Elektromágneses terek VI. EA
Nyitray Gergely PTE PMMIK, Villamos Hálózatok Tanszék
2014. november 7.
A mágneses-induk ió-vektor
A tapasztalat szerint árammal átárt vezet®k és permanens mágnesek környezetében mágneses mez® jelenik meg. A mez® intenzitását az E elektromos térer®sségvektorral analóg B mágneses induk ió vektorral jellemezhetjük. Létezik mágneses térer®sség vektor is (H ) de az nem E -vel, hanem D -vel analóg. Mágneses monopólusokra:
B = FQ(r ) m
lenne, ha léteznének mágneses monopólusok. Makroszkopikus szinten mágneses monopólusok nem léteznek ezért nem az er®hatás, hanem a mágneses dipólusra ható forgatónyomaték alapján értelmezzük a mez® intenzitását.
A mágneses-induk ió-vektor
I
m A
magnetométer Sfrag repla ements mágnes
M m
= =
m×B INAn
A mágneses-induk ió-vektor
Statikus mágneses mez®be helyezett magnetométerre forgatónyomaték hat. A statikus mágneses mez®be helyezett magnetométer minden esetben stabilis egyensúlyi helyzetet vesz fel. A stabilis egyensúlyi helyzetbe került magnetométer felületi normálvektora jelöli ki a B vektor irányát. A B vektor nagyságát úgy értelmezzük, hogy az egyensúlyi helyzetbe beállt magnetométert 90◦ -kal elfordítjuk egyensúlyi helyzetéb®l és megmérjük mekkora forgatónyomaték hat rá.
B=
M max INA
A H = µB0 mágneses térer®sségvektor nem E -vel, hanem D -vel analóg. µ0 = 4π · 10−7 H/m a vákuum mágneses permeabilitása ε0 -lal analóg.
Szolenoidális mez®
A mágneses mez® er®vonalai ránézésre más tulajdonságúak mint a statikus elektromos mez®é. A mágneses mez® er®vonalai önamgukba záródó szolenoidális görbék. Ezzel szemben a statikus elektromos mez® er®vonalai ún. nyílt er®vonalak.
Sfrag repla ements
I A
m
magnetométer mágnes
+
−
+
+
A satikus mágneses mez® forráser®ssége
A statikus mágneses mez® forrásmentes: I B d A = 0. Ez annak a következménye, hogy mágneses monopólusok nin senek. Ezáltal a Maxwell-egyenletek szimmetriája sérül. Nem lehetetlen, hogy mikro zikai skálán léteznek mágneses monopólusok, de egyértelm¶ kísérlet bizonyítékok nin sennek. Elméleti téren viszont létezik mágneses monopólusra vonatkozó elmélet: Dira -féle monopólus.
A Biot-Savart-törvény
PSfrag repla ements
I Id l ϕ
P
r ˆr
P
A tapasztalat szerint egy elemi vezet®szakasz Id l (áramelem) által létrehozott elemi hatás arányos a vezetéken átfolyó I árammal, sin(ϕ)-vel és fordítottan arányos a vezetékt®l való távolság négyzetével. µ Id l sin(ϕ) dB = 0 4π r2 Vektoriálisan: µ Id l × ˆr dB = 0 2 4π r
A Biot-Savart-törvény
PSfrag repla ements
I Id l ϕ
P
r ˆr
P
Egy zárt áramhurok által létrehozott mágneses induk ió az elemi d B hatások integrálja lesz: I µ0 I B = 4π d lr×2 ˆr . Ezt a törvényt nevezzük Biot-Savart-törvénynek.
