! &
INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA
METODIKA
" '
# ( ) * +) , -
$%#
FYZIKA
Mechanické kmitání a vln ní
RNDr. Ludmila Ciglerová
duben 2010
Obtížnost této kapitoly fyziky je dána tím, že se p i výkladu i ešení úloh využívají goniometrické funkce. N které popisované jevy lze jen obtížn fyzicky p edvést a je nutná i zna ná p edstavivost. Pro zvládnutí u iva by m li studenti znát z matematiky p edevším u ivo goniometrie. Problémy se vyskytují i v ur ování hodnot výchylky, rychlosti i zrychlení pomocí kalkula ky, z d vodu nutnosti užívat obloukovou míru. Vhodnými pom ckami pro výuku jsou pružina, závaží, kyvadlo, demonstra ní pom cka pro mechanické vln ní, struna, po íta , promíta ka.
1
I.kapitola Kinematika kmitavého pohybu Pro vysv tlení popisu mechanického oscilátoru je krom reálného pokusu vhodné užít fyzikální applet http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap13/cd361a.htm i program kmitání z projektu SIPVZ G Vod radská 2005-2006 Využití výpo etní techniky v tématu „Mechanické kmitání a vln ní“ 1) T leso koná harmonický kmitavý pohyb s amplitudou 5 cm a frekvencí 2,5 Hz v ase t = 0 je kmitající t leso v rovnovážné poloze. Napište rovnici a) pro okamžitou výchylku b) pro okamžitou rychlost c) pro okamžité zrychlení ešení:a) y
0,05 sin 5 t
b) y
0,25 cos 5 t
c) y
1,25
2
sin 5 t
2)a)Napište rovnici pro okamžitou výchylku kmitavého pohybu, jehož pr b h je znázorn n na obr. b)Ur ete velikost výchylky v ase t1= 2 s a t2= 3,2 s metodická poznámka : Zd raznit pojem fáze, vypo tené výchylky je vhodné znázornit na obrázku. ešení: a) y
0,3 sin 0,8 t
2
b) y(2) = 0,093 m, y(3,2) = -0,056 m
3) Hmotný bod vykoná 150 kmit za minutu. Ur ete po áte ní fázi kmitání, jestliže hmotný bod dosáhl kladné amplitudy výchylky za dobu 0,3s od po áte ního okamžiku ešení: -
2
4) a)Napište rovnici pro velikost výchylky v závislosti na ase kmitavého pohybu zobrazeného grafem na obr. b) Ur ete velikost výchylky v ase t = 0,8 s c) Ur ete velikost rychlosti v ase t = 0,8 s d) Ur ete velikost zrychlení v ase t = 0,8 s !! všechny úkoly a až d platí pro pohyb znázorn ný grafem!!!
ešení:a) y
0,04 sin 4 t
2 b) y(0,8s)=3,2 cm c) v(0,8s)= -0,30 m.s-1 d) a(0,8s)= -5,1 m.s-2 5) Hmotný bod kmitá harmonicky dle rovnice : y
0,05 sin
t
6
T T T 3T , , , ,T 4 3 2 4 b) Nakreslete asový diagram kmitavého pohybu
a) Ur ete okamžité výchylky v asech t
0,
metodická poznámka : T P i dosazování atd. do rovnice kmitavého pohybu nahra te 4 2 . T 3
4
vztahem
II.kapitola Dynamika kmitavého pohybu Pro vysv tlení vztahu, který platí pro úhlovou rychlost ( její závislost pouze na hmotnosti závaží a tuhosti pružiny) je krom reálného pokusu vhodné užít fyzikální applet http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap13/cd361a.htm 1) Oscilátor je tvo en závažím o hmotnosti 0,5 kg zav šeným na pružin . Jestliže ho rozkmitáme s amplitudou 35 cm, pohyb se po každých 0,5 s opakuje. Ur ete:periodu,úhlovou rychlost, tuhost pružiny, nejv tší rychlost závaží, nejv tší sílu p sobící na závaží ešení: T= 0,5 s ;
