ZÁKLADY FINANČNÍ MATEMATIKY
Na přípravě skript se podíleli: Ing. Petr Borkovec - kap. 3, 4, 6 Ing. Roman Ptáček - kap. 1, 2, 5, 9 Ing. Petr Toman - kap. 7, 8
Technická úprava:
Ing. Petr Borkovec
Ing. Petr Borkovec, Ing. Roman Ptáček, Ing. Petr Toman, 2001
Lektor
Ing. Radek Schmied, Ph.D.
ISBN
-2-
OBSAH: 1.
JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ A DISKONTOVÁNÍ ...................................................................................... 3 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
2.
ZÁKLADNÍ POJMY ...................................................................................................................................... 3 ZÁKLADNÍ ROVNICE PRO JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ ..................................................................................... 5 SOUČASNÁ A BUDOUCÍ HODNOTA PŘI JEDNODUCHÉM ÚROČENÍ............................................................... 6 DISKONTOVÁNÍ.......................................................................................................................................... 6 SROVNÁNÍ PŘEDLHŮTNÍHO A POLHŮTNÍHO ÚROČENÍ ............................................................................... 8
SLOŽENÉ ÚROČENÍ ................................................................................................................................... 11 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
3.
ZÁKLADNÍ ROVNICE SLOŽENÉHO ÚROČENÍ ............................................................................................. 11 SOUČASNÁ A BUDOUCÍ HODNOTA PŘI SLOŽENÉM ÚROČENÍ .................................................................... 12 VÝPOČTY ODVOZENÉ Z ROVNICE SLOŽENÉHO ÚROČENÍ ......................................................................... 12 KOMBINACE SLOŽENÉHO A JEDNODUCHÉHO ÚROČENÍ ........................................................................... 13 ÚROKOVÉ SAZBY ..................................................................................................................................... 14
SPOŘENÍ......................................................................................................................................................... 17 3.1 3.2 3.3
4.
KRÁTKODOBÉ SPOŘENÍ............................................................................................................................ 17 DLOUHODOBÉ SPOŘENÍ ........................................................................................................................... 21 KOMBINACE KRÁTKODOBÉHO A DLOUHODOBÉHO SPOŘENÍ ................................................................... 22
DŮCHODY...................................................................................................................................................... 26 4.1 4.2 4.3
5.
DŮCHOD BEZPROSTŘEDNÍ ....................................................................................................................... 27 DŮCHOD ODLOŽENÝ ................................................................................................................................ 30 DŮCHOD VĚČNÝ ...................................................................................................................................... 32
UMOŘOVÁNÍ DLUHU................................................................................................................................. 37 5.1 5.2
6.
UMOŘOVÁNÍ DLUHU NESTEJNÝMI SPLÁTKAMI ....................................................................................... 38 UMOŘOVÁNÍ DLUHU STEJNÝMI SPLÁTKAMI (ANUITAMI)........................................................................ 39
KRÁTKODOBÉ CENNÉ PAPÍRY ............................................................................................................. 42 6.1 6.2 6.3
7.
SMĚNKA ................................................................................................................................................... 42 OSTATNÍ KRÁTKODOBÉ CENNÉ PAPÍRY ................................................................................................... 45 SKONTO ................................................................................................................................................... 45
OBLIGACE..................................................................................................................................................... 48 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9
8.
ZÁKLADNÍ POJMY .................................................................................................................................... 48 CENA OBLIGACE ...................................................................................................................................... 50 VÝNOSNOST OBLIGACÍ ............................................................................................................................ 52 BĚŽNÝ VÝNOS.......................................................................................................................................... 53 EFEKTIVNÍ VÝNOS ................................................................................................................................... 53 VÝNOS DO DOBY SPLATNOSTI ................................................................................................................. 54 OBLIGACE MEZI KUPÓNOVÝMI PLATBAMI............................................................................................... 54 VÝNOSOVÉ KŘIVKY ................................................................................................................................. 56 DURACE ................................................................................................................................................... 57
AKCIE.............................................................................................................................................................. 61 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6
9.
ZÁKLADNÍ POJMY .................................................................................................................................... 61 DRUHY AKCIÍ ........................................................................................................................................... 61 CENA AKCIE ............................................................................................................................................. 62 VÝNOSNOST AKCIÍ ................................................................................................................................... 63 ŠTĚPENÍ AKCIÍ .......................................................................................................................................... 65 ODEBÍRACÍ PRÁVA ................................................................................................................................... 65
MĚNOVÉ KURZY......................................................................................................................................... 69 9.1 9.2 9.3
10.
PROMPTNÍ MĚNOVÉ KURZY ..................................................................................................................... 69 KŘÍŽOVÉ KURZY ...................................................................................................................................... 70 FORWARDOVÉ MĚNOVÉ KURZY............................................................................................................... 73 POUŽITÁ LITERATURA ....................................................................................................................... 76
-1-
Úvod Matematické operace ve finanční sféře nazýváme finanční matematikou. Ve starší literatuře najdeme také název politická aritmetika. Je však poplatný anglické literatuře starší doby a dnes se nepoužívá. Porozumění základním finančním a matematickým vztahům souvisejících s finančním trhem se dnes pomalu, ale jistě stává nutností nejen pro pracovníky bank, pojišťoven a makléřských společností. Odpovědi na otázky typu jak nejlépe uložit peníze, do čeho investovat, případně jak zhodnotit své finanční prostředky musí v současné době hledat téměř každý z nás. Najít správné odpovědi lze mimo jiné také pomocí finanční matematiky matematika aplikovaná v oblasti financí, tj. v oblasti finančního trhu, jeho subjektů a nástrojů. Studia finanční matematiky se není zapotřebí obávat, základy finanční matematiky lze zvládnout se znalostí středoškolské matematiky, většina z nás však vystačí pouze s jednoduchými matematickými operacemi jako jsou sčítání, násobení a umocňování a k tomuto účelu může posloužit i tato publikace. Je sice určena především pro studenty všech oborů na PEF MZLU v Brně, ale využít ji může kdokoliv jiný z odborné i laické veřejnosti. Naší snahou bylo postupovat od věcí jednoduchých ke složitějším při zachování jednotlivých návazností. Proto je text rozčleněn do kapitol pojednávajících o úročení, spoření, důchodech, umořování dluhu a o některých cenných papírech, především o výpočtech jejich teoretických cen a výnosností. Důraz je kladen na jednotlivé vzorce potřebné pro zvládnutí základních výpočtů a na uvedení řešených příkladů vztahujících se k jednotlivým tématům. U vzorců, ve kterých je použita operace násobení, jsou oproti ustáleným zvyklostem pro přehlednost uvedeny všechny operátory krát („ . „). Řešené příklady se vztahují vždy k předchozím vzorcům. Za každou kapitolou jsou pak další příklady k procvičení získaných poznatků.
-2-
1. Jednoduché úročení a diskontování 1.1 Základní pojmy Každá hospodářská činnost si vyžaduje určitý kapitál. Podnikatelský subjekt (a vlastně nejenom on) používá svůj vlastní kapitál - vlastní zdroje, nebo kapitál získaný ze svého okolí - cizí zdroje. Většinou jej subjekt získává od finančních institucí jako půjčku, ale ovšem za úplatu. Touto úplatou je právě úrok. Čili úrok obecně představuje cenu za zapůjčení peněz. Z pohledu dlužníka představuje cenu za získání půjčky, případně úvěru a z pohledu věřitele představuje odměnu za dočasné poskytnutí peněz. Výše úroku závisí na úrokové sazbě. V ekonomice však existují tisíce různých úrokových sazeb, které je vždy potřeba definovat a použít jednu konkrétní úrokovou sazbu vhodnou pro náš případ. Úrokové sazby jsou v ekonomice velmi důležité, protože plní důležité funkce: 1. napomáhá garantovat tok běžných úspor do investic a tím podporuje ekonomický růst 2. zaručuje rozdělení zápůjčního kapitálu tak, že všeobecně směřuje disponibilní prostředky do investic s nejvyšší očekávanou návratností 3. uvádí do rovnováhy nabídku a poptávku po penězích. 4. je to důležitý nástroj politiky státu Při zkoumání principů, které vedou k určení úrokových sazeb, vzniklo několik vědeckých teorií, na kterých pracovalo mnoho předních světových ekonomů: 1. klasická teorie úrokových sazeb 2. úroková teorie preference likvidity 3. úroková teorie zápůjčního kapitálu 4. úroková teorie racionálního očekávání To jsou čtyři nejčastěji uváděné teorie úrokových sazeb. O žádné z nich se nedá říct, že je za všech okolností správná nebo naopak špatná. My se však nebudeme zaobírat teoriemi, ale konkrétními výpočty. Pokud známe částku, ze které počítáme úrok a známe i dobu úročení a úrokovou sazbu, úrok vypočítáme snadno podle vzorce: [1.1]
U = K ⋅r ⋅t kde: • K = zapůjčený kapitál • r = výši úrokové míry • t = období, po které je kapitál úročen.
-3-
Př. S jakým úrokem můžeme počítat v případě pětileté investice ve výši 100 000 Kč při úrokové míře 15% p. a.? U = 100 000 ⋅ 0,15 ⋅ 5 = 75 000 Kč Odpověď : Můžeme počítat s úrokem ve výši 75 000 Kč. • Úročení představuje způsob započítávání úroků k zápůjčnímu kapitálu. • Úroková míra (úroková sazba) je úrok vyjádřený v procentech ze zápůjčního kapitálu. • Úrokovací období je období, po které je kapitál úročen. Při stanovení úrokovací období se využívá standardů. Nejčastěji používané standardy jsou: 30E/360 (německá či obchodní metoda), ACT/360 (francouzská či mezinárodní metoda) a ACT/365 (anglická metoda). Čísla ve zlomcích představují počty dní, např. 30E/360 počítá s 30 dny v měsíci a 360 dny v roce, ACT/365 počítá se skutečným počtem dní v měsíci a se skutečným počtem dní v roce. Úrokovou míru uvádíme, pokud není uvedeno jinak, za rok. Pokud chceme tuto skutečnost zdůraznit, přidáváme zkratku „p. a.“ (latinsky „per annum“). Je pochopitelné, že se v praxi mohou vyskytnout i kratší období pro úročení než roční, můžeme se setkat např. s pololetní úrokovou sazbou - „p. s.“ („per semestre“), s čtvrtletní - „p. q.“ („per quartale“), s měsíční - „p. m.“ („per mensem“), s denní - „p. d.“ („per diem“). Typy úročení si můžeme rozdělit podle dvou základních hledisek - podle (ne)úročení úroků a podle doby, kdy dochází k placení úroků: • Pokud se vyplácené úroky nepřipočítávají k vloženému kapitálu a dále se neúročí (úroky se počítají stále z původního kapitálu), mluvíme o jednoduchém úročení; jestliže se úroky připisují k vloženému kapitálu a spolu s ním se dále úročí („úroky z úroků“), mluvíme o složeném úročení. • Úroky z vložené (půjčené) částky se mohou vyplácet na konci úrokového období úročení polhůtní neboli dekursivní, nebo na začátku úrokového období - úročení předlhůtní neboli anticipativní. Při výpočtech se používá, pokud není uvedeno jinak, úroková míra v číselném vyjádření (v setinách), nikoliv v procentickém. Stejně platí, že pokud není uvedeno jinak, používá se úročení polhůtní. Denní obchodní provoz může denně měnit výši úročeného kapitálu díky přicházejícím a odcházejícím platbám. K propočtu úrokového výnosu se proto v obchodní praxi, jako formální nástroj systematického přístupu k jednoduchému úročení, používá postup propočtu s úrokovými čísly a úrokovým dělitelem. Při každé změně se propočítává úrokové číslo za dobu, v jejímž průběhu zůstává vložený kapitál konstantní. Úrokové číslo se potom vypočítá: [1.2]
UC =
K ⋅d 100
kde: • UC = úrokové číslo • K = výše kapitálu • d = počet dní, po které byl kapitál ve výši K úročen.
-4-
[1.3]
UD =
360 p
kde: • UD = úrokový dělitel • p
= úroková míra vyjádřená v procentech ročně.
Úrok se pak vypočítá jako podíl sumy úrokových čísel a úrokového dělitele: [1.4]
n 1 U= ⋅ ∑ UCi UD i =1
Př. Jaký byl na konci roku 1998 připsán jednoduchý úrok, pokud běžný účet byl úročen úrokovou mírou 4% p. a.? Stav na běžném účtu se během roku 1998 vyvíjel podle následující tabulky: Zůstatek účtu Počet dní Úrokové číslo 200 000 160 000 90 000 240 000 Součet
U=
12 133 129 86 360
24 000 212 800 116 100 206 400 559 300
559 300 = 6 214,44 Kč 360 4
Odpověď : Na konci roku 1998 byl k zůstatku na běžném účtu připsán úrok v celkové výši 6214,44 Kč. 1.2 Základní rovnice pro jednoduché úročení Hlavní znak jednoduchého úročení spočívá ve způsobu připisování úroků - úroky jsou připisovány k počátečnímu kapitálu a dále se neúročí. Prakticky si můžeme jednoduché úročení představit tak, že na jednom účtu vedeme jistinu (vložený kapitál) a na jiném účtu úroky, přičemž úroky nepřevádíme na účet jistiny. A úroky počítáme pořád ze stejného základu - z jistiny. Rovnici pro jednoduché úročení používáme při výpočtech, kdy úrokovací období nepřesahuje jeden rok.
-5-
[1.5]
FV = PV ⋅ (1 + r ⋅ t ) kde: • FV = výše kapitálu v čase t (zúročený kapitál - budoucí hodnota) • PV = výše kapitálu v čase 0 (počáteční kapitál - současná hodnota) • r = úroková míra • t = úrokovací období
Př. Jaká bude výše vkladu ve výši 10 000 Kč po šesti měsících při úrokové sazbě 12% p.a.? 6 FV = 10 000 ⋅ 1 + 0,12 ⋅ = 10 600 Kč 12
Odpověď : Výše vkladu po šesti měsících bude 10 600 Kč. 1.3 Současná a budoucí hodnota při jednoduchém úročení Úroková míra a úrokovací období musí být odpovídající, např. pokud známe roční úrokovou sazbu, musíme počítat s úrokovacím obdobím v letech, pokud máme úrokovací období zadáno ve dnech, musíme ho přepočítat na roky (můžeme též přepočítat roční úrokovou sazbu na denní úrokovou sazbu). Budoucí hodnota při jednoduchém úročení je dána základní rovnicí pro jednoduché úročení. Současnou hodnotu při jednoduchém úročení dostaneme vyjádřením současné hodnoty kapitálu v čase nula (PV) z téže rovnice. [1.6]
PV =
FV 1+ r ⋅ t
Př. Jaký počáteční vklad musíme uložit v případě, že náš vklad je úročen úrokovou sazbou 11% p. a. a za tři měsíce budeme potřebovat kapitál ve výši 10 000 Kč ? PV =
10 000 3 1 + 0,11 ⋅ 12
= 9 732,36 Kč
Odpověď : Abychom za tři měsíce při úrokové sazbě 11% dostali částku 10 000 Kč, musíme uložit 9 732,36 Kč. 1.4 Diskontování S diskontováním se setkáváme především u obchodů s krátkodobými cennými papíry, především u eskontu směnek (podrobněji v kapitole Krátkodobé cenné papíry). Princip diskontování spočívá ve stanovení úroku (tj. diskontu) z konečné výše kapitálu v čase t (FV)1, jedná se o tzv. obchodní diskont. To znamená, že pokud subjekt (např. banka) 1
Na rozdíl od úročení, kdy výpočet úroku je založen na současné hodnotě (počáteční hodnotě kapitálu) PV. Důvod je
-6-
převezme (odkoupí) danou pohledávku (např. směnku) před její dobou splatnosti, nevyplatí prodávajícímu celou výši pohledávky, ale jistou část (diskont) si ponechá jako náhradu předem. Diskont je vlastně odměna ode dne výplaty (nákupu pohledávky) do dne její splatnosti. Pro výpočet se používá vzorec pro jednoduché úročení z nominální (jmenovité) hodnoty pohledávky a na základě příslušné diskontní sazby. Při takovém postupu výpočtu se jedná o tzv. obchodní diskont. Obchodní diskont vypočítáme podle vzorce: [1.7]
D = FV ⋅ r ⋅ t kde: • D = obchodní diskont • FV = budoucí hodnota (výše kapitálu v čase t) • r = diskontní míra • t = doba do data splatnosti
Př. Jaká bude výše obchodního diskontu u směnky o nominální hodnotě jeden milion Kč, předložené bance dva měsíce před datumem splatnosti, pokud banka používá diskontní míru 9% p.a.? D = 1 000 000 ⋅ 0,09 ⋅
2 = 15 000 Kč 12
Odpověď : Diskont bude 15 000 Kč. Obdrženou částku (Kob - kapitál obdržený) vypočítáme jako: [1.8]
Kob = FV − D
Po jednoduché matematické úpravě dostaneme výraz: [1.9]
Kob = FV ⋅ (1 − r ⋅ t )
Př. Jakou obdržíme částku v případě, že předkládáme bance směnku s nominální hodnotou 5 mil. Kč tři měsíce před datem splatnosti a banka má stanovenou diskontní sazbu 8% p.a.? 3 Kob = 5 000 000 ⋅ 1 − 0,08 ⋅ = 4 900 000 Kč 12
Odpověď : Obdržíme částku 4 900 000 Kč. Když se zamyslíme nad postupem těchto výpočtů, zjistíme, že princip diskontu je shodný s placením úroku na počátku období, jedná se vlastně o předlhůtní úročení. K vyjádření základní rovnice pro předlhůtní úročení a srovnání s polhůtním se dostaneme v kapitole Srovnání předlhůtního a polhůtního úročení.
zřejmý, u úročení známe počáteční hodnotu, kterou chceme úročit (PV) a při operacích s krátkodobými cennými papíry, kdy využíváme diskontování, známe jejich nominální hodnotu, která je rovna budoucí hodnotě kapitálu (jelikož ji obdržíme až k datu splatnosti).
-7-
Diskont lze počítat též ze současné hodnoty pohledávky. Tímto způsobem vypočtený diskont se označuje jako diskont matematický a v praxi se většinou nepoužívá Matematický diskont (Dmat)vypočítáme podle vzorce: [1.10]
Dmat = PV ⋅ r ⋅ t
Tento vztah můžeme přepsat následujícím způsobem: [1.11]
Dmat =
FV ⋅ r ⋅ t 1+ r ⋅ t
kde: • Dmat = matematický diskont • PV
= současná hodnota (výše kapitálu v čase 0)
• r = diskontní míra • t = doba do data splatnosti
Př. Jaká bude výše matematického diskontu u směnky o nominální hodnotě jeden milion Kč, předložené bance dva měsíce před datem splatnosti, pokud banka používá diskontní míru 9% p.a.?
