WEER DERIVATEN Een Analyse van Nederlandse Temperatuurderivaten

FACULTEIT DER ECONOMISCHE WETENSCHAPPEN VAKGROEP FINANCIERING EN BELEGGING ACADEMISCH JAAR 2004-2005 BEGELEIDER: DR. W.G. HALLERBACH [email protected]

WEER DERIVATEN Een Analyse van Nederlandse Temperatuurderivaten

Ben van der Burg Januari 2005

Temperatuurderivaten

Abstract

Abstract Dit afstudeeronderzoek richt zich op de prijsvorming van Nederlandse temperatuur futures. Zoals de naam al doet vermoeden zijn dit future contracten met de temperatuur als onderliggende waarde. Het hoofddoel van dit onderzoek is het afleiden van de door de markt geëiste risicopremie uit de beschikbare marktnoteringen. Een mogelijke barrière bij deze waardering wordt gevormd door het feit dat de onderliggende index zelf niet verhandelbaar is. Door gebruik te maken van een temperatuurmodel, gebaseerd op de essentiële eigenschappen van de temperatuur, kan er een voorspelling plaatsvinden. Een verwachting van de onderliggende index kan vervolgens worden gevormd door gebruik te maken van temperatuurtrajecten gebaseerd op Monte Carlo simulatie. Deze temperatuursvoorspelling kan onder bepaalde voorwaarden gelijk worden gesteld aan de temperatuursverwachting van de markt. Vervolgens kan de risicopremie uit tien geschikte marktnoteringen worden gekalibreerd. De resultaten van dit onderzoek laten een sterk wisselende risicopremie zien voor elk van de tien contracten. De laagste risicopremie die resulteert uit de kalibratie is gelijk aan 7 procent terwijl de hoogste risicopremie gelijk is aan 93 procent. Een mogelijke verklaring voor deze sterk wisselende resultaten kan zijn dat de markt nog niet goed in staat is deze nieuwe contracten te waarderen.

II


Voorwoord

Voorwoord Voor u ligt het eindresultaat van mijn scriptieonderzoek naar temperatuurderivaten. Dit onderzoek vormt het afsluitende deel van mijn studie Bedrijfseconomie aan de Erasmus Universiteit te Rotterdam. Mijn eerste contact met het onderwerp “weerderivaten” wat tijdens het werkcollege “Ondernemingsfinanciering” eind 2001. Een medestudent gaf tijdens dit werkcollege een korte presentatie over deze specifieke vorm van derivaten. Sindsdien was bij mij de interesse voor dit onderwerp gewekt al had ik toen nog niet kunnen beseffen dat ik er, aan het eind van mijn studie, een hele scriptie aan zou wijden. Het begin van het scriptieonderzoek verliep enigszins moeizaam aangezien er nagenoeg geen goede publicaties over dit onderwerp zijn verschenen in de bekende wetenschappelijke tijdschriften. Het literatuuronderzoek voorafgaand aan het empirisch onderzoek is daarom hoofdzakelijk gebaseerd op zeer recente literatuur en internetpublicaties. Bij het schrijven van deze afstudeerscriptie heb ik er natuurlijk niet alleen voorgestaan. Ik wens daarom ook een aantal mensen te bedanken. In de eerste plaats gaat mijn dank uit naar mijn scriptiebegeleider dr. Winfried Hallerbach, verbonden aan de vakgroep accounting en finance van de Erasmus Universiteit Rotterdam. Zijn kritische kanttekeningen en zinvolle aanvullingen hebben mij in vele opzichten geholpen. Van de kant van het KNMI wil ik Robert Mureau bedanken voor zijn antwoorden op mijn vragen. Tevens wil ik Judith, Arnold en Ron bedanken voor hun steun. Tot slot, maar zeker niet in de laatste plaats, wil ik mijn ouders bedanken die deze studie financieel hebben mogelijk gemaakt.

Ben van der Burg

Pijnacker, januari 2005

III


Inhoudsopgave

Inhoudsopgave

Abstract

................................................................................................................ II

Voorwoord

.............................................................................................................. III

Inhoudsopgave

................................................................................................................. 4

Hoofdstuk 1: Inleiding en probleemstelling ........................................................................... 6 1.1 1.2

Inleiding ................................................................................................................. 6 Probleemstelling...................................................................................................... 8

Hoofdstuk 2: Inleiding tot de terminologie .......................................................................... 10 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

Inleiding ............................................................................................................... 10 Degree days ........................................................................................................... 11 Indexen ............................................................................................................... 14 Notering ............................................................................................................... 17 Futures contracten ................................................................................................. 18 Optie contracten .................................................................................................... 20 Historisch overzicht............................................................................................... 23 Marktparticipanten ................................................................................................ 26 Samenvatting......................................................................................................... 31

Hoofdstuk 3: Temperatuurmodellering ............................................................................... 32 3.1 3.2

3.3 3.4

3.5 3.6 3.7 3.8

Inleiding ............................................................................................................... 32 Waarderingsmethoden........................................................................................... 33 3.2.1 Historische analyse................................................................................ 34 3.2.2 Index modellering ................................................................................. 37 3.2.3 Temperatuurmodellering ....................................................................... 38 De dataset .............................................................................................................. 40 Gemiddelde temperatuur ....................................................................................... 43 3.4.1 Trend ..................................................................................................... 44 3.4.2 Seizoenen .............................................................................................. 46 Temperatuuranomalie............................................................................................ 50 Het temperatuurmodel........................................................................................... 52 Kwaliteit van het schattingsmodel ........................................................................ 57 Samenvatting......................................................................................................... 70

Hoofdstuk 4: De waardering ................................................................................................. 71 4.1 4.2 4.3 4.4

Inleiding ............................................................................................................... 71 Inleiding tot de waardering ................................................................................... 72 De waardering ....................................................................................................... 76 Samenvatting......................................................................................................... 84

4


Inhoudsopgave

Hoofdstuk 5: Conclusie en aanbevelingen............................................................................ 85 Referenties

............................................................................................................... 87

Internet bronnen

............................................................................................................... 89

Bijlagen Bijlage 1 Bijlage 2 Bijlage 3

............................................................................................................... 90 ............................................................................................................... 90 ............................................................................................................... 91 ............................................................................................................... 92

5


Hoofdstuk 1:

1.1

Hoofdstuk 1

Inleiding en probleemstelling

Inleiding Een toenemende belangstelling voor risicomanagement heeft ertoe geleid dat hedge

instrumenten1 een groeiende populariteit genieten onder risicomanagers. Deze populariteit heeft niet alleen geleid tot een toename van het aantal transacties maar ook tot een grotere diversiteit aan hedge instrumenten. Deze grote verscheidenheid maakt het tegenwoordig mogelijk om voor elke vorm van risico wel een passende hedge te creëren. Sinds 1997 is daar een groep van nieuwe instrumenten bijgekomen, de zogenaamde weerderivaten. Weerderivaten bieden een entiteit de mogelijkheid om de negatieve financiële effecten van het weer af te dekken. In de praktijk betekent dit dat men voor alsnog alleen de risico’s ten aanzien van temperatuur via de effectenbeurs kan afdekken. Voor andere weergerelateerde risico’s zoals regen, wind of sneeuwval is mij nog geen beursnotering bekend. De toenemende interesse naar weergerelateerde, financiële instrumenten komt voort uit de grote invloed die het weer heeft op de economie. Uit onderzoek van de U.S. Department of Commerce2 blijkt dat ongeveer één derde, ofwel 3,8 biljoen dollar3, van de Amerikaanse economie invloed ondervindt van het weer. De U.S. Department of Energy4 schat deze invloed wat lager in namelijk op één zevende van de totale Amerikaanse Economie (Hull). De onderliggende waarde van temperatuurderivaten wordt gevormd door de temperatuurindex. Deze index wordt dagelijks samengesteld op basis van de temperatuur op een vooraf gespecificeerde locatie. De temperatuur moet worden gezien als een economische onafhankelijke, natuurlijke variabele die niet verhandelbaar is en dus ook geen prijs kent. Het feit dat de temperatuur zelf niet verhandelbaar is maakt een waardering op basis van bestaande waarderingstechnieken moeilijk. Het is mogelijk om, op basis van verschillende methoden, een verwachting te vormen van de pay off van het temperatuurderivaat. De onzekerheid van de cashflow brengt een zekere vorm van risico met zich mee die tot uitdrukking dient te komen in de risicopremie. In

1 2 3 4

Instrumenten die worden gebruikt om risico’s af te dekken. Amerikaanse tegenhanger van de Kamer van Koophandel. Bron: WRMA / PWC industry survey 2004. Amerikaans ministerie van Energie

6


Hoofdstuk 1

de tot nog toe verschenen literatuur is er echter nog geen overeenstemming bereikt over een passende vergoeding voor dit risico. Deze problematiek vormt de aanleiding tot het schrijven van deze scriptie. Het doel is om meer inzicht te krijgen in de door de markt gehanteerde risicopremie. Dit betekent dat er een pay off verwachting gevormd moet worden die gelijkenis vertoont met de marktverwachting. Door vervolgens gebruik te maken van een kalibratie techniek kan de geëiste risicopremie onder bepaalde assumpties worden afgeleid. De specifieke keuze voor Nederlandse weerderivaten is gelegen in het feit dat er op de Chicago Mercantile Exchange5 (CME) wel weerderivaten voor Nederland worden verhandeld, maar dat er in de tot nu toe verschenen literatuur vrijwel uitsluitend onderzoek gedaan wordt naar Amerikaanse weerderivaten. Omdat de scriptie alleen betrekking heeft op Nederlandse weerderivaten zal ik mij verder uitsluitend richten op de diverse regels die de CME voor de Nederlandse derivaten voorschrijft. Het simpelweg repliceren van een verwachtingsmodel uit een Amerikaans onderzoek hoeft niet tot het juiste model voor Nederland te leiden. Dit omdat geografische verschillen tussen landen een grote invloed kunnen hebben op de temperatuur. Dit blijkt uit onderzoek van Benth & Saltyte (2004) waarin naar voren komt dat het Amerikaanse temperatuurmodel van Campbell & Diebold (2004) niet goed presteert wanneer er een dataset met Noorse temperaturen gebruikt wordt. De conclusie is dan ook dat de methode van Campbell & Diebold goed werkt voor Amerikaanse steden, maar niet de beste resultaten geeft voor Noorwegen. Dit toont aan dat een temperatuurmodel niet zomaar gerepliceerd kan worden en dat eigen onderzoek op basis van de Nederlandse temperatuur noodzakelijk is. Zoals blijkt uit deze inleiding is de opzet van deze scriptie tweeledig. Allereerst moet er een pay off verwachting worden gevormd van het derivaat. Vervolgens moet deze verwachting gelijk worden gesteld aan de marktverwachting zoals die tot uiting komt in de koersen. Door gebruik te maken van de kalibratie techniek resulteert de door de markt geëiste risicopremie. De probleemstelling die hieruit voortvloeit, is ook tweeledig. Het eerste deel van de probleemstelling moet leiden tot een juiste modellering van de temperatuur terwijl het tweede deel moet leiden tot de geëiste risicopremie. In de nu volgende paragraaf worden beide delen van de probleemstelling nader besproken.

5

De effectenbeurs van Chicago moet worden gezien als het centrum van de weerderivaten handel.

7


1.2

Hoofdstuk 1

Probleemstelling Zoals in de voorgaande paragraaf al naar voren is gekomen vereist de opbouw van

deze scriptie een probleemstelling in twee delen. Het eerste deel van de probleemstelling richt zich op het vormen van een bepaalde temperatuursverwachting, terwijl het tweede deel bestaat uit de kalibratie van de risicopremie. Het eerste deel van de probleemstelling richt zich op het vinden van een temperatuurmodel en vereist een analyse van de karakteristieken van temperatuur. Bij het modelleren van de temperatuur kunnen de methoden uit diverse onderzoeken als leidraad worden gebruikt.

Probleemstelling 1

“Wat zijn de eigenschappen van de Nederlandse temperatuur, en hoe kunnen deze eigenschappen in een model worden gevat”.

Zoals later in deze scriptie naar voren zal komen kan het verwachtingsmodel, dat resulteert uit het eerste deel van de probleemstelling, onder bepaalde assumpties gelijk worden gesteld aan de marktverwachting. Door vervolgens gebruik te maken van zowel de beschikbare beursnoteringen als de temperatuursverwachting, kan de geëiste risicopremie uit de koersen worden gekalibreerd. Het tweede deel van de probleemstelling richt zich op deze kalibratie.

Probleemstelling 2

“Welke

risicopremie

kan

er

worden

afgeleid

uit

noteringen voor

Nederlandse

temperatuurfutures, indien er gebruik gemaakt wordt van het verwachtingsmodel dat is opgesteld in het eerste deel van de probleemstelling”.

Het verdere verloop van deze scriptie zal er als volgt uitzien. In hoofdstuk twee ga ik uitvoerig in op de terminologie van weerderivaten. In dit hoofdstuk komen niet alleen de kernbegrippen aan de orde maar ook zaken als de contractvormen, het historische overzicht en de marktparticipanten.

8


Hoofdstuk 1

In hoofdstuk drie ga ik nader in op de verschillende methoden die gebruikt kunnen worden bij het vormen van een pay off verwachting. De verschillende methoden zullen worden besproken aan de hand van een voorbeeld waarbij tevens de voor- en nadelen aan bod zullen komen. Op basis van deze voor- en nadelen van de verschillende methoden zal ik de temperatuursverwachting baseren op één bepaalde methode. In hoofdstuk drie zal dit model verder worden uitgewerkt en getoetst. Hoofdstuk vier richt zich hoofdzakelijk op de kalibratie van het temperatuurmodel. In dit hoofdstuk zal het temperatuurmodel worden gebruikt om de door de markt geëiste risicopremie af te leiden. Vervolgens worden de resultaten van het onderzoek besproken in hoofdstuk 4. Ik sluit in hoofdstuk vijf af met de conclusie en enkele aanbevelingen voor verder onderzoek.

9


Hoofdstuk 2:

2.1

Hoofdstuk 2

Inleiding tot de terminologie

Inleiding Wat is een weerderivaat? Simpel gezegd is het een financieel instrument waarbij de

pay off afhangt van een weergerelateerde grootheid. Deze meteorologische grootheid is in veel gevallen de temperatuur, al is het ook mogelijk om gebruik te maken van bijvoorbeeld regenval, zonuren, windsnelheid of sneeuwniveaus. Figuur 1 toont aan dat de handel in weerderivaten inderdaad verder gaat dan alleen de temperatuur aangezien er derivaten op sneeuw, wind en regen zijn afgesloten. Hierbij moet wel worden opgemerkt dat dit alleen de “over the counter” (OTC) handel betreft. Met deze term worden de contracten aangeduid die tot stand komen door private overeenkomsten. Deze vorm van handel is dus niet gereguleerd en geregistreerd door een beursorganisatie zoals de CME. De term weerderivaat is feitelijk niet correct aangezien uit figuur 1 blijkt dat dit een te veel omvattend begrip is. Het is beter om in dit geval te spreken van temperatuurderivaten. Omdat de markt vrijwel geheel bestaat uit temperatuurderivaten worden deze begrippen nog wel eens door elkaar heen gebruikt. Om verdere verwarring te voorkomen zal ik in het vervolg van deze scriptie de term “temperatuurderivaat” gebruiken wanneer ik doel op een derivaat met een temperatuursafhankelijke pay off. 100% 80%

Overig

60%

Wind Sneeuw Regen

40%

Temp CDD

20%

HDD

0% 2001/2

Figuur 1:

2002/3

2003/4

Een grafische weergave van de onderliggende waarde waarop het OTC contract betrekking heeft. Hieruit blijkt duidelijk dat de meeste contracten de temperatuur als onderliggende waarde hebben. (bron: WRMA / PWC industry survey 2004)

10


Hoofdstuk 2

Zoals de titel van hoofdstuk twee al doet vermoeden begin ik in dit hoofdstuk met een uiteenzetting

van

de

termen

en

begrippen

zoals

die

gebruikelijk

zijn

in

de

temperatuurderivaten markt. Kennis van deze terminologie is noodzakelijk aangezien deze in sommige gevallen afwijkt van de gebruikelijke optieterminologie. De indeling van hoofdstuk twee ziet er verder als volgt uit. In paragraaf 2.2 bespreek ik de termen “heating degrees” en “cooling degrees”. Dit zijn de twee belangrijkste begrippen aangezien ze de basis vormen van de degree day index. In paragraaf 2.3 ga ik nader in op de samenstelling en de opbouw van de degree day index. Deze index vorm de onderliggende waarde van het temperatuurderivaat. In paragraaf 2.4 bespreek ik de notering van temperatuurderivaten aan de CME. Hierin komen ondermeer zaken als standaardisatie en settlement aan de orde. In paragraaf 2.5 en 2.6 wordt er nader ingegaan op de eigenschappen van future- en optiecontracten op de temperatuurindex. Een historisch overzicht komt aan bod in paragraaf 2.7. In deze paragraaf ga ik uitgebreid in op het ontstaan van temperatuurderivaten, het historische verloop, en de groei van de handel. In paragraaf 2.8 worden de toepassingsmogelijkheden besproken voor de verschillende bedrijfstakken. Hoofdstuk twee eindigt met een samenvatting in paragraaf 2.9.

2.2

Degree days De handel in temperatuurderivaten vindt plaats op basis van een index. Deze index

geeft geen financiële koers aan zoals dit bij aandelen en opties het geval is, maar een hoeveelheid “heating degree days” (HDD) of “cooling degree days” (CDD). Vrij vertaalt kunnen we spreken van “verwarmingsgraden per dag” en “verkoelingsgraden per dag”. De afkortingen HDD en CDD zijn tevens gebruikelijk in de literatuur en ze worden toegepast op de verschillende beurzen. Het aantal HDD’s en CDD’s wordt dagelijks afgeleid van de gemiddelde temperatuur. Dit rekenkundige gemiddelde wordt berekend over de minimale en maximale temperatuur gemeten binnen een periode van één dag (24 uur). Vergelijking 2.1 geeft de gemiddelde temperatuur Tt weer op dag t waarbij Tt max staat voor de maximumtemperatuur en Tt min staat voor de minimumtemperatuur.

11


Hoofdstuk 2

Tt max + Tt min Tt = 2

(2.1)

De periode waarbinnen de minimum- en maximumtemperatuur bepaald wordt kan van invloed zijn op de meetresultaten. Daarom is het begin en het eindmoment van de meting vastgelegd in het rulebook6 van de CME. De meting dient elke dag aan te vangen op 00:00 UTC7 en te eindigen op 23:59 UTC. Aangezien het aantal HDD’s en CDD’s direct wordt afgeleid van de temperatuur is het noodzakelijk dat deze meting nauwkeurig wordt uitgevoerd. Om onjuistheden in de notering te voorkomen is de “Earth Satillite Corporation”8 (Earthsat) aangewezen als instantie die de temperatuur officieel vast stelt. Deze organisatie ontvangt de benodigde temperatuurdata van locale meteorologische instellingen. Voor Nederland worden deze meetresultaten verstrekt door het KNMI9. Voor de berekening van het dagelijkse aantal HDD’s of CDD’s wordt het verschil bepaald tussen de gemiddelde dagtemperatuur (vergelijking 2.1) en 18 graden Celsius. De drempelwaarde van 18 graden Celsius is afkomstig uit de energiesector. De gedachte hierachter is dat men zal gaan verwarmen wanneer de temperatuur zich onder de 18 graden bevindt. Omgekeerd zal er gekoeld worden wanneer de temperatuur zich boven de 18 graden begeeft. De Europese drempelwaarde van 18 graden Celsius is afgeleid van de in Amerika gebruikelijke 65 graden Fahrenheit. Wanneer men het aantal heating degrees wil bepalen is alleen de afwijking van de temperatuur interessant indien deze zich onder de 18 graden Celsius bevindt. In dit geval moet er namelijk verwarmd worden om de temperatuur terug te brengen op de aangename temperatuur van 18 graden. Per graad dat de temperatuur zich onder de 18 graden bevindt wordt er één HDD toegevoegd aan de HDD index. Bevindt de temperatuur zich boven de 18 graden dan hoeft er niet verwarmd te worden, en worden er dus ook geen HDD’s aan de index toegevoegd. In vergelijking 2.2 wordt de berekening van het aantal HDD op dag t weergegeven.

(2.2) 6 7

8 9

HDDt = max{18 − Tt ,0} Zie hoofdstuk 406 van het CME rulebook. UTC staat voor Coordinated Universal Time. Dit is de tijd in een bepaalde tijdzone afgeleid van de GMT tijd Www.earthsat.com De afkorting KNMI staat voor Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut

12


Hoofdstuk 2

In de bovenstaande vergelijking staat HDDt voor het aantal heating degrees van dag t. Deze worden verkregen door het maximum te nemen van nul graden of 18 graden minus de gemiddelde dagtemperatuur uit vergelijking 2.1. De bepaling van het aantal cooling degrees gaat op een vergelijkbare wijze. Hier is echter alleen de afwijking boven de 18 graden van belang. Om de temperatuur terug te brengen op het aangename niveau van 18 graden Celsius zal men gebruik maken van de airconditioning. Er ontstaan dus alleen CDD’s wanneer de gemiddeldetemperatuur zich boven de kritische grens van 18 graden Celsius begeeft. Bevindt de gemiddeldetemperatuur zich onder de 18 graden dan worden er geen CDD toegevoegd aan de CDD index. In vergelijking 2.3 wordt de berekening van het aantal CDD op dag t weergegeven.

(2.3)

CDDt = max{Tt − 18,0}

Zoals in vergelijking 2.3 naar voren komt hanteert de CDD index de drempelwaarde van 18 graden Celsius. Gedurende de zomerperiode worden er in Nederland echter nauwelijks gemiddelde temperaturen waargenomen boven de 18 graden Celsius. Het gevolg hiervan is dat de CDD index gedurende de Nederlandse zomermaanden een zeer vlak verloop kent en soms helemaal geen waarde aanneemt. Als oplossing hiervoor heeft de CME bepaald dat de zomerindex niet wordt samengesteld op basis van CDD’s maar op basis van de cumulatieve gemiddelde temperatuur (CAT). Hierdoor vervalt de drempelwaarde van 18 graden Celsius en worden de gemiddeldetemperaturen in de zomer onveranderd toegevoegd aan de index. De dagelijkse toevoeging aan de CAT index wordt weergegeven in vergelijking 2.4. Hierin staat CATt voor de toevoeging aan de CAT index op dag t.

(2.4)

CATt = max{Tt ,0}

Nu de bepaling van het aantal HDD’s, CDD’s en CAT’s uiteen is gezet zal ik in de nu volgende paragraaf nader ingaan op de verschillende indexen. Deze indexen worden opgesteld met behulp van de besproken HDD’s en CAT’s en ze vormen de onderliggende waarde voor de Nederlandse temperatuurderivaten.

13


2.3

Hoofdstuk 2

Indexen In deze paragraaf ga ik verder in op de onderliggende degree day index van een

temperatuurderivaat. Deze degree day index wijkt op een aantal essentiële punten af van bijvoorbeeld de AEX index. De AEX bestaat uit 25 beursgenoteerde aandelen met elk een eigen prijs. De samenstelling van de AEX maakt het tevens mogelijk dat deze zowel kan stijgen als kan dalen. In tegenstelling tot de AEX bestaat de degree day index uit één onafhankelijke variabele die niet verhandelbaar is en geen prijs kent. Aangezien de degree day index een cumulatieve index is kan deze enkel toenemen in waarde. In de voorgaande paragraaf is naar voren gekomen dat de onderliggende waarde van een temperatuurderivaat gevormd wordt door de HDD of CAT index. Een HDD of CAT index ontstaat door het aantal heating degrees of cooling degrees gedurende een bepaalde periode te cumuleren. Door de CDD index weer te geven voor de warmste maand van het jaar (augustus) kan er worden nagegaan of de CME terecht gekozen heeft voor CAT’s in plaats van CDD’s.

