9. feladatsor - Minőség-ellenőrzés és binomiális eloszlás Binomiális eloszlással olyan helyzet modellezhető, ahol egy véletlen kísérletet sokszor ismétlünk azonos körülmények között és figyeljük, hogy az n ismétlés során hányszor következett be egy adott esemény. Pl.: Galton deszka (http://www.youtube.com/watch?v=uFd3hiZZHWg vagy link innen: http://www.hds.bme.hu/~fabe/galton.htm) Elengedünk egy golyót a piramis tetején. Minden szinten p valószínűséggel balra és (1-p) valószínűséggel jobbra fog esni a golyó. Minden szinten a balra-vagy-jobbra kísérletet végezzük el, n szintű Galton táblán egy golyó n-szer végzi el a kísérletet, a rekesz sorszáma (k, balról 0-val kezdve a számozást) pedig a jobbra döntések számát adja meg.
1. Feladat: (Galton tábla) Tekintsünk egy n = 8 lépcsős Galton deszkát. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy golyó a k. (k = 0,1,2,…,8) rekeszbe esik? MEGOLDÁS: (n k): =n! / (n-k)! / k! Excelben: = FAKT(n) / FAKT(n-k) / FAKT(k) Nagy n-re (n>170) a FAKT(n) túlcsordul, de szerencsére az excel ezen túl tud lépni és ki tudja számolni az (n k)-t: =KOMBINÁCIÓK(n;k) Spoil: a binomiális eloszlást is tudja az excel: P(S=k)-t számolja a =BINOM.ELOSZLÁS(k;n;p;0) és P(S<=k)-t számolja a =BINOM.ELOSZLÁS(k;n;p;1) A KOMBINÁCIÓK függvény (mint a pl. szórás is) használható a ZH-n. A BINOM.ELOSZLÁS nem. 2. feladat: (Vizsgaidőszak-szimuláció) Egy 120 fős évfolyam vizsgaidőszak előtt áll. Mindenkinek 8 darab szóbeli vizsgája lesz, ahol tételt kell húzni, majd a kihúzott tételből vizsgázni. Az évfolyam sokallja a tanulnivalót, ezért kollektíven úgy döntenek, hogy mindenki minden vizsgára a tételek csupán 80%-át fogja megtanulni, és ha maradékból húz tételt akkor megbukik. (Tegyük fel, hogy egyébként mindig átmegy a vizsgán.) Véletlenszám generátorral szimuláljuk a tételhúzásokat, és állapítsuk meg, hogy hány hallgató ment át minden vizsgán, hányan buktak 1, 2, 3, ..., 8 vizsgán. A kapott számokból (gyakoriságokból) képezzünk relatív gyakoriságokat (ehhez a gyakoriságokat az évfolyam létszámával kell leosztani), és ezeket az értékeket vessük össze a binomiális eloszlás elméleti valószínűségeivel. Az F9 billentyű lenyomásával újragenerálhatjuk a véletlenszámokat, ezzel a vizsgaidőszak-szimulációt tetszőlegesen sokszor megismételhetjük. A feladatot úgy írjuk meg, hogy 80%-ot könnyű legyen megváltoztatni más értékre. (Tehát ne a számot írjuk a képletekbe, hanem egy külön cellába írjuk be ezt az értéket, és a képletekben erre a cellára
hivatkozzunk.) Így szimulálhatunk más felkészültségre vonatkozó eseteket is. (pl. 50% esetén nézzük meg) MEGOLDÁS: 1. A tételhúzást a VÉL() függvény segítségével szimulálhatjuk. A VÉL() által visszaadott érték minden függvényhíváskor más és más, de az értékek egyenletes eloszlást követnek a [0,1) intervallumon. (A VÉL() felfogható úgy mint egy valószínűségi változó.) A tételhúzás szimulálásánál, minket csak az érdekel, hogy megtanult, vagy nem megtanult tételt húzunk. Mivel 80% az esélye annak az