Dmat =
1 000 000 ⋅ 0,09 ⋅
2 12
2 1 + 0,09 ⋅ 12
= 14 778,33 Kč
Odpověď : Matematický diskont bude 14 778,33 Kč. Obdrženou částku (Kob) vypočítáme jako: [1.12]
Kob = FV − PV ⋅ r ⋅ t
Př. Jakou obdržíme částku v případě, že předkládáme bance směnku s nominální hodnotou 5 mil. Kč tři měsíce před datem splatnosti a banka má stanovenou diskontní sazbu 8% p.a.? Kob = 5 000 000 −
5 000 000 3 ⋅ 0,08 ⋅ = 4 901 960,8 Kč 3 12 1 + 0,08 ⋅ 12
Odpověď : Obdržíme částku 4 901 960,8 Kč. Jednoduchým důkazem můžeme doložit následující vztah: [1.13]
Dobch = Dmat ⋅ (1 + r ⋅ t )
1.5 Srovnání předlhůtního a polhůtního úročení Doposud jsme pojednávali o tzv. jednoduchém úročení polhůtním, což znamená, že úroky jsou připisovány na konci úrokovacího období. V praxi se však vyjímečně můžeme setkat i -8-
s tzv. jednoduchých úročením předlhůtním. Při jednoduchém úročení předlhůtním jsou úroky vypláceny na začátku úrokovacího období. V minulé kapitole jsme si uváděli, že používání obchodního diskontu je vlastně předlhůtní úročení. Základní rovnici pro předlhůtní úročení si můžeme odvodit na příkladu půjčky, která je úročena předlhůtně: • Nechť je doba splatnosti 1 rok, • nechť FV1 = kapitál, o který žádá klient v Kč, • nechť PV = kapitál, který klient dostane vyplacenu „na ruku“ v Kč, • nechť ra = anticipativní (předlhůtní) úroková sazba v setinách.
Pak platí, že od nominální částky odečteme anticipativní úrok a dostaneme vyplacenou částku, tedy: PV = FV 1 − u , kde u = FV 1 ⋅ ra ⋅ t PV = FV 1 − ( FV 1 ⋅ ra ⋅ t ) , kde t = 1 rok, tzn. PV = FV 1 ⋅ (1 − ra ) .
Pro zúročený dluh tedy platí: FV 1 = PV + u (anticipativní úrok), tzn. FV 1 = PV + ( FV 1 ⋅ ra ⋅ t ) .
[
]
Po dosazení předcházejícího tvaru a úpravě dostaneme FV = FV ⋅ 1 + ra ⋅ ( t − 1) , což nám vyjádří velikost zúročeného kapitálu (dluhu) pomocí částky, o kterou klient banku požádal. Tento zúročený kapitál lze při anticipativním úrokování též vyjádřit pomocí částky, PV kterou klient obdržel od banky na ruku. Pokud víme, že FV 1 = , tak po dosazení do 1 − ra předcházejícího tvaru a úpravě dostaneme základní rovnici pro předlhůtní jednoduché úročení: [1.14]
ra FV = PV ⋅ 1 + ⋅ t 1 − ra
Př. Banka poskytuje roční půjčky úročené předlhůtně. Výše půjčky je 10 000 Kč a úroková sazba je 15% p. a. Kolik dostane vyplaceno klient, který o takovou půjčku požádá na začátku roku a jaká je skutečná výše úrokové sazby (čili v polhůtním vyjádření)? PV =
10 000 = 8 500 Kč 0,15 1+ ⋅1 1 − 0,15
r=
0,15 = 0,1765 1 − 0,15
Odpověď : Klient dostane vyplaceno 8 500 Kč a skutečná, čili polhůtní úroková míra bude rovna 17,65% p. a. ra úrokovou sazbou polhůtní r, dostaneme 1 − ra základní rovnici pro zúročený kapitál při jednoduchém polhůtním úrokování. Když si obě dvě základní rovnice porovnáme, můžeme polhůtní úrokovou sazbu vyjádřit pomocí -9-
Nahradíme-li v rovnici [1.14] člen
předlhůtní: r =
ra 1 − ra
a taky naopak, úrokovou sazbu předlhůtní můžeme vyjádřit pomocí
úrokové sazby polhůtní: ra =
r . 1+ r
CVIČENÍ: 1. Banka nabízí klientovi úvěr. Klient si může vybrat, zda nechá svůj dluh úročit 10% p. a. polhůtně nebo stejnou úrokovou sazbou předlhůtně při jednoduchém úročení. Co je pro klienta výhodnější? 2. Podnikatel požádal banku o kapitál a banka mu vyplatila „na ruku“ 80 tis. Kč na dobu jednoho roku při 20% p. a. při anticipativním jednoduchém úročení. Podnikatel však tento dluh po domluvě s bankou splatil už za šest měsíců. O jakou částku žádal a jakou částku po půl roce podnikatel vracel? 3. Banka přebírá pohledávku v nominální hodnotě 500 tis. Kč, splatnou za 1,5 roku. Kolik Kč za ni vyplatí, určí-li si diskontní sazbu odpovídající 12% p. a.? 4. Určete matematický diskont, který si banka strhne, vyplatí-li pohledávku v nominální hodnotě 15 tis. Kč o 35 dnů dříve, při diskontní sazbě odpovídající 7,5% p. a. a porovnejte jej s obchodním diskontem. 5. Jak vysokou částku banka vyplatí, převzala-li pohledávku splatnou za 200 dnů ve výši 600 tis. Kč při diskontní sazbě odpovídající 9,3% p. a. a navíc si strhává 0,5% z nominální hodnoty jako manipulační poplatek? 6. Klient zažádal banku o úvěr na dobu jednoho roku. Banka mu nabízí jednoduché úročení buď 6,4% p. a. dekursivně, nebo 6% p. a. anticipativně. Co je pro klienta výhodnější? 7. Jakou částku si musíte dnes uložit, abyste při úrokové sazbě 11,5% p. a. a jednoduchém úročení měli za 14 měsíců k dispozici 155 tis. Kč?
- 10 -
2. Složené úročení 2.1 Základní rovnice složeného úročení Při složeném úročení jsou úroky připisovány k počátečnímu kapitálu a dále se úročí. Složené úročení používáme při výpočtech spojených s kapitálovými investicemi a pokud úrokovací období je delší než jeden rok. Základní rovnici můžeme psát ve tvaru: [2.1]
FV = PV ⋅ (1 + r )
t
kde: • FV = výše kapitálu v čase t (zúročený kapitál - budoucí hodnota) • PV = výše kapitálu v čase 0 (počáteční kapitál - současná hodnota) • r = úroková míra • t = délka úrokovacího období
Př. Jaká bude budoucí hodnota kapitálu ve výši 10 000 Kč při složeném úročení za tři roky pokud úrokovací období je roční a úroková sazba 12% p.a.?
FV = 10 000 ⋅ (1 + 0,12) = 14 049,28 Kč 3
Odpověď : Za tři roky bude hodnota kapitálu 14 049,28 Kč.
V případě, že úročíme m-krát ročně (např. měsíčně), vzorec pro složené úročení přechází do tvaru: [2.2]
r FV = PV ⋅ 1 + m
m⋅t
Tento typ úročení je označován jako úročení področní.
Př. Jaká bude hodnota kapitálu ve výši 10 000 Kč při složeném úročení za tři roky pokud úrokovací období je půlroční a úroková sazba 12% p.a.? 0,12 FV = 10 000 ⋅ 1 + 2
2⋅3
= 14 185,19 Kč
Odpověď : Za tři roky bude hodnota kapitálu 14 185,19 Kč.
- 11 -
2.2 Současná a budoucí hodnota při složeném úročení Současná hodnota při složeném úročení je dána základní rovnicí složeného úročení. Budoucí hodnotu při složeném úročení dostaneme vyjádřením současné hodnoty kapitálu (v čase nula) PV z téže rovnice. [2.3]
PV =
FV
(1 + t ) t
Př. Kolik musíme uložit na termínový vklad, abychom na konci pátého roku měli naspořeno 10 000 Kč při složeném úročení 15% roční úrokovou sazbou? PV =
10 000
(1 + 0,15) 5
= 4 971,77 Kč
Odpověď : Musíme uložit 4 971,77 Kč. Pokud úročíme m-krát ročně, současnou hodnotu si vyjádříme analogicky s použitím vzorce [2.2].
2.3 Výpočty odvozené z rovnice složeného úročení 2.3.1 Výpočet doby splatnosti Dobu splatnosti vyjádříme ze základní rovnice pro složené úročení (vzorec [2.4] je určen pro případ úročení m-krát do roka): [2.3]
t=
ln FV − ln PV ln (1 + r )
[2.4]
t=
ln FV − ln PV r m ⋅ ln 1 + m
Př. Určete dobu uložení kapitálu 100 000 Kč, pokud víte, že úroková míra 25% p.a. ho při ročním složeném úročení zúročila na koncovou hodnotu 156 250 Kč. t=
ln 156 250 − ln 100 000 =2 ln 1,25
Odpověď : Kapitál byl úročen po dobu dvou let. 2.3.2 Výpočet úrokové sazby Úrokovou sazbu vyjádříme ze základní rovnice pro složené úročení (vzorec [2.6] je určen pro úročení m-krát ročně) : [2.5]
r=t
FV −1 PV
[2.6]
- 12 -
FV r = t ⋅m − 1 ⋅ m PV
Př. Jakou úrokovou sazbou byl úročen počáteční vklad ve výši 100 000 Kč, pokud za pět let vzrostl při ročním složeném úročení na 161 051 Kč?
r=5
161 051 − 1 = 0,1 100 000
Odpověď : Vklad byl úročen úrokovou mírou ve výši 10% p.a. 2.3.3 Výpočet úroku Úrok u složeného úročení můžeme vyjádřit jako rozdíl budoucí a současné hodnoty kapitálu: U = FV − PV [2.7]
t PV + U = PV ⋅ (1 + r )
Př. Jaký bude celkový úrok, pokud počáteční kapitál ve výši 250 000 Kč bude úročen o dobu čtyř let úrokovou sazbou 8% p.a. při ročním složeném úročení?
U = 250 000 ⋅ (1 + 0,08) − 250 000 = 90 122,25 Kč 4
Odpověď : Celkový úrok za čtyři roky bude 90 122,25 Kč.
2.4 Kombinace složeného a jednoduchého úročení V případě, že pro úrokovací období t platí: t = n+l kde: • n = počet úrokovacích období • l = necelá část úrokovacího období (např. pokud t = 3,6 let, pak n = 3 a l = 0,6)
pro výpočet úroku potom používáme kombinaci jednoduchého a složeného úročení (vzorec [2.9] je určen pro případ, že se úroky připisují vícekrát do roka: [2.8]
FV = PV ⋅ (1 + r ) ⋅ (1 + r ⋅ l )
[2.9]
r FV = PV ⋅ 1 + ⋅ (1 + r ⋅ l ) m
n
n
- 13 -
Př. Jaká bude výše počátečního kapitálu 1000 Kč po třech letech a dvěstěšestnácti dnech, pokud počáteční vklad je úročen úrokovou sazbou 15% p.a. složeně za každý ukončený rok a jednoduše za zbývající část roku? 216 3 FV = 1 000 ⋅ (1 + 0,15) ⋅ 1 + 0,15 ⋅ = 1 657,75 Kč 360
Odpověď : Po třech letech bude výše kapitálu 1 657,75 Kč.
2.5 Úrokové sazby 2.5.1 Nominální úroková míra Doposud jsme počítali pouze s nominálními úrokovými měrami. Nominální úrokové míry můžeme rozdělit na hrubé nominální úrokové míry a čisté nominální úrokové míry. Rozdíl mezi hrubou a čistou nominální mírou představuje příslušná daňová sazba. Potom musí platit vztah: [2.10]
rc = rh ⋅ (1 − rdp) kde: • rc = čistá nominální úroková míra, • rh = hrubá nominální úroková míra • rdp = sazba daně z příjmů.
Př. Banka vám nabídla na termínovaný účet úrokovou míru 12,8% p.a. Jaká je skutečná míra zisku z této investice, pokud víte, že výnos na termínovaném účtu je zatížen daňovou sazbou 15%? rc = 0,128 ⋅ (1 − 0,15) = 0,1088
Odpověď : Skutečná míra zisku je 10,88%. 2.5.2 Efektivní úroková míra Efektivní úroková míra se používá k porovnání různých nominálních úrokových měr. Efektivní úroková míra je roční úroková míra odpovídající takové nominální úrokové sazbě, která nám dá za jeden rok stejnou výši kapitálu, i když s ní úročíme m-krát do roka. Tedy musí platit: r PV ⋅ (1 + re ) = PV ⋅ 1 + m t
m⋅t
, proto
m
[2.11]
r re = 1 + − 1 m - 14 -
Př. Kterou z možných variant zhodnocení peněz zvolíte: a) termínový vklad úročený pololetně úrokovou sazbou 13,1% nebo b) termínový vklad úročený měsíčně úrokovou sazbou 12,8%? 2
0,131 rea = 1 + − 1 = 0,1353 2 0,128 rea = 1 + 12
12
− 1 = 0,1358
Odpověď : Zvolíme variantu b), protože efektivní úroková sazba je vyšší. 2.5.3 Reálná úroková míra Reálná úroková míra je nominální úroková míra očištěná o míru inflace. Vypočítá se podle vzorce: [2.12]
rr =
rn − ri 1 + ri
kde: • rr = reálná úroková míra, • rn = nominální úroková míra • ri = míra inflace.
Př. Jaká je reálná úroková míra, pokud nominální roční úroková míra je 12% a roční míra inflace se předpokládá na úrovni 10%? rr =
0,12 − 0,1 = 0,018 1 + 0,1
Odpověď : Reálná úroková míra je asi 1,8% p.a..
Pro velmi malé míry inflace můžeme použít odhad reálné úrokové míry jako rozdíl nominální úrokové míry a míry inflace. 2.5.4 Úroková intenzita a spojité úročení Úroková intenzita odpovídá takové úrokové míře, kdy počet úrokovacích období m se blíží k nekonečnu, m → ∞ (úročí se v každém okamžiku) a délka úrokovacího období t se blíží k nule, t → 0 . Na stejném principu je založeno tzv. spojité úročení. Praktický význam spojitého úročení však spočívá v oblasti ohodnocení cenných papírů a kapitálových investic, neboť umožňuje použít složitější matematické nástroje. Vzorec pro spojité úročení zapisujeme ve tvaru:
- 15 -
FV = PV ⋅ e r ⋅t
[2.13]
kde: • e = Eulerova konstanta, neboli základ přirozených logaritmů.
Př. Akcie má kurz 4 500 Kč, jaký bude její kurz za sedm let pokud předpokládáme, že průměrná míra růstu jejího kurzu bude odpovídat úrokové intenzitě 8% p.a.? FV = 4 500 ⋅ e 0,08⋅7 = 7 878 Kč
Odpověď : Kurz za sedm let by měl být přibližně 7 878 Kč.
Důležitý poznatek pro vztah efektivní úrokové míry a úrokové intenzity: 1 + re = e r
CVIČENÍ: 1. Jak vzroste uložená částka 150 tis. Kč po 6 letech a 4 měsících, byla-li úročena složeným způsobem při úrokové sazbě 4% p. m.? 2. Pan Černý si dnes z banky vyzvedl 29 246,5 Kč, když původně uložil jen 25 tis. Kč. Jak dlouho měl své peníze uloženy v bance, jestliže se mu úročili 4% p. a. a banka používala složené úročení? 3. Máte možnost koupit si ojetý automobil. Je pro vás výhodnější zaplatit hotově 150 tis. Kč nebo zvolit druhou možnost a po okamžité záloze 90 tis. Kč doplatit 70 tis. Kč až po roce a půl, když máte možnost peníze si uložit při čtvrtletním složeném úročení ve výši 5,9% p. a.? 4. Jaká je současná hodnota čtvrt miliónu, který dostanete vyplacen za 30 měsíců, pokud uvažujeme složené roční úročení ve výši 12,5% p. a.? 5. Jaká byla úroková sazba, jestliže částka 20 tis. Kč vzrostla za čtyři roky na 27 400 Kč? Ročně připisované úroky byly ponechány na účtu a dále úročeny. 6. Účastníte se spoření, kde se vaše úspory úročí 10,3% p. a. Daň z příjmů činí 15% a je předpokládána roční míra inflace 9,5%. Jaký je váš reálný výnos? 7. Zúčastníte se investiční akce, která za 60 měsíců zhodnotí váš vklad 1 mil. Kč na 1,9 mil. Kč, když víte, že existuje termínovaný vklad na stejně dlouhou dobu s 12% p. a. při čtvrtletním připisováním úroků?
- 16 -
3. Spoření Spořením rozumíme ukládání stejných částek v pravidelných časových intervalech. Naším úkolem bude zjistit kolik finančních prostředků, včetně úroků, naspoříme za určité období. Jednotlivé typy spoření lze rozdělit: podle délky spoření • krátkodobé - spoříme po dobu jednoho úrokového období (období, za které je připisován úrok, zpravidla 1 rok), • dlouhodobé - spoříme po dobu delší než jedno úrokové období podle okamžiku uložení spořené částky • předlhůtní - spořená částka je ukládána na začátku úrokového období • polhůtní - spořená částka je ukládána na konci úrokového období
1)
2)
3.1 Krátkodobé spoření Výchozí podmínky pro krátkodobé spoření:
• Spoříme jedno úrokové období (předpokládejme jeden rok) a méně. • Spoříme m-krát ročně (či m-krát za úrokové období) částku K. Podle toho, zda ukládáme na začátku m-tiny roku nebo na konci m-tiny roku, budeme rozlišovat spoření předlhůtní a polhůtní. • Hodláme naspořit cílovou částku Kc. • Jednotlivé úložky jsou úročeny na základě jednoduchého úročení a úroky jsou připisovány na konci doby spoření (na konci úrokového období).
3.1.1 Spoření předlhůtní krátkodobé U spoření krátkodobého předlhůtního ukládáme částku vždy na začátku určitého období (m-tiny úrokového období či roku, na začátku měsíce, čtvrtletí apod.). [3.1]
m+1 Kc = K ⋅ m ⋅ 1 + ⋅ r 2⋅m kde: • Kc = cílová částka • K = výše úložky. • m = počet úložek za úrokové období • r = úroková sazba.
Př. Jakou částku naspoříme do konce roku, spoříme-li počátkem každého měsíce 1000 Kč při roční úrokové sazbě 11%? Dosadíme do vzorce: K = 1000, m = 12, r = 0,11 a Kc = ?. - 17 -
12 + 1 Kc = 1 000 ⋅ 12 ⋅ 1 + ⋅ 0,11 = 12 715 2 ⋅ 12 Odpověď : Celkem na konci roku naspoříme 12 715 Kč včetně úroků.
Př. Jakou částku musíme uložit na začátku každého čtvrtletí, abychom za rok našetřili 18 000 Kč při roční úrokové sazbě 11%? Dosadíme do vzorce: Kc = 18000, m = 4, r = 0,11 a K = ?.
K=
18 000 4 +1 4 ⋅ 1 + ⋅ 0,11 2⋅4
= 4 210,5
Odpověď : Na začátku každého čtvrtletí musíme uložit 4 210,50Kč. Tohoto vzorce je možné využít například pro výpočet nejefektivnější měsíční úložky při spoření na stavebním spoření. Nejefektivnější měsíční úložka je taková, při které za rok naspoříme i s úroky 20.000 Kč, čímž maximalizujeme státní podporu, která je 15 % z roční úložky i s připsanými úroky, maximálně však 3000 Kč (tedy 15 % z 20.000 Kč). Pokud bychom naspořili více než 20.000 Kč za rok, tak dostáváme stále pouze vrchní hranici státní podpory, což je zmiňovaných 3000 Kč za rok. Kolik tedy musíme na počátku každého měsíce spořit, abychom na konci prvního roku měli na účtě stavebního spoření 20.000 Kč, pokud budeme abstrahovat od poplatků a budeme kalkulovat úročení 2 % p.a.? Dosadíme do vzorce: Kc = 20000, m = 12, r = 0,02 a K = ?.
