!J~"Z.
b3~
TECHNIS~'.I~~.' ~'~.·'~.· ~ .~.'.
I .
AFDELING DER ELEKTROTECHNIEK TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Groep Meten en Regelen
COMPUTERVERWERKING VAN LABORATORIUM RESULTATEN. door R.J.W.Ph. Kraan.
Rapport van het afstudeerwerk uitgevoerd van 1/12 '71 tot 16/11 '72 1n het St. Elisabethziekenhuis te Tilburg, in opdracht van prof.dr.ir. P.Eykhoff onder leiding van dr. E.B.M. de Jong, dr. J.F. Leyten en ir. C.A.M van de Brekel.
. •..
STUDIC;~~;~:::::T!
CHeOL \
:::-U(
ELD<.H,v'iLC; ;;';:. i( .
...
-~.~-~+~._.=., J5.~~""'__=,_..;;~.""'Itt'~~"
Inhoud. 2
Inleiding Hdst. I
De auto - analyser
8
Hdst. 2
Analyse van het systeem
8
2. I
Bepaling van twee karakteristieke grootheden
8
2.2
De ongesegmenteerde stroom
10
2.3
De gesegmenteerde stroom
12
Koncentratiebepaling
16
Hdst. 3 3•I
Smoothing en bepaling van eerste en hogere differenties
18
Ret progrannna
20
4. I
De "spijkerzeef"
20
4.2
Ret regeneratieproces
21
4.2. I
Bepaling van b
22
4.3
Berekening van
4.4
Verkorting van de totaaltijd
Hdst. 4
ard
33
34
Konklusies
37
Literatuur
38
Flowdiagrarnmen
39
Appendices
42
Bijlagen
2
Inleiding. In een ziekenhuis moeten vele monsters worden
onderzoc~t;
de meest voorko-
mende zijn weI urine en bloed. Van een of andere stof die zich hierin bevindt, bijvoorbeeld glucose, urinezuur, cholesterol e.d. wordt de koncentratie bepaald. Ret aantal monsters dat onderzocht moet worden, neemt zeer snel toe: per vier jaar verdubbelt dit aantal. Ret St. Elisabethziekenhuis in Tilburg heeft o.l.v. dr. de Jong dit probleem tijdig aangepakt. In 1957 is men overgegaan tot de aanschaf van enkele automatische analyseer apparaten: de z.g. auto - analyser van Technikon (kosten + f 25.000), gebaseerd op het principe van kontinue flow. Deze apparaten kunnen automatisch een elektrisch signaal weergeven dat gekorreleerd is aan de koncentratie. Ret aantal monsters dat per uur per auto - analyser kan worden verwerkt, ligt tussen de dertig en de zestig, afhankelijk van de ingewikkeldheid van het chemisme. Gezien het feit dat men uit een monster meerdere stoffen moet analyseren, schafte men de S.M.A. 12/60 aan van Technikon. Dit apparaat (kosten + f 300.000) kan
~n
een minuut de koncentratie bepalen van
12 verschillende stoffen, die
~n
een monster voorkomen, maar met behulp
van de auto - analyser blijkt dat men de koncentratie nauwkeuriger kan bepalen (in de grootte orde van 10 %). De meetresultaten, die verkregen worden met al deze methoden (er worden thans 12 auto - analysers en I S.M.A. 12/60 gebruikt) worden weergegeven m.b.v. een schrijver. Tot voor kort werden de gegevens door de analisten, m.b.v. een standaardkurve, omgerekend in de koncentratie. In juli 1971 is een I.B.M 1800 proceskomputer aangeschaft, die het kontinu verlopende signaal moet verwerken. I.B.M. heeft een programma gemaakt, het z.g. e.L.D.A.S., waarrnee de gegevens verwerkt kunnen worden. Aan dit programma kleven echter enkele bezwaren: I) de koncentratiebepaling op deze man~er ~s erg gevoelig voor storingen
die in het systeem optreden; 2) er wordt geen informatie verstrekt aan de analist over de toestand van z'n apparaat (zijn mIn aansluitingen goed? kan ik verbeteringen aanbrengen in mIn systeem? etc.). Mijn opdracht was om na te gaan in hoeverre de bezwaren van het C.L.D.A.S.
3
uur weggewerkt konden worden en in hoeverre het aantal monsters, dat per verwerkt kan worden, is op te voeren. In eerste instantie zal ik het principe van de auto - analyser, waar ook de S.M.A. 12/60 op gebaseerd is, beschrijven. Daarna zal met behulp van beschrijvingen, die hierover in de literatuur gegeven zijn, bekeken worden in hoeverre aan mIn opdracht voldaan kan worden.
4
Hdst. I
De auto-analyser.
De auto - analyser bestaat uit de volgende zes onderdelen ( fig. I ): I) sampler; 2) rollenpomp en manifold; 3) dialysator; 4) verwarmingsbad; 5) colorimeter; 6) schrijver. I) De sampler bestaat o.a. uit een plaat, de monsterschijf, waarin 40 cupjes geplaatst kunnen worden, die de verschillende monsters bevatten. Een dunne naald zuigt de vloeistof op uit een cupje gedurende een bepaalde tijd, de monstertijd, die vooraf ingesteld kan worden met een tijdklok; daarna wordt de naald automatisch uit het cupje gehaald en in een bak met water geplaatst. Nu wordt dus gedurende een aantal sekonden, dat ook met een tijdklok is in te stellen, dit water aangezogen. Dit wordt gedaan om de leidingen schoon te spoelen. Deze tijd wordt de wastijd genoemd. Tegelijkertijd wordt de monsterplaat een plaats verschoven, zodat na de wastijd het volgende cupje aan de beurt 1S. 2) De rollenpomp is het hart van de auto - analyser. Deze pompt de vloeistoffen (reagentia, water en monster) door het hele systeem. Het manifold is een plastic plaat die op deze pomp ligt en pompslangetjes, mengspoelen e.d. bevat. Aangezien de snelheid van de pomp konstant is, kan men de snelheid van de vloeistof in de slangetjes regelen door de
diameter van de pompslangetjes
te varigren. Verder bevinden zich op het manifold nog een extra aantal slangetjes, via welke de verschillende chemische stoffen, die nodig Z1Jn om de gewenste chemische reakties te verkrijgen, worden aangezogen. Tevens zijn er slangetjes met een open begin, via welke lucht wordt aangezogen. Deze lucht en reagentia worden via mengbuisjes bij de te onderzoeken stof gebracht. Doordat de lucht bij het oorspronkelijke patroon wordt aangevoerd, ontstaat er een volgend beeld van de stroom die door het systeem gaat (fig. 2).
r/2
om/?: -,
,
I
().!voer
I
I
l.tfch/
I§} ,01.(>~~'!':t~y _ _,
, I I
j
\
,~
_ _- J
I
! I
0
135 C.
'-------
().!()oe
I" .
....------+-----+----, !- -
§) 5chrj oer . v
-
same 2r
6
Q W
figuur 2.
w L M
L
).V'
water
=
lucht monster.