= 4 s-1; k= 79 N.m-1; vm= 4,4 m.s-1 Fm= 27,7 N
metodická poznámka : Studenti mají problém si uv domit, kdy na závaží b hem jedné periody kmitavého pohybu p sobí maximální síla Fm, pro vysv tlení je dobré užít 2.Newton v zákon F=m.a spolu s rovnicí pro výchylku i zrychlení kmitavého pohybu. 2) Závaží o hmotnosti 50 g zav síme na konec svislé pružiny a rozkmitáme. Nejv tší rychlost závaží iní 0,15 m.s-1, perioda kmitání je 0,5 s. Ur ete frekvenci kmit , tuhost pružiny, amplitudu. ešení : f= 2 Hz ; k= 7,9 N.m-1; ym= 0,012 m. 3) Ur ete energii kmitání oscilátoru, jestliže pružina má tuhost 130 N.m-1 a amplituda kmit je 2,4 cm. ešení : E= 0,037 J 4) Kmitající soustava pružina a t leso má mechanickou energii kmitání 1 J. Kmitání probíhá s amplitudou 10 cm a maximální rychlost t lesa je 1,2 m. s-1. Ur ete tuhost pružiny, hmotnost t lesa, frekvenci kmitání. ešení : k= 200 N.m-1 m= 1,39 kg f= 1,9 Hz metodická poznámka : P ed ešením úloh o kyvadle je vhodné k demonstraci vlastnosti kyvadla užít applet http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/pendel1.html 5) Ze stropu hradní sín visí lustr, jehož konec je vzdálený 3m od podlahy. Lustr koná 60 kyv za minutu. Jak vysoký je strop hradní sín ? ešení : výška stropu 4 m 6) O kolik procent se zkrátí doba kmitu matematického kyvadla, jestliže se jeho délka zkrátí o tvrtinu? ešení : doba kmitu se zkrátí o 13,4 %
4
III.kapitola
Mechanické vln ní
Pro vysv tlení popisu mechanického je krom reálného pokusu vhodné užít fyzikální applet http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/welle01.html i využít internetové stránky http://www.spszl.cz/~vascak/moje/fyzika_ve_flashi/vlneni_cz.php Pomocí t chto internetových aplikací vysv tlíme velmi dob e rozdíl mezi p í ným a podélným mechanickým vln ním.
1) Reproduktor vydává jednoduchý tón o frekvenci 170 Hz. Amplituda výchylky je 4.10-6 m. Rychlost ší ení zvuku ve vzduchu je 340 m.s-1. Napište rovnici postupné vlny pro toto vln ní. ešení:a) y
4.10 6 sin 2 170 t
0,5 x
metodická poznámka : P ed ešením p íkladu vhodné výsv tlit rozdíl mezi kmitáním a vln ním. 2) Postupné vln ní je popsáno rovnicí a) y 5 10 5 sin 2 680 t 2x) b) y 0,1sin 2 5 t 0,5 x ) Ur ete amplitudu výchylky, frekvenci, vlnovou délku a rychlost vln ní. Jedna rovnice popisuje zvukové vln ní. Ur ete, zda je to v p íkladu a) i b). ešení: a) y= 5.10-5 m b) y= 0,1 m
f= 680 Hz, = 0,5 m v= 340 m.s-1 zvukové vln ní f= 5 Hz, = 2 m v= 10 m.s-1
3) Ur ete okamžitou výchylku bodu M vzdáleného 0,5 m od zdroje v ase 0, 01 s, je-li vln ní dáno rovnicí y 3 10 2 sin 2 440 t 2x) ešení: y 0,01 s;0,5 m
1,76.10 2 m
metodická poznámka : Vypo tenou okamžitou výchylku je vhodné porovnat s amplitudou vln ní.