K=
20000 12 + 1 12⋅1 + ⋅0,02 2⋅4
= 1648,8
Odpověď : Na začátku každého měsíce musíme uložit 1648,80 Kč.
3.1.2 Spoření polhůtní krátkodobé U spoření krátkodobého polhůtního spoříme částku vždy na konci určitého období (mtiny úrokového období, roku, měsíce, čtvrtletí apod.). Oproti spoření předlhůtnímu je počet úrokových období o jedno období nižší. Poslední úložka není úročena a neplyne z ní tedy žádný úrok. První úložka u polhůtního spoření (uložena např. na konci ledna) je úročena stejně dlouho jako druhá úložka u předlhůtního spoření (uložena např. na počátku února). [3.2]
m−1 Kc = K ⋅ m ⋅ 1 + ⋅ r 2⋅m - 18 -
kde: • Kc = cílová částka • K = výše úložky. • m = počet úložek za úrokovací období • r = úroková sazba.
Př. Jakou částku naspoříme do konce roku, spoříme-li koncem každého měsíce 1000 Kč při roční úrokové sazbě 11%? Dosadíme do vzorce: K = 1000, m = 12, r = 0,11 a Kc = ?.
Kc = 1 000 ⋅ 12 + 1 000 ⋅ 0,11 ⋅
12 − 1 = 12 605 2
Odpověď : Naspoříme 12 605 Kč včetně úroků. Všimněme si vztahu mezi naspořenou částkou při polhůtním a předlhůtním úročení za jinak stejných podmínek. Při spoření polhůtním byla naspořena částka 12 605 Kč a při předlhůtním bylo naspořeno za stejné časové období a při stejné úrokové sazbě o 110 Kč více, tedy 12 715 Kč. Rozdíl mezi úsporami při předlhůtním a polhůtním spoření je v ročním úroku z jeden pravidelně ukládané částky: 1000 * 0,11 = 110 Kč.
Př. Jakou částku musíme uložit na konci každého čtvrtletí, abychom za rok našetřili 18 000 Kč při roční úrokové sazbě 11%? Dosadíme do vzorce: Kc = 18000, m = 4, r = 0,11 a K = ?.
K=
18 000 4 −1 4 ⋅ 1 + ⋅ 0,11 2⋅4
= 4 321,73
Odpověď : Na konci každého čtvrtletí musíme uložit 4 321,73Kč. Vzorce 3.1 a 3.2 je možno rovněž využít při zjišťování úrokové míry, pokud známe velikost K a Kc. Je nutné si z uvedených vzorců vyjádřit r. [3.3]
r=
Kc − m ⋅ K m ⋅ K ⋅ ( m ± 1) 2⋅m
Př. Jaká je úroková sazba jestliže ukládáme koncem každého měsíce částku 10 000 Kč a za jeden rok takto naspoříme 126 600 Kč? Dosadíme do vzorce: Kc = 126 600, K = 10000, m = 12, r = ?.
- 19 -
r=
126 600 − 12 ⋅ 10 000 = 0,12 12 ⋅ 10 000 ⋅ (12 − 1) 2 ⋅ 12
Odpověď : Úroková sazba činí 12%.
Krátkodobé spoření je možné využít pro výpočet velikosti pravidelných splátek půjčky, která je poskytnuta za podmínek krátkodobého spoření. Všechny uvedené vzorce je možné použít i pro výpočty při úrokovém období kratším než jeden rok. Zde je nutné mít na paměti správné upravení úrokové sazby pro dané období a počet úložek.
Př. Jakou částku musíme splácet koncem každého měsíce, pokud jsme si vypůjčili částku 500 000 Kč? Vypůjčenou částku musíme splácet 6 měsíců, při úrokové sazbě 4,0 % p.m. V tomto případě je úrokové období půl roku a jednotlivé parametry nabývají těchto hodnot: m = 6, r = 0,24, Kc = ? a K= ?. Nejprve musíme vypočítat Kc, tedy kolik má dlužník zaplatit i s úroky. Pokud by se věřitel rozhodl při uvedené úrokové sazbě peníze uložit na termínovaný vklad, na konci období by získal částku, kterou zjistíme podle vztahu pro jednoduché úročení [1.5]. Kc = 500 000 ⋅ (1 + 0,04 ⋅ 6) = 620 000 Po uplynutí doby 6 měsíců by věřitel mohl získat 620 000 Kč. Stejnou částku by měl obdržet i od svého dlužníka. Velikost splátky, kterou dlužník bude splácet na konci každého měsíce zjistíme vyjádřením K ze vzorce [3.2].
K=
620 000 6−1 6 ⋅ 1 + ⋅ 0,24 2⋅6
= 93 939,40
Odpověď : Dlužník musí splácet 93 939,40 Kč po dobu šesti měsíců.
A nyní změňme délku úrokového období z jednoho roku na kratší období.
Př. Jakou částku naspoříme do konce čtvrtletí, spoříme-li počátkem každého měsíce 1000 Kč při roční úrokové sazbě 4,8% p.a.? Dosadíme do vzorce: jedná se předlhůtní spoření, K = 1000, m = 3, r = 0,048/4 = 0,012 p.q. a Kc = ?. Kc = 1000⋅3⋅ (1 +0,012⋅
3 +1 ) = 3024 6
Odpověď : Naspoříme 3024 Kč včetně úroků.
- 20 -
3.2 Dlouhodobé spoření Výchozí podmínky pro dlouhodobé spoření: • • • •
Spoříme n úrokových období (zpravidla několik let) Spoříme jednou za úrokové období (jednou ročně) částku K Úroky jsou připisovány na konci úrokového období (obvykle na konci roku) Hodláme naspořit cílovou částku Kc.
3.2.1 Spoření předlhůtní dlouhodobé Na počátku každého úrokového období, v našem případě na počátku každého roku, ukládáme částku K. Naším úkolem je zjistit, kolik činí úspory na konci n-tého období při úrokové sazbě r. [3.4]
Kc = K ⋅ (1 + r ) ⋅
(1 + r ) n − 1 r
kde: • Kc = cílová částka • K = výše úložky. • n = počet úrokových období • r = úroková sazba.
Př. Jakou částku naspoříme za pět let, spoříme-li počátkem každého roku 12 000 Kč při neměnné roční úrokové sazbě 8%? Dosadíme do vzorce: K = 12000, n = 5, r = 0,08 a Kc = ?.
Kc = 12 000 ⋅ (1 + 0,08) ⋅
(1 + 0,08) 5 − 1 0,08
= 76 03115 ,
Odpověď : Naspoříme 76 031,15 Kč včetně úroků.
Jednoduchou úpravou vzorce 3.4 můžeme také vypočíst výši úložky K pro docílení dané naspořené částky Kc. 3.2.2 Spoření polhůtní dlouhodobé U spoření dlouhodobého polhůtního spoříme částku vždy na konci úrokového období po dobu n let. [3.5]
Kc = K ⋅
(1 + r ) n − 1 r
kde: • Kc = cílová částka • K = výše úložky. • n = počet úrokových období
- 21 -
• r = úroková sazba.
Př. Jakou částku naspoříme za pět let, spoříme-li koncem každého roku 12 000 Kč při neměnné roční úrokové sazbě 8%? Dosadíme do vzorce: K = 12000, n = 5, r = 0,08 a Kc = ?. Kc = 12 000 ⋅
(1 + 0,08) 5 − 1 0,08
= 70 399,22
Odpověď : Naspoříme 70 399,22 Kč včetně úroků. Částku, kterou je nutno spořit na konci roku, lze snadno vypočítat z částky, kterou spoříme na počátku roku, a to tak, že ji vynásobíme faktorem (1 + i). Tedy pro kontrolu: 70399,22 · (1 + 0,08) = 76031,15 Bude-li úrokové období kratší než jeden rok, tj. úroky budou připisovány častěji, např. dvakrát ročně při pololetním úrokovém období, čtyřikrát ročně při čtvrtletním úrokovém období atd., a budeme-li pravidelně ukládat částky jedenkrát za úrokového období (na začátku či konci), bude nutno přizpůsobit tomuto období úrokovou sazbu r i počet úrokových období n..
Př. Kolik uspoříme včetně úroků do konce roku, ukládáme-li koncem každého měsíce 1500 Kč při úrokové sazby 3 % p.a. a měsíčním připisování úroků? Dosadíme do vzorce: K = 1500, n = 12, r = 0,0025 p.m. a Kc = ?.
12 ( 1 + 0,0025) − 1 Kc = 1500⋅ = 18249,57
0,0025
Odpověď : Naspoříme 18 245,57 Kč včetně úroků.
3.3 Kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření Nyní chceme vypočítat, kolik uspoříme do konce n-tého období, jestliže ukládáme m-krát za úrokovací období? Podle toho jestli ukládáme na začátku nebo na konci m-tého období rozlišujeme rovněž spoření předlhůtní nebo polhůtní.
[3.6]
PŘEDLHŮTNÍ
POLHŮTNÍ
m + 1 (1 + r ) − 1 Kc = K ⋅m + K ⋅r⋅ ⋅ 2 r n
m − 1 (1 + r ) − 1 Kc = K ⋅m + K ⋅r⋅ ⋅ 2 r n
- 22 -
m+1 (1 + r )n − 1 ⋅r ⋅ Kc = K ⋅m⋅1 + 2⋅m r
m −1 (1 + r )n − 1 ⋅r ⋅ Kc = K ⋅m⋅1 + 2⋅m r
Př. Jakou částku naspoříme za pět let, spoříme-li koncem každého měsíce 1000 Kč při neměnné roční úrokové sazbě 8%? Dosadíme do vzorce: K = 1000, n = 5, m = 12, r = 0,08 a Kc = ?. 12 − 1 (1 + 0,08) − 1 Kc = 1 000 ⋅ 12 + 1 000 ⋅ 0,08 ⋅ = 72 980,52 ⋅ 2 0,08 5
Odpověď : Naspoříme 72 980,52 Kč včetně úroků.
VÝPOČET DOBY SPOŘENÍ Chceme-li spočítat dobu potřebnou pro naspoření částky Kc při dané úrokové sazbě r, přičemž pravidelně ukládáme částky K, vyjdeme ze vztahu [3.4] při předlhůtním ukládání, [3.5] při polhůtním spoření částek a ze vzorce [3.6] při kombinovaném spoření. Dosadíme do příslušného vzorce a logaritmováním si vyjádříme n.
Př. Za jak dlouho naspoříme 50 000 Kč při ročním polhůtním ukládání 7000 Kč při neměnné 4 % úrokové sazbě p.a.? Předpokládáme roční připisování úroků. Dosadíme do vzorce: Kc = 50000, K = 7000, r = 0,04 a n = ?. 0,04 ln1 + 50000 * 7000 n= = 6,4 ln(1 + 0,04)
Odpověď : Uvedenou částku naspoříme přibližně za 6,4 roku.
Př. Jak dlouho je nutno spořit počátkem každého měsíce 500 Kč, aby uspořená částka dosáhla výše 50 000 Kč při neměnné 4 % roční úrokové sazbě a ročním připisování úroků? Dosadíme do vzorce: Kc = 50000, K = 500, m = 12, r = 0,04 a n = ?.
- 23 -
50000 * 0 , 04 ln + 1 500 * 12 * (1 + 13 * 0,04) 24 = 7, 2 n= ln(1 + 0,04)
Odpověď : Uvedenou částku naspoříme přibližně za 7,2 roku.
CVIČENÍ: 1. Kolik uspoříte za jeden rok, pokud ukládáte částku 1 000 Kč na začátku každého měsíce? Vyjádřete rozdíl v naspořené částce při spoření polhůtním. Úroková sazba činí 2% p.m. s ročním připisování úroků. 2. Jakou částku musíme ukládat každý měsíc, abychom si za rok mohli koupit ojeté auto za 160 000 Kč? Vyčíslete rozdíl při spoření polhůtním a předlhůtním při úrokové sazbě 14% p.a. 3. Podnikatel si vypůjčil částku 1 000 000 Kč na dobu 6-ti měsíců. Jakou částku musí podnikatel splácet koncem každého měsíce, při úrokové sazbě 4% p.m.? Úroky jsou připsány ke konci období. 4. Pan Ludvík uspořil za jeden rok 15 000 Kč. Při jaké úrokové míře spořil, pokud začátkem každého měsíce ukládal 1 100 Kč? 5. Jakou částku naspoříme za 5 let, pokud budeme začátkem každého roku ukládat částku 18 000 Kč, při úrokové míře 14% p.a.? Jakou částku bychom naspořili, pokud bychom uvedenou částku ukládali koncem každého roku? Úroky se připisují jednou za rok. 6. Pan Fidla chce koupit za čtyři roky 10 akcií PTS CZ. Podle uvedeného inzerátu se bude jedna akcie prodávat za nominální hodnotu, která má činit 100 000 Kč. Kolik musí pan Fidla uložit na začátku každého roku, aby za dobu 4 let naspořil potřebnou částku? Peněžní prostředky jsou ukládány na účet úročený sazbou 12% p.a., úroky jsou připisovány ročně. Jakou částku by pan Fidla musel spořit na začátku každého čtvrtletí při stejných podmínkách? 7. Pan Spidla ukládá částku 80 000 Kč začátkem každého roku a na konci období získal částku 600 000Kč. Jak dlouhé bylo toto období? Uvažujte úrokovou sazbu 12% p.a. a roční připisování úroků. 8. Jak dlouho je nutno ukládat částku 6 500 Kč na začátku každého měsíce, abychom na konci doby spoření měli částku 600 000 Kč? Úroková sazba je 12% p.a., úroky jsou připisovány ročně. 9. Jakou částku naspoříme za 5 let, pokud spoříme na konci každého měsíce částku 500 Kč, při neměnné úrokové sazbě 12% p.a.? Předpokládejte: a) pololetní připisování úroků, b) čtvrtletní připisování úroků.
- 24 -
10.Na účet jsme uložili částku 500 000 Kč. Jakou částku získáme za 3 roky, pokud budeme na začátku každého čtvrtletí ukládat 25 000 Kč? Úroková sazba činní 1,5% p.m. a úroky jsou připisovány čtvrtletně. 11.Jakou částku získáme za 5 let, pokud jsme na začátku prvního roku uložili částku 100 000 Kč a na konci každého měsíce ukládáme 1 000 Kč? Úroková sazba činní 12% p.a. a úroky jsou připisovány měsíčně.
- 25 -
4. Důchody Důchodem rozumíme pravidelně se opakující platby (anuity), které se v čase nemění. Výše anuit zůstává po celou dobu výplaty důchodu stejná. Doba pobírání důchodu se označuje jako důchodové období a rovná se součtu všech výplatních období. Výplatním obdobím rozumíme období, během kterého je anuita vyplacena, např. u starobních důchodů jeden měsíc. Na problematiku důchodu můžeme pohlížet jako na spoření, pouze s tím rozdílem, že u spoření pravidelně ukládáme určitou částku, abychom naspořili stanovenou hodnotu kapitálu, zatímco u důchodu ukládáme určitou částku, aby nám přinesla pravidelný tok plateb (anuit). Při práci s důchody se budeme často setkávat s pojmy: • Současná (počáteční) hodnota důchodu D, což je součet současných hodnot jednotlivých anuit, který nám udává jakou částku si musíme dnes uložit, abychom si zajistili pravidelnou výplatu anuit při dané úrokové míře. • Konečná (budoucí) hodnota důchodu S, což je součet všech výplat důchodu (anuit) přepočtených na hodnotu ke konci důchodového období. Konečná hodnota důchodu tedy udává, kolik bychom celkem získali ke konci posledního roku, kdybychom všechny výplaty důchodu okamžitě po jejich vyplacení při dané úrokové sazbě uložili (investovali se stejným úrokem). Konečná hodnota důchodu je tedy stejná jako naspořená částka. Vztah mezi současnou a konečnou hodnotou důchodu lze vyjádřit: [4.1]
S = D ⋅ (1 + r )
n
kde: • S - koncová hodnota důchodu • D - současná hodnota důchodu • r - úroková míra • n - počet úrokových období
Jednotlivé typy důchodu lze zjednodušeně rozdělit: 1)
podle okamžiku, kdy důchod začne být vyplácen • bezprostřední - anuity jsou vypláceny ihned • odložený - anuity jsou vypláceny po určitém období, např. za 10 let
2)
podle délky vyplácení důchodu • dočasný - dostaneme omezený počet anuit (důchod pobíráme časově omezenou dobu, např. 10 let) • věčný - anuity jsou vypláceny bez časového omezení
3)
podle okamžiku vyplácení částky důchodu v rámci jednoho výplatního období • předlhůtní - anuity dostáváme na začátku výplatního období • polhůtní - anuity dostáváme na konci výplatního období - 26 -
4.1 Důchod bezprostřední U důchodu bezprostředního začíná výplata hned v daném období. Podle toho, zde se budou jednotlivé výplaty důchodu vyplácet na počátku nebo na konci období, rozlišíme důchod bezprostřední předlhůtní a důchod bezprostřední polhůtní. Pro zjednodušení v následujících výpočtech budeme za výplatní období považovat roky. 4.1.1 Důchod bezprostřední polhůtní Jedná se o důchod, při kterém je anuita vyplácena na konci výplatního období. Počáteční hodnota bezprostředního polhůtního důchodu se rovná součtu současných hodnot jednotlivých anuit a spočítáme ji podle vzorce: [4.2]
1− vn D=a⋅ r
1 − (1 + r ) D=a⋅ r
nebo
−n
kde: • D - současná hodnota důchodu polhůtního • r - úroková míra • n - počet úrokových období • a - výše anuity • v - diskontní faktor v =
1 1+ r
Př. Jakou částku musíme složit v bance, abychom měli nárok na bezprostřední polhůtní důchod ve výši 12 000 Kč ročně po dobu deseti let, při úrokové sazbě 8% p.a.? Dosadíme do vzorce: a = 12000, n = 10, r = 0,08 a D = ?. 1 1− 1 + 0,08 D = 12 000 ⋅ 0,08
10
≅ 80 521
Odpověď : V bance musíme složit přibližně 80 521 Kč.
VÝPOČET SOUČASNÉ HODNOTY INVESTICE S PRAVIDELNÝMI ROČNÍMI VÝNOSY Vzorec 4.2 můžeme také použít pro vypočtení částky, kterou budeme ochotni vložit do investice, která nám ponese po určitou dobu na konci každého výplatního období (roku) určitou částku. Zde se jedná o výpočet současné hodnoty polhůtního důchodu. Je to cena, kterou jsme ochotni zaplatit za to, že budeme ročně získávat platby ve výši a, požadujeme-li výnosnost (úrokovou sazbu) r.
- 27 -
Př. Kolik budeme ochotni zaplatit za investici, jejíž životnost je dvacet let a koncem každého roku nám z ní plyne platba ve výši 16.000 Kč? Uvažujeme roční úrokovou sazbu 5 % p.a. Dosadíme do vzorce: a = 16000, n = 20, r = 0,05 a D = ?. 20
1 1− 1 + 0,05 D = 16000⋅ = 199395,37 0,05
Odpověď : Chceme-li dosáhnout výnosu minimálně 5 %, tak jsme ochotni zaplatit za tuto investici maximálně 199395 Kč.
Koncovou hodnotu bezprostředního polhůtního důchodu spočítáme podle vzorce: [4.3]
S =a⋅
(1 + r ) n − 1 r
,
který je totožný se vzorcem pro výpočet cílové částky u spoření dlouhodobého polhůtního.