3) Het volgende onderdeel in de serle is de dialysator. Het belangrijkste gedeelte hiervan is de membraan. Aan de ene kant loopt de vloeistofstroom die uit de cupjes komt, zoals geschetst in fig. 2. Deze stroom wordt de donorstroom genoemd. Aan de andere kant loopt de z.g. recipigntstroom, bevattende de stof die een bepaalde chemische reaktie te weeg moet brengen met de te onderzoeken stof. De recipiMntstroom is ook gescheiden in segten door luchtbellen. In de recipiMntstroom komen nu die deeltjes van de donorstroom terecht, die door de porign van het membraan heen kunnen. De rest van de donorstroom wordt afgevoerd. De recipiMntstroom is nu dus de vloeistof waarvan we het gehalte aan een bepaalde komponent uit de donorstroom willen onderzoeken. 4) In het verwarmingsbad wordt de stroom op een bepaalde temperatuur gebracht om een chemische reaktie te bewerkstelligen, waardoor verkleuring van de vloeistof optreedt. 5) In de colorimeter komt de stroom eerst door de z.g. debubbler, waarin alle luchtbellen uit de vloeistof worden verwijderd. Vervolgens stroomt hij door de flowcel. Hierin valt licht op de vloeistof: de doorgelaten hoeveelheid wordt m.b.v. een fotocel omgezet in een evenredige spanning (fig. J).
7
(------
(
~bti6fRr II
'.. - _ . -
---.~ v1cetjl'r.
-.£...:.~.LJ."",-,~_
figuur 3. 6) De spanning die in de fotocel wordt opgewekt, wordt in het laatste gedeelte van het systeern op papier geschreven.
8
Hdst. 2.
Analy~e
van het
~y~teem.
In dit hoofdstuk zal geprobeerd worden na te gaan wat er met het monster gebeurt, alvorens de curve door de recorder geschreven wordt. Deze curve (fig. 4) geeft de koncentratie tegen de tijd weer. 2.1 Bepaling van twee karakteristieke grootheden. Door Thiers e.a. (lit. 1 en 2) wordt de curve gesplitst in twee delen, een stijgend- en een dalend been. Voor het stijgende been wordt log (E - y) tegen de tijd uitgezet, voor het dalende been log y tegen de tijd. De volgende figuren ontstaan dan:
(1 ---I
7i-----S tflgenc1
dalend
b't!e,...,
bee" figuur 5.
Beide krommen zijn lineair over een groot gedeelte van het bereik en hebben dezelfde negatieve helling; bij iedere kromme treedt echter een vertraging op voordat het lineaire gedeelte begint. De tijd tussen het beginpunt en het snijpunt van de geMxtrapoleerde rechte met de lijn log E wordt in de literatuur de "lag phase" genoemd en aangeduid met de letter a. De helling van de rechte wordt als voIgt gemeten: de tijd die verloopt om van een bepaalde koncentratie EI naar EI/e te gaan; deze wordt aangeduid met de letter b. Door b op deze manier te bepalen komt ze
f
-------
J{;uttr ¥ /?non .J/Pr ""'1/'/PPn
to?'"
/77t:"" 5
d?r::;:a
10
overeen met de
.. dk Qn~tan~e ~n . de
t~J
. d ru kk ~ng • y
u~t
~
e~
t
b
Uit verschillende experimenten is gebleken: I) a en b zijn onafhankelijk van de koncentratie;
2) a is het gevolg van effekten, die optreden in de gesegmenteerde stroom (d.i. het gedeelte van het systeem, waarin zich luchtbellen bevinden); 3) b is het gevolg van effekten, die optreden in de ongesegmenteerde stroom (d.i. het gedeelte van het systeem zonder luchtbellen, dus de aanzuigslangetjes en de flowcel); 4) a en b zijn afhankelijk van de snelheid waarmee de vloeistof wordt rondgepompt, de aard van de vloeistof, de lengte en het materiaal van de slangetjes. Een bezwaar van het op deze manier definigren van systeemparameters is het feit, dat a en b grafisch bepaald worden.
Om tot een betere bepaling en/of definiMring van eventuele systeemparameters te komen zullen we het ongesegmenteerde- en het gesegmenteerde gedeelte van het systeem nader bekijken. 2.2 De ongesegmenteerde stroom. Dit gedeelte bestaat uit de aanvoerslangetjes tot vlak na de rollenpomp, waar de luchtbellen worden ingebracht, en de flowcel, direkt na de debubbler. Ret belangrijkste verschijnsel wat hier optreedt is de z.g. laminaire stroming. In fig. 6 is het stromingsveld geschetst voor dit effekt.
- - -
- ..,-- ......-
--.-..-
--
figuur 6: het stromingsveld van laminaire stroming door een buis.
11
De snelheid in het midden van de buis
~s
het
g~oorsr
en neemt af naarmate
men dichter bij de wand komt, De input van het totale systeem is een monster met een bepaalde koncentratie E, dat gedurende een tijd t
m
(de monstertijd) wordt aangezogen; we kunnen
dit beschouwen als een puIs (fig. 7).
v
I
f,
figuur 7, Ret elektrisch analogon van de laminaire stroming is een eerste ordenetwerk met tijdkonstante RC
= b. Ret uitgangssignaal van dit netwerk, wanneer het
ingangssignaal de bovenstaande puIs is, kan dan beschreven worden door: t
yet)
= E(l
- e
& t. t m
b) voor 0 .... t ,
en t
yet)
=
- -m -(t - t )/b E(l _ e b) e m
Gebleken is dat niet aIleen de laminaire stroming verantwoordelijk is voor deze vervorming; holtes die ontstaan wanneer de verschillende slangetjes 1n het systeem niet goed op elkaar zijn aangesloten (fig.
8)
worden volgens
de volgende formule uitgewassen: Ft
yet)
=
-ye
waarbij F de flow door het systeem is en V het volume van de ontstane holtes. Resumerend kunnen we zeggen, dat een verandering van b aIleen kan ontstaan door een verandering van de aansluitingen van de verschillende slangetjes,
12
Uguur 8, want de laminaire stroming wordt alleen
be~nvloed
door de dikte van de
slangetjes, de stroomsnelheid door het systeem etc. en deze worden tijdens de analyse niet veranderd. Hoe we b kunnen bepalen wordt beschreven 2.3
~n
hoofdstuk 4.
De gesegmenteerde stroom.
Over de effekten die optreden wanneer men luchtbellen in het systeem aanbrengt z~Jn
lange tijd misverstanden geweest. Uit een experiment (lit. 3) dacht
men te kunnen konkluderen, dat de luchtbellen een lagere snelheid hadden dan de vloeistof. Wat de gevolgen van dit uitgangspunt waren wordt beschreven in lit.(3) en (4). Naderhand is gebleken uit een ander experiment, dat de vloeistof aan de wand achterblijft vergeleken bij de luchtbellen. Door Thiers e.a. (lit. 5) en Bregg (lit. 6) wordt de volgende beschrijving gegeven. Uitgangspunten daarbij waren (fig. 9):
figuur 9.
13
I) De vloeistof maakt de wand van de bui~ nat en wannee~ de luchtbellen
passeren blijft een hele dunne laag aan de wand kleven. 2) De afstand tussen de luchtbellen verandert niet en het volume van ieder segment is van de zelfde grootte (V mI.). 3) Ieder vloeistofsegment heeft een konstante stroomsnelheid. 4) Op t
=
0 bevatten enkele segmenten, voorafgaand aan segment nr. I,
vloeistof met een hoge koncentratie CO' homogeen verdeeld over het hele segment, en aIle volgende segmenten, inklusief nr. J, hebben koncentratie nul 5) Ieder segment heeft een lek naar het volgend segment van R ml/sec. 6) De menging in ieder segment is snel genoeg, zodat op ieder tijdstip over een konstante koncentratie per segment gesproken kan worden. De koncentraties van de segmenten nemen nu als voIgt toe: Segmen t no. 1 verliest R ml/sec aan segment 2, maar krijgt tegelijkertijd Rml/ sec van segment O.
