ЗАКАРПАТСЬКИЙ УГОРСЬКИЙ ІНСТИТУТ ІМ. Ф. РАКОЦІ ІІ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ ТА ІНФОРМАТИКИ II. RÁKÓCZI FERENC KÁRPÁTALJAI MAGYAR FŐISKOLA MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA TANSZÉK
ПРОГРАМА ВСТУПНОГО ВИПРОБУВАННЯ З МАТЕМАТИКИ Для вступників на ІІ курс навчання за освітньо-кваліфікаційним рівнем «Бакалавр»
ÍRÁSBELI FELVÉTELI FELADATOK TÉMAKÖREI MATEMATIKÁBÓL
BSC szintű képzés II. évfolyamára felvételizőknek
Берегово / Beregszász, 2016
ЗАТВЕРДЖУЮ ____________________________ І.І. Орос (ректор) „____” _______________ 2016 року JÓVÁHAGYTA
____________________________Orosz Ildikó (rektor)) 2016. _______________ „____”
Kidolgozták a II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Főiskola Matematika és informatika tanszékének munkatársai: Bódi Béla Bódi Viktor Lődár Vince Petenykó László Kucsinka Katalin Kulin Judit Pallay Dezső Pallay Ferenc Beregszászi István Kudlotyák Csaba
2
Előszó Jelen tájékoztató a II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Főiskola matematika Magiszteri képzésére jelentkező és itt matematika írásbeli vizsgát tevő hallgatók számára nyújt segítséget. Az írásbeli vizsga feladatsorát a felvételi bizottság tagjai állítják össze a matematika BSc képzés első évfolyam követelményei alapján. A felvételi rendszere és a dolgozatok pontozása az állami elvárásokhoz igazodva többször is változott a főiskola történetében. Az idén meghirdetésre kerülő szakjainkról, valamint az adott szakokra kötelező felvételi rendszerről, a dolgozatok pontozásáról és értékeléséről, a szóbeli vizsgák témaköreiről intézményünk Felvételi tájékoztatója nyújt bővebb információt. A matematika felvételi vizsga megírására 60 perc áll a jelentkezők rendelkezésére. A matematika felvételi vizsga feladatsora 14 feladatból áll. A feladatok a Lineáris algebra, Matematikai analízis és Analitikus geometria témaköreihez kapcsolódnak. A felvételi vizsgán összesen 100 pont szerezhető. Az érvényes vizsgához a felvételizőnek ebből legalább 60 pontot kell megszereznie. Az értékelés az alábbi táblázatnak megfelelően történik: Шкала оцінювання: національна та ECTS A nemzetközi és nemzeti osztályozás skálája Сума балів за всі види навчальної діяльності Az összpontszám az összes tanulmányi teljesítmény alapján 90-100 82-89 74-81 64-73 60-63
Оцінка за національною шкалою Osztályzat a hazai skála alapján
Оцінка ECTS Osztályzat az ECTS szerint
для екзамену
А В С D Е
відмінно / jeles
35-59
FX
0-34
F
добре / jó задовільно / elégséges незадовільно / elégtelen незадовільно / elégtelen
3
A vizsga témakörei Lineáris algebra Mátrixalgebra Mátrixok és determinánsok. Műveletek mátrixokkal. Determináns fogalma és tulajdonságai. Determinánsok kiszámítása. Laplace tétele. Mátrixok szorzatának determinánsa. Mátrixok invertálhatósága. Inverzmátrix létezésének kritériuma. Inverzmátrix meghatározása. Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek fogalma. Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága. Mátrix rangja. Mátrix rangjának meghatározása. Gauss- féle eliminációs módszer. Crammer- szabály. CroneckerCapelli tétele. Homogén lineáris egyenletrendszerek és megoldásaik. Lineáris terek n Lineáris tér fogalma. Az n-dimenziós R vektortér. Vektorok lineáris függősége. Végesen generált
lineáris tér dimenziója és bázisa. Lineáris terek megadása vektorterekben. Lineáris terek alterei. Lineáris terek izomorfizmusai. Báziscseremátrixok. Lineáris terek összegének és metszetének dimenziója és bázisa. Euklideszi terek Euklideszi tér fogalma. Ortogonális vektorok. Euklideszi terek ortonormális bázisa. Ortogonalizációs eljárás euklideszi terekben. Ortogonális és szimmetrikus transzformációk. Ortogonális és szimmetrikus transzformációk sajátértékei és saját vektorai. Többhatározatlanos polinomok Többhatározatlanos polinomok fogalma. Szimmetrikus polinomok. Elemi szimmetrikus polinomok és tulajdonságaik. Szimmetrikus polinomok előállítása elemi szimmetrikus polinomok segítségével. Matematikai analízis Valós számok, számsorozatok Halmazelmélet alapfogalmai. Műveletek halmazokkal, azok tulajdonságai. A valós számok R halmaza, mint rendezett test. Számhalmazok alsó és felső határa. Nevezetes egyenlőtlenségek (Bernoulli, Cauchy- Schwarz, valamint a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenségek). Számsorozatok