proteče plochou průřezu vodiče za jednotku času. Q I Q I t t Vycházejme z grafu průběhu proudu na obr. 165:
147
Obr. 165 – Střední hodnota harmonického proudu Jsou-li si vyšrafované plochy nad a pod přímkou Imed na obr. 165 rovny, pak plocha pod přímkou Imed po dobu jedné půlperiody je rovna ploše pod křivkou i po dobu jedné půlperiody a tudíž stejnosměrný proud Imed je střední hodnota střídavého proudu daného průběhu. Platí pro stejnosměrný proud:
I med
T Q 2
a
pro střídavý proud: „plocha pod křivkou i po dobu T/2“ = Q Z rovnosti přeneseného náboje pro stejnosměrný a střídavý proud lze pomocí integrálního počtu dospět k výrazu
I med
2
I max
což je
I med 0,637 I max
Příklad 68: Jaká je maximální hodnota napětí v běžné domácí jednofázové zásuvce? Řešení: Napětí v zásuvce je 230 V ~ 50 Hz, jedná se o harmonické napětí o efektivní hodnotě 230 V. Maximální hodnota tohoto napětí je tedy
U max 2 U 2 230 325 V
6.4
Vznik střídavého harmonického napětí
Z teorie magnetického pole víme, že pohybujeme-li vodičem v rovině kolmé k indukčním čarám, objeví se na koncích vodiče elektrické napětí – tzv. pohybové indukované napětí. Jeho velikost je U Bl v kde B je magnetická indukce magnetického pole, v němž se vodič pohybuje l je délka, kterou vodič zasahuje do magnetického pole v je rychlost pohybu vodiče
148
Tento vztah platí tehdy, je-li vektor magnetické indukce B kolmý k ose pohybujícího se vodiče a zároveň rychlost v je kolmá k ose vodiče i k vektoru magnetické indukce B magnetického pole – viz obr. 166.
Obr. 166 - Vznik ss pohybového napětí Je-li rychlost v konstantní a velikost ani směr vektoru magnetické indukce B se nemění, je velikost indukovaného napětí konstantní, s časem se nemění.
Obr. 167 – Velikost indukovaného ss pohybového napětí Otáčí-li se v magnetickém poli s konstantní velikostí magnetické indukce B závit - viz obr. 168, jedná se také o pohyb vodiče v magnetickém poli, a proto se ve vodiči indukuje v každém okamžiku napětí u.
Obr. 168 – Závit v magnetickém poli Čela závitu (kóta a) leží mimo magnetické pole, oba boky závitu (kóta b) se otáčivým pohybem o úhlové rychlosti pohybují v magnetickém poli. Rychlost jejich pohybu je jejich 149
obvodová rychlost v, v = ∙ r (kde r = a/2 , ∙f , f =n/60 , n je počet otáček za minutu). Je-li závit v poloze kolmé k magnetickému poli – viz obr. 169 a), boky závitu v tomto okamžiku mají rychlost pohybu o velikosti v a o směru rychlosti stejném jako je směr indukčních čar magnetického pole. To znamená, že vodiče neprotínají magnetické pole a velikost indukovaného napětí je nulová: ui = 0.
a)
b)
c)
Obr. 169 – Různé polohy závitu při otáčení v magnetickém poli Je-li závit v poloze shodné se směrem magnetického pole – viz obr. 169 b), boky závitu v tomto okamžiku mají rychlost pohybu o velikosti v a směru rychlosti kolmém na směr indukčních čar magnetického pole. To znamená, že vodič protíná magnetické pole rychlostí v a velikost indukovaného napětí je v něm v této poloze maximální možná a to
ui B l v kde: B … je magnetická indukce magnetického pole l … je aktivní délka závitu (tj. délka v magnetickém poli) v … je rychlost otáčení závitu v=r r = a/2 Protože magnetické pole protínají oba boky závitu, oba stejně velkou rychlostí se stejným směrem, ale s opačným smyslem pohybu, v každém boku se indukuje napětí ui B l v a tato napětí jsou v sérii, tedy celkové napětí indukované v závitu v této poloze je
ui 2 B l v 2 B l r U max Je-li otáčející se závit v obecné poloze – viz obr. 169 c), ve které normála k ploše závitu svírá s vektorem magnetické indukce magnetického pole úhel , pak rychlost, kterou boky závitu kolmě protínají magnetické pole, je složka vx rychlosti v; složka vy je s vektorem magnetické indukce rovnoběžná, proto se na indukování pohybového napětí nepodílí. Indukované napětí v závitu v obecné poloze je
ui 2 B l vx 2 B l v sin U max sin 150
Závit se otáčí úhlovou rychlostí , úhel je tedy
t a po dosazení dostaneme vztah pro závislost napětí indukovaného v závitu otáčejícím se konstantní úhlovou rychlostí v magnetickém poli s konstantní magnetickou indukcí B na čase t:
ui U max sin( t ) Z tohoto vztahu je patrné, že indukované napětí je harmonické. Pokud se bude v magnetickém poli s konstantní magnetickou indukcí B otáčet nikoliv jeden závit, ale N závitů spojených do série – tedy cívka o N závitech, bude indukované napětí Nkrát větší:
ui N U max sin( t )
Příklad 69: Nakreslete průběh napětí v závislosti na čase, otáčí-li se závit podle obr. 168, kde a = 4 cm, b = 8 cm a pro t = 0 je = 0o v magnetickém poli o konstantní hodnotě magnetické indukce B = 0,7 T rychlostí n = 300 ot./min. Nakreslete fázorový diagram pro čas 0,05 s. Řešení: Indukované napětí bude harmonické, to znamená, že bude mít sinusový průběh.
ui 2 B l v sin( t ) Frekvence otáčení a tím i průběhu napětí je
f
n 300 5 Hz 60 60
Úhlová rychlost je
2 f 2 5 31,4 s-1 Rychlost otáčení v
a 4 10 2 2 10 2 m 2 2 2 v r 31,4 2 10 0,628 m/s
v r kde r Tedy
ui 2 B l v sin t 2 0,7 8 102 0,628 sin31,4 t 7,0336 102 sin31,4 t
Doba jedné periody T je
T
1 1 0,2 s f 5
V tabulkovém kalkulátoru vytvoříme graf průběhu napětí – viz obr. 170 a):
151
a)
b)
Obr. 170 – Průběh indukovaného napětí a fázor napětí v čase t = 0,05 s pro příklad 69 V čase 0,05 s napětí ui dosáhlo své maximální hodnoty, tedy fázor napětí se pootočil právě o 90o. Fázorový diagram pro tento čas je na obr. 170 b).
6.5
Typy zátěží v obvodech střídavého proudu
V obvodech střídavého proudu jsou tři základní ideální typy zátěže: Odporová zátěž: v obvodu je ke zdroji střídavého napětí připojen ideální rezistor, jehož charakteristickou vlastností je odpor R. Induktivní zátěž: v obvodu je ke zdroji střídavého napětí připojena ideální cívka, jejíž charakteristickou vlastností je indukčnost L. Kapacitní zátěž: v obvodu je ke zdroji střídavého napětí připojen ideální kondenzátor, jehož charakteristickou vlastností je kapacita C.
6.5.1 Odporová zátěž Je-li ke zdroji střídavého napětí sinusového průběhu připojen rezistor, který představuje čistě odporovou zátěž, pak proud procházející obvodem je ve fázi s napětím (vektor napětí a proudu svírají nulový úhel). Podle Ohmova zákona platí, že proud I = U/R. Na odporu vzniká vlivem proudu teplo, veškerá energie v obvodu je tepelná energie.
Obr. 171 - Odporová zátěž v obvodu střídavého proudu
152
Okamžitá hodnota proudu v obvodu je
i
U max sin( t ) U max sin( t ) I max sin( t ) R R
Proud má také harmonický průběh a napětí a proud mají mezi sebou nulový posun – jsou ve fázi. Pro maximální hodnoty platí
I max
Pro efektivní hodnoty platí
I
U max R
U R
Výkon střídavého proudu při odporové zátěži Okamžitá hodnota výkonu p je
p u i R i2 Efektivní hodnota výkonu P je P U I RI2
Tento výkon dodá za čas t energii W P t , což je Jouleovo teplo. Jedná se o činný výkon, jednotkou je watt (W).
6.5.2 Induktivní zátěž O induktivní zátěž se jedná tehdy, je-li ke zdroji střídavého napětí sinusového průběhu připojena cívka, která v ideálním případě představuje čistě induktivní zátěž – viz obr. 172 a). Pak platí
ui L
di dt
a)
b)
Obr. 172 - Induktivní zátěž v obvodu střídavého proudu Z výše uvedeného je patrné, že při nárůstu proudu je di > 0 a proto je napětí kladné; maximální velikost napětí se indukuje v momentě, kdy je v obvodu maximální změna proudu. Pokud proud klesá, je hodnota di záporná a napětí je záporné. V okamžiku, kdy se proud nemění, je di = 0 a tedy i napětí je nulové. 153
Proud nejvíce roste při fázovém úhlu t = 90o, tedy v čase T/4; v tomto okamžiku je napětí maximální, tedy Umax. Nulový přírůstek proudu di = 0 je při fázovém úhlu t = 180o, tj. v čase t = T/2; v tomto okamžiku je napětí u = 0. Od tohoto okamžiku začíná proud klesat, di < 0 a napětí u je záporné. Proud nejvíce klesá při fázovém úhlu t = 270o, kterému odpovídá čas t = 3T/4; v tomto okamžiku je maximální záporné napětí, tedy -Umax. Z toho plyne, že pokud cívkou protéká střídavý harmonický proud, v cívce se jeho působením indukuje napětí, které se fázově předbíhá před proudem o 90o. Platí-li pro průběh napětí vztah
u U max sin( t ) pak průběh proudu je
i I max sin( t ) 2 di je patrné, že indukované napětí je tím větší, čím je větší jednak dt indukčnost cívky L a jednak čím je větší změna proudu di za časový interval dt. Změna proudu di je tím větší, čím je větší maximální hodnota proudu Imax a čím je větší úhlová rychlost viz obr. 173. Ze vztahu ui L
Obr. 173 – Vliv Imax a na velikost di/dt Platí
U max I max L I max X L
kde XL je tzv. indukční reaktance
X L L () Indukční reaktance XL je odpor, který klade indukčnost průchodu střídavého harmonického proudu. Indukční reaktance je závislá na frekvenci; při napájení cívky stejnosměrným proudem je nulová. (U reálné cívky je pak proud omezen jen činným odporem R vodiče, ze kterého je cívka navinuta, a vzhledem k tomu, že se cívky vinou z výborných vodičů, je tento odpor minimální). Pro maximální a efektivní hodnoty platí vztah analogický Ohmovu zákonu
I max
U max XL
a
I
U XL
Proud se fázově zpožďuje za napětím o 90o – viz obr. 172 b). Velikost proudu je přímo úměrná připojenému napětí a nepřímo úměrná indukční reaktanci XL. 154
Obr. 174 – Frekvenční závislost indukční reaktance a závislost proudu na frekvenci Okamžitý výkon střídavého proudu v cívce je
p u i U max sin( t ) I max sin( t ) 2 Sestrojíme-li graf zobrazující tuto rovnici, vidíme, že okamžitý výkon má opět harmonický průběh a kmitá s dvojnásobnou frekvencí kolem časové osy.
Obr. 175 - Časové průběhy okamžitých veličin napětí, proudu a výkonu na ideální cívce Proud procházející obvodem s ideální cívkou vyvolává střídavé magnetické pole. V časovém intervalu T/4 až T/2 je okamžitý výkon kladný – viz obr. 175, ze zdroje se dodává do cívky energie na vytvoření magnetického pole. V časovém intervalu T/2 až 2/3T je okamžitý výkon záporný, energie z cívky se vrací do zdroje, magnetického pole zaniká. V další půlperiodě dochází k přemagnetování – opět se ze zdroje během čtvrtperiody dodává energie na vytvoření magnetického pole opačného směru, které v následující čtvrtperiodě opět zaniká a vrací energii do zdroje. Z průběhu veličin je patrné, že okamžitý výkon kmitá s dvojnásobnou frekvencí, což je dáno tím, že během jedné periody magnetické pole změní směr. V obvodu ideální cívky se nespotřebovává žádná energie – dochází pouze k přelévání energie ze zdroje do cívky a nazpátek. Výměnný výkon nazýváme jalový výkon, značí se Q a jeho efektivní velikost je Q U I
(VAr; V, A)
kde Var je označení pro jednotku jalového výkonu nazývanou voltampér reaktanční. Proud, který je zpožděn za napětím o úhel 90o, se nazývá jalový proud a nedodává žádný činný výkon. Jedná se o magnetizační proud.