./; C
1
1 V (RCOt - jRC1dt), 0
waarbij C de koncentratie 1n segment 1 is. 1 In segment 2 is de situatie iets ingewikkelder aangezien de koncentratie van het voorgaande segment exponentieel met de tijd toeneemt:
C2
~
t
t
(J
RC,dt -
!RC 2dtJ.
o
o Oftewel 1n het algemeen:
C
n+1
Uitgewerkt (appendix A) levert dit de volgende vergelijking:
C
n+1
Co
1 - e- Rt/V ( 1 +
1
Rt/V + 2~ (Rt/V)
De distributiefunktie van een poissonverdeling is van de vorm: n
F(k)::
L y,~o
_j"
e
/<
!:,It.. !
2
1 n + ••• + -,(Rt/V) ). n.
14
r'
Onze gevonden vergelijking ip dus dezel£de als een mLnus de funktie van een poissonverdeling met
f
=
d~str~butie~
Volgens Thiers kunnen oak de effekten die optreden in de dialysator op deze manier beschreven worden, nl. in de membraan blijven deeltjes van het monster achter, die daarna weer doorgeduwd worden door daaropvolgende deeltjes; in principe hetzelfde als de lek die optreedt tussen de verschillende segmenten. Walker (lit. 7) beschrijft dit gedeelte op een andere manier: Beschouw de vloeistofdeeltjes in een bepaalde dwarsdoorsnede van de buLs. Laat XI de afstand zijn die afgelegd wordt door de deeltjes in een tijdsintervalletje van t naar t
=0
naar t
= I, X2
de afstand in het intervalletje van t
=
2 en X. de afstand afgelegd van t L
=
i-] tot t = i. De afstand
die in t sec wordt afgelegd is dan dus
X
=
XI + X2 +
+ Xi +
+X t ·
Aangezien niet aIle deeltjes dezelfde snelheid hebben moeten XI' X etc. 2 dus waarschijnlijkheids dichtheids funkties zijn. Aangenomen wordt, dat de verdeling van de snelheid een gemiddelde D heeft en een standaarddeviatieor • Aangenomen wordt verder dat XI' X etc. onafhankelijk van elkaar 2 z ij n, di t beteken teen ideale menging per segment, zodat voor grote t de verdeling van X door een normale verdeling benaderd kan worden met een gemiddelde Dt en een standaarddeviatieO"'V? We gaan nu uit van de situatie dat op het tijdstip t
=
0 een aantal seg-
men ten een koncentratie E hebben en de daarop volgende segmenten koncentratie nul, dit alles aan het begin van de buis (x
=
0). De koncentratie C(x,t)
op het tijdstip t en een afstand x in de buis wordt dus veroorzaakt door die deeltjes die in de tijd t de afstand x Ln de buis hebben afgelegd; dit is de kans dat X ~ x oftewel de kans dat (X - Dt)!er Vt
{.
(x - Ut)! (f
a.
flus:
C(x,t) waarbij
qb
=
E
~((x
- Ut)/(fvt).
de distributiefunktie van een normale verdeling is met gemidelde Ut.
Walker komt dan tot de volgende formule:
15
f- O.5z2/(f~ t::JO
C(t)
=
~
a;,~
waarbij
t
dz.
t-4t
de gerniddelde tijd is die de deeltjes 1n de gesegrnenteerde stroorn
d doorbrengen en Old de standaarddeviatie van t • d Bregg en Thiers leidden de distributiefunktie van een poissonverdeling af;
aangezien echter de poissonverdeling overgaat in een norrnale verdeling wanneer de gesegrnenteerde stroorn maar lang genoeg is, gaan wij bij onze verdere beschouwingen uit van het feit dat wanneer we een puIs met een amplitude E en een tijdsduur t
m
dit gedeelte van het systeem insturen, er aan de uitgang een
signaal ontstaat dat als voIgt beschreven kan worden: 1) De opgaande flank door de distributiefunktie van een normale verdeling.
2) de neergaande flank door een minus die distributiefunktie. Op deze manier verschijnt dus een parameter
cr d'
die te vergelijken 1S met
de parameter a uit par. 2.1, maar die beter te berekenen is (zie Hfdst. 4).
16
De koncentratie kan op twee manieren bepaald worden: 1) Piekhoogtemeting: Ret hoogste punt van de kromme wordt opgezocht. Men
heeft gevonden dat er een lineair verband bestaat tU5sen de hoogte van de piek en de koncentratie. Door monsters van bekende koncentraties in het proces te gebruiken, wordt een rechte lijn gegxtrapoleerd met behulp waarvan onbekende koncentraties bepaald worden. 2) Integratiemeting: Ret uitgangssignaal van de fotocel geeft het verloop van de koncentratie tegen de tijd weer:
vu
=
f(c,t).
Door nu de gehele tijd dat er monster in de flowcel aanwezig is, het uitgangssignaal te integreren krijgt men een grootheid die ook een maat is voor de koncentratie. Weer met behulp van bekende koncentraties kan de afhankelijkheid van de koncentratie met de oppervlakte bepaald worden. In het ziekenhuis wordt op het ogenblik de koncentratie bepaald m.b.v. een I.B.M. 1800 procescomputer. Men maakt daarbij gebruik van piekhoogtemeting. Bezwaren die hieraan kleven zijn: I) Door een verandering van de b van het systeem verandert de piekhoogte.
2) Ret "nu l n iveau" van de computer ligt vast, terwijl het "nulniveau" van het signaal varieert. 3) Wanneer een luchtbel 1n de flowcel verschijnt, ontstaat een " sp ijker" op het uitgangssignaal. Op het ogenblik herkent de computer dit als een verontreiniging, maar de meting wordt dan niet verder verwerkt. Om bij de koncentratiebepaling niet afhankelijk te zijn van een enkele meting, die om verschillende redenen erg onnauwkeurig kan zijn, wordt verder gebruik gemaakt van de integratiemeting. Ret oppervlak van de curve wordt als volgt bepaald (fig. 10): De samples tussen to en t
l
worden bij elkaar opgeteld en vermenigvuldigd
met hun onderlinge afstand in tijd:
17
VI),
i
figuur 10.
-/;,
i::b
fVudt
::::
~t
)(
I
Vu(i).
~=a..-
to
a 1S het samplenunnner op tijdstip to' b 1S het samplenummer op tijdstip t 1 '
A t is in ons geval 0.5 sec. Echter hoe bepalen we nu to en t ? l
Voor de bepaling van to maken we gebruik van de eerste differenties: we weten dat, afgezien van eventuele rU1S (zie volgende paragraaf) de eerste differenties van het uitgangssignaal nul moeten zijn zolang er geen monster in de flowcel is verschenen. We definiMren to als het eerst voorkomende tijdstip t
i
waarvoor
geldt:
dViL) :f:
dt
)
0.002.
