Variace, permutace, kombinace, kombinační čísla, vlastnosti, užití faktoriál, počítání s faktoriály, variace s opakováním. 1. Upravte a urči podmínky: n 2 − 16 n 2 + 5 3 a) 2 ⋅ + + = (n + 4)! (n + 3)! (n + 2)! n2 − 9 6 1 + − b) (n + 3)! (n + 2)! (n + 1)! (n + 2)! − (n − 1)! c) n! (n − 2)! 2. Řešte rovnici: x + 1 5 x + 1 4 x + 1 + − = 1 a) x + 1 3 x 3 x − 1 x + 2 x x − 1 x x 2 8 x + 1 − = b) − 2 0 x − 3 x 2 1 x + 1 x x x2 + 1 + = c) 2 x − 2 x − 1 (n + 6)! − n ⋅ (n − 4)! = 5n + 80 d) (n + 4)! (n − 5)! x + 8 x x x + 1 x − = 2 e) 5. x + 7 1 0 x x − 1 x x − 1 = x 2 f) + 2 2
1 (n + 1)! 1 (n + 2 )! n2 + 2n + 3
5 8 nemá řešení 5 5 nemá řešení
KOMBINATORICKÁ PRAVIDLA 1. Zákazník si vybírá materiál pro šatní skříně – jeden druh dřeva a jeden typ doplňků. V nabídce je 7 druhů světlého dřeva, 6 druhů tmavého dřeva a dále 4 typy doplňků vhodných jen pro světlé dřevo, 5 typů vhodných jen pro tmavé dřevo a 2 univerzální typy pro jakýkoliv druh dřeva. Kolik vhodných dvojic (dřevo a doplňky) je možné nabídnout? a) 143 b) 85 c) 132 d) jiná možnost d 2. Kolika různými cestami mohou dojít turisté z Jedlové do Smrkové, když chtějí posvačit na rozcestí U malin? Cesty se považují za různé, pokud se liší aspoň v jednom úseku. Předpokládáme, že se turisté nebudou vracet tz. každým místem projdou nejvýše jednou. a) 10 cestami b) 28 cestami c) 30 cestami d) jiné řešení c
KOMBINACE 1. Zvětší-li se počet prvků o jeden, zvětší se počet kombinací třetí třídy o 6. Urči počet zadaných prvků.
4
2. Urči počet prvků tak, aby počet čtyřčlenných kombinací z nich vytvořených byl dvacetkrát větší než počet dvoučlenných kombinací.
18
3. Zvětší-li se počet prvků o 4, zvětší se počet kombinací druhé třídy o 30. Urči původní počet prvků.
6
4. V krabici je 10 výrobků, z nichž jsou tři vadné. Kolika způsoby lze vybrat 5 výrobků tak, aby a) aby žádný nebyl vadný b) aby právě jeden byl vadný c) aby nejvýše jeden byl vadný d) právě dva byly vadné e) nejvýše dva byly vadné f) alespoň dva byly vadné
21 105 126 105 231 126
5. Kolik různých přímek je určeno 10 body, jestliže a) žádné tři neleží v přímce b) čtyři z nich leží v přímce
45 40
6. Ve třídě je 10 chlapců a 12 dívek. Kolika způsoby lze vybrat a) dvoučlennou službu b) trojčlennou skupinu ve složení 1 chlapec a 2 dívky c) trojčlennou skupinu, ve které bude Petr d) trojčlennou skupinu ve složení 2 dívky a 1 chlapec, ale není to Petr.