6.5.3 Kapacitní zátěž O kapacitní zátěž se jedná tehdy, je-li ke zdroji střídavého napětí sinusového průběhu připojen kondenzátor, který v ideálním případě představuje čistě kapacitní zátěž – viz obr. 176 a). Kondenzátor se střídavě nabíjí v jednom směru, vybíjí, nabíjí na opačnou polaritu a opět
155
vybíjí – během jedné periody změní polaritu náboje na svých deskách – mění se polarita elektrického pole.
a)
b)
Obr. 176 - Kapacitní zátěž v obvodu střídavého proudu Kondenzátor se nabíjí a na jeho deskách se hromadí elektrický náboj, který vytváří elektrické pole mezi deskami kondenzátoru a tím napětí mezi deskami. Za čas dt se zvětší náboj na deskách kondenzátoru o dq dq i dt
Tím se zvětší napětí na kondenzátoru o du
du
dq i dt C C
Z této rovnice vyjádříme i
du dt Z výše uvedeného je patrné, že při nárůstu napětí je du > 0 a proto je proud kladný; maximální velikost proudu v obvodu bude v momentě, kdy je změna napětí maximální. Pokud napětí klesá, je hodnota du záporná a proud je záporný. V okamžiku, kdy se proud nemění, je du = 0 a tedy i proud je nulový. Napětí nejvíce roste při fázovém úhlu t = 0o, tedy v čase t = 0; v tomto okamžiku je proud maximální, tedy Imax. Nulový přírůstek napětí du = 0 je při fázovém úhlu t = 90o, tj. v čase t = T/4; v tomto okamžiku je proud i = 0. Od tohoto okamžiku začíná napětí klesat, du < 0 a proud i je záporný. Napětí nejvíce klesá při fázovém úhlu t = 180o, kterému odpovídá čas t = T/2; v tomto okamžiku je maximální záporný proud, tedy -Imax. i C
Z toho plyne, že pokud je na kondenzátoru střídavé harmonické napětí, v obvodu protéká proud, který se fázově předbíhá před napětím o 90o- viz obr. 176 b). Je-li napětí na kondenzátoru je u U max sin( t ) , pak proud v obvodu kondenzátoru je
i I max sin( t ) 2 du je patrné, že velikost maximální hodnoty proudu je tím větší, čím je větší dt jednak kapacita kondenzátoru C a jednak čím je větší změna napětí du za časový interval dt. Změna napětí du je tím větší, čím je větší maximální hodnota napětí Umax a čím je větší úhlová rychlost . Ze vztahu i C
156
I max U max C Aby platila analogie s Ohmovým zákonem, zavádíme pojem kapacitní reaktance XC , kde
XC
1 C
Pak lze psát
I max
U max XC
I
a pro efektivní hodnoty
U XC
Kapacitní reaktance XC je odpor, který klade kondenzátor průchodu střídavého harmonického proudu obvodem. Kapacitní reaktance je závislá na frekvenci – viz obr. 177.
XC
1 1 C 2 f C
Obr. 177 – Frekvenční závislost kapacitní reaktance a závislost proudu na frekvenci Při napájení obvodu s ideálním kondenzátorem stejnosměrným proudem se XC blíží k nekonečnu; ve stejnosměrných obvodech v ustáleném stavu po nabití kondenzátoru proud neprotéká. Proud se fázově předbíhá před napětím o 90o , velikost proudu je přímo úměrná připojenému napětí a nepřímo úměrná kapacitní reaktanci XC. Okamžitý výkon střídavého proudu na kondenzátoru je
p u i U max sin( t ) I max sin( t
) 2 Sestrojíme-li graf zobrazující tuto rovnici, vidíme, že okamžitý výkon má opět harmonický průběh a kmitá s dvojnásobnou frekvencí kolem časové osy.
Obr. 178 - Časové průběhy okamžitých veličin napětí, proudu a výkonu na ideálním kondenzátoru
157
V časovém intervalu t = 0 až T/4 je okamžitý výkon kladný – viz obr. 178, ze zdroje se dodává do kondenzátoru energie na vytvoření elektrického pole, kondenzátor se nabíjí. V časovém intervalu T/4 až T/2 je okamžitý výkon záporný, energie z kondenzátoru se vrací do zdroje, kondenzátor se vybíjí, elektrické pole zaniká. V další půlperiodě se kondenzátor nabíjí v opačné polaritě a opět se vybíjí – opět se ze zdroje během třetí čtvrtperiody dodává energie na nabití kondenzátoru a během poslední čtvrtperiody se energii vrací do zdroje v důsledku vybíjení kondenzátoru. Z průběhu veličin je patrné, že okamžitý výkon kmitá s dvojnásobnou frekvencí, což je dáno tím, že během jedné periody se kondenzátor nabije nejprve s jednou a poté s opačnou polaritou náboje na deskách. V obvodu s ideálním kondenzátorem se nespotřebovává žádná energie – dochází pouze k přelévání energie za zdroje do kondenzátoru při jeho nabíjení a nazpátek z kondenzátoru do zdroje při vybíjení jeho elektrického náboje. Výměnný výkon je jalový kapacitní výkon, značí se Q a jeho efektivní velikost je Q U I
(VAr; V, A)
Proud, který se předbíhá před napětím o úhel 90o, se nazývá jalový kapacitní proud a nedodává žádný činný výkon. Jedná se o proud nabíjející a vybíjející kondenzátor.
Příklad 70: Nakreslete graf frekvenční závislosti kapacitní reaktance pro kondenzátor s kapacitou 2 F pro rozsah frekvencí 10 Hz až 500 Hz. Řešení: V Excelu sestrojíme graf závislosti X C
1 2 f C
Obr. 179 – frekvenční závislost kondenzátoru z příkladu 70
158
6.5.4 Vzájemná indukčnost v obvodech střídavého proudu Protéká-li střídavý harmonický proud i1 primární cívkou o indukčnosti L1 s N1 závity, indukuje se v ní napětí u1
di1 dt
u1 L1
U1 I1 L1
jehož efektivní hodnota je
V sekundární cívce o indukčnosti L2 s N2 závity se vlivem proudu v primární cívce indukuje napětí u2
di1 dt
u2 M
U 2 I1 M
jehož efektivní hodnota je
kde M je vzájemná indukčnost mezi primární a sekundární cívkou.
Obr. 180 – Působení vzájemné indukčnosti v obvodech střídavých proudů Pokud by protékal střídavý harmonický proud i2 sekundární cívkou o indukčnosti L2 s N2 závity, indukovalo by se v ní napětí u2
u 2 L2
di2 dt
U 2 I 2 L2
jehož efektivní hodnota je
V primární cívce o indukčnosti L1 s N1 závity by se vlivem proudu v sekundární cívce indukovalo napětí u1
u1 M
di2 dt
jehož efektivní hodnota je
U1 I 2 M
Transformační poměr 2
Pokud je vzájemná vazba obou cívek 100 %, pak M L2 L2 , kde L1 Z toho vyplývá, že M
N 2 N1 . Rm12
Pak při sinusovém průběhu primárního proudu se v primární cívce indukuje napětí U1
U 1 I1 L1 I1
2
N1 Rm
a v sekundární cívce napětí U2 U 2 I1 M I1
159
N 2 N1 Rm12
2
N1 N a L2 2 . Rm Rm
Poměr primárního a sekundárního napětí je 2
N I1 1 Rm U1 N 1 N N U2 N2 I1 2 1 Rm12 Poměr
U 1 N1 se nazývá transformační poměr. U2 N2
Schopnost měnit velikost napětí v závislosti na poměru počtu závitů primární cívky k počtu závitů sekundární cívky se využívá při transformaci napětí. Z hlediska ztrát při přenosu elektrické energie je výhodné přenášet výkon o co nejvyšším napětí – P = UI – a tím omezit přenosový proud, neboť ztráty jsou úměrné druhé mocnině proudu – P = RI2. Pro dálkové přenosy se napětí transformuje nahoru na hodnoty 220 kV nebo 400 kV. Pro spotřebu se napětí se transformuje dolů na napětí distribuční sítě a dále na spotřebitelské napětí 400/230 V.
6.6
Řešení obvodů střídavého harmonického proudu
V praxi se téměř nevyskytují obvody tvořené pouze ideálními prvky, většina funkčních obvodů je složena z více prvků. Téměř vždy se i v obvodu jedné cívky projeví kromě indukčnosti L, která je zde výrazně dominantní vlastností, i odpor R. Proto je nutné ovládat kromě řešení obvodů stejnosměrného proudu i řešení obvodů střídavého proudu. Princip řešení obvodů střídavého proudu je podobný jako řešení obvodů stejnosměrného proudu, vycházíme z Ohmova zákona a z Kirchhoffových zákonů. Kromě toho je nutné respektovat fázový posun střídavých veličin daných typy prvků v obvodu a topologií obvodu.
6.6.1 Sériový RC obvod Sériovým RC obvodem se rozumí sériové spojení rezistoru a kondenzátoru.
Obr. 181 – Sériový RC obvod a jeho fázorový diagram Při řešení obvodu je výhodné vycházet z veličiny, která je společná pro oba prvky. Protože je obvod tvořen jedinou smyčkou, oběma prvky obvodu protéká tentýž proud I; IR = IC = I, a tedy společná veličina je proud. Proud I zakreslíme do fázorového diagramu. 160
Napětí na rezistoru UR je ve fázi s proudem a jeho velikost je
UR R I Napětí na kondenzátoru UC se za proudem zpožďuje o /2 a jeho velikost je
UC X C I
kde kapacitní reaktance X C
1 1 C 2 f C
Celkové napětí v obvodu je podle 2. Kirchhoffova zákona rovno součtu napětí na jednotlivých prvcích obvodu. Vzhledem k tomu, že napětí jsou fázově posunuta, tento součet je vektorový – viz obr. 181. Pak z pravoúhlého trojúhelníka platí
U U C2 U R2 ( X C I ) 2 ( R I ) 2 I X C2 R 2 Výraz
X C2 R 2 je zdánlivý odpor obvodu, nazývá se impedance a značí se Z. Z X C2 R 2 ()
Pak
U I Z
Velikost proudu protékajícího obvodem je U I Z
U X C2 R 2
Fázový posun proudu před napětím udává úhel , kde z pravoúhlého trojúhelníku podle obr. 181 je cos U RI cos R U U
Příklad 71: Vypočítejte velikost proudu v obvodu, v němž je do série zapojen rezistor, jehož odpor je 200 a kondenzátor o kapacitě 0,5 F. Nakreslete fázorový diagram a určete velikost fázového posunu mezi napětím a proudem. Napětí U = 12 V, frekvence f = 2 kHz. Řešení: Velikost proudu je
I
U Z
U X R2 2 C
kde velikost kapacitní reaktance je
XC
1 1 1 1000 159 3 6 C 2 f C 2 2 10 0,5 10 2
Proud
I
U X C2 R 2
12 159 2 200 2 161
12 0,047 A = 47 mA 256
Napětí na rezistoru UR
U R R I 200 0,047 9,39 V Napětí na kondenzátoru UC
U C X C I 159 0,047 7,47 V Fázový úhel je
cos
U R 9,39 0,782479 U 12
= 0,672159 rad = 38,5o
Obr. 182 – Fázorový diagram pro příklad 71
6.6.2 Sériový RL obvod Sériovým RL obvodem se rozumí sériové spojení rezistoru a ideální cívky.
Obr. 183 – Sériový RL obvod a jeho fázorový diagram oběma prvky obvodu protéká tentýž proud I, IR = IL = I, společná veličina pro oba prvky je tedy proud I. S ním ve fázi je napětí na rezistoru UR
UR R I Napětí na cívce UL se před proudem předbíhá o /2 a jeho velikost je
UL X L I
kde induktivní reaktance X L L 2 f L
Celkové napětí v obvodu je podle 2. Kirchhoffova zákona rovno součtu napětí na jednotlivých prvcích obvodu. Vzhledem k tomu, že napětí jsou fázově posunuta, tento součet je vektorový – viz obr. 183. Pak z pravoúhlého trojúhelníka platí U U L2 U R2 ( X L I ) 2 ( R I ) 2 I X L2 R 2
162
Impedance obvodu je Z X L2 R 2 ()
Pak
U I Z
Proud protékající obvodem je
I
U Z
U X L2 R 2
Fázové zpoždění proudu za napětím udává úhel , kde z pravoúhlého trojúhelníku podle obr. 183 je cos U RI cos R U U
Příklad 72: Vypočítejte velikost proudu v obvodu, v němž je do série zapojen rezistor, jehož odpor je 80 a cívka o indukčnosti 400mH. Nakreslete fázorový diagram a určete velikost fázového posunu mezi napětím a proudem. Napětí U = 230 V, frekvence f = 50 Hz. Řešení: Velikost proudu je