Dit kriterium is gevonden na beschouwing van monsters van uiteenlopende koncentraties. Of dit algemeen geldig is kan echter niet met zekerheid gezegd worden: Het tijdstip t
l
1S nog lastiger te bepalen; het "negatief exponentieel
effekt" zorgt ervoor, dat het uitgangssignaal heel langzaam weer terug komt
18
n~~r
het
nulniveau~ zod~t ex~kte be~~ltng
van dit tijdstip niet mogelijk
is. In het volgende hoofdstuk wordt hler nader op ingegaan.
3.1 Smoothing en bepaling van eerste en pogere, differenties. Op het signaal zit een ruissignaal gesuperponeerd. Twee oorzaken zijn hier direkt voor aan te wijzen: I) Wanneer de proportionele pomp niet synchroon loopt met de motor die
de aanzuignaald bedient, ontstaat er een sinusvormig ruissignaal. Deze storing is eenvoudig weg te werken. 2) De pomp bestaat uit rollers die om de twee seconden op de plastic slangetjes terecht komen. Op dit ogenblik wordt zowel vloeistof naar voren als naar achteren geperst. Op het uitgangssignaal heeft dit tot gevolg dat er om de twee seconden een vervorming ontstaat (fig. II).
figuur I I • Dit effekt is te verkleinen door de hoeveelheid luchtbellen in de gesegmenteerde stroom te vergroten, die dan als buffers op gaan treden. Er blijken ook andere, niet zo eenvoudig op te sporen, ruisbronnen aanwezig te zijn. Om de gevolgen van de aanwezige ruis te verminderen wordt gebruik gemaakt van een smoothing procedure (lit. 8). Een mathematische afleiding vindt men in appendix B. Deze procedure werkt als voigt: Een serie van 2m + I opeenvolgende' waarden worden gebruikt voor de bepaling van de beste, in de zin van de kleinste kwadraten, polynoomaanpassing van de graad n. Door een bepaald coHrdinatensysteem te gebruiken kan eenvoudig
19
de waarde in het (m+l)e punt bepaald wQrden; daarna laat men een punt links vallen en wordt het volgende punt
recht~
erbij genomen. Zodoende
werkt men de gehele curve aft Enkele karakteristieken van deze procedure zijn: I) Vrij eenvoudig te programmeren en snel berekend m.b.v. tabellen die ~n
de literatuur (8) waren opgenomen. 2) De signaal- ruisverhouding wordt verbeterd met een faktor die gelijk
~s
aan
V2m + I'
3) M.b.v. dezelfde methode worden ook de eerste en hogere differenties van de kromme bepaald; ook hiervoor zijn tabellen in de literatuur opgenomen. In ons programma wordt tweemaal een negenpuntssmoothing toegepast m.b.v. een vierde graads polynoomaanpassing. Van het gesmoothte signaal worden de eerste en zonodig de hogere differenties bepaald. De signaal- ruisverhouding wordt door de smoothing nu dus verbeterd met een faktor 9.
20
Ret PI:Qg'l:'a.JlllIla.. t"'9 (i
progr~a
Bij het maken van een nieuw
is uitgegaan
van~
1) Koncentratiebepaling m.b.v. integratiemeting. 2) Om de, door incidenteel voorkomende luchtbellen in de flowcel, ontstane vervormingen te elimineren is een " sp ijkerzeef" aangebracht. 3) Om de integratietijd te verkorten en om een parameter te krijgen die ons iets kan zeggen over de aansluitingen tussen de verschillende slangetjes, is het "regeneratieproces" gebruikt. 4) Om exakt de aanzuigtijd te kunnen berekenen en daarnaast een parameter te krijgen, die ons iets zegt over de vervorming die optreedt in het gesegmenteerde gedeelte van het systeem, is uitgegaan van de benadering volgens Walker: de normale verdeling. 5) Experimenten zijn gedaan m.b.v. metingen, verricht aan de auto- analysers die voor dagelijkse routinebepalingen gebruikt werden. Uitgegaan is van monsters van bekende koncentraties: 30, 60 en 90 mg% ureum met een monstertijd van 16 sec.; om de halve sec. is van het uitgangssignaal een sample genomen. 4.1
De "spijkerzeef".
Uitgangspunten waren: 1) Op de eerste sample is geen spijker aanwezig. 2) De afstand tussen twee opeenvolgende spijkers
~s
minimaal 2 sec.
Wanneer niet meer aan deze uitgangspunten voldaan is, betekent het dat er aan het systeem iets mis is. Voordat de metingen dan verder verwerkt kunnen worden moet dit eerst nagegaan worden. am de spijkers op te sporen wordt de kromme tussen het i sample, i= 1,2,3,
e
en het (i+3)e
n, benaderd door een rechte lijn (fig. 12).
/
/ /
I
I
t
/
/
/
/
/
I
I I II
/
\ I
I
.1'
if~
't-I
figuur 12. ;;
I
;
~'~3
~
'5 o..n7fJ
k
/}U
m/?? er.
21
We kontroleren of o~ het (i+l)e sample een verQntreiniging aanwezig is door de gemeten waarde, Vi +1 , te vergelijken met de benaderde waarde, Vb,i+l. De benaderde waarde van het (i+])e sample is:
- V.) ~
Vb,i+1
=
Er wordt aangenomen dat er een spijker V.~+I
>
2/3
+
1/3 Vi +3
+
V ••
aanwez~g ~s
Vb ,~+ . I
+
V.• ~
~
wanneer:
0.1.
Indien deze propositie waar is krijgt V.~+ I de waarde Vb ,~+ . I' Ret resultaat van deze werkwijze is te zien in de bij lagen
I
en If .
De onregelmatigheden die nu ontstaan worden genivelleerd door de smoothingprocedure die wordt toegepast (zie par. 3.1).
4.2
Ret regeneratieproces.
Op verschillende plaatsen
~n
het systeem treedt het negatief exponentieel
effekt op. Ret elektrisch analogon hiervoor was een eerste ordenetwerk met overdrachtsfunktie: R(s) + bs
nit effekt kunnen we elimineren door achter dit netwerk een netwerk met overdrachtsfunktie G(s)
=
I + bs
te schakelen (fig. 13). 2(s) = G(s) • R(s) • Xes)
•
z (t)
x(t) •
x (s) .
22
yet)
x(t) 0-----
R(s)
G(s)
8
z (t) t-----....,O
figuur 13. Dit betekent dat we voor iedere sample i bij de hierbij gemeten waarde V.
~
dV.~ dt
een bepaalde faktor b maal wordt dan dus
V. r~ 4.2.1 Bepaling
op moeten te 11 en. De geregenereerde curve
= V.
~
dV.~
+ b--
dt
van b.
In de onderstaande figuur is de situatie geschetst die verwacht wordt na de regeneratie.
figuur ]4.
gerneten curve ~.
Na hettijdstip t
=
geregenereerde curve.
k is de geregenereerde curve teruggekornen naar het
nulniveau en blijft daar dan; dit betekent:
V.
~
+
b
dV.~
F
= 0
yoor
i) k.
23
In billage punt
III
J d bev~n t.
zien
we
Yu op
dat er zich in
het tijdstip t = 1 een buig-
dus een extremum ~n • dYu. ~
Experimenteel was bepaald dat k
ze~~r minder dan 10 samples van t = 1
verwijdert is. We kunnen dan stellen dat: voor i) 1 + 5.