4.1.2 Důchod bezprostřední předlhůtní Jedná se o důchod, při kterém je anuita vyplácena na začátku období. Počáteční hodnotu bezprostředního předlhůtního důchodu D / spočítáme podle vzorce: [4.4]
D / = a ⋅ (1 + r ) ⋅
1− vn r
nebo
D / = a ⋅ (1 + r ) ⋅
1 − (1 + r ) r
−n
Ze srovnání vzorců polhůtních a předlhůtních důchodů je patrné, že počáteční hodnota důchodu předlhůtního bude vyšší než hodnota důchodu polhůtního, protože velikost diskontního faktoru v je menší než jedna. Vztah mezi počáteční hodnotou důchodu předlhůtního a polhůtního je možné vyjádřit následovně: [4.5]
D / = D ⋅ (1 + r )
nebo
D/ =
D v
Př. Jakou částku musíme složit v bance, abychom měli nárok na bezprostřední předlhůtní důchod ve výši 12 000 Kč ročně po dobu deseti let, při úrokové sazbě 8% p.a.? - 28 -
Dosadíme do vzorce: a = 12000, n = 10, r = 0,08 a D = ?. 1 1− 1 + 0,08 D = 12 000 ⋅ (1 + 0,08) ⋅ 0,08
10
≅ 86 963
Odpověď : V bance musíme složit přibližně 86 963 Kč. Vzhledem k tomu, že známe vztah mezi současnou hodnotou polhůtního a současnou hodnotou předlhůtního důchodu, můžeme též v našem příkladu využít výsledku z příkladu v předchozí subkapitole. D / = D⋅(1 + r ) = 80521 ⋅ (1 + 0,08) = 86963 Koncovou hodnotu bezprostředního předlhůtního důchodu S / spočítáme podle vzorce: [4.6]
S = a ⋅ (1 + r ) ⋅ /
(1 + r ) n − 1 r
který je totožný se vzorcem pro výpočet cílové částky u spoření dlouhodobého předlhůtního. 4.1.3 Důchod bezprostřední vyplácený m-krát ročně V případě, že anuity ve výši a jsou vypláceny m-krát ročně, počáteční hodnotu důchodu vypočteme ve dvou krocích. Nejprve spočítáme hodnotu m anuit ke konci roku a tím dostaneme hodnotu anuity . Posléze můžeme přepočítat tyty hodnoty vzorcem pro výpočet počáteční hodnoty polhůtního důchodu. Pro výpočet hodnoty anuity a ke konci roku použijeme vzorce pro krátkodobé spoření. [4.7]
PŘEDLHŮTNÍ
POLHŮTNÍ
m +1 1− vn D = m⋅a⋅1 + ⋅r ⋅ 2 ⋅ m r
m −1 1− vn D = m⋅a⋅1 + ⋅r ⋅ 2 ⋅ m r
kde: • D - současná hodnota důchodu • r - úroková míra • n - počet úrokových období • v - diskontní faktor • a - výše anuity, vyplácené m-krát ročně • m - počet částí úrokového období
Př. Jakou částku musíme složit v bance, abychom měli nárok na bezprostřední předlhůtní důchod ve výši 1 000 Kč měsíčně po dobu deseti let, při úrokové sazbě 8% p.a.? Dosadíme do vzorce: a = 1000, n = 10, m = 12, r = 0,08 a D = ?. - 29 -
1 1− 1 + 0,08 12 + 1 D = 1 000 ⋅ 12 + 1 000 ⋅ 0,08 ⋅ ⋅ 2 0,08
10
= 84 010,22
Odpověď : V bance musíme složit přibližně 84 010 Kč. Koncovou hodnotu důchodu S, který je vyplácen m-krát ročně můžeme vyjádřit: [4.8]
m ± 1 (1 + r ) n − 1 S = m ⋅ a ⋅ 1 + ⋅ r ⋅ , 2⋅m r
který je totožný se vzorcem pro výpočet cílové částky u kombinace spoření dlouhodobého a krátkodobého.
4.2 Důchod odložený Důchod odložený o k-období představuje důchod, který není vyplácen bezprostředně, ale až po uplynutí k-úrokových období, v našem případě po k-letech. Například důchod odložený o pět let bude vyplácen až po uplynutí pěti let. Odložený důchod rozlišujeme na důchod odložený předlhůtní a polhůtní. 4.2.1 Důchod odložený polhůtní Důchod je vyplácen po uplynutí k-období vždy na konci výplatního období. Počáteční hodnota odloženého důchodu polhůtního je diskontovaná počáteční hodnota bezprostředního polhůtního důchodu. Výše počáteční hodnoty se zjistí diskontováním jednotlivých anuit k výchozímu datu. Počáteční hodnotu důchodu polhůtního odloženého o k-období tak vypočítáme podle vzorce: [4.9]
1− vn D = v ⋅a⋅ r k
kde: • D - současná hodnota důchodu polhůtního • r - úroková míra • n - počet úrokových období, kdy jsou anuity vypláceny • k - počet úrokových období, kdy anuity nejsou vypláceny • v - diskontní faktor • a - výše anuity
Př. Jakou částku musíme složit v bance, abychom měli nárok na polhůtní důchod odložený o pět let ve výši 12 000 Kč ročně po dobu deseti let, při úrokové sazbě 8% p.a.? Dosadíme do vzorce: a = 12000, n = 10, k = 5, r = 0,08 a D = ?. - 30 -
1 1− 1 + 0,08 12 000 D= ⋅ 0,08 (1 + 0,08) 5
10
= 54 801,22
Odpověď : V bance musíme složit 54 801,22 Kč. 4.2.2 Důchod odložený předlhůtní Důchod je vyplácen po uplynutí k-období vždy na začátku výplatního období. Zjištění počáteční hodnoty u důchodu odloženého předlhůtního se provede analogicky jako u důchodu odloženého polhůtního. Počáteční hodnotu důchodu předlhůtního odloženého o k-období vypočítáme tak podle vzorce: [4.10]
D =v /
k −1
1− vn ⋅a⋅ r
Ze srovnání vzorců polhůtních a předlhůtních důchodů odložených je patrné, že pro vztah mezi nimi je stejný jako mezi důchody bezprostředními : D / = D ⋅ (1 + r )
Př. Jakou částku musíme složit v bance, abychom měli nárok na předlhůtní důchod odložený o pět let ve výši 12 000 Kč ročně po dobu deseti let, při úrokové sazbě 8% p.a.? Dosadíme do vzorce: a = 12000, n = 10, k = 5, r = 0,08 a D = ?.
D/ =
12 000
(1 + 0,08) 4
1 1− 1 + 0,08 ⋅ 0,08
10
= 59 185,32
Odpověď : V bance musíme složit 59 185,32 Kč. 4.2.3 Důchod odložený vyplácený m-krát ročně V případě, že anuity ve výši jsou vypláceny m-krát ročně, budeme zjišťovat počáteční hodnotu odloženého důchodu podobně jako u důchodu bezprostředního. Nejprve spočítáme hodnotu anuit do konce roku, k čemuž využijeme vztahy pro krátkodobé spoření. [4.11]
PŘEDLHŮTNÍ
POLHŮTNÍ
m +1 1− vn k D = m⋅a⋅1 + ⋅r ⋅ ⋅v 2⋅m r
m −1 1− vn k D = m⋅a⋅1 + ⋅r ⋅ ⋅v 2⋅m r
kde: • D - současná hodnota důchodu • r - úroková míra
- 31 -
• n - počet úrokových období, kdy jsou anuity vypláceny • k - počet úrokových období, kdy anuity nejsou vypláceny • v - diskontní faktor • a - výše anuity, vyplácené m-krát ročně • m - počet částí úrokového období
Koncové hodnoty se u odložených důchodů počítají podle stejných vzorců jako u důchodů bezprostředních.
Př. Jakou částku musíme uložit v bance, abychom měli za 5 let nárok na předlhůtní důchod ve výši 1000 Kč čtvrtletně po dobu deseti let, při úrokové sazbě 8% p.a.? Dosadíme do vzorce: a = 1000, n = 10, k = 5, r = 0,08, m = 4 a D = ?. 1 1− 4 +1 1 1,0810 * 0,08 * * = 19180,43 D = 4 * 1000 *1 + 2* 4 0,08 1,08 5
Odpověď : K zabezpečení žádaných výplat musíme do banky uložit 19180,43 Kč.
4.3 Důchod věčný Důchod věčný nemá stanovenou délku důchodového (výplatního) období , předpokládá se, že bude vyplácen nekonečně dlouhou dobu (n = ∞ ) . Z tohoto důvodu je zřejmé, že nemá ani žádnou koncovou hodnotu. Prakticky se s ním setkáme např. u věčné obligace (konzoly), u akcií (pravidelná výplata dividend) a případně u pronájmu na dobu neurčitou. Podle výplaty důchodu rozlišujeme důchod věčný polhůtní a předlhůtní. 4.3.1 Důchod věčný polhůtní Počáteční hodnotu důchod věčného polhůtního vypočítáme jako limitu vztahu pro počáteční hodnotu důchodu bezprostředního polhůtního: [4.12]
D = lim a ⋅ n→∞
1− vn 1 − (1 + r ) = lim a ⋅ n→∞ r r
−n
=
a r
kde: • D - současná hodnota důchodu • r - úroková míra • a - výše anuity
Pokud je důchod odložený o k let, upravíme vztah vynásobením diskontním faktorem, který je umocněn na k-tou: D = vk ⋅
a r
- 32 -
kde: • k - počet úrokových období, kdy anuity nejsou vypláceny • v - diskontní faktor
Př. Jakou částku musíme složit v bance, abychom měli nárok na věčný polhůtní důchod ve výši 12 000 Kč ročně, při úrokové sazbě 8% p.a.? Dosadíme do vzorce: a = 12000, r = 0,08 a D = ?. D=
12 000 = 150 000 0,08
Odpověď : V bance musíme složit 150 000 Kč. 4.3.2 Důchod věčný předlhůtní Počáteční hodnotu důchod věčného předlhůtního vypočítáme jako limitu vztahu pro počáteční hodnotu důchodu bezprostředního: [4.13]
1− vn a D = lim x ⋅ = n →∞ r ⋅v r ⋅v
Pokud je důchod odložený o k let, upravíme vztah vynásobením diskontním faktorem, který je umocněn na k-tou: vk ⋅a D= r ⋅v 4.3.3 Věčný důchod vyplácený m-krát ročně V případě, že anuity ve výši jsou vypláceny m-krát ročně, počáteční hodnotu důchodu vypočteme nahrazením velikosti roční výplaty důchodu vztahem pro krátkodobé spoření předlhůtní nebo polhůtní, podle toho kdy dochází k výplatě anuit. Počáteční hodnotu důchodu pak můžeme zapsat ve tvaru: [4.14]
PŘEDLHŮTNÍ
m +1 1 D = m⋅a⋅1 + ⋅r ⋅ 2⋅m r
POLHŮTNÍ
m −1 1 D = m⋅a⋅1 + ⋅r ⋅ 2⋅m r
kde: • D - současná hodnota důchodu • r - úroková míra • a - výše anuity, vyplácené m-krát ročně • m - počet částí úrokového období
Pokud je důchod odložený o k let, počáteční hodnotu důchodu zjistíme dle vztahu: - 33 -
m ± 1 vk D = m ⋅ a ⋅ 1 + ⋅ r ⋅ 2⋅m r
[4.15]
Př. Jaká částka nám (a našim pozůstalým) zajistí čtvrtletní polhůtní věčný důchod ve výši 5000 Kč při neměnné roční úrokové sazbě 4 % p.a.? Dosadíme do vzorce: a = 5000, m = 4, r = 0,04 a D = ?.
4 −1 1 D = 4 * 5000 *1 + * 0,04 * = 507500 2* 4 0,04 Odpověď : Abychom získali daný důchod, musíme do banky vložit částku 507 500 Kč.
KOMBINACE DŮCHODU A SPOŘENÍ V praxi můžeme narazit na otázku, kolik musíme pravidelně ukládat u banky, abychom si v budoucnu zajistili pravidelný důchod. U tohoto problému porovnáváme současné a budoucí hodnoty pravidelných plateb. Řešením příkladu je rovnost budoucí hodnoty spoření a současné hodnoty důchodu (Kc = D).
Př. Za deset let (ve věku pětašedesáti let) hodláme odejít do důchodu. Kolik musíme koncem každého měsíce ukládat na účet úročený 5 % p.a., abychom si zajistili až do osmdesáti let života jisté přilepšení ke starobnímu důchodu? Pravidelně si budeme koncem každého čtvrtletí vybírat z účtu částku 5000 Kč. Musíme porovnat hodnotu úspor, které získáme za deset let, s počáteční hodnotou důchodu vypláceného po příštích patnáct let. Dosadíme do příslušného vzorce pro spoření: m = 12, n = 10, r = 0,05, Kc = D a K = ?. Dosadíme do příslušného vzorce pro výpočet počáteční hodnoty důchodu: a = 5000, m = 4, n = 15, r = 0,05 a D = Kc.
12 * K * (1 +
4 −1 1 12 − 1 1,0510 − 1 * 0,05) * = 4 * 5000 *1 + * 0,05 * 2 *12 0,05 2* 4 0,05
K = 1370
Odpověď : Musíme ukládat 1370 Kč.
- 34 -
CVIČENÍ: 1. Jakou částku musíme uložit v bance aby nám zajistila roční bezprostřední předlhůtní důchod ve výši 10 000 Kč, po dobu 10-ti let při úrokové sazbě 12% p.a.? Zjistěte rozdíl oproti důchodu polhůtnímu. 2. Jakou částku musíme mít na kontě penzijního fondu, abychom mohli po dobu 20-ti let pobírat na začátku každého měsíce důchod ve výši 5 000 Kč, při úrokové míře 1% p.m.? Úroky jsou připisovány na konci každého roku. Jak se částka změní, pokud bychom důchod dostávali pouze jednou za čtvrt roku? 3. Jakou částku musíme mít v bance, abychom mohli po dobu 20-ti let pobírat na začátku každého měsíce důchod ve výši 5 000 Kč, při úrokové míře 1% p.m.? Úrokové období předpokládejme pololetní. 4. Pan Seman má splatit kolegovi půjčku 150 000 Kč během 10-ti let 10-ti splátkami vždy na konci roku. Jak vysoké jsou tyto částky, při úrokové sazbě 10% p.a.? Věřitel mu nabízí kromě splátek i možnost vyrovnat závazek jednorázově na konci 10-tého roku při stejné úrokové sazbě. O kolik méně či více zaplatí pan Seman svému kolegovi při využití této možnosti? 5. Prodejce aut nabízí zákazníkům různé možnosti plateb za os. automobil. Jednak jednorázově zaplatit 500 000 Kč nebo během 3 let vždy částku 200 000 Kč. Jaký způsob úhrady je pro něj výhodnější při uvažované úrokové sazbě 13% p.a.? 6. Rodiče chtějí dceři za 10 let k 20-tým narozeninám vyplatit částku 100 000 Kč. Jakou částku musí spořit začátkem každého měsíce při úrokové sazbě 12% p.a.? 7. Jakou částku musí rodiče jednorázově uložit do banky, aby jejich syn mohl za 10 let pobírat vždy na začátku každého roku, po dobu dalších deseti let částku 50 000 Kč, při neměnné úrokové sazbě 12% p.a.? Jak vysoká bude částka, kterou musí rodiče uložit, v případě, že syn bude dostávat 5 000 Kč na začátku každého měsíce? 8. Jakou částku musí rodiče uložit synovi do banky, aby si mohl po dobu 4 let vybírat na konci roku částku 10 000 Kč a dále pak ještě další 2 roky částku 15 000 Kč? Úroková sazba činí 12% p.a. 9. Rodiče mají k dispozici 100 000 Kč. Tuto částku uložili při neměnné roční úrokové míře 12 % a chtějí synovi po skončení gymnázia (za 4 roky) přispívat po dobu 2 let. Jak velkou částku syn obdrží na začátku každého měsíce? Jakou částku by obdržel při vyplácení na konci každého měsíce? 10.Jak velká finanční částka nám zajistí polhůtní věčný důchod ve výši 50 000 Kč, při neměnné úrokové sazbě 12% p.a.? Jak se změní finanční částka, pokud bude výplata důchodu odložena o 10 let? Předpokládáme roční připisování úroků. 11.Jak velká finanční částka nám zajistí předlhůtní věčný důchod ve výši 4 000 Kč měsíčně, při neměnné úrokové sazbě 12% p.a.? Úrokové období je rok. 12.Akcie zaručuje pravidelnou výplatu dividendy ve výši 8% z nominální hodnoty, která činí 100 Kč. Jaký kurz by měla tato akcie mít na kapitálovém trhu, při neměnné úrokové míře 10%? - 35 -
13.Kolik budeme ochotni zaplatit za investici, jejíž životnost je dvacet let a koncem každého roku nám z ní plyne platba ve výši 16 000 Kč? Uvažujeme roční úrokovou sazbu 5% p.a. 14.Kolik budeme ochotni zaplatit za investici, z níž budeme mít ke konci každého čtvrtletí výnos 4000 Kč po dobu dvaceti let, požadujeme-li míru výnosnosti 5 % p.a. a předpokládáme-li roční úrokové období? 15.Pan Seman se za 4 roku chystá na 5-letý pobyt v Austrálii. Předpokládá, že bude koncem každého čtvrtletí potřebovat 8000 Kč. Kolik musí nyní ukládat začátkem každého měsíce? Odhadovaná roční úroková sazba je 10 % pro první 4 roky, a pro další léta 9 % p.a.
- 36 -
5. Umořování dluhu Pojem umořování dluhu představuje splácení dluhu (jak půjčky, tak úvěru) podle tzv. umořovacího plánu, který je předem odsouhlasen dlužníkem i věřitelem. Obecně máme dvě možnosti jak dluh splácet, a to stejnými splátkami - anuitami (analogicky s důchody) a nestejnými splátkami. Umořování anuitami se v praxi běžně využívá například u hypotečních úvěrů, zatímco umořování nestejnými splátkami se využívá u většiny ostatních bankovních úvěrů. Přehled výše jednotlivých splátek dluhu se pro názornost sestavuje do tzv. umořovacího plánu. Umořovací plány (splátkový kalendář) se budou lišit případ od případu, nejen že každá banka má svůj vlastní způsob jak umořovací plán sestavit, ale umořovací plán bude odvislý od doby splatnosti úvěru, výše úrokové míry, způsobu splácení a mnoha dalších faktorech. Každý umořovací plán by však měl pro všechna splátková období obsahovat: • • • •
výši splátky (anuity), která je rovna součtu úroku a úmoru výši úmoru dluhu za dané splátkové období výši úroku z dluhu za dané splátkové období aktuální stav dluhu po splátce daného úmoru Umořovací plány se mohou lišit:
1)
typem splátek • polhůtné • předlhůtné
2)
způsobem úročení • polhůtné • předlhůtné
3)
obdobím splátek • stejné • rozdílné
4)
výší splátek • stejné • rozdílné
V praxi je většinou v umořovacích plánech počítáno s polhůtným úročením a s polhůtnými splátkami ve stejných obdobích.
- 37 -
5.1 Umořování dluhu nestejnými splátkami Umořování dluhu nestejnými splátkami je nejrozšířenější způsob splácení u běžně poskytovaných úvěrů. Charakterizuje ho stejná výše úmoru dluhu v jednotlivých splátkových obdobích. Klasický umořovací plán může vypadat následovně:
Pořadí splátky
Výše splátky
Úm or
Úrok
Nesplacená část dluhu
0
-
-
-
D
1
a1
d
u1
D1
2
a2
d
u2
D2
...