Végtelen hosszú,
I
árammal átjárt vezeték körüli mez®
sin(180◦ − φ) =
os(α) =
ments
I
Id l
180◦ − ϕ
ϕ
180◦ − ϕ
ˆr
rd α
B
=
µ0 I 4π
Z∞
−∞
dα
r α
R r
rd α dl
d l sin(ϕ) r2
π
P
B
=
µ0 I 4π
Z2
✁rd α = µ0 I 4π r ✁2
− π2
R
π
π
B
=
µ0 I 4π R
Z2
− π2
os(α)d α
Z2
− π2
dα R / os(α)
Végtelen hosszú,
ments
I
Id l
I
árammal átjárt vezeték körüli mez®
180◦ − ϕ
ϕ
180◦ − ϕ
ˆr
π
B
rd α dα
r α
R
P
=
B
=
B
=
B
=
µ0 I 4π R µ0 I 4π R µ0 I 4π R µ0 I 4π R
Z2
os(α)d α
π
−2
π
[sin(ϕ)]−2 π 2 h π π i − sin − sin 2 2 µ0 I [1 − (−1)] = 2π R
Véges hosszú,
I
árammal átjárt vezeték körüli mez®
l
2 l
R
α0 α0
P
2
ments
R
β0 γ0
P
B
=
B
=
B
=
B=
µ0 I [sin(ϕ)]α−α 4π R µ0 I [sin (α0 ) − (sin (−α0 ))] 4π R µ0 I sin(α0 ) 2π R µ0 I (sin (β0 ) + sin (γ0 )) 4π R
Mágneses mez® egy
I
áramú körvezet® szimmetriatengelye
mentén
ag repla ements
R
Id l ˆr r ϕ
I
R
r z
By α
P
B Bz
Mágneses mez® egy
I
áramú körvezet® szimmetriatengelye
mentén
I
Id l ϕ ˆr r
R
r z
By α
P
Bz
=
Bz
=
Bz
=
I µ0 I d l sin(ϕ) sin(α) 4π r2 I d l sin( π2 ) R µ0 I 4π r2 r I dl µ0 IR 4π r3
B Bz
Mágneses mez® egy
I
áramú körvezet® szimmetriatengelye
mentén
Bz
=
Bz
=
Bz
=
µ0 IR 4π
I
d l µ0 IR = r3 4π
µ0 IR q 3 2 2 4π R +z µ0 IR 2 q 3 2 2 2 R +z
I
I
dl q
dl =
R
2
+z
2
3
µ0 IR q 3 2π R 2 2 4π R +z
Mágneses mez® egy
áramú körvezet® szimmetriatengelye
I
mentén 1
q
0.8
1+x
− 3
f
epla ements
0.6
2
0.4 0.2 0 0
1
2
3
x 4
5
6
7
Spe iálisan a körvezet® síkjában:
Bz (0) =
µ0 IR 2 µ0 IR 2 µ0 I = q 3 = 3 2R 2R 2 R 2 + 02
8
árammal átjárt szolenoid mez®je
ements
2
1.5
B
I
egy menet
az összes menet mez®je
1
0.5
0 0
1
2
3
4
x 5
6
7
8
9
10
I árammal átjárt szolenoid mez®je epla ements
dζ
dζ
I
α
R
α2
α1
α
P
l
2
ζ
z
√
d ζ sin(α)
z
R 2 +(Z −ζ)2
dα α
I árammal átjárt szolenoid mez®je ments
z I R P
dζ
α
d ζ sin(α)
dα √ 2 R 2 +(Z −ζ)2 l
α
tan(d α) = tan(d α) ≈ dα = sin(α) sin(α)2 =
q
d ζ sin(d α) R 2 + (Z − ζ)2
dα
dζ R 2 + (Z − ζ)2 R2 R 2 + (Z − ζ)2 q
I
árammal átjárt szolenoid mez®je
B
=
dH
=
µ0 I R2 2 (R 2 + Z 2 ) 32 nd ζ IR 2 l
H (z )
=
Z2
nIR 2 3 dζ 2 [R 2 + (Z − ζ)2 ] 2
nI
Zα2
− 2l
H (z )
=
3
2 [R 2 + (Z − ζ)2 ] 2
2
α1
dα sin(α)✁2 ✘ ✘ sin (α) ✘
I
árammal átjárt szolenoid mez®je
Nagyon hosszú egyenes teker s esetén α1 ≈ 0 és α2 ≈ π , így
os(0) ≈ 1 és os(π) ≈ −1. Ezért:
H (z ) H (z )
=
=
nI 2
Zα2
sin(α)d α =
α1 Zα2
NI 2L
α1
sin(α)d α =
nI 2
nI 2
[ os (α2 ) − os (α1 )] [1 − (−1)] =
NI L
Nagyon hosszú teker s esetén ez a képlet elég jól alkalmazható nem
sak a szimmetriatengelyre, hanem a teker sen belüli teljes térre.