+
Door nu een aantal (p) samples te nemen na t
=
1 + 5, kunnen we met behulp
van de kleinste kwadratenmethode de "beste" b vinden. Voor een koncentratie van 60 mg% ureum is b berekend voor 3 waarden van p. De uitkomsten staan in onderstaande tabel
P
b
10
10.234
20
10.270
30
10.274
TABEL
I .
Bij de volgende bepalingen is uitgegaan van 20 samples. Aan gezien echter het nulniveau van het signaal verschillend kan zijn van het nulniveau van de computer, moeten deze twee aan elkaar gerelateerd worden. Het nulniveau van het signaal. V ,wordt als voIgt bepaald: voordat gem het monster 1n de flowcel verschijnt wordt een aantal samples genomen. 1S nu het gemiddelde van deze samples. AIle samples worden nu gecorV gem rigeerd m.b.v. V . Wanneer b bekend is kunnen we ook k bepalen, als zijnde gem het tijdstip waarop de geregenereerde curve voor de eerste keer het nulniveau weer bereikt. In tabel
zijn voor drie koncentraties b en daarna k berekend.
koncentratie
b
30 mg%
11 .245
27
60 mg%
10. 193
28.5
90 mg%
9.726
k
29
TABEL
1I'
24
Een volgend uitgangspunt 1.S, wanneer we de juiste b van het systeem hebben, dan moet de volgende gelijkheid gelden: 11
K
}
jv
dV
+~
Vu
dt
=
) dt
u
dt
0
0
Aan de hand van het volgende model zullen we dit bewijzen (zie figuur 13) :
{:
x(t)
voor
O(t {:t l
voor
t <0 of t >t I •
p:J
Aangezien z(t)
x(t) 1.S dus
jZ(t) dt
Nu is:
Et I •
0
"E(I - e -t/b )
y(t)
=
{
E (I - e
-t
I
/b
voor 0 .{ t ) e
-(t-t )/b I
~t
I
voor t> t I
00
- e- t / b ) dt
~E(I
+
- e-tJ/b) e-(t-tl)/b dt
"
Eb(e-tl/ b - I ) 00
- jZ(t)
dt,
q.e.d.
o Omdat ons uitgangspunt geldt nemen we verder aan dat dit ook het geval 1.S voor ons eigenlijke signaal. In tabel
nr
zijn de waarden te vinden voor k, de oppervlakte van de eigen-
lijke kurve (II) en de oppervlakte van de geregenereerde kurve (1 ), 3 wanneer we b varigren. Aan de hand van hetzelfde model zullen we nagaan 1.n hoeverre deze resultaten te verwachten waren. We nemen: z (t)
If
en we nu k
en
f~(t) dt "
y(t)
+ /]
dy(t) dt
- ! y ( t ) dt
(d. i. 13 - I J) als funktie v a t .
25
II
30 mg%
60 mg%
90 mg%
n
24.5243
49.0170
73.9111
85
I
b
k
3
1
k
7.5
24.5414
54
48.9800 62
8
24.5433
54
48.9833 61.5 73.8315 63
8.5
24.5453
53.5 48.9866 61.5 73.8327 63
9
24.5474
53.5 48.9899 61.5 73.5003 30
9.5
24.4467
37
48.8210 44
73.8372 29
10
24.477 2
29
48.8252 29
74.2281 28.5
10.5
24.5913
28
49.1223 28
74.6699 28
II
24.7235
27.5 49.4629 27.5 75.1614 27.5
1I.5
24.8711
27
12
25.0339
26.5 50.2621 26.5 76.2597 26.5
12.5
25.2108
26
13
25.4007
25.5 51.1516 26
~ dy(t) dt
z (t)
~
J
=
b
27
76.8515 26.5 77 .4856 26
ill
-t/b e
voor -t lib
(1 - e
f(I.
)
-t/b (J ) (l - -) e b
E(l - e
P<
756950
50.6981 26
) E
tb"
73.8308 63.5
49.8453 27
TABEL
Wanlleer
13
k
3
-t Ib 1
) (l
...
-(1b
voor
) e
o~t
-(t-t )/b I
weten we dat k -7' 00 , terwij 1 wanneer
[3 J..
"
t 1
voor t
> t
1
•
b dan k= t l'
26
Voor
p< ~Z(t)dt = ~Z(t)dt = b:
o
-
(l ...
/J) b
-t/b )dt +
e 00
+Ef(l
0
-t /b - e
1
-(t-t )/b
1 -~) e d t =
) (I
" Voor
f.
~b:
I
o
i,
K
z(t)dt = jZ(t)dt o
-
(l
-If)
-t/b e
) d t = E t 1 - Eb (1
-.It)
-t
e
o
- 1 uitgezet als funktie van;G voor dit model en de drie 3 1 gemeten koncentraties. Voor de berekende kurve zijn de volgende waarden In figuur 15 is 1
genomen: E
t
1 b
1, = 10,
10.
We zien een identiek verloop voor de vier grafieken. Ook de integratietijd k blijkt op de zelfde manier te verlopen. De onregelmatigheden in zowel het verloop van de kronnnen als in k als funktie van
f
is te wij ten aan
de aanwezigheid van ruis op de kurve. In onderstaande tabel staan naast elkaar: b, k en nu ook 1
3
drie koncentraties. b
k
1
3
1
1
30 mg%
11.2447
27
24.7935
24.5243
60 mg%
10.1927
28,S
48.9352
49.0170
90 mg%
9.7257
29
74.0045
73.9111
TABEL I~
enI
1
voor de
1
/b
I
/
/
/
/' /
/
/
/ / / /
,
/
0.2.
, ,
-0.1.
-c;'
-c.p 7·
5
y.s-
, /0
/0. S"
~/S
//
//.5"
28
~e~sch~llen z~jn ko~t ~nhet
Wat de Qorzaken van deze
nu YQlgende aan de
orde, We kunnen echter wel konklude:t'Em, dat deze bepaUng van b m,b,v. de kleinste kwadratenmethode niet altijd de juiste b oplevert.
we
hebben
daarom geprobeerd b op een andere manier te berekenen. Uitgegaan wordt nu van de gelijkheid: (
dV(t) (V(t) + b dt )dt =
~
o
jn
V(t)dt,
0
Onbekenden in deze vergelijking zijn k en b. Aan de hand van het model bekijken we nu b als funktie van k. We
~.,eten:
-
-Ib
(l
-t/b e
voor O.{ t {. t l
dy(t) z(t)
yet) +
=
dt
/b
-t
e
I
HI
-R) ·b
-(t-tl)/b e
voor t ~ t • l
Wanneer k (. t I :
/
J~Z(tldt ~ ~Y(tldt.
z (t) dt = E
(l -
(I
-.~)- e
H
o
-t/b
) dt
Ek + Eb(1
~~
-k/b )(e
-I).
n
Er moet gelden: D
()
0
!1
(t
/-= Wanneer k> t l :
~ jZ(tldt : o
b +
-k/b
-~
Ek + Eb(1
l
)(e
-I)
- k)
I - e
-k!b .
[,
E
In
k
J3
-
(I
-/"b )
o
Et l + Eb(l
-~
Dit moet gelijk zijn aan Et • l
-t/b e
-t /b ) d t + E (I - e
-tl/b )(e
-(k-tl)/b - I) e
I
I!b
jt,
)(I - - )
-(t-tl)
e
/b dt
29
~
(3
Rb~
In figuur ]6 is het verloop van~ als funktie van k geschetst.
h
Uguur ]6, We
z~en
dat op deze manier de juiste b en de juiste k gevonden kan worden.