I
U Z
U X L2 R 2
kde velikost induktivní reaktance je
X L L 2 f L 2 50 0,4 125,7 Proud
I
U X L2 R 2
230 125,7 2 80 2
1,54 A
Napětí na rezistoru UR
U R R I 80 1,54 124 V Napětí na cívce UL
U L X L I 125,7 1,54 194 V Fázový úhel je
cos
U R 124 0,537029 U 230 163
= 1,003885 rad = 57, 5o
Obr. 184 – Fázorový diagram pro příklad 72
6.6.3 Sériový LC obvod Sériovým LC obvodem se rozumí sériové spojení kondenzátoru a ideální cívky.
Obr. 185 – Sériový LC obvod a jeho fázorový diagram Kondenzátorem i cívkou prochází stejný proud I. Napětí na cívce předbíhá proud o /2 a jeho velikost je
UL X L I
kde induktivní reaktance X L L 2 f L
Napětí na kondenzátoru UC se za proudem zpožďuje o /2 a jeho velikost je
UC X C I
kde kapacitní reaktance X C
1 1 C 2 f C
Celkové napětí v obvodu je podle 2. Kirchhoffova zákona rovno součtu napětí na jednotlivých prvcích obvodu. Vzhledem k tomu, že napětí jsou v protifázi – viz obr. 185, platí
U U L UC X L I X C I I ( X L X C ) Je-li X L > X C , proud se zpožďuje za napětím o /2, obvod má induktivní charakter. Je-li X L < X C , proud se předbíhá před napětím o /2, obvod má kapacitní charakter. 164
6.6.4 Sériový RLC obvod Sériovým RLC obvodem se rozumí sériové spojení rezistoru, ideální cívky a kondenzátoru.
Obr. 186 – Sériový RLC obvod a jeho fázorový diagram Všemi prvky obvodu protéká tentýž proud I; společná veličina pro všechny prvky je tedy proud I. S ním ve fázi je napětí na rezistoru UR
UR R I Napětí na cívce UL se před proudem předbíhá o /2 a jeho velikost je
UL X L I
kde induktivní reaktance X L L 2 f L
Napětí na kondenzátoru UC se za proudem zpožďuje o /2 a jeho velikost je
UC X C I
kde kapacitní reaktance X C
1 1 C 2 f C
Celkové napětí v obvodu je podle 2. Kirchhoffova zákona rovno součtu napětí na jednotlivých prvcích obvodu. Vzhledem k tomu, že napětí jsou fázově posunuta, tento součet je vektorový – viz obr. 186. Pak z pravoúhlého trojúhelníka platí
U (U L U C ) 2 U R2 ( X L I X C I ) 2 ( R I ) 2 I ( X L X C ) 2 R 2 Impedance obvodu je
Z ( X L X C ) 2 R 2 () Pak
U I Z
Proud protékající obvodem je
I
U U Z ( X L X C )2 R2
Fázové zpoždění proudu za napětím udává úhel , kde z pravoúhlého trojúhelníku podle obr. 186 je cos U RI cos R U U 165
Příklad 73: Vypočítejte velikost proudu v obvodu, v němž je do série zapojen rezistor, jehož odpor je 120 cívka o indukčnosti 800 mH a kondenzátor o kapacitě 40 F. Nakreslete fázorový diagram a určete velikost fázového posunu mezi napětím a proudem. Napětí U = 230 V, frekvence f = 50 Hz. Řešení: Velikost proudu je
I
U U Z ( X L X C )2 R2
kde velikost induktivní reaktance je
X L L 2 f L 2 50 0,8 251,4 avelikost kapacitní reaktance je 1 1 1 250 XC 79,57747 6 C 2 f C 2 50 40 10 Proud U 230 230 I 1,0974 A ( X L X C )2 R2 (251,4 79,6) 2 120 2 209,6 Napětí na rezistoru UR, na cívce UL a na kondenzátoru UC jsou
U R R I 120 1,0974 131,7 V U L X L I 251,4 1,0974 275,9 V U C X C I 79,6 1,0974 87,3 V Fázový úhel je
cos
U R 131,7 0,572579 U 230
= 0,961148 rad = 55, 1o
Obr. 187 – Fázorový diagram pro příklad 73
166
6.6.5 Paralelní RC obvod Paralelním RC obvodem se rozumí paralelní spojení rezistoru a kondenzátoru.
Obr. 188 – Paralelní RC obvod a jeho fázorový diagram Na všech paralelně spojených prvcích je stejné napětí. Společná veličina pro všechny prvky je tedy napětí U = UR = UC Do fázorového diagramu zakreslíme napětí U. Proud rezistorem IR je ve fázi s napětím a jeho velikost je
IR
U R
Proud kondenzátorem IC se před napětím předbíhá o /2 a jeho velikost je IC
U XC
kde kapacitní reaktance X C
1 1 C 2 f C
Celkový proud v obvodu je podle 1. Kirchhoffova zákona rovný součtu proudů jednotlivými prvky obvodu. Vzhledem k tomu, že proudy jsou fázově posunuty, tento součet je vektorový – viz obr. 188. Pak z pravoúhlého trojúhelníka platí
I I C2 I R2 Fázový posun proudu před napětím udává úhel , kde z pravoúhlého trojúhelníku podle obr. 188 je cos I cos R I Celková impedance paralelního RC obvodu je Z a vypočítáme ji ze vztahu
U I I I XC 2 C
I
U Z
2 R
Z
2
U U R 2
1 1 1 2 2 XC R
167
1 1 2 2 XC R
1 Z
1 1 2 2 XC R
6.6.6 Paralelní RL obvod Paralelním RL obvodem se rozumí paralelní spojení rezistoru a ideální cívky.
Obr. 189 – Paralelní RL obvod a jeho fázorový diagram Na všech paralelně spojených prvcích je stejné napětí. Společná veličina pro všechny prvky je tedy napětí U = UR = UL Do fázorového diagramu zakreslíme napětí U. Proud rezistorem IR je ve fázi s napětím a jeho velikost je
IR
U R
Proud cívkou IL se za napětím zpožďuje o /2 a jeho velikost je
IL
U XL
kde indukční reaktance X L L 2 f L
Celkový proud v obvodu je podle 1. Kirchhoffova zákona rovný součtu proudů jednotlivými prvky obvodu. Vzhledem k tomu, že proudy jsou fázově posunuty, tento součet je vektorový – viz obr. 189. Pak z pravoúhlého trojúhelníka platí I I L2 I R2
Fázový posun proudu za napětím udává úhel , kde z pravoúhlého trojúhelníku podle obr. 189 je cos I cos R I Celková impedance paralelního RL obvodu je Z a vypočítáme ji ze vztahu 2
U U 1 1 U I I I 2 2 XL R XL R 2 L
I
U Z
2
2 R
Z
1 1 1 2 2 XL R
168
1 Z
1 1 2 2 XL R
6.6.8 Paralelní LC obvod Paralelním LC obvodem se rozumí paralelní spojení ideální cívky a kondenzátoru.
Obr. 190 – Paralelní LC obvod a jeho fázorový diagram Na obou paralelně spojených prvcích je stejné napětí. Společná veličina pro všechny prvky je tedy napětí U = UL = UC Do fázorového diagramu zakreslíme napětí U. Proud cívkou IL se za napětím zpožďuje o /2 a jeho velikost je
IL
U XL
kde indukční reaktance X L L 2 f L
Proud kondenzátorem IC se před napětím předbíhá o /2 a jeho velikost je
IC
U XC
kde kapacitní reaktance X C
1 1 C 2 f C
Celkový proud v obvodu je podle 1. Kirchhoffova zákona rovný součtu proudů jednotlivými prvky obvodu - viz obr. 190. Pak platí I I L IC
U U XL XC
Impedance LC obvodu je
Z
U U 1 1 U U 1 1 1 I C XL XC XL XC L
Při určité frekvenci nastane situace, kdy
I L I C … pak celkový proud odebíraný ze zdroje I = 0. Tento stav se nazývá paralelní rezonance. Obvodem prochází tzv. cirkulační proud, kterým se opakovaně vzájemně vyměňuje energii mezi kondenzátorem (energie elektrického pole) a cívkou (energie magnetického pole). Tato situace nastává tehdy, je-li
1 C L což je při frekvenci f0 - takzvaná rezonanční frekvence: 169
1 C L
1 2 f 0 C 2 f 0 L
f0
1 2 L C
6.6.9 Paralelní RLC obvod Paralelním RLC obvodem se rozumí paralelní spojení rezistoru, ideální cívky a kondenzátoru.
Obr. 191 – Paralelní RLC obvod a jeho fázorový diagram Na všech paralelně spojených prvcích je stejné napětí. Společná veličina pro všechny prvky je tedy napětí U = UR = UL = UC Do fázorového diagramu zakreslíme napětí U. Proud rezistorem IR je ve fázi s napětím a jeho velikost je U IR R Proud cívkou IL se za napětím zpožďuje o /2 a jeho velikost je
IL
U XL
kde indukční reaktance X L L 2 f L
Proud kondenzátorem IC se před napětím předbíhá o /2 a jeho velikost je IC
U XC
kde kapacitní reaktance X C
1 1 C 2 f C
Celkový proud v obvodu je podle 1. Kirchhoffova zákona rovný součtu proudů jednotlivými prvky obvodu. Vzhledem k tomu, že proudy jsou fázově posunuty, tento součet je vektorový – viz obr. 191. Pak z pravoúhlého trojúhelníka platí
I ( I L I C ) 2 I R2 Fázový posun proudu za napětím udává úhel , kde z pravoúhlého trojúhelníku podle obr. 191 je cos I cos R I Celková impedance paralelního RL obvodu je Z a vypočítáme ji ze vztahu 170
2
U U U U I ( I L I C ) I X L XC R 2
2
2 R
2
1 1 1 X L XC R 2
1 1 U 1 1 1 I Z 2 2 Z Z X X R C L 1 1 1 XL XC R
2
2
Příklad 74: Vypočítejte velikost všech proudů v obvodu, v němž je paralelně zapojen rezistor, jehož odpor je 300 cívka o indukčnosti 800 mH a kondenzátor o kapacitě 10 F. Nakreslete fázorový diagram a určete velikost fázového posunu mezi napětím a proudem. Napětí U = 230 V, frekvence f = 50 Hz. Určete frekvenci, při níž by proud I byl minimální. Řešení: Velikost proudu rezistorem je
IR
U 230 0,766667 A R 300
Velikost proudu cívkou je IL
U U 230 0,915141 A X L 2 f L 2 50 0,8
Velikost proudu kondenzátorem je
IC
U XC
U 230 2 50 10 10 6 2,3 0,1 0,722566 1 2 f C
Celkový proud je
I ( I L I C ) 2 I R2 (0,915 0,723) 2 0,767 2 0,790483 A Fázový posun proudu za napětím
cos
IR 0,767 0,969872 I 0,7905
= 14,1o
Proud bude minimální tehdy, bude-li IL = IC, velikost proudu I pak bude I = IR I = IR =0,767 A A to při XL = XC, tedy při rezonanční frekvenci f0
f0
1 2 L C
1 2 0,8 10 10 6
171
1000 56,26977 Hz 2 8
Obr. 192 – Fázorový diagram pro příklad 74
Příklad 75: Určete velikost proudu procházejícího cívkou, jejíž indukčnost je 100 mH a odpor je 10 která je připojena ke zdroji o napětí 230 V ~ 50 Hz. Nakreslete průběh u = f(t) a i = f(t). Určete činný, jalový a zdánlivý výkon na cívce. Řešení: Skutečnou cívku si lze představit jako sériové zapojení rezistoru o odporu rovném odporu vodiče, z něhož je cívka navinuta a čistě induktivní zátěže o indukčnosti rovné indukčnosti reálné cívky (obr 193).
Obr. 193 – Náhradní schéma a fázorový diagram pro reálnou cívku Indukční reaktance cívky je
X L L 2 f L 2 50 100 103 314 Proud cívkou
I
U
X L R 2
2
230 314 10 2
2
230 230 0,732113 A 98696 314,1592
Činná složka napětí, která je ve fázi s proudem, je
U R R I 10 0,732113 7,321 V 172
Jalová složka napětí, která se o /2 předbíhá před proudem, je
U L X L I 314 0,732113 229,88 V Fázový posun mezi napětím a proudem je
cos
U R 7,321 0,03183 U 230
1,538961 rad
88,17594 o
Zátěž cívkou je převážně induktivní. Z vypočtených hodnot je možné nakreslit graf průběhu napětí a proudu v závislosti na čase:
u U max sin( t ) 2 230 sin(2 50 t ) přepis závislosti u = f(t) pro Excel, je-li čas vynášen v ms: =ODMOCNINA(2)*230*SIN(2*PI()*50*A3*0,001)
i I max sin( t ) 2 732 sin(2 50 t 1,539) přepis závislosti i = f(t) pro Excel, je-li čas vynášen v ms a proud v mA: =ODMOCNINA(2)*732*SIN(2*PI()*50*A3*0,001-1,53896051458503)
Obr. 194 – Průběh napětí a proudu a fázorový diagram pro reálnou cívku pro příklad 75 Činný výkon je dán součinem proudu a činné složky napětí:
P U R I 7,321 0,732 5,36 W Jalový výkon je dán součinem proudu a jalové složky napětí:
Q U L I 229,88 0,732 168,3 VAr Zdánlivý výkon je dán součinem proudu a napětí: S U I 230 0,732 168,4 VA
173
6.6.10 Sérioparalelní RLC obvody Při řešení sérioparalelních obvodů střídavého harmonického proudu, kde se vyskytují fázové posuny mezi jednotlivými veličinami, které jsou různé od /2 , je vhodné rozložit vektory v obecné poloze na činné a jalové složky. Ty je pak možné řešit výše uvedenými postupy s využitím trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku. Řešení sérioparalelních obvodů si předvedeme na konkrétních příkladech.