4) Vln ní o frekvenci 450 Hz se ší í fázovou rychlostí 360 m.s-1 ve sm ru osy x. Jaký je fázový rozdíl kmitavých pohyb dvou bod , které leží na p ímce x a mají vzájemnou vzdálenost 20 cm ? ešení: = /2
5
5) Dva zdroje p í ných vln ní kmitají s periodami 0,1 s a se stejnými fázemi. Ze zdroj se ší í vln ní rychlostmi o velikosti 1000 m.s-1 ve sm ru téže p ímky a interferují spolu.Ur ete dráhový rozdíl obou vln ní v bodech, v nichž má nastat: a) interferen ní maximum ešení: a) x= 2n. 50 m
b) interferen ní minimum b) x = (2n -1). 50 m
n.. celé íslo
6) Interferencí dvou vln ní o periodách 2,1. 10-3 s vzniká stojaté vln ní. Vzájemná vzdálenost sousedních uzl je 1,5 m. Jak velkou rychlostí se ší í postupné vln ní ? ešení: v = 1430 m.s-1 metodická poznámka : P i ešení úlohy je vhodné zd raznit rozdíly mezi postupným a stojatým vln ním. 7) Struna houslí dlouhá 20 cm a s pevnými konci kmitá na základní frekvenci. Vln ní se ší í po strun rychlostí 250 m.s-1, rychlost zvuku ve vzduchu je 340 m.s-1. Jaká je a) frekvence b) vlnová délka vzniklé zvukové vlny ešení: a) f=625 Hz
b) = 0,544 m
metodická poznámka : P i ešení úlohy b) si studenti asto neuv domí, že frekvence vln ní se nem ní p i p echodu do prost edí, kde se vln ní ší í jinou rychlostí. 8) Zkrátíme-li strunu o l = 10 cm, zvýší se její frekvence 1,5krát. Vypo t te délku struny. Uvažujte, že struna je napínána stejnou silou. ešení: l=30 cm metodická poznámka : Na p íkladu upozorníme na souvislost mezi délkou struny, frekvencí tónu a výškou tónu. 9) Vypo tete délku otev ené píš aly, jejíž základní tón má frekvenci 680 Hz. Rychlost zvuku ve vzduchu je 340 m.s-1. Ur ete frekvence dalších dvou vyšších harmonických tón ešení: l =0,125 m
2040 Hz
3400 Hz
10) Rovinná vlna postupuje prost edím rychlostí 340 m.s-1 a dopadá na rovinné rozhraní s prost edím, ve kterém se vln ní ší í rychlostí 1500 m.s-1 Ur ete úhel lomu, jestliže úhel dopadu je 12°. Pro jaký úhel dopadu nastane úplný odraz ? ešení: = 66° , mezní úhel pro úplný odraz m= 13°
6
Použitá literatura : Old ich Lepil : Mechanické kmitání a vln ní. 1.vyd., Prometheus Praha 1994 Old ich Lepil : Fyzika - Sbírka úloh pro st ední školy, 1.vyd., Prometheus Praha 1995 Emanuel Svoboda : P ehled st edoškolské fyziky. 3.vyd., Prometheus Praha 1996 Internetové stránky http://webfyzika.fsv.cvut.cz/2mech.htm V p íloze na další stránkách jsou uvedeny p íklady z p edchozích stránek tak, aby mohly být v p ípad pot eby kopírovány pro práci student p i hodinách individuální výuky.
7
I.kapitola Kinematika kmitavého pohybu 1) T leso koná harmonický kmitavý pohyb s amplitudou 5 cm a frekvencí 2,5 Hz v ase t = 0 je kmitající t leso v rovnovážné poloze. Napište rovnici a) pro okamžitou výchylku b) pro okamžitou rychlost c) pro okamžité zrychlení 2) a)Napište rovnici pro okamžitou výchylku kmitavého pohybu, jehož pr b h je znázorn n na obr. b)Ur ete velikost výchylky v ase t1= 2 s a t2= 3,2 s
3) Hmotný bod vykoná 150 kmit za minutu. Ur ete po áte ní fázi kmitání, jestliže hmotný bod dosáhl kladné amplitudy výchylky za dobu 0,3s od po áte ního okamžiku. 4) a)Napište rovnici pro velikost výchylky v závislosti na ase kmitavého pohybu zobrazeného grafem na obr. b) Ur ete velikost výchylky v ase t = 0,8 s c) Ur ete velikost rychlosti v ase t = 0,8 s d) Ur ete velikost zrychlení v ase t = 0,8 s !! všechny úkoly a až d platí pro pohyb znázorn ný grafem!!!