...
...
...
...
n
an
d
un
0
Součet
a1 + a2 + ... + an
D
u1 + u2 + ... + un
Př. Podnikatel zažádal u bankovního ústavu o úvěr na tři roky ve výši 300 000 Kč. Sestavte umořovací plán při polhůtných splátkách jednou ročně a úrokové míře 10% p.a. při polhůtném úročení.
Pořadí splátky 0
Výše splátky -
Úmor
Úro k
Nesplacená část dluhu
-
-
300 000
1
130 000
100 000
30 000
200 000
2
120 000
100 000
20 000
100 000
3
110 000
100 000
10 000
0
Součet
360 000
300 000
60 000
- 38 -
5.2 Umořování dluhu stejnými splátkami (anuitami) Umořování dluhu stejnými splátkami se využívá především v hypotečním bankovnictví. Pro sestavení umořovacího plánu je zapotřebí v prvé řadě vyjádřit výši anuity. Anuitu lze vyjádřit ze vzorce pro výpočet současné hodnoty polhůtného důchodu: a = D⋅
[5.1]
r 1− vn
Obecný umořovací plán se stejnými splátkami bude vypadat následovně:
Pořadí splátky
Výše splátky
Úmo r
Úrok
Nesplacená část dluhu
0
-
-
-
a (1− v n ) r
1
a
avn
a(1-vn)
a (1 − v n − 1 ) r
2
a
avn-1
a(1-vn-1)
a (1 − v n − 2 ) r
...
...
...
...
...
n-1
a
av2
a(1-v2)
a (1− v
n
a
av
a(1-v)
a (1 − v 0 ) r
Součet
n⋅a
D
u1 + u2 + ... + un
)
r
Př. Klient má umořit svůj úvěr ve výši 50 000 $ polhůtnými anuitami za pět let při neměnné tříprocentní roční úrokové míře. Určete výši anuity a sestavte odpisový plán.
a = 50 000 ⋅
0,03 1 1− 1 + 0,03
5
= 10 917 ,73
- 39 -
Umořování dluhu
Základy finanční matematiky
Pořadí splátky
Výše splátky
0
-
Úro k
Úmo r
-
-
Nesplacená část dluhu 50 000
1
10 917,8
1 500,0
9 417,8
40 582,2
2
10 917,8
1 217,5
9 700,3
30 881,9
3
10 917,8
926, 5
9 991,3
20 890,6
4
10 917,8
626, 7
10 291,1
10 599,5
5
10 917,8
318, 3
10 599,5
0
Součet
54 589,0
4 589,0
50 000,0
-
Na výše uvedeném příkladě je názorně vidět nevýhoda splácení dluhu pomocí anuit, existuje velmi málo příkladů, kdy vypočtená anuita je rovna celému číslu. Jelikož počítání s desetinnými čísly zvyšuje pravděpodobnost odchylek především kvůli zaokrouhlování, v praxi se často anuita stanoví jako nejbližší 'kulaté' číslo a dopočítá se výše poslední anuity. Stanovení počtu anuit V našem případě máme dvě možnosti, stanovit anuitu na 10 000, případně na 11 000 $. Dejme tomu, že pro naše účely je vhodnější anuita ve výši 10 000 $. V první řadě musíme určit počet anuit ze vzorce pro výpočet současné hodnoty polhůtného důchodu:
[5.2]
D ⋅ r ln 1 − a n= ln v
po dosazení za
n=
5 000 ⋅ 0,03 ln 1 − 10 000 1 ln 1 + 0,03
= 5,498
z výsledku vyplývá, že úvěr budeme splácet šest let, přičemž pět let budeme splácet anuitu ve výši 10 000 $ a šestý (poslední) rok splatíme částku v jiné výši. Výši této poslední splátky můžeme vyjádřit z následujícího vzorce: - 40 -
Umořování dluhu
Základy finanční matematiky 1 − v n −1 + an ⋅ v n , odkud dostaneme výraz: r
[5.3]
D= a⋅
[5.4]
1 − v n −1 ⋅ (1 + r )n a n = D − a ⋅ r
neboť současná hodnota dluhu se rovná současné hodnotě toku anuit plus současné hodnotě poslední splátky. Vyjádřit an lze i ze vztahu odpovídajícímu rovnosti mezi budoucí hodnotou důchodu a součtu budoucí hodnoty toku anuit a hodnoty poslední splátky. V našem případě dosadíme do upravené rovnice: 5 1 1 − 1 + 0,03 6 an = 50 000 − 10 000 ⋅ ⋅ (1 + 0,03) = 5 018,52 0,03
poslední splátka úvěru bude ve výši 5 018,52 Kč.
CVIČENÍ: 1. Dluh 500 000 Kč má být umořen nestejnými splátkami při roční úrokové sazbě 12 %. Sestavte splátkový kalendář, když víte, že úmor v první splátce činí 60 000 Kč a každý další úmor bude vždy o 20 000 Kč vyšší než ten předchozí. 2. Dluh 333 000 Kč má být umořen stejnými anuitami za 5 let při roční 15 % úrokové sazbě. Určete výši anuity a sestavte umořovací plán. 3. Dluh 1 500 000 má být splácen 5 let při roční úrokové sazbě 14 %. Sestavte splátkový kalendář se stejným úmorem v každé splátce.
- 41 -
6. Krátkodobé cenné papíry 6.1 Směnka Směnka je krátkodobý cenný papír, který splňuje zákonem stanovené náležitosti,2 obsahující bezpodmínečný příkaz zaplatit částku uvedenou na směnce ve stanovenou dobu. Směnky jsou tradičním nástrojem průmyslových a obchodních společností pro získání krátkodobého financování. Obecně jsou se směnkou spjaty tři funkce: • platební • zajišťovací • úvěrová Platební funkce směnky spočívá v její obchodovatelnosti na finančním trhu, zajišťovací v možnosti zajištění závazků plynoucích z obchodního vztahu a funkce úvěrová v úzkém vztahu mezi jejím vystavením a poskytnutím krátkodobých obchodních a bankovních úvěrů. Splatnost směnky může být stanovena "na viděnou" (a vista), tj. směnka se stává splatnou při předložení, ke kterému musí dojít do jednoho roku po vystavení, dále "na určitý čas po viděné", "na určitý čas po datu vystavení" nebo na určitý den. První oprávněný majitel směnky – remitent – může směnku, a tedy i práva s ní spojená, převést indosamentem (neboli rubopisem) na další osobu. Ta může směnku obdobně převádět dále. Zákon směnečný a šekový upravuje též náležitosti směnky: • • • • • • •
označení, že jde o směnku bezpodmínečný příkaz zaplatit určenou sumu splatnost směnky (datum, příp. období) jméno směnečného dlužníka (v případě, že se jedná o cizí směnku) jméno směnečného věřitele datum a místo vystavení směnky podpis výstavce
Vedle uvedených, zákonem předepsaných náležitostí může směnka obsahovat i některé další, fakultativní náležitosti – směnečné doložky. Ty na směnce být nemusejí, pokud tam ovšem jsou, určitým způsobem modifikují režim nakládání se směnkou. Oprávněný majitel směnky musí směnku v den splatnosti, resp. ve dvou následujících pracovních dnech předložit stanoveným způsobem k proplacené. Má nárok na vyplacení směnečné částky. U směnky opatřené platnou úrokovou doložkou je tato částka zvýšena o úrok od data vystavení do data splatnosti směnky. Úroková doložka spočívá v uvedení úrokové sazby, kterou je směnečná částka ode dne vystavení do dne splatnosti úročena.Platnou úrokovou doložku může obsahovat pouze směnka, která je splatná na viděnou nebo na určitý čas po viděné (po předložení).
2
Používání směnek se v České republice řídí zákonem směnečným a šekovým č. 191/1950 Sb.
- 42 -
6.1.1 Základní pojmy • Vlastní směnka - nazývaná též sólosměnka je směnka, kde výstavce je zároveň směnečný dlužník. Tento druh směnky je používám převážně jako obchodní směnka v případě prodeje zboží na úvěr. • Cizí směnka - nazývaná též trata je směnka, na které dává výstavce příkaz směnečnému dlužníku zaplatit majiteli směnky směnečnou částku. • Výstavce - osoba, která směnku vystavila. • Směnečný dlužník - osoba , která má po akceptaci směnky povinnost zaplatit směnečnou částku směnečnému věřiteli. • Směnečný věřitel - majitel směnky, který má právo požadovat plnění vyplývající ze směnečného vztahu. Plnění má právo uplatňovat v pořadí: směnečný dlužník, předchozí majitelé směnky, výstavce směnky. • Směnečná částka - dlužná částka uvedená na směnce - nominální hodnota směnky. • Akceptace směnky - podpis směnečného dlužníka, jímž uznává svůj závazek plynoucí ze směnečného vztahu. • Eskont směnky - odkoupení směnky bankou před datem splatnosti, banka však ve skutečnosti směnku neodkupuje, ale poskytuje prodávajícímu směnky tzv. eskontní úvěr. • Eskontní úvěr - předlhůtně úročený krátkodobý úvěr, který poskytuje banka majiteli směnky, žádajícímu o eskont. Eskontní úvěr splácí směnečný dlužník, v případě, že není schopen dostát svým závazkům, povinnost splatit tento dluh přechází na předchozí majitele směnky. • Reeskont směnky - eskont směnky (již jednou eskontované komerční bankou) centrální bankou. Banky většinou po eskontu směnky reeskontují u centrální banky. 6.1.2 Směnečný eskont V případě, že majitel směnky požádá banku o eskont směnky, banka mu poskytne předlhůtně úročený eskontní úvěr ve výši rovnající se nominální hodnotě směnky (směnečné částce) mínus diskont odpovídající dané diskontní (eskontní) míře banky. Podle vzorce: [6.1]
C = NH − NH ⋅ rd ⋅ t kde: •
C je cena směnky (výše vyplacené částky)
• NH je směnečná částka (nominální hodnota směnky), • rd je diskontní sazba •
t je doba do splatnosti směnky.
• do ceny směnky se může projevit také možná paušální platba (manipulační poplatek)
Stejný vzorec platí pro výpočet obchodního (bankovního ) diskontu.
Př. Banka přijala k eskontu směnku o nominální hodnotě 1 mil. Kč, která má tři měsíce do data splatnosti. Banka používá roční eskontní sazbu 12% a strhává si eskontní provizi ve výši 0,1% ze směnečné částky. Jakou částku banka vyplatila majiteli směnky? 3 C = 1 000 000 ⋅ 1 − 0,12 ⋅ = 970 000 12 - 43 -
Odpověď : Banka vyplatí 970 tisíc mínus 0,1% z 1 milionu, tj. 1000 Kč. 6.1.3 Cena směnky a míra výnosu ze směnečných operací Cenu směnky lze stanovit pomocí stejného vzorce, cena směnky závisí na výši úrokové míry, kterou ze směnečné operace požadují, případně jsou ochotni platit jednotliví účastníci tohoto kontraktu.
Př. Pan Novák nakoupil směnku o znějící na částku 1 mil Kč od pana Černého tři měsíce před datem splatnosti za 970 tisíc Kč, tuto směnku 36 dní před splatností předložil bance k eskontu při eskontní míře 10%. Jakou míru výnosu realizoval? 36 C = 1 000 000 ⋅ 1 − 0,1 ⋅ = 990 000 360 990 000 −1 970 000 r= = 0,1375 90 − 36 360
Odpověď : Pan Novák realizoval z tohoto obchodního příkladu roční úrokovou míru 13,75%. 6.1.4 Střední doba splatnosti Klient může bance prodat najednou více směnek s různou dobou splatnosti s tím, že mu banka připíše na účet celou částku odpovídající součtu všech směnečných sum jednotlivých směnek s tzv. střední dobou splatnosti. Střední doba splatnosti určuje den, ke kterému, když banka vyplatí celkovou směnečnou částku (součet všech směnečných částek z jednotlivých směnek), se jí vyrovnají úrokové výhody (některé směnky banka inkasovala dříve, než klientovy za směnky zaplatila) s úrokovými ztrátami (některé směnky banka klientovi proplácí před jejich splatností). Čili suma úroků ze směnek splatných před středním dnem splatnosti a suma diskontů ze směnek splatných po středním dnu splatnosti se musí navzájem shodovat. m
∑S ⋅t j
[6.2]
ts =
j
j =1
m
∑S
j
j
kde: • ts...střední doba splatnosti ve dnech • Sj..směnečná částka j-té směnky • tj...počet dnů od eskontu j-té směnky až do její splatnosti
Střední den splatnosti dostaneme přičtením střední doby splatnosti ke dni eskontu.
- 44 -
Př. Stanovte k 2. 11. 1998 střední dobu splatnosti následujících směnek: směnka A zní na 10 tis. Kč, je splatná 9. 11. 1998, směnka B má nominální hodnotu 15 tis. Kč a je splatná 2. 12. 1998, třetí směnka C se splatností 7. 12. 1998 má nominální hodnotu 8 tis. Kč. ts =
(10 000 ⋅ 7) + (15 000 ⋅ 30) + (8 000 ⋅ 35) 10 000 + 15 000 + 8 000
= 24,2
Odpověď : Střední den splatnosti je 26. 11. 1998 (2. 11. 1998 + 24 dnů). K tomuto dni banka vyplatí klientovi celkový součet směnečných částek. 6.1.5 Depozitní směnky Směnku však můžeme využít k uložení peněz, jako formu finanční investice. To znamená, že směnku koupíme proto, aby se nám v době splatnosti vrátil investovaný kapitál, a to včetně určitého výnosu. Tento výnos může být dvojího druhu. Jednak je to rozdíl mezi diskontovanou směnečnou částkou, za kterou tuto směnku kupujeme a obdrženou nominální hodnotou na konci splatnosti. Pak to může být i úrok ze směnečné částky, který je na směnce stanoven úrokovou doložkou.
6.2 Ostatní krátkodobé cenné papíry 6.2.1 Pokladniční poukázka Pokladniční poukázka je krátkodobý cenný papír. Jako nástroj peněžního trhu je obchodovaný převážně na diskontním principu. Zní na určitou nominální hodnotu a je splatná za určitou, zpravidla krátkou, dobu. Státní pokladniční poukázka je cenný papír, který slouží ke krytí deficitu státního rozpočtu. Pokladniční poukázky patří mezi nejlikvidnější cenné papíry, nesoucí minimální riziko. Mezi emitenty pokladničních poukázek v České republice patří ministerstvo financí, ČNB, FNM a Komerční banka. V USA tyto cenné papíry obíhají pod názvem "poukázky Úřadu státního pokladu" (treasury bills - T-bills) a představují jeden z hlavních nástrojů krátkodobé zadluženosti státu. Největší předností těchto krátkodobých cenných papírů je to, že umožňuje rychlou reakci na tempo růstu inflace a úrokovou sazbu. Pokud nastane vhodná doba pro emisi dlouhodobých cenných papírů, emitent (stát) stáhne pokladniční poukázky z oběhu a splatí je buď hotovými penězi nebo nabídne dlouhodobé cenné papíry za pokladniční poukázky.
6.2.2 Depozitní certifikát Depozitní certifikát je krátkodobý cenný papír vydávaný bankou jako potvrzení o uložení vkladu klientem. V podmínkách českých bank však nemá depozitní certifikát často formu cenného papíru, ale pouze formu vkladu, tzn. že pozbývá možnosti být obchodován jako cenný papír a naopak výnos z něho je zatížen daňovou sazbou 25% jako výnosy z cenných papírů.
6.3 Skonto Skonto není cenný papír, skonto je sleva, kterou poskytuje prodávající kupujícímu v případě, že kupující platí za odebrané zboží okamžitě, případně během dohodnuté krátké lhůty. Výše skonta je zpravidla stanovena v procentech z prodejní ceny, a ne na roční bází, - 45 -
jako je tomu např. u eskontního úvěru. Vzhledem k tomu, že tímto způsobem kupující takto vlastně půjčuje peníze prodávajícímu (pokud využije možnosti skonta a zaplatí dříve), výhodnost skonta zjistíme porovnáním s úrokovou mírou, při které může kupující tyto peníze investovat (Opačně můžeme pozdější zaplacení chápat jako čerpání úvěru ode dne zakoupení zboží do skutečného zaplacení a skonto představuje úrok za tento úvěr. Pokud by chtěl zaplatit ihned a neměl by peníze, musel by si vypůjčit.). Z tohoto důvodu výhodnost či nevýhodnost využití skonta můžeme posoudit na základě srovnání skonta s úrokem. Pokud skonto vyjádřené v % na roční bázi je vyšší než úroková sazba ( z úvěru či depozita), potom je výhodnější a využijeme jej.
Př. Pan Novák zakoupil zboží v celkové hodnotě 100 000 Kč. Částka je splatná do 4 týdnů. V případě zaplacení do týdne poskytuje prodávající slevu 1% z ceny. Předpokládejme, že pan Novák nemá jinou možnost investovat peníze než na svůj běžný účet úročený 4% p.a.. Je výhodné využít skonto? PV = 100 000 ⋅ 0,99 = 99 000 100 000 −1 99 000 r= = 0,1732 21 360
Odpověď : Pro pana Nováka je výhodné využít skonto, protože realizovaná úroková míra odpovídá 17,32% p.a., zatímco běžný účet má úročen pouze 4% p.a.
CVIČENÍ: 1. Stavební firma vydala obchodní směnku na částku 1,65 mil. Kč, splatnou k 1. 6. 1998. Obchodní společnost zakoupila tuto směnku 8. 3. 1998 při diskontní míře 9,5% p. a., aby ji vzápětí 5. 4. 1998 prodala při roční diskontní míře 9,3%. Jakou roční míru zisku realizovala obchodní společnost touto transakcí? 2. Obchodní banka se rozhodla uložit část svých peněžních prostředků do pokladničních poukázek z celkovou nominální hodnotou 10 mil. Kč s dobou splatnosti 84 dnů nabízených za 9,87 mil. Kč. Za 35 dní je však prodala investiční firmě, která potřebovala 49 dnů před plánovanou investicí vhodně umístit připravenou částku a byla ochotna za pokladniční poukázky zaplatit 9,940 mil. Kč. Byl prodej pro banku výhodný? A co pro investiční společnost? 3. Obchodní firma dodala značkové zboží v celkové prodejní ceně 155 tis. Kč. Odběratel má možnost zaplatit celou cenu až v době splatnosti faktury, tj. za čtyři týdny. Pokud však zaplatí okamžitě, obchodní firma nabízí možnost skonta 2% z prodejní ceny. Odběratel má možnost okamžitou platbu financovat krátkodobým úvěrem úročeným 12% p. a. Je pro odběratele výhodnější zaplatit okamžitě za pomocí úvěru? 4. Pan Novotný si koupil depozitní směnku 1. 2. 1998 od obchodní banky za její nominální hodnotu 600 tis. Kč. Směnka je opatřena úrokovou doložkou s úrokovou sazbou 11% p. a. Jednalo se o směnku na viděnou a nesměly být předložena k proplacení dříve než za 3 měsíce a ne později než za půl roku. Pan Novotný předložil směnku k proplacení 1. 6. 1998. Jaký byl jeho výnos ze směnky? - 46 -
5. Banka přijala k eskontu 1. 9. 1998 tři směnky: Směnka A má nominální hodnotu jeden milión Kč a je splatná 15. 10. 1998, směnka B znějící na 195 tis. Kč je splatná k 30. 9. 1998 a směnka C s nominálem 955 tis. Kč má splatnost 31. 10. 1998. Určete střední dobu splatnosti, jestliže banka používá diskontní sazbu 1,15 % p. m.