Příklad 76: Určete celkový proud a proudy v jednotlivých prvcích obvodu podle obrázku 195. Cívka má indukčnost L = 100 mH, odpor rezistoru je R = 1 ka kapacita kondenzátoru C = 0,1 F. Obvod je připojen ke zdroji o napětí 24 V ~ 1 kHz.
Obr. 195 – Schéma a fázorový diagram pro příklad 76 Řešení: Označíme proudy v jednotlivých větvích obvodu a napětí na všech prvcích. Nakreslíme fázorový diagram pro daný obvod: první zakreslíme proud IRL. Napětí UR je s proudem IRL ve fázi, napětí UL se před proudem předbíhá o 90o. Vektorový součet napětí UR a UL je totožné s napětím UC , URL = UC = U. Proud IC se o 90 o předbíhá před napětím. Celkový proud je dán vektorovým součtem proudů IRL a IC. Indukční reaktance cívky je
X L L 2 f L 2 1000 100 103 628 Proud IRL je
I RL
U
X L R 2
2
24 628 1000 2
2
24 24 0,020325 A 1394384 1180,84
Napětí na UR a UL na prvcích R a L ve větvi RL je
U R R I 1000 0,020325 20,325 V U L X L I 628 0,020325 12,76379 V 174
Úhel RL mezi napětím U a proudem IRL je U 20,325 cos RL R 0,846875 U 24
= 32,12661o
Proud kondenzátorem IC je
IC
U XC
1 1 1 10 6 1591,549 kde X C C 2 f C 2 1000 0,1 10 6 2 10 2 IC
24 0,01508 A 1591,549
Proud IRL rozložíme do dvou navzájem kolmých složek. Složka, která je ve fázi s napětím, je činná složka IRLč a složka kolmá na fázor napětí jalová indukční složka IRLj.
a)
b)
Obr. 196 – Rozklad proudu na činnou a jalovou složku a) a určení výsledného proudu b) Činná složka IRLč
I RLč I RL cos RL 0,020325 0,846875 0,017213 A Jalová indukční složka IRLj
I RLj I RL sin RL 0,020325 sin 32,12661o 0,020325 0,749214 0,015228 A Výsledný proud je dán vektorovým součtem proudů v obou větvích obvodu IRL a IC, tedy vektorovým součtem proudů IRLč, IRLj a IC, viz obr. 196 b), tedy 2 I ( I RLj I C ) 2 I RLč (0,015228 0,01508) 2 0,0172132 0,0172133 A
cos
I RLč 0,017213 0,999963 I 0,017213
= 0,5o
Z výsledku je patrné, že výsledný proud odebíraný ze zdroje je menší než proud ve větvi RL.
175
Příklad 77: Určete, jak velká by musela být kapacita kondenzátoru paralelně připojeného k cívce o indukčnosti 30 mH a odporu je 10 která je připojena ke zdroji o napětí 24 V ~ 0,4 kHz, aby byla induktivní složka proudu plně vykompenzována kapacitním proudem.
Obr. 197 – Schéma pro příklad 77 Řešení: Induktivní složka proudu bude plně vykompenzována tehdy, bude-li jalová složka proudu IRL mít stejnou velikost jako je velikost proudu kondenzátorem IC. Nejprve nakreslíme fázorový diagram; první vyneseme proud procházející cívkou IRL - viz obr. 198 a)
a)
b)
c)
Obr. 198 – Řešení příkladu 77 Proud ve větvi s cívkou
I RL
U
X L 2 R 2
24
2 400 0,032 10 2
24 0,315547 A 188,5
Složky napětí ve větvi s cívkou
U R R I RL 10 0,315547 3,15547 V U L X L I RL 2 400 0,03 0,315547 23,79166 V Fázový posun proudu za napětím ve větvi s cívkou
U R 3,15547 0,131478 U 24 1,438937rad 82,445 o
cos RL
RL
176
Proud IRL rozložíme do směru napětí U (to bude činná složka proudu IRL) a do směru na něj kolmého (jalová složka proudu IRL) - viz obr. 198 b)
I RLč I RL cos 0,315547 0,131478 0,041487 A
I RLj I RL sin 0,315547 0,991319 0,312807 A Kapacitní proud protékající kondenzátorem IC se předbíhá před napětím o 90o, je tedy v protifázi k proudu IRLj – viz obr. 198 c). Má-li tento proud být plně kompenzován, pak platí I RLj I C a tedy
IC = 0,312807 A
Proud kondenzátorem je U 0,312807 A XC
IC
a tedy kapacitní reaktance je XC
U 24 76,72451 I C 0,312807
Kapacita kondenzátoru musí být XC
C
1 2 f C
C
1 2 f X C
1 1 106 10 6 5,185922 10 6 F 2 400 76,72451 2 400 76,72451
Induktivní složka proudu bude plně kompenzována, je-li připojen kondenzátor o kapacitě 5,186 F. Pak proud I odebíraný ze zdroje je rovný činné složce proudu IRL, což je 0,041487 A. Příklad 78: Nakreslete fázorový diagram a určete proudy a napětí na všech prvcích obvodu podle obr. 199. Řešte obecně.
Obr. 199 – Schéma a fázorový diagram pro příklad 78 Řešení: Nakreslíme proudy a napětí v obvodu. 177
Protože UC = UL = UAB, začneme kreslit fázorový diagram od tohoto vektoru. IL se zpožďuje za napětím UAB o 90o, IC se před napětím UAB o 90o předbíhá. Vyneseme tedy tyto vektory. Celkový proud I je vektorovým součtem proudů IL a IC. Napětí UR je ve fázi s celkovým proudem I. Vektorový součet UR a UAB dává celkové napětí U.
U 2 U R U AB 2
2
UR R I IC
U AB Xc
IL
U AB XL
I I L IC Po dosazení:
U 2 U R U AB R I U AB R I L I C U AB 2
2
U U R AB AB Xc XL
2
2
2
2
2
U AB 2
2 2 U AB U AB 1 1 2 2 U AB U AB R 12 U R X c X X c XL L 2
U U AB 2
U
AB
2
X X 2 2 R X c X L 2 c L 1 U AB R X L X c X X L c
1 2
U R X X c L XL Xc
2 1 2
Nyní můžeme dosadit do vztahů pro výpočet IL a IC a určit celkový proud I a napětí na odporu UR. Fázový posun φ pak vypočítáme z cosφ, cosφ = UR/U.
6.6
Výkon v obvodech střídavého harmonického proudu
Z kapitol 6.5.1 až 6.5.3 tohoto oddílu vyplývá, že činný výkon vzniká pouze na odporové zátěži; induktivní zátěž při vytváření magnetického pole pouze předává energii ze zdroje do magnetického pole a zpět z magnetického pole do zdroje, kapacitní zátěž při nabíjení kondenzátoru předává energii ze zdroje do elektrického pole a při vybíjení ji vrací do zdroje. Při konstantním napětí a proudu – tedy ve stejnosměrných obvodech – pro výkon platí:
P U I V obvodech střídavého proudu je okamžitý výkon
p u i 178
2
Vzhledem k tomu, že ve střídavých obvodech je obecně mezi napětím a proudem fázový posun , pak součin efektivních hodnot napětí U a proudu I není jen dodavatelem tepelné nebo mechanické pohybové energie, ale jeho část slouží k předávání energie do a z magnetického nebo elektrického pole. Tato veličina se nazývá zdánlivý výkon, značí se S a její jednotkou je voltampér.
S U I
(VA; V, A)
Proud I je proud odebíraný zátěží ze zdroje. Tímto proudem je zatěžován nejen zdroj, ale také přívodní vodiče k vlastní zátěži. Energie, která vykonává práci, je takzvaná činná energie. Ta se spotřebovává jako tepelná nebo pohybová energie v elektrických strojích a přístrojích. Jejím měřítkem je činný výkon P, který je dán součinem napětí a té složky proudu, která je s napětím ve fázi, tedy činné složky proudu. Je-li fázový posun mezi napětím a proudem , pak činná složka proudu je
I Č I cos činný výkon je
P U I Č U I cos
(W, V, A)
Hodnota cos se nazývá účiník. Při čistě odporové zátěži je cos = 1, při čistě kapacitní a induktivní zátěži je cos = 0. Součin napětí a jalové složky proudu (tj. proudu, který je před, případně za napětím posunut o 90o), nevykonává na zátěži žádnou práci, nespotřebovává energii, slouží pouze k přelévání energie do a ze zdroje. Tento součin se nazývá jalový výkon, značí se Q a jeho jednotkou je voltampér reaktanční.
Q U I j U I sin
(Var, V, A)
Vztah mezi těmito třemi výkony P, Q, S určíme výpočtem: P U I cos
Q U I sin
P 2 U 2 I 2 cos 2
S U I
/2
Q 2 U 2 I 2 sin 2
S2 U2 I2
P 2 Q 2 U 2 I 2 cos 2 U 2 I 2 sin 2 U 2 I 2 (cos 2 sin 2 ) U 2 I 2 Platí tedy, že
P2 Q2 S 2 což je vztah pro pravoúhlý trojúhelník podle obr. 200:
Obr. 200 – Výkony ve střídavém obvodu
179
Na obr. 201 je obecná zátěž napájená zdrojem střídavého harmonického napětí. Ampérmetr A měří celkový proud I odebíraný ze zdroje. Wattmetr W měří činný výkon P, voltmetr V měří napětí U. Z naměřených hodnot je možné vypočítat zdánlivý výkon S, jalový výkon Q a hodnotu cos, která se nazývá účiník.
Obr. 200 – Měření účiníku
Příklad 79: Na konkrétní cívce změřte její indukčnost L a její činný odpor R. Pro danou frekvenci f určete zdánlivý, činný a jalový výkon a účiník cos. Řešení: 1. Skutečnou cívku připojíme ke zdroji stejnosměrného napětí – viz obr. 201 a). Cívkou prochází stejnosměrný proud, proto nedochází ke změně magnetického toku a tak se v cívce v ustáleném stavu neindukuje napětí. Proud procházející obvodem je omezen jen odporem cívky (f = 0, tedy XL = 0). Měříme napětí na cívce a proud obvodem, odpor R určíme z Ohmova zákona R = U/I. Pozor, protože je odpor cívky R velmi malý, je nutno při měření omezit proud předřazeným odporem.
a)
b) Obr. 201 – Měření indukčnosti
2. Cívku připojíme ke zdroji střídavého napětí o známém kmitočtu f – viz obr. 201 b). Proud procházející cívkou je omezen jednak jejím odporem R, ale zejména její induktivní reaktancí XL. Změříme opět proud a napětí na cívce a z naměřených hodnot U, I a z vypočtené hodnoty R získané v měření se stejnosměrným napájením určíme výpočtem XL (náhradní schéma cívky a příslušný fázorový diagram je zakreslen na obr. 193) a poté indukčnost cívky L: 180
Z
U I
cos
S U I
6.7
L
X L Z 2 R2
XL 2 f
UR R I R U Z I Z
P U I cos
Q U I sin
Rezonance
Rezonanční obvody jsou RLC obvody, a to buď sériové, nebo paralelní. Víme, že velikosti indukční reaktance XL i kapacitní reaktance XC jsou závislé na frekvenci napájecího napětí, tudíž i chování rezonančních obvodů je frekvenčně závislé. Rezonance RLC obvodu je stav, kdy se kapacitní a induktivní složky příslušných veličin rovnají. Tento stav nastává pří konkrétní frekvenci pro daný obvod; tuto frekvenci nazýváme rezonanční frekvence a značí se f0.
6.7.1 Sériový rezonanční obvod Sériový rezonanční obvod je složen ze sériově spojené reálné cívky s kondenzátorem - viz obr. 202.
Obr. 202 – Sériový rezonanční obvod, náhradní schéma a jeho fázorový diagram Rezonance nastává tehdy, je-li UL = UC. Protože U L X L I a U C X C I , je tedy pro rezonanci XL = XC. Impedance Z pro sériový RLC obvod (viz obr. 186) je
Z ( X L X C )2 R2 Pro případ rezonance, kdy XL = XC, je tedy impedance obvodu je minimální, označujeme ji jako rezonanční impedanci s označením Z0 Z0 = R. Proud, který protéká obvodem, bude v tomto případu maximální, a to I0
U R
181
Frekvence, při které rezonance nastane, se nazývá rezonanční frekvence f0 a její velikost získáme z rovnosti reaktancí XL = XC:
1 2 f 0 L 2 f 0 C
1 2 2 L C
f0
2
f0
1 2 L C
Rezonanční křivka Je závislost velikosti impedance Z na frekvenci Z = f(f):
Z ( X L X C ) 2 R 2 (2 f L
1 )2 R2 2 f C
Pro f = 0 je impedance Z , I = 0 (kondenzátor nepropouští stejnosměrný proud). Fázový posun je také závislý na frekvenci, je-li XL >XC, proud se za napětím zpožďuje o úhel , je-li XL <XC, proud se před napětím předbíhá o úhel . Pro f = f0 je XL >XC, úhel = 0. Z fázorového diagramu pro RLC sériový obvod (viz obr. 186) platí
2 f L
arctg
1 2 f C
R
Frekvenční závislost proudu I je
I
U Z
U (2 f L
1 )2 R2 2 f C
Obr. 203 – Rezonanční křivky pro sériový rezonanční obvod Činitel jakosti pro sériový rezonanční obvod Skutečný kondenzátor v obvodu má téměř stejné vlastnosti a chování jako ideální kondenzátor. Reálná cívka na rozdíl od cívky ideální má vždy kromě indukčnosti L i ohmický odpor R, protože je navinuta z vodiče konkrétní délky, průřezu a z konkrétního materiálu. Čím bude odpor R cívky větší, tím bude větší hodnota rezonanční impedance Z0, Z0 = R. Napětí na indukčnosti je U L X L I L I 182
a napětí na kondenzátoru U C X C I
1 I . C
Pro případ rezonance platí XL = XC a tedy
U L 0 U C 0 0 L I 0 kde
I0
U R
Po dosazení je
U L 0 U C 0 0 L I 0 0 L Výraz
0 L R
U 0 L U R R
označujeme Q a nazýváme ho činitel jakosti.