Figuur 2:

CDD index voor augustus 2003. De eerste helft van de maand was de temperatuur dagelijks boven de 18 graden. In de tweede helft van de maand augustus kwam de temperatuur niet vaak meer boven de 18 graden. Dit is te zien aan de stijgende lijn in de eerste helft van de maand en de vlakke lijn in de tweede helft van de maand. Als oplossing voor dit probleem wordt er terecht gebruik gemaakt van CAT.

Figuur 2 laat zien dat de temperatuur gedurende de tweede helft van de maand augustus 2003 nauwelijks boven de 18 graden Celsius uitkwam. Dit is af te leiden uit het relatief vlakke verloop van het tweede deel van de index. Een vlak of horizontaal verloop van

14


Hoofdstuk 2

de index is fataal voor de effectiviteit van de hedge. Dit betekent namelijk dat de index ongeschikt is vanwege een gebrekkige relatie met de temperatuur. Door gebruik te maken van CAT’s wordt een vlakke index als gevolg van relatief koude zomers uitgesloten. Op deze manier is een continu stijgende index ook in de zomer gegarandeerd. Dit bevestigt de keuze van de CME om gebruik te maken van CAT’s in plaats van CDD’s. Dit betekent zoals gezegd dat de toevoeging aan de Europese index niet plaatsvindt volgens vergelijking 2.3 maar volgens vergelijking 2.4. Als aanvulling op figuur 2 is in figuur 3 het verloop van de HDD index van de maand februari 2003 weergegeven. Hierin is, in tegenstelling tot figuur 2, wel een constant stijgend verloop te zien. De grafiek in figuur 3 laat tevens een absolute waarde zien de vele malen groter is dan de absolute waarde van figuur 2.

Figuur 3:

HDD index voor februari 2003. De grafiek laat zien dat de temperatuur gedurende de maand september dagelijks onder de 18 graden Celsius is geweest. Dit valt af te leiden uit de constante stijging van de grafiek. Ook heeft deze index een grotere absolute waarde zoals te zien is aan de verticale as van de grafiek.

Voor zowel de HDD als de CAT worden er verschillende indexen opgesteld. Deze indexen hebben een accumulatie periode van één maand of één seizoen. Omdat de HDD index alleen tot stand kan komen in de winterperiode heeft deze index alleen betrekking op de maanden oktober tot en met april. De CAT index is alleen relevant in de zomer dus worden deze contracten alleen verhandeld in de maanden april tot en met oktober. Omdat de maanden april en oktober worden gezien als het omslagpunt10 van zomer naar winter en andersom, is er een index voor zowel HDD’s als CAT’s mogelijk in deze twee maanden. Naast indexen met een accumulatie periode van één maand worden er ook indexen 10

Deze maanden worden ook wel aangeduid met de term “shoulder months”

15


Hoofdstuk 2

opgesteld met een looptijd van één seizoen. Een HDD seizoensindex heeft een looptijd van november tot en met maart. De accumulatie periode van een CAT seizoensindex loopt van mei tot en met september. De verschillende indexen worden door de CME dagelijks opgesteld en daarmee vormen ze de basis voor de standaardisatie van de temperatuurderivaten. Zowel de gestandaardiseerde, als de OTC markt maakt gebruik van de door de CME opgestelde index. Deze index biedt namelijk een betrouwbare en onafhankelijke weergave van de degree day index. De temperatuurindexen worden tot nu toe opgesteld voor vijftien Amerikaanse steden en vijf Europese steden. In tabel 1 en 2 staan zowel de Amerikaanse als de Europese steden vermeld waarvoor de CME een degree day notering afgeeft.

Atlanta Boston Chicago Cincinnati Dallas Tabel 1

Des Moines Houston Kansas City Las Vegas Minneapolis

New York Philadelphia Portland Sacramento Tucson

De vijftien Amerikaanse steden waarvoor er een degree day index beschikbaar is aan de CME.

Amsterdam Berlijn Londen Parijs Stockholm Tabel 2

De vijf Europese steden waarvoor er een degree day index beschikbaar is aan de CME.

Een vorm van risico die nauw samenhangt met het aantal meetstations is het zogenaamde basisrisico (Richards et al 2004). Deze vorm van risico ontstaat wanneer het meetstation niet gelijk is met de locatie of het gebied waar het risico wordt gelopen. Het basisrisico is hier waarschijnlijk minimaal aangezien Nederland een relatief klein land is met een gematigd zeeklimaat. De temperatuur in Limburg wijkt hierdoor niet al te veel af van de gemeten temperatuur op Schiphol. In een groot land als Amerika kan de afstand tussen de risicolocatie en het meetstation vele malen groter zijn waardoor deze vorm van risico wel degelijk een rol van betekenis speelt. Dit pleit voor een groot aantal meetstations om zo het basisrisico te verkleinen en de efficiëntie van de hedge te verbeteren.

16


Hoofdstuk 2

Voor een verdere ontwikkeling van de temperatuurderivaten markt zou het goed zijn als het aantal indexen wordt uitgebreid. Met een grotere diversiteit aan contractlooptijden, onderliggende waarden en locaties is het mogelijk weergerelateerde risico’s efficiënter af te dekken. Het is momenteel nog niet mogelijk om een positie in te nemen met een looptijd van bijvoorbeeld één dag aangezien er geen notering wordt afgegeven voor deze looptijd. Ook is het niet mogelijk een specifieke dag in te sluiten door een combinatie te maken van een long en een short positie omdat de looptijden van de contracten gelijk lopen met de kalendermaanden. In de nu volgende paragraaf zal ik nader ingaan op de notering van temperatuurderivaten aan de CME.

2.4

Notering In deze paragraaf wil ik een uiteenzetting geven van de notering van Europese

temperatuurderivaten aan de CME. Temperatuurderivaten op Amerikaanse steden worden al sinds 1999 verhandeld op de CME. Sinds 3 oktober 2003 staan er naast Amerikaanse derivaten ook temperatuurderivaten op Europese steden genoteerd. De vijf Europese steden met een notering zijn Amsterdam (Schiphol), Berlijn (Tempelhof), Londen (Heathrow), Parijs (Orly) en Stockholm (Observatorict). De CME is niet de enige beursorganisatie waar temperatuurderivaten op Europese steden staan genoteerd. Op 10 december 2001 introduceerde de LIFFE11 een gestandaardiseerde notering voor Londen, Berlijn en Parijs. Deze notering is echter qua opzet in geen enkel geval te vergelijken met de notering aan de CME. De LIFFE index kent een aanvangswaarde van honderd punten om een negatieve index te voorkomen. Wanneer de gemiddelde temperatuur van dag 1 bijvoorbeeld gelijk is aan 5 graden, noteert de LIFFE index tegen een koers van 105 punten. Stel dat de gemiddelde temperatuur van dag 2 gelijk is aan 10 graden dan noteert de index op dag 2 tegen een koers van 107,5. Hieruit blijkt overduidelijk dat er geen sprake is van enige standaardisatie tussen de beide beursorganisaties. Deze standaardisatie is naar mijn menig absoluut noodzakelijk wanneer men de totale handelsactiviteit wil bevorderen. 11

London International Financial Futures and Options Exchange. Voor meer informatie over temperatuurderivaten aan de LIFFE kan www.liffeweather.com bezocht worden

17


Hoofdstuk 2

Bij Amerikaanse temperatuurderivaten wordt de degree day waarde met behulp van een omrekenfactor omgezet in Dollars. Voor de omrekening van de Europese temperatuurderivaten is er gekozen voor het Britse pond in plaats van de Euro. Deze keuze is naar mijn mening wat onlogisch aangezien drie van de vijf landen met een notering de Euro als munt voeren. Mogelijke valuta fluctuaties tussen de Pond en de Euro kunnen leiden tot een inefficiënte hedge. Deze inefficiëntie wordt veroorzaakt doordat een risico in Euro’s wordt afgedekt in Britse Ponden. Om de verhandelbaarheid van temperatuurderivaten te verbeteren heeft de CME op 8 maart 2004 besloten om de omrekenfactor van één CAT te verlagen van £100 naar £20. Net als bij de CAT index werd op 12 april 2004 de waardering van één HDD teruggebracht met een factor vijf naar £20. Amerikaanse temperatuurderivaten werden met een zelfde factor gereduceerd. Door deze aanpassing is mogelijk om een hedge beter te matchen met het temperatuurrisico dat de onderneming loopt. Aangezien fysieke levering van de temperatuurindex als onderliggende waarde niet mogelijk is vindt er logischerwijs cash settlement plaats. Deze settlement vindt plaats op de eerste handelsdag, ten minste twee dagen na het verstrijken van het contract. De dagelijkse clearing van de contracten vindt plaats volgens het “marking to market” Principe. Dit betekent dat er eerst een bedrag door de handelaar moet worden gestort op een account alvorens met handelen kan worden begonnen. Wanneer het temperatuurderivaat na een dag is gestegen in waarde vindt er een bijtelling van het account plaats. Heeft er een waardedaling plaats gevonden dan wordt het bedrag gecrediteerd van het account. Wanneer het bedrag door een aantal onttrekkingen onder een bepaalde minimumgrens komt, wordt de handelaar verplicht het bedrag aan te vullen tot de minimumwaarde. Deze manier van clearing zorgt er voor dat eventuele kredietrisico’s geminimaliseerd worden omdat de tegenpartij direct verplicht wordt de positie te vereffenen. In de nu volgende twee paragrafen zal ik nader ingaan op future- en optiecontracten zoals die worden verhandeld op de CME.

2.5

Futures contracten In deze paragraaf ga ik specifiek in op de eigenschappen van een Europese

temperatuur future zoals deze genoteerd staan aan de CME.

18


Hoofdstuk 2

Een temperatuur future contract is te herkennen aan een viertal elementen. Deze elementen zijn: (a) de onderliggende waarde, (b) de accumulatie periode, (c) het meetstation en (d) de tick waarde (Cao & Wei 2003, Zeng 2000). Al eerder in deze scriptie is naar voren gekomen dat de onderliggende waarde van een Europese temperatuur future gevormd wordt door de HDD of CAT index. Aan de CME kan er zowel een long, als een short positie worden genomen in een temperatuur future contract. De waarde van een long positie in een temperatuur future neemt toe wanneer de onderliggende index stijgt. Het omgekeerde geldt uiteraard voor een short positie, deze daalt in waarde wanneer de desbetreffende index stijgt. De handel in temperatuur futures kan het makkelijkst worden uitgelegd met behulp van een praktijkvoorbeeld op basis van een historische notering. Op 1 december 2003 noteert een HDD index future contract voor de maand januari 2004 tegen een koers van 460 HDD’s. De accumulatie periode van dit contract loopt van 1 januari 2004 tot en met 31 januari 2004. De Settlement van dit contract vindt plaats op de eerste handelsdag ten minste twee dagen na het aflopen van de laatste contractdag. In dit geval vindt settlement dus plaats op 2 februari 2004. Bij aanvang van de accumulatie periode op 1 januari 2004 noteert het contract tegen een koers van 452 HDD’s. Dit betekent dat de markt nu van mening is dat de maand januari 2004 een minder koud verloop zal kennen dan begin december 2003 de verwachting was. Het verlies per contract is op 1 januari 2004 gelijk aan 8 HDD’s (452 – 460). Dit komt overeen met een financieel verlies van £160,- (8 HDD x £20,-) per contract. De laatste transactie vindt plaats op 30 januari 2004 tegen een koers van 442 HDD’s. De accumulatie periode eindigt zoals gezegd op 31 januari 2004 maar omdat dit geen handelsdag is, is er voor deze datum geen notering beschikbaar. Op 2 februari 2004 wordt het contract gesettled tegen de eindwaarde van de HDD index op 443.1 HDD’s. Het totale verlies dat per contract is geleden bedraagt £338,- ((443.1 – 460)* £20,-). In het geval van dit voorbeeld moet worden opgemerkt dat de waardering ten tijde van het contract nog werd omgerekend tegen een koers van £100,-. In dit geval zou het verlies per contract geen £338,- maar £1690,- zijn geweest. In dit voorbeeld heb ik voor de duidelijkheid gebruik gemaakt van een omrekenfactor van £20,- aangezien dit sinds april 2004 gebruikelijk is. Op de OTC markt wordt veelal gebruik gemaakt van swap contracten. Een swap contract bezit zowel eigenschappen van een future als van een optiecontract. Net als een future is een swap zonder vooraf te betalen premium verkrijgbaar. Tevens kan een swap leiden tot zowel een ongelimiteerde winst als een ongelimiteerd verlies. De swap contracten 19


Hoofdstuk 2

bestaan net als optiecontracten uit een uitoefenprijs en een tick waarde. Wanneer er een swap wordt aangegaan nemen beide partijen een verplichting op zich. Als de eindindex gelegen is boven de uitoefenwaarde dan is de verkoper van de swap verplicht een bedrag te betalen. Dit bedrag is gelijk aan de tick waarde maal het verschil tussen de index en de uitoefenwaarde. Wanneer de index onder de uitoefenprijs eindigt dan is de koper verplicht tot het betalen van een soortgelijk bedrag. Het spreekt voor zich dat de verkoper een zo hoog mogelijke uitoefenprijs wil en de koper een zo laag mogelijke uitoefenprijs. De fair price van een swap ontstaat wanneer de verwachte pay off voor beide partijen gelijk is aan nul. In het geval van temperatuur futures is het goed mogelijk dat de uitoefenprijs afwijkt van de fair price, zodat de risiconemer een positieve verwachte opbrengst heeft. De negatieve verwachte pay off wordt geaccepteerd door de hedger aangezien deze de voordelen geniet van een lagere temperatuur exposure. (Jewson, FSR forum 2004) Zoals op vele beursen gebruikelijk is, heeft ook de CME een maximum12 gesteld aan het aantal temperatuur posities van één persoon. Er is bepaald dat er, per persoon, niet meer dan 10.000 contracten mogen worden aangehouden. Dit geldt voor alle temperatuurcontracten zowel long als short en gezien over alle looptijden. Deze maatregel, in combinatie met het “marking to market” principe, biedt zowel de beurs als de handelaren voldoende bescherming tegen het wegvallen van kredietwaardigheid. De in deze paragraaf beschreven contracteigenschappen gelden voor alle Europese temperatuur futures contracten. Dus voor zowel HDD als CAT contracten met een looptijd van een maand of een seizoen. Ter aanvulling op het bovenstaande is er in bijlage 1 een document opgenomen waarin de contractspecificaties van de CME temperatuurcontracten zijn opgenomen. In dit document wordt er, verwarrend genoeg, gebruik gemaakt van de term CDD in plaats van CAT. In de nu volgende paragraaf bespreek ik het gebruik van een optie op een futures contract.

2.6

Optie contracten Naast de hiervoor besproken future contracten is het ook mogelijk om een optie op een

future contract te kopen. Een temperatuuroptie is eenvoudig te herkennen aan een vijftal kenmerken: (a) de onderliggende waarde, (b) de accumulatie periode, (c) het meetstation, (d) 12

Zie CME rulebook artikel 40602 D.

20


Hoofdstuk 2

de tick waarde en (e) de uitoefenprijs van de optie (Richards et al 2004, Zeng 2000). Temperatuur opties zijn verkrijgbaar voor zowel de HDD als CAT future contracten met een looptijd van een maand of een seizoen. De houder van de optie heeft het recht, maar niet de plicht, om de optie uit te oefenen. In geval van uitoefening geeft één optie het recht om één degree day future contract te kopen of te verkopen tegen een vooraf vastgestelde uitoefenprijs. Het voordeel van een optiecontract is gelegen in het niet lineaire pay off patroon. Een optie biedt de houder namelijk een ongelimiteerd winstpotentieel in combinatie met een gelimiteerd verliespotentieel. Dit in tegenstelling tot een future die naast een groot winstpotentieel ook een aanzienlijk verliespotentieel kent. Hiertegenover staat dat er voor een optie een premie betaald moet worden daar waar een future veelal kosteloos kan worden verkregen. Een optie op een temperatuur future is vergelijkbaar met een optie op een aandeel. Net als bij normale opties hebben temperatuuropties een uitoefenprijs, en betaal je een premie wanneer je een long positie wilt innemen. Een verschil met normale opties is gelegen in het aantal contracten dat de optie vertegenwoordigd. Een optie op een aandeel heeft veelal betrekking op honderd aandelen terwijl een temperatuuroptie maar betrekking heeft op één future contract. De prijs van een temperatuuroptie staat weergegeven in degree days waarbij elke degree day een waarde vertegenwoordigt van £20,-. Wanneer een optie noteert tegen een koers van 10.0 komt dit dus overeen met een premie van £200,- per optie. Zowel de Amerikaanse als de Europese temperatuuropties zijn allemaal Europees van aard. Dit wil zeggen dat ze niet tussentijds kunnen worden uitgeoefend en dat uitoefening alleen mogelijk is wanneer de onderliggende futures contracten worden gesettled. Uitoefening van de opties kan alleen op de eerste handelsdag, twee dagen na het aflopen van de contractlooptijd. Bij de contracten die “in the money” zijn, vindt er automatisch cash settlement plaats aangezien fysieke levering is uitgesloten. Het is uiteraard wel mogelijk om een ingenomen optiepositie te vereffenen door een tegengestelde positie in te nemen. Door gebruik te maken van een voorbeeld wil ik de notering van degree day opties verder uiteenzetten. Een HDD future contract voor maart 2004 noteert op 24 februari 2004 tegen een koers van 350 HDD’s. Een optie met een uitoefenprijs van 350 HDD’s (at the money) die op dit contract geschreven wordt heeft een premium van bijvoorbeeld 15 HDD’s. Wanneer je deze optie wilt aanschaffen moet je hiervoor een premie betalen aan de verkoper van £300,- (15 HDD’s x £20,-). Op 4 maart 2004 heeft de HDD future voor maart een notering van 380 HDD’s. Dit betekent dat de optie “in the money” is een waarde heeft van minimaal 30 HDD’s ofwel £600,- (30 HDD’s x £20,-). Op de afloopdatum van het contract 21


Hoofdstuk 2

noteert de future tegen een koers gelijk aan de eindindex van 375 HDD’s. De waarde van de optie is in dit geval gelijk aan de tick waarde maal het verschil tussen de uitoefenprijs en de eindindex. Dit komt neer op een waarde van 25 HDD’s ofwel £500,- per optiecontract. Naast de hierboven beschreven optiecontracten bestaan er ook een aantal optievarianten. Een van de meest eenvoudige varianten is de zogenaamde digitale of binaire optie (Zeng, 2000). Deze optie keert een contractueel vastgesteld bedrag uit wanneer de index de vooraf vastgestelde uitoefenprijs passeert. In tegenstelling tot andere opties wordt de waarde van een binaire optie dus niet bepaald door de mate van “moneyness”. Door gebruik te maken van opties is het natuurlijk ook mogelijk gecombineerde posities in te nemen zoals een collar of een straddle. Een collar is een combinatie van bijvoorbeeld een short put en een long call waarbij de uitoefenprijs van de put lager is dan de uitoefenprijs van de call. Met behulp van een collar worden de volatiele bedrijfsresultaten tegen geringe kosten gestabiliseerd. Een straddle is een combinatie van een long put en een long call waarbij de uitoefenprijs van de put lager is als die van de call. Met een straddle wordt een gewenste indexwaarde ingesloten. Op de OTC markt wordt veelal gebruik gemaakt van een CAP. Dit is een vooraf afgesproken maximum bedrag van de uitkering. Op deze manier wordt het ongelimiteerde risico, dat de verkoper van de optie loopt, enigszins beperkt. De range en de intervallen van de uitoefenprijzen zijn afhankelijk van de looptijd van de opties. Wanneer een optie betrekking heeft op een future contract met een looptijd van één maand is de uitoefenprijs range 100 degree days boven en onder de settlement prijs. Binnen deze range worden er uitoefenprijzen afgegeven met een interval van 50 degree days. Wanneer de contractmaand aanvangt worden er uitoefenprijzen afgegeven met een interval van 10 degree days met weer een range van 100 degree days boven en onder de settlement prijs van de vorige dag. Stijgt de index nu door een uitoefenprijs heen en raakt de optie “in the money” dan wordt er de volgende dag weer een nieuwe uitoefenprijs afgegeven door de CME. Op deze manier blijft het altijd mogelijk om een optie te kopen met een uitoefenprijs die maximaal 100 degree days boven of onder de index ligt. De hierboven vermelde uitoefenprijzen gelden voor opties op future contracten met een looptijd van één maand. Wanneer de opties betrekking hebben op future contracten met een looptijd van één seizoen zijn de intervallen groter. Voor deze contracten worden er uitoefenprijzen afgegeven met een range van 1000 degree days boven en onder de settlement prijs van de vorige dag. Binnen deze range bestaan er intervallen van 50 degree days. Net als bij de opties met een looptijd van één maand wordt er weer een nieuwe notering afgegeven wanneer de index door een uitoefenprijs heen stijgt. 22


Hoofdstuk 2

In de nu volgende paragraaf ga ik nader in op het historische overzicht en het ontstaan van de temperatuurderivaten markt.

2.7

Historisch overzicht Doormiddel van een historisch overzicht wil ik inzicht geven in de nog recente

geschiedenis van de handel in temperatuurderivaten. In dit hoofdstuk wil ik ondermeer ingaan op het ontstaan van temperatuurderivaten en de relatie met de energiesector. De oorzaak van het ontstaan van temperatuurderivaten moet worden gezocht in de liberalisering van de Amerikaanse energiemarkt. In tegenstelling tot Europa is de liberalisering van de Amerikaanse energiemarkt halverwege de jaren negentig ingezet. Daar waar in Nederland de energie behoefte werd voorzien door overheidsbedrijven moesten Amerikaanse ondernemingen met elkaar de concurrentiestrijd aan. Om de continuïteit van de onderneming te garanderen ontstond er bij Amerikaanse energiebedrijven de noodzaak tot risicomanagement. Door de grote correlatie tussen de vraag naar energie en de temperatuur ontstond de behoefte aan een instrument met een temperatuursafhankelijke pay off zodat energiebedrijven hun volatiele resultaten konden stabiliseren. Volatiele bedrijfsresultaten van een energieonderneming hebben veelal twee oorzaken. Allereerst zijn de resultaten van de onderneming onderhevig aan een prijsrisico. Door volatiele prijzen op de energiemarkt kunnen de resultaten van een energieonderneming negatief worden beïnvloed. Dit prijsrisico kan eenvoudig worden gereduceerd door middel van prijsafspraken met afnemers. Ten tweede zijn de resultaten van de onderneming afhankelijk van de afgenomen hoeveelheid. Dit volumerisico kon tot voorheen niet op een eenvoudige manier worden gereduceerd. Met de komst van temperatuurderivaten is het nu mogelijk om de resultaten te beschermen tegen het wegvallen van de vraag. Het feit dat Amerikaanse energieondernemingen eerder genoodzaakt werden tot risicomanagement is terug te zien in de ontwikkeling van de temperatuurderivaten markt. Er zijn meerdere ondernemingen actief op de Amerikaanse markt en tevens is de omvang en de liquiditeit van Amerikaanse contracten groter. Met het vrijgeven van de Nederlandse13 en de Europese energiemarkt wordt deze positieve marktontwikkeling ook hier verwacht. Dit zorgt er voor dat het groeipotentieel van Europese temperatuurderivaten aanzienlijk is.