231 660 210 594
7. Na šachovnici, která má 5 x 5 polí, je vyznačena hlavní a vedlejší diagonála. Kolika způsoby je možné na polích šachovnice rozmístit tři stejné figury tak, aby byly všechny tři na hlavní, nebo všechny tři na vedlejší diagonále? A) 16 B) 20 C) 30 D) 32 E) 33 B
8. Petr si vylosuje jednu otázku ze skupiny 1(10 otázek) a dvojici otázek ze skupiny 2( 20 otázek). Kolik různých trojic otázek lze udělat tak, aby jedna byla vždy ze skupiny 1 a další dvě ze skupiny 2? 1900 9. Do finále turnaje v žákovské kopané, v němž se utká každé družstvo s každým, se probojovala 4 družstva. Každé utkání bude trvat dvakrát 45 minut a mezi každým poločasem a každým zápasem je desetiminutová přestávka. Jaká je minimální cena, kterou organizátor zaplatí za pronájem hřiště, jestliže za každou započatou hodinu zaplatí 200 Kč? 2 200 Kč
VARIACE, PERMUTACE 1. Zmenšíme-li počet prvků o 1,zmenší se počet variací 2. třídy bez opakování o 16. Urči původní počet prvků.
9
2. Urči počet prvků, je-li počet variací 4.třídy bez opakování z nich vytvořených 20 krát větší než počet variací 2. třídy bez opakování.
7
3. Urči počet všech přirozených čísel větších než 300 a menších než 5000, v jejichž zápisech se vyskytují cifry 2, 3, 4, 7, 8, a to každá nejvýše jednou. 120 4. a) Kolik různých pěticiferných čísel lze vytvořit z číslic 0,1,2,3,4,5, jestliže se číslice neopakují. Kolik z těchto čísel je dělitelných 5? Kolik čísel je sudých? 600, 216, 312 b) Kolik různých pěticiferných čísel lze vytvořit z číslic 0,1,2,3,4,5, jestliže se číslice opakují. Kolik z těchto čísel končí 5? 6480, 1080 5. Kolik šestimístných kódů lze vytvořit z lichých číslic a samohlásek (obojí se může opakovat) tak, že první tři místa tvoří číslice a na zbývajících místech jsou samohlásky? 27 000 6. Kolika způsoby lze postavit do řady na poličku 10 různých českých knih a 5 různých anglických knih tak, že budou nejprve knihy české a pak anglické. 435 456 000 7. Rychlíkovou soupravu tvoří dva stejné zavazadlové vozy, jeden jídelní vůz, čtyři stejné lůžkové vozy a dva stejné lehátkové vozy. Kolika způsoby lze vagóny seřadit? 3 780 8. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den, připadá-li na tento den 6 různých jednohodinových předmětů a ve třídě se vyučuje dvanácti předmětům. V kolika možnostech je matematika? V kolika možnostech je matematika první hodinu? 665 280, 332 640, 55 440 9. Kolika způsoby můžeme postavit 7 dětí a) do řady b) do řady tak, aby nejvyšší dítě stálo uprostřed c) do řady tak, aby nejvyšší dítě stálo na kraji d) do řady tak, aby nejvyšší dítě nestálo na kraji e) do kruhu. 10. Kolika způsoby lze přemístit písmena ve slově MATEMATIKA?