Obr. 204 – Sériový rezonanční obvod - rezonanční křivky s různým činitelem jakosti Pak
U L0 X C 0 Q U
To znamená, že při rezonanční frekvenci f0 je napětí na kondenzátoru a induktivní složka napětí na cívce právě Q krát větší než napětí na zdroji. Tato napětí mohou být nebezpečná při náhodném dotyku.
6.7.2 Paralelní rezonanční obvod Paralelní rezonanční obvod je složen z reálné cívky paralelně spojené s kondenzátorem - viz obr. 205.
Obr. 205 – Paralelní rezonanční obvod, náhradní schéma a fázorový diagram 183
K paralelní rezonanci dochází, je-li velikost jalové složky proudu reálnou cívkou rovna velikosti proudu kondenzátorem. Platí tedy, že IRLj = IC. Výsledný proud I je pak roven činné složce proudu reálnou cívkou I = IRLč a obvod se chová jako by byl zatížený pouze odporem R reálné cívky. Tento stav nastane při rezonanční frekvenci f0. Pokud je frekvence f > f0, je kapacitní reaktance menší než reaktance indukční, bude převládat kapacitní proud a obvod bude mít kapacitní charakter. Naopak pokud je frekvence f < f0, je kapacitní reaktance větší než reaktance indukční, bude převládat induktivní proud a obvod bude mít induktivní charakter. Proud cívkou je
U
I RL
X L R 2
2
U
2 f L 2 R 2
Jalová složka proudu IRL je
I RLj I RL sin RL
sin RL
kde
2 f L
U L I RL X L X L U I RL Z RL Z RL
2 f L 2 R 2
Po dosazení
I RLj
U
2 f L
2
2 f L
R
2
2 f L
2
R
2
2 f L U 2 f L 2 R 2
Činná složka proudu IRLč je
I RLč I RL cos RL
I RLč
U
2 f L R 2
2
U
2 f L R 2
2
UR U
U
2 f L R 2
I RL R
I RL
2 f L R 2
2
2
U
Proud kondenzátorem je
IC
U XC
U 2 f C U 1 2 f C
Pro rezonanci
I RLj I C 2 f 0 L U 2 f 0 C U 2 f 0 L 2 R 2 L C 2 f 0 L 2 R 2
(2 f 0 ) 2 L2 C C R 2 L 0 1 1 R f0 2 LC L 184
2
I RL R
I RL
2 f L 2 R 2
R 2 f L 2 R 2
Celkový proud při paralelním spojeni cívky a kondenzátoru je 2
I ( I RLj I C ) I 2
2 RLč
2
2 f L U R 2 f C U 2 2 2 2 f L R 2 2 f L R 2
2 f L R U 2 f C 2 2 2 2 2 f L R 2 f L R
2
Při rezonanci bude výsledný proud rovný činné složce, tedy
R 2 f 0 L 2 R 2
I 0 I RLč U Impedance při rezonanci je
U 2 f 0 L R 2 I0 R 2
Z0
Při rezonanci protéká paralelním rezonančním obvodem nejmenší proud, impedance obvodu je maximální. Při všech frekvencích f f0 je proud vždy větší než I0. Při frekvenci f = 0 (což platí pro stejnosměrný ustálený proud) je celková impedance rovna odporu cívky R (XC , XL = 0), proud protéká pouze větví s cívkou. Rezonanční křivky Rezonanční křivky jsou závislosti I = f(f) a Z = f(f). Získáme je zakreslením grafu matematického vyjádření příslušných funkcí: 2
2 f L R I U 2 f C 2 2 2 2 2 f L R 2 f L R
2
a
Obr. 206 – Rezonanční křivky paralelního rezonančního obvodu Činitel jakosti obvodu Činitel jakosti obvodu je Q
Q
0 L R
185
Z
U I
Platí
I C 0 I RL 0 Q I 0 Proud procházející kondenzátorem a proud procházející cívkou jsou Q krát větší než proud odebíraný ze zdroje.
Příklad 80: Cívka o odporu 10 a indukčnosti 3 mH a kondenzátor s kapacitou 2 F jsou spojeny a) sériově a b) paralelně a připojeny na napětí 24 V. Určete rezonanční kmitočet, impedanci, proud při rezonanci a činitel jakosti. Pro sériový obvod stanovte napětí na kondenzátoru, pro paralelní obvod stanovte proud kondenzátorem. Řešení: Ad a) Rezonanční frekvence 1 1 1 f0 3 6 2 L C 2 3 10 2 10 2 30 10 4 2 10 6 100 10 3 2,055 10 3 Hz 2 60 Rezonanční impedance Z0 = R =10 Proud odebíraný ze zdroje při rezonanci U 24 I0 2,4A R 10 Napětí na kondenzátoru (a i na cívce) při rezonanci
U C 0 U L 0 0 L I 0 2 f 0 L I 0 2 2,055 103 3 10 3 2,4 92,9516 V Činitel jakosti Q
U C 0 92,95 3,873 U 24
Ad b) Rezonanční frekvence
f0
1 1 2 L C
2
2
1 1 R 10 3 6 3 2 3 10 2 10 L 3 10 2
1 10 9 10 4 1 166666667 11111111 1985 Hz 2 3 2 3 2 Proud odebíraný ze zdroje při rezonanci
186
R 10 24 2 2 2 2 f 0 L R 2 1985 3 10 3 10 2 10 10 24 24 0,16 A 2 1500 2 1,985 3 10 2 I 0 I RLč U
Rezonanční impedance Z0
U 24 150 I 0 0,16
Proud kondenzátorem při rezonanci
IC0
U X C0
U 2 f 0 C U 2 1985 2 10 6 24 0,598665 A 1 2 f 0 C
Činitel jakosti Q
I C 0 0,5987 3,741657 I 0,16
Pozn.: Pro praktické výpočty se pro rezonanční kmitočet u paralelních obvodů používá vztah totožný se vztahem pro výpočet rezonanční frekvence pro sériový obvod.
f0
1 2 L C
Vzhledem k tomu, že u skutečné cívky je R výrazně menší než XL, je tento vztah dostatečně přesný (pro ideální paralelní LC obvod by byl přesně tentýž jako pro sériový).
6.8
Kompenzace účiníku
Jak bylo uvedeno v kapitole 6.6, činná energie, která vykonává práci, buď ve formě tepla, nebo pohybové energie v elektrických strojích a přístrojích, je dána součinem času, napětí a té složky proudu, která je s napětím ve fázi, tedy činné složky proudu. Jejím měřítkem je činný výkon P, který je dán součinem napětí a činné složky proudu. Je-li fázový posun mezi napětím a proudem , pak činná složka proudu je
I Č I cos činný výkon je
P U I Č U I cos
(W, V, A)
Hodnota cos se nazývá účiník. V elektrických sítích se většinou vyskytuje situace, kdy je proud zpožděn za napětím. To je dáno převahou zátěže induktivního charakteru v síti, což způsobují magnetizační proudy v elektrických strojích. 187
a)
b)
Obr 207 – Kompenzace účiníku: a) stav před kompenzací b) stav po kompenzaci Induktivní zátěž ve střídavých obvodech při vytváření magnetického pole pouze předává energii ze zdroje do magnetického pole a zpět z magnetického pole do zdroje. Induktivní jalové proudy tedy nedodávají žádnou činnou energii, nicméně jsou potřebné pro zajištění činnosti elektrických strojů, které většinou pracují na principu elektromagnetických jevů. Jalová induktivní složka proudu tedy musí být dodávána ze zdroje do spotřebiče, což vyžaduje, aby zdroj byl dimenzován na celkový proud, nikoliv jen na činný; zdroj bude tedy větší, těžší a cenově nákladnější. Přívodní vodiče jsou též zatěžovány celkovým proudem a tím se zvyšují tepelné ztráty Pz R I 2 na přívodních vodičích. Mimo to i vodiče musí být dimenzovány na zatížení celkovým proudem, musí tedy mít větší průřez a tím jejich cena roste. Pokud do obvodu induktivního charakteru paralelně připojíme kondenzátor, proud kondenzátorem bude fázově posunut o 180o proti jalové induktivní složce proudu odebíraného původní zátěží. Tím se celkový výsledný proud sníží, ačkoliv magnetizační proud (= jalová složka původního odebíraného proudu) zůstává zachován a funkce elektrických strojů také zůstává zachována. Snížením celkového proudu dosáhneme odlehčení zdroje i přívodního vedení. Tento postup se nazývá kompenzace účiníku. Pozor: nikdy se nesmí vyskytnout stav úplného vykompenzování na cos = 1, což je stav paralelní rezonance. Účiník se kompenzuje na hodnotu přibližně cos = 0,95.
Příklad 81: Jednofázový asynchronní motor o výkonu 0,3 kW připojený na napětí 230 V má účiník 0,7. Určete, jaký kondenzátor je třeba připojit paralelně k motoru, aby byl účiník kompenzován na hodnotu 0,95. Řešení: Před připojením kompenzačního kondenzátoru: Činný výkon je 188
P U I Č U I cos Z toho plyne, že odebíraný proud je
I
P 300 1,863354 A U cos 230 0,7
Činná složka proudu je
Ič
P 300 1,304348 A U 230
Jalová induktivní složka proudu je
I j I 2 I č2 1,863354 2 1,3043482 1,330701A Po připojení kompenzačního kondenzátoru: coskomp = 0,95 Z toho plyne, že odebíraný proud je
I komp
P 300 1,372998 A U cos komp 230 0,95
Činná složka proudu je stejná, tedy
Ič
P 300 1,304348 A U 230
Jalová induktivní složka proudu je 2 I jkomp I komp I č2 1,3729982 1,3043482 0,428718 A
Pro kapacitní proud kondenzátoru platí
I jkomp I j I C Proud kondenzátorem tedy bude
I c I j I jkomp 1,330701 0,428718 0,901983 A Pro proud kondenzátorem platí
IC
U Xc
U 1 2 f C
Kapacita kondenzátoru je tedy
C
IC 0,901983 1,2483 10-5 12,483 10-6 F = 12,483 F 2 f U 2 50 230
189
7
Trojfázová soustava
Převážná většina běžných menších domácích spotřebičů je konstruována na napájení jednofázovým střídavým proudem. Větší spotřebiče, ať už domácí, nebo většina průmyslových zařízení, jsou napájeny trojfázovým proudem. Stejně tak i výroba a rozvod elektrické energie v přenosových sítích je realizována trojfázově. Z jednotlivých fází jsou pak napájeny i běžné jednofázové spotřebiče. Výroba, rozvod a použití trojfázových proudů přináší řadu výhod. Největší z nich je dána využitím točivého magnetického pole, které vzniká právě v důsledku napájení vinutí trojfázových motorů trojfázovým proudem a bude popsáno v jedné z dalších kapitol. Další velkou výhodou je úspora materiálu při realizaci rozvodné sítě a menší ztráty při distribuci elektrické energie; podrobnější vysvětlení této problematiky bude v dalším textu.
7.1
Vznik trojfázového střídavého harmonického napětí
Z teorie střídavých proudů víme, že otáčí-li se v magnetickém poli s konstantní velikostí magnetické indukce B závit - viz obr. 208, ve vodiči se indukuje v každém okamžiku napětí u.
Obr. 208 – Vznik jednofázového střídavého harmonického napětí
ui 2 B l vx 2 B l v sin U max sin kde B … je magnetická indukce magnetického pole l … je aktivní délka závitu (tj. délka v magnetickém poli) v … je rychlost otáčení závitu v=r r = a/2 Závit se otáčí úhlovou rychlostí , úhel je tedy
t
190
a po dosazení dostaneme vztah pro závislost napětí indukovaného v závitu otáčejícím se konstantní úhlovou rychlostí v magnetickém poli s konstantní magnetickou indukcí B na čase t: ui U max sin( t )
Obr. 209 – Jednofázové střídavé harmonické napětí Budou-li se v tomtéž magnetickém poli otáčet tři závity, které budou navzájem prostorově pootočené o 120o - viz obr. 210, bude se v každém z nich indukovat jednofázové střídavé harmonické napětí o shodné maximální hodnotě a o shodné frekvenci; lišit se budou úhlovým posunem jednotlivých napětí.