13

De Nederlandse energie markt is op 1 juli 2004 vrijgegeven

23


Hoofdstuk 2

De eerste temperatuurderivaten werden in 1997 verhandeld in Amerika. Deze handel vond nog niet via de officiële kanalen van de effectenbeurs plaats maar het betrof hier hoofdzakelijk private OTC afspraken tussen enerzijds energiebedrijven en anderzijds banken of verzekeraars. Zogenaamde pioniers op het gebied van temperatuurderivaten waren energiehandelshuizen als Aquila, Koch Energy en de tegenwoordig failliete Enron. Het was ook dit laatste bedrijf dat in 1997 de primeur had met het eerste temperatuurderivaat. Dit derivaat was een swap overeenkomst tussen Enron en Koch Energy Trading. De overeenkomst had betrekking op de winter van 1997-1998 en verplichte Enron tot het betalen van $10.000 voor elke degree day dat de temperatuur onder een bepaalde drempelwaarde kwam. Koch Energy moest op zijn beurt $10.000 per degree day betalen wanneer de temperatuur zich boven deze drempelwaarde begaf. De OTC handel beperkte zich niet alleen tot Amerika maar strekte zich ook uit naar Europa. Het eerste internationale contract ontstond in september 1998 tussen het Amerikaanse Enron en Scottish Hydro. Op 22 september 1999 noteerde de eerste temperatuurderivaten voor Amerikaanse steden aan de CME en werd Koch Energy Trading als eerste market maker aangesteld. In beginsel werd er alleen een notering afgegeven voor Amerikaanse HDD contracten maar in 2000 volgde er ook een notering voor de CDD index. Mede door een notering aan de effectenbeurs groeide de handel in Amerikaanse temperatuurderivaten explosief. Om niet achter te blijven bij Amerika introduceerde de LIFFE op 10 december 2001 een notering voor drie Europese steden. Deze drie Europese hoofdsteden waren Londen, Berlijn en Parijs. Omdat ook de CME het groeipotentieel van Europese contracten onderkende zijn er sinds 3 oktober 2003 op de CME ook noteringen afgegeven voor vijf Europese steden. Het betreft hier de steden Amsterdam (Schiphol), Berlijn (Tempelhof), Londen (Heathrow), Parijs (Orly) en Stockholm (Observatorict). Om de verdere ontwikkeling van de markt te monitoren wordt er jaarlijks een marktonderzoek gehouden door Price Waterhouse Coopers (PWC) in opdracht van de WRMA14. Het doel van dit onderzoek is om inzicht te verkrijgen in de totale omvang van de weerderivaten markt. Dit betekent dat zowel de private OTC contracten als de beurshandel in kaart moet worden gebracht. Door jaarlijks een survey onderzoek te houden onder alle leden van de WRMA ontstaat er een beeld van de OTC activiteit. Door de survey resultaten te combineren met de transactiegegevens van de effectenbeurs ontstaat er een beeld van de totale marktactiviteit. 14

WRMA staat voor Weather Risk Management Association. Deze vereniging vertegenwoordigt een groot aantal handelaren en geïnteresseerden. Het doel van de WRMA is het bevorderen van de weerhandel.

24


Hoofdstuk 2

Het meest recente onderzoek dateert van maart 2004 en hierin wordt de markt onderzocht gedurende de periode april 2003 tot en met maart 2004. Dit onderzoek geeft aan dat er 3.162 private contracten zijn afgesloten tegenover 4.517 private contracten vorig jaar. Deze daling is waarschijnlijk niet veroorzaakt door een afgenomen interesse maar door de verplaatsing van private handel richting de effectenbeurs. Dit vermoeden wordt bevestigd door de toename van de handelsactiviteit op de CME. Het meest recente onderzoek stelt het aantal contracten dat is afgesloten via de CME op 21.335. Dit is bijna een verdrievoudiging ten opzichte van vorig jaar waarin het aantal contracten 7.239 betrof. De totale waarde van de contracten in het 2003/2004 onderzoek betrof 4,6 miljard dollar. In het voorgaande jaar was de totale waarde van de contracten 4,188 miljard dollar wat een toename van ongeveer tien procent betekent . Het survey onderzoek gaf aan dat de meeste private contracten werden afgesloten op de HDD of CDD index. Ook is te zien dat het aandeel van contracten met andere onderliggende weergerelateerde waarden steeg. Dit kan echter een vertekend beeld geven aangezien de degree day contracten meer en meer via de CME worden verhandeld. De survey toont ook aan dat het aandeel van private contracten op niet-Amerikaanse steden sterk is gestegen. Dit komt tevens naar voren in figuur 4 waarin de OTC contracten zijn weergegeven met een verdeling naar regio. Zoals bij elke survey moeten er vraagtekens worden gezet bij de betrouwbaarheid van het onderzoek. De kans is namelijk aanwezig dat ondernemingen niet alle informatie over hun risicomanagement activiteiten naar buiten willen brengen. Het is hierdoor goed mogelijk dat er een zekere mate van bias in het onderzoek is gekomen.

25


Hoofdstuk 2

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

Other Europe Asia NA East NA Mwest NA South NA West

2000/1

Figuur 4

2001/2

2002/3

2003/4

Aantal “over the counter” contracten weergegeven per regio (bron: WRMA / PWC industry survey 2004). De meeste contracten worden afgesloten in Amerika en Europa.

De

toenemende

populariteit

van

temperatuurderivaten

wordt

hoofdzakelijk

veroorzaakt door een toename van het aantal marktpartijen. Daar waar vroeger de handel uitsluitend voor rekening kwam van energieproducenten en handelshuizen treden nu ook verzekeringsmaatschappijen, agrarische bedrijven en banken toe tot de markt. Met het ontstaan van temperatuurderivaten is ook de acceptatie van de markt voor slechte bedrijfsresultaten als gevolg van de temperatuur afgenomen. De temperatuur mag tegenwoordig geen excuus meer vormen voor slechte bedrijfsresultaten aangezien ondernemingen hun exposure eenvoudig hadden kunnen afdekken (Alaton et al. 2002). Dit heeft er mede toe geleid dat het aantal actieve spelers op de temperatuurderivaten markt is toegenomen. In de nu volgende paragraaf zal ik verder ingaan op de marktparticipanten en het risico dat ze proberen af te dekken door gebruik te maken van temperatuurderivaten.

2.8

Marktparticipanten In dit hoofdstuk wil ik nader ingaan op de huidige actoren en de eventuele toekomstige

actoren op de temperatuurderivaten markt. Deze paragraaf geeft ondermeer inzicht in de exposure van verschillende sectoren ten aanzien van de temperatuur en de mogelijkheden om zich in te dekken tegen de financiële gevolgen van deze risico’s. Zoals in de vorige paragraaf ook al naar voren is gekomen kan de temperatuur door de komst

van

temperatuurderivaten

geen

excuus

meer

vormen

voor

tegenvallende

26


Hoofdstuk 2

bedrijfsresultaten. Deze ontwikkeling heeft er toe geleid dat nu ook de nietenergiegerelateerde ondernemingen zich richten op de temperatuurderivaten markt om hun resultaten te stabiliseren. Een onderzoek van Ferrer, Garcia & Sturzenegger (2001) toont aan dat een onderneming die ondermeer vruchtensap produceert, een positieve correlatie heeft tussen de omzet en de temperatuur. Deze exposure dwingt de onderneming tot het opstellen van een hedge met behulp van temperatuurderivaten. Het is voor veel ondernemingen moeilijk om de exposure ten aanzien van de temperatuur exact vast te stellen. Het eerder genoemde onderzoek van Ferrer et al (2001) meldt dat het vaststellen van de correlatie wordt bemoeilijkt doordat financiële resultaten voornamelijk op maandbasis worden gerapporteerd. Voor een juiste bepaling van de correlatie is het echter wenselijk dat de financiële resultaten dagelijks worden gerapporteerd. Een toename van het aantal handelaren is bevorderlijk voor de notering aangezien meer marktpartijen een grotere liquiditeit met zich mee brengen. Richards, Manfredo & Sanders (2004) voeren tevens aan dat de liquiditeit gebaad zou zijn bij ondermeer een lager basisrisico, een geaccepteerd waarderingsmodel en een verbeterde datavoorziening. Een toename van de liquiditeit kan mogelijk leiden tot een betere prijsvorming en een afname van de bid-ask spread. Volgens Campbell & Diebold (2004) is het liquiditeitpotentieel per definitie lager

dan

van

bijvoorbeeld

aandelen

gezien

het

locale karakter

van

temperatuurderivaten. Als indicator van de liquiditeit op de markt geef ik in tabel 3 de handelsactiviteit weer van Nederlandse temperatuur futures. Tabel 3 toont aan dat de handelsactiviteit op de desbetreffende contracten laag is.

november 03 december 03 januari 04 februari 04 maart 04 Tabel 3

Transacties Bied wijzigingen 2 0 1 1 3 1 6 8 2 3

Laat Settlement wijzigingen wijzigingen 7 7 0 1 0 3 3 15 2 5

Deze tabel geeft een overzicht van de handelsactiviteit op de Nederlandse temperatuur future markt. Het betreft hier een weergave van de handelsactiviteit gedurende de tijd dat het contract genoteerd staat. Het betreft dus niet alleen de activiteit tijdens cumulatieperiode. Opvallend is dat de handelsactiviteit veelal toeneemt naarmate de afloopdatum nadert.

De marktpartijen van het eerste uur zijn zoals gezegd energiegerelateerde ondernemingen. Zij handelen op deze markt omdat ze een direct financieel risico ondervinden

27


Hoofdstuk 2

als gevolg van temperatuurfluctuaties. Het volumerisico kan door een energieonderneming ook op een natuurlijke manier worden afgedekt. Wanneer het afnamegebied van de leverancier voldoende groot is, is er altijd wel ergens een grote vraag naar energie. Gezien de geringe temperatuurverschillen in Nederland is een natuurlijke hedge niet mogelijk voor een nationaal opererende energieonderneming. Naast

energiebedrijven

zijn

verzekeringsmaatschappijen

ook

actief

op

de

temperatuurderivaten markt. Het zijn veelal de verzekeringsmaatschappijen die vanuit speculatief

oogpunt

contracten

aangaan

met

de

energiebedrijven.

De

verzekeringsmaatschappijen proberen vervolgens het risico weer onder te brengen bij herverzekeraars. De transactie waarbij een eindgebruiker, bijvoorbeeld een energiebedrijf, betrokken is staat bekend als de “primaire markt”. De markt waarop de verzekeraar het risico probeert onder te brengen bij de herverzekeraars staat bekend onder de naam “secundaire markt”. Volgens Alaton, Djehiche & Stillberger (2002) wordt de CME juist gebruikt als secundaire markt om risico’s uit OTC contracten onder te brengen bij de herverzekeraars. De

mogelijkheid

om

weergerelateerde

risico’s

af

te

dekken

bij

een

verzekeringsmaatschappij bestaat uiteraard al veel langer. Door een verzekeringspolis af te sluiten kan men zich eenvoudig beschermen tegen de negatieve financiële gevolgen van het weer. De claim die ontstaat als gevolg van extreme weergerelateerde risico’s, zoals orkanen en overstromingen, worden door de verzekeraar met behulp van catastrofeobligaties ondergebracht op de kapitaalmarkt. Aangezien verzekeringsmaatschappijen reeds actief zijn op deze markt kan men zich afvragen wat de toegevoegde waarde is van weerderivaten. Weergerelateerde risico’s die worden ondergebracht bij een verzekeraar kenmerken zich veelal door een kleine kans van voordoen. Wanneer ze onverhoopt toch voorkomen is de schade in veel gevallen aanzienlijk. Met behulp van weerderivaten is het mogelijk om risico’s af te dekken die een grote kans van voorkomen hebben, maar een kleine resulterende schade. Een bijkomend voordeel van weerderivaten is dat de afsluitkosten lager kunnen zijn aangezien er geen sprake kan zijn van moral hazard15. De verzekerde partij heeft immers niet de mogelijkheid te frauderen door de onderliggende temperatuurindex te beïnvloeden. Ook hoeft de verzekeringsmaatschappij geen risico-inventarisatie uit te voeren om de premie vast te stellen. Tot slot hoeft de geleden schade niet aantoonbaar te zijn om een uitkering te kunnen eisen van de verzekeringsmaatschappij (Roustant et al 2003).

15

Term waarmee het verlies wordt aangeduid van een verzekeringsmaatschappij veroorzaakt door immoreel gedrag.

28


Hoofdstuk 2

Figuur 5 laat zien in welke sectoren de gebruikers van weerderivaten werkzaam zijn. Hieruit is op te maken dat iets meer dan de helft van de handelsactiviteit gerelateerd is aan de energiesector. Uit figuur 5 blijkt tevens dat de overige activiteit voor een groot deel is toe te rekenen aan ondermeer de agrarische sector, de handel en de transportsector. In het verdere verloop van deze paragraaf wil ik nader ingaan op de mogelijke voordelen die temperatuurderivaten kunnen bieden aan een aantal van deze sectoren.

Figuur 5

Grafische weergave van de sectoren waarin de respondenten werkzaam zijn. Het onderzoek geeft aan in welke sectoren de weerderivaten worden toegepast. (bron: WRMA / PWC industry survey 2004)

Naast een energiebedrijf loopt ook een bouwonderneming een risico ten aanzien van de temperatuur. Wanneer het te koud is, is het onmogelijk om beton te storten en dus loopt een bouwproject vertraging op. De kosten die hiermee zijn gemoeid kunnen worden afgedekt met behulp van temperatuursafhankelijke derivaten. De huidige vorm van markt biedt echter onvoldoende mogelijkheden om een effectieve hedge te creëren aangezien de looptijd van een standaard contract één maand is en bijvoorbeeld niet één dag of één week. Omdat de waarde van het derivaat wordt vastgesteld naar aanleiding van de gemiddelde temperatuur kan het zijn dat de risico’s niet correct worden opgevangen door het derivaat. Een perfecte hedge is dus erg moeilijk te bereiken in dit soort gevallen. Het is wel mogelijk om een positie in te nemen die een vergoeding biedt in een strenge winter. Door een long positie in te nemen in een HDD call optiecontract met een relatief lage uitoefenprijs ben je verzekerd tegen de negatieve gevolgen van een strenge winter. Mocht dit niet goed passen bij de eisen van de onderneming dan bestaat er altijd nog de mogelijkheid om een OTC contract af te sluiten. De agrarische sector is misschien wel een van de meest voor de hand liggende voorbeelden van een sector die sterk afhankelijk is van de temperatuur. De groei van

29


Hoofdstuk 2

sommige gewassen is optimaal wanneer de temperatuur zich binnen bepaalde grenzen begeeft. Een mogelijke hedge kan worden opgesteld met behulp van een combinatie van een long put en een long call (straddle) op bijvoorbeeld een HDD future contract. Door een put aan te gaan met een uitoefenprijs lager dan de uitoefenprijs van de call is het mogelijk een gewenst HDD bereik in te sluiten. Er volgt een uitbetaling van de put wanneer de indexwaarde onder de uitoefenprijs komt en een uitbetaling van de call wanneer de index boven de gewenste indexwaarde komt. De ideale groeitemperatuur is vast te stellen door de relatie tussen de temperatuur en het aantal geoogste kilo’s te onderzoeken. Dit is echter een relatie die een behoorlijke bias ondervindt van ondermeer de luchtvochtigheid, regenval en heersende ziektes. Dit voorbeeld geeft aan dat niet alleen de waardering van temperatuurderivaten een probleem vormt maar ook de bepaling van de exposure nog de nodige aandacht vraagt. De exposure ten aanzien van temperatuur is eenvoudiger te bepalen in het geval van de glastuinbouw. De stookkosten worden in deze sector voornamelijk bepaald door het verschil tussen de buitentemperatuur en de gewenste binnentemperatuur. Dit wordt bevestigd door een onderzoek van Smeets (2001). De Horeca en drankenindustrie hebben ook een duidelijke exposure ten aanzien van de temperatuur. Wanneer de temperatuur hoog is stromen de terrassen vol en wordt er meer drank geconsumeerd wat hogere winsten tot gevolg heeft. De exposure is in dit geval makkelijker vast te stellen door de relatie tussen de dagelijkse omzet en dagelijkse temperatuur te onderzoeken. Het risico kan in dit geval worden afgedekt met behulp van collar. Een collar is een combinatie van een call en een put contract die veelal tegen geringe kosten te verkrijgen is. Door een long positie te nemen in een CAT put contract met een uitoefenprijs van bijvoorbeeld 300 CAT’s is men beschermd tegen een zomer met lage temperaturen. Deze long positie in een put contract kan worden gefinancierd door een short positie in een CAT call contract aan te gaan met een uitoefenprijs van bijvoorbeeld 400 CAT’s. De premie die voor de short positie wordt ontvangen kan worden gebruikt voor het aangaan van de long positie. Op deze manier ontstaat er een vrijwel kostenloze hedge tegen te lage zomertemperaturen. Wanneer de temperatuur in de zomer hoog is kan eenvoudig aan de verplichtingen van de call worden voldaan door de hogere winst als gevolg van de toegenomen drankverkopen. Op deze manier kunnen volatiele resultaten als gevolg van een relatief tegenvallende zomer worden gecompenseerd. Naast de verzekeraars vormen banken ook een groep potentiële toetreders tot de markt. Zij kunnen gebruik maken van temperatuurderivaten om financiële producten aan te bieden die temperatuursafhankelijk zijn. Zo is het bijvoorbeeld mogelijk dat banken leningen 30


Hoofdstuk 2

verstrekken waarvan de rente temperatuursafhankelijk is. Dit soort financiële producten kunnen worden verkocht aan ondernemingen met temperatuur gecorreleerde resultaten, maar die zelf niet in staat zijn deze risico’s vakkundig af te dekken via de kapitaalmarkt. Skigebieden hebben geen temperatuurgerelateerde exposure maar een sneeuw gerelateerde exposure. De aanwezigheid van een goed pak sneeuw is van groot belang voor de locale horeca en hotels. Sneeuwcontracten worden voor als nog niet verhandeld op een beurs maar het is in de toekomst absoluut mogelijk door afspraken te maken over ondermeer sneeuwdikte, de locatie en de looptijd van het contract. Figuur 1 in paragraaf 2.1 bewijst dat OTC contracten met sneeuwniveaus als onderliggende waarde wel degelijk voorkomen.

2.9

Samenvatting In hoofdstuk twee geef ik allereerst inzicht in de basisbeginselen van

temperatuurderivaten door in te gaan op de vaststelling van het aantal degree days en de verschillende indexen waarop de derivaten worden verhandeld. Verder worden de verschillende contracten, zoals futures en opties, besproken aan de hand van een voorbeeld. Het historisch overzicht geeft inzage in het ontstaan van temperatuurderivaten en de oorsprong van de specifieke terminologie die hierbij gebruikelijk is. Tot slot geeft hoofdstuk twee een uiteenzetting van de gebruikers en de mogelijke toekomstige gebruikers van temperatuurderivaten. Dit geeft aan dat de toepassingsmogelijkheden breed zijn aangezien vrijwel elke sector op een of andere manier invloed ondervindt van de temperatuur. In het nu volgende hoofdstuk ga ik nader in op de temperatuursverwachting. In hoofdstuk drie zal naar voren komen dat deze verwachting op verschillende methoden kan worden gebaseerd. Tevens zal er in hoofdstuk drie een verwachting worden opgesteld met behulp van één van deze drie methoden.

31


Hoofdstuk 3:

3.1

Hoofdstuk 3

Temperatuurmodellering

Inleiding In de probleemstelling is al naar voren gekomen dat ik in deze scriptie de waardering

van Nederlandse temperatuurderivaten wil onderzoeken. Uit publicaties van ondermeer Alaton, Djehiche & Stillberger (2002) en Benth & Saltyte (2004) komt naar voren dat het niet mogelijk is temperatuurderivaten te waarderen met behulp van de gebruikelijk waarderingsmethoden. Normaal gesproken worden derivaten gewaardeerd door het pay off patroon van het derivaat te repliceren met behulp van bestaande financiële instrumenten. Door een tegengestelde positie in te nemen in de replicaportefeuille heffen de beide risico’s elkaar exact op en ontstaat er een risicovrije hedge. In dit geval kan geconcludeerd worden dat de correcte prijs van het derivaat gelijk is aan de kostprijs van de replicaportefeuille. Het exact repliceren van het pay off patroon vereist een liquide financieel instrument dat een hoge correlatie heeft met de desbetreffende onderliggende waarde. Een bijkomend probleem hierbij is dat de correlatie moeilijk is vast te stellen door de gebrekkige koersinformatie van de temperatuurderivaten. Een financieel instrument dat een sterke correlatie heeft met de temperatuur is mij dan ook niet bekend, waardoor er alternatieve waarderingsmethoden moeten worden bekeken. Een van de meest bekende optie waarderingsmethoden is de methode van Black en Scholes16. Deze methode is gebaseerd op het arbitrage principe en prijst opties aan de hand van een vijftal determinanten waaronder de actuele prijs van de onderliggende waarde. Het probleem hierbij is dat de feitelijke onderliggende waarde van een temperatuuroptie niet verhandelbaar is en dus ook geen prijs kent. Een tweede punt is dat de Black en Scholes waarderingsformule gebruik maakt van de veronderstelling dat de onderliggende waarde een random walk volgt zonder mean reversion17. Dit betekent dat de waarde in theorie tot in de oneindigheid door kan stijgen. Dit is een assumptie die wel gemaakt kan worden bij opties op aandelen maar absoluut niet reëel is voor het temperatuurverloop. De Black en Scholes 16

17

Zie voor meer informatie over de Black en Scholes waarderingsformule het boek van J. C. Hull, fundamentals of futures and options markets Onder de term “ mean reversion” verstaan we de neiging van een traject om terug te keren naar een bepaalde waarde.

32


Hoofdstuk 3

methode maakt tevens gebruik van de veronderstelling dat de volatiliteit een constant verloop kent. Zoals later naar voren zal komen is er bij de temperatuur geen sprake van constante volatiliteit. Dit maakt de methode van Black en Scholes ongeschikt voor het waarderen van temperatuuropties. De verdere opbouw van hoofdstuk drie ziet er als volgt uit. In paragraaf 3.2 wil ik een uiteenzetting geven van mogelijke waarderingsmethoden waaronder de methode die ik wil uitwerken in deze scriptie. Paragraaf 3.3 gaat vervolgens in op de dataset die noodzakelijk is voor het waarderen van temperatuurderivaten. De paragrafen 3.4, 3.5 en 3.6 richten zich op de modellering van de temperatuur en in paragraaf 3.7 volgt de toetsing van het temperatuurmodel. Ik sluit af met een samenvatting van hoofdstuk drie in paragraaf 3.8.

3.2

Waarderingsmethoden Zoals in de vorige paragraaf al naar voren is gekomen is het niet eenvoudig

temperatuurderivaten te waarderen op basis van een beproefde waarderingsmethode. De vraag is nu hoe temperatuurderivaten geprijsd kunnen worden. Omdat de pay off structuur niet gerepliceerd kan worden moet de waarde op een andere manier bepaald worden. In de nu volgende subparagrafen wil ik de voor- en nadelen van een drietal verwachtingsmethoden nader bespreken. Allereerst zal ik de drie verschillende methoden kort toelichten. Door de gemiddelde pay off waarde van een contract in het verleden te bepalen kan er een verwachting worden gevormd van de waarde van het huidige contract. Deze methode staat bekend onder de naam historische analyse18. Om deze methode toe te passen is er een dataset met historische temperaturen nodig om de pay off van de optie in het verleden te bepalen. Een tweede methode staat bekend onder de naam “indexmodellering”. Deze methode probeert de verdeling van historische eindindexen weer te geven met behulp van een standaardverdeling. Door vervolgens een groot aantal trekkingen uit deze standaardverdeling te doen, wordt er een verwachting gecreëerd van de toekomstige temperatuurindex. Zowel de historische analyse als de methode van indexmodellering zijn voorbeelden van de actuariële methode. Dit betekent dat deze twee methoden een verwachting vormen door gebruik te maken van de index uit het verleden. Een alternatieve manier om een verwachting van de eindindex te vormen is het direct modelleren van de temperatuur, en

18

Deze methode staat ook wel bekend onder de naam Burn analyse

33


Hoofdstuk 3

vervolgens de index af te leiden. Het modelleren van de temperatuur kan op diverse manieren maar veelal wordt er gebruik gemaakt van een model op basis van historische data. Het is ook mogelijk een meer geavanceerd model op te stellen dat, naast temperatuur, gebruik maakt van andere klimatologische input gegevens zoals oceaantemperatuur, luchtstromingen of temperatuurvoorspellingen. Het schatten van een goed model op basis van actuele klimatologische gegevens vereist echter veel kennis over temperatuurprocessen en is daarom minder geschikt voor niet-meteorologen. Het verschil tussen deze methode en de actuariële methoden is gelegen in het feit dat de verwachtingen niet zijn gelimiteerd tot de in het verleden voorgekomen waarden. Dit komt beter overeen met de werkelijkheid waarbij de temperatuur ook niet binnen de grenzen van de historie zal blijven. In de nu volgende subparagrafen zal ik apart ingaan op elk van de drie genoemde verwachtingsmethoden. Door verder in te gaan op de voor- en nadelen van de drie verschillende methoden zal ik uiteindelijk voor een methode kiezen. Aan de hand van deze methode zal ik de geëiste risicopremie afleiden uit de beschikbare marktnoteringen.