A gerjesztési törvény (Ampère-törvény)
A Biot-Savart törvény sak vákuumban (leveg®ben) érvényes ezért nem használjuk mágneses anyag jelenlétében. Sokkal általánosabb összefüggéshez jutunk ha a mez® örvényer®sségét vizsgáljuk: I Oe = B d l Számítsuk ki ezt a vonalintegrált egy kon entrikusan körülvev® körre:
I
I
áramot szállító vezetéket
B d l = B 2r π = 2µπ0✟Ir ✟ 2r✟ π ✟
I
B d l = µ0 I
A gerjesztési törvény (Ampère-törvény)
Felhasználtuk, hogy az induk ióvonalak mentén B nagysága állandó és a d B és d l vektorok által bezárt szög nulla. Ez az eredmény tetsz®leges zárt görbére és árameloszlásra igaz! Neve gerjesztési törvény vagy Ampère-törvény. I X B d l = µ0 I Z I Hdl = JdA
P A I a zárt görbére illeszked® felületen áthaladó áramok algebrai összegére vonatkozik.
PSfrag repla ements I árammal átjárt szolenoid mágneses mez®je D
N
I A
C B
R
z
L
I ZC
B
Bd l
BBC d l
=
=
ZB
A ZD
C
BAB d l + BCD d l =
ZC
B ZA D
BBC d l +
ZD
C
BDA d l ≈ 0
BCD d l +
ZA
D
BDA d l
I
árammal átjárt szolenoid és toroid mágneses mez®je
ZB
BAB d l
A
HL H
= µ0 NI = =
NI NI L
Ha egy teker set önmagába visszahajlítunk egy tórusz felületet kapunk. A toroidális teker selés eredménye: körteker s, másnéven toroid. PSfrag repla ements
r1 I
rk r2
I
árammal átjárt toroid mágneses mez®je
r1
PSfrag repla ements
rk r2
I ZB
Bk d l
= µ0 NI
A
H 2rk π H
= =
NI NI 2rk π
I
áramot szálító koaxiális vezeték mágneses mez®je
Tegyük fel, hogy a felületén azonos.
J árams¶r¶ség-vektor nagysága az elektródák B
változása két elektróda között:
B (r )12 =
ments
r3 I
r2
I
r1
µ0 I . 2π r
A bels® elektródában: I B (r ) d l = µ0 I
B (r )2✁r π|
= µ0 Jr ✁2 π| µ J B (r ) = 0 r 2 µ0 I B (r )01 = r 2 2r1 2 π
I
áramot szálító koaxiális vezeték mágneses mez®je
Tegyük fel, hogy a felületén azonos.
ments
J árams¶r¶ség-vektor nagysága az elektródák r3
A küls® elektródában:
I
r2
I
r1
B (r )2r π
=
B (r )23
=
I r 2 − r2 2 π µ0 I − (r3 2 − r2 2 ) π o nr µ0 I 3 − r 2π (r3 2 − r2 2 ) r
!
áramot szálító koaxiális vezeték mágneses mez®je
ag repla ements
1.2
Mágneses induk ió
I
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
1
2
3
távolság
4
5
6
Az anyagok felosztása
Az anyagokat három soportba soroljuk be mágneses tulajdonságaik alapján (31. ábra). A paramágneses anyagok küls® mágneses térbe helyezve enyhén er®sítik a küls® teret. Ilyen anyag pl. Al, Cr, K, Mg, Mn és Na. Ezen anyagok χ m mágneses szusz eptibilitása igen ki siny kb. 10−5 . A relatív permittivitás ezek alapján kissé nagyobb mint egy: µ r = (1 + χ m ) ≈ 1, 00001.
paramágneses
diamágneses
ferromágneses
Diamágnesség
A diamágneses anyagok küls® mágneses térbe helyezve enyhén gyengítik a küls® mágneses teret. Ilyen anyagok pl. Cu, Bi, C, Ag, Au, Pb, Zn, He. Ezen anyagok mágneses szusz eptibilitása igen kis negatív szám −10−5 . A relatív permittivitás ezek alapján egynél pi ivel kisebb. µ r = (1 + χ m ) ≈ 0, 99999.