Obr. 210 – Vznik trojfázového střídavého harmonického napětí Tato tři napětí, jejichž průběhy jsou navzájem posunuty o 120o, a jejichž fázory jsou pochopitelně také navzájem pootočeny o 120 o, se nazývají fázová napětí. Jednotlivé fáze se označují L1, L2 a L3, nebo také U, V, W – viz obr. 211.
Obr. 211 – Fázorový diagram a časový průběh trojfázového střídavého harmonického napětí 191
Matematický zápis časových průběhů jednotlivých fázových napětí je
uU U max sin( t )
2 ) 3 4 sin( t ) 3
uV U max sin( t uW U max
Z fázorového diagramu i z časového průběhu fázových napětí je patrné, že součet okamžitých hodnot všech tří fázových napětí je v každém okamžiku roven nule:
uU uV uW 0
Obr. 212 – Součet jednotlivých fázových napětí Velikost všech tří fázových napětí je stejná UU = UV = UW = Uf. Platí
1 x U f cos(60o ) U f 2
1 y 2 U f U f 2
Velikost vektorového součtu UV a UW je rovna Uf a smysl je opačný než smysl fázoru UU. Součet všech tří fázorů je tedy 0: UU + UV + UW = 0
7.2
Výroba trojfázového proudu
Trojfázový proud se vyrábí ve stroji nazývaném alternátor. Alternátor je točivý elektrický stroj, který přeměňuje pohybovou energii rotačního pohybu na energii elektrickou. Mechanická energie přiváděná na rotor se mění na elektrickou energii odebíranou ze statorového vinutí. Alternátor se skládá ze dvou hlavních částí: pevného statoru a otáčejícího se rotoru. Rotorem otáčí poháněcí stroj (většinou turbína). Stator je nepohyblivá část stroje. Je tvořen pevnou kostrou, ve které je umístěn magnetický obvod ve tvaru dutého válce složený z plechů pro elektrotechniku. Na vnitřní ploše válce jsou drážky, ve kterých je uloženo trojfázové měděné izolované vinutí. Vinutí jednotlivých fází je posunuto o 120o. Začátky i konce statorového vinutí jednotlivých fází jsou vyvedeny pevnými 192
průchodkami ze statoru. Jednotlivé fáze se označují písmeny U, V, W, začátky se označují U1, V1, W1, konce U2, V2, W2.
Obr. 213 – Trojfázový alternátor – princip činnosti
Obr. 215 – Statorové vinutí
Obr. 214 – Skládání magnetického obvodu statoru Obr. 216 – Kostra statoru s magnetickým obvodem a statorovým vinutím 193
Rotor je pohyblivá část alternátoru; je umístěn souose uvnitř statoru. Magnetický obvod rotoru ve tvaru válce je vykovaný z legované oceli jako jediná část spolu s hřídelem; na válcové ploše má podélné drážky, ve kterých je uloženo budící vinutí napájené přes kroužky stejnosměrným proudem. Rotor je poháněn turbínou a otáčí se jmenovitými otáčkami n (ot/min).
Obr. 217 – Vkládání cívek budícího vinutí do tělesa rotoru
Obr. 218 – Vkládání rotoru do statoru Stejnosměrný rotorový budící proud vybudí magnetické stejnosměrné pole. Rotor se otáčí jmenovitými otáčkami n (ot/min), tedy s frekvencí f = n/60, jeho úhlová rychlost je =2f. Spolu s rotorem se otáčí i stejnosměrné magnetické pole. Jeho indukční čáry protínají stojící vodiče vinutí jednotlivých fází uložené ve statoru a tím se ve statorovém vinutí indukuje elektrické napětí. Princip vzniku trojfázového napětí je stejný jako v případě popsaném v kapitole 7.1, rozdíl je jen v tom, že se neotáčí vinutí, ale magnetické pole. Výhodou tohoto uspořádání je, že velké výkony vyrobené přeměnou mechanické energie rotačního pohybu na elektrickou energii vyvádíme pevnými průchodkami a výrazně menší výkon budícího proudu přivádíme do budícího vinutí přes pohyblivé kroužky. Vyvádění vyrobených velkých výkonů přes kroužky by bylo z provozního hlediska značně problematické. Toto provedení alternátoru se používá při výrobě elektrické energie v parních a jaderných elektrárnách, tj. tam, kde je alternátor poháněn parní turbínou – tyto alternátory jsou
označovány jako turboalternátory. Jmenovité otáčky turboalternátorů jsou zpravidla 3000 ot/min. Pro hydroelektrárny je konstrukční provedení rotoru jiné; rotor má vyniklé póly, na kterých jsou umístěny cívky budícího vinutí. Princip výroby elektrické energie je ale shodný s předchozím provedením.
Obr. 219 – Rotor s vyniklými póly, na nichž jsou cívky budícího vinutí Pro alternátory malých výkonů může být rotor realizován permanentním magnetem. Zapojení statorového vinutí alternátorů Vzhledem k tomu, že součet všech tří fázových napětí v souměrné trojfázové soustavě je v každém okamžiku roven nule, je možné spojit konce jednotlivých fázových statorových vinutí do jediného uzlu, který má proti zemi nulové napětí. Tento uzel se nazývá nulový bod a označujeme ho N. Toto spojení se nazývá zapojení do hvězdy. Nulový bod může, ale nemusí být vyveden. Rozvod elektrické energie se pak provádí třemi nebo čtyřmi vodiči. Jednotlivé fázové vodiče se označují L1, L2, L3 (fáze), střední vodič se označuje N (nulový vodič, „nulák“).
a)
b)
Obr. 220 – Zapojení statorového vinutí alternátoru do hvězdy a) bez středního vodiče b) s vyvedeným středním vodičem Napětí na alternátoru při zapojení do hvězdy Mezi jednotlivými fázemi a nulovým vodičem je napětí, které se indukuje ve vinutí příslušné fáze – takzvané fázové napětí Uf. 195
UU UV UW U f
Obr. 221 – Fázová a sdružená napětí na výstupu z alternátoru při zapojení do hvězdy Mezi dvěma fázemi je takzvané sdružené napětí US.
UUV UVW UWU U S Velikost sdruženého napětí vypočteme z rovnoramenného trojúhelníku fázových a sdruženého napětí: US 3 U f cos 30 o U f 2 2
U S 3 U f Mezi jakýmkoliv fázovým vodičem a nulovým vodičem je fázové napětí Uf. Mezi libovolnými dvěma fázovými vodiči je sdružené napětí US.
7.3
Přenos energie v trojfázové elektrizační síti
Elektrickou energii vyrobenou v alternátorech je nutno přenést rozvodnými sítěmi ke spotřebitelům. Protože vedení vykazuje ohmický odpor, vznikají na něm úbytky napětí U a ztráty Jouleovým teplem – ztrátový výkon je P. Úbytek napětí na vedení je
U R I kde R je odpor vedení I je přenášený proud Ztrátový výkon na vedení je
P U I R I I R I 2 Z uvedeného je patrné, že ztrátový výkon a tedy i ztráty na vedení jsou úměrné druhé mocnině přenášeného proudu.
196
Celkový přenášený výkon je úměrný součinu UI. Proto se snažíme přenášet elektrickou energii s co největším napětím; pak při stejném přenášeném výkonu bude proud menší a tím výrazněji bude menší jeho druhá mocnina, jíž jsou úměrné ztráty. Elektrická energie vyrobená v alternátorech má různá napětí podle typu alternátoru. Běžně se napětí alternátorů pohybují v řádech 6 až 20 kV. Toto napětí je pro dálkový přenos relativně nízké, ztráty ve vedení by byly vzhledem k velikosti přenášeného výkonu značné. Proto se energie transformuje na vyšší napětí pomocí strojů nazývaných transformátory. Transformátory jsou netočivé elektrické stroje využívají vzájemnou indukčnost dvou cívek. Na společném feromagnetickém jádru složeném z transformátorových plechů jsou nasunuty dvě cívky: primární a sekundární. Tyto cívky mají různý počet závitů. Protéká-li první cívkou proud I1, vybudí magnetický tok , který se uzavírá i prostorem druhé cívky. Tok indukuje v každém jednotlivém závitu obou cívek stejné napětí; tedy napětí U1 v první cívce je úměrné počtu závitů první (primární) cívky N1 a napětí U2 ve druhé (sekundární) cívce je úměrné počtu závitů N2 druhé cívky.
Obr. 222 – Princip transformátoru Z uvedeného je patrné, že
U 1 N1 (= transformační poměr) U2 N2
a tedy
U 2 U1
N2 N1
Má-li sekundární cívka větší počet závitů než cívka primární, energie se transformuje na vyšší napětí; naopak pokud má primární cívka větší počet závitů než cívka sekundární, energie se transformuje na nižší napětí Velké energetické transformátory mají velmi vysokou účinnost; lze tedy zjednodušeně říci, že vstupní výkon převáděné energie je roven výkonu výstupnímu P1 = P2 = P Je-li N2 > N1 , vstupní napětí U1 a proud I1 , pak
U 2 U1
N2 > U1 N1
Sekundární napětí je větší než primární. Protože platí
I2 pak
P P a I1 U1 U2 I2 < I1
proud v sekundárním vinutí je menší než proud v primárním vinutí.
197
Vzájemný poměr proudů při transformaci je
I2
I 1 U1 I 1 U1 I 1 N 1 N2 U2 N2 U1 N1
→
I 2 N1 I1 N 2
Pro N2 > N1 se napětí transformací zvyšuje, proud naopak snižuje – ztráty při přenosu energie se sníží. Napětí pro dálkové přenosy elektrické energie (tzv. páteřní sítě) jsou 220 kV a 400 kV. Distribuční síť pracující v rámci regionů má napětí 110 kV. Velké energetické bloky mají výstup z alternátoru připojen k transformátoru, který zvýší výstupní napětí energie z alternátoru na vyšší hodnotu – některou z uvedených hodnot pro dálkový nebo distribuční přenos energie. Pro rozvod v konkrétním místě spotřeby se energie transformuje zpět na menší napětí, zpravidla 22 kV a následně přímo u spotřebitele na 400 V.
G – trojfázový alternátor T – trojfázový transformátor
Obr. 223 – Zjednodušené schéma rozvodné soustavy
7.4
Připojování spotřebičů k trojfázové síti
Spotřebitelské sítě jsou dvojího druhu: sítě TN – S a sítě TN – C. Každá síť obsahuje tři fázové vodiče označení L1, L2 a L3.V síti TN – C je vyveden střední (nulový) vodič, který slouží jednak jako zpětný vodič pro jednofázové spotřebiče a současně jako ochranný vodič; jeho označení je PEN. V síti TN – S je zvlášť vyveden střední vodič sloužící jako zpětný vodič pro jednofázové spotřebiče – označuje se N, a zvlášť ochranný vodič označený PE. Aby bylo zatížení sítě co nejrovnoměrnější, zapojujeme jednotlivé jednofázové spotřebiče mezi různé fáze a nulový vodič. Nulový vodič PEN, případně ochranný vodič PE slouží jako ochranný vodič při ochraně před dotykem neživých částí elektrického zařízení nulováním. Neživá část elektrického zařízení je taková vodivá část zařízení, která za normálních provozních podmínek není pod napětím, ale vlivem poruchy se na ní může napětí objevit, například při poruše izolace. Pak na kovovém krytu nebo kostře může být napětí až 230 V a dotyk osoby se zařízením pod napětím může být zdraví ohrožující. 198
Obr. 224 – Spotřebitelská síť TN - C
Obr. 225 – Spotřebitelská síť TN - S Ochrana nulováním Ochrana nulováním spočívá v automatickém odpojení zařízení od sítě, objeví-li se na neživé části zařízení elektrické napětí. Pokud elektrické zařízení na obr. 226 pracuje bezporuchově, protéká fázovým vodičem jmenovitý proud IN daného zařízení IN = Uf / RN, kde RN = R2.1 je jmenovitý odpor v dané fázi. Na tento proud je dimenzován jistící prvek F (zkratová spoušť jističe nebo tavná pojistka); proud může procházet zařízením po libovolnou dobu.
199
Dojde-li k poškození izolace a následnému doteku živé části elektrického zařízení (např. fázového přívodního vodiče) s vodivou neživou částí (například kostrou zařízení), objeví se na neživé části fázové elektrické napětí. Je-li zařízení izolované od země a není na něm aplikována žádná ochrana, proud se nemůže uzavírat jinou cestou než při normálním bezchybném provozu. Zařízení tedy funguje dál, ale na kostře je nebezpečné napětí. Dotkne-li se obsluha kostry, dojde přes odpor těla k uzavření obvodu zemí, přes tělo prochází elektrický proud a dochází k úrazu elektrickým proudem – viz obr. 226 a).
a)
b) Obr. 226 – Ochrana nulováním
Pokud je nulovací svorka zařízení propojena s ochranným vodičem PE – viz obr. 226 b), při poruše izolace začne obvodem procházet proud, který je omezen jen odporem kostry RK, který je výrazně menší než provozní odpor RN dané fáze elektrického zařízení. Procházející proud IK = Uf / RK tedy bude výrazně vyšší než jmenovitý fázový proud zařízení IN a jeho působením se rozpojí jistící prvek F2.1 (zkratová spoušť jističe nebo tavná pojistka). Tím se daná fáze zařízení odpojí od sítě a nebezpečí úrazu elektrickým proudem pomine.