3.2.1 Historische analyse De meest eenvoudige waarderingsmethode is de historische analyse. Op basis van deze methode wordt de waarde van een temperatuurderivaat bepaald op basis van de index uit het verleden. Deze methode is gebaseerd op de volgende vraag: “Wat zou de waarde van een identiek derivaat zijn geweest, wanneer het was uitgegeven in een ander jaar?”. Stel dat je op 30 november 2003 een fictief HDD optiecontract wilt waarderen dat betrekking heeft op de maand december 2003 met een uitoefenprijs van 450 HDD’s. De verwachte waarde van dit contract bepaal je door de pay off van het contract te bepalen voor december 2002, 2001, 2000 enz. Op deze wijze ontstaat er een reeks met historische pay off waarden waarop de verwachting gebaseerd kan worden. Door eenvoudigweg het gemiddelde te bepalen van de jaarlijkse pay off kun je een inschatting maken van de toekomstige pay off van het derivaat. Bij de methode van historische analyse rijst de vraag hoeveel data er in de analyse moet worden betrokken. Door gebruik te maken van een kleine dataset kan er een onzuiver gemiddelde ontstaan omdat het aantal waarnemingen klein is. Wanneer de dataset groot is ontstaat er wel een nauwkeurig gemiddelde maar je kunt je afvragen in hoeverre de historische data nog relevant is. Wanneer ik de fictieve optie zou waarderen op basis van de

34


Hoofdstuk 3

historische methode ontstaat er een verwachte koers van 30,63 HDD’s. Hierbij maak ik gebruik van de gehele dataset zonder de verwachting te corrigeren voor risico. In tabel 4 komt naar voren dat de historische analyse sterk afhankelijk is van de gebruikte dataset. Uit tabel 4 blijkt duidelijk dat de verwachte pay off sterk afneemt wanneer de dataset een kleinere omvang heeft. Deze grote verschillen worden veroorzaakt doordat de staarten van de pay off verdeling niet goed tot uiting komen in een kleine dataset (Zeng, 2000). Aangezien het hier een optiecontract betreft zal een positieve uitschieter van de index wel leiden tot een hogere optiewaarde terwijl een negatieve uitschieter resulteert in een optiewaarde van nul. Door een grotere dataset te gebruiken zullen er meer positieve uitschieters worden meegenomen in de waardering en dus resulteert er een hogere gemiddelde pay off.

Aantal jaar Gemiddelde pay off 15,81 25 24,35 50 30,63 103 Tabel 4:

Dit is de gemiddelde pay off van een fictief HDD contract voor de maand december waarbij het gemiddelde bepaald is op basis van verschillende looptijden. De looptijden hebben betrekking op de laatste 25 jaar, de laatste 50 jaar en de hele dataset van 103 jaar. Hieruit blijkt dat de looptijd keuze een belangrijke factor is bij het waarderen van opties met behulp van de historische analyse.

Om een inzicht te krijgen in de verdeling van het aantal HDD’s staat er in figuur 6 een histogram weergegeven van de maand december. Deze verdeling is ontstaan door voor elke december maand uit de dataset het aantal HDD’s te bepalen. Aan de spreiding en het grillige verloop van de grafiek is te zien dat de omvang van de dataset een relevante rol speelt bij de bepaling van het gemiddelde.

35


Hoofdstuk 3

12

waarde aantal waarnemingen maximum minimum gemiddelde mediaan standaard dev. skewness kurtosis

10

8

6

4

2

0

std. fout

103 625 333 459,87 450,4 65,19 0,51 -0,28

6,42

0,24 0,47

62

60

57

55

52

50

48

45

43

40

38

36

33 6,

0,

4,

8,

2,

6,

0,

4,

8,

2,

6,

0,

4,

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

HDD

Figuur 6:

Verdeling van het aantal HDD voor de maand december gemeten over de hele dataset en de bijbehorende descriptieve statistieken.

De kwaliteit van de verwachting op basis van historische analyse hangt sterk samen met de volatiliteit van de temperatuurreeks. Wanneer deze door de jaren heen een constant en laag verloop kent dan geeft de historische analyse betere resultaten. Om de verwachting te verbeteren kan de historische analyse worden aangevuld met eventueel waarneembare trends. Zo kan het zijn dat een derivaat steeds vaker “in the money” noteert omdat de temperatuur door bijvoorbeeld het broeikaseffect stijgt. Wanneer er een eventuele trend aanwezig is kan de verwachte waarde hiervoor gecorrigeerd worden. Een nadeel van de historische analyse is dat er mogelijk een slecht inzicht ontstaat in de volatiliteit van de onderliggende waarde. Dit effect speelt vooral een rol wanneer er nietlineaire derivaten worden gewaardeerd zonder dat men de beschikking heeft over temperatuurdata. Een niet-lineair derivaat, zoals een optie, neemt de waarde nul aan wanneer deze “out of the money” expireert. Het gevolg hiervan is, dat het verloop van het negatieve deel van de koersverdeling onbekend blijft. Dit effect speelt dus alleen een rol wanneer de temperatuurdata niet beschikbaar is. Wanneer dit wel het geval is dan kan de mate van “moneyness” eenvoudig uit de dataset worden afgeleid. Een ander nadeel van de historische methode is volgens Brix, Jewson & Ziehmann (2002) dat er maar een beperkt aantal gegevens van de dataset worden gebruikt. Wanneer de looptijd van het contract bijvoorbeeld een maand is analyseer men alleen de historische gegevens van de desbetreffende maand. Relevante informatie uit bijvoorbeeld de voorgaande

36


Hoofdstuk 3

maand wordt niet gebruikt. Hierdoor wordt er door de historische analyse inefficiënt met de beschikbare informatie omgegaan. Met behulp van een voorbeeld wil ik deze specifieke tekortkoming nader toelichten. Men wil op 20 januari een verwachting vormen over de HDD eindindex van de maand januari. Stel nu dat er gedurende de eerste twintig dagen van de maand januari lagere temperaturen dan gemiddeld werden waargenomen. Dit heeft tot gevolg dat de HDD index hoger dan gemiddeld noteert. Wanneer de verwachting nu gebaseerd wordt op de methode van historische analyse gaat men er van uit dat het restant van de maand januari een gemiddeld verloop kent. De kans is nu groot dat de temperatuur te hoog wordt ingeschat en dus zal de verwachting van de HDD index te laag zijn. Dit effect wordt veroorzaakt doordat de methode van historische analyse geen rekening houdt met recent gerealiseerde temperaturen. Tevens stellen Richards, Manfredo & Sanders (2004) dat het gebruik van de historische analyse leidt tot een lage handelsactiviteit gezien het statische karakter van de verwachting. In de nu volgende subparagraaf zal ik een alternatieve verwachtingsmethode bespreken namelijk de methode van index modellering.

3.2.2 Index modellering In deze subparagraaf wil ik nader ingaan op de methode van index modellering. Deze methode valt, net als de hiervoor besproken historische analyse, onder de actuariële waarderingsmethoden (Jewson, 2004). Deze methode is net als historische analyse gebaseerd op de temperaturen uit het verleden. De methode van index modellering tracht een contract te waarderen door de verdeling van de degree day index te benaderen met een standaardverdeling. Er ontstaat vervolgens een verwachting door het gemiddelde te bepalen van een groot aantal trekkingen uit deze standaardverdeling. De standaardverdeling die gebruikt wordt om de werkelijke verdeling te benaderen dient rekening te houden met de karakteristieken van de werkelijke verdeling. Eigenschappen als kurtosis en skewness kunnen alleen goed benaderd worden wanneer de werkelijke verdeling gebaseerd is op een zeer groot aantal historische waarnemingen. Het gebruik van een benaderende index vormt zowel een voor- als een nadeel van deze methode (Jewson, 2004). Het voordeel is gelegen in het feit dat de verwachting niet gelimiteerd is tot de historische waarnemingen, zoals bij de historische analyse wel het geval

37


Hoofdstuk 3

is. Deze eigenschap komt uiteraard beter overeen met de werkelijkheid aangezien de temperatuur ook historische extremen kan doorbreken. Door gebruik te maken van trekkingen uit een standaardverdeling kunnen extreme waarden ook worden meegenomen in de verwachting. Het voordeel van een benaderende standaardverdeling brengt tegelijkertijd ook een nadeel met zich mee. De standaardverdeling wordt verondersteld gelijk te zijn aan de werkelijke verdeling van de eindindex waarden. Wanneer de beide indexen niet goed overeenkomen ontstaat hiermee de mogelijkheid op foutieve verwachtingen. De kans dat deze bias zich voordoet kan aanzienlijk worden geacht. Wanneer de verdeling van figuur 6 in paragraaf 3.2.1 in ogenschouw wordt genomen, valt direct op dat deze verdeling zich moeilijk door een standaardverdeling laat beschrijven. In Jewson (2004) wordt er een vergelijking gemaakt tussen de historische analyse en de methode van indexmodellering. Wanneer zowel de trend als de exacte verdeling van de index bekend worden verondersteld geeft de methoden van indexmodellering zoals verwacht betere resultaten. Bij opties wordt deze verbetering significanter wanneer het verschil tussen de uitoefenprijs en de verwachting groter is. Concluderend kan worden gesteld dat “at the money” opties beter met de historische analyse kunnen worden geprijsd terwijl “out of the money” opties beter door middel van indexmodellering kunnen worden gewaardeerd. In de nu volgende subparagraaf ga ik verder in op een zogenaamde niet-actuariële waarderingsmethoden.

3.2.3 Temperatuurmodellering Bij de methode van temperatuurmodellering kan er op basis van diverse input gegevens een model worden opgesteld dat de toekomstige temperatuur schat. De gemodelleerde temperaturen kunnen vervolgens worden omgezet tot een verwachte degree day index. Grofweg zijn er twee methoden van temperatuurmodellering te onderscheiden: Het statische model en het dynamische model. De statische methode schat de temperatuur met behulp van een model dat alleen is gebaseerd op data uit het verleden. Een temperatuurmodel op basis van historische gegevens kan worden gebaseerd op diverse klimatologische variabelen zoals luchtvochtigheid, luchtstroming of oceaantemperatuur. Het verschil tussen een statisch temperatuurmodel en de historische analyse is gelegen in het feit dat de verwachting van de historische analyse niet

38


Hoofdstuk 3

buiten het verleden kan treden. Een verwachting op basis van een temperatuurmodel is opgesteld met behulp van het verleden maar kan ook unieke temperaturen genereren. De dynamische temperatuurmodellering is gebaseerd op actuele data. Deze voorspellingen komen tot stand door computersimulaties waarin rekening wordt gehouden met alle relevante klimatologische processen en hun wisselwerking. Deze methode wordt voornamelijk

door

meteorologische

instituten

toegepast

bij

de

korte

termijn

temperatuurvoorspellingen. Het voordeel van de dynamische methode is dan ook dat de temperatuurvoorspellingen een zeer grote nauwkeurigheid19 hebben. Het grote nadeel van deze schattingsmethode is de relatief korte periode waarbinnen betrouwbare voorspellingen kunnen worden gedaan. Volgens het KNMI biedt deze voorspelmethode een acceptabele betrouwbaarheid binnen een periode van ongeveer zeven dagen. Een ander nadeel van deze methode is dat er aanzienlijke meteorologische kennis vereist is om het dynamische model op te stellen en toe te passen. Dit maakt de toepassing van deze methode minder geschikt voor niet-meteorologen. De vraag is nu of een dynamisch model op basis van actuele gegevens beter presteert dan een statisch model, afgeleid uit historische data. Het antwoord van deze vraag is echter sterk afhankelijk van de voorspelperiode. Campbell & Diebold (2004) vergelijken een statisch temperatuurmodel

met

diverse

andere

temperatuurmodellen.

Deze

“benchmark”

voorspellingen variëren van zeer naïef tot geavanceerd. De naïeve voorspelling stelt dat de temperatuur van vandaag gelijk is aan de temperatuur van gisteren plus een aselecte afwijking op basis van een standaardverdeling. Deze eenvoudige methode staat bekend als de persistente methode. De geavanceerde voorspelling is afkomstig van Earthsat en gebaseerd op alle relevante informatie. De resultaten van het onderzoek bevestigen dat de voorspelperiode van belang is bij de keuze van het model. De persistente methode voorspelt de temperatuur redelijk goed op de zeer korte termijn (één dag). De Earthsat voorspelling gaf, zoals verwacht, de beste resultaten tot een voorspelperiode van ongeveer acht dagen. Na deze acht dagen is de kwaliteit van de Earthsat voorspelling vergelijkbaar met een voorspelling op basis van het statische temperatuurmodel. Deze onderzoeksresultaten tonen aan dat een schatting op basis van een statisch temperatuurmodel niet veel onder doen voor de verwachting van Earthsat wanneer de temperaturen over een langere termijn voorspeld worden.

19

Deze nauwkeurigheid wordt door meteorologen aangeduid met de term “skill”. Het geeft de mate aan waarin voorspellingen uitkomen.

39


Hoofdstuk 3

In deze scriptie kies ik er voor een indexverwachting op te stellen aan de hand van een temperatuurmodel gebaseerd op historische temperatuurgegevens. Deze methode is toepasbaar voor niet-meteorologen en de benodigde data kan eenvoudig en goedkoop worden verkregen via het KNMI. Tevens zijn de voorspellingen van deze methode niet gelimiteerd tot het verleden. Ook is deze methode in staat om wisselende verwachtingen af te geven op verschillende momenten. Tevens bewijzen de resultaten van Campbell & Diebold (2004) dat hun model op basis van historische data op de langere termijn niet onder doet voor het geavanceerde dynamische Earthsat model. De verwachting op basis van historische temperatuurmodellering vraagt om een analyse van het historische temperatuurverloop en daarmee ben ik bij het eerste deel van de probleemstelling aangekomen.

“Wat zijn de eigenschappen van de Nederlandse temperatuur, en hoe kunnen deze eigenschappen in een model worden gevat”.

Het vervolg van hoofdstuk drie is gericht op het analyseren en het modelleren van de temperatuur. In paragraaf 3.3 bespreek ik allereerst de dataset die ik voor dit onderzoek gebruik.

3.3

De dataset De temperatuurindex, zoals die wordt opgesteld door de CME, is gebaseerd op

dagelijkse temperaturen gemeten op Schiphol. Om een juiste waardering te verkrijgen is het dus noodzakelijk dat het verwachtingsmodel gebaseerd wordt op de temperaturen van Schiphol. Deze temperatuurdata is helaas niet vrij verkrijgbaar20 bij het KNMI, zodat ik genoodzaakt ben gebruik te maken van de temperatuurdata van het nabij gelegen meetstation “De Bilt”. De data van dit meetstation is vrij te verkrijgen via de website van het KNMI en bestrijkt een periode van 1-1-1901 tot en met het heden. Het meetstation De Bilt is tevens door de CME aangewezen als officieel terugval station wanneer de meting op Schiphol om wat voor reden dan ook niet kan plaatsvinden. De dataset waarvan ik gebruik maak loopt van 1-1-1901 tot en met 31-12-2003. De schrikkeldagen zijn hieruit verwijderd om gebruik te kunnen maken van jaren met 365 dagen. 20

Bijna 3000 euro voor de gemiddelde dagelijkse temperatuur gedurende een periode van 50 jaar.

40


Hoofdstuk 3

De dataset die gebruikt wordt voor de modellering van de temperatuur bestaat, na het verwijderen van de schrikkeldagen, uit 37.595 waarnemingen. De warmste dag uit de dataset werd waargenomen op 27-6-1947 met een gemiddelde temperatuur van 27,9 graden Celsius. Op 16-2-1956 werd de koudste temperatuur waargenomen met een gemiddelde van -14,4 graden Celsius. Tabel 5 geeft de descriptieve statistieken van de dataset weer. Door deze statistieken per maand weer te geven ontstaat er een duidelijk beeld van de maandelijkse temperatuurverschillen. Het valt op dat de waarden voor standaarddeviatie, skewness en kurtosis geen constant verloop kennen, maar variëren met de maanden.

januari februari maart april mei juni juli augustus september oktober november december Tabel 5:

Minimum Maximum Gemiddelde Mediaan St. Dev. Skewness Kurtosis -14,4 11,9 2,185 2,7 4,394 -0,631 0,206 -15,0 14,0 2,550 3,0 4,223 -0,601 0,354 -7,2 15,3 5,181 5,3 3,312 -0,149 -0,054 -2,1 20,5 8,255 8,0 3,211 0,401 0,135 3,5 25,2 12,487 12,2 3,531 0,382 -0,079 6,9 27,9 15,202 14,8 3,140 0,615 0,250 10,7 27,1 16,980 16,5 2,852 0,757 0,370 10,0 26,6 16,686 16,3 2,582 0,737 0,618 6,6 25,7 14,021 13,9 2,604 0,224 0,015 -0,8 19,4 10,052 10,3 3,205 -0,331 -0,112 -9,5 15,0 5,743 6,1 3,572 -0,353 -0,143 -13,3 13,3 3,119 3,4 4,198 -0,491 0,175

Descriptieve statistieken van temperatuur weergegeven per maand. Opvallend is het niet constante verloop van de standaard deviatie, de skewness en de kurtosis. Wanneer de maandelijkse temperatuur normaal verdeeld zou zijn dan namen skewness en kurtosis de waarde nul aan.

De waarden voor skewness en kurtosis in tabel 5 tonen aan dat de maandelijkse temperatuur niet normaal verdeeld is. In geval van een normale verdeling zouden de waarden voor skewness en kurtosis gelijk moeten zijn aan nul. Het is opvallend dat de skewness een negatieve waarde aanneemt voor de zes koudste maanden van het jaar en een positieve waarde heeft voor de zes warmste maanden van het jaar. De niet-normaliteit van de temperatuur komt duidelijk naar voren in figuur 7 waar het histogram van de dagelijkse temperatuur wordt afgebeeld met de normale verdeling.

41


Hoofdstuk 3

5000

Minimum Maximum

4000

Gemiddelde Stand. fout

3000

2000

1000

Waarde -14,50 27,90

St. fout

9,41 6,38

0,033

Mediaan Skewness

9,60 -0,22

Kurtosis Kolmo-Smir

-0,38 9,68

0,013 0,025

0 -14,1

-7,1 -10,6

Figuur 7:

-,0 -3,6

7,0 3,5

14,0 10,5

21,1 17,6

28,1 24,6

Verdeling van de temperatuur opgesteld op basis van de hele dataset. De twee toppen zijn een duidelijk teken van sterke seizoensinvloeden. De P waarde van de KolmogorovSmirnov statistiek geeft een waarde van nul aan. Dit betekent dat de verdeling niet normaal verdeeld is. Dit komt ook naar voren in de skewness en de kurtosis die beide significant afwijken van nul.

De invloed van de seizoenen is duidelijk terug te zien in het histogram van figuur 7 aangezien de verdeling twee toppen heeft. Dit effect is ook waargenomen door Benth & Saltyte (2004) in hun onderzoek naar de temperaturen van zeven Noorse steden. Voor drie van de zeven steden vinden ze een verdeling met twee toppen. Ze stellen het volgende “in some cases we observe a multimodal pattern, being a clear sign of strong seasonality”. Omdat het meetstation op Schiphol, dat officieel gebruikt wordt voor de waardering van temperatuurderivaten, vermoedelijk niet precies dezelfde temperaturen weergeeft als het meetstation in De Bilt kan er een bias ontstaan in de resultaten. Deze bias is vermoedelijk verwaarloosbaar gezien de geringe geografische afstand tussen Schiphol en De Bilt. Om toch inzicht te krijgen in de correlatie tussen de temperaturen van verschillende meetstations heb ik de correlatie bepaald tussen een drietal Nederlandse stations. Deze stations zijn De Bilt in De Bilt, Eelde in Groningen en Beek in Maastricht. De plaatsen zijn zo gekozen dat de onderlinge afstand tussen de stations maximaal is. Zoals te zien is in Tabel 6 is de correlatie tussen de eerste afgeleide van de temperatuur aanzienlijk, zelfs wanneer de afstand tussen de stations groot is. De laagste correlatie (70%) tussen Eelde en Beek is conform de verwachting aangezien de afstand tussen deze twee stations het grootst is.

42


Hoofdstuk 3

De Bilt Eelde Beek Tabel 6:

De Bilt 1,00

Eelde

Beek

0,84

0,84

0,84

1,00

0,70

0,84

0,70

1,00

Correlatie tussen de eerste afgeleide van de temperatuur van drie Nederlandse meetstations. Zoals verwacht is de correlatie het grootst wanneer de geografische afstand tussen twee stations klein is. Dit sterkt mijn vermoeden dat er een zeer grote overeenkomst is tussen de temperaturen van Schiphol en De Bilt

Om de verschillen tussen de stations in kaart te brengen kan de gemiddelde dagelijkse afwijking worden bepaald. Door de temperatuur van het meetstation De Bilt te verminderen met de temperatuur van het station Eelde ontstaat er een verschil. Deze gemiddelde dagelijkse afwijking van Eelde ten opzichte van De Bilt bedraagt 0,57 graden. Dit betekent dat het gemiddeld iets kouder is in Eelde. Het omgekeerde geldt voor Beek aangezien de gemiddelde afwijking ten opzichte van De Bilt -0,47 graden bedraagt. Dit is eenvoudig te verklaren gezien het feit dat Maastricht zuidelijker ligt, en Eelde noordelijker ten opzichte van De Bilt. Dit sterkt mijn veronderstelling dat de absolute verschillen in temperatuur tussen Schiphol en De Bilt minimaal zullen zijn gezien de relatief kleine onderlinge afstand. Het KNMI waarschuwt ook voor een bias die kan zijn ontstaan door verplaatsing van het meetpunt en een verbetering van de meettechniek. Dit is logisch aangezien de temperatuur in het jaar 1901 nog niet met een computer gemeten kon worden. Corrigeren voor deze veranderingen is wegens een gebrek aan informatie niet mogelijk. In de nu volgende paragrafen ga ik verder met de modellering van de temperatuur. In paragraaf 3.4 zal ik allereerst ingaan op de gemiddelde temperatuur.

3.4

Gemiddelde temperatuur Zoals al eerder naar voren is gekomen wil ik de degree day index benaderen met een

temperatuurmodel dat gebaseerd is op historische temperatuurdata. In eerdere publicaties van onder andere Campbell & Diebold (2004), Benth & Saltyte (2004) en Alaton, Djehiche & Stillberger (2002) wordt de temperatuur ook op basis van een model met historische temperaturen gemodelleerd. In deze publicaties wordt getracht op basis van een aantal karakteristieke eigenschappen van de temperatuur een model te formuleren. Als karakteristieken van de temperatuur worden veelal aangewezen: (a) de constante, (b) de trend, (c) de seizoensgolf, (d)

43


Hoofdstuk 3

terugkeer naar het gemiddelde en (e) niet-constante standaarddeviatie. Door een model te formuleren dat aan deze eigenschappen voldoet kan de temperatuur redelijk benaderd worden. In deze paragraaf wil ik allereerst de gemiddeldetemperatuur afleiden aan de hand van de constante, de trend en de seizoensgolf. De keuzes ten aanzien van de trend en de seizoensinvloed zal ik bespreken in paragraaf 3.4.1 en paragraaf 3.4.2. In paragraaf 3.5 bespreek ik allereerst het cyclische patroon van de temperatuur en vervolgens modelleer ik het residu.