paramágneses
diamágneses
ferromágneses
Ferromágnesség A ferromágneses anyagok magas h®mérsékleten paramágnesesek, majd egy kritikus h®mérséklet alá h¶tve másodrend¶ fázisátalakuláson mennek keresztül. A kritikus h®mérsékletet Curie-h®mérsékletnek nevezzük. A ferromágneses anyagok a Curie-h®mérséklet alatti h®mérséklettartományban a küls® mágneses teret igen nagy mértékben er®sítik. Ilyen anyagok a vas, kobalt, nikkel, gadolínium és különböz® ötvözetek. Ezen anyagok χ m mágneses szusz eptibilitása igen nagy 103 − 105 . A relatív permittivitás ezek alapján szinten nagyon nagy µ r = (1 + χ m ) ≈ 1001 − 100001.
paramágneses
diamágneses
ferromágneses
Ferromágnesség
A ferromágneses anyagokban kis méret¶ spontán mágnesezettség¶ tartományok ún. domain-ek vannak. A küls® tér a tartományok falainak eltolódásával és a mágnesezettség irányának elforgatásával képes növelni a küls® teret. Mikroszkopikus szinten a mágnesség háromféle hatásra vezethet® vissza: a mag körül mozgó, köráramként felfogható elektronok pályamágneses momentumára, az elektronok spinjével kap solatos saját mágneses momentumra, az atommagot alkotó része skék saját mágneses momentumra.
Paramágnesség
A paramágneses anyagokról tudjuk, hogy része skéik állandó mágneses dipólmomentummal rendelkeznek, de rendezetlenségük miatt küls® tér hiányában makroszkopikus mágnességet nem mutatnak. Tegyük fel, hogy az anyag térfogategységenként n db m mágneses momentumú elemi mágnest tartalmaz. Célunk χ r meghatározása. Egy mágneses dipólus V (ϑ) mágneses energiája a következ®:
V (ϑ) = −m · B = −m · B · os(ϑ) Az n0 nulla energiájú dipólusok számának ismeretében a Boltzmann-eloszlás alapján meghatározható, hogy átlagosan hány dipólus zár be egy bizonyos ϑ szöget a küls® tér irányával: V (ϑ) n(ϑ) = n0 exp − .
kT
Paramágnesség
A mágneses momentumok ilyen elrendezése küls® tér hiányában zérus ered® mágneses momentumot eredményez. Tegyük fel, hogy a küls® H mágneses tér az x -tengellyel párhuzamos. Küls® mágneses tér hatására az x -tengely mentén a különböz® állású mágneses dipólusok egyensúlya megbomlik.
Z
Y
m
X
Paramágnesség
Az M ered® mágnességet a térrel párhuzamosan (n1 ) és ellentétesen (n2 ) álló mágneses momentumok különbségeként számolhatjuk ki:
M = (n1 − n2 ) m. A küls® térrel párhuzamosan álló dipólusok energiája a os(0) = 1 miatt W (0) = −B m. A térrel ellentétesen álló dipólusé a
os(π) = −1 miatt: W (π) = B m. A nulla energiájú dipólusok száma n0 = n/6.
n1
=
n2
=
n
Bm 6 kT n Bm exp − 6 kT exp
Paramágnesség
Használjuk ismét az e x ≈ 1 + x közelítést: n Bm n Bm 1+ n1 = exp ≈ 6 kT 6 kT n Bm n Bm n2 = exp − 1− ≈ 6 kT 6 kT az ered® mágneses momentum abszolút értéke: n Bm n Bm n − M= 1+ 1− m= 6 kT 6 kT 3 Vektoriálisan pedig:
M = 3nkmT B = n3mk Tµ0 H . 2
2
B m2 . kT
Paramágnesség
Ezt összehasonlítva a
M = χ m H összefüggéssel kapjuk, hogy χm =
n m 2 µ0 . 3k T
Ez az eredmény jól egyezik a tapasztalatokkal, mindaddig amíg az abszolút zérus ponthoz nem közeledünk. Néhány kelvin h®mérsékleten azonban érvényét veszti.
