!
"
&
INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA
METODIKA
'
# ( ) * +) , -
$%#
Matematika
Exponenciální a logaritmické funkce a rovnice
Mgr. Martina Procházková
duben 2010
Tato ást u iva o rovnicích je poslední kapitolou v u ivu funkce a zárove pro studenty nejobtížn jší. P edpokládá dobré zvládnutí mocninných funkcí a funkce inverzní. Pro zvládnutí u iva o logaritmických rovnicích je t eba dob e porozum t pravidl m o po ítání s logaritmy a správn je používat.
1
I.kapitola Exponenciální funkce a rovnice P ed probíráním této kapitoly musí mít studenti dob e zvládnuté ostatní kapitoly o funkcích a jejich grafech. P i kreslení graf je dobré používat bu voln dostupné programy nap .: freeware-Funkce 2.0 (http://www.slunecnice.cz/sw/funkce/ ) nebo programy koupené. Naše škola používá Cabri a Derive, zakoupené v rámci projektu SIPVZ G Vod radská 2005-2006. 1) Rozhodn te,zda jsou pravdivé výroky: a)
6 7
2, 5
<
6 7
2, 4
1, 4
4 3
b)
<
4 3
1, 3
6 je menší než 1, funkce je klesající. Protože 2,5 je v tší než 2,4, 7 pak výrok je pravdivý. 4 b) íslo je v tší než 1, funkce je rostoucí. íslo 1,4 je v tší než 1,3, výrok je 3 nepravdivý.
ešení: a)
íslo
2) Pomocí grafu vhodné exponenciální funkce rozhodn te, jaký vztah platí mezi reálnými ísly r,s víte-li, že platí: a)
2 7
r
<
2 7
s
ešení: a) r > s
b) 1,7r > 1,7s b) r > s
3) Porovnejte grafy funkcí y
x
2 ,y
r
c)
2 1 >
2 1
c) r < s 1 2
x
3 ,y
ešení pomocí programu Derive:
2
x
,y
1 3
x
s
metodická poznámka Zd raznit, že všechny exponenciální funkce prochází bodem 1 na ose y.
4) Na rtn te v téže soustav grafy funkcí : 4x
y
0,4 x
y
y y
4x
2
y
4x
y
0,4
0,4 x
1
x
ešení:
metodická poznámka V grafech použít d ív jší u ivo o funkcích, posun po ose x a y. Zd raznit postupnou tvorbu grafu funkce.
5) Jednoduché exponenciální rovnice: 5.1 b) 4 x 64 c) 2 x a) 3 x 9 ešení: a) x = 2 b) x = 3 c) x = -1 d) x = -2 5.2
a) 4 v
1
1
ešení: a) v =-1 b) v =
b) 0,7 5
4v
c) 0,001x
1
5 c) x = -1 d) x = 1 4
3
d) 0,25 x
0,5
1000
d) 10 x
16
2
0,1
6) Složit jší exponenciální rovnice: u
a) 2 .3
u
1 u
b) 7 .4
216
ešení: a) u = 3
1 u
1 28
c) 10
6 u 5 u
100
2 d) 3
u
9 . 8
b) u = 2 c) u1 = 7, u2 = 4 d) u = 3
II.kapitola Logaritmická funkce metodická poznámka : Studenti musí mít dob e zvládnuté u ivo o inverzní funkci. 1) Rozhodn te, který z výrok je pravdivý: a) log 3 5
log 3 8
b) log 0, 5 7
log 0, 5 8
c) log 3 10
log 1 10 3
ešení:a) Základ v tší než 1, funkce je rostoucí - výrok platí b) Základ menší než 1, funkce je klesající – výrok neplatí c) První funkce je rostoucí, druhá klesající - výrok platí 2) Na rtn te grafy funkcí:
y
log 2 x
y
log 2 x 4
y
log 2 x 4
y
log 1 x 2
y
3 log 1 x 2
y
3 log 1 x 2
2
2
2
ešení:
4
1
u
27 64
3) Najd te všechna reálná ísla x, pro která platí: a) log 1, 5 x ešení:
a) x
log 1,5 5
b) log 0, 7 ( x 1)
(0,5)
b) x
log 0,7
1 3
2 ; ) 3
Logaritmus a logaritmické rovnice
III.kapitola
P ed po ítáním logaritmických rovnic si musí studenti dob e osvojit výpo et jednoduchého logaritmu a jeho p evod na exponenciální rovnici. 1) Vypo ítejte: b) log 4 1
a) log 5 125 ešení:
a) log 3 x
4
d) log 0, 25 4
1 d) -1 6
a) 3 b) 0 c)
2) Najd te všechna x
c) log 8 2
, pro n ž platí:
0;
b) log 1 x
1 c) log
2
x
4 d) log x
5
ešení:
a) 81 b) 5 c) 4 d)
5
3 5
0,001
3) Najd te všechna kladná reálná ísla a tak, aby platilo: a) log a 27
3
ešení:
b) log a 5
a) 3 b)
1 c) 5
1 c) log a 8
3 d) log a 1000
3 2
2 d) 10
V následujících p íkladech je pot eba používat v ty o logaritmech. Studenti si musí na po ítání s logaritmy zvyknout. 4)
log 6 ( x 1) log 6 x 1
ešení:
x=2 Metodická poznámka V t chto p íkladech pe liv dbát na podmínky ešení.