3.4.1 Trend Het trendverloop is wellicht een van de meest besproken eigenschappen van de temperatuur. Er wordt verondersteld dat de stijgende trend veroorzaakt wordt door het zo veel besproken broeikaseffect of het zogenaamde “heat island” effect. Dit laatste effect wordt voornamelijk veroorzaakt door urbanisatie. Aangezien de temperatuur veelal in een stedelijke omgeving wordt gemeten kan er een bias ontstaan. Deze bias wordt veroorzaakt doordat een stedelijk gebied meer warmte uitstraalt en vasthoudt dan een landelijk gebied. Deze vorm van temperatuurstijging is dus niet toe te rekenen aan een algemene temperatuurstijging maar vooral te wijten aan zeer locale temperatuurstijgingen in stedelijke gebieden. Door Brix, Jewson & Ziehmann (2002) wordt er een significant stijgende trend gevonden voor vliegveld LaGuardia in New York. Op hetzelfde moment wordt er echter geen significante trend voor het nabij gelegen Central Park geconstateerd. Dit kan veroorzaakt zijn door de warmte die wordt afgegeven door het als maar toenemende vliegverkeer. Dit toont aan dat het “heat island” effect wel degelijk aanwezig is, en zeer lokaal kan optreden. In een model kan de temperatuurtrend op verschillende manieren worden weergegeven. Zo beschrijven Alaton, Djehiche & Stillberger (2002) de trend met behulp van een lineaire functie. In dat onderzoek wordt de trend in eerste instantie op basis van een kwadratische functie geschat maar hierbij domineerde het lineaire effect. Op basis hiervan is de trend uitsluitend gemodelleerd met behulp van een lineaire functie. De dataset die hiervoor gebruikt werd bestond uit de dagelijkse temperatuur van de afgelopen 40 jaar gemeten in Zweden. In tegenstelling tot deze resultaten vinden Benth & Saltyte (2004) geen significante trend op basis van hun dataset voor Noorwegen. Er wordt echter wel erkend dat dit veroorzaakt kan zijn door de geringe omvang van de dataset, welke slechts 14 jaar bestrijkt.

44


Hoofdstuk 3

In een onderzoek van Campbell & Diebold (2004) wordt er wel een significante trend waargenomen. Deze trend is gebaseerd op een dataset met temperatuurwaarnemingen van vier Amerikaanse steden gedurende een periode van 40 jaar. Uit deze resultaten blijkt dat het al dan niet vinden van een significante trend ondermeer samenhangt met de lengte van de dataset en de aanwezigheid van een heat island. Door van elk jaar uit de dataset de gemiddelde temperatuur te bepalen ontstaat er een beeld van het temperatuurverloop in De Bilt. Vervolgens kan er bepaald worden of de temperatuur daadwerkelijk stijgt. De gemiddelde jaarlijkse temperaturen van De Bilt worden weergegeven in figuur 8.

Figuur 8:

De gemiddelde temperatuur per jaar laat een lichte stijging zien. Vanaf 1987 liggen bijna alle gemiddelde temperaturen boven de 10 graden. Dit kan onder andere veroorzaakt zijn door het broeikaseffect, het “heat island” effect of een verandering in de meettechniek.

Het valt direct op dat bijna alle gemiddelde temperaturen vanaf 1987, op drie jaren na, boven de tien graden Celsius liggen. In de periode voor 1987 komt een waarneming boven de tien graden Celsius nagenoeg niet voor. Dit verschijnsel vormt op zich niet voldoende bewijs voor de aanwezigheid van het heat island effect. Een tweede mogelijkheid is dat de stijging is ontstaan door een verandering in de meetmethode van het KNMI aangezien de stijging nogal abrupt lijkt te gebeuren. Het is moeilijk om op basis van figuur 8 een betrouwbare voorspelling te maken over het verdere verloop van de trend en hoe deze trend gemodelleerd moet worden. Door de meeste auteurs wordt opgemerkt dat het effect van de trend op de gemodelleerde temperatuur minimaal is. Door Benth & Saltyte (2004) wordt opgemerkt dat

45


Hoofdstuk 3

de trend een relatief kleine invloed heeft op de uiteindelijke schattingsresultaten aangezien de voorspelperiode relatief kort is Het onzekere verloop van de trend maakt de modelkeuze moeilijk. De trend kan, net als in andere publicaties, worden weergegeven op basis van een lineaire functie. Het voordeel van een lineaire trend is dat deze ook op de langere termijn geen extreme waarden genereert. Bij het bepalen van de lineaire trend moet wel worden opgemerkt dat de trend sterk beïnvloedt wordt door het begin en eindpunt van de dataset. Stel dat de dataset begint in een periode met hoge temperaturen en eindigt in een wintermaand met lage temperaturen, dan is het mogelijk dat er een negatieve trend wordt gevonden. Het is dus van belang voor een juiste vaststelling van de trend dat het begin- en eindpunt van de dataset op elkaar aansluiten. Naast een lineaire trend kan deze ook worden weergegeven met een kwadratische of derdemachtsfunctie. Het voordeel van deze methode is dat de eventuele exponentiele groei van de trend beter kan worden weergegeven. Een nadeel van een exponentiële trend is dat deze in de toekomst extreme waarden zal gaan aannemen. Dit is naar mijn mening, ondanks het broeikaseffect, geen realistisch scenario voor de temperatuur. Omdat het onrealistisch is dat de trend extreme waarden gaat aannemen, en gezien de keuze van andere auteurs, geef ik de trend weer met behulp van een lineaire functie. In de nu volgende subparagraaf zal ik de trend samen met de seizoenscomponent schatten om zo de gemiddelde temperatuur te bepalen.

3.4.2 Seizoenen Wanneer de temperatuur wordt afgezet tegen de tijd is er een duidelijke golfbeweging waarneembaar zoals wordt weergegeven in figuur 9. Deze golfbeweging wordt veroorzaakt door de stand van de aarde ten opzichte van de zon. Aangezien de aarde een vrij constante baan beschrijft kunnen we er van uitgaan dat deze golfbeweging in de toekomst niet drastisch zal veranderen.

46


Figuur 9:

Hoofdstuk 3

Het temperatuur verloop van 1-1-1999 tot en met 31-12-2003. De constante golf beweging valt duidelijk op.

Het constante verloop van de temperatuursgolf maakt het mogelijk de golfbeweging met een sinus of cosinusfunctie te modelleren. Door onder andere Alaton, Djehiche & Stillberger (2002), Benth & Saltyte (2004) en Yoo (2003) wordt de temperatuursgolf met behulp van een sinus of cosinusfunctie geschat. Moreno (2000) bekritiseert het gebruik van de sinus of cosinusfunctie gezien het constante, en symmetrische verloop van deze beweging. Volgens Moreno (2000) kunnen er betere resultaten behaald worden wanneer de temperatuursgolf gebaseerd wordt op de gemiddelde dagtemperatuur. Alaton, Djehiche & Stillberger (2002) stellen juist dat het constante verloop van de sinusgolf wenselijk is omdat schokken zo worden voorkomen. Door de schattingsresultaten van beide methoden te vergelijken kan er een keuze worden gemaakt voor het beste model. Wanneer de componenten voor de constante, de trend en de seizoensinvloeden in een vergelijking worden geplaatst ontstaat vergelijking 3.5. Hierin wordt de seizoenscomponent door een cosinus functie beschreven en de trend wordt weergegeven door een lineaire functie.

(3.5)

 2π  Tt m = β1 + β 2 t + β 3 cos (t + β 4 )   365  In vergelijking 3.5 staat Tt m voor de gemiddelde temperatuur. De parameter β1 geeft

de constante weer, β 2 de lineaire trend , β 3 de amplitude van de golf en β 4 het beginpunt van de golfbeweging. Door vergelijking 3.5 te schatten met behulp van de eerder besproken dataset kunnen de parameters van het model worden gevonden. In tabel 7 staan de waarden

47


Hoofdstuk 3

van de parameters afgebeeld met de bijbehorende standaardfouten. Uit deze standaardfouten valt op te maken dat alle parameters significant afwijkend zijn van nul.

Tabel 7:

Parameters

Waarde

Standaardfout

β1

8,86

0,035

β2

2,96 E-05

1,59 E-06

β3

-7,67

0,024

β4

-20,65

0,185

De parameters en de standaardfouten van vergelijking 3.5. De geringe standaardfouten zorgen er voor dat alle parameters significant afwijken van nul.

In tabel 7 is te zien dat de parameter voor trend een waarde aanneemt van bijna 3 honderdduizendste van een graad. Dit betekent dat de gemiddeldetemperatuur, gemeten over de hele dataset van 103 jaar, ongeveer 1,1 graden is toegenomen. Door in figuur 10 de gemiddeldetemperatuur weer te geven samen met de werkelijke temperatuur ontstaat er een duidelijk beeld van de het verloop van de golfbeweging. Figuur 10 geeft het verloop weer voor een periode van 1-1-1999 tot en met 31-12-2003.

Figuur 10:

De gemiddelde temperatuur volgens vergelijking 3.5 wordt weergegeven door de vloeiende lijn. De dagelijkse temperatuur wordt weergegeven door de puntenwolk. De grafiek beschrijft een periode van 1-1-1999 tot en met 31-12-2003. De horizontal as geeft het aantal dagen weer en de verticale as geeft de temperatuur aan.

De vraag is nu of de eerder genoemde kritiek van Moreno (2000) ook van toepassing is op de temperatuurreeks die ik gebruik. Dit is het geval wanneer het verloop van de zomer en de winter niet symmetrisch zijn of wanneer de gemiddelde temperatuur schokken vertoont. 48


Hoofdstuk 3

Volgens Moreno (2000) moet er voor elk van de 365 dagen van het jaar een gemiddelde bepaald worden. Zo wordt de gemiddeldetemperatuur van 1 januari bepaald over elke eerste januari van de gehele dataset, nadat er gecorrigeerd is voor de lineaire trend. Door de werkelijke temperatuur te vergelijken met een seizoensgolf op basis van een cosinusfunctie (vergelijking 3.5) en op basis van de methode van Moreno (2000) kan de beste methode worden toegepast. Met behulp van een eenvoudige lineaire regressie van de eerste verschillen kunnen beide methoden worden afgezet tegen de werkelijke temperatuur. De regressieresultaten, waarbij het eerste verschil van het cosinusmodel (vergelijking 3.5) is afgezet tegen het eerste verschil van de werkelijke temperatuur, staan weergegeven in tabel 8. In tabel 9 zijn de regressieresultaten weergegeven waarbij de methode van Moreno (2000) wordt vergeleken met de werkelijke temperatuur.

Tabel 8

Tabel 9

Coëfficiënt

St. fout

Constante

0,00012

0,0106

Richtingscoef.

0,9994

0,1136

R2

0,00

DW

1,86

Regressie resultaten van een lineaire regressie tussen de werkelijke temperatuur en de gemiddelde temperatuur op basis van een cosinus functie (vergelijking 3.5).

Coëfficiënt

St. fout

Constante

0,00013

0,0106

Richtingscoef.

0,9846

0,0468

R2

0,01

DW

1,85

Regressie resultaten van de lineaire regressie tussen de werkelijke temperatuur en de gemiddelde temperatuur op basis van het daggemiddelde (Moreno 2000).

Uit de schattingsresultaten in tabel 8 en 9 valt op te maken dat de verschillen tussen de twee methoden minimaal zijn. Deze kleine verschillen geven geen aanleiding om één specifiek model te prefereren. Omdat tabel 8 zowel een constante als een richtingscoëfficiënt laat zien die nagenoeg gelijk zijn aan 0 en 1 kies ik er voor de golfbeweging te modelleren met een cosinusfunctie. Deze manier van trendmodellering heeft als bijkomend voordeel dat de trend een minder grillig verloop laat zien. De kritiek van Moreno (2000) zorgt dus niet

49


Hoofdstuk 3

voor betere resultaten maar het is goed mogelijk dat een andere dataset wel beter gemodelleerd kan worden met behulp van de methode van Moreno (2000). Ter aanvulling is in bijlage 2 een grafische vergelijking opgenomen van de twee methoden. Daaruit blijkt dat de twee methoden niet veel van elkaar verschillen. In vergelijking 3.5 van deze paragraaf is gemiddelde temperatuur gemodelleerd aan de hand van een constante, een trend en een seizoensgolf. In de nu volgende paragraaf wil ik de verschillen tussen de werkelijke temperatuur en de gemiddelde temperatuur volgens vergelijking 3.5 verder analyseren.

3.5

Temperatuuranomalie Het spreekt voor zich dat er een sterke autocorrelatie kan worden waargenomen

binnen de reeks met historische temperaturen. Deze autocorrelatie wordt grotendeels veroorzaakt doordat er sprake is van mean reversion binnen de temperatuurreeks (zie figuur 10). Er kan op verschillende manieren worden gecorrigeerd voor autocorrelatie in de dataset. Bij de analyse van een aandeel is het gebruikelijk te corrigeren voor correlatie door de eerste afgeleide van de koers te bepalen. Deze methode is echter niet gebruikelijk bij de modellering van de temperatuur. Vanwege het feit dat de temperatuur altijd terugkeert naar het gemiddelde (vergelijking 3.5) is juist de positie ten opzichte van de gemiddelde temperatuur van belang. In deze paragraaf wordt de temperatuur gecorrigeerd voor deze golfbeweging waarmee een deel van de autocorrelatie binnen de reeks historische temperaturen verdwijnt. Zoals hierboven beschreven is kan het residu worden bepaald door de temperatuur te verminderen met de gemiddeldetemperatuur uit vergelijking 3.5. Dit residu wordt in de literatuur aangeduid met de term temperatuuranomalie. In vergelijking 3.6 wordt de temperatuuranomalie van dag t weergegeven door X t . Hierbij staat Tt voor de werkelijke temperatuur en Ttm voor de gemiddeldetemperatuur volgens vergelijking 3.5.

(3.6)

X t = Tt − Tt m

50


Hoofdstuk 3

Door de verdeling van de reeks temperatuuranomalieën in een grafiek te plaatsen samen met een normale verdeling kan er worden nagegaan hoe de anomalieën verdeeld zijn. In figuur 11 staat het histogram afgebeeld van de temperatuuranomalieën samen met de normale verdeling. Wanneer de verdeling van de temperatuuranomalieën van figuur 11 wordt vergeleken met de verdeling van de historische temperaturen van figuur 7 valt het direct op dat de temperatuuranomalieën beter beschreven worden door een normale verdeling. Figuur 11 geeft aan dat de multimodaliteit verdwenen is en dat de standaardfout bijna gehalveerd is.

5000

4000

3000

2000

1000

0

7,

9,

0

0

0

0

Waarde -17,06 12,09 0,00069 3,35 -0,067 -0,143 0,521 3,01

St. fout.

0,017

0,013 0,25

,0

5,

11

3,

,0

0

0

0

,0

1,

0

,0

3,

0

,0

5,

,0

7,

1,

-1

-3

-5

-7

-9

-1

-1

-1

-1

Figuur 11:

Minimum Maximum Gemiddelde Standdev. Mediaan Skewness Kurtosis Kolmo-Smir

Verdeling van de temperatuuranomalieën volgens vergelijking 3.6 en de normale verdeling weergegeven met de bijbehorende descriptieve statistieken. De P waarde van de Kolmogorov-Smirnov statistiek geeft een waarde van nul aan. Dit betekent dat de verdeling niet exact normaal verdeeld is.

De descriptieve statistieken geven aan dat het gemiddelde niet significant afwijkt van nul. In figuur 11 is te zien dat het histogram een lichte mate van skewness heeft. Dit wordt tevens bevestigd door de negatieve significante waarde van de skewness. Net als de skewness wijkt ook de kurtosis af van nul maar deze afwijking is aanzienlijk minder significant. Uit de tabel bij figuur 11 moet echter worden geconcludeerd dat het onjuist is om de anomalieën te modelleren met behulp van een normale verdeling. Het is mogelijk een eenvoudig temperatuurmodel op te stellen met behulp van de gemiddeldetemperatuur volgens vergelijking 3.5 en een aselecte trekking uit de reeks temperatuuranomalieën. Deze manier van modelleren brengt echter de nodige kritiek met zich mee. Allereerst is het mogelijk dat de maandelijkse standaarddeviatie geen constant verloop kent. Door de temperatuur op deze eenvoudige wijze te modelleren wordt er geen rekening gehouden met variërende standaarddeviaties. Ten tweede komt het mean reverting karakter

51


Hoofdstuk 3

van de temperatuur op deze manier niet naar voren. Vervolgens wordt er ook geen rekening gehouden met eventuele informatie die zich nog in de anomalie kan bevinden. Het is namelijk goed mogelijk dat de kans op een positieve anomaliewaarde op dag t groter is wanneer er een positieve anomalie op dag t-1 is waargenomen. Met behulp van een autocorrelatie functie (ACF) kan een eventuele autocorrelatie binnen de anomalieën zichtbaar worden gemaakt. In bijlage 3 is een ACF weergegeven van de temperatuuranomalieën op basis van 30 lag’s. Uit deze ACF blijkt dat er sprake is van autocorrelatie binnen de anomalieën. De ACF veronderstelt dat de autocorrelatie gedurende de hele dataset een constant verloop kent. Het is echter goed mogelijk dat de autocorrelatie, net als de standaarddeviatie, geen constant verloop kent maar juist varieert per maand. In de nu volgende paragraaf wil ik de temperatuur gaan modelleren met behulp van de gemiddelde temperatuur, de temperatuuranomalieën en een restterm.

3.6

Het temperatuurmodel In navolging op de eerder besproken eigenschappen van de temperatuur wil ik in deze

paragraaf het temperatuurmodel verder uitwerken. Het temperatuurmodel bestaat allereerst uit de gemiddelde temperatuur Tt m vastgesteld met behulp van vergelijking 3.5 in paragraaf 3.4.2. In de voorgaande paragraaf is naar voren gekomen dat er sprake is van autocorrelatie binnen de temperatuuranomalie. De autocorrelatie komt tot uitdrukking in het temperatuurmodel door gebruik te maken van een vijftal lag’s. Via de parameters van het model wordt de voorspelkracht van de anomalieën op tijdstip t − 1 t/m t − 5 verwerkt in de temperatuursverwachting van tijdstip t. Om seizoensinvloeden toe te laten wordt het model voor elk van de twaalf maanden apart opgesteld zodat er maandspecifieke modelparameters ontstaan. Dit betekent zoals gezegd dat de schattingsparameters voor bijvoorbeeld de maand januari zijn gebaseerd op de temperaturen van 103 januari maanden. In het temperatuurmodel wordt de gemiddeldetemperatuur Ttm ook weergegeven als variabele met een regressieparameter. Op deze wijze kan de gemiddelde temperatuur nog worden gecorrigeerd om de temperaturen uit de dataset zo goed mogelijk te benaderen. Het hierboven beschreven regressiemodel wordt weergegeven door vergelijking 3.7 waarbij de restterm wordt weergegeven door t. De term i staat in dit geval voor de desbetreffende maand

52


Hoofdstuk 3

waarop het model betrekking heeft. De temperatuuranomalie volgens vergelijking 3.6 komt tot uitdrukking in de lag’s van Xt. Vergelijking 3.7 regresseerd feitelijk de voor trend en seizoen gecorrigeerde temperatuur op vijf lag’s van deze gecorrigeerde temperatuur. Tt = α 1i Tt m + α 2i X t −1 + α 3i X t − 2 + α 4i X t −3 + α 5i X t − 4 + α 6i X t −5 + ε t

(3.7)

De regressiecoëfficiënten die zijn ontstaan na het schatten van vergelijking 3.7 staan weergegeven in tabel 10. In tabel 10 is duidelijk te zien dat er sprake is van seizoensafhankelijke parameters omdat geen van de parameters in de tabel een constant verloop heeft.


α1

α2

α3

α4

α5

α6

1,0406 1,0019 1,0095 0,9892 1,0009 0,9941 1,0017 1,0051 1,0034 0,9975 0,9830 0,9924

0,9633 1,0108 0,9696 1,0057 1,0311 0,9757 0,9483 0,9293 0,9178 0,9330 0,9425 1,0038

-0,2205 -0,2833 -0,2810 -0,3305 -0,3419 -0,3034 -0,2944 -0,2924 -0,2882 -0,2767 -0,2719 -0,2966

0,0653 0,1488 0,1106 0,1235 0,0836 0,1219 0,0902 0,1084 0,1235 0,1236 0,1185 0,1121

0,0084 -0,0550 -0,0262 -0,0091 -0,0190 -0,0386 0,0129 0,0358 -0,0086 -0,0232 -0,0134 -0,0202

0,0279 0,0453 0,0348 -0,0162 -0,0113 -0,0027 0,0163 -0,0083 0,0303 0,0424 0,0051 0,0156

Schattingscoëfficiënten van vergelijking 3.7 weergegeven per maand. Opvallend is het niet constante verloop van de parameters. Zoals verwacht beweegt parameter 1 zich rond de 1. Opvallend is dat de parameters van de 2e lag voor alle maanden negatief zijn terwijl de 3e lag alleen positieve parameters kent.

De neiging van de temperatuur om terug te keren naar de gemiddelde waarde wordt bevestigd door de resultaten uit tabel 10. De resultaten laten voor elke maand een demping zien waardoor de temperatuur na een schok weer langzaam terugkeert naar de gemiddelde temperatuur ( Ttm) van vergelijking 3.5. Hieruit kan worden geconcludeerd dat de temperatuur niet los kan worden gezien van de temperatuur op voorgaande dagen. Dit wordt tevens bevestigd door Richards, Manfredo & Sanders (2004) waarin het volgende geconstateerd wordt “..Changes in temperature from day to day are not entirely random as weather systems tend to lead to “warm spells” or “cold snaps””. De restterm

t

uit vergelijking 3.7 kan verder worden gemodelleerd met behulp van

een standaarddeviatie en een normaal verdeelde aselecte variabele. Om inzicht te verkrijgen in

53


Hoofdstuk 3

deze restterm geeft figuur 12 het verloop weer gedurende een periode van 1000 dagen. Uit het grillige verloop van de restterm moet geconcludeerd worden dat er geen sprake is van een constante standaarddeviatie. De aanwezigheid van een wisselende standaarddeviatie komt overeen met vrijwel alle andere vergelijkbare onderzoeken.

Figuur 12

t uit vergelijking 3.7 gedurende een periode van 1000 dagen. Uit het verloop van de restterm is af te leiden dat er sprake is van een wisselende standaarddeviatie.

De wijze waarop de wisselende standaarddeviatie gemodelleerd wordt, verschilt echter wel per onderzoek. Alaton, Djehiche & Stillberger (2002) gebruiken voor elk van de twaalf maanden een andere standaarddeviatie. Zo wisselt de deviatie per maand maar niet binnen de maanden. Campbell & Diebold (2004) en Cao & Wei (2003) bepalen dagelijks een andere standaarddeviatie door gebruik te maken van een sinus- of cosinusfunctie. Benth & Saltyte (2004) modelleren de dagelijkse deviatie als een gemiddelde over de dataset. Op deze manier ontstaat er een aparte standaarddeviatie voor elk van de 365 dagen van het jaar. Gemakshalve maak ik in dit onderzoek gebruik van maandspecifieke waarden voor de standaarddeviatie. De twaalf standaarddeviaties die op deze manier ontstaan, staan weergegeven in tabel 11.

54


Hoofdstuk 3


De

Standaarddeviatie 2,27951 2,02120 1,75425 1,77135 1,93452 1,83856 1,70125 1,52349 1,50765 1,72774 2,03345 2,27659

Maandelijkse standaarddeviaties van het residu. Opvallend is weer dat de standaard deviaties sterk wisselen per maand. De hoogste deviaties worden waargenomen in de wintermaanden terwijl de laagste deviaties in de zomermaanden voorkomen. Dit verschijnsel wordt ook waargenomen in andere onderzoeken.

verschillende

methoden

vinden

allemaal

een

seizoensafhankelijke

standaarddeviatie en in vrijwel alle gevallen is de standaarddeviatie hoger in de wintermaanden en lager in de zomermaanden. In tabel 11 is te zien dat dit ook voor deze dataset het geval is. In de maanden januari, februari, november en december worden de hoogste waarden voor de deviatie waargenomen, terwijl in de maanden juli en augustus de laagste waarden ontstaan. Wanneer de restterm

t

uit vergelijking 3.7 wordt gecorrigeerd voor de maandelijkse

standaarddeviaties uit tabel 11 ontstaat er een residu dat redelijk normaal verdeeld is. In figuur 13 is de verdeling van het residu weergegeven in combinatie met een normale verdeling. Uit figuur 13 is af te leiden dat de verdeling van de residuen een lichte skewness naar links vertoont.