Een volgende berekening is verricht: Voor 60 mg% is k gevarieerd en daarbij is berekend~ , 1
3
en I); de
gegevens zijn te vinden in tabel
rrr
Vergelijken we tabel1l met tabel gratietijd een minimum voor de in tabel
rrr
j3 .
dan vinden we voor de j uiste inte-
Echter deze waarde komt niet overeen met
gevonden waarde van b. De verklaring is dat waarschijnlijk
het nulniveau gevonden in de vorige paragraaf niet het juiste nulniveau is; de volgende berekening echter ondersteunt onze gevonden waarden: -t/b ) + a
E(J - e
y(t)
=
Ib
-t E(J - e
We nemen aan dat voor t
=n
}
11
jy(t)dt o
Et} + an,
O.{.
t {. t}
-(t-t})/b ) e
geldt y(t)
teruggekornen is naar het "nulniveau".
voor
+ a voor
a, dus dat na n sek. y(t)
30
11 = 49.0170.
k (sek.)
b (sek.)
1
3
21
16.9550
50.3900
21.5
16.1004
50.3798
22
15.3122
50.3644
22.5
14.5914
50.3424
23
13.9429
50.3127
23.5
13.3721
50.2763
24
12.8801
50.2316
24.5
12.4668
50.1751
25
12.1327
50.1072
25.5
11.8752
50.0333
26
11.6839
49.9580
26.5
11 .5455
49.8821
27
11.4519
49.8084
27.5
11.3971
49.7416
28
11.3717
49.6799
28.5
11.3698
49.6197
29
11.3947
49.5615
29.5
11.4494
49.5084
30
11.5959
49.4607
30.5
11.6 I 25
49.4168
31
11.7067
49.3776
31.5
11.8094
49.3444
TABEL
-g:
31
~
E(]
(]
~ It)B )
e
Mt/b
~ a
'Voor 0 {.. t
t:.' t]
dy(i) z(t) = yet) +
dt E( 1 - e
-t /b -(t-tl)/b 1 ) e (I
-/~
) + a veer t
>
t I.
Veer k.{. t I : fI.
- (I
jz(t)dt o
Dit meet gelij k zijn aan
f=
~ Veer k'7 t
J
l
:
z(tldt "
()
Et
~~
E(t
l
-Il)(e
~Z(tldt
-
e
-k/b
)
+ !Z(tldt
Et
l
+ Eb(I-a )(1 - e
-t /b -(k-t )/b I)e a(n-k).
t, a(n-k) b +
1.S
-I + ak.
If
0
In figuur 17
-k/b
- k) + a(n - k) E( I
t,
) + a)dt = Ek + Eb(1
+ an.
l
b +
-t/b )e
weerf uitgezet als funktie van k veer a> O.
b
I
figuur ] 7
l
32
Wanneer we dus uttgaanvan een mettng
~et
een
~oatt~e~ ve~schQVen
nulniveau
kunnen we exakt de jutste tntegrattettjd bepaIen,
We weten ook dat op deze tijd de geregenereerde kurve terug moet komen naar het nulniveau (Vgem) en hier moet bIijven. dV (t)
Vu (t) + b -~""t-
= Vgem
voor t
>
t 1,
Aangezien Vgem onbekend is wordt b als voIgt berekend: dV (t) u
o.
dt
Door nu 20 samples te nemen na t] kunnen we m.b.v. de kleinste kwadratenmethode de "beste" b vinden. Dit is gedaan voor onze drie koncentraties (tabel·~ ).
b 30 mg%
9.341
60 mg%
9.357
90 mg%
9.328
TABEL
"'lL .
Het nulniveau wordt bepaald uit de geregenereerde kurve als zijnde het gemiddelde van 20 samples na t • 1 De afwijkingen die we vonden in b ( tabel ~) kunnen dus aan het niet juist definieren van het nulniveau gelegen hebben. In bijlage 4 is de geregenereerde kurve en de gemeten kurve te z1en, voor een koncentratie van 90 mg%.
33
4.3
Bereken~n&
a:d~
van
De overgebleven kromme na het
regeneratteproce~ kan
volgens walker beschreven
worden door: a) de opgaande flank als de distributiefunktie van een normale verdeling; b) de neergaande flank als een minus diezelfde distributiefunktie. De opgaande flank is in formulevorm: z(t)
E f:-O'S(X/)2f~
=
C1d~ De afgeleide hiervan
~s
dx
_00
een normale verdeling: E
z' (t) =
Door nu de afgeleide van deze normale verdeling te nemen ontstaan er twee extrema, juist op de plaatsen waar er in de normale verdeling twee buigpunten zijn; de afstand in tijd tussen deze extrema is 2~, nl: 2 -0.5 (t- ;U) /
-E z' , (t)
e
/
crd2 •
Cldlfi;;' E en
z"'(t)
=
OdlJ.m'
In de extrema moet gelden
In ~ijlage 5 is de 2
e
z"'(t)
O.
differentie van z(t) te z~en. Aangezien we met een sample-
tijd van 0.5 sek. werken is
Grd
niet direkt te bepalen. In de samples van z"(t)
worden nu de extrema opgezocht. Om deze gevonden waarden wordt de krornrne in een Taylorreeks ontwikkeld. Hoe
Grd
dan exakt te vinden ~s wordt beschreven ~n appendix
c.
34
4.4 De
Ii
verkort~ng
yan de tQtaaltijd.
".I""
Onder de totaaltijd wordt verstaan: demonatertijd plus de wastijd. Bij de routinebepalingen is de totaaltijd nu 64 sek., 8 sek. monstertijd en 56 sek. wastijd. Na 56 sek. is men er zeker van dat de kurve naar z'n nulniveau is teruggekeerd: de opeenvolgende monsters beinvloeden elkaar niet. In welk gedeelte van het systeem zal een eventuele beinvloeding van de opeenvolgende monsters op elkaar gaan optreden wanneer we de wastijd verkleinen? We volgen nogmaals het monster op z'n weg door het systeem. Ret eerste gedeelte van het systeem levert het volgende beeld op: het monster wordt aangezogen, maar daarvoor en daarna gaat de naald door de lucht (fig. 18).
figuur 18. Vlak voordat het gesegmenteerde gedeelte van de stroom begint ziet het verloop van de koncentratie als funktie van de tijd eruit als geschetst in fig. 19. Na 64 sek. komt voor het volgende monster uit een luchtbel, die als bezem zal fungeren voor het voorgaande monster.
- - -
---,.....--,
.:..,-
HOl1centralie
j o figuur 19.
35
Uit het
YOQ~ga~nde i~
gebleken dat aileen het nesatiei
verantwoordelijk was voor de lange
wa~tijd.
ex~onentiele
effekt
De beinvloeding van twee opeen-
volgende monsters zal dus hoofdzakelijk plaatsvinden in de !lowcel. Iedere
autoanalyser bepaalt slechts de koncentratie van een stof, dus we
kunnen het uiteindelijke signaal (voor 2 opeenvolgende monsters met een korte wastijd) beschouwen als eerst de eerste kurve en daarna de som van diens "staart" en de tweede kurve. Experimenten van Walker (lit. 7) tonen dit aan. Voor ons model betekent dit (fig. 20):
'" (
!