eseménynek, hogy megtanult tételt húzunk és szintén 80% annak az esélye, hogy VÉL()<0,8 ez utóbbit használhatjuk a szimulációban. Kicsit szoktatva magunkat a valószínűségszámítás nyelvezetéhez, ugyanez elmondható úgy, hogy: • A végzett kísérlet egy véletlenszám generálása a VÉL() segítségével. (Értéket kap a valószínűségi változónk.) • A kísérlet során az általunk megfigyelni kívánt esemény az amikor VÉL()<0,8. • Az esemény bekövetkezési valószínűsége 0,8 , azaz P(VÉL()<0,8)=0,8. A 0,8 „beégetése” helyett B7 cella tartalmára hivatkozzunk, így nem kell az összes helyen javítani a képletet, ha 0,8 értékét meg szeretnénk változtatni. Vegyük figyelembe, hogy ezt a képletet mindkét irányba „ki fogjuk húzni”, így abszolút hivatkozásra van szükség: VÉL()<$B$7 Végül tegyük a táblázatot kifejezőbbé úgy, hogy ne az IGAZ, HAMIS értékeket jelenítsük meg, hanem az E7, F7 cellákban előre definiált ☺ és ● szimbólumokat. Ezt a HA(logikai_vizsgálat; érték_ha_igaz; érték_ha_hamis) függvény segítségével tehetjük meg. Most is abszolút hivatkozásokat használva pl. az első hallgató első vizsgája esetén: C11 := „=HA(VÉL()<$B$7;$E$7;$F$7)” Ezt a képletet húzzuk ki jobbra, egészen a 8. vizsgáig. Majd jelöljük ki az egész sort (C11:J11) és a sort húzzuk le a 120. hallgatóig. Megjegyzés: Ne lepődjünk meg azon, hogy a munkalap frissül, és mindig más az eredmény, hiszen a VÉL() minden kiértékelésre mást ad. 2. Összesítsük hallgatónként a sikeres vizsgák számát. A múlt gyakorlaton tanultak alapján az első hallgató esetében: K11 := „=DARABTELI(C11:J11;$E$7)” Ezt húzzuk le a 120. hallgatóig. 3. Számoljuk össze, hogy hány darab hallgatónak volt 0,1,…,8 sikeres vizsgája. Az eddigiek szerint írhatnánk a 0 sikeres vizsga sorába ezt: =DARABTELI(K11:K130;0). Ahhoz, hogy a képlet kényelmesen másolható legyen a „0” beégetése helyett hivatkozzunk inkább az O11-es cella tartalmára. Így lehúzáskor mindig az adott sorban érvényes sikeres vizsgák száma fog szerepelni ezen a helyen. A (K11:K130) tartomány viszont ne mozogjon lefelé lehúzáskor, tehát: P11 := „=DARABTELI(K$11:K$130;O11)” Ezt a képletet már lehúzhatjuk a 8 sikeres vizsga soráig. 4. A relatív gyakoriságok megadása egyszerű: Az első sorban pl: Q11 := „=P11/120” 5. Már csak az elméleti valószínűségek vannak hátra: mint a Galton táblánál: Ennek alapján (figyelembe véve, hogy „p”-t később változtatni szeretnénk, és hogy k különböző értékei az O11:O19 cellákban vannak, illetve n=8) pl. k=0 esetre:
R11 := „=KOMBINÁCIÓK(8;O11) *$B$7^O11*(1-$B$7)^(8-O11)” A képletet húzzuk le az egész oszlopra. 6. Minden szükséges cellát kitöltöttünk. Az F9 billentyű lenyomásával újra szimulálhatjuk az egész vizsgaidőszakot. Tegyük meg néhányszor, és figyeljük meg, hogy a tapasztalati értékek, hogyan ingadoznak az elméleti értékek körül. 