55


Hoofdstuk 3

6000

5000

Minimum Maximum Gemiddelde Stand.dev. Mediaan Skewness Kurtosis Kolmo-Smir

4000

3000

2000

1000

Waarde -5,780 5,831 0,000 1,013 -0,039 0,145 0,572 4,357

St. fout

0,0052

0,0126 0,0253

0

5,

4,

3,

2,

1,

,3

71

64

57

50

9

6

3

0

7

43

6

1

,7

,8

,9

,0

,0

- ,7

-1

-2

-3

-5

-6

Figuur 13

De verdeling van de restterm t uit vergelijking 3.7 nadat deze gecorrigeerd is voor de wisselende standaard deviatie. Op het eerste gezicht komt de verdeling redelijk overeen met de normale verdeling. Het gemiddelde wijkt niet significant af van nul maar de waarde voor skewness en kurtosis zijn wel significant afwijkend. Dit komt ook naar voren in de Kolmogorov-Smirnov toets die aangeeft dat de verdeling niet exact gelijk is aan een normale verdeling.

Uit figuur 13 is op te maken dat de verdeling van de residuen, nadat deze zijn gecorrigeerd voor de wisselende standaarddeviatie, redelijk overeen komen met een normale verdeling. Uit de descriptieve statistieken is af te leiden dat het gemiddelde niet significant afwijkt van nul maar de skewness en kurtosis wel. Dit wordt bevestigd door de KolmogorovSmirnov test die aangeeft dat de verdeling niet exact overeenkomt met een normale verdeling. In deze scriptie kies ik er gemakshalve voor om de residuen weer te geven met een normale verdeling. Dit kan tot gevolg hebben dat er een bias ontstaat bij de waardering van lineaire als niet-lineaire derivaten. De positieve kurtosis geeft aan dat de werkelijke verdeling wordt gekenmerkt door een grotere kans op extreme waarnemingen. Door gebruik te maken van de normale verdeling wordt hierdoor zowel de kans op kleine, als op grote afwijkingen, onderschat. De aanwezigheid van positieve kurtosis heeft met name invloed op de prijsvorming van nietlineaire derivaten zoals opties. Wanneer de normale verdeling wordt gebruikt zullen opties die ver “out of the money” liggen te laag worden gewaardeerd. De aanwezigheid van kurtosis veroorzaakt echter geen bias in de waardering van lineaire derivaten. Dit omdat zowel de linker als de rechter staart worden betrokken in de waardering. De positieve skewness geeft aan dat de werkelijke verdeling niet symmetrisch verdeeld is. Door gebruik te maken van de normale verdeling wordt de kans op een positieve 56


Hoofdstuk 3

temperatuur onderschat. De temperatuursverwachting zal hierdoor lager zijn als de werkelijke temperatuur waardoor een derivaat met een lineaire pay off wordt ondergewaardeerd. Ik verwacht echter dat de effecten van de bias minimaal zullen zijn aangezien de absolute waarde van de scheefheid klein is en de cumulatie periode kort is. Vergelijking 3.7 kan nu worden aangevuld met de zojuist besproken modellering van het residu ( t) zodat er een schattingsmodel ontstaat voor temperatuur. Dit leidt tot vergelijking 3.8 waarin het residu wordt gemodelleerd met behulp van een onafhankelijke trekking uit een normaal verdeelde variabele en een maandspecifieke standaarddeviatie. In vergelijking 3.8 staat Tt mod el voor de gemodelleerde temperatuur.

(3.8)

Tt mod el = α 1i Tt m + α 2i X t −1 + α 3i X t − 2 + α 4i X t −3 + α 5i X t − 4 + α 6i X t −5 + sti ε t Waarvoor geldt:

ε t = Ν (0,1)

Met behulp van vergelijking 3.8 kunnen de toekomstige temperaturen worden geschat. In de nu volgende paragraaf ga ik verder in op de kwaliteit van het schattingsmodel. Door het model aan diverse toetsen te onderwerpen ontstaat er een beeld van de kwaliteit van de temperatuurschatting.

3.7

Kwaliteit van het schattingsmodel In deze paragraaf wil ik de kwaliteit van het schattingsmodel van vergelijking 3.8

testen. Door middel van diverse toetsen wil ik proberen om het schattingsmodel uit de voorgaande paragraaf te verwerpen. Een eenvoudige, maar tevens zwakke manier om het temperatuurmodel te analyseren is op basis van de descriptieve statistieken van de temperatuur. Door de statistieken van de werkelijke temperatuur te vergelijken met de statistieken van de gemodelleerde temperatuur ontstaat er een globaal beeld van de gelijkenis tussen de twee temperatuurreeksen. De descriptieve statistieken van de werkelijke temperatuur kunnen eenvoudig worden opgesteld met behulp van de dataset met historische gegevens.

57


Hoofdstuk 3

Om de statistieken van de gemodelleerde temperatuur op te stellen is het noodzakelijk dat er een reeks temperaturen word gemodelleerd die loopt van 1-1-1901 tot en met 31-122003. Om tot deze reeks temperatuurschattingen te komen heeft het temperatuurmodel van vergelijking 3.8 minimaal vijf historische waarnemingen nodig om op te starten. Met behulp van deze vijf waarnemingen vormt de zesde waarneming de eerste schatting van het model. Op deze manier “loopt” het model verder vooruit tot en met 31-12-2003 en fungeert de schatting van tijdstip t weer als model input op tijdstip t+1. In tabel 12 staan de descriptieve statistieken weergegeven van zowel de historische temperaturen als de reeks geschatte temperaturen. Zoals te zien in tabel 12 is de gelijkenis tussen de twee reeksen redelijk. Omdat temperatuurderivaten veelal betrekking hebben op een kalendermaand vergelijk ik de statistieken ook op maandbasis. Door de statistieken per maand weer te geven wordt duidelijk in welke maanden het model goed presteert. Uit tabel 12 valt op te maken dat de descriptieve statistieken van de reeks geschatte temperaturen

(T

mod el

)

redelijk overeenkomen met de descriptieve statistieken van de

historische temperatuur. Dit is in lijn met de verwachting aangezien de parameters van het temperatuurmodel zijn afgeleid van de historische temperaturen. Uitspraken over de kwaliteit van het schattingsmodel zijn op basis van de statistieken uit tabel 12 niet te doen. Wel kan er geconcludeerd worden dat het model niet leidt tot extreem afwijkende waarden.

58

-7,2 -2,1 3,5 6,9 10,7 10,0 6,6 -0,8 -9,5 -13,3

maart

april

mei

juni

juli

augustus

september

oktober

november

december

model

-9,8

-5,5

-0,2

3,8

6,6

6,3

4,6

0,3

-3,9

-7,2

-10,2

-13,4

T

13,3

15

19,4

25,7

26,6

27,1

27,9

25,2

20,5

15,3

14

11,9

T

model

15,8

17,7

21

23,4

25,6

27,9

25,8

24,1

19,1

15,8

19,5

16,5

T

Maximum

3,12

5,74

10,05

14,02

16,69

16,98

15,2

12,49

8,26

5,18

2,55

2,19

T

model

2,9

5,9

10,2

14,0

16,8

17,0

15,4

12,3

8,2

5,0

2,3

2,0

T

Gemiddelde

3,4

6,1

10,3

13,9

16,3

16,5

14,8

12,2

8

5,3

3

2,7

T

model

3,0

5,9

10,3

13,9

16,8

17,0

15,3

12,4

8,2

5,0

2,3

2,0

T

Mediaan

4,2

3,57

3,2

2,6

2,58

2,85

3,14

3,53

3,21

3,31

4,22

4,39

T

model

4,1

3,54

3,08

2,67

2,53

2,74

3,08

3,52

3,25

3,35

4,08

4,19

T

Standaard deviatie

Een vergelijking op basis van descriptieve statistieken van de historische temperatuur (T) en de geschatte temperatuur (Tmodel). Ter verduidelijking zijn de statistieken weergeven per maand. De vergelijking heeft betrekking op de hele dataset en bestrijkt een periode van 1-1-1901 tot en met 31-122003. Voor de startperiode van het temperatuur model zijn de eerste vijf waarnemingen van de dataset gebruik (1-1-1901 t/m 5-1-1901).

-14,5

februari

Tabel 12

-14,4

januari

T

Minimum model

-0,03

-0,08

0,04

-0,05

-0,02

-0,1

0,05

0,03

T

-0,49

-0,35

-0,33

-0,03

0,02

-0,11

0,22 -0,04

0,74

0,76

0,62

0,38

0,40

-0,15

-0,60

-0,63

T

Skewness

3,17

2,86

2,89

3,01

3,61

3,37

3,25

2,92

3,13

2,94

3,35

3,21

T

model

2,82

3,05

2,88

3,11

2,98

3,16

2,9

2,93

2,77

3,01

3,12

2,89

T

Kurtosis

Temperatuurderivaten Hoofdstuk 3

59


Hoofdstuk 3

Om een betere uitspraak te doen kunnen over de kwaliteit het schattingsmodel is het allereerst noodzakelijk dat de vergelijkingen niet plaatsvinden op basis van temperatuur maar op basis van degree days. Dit is essentieel aangezien de waarde van een temperatuurderivaat gebaseerd is op de degree day index. Naast toetsing in degree days moet de voorspelkracht van het model ook geanalyseerd worden buiten het bereik van de historische dataset. Dit betekent dat de voorspelkracht moet worden getoetst over een periode gelegen na 31-12-2003. Een analyse op basis van degree days is essentieel aangezien het goed mogelijk is dat het schattingsmodel wordt verworpen wanneer deze wordt geanalyseerd op basis van temperatuur en wordt aangenomen op basis van degree days. Uit vergelijking 2.2 in paragraaf 2.3 valt afgeleiden dat de bepaling van het aantal HDD’s geen lineaire functie is van de temperatuur. Bij de bepaling van het aantal HDD’s is het dus mogelijk dat zowel de werkelijke als de geschatte temperatuur zich boven de 18 graden begeeft. In dit geval is het schattingsverschil in graden niet relevant aangezien ze beide leiden tot een HDD waarde van nul. Het is dus mogelijk dat een foutieve temperatuurschatting leidt tot een correcte HDD schatting. De in tabel 12 weergegeven statistieken zijn onderhevig aan een zekere mate van bias. Dit wordt veroorzaakt doordat de vergelijking tussen de historische en de geschatte temperaturen plaatsvindt voor de periode 1-1-1901 tot en met 31-12-2003. Het schattingsmodel wordt in feite vergeleken met de historische temperaturen waarvan het model in eerste instantie is afgeleid. Door het schattingsmodel te vergelijken met de werkelijkheid buiten de dataset ontstaat er een betere indruk van de kwaliteit van het model aangezien deze gegevens niet van invloed zijn geweest bij het opstellen van het model. Omdat de dataset, waarop het schattingsmodel gebaseerd is, loopt van 1-1-1901 tot en met 31-12-2003 is er op het moment van schrijven niet meer dan zes maanden beschikbaar buiten de dataset. Om de kwaliteit van het schattingsmodel te testen voor elk van de 12 maanden maak ik gebruik van de laatste 6 maanden van de dataset. De dataset die dus gebruikt wordt om het schattingsmodel van vergelijking 3.8 te testen, de zogenaamde test dataset, loopt van 1-7-2003 tot en met 30-6-2004. De eerder besproken bias die op deze manier geïntroduceerd wordt is waarschijnlijk nihil aangezien de laatste zes maanden een zeer klein deel uitmaken van de totale dataset van 1236 maanden. Het testen van de voorspelkracht van het temperatuurmodel binnen de modeldataset (1-1-1901 t/m 31-12-2003) kan in het geval van temperatuurmodellering minder kwaad als bij financiële modellering. De kans dat de temperatuur plotseling een heel ander verloop krijgt is namelijk onwaarschijnlijk. Dit in tegenstelling tot bijvoorbeeld de financiële resultaten van 60


Hoofdstuk 3

een onderneming waarbij andere activiteiten het rendement drastisch kunnen wijzigen. Een model dat gebaseerd is op de resultaten voor de wijziging is niet meer relevant na de wijziging. Er kan dus worden gesteld dat, in het geval van temperatuur, de in het verleden behaalde resultaten weldegelijk garantie bieden voor de toekomst. Bij het schatten van de temperaturen gedurende de testperiode stel ik dat de voorspelling wordt gemaakt op de laatste dag van de voorgaande maand. Dit betekent dat de verwachting over juli 2003 gemaakt wordt op 30 juni 2003 en dat de verwachting over december 2003 gemaakt wordt op 30 november 2003. Op deze wijze fungeren de laatste vijf dagen van de voorgaande maand als input bij het voorspellen van de temperatuur van de eerste dag van de volgende maand. Door voor elke dag van een specifieke maand één temperatuurvoorspelling te doen ontstaat er één temperatuurtraject. De lengte van dit traject hangt samen met het aantal dagen in een maand en varieert dus van 28 tot en met 31 dagen. Elk traject resulteert in een bepaalde degree day eindindex waarde wanneer de temperaturen worden omgerekend met behulp van vergelijking 2.2 of 2.4. Het is echter goed mogelijk dat dit enkele traject toevallig leidt tot een extreme degree day indexwaarde. In dit geval is de kans groot dat het model verworpen wordt. Er ontstaat een beter beeld van de kwaliteit van het model wanneer de gemiddelde index bepaald zou worden over 10.000 temperatuurtrajecten. Dit principe staat bekend onder de naam Monte Carlo simulatie. Tabel 13 geeft per maand de werkelijke en de geschatte HDD index weer van de testperiode (1-7-2003 t/m 30-6-2004). De HDD index schatting is gebaseerd op 10.000 temperatuurtrajecten waarbij telkens de laatste vijf dagen van de voorgaande maand als eerste modelinput werd gebruikt. Onder tabel 13 geeft tabel 14 het werkelijke en het geschatte aantal CAT’s weer per maand. Deze schattingen zijn op soortgelijke wijze tot stand gekomen. Bij tabel 13 moet worden opgemerkt dat een HDD notatie volgens de bepalingen van de CME alleen wordt afgegeven in de maanden oktober tot en met april. Uit tabel 13 blijkt verder dat er voor Nederland ook best HDD notaties mogelijk zijn buiten deze periode bijvoorbeeld in de maanden juni en mei. Verder stellen de regels van de CME dat er alleen een CAT notatie wordt afgegeven in de zomermaanden april tot en met oktober. Uit tabel 14 blijkt dat de absolute afwijking gemeten in degree days veelal groter is bij de CAT notering dan bij de HDD notering. Deze mindere resultaten zijn mogelijk ontstaan doordat de referentiewaarde van 18 graden geen rol meer speelt bij de CAT notering.

61


juli ’03 aug ’03 sept ’03 okt ’03 nov ’03 dec ’03 jan ’04 feb ’04 mrt ’04 april ’04 mei ’04 juni ’04 Tabel 13


Werkelijke HDD index 18,4 23,8 124,5 326,6 300,1 434,0 446,8 382,2 374,4 229,4 176,9 81,7

Hoofdstuk 3 Geschatte HDD index 40,9 41,3 115,3 214,8 352,5 439,2 474,9 403,7 404,8 264,1 143,3 81,9

HDD Verschil

% Verschil

22,5 17,5 -9,2 -111,8 52,4 5,2 28,1 21,5 21,3 34,7 -33,6 0,2

122,3 % 73,5 % -7,4 % -34,2 % 17,5 % 1,2 % 6,3 % 5,6 % 8,1 % 15,1 % -19,0 % 0,24 %

Het werkelijke en het geschatte aantal HDD van de testperiode weergegeven per maand. Tevens is het procentuele verschil tussen de geschatte en de werkelijke waarde weergegeven als percentage van de werkelijke waarde.

Werkelijke CAT index 583,9 596,9 417,6 231,4 239,9 124,0 111,2 140,1 183,6 310,6 381,1 465,7

Geschatte CAT index 544,8 539,4 426,5 321,5 187,3 117,9 81,9 118,9 153,1 275,3 419,0 470,8

CAT Verschil

% Verschil

-39,1 -57,5 8,9 90,1 52,6 -6,1 -29,3 -21,2 -30,5 -35,3 37,9 5,1

-6,7 % -9,6 % -2,1 % -38,9 % -21,9 % -4,9 % -26,3 % -15,1 % -16,6 % -11,4 % 9,9 % 1,1 %

Het werkelijke en het geschatte aantal CAT van de testperiode weergegeven per maand. Een CDD notering zou in dit geval alleen een positieve eindindex opleveren in de maanden juni, juli, augustus en september.

In het verdere verloop van deze scriptie kies ik er voor om uitsluitend de HDD index te analyseren aangezien het merendeel van de transacties betrekking heeft op deze index. Omdat temperatuurderivaten uiteindelijk worden gewaardeerd op basis van degree days is het verschil tussen het geschatte aantal degree days en het werkelijke aantal degree days de belangrijkste indicator van de kwaliteit van het schattingsmodel. In tabel 15 wordt de kwaliteit van de schatting getoetst met behulp van een T- toets. Deze toets ziet er als volgt uit.

62


Hoofdstuk 3

I iw − I im T= si

(3.9)

In vergelijking 3.9 staat I iw voor de werkelijke indexwaarde van maand i en I im staat voor de gemodelleerde indexwaarde van maand i. De standaard deviatie van de Monte Carlo simulatie wordt weergegeven door si .


Werkelijke HDD index 18,4 23,8 124,5 326,6 300,1 434,0 446,8 382,2 374,4 229,4 176,9 81,7

Geschatte HDD index 40,9 41,3 115,3 236,2 352,5 439,2 474,9 403,7 404,8 264,1 143,3 81,9

HDD % Verschil Verschil 22,5 122,3 % 17,5 73,5 % -9,2 -7,4 % -90,4 -34,2 % 52,4 17,5 % 5,2 1,2 % 28,1 6,3 % 21,5 5,6 % 21,3 8,1 % 34,7 15,1 % -33,6 -19,0 % 0,2 0,24 %

S.D.

T waarde

22,67 21,94 30,65 42,48 45,96 61,28 68,58 65,81 45,47 39,19 36,82 30,62

0,99 0,80 0,30 2,13 1,14 0,08 0,41 0,33 0,47 0,89 0,91 0

Het werkelijke en het geschatte aantal HDD van de testperiode weergegeven per maand. Tevens is het procentuele verschil tussen de geschatte en de werkelijke waarde weergegeven als percentage van de werkelijke waarde. De standaarddeviaties van de Monte Carlo simulaties en de T waarden zijn ook weergegeven. De schatting van oktober 2003 is significant afwijkend van de werkelijkheid op basis van het 95% betrouwbaarheidsinterval.

Op basis van tabel 15 kan geconcludeerd worden dat, met uitsluiting van oktober 2003, alle schattingen binnen het 95% betrouwbaarheidsinterval liggen. Het is op basis van deze T-waarden niet mogelijk om te stellen dat het model het werkelijke aantal HDD’s correct schat. Doordat de standaarddeviatie relatief groot is vallen de meeste waarden binnen het gehanteerde betrouwbaarheidsinterval. Een tweede tekortkoming is dat de schattingsresultaten maar voor één jaar worden weergegeven. Dit is niet voldoende om het gehele model goed te toetsen. Het is beter om in dit geval te kijken of het gemiddelde van de werkelijke indexwaarden overeenkomt met het gemiddelde van de gesimuleerde indexwaarden. Voor een verdere analyse van de kwaliteit van het temperatuurmodel richt ik mij verder alleen op de maanden oktober tot en met april. Zoals al eerder in deze scriptie naar voren is gekomen geeft de CME alleen voor deze wintermaanden een HDD notering af. Voor

63


Hoofdstuk 3

het bepalen van de HDD index is het dus alleen relevant om te weten of het temperatuurmodel deze maanden correct schat. Tabel 16 geeft de gemiddelde indexwaarden per maand weer. Voor elke maand is het gemiddelde van de werkelijke indexwaarden bepaald op basis van de laatste dertig maanden van de dataset. Dit betekent dat de gemiddelde index van januari is gebaseerd op de werkelijke indexwaarden van januari 1974 tot en met januari 2003. De gesimuleerde, gemiddelde indexwaarde van elke maand is gebaseerd op simulaties voor de laatste vijftien maanden van de dataset. De gesimuleerde gemiddelde index van januari is dus gebaseerd op de simulaties van januari 1989 tot en met januari 2003.

Werkelijk Geschat Standaard T gemiddelde gemiddelde deviatie waarde 236,2 229,4 12,6 0,54 Oktober 347,0 354,6 12,8 0,59 November 437,0 447,6 15,2 0,69 December 468,1 474,2 21,7 0,28 Januari 417,2 417,8 19,6 0,03 Februari 373,7 374,7 14,0 0,07 Maart 284,9 274,7 9,0 1,13 April Tabel 16

Vergelijking van de gesimuleerde index met de werkelijke index op basis van gemiddelde HDD waarden. De werkelijke gemiddelde index wordt door de simulatie redelijk goed benaderd. De standaarddeviatie is berekend door gebruik te maken van de wortel N regel. Aan de T-waarden is te zien dat de verschillen tussen de schatting en de werkelijkheid niet significant afwijken van nul. In vergelijking 3.10 staat de berekening van de T waarde weergegeven.

De standaarddeviatie, zoals die wordt gebruikt in tabel 16, is berekend met behulp van de wortel n regel. Hierbij wordt de standaarddeviatie van de 30 werkelijke indexwaarden gedeeld door de wortel van het aantal gesimuleerde indexen. De berekening van de T waarde is dus als volgt.

(3.10)

T=

w m I gem − I gem si n

In vergelijking 3.10 staat n voor het aantal gesimuleerde indexen. In dit geval neemt n w m de waarde 15 aan. I gem staat voor het gemiddelde van de werkelijke indexen en I gem geeft het

gemiddelde weer van de vijftien Monte Carlo simulaties. Op basis van de T waarden uit tabel 16 kan worden geconcludeerd dat de gemiddelde index op basis van de Monte Carlo schatting 64


Hoofdstuk 3

niet significant afwijkt van de werkelijke gemiddelde index, berekend over de laatste dertig jaar. Naast een cijfermatige analyse van het schattingsmodel is het ook mogelijk een grafische vergelijking op te stellen gebaseerd op cumulatieve kansen. Omdat de gemiddelde waarde van de Monte Carlo simulatie gebruikt wordt als verwachte eindindex waarde is de cumulatieve kans die correspondeert met de gemiddelde eindindex ongeveer gelijk aan 0,5. Door gebruik te maken van de Monte Carlo simulatie kan de cumulatieve kans worden bepaald dat het model resulteert in de werkelijke indexwaarde. De hierboven beschreven analyse zal ik met behulp van een voorbeeld verduidelijken. De Monte Carlo simulatie voor de maand januari 2003 resulteert in een gemiddelde verwachte eindindex waarde van 477,45 HDD’s. De cumulatieve kans die bij deze gemiddelde waarde hoort is gelijk aan 0,50. De werkelijke eindindex voor januari 2003 bedroeg 480,7 dit correspondeert volgens het temperatuurmodel met een cumulatieve kans van 0,52. In dit specifieke geval komen de kansen redelijk goed overeen maar uit figuur 14 A tot en met G zal blijken dat dit niet voor alle maanden het geval is.