konvergenciája. Részsorozat definíciója. Konvergens sorozat részsorozatának konvergenciájára vonatkozó tétel. Monoton sorozatok. Műveletek sorozatokkal, azok tulajdonságai. Határértéktételek sorozatokra. Rendőr elv. Számsorozatokra vonatkozó Bolzano-Weierstrass tétel. A konvergencia szükséges és elegendő feltétele (a Cauchy-sorozat fogalma, a Cauchy-kritérium). Nevezetes konvergens sorozatok, azok határértéke. Egyváltozós valós függvények határértéke folytonossága A függvény fogalma. A függvény határértékének értelmezése: Cauchy-féle és Heine-féle meghatározás. Nevezetes határértékek. A függvény folytonossága adott pontban, ill. halmazon. Jobb és bal oldali határérték és folytonosság. Függvények szakadási helyei, azok osztályozása. 4
Monoton függvények. Az inverz függvény fogalma, ennek folytonosságára vonatkozó tétel. Folytonos függvények tulajdonságai, Bolzano, Weierstrass, Darboux tétel. Egyenletesen folytonos függvények. Heine tétel. Elemi függvények (hatvány, exponenciális, logaritmus függvények, trigonometrikus függvények és inverzeik, hiperbolikus függvények és inverzeik). Egyváltozós valós függvények differenciálása Függvények differenciálhatóságának értelmezése, a derivált geometriai és fizikai jelentése. A folytonosság és a differenciálhatóság kapcsolata. Differenciálási szabályok. Az elemi függvények deriváltjai. Differenciálható függvények lokális tulajdonságai ezek kapcsolata a derivált előjelével. A lokális szélsőérték fogalma, ennek létezésére vonatkozó szükséges feltétel. Intervallumon értelmezett differenciálható függvények tulajdonságai, középértéktételek (Rolle, Lagrange, Cauchy tétel). Monoton és szigorúan monoton függvények jellemzése deriváltjaikkal. Függvények jobb és baloldali deriválhatósága. Magasabb rendű deriváltak. Intervallumon értelmezett konvex, konkáv függvények tulajdonságai. A konvexitás szükséges és elégséges feltétele. Az inflexiós pont fogalma. Az inflexiós pont létezések szükséges és elégséges feltétele. Függvényvizsgálat. Az 0 aszimptota fogalma. Taylor formula a Lagrange-féle maradéktaggal. A „ 0 ” és „ ” típusú
határértékekre vonatkozó L’Hospital szabály. Integrálszámítás A primitív függvény fogalma, ennek létezésére vonatkozó szükséges feltétel. Alapintegrálok. Az integrálszámítás linearitása. Parciális és helyettesítéses integrálás. Racionális törtfüggvények integrálása. Parciális törtekre bontás. Racionalizáló helyettesítések. A határozott, Riemann integrál fogalma. Korlátos intervallumon értelmezett korlátos függvény alsó és felső integráljának értelmezése, az ezekre vonatkozó Darboux-tétel. Az integrálhatóság szükséges és elégséges feltétele. Az integrálhatóság ekvivalens értelmezései (a Riemann-összeg és az oszcillációs összeg segítségével). A Newton-Leibniz formula, a Riemann integrál kiszámítása a primitív függvény segítségével. A parciális és helyettesítéses integrálás. A határozott integrál alkalmazása terület, térfogat, ívhossz és felszínszámításra. Improprius integrálok értelmezése (egy-egy pontban nem értelmezett függvényre, nem korlátos függvényre), ezek konvergenciája. Abszolút konvergens improprius integrál. Analitikus geometria Vektoralgebra Vektor fogalma. Műveletek vektorokkal. Vektorok összeadásának módszerei és tulajdonságai. Vektorok kivonása. Vektorok számmal való szorzása és tulajdonságai. Vektorok skaláris szorzata és tulajdonságai. Vektorok vektoriális szorzata és tulajdonságai. Vektorok vegyes szorzata és tulajdonságai. Koordinátarendszerek. Vektorok koordinátái. Műveletek vektorokkal koordináta alakban. 5
Elsőrendű mértani alakzatok Az egyenes különböző egyenletei a síkon. Az egyenes általános egyenletének vizsgálata. Két egyenes kölcsönös helyzete a síkon. Az egyenes és a sík különböző egyenletei a térben. Az egyenes általános egyenletének vizsgálata a térben. A sík általános egyenletének vizsgálata a térben. Két egyenes kölcsönös helyzete a térben. Két sík kölcsönös helyzete a térben. Az egyenes és a sík kölcsönös helyzete a térben. Másodrendű görbék elmélete Másodrendű görbék: parabola, ellipszis, hiperbola. Az ellipszis kanonikus egyenlete. A hiperbola kanonikus egyenlete. A parabola kanonikus egyenlete. Másodrendű görbék általános egyenletének kanonikus alakra való vezetése. Másodrendű görbék általános egyenletének vizsgálata, invariánsai.