7.4
Zapojení trojfázových spotřebičů ve trojfázové síti
Trojfázové spotřebiče mají v převážné většině stejnou impedanci v každé jednotlivé fázi. Fázové impedance se vzájemně spojují jednak do hvězdy, jednak do trojúhelníka
7.4.1 Zapojení trojfázového spotřebiče do hvězdy Jednotlivé fázové impedance ZU, ZV a ZW daného trojfázového spotřebiče mají vstupy připojeny k jednotlivým fázovým vodičům L1, L2 a L3 a jejich výstupy jsou spojeny do uzlu a připojeny ke střednímu vodiči N – viz obr. 227. Souměrné zatížení Jsou-li impedance ve všech třech fázích stejně velké ZU = ZV = ZW = Zf, pak velikosti proudů v jednotlivých fázích jsou také stejně velké a jejich hodnota je
200
If
Uf Zf
Proudy jsou vzájemně posunuty o 120o a jejich fázory svírají s fázory fázových napětí úhel daný typem impedance ve fázi spotřebiče.
Obr. 227 – Trojfázový spotřebič zapojený do hvězdy
Obr. 228 – Fázorový diagram při zapojení do hvězdy a souměrném zatížení fází Protože IU = IV = IW = If a proudy jsou pootočeny o 120o, jejich vektorový součet je roven nule – viz obr. 228. Z toho plyne, že středním vodičem při souměrném zatížení fází neprotéká žádný proud: IN = 0 Nulový vodič se jeví být v takovém případě nadbytečný; je však třeba zohlednit, že může vlivem poruchy v některé fázi spotřebiče dojít k nesouměrnosti a pak se proud daný vektorovým součtem zbývajících dvou funkčních fází uzavírá právě středovým vodičem. Nesouměrné zatížení Nesouměrné zatížení nastává buď vlivem poruchy při souměrném zatížení, nebo připojením různých jednofázových spotřebičů na jednotlivé fáze - viz obr. 225. Trojfázové motory a další trojfázové spotřebiče budou v bezporuchovém stavu zatěžovat síť rovnoměrně, ale zásuvky, světelné obvody a další jednofázové spotřebiče rovnoměrné proudové zatížení mohou porušit; přestože je snaha připojovat v domovních rozvodech jednotlivé obvody na různé fáze pokud možno rovnoměrně, nikdy se nedosáhne stále stejné spotřeby všech odběratelů ve všech 201
obvodech. Pak prochází středním vodičem zpět do uzlu N napájecího transformátoru proud IN, který je vektorovým součtem proudů ve všech třech fázích. Proudy v jednotlivých fázích jsou
IU
UU ZU
IV
UV ZV
IW
UW ZW
Velikosti jednotlivých fázových napětí jsou stejné
UU UV UW U f a fázory fázových napětí UU, UV a UW jsou vzájemně pootočeny o 120o.
Obr. 229 – Fázorový diagram při zapojení do hvězdy při nesouměrném zatížení fází Fázový posun mezi proudem a napětím v jednotlivých fázích U, V, W je dán typem zátěže v jednotlivých fázích U, V, W. Pozor: Ve spotřebitelských sítích nízkého napětí (230 V / 400 V) se nesmí střední vodič nikde přerušit. Veškeré jistící a spínací přístroje musí být zapojeny mezi fázovým přívodem a spotřebičem!
7.4.1 Zapojení trojfázového spotřebiče do trojúhelníka Zapojení trojfázového spotřebiče do trojúhelníka je zakresleno na obr. 230.
Obr. 230 – Trojfázový spotřebič zapojený do trojúhelníka 202
Jednotlivé zátěže ZUV, ZVW, ZWU jsou připojeny na sdružená napětí UUV, UVW, UWU, která jsou stejně velká a vzájemně posunutá o 120o: UUV = UVW = UWU = US
U S 3 U f
kde
Proudy v jednotlivých zátěžích jsou
IUV
US ZUV
IVW
US ZVW
IWU
US ZWU
a fázový posun mezi proudy a napětími je dán typem zátěže. Proudy v přívodních fázových vodičích jsou podle I. Kirchhoffova zákona IU + IWU - IUV = 0
IU = IUV - IWU
IV - IVW + IUV = 0
IV = IVW - IUV
IW + IVW - IWU = 0
IW = IWU - IVW
Souměrné zatížení Jsou-li impedance všech tří zátěží stejně velké ZUV = ZVW = ZWU = ZS, pak velikosti proudů v jednotlivých zátěžích jsou také stejně velké a jejich hodnota je
IS
US U f 3 ZS ZS
Proudy v zátěžích jsou vzájemně posunuty o 120o a jejich fázory svírají s fázory fázových napětí úhel daný typem impedance spotřebiče.
Napájecí napětí
Proudy v zátěžích
Obr. 231 – Fázorový diagram při zapojení do trojúhelníka a souměrném zatížení Proudy ve všech třech přívodních fázových vodičích jsou stejně velké a navzájem pootočené o 120o. Jejich velikost vypočteme z rovnoramenného trojúhelníku – viz obr. 232: If 2
IWU cos 30o IWU
I f 3 IWU
203
3 2
Obr. 232 – Proudy v přívodních vodičích při zapojení do trojúhelníka při souměrném zatížení Nesouměrné zatížení Nesouměrné zatížení nastává, mají-li impedance všech tří zátěží různé parametry. Pak je různá i velikost a fázový posun proudů v zátěžích a tím i proudů v přívodních vodičích – viz obr. 233.
Obr. 233 – Fázorový diagram při zapojení do trojúhelníka a nesouměrném zatížení
Příklad 82: Trojfázový spotřebič připojený k síti 230/400 V 50 Hz je souměrně zatížený, zátěže mají činný odpor R = 120 , indukčnost L = 0,4 H a jsou spojené do trojúhelníka - viz schéma na obr. 234. Určete proud v jednotlivých zátěžích a fázový proud, který tento spotřebič odebírá ze sítě. Nakreslete fázorový diagram pro napětí a proudy.
204
Obr. 234 – Schéma zapojení pro příklad 82 Řešení: Vyjdeme z fázorového diagramu – viz obr. 235
Obr. 235 – Fázorový diagram při zapojení do trojúhelníka podle obr. 234 Napětí na všech třech zátěžích je
UVU UUW UWV U S 400 V Proud v zátěžích bude mít stejnou velikost U IVU IUW IWV I S Z kde Z X L2 R 2 (2 f L) 2 R 2 (2 50 0,4) 2 1202 173,76
I
US 400 2,30207 A Z 173,76 205
Proud ve všech fázových přívodech bude mít stejnou velikost
IV IU IW I f 3 I 3 2,30207 3,987303 A
7.5
Výkon trojfázového proudu
Výkon trojfázového proudu je dán součtem výkonů v jednotlivých fázích. Činný výkon jedné fáze je
Pf U f I f cos
(W, V, A)
Zdánlivý výkon jedné fáze je
S f U f I f (VA, V, A) Jalový výkon jedné fáze je
Q f U f I f sin
(VAr, V, A)
Pokud je zátěž ve všech fázích stejná, platí: Celkový trojfázový činný výkon
P P3 f 3 U f I f cos
(W, V, A)
Celkový trojfázový zdánlivý výkon
S S3 f 3 U f I f
(VA, V, A)
Celkový trojfázový jalový výkon
Q Q3 f 3 U f I f sin
(VAr, V, A)
Příklad 83: Trojfázový spotřebič připojený k síti 230/400 V 50 Hz obsahuje tři stejné rezistory o odporu R = 80 spojené do hvězdy. Určete fázový proud, který tento spotřebič odebírá ze sítě, a celkový odebíraný výkon. Jak se změní výkon, zapojíme-li jednotlivé rezistory do trojúhelníku? Řešení: Každý z rezistorů je připojen na jedno z fázových napětí. Proud jednou fází bude
If
Uf R
230 2,875 A 80
Výkon jedné fáze je tedy
Pf U f I f 230 2,875 661,25 W
206
Výkon všech tří fází je
P 3 Pf 3 U f I f 3 230 2,875 1983,75 W Zapojíme-li rezistory do trojúhelníka, bude na každém z rezistorů sdružené napětí US. Proud každým z rezistorů bude
IS
3 U f U US 400 3 f 3If 5A R R R 80
Výkon na jednom rezistoru je tedy
PS U S I S 3 U f 3 I f 3 Pf 400 5 2000 W Výkon všech tří fází je
P 3 PS 3 2000 6000 W Výkon při zapojení rezistorů do trojúhelníka je 3 x větší než při zapojení do hvězdy.
7.5.1 Svorkovnice trojfázového spotřebiče, přepojování hvězda trojúhelník Začátky a konce zátěží jednotlivých fází v trojfázovém spotřebiči jsou většinou vyvedeny na svorkovnici. Ta je uspořádána tak, aby přepojení z hvězdy do trojúhelníku bylo co nejjednodušší. Připojení vinutí jednotlivých fází statoru trojfázového motoru ke svorkám svorkovnice je znázorněno na obr. 236. Přepojením spojek na svorkovnici jednoduše docílíme přepojení chodu motoru v režimu hvězda do chodu v režimu trojúhelník. Při provozu v zapojení do trojúhelníka má motor trojnásobný výkon než při zapojení do hvězdy.
a)
b)
c)
Obr. 236 – a) připojení vinutí ke svorkovnici b) spojení vinutí do hvězdy c) spojení vinutí do trojúhelníka
7.6
Točivé magnetické pole
Pokud k cívkám statorového vinutí jenotlivých fází, které jsou zájemně pootočny o 120o, připojíme fáze L1, L2 a L3 trofázového zdroje – viz obr. 237, vytvoří se v prostoru uvnitř statoru točivé magnetické pole.
207
Obr. 237 – Připojení statorového trojfázového vinutí k trojfázové síti Vznik točivého magnetického pole je patrný z obr. 238. V okamžiku t0 bude cívkou fáze W protékat proud iW v kladném smyslu, tedy od počátku W1 cívky ke konci W2, cívkou fáze V bude protékat proud iV v záporném smyslu, tedy od V2 do V1, cívka fáze U je v tomto okamžiku bez proudu. Proudy iW a iV vybudí magnetická pole W a v úměrná proudům, které je vyvolaly; jejich součet je magnetický tok - obr. 238 a). V okamžiku t1 bude cívkou fáze U protékat proud iU v kladném smyslu, tedy od počátku U1 cívky ke konci U2, cívkou fáze V bude protékat proud iV v záporném smyslu, tedy od V2 do V1, cívka fáze W je v tomto okamžiku bez proudu. Proudy iU a iV vybudí magnetická pole, jejichž součtem je magnetický tok - obr. 238 b). Tok má stejnou velikost jako v případu a), ale jeho vektor bude pootočen o 60o ve směru hodinových ručiček.
a)
b)
208
c)
d)
e)
f)
Obr. 238 – Vznik točivého magnetického pole V okamžiku t2 bude cívkou fáze U protékat proud iU v kladném smyslu, tedy od počátku U1 cívky ke konci U2, cívkou fáze W bude protékat proud iW v záporném smyslu, tedy od W2 do W1, cívka fáze V je v tomto okamžiku bez proudu. Proudy iU a iW vybudí magnetická pole; jejich součet je magnetický tokem - obr. 238 c). Tok bude mít opět stejnou velikost jako v případu a) a b), ale jeho vektor bude pootočen o dalších 60o. Situaci v časech t3, t4 a t5 popisují obrázky 238 d), e) a f). Velikost magnetického toku je stále stejná, vektor magnetického toku se otáčí, a to stejnou úhlovou rychlostí jako je úhlová rychlost napájecího napětí. Magnetické pole charakterizované otáčejícím se magnetickým tokem nazýváme točivé magnetické pole. Velikost celkového magnetického toku točivého magnetického pole bude v každém okamžiku dána vektorovým součtem magnetických toků vybuzených jednotlivými fázovými vinutími. Ty jsou úměrné proudům v příslušných fázových vinutích. V okamžiku t0 = 0 je velikost proudu iW iw I max sin( t
4 4 3 ) I max sin( ) I max 3 3 2
Magnetický tok je úměrný proudu, platí tedy 3 2 kde max je maximální hodnota magnetického toku vybuzeného jednou fází w max
Vektorový součet fázorů toků je – viz obr. 239:
Obr. 239 – Velikost magnetického toku točivého magnetického pole 209
2 W cos(30 0 ) 2 max
3 3 3 max 2 2 2
Celková velikost magnetického toku točivého magnetického pole je tedy
3 max 2
Závěrem lze říci, že napájíme-li trojfázovým proudem tři statorová vinutí vzájemně pootočená o 120o, vznikne v prostoru uvnitř statoru točivé magnetické pole o otáčkách ns 60 f a 3 velikosti max . 2 Pokud do prostoru statoru vložíme otočný magnet umístěný na hřídeli o ose společné s osou statoru, točivé magnetické pole bude silově působit na magnet, magnet bude unášen točivým magnetickým polem a roztočí se stejnými otáčkami jako, jsou otáčky točivého magnetického pole (takzvané synchronní otáčky):
ns 60 f
Obr. 240 – Princip trojfázového elektromotoru Na principu točivého magnetického pole pracují všechny trojfázové elektromotory. Pokud by se navzájem prohodily dva ze tří fázových přívodů, smysl otáčení točivého magnetického pole by se změnil na opačný – viz obr. 241. V okamžiku t0 bude fázor magnetického toku orientován podle znázornění na obr. 241 a). V okamžiku t1 bude fázor magnetického toku orientován podle znázornění na obr. 241 b); v dalších okamžicích podle časového průběhu proudů se fázor magnetického toku vždy pootočí proti směru hodinových ručiček.