- 47 -
7. Obligace 7.1 Základní pojmy • Obligace jsou dlouhodobé cenné papíry, vyjadřující dlužnický závazek emitenta obligace (dlužníka) oproti majiteli obligace (věřiteli). • Datum splatnosti je datum, ke kterému je půjčka vyjádřená dluhopisem splatná, výjimku tvoří pouze tzv. konzola, neboli věčná obligace. • Nominální hodnota obligace udává výši dluhu, který musí být vyplacena majiteli obligace k určenému datu. Většinou se jedná o datum splatnosti, výjimku tvoří pouze tzv. přivolatelné (vypověditelné) obligace, kdy emitent obligace si ponechává právo splatit tyto obligace ve zkrácené lhůtě. • Kupónový arch je součást dluhopisu obsahující kupóny a talon (doslovně to platí pouze u listinných obligací). • Kupón je ústřižek kupónového archu dokumentující nárok na kupónovou platbu. • Talon u dlouhodobých obligací bývá část kupónového archu, oproti kterému majitel obligace po odstřižení všech kupónů dostane další kupónový arch. • Kupónová platba je úrok periodicky vyplácený majiteli obligace na základě předložení kupónu. • Kupónová sazba je procenticky (vzhledem k nominální hodnotě) vyjádřená kupónová platba. 7.1.1 Základní druhy obligací • kupónová obligace – jedná se o nejrozšířenější druh obligací. Při emisi je prodávána za nominální hodnotu, v době životnosti přináší pravidelné kuponové platby a při splatnosti je vyplacena nominální hodnota. Výše kuponové platby je buď fixní po celou dobu do splatnosti (kupónová obligace s fixní kupónovou sazbou) nebo se v čase mění v závislosti na vývoji nějaké stanovené referenční úrokové sazbě (kupónová obligace s variabilní kupónovou sazbou). • diskontovaná obligace (obligace s nulovým kupónem, zero coupons bonds) – během svého života nepřináší žádné kupon, při emisi je nabízena za cenu nižší než nominální hodnota. Investor tedy realizuje zisk pouze jako rozdíl mezi nákupní a prodejní cenou (popř. emisní cenou a nominální hodnotou). • věčná obligace (konzola) nemá žádnou dobu splatnosti, věčně je vyplácena kuponová platba. Konzoly byly emitovány britským ministerstvem financí v době napoleonských válek a jsou obchodovány dodnes. Nové emise se v současnosti nevyskytují. 7.1.2 Další druhy obligací • konvertibilní obligace – tato obligace umožní za určitých, předem známých podmínek převod do určitého počtu kmenových akcií společnosti, která tyto obligace vydala. Důvodem vydání konvertibilní může být tzv. „oslazení dluhu“ pro zvýšení atraktivnosti tohoto cenného papíru nebo oddálení akciového financovaní v případě nízké ceny kmenových akcií na trhu v současnosti. • přivolatelné obligace (callable bonds) – emitent má právo, za předem daných podmínek, předčasně splatit své závazky. Tato přivolací podmínka ovšem prodražuje financování, protože nejistota investorů ohledně možnosti předčasného splacení musí být kompenzována vyšším výnosem z této obligace. - 48 -
• předložitelné obligace (putable bonds) – investoři mají možnost předložit obligaci k okamžitému (tedy předčasnému) vyplacení emitující společnosti a tak se bránit poklesu cen obligace v případě nepříznivého vývoje úrokových sazeb. • obligace s warantem – připojený warrant (opční list) umožňuje investorovi nakoupit během určitého období fixní počet kmenových akcií za předem určenou cenu. Při využití tohoto práva obligace nezaniká, jak je tomu u konvertibilní obligace. 7.1.3 Euroobligace Vznik eurokapitálového trhu je spojen se vnikem řady speciálních forem obligací (bondů3), jako jsou například currency option bonds, dual currency bonds a index linked bonds. Nejdříve ovšem musíme rozlišit:
Domácí obligace jsou emitovány domácím subjektem na domácím trhu v domácí měně. Zahraniční obligace jsou emitovány na místním trhu zahraničním subjektem v místní měně. Zahraniční obligace emitované v USA se tradičně označují jako „Yankee bonds“, v Japonsku „Samurai bonds“, ve Velké Británii „Bulldog bonds“. Zahraniční obligace obvykle podléhají přísnějším povolovacím pravidlům. Euroobligace jsou emitovány na zahraničích trzích v měně „třetí“ země. (emitent ze země A emituje obligaci v zemi B v měně země C.) Na eurobondovém trhu se mohou uplatnit pouze emitenti s vysokou bonitou. Jde zejména o vlády, centrální banky, mezinárodní finanční instituce a popř. korporace s nejvyšším ratingem (AAA nebo AA). U euroobligací můžeme rozlišit několik druhů:
• •
• • •
Straight bonds – běžná forma kupónové obligace s fixní kupónovou sazbou Index linked bonds – u těchto obligací se úrokové platby pohybují v závislosti na pohybu tržní referenční ceny. Eurobondy s indexací na cenu konkrétní komodity (zlato, ropa) umožňují importérovi zajištění jak proti změnám kurzu, tak současně proti změnám cen příslušné komodity, i když se celková cenová hladina nemění. Dále existují eurobondy s indexací na cenovou hladinu nebo na tržní úrokovou míru (nejčastěji LIBOR- London InterBank Offer Rate) Currency option bonds – dává investorovi právo obdržet úroky a jistinu ve zvolené měně Dual currency bonds – tyto obligace jsou denominovány v měně X, úroky jsou rovněž placeny v měně X, zatímco závěrečná jistina je placena v měně Y v předem stanoveném kurzu mezi X a Y. Dual currency convertible bonds – jsou denominovány v jedné měně a konečná platba jistiny je konvertibilní za akcie denominované v druhé měně. V dalším textu se budeme zabývat pouze základními druhy domácích obligací.
7.1.4 Náležitosti obligace Listinné obligace se fyzicky skládají z pláště a kupónového archu s talonem. Vzhledem k faktu, že velké množství emisí obligací v České republice je realizováno 3
Pojem dluhopis lze chápat jako širší pojem než obligace. Většinou se pod něj zahrnují i krátkodobé cenné papíry (směnky, státní pokladniční poukázky), kdežto obligace jsou výhradně dlouhodobé dlužnické papíry. V české odborné literatuře se často pro obligace používá anglického překladu: bond, bondy.
- 49 -
v dematerializované formě, je zapotřebí zdůraznit, že dematerializované obligace se z pláště a kupónového archu skládají pouze formálně, veškeré informace o emisi obligací jsou uvedeny v prospektu emise obligací. Plášť obligace obsahuje:
• • • • • • • • •
jméno emitenta výše celkové emise nominální hodnotu obligace kupónovou sazbu datum splatnosti data výplaty kupónových plateb datum emise podpisy oprávněných osob jméno majitele (pokud je obligace na jméno)
7.2 Cena obligace Cenou obligace označujeme cenu, za kterou je obligace obchodována na kapitálovém trhu. Tato cena je určena aktuální výší nabídky a poptávky. Cena obligace, kterou vyjádříme v procentech z nominální hodnoty, se nazývá kurz obligace. Vedle ceny obligace stanovené na kapitálovém trhu můžeme pro každou obligaci spočítat tzv. teoretickou cenu obligace. Skutečná cena a teoretická cena obligace by si za normálních podmínek měly odpovídat. Výpočtem teoretické ceny obligace a porovnáním s skutečnou cenou obligace na kapitálovém trhu můžeme zjistit, zda je obligace nadhodnocená či podhodnocená, u neobchodovatelných obligací je výpočet teoretické ceny obligace možností jak určit kurz obligace.
Teoretická cena obligace Teoretickou cenu obligace vypočítáme jako současnou hodnotu kapitálových toků plynoucí z obligace v budoucnu. Použitá úroková sazba by měla odpovídat srovnatelné tržní úrokové sazbě. Pokud se použije kupónová sazba, jako výsledek dostaneme nominální hodnotu obligace.
7.2.1 Teoretická cena věčné obligace (konzoly) Teoretickou cenu konzoly lze odvodit od výpočtu současné hodnoty věčného polhůtného důchodu: [7.1]
C=
KP r
kde: • KP = kupónová platba • r = tržní úroková míra.
Př. Za jakou cenu by se měla prodávat konzola s kupónovou platbou 120 000 Kč, pokud úroková míra ze srovnatelných investic dosahuje 15% p.a.? - 50 -
120 000 = 800 000 0,15
C=
Odpověď : Konzola by se měla prodávat za 800 000 Kč. 7.2.2 Teoretická cena diskontované obligace Teoretickou cenu diskontované obligace lze odvodit od vztahu mezi současnou a budoucí hodnotou při složeném úročení: [7.2]
C=
N
(1 + r ) t
kde: •
t = doba do splatnosti obligace
•
N = nominální hodnota.
Př. Za jakou cenu by se měla prodávat diskontovaná obligace s nominální hodnotou 100 000 Kč, která má dva roky do splatnosti, pokud úroková míra ze srovnatelných investic dosahuje 12% p.a.? 100 000
C=
(1 + 0,12) 2
= 79 719,4
Odpověď : Diskontovaná obligace by se měla prodávat za 79 719,4 Kč. 7.2.3 Teoretická cena kupónové obligace Teoretická hodnota kupónové obligace bude rovna současné hodnotě finančního toku (cash flow) plynoucího z obligace: [7.3]
C=
KP
(1 + r )
KP
(1 + r ) 1
+
C = KP ⋅
1
+
KP
(1 + r )
KP
(1 + r ) 2
2
+ ... +
+ ... +
KP
(1 + r )
KP
(1 + r ) t
1− vt N + r (1 + r ) t
Vyjádřeno jedním zlomkem:
[7.4]
C=
[
]
t KP ⋅ (1 + r ) − 1 + N ⋅ r
r ⋅ (1 + r )
t
- 51 -
t
+
N
(1 + r ) t
= KP ⋅
1− vt r
dostáváme vzorec odvozený ze vzorce pro výpočet současné hodnoty polhůtného důchodu.
Př. Jakou cenu by měla mít tříletá obligace o nominální hodnotě 100 000 Kč s roční kupónovou platbou 12 000 Kč, pokud úroková míra ze srovnatelných investic dosahuje 10% p.a.?
C=
[
]
12 000 ⋅ (1 + 0,1) − 1 + 100 000 ⋅ 0,1 3
0,1 ⋅ (1 + 0,1)
3
= 104 974
Odpověď : Obligace má cenu 104 974 Kč. 7.3 Výnosnost obligací Výnosnost obligací nám udává, s jakým výnosem můžeme při investování do obligací počítat. Výnosnost se vztahuje k tržní ceně, za kterou obligaci můžeme nakoupit (na rozdíl od kupónové sazby, která je vztažena k nominální hodnotě). 7.3.1 Výpočet výnosnosti věčné obligace (konzoly) Výnosnost věčné obligace (konzoly) lze vyjádřit ze vzorce pro výpočet teoretické ceny konzoly: [7.5]
r=
KP C
Př. Jaká je výnosnost konzoly o nominální hodnotě 1 000 000 Kč s kupónovou platbou 120 000 Kč, kterou můžete koupit za 1 125 000 Kč? r=
120 000 = 0,1067 1 125 000
Odpověď : Výnosnost konzoly je 10,67%. 7.3.2 Výpočet výnosnosti diskontované obligace Výnosnost diskontované obligace lze vyjádřit ze vzorce pro výpočet teoretické ceny diskontované obligace: [7.6]
r=t
N −1 C
Př. Jaká je výnosnost diskontované obligace o nominální hodnotě 1 mil Kč, která má tři roky do splatnosti a cenu 721 000 Kč?
r=3
1 000 000 − 1 = 0,1152 721 000
Výnosnost diskontované obligace je 11,52%. - 52 -
7.3.3 Výpočet výnosnosti kupónové obligace Výnosnost kupónové obligace lze vyjádřit ze vzorce pro výpočet teoretické ceny kupónové obligace, když vypočítáme r: C=
KP
(1 + r )
1
+
KP
(1 + r )
2
+ ... +
KP
(1 + r )
t
+
N
(1 + r ) t
Výnosnost, kterou takto spočítáme, nazýváme výnos do doby splatnosti obligace. Vzhledem k faktu, že výnos do doby splatnosti lze velmi obtížně vyjádřit, zavádíme pojmy běžný výnos a efektivní výnos.
7.4 Běžný výnos Běžný výnos (jednoduchá výnosnost) se vypočítá stejně jako výnosnost věčné obligace (konzoly), tedy jako podíl kupónové platby a kupní ceny obligace. [7.7]
r=
KP C
Běžný výnos udává kupujícímu obligace, s jakým výnosem z obligace může v krátkodobém horizontu počítat. Praktické uplatnění má především u dlouhodobých obligací, kdy pomocí běžného výnosu můžeme odhadnout výnos do doby splatnosti.
7.5 Efektivní výnos Pomocí efektivního výnosu (výnosu za dobu držení) neboli RENDITY, lze vypočítat výnos v případě prodeje obligace před datem splatnosti. [7.8]
RET =
KP CP − CN + CN t⋅CN
kde: • CP = prodejní cena, • CN = nákupní cena • t = doba držení (v letech).
Pomocí rendity můžeme odhadovat výnos do doby splatnosti u kupónových obligací, pokud za prodejní cenu dosadíme nominální hodnotu obligace a za dobu držení dobu do splatnosti obligace.
Př. Zakoupili jsme kupónovou obligaci s nominálem 1000 Kč, kupónovou sazbou 10% za 1050 Kč. Tuto obligaci jsme po roce prodali za 1200 Kč. Jaká byla rendita naší investice? RET =
100 1200 − 1050 + = 0,2381 1050 1050
Odpověď : Rendita naší investice byla 23,81% p.a.. - 53 -
7.6 Výnos do doby splatnosti Výnosem do doby splatnosti obligace (YTM) označujeme míru zisku od nákupu do splatnosti obligace. Výnos do doby splatnosti obligace je totožný s vnitřním výnosovým procentem (IRR) finančních toků souvisejících s danou obligací a je roven takovému r, které vyhovuje následující rovnici: C=
KP
(1 + r )
1
+
KP
(1 + r )
2
+ ... +
KP
(1 + r )
t
+
N
(1 + r ) t
Jelikož výnos do doby splatnosti kupónové obligace lze obtížně spočítat (poměrně přesně lze odhadnout pomocí finanční kalkulačky, případně počítače, za použití vzorce pro teoretickou cenu kupónové obligace), můžeme použít pro zjednodušení výpočet pomocí následujícího vzorce:
[7.9]
VDS =
N −C t C+N 2
KP +
Př. Jaký je výnos do doby splatnosti u kupónové obligace s nominální hodnotou 10 000 Kč, kupónovou platbou 1 600 Kč, která má sedm let do splatnosti a kurz 103%?
VDS =
10 000 − 10 300 7 = 0,1534 10 000 + 10 300 2
1 600 +
Odpověď : Výnos do doby splatnosti je 15,34%. Tento vzorec je možné použít i v případě, že obligace je vypověditelná a v úvahu připadá její předčasné splacení. Při vysoké pravděpodobnosti předčasného splacení se výnos do doby splatnosti přepočítává k datu případného splacení.
7.7 Obligace mezi kupónovými platbami 7.7.1 Teoretická cena obligace mezi kupónovými platbami V předešlých příkladech jsme počítali teoreticko cenu vždy k datu výplaty kupónu. V praxi se však většinou setkáme se situací mezi kupónovými platbami. Při výpočtu ceny obligace mezi kupónovými platbami použijeme odhad ceny obligace pomocí interpolace cen obligace k datu minulé a budoucí kupónové platby. Postup při výpočtu: • Odhad ceny obligace k datu minulé kupónové platby. • Odhad ceny obligace k datu příští kupónové platby. • Interpolace těchto cen k danému datu.
- 54 -
7.7.2 Alikvotní úrokový výnos Teoretická cena obligace mezi kupónovými platbami by měla odpovídat tržní ceně (ceně za kterou může investor obligaci nakoupit na burze). Tržní cena obligace se však nerovná celkové ceně, kterou za obligaci investor zaplatí. Celková cena obligace se bude rovnat tržní ceně dluhopisu plus alikvotní úrokový výnos (AÚV). Alikvotní úrokový výnos je roven části další kupónové platby, která naběhla od výplaty předchozí kupónové platby do doby prodeje (pro investora - nákupu) obligace, a který náleží prodávajícímu. [7.10]
AUV =
tp − t KP ⋅ KP 360
kde: • tKP = datum výplaty kupónu, • tP je datum prodeje obligace
Datum prodeje obligace považujeme za datum vypořádání obchodu, v praxi se počítá vždy s datem vypořádání obchodu). Pražská burza cenných papírů používá pro výpočty standard 30E/360.
7.7.3 Výnos do doby splatnosti mezi kupónovými platbami Pro výpočet výnosu do doby splatnosti obligace mezi kupónovými platbami použijeme vzorec pro výpočet výnosu do doby splatnosti analogický s výpočtem vnitřního výnosového procenta. C=
[7.11]
KP
(1 + r )
1
+
CN + AUV =
KP
(1 + r )
2
KP d1
(1 + r ) 360
+ ... +
+
KP + N
(1 + r ) t
KP d2
(1 + r ) 360
+ ... +
KP + N dt (1 + r ) 360
kde: • d1 až dt = počty dní do výplaty jednotlivých kupónů.
V případě, že první kupónová platba bude vyplacena přesně za rok (360 dní) druhá za dva roky atd., dostaneme opět původní vzorec.
Př. U státního dluhopisu s NH 50.000.- Kč byla pravidelná roční kuponová platba 5.500,Kč vyplacena před 270 dny. Víme, že VDS je 13% a datum splatnosti bude 2 roky a 90 dní. Jaký by měl být kurz? AUV =
270 ⋅5500 = 4125 360 - 55 -
CN + AUV =
5500
(1,13)
90 360
+
5500
(1,13)
360 + 90 360
+
5500 + 50000
(1,13)
360 + 360 + 90 360
=
CN + AUV = 5334.5 + 4720.8 + 42156.7 = 52212 CN = 52212 − 4125 = 48087
Odpověď : Tržní cena této obligace je 48087 Kč, tzn. kurz je 96,174 % (48087 / 50000). 7.8 Výnosové křivky Výnosová křivka obecně je posloupnost úrokových měr uspořádaných podle doby splatnosti. Rozlišujeme je na spotové výnosové křivky a forwardové (termínové) výnosové křivky. Konkrétní výnosová křivka se neustále mění, tvar výnosové křivky obsahuje informace o budoucím průběhu úrokové míry. Výnosové křivky se tak stávají ideálním nástrojem pro analýzu dlužných cenných papírů (dluhopisů, obligací), jelikož umožňují analyzovat časovou strukturu úrokových měr. Dluhopisy, které jsou použity při konstrukci výnosové křivky musí mít stejné charakteristiky (mimo doby splatnosti), např. stejné emisní podmínky, riziko, atd. Pro konstrukci výnosových křivek jsou používány především státní dluhopisy.