6
Az 1-10. feladatok mindegyikében négy lehetséges válasz közül karikázza be az egyetlen helyes megoldásnak megfelelő betűt. A helyes megoldásért feladatonként 2 pont jár.
x 2 3x 4 1. Hány olyan x0 pont van amelyikben a következő határérték nem véges: lim x x0 x2 1 a) 4; b) 1; c) 0; d) 2. 2. Számolja ki az y x 4 ; y 0; x 1 vonalak által határolt síkidom területét! a) 0,5 b) más a helyes válasz; c) 1; d) 0,2. 1
3. Számolja ki a)
xdx 2 1
x 0
; 4
b)
c) ln 2 ;
d)
1 ln 2 ; 2
. 8
4. Az A halmaz akkor és csak akkor nem korlátos, ha a A : x R : x a ; a) x R : a A : x a ; b) c) x R : a A : a x ;
d)
a A : x R : a x .
2 x függvény kritikus pontjait: x 2 2; b) más a helyes válasz; -2; 2; 0; d) -2;2. 1 3 6. Határozza meg a i komplex szám trigonometrikus alakját: 2 2 b) cos 60 i sin 60 ; cos120 i sin120 ; d) cos 60 i sin 60 ; cos 30 i sin 30 .
5. Adja meg az y a) c)
a) c)
7. Számítsa ki a következő determináns értékét: 3 1 1
a) c)
2
5
1
3
4
2
0
1
1
1
5
3
3 b) d)
-40; 40;
más a helyes válasz; 0.
8. Határozza meg az x 6, 9, 14 vektor koordinátáit a következő bázisban a1 1, 1, 1 , a2 1, 1, 2 , a3 1, 2, 3 ! 1, 0, 3 ; 1, 2, 3 ; a) b) 1, 1, 3 ; 1, 2, 3 . c) d)
7
9. Határozza meg két adott vektor skaláris szorzatát, ha a 3 p 2q ; b p 4q ; ahol p és q két egymásra merőleges egységvektor: a) 14; b) -3; c) -5; d) 11. 10. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely az OX tengelyt 600 szög alatt metszi, és az OY tegelyből b 2 részt vág ki. a) b) y 3x 2 ; y 3x 2 ; c)
y 3x 2 ;
d)
y 3x 2 .
A 11-14. feladatok megoldását külön a mellékelt lapon végezze el feltüntetve a feladat számát. A megoldásnak tartalmaznia kell a szükséges magyarázatokat és ábrákat. A helyes megoldásáért járó maximális pontszám a mindegyik feladat esetében zárójelben van feltüntetve.
11. Bizonyítsa be teljes matematikai indukció segítségével, hogy n(n 1)(n 2) bármely természetes n szám esetére! (20p) 1 2 2 3 ... n (n 1) 3 x 12. Számolja ki : dx ! (20p) (3x 1) 2 13. Keresse meg a lineáris leképezés összes saját értékét és az ezen értékekhez tartozó saját vektorokat, ha ismert a lineáris leképezés mátrixa a kanonikus bázisban: 4 5 2 A 5 7 3 ! (20p) 6 9 4 14. Határozza meg a másodrendű görbe tíıpusát, és szerkessze meg az új koordinátarendszerben a görbét: x 2 8xy 7 y 2 6 x 6 y 9 0 ! (20p)
8