7. Írjuk át a „p” értékét 0.5-re (ami azt az esetet jelenti, amikor csak a tételek felét tanulja meg az évfolyam minden vizsgára) és itt is végezzünk néhány szimulációt. Minőség-ellenőrzés: Egylépcsős minőség-ellenőrzési eljárás az MSz 548-as szabvány szerint: − N elemű tétel elemeinek valós hiba valószínűsége (ami ugye nem ismert) p − n elemű minta vizsgálata: hibás darabok száma a mintában S − Ha S ≤ Ac (Accepted) → A tétel a követelményeknek megfelel, a minta alapján a tételt elfogadjuk − Ha S ≥ Re (Refused) → a tétel nem felel meg a követelményeknek, a minta alapján a teljes tételt visszautasítjuk Tétel: egy gyártmánysorozat elemei akkor kezelhetők statisztikailag azonos módon, ha a termékek azonos műszakban, azonos gépbeállítással, azonos nyersanyag szállítmányból készültek. Az N tételszám tehát akkora, amekkora a fenti feltételeknek eleget tevő sorozat darabszáma. N ismerete mellett mekkora legyen n minta elemszám? Mekkora legyenek az Ac és a Re értékek? Választ a Kulcsjel és Egyszeres tervtípus táblázatok (ld a leírás végén) adják meg. Kérdések: − Amennyiben a tétel valószínűsége, hogy az − Amennyiben a tétel valószínűsége, hogy az Válasz: Binomiális eloszlás
valós selejtszázaléka p, akkor mekkora annak a n elemű minta pontosan k db selejtet tartalmaz? valós selejtszázaléka p, akkor mekkora annak a n elemű minta legfeljebb k db selejtet tartalmaz?
3. feladat: (Minőség-ellenőrzés MSz 548 szerint) Egy zenelejátszó-készülékeket gyártó cég 4%-os átvételi hibaszintben állapodik meg az LCD panelek beszállítójával. Naponta 100 db-os tétel érkezik. a. Mekkora mintát kell megvizsgálni az átvevőnek II. fokozatú, egyszeres osztályozás esetén? b. Hibázik-e az átvevő, ha a mintában 5 db selejtet talál, és átveszi azt? c. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az átvevő átveszi a tételt, ha annak valódi selejtszázaléka 6%? d. Rajzoljuk meg az eljáráshoz tartozó OC görbét! MEGOLDÁS:
a) N = 100 db-os tétel, általános II eljárás → F kulcsjel → n = 20 elemű minta vizsgálata szükséges b) Ac = 2, Re = 3, tehát hibázik ha átveszi. c) Ki kell számolni P(S=k)-t k = 0, 1, 2-re és össze kell őket adni: ( A d) feladatrész miatt célszerű p-t hivatkozni és nem beégetni. Ugyanezen oknál fogva vannak hol az oszlop hol a sorértékek rögzítve a hivatkozásokban… ) A21: p A23: k A24: 0 B$21)^($G$16-$A24) A25: 1 A26: 2 A28: P(S<=2)
B21: 0.06 B24:
G16: 20
=KOMBINÁCIÓK($G$16;$A24)*B$21^$A24*(1-
B28: =szum(B24:26)
OC – Operation characteristics Azt mutatja meg, hogy a téltel valós selejtszázalékától (p) függően mi annak a valószínűsége, hogy a selejtek száma nem éri el az eljárástól függő Re értékét azaz a tételt átvesszük (P(S<=Ac)). Ideális minőségellenőrzési eljárás OC-je az lenne, hogy ha a tétel selejtaránya a megegyezésnél jobb, akkor biztos átvesszük (azaz ha p < AQL, akkor az OC értéke 1) és ha a p > AQL, akkor biztos nem vesszük át (azaz 0). Megoldás: Számítsuk ki a c) részbeni valószínűséget p = 0, 0.01, 0.02, …, 0.5 értékekre és ábrázoljuk. A fenti képlettel elég csak a 21. sorba felírni egymás mellé a p-ket és a többi sor másolható… a 28. sorban ott lesznek az OC görbe értékei, a P(S<=2) azaz a P( a mintavétel alapján a tételt elfogadom ) értékek.