7.8.1 Spotová výnosová křivka Spotová výnosová křivka (promptní) je tvořena posloupností spotových úrokových měr. Spotová úroková míra je úroková míra převládající v současném okamžiku u daného druhu cenných papírů. Spotová úroková míra sjednaná v rámci dlouhodobé finanční transakce (např. emise dlouhodobých obligací) platí od současného okamžiku po celou dobu platnosti transakce (např. až do doby splatnosti obligace). Spotové úrokové míry (označíme r0,t) si lze představit jako úrokové míry obligací emitovaných v čase 0 (v současnosti), mající splatnost v čase t.
7.8.2 Forwardová výnosová křivka Forwardové úrokové míry si lze představit jako spotové úrokové míry platné od okamžiku t. Forwardové úrokově míry rt,n si lze představit jako úrokové míry n-letých obligací emitovaných v čase t, které mají splatnost v čase t+n.
r0,2 = 12% p.a. je spotová úroková míra ve výši 12% p.a. sjednaná na dva roky (např. kupónová sazba dvouleté obligace s datem splatnosti za dva roky), analogicky r4,3 = 11,5% p.a. je forwardová úroková míra sjednaná na konci čtvrtého roku na dobu tří let (např. kupónová sazba tříleté obligace, která bude emitována za čtyři roky). Základní vztah mezi spotovými a forwardovými úrokovými mírami [7.12]
(1 + r 0, t ) t ⋅ (1 + rt , n) n = (1 + r 0, t + n) t +n
Př. Jakou odhadujete roční úrokovou sazbu platnou za tři roky, pokud víte, že tříleté úrokové sazby jsou 12% a čtyřleté 12,2%? r0,3=0,12 r0,4=0,122
r3,1= ?
- 56 -
(1 + 0,12)3 ⋅(1 + r 3,1)1 = (1 + 0,122)3+1 4 ( 1,122 ) r 3,1 = (1,12)3
− 1 = 1,12802 - 1 = 12,8%
Odpověď : Za tři roky odhadujeme roční úrokovou sazbu 12,8%. 7.9 Durace Durace udává střední dobu splatnosti obligace (tento pojem zavedl v roce 1938 F. R. Macaulay). Durace se používá při hodnocení závislostí mezi změnami v ceně obligace v závislosti na změnách výnosu do doby splatnosti obligace, hodnotí tak citlivost kurzu obligace na změnu úrokových sazeb. Obecně duraci obligace D vypočítáme jako vážený průměr současných hodnot jednotlivých plateb plynoucích z obligace (cash flow), kde váhami jsou doby mezi současností a výplatou jednotlivých příjmů. n
∑ PV ( CF ) ⋅ t [7.13]
D=
t =1
C n
[7.14]
D=
CF ⋅ t
∑ (1 + r ) t =1 n
CF
∑ (1 + r ) t =1
[7.15]
t
t
KP KP KP KP + N + ⋅t 2 ⋅2+ 3 ⋅ 3 + ... + 1 + r (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) n D= KP KP KP KP + N + 2 + 3 + ... + 1 + r (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) t kde: • PV(CF) = označuje současnou hodnotu cash flow • r = výnos do doby splatnosti • t = doba mezi současností a výplatou jednotlivých příjmů.
Z výše uvedeného vzorce je zřejmé, že duraci obligace ovlivňují tři základní faktory:
• doba splatnosti obligace • výše kupónové sazby - 57 -
• výše výnosu do doby splatnosti
7.9.1 Durace u diskontované obligace Durace u diskontované obligace (vzhledem ke skutečnosti, že majitel diskontované obligace dostává pouze jednu platbu, a to nominální hodnotu ke dni splatnosti obligace) přechází do tvaru: [7.16]
D=t
7.9.2 Durace u věčné obligace (konzoly) Vzorec pro výpočet durace u konzoly dostaneme úpravou vzorce pro výpočet durace kupónové obligace limitním přechodem n → ∞ : [7.17]
D=
1+ r r
7.9.3 Vztah mezi výnosem do doby splatnosti a cenou obligace vyjádřený pomocí durace Za předpokladu, že známe duraci obligace, původní cenu obligace, původní výnos do doby splatnosti obligace a změnu výnosu do doby splatnosti, můžeme mezi výnosem do doby splatnosti a cenou obligace vyjádřit následující vztah:4 [7.18]
∆ C = −D ⋅
∆r ⋅ C0 (1 + r )
kde:
∆ C = změna ceny obligace • ∆ r = změna výnosu do doby splatnosti obligace •
• C0 = původní cena
Př. Jaká bude tržní cena dluhopisu po zvýšení tržních úrokových sazeb o 1,5 %. Dluhopis má kuponovou sazbu 14%, nominál 25.000 Kč, dobu do splatnosti 3roky a VDS 13%.
3500 3500 28500 + ⋅2 + ⋅3 2 3 1,13 (1,13) 67835,16 ( 1,13) D= = = 2,65 3500 3500 28500 25590,3 + + 1,13 (1,13)2 (1,13)3
4 Vztah není zcela přesný, jedná se o aproximaci na základě linearizace funkce Co(r) neboli tzv. Taylorova rozvoje ceny Co jako funkce argumentu r do prvního řádu. Aproximaci lze zpřesnit využitím konvexity obligace. (Cipra T.: Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou, HZ Praha 1995)
- 58 -
∆C = − D⋅
0,015 ∆r ⋅C 0 = −2,65 ⋅ ⋅ 25590,3 = −900,19 (1 + r ) (1,13)
nová cena = C 0 + ∆C = 25590,3 − 900,19 = 24690,11
Odpověď : Po zvýšení úrokových sazeb o 1,5% by měla cena obligace poklesnout z 25590 Kč na 24690 Kč.
CVIČENÍ: 1)
Kolik zaplatí klient za diskontovanou obligaci s nominální hodnotou 100 000 Kč, která má rok do splatnosti, pokud uvedená obligace vynáší 12,7% p.a.?
2)
Klient je ochoten investovat 12 milionů Kč. Kolik kusů kupónových obligací nakoupí, pokud se jedná o cenné papíry se splatností za tři roky, kupónovou sazbou 12% a nominální hodnotou 10 000 Kč. Výnos do doby splatnosti u těchto obligací je 12,5%.
3)
Kterou z obligací nakoupíte, pokud jediným kritériem pro výběr je výnos do doby splatnosti:
• konzola s cenou 1 milion Kč a kupónovou platbou 50 000 Kč • diskontovaná obligace se splatností tři roky, nominálem 100 000 Kč a cenou 78 500 Kč • kupónová obligace se splatností tři roky, kupónovou sazbou 12,5% a cenou 98%. 4)
Jakou investici zvolíte:
• kupónová obligace se splatností pět let, kupónovou sazbou 13,7% a cenou 102% • diskontovaná obligace se splatností tři roky a cenou 81% • revolvingový měsíční termínovaný vklad, úročený 11,8% p.a. 5)
Příklad č. 4 spočítejte za aktuálních podmínek:
• obligačního kupóny se daní daňovou sazbou 25% • kapitálový výnos se nedaní • výnosy z vkladů (úroky) se daní daňovou sazbou 15%. 6)
Najděte kupónovou obligaci s nejvyšším výnosem do doby splatnosti:
• tříletá obligace s kupónovou sazbou 12,5% a cenou 98% • pětiletá obligace s kupónovou sazbou 13,4% a cenou 98,7% • pětiletá obligace s kupónovou sazbou 11,5% a cenou 96,6% 7)
U státního dluhopisu s NH 10.000.- Kč byla pravidelná roční kupónová platba 1100 Kč vyplacena před 170 dny. Víme, že VDS je 12,5% a datum splatnosti bude za 2 roky a 190 dní. Jaký by měl být kurz?
- 59 -
8)
Jakou odhadujete dvouroční úrokovou sazbu platnou za tři roky, pokud víte, že tříleté úrokové sazby jsou 12% a pětileté 12,2%?
9)
Jaká je durace u obligací z příkladů 3 a 6?
10)
Jaká bude tržní cena dluhopisu po snížení tržních úrokových sazeb o 0,5 %. Dluhopis má kupónovou sazbu 14%, nominál 100.000 Kč, dobu do splatnosti 3roky a VDS 12%.
- 60 -
8. Akcie 8.1 Základní pojmy • Akcie je cenný papír dokládající podíl akcionáře na základním jmění akciové společnosti. Vlastnictvím akcie akcionář získává právo podílet se řízení akciové společnosti, právo na zisk společnosti a právo podílet se na likvidačním zůstatku společnosti. • Nominální hodnota akcie je hodnota představující podíl na základním jmění akciové společnosti, na listinných akciích musí být uvedena na plášti akcie. • Základní jmění představuje majetek vložený akcionáři do společnosti. Základní jmění je dáno součinem počtu akcií a jejich nominálních hodnot a je součástí vlastního jmění. • Vlastní jmění (vlastní kapitál) zahrnuje veškerý vlastní majetek společnosti, tj. základní jmění, emisní ážio, fondy ze zisku a nerozdělený zisk. • Cizí jmění (cizí kapitál) je veškerý cizí majetek, který společnost používá, tj. úvěry, emitované obligace, směnky a ostatní závazky. Vlastni a cizí jmění řadíme mezi pasiva společnosti. • Kurz akcie je tržní cena, za kterou se akcie obchoduje na kapitálovém trhu. Kurz je určován nabídkou a poptávkou po jednotlivých titulech akcií. • Dividenda představuje podíl na zisku společnosti plynoucí z vlastnictví dané akcie v daném okamžiku rozhodném pro výplatu dividendy. Většinou bývá určeno datum (ex dividend date), po kterém majitel akcie nemá právo na dividendu.
8.2 Druhy akcií U akcií můžeme rozlišit: -
podobu • zaknihované - dematerializované akcie, registrované jako záznam v paměti počítače (např. v SCP) • listinné - klasické cenné papíry, se všemi náležitostmi uvedenými na plášti listiny • imobilizované - listinné cenné papíry uložené v depotu, přičemž banka registruje změny vlastníků
-
formu • na jméno • na majitele (na doručitele)
Rozdíl je v právech a povinnostech akcionářů. (u akcií na jméno má a.s. povinnost akcionářům rozeslat pozvánky na valnou hromadu, dividendy, atd.) -
druh • kmenové • prioritní - majitel má právo na prioritní dividendu, max. 50% ZJ akciové společnosti • zaměstnanecké - emitované za účelem stimulace zaměstnanců, max. 5% ZJ akciové společnosti • ostatní (zakladatelská akcie, zlatá akcie, atd.) - 61 -
8.2.1 Náležitosti akcií Náležitosti zde uvedené se týkají pouze listinných akcií, u zaknihovaných akcií musí být uvedeny v prospektu emitenta. Listinná akcie se skládá z pláště, kupónového archu a talonu. Analogicky s obligacemi - kupónový arch slouží k výplatě dividend oproti jednotlivým kupónům a talon slouží k vydání nového kupónového archu. Plášť akcie představuje fyzické tělo listinné akcie.
8.2.2 Plášť akcie obsahuje • • • • • •
obchodní jméno a sídlo emitenta nominální hodnotu počet emitovaných akcií datum emise podpisy jméno akcionáře (jen u akcií na jméno)
8.3 Cena akcie Cena akcie je cena, za kterou je akcie obchodována na kapitálovém trhu. Tato cena je nazývána kurzem akcie a je dána momentální nabídkou a poptávkou po akcii. Při konstantní hodnotě ročních dividend můžeme cenu akcie nadefinovat jako současnou hodnotu věčného polhůtného důchodu s roční anuitou ve výši dividendy. [8.1]
C=
d d d + 2 + ... + 1 + r (1 + r ) (1 + r ) n
[8.2]
C=
d r
• C - cena akcie, • d - roční výše konstantní dividendy • r - roční úroková míra.
Př. Jaká bude cena akcií, na které je dlouhodobě vyplácena roční dividenda ve výši 240 Kč, pokud požadujeme roční úrokovou míru 17%? C=
240 ≅ 1 412 0,17
Odpověď : Cena akcií by se měla pohybovat kolem 1412 Kč. V případě, že předpokládáme rostoucí úroveň dividendy v čase, vzorec pro výpočet ceny akcie následně přejde do tvaru:
- 62 -
d ⋅ (1 + g ) d ⋅ (1 + g ) d ⋅ (1 + g ) C= + + ... + 2 1+ r (1 + r ) (1 + r ) n 2
[8.3]
n
1+ g r−g
C=d⋅ kde:
• g = roční míra růstu dividendy (g
V tomto případě d znamená minulou dividendu (v loňském roce). Pokud však počítáme s dividendou pro příští rok, vzorec přejde do podoby:
C=
d r−g
Pokud si označíme minulou dividendu jako d 0 a budoucí dividendu jako d 1 , je úprava
vzorce [9.3] správná, protože d 0 ⋅ (1 + g ) = d1
8.4 Výnosnost akcií Abychom mohli srovnávat jednotlivé investiční možnosti (např. investici do obligací) s investiční možností do akcií, je možné spočítat tzv. výnosnost akcií.
8.4.1 Běžná výnosnost Vzorec pro výpočet běžné výnosnosti můžeme vyjádřit ze vzorce pro výpočet ceny akcie v případě neměnné dividendy, tedy: [8.4]
BV =
d C
Př. Jaká je běžná výnosnost akcií na které je dlouhodobě vyplácena dividenda ve výši 150 Kč, pokud jejich cena je 985 Kč? BV =
150 = 0,1523 985
Odpověď : Běžná výnosnost bude přibližně 15,2%. Problém při použití tohoto vzorce nastane, pokud budeme chtít porovnat běžnou výnosnost v období po výplatě dividend a před výplatou dividend. Vzhledem k tomu, že kurz akcie po vyplacení dividendy většinou klesá, je běžná výnosnost po výplatě dividendy vyšší. Z tohoto důvodu používáme tzv. očištěnou výnosnost akcie.
8.4.2 Očištěná výnosnost Očištěná výnosnost akcie se vypočítá:
- 63 -
[8.5]
d d ⋅ ( t 0 − td ) C− 360
OV =
kde: • (t0-td) = počet dní od poslední výplaty dividendy, • d = dividenda.
Př. Jaká by byla očištěná výnosnost u akcie z předchozího příkladu, pokud by dividenda byla vyplacena před 3 měsíci?
OV =
150 = 0,1583 150⋅(90) 985 − 360
Odpověď : Očištěná výnosnost bude 15,83%. 8.4.3 Celková výnosnost Vzorce, které jsme doposud uvedli, kalkulují pouze s vyplacenými dividendami. Akcie však můžeme nakupovat a prodávat a realizovat tak kapitálový výnos (pokud cena mezi nákupem a prodejem vzroste) nebo ztrátu (pokud cena akcie poklesne)5. Obecně můžeme celkový výnos za období tN až tP vyjádřit jako součet běžného výnosu a kapitálového výnosu: [8.6]
CV =
d + CP − CN CN
Př. Zahraniční investor nakoupil akcie společnosti Alfa 1.3.1996 za 1235 a prodal je 31.9.1996 za 1476. Majitel akcií k 15.2.1996 má právo na dividendy za rok 1995 ve výši 115 Kč. Jaká byla celková výnosnost této operace? CV =
1 476 − 1 235 = 0,1951 1 235
Odpověď : Celková výnosnost z uvedené operace za sedm měsíců byla 19,51%. Vzorec počítá celkovou výnosnost za období tN až tP, pro srovnání s jinými druhy investic bude zapotřebí zohlednit faktor času, tj. vyjádřit výnosnost u různých druhů investic za stejné období, např. za rok. V předchozím případě bychom dostali výsledek:
CV =
19,51 = 0,3345 7 12
Celková výnosnost z uvedené operace byla 33,45% p.a.
5
Kapitálový výnos spočítáme jako rozdíl dosaženého zisku (ztráty) a nákupní ceny.
- 64 -
Obecný vzorec pro výpočet celkové výnosnosti můžeme tedy zapsat jako:
[8.7]
d + CP − CN CN CV = tP − tN kde: • tp-tn -doba od nákupu do prodeje vyjádřená v letech • Cp
- cena prodejní
• Cn
-cena nákupní
• d
-obdržená dividenda
8.5 Štěpení akcií Faktor, který může ovlivnit výpočet celkové výnosnosti je proces štěpení akcií, kdy za jednu akcii o určité nominální hodnotě majitel dostane odpovídající počet akcií v nižší nominální hodnotě. Pro výpočet výnosnosti akcií v případě štěpení akcií můžeme použít vzorec pro výpočet celkové výnosnosti akcie, případně vzorec pro výpočet současné a budoucí hodnoty kapitálu.
Př. Akcie společnosti Beta koupil pan Novák 1.9. za 2 415 Kč a prodal je 25.9. za 210 Kč. Ke dni 11.9. proběhlo štěpení akcií v poměru 1:12, tzn. za jednu původní akcii dostal pan Novák 12 akcií s odpovídajícím nominálem. Jaká byla celková roční výnosnost této transakce pana Nováka? 12 ⋅ 210 − 2 415 2 415 CV = = 62,6 25 360
Odpověď : Roční výnosnost byla 62,6%. Výnos za 25 dní byl 4,35%. 8.6 Odebírací práva S akciemi je spjata celá řada dalších cenných papírů počínaje konvertibilními obligacemi, přes zatímní listy, odvozené cenné papíry (deriváty) až po odebírací práva6. Obecně je odebírací právo přednostní právo stávajících akcionářů na koupi nově emitovaných (tzv. mladých) akcií při navyšování základního jmění. Mladé akcie jsou většinou emitovány za cenu nižší než je aktuální cena starých akcií na kapitálovém trhu. Odebírací práva bývají spjaty se starými akciemi - většinou na jednu starou akcii připadá jedno odebírací právo. Stávající akcionáři mají přednostní právo na koupi mladých akcií především z důvodu udržení si svého majetkového podílu na společnosti. Počet akcií, které můžou při úpisu nakoupit lze spočítat podle tzv. odebíracího poměru. Odebírací poměr udává jaký počet starých akcií (odebíracích práv) musíme vlastnit, abychom si mohli koupit jednu mladou
6
V mnoha státech jsou odebírací práva samostatným obchodovatelným cenným papírem, což znamená, že se mohou obchodovat na kapitálovém trhu (většinou na OTC) a jejich cena je dána aktuální nabídkou a poptávkou.
- 65 -
akcii. Odebírací poměr vyjádříme jako podíl původního základního jmění a navyšovaného základního jmění. [8.7]
OP =
ZJP s ⋅ N = ZJE m ⋅ N
kde: •
ZJP = původní základní jmění,
• ZJE = výše nové emise, • s = počet starých akcií, m je počet mladých akcií • N = nominální hodnota akcií.
V případě, že nominální hodnoty starých a mladých akcií jsou stejné, odebírací poměr se vypočítá jako podíl počtu mladých a starých akcií. Emisní kurz mladých akcií stanoví orgány a.s. v podmínkách úpisu. Jelikož tento kurz bývá zpravidla nižší než kurz starých akcií obchodovaných na kapitálovém trhu, po navýšení základního jmění a po uvedení mladých akcií na trh, kurz starých akcií poklesne. Hodnotu odebíracích práv lze spočítat jako rozdíl mezi cenou starých akcií před zvýšením a cenou starých akcií po zvýšení základního jmění. [8.8]
HOP = KS − KSPO
kde: • KS = kurz starých akcií před emisí mladých akcií • KSPO = kurz starých akcií po zvýšení ZJ
Tento výpočet lze provést pouze zpětně, až po umístění nové emise na organizovaný trh a po vytvoření rovnovážné ceny. V praxi však často potřebujeme spočítat hodnotu odebíracích práv (HOP) před tímto okamžikem. Hodnotu starých akcií po emisi můžeme spočítat jako vážený aritmetický průměr cen starých akcií před emisí a emisních cen mladých akcií, kde váhami je počet akcií.