210
a)
b)
Obr. 241 – Změna smyslu otáčení točivého magnetického pole Této vlastnosti točivého magnetického pole se využívá při reverzaci chodu motoru – viz obr. 242. Pozor: stykače S1 a S2 musí být vzájemně blokovány, aby nedošlo ke zkratu mezi přívodními fázemi.
Obr. 242 – Reverzace smyslu otáčení trojfázového motoru
211
7.7
Kompenzace účiníku
Princip kompenzace účiníku a důvody, proč je nutné účiník kompenzovat, byly popsány v části učebnice zabývající se střídavými proudy. Z předchozích kapitol této části vyplývá, že připojené transformátory a motory zatěžují elektrizační síť značnými induktivními – magnetizačními – proudy. Ty je nutné kompenzovat, neboť velké jalové výkony by zatěžovaly jak alternátory, tak i přenosové transformátory a vedení a bylo by třeba tato zařízení na ně dimenzovat – instalovaný výkon elektrárenských bloků by pak nebyl plně využit na výrobu a přenos činné energie. Kromě toho velké jalové proudy při průchodu vedením způsobují velké ztráty Jouleovým teplem. Účiník kompenzujeme na hodnotu cos = 0,95 až 0,98 připojením zátěží, které mají kapacitní charakter. Účinek kompenzace se projeví vždy jen v napájecí části elektrické sítě, za místem připojení kompenzačních bloků směrem ke spotřebiči se na napájecích poměrech nic nemění. Velcí spotřebitelé elektřiny jsou povinni účiník sledovat a kompenzovat ho na požadovanou hodnotu. Případné nedodržení kompenzace je dodavatelem sledováno a odběratel je penalizován. Kompenzace účiníku - Power Factor Corrrection – se většinou provádí připojováním bloků kondenzátorů k síti. Metody kompenzace jalového výkonu Individuální kompenzace má kompenzační zařízení připojeno na přímo na svorky spotřebiče. Tím je odlehčeno celé vedení od zdroje ke spotřebiči. Dosažené úspory jsou nejvyšší. Individuální kompenzace je vhodná pro stále provozovanou zátěž s konstantním příkonem, např. asynchronní motory, transformátory; hospodárnost kompenzace závisí na využití spotřebiče.
Obr. 243 – Individuální kompenzace účiníku trojfázového motoru Skupinová kompenzace má kompenzační zařízení připojeno na přípojnice hlavních rozvaděčů v průmyslových závodech. Kompenzován je úsek vedení od tohoto rozvaděče ke zdroji. Vlivem nesoudobosti provozu spotřebičů vychází kompenzační výkon menší než při individuální kompenzaci každého spotřebiče, což je ekonomicky výhodnější, ale je již nutná jeho regulace, která je realizována spínanými elektronickými silovými obvody.
212
Centrální kompenzace je typická pro rozsáhlé napájené systémy, obvykle je připojena v hlavní rozvodně závodu na přípojnicích vstupní trafostanice. Vlivem nesoudobosti spotřebičů opět klesá potřebný kompenzační výkon, rovněž je nutná regulace. Kondenzátorové baterie jsou spínány regulátorem podle aktuálního požadavku kompenzačního výkonu. Malí spotřebitelé, například domácnosti, nejsou povinni kompenzovat účiník, elektroměry měří pouze činnou odebranou energii.
213
8
Přehled nejdůležitějších veličin a vztahů
Přehled obsahuje nejdůležitější veličiny uváděné v učebnici, jejich jednotky včetně jejich značek a základní vztahy mezi veličinami.
8.1
Elektrostatické pole
Q
elektrický náboj coulomb (C) elementární elektrický náboj e = 1,602 10-19 C Q = ke k je celé číslo
I
elektrický proud ampér (A) Q I t intenzita elektrického pole ( N C 1 ) F E Q
E
U
elektrické napětí
U
F
1 4 r 0
volt (V)
A (V ; J , C ) Q
E
U l
Q1 Q2 … Coulombův zákon r2 síla, jíž na sebe navzájem působí dva elektrické náboje v obecném nevodivém prostředí
permitivita daného prostředí (CV-1m-1)
r 0
E
D
Q 4 r 2
0
permitivita vakua
r
poměrná permitivita r > = 1
intenzita elektrického pole ve vzdálenosti r od středu koule s nábojem Q
elektrická indukce
D
Q S
(C m 2 ; C, m 2 )
D r 0 E C
kapacita kondenzátoru
C
Q U
0 = 8,85410-12 (CV-1m-1)
farad (F)
C 0 r
S l
214
Paralelní spojení kondenzátorů Cvýsl. C1 C2 ... Ci ... Cn Sériové spojení kondenzátorů 1 1 1 1 1 ... ... Cvýsl. C1 C2 Ci Cn Přechodový děj na kondenzátoru t uc U 0 1 e kde R C Energie elektrostatického pole kondenzátoru 1 WC C U 2 2 Kapacita dvou soustředných kulových ploch je
C
r r Q 4 0 r 1 2 U r2 r1
Pak kapacita osamocené koule je
C 4 0 r r1 Kapacita dvou soustředných válcových ploch je
C
8.2
Stejnosměrný proud
J
Proudová hustota
J
I S
Q 2 0 r l 2 0 r l r2 r U ln 2,3 log 2 r1 r1
( A m 2 ; A, m 2 ) V technické praxi se pro běžné typy vodičů používá jednotka A/mm2.
R
elektrický odpor
I
U R
ohm
… Ohmův zákon
R
l S
(; m, m 2 ) nebo (; 10 6 m, mm2 )
G
vodivost
G
()
rezistivita materiálu
siemens (S)
1 R 215
Závislost elektrického odporu na teplotě A
teplotní součinitel odporu
(1/oK).
elektrická práce stejnosměrného proudu
A Q U U I t P
R2 R1 (1 )
(J; V, A, s)
výkon
P U I R I I R I 2 (W; V, A)
účinnost se většinou vyjadřuje v procentech:
P2 100 P1
(%; J , J )
První Kirchhoffův zákon (proudový) – platí pro uzel n
I k 1
0
k
Druhý Kirchhoffův zákon (napěťový) – platí pro uzavřenou smyčku n
U k 1
k
0
Spojování rezistorů Sériové Paralelní
RVýsl . R1 R2 ... Ri ... Rn 1 RVýsl .
1 1 1 1 ... ... R1 R2 Ri Rn
Transfigurace
R10
R12 R31 R12 R23 R13 R32 R R30 20 R12 R31 R23 ; R12 R31 R23 R12 R31 R23 ;
R10 R20 R R R23 R20 R30 20 30 ; ; R30 R10 R R R31 R10 R30 10 30 R20 Svorkové napětí reálného zdroje při zatížení R12 R10 R20
U U 0 I Ri Proud nakrátko
Ik
U0 Ri 216
8.3
Magnetické pole
magnetický tok
weber (Wb)
B
magnetická indukce
tesla (T)
S
B
B
F I l F B I l sin
F B I l ; Fm
magnetomotorické napětí
(N; T, A, m)
(A)
n
Fm I i i 1
Um
magnetické napětí
(A)
n
Fm U mi i 1
H
intenzita magnetického pole H
Um l
(Am-1; A, m)
V okolí dlouhého přímého vodiče H
Um I l 2 r
Vztah mezi zdrojem magnetického pole a jeho silovým působením
B 0 r H 0 = permeabilita vakua, 0= 410-7 (Hm-1);
henry (H)
r je relativní permeabilita (Pro většinu látek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1.) Hopkinsonův zákon Um S S U m l l Gm magnetická vodivost (permeance) henry (H) S Gm U m l Rm magnetický odpor (reluktance) 1 l 1 Rm (H-1) Rm kde S Gm BS H S
Um Rm
- Hopkinsonův zákon
Magnetické pole kruhového závitu
H
I 2r
, kde r je poloměr závitu
217
0 r
Magnetické pole tenké cívky
N I kde 2r
H
r
D D D1 , D 2 2 2
Magnetické pole válcové cívky
H
Um N I l l
Magnetické pole prstencové cívky H
Um N I l 2 r
Indukční zákon
u
d dt pro cívku o N závitech
uN
d dt
Pohybové napětí
u Bl v L
vlastní indukčnost cívky
u L
M
di dt
henry (H)
kde L je vlastní indukčnost cívky
N2 S L N 2 0 r Rm l vzájemná indukčnost dvou cívek henry (H)
u2 M
di1 dt M
N 2 N1 Rm12
M L2 L2 M L2 L2 kde je činitel vazby obou cívek, 1
Transformační poměr
u1 N1 u2 N 2 Spojování cívek sériové
L L1 L2
sériové se vzájemnou indukčností M
L L1 L2 2M
antisériové se vzájemnou indukčností M L L1 L2 2M 218
1 1 1 L L1 L2
paralelní
paralelní se vzájemnou indukčností
1 1 1 L L1 M L2 M
antiparalelní se vzájemnou indukčností
1 1 1 L L1 M L2 M
Přechodový jev na indukčnosti t
uL U 0 e
kde
L R
Energie magnetického pole
1 1 U m Wm B H S l 2 2 Silové působení magnetického pole Wm
F B I l sin Přitažlivá sílu elektromagnetu
N2 I2 F 2 0 Rm 2 S 1
8.4
Střídavé proudy
f
frekvence (kmitočet) hertz (Hz) n f 60
T
doba jedné periody
T
(s)
1 f
úhlová rychlost
2 f (rads-1) Průběh harmonického proudu
i I max sin( t ) ;
i I max sin( t )
Efektivní hodnota střídavého proudu I I max 2 Střední hodnota střídavého proudu 2 I med I max
219
Odporová zátěž
u U max sin( t )
i
U max sin( t ) I max sin( t ) R
Induktivní zátěž
i I max sin( t ) 2 U max I max XL
u U max sin( t )
XL
induktivní reaktance () XL L
Kapacitní zátěž
i I max sin( t ) 2 U I max max XC
u U max sin( t )
XC
kapacitní reaktance 1 XC C
()
Sériový RLC obvod: Z
impedance obvodu
()
Z ( X L X C )2 R2
cos
UR R I U U
cos
IR I
Paralelní RLC obvod: I ( I L I C ) 2 I R2
Výkon v obvodech střídavého proudu: P
činný výkon
P U I cos
S
zdánlivý výkon
S U I
Q
jalový výkon
Q U I j U I sin
P2 Q2 S 2 cosφ
účiník
cos
P U I
Rezonance: f0
rezonanční frekvence 1 f0 2 L C
220
(W, V, A)
(VA; V, A) (Var, V, A)
Q
činitel jakosti obvodu je Q
8.4
Trojfázová soustava
Uf
fázové napětí
0 L R
Časové průběhy jednotlivých fázových napětí ve fázích U, V, W:
uU U max sin( t )
2 ) 3 4 sin( t ) 3
uV U max sin( t u w U max US
sdružené napětí
U S 3 U f Výkon trojfázového proudu:
P P3 f 3 U f I f cos S S3 f 3 U f I f
(W, V, A)
(VA, V, A)
Q Q3 f 3 U f I f sin
(VAr, V, A)
221
Použitá literatura BLAHOVEC, Antonín. Elektrotechnika I. Praha: Informatorium, 2005. ISBN 807333-043-1.
Internetové stránky (www): BRUSH SEM s.r.o. [online]. [cit 2014-09-20]. Dostupné z WWW: < http://www.brush-sem.cz/>. Vlastnosti magnetických materiálů [online]. [cit 2014-09-10]. Dostupné z WWW: < http://fei1.vsb.cz/kat410/studium/studijni_materialy/dpes/04cviceni%20texty/MAG%20vlastnosti/MAG-vl_prehled_03.pdf>. Magnetizační charakteristiky [online]. [cit 2014-09-10]. Dostupné z WWW: < http://www.vpicha.cz/sites/default/files/magnet.%20charakteristika.pdf>.
222