~
t~
0rt~
"7 6 .
figuur 20. In forrnulevorm: -t/b E (l - e
)
voor 0 {. t
~tI
-t/b -(t-tl)/b E(I - e ) e voor t l yet)
=
-tl/b E(I - e E(I - e
)e
<
t.{.t
2
-(t-tl)/b -(t-t )/b 2 + E(l - e voor t 2 ( t~tl+t2
-t /b -(t-t )/b I)e 1 + -tl/b -(t-t -t )/b l 2 +E(l-e)e voort)t
We regenereren de kurve nu en kijken wat er dan gaat gebeuren:
l
+t
2
36
o.{. t
voor . . . t/b dy(t) dt '
- e E - -(I - e b
l
-(t . . . tl)/b )e
-tl/b )e -tl/b
E
- b'( 1
.{. t
voor
z(t)
t {. t Z
-(t-tl)/b
- e)e
+
-t)/b
E
y(t) + b
<.
-(t-tl)/b E -(t-tZ)/b + ~ voor tZ
- b(I - e ) e z(t)
t1
-(t-t)-tZ)/b voor t > t)+t ' Z
dy(t) dt
E
voor
o~
0
voor
t)
<~
tz
E
voor
tz
<~
t) + t z
0
voor
t ? t) + t Z '
=
~
t
t)
t t
Dit betekent dat de beinvloeding van twee opeenvolgende monsters op elkaar teniet wordt gedaan door het regeneratieproces. De lengte van de wastijd is dus aIleen afhankelijk van de vervorming die optreedt in de gesegmenteerde stroom, dus van
crd' Wanneer we ook rekening houden met het feit dat we
Vgem moeten berekenen (zie par. 4.Z.)), kunnen we zeker de totaaltijd, uitgaande van een monstertijd van 8 sek., terugbrengen van 64 sek. naar 3Z sek., wat een verdubbeling inhoudt van de hoeveelheid monsters, die per uur verwerkt kunnen worden.
37
Konklusies. Bij het maken van het programma is uitgegaan van koncentratiebepaling door integratie van de geregenereerde kurve. Niet onderzocht is echter welke methode, integratiemeting of piekhoogtemeting, nu de voorkeur verdient. Dit kan een punt zijn voor verder onderzoek. Ret programma zal ook die monsters verwerken die verontreinigd zijn door eventuele " sp ijkers", tog.v. luchtbellen inde flowcel, en die door het C.L.D.A.S. verworpen worden. Door het regeneratieproces is het mogelijk geworden: 1) een parameter (b) te definieren die ons iets zegt over de aansluiting van de verschillende slangetjes. 2) de integratietijd aanzienlijk te verkorten, 3) het aantal monsters, dat we per uur kunnen verwerken, te verdubbelen, 4) het nulniveau van het signaal en het nulniveau van de komputer aan elkaar gelijk te maken. Een ander punt van onderzoek zou kunnen zijn een kriterium vinden dat voor dit proces het beginpunt van de kurve vastlegt en wat algemeen geldig is. Door de benadering van Walker te gebruiken, die stelt dat de geregenereerde kurve te beschrijven is door twee keer een distributiefunktie van een normale verdeling, konden we een parameter (~) vinden, die ons iets kan zeggen over de vervormingen die optreden in het gesegmenteerde gedeelte van het systeem. Nader onderzoek
1S
nog noodzakelijk om te vinden in
hoeverre Gr afhankelijk is van bv. de stroomsnelheid, de aard van de d vloeistof, het materiaal en de lengte van de slangetjes. Rest mij nog te zeggen, dat hoewel het onderzoek niet direkt op elektrotechnisch terrein lag, het byzonder interessant is geweest; vooral de samenwerking met mensen van andere disciplines en naar mijn mening uiterst
nutti~e
ervaring.
was een vOlkomen nieuwe
38
Literatuur. 1) R.E.Thiers, R.R.Cole and W.J.Kirsch; Clinical Chemistry; vol. 13 (1967) bIz. 451 e.v. 2) W.H.C. Walker, C.A. Pennock and G.K. McGowan; Clinical Chemistry; vol. 27 (1970) bIz. 421 e.v. 3) D.M. van Ham; Stagerapport T.H. Eindhoven. 4) R.J.W.Ph. Kraan; Stagerapport T.H. Eindhoven. 5) R.E. Thiers, A.H. Reed and K. Delander; Clinical Chemistry, vol. 17 (1971) bIz. 42 e.v. 6) R. D. bregg; Analytical Chemistry, vol. 43 (1971) bIz 854 e.v. 7) W.H.C. Walker, J.C. Shepherdson and G.K. McGowan; Clinical Chemistry, vol; 35 (1971) bIz. 455 e.v. I
8) A.Savitzky and M.J.E. Golay; Analytical Chemistry, vol. 36 (1964) bIz. 1627 e.v.
39
l?lowdiag'ralllmen, q""4' \
q
I(
••
(
\.
Er zijn twee prograrnmals
ontw~kkeld~
a) Testprogramma t nodig om de parameters
0t
.
d en de integratietijd k uit
te rekenen. b) Routineprogramma t nodig om de routineoepalingen te verrichten. Voor het testprogramma is uitgegaan van een monster dat zeker het nulniveau weer haalt, dus de wastijd is groot.
Testprogramma.
inlezen eerste
1-----. spijkerzeef
tien samples smoothing L-
,--
~Winlezen
volgende
t------w spijkerzeef
sample
en bepaling le en Ze
I - - -__
differenties
t----jM;:-----l
alle samples 1----::iJ'-__
gehad
nee
bepaling beginpunt kurve
bepaling I-------;It
Ze extremum in eerste differenties
1---_.3
Z
40
\G\e,d;-\t(a(j,V.e(ef~,.(f,12'!1.
•
;
,
,
4
;
,
,
in1ezen vo1gende sample
•
,
,
;-Pt ,d,e, ,b(e,p,a.l,i.,p,~ -:r.a.n. ,e,e,rp,te
en
,
9 punts smoothing 1---,.
spij kexzeef
9 punts
smoothing 1-----..1 vierde graads aanpassing
t----i*""--f
e
4 graads aanpassing
zijn er reeds 29 s amp 1e s inge1ezen
zijn er reeds samples inge1ezen
1--I1f----120
bepaling Ie differenties~__~2 meb.v. 9 punten 4 graads aanpassing
nee i
1--..
bepa1ing e 2 differenties m.b.v. 9 punten 1 - - - - - . e 4 graads aanpassing
Gedetai11eerd f10wdiagram regeneratieproces. e
opzoeken 2 extremum in 1.nl-----~ Ie differenties (1)
uitgaande van van 20 samples 1 minimum van na k m.b.v. de b opzoeken ~----....-t k1einste kwadraa1s funktie van ten methode b t (k) bepa1en
bepa1ing nu1niveau V (t.):= V(t.)+bdV(t i ) r 1. 1. dt ~--------i~ uit gemidde1de van tien samples voor a11e t. 1. na k
t----tK
41
• \ ..
\' \.
\
"\,
\\'"
1 "
\ 1 " , . \. \ '
,c,;"eid,e,t\a.~l(\e(e(\d(!NJ'f,~i,a(l1{(~, Y,,\n, ,~(e( ,D;-1-a;\!i\8, y.a;~ ~"
in 1------iM
I
.. t
r
e oepaling l ....... extremum in 1-_.... Ze differenties (p)
ze differenties bepalen van 1geregenereerde kurve
l
:= p
e
differentie(A ) 30 en 4e differentie (A~O) in p oepalen 3
'---.....;.--------
A30
-~
A
r
40
e
bepaling Ze extremum in Ze differenties (q)
..