Figuur 14A spreiding van cumulatieve kansen van de werkelijke index van januari, rondom de cumulatieve kans van de verwachting (0,5)

Figuur 14B spreiding van cumulatieve kansen van de werkelijke index van februari, rondom de cumulatieve kans van de verwachting (0,5)

65


Figuur 14C spreiding van cumulatieve kansen van de werkelijke index van maart, rondom de cumulatieve kans van de verwachting (0,5)

Hoofdstuk 3

Figuur 14D spreiding van cumulatieve kansen van de werkelijke index van april, rondom de cumulatieve kans van de verwachting (0,5)

Figuur 14E spreiding van cumulatieve kansen van Figuur 14F spreiding van cumulatieve kansen van de werkelijke index van oktober, rondom de werkelijke index van november, rondom de cumulatieve kans van de verwachting de cumulatieve kans van de verwachting (0,5) (0,5)

Figuur 14G spreiding van cumulatieve kansen van de werkelijke index van december, rondom de cumulatieve kans van de verwachting (0,5)

66


Hoofdstuk 3

Figuur 14 A tot en met G geven per maand de spreiding van de cumulatieve kans weer van de HDD index. De cumulatieve kans van de, op basis van Monte Carlo simulatie, verwachte index is gelijk aan 0,5. Deze cumulatieve kansen worden weergegeven door de rode stippen in de figuur. De blauwe stippen geven de cumulatieve kans weer dat de Monte Carlo simulatie komt tot de werkelijke indexwaarde. Alle werkelijke indexwaarden resulteren in een cumulatieve kans tussen de 0 en 1. Dit betekent dat geen van de werkelijke indexen buiten het bereik van de Monte Carlo simulatie viel. Opvallend is de grafiek voor de maanden januari en maart. Hierbij is het grootste gedeelte van de puntenwolk onder de lijn van 0,5 gelegen. Uit tabel 16 is echter niet af te leiden dat de geschatte HDD index gemiddeld significant afwijkt van het gemiddelde van werkelijke HDD indexen. De grafieken van figuur 14 doen op het eerste gezicht vermoeden dat de resultaten van de schatting sterk afwijken van de werkelijkheid. Dit is voor een deel te wijten aan het steile verloop van de cumulatieve verdeling van de gesimuleerde indexwaarden. Dit heeft tot gevolg dat een kleine afwijking van de werkelijke HDD index met de geschatte HDD index leidt tot een relatief grote afwijking van de cumulatieve kans ten opzichte van 0,5. De hierboven beschreven testmethoden geven echter geen antwoord op de vraag of dit model beter presteert dan een ander model. Om deze vraag te beantwoorden stel ik een eenvoudig persistent schattingsmodel op. Dit eenvoudige persistente model is gebaseerd op het rekenkundige gemiddelde van de twee voorgaande jaren. De schatting die het persistente model geeft voor de HDD index van de maand januari 2003 is dus gelijk aan het gemiddelde van de werkelijke HDD index van de maanden januari 2002 en januari 2001. Op deze manier wordt er geen rekening gehouden met de stijgende temperatuur trend maar gezien de periode van twee jaar is dit effect verwaarloosbaar. Tevens wordt de kans op extreme schattingen verminderd door gebruik te maken van een rekenkundig gemiddelde van twee indexen. De vraag of het persistente schattingsmodel beter in staat is de temperatuur te voorspellen dan het schattingsmodel van vergelijking 3.8 kan alleen beantwoord worden wanneer er meerdere vergelijkingen tussen de twee methoden worden gemaakt. Elke relevante21 maand wordt daarom gesimuleerd voor een periode van 1999 tot en met 2003. Dit betekent dat er per maand vijf vergelijkingen tussen de persistente schatting en de modelschatting mogelijk zijn.

21

Oktober, november, december, januari, februari, maart en april.

67


Hoofdstuk 3

Om de resultaten van de vergelijking duidelijk in een tabel weer te geven maak ik gebruik van de som van de absolute afwijking. In tabel 17 staat per maand en per methode de som van de absolute afwijking met de werkelijke HDD indexwaarde weergegeven.

∑ januari februari maart april oktober november december Tabel 17

Afwijking model 161,4 154,5 146,6 127,2 231,9 177,1 124,0

∑

Afwijking persistent 254,4 289,2 179,7 135,8 398,0 155,5 144,7

Per maand wordt de absolute afwijking ten opzichte van de werkelijkheid weergegeven voor zowel de modelschatting als de persistente schatting. Voor elke maand is de som berekend over de laatste vijf jaar van de dataset. Dit wil zeggen dat de afwijking van bijvoorbeeld januari is bepaald door de som te nemen van de absolute verschillen tussen de werkelijkheid en de schatting gedurende de periode 1999 t/m 2003.

De resultaten in tabel 17 tonen aan dat alleen voor de maand november het schattingsmodel wordt overtroffen door het persistente model. Voor de overige maanden geldt dat de persistente schatter slechter presteert dan de schatting op basis van het temperatuurmodel. Figuur 15 geeft de relatieve schattingsresultaten weer van de persistente methode en de methode op basis van het temperatuurmodel. Figuur 15 is ontstaan door de werkelijke maandelijkse HDD index gelijk te stellen aan één en vervolgens de relatieve waarden van de twee schattingsmethoden te bepalen. In figuur 15 zijn alleen de resultaten weergegeven voor het jaar 2003.

68


Figuur 15

Hoofdstuk 3

Grafische weergave van de relatieve schattingsverschillen van het jaar 2003. Voor elke maand zijn de relatieve HDD indexwaarden bepaald waarbij de werkelijke HDD index gelijk is gesteld aan 1.

In figuur 15 is te zien dat het temperatuur model minder presteert dan het persistente model in de maanden november en april 2003. De rest van de maanden worden beter gemodelleerd door het temperatuurmodel. De verschillende toetsen die in deze paragraaf naar voren zijn gekomen bieden geen eenduidige conclusie over de kwaliteit van het schattingsmodel. Het al dan niet verwerpen van het model is sterk afhankelijk van de opgenomen data en de periode van analyse. De toetsingsresultaten die weergegeven staan in tabel 16 en 17 geven naar mijn mening de kwaliteit van het schattingsmodel het beste weer. Dit omdat de toetsen in dit geval zijn gebaseerd op een gemiddelde van meerdere maanden. Een punt van kritiek hierop zou kunnen zijn dat een temperatuurderivaat juist op één maand betrekking heeft en niet op een gemiddelde van maanden. Wanneer je er echter vanuit gaat dat risicomanagement een continu proces is waarbij de markt niet wordt gebruikt als korte termijn belegging, gaat deze vorm van kritiek niet op. Concluderend kan ik stellen dat het model op basis van deze toetsen niet unaniem verworpen kan worden. Tevens kan niet worden gesteld dat het persistente model beter presteert dan het schattingsmodel.

69


3.8

Hoofdstuk 3

Samenvatting

Hoofdstuk drie begon met een uiteenzetting van de waarderingsmogelijkheden. Hierbij werden de voor- en nadelen van de historische methode, de indexmodellering methode en de methode op basis van een temperatuurmodel besproken. Aansluitend hierop is de dataset met temperatuurgegevens geanalyseerd. Op basis van deze dataset is er in paragraaf 3.4 tot en met 3.6 een temperatuurmodel opgesteld. Dit temperatuurmodel schat de gemiddelde temperatuur op basis van een constante, een trend en een cosinus golf. De golfbeweging die ontstaat, wordt aangevuld met lag’s van de temperatuuranomalie. Dit alles wordt op maandbasis geschat om zo maandspecifieke parameters toe te staan. De schattingskwaliteit van het temperatuurmodel wordt in paragraaf 3.7 op diverse manieren getoetst. Allereerst worden in tabel 12 de descriptieve statistieken van de werkelijke reeks temperaturen vergeleken met de geschatte reeks temperaturen. Vervolgens wordt voor de periode juli 2003 tot en met juni 2004 de werkelijke HDD en CAT index vergeleken met de schatting op basis van Monte Carlo simulatie. De resultaten staan weergegeven in tabel 13 en 14. Als aanvulling op tabel 13 wordt in tabel 15 de standaarddeviatie en de T waarde weergegeven van de HDD schatting. Tabel 16 laat de toetsingsresultaten zien van de maanden oktober tot en met april. Het verschil tussen deze en de voorgaande toets is gelegen in het feit dat hier de gemiddelde schattingsresultaten worden vergeleken. De T waarden van deze toets geven ook geen reden tot het unaniem verwerpen van het model. Naast deze cijfermatige toetsen worden er in figuur 14 A t/m G cumulatieve kansen in een grafiek weergegeven. Op deze manier ontstaat er een duidelijk beeld van de cumulatieve kans van zowel de geschatte waarde als de werkelijke waarde van de HDD index. Tot slot is het schattingsmodel vergeleken met een alternatief model. Dit zogenaamde persistente model schat de degree day index voor de komende maand als de gemiddelde HDD index van de twee voorgaande jaren. Op basis van de toetsingsresultaten uit tabel 17 kan niet worden geconcludeerd dat de persistente schattingsmethode beter presteert dan het temperatuurmodel. In paragraaf 3.7 is het niet gelukt om het schattingsmodel te verwerpen. In het nu volgende hoofdstuk wil ik met behulp van het getoetste temperatuurmodel de geëiste risicopremie van Nederlandse temperatuurderivaten verder analyseren .

70


Hoofdstuk 4:

4.1

Hoofdstuk 4

De waardering

Inleiding Hoofdstuk vier van deze scriptie richt zich op de waardering van Nederlandse

temperatuurderivaten met een lineair pay off patroon. In dit hoofdstuk wil ik de door de markt geëiste risicopremie afleiden uit de beschikbare marktnoteringen, en daarmee een antwoord geven op het tweede deel van de probleemstelling. Het tweede deel van de probleemstelling luidt als volgt.

“Welke risicopremie

kan

er

worden

afgeleid

uit

noteringen voor

Nederlandse

temperatuurfutures, indien er gebruik gemaakt wordt van het verwachtingsmodel dat is opgesteld in het eerste deel van de probleemstelling”.

De kalibratie van de risicopremie zal plaatsvinden met behulp van het eerder opgestelde temperatuurmodel. Dit temperatuurmodel kan, onder bepaalde voorwaarden, gelijk worden verondersteld aan de temperatuursverwachting van de markt. Door gebruik te maken van het eerder opgestelde temperatuurmodel en de beschikbare marktnoteringen kan de risicopremie worden afgeleidt. De marktnoteringen van future contracten kunnen eenvoudig via de website22 van de CME worden verkregen. In figuur 16 staat de notering van 1 november 2004 weergegeven. De linker kolom van figuur 16 geeft aan op welke locatie de notering betrekking heeft en wat de cumulatieperiode is. In dit geval staat er voor zowel Londen (D0) als Amsterdam (D2) een november 2004 future genoteerd. De oktober 2004 future die genoteerd staat voor Berlijn (D3) zal aan het eind van de dag gesettled worden. Voor Amsterdam en Londen wordt de letter R weergegeven bij het aantal verhandelde contracten. Dit betekent dat er, voor beide steden, een record aantal contracten in één transactie verhandeld zijn.

22

Via http://www.cme.com/trading/dta/hist/bulletinindex.html kan er een datum worden geselecteerd waarop je de koersen van ondermeer temperatuurderivaten kunt bekijken.

71


Figuur 16:

Hoofdstuk 4

Een weergave van de koersen van 1 november 2004 zoals die door de CME verstrekt worden. De linker kolom geeft locatie weer met D0, D2 en D3. Dit staat volgens bijlage 3 voor Londen, Amsterdam en Berlijn.

Het verdere verloop van hoofdstuk vier ziet er als volgt uit. Allereerst geef ik in paragraaf 4.2 aan waarom een risiconeutrale waardering van temperatuurfutures niet kan plaatsvinden. Vervolgens ga ik nader in op de vermoedelijke betalers en ontvangers van de risicopremie. In paragraaf 4.3 zal ik de geëiste risicopremie afleiden uit een aantal geschikte marktnoteringen. In paragraaf 4.3 bespreek ik de resultaten van deze kalibratie en probeer ik een verklaring te geven voor de spreiding van de risicopremie. In paragraaf 4.4 sluit ik af met een samenvatting van hoofdstuk vier.

4.2

Inleiding tot de waardering Een future contract kan worden gezien als een overeenkomst tussen twee partijen.

Volgens deze overeenkomst wordt er op de afloopdatum van het contract een specifiek goed tegen een vaste prijs verhandeld. De partij die een long positie in dit contract inneemt is op de afloopdatum verplicht de onderliggende waarde van het contract te kopen tegen de vooraf gespecificeerde prijs. De partij die de shortpositie inneemt is verplicht de onderliggende waarde te leveren tegen deze prijs. In een efficiënte financiële markt waarbij arbitrage mogelijkheden direct wordt benut zal de leveringsprijs (FT ) , op het moment van aflopen van het contract, gelijk zijn aan de spotprijs (S T ) . Dit omdat er anders een risicovrij rendement behaald kan worden op de afloopdatum van het contract door een future te kopen en vervolgens direct uit te oefenen. Als 72


Hoofdstuk 4

arbitrage mogelijkheden direct worden benut wordt de future prijs, voor de afloopdatum, weergegeven door de relatie in vergelijking 4.11. In deze vergelijking wordt de toekomstige leveringsprijs op tijdstip nul (F0 ) gelijk gesteld aan de spot prijs op tijdstip nul (S 0 ) , opgerent tegen het risicovrije rendement. In dit geval staat r f voor het risicovrije rendement en staat T voor de looptijd van het contract.

(4.11)

F0 = S 0 e

rf T

Deze relatie wordt in stand gehouden doordat de markt direct reageert op arbitrage mogelijkheden. Wanneer de future prijs lager is dan de verdisconteerde spotprijs kan er eenvoudig een risicovrije winst gemaakt worden door short te gaan in de onderliggende waarde (S 0 ) en long in de future. De opbrengst van de shortpositie moet vervolgens worden geïnvesteerd tegen het risicovrije rendement. Op de afloopdatum van het future contract worden de opbrengsten uit deze investering voor een deel gebruikt om de onderliggende waarde te verkrijgen tegen F0 . Het restant kan worden gezien als een risicovrije winst. Dit proces blijft zich herhalen totdat de risicovrije winst is verdwenen en vergelijking 4.11 weer opgaat. Als aanvulling op vergelijking 4.11 dienen nog wel de nodige kanttekeningen gemaakt te worden. Allereerst vereist vergelijking 4.11 dat er, gedurende de looptijd van het contract, geen geldstromen plaatsvinden tussen de contractanten. Dit betekent dat de vergelijking eigenlijk alleen geschikt is voor de waardering van forward contracten. Als gevolg van de settlement procedure vinden er bij een future contract namelijk wel tussentijdse geldstromen plaats. Bij de waardering van de temperatuur future contracten veronderstel ik gemakshalve dat er geen tussentijdse geldstromen plaatsvinden. De bias die hierdoor mogelijkerwijs kan optreden zal vermoedelijk klein zijn gezien de korte looptijd van de contracten. Andere vormen van bias kunnen ontstaan wanneer de onderliggende waarde dividend uitkeert of wanneer er sprake is van opslagkosten, transactiekosten of conveniece yield. Bij temperatuurcontracten spelen echter alleen de transactiekosten een rol van betekenis Door te veronderstellen dat er geen arbitrage mogelijkheden zijn bij de prijsvorming van een future contract, speelt de risicoperceptie van een marktparticipant geen enkele rol bij de waardering. In dit geval zullen zowel de risiconeutrale als de risicoaverse belegger een zelfde waarde toekennen aan het future contract. In een risiconeutrale wereld zal geen van de

73


Hoofdstuk 4

marktparticipanten bereid zijn een risicopremie te betalen bij het aangaan van het future contract. Dit betekent dat de verwachte spotprijs op de afloopdatum (E (S T )) van het future contract gelijk moet zijn aan de future prijs op tijdstip nul (F0 ) . Vergelijking 4.12 kan vervolgens eenvoudig worden afgeleidt uit vergelijking 4.11 door F0 te vervangen voor E (S T ) . In vergelijking 4.12 staat E (S T ) voor de verwachte toekomstige spotprijs en S 0 voor de spotprijs op tijdstip nul. Het risicovrije percentage en de looptijd van het contract worden weergegeven door respectievelijk r f en T. E (S T ) = S 0 e

(4.12)

rf T

Helaas kunnen temperatuurfutures niet gewaardeerd worden door gebruik te maken van vergelijking 4.11 of 4.12. Al eerder in deze scriptie is naar voren gekomen dat de degree day index niet verhandelbaar is en dus ook geen actuele spot prijs kent. De eerder beschreven arbitrage tactieken kunnen dus niet worden uitgevoerd omdat het onmogelijk is om een long of short positie in de degree day index in te nemen. Dit sluit de waardering van temperatuurfutures op basis van risiconeutrale arbitrage uit. Onder risiconeutraliteit kon vergelijking 4.12 nog eenvoudig worden afgeleidt aangezien de verwachte spotkoers op de afloopdatum gelijk is aan de future prijs

(E (S T ) = F0 ) . Wanneer risiconeutraliteit niet meer kan worden verondersteld zal de markt een vergoeding vragen voor het risico dat de belegger loopt. Deze geëiste vergoeding komt tot uitdrukking in een prijscorrectie van de future. In dit geval kan de verwachte toekomstige spotprijs niet meer gelijk worden gesteld aan de future prijs (E (S T ) ≠ F0 ) . Deze ongelijkheid vereist een aanpassing van vergelijking 4.11 zodat er rekening kan worden gehouden met de geëiste risicopremie. Voordat ik in de volgende paragraaf deze vergelijking afleid wil ik eerst ingaan op de ongelijkheid tussen de verwachte toekomstige spot en de future prijs

(E (S T ) ≠ F0 ) . Het is zeer waarschijnlijk dat de spelers op de temperatuur future markt enerzijds gevormd worden door de energiebedrijven, als verkopers van het risico, en anderzijds door beleggers als ontvangers van het risico. Door gebruik te maken van temperatuurfutures kan een energieonderneming de bedrijfsresultaten stabiliseren. Omdat stabiele bedrijfsresultaten leiden tot diverse continuïteitsvoordelen is een onderneming bereid hier een zekere premie voor te betalen. 74


Hoofdstuk 4

In de winterperiode bestaat het risico van een energieonderneming uit een tegenvallende afzet als gevolg van een warme winter. Een geschikte hedge kan in dit geval gevormd worden met behulp van een short positie in een HDD future contract. Dit contract zorgt er voor dat het verliespotentieel van een warme winter wordt verminderd, ten koste van het winstpotentieel van een koude winter. Om de belegger te bewegen de tegengestelde longpositie in te nemen in het HDD future contract zal de energieonderneming, als hedger, een risicopremie moeten bieden aan de belegger. Deze risicopremie komt tot uitdrukking in een positieve verwachte pay off van het future contract. Dit betekent dat de leveringsprijs van de future lager moet zijn als de verwachte waarde van de eindindex (E (S T ) > F0 ) . De hedger is zoals gezegd bereid deze negatieve verwachte pay off te accepteren omdat hij ondermeer de continuïteitsvoordelen geniet van de gestabiliseerde bedrijfsresultaten. Een grafische weergave van dit probleem staat weergegeven in figuur 17. Met behulp van het temperatuurmodel en de Monte Carlo simulatie ontstaat er een verwachting van de toekomstige eindindex waarde

(E (S T ))

van een specifieke maand. Een belegger zal

vervolgens het risico willen overnemen indien de risicopremie een passende vergoeding biedt voor het risico. De future prijs (F0 ) die in dit geval ontstaat, is de resultante van enerzijds de belegger die een lagere future prijs wenst, en anderzijds de hedger die een hogere future prijs wenst.

Figuur 17

De verwachting van de eindindex wordt verkregen met behulp van Monte Carlo simulatie en weergegeven door E(ST). De Future prijs (F0) Neemt een waarde aan die lager is dan de verwachte eindindex. De ruimte tussen E(ST) en F0 vormt de risicopremie van de belegger.

75


Hoofdstuk 4

In de nu volgende paragraaf toets ik de hierboven beschreven theorie onderschreven wordt door de werkelijkheid. In paragraaf 4.3 zal ik de koers van een aantal future contracten vergelijken met de verwachte eindindex waarde volgens het temperatuurmodel. Vervolgens zal ik hieruit de geëiste risicopremie afleiden.

4.3

De waardering Zoals gezegd wil ik in deze paragraaf de door de markt geëiste risicopremie afleiden.

De hiervoor noodzakelijke vergelijking zal ik in deze paragraaf afleiden. Alvorens hiermee een begin kan worden gemaakt, wil ik allereerst een aantal punten bespreken die van belang zijn bij de waardering. Zoals blijkt uit hoofdstuk drie is de verwachting van het temperatuurmodel uitsluitend gebaseerd

op

de

historische

temperaturen.

De

markt

daarentegen,

zal

een

temperatuursverwachting opstellen die gebaseerd is op alle mogelijke informatie. Wanneer de afloopdatum van een contract nadert kan de markt gebruik maken van de nauwkeurige korte termijn temperatuursvoorspellingen van een meteorologische dienst. Dit betekent dat de marktverwachting niet zomaar kan worden vergelijken met verwachting op basis van het temperatuurmodel. Om uit te sluiten dat de markt gebruik kan maken van deze nauwkeurige verwachtingen is het noodzakelijk dat er alleen contracten bekeken worden die voldoende ver verwijderd zijn van de afloopdatum. In dit geval beschikt de markt, net als het temperatuurmodel, alleen over historische temperatuurdata als basis voor de verwachting. De vraag is nu welke termijn er in acht moet worden genomen, zodat een beter geïnformeerde markt is uitgesloten. Hierbij is het relevant om te weten binnen welke periode een meteorologische instelling een juiste temperatuursvoorspelling kan doen. Navraag bij het KNMI heeft het volgende opgeleverd. De computermodellen die het KNMI gebruikt geven een zeer betrouwbare voorspelling tot ongeveer 7 dagen vooruit. Wanneer er een langere voorspelperiode gehanteerd wordt neemt de betrouwbaarheid van de computermodellen sterk af. Lange termijn voorspelling (tien dagen tot een maand) worden op basis van de ensemble methode of Monte Carlo simulatie gemaakt. De voorspellingen volgens deze methoden resulteren in kansen op een hogere of lagere temperatuur dan gemiddeld. De betrouwbaarheid van deze methode is niet heel erg groot maar het kan helpen om de markt te verslaan. Dit impliceert dat

76


Hoofdstuk 4

er minimaal een termijn van één maand in acht moet worden genomen om uit te sluiten dat de markt over relevante informatie kan beschikken. In een publicatie van Yoo (2003) worden de lange termijn voorspellingen van de ensemble methode verwerkt in een temperatuurmodel. Er wordt echter door Yoo geen melding gemaakt van een significant verbeterde voorspelling. Campbell en Diebold (2004) hebben de voorspelkwaliteit van een model op basis van historische temperatuurdata vergeleken met de voorspellingen van de meteorologische instelling. Na een periode van ongeveer acht dagen werden de meteorologische voorspellingen overtroffen door hun temperatuurmodel. Hieruit kan worden geconcludeerd dat de markt in elk geval over betere informatie kan beschikken wanneer de looptijd van het contract minder dan acht dagen bedraagt. Dit komt redelijk overeen met de termijn van zeven dagen die het KNMI hanteert voor nauwkeurige voorspellingen. Om er zogoed als zeker van te zijn dat de markt niet beschikt over betere informatie dan het temperatuurmodel hanteer ik een periode van 30 dagen voor de afloopdatum van het contract. Hiermee is het uitgesloten dat de marktverwachting is gebaseerd op een informatieve voorspelling van een meteorologische instelling. Een nadeel van deze veiligheidsmarge is dat er nog maar 10 contracten resteren om de kalibratie mee uit te voeren. Het gaat in deze scriptie te ver om onderzoek te verrichten naar de informatie die door de markt gebruikt wordt bij de temperatuursverwachting. Toch wil ik in dit kader een interessante bevinding weergeven. In figuur 18 wordt het koersverloop van een HDD future voor februari 2004 afgezet tegen het verloop van de HDD index. Hieruit blijkt dat de future koers omstreeks 30 januari 2004 een daling inzet. Deze daling wordt vermoedelijk veroorzaakt door het vrijkomen van voorspellingen waarin kenbaar gemaakt wordt dat de maand februari 2004 een milder verloop zal gaan kennen. Navraag bij het KNMI leert echter dat er toen geen eenduidige aanleiding was te veronderstellen dat februari milder zou gaan verlopen. Het lijkt er sterk op dat de markt de verwachting heeft bijgesteld naar aanleiding van de eerste zes dagen van de maand, welke een minder koude temperatuur lieten zien. Dit kan betekenen dat de markt, bij het vormen van de verwachting, de lange termijn temperatuursvoorspelling naast zich neer heeft gelegen. Helaas zijn deze bevindingen niet te verifiëren met andere maanden gezien de geringe handelsactiviteit.