8
5) Hmotný bod kmitá harmonicky dle rovnice : y
0,05 sin
T T T 3T , , , ,T 4 3 2 4 b) Nakreslete asový diagram kmitavého pohybu
a) Ur ete okamžité výchylky v asech t
0,
9
t
6
II.kapitola
Dynamika kmitavého pohybu
1) Oscilátor je tvo en závažím o hmotnosti 0,5 kg zav šeným na pružin . Jestliže ho rozkmitáme s amplitudou 35 cm, pohyb se po každých 0,5 s opakuje. Ur ete:periodu,úhlovou rychlost, tuhost pružiny, nejv tší rychlost závaží, nejv tší sílu p sobící na závaží 2) Závaží o hmotnosti 50 g zav síme na konec svislé pružiny a rozkmitáme. Nejv tší rychlost závaží iní 0,15 m.s-1, perioda kmitání je 0,5 s. Ur ete frekvenci kmit , tuhost pružiny, amplitudu. 3) Ur ete energii kmitání oscilátoru, jestliže pružina má tuhost 130 N.m-1 a amplituda kmit je 2,4 cm. 4) Kmitající soustava pružina a t leso má mechanickou energii kmitání 1 J. Kmitání probíhá s amplitudou 10 cm a maximální rychlost t lesa je 1,2 m. s-1. Ur ete tuhost pružiny, hmotnost t lesa, frekvenci kmitání.
5) Ze stropu hradní sín visí lustr, jehož konec je vzdálený 3m od podlahy. Lustr koná 60 kyv za minutu. Jak vysoký je strop hradní sín ? 6) O kolik procent se zkrátí doba kmitu matematického kyvadla, jestliže se jeho délka zkrátí o tvrtinu?
10
III.kapitola
Mechanické vln ní
1) Reproduktor vydává jednoduchý tón o frekvenci 170 Hz. Amplituda výchylky je 4.10-6 m. Rychlost ší ení zvuku ve vzduchu je 340 m.s-1. Napište rovnici postupné vlny pro toto vln ní. 2) Postupné vln ní je popsáno rovnicí a) y 5 10 5 sin 2 680 t 2x) b) y 0,1sin 2 5 t 0,5 x ) Ur ete amplitudu výchylky, frekvenci, vlnovou délku a rychlost vln ní. Jedna rovnice popisuje zvukové vln ní. Ur ete, zda je to v p íkladu a) i b). 3) Ur ete okamžitou výchylku bodu M vzdáleného 0,5 m od zdroje v ase 0, 01 s, je-li vln ní dáno rovnicí y 3 10 2 sin 2 440 t 2x) 4) Vln ní o frekvenci 450 Hz se ší í fázovou rychlostí 360 m.s-1 ve sm ru osy x. Jaký je fázový rozdíl kmitavých pohyb dvou bod , které leží na p ímce x a mají vzájemnou vzdálenost 20 cm ? 5) Dva zdroje p í ných vln ní kmitají s periodami 0,1 s a se stejnými fázemi. Ze zdroj se ší í vln ní rychlostmi o velikosti 1000 m.s-1 ve sm ru téže p ímky a interferují spolu.Ur ete dráhový rozdíl obou vln ní v bodech, v nichž má nastat: a) interferen ní maximum
b) interferen ní minimum
6) Interferencí dvou vln ní o periodách 2,1. 10-3 s vzniká stojaté vln ní. Vzájemná vzdálenost sousedních uzl je 1,5 m. Jak velkou rychlostí se ší í postupné vln ní ?
7) Struna houslí dlouhá 20 cm a s pevnými konci kmitá na základní frekvenci. Vln ní se ší í po strun rychlostí 250 m.s-1, rychlost zvuku ve vzduchu je 340 m.s-1. Jaká je a) frekvence b) vlnová délka vzniklé zvukové vlny
8) Zkrátíme-li strunu o l = 10 cm, zvýší se její frekvence 1,5krát. Vypo t te délku struny. Uvažujte, že struna je napínána stejnou silou. 9) Vypo tete délku otev ené píš aly, jejíž základní tón má frekvenci 680 Hz. Rychlost zvuku ve vzduchu je 340 m.s-1. Ur ete frekvence dalších dvou vyšších harmonických tón 10) Rovinná vlna postupuje prost edím rychlostí 340 m.s-1 a dopadá na rovinné rozhraní s prost edím, ve kterém se vln ní ší í rychlostí 1500 m.s-1 Ur ete úhel lomu, jestliže úhel dopadu je 12°. Pro jaký úhel dopadu nastane úplný odraz ? 11