5
5) log 2 ( x 7) log 2 x
3
ešení: x = 1 6) log x 5
log x 4
log x 3
12
ešení: x = 1000 7) log 1 2
x x 14
log 125 log 5
ešení: x = 2
Metodická poznámka Nejprve je dobré upravit pravou ást rovnice na co nejjednodušší tvar.
8)
log 3 (6 x 2) log 3 ( x 3)
ešení: x = 11
2
Metodická poznámka astá chyba student – krácení logaritm .
9) log 21 ( x 1) 5 log 1 ( x 1) 2
6
ešení: x {
2
1 ;63 } 2
Metodická poznámka Užít substituci.
10) log 24 x 3
4 log 24 x 2
8
ešení: x {
Metodická poznámka Pozor p i umoc ování logaritmu. log 24 x 3
6
1 ;4 } 4
(log 4 x 3 ) 2
(3 log 4 x ) 2
Použitá literatura : Old ich Odvárko: Matematika pro gymnázia - funkce. Dotisk 2.vyd., Prometheus Praha 1996 Jindra Petáková: Matematika – p íprava k maturit a k p ijímacím zkouškám na vysoké školy, 1.vyd., Prometheus Praha 1998
V p íloze na další stránkách jsou uvedeny p íklady z p edchozích stránek tak, aby mohly být v p ípad pot eby kopírovány pro práci student p i hodinách individuální výuky.
7
I.kapitola Exponenciální funkce a rovnice 1) Rozhodn te,zda jsou pravdivé výroky: 6 a) 7
2, 5
2, 4
6 < 7
1, 4
4 b) 3
4 < 3
1, 3
2) Pomocí grafu vhodné exponenciální funkce rozhodn te, jaký vztah platí mezi reálnými ísly r,s víte-li, že platí: 2 a) 7
r
s
2 < 7
b) 1,7r > 1,7s
3) Porovnejte grafy funkcí y
x
2 1 > 1 2
x
2 ,y
r
c)
3 ,y
2 1
x
1 3
,y
s
x
4) Na rtn te v téže soustav grafy funkcí : 4x
y
0,4 x
y
y y
4x
2
5.2
a) 4 v
1
1
b) 0,7 5
4x
y
0,4
0,4 x
5) Jednoduché exponenciální rovnice: 5.1 a) 3 x 9 b) 4 x 64 4v
c) 2 x
1
y
d) 0,25 x
0,5
1
c) 0,001x
1 28
c) 10 6
x
1000
d) 10 x
16 2
0,1
6) Složit jší exponenciální rovnice: a) 2 u .3u
216
b) 71 u .41
u
8
u 5 u
100
d)
2 3
u
.
9 8
u
27 64
II.kapitola Logaritmická funkce 1) Rozhodn te, který z výrok je pravdivý: a) log 3 5
log 3 8
b) log 0, 5 7
log 0, 5 8
c) log 3 10
log 1 10 3
2) Na rtn te grafy funkcí:
y
log 2 x
y
log 2 x 4
y
log 2 x 4
y
log 1 x 2
y
3 log 1 x 2
y
3 log 1 x 2
2
2
2
3) Najd te všechna reálná ísla x, pro která platí: a) log 1, 5 x
log 1,5 5
b) log 0, 7 ( x 1)
9
log 0,7
1 3
1
Logaritmus a logaritmické rovnice
III.kapitola
1) Vypo ítejte: b) log 4 1
a) log 5 125
2) Najd te všechna x a) log 3 x
c) log 8 2
, pro n ž platí:
0;
b) log 1 x
4
d) log 0, 25 4
1 c) log
2
x
4 d) log x
5
3 5
3) Najd te všechna kladná reálná ísla a tak, aby platilo: a) log a 27
4)
b) log a 5
3
log 6 ( x 1) log 6 x 1
5) log 2 ( x 7) log 2 x 6) log x 5
7) log 1 2
8)
1 c) log a 8
log x 4
x x 14
log 3 (6 x 2) log 3 ( x 3)
3
log x 3
log 125 log 5
2
9) log 21 ( x 1) 5 log 1 ( x 1) 2
10) log 24 x 3
12
6
2
4 log 24 x 2
8
10
3 d) log a 1000
3 2