5040 720 1440 3600 720 151 200
PRAVDĚPODOBNOST 1. V obchodě je 10 hrnců, z nich jsou 3 vadné. Vybereme náhodně 3 hrnce. Urči pravděpodobnost, že mezi vybranými je: a) právě 1 vadný 0,525 b) aspoň 1 vadný 0,7083 2. Hodíme stejnou mincí 3 krát po sobě. Urči pravděpodobnost, že: a) líc padne častěji než rub mince b) líc padne právě dvakrát c) výsledek všech tří hodů je stejný
0,5 0,375 0,25
3. Hodíme dvakrát kostkou. Urči pravděpodobnost, že a) padne součet 8
0,138
b) c) d) e) f) g)
padnou obě čísla sudá padne nejvýše jednou 6 padne aspoň jedno liché číslo padnou dvě 6 poprvé padne 5 a podruhé sudé číslo padne jedenkrát 5 a jedenkrát sudé číslo
0,25 0,972 0,75 0,027 0,083 0,166
4. Čtyři studenti sportovního gymnázia zadávali anketu. Pět set náhodně oslovených lidí jim odpovědělo na otázku, zda pravidelně jezdí na kole nebo na in–line bruslích. Jejich odpovědi jsou zpracovány v tabulce. Jezdí na kole Nejezdí na kole Jezdí na bruslích 90 20 Nejezdí na bruslích 210 180 a) S jakou pravděpodobností mohl jeden ze studentů vyhrát sázku, že první osoba z náhodně oslovených jezdí pouze na in-line bruslích? p = 0,04 b) Jaká je pravděpodobnost, že první osoba z náhodně oslovených jezdí na kole ? p = 0,6 c) Jaké procento lidí z dotázaných nejezdí na in-line bruslích? 78% 5. Soubor karet je očíslován přirozenými čísly od 1 do 24. Karty zamícháme a jednu z nich náhodně vytáhneme. Určete pravděpodobnost, že číslo karty je dělitelné číslem 4 nebo číslem 6. 1/3
6. Honza je na zkoušce, která obsahuje 2 témata. U prvního tématu zná správné odpovědi na 60% otázek, ve druhém tématu umí správně odpovědět na 21 otázek ze 30 otázek. Při zkoušce si vylosuje po jedné otázce z každého tématu. Jaká je pravděpodobnost, že správně zodpoví obě tažené otázky? a) 0,1 b) 0,42 c) 0,6 d) 0,65 b Jaká je pravděpodobnost, že bude znát správnou odpověď alespoň na jednu z obou tažených otázek? a) 0,58 b) 0,7 c) 0,88 d) 0,9 c 7. Obr. 1: a b c d obr.2: a b c d e f g h e f g h i j k l i j k l Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru 1 písmena z 12 zadaných se trefím do tučně vyznačených písmen obou obrázků? d a) 0,5 b)0,45 c)0,3 d)0,25 e)žádná možnost Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru 1 písmena z 12 zadaných se trefím do tučně vyznačených písmen aspoň jednoho obrázku? a) 0,9 b)0,75 c)0,67 d)0,5 e)žádná možnost
b
8. Z pečlivě promíchaného balíku 52 karet bylo odebráno sedm karet. Mezi zbývajícími kartami v balíku zůstává devět srdcových karet. Jaká je pravděpodobnost, že v dalším tahu z balíku nebude vytažena srdcová karta? 0,75 9. Balíček deseti karet obsahuje čtyři esa a karty 5, 6, 7, 8, 9 a 10. Přiřaďte ke každému jevu pravděpodobnost (A–E), s níž může nastat. a) Čtveřici náhodně vybraných karet tvoří po sobě jdoucí čísla. E b) Ve čtveřici náhodně vybraných karet není žádné eso. B
c) Čtveřici náhodně vybraných karet tvoří dvě po sobě jdoucí čísla a dvě esa. A) 1/7 B) 1/14 C) 1/21 D) 1/35 E) 1/70
A
10. Mezi 52 kartami jsou 4 sedmičky. a) Jaká je pravděpodobnost, že mezi dvěma náhodně vybranými kartami bude aspoň jedna sedmička? asi 0,15 b) Čtyři hráči si vytáhnou po dvou kartách. Jaká je pravděpodobnost, že žádný hráč nevytáhne ani jednu sedmičku? asi 0,52 11. V osudí je 5 bílých a 7 červených kostek. a) Jaká je pravděpodobnost, že v 1.tahu vytáhneme červenou, v 2.tahu bílou a ve 3.tahu červenou kostku, jestliže po každém tahu vrátíme kostku zpět? 14,17% b) Jaká je pravděpodobnost, že v 1.tahu vytáhneme červenou, v 2.tahu bílou a ve 3.tahu červenou kostku, jestliže kostky nevracíme? 15,9%