Diamágnesség
A hélium két protonból, két neutronból és két elektronból áll. Úgy tekintjük, hogy az elektronok körpályákon keringenek az atommag körül. Az elektronok mint köráramok mágneses momentumot hoznak létre. A mágneses momentum nagysága m = IA n , ahol A az elektron keringése során súrolt terültet, n pedig felületi normálvektor. Az elektron által létrehozott köráram nagyságát a v sebesség és az r0 pályasugár határozza meg.
I
=
Q t
=
(−e ) v = −e (s /v ) 2 π r0
(1)
Az elektron által keltett mágneses momentum nagysága:
m = −e
v
2 π r0
· ( r02 π) = −
e v r0 2
(2)
Diamágnesség
m2
m2
B r0
r0 r0
v2
v1
r0 v2
m1
m1
1. ábra. A hélium diamágnességének klasszikus modellje
v1
Diamágnesség
Tegyük fel, hogy az elektronok egymással párhuzamos síkban, ellentétes irányban keringenek. Az elektronok közötti taszítást elhanyagoljuk. Küls® tér nélküli állapotban a két elektron azonos nagyságú, de ellentétes irányú mágneses momentumot hoz létre, amely küls® tér hiányában kioltja egymást. Feltételezzük, hogy a küls® mágneses tér síkja mer®leges a kering® elektronok síkjára. Célunk a hélium mágneses szusz eptibilitásának meghatározása. Els® lépésben meghatározzuk a kering® elektronra ható er®ket, majd ez alapján fölírjuk az elektronok mozgásegyenleteit. Mindkét elektronra azonos nagyságú elektrosztatikus vonzóer® hat. Viszont a küls® tér miatt a mágneses er® nagysága különböz® lesz a két elektronra.
Diamágnesség
A Coulomb-er® a következ®: 1 Q1 Q2 ˆr F C = 4πε 2 0 r A Coulomb er® a ponttöltéseket összeköt® egyenes mentén hat. A Q1 = 2 e töltés¶ mag és a Q2 = e töltés¶ elektronra aktualizálva a Coulomb er® nagysága:
FC =
1 2 e2 4πε0 r02
Mivel a mágneses er®re vonatkozó összefüggés F m = Q [v × B ], esetünkben a sebesség és a mágneses induk ió derékszöget zár be, így a mágneses er® nagysága mindkét elektron esetén F m = e v B .
Diamágnesség
Az er® irányát viszont mindkét elektronra tisztázni kell. v2
B
B e
e
Fc
Fm
2e
Fm
Fc
2e
v
1
2. ábra. Az elektronra ható er®k küls® mágneses tér jelenlétében
Diamágnesség
Az elektronok mozgásegyenletei:
m e v1 2 r0 2 1 2e m e v2 2 − e v B = 2 4πε0 r02 r0 1 2 e2 + e v1 B = 4πε0 r02
A küls® tér miatt fellép® ered® mágneses momentum:
m e = m2 − m1 = −
e r0 2
(v2 − v1 ).
Ezt ún. indukált mágneses momentumnak nevezik. A sebességek különbségét a mozgásegyenletekb®l könnyen meg lehet határozni.
v2 − v1 =
e B r0 m
Diamágnesség
Ezt behelyettesítve a 3 kifejezésbe kapjuk, hogy
r0 m e = e2 m 2
2
µ0 H
Az atomi mágneses momentum ismeretében egyszer¶en meghatározhatjuk a mágnesezettséget, hiszen M a térfogategységre jutó mágneses dipólusmomentum. Ha térfogategységenként n db héliumatom található a térben, akkor 2 2 M = − e r20 mn µ0 H ,
így a szusz eptibilitás:
χ=−
e 2 r0 2 n µ0 , 2m
amely a kísérleti tapasztalatnak megfelel®en valóban független a mágneses tért®l és a h®mérséklett®l is.
Diamágnesség
Az el®z® modellb®l r0 = 0, 5 · 10−10 m pályasugár és a normál körülmények esetén adódó n = 2, 69 · 1025 m−3 érték felhasználásával a He szusz eptibilitása −1, 2 · 10−9 adódik. A mért érték −2, 25 · 10−9 . Ez a modell egyszer¶ségéhez képest gyelemreméltó egyezés.