77


Figuur 18

Hoofdstuk 4

Grafische weergave van de februari 2004 HDD index (lijn) en de settlement koersen voor deze desbetreffende index (punten). De punten komen dichter bij elkaar te liggen naarmate de uitoefendatum nadert. Dit geeft aan dat de handelsactiviteit toeneemt naarmate de onzekerheid over de eindindex afneemt. Opvallend is dat de markt direct reageert op het tegenvallende begin van de index.

In de voorgaande paragraaf is naar voren gekomen dat de HDD future prijs vermoedelijk lager is dan de verwachte toekomstige eindindex (E (S T ) > F0 ) . De oorzaak van deze ongelijkheid moet worden gezocht in de aanwezigheid van een geëiste risicopremie. Of deze theorie wordt onderschreven door de werkelijkheid kan eenvoudig worden onderzocht. In tabel 18 wordt de future prijs en de verwachte toekomstige eindindex weergegeven per contract. Hieruit blijkt duidelijk dat elk van de tien contracten een future prijs heeft die onder de verwachting noteert. Indien dit niet het geval geweest zou zijn is het aannemelijk te veronderstellen dat de markt de verwachting kan baseren op betere informatie. Tabel 18 toont dus tevens aan dat de marge van 30 dagen voldoende is om onverklaarbare onderzoeksresultaten te vermijden.

78


Hoofdstuk 4 Datum

F0

E (S T )

januari 2004

10 november 03

460

467,4

januari 2004

30 december 03

452

463,3

februari 2004

10 november 03

395

427,2

februari 2004

15 januari 04

390

426,1

februari 2004

23 januari 04

390

427,6

maart 2004

24 februari 04

350

383,8

maart 2004

27 februari 04

357

386,0

maart 2004

1 maart 04

375

395,7

maart 2004

4 maart 04

380

397,5

330

344,2

Contract

november 2004 1 november 04 Tabel 18

Vergelijking van de future koers (F0) en de verwachte eindindex volgens de Monte Carlo simulatie. Alle future koersen hebben een lagere waarde als de verwachte index. Dit betekent dat er een risicopremie geboden wordt aan de beleggers in de vorm van een positieve verwachte pay off.

In paragraaf 4.2 ben ik nader ingegaan op de risiconeutrale waardering van future contracten. Tevens is in de voorgaande paragraaf naar voren gekomen dat een risiconeutrale waardering van temperatuur future contracten niet mogelijk is. Zoals gezegd zal ik in deze paragraaf een vergelijking afleiden waarin de geëiste risicopremie tot uitdrukking komt. Deze vergelijking is gebaseerd op het feit dat de netto contante waarde, bij het afsluiten van het future contract, gelijk moet zijn aan nul. Een future contract kan, zoals gezegd, worden gezien als een overeenkomst waarbij er op de afloopdatum van het contract twee tegengestelde geldstromen worden uitgewisseld. Op de afloopdatum van het contract is de partij met de long positie verplicht tot het betalen van een vast bedrag aan de partij met de short positie. In ruil hiervoor ontvangt de houder van de longpositie een variabel bedrag van de partij met de shortpositie. Door op tijdstip nul een long positie in een future contract aan te gaan tegen F0 verplicht een belegger zich tot het betalen van F0 op de afloopdatum van het contract. Aangezien de toekomstige betaling van F0 geen onzekerheid met zich mee brengt, kan de contante waarde op tijdstip nul eenvoudig worden verkregen met behulp van de risicovrije voet. Vergelijking 4.13 geeft de contante waarde weer van de betalingsverplichting zoals die ontstaat uit een long positie in een future contract. In deze vergelijking staat CW voor de

79


Hoofdstuk 4

contante waarde van de future op tijdstip nul. Tevens staat r f voor de risicovrije voet en geeft T de periode tot de afloopdatum het contract weer. CW = − F0 e

(4.13)

−rf T

Op de afloopdatum van het contract wordt de partij met de short positie verplicht tot het betalen van de eindindex (S T ) aan de partij met de long positie. Op tijdstip nul kan de contante waarde van deze toekomstige ontvangst echter niet met zekerheid bepaald worden omdat de waarde van de eindindex nog onbekend is. Aangenomen wordt dat de markt de temperatuur future contracten waardeert door gebruik te maken van een verwachte index

(E (S T )) .

Aangezien de verwachting gepaard gaat met een bepaalde mate van onzekerheid

zullen de beleggers een vergoeding eisen voor dit risico. In vergelijking 4.14 staat de contante waarde weergegeven van de verwachte eindindex. De door de markt geëiste vergoeding wordt weergegeven door k terwijl T de periode tot de afloopdatum weergeeft.

(4.14)

CW = E (S T )e − kT

Wanneer eventuele arbitrage mogelijkheden worden uitgesloten zal de netto contante waarde van de twee geldstromen gelijk zijn aan nul. Dit betekent dat vergelijking 4.15 kan worden verkregen uit vergelijking 4.13 en 4.14. In vergelijking 4.15 staat r f − k voor de geëiste risicopremie.

(4.15)

0 = − F0 e

−rf T

+ E (ST )e − kT

ofwel: F0 = E (S T )e

(r f − k )T

Aangezien deze temperatuurderivaten worden verrekend in Britse Ponden maak ik voor het risicovrije percentage gebruik van de LIBOR23. Ondanks dat de temperatuur contracten zijn afgesloten in verschillende maanden en met verschillende looptijden maak ik gebruik van de actuele één maands LIBOR. Dit komt neer op een risicovrij percentage van 23

London Inter Bank Offering Rate. Dit is het door banken gehanteerde percentage bij onderlinge transacties. Dit percentage wordt veelal verondersteld gelijk te zijn aan het risicovrije rendement.

80


Hoofdstuk 4

ongeveer 4,8 %. Omdat niet alle marktparticipanten gebruik kunnen maken van het LIBOR percentage stel in de risicovrije rente gemakshalve vast op 5 procent per jaar. Met behulp van vergelijking 4.15 kan de door de markt geëiste risicopremie worden verkregen uit de marktnoteringen. In tabel 19 staat de risicopremie weergegeven voor elk van de tien geschikte contracten.

Datum

F0

E (S T )

Premie

januari 2004

10 november 03

460

467,4

7,1 %

januari 2004

30 december 03

452

463,3

28,2 %

februari 2004

10 november 03

395

427,2

25,8 %

februari 2004

15 januari 04

390

426,1

71,8 %

februari 2004

23 januari 04

390

427,6

90,8 %

maart 2004

24 februari 04

350

383,8

93,5 %

maart 2004

27 februari 04

357

386,0

86,4 %

maart 2004

1 maart 04

375

395,7

65,4 %

maart 2004

4 maart 04

380

397,5

60,9 %

330

344,2

53,0 %

Contract


de afgeleide risicopremie wordt weergegeven met de future prijs en de verwachte spot prijs. Opvallend is de sterk wisselende risicopremie. De risicopremie staat weergegeven als een percentage per jaar.

Tabel 19 laat zeer sterk wisselende risicopremies zien. De hoogst waargenomen risicopremie heeft een waarde van 93,5 % terwijl de laagste waarde gelijk is aan 7,1 %. De gemiddelde risicopremie, die kan worden berekend over de 10 contracten, is gelijk aan 58 %. Opvallend zijn de relatief lage risicopremies van de eerste drie contracten. Een oorzaak hiervan kan mogelijk worden gevonden in het feit dat de markt niet goed in staat was de nieuwe contracten te prijzen. Het gevolg hiervan is dat er een te lage risicopremie is geëist voor de eerste contracten. Vervolgens lopen de risicopremies op tot boven de 90 %. Dit kan wellicht worden gezien als een vorm van overreactie op de eerder te laag vastgestelde risicopremie. Bewijs hiervoor kan echter alleen worden geleverd door meerdere contracten in de analyse te betrekken. Naast het feit dat de markt kan overreageren, kan de waargenomen variatie in de risicopremie andere oorzaken hebben. Allereerst is het mogelijk dat het wisselende verloop van de risicopremie veroorzaakt wordt doordat de markt een ander verwachtingsmodel 81


Hoofdstuk 4

hanteert. Dit effect probeer ik echter te minimaliseren door gebruik te maken van een buffer van 30 dagen, zodat de markt niet over relevante actuele informatie beschikt. Door te veronderstellen dat de marktverwachting gelijk is aan de verwachting van mijn temperatuurmodel kunnen er mogelijk andere oorzaken worden aangewezen die van invloed kunnen zijn op de wisselende risicopremie. Eerder in deze scriptie (paragraaf 3.3) is naar voren gekomen dat het temperatuur verloop gekenmerkt wordt door een maandelijks wisselende standaarddeviatie. Naar voren is gekomen dat de temperatuur in de wintermaanden wordt gekenmerkt door een hogere standaarddeviatie dan in de zomermaanden. Het gevolg hiervan is dat de eindindex, in bepaalde maanden, wordt gekenmerkt door een grotere onzekerheid. De markt zal hierop reageren door een hogere risicopremie te eisen voor de desbetreffende maanden. In tabel 20 worden de risicopremies weergegeven samen met de standaarddeviatie van temperatuur. De resultaten kunnen echter geen verklaring bieden voor de sterk wisselende risicopremie.

Contract

Datum

Premie

St Dev temp

januari 2004

10 november 03

7,1 %

4,4

januari 2004

30 december 03

28,2 %

4,4

februari 2004

10 november 03

25,8 %

4,2

februari 2004

15 januari 04

71,8 %

4,2

februari 2004

23 januari 04

90,8 %

4,2

maart 2004

24 februari 04

93,5 %

3,3

maart 2004

27 februari 04

86,4 %

3,3

maart 2004

1 maart 04

65,4 %

3,3

maart 2004

4 maart 04

60,9 %

3,3

53,0 %

3,6


De gevonden risicopremie wordt afgebeeld samen met de standaarddeviatie van de temperatuur. Hierdoor kan er echter geen oorzaak worden aangewezen voor de wisselende risicopremie.

Naast de maandspecifieke volatiliteit van temperatuur speelt ook de voorspelperiode een rol van betekenis. Het spreekt voor zich dat de eindindex met een grotere zekerheid kan worden vastgesteld wanneer het contract binnen een paar dagen afloopt. In dit geval zal het resterende temperatuurtraject een korter verloop kennen en tevens zal de variantie van de verwachte eindindex kleiner zijn. De onzekerheid over de verwachte waarde van de eindindex

82


Hoofdstuk 4

zal in deze situatie ook lager zijn. De verwachting is dan ook dat de risicopremie lager zal zijn naarmate de afloopdatum van het contract nadert. Het verband tussen de risicopremie en de resterende looptijd kan wellicht een verklaring bieden voor de wisselende risicopremies. Deze relatie zal hoogst waarschijnlijk niet gekenmerkt worden door een lineair, maar door een afnemend verband. Deze afnemende relatie wordt veroorzaakt door het feit dat de temperatuur geen random walk volgt maar terugkeert naar het gemiddelde. Hierdoor zal de variantie van de verwachte eindindex een minder snel stijgend verloop kennen wanneer de periode tot de afloopdatum toeneemt. Tevens bestaat de mogelijkheid dat het verloop van de risicopremie gekenmerkt wordt door schokken. Deze schokken kunnen worden veroorzaakt door het vrijkomen van maandelijkse of wekelijkse temperatuursverwachtingen. Op het eerste gezicht lijkt dit effect niet overduidelijk naar voren te komen in de resultaten van tabel 19. Het is echter goed mogelijk dat deze resultaten beïnvloedt worden door de aanwezigheid van een overreactie en de maandspecifieke variantie. Om de effecten van deze twee factoren zoveel mogelijk te beperken zullen alleen de vier contracten van de maand maart worden afgezet tegen de resterende looptijd. In figuur 19 worden de risicopremies van contracten die in maart 2004 aflopen afgezet tegen de resterende looptijd van het contract. Hierin is duidelijk een afnemend verloop te herkennen. Een beter bewijs kan echter alleen worden verkregen wanneer er meerdere contracten in de analyse worden betrokken.

Figuur 19

Risicopremie van de contracten die eind maart 2004 aflopen, afgezet tegen de resterende looptijd van het contract. Hieruit blijkt dat de risicopremie inderdaad afneemt wanneer de looptijd korter is.

83


4.4

Hoofdstuk 4

Samenvatting Het doel van hoofdstuk vier is het afleiden van de geëiste risicopremie om hiermee een

antwoord te geven op het tweede deel van de probleemstelling. In paragraaf 4.2 ga ik nader in op de waarderingsmogelijkheden. Hieruit blijkt dat een waardering op basis van risicovrije arbitrage niet mogelijk is bij temperatuur futures. Tevens ga ik in paragraaf 4.2 nader in op de ontvangers en de verstrekkers van de risicopremie bij een HDD futures contract. In paragraaf 4.3 leid ik de risicopremies af uit de beschikbare noteringen door gebruik te maken van vergelijking 4.15. De resultaten van de kalibratie laten sterk wisselende risicopremies zien. In het verdere verloop van paragraaf 4.3 worden de resultaten en mogelijke oorzaken van de wisselende risicopremie besproken. Tot slot van deze scriptie zal ik in hoofdstuk 5 de conclusie geven van het onderzoek. Naast de conclusie zal ik ook nog enkele aanbevelingen doen voor verder onderzoek.

.

84


Hoofdstuk 5:

Hoofdstuk 5

Conclusie en aanbevelingen

Het onderzoek van deze afstudeerscriptie richt zich op de prijsvorming van Nederlandse temperatuur futures. De onderzoeksvraag die in het eerste hoofdstuk naar voren komt bestaat uit twee delen. Het eerste deel van de probleemstelling moet leiden tot een temperatuurmodel waarmee er een verwachting gevormd kan worden van de toekomstige temperatuur. Het tweede deel van de probleemstelling heeft als doel de, door de markt geëiste, risicopremie af te leiden. In hoofdstuk drie wordt de eerste onderzoeksvraag beantwoord door met behulp van de eigenschappen van de Nederlandse temperatuur een model af te leiden. Op basis van een viertal eigenschappen van de Nederlandse temperatuur is er een verwachtingsmodel gevormd. Dit verwachtingsmodel is gebaseerd op ondermeer een constante, een trend, een seizoensgolf en een vijftal lag’s. Door gebruik te maken van de Monte Carlo simulatiemethode kunnen er vervolgens temperatuurvoorspellingen worden gedaan. De verklarende kracht van deze temperatuurvoorspellingen wordt vervolgens op diverse manieren getoetst. Geen van deze toetsen is echter in staat het schattingsmodel te verwerpen en dus moet worden aangenomen dat het schattingsmodel de temperatuur redelijk voorspelt. In hoofdstuk vier van de scriptie wordt er, met de kalibratie van de risicopremie, een antwoord gegeven op het tweede deel van de onderzoeksvraag. Door gebruik te maken van het eerder opgestelde temperatuurmodel kan er een verwachte eindindex worden bepaald. Wanneer er vervolgens alleen contracten worden geanalyseerd met een resterende looptijd van 30 dagen kan de modelverwachting gelijk worden gesteld aan de marktverwachting. Door gebruik te maken van vergelijking 4.15 kunnen de risicopremies van de future contracten vervolgens worden gevonden. De resulterende risicopremies staan per contract weergegeven in tabel 19. Opvallend is het sterk wisselende verloop van de risicopremie. De laagste risicopremie van 7% resulteert uit het eerst verhandelde contract. Vervolgens schiet de risicopremie omhoog tot meer dan 90% om vervolgens weer te dalen naar waarden tussen de 50 en 65 procent. Een logische verklaring voor deze verschillen kan zijn dat de markt moeite heeft met het waarderen van deze nieuwe instrumenten. Vermoedelijk heeft de markt het risico van het eerste contract te laag geschat om vervolgens een extreem hoge risicopremie te eisen voor de opvolgende contracten. Of er daadwerkelijk sprake is van een overreactie kan op basis van deze resultaten niet worden bevestigd. Ook kan er geen eenduidige uitspraak worden gedaan over de 85


Hoofdstuk 5

risicopremie. In dit geval zullen er meer contracten bekeken moeten worden om concretere uitspraken over de risicopremie te kunnen maken. Verder onderzoek naar het temperatuurmodel kan mogelijkerwijs resulteren in betere risicopremies. In dit geval zal er een onderscheid gemaakt moeten worden tussen de lange en de korte termijn modellen. Winst kan met name gemaakt worden bij de korte termijn modellen door gebruik te maken van meteorologische voorspellingen. Ook kunnen lange termijn voorspelling mogelijk worden aangevuld met andere verklarende klimatologische variabele zoals luchtvochtigheid. Naast het modelleren van de temperatuur kan er verder onderzoek worden verricht naar

het

zogenaamde

systematische

en

niet-systematische

risico

van

de

temperatuurcontracten. Volgens het CAPM kunnen beleggers het niet-systematische risico eenvoudig weg diversificeren. Het systematische risico kan niet worden gediversificeerd en moet dus geprijsd worden. In dit kader kan de relatie tussen de marktportefeuille en de temperatuurcontracten nader worden onderzocht. Op bedrijfseconomische schaal kan er mogelijk onderzoek worden verricht naar de relatie tussen de abnormale bedrijfsresultaten en eventuele temperatuurschokken. Een beter begrip van deze relatie kan mogelijk leiden tot een toename van de liquiditeit op de markt als gevolg van toetredende handelaren. Verder onderzoek kan mogelijk worden verricht naar de informatie die door de markt wordt opgepakt. Uit figuur 18 blijkt dat de markt direct reageert op een tegenvallende start van de HDD index. De lange termijn voorspellingen van de KNMI gaven op dat moment echter geen aanleiding te veronderstellen dat de HDD index lager zou uitvallen. Een onderzoek zou mogelijk kunnen uitwijzen welke informatie daadwerkelijk door de markt wordt verwerkt. Tevens komen de temperatuursvoorspellingen van meteorologische instellingen veelal op vaste tijdstippen vrij. Zo komt de lange termijn voorspelling van de ECMWF24 altijd vrij op de 14e dag van de maand. Onderzoek kan misschien uitwijzen of de markt reageert op het vrijkomen van deze voorspellingen.

24

European Centre for Medium-range Weather Forecasts

86


Referenties

Referenties •

Alaton, P., B. Djehiche, en D. Stillberger, “On Modelling and Pricing Weather Derivatives”, Applied mathematical finance, 9(1), 1-20, 2002.

•

Benth, F.E. en J. Saltyte-Benth, “Stochastic modelling of temperature variations with a view towards weather derivatives”, 2004

•

Brealey, R.A. en S.C. Myers, “Principles of Corporate Finance”, Mc Graw-Hill.

•

Brix, A. en S. Jewson, en C. Ziehmann, “Weather Derivative Modelling and Valuation: A Statistical Perspective”, 2002.

•

Cao, M. en J. Wei, “Weather Derivatives Valuation and Market Price of Weather Risk”, working paper, University of Toronto, 2003.

•

Cao, M., J. Wei en A. Li, “Weather Derivatives: A new Class of Financial Instruments” working paper, University of Toronto, 2003.

•

Campbell, S. D. en F.X Diebold, “Weather forecasting for weather derivatives”, working paper, University of Pennsylvania, 2004.

•

Considine, G., “Introduction to Weather Derivatives”, Weather Derivatives Group, Aquila Energy.

•

Davis, M., “Pricing Weather Derivatives by Marginal Value”, Quantitative Finance, 1, 1-4, 2001.

•

Ferrer-Garcia, A. en F. Sturzenegger, “Hedging Corporate Revenues with Weather Derivatives A Case Study”, Master thesis, Université de Lausanne, 2001.

•

Franses, P. H., J. Neele en D. van Dijk, “Modeling Asymmetric Volatility in Weekly Dutch Temperature Data”, Environmental Modelling & Software, 16 131-137

•

Garman, M., C. Blanco en R. Erickson, “Seeking a Standard Pricing Model”, Environmental Finance, Maart 2000.

•

Jewson, S., “Weather Derivative Pricing and Risk Management: Volatility and Value at Risk”, Risk Management Solutions, 2002.

•

Jewson, S., “Comparing the Potential Accuracy of Burn and Index Modelling for Weather Option Valuation”, Risk Management Solutions, 2004.

•

Jewson, S., “Weather Derivatives and Weather Derivative Pricing”, FSR Forum, augustus 2004.

87

Temperatuurderivaten •

Referenties

McIntyre, R., “Whether to Use VAR? Weather to Use PAR”, Environmental Finance, April 2002

•

Moreno, M., ”Riding The Temp”, Weather Derivatives, FOW special Supplement, December 2000.

•

Oetomo, T., M. Stevenson, “A Comparison Of Different Approaches To Forecasting The Spot Price At Maturity And The Pricing Of Weather Derivatives”, University of Sydney, Augustus 2003.

•

Platen, E. and J. West, “Fair Pricing of Weather Derivatives”, working paper, University of Technology, 2003.

•

Richards, T.J., M.R. Manfredo and D.R. Sanders, “Pricing Weather Derivatives”, American Journal of Agricultural Economics, Vol. 86, No. 4, pp. 1005-1017, November 2004.

•

Roustant, O., J.P. Laurent, X. Bay en L. Carraro, “Model Risk in the Pricing of Weather Derivatives” Université Claude Bernard, September 2003.

•

Roustant, O., J.P. Laurent, X. Bay en L. Carraro, “A Bootstrap Approach To The Price Uncertainty Of Weather Derivatives”, Université Claude Bernard, December 2003.

•

Smeets, E.J.M., “Weerderivaten, een instrument voor het afdekken van weerrisico’s”, Aeolis forecasting services, Februari 2001.

•

Yoo, S., “Weather Derivatives and Seasonal Forecast”, working paper, Cornell University Ithaca, 2003.

•

Zeng, L., “Pricing Weather Derivatives”, Journal of Risk Finance 2, 72-78, 2000

88


Internet bronnen

Internet bronnen •

http://www.cme.com

Chicago Mercantile Exchange

•

http://www.knmi.nl

Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut

•

http://www.euronext.com

Europese beursorganisatie Euronext

•

http://www.eurthsat.com

The Earth Satellite Corporation

•

http://www.wrma.org

Weather Risk Management Association

•

http://www.bba.org.uk

British Bankers Association

•

http://stephenjewson.com

Diverse artikelen

•

http://www.ecmwf.com

Lange termijn temperatuursverwachtingen

89

Weerderivaten

Bijlagen

Bijlagen Bijlage 1

90

Weerderivaten

Bijlagen

Bijlage 2

91

Weerderivaten

Bijlagen

Bijlage 3 Lag 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

AC 0.812 0.597 0.461 0.370 0.302 0.249 0.210 0.184 0.162 0.142 0.125 0.108 0.093 0.080 0.071 0.065 0.063 0.062 0.063 0.060 0.056 0.055 0.058 0.054 0.046 0.042 0.041 0.038 0.033 0.032

PAC 0.812 -0.182 0.108 0.004 0.018 0.009 0.016 0.020 0.003 0.007 0.005 -0.001 0.001 0.002 0.006 0.004 0.013 0.008 0.011 -0.006 0.007 0.011 0.013 -0.011 -0.002 0.009 0.003 -0.005 0.000 0.012

Q-Stat 24779. 38182. 46170. 51311. 54742. 57081. 58747. 60026. 61013. 61770. 62353. 62793. 63119. 63361. 63551. 63709. 63857. 64004. 64155. 64290. 64406. 64520. 64644. 64754. 64834. 64902. 64966. 65019. 65059. 65098.

Prob 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

92

WEER DERIVATEN Een Analyse van Nederlandse Temperatuurderivaten

Recommend Documents