3 differentie e (B ) en 4 dif30 ferentie (B ) 40
.. Z
r
in q bepalen
Routineprogramma.
inlezen eerste 10 1-----tI~ spijkerzeef samples
I
,..
9 punts .' smoothing e 4 graads aanpassing !
,I
opp. van
Z
,..
9 punts smoothing e 4 graads aanpassing
opp. van gerege nereerde kurve ~---'~korrigeren t.o.v. Vgem.
...
r
1 - -........
e· . I dtfferentl.es bepalen m.b.v. 9e punten en 4 graads aanpaSSl.ng
alle samples tot integratietijurgehad!
1---'" geregenereerde 1 - - - -.... de kurve bepalen
inlezen volgende sample
spijkerzeef
regeneratie
• kurve
r
--®
Bepaling van hett--_.... nulnivaau (Vgem)
De details van dit flowdiagram zijn dezelfde als die van het testprogramma.
~
42
AFpendLxA~
:
"
•
i
;,
De volgende • • • • • • • • • • • 1
• • • • • • • • • • • 2
en
~n
het algemeen:
{
Cn +\ •
t
~ (~RCndt -~Cn+ldt "
) •••••••• 3
0
Wanneer we de vergelijkingen 1 tim 3 differentieren naar de tijd ontstaan vergelijkingen 4 tim 6: dC 1 (t) =
dt
dCn + (t) 1
dt
R R V Co - i C1(t) • • • • • • • • • , • • 4
=
R V CD. (t)
-
iR
C + (t) . • • • • • • • • 6 n 1
Een oplossing van vergelijking 4 is dan:
-Rt/V C1 (t)
=
Co ( 1 - e
)•
Na invulling van deze gelijkheid in vergelijking 5 krijgen we voor C (t) als 2 oplossing: -Rt/V Rt
- V
-Rt/V
e
).
M.b.v. induktie kan men nu de oplossing voor vergelijking 6 vinden; dit = Co (
nit
~s
] -
-Rt/V e
n
]
~ 'k: k=O
de vergelijking die we gebruiken in paragraaf 2,3,
~s
dan:
43
Appendix B. Smoothing en bepaling van differenties van data door middel van de kleinste kwadraten methode. Ret algemene probleem is als voIgt geformuleerd: Een serie van 2m+] opeenvolgende waarden wordt gebruikt voor de bepaling van kwadraten~
de beste polynoomaanpassing J in de zin van de kleinste
van de
graad n (n kleiner dan 2m+]). Deze polynoom is van de vorrn: 2
=
f(i)
n
bn 0 + bn ]i + bn 2i +•••••••• + bnn i .
De afgeleiden hiervan zijn te bepalen: df(i) di
+ •••••••• + nb
nn
i
(n)
f (i)
d
din
n!
b
nn
In het koHrdinatensysteem wat gebruikt wordt laten we
~
+ mt zodat in het middelste punt geldt: m= O. De se afgeleide in dit punt is dan dus: (s) d
f(i) dis
s! b
ns
Verder geldt dan:
f(O) = b nO df(O) di
= bn ]
(2) f (0)
d
di
2
• • • • • • • • 1
lopen van - m tot
44
Ret kriterium van de kleinste kwadraten bepaalt dat het verschil van de waargenomen waarde y(i) en de berekende waarde f(i) in het kwadraat minirnaal moet zijn voor het beschouwde interval: 2
d
db
( f(i) - y(i»
Wanneer we minimaliseren m.b.t. b d db
O.
)
nk krijgen we:
nO
m
(L.. i=-m
nO
(b
+ b
nO
i +
nl
n
.......
+b
nn
y(i»
4=
+ b
(b
nO
~=-rn
i + •••••• + b
nl
In het algemeen wanneer we minirnaliseren m.b.t. b m
2
)=
n
m
2
2
i
~
~=-m
k+r
n
t
~
~=-rn
- y(i»
bnk
~
O.
m
z=
= O.
dan krijgen we:
r k bnk i ) - y(i) )i
n
(2= k=O
(
nr
nn
~
r
.
r
.
y(i) i
~=-rn
Door verwisseling van sonunatietekens:
~
:z.
nk
S
r+k
~
m
~
i
~=-rn
i
en
~=-m
y(i)
~
~=-rn
k+r
m
Nu wordt:
k+r
m
b
F
r
L
i=-rn
r y(i)
~
.
F • r
We leidden een voorbeeld af voor n = 3 en m = 4. We krijgen dan de volgende vergelijkingen: r
=0 • • • • • . a
r = 2
45
., ••• ,."b r
=
3
Uit de vergeIijkingen 1 voIgt dat de gesmoothte waarde in het middelste punt ( i = 0 ) geIijk is aan b
b
30
• Uit de vergeIijkingen a kunnen we b
82F2
30 = 2 8
2
60, S4 = 708, F 2
Nu is: So =9, S2
30
oplossen:
8 F 4 O 8 8 4 0
~ 1=-4
2 y(i) i
en
F = O
t.
y(i).
~=-4
_ -2Iy(-4) + 4y(-3) + 39y(-2) + 54y(-I) + 59y(0) + 54y(l) + 39y(2) b 30 23 t' +
+
4y(3) - 21y(4) 231
In het algemeen kunnen we afleiden:
~ b
nr
=
a(i) y(i)
~=-m
In de Iiteratuur
k z~Jn
voor vele waarden van m, n, en r de bijbehorende a(i) en
k in tabelvorm opgenomen.
46
Appendix C. In een reeks samples (zie onderstaande tabel) wordt een extremum ontdekt:
t
sample~
waarde
Om
10
11.382
10.5
10.798
11
10.432
11.5
10.230
12
10.510
12.5
10.831
13
11.456
13.5
12.211
nu het exakte tijdstip van dit extremum te vinden wordt om (in ons voor-
beeld) t
= 11.5 het signaal in een Taylorreeks ontwikkeld.
In het algemeen: f(t)
f(a) +
fl(a)
1!
(t-a) +
f"(a)
2!
(t-a)
2
3
f' , , ( a)
+
3!
(t-a)
+
+restterm. De restterm wordt verwaarloosd. Nu moet in het extremum fIlet) gelijk zijn !
aan nul: (e) = f"(a) + f"'(a)(e-a) =
f"
e
=
a -
f
I I
(a)
f"'(a) .
O.
400 308 306 304 302
\{
I
300 208 206 2 04 202 200 10,8 lo6
104
l
102 100 08
::t 02l ~l
0
10
20
, -=:L
1
30
40
so
60
70
80
!
!
§O
==,,===01
jJ 100
~7/(~)
)
3 )
~ )
J 3 CJ
4
2 0
0
10
20
I
I
40
50
60
70
80
90
100
~7 t{~)
,,5
,,4
dt!u.,,3
7if ,,2
r
01
0
t~~~o 40
I I
-,,1
-,,2
-,,3 -,,4 -"
I
I
90
100
; i/:td)
4.. 5
2 .. 5
2,,0
1..5
005 004 003 002 001
70
80
__-~ 1(5ek)
90
100