[8.9]
K SPO =
s ⋅ KS + m ⋅ K M s+m
kde: • KS = kurz starých akcií před emisí mladých akcií • KM = emisní kurz mladých akcií • KSPO = kurz starých akcií po zvýšení ZJ
Následně můžeme spočítat hodnotu odebíracích práv.
- 66 -
V případě, že neznáme počet starých a mladých akcií, ale pouze odebírací poměr, můžeme použít vztah: [8.10]
OP =
s m
kde: • s = počet starých akcií, m je počet mladých akcií • m = počet mladých akcií
a vzorec přejde do podoby: [8.11]
K SPO =
OP ⋅ K S + K M OP + 1
kde: • KS = kurz starých akcií před emisí mladých akcií • KM = emisní kurz mladých akcií
Př. Jaká je hodnota odebíracích práv u akcií s novou emisí, která byla emitována v emisní ceně 1200 Kč a odebíracím poměru 2:1? Kurz akcií na BCPP před novou emisí byl 1435 Kč. K SPO =
OP⋅K S + K M 2⋅1435 +1200 = = 1357 OP + 1 2 +1
HOP = KS − KSPO = 1435 − 1357 = 78
Odpověď : Hodnota odebíracích práv činí 78 Kč.
Pro prověření platnosti výše uvedených vzorců nám postačí jednoduchá logická úvaha: Před úpisem nové emise máme možnost zakoupit jednu starou akcii za cenu KS nebo můžeme zakoupit odebírací práva na jednu akcii (potřebujeme jich OP) za cenu HOP, s kterými získáme právo nakoupit jednu mladou akcii za zvýhodněnou cenu KM. Koupí staré akcie však zároveň získáme odebírací práva v hodnotě HOP. Rovnice tedy bude vypadat následovně: [8.12]
KS = OP ⋅ HOP + KM + HOP
Analogicky po úpisu nové emise máme možnost zakoupit starou akcii za KSPO, kterou bychom též mohli získat nákupem odebíracích práv v celkové hodnotě udané množstvím
- 67 -
odebíracích práv (OP) a cenou odebíracích práv (HOP) a následným dokoupením jedné akcie za emisní cenu KM. KSPO = OP ⋅ HOP + KM
[8.13]
Pokud z obou rovnic vyjádříme HOP, dáme do rovnosti a vyjádříme KSPO, zjistíme, že naše úvaha byla správná.
CVIČENÍ: 1)
Jaká investice z uvedených byla nejvýhodnější: • • • •
nákup nemovitosti za 2 525 000 Kč, prodej po třech letech za 3 350 000 Kč nákup tříletém kupónové obligace za kurz 98%, s kupónem 14,3%. měsíční revolvingový vklad úročený 15% p.a. akcie nakoupené za 1000 Kč s roční dividendou 300 Kč a prodané po třech letech za 850 Kč
2)
Za jakou maximální cenou je investor ochoten koupit akcii, na kterou byla v roce 1997 vyplacena dividenda ve výši 200 Kč a od které požaduje roční výnos minimálně 15% roční výnos?
3)
Jak se změní akceptovatelná cena akcie z předchozího příkladu, pokud emitent plánuje pravidelné roční zvýšení dividendy o 5%?
4)
Jaký je celkový výnos z obchodu s akciemi na nichž proběhlo 3.5.1998 štěpení v poměru 1:3, které investor nakoupil 1.4.1998 za 500 Kč a prodal 16.8.1998 za 210 Kč, rozhodné datum pro výplatu dividendy ve výši 25 Kč bylo 4.6.1998?
5)
Jaká je hodnota odebíracích práv u akcií s novou emisí, která byla emitována v emisní ceně 1400 Kč a odebíracím poměru 4:1? Kurz akcií na BCPP před novou emisí byl 1654 Kč.
- 68 -
9. Měnové kurzy Měnový kurz (foreign exchange rate, FX rate, forex rate) je poměr, v jakém se směňují dvě navzájem cizí měny, nebo-li cena jedné měny vyjádřená v jiné měně. Volně směnitelné měny – kurz je určován nabídkou a poptávkou po dané měně.
Devizový kurz - cena deviz (bezhotovostní cizí peníze ve formě zůstatků na účtech, směnek, šeků apod.). Valutový kurz - cena valut (hotovostní cizí peníze ve formě bankovek a mincí). Spotový kurz (spot rate) - týká se promptních obchodů vypořádaných (zpravidla) do dvou obchodních dnů po jejich uzavření. Forwardový kurz (forward rate) - vztahuje se k obchodům uzavřeným dnes, ale jejichž plnění nastává až ve stanoveném termínu budoucnosti (termínové obchody)7. 9.1 Promptní měnové kurzy Stanovení kurzu se nazývá „kotace“.
Přímá kotace(direct quotation)- vyjadřuje počet jednotek domácí měny za jednotku cizí měny (kurz koruny k dolaru 35,805 CZK/USD znamená, že 1 USD se rovná 35,805 CZK), přímá kotace je obvyklý způsob uvádění měnových kurzů. Nepřímá kotace (undirect quotation)- vyjadřuje počet jednotek cizí měny za jednotku domácí (kurz 0,0279 USD/CZK znamená, že 1 CZK se rovná 0,0279 USD), tento způsob se používá např. ve Velké Británii, my se budeme věnovat pouze přímé kotaci. Při zveřejňování kurzů banky uvádějí dva kurzy – kurz nákup a kurz prodej.
Kurz nákup (bid) - za tento kurz je banka danou měnu ochotná nakoupit. Kurz prodej (ask, offer) - za tento kurz je banka danou měnu ochotná prodat. Kurz střed - aritmetický průměr mezi kurzem nákup a prodej. Spread - rozdíl mezi kurzem nákup a prodej, tvoří zisk banky při měnových odchodech. V tisku a běžné praxi se zveřejňují kurzy se 3 desetinnými místy. Profesionálové ale často pracují se 4. Navíc si ještě zjednodušují zápis kurzu nákup a prodej. Např. kurz 35,8051/9367 CZK/USD znamená 35,8051 CZK/USD nákup a 35,9367 CZK/USD prodej. Pokud by se kurzy nákup a prodej lišily jen v posledních dvou místech, za lomítkem by se uváděly jen ty to dvě poslední číslice. Časté značení stejných kurzů může vypadat i takto: CZK/USD=35,8051-35,9367. Při výpočtech nebudeme počítat s provizemi a poplatky.
7
Více k systematizaci rozdělení termínových obchodů viz např. REJNUŠ, O. : Základy teorie finančních investic. Skripta, MZLU v Brně.
- 69 -
Směna cizí měny na měnu tuzemskou se bude provádět podle vztahu:
K DM = K ZM ⋅ SRDM
[9.1]
ZM
kde: •
KDM – částka v domácí měně
•
KZM – částka v zahraniční (cizí) měně
•
SRDM/ZM – promptní měnový kurz.v přímé kotaci
Př. Chceme cizí měnu směnit do měny tuzemské. Máme 2500 USD, směnárna má kurz 35,8051/9367 CZK/USD. Směnárna použije kurz nákup, protože od nás vlastně USD kupuje. 89 512,75 CZK = 2 500 USD ⋅ 35,8051 CZK / USD
Odpověď : Za našich 2500 USD dostaneme 89 512,75 Kč.
Pokud budeme naopak chtít za domácí měnu zakoupit měnu cizí, použije směnárna kurz prodej.
K DM SRDM ZM
K ZM =
Př. Chceme domácí měnu směnit do měny cizí. Máme 25 000 CZK, směnárna má kurz 35,8051/9367 CZK/USD. Směnárna použije kurz prodej.
695,67 USD =
25 000 CZK 35,9367 CZK / USD
Odpověď : Za našich 25 000 Kč dostaneme $695,67. 9.2 Křížové kurzy Z kotovaných kurzů domácí měny k jednotlivým cizím měnám můžeme určit vzájemné kurzy těchto měn označované jako křížové kurzy (cross rates). Pokud máme např. kotovaný kurz měny A k Měnám B a C, můžeme z nich odvodit kurz měny B a C podle křížového pravidla: A B = kurz C A B kurz C kurz
Který můžeme zapsat jako: - 70 -
SRC / B =
[9.2]
SR A / B SR A / C
kde: •
SRC/B je kurz měny C k měně B
•
SRA/B je kurz měny A k měně B
•
SRA/C je kurz měny A k měně C
Př. Máme kurz koruny k dolaru a k švýcarskému franku: SR CZK/USD = 24,40 CZK/USD, SR CZK/CHF = 19,10 CZK/CHF My máme určit kurz SRCHF/USD .
V souladu se vztahem [9.2] jako měnu A označíme CZK. Vzhledem k tomu, že máme vypočítat křížový kurz SRCHF/USD , měna C je CHF a měna B USD.
SRC / B =
SR A / B SR A / C
→ SRCHF / USD =
SRCZK / USD 24,4 CZK USD = = 1,2775 CHF USD SRCZK / CHF 19,1 CZK USD
Pokud je na trhu přímo kotován kurz měny SRC/B , měl by být přibližně shodný s křížovým kurzem. Pokud by tomu tak nebylo, bylo by možné provádět třístrannou arbitráž. Předpokládejme, že např. určitá banka na trhu kotuje kurz CHF/USD 1,4. Potom by bylo možné provádět následující triangularní arbitráž (nebudeme počítat s žádnými náklady jako jsou poplatky apod.) dle následujícího principu: USD
CHF
CZK
Druh transakce Výše kapitálu 1000 CZK
Směna CZK na USD 1000/24,4=40,98 USD
Směna USD na CHF 40,98*1,4=57,37 CHF
Směna CHF na CZK 57,37*19,1=1095,8 CZK
Z tabulky je jasné, že při daném kurzu SRCHF/USD = 1,4 by bylo možné uvedenými transakcemi dosahovat bezrizikového zisku. Doposud jsme pracovali pouze s jedním křížovým kurzem, který můžeme označit jak křížový kurz střed. I křížové kurzy se však mohou určovat jako kurzy nákup a prodej. - 71 -
Pokud zůstaneme u předchozího příklady stanovení křížového kurzu, tak si logicky odvodíme křížové kurzy nákup a prodej. Když bude mít banka kurzy SRA/B a SRA/C a bude si chtít stanovit kurz SRC/B , bude postupovat takto: -
banka chce odvodit křížový kurz nákup SRC/B , tzn. nákup měny B za měnu C. Takže nakoupí měnu B za měnu A (SRA/B - nákup) pak měnu A prodá za měnu C (SRA/C - prodej) Z toho vyplývá, že vzorec pro stanovení křížového kurzu nákup SRC/B – nákup:
[9.3]
N
N
SRC / B =
P
SR A / B SR A / C
kde: •
N
•
N
•
P
SRC/B je kurz nákup měny C k měně B SRA/B je kurz nákup měny A k měně B
SRA/C je kurz prodej měny A k měně C
Podle analogického postupu bychom mohli odvodit i křížový kurz prodej, pro který platí výsledný vztah: [9.4]
P
SRC / B =
P N
SR A / B SR A / C
kde: •
P
•
P
•
N
SRC/B je kurz prodej měny C k měně B SRA/B je kurz prodej měny A k měně B SRA/C je kurz nákup měny A k měně C
Př. Vypočítejte křížové kurzy USD/EUR=1,3895/1,4111. N
P
N
SRC / B =
SRC / B =
P
P N
pro
EUR/GBP,
pokud
USD/GBP=1,8514/95
SR A / B 1,8514 USD GBP = = 1,3120 EUR GBP SR A / C 1,4111 USD EUR
SR A / B 1,8595 USD / GBP = = 1,3383 EUR / GBP SR A / C 1,3895 USD / EUR
Odpověď : Křížové kurzy jsou 1,3120/383 EUR/GBP.
- 72 -
a
9.3 Forwardové měnové kurzy Obecně můžeme forwardový kontrakt definovat jako obchod, který je uzavřen dnes, ale vypořádán v budoucnu za dnes stanovenou cenu. Motivem pro uzavíraní těchto kontraktů je ochrana proti riziku nepříznivého pohybu devizového kurzu v době splatnosti forwardu. Výši forwardového měnového kurzu ovlivňují tyto základní faktory: spotový kurz, úroková sazba domácí měny a úroková sazba zahraniční měny. Odvození stanovení forwardového kurzu může ilustrovat na následujícím příkladě:
Př. Mějme banku A, jejíž klient chce od ní koupit roční forward na USD v hodnotě 1 mil. USD. Klient si tedy chce za 12 měsíců koupit USD a dnes si pro tuto směnu zafixovat kurz CZK/USD. Banka A bude ochotna tento obchod realizovat, pokud nebude pro ní představovat riziko. Banka může provést tzv. zajištění na úvěrovém trhu: 1. Již v době podepsání kontraktu banka A nakoupí požadovaný objem dolarů za české koruny. Potřebnou částku CZK si však vypůjčí např. od jiné banky. 2. Banka A má nyní dolary. Tyto uloží při úrokové sazbě na USD na dobu 1 roku. 3. V době splatnosti forwardu dodá klientovi slíbené USD a obdrží za ně CZK. Těmito CZK pak splatí půjčku v CZK (včetně úroků).
Kotace banky B SRCZK/USD 30 CZK/USD IR CZK 10 % p.a. IR USD 5 % p.a. Kalkulace banky při zajištění na úvěrovém trhu: OPERACE
ČÁSTKA
VÝPOČET
POPIS
V době podpisu forwardového kontraktu: 1 Nákup USD na promptním trhu a jejich uložení při IRUSD
952.381,- USD
=1mil.USD / (1+0,05 * 1)
Banka A nakoupí dnes jen tolik USD, aby pro ročním zúročení obdržela požadovaný 1 mil. USD
2 Výpůjčka CZK
28.571.429 CZK
= 952381 USD * 30 CZK/USD
Na předchozí nákup při současném SRCZK/USD = 30CZK/USD bude potřebovat si vypůjčit CZK (30*952381)
V době splatnosti forwardového kontraktu: 3 Banka má připraven 1.000.000,- USD požadovaný 1 mil. USD
=952.381 * (1+0,05 * 1)
Nakoupené USD včetně úroků
4 Splacení úvěru v CZK včetně úroků z platby od klienta
=28.571.429 * (1+0,10 * 1)
Platba od klienta za USD () musí bance pokrýt její náklady spojené s úvěrem v CZK
31.428.571 CZK
- 73 -
Z výše uvedeného vyplývá, že banka A může svému klientovi dnes nabídnout forwardový kurz FRCZK/USD= 31,428 CZK/USD. Také vidíte, že forwardový kurz v našem příkladu ovlivnily inkasované úroky z USD a placené úroky v CZK. Obecně můžeme tedy zapsat vztah pro výpočet forwardového kurzu jako:
FR A / B = SR A / B ⋅
[9.5]
1 + IR A ⋅ t 1 + IRB ⋅ t
kde: • • • • •
FRA/B je forwardový kurz měny A k měně B SRA/B je spotový kurz měny A k měně B IRA je úroková sazba platná pro měnu A IRB je úroková sazba platná pro měnu B t je doba do splatnosti forwardu vyjádřená v letech
Po dosazení do zadání předchozího příklady bude výpočet vypadat následovně:
FRCZK / USD = SRCZK / USD ⋅
1 + IRCZK ⋅ t 1 + 0,10 ⋅ 1 = 30 CZK USD ⋅ = 31,428 CZK USD 1 + IRUSD ⋅ t 1 + 0,05 ⋅ 1
ÚKOL: Jak by vypadala kalkulace banky pro zajištění na úvěrovém trhu pro případ, kdy banka by byla v pozici kupujícího forwardového kontraktu? (Klient jí chce za 12 měsíců prodat 1. mil. USD) Postupujte analogicky jako v předchozím případě. Doposud jsme pracovali s kurzem střed, proto i výsledek bude kurzem střed. Stejně jako u promptních měnových kurzů však můžeme i zde odvodit termínové kurzy nákup a prodej8. Potom bude platit pro forwardový kurz nákup: [9.6]
N
FR A / B = N SR A / B ⋅
1+ N IR A ⋅ t 1+ P IR B ⋅ t
P
FR A / B = P SR A / B ⋅
1+ P IR A ⋅ t 1+ N IR B ⋅ t
A pro forwardový kurz prodej: [9.7]
kde:
8
•
N,P
•
t je délka období T0 - T1 , čili doba trvání vkladu
•
N,P
•
N,P
IRA,B je úroková sazba vkladu měny A nebo měny B
SRA/B je promptní kurz A/B nákup nebo prodej v čase T0
FRA/B je termínovaný kurz A/B nákup nebo prodej v čase T0 pro termín T1, kdy se bude měna A měnit na měnu B
Více viz LACINA, L. – TOMAN,P. – PTÁČEK,R.: Mezinárodní finance. Skripta, MZLU v Brně.
- 74 -
Nesmíme zapomenout, že i úrokové sazby se mohou udávat ve tvaru nákup-prodej (můžeme chápat jako úrokovou sazbu pro přijatý vklad a úrokovou sazbu pro poskytnutý úvěr).
Př. Vypočtěte forwarové kurzy CZK/USD nákup a prodej k termínu za půl roku, pokud jsou na promptním trhu kotovány následující hodnoty: nákup 17,310 12,40 % p.a. 3,08 % p.a.
SRCZK/USD 6M IRCZK 6M IRUSD
N
P
prodej 17,315 12,43 % p.a., 3,18 % p.a
FR A / B = N SR A / B
6 1+ IR ⋅ t 12 = 18,0955 CZK / USD ⋅ P A = 17,31 CZK / USD ⋅ 6 1+ IR B ⋅ t 1 + 0,0318 ⋅ 12
FR A / B = P SR A / B
1+ P IR ⋅ t ⋅ N A = 17,315 CZK / USD ⋅ 1+ IR B ⋅ t
1 + 0,1240 ⋅
N
6 12 = 18,1122 CZK / USD 6 1 + 0,0308 ⋅ 12 1 + 0,1243 ⋅
Odpověď : 6-ti měsíční forwardový kurz CZK/USD je 18,0955/1122.
- 75 -
Použitá literatura 1. Beneš, V. - Musílek, P.: Cenné papíry a burzy. VŠE, Praha, 1990. 2. Cipra, T.: Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. HZ Praha, Praha, 1995 3. Felsbergová, D.: Vzorce a ukazatele v bankovním obchodě. HZ Praha, Praha, 1995. 4. Jílek, J.: Finanční trhy. Grada Publishing, Praha, 1997. 5. Macháček, O.: Finanční a pojistná matematika. Prospektrum, Praha, 1996. 6. Radová, J. - Dvořák, P.: Finanční matematika pro každého. Grada Publishing, Praha, 1993. 7. Radová, J. - Dvořák, P.: Finanční matematika pro každého. Grada Publishing, Praha, 1997. 8. Radová, J. - Dvořák, P.: Finanční matematika pro každého. Grada Publishing, Praha, 2001. 9. Sekerka, B.: Cenné papíry a kapitálový trh. Profess, Praha, 1996. 10. Smékalová, D.: Finanční a pojistná matematika pro střední školy ekonomického zaměření. Montanex, Ostrava, 1996. 11. Tepper, T. - Kápl, M.: Peníze a vy. Prospektrum, Praha, 1994.
- 76 -
